「fill my prescription」とは、薬が切れたときに処方箋をもらって薬を出してもらうという意味です。例えば、慢性的な病気を持っていて、もらった薬を全部飲んでしまったときは、薬局に行って「fill your prescription」してもらいます。
例: I need to go to the pharmacy and get my prescription filled.（薬局に行って薬をもらわないといけないんだ。）
例: I've prescribed you some medicine. You can go to the pharmacy to get it filled.（薬を処方しました。薬局でもらってきてください。）