結論から申し上げますと、その日までに裁判所に到着している必要があります。
例えば、期限が2月10日までだったとします。
この場合、原則として、2月10日までに、家庭裁判所が申述書を受け取っている必要があります。
つまり、郵送の場合は、2月10日までの到着が必須です。
本件のように、郵送の到着日が間に合わない可能性がある場合は、裁判所に持参するほうが安心です。