Prekessio (tähtitiede)
Tähtitieteessä prekessiolla tarkoitetaan gravitaatiosta aiheutuvaa taivaankappaleen pyörimis­akselin suunnan jatkuvaa, hidasta muuttumista, erityisesti Maan pyörimis­akselin suunnan muuttumista. Vaappuvan hyrrän tavoin Maan akselin suunta kiertyy sillä tavoin, että sen asennot eri aikoina muodostavat kaksi kartiopintaa, jotka kohtaavat toisensa kärjissään. Täysi kierros kestää noin 26000 vuotta,[1] mitä aikajaksoa sanotaan myös suureksi vuodeksi eli platoniseksi vuodeksi.[2] Usein termillä "prekessio" tarkoitetaan vain tätä liikkeen suurinta komponenttia; muut Maan akselin suuntaa muuttavat tekijät kuten nutaatio ja napaliike ovat paljon vähäisempiä.
Maan prekessiota on historiallisesti nimitetty tasaus­pisteiden prekessioksi, koska sen vaikutuksesta tasauspisteet siirtyvät kiintotähtien suhteen länteen päin ekliptikaa pitkin, päin­vastaiseen suuntaan kuin Aurinko vuosittain näyttää liikkuvan ekliptikaa pitkin. Historiallisesti[3] tasauspisteiden prekession löytäjänä on tavallisesti pidetty hellenistisen ajan tähtitieteilijä Hipparkhosta 100-luvulla eaa, mutta vähemmän varmojen tietojen mukaan se olisi tunnettu jo aikaisemmin. Kun 1800-luvun alkupuolella pystyttiin laskemaan planeettojen välisiä gravitaatio­voimia entistä tarkemmin, vuonna 1863 havaittiin, että myös ekliptika hieman vaihtaa asentoaan. Tätä ilmiötä sanotaan planetaariseksi prekessioksi, kun taas Maan akselin suunnan­vaihtelun pääasiallista komponenttia sanotaan lunisolaariseksi prekessioksi.[4] Näiden yhteis­vaikutusta, jota aikaisemmin oli sanottu tasaus­pisteiden prekessioksi, alettiin nimittää yleiseksi prekessioksi.
Lunisolaarisen prekession aiheuttaa Kuun ja Auringon gravitaatiovoimien vaikutus Maan päiväntasaajan pullistumaan, mikä saa Maan akselin liikkumaan inertiaalisen avaruuden suhteen. Planetaarisen prekession saa aikaan se, etteivät muiden planeettojen gravitaatio­voimat ole ekliptikan eli Maan ratatason suuntaisia vaan niiden välillä on pieni kulma, mikä saa ekliptikan tason hieman kääntymään suhteessa inertiaaliseen avaruuteen. Lunisolaarinen prekessio on noin 500 kertaa suurempi kuin planetaarinen prekessio.[5] Kuun ja Auringon lisäksi myös muut planeetat saavat Maan akselin hieman liikkumaan, minkä vuoksi termit lunisolaarinen ja planetaarinen prekessio ovat hieman harhaanjohtavia. Sen vuoksi Kansainvälinen tähtitieteellinen unioni (IAU) suositteli vuonna 2006, että suuremmasta komponentista käytettäisiin nimitystä päiväntasaajan prekessio ja pienemmästä ekliptikan prekessio, mutta niiden yhdistelmää nimitetään yhä yleiseksi prekessioksi.[6] Ennen suositusta käytetyt termit ovat yleisiä vanhemmassa kirjallisuudessa.
Termi prekessio on peräisin latinasta. Etymologisesti prokessio () merkitsee liikettä eteenpäin, prekessio () taas liikettä taaksepäin. Maasta katsottuna tähdet näyttävät Maan pyörimis­liikkeen vuoksi liikkuvan vuoro­kauden kuluessa idästä länteen, ja myös Aurinko näyttää vuoden kuluessa kiertävän tähti­taivaan ympäri idästä länteen. Samaan aikaan tähdillä voidaan kuitenkin havaita myös vähäinen retrogradinen liike päin­vastaiseen suuntaan, suunnilleen 50 kaarisekuntia vuodessa, mitä alettiin nimittää "tasaus­pisteiden prekessioksi".
Tätä ilmiötä kuvaillessaan tähti­tieteilijät ovat yleisesti puhuneet lyhemmin "prekessiosta." Selittäessään ilmiön syytä fyysikot alkoivat myös käyttää termiä "prekessio". Tämä saattaa kuitenkin aiheuttaa sekaannusta, kun samaa termiä käytetään sekä havaittavasta ilmiöstä että sen syystä ja tähti­tieteessä jotkin prekessioksi nimitetyt liikkeet ovat todellisia, toiset näennäisiä. Sekaannusta lisää vielä se, että monet tähti­tieteilijät ovat samalla fyysikoita tai astrofyysikoita.
On huomattava, että tähti­tieteessä prekessiolla yleisimmin tarkoitetaan nimenomaan havaittua tasaus­pisteiden prekessiota eli tähtien näennäistä retrogradista liikettä taivaan poikki, kun taas fysiikassa prekessiolla tarkoitetaan erästä mekaanista ilmiötä.
Suomen kieleen termi lainattiin aikoinaan muodossa presessioni [7], myöhemmin presessio[8], ennen kuin nykyinen muoto vakiintui.
Maan akselin prekessiolla on useita havaittavia vaikutuksia. Ensinnäkin eteläinen ja pohjoinen taivaannapa näyttävät liikkuvan ympyrärataa pitkin tähdistöjen muodostaman taustan suhteen ja tekevän täyden kierroksen noin 26000 vuodessa. Niinpä vaikka Pohjantähti (Polaris) nykyisin on hyvin lähellä pohjoista taivaan­napaa, näin ei ole aina ollut eikä tule aina olemaan, vaan useat muut tähdet saavat aikanaan napa­tähden aseman.[3] Noin 3200 vuoden kuluttua Gamma Cephei Kefeusen tähdistössä on tässä asemassa nykyisen Pohjan­tähden sijasta. Eteläisen taivaan­navan kohdalla ei nykyisin ole kirkasta tähteä osoittamassa sen sijaintia, mutta ajan mittaan useatkin kirkkaat tähdet saavat vuorollaan eteläisen napa­tähden aseman. Kun taivaan­napa siirtyy, samalla muuttuu vähitellen koko tähti­taivaan sellaisena kuin se näkyy tietyltä paikalta Maan päältä.
Toiseksi se kohta Maan kiertoradasta Auringon ympäri, jossa Maa on tiettynä aikana vuodesta, esimerkiksi päivän­seisauksina tai päivän­tasauksina, ei ole aina sama vaan muuttuu hitaasti.[3] Oletetaan, että voitaisiin merkitä Maan sijainti radallaan esimerkiksi kesä­päivän­seisauksena, jolloin akselin kallistuma osoittaa suoraan kohti Aurinkoa. Täyttä kierrosta myöhemmin, kun Aurinko on samassa näennäisessä asemassa suhteessa taustalla oleviin tähtiin, Maan akselin kallistuma ei osoitakaan suoraan kohti Aurinkoa, vaan prekession seurauksena se on hieman siitä edellä. Toisin sanoen päivän­tasaus sattuu hieman ennen kuin Maa on jälleen samassa kohdassa rataansa. Niinpä trooppinen vuosi, joka mittaa vuoden­aikojen jaksoa, esimerkiksi aikaa kesä­päivän­seisauksesta seuraavaan kesä­päivän­seisaukseen, tai kevät­päivän­tasauksesta seuraavaan kevät­päivän­tasaukseen, on noin 20 minuuttia lyhempi kuin sideerinen vuosi eli Maan todellinen kiertoaika Auringon ympäri, jonka kuluttua Aurinko on jälleen samassa kohdassa suhteessa tähtiin. Tämä 20 vuoden ero vuotta kohti vastaa suunnilleen yhden vuoden eroa 25772 vuotta kohti, joten täyden 25772 vuoden jakson kuluttua vuodenajat ovat jälleen Maan ollessa samassa kohdassa rataansa.
Maan radan muotoa ja suuntaa tosin muuttavat hitaasti eräät muutkin tekijät, jotka yhdessä prekession kanssa saavat aikaan erilaisia jaksollisia ilmiöitä; näihin perustuvat myös ilmaston muutosten aiheuttajina pidetyt Milankovićin jaksot.[9]
Maan akselin kallistuman suunnan lisäksi myös sen kaltevuus­kulma muuttuu, mikä kuitenkaan ei suoranaisesti liity prekessioon.
Samasta syystä Auringon näennäinen sijainti suhteessa taustalla oleviin tähtiin tiettynä aikana vuodesta siirtyy taakse­päin noin 50,3 kaari­sekuntia vuodessa ja kiertää 25772 vuoden kuluessa täydet 360 astetta eli kaikkien Eläin­radan tähdistöjen ympäri. Se Eläin­radan tähdistö, jonka edessä Aurinko on kevät­päivän­tasauksena, vaihtuu ajan kuluessa, ja sen mukaisesti on hieman yli 2000 vuoden ajan­jaksoille annettu nimet sen tähdistön mukaan, jossa kevät­tasaus­piste kulloinkin on, esimerkiksi Vesimiehen aika. Näihin niin sanottuihin astrologisiin aika­kausiin ja niiden vaihtumiseen on vanhalta ajalta saakka liittynyt monia astro­logisia, mytologisia ja uskonnollisia uskomuksia.[10] Toisaalta samojen tähdistöjen mukaan nimetyt perinteiset Eläinradan merkit on pysyvästi määritelty niin, että Aurinko tulee kevät­päivän­tasauksena aina Oinaan merkkiin, minkä vuoksi nämä merkit eivät enää nykyisin, toisin kuin antiikin aikana, satu yhteen saman­nimisten tähdistöjen kanssa (katso kuitenkin myös Sideerinen astrologia).[11]
Prekession vuoksi taivaan­kappaleiden tähti­tieteellisten koordi­naattien eli rektaskension ja deklinaation taulukoidut arvot pätevät vain sinä ajan­kohtana eli epookkina, jolle on annettu.[12] Nykyisissä tähti­kartoissa käytetään yleensä epookin J2000.0 eli 1. tammikuuta 2000 mukaisia koordinaatteja. Tähdistöjen rajat on nykyisin kuitenkin kiinteästi määritelty niin, että ne pysyvästi noudattavat epookin 1875.0 mukaisia rektaskensio- ja deklinaatio­ympyröitä, jolloin jokainen tähti pysyy prekessiosta huolimatta samassa tähdistössä niin kauan, kuin ei sen ominaisliike siirrä sitä tähdistö­rajan yli.[13]
Yksi prekession seurauksista on, että eri tähdet ovat eri aikoina lähellä taivaannapaa. Nykyisin Pohjantähti on erittäin hyvä pohjoisen taivaan­navan merkki, sillä se on varsin kirkas tähti, jonka magnitudi on 2,1 (vaihteleva) ja se sijaitsee vain asteen päässä taivaan­navasta.[14]
Edellinen napatähti oli Beta Ursae Minoris eli Kochab (ß UMi, ß Ursae Minoris), Pienen Otavan toiseksi kirkkain tähti, joka on 16 asteen päässä Pohjan­tähdestä. Se oli napatähtenä noin 1500 eaa – 500 ,[15] mutta ei ollut yhtä tarkka kuin Pohjantähti nykyisin.[15] Nykyisin Kochabia ja sen naapuria Pherkadia nimitetään toisinaan "navan vartijoiksi."[15]
Thuban Lohikäärmeen tähdistössä oli napatähtenä noin vuonna 2500 eaa.[16] Se on huomattavasti vähemmän silmiin­pistävä, sillä sen magnitudi on 3,67 eli se on kirkkaudeltaan vain viidesosa Pohjan­tähdestä. Nykyisin sitä keino­valojen vuoksi tuskin voidaan kaupunki­alueilta nähdäkään.
Kirkasta Vegaa Lyyran tähdistössä pidetään usein kaikkien aikojen parhaana pohjoisena napatähtenä. Se oli tässä asemassa noin vuonna 12000 eaa ja jälleen noin vuonna 14000, mutta ei koskaan lähempänä kuin viiden asteen päässä navasta.
Kun nykyinen Pohjantähti vuoden 27800 aikoihin jälleen on napatähtenä, se jää ominais­liikkeensä vuoksi kauemmaksi navasta kuin se on nykyisin. Sen sijaan vuonna 23600 eaa. se oli nykyistäkin lähempänä taivaan­napaa.
Nykyisin eteläinen taivaan­napa on vaikeasti löydettävissä taivaalta, sillä sen lähistöllä ei ole yhtään kirkasta tähteä. Eteläisenä napa­tähtenä pidetään Sigma Octantista, jonka magnitudi on 5,5, niin että se vain juuri ja juuri näkyy paljain silmin parhaissakaan olo­suhteissa. Tilanne kuitenkin muuttuu vuosien 8000 ja 9000 välillä, jolloin eteläinen taivaannapa kulkee Väärän ristin läpi.
Tilanne näkyy myös tähti­kartalta. Etelänapa on siirtymässä kohti Etelän ristin tähdistöä. Suunnilleen viimeksi kuluneiden 2000 vuoden ajan Etelän risti on osoittanut kohti etelä­napaa. Sen vuoksi tämä tähdistö ei enää näy pohjoisilta subtrooppisilta leveys­asteilta, mutta antiikin Kreikkalaisten aikana se näkyi.
Oheiset kuvat esittävät Maan akselin prekessiota ja siitä aiheutuvaa tasaus­pisteiden siirtymistä. Kuvat osoittavat Maan akselin asennon taivaanpallolla, kuvitteellisella pallolla, jolle kaikki tähdet on sijoitettu oikeaan suuntaan Maasta katsottuna, mutta jossa niiden todellisia etäisyyksiä ei ole otettu huomioon. Ensimmäinen kuva esittää taivaan­palloa ulko­puolelta katsottuna, jolloin tähdistöt näkyvät peilikuvinaan. Toinen kuva esittää sitä sellaisena kuin se näyttäisi katsottuna läheltä Maata hyvin laajakulmaisella linssillä (mikä aiheuttaa näennäisen vääristymän).
Maan pyörimis­akselin kuviteltu jatke piirtää noin 25700 vuodessa taivaanpallolle tässä sinisellä merkityn ympyrän, jonka keski­pisteenä on ekliptinen pohjoisnapa (sininen E) ja säde noin 23,4°, mikä kulma tunnetaan ekliptikan kaltevuutena. Prekession suunta on päin­vastainen kuin Maan vuoro­kautisen pyörimis­liikkeen akselinsa ympäri. Oranssi akseli on Maan pyörimisakseli 5000 vuotta sitten, jolloin se osoitti Thuban-tähteen. Keltainen akseli, joka osoittaa Pohjantähteen, on nykyinen akseli.
Päivän­tasaukset sattuvat, kun taivaan ekvaattori leikkaa ekliptikan (punainen viiva), toisin sanoen kun Maan akseli on kohti­suorassa Maan ja Auringon keskipisteet yhdistävää janaa vastaan. Näitä leikkaus­pisteitä sanotaan tasaus­pisteiksi. Kun akseli prekessoi asennosta toiseen, Maan päiväntasaajan taso, joka tässä on merkitty ruudukolla, siirtyy. Taivaan ekvaattori on Maan päiväntasaajan projektio taivaan­pallolla, joten sekin siirtyy samalla kun Maan päivän­tasaajan tasokin, ja sen mukana siirtyy myös sen ja ekliptikan leikkaus­piste. Tämä ei merkitse, että navat ja päivän­tasaaja siirtyisivät myös Maan pinnan suhteen, ainoastaan Maan asento kiintotähtiin nähden muuttuu.
Kuten oranssinen ruudukko osoittaa, 5000 vuotta sitten kevät­tasaus­piste oli lähellä Aldebarania Härän tähdistössä. Nykyisin, kuten näkyy keltaisesta ruudukosta, se on siirtynyt punaisen nuolen osoittamalla tavalla Kalojen tähdistöön.
Tällaiset kuvat ovat vain ensimmäisiä likiarvoja, sillä niissä ei ole otettu huomioon prekessio­vauhdin muutoksia, ekliptikan kaltevuuden muutoksia eikä planetaarista prekessiota, jonka vuoksi ekliptikan taso itsekin hitaasti pyörii eikä tähtien ominaisliikkeitä.
Aikajaksoja, jolloin kevättasauspiste on ollut eri tähdistöissä, sanotaan usein "suuriksi kuukausiksi", ja ne ovat suunnilleen:[17]
Prekession vuoksi taivaankappaleiden tähtitieteelliset koordinaatit eli rektaskensio α ja deklinaatio δ muuttuvat jatkuvasti. Tarpeeksi lyhyen ajan, esimerkiksi yhden vuoden kuluessa nämä muutokset voidaan ilmaista differentiaalisesti:
d δ = d λ sin ⁡ ϵ cos ⁡ α {\displaystyle d\delta =d\lambda \sin {\epsilon }\cos {\alpha }} d α = d λ ( sin ⁡ ϵ sin ⁡ α tan ⁡ δ + cos ⁡ ϵ ) {\displaystyle d\alpha =d\lambda (\sin {\epsilon }\sin {\alpha }\tan {\delta }+\cos {\epsilon })}
missä ε on maan akselin kaltevuus ja δ epliktikaa pitkin mitatun pituuden muutos, noin 50 kaarisekuntia vuodessa.[12] Nämä kaavat kirjoitetaan usein muotoon:
d δ = n cos ⁡ α {\displaystyle d\delta =n\cos {\alpha }} d α = m + n sin ⁡ α tan ⁡ δ {\displaystyle d\alpha =m+n\sin {\alpha }\tan {\delta }}
missä m ja n ovat niin sanotut prekessiovakiot:
m = d λ cos ⁡ ϵ {\displaystyle m=d\lambda \cos {\epsilon }} ja n = d λ sin ⁡ ϵ {\displaystyle n=d\lambda \sin {\epsilon }} .[12]
Koska Maan akselin kaltevuuskaan ei tarkkaan ottaen ole vakio, myös nämä prekessiovakiot muuttuvat jonkin verran ajan kuluessa. Koska rektaskensio ilmoitetaan yleensä aikayksikköinä, ilmoitetaan prekessiovakiotkin usein sekunteina vuodessa. Vuonna 2000 m oli 3,07419 sekuntia vuodessa ja n 1,33703 (aika)sekuntia eli 20,0554 kulmasekuntia vuodessa.[12]
On esitetty monia olettamuksia, joiden mukaan prekessio olisi useissa kulttuureissa tunnettu jo kauan ennen Hipparkhosta. Esimerkiksi Al-Battanin mukaan babylonialaiset tähti­tieteilijät olisivat jo vuoden 330 eaa. aikoihin tehneet eron trooppisen ja sideerisen vuoden välillä ja näin ollen he olisivat periaatteessa tunteneet prekession, vaikkeivät olleetkaan tarkemmin selvillä sen luonteesta. On kuitenkin hyvin kyseen­alaista, tunsivatko kaldealaiset todella eron.[18]
Myös muinaisten egyptiläisten on väitetty tunteneen prekession jo kauan ennen Hipparkhosta, mutta tällaiset väitteet ovat yhä kiistanalaisia. On väitetty, että jotkin rakennukset, esimerkiksi Karnakin temppelikompleksi, olisi suunnattu kohti sitä kohtaa horisontissa, jossa tietyt tähdet nousivat tärkeinä ajankohtina vuodesta. Heillä kuitenkin oli tarkka kalenteri, ja jos he merkitsivät muistiin, milloin temppelit oli jälleen­rakennettu, he olisivat voineet helpostikin määrittää likiarvoja prekession nopeudelle. On väitetty, että nimellä Denderan eläinrata tunnetussa Hathorin temppelistä Denderata löydetyssä tähti­kartassa, joka tosin on peräisin vasta Ptolemaiosten ajalta, olisi mainintoja tasaus­pisteiden prekessiosta. (Tompkins 1971) Ei kuitenkaan ole varma, tunsivatko muinaiset egyptiläiset prekession, sillä siitä ei ole mainintoja missään heiltä säilyneessä tähti­tieteellisessä teoksessa.
Michael Rice kuitenkin kirjoitti teoksessaan Egypt's Legacy: "On epävarmaa, tunsivatko muinaiset kansat prekession mekaniikan ennen kuin Hipparkhos Bitynialainen määritteli sen toisella vuosisadalla eaa, mutta öistä taivasta kyllä tarkkailtiin siinä määrin antaumuksella, että ilmiön vaikutukset eivät voineet jäädä heiltä huomaamatta.[19] Ricen mukaan "prekessiolla on perustava merkitys sen ymmärtämiseksi, mikä piti yllä Egyptin kehitystä,[20] jopa siinä äärin, että "tietyssä mielessä Egypti kansallis­valtiona ja Egyptin kuninkaan asema elävänä jumalana olivat seurauksia siitä, kuinka egyptiläiset saivat selville ne tähti­tieteelliset muutokset, jotka prekession aikaansaama taivaan­kappaleiden valtava liike saa aikaan.[21] Ricen mukaan myös se, kuinka tarkoin Gizan pyramidit on suunnattu pää­ilman­suuntien mukaan, on selvä todistus siitä, kuinka tarkkoja tähtitieteellisiä havaintoja Egyptissä tehtiin jo kolmannella vuosi­tuhannella eaa. tai mahdollisesti jo sitäkin ennen, sillä näin tarkoin ilman­suunnat olisi voitu määrittää vain tähtien suuntien perusteella.[22] Ricen käsityksen mukaan uuden valta­kunnan aikana egyptiläiset useita kertoja myös muuttivat temppeliensä suuntaa, kun ne tähdet, joiden aseman mukaisesti ne alkujaan oli rakennettu, olivat prekession vuoksi muuttanut asemaansa.[23]
On väitetty, että mayat olisivat varhain tunteneet prekession ja että mayakalenterin pitkälasku olisi ollut kalibroitu sen mukaan, mutta useimmat mayakulttuurin tutkijat eivät pidä tätä todennäköisenä. Susan Milbrath on kuitenkin väittänyt, että kalenterin pitkä 30000 vuoden jakso, joka liittyi Plejadeihin olisi ollut yritys laskea tasauspisteiden prekession jakson pituus.[24]
Eräät kiistanalaiset tiedot viittaavat siihen, että jo Aristarkhos Samoslainen olisi noin vuonna 280 eaa. tiennyt sideerisen ja trooppisen vuoden poikkeavan toisistaan hieman.[25] Tavallisesti prekession löytäjänä on kuitenkin pidetty kreikkalaista tähti­tieteilijä Hipparkhosta (190–120 BC). Ptolemaioksen Almagest -teoksen mukaan Hipparkhos mittasi Spican ja useiden muiden kirkkaiden tähtien pituusa­steen eli rektaskension. Kun hän vertasi saamiaan tuloksia edeltäjiensä kuten Timokhariin (320–260 eaa) ja Aristilluksen (noin 280 eaa) tuloksiin, hän päätteli, että Spica oli siirtynyt kaksi astetta suhteessa syys­tasaus­pisteeseen. Hän vertasi myös trooppisen ja sideerisen vuoden pituutta (aikaa, jonka kuluttua Aurinko palaa tasauspisteeseen, ja aikaa, jonka kuluttua se on jälleen saman kiintotähden kohdalla) ja havaitsi pienen eron. Hipparkhos päätteli, että tasauspisteet siirtyvät ("prekessoivat") Eläinrataa pitkin ja että prekessiovauhti on ainakin 1° sadassa vuodessa, joten täysi kierros kestää hänen mukaansa enintään 36000 vuotta.
Jokseenkin kaikki Hipparkhoksen teokset ovat kadonneet, myös hänen tutkielmansa prekessiosta. Ne kuitenkin mainitsee Ptolemaios, joka selitti prekession taivaanpallon pyörimisellä liikkumattoman Maan ympärillä. On todennäköistä että Ptolemaioksen tavoin myös Hipparkhos piti prekessiota maakeskisen maailmankuvan mukaisesti taivaan eikä Maan liikeilmiönä.
Ensimmäinen tähtitieteilijä, jonka tiedetään jatkaneen Hipparkhoksen prekessiota koskevia tutkimuksia, oli Ptolemaios ajanlaskumme toisella vuosisadalla. Ptolemaios mittasi Reguluksen, Spican ja muiden kirkkaiden tähtien pituusasteet menetelmällä, joka perustui Kuun asemaan ja muistutti Hipparkhoksen käyttämää, mutta ei edellyttänyt kuunpimennyksiä. Ennen auringonlaskua hän mittasi Auringon ja Kuun välisen longitudisuuntaisen kulman. Auringon laskettua hän mittasi Kuun ja kyseisen tähden välisen kulman. Hän käytti Hipparkhoksen mallia laskeakseen Auringon pituusasteen ja teki korjauksia Kuun liikkeen ja sen parallaksin vuoksi.[26] Ptolemaios vertasi havaintojaan Hipparkhoksen, Menelaos Aleksandrialaisen, Timokhariin ja Agrippan tekemiin. Hän totesi, että Hipparkhoksen ja hänen oman aikansa välisten noin 265 vuoden aikana tähdet olivat siirtyneet 2°40', eli asteen 100 vuodessa (36 kaarisekuntia vuodessa; nykyisin hyväksytty arvo on 50" vuodessa eli aste 72 vuodessa). Hän myös vahvisti, että prekessio vaikuttaa kaikkiin kiintotähtiin, ei ainoastaan lähellä ekliptikaa sijaitseviin, ja hän sai prekessio­jaksolle saman keston, 36000 vuotta, kuin Hipparkhoskin.
Hipparkhos kertoi havainnoistaan teoksessa Päivän­seisaus- ja -tasaus­pisteiden siirtymisestä, jota Ptolemaios myöhemmin referoi teoksessaan Almagest, luvuissa III.1 ja VII.2. Hipparkhos mittasi Spica-tähden ekliptisen pituus­asteen kuunpimennysten aikana ja totesi sen sijainneen 6° syys­tasaus­pisteestä länteen. Vertaamalla omia mittauksiaan aleksandrialaisen Timokhariin tuloksiin 200-luvun alusta eaa. hän totesi, että Spican pituusaste oli sillä välin pienentynyt 2°. Samassa luvussa VII.2 kertoo Spicaa ja erästä toista tähteä koskevista tarkemmista mittauksista ja toteaa, että kumpikin oli vuosien 128 eaa ja 139 välisenä aikana siirtynyt 2°:40' ja näin ollen noin 1° vuosisadassa, jolloin voitiin laskea, että täysi kierros kesti 36000 vuotta, minkä arvon jo Hipparkhos oli Ptolemaioksen mukaan saanut.[27] Ptolemaios mainitsi muidenkin tähtien siirtyneen vastaavalla tavalla. Hän pohti sitäkin mahdollisuutta, että vain lähellä Eläinrataa olevat tähdet siirtyisivät ajan kuluessa. Tätä hän nimitti "ensimmäiseksi hypoteesiksi" (Almagest VII.1), mutta ei kertonut mistään myöhemmästä hypoteesista, jonka Hipparkhos mahdollisesti oli esittänyt. Hipparkhos ilmeisesti ei pohdiskellut asiaa tarkemmin, koska hänen käytettävissään oli vain niukasti vanhempia havaintoja eivätkä nekään olleet kovin luotettavia.
Miksi Hipparkhos tarvitsi kuunpimennystä tähden aseman mittaamiseen? Tasauspisteet eivät näy taivaalla, ja sen vuoksi hän tarvitsi Kuun vertailukohteeksi. Hipparkhos oli jo kehittänyt keinon laskea Auringon pituus­aste millä tahansa hetkellä. Kuunpimennys tapahtuu täydenkuun aikana, jolloin Kuu on oppositiossa. Pimennyksen puoli­välissä Kuun on tarkalleen 180°:n päässä Auringosta. Hipparkhoksen arvellaan mitanneen Spican ja Kuun välisen, pituus­piirin suuntaisen kaaren. Sen arvoon hän lisäsi laskemansa auringon pituus­asteen sekä edelleen Auringon ja Kuun sijaintien erotuksen, joka oli 180°. Samoin hän käsitteli Timokhariin ilmoittamia mittaus­tuloksia.[26]. Nämä pimennykset ovat samalla keskeisin lähde, jonka perusteella voidaan päätellä, milloin Hipparkhos teki tutkimuksensa, sillä hänestä ei ole säilynyt paljonkaan elämä­kerrallisia tietoja. Hänen havaitsemansa kuun­pimennykset tapahtuivat 21. huhtikuuta 146 eaa. ja 21. maaliskuuta 135 eaa.[28]
Hipparkhos käsitteli prekessiota myös teoksessaan Vuoden pituudesta. Hänen tutkimuksensa ymmärtämiseksi tarvitaan kaksi vuoden käsitettä. Trooppinen vuosi on aika, jonka kuluttua Aurinko Maasta katsottuna palaa samaan kohtaan ekliptikalla suhteessa päivän­tasaus- tai päivän­seisaus­pisteisiin. Sideerinen vuosi on aika, jonka kuluttua Aurinko palaa samaan kohtaan suhteessa taustalla oleviin tähtiin. Prekession vuoksi tähtien asemat suhteessa päivän­tasaus- ja -seisaus­pisteisiin muuttuvat hieman joka vuosi, minkä vuoksi sideerinen vuosi on pidempi kuin trooppinen. Päivän­tasauksia ja -seisauksia koskevien havaintojen avulla Hipparkhos totesi, että trooppinen vuosi on 365+1/4-1/300 vuorokautta eli 365,24667 vuorokautta.[29] Vertaamalla tätä sideerisen vuoden pituuteen hän laski, että prekessiovauhti oli ainakin 1° vuosisadassa. Jälkeenpäin tästä voidaan laskea, että hänen arvonsa sideeriselle vuodelle oli 365+1/4+1/144 vuorokautta.[30] Esittämällä vain vähimmäisarvion hän mahdollisesti myönsi havaintojen olleen epätarkkoja.
Esittääkseen trooppiselle vuodelle likiarvoja Hipparkhos laati nyttemmin kadonneessa teoksessaan Karkaus­kuukausista ja -päivistä oman luni­solaarisen kalenterinsa tekemällä Metonin ja Kallippoksen laatimiin kalentereihin tarpeelliset muutokset. Tätä kalenteria Ptolemaios käsitteli Almagest'-teoksensa luvissa III.1.[31] Babylonialaisessa kalenterissa oli vuodesta 499 eaa. lähtien ollut 19 vuoden jaksossa 235 kuukautta (mistä oli tehty vain kolme poikkeusta ennen vuotta 380 eaa), mutta siinä ei määritelty päivien lukumäärää. Vuonna 432 eaa. otettiin käyttöön Metonin jakso, jonka mukaan tässä 19 vuoden jaksossa oli 6940 päivää, jolloin vuoden pituus oli keskimäärin 365+1/4+1/76 eli 365,26316 vuorokautta. Kallippoksen jakso, joka otettiin käyttöön vuonna 330 eaa, oli muutoin sama kuin Metonin jakso, mutta neljän jakson eli 76 vuoden kuluessa jätettiin yksi päivä pois, jolloin vuoden keski­määräiseksi pituudeksi saatiin 365+1/4 eli 365,25 vuorokautta. Hipparkhos jätti vielä yhden päivän pois neljän Kallippoksen jakson eli 304 vuoden kuluessa ja muodosti täten Hipparkhoksen jakson, jossa vuoden pituus oli keski­määrin 365+1/4-1/304 eli 365.24671 vuorokautta, mikä on lähellä hänen trooppiselle vuodelle määrittämäänsä arvoa 365,24667 vuorokautta.
Hipparkhoksen tutkimuksista voidaan tehdä päätelmiä Antikytheran koneen perusteella, joka on 100-luvulla eaa rakennettu tähti­tieteellinen laskukone. Sen mekanismi perustuu aurinko­vuoteen, Metonin jaksoon (19 vuoden jakso, jonka kuluttua Kuu on jälleen samassa kohdassa taivaalla samassa vaiheessaan), Kallippoksen jaksoon (joka on neljä Metonin jaksoa ja tarkempi, Saros-jaksoon sekä Exeligmos-jaksoon (joka on kolme Saros-jaksoa ja jonka avulla pimennykset voidaan varsin tarkoin ennustaa). Antikhyran koneen tutkimukset todistavat, että antiikin aikana käytettiin varsin tarkkoja kalentereja, jotka perustuivat Auringon ja Kuun liikkeiden kaikkiin piirteisiin. Itse asiassa Antikytheran koneen kuumekanismi esittää Kuun liikkeen ja sen vaiheen tiettynä ajanhetkenä neljän hammaspyörän sekä tapin ja raon muodostaman laitteen avulla tavalla, joka osoittaa, että jo tuolloin tiedettiin Kuun liikkuvan nopeammin ollessaan lähimpänä Maata (perigeumissa) kuin olleessaan kauimpana Maasta (apogeumissa). Tämä löytö osoittaa, että Hipparkhoksen matematiikka oli paljon kehittyneempää kuin millaisena Ptolemaios sen kirjoissaan esitti, ja että hän oli kehittänyt hyvän likiarvon Keplerin toiselle laillekin.
Useimmat antiikin kirjoittajat eivät mainitse prekessiota eivätkä kenties tienneet siitä mitään. Esimerkiksi Proklus hylkäsi prekession, kun taas Theon Aleksandrialainen, joka 300-luvulla kirjoitti kommentteja Ptolemaioksen teoksiin, hyväksyi hänen selityksensä. Theon kuitenkin esitti myös vaihtoehtoisen teorian:
Eräiden käsitysten mukaan entisajan astrologit uskoivat, että jostakin ajan­hetkestä lähtien päivän­seisauksiin liittyvät merkit liikkuvat 8° merkkien suuntaan, minkä jälkeen ne palaavat saman verran. . . . [32]
Sen sijaan, että tasaus­pisteet kiertäisivät aikaa myöten koko Eläin­radan ympäri, niiden oletettiin liikkuvan edes­takaisin pitkin 8 asteen kaarta. Tämän trepidaatioteorian Theon esitti vaihto­ehtona preksessiolle.
Intialaiset astrologit olivat tietoisia prekessiosta jo ennen ajanlaskumme alkua. Vaikka monet Taxilassa säilytetyt tähtitieteelliset tekstit poltettiin, kun muslimit valloittivat Intian, klassinen teos Suryasiddhanta säilyi ja sisältää tietoja ayana-liikkeistä. Myöhemmässä Suryasiddhantan kommentaarissa 1100-luvulta Bhāskara II[33] kirjoitti: "Suryasiddhantan mukaan sampat kiertää negatiiviseen suuntaan 30000 kertaa 4320 miljoonaa vuotta kestävän kalpa-aikajakson kuluessa, kun taas Munjāla ja muut sanovat, että ayana kiertää eteenpäin 199669 kertaa Kalpa-aikajaksossa, ja nämä molemmat pitäisi yhdistää ennen kuin voimme varmistaa deklension, tähtien nousuaikojen eron ja niin edelleen."[34] Nykyisten intialaisten tulkitsijoiden mukaan tässä tarkoitetaan, että prekession jakso saadaan vähentämällä ayana</i>n 199669 kierroksesta sampaat</i>in 30000 kierrosta, jolloin saadaan 169669 kierrosta Kalpa</i>a kohti eli yksi kierros 25461 vuodessa, mikä on lähellä nykyisen käsityksen mukaista arvoa 25771 vuotta.
Lisäksi Munjalan arvion mukaan ayana</i>n liikkeen jakso on 21636 vuotta, mikä on lähellä nykyistä arvoa, kun anomalistinen prekessio otetaan huomioon. Jälkimmäisen jakso on nykyisten tietojen mukaan 136000 vuotta, mutta Bhāskara II:n mukaan se oli 144000 vuotta, ja sille hän antoi nimen sampat. Hänen mukaan kalpa käsitti 30000 tällaista jaksoa. Bhāskara II ei antanut mitään nimeä lopulliselle jaksolle, joka saatiin yhdistämällä negatiivinen sampat ja positiivinen ayana. Hänen ilmoittamastaan arvosta voidaan kuitenkin päätellä, että ayana tarkoitti prekessiota sellaisena, että siinä oli otettu huomioon rata- ja anomalistisen presession yhteisvaikutus, ja sampat tarkoitti anomalistista jaksoa, mutta hän määritteli sen päiväntasaukseksi. Hänen terminologiansa on jonkin verran sekavaa, mutta hän itse selvensi sitä Vasanabhashya-kommentaarissaan Siddhanta Shiromani[35] sanomalla, että Suryasiddhanta ei ollut saatavilla ja että hän kirjoitti kuulopuheiden perusteella. Bhāskara II ei esittänyt omia mielipiteitään vaan ainoastaan lainasi Suryasiddhantaa, Mujalaa ja nimeltä mainitsemattomia muita kirjoittajia.
Suryasiddhantassa käsitellään myös trepidaation käsitettä, joka mahdollisesti olisi ollut jopa 27°:n laajuinen, jolloin vuotuinen siirtymä olisi vanhojen kommentaarien mukaan ollut 54", mutta Burgessin mukaan tämäkin olisi alkujaan tarkoittanut syklistä liikettä.[36]
Yu Xi 300-luvulla oli ensimmäinen kiinalainen tähti­tieteilijä, joka mainitsi prekession. Hän arvioi prekessio­vauhdin olevan noin yksi aste 50 vuodessa.[37]
Persialaisessa Maraghehin observatoriossa 1200-luvulla laaditussa teoksessa Zij-i Ilkhani mainitaan tasaus­pisteiden prekession olevan suuruudeltaan 51 kaarisekuntia vuodessa, mikä on varsin lähellä nykyistä arvoa 50,2 kaarisekuntia.[38]
Keskiajalla sekä islamilaiset että latinalaiset kristityt tähti­tieteilijät käsittelivät "trepidaatiota" kiinto­tähtien liikkeenä, joka oli otettava huomioon prekession lisäksi. Tämä teorian esittäjänä on pidetty arabialaista tähti­tieteilijä Thabit ibn Qurraa, mutta nykyiset tutkijat eivät pidä sitä hänen keksimänään. Teoksessaan De revolutionibus orbium coelestium (1543) Nikolaus Kopernikus esitti toisenlaisen selityksen trepidaatiolle. Teos on samalla ensimmäinen, jossa prekessio nimen­omaisesti selitetään Maan akselin liikkeeksi. Kopernikus nimitti prekessiota Maan kolmanneksi liikkeeksi; kaksi muuta olivat sen vuoro­kautinen pyöriminen ja vuotuinen kierto­liike.
Isaac Newton selitti teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) prekession aiheutuvan Kuun ja Auringon gravitaatiovaikutuksesta.[39] Newtonin alkuperäiset prekessiolle esittämät yhtälöt eivät kuitenkaan toimineet, ja niitä ovat huomattavasti muokanneet Jean le Rond d'Alembert ja myöhemmät tiedemiehet.
Jens Olsenin maailmankellossa Kööpenhaminan raatihuoneella on osoitin, joka on ajastettu tekemään yksi kierros yhtä pitkässä ajassa kuin Maan akseli prekession vuoksi palaa entiseen asentoonsa eli yhdessä platonisessa vuodessa. Tämä on hitain ihmisen tekemä esine, joka liikkuu säädetyllä nopeudella.
Prekession saa aikaan Auringon, Kuun ja vähäisemmässä määrin muiden taivaan­kappaleiden gravitaatiovaikutus Maahan. Sen selitti ensimmäisenä Isaac Newton.[40]
Maan akselin prekessio on saman tapainen ilmiö kuin pyörivän hyrrän prekessio. Kummassakin tapauksessa vaikuttavat voimat johtuvat gravitaatiosta. Pyörivän hyrrän tapauksessa tämä voima on lähes sen pyörimis­akselin suuntainen. Sen sijaan Maan tapauksessa Auringon ja Kuun aikaan­saamat voimat ovat likimain kohti­suorassa pyörimis­akseliin nähden.
Maa ei ole täydellinen pallo vaan pyörähdysellipsoidi, jonka päivän­tasaajan halkaisija on noin 43 kilometriä suurempi kuin napojen kautta mitattu halkaisija. Maan akselin kaltevuuden vuoksi se puoli tästä pullistumasta, joka on lähempänä Aurinkoa, on suurimman osan vuodessa sivussa keski­pisteestä, joko pohjois- tai etelä­puolella, ja kauempana Auringosta oleva puoli sivussa keski­pisteestä päin­vastaiseen suuntaan. Gravitaatio vaikuttaa lähempänä Aurinkoa olevaan puoleen voimakkaammin, koska se heikkenee etäisyyden kasvaessa, ja tämä ero aiheuttaa pienen vääntö­momentin, kun Aurinko vetää Maan toista puolta puoleensa voimakkaammin kuin toista. Tämän vääntömomentin akseli on likipitäen kohtisuorassa Maan pyörimis­akseliin nähden, ja siksi pyörimis­akseli prekessoi. Jos Maa olisi täydellinen pallo, prekessiota ei olisi.
Tämä keskimääräinen vääntö­momentti on kohti­suorassa siihen suuntaan nähden, mihin Maan pyörimis­akseli on kallistunut poispäin ekliptisestä navasta, ja siksi se ei muuta akselin kaltevuuskulmaa itseään. Vääntö­momentin suuruus vaihtelee sen mukaan, missä suunnassa nämä sijaitsevat Maan akseliin nähden, ja on likipitäen nolla silloin, kun Auringon suunta on kohti­suorassa Maan akseliin nähden.
Samoin kuin Aurinko, vaikuttavat Maahan muutkin taivaan­kappaleet, jotka ovat lähellä ekliptikan tasoa, erityisesti Kuu. Auringon ja Kuun yhteis­vaikutusta sanotaan luni­solaariseksi prekessioksi. Jatkuvasti etenevän prekession lisäksi, joka tekee täyden kierroksen noin 25000 vuodessa, Aurinko ja Kuu saavat vaihtuvan asemansa vuoksi aikaan myös pienempiä jaksollisia vaihteluja. Näitä vaihteluja, jotka vaikuttavat sekä prekession nopeuteen että akselin kaltevuuteen, sanotaan nutaatioksi. Nutaation tärkeimmän komponentin jakso on 18,6 vuotta ja amplitudi 9,2 kulmaminuuttia.[41]
Lunisolaarisen prekession lisäksi Maahan vaikuttavat myös aurinkokunnan muut planeetat, jotka saavat ekliptikan tasonkin hitaasti pyörimään akselin ympäri, jonka ekliptinen pituus on noin 174° mitattuna kulloisellakin ekliptikalla. Tämä niin sanottu planetaarinen prekessio saa ekliptikan tason kiertymään 0,47 kaarisekuntia vuodessa, mikä on alle sadasosa lunisolaarisesta prekessiosta. Näiden kahden prekession summaa sanotaan yleiseksi prekessioksi.
Vuorovesivoiman, jolla Aurinko, Kuu tai planeetta vaikuttaa Maahan, ilmaisee Newtonin gravitaatiolaki, jonka mukaan gravitaatiovoima sillä puolella Maata, joka on kauempana kyseisen häiriön aiheuttavalta taivaan­kappaleesta, on hieman pienempi kuin sitä kohti kääntyneellä puolella. Tämä erotus on verrannollinen Maan halkaisijan kuutioon. Vuorovesi­voima saadaan vähentämällä taivaan­kappaleen aiheuttamasta gravitaatio­voimasta Maan keskipisteessä vastaava voima tietyssä kohdassa Maan pinnalla. Prekession kannalta tätä vuoro­vesi­voimaa voidaan käsitellä ikään kuin kyseessä olisi kaksi voimaa, jotka vaikuttavat vastakkaisiin kohtiin Maan päivän­tasaajan pullistuman kohdalla. Ne muodostavat voimaparin, joka voidaan jakaa kahteen komponentti­pariin, joista toisen voimat ovat Maan päivän­tasaajan tason suuntaisia, suuntautuvat voiman aiheuttavaa kappaletta kohti ja siitä poispäin ja kumoavat toistensa vaikutuksen, kun taas toisen voimaparin voimat ovat Maan pyörimis­akselin suuntaisia ja vaikuttavat sen suunnassa kohti ekliptikan tasoa.[42] Jälkimmäinen voimapari aiheuttaa Maan päivän­tasaajan pullistumaan vääntö­momentin, jonka suuruus on:[5]
T → = 3 G m r 3 ( C − A ) sin ⁡ δ cos ⁡ δ ( sin ⁡ α − cos ⁡ α 0 ) {\displaystyle {\overrightarrow {T}}={\frac {3Gm}{r^{3}}}(C-A)\sin \delta \cos \delta {\begin{pmatrix}\sin \alpha \\-\cos \alpha \\0\end{pmatrix}}}
Gm = standardi gravitaatioparametri eli häiriön aiheuttavan kappaleen massan ja yleisen gravitaatiovakion tulo r = häiriön aiheuttavan taivaankappaleen etäisyys maasta C = Maan hitausmomentti pyörimisakselinsa suhteen A = hitausmomentti minkä tahansa päiväntasaajan halkaisijan suhteen C - A = Maan päiväntasaajan pullistuman hitausmomentti (C > A) δ = häiriön aiheuttavan kappaleen deklinaatio (pohjoiseen tai etelään päiväntasaajasta) α = häiriön aiheuttavan kappaleen rektaskensio (itään kevättasauspisteestä)
Vääntömomentin kolme yksikkövektoria Maan keskipisteessä ovat x, joka osoittaa ekliptikan tasossa kohti kevättasaus­pistettä eli Maan päivän­tasaajan tason ja ekliptikan tason leikkaus­pistettä, y, joka osoittaa kohti kesä­päivän­seisaus­pistettä (90° itään x:stä), ja z, joka osoittaa kohti pohjoista ekliptistä napaa.
Kolmen x-akselin suuntaisen sinimuotoisen termin (sinδ cosδ sinα) summa Auringolle on sinifunktion neliön muotoinen aaltomainen funktio, joka vaihtelee nollasta päivän­tasaus­pisteissä (0°, 180°) arvoon 0,36495 päivän­seisaus­pisteissä (90°, 270°). Arvo y-akselin suunnassa (sinδ cosδ (-cosα)) Auringolle on sinimuotoinen funktio, joka vaihtelee nollasta päivän­tasaus- ja -seisaus­pisteissä arvoon ±0.19364 (hieman yli puolet edellisestä) kohdissa, jotka ovat lähellä päiväntasaus- ja -seisaus­pisteiden puolivälejä mutta hieman lähempänä tasaus­pisteitä (43.37°(-), 136.63°(+), 223.37°(-), 316.63°(+)). Molemmilla aaltomaisilla funktioilla on suunnilleen sama amplitudi ja sama jakso, puolet kiertoajasta eli puoli vuotta. Arvo z-akselin suunnassa on nolla.
Siniaallon mukaisesti vaihtelevan voiman keski­määräinen vääntö­momentti y-akselin suunnassa on nolla sekä Auringon että Kuun tapauksessa, joten tämä vääntömomentin komponentti ei vaikuta prekessioon. Sen sijaan x-akselin suunnassa aaltomaisesti vaihtelevan voiman keski­määräinen vääntö­momentti Auringon tai Kuun tapauksessa on:
T x = 3 2 G m a 3 ( 1 − e 2 ) 3 / 2 ( C − A ) sin ⁡ ϵ cos ⁡ ϵ {\displaystyle T_{x}={\frac {3}{2}}{\frac {Gm}{a^{3}(1-e^{2})^{3/2}}}(C-A)\sin \epsilon \cos \epsilon }
a {\displaystyle a} = on Auringon vaikutusta laskettaessa Maan ja Kuun vaikutusta laskettaessa Kuun radan isoakselin puolikas ja ε on vastaavasti Maan tai Kuun radan eksentrisyys.
Tekijä 1/2 tulee sinin neliön muotoisen funktion keskimääräisestä arvosta, a 3 ( 1 − e 2 ) 3 / 2 {\displaystyle a^{3}(1-e^{2})^{3/2}} on Auringon tai Kuun keskimääräisen etäisyyden kuutio[43] ja ε on Auringon tapauksessa Maan akselin kaltevuuskulma ja samalla δ:n suurin arvo, Kuun tapauksessa sen kiertoradan ja Maan kiertoradan tasojen välinen keskimääräinen kulma koko 18,6 vuoden jakson aikana.
d ψ d t = T x C ω sin ⁡ ϵ {\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {T_{x}}{C\omega \sin \epsilon }}}
missä ω on Maan kulmanopeus ja 'Cω sen impulssimomentti. Niinpä Auringon aiheuttaman prekession ensimmäisen asteen komponentti on:[5]
d ψ S d t = 3 2 [ G m a 3 ( 1 − e 2 ) 3 / 2 ] S [ ( C − A ) C cos ⁡ ϵ ω ] E {\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {Gm}{a^{3}(1-e^{2})^{3/2}}}\right]_{S}\left[{\frac {(C-A)}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}
kun taas Kuun aiheuttamalle prekessiolle se on:
d ψ L d t = 3 2 [ G m ( 1 − 1.5 sin 2 ⁡ i ) a 3 ( 1 − e 2 ) 3 / 2 ] L [ ( C − A ) C cos ⁡ ϵ ω ] E {\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {Gm(1-1.5\sin ^{2}i)}{a^{3}(1-e^{2})^{3/2}}}\right]_{L}\left[{\frac {(C-A)}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}
missä i on Kuun ratatason ja ekliptikan tason välinen kulma. Näissä yhtälöissä haka­suluissa olevien lausekkeiden jäljessä olevat alaindeksit osoittavat, ovatko kyseessä Auringon (S), Kuun (L) vai Maan (E) arvot. Termi ( 1 − 1.5 sin 2 ⁡ i ) {\displaystyle (1-1.5\sin ^{2}i)} ilmoittaa Kuun radan kaltevuutta ekliptikan suhteen. Termi (C-A)/C on Maan dynaaminen napa­litistyneisyyden elliptisyys, joka on määritetty havaitun prekession avulla, koska Maan sisuksien rakennetta ei tunneta riittävän tarkasti. Jos Maa olisi homogeeninen, termi olisi yhtä suuri kuin sen kolmannen eksentrisyyden neliö,[44]
e ″ 2 = a 2 − c 2 a 2 + c 2 {\displaystyle e''^{2}={\frac {\mathrm {a} ^{2}-\mathrm {c} ^{2}}{\mathrm {a} ^{2}+\mathrm {c} ^{2}}}}
missä a on päiväntasaajan säde (6378137m) and c napasäde (6356752m), jolloin e2 = 0.003358481.
Näiden parametrien arvot epookkina J2000.0 seitsemän desimaalin tarkkuudella ovat[45][46]
dψS/dt = 2.450183×10−12 /s dψL/dt = 5.334529×10−12 /s
mitkä molemmat on muunnettava kaarisekunneiksi vuotta kohti kertomalla ne kaarisekuntien lukumäärällä täydessä kulmassa (2π radiaania (= 1.296×106"/2π) ja edelleen sekuntien lukumäärällä vuodessa 3.15576×107s/a):
dψS/dt = 15.948788"/a vs 15.948870"/a[5] dψL/dt = 34.723638"/a vs 34.457698"/a[5].
Tämä Auringon yhtälö kuvaa hyvin Auringon aiheuttamaa prekessiota, koska Maan rata on lähellä ellipsiä ja muiden planeetojen aiheuttamat häiriöt ovat vähäisiä. Kuun yhtälö ei ole yhtä hyvä, koska Aurinko aiheuttaa huomattavia häiriöitä Kuun liikkeeseen.
Simon Newcomb laski 1800-luvun lopulla yleiselle prekessiolle (p) pituussuuntaisen arvon 5025,64 kaarisekuntia trooppista vuosisataa kohti, ja tämä oli yleisesti hyväksytty arvo, kunnes tekokuiden avulla saatiin tarkempia havaintoja ja elektroniset tietokoneet tekivät mahdolliseksi laskea sen työläämpien mallien avulla. J. H. Lieske esitti vuonna 1976 laskelman, jonka mukaan p on 5029,0966 kaarisekuntia juliaanista vuosisataa kohti.[47] Nykyaikaiset tekniikat kuten VLBI ja LLR ovat tehneet vielä tarkemmat mittaukset mahdollisiksi, ja vuonna 2000 Kansainvälinen tähtitieteellinen unioni (IAU) otti vuonna 2000 käyttöön uuden vakio­arvon sekä vuosina 2003 ja 2006 uudet laskenta­menetelmät ja polynomiset lausekkeet. Näiden mukaan kumuloituva prekessio on:[48]
pA = 5 028,796195·T + 1,1054348×T2 + korkeamman asteen termit
kaarisekunteina, kun T on aika juliaanisina vuosisatoina (joka on 36525 vuorokautta) luettuna epookista J2000.
Prekession nopeus on tämän derivaatta:
p = 5 028,796195 + 2,2108696·T + korkeamman asteen termit.
Yhtälön vakiotermi (5028,796195 kaarisekuntia vuosisadassa) vastaa yhden täyden prekessio­jakson pituutta 25771,57534 vuotta (yksi täysi 360 asteen kierros jaettuna 5028,791695 kaarisekunnilla vuosisataa kohti)[48], joskin eräissä muissa lähteissä sen ilmoitetaan olevan 25771,4 vuotta, mikä jättää asiaan pienen epävarmuustekijän.
Prekessiovauhti ei ole vakio, vaan nykyisin se on hieman hidastumassa, minkä osoittavat T:n lausekkeen lineaariset ja korkeamman asteen termit. Joka tapauksessa on huomattava, että edellä oleva kaava pätee vain rajoitetun ajan. On selvää, että jos T tulee tarpeeksi suureksi, kaukaisessa menneisyydessä tai tulevaisuudessa, termi T2 alkaa dominoida ja p saa hyvin suuria arvoja. Itse asiassa kehittyneemmät aurinkokunnan numeerisen mallin laskut osoittavat, että prekessio"vakio" vaihtelee 41000 vuoden jaksossa, samoin kuin Maan akselin kaltevuuskin. Edellä mainitut "vakiot" ovat ylä olevan kaavan lineaarinen ja kaikki korkeamman asteen termit, ei prekessio itse. Toisin sanoen
p = A + BT + CT2 + ...
p = a + b sin (2πT/P), missä P on 410 vuosisadan jakso.
Teoreettisilla malleilla voidaan ehkä laskea T:n korkeampiakin potensseja vastaavat kertoimet, mutta koska mikään äärellisen pituinen polynomi ei yhdy jaksolliseen funktioon kaikilla lukuarvoilla, kaikkien tällaisten approksimaatioiden virhe kasvaa rajatta, kun T kasvaa. Siinä suhteessa Kansainvälinen tähtitieteellinen unioni valitsi parhaiten kehitetyn saatavissa olevan teorian. Muutaman lähimmän vuosisadan aikana menneisyydessä tai tulevaisuudessa virhe ei ole kovin suuri. Tuhansien vuosien päässäkin menneisyydessä tai tulevaisuudessa useimmat kaavat pätevät tyydyttävällä tarkkuudella. Vielä kaukaisempina ajankohtina poikkeamat kasvavat liian suuriksi – prekession tarkkaa nopeutta ja jaksonaikaa ei näillä polynomeilla voida laskea edes yhden täyden prekessio­jakson ajaksi.
Maan akselin prekessio on hyvin hidas ilmiö, mutta sillä tarkkuudella, millä tähtitieteilijät toimivat, se on otettava huomioon päivittäisissä laskuissa. On huomattava, että vaikka prekessio ja Maan akselin kaltevuuden vaihtelu lasketaan saman teorian avulla ja liittyvät siten toisiinsa, ne vaikuttavat toisistaan riippumatta ja niiden suunnat ovat toisiinsa nähden kohtisuorassa.
Hyvin pitkän ajan kuluessa prekessio vähitellen hidastuu vuorovesi­voimiin liittyvän kitkan vuoksi. Noin 500 miljoonaa vuotta sitten se oli 59 kaarisekuntia vuodessa, 500 miljoonan vuoden kuluttua enää 45 kaarisekuntia vuodessa. Kun lyhytaikaisemmat, enintään tuhansia vuosia kestävät edestakaiset vaihtelut jätetään huomioon ottamatta, tätä pitkäaikaista kehityskulkua voidaan approksimoida seuraavilla polynomeilla, jotka ilmoittavat prekessio­vauhdin kaarisekunteina vuodessa, joissa T on ajanhetki nykyhetkestä eteen- (positiivisena) tai taaksepäin (negatiivisena) laskettuna miljardeina juliaanisina vuosina Ga):[49]
p- = 50.475838 - 26.368583<i data-parsoid='{"dsr":[59758,59763,2,2]}'>T + 21.890862<i data-parsoid='{"dsr":[59775,59780,2,2]}'>T2 p+ = 50.475838 - 27.000654<i data-parsoid='{"dsr":[59829,59834,2,2]}'>T + 15.603265<i data-parsoid='{"dsr":[59846,59851,2,2]}'>T2
Noin 30 miljoonan vuoden kuluttua prekessio tulee 100 miljoonan vuoden ajaksi hieman nykyistä nopeammaksi, mutta ero nykyiseen on vain 0,135052 kaarisekuntia vuosisadassa. Sen vauhti alkaa kiihtyä noin 20 miljoonan vuoden kuluttua, koska prekession pitkäaikainen heikkeneminen lähestyy muiden planeettojen aikaansaamaa Maan radan resonanssia.
Vuorovesivoimien vuoksi Kuu on jatkuvasti etääntymässä Maasta. Nykyisin se on 60,3, mutta 1500 miljoonan vuoden kuluttua 66,5 Maan säteen päässä. Wardin mukaan tästä seuraa, että planeettojen aiheuttamat resonanssit pidentävät prekessiojakson ensin 49000 vuoteen ja myöhemmin, kun Kuu 2000 miljoonan vuoden kuluttua on 68 Maan säteen päässä, jopa 69000 vuoteen.[50] Tähän liittyen ekliptikan kaltevuuskin tulee vaihtelemaan nykyistä enemmän. Ward kuitenkin käytti mahdollisesti liian suurta arvoa vuoroveden kitka­vaikutuksille. Jos niiden jaksollisuudelle käytetään 620 miljoonan vuoden keskiarvoa, joka on noin puolet nykyisestä arvosta, nämä resonanssit saavutetaan vasta 3000 ja 4000 miljoonan vuoden kuluttua. Kun kuitenkin Auringon luminositeetti vähitellen kasvaa, Maan valtameret höyrystyvät jo kauan ennen sitä, noin 2100 miljoonan vuoden kuluttua.
Akselin kaltevuus Milankovićin jaksot Nutaatio Periheliliike Sideerinen vuosi Vesimiehen aika
Explanatory supplement to the Astronomical ephemeris and the American ephemeris and nautical almanac Citation error, replace with{{cite book| author = J. L. Hilton ym.| title = | year = 2006| format = [ online version]| pages = 351–367}} Citation error, replace with{{cite book| author = Richard A. Parker| title = Dictionary of Scientific Biography, 15. osa| number = Egyptian Astronomy, Astrology, and Calendrical Reckoning| publisher = Charles Scribner's Sons| year = 1978| pages = 706–727}} Citation error, replace with{{cite book| author = Peter Tomkins| title = Secrets of the Great Pyramid| location = New York| publisher = Harper Colophon Books| year = 1971| version = mukana Livio Catullo Stecchinin laatima liite}}
Luokka:Taivaanmekaniikka Luokka:Pallotähtitiede Luokka:Astrologia Luokka:Maa