Tiheysmatriisi
Tiheysmatriisi kuvaa kvanttisysteemin tilaa yleisemmin kuin pelkkä aaltofunktio, sillä se sallii myös sekoitetut tilat. Tiloja, joita voidaan kuvata pelkällä aaltofunktioilla sanotaan puhtaiksi. Tiheysmatriisin käsitettä käytetään erityisesti jollain tapaa avoimissa systeemeissä, joissa perussysteemin ympäristöllä on vaikutusta perussysteemin dynamiikkaan. Tiheysmatriisin avulla kvanttimekaniikasta voidaan myös johtaa useita tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan käsitteitä.
Oletetaan, että kvanttisysteemiä kuvaa enintään numeroituva joukko ominaistiloja formula_1. Tällöin sen tiheysmatriisi on yleisesti muotoa
formula_2
missä formula_3 ovat kompleksikertoimia. Tiheysmatriisi on hermiittinen ja normalisoituva. Toisin sanoen
formula_4
formula_5
missä Tr on matriisin jälki. Tiheysmatriisin diagonaalialkiot formula_6 kuvaavat tilojen formula_1 todennäköisyyksiä, ja ei-diagonaalialkiot tilojen välisiä koherensseja.
Observaabelin formula_8 odotusarvo formula_9 voidaan laskea tiheysmatriisista käyttäen kaavaa
formula_10
missä formula_11 on operaattorin formula_12 matriisielementti.
Tiheysmatriisi toteuttaa Liouvillen yhtälön
formula_13
missä formula_14 on Diracin vakio ja formula_15 on systeemin Hamiltonin operaattori. Avoimissa systeemeissä kiinnostavan osasysteemin tiheysmatriisia tutkittaessa saadaan yllä olevaan yhtälöön ympäristöä kuvaava lisätermi. Tuon lisätermin avulla voidaan tutkia mm. kvanttisysteemin relaksaatiota ja vaihekoherenssin menetystä.