Fatti: A. Il 25 ottobre 2012 il Pretore di Lugano ha rigettato in via provvisoria l'opposizione che A._ aveva dichiarato contro il precetto esecutivo xxx dell'Ufficio di Lugano fattogli notificare per fr. 15'000.-- dalla B._SA; il precetto indicava come titolo del credito "accettazione di debito del 20 giugno 2012, C._Sagl". Il 19 novembre 2012 A._ ha promosso un'azione di disconoscimento del debito davanti al medesimo Pretore; in seguito, all'udienza di discussione, ha presentato un'azione di rendiconto in via riconvenzionale. La B._SA si è opposta a entrambe le azioni. Il Pretore ha respinto l'azione di disconoscimento del debito e dichiarato inammissibile quella riconvenzionale con giudizio del 30 aprile 2013. Il successivo appello dell'attore è stato respinto dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese con sentenza del 22 luglio 2013. B. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso sussidiario in materia costituzionale del 31 luglio 2013 con il quale chiede, oltre alla concessione dell'effetto sospensivo, l'annullamento della sentenza cantonale e l'accoglimento dell'azione di disconoscimento del debito. La convenuta propone di respingere il ricorso con un breve scritto del 7 agosto 2013. L'autorità cantonale non ha preso posizione. L'effetto sospensivo è stato disposto in via superprovvisionale.