Faits : A. A.a. A._, né en 1959, aide foreur, a été victime le 18 janvier 1999 d'une chute, dont il est résulté une déchirure méniscale au genou droit. Arguant souffrir des séquelles de cette chute, il s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après l'office AI) le 19 octobre 1999. L'office AI a octroyé à l'assuré une rente entière dès le 1er janvier 2000 (décision du 19 février 2002). Il s'est référé à l'avis du docteur B._, médecin praticien traitant (qui avait attesté une incapacité totale de travail depuis le 18 janvier 1999 due à une algoneurodystrophie, au status après lésion du ménisque évoqué et à un état dépressif; rapport du 17 novembre 1999), au dossier communiqué par l'assureur-accidents ainsi qu'au résultat, négatif, d'un stage d'orientation professionnelle (rapport du 9 novembre 2001). A.b. L'administration a entrepris la révision du droit de l'intéressé en juillet 2004. Elle a questionné les médecins traitants (rapports des docteurs B._ et C._, spécialiste en psychiatrie, des 27 août et 2 novembre 2004) et requis de son service médical régional (SMR) qu'il examine A._. Celui-là a estimé que les affections physiques (gonalgies, lombosciatalgies, cervicalgies) et psychiatriques (syndrome douloureux somatoforme persistant, trouble de l'adaptation, réaction mixte anxieuse et dépressive) dont souffrait l'assuré laissaient subsister une capacité de travail de 70 %, dans toute activité, depuis le 1er juin 2000 (rapport des docteurs D._, spécialiste en psychiatrie, et E._, spécialiste en rhumatologie, du 8 juillet 2005). L'office AI a réactualisé les renseignements médicaux en mandatant le Bureau Romand d'Expertises Médicales (BREM) afin qu'il effectue une expertise bidisciplinaire. Les experts ont considéré que les pathologies psychiatriques (épisode dépressif actuel moyen à sévère, trouble de la personnalité, majoration des symptômes physiques) observées en sus des gonalgies prohibaient depuis l'accident la pratique de toute activité autre que protégée à un taux d'occupation dépassant les 30 % (rapport des docteurs F._, spécialiste en rhumatologie, et G._, spécialiste en psychiatrie, du 18 septembre 2008). Le volet psychiatrique de l'expertise ayant été critiqué, le BREM a accepté d'en diligenter une seconde. Le docteur F._ a confirmé ses conclusions; la doctoresse H._, spécialiste en psychiatrie, a retenu un trouble dépressif récurrent en rémission et une personnalité émotionnellement labile, de type borderline, permettant à A._ de reprendre tout emploi adapté à 70 % (rapport du 9 juillet 2009). Sur la base des éléments récoltés, l'administration a supprimé la rente versée jusque-là à partir du 1er mars 2010 (décision du 26 janvier 2010). Saisie d'un recours de l'assuré, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a toutefois annulé cette décision et a renvoyé le dossier à l'office AI pour qu'il en complète l'instruction et rende une nouvelle décision (jugement du 5 avril 2011). A.c. L'administration a sollicité l'opinion du nouveau psychiatre traitant. La doctoresse I._, spécialiste en psychiatrie, a évoqué un épisode dépressif actuel sévère interdisant la pratique de toute activité depuis le 20 août 2010 (rapport du 23 avril 2012). L'office AI a encore mandaté le docteur J._, spécialiste en psychiatrie, pour qu'il mette en oeuvre une nouvelle expertise. Celui-ci a fait état d'un trouble dépressif récurrent présent depuis 1999, épisode actuel léger, laissant subsister une capacité résiduelle de travail de 70 % (rapport du 3 juillet 2013). Sur la base de ce dernier rapport, l'office AI a octroyé à l'intéressé un quart de rente dès le 1er mars 2010 (décision du 16 octobre 2014). B. A._ a déféré cette décision à la Cour de justice genevoise en date du 19 novembre 2014. Il concluait implicitement au maintien de la rente entière après le 28 février 2010. L'administration a conclu au rejet du recours. Afin de concilier les avis médicaux divergents figurant au dossier, dont celui récemment déposé par le nouveau psychiatre traitant (rapport du 27 mars 2015), l'autorité judiciaire cantonale a ordonné que le docteur K._, spécialiste en psychiatrie, réalise une expertise; celui-ci a considéré que le trouble dépressif récurrent épisode actuel moyen avec syndrome somatique et la modification durable de la personnalité observés étaient totalement incapacitants au moins à compter du mois de janvier 2010 (rapport du 24 septembre 2015). Invitées à se déterminer une ultime fois, les parties ont maintenu leurs conclusions respectives. L'office AI s'est fondé sur un avis du SMR (rapport du 8 octobre 2015). Le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision litigieuse et reconnu le droit de l'assuré à une rente entière depuis le 1er mars 2010 (jugement du 14 décembre 2015). C. Par la voie d'un recours en matière de droit public, interjeté le 3 février 2016, l'administration demande l'annulation du jugement mentionné et conclut à la confirmation de sa décision du 16 octobre 2014. A._ a conclu au rejet du recours. Il a par ailleurs sollicité l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.