Fatti: A. Nel luglio 2002, il cittadino tunisino A.A._ (1969) si è sposato in Ticino con una cittadina svizzera. A seguito del matrimonio ha quindi ottenuto un permesso di dimora annuale, rinnovato un'ultima volta fino al 3 luglio 2004. Dall'unione tra i coniugi è nato C.A._ (2004). A.A._ non ha tuttavia mai vissuto insieme a suo figlio, che è stato affidato alle cure e all'educazione della madre. Al padre è stato riconosciuto unicamente un diritto di visita limitato e sorvegliato. Preso atto del fatto che A.A._ non viveva più con la moglie già dal novembre 2003, con decisione del 28 febbraio 2005 l'allora Sezione dei permessi e dell'immigrazione non gli ha più rinnovato il permesso di dimora. In ultima istanza, tale decisione è stata confermata anche dal Tribunale federale (incarto 2A.459/2005) di modo che, il 30 aprile 2006, A.A._ ha lasciato la Svizzera. Nel giugno 2008, i coniugi A._ hanno divorziato. Il figlio è stato affidato alla madre, con l'esercizio dell'autorità parentale, mentre al padre, esonerato a quel momento dall'obbligo di versargli un contributo pecuniario a causa della precaria situazione economica in cui versava, è stato riconosciuto un diritto di visita, da organizzare secondo le indicazioni date dal curatore nominato dalla Commissione tutoria. B. Il 7 novembre 2011, A.A._ è rientrato in Svizzera per chiedere asilo; la sua domanda è stata respinta nell'aprile 2013. Di qualche giorno prima data invece la sua richiesta di rilascio di un permesso di dimora per ricongiungersi con il figlio. Nel maggio 2013 l'ex moglie di A.A._ ha confermato all'autorità competente in materia di stranieri che, benché non in modo costante, l'ex marito visitava il figlio per la durata di un'ora e mezza ogni due settimane presso una struttura d'incontro, ma pure che egli non si occupava da anni del mantenimento dello stesso. Il 19 settembre successivo, l'autorità regionale di protezione ha ribadito che il diritto di visita accordato a A.A._ doveva svolgersi sotto sorveglianza, durante un pomeriggio ogni 15 giorni; ha inoltre aggiunto che non vi erano fondati motivi per estenderlo. Preso atto del fatto che non aveva dimostrato di avere una relazione affettiva e finanziaria stabile con il figlio, con decisione del 21 ottobre 2013 la Sezione della popolazione ha negato a A.A._ il permesso richiesto. Sia il Consiglio di Stato (29 aprile 2014) che il Tribunale cantonale amministrativo (4 marzo 2015) hanno in seguito confermato la liceità del diniego. C. L'8 aprile 2015, A.A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso con cui postula l'annullamento della decisione emessa dal Tribunale amministrativo cantonale, di quelle precedenti e il rilascio di un'autorizzazione di soggiorno. Domanda inoltre il conferimento dell'effetto sospensivo e di tenere conto della situazione di indigenza in cui versa, esentandolo dal pagamento di un anticipo a copertura delle spese processuali. Non sono state chieste osservazioni al gravame.