できます！
自己破産や個人再生といった裁判所を通した公的な債務整理の場合は、官報に掲載されてしまうので、バレル可能性は０ではありませんが、任意整理の場合は、家族に内緒である旨を弁護士・司法書士に伝えれば、できる限りの協力をしてくれます。
具体的には、手紙・電話などでばれないための工夫をしてくれます。