養育費の支払い義務は、子どもの親という身分関係に基づいて発生する一身専属義務です。そのため、養育費の支払い義務者が死亡したときには、その時点で養育費の支払い義務は消滅します。
養育費の支払い義務者に相続人がいたとしても、養育費の支払い義務が相続されることはありませんので、死亡時以降の養育費を相続人に請求することはできません。
もっとも、養育費の支払い義務者が死亡する以前の養育費については、既に発生している単なる金銭債務に過ぎないものですので、未払いとなっている養育費が存在する場合には、その相続人に対して請求することが可能です。
相続人に請求する際には、相続人や相続放棄の有無を調べなければなりませんので、詳しくは弁護士に相談するとよいでしょう。