両者に大きな違いはありませんが、よりフォーマルな場面で使われる「vomit」よりも、「puke」のほうがよりインフォーマルでカジュアルであると考えて間違いないでしょう。また、「puke」に似た表現として「throw up」があります。
例: The new patient is vomiting and requires medical attention.（新規の患者が嘔吐しているので、医師の診察が必要です。）
例: I felt sick after eating the burger, so I puked it all out.（ハンバーガーを食べて気分が悪くなったので、全部吐いてしまった。）