Fatti: A. Nel marzo 2010 A.A._, cittadina brasiliana nata nel 1976, si è sposata nel proprio Paese di origine con C._, cittadino italiano titolare di un permesso di domicilio in Svizzera. Nel 2009, la coppia aveva avuto un figlio. Il 28 marzo 2011 A.A._ ha ottenuto un permesso di dimora UE/AELS con scadenza il 27 marzo 2016 per vivere in Svizzera insieme al marito. Qualche giorno prima, il figlio della coppia B.A._ ha invece ottenuto un permesso di domicilio UE/AELS, con termine di controllo fissato al 14 marzo 2018. II 26 febbraio 2014 A.A._ ha informato il Servizio regionale degli stranieri competente di avere lasciato l'appartamento coniugale di X._ e di essersi trasferita con suo figlio presso D._ a Y._. Interrogati il 31 maggio rispettivamente 6 giugno 2016 dalla Polizia cantonale in merito all'evoluzione della loro situazione matrimoniale, A.A._ e C._ hanno affermato che la loro relazione aveva iniziato ad incrinarsi circa due anni dopo le nozze, di vivere separati di fatto dalla fine di dicembre 2013 e di voler divorziare. B. Il 7 febbraio 2017 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha revocato sia iI permesso di dimora UE/AELS di cui beneficiava A.A._, sia il permesso di domicilio rilasciato a favore del figlio. Nel seguito, il Consiglio di Stato ticinese ha avallato la decisione dipartimentale (23 agosto 2017). Su ricorso di A.A._ e del figlio B.A._, il Tribunale amministrativo è giunto invece alla conclusione che la decisione di revocare/non rinnovare il permesso di dimora alla madre era corretta, mentre le condizioni per una revoca del permesso del figlio non erano date (29 agosto 2019). C. Il 1° ottobre 2019, agendo per sé e in rappresentanza del figlio, A.A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con cui chiede l'annullamento delle decisioni cantonali di revoca, protesta spese e ripetibili per le istanze inferiori e domanda l'assistenza giudiziaria. Il Tribunale amministrativo ticinese si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Alla querelata pronuncia ha fatto rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.