Darboux’n kehys
Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.
Olkoon "S" suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E. Darboux’n kehys pinnalla "S" voidaan määritellä kaikille pinnan "S". Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.
Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla "S", Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ("s") määritellään asettamalla
Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.
Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon
Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:
Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan