この場合の「allow」は、何かが起こることを「許可する」という意味です。ですので、この動画の文脈では、覚えている中で最も幸せな記憶に満たされること、あるいはコントロールさせることを「許可する」ということを意味しています。
例: She doesn't allow her children to watch TV.（彼女は子供たちにテレビを見ることを許可していない。）
例: I have many fears, but I don't allow them to stop me.（すごく怖いけれど、そのせいで立ち止まりはしない。）