Fatti: A. Nel luglio 2015 A._, studente di bachelor presso l'Università di X._, si è rivolta all'Ufficio delle borse di studio e dei sussidi del Cantone Ticino (ora Ufficio degli aiuti allo studio) domandando un aiuto allo studio per l'anno accademico 2015/2016. Il 1° settembre 2015 il citato Ufficio ha concesso una borsa di studio di fr. 11'379.--. Nella sua decisione, ha indicato che l'importo era stato determinato tenendo conto della situazione finanziaria della madre della richiedente (con il nuovo coniuge) e di quella del padre naturale, in base all'ultima tassazione disponibile (2014). B. L'originaria decisione è stata in seguito confermata sia su reclamo all'Ufficio medesimo, sia su ricorso al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino. Esposto il quadro legale di riferimento, anche la Corte cantonale ha infatti rilevato che la presa in considerazione, ai fini del calcolo del reddito disponibile di riferimento, dei redditi del patrigno rispondeva al volere del legislatore cantonale ed il calcolo eseguito era corretto. In mancanza di una possibilità di esito favorevole, ha inoltre respinto l'istanza di assistenza giudiziaria presentata con il gravame. C. Il 28 febbraio 2018, A._ ha impugnato quest'ultimo giudizio con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendone l'annullamento e la concessione dell'aiuto allo studio per un ammontare di fr. 16'000.-- nonché il riconoscimento dell'assistenza giudiziaria. In corso di procedura, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Il rigetto del ricorso è stato domandato anche dal Dipartimento cantonale competente. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.