قاعدة لوبيتال
في التحليل الرياضي، قاعدة لوبيتال تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.
ليكن formula_1 عددا حقيقيا أو حتى formula_2، حيث تكون الدوال الحقيقية formula_3 وformula_4 معرّفة بقرب formula_1 وformula_4 مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر formula_7 في "a"، حيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.
النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتين للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر formula_8 معرّفا :
formula_10.
و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.
على دوال، حيث formula_11 غير موجود بالضرورة.
هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.
التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في "a" لانهائية.
هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.
نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ["b" ; "a"]
تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض "a" بـ formula_16.
في حالة « formula_17 »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :
في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :
أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :
و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :
نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال
موجودة :
في حين أن :
في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن "g'(x)" مخالفة للصفر بقرب "a"، بمعنى آخر أن "g" لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :
و بالتالي
إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :
يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
لكل عدد حقيقي "x" من ]"a" ; "b"[، يوجد عدد حقيقي "c" من ]"a" ; "b"[ بحيث formula_37.
بما أن formula_38 وأن formula_39، فإنه بالمثل لـ formula_40.
يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن (g(x مخالفة للصفر على النطاق ]"a" ; "b"[، لكل "x" و"y" مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق ["x" ; "y"]
في كل نطاق ["x" ; "y"]، يوجد عدد حقيقي "c" من ["x" ; "y"] بحيث formula_41
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه (g(x مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :
بما أن formula_44، و"c" تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار "y" بحيث يكون formula_45 قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل "x" من ]"a" ; "a" + "r"[.
للنهايات في formula_16، يكفي أن نضع formula_47 ونحاول أن نجد نهاية في formula_48.
لتكن formula_3 وformula_4 دالّتين معرّفتين على formula_51، قابلتين للاشتقاق على formula_52، إذا كانت formula_53 مخالفة للصفر وكانت formula_54 فإن
__فهرسة__
__وصلة_قسم_جديد__