عدد فيرما
في الرياضيات، عدد فيرما هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}
حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد. ويمكن سرد أعداد فيرما التسعة الأولى كالتالي:
F0=21+1=3F1=22+1=5F2=24+1=17F3=28+1=257F4=216+1=65,537F5=232+1=4,294,967,297=641 × 6,700,417F6=264+1=18,446,744,073,709,551,617=274,177 × 67,280,421,310,721F7=2128+1=340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457=59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721F8=2256+1=115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937=1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321
إذا كان العدد 2n + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.
لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F0 وF1 وF2 وF3 وF4.
درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن:
F 5 = 2 2 5 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 ⋅ 6700417. {\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;}
لأي عدد فيرما F_n وعدد صحيح موجب m>n العلاقة التالية تتحقق F_n=(F_m-1)^{2(m-n)}+1
مضلع قابل للإنشاء مبرهنة لوكاس عدد ميرسين الأولي, عدد شبه أولي,
17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.) S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478. Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), سبرنجر, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3,A12,B21. Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173. Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112. A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111—115.
تصنيف:أصناف الأعداد الأولية تصنيف:أعداد كبيرة تصنيف:حسابيات نمطية تصنيف:سلاسل عددية تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات تصنيف:مقالات تحوي براهين تصنيف:نظرية الأعداد تصنيف:هندسة إقليدية مستوية