アーベル–ルフィニの定理

アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、英: Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算と冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。 方程式の係数を含む体に適当な冪根を添加して体を拡大していき、その中に根を含むようにできる。 アーベル–ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。 代数学の基本定理が示す通り、n 次方程式は複素数の範囲で本質的に n 個の根を持つが、それを根号によって表示できるとは限らないことになる。冪根のみによらない手法についてはこの定理は触れていない（例えば超越関数によって容易に表示できたとしても代数的に解けたとはいわない）。また五次以上でも特定の条件付き方程式ならば解く事ができ、このようなものの一部はアーベル方程式と呼ばれる。もっとも単純なアーベル方程式は1の冪根を根にもつ xn = 1 であり、これが可解であることはカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された。 一時この定理は完全な形で提出したニールス・アーベルにその功績が帰されていたが、現在ではパオロ・ルフィニの貢献を入れてアーベル–ルフィニの定理とする表記が多い。これはアーベルの業績になる定理が多く、単に「アーベルの定理」というと区別しにくいという事情も関係している。 代数方程式の可解性について初めて考察を加えたのはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュである。それ以前は三次、四次の解法について散発的な新証明が見つかるばかりで、五次以上の方程式については全く分かっていなかった。代数学の基本定理により、五次以上の方程式にも次数と等しいだけの根があること自体は明らかであったので、五次方程式は「解けるに違いないが非常に難しい問題」と捉えられていた。 ラグランジュは高次方程式を直接解くのではなく、三次、四次方程式を考察することで、何故そのような解の公式が出現したのかを示した。 これにより、ラグランジュは方程式が代数的に解けるための条件を示したことになるが、それ以上には進まなかった。 五次方程式の解法の不可能性について、本質的な仕事はパオロ・ルフィニによるものと考えられている。しかしルフィニの証明は分かりづらい上に欠陥があったため、そのままで受け入れられることはなかった。発表が難しい時代とはいえ、ニールス・アーベルが欠陥を修正するまでに結局25年も経っており、ルフィニの仕事の認知度が低かったことが伺い知れる。論文を査読したラグランジュも証明には懐疑的だったらしい。とはいえ、この頃から五次以上は不可能という可能性が考えられるようになった。 同時期の貢献としては他にカール・フリードリヒ・ガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやエヴァリスト・ガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。 ラグランジュを学んだアーベルは、当初五次方程式の解法を発見しようとしていたが、そのうちに不可能かも知れないと考えるようになり、研究の方向を転換する。1823年の末に証明は完成し、翌1824年、最初の論文「5次の一般方程式の解法の不可能性を証明する代数方程式についての論文」(Abel, “Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré”) が出版された。さらに1826年には、最初の論文を修正した論文「4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明」(Abel, “Dèmonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré”) が出版された。 一方ガロアはアーベルとは独立でほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められて存在を知る。オーギュスタン＝ルイ・コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。 どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。群の存在を明確に意識することで方程式の性質を明らかにしたのはガロアであり、現在ではアーベルらの証明は歴史的意義以外ではあまり意味を持たない、ガロア理論の具体的な応用例の一つとされている。 1545年　ジェロラモ・カルダーノが『アルス・マグナ』を出版。三次、四次方程式の解法が公表される。 1770年　ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが代数方程式の解法と根の置換について考察し、代数方程式が解けるための条件を初めて見いだす。 1799年　パオロ・ルフィニが最初の不可能性の論文を発表。同年カール・フリードリヒ・ガウスが代数学の基本定理を証明した学位論文中で五次方程式の不可能性について予言。 1824年　最初の論文によりニールス・アーベルによってルフィニの欠陥が解決される。定理の成立。 1826年　2番目の論文が出版される。 1829年　アーベル没。エヴァリスト・ガロアが代数方程式の可解性について最初の論文を書く。 1832年　ガロア没。 1846年　ジョゼフ・リウヴィルによりガロアの仕事が世に出る。 ^ ルフィニの欠陥を現代的に書けば次のような事になる。 上記の通り、公式が存在するかどうかは、係数体を起点に零点を記述できる体までのベキ根拡大列が作れるかどうかに帰着する。ルフィニはここで、零点 t 1 , . . . t n {\displaystyle t_{1},...t_{n}} からなる有理関数体 L = C ( t 1 , . . . , t n ) {\displaystyle L=\mathbb {C} (t_{1},...,t_{n})} への拡大列がない事を証明した。 問題は、 L {\displaystyle L} が零点を含む体の中で最小のものだという事である。例えば、 t 1 {\displaystyle t_{1}} の代わりに t 1 {\displaystyle {\sqrt {t_{1}}}} を含む L ′ = C ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) ⊃ L {\displaystyle L'=\mathbb {C} ({\sqrt {t_{1}}},t_{2},...,t_{n})\supset L} のようなものに対して、 L {\displaystyle L} を経由せず一足飛びに L ′ {\displaystyle L'} を得るような拡大の可能性は考慮されていない。この点を厳密に論じたのがアーベルで、ルフィニの証明が結果的には十分だった事が示された。 アーベル、ガロア 『群と代数方程式』 守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年4月20日。ISBN 4-320-01164-3。 - 1824年および1826年の原論文の翻訳とその解説。 高木貞治 『代数学講義』 共立出版、1965年11月、改訂新版。ISBN 4-320-01000-0。 竹内端三 『群論』 共立出版、1933年10月。NDLJP:1063306。 津田丈夫 『不可能の証明』 共立出版、2011年4月（原著1985年6月）、復刊。ISBN 978-4-320-01967-6。 - 2011年に復刊。 原田耕一郎 『群の発見』 岩波書店〈数学，この大きな流れ〉、2001年11月。ISBN 4-00-006791-5。 Pesic, Peter (February 27, 2004), Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability (Paperback ed.), The MIT Press, ISBN 0-262-66182-9  ピーター・ペジック 『アーベルの証明　「解けない方程式」を解く』 山下純一 訳、日本評論社、2005年3月。ISBN 4-535-78404-3。 - 1824年の原論文の解説。付録に原論文の翻訳を付す。 渡辺秀雄 『方程式論』 共立社〈輓近高等數學講座 第4〉、1929年、151-169頁。 - 第8章「五次以上ノ一般ナル方程式ノ代數的解法ノ不能」参照。 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS'ALGÉBRIQUES, OU L'ON DÉMONTRE. L'IMPOSSIBILITÉ DE LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE. DU CINQUIÈME DEGRÉ (PDF) （フランス語の原論文） Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré (PDF) （フランス語の原論文） Weisstein, Eric W. "Abel's Impossibility Theorem". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list