命数法

命数法（めいすうほう）とは、数詞を用いて数を表す命数（めいすう）の方法である。 命数法は、言語により異なる。例えば、「四の次」を表す数を、日本語では「五」、英語では"five"、ドイツ語では"fünf"、ラテン語では"quinque"という。同じく、「十の四乗」を表す数を、日本語では「一万」、英語では"ten thousand"（十千）と呼ぶ。命数法のうち、数字を用いて数を表す方法を記数法という。 命数には、一般に「一」や「六」など自然数を表す数詞、「零」など無を表す数詞、「百」や「千」など何かの累乗数を表す数詞とがある。累乗数を表す数詞を持たない言語も少なくない。位取りは十進法が圧倒的に多いが、十二進法や二十進法も散見される。十を超える数で、十進法から独立していたり、漢字一字で表現されている特別な数詞として、十二を意味する「打」や"dozen"、二十を意味する「廿」や"score"などがある。 定式化された命数法では、零から桁の基数までを一語または一字で命名し、基数の次からは「基数NにRを加えた数」として命名する。そして、基数の二倍に達したら「M倍のN」という命名になり、基数の二倍の次は「M倍のNにRを加算」として命名される。これを繰り返し、Nの二乗はNとは別の単語で数を命名して、「Nの二乗のM倍、NのM倍、そしてRの和」を繰り返し、以後はNの累乗数が来た時に新しい単語が命名される。 例えば、十進法による命数法では、零から十までを一語または一字で命名し、十の次からは「十一」「十二」というように「十にRを加えた数」として命名する。そして、十の二倍を「二十」というように「二倍の十」として命名し、その次は一つずつ「二十一」「二十二」というように「M倍の十に一を加算、二を加算…」という風に命名し、「九十八」「九十九」と数えてその次の十の二乗は「百」という別の単語で命名する。 これ以後は、「百一」「百二」「百十」「二百」「三百四十五」…というように「M倍の百、M倍の十、そしてRの和」による命名を繰り返し、「九百九十八」「九百九十九」などと数えて…、十の三乗で「千」、十の四乗で「万」というように十の累乗数で新しい数詞を命名する。 十二進法による命数法では、零から十二までを一語または一字で命名し、その次の十三を「十二に一を加算」として命名し、二十二を「十二に十を加算」（1A12）というように、十三から二十三までを「十二にRを加えた数」として命名する。そして、十二の二倍である二十四を「二倍の十二」として命名し、二十五を「二倍の十二に、一を加算」、三十六を「三倍の十二」、五十九を「四倍の十二に、十一を加算」（4B12）という風に「M倍の十二にRを加算」する命名を繰り返す。そして、百四十三を「十一倍の十二に、十一を加算」として命名し、その次の十二の二乗である百四十四を「簍」や"gross"など別の単語で命名する。 これ以後は、百四十五を「百四十四に、一を加算」、百六十八を「百四十四に、二倍の十二を加算」、二百八十八を「二倍の百四十四」「二簍」、千五百八十四を「十一倍の百四十四」「十一簍」、千六百五十を「十一倍の百四十四、五倍の十二、そして六の和」（B5612）というように「M倍の百四十四、M倍の十二、そしてRの和」による命名を繰り返し、千七百二十八（十二の三乗）や二万七百三十六（十二の四乗）といった十二の累乗数で新しい数詞を命名する。 二十進法による命数法も同じく、零から二十までの個別の数と、四百（二十の二乗）や八千（二十の三乗）や十六万（二十の四乗）など二十の累乗数が、一語または一字で命名される。 四百未満の数も、二十一を「二十に一を加算」、三十を「二十に十を加算」（1A20）、四十を「二倍の二十」、四十一を「二倍の二十に、一を加算」、六十を「三倍の二十」、九十二を「四倍の二十に、十二を加算」（4C20）、三百九十九を「十九倍の二十に、十九を加算」、というように「M倍の二十にRを加算」する命数法になる。 四百以後の数も、四百一を「四百に、一を加算」、四百四十を「四百に、二倍の二十を加算」、八百を「二倍の四百」、七千六百を「十九倍の四百」、七千七百二十八を「十九倍の四百、六倍の二十、そして八の和」（J6820）、というように「M倍の四百、M倍の二十、そしてRの和」という形式で命名する。 英語では、七十を、"seventy"以外にも、"five dozen and ten"や"three score and ten"という言い方をする場合がある。これらのうち、"seventy"は十進命数法（7×10 = 70。7010）であり、"five dozen and ten"は十二進命数法（5×12 + 10 = 70。5A12）であり、"three score and ten"は二十進命数法（3×20 + 10 = 70。3A20）である。 ドイツ語では、neun（九）、zehn（十）、elf（十一）、zwölf（十二）、dreizehn（十三）、neunzehn（十九）、zwanzig（二十）、neunzig（九十）、hundert（百）…というように、十二以前が独立した命数法で、十三以後が十進法による命数法になっている。これらを一貫して十二進法で命名すれば、十三は"einzwölf"（十二に一を加算）、二十二は"zehnzwölf"（十二に十を加算）、九十六は"achtzwölig"（八倍の十二）、百は"vier und achtzwölig"（八倍の十二に、四を加算。8412）というように、十三から二十三までは「十二にRを加えた数」、二十四から百三十二までの十二の倍数は「M倍の十二」という命数法になる。 同じく、十進命数法の「四十五」（4×10 + 5。4510）を、十二進法や二十進法で命名すると、十二進命数法なら「三打九」（3×12 + 9。3912）、二十進命数法なら「二廿五」（2×20 + 5。2520）という命数法になる。同じく、十進命数法の「二百七十」（2×102 + 7×10。27010）も、十二進命数法なら「簍十打六」（1×122 + 10×12 + 6。1A612）、十干で十一を「甲」と表現する二十進命数法なら「丙廿十」（13×20 + 10。DA20）、といった数詞になる。 数学の発展に伴い、大数を表すのに複数の位の数詞を組み合わせる方法が様々な言語で生まれた。 現在では、漢字文化圏では4桁（万倍）ごと（ただしベトナムでは3桁ごとの組に区切る）、ヨーロッパでは3桁あるいは6桁（千倍あるいは百万倍）ごと、インドでは1000の百倍ごとの組に区切り、各組に位の数詞を付ける方法が取られている。例えば日本語では12345678を「一千二百三十四万五千六百七十八」と呼ぶ。書くときに、アラビア数字の十進位取り記数法を併用して「1234万5678」とすることも広く行われている。 中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。 一、十、百、千、万、億、兆、京、… 万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である。 当初は万 (104) を区切りとして十万 (105)、百万 (106)、千万 (107) まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億 (105)、兆 (106)、と名付けていた。これを下数（かすう）と呼ぶ。 漢代あたりから、上数（じょうすう）が記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億（108）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆 (1016)、兆兆が京 (1032) となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。 その後、千万の次を億とし、十億 (109)、百億 (1010) と続けていく方法が考案された。これを中数（ちゅうすう）という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万 (108) 倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億 (1011)、万億 (1012)、十万億 (1013) と続き、億の万万倍を兆 (1016)、兆の万万倍を京 (1024) とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆 (1012) とする万進に移行した。 日本では、1627年（寛永4年）の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが、極以下が下数、恒河沙より上を万万進の中数としていた。1631年（寛永8年）の版では極以下が万進に改められ、1634年（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。 中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭辞のメガ (106) に「兆」（下数における 106）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 108、「兆」は下数の 106 の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆 (1012) は「万億」といい、京以上については、例えば 1016 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾には日本の命数法が導入されていたので、兆は 1012 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。 ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、106を「triệu」（兆）、109を「tỷ」（秭）と呼ぶ。これは下数にあたる。 「塵劫記」での命数は以下のようになっている 。 位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。 「塵劫記」のいくつかの写本では1恒河沙=1億極、1阿僧祇 = 1億恒河沙というように恒河沙から8桁刻み(万万進)となる。この説に従うと1恒河沙 = 1056、1阿僧祇 = 1064、1那由他 = 1072、1不可思議 = 1080、1無量大数 = 1088となる。 なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。 小数については、一桁（0.1倍）ごとに新たな名前をつける下数が行われているが、これも、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑『算学啓蒙』では沙以下は万万進としているほか、「虚・空・清・浄」を4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。 このうち、「塵劫記」では埃より大きいもののみが紹介されている 。 実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳（りっとく）」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。 実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」のように1の位の後に「基準単位（ここでは「寸」）」をつける。現代的な表現が「2.34寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。 基準単位として「割」を使う場合は「二割三分四厘」のようになることから、「分が 1/100、厘が 1/1000 だ」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.34割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であり、上記の「二寸三分四厘 = 2.34寸」と同様の表現である。 上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 である」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。詳細は、分 (数)#1/100を意味するとの誤解を参照のこと。 華厳経の巻第四十五、阿僧祇品第三十には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている。105 を洛叉（らくしゃ）、百洛叉 (= 107) を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。最大の命数である不可説不可説転は 10 7 × 2 122 = 10 37218383881977644441306597687849648128 {\displaystyle 10^{7\times 2^{122}}=10^{37218383881977644441306597687849648128}} という巨大な数となる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟りの功徳の大きさを表したものである。 なお、この命数法には曖昧さがある。「一不可説不可説転」はひとつの命数と見なせば 10 7 × 2 122 {\displaystyle 10^{7\times 2^{122}}} であるが、「不可説」「不可説転」という命数が別にあるため、「一不可説/不可説転」として 10 7 × 2 119 × 10 7 × 2 120 = 10 7 × 3 × 2 119 {\displaystyle 10^{7\times 2^{119}}\times 10^{7\times 2^{120}}=10^{7\times 3\times 2^{119}}} という数としても解釈できる。 西洋の命数法を参照 インドの命数法を参照 ^ wikisource:zh:五經算術：按黃帝為法、數有十等。 及其用也、乃有三焉。十等者、謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。三等者、謂上、中、下也。其下數者、十十變之。若言十萬曰億、十億曰兆、十兆曰京也。中數者、萬萬變之。若言萬萬曰億、萬萬億曰兆、萬萬兆曰京也。上數者、數窮則變。若言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京也。若以下數言之、則十億曰兆；若以中數言之、則萬萬億曰兆；若以上數言之、則億億曰兆。 ^ “新編塵劫記第３巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。 第一：大数の名の事 ^ “新編塵劫記第３巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。 第二：小数の名の事 数の一覧 数の比較 単位一覧 位取り記数法 漢数字 西洋の命数法 インドの命数法 無量大数の彼方へ 大数の名前