エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、英語: energy-momentum tensor、stress-energy tensor、stress-energy-momentum tensor）とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。 一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源（source term）としての意味を持つ。 エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、 T μ ν = 0 {\displaystyle T^{\mu \nu }=0} とすればよい。 エネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は ( − , + , + , + ) {\displaystyle (-,+,+,+)\,} とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。 共変微分をもちいて T μ ν ; μ = 0 {\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,} とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。 エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。 作用積分が S [ ϕ ] = ∫ d 4 x L ( ϕ , ∂ ϕ ) {\displaystyle S[\phi ]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )} と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。 従って、場は δ ξ ϕ ( x ) = ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) = ϕ ( x − ξ ) − ϕ ( x ) = − ξ μ ∂ μ ϕ ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)} と変換される。 エネルギー・運動量テンソルは T μ ν := ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ϕ − δ μ ν L {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}} となる。 別の定義の仕方として、計量の変分により定義する方法がある。 作用積分が S [ g , ϕ ] = ∫ d 4 x L ( g , ∂ g , ϕ , ∂ ϕ ) {\displaystyle S[g,\phi ]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(g,\partial g,\phi ,\partial \phi )} と書かれているとき、計量の変分 g μ ν ( x ) → g ′ μ ν ( x ) = g μ ν ( x ) + δ g μ ν ( x ) {\displaystyle g^{\mu \nu }(x)\to g'^{\mu \nu }(x)=g^{\mu \nu }(x)+\delta g^{\mu \nu }(x)} に対して、 1 2 − g T μ ν = δ S δ g μ ν ( x ) = ∂ L ∂ g μ ν − ∂ α ∂ L ∂ ( ∂ α g μ ν ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}T_{\mu \nu }={\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }(x)}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{\alpha }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }g^{\mu \nu })}}} で定義される。 時間-時間成分、即ち T 00 {\displaystyle T^{00}\,} は、エネルギー密度である。 時間-空間成分、即ち T 0 j {\displaystyle T^{0j}\,} は、 x j {\displaystyle x^{j}\,} の方向へのエネルギーの流れである。 空間-時間成分、即ち T i 0 {\displaystyle T^{i0}\,} は、i-成分の運動量密度である。 空間成分、即ち T i j {\displaystyle T^{ij}\,} は、 x j {\displaystyle x^{j}\,} の方向への i-成分の運動量の流れである。 物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。 T μ ν = ( ρ + p ) u μ u ν + g μ ν p {\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,} ρ , p {\displaystyle \rho ,p\,} は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 g μ ν , u μ {\displaystyle g^{\mu \nu },u^{\mu }\,} は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、 u μ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle u^{\mu }=(1,0,0,0)\,} 、流体速度を v i {\displaystyle v^{i}\,} と観測する場合には u μ = ( 1 , v i ) {\displaystyle u^{\mu }=(1,v^{i})\,} ）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。 非相対論的な場合、 g μ ν ≈ η μ ν , | v i | ≪ 1 , p ≪ ρ {\displaystyle g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },\,|v^{i}|\ll 1,\,p\ll \rho \,} となるから、行列形式で成分を書くと T μ ν = ( ρ ρ v x ρ v y ρ v z ρ v x p + ρ v x 2 ρ v x v y ρ v x v z ρ v y ρ v x v y p + ρ v y 2 ρ v y v z ρ v z ρ v x v z ρ v y v z p + ρ v z 2 ) {\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}} となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル π i j = ρ v i v j + p δ i j {\displaystyle \pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}\,} と一致する。 電磁場のラグランジアン密度 L e m ( g , ∂ g , A , ∂ A ) = − 1 16 π − g g μ ν g ρ σ F μ ρ F ν σ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {em} }(g,\partial g,A,\partial A)=-{\frac {1}{16\pi }}{\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }} からエネルギー・運動量テンソルを計算すると T μ ν = − 1 4 π ( g ρ σ F μ ρ F ν σ − 1 4 g μ ν F ρ σ F ρ σ ) {\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\pi }}(g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma })} となる。ここで、 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} は電磁場テンソル、 A μ {\displaystyle A_{\mu }} は電磁ポテンシャルである。 T 00 {\displaystyle T_{00}} は電磁場のエネルギー密度、 T 0 j {\displaystyle T_{0j}} 及び T i 0 {\displaystyle T_{i0}} はポインティング・ベクトル、 T i j {\displaystyle T_{ij}} はマクスウェルの応力テンソルである。 一般相対性理論 - アインシュタイン方程式