Fatti: A. Il 2 ottobre 2003 l'allora C._, Lugano, ha stipulato con la A._ S.p.A., Milano, un contratto avente per oggetto, in breve, un programma di comunicazione del gruppo bancario sul mercato italiano. Trascorsa la durata iniziale di tre anni, esso si rinnovava tacitamente alle medesime condizioni, salvo disdetta da parte della banca con novanta giorni di preavviso, la prima volta per il 30 settembre 2006. I contraenti avevano eletto il foro esclusivo di Lugano e sottoposto l'atto al diritto svizzero. Nel 2008 la B._ SA, Lugano, ha ripreso per fusione attivi e passivi della C._. Non essendo più attiva sul mercato italiano, essa ha comunicato alla A._ S.p.A. che era nell'impossibilità oggettiva di proseguire il rapporto contrattuale oltre il 30 settembre 2008 e che avrebbe pagato da ultimo la fattura per le prestazioni effettuate fino a quella data. La A._ S.p.A. ha continuato a fornire le prestazioni che poteva svolgere autonomamente fino al 30 settembre 2009, data di scadenza del contratto, e ha emesso fatture per un totale di euro 159'786.--. B. Con petizione del 15 febbraio 2010 la A._ S.p.A. ha chiesto al Pretore di Lugano di condannare la B._ SA a pagarle la predetta somma, prevalendosi delle norme sul contratto di appalto. La banca si è opposta all'azione sostenendo di essere stata vincolata da un contratto di mandato, sciolto per il 30 settembre 2008 in applicazione dell'art. 404 cpv. 1 CO. Il Pretore ha accolto la petizione con sentenza del 23 dicembre 2013, condannando la convenuta a pagare all'attrice euro 159'786.--, con interessi del 5% a partire da diverse scadenze. Il giudizio è stato sovvertito il 4 febbraio 2016 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese, la quale, statuendo su appello della convenuta, ha respinto interamente l'azione. C. La A._ S.p.A. insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 9 marzo 2016; chiede l'annullamento della sentenza cantonale e la reiezione dell'appello della convenuta. Questa, con risposta dell'11 maggio 2016, propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non ha preso posizione.