いい質問ですね！「vow」と「oath」はどちらも「promise」の同義語ですが、この3つはまったく異なる言葉です。「vow」は心からの個人的な約束です。「promise」は破られることが多々あるので、「vow」は「promise」よりも強く、神聖なものとされています。また、「vow」は長期的な約束をするときに行うものであり、決して破ってはいけません。「oath」という言葉は、何らかの制度や法的権限の下で交わされる約束のことを指します。「promise」よりもフォーマルなものです。
ここでそれぞれの例を挙げてみましょう。
例: The couple made a vow to get married.（カップルは結婚の誓いを立てた。）
例: The man is under oath to tell the truth to the court.（男性は裁判所に真実を話すと宣誓している。）
例: I promised her that I would be there tomorrow.（明日は必ず行くと彼女に約束した。）