結論から言うと、タンブラー持参でも「ワンモアコーヒー」のレシートは発行され、2杯目のおかわりを利用できます。
そもそもスターバックスには、タンブラーやマグカップ、水筒を持参すると、購入時に税抜価格から20円値引きしてくれるタンブラー割引があります。1杯目にタンブラーを持参して対象商品を購入すれば20円の値引きが受けられます。ただし、「ワンモアコーヒー」利用の2杯目にタンブラーを持参したとしても、割引や返金等は受けられません。ただ、ドリンクが冷めにくい、資源の節約になる、持ち運びの利便性などのメリットがあるので、ワンモアコーヒーでもタンブラーを利用する価値はあると思います。
1杯目はタンブラー持参で、2杯目は「ワンモアコーヒー」を利用して紙カップで購入することも可能です。