Fatti: A. A.a. A.A._, cittadina della Repubblica Dominicana, casalinga, è sposata dal 23 gennaio 2007 con A.B._ - cittadino svizzero e italiano - e madre di A.C._. A.A._ è residente in Svizzera dal 5 giugno 2007 (con permesso B di dimora familiare) ed è beneficiaria di una rendita dall'assicurazione invalidità per sé e per sua figlia, come pure di prestazioni assistenziali per sé, il marito e la figlia. A.b. Con decisione del 13 marzo 2015 la Cassa cantonale di compensazione AVS/AI/IPG/AD/AF (in seguito: Cassa) ha respinto la domanda di prestazioni complementari (in seguito: PC) presentata da A.A._, difettando l'adempimento del necessario termine di attesa di 10 anni di dimora ininterrotta in Svizzera. Il 28 aprile 2015, come pure con complemento del 6 maggio 2015, A.A._ si è opposta al provvedimento. Con decisione su opposizione del 7 agosto 2015 la Cassa ha sostanzialmente confermato il suo rifiuto di prestazioni. B. Il 14 settembre 2015 A.A._ si è rivolta al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino chiedendo che le venga riconosciuto il diritto alle PC. Con giudizio del 22 marzo 2016 la Corte cantonale ha respinto il gravame. C. Il 3 maggio 2016 (timbro postale) A.A._ presenta ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, cui chiede il riconoscimento del diritto alle PC a partire dal 1° agosto 2012, data di inizio del diritto a una rendita d'invalidità. Con considerazioni del 23 settembre 2016 la Cassa propone di respingere il ricorso, come pure l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) in data 4 novembre 2016. Il Tribunale cantonale ha per contro rinunciato a prendere posizione. Con osservazioni del 17 novembre 2016 la ricorrente si è determinata sulle riflessioni della Cassa e dell'UFAS, rinnovando infine la richiesta di accoglimento del gravame.