等比数列

等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、英: geometric progression, geometric sequence）は、数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなものである。言い換えると、n 倍の繰り返しで離れている数列である。その冪乗の始まりとなる数値を公比（こうひ、英: common ratio）という。 例えば、4, 12, 36, 108, 324…という数列 (an)∞ n=1  は、3倍の繰り返しで増えている（4、4×31、4×32、4×33、4×34…）ため、初項が4で、公比が3の等比数列である。同じく、5, 60, 720, 8640, 103680…という数列は、12倍の繰り返しで離れている（十二進数に直すと5, 50, 500, 5000, 50000…の順で増えている）ため、初項が5で、公比が12の等比数列である。 公比 r は r = an+1/an という形で表され、0以外の全ての数を取りうる（r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて以下のように表せる。 a , a r , a r 2 , a r 3 , a r 4 , … {\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots } すなわち n 番目の項 an（一般項）は以下の式で求まる。 a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} 一般に第 n 項 an と第 m 項 am の関係は a n = a m r n − m {\displaystyle a_{n}=a_{m}r^{n-m}} 　である。 等比数列を漸化式で表すと、 a 1 = a , a n + 1 = r a n ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{1}=a,\quad a_{n+1}=ra_{n}\quad (n\geq 1)} となる。公比が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる数列となる。例えば　3,−6,12,−24,…　という数列は公比 −2 の等比数列であり、一般項は a n = 3 ⋅ ( − 2 ) n − 1 = ( − 1 ) n − 1 3 ⋅ 2 n − 1 {\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}\,3\cdot 2^{n-1}} となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。 公比 r が r > 1 ならば等比数列は初項の符号によって正もしくは負の無限大に発散する。 また −1< r < 1 の場合は0に収束する。 r = −1 では a と −a の値のみを交互にとる（振動）。 r < −1 では振動する（発散する。正もしくは負の無限大に発散するということではない）。 形式的に等比数列の一般項の対数をとると log ⁡ a n = log ⁡ a + ( n − 1 ) log ⁡ r {\displaystyle \log a_{n}=\log a+(n-1)\log r} となり、数列 (log an) は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。 等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ。 等比級数は等比数列の項の総和のことをいい、初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。 ∑ k = 1 n a r k − 1 = a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\dotsb +ar^{n-1}} ここで ( 1 − r ) ∑ k = 1 n r k − 1 = ( 1 − r ) ( r 0 + r 1 + r 2 + r 3 + ⋯ + r n − 1 ) = ( r 0 + r 1 + r 2 + r 3 + ⋯ + r n − 1 ) − ( r 1 + r 2 + r 3 + r 4 + ⋯ + r n − 1 + r n ) = 1 − r n {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}r^{k-1}&=(1-r)(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})\\&=(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})-(r^{1}+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=1-r^{n}\end{aligned}}} であるので ∑ k = 1 n a r k − 1 = a ( 1 − r n ) 1 − r ( r ≠ 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\quad (r\neq 1)} r = 1 では ∑ k = 1 n a = n a {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a=na} である。第 m 項から第 n 項までの和は ∑ k = m n a r k − 1 = ∑ k = 1 n a r k − 1 − ∑ k = 1 m − 1 a r k − 1 = a ( r m − 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}-\sum _{k=1}^{m-1}ar^{k-1}={\frac {a(r^{m-1}-r^{n})}{1-r}}} 初項から全ての項の和を無限級数という。−1< r < 1 すなわち |r| < 1 では n→∞ の極限で以下の式で求められる値に収束する。 ∑ k = 0 ∞ a r k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = lim n → ∞ a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r = lim n → ∞ a 1 − r − lim n → ∞ a r n + 1 1 − r = a 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}} a ≠ 0かつ |r| ≧ 1 ではこの級数は収束しない。 a = 1 の場合の式を r で項別微分すると d d r ∑ k = 0 ∞ r k = ∑ k = 1 ∞ k r k − 1 = 1 ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}} となり、 ∑ k = 0 ∞ k r k = ∑ k = 0 ∞ k r k − 1 r = r ( 1 − r ) 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}r={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}} が導かれる。 ^ r > 0 のとき b は比例中項と呼ばれる。a:b = b:c = r 級数 数列 超幾何級数 等差数列 竹之内脩『等比数列』 - コトバンク 世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list