Fatti: Fatti: A. A.a Nel 1982, P._, nata nel 1970, è rimasta vittima di un infortunio al ginocchio destro, di competenza della Zurigo Assicurazioni. Nel 1983 è stata sottoposta ad un primo intervento chirurgico da parte del dott. M._. Un secondo intervento è stato effettuato dal medesimo medico nel 1985. Nel luglio 1989, l'interessata, nel frattempo attiva in qualità di parrucchiera, è rimasta vittima di un ulteriore infortunio al ginocchio destro, le cui conseguenze sono state assunte dalla Vodese Assicurazioni, nuova assicuratrice LAINF, conformemente a pronuncia del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 9 dicembre 1992, rimasta inimpugnata. L'assicurata ha poi notificato alla Vodese un nuovo infortunio, intervenuto il 3 aprile 1990. Nel successivo mese di giugno è stata sottoposta ad intervento chirurgico presso la clinica S._, da parte del dott. U._. Anche le conseguenze di questo infortunio sono state assunte dalla Vodese, sempre conformemente a quanto stabilito nella predetta pronuncia dall'autorità giudiziaria cantonale. A.b Nel settembre 1995 l'assicurata ha annunciato una ricaduta, che ha reso necessario, nel marzo 1996, un nuovo intervento chirurgico da parte del dott. U._. Con sentenza del 26 marzo 1998 il Tribunale federale delle assicurazioni ha in ultima istanza accertato l'obbligo per la Vodese di assumere le conseguenze della ricaduta. L'assicurata ha dovuto sottoporsi ad ulteriori interventi chirurgici, sempre da parte del dott. U._, nel 1997 e 2000, mentre nel 2002 è stata operata dal dott. B._. A.c In data 27 febbraio 2001, la Vodese ha annunciato all'assicurata di ritenere stabilizzate le sue condizioni di salute, motivo per cui poneva termine alle prestazioni di corta durata e procedeva all'esame di un eventuale diritto a prestazioni di lunga durata. Alla luce delle conclusioni di una perizia esperita dal dott. Z._, mediante decisione del 30 ottobre 2003, confermata il 9 luglio 2004 anche in seguito all'opposizione presentata dall'assicurata, rappresentata dall'avv. Tschudi, la Vodese ha dichiarato estinto, da tempo, il nesso di causalità naturale tra l'infortunio del 1990 e i disturbi successivi al 28 febbraio 2001, rinunciando tuttavia a pretendere la restituzione delle prestazioni indebitamente versate precedentemente a tale data. Alla luce delle conclusioni di una perizia esperita dal dott. Z._, mediante decisione del 30 ottobre 2003, confermata il 9 luglio 2004 anche in seguito all'opposizione presentata dall'assicurata, rappresentata dall'avv. Tschudi, la Vodese ha dichiarato estinto, da tempo, il nesso di causalità naturale tra l'infortunio del 1990 e i disturbi successivi al 28 febbraio 2001, rinunciando tuttavia a pretendere la restituzione delle prestazioni indebitamente versate precedentemente a tale data. B. P._, sempre patrocinata dall'avv. Tschudi, si è aggravata al Tribunale cantonale delle assicurazioni, il quale, per giudizio del 31 maggio 2006, dopo aver ordinato l'esperimento di una perizia giudiziaria a cura del dott. A._, ha, in accoglimento del ricorso, annullato la decisione su opposizione impugnata, accertando che i disturbi al ginocchio destro avevano continuato a rappresentare, anche dopo il 28 febbraio 2001, una conseguenza naturale e adeguata dell'infortunio intervenuto il 3 aprile 1990 e rinviando la causa all'assicuratrice affinché definisse il diritto a prestazioni dell'insorgente a decorrere dal 1° marzo 2001. B. P._, sempre patrocinata dall'avv. Tschudi, si è aggravata al Tribunale cantonale delle assicurazioni, il quale, per giudizio del 31 maggio 2006, dopo aver ordinato l'esperimento di una perizia giudiziaria a cura del dott. A._, ha, in accoglimento del ricorso, annullato la decisione su opposizione impugnata, accertando che i disturbi al ginocchio destro avevano continuato a rappresentare, anche dopo il 28 febbraio 2001, una conseguenza naturale e adeguata dell'infortunio intervenuto il 3 aprile 1990 e rinviando la causa all'assicuratrice affinché definisse il diritto a prestazioni dell'insorgente a decorrere dal 1° marzo 2001. C. La Vodese è insorta con un ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale delle assicurazioni (dal 1° gennaio 2007: Tribunale federale), al quale chiede l'annullamento della pronuncia cantonale e la conferma della decisione su opposizione 9 luglio 2004. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. L'assicurata, sempre assistita dall'avv. Tschudi, propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.