「Get down to cases」はやるべきことを真剣にやり始めるという意味のイディオムです。私はこのイディオムを聞いたことがありませんでした！一般的には、「let's get down to business」と言うことが多いです。しかし、このアニメは古いものなので、当時はこのイディオムが流行っていたのかもしれません。
例：Let's get down to cases. We have a lot of work ahead of us. （さあ取り掛かろう。私達にはたくさんの仕事が残っている。）
例：We need to get down to cases if we are going to finish on time. （時間内に終わらせるためには私たちは作業に取り掛からなければならない。）