Faits : A. Le 25 juin 2015, B._, né en 1969, a été mis en prévention de viol, en lien avec des faits perpétrés dans la nuit du 20 au 21 juin 2015 au préjudice de A._, née en 1995. Les chefs de prévention ont été étendus, le 15 février 2016, à ceux de contrainte sexuelle, viol et éventuellement d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance; en particulier, il était reproché au prévenu d'avoir contraint la victime à subir l'acte sexuel alors qu'elle se serait trouvée sous l'influence de l'alcool et de médicaments. Par ordonnance du 12 mai 2016, le Ministère public a demandé l'édition du dossier de l'assurance-invalidité (AI) de la victime. Le 18 juillet 2016, la Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours intenté par A._ contre cette décision. B. Par acte du 14 septembre 2016, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et au refus d'autoriser la consultation de son dossier AI en mains de l'Office AI cantonal. Elle demande également l'effet suspensif au recours et l'octroi de l'assistance judiciaire. B._ (ci-après : l'intimé) s'est opposé à l'octroi de l'effet suspensif et a conclu au rejet du recours. Quant au Ministère public et à l'autorité précédente, ils s'en sont remis à justice s'agissant de l'effet suspensif et ont conclu au rejet du recours. Le 31 octobre 2016, la recourante n'a pas formulé d'observations complémentaires. Par ordonnance présidentielle du 29 septembre 2016, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.