はい、通常は「I wash my hair in the shower.」と言います。 しかしここで「out」が含まれている理由の手がかりは、次の歌詞「but something still remains」にあります。 「wash out」と言うのは、通常シャンプーやリンスのような物質の残留物を洗い流すという行為を指します。 そのため、「wash out the shampoo」や「wash out the hair dye」などの文章をよく目にします。 歌詞の「something still remains」は、何かがまだ残っているという意味ですが、歌詞を読み進めるとその何かは彼の昔の恋人との思い出であることがわかります。よって、彼は比喩的に「wash my hair out」と表現し、頭を完全に洗い流すことができなくて、何かまだ残っている気がする、つまり彼女との思い出が残っている、忘れられないという事です。
例：The instructions say to wash out the hair dye after 20 minutes.（説明書には、20分後に染毛剤を洗い流すようにと書かれています。）
例：I got a little wine on my sweater, but I was able to wash it out with bleach.（セーターにワインが少しついてしまいましたが、漂白剤で洗い流すことができました。）