نظرية التشعب
التشعب في الرياضيات هي التغير النوعي في سلوك نظام ديناميكي ما نتيجة تغيير أحد معاملاته parameter. مثال فزيائي على هذا السلوك هو مثلا عندما تضغط على قطعة خشبية في منتصفها وتعتبر القوة التي تضغط بها هي المعامل فترى أن الخشبة تتقوس وتغير شكلها إلى أن تصل القوة إلى قيمة معينة تسمى قيمة التشعب bifurcation value يتغير عندها سلوك الخشبة فتكسر. وتسمى النقطة التي يظهر فيها هذا السلوك أي في مثالنا نقطة تكسر الخشبة تسمى نقطة التشعب bifurcation point. ويتم عادة رسم هذا السلوك في مخطط يسمى مخطط التشعب bifurcation diagramm. أما طريقة حساب مكان ظهور هذا التغير في السلوك فهي مبينة أسفله. وتوجد العديد من الأنواع من التشعب أهمها:
إذا اعتبرنا المعادلة التفاضلية التالية:
formula_1
فإن النقطة التي يحدث فيها تغير نوعي في سلوك هذا النظام الديناميكي أو ما يعبر عنه رياضيا بمصطلح نقطة التشعب هي أولا نقطة توازن equilibrium point وثانيا نقطة يصير فيها تخطيط النظام أي مصفوفة جاكوبي التابعة له صفرا (في حالة تشعب في ال formula_2) أو تحتوي على قيمة ذاتية ذات جزئ حقيقي يساوي صفرا(في حالة تشعب في الformula_3). أي رياضياتيا:
formula_4
formula_5
إذا لم يمكن إيجاد مثل هذه النقطة أو النقاط فإن النظام لا يحتوي على تشعب.
يمكن اعتبار أنواع التشعبات التالية أهم التشعبات في ال formula_2 :
يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:
formula_8
حيث Hot اختصار ل Higher Order Terms
و عامة يمكن قول أن النظام
formula_1
formula_10
formula_11
يحتوي على تشعب عقدة سرج إذا توفرت الشروط التالية:
formula_12
formula_13
يكون الشكل العام لمعادلة التشعب الحرج المتعدي كالآتي:
formula_14
و عامة يمكن قول أن النظام
formula_1
formula_10
formula_11
يحتوي على تشعب متعدي حرج إذا توفرت الشروط التالية:
formula_18
formula_19
formula_20
يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:
formula_21
و عامة يمكن قول أن النظام
formula_1
formula_10
formula_11
يحتوي على تشعب فرشاتي إذا توفرت الشروط التالية:
formula_18
formula_26
formula_20
formula_28
إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
formula_30
formula_31
formula_32
formula_33
و إذا قمنا بحساب القيم التالية:
تعتبر دراسة التشعبات في ال formula_34 أصعب من الحالات المذكورة أعلاه إلا أنه إذا في بعض الحالات يمكن إرجاع نظام ما ينتمي إلى formula_34 إلى نظام ينتمي إلى ال formula_2 أو ال formula_3 باستعمال نظرية متعدد الفروع الوسطي center manifold theory حيث يمكن اختزال النظام المعقد في نظام ذا أبعاد أصغر ومن ثم دراسة التشعب على متعدد الفروع الوسطي center manifold
. أي باختصار إرجاع هذه الحالة إلى الحالات المذكورة أعلاه
http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/nldyn.htm