Kultainen spiraali
Kultainen spiraali on logaritminen spiraali, jonka kasvutekijä on φ, kultainen leikkaus. Siis kultainen spiraali levenee (tai etenee kauemmaksi alkupisteestään) tekijän φ verran joka neljänneskierroksella jonka se kääntyy.
Kultaisen spiraalin napakoordinaattiyhtälö on sama kuin muille logaritmisille spiraaleille, mutta erikoisarvolla kasvutekijälle b:
jossa e on luonnollisten logaritmien kantaluku, a on mielivaltainen positiivinen reaalivakio, ja b sellainen, että θ on suora kulma (neljänneskäännös jompaankumpaan suuntaan):
Joten b on
b:n numeerinen arvo johtuu siitä onko suora kulma mitattu 90 asteena vai formula_5 radiaanina; ja kun kulma voi olla kumpaan tahansa suuntaan, on helpointa kirjoittaa yhtälö b:n itseisarvolle (siis b voi olla myös tämän arvon vastaluku):
Vaihtoehtoinen yhtälö logaritmiselle ja kultaiselle spiraalille on:
jossa vakio c on:
mikä kultaiselle spiraalille antaa c:n arvot:
jos θ on mitattu asteina, ja
jos θ on mitattu radiaaneina.
On useita samanlaisia spiraaleita, jotka approksimoivat, mutteivat ole täsmälleen samoja kuin kultainen spiraali. Näitä usein sekoitetaan kultaiseen spiraaliin.
Esimerkiksi, kultaista spiraalia voidaan approksimoida "kääntyvällä suorakaide diagrammilla," jossa spiraloivien kultaisten suorakaiteiden muodostamien neliöiden vastakkaiset kulmat ovat yhdistetty neljännesympyröillä. Lopputulos on erittäin lähellä aitoa kultaista spiraalia. (Katso kuva ylimpänä oikealla).
Toinen approksimaatio on Fibonaccin spiraali, mikä ei ole aito logaritminen spiraali. Se muodostuu sarjasta neljännesympyräisiä kaaria joiden säteet ovat peräkkäin kasvavia Fibonaccin lukuja. Joka neljännes käännös Fibonaccin spiraali levenee φ:n sijasta muuttuvan tekijän, joka on yhtäsuuri kuin Fibonaccin lukujonon termin suhde edeltäjäänsä, verran. Peräkkäisten termien suhteet Fibonaccin sarjassa lähestyvät φ:tä, joten spiraalit muistuttavat toisiaan.
Approksimaalisia logaritmisia spiraaleja voi ilmetä luonnossa (esimerkiksi spiraaligalaksien kierteissä). Helmiveneiden kuorien joskus sanotaan levenevän kultaisen spiraalin mukaisesti, ja ne liittyvät siten sekä φ:hin että Fibonaccin sarjaan. Todellisuudessa, helmiveneiden kuorissa (ja monissa nilviäisten kuorissa) esiintyy logaritmisen spiraalin mukaista kasvua, mutta eri kulmassa kuin kultaisessa spiraalissa. Tämä sallii organismin kasvun muotoa muuttamatta. Spiraalit ovat yleisiä luonnossa ja kultaiset spiraalit ovat yksi erikoistapaus niistä.