副作用ではありませんが、過剰摂取で体調を崩す可能性が考えられます。
副作用は「薬物を服用（使用）した時に認められる望ましくない症状」という意味なので、正確にいうと医薬品でない亜鉛で副作用が生じることはありません。
ただし、推奨摂取量を大幅に超えて摂取した場合に頭痛・吐き気・食欲不振・下痢などの症状が見られることがあります。これは亜鉛の過剰摂取によって銅や鉄分の吸収が阻害されることが原因です。
栄養素としての亜鉛に毒性はほとんどないので、推奨摂取量を大幅に超えなければ問題ありません。