マクスウェルの応力テンソル

マクスウェルの応力テンソル（マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor）とは、電磁場の応力テンソルである。 マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。 マクスウェル応力 T は T ≡ ( D ⊗ E − I ∫ D ⋅ d E ) + ( B ⊗ H − I ∫ B ⋅ d H ) {\displaystyle \mathrm {T} \equiv \left({\boldsymbol {D}}\otimes {\boldsymbol {E}}-\mathrm {I} \int {\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {E}}\right)+\left({\boldsymbol {B}}\otimes {\boldsymbol {H}}-\mathrm {I} \int {\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {H}}\right)} で定義される。 真空中においては T = ϵ 0 ( E ⊗ E − I E 2 2 ) + 1 μ 0 ( B ⊗ B − I B 2 2 ) {\displaystyle \mathrm {T} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {E}}\otimes {\boldsymbol {E}}-\mathrm {I} \,{\frac {{\boldsymbol {E}}^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {B}}\otimes {\boldsymbol {B}}-\mathrm {I} \,{\frac {{\boldsymbol {B}}^{2}}{2}}\right)} となる。 マクスウェル応力の電場に関する部分の発散は ∇ ⋅ T e = ∂ i ( D i E ) − D i ∇ E i = ( ∂ i D i ) E + D i ∂ i E − D i ∇ E i = ( ∇ ⋅ D ) E + ( D ⋅ ∇ E ) E − ∇ E ( D ⋅ E ) = ( ∇ ⋅ D ) E − D × ( ∇ × E ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathrm {T} _{\text{e}}&=\partial _{i}(D_{i}{\boldsymbol {E}})-D_{i}\nabla E_{i}\\&=(\partial _{i}D_{i}){\boldsymbol {E}}+D_{i}\partial _{i}{\boldsymbol {E}}-D_{i}\nabla E_{i}\\&=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}+({\boldsymbol {D}}\cdot \nabla _{E}){\boldsymbol {E}}-\nabla _{E}({\boldsymbol {D}}\cdot {\boldsymbol {E}})\\&=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}-{\boldsymbol {D}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})\\\end{aligned}}} となる。 ここでベクトル三重積の公式 a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}} を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する（D に作用しない）ことを明示している。 磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば ∇ ⋅ T = ( ∇ ⋅ D ) E − D × ( ∇ × E ) + ( ∇ ⋅ B ) H − B × ( ∇ × H ) = ρ E + D × ∂ B ∂ t − B × ∂ D ∂ t − B × j = ∂ ( D × B ) ∂ t + ρ E + j × B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathrm {T} &=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}-{\boldsymbol {D}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})+(\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {B}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {H}})\\&=\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {D}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {B}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {B}}\times {\boldsymbol {j}}\\&={\frac {\partial ({\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}})}{\partial t}}+\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {B}}\\\end{aligned}}} となる。 これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて ∮ ∂ V ⁡ d S ⋅ T = ∂ ∂ t ∫ V ( D × B ) d V + ∫ V ( ρ E + j × B ) d V {\displaystyle \oint _{\partial V}d{\boldsymbol {S}}\cdot \mathrm {T} ={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}({\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}})dV+\int _{V}(\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {B}})dV} となる。 左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。 従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、 g = D × B {\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}}} は電磁場の運動量密度を表す。 真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。 { λ } = { − ϵ 0 E 2 + B 2 / μ 0 2 ,   ± ( ϵ 0 E 2 − B 2 / μ 0 2 ) 2 + ( ϵ 0 μ 0 E ⋅ B ) 2 } {\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/\mu _{0}}{2}},~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/\mu _{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}} また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。 { λ } = { − ϵ 0 E 2 2 ,   − ϵ 0 E 2 2 ,   + ϵ 0 E 2 2 } {\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}}\right\}} { v } = { E × E y ,   − E × E z ,   E E x } {\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}\}=\left\{{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{y},~-{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{z},~{\boldsymbol {E}}E_{x}\right\}} エネルギー・運動量テンソル ポインティング・ベクトル