Dies ist ganz einfach zu beantworten: Geschirrtücher stinken in der Regel nicht, außer vor dem ersten Gebrauch und wenn Du sie zu lange nicht wäschst. Vor dem ersten Gebrauch können noch chemische Gerüche vernehmbar sein, welche aber mit der ersten Wäsche verschwinden.
Wenn Du das Geschirrtuch dann längere Zeit in Gebrauch hast und es fängt an zu stinken, solltest Du es dringend in die Waschmaschine geben. Denn ein unangenehmer Geruch deutet darauf hin, dass das Tuch feucht und eine gute Grundlage für Bakterien bildet. Damit Du Deine Gesundheit nicht gefährdest, solltest Du Deine Geschirrtücher also lieber zu oft als zu selten waschen.