Да, для этого откройте Личный кабинет и найдите вкладку Сообщения. Здесь вам необходимо нажать кнопку Экспорт, она находится внизу страницы. Вы можете экспортировать историю сообщений как CSV-таблицу, а затем скачать на устройство либо отправить себе на электронную почту.