Fatti: A. A._, già cittadina tunisina, nata nel 1970, è giunta in Europa nel 1994, soggiornando dapprima in Italia. Il 25 ottobre 1997, davanti all'Ufficio dello Stato civile dell'allora Comune di X._, si è sposata con B._, cittadino svizzero nato nel 1958. Da questa unione non sono nati figli. Inizialmente l'interessata ha continuato a risiedere in Italia fino all'aprile 2001 quando le è stato rilasciato il permesso di dimora, sostituito poi da quello di domicilio. B. Il 1° luglio 2008 A._ ha inoltrato all'Ufficio federale della migrazione (attualmente Segreteria di Stato della migrazione, SEM) una domanda di naturalizzazione agevolata. Nel quadro di questa procedura, il 9 luglio 2009 i coniugi hanno firmato una dichiarazione con la quale confermavano di "vivere in un'unione coniugale reale, integra e stabile allo stesso indirizzo e che non sono previsti né una separazione né un divorzio". Con decisione del 13 agosto 2009 all'istante è stata accordata la naturalizzazione agevolata. Con scritto del 6 maggio 2011 il marito ha comunicato all'autorità federale che la moglie a far tempo dal mese di aprile 2008 possedeva un proprio appartamento ad Y._ e che dopo l'ottenimento della cittadinanza svizzera aveva chiesto la separazione, indicando che dall'agosto 2009 ella risiedeva in un appartamento a Lugano, mantenendo un recapito anche in Italia, Paese al quale aveva richiesto la cittadinanza, senza comunicare il suo trasferimento in Svizzera. C. Il 14 settembre 2011 il marito trasmetteva alla SEM uno scritto indirizzato al Pretore di Lugano, nel quale indicava il comportamento aggressivo della moglie, denunciando una di lei relazione extramatrimoniale omosessuale, rilevando in seguito che il rapporto matrimoniale era fortemente deteriorato già al momento della concessione della naturalizzazione agevolata: la moglie affermava invece che il matrimonio era naufragato solo nei mesi successivi alla concessione della nazionalità svizzera. Dal 1° novembre 2009 l'interessata ha locato un appartamento a Lugano. A partire dal 21 luglio 2010 il Pretore ha autorizzato i coniugi a vivere separati. D. Con decisione del 1° settembre 2014, accertato tra l'altro che già dal novembre 2008 l'interessata aveva preso possesso di un monolocale a Lugano e che l'unione coniugale era fortemente compromessa già prima del rilascio della naturalizzazione agevolata, la SEM l'ha annullata. Adito dall'interessata, con decisione del 29 agosto 2016 il Tribunale amministrativo federale ne ha respinto il ricorso. E. Avverso questa sentenza A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiede, concessole il beneficio del gratuito patrocinio e dell'assistenza giudiziaria, di annullarla unitamente a quella della SEM. Postula inoltre di restituirle l'anticipo versato al Tribunale amministrativo federale e che questo le versi ripetibili per quella sede. Non è stato ordinato uno scambio di scritti.