Fatti: Fatti: A. C._, cittadino turco, si è unito in matrimonio il 4 gennaio 1991 con G._. Il 22 novembre 1996 la Pretura di X._, preso atto che gli interessati vivevano separati di fatto da circa un mese, ha dichiarato decaduto l'esperimento di conciliazione chiesto dal marito. I consorti hanno lasciato scadere infruttuoso il termine per inoltrare l'azione di merito. G._ è assicurata contro le malattie presso la Cassa malati Supra dal 1° settembre 1992. Con decisione 21 novembre 2000 quest'ultima - ottenuti diversi attestati di carenza beni a carico dell'assicurata per premi impagati riferiti al periodo dal 1° novembre 1996 al 31 ottobre 2000 - ha ordinato al marito di versare l'importo di fr. 11'715.-, richiamandosi in sostanza all'obbligo di mantenimento ai sensi dell'art. 163 CC. A seguito dell'opposizione interposta da C._, la Supra ha reso il 29 gennaio 2001 un provvedimento con il quale confermava quanto in precedenza stabilito. A seguito dell'opposizione interposta da C._, la Supra ha reso il 29 gennaio 2001 un provvedimento con il quale confermava quanto in precedenza stabilito. B. C._ ha deferito il provvedimento con gravame al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino sostenendo di non poter essere chiamato a rispondere solidalmente dei premi assicurativi non pagati dalla moglie, in quanto dal mese di ottobre 1996 viveva di fatto separato dalla stessa. Per giudizio 1° ottobre 2001 la Corte cantonale ha accolto il gravame. Secondo i primi giudici non poteva essere riconosciuta una responsabilità solidale del coniuge per i premi maturati dopo la separazione. Per giudizio 1° ottobre 2001 la Corte cantonale ha accolto il gravame. Secondo i primi giudici non poteva essere riconosciuta una responsabilità solidale del coniuge per i premi maturati dopo la separazione. C. Contro questo giudizio la Cassa malati Supra, tramite il proprio servizio giuridico, interpone un ricorso di diritto amministrativo, chiedendo al Tribunale federale delle assicurazioni di annullarlo, con protesta di spese e ripetibili. Dei motivi si dirà, se necessario, in seguito. Assistito da S._, l'opponente ribadisce quanto già esposto in sede cantonale, ossia di nulla dovere poiché la rappresentanza dell'unione coniugale cesserebbe in caso di sospensione della vita comune. Da parte sua l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali rinuncia a determinarsi.