ご質問ありがとうございます。
ご質問の通り、介護保険制度では、原則として住民票所在地で認定され補助を受けることになります。
ただ、住民票を移さなくても他の自治体のサービスを受けることは可能です。
手続き先と補助費用の負担は住民票のある自治体ですが、利用する介護サービスは基本的に全国どこでも可能、というお返事になります。