平方完成

メディアを再生する 初等代数学における平方完成（へいほうかんせい、英: completing the square）は a x 2 + b x + c {\textstyle ax^{2}+bx+c} の形の二次式を適当な定数 h, k を用いて a ( x − h ) 2 + k {\textstyle a(x-h)^{2}+k} の形にすることを言う。 平方完成は 二次方程式の解法; 二次函数のグラフの表示; 微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算; ラプラス変換の計算 などで用いられる。 数学全般に現れる二次多項式を含む任意の計算において平方完成はしばしば適用される。二次の根の公式も平方完成を用いて導出できる。 確認 初等代数学において最高次係数 1の二項式の平方公式 ( x + p ) 2 = x 2 + 2 p x + p 2 {\displaystyle (x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}} は単純な構造をしている。つまり完全平方式において、一次の係数は p の二倍で定数項（英語版） は p の自乗になっている。 任意の最高次係数 1 の二次多項式 x 2 + b x + c {\textstyle x^{2}+bx+c} と最初の二項が一致する完全平方式を ( x + 1 2 b ) 2 = x 2 + b x + 1 4 b 2 {\textstyle (x+{\tfrac {1}{2}}b)^{2}=x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}} によって与えることができる。これら二つは定数項のみが異なるのであるから、適当な定数を加えることにより x 2 + b x + c = ( x + 1 2 b ) 2 + k {\displaystyle x^{2}+bx+c=(x+{\tfrac {1}{2}}b)^{2}+k} の形にすることができる（なんとなれば、 k = c − b 2 4 {\textstyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}} ととればよいのである）。このような変形操作を平方完成と呼ぶ。 最高次係数 1 でないとき 与えられた二次式が a x 2 + b x + c {\textstyle ax^{2}+bx+c} の形であるときには、二次の係数 a で式全体を括ることができて、最高次係数 1 の場合の結果を適用して平方完成ができる。そうして得られた二次式は a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle a(x-h)^{2}+k} という形をしている。 公式 平方完成の結果を公式にまとめると、一般の場合は a x 2 + b x + c = a ( x − h ) 2 + k , ( h = − b 2 a , k = c − a h 2 = c − b 2 4 a ) , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,\quad \left(h=-{\frac {b}{2a}},k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),} 特に a = 1 のとき: x 2 + b x + c = ( x − h ) 2 + k , ( h = − b 2 , k = c − b 2 4 ) {\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,\quad \left(h=-{\frac {b}{2}},\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)} と書ける。 これの行列版もよく似た形に書ける。A は対称行列として: x ⊤ A x + x ⊤ b + c = ( x − h ) ⊤ A ( x − h ) + k ( h = − 1 2 A − 1 b , k = c − 1 4 b ⊤ A − 1 b ) , {\displaystyle x^{\top }Ax+x^{\top }b+c=(x-h)^{\top }A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\right),} A が対称でないときは h と k の式が h = − ( A + A ⊤ ) − 1 b , k = c − h ⊤ A h = c − b ⊤ ( A + A ⊤ ) − 1 A ( A + A ⊤ ) − 1 b {\displaystyle h=-(A+A^{\top })^{-1}b,\quad k=c-h^{\top }Ah=c-b^{\top }(A+A^{\top })^{-1}A(A+A^{\top })^{-1}b} とやや一般になるが同じ式で書ける。 二次方程式 x 2 + b x = a {\textstyle x^{2}+bx=a} に対する平方完成を考える。x2 とは一辺の長さ x の正方形の面積であり、bx は二辺の長さが b と x の長方形の面積と解釈することができる。そこで平方完成の過程を、この長方形に対する操作として視覚化しよう。 正方形 x2 に長方形 bx をうまく貼り付けてカドの欠けたより大きな正方形を作ることを思えば、平方完成のおける方程式の両辺に (b/2)2 の項を加える操作は、まさにその欠けたカドの面積を埋める作業に他ならない。 通常は平方完成とは u2 + 2uv の形の式に第三項 v2 を加えて完全平方式を作る操作を考えるものである。当然 u2 + v2 の形の式に中間項 2uv または −2uv を加えても完全平方式は得られる。 そのような手法が有効な例として、ある正の数とその逆数との和を x + 1 x = ( x − 2 + 1 x ) + 2 = ( x − 1 x ) 2 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\[5pt]&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}} と平方完成すれば、正の数 x とその逆数の和が常に 2 以上であることが確かめられる。 あるいはまた、複二次式 x 4 + 324 {\textstyle x^{4}+324} の因数分解において、この式は ( x 2 ) 2 + ( 18 ) 2 {\textstyle (x^{2})^{2}+(18)^{2}} と見ることができるから、中間項 2(x2)(18) = 36x2 を考え、 x 4 + 324 = ( x 4 + 36 x 2 + 324 ) − 36 x 2 = ( x 2 + 18 ) 2 − ( 6 x ) 2 = ( x 2 + 18 + 6 x ) ( x 2 + 18 − 6 x ) = ( x 2 + 6 x + 18 ) ( x 2 − 6 x + 18 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}} と因数分解できる。 平方完成は任意の二次方程式を解くために用いることができる。因数分解による解法は根が有理数である場合には確かな解法であるが、平方完成による解法は根が無理数や複素数でもそのまま適用できる。最高次係数 1 でない場合には、まず方程式の両辺を x2 の係数で割ればよく、したがってこの方法で二次方程式の一般形から二次の根の公式が導出できる。 解析幾何学における任意の二次函数のグラフは xy-平面において抛物線を描く。二次函数が ( x − h ) 2 + k or a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{or}}\quad a(x-h)^{2}+k} の形で与えられたとき、定数 h, k はその抛物線の頂点（英語版）（停留点）のデカルト座標と解釈できる。つまり、h は対称性の軸の x-座標で、k はその二次函数の最小値（最高次係数を a として a < 0 のときは最大値）に一致する。 平方完成を以下の形の積分 ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} に適用すれば、より基本的な積分 ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ⁡ | x − a x + a | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C} および ∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ ( x a ) + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C} に帰着できる。 複素数 z に対する式 | z | 2 − b ∗ z − b z ∗ + c {\textstyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c} において b は複素数、z*, b* はそれぞれ z, b の複素共軛で c は実数とする。複素数に対する恒等式 |u|2 = uu* を用いて、式を | z − b | 2 − | b | 2 + c {\textstyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c} の形に書けば、これは明らかに実数である。このような形に書けることは | z − b | 2 = ( z − b ) ( z − b ) ∗ = ( z − b ) ( z ∗ − b ∗ ) = z z ∗ − z b ∗ − b z ∗ + b b ∗ = | z | 2 − z b ∗ − b z ∗ + | b | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{aligned}}} からわかる。 別の例として、a, b, c, x, y を実数とする式 a x 2 + b y 2 + c {\textstyle ax^{2}+by^{2}+c} は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。すなわち、 z = a x + i b y {\textstyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y} と置けば | z | 2 = z z ∗ = ( a x + i b y ) ( a x − i b y ) = a x 2 − i a b x y + i b a y x − i 2 b y 2 = a x 2 + b y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2}\end{aligned}}} から a x 2 + b y 2 + c = | z | 2 + c {\textstyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c} を得る。 行列 M が冪等とは M2 = M となることである。冪等行列は 0 および 1 が持つ冪等性の一般化である。方程式 a 2 + b 2 = a {\textstyle a^{2}+b^{2}=a} の平方完成による解法は適当な冪等 2 × 2 行列が ab-平面において円周で媒介変数表示されることを示すものと解釈できる。実際、 a 2 + b 2 = a {\textstyle a^{2}+b^{2}=a} なるとき行列 ( a b b 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}} は冪等であり、既にみた平方完成 ( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 {\textstyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}} は ab-平面において中心 (1/2, 0) および半径 1/2 の円の方程式である。 ^ Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. pp. 133–134. ISBN 0-618-41301-4. https://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC. , Section Formula for the Vertex of a Quadratic Function, page 133–134, figure 2.4.8 Algebra 1, Glencoe, 0-07-825083-8, pages 539–544 Algebra 2, Saxon, 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 Weisstein, Eric W. "Completing the Square". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list completing the square in nLab Completing the square - PlanetMath.org（英語） Completing the Square at ProofWiki How to Complete the Square, Education Portal Academy