Faits : A. Par jugement du 18 novembre 2014, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a reconnu A._ et B._ coupables d'usure au préjudice de U._; il a condamné cette prévenue-là à quatorze mois de privation de liberté avec sursis durant deux ans, et celui-ci à deux cent quarante jours-amende au taux de 80 fr. par jour, aussi avec sursis durant deux ans. La Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal a statué le 20 avril 2015 sur les appels des deux prévenus. Elle a rejeté les appels et confirmé le jugement. En substance, les faits sont constatés comme suit: Dès 1996, progressivement, une relation d'amitié s'est développée entre A._ et U._. Celle-ci ayant perdu sa mère en 2003, A._ l'a aidée à vendre la propriété familiale. U._ possédait désormais un capital d'environ un million de francs. Dès août 2003, avec son époux, A._ a pris à bail et habité une maison dans le Jorat. Elle a encouragé U._ à acheter cet immeuble. Le 9 juin 2004, U._ en est effectivement devenue propriétaire au prix de 230'000 francs. Elle a ensuite financé des travaux de rénovation de la maison à raison d'environ 300'000 francs. A._ et son époux lui ont versé un loyer de 1'000 fr. par mois de janvier 2006 à novembre 2007; avant et après ces dates, ils n'ont versé aucun loyer en raison des travaux en cours. U._ désirait que A._ pût continuer d'habiter la maison après son décès. A cette fin, elle rédigea le 20 mai 2007 un testament olographe par lequel elle léguait l'immeuble à A._. Celle-ci fit remarquer que U._ avait des héritiers légaux et qu'il fallait s'attendre à une contestation du legs. De plus, la légataire ne serait pas en mesure d'acquitter l'impôt successoral et elle serait donc contrainte de vendre le bien. C'est pourquoi elle a convaincu U._ d'adopter une autre solution. B._ est le fils de A._. Par acte authentique du 21 février 2008, U._ lui a vendu l'immeuble au prix de 200'000 francs. L'acte prévoyait que l'acquéreur accorderait un bail à loyer à A._, à son époux et à la venderesse, jusqu'à leurs décès, et que le loyer s'élèverait à 1'000 fr. par mois. B._ a contracté un emprunt bancaire pour payer le prix de 200'000 francs. Le produit net de la vente, soit 189'500 fr., fut versé sur un compte bancaire ouvert au nom de U._. Selon son accord avec A._, ce capital devait être affecté à d'autres travaux sur l'immeuble. Du 26 février au 7 novembre 2008, habilitée par une procuration, A._ a effectivement prélevé 177'322 fr. pour l'exécution de travaux. La vente de l'immeuble à B._, avec les stipulations prévues en faveur des trois habitants de la maison, était censée réaliser l'objectif que U._ voulait d'abord atteindre au moyen d'un testament. Le loyer mensuel de 1'000 fr. permettrait à B._ d'acquitter l'amortissement et les intérêts de l'emprunt bancaire, ainsi que les autres frais incombant au propriétaire; celui-ci considérait l'opération comme neutre pour lui. U._ a habité la maison dès mai 2008, avec A._ et son époux. Il était convenu qu'elle y serait logée, nourrie et blanchie à leurs frais, et qu'elle ne garderait à sa charge que ses assurances, ses dépenses personnelles et la nourriture de ses chiens. Sa relation avec A._ s'est ensuite dégradée. En novembre de la même année, elle a déposé plainte pénale et réclamé son interdiction volontaire. B. Dans l'enquête pénale, un rapport d'expertise psychiatrique daté du 16 mars 2011 a mis en évidence que U._ souffre notamment, depuis 1994 sinon depuis plus longtemps, d'un trouble mixte de la personnalité à traits anxieux et dépendants, et d'un trouble dépressif récurrent. Très peu autonome, elle s'est constamment appuyée sur autrui pour toute décision. Elle a ainsi dépendu, successivement, de son mari, de sa mère, de A._ puis de sa tutrice. A._ lui a fourni l'« étayage relationnel » dont elle avait besoin. Se sachant incapable de s'assumer seule, U._ vit dans l'angoisse constante de l'abandon. Son intelligence est normale; ses facultés cognitives sont conservées et elle comprend les actes juridiques et autres démarches auxquels elle prend part. En revanche, ses capacités volitives sont gravement altérées. Redoutant un abandon ou craignant la colère de A._, elle n'était pas capable de résister à ses incitations, même si elle percevait son propre désaccord. En définitive, selon le rapport, U._ présente une importante altération de ses capacités à se déterminer d'après une capacité de jugement qui est globalement préservée. Selon un rapport d'expertise immobilière daté du 10 février 2012, la valeur vénale de l'immeuble acheté par B._ était estimée à 650'000 francs. Sur la base de ces éléments, la Cour d'appel juge que A._ et B._, afin de se procurer un avantage pécuniaire disproportionné, ont exploité la faiblesse d'esprit de U._ pour la déterminer à la vente d'immeuble du 21 février 2008, et qu'ils se sont par là rendus coupables d'usure selon l'art. 157 CP. C. Agissant chacun par la voie du recours en matière pénale, A._ et B._ requièrent le Tribunal fédéral de les acquitter de toute prévention. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours de A._. Le Ministère public, la Cour d'appel et l'intimée U._ ont été invités à répondre aux recours. La Cour d'appel n'a pas présenté d'observations; le Ministère public et l'intimée concluent au rejet des deux recours. Les deux recourants ont spontanément déposé des répliques qui ont été transmises à l'intimée; celle-ci a déclaré renoncer à des prises de position supplémentaires.