その2つにはちょっとした違いがあります。まず「right-hand side」は、手に関連させた方向や位置を示し、強調するのに役立ちます。一方で「right side」は、方向だけでなく「正しい側」というあいまいな意味になることもあります。ただし、方向について話すときには2つとも同じ意味になります。ということで、ここではどちらを使ってもいいのですが、「right side」とだけ言うとわかりづらいので注意してください。また、方向を示すには「on [the/pronoun] right」と言うのも一般的です。
例: On the right, you'll see the sunflower field. Our house is right next to it.（右側にひまわり畑が見えます。私たちの家はそのすぐ隣です。）
例: The shelf on the right-hand side has all the mugs.
= The shelf on the right side has all the mugs.（右側の棚には、マグカップが全部あります。 ）=> 「正しい側」や「方向」を意味することもある