Fatti: A. Con sentenza del 7 novembre 2011, il Giudice della Pretura penale del Cantone Ticino ha riconosciuto A._, titolare di un salone da parrucchiera, autrice colpevole di denuncia mendace. Le ha rimproverato di avere, il 26 gennaio 2010 denunciato alla polizia come autrice di furto, pur sapendola innocente, la sua dipendente B._, accusandola a torto di avere sottratto fr. 340.-- da un portamonete riposto in un cassetto del salone. L'imputata è stata condannata alla pena pecuniaria di trenta aliquote giornaliere di fr. 30.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni, e alla multa di fr. 300.--. B. Con sentenza del 30 maggio 2012, la Corte di appello e di revisione penale (CARP) ha respinto un appello presentato dall'imputata contro il giudizio di primo grado. Ha confermato la condanna alla citata pena pecuniaria, riducendo l'ammontare della multa da fr. 300.-- a fr. 150.--. C. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di proscioglierla dall'accusa di denuncia mendace. Postula inoltre di essere ammessa al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. La ricorrente fa valere l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, la violazione del diritto di essere sentita, del principio "in dubio pro reo" e dell'art. 303 n. 1 CP. Non sono state chieste osservazioni al ricorso, al quale è stato conferito effetto sospensivo con decreto del giudice presidente del 31 luglio 2012.