Buffonin neula
Buffonin neula oli ensimmäinen geometrisen todennäköisyyden ongelma. Oletetaan että lattia on tehty yhdensuuntaisista ja samanlevyisistä laudoista. Mikä on todennäköisyys että lattialle pudotettu neula leikkaa laudan reunan. (Ts. putoaa useamman kuin yhden laudan päälle.)
Tämän kysymyksen esitti ensimmäisen kerran Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon 1700-luvulla.
Neula, jonka pituus on "l", pudotetaan tasolle jossa on yhdensuuntaisia suoria ja joiden etäisyys on "t". Mikä on todennäköisyys että neula leikkaa suoran?
Olkoon "x" etäisyys neulan keskipisteestä lähimpään suoraan ja "θ" neulan ja suoran välinen kulma.
Neulan keskipisteen etäisyys lähimpään suoraan on enintään "t/2" ja kaikki etäisyydet ovat yhtä todennäköisiä, joten "x":n tiheysfunktio välillä "0" ja "2/t" on
formula_1
Vastaavasti kulman "θ" tiheysfunktio on
formula_2
Koska "x" ja "θ" eivät ole toisistaan riippuvaisia, voidaan tiheysfunktiot yhdistää
formula_3
Trigonometriaa käyttämällä näemme että neula leikkaa suoran jos
formula_4
Oletetaan että neulan pituus "l" on pienempi kuin suorien etäisyys "t". Kaikista mahdollisista neulan asennoista, olemme kiinnostuneet niistä joissa formula_4.
Integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saamme todennäköisyydeksi "P(neula leikkaa suoran)"
Oletetaan että formula_7. Nyt integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saamme:
missä formula_9 on Minimi formula_10 , formula_11.
Suorittamalla integroinnin näemme, että kun formula_12. Todennäköisyys että neula leikkaa suoran on
Toisen lausekkeen ensimmäinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neulan kulma on sellainen, että se leikkaa suoran "x":stä riippumatta. Vastaavasti toinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neula tippuu kulmaan, jossa "x":llä on väliä ja neula leikkaa suoran.
Italialainen matemaatikko Lazzarini suoritti kokeen 1901, jossa hän laittoi koneen heittämään tikkua 3408 kertaa. Hän sai tulokseksi formula_15