Fatti: A. A._ e B._ sono comproprietari di un appezzamento di terreno di 151 m2, sito sul retro della loro casa di abitazione, attribuita alla zona di mantenimento dal piano regolatore di Lugano. Senza chiedere alcun permesso, agli inizi degli anni novanta, essi hanno costruito una sorta di gabbia (voliera), formata da una intelaiatura metallica di 47 m2, alta m 2,50, avvolta sia sui lati sia verso l'alto da una rete metallica a maglia. Su richiesta del Municipio, il 2 agosto 2004 i comproprietari hanno inoltrato un permesso in sanatoria, domanda avversata da alcuni vicini, tra i quali C._. Il 31 gennaio 2005 il Municipio ha negato il rilascio della licenza edilizia, decisione confermata in ultima istanza dal Tribunale cantonale amministrativo il 19 ottobre 2005. B. Il 22 febbraio 2006 il Municipio ha ordinato la demolizione del manufatto eretto abusivamente. Per quanto qui interessa, il 22 agosto 2006 il Governo cantonale, con la partecipazione di un Consigliere di Stato, ha annullato l'ordine di demolizione, poiché adottato senza il previo avviso del Dipartimento del territorio. Adito dal vicino e dal Comune, con giudizio del 18 ottobre 2006 il Tribunale cantonale amministrativo ha annullato la decisione governativa e rinviato gli atti al Governo, affinché, raccolto il preavviso dipartimentale, si pronunciasse sul ricorso. Il 30 gennaio 2007 l'Esecutivo cantonale, astenuti due dei suoi membri, ha confermato l'ordine di demolizione. Adito dai comproprietari, con sentenza del 25 novembre 2009 il Tribunale cantonale amministrativo ne ha accolto il ricorso, la decisione governativa non avendo indicato la ragione delle citate astensioni. In seguito, il Consiglio di Stato ha nuovamente confermato l'ordine di demolizione, spiegando che una Consigliera di Stato aveva firmato il preavviso dipartimentale, mentre il Consigliere di Stato si era astenuto a causa del grado di parentela (cugino di secondo grado) con la moglie del comproprietario. Il 5 ottobre 2010 la Corte cantonale ha respinto nel merito il ricorso dei comproprietari. C. Avverso questa sentenza A._ e B._ presentano un ricorso di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono, concesso al gravame effetto sospensivo, in via principale, di riformarla nel senso di annullare la decisione governativa del 30 marzo 2010 e di rinviare gli atti alla Corte cantonale per nuovo giudizio, in via subordinata, di sostituire l'ordine di demolizione con una sanzione pecuniaria. C._ dichiara di voler restare ai margini della procedura ricorsuale, il Municipio di Lugano propone di dichiarare inammissibile e subordinatamente di respingere il ricorso, il Governo non si esprime, mentre la Corte cantonale si riconferma nella propria decisione. Con decreto presidenziale del 9 dicembre 2010 al ricorso è stato conferito effetto sospensivo.