Vamos al webmail acuérdate https://webmail.dominio.com, luego , en la derecha buscamos "contactos o  "Address Book", según el idioma que usemos para loguearnos, Luego a export (como lo hemos visto antes) , pero esta vez pinchamos en Exportar todo
Y ya tendrás en tu ordenador copia de todos los contactos del webmail, y podrá importarlos al nuevo webmail cuando cambie las dns