Konservatiivinen kenttä
Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee
Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.
Voimme kirjoittaa konservatiiviselle vektorikentälle formula_3 jollekin skalaarikentälle formula_4. Mikäli F(x) on voimakenttä, on formula_4 potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun formula_2 läpi alkaen paikkavektorista x ja päättyen paikkavektoriin x. Oletetaan, että formula_2 voidaan parametrisoida formula_8 parametrille formula_9. Täten
eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.
Koska osoitimme juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle formula_3, täten jos F on eksakti, eli formula_18, voimme kirjoittaa formula_19. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos formula_20 on eksakti.
Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee formula_21. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan formula_3 (kts. yllä):
koska formula_24 ja formula_25.
Tästä tuloksesta pääsemme takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska formula_26, on formula_27 minkä tahansa polun formula_2 ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti formula_29. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska formula_26.)