Fatti: A. A.a. A._ ha lavorato per lo Stato del Cantone Ticino in qualità di economista presso l'Ufficio circondariale di tassazione di B._ fino al 31 dicembre 1997, data per la quale è stata licenziata a causa di insanabili dissidi con il capoufficio e i colleghi di lavoro. Nel corso del 2003 lo Stato l'ha riassunta presso la X._ dove ha operato dapprima come ispettrice del tirocinio (non docente) e in seguito, a partire dall'anno scolastico 2005-2006, come ispettrice interna con lo statuto di docente senza oneri di insegnamento. Tra le parti sono in seguito sorte alcune controversie intorno alla qualifica del rapporto di lavoro e alla classificazione salariale che sono sfociate in alcuni procedimenti giudiziari. A.b. Già a partire dal 2006 il comportamento dell'interessata è risaltato per l'utilizzo, ripetuto, di toni sconvenienti e aggressivi nei confronti di colleghi e superiori. Tali atteggiamenti inadeguati sono stati in particolare oggetto di un richiamo, il 14 luglio 2010, da parte del direttore della X._ (C._) e di un ammonimento, il 20 settembre 2011, da parte del Consiglio di Stato del Cantone Ticino. Nel primo caso, in seguito a un battibecco sorto con uno stagista (D._) e una segretaria (E._) in relazione alla distribuzione della posta, A._ è stata richiamata a volersi esprimere in futuro con maggiore tatto e cortesia nei confronti del personale e della X._ stessa e a evitare frasi inutilmente offensive e poco edificanti (del genere: " metodi da scuoletta militare che vigono in questa ridicola X._ piena di docenti che continuano a giocare a fare l'azienda "; " metodi da terzo Reich "; "O._ si è messo a piangere come un bambino [...]. Che uomo! [...] va secondo me seguito da uno psicologo o da un formatore più in gamba"). Nel secondo caso, il Consiglio di Stato ha aperto il 31 maggio 2011 un'inchiesta disciplinare perché l'interessata, rivolgendosi al direttore della X._ con toni inadeguati (" Io di chiarimenti su quisiquilie non ne faccio davvero più [...]. Non presenzierò quindi a nessun chiarimento"; "non desidero più avere convocazioni su temi inutili [...] "), si era rifiutata di partecipare a un incontro organizzato per chiarire i fatti all'origine di un diverbio sorto con un'altra collaboratrice (F._) e volto a ristabilire un clima di lavoro sereno e costruttivo per il buon funzionamento del servizio. A.c. Persistendo A._ in questi suoi atteggiamenti inadeguati anche dopo i predetti precedenti, il direttore della X._ ha redatto un rapporto all'attenzione della Sezione amministrativa del Dipartimento dell'educazione, della cultura e dello sport (DECS) nel quale ha elencato, documentandoli, gli episodi negativi di cui ella si era resa protagonista nel corso degli anni e che a suo giudizio pregiudicavano la continuazione del rapporto di lavoro in seno alla X._ nella stessa o in un'altra funzione. Il rapporto 14 novembre 2011 rilevava, nelle sue conclusioni, che il dissidio e le incomprensioni venutisi a creare tra l'interessata e i suoi colleghi e superiori non erano da qualificare quali occasionali e semplici difficoltà di comunicazione, bensì erano profondi ed evidenti e costituivano un ostacolo al buon funzionamento del servizio e al clima di lavoro. A.d. Preso atto del contenuto di tale rapporto, il Consiglio di Stato ha prospettato a A._ la disdetta del rapporto di lavoro per giustificati motivi e l'ha esonerata con effetto immediato da ogni obbligo lavorativo (risoluzione del 13 dicembre 2011). Il Governo cantonale le ha rimproverato una mancanza di correttezza, tatto e cortesia nelle relazioni con superiori e colleghi che comprometteva il buon funzionamento del servizio e rendeva inopportuna una sua permanenza all'interno della X._. Fallito il tentativo di mediazione dinanzi alla Commissione conciliativa per il personale dello Stato, l'Esecutivo ticinese ha sciolto per disdetta il rapporto d'impiego con effetto al 31 maggio 2012 (decisione del 31 gennaio 2012). B. A._ si è aggravata al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino al quale ha chiesto di accertare l'illegittimità del provvedimento governativo e di rinviare gli atti al Consiglio di Stato per stabilirne il ricollocamento, alle medesime condizioni, in altra funzione. In via subordinata, sempre previo accertamento dell'illegittimità della decisione, ha postulato l'assegnazione di un'indennità di fr. 40'000.- oltre a sei mensilità (fr. 43'800.-) per disdetta abusiva. Rilevata l'improponibilità della domanda principale di reintegrazione, il Tribunale cantonale amministrativo ha respinto la richiesta subordinata, confermando l'operato del Governo (pronuncia del 30 dicembre 2013). C. L'interessata ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale domanda, in via principale, di annullare il giudizio cantonale e di rinviare gli atti all'istanza precedente per complemento istruttorio e nuova pronuncia. In via subordinata ripropone di accertare l'illegittimità della decisione e di riconoscerle un'indennità di fr. 40'000.- oltre a fr. 43'800.- per disdetta abusiva. Il Consiglio di Stato propone di respingere il ricorso, mentre la Corte cantonale si riconferma nella sua decisione.