Faits : A. A.a. A._ est peintre en bâtiment de formation. Après s'être mis à son compte en 1981, il a créé en 1999 avec un associé la société "B._ SA". L'entreprise est affiliée depuis le 1 er janvier 1999 pour la prévoyance professionnelle auprès de l'institution AXA Fondation LPP Suisse romande, Winterthur (anciennement: Winterthur-Columna fondation LPP, Lausanne; ci-après: AXA Winterthur). A.b. Le 24 avril 1970, A._ a été victime en tant que piéton d'un accident de la circulation routière, au cours duquel il a subi un traumatisme crânien avec fracture de l'os zygomatique droit et rupture du muscle externe de l'oeil droit, ainsi qu'une lésion du genou droit dont le traitement a nécessité plusieurs interventions chirurgicales. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA) a pris en charge les suites de l'accident et les très nombreuses rechutes subséquentes; elle lui a par ailleurs alloué une rente d'invalidité de 25 % dès le 1er avril 1982 (décision du 20 avril 1982). A.c. Au mois de février 2002, l'assuré a annoncé une nouvelle rechute de l'accident du 24 avril 1970 (28ème rechute). Souffrant désormais de lésions arthrosiques sévères (pangonarthrose) ainsi que de lombalgies, il a vu sa rente de l'assurance-accidents être augmentée à 40 % à compter du 1er décembre 2003 (décision du 30 décembre 2003) et à 50 % à compter du 1er décembre 2005 (décision du 21 juillet 2006). De son côté, l'Office AI Canton de Berne lui a alloué un quart de rente de l'assurance-invalidité à compter du 1er mai 2003 (décision du 24 mars 2006). A.d. Durant le courant de l'automne 2006, B._ SA a interpellé AXA Winterthur en vue d'obtenir le paiement de prestations de la prévoyance professionnelle en faveur de A._. L'institution de prévoyance n'est pas entrée en matière sur la requête, au motif que l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité était survenue avant que A._ ne s'affilie auprès d'AXA Winterthur. B. Le 22 octobre 2013, A._ a ouvert action contre AXA Winterthur devant la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne, en demandant à ce que l'assureur soit condamné à lui verser une rente de la prévoyance professionnelle obligatoire et surobligatoire à compter du 1er février 2004, avec intérêts à 5 % depuis le 28 février 2004 ou dès la fin du mois pour lequel les prestations périodiques étaient dues. Par jugement du 13 mars 2015, la juridiction cantonale a rejeté l'action. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi de prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle. AXA Winterthur conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. A._ a déposé des observations complémentaires.