ご質問の内容を拝見しますと、「口角下制筋欠損（低形成）症」だと思われます。「asymmetric crying face」（アシンメトリー・クライイング・フェイス）と言って、泣くと顔の表情が不対称になることが特徴的です。
口角下制筋（上唇と口角を下に引く表情筋）が欠損している、または低形成の場合、泣いたり笑ったりしたときに、口角が下がりません。ご質問に「泣くときに下唇の右側が下がり、ゆがんでいる」とありますが、このゆがんで見える方が正常で、ゆがんでいない方が病側です。
口角からこぼれることなく、飲食できているなら、日常的には問題はないと考えられますが、先天性心疾患を合併することがあります。これまでの健診などで、心雑音などの指摘を受けていなければ心配ないと思いますが、念のために小児科を受診する際に、相談されるとよろしいかと思います。なお一般的には、泣いたときの口のゆがみは、年齢と共に軽減していくようです。