J-不変量

数学では、複素変数 τ の函数としたときのフェリックス・クライン(Felix Klein)の j-不変量 (j-invariant)、（もしくは、j-函数と呼ぶこともある）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数を言う。j-不変量は、 j ( e 2 3 π i ) = 0 , j ( i ) = 1728 {\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728} であり尖点（カスプ）で一位の極を持つ以外は正則な、一意的な函数である。 jの有理函数はモジュラーであり、実はすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、j-不変量は C 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている（この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる）。 j-不変量がある無限和（下記の g2, g3 を参照）の項で純粋に定義することができるとき、これらは楕円曲線の同型類を考えることが動機となる。C 上のすべての楕円曲線 E は複素トーラスであるので、ランク 2 の格子、つまり C の 2 次元格子と同一視できる。格子の互いに平行な反対側の辺を同一視することで、そのようにみなすことができる。複素数を格子に掛けることは格子の回転やスケーリングに対応し、これらは楕円曲線の同型類を保存することがわかり、このことから、格子を 1 と上半平面 H のある元 τ によって生成されると考えてよい。逆に、 g 2 = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 4 , {\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},} g 3 = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 6 , {\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6},} と定義すると、この格子はヴァイエルシュトラスの楕円函数を通して、y2 = 4x3 − g2x - g3 で定義された C 上の楕円曲線に対応する。このとき、j-不変量は、 j ( τ ) = 1728 g 2 3 Δ {\displaystyle j(\tau )=1728\,{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}} と定義される。ここにモジュラー判別式(modular discriminant) Δ は Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}} である。 Δ はウェイト 12 のモジュラー形式であることと、g2 はウェイト 4 のモジュラー形式であるのでその3乗はウェイト 12 であることを示すことができる。このようにこれらの商と従って j はウェイト 0 のモジュラ函数であり、特に、SL(2, Z) の作用の下に不変な有理型函数である。以下に説明するように、j は全射であり、このことは C 上の楕円曲線の同型類と複素数の間の全単射を与えることを意味する。 2つの変換 τ → τ + 1 と τ → τ−1 はモジュラ群と呼ばれる群を生成し、この群を射影特殊線型群 PSL(2, Z) と同一視する。この群に属する適当な変換 τ ↦ a τ + b c τ + d , a d − b c = 1 , {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,} を選択することにより、τ を j の基本領域（英語版）(fundamental region)の中にあり j に対して同じ値をとるものに帰着することができる。基本領域は次の条件を満たす τ から構成されている。 | τ | ≥ 1 − 1 2 < R ( τ ) ≤ 1 2 − 1 2 < R ( τ ) < 0 ⇒ | τ | > 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}.} 函数 j (τ) をこの領域へ制限すると、複素数 C のすべての値をちょうど一度だけ取る。言い換えると、C すべての元 c に対し、c = j(τ) となる基本領域の元 τ が一意に存在する。このように、j は基本領域を全複素平面へ写像するという性質を持っている。 リーマン面として、基本領域の種数は 0 であり、すべての（レベル 1 の）モジュラ函数は j の有理函数であり、逆に、j のすべての有理函数はモジュー函数である。言い換えると、モジュラー函数全体のなす体は C(j) である。 j-不変量は、多くの注目すべき性質をもっている。 τ が虚数乗法であると、すなわち、虚数部が正である虚二次体の任意の元である（従って、j-不変量が定義される）と、j (τ) は代数的整数である。 体の拡大 Q[j (τ), τ]/Q(τ) はアーベル的、すなわち、ガロア群がアーベル的になる。 Λ を {1, τ} で生成される C の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する Q(τ) のすべての元が、整環（英語版）(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することがの容易にわかる。同じような方法で同一の整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、Q(τ) 上で j (τ) の代数的共役である j (τ') を定義する。包含関係に従い、Q(τ) の唯一の最大整環は、Q(τ) の代数的整数の環の τ の値であり、Q(τ) の不分岐拡大を導く。 これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。 1937年、テオドール・シュナイダー（英語版）(Theodor Schneider)は、前に述べた τ が上半平面で二次の無理数であれば j (τ) は代数的数であるということを証明した。加えて、彼は τ が代数的数であるが虚二次体の数でないならば、j (τ) は超越的であることをも証明した。 j-函数は数多くの超越的性質も持っている。クルト・マーラー（英語版）(Kurt Mahler)は、1990年代にユーリ・ネステレンコ(Yu. V. Nesternko)とパトリス・フィリポン(Patrice Phillipon)の結果の系として証明された、マーラーの予想とも呼ばれることのある特別な超越性を予想した。マーラー予想とは、τ が上半平面にあればexp(2πiτ) と j (τ) は双方が同時に代数的にはならないであろうという予想である。現在、より強い結果が知られていて、例えば、exp(2πiτ) が代数的であれば次の 3つの数は代数的に独立で、超越的になる。 j ( τ ) , j ′ ( τ ) π , j ′ ′ ( τ ) π 2 . {\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}.} j の注目性質のいくつかは、q-展開（フーリエ級数展開）に関連していることであり、q' = exp(2πiτ) の項のローラン級数として書かれる。この展開は、 j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots } で始まっている。 j が尖点(cusp)で単純極を持つので、q-展開は q−1 以下の項を持たない。 全てのフーリエ係数は、整数である。いくつかの概整数の結果であり、有名なラマヌジャン定数（英語版）(Ramanujan's constant) e π 163 ≈ 640320 3 + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744} がある。 qn の係数の漸近公式（英語版）(asymptotic formula)は、ハーディ・リトルウッドの円の方法（英語版）(Hardy–Littlewood circle method)で示すことができたように、 e 4 π n 2 n 3 / 4 {\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}} , により与えられる。 さらに注目すべきは、q の性の展開のフーリエ係数がムーンシャイン加群（英語版）(moonshine module)と呼ばれるモンスター群の無限次元次数付き代数表現の次数部の次元であることである。特に、qn の係数は、ムーシャイン加群の次数 n の次元となっている。第一の例はグライス代数（英語版）(Griess algebra)であり、この代数は次元 196,884 で、項196884q に対応している。この驚くべき観察がムーンシャイン理論の出発点であった。 ムーンシャイン予想の研究は、ジョン・ホートン・コンウェイ(John Horton Conway)とシモン・ノートン（英語版）(Simon P. Norton)により種数 0 のモジュラ函数を見つけることに発展した。ジョン・G・トンプソン(John G. Thompson)は、それらが q − 1 + O ( q ) {\displaystyle q^{-1}+{O}(q)} という形式となるように正規化されているとすると、それのような函数は有限個しか存在しないことを証明した。 λ をモジュララムダ函数（英語版）(modular lambda function)とし、x = λ(1−λ) と置くと j ( τ ) = 256 ( 1 − x ) 3 x 2 {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}} を得る。 λ ( τ ) = θ 2 4 ( 0 , τ ) θ 3 4 ( 0 , τ ) = k 2 ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )} は、ヤコビのテータ函数 θ m {\displaystyle \theta _{m}} の比率であり、楕円モジュラス k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} の二乗である。 λ が次の非調和比（英語版）(cross-ratio)の 6つの値で入れ替わるときは、j の値は不変である。 { λ , 1 1 − λ , λ − 1 λ , 1 λ , λ λ − 1 , 1 − λ } . {\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace .} j の分岐点は {0, 1, ∞} であるので、ベイリ函数（英語版）(Belyi function)である。 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} と定義し直すと、ヤコビのテータ函数(Jacobi theta function) ϑ ( 0 ; τ ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( e π i τ ) n 2 = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} から指標付きテータ函数(auxiliary theta functions)を導くことができる。次のように置くこととする。 a = θ 2 ( 0 ; q ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) {\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )} b = θ 3 ( 0 ; q ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) {\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )} c = θ 4 ( 0 ; q ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )} ここに θ m {\displaystyle \theta _{m}} と ϑ n {\displaystyle \vartheta _{n}} は記法を変えたものとした。すると、ヴァイエルシュトラス定数 g2, g3 とデデキントのエータ函数 η(τ) に対して、 g 2 ( τ ) = 2 3 π 4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) {\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)} g 3 ( τ ) = 4 27 π 6 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 {\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}} Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = ( 2 π ) 12 η ( τ ) 24 = ( 2 π ) 12 ( 1 2 a b c ) 8 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}} となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。 j ( τ ) = 1728 g 2 3 g 2 3 − 27 g 3 2 = 32 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 ( a b c ) 8 . {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}.} 付言すると、 a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0} であることに注意する。 今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。 y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}} を任意の体の上の平面楕円曲線とすると、 b 2 = a 1 2 + 4 a 2 , b 4 = a 1 a 3 + 2 a 4 {\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}} b 6 = a 3 2 + 4 a 6 , b 8 = a 1 2 a 6 − a 1 a 3 a 4 + a 2 a 3 2 + 4 a 2 a 6 − a 4 2 {\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2}} c 4 = b 2 2 − 24 b 4 , c 6 = − b 2 3 + 36 b 2 b 4 − 216 b 6 {\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}} と定義することができ、 Δ = − b 2 2 b 8 + 9 b 2 b 4 b 6 − 8 b 4 3 − 27 b 6 2 {\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}} と表すと、これは楕円曲線の判別式を表している。 ここで、楕円曲線の j-不変量を j = c 4 3 Δ {\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }} と定義する。 楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は j = 1728 c 4 3 c 4 3 − c 6 2 {\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}} と書き直すことができる。 j-不変量の逆函数は、超幾何函数 2F1 で表すこともできる（ピカール・フックス方程式（英語版）(Picard–Fuchs equation)も参照）。与えられた数値 N に対して τ について式 j(τ) = N を解くためには、少なくとも 4つの方法が知られている。 方法 1: モジュララムダ函数（英語版）(modular lambda function) λ について 6次の式とする方法。 j ( τ ) = 256 ( 1 − λ ( 1 − λ ) ) 3 ( λ ( 1 − λ ) ) 2 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}.} x = λ(1−λ) とすると 6次は x についての 3次の式となる。すると、λ の 6つの値のどれに対しても、 τ = i   2 F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 , 1 − λ ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 , λ ) {\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,\lambda \right)}}} となる。 方法 2: γ についての 4次の式とする方法。 j ( τ ) = 27 ( 1 + 8 γ ) 3 γ ( 1 − γ ) 3 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {27(1+8\gamma )^{3}}{\gamma (1-\gamma )^{3}}}.} 任意の 4つの根に対して、 τ = i 3 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 , 1 , 1 − γ ) 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 , 1 , γ ) {\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,\gamma \right)}}} となる。 方法 3: β についての 3次の式とする方法。 j ( τ ) = 64 ( 1 + 3 β ) 3 β ( 1 − β ) 2 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {64(1+3\beta )^{3}}{\beta (1-\beta )^{2}}}.} すると、任意の 3つの根に対し、 τ = i 2 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 , 1 , 1 − β ) 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 , 1 , β ) {\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,\beta \right)}}} となる。 方法 4: α についての 2次の式とする方法。 j ( τ ) = 1728 4 α ( 1 − α ) . {\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}.} すると、 τ = i   2 F 1 ( 1 6 , 5 6 , 1 , 1 − α ) 2 F 1 ( 1 6 , 5 6 , 1 , α ) {\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,\alpha \right)}}} となる。 ひとつの根 τ を与え、もうひとつの 1/τ をあたえるが、j (τ) = j (1/τ) であるために、α の選び方に差異がでてこない。最後の 3の方法は、ラマヌジャンの交代基底についての楕円函数論で発見された。 逆函数は、これらの根の比率が有界でないにもかかわらず、楕円函数の周期の高度な計算を通して、うまく適用することが可能である。これらの関係は、2 のべきの大きさをもつ点で j の値が二次の根となることを通して表すことができる（このようにして、定規とコンパスによる作図が可能となる）。レベルが 2 のモジュラ函数は 3次の式であるので、この結果は自明なこととは言えないであろう。 チュダノフスキー兄弟（英語版）(Chudnovsky brothers)は、1987年に、 1 π = 12 640320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3344418 k + 13591409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}} を発見し、 j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 {\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}} という事実を示すことに使用した。同様な公式は、ラマヌジャン・佐藤級数（英語版）(Ramanujan-Sato series)を参照。 j-不変量は、基本領域（英語版）(fundamental domain)の「角」 1 2 ( 1 + i 3 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1+i{\sqrt {3}}\right)} では 0 となる。 以下に、いくつかの特殊値を示す（J = j/1728 を使って表示している）。 J ( i ) = J ( 1 + i 2 ) = 1 J ( 2 i ) = ( 5 3 ) 3 J ( 2 i ) = ( 11 2 ) 3 J ( 2 2 i ) = 125 216 ( 19 + 13 2 ) 3 J ( 4 i ) = 1 64 ( 724 + 513 2 ) 3 J ( 1 + 2 i 2 ) = 1 64 ( 724 − 513 2 ) 3 J ( 1 + 2 2 i 3 ) = 125 216 ( 19 − 13 2 ) 3 J ( 3 i ) = 1 27 ( 2 + 3 ) 2 ( 21 + 20 3 ) 3 J ( 2 3 i ) = 125 16 ( 30 + 17 3 ) 3 J ( 1 + 7 3 i 2 ) = − 64000 7 ( 651 + 142 21 ) 3 J ( 1 + 3 11 i 10 ) = 64 27 ( 23 − 4 33 ) 2 ( − 77 + 15 33 ) 3 J ( 21 i ) = 1 32 ( 5 + 3 3 ) 2 ( 3 + 7 ) 2 ( 65 + 34 3 + 26 7 + 15 21 ) 3 J ( 30 i 1 ) = 1 16 ( 10 + 7 2 + 4 5 + 3 10 ) 4 ( 55 + 30 2 + 12 5 + 10 10 ) 3 J ( 30 i 2 ) = 1 16 ( 10 + 7 2 − 4 5 − 3 10 ) 4 ( 55 + 30 2 − 12 5 − 10 10 ) 3 J ( 30 i 5 ) = 1 16 ( 10 − 7 2 + 4 5 − 3 10 ) 4 ( 55 − 30 2 + 12 5 − 10 10 ) 3 J ( 30 i 10 ) = 1 16 ( 10 − 7 2 − 4 5 + 3 10 ) 4 ( 55 − 30 2 − 12 5 + 10 10 ) 3 J ( 1 + 31 i 2 ) = ( 1 − ( 1 + 19 2 ( ( 13 − 93 13 + 93 ) 1 / 2 ( 31 + 27 31 − 27 ) 1 / 3 + ( 13 + 93 13 − 93 ) 1 / 2 ( 31 − 27 31 + 27 ) 1 / 3 ) ) 2 ) 3 J ( 70 i ) = ( 1 + 9 4 ( 303 + 220 2 + 139 5 + 96 10 ) 2 ) 3 J ( 94 i ) = ( 1 + 9 64 ( 2454 + 1736 2 + ( 546 + 384 2 ) 9 + 8 2 + ( 527 + 373 2 + ( 117 + 83 2 ) 9 + 8 2 ) 3 + 4 2 + 3 9 + 8 2 ) 2 ) 3 J ( 7 i ) = ( 1 + 9 4 21 + 8 7 ( 30 + 11 7 + ( 6 + 7 ) 21 + 8 7 ) 2 ) 3 J ( 8 i ) = ( 1 + 9 4 2 4 ( 1 + 2 ) ( 123 + 104 2 4 + 88 2 + 73 8 4 ) 2 ) 3 J ( 10 i ) = ( 1 + 9 8 ( 2402 + 1607 5 4 + 1074 25 4 + 719 125 4 ) 2 ) 3 J ( 5 i 2 ) = ( 1 + 9 8 ( 2402 − 1607 5 4 + 1074 25 4 − 719 125 4 ) 2 ) 3 J ( 2 58 i ) = ( 1 + 9 256 ( 1 + 2 ) 5 ( 5 + 29 ) 5 ( 793 + 907 2 + 237 29 + 103 58 ) 2 ) 3 J ( 1 + 1435 i 2 ) = ( 1 − 9 ( 9892538 + 4424079 5 + 1544955 41 + 690925 205 ) 2 ) 3 J ( 1 + 1555 i 2 ) = ( 1 − 9 ( 22297077 + 9971556 5 + ( 3571365 + 1597163 5 ) 31 + 21 5 2 ) 2 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&={\big (}{\tfrac {5}{3}}{\big )}^{3}\\J(2i)&={\big (}{\tfrac {11}{2}}{\big )}^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\tfrac {\sqrt {19}}{2}}\left(\left({\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}\right)^{1/2}\left({\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}\right)^{1/3}+\left({\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}\right)^{1/2}\left({\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}\right)^{1/3}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {94}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{64}}\left(2454+1736{\sqrt {2}}+\left(546+384{\sqrt {2}}\right){\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}+\left(527+373{\sqrt {2}}+\left(117+83{\sqrt {2}}\right){\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}\right){\sqrt {3+4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\frac {5\,i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}} 2014年にはいくつかの特殊値が計算された。 j ( 5 i + 1 2 ) = ( 2927 − 1323 5 2 ) 3 , j ( 5 i ) = ( 2927 + 1323 5 2 ) 3 , j ( 5 i + 2 4 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 − 858585699 2 + 540309076 5 − 374537880 10 − 5 4 ( 693172512 − 595746414 2 + 407357424 5 − 240819696 10 ) ) ) 3 , j ( 10 i + 1 2 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 − 858585699 2 + 540309076 5 − 374537880 10 + 5 4 ( 693172512 − 595746414 2 + 407357424 5 − 240819696 10 ) ) ) 3 , j ( 5 i 4 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 + 858585699 2 + 540309076 5 + 374537880 10 − 5 4 ( 693172512 + 595746414 2 + 407357424 5 + 240819696 10 ) ) ) 3 , j ( 20 i ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 + 858585699 2 + 540309076 5 + 374537880 10 + 5 4 ( 693172512 + 595746414 2 + 407357424 5 + 240819696 10 ) ) ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {5\,i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {2927-1323\,{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\j\left(5\,i\right)&=\left({\frac {2927+1323\,{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\j\left({\frac {5\,i+2}{4}}\right)&={\Bigg (}{\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488-858585699\,{\sqrt {2}}+540309076\,{\sqrt {5}}-374537880\,{\sqrt {10}}\,-\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512-595746414\,{\sqrt {2}}+407357424\,{\sqrt {5}}-240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3},\\j\left({\frac {10\,i+1}{2}}\right)&={\Bigg (}{\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488-858585699\,{\sqrt {2}}+540309076\,{\sqrt {5}}-374537880\,{\sqrt {10}}\,+\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512-595746414\,{\sqrt {2}}+407357424\,{\sqrt {5}}-240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3},\\j\left({\frac {5\,i}{4}}\right)&={\Bigg (}{\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488+858585699\,{\sqrt {2}}+540309076\,{\sqrt {5}}+374537880\,{\sqrt {10}}\,-\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512+595746414\,{\sqrt {2}}+407357424\,{\sqrt {5}}+240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3},\\j(20\,i)&={\Bigg (}{\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488+858585699\,{\sqrt {2}}+540309076\,{\sqrt {5}}+374537880\,{\sqrt {10}}\,+\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512+595746414\,{\sqrt {2}}+407357424\,{\sqrt {5}}+240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3}.\end{aligned}}} これ以前に示したすべての値は実数である。複素共役のペアは、 j ( 10 i ) {\displaystyle j(10i)} と j ( 5 i / 2 ) {\displaystyle j(5i/2)} に対し、参考文献のように値に沿って、上記のように対称的になっていると推察される。 j ( 5 i ± 1 4 ) = ( 1 − 9 8 ( ( 2402 − 1074 5 ) i ± ( 1607 − 719 5 ) 5 4 ) 2 ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {5\,i\pm 1}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})\,i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.\end{aligned}}} 4つの特殊値は、2つの複素共役のペアにより与えられる。 j ( 4 ( 5 i ± 1 ) 13 ) = ( ( 1 − 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 − 858585699 2 − 540309076 5 + 374537880 10 ± i 5 4 ( 693172512 − 595746414 2 − 407357424 5 + 240819696 10 ) ) ) 3 , j ( 5 ( 4 i ± 1 ) 17 ) = ( ( 1 − 5 ) 37 2 39 ( 1190448488 + 858585699 2 − 540309076 5 − 374537880 10 ± i 5 4 ( 693172512 + 595746414 2 − 407357424 5 − 240819696 10 ) ) ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {4\left(5\,i\pm 1\right)}{13}}\right)={\Bigg (}{\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488-858585699\,{\sqrt {2}}-540309076\,{\sqrt {5}}+374537880\,{\sqrt {10}}\,\pm \,{\textit {i}}\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512-595746414\,{\sqrt {2}}-407357424\,{\sqrt {5}}+240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3},\\j\left({\frac {5\left(4\,i\pm 1\right)}{17}}\right)={\Bigg (}{\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\,\right)^{37}}{2^{39}}}{\Bigg (}1190448488+858585699\,{\sqrt {2}}-540309076\,{\sqrt {5}}-374537880\,{\sqrt {10}}\,\pm \,{\textit {i}}\,{\sqrt[{4}]{5}}\left(693172512+595746414\,{\sqrt {2}}-407357424\,{\sqrt {5}}-240819696\,{\sqrt {10}}\,\right){\Bigg )}{\Bigg )}^{3}\end{aligned}}} ^ Silverman, Joseph H. 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