響きは似ていますが、意味はまったく違います。
「atcha」とは単に、「at you」を省略したアメリカの口語的表現です。
くしゃみのオノマトペである「achoo」は、「atcha」と似たような音ではありますが、関連はありません。
何か（特に動物）が「go at someone」するというのは、対象を攻撃していることを意味します。
例: You should be careful around bears. They'll go at you if you aren't careful.（熊に気をつけて。でないと襲われるよ。）
また、「at you」の代わりの「atcha」が強調されている例を紹介します。
A: Hey, you did great during our presentation, I don't know what I would have done without you!（やあ、プレゼンではうまくやってくれたね、君なしではどうなっていたことか！）
B: Right back atcha, buddy.（お互い様だよ、相棒。）
「right back atcha」は、ポジティブなコメントに対して、親しみを込めて口語的に返すときに使われる表現です。