この文脈で「grounded」というのは、しっかりした性格や知識を持った人の事を言います。「down-to-earth」という表現も類義語で、現実的な、堅実な、社会常識がある人を意味します。 このような人達は、例え自分が重要人物や有名人であっても、自分が他人よりも優れているという態度を取りません。
例：She so down-to-earth and kind. I really like her.（彼女はとても堅実的で親切なので、私は彼女のことをとても気に入っています。）
例：Working every day keeps me grounded.（毎日働くことで、地に足がついた状態を保っている。）