前置詞「in」は特定の日を指すときにはあまり使われませんので、「in a cold day」は少し不自然に聞こえます。その一方で、前置詞「on」は特定の日を指すときによく使われるので、「on a cold day」という言い回しは自然です。
例: I first met him on a hot day last summer.（彼に初めて会ったのは、去年の夏の暑い日のことだった。）
例: Let's go to the beach on a day when it's sunny.（晴れたらビーチに行こうよ。）