この「put」は物を置くという文字通りの意味ではなく、映画や番組などをテレビで流しておくという意味です。この動詞は音楽に対しても使えます。
例: I put my favorite song on and danced to it while I got ready.（好きな曲をかけて、踊りながら準備をしました。）
例: My mom always put my favorite TV show on while we ate dinner.（母は夕食を食べるとき、いつも私の好きなテレビ番組をかけていた。）