「stick with」とは何かをやり続けたり使い続けること、こだわり続けることを意味します。また、何かを変えないこと、誰かに近づくこと、何かを少しの間覚えていることを意味する場合もあります。つまり何らかの形であなたにくっついたり、離れなかったりすること、あるいはあなた自身がこだわりを持っているということを表しているのですね！
例：I stuck with that job for a while before I decided to change career paths. （キャリアの方向性を変えようと決心する前は、しばらくの間その仕事にこだわっていました。）
例：You need to stick to your diet if you want to see results. （結果を出したいなら、ダイエットをやり通さなければならないよ。）
例：That memory stuck with me for a while. （その思い出がしばらくの間離れなかった。）