Fatti: A. A.a. A._ è affiliato presso Swica Assicurazione malattia SA (di seguito Swica) per l'assicurazione obbligatoria delle cure medico-sanitarie. L'interessato è al beneficio di prestazioni complementari per le quali la Cassa cantonale di compensazione AVS/AI/IPG (di seguito Cassa cantonale) gli ha riconosciuto, come ai suoi familiari, la presa a carico integrale delle spese relative al pagamento del premio di cassa malati. In seguito alla soppressione con effetto retroattivo da parte della Cassa cantonale della riduzione del premio per il periodo dal gennaio 2014 all'aprile 2016, SWICA ha chiesto a A._ il pagamento dei premi di cassa malati relativi a questo periodo. L'importo richiesto da Swica ammonta, per A._ e i suoi familiari, per il periodo in questione, a fr. 30'672.60, poi ridotti a fr. 29'397.60. A.b. Con decisione del 25 gennaio 2017 Swica non è entrata nel merito della domanda di condono concernente il pagamento dei premi arretrati presentata dall'interessato e l'ha trasmessa alla Cassa cantonale per competenza. Questa procedura è attualmente sospesa. In data 24 agosto 2017 Swica ha inviato a A._ un precetto esecutivo concernente gli importi dovuti. Con decisione del 3 aprile 2018, Swica ha rigettato l'opposizione dell'interessato presentata contro il precetto esecutivo. A._ ha inoltrato un'opposizione contro la decisione del 3 aprile 2018. A.c. A._ ha quindi contestato la legittimazione di Swica a domandare l'importo dei premi (non più coperto dai sussidi), sostenendo che spetterebbe alla Cassa cantonale richiedere la restituzione del sussidio versato a torto. Con giudizio del 10 aprile 2018, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il ricorso per denegata giustizia presentato dall'assicurato e rinviato la causa a Swica affinché si pronunci sulla sua legittimazione a chiedere direttamente al ricorrente il pagamento dei premi da gennaio 2014 ad aprile 2016. Dando seguito al giudizio del 10 aprile 2018, Swica ha dapprima sospeso la procedura relativa al precetto esecutivo, in seguito con decisione del 13 agosto 2018 ha reiterato la propria legittimazione a chiedere il pagamento dei premi assicurativi per il periodo in questione. Con decisione su opposizione del 7 dicembre 2018, Swica ha confermato la decisione del 13 agosto 2018. B. Adito dall'interessato, il Tribunale cantonale ha accolto il ricorso e modificato la decisione del 7 dicembre 2018 nel senso che Swica non ha alcuna legittimazione a chiedere il pagamento dei premi. C. Swica inoltra un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale chiede, in via principale, di riconoscerle la legittimazione a chiedere il pagamento dei premi e, in via subordinata, di rinviare gli atti al Tribunale cantonale per ulteriori accertamenti e nuova decisione. D. Invitato a pronunciarsi sul ricorso, l'opponente ha chiesto di respingere il ricorso.