B-spline
منحنيات B في المجال الرياضي للتحليل العددي منحني B –Spline or basis –Spline عبارة عن داله تعبر عن اقل قيمة ممكنه للدعم مع الاخذ بعين الاعتبار بعض المعطيات التي تتمثل في الدرجة والنعومة وتقسيم المجال. ويمكن التعبير عن أي دالة منحني من درجة معينة كداله خطيه عباره عن مجموعة من المنحنيات B من نفس الدرجة الدالة. Cardinal B-Spline تحتوي علي مجموعة من العقد علي بعد مسافات ثابتة. منحنيات B يمكن أن تستخدام في curve – fitting و التمييز العددي للبيانات التجريبيه في التصميم بواسطة الكمبيوتر. والكمبيوتر جرافكيس يتم تشيد داله المنحني كمجموعة خطيه في المنحنيات B عن طريق من النقاط
المنحنيات B ثم التوصل إليها في وقت مبكر من القرن ال19 من قبل نيكولاي لوباتشيفسكي، المصطلح B- spline تم صياغته من قبل اسحاق يعقوب شوينبرج و هي اختصار ل Basis –spline داله المنحني هي داله كثيره الحدود من الدرجة k> في متغير x . في المناطق التي تلتقي فيها المنحنيات تسمي بالعقد . عدد العقد يجب أن يكون متساوي أو أكبر من k – 1 . و بالتالي داله المنحني لها دعم محدود . داله المنحني لها عده خواص منها انها متصله عند العقد . بعض المشتقات هذه الدوال ممكن ان تكون متصله وهذا يعتمد علي العقد إذا كانت مختلفه ام لا . النظريه الأساسية تنص علي ان كل داله من درجه معينه و دقه و مجال يمكن وصفها علي ان تكون مجموعه خطيه من الدوال ذات نفس الدرجة و الدقة و التقسيم .
B-spline هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة n في متغير x. يتم التعرف عليها من فترة t 0 ≤ x ≤ tm حيث n = m . النفط التي عندها x = t j تسمي بالعقد أو نقطة التوقف. عدد العقد الداخليه تساوي درجة الداله كثيره الحدود . العقد يجب أن تكون في ترتيب تصاعدي عدد العقد يجب أن يكون تمثيل الحد الأدنى من درجة لل b –spline حيث أنهم يُمثلوا قيمة لا تساوي الصفر في نطاق بين العقدة الأولى و الأخيرة. كل جُزء من الدالة كثير الحدود من الدرجة n> . B –Spline دالة متصلة عند العقد . ملاحظة عندما تختلف العقد الداخلية. مشتقاتها أيضاً تكون متصله عائده علي المشتقه من درجة n-1 . إذا تزامنت العقد الداخليه عن قيمه معينه x، فإن الاتصال المشتقه يقل بقيمه -1 لكل عقده . لاي مجموعه من العقد b –spline فريدة من نوعها لذلك b اختصار لل basis. أي دالة منحني b من درجة n لمجموعة معينة من العقد يمكن التعبير عنها علي أن تكون مجموعة خطية من الـ b –splines
و هذا نتيجة حقيقية أن كل الأجزاء لها نفس خصائص الاتصال. يمكن التعبير عن قطع كثيرة الحدود عن طريق المعادلة التالية
حيث تعبر عن ثابت بقيمه 1 أو zero وهكذا تكون المعادله الاعاده كالتالي
تتغيير من صفر حتي 1 حيث x تقع من فترة formula_5 حتي formula_6 و
و تغيير مجددا من 1 حتي 5 حيث x تتغير من formula_8 to formula_9. في خلاف هذه الفترتين , Bs المقابله تساوي zero . علي سبيل المثال formula_10 داله ثلاثيه تساوي صفر في حاله formula_11 و تتغيير حتي تصل الي 1 عند formula_12 و تعود الي الصفر في حالة formula_13 مع ذلك , لان داله المنحني لها دعم محلي , فان الداله يتم حسابها بواسطه خوارزميات معينه لا تحتاج لحساب الدوال الأساسية التي تساوي صفر مثل خوارزميه بور .
هذه العلاقه تقود الي خوارزميه fortran - BSPLV حيث أنها تقوم بإنشاء قيم لل B- Spline من الدرجة n عند x , المخطط التالي يوحي كيف كل جزء في الدالة في الدرجة n هو مزيج خطي في B- spline في الدرجة n-1
أجزاء B-spline من الدرجة الثانية
هذه الأجزاء موضحة في الشكل، خاصية الاتصال في الدالة التربيعية حيث أن المشتقة الأولى لها كالاتي :
حيث أن المشتقة الثانية من الدرجة الثانية في العقد المتصلة
هي لها ثابت انفصال h بين العقد، ويمكن استنتاجها من المعادلة التالية
( place holder notation ) يستخدم للاشاره الي ان ال nth مختلفه التقسيم للداله formula_22 في المتغييرين x و t يتم حسابهم عن طريق فرض x و الاخذ في عين الاعتبار formula_23 كداله في t . cardinal b –spline لديه عقد علي مسافات متباعده و بالتالي التداخل بين النقاط مساوي للالتفاف حول الحافة . و علي سبيل المثال إذا اردت تداخل 3 قيم معا بين النقاط b يمكن كتابتها كالتالي
formula_24
التفاف الاشاره x مع الداله الثلاثيه formula_25 يعطينا تداخل من درجة الأولي لقيم b- spline . تداخل الدرجة الثانية لل b- spline يعتبر الالتفاف مع الداله مرتين formula_26
تصفح في اروين هال للحالات الخاصه من أجل المصطلحات الجبريه لل cardinal b –spline من الدرجة 1 حتي 4
هو يعبر عن "penalized B-spline" و يشير الي استخدام b –spline حيث يتم تحديد معاملات البيانات التي يتم استخدمها جزئيا من المعلومات التي يتم ادخالها . و تكون داله اضافه تهدف الي فرض الدقه لتجنب المعلومات الزائده
مشتقه b- spline من الدرجة k وهي داله في الb-spline في الدرجة k-1
وهذا يعني ان
مما يدل علي ان هناك علاقة بسيطه بين المشتقه للداله و درجة ال b –spline
هو عباره عن سلسله من منحنيات بيذير تضم ما لا يقل عن استمراريه co (النقطه الأخيرة من المنحني يتزامن مع نقطة البدايه للمنحني التالي ). اعتمادا علي التطبيق يمكن اضافه متطلبات الدقه مثل ( خواص الاتصال ل c1, c2 ) . المنحنيات المتصله c1 لها مماس عند نقط التوقف ( عندما يلتقي المنحنيات ) . منحنيات الاتصال c2 لها انحناءات متطابقه عند نقط التوقف .
عاده عند ملائمه المنحني يتم تركيب مجموعة في نقاط بيانات مع منحني يتم تعريفها ببعض الدوال الرياضيه . علي سبيل المثال الأنواع الشائعه في ملائمه المنحني يستخدم دوال كثير الحدود أو المجموعة من الدوال الاسيه عندما لا يكون هناك أساس نظري لاختيار الداله الملائمه يمكن تركيبها علي منحني مع داله spline تكون من مجموعه من ال b –spline باستخدام اقل مربع و هكذا فان داله الهدف تكون
حيث (W(x هو الوزن والـ (y(x هو قيمه معطاه عند X. المعامل هو المطلوب معرفته. قيم النقاط ممكن أن تكون ثانية أو يمكن افتراضها ان تكون مثل فتكمن صعوبه الرئيسيه في تطبيق هذه العمليه في تحديد عدد العقد التي تم استخدامها و مكانها. لقد اقترح بور استراتيجيان متعدده لمعالجه هذه المشكله علي سبيل المثال. يتم تقليل التباعد بين النقط بما يتناسب مع الانحناءات ( المشتقه الثانية ) للبيانات. لقد تم نشر بعض التطبيقات. علي سبيل المثال استخدامات ال B-SPLINE من أجل ملائمه منحنيات Lorentzian و Gaussian. داله ال SPLINE الامثل من درجة 3 حتي 7، قائمه علي ترتيبات من 5 , 6 ,7 نقط تم حسابها و تم تطبيق هذه الطريقه للوصول لدقه المنحني . و في دراسه مماثله، فان النسخة ثنائية الابعاد من Savitzky-Golay filtering و spline انتجت نتائج أفضل من طريقه ال moving average .
في التصميم بمساعدة الحاسوب، التصنيع بمساعدة الحاسوب ، و رسومات الحاسوب ، تمديد قوية من B-المفاتيح وغير موحدة عقلانية B-المفاتيح (NURBS). NURBS هي أساسا المفاتيح-B في الإحداثيات المتجانسة . مثل B-المفاتيح، تعرف من قبل ترتيبها، وناقلات عقدة، ومجموعة من نقاط المراقبة، ولكن خلافا بسيطة B-المفاتيح، ونقاط المراقبة لكل من وزنها. عندما يكون الوزن يساوي 1، NURBS هو مجرد B-سين وعلى هذا النحو NURBS يعمم على حد سواء B-المفاتيح و منحنيات بيزيير والسطوح، والفرق الأساسي هو ترجيح من نقاط المراقبة مما يجعل منحنيات NURBS "عقلانية".
من خلال تقييم لNURBS في قيم مختلفة من المعلمة، ويمكن تتبع منحنى عبر الفضاء. وبالمثل، من خلال تقييم سطح NURBS في قيم مختلفة من المعلمتين، والسطح يمكن أن تكون ممثلة في الفضاء الديكارتي.
مثل B-المفاتيح ونقاط مراقبة NURBS تحدد شكل المنحنى. يتم احتساب كل نقطة من المنحنى أخذ مبلغ المرجح لعدد من نقاط المراقبة. وزن كل نقطة يختلف وفقا لمعلمة الحاكم. لمنحنى درجة د، وتأثير أي نقطة مراقبة غير صفرية إلا في فترات د +1 (يمتد عقدة) من مساحة المعلمة. داخل تلك الفترات، يتغير الوزن وفقا لوظيفة متعددة الحدود (وظائف الأساس) من درجة د. في حدود الفترات، وظائف أساس بسلاسة إلى الصفر، ونعومة يتم تحديدها من قبل على درجة من متعدد الحدود.
ناقلات عقدة هو سلسلة من القيم المعلمة التي تحدد أين وكيف نقاط التحكم تؤثر على منحنى NURBS. عدد عقدة دائما مساويا لعدد من نقاط المراقبة بالإضافة إلى درجة منحنى زائد واحد. في كل مرة قيمة المعلمة يدخل عقدة فترة جديدة، تصبح نقطة مراقبة جديدة نشطة، في حين يتم تجاهل نقطة التحكم القديمة.
منحنى NURBS يأخذ الشكل التالي
هنا التدوين هو كما يلي. يو هو المتغير المستقل (بدلا من خ)، ك هو عدد نقاط المراقبة، N هو B-سين (تستخدم بدلا من B)، n هو درجة متعدد الحدود، P هي نقطة مراقبة وث هو الوزن. القاسم هو عامل تطبيع يتم تقييمها إلى واحد إذا كان كل الأوزان واحدة.
ومن المعتاد أن أكتب هذا النحو
خوارزمية دي بور
M-Spline
I-Spline
T-Spline
منحنى بيزيير
Box Spline
Spline wavelet
عادة ما يتم تعريف بالمعنى الدقيق للكلمة B-المفاتيح كما يجري اليسار مستمرة
دي بور يعطي روتين FORTRAN لالساحات الأقل المناسب من البيانات التجريبية