Для решения задачи нам нужно использовать теорему Пифагора для трехмерных фигур. Эта теорема позволяет найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная катеты.
В данном случае нам нужно найти гипотенузу треугольника АBА_1, где AB=12, AA_1=5. Найдем катеты этого треугольника.
Катеты AB и AA_1 уже известны. Найдем третий катет, который соединяет вершины B и A_1. Этот катет является диагональю грани прямоугольного параллелепипеда.
Находим длину катета BD с помощью теоремы Пифагора в основании треугольника ABD:
BD = √(AB² - AD²) = √(12² - 7²) = √(144 - 49) = √95.
Теперь нам нужно найти катет BA_1. Мы знаем, что треугольник ABA_1 - прямоугольный, значит, применяем теорему Пифагора:
BA_1 = √(AB² + AA_1²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Теперь мы знаем длины катетов AB, BA_1 и BD. Найдем искомую гипотенузу BА_1:
BА_1 = √(BD² + BA_1²) = √(95 + 13²) = √(95 + 169) = √264 = 2√66.
Ответ: расстояние между вершинами B и A_1 равно 2√66.