Fatti: A. Con decisione del 19 maggio 2015, la Segreteria di Stato della migrazione (SEM) ha rifiutato l'approvazione della proroga del permesso di dimora in favore di A._, cittadina malgascia, assegnandole un termine per lasciare la Svizzera. Contro questa decisione, A._ ha interposto ricorso al Tribunale amministrativo federale. B. Con sentenza del 3 maggio 2016, il Tribunale amministrativo federale ha constatato che il versamento dell'anticipo spese richiesto ad A._ era tardivo. Ritenuto che gli estremi per una restituzione del termine non erano dati, ha quindi respinto una domanda in tal senso e dichiarato inammissibile l'impugnativa davanti ad esso interposta. Il Tribunale amministrativo federale ha nel contempo rilevato che, in assenza di fatti nuovi e decisivi, nemmeno vi erano gli estremi per entrare nel merito della domanda di concessione dell'assistenza giudiziaria presentata il 22 aprile 2016, dopo che una prima domanda in tal senso già era stata respinta con decisione del 5 febbraio precedente. C. Con ricorso in materia di diritto pubblico del 9 giugno 2016 A._ ha impugnato la sentenza dei Giudici di prima istanza davanti al Tribunale federale, postulando l'annullamento della stessa, il rinvio dell'incarto al Tribunale amministrativo federale per nuovo giudizio, e la concessione dell'assistenza giudiziaria. Il Tribunale federale ha richiesto all'autorità inferiore e alla Segreteria di Stato della migrazione la trasmissione degli atti in loro possesso. Non ha per contro ordinato nessuno scambio di scritti.