等差数列

数学における等差数列（とうさすうれつ、英: arithmetic progression, arithmetic sequence; 算術数列）とは、「隣接する項が共通の差（公差）を持つ数列」(sequence of numbers with common difference) を言う。平たく言うと、n 個間隔で離れている数列である。 例えば、5, 7, 9, 11, 13 … は公差 2の等差数列である。同様に、1, 7, 13, 19, 25 … は、双方が6ずつ離れているので、公差 6の等差数列である。 算術数列の初項を a1 とし、その公差を d とすれば、n-番目の項 an は a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} であり、一般に a n = a m + ( n − m ) d {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d} と書くことができる。 有限個の項しか持たない算術数列は有限算術数列とよび、初等数学ではしばしばそれを単に等差数列と呼ぶ。有限算術数列の和は算術級数 (arithmetic series) と言う。 算術数列の振る舞いは公差 d に依って決まる: d が正ならば、数列の項は正の無限大に発散する。 d が負ならば、数列の項は負の無限大に発散する。 通例、有限算術数列の和を算術級数と言う。公差 d の等差数列の n 個の項 a1, a2, ..., an の総和は、 S n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n = n ( a 1 + a n ) 2 = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}} と表される。この種の式は、ピサのレオナルド（一般にはフィボナッチとして知られる）が記した『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する。よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師J. G. Bütnerが生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手のMartin Bartels（英語版））がいたく驚いた、というものである。 導出 等差数列の総和を順番を変えて S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ⋯ + ( a 1 + ( n − 1 ) d ) S n = a n + ( a n − d ) + ( a n − 2 d ) + ⋯ + ( a n − ( n − 1 ) d ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{1}\color {green}+(a_{1}+d)\color {blue}+(a_{1}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{1}+(n-1)d)\\[5pt]S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-(n-1)d)\end{aligned}}} と二通りに表し、両辺を項ごとに足し合わせる。すると右辺では各項で d を含む成分がすべて相殺されて初項と末項の和だけが残り、それが n 項続いて 2Sn = n(a1 + an) となる。両辺を 2 で割れば S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}} を得る。 そして等差級数の平均値 Sn/n は、明らかに (a1 + an)/2 である。499年に、インド数学・天文学（英語版）古典期の傑物数学・天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya（英語版） (section 2.18) でこのような方法を与えている。 初項 a1 で、公差 d である総項数 n の等差数列に対して、項を全て掛け合わせた総乗 P n := a 1 ⋅ a 2 ⋅ ⋯ ⋅ a n = a 1 ⋅ ( a 1 + d ) ⋅ ( a 1 + 2 d ) ⋅ ⋯ ⋅ ( a 1 + ( n − 1 ) d ) = d a 1 d ⋅ d ( a 1 d + 1 ) ⋅ d ( a 1 d + 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ d ( a 1 d + n − 1 ) = d n ( a 1 d ) n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}:=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}&=a_{1}\cdot (a_{1}+d)\cdot (a_{1}+2d)\cdot \dotsb \cdot (a_{1}+(n-1)d)\\&=d{\frac {a_{1}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}} （ x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} は上昇階乗冪）はガンマ関数 Γ を用いて P n = d n Γ ( a 1 / d + n ) Γ ( a 1 / d ) {\displaystyle P_{n}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}} という閉じた式（英語版）によって計算できる（ただし、a1/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない）。Γ(n + 1) = n! に注意すれば、上記の式は、1 から n までの積 1 × 2 × ⋯ × n = n! および正の整数 m から n までの積 m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n = n!/(m − 1)! を一般化するものであることが分かる。 任意の両側無限算術数列が二つ与えられたとき、それらに共通に表れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな算術数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限算術数列からなる族に対し、どの二つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限算術数列の族はヘリー族（英語版）である。しかし、無限個の無限算術数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。 ^ 通常の意味では無限算術級数は発散するから、その和はそもそも無意味である。 ^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432, MR 1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394. 線型差分方程式 算術⋅幾何数列: (算術数列)×(幾何数列)-形の数列 一般化算術数列: 算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの 調和数列 三辺が算術整数列を成すヘロン三角形（英語版） 算術数列を含む問題（英語版） Utonality 等比数列 Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.  Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Arithmetic progression", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 CS1 maint: Date and year arithmetic progression - PlanetMath.（英語） Definition:Arithmetic Progression at ProofWiki Sum of Arithmetic Progression at ProofWiki