Fatti: A. Con decreto ingiuntivo 30 settembre 2011, dichiarato provvisoriamente esecutivo giusta l'art. 642 CPC italiano, il Tribunale ordinario di Milano ha ingiunto all'impresa ticinese B._SA di pagare alla società italiana A._S.p.A. euro 235'618.06 oltre interessi e spese giudiziarie, specificando che il debitore ingiunto aveva diritto di proporre la sua opposizione entro il termine di 40 giorni dalla notifica e che in mancanza di una tale opposizione il decreto sarebbe divenuto definitivo. A._S.p.A. ha chiesto ed ottenuto dal Pretore del Distretto di Lugano il riconoscimento e l'esecutività in Svizzera del decreto ingiuntivo nonché il sequestro di specificati beni di pertinenza di B._SA fino a concorrenza del credito risultante dal predetto decreto. B. Con reclamo 26 marzo 2012 B._SA ha chiesto alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino di negare l'esecutività in Svizzera al decreto ingiuntivo e di annullare il sequestro dei suoi beni. Dopo lo scambio degli allegati scritti e dopo il dibattimento del 19 novembre 2012 dinanzi al Tribunale d'appello, B._SA ha sollecitato, con scritto 23 maggio 2013, l'evasione del suo reclamo, e ha portato all'attenzione della Corte cantonale il Regolamento UE n. 1215/2012, e in particolare il suo art. 2 lett. a cpv. 2, osservando che " non è ancora entrato in vigore ma appare innegabile che si tratta di una espressa precisazione di quanto in vigore nel regolamento 44 (di cui i Tribunali svizzeri, anche per la CLug, cercano di tenerne conto e di applicare in modo uniforme), circostanza questa, da sempre sostenuta da parte opponente ". Il 14 agosto 2013 B._SA ha anche trasmesso alla Corte cantonale una sentenza estera sul tema che era oggetto della procedura tra le parti, ribadendo le sue " conclusioni ma anche la conformità del diritto Svizzero con quello europeo, in particolare su questo specifico tema ". Con sentenza 14 agosto 2013 il Tribunale d'appello, in accoglimento del predetto reclamo, ha respinto l'istanza volta ad ottenere il riconoscimento e l'esecutività in Svizzera del decreto ingiuntivo e ha annullato il sequestro. C. Con ricorso in materia civile 18 settembre 2013 A._S.p.A. ha chiesto al Tribunale federale, previo conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso, di annullare la sentenza del Tribunale d'appello e di riformarla nel senso che il reclamo di B._SA sia respinto, in via subordinata di retrocedere l'incarto all'autorità inferiore per nuovo giudizio. La ricorrente ha lamentato la violazione del suo diritto di essere sentita, nonché la lesione degli art. 32 e 34 CLug (RS 0.275.12). Invitata ad esprimersi sull'istanza di concessione dell'effetto sospensivo, l'opponente ne ha proposto la reiezione e ha al contempo presentato istanze di adozione di misure cautelari, di prestazione di garanzie per eventuali spese ripetibili ex art. 62 cpv. 2 LTF, di costituzione di garanzie ex art. 46 cpv. 3 CLug e di assistenza giudiziaria (con gratuito patrocinio) ex art. 64 LTF. Con decreto presidenziale 3 ottobre 2013 al ricorso è stato conferito il postulato effetto sospensivo e le istanze dell'opponente di adozione di misure cautelari e di prestazione di garanzie per eventuali spese ripetibili ex art. 62 cpv. 2 LTF sono state respinte, ed è stato inoltre precisato che le rimanenti istanze dell'opponente sarebbero state decise con la sentenza sul ricorso. Con risposta 16 ottobre 2013 l'autorità inferiore ha preso posizione sul gravame, rinviando ai considerandi della propria decisione e rimettendosi al giudizio del Tribunale federale in merito alla pretesa violazione del diritto di essere sentita della ricorrente. Con risposta 25 ottobre 2013 l'opponente ha chiesto la reiezione del ricorso, nonché la revoca dell'effetto sospensivo e " in via cautelare " l'espunzione di alcuni documenti ed allegazioni addotti dalla ricorrente.