この文脈で「really」は「very」（非常に）「thoroughly」（徹底的に）という意味です。
例: Make sure the lid is on really tight.（蓋がしっかり締まっているか確認してください。）
例: My room is really organized because I just cleaned it.（私の部屋は掃除したばかりなので、とても整理整頓されています。）