Faits : A. A.a. B.A._ (1973) et A.A._ (1974), se sont mariés à La Chaux-de-Fonds le 10 janvier 2002. Ils ont eu deux fils, soit C._ (2003) et D._ (2005). A.b. Le divorce des époux A._ a été prononcé par le Tribunal du district de Martigny et St-Maurice le 14 décembre 2012, avec attribution de l'autorité parentale sur les enfants à leur mère. Le mari a interjeté appel au sujet de la liquidation des rapports patrimoniaux, mais non des questions relatives aux enfants. Cette cause est liquidée. A.c. Le 1er juillet 2014, B.A._ a fait part à l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte (ci-après: APEA) de Neuchâtel de son souhait d'obtenir l'autorité parentale conjointe sur les enfants. A.d. Par décision de mesures superprovisionnelles du 27 novembre 2014, l'APEA a retiré la garde des enfants à leur mère, avec effet immédiat et ordonné le placement chez leur père. Dite autorité a ensuite rendu, le 8 décembre 2014, une décision de confirmation de retrait de garde, à titre provisoire, durant les actes d'enquête nécessaires. La mère a recouru contre cette décision auprès de la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, qui a rejeté le recours par arrêt du 17 mars 2015. A.e. Le 20 mars 2015, B.A._ a ouvert action en modification du jugement de divorce devant le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: Tribunal civil), en concluant à l'attribution de la garde des enfants à lui-même, à la fixation d'un droit de visite de la mère et à la suppression des contributions d'entretien dues par lui-même en faveur de son ex-épouse et des enfants, dont la mère devait être condamnée à contribuer à l'entretien. A.A._ a conclu au rejet de la demande. B. B.a. Le 19 juin 2015, B.A._ a saisi l'APEA de Neuchâtel d'une requête tendant à l'autoriser à déménager aux Etats-Unis, avec les enfants, dès le 15 août 2015. B.b. Par mémoire du 6 juillet 2015, B.A._ a déposé une requête analogue devant le Tribunal civil, auquel il signalait avoir indiqué à l'APEA que sa requête du 19 juin 2015 était désormais sans objet. B.c. Le juge saisi de la procédure en modification du jugement de divorce, sur le site de Boudry, ayant dû se récuser, la cause a été reprise par l'une des juges du Tribunal civil du site de Neuchâtel (ci-après: la juge du Tribunal civil). B.d. Par décision de mesures provisionnelles du 14 juillet 2015, la juge du Tribunal civil a fait droit à la requête de B.A._ et l'a autorisé à déménager aux Etats-Unis avec ses enfants, dès le 15 août 2015, en prévoyant que les relations personnelles entre la mère et les enfants s'exerceraient par téléphone ou appel vidéo au moins deux fois par semaine, ainsi que sous la forme de vacances en Suisse, selon les modalités définies par la curatrice, au sens précisé dans les considérants. B.e. Par mémoire du 27 juillet 2015, A.A._ a interjeté appel contre la décision précitée devant la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: Cour d'appel civile). Elle a conclu à son annulation et à l'interdiction faite à B.A._ de déménager aux Etats-Unis. B.f. Par mémoire du 5 août 2015, B.A._ a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif comprise dans l'appel, ainsi qu'au rejet de l'appel sur le fond. B.g. Par courrier du 6 août 2015, le juge instructeur de la Cour d'appel civile a transmis la réponse à l'appel au mandataire de A.A._, en annonçant la délivrance d'un arrêt sur appel dans les jours suivants, sur la base du dossier. B.h. Par arrêt du 10 août 2015, la Cour d'appel civile a rejeté l'appel et confirmé l'autorisation donnée à B.A._ de déménager aux Etats-Unis avec ses fils C._ et D._, dès le 15 août 2015. C. Par acte expédié le 12 août 2015, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 10 août 2015. Elle conclut, principalement, à ce qu'il soit dit et constaté que le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a violé son droit d'être entendue et, partant, à ce que la cause soit renvoyée à ce dernier en lui ordonnant de lui donner la possibilité de déposer une réplique. Subsidiairement, elle conclut à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens qu'il est interdit à B.A._ de déménager aux Etats-Unis avec les enfants C._ et D._. Par ordonnance du 13 août 2015, le Tribunal fédéral a ordonné à titre superprovisionnel qu'aucune mesure d'exécution de la décision attaquée ne soit prise jusqu'à décision sur la requête d'effet suspensif. Par acte du 17 août 2015, B.A._ s'est déterminé tant sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours que sur le fond. Il a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif dans la mesure de sa recevabilité et, sur le fond, au rejet " à tous égards " du recours dans la mesure de sa recevabilité. D. Par ordonnance présidentielle du 31 août 2015, la requête d'effet suspensif assortissant le recours a été rejetée. Par courrier du 1er septembre 2015, A.A._ a informé la Cour de céans du fait que ses enfants vivaient vraisemblablement depuis trois jours avec leur père à San Francisco. Elle a considéré qu'il s'agissait d'une violation de l'ordonnance du 13 août 2015 et a requis, à titre de mesures superprovisionnelles, qu'il soit ordonné à l'intimé de revenir immédiatement en Suisse avec les enfants, sous la menace de la sanction prévue à l'art. 292 CP. Elle a fait également valoir que l'intimé ne serait au bénéfice que d'un visa de trois mois et non d'un véritable contrat de travail aux Etats-Unis, de sorte que la sécurité matérielle des enfants ne serait de loin pas garantie. Par courrier du 4 septembre 2015, B.A._ a confirmé avoir quitté la Suisse avec ses enfants pour se rendre aux Etats-Unis en date du 28 août 2015 afin d'utiliser les billets d'avion qu'il avait d'ores et déjà acquis. Il a toutefois précisé que le but initial de ce séjour était de passer quelques jours de vacances avec ses enfants mais qu'il envisageait désormais de demeurer aux Etats-Unis à tout le moins jusqu'à la décision sur le fond, compte tenu de la teneur de la décision sur effet suspensif. B.A._ a également confirmé qu'il n'était actuellement qu'au bénéfice d'un visa de trois mois. Il a toutefois précisé qu'il avait un travail aux Etats-Unis qui lui offrait une grande flexibilité et lui permettait de subvenir à ses besoins et ceux des enfants et que la question du visa devrait se régulariser rapidement dès qu'il serait en possession d'une autorisation du Tribunal de céans de demeurer aux Etats-Unis avec ses enfants. Par ordonnance présidentielle du 7 septembre 2015, la requête de mesures superprovisionnelles a été rejetée.