Fatti: A. A.a. Con contratto 25 marzo 2015 la A._S.p.A. si è impegnata a versare a C._, agente di calciatori registrato presso una federazione di calcio sudamericana, una rimunerazione di euro 4 milioni per il suo intervento nel caso in cui il calciatore professionista D._ fosse stato trasferito per un prezzo superiore ai 20 milioni di euro. La convenzione contiene pure una clausola penale del 2 % mensile in caso di mora nel pagamento e B._, proprietario e presidente della A._S.p.A., si era impegnato a garantire personalmente il pagamento della provvigione fino a euro 1'550'000.--. Il 20 maggio 2015 la A._S.p.A. e C._ hanno stipulato un secondo accordo in cui veniva riconosciuto che era stato conferito un mandato. Nel giugno 2015 il predetto giocatore è stato ceduto alla E._S.p.A. per 40 milioni di euro. Lo stesso mese C._ e la A._S.p.A. hanno concluso un accordo in cui veniva ribadito il predetto tasso di interesse nel caso di mora e stabilita una corresponsione scaglionata della rimunerazione: la prima rata di euro 1'550'000.-- doveva essere versata entro il 30 giugno 2015, la seconda di euro 900'000.-- entro il 30 settembre 2015 e la terza di euro 1'550'000.-- entro il 31 dicembre 2015. La A._S.p.A. ha unicamente effettuato il primo dei pagamenti pattuiti. A.b. C._ ha presentato al Tribunale arbitrale dello Sport (TAS) una domanda di arbitrato nei confronti sia della A._S.p.A. (il 12 aprile 2016) che di B._ (il 22 luglio 2016). Dopo aver congiunto le procedure il TAS ha accolto, con lodo 19 dicembre 2017, le domande formulate nei confronti di entrambi i convenuti, ha condannato la A._S.p.A. a versare all'attore sia euro 900'000.-- per la seconda rata sia, congiuntamente a B._, la terza rata di euro 1'550'000.--, il tutto oltre interessi annui del 17 % dalla scadenza delle rispettive rate fino al loro pagamento. Ha posto le spese e le ripetibili della procedura arbitrale a carico dei convenuti e ha da ultimo respinto ogni altra domanda e conclusione. B. Con ricorso in materia civile del 9 febbraio 2018 la A._S.p.A. e B._ chiedono, previo conferimento dell'effetto sospensivo all'impugnativa, che il lodo sia annullato o dichiarato nullo. Secondo i ricorrenti il Tribunale arbitrale ha violato l'art. 190 cpv. 2 lett. c, d ed e LDIP, perché non avrebbe statuito sulla domanda di restituzione della somma già pagata, perché non avrebbe valutato delle prove, perché avrebbe giudicato ultra petita sulla questione degli interessi stabilendoli in una percentuale usuraia, perché ha rigettato la domanda di chiamata in giudizio della F._LLC, perché ha ritenuto legittimo ed efficace un contratto che sarebbe invece nullo e perché avrebbe determinato il diritto applicabile in modo errato. C._ propone, con risposta 23 marzo 2018, la reiezione del ricorso - nella misura in cui sia ammissibile - e della domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al gravame. Il TAS conclude con risposta 3 aprile 2018 per la reiezione del ricorso. Con decreto del 27 aprile 2018 la Presidente della Corte adita ha conferito effetto sospensivo al ricorso.