Fatti: A. Il 22 luglio 2009, il Comune di Campione d'Italia ha presentato alla Direzione del circondario delle dogane di Lugano una domanda di immissione in libera pratica, in esenzione di tributi, di due autovetture destinate al servizio di Polizia, acquistate presso un garage di Lugano. In attesa di una decisione della Direzione di circondario, le due autovetture sono state immesse in libera pratica tramite imposizioni provvisorie del 14 agosto e del 24 agosto 2009. Con la prima imposizione, sono stati provvisoriamente riscossi fr. 2'486.85, composti da tassa per la stesura di documenti, tassa per l'autenticazione del rapporto di perizia, imposta sugli autoveicoli e IVA; con la seconda imposizione, sono stati provvisoriamente riscossi ulteriori fr. 2'336.55, sempre composti da tassa per la stesura di documenti, tassa d'autenticazione, imposta sugli autoveicoli e IVA. B. Con decisione del 26 aprile 2010, sottoscritta dal Capo della Sezione Tariffa e Regimi doganali, la Direzione di circondario di Lugano ha respinto la domanda di immissione in libera pratica, in esenzione di tributi, dei due autoveicoli in questione e quindi rilevato che - una volta cresciuta in giudicato la decisione medesima - l'Ufficio doganale competente avrebbe trasformato le imposizioni provvisorie in definitive. La decisione della Direzione di circondario è stata in seguito confermata dal Tribunale amministrativo federale, che si è espresso in merito con sentenza del 16 agosto 2012. Giungendo anch'esso alla conclusione che il territorio di Campione d'Italia fosse compreso nel territorio doganale svizzero, quest'ultimo ha dapprima rilevato come l'autorità doganale elvetica fosse effettivamente competente per assoggettare il Comune di Campione d'Italia alle leggi doganali svizzere, ha quindi negato gli estremi per il riconoscimento di un'esenzione dal pagamento dei dazi doganali, ha infine ammesso le condizioni per la riscossione di IVA e imposta sugli autoveicoli. C. Il Comune di Campione d'Italia ha impugnato il giudizio del Tribunale amministrativo federale con ricorso in materia di diritto pubblico del 9 ottobre 2012 davanti al Tribunale federale. Con tale atto, ne chiede l'annullamento e, in sua riforma, domanda che annullata sia anche la decisione della Direzione di circondario delle dogane del 26 aprile 2010. In corso di procedura, il Tribunale amministrativo federale ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre l'Amministrazione federale delle dogane, e per essa la Direzione generale delle dogane, ha chiesto che il ricorso sia respinto. Il 25 settembre 2013, il Presidente della II Corte di diritto pubblico del Tribunale federale ha assegnato all'Amministrazione federale delle dogane un termine per produrre la regolamentazione interna alla quale faceva riferimento nella sua risposta, in relazione ai diritti di firma.