متعددات الحدود لشيبيشيف
في الرياضيات، متعددات الحدود لشيبيشيف هي متعددات حدود يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف, هي متتالية من متعددات حدود متعامدة لها صلة بصيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة ذاتية الاستدعاء.
عادة هناك فرق بين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب "T" وبين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها "U".
متعددات الحدود لشيبيشيف "T" أو "U" هي متعددات حدود من الدرجة "n" وتعاقب كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون تعاقب كثيرات حدود.
متعددات حدود شيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود.
في مجال المعادلات التفاضلية، تأتي متعددات الحدود لشيبيشيف حلحلة لمعادلة شيبيشيف.
و
(الصنف الأول حلحلة للمعادلة الأولى والثاني حلحلة للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية.
تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية
وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ "T"
ودالة التوليد الأسية هي
تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة
من أمثلة الدوال المولدة لـ "U"
النوع الأول:
لقيم "n" = 0, 1, 2, 3..., أما النوع الثاني:
لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:
يمكن بيان أن:
وهكذا.
يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل
في حلقة R["x"]. بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي:
العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية
العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات
تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.
بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل:
حيث formula_29 هي دالة مثلثية زائدية.
من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود 
و
لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة "n" يوجد لها "n" جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن
يمن إثبات أن جذور "T" هي
بالمثل جذور "U" هي
باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:
إن كلا من "T" و"U" تكونان تعاقب كثيرات حدود متعامدة. كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن
في الفترة (−1,1), أي أن:
بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن
على الفترة [−1,1], أي أن:
لأي قيمة "n" ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة "n"مع معامل أسبقية 1,
هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.
هذه القيمة الأعظمية تكون
و|ƒ("x")| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً من المرات: عندبعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي
بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي
في فضاء سوبوليف, تؤلف مجموعة كثيرات حدود شيبيشف مجموعة أساسمكتملة بحيث أن دالة في نفس الفضاء يمكن التعبير عنها على بالنشر:
ليكن لدينا منشور شيبيشيف formula_68. يمكن التعبير عنه
كما يمكن إيجاد المعاملات formula_70 إما بتطبيق الضرب الداخلي أو من شرط التعامدية المتقطعة. بطريقة الضرب الداخلي
نحصل على
بالمثل وعند عدم جدوى طريقة الضرب الداخلي نلجأ لطريقة شرط التعامدية المتقطعة فنحصل على
حيث formula_74 هي دالة دلتا كرونكر وformula_75 هي "N" أصفار formula_76 من غاوس–لوباتو
وبحساب المعاملات formula_70 بواسطة تحويل جيب التمام المتقطع