ここでは「that」が省略されていると考えられます。 つまり「the fleece that the sheep had snagged on briars」となります。この様な関係代名詞のthatは一般的に省略されます。
例：Throw away the box [that's] on the table.（テーブルの上の箱を捨てて。）
例：This is the book [that] the professor recommended.（これが教授が推薦した本です。）