Fatti: A. La B._ Sagl ha fatto notificare alla A._ SA un precetto esecutivo di fr. 83'959.30 per l'incasso di mercedi d'appalto non pagate concernenti - in breve, perché la causa verte su questo - la fornitura di matrici per lo stampo di oggetti plastici. L'opposizione della debitrice è stata rigettata in via provvisoria per fr. 74'173.05 con sentenza del 18 novembre 2010 del Pretore di Lugano, confermata in appello. B. Il 3 gennaio 2011 la A._ SA ha avviato davanti al Pretore di Lugano, sezione 2, l'azione di disconoscimento del predetto debito, chiedendo nel contempo che la B._ Sagl fosse condannata a pagarle fr. 85'000.-- a rifusione del costo di rimozione dei difetti delle forniture e restituzione di prestazioni pagate indebitamente. La parte convenuta ha eccepito, tra l'altro, che questa azione condannatoria non era stata preceduta dal tentativo di conciliazione obbligatorio secondo l'art. 197 CPC ed era inammissibile per l'incompetenza territoriale del giudice luganese. Il Pretore ha accolto l'eccezione fondata sull'art. 197 CPC con decisione del 14 luglio 2011. L'appello della A._ SA è stato respinto con sentenza del 1° giugno 2012 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese. Il Tribunale federale ha poi respinto con sentenza del 14 gennaio 2013 il successivo ricorso in materia civile dell'attrice (incarto 4A_413/2012). C. Il 18 dicembre 2018 il Pretore ha respinto l'azione di disconoscimento del debito e con sentenza del 12 marzo 2020 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha a sua volta respinto l'appello dell'attrice, nella misura in cui lo ha ritenuto ricevibile. D. La A._ SA insorge di nuovo davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 27 maggio 2020. Chiede che, in accoglimento della petizione, sia dichiarato inesistente il debito di fr. 74'173.05 e sia annullata l'esecuzione promossa contro di lei. La B._ Sagl propone di respingere il ricorso con risposta del 23 giugno 2020. La ricorrente ha replicato il 9 luglio 2020. L'autorità cantonale non ha preso posizione.