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使用する自家用車の所有者ではなく使用者から使用権原の承諾を得られれば問題ありません。
ドライバー登録後に、実施主体である自治体と、車検証に記載された使用者、使用する自家用車の使用者との３者間で、使用承諾書等を交わすことになります。
なお、法人名義の社用車を使用する場合も同様で、実施主体である自治体と法人との間で、使用承諾書等を交わすことになります。ただし、リース契約等において使用用途が制限されている場合がありますので、契約先等に事前にご確認ください。