Fatti: A. A seguito di un controllo eseguito il 16 gennaio 2008 e relativo al periodo 1° gennaio 2005 - 31 dicembre 2007, la Cassa di compensazione del Cantone Ticino ha proceduto, mediante decisione 5 maggio 2008, a una tassazione d'ufficio per ripresa di salari non notificati dalla Associazione X._. Qualificando come reddito da attività lucrativa dipendente gli onorari percepiti dal mese di settembre 2006 dai docenti della scuola Y._ di O._, la Cassa ha quantificato in fr. 1'397'557.- la massa salariale da riprendere e fissato in fr. 197'708.- l'onere per contributi AVS/AI/IPG/AD e AF. Il 13 febbraio 2009 la Cassa ha confermato il proprio provvedimento e rigettato l'opposizione della Associazione. B. Adito dalla Associazione, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il ricorso. Ritenendo predominanti gli elementi che deponevano a favore di una qualifica indipendente dell'attività dei docenti interessati rispetto a quelli contrari di natura dipendente (segnatamente per la libertà nella gestione e l'organizzazione del lavoro e per il forte rischio imprenditoriale cui gli stessi sarebbero stati esposti), la Corte cantonale ha annullato il provvedimento (pronuncia del 22 giugno 2009). C. La Cassa di compensazione è insorta con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale chiede, protestate spese e ripetibili, di annullare il giudizio cantonale e di confermare la decisione su opposizione. L'Associazione X._ propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) ne postula l'accoglimento.