有限単純群の分類

有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。 この分類定理の証明は、主に1955年から2004年に渡り出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ゴーレンシュタイン（英語版） (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。 分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である: 以下3つの無限個クラスの群: 素数位数の巡回群 Cp 次数5以上の交代群 An リー型の単純群 26の散在型単純群（英語版） ティッツ群（英語版） 2F4(2)′ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある 分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。 1983年にダニエル・ゴーレンシュタイン（英語版）は有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。 以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。 位数の小さなものから20個を以下に列挙する。 Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数（英語版）および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る: 以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。 年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。 ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。 アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。 この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。 シュライエル予想（英語版） 信号関手定理（英語版） B予想（英語版） 全ての群に関するシューア・ザッセンハウスの定理（英語版）（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて） 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。 2重可移置換群（英語版）の分類 階数3置換群（英語版）の分類 シムス予想 (Sims conjecture) xn=1 の解の個数におけるフロベニウス予想（英語版） ^ 3次の対称群S3と同型。 ^ 4次の交代群A4と同型。 ^ 6次の対称群S6と同型。 ^ スタインバーグ群2A2(9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。 ^ 位数8の四元数群Q8の、位数9の基本アーベル群C3×C3による拡大の一つと同型。 ^ ティッツ群2F4(2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。 ^ 李群の系列の例外2F4(2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。 ^ よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。 ^ オーンズ 2015. ^ “Orders of non abelian simple groups”. 2018年7月19日閲覧。 ^ “Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq”. 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