Fatti: A. Dal 1992 al 2010 A._ ha conferito alla B._SA, rappresentata da C._, diversi mandati fiduciari per la costituzione e l'amministrazione di numerose società e per l'intestazione di azioni, di un conto corrente bancario e di un'automobile. I rapporti contrattuali sono cessati tra ottobre 2011 e marzo 2012. B. Il 19 luglio 2012 la B._SA ha convenuto in giudizio A._ davanti alla Pretura di Mendrisio Sud chiedendo che fosse condannato a pagare CHF 38'803.85, EUR 142'173.10, USD 21'623.75 e GBP 176'154.60; importi corrispondenti ai saldi di numerose fatture emesse a copertura delle proprie prestazioni. A._ si è opposto alla petizione e il 24 luglio 2012 ha avviato a sua volta un'azione di rendiconto contro la B._SAed C._, in seguito dimesso dalla lite, chiedendo la presentazione di un resoconto scritto e una posizione di dare/avere per determinate società nonché un riassunto di tutte le prestazioni effettuate, da lei o da terzi, con il dettaglio di ore e tariffe. La B._SA si è opposta integralmente. Le due cause sono state congiunte. C. Il Pretore si è pronunciato con sentenza del 14 febbraio 2018. Ha accolto parzialmente l'azione di A._, giudicando fondata la domanda di rendiconto nella misura in cui non era divenuta priva d'oggetto. Di quest'azione di rendiconto non si dirà di più, poiché non è oggetto del ricorso al Tribunale federale. Anche la petizione della B._SAè stata accolta parzialmente, con la condanna di A._ a pagare CHF 28'727.--, EUR 69'306.75, USD 12'021.35 e GBP 118'330.45. D. Entrambe le parti si sono appellate al Tribunale di appello ticinese. La B._SA (detta in seguito attrice) ha chiesto che la sua petizione fosse accolta integralmente. A._ (convenuto) ha domandato in via principale l'annullamento della decisione del Pretore sulla petizione della controparte e il rinvio della causa per l'assunzione di altre prove e nuovo giudizio; subordinatamente di essere condannato a pagare soltanto CHF 5'719.57, EUR 6'575.-- e USD 3'305.39. Con sentenza del 4 novembre 2019 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha accolto parzialmente l'appello della B._SA e condannato A._ a pagare CHF 28'727.--, EUR 69'306.75, USD 10'852.25 e GBP 122'226.50. Essa ha invece respinto l'appello di A._. E. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 9 dicembre 2019.Riformula le domande principale e subordinata presentate davanti all'autorità cantonale. Con risposta 30 gennaio 2020 la B._SA propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ricevibile. Le parti hanno replicato e duplicato rispettivamente il 17 e 26 febbraio 2020. L'autorità cantonale non ha preso posizione. La domanda di conferimento dell 'effetto sospensivo al ricorsoè statarespinta con decreto presidenziale del 19 febbraio 2020.