Fatti: A. In data 6 settembre 2018 la Società svizzera di radiotelevisione, succursale RSI Radiotelevisione svizzera di lingua italiana, ha diffuso un servizio riguardante l'esercizio della consulenza legale da parte di persone prive delle necessarie qualifiche, nel quale ha dato la notizia che il Procuratore pubblico del Cantone Ticino aveva emesso un decreto d'accusa contro la titolare della ditta individuale "B._" di X._, accusata di aver esercitato la propria attività lasciando intendere di essere avvocato senza però disporre del relativo titolo. Sul sito Internet della predetta succursale è inoltre stato pubblicato un riassunto del servizio. Mediante istanza 30 agosto/20 settembre 2019 A._ (titolare della "B._") ha convenuto in causa dinanzi al Pretore del Distretto di Lugano la Società svizzera di radiotelevisione chiedendo di esercitare il diritto di risposta (art. 28l CC). A._ ha anche chiesto l'adozione di misure cautelari e la concessione del gratuito patrocinio. Con decisione 13 dicembre 2019 il Pretore ha respinto la domanda cautelare e l'istanza di gratuito patrocinio. Mediante decisione 16 marzo 2020 egli ha respinto anche l'istanza di merito, ponendo a carico di A._ fr. 500.-- a titolo di spese processuali e fr. 2'800.-- a titolo di spese ripetibili. B. Con sentenza 18 agosto 2020 la III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura della sua ricevibilità, il "reclamo" 26 marzo 2020 introdotto da A._. I Giudici cantonali hanno respinto la sua istanza di gratuito patrocinio e posto a suo carico fr. 400.-- a titolo di spese processuali. C. Con ricorso datato 22 settembre 2020 A._ ha impugnato la sentenza cantonale dinanzi al Tribunale federale, chiedendo, previa concessione dell'effetto sospensivo al rimedio, di annullarla e di rinviare la causa all'autorità inferiore per riesame e nuova decisione. La ricorrente chiede anche di essere posta al beneficio del gratuito patrocinio per la sede federale. Non è stato ordinato uno scambio di scritti, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.