Fatti: A. A.a. Mediante decisione del 12 novembre 2009, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha posto A._, nato nel 1961 e da ultimo attivo in qualità di autotrasportatore, al beneficio di una rendita intera d'invalidità dal 1° gennaio 2009. A.b. In seguito a una procedura di revisione avviata nel dicembre 2010, l'UAI, preso atto delle conclusioni di una perizia pluridisciplinare (di natura psichiatrica, reumatologica e oncologica) affidata al Servizio X._ e attestante un miglioramento dello stato di salute, ha soppresso con decisione dell'8 febbraio 2012 la rendita d'invalidità con effetto dal primo giorno del secondo mese che seguiva la notifica del provvedimento, stabilendo un grado d'incapacità di guadagno del 38% e togliendo l'effetto sospensivo a un eventuale ricorso. Adito su gravame dell'assicurato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha rinviato gli atti all'amministrazione per complemento istruttorio, e in particolare per chiarire gli effetti invalidanti della patologia oncologica (adenocarcinoma gastrico; giudizio del 21 agosto 2012). A.c. Esperiti gli accertamenti richiesti, l'UAI ha confermato la soppressione della rendita (per il 31 agosto 2012) con decisione del 21 gennaio 2013, preavvisata il 14 novembre 2012. Accertata una capacità lavorativa nulla come autista di autocarri e come manovale edile e un'abilità del 75% (presenza durante tutto il giorno ma con rendimento ridotto) in un'attività rispettosa di alcuni limiti funzionali rilevati dalla perizia Servizio X._, l'UAI ha determinato un grado d'invalidità del 38%, insufficiente a garantire il mantenimento di una rendita. Ha calcolato l'incapacità di guadagno sulla base di un reddito senza invalidità di fr. 64'597.- (anno di riferimento: 2010) e di un reddito da invalido di fr. 40'294.-, ottenuto dopo avere applicato una deduzione del 25% per tenere conto del grado di incapacità lavorativa residua e del 13% (8% per attività leggera e 5% per l'età) per le particolarità personali e professionali del caso. B. A._ si è nuovamente aggravato al Tribunale cantonale delle assicurazioni al quale ha chiesto di garantirgli il mantenimento del diritto alla rendita intera o quanto meno di ordinare la "revisione" della perizia plurisciplinare e dei fattori di riduzione. Ha inoltre chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Con pronuncia del 7 agosto 2013 la Corte cantonale ha parzialmente accolto il ricorso nel senso che ha riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dal mese di aprile 2012 (dispositivo, cifra 1). Ha inoltre accolto la domanda di assistenza giudiziaria e di gratuito patrocinio nella misura in cui non era diventata priva di oggetto in seguito all'accoglimento parziale del gravame (dispositivo, cifra 2). Ha infine ripartito le spese giudiziarie (fr. 200.- a carico dell'UAI, fr. 300.- a carico dell'assicurato, ma provvisoriamente assunte dallo Stato) assegnando all'interessato anche fr. 1'000.- a titolo di ripetibili (dispositivo, cifra 3). C. L'UAI ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, previa concessione dell'effetto sospensivo, chiede di annullare il giudizio cantonale relativamente ai punti 1 e 2 (recte: 3, non opponendosi l'amministrazione alla concessione, in sede cantonale, dell'assistenza giudiziaria gratuita bensì contestando la decisione sulle spese e sulle ripetibili) del dispositivo e di confermare la decisione amministrativa del 21 gennaio 2013. A._ propone la reiezione del ricorso, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.