斜交座標系

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。 2本の数直線x 、y が定点Oを共通の原点として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。 逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。 なお、2本の軸のなす角θがθ = 90°のときは直交座標系となる。 x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ θ x {\displaystyle \theta _{x}} 、 θ y {\displaystyle \theta _{y}} とする。 斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に座標変換する公式は以下である： ( a ′ b ′ ) = ( cos ⁡ θ x cos ⁡ θ y sin ⁡ θ x sin ⁡ θ y ) ( a b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{x}&\cos \theta _{y}\\\sin \theta _{x}&\sin \theta _{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}} 直交座標系の場合は、2つのベクトル u → = ( u x , u y ) , v → = ( v x , v y ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})} の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる： u → ⋅ v → = u x u y + ( u x v y + u y v x ) cos ⁡ θ + v x v y = ( u x u y ) ( 1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ 1 ) ( v x v y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}u_{y}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos \theta +v_{x}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} ここで右辺に現れる行列は、計量テンソルに一般化される。 あるいは次のようにも表現できる： u → ⋅ v → = u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 , ( u 1 , u 2 ) = ( u x , u y ) , ( v 1 , v 2 ) = ( v x + v y cos ⁡ θ , v x cos ⁡ θ + v y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\&(u^{1},u^{2})=(u_{x},u_{y}),\\&(v_{1},v_{2})=(v_{x}+v_{y}\cos \theta ,v_{x}\cos \theta +v_{y})\end{aligned}}} このとき、添字が上についている量（u1 など）を反変成分、下についている量（v1 など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を e → 1 , e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}} とすれば、反変成分を用いて u → = u i e → i = u 1 e → 1 + u 2 e → 2 {\displaystyle {\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}} と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}^{1}} ：y軸（または e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}_{2}} ）に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}^{2}} ：x軸（または e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}} ）に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル とすれば、共変成分を用いて v → = v i e → i = v 1 e → 1 + v 2 e → 2 {\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}} と書くことができる。 この例では、計量テンソルg は g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = ( 1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ 1 ) , g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = 1 sin 2 ⁡ θ ( 1 − cos ⁡ θ − cos ⁡ θ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\begin{pmatrix}1&-\cos \theta \\-\cos \theta &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}} となる。 上記の議論は u → , v → {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}} を入れ替えても同様に成り立つ。 ^ W. フリューゲ; 後藤学訳 『テンソル解析と連続体力学』 ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。  ^ ui vi などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。 ^ これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、 e → i ⋅ e → j = δ j i {\displaystyle {\vec {e}}^{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\delta _{j}^{i}} の関係が成り立つ。 直交座標系 極座標系