いい質問ですね。「boundary」と「border」はよく似た言葉なので、混同されがちです。「border」は、2つの国を分ける線を指すときに最もよく使われます。
例: I crossed the border from Portugal into Italy.（私はポルトガルからイタリアに向かって国境を越えました。）
「boundary」は、何かを含む線を指すときによく使われます。これは多くの場合、越えてはいけない線です。この言葉はスポーツの話をするときによく使われます。また、個人的な「boundary」、つまりやりたくないことや話したくないことを意味することもあります。
例: The lines mark the boundary of the football pitch.（これはサッカーのピッチの境界を示す線です。）
例: Please respect my boundaries, I don't want to talk about it.（私の境界線を尊重してください、そのことについては話したくないんです。）