تضاؤل أسي
يقال عن كمية أنها تتحلل أسيـّا أو تضمحل أسيـّا في الفيزياء النووية والإلكترونيات (بالإنجليزية:exponential decay) عندما يكون معدل اضمحلالها متناسبا مع كميتها. ويمكن التعبير عن عملية كهذه بالمعادلة التفاضلية الآتية ، حيث "N" الكمية (أو عدد ذرات) و(λ (lambda عدد صحيح يسمى ثابت التحلل :
وحل تلك المعادلة (أنظر حل المعادلات التفاضلية) تعطينا معادلة الدالة الأسية للأساس الطبيعي e :
إذا كانت الكمية المتحللة مكونة من عدد من الذرات ، فيمكن حساب متوسط الزمن الذي تبقى فيه الذرة على حالها بدون تحلل. وتسمي متوسط الزمن هذا "متوسط العمر" formula_3
. والعلاقة بين متوسط العمر ومعدل التحلل هي:
ويسمى متوسط العمر formula_3
أيضا ثابت زمني للاضمحلال ، وهو أحد مكونات أس الثابت الطبيعي e :
وهو يعطي الزمن الذي يضمحل أو يتحلل فيه النظام بنسبة الثابت الطبيعي e .
كما يمكن كتابة معادلة التحلل في صورة أخرى تستعمل كثيرا - كما يرى أسفله - وهي تعطي الحل في حالة اختيار أساس لأس مساويا 2 بدلا عن e. وذلك الحل يمثل حالة تساوي زمن الاضمحلال بزمن نصف العمر.
من الخواص التسهيلية للتحلل الإسي للأساس e حساب الزمن الذي تتحلل أو تضمحل خلاله الكمية إلى نصف مقدارها الأولي. ويسمى ذلك الزمن نصف العمر ، ويرمز له عادة بالرمز "t". ويمكن كتابة نصف العمر بعلاقته بثابت التحلل ، كالآتي:
وعند التعويض بتلك المعادلة عن formula_10 في المعدلة الأسية أعلاه نحصل على المعادلة:
وعندما تكون t = formula_12
تصبح 2 = 1/2 ، أي تتحلل نصف الكمية الابتدائية. وكذلك بعد مرور 3 فترات من نصف العمر سيتبقى من الكمية الابتدائية الكمية 1/2 = 1/8.
وهذا معناه أن متوسط العمر formula_10 يساوي نصف العمر مقسوما على اللوغاريتم الطبيعي ln2 :
وعلى سبيل المثال يبلغ عمر النصف للبولونيوم-210 المشع 138 يوم ويبلغ متوسط العمر له 200 يوم.
المعادلة التي تصف التحلل الأسي (تحلل أسي لأساس الثابت الطبيعي e):
بإجراء التكامل نحصل على:
حيث:
C ثابت التكامل.
وبالتالي:
نعوض عن formula_19 عن طريق حل المعادلة عند الزمن الابتدائي formula_20 حيث أن الكمية الابتدائية كانت formula_21 عند الزمن الابتدائي formula_20.
تلك هي المعادلة الشائعة الاستخدام لوصف التحلل الأسي. وتعطى وحدات ثابت التحلل 
math> s.
نفترض مجموعة من الذرات تتحلل باستمرار حتى تتحلل كلها بالكامل، فيكون متوسط العمر formula_10 هو الزمن المتوقع لكي تتحلل إحدى الذرات في المجموعة. أي انه إذا كان عمر الذرة الواحدة من المجموعة هو الزمن بين الزمن المرجعي وزمن تحلل الذرة يكون متوسط العمر عبارة عن المتوسط الحسابي لعمر الذرات.
نبدأ بالمعادلة الأصلية للمجموعة :
نستخدم "c" كعدد توحيد normalzation ، يستخدم لمساواة الكمية بالواحد .
يتبين أن التحلل الأسي هو مضاعفات (غير متجهة) للتوزيع الأسي ، أي أن عمر الذرات تكون موزعة توزيعا أسيا يتميز بقيمة متوقعة ، ويمكننا حسابها عن طريق إجراء التكامل الجزئي:
تتحلل بعض العناصر المشعة في عمليات متوازية كل منها له عمر النصف الخاص به ، وتسمى تلك العمليات " قنوات التحلل " وهي تسير جميعها في نفس الوقت.
يكون المعدل الكلي لتحلل الكمية "N" هو مجموع قنوات التحلل ، أي أنه في حالة التحلل من خلال عمليتين ، يمكن كتابة:
وحل تلك المسألة قد أجريناه في فصل آخر أعلاه ، حيث عاملنا المجموع 
formula_29 
كثابت تحلل كلي جديد formula_30.
وبما أن formula_32، مجموع ل formula_33 فيمكن تعيينها من formula_34s:
وعلى ذلك فيمكن القول بأن متوسط العمر لعدة قنوات للتحلل هو المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار المرتبطة لكل عملية تحلل على حدة مقسومة على عدد العمليات.
وبما أن أنصاف الأعمار تختلف عن متوسط العمر formula_37 بثابت معين فإن نفس المعادلات تبقى سارية على نصف العمرين المذكورين ، أي أن :
ولكتابة المعادلة باستخدام ثابتي التحلل ، يصبح عمر النصف الكلي
وفي حالة تحلل يجري فيها ثلاثة من العمليات متزامنين فيمكن حساب عمر النصف الكلي كما أوضحانا أعلاه عن طريق حساب المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار الفردية:
ويكون مقدار الثابت الزمني τ للعملية مساويا "R" "C" ، وزمن الشحن إلى النصف مساويا "R" "C" ln2.
وفي حالة تفريغ مكثف كهربي عبر عدة مقاومات موصلة على التوازي فهذا مثال على عمليات اضمحلال متتابعة حيث تمصل كل مقاومة عملية منفردة. وفي الواقع فإن معادلات توصيل مقاومتين على التوالي أو على التوازي فإنما هي مناظرة لمعادلات التحلل الأسي عن طريق عمليتين.|