算数

算数（さんすう、elementary mathematics）は 日本の小学校における教科の一つ。広義には各国の初等教育における一分野も指す。 この項では便宜を考慮して各国の初等教育（中でも小学校に相当する学校）における、算数に相当する教科について広く解説する。 国ごとに教える内容や教え方、教科書のあり方などに相違点がある。例えば日本では乗法に関して、「九九」すなわち9×9の数表を教え暗記させているが、インドでは「20×20」（19×19）の数表を教え暗記させている。また、日本では「2+3=□」というタイプの、答えが基本的にはひとつしかないような課題が主として出されるのに対し、ヨーロッパなどでは初期の段階から「□+□=5」といったような課題を頻繁に提示し、答えがひとつではなく複数あり、様々な数学的な発想・探求へといざなうような教育がされることが多い。 中国、台湾、韓国、北朝鮮では、「算数」ではなく「小学数学」と呼ばれている。 中国、前漢時代についての史書『漢書』律暦志に「數者一十百千萬也 所以算數事物 順性命之理也」とある。次に紀元前1世紀の『周髀算經』が知られている。また1983年12月 - 1984年1月にかけて湖北省江陵県（現在の荊州市荊州区）にある前漢時代の張家山西漢墓の発掘調査から竹簡『算數書』が発見されている。その内容は乗法などの問題集で後の『九章算術』に影響したのではないかと推測されている。よって「算数」はこの時代に使用が広まったものと推測される。すなわち、算数、算術、数学の用語のうち、現在見つかっている最古の語は「算数」である。日本における教科名としては、算術に代わって1941年より用いられている。 中国では現在、「算数」とは数学の源流的なものを指す。 数学の入門編[要出典]とも位置付けられる。算数と数学は、本質的な違いはないが、[要出典]実際は別の教科である。 ただし、中学校以降の数学がやや観念的、抽象的であったり、専門的な職業で用いるような応用をにらんだカリキュラムになっているのに対し、小学校の算数は「日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考える能力を育てるとともに、活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き、進んで生活に生かそうとする態度を育む」ことが目指される。 計算の反復練習が重要なことや、問題を制限時間内にこなすために集中力や持続力を育てる必要等から、しつけとしての役割もある[要出典]、と述べる教育者もいる。それに対して、算数の目的はしつけや我慢にあるわけではない[要出典]と述べる人もいるという。 古くから日本の算数の目的としては「形式陶冶説」がとられていた[要出典]とされる。形式陶冶とは、実際的な知識や技能の獲得を主な目的とするのではなく、学ぶ過程から心的能力を育てることを目標とする考え方である。算数については、これを学ぶことで「学んだ問題が解けるようになるだけでなく、広く、思考力が高まる[要出典]」ともされてきた。 しかし、これには異論もあり、例えばエドワード・ソーンダイクは実験により学習転移は狭い範囲に限られることを確かめた[要出典]と述べたという。「与えられた予め答えが決まっている問題解きを繰り返しても、その限られた狭い周辺の問題が解けるようになることはある。しかし広い意味の思考力はつかない」というのである。 その後も形式陶冶の考え方は根強いが、実際的な学習効果を重視する「実質陶冶」の考え方も強くなってきている[要出典]、ともされる。 0から120程度までの数（1年）、1万までの数（2年）、万（2～3年）、億（3～4年）、兆（4年）など 数直線（3年） 小数（3～5年） 分数（3～6年） 偶数と奇数（5年） 倍数（5年） 公倍数と最小公倍数（5年） 約数（5年） 公約数と最大公約数（5年） 比（6年） 四則演算とその規則 四則の混合した式及び括弧のある式の計算 四則演算式の等式の途中に文字が入ったごく簡単な一次方程式（高学年で学習する） 加法及び乗法の交換法則・結合法則・分配法則 筆算(2〜4年)、そろばん(3，4年)、電卓の使い方 等号と不等号(2年) 多角形（5年） 三角形（2，3年） 正三角形、二等辺三角形、直角三角形の簡単な定義と面積（5年） 四角形（2，4年） 正方形、長方形、平行四辺形、台形、ひし形の定義と面積 円（3年） 円周率（5年） 柱体（4，5年） 直方体、立方体（4年） 球（3年） 展開図（4年） 長さ（2～3年） mm、cm、m（以上2年）、km（3年） 角度（4年） °（4年） 重さ（3、6年） mg、t（以上6年）、g、kg（以上3年） 時間（2～3年） 秒（3年）、分、時、日（以上2年） 面積（4年） cm2、m2、a、ha、km2（いずれも4年） 体積（2、5年） mL、dL、L（以上2年）、kL（6年）、cm3、m3（以上5年） 速さ（6年） 速さ，時間及び道のりの関係 グラフ 棒グラフ（3年）、折れ線グラフ（4年）、円グラフ・帯グラフ（5年）、度数分布表・ヒストグラム（6年） 比例・反比例（6年、0以上の範囲のみ） 割合 百分率・歩合（5年） 平均（5年） 中学校では方程式を指導する際に方程式を立てさえすれば、あとは意味を考えなくても自動的に答えが出るとして、方程式の有用性を強調しそれにふさわしい問題を演習する。しかし、中学入試では最後まで意味をひきずって解かなければならない問題が多く、方程式を使うとかえって分かりにくくなる場合がある。 大学入試でも入試を念入りに工夫して出題する難関大学では、積分などの文字式の単純計算やはじめに式を立てさえすればあとは一直線で解けるという問題はほとんど出ないため、将来難関大学を目指す児童の中には、中学受験をしなくても受験算数に取り組む場合もある。実際、受験算数は難関大学の入試問題を小学生向けに翻訳したものと見られるものもある。 ただし、ある数を「1」と仮定し、それを日数や人数などの乗除でのべ量を出して考えることや比と実際の数量の関係を利用した相当算とよばれる方法は方程式ではないが、それに近い計算法（逆算）が必要とされる。また、数量の比を直線で表した線分図や二つの数の積の関係を長方形の面積に変えて考える面積図（例えば一人当たりの分配量と人数の積は分配すべきものの総量となるが、これを長方形の2辺と面積に置き換える）もよく使われる。また、後述のように素因数分解、位取り記数法、相似比と面積比・体積比との関係などのように中等教育内容も一部登場する。 中学入試における受験算数においては、次のような応用問題が多く出題される。 例1　3で割っても5で割っても1余る2けたの整数のうち、最小のものを求めなさい。 解　3と5の公倍数のうち、2けたの最も小さい数に1を加える。 15＋1＝16　（答）16 例2　1から100までの整数をすべてかけた積を3で割る計算をくり返していくとき、答えが初めて整数でなくなるのは何回目ですか。 解　1から100までに3の倍数は33個、9（3の2乗）の倍数は11個、27（3の3乗）の倍数は3個、81（3の4乗）の倍数は1個ある。 よって33+11+3+1＝48（回目）までは3で割り切れる。（答）49回目 その他 与えられた長方形を並べて最小の正方形を作る問題 与えられた長方形を最大の正方形で敷き詰める問題 与えられた分数の列に特定の分数を掛けたとき、いずれも整数になる最小の分数を求める問題 ユークリッドの互除法に関する問題 約束記号の問題には大きく分けて二つの型がある。一つは関数であり、もう一つは演算と呼ばれる。 演算は2変数関数であるが、2変数関数という言葉はあまり使われない[要出典]。 関数の例 1からnまでの整数を加えた数を<n>と表すことにします。たとえば、<4>＝1＋2＋3＋4＝10です。このとき、<10> を求めなさい。 （答） <10>＝1＋2＋3＋4＋……＋10＝55 演算の例 A☆B＝A×2+Bと表すことにします。たとえば、3☆8＝3×2+8＝14です。このとき、5☆10を求めなさい。 解　5☆10＝5×2+10＝20 （答）20 置き換え カードのシャッフル - あみだくじ 場合の数 順列 - 組合せ パスカルの三角形 - カタラン数 規則性（数列・図列） 等差数列 - 等比数列 - 多角数 - フィボナッチ数列 - モーザー数列（平面植木算） ままこ立て 位取り記数法 推理算 - 植木算 - 還元算 割合の3用法 鶴亀算 - 和差算 - 分配算 - 仕事算 - 倍数算 - 植木算 - 還元算 - 過不足算 - 推理算 平均算 - 倍数変化算 - ニュートン算 - 売買算 - 塩水算 絶対的な速さを扱う問題 速さの三公式 平均の速さ - 通過算 相対的な速さを扱う問題 流水算 旅人算 - 3人旅人算（3組の旅人算） - 時計算 - 通過旅人算 - 流水旅人算 平面図形 多角形と角 二等辺三角形と角 - 星型の角 平面充填 - 面積 - 相似比と面積比・体積比との関係 空間図形 投影図 - 展開図 - 回転体 - 断面 「頭脳活性　ひらめき! 算数・数学クイズマスター」シリーズ（金の星社） ^ 例えば、高学年で木の葉や湖の面積を求める問題が出されることがあるが、これを積分のもっとも原始的な方法である取り尽くし法で解くことを学ぶ（無論、本来のとりつくし法に比べて簡略化されている）。また、後述する逆算は教科「数学」で正負の数を学んだ後は移項として進められる。 ^ 中学校学習指導要領の「目標」では「数量、図形などに関する基礎的な概念や原理・法則の理解を深め、数学的な表現や処理の仕方を習得し、事象を数理的に考察する能力を高めるとともに、数学的活動の楽しさ、数学的な見方や考え方のよさを知り、それらを進んで活用する態度を育てる」とある。http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301c/990301m.htm ^ 文部科学省　小学校指導要領「目標」より http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301b/990301g.htm ^ 三角形の辺の比を求める場合、大学入試の問題のように三角比を用いなくとも、合同や相似を利用して解けるようにしていることなどがある。また、大学入試の順列や組み合わせは意味さえ理解できれば小学生でも解けるものがある（芳沢光雄著『算数・数学が得意になる本』（講談社現代新書）163頁より）。 ^ 方程式は未知数を文字に置き換えるが、前述の方法はいずれも「1」と実際の数量との関係で考える。相当算などはよけいなものを加法と減法で消したり、乗除により「1」を求める逆算の方法がとられるが、方程式では移項を行なう。なお、小学校では負の数や文字の演算を学ばないので移項できない。具体例としては3x-a-b=xは教科「数学」では左辺をx+（-a）+（-b）と解し、加法の交換法則より（-a）+（-b）を先に足し算したうえで、x-（a+b）として-（a+b）を移項できるが、負の数の加法を学ばない算数ではこの作業ができない。あくまで両辺にaとbを足すほかない。また3x-x=2xという文字式の演算を習わないため原則として未知数同士の計算ができない（参考書や塾のテキストでは分配法則が扱われているので、これを利用してx（3-1）=2xと計算することはできる）。逆算では、a=bならばa+c=b+c、a-c=b-c、ac=bc、a/c=b/c（cは0ではない）が成り立つという計算規則を適用することで、未知数たる四角や「1」の具体的な量が求められると説明される。 数学、数学 (教科)、数学教育 小学校 - 特別支援学校 学習指導要領