一様空間

数学の一分野、位相空間論における一様空間（いちようくうかん、英: uniform space）は一様構造を備えた集合である。一様空間は（完備、一様連続、一様被覆などの）付加的な構造を備えた位相空間にもなっている。 一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い（x が A の閉包に属する）」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。 一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であり、それゆえに解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。 一様構造を定義する方法はいくつか存在する。 近縁系 Φ を備えた一様空間 (X, Φ) とは、集合 X と直積集合 X × X の部分集合からなる空でない族 Φ で以下の公理を満足するものとの組のことをいう。 U が Φ の元ならば U は対角線集合 Δ = {(x, x) : x ∈ X} を含む。 U が Φ の元で V が U を含む X × X の部分集合ならば、V もやはり Φ の元である。 U, V がともに Φ の元ならば U ∩ V もまた Φ に属する。 U が Φ の元ならば、Φ の適当な元 V が存在して、(x, y) および (y, z) が V に属する限り必ず (x, z) が U に属する。 U が Φ の元ならば U−1 = {(y, x) : (x, y) in U} もまた Φ に属す。 最後の条件を落とした場合、その空間は準一様 (quasiuniform) であるという。近縁系 Φ のことを X の一様構造 (uniform structure) とか一様系 (uniformity) と呼ぶこともある。また Φ の元を近縁（仏: entourages）という。 しばしば U[x] := {y : (x,y) ∈ U} という記法を用いる。グラフ上では、典型的な近縁は主対角線 y = x の周りにぼんやりと広がったものになり、U[x] はそれを垂直に切った断面として得られる。近縁 U に対して (x, y) ∈ U となることを「x と y は U 的に近い（U-近い）」という。同様に、X の部分集合 A のどの二点も U-近い（つまり、A × A が U に含まれる）とき、「A は U 的に小さい（U-小さい）」という。また、近縁 U が対称であるとは、(x, y) ∈ U ならば必ず (y, x) ∈ U であることをいう。公理 1 が述べているのは各点は任意の近縁 U に関して自分自身と U-近いということであり、公理 3 により「U-近い、かつ V-近い」という関係も同じ一様系における近さの関係となることが保証される。公理 4 は各近縁 U に対して「大きさが半分」の近縁 V があることを述べるものになっている。公理 5 は「近さ」の概念が一様構造に関して本質的に対称的な性質であるということを述べている。 一様系 Φ の基本近縁系 (fundamental system of entourages) とは、Φ に属する近縁からなる集合 B であって、Φ の各近縁に対してそれに含まれる B の元がとれるようなものをいう。上述の公理 2 によって、基本近縁系 B が与えられれば一様系 Φ は（B の元を含むような X × X の部分集合全体のなす集合族として）一意的に定まる。任意の一様空間は、対称近縁からなる基本近縁系を持つ。 一様系に関して正しい直観を得ることができるような例として、距離空間を考えよう。(X, d) を距離空間とすると、a を添字とする集合族 U a = { ( x , y ) ∈ X × X : d ( x , y ) ≤ a } where a > 0 {\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0} は、X の標準一様構造に関する基本近縁系をなす。x と y が Ua-近いというのは、ちょうど x と y との距離が高々 a であるときである。 一様系 Φ が同じ集合上の別の一様系 Ψ よりも細かい (finer) とは、Φ ⊃ Ψ となることをいう。このとき Ψ は Φ よりも粗い (coarser) という。 一様空間の同値な別の定義として、擬距離（pseudometric、文献によっては準距離と呼ぶ場合がある）を用いるものがある。この方法は（半ノルム族によって擬距離が与えられる）函数解析学において特に有用である。より具体的に、f: X × X → R が集合 X 上の擬距離であるとすると、a > 0 に対する逆像 Ua := f −1([0, a]) の全体が適当な一様系の基本近縁系となることが示される。Ua 全体の生成する一様系は、ただ一つの擬距離によって定義される一様系である。文献によっては、このような位相を備えた空間を擬距離ゲージ空間を用いて定義する。 X 上の擬距離の族 (fi) に対して、この族が定める一様構造とは、個々の擬距離 fi の定める一様構造の「上限」として定まる一様構造をいう。この族の定める一様構造に関する基本近縁系は、個々の擬距離の定める一様系に属する近縁の「有限個」の交わりとして書けるような集合の全体を考えることによって与えられる。擬距離の族が「有限個」の元からなるとすると、族の定める一様構造は、ただ一つの擬距離（つまり、擬距離族の上方包絡擬距離 sup fi）によって定めることができる。 さらに、少し自明でないが、可算基本近縁系を許すような一様構造（従って特に、擬距離の可算族の定める一様構造）はただ一つの擬距離から定まることが示せる。この帰結として、「任意の」一様構造が（必ずしも可算でない）擬距離族によって、同様に定めることができることがわかる。 一様被覆族 Θ を備えた一様空間 (X,Θ) とは、集合 X とその被覆の集合のなかで、星型細分による順序に関してフィルターを成す、一様被覆と呼ばれる特定の種類の集合からなる族 Θ の組である。被覆 P が被覆 Q の星型細分 (star refinement) であるとは、各 A ∈ P に対して適当な U ∈ Q が存在して A ∩ B ≠ ∅ かつ B ∈ P ならば B ⊆ U とできることをいい、P <∗ Q で表す。公理としてまとめると以下のようになる。 {X} は一様被覆である。 P <∗ Q かつ P が一様被覆ならば Q もまた一様被覆である。 P および Q が一様被覆ならば、適当な一様被覆 R が存在して P と Q の両方の星型細分となる。 点 x と一様被覆 P が与えられたとき、x を含む P の元すべての和を、x の「サイズ」が P であるような典型的な近傍として考えることができて、この直観的な測度はこの空間上の一様系に対して適用できる。 一様空間がその近縁系によって与えられているとき、被覆 P が一様であることを、各点 x ∈ X に対して A ∈ P で U[x] ⊆ A となるような近縁 U が存在することとして定めると、このような一様被覆の全体を考えることによって一様被覆の意味での一様空間が定まる。逆に、一様被覆によって一様空間が与えられているとき、P が一様被覆全体を亘るときの和 ⋃{A × A : A ∈ P} の拡大集合の全体は、近縁系の意味で定義される一様空間の近縁系を成す。さらに、これらの構成はそれぞれ互いの逆の操作になっている。 任意の一様空間 X は、X の部分集合 O が開であることを、O の各元 x に対して適当な近縁 V が存在して V[x] ⊆ O とできることとして定めることにより、位相空間となる。この位相に関して、{V[x] : V ∈ Φ} は点 x の近傍フィルターとなることが、「大きさが半分」の近縁系の存在を繰り返し用いることによって示せる。一般の位相空間と比べて、一様構造の存在は近傍の大きさの比較を可能とするものとなっている（例えば、V[x] と V[y] は「同じ大きさ」であると考えられる）。 一様構造の定める位相は、一様構造によって誘導されるという。また位相空間上の一様構造がその位相と両立するとは、一様構造の定める位相がもともとの位相と一致することをいう。一般に、同じ位相空間 X 上のいくつか異なる一様構造が、X の与えられた位相と両立しうる。 位相空間が一様化可能 (uniformizable) であるとは、その位相と両立する一様構造が存在することを言う。 任意の一様化可能空間は完全正則空間である。さらに言えば、一様化可能空間 X において以下の条件は互いに同値になる。 X はコルモゴロフ空間 (T0) である。 X はハウスドルフ空間 (T2) でである。 X はチコノフ空間 (T3½) である。 任意の両立する一様構造に対して、近縁すべての交わりは対角線集合 {(x, x) : x ∈ X} に一致する。 一様化可能空間の位相は常に対称的である（つまり、一様化可能空間は R0-空間である）。 逆に、任意の完全正則空間は一様化可能である。完全正則空間 X の位相と両立する一様系が、X 上の全ての実数値連続函数が一様連続となるような最も粗い一様系によって与えられる。また、この一様系の基本近縁系が、集合族 (f × f)−1(V) の有限交叉の全体によって与えられる。ここで f は X 上の実数値連続函数で V は一様空間 X の近縁全体を亘る。この一様系の定める位相は X のもともとの位相よりも明らかに粗いが、実はもとの位相よりも細かい（ので実際にはもとの位相に一致する）ことが完全正則性（つまり、各点 x ∈ X と x の近傍 V に対して、実数値連続函数 f で f(x) = 0 かつ V の外側で恒等的に 1 となるものが存在する）からの簡単な帰結として分かる。 特に、コンパクトハウスドルフ空間は一様化可能である。実は、コンパクトハウスドルフ空間 X に対して、X × X の対角線集合の近傍全体の成す集合は、その位相と両立する「ただ一つの」一様系を成す。 ハウスドルフ一様空間が距離化可能となるのは、可算な基本近縁系を持つときである。実際、上述の如くそのような一様系はただ一つの擬距離によって定義することができて、それは空間がハウスドルフならば距離とならねばならない。特に、位相線型空間の位相がハウスドルフかつ半ノルムの可算族によって定義されるものであるならば、それは距離化可能である。 位相空間の間の連続写像が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は一様連続写像と呼ばれる。一様空間と一様連続写像の全体はひとつの圏を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。 一様連続写像は近縁系の逆像がふたたび近縁系となるような写像として定義される。あるいは同じことだが、一様被覆の逆像がふたたび一様被覆となるような写像と言ってもよい。 任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である。 任意の一様空間 X には付随するハウスドルフ一様空間が存在しる。つまり、ハウスドルフ一様空間 Y と一様連続写像 i: X → Y で以下の普遍性 X から任意のハウスドルフ一様空間 Z への一様連続写像 f に対して、一様連続写像 g: Y → Z で f = g∘i を満たすものが一意的に存在する。 を満たすものが存在する。付随するハウスドルフ一様空間 Y は同型を除いて一意である。 一様空間 X について 「x ∼ {\displaystyle \sim } y ⇔ ある近縁 U が存在して (x, y) が属する」として定義される関係 ∼ {\displaystyle \sim } は同値関係となる。この同値関係に関する商空間 X/ ∼ {\displaystyle \sim } が X に付随するハウスドルフ一様空間となる。 完備距離空間の概念を一般化して、一様空間に対する完備性を定義することができる。この場合、コーシー列の代わりにコーシーフィルター（あるいはコーシーネット）を用いる。 一様空間 X 上のコーシーフィルター F とは、フィルター F であって、各近縁 U に対して A ∈ F で A×A ⊆ U となるものが取れるものをいう。つまり、フィルターがコーシー的であるのは、それが「どれほどでも小さい」集合を含むときである。定義から（一様構造の定める位相に関して）一点に集積するようなフィルターはいずれもコーシーフィルターとなることが従う。 逆に、一様空間が完備であるとは、その空間上の任意のコーシーフィルターが収束することをいう。任意のコンパク空間は、その位相と両立する唯一の一様系に関して完備な一様空間である。 完備一様空間には、以下のような重要な性質がある。f: A → Y が一様空間 X の稠密部分空間 A から完備一様空間 Y への一様連続写像ならば、f は X 全体で定義された一様連続写像へ拡張することができる（ Y がハウスドルフならこの拡張は一意的）。 完備一様空間とすることができる位相空間で、その一様系が誘導する位相が元の位相に一致するとき、その位相空間は完備一様化可能空間であるという。 距離空間の場合と同様に、ハウスドルフ一様空間 X に対して、その完備化を考えることができる。つまり、完備ハウスドルフ一様空間 Y と一様連続写像 i: X → Y で以下の普遍性 X から任意の完備ハウスドルフ一様空間 Z への一様連続写像 f に対して、一様連続写像 g: Y → Z で f = g∘i を満たすものが一意的に存在する。 を満たすものが存在する。完備化 Y は同型を除いて一意である。集合として、Y は X の閉集合系上のコーシー超フィルター全体の成す集合を取ればよい。そして、 i を X の各点 x を x を含む閉集合全体に移す写像とすれば良い。 完備化 Y 上の一様構造は以下のように定まる。各近縁 V に対して、集合 C(V) を「あるF×G の元 (A,B) で A×B が V に含まれる」を満たすコーシー超フィルターの対 (F, G) 全体の成す集合とする。このとき、Vを添字とする集合族 C(V) が基本近縁系となることが示せて、Y はこの基本近縁系から定まる一様構造を持つ。 故に、集合 i (X) は Y の稠密な部分集合となる。i は i (X) の上への同型であり、従って X をその完備化 Y の稠密部分集合と同一視することができる。 任意の距離空間 (M, d) は一様空間と見なすことができる。実際、距離函数は擬距離函数の特別なものであるから、上述の擬距離を用いた定義に従って、M には一様構造が入る。この一様性に関する基本近縁系は U a := d − 1 ( [ 0 , a ] ) = { ( m , n ) ∈ M × M : d ( m , n ) ≤ a } {\displaystyle U_{a}:=d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}} で与えられる。この M 上の一様構造は M の距離空間としての通常の位相を一般化するものになっているが、しかし別な距離空間が同じ一様構造を持つことがあり得る（自明な例は、距離函数をその定数倍に取り替えることで得られる）。この一様構造を用いて、一様連続や距離空間の完備性の別（だが同値）な定義を与えることもできる。 距離を用いれば、異なる一様構造が同じ位相を定める単純な例が構成できる。例えば、 d1(x,y) = |x − y| を R 上の通常の距離とし、d2(x,y) = |ex − ey| とおくと、いずれの距離も R の通常の位相を誘導するが、その一様構造は異なる。実際、{(x, y) : |x − y| < 1} は d1 の定める一様構造に関する近縁になるが、d2 に関しては近縁にならない。感覚としては、この例は通常の一様系と連続だが一様連続でない函数を通してゆがめられた一様系をとったものになっていると考えることができる。 任意の位相群（特に任意の位相線型空間）G は、G × G の部分集合 V が近縁であるというのを、それが G の単位元の適当な近傍 U に対する集合 {(x, y) : x⋅y−1 ∈ U} を含むことと定義することによって、一様空間となる。G 上のこの一様構造は、G の各元 a による右乗法 x → xa がこの一様構造に関して一様連続となることから、G 上の右一様系と呼ばれる。同様にして G 上の左一様系も定義される。G に右一様系と左一様系がともに定義されるとき、それらは必ずしも一致する必要はないが、しかしいずれが生成する位相も G のもともとの位相と一致する。 アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『Topologie Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。 ^ Bourbaki: General Topology Chapter IX §1 no. 4 距離空間 完備距離空間 一様連続 空間 (数学) 位相空間 coarse空間 John L. Kelley (1975) [1955]. General topology. Graduate Texts in Mathematics, No. 27. Springer-Verlag, New York-Berlin. ISBN 978-0387901251. 『位相空間論』 児玉之宏訳、吉岡書店〈数学叢書〉、1968年。 Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter II is a comprehensive reference of uniform structures, Chapter IX § 1 covers pseudometrics, and Chapter III § 3 covers uniform structures on topological groups John R. Isbell, Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1 I. M. James, Introduction to Uniform Spaces ISBN 0-521-38620-9 I. M. James, Topological and Uniform Spaces ISBN 0-387-96466-5 John Tukey, Convergence and Uniformity in Topology; ISBN 0-691-09568-X André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937