はい、できますよ！この文では、「how」と「the way」を入れ換えることができます。あらゆる文でそうだというわけではなく、あくまでこの文では可能なだけであることに注意してください！
「how」を「the way」に置き換えると、この全文は「And what goes on in your brain while you sleep is an intensely active period of restructuring that's crucial for the way our memory works」となります。