Fatti: A. A.a. La società ticinese A._ SA importava e distribuiva in Svizzera le bibite prodotte dalla società italiana B._ S.p.A. Queste giungevano sopra delle palette di carico fino alla dogana di Chiasso, da dove la A._ SA le recapitava ai dettaglianti mediante dei vetturali svizzeri. Il 5 febbraio 2007 la B._ S.p.A ha fatturato alla A._ SA il valore di 9'510 palette, date in comodato e che non le erano state riconsegnate fino alla fine del 2006. Poiché un grande dettagliante (C._ SA) aveva nel frattempo restituito 3'330 palette al fabbricante di bevande, la A._ SA aveva pagato a saldo della fattura unicamente euro 44'500.--, importo corrispondente al controvalore di 6'180 palette. La collaborazione tra le due imprese è cessata nel 2013. A.b. Con petizione 15 aprile 2014 la B._ S.p.A ha chiesto al Pretore del distretto di Lugano di condannare la A._ SA a versarle euro 95'985.11 (euro 64'444.11 per la merce fornita nel 2013 e euro 31'545 per la mancata restituzione di 3'505 palette negli anni 2011-2013). La convenuta ha riconosciuto il debito per la merce fornita, ma ha contestato l'importo domandato per le palette. Essa ha, a sua volta, postulato con un'azione riconvenzionale che l'attrice fosse condannata a pagarle, in via principale, euro 278'100 a titolo di noleggio di 6'180 palette e, in via subordinata, euro 60'446.87, importo che ritiene pari al loro valore attuale. Ha motivato la pretesa riconvenzionale, asserendo che l'attrice aveva continuato ad utilizzare con i dettaglianti le predette palette, che aveva in precedenza "venduto" alla convenuta. Il Pretore ha, in parziale accoglimento della petizione, condannato la A._ SA al pagamento di euro 64'444.11, mentre ha integralmente respinto l'azione riconvenzionale. Egli ha indicato, riferendosi alla gestione delle palette menzionate nell'azione riconvenzionale e utilizzate per rifornire la C._ SA, che le parti avevano adottato il cosiddetto metodo dell'interscambio differito in cui la restituzione da parte del dettagliante viene posticipata e che quest'ultimo aveva verosimilmente riconsegnato le palette vuote alla convenuta e non, come da questa asserito, all'attrice principale. B. Con sentenza del 23 settembre 2019 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura in cui era ricevibile, l'appello con cui la A._ SA aveva postulato la riforma della sentenza pretorile nel senso di accogliere la domanda riconvenzionale. Ha disatteso le censure rivolte contro la conclusione del primo giudice secondo cui non risultava che le palette erano tornate in possesso della B._ S.p.A. Non ha infatti ritenuto che la consegna a quest'ultima fosse rimasta incontestata o che fosse stata dimostrata e ha confermato che il luogo di origine in cui la C._ SA aveva dichiarato di aver reso le palette non era la sede italiana dell'attrice, ma verosimilmente sempre Chiasso; ciò anche dopo che quest'ultima è subentrata alla convenuta nel traffico merci con tale negoziante. C. La A._ SA postula, con ricorso in materia civile del 24 ottobre 2019, la riforma della sentenza cantonale nel senso che la domanda riconvenzionale sia accolta e la B._ S.p.A condannata a pagarle in via principale euro 278'100.-- e in via subordinata euro 60'446.87, oltre accessori. In via ancora più subordinata domanda l'annullamento del giudizio impugnato e il rinvio della causa all'autorità inferiore per nuova decisione. Lamenta una violazione degli art. 150 cpv. 1 e 222 cpv. 2 CPC, dato che l'opponente non avrebbe contestato di aver ricevuto le palette dalla C._ SA. Ritiene che in ogni caso i Giudici cantonali avrebbero violato l'art. 157 CPC, perché essa aveva pure apportato le prove che il dettagliante aveva consegnato le palette all'opponente. Poiché quest'ultima avrebbe continuato ad utilizzare le 6'180 palette invece di restituirgliele, prosegue la ricorrente, sarebbe sorto per atti concludenti un contratto di affitto per il quale è dovuto un fitto di euro 7.50 per paletta. Conclude il gravame affermando che, qualora non venisse riconosciuta la predetta pretesa, l'opponente deve versarle euro 60'446.87, importo che corrisponderebbe al prezzo di acquisto a cui è stato aggiunto un risarcimento per compensare la perdita di valore dell'euro nei confronti del franco svizzero. Con risposta 11 novembre 2019 la B._ S.p.A propone la reiezione del ricorso.