Fatti: A. A._, cittadino colombiano, è giunto in Svizzera nel maggio 2006 per chiedere asilo. A seguito dell'accoglimento della sua domanda, ha ottenuto un permesso di dimora. Durante il suo soggiorno nel nostro Paese, A._ ha interessato le autorità penali in questi termini: 30 luglio 2007: decreto d'accusa del Ministero pubblico del Cantone Ticino; pena pecuniaria di 20 aliquote giornaliere da fr. 60.-- ciascuna, sospesa condizionalmente per 3 anni, e multa di fr. 1'200.-- per i reati di guida in stato di inattitudine ed infrazione alle norme della circolazione. 7 maggio 2010: sentenza della Corte delle assise correzionali di Lugano; pena detentiva di 2 anni e 6 mesi, di cui due anni sospesi condizionalmente per 4 anni, per i reati di infrazione aggravata e contravvenzione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope del 3 ottobre 1951 (LStup; RS 812.121) (incarcerazione tra il 29 gennaio e il 28 luglio 2010). Preso atto di questa seconda condanna, il 7 giugno 2013 l'allora Ufficio federale della migrazione ha revocato l'asilo a A._, ma non la qualità di rifugiato. L'11 dicembre 2013 il Tribunale amministrativo federale ha confermato questa decisione, respingendo il ricorso interposto dall'interessato. B. Invitata dalla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino a pronunciarsi in merito all'esistenza di eventuali impedimenti all'allontanamento di A._ (cfr. lettera del 30 gennaio 2014 agli atti), il 27 febbraio 2018 la Segreteria di Stato della migrazione (SEM) ha concluso che il rimpatrio in Colombia non violerebbe il divieto di tortura sancito all'art. 3 della Convenzione europea per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali del 4 novembre 1950 (CEDU; RS 0.101). Ottenuta questa risposta dalla SEM, dopo averla più volte sollecitata, con decisione del 28 giugno 2018 l'autorità dipartimentale ha quindi informato A._ di non ritenere più date le condizioni che avevano portato al rilascio del permesso di dimora e, considerato ammissibile ed esigibile il suo rientro in Patria, gli ha negato il rinnovo da lui domandato a diverse riprese (10 agosto 2010, 25 gennaio 2011, 3 maggio 2012, 8 aprile 2016) senza che le sue richieste venissero sin lì evase. Nel seguito, tale provvedimento di diniego è stato confermato sia dal Governo (12 dicembre 2018) che dal Tribunale amministrativo ticinese (6 agosto 2019). C. Il 9 settembre 2019 A._ ha impugnato il giudizio della Corte cantonale davanti al Tribunale federale con ricorso sussidiario in materia costituzionale. In tale contesto, chiede che il permesso di dimora gli sia rinnovato. In parallelo, domanda l'esenzione dal versamento di un anticipo spese in quanto le sue entrate non gli permettono di farvi fronte. In corso di procedura, il Tribunale amministrativo si è riconfermato nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.