Fatti: A. Dopo il ritiro di una precedente domanda di costruzione nell'ambito di una procedura ricorsuale in sede cantonale che non occorre qui evocare, A.A._, B.A._ e C.A._ hanno presentato il 3 aprile 2006 al Municipio di Tegna una domanda di costruzione per la riattazione e l'ampliamento di un complesso di vecchi edifici sui fondi part. n. 146, 149 e 466 di loro proprietà e situati nella zona del nucleo di Tegna. L'intervento è destinato a riordinare dal profilo formale e strutturale le costruzioni esistenti, in cui si trova in particolare un ristorante ubicato al piano terreno, e comporterebbe una sopraelevazione del filo di gronda in alcune parti fino a 3 m. L'innalzamento consentirebbe di ricavare nel sottotetto un ulteriore piano abitabile. D._, proprietario della particella confinante n. 148, si è opposto alla domanda, contestando in particolare l'entità della sopraelevazione. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 30 agosto 2006 il Municipio di Tegna ha rilasciato la licenza, respingendo nel contempo l'opposizione del vicino. Questa decisione è stata confermata il 21 agosto 2007 dal Consiglio di Stato del Cantone Ticino su ricorso dell'opponente. B. Con sentenza del 20 novembre 2007 il Tribunale cantonale amministrativo ha accolto il ricorso dell'opponente annullando sia la risoluzione governativa sia la licenza edilizia. La Corte cantonale ha ritenuto che l'intervento edilizio oltrepassava chiaramente gli estremi di un innalzamento limitato e proporzionato alle reali esigenze degli edifici giusta l'art. 29 cpv. 3 delle norme di attuazione del piano regolatore comunale (NAPR). Ha quindi rilevato che il Municipio aveva ecceduto il margine di apprezzamento che gli spettava nell'interpretazione di questa disposizione del diritto comunale autonomo. C. A.A._, B.A._ e C.A._ impugnano con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale questo giudizio, chiedendo di annullarlo e di dichiarare inammissibile, siccome abusivo, il ricorso dell'opponente alla Corte cantonale. In via subordinata, chiedono di confermare il rilascio della licenza edilizia. I ricorrenti fanno valere la violazione del diritto di essere sentito, del principio della buona fede e del divieto dell'arbitrio. D. La Corte cantonale si riconferma nella sua sentenza, ribadendo che l'intervento in discussione travalica i limiti dell'ordinamento comunale. Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale. Il Municipio di Tegna chiede di accogliere il ricorso, mentre l'opponente ne postula la reiezione. I ricorrenti si sono espressi sulla risposta dell'opponente.