Fatti: A. B._ è proprietario di una casa d'abitazione che sorge sul fondo part. yyy di X._, situata nella zona del nucleo (NV) ed orientata da est ad ovest. A._ è proprietaria dell'edificio sulla particella confinante zzz, orientato da nord a sud, che sorge sul prolungamento verso sud della facciata est dell'abitazione di B._, con la quale forma un angolo di poco inferiore a 90°. Al primo piano della facciata sud dell'edificio di B._, che grazie a un diritto di sporgenza copre il locale a pianterreno della proprietà A._, v'è un balcone-ballatoio, che verso est si apre sulla falda ovest del tetto dello stabile della vicina, più basso del primo. B. Il 3 marzo 2010 A._ ha presentato al Municipio di X._ una domanda di costruzione per ristrutturare la sua casa, sopraelevandola di un piano, in modo da chiudere con la facciata ovest, il lato est del balcone-ballatoio dello stabile di B._. Questi si è opposto alla domanda, censurando in particolare il mancato rispetto delle norme sulle distanze. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, con decisione dell'8 novembre 2010 il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia, respingendo nel contempo l'opposizione del vicino. La risoluzione municipale è stata confermata l'11 gennaio 2012 dal Consiglio di Stato, adito su ricorso dall'opponente. C. Con sentenza dell'11 giugno 2013, il Tribunale cantonale amministrativo ha accolto un ricorso del vicino contro la decisione governativa, annullandola ed invalidando contestualmente la licenza edilizia rilasciata dal Municipio. La Corte cantonale ha ritenuto che il progetto comportava la chiusura di un'apertura esistente a livello del balcone-ballatoio dell'abitazione vicina e disattendeva quindi la norma comunale sulla distanza verso un edificio con aperture. D. Con sentenza 1C_662/2013 del 19 dicembre 2013 il Tribunale federale, ritenendo arbitrario l'accertamento relativo all'esistenza di una finestra sul lato est del balcone, ha accolto un ricorso di A._ contro la sentenza della Corte cantonale. Ha quindi annullato il giudizio impugnato e ha rinviato la causa all'ultima istanza cantonale per una nuova decisione. E. Ripronunciandosi sulla vertenza, con sentenza del 27 gennaio 2014 il Tribunale cantonale amministrativo ha nuovamente accolto il ricorso del vicino contro la decisione governativa, annullandola ed invalidando contestualmente la licenza edilizia rilasciata dal Municipio. F. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale per un nuovo giudizio. In via subordinata, chiede la conferma della decisione governativa e di quella municipale. La ricorrente fa valere la violazione dell'art. 61 LTF, nonché la violazione del divieto dell'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nell'applicazione del diritto comunale. G. La Corte cantonale si conferma nella sua sentenza. Il Consiglio di Stato e il Municipio di X._ si rimettono al giudizio del Tribunale federale. L'opponente chiede di respingere il gravame e di confermare la decisione impugnata.