「right after」は「after」という意味ですが、それがすぐに起こったということや、何か他のことが起こった直後に起こったということを強調しています。
例: The dog started barking right after she left the house.（彼女が家を出た直後に犬が吠え始めた。）
例: Right after I told her I was leaving, she started to cry.（私が家を出ると言った直後、彼女は泣き出した。）