Fatti: A. A.a. Il 18 gennaio 2008 A._, cittadino italiano residente in Italia, ha aperto presso la succursale di Lugano della banca B._SA un conto. Il 10 giugno 2016 egli ha, tramite il suo avvocato, invano chiesto di chiudere la relazione con la consegna a contanti del saldo di fr. 487'881.32. La banca ha indicato che non avrebbe dato seguito all'ordine fintanto che il cliente non le avrebbe mandato uno dei due specificati documenti concernenti la situazione fiscale, ma che avrebbe eseguito un eventuale ordine di trasferimento degli averi presso un istituto bancario in Svizzera o in un paese con il quale può essere attuato lo scambio di informazioni nel senso delle convenzioni per evitare la doppia imposizione con l'Italia. Essa ha pure soggiunto che non era possibile effettuare l'operazione, perché il cliente non aveva nemmeno indicato l'uso o l'investimento al quale erano destinati i contanti. A.b. Con istanza 27 giugno 2016, promossa innanzi alla Pretura di Lugano nella procedura sommaria a tutela giurisdizionale nei casi manifesti, A._ ha chiesto che la banca B._SA fosse condannata a estinguere il conto e a consegnargli l'integralità degli averi (fr. 487'082.71) con la comminatoria penale e una multa disciplinare per ogni giorno di ritardo. Il Pretore ha dichiarato inammissibile l'istanza con decisione 14 settembre 2016. B. Con sentenza 24 maggio 2018 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura in cui era ricevibile, l'appello presentato da A._. Dopo aver considerato il gravame irricevibile nella misura in cui erano semplicemente invocate in modo generico una serie di norme, la Corte cantonale ha indicato che il primo giudice non ha negato la possibilità di prelevare a contanti gli averi, ma ha evidenziato l'importanza del concetto di tracciabilità dell'operazione alla luce dell'obbligo di tenere un comportamento irreprensibile previsto dall'art. 3 cpv. 2 lett. c della legge federale sulle banche (RS 952.0; LBCR). Ha poi ritenuto che per negare il presupposto del caso manifesto basta che la parte convenuta formuli delle eccezioni o obbiezioni, che dal punto di vista fattuale non possono essere subito confutate dal giudice, ciò che la banca ha in concreto fatto, fornendo un'approfondita analisi sui rischi giuridici e reputazionali in cui incorrerebbe effettuando il richiesto pagamento. C. Con ricorso in materia civile del 28 giugno 2018 A._ postula l'annullamento della sentenza impugnata e la sua riforma nel senso che il suo appello sia accolto e che sia ordinato alla banca, con una comminatoria penale e la minaccia di una multa, di consegnargli in contanti fr. 487'082.71. Afferma che giusta gli art. 84 CO e 2 della legge federale sull'unità monetaria e i mezzi di pagamento (RS 941.10; LUMP) il pagamento in contanti è l'unica modalità imposta dalla legge per l'estinzione di obbligazioni pecuniarie in caso di disaccordo fra le parti. Contesta poi che l'art. 3 LBCR possa giustificare il mancato versamento a contanti dell'avere bancario. Afferma inoltre che la banca non ha sostanziato o reso verosimile che gli averi non siano conformi al diritto fiscale italiano o che essa possa essere perseguita penalmente dalle autorità italiane. Conclude sostenendo che nemmeno l'assenza di una tracciabilità del flusso di denaro potrebbe giustificare il mancato versamento. Con risposta 3 settembre 2018 la banca B._SA propone, in ordine, di dichiarare il ricorso inammissibile e, nel merito, di respingerlo. A._, il 18 settembre 2018, e la banca B._SA, il 3 ottobre 2018, hanno proceduto spontaneamente a un secondo scambio di scritti.