Fatti: A. Nel novembre 1997, l'allora Commissione federale delle banche ha ordinato Io scioglimento e la messa in liquidazione della società D._ SA ed ha nominato come liquidatrice C._ AG. Quest'ultima ha terminato il mandato affidatole nel giugno 2006, fatturando alla società onorari per fr. 476'813.75. Nel dicembre 2007 D._ SA in liquidazione è stata radiata dal registro di commercio. Con petizione del 29 settembre 2008, B._ e A._ hanno convenuto in giudizio C._ AG per ottenere il pagamento a D._ SA in liquidazione di fr. 274'500.-- oltre interessi. Come azionisti di D._ SA, hanno infatti rimproverato alla convenuta di non avere svolto il mandato correttamente e, in particolare: di avere venduto il veicolo sociale E._ a un prezzo inferiore alla valutazione Eurotax (causando un danno di fr. 24'500.--); di avere fornito prestazioni inutili o contrarie agli interessi della società o degli azionisti (ciò che imponeva di dedurre dagli onorari almeno fr. 100'000.--); di avere ritardato la conclusione della liquidazione (accrescendo inutilmente i suoi onorari di almeno fr. 150'000.--). La convenuta si è opposta alla petizione. In sede conclusionale ha prodotto alcuni atti attestanti le spese di deposito della documentazione oggetto di una domanda di edizione nei suoi confronti, chiedendone il rimborso. B. Con sentenza del 17 ottobre 2014, il Pretore ha parzialmente accolto la petizione, condannando la convenuta al pagamento a D._ SA in liquidazione di fr. 259'500.-- oltre a interessi e, in particolare: ammettendo parzialmente la richiesta di risarcimento del danno derivante dalla vendita del veicolo E._ ad un prezzo inferiore alla valutazione raccolta (fr. 9'500.--); riconoscendo in toto la domanda di riduzione degli onorari (fr. 250'000.--). Ordinata la reiscrizione a registro di D._ SA in liquidazione e nominato quale suo liquidatore l'avv. F._, ha nel contempo: dichiarato inammissibile la documentazione presentata dalla convenuta in sede conclusionale; respinto un'istanza di intersecazione della convenuta. Su appello di quest'ultima, con sentenza del 17 marzo 2016 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha parzialmente accolto il ricorso. In riforma della pronuncia del Pretore, essa ha in particolare ridotto l'importo dovuto alla D._ SA da fr. 259'500.-- a fr. 9'500.-- (relativi alla vendita del veicolo sociale). C. Contro questo giudizio, B._ e A._ sono insorti davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile, chiedendo: in via principale e in riforma della sentenza impugnata, di respingere l'appello e di confermare la pronuncia del Pretore; in via subordinata, di annullare la sentenza impugnata e di rinviare l'incarto alla Corte cantonale per completazione dell'istruttoria e nuova decisione nel senso dei considerandi; in via ancora più subordinata, di decidere come richiesto in via principale previa assunzione delle prove offerte dagli attori in prima istanza e rifiutate dal Pretore. Con la risposta, l'opponente domanda che il gravame sia integralmente respinto.