Fatti: Fatti: A. Il 14 marzo 2003 A._ è stato riconosciuto dal giudice della Pretura penale del Cantone Ticino autore colpevole di ingiuria e condannato ad una multa di fr. 300.--, per avere il 28 febbraio 2002, a Mezzovico, offeso l'onore di B._, poi costituitasi parte civile, tacciandola di "troia", "puttana" e "brüta lögia". A. Il 14 marzo 2003 A._ è stato riconosciuto dal giudice della Pretura penale del Cantone Ticino autore colpevole di ingiuria e condannato ad una multa di fr. 300.--, per avere il 28 febbraio 2002, a Mezzovico, offeso l'onore di B._, poi costituitasi parte civile, tacciandola di "troia", "puttana" e "brüta lögia". B. L'accusato ha adito la Corte di cassazione e di revisione penale del Tribunale d'appello del Cantone Ticino (CCRP) che, con sentenza dell'11 luglio 2003, ha respinto in quanto ammissibile il ricorso. Essa non ha ravvisato arbitrio nella criticata valutazione delle prove, né ha ritenuto violato il principio "in dubio pro reo". B. L'accusato ha adito la Corte di cassazione e di revisione penale del Tribunale d'appello del Cantone Ticino (CCRP) che, con sentenza dell'11 luglio 2003, ha respinto in quanto ammissibile il ricorso. Essa non ha ravvisato arbitrio nella criticata valutazione delle prove, né ha ritenuto violato il principio "in dubio pro reo". C. A._ impugna con un ricorso di diritto pubblico del 17 settembre 2003 al Tribunale federale questo giudizio, chiedendo di annullarlo; postula inoltre di essere ammesso al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Lamenta una violazione del diritto di essere sentito e del principio "in dubio pro reo", come pure l'arbitrio nella valutazione delle prove. Delle motivazioni si dirà, per quanto necessario, nei considerandi. C. A._ impugna con un ricorso di diritto pubblico del 17 settembre 2003 al Tribunale federale questo giudizio, chiedendo di annullarlo; postula inoltre di essere ammesso al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Lamenta una violazione del diritto di essere sentito e del principio "in dubio pro reo", come pure l'arbitrio nella valutazione delle prove. Delle motivazioni si dirà, per quanto necessario, nei considerandi. D. La CCRP rinuncia a presentare osservazioni. Il procuratore pubblico del Cantone Ticino chiede di respingere il ricorso, mentre la controparte si riconferma nelle sue osservazioni presentate dinanzi alla precedente istanza.