流線曲率の定理

流線曲率の定理（りゅうせんきょくりつのていり、英語: Streamline Curvature Theorem）は、非粘性流体 (完全流体) の外力が無視できる定常な流れにおいて、流線の曲率中心方向に圧力が低くなることを述べた定理である。 ベルヌーイの定理と同様に、流線曲率の定理は定常オイラー方程式の成分分解から得られる。 流線曲率の定理は 流線が曲がると速度の方向が変化するので内向きに加速度 (向心加速度) が発生する。完全流体の外力のない流れでは加速度を生み出す力は圧力勾配以外にはないので、流線が曲がっているところでは外側から内側へと圧力が減少する。 ことを表したもので、 r {\displaystyle r} を流線の曲率中心 (流線の一部を円弧とする円の中心) からの距離とすると、以下のように表現できる: 外力がない、定常・非粘性な流れにおいて ∂ p ∂ r = ρ v 2 r   ( > 0 ) {\displaystyle {\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}~(>0)} が成り立つ。ただし、 p {\displaystyle p} : 圧力、 ρ {\displaystyle \rho } : 密度、 v {\displaystyle v} : 速さである。 流線曲率の定理は 流れと一緒に動く系からみたとき、単位体積あたりの遠心力と圧力勾配の動径成分が釣り合う と解釈してもよい。渦の中心が周囲より低圧であることは流線曲率の定理を使って理解できる。 翼が揚力を発生するメカニズムの説明にベルヌーイの定理が使われることが多いが、流線曲率の定理でも説明することが可能である。(図を参照) なお、英語名の"Streamline Curvature Theorem"は日本でしか通じない。英語圏の文献ではこの概念を表す名称はない。 外力がない、定常な、非粘性流の運動方程式(定常オイラー方程式) v ⋅ ∇ v = − 1 ρ ∇ p {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}=-{1 \over \rho }\nabla p} を考える。ここで v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} , p {\displaystyle p} , ρ {\displaystyle \rho } はそれぞれ速度、圧力、密度を表す。 この方程式を、 流線に対する 接単位ベクトル e s {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s}} 、 主法線単位ベクトル e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}} 、 従法線単位ベクトル e b {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{b}} からなるフレネ・セレ標構 { e s , e n , e b } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{s},{\boldsymbol {e}}_{n},{\boldsymbol {e}}_{b}\}} を用いて成分表示することを考える。 流線は流れの速度ベクトルに接する曲線であるから、運動方程式の左辺は、以下のように記述できる: v ⋅ ∇ v = v ∂ ∂ s ( v e s ) ( v = v e s ,   ∂ / ∂ s ≡ e s ⋅ ∇ ) = v ∂ v ∂ s e s + v 2 R e n ( ∵   ∂ e s ∂ s = 1 R e n ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}&=v{\partial \over \partial s}(v{\boldsymbol {e}}_{s})&({\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {e}}_{s},~{\partial /\partial s}\equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla )\\&=v{\partial v \over \partial s}{\boldsymbol {e}}_{s}+{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{n}&(\because ~{\partial {\boldsymbol {e}}_{s} \over \partial s}={1 \over R}{\boldsymbol {e}}_{n})\end{aligned}}} ここで R {\displaystyle R} は流線の曲率半径である。 よって、定常非粘性流れの運動方程式は以下のようになる。 { v ∂ v ∂ s = − 1 ρ ∂ p ∂ s v 2 R = − 1 ρ ∂ p ∂ n ( ∂ / ∂ n ≡ e n ⋅ ∇ ) 0 = − 1 ρ ∂ p ∂ b ( ∂ / ∂ b ≡ e b ⋅ ∇ ) {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle v{\partial v \over \partial s}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial s}\\\displaystyle {v^{2} \over R}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial n}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla )\\\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial b}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla )\end{cases}}} 第2式において、r を曲率中心からの距離として方程式を書き換える。en = - er であることから ∂ p ∂ n {\displaystyle {\partial p \over \partial n}} を − ∂ p ∂ r {\displaystyle -{\partial p \over \partial r}} に、そしてR をr に書き換えれば、 流線曲率定理 ∂ p ∂ r = ρ v 2 r {\displaystyle {\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}} が得られる。 なお、第1式はバロトロピック流れ ( ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} ) の場合 ∂ ∂ s ( v 2 2 + ∫ d p ρ ) = 0 {\displaystyle {\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right)=0} と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。 ^ 今井 功 『流体力学(前編)』 裳華房、1973年11月。ISBN 4785323140。 ^ 高木 正平. “なぜ翼に揚力が発生するか?:ベルヌーイの定理か流線曲率の定理か(特集 科学と工学における論争) How do Wings Generate Lift : Bernoulli Theorem or Streamline-Curvature Theorem”. 2012年10月9日閲覧。 ^ Babinsky, Holger (November 2003), “How do wings work?” (PDF), Physics Education, http://www.iop.org/EJ/article/0031-9120/38/6/001/pe3_6_001.pdf 2012年10月9日閲覧。  ^ James A. Fay (June 1994). Introduction to Fluid Mechanics. MIT Press. ISBN 0262061651.  "4.5 Euler's Equation in Streamline Coordinates" pp.150-pp.152 (http://books.google.com/books?id=XGVpue4954wC&pg=150) を参照のこと。 石綿良三・根本光正著　日本機械学会編　「流れのふしぎ　遊んでわかる流体力学のABC」 2004年08月20日発行　ISBN 978-4-06-257452-5 揚力 ベルヌーイの定理 流体力学