意味が異なるので、そのようには言えません。「I don't do any better」とは、ある人よりもその作業がうまくできないという意味になります。また、これは文法的にも誤った表現です。「I won't do any better」という表現のほうがよいでしょう。
例: I won't do any better than you will.（君よりうまくだなんてできないよ。）
例: She won't do any better than her. She hasn't had much training.（彼女が彼女よりもうまくできることはないだろう。彼女は十分なトレーニングを受けていない。）
「I better not do」とは、そのことを行ってはいけないと知っているという意味です。
例: I better not try skiing. I'm accident-prone.（スキーなんてしないほうがいいね。僕は事故を起こしがちだから。）
例: You better not. That's extremely dangerous.（やめたほうがいいよ。とても危険だから。）