はい、「stay in bed awake」の代わりに「stay awake in bed」と言ってもまったく問題はありません。どちらも同じ意味です。
例: I stayed awake in bed all night. I couldn't sleep.（一晩中ベッドで起きていた。眠れなかったんだ。）
例: I tend to stay in bed awake to watch t.v.（ベッドで起きたままテレビを観がちだ。）
例: I don't like staying awake in bed when I need to get up early.（早起きしなきゃいけないときに、ベッドで起きているのは好きじゃない。）