Fatti: A. Il 12 dicembre 2013 H.G._ ha presentato alla Commissione edilizia del Comune di X._ una domanda di costruzione per la demolizione e la ricostruzione dell'edificio xxx sul fondo part. yyy di sua proprietà, sito nella zona del nucleo e compreso in un'area di protezione. Detto stabile, nel frattempo demolito, era di natura rurale e costituito da una parte abitativa e da una stalla. Il progetto prevede la costruzione di un nuovo edificio strutturato su tre piani, con ufficio, legnaia e quattro posti auto al piano terra e due unità abitative al primo e al secondo piano, adibite a residenza primaria. Esso sorge in parte sull'area occupata dalla precedente costruzione. B. Alla domanda di costruzione si sono opposti A.A._ e B.A._ ed E._, comproprietari del fondo confinante part. www, nonché F._ e G.G._, proprietari della particella vicina zzz. Con decisione del 28 aprile 2014 il Consiglio comunale di X._, quale autorità edilizia, ha autorizzato la demolizione e la ricostruzione dell'edificio. Ha in particolare disposto la modifica della conformazione del tetto, che avrebbe dovuto essere realizzato a tre falde anziché ad una falda a doppia pendenza. L'autorità edilizia comunale ha contestualmente respinto l'opposizione dei vicini. C. Con sentenza del 7 luglio 2015, il Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni ha respinto un ricorso degli opponenti contro la licenza edilizia rilasciata dal Comune. D. A.A._, C.A._ e D._ (componenti la comunione ereditaria fu B.A._), E._, nonché F._ e G.G._ impugnano questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono di annullarla e di annullare contestualmente la licenza edilizia. Postulano eventualmente il rinvio degli atti a una delle precedenti istanze per un nuovo giudizio. I ricorrenti fanno valere la violazione del diritto federale, l'applicazione arbitraria del diritto cantonale e comunale, nonché l'accertamento manifestamente inesatto dei fatti. E. La Corte cantonale, il Comune di X._ e H.G._ chiedono di respingere il ricorso nella misura della sua ammissibilità. I ricorrenti si sono espressi il 2 novembre 2015 sulla risposta di H.G._, confermandosi nelle loro conclusioni. Quest'ultimo ha comunicato il 10 marzo 2016 di rinunciare a presentare ulteriori osservazioni. Con decreto del 15 ottobre 2015, il giudice dell'istruzione ha conferito effetto sospensivo al ricorso.