filter downは「フィルターのように、高い段階/層から低い段階/層に伝達したり、拡散させる」を意味する表現です。 主に情報、資源、または疎通について使う表現です。例： It always takes forever for any important information about the company to filter down to the interns.（会社の重要な情報が上から私、さらにインターンにまで伝わるのにいつもものすごく時間がかかります。）