Fatti: A. P._, nato nel 1946, di formazione falegname e dal 1973 attivo in qualità di restauratore indipendente, il 21 aprile 2004 ha presentato una richiesta di prestazioni AI per adulti a dipendenza di un'inabilità addebitabile a osteocondrosi, cervicalgia cronica e discopatia degenerativa. L'amministrazione ha affidato al dott. K._, specialista in medicina interna e in malattie reumatiche, il compito di esperire una valutazione specialistica. Con referto del 25 ottobre 2004, il perito, posta la diagnosi di sindrome cervico-vertebrale/spondilogena cronica a destra più che a sinistra su discrete alterazioni degenerative a livello C5-C6 e C6-C7 con stenosi foraminali e stato dopo importante trauma distorsivo della colonna cervicale (19 dicembre 2002), ha da un lato attestato un'inabilità del 50% nell'attività abituale, mentre dall'altro ha osservato che "sotto l'aspetto puramente teorico" l'assicurato era da ritenersi in grado di svolgere lavori fisicamente leggeri per la colonna vertebrale senza alcuna particolare limitazione, a patto che si fosse trattato di lavori che permettessero di cambiare frequentemente la posizione, che non richiedessero movimenti ripetuti di estensione/flessione della colonna cervicale e della colonna lombare e infine che non implicassero di dover ripetutamente sollevare pesi superiori ai 15 kg. A ciò ha aggiunto che l'attività ideale sarebbe stata quella d'insegnante presso una scuola di restauro; altri lavori non gli sembravano invece esigibili, soprattutto in considerazione dell'età dell'interessato e del fatto che egli già possedeva un'attività ben avviata nel suo atelier di restauro. Mediante decisione del 28 giugno 2005, sostanzialmente confermata il 19 dicembre seguente anche in seguito all'opposizione interposta dall'assicurato, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha rifiutato l'assegnazione di una rendita per carenza di invalidità di grado pensionabile. Tenuto conto delle conclusioni del perito medico come pure del rapporto finale 23 giugno 2005 del caposervizio Integrazione e Collocamento, per il quale sarebbe risultata esigibile pressoché ogni attività nei settori secondario e terziario, l'amministrazione ha ritenuto una piena capacità lavorativa in attività sostitutive leggere e ha accertato un grado d'invalidità nullo, stante un reddito senza invalidità di fr. 46'890.- e un reddito da invalido di fr. 48'702 (anno di riferimento: 2002). In considerazione delle particolarità personali (età) e professionali (ultra trentennale attività nella professione appresa) del caso, l'UAI ha nondimeno offerto all'assicurato un aiuto al collocamento. B. Patrocinato dall'avv. Felice Dafond, P._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, al quale ha chiesto il riconoscimento di almeno una mezza rendita d'invalidità. Per il resto ha domandato di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. Con pronuncia del 9 gennaio 2007, la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha accolto il ricorso e, annullando la decisione su opposizione del 19 dicembre 2005, ha concesso all'interessato una mezza rendita d'invalidità a far tempo dal 1° dicembre 2003, oltre ad assegnargli fr. 1'500.- a titolo di ripetibili. In particolare, ritenendo le possibilità di impiego dell'assicurato nei settori di attività indicati dal consulente in integrazione professionale del tutto teoriche ed irrealistiche, considerate anche le difficoltà di intraprendere una nuova attività dopo l'esercizio ultra trentennale della professione di restauratore e l'assenza di una formazione complementare, il primo giudice ha ritenuto che la capacità residua dell'assicurato non risultava economicamente sfruttabile in un mercato equilibrato del lavoro. C. L'UAI ha interposto ricorso al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio cantonale e di ristabilire la decisione su opposizione. Sostanzialmente, l'Ufficio ricorrente rimprovera al dott. K._ e al primo giudice, che di fatto ne ha ripreso le conclusioni, di essersi sostituiti al consulente in integrazione nella valutazione (extra medica) dell'esigibilità di un'attività sostitutiva leggera. A sostegno della fondatezza della propria tesi produce una nuova dichiarazione del consulente intervenuto. Sempre rappresentato dall'avv. Dafond, P._ propone la reiezione del gravame e chiede di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. Egli segnala pure di essere rimasto vittima, il 31 maggio 2006, di un grave infortunio a seguito del quale ha segnatamente riportato una tetraplegia incompleta sub Th9 su frattura lussazione Th9/10, un trauma toracico con fratture costali multiple, una frattura instabile della scapola destra, una disgregazione del sistema nervoso autonomo e una sindrome del solco ulnare a destra (rapporto di uscita 21 settembre 2006 del Centro X._). Per parte sua, l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è determinato.