要將並行時間牛頓法擴展到更複雜的非線性動力學系統，特別是那些涉及微分代數方程（DAE）的系統，首先需要對現有的算法進行調整，以適應這些系統的特性。微分代數方程通常包含動態方程和代數約束，這使得問題的結構更加複雜。以下是幾個關鍵步驟：
問題重構：需要將DAE系統的動態方程和代數約束重構為適合並行計算的形式。這可能涉及將代數約束轉換為動態方程的一部分，從而形成一個統一的優化問題。
擴展的拉格朗日方法：在牛頓法的框架中，可以引入擴展的拉格朗日方法來處理代數約束。這樣可以在每次迭代中同時考慮動態和代數約束，並利用並行計算來加速求解過程。
並行掃描算法的應用：利用並行掃描算法來計算與DAE系統相關的導數和哈密頓量，這樣可以在每次迭代中有效地更新狀態和控制變量。
數值穩定性和收斂性分析：由於DAE系統的特性，必須進行詳細的數值穩定性和收斂性分析，以確保擴展的並行時間牛頓法在實際應用中的有效性。
通過這些步驟，可以將並行時間牛頓法有效地擴展到更複雜的非線性動力學系統，從而提高其在實際應用中的適用性和效率。