ファルティングスの定理

数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。 C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。 g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。 g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理は捩れ部分群の構造を制限している。） g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。 ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。 1983年のファルティングスの論文は、それ以前に予想されていた多くのステートメントの結果として得られた。 モーデル予想(Mordell conjecture)：数体上の種数が 1 よりも大きな曲線は有限個の有理点しか持たない。 シャファレビッチ予想(Shafarevich conjecture)：決められた次元の、決められた数体上の偏極次数を持ち、決められた有限個の座(place)の有限集合の外側では良いリダクション（英語版）(good reduction)を持つアーベル多様体の同型類は、有限個しか存在しない。 同種定理(Isogeny theorem)：同型なテイト加群（英語版）(Tate module)を（ガロア作用、Ql-加群として）もつアーベル多様体は同種である。 モーデルの予想をシャファレビッチ予想へ帰着させることは、Parshin (1971) による。ファルティングスの定理の応用の例として、フェルマーの最終定理の弱い形がある。決められた n > 4 に対し、an + bn = cn には有限個の整数解しか存在しない。なぜなら、n に対し、曲線 xn + yn = 1 は種数が 1 よりも大きいからである。 モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想（英語版）(Mordell–Lang conjecture)を証明することになる。 ファルテングスの定理の別の高次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想（英語版）(Bombieri–Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体（英語版）(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により提示されている。 函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。 ファルティングスの定理は計算可能性を備えていない。ファルティングスの定理の証明に用いられる議論からは、ヤコビ多様体の構造を用いて、有理点の個数に対して、具体的な上からの評価を求めることはできるが、有理点の大きさの上界が得られるわけではない。そのため、この定理を使って有理点をすべて求めることはできない。 モーデル予想の解決に先立って、Chabauty (1941a, 1941b)はヤコビ多様体の階数が小さいときに、有理点の個数の上界を求める方法を開発し、Coleman (1985)は実際にいくつかの場合に具体的な上界を得ている。さらに場合によってはその方法を使って有理点をすべて決定することができる。たとえば y 2 = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ( x − 6 ) {\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)} の有理点は (x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) のみであることがGrant (1994)により示されている。 ^ メイザーの捩れ定理は、バリー・メイザーによる定理で、有理数体上の楕円曲線上の有理点の群の可能である捩れ部分群を分類した定理である。 Cn で位数 n の巡回群を表すと、可能な捩れ部分群は、1 ≤ n ≤ 10 に対しての Cn と C12 とさらに、C2 と C2, C4, C6 あるいは C8 との直和である。 この逆の結果は、対応するモジュラ曲線が有理点ではみな種数 0 となるので、全てのこれらの捩れ構造は、Q 上に無限個の捩れ構造が現れる。 ^ モーデル・ラング予想は、アーベル多様体と準アーベル多様体上のモーデル予想とマーニン・マンフォード予想を統合するサージ・ラングの一連の予想である。 Bombieri, Enrico (1990年). “The Mordell conjecture revisited”. 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