「not [number] but [big number]」とは、文中で強調を加えるためによく使われる表現です。話し手が言う「pulling not one but two all-nighters」とは、「pulling one all-nighters」ではなく「pulling two all-nighters」という意味で、彼の徹夜した夜の数を示しています。
またこの「one」は、後に続く「all-nighters」を指しています。同じフレーズの中に2回も同じ単語を入れる必要はないので、このパターンは前半ではその単語を省略するのが一般的です。
例: I bought not one but two shirts yesterday.（昨日、私はシャツを2枚も買った。※「one」は「shirts」を指す）
例: I have not one but three poodles.（私はプードルを3匹も飼っている。※「one」は「poodles」を指す）