Fatti: Fatti: A. F._, nato nel 1959, di professione economista, è stato alle dipendenze, in qualità di direttore, della P._ SA dal 1° novembre 2002 al 31 luglio 2003, data per la quale gli è stato disdetto il rapporto di lavoro per forte riduzione dell'attività e sua probabile liquidazione. Dal mese di novembre 2002 al 25 settembre 2003 egli è stato iscritto, in tale funzione e con diritto di firma individuale, a registro di commercio. L'8 agosto 2003 l'interessato si è annunciato al collocamento alla ricerca di un impiego a tempo pieno come direttore di azienda o contabile. A seguito della cessazione dell'attività da parte della predetta società, F._ è stato da essa riassunto il 20 agosto 2003 per liquidare le ultime pratiche amministrative. In data 27 agosto 2003 l'Ufficio regionale di collocamento (URC) di Lugano ha sottoposto il caso alla Sezione del lavoro del Cantone Ticino, Ufficio giuridico, esprimendo dubbi a proposito dell'idoneità al collocamento dell'istante dal momento che quest'ultimo, nonostante avesse in precedenza negato di essere "membro di società", risultava essere sempre iscritto quale direttore della P._ SA oltre che membro del consiglio di amministrazione con firma collettiva a due di una certa G._ SA nonché amministratore unico di una T._ SA, entrambe con sedi a L._. Esperiti i propri accertamenti, la Sezione cantonale del lavoro, mediante decisione del 31 ottobre 2003, ha dichiarato l'interessato idoneo al collocamento a far tempo dall'8 agosto 2003 "considerata la disponibilità dichiarata e non essendoci mai stati interessi preponderanti nelle società sopraccitate". Il provvedimento è stato sostanzialmente confermato l'11 marzo 2004 anche in seguito all'opposizione interposta dal Segretariato di Stato dell'economia (seco), il quale, oltre a contestare la competenza del servizio cantonale ad esprimersi su una questione - a sua mente - inerente al diritto alle indennità di disoccupazione anziché all'idoneità al collocamento, osservava che l'assicurato poteva pretendere le indennità di disoccupazione solo dal 26 settembre 2003, ossia ad avvenuto stralcio dal registro di commercio dell'iscrizione quale direttore di P._ SA. Dal 29 febbraio 2004 F._ non è più iscritto alla disoccupazione, avendo trovato un nuovo impiego dal 1° marzo 2004. Dal 29 febbraio 2004 F._ non è più iscritto alla disoccupazione, avendo trovato un nuovo impiego dal 1° marzo 2004. B. Avverso la decisione amministrativa il seco si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, dopo avere riconosciuto la competenza della Sezione del lavoro a statuire sulla fattispecie, ha respinto il gravame per pronuncia del 13 dicembre 2004. B. Avverso la decisione amministrativa il seco si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, dopo avere riconosciuto la competenza della Sezione del lavoro a statuire sulla fattispecie, ha respinto il gravame per pronuncia del 13 dicembre 2004. C. Il seco interpone ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale delle assicurazioni, al quale domanda, in accoglimento del gravame, l'annullamento del giudizio di prime cure e la negazione del diritto alle indennità disoccupazione dall'8 agosto 2003 al 25 settembre 2003. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. La Sezione cantonale del lavoro ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre F._, interpellato in qualità di cointeressato, protestate spese e ripetibili, ha proposto con il patrocinio dell'avv. Gianfranco Barone l'integrale reiezione del ricorso.