Fatti: A. Nel gennaio 2010, la cittadina marocchina A._ ha sposato il cittadino italiano B._. Nel maggio successivo, dalla loro unione è nata la figlia C._. Il 9 marzo 2011, A._ è stata posta a beneficio di un permesso di soggiorno italiano, rinnovato il 27 dicembre seguente e valido fino al 9 marzo 2016. Con decreto di accusa del 28 maggio 2012 della Procura pubblica del Cantone Ticino, cresciuto in giudicato, A._ è stata riconosciuta colpevole di esercizio illecito della prostituzione (tra il 3 aprile e il 22 maggio 2012) nonché di infrazione alla legge federale sugli stranieri, e condannata ad una pena pecuniaria di 15 aliquote giornaliere da fr. 40.-- cadauna, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di 2 anni, oltre ad una multa di fr. 200.--. B. Preso atto della condanna subita ed indicato che il comportamento di A._ costituiva una violazione grave dell'ordine e della sicurezza pubblici, il 16 agosto 2012 l'Ufficio federale della migrazione ha pronunciato nei suoi confronti un divieto d'entrata valido fino al 15 agosto 2015. Con sentenza del 10 ottobre 2013, spedita il 22 ottobre successivo, il Tribunale amministrativo federale ha poi però accolto il ricorso interposto da A._ contro il divieto d'entrata, annullandolo con effetto immediato. Giunto alla conclusione che quest'ultima potesse prevalersi dell'Accordo del 21 giugno 1999 sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681), ha infatti concluso che il provvedimento in discussione non fosse conforme a tale normativa. C. Con ricorso del 21 novembre 2013, il Dipartimento federale di giustizia e polizia ha impugnato detto giudizio davanti al Tribunale federale, chiedendone l'annullamento. È in effetti dell'avviso che l'Accordo sulla libera circolazione non trovi in realtà applicazione alla fattispecie. In corso di procedura, il Tribunale amministrativo federale ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre l'opponente ha chiesto che il ricorso sia respinto.