Faits : A. Ressortissant ivoirien né en 1980, X._ a déposé une première demande d'asile le 7 août 2002, sous une fausse identité. Par décision du 10 janvier 2003, l'Office fédéral des migrations, devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations le 1er janvier 2015 (ci-après: le Secrétariat d'Etat) n'est pas entré en matière sur cette requête et a prononcé son renvoi de Suisse. Le 20 avril 2004, l'intéressé a présenté une seconde demande d'asile, à nouveau sous une fausse identité. Par décision du 30 août 2004, le Secrétariat d'Etat a prononcé une décision de non-entrée en matière et de renvoi de Suisse. L'intéressé n'a pas recouru contre les décisions précitées et a disparu sans laisser d'adresse. B. B.a. Entre 2002 et 2008, X._ a été condamné en Suisse à quatre reprises: - le 29 octobre 2002, par le "Bezirksamt" d'Aarau, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis, délai d'épreuve deux ans, pour infraction à la législation sur les étrangers (entrée illégale); - le 21 janvier 2005, par le Ministère public du canton de Genève, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis, délai d'épreuve cinq ans, pour opposition aux actes de l'autorité; - le 20 juillet 2005, par le Tribunal de police de Genève, à une peine d'emprisonnement de trois mois avec sursis, délai d'épreuve trois ans, pour importation, acquisition et prise en dépôt de fausse monnaie; - le 3 novembre 2008, par la Chambre pénale de la Cour de Justice du canton Genève, à une peine privative de liberté de quinze mois avec sursis (huit mois), délai d'épreuve cinq ans, pour crime (trafic de cocaïne portant sur une quantité de 500 grammes) contre la loi fédérale sur les stupéfiants (LStup) pour des faits survenus le 13 mai 2008. B.b. Le 12 avril 2008, une fille prénommée A._ est née de sa relation avec B._, citoyenne suisse née en 1980. X._ et B._ se sont mariés le 15 janvier 2010 à Vernier (Genève). X._ a de ce fait obtenu une autorisation de séjour par regroupement familial le 21 juillet 2011. Le Secrétariat d'Etat a cependant prononcé un avertissement contre l'intéressé et a limité la durée de cette autorisation à une année, compte tenu de ses antécédents pénaux. Le 17 décembre 2011, X._ a été arrêté par la police genevoise pour avoir contrevenu au règlement concernant la tranquillité publique ainsi que pour détention sans droit de marijuana. Le 4 mai 2013, l'intéressé a fait l'objet d'une nouvelle arrestation en ville de Genève, pour scandale sur la voie publique et détention sans droit de 37 pilules d'ecstasy. Les faits retenus dans les deux rapports de police n'ont eu aucune suite pénale. B.c. Le 23 mai 2013, l'Office cantonal de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) a informé X._ qu'il était disposé à renouveler son autorisation de séjour et a transmis le dossier au Secrétariat d'Etat pour approbation. Par courrier du 10 janvier 2014, le Secrétariat d'Etat a avisé l'intéressé qu'il envisageait de refuser son approbation à la prolongation de son autorisation de séjour, au motif qu'il faisait l'objet de poursuites et qu'il avait été dénoncé auprès des autorités judiciaires compétentes les 17 décembre 2011 et 4 mai 2013. Le Secrétariat d'Etat lui a donné l'occasion de se déterminer. Le courrier recommandé a cependant été retourné à l'autorité fédérale avec la mention "non réclamé". B.d. Selon un extrait de l'Office des poursuites de Genève du 7 mai 2013, les dettes de l'intéressé s'élevaient à 6'100 fr. Au mois de mars 2015, il faisait l'objet de poursuites pour un montant de 20'000 fr. X._ n'a jamais émargé à l'aide sociale. C. Par décision du 1er avril 2014, le Secrétariat d'Etat a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. L'intéressé a recouru contre cette décision au Tribunal administratif fédéral, qui a rejeté son recours par arrêt du 15 septembre 2015. Il a considéré, en substance, que X._ avait fait l'objet d'une condamnation à une peine supérieure à un an et que les interventions policières en 2011 et 2013 démontraient qu'il n'était toujours pas prêt à se conformer à l'ordre public et à respecter l'ordre juridique. En ce qui concerne la proportionnalité de la décision, le Tribunal administratif fédéral a retenu son absence d'intégration professionnelle et sa situation financière obérée. Il a considéré que si le départ de sa femme et de sa fille n'était pas envisageable, l'intéressé pourrait maintenir des contacts avec sa famille par les moyens de communication modernes et des visites réciproques. D. A l'encontre de cet arrêt, X._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que la prolongation de son autorisation de séjour soit approuvée. Subsidiairement, il demande au Tribunal fédéral de renvoyer la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Secrétariat d'Etat pour qu'il approuve la prolongation de son autorisation de séjour. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire partielle. Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat propose le rejet du recours. Le 2 janvier 2016, X._ a déposé des observations complémentaires. Le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à demander une avance de frais et a informé l'intéressé qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.