مبرهنة الباقي الصيني
مبرهنة الباقي الصيني هي نتيجة للحسابيات التوافقية في نظرية الأعداد تعالج حل أنظمة تقارب. هذه النتيجة خاصة أساسا في Z/nZ تعمم في نظرية الحلقات. نُشرت لأول بين القرنين الثالث والخامس للميلاد من طرف عالم الرياضيات الصيني سون تزو.
في شكلها المبسط، تحدد المبرهنة عددا n، عند قسمته على عدة قواسم معلومة، يعطي بواقٍ معلومة. على سبيل المثال، ما هو أصغر عدد طبيعي الذي إذا قُسم على 3 يعطي باقيا مساويا ل 2 وإذا قُسم على 5 يعطي باقيا مساويا ل 3 وإذا قُسم على 7 يعطي باقيا مساويا ل 2 ؟
ليكن formula_1..., formula_2 أعداد طبيعية مثنى مثنى أولية فيما بينها (أي pgcd ("n"، "n") = 1 عند "i" ≠ "j"). إذن كل الأعداد الصحيحة formula_3..., formula_4, يوجد عدد صحيح formula_5, وحيد المقاربة بترديد formula_6 وبحيث
formula_7
الحل "x" يمكن إيجاده كما يلي:
لكل "i", الأعداد formula_8 وformula_9 أولية فيما بينها, وباستعمال 'متساوية بيزوت, يمكن إيجاد الأعداد formula_10 وformula_11 بحيثformula_12. إذا افترضنا formula_13, فنحصل على
يمكن إثبات الوحدانية والوجود من خلال التالي:
هناك من k بواقٍ مختلفة. لنسم هذه المجموعة R. من ناحية أخرى، وكل عنصر من يقابل عنصر من R.
هل من الممكن أن يقابل عنصران من نفس العنصر من R؟ أي هل من الممكن أن يكون لهما نفس مجموعة العناصر عند القسمة على ؟ إذا كان هذا صحيحاً فإن كلاً من سيكون قابلاً للقسمة على كلٍ من n. وبما أن n أوليان مثنى مثنى، فإن سيكون قابلاً على القسمة على حاصل ضربهم N.
وبما أن هذا مستحيل الحدوث فإن الدالة ستكون دالة تقابل، حيث أن ، وبالتالي نحصل على علاقة التقابل.
يمكن رؤية الوجود من خلال البناء لعناصر x. لتكن ترمز للمعاكسات الضربية ل والتي يمكن الحصول عليها من خلال القسمة الإقليدية الممددة، والتي تكون معرفة إذا a و b أوليان فيما بينهما. البناء التالي للعناصر يبين لم نحتاج هذه الخاصية.
ليكن النظام التالي المكون من معادلتين:
انظر إلى متطابقة بوزو.
انظر إلى معضلة استيفاء هيرميت.