退職代行を使って、会社から損害賠償請求をされるケースは極めて稀です。
通常は、退職代行を使えば直ぐに会社を辞めることが出来ます。
また個人情報保護法の観点から、退職したことは本人の許可なく外部の人間に知らせてはいけません。
そのため、退職をしたことが転職先や両親にバレるということはありません。