On the moveはある場所から別の場所へ移動することを指します。この表現は主に誰かが逃げようとする時に使う表現です。
例：The thief is on the move!（泥棒が逃げる！）
例：I don't know where he is living now, he's always on the move.（彼は常に引越しし回っているので今どこに住んでいるのか知りません。)