「cure」とは、体や心の病気に対処する、病気をなくす、という意味です。対して「heal」は、壊れたものを元に戻すという意味になります。つまり、「cure」は主に医療に関する表現であるのに対し、「heal」はより広範な場面で使うことができるということですね。この「wounds」が指しているのは感情的な傷なので、「cure」ではなく「heal」が使われています。
例: Melody healed her broken heart after breaking up by traveling alone.（メロディは失恋した後、一人旅で傷を癒した。）
例: The doctors were able to cure Peter's illness after six months of treatment.（医者は6ヶ月の治療によって、ピーターの病気を治すことができた。）