Fatti: A. Il 4 giugno 2015 il Ministero della Giustizia italiano ha presentato alla Svizzera una domanda di estradizione nei confronti di A._, condannato per reati patrimoniali complessivamente a una pena detentiva di 9 anni, 5 mesi e 29 giorni, con una pena residua da scontare di oltre otto anni. Con decisione del 20 maggio 2016, l'Ufficio federale di giustizia (UFG) ha concesso l'estradizione dell'interessato. Mediante scritto del 1° giugno 2016 l'UFG ha informato il patrocinatore dell'estradando che la consegna di quest'ultimo sarebbe avvenuta nei prossimi giorni, visto ch'egli non aveva dichiarato entro cinque giorni dalla notifica della decisione, come indicato nella stessa, di voler interporre ricorso (art. 56 cpv. 1 lett. b AIMP; RS 351.1). Con lettera del medesimo giorno, anticipata per fax, l'estradando ha dichiarato di voler presentare un ricorso contro la decisione di estradizione e di opporsi alla sua esecuzione. B. Contro l'esecuzione immediata dell'estradizione, con fax del 6 giugno 2016 l'interessato ha poi trasmesso alle ore 10.45 alla Corte dei reclami penali del Tribunale penale federale (TPF) un reclamo con domanda di effetto sospensivo (causa RR.2016.100), informandone alle ore 11.01 anche l'UFG. Un'ora dopo, il TPF ha ordinato all'UFG, a titolo superprovvisionale, l'immediata sospensione dell'esecuzione dell'estradizione. Il 7 giugno 2016 l'UFG ha informato il TPF che il giorno precedente, alle ore 11.00, l'estradando era stato consegnato alle autorità italiane. C. Con un ricorso del 21 giugno 2016 A._ ha impugnato la decisione di estradizione (causa RR.2016.104), postulando l'assistenza giudiziaria gratuita e il gratuito patrocinio per entrambi i gravami. Congiunte le cause, con giudizio del 28 luglio 2016 il TPF ha respinto i ricorsi, il secondo nella misura in cui non era divenuto privo di oggetto, rigettando pure le domande di assistenza giudiziaria. D. Avverso questa decisione A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiede, concessogli il beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita e del gratuito patrocinio, di annullarla, di accertare la sua asserita ingiustificata consegna anticipata all'Italia, di rinviare gli atti al TPF affinché esamini nel merito il ricorso contro l'estradizione, subordinatamente vagli i presupposti dell'indigenza. Il TPF rinuncia a formulare osservazioni e si conferma nell'impugnato giudizio, l'UFG propone di respingere il ricorso, rinunciando a pronunciarsi nel merito dello stesso. Il ricorrente ha potuto esprimersi al riguardo.