まず、通常の場合では携帯電話会社を乗り換えるとキャリアメールは使用できなくなるため、Gmailへの移行が未完了のままだと2段階認証サービス等が利用できない恐れがあります。移行先でも引き続きキャリアメールを利用するためには各キャリアが提供している「メール持ち運びサービス」を申し込む必要があります。Gmailへの変更は自身で登録したサービスを一つずつ手続きする必要があるため、まずはメール持ち運びサービスを利用しながら変更手続きをした方が安心できるでしょう。