كسر مستمر
في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
حيث "a" عدد صحيح والاعداد "(a" ("i" ≠ 0 هي أعداد "موجبة". يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.
الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:
حيث "a" عدد صحيح، وكل "a" آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد ("a") = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2...).
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3...). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو "أكثر" بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.
بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].
لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
ليكن العدد الحقيقي "r", وليكن "i" الجزء الصحيح و"f" الجزء الكسري ل "r".
وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة "r" is ["i"; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/"f". من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
لحساب الكسر المستمر للعدد "r"، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من "r". إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان "r" نسبيا.
وأحيانا
هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:
مثل,
مثل,
وبصيغة أخرى:
formula_14
وتكون الصيغ المتقاربة
إذا كان "a"، "a"، "a"،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب formula_16 وformula_17 بالمعاودة:
لاي formula_18 موجب
التقاربات ["a"; "a", "a"...]تعطى بالعلاقة
إذا كان التقارب النوني "n" لكسر مستمر هو formula_21، حينئذ
الصورة المختصرة:
كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:
ولدينا أيضا, عندما "n" عدد صحيح أكبر من الواحد,
اذا كانت "n" ّعدد فردي
الحالة الخاصة عند "n" = 1:
الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي
حيث "n" عدد صحيح موجب; كذلك
إذا كانت ("I"("x" هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية "p"/"q"
الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.
على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :
لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :
[a; a, … a − 1, a] = [a; a, … a, a − 1, 1]