Fatti: A. Il 9 novembre 2001, il cittadino macedone A._, divorziato dalla connazionale B._ con sentenza 8 dicembre 2000/12 febbraio 2001, si è sposato nel proprio Paese d'origine con la cittadina elvetica C._. Egli è entrato in Svizzera il 17 aprile 2002 per vivere con la moglie ed è stato posto al beneficio di un permesso di dimora nel Canton Berna. Mantenendo la propria residenza presso la moglie, da cui ha confermato di recarsi nei fine settimana, nel febbraio 2005 A._ ha iniziato ad esercitare un'attività lucrativa in Ticino. Trascorsi cinque anni dal suo arrivo in Svizzera, nell'aprile 2007 le autorità cantonali bernesi gli hanno quindi rilasciato un permesso di domicilio. B. Con sentenza 18 dicembre 2008/8 gennaio 2009, il Tribunale di Tetovo (Repubblica di Macedonia) ha pronunciato il divorzio di C._ e A._. Da tale giudizio risulta tra l'altro che, già pochi anni dopo le nozze, la vita in comune era diventata insostenibile e che da oltre un anno la consorte aveva abbandonato la comunione domestica. Il 9 gennaio 2009, A._ ha ottenuto un'autorizzazione a cambiare Cantone e si è stabilito definitivamente in Ticino. C. Il 20 marzo 2010, A._ si è risposato in Macedonia con B._, sua ex-moglie. Il 12 maggio 2010, quest'ultima ha chiesto di poter ricongiungersi con il marito in Svizzera unitamente ai figli D._ e E._, nati durante il loro primo matrimonio. Nel corso della procedura, A._ ha dichiarato di avere mantenuto rapporti stretti e regolari con l'attuale moglie e con i figli anche dopo l'arrivo in Svizzera a seguito del matrimonio con C._, di essersi recato presso di loro durante tutte le sue vacanze e di aver sempre provveduto al sostentamento degli stessi. D. Constatato in sostanza che egli aveva sottaciuto dei fatti essenziali per ottenere il rinnovo del permesso di dimora e il successivo rilascio del permesso di domicilio, il 23 luglio 2010 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha dichiarato decaduto (recte: revocato) il permesso di domicilio di A._, intimandogli di lasciare il territorio elvetico entro il 30 settembre 2010. Tale provvedimento è stato confermato su ricorso, dapprima dal Consiglio di Stato, con decisione dell'11 gennaio 2011, quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 9 luglio 2012. E. Quest'ultimo giudizio è stato impugnato davanti al Tribunale federale con ricorso in materia di diritto pubblico del 14 settembre 2012. In via principale, A._ chiede l'annullamento di tutte le decisioni sin qui prese dalle autorità cantonali e la conferma del suo permesso di domicilio. In via subordinata, postula invece che la sentenza del Tribunale amministrativo sia annullata e l'incarto rinviato a quest'ultimo per nuova decisione. Chiamato ad esprimersi, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa hanno fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione e l'Ufficio federale della migrazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.