お察しの通り、姿勢を変えたときによだれや鼻水がのどを刺激するため、咳が出るのだろうと思います。ゼロゼロしたり、咳の出方がひどくなるようなことがなければ、あわてて小児科など医療機関を受診せず、様子を見ていても大丈夫でしょう。