Fatti: A. Con una "convenzione di mutuo fruttifero" del 30 giugno 2004 (agli atti come documento B) B._ ha trasferito a A._ "la proprietà della somma di Euro 500'000.--". Il contratto stabiliva, tra l'altro, che il "trasferimento" era già avvenuto, che con la sua firma il mutuatario rilasciava quietanza, ch'egli s'impegnava a restituire capitale con interessi entro il 30 giugno 2006 e si riconosceva formalmente debitore nel senso dell'art. 82 LEF; le parti eleggevano inoltre il foro di Lugano e dichiaravano applicabile il diritto svizzero, in particolare gli art. 312 segg. CO. Il 23 marzo 2005 B._ e A._ hanno firmato una seconda convenzione per la somma di euro 250'000.--; il contenuto era uguale a quello della prima, ma fissava la scadenza del mutuo al 1° marzo 2007 (documento C). In un conteggio del 29 marzo 2006 B._ ha ricapitolato i prestiti effettuati a favore di A._ e della C._Spa, società della quale questi era socio di maggioranza, gli ha proposto un nuovo riparto di euro 1'305'000.-- a carico della società e euro 750'000.-- a carico suo "comme initialement prévu" e gli ha chiesto di confermargli se accettava la ridistribuzione. Il 7 aprile 2006 A._ ha firmato il conteggio per accettazione (documento D). Il medesimo giorno è stato sottoscritto un "atto costitutivo di pegno su azioni" (documento E). Nelle premesse si diceva che A._ era debitore nei confronti di B._ di euro 750'000.--, che dovevano essere ripagati con gli interessi entro il 31 dicembre 2011. A._ ha poi costituito una "garanzia pignoratizia" su 147 azioni della C._Spa a favore di B._. B. Il 26 novembre 2015 B._ ha promosso un'azione davanti al Tribunale di Varese, fondata sul predetto atto di pegno, chiedendo che A._ fosse condannato a pagargli euro 750'000.--. Il tribunale si è dichiarato incompetente con sentenza del 31 ottobre 2017, riconoscendo la competenza funzionale della sezione specializzata per quella materia presso il Tribunale di Milano. La procedura italiana non ha avuto seguiti. C. Il 1° marzo 2017 B._ ha presentato un'istanza di conciliazione alla Pretura di Lugano, ottenendo l'autorizzazione ad agire contro A._ per la pretesa di euro 750'000.--. Prima della scadenza del termine assegnatogli a questo fine, il 12 maggio 2017 egli ha presentato un'istanza nella procedura sommaria di tutela nei casi manifesti, chiedendo che A._ fosse condannato a pagargli euro 750'000.--. La domanda era fondata sui documenti B, C, D e E. Il convenuto ha contestato che la causa potesse essere decisa secondo la procedura sommaria di tutela nei casi manifestie ha proposto diverse eccezioni e obiezioni, delle quali si dirà. Il Pretore ha accolto l'istanza con sentenza del 28 agosto 2019. Il 17 febbraio 2020 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha respinto l'appello del convenuto. D. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 18 marzo 2020. Chiede la concessione dell'effetto sospensivo e, nel merito, che il giudizio impugnato sia annullato, che l'appello sia accolto e che l'istanza sia dichiarata irricevibile. Con risposta 11 maggio 2020 B._ propone di respingere sia la domanda di effetto sospensivo sia il ricorso. La domanda di effetto sospensivo è stata respinta con decreto presidenziale del 4 giugno 2020.