مجال ثقة
في الإحصاء، مجال الثقة (بالانكليزية: Confidence Interval) هو مجال عددي يُتوقع أن يحتوي على القيمة الحقيقية لمَعلَمة إحصائية يراد معرفتها لمجتمع إحصائي ما.
يترافق مفهوم مجال الثقة مع مفهوم آخر هو مستوى الثقة والذي يمكن شرحه كالتالي: لنقل أننا نريد تقدير قيمة مَعلمة ما لمجتمع إحصائي وقمنا لهذا الغرض بتكرار تجربة إحصائية على العديد من العينات العشوائية المأخوذة من المجتمع ومن ثم قمنا بحساب مجال ثقة لقيمة المَعلَمة المدروسة من كل من هذه العينات. يُطلق على نسبة عدد مجالات الثقة التي حوت على القيمة الحقيقية للمعلمة اسم مستوى الثقة .
عندما نقول أننا واثقون بنسبة 99% (أي أن مستوى الثقة قدره 99%) بأن قيمة المعلمة المنشودة (المتوسط الحسابي مثلا) تقع ضمن مجال الثقة الذي حسبناه من عينة عشوائية فإن هذا يكافئ قولنا بأن 99% من كل مجالات الثقة التي يمكن حسابها من عينات عشوائية من المجتمع الإحصائي المدروس ستحتوي على القيمة الحقيقية للمعلمة. لذا فإنه من الخطأ القول أن مستوى ثقة بقيمة 99% يعني بأن هنالك احتمال 99% بوقوع القيمة الحقيقية للمعلمة ضمن مجال الثقة المحسوب. الصحيح هو أن القيمة الحقيقية للمعلمة إما أن تقع ضمن من مجال الثقة أو أنها لا تقع ضمنه. كلمة الثقة هنا ليس لها علاقة بالاحتمالية وإنما بتكرارية احتواء مجالات الثقة المحسوبة من العديد من العينات على القيمة الحقيقية للمعلمة. (انظر الشكل الجانبي).
يتم تحديد مستوى الثقة من قِبَل الباحث نفسه وبالتالي هو ليس رقما مستنبطا من بيانات العينة. جرت العادة في أغلب الأبحاث أن يتم استخدام مجالات ثقة بمستوى ثقة قدره 95% ولكن يمكن أن يتم أيضا حسابها بمستويات ثقة أخرى مثل 99% و90%. تجدر الإشارة إلى أن حجم مجال الثقة يتأثر بعدة عوامل مثل حجم العينة المدروسة وتشتت المجتمع الإحصائي.
يعتبر هو أول من أتى بفكرة مجالات الثقة في الإحصاء وذلك في ورقة بحثية نشرت في العام 1937.
لنفرض أن لدينا عينة عشوائية formula_1 من توزع احتمالي ذي معلمة (بارامتر) formula_2. لكي نتمكن من معرفة قيمة formula_2 للتوزع الاحتمالي بمستوى ثقة قدره formula_4 يمكننا تعريف مجال ثقة بحدين عشوائيين formula_5 و formula_6 يحققان الصيغة التالية:
formula_7
formula_8 يشير إلى توزع الاحتمال للعينة العشوائية formula_1 ذي المعلمتين formula_2 و formula_11
formula_11 هي مَعلمة إحصائية للتوزع الاحتمالي لسنا مهتمين بها في الدراسة لكنها توصّف التوزع الاحتمالي
formula_13 هما دالتان لتحديد قيمتين عشوائيتين من formula_1 (التي بدورها هي عينة عشوائية)
يمكن قراءة الصيغة أعلاه على النحو التالي: إن مجال الثقة الواقع بين الحدين العشوائيين formula_5 و formula_6 المأخوذين من العينة العشوائية formula_1 يحتوي على القيمة الحقيقية لـ formula_2 باحتمال قدره formula_4. لاحظ أنه يمكننا استعمال مفهوم "الاحتمال" هنا كون أننا ما زلنا نتكلم عن عينة عشوائية formula_1 لكن حالما نقوم فعليا بأخذ العينة ولنسمها formula_21 ونقوم بتحديد مجال ثقة بعينه formula_22 فإننا أصبحنا أمام مثال واحد (عينة واحدة) من بين كل الأمثلة الممكنة (كل العينات الممكنة) وبالتالي لن يكون من الصحيح الحديث عن ""احتمال" قدره formula_4 لاحتواء المجال على قيمة المعلمة formula_2" وإنما نقول أن هذا المجال هو ذو "مستوى ثقة" قدره formula_4.
إذا أجرينا اختبار فرضية إحصائية ما فيكون مستوى الثقة هو متمم متسوى الدلالة المنشود للاختبار. فإذا كان مستوى الدلالة المطلوب من قبل الباحثين هو 5% فيجب أن يكون مستوى الثقة هو 95%. وبهذا يكون مجال الثقة حاويا على القيم المحتملة للمعلمة الإحصائية والتي عند إخضاعها للاختبار الإحصائي باستخدام نفس العينة فلن يمكن أن يتم رفضها.