四次函数

数学において、四次函数（よじかんすう、英: quartic function, biquadratic function）は、次数 4 の多項式の定める函数である。一変数の場合には具体的に、a (≠ 0) および b, c, d を定数として f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} なる形に書くことができる。特別の場合として、二次式の二次函数すなわち、x2 を変数と見れば二次となるような多項式 a x 4 + b x 2 + c {\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c} の定める函数を複二次函数 (biquadratic function)と呼ぶ。 四次函数 f(x) の零点（x-切片）は四次方程式 f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\quad (a\neq 0)} を解くことによって求まる。四次函数の導函数は三次函数になる。 四次函数は偶数次の多項式函数だから、変数を正の無限大 +∞ に近づける極限でも、負の無限大 −∞ に近づける極限でも、ともに等しい極限を持つ。この極限は、最高次の係数 a が正ならば、正の無限大となり、従ってその四次函数は（大域的な）最小値を持つ。同じように、a が負ならば負の無限大へ発散し、（大域的な）最大値を持つ。 高次多項式函数は最適化問題にしばしば表れ、それは時に四次多項式だったりもするが、それはたまたまそうなるだけである。 コンピュータグラフィックでは、二次曲面やトーラス面（これは球面や可展面などの次のレベルの曲面）に対するレイトレーシングなどに四次函数が現れる。 二つの楕円の交点などを考えても四次式が現れる。 計算機支援製造 (computer-aided manufacturing; CAM) では、エンドミルカッターの形状としてトーラスがよく見られる。三角形分割された曲面に関する位置関係を計算するには、z-軸上に置かれた水平トーラスの位置を、接面を固定した状態で求めなければならず、これには四次方程式を解く必要が生じる。CAMにおける計算時間の10％以上は単に数百万の四次方程式の解を計算することに費やされている。 A program demonstrating various analytic solutions to the quartic was provided in Graphics Gems Book V. However, none of the three algorithms implemented are unconditionally stable. In an updated version of the paper, which compares the 3 algorithms from the original paper and 2 others, it is demonstrated that computationally stable solutions exist only for 4 of the possible 16 sign combinations of the quartic coefficients. 重根の存在を調べる四次式の判別式は、定義どおり根の差積の平方（にヴィエタの公式を代入したもの）として計算すると16個の項をもつかなり複雑な式になるが、導函数との共通根として終結式を求めると、行列式としてまとまった形に書くことができる。すなわち Q ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle Q(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} の判別式 DQ は D Q = − R e s ( Q , Q ′ ) = − | a b c d e 0 0 0 a b c d e 0 0 0 a b c d e 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d | {\displaystyle D_{Q}=-\mathrm {Res} (Q,Q')=-{\begin{vmatrix}a&b&c&d&e&0&0\\0&a&b&c&d&e&0\\0&0&a&b&c&d&e\\4a&3b&2c&d&0&0&0\\0&4a&3b&2c&d&0&0\\0&0&4a&3b&2c&d&0\\0&0&0&4a&3b&2c&d\end{vmatrix}}} となる。 四次函数のグラフの概形は、最高次係数の正負、重根・三重根・四重根の有無、導函数の零点の有無、導函数の重根・三重根の有無などによって分類することは可能である。 四次函数の根は代数的な表示を持つ。四次函数の根の表示を求める方法については四次方程式の項を参照。 四次函数がより低次の多項式に何らかの意味で帰着できるならば、その性質の理解は幾分容易になる。四次函数 Q ( x ) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}} が例えば、因数分解されているとか、適当な変数変換で低次の方程式になる場合などが典型である。因数定理によれば、方程式 Q(x) = 0 を解いて零点を知れば因数分解をすることができるし、四次方程式におけるフェラリの解法などは分解方程式と呼ばれる低次の方程式に帰着する方法を取っている。 例えば、四次の準相反方程式 a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 1 m x + a 0 m 2 = 0 {\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0} は x2 で両辺を割って、変数変換 z = x + m/x を行えば、z の二次方程式となるから、それを解いてもとへ返せば因数分解ができる。 ^ a b biquadratic function という語は、四次函数の意味でも複二次式の意味でも使われるため紛らわしい。 ^ http://www.acm.org/pubs/tog/GraphicsGems/gems.html#gemsv ^ http://www-staff.it.uts.edu.au/~don/pubs/solving.html Faucette, William Mark (1996), “A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial”, The American Mathematical Monthly 103 (1): 51–57, doi:10.2307/2975214, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.111.5574&rep=rep1&type=pdf  Nickalls, R. W. D. (2009年). “The quartic equation: invariants and Euler's solution revealed”. Mathematical Gazette 93: 66–75. http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/quartic2009.pdf.  Carpenter, W. (1966年). “On the solution of the real quartic”. Mathematics Magazine 39: 28–30.  Brookfield, G. (2007年). “Factoring quartic polynomials: A lost art”. Mathematics Magazine 80 (1): 67–70.  Quartic formula as four single equations - PlanetMath.（英語）