Nein, das ist nicht möglich. Entweder Abmahnung oder Kündigung, Arbeitgeber müssen sich hier entscheiden, beides ist wegen derselben Pflichtverletzungen von Arbeitnehmer nicht zulässig. Der Kündigungsgrund ist dann mit der Abmahnung verbraucht. Hier verhält es sich nämlich rechtlich so, dass Arbeitgeber konkludent auf eine Kündigung verzichten, wenn Sie für das jeweilige Fehlverhalten eine Abmahnung aussprechen.
Etwas anderes gilt jedoch, wenn sich die für die Kündigung maßgebenden Umstände später geändert haben. Das heißt: Sollte zum Zeitpunkt der Abmahnung ein Grund vorgelegen haben, von dem der Arbeitgeber jedoch keine Kenntnis hatte und diese Gründe später zur Kenntnis gelangen, so kann dies zur Begründung einer neuen Kündigung herangezogen werden (Bundesarbeitsgericht Urteil vom 12.05.2011, 2 AZR 479/09).
Eine solche doppelte Sanktionierung kommt in der Praxis selten vor. Wenn dies jedoch geschieht, liegt es häufig daran, dass Arbeitgeber damit ihrem Ärger über das jeweilige Fehlverhalten maximalen Ausdruck verleihen wollen oder es den betrieblichen Organisationsproblemen geschuldet ist. In sehr großen Unternehmen oder im öffentlichen Dienst kann es (wenn auch selten) passieren, dass die eine Hand nicht weiß, was die andere Hand tut. Eine solche Organisationsproblematik kann dann auch nicht zu Lasten von Arbeitnehmer ausgetragen werden (Landesarbeitsgericht Berlin Urteil vom  16.02.2006, 10 Sa 1618/05).