Fatti: A. Il cittadino italiano A._ (1949) è entrato in Svizzera il 21 marzo 2009, dopo avere ottenuto un permesso di dimora UE/AELS valido fino al 20 marzo 2014 per svolgere un'attività lucrativa. Separato dalla moglie, egli ha due figli da tempo maggiorenni che risiedono anch'essi nel nostro Paese. B. Tra il 31 ottobre 2013 e il 13 febbraio 2014 A._ è stato posto in carcerazione preventiva; dal giorno successivo, in regime di esecuzione anticipata della pena. Con sentenza del 16 maggio 2014 della Corte delle assise correzionali di Lugano è quindi stato condannato alla pena detentiva di 15 mesi, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 2 anni, dopo essere stato riconosciuto colpevole di infrazione aggravata alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope del 3 ottobre 1951 (LStup; RS 812.121) nonché riciclaggio, per avere: nel periodo tra il mese di maggio 2012 ed il 31 ottobre 2013, in una serie di località, alienato in più occasioni un imprecisato quantitativo di cocaina, ma almeno 183.80 grammi lordi, con grado di purezza indeterminato, al prezzo di fr. 100/200 al grammo, a diversi acquirenti e/o tossicodipendenti locali, previamente acquistati da non meglio precisati spacciatori; in data 31 ottobre 2013, compiuto atti suscettibili di vanificare l'accertamento dell'origine, il ritrovamento o la confisca di valori patrimoniali, sapendo che provenivano da un crimine, e meglio dallo spaccio di cocaina da lui compiuto, occultando presso il proprio domicilio denaro contante pari ad almeno fr. 3'000.--. C. Riferendosi alla citata condanna e al fatto che, dal febbraio 2014, percepiva prestazioni assistenziali, con decisione del 29 settembre 2014 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha negato ad A._ il rinnovo del permesso di dimora, intimandogli un termine per lasciare la Svizzera. Detta decisione è stata in seguito confermata sia dal Consiglio di Stato che dal Tribunale cantonale amministrativo, pronunciatosi in merito con sentenza del 15 aprile 2016. Lasciata aperta la questione dell'applicabilità dell'Accordo del 21 giugno 1999 tra la Comunità europea e i suoi Stati membri, da una parte, e la Confederazione Svizzera, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681), entrambe le istanze cantonali hanno infatti rilevato che il mancato rinnovo era in ogni caso conforme sia al diritto interno che a quello internazionale. D. Con ricorso del 23 maggio 2016, A._ si è rivolto allora al Tribunale federale, domandando sostanzialmente: in via principale, l'annullamento della sentenza di ultima istanza cantonale e il rinvio al Tribunale d'appello per nuovo giudizio; in via subordinata, e in riforma della sentenza impugnata, il rinnovo del permesso di dimora e la pronuncia di un ammonimento. Il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.