「nickel」とは、アメリカで通貨として使用されている5セント硬貨のことです。よって「nickel」は通貨の形で、「my name」とは彼自身のことを指しているので、「Without a nickel to my name」とは「私には全くお金が無い」という意味です。
例: I can't buy the guitar. I don't have a nickel to my name.（私はギターを買うことができません。全くお金が無いんです。）