Fatti: A. In data 13 settembre 1997 D._, nato l'11 agosto 1942, all'epoca dei fatti alle dipendenze dell'Hotel X._ in qualità di cameriere, e in quanto tale assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso la SWICA Assicurazioni SA, è rimasto vittima di un incidente della circolazione, a seguito del quale ha in particolare riportato un "colpo di frusta" cervicale. Dopo avere assunto il caso e aver versato le prestazioni di legge, la SWICA, mediante decisione del 7 dicembre 2005, ha comunicato la chiusura del medesimo e ha riconosciuto all'assicurato una rendita complementare di invalidità, sulla base di un grado di inabilità lavorativa del 70%, nonché una indennità per menomazione dell'integrità del 45% con effetto dal 1° agosto 2001. Nell'ambito di una procedura di revisione, la SWICA ha soppresso, per provvedimento del 21 luglio 2009, il diritto alla rendita con effetto dal 1° luglio precedente, ritenendo che l'assicurato aveva recuperato la piena capacità lavorativa a partire da tale data. Con decisione su opposizione del 13 aprile 2011 l'assicuratore infortuni ha confermato la propria posizione. B. Patrocinato dall'avv. Sergio Sciuchetti, D._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, statuendo per giudice unico, ha accolto il ricorso, annullando la decisione del 13 aprile 2011 e ripristinando, dal 1° luglio 2009, il diritto alla rendita complementare di invalidità. Nel contempo ha pure fatto obbligo all'assicuratore infortuni di versare all'insorgente fr. 1'800.- a titolo di ripetibili (pronuncia dell'8 settembre 2011). Sopprimendo la rendita spettante all'assicurato, ha concluso il giudice cantonale, la resistente avrebbe violato l'art. 22 LAINF, giusta il quale la prestazione stessa non può più essere riveduta dal mese in cui gli uomini compiono 65 anni. C. Patrocinata dall'avv. Bruno Notari, la SWICA ha presentato un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede di annullare il giudizio cantonale e di rinviare gli atti alla precedente istanza perché abbia ad istruire la pratica ed a pronunciarsi nuovamente sul gravame interposto dall'assicurato avverso la decisione del 13 aprile 2011. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. Sempre assistito dall'avv. Sciuchetti, l'assicurato, protestate spese e ripetibili, propone la reiezione del gravame. Non sono state chieste osservazioni all'Ufficio federale della sanità pubblica.