네, to see 부분을 빼버리고 they're testing if she's a bad nut라고 말해도 문법적으로 틀리지 않아요. 하지만 test라는 동사와 to see라는 목적을 나타내는 to 부정사가 종종 같이 쓰이기 때문에 to see 부분이 있을 때 조금 더 자연스럽게 들려요.
예: I'm testing to see whether this method of cooking works. (저는 이런 요리 방법이 괜찮을지 보기 위해 테스트하고 있어요.)
예: They're testing her blood to see if she has any problems. (그들은 그녀가 문제가 있는지 보기 위해 그녀의 혈액을 검사하고 있습니다.)