社会保険の加入日は、加入条件を満たせば、契約期間開始日から社会保険に加入することになります。
派遣元と結んだ派遣契約が、例えば、2か月以上の契約期間の場合で、加入条件を満たせば、契約期間開始日から社会保険に加入することになります。
スタッフサービスやテンプスタッフなどの派遣元から渡される「労働条件通知書兼就業条件明示書」あるいは「就業条件明示書」で契約期間、就業日および就業時間を確認して、社会保険に加入するかどうか、いつから加入されるのか＝派遣開始日をチェックしてみて下さい。