Fatti: A. A.a. Con decreto del 17/18 giugno 2011, dichiarato immediatamente esecutivo giusta l'art. 642 CPC italiano, il Tribunale ordinario di Milano ha ingiunto all'impresa ticinese B._SA di pagare alla società italiana A._S.p.A. la somma di euro 2'061'852.23, specificando che il debitore ingiunto aveva diritto di proporre la sua opposizione entro il termine di 40 giorni (corretto a 60 il 23 giugno 2011) dalla notifica e che in mancanza di una tale opposizione il decreto sarebbe divenuto definitivo. A.b. Il 18 aprile 2012 la A._S.p.A. ha chiesto al Pretore della giurisdizione di Mendrisio sud di riconoscere e dichiarare esecutivo in Svizzera il menzionato decreto ingiuntivo e di ordinare il sequestro di beni della B._SA per complessivi fr. 2'559'280.--, oltre interessi. Il giorno seguente il Pretore aggiunto ha integralmente accolto tali richieste. B. Con sentenza 14 agosto 2012 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha accolto un reclamo della B._SA, ha respinto l'istanza volta ad ottenere il riconoscimento e l'esecutività in Svizzera del decreto ingiuntivo e ha annullato il sequestro pronunciato dal Pretore. Poiché l'ingiunzione è stata emanata fin dall'inizio in forma esecutiva, i Giudici cantonali l'hanno considerata un provvedimento supercautelare che non costituisce una decisione nel senso dell'art. 32 della Convenzione di Lugano del 30 ottobre 2007 concernente la competenza giurisdizionale, il riconoscimento e l'esecuzione delle decisioni in materia civile e commerciale (CLug; RS 0.275.12) suscettibile di riconoscimento. C. Con ricorso in materia civile del 17 settembre 2012 la A._S.p.A. postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al rimedio, la reiezione del reclamo e la conferma della decisione del Pretore. Rimprovera alla Corte cantonale di aver violato la Convenzione di Lugano, negando al decreto ingiuntivoil carattere di decisione riconoscibile. La Presidente della Corte adita ha, con decreto del 12 ottobre 2012, attribuito effetto sospensivo all'impugnativa. Con risposta 19 ottobre 2012 la B._SA propone la reiezione del ricorso.