Fatti: A. A cavallo fra il 1996 e il 1997 A._ ha aperto due conti bancari presso la filiale di Lugano della C._ e ha conferito un mandato di gestione a D._. Il 22 marzo 1999 ha aperto un ulteriore conto presso la medesima banca, incaricando della sua gestione E._ con cui intratteneva una relazione sentimentale. Il 31 marzo 1999 il conto aveva un saldo di dollari statunitensi 6'172'137.--, che era aumentato a dollari statunitensi 9'523'162.-- il 31 dicembre 1999 per poi assestarsi nel novembre 2001 a dollari statunitensi 298'145.--. Terminato il legame sentimentale con E._, A._ ha revocato il 3 dicembre 2001 i mandati di gestione. I predetti gestori patrimoniali indipendenti sono poi stati condannati penalmente: la prima per appropriazione indebita e truffa, a causa dei prelievi effettuati dai conti di A._; il secondo per amministrazione infedele continuata, ripetuta e aggravata, perché allocava le operazioni con il miglior risultato a un proprio conto presso la menzionata banca, mentre assegnava le rimanenti ai conti di A._ e di altri clienti. B. A._ ha, con petizione 3 febbraio 2004, convenuto in giudizio innanzi al Pretore di Lugano la F._ SA, che aveva nel frattempo incorporato la C._, per ottenere il pagamento di fr. 12'091'256.--, oltre interessi. Il 13 aprile 2011 il Pretore ha accolto la domanda di mutazione dell'azione tendente alla condanna della banca convenuta, nel frattempo diventata B._ SA, al pagamento di euro 103'291.--, lire sterline 195'000.-- e dollari statunitensi 6'736'620.--, oltre interessi. Con sentenza 23 luglio 2013 il Pretore ha parzialmente accolto la petizione e ha condannato la convenuta a versare all'attrice euro 30'983.70, lire sterline 58'500.-- e dollari statunitensi 2'438'462.20, oltre interessi; ha rigettato in via definitiva nella medesima misura l'opposizione al precetto esecutivo fatto notificare dall'attrice. Ha posto la tassa di giustizia di fr. 60'000.-- e le spese di fr. 49'000.-- a carico della convenuta per il 35 % e dell'attrice per il 65 % e ha condannato quest'ultima al pagamento di fr. 158'000.-- di ripetibili. C. In parziale accoglimento dell'appello della B._ SA la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, con sentenza 3 giugno 2015, riformato la sentenza pretorile nel senso che la banca è condannata a pagare all'attrice dollari statunitensi 357'356.35 e lire sterline 58'500.--, oltre interessi, con il relativo rigetto dell'opposizione interposta al precetto esecutivo. Ha messo la tassa di giustizia e le spese della procedura di prima istanza a carico dell'attrice in ragione di 19/20 e della convenuta per 1/20, accordando a quest'ultima fr. 451'430.-- di ripetibili. Le spese processuali d'appello di fr. 40'000.-- sono state poste a carico per 1/5 della convenuta e per 4/5 dell'attrice, che è pure stata condannata a versare alla banca fr. 40'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura di seconda istanza. D. Con ricorso in materia civile dell'8 luglio 2015 A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, la riforma della sentenza di appello nel senso che il giudizio del Pretore sia confermato. Dopo aver completato i fatti, riassunto le sentenze di primo e secondo grado e preannunciato le censure, la ricorrente lamenta una violazione degli art. 310, 311 cpv. 1 e 318 cpv. 1 CPC per la carente motivazione dell'appello. Ella rimprovera poi ai Giudici d'appello un accertamento manifestamente inesatto dei fatti per non aver considerato la sua completa ignoranza in materia di operazioni bancarie e l'inadeguatezza dell'operatività di E._. Sostiene inoltre che in presenza di comportamenti con rilevanza penale la banca avrebbe dovuto contattarla, informarla in modo chiaro e sospendere la possibilità di operare sul conto. Ritiene pure che il Pretore aveva correttamente calcolato il danno causato dalla gestione di E._ e di avere anche diritto al rimborso delle retrocessioni incassate da quest'ultimo nonché degli importi prelevati da D._ nella misura riconosciuta dal primo Giudice. La B._ SA propone con risposta 18 agosto 2015 di respingere sia la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo sia il ricorso. La Presidente della Corte adita ha, con decreto 20 agosto 2015, respinto la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso.