素晴らしい質問ですね。「stake」と「portion」は、何かを共有するという意味では似たような意味を持っていますが、ニュアンスが違います。
「stake」は個人的で、通常は金銭的な関与について話すときに使います。個人的な興味や関与があることを示すために使う言葉です。つまり、ある会社に投資している人は、その会社に「stake」を持っていると言えます。これにより、リスクも負っているというニュアンスが出ます。会社が儲かればあなたも儲かりますし、会社が損をすればあなたも金銭的に影響を受ける可能性があります。ここで「portion」と言うこともできますが、あまり深刻なニュアンスではなく、このようなリスクを感じさせません。
例: Employers have a stake in the training of their staff.（雇用主はスタッフの研修に関与している。）
例: Employers have a portion in the training of their staff.（雇用主はスタッフの研修に関与している。）=> 文法的に誤り
例: I accept my portion of the blame.（私は責任の一部を担う。）
例: I accept my stake of the blame.（私は責任の一部を担う。）=> 文法的に誤り