متباينة هادفايغر-فنسلر
formula_1
متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت "b", "a" و "c" أطوال أضلاع مثلث في المستوى و "A" مساحته"،" فإن:
formula_2
سميت متباينة هادفايغر-فنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر و هوغو هادفايغر(1937).
من قانون جيب التمام نحصل على:
formula_3
حيث formula_4 هي الزاوية بين formula_5 و formula_6. يمكن تحويل هذا إلى:
formula_7
و لكون formula_8 فإنَّ:
formula_9
الآن تذكر أن
formula_10
formula_11
باستخدام هذا نحصل على:
formula_12
بفعل هذا لكل أضلاع المثلث و بجمع المتساويات نحصل على:
formula_13
formula_14 و formula_15 هما الزاويتان الأخريتان للمثلث. بما أن أنصاف زوايا المثلث أصغر من formula_16 فإن دالة formula_17 محدبة فلدينا:
formula_18
باستخدام هذا نحصل على:
formula_19
هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.