Fatti: A. Il cittadino italiano A._ è giunto in Svizzera nel luglio 2010 e ha ottenuto un permesso di dimora UE/AELS valido fino al 27 luglio 2015 per svolgere un'attività lucrativa dipendente nel nostro Paese (direttore della succursale di X._ (TI) della neocostituita B._ LTD con sede principale nel Regno Unito, società attiva nel [...]). Al suo arrivo, aveva indicato di alloggiare a Y._ (TI), presso l'abitazione di C._, amministratrice della società, usufruendo di una camera con servizio per una pigione di fr. 300.-- mensili. B. Con decisione del 26 luglio 2016, la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto la domanda con cui A._ chiedeva il rilascio di un permesso di domicilio, revocandogli nel contempo anche il permesso di dimora. Nel seguito, la correttezza di tale provvedimento è stata confermata sia dal Consiglio di Stato (28 febbraio 2018), che dal Tribunale cantonale amministrativo (19 novembre 2019). Al pari della Sezione della popolazione, anch'essi hanno infatti concluso che il "centro degli interessi" di A._ non fosse nel nostro Paese, bensì in Italia. C. Con ricorso del 12 dicembre 2019, A._ ha impugnato il giudizio della Corte cantonale davanti al Tribunale federale, chiedendo: in via principale, che la decisione della Sezione della popolazione sia annullata e che gli sia rilasciato un permesso di domicilio; in via subordinata, che la decisione della Sezione della popolazione sia annullata e che gli sia concesso il rinnovo del permesso di dimora. Il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza e ad essa ha fatto rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte. Con decreto presidenziale del 16 dicembre 2019, è stato concesso l'effetto sospensivo al ricorso.