Fatti: A. A._, cittadino italiano, è giunto in Svizzera nel 1964; dopo alcuni anni, è stato posto a beneficio di un permesso di domicilio. Egli è padre di tre figli - C._, B._ e D._ - nati dalla relazione con la cittadina uzbeca E._. Il 7 giugno 2013, A._ si trovava in Italia, dove è stato arrestato e incarcerato. Dopo la revoca di ogni misura limitativa della sua libertà, il 15 dicembre 2016 è tornato in Svizzera. B. Rispondendo ad una richiesta di informazioni inoltrata dallo stesso A._, il 24 novembre 2016 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha comunicato a quest'ultimo che, dopo la sua partenza per l'estero senza compilare nessuna notifica personale, risultava essere sprovvisto di qualsiasi permesso di soggiorno, poiché quello di cui beneficiava era decaduto. Preso atto di ciò, A._ ha quindi chiesto che il suo permesso di domicilio fosse ripristinato. Ricevuta tale domanda, la Sezione della popolazione l'ha però respinta e si è pure rifiutata di prorogare il permesso di soggiorno di cui disponevano i figli. La liceità di questo provvedimento è stata in seguito confermata sia dal Consiglio di Stato che dal Tribunale cantonale amministrativo, che si è espresso in merito con sentenza del 12 dicembre 2018. C. Il 16 gennaio 2019 A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale, per sé e in rappresentanza dei figli, un "ricorso di diritto pubblico" con cui chiede che il suo permesso di domicilio venga ripristinato e l'esenzione dal versamento di un anticipo a copertura delle spese di procedura. La Corte cantonale si è riconfermata nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.