Helmholtzin kelat
Helmholtzin kelat ovat laite, joka koostuu kahdesta ympyränmuotoisesta kelasta, joilla on yhteinen keskiakseli ja joiden välinen etäisyys toisistaan on yhtä suuri kuin kelojen yhteinen säde. Helmholtzin keloja käytetään mm. kokeissa kumoamaan ulkoisia magneettikenttiä, kuten Maapallon magneettikenttä. Kelat on nimetty saksalaisen fyysikon Hermann von Helmholtzin mukaan.
Johdetaan lauseke magneettivuon tiheydelle kelojen keskiakselilla paikan funktiona. Oletetaan, että ohut virtajohdin ei kulje origon kautta. Olkoon johtimessa kulkeva sähkövirta formula_1. Vasemmanpuoleisen kuvan merkinnöin voidaan kirjoittaa Biot’n−Savartin laki, joka kertoo magneettivuon tiheyden mielivaltaisessa pisteessä formula_2:
formula_3,
formula_4 on tyhjiön permeabiliteetti (eli "magneettivakio"),
formula_5 on johtimen differentiaalinen pituusalkio pisteessä formula_6 ja
formula_7 merkitsee vektorin normia (pituutta).
Sovelletaan Biot'n−Savartin lakia kahdelle ympyränmuotoiselle johdinsilmukalle siten, että piste formula_2 sijaitsee silmukoiden keskiakselilla. Tarkastellaan ensin pelkästään yhtä silmukkaa. Asetetaan tarkastelukoordinaatisto siten, että origo on silmukan keskellä ja formula_9-akseli kulkee silmukan keskiakselia pitkin. Olkoon silmukan säde formula_10 ja siinä kulkeva sähkövirta formula_1 (ks. oikeanpuoleinen kuva). Tässä geometriassa Biot'n−Savartin laista saadaan:
formula_12
sillä formula_13 kaikilla formula_14. Pisteessä formula_2 termit
formula_16 ja
formula_17
ovat vakioita, joten ne voidaan siirtää ulos integraalista. Jäljelle jää suoritettavaksi suljettu polkuintegraali yli formula_10-säteisen ympyrän, eli ympyrän kehän pituus:
formula_19.
Jos silmukka korvataan halkaisijaltaan yhtä suurella kelalla, jossa on formula_20 kierrosta, kerrotaan edellä saatu tulos formula_20:llä:
formula_22.
Lisätään formula_9-akselille kohtaan formula_24 toinen kela, jonka säde on formula_10 ja kierrosten lukumäärä formula_20. Oletetaan, että tässä kelassa kulkee yhtä suuri sähkövirta samaan kiertosuuntaan kuin ensimmäisessä kelassa. Toisen kelan aiheuttama magneettivuon tiheys keskiakselilla lasketaan hyödyntäen jo saatua tulosta. Tarvitsee vain korvata muuttuja formula_27:llä. Kokonaisuudessaan magneettivuon tiheys keskiakselilla saadaan näiden kahden kelan magneettivuon tiheyksien summana:
formula_28.
Sijoittamalla tähän yhtälöön formula_29, saadaan yhtälö magneettivuon tiheydelle Helmholtzin kelojen keskiakselilla:
formula_30.
Keskiakselilla täsmälleen silmukoiden puolivälissä (formula_31) magneettivuon tiheys on:
formula_32
Maapallon magneettivuon tiheys maan pinnalla voi olla paikoin 50 μT. Olkoon Helmholtzin kelojen säde (ja etäisyys) 0,5 m ja kummassakin 50 kierrosta. Lasketaan, kuinka suuri sähkövirta keloissa pitää kulkea, jotta puolessa välissä kelojen keskellä vastakkaissuuntainen maan magneettikenttä kumoutuu.
Ratkaisu:
Käyttämällä viimeisimpänä johdettua yhtälöä magneettivuon tiheydelle keskiakselilla kelojen puolivälissä, saadaan:
formula_33
Kuten huomataan, jo suhteellisen pienellä laitteistolla ja pienellä sähkövirralla saadaan maapallon magneettikenttä keskellä laitteistoa kumottua täysin.