Fatti: Fatti: A. Il 24 settembre 1986 lo sceicco A._ si è recato alla sede luganese della banca X._, dove ha incontrato due dirigenti di tale istituto. Fra le persone che lo accompagnavano vi era C._, all'epoca presidente della società bahamense Y._, il quale in tale occasione ha pure funto da interprete. Il 6 ottobre 1986 lo sceicco ha depositato presso la banca X._ a Lugano US$ 2'500'000.--. Due giorni dopo la somma di US$ 2'000'000.-- è stata girata su di un conto intestato alla società Y._ presso la banca X._ di Nassau, su ordine di C._, con la dicitura "purchase in name of A._, of 200.000 società Y._ shares". Il 6 ottobre 1986 lo sceicco ha depositato presso la banca X._ a Lugano US$ 2'500'000.--. Due giorni dopo la somma di US$ 2'000'000.-- è stata girata su di un conto intestato alla società Y._ presso la banca X._ di Nassau, su ordine di C._, con la dicitura "purchase in name of A._, of 200.000 società Y._ shares". B. Asserendo che C._ non disponeva di alcun potere di rappresentanza, il 26 ottobre 1993 A._ ha adito direttamente il Tribunale d'appello del Cantone Ticino chiedendo la condanna della banca X._ al riaccredito dell'importo bonificato, di US$ 2'000'000.--, alla restituzione dei rimanenti US$ 500'000.--, colpiti da un sequestro civile richiesto dalla società Y._, nonché al versamento di US$ 1'000'000.-- a titolo di risarcimento danni per spese legali, deprezzamento del dollaro e perdita d'interessi, per un totale di US$ 3'500'000.--, oltre interessi. banca X._ si è opposta integralmente all'azione. A._ è deceduto il 10 luglio 2003. La Corte cantonale non ne è stata informata. Con sentenza del 15 marzo 2004 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto la petizione. Con sentenza del 15 marzo 2004 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto la petizione. C. Contro tale decisione gli eredi di A._ sono insorti dinanzi al Tribunale federale, il 3 maggio 2004, sia con ricorso di diritto pubblico che con ricorso per riforma. Con il secondo rimedio, fondato perlopiù sulla violazione dell'art. 8 CC, essi hanno postulato, in via principale, la modifica della sentenza impugnata nel senso di accogliere le domande presentate con la petizione e di liberare la cauzione processuale di fr. 160'000.-- depositata in sede cantonale; in via subordinata hanno domandato il rinvio della causa all'autorità cantonale per nuovo giudizio. Nella risposta del 13 ottobre 2004 la banca X._ ha proposto la reiezione del gravame. Nella risposta del 13 ottobre 2004 la banca X._ ha proposto la reiezione del gravame. D. In parziale accoglimento dell'istanza presentata dall'opponente il 25 giugno 2004, con decreto del 16 luglio 2004 il Presidente della I Corte civile del Tribunale federale ha imposto ai ricorrenti di fornire una cauzione processuale di fr. 25'000.--, somma che è stata tempestivamente versata.