Metrinen avaruus
Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.
Metrinen avaruus on pari formula_1, missä formula_2 on joukko ja formula_3 kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon formula_2 alkioilla formula_5, formula_6 ja formula_7 toteuttaa ehdot
Metristä avaruutta formula_1 kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi formula_2, jos käytössä oleva metriikka formula_15 on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden formula_2 alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua formula_17 pisteiden formula_5 ja formula_6 väliseksi etäisyydeksi.
Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.
Olkoon formula_31 metrinen avaruus, formula_32 ja formula_33. Tällöin joukkoa
kutsutaan avaruuden formula_2 formula_5-keskiseksi formula_37-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, formula_38 on niiden pisteiden formula_39 joukko, joiden etäisyys pisteestä formula_5 on aidosti pienempi kuin formula_37. Joukkoa formula_38 kutsutaan myös pisteen formula_5 kuulaympäristöksi.
Vastaavasti määritellään joukot
joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.
On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden formula_2 metriikasta formula_15, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä formula_48.
Avaruuden formula_31 osajoukko formula_50 on avoin, jos jokaisella pisteellä formula_51 on kuulaympäristö formula_38 siten, että formula_53. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään formula_2:n topologian, ns. tavallisen topologian formula_55; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden formula_56 topologiaa formula_57 metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin formula_2:n metriikka formula_15 siten, että formula_60.
Joukko formula_61 on suljettu, jos sen komplementti formula_62 on avoin. Joukko formula_63 voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.
Metrisen avaruuden formula_1 osajoukkoa formula_63 sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde formula_66, että formula_67 kaikilla formula_68. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.
Metrisen avaruuden pisteen formula_32 etäisyys joukosta formula_63 on lyhin etäisyys pisteestä formula_5 johonkin joukon formula_72 pisteeseen, toisin sanoen