Fatti: A. A.a. A._, nato nel 1961, è stato meccanico dipendente e quindi è stato assicurato obbligatoriamente all'INSAI. In seguito, ha svolto il lavoro di meccanico indipendente e di direttore di una ditta di pompe funebri. A.b. Il 15 agosto 1980 A._ è rimasto vittima di un incidente stradale, accusando la lussazione dell'anca destra, la paresi e parestesia del nervo sciatico destro, come anche una ferita lacero-contusa alla caviglia destra. L'INSAI con decisione del 10 ottobre 1983 ha posto A._ al beneficio di una rendita di invalidità del 50% dal 1° settembre 1983. A.c. Il 1° maggio 2008 A._, alla guida di un'autovettura, ha urtato il guidovia e ha riportato una commozione cerebrale e contusioni a livello cervicale e toracico. Il 27 aprile 2009 A._ a causa della pioggia è scivolato su una scala, battendo a terra la regione lombare. L'INSAI ha assunto entrambi i sinistri. Il 21 gennaio 2011 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha da una parte stabilito che i disturbi lombari si siano trovati in relazione naturale con l'infortunio del 27 aprile 2009 soltanto per una durata di sei mesi dal trauma stesso e, da un'altra parte, tenuto conto unicamente dei postumi residuali dell'evento del 15 agosto 1980, ha negato che fossero adempiuti i presupposti per procedere a una revisione della rendita di invalidità in vigore. A.d. Il 9 aprile 2018 l'INSAI ha comunicato la sospensione del versamento delle indennità giornaliere dal 1° maggio 2018 e che ulteriori cure mediche non sarebbero state suscettibili di migliorare la situazione. L'assicuratore ha comunque dichiarato l'assunzione dei costi dei controlli medici necessari, mentre ha rifiutato il trattamento con un neurostimolatore. Ha poi rinviato ad atto separato la quantificazione della rendita di invalidità e della IMI. L'INSAI con decisione del 16 aprile 2018 ha negato l'esistenza di un nesso causale tra l'infortunio avvenuto nel 1980 e i disturbi trombotici agli arti inferiori, lombosacrali e cervico-brachiali. L'assicuratore ha ribadito l'attribuzione di una rendita di invalidità del 50% e assegnato un'indennità per menomazione dell'integrità (IMI) del 17.15% in seguito ai postumi residuali dell'evento traumatico del 1980. Con decisione su opposizione del 3 luglio 2018 l'INSAI ha confermato il precedente provvedimento del 16 aprile 2018. B. Il 3 luglio 2019 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto, nella misura della sua ricevibilità, il ricorso di A._ contro la decisione su opposizione. C. A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale sostanzialmente l'annullamento del giudizio cantonale e il rinvio degli atti all'INSAI perché proceda con una revisione della rendita dopo l'esperimento di una perizia pluridisciplinare e l'assunzione di tutte le spese di cura. In via subordinata, A._ postula la riforma del giudizio cantonale nel senso che siano assegnate ripetibili per la sede cantonale e rimborsate le spese per medici e medicamenti necessari alla cura dei dolori neuropatici e per la fisioterapia. L'INSAI propone la reiezione del ricorso, mentre la Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni. D. Il 26 novembre 2019 il Tribunale federale ha richiesto informazioni all'INSAI riguardante la giurista incaricata di rappresentare l'assicuratore in questo caso, figlia del terzo giudice della Corte cantonale. Il 31 gennaio 2020 (timbro postale) l'INSAI ha preso posizione alla richiesta di informazioni. Il 6 febbraio 2020 A._ ha replicato, diffondendosi in questioni di merito. Il 18 marzo 2020 A._ ha trasmesso la più recente corrispondenza con l'INSAI.