いい質問ですね！ここでの「peep」は、ささやかな音や発音を指しています。「not a peep」という表現にすると、基本的には「例外的に静かだ」という意味になります。この場面では、いつもは活発でおしゃべりなスポンジボブが、いつもとは違って午前中はずっと静かだったと言っています。
例: I was worried because I hadn't heard a peep from my friend in nearly a week.（一週間近く友達から連絡がなかったので心配していました。）
例: I didn't hear a peep from my classmate since he got reprimanded by the teacher.（先生に叱られて以来、クラスメートが静かだ。）