Fatti: A. La C._ SA ha assunto nell'agosto 2004 A._ quale operaio. Questi è stato membro della commissione aziendale. Il 30 marzo 2012 la C._ SA e la D._ SA hanno comunicato alle rispettive commissioni aziendali la volontà di procedere a una fusione, in cui la D._ SA avrebbe ripreso gli attivi e i passivi della C._ SA e cambiato la propria ragione sociale in B._ SA. Esse hanno pure annunciato l'intenzione di ridurre i salari di tutti i dipendenti del 10 %, indicando che l'operazione era dettata dalla necessità di ultimare il " processo di razionalizzazione organizzativa e strutturale tra le due aziende " in seguito " alla negativa situazione economica ". Le successive trattative intercorse fra la direzione generale, le commissioni aziendali e un sindacato hanno portato a una proposta di riduzione degli stipendi dell'8.33 %, che è stata respinta il 26 maggio 2012 dall'assemblea generale dei lavoratori, unicamente disposti ad accettare una diminuzione salariale del 6 %. Dopo aver disdetto il contratto collettivo di lavoro con effetto 31 dicembre 2012, il 26 luglio 2012 la B._ SA ha pure disdetto il contratto di lavoro con A._ e altri 9 dipendenti. Con scritto 13 settembre 2012 A._ ha contestato la disdetta, definendola abusiva, perché sarebbe stata la conseguenza della sua attività di rappresentante dei salariati nella commissione aziendale. Nel mese di ottobre 2012 una nuova commissione aziendale ha sottoscritto con la direzione un nuovo accordo sul contenimento dei costi. B. L'11 dicembre 2013 A._ ha convenuto in giudizio innanzi alla Pretura di Mendrisio Nord la B._ SA, chiedendo che fosse condannata a pagargli fr. 16'250.-- a titolo di indennità per licenziamento abusivo e fr. 296.15 quale indennità per vacanze e turni per gli anni 2008 e 2009. Con sentenza 3 dicembre 2014 il Pretore ha accolto la petizione limitatamente a quest'ultimo importo. C. La II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto con sentenza 5 maggio 2015 un appello di A._. La Corte cantonale ha ritenuto, come già il Pretore, che il licenziamento fosse dovuto a un motivo oggettivo (difficoltà economiche della datrice di lavoro). D. Con ricorso in materia civile del 3 giugno 2015 A._ chiede al Tribunale federale di riformare la sentenza di appello nel senso che la petizione sia accolta. Invoca l'art. 336 cpv. 2 lett. b CO e contesta che il suo licenziamento fosse la conseguenza della situazione economica in cui si trovava la datrice di lavoro. Con risposta 6 luglio 2015 la B._ SA propone la reiezione del ricorso e chiede che le vengano assegnati fr. 3'500.-- a titolo di ripetibili.