Faits : A. A.A._, né en 1974, et B.A._, née en 1975, tous deux de nationalité suisse, se sont mariés le 29 septembre 2000 à X._ (Genève), sous le régime de la séparation de biens. Trois enfants sont issus de cette union: C._, né le 31 décembre 2002, D._, né le 4 mars 2006, et E._, né le 3 mai 2008. Les conjoints vivent séparés depuis la mi-janvier 2013, date à laquelle le mari a quitté le domicile conjugal. Ce dernier souffre d'une dépendance à l'alcool et aux stupéfiants (cocaïne). Ces addictions ont fait l'objet de traitements, dont certains sont encore en cours. Son état de santé évolue positivement et s'est notablement amélioré depuis sa prise en charge, en janvier 2014. Il a déclaré ne plus consommer de cocaïne. Durant la vie commune, le niveau de vie des époux était confortable. Ils n'ont pas exercé d'activité lucrative, sous réserve d'une activité accessoire indépendante. Leur train de vie était assuré par leur fortune, en particulier celle de l'épouse, estimée en 2012 à plus de 20'000'000 fr. B. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 1er décembre 2014, le Tribunal de première instance de Genève (ci-après: le Tribunal) a, entre autres points, autorisé les époux à vivre séparés (chiffre 1 du dispositif), attribué la garde des enfants à la mère (ch. 2), réservé au père un droit de visite progressif, tel que recommandé par le Service de protection des mineurs (ch. 3), maintenu l'autorité parentale conjointe (ch. 4) et attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal, avec les droits et obligations qui s'y rattachent (ch. 5). Le Tribunal a en outre condamné l'épouse à verser au mari une contribution d'entretien d'un montant de 14'500 fr. par mois dès le 1er février 2013 (ch. 6) et, par conséquent, la somme de 333'500 fr. pour la période du 1er février 2013 au 31 décembre 2014, au titre des contributions échues au jour du jugement (ch. 7). Une provisio ad litem de 8'000 fr. a également été mise à la charge de celle-ci (ch. 8). Par arrêt du 27 mars 2015, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, annulé les chiffres 6, 7 et 8 du dispositif du jugement de première instance. Statuant à nouveau, cette autorité a fixé le montant de la contribution d'entretien à 6'500 fr. par mois dès le 1er avril 2015 et condamné l'épouse à payer au mari la somme de 97'903 fr. à titre d'arriérés de pensions pour la période allant du 1er février 2013 au 30 mars 2015, l'intéressée étant par ailleurs dispensée de payer une provisio ad litem. Le jugement a été confirmé pour le surplus. C. Par acte posté le 6 mai 2015, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 mars 2015. Il conclut, principalement, à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser une contribution d'entretien d'un montant de 14'500 fr. par mois avec effet rétroactif au 1er février 2013 ainsi qu'une provisio ad litem de 8'000 fr. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours. La Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt.