اضمحلال الجسيمات
اضمحلال الجسيمات هي عملية تلقائية تحدث في الجسيمات الأولية فتتحول إلى جسيمات أولية أخرى متوسطة وذات كتلة أقل ،حيث ينتج من انحلال ميون إلى جسيمات أولية تسمى البوزونات.ونلاحظ أن عملية الانحلال لاتتوقف عندما تكون الجسيمات الناتجة غير مستقرة.[1] فتتحول النواة الذرية إلى نواة أخرى صغيرة غير المستقرة عن طريق انبعاث الجسيمات أو الإشعاع (النشاط الإشعاعي)
c = ℏ = 1. {\displaystyle c=\hbar =1.\,}
ملاحظة:تستخدم الوحدة الطبيعية للجسيمات
يقصد به عمر الجسيمات ويرمز له بالرمز τوبالتالي فإن احتمال بقاء الجسيمات أكبرمن وزمن بقائها قبل الاضمحلال t ، يعطى بالعلاقة:
P ( t ) = e − t / ( γ τ ) {\displaystyle P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}\,}
γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
تعطى نسبة انحلال الجسيمات للكتلة M بالصيغة العامة
d Γ n = ( 2 π ) 4 2 M | M | 2 d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,}
N عدد الجسيمات المتكونة من انحلال النواة الأم M عنصر ثابت للمصفوفة يربط المستوى الأولى والمستوى الأخير dΦn طور العنصر في الفضاء Pi الزخم الرباعي للجسيم ويحدد طور العنصر في الفضاء بالعلاقة
d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) = δ 4 ( P − ∑ i = 1 n p i ) ( ∏ i = 1 n d 3 p → i ( 2 π ) 3 2 E i ) {\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,}
عندما4 δ الأبعاد الأربعة لدالة دلتا ديراك (Dirac delta function)
كتلة الجسيمات غير المستقرة تسمى بالكتلة المعقدة ،فالجزء الحفيقي هو الكتلة المعتادة والجزء التخيلي هو نسبة الانحلال في الوحدة الطبيعية ,عندما يكون الجزء التخيلي أكبر من الجزء الحقيقي يكون رنين الجسيمات أكثر من الجسيمات نفسها ، ويرجع ذلك في نظرية الكم عندما لايكون هناك طاقة كافية لتبادل الكتلة M بين أي جسيمين ، يكون للنظام 1/M إذا كان زمن الانتقال للجسيم قصير بما فيه الكفاية وفقا لمبدأ عدم اليقين. كتلة الجسيمات M+п يمكن للجسيم الانتقال خلال فترة 1/M ولكن بعد الزمن п عندما يكون п >M الجسيمات تنحل قبل أنتقالها
الانحلال إلى 3-جسيمات
d Φ 3 = 1 ( 2 π ) 9 δ 4 ( P − p 1 − p 2 − p 3 ) d 3 p → 1 2 E 1 d 3 p → 2 2 E 2 d 3 p → 3 2 E 3 {\displaystyle d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,}
على سبيل المثال ،طور العنصر في الفضاء لجسيم منحل إلى ثلاث جسيمات
الزخم الرباعي لجسيم تعرف أيضا بالخواص الثابتة للكتلة ,
مربع الزخم الرباعي لجسيم هو الفرق بين مربع الطاقة ومربع الزخم الزاوي
p 2 = E 2 − ( p → ) 2 = m 2 ( 1 ) {\displaystyle p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,}
p 2 = ( p 1 + p 2 ) 2 = p 1 2 + p 2 2 + 2 p 1 p 2 = m 1 2 + m 2 2 + 2 ( E 1 E 2 − p → 1 ⋅ p → 2 ) {\displaystyle p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,}
الزخم الرباعي يجب أن يكون محفوظا في عملية الانحلال وكذلك في عملية تفاعل الجسيمات
p i n i t i a l = p f i n a l . {\displaystyle p_{\mathrm {initial} }=p_{\mathrm {final} }.\,}
عند انحلال الجسيم الأصلي للكتلة M إلى جسيمين (الجسيم 1والجسيم 2)فإن مبدأحفظ الزخم الرابع يكون
p M = p 1 + p 2 . {\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}.\,}
p M − p 1 = p 2 {\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}\,}
p M 2 + p 1 2 − 2 p M p 1 = p 2 2 . {\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}.\,}
وباستخدام تعريف الزخم الرابع (1)
M 2 + m 1 2 − 2 ( E M E 1 − p → M ⋅ p → 1 ) = m 2 2 . ( 2 ) {\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,}
وبإدخال الزخم والطاقة للجسيم الأصلي
p → M = 0 {\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\,} E M = M {\displaystyle E_{M}=M\,}
M 2 + m 1 2 − 2 M E 1 = m 2 2 . {\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,}
حصلنا على صيغة تعطي الطاقة للجسيم الأول
E 1 = M 2 + m 1 2 − m 2 2 2 M . ( 3 ) {\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,}
وبالمثل تكون طاقة الجسيم الثاني
E 2 = M 2 + m 2 2 − m 1 2 2 M . {\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}.\,}
| p → 1 | = | p → 2 | = [ M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ] [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 2 M . {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}
بإدخال E 1 2 = m 1 2 + p → 1 2 {\displaystyle E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,} في المعادلة 3
p 1 → 2 = ( M 2 + m 1 2 − m 2 2 ) 2 − 4 m 1 2 M 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,}
p 1 → 2 = M 4 + m 1 4 + m 2 4 − 2 m 1 2 M 2 − 2 m 2 2 M 2 − 2 m 1 2 m 2 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,}
p 1 → 2 = M 4 − M 2 ( m 1 + m 2 ) 2 − M 2 ( m 1 − m 2 ) 2 + ( m 1 2 − m 2 2 ) 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,}
p 1 → 2 = M 2 [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] − ( m 1 + m 2 ) 2 [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,}
| p → 1 | = [ M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ] [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 2 M . {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}
وهذا هو الاشتقاق القياسي لـ | p → 2 | {\displaystyle |{\vec {p}}_{2}|\,}
tan ⁡ θ ′ = sin ⁡ θ γ ( β / β ′ + cos ⁡ θ ) {\displaystyle \tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}}
| p → 1 | = | p 2 → | = [ ( M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ) ( M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ) ] 1 / 2 2 M . {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}.\,}
d 3 p → = | p | 2 d p d Ω = p 2 d ϕ d ( cos ⁡ θ ) . {\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).\,}
d Γ = 1 32 π 2 | M | 2 | p → 1 | M 2 d ϕ 1 d ( cos ⁡ θ 1 ) . {\displaystyle d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).\,}
تصنيف:إسكاتولوجيا تصنيف:فيزياء الجسيمات تصنيف:فيزياء نووية