Fatti: A. A.a R._, nato nel 1953, di professione manovale, il 14 ottobre 2005 ha inoltrato una richiesta all'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) tendente all'assegnazione di prestazioni AI per adulti per le conseguenze di un infortunio sul lavoro occorsogli il 13 luglio 2004 che gli aveva causato la rottura della cuffia rotatoria della spalla destra. Nel frattempo, con decisione su opposizione del 27 agosto 2007 la SUVA ha assegnato all'assicurato una indennità per menomazione dell'integrità del 2,5% e una rendita d'invalidità LAINF del 27% con effetto dal 1° marzo 2007. Dal canto suo, l'UAI - dopo gli accertamenti di rito - con decisione 11 ottobre 2007 gli ha riconosciuto il diritto a una rendita intera AI limitatamente al periodo dal 1° novembre 2005 al 31 marzo 2007, negando per il resto, a partire dal 1° aprile 2007, ogni ulteriore prestazione per il motivo che il grado d'invalidità del 18% non raggiungeva il minimo di legge (40%). A.b Adito su ricorso dell'interessato avverso la decisione su opposizione della SUVA, con giudizio 9 aprile 2008 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il gravame e rinviato gli atti all'amministrazione affinché, sulla base di una perizia psichiatrica, si pronunciasse nuovamente sul nesso di causalità tra il sinistro del luglio 2004 e le turbe psichiche e, se del caso, sul relativo diritto a ulteriori prestazioni. Con giudizio 11 luglio 2008 la Corte cantonale ha inoltre accolto il ricorso dell'assicurato contro la decisione 11 ottobre 2007 dell'UAI rinviando gli atti all'amministrazione per complemento istruttorio (segnatamente sull'aspetto psichiatrico) e nuova decisione sul diritto a prestazioni dopo il 31 marzo 2007. A.c L'UAI dopo aver fatto esperire una perizia pluridisciplinare (reumatologica, pneumologica e psichiatrica) dal Servizio Accertamento Medico dell'Assicurazione Invalidità (SAM) - che dal 1° aprile 2007 (recte: dal 15 dicembre 2006, data della visita medica di chiusura da parte del dott. C._, medico di circondario della SUVA) ha ritenuto R._ abile al lavoro nella misura del 25% quale manovale e in misura completa in attività che tenessero conto delle limitazioni funzionali evidenziate in sede reumatologica e conseguenti segnatamente alla periartropatia omeroscapolare a destra in esiti da tre interventi di ricostruzione della cuffia rotatoria - ha negato il diritto a ulteriori prestazioni per difetto di invalidità di grado pensionabile (decisione 1° settembre 2009). Dal canto suo, la SUVA, dopo avere dato seguito al complemento istruttorio ordinato dal Tribunale cantonale con la pronuncia del 9 aprile 2008, ha sospeso la procedura infortunistica in attesa di una sentenza definitiva in ambito AI. B. Adita nuovamente dall'assicurato che chiedeva l'annullamento della decisione 1° settembre 2009 dell'UAI e che, previo allestimento di una nuova perizia psichica, pretendeva il riconoscimento di una rendita intera d'invalidità sulla base di una inabilità lavorativa completa, la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso pur concedendo il gratuito patrocinio (pronuncia 15 ottobre 2010). C. R._ ha presentato ricorso al Tribunale federale cui domanda di trasmettere gli atti all'istanza precedente per esecuzione di una perizia giudiziaria che determini il suo stato di salute a dipendenza delle affezioni reumatologiche, pneumologiche e psichiche e per nuovo giudizio. Il ricorrente chiede inoltre di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria anche in sede federale. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. Chiamati a pronunciarsi sul gravame, l'UAI ne propone la reiezione, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni federali ha rinunciato a determinarsi.