ローレンツ力

ローレンツ力（ローレンツりょく、英: Lorentz force）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。 名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。 電場 E ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})} と磁束密度（磁場） B ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})} の空間中を運動する荷電粒子（位置 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} 、速度 v ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)} 、電荷 q）に作用する電磁気的な力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} は F ( t ) = q E ( t , r ( t ) ) + q v ( t ) × B ( t , r ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+q{\boldsymbol {v}}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))} である。この F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} をローレンツ力と言う。 × はクロス積である。 上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はビオ＝サバールの法則を一般化した形となっている。 ここで荷電粒子が加速度運動している（ローレンツ力によっても加速度運動となっている）とすると、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる。 F = q ( v × B ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {F}}}=q({\boldsymbol {\mathit {v}}}\times {\boldsymbol {\mathit {B}}})} と近似することができる。 荷電粒子の速度 v と磁場 B のクロス積 がローレンツ力 F であることは、フレミング左手の法則で向きを確認できる。 ローレンツ力のする仕事は d W = F ⋅ d r = q ( E + v × B ) ⋅ d r {\displaystyle {\begin{aligned}dW&={\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}\\&=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot d{\boldsymbol {r}}\\\end{aligned}}} である。 ここで、磁場による力の項は、 d W m = q ( v × B ) ⋅ d r = q v ⋅ ( v × B ) d t = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}dW_{m}&=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot d{\boldsymbol {r}}\\&=q{\boldsymbol {v}}\cdot ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})dt=0\\\end{aligned}}} であり、磁場は仕事をしない。ここで v = dr/dt を用いた。 電場による力の項は、 d W e = q E ⋅ d r = q v ⋅ E d t = w d t {\displaystyle {\begin{aligned}dW_{e}&=q{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {r}}\\&=q{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {E}}dt=w\,dt\\\end{aligned}}} である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。 磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。 電荷 qi の時刻 t における位置を ri、速度を viとすると、電荷密度 ρ 、電流密度 j は、 ρ ( t , x ) = ∑ i q i δ ( x − r i ( t ) ) {\displaystyle \rho (t,{\boldsymbol {x}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} j ( t , x ) = ∑ i q i v i ( t ) δ ( x − r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。 ローレンツ力は多数の粒子系に対しては F ( t ) = ∑ i q i ( E ( t , r i ( t ) ) + v i ( t ) × B ( t , r i ( t ) ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)} となる。ここで、 E ( t , r i ( t ) ) = ∫ d 3 x δ ( x − r i ( t ) ) E ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))=\int \!\!d^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})} B ( t , r i ( t ) ) = ∫ d 3 x δ ( x − r i ( t ) ) B ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))=\int \!\!d^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})} として、和と積分を入れ替えると、 F ( t ) = ∫ d 3 x ( ρ ( t , x ) E ( t , x ) + j ( t , x ) × B ( t , x ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\int \!\!d^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)} このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。 ローレンツ力を相対論的に記述すると p ˙ μ = q z ˙ ν F ν μ ( z ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=q{\dot {z}}^{\nu }F_{\nu \mu }(z)} となる。 ここで z=(ct,r) は粒子の相対論的な位置、p=(E/c,p) は粒子の相対論的な運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁テンソルで、具体的には ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( E 1 / c , E 2 / c , E 3 / c ) ,   ( F 32 , F 13 , F 21 ) = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(E_{1}/c,E_{2}/c,E_{3}/c),~(F_{32},F_{13},F_{21})=(B_{1},B_{2},B_{3})} と表される。 位置の微分は非相対論的な速度 v によって z ˙ μ = ( c t ˙ , t ˙ v ) {\displaystyle {\dot {z}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})} と表される。 従って、この式の空間成分は p ˙ = q t ˙ E ( t , r ) + q t ˙ v × B ( t , r ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。非相対論的な力 f は f = d p d t = p ˙ t ˙ = q E ( t , r ) + q v × B ( t , r ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})} となる。 ローレンツ力： F = q ( v × B ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {F}}}=q({\boldsymbol {\mathit {v}}}\times {\boldsymbol {\mathit {B}}})} の向きを示すフレミングの左手の法則がある。 また、右手の姿で示す方法もある。 マクスウェルの方程式 フレミング左手の法則 電磁気学