مبرهنة ويلسون
في الرياضيات، تنص مبرهنة ويلسون على أن عددا صحيحا طبيعيا ما n > 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان جداء كل الاعداد الصحيحة الموجبة الأصغر قطعا من n أصغر بواحدٍ من مضاعفٍ ما ل n. أي أنه إذا توفر مايلي:
و بتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان formula_1 مضاعفا ل n.
توصل ابن الهيثم لهاته المبرهنة في العصور الوسطى، لكنها نسبت إلى جون ويلسون تلميذ الرياضياتي الإنجليزي إدوارد ويرينغ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعلن ويرينغ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هو ولا ويلسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاغرانج في عام 1773، أن يقدم أول إثبات للمبرهنة. هناك أدلة على أن ليبنيز كان على علم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحو قرن، لكنه لم ينشر ذلك.
يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، و قيم formula_2 في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة formula_2 على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الوردي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.
إذا كان "n" عدداً غير أولي (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي "q"، حيث "n-2 ≥q≥ 2" . إذا كان يطابق فإنه سيطابق 1-(mod "q"). ولكن ("n" − 1)! ≡ 0 (mod "q") . 
النتيجة واضحة عندما ، ولذلك سنفرض أن "p" عدد أولي فردي، .
بما أنه يوجد لكل باقي (mod "p") معاكس ضربي وحيد (mod "p") غير صفري "a". من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة ل"a" التي تحقق أن هي . بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل إلى أزواج، بحيث يكون ضرب كل زوجين .
وبذلك تثبت المبرهنة.
استعمل لاغرانج الحدوديةformula_4حيث نشرها و حدد معاملاتها باستعمال الخاصيةformula_5 ثم أثبت إذن،أنه عندما يكون "n" أوليا،فإن جميع المعاملات - باستثناء الأول الذي يساوي 1 و الأخير الذي يساوي "!(n-1)" - مضاعفات ل "n".
ثم،باستعمال نفس المتساوية دائما،لاحظ أن آخر معامل مضروبا في"n"–1 يساوي مجموع كل المعاملات الأخرى و استنتج أن "n" – 1)! + 1) مضاعف ل "n".
هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيراً نسبياً.
باستعمال مبرهنة ويلسون، لكل عدد أولي فردي ، نستطيع ترتيب الطرف الأيسر ل
formula_6
للحصول على المتساوية
formula_7
هذا يصبح
formula_8
formula_9
أثبت غاوس أن
formula_10
حيث "p" عدد فردي و formula_11 عدد صحيح موجب.