Fatti: A. A.a C._, nata nel 1968, politossicomane portatrice di infezione HIV (dal 1986), epatite B e C cronica, oltre che di una patologia tipo Borderline e di disturbi d'ansia, dopo avere beneficiato di prestazioni assistenziali, dal 1° aprile al 30 settembre 2001 ha lavorato come operaia generica presso D._ nell'ambito di un programma (temporaneo) di inserimento professionale-occupazionale effettuato tramite il Soccorso operaio svizzero (SOS) e retribuito dall'Ufficio cantonale del sostegno sociale e dell'inserimento (USSI). Durante questo periodo l'interessata è stata assicurata per la previdenza professionale presso la Fondazione X._. L'8 ottobre 2001 il dott. L._, specialista in medicina interna, ha certificato, con effetto da tale data, una incapacità lavorativa del 100% dovuta a malattia. In seguito l'interessata non ha più svolto alcuna attività lavorativa. A.b Per decisioni del 15 aprile e del 13 maggio 2004, sostanzialmente confermate dalla pronuncia 15 novembre 2006, cresciuta incontestata in giudicato, del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, l'Ufficio AI del Cantone Ticino ha riconosciuto all'assicurata una rendita intera dal 1° ottobre 2002 facendo risalire l'inizio dell'incapacità lavorativa (e del termine di attesa per il diritto alla rendita) al mese di ottobre 2001. C._ si è quindi rivolta alla Fondazione X._, la quale ha tuttavia negato, per difetto di competenza, un suo obbligo di prestazioni dal profilo della previdenza professionale. A.c Mediante petizione del 13 settembre 2007, C._ ha convenuto dinanzi al Tribunale cantonale delle assicurazioni la Fondazione X._ e chiesto il riconoscimento di una rendita intera d'invalidità della previdenza professionale con effetto dal 1° ottobre 2002. Esperiti i propri accertamenti, la Corte cantonale ha accolto la petizione e ha condannato l'istituto di previdenza a versare all'interessata una rendita intera d'invalidità della previdenza professionale dal 1° ottobre 2002 (giudizio del 7 agosto 2008). I primi giudici hanno in particolare accertato che nessun mezzo di prova permetteva di dimostrare o ipotizzare con un grado di verosimiglianza sufficiente l'insorgenza, senza interruzioni di rilievo, di una riduzione rilevante della capacità lavorativa prima del mese di aprile 2001, rispettivamente prima dell'8 ottobre 2001, unica data sicura in cui una inabilità era stata espressamente attestata. Di conseguenza, avendo fatto risalire all'ottobre 2001 - vale a dire a un momento in cui l'interessata era ancora assicurata presso l'istituto di previdenza - l'incapacità lavorativa che ha poi portato all'invalidità, l'autorità giudiziaria cantonale ha ammesso la responsabilità della Fondazione X._. Accogliendo il ricorso della fondazione collettiva, il Tribunale federale ha annullato con sentenza del 18 settembre 2009 (9C_684/2008) il giudizio cantonale e rinviato la causa all'istanza precedente per complemento istruttorio. Osservato come il medico curante (dott. L._) avesse per il 1998 sostenuto l'impossibilità di una ripresa lavorativa attestando così una inabilità completa e tenuto conto del comparabile complesso polipatologico (psichico e somatico) di fondo, la Corte federale ha rilevato la necessità di ulteriori accertamenti e ritenuto opportuno (maggiormente) approfondire se tra questa incapacità lavorativa, insorta prima dell'inizio del rapporto di previdenza, e la susseguente invalidità sussisteva un nesso materiale e temporale sufficiente (nel qual caso un obbligo di prestazione della Fondazione sarebbe stato escluso) oppure se questo nesso fosse in qualche modo stato interrotto (nella quale evenienza la responsabilità dell'istituto di previdenza si sarebbe giustificata). B. Completato l'accertamento con l'esecuzione di una perizia pluridisciplinare a cura del Servizio accertamento medico (SAM), il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha condannato la fondazione collettiva a versare a C._ una mezza rendita d'invalidità della previdenza professionale dal 1° luglio 2002 e una rendita intera dal 1° agosto 2002 (pronuncia del 13 aprile 2011). Da un lato i giudici cantonali hanno accertato che la fondazione non poteva essere chiamata a rispondere per le conseguenze derivanti dalle patologie psichiatriche poiché queste (in particolare il disturbo di personalità Borderline) avevano inciso in maniera rilevante (e continuata) sulla capacità lavorativa dell'assicurata già prima dell'entrata in servizio al D._. Dall'altro hanno però riconosciuto la competenza e la responsabilità di detta fondazione in relazione all'inabilità lavorativa di natura somatica, riconducibile all'infezione HIV, la quale aveva per la prima volta causato una incapacità lavorativa - poi anche (insieme alla componente psichiatrica) all'origine della successiva invalidità - nel mese di luglio 2001, quando l'interessata era assicurata presso la fondazione. C. La Fondazione X._ si è nuovamente aggravata al Tribunale federale al quale chiede di annullare il giudizio cantonale e di respingere la petizione. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. L'assicurata propone la reiezione del gravame e chiede di essere posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.