نظرية ذات الحدين
ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع إلى قوة صحيحة ما.[1][2][3] ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .
عالم الرياضيات أندرياس فون ايتينغ هاوسن هو أول من اقترح الرمز ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} . كان ذلك عام 1826.
فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x و<i data-parsoid='{"dsr":[1274,1279,2,2]}'>y معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
حيث الأعداد ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} (و التي تكتب أحيانا C k n {\displaystyle C_{k}^{n}} ) هي المعاملات الثنائية.
هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.
تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة:
( x − y ) n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
n = 2 , ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle n=2~,\qquad (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,} n = 3 , ( x − y ) 3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 − y 3 {\displaystyle n=3~,\qquad (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,} n = 4 , ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 {\displaystyle n=4~,\qquad (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}
لتكن y، x عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
لنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية":
n = 0 , ( x + y ) 0 = 1 = ( 0 0 ) x 0 y 0 {\displaystyle n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}}
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1، سنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:
( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k , {\displaystyle (x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},}
بتوزيعية ⋅ {\displaystyle \cdot } على + {\displaystyle +} :
( x + y ) n + 1 = x n + 1 + x ⋅ ∑ k = 1 n ( n k ) x n − k y k + y ⋅ ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) x n − k y k + y n + 1 {\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}}
( x + y ) n + 1 = x n + 1 + ∑ k = 1 n [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x n − k + 1 y k + y n + 1 {\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}
باستعمال صيغة مثلث باسكال:
( x + y ) n + 1 = x n + 1 + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) x n − k + 1 y k + y n + 1 {\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}
و هو ما ينهي التبيين الافتراضي.
تصنيف:إسحاق نيوتن تصنيف:مبرهنات في الجبر تصنيف:مطابقات رياضية تصنيف:مقالات تحوي براهين تصنيف:موضوعات حاسمة وذات حدين