ガンマ関数とベータ関数は、どちらも特殊関数ですが、異なる役割を持っています。 ガンマ関数は、次のように定義されます。 \\[\\Gamma(n) = \\int_0^\\infty t^{n-1} e^{-t} dt\\] これは、正の整数 \\(n\\) に対して \\( (n-1)! \\) に相当します。 一方、ベータ関数は2つの正の実数 \\(x\\) と \\(y\\) に対して定義され、次のように表現されます。 \\[\\Beta(x, y) = \\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\\] ガンマ関数は単一の引数を持つのに対し、ベータ関数は2つの引数を持ち、ガンマ関数を用いて表現することができます。 具体的には、次の関係があります。 \\[\\Beta(x, y) = \\frac{\\Gamma(x) \\Gamma(y)}{\\Gamma(x+y)}\\]