stay home과 stay at home 모두 올바른 표현입니다. 하지만 문장 구조와 자주 사용되는 지역에서 조금 차이가 있습니다.
먼저, 문장의 구조에 대해서 알아보면, stay at home은 동사의 stay, 전치사의 at, 명사의 home으로 구성되어 있습니다. 그러므로 'at home'은 '집에(집에서)'를 나타냅니다. 반면 'Stay home'의 home은 명사가 아니라 '집에'라는 뜻의 부사입니다. 그래서 둘 다 '집에 머물러라'라는 뜻이 됩니다.
다음은 표현이 사용되는 지역입니다. 미국 영어에서는 be home이란 표현으로 '집에 있다'를 나타낼 때가 많지만, 영국 영어에서는 be at home을 더 많이 사용합니다.
하지만 두 표현 모두 같은 의미를 전달하기 때문에 어떤 표현을 사용해도 좋습니다. 좋은 질문 감사합니다.