ご質問の内容では、じんましんではないと思います。顔を触ると、すべすべしていますか？　おそらく、少しガサガサしているのではないかと思います。保湿剤をたっぷり塗って、皮膚に潤いを与えてください。保湿剤だけでは改善しないようでしたら、皮膚科で診てもらってください。
ご両親共にアレルギー体質のため、お子さんもその体質を受け継いでいる可能性はあると思います。ただ、必ず症状が出る、というわけではありません。またいつどのように出るのかは予測不可能です。
離乳食は、一般的な始め方で大丈夫でしょう。特定の食物を与えると決まって症状が出る場合には、食物アレルギーの可能性があります。そのような場合、小児科でご相談ください。