素晴らしい質問ですね。「alright」とは単なる「all right」の書き間違いで、文法的に正しいとは考えられていないことを知ったら驚かれるでしょうか。くだけた文章で「alright」を見かけることもあるかもしれませんが、正式には間違いと見做されています。正しい綴りは「all right」になります。
依然として「alright」が受け入れられていない理由は、まず第一に、どの辞書にも正しい綴りとして認められていないからです。第二の理由は、文脈によっては「alright」が使えないことがあるのに対し、「all right」はあらゆる文脈で使うことができるからです。どちらも「OK」「許容範囲内」「まあまあ」「満足」という意味ですが、「all right」には他の意味もあります。
例: My exam answers were alright.（私の試験の解答はまあまあでした。）
これは概ね、私の試験の答えは「まあまあ」だったという意味になります。
例: My exam answers were all right.（私の試験の解答はすべて正しかったです。）
この文の最も可能性の高い意味は、私の答えがすべて正しかったということですが、質問に適切に答えたという意味にもなります。
友人への手紙やメールの中でくだけた形で使うなら、「alright」も意味が通じるはずです。しかし、文章が出版されるようなフォーマルな場面や評価されるような場面では「all right」を使いましょう。