小数

小数（しょうすう、 英: decimal）とは、位取り記数法と小数点を用いて実数を表現するための表記法である。 0 超過 1 未満の数を、分数を使わずに表現する方法の一つ。1 を桁の基数 N で P 回割った数の桁を、小数第 P 位として表現する。 例えば、十進法で 1425 の百分の一に相当する数は、小数と小数点（ピリオドまたはコンマ）を用いて、 または、 のように表現する（なお、日本では、小数点として、ピリオドを用いることがほとんどである）。小数点より左を整数部分と呼んで、右から一の位、十の位の数を記述する。小数点より右は小数部分と呼んで、1 より小さい位として、左から十分の一の位、百分の一の位の数を順に記述する。上に挙げた数の場合には、十の位は「1」、一の位は「4」、十分の一の位は「2」、百分の一の位は「5」となる。より小さい数を表現する場合には、この後に「千分の一の位」や「一万分の一の位」と順に位を増やすことで対応することができる。 小数部分の位は、小数第一位は「十分の一の位」、小数第二位は「百分の一の位」となるが、単に「小数第一位」「小数第二位」というように序数で呼ぶ例も多い。「小数点以下第P位」と呼ぶこともあるが、この場合の「以下」は小数点自体は含まずに数えることになっているので、「小数第P位」と同じである。 別のN進法も同様で、十二進法であれば、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。例えば、2B46 の百四十四分の一に相当する数を、小数を用いて、 というように表記する。数列は、左から順に「十二の位」「一の位」「十二分の一の位」「百四十四分の一の位」となる。この数値では、十二の位は「2」、一の位は「B」、十二分の一の位は「4」、百四十四分の一の位は「6」となる。これより小さい数を表す場合には、「千七百二十八分の一の位」「二万七百三十六分の一の位」を順に追加する。 物理学や工学の分野では、桁の数が多い場合の読取りを容易にするため、小数部の桁数が4以上の場合は、3桁ごとに半スペース（en:thin space）で区切ることになっている。ただし、小数部の桁数が4の場合は、3桁と1桁とに分けないのが普通である。 38.20736547→7001382073654700000♠38.20736547（3桁ごとにハーフスペースを挿入する） 6.9578→7000695780000000000♠6.9578（スペースを挿入しない） ただし、製図や財務文書においては、桁を分けるのにスペースを用いないのが普通である。 小数は、長さや重さといった細分できる量や、割合や平均を表現する際に用いられる。仮分数や帯分数では繁雑になる割合の表現が、小数では簡素化されるという長所を持つ。真分数の「1/2」「1/3」「3/4」「4/5」といった表現は勿論だが、例えば「2倍半」「1と1/3」といった帯分数や、「5/4」「8/5」といった仮分数が、小数を使うと「m倍と端数倍」として判り易い表現になる。 特に1倍（＝同等量）を超える割合の表現は、例えば十進表記の仮分数で「11/4」「25/9」「8/5」、これらを帯分数に直すと「2と3/4」「2と7/9」「1と3/5」という言い方になるが、仮分数では「何倍と端数倍」なのかが判り難くなり、帯分数では括弧書きが増えて表記が繁雑になる。 二分割（2-1）・四分割（2-2）・八分割（2-3）・十六分割（2-4） 例：三十六の「四分の十一」は九十九 仮分数：十進表記：36の11/4は99。六進表記：100の15/4は243。十二進表記：30のB/4は83。二十進表記：1GのB/4は4J。 帯分数：十進表記：36の「2と3/4」は99。六進表記：100の「2と3/4」は243。十二進表記：30の「2と3/4」は83。二十進表記：1Gの「2と3/4」は4J。 このように、仮分数では端数倍が判り難く、帯分数では括弧書きが増えて表記が繁雑になる。 しかし、これらの数式が、小数を使うと「n × 2.m = p」として表現できる。この場合は、素因数に2が含まれていれば、小数化できる。3/4は、十進法では (75/100)10 なので「0.75」、六進法では (27/36)10 = (43/100)6 なので「0.43」となる。底が奇数の四倍である十二進法では「0.9」（十二分の九）、同じく二十進法では「0.F」（二十分の十五）となる。従って、「11/4」といった端数倍の判り難さや、「2と3/4」といった繁雑な表現が、十進法では「2.75」、六進法では「2.43」、十二進法では「2.9」、二十進法では「2.F」となり、簡素化されて表現できる。 この方法では、仮分数や帯分数となる「三十六の "四分の十一" は九十九」は、小数を使うと： 十進表記：36×2.75 = 99。六進表記：100×2.43 = 243。十二進表記：30×2.9 = 83。二十進表記：1G×2.F = 4J。 のように簡素化される。 三分割（3-1）・九分割（3-2）・二十七分割（3-3） 例：三十六の「九分の二十五」は百 仮分数：十進表記：36の25/9は100。六進表記：100の41/13は244。十二進表記：30の21/9は84。二十進表記：1Gの15/9は50。 帯分数：十進表記：36の「2と7/9」は100。六進表記：100の「2と11/13」は244。十二進表記：30の「2と7/9」は84。二十進表記：1Gの「2と7/9」は50。 この場合は、素因数に3が含まれている場合は、小数化できる。7/9は、六進法では (28/36)10 = (44/100)6 なので「0.44」となり、十二進法では (112/144)10 = (94/100)12 なので「0.94」となる。よって、「三十六の "九分の二十五" は百」は： 六進表記：100×2.44 = 244。十二進表記：30×2.94 = 84。 となる。 五分割（5-1）・二十五分割（5-2） 例：三百六十の「五分の八」は五百七十六 仮分数：十進表記：360の8/5は576。六進表記：1400の12/5は2400。十二進表記：260の8/5は400。二十進表記：I0の8/5は18G。 帯分数：十進表記：360の「1と3/5」は576。六進表記：1400の「1と3/5」は2400。十二進表記：260の「1と3/5」は400。二十進表記：I0の「1と3/5」は18G。 この場合は、素因数に5が含まれている場合は、小数化できる。3/5は、十進法では「0.6」（十分の六）、二十進法では「0.C」（二十分の十二）となる。よって、「三百六十の "五分の八" は五百七十六」は： 十進表記：360×1.6 = 576。二十進表記：I0×1.C = 18G。 となる。 十進小数の使用例を以下に挙げる。 五円硬貨の厚さは 1.5 ミリメートル、重さは 3.75 グラム。 1986年のランディ・バースの打率は 0.389。 国の人口密度順リストによると、グリーンランドの人口密度は 1 平方キロメートルあたり 0.03 人である。 円周率は円周の長さの直径に対する比率であり、3.141 592 65… である。 上に挙げた例のうち、円周率以外の小数は有限桁の数字で表現されている。このような小数は有限小数と呼ぶ。 分数を小数で表したとき有限小数になる既約分数の分母の数は 2a × 5b の形になる。(a, b は0以上の整数)このときの具体的な分母の数はオンライン整数列大辞典の数列 A003592を参照のこと。 有限小数では正確に表現できない数が存在する。そのような数を無限桁の小数で表現したものを無限小数と呼ぶ。上に挙げた例では円周率は無限小数でなければ表現できないが、逆に無限小数を用いることによってどんな実数をも表現することができるようになる。ほとんどの場合に異なった無限小数表示は異なった実数を与えるが、0.4999...のように途中から9がずっと続くような表示は9の列の直前の数字を1つ増やして後は0を続けたものと同じ実数を与える（例えば0.4999...と0.5000...は同じ実数を表している）ことに注意しなければならない。0.999...も参照のこと。 無限小数のうち、同じ形の数字の並びが無限に繰り返されるものを循環小数と呼ぶ。循環小数は繰り返す部分を指定することで表記する。正式な記法は 0.142857142857142857 ⋯ = 0. 1 ˙ 4285 7 ˙ {\displaystyle 0.142857142857142857\cdots =0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}} のように繰り返す部分の初めと終わりにドットを書く。小数第二位以降から繰り返しが始まる場合も 0.18454545 ⋯ = 0.18 4 ˙ 5 ˙ {\displaystyle 0.18454545\cdots =0.18{\dot {4}}{\dot {5}}} のように同様に書く。 一つの数字が繰り返される場合は 0.333 ⋯ = 0. 3 ˙ {\displaystyle 0.333\cdots =0.{\dot {3}}} 0.1666 ⋯ = 0.1 6 ˙ {\displaystyle 0.1666\cdots =0.1{\dot {6}}} のようにドットを一つ書く。 この百科事典においては、メディアの制約により 0.{142857} 0.18{45} 0.{3} 0.1{6} と書く場合もある。 有限小数も循環小数の一つであり、例えば十進法の 1/8 = 0.125000…や、十二進法の 1/9 = 0.140000…などは0を無限に繰り返す循環小数であるが、0の繰り返しは特に明記する必要はなく単に「0.125」や「0.14」としても好い。 より詳しい循環小数の性質に関しては循環小数を参照。 循環しない無限小数を非循環小数と呼ぶ。このような小数は簡単に作ることができて 0.101001000100001… は非循環小数である。 有限小数はすべて循環小数としても表現できる。 1/10 = 0.1 = 0.0999... 小数は、実数を整数 a0 と 0 から 9 までのどれかにあたる an (n ≥ 1) を用いて a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n 10 − n {\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}10^{-n}} のような無限級数の形で表すことであるから、すべての an が一致しなくても極限が一致することはありうるのである。しかし、あるところから先にすべて 0 が続くことがないように循環小数として表せば表現は一意的になる。このためいくつかの場合には（たとえばカントールの対角線論法）、全てを循環小数として表現することが必要になる。 整数部が0である小数を純小数または真小数、それ以外を帯小数と呼ぶ。 進法を変えると、小数の表現も変わる。n 進法を用いるときに、その小数を ( · )n と表すことにする。 1/5 = (0.2)10 = (0.1)5 = (0.1111…)6 = (0.2497…)12 1/3 = (0.3333…)10 = (0.2)6 = (0.4)12 十進法では有限小数として表現できるものが、必ずしも他の進法で有限小数として表現できるとは限らない。その逆もある。ただし進法を変えても循環小数としてなら表現できる。 与えられた実数 x {\displaystyle x} と 2 {\displaystyle 2} 以上の自然数 n {\displaystyle n} に対して、 x {\displaystyle x} の n {\displaystyle n} 進無限小数表記を与える無限数列 a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\cdots } の各項の値を決定する二種類の手続きを次のように与える。これらの手続きのどちらを採用してもその表記は一意的に定まるが、 0 {\displaystyle 0} 以外の有限小数に対する無限小数表記は採用した手続きによって異なるものとなる。 一つ目： x = 0 {\displaystyle x=0} であれば、全ての項を 0 {\displaystyle 0} としてここで終了する。 a 0 = ⌈ abs ⁡ ( x ) ⌉ − 1 ,   x ′ = abs ⁡ ( x ) − a 0 ∈ ( 0 , 1 ] ,   p 1 = 0 {\displaystyle a_{0}=\lceil \operatorname {abs} (x)\rceil {-}1,\ x'=\operatorname {abs} (x){-}a_{0}\in (0,1],\ p_{1}=0} （ ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lceil \cdot \rceil } ：天井関数、 abs ⁡ ( ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {abs} (\cdot )} ：絶対値）とし、 i = 1 {\displaystyle i=1} とおく。 区間 ( p i , p i + n n i ] {\displaystyle (p_{i},p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}]} を n {\displaystyle n} 等分し、その両端点と n − 1 {\displaystyle n{-}1} 個の等分点を左から s i , 0 = p i , s i , 1 , ⋯ , s i , j = p i + j n i , ⋯ , s i , n − 1 , s i , n = p i + n n i {\displaystyle s_{i,0}=p_{i},s_{i,1},\cdots ,s_{i,j}=p_{i}{+}{\frac {j}{n^{i}}},\cdots ,s_{i,n-1},s_{i,n}=p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}} とする。 j {\displaystyle j} を 0 {\displaystyle 0} から n − 1 {\displaystyle n{-}1} まで移動させ、 x ′ ∈ ( s i , j , s i , j + 1 ] {\displaystyle x'\in (s_{i,j},s_{i,j+1}]} なる j {\displaystyle j} が存在すればそこで j {\displaystyle j} を固定し、 a i = j ,   p i + 1 = s i , j {\displaystyle a_{i}=j,\ p_{i+1}=s_{i,j}} とした後、 i {\displaystyle i} に 1 {\displaystyle 1} を加算して 3. に戻る。 こうして得られた数列 a n {\displaystyle a_{n}} は、 1 {\displaystyle 1} 以降の i {\displaystyle i} に対して 0 ≤ a i ≤ n − 1 {\displaystyle 0\leq a_{i}\leq n{-}1} を満たすから、 a i {\displaystyle a_{i}} は n {\displaystyle n} 進法を用いて 1 {\displaystyle 1} 桁の数字で表現できる。ここで、 sgn ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} を符号関数とし、 ( sgn ⁡ x ) a 0 {\displaystyle (\operatorname {sgn} x)a_{0}} の n {\displaystyle n} 進法表記の後に . を付け（これを小数点と呼ぶ）、数字 a i {\displaystyle a_{i}} を列記してできる表記、即ち x = ( sgn ⁡ x ) a 0 . a 1 a 2 a 3 … {\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots } という形で無限小数表記が得られた。この手続きによる場合、無限数列 a i {\displaystyle a_{i}} の途中の項から 0 {\displaystyle 0} が無限に続くのは 0 {\displaystyle 0} しかない。 二つ目： a0 = [abs x]（[・]：ガウス記号）とし、i = 1 とする。 x' = abs x - a0、p1 = 0 とする。この時、x' ∈ [0,1) である。もし、x' = 0 であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。 区間 [pi , pi+n1-i) を n 等分し、その両端点と n - 1 個の等分点を左から pi=si,0, si,1, …, si, n-1 , si, n=pi+n1-i とする。 j を 0 から n - 1 まで移動させ、x' ∈ [sij, si,j + 1) なる j が存在すればそこで j を固定し、ai = j として次に進む。 もし、x' = sij であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。そうでなければ pi+1 = sij とし、i に 1 を加算して (3.) に戻る。 こうして得られた数列 an は、1 以降の i に対して 0 ≤ ai ≤ n - 1 を満たすから、ai は n 進法を用いて 1 桁で表現できる。ここで、(sgn x)を符号関数とし、(sgn x)a0 の n 進法表記の後に . を付け（これを小数点と呼ぶ）、ai を列記していったもの、即ち x = ( sgn ⁡ x ) a 0 . a 1 a 2 a 3 … {\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots } とする表現を小数とする。この手続きによる場合、無限数列 an の途中の項から n - 1 が無限に続くことは無い。 但し、小数点以下のある項から 0 が無限に続くようであれば、その位置から 0 を省略し、何も書かなくてよい。特にその項が小数点以下第一位であった場合は小数点も省略して良い。また、そうでない場合は列記していく操作を永久に続けることになるが、実際は不可能である。このような時、省略記号を使って項を省略してよい。(上記「#小数の分類」参照) バビロニア数学では六十進法の位取り記数法で数字を記述していた。十進法以外を含めるなら、バビロニア数学での数字表記が最古の小数である。ただし現在で言う小数点に相当するものが存在しないため、記述された数字の実際の数値がどうなのかは、前後の文脈から判断しないといけないという問題点があった。 現代の小数と同じ十進法における小数は、記録に残る所では古代中国が最古である。劉徽は263年に九章算術という数学書の注釈本を著しているが、そこに小数の表記が見られる。現代のアラビア数字表記での8.660254を「八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二」と書いている（小数第6位を表す単位が無いため、分数との併記になっている）。 現代の数学の系譜であるヨーロッパの数学においては、小数の導入は遅れた。これはエジプト式分数表記が普及していたためである。ヨーロッパではじめて小数を提唱したのは、オランダのシモン・ステヴィンである。1585年に出版した「十進分数論」のなかで，はじめて小数を発表した。その名が示す通り、分数の分母を10の累乗に固定した場合に、計算が非常にやりやすくなる事を発見し、それが小数の発明となった。なお、ステヴィンの提唱した小数の表記法は、現代の「0.135」であれば、これを「1①3②5③」と表記する。現代のような小数点による表記となったのは、20年ほど後にジョン・ネイピアの提唱による。 ^ Guide for the Use of the International System of Units (SI) 10.5.3 Grouping digits Because the comma is widely used as the decimal marker outside the United States, it should not be used to separate digits into groups of three. Instead, digits should be separated into groups of three, counting from the decimal marker towards the left and right, by the use of a thin, fixed space. However, this practice is not usually followed for numbers having only four digits on either side of the decimal marker except when uniformity in a table is desired. ^ Guide for the Use of the International System of Units (SI) 10.5.3 Grouping digits Note: The practice of using a space to group digits is not usually followed in certain specialized applications, such as engineering drawings and financial statements. 浮動小数点数 - 計算機における実数の表現。 固定小数点数 - 計算機における実数の表現。