Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan () (22. joulukuuta 1887 Erode – 26. huhtikuuta 1920 Madras [nyk. Chennai]) oli intialainen matemaatikko.
Ramanujan julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevällä kannalla mutta kutsui sitten Ramanujanin Englantiin. Hardy huomasikin nopeasti Ramanujanin kyvyt. Lukua 1729 kutsutaan heidän mukaansa Hardyn–Ramanujanin luvuksi. Luku on tunnettu kaskusta, jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan. Hardy kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa, että luku on pienin kokonaisluku, joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla. Hardy kertoo tästä esseessään "Matemaatikon apologia" (1940).
Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa, ja hänet tunnetaan lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoistaan. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollista todistusta, ja todistukset löydettiin vasta myöhemmin.
"The Man Who Knew Infinity" on vuonna 2016 julkaistu elokuva, joka kertoo Ramanujanin tarinan ja se perustuu Robert Kanigelin samannimiseen kirjaan. Ramanujania esittää elokuvassa brittiläinen näyttelijä Dev Patel.
Ramanujan todisti monia alkeellisia mutta kiehtovia tuloksia:
Hän kehitti monia approksimaatioita piille:
Identiteettejä juurille:
Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:
Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille:
Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on
kaikille formula_13, missä formula_14 on gammafunktio. Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille, kuten:
Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.
Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten
Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille:
missä formula_20 on kultainen leikkaus;
jos |"q"| Rogersin–Ramanujanin identiteetit:
Muita q-sarjoja:
missä p(n) on partitiofunktio. Tästä saadaan korollaareina kongruenssit
Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:
Määritellään
silloin on
Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille. Määritellään