Faits : A. Par décision du 15 mars 2016, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a nié le droit de A._ à une rente d'invalidité. Il a constaté notamment que le certificat médical du 10 décembre 2015 produit à la suite du projet de décision du 4 décembre précédent ne faisait pas état d'une atteinte à la santé objectivée. B. L'assuré a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel le 2 mai 2016, concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants. Se fondant sur l'appréciation de son Service médical régional (SMR; avis du 9 mai 2016), selon laquelle au vu du suivi psychiatrique instauré, il était nécessaire de demander un rapport médical au Centre B._, l'office AI a informé la juridiction cantonale qu'il annulait sa décision du 15 mars 2016 (observations sur le recours du 10 mai 2016). Il a précisé que dans la mesure où A._ avait omis d'annoncer, en temps opportun, le suivi psychiatrique dont il bénéficiait, il n'y avait pas lieu de mettre les frais judiciaires à sa charge ni d'allouer de dépens à l'assuré. Par jugement du 24 juin 2016, le tribunal cantonal a ordonné le classement du recours et mis à charge de l'office AI un émolument de décision de 200 fr., des débours par 20 fr. ainsi qu'une indemnité de dépens de 1'694 fr. 85 à verser à A._. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation "avec ou sans renvoi à l'instance précédente". Il requiert également que l'effet suspensif soit octroyé au recours.