母子手帳が残っていれば母子手帳で確認するのが一番早い方法です。
母子手帳が見当たらない場合は、生まれた病院に問い合わせるとデータが残っていることがあります。
出生届けにも体重を記載する箇所があり、出生届記載事項証明書（出生届の写し）を役所に請求することも可能ですが、単に体重を知りたいという理由で受理されるかどうか不明ですので事前に問い合わせることをお勧めします。