ペル方程式

ペル方程式（ペルほうていしき、英: Pell's equation）とは、n を平方数ではない自然数として、未知整数 x, y について x2 − ny2 = 1 の形のディオファントス方程式である。 ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタのチャクラバーラ法（英語版）を改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。 平方数でない正の整数 n に対してペル方程式は必ず自明な解 (x = 1, y = 0) 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 (x, y) を得たとすれば、 x k + y k n = ( x + y n ) k {\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x+y{\sqrt {n}})^{k}\,} は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の冪乗になることが知られている。 最小解を得る法としては、連分数展開からの近似分数を利用する方法が良く用いられる。 具体的には、√n の連分数展開を、√n = A = [a0; a1, a2, ..., am] と置き、近似分数P/Qを、P/Q = B = [a0; a1, a2, ..., am − 1]とすると、(x, y) = (P, Q) が解になる。但し、周期 m が奇数の場合は、右辺 = −1 の解が得られるので、1 の解を得るには上記の式で二乗する必要がある。ここで、A はa0 を整数部分、a1, a2, ..., am を循環節とする無限連分数で、B は循環節を一周期だけ採り、最後の項amを除いた、有限連分数である。ちなみに、a1, a2, ..., am − 1は左右対称となっており、am = 2a0 が常に成立する。 例えば n が 7 ならば、√7 = [2; 1, 1, 1, 4] (周期は 4 で偶数) なので、[2; 1, 1, 1] から近似分数 8/3 が得られ、(x, y) = (8, 3) が最小解となる。n が 61 の場合は 、 61 = [ 7 ; 1 , 4 , 3 , 1 , 2 , 2 , 1 , 3 , 4 , 1 , 14 ] {\displaystyle {\sqrt {61}}=[7;1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14]} (周期は 11 で奇数) なので近似分数 29718/3805 が得られ、右辺 = −1 の最小解は ( x 1 , y 1 ) = ( 29718 , 3805 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})=(29718,3805)} となる。右辺 = 1 の最小解は、 x + y 61 = ( x 1 + y 1 61 ) 2 {\displaystyle x+y{\sqrt {61}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {61}})^{2}\,} から (x, y) = (1766319049, 226153980) となる。 解の公式から α = x + y n , β = x − y n {\displaystyle \alpha =x+y{\sqrt {n}},\;\beta =x-y{\sqrt {n}}} とおくと、 x k = ( α k + β k ) / 2 , y k = ( α k − β k ) / ( 2 n ) {\displaystyle x_{k}=(\alpha ^{k}+\beta ^{k})/2,\;y_{k}=(\alpha ^{k}-\beta ^{k})/(2{\sqrt {n}})} が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、yk/y, 2xk はリュカ数列を構成する。 冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの x 2 − n y 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1\,} もペル方程式とよばれることがあるが、これは n の値によっては解を持たないこともある。 解を持つ n と、解の例を幾つか挙げる：n = 2 のとき (x, y) = (1, 1), n = 5 のとき (x, y) = (2, 1), n = 13 のとき (x, y) = (18, 5)。 どのような n が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、√n を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つ事が、知られている。−1 の解を持つ n の必要条件としては、 4の倍数でない 4k + 3 型の素因数を持たない k2 + 2k/a (0 < a < 2k, a | 2k) の形でない が挙げられる。1, 2は、 N = x2 + 1 = ny2 と置いたとき、N が2平方和に分解されており、gcd(x, 1) = 1 であることから、2平方和定理からの自明な帰結として得られる。3は、この形の数の平方根が k 2 + 2 k / a = [ k ; a , 2 k , a , 2 k , . . . ] {\displaystyle {\sqrt {k^{2}+2k/a}}=[k;a,2k,a,2k,...]} と、周期2の連分数に展開される事から、導かれる。例えば、a = k = 12 なら √122+2 = √146 = [12; 12, 24, 12, 24, ...] である。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。 十分条件の報告例は少ないが、n が 4k + 1 型の素数の場合や 8k + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つ事が報告されている。また、n = k2 + 1 の形であれば、(x, y) = (k, 1) が解になる事は、明らかであろう。 右辺を1の代わりに4としたもの x2 − ny2 = ±4 もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体の単数と深く関連している。K を二次体とし、D をその判別式とすると、 x2 − Dy2 = ±4 の整数解に対して (x + y√D)/2 全体は K の単数全体と一致する。特に最小解を (x1, y1) とおくと、 α = ( x 1 + y 1 D ) / 2 , β = ( x 1 − y 1 D ) / 2 {\displaystyle \alpha =(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})/2,\beta =(x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})/2} は K の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式 x k + y k D 2 = ( x 1 + y 1 D 2 ) k {\displaystyle {\frac {x_{k}+y_{k}{\sqrt {D}}}{2}}=\left({\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{k}\,} が得られる。 x2 − ny2 = 1 の、115 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。 x2 − ny2 = −1 の、653 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。 ^ a | x は、a が x を割り切る（即ち、a は x の因数である）事を表す。k2 + 2, k2 + k ( = k (k + 1) ), k2 + 2k ( = (k + 1)2 - 1 ) は、全てこの形に含まれる。 ^ a = 12, k = 30 なら 30 2 + 60 / 12 = 905 = [ 30 ; 12 , 60 , 12 , 60 , . . . ] {\displaystyle {\sqrt {30^{2}+60/12}}={\sqrt {905}}=[30;12,60,12,60,...]} である。周期が 4, 6 のときの形を示す事も出来るが、かなり煩雑であり、周期が偶数（又は奇数）の場合の一般形を示せなければ、情報としての価値が低いので、周期2の形のみを示す。 ^ この形は、必要条件3で a = 2k とした場合に相当し、その平方根は k 2 + 1 = [ k ; 2 k , 2 k , 2 k , . . . ] {\displaystyle {\sqrt {k^{2}+1}}=[k;2k,2k,2k,...]} と、周期１の連分数に展開される。近似分数は、k/1 である。 ^ "HIGHER DESCENT ON PELL CONICS." 和田秀男 『数の世界 - 整数論への道』 岩波書店、1981年7月10日。 ジョセフ・H・シルヴァーマン 『はじめての数論 原著第3版 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』 鈴木治郎 訳、ピアソン・エデュケーション、2007年4月25日。ISBN 978-4-89471-492-2。 第27章 どの数が平方数２つの和となるのでしょう？（193–194頁） 第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327–341頁） ペル数 アルキメデスの牛の問題