Faits : A. A._, né en 1984, est titulaire d'un CFC d'horloger. Le 1 er juillet 2008, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, invoquant une double hernie discale et des douleurs chroniques depuis le 12 décembre 2007, dues à une chute. Le 29 septembre 2011, il a sollicité l'assistance juridique. Par deux décisions séparées du 22 novembre 2011, qui ont fait suite à deux projets du 12 octobre 2011, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a refusé d'accorder à l'assuré l'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative et a nié son droit à une rente. B. A._ a déféré ces décisions au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1 er décembre 2008, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI, ainsi qu'à l'octroi de l'assistance juridique dès le 29 septembre 2011. La juridiction cantonale a joint les causes par ordonnance du 6 février 2012. Elle a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire, neurologique, rhumatologique, orthopédique et psychiatrique auprès du Centre B._. Le rapport a été déposé le 11 avril 2014. Par jugement du 19 mars 2015, le Tribunal cantonal a rejeté les recours. L'assuré a été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité depuis le 1 er décembre 2008 et de l'assistance juridique depuis le 29 septembre 2011, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges.