Fatti: A. Il 17 luglio 2009, la ditta A._ SA ha chiesto alla Direzione del circondario delle dogane di Lugano un'autorizzazione per l'importazione, nel regime d'ammissione temporanea dall'Italia, di attrezzature necessarie all'allestimento di uno spettacolo pirotecnico che si sarebbe svolto il 25 luglio 2009 a Campione d'Italia. Il 20 luglio successivo, l'Azienda Turistica di Campione d'Italia - quale ente strumentale, con personalità giuridica di diritto pubblico, del Comune di Campione d'Italia - ha inoltre domandato alla Direzione di circondario delle dogane l'immissione in libera pratica, in esenzione da IVA, del materiale pirotecnico stesso (fuochi d'artificio). Con scritto del 21 luglio 2009, la Direzione di circondario delle dogane ha comunicato alla A._ SA e all'Azienda Turistica di Campione d'Italia che le attrezzature necessarie per lo spettacolo pirotecnico potevano essere ammesse nel regime di immissione temporanea, mentre la domanda di immissione in libera pratica, in esenzione di tributi, del materiale pirotecnico doveva essere oggetto di ulteriore esame e che, in attesa di una decisione in merito, questi beni potevano essere imposti provvisoriamente. Il 22 luglio 2009, l'Ufficio doganale di Chiasso-Strada ha proceduto ad un'imposizione provvisoria dei fuochi d'artificio, poi sostituita da un'imposizione provvisoria ulteriore, attraverso la quale ha percepito fr. 414.-- (dazio) e fr. 3'383.10 (IVA). B. Con decisione del 24 febbraio 2010, sottoscritta dal Capo della Sezione Tariffa e Regimi doganali, la Direzione di circondario di Lugano ha respinto la domanda di immissione in libera pratica, in esenzione di tributi, del materiale pirotecnico in questione e rilevato che - una volta cresciuta in giudicato la decisione medesima - l'Ufficio doganale competente avrebbe trasformato l'imposizione provvisoria in definitiva. La decisione della Direzione di circondario è stata in seguito confermata dal Tribunale amministrativo federale, che si è espresso in merito con sentenza del 16 agosto 2012. Giungendo anch'esso alla conclusione che il territorio di Campione d'Italia fosse compreso nel territorio doganale svizzero, quest'ultimo ha dapprima rilevato come l'autorità doganale elvetica fosse effettivamente competente per assoggettare l'Azienda turistica di Campione d'Italia alle leggi doganali svizzere, ha quindi negato gli estremi per riconoscere un'esenzione dal pagamento dei dazi doganali e infine ammesso le condizioni per la riscossione dell'IVA. C. L'Azienda turistica di Campione d'Italia ha impugnato il giudizio del Tribunale amministrativo federale con ricorso in materia di diritto pubblico del 9 ottobre 2012 davanti al Tribunale federale. Con tale atto, ne chiede l'annullamento e, in sua riforma, domanda che annullata sia anche la decisione della Direzione di circondario delle dogane del 24 febbraio 2010. In corso di procedura, il Tribunale amministrativo federale ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre l'Amministrazione federale delle dogane, e per essa la Direzione generale delle dogane, ha chiesto che il ricorso sia respinto. Il 25 settembre 2013, il Presidente della II Corte di diritto pubblico del Tribunale federale ha assegnato all'Amministrazione federale delle dogane un termine per produrre la regolamentazione interna alla quale faceva riferimento nella sua risposta, in relazione ai diritti di firma.