人は眠っているときには、黒目は上転（上の方に行っている）しています。たとえば、隣で寝ている夫のまぶたを少し開いてみると、同じように黒目が上転しているはずです。
そして、赤ちゃんはしっかりまぶたを閉じず、薄目を開けたようにして眠ることがよくあります。したがって、ウトウトしているときに白目をむいているように見えるのは、ごく自然なことです。生後1カ月でかかった無菌性髄膜炎とは、関係ないでしょう。