Fatti: A. A.a. Nel 2000 la Banca B._SA ha assunto A._, divenuto in seguito responsabile del settore ricerche. Il 10 dicembre 2008 la banca e il suo dipendente hanno stipulato una convenzione in cui quest'ultimo si è addossato parte dell'eventuale danno causato dalla sua gestione ad alcuni clienti. Il 29 dicembre seguente le parti hanno firmato un addendum, con cui è stata estesa la responsabilità del dipendente e un nuovo contratto di lavoro. Il 30 marzo 2009 la banca ha disdetto il rapporto di lavoro per il 30 settembre 2009 e il 4 maggio 2009 ha licenziato il dipendente con effetto immediato per motivi gravi. A.b. Con petizione 6 settembre 2011 A._ ha convenuto in giudizio innanzi al Pretore del distretto di Lugano la Banca B._SA, chiedendo che questa fosse condannata a pagargli fr. 437'660.40 (fr. 60'000.-- per il prelievo effettuato sulla base della convenzione 10 dicembre 2008, fr. 40'000.-- a titolo di bonus per l'anno 2008, fr. 30'326.20 quale indennità per la differenza di salario da gennaio ad aprile 2009, fr. 1'170.-- d'interessi, fr. 75'529.20 di salario netto da maggio a settembre 2009, fr. 90'635.-- d'indennità ex art. 337c cpv. 3 CO e fr. 140'000.-- di risarcimento danni). Il 6 novembre 2012 il Pretore aggiunto ha respinto, in accoglimento dell'eccezione d'incompetenza materiale fondata sulla clausola compromissoria contenuta nella suddetta convenzione, l'azione limitatamente all'importo prelevato dal conto dell'attore e al bonus per il 2008. Con sentenza 5 giugno 2014 egli ha respinto la petizione anche con riferimento alle altre richieste. B. L'appello presentato da A._ è stato respinto, nella misura in cui era ammissibile, dalla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino con sentenza 2 febbraio 2016. La Corte cantonale ha ritenuto che il lavoratore aveva sollevato in modo irrito e non aveva provato di aver sottoscritto sotto minaccia il contratto di lavoro del 2008. Ha poi considerato che il licenziamento con effetto immediato è avvenuto per un motivo grave. C. Con ricorso in materia civile del 14 marzo 2016 A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, in via principale la riforma della sentenza impugnata nel senso che la petizione sia interamente accolta. In via subordinata chiede che, dopo l'annullamento della sentenza cantonale, l'incarto sia ritornato all'autorità inferiore per nuova decisione. Afferma di aver sostanziato che la sottoscrizione del nuovo contratto era avvenuta sotto minaccia e ritiene il licenziamento in tronco ingiustificato. Termina sostenendo che i giudici di appello sono rimasti silenti con riferimento a due critiche. La Banca B._SA ha proposto con risposta 21 aprile 2016 di respingere sia la richiesta di conferimento dell'effetto sospensivo che il ricorso. Con decreto del 26 aprile 2016 la Presidente della Corte adita ha respinto la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo.