拍手をするには手が2つ必要なので、複数形の「hands」が正解です。この動画の歌はとても有名な童謡で、歌詞を変えることはできません。
例: The woman was so moved by the pianist's performance that she clapped her hands until they hurt.（女性はピアニストの演奏に大変感動して、手が痛むまで拍手した。）
例: The child was delighted with his birthday present, and clapped his hand in delight.（子供は誕生日プレゼントに喜んで、喜びのあまり手を叩いた。）