何かをhogするということは、身勝手に自分のためだけに何かをキープすることを意味します。
例: He always hogs the food. (彼はいつも食べ物を独り占めする。)
このビデオの、hog all the princessinは、その姫は「姫」という肩書を自分だけのものにしたいため、他の誰にも姫になってほしくないということを意味しています。