Fatti: A. Il 29 ottobre 2014 A._, locatrice, e B._, conduttrice, hanno firmato un contratto di locazione per una casa a Meride, con una pigione di fr. 1'200.-- al mese tutto compreso, con inizio il 1° febbraio 2015, di durata indeterminata e rescindibile con preavviso di tre mesi, la prima volta per il 1° febbraio 2016. La conduttrice ha preso possesso dell'abitazione già il 15 dicembre 2014. I rapporti si sono ingarbugliati subito dopo la firma del contratto, allorquando A._ ha fatto sapere a B._ che occorreva sottoscrivere un contratto "definitivo" in sostituzione di quello del 29 ottobre 2014, che menzionasse una comunione ereditaria come locatrice e prevedesse l'assunzione di spese di riscaldamento, il deposito di una garanzia e un adeguamento del canone. Il 15 gennaio 2015 la locatrice ha comunicato all'inquilina che poneva termine alla trattativa e che non intendeva più firmare un contratto di locazione e le ha chiesto di restituire l'abitazione. B. Il 10 febbraio 2015 A._ ha disdetto il contratto di locazione per motivi gravi con effetto al 31 maggio 2015. B._ non ha ritirato l'invio raccomandato. Il 5 giugno 2015 la locatrice ha chiesto al Pretore di Mendrisio-Nord di ordinare l'espulsione della conduttrice e di condannarla a pagarle un'indennità di fr. 1'200.-- al mese per occupazione abusiva dal 1° giugno in poi. L'azione, proposta secondo la procedura sommaria di tutela giurisdizionale nei casi manifesti, è stata dichiarata irricevibile con sentenza del 27 luglio 2015 del Pretore aggiunto, che non ha ritenuto adempiuti i presupposti dell'art. 257 CPC. C. In precedenza, il 23 marzo 2015 A._ aveva diffidato B._ a pagarle fr. 3'600.-- per i canoni di gennaio, febbraio e marzo 2015, avvertendola che, in caso di mancato pagamento entro il 24 aprile 2015, il contratto sarebbe stato disdetto per mora. Anche questo invio raccomandato non è stato ritirato. Il 24 luglio 2015 la locatrice ha disdetto il contratto per mora con effetto al 31 agosto 2015. La conduttrice ha contestato la disdetta e, fallita la procedura di conciliazione, con petizione del 3 novembre 2015 depositata presso la Pretura di Mendrisio-Nord ha chiesto, oltre alla concessione dell'assistenza giudiziaria, che fosse accertata la nullità o l'inefficacia della disdetta. La locatrice si è opposta all'azione e in via riconvenzionale ha chiesto che l'inquilina fosse immediatamente espulsa e condannata a pagarle l'indennità mensile di fr. 1'200.-- per occupazione abusiva dell'abitazione. Il Pretore aggiunto ha accordato l'assistenza giudiziaria alla conduttrice, ha respinto la sua petizione e ha accolto parzialmente la riconvenzione con sentenza del 9 maggio 2016; ha ordinato in particolare l'espulsione immediata dell'inquilina condannandola a pagare fr. 1'200.-- al mese a partire dal 1° settembre 2015 fino alla liberazione della casa. Il giudizio di prima istanza è stato riformato dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese, la quale, con sentenza del 15 marzo 2017, ha posto la conduttrice al beneficio dell'assistenza giudiziaria e, in accoglimento della sua petizione, ha accertato l'inefficacia della disdetta per mora del 24 luglio 2015. La domanda riconvenzionale della locatrice è stata respinta. D. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile dell'8 maggio 2017; chiede l'annullamento della sentenza d'appello e la conferma di quella del Pretore aggiunto. Con risposta del 10 luglio 2017 B._ chiede l' assistenza giudiziaria anche a livello federale e propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non ha preso posizione.