看護師免許以外に必須の資格はありません。資格よりも美容クリニックで培っていく知識や経験の方が大切になります。資格取得はプラスαとして考えるといいでしょう。
美容クリニックに活かせる資格としては美容資格や語学の資格などがあります。
資格取得は必須ではありませんがメリットも多いので、気になる方は下記を参考にしてください。
https://mei-yurunurse.com/certification/