큰 차이는 없습니다! Remain과 stay는 동의어인데요, 그래서 둘 중 어느 것을 써도 괜찮아요. 유일한 차이점이 있다면 remain 쪽이 좀 더 포멀한 느낌이 있다는 것 정도겠네요!
예: Remain vigilant, our enemies are close by. (경계를 늦추지 마, 적이 근방에 있으니까.)
예: Stay safe, see you next time! (조심하고, 다음에 또 만나자!)