Riemann–Stieltjes-integraali
Riemannin–Stieltjesin integraali on Riemannin integraalin yleistetty muoto. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.
Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa 
formula_1, 
missä funktiota "f" kutsutaan integrandiksi ja funktiota "g" integraattoriksi. 
Integraali voi myös olla muotoa 
formula_2.
Olkoon "α" kasvava funktio välillä "[a,b]". Välin "[a,b]" osituksella "P" tarkoitetaan pistejoukkoa formula_3 , missä
a= formula_4 ≤ formula_5 ≤ formula_6 ≤ formula_7 = b.
Merkitään
formula_8 formula_9 = formula_10, missä (i = 1, formula_6 , n).
Oletetaan, että "f" on rajoitettu reaalifunktio välillä "[a,b]". Jokaisella osituksella "P" välillä "[a,b]" asetetaan
formula_12 = sup f(x) (formula_13 ≤ x ≤ formula_14)
formula_15 = inf f(x) (formula_13 ≤ x ≤ formula_9).
Jokaiselle ositukselle "P" välillä "[a,b]" voidaan merkitä
formula_8 α = α(formula_9) - α(formula_13).
On selvää, että formula_21 α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle "f", joka on rajoitettu välillä "[a,b]", asetaan
U (P, f, α) = formula_22 formula_23 formula_21 formula_25,
L (P, f, α) = formula_26 formula_15 formula_21 formula_25.
formula_30 ,
missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään 
formula_31 
tai
formula_32.
Tätä kutsutaan funktion "f" Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi formula_33:n suhteen yli välin "[a,b]".
Merkitsemällä formula_34 nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:
formula_35.
Yleisissä tapauksissa formula_33:n ei tarvitse olla jatkuva.
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia. 
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.
Olkoon funktio formula_37 välillä "[a,b]" ja "g" aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä "S=[a,b]". Oletetaan, että "a = g(c)" ja "b = g(d)" sekä funktiot "h" ja formula_38 ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti
formula_39,
jos formula_40. 
Silloin funktio formula_41 välillä "S" ja 
formula_42.
Jos formula_43 ja formula_44 välillä "[a,b]", niin
formula_45 välillä "[a,b]" ja
formula_46.