もしオフライン再生を使えるプランであれば、機内モードにした状態でダウンロードした楽曲を再生してみてください。再生できるようであれば、完全に通信量をかけずに楽曲を聴くことができています。また音楽アプリによっては「オフラインモード」という機能がアプリ上に存在し、そちらをオンにすることでもダウンロードした楽曲以外は再生されないようにする事ができます。