いいえ、Google以外の検索エンジンも登録する必要はありません。
Google以外にもYahoo!やBingなどさまざまな検索エンジンがあります。
ただ、日本における検索エンジンのシェアはGoogleが7割以上を占めています。
出典：statcounter
多くのユーザーは、Googleからの流入なので、Googleに登録されることを最優先しましょう。