مبرهنة هان-باناخ
هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى هانز هان Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach.
تُعنى النظرية في الأساس بفكرة إيجاد امتداد للداليات الخطية و قد ظهرت في صورتها الأولى في عام 1927 في أعمال الرياضي النمساوى هانز هان Hans Hahn ثم أعيدت صياغتها في عام 1929 في صورتها المتعلقة بالفراغات الاتجاهية الحقيقية على يد الرياضي البولندى ستيفان بناخ Stefan Banach و من ثم التعميم لحالة الفراغات الاتجاهية المركبة في عام 1938 ، و توجد أيضاً صياغة للنظرية في حالة الفراغات المعيرة .
ليكن formula_1 فراغاً اتجاهياً حقيقياً و formula_2 دالية تحت خطية معرفة عليه ، ولتكن formula_3 دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي formula_4 وتحقق أن
formula_5 وذلك لكل formula_6 ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية formula_7 معرفة على كل الفراغ formula_1 بحيث :
formula_9 (
أي أنها تمثل امتداداً لـ formula_3 )
formula_11 formula_12
ليكن formula_1 فراغاً اتجاهياً حقيقياً أو مركباً و formula_2 دالية ذات قيم حقيقية معرفة على formula_1 بحيث أن لأى formula_16 و أي كمية 
قياسية formula_17 يتحقق أن
formula_18
formula_19
، ولتكن formula_3 دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي formula_4 وتحقق أن
formula_22 وذلك لكل formula_6 ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية formula_7 معرفة على كل الفراغ formula_1 بحيث
formula_9 (
أي أنها تمثل امتداداً لـ formula_3 )
formula_28 formula_12
باستخدام هاتين النظريتين نحصل على
لتكن formula_3 دالية خطية محدودة معرفة على الفراغ formula_4 الجزئي من الفراغ المعير formula_1 ، إذن توجد دالية خطية محدودة formula_7 معرفة على كل الفراغ 
formula_1 بحيث تمثل امتداداً لـ formula_3 ولهما نفس المعيار أي أن 
formula_36
formula_37
formula_38 .