Torus
Torus on geometriassa pyörähdyspinta, joka syntyy ympyrän pyörähtäessä kolmiulotteisessa avaruudessa ympyrän kanssa samassa tasossa olevan akselin ympäri. Jos pyörähdysakseli ei leikkaa eikä kosketa ympyrää, torus on renkaan muotoinen. Suunnilleen tämänlaisen toruksen muotoisia pintoja ovat esimerkiksi autojen ja polkupyörien renkaat, varsinkin niiden sisäkumit, sekä pelastusrenkaat. Nimitystä torus käytetään joskus myös tämänmuotoisen pinnan rajoittamasta kappaleesta, toroidista. Suunnilleen toroidin muotoisia kappaleita ovat tyypillisesti esimerkiksi sormukset sekä myös munkkirinkilät eli donitsit.
Topologiassa torus on mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen kahden ympyrän karteesisen tulon "S" × "S" kanssa, kun tämä varustetaan tulotopologialla. Se on kompakti kaksiulotteinen monisto, jonka genus on 1. Topologinen torus voidaan muodostaa taivuttamalla pitkä ja kapea suorakulmio lieriöksi, liimaamalla sen vastakkaiset sivut yhteen ja sen jälkeen vielä taivuttamalla näin saatu lieriö pituussuunnassa ympyrän muotoon ja liimaamalla sen vastakkaiset päät yhteen. Matemaattisesti symmetrisempi toruksen topologisen määritelmän toteuttava pinta on kuitenkin Cliffordin torus, joka kahden ympyrän karteesisena tulona saatava pinta. Sellaisenaan sitä ei tosin ei voida toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa formula_1, mutta se voidaan kyllä upottaa neliulotteiseen avaruuteen formula_2.
Torus voidaan määritellä parametrimuodossa seuraavasti:
Sädettä "R" sanotaan toruksen "suureksi säteeksi" () ja sädettä "r" sen "pieneksi säteeksi" (). Suhdetta "R"/"r" sanotaan aspektisuhteeksi. Tavallisella donitsilla aspektisuhde on yleensä arvojen 2 ja 3 välillä.
Karteesisissa koordinaateissa torusta, joka on säteittäissymmetrinen "z"-akselin suhteen, esittää yhtälö
toisin sanoen sen muodostavat yhtälön "f"("x", "y", "z") = 0 ratkaisut, kun
Tämä voidaan esittää yhtäpitävästi myös neljännen asteen yhtälöllä, joissa ei ole neliöjuuria:
Näin muodostettu torus ei kuitenkaan aina ole renkaan muotoinen, vaan sen muoto riippuu siitä, kumpi säteistä "R" ja "r" on suurempi:
Kun "R" ≥ "r", toruksen sisään jäävä kappale eli toroidi
on diffeomorfinen ja niin ollen myös homeomorfinen avoimen kiekon ja ympyrän karteesisen tulon kanssa.
Toruksen pinta-alalle ja toroidin tilavuudelle voidaan Pappuksen–Guldinin lauseen nojalla johtaa lausekkeet:
Nämä kaavat voidaan kirjoittaa myös käytännöllisiin, toruksesta suoraan mitattavissa oleviin suureisiin perustuviin muotoihin:
missä
formula_12 on poikkileikkauksen ympärysmitta, 
formula_13 poikkileikkauksen halkaisija ja
formula_14 toruksen (suurin) ympärysmitta.
Pinta-ala ja tilavuus ovat siis yhtä suuret kuin sellaisen lieriön, jonka pituus on 2π"R" ja pohjapinnan säde "r". Sellainen lieriö voitaisiin saada leikkaamalla putki ja vetämällä se suoraksi. Putken keskikohdan sisäpuolella oleva osa toruksen pinta-alasta ja tilavuudesta on pienempi kuin lieriöllä, mutta ulkopuolella oleva osa juuri sen verran suurempi, että nämä erotukset täsmälleen kumoavat toisensa.
Jos taas toruksen uloimman pinnan sädettä merkitään "p":llä ja sisimmän pinnan sädettä "q":llä (niin että formula_15 ja formula_16), toruksen pinta-ala ja toroidin tilavuus on:
Koska torus on kahden ympyrän tulo, sen pinnalla olevan pisteen sijainti voidaan ilmoittaa eräänlaisella muunnetulla versiolla pallokoordinaateista.
Tavanomaisissa pallokoordinaateissa pisteen sijainti voidaan ilmaistaa kolmella luvulla: "R" eli etäisyys origosta sekä kulmat θ ja φ, jotka määritellään valittujen pisteen avulla samaan tapaan kuin maan pinnalla leveys- ja pituusasteet on määritelty napojen Greenwichin avulla.
Toruspinnalla koordinaatit sen sijaan määritellään, että toinen niistä, kulma φ osoittaa etäisyyden toruksen keskellä olevan "reiän" keskipisteestä. Sitä sanotaan "toroidikseksi" suunnaksi. Toinen koordinaatti θ taas osoittaa, missä suunnassa piste on toruksen putken keskellä kulkevasta, edellä mainitun keskipisteen ympäri kiertävästä ympyrästä. Sitä sanotaan "poloidiseksi" suunnaksi.
Näitä termejä on ensin käytetty maan magneettikentän yhteyessä, jolloin "poloidinen" merkitsi "suuntaa kohti napoja". Nykyisin niitä käytetään varsinkin fuusioreaktoreihin suunniteltujen voimakkaiden magneettien yhteydessä, joilla vetyplasma saataisiin pidetyksi paikoillaan.
Topologiassa torus on suljettu pinta, jonka määritellään kahden ympyrän karteesisena tulona varustettuna tulotopologialla:"S" × "S". Sen voidaan ajatella sijaitsevan kompleksisessa koordinaattiavaruudessa formula_18, ja se on formula_19-säteisen 3-pallon "S" osajoukko.
Topologisesti torukseksi voidaan kuitenkin käsittää yhtä hyvin myös mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen näin määritellyn toruksen kanssa. Edellisessä osiossa käsitellyistä geometrisista toruksista vain rengasmainen torus on torus myös tässä topologisessa mielessä. Cliffordin torus voidaan kuvata homeomorfisesti tällaiselle geometriselle torukselle esimerkiksi projisoimalla se stereografisesti formula_1:een "S³":n käsin.
Toisaalta topologinen torus voi olla geometriselta muodoltaan mutkikkaampikin: esimerkiksi myös tavallisen (korvallisen) kahvikupin pinta on homeomorfinen tavallisen toruksen kanssa, mikä on antanut aiheen määritellä topologi leikillisesti "henkilöksi, joka ei näe eroa munkkirinkilän ja kahvikupin välillä".
Torus voidaan myös kuvailla karteesisen tason tekijäavaruutena, kun tehdään seuraavat samastukset:
tai yhtäpitävästi yksikköneliön tekijäavaruutena, kun vastakkaiset sivut yhdistetään, mitä voidaan kuvata perusmonikulmiolla "ABA""B".
Algebrallisesa topologiassa ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän formula_22 kanssa. Tästä seuraa, että toruksen perusryhmä on ympyrän perusryhmän suora tulo itsensä kanssa:
Intuitiivisesti tämä merkitsee sitä, että suljettu silmukka, joka kiertää ensin toruksen keskellä olevan "reiän" ympäri (toroidisessa suunnassa, esimerkiksi sitä kiertävää ympyrää myöten, joka muodostaa toruspinnan "leveyspiirin") ja sitten toruksen renkaan ympäri (poloidisessa suunnassa, esimerkiksi sellaista ympyrää myöten, joka muodostaa toruksen "pituuspiirin"), voidaan jatkuvalla muunnoksella muuntaa silmukaksi, joka kiertää ensin renkaan ja sitten reiän. Niinpä puhtaasti "leveyssuuntaiset" ja puhtaasti "pituussuuntaiset" polut kommutoivat.
Jos torukseen puhkaistaan reikä eli siitä poistetaan yksi piste (tai pieni alue), jäljelle jäävä pinta voidaan jatkuvalla muunnoksella kääntää nurinpäin, sisäpuoli ulospäin, mutta sen pituussuuntaiset ympyrät muuttuvat leveyssuuntaisiksi ja päinvastoin. Tämä vastaa sitä, miten torus voidaan muodostaa lieriöstä kahdella eri tavalla: joko ulkopuolitse kuten yhdistämällä puutarhaletkun molemmat päät tai sisäpuolitse kuten käärimällä rikkinäinen sukka, josta varpaat pistävät esiin. Kun lisäksi lieriö voidaan muodostaa suorakulmiosta liimaamalla sen kaksi vastakkaista sivua yhteen, voidaan tämä tehdä kahdella tavalla liimaamalla joko vaaka- tai pystysuorat sivut, jolloin riippuen siitä, kummat sivut liimataan toisiinsa, alkuperäiseen suorakulmioon mahdollisesti merkityt raidat tulevat joko pitkittäisiksi tai poikittaisiksi, lieriön ympäri kierretyiksi, riippuen siitä, kummalla tavalla tehdään.
Toruksen ensimmäinen homologiaryhmä on isomorfinen sen perusryhmän kanssa. Tämä seuraa Hurewiczin lauseesta, koska toruksen perusryhmä on Abelin ryhmä.
Monitahokkaita, jotka topologisesti ovat toruksen kaltaisia, sanotaan "toroidisiksi monitahokkaiksi". Niiden Eulerin karakteristika on 
missä "V" on monitahokkaan kärkien, "E" särmien" ja "F" tahkojen lukumäär.
Vastaavasti monitahokkailla, joissa on usampia "reikiä", Eulerin karakteristika on 
missä "N" on reikien lukumäärä.
Jos toruspinta jaetaan alueisiin ja ne halutaan värittää siten, että mitkään kaksi toisiinsa rajoittuvaa aluetta eivät tule samanvärisiksi, tämä käy aina päinsä niin, että ei tarvita enempää kuin seitsemän väriä. Toisin kuin tasolla, neljä väriä ei siis aina riitä. Tämä torusta koskeva tulos oli todistettu topologisesti jo kauan ennen kuin Kenneth Appel ja Wolfgang Haken vuonna 1976 todistivat tietokoneen avulla tasoalueita koskevan vastaavanlaisen neljän värin lauseen.