顔をひっかくのは、湿疹ができてかゆいからでしょう。血が出るのは、ひっかく指の爪が伸びていることが原因ではないでしょうか？　ミトンをしていても血が出るなら、相当にかゆくてゴシゴシしているからだと思います。
まずはスキンケアをして、かゆみを取り除いてあげましょう。石けんで洗った後に、保湿剤をたっぷりを塗ってあげてください。今の時期は乾燥しているので、よだれなどで顔を拭いた後も保湿剤を塗るということを、こまめに1日何度もしてください。
軽い湿疹はこれで治まりますが、ご質問を拝見したところ、一度皮膚科を受診して適当なお薬を処方していただいたほうがよいと思います。そして保湿剤を塗った上に、指示された回数だけお薬を重ね塗りすればよいと思います。
爪はこまめに切って、ミトンははずしてください。手は「露出した脳」といわれるほど、触れたりなどで手から入る刺激はとても重要です。