Fatti: A. A.a. L'avvocato A.A._ è stato amministratore unico (1993-2000) e poi liquidatore (2000-2001) della B._ AG (di seguito: la Società), sulla base di un mandato conferitogli dallo zio C.A._ (ora defunto), azionista unico della Società. Il 9 luglio 1999, in veste di amministratore unico della B._ AG, A.A._ ha venduto a nome della stessa un fondo situato a X._ a D._, (seconda) moglie di C.A._. A.b. Il 12 marzo 2018, l'avvocata E.A._, figlia di C.A._ e D._, nonché cugina di A.A._, ha inoltrato alla Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino (di seguito: la Commissione) una segnalazione in cui sosteneva che A.A._ si sarebbe trovato in una situazione di conflitto d'interessi relativa a un mandato da lui assunto per conto di F.A._, figlio di C.A._ e della sua prima moglie. Secondo la denunciante, nell'ambito di tale mandato, A.A._ avrebbe segnatamente contestato davanti alle competenti autorità civili proprio i termini della vendita da lui stesso effettuata nel 1999 a nome della B._ AG, incorrendo così in un palese conflitto d'interessi. A.c. Il 14 marzo 2018, a seguito della segnalazione di E.A._, la Commissione ha aperto nei confronti di A.A._ un procedimento disciplinare per presunta violazione del segreto professionale e del divieto del conflitto d'interessi. Chiamato a pronunciarsi in merito, l'interessato ha respinto ogni addebito. B. B.a. Con decisione del 18 luglio 2018, la Commissione ha inflitto a A.A._ una multa disciplinare di fr. 1'000.-- per aver utilizzato informazioni coperte dal segreto professionale, inerenti ai suoi precedenti mandati in seno alla Società, al fine di avvantaggiare il suo attuale cliente F.A._. B.b. Il 7 agosto 2019, adito su ricorso di A.A._, il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino (di seguito: il Tribunale amministrativo) ha confermato la decisione della Commissione. I Giudici cantonali hanno ritenuto, in sostanza, che il mandato assunto dall'interessato per conto di F.A._ si rivelava problematico, nell'ottica del divieto del conflitto d'interessi, non solo per l'utilizzo da parte di A.A._ di informazioni apprese durante i suoi precedenti incarichi presso la B._ AG, ma anche e soprattutto perché tale mandato contrapponeva gli interessi del suo nuovo cliente (F.A._) a quelli del defunto C.A._, del quale egli era stato per oltre dieci anni l'avvocato di fiducia e per il quale aveva assunto in passato svariati mandati. L'autorità precedente ha inoltre rilevato che, nell'ambito del (nuovo) mandato svolto per conto di F.A._, A.A._ aveva contestato alcuni atti da lui stesso effettuati, su istruzione di C.A._ e a nome della B._ AG, in particolar modo la precitata vendita del fondo situato a X._ (supra lett. A.a). Secondo i Giudici ticinesi, ciò avrebbe potuto pregiudicare la qualità delle prestazioni fornite dall'interessato al suo nuovo cliente, in quanto il suo agire avrebbe potuto essere dettato (anche) dalla volontà di difendere sé stesso e il suo precedente operato in seno alla Società. Il Tribunale amministrativo ha infine confermato l'entità della sanzione inflitta, ritenendola adeguata e rispettosa del principio di proporzionalità. C. Il 16 settembre 2019, A.A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un "ricorso di diritto pubblico" con cui postula, protestate tasse, spese e ripetibili, la riforma della sentenza del Tribunale amministrativo del 7 agosto 2019 nel senso che alla segnalazione del 12 marzo 2018 non sia dato seguito. In via subordinata, A.A._ chiede l'annullamento della sentenza del 7 agosto 2019 precitata e il rinvio degli atti al Tribunale amministrativo, rispettivamente alla Commissione, "affinché decida di non dar seguito alla segnalazione". La Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino non si è pronunciata. La Corte cantonale ha presentato delle osservazioni e si è riconfermata nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Il ricorrente ha replicato il 9 dicembre 2019, producendo nel contempo un nuovo documento.