Каких-то юридических инструментов для давления и ускорения этого процесса нет. У клиента был похожий кейс: платили зарплату, все было хорошо, но оформлять официально не хотели — экономили на налогах. Всегда можно пробовать давить на работодателя и приводить ему аргументы. Например, что у вас скоро закончится виза, а делать новую — это месяцы ожиданий и что проще сделать сразу ВНЖ.