Fatti: A. A.a. Il 5 luglio 2010 A._ ha avvertito un dolore/bruciore all'occhio destro, mentre stava svolgendo giardinaggio con un decespugliatore. Ne è derivata una lesione corneale nummulare. SWICA Assicurazioni SA (di seguito: SWICA), quale assicuratore obbligatorio contro gli infortuni, ha assunto il caso, erogando prestazioni. A.b. Il 3 dicembre 2012 è stata annunciata una ricaduta dell'evento del 5 luglio 2010. Con decisione del 28 febbraio 2013 SWICA ha negato la propria responsabilità oggetto della ricaduta, ritenendo la problematica di origine morbosa (cheratite erpetica) e pertanto di natura extra-infortunistica. A.c. L'8 gennaio 2013 A._ è stato sottoposto a un intervento di cheratoplastica perforante all'occhio destro. A.d. Dopo che con giudizio dell'8 settembre 2015 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha ingiunto all'assicuratore di emettere una decisione senza indugio, con decisione su opposizione del 16 settembre 2015 SWICA ha confermato la precedente decisione. B. Il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino con giudizio del 13 aprile 2016 ha accolto il ricorso presentato da A._, accertato un nesso di causalità tra la ricaduta del dicembre 2012 e il sinistro del 5 luglio 2010 e condannato SWICA ad assumere le prestazioni successive al 3 dicembre 2012. C. SWICA presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede sostanzialmente l'annullamento del giudizio cantonale e la conferma della decisione su opposizione. A._ postula la reiezione del ricorso. L'Ufficio federale non ha presentato alcuna risposta, mentre la Corte cantonale ha rinunciato a esprimersi.