極座標系

極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rn 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ1, …, θn−1 からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x3, …,xn) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。 2 次元ユークリッド空間 R2 における極座標は円座標（circular coordinates）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = reiθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。 円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\\end{cases}}} で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は { r = x 2 + y 2 θ = sgn ⁡ ( y ) arccos ⁡ ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\operatorname {sgn} (y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}} で与えられる。ここで sgn は符号関数である。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。 円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標（cylindrical coordinates）と言う。円柱座標空間上（rθz 空間上ともいう）で、θ, z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。 また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。 円筒座標 (r,θ,z) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\\\end{cases}}} で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は { r = x 2 + y 2 θ = sgn ⁡ ( y ) arccos ⁡ ( x / x 2 + y 2 ) z = z {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\operatorname {sgn} (y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\z=z\\\end{cases}}} で与えられる。 3 次元ユークリッド空間 R3 における極座標。球面座標（Spherical coordinates）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる（図を参照）。球座標において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。 球座標から直交直線座標への変換は { x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ z = r cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}} で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は { r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos ⁡ ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) ϕ = sgn ⁡ ( y ) arccos ⁡ ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\phi =\operatorname {sgn} (y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}} で与えられる。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。 極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標においては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r × θ = [0, ∞) × [0, 2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta } が導けるからである。この公式は、例えば次のように用いられる。 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta } 左辺の積分は、このままの状態で解くのは非常に困難だが、右辺の形にすれば、変数変換 r2 → r' によって、 ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r ′ d r ′ d θ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r'}dr'd\theta } とできるから、あとは通常の二重積分の方法に従って簡単に解け、答えは π となる。 ^ 小出昭一郎 『物理入門コース2 解析力学』 1-1〜1-3節、岩波書店、1983年 直交座標系 斜交座標系