В данном прямоугольном параллелепипеде известны некоторые значения ребер и точка K. Необходимо найти площадь сечения, проходящего через точки A_1, D_1 и K.
Для начала, находим другие значения ребер параллелепипеда, используя данную информацию. Очевидно, что ребро BC=A_1C_1=2, ребро BD_1=AA_1=2, ребро CD=BB_1=2.
Далее, заметим, что точка K  — середина ребра BB_1. Так как диагональ BB_1 является диагональю грани BCD_1A_1, то середина этой диагонали лежит в плоскости симметрии данной грани и содержится в сечении, проходящем через точки A_1, D_1 и K. Обозначим эту середину как O.
Очевидно, что в прямоугольном треугольнике BOK (где O- середина BB_1, а K- середина BB_1) гипотенуза равна 1 (половина ребра BB_1), а катеты равны 1 (половина ребер BC и BD_1). Тогда по теореме Пифагора находим BO=sqrt(2)/2.
Так как точка O лежит на диагонали грани BCD_1A_1, то она отстоит от точек A_1 и D_1 (которые лежат на противоположных гранях) на одинаковое расстояние. Поэтому линия OD_1 проходит через точку O и перпендикулярна её плоскости. Аналогично, линия OA_1 проходит через точку O и перпендикулярна её плоскости. Поэтому вопрос сводится к нахождению площади прямоугольного треугольника BOA_1.
По теореме Пифагора, получаем, что BA_1=sqrt(6). Также, очевидно, что угол между BO и OA_1 равен 45 градусам.
Значит, площадь прямоугольного треугольника BOA_1 равна (BO*OA_1)/2 = (sqrt(2)/2*2)/2 = sqrt(2)/2.
Итак, площадь сечения, проходящего через точки A_1, D_1 и K равна sqrt(2)/2.