Fatti: A. C._ nata nel 1961 e già titolare di un salone da parrucchiera, il 21 ottobre 2008 ha presentato una domanda di prestazioni AI lamentando le conseguenze invalidanti di un infortunio occorsole il 31 luglio 2007. L'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha esperito gli accertamenti del caso e ha affidato in particolare al Servizio X._ il compito di svolgere una perizia pluridisciplinare (psichiatrica a cura del dott. J._, reumatologica a cura del dott. B._ e neurologica a cura del dott. K._). Posta la diagnosi (con influenza sulla capacità lavorativa) di sindrome mista ansioso-depressiva (ICD-10 F41.2), sindrome somatoforme da dolore persistente (ICD-10 F45.4) e sindrome dolorosa residua multifattoriale a livello del bacino, degli arti inferiori e della colonna vertebrale (con/su pregressa frattura dell'anello pelvico con frattura dei rami ischio e ileo-pubico a destra, frattura dell'osso sacro a destra ed apertura dell'articolazione sacroiliaca sinistra [31 luglio 2007], pregresso avvitamento sacroiliaco destro [9 agosto 2007], ipercaptazione a livello delle due articolazioni sacroiliache distali della sinfisi pubica e possibili irritazione della radice S2 a destra), i periti del Servizio X._ hanno nel loro referto del 10 gennaio 2011 valutato globalmente l'assicurata inabile al lavoro in maniera completa nella sua attività abituale di parrucchiera dal 31 luglio 2007, ma comunque abile al 55% dal 1° agosto 2008 (un anno dopo l'infortunio) in attività sostitutive leggere rispettose di alcuni limiti funzionali. Su questa base l'UAI ha attribuito all'interessata una rendita intera limitatamente al periodo 1° luglio - 31 ottobre 2008, dal 1° novembre 2008 (tre mesi dopo l'accertato miglioramento dello stato di salute) il grado d'invalidità essendo "solo" del 37% (decisione del 6 gennaio 2012 preavvisata il 20 settembre 2011). B. C._ patrocinata dallo Studio B.C. Consulenze/Rappresentanze, ha deferito la decisione al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha sostanzialmente chiesto, in via principale, il riconoscimento di una rendita intera dal 1° luglio 2008 e, in via subordinata, l'allestimento di una perizia medica pluridisciplinare, rispettivamente, il rinvio della causa all'amministrazione per ulteriori accertamenti e nuova decisione. Per pronuncia del 24 luglio 2012 la Corte cantonale ha respinto il ricorso e confermato integralmente la decisione amministrativa. C. C._, ora patrocinata dall'avv. Probst, si è aggravata al Tribunale federale al quale postula, in via principale, di annullare il giudizio cantonale e di riconscerle almeno una mezza rendita dal 1° novembre 2008. In via subordinata chiede di retrocedere l'incarto all'UAI per nuovi accertamenti medici ed economici e per nuova decisione. In ogni caso chiede di essere ammessa al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. Non sono state chieste osservazioni al gravame.