タクシー数

n 番目のタクシー数（タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。 なお、ここでの平方数は正の整数のみを考える。負の整数も含めるときは、キャブタクシー数と呼ばれる。 与えられた正の整数 N に対し、不定方程式 x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N} の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y3 < N であるため）。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。 任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると x 3 + y 3 = m {\displaystyle x^{3}+y^{3}=m} は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 ( x i / d i , y i / d i ) ( i = 1 , 2 , … , k ) {\displaystyle (x_{i}/d_{i},y_{i}/d_{i})(i=1,2,\ldots ,k)} を選んで分母を払うことにより ( x i D i ) 3 + ( y i D i ) 3 = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 , D i = ( d 1 d 2 ⋯ d k ) / d i {\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3}+(y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}} が成り立つ。 N = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 {\displaystyle N=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3}} ととれば s ( N ) ≥ k {\displaystyle s(N)\geq k} が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。 一般に F が3次形式で F ( x , y ) = m 0 {\displaystyle F(x,y)=m_{0}} が階数 r の楕円曲線を与えているとき、 F ( x , y ) = m , m = m 0 d 3 {\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}} の解の個数が > c(log m)r/(r+2) となる m が無数に存在する（c> 0 は F と m0 のみに依存し d には依存しない）。 x 3 + y 3 = 657 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=657} は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって s ( N ) > c log 3 / 5 ⁡ N {\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N} となる N が無数に存在する。したがって Ta ( n ) < exp ⁡ ( c n 5 / 3 ) {\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})} が無数の n に対して成り立つ。 現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（オンライン整数列大辞典の数列 A011541参照）。 Ta ⁡ ( 1 ) = 2 = 1 3 + 1 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 2 ) = 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 3 ) = 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 4 ) = 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 5 ) = 48988659276962496 = 38787 3 + 365757 3 = 107839 3 + 362753 3 = 205292 3 + 342952 3 = 221424 3 + 336588 3 = 231518 3 + 331954 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 6 ) = 24153319581254312065344 = 582162 3 + 28906206 3 = 3064173 3 + 28894803 3 = 8519281 3 + 28657487 3 = 16218068 3 + 27093208 3 = 17492496 3 + 26590452 3 = 18289922 3 + 26224366 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}} 以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。 Ta ⁡ ( 7 ) ≤ 24885189317885898975235988544 = 2648660966 3 + 1847282122 3 = 2685635652 3 + 1766742096 3 = 2736414008 3 + 1638024868 3 = 2894406187 3 + 860447381 3 = 2915734948 3 + 459531128 3 = 2918375103 3 + 309481473 3 = 2919526806 3 + 58798362 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq 24885189317885898975235988544&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 8 ) ≤ 50974398750539071400590819921724352 = 299512063576 3 + 288873662876 3 = 336379942682 3 + 234604829494 3 = 341075727804 3 + 224376246192 3 = 347524579016 3 + 208029158236 3 = 367589585749 3 + 109276817387 3 = 370298338396 3 + 58360453256 3 = 370633638081 3 + 39304147071 3 = 370779904362 3 + 7467391974 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)\leq 50974398750539071400590819921724352&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 9 ) ≤ 136897813798023990395783317207361432493888 = 41632176837064 3 + 40153439139764 3 = 46756812032798 3 + 32610071299666 3 = 47409526164756 3 + 31188298220688 3 = 48305916483224 3 + 28916052994804 3 = 51094952419111 3 + 15189477616793 3 = 51471469037044 3 + 8112103002584 3 = 51518075693259 3 + 5463276442869 3 = 51530042142656 3 + 4076877805588 3 = 51538406706318 3 + 1037967484386 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)\leq 136897813798023990395783317207361432493888&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 10 ) ≤ 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 3 + 15137846555691028 3 = 17627318136364846 3 + 12293996879974082 3 = 17873391364113012 3 + 11757988429199376 3 = 18211330514175448 3 + 10901351979041108 3 = 19262797062004847 3 + 5726433061530961 3 = 19404743826965588 3 + 3058262831974168 3 = 19422314536358643 3 + 2059655218961613 3 = 19426825887781312 3 + 1536982932706676 3 = 19429379778270560 3 + 904069333568884 3 = 19429979328281886 3 + 391313741613522 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 11 ) ≤ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = 11410505395325664056 3 + 11005214445987377356 3 = 12815060285137243042 3 + 8937735731741157614 3 = 12993955521710159724 3 + 8548057588027946352 3 = 13239637283805550696 3 + 7925282888762885516 3 = 13600192974314732786 3 + 6716379921779399326 3 = 14004053464077523769 3 + 4163116835733008647 3 = 14107248762203982476 3 + 2223357078845220136 3 = 14120022667932733461 3 + 1497369344185092651 3 = 14123302420417013824 3 + 1117386592077753452 3 = 14125159098802697120 3 + 657258405504578668 3 = 14125594971660931122 3 + 284485090153030494 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\end{aligned}}} Ta ⁡ ( 12 ) ≤ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = 33900611529512547910376 3 + 32696492119028498124676 3 = 38073544107142749077782 3 + 26554012859002979271194 3 = 38605041855000884540004 3 + 25396279094031028611792 3 = 39334962370186291117816 3 + 23546015462514532868036 3 = 40406173326689071107206 3 + 19954364747606595397546 3 = 41606042841774323117699 3 + 12368620118962768690237 3 = 41912636072508031936196 3 + 6605593881249149024056 3 = 41950587346428151112631 3 + 4448684321573910266121 3 = 41960331491058948071104 3 + 3319755565063005505892 3 = 41965847682542813143520 3 + 1952714722754103222628 3 = 41965889731136229476526 3 + 1933097542618122241026 3 = 41967142660804626363462 3 + 845205202844653597674 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}} ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にバーナード・フラン・ベッシー（英語版）によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは X 3 + Y 3 = Z 3 + W 3 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}} の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した： X = t ( 1 − ( a − 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) ) , Y = t ( ( a + 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) − 1 ) , Z = t ( ( a + 3 b ) − ( a 2 + 3 b 2 ) 2 ) , W = t ( ( a 2 + 3 b 2 ) 2 − ( a − 3 b ) ) . {\displaystyle X=t(1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})),Y=t((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1),Z=t((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}),W=t((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)).} ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない（もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは ( 9 t 4 ) 3 + ( 9 t 3 + 1 ) 3 = ( 9 t 4 + 3 t ) 3 + 1 {\displaystyle (9t^{4})^{3}+(9t^{3}+1)^{3}=(9t^{4}+3t)^{3}+1} を発見している（t = 1 とおくとタクシー数を得る）。 Ta(2) は後に数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[1] ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式 ( 6 A 2 − 4 A B + 4 B 2 ) 3 + ( − 3 A 2 − 5 A B + 5 B 2 ) 3 = ( 4 A 2 − 4 A B + 6 B 2 ) 3 + ( 5 A 2 − 5 A B − 3 B 2 ) 3 {\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}} を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には X 3 + Y 3 = Z 3 ± 1 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}\pm 1} の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている。 次のタクシー数は計算機を使って発見された。ジョン・リーチ（英語版）は1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。 より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x3+y3と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。 15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523. 4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。 1801049058342701083 = 922273 + 12165003 = 1366353 + 12161023 = 3419953 + 12076023 = 6002593 + 11658843. （オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照） 上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、 x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N} の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると s ( N ) < c r ( N ) {\displaystyle s(N)<c^{r(N)}} となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは s ( N ) < 9 ( 15 r ( N ) + 1 ) {\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)}+1)} が成り立つ。 ^ Silverman (1983) ^ Dickson (1919) ^ Hardy & Wright (2008, Theorem 235) ^ Ken Ono and Sarah Trebat-Leder (2016, 2017) ^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995 ^ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson ^ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach ^ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203 ^ "'New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Christian Boyer, France, 2006-2008 ^ Silverman (1982) Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001.  Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft.  J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957. Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016年). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2.  Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017年). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8.  E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。 David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった） D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394. C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203 Silverman, Joseph H. (1983年). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28: 1-7. doi:10.1112/jlms/s2-28.1.1. MR 0703458.  Silverman, Joseph H. (1982年). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66: 395-404. doi:10.1007/BF01389220. MR 0662599.  キャブタクシー数 一般化タクシー数 Weisstein, Eric W. "Taxicab Number". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun Taxicab and other maths at Euler