Hier musst du zunächst unterscheiden zwischen Unternehmensname, Firmenname und Geschäftsbezeichnung. Diese drei Begriffe werden umgangssprachlich häufig durcheinander geworfen, bezeichnen aber alle unterschiedliche Dinge:
Firmenname: Unter dieser Bezeichnung sind Unternehmen (z. B. UG oder GmbH) im Handelsregister eingetragen. Ein Firmenname wird im offiziellen Geschäftsverkehr verwendet und kann relativ frei gewählt werden. Du solltest bei der Wahl allerdings darauf achten, dass du keine bestehenden Namensrechte verletzt. Beispiel: Für-Gründer.de GmbH, Fantasia Blumen UG
Unternehmensbezeichnung: Nicht im Handelsregister eingetragene Unternehmen (GbR, Einzelunternehmen) haben nicht firmiert, dürfen also keinen Firmennamen verwenden und müssen mit dem vollen Namen der Inhaber/Gesellschafter auftreten. Beispiel: Liese Müller Handwerksdienstleistungen, Paul Schmidt & Erik Trotz Designerschuhe GbR
Geschäftsbezeichnung: Sowohl im Handelsregister eingetragene als auch nicht eingetragene Unternehmen können eine Geschäftsbezeichnung für werbliche Zwecke verwenden. Hier dürfen Rechtsform- und Namens-Zusatz fehlen. Eine Geschäftsbezeichnung kann zusätzlich durch Branchenbezeichnungen ergänzt werden und theoretisch auch identisch mit dem Firmennamen oder der Unternehmensbezeichnung sein. Beispiel: Designerschuhe S & T, Restaurant zur goldenen Möwe, Brasserie La Mer