دائرة
الدَّائرَة هي شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية. تُعرّف الدّائرة على أنّها المحل الهندسي لنقاط غير منتهية واقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدائرة.[ملاحظة 1][1][2][3] وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه النّقطة المتحرّكة ذات مسافة ثّابتة مع نقطة ثابتة أخرى. تُسمّى المسافة من أي نقطة من على المحيط إلى المركز نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، وينتج عن قسمة محيط الدّائرة على قطرها عدداً حقيقيّاً يُعرف بالثّابت الرّياضي π {\displaystyle \pi } (ط).
حاول المصريون القدماء والبابليّون سابقاً إيجاد مساحة الدائرة. وكانت الدّائرة محط اهتمام بالأخص عند الإغريقيّة القديمة، حيث حاول أرخميدس تحويل الدّائرة إلى مربع ذو المساحة ذاتها باستعمال فرجار ومسطرة فقط ولكنّه فشل في ذلك. أُطلق على عملية تحويل الدائرة إلى مربع اسم "تربيع الدائرة".
تعود تسمية الدائرة في اللغة العربية إلى الفعل «دار»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة».[4][5][6] وفي اللغة الإنجليزية يعود أصل تسمية الدائرة إلى الكلمة الإغريقية κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) والتي هي تحريف من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)،[ِ 1] والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم» مع تشابه أصول مرادفات الدّائرة في اللغة الإنجليزية.
عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. لوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. الدّائرة كانت الأساس للعجلة، والتي ارتبطت مع ابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، دراسة الدائرة ساعدت في تطوير علوم الهندسة، والفلك، والتفاضل والتكامل. العلوم المُبكّرة، بالأخص علوم الهندسة، والتنجيم، والفلك ارتبطت بالأديان لمعظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة -جوهريّاً- تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».[ِ 2][ِ 3]
علاوة على النّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها أقدم العناصر للهندسة ما قبل الأغريقية.[ِ 4] في الألفية الثانية قبل الميلاد، عمل المصريّون القدماء على دراسة الهندسة. ووصلوا إلى تغطية موضوع مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:
A ≈ ( 8 9 d ) 2 = 256 81 r 2 = 3,160 49 … ⋅ r 2 {\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}
وعندها قد حسبوا مساحة الدّائرة بنسبة خطأ تُقدّر بزيادة 0.6% وُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.[ِ 4]
استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقة مُغايرة تماماً لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون فقد حسبوا مُحيط الدّائرة، وقدّروه بأن طوله مساوٍ لثلاث أضعاف قطر الدّائرة.[ملاحظة 2] وقدّروا مساحة الدّائرة بإنها واحد من إثني عشر من مربع طول المحيط، والّتي هي:[ِ 4]
A ≈ 1 12 U 2 ≈ 9 12 d 2 = 3 r 2 , {\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},} بنسبة خطأ -4.5%.
ارتبط البابليون بأضلاع الدائرة أيضاً، وكانوا قادرين على إيجاد طول وتر أو إيجاد المسافة العمودية المنصّفة بين الوتر والمحيط. وبهذه الطّريقة أنشأوا هندسة الأوتار، والّذي طوّرها بعدها هيبارخوس، ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي "المجسطي".[ِ 4]
يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) فيلسوفاً مُهمّاً في فترته، كما كان مُهتّماً بالرّياضيات. وقد نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. الجملة المنسوبة إلى طالس تنص على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.[ِ 4]
أول تعريف عُرف للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.)، والّذي صاغها في حواره بارمنيدس:[ِ 5]لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل، ولكن كان أغلب عمله في مجال الهندسة مُعتبراً حتى الوقت الحاضر، ولا زالت تُنسب بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات إليه كالفضاء الإقليدي، والهندسة الإقليدية أو القياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحات لمسلّمات رياضية، أطلقها في كتابه العناصر:[ِ 6][ِ 4]كتاب العناصر لإقليدس كان أحد أنجح وأهم أعماله، وهو عبارة عن 13 فضلاً جمع فيها مقالات مُلخّصة نظّمت وجمعت أفكار وعلوم الحساب والهندسة في وقته. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه. أثبت أرخميدس في دراساته "كرسيمس" أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.[ِ 7] وبهذا المفهوم فقد حول مسألة تربيع الدائرة إلى سؤال "كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً". وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة π {\displaystyle \pi } عن طريق رسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: 3 10 71 < π < 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}<\pi <3{\tfrac {1}{7}}} . ومن المتباينة π < 3 1 7 {\displaystyle \pi <3{\tfrac {1}{7}}} يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن π ≈ 22 7 = 3.1428... {\displaystyle \pi \thickapprox {\tfrac {22}{7}}=3.1428...} . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى 11 14 {\displaystyle {\tfrac {11}{14}}} . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.[ِ 8][ِ 5] وهنا أعطى أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.
وفي عمل آخر لأرخميدس "على اللوالب"[ِ 7] يصف أرخميدس الإنشاء الّذي نُسب اسمه لاحقاً إليه بتسميته لولب أرخميدس. بهذا الإنشاء كان أرخميدس قادراً على تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يُمكن لمساحة الدائرة تحديدها بدقة. ومع ذلك فإنه لا يُمكن إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار.[ِ 9]
فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي كونيكي أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى الآن تُعرّف على أنها كذلك في الهندسة الجبرية. رجعت رؤاه وراءً إلى سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.)، والذي كثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.[ِ 4]
وفقاً لأبولونيوس، فإن مسألة أبولونيوس تطرح تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائر باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة التّي وضعت أساسات الهندسة في العصور الوسطى، أعمال أبولونيوس كانت ملحوظة أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية في القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.[ِ 4]
في تاريخ العلوم، الفترة بين 1400 ق.م. وَ 1630 ق.م. كان غالباً ما يُرمز لها بعصر النّهضة العلمية، بالرّغم من أن الفترة الزمنية لا تُصادف دوريات تاريخ الفنون. في هذه الفترة، كانت العناصر الإقليدية تجذب اهتمامات أكثر، حيث كانت بين أوائل الكتب المطبوعة والمنشورة في القرون اللاحقة في العديد من الطبعات المختلفة. في عام 1482 ق.م. أنتج إرهارد راتدولت أول نسخة مطبوعة من كتاب العناصر لإقليدس في البندقية. واحدة من أهم النسخ لكتاب عناصر إقليدس عدّلها جيسويت كريستوف كلافيوس، حيث جمع بين النّصوص الأصلية لإقليدس مع كتب أواخر XIV وَXV.
في عام 1882م، كان فيرديناند فون لينديمان قادراً على إثبات أن العدد π {\displaystyle \pi } عدد حقيقي غير نسبيٍّ، وفقاً لمساهمات ليونهارد أويلر، الّذي وضع متطابقة أويلر، ويوهان هينريتش، وتشارلز هيرمايت فإنه لا توجد دالّة كثيرة حدود مع معاملات نسبيّة أحد حلولها π {\displaystyle \pi } . ومع ذلك فقد أُثبت في القرن السابع عشر الميلادي أن عدد الدائرة π {\displaystyle \pi } يجب أن يكون حلّاً للدالة كثيرة الحدود بحيث تكون عملية تربيع الدائرة بالمسطرة والفرجار فقط، وبهذا فقط أُثبت أنه لا توجد طريقة كهذه.[ِ 4]
بعض من الأحداث التّاريخية البارزة والهامّة في تاريخ الدائرة:
في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π و هي 256 / 81 (أي 3.16049...).[ِ 10] في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائر. في الرسالة السابعة لأفلاطون، هناك تعريف وشرح للدائرة. في عام 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان أن π {\displaystyle \pi } عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.[ِ 11]
يُمكن وصف الدائرة على أنها حالة خاصة من الإهليلج، وتكون حين تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره. وتوصف أيضاً بأنّها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبةً إلى طول مُحيطه. وفقاً لتعريف الدّائرة والذي ينص على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فيمكن إعادة صياغة التّعريف إلى أن الدائرة هي منحنىً مغلق أحادي البُعد.[ملاحظة 3] وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزئين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة[ِ 12]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ ولكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.
يُرمز للدائرة التي مركزها O {\displaystyle O} ونصف قطرها r {\displaystyle r} [ملاحظة 4] رياضيَّاً بالرموز: « C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} » و« ⊙ C {\displaystyle \odot C} » أو يُكتَفى بذكر «الدائرة O {\displaystyle O} » للإشارة إليها.[1] ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف "د".
إذا وقع مركز الدائرة O {\displaystyle O} على المستوى E {\displaystyle E} فإن الدائرة تُعرَّف رياضيَّاً باستخدام نظرية المجموعات:[7][1]
وتُقرأ: الدائرة التي مركزها O {\displaystyle O} ونصف قطرها r {\displaystyle r} هي مجموعة جميع النقاط M {\displaystyle M} التي تنتمي إلى المستوى E {\displaystyle E} ، وتبعد المسافة r {\displaystyle r} عن النقطة O {\displaystyle O} .[7][1]
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة d = 2 r {\displaystyle d=2r} أو r = d 2 {\displaystyle r={\frac {d}{2}}} .[7][1] القطر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين واقعتين على المحيط مروراً بالمركز. والقطر هو أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين من على الدائرة ويُعتبر حالة خاصة من الوتر، القطر يقسم الدائرة إلى قسمين متطابقين.[ملاحظة 8][2][1]بما أن جميع الدّوائر مُتشابهة، فإن النّسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابت لجميع الدّوائر. وقد وجد العلماء[ملاحظة 9] ذلك عندما حاولوا اكتشاف قانون عام لإيجاد طول محيط الدائرة لوحظ أن النسبة بين محيط الدائرة[ملاحظة 10] على القطر ثابتة رغم اختلاف الدوائر وأطوال مُحيطاتها، وتُعرف النّسبة كذلك بناتج قسمة المحيط على القطر ويُرمز لها بالرّمز ط أو π {\displaystyle \pi } (باي) باللاتينية.[8][2] ويمكن القول أيضاً بأن محيط الدّائرة يكون مُساويّاً للثابت ط إذا وفقط إذا كان قطر دائرة مساوياً لوحدة طول واحدة. يُربط بين ثابت النّسبة ط وبين القطر والمُحيط بالمُعادلة التّالية، مع اختلاف بعض الصّيغ المُشتّقة أصلاً منها:[2]
C d = π ⇔ C = π d = 2 π r ⇔ d = C π {\displaystyle {\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}} في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعمل تقريب لقيمة ط، وهو غالباً التقريب المُشتق من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ط: π ≈ 22 7 ≈ 3.14 {\displaystyle \pi \thickapprox {\frac {22}{7}}\approx 3.14}
مثال1: دائرة قطرها 7 وحدات طول، يُمكن إيجاد مُحيطها بالعلاقة C = π d {\displaystyle C=\pi d} وبأخذ التّقريب لقيمة ط π ≈ 22 7 {\displaystyle \pi \thickapprox {\frac {22}{7}}} عندها، وبالتعويض: C = π d = ( 22 7 ) ⋅ ( 7 ) = 22 {\displaystyle C=\pi d=({\frac {22}{7}})\cdot (7)=22} ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 22 وحدة طول.
مثال2: دائرة نصف قطرها 17.5 وحدة طول، بالإمكان إيجاد مُحيطها بالعلاقة C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} وبأخذ التّقريب لقيمة ط π ≈ 22 7 {\displaystyle \pi \thickapprox {\frac {22}{7}}} مُجددّاً فعندها، وبالتعويض: C = 2 π r = 2 ⋅ ( 22 7 ) ⋅ ( 17.5 ) = 35 ⋅ 22 7 = 110 {\displaystyle C=2\pi r=2\cdot ({\frac {22}{7}})\cdot (17.5)=35\cdot {\frac {22}{7}}=110} ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 110 وحدة طول.
مثال2: دائرة مُحيطها 157 وحدة طول، بالإمكان إيجاد نصف قطرها بالعلاقة d = C π {\displaystyle d={\frac {C}{\pi }}} وفي هذه المرّة بأخذ التّقريب لقيمة ط π ≈ 3.14 {\displaystyle \pi \thickapprox 3.14} فعندها، وبالتعويض: 2 r = d = C π = 157 3.14 = 15700 314 = 50 ⇒ r = 25 {\displaystyle 2r=d={\frac {C}{\pi }}={\frac {157}{3.14}}={\frac {15700}{314}}=50\Rightarrow r=25} ويظهر أن طول نصف القطر-تقريباً- 25 وحدة طول.
تتناسب مساحة الدّائرة طرديّاً مع مُربّع نصف القطر أو مُربّع القطر بثابت تناسب π {\displaystyle \pi } ، ومساحة الدائرة هي أكبر مساحة من بين الأشكال نسبةً إلى محيطها. وهذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت. يُرمز لمساحة الدّائرة بالعربية بالحرف م، وباللاتينيّة بالرّمز A {\displaystyle A} (من اللاتينيّة: Area أي: مساحة). النّهايات المُتتالية أساسية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. بتقسيم قرص الدّائرة إلى قطاعات وجمعها، يظهر لنا مستطيل طوله π r {\displaystyle \pi r} وعرضه r {\displaystyle r} وعلى هذا تكون مساحة الدّائرة مُكافئة لمساحة المُستطيل بالقانون:[8][2]
A r e a = π r ⋅ r = π r 2 = π d 2 4 ≈ 0 . 7854 d 2 {\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r\cdot r=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}}
مثال: مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 وحدات طول تُساوي ط × نق2 ≈ 3.14 × 10 × 10 = 314 وحدة مُربّعة.
أي وتر في الدائرة يقسمها إلى جُزأين يُسمّى كلُّ منهما قطعةً. وأي نصفي قطرين في الدائرة يُحددان معاً جزءاً من الدّائرة يُسمّى قطاعاً.[2]
يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها، وحيث أن القطاع يُمثّل نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية فبالإمكان التوصل إلى قيمة تلك النسبة عن طريق قسمة قياس الزاوية المركزية التي يحصرها على 360 وهي قياس الدائرة الكُلّية ومن ثمّ تُضرب النّسبة في مساحة الدائرة الأصلية حتى يُحصل على مساحة القطاع. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة الزاوية المركزية التي يحصرها إلى 360 في مساحة الدائرة الكُلّية.[2]
تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات، وبطريقةٍ مُشابهة فإنه يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى 360 مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة 100%.
تُصنَّف الزوايا في الدائرة حسب موقع رأسها بالنسبة للدائرة:
الزاوية المركزية تُساوي ضعفَ الزاوية المُحيطية المُشتركة معها على القوس نفسه.[10] نتيجة: الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه متساوية.[10] نتيجة: الزاوية المُحيطية التي تحصر قطراً قائمةٌ.[10] الزوايا المُحيطية المُتساوية تحصر أقواساً مُتساويةً وأوتاراً متساوية والعكس صحيح.[10]
الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعاها.[10] الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعاها.[10]
وتُساوي نصف قياس القوس الذي تحصره.[10]
إذا كانت A , B {\displaystyle A,B} نقطتين مختلفتين على دائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر A B ^ {\displaystyle {\widehat {AB}}} : وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} الداخلية، والقوس الأكبر A B ^ {\displaystyle {\widehat {AB}}} وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان A , B {\displaystyle A,B} هما طرفا كل من القوس A B ^ {\displaystyle {\widehat {AB}}} والوتر A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس A B ^ {\displaystyle {\widehat {AB}}} يواجه الوتر A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} . لاحظ أنَّ إذا كانت A , B {\displaystyle A,B} نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.[1]
يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} . من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.[1]
إذا كان طول القوس يساوي ℓ {\displaystyle \ell } ، فإنَّ النسبة بين طول القوس إلى مُحيط الدَّائرة يُساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدَّائرة كاملةً.
l C O = l 2 π r = θ ∘ 360 ∘ ⇔ ℓ = π r ⋅ θ ∘ 180 ∘ {\displaystyle {\frac {l}{C_{O}}}={\frac {l}{2\pi r}}={\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}\Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180^{\circ }}}}
في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما.
مبرهنة: أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.[1]
بفرض أن الوترين A B ¯ , C D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}},{\overline {CD}}} لهما الطول نفسه في الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} ، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: O A = O B = O C = O D = r {\displaystyle OA=OB=OC=OD=r} . وعلى ذلك △ O A B ≅ △ O C D {\displaystyle \triangle OAB\cong \triangle OCD} ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.[1]
مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. مبرهنة: الوتر الأكبر يبعد بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.
تُصنَّف المستقيمات بالنسبة لدائرةٍ ما حسب عدد نقاط تقاطعها معها:
طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن 2 r {\displaystyle 2r} .[1]
ليكن A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} وتراً في الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} . من متباينة المثلث: O B + O C > A B {\displaystyle OB+OC>AB} لكن O A = O B = r {\displaystyle OA=OB=r} إذن A B < 2 r {\displaystyle AB<2r} وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون A B {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة.[1][ملاحظة 14]
العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.[1] يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.[1] الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.[1] القطر العمودي على وتر في دائرة يُنصِّفه ويُنصِف كلاً من قوسيه. القطر الذي يُنصِّف وتراً (ليس قطراً) في دائرة يكون عموديَّاً على هذا الوتر. العمود المنصف لوتر في دائرة يمر بمركز الدَّائرة.
هو مستقيم يمس الدائرة عند نقطة وحيدة. عند كون المسافة[ملاحظة 15] بين المركز والمستقيم مُساوية لنصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم نقطة تماس مشتركة واحدة ويُسمّى حينها مماسّاً للدائرة.[1][10]
المماس عند نقطة التماس يكون عموديّاً بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.[1][10] المماسان المرسومان من نقطة واحدة متطابقان.[1][10] مماس الدَّائرة هو مماس لنصف هذه الدَّائرة التي تحوي نقطة التماس.
مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (P = (x1, y1, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين (a, b) و (x1, y1). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل
( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = c {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=c}
وبتعويض قيمة العددين x و y ب x1 و y1 على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:
( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,}
( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 . {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }
عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أصغر من نصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم تقاطعان مُختلفان ويُسمّى حينها مُستقيماً قاطعاً للدائرة.
المستقيم المار هو مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أقل من نصف القطر، فإنه لا يكون للدائرة والخط المستقيم أي نُقاط مشتركة. وفي هذه الحالة يُسمّى بالمستقيم المار أو المستقيم العابر.[1]
خط القُوَّة أو المحور الأساسي هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.[10]
خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما.[10] خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.[10] خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.[10] خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.[10] لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامة واحدة، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.[10]
هُناك ثلاث حالات ممكنة لموقع نقطة ما بالنسبة إلى دائرة مُعطاة في المستوى نفسه تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة:
تُعرَّف نقاط الدائرة الداخلية على أنها مجموعة نقاط P {\displaystyle P} في المستوى E {\displaystyle E} بحيث O P ¯ < r {\displaystyle {\overline {OP}}<r} I n t C ( O , r ) = { P ∈ E : O P ¯ < r } {\displaystyle Int~C(O,r)=\left\{\mathrm {P} \in E~:~{\overline {\mathrm {OP} }}<r\right\}} .[7][1][3] [ملاحظة 19]
مجموعة النقاط الداخلية مجموعة محدبة.[1]
لتكن A , B ∈ I n t C ( O , r ) {\displaystyle A,B\in Int~C(O,r)} ولتكن P ∈ A B ¯ {\displaystyle P\in {\overline {\mathrm {AB} }}} من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن O A , O B < r {\displaystyle OA,OB<r} ، ولأن P {\displaystyle P} على القطعة المستقيمة A B ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}} فهذا يعني أن إحدى الزاويتين ∠ O P A , ∠ O P B {\displaystyle \angle OPA,\angle OPB} غير منفرجة[ملاحظة 20]. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ ∠ O P A ≤ 90 ∘ {\displaystyle \angle OPA\leq 90^{\circ }} ، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث △ O P B {\displaystyle \triangle OPB} : O P < O B < r {\displaystyle OP<OB<r} إذن P ∈ I n t C ( O , r ) {\displaystyle P\in Int~C(O,r)} .[1]
النقطة المحيطية هي أي نقطة تنتمي إلى C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} كما سبق تعريفها.[1][3][ملاحظة 21]
تُعرَّف نقاط الدائرة الخارجية على أنها مجموعة نقاط Q {\displaystyle Q} في المستوى E {\displaystyle E} بحيث O Q ¯ > r {\displaystyle {\overline {OQ}}>r} E x t C ( O , r ) = { Q ∈ E : O Q ¯ > r } {\displaystyle Ext~C(O,r)=\left\{\mathrm {Q} \in E~:~{\overline {\mathrm {OQ} }}>r\right\}} [3][1][ملاحظة 22]
وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:[1] { A , A ′ ∈ C ( O , r ) : A B ¯ = 2 r } {\displaystyle \left\{\mathrm {A,A'} \in C(O,r)~:~{\overline {\mathrm {AB} }}=2r\right\}}
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[1] C ( O , r ) ∪ I n t C ( O , r ) = { P ∈ E : O P ¯ ≤ r } {\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{\mathrm {P} \in E~:~{\overline {\mathrm {OP} }}\leq r\right\}}
خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عموديّ على وترهما المُشترك ويُنصِّفه.
نقطة التماس لدائرتين تقع على خط المركزين أو على امتداده. طول قطعة التَّماس بين دائرتين يُساوي الوسط الهندسي لأنصاف أقطارهما.
يكون الشكل الرُّباعي دائريَّاً إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط الآتية:[10]
وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه. وُجدت زاويتان مُتقابلتان منه مُتكاملتان. وُجدت زاويتين متساويتين رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهة واحدة من قاعدته.
لكل مُثلّث[ملاحظة 23] توجد دائرة وحيدة تمر برؤوسه.
البرهان: لتكن A {\displaystyle A} ، B {\displaystyle B} ، C {\displaystyle C} ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين A B {\displaystyle AB} وَ B C {\displaystyle BC} غير متوازيين لانعدام استقامة النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي O {\displaystyle O} ، وبما أن O A = O B = O C {\displaystyle OA=OB=OC} فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها O {\displaystyle O} .
لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث</b>لكل مثلث توجد 3 دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه.
المُضلَّع المُحيط بالدَّائرة هو مضلع تمس جميع أضلاعه دائرة وحيدة. وتُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرة الدَّاخليَّة للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ.
كل مُضلَّع مُنتظِم يُمكن حصره بدائرة وحصر دائرة بداخله.
في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} هي مركزٌ لدائرة C ( a , b ) {\displaystyle C(a,b)} نصف قطرها r {\displaystyle r} ، والنُّقطة ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} مُتغيّرة على مُحيط الدائرة، فإن من تعريف الدائرة أن البُعد بين النقطتين C , P {\displaystyle C,P} هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى r {\displaystyle r} ، وبذلك تُستنتج مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي بالشكل الآتي:[3]
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}
وهذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر r {\displaystyle r} . وعندها تُصبح المسافتان x − a {\displaystyle x-a} و y − b {\displaystyle y-b} هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية.
في المُستوى الإحداثي، هناك ثلاث مواضع للدائرة بالنّسبة للمحاور الإحداثيَّة، وتُعتبر مُعادلة كلٌّ منها حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية:
دائرة المركز: عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} تُصبح المُعادلة بتعويض قيم a , b {\displaystyle a,b} :[3] x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\!\ } وبالإمكان كتابة هذه المعادلة على شكل معادلة وسيطية (ويُطلق عليها اسم معادلة بارامترية أيضاً) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام: x = a + r cos ⁡ t , {\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,} y = b + r sin ⁡ t {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,} حيث أن t {\displaystyle t} وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 {\displaystyle 0} و 2 π {\displaystyle 2\pi } . هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} و ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} مع محور السينات. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة: x = a + r 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,} y = b + r 2 t 1 + t 2 {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}} دائرة مماسّة لمحور السينات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ السيناتِ تُصبح المُعادلة على الصورة: ( x − a ) 2 + ( y − r ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-r\right)^{2}=r^{2}} .[3] دائرة مماسّة لمحور الصادات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ الصاداتِ تُصبح المُعادلة على الصورة: ( x − r ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-r\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}} .[3]
بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان A B {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين A , B {\displaystyle A,B} هي A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})} بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} على مُحيط الدائرة وبما أن A B {\displaystyle AB} قُطر في الدائرة، فإن m A P B ^ = 1 2 ⋅ 180 = 90 {\displaystyle m{\widehat {\displaystyle APB}}={\frac {1}{2}}\cdot 180=90} وعليه فإن A P ⊥ P B {\displaystyle AP\perp PB} ، ليكن ميل المستقيمين m 1 , m 2 {\displaystyle m_{1},m_{2}} هما على الترتيب، حيث:[3]
ولِكَوْن A P ⊥ P B {\displaystyle AP\perp PB} فإن m 1 m 2 = − 1 {\displaystyle m_{1}m_{2}=-1} وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:[3]
في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها r {\displaystyle r} ومركزها عن النقطة R ( a 1 , θ 1 ) {\displaystyle R(a_{1},\theta _{1})} يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث O R P {\displaystyle ORP} ، حيث أن النقطة P ( a , θ ) {\displaystyle P(a,\theta )} تُعبّر عن أي نقطة على الدائرة، على الصورة:[3]
a 2 + a 1 2 − 2 a a 1 cos ⁡ ( θ − θ 1 ) = r 2 {\displaystyle a^{2}+a_{1}^{2}-2aa_{1}\cos(\theta -\theta _{1})=r^{2}}
حيث أن ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و ( r 0 , ϕ ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة ( r , 0 0 ) {\displaystyle (r,0^{0})} فإن θ 1 = 0 0 {\displaystyle \theta _{1}=0^{0}} وَ a 1 = r {\displaystyle a_{1}=r} وبالتالي تأخذ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: a = 2 r cos ⁡ θ {\displaystyle a=2r\cos \theta } .[3]
وعند كون مركز الدائرة عند النقطة ( r , π 2 ) {\displaystyle (r,{\frac {\pi }{2}})} تأخذ المعادلة الصورة: a = 2 r sin ⁡ θ {\displaystyle a=2r\sin \theta } .[3]
في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة | z − c | 2 = r 2 {\displaystyle |z-c|^{2}=r^{2}\,} . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي: z = r e i t + c {\displaystyle z=re^{it}+c} .
الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.
تربيع دائرة هي معضلة وضعها علماء الهندسة القدامى، تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة.
في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير جذري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).
تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.
علم اليابان. علم البرازيل. علم الهند. شعار الألعاب الأولمبية. شعار ماستركارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح. شعار تويتر مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.
تُرسم الدَّائرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن سكون الحرف. تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أو تغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 ) تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة. حرف O من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة بالدائرة. تتميز اللغة الكورية عن غيرها من بقية اللغات الشرق آسيوية بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر. الماروجيروشي (باليابانية: 丸印) أو الغونجبو (بالكورية: 공표, 空標)، هي اسم للرمز "◯" المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في شرق آسيا، وهي مشابهة في استخدام علامة الصح. عكسها هو علامة الشطب ("✗") أو ("×").
تّقنيَّاً، الشّكل الدائري للعجلة يُمكّنها من الحركة الدّورانية. تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: إجهاد اسطوانة). الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.
تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: الدَّرجة المئويَّة (°C)، والفهرنهايت (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير (°Ré) والرومر (°Rø) والودجوود (°W). يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة». في نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة، تُصنَّف خطوط الطُّول ودوائر العرض بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة. تُستعمل الدّرجة لقياس تركيز الكحول وتُرسم دائرةً. تُستخدم الدَّوائر لتمثيل علاقات ڤن في نظرية المجموعات.
برج طغرل من الدّاخل. قطعة دائريَّة من الحرير مع نقوش منغوليَّة.
فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة. الشكل الكامل لقوس المطر هو دائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً. هالة الشَّمس أثناء الكسوف الكُلِّي. الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ. دوائر المحاصيل تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج. كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم. الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة. دوائر الحجر
لائحة المواضيع المتعلقة بالدائرة. القطع الناقص. القطع المكافئ. القطع الزائد. المخروط. مثلث. حساب المثلثات.
تصنيف:منحنيات تصنيف:باي * تصنيف:قطوع مخروطية