네, 맞아요. Give someone its heart는 누군가에게 정성과 진심을 다한다는 걸 뜻합니다. 게다가 자주 쓰이는 표현이기도 한데요, 특히 로맨틱한 사랑이 관련된 상황에서 자주 쓰이죠. 하지만 로맨틱하지 않은 상황에도 쓸 수는 있답니다. 정성이라는 단어에서 유추할 수 있듯이, 누군가가 심혈을 기울인 것, 노력한 것, 공헌한 것에 대해서도 give someone its heart를 쓸 수 있어요.
예: I gave him my heart, but he broke it when he lied to me. (나는 그에게 정성을 다했건만, 그는 나에게 거짓말을 함으로써 나의 가슴을 아프게 했다.)
예: I gave my heart and soul to this company. (나는 이 회사에 심혈을 기울였다.)