Fatti: A. Lamentando problemi psichici, C._, nata nel 1967, già attiva professionalmente nella gestione di un esercizio pubblico (di proprietà del marito), in data 15 novembre 2006 ha presentato una domanda di prestazioni dell'assicurazione invalidità. L'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) - esperiti gli accertamenti medici e preso atto del rapporto del Centro peritale per le assicurazioni sociali allestito il 18 ottobre 2007 - con decisione 24 giugno 2008 ha riconosciuto il diritto a una rendita intera, con un grado di invalidità dell'80%, a partire dal 1° agosto 2006. B. La GastroSocial Cassa pensione si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendo in particolare l'allestimento di una nuova perizia che tenesse conto non solo delle indicazioni della psichiatra curante, ma anche delle residue capacità lavorative dell'interessata, in considerazione del fatto che un disturbo depressivo recidivo di medio grado non condurrebbe ad un'inabilità totale ma tutt'al più del 50%. Con giudizio 13 luglio 2009 la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso di GastroSocial Cassa pensione contro la decisione dell'UAI. C. La GastroSocial Cassa pensione è insorta al Tribunale federale, al quale chiede l'annullamento del giudizio cantonale e l'allestimento di una nuova perizia psichiatrica che valuti, tra l'altro, la possibilità di misure di integrazione come pure la residua capacità lavorativa dell'assicurata. L'UAI e C._ hanno proposto la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.