Fatti: A. I._ è stata assunta dal 1° novembre 2007 dalla B._SA in qualità di assistente direzione e responsabile ristorazione presso l'albergo P._. Dal 3 dicembre 2007 l'albergo è stato gestito dalla A._ SA. I._ ne è stata membro del consiglio di amministrazione con firma collettiva a due dal 3 dicembre 2007 al 6 maggio 2008. Per fine marzo 2008 l'interessata ha cessato la propria attività presso l'albergo P._. I._ non ha mai percepito il salario del marzo 2008. Per ottenerne il pagamento ha adito le vie esecutive. Il 26 giugno 2009, I._ ha poi presentato all'assicurazione disoccupazione una domanda di indennità per insolvenza facendo valere il credito salariale. Per decisione 7 settembre 2009, sostanzialmente confermata il 12 ottobre seguente anche in seguito all'opposizione dell'interessata, la Cassa disoccupazione del Cantone Ticino ha disatteso la richiesta rimproverando all'assicurata una violazione dell'obbligo di ridurre il danno. B. Assistita dal Centro per i diritti del cittadino, I._ si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino. Nella risposta la Cassa ha soggiunto che all'erogazione delle chieste prestazioni si opponeva pure il fatto che l'insorgente dal 3 dicembre 2007 al 6 maggio 2008 era membro del consiglio di amministrazione della A._ SA. La Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il gravame (pronuncia dell'8 marzo 2010). C. Sempre assistita dal Centro per i diritti del cittadino, l'assicurata ha interposto ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, ripropone la richiesta di indennità per insolvenza. Invitata a fornire un anticipo delle spese giudiziarie, la ricorrente ha formulato una domanda di assistenza giudiziaria. Non sono state chieste osservazioni al ricorso.