Fatti: A. A.a. Il 14 aprile 2014 A._, quale committente, la B._ SA in liquidazione, che si occupava pure delle opere di capomastro (in seguito B._ SA), quale garante, e la C._ SA, quale appaltatrice, hanno stipulato una convenzione concernente il pagamento delle opere appaltate a quest'ultima società per un importo complessivo di fr. 108'592.90 (di cui fr. 75'242.90 erano ancora da saldare) nell'ambito della ristrutturazione di una casa di proprietà del committente. In base a tale accordo l'appaltatrice si impegnava ad eseguire i lavori secondo il programma allegato, una volta versati sul conto della garante gli importi concordati. La fine dei lavori era stata fissata per il 13 giugno 2014 e le parti avevano previsto una penale di fr. 500.-- per ogni giorno di ritardo. Il committente ha versato tempestivamente la prima rata di fr. 53'000.-- prevista dalla convenzione, mentre non ha mai pagato la seconda di fr. 22'000.-- da corrispondere secondo "quanto previsto dal programma lavori" entro il 4 giugno 2014. Il 17 aprile 2014 la C._ SA ha sottoposto al committente un'offerta di complessivi fr. 7'225.20 per opere supplementari richieste da quest'ultimo. Nemmeno la garante aveva riversato la totalità degli importi secondo le modalità previste dalla convenzione, trattenendo in particolare fr. 14'774.80 per sé, perché il committente era in ritardo con il pagamento della sua mercede. L'11 giugno 2014 l'appaltatrice ha lamentato il mancato versamento dei montanti pattuiti e ha annunciato la sospensione dei lavori. Il giorno seguente le sono stati versati fr. 10'000.-- e fr. 7'225.20. Il 29 luglio 2014 A._ ha impartito alla C._ SA un termine di una settimana per concludere i lavori. Quest'ultima ha invano chiesto alla garante il versamento del saldo di fr. 14'774.80 e il pagamento di una fattura di ulteriori fr. 6'732.70. Il 1° ottobre 2014 il committente ha fissato all'appaltatrice un ultimo termine di 5 giorni per finire i lavori, minacciando che in caso contrario li avrebbe affidati a un terzo. A.b. Dopo aver ottenuto l'iscrizione provvisoria di un'ipoteca legale sul fondo di A._, la C._ SA ne ha chiesto al Pretore della giurisdizione di Mendriso-Sud l'iscrizione definitiva con petizione 13 maggio 2015. L'appaltatrice ha poi convenuto in giudizio con petizione 13 ottobre 2015 innanzi al medesimo Pretore A._ e la B._ SA, chiedendone la condanna in solido al pagamento di fr. 50'732.70. Il 29 gennaio 2016 A._ ha domandato in via riconvenzionale il versamento di complessivi fr. 64'149.20. Con sentenza 4 maggio 2018 il Pretore ha respinto le petizioni presentate dalla C._ SA, ordinando all'Ufficiale dei registri di Mendrisio di procedere alla cancellazione dell'ipoteca legale annotata in via provvisoria, mentre ha parzialmente accolto l'azione riconvenzionale di A._ e ha condannato l'attrice a versargli fr. 5'742.60. B. In parziale accoglimento dell'appello della C._ SA, la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha invece parzialmente accolto le petizioni, ha condannato A._ al versamento di fr. 29'225.20 e la B._ SA al pagamento di fr. 14'774.80, ha rigettato in tale misura in via definitiva le opposizioni interposte ai relativi precetti esecutivi e ha ordinato l'iscrizione definitiva dell'ipoteca legale degli artigiani ed imprenditori per fr. 44'000.--. Ha per contro integralmente respinto l'azione riconvenzionale. Richiamato l'art. 82 CO, la Corte cantonale ha ritenuto che con la convenzione del 14 aprile 2014 le parti avevano derogato a quanto previsto dall'art. 372 CO e che la C._ SA non poteva essere considerata in ritardo. Ha invece reputato ingiustificata l'omissione del pagamento di fr. 22'000.-- entro il 4 giugno 2014 sul conto della garante da parte del committente. Ha quindi considerato che quest'ultimo non era legittimato a recedere dal contratto giusta l'art. 107 cpv. 2 CO e non aveva diritto a un risarcimento danni né alla pena convenzionale, mentre ha accordato alla C._ SA il risarcimento dell'interesse positivo, e cioè la mercede ancora dovuta giusta la convenzione 14 aprile 2014 e fr. 7'225.20 per le opere supplementari secondo la relativa offerta. C. Con ricorso in materia civile dell'11 marzo 2020 A._ e la B._ SA postulano la riforma della sentenza cantonale nel senso che l'appello sia respinto. A._ chiede pure di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria. Narrati i fatti, indicano che l'appaltatrice, pur dovendo terminare i propri lavori entro il 13 giugno 2014, non ha mai completato l'opera. Sostengono poi che la Corte di appello non ha considerato che il versamento di fr. 53'000.-- alla garante aveva un effetto liberatorio per A._ e obbligava l'appaltatrice a ultimare l'opera. Questa avrebbe poi violato per prima la convenzione, non eseguendo certi lavori, ragione per cui il committente era legittimato a recedere dal contratto. Lamentano infine che la Corte cantonale non avrebbe spiegato perché l'importo supplementare di fr. 7'225.20 sarebbe dovuto e chiedono la rifusione delle poste riferite a opere non eseguite dall'attrice. Con decreto 2 giugno 2020 la Presidente della Corte adita ha sospeso la procedura in seguito al fallimento della B._ SA, pronunciato il 25 maggio 2020, e ha revocato il termine impartito all'opponente per l'inoltro di una risposta. La Camera di esecuzione e fallimenti del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha annullato il fallimento, come ha del resto già fatto in altre due occasioni, con decisione 23 giugno 2020. Il 17 agosto 2020 la Pretura del distretto di Lugano ha nuovamente dichiarato il fallimento di tale società. Con lettera 18 agosto 2020 il patrocinatore dei ricorrenti è invano stato invitato ad allegare e dimostrare la situazione finanziaria di A._. Non è stato ordinato uno scambio di scritti.