عملية كظومة
في الديناميكا الحرارية، العَمَلِيَّة الكَظِيمَة[1] أو العَمَلِيَّة الكَظُومَة[2] أو الأديباتيكية[3] أو اللاتبادلية[4] هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا.
V T α = constant {\displaystyle VT^{\alpha }=\operatorname {constant} }
حيث T درجة الحرارة المطلقة.
يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:
T V γ − 1 = constant {\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constant} }
يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر، Q = 0 {\displaystyle Q=0} . وفقا لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية:
(1) d U + δ W = δ Q = 0 , {\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0,}
حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام و<i data-parsoid='{"dsr":[1468,1474,2,2]}'>δW هو الشغل المبذول بواسطة النظام. يتم الشغل المبذول (δW) على حساب الطاقة الداخلية U، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف "شغل الضغط-الحجم" δW للنظام بأنه:
(2) δ W = P d V . {\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV.}
لكن, P لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V.
لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط dP و<i data-parsoid='{"dsr":[1859,1865,2,2]}'>dV أثناء انجاز العملية الأديباتية.
تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة:
(3) U = α n R T , {\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}
حيث R هو ثابت الغاز العام و<i data-parsoid='{"dsr":[2031,2036,2,2]}'>n عدد المولات في النظام (ثابت).
بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي, P V = n R T {\displaystyle PV=nRT} , ينتج
(4) d U = α n R d T = α d ( P V ) = α ( P d V + V d P ) . {\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP).}
المعادلة (4) يعبر عنها غالبا d U = n C V d T {\displaystyle dU=nC_{V}\,dT} لأن C V = α R {\displaystyle C_{V}=\alpha R} .
والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على
− P d V = α P d V + α V d P , {\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP,}
− ( α + 1 ) P d V = α V d P , {\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP,}
وبقسمة كلا الطرفين على PV:
− ( α + 1 ) d V V = α d P P . {\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}
بعد مكاملة كلا الطرفين من V 0 {\displaystyle V_{0}} إلى V ومن P 0 {\displaystyle P_{0}} إلى P وبتغيير الأطراف على الترتيب,
ln ⁡ ( P P 0 ) = − α + 1 α ln ⁡ ( V V 0 ) . {\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right).}
برفع كلا الطرفين للأس,
( P P 0 ) = ( V V 0 ) − α + 1 α , {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},}
وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن
( P P 0 ) = ( V 0 V ) α + 1 α . {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.}
( P P 0 ) ( V V 0 ) α + 1 α = 1 {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}
P V α + 1 α = P 0 V 0 α + 1 α = P V γ = constant . {\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}
يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:
(1) Δ U = α R n 2 T 2 − α R n 1 T 1 = α R ( n 2 T 2 − n 1 T 1 ) {\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})}
في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:
(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V {\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}
بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة
(3) Δ U + W = 0 {\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}
(4) P V γ = constant = P 1 V 1 γ {\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }}
بإعادة الترتيب (4) نحصل على
P = P 1 ( V 1 V ) γ {\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}
بالتعويض في (2)
W = ∫ V 1 V 2 P 1 ( V 1 V ) γ d V {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}
W = P 1 V 1 γ V 2 1 − γ − V 1 1 − γ 1 − γ {\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}
بالتعويض γ = α + 1 α {\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha +1}{\alpha }}} ,
W = − α P 1 V 1 γ ( V 2 1 − γ − V 1 1 − γ ) {\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}
W = − α P 1 V 1 ( ( V 2 V 1 ) 1 − γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،
W = − α n R T 1 ( ( V 2 V 1 ) 1 − γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
P 2 P 1 = ( V 2 V 1 ) − γ {\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}
( P 2 P 1 ) − 1 γ = V 2 V 1 {\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}
وبالتعويض في التعبير السابق W {\displaystyle W} ,
W = − α n R T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على
α n R ( T 2 − T 1 ) = α n R T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle \alpha nR(T_{2}-T_{1})=\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
T 2 − T 1 = T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
T 2 T 1 − 1 = ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 {\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}
T 2 = T 1 ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ {\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}
ديناميكا حرارية دورة كارنوت دالة حالة دالة عملية علاقات ماكسويل
تصنيف:إنتروبيا تصنيف:ديناميكا حرارية جوية تصنيف:عمليات ديناميكية حرارية