Isomorfismi
Matematiikassa isomorfismi on algebrallisten rakenteiden välinen kuvaus, joka säilyttää laskutoimituksen tai -toimitukset. Epämuodollisesti kuvaten kaksi isomorfista rakennetta ovat sama asia eri tavalla nimettynä.
Matemaattisesti sanoen isomorfismi on bijektiivinen kuvaus "f", jolle sekä "f" että "f" ovat homomorfismeja.
Tyyppiesimerkki on reaalilukujen yhteenlaskun ja positiivisten reaalilukujen kertolaskun välinen yhteys eksponenttifunktiolla, "tulon logaritmi on tekijöiden logaritmien summa". Täsmällisesti määritellen formula_1 ja formula_2 ovat ryhmiä. Valitaan funktiota formula_3 varten jokin kantaluku, vaikkapa 10. Tällöin formula_4 ja formula_5. Nyt
formula_6
formula_7
eli esimerkiksi formula_8. Ryhmät ovat sama asia sikäli, ettei niitä voi erottaa toisistaan näkemällä pelkästään millä tavalla laskutoimitus operoi ryhmän sisällä.
Äärellinen esimerkki: Olkoon joukko formula_9 kokonaisluvut väliltä 1-10 ja laskutoimitus formula_10, jonka arvo on luvuista suurempi. Olkoon joukko formula_11 kokonaisluvut väliltä 11-20 ja laskutoimitus formula_12, jonka arvo on luvuista pienempi. Nyt formula_13 ja formula_14 ovat algebrallisia rakenteita, tarkemmin sanoen vaihdannaisia monoideja. Olkoon funktio formula_15. Se on samalla itsensä käänteisfunktio. Tämä funktio on bijektio ja mainittujen monoidien välinen isomorfismi.
Määritellään ensin kolmen ja kahden alkion ryhmät formula_16 ja formula_17. Laskutoimitus formula_18 tarkoittaa yhteenlaskua, jonka tuloksesta otetaan jakojäännös ryhmän koolla. Taulukkomuodossa ryhmät näyttävät tältä:
Laaditaan sitten pareittainen yhteenlaskutaulukko, jossa alkiot ovat pareja 3- ja 2-alkioisesta ryhmästä. Verrataan tätä ryhmään formula_19, mutta ei merkitä alkioita 0-5 järjestyksessä. Värjätään alkioiden (2,0) ja 2 tausta keltaiseksi, jolloin osa rakennetta tulee selvemmin esille.
Ryhmät ovat keskenään isomorfiset. Esimerkiksi lukuja 0, 1 ja 2 vastaavat parit (0,0), (1,1) ja (2,0).
Matemaatikot käyttävät isomorfismia usein säästääkseen työtä. Jos kahden ennestään tuntemattoman matemaattisten struktuurien välille löydetään sopiva isomorfismi, voidaan monet lauseet siirtää toista struktuuria koskevaksi. Samoin uudessa ympäristössä ongelmaan voidaan löytää uusia ratkaisukeinoja ja käyttää hyväksi alkuperäisen struktuurissa hyväksi havaittuja ratkaisukeinoja.