Fatti: A. A._, cittadino dominicano, è giunto in Svizzera nel luglio del 2001 per ricongiungersi con la moglie, connazionale e cittadina elvetica per naturalizzazione, con la quale si è sposato nel proprio Paese di origine nel 1998. A tale scopo, egli è stato posto a beneficio di un permesso di dimora annuale, rinnovato un'ultima volta fino al 27 luglio 2011. Dall'unione tra i coniugi sono nati i figli B._ e C._, anch'essi di nazionalità elvetica. Da anni senza attività lucrativa, la famiglia di A._ si è mantenuta grazie alle indennità di disoccupazione, agli assegni di prima infanzia e a quelli familiari integrativi, come pure all'assistenza pubblica. Dal febbraio 2010, la stessa dipende infatti dall'aiuto sociale ed ha accumulato un debito nei confronti dello Stato che, nell'agosto 2012, ammontava a fr. 129'671.--. Durante il suo soggiorno in Svizzera, A._ ha inoltre interessato le autorità amministrative e penali nei seguenti termini: - decreto d'accusa del 5 dicembre 2005: riconosciuto colpevole di complicità in infrazione aggravata (inizio luglio 2003) e di contravvenzione (marzo 2003-aprile 2004) alla LF del 3 ottobre 1951 sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope (LStup; RS 812.121) e condannato alla pena detentiva di 90 giorni, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni; - 18 ottobre 2006: 1° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri; - sentenza della Pretura penale del 20 luglio 2010: riconosciuto colpevole di violenza o minaccia contro le autorità e i funzionari (20 aprile 2009) e condannato alla pena pecuniaria di 30 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di due anni, e alla multa di fr. 500.--; - 6 settembre 2010: 2° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri; - decreto d'accusa dell'11 ottobre 2010: riconosciuto colpevole di guida in stato di inattitudine ed elusione dei provvedimenti per accertare l'incapacità alla guida (20 giugno 2011) e condannato - a valere quale pena totalmente aggiuntiva a quella di cui alla sentenza del 20 luglio 2010 - alla pena pecuniaria di 45 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di tre anni, e alla multa di fr. 1'200.--; - decreto d'accusa del 31 maggio 2011: riconosciuto colpevole di violenza o minaccia contro le autorità o i funzionari (30 maggio 2011) e condannato alla pena pecuniaria di 60 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni, e alla multa di fr. 500.--; in questa occasione, il beneficio della sospensione condizionale concesso con i decreti d'accusa del 20 luglio 2010 e dell'11 ottobre 2010 non è stato revocato, ma è stato pronunciato un formale ammonimento. - 8 luglio 2011: 3° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri; - sentenza della Corte delle assise correzionali di Bellinzona del 15 dicembre 2011: riconosciuto colpevole di infrazione aggravata alla LStup (2009-21 giugno 2011) e contravvenzione alla stessa (15 dicembre 2008-21 giugno 2011) e condannato alla pena detentiva di 20 mesi, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 4 anni (pena unica comprensiva di quelle di cui ai decreti d'accusa del 20 luglio 2010 e dell'11 ottobre 2010); B. Con decisione del 13 febbraio 2012 - richiamati segnatamente gli ammonimenti indirizzatigli, la sentenza della Corte delle assise correzionali del 15 dicembre 2011 e l'ammontare delle prestazioni assistenziali percepite - la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto l'istanza con la quale A._ chiedeva il rinnovo del suo permesso di dimora, fissandogli un termine per lasciare la Svizzera. Su ricorso, detta decisione è stata confermata sia dal Consiglio di Stato, il 29 agosto 2012, che dal Tribunale cantonale amministrativo, pronunciatosi in merito con sentenza del 10 giugno 2013. C. Il 31 luglio 2013, A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico per mezzo del quale postula: in via principale, l'annullamento della decisione del Tribunale cantonale amministrativo, di quelle del Consiglio di Stato e della Sezione della popolazione, nonché la proroga dell'autorizzazione richiesta; in via subordinata, l'annullamento della decisione del Tribunale cantonale amministrativo e il rinvio a quest'ultimo dell'incarto per nuovo giudizio. In corso di procedura, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa hanno fatto rinvio anche la Sezione della popolazione e l'Ufficio federale della migrazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.