Fatti: A. A._, cittadina italiana residente in Italia, ha beneficiato dal settembre 2015 di permessi per confinanti UE/AELS per lavorare presso diversi datori di lavoro ticinesi. Nel maggio 2018 ha notificato alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino un cambiamento di datore di lavoro, indicando che dal 15 febbraio precedente era impiegata come cameriera presso il Caffè B._ a X._ (TI). B. Con decisione del 14 settembre 2018, l'autorità competente ha rifiutato di rilasciarle il permesso sollecitato per motivi di ordine pubblico (siccome dal certificato generale del casellario giudiziale italiano risultava una condanna a suo carico) e le ha fissato un termine per cessare la propria attività. Nel seguito, A._ si è invano rivolta sia al Consiglio di Stato che al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino. Il primo ha infatti confermato la decisione dipartimentale (21 agosto 2019). Il secondo ha invece respinto il gravame per ragioni di ordine procedurale, pronunciandosi in merito con sentenza del 4 dicembre 2019. Constatato che il titolare del Caffè B._ aveva licenziato A._ con effetto dal 14 novembre 2018, a causa del fatto che le era stato negato il permesso per confinanti, e che la stessa non risultava avere trovato un altro impiego, la Corte cantonale ha infatti rilevato che il Governo ticinese non avrebbe dovuto respingere il ricorso ma stralciarlo dai ruoli, poiché divenuto privo di oggetto. C. A._ ha contestato quest'ultimo giudizio davanti al Tribunale federale, con ricorso di diritto pubblico del 6 gennaio 2020. Con tale atto, chiede che la querelata sentenza sia annullata e che le venga concesso il permesso richiesto. Domanda inoltre di essere posta a beneficio dell'assistenza giudiziaria. Chiamato ad esprimersi, il Tribunale amministrativo si è riconfermato nel proprio giudizio. Chiedendo il rigetto dell'impugnativa, ad esso ha rinviato anche la Sezione della popolazione. Il Governo ticinese si è invece rimesso alle valutazioni del Tribunale federale. Con decreto del 22 gennaio 2020 è stato concesso l'effetto sospensivo al gravame.