Нет, каждый может забрать свидетельство самостоятельно. Есть рекомендация, что второму(ой) супругу(е) лучше сделать это в том же ЗАГС, в котором оформлял(а) первый(ая). Это ускорит процесс. Но все же речь идет именно о рекомендации, и обязательным это условие не является.