Yhteenlasku
Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme tai yksi ynnä kaksi on kolme), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.
Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.[1]
Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla ℕ on kuvaus +: ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.
On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c. Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c)) Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)
Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.
Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d. Toisin sanoen yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.
Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen.
Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee: 2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2 Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään: m n + p q = m q + p n n q {\displaystyle {\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {mq+pn}{nq}}} Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:
Olkoot x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) {\displaystyle {x}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} ja y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) {\displaystyle {y}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}} vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rn. Määritellään, että x + y = ( x 1 + y 1 x 2 + y 2 ⋮ x n + y n ) {\displaystyle {x}+{y}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}}} . Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.
Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.
Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.
Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.
Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.
Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.
Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:
Luokka:Aritmetiikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit