分散関係

分散関係（ぶんさんかんけい、英: dispersion relation）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。 フーリエ変換により、波動は特定の波数 k のみを持つ、単色波 ei(kx − ωt) の集まりに分解することができる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、系の性質に応じて満たす関係 ω = ω ( k ) {\displaystyle \omega =\omega (k)\,} を、分散関係 (dispersion relation)、または分散式 (dispersion formula) という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。 分散関係が与えられると、波動の性質を示すいくつかの重要な指標を導くことができる。 波数と角周波数が比例関係 ω = v k {\displaystyle \omega =vk\,} で表されるときに、分散がないという。また、波数と角周波数が比例関係にない場合、系は分散的もしくは分散系であるという。分散がない波においては、 e i ( k x − ω t ) = e i k ( x − v t ) {\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-vt)}\,} となり、各単色波の成分は波数に依らず、一定速度 v で進むため、波形が崩れず、そのまま伝播する。 波の位相部分が一定 kx − ωt = φo で伝わる速度 vp は、これを時間で微分して、 v p = d x d t = ω k {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}} で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、 v g = d ω ( k ) d k {\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {d\omega (k)}{dk}}} で与えられる。 分散がない場合には、 v p = v , v g = v {\displaystyle v_{\mathrm {p} }=v,\quad v_{\mathrm {g} }=v\,} であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。 通常の波動方程式 1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} に従う波動現象においては、ei(kx − ωt) を考えると、 ω = c k {\displaystyle \omega =ck\,} の関係が満たされており、分散がない波となる。 自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 n が角振動数 ω によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 n(ω) と真空中の光速 c を用いて、 c ( ω ) = c n ( ω ) {\displaystyle c(\omega )={\frac {c}{n(\omega )}}\,} と表される。このとき、対応する分散関係は ω = c ( ω ) k {\displaystyle \omega =c(\omega )k\,} となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。 深さが h である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。 ω = | k | ( g k + σ k ρ ) tanh ⁡ k h {\displaystyle \omega =|k|{\sqrt {{\biggl (}{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}{\biggr )}\tanh {kh}}}} ここで、g は重力加速度、σ は表面張力の強さ、ρ は水の密度である。 固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を 2a とし、2つの原子の質量を m1, m2、結合の定数を f とすると、分散関係は ω 2 = f m μ ( 1 ± 1 − 4 m μ 2 m 1 m 2 sin 2 ⁡ k a ) , 1 m μ = 1 m 1 + 1 m 2 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {f}{m_{\mu }}}\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4m_{\mu }^{\,2}}{m_{1}m_{2}}}\sin ^{2}{ka}}}\right),\quad {\frac {1}{m_{\mu }}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}} となる。符号が − の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に |q| → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、 ω = 2 f m 1 + m 2 a | k | {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{1}+m_{2}}}}a|k|} 光学モードでは ω = 2 f m μ = 2 ( m 1 + m 2 ) f m 1 m 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{\mu }}}}={\sqrt {\frac {2(m_{1}+m_{2})f}{m_{1}m_{2}}}}} となる。 相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす。 ω = ( c k ) 2 + ( m c 2 ℏ ) 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {(ck)^{2}+{\biggl (}{\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\biggr )}^{2}}}} ここで、m は電子質量、c は光速である。 ^ 学術用語集 物理学編 (1990)。 ^ 巽 1995 ^ Ashcroft & Mermin 1976 ^ アシュクロフト & マーミン 1982 ^ 西島 1973 文部省、日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。[リンク切れ] 巽, 友正 『流体力学』 培風館〈新物理学シリーズ 21〉、1995年。ISBN 978-4563024215。 Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. Thomson Learning.  アシュクロフト, N. W.、マーミン, N. D. 『固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題』 松原, 武生（訳）、町田, 一成（訳）、吉岡書店〈物理学叢書 48〉、1982年。ISBN 978-4842702025。 西島, 和彦 『相対論的量子力学』 培風館〈新物理学シリーズ 13〉、1973年。ISBN 978-4563024130。 フーリエ変換 波動 位相速度 群速度 分散 分光 光学 固体物理学 流体力学