目を手でこすっていませんか？　かゆみがあると、こすって目の周りが赤くただれてしまいます。
1歳過ぎの子であれば、「アレルギー性結膜炎」の可能性も考えられますが、実際のところ診てみないと分かりません。眼科を受診して相談されることをお勧めします。
眼科の先生に「目に問題はありません。目のふちにだけトラブルがあるようですね」と言われた場合、皮膚科を受診してください。ただれの原因が分かれば、治療方針も、普段の生活での注意すべきことも分かってくるはずです。