Wie so oft im Leben führen viele Wege nach Rom, denn beide Schreibweisen sind korrekt! Dennoch empfiehlt der Duden die Schreibweise mit “-eu”. Daher ist “Friseur” die bevorzugtere Variante.  Es werden allerdings beide Formen im Alltag verwendet. Frisör oder Friseur, passt beides.