تمثيل عشري
في علم الرياضيات التفكيك العشري هو طريقة لكتابة العدد الحقيقي الموجبة باستعمال قوى للعدد عشرة 10 (سلبية أو إيجابية). عندما تكون الاعداد صحيحة طبيعية، يتوافق التفكيك العشري مع الكتابة في القاعدة 10 وعندما تكون الاعداد عدد عشري، نحصل على تفكيك عشري محدود. عندما يكون العدد كسريا، يكون التفكيك العشري غير محدود ودوري. وأخيرا، عندما يكون العدد حقيقيا غير نسبي فالتفكيك العشري يكون غير محدود وغير دوري.
أمثلة على الكسر العشري: 4و0 ،ومثال آخر 71و3 ، ومثال ثالث لكسر عشري 5437و43
نجد أن العدد 5437و43 مكون من عدد صحيح مقداره 43
بالإضافة إلى 5 أجزاء من 10
بالإضافة إلى 4 أجزاء من 100
بالإضافة إلى 3 أجزاء من 1000
يالإضافة إلى 7 أجزاء من 10000.
مثال على كسر عشري دوري (أو غير محدود):
مثل هذا الكسر العشري الدوري يتولد عندما نقسم 1 /3 عشريا ، فالنتيجة تكون : ...33333333و0 ( بلا نهاية).
التمثيل العشري لعدد حقيقي غير سالب "r" هو تعبير على الصورة:
و "a" عدد صحيح غير سالب ،و "a",
"a", … أعداد صحيحة تحقق الشرط formula_3 ، وغالبا ما يكتب هذا بشكل مختصر بالشكل العشري التالي:
يُدعى "a" الجزء الصحيح ل "r". هو ليس بالضرورة محصورا بين 0 و 9, و"a", "a", "a", … هي خانات تشكل الجزء الكسري ل "r".
من التعريف:
يمكن تقريب أي عدد حقيقي إلى أي دقة مرغوبة بواسطة أعداد نسبية ذات تمثيل عشري محدود.
بفرض formula_6. فإنه لكل عدد صحيح formula_7 يوجد عدد عشري محدود formula_8 بحيث أن:
الاثبات:
لتكن formula_10, حيث formula_11.
وعليه formula_12, وبقسمة جميع الاطراف نحصل على formula_13. (وهي حقيقة أن formula_14 لها تمثيل عشري محدود هي سهلة الاثبات فعلا.)
ينتهي نشر التمثيل العشري لعدد غير سالب "x" بأصفار (أو تسعات) إذا وفقط إذا كان "x" عدد نسبي مقامه على الصورة 25, حيث "m" و"n" هي أعداد صحيحة غير سالبة.
الاثبات:
إذا كان النشر العشري ل "x" سينتهي بأصفار، أو formula_15
لقيمة معينة "n",
فإن مقام "x" سيكون على الصورة 10 = 25.
وعلى نحو مضاد, إذا كان مقام "x" على الصورة 25,
formula_16
لقيمة معينة "p".
بينما "x" هي على الصورة formula_17,
formula_18 لقيمة معينة "n".
ولكل formula_19,
فإن "x" سوف تنتهي بأصفار.
بعض الأعداد الحقيقية يمكن نشرها بصورة حلقة, حيث تتكرر مجموعة من خانة أو أكثر:
على الرغم من التكرار يظل هذا العدد نسبي.