Off the cuff는 사전 계획이나 연습 없이 바로 말을 하는 것을 뜻해요. 이건 어디까지나 일상 표현인 만큼, 공식적인 석상에서는 쓰지 않는 것이 좋아요. 그리고 line은 단순히 문장이나 구절을 뜻하고요. 즉, 여기에서는 대통령이, 적어도 본인이 생각했을 때, 즉석에서 나온 개그에 대해서 감사를 표시하는 걸로 해석을 할 수 있어요.
예: I didn't prepare a speech, so I will just say a few words off the cuff. (오늘은 연설을 준비하지 않았기 때문에, 즉석에서 몇 마디 말하도록 하겠습니다.)
예: Jon has a habit of making off-the-cuff remarks that he later regrets. (존은 무턱대고 말했다가 나중에 후회하는 버릇이 있다.)