حسبان بمتعددات الحدود
في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:
لذلك, تكون مشتقة formula_3 هي formula_4 والتكامل غير المحدود للقيمة formula_3 هو formula_6 حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.
سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل وبرهانها, ومن ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.
تذكر قاعدة القوة "للتفاضل" بأنه إذا كان "n" هو عدد طبيعي, تكون مشتقة formula_7 هي formula_8, وبالتالي تكون القاعدة هي
و قاعدة القوة "للتكامل" هي
عندما يكون "n" عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.
لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
و عند تعويض formula_12 ستكون المعادلة على النحو التالي
ثم يمكن للمرء التعبير عن formula_14 باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
يمكن كتابة الحد formula_16 من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
و بسبب إلغاء قيم الحدود formula_18 ستكون المعادلة
و يمكن إخراج قيمة formula_20 من جميع الحدود من المجموع للحصول على
و بذلك يمكننا إلغاء قيم formula_20 من المقام والحصول على
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن formula_24 لكل formula_25 وتساوي صفر لكلformula_26 لذلك نجد قيمة formula_27 فقط عندما يكون formula_28, وبالتالي تكون المعادلة
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
و بالتالي هذه المعادلة
لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي
عندما تكون قيمة "a" أي عدد حقيقي ما دام أن قيم "x" من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة "x", والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.