「On end」とは、途切れることなく継続することを意味します。ここでの「months」のような単位時間の後に使用されます。ある状況や問題が、まるで終わりや解決法がないかのように感じるという考えを表すために使用されます。
例：She would talk for hours on end if you let her.（君が許せば彼女は何時間もずっと話し続けていただろう。）
例：In the spring, it can rain for days on end.（春には何日も雨が降り続くことがある。）