Gaussin yksikköjärjestelmä
Gaussin yksikköjärjestelmä () on fysiikassa yleisimmin käytetty cgs-järjestelmään pohjautuva sähköisten ja magneettisten suureiden yksikköjärjestelmä. Sitä sanotaan toisinaan myös yksin­kertaisesti cgs-järjestelmäksi, mikä kuitenkin on harhaan­johtavaa, koska cgs-järjestelmään kuuluu muitakin sähkö­suureiden yksikkö­järjestelmiä, kuten jäljempänä tarkemmin selitään.
Nykyään Gaussin järjestelmän on pitkälti tieteellisissäkin yhteyksissä syrjäyttänyt SI-järjestelmä, jonka käyttö yhä laajenee Gaussin järjestelmän kustannuksella. Muunnokset Gaussin ja SI-yksiköiden välillä eivät ole aivan yksinkertaisia, koska fysiikan suureiden määritelmätkin järjestelmissä poikkeavat toisistaan ja sen mukaisesti myös fysiikan lakeja esittävät kaavat, esimerkiksi Maxwellin yhtälöt, on esitettävä eri muodossa riippuen siitä, mitä järjestelmää käytetään. On myös suureita, jotka toisessa järjestelmässä ovat dimensiottomia eli niihin ei liity yksikköä, mutta jotka toisessa järjestelmässä ovat dimensiollisia.
Gaussin järjestelmä on perusteiltaan vanhempi kuin CGS-järjestelmä. Se on saanut nimensä saksalaisen matemaatikko ja fyysikko Carl Friedrich Gaussin mukaan. Hän laati 1830-luvulla yhdessä Weberin kanssa ensimmäisen huomattavan ehdotuksen sähkö­suureiden yksikkö­järjestelmäksi. Siinä tosin perusyksikköinä olivat millimetri, gramma ja sekunti. Gauss käytti järjestelmää ensin maan magneettikentän mittauksiin, mutta sen käyttö laajeni ennen pitkää muihinkin sähköisiin mittauksiin. Myöhemmin laadittu järjestelmä sai nimen Gaussin järjestelmä, vaikka se poikkeaa Gaussin ehdottamasta siinä, että pituuden yksikkönä on senttimetri.
British Associationin raportissa vuodelta 1873 ehdotettiin kahta samoille perusteille rakentuvaa järjestelmää, joista toisessa joista toisessa perusyksikköinä ovat jalka, graani ja sekunti, toisessa senttimetri, gramma ja sekunti. On myös ehdotettu järjestelmää, jossa perusyksikköinä olisivat jalka, pauna ja sekunti.
Gaussin järjestelmän sijasta käytetään nykyisin yleensä SI-järjestelmää, jota sen varhaisemmissa muodoissaan on myös sanottu mekaanisten yksiköiden osalta MKS-järjestelmäksi, sähkö­yksiköillä täydennettynä MKSA-järjestelmäksi.
Gaussin järjestelmä on vain yksi CGS-järjestelmään kuuluvista sähkö­magneettisten suureiden yksikkö­järjestelmistä. Muita ovat "sähköstaattinen järjestelmä" (ESU), "sähkömagneettinen järjestelmä" (EMU) ja Lorentz-Heavisiden järjestelmä. Gaussin järjestelmä voidaan käsittää sähkö­staattisen ja sähkö­magneettisen järjestelmän yhdistelmäksi siten, että sähkö­suureille käytetään sähkö­staattisen, magneettisille suureille sähkö­magneettisen järjestelmän yksiköitä.
On myös yksikkö­järjestelmiä, joita sanotaan "luonnollisiksi järjestelmiksi". Sellaisia ovat esimerkiksi atomaariset yksiköt ja Planckin yksiköt.
SI-järjestelmä ovat nykyisin yli­voimaisesti yleisimmin käytetty järjestelmä. Teknisillä ja käytännöllisillä aloilla se on ollut lähes yleis­maailmallisessa käytössä jo vuosi­kymmeniä, mutta esi­merkiksi teoreettista fysiikkaa ja tähtitiedettä käsittelevässä tieteellisessä kirjallisuudessa Gaussin järjestelmä oli vallitseva vielä jokin aika sitten, nykyisin tosin yhä vähemmän. Erityisesti atomifysiikassa ja kiinteän olomuodon fysiikassa Gaussin järjestelmä oli vielä 1970-luvulla lähes yksinomaisessa käytössä, pääasiassa koska atomitasolla ei sähkökentän voimakkuutta ja sähkövuon tiheyttä voida pitää kahtena eri suureena, minkä vuoksi oli luonnollista, että niillä oli sama Gaussin järjestelmässä sama yksikkö ja lukuarvo.
Luonnollisia yksiköitä käytetään enimmäkseen eräillä abstrakteilla teoreettisen fysiikan aloilla, varsinkin hiukkas­fysiikassa ja säieteoriassa.
Yksi ero Gaussin ja SI-järjestelmän välillä on, missä kaavoissa esiintyy tekijä 4π. SI-järjestelmän sähkö­magneettisia yksiköitä sanotaan "rationalisoiduiksi", koska niitä käytettäessä tekijä 4π ei esiinny eksplisiittisesti Maxwellin yhtälöissä. Sitä vastoin käänteisen neliön laeissa kuten Coulombin laissa sekä Biot'n ja Savartin laissa tämä tekijä esiintyy nimittäjässä tekijän "r" yhteydessä. "Ei-rationalisoidussa" Gaussin järjestelmässä (mutta ei Lorentzin-Heavsiden järjestelmässä) asian laita on päin­vastoin: tekijä 4π esiintyy kahdessa Maxwellin yhtälöistä, mutta ei Coulombin eikä Biot'n ja Savartin laissa. (Tosin SI-järjestelmässäkin tekijä 4π kyllä esiintyy magneettivakion lukuarvossa, joka on 4π · 10 H/m. Tämän vuoksi eräiden magneettisten suureiden yksiköiden suhteet SI- ja Gaussin järjestelmässä, samoin kuin sähköyksiköidenkin suhteet SI- ja sähköstaattisessa CGS-järjestelmässä, ovat kymmenen potensseja.)
"Rationalisoidussa" järjestelmässä Coulombin laki esitetään muodossa:
missä tekijä 1/"ε", on samalla sähkövuon tiheyden D ja sähkökentän voimakkuuden E suhde:
Tällöin vuon tiheys etäisyydellä "r" pistemäisestä varauksesta on sama kuin varauksesta lähtevä sähkövuo jaettuna "r"-säteisen pallon pinta-alalla. Jos varauksen yksikkö valitaan siten, että sähkövakio "ε" saa arvon 1, sähkövuon tiheys D on tyhjiössä jo määritelmän perusteella yhtä suuri kuin sähkö­kentän voimakkuus E. Gaussin lain mukaan suljetun pinnan läpäisevä sähkövuo on tällöin yhtä suuri kuin sen sisällä oleva varaus "Q".
Ei-rationalisoidussa järjestelmässä käänteisen neliön laki voidaan esittää 
Mutta vaikka tässä ei esiinny tekijää 1/"ε", sillä itse asiassa on arvo 4π, eikä Gaussin lakia voi esittää ilman, että siinä esiintyy tekijä 4π.
Muuan huomattava ero SI-järjestelmän ja Gaussin järjestelmän välillä koskee varauksen yksikön määritelmää. SI-järjestelmässä sähkö­suureisiin liittyy erityinen perusyksikkö, sähkö­virran yksikkö ampeeri. Tästä seuraa, ettei myöskään varauksen yksikköä, coulombia (1 C = 1 As, ampeeri­sekunti) voi esittää pelkästään mekaanisista perus­yksiköistä (metri, kilogramma, sekunti) johdettuna yksikkönä. Sitä vastoin Gaussin järjestelmässä sähkö­varauksen yksikkö, "statcoulombi" (statC) eli "franklin" (Fr), on mekaanisista perusyksiköistä (senttimetri, gramma, sekunti) johdettu yksikkö:
Esimerkiksi Coulombin laki saa Gaussin järjestelmässä yksinkertaisesti muodon:
missä "F" on varausten välillä vaikuttava voima, "Q" ja "Q" kyseessä olevat varaukset ja "r" niiden välinen etäisyys. Jos "Q" ja "Q" on ilmoitettu stat­coulombeina, saadaan kaavasta voima dyneinä.
Sitä vastoin SI-järjestelmässä Coulombin laki on esitettävä muodossa:
missä "ε" on sähkövakio (tyhjiön permittiivisyys), joka on domensiollinen suure. Sen dimensio on varaus aika massa pituus. Ilman tekijää "ε" tämän kaavan molemmat puolet eivät saisi SI-järjestelmässä samaa dimensiota. Sen sijaan Gaussin järjestelmässä vakiota "ε" ei itse asiassa edes ole (tai se on määritelmän mukaan 1). Tämä esi­merkki osoittaa, miten jotkin dimensiolliset luonnonvakiot voidaan poistaa fysiikan yhtälöistä määrittelemällä yksiköt sopivalla tavalla. SI-järjestelmässä 1/"ε" on samalla sähkövuon tiheyden ja sähkökentän voimakkuuden suhde, kun taas Gaussin järjestelmän "rationalisoiduissa" versiossa vuon­tiheys tyhjiössä on sama kuin sähkö­kentän voimakkuus.
Koska varaus­yksikkö perustuu mekaanisiin perus­yksikköihin eli pituuden, ajan ja massan yksikköihin, mekaanisten yksiköiden ja sähkö­magneettisten ilmiöiden välinen suhde on Gaussin järjestelmässä selkeämpi kuin SI-järjestlmässä. Esityisesti valonnopeus "c" on sellaisenaan näkyvissä sähkö­magneettisissa kaavoissa kuten Maxwellin yhtälöissä (katso jäljempää), kun taas SI-järjestelmässä se on niissä vain implisiittisesti mukana, relaation formula_7 kautta.
Toisin sanoen eräs sähkö­magnetismin huomattava piirre on, että yhdistämällä sähkö­staattisia ja magneto­staattisia mittauksia jokin suure voi saada nopeuden yksikön, vaikka mittaukset eivät koskisikaan mitään "fysikaalista" nopeutta. Historiallisesti tätä suuretta on sanottu "absoluuttisen sähkö­magneettisen varausyksikön ja absoluuttisen sähkö­staattisen varausyksikön suhteeksi".) Maxwell kiinnittikin 1800-luvulla huomiota siihen, että tämä suure, jonka Wilhelm Eduard Weber ja Rudolf Kohlrausch olivat mitanneet, oli huomattavan lähellä Hippolyte Fizeaun ja Léon Foucault'n mittaamaa valon­nopeutta. Tämä "yhteen­sattuma" auttoi osaltaan häntä muotoilemaan Maxwellin yhtälöt. Kun Maxwellin yhtälöt estetään Gaussin järjestelmän mukaisessa muodossa, näkyy selvästi, miten "c" sitoo toisiinsa sähkö­staattiset ja magneto­staattiset suureet, kun taas SI-järjestelmässä tämä yhteys on jonkin verran hämärtynyt.
Gaussin järjestelmässä, toisin kuin SI-järjestelmässä, sähkö­kentällä "E" ja magneetti­kentällä "B" on sama dimensio. Tästä syystä eri järjestelmissä magneettivuon tiheys "B" saa hyvin eri suuret arvot, joiden suhde on valonnopeus "c". Sama koskee muitakin magneettisia suureita kuten magneetti­kentän voimakkuutta "H" ja magnetoitumaa "M". Esimerkiksi taso­polaroituneen sähköma­gneettiseen aaltoon liittyvien sähkö- ja magneetti­kenttien suhde saa Gaussin järjestelmässä muodon |E(r,"t")|=|B(r,"t")| ja SI-järjestelmässä muodon |E(r,"t")|="c"|B(r,"t")|.
Muutkin polarisaatioon ja magnetoitumiseen liittyvät yksiköt määritellään Gaussin järjestelmässä toisin kuin SI-järjestelmässä. Erityisesti Gaussin järjestelmässä seuraavilla suureilla on sama dimensio: sähkökentän voimakkuus "E", sähkövuon tiheys "D", polarisaatiotiheys "P", magneettivuon tiheys "B", magneettikentän voimakkuus "H" ja magnetoituma "M". On myös huomattava, että sähköinen ja magneettinen suskeptibiliteetti ovat sekä sekä Gaussin että SI-järjestelmässä dimensiottomia suureita, mutta saman aineen suskepti­bili­teetit saavat eri luku­arvot eri järjestelmissä.
Tässä osiossa luetellaan tärkeimmät sähkö­opin kaavat sekä Gaussin että SI-järjestelmän mukaisessa muodossa.
Maxwellin yhtälöt on tässä esitetty sekä makro­skooppisessa että mikro­skooppisessa muodossa, kuitenkin ainoastaan differentiaali­muodossa (ei siis integraali­muodossa).
Tässä esitetään kenttien lausekkeet dielektrisissä aineissa. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että väliaine on homogeeninen, isotrooppinen ja ei-dispersiivinen, niin että sen permittiivisyys on vakio.
missä
Aineen suhteellinen permittiivisyys (formula_8 Gaussin järjestelmässä ja formula_12 SI-järjestelmässä) on dimensioton suure, jolla on sama arvo kummassakin järjestelmässä. Myös aineen sähköinen suskeptibiliteetti on kummassakin järjestelmässä dimensioton, mutta samallekin aineelle sillä on eri lukuarvo eri järjestelmissä:
Seuraavassa esitetään lausekkeet magneettisten väliaineiden kenttäsuureille. Tässäkin oletetaan, että väliaine on homogeeninen, isotrooppinen ja ei-dispersiivinen, niin että sen permeabiliteetti on vakio.
missä
Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti (formula_14 Gaussin ja formula_18 SI-järjestelmässä) on dimensioton suure, ja sen arvo on sama kummassakin järjestelmässä. Myös magneettinen suskeptibiliteetti on kummassakin järjestelmässä dimensioton, mutta samallekin aineelle sillä on eri luku­arvo eri järjestelmissä:
Sähkö- ja magneettikentät voidaan kirjoittaa myös vektori­potentiaalin "A" ja skalaari­potentiaalin φ avulla seuraavasti:
Alla olevassa taulukossa on lueteltu sähkö- ja magneettisten suureiden nimet ja tunnukset Gaussin järjestelmässä sekä niiden suuruudet vastaavina SI-yksikköinä.
Näissä lausekkeissa "c" tarkoittaa lukua 29 979 245 800 ≈ 3·10, joka on valon­nopeuden lukumäärä yksiköissä cm/s. Yksiköiden välisiä muunnoksia ilmaistaessa käytetään usein merkkiä "↔" yhtäläisyysmerkin "=" asemesta, esimerkiksi 1 C ↔ 2 997 924 580 Fr, koska Gaussin yksiköt vastaavat tiettyjä SI-yksikköjä, mutta eivät ole samaa dimensiota, minkä vuoksi yhtälöissä tai kaavoissa on yleensä väärin korvata 1 C arvolla 2 997 924 580 Fr.
On yllättävää ajatella, että kapasitanssi voidaan mitata sentti­metreinä. Tällä on kuitenkin konkreettinen merkitys: pallopinnan, jonka säde on 1 cm, ja äärettömän kaukana olevan kohteen välinen kapasitanssi tyhjiössä on Gaussin yksiköissä 1 cm.
Toinen yllättävä seikka on, että ominaisresistanssin yksikkö on sekunti. Tällekin on fysikaalinen tulkinta: jos levykondensaattori varataan, mutta sen levyjen välinen eriste päästää lävitseen tietyn vuoto­virran, kondensaattori menettää vähitellen varauksensa vuotoverran vuoksi. Jos eristeen ominais­resitanssi on X sekuntia, levyjen varaus pienenee puoleen 0,05 X sekunnissa (0,05 = ln 2 / 4π). Tämä tulos ei riipu kondensaattorin koosta, muodosta tai varauksesta, ja näin ollen tämä osoittaa perustavan yhteyden resistanssin ja ajan yksiköiden välillä.
Eräillä Gaussin järjestelmän yksiköillä on eri nimet, mutta ne ovat itse asiassa dimensionaalisesti ekvivalentteja, toisin sanoen niillä on sama perusyksiköiden (cm, g, s) avulla ilmaistu lauseke. (Samaan tapaan SI-järjestelmässäkin eräillä suureilla on dimensionaalisesti ekvivalentteja yksiköitä, esimerkiksi radio­aktiivisuuden yksikkö becquerel ja taajuuden hertsi, samoin vääntö­momentin newtonmetri ja energian joule.) Eri nimiä käytetään sekaannuksen välttämiseksi ja sen selventämiseksi, mistä fysikaalisesta suureesta on kysymys. Esimerkiksi kaikki seuraavat suureet ovat dimensionaalisesti ekvivalentteja Gaussin yksiköissä, mutta niillä on eri nimet:
Mikä tahansa Gaussin yksiköissä esitetty kaava voidaan muuntaa SI-järjestelmän mukaiseen muotoon vaihtamalla alla olevan taulukon Gaussin järjestelmän sarakkeessa oleva suure SI-järjestelmän sarakkeessa olevaan lausekkeeseen. Käänteinen muunnos tehdään suorittamalla päinvastainen lausekkeen vaihto. Tämä koskee kaikkia edellä esitettyjä kaavoja kuten Maxwellin yhtälöitä, mutta myös muita, joita ei edellä ole mainittu. Tarvittaessa yhtälöiden yksinkertaistamiseksi voidaan käyttää myös yhteyttä formula_20 to simplify.