行列の平方根

行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん)とは平方すると元の行列となる行列のこと。 n×nの正方行列 A に対して　A = B2 を満たす行列 B を行列 A の平方根行列という。 ( 2 2 2 2 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&2\\2&2\end{smallmatrix}}\right)} の平方根行列として次の行列を挙げられる。 ( − 1 − 1 − 1 − 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{smallmatrix}}\right)} 　 ( 1 1 1 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)} ( 0 x 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&x\\0&0\end{smallmatrix}}\right)} (ただし、x≠0) は平方根行列を持たない。 ゼロ行列 ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)} は無限個の平方根行列をもつ。ゼロ行列の平方根行列の例として次の行列を挙げられる。 ( 0 x 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&x\\0&0\end{smallmatrix}}\right)} 単位行列 ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)} は無限個の平方根行列をもつ。単位行列の平方根行列の例として次の行列を挙げられる。 ( 1 x 0 − 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)} 半正定値行列Aはただ一つの半正定値の平方根行列を持つ。これをA1/2あるいは A {\displaystyle {\sqrt {A}}} と書く。 実数 a > 0 {\displaystyle a>0} の平方根 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} が exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( a ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(a)\right)} で求まることと同様に、 n次実数値正方行列 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正である場合、 行列対数関数を log ⁡ ( A ) = log ⁡ ( c ) I − Σ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle \log(A)=\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} と定義し（cは任意の正数、級数が収束すれば c {\displaystyle c} に係らず同じ値に収束する） 行列指数関数を exp ⁡ ( X ) = Σ k = 0 ∞ 1 k ! X k {\displaystyle \exp(X)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}} と定義すれば（ X {\displaystyle X} はn次実数値正方行列）、 2乗すると A {\displaystyle A} となりかつ全ての特性根の実数部分が正となる行列 A {\displaystyle {\sqrt {A}}} は、 A = exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle {\sqrt {A}}=\exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} により計算できる。 上記のことは、次のことから言える。 複素数 z {\displaystyle z} について f ( z ) = log ⁡ ( c ) − Σ k = 1 ∞ 1 k ( 1 − z c ) k {\displaystyle f(z)=\log(c)-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(1-{\frac {z}{c}}\right)^{k}} は log ⁡ ( z ) {\displaystyle \log(z)} の z = c {\displaystyle z=c} を中心とするテイラー展開であるが、その収束域は | z − c | < c {\displaystyle |z-c|<c} であるので、 c > 0 {\displaystyle c>0} を十分大きく取れば、 z {\displaystyle z} の実数部分が正であれば収束する。このため、n次実数値正方行列 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正である場合、 A {\displaystyle A} のジョルダン標準形を Q J Q − 1 {\displaystyle QJQ^{-1}} とすると、 log ⁡ ( A ) = log ⁡ ( c ) I − Σ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle \log(A)=\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} = log ⁡ ( c ) I − Σ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c Q J Q − 1 ) k {\displaystyle =\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}QJQ^{-1}\right)^{k}} = Q ( log ⁡ ( c ) I − Σ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c J ) k ) Q − 1 {\displaystyle =Q\left(\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}J\right)^{k}\right)Q^{-1}} も収束する。 一方、複素数 z {\displaystyle z} について g ( z ) = Σ k = 0 ∞ 1 k ! z k {\displaystyle g(z)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}} は exp ⁡ ( z ) {\displaystyle \exp(z)} のテイラー展開であるが、その収束域は複素数全域であるので、 exp ⁡ ( X ) = Σ k = 0 ∞ 1 k ! X k {\displaystyle \exp(X)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}} も同様にジョルダン標準形を考えれば収束することが言える。 また、 ( exp ⁡ ( X ) ) ( exp ⁡ ( X ) ) = ( Σ k = 0 ∞ 1 k ! X k ) ( Σ j = 0 ∞ 1 j ! X j ) = Σ s = 0 ∞ Σ t = 0 t = s 1 t ! ( s − t ) ! X s {\displaystyle \left(\exp(X)\right)\left(\exp(X)\right)=\left(\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}\right)\left(\Sigma _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}X^{j}\right)=\Sigma _{s=0}^{\infty }\Sigma _{t=0}^{t=s}{\frac {1}{t!(s-t)!}}X^{s}} = Σ s = 0 ∞ 1 s ! X s Σ t = 0 t = s s ! t ! ( s − t ) ! = Σ s = 0 ∞ 1 s ! X s 2 s = exp ⁡ ( 2 X ) {\displaystyle =\Sigma _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}X^{s}\Sigma _{t=0}^{t=s}{\frac {s!}{t!(s-t)!}}=\Sigma _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}X^{s}2^{s}=\exp(2X)} のため、 ( exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) ) 2 = exp ⁡ ( log ⁡ ( A ) ) = A {\displaystyle \left(\exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)\right)^{2}=\exp \left(\log(A)\right)=A} 、① また、 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} の特性根の実数部分が全て正になることは、 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正であることと、 A {\displaystyle A} の特性根 λ {\displaystyle \lambda } に対し exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} の特性根 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( λ ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(\lambda )\right)} が対応すること（フロベニウスの定理）から言える。即ち、 λ {\displaystyle \lambda } の極座標表示を λ = r exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle \lambda =r\exp(i\theta )} 但し r > 0 , − π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle r>0,-\pi /2<\theta <\pi /2} とすると、 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( λ ) ) = r exp ⁡ ( i θ 2 ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(\lambda )\right)={\sqrt {r}}\exp \left(i{\frac {\theta }{2}}\right)} この実数部分を見れば、 r cos ⁡ ( θ 2 ) > 0 {\displaystyle {\sqrt {r}}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)>0} が言える。 なお、①　 exp ⁡ ( log ⁡ ( A ) ) = A {\displaystyle \exp \left(\log(A)\right)=A} の証明については、ジョルダン細胞 J λ {\displaystyle J_{\lambda }} 、すなわち対角成分が λ {\displaystyle \lambda } で、その１つ上の成分が1で、他の成分がゼロの上三角行列について exp ⁡ ( log ⁡ ( J λ ) ) = J λ {\displaystyle \exp \left(\log(J_{\lambda })\right)=J_{\lambda }} が言えれば良い。 J λ {\displaystyle J_{\lambda }} は、対角成分が λ {\displaystyle \lambda } で、その k {\displaystyle k} 上の成分が「対角成分を k {\displaystyle k} 回 λ {\displaystyle \lambda } で微分し k ! {\displaystyle k!} で割ったもの」になっている。 J λ n {\displaystyle J_{\lambda }^{n}} は、対角成分が λ n {\displaystyle \lambda ^{n}} で、その k {\displaystyle k} 上の成分が「対角成分を k {\displaystyle k} 回 λ {\displaystyle \lambda } で微分し k ! {\displaystyle k!} で割ったもの」になっている。 このため、これらを線形結合した J λ {\displaystyle J_{\lambda }} の多項式行列は、対角成分の k {\displaystyle k} 上の成分が「対角成分を k {\displaystyle k} 回 λ {\displaystyle \lambda } で微分し k ! {\displaystyle k!} で割ったもの」になる。 この性質は、 exp ⁡ ( log ⁡ ( J λ ) ) {\displaystyle \exp \left(\log(J_{\lambda })\right)} にも当てはまる。 log ⁡ ( J λ ) {\displaystyle \log(J_{\lambda })} の対角成分は、 log ⁡ ( λ ) {\displaystyle \log(\lambda )} であり、 exp ⁡ ( log ⁡ ( J λ ) ) {\displaystyle \exp \left(\log(J_{\lambda })\right)} の対角成分は exp ⁡ ( log ⁡ ( λ ) ) = λ {\displaystyle \exp \left(\log(\lambda )\right)=\lambda } である。このため対角成分より1つ上の成分は「対角成分を1回 λ {\displaystyle \lambda } で微分し1!で割ったもの」だから1であり、その他の成分はゼロである。このため exp ⁡ ( log ⁡ ( J λ ) ) = J λ {\displaystyle \exp \left(\log(J_{\lambda })\right)=J_{\lambda }} である。 ここでは、「 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分は正」「 A {\displaystyle {\sqrt {A}}} の全ての特性根の実数部分は正」という条件下での一意性を示す。行列は複素数値行列とみなし、複素数 λ {\displaystyle \lambda } の平方根のうち、実数部分が正のものを λ {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}} 、もう一方を − λ {\displaystyle -{\sqrt {\lambda }}} と表記する。 λ {\displaystyle \lambda } を A {\displaystyle A} の固有値（複素数値行列のため特性根と一致）とする。その広義固有空間に含まれるベクトル v {\displaystyle v} すなわち ( A − λ I ) k v = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)^{k}v=0} を考える。 B {\displaystyle B} を、全ての特性根(固有値)の実数部分が正である行列とし、 B 2 = A {\displaystyle B^{2}=A} を満たすとする。 ( A − λ I ) k v = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)^{k}v=0} ( B 2 − λ I ) k v = 0 {\displaystyle (B^{2}-\lambda I)^{k}v=0} ( B + λ I ) k ( B − λ I ) k v = 0 {\displaystyle (B+{\sqrt {\lambda }}I)^{k}(B-{\sqrt {\lambda }}I)^{k}v=0} B {\displaystyle B} の全ての特性根(固有値)の実数部分は正のため d e t ( B + λ I ) ≠ 0 {\displaystyle det(B+{\sqrt {\lambda }}I)\neq 0} よって、 ( B − λ I ) k v = 0 {\displaystyle (B-{\sqrt {\lambda }}I)^{k}v=0} このため、Aの広義固有空間に含まれるベクトルとBの広義固有空間に含まれるベクトルは一致する。このため、 A {\displaystyle A} をジョルダン標準形にする行列 Q {\displaystyle Q} を使い、 B = Q J Q − 1 {\displaystyle B=QJQ^{-1}} と表わされ、ただし J {\displaystyle J} は対角線上に正方行列の小行列が並びそれ以外はゼロの行列で、各小行列は A {\displaystyle A} のジョルダン細胞に対応する上三角行列である。 J λ {\displaystyle J_{\lambda }} をジョルダン細胞（対角成分が λ {\displaystyle \lambda } でその１つ上が1その他の成分がゼロの行列）とすると、2乗して J λ {\displaystyle J_{\lambda }} となる上三角行列は、 まず対角成分が λ {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}} 、その１つ上が 1 2 λ − 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\lambda ^{-{\frac {1}{2}}}} 、その１つ上が − 1 8 λ − 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{8}}\lambda ^{-{\frac {3}{2}}}} と順次決まるため、一意性が言える。 例の節で揚げられた行列との関係を見ておく。 例１: ( 2 2 2 2 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&2\\2&2\end{smallmatrix}}\right)} 、例２： ( 0 x 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&x\\0&0\end{smallmatrix}}\right)} 、例３： ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)} これらの行列は、いずれも特性根（かつ固有値）0を持つため、 log ⁡ ( A ) {\displaystyle \log(A)} が収束せず定義できない。これはまた、 log ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \log(0)} が定義できないことからも言える。このため、これらの例では、行列対数関数、行列指数関数を使って行列の平方根を算出することは出来ない。 例４： I = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle I=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)} の特性根は1のみであり、1>0のため log ⁡ ( I ) {\displaystyle \log(I)} は計算できて log ⁡ ( I ) = O {\displaystyle \log(I)=O} である。一方、 ( 1 x 0 − 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)} の特性根は±1であり、行列対数関数、行列指数関数を使って計算する場合の「 A {\displaystyle {\sqrt {A}}} の全ての特性根の実数部分は正」という条件とは異なるものとなっている。 なお、行列対数関数、行列指数関数を使って I {\displaystyle I} の平方根を計算すれば exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( I ) ) = exp ⁡ ( 1 2 O ) = I {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(I)\right)=\exp \left({\frac {1}{2}}O\right)=I} である。 例５の半正定値行列とは、実数値対称行列でその特性根が全てゼロまたは正の実数となるものである。実数値対称行列は、特性根がすべて実数となるので、特性根と固有値は一致する。固有値がゼロの場合、行列対数関数は定義できないため計算できない。 一方、 A {\displaystyle A} が正定値行列の場合、即ち実数値対称行列でその特性根が全て正の実数となるものの場合は、行列対数関数は計算でき、 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} は正定値行列となる。これは A {\displaystyle A} が実数値対称行列なら、 A n {\displaystyle A^{n}} も実数値対称行列となり、その１次結合の極限である log ⁡ ( A ) {\displaystyle \log(A)} も実数値対称行列となり、 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} も実数値対称行列となる。 exp ⁡ ( 1 2 log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} の特性根の実数部分は正となるが、実数値対称行列の特性根は実数となるため、特性根は正の実数となり、正定値行列であることが言える。 行列指数関数は、階乗で割っているため、そのまま計算すれば非常に早く収束する。固有値を求めて計算する方法は、固有値を求めるのに却って計算時間がかかってしまう。また最小多項式を使って A k {\displaystyle A^{k}} の次数を制限する方法は、各 A j {\displaystyle A^{j}} の係数が無限級数となるため却って計算が複雑化する。 収束判定は、次のようになる。まず ‖ A ‖ = Σ j , k a j k 2 {\displaystyle \|A\|={\sqrt {\Sigma _{j,k}a_{jk}^{2}}}} とノルムを定義する。打切り誤差は W = ‖ ∑ k = 0 ∞ 1 k ! A k − ∑ k = 0 N 1 k ! A k ‖ = ‖ ∑ k = 0 ∞ 1 ( N + 1 + k ) ! A N + 1 + k ‖ ≤ ‖ A N + 1 ‖ ( N + 1 ) ! ∑ k = 0 ∞ ( N + 1 ) ! ( N + 1 + k ) ! ‖ A ‖ k {\displaystyle W={\big \|}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}-\sum _{k=0}^{N}{\frac {1}{k!}}A^{k}{\big \|}={\big \|}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(N+1+k)!}}A^{N+1+k}{\big \|}\leq {\frac {\|A^{N+1}\|}{(N+1)!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(N+1)!}{(N+1+k)!}}\|A\|^{k}} ここで、 2 ‖ A ‖ ≤ N + 2 {\displaystyle 2\|A\|\leq N+2} とすれば j ≥ 1 {\displaystyle j\geq 1} なら ‖ A ‖ N + 1 + j ≤ ‖ A ‖ N + 2 ≤ 1 2 {\displaystyle {\frac {\|A\|}{N+1+j}}\leq {\frac {\|A\|}{N+2}}\leq {\frac {1}{2}}} なので、 W ≤ ‖ A N + 1 ‖ ( N + 1 ) ! ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 ) k = 2 ‖ A N + 1 ‖ ( N + 1 ) ! {\displaystyle W\leq {\frac {\|A^{N+1}\|}{(N+1)!}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {2\|A^{N+1}\|}{(N+1)!}}} 許容誤差を E {\displaystyle E} とすれば、 2 ‖ A N + 1 ‖ ( N + 1 ) ! ≤ E {\displaystyle {\frac {2\|A^{N+1}\|}{(N+1)!}}\leq E} かつ 2 ‖ A ‖ ≤ N + 2 {\displaystyle 2\|A\|\leq N+2} が言えれば収束したと言える。 行列対数関数は、収束判定が難しいが、先に精度の高い行列指数関数を作っておき、 N {\displaystyle N} 項までの行列対数関数の和を、行列指数関数に入れて、元の行列との誤差を計測して、許容誤差に入ったかで収束判定を行う方法がある。 行列対数関数が定義されるためには、「n次実数値正方行列 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正」である必要があるが、全ての特性根の値を調べることは容易ではない。このため「n次実数値正方行列 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正」であることの十分条件が分かればよい。 十分条件の一つとしては、 A {\displaystyle A} が確率推移行列の場合（ A i j ≥ 0 {\displaystyle A_{ij}\geq 0} 、 Σ j A i j = 1 {\displaystyle \Sigma _{j}A_{ij}=1} の場合） t r ( A ) > n − 1 {\displaystyle tr(A)>n-1} ならば、 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正 がある。 別の十分条件の一つとしては、 A {\displaystyle A} が確率推移行列の場合（ A i j ≥ 0 {\displaystyle A_{ij}\geq 0} 、 Σ j A i j = 1 {\displaystyle \Sigma _{j}A_{ij}=1} の場合） 全ての対角成分が 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 超( A i i > 1 / 2 {\displaystyle A_{ii}>1/2} )ならば、 log ⁡ ( A ) {\displaystyle \log(A)} は収束する がある。 理由は、 ‖ A ‖ = max i Σ j | A i j | {\displaystyle \|A\|=\max _{i}\Sigma _{j}|A_{ij}|} とノルムを定義すれば。 ‖ A B ‖ = max i Σ j | Σ k A i k B k j | ≤ max i Σ j Σ k | A i k B k j | = max i Σ k | A i k | Σ j | B k j | ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ {\displaystyle \|AB\|=\max _{i}\Sigma _{j}{\big |}\Sigma _{k}A_{ik}B_{kj}{\big |}\leq \max _{i}\Sigma _{j}\Sigma _{k}|A_{ik}B_{kj}|=\max _{i}\Sigma _{k}|A_{ik}|\Sigma _{j}|B_{kj}|\leq \|A\|\|B\|} ‖ ( I − 1 c A ) k ‖ ≤ ‖ I − 1 c A ‖ k {\displaystyle \|(I-{\frac {1}{c}}A)^{k}\|\leq \|I-{\frac {1}{c}}A\|^{k}} c {\displaystyle c} は正ならばいくつでも良いので、以下 c ≥ 1 {\displaystyle c\geq 1} とすると、 ‖ I − 1 c A ‖ = max i ( | 1 − A i i c | + 1 c ∑ j ≠ i | A i j | ) {\displaystyle \|I-{\frac {1}{c}}A\|=\max _{i}\left(|1-{\frac {A_{ii}}{c}}|+{\frac {1}{c}}\sum _{j\neq i}|A_{ij}|\right)} = max i ( 1 − 2 A i i c + 1 c ∑ j = 1 n A i j ) = max i ( 1 − 1 c ( 2 A i i − 1 ) ) < 1 {\displaystyle =\max _{i}\left(1-{\frac {2A_{ii}}{c}}+{\frac {1}{c}}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}\right)=\max _{i}\left(1-{\frac {1}{c}}(2A_{ii}-1)\right)<1} このため、 ∑ k = 1 ∞ 1 k ‖ ( I − 1 c A ) k ‖ ≤ ∑ k = 1 ∞ 1 k ‖ I − 1 c A ‖ k = − log ⁡ ( 1 − ‖ I − 1 c A ‖ ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\|\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}\|\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\|I-{\frac {1}{c}}A\|^{k}=-\log(1-\|I-{\frac {1}{c}}A\|)} 級数が絶対収束するため、 log ⁡ ( A ) = log ⁡ ( c ) I − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle \log(A)=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} は収束する。 行列対数関数 log ⁡ ( A ) {\displaystyle \log(A)} が存在すれば、 Aのn乗根： A 1 n = exp ⁡ ( 1 n log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle A^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\log(A)\right)} Aの実数t乗： A t = exp ⁡ ( t log ⁡ ( A ) ) {\displaystyle A^{t}=\exp \left(t\log(A)\right)} Bをn次実数値正方行列として、Aの行列B乗： A B = exp ⁡ ( log ⁡ ( A ) B ) {\displaystyle A^{B}=\exp \left(\log(A)B\right)} などが計算される。 ^ Leslie Hogben (Nov 2, 2006), Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman & Hall / CRC Press, pp. 11-4, ISBN 978-1-58488-510-8, http://www.crcpress.com/product/isbn/9781584885108  ^ 太田博之（株式会社あさひ銀行金融基礎研究所）「格付推移行列の連続時間化」JAFEE(日本金融・証券計量・工学学会)2001年夏季大会予稿集P155、2001年7月13日 Sam Northshield (2010), Gems in Experimental Mathematics, 517, SQUARE ROOTS OF 2x2 MATRICES(pdf)またはGoogle eBook: American Mathematical Soc., pp. 289-304, ISBN 978-0-8218-4869-2, http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CONM-517 2013年3月4日閲覧。