No. Net Nanny puede supervisar el historial de navegación, el uso de redes sociales y la actividad en YouTube (solo en navegadores), pero no puede monitorizar los mensajes de texto ni el historial de llamadas de tu hijo.
Si estás buscando una aplicación de control parental que pueda monitorizar los mensajes de texto y las llamadas, te recomiendo optar por Qustodio o Bark. Ambas son capaces de supervisar los mensajes, pero Qustodio es más funcional porque te permite ver todos los mensajes de texto y el historial de llamadas, así como bloquear llamadas y contactos.