معادلة تفاضلية عادية
في الرياضيات، بشكل عام المعادلات التفاضلية هي المعادلات التي يكون فيها المتغير هو دالة، حيث المعادلة تظهر العلاقة بين الدالة ومشتقاتها.
حل المعادلات التفاضلية يعني إيجاد جميع الدوال y التي تحقق هذه المعادلة, و مجموعة هذه الدوال تسمى الحل العام للمعادلة ، كل عنصر من هذه المجموعة يسمى حلا خاصا للمعادلة.
أما المعادلة التفاضلية العاديّة تكون فيها الدالة بمتغير واحد، بعكس المعادلة التفاضلية الجزئية التي يكون فيها المتغير دالة بعدّة متغيرات، والمشتقات مشتقات جزئية.
المعادلات التفاضلية مهمة جداً في تفسير الظواهر العلمية الفيزيائية والكيميائية. السبب في ذلك اننا نستطيع كتابة معادلات بمتغيرات كثيرة كدالة للمشتقات مثل سرعة وموقع الاجسام المختلفة، لذلك يلزم معرفة حل هذه المعدلات وكيفيّة التعامل معها.
ويجدر التنويه انه في حالات كثيره لا يمكن حل المعادلة بصورة جبريّة تامة، لذلك من المهم التعرف على نظريات وخواص هذه المعادلات التي بطبعها تسهّل تأطير الحل.
من الممكن تصنيف المعادلات إلى فئات مختلفة بحسب رتبة المعادلة، حيث رتبة المعادلة هي أعلى مشتقة تظهر بالمعادلة، أما درجة المعادلة فهي الأس المرفوع اليها أعلى مشتقة.
مثال:
formula_1 من مرتبة 2 ودرجة 9.
بشكل عام، يمكن عرض المعادلة من الرتبة الأولى بصورة formula_2. الهدف هو البحث عن دالة formula_3 إذا عوضنها في formula_4 تكون النتيجة 0.
الدالة formula_5 المعادلة تكون formula_6.الحل العام هو: formula_7. وبالفعل يتحقق formula_8, لذلك اذا عوّضنا تكون النتيجة formula_9, كالمطلوب.
كما ذكرنا، في معادلة تفاضلية نحصل على عدّة حلول متعددة، الحل المطلوب ممكن حصره بواسطة : شرط حدي - شرط ابتدائي (أنظر شروط الحدية).
بشكل خاص؛ لمعادلات تفاضلية من الرتبة الاولى هناك مبرهنة بيكار ليندلوف
ذات خواص مهمة لايجاد الحل.
تظهر معادلة خطية من الرتبة الأولى على الصورة formula_10.
إذا كان formula_11 تسمى المعادلة بالمعادلة المتجانسة؛ formula_12.
formula_12
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18 هو معامل تكاملي، ونضيف حلا إضافيا يسمى الحل المنفرد formula_19 وهو يتحقق في شرط حدي formula_20. إذا يمكن استنتاج هذا الحل من الحل العام لذلك الحال العام كامل.
المعادلة غير المتجانسة يمكن كتابة حلها حاصل جمع بين حل عام لمعادلة تفاضلية "متجانسة" وحل خاص لمعادلة تفاضلية "غير متجانسة".
formula_21
نعرض الآن حلا عاما للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة formula_10
نستعين في دالة formula_23:
formula_10
نضرب الجهتين في الدالة المساعدة:
formula_25
نطلب:
formula_26
هي معادلة تفاضلية متجانسة، حلها:
formula_27
نستعين في الدالة المساعدة لنصل إلى الحل النهائي:
formula_28
formula_29
formula_30
هي من الصورة:
formula_31
طريقة الحل تكون بفصل المتغيرات ثم القيام بالتكامل.
formula_32
وهذا بالضبط ما قمنا به في المعادلة المتجانسة من الرتبة الأولى.
ملاحظة: فصل المتغيرات يعني فصل كل ما يتعلق بالمتغير المستقل formula_33 عن متغير المعادلة (المتغير التابع) formula_34.
formula_35
نرمز:
formula_36
ومنها نعود لمعادلة فصل المتغيرات.
نوصل الصورة المعطاة لمعادلة قابلة للفصل عن طريق الرمز لِ formula_37.
معادلة برنولي من الصورة formula_38.
واضح ان formula_39 هو حل للمعادلة.
نفرض أن formula_40، نقسم على formula_41 :
formula_42
نرمز formula_43 أي formula_44، فنحصل على الدالة الخطية formula_45.
نجد formula_46 ومنها يمكننا ايجاد formula_47 - المتغير التابع المطلوب.
لتكن formula_48 دالة قابلة للاشتقاق. حيث formula_49 و formula_50.
حسب قاعدة السلسلة يتحقق:
formula_51
وبشكل رمزي نكتب: formula_52
إذا كانت formula_53 حينئذ formula_54.
من هذا المنطلق ننظر للمعادلة formula_55:
formula_58 وأيضاً formula_59.
تكون المعادلة شبيهة ل formula_52
وحينها نقول الحل هو formula_61 .
"اذا لم تكن المعادلة تامّة"، أي أن formula_62 حينها نستعين بمعامل التكامل formula_63 بحيث :
formula_64 نطلب:
formula_65
ملاحظة:بشكل عام نطلب ان formula_66 -متعلقة فقط ب formula_33 او نطلب ان formula_68 -متعلقة فقط ب formula_47 وذلك حسب المعادلة التي نريد حلها.
حقل الاتجاه:
نستطيع تمثيل ميل كل حل خاص على المحور بواسطة اسهم -لا يوجد معنى لطول السهم- ، بحيث ان اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة.
معطى:
formula_70 وأيضاَ formula_71
نفرض أن الدالة formula_72 وكل مشتقاتها الجزئية حسب formula_73 متصلة في المجال ثنائي البعد formula_74 في محور formula_75 وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) formula_76.
فنقول أنه موجود منطقة مستطيلةformula_77 للنقطة formula_78 على الأقل في المجال formula_79 فيه حل موجود وهو formula_34.
وهو واحد ووحيد.
أنظر معادلة تفاضلية خطية