Anders als du das vom Teilen mit Rest aus der Grundschule kennst, wird der Rest bei der Polynomdivision nicht einfach nur benannt, sondern als Bruch an das Ergebnis der Polynomdivision angehängt.
Bei der Polynomdivision $(-x^2+2x+2) : (x+1)$ bleibt beispielsweise der Rest $-1$ übrig. Diese Zahl kann nicht weiter durch $(x+1)$ geteilt werden, da der Grad des Divisors größer ist. (Er hat den Grad $1$, während der Rest den Grad $0$ hat.)
Bis zum Auftreten des Rests kann folgendes Ergebnis berechnet werden:
$(-x^2+2x+2) : (x+1)=-x+3$
An das Ergebnis $-x+3$ wird nun einfach ein Quotient angehängt, der die noch fehlende Division des Rests durch den Divisor ausdrückt: $\\dfrac{-1}{x+1}$
Es wird also gar nichts mehr berechnet und das vollständige Ergebnis lautet:
$\\left(-x^2+2x+2\\right):(x+1)=-x+3+\\dfrac{-1}{x+1}$