En iOS puedes mover los datos copiando la base de datos interna. Para ello conecta el dispositivo de origen a un Mac con iTunes. Abre iTunes y accede a la lista de aplicaciones instaladas en tu dispositivo. Verás que en dicha lista aparece la aplicación Service Report. Selecciona la aplicación y verás dos archivos que están compartidos en la misma. Selecciona los dos y usa el botón Guardar abajo para extraerlos a tu ordenador.
Ahora instala la aplicación desde la tienda Apple en tu nuevo dispositivo y conéctalo al Mac. Abre iTunes y busca en la lista de aplicaciones la de Service Report. Selecciónala y con el botón abrir busca los dos archivos que anteriormente habías extraido del dispositivo de origen. Hecho esto ya tienes los datos en el nuevo dispositivo.
Mira el siguiente vídeo para mas detalles:
En Android este proceso no es posible, pero siempre puedes hacer el proceso manualmente.
Instala la aplicación en el nuevo dispositivo y manualmente introduce los datos de los meses anteriores copiándolos manualmente en el nuevo dispositivo. Puedes hacerlo desactivando la opción 'Modo Protegido' en los ajustes lo cual te permitirá introducir o cambiar los datos de los meses anteriores. Puedes introducir hasta 2 años anteriores de servicio.
Echa un vistazo al siguiente vídeo para mas detalles: