Fatti: A. A._, cittadino bosniaco nato nel... è arrivato in Svizzera nel 1995 per chiedere asilo. Nel 1998 è stato posto a beneficio dell'ammissione provvisoria insieme ai suoi familiari e, il 23 agosto 2012, ha ottenuto un permesso di dimora annuale giusta l'art. 84 cpv. 5 della legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI; RS 142.20), che gli è stato rinnovato un'ultima volta fino al 6 agosto 2016. Da una relazione con una cittadina elvetica, nel 2011 è diventato padre di B._, che è affidata e vive con la madre. B. Preso atto del fatto che, dall'aprile 2014, A._ dipendeva dall'aiuto sociale, così come del fatto che l'ammonimento pronunciato nei suoi confronti per questa dipendenza non aveva sortito gli effetti sperati, con decisione del 18 febbraio 2016 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino gli ha revocato il permesso di dimora di cui disponeva. Tale provvedimento è stato confermato su ricorso sia dal Governo ticinese (30 agosto 2017) che dal Tribunale amministrativo (13 giugno 2019). Anche quest'ultimo: da un lato, ha infatti ammesso l'esistenza del motivo di revoca/non rinnovo di cui all'art. 62 cpv. 1 lett. e LStrI (dipendenza dall'aiuto sociale); d'altro lato, ha considerato che il principio della proporzionalità era rispettato. C. Il 17 luglio 2019 A._ ha impugnato quest'ultimo giudizio con ricorso davanti al Tribunale federale chiedendo che, in riforma dello stesso, il permesso di dimora gli sia rinnovato. In parallelo, domanda l'esenzione dal versamento di un anticipo spese in quanto le sue entrate non gli permettono (ancora) di farvi fronte. La Corte cantonale si è riconfermata nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.