Lukujonon raja-arvo
Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymista ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon "suppenevan" kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono "hajaantuu".
Lukujonon formula_1 raja-arvo on sellainen luku formula_2, että kaikilla formula_3 on olemassa formula_4 siten, että formula_5, kun formula_6. Sitä, että lukujonon formula_7 raja-arvo on formula_2, merkitään
formula_9 .
Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan "suppenevan". Lukujono, joka ei suppene, "hajaantuu". Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut "lähestyvät" tätä raja-arvoa, kun formula_10 kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.
Suppeneva lukujono on esimerkiksi
Sen raja-arvo on 1 eli formula_12 .
Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se "suppenee", muussa tapauksessa se "hajaantuu". Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi
Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi
ja
Sarja x + x + x + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli formula_18. On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja
formula_19.
Tällöin pätee