Fatti: A. Il cittadino senegalese A._ ha soggiornato in Svizzera già in passato, quando era sposato con B._ (sentenza 2C_68/2010 del 29 luglio 2010, con cui il Tribunale federale ha confermato il diniego del rinnovo del suo permesso di dimora a seguito della separazione dalla moglie). Il matrimonio tra A._ e B._ è stato sciolto per divorzio con pronuncia del 29 ottobre 2010. Al mese di ottobre 2010 risale anche la partenza di A._ dal nostro Paese. Il 20 marzo 2011, A._ si è risposato in Senegal con la cittadina elvetica C._. Il 10 novembre successivo è stato quindi autorizzato a rientrare in Svizzera e posto al beneficio di un permesso di dimora annuale, rinnovato un'ultima volta fino al 9 novembre 2013. B. Sentita dalla Polizia cantonale in merito alla sua situazione coniugale, il 16 marzo 2013 C._ ha dichiarato di avere conosciuto A._ nel maggio 2007, di aver vissuto insieme a lui durante i mesi di agosto e settembre 2010 e di averlo sposato nel marzo 2011, in Senegal. Ha aggiunto di avere perso fiducia in lui dal novembre 2012 e di essere intenzionata a divorziare. Ha inoltre indicato che non le risultava che suo marito avesse mai lavorato in costanza di matrimonio. Ha infine precisato che, dal gennaio 2013, egli si trovava in Senegal, di avere qualche contatto telefonico con lui ma di non sapere né dove risiedesse esattamente né quando sarebbe tornato. Da parte sua, il 17 aprile 2013 A._ ha dichiarato alla Polizia ticinese di avere conosciuto la moglie nella primavera del 2007 o del 2008, di avere iniziato a vivere con lei nell'estate 2010, e di essersi sposato nel marzo 2011. Dopo avere confermato di non svolgere nessuna attività lucrativa, ha spiegato di essere partito da solo per il Senegal il 16 gennaio 2013, di avere sentito la moglie più o meno ogni quindici giorni, di essere rientrato in Svizzera il 9 aprile 2013 e di non avere più vissuto insieme alla consorte. Ricevuta dal Servizio regionale degli stranieri una lettera indirizzata al marito, il 15 maggio 2013 C._ ha informato l'autorità di non sapere dove il coniuge risiedesse. C. Preso atto dell'esito degli interrogatori menzionati, il 2 dicembre 2013 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto l'istanza con la quale A._ postulava il rinnovo del suo permesso di dimora, fissandogli un termine per lasciare la Svizzera. A sostegno della propria decisione, l'autorità ha rilevato che dal mese di gennaio 2013 marito e moglie non vivevano più sotto lo stesso tetto coniugale ed era pertanto venuto a mancare lo scopo per il quale l'autorizzazione era stata concessa. Tale provvedimento è stato confermato su ricorso, dapprima dal Consiglio di Stato, con decisione del 18 giugno 2014, quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 7 aprile 2015. Dopo avere sollevato e lasciato aperta la questione a sapere se i coniugi avessero contratto matrimonio col solo scopo di eludere le prescrizioni in materia di soggiorno degli stranieri, entrambe le istanze citate hanno infatti confermato che gli estremi per il rinnovo richiesto non erano dati. D. L'11 maggio 2015, A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico con cui postula l'annullamento della decisione del Tribunale cantonale amministrativo, il rinnovo dell'autorizzazione richiesta e la concessione dell'assistenza giudiziaria (esonero dal pagamento di spese giudiziarie e riconoscimento del gratuito patrocinio per la procedura davanti al Tribunale federale). L'istanza precedente si è riconfermata nel proprio giudizio. Ad esso hanno fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione e la Segreteria di Stato della migrazione. Il Governo ticinese si è invece rimesso alle valutazioni di questa Corte.