Fatti: A. A.a In data 24 gennaio 2006, N._, nato nel 1957, dipendente dell'impresa di costruzioni G._ SA con sede a L._, e, come tale, assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), durante il trasporto di un telaio per finestre è scivolato battendo la spalla e la coscia sinistra a terra. L'esecuzione di una risonanza magnetica presso l'Ospedale X._ ha evidenziato la lesione del muscolo sovraspinato della spalla (rottura della cuffia rotatoria), motivo per cui il 9 giugno 2006 l'infortunato è stato sottoposto ad un intervento artroscopico di riparazione della cuffia. Un secondo intervento è stato effettuato presso l'Ospedale Y._ il 2 maggio 2007 (recidiva della rottura della cuffia dei rotatori). L'assicuratore infortuni ha assunto il caso e corrisposto le prestazioni di legge. A.b Il 17 marzo 2006 N._, inabile al lavoro al 50% per i postumi dell'infortunio del 24 gennaio 2006, ha riportato uno strappo muscolare alla spalla destra mentre sollevava un pozzetto per canalizzazioni di ca. 80 kg. Il caso è stato assunto dall'INSAI a titolo di lesione parificata ai postumi di un infortunio. A causa della persistenza dei dolori, il 25 ottobre 2007 l'assicurato è stato sottoposto ad una risonanza magnetica alla spalla destra, la quale ha evidenziato una rottura trasmurale del tendine del muscolo sovraspinato. Con decisione dell'11 gennaio 2008, confermata in data 27 marzo 2008, in seguito all'opposizione inoltrata dall'assicurato, rappresentato dall'avv. Lorenzo Fornara, l'INSAI ha negato la propria responsabilità in relazione al danno alla salute accertato tramite risonanza magnetica, non essendovi nesso di causalità naturale con l'evento del 17 marzo 2006. Adito dall'interessato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino con giudizio del 6 ottobre 2008 ha accolto il gravame e rinviato gli atti all'INSAI, affinché procedesse ad ulteriori accertamenti medici in relazione all'eziologia del danno al tendine del muscolo sovraspinato della spalla destra. Dopo aver sottoposto il caso al prof. G._, specialista in radiologia, l'INSAI ha ammesso la propria responsabilità. Il 20 maggio 2009 l'interessato è stato sottoposto alla sutura della cuffia rotatoria da parte del prof. T._ presso l'Ospedale Y._. A.c Con decisione del 2 giugno 2010, a cui N._, sempre rappresentato dall'avv. Fornara, si è opposto, l'INSAI ha chiuso entrambi i casi assegnandogli una rendita di invalidità del 16% dal 1° aprile 2010 e un'indennità per menomazione dell'integrità del 15%. Con un ulteriore provvedimento formale del 19 agosto 2010, a cui N._ ha di nuovo interposto opposizione, l'INSAI ha negato il proprio obbligo prestativo in relazione ai disturbi psichici e alla conseguente incapacità lavorativa al 100%, attestata dal medico curante con effetto dal 1° aprile 2010. Mediante decisione su opposizione del 1° ottobre 2010 l'assicuratore infortuni ha confermato entrambi i provvedimenti contestati. B. Ancora patrocinato dall'avv. Fornara, N._ si è quindi aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendo l'annullamento del provvedimento impugnato, con conseguente riconoscimento dell'origine infortunistica dei disturbi psichici e fisici lamentati, segnatamente l'attribuzione di indennità giornaliere fino alla guarigione dei disturbi psichici. Per pronuncia del 7 febbraio 2011 il Presidente del Tribunale adito ha respinto il gravame, non essendo dati, in concreto, indipendentemente dall'ammissione di un nesso di causalità naturale, i presupposti per ammettere l'esistenza di un nesso di causalità adeguato tra infortuni e disturbi psichici. C. L'assicurato, rappresentato dall'avv. Fornara, interpone ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendone, in via principale, l'accoglimento, con conseguente annullamento del giudizio impugnato e riconoscimento - previo accertamento del nesso di causalità naturale e adeguato tra le attuali affezioni psichiche da una parte e i fattori correlati con l'infortunio dall'altra - di un grado di invalidità del 100% a partire dal 1° aprile 2010 e di un'indennità per menomazione dell'integrità del 50%. In via subordinata N._ postula il rinvio dell'incarto all'istanza inferiore ai fini dell'erezione di una perizia giudiziaria che stabilisca il grado di invalidità e quello dell'indennità per menomazione dell'integrità. In via ancor più subordinata egli chiede l'attribuzione di un grado di invalidità del 50% a partire da 1° aprile 2010 e un'indennità per menomazione dell'integrità del 30%. Dei motivi si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto. Chiamati a pronunciarsi sul ricorso, l'INSAI ne propone la reiezione, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determi-narsi.