Fatti: A. B._, nata nel 1951, coniugata, dopo avere perso il lavoro di badante fino allora esercitato presso X._, si è iscritta alla disoccupazione chiedendo l'erogazione delle relative indennità a partire dal 1° marzo 2012. Con decisione del 28 giugno 2012, sostanzialmente confermata il 23 novembre successivo anche in seguito all'opposizione dell'interessata, la Sezione del lavoro del Cantone Ticino ha rifiutato il diritto alle chieste prestazioni per il motivo che l'assicurata - la quale aveva nel frattempo ripreso un'attività lavorativa a partire dal 16 aprile 2012 - non poteva essere ritenuta residente in Svizzera durante il periodo dal 1° marzo al 15 aprile 2012. B. L'assicurata si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino il quale, per pronuncia del 3 ottobre 2013, ha respinto il ricorso. C. L'assicurata ha presentato ricorso al Tribunale federale al quale chiede, in accoglimento del gravame, l'accertamento del suo diritto all'indennità di disoccupazione per il periodo dal 1° marzo al 15 aprile 2012, oltre al riconoscimento di interessi. Postula inoltre l'assegnazione di congrue ripetibili per le consulenze legali ricevute e l'esonero dal pagamento di eventuali spese giudiziarie. La Sezione cantonale del lavoro propone la reiezione del ricorso, mentre la Segreteria di Stato dell'economia ha rinunciato a determinarsi.