Fatti: A. A.a. Nel luglio 1999 A._ e B._ hanno aperto presso la Banca H._ SA, divenuta poi la C._ un conto cifrato sul quale hanno versato complessivi euro 637'041.49. Essi hanno conferito procura amministrativa alla D._ SA, a cui è subentrata dapprima la E._ SA, poi la F._ SA e infine la G._ AG, società che avevano alle proprie dipendenze I._ (nipote dei titolari del conto). Alla fine del 2001 il capitale dato in gestione è stato quasi interamente perso in seguito alle operazioni effettuate dai gestori esterni. A.b. Con petizione 26 giugno 2006 A._ e B._ hanno convenuto in giudizio innanzi alla Pretura del distretto di Lugano la predetta banca e le menzionate società, postulando in via principale la loro condanna al pagamento in solido di euro 635'966.58, importo modificato con le conclusioni in euro 629'225.20. In via subordinata hanno domandato il versamento di euro 725'915.--. L'importo chiesto a titolo principale equivale alla differenza fra la somma versata e quella rimasta sul conto, mentre l'altro montante corrisponderebbe a quanto avrebbe potuto essere conseguito con una gestione conservativa del patrimonio. Il 7 gennaio 2013 il Pretore ha interamente respinto l'azione. B. La II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura in cui era ricevibile, l'appello inoltrato dagli attori. Dopo aver ritenuto che il mandato di gestione patrimoniale non era di natura conservativa ma aggressiva, la Corte cantonale ha respinto l'azione nei confronti dei gestori del conto perché gli attori non hanno dimostrato il danno risarcibile, che corrisponde alla differenza fra il loro patrimonio attuale e la consistenza che esso avrebbe avuto nell'ipotesi di una gestione aggressiva corretta. Per quanto concerne la posizione della banca, la Corte cantonale ha ritenuto che questa non aveva violato i suoi obblighi contrattuali per aver dato seguito alle istruzioni impartite dai gestori esterni e che gli attori non avevano dimostrato l'ammontare del danno risarcibile. C. Con ricorso in materia civile del 12 maggio 2015 A._ e B._ chiedono al Tribunale federale di riformare la sentenza cantonale nel senso di accogliere le domande di petizione. Affermano che la Corte cantonale avrebbe violato " i precetti ne bis in idem e ultra petita partium ", ridiscutendo aspetti non impugnati della sentenza pretorile. Affermano di aver voluto una gestione conservativa e insistono sul fatto che la banca non ha allestito un profilo di rischio. Sostengono inoltre di aver provato il danno e la sua estensione, fatti che avrebbero del resto anche potuto essere determinati in virtù dell'art. 42 cpv. 2 CO. Contestano infine la sentenza impugnata quando questa esclude una violazione degli accordi contrattuali e un conflitto d'interessi in tema di responsabilità, ribadiscono che le firme apposte sulle procure amministrative erano false e che essi avevano escluso la possibilità della messa in pegno del conto. Con risposta 8 luglio 2015 rispettivamente 14 luglio 2015 la F._ SA in liquidazione e la C._ in liquidazione propongono la reiezione del ricorso nella misura in cui è ammissibile.