労働基準法では労働者が有給休暇を取得する際の理由は問いません。ですので、私用を理由に半休をとることに問題はありません。
仕事が調整できて職場に迷惑がかからないなら、「私用のため〇日に午前休（または午後休）をいただきます」と伝えれば良いでしょう。
ただし、当日や前日など急遽半休がほしい場合、「私用」と伝えると「突然何があったのか」と職場の人が心配するかもしれません。差し支えない理由ならば、「私用」ではなく詳細を伝えた方が、妙な詮索をされずに済み、あなたへの心象が悪くならないでしょう。