De vader van Suviste is de Estse tv-producent Raivo Suviste en zijn moeder is Heli Suviste-Polikarpus. Heli Suviste studeerde af aan het Tallinn State Conservatory (nu de Estse Academie voor Muziek en Theater ) onder begeleiding van Hendrik Krumm, gespecialiseerd in klassieke zang. Suviste's oom Väino Puura en Puura's vrouw Sirje Puura zijn bekende operazangers in Estland.