Fatti: A. Il 22 ottobre 2003 i coniugi A.A._ e B.A._ hanno aperto un conto/deposito presso la banca X._. Nella medesima occasione hanno pure chiesto e ottenuto di poter usufruire dei servizi "Direct Net", che permettono ai clienti di questa banca di effettuare pagamenti e operazioni su titoli direttamente dal loro computer privato. B. La presente controversia trae appunto origine da un'operazione in borsa avvenuta il 13 aprile 2004. B.a Quella mattina, alle 10.54, A.A._ ha ordinato alla banca X._ - tramite l'accesso Direct Net - di acquistare presso la borsa svizzera (SWX Swiss Exchange; di seguito SWX) 30'000 warrants, emessi dalla Banca Cantonale Vodese a un prezzo unitario di fr. 0.30. La banca X._ ha dato seguito all'ordine e ha addebitato fr. 9'074.90 sul conto A._.