私の理解では、「postpone」はより正式で、事前に計画されるものです。一方で「delay」は計画外のことで、急に起こります。
例: The airline delayed my flight by three hours.（航空会社は私のフライトを3時間遅らせた。）
例: We may have to postpone the wedding by a month.（結婚式を1ヶ月延期しなければならないかもしれない。）
例: Jerry caused the delay by oversleeping.（ジェリーの寝坊が遅延の原因になった。）
例: She's going to postpone the event.（彼女はイベントを延期するつもりだ。）