Fatti: A. Dopo avere vissuto in Svizzera per quasi 16 anni (aprile 1984 - marzo 2000), paese ove nel 1989 è convolato a nozze con una cittadina svizzera, beneficiando per tal motivo dapprima di un permesso di dimora e poi di un permesso di domicilio, e dalla quale ha divorziato nel 1994, A._, cittadino italiano (1950), è tornato in Italia agli inizi del 2000. Egli è poi rientrato nel nostro Paese il 5 gennaio 2002, quando si è sposato con B._ (1962), cittadina svizzera, ottenendo per tal motivo un permesso di dimora annuale, trasformato poi in un permesso di dimora CE/AELS (ora: UE/AELS). A._ ha lavorato dal mese di giugno 2003 al mese di dicembre 2006 e ha percepito poi delle indennità di disoccupazione fino al 2008. Vista la sua situazione finanziaria (atti di carenza beni per oltre fr. 200'000.--), l'allora Sezione dei permessi e dell'immigrazione (ora: Sezione della popolazione) del Dipartimento delle istituzioni del Canton Ticino ha respinto, il 17 aprile 2008, la sua istanza del 10 dicembre 2007, volta al rilascio di un permesso di domicilio, e gli ha rinnovato nel contempo il permesso di dimora fino al 4 gennaio 2013. Detto provvedimento è stato confermato su ricorso dal Consiglio di Stato l'11 giugno 2008, con decisione cresciuta in giudicato incontestata. Il 1° settembre 2008 A._ è stato assunto quale docente di musica su chiamata. Lo stesso giorno lui e la moglie sono stati autorizzati dal Pretore del Distretto di Lugano a vivere separati. A partire del 1° giugno 2009 A._ ha beneficiato di prestazioni assistenziali. Dal mese di marzo 2010 al mese di giugno 2012 egli ha svolto un'attività di pubblica utilità. Dal 1° marzo 2013 è in pensione anticipata e riceve una rendita AVS parziale nonché prestazioni complementari mensili pari a fr. 1'455.--. B. Dopo avere informato, il 19 settembre 2013, A._ della sua intenzione di rivalutare la continuazione del suo soggiorno in Svizzera ed avergli accordato la facoltà di esprimersi al riguardo, la Sezione della popolazione ha respinto, il 12 dicembre 2013, la seconda richiesta volta al rilascio di un permesso di domicilio da lui presentata il 27 novembre 2012, ha revocato (recte: ha rifiutato di rinnovargli) il suo permesso di dimora UE/AELS e gli ha fissato un termine fino al 31 gennaio 2014 per lasciare la Svizzera. Questo provvedimento è stato confermato su ricorso dapprima dal Consiglio di Stato, il 20 agosto 2014, e poi dal Tribunale cantonale amministrativo con sentenza del 27 agosto 2015. La Corte cantonale ha osservato, in sintesi, che il rifiuto di rilasciargli un permesso di domicilio rispettivamente di rinnovargli il permesso di dimora UE/AELS non disattendeva la legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri (LStr; RS 142.20), l'Accordo del 21 giugno 1999 tra la Comunità europea e i suoi Stati membri, da una parte, e la Confederazione Svizzera, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (Accordo sulla libera circolazione o ALC; RS 0.142.112.681), l'art. 8 CEDU e, infine, il principio della proporzionalità. C. Il 12 ottobre 2015 A._ ha presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con cui chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che gli venga accordato un permesso di domicilio. In via sussidiaria postula il rinnovo del proprio permesso di dimora e, in via ancora più subordinata, il rinvio degli atti all'istanza precedente affinché si pronunci di nuovo. Chiamato ad esprimersi, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nella propria decisione. Il Consiglio di Stato si è rimesso al giudizio di questa Corte mentre la Sezione della popolazione ha chiesto il rigetto del gravame così come la Segreteria di Stato della migrazione SEM. D. Con decreto presidenziale del 15 ottobre 2015 è stato conferito l'effetto sospensivo al ricorso.