結論、パソコンにWordやExcelがなくてもWebライターとして活動できます。
現在は「Googleドキュメント」や「Googleスプレッドシート」をメインに使っている企業も多いため、WordやExcelがなくても活動に大きな支障はないでしょう。
ただし、Wordでの納品やExcelでのシート共有が完全にないわけではありません。「絶対に機会損失したくない！」と考える方は、予算を上げてOffice付きのパソコンを購入しましょう。