دالة بيتا
في الرياضيات، دالة بيتا ، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:
لكل formula_2
تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.
تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:
يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :
عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :
حيث (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.
وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :
لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :
بتبديل المتغيرين بوضع "u"="zt" و ("v"="z"(1-"t" يتضح ما يلي:
تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :
حيث formula_16 هي دالة ثنائي غاما
يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.
يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :
وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:
تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:
عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.
دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:
بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد: