どちらも起きている状態を指す言葉ですが、使い方が違います。まず、「asleep」は動詞とセットでしか使えません。ここでも「been」とセットで「you've been asleep」と言っていますね。このように「have」や「be」とセットで使います。名詞を形容する際には「sleeping」を使ってください。
例: A sleeping dog lies on the bed.（ベッドの上で犬が寝ている。）
例: I've been asleep for one hour.（1時間寝てた。）
例: He's sleeping, don't wake him up.（彼は寝てる、起こさないであげて。）