قاعدة سمبسون
قاعدة سمبسون في التحليل العددي هي طريقة من طرق التكامل العددي و هي في الحقيقة حالة خاصة من صيغ نيوتن-كوتس المغلقة لتقريب تكامل الدالة f باستخدام كثيرة الحدود التربيعية وهي طريقة محسنة لطريقة شبه المنحرف كما أنها أسرع تقارباً و أدق ويفسر ذلك من خلال أن قاعدة سمبسون تحتوي على نقطة المنتصف التي توفر توازن أفضل للتقريب. لأنه كلما زادت عدد التقسيمات في الفترة الجزئية كانت الطريقة أدق.
و تحسب صيغة شبه المنحرف القيمة الفعلية للتكامل عندما تكون f دالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى على الأكثر . بينما صيغة سمبسون فإنها تحسب القيمة الفعلية للتكامل إذا كانت f دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل.
في الواقع تعتبر صيغة سمبسون من أكثر الصيغ استخداما حيث انها تستخدم على نطاق واسع لحل المسائل التطبيقية التي تتضمن تكاملات محدودة لدقتها الحسابية وسهولة استخدامها.
يمكن استنتاج قاعدة سمبسون بطرق مختلفة.
ولكي نحصل على صيغة سمبسون لابد بالتعويض في الصيغة الإستكمالية
formula_1
formula_2
formula_3
and
formula_4
formula_5
لبعض قيم formula_6 في formula_7
formula_8
بالتالي :
formula_9
formula_10
formula_11
وبتعويض قيمة formula_12 يصبح لدينا
formula_13
اذاً
formula_14
صيغة سمبسون البسيطة :
الفكرة التي قامت عليها صيغة سمبسون البسيطة:
تقوم على أساس تقريب المساحة المطلوبة تحت منحنى الدالة formula_15 بالمساحة تحت منحنى حدودية من الدرجة الثانية formula_16 تمر بالنقاط الثلاث
formula_17
formula_18 formula_19
بحيث تكون المساحة محصورة بين الخطين
formula_20
استخدام قاعدة سمبسون البسيطةلإيجاد قيمة التكامل formula_21
الحل:
formula_19
formula_18
formula_24
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30
قد لا يكون استخدام صيغ نيوتن-كوتس عمليا في الكثير من الحالات خصوصا اذا كانت فترة التكامل كبيرة نسبيا ؛ حيث أننا نضطر ففي مثل هذه الحالات إلى استخدام كثيرات حدود ذات درجات عالية من الذبذبة وهذا بدوره يترك أثر سيئا على دقة الحلول العددية , وللتغلب على هذه المشكلة و تقليل الخطأ الناتج عن تطبيق صيغة تكامل ذات رتبة منخفضة أي قيمة n صغيرة فإننا نقسم فترة التكامل [a,b] إلى فترات أصغر و نطبق صيغة التكامل على كل فترة جزئية على حدة . والصيغة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة ذات رتبة منخفضة تسمى صيغة تكامل مركبة . وفيما يلي نحصل على الصيغة المركبة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة سمبسون البسيطة عندما (n=2) . ولكن من شروط قاعدة سمبسون ان تكون n عدد زوجي 
وكي نكرر تطبيق قاعدة سمبسون عدد r من المرات نحتاج معرفة قيم الدالة عند عدد 2r+1 من نقاط الأساس formula_31 
وتكون قاعدة سمبسون المركبة كالتالي :
formula_33
formula_34
الحل بستخدام قاعدة سمبسون المركبة :
formula_35
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
formula_47
formula_48
formula_49
formula_50
formula_51
formula_52
formula_53
وفي بعض التكاملات على الفترات الكبيرة كان الحل بصيغة سمبسون يحتوي نسبة خطأ أكبر من لو قام بتقسيم الفترة
نلاحظ أن الخطأ يقل بعد تقسيم الفترة ومن هذا المنطلق نتجت صيغة سمبسون المركبة و لها العديد من الصيغ
formula_54
formula_55
والخطأ مرتبط بالتقريب :
formula_56
حسب نظرية القيمة المتوسطة يوجدformula_57 بحيث:
formula_58
بالتالي
formula_59
وبما أن
formula_55
و أيضاً
formula_61