Fatti: A. A.a. Dal 1989 C._ è stato alle dipendenze della Repubblica e Cantone Ticino in qualità di custode e capo materiale del centro X._ a Y._, dove usufruiva pure di un appartamento di servizio. A seguito della riorganizzazione della Sezione Z._, che prevedeva tra l'altro la soppressione della funzione dell'interessato, il Consiglio di Stato nel settembre del 2012 gli ha prospettato l'intenzione di rescindere il rapporto d'impiego. Fallito il tentativo di conciliazione, con decisione del 6 novembre 2012 il Governo cantonale ha disdetto il rapporto di lavoro con effetto al 31 maggio 2013. A.b. Il 19 novembre 2012 le competenti autorità cantonali hanno quindi comunicato all'interessato che la cessazione del rapporto di lavoro comportava pure la decadenza del diritto all'utilizzazione dell'appartamento di servizio, invitandolo a riconsegnare l'immobile entro il medesimo termine. A.c. C._ ha impugnato la decisione di scioglimento del suo rapporto d'impiego con ricorso davanti al Tribunale cantonale amministrativo. A.d. Il 31 maggio 2013 l'interessato ha opposto il suo rifiuto a lasciare i locali fino al termine della procedura ricorsuale avviata. Con decisione del 7 giugno 2013 il Governo cantonale gli ha quindi chiesto il versamento di fr. 1000.- mensili per l'utilizzo abusivo, dal 1° giugno 2013, dell'appartamento, fissandogli un ultimo termine inderogabile al 31 luglio seguente per la riconsegna del bene messo a disposizione e togliendo preventivamente l'effetto sospensivo a un eventuale ricorso. B. B.a. C._ ha deferito anche questa risoluzione al Tribunale cantonale amministrativo, chiedendo in via provvisionale il ripristino dell'effetto sospensivo, domanda questa respinta dall'autorità giudiziaria adita per pronuncia del 16 luglio 2013. B.b. Nel frattempo, il 1° luglio 2013, mediante pronuncia poi cresciuta in giudicato, la stessa Corte cantonale aveva disatteso il gravame proposto dall'interessato avverso lo scioglimento del suo rapporto di impiego con effetto al 31 maggio 2013. C. C.a. C._ ha deferito il giudizio cantonale del 16 luglio 2013 con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, protestate spese e ripetibili, chiede, preliminarmente, di conferire effetto sospensivo al gravame. Nel merito, egli chiede di riformare la decisione impugnata nel senso di concedere l'effetto sospensivo al ricorso inoltrato contro la risoluzione governativa del 7 giugno 2013 pendente presso l'istanza precedente. Domanda infine di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria, nel senso di ottenere la dispensa dal pagamento di spese. C.b. Il Governo cantonale, protestate spese e ripetibili, postula la reiezione integrale delle richieste ricorsuali. C.c. Con scritto del 30 settembre 2013 l'insorgente ha chiesto di tenere in sospeso la presente procedura ricorsuale in attesa dell'esito delle trattative avviate con il Governo cantonale.