どちらでも大丈夫です！「the」をつけると日付が強調され、重要度が上がります。ですが、これはカジュアルな使い方をすることもできます。また、「January 27th」はくだけた表現とされるので、会話ではどちらを使ってもよいのですが、公式な文章などでは「the」をつけた方がよいと思います。曜日や月の前に「the」をつけるのも一般的で、会話でも文章でも問題なく使うことができます。
例: We'll be going on vacation on December the 11th.
= We'll be going on vacation on the 11th of December. => the + [日] + of + [月]
= We'll be going on vacation on December 11th.（私たちは12月11日に休暇を取る予定です。）