アーベル総和法

解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、英: Abel's summability method）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。 複素数値の数列 {an} に対し、級数 ∑∞ n=0 an が値 l に収束するとは、部分和 s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}} が通常の数列の収束の意味で値 l に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。 例えば、an = (−1)nとするグランディ級数 ∑∞ n=0 (−1)nは s 0 = 1 , s 1 = 0 , s 2 = 1 , s 3 = 0 , ⋯ {\displaystyle s_{0}=1,\,s_{1}=0,\,s_{2}=1,\,s_{3}=0,\cdots } となり、通常の意味では収束しない。ここで、x を |x| < 1 を満たす複素数とし、xn を各項 an に収束因子として乗ずると、ベキ級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots } は、|x| < 1 で f ( x ) = 1 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}} に一様収束する。このとき、左極限 x → 1− は収束し、 lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}} となり、級数 ∑∞ n=0 (−1)n に値 1/2 を対応させることができる。 複素数値の数列 {an} に対し、ベキ級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} が |x| < 1 で収束し、左極限が lim x → 1 − f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}=s} と有限値 s になるとき、値 s にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、 A - ⁡ ∑ n = 0 ∞ a n = s {\displaystyle \operatorname {A-} \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s} もしくは ∑ n = 0 ∞ a n = s ( A ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s\quad \operatorname {(A)} } と記す。また、このように {an} の級数を f(x) の左極限 x → 1− で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。 なお、f(x) は部分和 s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}} によって、 f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}} とも表すことができる。したがって、f(x) は部分和の列 {sn} に ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) x n = ( 1 − x ) 1 1 − x = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n}=(1-x){\frac {1}{1-x}}=1} を満たす因子 (1 − x)xn を乗じて、和を取っていることになる。 アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に k>-1 について、(C, k)-総和可能であれば、アーベル総和可能である。 a n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}(n+1)\quad (n=0,1,2,\cdots )} で定義される数列 {an} に対し、 ∑ n = 0 ∞ a n = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=1-2+3-4+\cdots } は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)x^{n}} は |x| < 1 で収束し、 f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}} となることから1/4にアーベル総和可能である。 {λn} を 0 ≤ λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ n < ⋯ {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots } を満たす単調増加な数列とする。ここで級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n exp ⁡ ( − λ n x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp {(-\lambda _{n}x)}} が任意の x > 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、 lim x → + 0 f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to +0}f(x)=s} と有限値 s になるとき、級数 ∑∞ n=0 an は s に (A, λn)-総和可能という。 特に λn = n の場合は、アーベル総和法に一致する。 アーベル総和法において、ベキ級数 f(x) は部分和の列 {sn} によって、 f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n = ∑ n = 0 ∞ s n x n ∑ n = 0 ∞ x n = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n ∑ n = 0 ∞ p n x n ( p n = 1 ) {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}}\quad (p_{n}=1)} と表すことができる。より一般に、数列 {pn} が p n ≥ 0 , ∑ k = n ∞ p k > 0 {\displaystyle p_{n}\geq 0,\quad \sum _{k=n}^{\infty }p_{k}>0} を満たし、{pn} によって定義されるベキ級数 p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n x n {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}} が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、 p s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n {\displaystyle p_{s}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}} が 0 ≤ x < r で収束し、かつ lim x → r − p s ( x ) p ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to r-}{\frac {p_{s}(x)}{p(x)}}=s} が成り立つとき、値 s に (J, pn)-総和可能という。 一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。 アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。f(x) を長さ L=b −a の有界区間 (a, b) で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ f(a)=f(b) を満たす周期関数とする。このとき、f(x) は次の形のフーリエ級数展開を持つ。 f ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ f n ^ e 2 n π i x L {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f_{n}}}e^{\frac {2n\pi ix}{L}}} f n ^ = 1 L ∫ a b f ( x ) e − 2 n π i x L d x {\displaystyle {\hat {f_{n}}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}f(x)e^{-{\frac {2n\pi ix}{L}}}dx} 第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、f(x) が連続となる点においてf(x) に収束する。特に f(x) が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、 A r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | f n ^ e 2 n π i x L {\displaystyle A_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}{\hat {f_{n}}}e^{\frac {2n\pi ix}{L}}} を導入すると、この級数は 0 ≤ r <1 で収束し、かつ f(x) が連続となる点で左極限 r → 1 − は f(x) に一致する。この結果の議論はポアソン核 P r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | e 2 n π i x L {\displaystyle P_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{\frac {2n\pi ix}{L}}} の性質に基づく。 (a, b) 上で可積分な関数g(x)、h(x) に対して、畳み込み積分を g ∗ h ( x ) = 1 L ∫ a b g ( y ) h ( x − y ) d y {\displaystyle g*h(x)={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}g(y)h(x-y)dy} で定義すると、 f ∗ P r ( x ) = A r ( x ) {\displaystyle f*P_{r}(x)=A_{r}(x)} であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。 ^ a b c d 石黒 (1977)、第2章 ^ a b 江沢（1995）、第4章 ^ a b E. M. Stein and R. Shakarchi (2003), chapter 2 ^ A. Tauber, "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" , Monatshefte für Mathematik und Physik, 8 (1897), pp. 273–277. doi:10.1007/BF01696278 ^ G. H. Hardy (1949), chapter VII G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949) Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1), Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494 江沢洋『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248 アーベルの連続性定理 タウバー型定理