Fatti: A. A._ è un cittadino turco di etnia curda entrato illegalmente in Svizzera nel 1997 (rispettivamente, secondo quanto da lui affermato, quale richiedente d'asilo). Sposatosi con una connazionale, nell'ottobre 2001 ha ottenuto un permesso di dimora per vivere con la moglie. Dall'unione tra i coniugi, nel 2007 è nato un figlio che, come la madre, possiede oggi la nazionalità svizzera. Sul piano professionale, A._ ha alternato l'attività lavorativa a momenti di disoccupazione. Nell'aprile 2013, il Giudice civile competente ha pronunciato il divorzio della coppia. L'autorità parentale sul figlio è rimasta congiunta, mentre la custodia è stata attribuita alla madre, facendo obbligo al padre di versare un contributo di fr. 300.-- mensili. Dopo il divorzio, il permesso di dimora annuale di A._ è stato regolarmente rinnovato fino al 4 agosto 2017. B. Durante il suo soggiorno in Svizzera, A._ ha interessato le autorità amministrative e giudiziarie penali nei seguenti termini: 20.10.03: Decreto d'accusa (DA) per circolazione in stato di ebrietà (alcolemia min. 0.86-max. 1.06 g% o) e infrazione alle norme della circolazione stradale: pena di 10 giorni di detenzione sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni e multa di fr. 1'000.--; 20.02.04: DA per infrazione all'allora vigente legge federale sulla dimora e il domicilio degli stranieri (aiuto all'entrata illegale) : pena di 15 giorni di detenzione sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni e formale ammonimento; 02.04.04: ammonito dal Dipartimento con l'avvertenza che in caso di recidiva o di comportamento scorretto, sarebbe stata presa in esame la possibilità di adottare adeguate misure amministrative nei suoi confronti; 07.09.06: sentenza del Giudice della Pretura penale per lesioni semplici qualificate: 60 giorni di detenzione, sospesi condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni, e prolungamento di 18 mesi del periodo di prova a ciascuna delle condanne del 20.10.03 e del 20.02.04; 05.10.06: 2° ammonimento dipartimentale per i suoi precedenti penali; 18.02.08: DA per infrazione e contravvenzione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope (LStup) : pena pecuniaria di 25 aliquote giornaliere da fr. 50.-- cadauna - sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni - aggiuntiva a quella di cui alla sentenza del 07.09.06, multa di fr. 3'000.--, formale ammonimento e prolungamento di 1 anno del periodo di prova di cui alla sentenza del 07.09.06; 17.11.11: DA per rissa e contravvenzione alla LStup: condanna a valere quale pena unica, richiamato il DA del 18.02.08, alla pena detentiva di 6 mesi - sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 4 anni - e multa di fr. 500.--; 13.01.12: 3° ammonimento dipartimentale per i suoi precedenti penali; 13.02.13: DA per infrazione e contravvenzione ripetuta alla LStup: pena pecuniaria di 15 aliquote giornaliere da fr. 60.-- cadauna e formale ammonimento. 12.03.13: DA per guida in stato di inattitudine (alcolemia min. 1.32-max. 1.86 g% o) e infrazione alle norme della circolazione stradale: pena pecuniaria di 150 aliquote giornaliere da fr. 30.-- cadauna e prolungamento di 1 anno del periodo di prova della pena inflittagli il 17.11.11; 06.10.15: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 11 km/h del limite di velocità di 60 km/h) : multa di fr. 160.--; 17.05.16: 4° ammonimento dipartimentale per la condanna del 06.10.15 nonché per avere 6 procedure esecutive in corso per un totale di fr. 2'872.45 e 21 attestati di carenza beni per complessivi fr. 33'348.75, oltre al fatto che dal 1.01.12 al 31.05.13 lo Stato aveva anticipato la pensione alimentare al figlio per un importo di fr. 8'375.85; 22.08.16: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 3 km/h del limite di velocità di 100 km/h) : multa di fr. 20.--; 19.09.16: DA per minaccia: pena pecuniaria di 30 aliquote giornaliere da fr. 30.-- cadauna e formale ammonimento; 02.02.18: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 21 km/h del limite di velocità di 50 km/h) : multa di fr. 600.--; 13.04.18: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 17 km/h del limite di velocità di 100 km/h) : multa di fr. 180.--. A causa del suo comportamento, nel 2005 e nel 2009 la richiesta di concessione di un permesso di domicilio gli è stata rifiutata. Constatato che, nonostante la pronuncia di quattro ammonimenti, egli aveva continuato a delinquere, non aveva sanato la sua situazione debitoria, e aveva omesso di versare gli alimenti al figlio, il 22 novembre 2017 ha quindi fatto seguito la decisione di non rinnovargli il permesso di dimora, che non è stata impugnata ed è cresciuta in giudicato. C. Facendo valere il lungo soggiorno nel nostro Paese e di avere un figlio, con il quale intratterrebbe rapporti regolari, il 16 marzo 2018 A._ ha chiesto alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino di riesaminare la decisione presa il 22 novembre 2017. In questo contesto, ha inoltre domandato di considerare che, a partire dal 1° aprile 2018, avrebbe avuto la possibilità di intraprendere un'attività presso la ditta B._ SA di X._, che lo aveva assunto con contratto a tempo indeterminato e con retribuzione di fr. 4'292.--, che gli avrebbe permesso di sistemare la sua situazione debitoria e di far fronte ai doveri di mantenimento del figlio. Constatato come non fossero stati addotti fatti nuovi di importanza tale da modificare la decisione presa in precedenza e che sugli altri aspetti alla base della sua precedente decisione A._ non si era espresso, il 3 maggio 2018 l'autorità ha respinto l'istanza. Su ricorso, il diniego è stato confermato sia dal Consiglio di Stato (29 agosto 2018) che dal Tribunale amministrativo ticinese (18 maggio 2020). D. Con ricorso del 22 giugno 2020, A._ si è rivolto al Tribunale federale domandando che il giudizio della Corte cantonale sia annullato - segnatamente, poiché lesivo del suo diritto alla vita familiare - e l'incarto rinviato ai Giudici ticinesi, affinché entrino nel merito dell'istanza di riesame. Chiede inoltre il conferimento dell'effetto sospensivo. Il Tribunale federale ha domandato alle autorità cantonali la trasmissione degli atti; non ha per contro ordinato scambi di scritti.