Зависит от того, что написано в вашем трудовом договоре. Обычно проживание оплачивает работодатель. Сотруднику же необходимо предоставить доказательство того, что он, за время командировки, потратил определённое количество денег на найм квартиры. Таким доказательством может служить чек из гостиницы или расписка о получении денег от собственника жилья.
Кстати, в некоторых случаях, сотрудник должен уплатить налог с полученных от работодателя денег за проживание. Подробности можно узнать в статье о компенсации найма жилья сотрудникам.