実際の表現は「by the amount of」で、「the」が必要です。この表現から「the」を省略するのは間違いです。
例: He was surprised by the amount of attention he received.（自分が浴びた注目の度合いに彼は驚いた。）
例: He was taken aback by the amount of love he got from his fans.（彼はファンから受け取った愛の大きさにはっとした。）