「screw with someone/something」は、意図的に何かを不適切に改変すること、つまり意図的に誰かや何かを壊そうとしたり、妨害したりすることを意味します。彼が言う「don't screw with my dream」とは、「自分の夢を台無しにしようとするな」という意味になります。
例: Don't screw with me!（私の邪魔をしないで！）
例: He keeps trying to screw with me.（彼は私の邪魔をしようとし続けている。）
例: Someone screwed with the t.v.（誰かがテレビをいじったんだ。）