関数 $f(x)=x^n$ を微分する手段が2通りあると考えているようであるがそれは正しくない．$f'(x)=nx^{n-1}$ というのは $f(x)=x^n$ を定義通り $\\displaystyle\\lim_{h\ o 0}\\dfrac{f(x+h)-f(x)}h$ に従って計算した結果がそうであったというだけであって，上で示した証明の最初と最後を見ているだけに過ぎない．あらゆる関数の導関数は，基本的に定義である $\\displaystyle\\lim_{h\ o 0}\\dfrac{f(x+h)-f(x)}h$ に基づいて計算し，その中で頻繁に利用される関数については結果を公式として覚えておこうということになっているのである．$(x^n)'=nx^{n-1}$ は最も使用頻度が高く，しかも微分した結果が非常にシンプルで覚えやすいので，公式としておく価値が高いと言える．数学Ⅲ になれば $\\sin x$ や $\\cos x$ といった三角関数や指数・対数関数の微分も登場するが，それらを微分する際にも最初の出発は $\\displaystyle\\lim_{h\ o 0}\\dfrac{f(x+h)-f(x)}h$ に従ってである．