この二つは意味は似ていますが、少し異なります。「Stick in x」は、「to put something in x」と何げない方法ですが、「shove in x」は、行動を完了するときの力や粗さが増すことを意味します。
例：My dog doesn't like medicine so I had to stick it in his mouth when he wasn't paying attention.（私の犬は薬が嫌いなため、注意を払っていないときに、それを彼の口に入れなければならなかった。）
例：The police shoved the suspect into the car.（警察は容疑者を車に押し込んだ。）