這個新的歐拉-麥克勞林公式在求解偏微分方程（PDE）中，特別是在涉及邊界積分方程的情況下，具有重要的應用。當目標點 ( \ ilde{x} ) 接近邊界 ( S ) 時，會出現近乎奇異的積分形式，這使得傳統的數值積分方法（如常規的梯形法則）在精度上受到挑戰。
通過使用這個新的公式，可以有效地處理這些近乎奇異的積分，從而提高數值解的準確性。具體而言，這個公式能夠提供高階收斂性，並且對於 ( d ) 的變化不敏感，這使得在計算邊界積分時，即使在 ( d ) 接近零的情況下，也能達到機器精度的結果。這對於解決涉及流體力學、電磁學等領域的 PDE 問題尤為重要。