Faits : A. Par recours munis d'un sceau postal du 26 décembre 2012, Helvetia Nostra a contesté les permis de construire délivrés le 20 novembre 2012 à C._ SA par la commune de Chalais et le 22 novembre 2012 à A._ SA par la commune de Chermignon. Le Conseil d'État du Canton du Valais a admis les recours par décisions du 9 décembre 2015. Il a constaté que les délais de recours, qui étaient arrivés à échéance le 24 décembre 2012, avaient été respectés. Les autorisations de construire ont été annulées. Statuant sur recours de C._ SA et de A._ SA par arrêt du 29 avril 2016, la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a annulé les prononcés du Conseil d'Etat au motif que les recours auprès de cette instance avaient été tardivement déposés et étaient donc irrecevables. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de renvoyer la cause à la cour cantonale pour qu'elle statue sur le fond. La cour cantonale, le Conseil d'Etat et les communes concernées renoncent à se déterminer sur le recours. Les intimées concluent à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La recourante persiste dans ses conclusions.