Remember-ingの形式で使うと、他の人が「過去に起こったことを覚えている」という意味に捉えることもできます。話者はここで未来にいる人に助言しているので、remember to askがより適切です。
例：I don’t remember asking for your help. （私は君に手伝ってくれと言った覚えがない。）
例：Remember to ask your classmate to lend you a textbook. （クラスメートに教科書を貸してくれと頼むこと忘れないで。）