Мне дана задача найти объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.
Начнем с того, что призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 состоит из двух правильных шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 и боковой поверхности, которая является прямоугольным параллелепипедом, имеющим площадь основания, равную периметру основания (6 сторон) умноженному на высоту 9 (боковое ребро). Таким образом, площадь боковой поверхности равна 54.
Для нахождения объема многогранника, образованного вершинами ABCDEFA1B1C1D1E1F1, мы можем разделить его на две части: шестиугольную призму ABCDEF и пирамиду A1B1C1D1E1F1, вершина которой соответствует вершине призмы.
Объем призмы ABCDEF равен площади основания, умноженной на высоту. Так как площадь основания равна 3, а высота равна 9, то объем призмы ABCDEF равен 3 * 9 = 27.
Что касается пирамиды A1B1C1D1E1F1, то ее высота равна боковому ребру призмы ABCDEF, поэтому она тоже имеет высоту 9. Поскольку ее основание - правильный шестиугольник, который можно разделить на 6 равносторонних треугольников, то его площадь равна (3 * √3) / 2 * 6 = 9√3. Таким образом, объем пирамиды A1B1C1D1E1F1 равен 1/3 * площади основания * высоту = 1/3 * 9√3 * 9 = 27√3.
Итак, общий объем многогранника, образованного вершинами ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равен 27 (объем призмы ABCDEF) + 27√3 (объем пирамиды A1B1C1D1E1F1) = 27(1 + √3) ~= 64,991.