توزيع بوسون
هو توزيع احتمالي منفصل يستخدم عند حدوث عدد من الحوادث ضمن وقت محدد وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث. وسميت بوسون نسبة إلى العالم Poisson الذي اكتشفها.ونقول أن المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:
حيث أن formula_2 هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت, ونعرف المتغير العشوائي formula_3
ولكي نتحقق أن (f(x دالة احتمالية
وتوزيع بوسون له تطبيقات كثيرة في حياتنا:
- يصف الظواهر النادرة, مثل: عدد الزلازل السنوية, عدد الحرائق, عدد الحوادث الأسبوعية.
- يصف كثير من الظواهر التي تحدث في الزمن أو الفراغ, مثل: عدد الجزئيات, عدد مكالمات الهاتف التي تحدث خلال زمن معين, عدد السلع التالفة التي ينتجها مصنع ما في فترة معينة.
إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت formula_6 وأنها متناقصة إذا كانت formula_7 أما إذا كانت formula_8 فذلك يعني formula_9 وعلى ذلك إذا كانت formula_10 عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند formula_11 أما إذا كانت formula_10 عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد formula_10.
وحيث أن
إذن formula_17
لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة
إذن
ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = formula_22
مثال:
إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟
الحل:
متوسط عدد الحوادث formula_31
نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن formula_32