Fatti: A. A.A._ è proprietario dei fondi part. sss e ttt di Lugano, sezione di Breganzona, mentre B.A._ è proprietario del fondo confinante part. uuu. Le particelle, inedificate, fanno parte di un vasto pianoro situato in località Povrò, tra via Bioggio e via Guisan, nei pressi di una rotonda situata nelle vicinanze dell'uscita autostradale di Lugano-Nord. Vi si accede tramite una strada (fondo part. vvv) di proprietà del Comune di Lugano, che parte dalla rotonda, costeggia via Bioggio e si collega in seguito al fondo part. www, che è proprietà coattiva dei fondi part. uuu, ttt e xxx, quest'ultimo di proprietà del Comune di Lugano. B. Il piano regolatore in vigore, approvato dal Consiglio di Stato nel giugno del 1993, assegna i fondi part. sss, uuu e ttt (con altre particelle) alla zona edificabile a destinazione vincolata S5, in cui sono ammessi esclusivamente insediamenti amministrativi o di servizio, centri commerciali e attività artigianali con depositi, purché il loro carattere risulti poco molesto. Un'area vicina al comparto S5, corrispondente ai fondi part. xxx e yyy, è inserita in una zona per attrezzature di interesse pubblico AP destinata allo svago ricreativo, in cui è vietata l'edificazione. La parte rimanente del pianoro è attribuita alla zona agricola. Il piano regolatore vigente non contempla una specifica pianificazione dell'accesso stradale ai fondi di proprietà A._. C. Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, il 15 novembre 2010 il Consiglio comunale di Lugano ha adottato una variante di piano regolatore, che prevede l'istituzione di una zona di 4'000 m2 per edifici d'interesse pubblico (EP 12) destinata alla nuova sede della C._. La superficie interessata grava una porzione del fondo part. xxx e una parte del fondo part. vvv. La variante comporta inoltre una modifica dell'estensione della confinante zona per attrezzature di interesse pubblico, indicata ora quale "area sportiva e di svago" (AP 1). Prevede altresì una strada di servizio dalla rotonda di via Bioggio limitata all'accesso alle zone EP 12 e AP 1, nonché a una masseria esistente nel comparto agricolo. La zona edificabile S5, situata a sud delle aree d'interesse pubblico, dovrebbe essere raggiungibile unicamente da via Guisan. D. Contro la variante di piano regolatore A.A._ e B.A._ hanno adito il Consiglio di Stato, chiedendo che l'accesso ai loro fondi fosse garantito attraverso la particella vvv dalla rotonda di via Bioggio. Con risoluzione del 23 agosto 2011 il Governo ha approvato la variante, respingendo nel contempo i ricorsi di entrambi i proprietari. E. A.A._ e B.A._ hanno quindi impugnato la risoluzione governativa con due distinti ricorsi al Tribunale cantonale amministrativo. Dopo una sospensione delle cause in vista di un accordo tra le parti, che non ha avuto esito positivo, la Corte cantonale ha statuito sui ricorsi con un unico giudizio del 19 giugno 2015, respingendoli. F. A.A._ e B.A._ impugnano questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale affinché si pronunci su tutte le censure sollevate nei gravami. In via subordinata, chiedono di rinviare gli atti al Municipio di Lugano, perché elabori una variante di piano regolatore per accedere alle loro proprietà. I ricorrenti fanno valere la violazione del diritto federale, segnatamente degli art. 29a Cost. e degli art. 2, 19 e 38a LPT, nonché un accertamento dei fatti arbitrario e un esercizio abusivo del potere di apprezzamento. G. La Corte cantonale si riconferma nella sua sentenza. La Sezione dello sviluppo territoriale e il Comune di Lugano chiedono di respingere il ricorso nella misura della sua ammissibilità. La C._ ne postula la reiezione. Con decreto presidenziale del 16 settembre 2015 è stato conferito effetto sospensivo al ricorso.