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得業士

得業士（とくぎょうし、独：Diplom）とは、日本の旧制高等学校や旧制専門学校において授与された称号。またドイツにおける大学卒業者の学位ディプロームの学位の訳語。 得業士号は1872年（明治5年）制定の学制で、博士号、学士号とともに成立した官立学校教員の称号を起源とする。1878年（明治11年）に東京大学に学位授与権が与えられ、得業士号を学位とすることが認められたが、適用されなかった。1887年（明治20年）に学位令が制定され、学位としての得業士は廃された。 1894年（明治27年）の（第1次）高等学校令により、高等中学校から転換された（旧制）高等学校には、医学･法学･工学の4年制専門学部が存在し、これらを卒業した者は〇〇得業士と称することが認められていた。 専門学部が全て独立の旧制専門学校になって以降も、得業士の称号は授与される場合があった。 また1918年（大正7年）制定の（第2次）高等学校令の第9条2においては、「専攻科ヲ卒リタル者ハ得業士ト称スルコトヲ得」と規定され、高等学校高等科を卒業し（通常学修年限3年）、さらに学修年限1年以上の専攻科を修了した者に称号として授与されることとなった。 ただしこの頃の高等学校は主に帝国大学の予備教育を行なうための機関となっており、専攻科が設けられることはなく空文化した。 転じて旧制高校とは無関係に設立された旧制専門学校、特に医学専門学校の卒業生などに与えられる称号ともなり、医専卒業生に対しては医学得業士、（官立）東京高等歯科医学校の卒業生に対しては歯科得業士の称号が授与された。 これは医専・歯専の学修期間4年若しくは5年が高等学校3年+専攻科1年以上の学修期間と同等以上であるとみなされたことを根拠としている。 これらの学校を卒業しようとする者に対しては得業士称号認可願書類を審査し、合格した者には卒業及び称号の授与が認可された。 なお得業士は旧制大学が授与した学士より下の位置付けである。 戦後は旧制専門学校から昇格した新制大学も学士号を授与するようになり、得業士の称号は廃された。 また、ドイツにおけるディプローム (Diplom) の学位を得業士と訳する。得業士の学位は大学学部前期2年の4セメスター修了時に予備試験と最低4年の8セメスター修了時の得業士試験合格を取得要件とする。さらに、その後の2年間の研究と博士試験によってドクター学位を取得できるという独自の制度を採用していた。 しかし、国際化の進展とともに独自の学位が不便ともされるようになったため、ボローニャ・プロセスを契機に学士と修士の二段階からなる英米式の学位制度も創設されるに至っている。 ^ a b 相賀徹夫編著『日本大百科全書5』（小学館、1985年）13頁参照。 ^ 第三高等学校規則「第一章 総則、学科課程」（1895年）　専門学部の教育課程例。 得業士に関する規定は第3条。 他校の学科については旧制高等学校#高等学校の基本的性格を参照。 ^ 医学部薬学科では薬学得業士（官報 1896年01月18日）。 なお法学得業士を授与したのは第三高等学校のみ（官報 1899年07月18日）。 ^ 山中 他 「土木分野における工学得業士に関する研究」 土木学会論文集 Vol.68 No.1 ^ なお外地には台湾医学得業士なども存在した。 ^ ３年制の旧制専門学校においても授与する場合があった。 たとえば盛岡高等農林学校では、農学、林学、獣医学得業士の称号を与えていた。 「盛岡高等農林学校一覧」 従大正4年至5年（1916刊） 学則 第35～36条 （コマ番号27） 参照。 同校を1918年に卒業した宮沢賢治も得業証書を得ている（官報 1918年03月19日 「盛岡高等農林学校 第13回得業証書授与式」 （左ページ左下隅））。 ^ 例としては、旧日本軍において軍医として任官する場合、旧制大学卒業者は初任時の階級が中尉となるのに対し、旧制専門学校卒業者は少尉とされていた ^ ディプロマなども参照のこと。 ^ 相賀徹夫前掲書（小学館、1985年）14頁参照。 相賀徹夫編著『日本大百科全書 5』(小学館、1985年) ISBN 409526005X 副学士 (香港) 名誉博士- 得業士 高等学校-大学 - 大学院 ディプロマ 法学ディプローム
単価記号

@ 単価記号（たんかきごう）とは記号「@」のこと。「単価記号」は JIS X 0208 における日本語通用名称であるが、その後制定された JIS X 0213 においてアットマークとの別称が加えられた。「a」を丸で囲んだ「ⓐ」とは別字。 「@」は本来会計での略記として多く一般に用いられる記号であり、請求書で「商品7個 @ $2 = $14」（商品7個 各単価2ドル 小計14ドル）のように用いられていた。1990年代後半以降、レイ・トムリンソンにより電子メールのメールアドレスの中に用いられたことで身近な記号になった。 ANSI、CCITT、Unicode による文字コード規格では、いずれも「commercial at」が公式名称である。Unicode はさらに「at sign」を代替名称としている。英語では一般に「at sign」あるいは「at symbol」などと呼ばれ、文章中では単に「at」と読まれる。 各言語で、以下のような俗称がある[要出典]。 起源にはいくつかの説がある。 ギリシャの水量の単位＠から来ている。 ラテン語の「アンフォラ」（取っ手が付いたツボ）という意味の記号である。1つの「アンフォラ」に入る量が「1アンフォラ」とされ、その後に単価を表すマークになった。 スペイン語圏・ポルトガル語圏の質量の単位アローバ (arroba) の記号。1448年のアラゴン[要曖昧さ回避]や、1537年のヴェネツィアに用例がある。 ラテン語の前置詞 ad（英語の at にあたる接頭字）の合字。 フランス語の前置詞 à（英語の at にあたる）の変形。 英語の each at から、e と a の合字。 たとえば @$300 と書いて、単価（1個の価格）が300ドルであることを意味する。ただし英単語の at の意味は「単価」ではなく「～の値段で」で、単価300ドルは正確には at $300 apiece などという。 現在では、atの代わりに幅広く使われだしており、特に、インターネットの電子メールのアドレスで、ユーザ名とドメイン名を分けるのに使われる。これは、1971年、レイ・トムリンソンが、前述のように単価を表す文字として使われていた@を「このユーザーは、ローカルマシン上（at the local machine）ではなく、他のホスト上（at another host）に居る」と言う意味を込めるために採用したことに始まる。 英単語の at の略記に使う。 メールアドレスでの用法から派生し、自然言語でも、電子メール中などで「人名@企業・団体名」というような使い方をすることがある。 特にアメリカでは、スポーツ競技のホームアンドアウェイでの対戦カードを「アウェイチーム@ホームチーム」で表記することが多い。これは、アウェイチームから見て「相手チームのホームで (at) 試合をする」という意味がある。 Leet (ハッカー語）では「a」の代わりに使うことがある（「at」のこともある）。例：THE_IDOLM@STER。 日本語では英語 at にかけたインターネットスラングとして、いくつかの用法がある。 英語のatの意味から派生して、場所を表す表現に用いる。例えば、「今日は暑かった＠渋谷」で渋谷周辺に言及していることを表す。 音の「あと」をとって追加事項を表す。例えば、「＠3日」は「あと3日」。 さらに派生して「あと」の意味を伴わない追加事項を表す場合にも使われる。例えば、「イベント＠終了」でイベントが終了したことを表すなど。 スペイン語・ポルトガル語などでは、名詞の母音が男性形なら -o- ・女性形なら -a- となるとき通性形として -@- を使う。たとえば、amig@sは「amigos（男の友達）またはamigas（女の友達）」を意味する。 コアリブ語 (Koalib language) の正書法では、ラテン文字の1つとしてアラブ語からの借用語に使われる。@の大文字も使う。文字としての@の大文字・小文字は、国際SILによりUnicodeの私用領域に外字として登録されたが、Unicodeには採用されていない。 化学式では内包を表す。例えばN@C60は、C60（フラーレン）の中にN（窒素原子）が入った分子を表す。 SAMPAやXSAMPAでは ə を表す。 スウォッチ・インターネットタイムでは、時刻を示すプレフィックスとして用いられる。「@500.00」のように時刻を表記する。 Pascalでは、アドレス演算子「↑」の別表記である。 Perlでは、配列変数プレフィックスである。例えば、$a は普通のスカラー変数なのに対し、@a は配列変数である。 PHPでは、エラー制御演算子である。 Pythonでは、デコレータの糖衣構文である。 Rubyでは、@はインスタンス変数プレフィックス、@@はクラス変数プレフィックスである。 Twitterでは、リプライ（特定のユーザに向けているが公開される発言）の最初に「@ユーザ名」を付ける（例: @utadahikaru ツイート本文）。 MMLでは、音色番号の指定に使用する。 アットローンはかつて存在した日本の消費者金融。サービス名に「@Loan」の商標を用いていた。 エフエム愛知の愛称、@FM（アットエフエム）。 国際電気通信連合は2004年5月3日、国際モールス符号表に@を追加することを承認した。符号は・－－・－・。 ^ 日本工業規格 (1997), p. 50. ^ 日本工業規格 (2000), p. 83. ^ The Unicode Consortium (2014). ^ Willan, Philip (2000年7月31日). “Merchant@Florence Wrote It First 500 Years Ago”. The Guardian (London). http://www.guardian.co.uk/international/story/0,3604,348744,00.html 2010年4月25日閲覧。  ^ http://openmap.bbn.com/~tomlinso/ray/firstemailframe.html ^ Unicode Technical Meeting #101, 15 -18 November 2004, Cupertino, California ^ http://scripts.sil.org/cms/scripts/page.php?site_id=nrsi&item_id=CharisSIL_Technical 日本工業規格 『JIS X 0208:1997 - 7ビット及び8ビットの2バイト情報交換用符号化漢字集合』 日本規格協会、1997年。 日本工業規格 『JIS X 0213:2000 - 7ビット及び8ビットの2バイト情報交換用符号化拡張漢字集合』 日本規格協会、2000年。 The Unicode Consortium (2014年). “C0 Controls and Basic Latin (PDF)”. The Unicode Standard, Version 7.0. Mountain View, CA: The Unicode Consortium. 2014年9月7日閲覧。
バーティカルバー

| ¦ バーティカルバー (英: vertical bar)は、約物のひとつで、「|」と書き表される。Unicode名称はバーティカルライン (vertical line)。縦線とも呼ばれる。コンピュータ言語や数学などで主に使用される記号で、自然言語ではほとんど使用されない。 バーティカルバーの中央が切断されている記号「¦」は、ブロークンバー (英: broken bar)またはブロークンバーティカルバー (英: broken vertical bar) という。破断線とも呼ばれる。 現在ではUnicodeやLatin-1はこの文字に独立した符号を与えているが、歴史的には独立した文字ではなく、バーティカルバーをラテン文字の「I（アイ）」や「l（エル）」などと区別するために作られた別字形だった。そのため、いくつかの古いレンダリングエンジンはバーティカルバーをブロークンバーのグリフで表示する。 |x|の形で、絶対値の記号として用いる。 {x|x<2}の形で、定義を表す。 P(A|B)の形で、「Bという条件のもとでAとなる確率」という条件付き確率を表す。 d|nの形で、「dはnの約数である」ことを示す。 〈φ|ψ〉, 〈φ|, |ψ〉 は、ブラ・ケット記法。 UNIXやMS-DOSではパイプの記号として用いる。 C言語やその影響を受けている言語では、1本(|)でOR演算子、2本(||)で論理和演算子として用いられる。 正規表現やバッカス・ナウア記法では「選択」、すなわち、左右の書式のいずれかを選べることを意味する。 PL/IやSQLでは、2連のバーティカルバー (||) は文字列連結演算子である（ただしこの演算子をサポートしないSQLエンジンは多い）。 MediaWikiにおいては、ウィキテキストにおける内部リンク先の表示名称と実際のページ名称を区別する際に用いられる。 国際音声記号 (IPA) で歯吸着音を表す。Unicodeでは属性が（記号でなく）文字の U+01C0 latin letter dental click「ǀ」を使う。 ^ JIS X 0213:2012 附属書4 仮名、特殊文字及びけい線素片
ゼロ幅スペース

ゼロ幅スペース（ゼロはばスペース、英: zero width space, ZWSP）は、コンピュータの組版に用いられる非表示文字で、文書処理システムに対して語の切れ目を示すのに用いる。通常、英語などのわかち書きをする言語において、文の途中で改行を入れる場合はスペースの位置で行われる。しかし、スラッシュなどの記号の後などスペースは入らないが改行をしても良い箇所や、日本語などのわかち書きをしない言語において、改行できる位置を明示するためにゼロ幅スペースが用いられる。 HTMLでは<wbr>要素の代替として、長い単語の途中で改行可能な場所を示すのに使われる。ただし、バージョン6以前のInternet Explorerなど、これを正しく表示できないWebブラウザもある 。 以下はゼロ幅スペースを使った例である。全ての単語の間にゼロ幅スペースが入れてある。 Lorem​Ipsum​Dolor​Sit​Amet​Consectetur​Adipiscing​Elit​Sed​Do​Eiusmod​Tempor​Incididunt​Ut​Labore​Et​Dolore​Magna​Aliqua​Ut​Enim​Ad​Minim​Veniam​Quis​Nostrud​Exercitation​Ullamco​Laboris​Nisi​Ut​Aliquip​Ex​Ea​Commodo​Consequat​Duis​Aute​Irure​Dolor​In​Reprehenderit​In​Voluptate​Velit​Esse​Cillum​Dolore​Eu​Fugiat​Nulla​Pariatur​Excepteur​Sint​Occaecat​Cupidatat​Non​Proident​Sunt​In​Culpa​Qui​Officia​Deserunt​Mollit​Anim​Id​Est​Laborum 同じ文でゼロ幅スペースを使用しないと以下のようになる。 LoremIpsumDolorSitAmetConsecteturAdipiscingElitSedDoEiusmodTemporIncididuntUtLaboreEtDoloreMagnaAliquaUtEnimAdMinimVeniamQuisNostrudExercitationUllamcoLaborisNisiUtAliquipExEaCommodoConsequatDuisAuteIrureDolorInReprehenderitInVoluptateVelitEsseCillumDoloreEuFugiatNullaPariaturExcepteurSintOccaecatCupidatatNonProidentSuntInCulpaQuiOfficiaDeseruntMollitAnimIdEstLaborum ブラウザがゼロ幅スペースに対応しているならば、1つ目の例はブラウザのウィンドウ幅を変えたときに単語の間で改行されるが、2つ目の例は改行されないことがわかる。 Unicodeでは、ゼロ幅スペースはU+200B zero width space (HTML: &#8203;)に割り当てられている。 TeXでは\hskip0pt、LaTeXでは\hspace{0pt}、groffでは\:と表現される。 ソフトハイフン わかち書き 文字揃え ワードラッピング（英語版） ゼロ幅非接合子 スペース ノーブレークスペース 単語結合子 Unicode Consortium, "Special Areas and Format Characters" (Chapter 16), The Unicode Standard, Version 5.2 full text Victor H. Mair, Yongquan Liu, Characters and computers, IOS Press, 1991 ^ “Better Web Typography with Spaces and Hyphens”. 2010年12月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年4月5日閲覧。 ^ “General Punctuation – Unicode”. 2013年7月20日閲覧。 ^ “The LaTeX Companion. Chapter 3: Basic Formatting Tools”. 2014年2月8日閲覧。 ^ “groff(7) - Linux manual page”. 2014年2月8日閲覧。
Ț

Ț, ț は、Tにコンマビローを付した文字である。 ルーマニア語 (モルドバ語)、ガガウス語において使用される。 ルーマニア語では、ISO/IEC_8859-2で誤ってŢが登録された為、「セディーユつきの文字を下コンマつきの字のかわりに使ってもよい」と注に追記された。その後、ISO/IEC_8859-16で下コンマつきのȚが登録された。 ルーマニア語 (モルドバ語)、ガガウス語でドイツ語のzの発音と同様の、無声歯茎破擦音（/ts/）を表す。モルドバ語のキリル文字表記では Ц に相当する。 ルーマニア語: T cu virgulă dedesubt / T cu sedilă（下コンマ付きT / セディーユ付きT）
セミコロン

; セミコロン（英語: semicolon）は、欧文の約物のひとつで、「;」と書き表される。その形式はピリオドとコンマとの合体であり、これらの中間的役割を担う。 なお、日本語の文章中では滅多に使われないが、顔文字などでは比較的よく用いられる。C言語やJava等、多くのプログラミング言語で必ずと言って良いほど使われる記号でもある。数学でも用いられる記号である。 現代の意味でセミコロンが初めて使われた印刷物はイタリアのアルドゥス・マヌティウスによって出版されたピエトロ・ベンボ『デ・エトナ』(1494)であり、ピリオドとコンマの二分法よりも細かい区別を人文主義者が望んだ結果生まれた。 英語では19世紀前半にセミコロンは並列節の区切りとして頻繁に使われていたが、1880年代には文法家はセミコロンの用途を独立した文の区切りおよび長い一覧の下位区分のみに限るようになり、その使用頻度は減少した。ウンベルト・エーコ『薔薇の名前』には一度もセミコロンが使われておらず、またカート・ヴォネガットは『国のない男』の中でセミコロンの使用を激しく非難した。 日本語ではあまりセミコロンは使われないが、明治時代に一部の作家によってセミコロンのかわりとして白ゴマ点を使うことが試みられた。 セミコロンは「半コロン」という意味である。ドイツ語: Strichpunkt、フランス語: point-virgule、イタリア語: punto e virgola、ロシア語: точка с запятойなどはいずれも「点（ピリオド）とコンマ」を意味する。 英語では、基本的に「強いコンマ ( , )」ないし「弱いピリオド ( . )」である。 たとえばコンマで区切られた6つの項目の内、前半3つと後半3つに分類したいときには3つ目の項目の後にコンマの代わりにセミコロンを置く。 独立した2つの文が何らかの関係があるためつなげて書くとき、間に（最初の文の終止符のかわりに）セミコロンを置く。 ギリシャ語では、セミコロンの形をした記号が疑問符として使われる。ギリシア語でセミコロンにあたる機能を持つのは中黒である。 C言語、Adaなどのプログラミング言語では、文の終わりを表す。SQL文の終わりも通常はセミコロンを使用する。 ALGOL、Pascalなどでは、文と文の区切りを表す。Pascalではまた仮引数の区切りにも用いる。 シェルスクリプト、Pythonなどでは、1行に複数の文を書くときに文と文の区切りを表す。 BASICでは、PRINT文において複数の値を続けて出力するために用いる。PRINT文の最後にセミコロンを置くと、改行を出力しないことを意味する。 LISP、アセンブリ言語では、コメントの開始記号であることが多い。 SGML、XMLなどの文字参照の終わりを表す。 データの区切りに使用する。Microsoft WindowsのPATHの区切りやデータベース接続文字列の区切りなど。 関数の引数リスト f ( x 1 , x 2 , … ; a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ;a_{1},a_{2},\dots )} において、変数やパラメータを区切るために使われる。 ^ Watson (2012) p.651 ^ Watson (2012) pp.657-660 ^ Watson (2012) p.649 ^ 岡崎晃一「巌谷小波・幸田露伴の白ゴマ点」、『神戸親和女子大学言語文化研究』第2巻、2008年、 1-9頁。 Watson, Cecelia (2012年). “Points of Contention: Rethinking the Past, Present, and Future of Punctuation”. Critical Inquiry 38 (3): 649-672. JSTOR 10.1086/664555.  コロン (記号) ( : )
アンダースコア

_ アンダースコア (underscore, under score) あるいは下線符号（かせんふごう）は、空白に下線が引かれた記号文字（約物）である。 アンダーライン (underline)、アンダーバー (underbar)。ASCII/CCITT文字名称は underline、JIS X 0201 文字名称はアンダラインである。Unicode文字名称はローライン (low line) で、アンダースコアおよびアンダーラインは結合文字 である U+0332 の別名になっている。 ASCIIコードは5F16 (9510) である。 もともとは、タイプライターで下線（アンダーライン）を引くために設けられた。すなわち、文字を打った後で、紙を文字数ぶん戻してアンダースコアを重ね打ちすることで、アンダーラインを表現していた。1色のタイプライターではほとんど唯一の強調法であった。また、印刷物ではイタリック体を用いる箇所も、タイプライターではアンダースコアによって表していた。 ASCIIの古いバージョン「ASCII-1963」にはアンダースコアはなく、符号点5Fには「バックアロー (backarrow)」すなわち左矢印「←」があった。ASCII-1963には矢印は左「←」と上「↑」のみあり、この特徴はテレタイプのASR-33/35から引き継がれていた。 ASCIIが現在の形になった1967年版で、5Fは左矢印からアンダースコアに変更された（なお、上矢印は「^」になった）。 現在のコンピューターにあっても、テキストだけで強調を表現したいとき、アンダースコアが用いられることがある。また、_ABC_ のように入力されたテキストを ABC のように表示するソフトもある。 Microsoft Wordでは、同様のことをすると ABC のようにイタリック体になる。 LaTeXなどでは、下付き文字を表す。たとえば、「A_1」は「A1」とレンダリングされる。 インターネットのURLやメールアドレスのようなスペースが使えないところで、かわりにアンダースコアを置くことが行われる。ただし、それらのうちドメイン名部分にはアンダースコアを用いることはできず、用いることができるのはハイフンマイナスである(RFC 1034)。 一方、ほとんどのプログラミング言語にあっては、ハイフンマイナスが負号と同一であるためにハイフンを負号以外の意味の所に置くことができないので、ハイフンの代わりに用いられる。また、ひとつの語の中にスペースを置くことのできないプログラミング言語では、スペースの代わりに用いることも行われる。アンダースコアによって繋がれた単語は地面を張っている蛇のように見えるためこの用法はスネークケースと呼ばれる。他の方法としては、単語の先頭を大文字にするキャメルケースがある。 C90/C99/C++では、いくつかの条件でアンダースコアを含む識別子（たとえば、グローバルスコープを持ちアンダースコアで始まる識別子）は、実装系のための予約語である。 アンダースコアはアスキーなどの文字コードですべての大文字よりもあとに来るので、並べ替えをするときに最後に置きたい項目の最初にこのアンダースコアを置く用法がある。たとえば、「_ABC」は、「ZZZ」よりもあと（ただし「a」より前）に並べられる。 日本語では、_o_ のような顔文字に用いられることがある。 アンダースコアはアフリカやネイティブアメリカンのいくつかの言語において、ダイアクリティカルマークとして用いられる。 アラブ語とヘブル語の転記において、アンダードットの代用に使われることがある。 ^ a b The New Hacker's Dictionary「ASCII」（2014-08-24閲覧、書籍版: ISBN 978-0262680929） ^ Character Set Issues & Unicode ; Erik Wilde ; UC Berkeley School of Information : ASCII 1963
ヌル文字

ヌル文字（または「ヌル終端文字」）とは、値0の制御文字である。NULと表記される場合もある。 多くの文字集合にはヌル文字の定義がある。ISO/IEC 646（ASCII)、C0制御コード、C1制御コード、ISO/IEC 10646（Unicode）、EBCDICなどの文字集合は全てヌル文字を含んでいる。一方で、JIS X 0208などのように、これを収録しない文字集合もある。ASCII、Unicode、EBCDICなどではヌル文字はコードポイント0に当てられている。多くのプログラミング言語ではヌル文字を使用できる。C言語などでは、ヌル文字のコードは0であると定義されている。 ヌル文字は元々NOPと似たような意味で利用されていた。プリンターや端末にヌル文字を送っても何も起こらない（スペースとして表示するターミナルもあるがこれは誤り）。テレタイプ端末をコンピュータの出力デバイスとして使う際には、各行の末尾にヌル文字を（場合によっては複数）送信することで、機械的な印字機構が行頭に戻るための時間を稼いでいた[要出典]。 紙テープではヌル文字は穴のない行として表現される（新品の紙テープは全てヌル文字で埋められていると考えてもよい）。この場合、穴のない行に新しく文字をパンチすることで、ヌル文字で埋められている箇所に文字を「挿入」できる。 今日においては、ヌル文字はC言語やその派生言語、および各種のデータフォーマットにおいて、文字列の終端を表す文字として重要な役割を担っている 。つまり、文字列の最後の文字の次にヌル文字を置くことで番兵の役割を持たせている。このような形式の文字列はヌル終端文字列（null-terminated byte string）と呼ばれる 。GNU版のfindやxargsでは、複数のファイル名をヌル文字で区切ることで、ホワイトスペースが含まれるファイル名を正しく扱えるようにするオプションがある。 このような特殊性もあってヌル文字を含むデータを正しくハンドリングできない処理系もあり、たとえばCascading Style Sheets 2.1においては、（エスケープによって生成したものを含めて）スタイルシートにヌル文字が含まれる場合の動作は未定義としている。 ソースコードの文字列リテラル中では、ヌル文字は\0のようなエスケープシーケンスの形で表記されることが多い。 多くの言語（この記法を導入したC言語を含む）では、これはヌル文字専用のエスケープシーケンスではないため注意が必要である。これは8進数で文字を表現しているだけであるため、\0の後に0から7の数字を続けて書くと、8進数2桁の数で表される文字として解釈されてしまう。 \0以外の表記方法として\000や\x00を使うプログラミング言語もある。Unicodeにおいては\u0000または\zがヌル文字を表す表現として用いられる。URL中に（特にユーザ入力由来の）ヌル文字が現れる場合は%00で置き換えられるが、これは「ヌルバイトインジェクション」と呼ばれる攻撃に対するセキュリティホールになるのを避けるためである。 キャレット記法ではヌル文字は^@で表わされる。US配列キーボードには、Ctrlを押したまま@を入力するとヌル文字を入力できるものがある（US配列の場合@を入力するには⇧ Shiftを押しながら2やPを押下する）。ヌル文字をCtrl2やCtrlspaceで入力できる場合もある[要出典]。 文書中では、ヌル文字を1em幅の"NUL"と書かれたシンボルで表現することがある。Unicodeにはこれに対応するグリフとして"symbol for null"（U+2400, ␀）があるが、これと実際のヌル文字（U+0000）は別物であるため注意が必要である。 制御文字 Null ^ “ASCII format for Network Interchange”. 2013年8月3日閲覧。 “NUL (Null): The all-zeros character which may serve to accomplish time fill and media fill.” ^ "A byte with all bits set to 0, called the null character, shall exist in the basic execution character set; it is used to terminate a character string literal." — ANSI/ISO 9899:1990 (the ANSI C standard), section 5.2.1 ^ "A string is a contiguous sequence of characters terminated by and including the first null character" — ANSI/ISO 9899:1990 (the ANSI C standard), section 7.1.1 ^ (PDF) Working Draft, Standard for Programming Language C++ (ISO 14882 standard working draft), ISO/IEC, (28 February 2011), p. 427, N3242=11-0012, http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2011/n3242.pdf 2013年2月27日閲覧, "A null-terminated byte string, or ntbs, is a character sequence whose highest-addressed element with deﬁned content has the value zero (the terminating null character); no other element in the sequence has the value zero."  ^ MAN page of FIND 2014年8月17日（2014年8月22日閲覧）。 ^ 4.1.3 Characters and case - Cascading Style Sheets Level 2 Revision 1 (CSS 2.1) Specification W3C、2011年6月7日（2013年9月29日閲覧）。 ^ Kernighan and Ritchie, C, p. 38 ^ YAMLではこの場合もヌル文字として扱われる。 ^ Null Byte Injection WASC Threat Classificationのヌルバイトインジェクションの説明 Null Byte Injection WASC Threat Classificationのヌルバイトインジェクションの説明 Poison Null Byte Introduction ヌルバイトインジェクションの概説
省略記号

省略記号（しょうりゃくきごう）は、文字や図などで省略を行う場合に用いる記号である。さまざまな場面で用いられるが、同じ省略記号と言う名称でも使用する場面によって記号が異なるので、一般には別の言葉で表現するほうがよい。この項目では各条件における省略記号が示す記号と用法について記載する。 日本語の文章においては「リーダー」や、「ダッシュ」、波ダッシュなどさまざまである。 リーダを省略記号に使用する場合は二倍三点リーダや二倍二点リーダとして用い、「じゅげむじゅげむ……」のように文書が長いものを省略する場合や、「……」とどうでもいいことを話している場面で会話そのものを省略する場合に用いる。 ダッシュを省略記号に用いる場合は倍ダッシュとして用い、「その後のお話は、またの機会に——」のように継続していることを暗に示す場合などがある。 波ダッシュを省略記号に用いる場合は「〜する」というように前の言葉を省略する場合や、「いつもいつも〜」などと同じ言葉が続く場合に用いられる。 繰り返し記号を省略記号と呼ぶこともあり、「々」や「ゝ」、「ゞ」、「ヽ」、「ヾ」、「〱」、「〲」が含まれる。 欧米の言語では、「I'm」のように使用する場合に、このアポストロフィーの「'」を省略記号と呼ぶことがある。 また、「.」を使用して「P.S.」のようにすることで略語にし、この場合の「.」を省略記号と呼ぶ。 「...」を省略記号と呼ぶ場合もある。 「etc.」を省略記号と呼ぶ場合もある。 数学でも省略記号が用いられる。 数式、数列、行列では省略記号として三点リーダーがよく用いられる。実例については「リーダー (記号)#数学における用法」を参照。 循環小数を表現する場合に「 0. 3 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {3}}} 」や「 0. 1 ˙ 2 3 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {1}}2{\dot {3}}} 」のように数字の上にドットを付け、このドットを省略記号と呼ぶ場合がある。 単位などで用いられる「cm」や「ℓ」などは省略記号と呼ばれる。 表では、特定の枡に「〃」を用いて上や左の枡の内容と同じであることを示す。 一般にグラフや、地図などでは長さが長いなどの理由で「≈」の形をした省略記号を用いる。 地図での使用の場合には表記対象範囲外の場所への経路を示す場合に道路などに「≈」を入れて表記する。 グラフにおける使用の場合には省略する箇所の軸に「≈」をいれ、折れ線グラフや棒グラフでは線上にも「≈」を入れる。グラフに表記したい特定のデータが他のデータの範囲と著しく外れている場合に使用する。場合によっては省略記号を挾んだグラフの目盛間隔が異なることもある。 楽譜において前の小節と同じ場合で省略する場合や、細かく表記すると逆に分かりづらくなる場合に使用される。実際の記号については「演奏記号#省略記号」を参照。 特定の集団の中で認識が可能にするように頭文字などを取り出した1つあるいは複数の文字を省略記号と呼ぶ場合がある。たとえば国コードなどは省略記号の例である。また、省略記号そのものが一般化した「№」の例もある。日本語では「(株)」や「㊙」なども省略記号である。 「¥」や「€」などの通貨記号や「%」などの記号を省略記号と呼ぶことがある。 省略
国際通貨記号

¤ 国際通貨記号（こくさいつうかきごう、¤）は、どこの通貨記号でもない抽象的な通貨記号を表す文字である。固有の通貨記号を持たない通貨や、文字コードの問題などにより正しい通貨記号を使用できないときに使い、不特定通貨記号とも呼ばれる。 1964年に国際電信電話諮問委員会 (CCITT) で考案され、ISO 646の制定時に各国で任意の通貨記号を設定できることを示すため使用された。形状は円と、その円周上から45度、135度、225度、315度の4本の短い線を放射状に引き、組み合わせる。由来はスカラベの形が起源という説と、硬貨を図案化したものであるという説がある。 安岡孝一、安岡素子 『文字符号の歴史-欧米と日本編-』 共立出版（原著2006年2月10日）。ISBN 978-4-32-012102-7。
バックスラッシュ

\ バックスラッシュ（英: backslash）、逆斜線（ぎゃくしゃせん）、あるいはリバースソリダス (英: reverse solidus) は約物の一つで、「 \ 」と書き表される。バックスラッシュとはスラッシュ ( / ) の逆という意味である。「 / 」に比べれば、自然言語ではあまり使われることのない記号である。 バックスラッシュと円記号 (¥) の問題については、円記号も参照のこと。 コンピュータでは、バックスラッシュ (U+005C) はさまざまな局面で使われている。 MS-DOSでは、ディレクトリ（フォルダと類似の概念）名の後に置く、パス区切り記号として起用され、Windowsにも受け継がれた。詳細はCP/Mを参照。 Windowsにおいては、ファイル・フォルダのパスの区切りだけでなく、レジストリのパスの区切りや、内部的なデバイス名のパスの区切りとしても用いる。 ある種の除算演算子。 BASICでは、整数除算演算子。たとえば「PRINT 10 / 3」は「3.3333…」を出力するが、「PRINT 10 \ 3」は「3」となる。 MATLABでは、右辺を左辺で割る除算演算子。たとえば「A \ B」は「B / A」と同じ結果をもたらす。 TeX や LaTeX のコマンドはバックスラッシュから始まる。 UNIXおよびその影響を受けたさまざまな環境において、通常記述できない文字を記述する方法として広く用いられる。 C言語およびその派生言語（C++、Java、Perlなど）において、文字定数や文字列定数内でエスケープ文字として用いる。 ASCIIの制御文字 - \r \n \b など 引用符 - \' \" 八進数指定 - \0 \033 など 十六進数指定 - \x1B \xFF など Unicode文字 - \u3041 など UNIXのシェルのコマンドラインや、スクリプト言語の正規表現において、特殊な意味を持つ記号（メタ文字）の前に記述し、その意味を打ち消し単なる文字として扱う。 正規表現においては、逆に特殊な意味を付与することもある。\( \) \1 など。 UNIXのシェルスクリプト、C言語のプリプロセッサ命令、Pythonのスクリプト、Makefileなどにおいて、論理行が複数の物理行にまたがる場合に、行の継続を表すために用いる。 文字集合にない文字の代用に使われる。 日本では、円記号のないASCIIなどで円記号「¥」の代わりに使われる。円記号のある文字集合でも、バックスラッシュを円記号に文字化けして表示する環境で、円記号のつもりでバックスラッシュを入力するケースも多い。 韓国でも同様に、ウォン記号の代わりに、あるいはウォン記号のつもりで誤って使われる。 罫線素片「╲」の代わりに使われる。ただし、日本や韓国では文字化けにより字形の類似が成り立たないことが多いので、使用はまれである（全角バックスラッシュが使われることはある）。 差集合「∖」の代わりに使われる。 ASCIIのバックスラッシュ (0x5C, 5/12) はJIS X 0201では円記号であるため、日本のコンピュータや日本語のフォント・OS環境ではバックスラッシュが円記号として表示されるものが多い。Unicode#日本語環境でのUnicodeの諸問題も参照。 JIS配列のキーボードでも通常はバックスラッシュがなく円記号が刻印されている。しかし今日一般に用いられるPC/AT互換機のJIS配列（OADG 109/109A配列）キーボードでは、バックスラッシュと円記号が両方とも（別々のキーに）刻印されている。しかしMicrosoft Windowsをはじめとする多くのOSどちらを押しても入力される文字は全く同一であり、0x5C、すなわち欧文フォント下ではバックスラッシュ、日本語フォント下では円記号が入力される。これは日本IBMのキーボードの刻印に由来するもので、メインフレームの端末として設計された時代の名残であり、今日の一般的なPC環境で円記号とバックスラッシュが共存できることを意味しているわけではない。 Mac OS では、バージョン 7.1〜9.x で主流だった日本語文字コード MacJapanese において、0x5C に円記号が、0x80 にバックスラッシュ記号がそれぞれ別々のコードポイントに存在している。 プログラムなどでバックスラッシュを入力する箇所において、日本語環境ではスクリーン上に円記号が表示されるが、多くの場合は円記号をバックスラッシュと同じ処理が可能な文字とする認識が行われる。 文字コードがISO-8859-1やUnicode等欧文フォントが用いられる環境で確実に円記号を表示するためには0x5Cでなく0xA5の文字を使えばよい。この文字はHTML文書においては文字参照「&yen;」（¥）や &#x00A5; （¥）で表示させることができるほか、Mac OS XではOption+Yで入力可能である。 確実にバックスラッシュを表示させるには全角のバックスラッシュ (U+FF3C) を指定する以外にはない。日本語・韓国語以外のフォントの指定であれば0x5Cの文字はバックスラッシュとして表示される可能性が高い。フォントの指定をしたくない場合、次善の策としてHTMLのlang属性を英語 (en) などにすると、多くの環境ではバックスラッシュで表示される。ただしブラウザの設定によっては英語の表示フォントが日本語フォントになっている場合もありうるため、確実な方法ではない。 円記号 ウォン記号 ASCII Unicode Template:backslash
上付き文字

上付き文字（うえつきもじ、英: superscript）は、基準となる文字より上部に記述される添え字である。 数学における冪乗を表す目的や、化学におけるイオン価数を表す目的、原子核物理学・放射線医学などにおける放射性同位元素の質量数を表す目的として使われるほか、文書における脚注参照、単位記号、TMなどの一部記号、発音記号などとしても用いられる。 冪乗の目的で使用される場合は、イオン価数の目的で使用される文字よりも上部に表記される。 フランス語、イタリア語、スペイン語などのロマンス諸語では、数字に上付きで e もしくは o/a を付記し、序数とその性を表示する。Unicode では、序数標識 º と ª が用意されている。これらは音楽などにも流用され、たとえば「テンポプリーモ」を "tempo 1º " と表記する。 HTMLのタグで表記する場合は<sup>上付き文字</sup>が使用される。 下付き文字 添え字 冪乗 化学式 発音記号 JIS X 4051
結合文字

結合文字（けつごうもじ、英語: combining character）とは、文字コードにおいて先行する文字と組み合わせるための図形文字をいう。ダイアクリティカルマークや、仮名の結合可能な濁点・半濁点、ヘブライ文字のニクダー、アラビア文字のシャクル、ブラーフミー系文字の母音記号などが結合文字に属する。異体字セレクタも結合文字の一種である。 Unicodeでは、結合文字は以下の3種類のいずれかに属する。 前進を伴う結合記号 (Spacing combining mark, Mc) - デーヴァナーガリー文字の母音 ā i ī などの記号。基底文字の左に置かれることもある。 前進を伴わない記号 (Nonspacing mark, Mn) - ダイアクリティカルマークなど 囲み記号 (Enclosing mark, Me) - 結合用の円・四角など 結合文字は先行する基底文字（非結合文字）と組み合わせて結合文字列(combining character sequence, CCS)を作る。結合文字は複数指定可能であり、通常はたとえば上につく結合文字が複数ある場合は上へ上へと積み重ねられるが、結合文字の種類によっては異なる表示がなされることもある。 結合文字だけを単独で表したい場合は、ノーブレークスペース (U+00A0) を基底文字にすることができる。 Unicode には合成済み文字も数多く定義されている。したがって、おなじ文字を表現するのに、合成済み文字を使うか、基底文字+結合文字を使うかで異なる表現が可能である。 例： â は U+00E2 (latin small letter a with circumflex) でも、U+0061 U+0302 (latin small letter a + combining circumflex accent) でも表すことができる。 また、複数の結合文字を使う場合、その順序が異なっていても同じ文字を表すことがある。 同じ文字が異なる符号で表現されると脆弱性の問題が発生することがある。符号化表現を統一するために正規化することができる。 ブラーフミー系文字のヴィラーマも結合文字(Mn)に属し、実際に先行する基底文字に記号として加えられることもあるが、通常は先行する文字と後続する文字を結合して合字を作る。合字ではなく強制的に基底文字+ヴィラーマを表示させたい場合は、ヴィラーマの後ろにゼロ幅非接合子 (U+200C) を置く。また、合字を作るための結合形を表示させる場合には、ヴィラーマにゼロ幅接合子 (U+200D) を置く。 Unicode で分数を構成するための斜線(fraction slash, U+2044)やハングルの字母(U+11xx)は結合文字としては扱われず、独自の規則に従う。 ^ JIS X 0221:2014 4.14 ^ JIS X 0221:2014 20.5 ^ JIS X 0221:2014 20.1。なお、初期の規格ではスペース (U+0020) だったが、Unicode 4.1 で変更された ^ Unicode Technical Report #36: Unicode Security Considerations, The Unicode Consortium, http://unicode.org/reports/tr36/#TableCombiningMarkOrderSpoofing  ^ Unicode Standard Annex #15: Unicode Normalization Forms, The Unicode Consortium, http://www.unicode.org/reports/tr15/tr15-44.html  ^ Unicode Standard 9.0 12.1 ほか 『国際符号化文字集合（UCS）JIS X 0221:2014 (ISO/IEC 10646:2012)』 日本規格協会。
下付き文字

下付き文字（したつきもじ、英: subscript）は、基準となる文字より下部に記述される添え字である。 化学式における原子の個数を示す場合や、数学における変数の添え字として使用される。 HTMLのタグで表記する場合は<sub>下付き文字</sub>が使用される。 上付き文字 添え字 化学式 JIS X 4051
5年

5年（5 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、平年。 ユリウス暦制定直後の混乱により、紀元前6年から紀元後7年まで閏年を停止し、平年であったと推定されている。詳細は「ユリウス暦」を参照。 干支：乙丑 日本 垂仁天皇34年 皇紀665年 中国 前漢：元始5年 朝鮮 高句麗：瑠璃明王24年 新羅：南解王2年 百済：温祚王23年 檀紀2338年 仏滅紀元：548年 ユダヤ暦：3765年 - 3766年 5年のカレンダー(ユリウス暦) ティベリウス、低地ゲルマニア属州を制圧。 王莽が平帝を殺害。九錫を授けられる。 劉歆、三統暦を作る。 東夷王、大海を度りて国珍を奉ずとある。東夷の国で大海を渡るのは「倭」を指している可能性が高い。（漢書王莽伝） 孺子嬰、前漢最後の皇太子（+ 25年） 陰麗華、後漢の光武帝の皇后（+ 64年） リウィア・ユリア、ローマ皇帝ティベリウスの孫娘（+ 43年、ただし生没年とも異説あり） ドルシッラ、ヌミディア王ユバ2世とクレオパトラ・セレネの娘（没年未詳） 孔光、前漢の太師（* 紀元前65年） ガイウス・アシニウス・ポッリオ、古代ローマの弁論家・詩人・歴史家（* 紀元前76年/紀元前75年） 平帝、前漢の第13代皇帝（* 紀元前9年） 注釈 出典 年の一覧 年表 年表一覧
176年

176年（176 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、閏年。 干支 : 丙辰 日本 成務天皇46年 皇紀836年 中国 後漢 : 熹平5年 朝鮮 高句麗 : 新大王12年 新羅 : 阿達羅王23年 百済 : 肖古王11年 檀紀2509年 仏滅紀元 : 719年 ユダヤ暦 : 3936年 - 3937年 176年のカレンダー(ユリウス暦) 注釈 出典 年の一覧 年表 年表一覧
127年

127年（127 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、平年。 干支 : 丁卯 日本 景行天皇57年 皇紀787年 中国 後漢 : 永建2年 朝鮮 高句麗 : 太祖王75年 新羅 : 祇摩王16年 百済 : 己婁王51年 檀紀2460年 仏滅紀元 : 670年 ユダヤ暦 : 3887年 - 3888年 127年のカレンダー(ユリウス暦) 鄭玄、後漢末期の学者（+ 200年） 注釈 出典 年の一覧 年表 年表一覧
158年

158年（158 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、平年。 干支 : 戊戌 日本 成務天皇28年 皇紀818年 中国 後漢 : 永寿4年、延熹元年 朝鮮 高句麗 : 次大王13年 新羅 : 阿達羅王5年 百済 : 蓋婁王31年 檀紀2491年 仏滅紀元 : 701年 ユダヤ暦 : 3918年 - 3919年 158年のカレンダー(ユリウス暦) 注釈 出典 年の一覧 年表 年表一覧
163年

163年（163 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、平年。 干支 : 癸卯 日本 成務天皇33年 皇紀823年 中国 後漢 : 延熹6年 朝鮮 高句麗 : 次大王18年 新羅 : 阿達羅王10年 百済 : 蓋婁王36年 檀紀2496年 仏滅紀元 : 706年 ユダヤ暦 : 3923年 - 3924年 163年のカレンダー(ユリウス暦) 注釈 出典 年の一覧 年表 年表一覧
プラスチック数

プラスチック数（Plastic number）は、 x 3 = x + 1 , {\displaystyle x^{3}=x+1,\;} という代数方程式の唯一の実数解であり、 ρ = 1 2 + 1 6 23 3 3 + 1 2 − 1 6 23 3 3 {\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}} と書ける。また、小数点以下27桁まで 1.324717957244746025960908854 と近似できる。(オンライン整数列大辞典の数列 A060006) 黄金比がフィボナッチ数列の隣接項比の、白銀比がペル数の隣接項比の極限であるように、プラスチック数はパドヴァン数列及びペラン数列の隣接項比の極限である。 また、プラスチック数は以下の代数方程式の実数解でもある。 x 5 = x 4 + 1 {\displaystyle x^{5}=x^{4}+1\;} x 5 = x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{5}=x^{2}+x+1\;} x 6 = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle x^{6}=x^{2}+2x+1\;}   x 6 = x 4 + x + 1 {\displaystyle \!\ x^{6}=x^{4}+x+1} x 7 = 2 x 5 − 1 {\displaystyle x^{7}=2x^{5}-1\;} x 7 = 2 x 4 + 1 {\displaystyle x^{7}=2x^{4}+1\;} x 8 = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{8}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\;} x 9 = x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{9}=x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1\;} x 12 = 2 x 10 − x 4 − 1 {\displaystyle x^{12}=2x^{10}-x^{4}-1\;} x 14 = 4 x 9 + 1 {\displaystyle x^{14}=4x^{9}+1\;} プラスチック数はピソット数の中で最小の数である。
ベクトルのなす角

平面や空間上では、ふたつのベクトルのなす角は図形的に求めることができる。 そしてベクトルはさらに、図形とは無関係なベクトルに一般化されるが、この一般的なベクトルでも二つのベクトルのなす角を定義することができ、それにはベクトルの長さと内積を用いる。 任意の零でないベクトル x , y {\displaystyle x,y} について、次の値がベクトルのなす角となる。 θ = A r c c o s ⟨ x , y ⟩ | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle \theta =\mathrm {Arccos} {\frac {\langle x,y\rangle }{||x||\cdot ||y||}}} <x, y> は x, y の内積、||x|| は x のノルム（長さ）である。主値は 0 ≦ θ ≦ π とするのが普通である。 ベクトルのなす角が 0 の場合、二つのベクトルは一次従属すなわち方向が同じであり、π/2 の場合は直交する。 ベクトルのなす角 θ の余弦である次の値をベクトルの類似度として、以下を定義する。 cos ⁡ θ = ⟨ x , y ⟩ | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle x,y\rangle }{||x||\cdot ||y||}}} この値は0から1の間の値を取るが、2つのベクトルx, yの向きが等しい（一次従属）ほど1に近づき、類似していることが分かる。 n個の要素をもつデータをn次のベクトル空間に落とし込み、それらがどれだけ類似しているかを比べるのにこの性質が利用されることがあり、特にcos類似度と呼ばれる。 この類似度を高速に算出するアルゴリズムにMinHash（英語版）などがあり、文章間の類似度判定などに用いられる。
交項級数

数学、とくに解析学における交項級数（こうこうきゅうすう）または交代級数（こうたいきゅうすう、英: alternating series）とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数 a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n ( for  ∀ n ,   a n ≥ 0. [ resp.  a n ≤ 0. ] ) {\displaystyle a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\quad ({\text{for }}\forall n,\ a_{n}\geq 0.\quad [{\text{resp. }}a_{n}\leq 0.])} である。同様の有限級数をしばしば交代和 (alternating sum) と呼ぶ。 交代級数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}} は ln 2（=0.69314…）に収束することが知られているが、いっぽう各項の絶対値をとった級数 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} は調和級数としてよく知られた発散級数である。これは絶対収束が、級数が収束するための十分条件だが必要条件ではない（別な言い方をすれば、絶対収束は収束条件としては強すぎる）ことの例でもある。 実数項をもつ交代級数に対しては、収束判定法としてライプニッツによる「数列 {an} が単調減少で 0 に収束するならば級数 ∑ (−1)nan は収束する」というものがある（項が単調増大の場合も全体に −1 を掛けることにより単調減少の場合に帰着されるので、この場合も合わせて簡単に「数列 {an} が単調に 0 に収束する」ときと述べることもできる）。実際、交代級数 ∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}|a_{n}|} の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、すなわち | a 0 | ≥ | a 1 | ≥ | a 2 | ≥ ⋯ → 0 {\displaystyle |a_{0}|\geq |a_{1}|\geq |a_{2}|\geq \cdots \to 0} を満たすとき、部分和 s N := ∑ k = 0 N a k {\displaystyle s_{N}:=\sum _{k=0}^{N}a_{k}} の列 {sN} はコーシー列を成すことが確認できる。特に部分和の二つの部分列 {s2n}, {s2m−1} は有界な単調列ゆえにそれぞれ有限な値に収束するが lim n → ∞ s 2 n − lim m → ∞ s 2 m − 1 = lim n → ∞ ( s 2 n − s 2 n − 1 ) = lim n → ∞ a 2 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{2n}-\lim _{m\to \infty }s_{2m-1}=\lim _{n\to \infty }(s_{2n}-s_{2n-1})=\lim _{n\to \infty }a_{2n}=0} となり共通の極限値 S をもつので、それが求める和である。またこのとき、部分和 sN と級数の和 S との誤差は | S − s N | = | a N + 1 − ( a N + 2 − a N + 3 ) − ( a N + 4 − a N + 5 ) − ⋯ | ≤ | a N + 1 | {\displaystyle |S-s_{N}|=|a_{N+1}-(a_{N+2}-a_{N+3})-(a_{N+4}-a_{N+5})-\cdots |\leq |a_{N+1}|} と評価することができる。 級数 ライプニッツの公式 1−2+3−4+… Weisstein, Eric W. "Alternating Series". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list
二項級数

数学の特に初等解析学における二項級数（にこうきゅうすう、英: binomial series）は二項式の冪のマクローリン級数を言う。 具体的に、α を任意の複素数として、函数 f が f(x) = (1 + x)α で与えられるとき、マクローリン展開 ( 1 + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) x k = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots \end{aligned}}} (1) の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数 ( α k ) := α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! {\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}} が用いられている。 冪指数 α が自然数 n のときは、上記の級数の n + 2 番目以降の項はすべて零になる（明らかに、各項の因子に n − n が現れる）から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。 任意の複素数 β に対して、二項級数を 1 ( 1 − z ) β + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( k + β k ) z k {\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}} なる形に書くことができるが、これは特に 1 において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は 1 において x = −z を代入して、二項係数の等式 (−β−1 k) = (−1)k(k+β k) を適用すれば出る。 級数 1 の収束は冪指数 α と変数 x の値に依存する。より具体的に、 |x| < 1 ならば、任意の α に対して絶対収束する。 x = −1 ならば、絶対収束する必要十分条件は Re(α) > 0 または α = 0 の何れかが成り立つことである。 |x| = 1 かつ x ≠ −1 ならば、収束の必要十分条件は Re(α) > −1 なることである。 |x| > 1 のときには、α が非負整数（級数が有限和となる）場合を除けば、発散する。 いま α は非負整数ではないとし、|x| = 1 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える: Re(α) > 0 ならば絶対収束する。 -1 < Re(α) ≤ 0 ならば、x ≠ −1 では条件収束し、x = −1 では発散する。 Re(α) ≤ -1 ならば発散する。 二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板 |x| < 1 内で項別微分して式 1 を用いれば、この級数の和が常微分方程式 (1 + x)u′(x) = αu(x) を初期値 u(0) = 1 のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は u(x) = (1 + x)α であり、それはつまり（少なくとも |x| < 1 において）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を |x| = 1 にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を (1 + x)α の連続性に基づいて適用した帰結である。 自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を m が有理数であるところの y = (1 − x2)m の形の式として利用して、ジョン・ウォリスは（現代的な記法で書けば）後続する (-x2)k の係数列 ck は先行する係数に（自然数冪のときと同様に）m − (k − 1)⁄k を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している ( 1 − x 2 ) 1 / 2 = 1 − x 2 2 − x 4 8 − x 6 16 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots } ( 1 − x 2 ) 3 / 2 = 1 − 3 x 2 2 + 3 x 4 8 + x 6 16 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots } ( 1 − x 2 ) 1 / 3 = 1 − x 2 3 − x 4 9 − 5 x 6 81 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots } それゆえに、二項級数はニュートンの（一般）二項定理とも呼ばれる。ニュートン自身は証明も与えていないし、この級数の固有性質についても陽に述べてはいない。（現代的な語法で言えば）ニュートンはこの級数を形式冪級数として取り扱ったというのが大筋で適当である[要出典]。のちにニールス・アーベルは回顧録においてこの主題を取り上げ、特筆すべき収束問題として扱っている。 二項定理: ニュートンの一般二項定理 ニュートン級数（英語版） ^ 実は出典において負符号を持つ任意の非定数項が与えられていて、それは第二の式に対しては正しくない（転記ミスと思われる）。 ^ Coolidge 1949, pp. 147–157 Coolidge, J. L. (1949年). “The Story of the Binomial Theorem”. The American Mathematical Monthly 56 (3). JSTOR 2305028.  Weisstein, Eric W. "Binomial Series". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list binomial formula - PlanetMath.（英語） Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial series", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 CS1 maint: Date and year
1の冪根

1の冪根（いちのべきこん、英: root of unity）、または1の累乗根（いちのるいじょうこん）は、数学において、冪乗して 1 になる（冪単である）ような数のことである。すなわち、ある自然数 n が存在して zn = 1 となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては p 進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。 自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称し、1の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 複素数の範囲では、1 の原始 n 乗根は n ≥ 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、1 の原始 n 乗根の一つは ζ n = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n {\displaystyle \zeta _{n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}} で与えられることが分かる。この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始 n 乗根である。n と互いに素な自然数 m に対して ξnm は 1 の原始 n 乗根であり、逆に 1 の原始 n 乗根はこの形に表せる。すなわち、1の原始 n 乗根は、オイラーのφ関数を用いて、ちょうど φ(n) 個存在する。 方程式 xn = 1 を考える。この方程式の根は、ド・モアブルの定理より、 x = cos ⁡ 2 π k n + i sin ⁡ 2 π k n ( 0 ≤ k ≤ n − 1 ) {\displaystyle x=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}\quad (0\leq k\leq n-1)} であるが、1 の原始 n 乗根 ξn を一つ選べば、 x = ξ n k ( 0 ≤ k ≤ n − 1 ) {\displaystyle x={\xi _{n}}^{k}\quad (0\leq k\leq n-1)} と書くことができる。 また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。 以下、 i {\displaystyle i} は虚数単位である。 ξ 2 = − 1 {\displaystyle \xi _{2}=-1} ξ 3 = − 1 ± 3 i 2 {\displaystyle \xi _{3}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}\,i}{2}}} （しばしば ω と書かれる） ξ 4 = ± i {\displaystyle \xi _{4}=\pm i} ξ 5 = − 1 + 5 ± i 10 + 2 5 4 , − 1 − 5 ± i 10 − 2 5 4 {\displaystyle \xi _{5}={\frac {-1+{\sqrt {5}}\pm i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{4}},{\frac {-1-{\sqrt {5}}\pm i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}} ξ 6 = 1 ± 3 i 2 {\displaystyle \xi _{6}={\frac {1\pm {\sqrt {3}}\,i}{2}}} ξ 8 = 2 ± 2 i 2 , − 2 ± 2 i 2 {\displaystyle \xi _{8}={{{\sqrt {2}}\pm {\sqrt {2}}i} \over 2},{{-{\sqrt {2}}\pm {\sqrt {2}}i} \over 2}} 1 の冪根は全て、ガウス平面における単位円上にある。また概要で述べたことは 1 の n 乗根の全体が位数 n の巡回群となることを示している。 a を複素数とするとき、a の n 乗根を任意に一つ選んで n√a と記せば、1 の n 乗根に各々 n√a を掛けたものが複素数係数の方程式 xn − a = 0 の根の全体となる。 1 の n 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する正 n 角形となる。これは 1 の原始 n 乗根の一つを ξn として以下の式が成り立つことと同じである： ∑ k = 0 n − 1 ξ n k = 1 + ξ n + ξ n 2 + ⋯ + ξ n n − 2 + ξ n n − 1 = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\xi _{n}^{k}=1+\xi _{n}+{\xi _{n}}^{2}+\cdots +{\xi _{n}}^{n-2}+{\xi _{n}}^{n-1}=0} 冪根 代数的数 円分多項式 円分体
1−2+3−4+…

1−2+3−4+… は無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n} その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。これは18世紀にレオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって厳密な研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数（1−1+1−1+… など）の収束値についても考察がなされた。 1 = 1 1 − 2 = −1 1 − 2 + 3 = 2 1 − 2 + 3 − 4 = −2 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3 このように部分和は 0 以外の全ての整数を取りうる。したがって 1 − 2 + 3 − 4 + … は、部分和が一定の値に近づかず、発散する。（正または負の無限大への発散ではなく、振動である。） 以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。 S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … とおき、4S を計算する。 4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…) 　 = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…) 　 = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+… 　 = 1 よって、S = 1/4 である。 なお 2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…) 　 = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…) 　 = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+… 　 = 1−1+1−1+… 2S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/2 となる。 (1−1+1−1+…)2 = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。 1−1+1−1+… は公式 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ = 1 1 + x {\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}} 　（右辺のマクローリン展開とも考えられる） に形式的に x = 1 を代入したものと考えることにする（ただし本来この式は −1 < x < 1 の範囲でしか成り立たない）。 またこの式の両辺を x で微分して −1 をかけると 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}} となる。ここで形式的に x = 1 を代入すると 1−2+3−4+… = 1/4 を得る。これらの他にも収束値を求める方法はいくつか知られている。 1−2+3−4+… は、ディリクレのイータ関数（英語版） η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n^{s}}.} において s = −1 を形式的に代入したものである。右辺の級数は s の実部が正でなければ収束しないが、イータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、η(−1) の値も定義され、その値は 1/4 である。実際、イータ関数はリーマンゼータ関数 ζ(s) と η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)} という関係を持つので、ゼータ関数の関数等式よりイータ関数の関数等式を得るし、ゼータ関数の特殊値 ζ(−1) = −1/12 から η(−1) の値を得る。 また（例えばアーベルの）総和法によっても、この形式的な和を正当化することが出来る。すなわちｇ（ｘ）を g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − x ) n − 1 n {\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-x)^{n-1}n}} とすれば、両辺に-xを乗じて辺々引いて（|x|<1とすればg(x)は絶対収束するから、同じ仮定の下この操作が許されることに注意） ( 1 + x ) g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − x ) n − 1 {\displaystyle (1+x)g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-x)^{n-1}}} を得、よって g ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle g(x)={1 \over (1+x)^{2}}} となるのだが lim x → 1 − 0 g ( x ) = 1 4 {\displaystyle \lim _{x\to 1-0}g(x)={1 \over 4}} であるから、アーベルの意味でこの和が1/4と結論することができる。これは上のヒューリスティックとよく似た議論であるが一度議論対象を関数に落とし込んでから、その極限をとって再び特殊化することにより厳密な議論となっている。 逆にこの方法で得た値をイータ関数の値とみることによってゼータ関数の値をも求めることが出来る。この方法で得た値はゼータ関数の解析接続によって得られる値と等しい。 1+2+3+4+… レオンハルト・オイラー ゼータ関数
角の三等分問題

角の三等分問題（かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection）とは、古代ギリシャ数学（英語版）における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。 1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分（即ち 30° の角の作図）は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。例えば、60° の三等分（即ち 20° の角の作図）の不可能性は比較的単純に示すことができる。 定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図（英語版）がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、（目盛りなしの）定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。 この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく疑似数学（英語版）的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。 ^ Wantzel, P M L (1837年). “Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas.”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 2: 366–372. http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf#2.  ^ 矢野, 一松 & 亀井 2006, pp. 61-66, 「第7章 60°という角は三等分不可能なることの証明」 ^ 矢野 & 一松 1984, pp. 47-51, 「第7章 60°という角は三等分不可能なることの証明」 ^ 矢野 1943, pp. 46-51, 「第七章 60°といふ角は三等分不可能なることの證明」NDLJP:1168598/29 ^ 高木 1965, pp. 208-213, 「§42. 初等幾何学の不可能な作図問題」 ^ 矢野, 一松 & 亀井 2006, pp. 101-299, 「第Ⅱ部 解説」 ^ 矢野 & 一松 1984, pp. 81-164, 「第Ⅱ部 解説」 ^ Dudley, Underwood (1994), The trisectors, Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-514-3  ^ 矢野, 一松 & 亀井 2006, pp. 209-222, 「「角の三等分家」と付き合ってみて――しんどかった」 ^ 亀井 1995, pp. 246-256, 「『角の三等分家』と付き合ってみて――しんどかった」 亀井哲治郎 「『角の三等分家』と付き合ってみて――しんどかった」『あぶない数学』 朝日新聞社〈朝日ワンテーママガジン 44〉、1995年。 高木貞治 「§42. 初等幾何学の不可能な作図問題」『代数学講義』 共立出版、1965年11月25日、改訂新版。ISBN 978-4-320-01000-0。 矢野健太郎 『角の三等分』 創元社〈科学の泉 2〉、1943年8月30日。NDLJP:1168598。 矢野健太郎 『角の三等分』 一松信 解説、日本評論社〈数セミ・ブックス 8〉、1984年4月30日。ISBN 978-4-535-60208-3。 矢野健太郎 『角の三等分』 一松信 解説、亀井哲治郎 エッセイ、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年7月10日。ISBN 978-4-480-09003-4。 - 亀井のエッセイは亀井 (1995)の加筆・再録。 円積曲線（英語版） 円積問題、立方体倍積問題 - 本問題とともに三大作図問題として知られる。 折紙の数学 - 角の三等分と立方体倍積の問題は、折り紙によって解く事ができる。 幾何的暗号（英語版） 幾何学の歴史（英語版） 作図可能数 作図可能な正多角形 三等分曲線（英語版） 二等分線 モーリーの定理 ユークリッド幾何学 寺田文行『角の三等分問題』 - コトバンク Weisstein, Eric W. "Angle Trisection". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list
3の平方根

3の平方根（さんのへいほうこん）は、平方して 3 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} と書き、「ルート3」と読む。その小数表示は 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253… である（オンライン整数列大辞典の数列 A002194）。無理数であることが知られているので、この数字の並びは循環しない。 幾何学的には、一辺の長さが 2 の正三角形の高さに等しく、一辺の長さが 1 の正六角形の対辺の距離に等しい。また、一辺の長さが 1 の立方体の体対角線の長さに等しい。三角関数を用いると、 tan ⁡ 60 ∘ {\displaystyle \tan 60^{\circ }} とも表される。 小数部分の覚え方として、語呂合わせが知られており、代表的なものに「人並みに奢れや（ひとなみにおごれや）」がある。 √3 は代数的数である。√3 の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式は x 2 − 3 である。 連分数表示は 3 = 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}} 平方根 2の平方根 5の平方根 アイゼンシュタイン整数 3の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧
フェイェール核

数学におけるフェイェール核（フェイェールかく、英: Fejér kernel）は、フーリエ級数に対するチェザロ和を閉じた式で与えるのに用いられる。フェイェール核は非負積分核からなる列であり、その全体は近似単位元を生じる。名称は、ハンガリーの数学者リポート・フェイェール (1880–1959) に因む。 n-番目のフェイェール核 Fn は F n ( x ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 D k ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)} で定義される。ただし、 D k ( x ) = ∑ s = − k k e i s x {\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}e^{isx}} は k-番目のディリクレ核である。これはまた閉じた形で F n ( x ) = 1 n + 1 ( sin ⁡ ( n + 1 ) x 2 sin ⁡ x 2 ) 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\left({\frac {\sin {\frac {(n+1)x}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}} と（式が定義できる範囲で）書くこともできる。 フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 Fn ≥ 0 および、畳み込み作用素 Fn の汎函数としての正値性、すなわち周期 2π の正値函数 f ≥ 0 に対し 0 ≤ ( f ∗ F n ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( y ) F n ( x − y ) d y {\displaystyle 0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy} が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち f ∗ F n → f {\displaystyle f*F_{n}\to f} が満たされることである（f は連続、または Lp([−π, π]) に属す任意の函数）。これはヤングの不等式から、0 ≤ p ≤ ∞ なるとき f ∈ Lp([−π, π]) に対して ‖ F n ∗ f ‖ L p ( [ − π , π ] ) ≤ ‖ f ‖ L p ( [ − π , π ] ) {\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}} が満たされることからでる。f が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に f が連続ならば収斂は一様である。 フェイェールの定理 ディリクレ核 ギブズ現象 シャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プサン ^ Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1.
ギンザケ

ギンザケ （銀鮭、学名: Oncorhynchus kisutsh）は、魚類サケ目サケ科に属する1種。 天然では沿海州から千島列島、カリフォルニア州にかけての北部太平洋地域に生息し、北海道の河川には遡上しない。外観は白鮭に似ているが、肌目が銀色で背部から尾にかけて小さな黒点を有することが特徴。 地方名[どこ?][疑問点 – ノート]ギンマス、別名コーホーサーモン、シルバーサーモン。 河川の上流域まで遡上し、流れの早い浅瀬を選び産卵する。産卵は10月から翌年2月くらい。産卵行動はシロザケと基本的に似ていて、産卵床は湧水のある砂利層を好み形成する。産卵後2-3ヶ月程度で孵化・浮上した稚魚は1年-2年間の淡水生活の後、降海し海洋生活を送るが、浮上後すぐ降海する個体もいる。サクラマスのように川に残留する個体はほとんどいない。 河川での餌は水棲昆虫が中心で河口付近に住み群れを作らず流れの緩い深みで縄張りを作って生活する。春になり体長10-15cmくらいでスモルト化した個体は、降海する、降海はアメリカでは4-5月、千島列島北部では7-8月。3年から4年（海洋生活1年から2年）で成熟し50cmから65cmに成長し母川回帰する。日本では回帰個体の漁獲を目的とする放流は、1974年と翌年の標津川、1978年の伊奈仁川などが有るが夏期の温度上昇のため定着はしなかった。また、現在[いつ?]では放流行われていない。 ごくまれに、迷いサケとなった遡上個体が北海道の河川で捕獲されることもある。2011年の東北地方太平洋沖地震津波で養殖生簀が大量に流出した直後には、三陸地方でも遡上が確認された。 海洋では雑食性で魚食性が強いと云われ、主にイカを捕食していてシロザケ、ベニザケの分布域よりやや南の海域に分布し、至適水温は、9℃程度である。また、表面水温16℃以上の海域では捕獲されたことがない。 かつては、オホーツク海、ベーリング海での北洋サケマス漁業で捕獲されていたが、資源保護の為の漁獲量制限や操業海域の縮小などにより、ほとんど捕獲されていない。 成長が早い事から注目され、1976年、宮城県志津川湾で海面養殖が開始された。1993年まではアメリカ合衆国からの輸入卵を使用し最盛期の1991年には27000トンあまりが生産されたが、低価格なチリ産の影響を受け低迷し、年間10000トン程度の生産量となった。さらに2011年、東北地方太平洋沖地震発生時の津波により、養殖施設に壊滅的な打撃を受けた。 大手商社の三井物産は、チリの大手サケ養殖業者のマルチエキスポートと新会社を設立。三菱商事もチリの養殖会社を総額100億円で買収した。 スモルト化するまでは淡水で養殖し海水順応させた後、生け簀で養殖する。海水温が18℃を超えると死亡する個体が増加し、21℃を超えるとほぼ全滅する。餌は、スケトウダラのすり身を主原料とした配合飼料が使用される。淡水でも成熟・産卵する。 おもにシロザケやベニザケの代用として昭和中頃より食用に用いられる。養殖の普及と成長の早さから比較的安価であるにもかかわらず脂がのっていて美味なため、塩鮭のほか鮭の切り身やコンビニ用のおにぎりなどによく用いられる。 五大湖に移植されたほか、宮城県やチリでは海面養殖されている。 ^ 標津川に放流した北米産ギンザケについて (PDF) ^ 千歳川に遡上したギンザケ (PDF) ^ 佐藤秀一、佐藤秀一:増養殖の被災状況と復興 日本水産学会誌 Vol.78 (2012) No.3 p.490-, doi:10.2331/suisan.78.490 ^ 北西太平洋における産卵回遊初期のギンザケの分布域と回遊方向 (PDF) 冷水病 ギンザケサーモンミュージアム（鮭のバーチャル博物館） 熊谷明、ギンザケの冷水病 日本水産学会誌 2005年 71巻 4号 p.645-649, doi:10.2331/suisan.71.645 大家正太郎、清水壽一 ほか、ギンザケのへい死と水温との関係 近畿大学水産研究所報告 Bulletin of the Fisheries Laboratory of Kinki University 3 pp.73-77 1989年 日本産サケ属(Oncorhynchus)魚類の形態と分布 (PDF) 福井市自然史博物館 水温、餌生物から見たギンザケの南北方向の分布特徴 (PDF)
カラフトマス

カラフトマス（樺太鱒、学名：Oncorhynchus gorbuscha、英名：pink salmon、humpback salmon）は、サケ科サケ属の回遊魚。生鮮魚介類として流通する場合にはアオマスと称されることもある。このほか別名にセッパリマスなどがある。アラスカなどではピンクサーモンとも呼ばれる。また、北海道の一部産地ではオホーツクサーモンというブランド名で呼ばれている。 北太平洋、ベーリング海、オホーツク海、日本海、岩手県、北海道に分布する。 サケ属の中では小型の種類で全長40-60cm。側線鱗数はサケ・マス類中最も多く、背面や尾びれ、脂びれに黒い斑点があるのが特徴である。繁殖期には、雄のみ背中が突起状に変形（セッパリ）する。そのため「セッパリマス」の名がある。稚魚にはパーマークが無く、4 - 5月に降海し降海後ほとんどが2年で成熟し回帰する。従って、偶数年と奇数年で繁殖集団が分かれており、隔年の変動を示すことが知られている（いわゆる大漁年と不漁年）。繁殖集団の遺伝的な調査結果によれば、同じ年の隣の河よりも、日本とアラスカの方が遺伝子的には近縁であった。これは母川回帰本能が強くないことを示唆している。 地方名：サクラ、サクラマス（宮古、山田、釜石、大船渡）、アオマス（道東、久慈）、ホンマス（北海道東部の一部）、オホーツクサーモン（オホーツク沿岸）、ピンク 基本的に生まれた川に溯上し産卵するが、母川回帰性は弱く迷って違う川に遡上する事も多い。日本での遡上の南限記録は太平洋側で岩手県、日本海側は新潟以北。主にオホーツク海と根室海峡に流入する河川に遡上する。遡上時期は河川により変化するが、7月から遡上が始まり砂礫質の水通しの良い河床を選び8月から10月に産卵し、産卵後は寿命を終える。孵化した稚魚は河川ではあまり餌を捕食せず、産卵の翌年4月から5月に降海する。 1962年から1967年にかけ北海道知内川、遊楽部川で行われた調査によれば、産卵床は水深6cmから36cm、大きさは長径で80cmから170cm程度、短径は35cmから90cm。産卵床が作られる箇所の流速は、シロザケよりも流速が速い箇所が多く産卵床の位置や水質で棲み分けがされている。流速の速い場所を選ぶのは、稚魚がサケと比較した場合、より豊富な酸素を必要とするためとされている。シロザケと産卵床を形成する場所の棲み分けは成されているが、交雑が生じ漁業関係者の間でサケマスと呼ばれるシロザケとの交雑個体が捕獲される事があり、外見は双方の特徴を併せ持っている。 自然繁殖での卵から降海するまでの生存率は0.1 - 40% 程度。人工孵化での採卵から放流までの生存率は約80%。 シロザケと並び最も海洋生活に適合した種であるとされるが、人為的に移入された北米の五大湖では淡水の環境で陸封型が繁殖し、世代を重ねている。 かつてはオホーツク海、ベーリング海での「北洋さけ・ます漁業」により捕獲されていたが、現在では沿岸での定置網及び遡上河川での捕獲が主流である。漁期は夏から冬。サケに次ぐ漁獲量､である。 国内最大の水揚げ地は北海道東部オホーツク海沿岸であり、当地での7-8月の約2か月間の水揚げで国内消費の多くが満たされる。 肉質はサケ科魚類の中では脂分が多い。鮭缶や鮭筍など缶詰の原料として知られている。 鮮魚の利用方法としては焼き物の他、ルイベ、燻製、ムニエル、等がある。揚げ物はやわらかい肉質のためフライやてんぷら等が美味であり、この魚のザンギを名物としている地域もある。また白鮭より小型であるためちゃんちゃん焼きに向く。 味噌仕立ての鍋は鱒鍋と呼ばれ、カラフトマスの漁獲の多い地域では石狩鍋より好まれる場合がある。 山漬や塩マスなどに塩蔵加工すると、ほどよく脱水・熟成され美味である。塩鱒は焼魚以外にはさみ漬けや鱒漬け等の漬物の原料としても珍重される。卵は筋子（すじこ）として加工される。イクラに加工したものはマス子と呼ばれ外食産業を中心に流通している。また、マルハニチロのあけぼのブランドの鮭缶には、このカラフトマスがデザインされていることでも有名。 マス 魚の一覧 代用魚 モヨロ鍋 ^ “魚介類の名称表示等について（別表1）”. 水産庁. 2013年5月29日閲覧。 ^ 蛯谷幸司、成田正直、小玉裕幸 ほか、カラフトマス山漬けの製造中の成分変化について 北水試研報 74, 19-24 (2009) ^ サケとカラフトマスの産卵環境 (PDF) - 独立行政法人 水産総合研究センター さけますセンター ^ 市村政樹、柳本卓、小林敬典 ほか、北海道東部根室海峡周辺で採集された「サケマス」のDNA 分析による交雑判別 日本水産学会誌 Vol.77 (2011) No.5 P.834-844, doi:10.2331/suisan.77.834 ^ さけ・ます類の漁業と資源調査（総説） (PDF) - 水産総合研究センター ^ カラフトマス (PDF) - 水産総合研究センター 日本産サケ属(Oncorhynchus)魚類の形態と分布 (PDF) - 福井市自然史博物館 カラフトマスDB - 水産総合研究センターDB
按分票

按分票（あんぶんひょう）とは自書式投票において、その記述だけで判断すると複数の候補者や政党に該当しそうな記載である票を指す。公職選挙法においては「按分」という字を当てているが、一般的には「案分」とも書く。 日本では公職選挙法第68条の2で規定されている。 例として、ここにある選挙において、「山田A」と「山田B」の「山田」と言う姓の候補者が2人立った選挙を想定する。ある投票者が上の姓の「山田」のみを投票用紙に記載し、投票した場合、この「山田」とのみ書かれた投票用紙は「山田A」に投票したものであるか、「山田B」に投票したものであるかが問題になる。この場合、投票者の意思をなるべく汲み取ろうとするならば、無効票にするのではなく、複数の「山田」に対して得票率に応じて比例配分される事になる。 按分票を採用するかどうかは、その国の選挙法による。日本においては、開票区（主に市区町村を単位に設けられる）の按分対象候補の得票率に応じて按分されることになり、小数点第4位以下は切り捨てとして扱われる。この様な票が生じるため、自書式投票では時間と経費がかさむ事になる。日本の参議院選挙における全国区制や非拘束名簿式の比例代表制のように、候補者数が多ければ、こうした按分票が増える傾向になる（参議院の比例代表における得票結果が小数点第3位まで記載されているのはこのためである）。 公職選挙法第68条の2第2項・第3項で「名称又は略称が同一である衆議院名簿届出政党等（又は参議院名簿届出政党等）が2以上ある場合において、その名称又は略称のみを記載した投票は有効とする」、同法第68条の2第4項・第5項で「有効投票は、開票区ごとに、当該候補者、又は当該衆議院名簿届出政党等（又は参議院名簿届出政党等）のその他の有効投票数（当該参議院名簿届出政党等に係る各参議院名簿登載者の有効投票数を含まないもの）に応じて按分し、それぞれこれに加えるものとする」とそれぞれあるため、国政選挙の比例代表制において名簿届出政党等が名称又は略称が同一である場合は按分票とすることが明記されている。一方で政治資金規正法第6条では「政治団体の名称は政党又は政治資金団体の名称及びこれらに類似する名称以外の名称でなければならない」と規定されている。 なお、通称（旧姓を含む。）を届け出ている候補者は、通称でも本名でも票（按分票を含む。）が配分されている。 1958年に行われた第28回衆議院議員総選挙では、長崎2区において自由民主党所属の前代議士と無所属新人の、同姓同名の2人の北村徳太郎が立候補をしたため、両名の間で案分票の配分が行われた。結果は自民党の北村が3位当選、無所属の北村が最下位落選。 2009年に行われた第45回衆議院議員総選挙では、山口1区において高村正彦（こうむらまさひこ、自由民主党）と高邑勉（たかむらつとむ、民主党）の、姓の読みの紛らわしい2名が立候補したため、両名の間で案分票の配分が行われた。結果は、高村が選挙区で当選、高邑が比例復活で当選。 2013年に行われた第23回参議院議員通常選挙では、比例区において政党みどりの風（略称「みどり」）と候補者石井みどり（自由民主党）がいたため、「みどり」と記載された票は両者の間で按分された。参議院比例区では政党名と候補者名のいずれを記載してもよいとする非拘束名簿式が2001年以降採用されていることに起因する。（政党名の略称を中央選挙管理会に届け出た場合であっても、個人名得票との按分の適用が除外されるとの規定は公職選挙法にないため、人名（参議院比例区の名簿登載者）にも使用される可能性のある文字を政党名やその略称に使用することには、注意が必要である。） 2017年に行われたの唐津市の市議会議員選挙において、現職と新人の（いずれも無所属）、同姓同名の2人の青木茂が立候補をしたため、両名の間で案分票の配分が行われた。両者とも当選した。 候補者に同じ苗字が多くいる場合のような、地方議会選挙では、苗字のみの投票分が按分票となる。そのため最下位当選が小数点以下の票差で決する可能性もある。 〈国政選挙であるにもかかわらず一部の選挙管理委員会で行われた按分の例〉 2010年の第22回参議院議員通常選挙愛知県選挙区において、愛知県幸田町選管が「斎藤」とだけ書かれた票を民主党の新人斎藤嘉隆とみんなの党の新人薬師寺道代(本名は齋藤道代)の按分とした。ただし当落には影響せず。 2013年の第23回参議院議員通常選挙比例区において、熊本県水俣市選管が「日本」とだけ書かれた票を、日本維新の会と日本共産党の政党名投票として按分した。ただし当落には影響せず。 ^ “候補者と政党の「みどり」、選管が案分計算ミス”. 読売新聞. (2013年7月23日). http://www.yomiuri.co.jp/national/news/20130723-OYT1T01337.htm 2013年7月24日閲覧。  ^ “同姓同名２人とも当選…案分票目立つ　佐賀”. 毎日新聞. (2017年1月30日). http://mainichi.jp/articles/20170130/k00/00e/040/164000c 2017年1月31日閲覧。  選挙 無効票 自書式投票 鳴門市選挙管理委員会によるサイト「コラム・ザ・選挙！（7） 小数点以下の得票があるのはなぜ？」 案分票のゆくえ
再選挙

再選挙（さいせんきょ）は、当選者がいない、または得票数が足りない場合であって繰り上げ当選等の方法で補充できないために、再度選挙を行うこと。以下では主に、日本の選挙における再選挙について記述する。 日本の選挙では、繰上補充で候補者が補充することができずに、法定得票に達する候補者がなく、または不足した場合、立候補者が定員に満たない場合等の事由により当選人がなく、あるいは当選人の数が定員に満たない場合、当選人が死亡した場合、当選人が当選を定められた後当選を失った場合、選挙無効や当選無効の判決、裁決、決定が確定する結果当選人がいなくなったり定員に満たなくなった場合、総括責任者等の選挙違反でいわゆる連座制により当選が無効となった場合、当選人が選挙違反をして当選人の当選が無効となった場合に行う。 ただし、衆議院比例代表選出議員、参議院比例代表選出議員、地方議会の議員の場合にあっては、選挙無効の判決、裁決、決定が確定した場合を除いて、このことによって欠ける定員が補欠選挙の事由が発生する事由と同じ定員不足に至った場合に限る。参議院比例代表選出議員の場合において、任期を異にする参議院比例代表選出議員の選挙が行われる場合や、地方議会においてはその選挙区で同じ地方公共団体の他の選挙が行われる場合は、欠員の数にかかわらず再選挙を実施する。 ただし、任期満了6月前の場合は再選挙を実施しない。 再選挙の発生原因は、選挙の対象となる公職によって異なっている。 衆議院小選挙区選出議員・参議院選挙区選出議員・地方公共団体の長　公職選挙法109条 衆議院比例代表選出議員・参議院比例代表選出議員・地方公共団体の議会の議員　公職選挙法110条 日本以外の国では、再選挙の代わりに上位候補による決選投票制を導入している場合もある。 国政選挙において、当選人がないことや定員に満たなかった場合、あるいは選挙無効訴訟の結果選挙無効となった場合は原則としてその事由が発生した日から40日以内に、その他の場合は統一補欠選挙と同日に実施することとなる。 地方選挙の場合は、原則としてその事由が発生した場合は50日以内に実施する（公職選挙法34条）。 なお、再選挙を実施する場合であっても、選挙無効訴訟等が係属中の期間は実施しない。 法定得票に達する候補者がなく、または不足した場合にも再選挙が行われることになるが、再選挙の立候補資格は通常の選挙と変わらず、元の選挙の候補者はもちろん、新たに立候補することもできる。そのため、形の上では永遠に再選挙が繰り返される危険性があり、これを避けるため法定得票の基準は外国に比べ緩くなっていると言われている。 国政選挙 史上最多の候補者が乱立した1946年衆院選で、2議席分（東京2区と福井全県区の最下位当選枠各1名分）が法定得票に達せず、再選挙となった（この時、東京2区では広川弘禅・福井全県区では堂森芳夫がそれぞれ当選）。 1954年「奄美群島復帰に伴う暫定措置法に基く選挙」（旧・奄美群島区）で再選挙になっている（保岡武久が当選）。 その他、選挙無効の判決が確定した場合も再選挙を行うことになっており、現憲法下においては一部無効による再選挙の実例がある。1949年衆院選の新潟2区のうち七谷村において選挙事務の大部分を首長部局に一任し選挙管理委員会が選任する立会人による立ち会いが行われなかったこと等を理由として一部選挙無効となり1950年10月に再選挙が行われた事例や1953年参院選の全国区において、栃木県佐野市の投票所で候補者の所属する党派名を誤記したことにより、同年10月に佐野市で再選挙が行われた事例がある。 最近の再選挙の施行例としては、学歴詐称で選挙違反として議員の当選が無効となったことを理由として、1994年9月11日に行われた参議院愛知県選挙区における事例が存在する。なお、選挙違反や連座制の適用に関しては、判決が確定する前に議員が自発的に辞任することがあり、補欠選挙として行われることがある。 地方首長選挙 公職選挙法施行以降では、法定得票に達する候補者がなく再選挙となった例は、1979年4月の千葉県富津市長選、1992年2月の奈良県広陵町長選、2003年4月13日の北海道札幌市長選、2007年4月22日の宮城県加美町長選、2017年1月29日の鹿児島県西之表市長選、2017年11月26日の千葉県市川市長選の6例がある。 広陵町長選挙（1992年2月2日投票）には7人が立候補し、法定得票に達せず当選人なし。選挙後14日以内の異議申立て期間に訴訟が提起されたため再選挙は50日以内に実施できず、翌1993年8月8日に再選挙（立候補者3人）が行われて当選人が決まるまで町長不在が続いた（町長職務代行者が置かれた）。 当選人死亡で再選挙となった例としては、1992年4月26日の栃木県鹿沼市長選がある（再選を果たした候補が投票日の翌日に死亡）。 選挙無効判決で再選挙になった例としては、1975年6月29日の埼玉県加須市長選がある（埼玉県加須市長選挙無効事件）。 地方議会議員選挙 1971年4月の大阪府議会議員選挙河内長野市選挙区で定数1に対して6人立候補、5月投票の再選挙（5人立候補）でも法定得票数に達せず、6月の再々選挙で当選人が決まった。再々選挙での立候補者は3人。 2007年4月の東京都昭島市議会議員選挙で、定数24に対して23人しか法定得票に到達せず、残り1議席に限り再選挙を実施した。 2011年4月の千葉県議会議員選挙浦安市選挙区で、東日本大震災の被害の復旧の優先を理由に市の選挙管理委員会が選挙事務を行わず、投開票ができなかったため、当選者がおらず再選挙となった。 2018年11月の群馬県昭和村議会選挙で、定数12に対し立候補者が9人しかおらず、残り3議席に限り再選挙が行われる見通しである。 ^ 比例代表選挙で当選人が当選が定められた後に所属政党等を他の届出政党等に異動して失格したり、その他就職禁止の職に就任して所定の期日までその職を辞さなかったり、地方公共団体において請負等の関係にあって所定の期日までその関係を解消しない場合 ^ 地方議会の場合議員定数の欠員が3分の1超の場合を除く ^ 公職選挙法 - 法庫 houko.com ^ 平成4年2月2日執行 広陵町長選挙結果 広陵町選挙管理委員会 (PDF) ^ 選挙に関する不服申立て - 選挙コンサル ^ 第5回補充立候補制度等のあり方に関する研究会 14頁 (PDF) - 総務省 ^ 平成5年8月8日執行 広陵町長選挙結果 広陵町選挙管理委員会 (PDF) ^ “市川市長選 再選挙 1月14日投開票は再協議”. 東京新聞. (2017年11月30日). http://www.tokyo-np.co.jp/article/chiba/list/201711/CK2017113002000150.html 2017年11月30日閲覧。  ^ 群馬・昭和村議選、定数割れで再選挙へ　県内の市町村議選で戦後初（産経新聞、2018年11月27日） 補欠選挙 増員選挙 法定得票 1974年10月イギリス総選挙 2012年6月ギリシャ議会総選挙