Faits : A. X._ SA (ci-après: X._) est inscrite au registre du commerce de Genève depuis le 26 mai 2011. Elle a pour but toutes activités relatives aux services des valets de parking; déplacements et gardiennage de véhicules et de biens; courtage en publicité. Dès sa fondation, elle a exercé une activité de valet de parking à l'Aéroport International de Genève (ci-après l'Aéroport). Elle emploie douze personnes dont six salariés à plein temps. Depuis le 15 juin 2012, l'Aéroport a invité sans succès et à plusieurs reprises X._ à cesser ses activités de valet de parking sur les différents parkings du site aéroportuaire en l'absence de concession délivrée. La rencontre des clients et l'encaissement des prestations à l'intérieur des parkings créaient de nombreux attroupements et gênaient la bonne exploitation du site. B. Par décision du 23 septembre 2013, l'Aéroport a fait interdiction à X._, ainsi qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires d'accéder au site aéroportuaire, sous la menace des sanctions prévues à l'art. 292 CP. Cette décision était déclarée immédiatement exécutoire nonobstant recours. X._ a recouru contre cette décision sur le plan cantonal en demandant son annulation et, à titre de mesures provisionnelles urgentes, la restitution de l'effet suspensif. Le 23 octobre 2013, la requête en restitution de l'effet suspensif a été rejetée par le Président de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après la Cour de justice). A la suite d'un arrêt du Tribunal fédéral du 27 février 2014 rendu dans une procédure parallèle et qui avait admis le recours d'un autre voiturier contre le refus de restituer l'effet suspensif (cause 2C_1161/2013), la Cour de justice a donné suite à une nouvelle requête de X._ et restitué l'effet suspensif en sa faveur le 13 juin 2014. Par arrêt au fond du 23 juin 2015 notifié le 30 juin 2015, la Cour de justice a rejeté le recours de X._. C. Contre cet arrêt, X._ a formé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral le 31 juillet 2015 et a complété sa motivation le 1er septembre 2015. Elle conclut à son annulation et à ce que le Tribunal fédéral, statuant à nouveau, annule la décision de l'Aéroport du 23 septembre 2013, sous suite de frais et dépens. Par ordonnance du 3 septembre 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif formée par X._. La Cour de justice a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Aéroport a déposé des déterminations, en concluant au rejet du recours.