「Big leagues」とは北米スポーツの最高峰の競技連盟のことです。例えば野球リーグやフットボールリーグなどがあります。バンブルビーが「That's how you get to the big leagues」と言ったのは、「大リーグ（big leauge）」で野球やサッカーでボールを投げたり蹴ったりするのと同じように、トランスフォーマーを遠くに投げたり撃ち飛ばしたことを指しているのだと思います。
例：My son's a baseball player. He's played in the big leagues. （私の息子は野球選手で、大リーグでプレーしたことがあります。）
例：With that throw, you could get into the big leagues! （その投球なら、君は大リーグに行けるかもしれないよ！）