Fatti: A. A.a R._, nata nel 1965, di formazione impiegata di commercio e gerente, in data 24 giugno 2002 ha presentato istanza all'Ufficio assicurazione invalidità del Cantone Ticino (UAI) tendente all'ottenimento di prestazioni d'invalidità per adulti, in quanto affetta da sindrome ansioso/depressiva, cervicalgie, lombalgie croniche comuni e cefalee. Alla luce della perizia pluridisciplinare eseguita dal Servizio X._ l'amministrazione, con decisione del 18 dicembre 2003, confermata con provvedimento del 7 dicembre 2004, in seguito all'opposizione presentata dall'assicurata, ha respinto la richiesta, essendo il grado di invalidità inferiore al 40 %. A.b In data 16 aprile 2008 R._ ha presentato una nuova domanda di prestazioni dell'AI per adulti, in quanto affetta da depressione. Esperiti nuovamente gli accertamenti medici - tramite il Servizio Y._ - ed economici del caso, con decisione del 12 novembre 2009, preavvisata con progetto del 9 luglio 2009 e notificata pure a GastroSuisse (ora GastroSocial), l'UAI ha attribuito all'assicurata un quarto di rendita d'invalidità dal 1° maggio 2009 ed una rendita intera dal 1° agosto seguente. B. Contro il citato provvedimento è insorta, presso il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, la Cassa pensione GastroSocial, chiedendo che, da un lato, venisse constatata la sua incompetenza ad intervenire quale istituto di previdenza nel caso concreto, dall'altro l'accoglimento del ricorso, con conseguente annullamento della decisione impugnata, l'esperimento di una perizia tramite la MEDAS e una nuova determinazione del grado di invalidità. Dopo aver ritenuto l'istituto di previdenza GastroSocial legittimato a ricorrere, in quanto toccato dalla decisione impugnata, e aver accertato, nei motivi, non tuttavia nel dispositivo, la competenza dello stesso ai sensi dell'art. 23 LPP, il Presidente del Tribunale cantonale delle assicurazioni ha respinto il ricorso, confermando, in ordine al diritto alla rendita, le conclusioni tratte nella decisione amministrativa sia da un punto di vista medico che economico, e, in relazione a eventuali provvedimenti reintegrativi professionali, la loro inattuabilità (giudizio del 6 maggio 2010). C. Contro il giudizio cantonale GastroSocial ha interposto ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, ribadendo le richieste presentate in prima sede, segnatamente la constatazione della sua incompetenza ad intervenire quale istituto di previdenza, non essendosi il Tribunale cantonale espresso nel petito, l'accoglimento del ricorso con annullamento delle decisioni impugnate, l'esperimento di una perizia tramite la MEDAS ed una nuova determinazione del grado di invalidità. Delle motivazioni si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto. Chiamati ad esprimersi, l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è espresso, mentre l'UAI e l'assicurata hanno proposto di respingere il gravame, quest'ultima con riconoscimento dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio dell'avv. Fabio Taborelli.