Pickin lause
Pickin lauseen avulla (tunnetaan myös nimellä Pickin kaava) voidaan laskea annetun monikulmion, jonka kärkipisteet ovat hilapisteissä, pinta-ala "A", mikäli tiedetään monikulmion sisustan hilapisteiden lukumäärä "i" ja reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä "b". Pickin kaavan mukaan tällöin on voimassa
Kuvassa olevassa esimerkissä on "i" = 39 ja "b" = 14, joten monikulmion ala on "A" = 39 + ½(14) − 1 = 39 + 7 − 1 = 45.
Huomaa, että lause on voimassa vain yhtenäisille monikulmioille, joten monikulmion on koostuttava yhdestä palasta, ja siinä ei saa olla reikiä. Useamman reiän tapauksessa kaavan "−1" on korvattava termillä "−χ("P")", jossa χ("P") on "P":n Eulerin karakteristika.
Lauseen todisti Georg Alexander Pick vuonna 1899. Lause voidaan yleistää useampaan ulottuvuuteen käyttämällä hyväksi niin sanottuja Ehrhartin polynomeja.
Tarkastellaan monikulmiota "P" ja kolmiota "T", kun "T":llä ja "P":llä on yhteinen sivu. Todistetaan, että jos Pickin lause on voimassa monikulmiolle "P", on se myös voimassa monikulmiolle "PT", jossa "PT" on saatu liittämällä kolmio "T" monikulmioon "P". Koska "P":llä ja "T":llä on yhteinen sivu, ovat kaikki tämän sivun pisteet "PT":n sisäpisteitä lukuun ottamatta sivujen päätepisteitä. Siten jos "c" on "P":n ja "T":n yhteisten reunapisteiden lukumäärä, on
Yllä olevasta seuraa, että
Koska lause on voimassa sekä "P":lle että "T":lle, on
Siten jos kaava on voimassa "n"-kulmiolla, on se voimassa myös ("n" + 1)-kulmiolle. Vielä pitää osoittaa, että kaava on voimassa kolmioille. Tämä voidaan tehdä kolmessa osassa:Viimeisessä vaiheessa käytetään tietoa, että jos lause on voimassa monikulmiolle "PT" ja kolmiolla "T", on se myös voimassa monikulmiolle "P". Tämän osoittaminen on hyvin samantapaista kuin yllä oleva päättely.