Grundsätzlich nicht. Der Impfstatus gehört zu den Gesundheitsdaten, die besonders geschützt sind. ArbeitnehmerInnen müssen Arbeitgebern keine Auskunft über Gesundheitsdaten geben.
Allerdings: Bei beruflichen Tätigkeiten und Kontakt mit vulnerablen, also besonders gefährdeten Personengruppen, muss man abwägen. Würde es eine gesetzliche Verpflichtung geben, sich impfen zu lassen, müsste man selbstverständlich auch Auskunft darüber geben.
Prinzipiell darf der Arbeitgeber bei einem Vorstellungsgespräch nach dem Impfstatus fragen. Man muss grundsätzlich keine Auskunft geben, aber wenn man es tut, muss es wahrheitsgemäß sein.