좋은 질문이에요! 보통 현재형으로 쓰이게 되면, have와 have got은 같은 의미가 됩니다. 다만 이 경우에는, I have와 I've got에는 미묘한 차이가 있습니다. I have라고 하면 the app(앱)을 가지고 있다는 것만 강조합니다. 한편, I've got라고 하면, 손에 넣는데 어떠한 작업·거래가 있었음을 시사합니다. 이 동영상에서 아버지는 구입하거나 그냥 다운로드를 통해서 처음 데이트한 날부터 날짜를 기록하기 위해 자신의 폰에 앱을 얻었다는 느낌으로 말하고 있습니다.
또, have got이 have보다 더 격식 없는 표현이란 것도 기억해주세요. 그래서 대화 중에는 그냥 have 보다는 have got을 훨씬 많이 듣습니다.
예: I've got a stomach ache. (나 복통이 있어.)
예: I have a stomach ache. (나 배가 아파.)