完全数

完全数（かんぜんすう，英: perfect number）とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の3個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) である。「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来するが、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである。中世の『聖書』の研究者は、「6 は「神が世界を創造した（天地創造）6日間」、28 は「月の公転周期」で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」と考えたとされる。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 (496, 8128) を知っていた。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。 完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。 完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀頃のユークリッドである。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数であることを証明した。2n − 1 が素数となるには n が素数である必要があるため、これにより、2p − 1 が素数となる素数 p の探求に終始されることとなる。2p − 1 を通常 Mp で表し、メルセンヌ数という。メルセンヌ数が素数であるかの判定法が考案され（リュカ1876年、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）1930年代）、1950年代からコンピュータが使われるようになり、現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われている（詳細はメルセンヌ数を参照）。 偶数の完全数で、ユークリッドの生成式以外から得られる完全数はないのかという問題が18世紀まで未解決であったが、レオンハルト・オイラーが偶数の完全数はこの形に限ることを証明している。 2019年1月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。 完全数は、小さい順に 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000396） である。 各完全数の正の約数の総和は 12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …（オンライン整数列大辞典の数列 A139256） 隣り合う完全数の差は 22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, …（オンライン整数列大辞典の数列 A139228） 完全数の総和の列は 6, 34, 530, 8658, 33558994, …（オンライン整数列大辞典の数列 A092336） である。 6 と 28 がなぜ「完全」であるかは中世の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間（日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する）、28 は「月の公転周期」とされた。聖アウグスティヌス（? - 604年）はこれとは一線を画し、「6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6 が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている。 完全数に関する最初の成果として、紀元前3世紀頃にユークリッドにより 2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数である ことが彼の著書『原論』で証明されている。2n − 1 が素数であるためには n が素数である必要がある（証明はメルセンヌ数#基本的な性質を参照）ため、2p − 1 が素数となる素数 p の探求が現在でも行われている。 このことから、紀元前、古代ギリシアでは完全数として 6, 28, 24(25 − 1) = 496, 26(27 − 1) = 8128 が知られていた。 その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 212(213 − 1) = 33550336, 216(217 − 1) = 8589869056, 218(219 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。 1644年、マラン・メルセンヌは「素数 p で 2p − 1 が素数になるのは、p ≦ 257 では p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 の11個の場合だけである」という予想を公表した。この予想は、その後の歴史を見ても画期的、先駆的であったことに敬意を表し、現在では Mn = 2n − 1 をメルセンヌ数、とくに素数であるものはメルセンヌ素数と呼ばれている。 オイラーはメルセンヌの予想発表から128年後の1772年、p = 31 では素数になることを証明した。また、オイラーは、偶数の完全数でこの生成式以外から得られる完全数はないのかという長年の未解決問題を、偶数の完全数はユークリッドの式の形に限るという形で証明している。 エドゥアール・リュカは19年かけて39桁の自然数 2127 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、1876年、77桁の完全数を発見した。2127 − 1 は、1951年まで具体的に計算された素数のうち最大のものであった。リュカは M67 が素数でないことを、素因数分解するのでなく、ある巧妙な素数判定法を考案して証明した。この素数判定法は現在 GIMPS で用いられるリュカ–レーマー・テスト (Lucas–Lehmer primality test) の基礎になっている。 1952年、ラファエル・M・ロビンソンが SWAC を利用して M521 から M2281 まで、5つのメルセンヌ素数を発見して以来、メルセンヌ素数の発見にはコンピュータが用いられている。現在では1996年発足した、分散コンピューティングプロジェクト GIMPS により、35番目のメルセンヌ素数 M1,398,269（1996年11月13日、Joel Armengaud）以来、GIMPSによるメルセンヌ素数の発見が相次いでいる。 2018年12月現在、メルセンヌ素数は51個まで知られている（ただし、順番が確定しているものは、47番目までであり、さらに48, 49, 50, 51番目の候補として p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 が挙がっており、間に素数がないかどうか検証中である）。 偶数の完全数 2p−1(2p − 1) = (Mp+1)Mp/2 は Mp 番目の三角数でもある。 偶数の完全数は、Mp = 2p − 1 が素数のときの 2p−1Mp に限る（ユークリッド、オイラー）。 2p−1Mp が完全数であることの証明： ユークリッドの証明 Mp = 2p − 1 は奇数になるから、2p−1 と Mp は互いに素になる。 よって、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N = 2p−1Mp の約数の総和 σ(N) は、 σ ( N ) = σ ( 2 p − 1 ) σ ( M p ) . {\displaystyle \sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).} このとき、 σ ( 2 p − 1 ) = ∑ k = 0 p − 1 2 k = 2 p − 1 = M p . {\displaystyle \sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.} Mp は素数なので、 σ ( M p ) = M p + 1 = 2 p . {\displaystyle \sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.} したがって、 σ ( N ) = M p 2 p = 2 N . {\displaystyle \sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.} すなわち、N の約数の総和が 2N に等しくなるので、N は完全数である。Q.E.D. 偶数の完全数は 2p−1Mp の形に限ることの証明： オイラーの証明 N を偶数の完全数とする。N を 2 で割り切る最大回数を n とすると、N = 2nK（n は自然数、K は奇数）とおける。2n と K は互いに素であるので、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N の正の約数の総和 σ(N) は以下のようになる。 σ ( N ) = σ ( 2 n )   σ ( K ) = ( ∑ k = 0 n 2 k ) σ ( K ) = ( 2 n + 1 − 1 )   σ ( K ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}} N は完全数より σ(N) = 2N = 2n+1K なので ( 2 n + 1 − 1 ) σ ( K ) = 2 n + 1 K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K} が導かれる。2n+1 − 1 は奇数なので 2 で割り切れず、式が成立するためには、σ(K) は 2n+1 で割り切れなければならない。σ(K) = 2n+1a とおき、上の式に代入して両辺を 2n+1 で割れば ( 2 n + 1 − 1 ) a = K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)a=K} となる。 もし a ≠ 1 なら、1, a, (2n+1 − 1)a は K の相異なる約数のため、 σ ( K ) ≧ 1 + a + ( 2 n + 1 − 1 ) a = 2 n + 1 a + 1 = σ ( K ) + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1} となり矛盾する。ゆえに、a = 1 でなければならない。したがって、N が偶数の完全数であるためには、 K = 2 n + 1 − 1 {\displaystyle K=2^{n+1}-1} 　かつ σ ( K ) = 2 n + 1 = K + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1} でなければならない。σ(K) = K + 1 より、K は K と 1 以外に約数がない素数でなければならない。 ゆえに、N が偶数の完全数であるのは、N = 2n(2n+1 − 1)（ただし 2n+1 − 1 は素数）の形のときに限られる。Q.E.D. 偶数の完全数を N = 2p−1(2p − 1)（Mp は素数）とする。 N の正の約数の個数は d(N) = 2p である（d は約数の個数を表す約数関数）。 N の正の約数の調和平均は p、ゆえに N は調和数である。 6 以外の偶数の完全数は、1 から連続する正の奇数の立方和で表せる。式で表すと N = ∑ k = 1 2 p − 1 2 ( 2 k − 1 ) 3 ( p ≧ 3 ) {\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)} 例： 28 = 13 + 33, 496 = 13 + 33 + 53 + 73, 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 1 から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, …（オンライン整数列大辞典の数列 A002593） 2n−1(2n − 1)（n は自然数）の列は 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, …（オンライン整数列大辞典の数列 A006516） この数列で完全数にならない数の数列は オンライン整数列大辞典の数列 A144858 を参照 n × σ(n) は n = 2p−1 のとき偶数の完全数になる。ただし σ は約数関数である。この数列は 1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, …（オンライン整数列大辞典の数列 A064987） 偶数の完全数は、1 から連続する正の整数の和で表せる。式で表すと N = ∑ k = 1 2 p − 1 k ( p ≧ 2 ) {\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)} 例：6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31 言い換えると、N は 2p − 1 番目の三角数である。偶数の三角数の列は 6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378, 406, 496, 528, 630, 666, 780, 820, 946, 990, …（オンライン整数列大辞典の数列 A014494） 偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。六角数の列は 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000384） n 番目の六角数は n(2n − 1) なので、偶数の六角数は 2n(4n − 1) で表される。偶数の六角数の列は 6, 28, 66, 120, 190, 276, 378, 496, 630, 780, 946, …（オンライン整数列大辞典の数列 A014635） 6 以外の完全数は中心つき九角数に含まれる。この数の列は 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, …（オンライン整数列大辞典の数列 A060544） N を十進法表示したとき、一の位は 6 または 8 である。 偶数の完全数は無数に存在するか、つまり Mp = 2p − 1 が素数となる素数 p は無数に存在するかどうかは未解決である。 奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数は乗法的 (英: multiplicative) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。 N の素因数分解は qαp12e1 … pk2ek の形である。ここで q, p1 < p2 < … < pk は相異なる素数で q ≡ α ≡ 1 (mod 4) を満たす。 N < 24k+1 である。 p1 < 2/3k + 2 である。また、2 ≤ i ≤ 6 のとき pi < 22i−1(k − i + 1) である。 e1 ≡ e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (mod 3) ではない。 e1 = e2 = … = ek = β とすると、k ≤ 4β2 + 2β + 2 である。 N ≡ 1 (mod 12) または N ≡ 1/2 ・ 32e1(32e1+1 − 1) (mod 2 ・ 32e1(32e1+1 − 1)) である。 N > 10300 である。 N は少なくとも9個の相異なる素因数を持つ。 これは2006年に発表されたものであるが、「7個」の場合は1972年までにカール・ポメランスによって示され、「8個」の場合は1980年頃に Cheinと Hagisによってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力にもかかわらず、26年もの間「9個」の場合は示されなかった。 N が 3 で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ。3 でも 5 でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5 でも 7 でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ。 N は重複も数えて少なくとも75個の素因数を持つ。 N は 108 より大きい素因数を持つ。 これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 107や、1998年の 106などがある。 N の2番目に大きな素因数は 104 より大きい。 N の3番目に大きな素因数は 100 より大きい。 上記で e1 = e2 = … = ek = β とすると、β は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない。 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が 2 なので、調和数である。この数の列は 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001599） 約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシアの数秘学の影響が見られる。 倍積完全数 (multiperfect number) 正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を倍積完全数という。特に、それがk倍に等しいものをk倍完全数という。完全数とは2倍完全数のことである。 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007691） ハイパー完全数 (hyperperfect number) n が k -ハイパー完全数であるとは、 n = 1 + k(σ(n) − n − 1)（ただしk は自然数）（σ は約数関数） を満たすことと定義される。完全数は 1-ハイパー完全数である。 k -ハイパー完全数の列は 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, …（オンライン整数列大辞典の数列 A034897） 超完全数 (superperfect number) n が (m, k)-完全数であるとは、 σm(n) = kn（ただし k は自然数）（σ は約数関数） を満たすときと定義される。完全数は (1, 2)-完全数、倍積完全数は (1, k)-完全数、超完全数は (2, 2)-完全数である。 完全数でない自然数を不完全数 (imperfect number) という。 不足数 (deficient number) 自分自身以外の正の約数の和より大きい自然数 過剰数 (abundant number) 自分自身以外の正の約数の和より小さい自然数 友愛数 (amicable pair) 自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。 社交数 (sociable numbers) 友愛数と同様の関係が成立する3個以上の自然数の組。 準完全数 (quasiperfect number) n が準完全数であるとは、正の約数の和が 2n + 1 に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。 概完全数 (almost perfect number) n が概完全数であるとは、正の約数の和が 2n − 1 に等しいことと定義される。不足数の一種。2k (k = 1, 2, 4, 8, 16, …) の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。 乗法的完全数 (multiplicative perfect number) 正の約数の積が自分自身の自乗（2乗）に等しい数を乗法的完全数という。乗法的完全数の列は、 1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007422） 小川洋子の小説『博士の愛した数式』（2003年）では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。 ^ a b c Euler (1849)は. 1747年2月23日にベルリン・アカデミーにより査読され、オイラーの死後の1849年に出版された。特に 88頁の§8を参照。 ^ 『ユークリッド原論』第9巻、命題36は以下の通り。 もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ，それらの総和が素数になるようにされ，そして全体が最後の数にかけられてある数を作るならば，その積は完全数であろう。 — エウクレイデス、『ユークリッド原論』第9巻、命題36 すなわち 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ⋯ + 2 n − 1 = M n {\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{n-1}=M_{n}} が素数ならば M n × 2 n − 1 {\displaystyle M_{n}\times 2^{n-1}} は完全数である。 ^ オイラーが証明した。 ^ a b c d e f 「高数・数学者列伝」吉永良正『高校への数学』vol.20、8月号 ^ 淡中忠郎「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982)、65-67頁に再録されている。 ^ a b c ハーディ & ライト 2001, p. 317 ^ a b c 和田 1981, pp. 59-61 ^ Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime! ^ オンライン整数列大辞典の数列 A000043 ^ Dickson (2005, p. 19) ^ ハーディ & ライト 2001, p. 20 ^ ハーディ & ライト 2001, p. 28 ^ ハーディ & ライト 2001, p. 316 ^ Dickson (2005, p. 98) ^ P. 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