Faits : A. Les époux A._ se sont mariés en 1993 à U._ (Portugal). Deux enfants sont issus de cette union: C._, aujourd'hui majeure, et D._, né en 2001. B. B.a. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 13 mai 2015, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de première instance) a notamment autorisé les époux à vivre séparés, donné acte à l'époux de son engagement de verser, à compter du mois de mai 2015, un montant de 1'000 fr., allocations familiales éventuelles non comprises, à titre de contribution à l'entretien de son fils mineur, et condamné l'époux à contribuer à l'entretien de l'épouse par le versement d'une pension mensuelle de 2'300 fr., à partir du mois de mai 2015. Le Tribunal de première instance a retenu que l'époux réalisait un revenu mensuel de 7'460 fr. pour des charges de 3'915 fr. par mois, comprenant 750 fr. de loyer, 294 fr. d'assurance-maladie, 599 fr. d'impôts, 221 fr. de transports, 850 fr. de dette à l'égard de E._, ainsi que 1'200 fr. de montant de base OP. B.b. Le 19 août 2015, l'épouse a requis le prononcé de nouvelles mesures protectrices de l'union conjugale, visant à ce que la contribution d'entretien en sa faveur soit fixée à 3'150 fr. par mois dès le 1 er août 2015. Elle a également conclu au prononcé d'un avis aux débiteurs. L'époux a pour sa part conclu à la suppression de la contribution d'entretien en faveur de son épouse. Par jugement du 18 novembre 2015, le Tribunal de première instance a débouté les parties de leurs conclusions en modification de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse et a ordonné un avis aux débiteurs pour toute somme supérieure à 3'550 fr. par mois, à concurrence des contributions d'entretien dues de 1'000 fr. et 2'300 fr. Par arrêt du 22 avril 2016, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre civile) a rejeté l'appel de l'époux. C. Par acte du 2 juin 2016, l'époux exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles. Il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 22 avril 2016, à ce qu'il soit constaté que ses dépenses mensuelles s'élèvent à 4'970 fr. pour des revenus mensuels moyens de 4'850 fr. et à ce qu'il soit dit qu'il ne peut pas contribuer à l'entretien de son épouse et de son fils; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, plus subsidiairement encore, à être acheminé à prouver par toutes voies de droit les faits allégués dans ses écritures. Invitées à se déterminer sur la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles, l'intimée a conclu à son rejet, subsidiairement à ce que la restitution de l'effet suspensif ne vaille que pour les prélèvements sur salaire antérieurs au dépôt du recours, et la Chambre civile s'est référée aux considérants de son arrêt. L'intimée a également requis le bénéfice de l'assistance judiciaire et a produit un état de frais pour la période du 6 au 15 juin 2016. D. Par ordonnance du 23 juin 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a admis la requête d'effet suspensif s'agissant tant du versement des contributions d'entretien que du prélèvement de celles-ci sur le salaire du recourant, pour les montants dus jusqu'au 31 mai 2016, mais non pour ceux dus à partir du 1 er juin 2016, et a rejeté la requête de mesures provisionnelles pour le surplus. Des observations sur le fond n'ont pas été requises.