Virhefunktio
Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista. Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.
Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on
Virhefunktio on pariton funktio
ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa
Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on
Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä
ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla
missä formula_7 on formula_8:s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali
Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä
Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion formula_12 välillä on yhteys:
Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta
kun taas
Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.
Virhefunktion komplementti määritellään
tai yhtäpitävästi integraalina
ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön
Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa
ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia