Fatti: A. Il dott. S._, cittadino svizzero nato nel 1932, domiciliato a B._, è stato, durante gli anni dal 1963 al 1997, funzionario presso il Consiglio d'Europa a Strasburgo e, in quanto tale, assicurato contro le malattie, unitamente alla moglie, presso la Van Breda & Co. International di Anversa. L'8 ottobre 2001, l'interessato ha presentato all'Ufficio assicurazione malattia del Cantone Ticino un'istanza volta all'esonero dall'obbligo assicurativo in Svizzera, facendo valere ch'egli, nella sua qualità di pensionato del Consiglio d'Europa, sarebbe rimasto sempre assicurato presso la Van Breda International. L'Ufficio cantonale ha respinto, per decisione 31 ottobre 2001, la domanda di esonero per carenza dei presupposti legali e ha fissato l'inizio teorico dell'obbligo assicurativo al 1° luglio 1999, imponendo ai coniugi S._ di iscriversi presso un assicuratore riconosciuto e autorizzato all'esercizio entro il termine di 30 giorni. Statuendo su reclamo il 7 dicembre 2001, l'amministrazione ha confermato la propria precedente decisione. B. Per giudizio 7 maggio 2002, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il gravame interposto dall'interessato, tramite l'avv. Gianora, nel senso che ha tutelato il provvedimento amministrativo impugnato, rilevando anch'esso che non erano adempiute, in concreto, le condizioni di esonero dall'obbligo di assicurazione. C. Sempre assistito dall'avv. Gianora, S._ interpone al Tribunale federale delle assicurazioni un ricorso di diritto amministrativo con cui ribadisce, unitamente alla moglie, la richiesta di esonero dall'obbligo di assicurazione delle cure medico-sanitarie ai sensi del diritto svizzero. L'amministrazione e l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali, divisione malattia e infortuni, dal 1° gennaio 2004 integrata nell'Ufficio federale della sanità pubblica, hanno rinunciato a formulare delle osservazioni in merito al gravame. D. Interpellati per una presa di posizione in una fase successiva della procedura, il Dipartimento federale degli affari esteri, per il tramite della Direzione delle risorse e della rete esterna, e l'Ufficio federale della sanità pubblica hanno espresso la propria opinione sul tema in discussione.