Fatti: A. Il 6 marzo 2008 il Municipio di Vernate ha rilasciato a A._ una licenza edilizia per la costruzione di sei case di abitazione sui fondi contigui part. n. 716, 717 e 719, situati nella zona residenziale Rb del piano regolatore comunale. Il 19 maggio 2010, B._, proprietario del fondo part. n. 719 e della particella confinante n. 715, ha chiesto al Municipio di accertare che la licenza edilizia era scaduta per il mancato inizio dei lavori entro il termine biennale di validità. B. Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, con decisione del 21 settembre 2010, il Municipio di Vernate ha accertato che i lavori erano iniziati prima della scadenza della licenza edilizia. Adito dall'opponente, il Consiglio di Stato del Cantone Ticino ne ha respinto il ricorso con decisione del 21 dicembre 2010. C. Con sentenza del 15 febbraio 2011, il Tribunale cantonale amministrativo ha accolto un ricorso dell'opponente contro la risoluzione governativa, annullandola e accertando che la licenza edilizia del 6 marzo 2008 era scaduta per mancata utilizzazione entro il termine di validità. La Corte cantonale ha rilevato che prima della scadenza erano stati eseguiti unicamente tre lavori preparatori limitati, che non permettevano di considerare come iniziati i lavori di costruzione. D. A._ impugna questo giudizio con un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale, chiedendo di annullarlo. Il ricorrente fa sostanzialmente valere la violazione del diritto di essere sentito e del divieto dell'arbitrio. E. La Corte cantonale e l'opponente chiedono di respingere il ricorso. Il Consiglio di Stato e il Comune di Vernate si rimettono al giudizio del Tribunale federale. Con decreto presidenziale del 23 marzo 2011 è stata respinta la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo contenuta nel gravame. Il 12 maggio 2011 la Corte cantonale ha presentato osservazioni sulle risposte. Il ricorrente si è espresso su tali osservazioni il 18 maggio 2011.