Fatti: A. A.a. Il dott. C._ ha seguito A.A._ durante la sua gravidanza nel 1998. Ha effettuato la settima e ultima visita il 30 novembre 1998 (primo giorno della trentatreesima settimana di gravidanza). Il 6 gennaio 1999 è nato B.A._, in seguito a un taglio cesareo eseguito dal sostituto del dott. C._ dopo la perdita del liquido amniotico. Alla nascita il bambino è risultato affetto da trisomia 21 (sindrome di Down), da grave encefalopatia ipossico-ischemica, da pancitopenia e epatopatia su ipossia e trisomia 21. A causa delle sue affezioni B.A._ soffre in particolare di tetraparesi con ipotonia del tronco e spasticità delle estremità superiori e inferiori, ha un grave ritardo nello sviluppo delle capacità cognitive ed intellettuali che sono gravemente compromesse: l'origine delle lesioni è essenzialmente da attribuire alla grave encefalopatia ipossica-ischemica. A.b. Con petizione 9 gennaio 2004 A.A._ e B.A._ hanno convenuto in giudizio innanzi alla Pretura della giurisdizione di Mendrisio-nord C._ per ottenere la sua condanna ąl pagamento di fr. 1'649'044.--, oltre interessi. Tale domanda è poi stata modificata in sede conclusionale nel senso di condannare il convenuto a pagare all'attrice fr. 736'720.50 e all'attore fr. 1'370'000.--, oltre a una rendita annuale di fr. 100'000.--. In parziale accoglimento dell'azione, il Pretore ha condannato, con sentenza 8 settembre 2011, il medico a versare alla sola attrice fr. 30'120.-- (fr. 30'000.-- per torto morale e fr. 120.-- per le spese preprocessuali sopportate), oltre interessi. B. Il 21 marzo 2012 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha posto A.A._ e B.A._ al beneficio dell'assistenza giudiziaria. Con sentenza 2 ottobre 2013 essa ha poi respinto, in quanto ammissibile, l'appello inoltrato da B.A._, mentre ha parzialmente accolto quello presentato da A.A._ aumentando l'importo a suo favore a fr. 50'200.--. Ha pure respinto l'appello incidentale introdotto dal convenuto. La Corte cantonale ha indicato che quest'ultimo poteva unicamente essere ritenuto responsabile di una carente informazione in merito alle analisi che avrebbero rivelato la sindrome di Down, mancanza che ha impedito all'attrice di interrompere la gravidanza, ma non anche della trisomia 21 e dell'encefalopatia ipossico-ischemica intervenute nel bambino. I Giudici di appello hanno aumentato di fr. 20'000.-- l'importo riconosciuto in primo grado per il torto morale e di fr. 80.-- quello attribuito per le spese preprocessuali; hanno per contro respinto la richiesta di risarcimento della perdita di guadagno, perché l'attrice non ha provato di essere stata obbligata a disdire il rapporto di lavoro. Con riferimento alle pretese avanzate dal figlio hanno ritenuto che, contrariamente a quelle dell'attrice, esse riguardano una responsabilità extracontrattuale ed erano già prescritte al momento dell'inoltro dell'azione. A titolo abbondanziale, la Corte di appello ha anche reputato che né la pretesa volta al risarcimento dei maggiori costi di cura e di assistenza né quella di torto morale possono essere azionate dal figlio. C. A.A._ e B.A._ insorgono al Tribunale federale con un unico ricorso in materia civile del 6 novembre 2013, con cui chiedono di riformare la sentenza di appello nel senso che il convenuto sia condannato a versare al ricorrente fr. 1'250'000.-- quale risarcimento danni, fr. 120'000.-- per torto morale nonché una rendita annuale di fr. 100'000.-- e alla ricorrente, oltre ai fr. 50'000.-- di torto morale già riconosciuti, fr. 676'720.50 a titolo di risarcimento danni. Entrambi chiedono di essere posti al beneficio dell'assistenza giudiziaria nella procedura federale. Non è stato ordinato uno scambio di scritti.