Такое поведение, особенно если вы ещё и оплачиваете счета за коммуналку, ремонт и обслуживание квартиры, означает, что вы фактически вступили в наследство. А наследство нельзя принять частично, значит вы приняли и долги мужа (но это не касается «личных» задолженностей: например, алиментов и административных штрафов). В чём именно проявляется фактическое принятие наследства – читайте по ссылке.