Fatti: A. A.a In data 14 agosto 2006 R._, nata nel 1947, attiva quale collaboratrice domestica e, come tale, assicurata d'obbligo contro gli infortuni presso la Axa Assicurazioni SA, Winterthur (in seguito: Axa), ha riportato la frattura del corpo vertebrale L2, la quale è stata stabilizzata chirurgicamente. L'assicuratore infortuni ha assunto il caso a titolo di lesione parificata ai postumi di infortunio e corrisposto le prestazioni previste dalla legge. A.b Con decisione del 30 aprile 2010, confermata in data 11 febbraio 2011 in seguito all'"opposizione" inoltrata dall'assicurata, rappresentata dall'avv. Aldo Foglia, l'Axa ha dichiarato estinto il diritto a prestazioni di corta durata dal 1° novembre 2009, riconosciuto un'indennità per menomazione dell'integrità del 10% e negato un diritto a rendita, in quanto il grado di invalidità era praticamente nullo. B. Adito dall'interessata, sempre rappresentata dall'avv. Foglia, il Presidente del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, con giudizio del 4 maggio 2011, ha accolto il gravame, annullato la decisione su opposizione e condannato la Axa a riconoscere a R._ una rendita di invalidità corrispondente ad un'incapacità lucrativa totale dal 1° novembre 2009. C. C.a Patrocinata dall'avv. Fabio Taborelli, la Axa si è aggravata al Tribunale federale al quale, protestate spese e ripetibili, chiede, in via preliminare, l'attribuzione dell'effetto sospensivo al ricorso e, nel merito, l'accoglimento del gravame, con conseguente annullamento della pronuncia 4 maggio 2011 e conferma della decisione su opposizione dell'11 febbraio 2011. Dei motivi si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto. Chiamati a pronunciarsi sul ricorso, R._ ne propone la reiezione, mentre non si oppone alla richiesta di attribuzione dell'effetto sospensivo al gravame. L'Ufficio federale della sanità pubblica e il Tribunale cantonale delle assicurazioni hanno per contro rinunciato a determinarsi. C.b Con decreto del 31 agosto 2011 il giudice incaricato dell'istruzione ha concesso l'effetto sospensivo al ricorso.