いい質問ですね。ここでは家を建てられた順に分類しているので、「house number one」「house number two」などと言っています。「the」を付けずに「third is house number three」と言っているのには2つの理由があります。まず、ネイティブが何気なく話すときに、主語の「I」や「it」、「the」のような単語を省略するのはよくあることです。また、物事を順番に並べる場合（「first, second, third...」あるいは「firstly, secondly, thirdly...」など）には、「the」は使いません。
例: The weather is so cold. → Weather is so cold.（とても寒いですね。）
例: First, we prepare the cooking ingredients.（まず、料理の材料を用意します。）