Cauchyn–Riemannin yhtälö
Cauchyn –Riemannin yhtälöt ovat kompleksianalyysissa käytetyt ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt, jotka karakterisoivat analyyttisten funktioiden reaali- ja imaginaariosat. Ensi kertaa nykyisin Cauchyn-Riemannin nimellä tunnettu yhtälösysteemi esiintyi vuonna 1752 Jean le Rond d’Alembert nimisen ranskalaisen luonnontieteilijän teoksessa, joka käsitteli hydrodynamiikkaa. Myöhemmin vuonna 1777 Leonhard Euler liitti yhtälöt osaksi analyyttisten funktioiden teoriaa. Vuonna 1814 Augustin Cauchy käytti yhtälöitä konstruoidessaan omaa teoriaansa funktioista. Bernhard Riemannin tutkielma funktioteoriasta ilmestyi vuonna 1851. Hänen lähestymistapansa oli geometrinen kun Cauchyn oli puhtaasti analyyttinen.
Cauchy-Riemannin yhtälöt ovat reaaliarvoisten funktioiden "u"("x","y") ja "v"("x","y") osittaisdifferentiaaliyhtälöt:
Tässä kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio "f" on esitetty reaalimuuttujien reaaliarvoisten funktioiden "u" ja "v" avulla seuraavasti: formula_3, missä "u"("x","y") on funktion "f" reaaliosa ja "v"("x","y") sen imaginaariosa.
Kompleksifunktio "f" on analyyttinen kompleksitason avoimessa osajoukossa "A", jos sillä on kompleksinen derivaatta jokaisessa "A":n pisteessä. Cauchyn–Riemannin yhtälöt ovat yksi tapa tutkia funktion kompleksista derivoituvuutta ja analyyttisuutta. Ne yhdistävät kompleksisen derivoituvuuden tavallisten reaaliarvoisten funktioiden differentioituvuuteen.
Kompleksifunktio on analyyttinen jossain kompleksitason pisteessä tai alueessa, jos se voidaan kirjoittaa muodossa formula_4 ja jos funktiot "u" ja "v" toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt (1a) ja (1b). Osittaisdifferentiaaliyhtälöt esitetään useissa oppikirjoissa myös muodossa formula_5 ja formula_6.
Cauchyn–Riemannin yhtälöt ovat välttämätön ehto sille, että kompleksifunktiolla on derivaatta. Voidaan myös osoittaa, että jos ensimmäinen derivaatta on olemassa, funktiolla on samalla kaikkien kertalukujen derivaatat.
Cauchyn–Riemannin yhtälöt voidaan kirjoittaa kompleksisessa muodossa
Oletetaan, että
on kompleksimuuttujan "z" ∈ C kompleksiarvoinen funktio. Silloin funktion "ƒ" kompleksinen derivaatta pisteessä "z" määritellään seuraavasti:
edellyttäen että raja-arvo on olemassa.
Jos tämä raja-arvo on olemassa, se ei riipu suunnasta, josta sitä kompleksitasossa lähestytään. Voidaan siis valita, että "h" → 0 reaali- tai imaginaariakselia pitkin. Lähestytään origoa ensin reaaliakselin suunnasta:
Lähestytään sitten origoa imaginaariakselin suunnasta:
Kompleksisen derivaatan yksikäsitteisyydestä seuraa funktiolle "ƒ"
jotka ovat Cauchyn-Riemannin yhtälöt (2) kompleksisessa muodossa pisteessä  "z".
Funktio formula_4 on analyyttinen kompleksitason avoimessa osajoukossa "A", jos ja vain jos funktiot "u" ja "v" ovat reaalisesti differentioituvia ja toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt "A":ssa. Käytännössä ehtojen voimassaolo merkitsee, että kompleksifunktiota voidaan tällöin derivoida ja integroida aivan kuin se olisi reaalifunktio.