「your best」するとは、ベストを尽くすこと、あるいは何かするのに成功するために何かを努力することを指します。「Trying your best 」は、成功しないかもしれないけれど、何かをしようとして成功するために最大限の努力をすることを意味します。
例: He didn't do well on the exam but at least he tried his best.（彼は試験ではうまくいかなかったけど、少なくともベストは尽くした。）
例: I did my best to try and communicate in Spanish when I went to Mexico.（メキシコに行ったとき、スペイン語でコミュニケーションを取ろうと頑張った。）