Fatti: A. Il 23 marzo 1981 la A._, fondazione di famiglia con sede a Vaduz, ha aperto il conto xxx denominato C._ presso la succursale di X._ della banca D._ SA, divenuta in seguito E._ SA, conferendole un mandato di amministrazione e di gestione patrimoniale. La corrispondenza era trattenuta in banca, dove la persona di riferimento era F._, dapprima assistente di gestione poi via via direttore-aggiunto responsabile della succursale, membro e vice-presidente del comitato della direzione generale. A partire dal 1991 F._ mostrava dei "ricapitolativi" ai beneficiari economici della fondazione, i quali firmavano i documenti e spesso davano anche mandato per dei bonifici o prelievi di cassa. Nei primi mesi del 2002 egli aveva inoltre trasmesso ai beneficiari economici diversi documenti che attestavano un patrimonio attorno ai 4.5 milioni di franchi; una dichiarazione rilasciata dalla banca ai fini della procedura di condono fiscale italiana denominata scudo fiscaleesponeva un patrimonio di Euro 2'944'717.--. Dopo il decesso di F._, suicidatosi il 13 maggio 2002, è venuto alla luce che le informazioni contenute nei predetti documenti erano in buona parte false e che il saldo contabile al 31 dicembre 2001 ammontava a soli fr. 1'136'338.--. B. B.a. Il 9 marzo 2005 la A._ ha promosso causa davanti al Pretore di Lugano chiedendo che la E._ SA fosse condannata a risarcirle il danno causatole dalle malversazioni e dalla cattiva gestione di F._, quantificato fr. 3'309'388.90 (replica), subordinatamente fr. 3'114'067.-- (conclusioni). La convenuta ha chiesto che l'azione fosse interamente respinta. Il Pretore l'ha accolta parzialmente con sentenza del 27 luglio 2011, condannando la convenuta, che nel frattempo aveva ancora cambiato la propria ragione sociale in B._ SA, a pagare all'attrice fr. 2'943'877.25 con interessi al 5 % dal 31 dicembre 2004. B.b. Il 26 giugno 2013 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese, statuendo sull'appello della convenuta, ha riformato la sentenza di primo grado riducendo la condanna di pagamento a fr. 946'740.--. C. La A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 2 settembre 2013; chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che sia confermato il giudizio del Pretore, in particolare la condanna della convenuta a pagarle fr. 2'943'877.25. La B._ SA propone, con risposta del 17 ottobre 2013, che il ricorso sia respinto nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non ha preso posizione.