منطق رياضي
المنطق هو العلم الذي يبحث في القواعد التي تتبع في التفكير وطرق الاستدلال الصحيح. وهو بذلك أداة للتفكير لأنه يعنى بتحليل طرق التفكير وصيانته من الخطأ. والعملية المنطقية تهتم بفئة من الصيغ أو القضايا.
القضية : جملة تقوم على علاقة بين عدد من الكلمات المفهومة، وتنقسم إلى قسمين :
والقضية المنطقية جملة خبرية تحتمل الصدق أو الكذب ويمكن التحقق منها فالجملة "المعادن تتمدد بالحرارة" جملة خبرية يمكن التحقق من صحتها بإجراء التجارب وإقرار صحة العبارة من عدمه.
والقضية مفهوم أساسي في المنطق نتعلم تصنيفها كما ورد سابقا عن طريق الخبرة مثل :
وما دمنا سنتحدث كثيرا عن الصدق والخطأ سنرمز لهما بالحرفين (ص) (خ).
ومن ذلك كله نقول أن القضية المنطقية تحتمل الصدق أو الكذب.
تسمى كل من الحروف الآتية بأدوات الربط : (و) == Λ ، (أو) == Ѵ ، (لا النافية) == ̴
ويمكن أن نوضح ونبين قضايا جديدة من فئة معطاة من القضايا بواسطة أدوات الربط فمثلا إذا كانت القضية (محمد طالب مجتهد) يرمز لها بالرمز (A) فإن القضية(~A) تشير إلى أن محمد ليس مجتهدا.
(A): تعني محمد مجتهد
(B): تعني محمد طالب خلوق فإن :
(A Λ B) قضية تعني : محمد طالب مجتهد ومحمد طالب خلوق.
و القضية (AѴB) تعني محمد طالب مجتهد أو محمد طالب خلوق. 
وتستعمل (أو) باستعمالين متمايزين :
أو الشاملة ، أو الطاردة وذلك يتضح من الشكلين الآتيين :
أو الشاملة أو المانعة
إن دراسة الفئات ذات فائدة كبيرة في كافة فروع الرياضيات وسوف نرى الآن تطبيقات هذه الدراسة في البراهين المنطقية وسوف نبدأ بملاحظة مدى فائدة قوانين الفئات وفائدة اشكال فن في تحليل البرهان او تتبع خطوات مناقشة وانتبع ما يلي :
كل مربع مستطيل ... (1)
كل مستطيل متوازي أضلاع... (2)
كل مربع متوازي أضلاع... (3) 
الصيغتان 1 ، 2 تسميان مقدمتان أو فروضا والصيغة 3 تسمى نتيجة 
وهذا مثال بسيط يتضح منه انه إذا كانت النتيجة تتبع بالضرورة المقدمات المعطاه فنقول عندئذٍ إن المناقشة صالحة.
وباختصار شديد نقول إن المناقشة 1 ، 2 ، 3 لها القيمة (ص) (أي صادقة) ومثل هذه المناقشة يمكن أن توضح بأشكال فن حيث :
تشير إلى فئة كل المستطيلات B
تشير إلى فئة كل متوازيات الأضلاع C
A وهي مجموعة جزئية من B مجموعة جزئية من C
وكثيرا ما نصادف مناقشة صالحة وتكون النتيجة غير صالحة مثل :
هذه المناقشة صالحة ولكن النتيجة غير صادقة كون الفرض الأول غير صحيح.
وقد تكون الفرضيتان غير صحيحتين والنتيجة صادقة مثل :
1 = 7 غير صحيح
9 = 3 غير صحيح 
وبجمع المعادلتين يكن الناتج 10 = 10 وهي نتيجة صحيحة.
وفي الرياضيات نستخدم هذا النوع من المناقشات للوصول إلى صحة بعض النظريات، خذ مثلا طريقة إثبات أن المماس للدائرة يكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس ، فنحن نبدأ البرهان بفرض أن المماس ليس عموديا على نصف القطر وبالسير بالمناقشة الصحيحة نأتي إلى أن المماس يقطع الدائرة في نقطتين وبما أن النتيجة تتعارض مع تعريف المماس ، ينتج أن الفرض الأساسي ليس صحيحا ويكون المماس عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس.
الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى, مثال:
من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.
تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة
نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحا وإما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة
جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة]
يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كلاهما
هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كلاهما
من أمثلة الجمل التي تكون قضايا
ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ
من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ 
أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب... 
بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ 
مثل :
نفي العبارة P هو عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب formula_1.
عطف العبارتين p و Q يكون صحيحا فقط إذا كانت العبارتان معا صحيحتين. ونرمز له ب formula_2
فصل العبارتين p أو Q يكون صحيحا فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة أو كلاهما ونرمز له ب formula_3
تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
و نرمز لها ب: 
formula_4 وهي تكافئ العبارة: formula_5.
تكافؤ العبارتين formula_6 وformula_7 هو formula_8, ونرمز له ب: formula_9 و يكون صحيحا اذا كانت P و Q خاطئتين أو صحيحتين معا
القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.
أمثلة:المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].
دالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.
مثال:
بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من formula_14 إلى formula_15 بحيث:
formula_16
هناك نوعان وجودية وكونية.
نرمز للوجودية بالرمز formula_19.نرمز للكونية بالرمز 
formula_22.
= المكممات والروابط المنطقية =
عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:
formula_23
formula_24
مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.
هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.
نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.
و نكتب:
formula_25
نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.
= مجموعة الأجزاء =
كل مجموعة لها عدة أجزاء, وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.
المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.
= المتمم والنفي =
متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.
علق حاتم على هذه فقال :
المتممة أمر نسبي
قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "
مثال
المجموعة الشاملة = ش
متمم أ هو ب
لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ
x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.
= التقاطع والعطف =
تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: formula_26.
x من C يكافئ: x من A و x من B.
اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, والتي نرمز لها ب: formula_27.
x من C يكافئ: x من A أو x من B.
=خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=
= الفرق =
ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B
formula_28
برهنة: formula_29
لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:
x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B
في هذه الحالة علينا أن نبرهن:
formula_30
برهان:
formula_31
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
formula_36
شرح الخطوات:
1 و4- حسب تعريف التقاطع
formula_37
2 و5- حسب تعريف الإتحاد
formula_38
3-
نبرهن: formula_39
بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ formula_40 وformula_41
الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان
بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات
يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.
بوابة منطقية