良い質問ですね！「stare」は誰かまたは何かを直接長い時間見ることを意味し、一方「gaze」も、誰かを長時間見つめることを意味するのですが、こちらは愛情を持って見るニュアンスになります。
例：I stared at the food as the waiter brought it to our table.（ウェイターが私たちのテーブルに持ってきてくれたので、私は食べ物を見つめました。）
例：He gazed at me from across the table during our date.（彼はデートをしている時に、テーブルの向こうから私をじっと見つめた。）