角運動量保存の法則

角運動量保存の法則（かくうんどうりょうほぞんのほうそく）とは、質点系について、単位時間あたりの全角運動量の変化は外力によるトルク（力のモーメント）に等しい（ただし内力が中心力であるときに限る）という法則である。 この特別な場合として、外力が働かない（もしくは外力が働いていたとしてもそれによるトルクが0の）場合、質点系の角運動量は常に一定である。例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる（角速度が大きくなる）。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため、かわりに回転が速くなることによって、角運動量が一定に保たれる。 回転する「こま」は、回転軸にそって、（上から見て）時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。独楽の回転軸（それは重心を貫いている）が鉛直方向に平行であれば、独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力が共に1本の直線上（回転軸上）にあるため、独楽に働く外力によるトルクは0である。従って、この場合独楽の角運動量は一定であり、独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが、独楽が傾くと独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力は、1本の直線上には乗らず、従って、これらの力がトルクを生じる。このトルクが独楽の角運動量を変化される。その結果、独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて、それとは別の軸（独楽と床が接する点を通る鉛直線）のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち歳差運動である。 1つの質点の角運動量 L → = r → × p → {\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}} の時間変化（時間微分）は以下の式のようになる。 d L → d t = d r → d t × p → + r → × d p → d t . {\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}.} ここで、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} は質点の位置ベクトル、 p → {\displaystyle {\vec {p}}} は運動量、 t {\displaystyle t} は時間である。右辺第一項は、 d r → d t × p → = v → × m v → = m v → × v → = 0 → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}={\vec {v}}\times m{\vec {v}}=m{\vec {v}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}.} すなわち、速度 v → {\displaystyle {\vec {v}}} どうしの外積なので 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} となる。よって、 d L → / d t {\displaystyle d{\vec {L}}/dt} は次のようになる。 d L → d t = r → × d p → d t = r → × F → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}.} ここで、 r → × F → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}} は、外力 F → {\displaystyle {\vec {F}}} によるトルク (力のモーメント)である。また、運動方程式 d p → / d t = F → {\displaystyle d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}} を使った。この式の意味するところは、角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しいということである。これにより、以下のことが分かる。 もし外力がなければ、すなわち F → = 0 → {\displaystyle {\vec {F}}={\vec {0}}} ならば、当然 r → × F → = 0 → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {0}}} であり、角運動量は保存される。 外力が r → {\displaystyle {\vec {r}}} と平行の場合、 r → × F → = 0 → , {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {0}},} すなわちトルクが 0 となって、角運動量は L → = const. {\displaystyle {\vec {L}}={\mbox{const.}}} （一定）となり、保存される。 よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が位置ベクトルに平行(トルクが 0)であるならば、その質点の角運動量は保存される。 n 個の質点を考える。i 番目の質点を「質点i」と呼ぶ。質点 i に関する量を添字 i で表す。前項より、質点 i の角運動量について以下が成り立つ: d L → i d t = r i → × F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}_{i}}{dt}}={\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.} 質点iに働く力 F i → {\displaystyle {\vec {F_{i}}}} は, 以下のように表される: F i → = ∑ j F i j → + F i e → . {\displaystyle {\vec {F_{i}}}=\sum _{j}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}^{e}}}.} ここで、 F i j → {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}} は質点 j が質点 i に及ぼす力(内力)であり、 F i e → {\displaystyle {\vec {F_{i}^{e}}}} は質点 i におよぶ外力である。これを上式に代入し、i について総和をとれば、 ∑ i d L → i d t = ∑ i r i → × ( ∑ j F i j → + F i e → ) = ∑ i ∑ j r i → × F i j → + ∑ i r i → × F i e → {\displaystyle \sum _{i}{\frac {d{\vec {L}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\times (\sum _{j}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}^{e}}})=\sum _{i}\sum _{j}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}+\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}^{e}}}} となる。右辺第一項は、作用反作用の法則( F i j → = − F j i → {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}}} )より、次式のようになる: ∑ i ∑ j r i → × F i j → = ∑ i < j ( r i → − r j → ) × F i j → . {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=\sum _{i<j}{({\vec {r_{i}}}-{\vec {r_{j}}})}\times {\vec {F_{ij}}}.} ここで, もし内力が中心力ならば（すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば）, r i → − r j → {\displaystyle {\vec {r_{i}}}-{\vec {r_{j}}}} と F i j → {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}} は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の ∑ {\displaystyle \sum } の中は 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} になる。つまりこの式は 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} になる。従って, d d t ∑ i L → i = ∑ i r i → × F i e → {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\vec {L}}_{i}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}^{e}}}} となる。すなわち, 質点系の全角運動量の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全トルク(右辺)に等しい。 ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は S = 1 2 r → × v → {\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}} と表すことができるが、これを 2 m {\displaystyle m} 倍すると角運動量 m r → × v → {\displaystyle m{\vec {r}}\times {\vec {v}}} に等しくなる。この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。 一般に物理量の保存則は我々の住む時空の対称性の現れであり、角運動量保存則は空間の回転対称性の現れである。空間については運動量保存則から並進対称性を持つことと併せて、自由な移動に対して対称であって、場所や方向によって物理法則が変わることはない。ただし、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れから、空間が鏡像対称性を持たないこと、すなわち空間には本質的に左右の区別があることが解っている。 保存則 運動量保存の法則