Fatti: A. A._ è proprietario del fondo part. www di Lugano, situato nel nucleo di Breganzona, su cui sorge un vecchio edificio in disuso. Con decisione del 27 giugno 2008 il Municipio di Lugano gli ha negato la licenza edilizia per demolire il manufatto esistente e costruire un nuovo stabile d'appartamenti strutturato su quattro piani abitabili e dotato di un'autorimessa seminterrata ad uso comune. La decisione municipale è stata confermata, su ricorso del proprietario, dapprima dal Consiglio di Stato e in seguito dal Tribunale cantonale amministrativo. B. Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, il proprietario ha inoltrato il 1° luglio 2013 un'ulteriore domanda di costruzione (denominata variante altezza piani), con cui ha nuovamente chiesto al Municipio di rilasciargli l'autorizzazione di demolire l'edificio in disuso e di costruirne uno nuovo di quattro appartamenti. Il progetto prevede di realizzare uno stabile di quattro piani, di dimensioni pari almeno al doppio di quello esistente, con un'autorimessa comune che si estende a valle fino a via X._. Alla domanda si è opposta B._, proprietaria dei fondi confinanti verso ovest part. xxx e yyy, su cui sorge una casa d'abitazione. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 23 gennaio 2014 il Municipio di Lugano ha rilasciato la licenza edilizia, respingendo l'opposizione della vicina. Adito da quest'ultima, con decisione dell'8 luglio 2014 il Consiglio di Stato ne ha accolto il ricorso, annullando la licenza edilizia. C. Con sentenza del 10 dicembre 2015 il Tribunale cantonale amministrativo ha respinto un ricorso del proprietario contro la decisione governativa. La Corte cantonale ha accertato che il progetto edilizio presentava un'estensione verticale analoga, se non superiore, a quella oggetto della precedente domanda di costruzione, sfociata nel diniego della licenza. Ha ritenuto insostenibile la decisione del Municipio di considerarlo come conforme all'art. 49.2.10 delle norme di attuazione del nucleo di villaggio di Breganzona (NANVB) sotto il profilo della volumetria. D. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullarla e di confermare la licenza edilizia richiesta. In via subordinata, postula l'annullamento del giudizio impugnato e il rinvio della causa alla Corte cantonale per l'emanazione di una nuova decisione. Il ricorrente fa valere la violazione del diritto di essere sentito e del divieto dell'arbitrio. Non sono state chieste osservazioni sul ricorso, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.