Fatti: A. A._, nata nel 1964, di professione giurista, si è iscritta in disoccupazione, dichiarandosi disposta a lavorare a tempo parziale in misura del 20% di un'occupazione a tempo pieno ripartito su cinque giorni, ossia per 1h36 ore giornaliere. Con decisione del 28 ottobre 2019, confermata su opposizione il 7 gennaio 2020, la Sezione del lavoro ha ritenuto A._ inidonea al collocamento. B. Con giudizio del 2 giugno 2020 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il ricorso di A._, annullando la decisione su opposizione impugnata, dichiarando l'idoneità al collocamento e obbligando la Sezione del lavoro al versamento di un'indennità per spese ripetibili. C. La Sezione del lavoro presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale l'annullamento del giudizio cantonale e sostanzialmente la conferma della decisione su opposizione. In via subordinata, la Sezione del lavoro chiede il parziale accoglimento del ricorso e l'annullamento della condanna al pagamento di spese ripetibili. Inoltre postula la dispensa dal pagamento delle spese giudiziarie. Chiamati a pronunciarsi, A._ chiede la reiezione del ricorso e la concessione del gratuito patrocinio, mentre la Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni.