Iglesias nació en Madrid, hijo de Julio Iglesias padre, médico ourensano que llegó a ser uno de los ginecólogos más jóvenes del país, y de María del Rosario de la Cueva y Perignat. Sus abuelos paternos, Manuela Puga Noguerol y Ulpiano Iglesias Sarria, eran de ascendencia gallega.