Fatti: A. Nell'ottobre 1996 A._, residente in Italia, ha aperto il conto denominato xxx presso la B._SA. Lo ha chiuso nel giugno 2002 per approfittare delle agevolazioni del cosiddetto scudo fiscale. L'8 settembre 2008 il cliente ha avviato una causa civile davanti al Pretore di Lugano chiedendo che la banca fosse condannata a pagargli fr. 97'728.61; nel corso della procedura la domanda è stata convertita in Euro 60'701.55. L'attore sosteneva che quest'ultima somma era stata prelevata indebitamente dal suo conto il 2 giugno 1999 falsificando le firme sua e di sua madre sulla ricevuta bancaria. La convenuta si è opposta all'azione adducendo l'autenticità delle firme e l'accettazione dell'operazione da parte del cliente, informato su tutti i movimenti del conto. Il Pretore ha respinto la petizione il 27 dicembre 2012. La II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha a sua volta respinto l'appello dell'attore con sentenza del 1° aprile 2014. B. A._ insorge davanti al Tribunale federale con un atto del 2 maggio 2014 intitolato " Ricorso in materia di diritto civile e ricorso sussidiario in materia costituzionale ". Chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che il suo appello del 1° febbraio 2013 sia accolto. La B._SA propone di respingere il ricorso con risposta del 13 giugno 2014. L'autorità cantonale non si è pronunciata.