좋은 질문이에요. first thing 이라는 말은 '아침 일찍' 이라는 뜻으로 사용됩니다. '무엇보다 먼저' 라는 느낌으로 말이죠. 예: I usually check my phone first thing. (제일 먼저 하는 일은 핸드폰을 확인하는 거야.)
the first thing 이라는 말은 '무엇보다 먼저 하는 일' 이라는 뜻으로 사용되곤 합니다. 예: The first thing you should do in an exam is to read the question carefully. (시험칠 때 가장 먼저 해야 하는 일은 질문을 주의깊게 읽는 거예요.)
a first thing이나 first thing's는 모두 문법적으로 틀린 말이에요. the first thing하고 조사에서 조금 헷갈린 것 같은데요. 하지만 여기서 the를 a로 바꿀 수 없어요. first thing's의 경우, 아포스트로피가 소유격을 나타내기 위해 사용된다는 사실을 명심해야 할 것 같아요. 그래서 아포스트로피를 쓰면 thing이 first를 소요한다는 말이 되고, 문법적으로 맞지 않게 됩니다. 아마 무엇보다도 가장 중요한 것을 먼저 해야한다는 뜻의 first things first라는 표현과 혼동이 되셨을 수도 있을 것 같은데요. 예: I know you're eager to start shopping, but first things first—you need to figure out how much you can afford to spend (쇼핑을 시작하고 싶다는 건 알지만, 할 건 해야지 - 돈을 얼마나 쓸 수 있는지부터 계산해야지.)