たしかに、お母さんの食事内容は母乳に影響します。しかし、母親に対してどの程度の除去食を要請するかは、医師によって考え方に差があります。また、「軽い食物アレルギー」と書かれていますが、具体的には何に対してどの程度のアレルギーがあるのでしょうか？
1歳4ヶ月であれば、飲んでいる母乳量はそれほど多くないと考えます。したがって、まずお子さんが直接口にする食品に対して注意し、お母さんはバランスのよい和食中心メニューの食事を取るようにしてみてください。
質問に書かれている内容からは、すぐにおっぱいをやめる必要はないと思いますが、できれば別の小児科医を受診し、セカンドオピニオンを求めてみるといいでしょう。