はい、ここで言う「go down」は、具体的に病気になることを指しています。大まかに言えば、この文脈での「go down」は、片方に何かネガティブなことが起こるともう片方が苦しんだり、ネガティブな結果を被ることを意味しています。
例: If I get fired, that means you're going down too.（もし私がクビになったら、あなたもそうなるということです。）
例: If I fall, you're going right down with me.（もし私が落ちたら、あなたも私と一緒に落ちるよ。）