Fatti: Fatti: A. A.a S._, cittadina italiana, nata nel 1954, residente in Italia, ha lavorato come frontaliera in Svizzera dal 1974 al 1977 e dal 1983 al 2001, in qualità di operaia e ausiliaria di pulizia, presso la ditta T._ SA solvendo regolari contributi all'AVS/AI. Con effetto al 31 gennaio 2002 il datore di lavoro ha disdetto il rapporto di lavoro in seguito a ristrutturazione aziendale, mentre l'interessata ha cessato di lavorare a partire dal 23 novembre 2001 per motivi di salute. In data 11 ottobre 2002 quest'ultima, accusando segnatamente episodi vertiginosi in stato ipertensivo nonché acufeni e cervicalgie, ha presentato una domanda di rendita AI svizzera, che l'Ufficio AI del Cantone Ticino ha respinto con decisione del 22 dicembre 2003, poiché faceva difetto il presupposto dell'anno di carenza legale. A.b Con giudizio del 13 aprile 2004 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, alla luce delle risultanze della perizia medica eseguita, su ordine dell'amministrazione, dal dottor V._, specialista in psichiatria, ha condannato l'assicuratore malattia, Helsana Assicurazioni SA, al versamento di indennità per perdita di guadagno intere dal 1° settembre 2002 al 31 dicembre 2002 e a indennità ridotte al 50% dal 1° gennaio 2003. Preso atto della pronunzia cantonale e dell'opposizione nel frattempo presentata dal patronato INAS per conto dell'assicurata, l'Ufficio AI cantonale in data 4 agosto 2004 ha annullato la decisione del 22 dicembre 2003. A.c Con provvedimento del 3 gennaio 2005, confermato il 29 agosto successivo anche in seguito all'opposizione dell'interessata, l'Ufficio AI per gli assicurati residenti all'estero (UAI), dopo aver fatto tra l'altro eseguire alcuni accertamenti di natura economica dalla consulente in integrazione professionale, ha assegnato a S._ una rendita intera di invalidità dal 1° novembre 2002 al 31 marzo 2003, negando un diritto a prestazioni dopo tale data. A.c Con provvedimento del 3 gennaio 2005, confermato il 29 agosto successivo anche in seguito all'opposizione dell'interessata, l'Ufficio AI per gli assicurati residenti all'estero (UAI), dopo aver fatto tra l'altro eseguire alcuni accertamenti di natura economica dalla consulente in integrazione professionale, ha assegnato a S._ una rendita intera di invalidità dal 1° novembre 2002 al 31 marzo 2003, negando un diritto a prestazioni dopo tale data. B. Sempre assistita dal Patronato INAS, l'assicurata si è aggravata alla Commissione federale di ricorso in materia d'AVS/AI per le persone residenti all'estero (dal 1° gennaio 2007: Tribunale amministrativo federale), chiedendo l'ulteriore concessione di una mezza rendita di invalidità. Per giudizio del 19 maggio 2006 i giudici commissionali hanno accolto l'impugnativa e attribuito all'interessata anche una mezza rendita di invalidità dal 1° aprile 2003. Per giudizio del 19 maggio 2006 i giudici commissionali hanno accolto l'impugnativa e attribuito all'interessata anche una mezza rendita di invalidità dal 1° aprile 2003. C. L'UAI ha interposto ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale delle assicurazioni (dal 1° gennaio 2007: Tribunale federale), al quale chiede di annullare il giudizio impugnato e di confermare la decisione su opposizione del 29 agosto 2005. Delle motivazioni si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. Sempre tramite il Patronato INAS, l'assicurata propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è espresso.