素晴らしい質問ですね。「significantly」と「drastically」は似たような意味になります。たいていは好きな方を使って構いません。
例: The house looks significantly different than it did ten years ago.
= The house looks drastically different than it did ten years ago.（家は10年前とはまったく違って見える。）
上記の例は基本的には同じ意味になり、語気の強さにわずかな違いがあるだけなので、どちらを使っても構いません。
ですが、厳密に選びたい場合もあるかもしれませんね。 その場合、緊急性を強調したいときや、何かがどれだけ早く起こったかを強調したいときには「drastically」を使ってください。
例: The news drastically affected the company's profits.（そのニュースは会社の利益に即座に影響を与えた。）
しかし、ある行動の程度の大きさを強調したいときには「significantly」を使います。
例: My father is significantly better at chess than I am.（父は私よりチェスがずっと上手です。）