Faits : A. Par contrat de bail du 17 décembre 2013, X._ SA, propriétaire de l'immeuble (ci-après: la bailleresse, défenderesse et recourante), a loué à Z._ (ci-après: le locataire, demandeur et intimé) un appartement au 4e étage dans un immeuble à Genève, pour le loyer de 24'720 fr. par an, soit 2'060 fr. par mois, charges non comprises. Les parties discutent de la question de savoir s'il s'agit d'un trois pièces ou d'un trois pièces et demie, de même que celle de savoir s'il a une surface de 60 m2 ou une surface PPE de 68 m2. Le contrat de bail a été conclu pour une durée d'un an, du 1er février 2014 au 31 janvier 2015, renouvelable d'année en année, sauf résiliation signifiée avec un préavis de trois mois pour l'échéance. La formule officielle de notification du loyer initial lors de la conclusion d'un nouveau bail, de la même date, mentionne que le loyer payé par l'ancien locataire s'élevait au même montant à compter du 1er janvier 2011 et que le loyer se situe dans les limites des loyers usuels du quartier (art. 269 et 269a CO). En bref, l'immeuble date de 1929 et est resté en mains de la même propriétaire depuis cette époque. Il est situé à proximité des écoles, des commerces et des transports publics; l'entrée de l'immeuble est sécurisée par un code et un interphone. Des travaux de rénovation ont eu lieu en 2006-2007 (façades, peinture des volets et remplacement des stores, mais pas de travaux à l'intérieur des appartements). L'ascenseur a été rénové en 2005. L'appartement du locataire comprend une chambre, un salon, un hall, une cuisine, une salle de bains et un réduit, dispose de doubles vitrages, de placards et d'une bibliothèque intégrée et du téléréseau; il bénéficie d'une bonne isolation phonique. Depuis le salon et depuis le balcon, on a une vue directe sur le lac et le jet d'eau. Cet appartement n'a pas été complètement rénové avant sa remise au locataire, mais il a été repeint. B. Le 24 février 2014, le locataire a saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève d'une requête en contestation du loyer initial, concluant notamment à ce que le caractère abusif du loyer soit constaté, que le loyer soit fixé à 840 fr. par mois, charges non comprises, sous réserve de modification, et que la bailleresse soit condamnée à lui rembourser le trop-perçu. La conciliation ayant échoué et une autorisation de procéder lui ayant été délivrée, le locataire a déposé sa demande devant le Tribunal des baux et loyers le 25 mai 2014. Il a conclu préalablement qu'il soit ordonné à la bailleresse de produire toutes les pièces permettant d'effectuer un calcul de rendement net de la chose louée. Invoquant les statistiques genevoises de mai 2013 sur le niveau des loyers à Genève, il a relevé que le loyer moyen d'un trois pièces situé dans un immeuble construit entre 1910 et 1945 en ville de Genève s'élève à 1'143 fr. et a conclu que, pour son appartement, tout loyer qui serait supérieur à 840 fr. serait abusif. La bailleresse a conclu au rejet de la demande. Le Tribunal des baux a tenu une audience de débats principaux le 16 septembre 2014 et a procédé à une inspection locale le 30 octobre 2014. Par jugement du 4 février 2015, le Tribunal des baux a rejeté la demande du locataire en contestation du loyer initial (ch. 1) et a dit que le loyer a été valablement fixé à 24'720 fr. par an (2'060 fr. par mois), charges non comprises, dès le 1er février 2014 (ch. 2). Le Tribunal des baux a considéré que, comme il s'agissait d'un immeuble ancien au sens de la jurisprudence et que le loyer convenu n'avait pas subi de hausse par rapport à l'ancien loyer, il appartenait au locataire d'apporter la preuve que le loyer initial était abusif. Ce dernier n'avait toutefois fourni aucun élément comparatif des loyers usuels dans le quartier, se limitant à se référer à des statistiques. Les exemples comparatifs fournis par la bailleresse n'étaient pas suffisants. Se basant sur la jurisprudence rendue en matière de rendement net excessif (arrêts 4A_576/2008 du 19 février 2009 consid. 2.5; 4A_472/2007 du 11 mars 2008 consid. 2.2), le Tribunal des baux a estimé pouvoir s'appuyer sur les statistiques cantonales publiées par l'Office cantonal de la statistique en procédant aux réajustements nécessaires pour tenir compte des particularités du logement en cause. Compte tenu de ces particularités, il a considéré qu'il se justifiait de s'écarter des statistiques cantonales genevoises, dont le manque de précision a, à plusieurs reprises, été rappelé par le Tribunal fédéral (arrêt 4A_612/2012 du 19 février 2013 consid. 3.2.3), a jugé le loyer non abusif et a rejeté l'action. Statuant sur appel du locataire par arrêt du 4 avril 2016, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève l'a admis et a réformé le jugement attaqué notamment en ce sens que le loyer est fixé à 15'000 fr. par an (1'250 fr. par mois), charges non comprises, dès le 1er février 2014 et que la bailleresse est condamnée à rembourser au locataire le trop-perçu avec intérêts à 5% dès le 4 avril 2016. La cour cantonale a estimé que le loyer du précédent locataire aurait dû être réduit d'environ 8% à 1'895 fr., pour tenir compte de la baisse du taux hypothécaire de référence et de la baisse de l'indice suisse des prix à la consommation. Sur cette base et au vu des statistiques cantonales de mai 2013 faisant état d'un loyer moyen de 1'143 fr., elle a estimé que le loyer initial présentait un caractère abusif. Elle a alors imposé à la bailleresse le devoir d'apporter des contre-preuves et, constatant que celle-ci n'a produit que quatre exemples comparatifs, a considéré qu'elle avait échoué à apporter la contre-preuve. Partant du loyer résultant de la statistique, elle l'a pondéré à la hausse à 1'250 fr., en tenant compte des particularités du logement litigieux. C. Contre cet arrêt, la bailleresse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 9 mai 2016, concluant à sa réforme en ce sens que, principalement, l'action en contestation du loyer initial est rejetée et, subsidiairement, qu'il soit dit que le loyer a été valablement fixé à 24'720 fr. par an (2'060 fr. par mois), charges non comprises, dès le 1er février 2014. Plus subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour instruction complémentaire dans le sens des considérants. Le locataire intimé conclut principalement au rejet du recours et, subsidiairement, à la fixation du loyer à 15'000 fr. par an (1'250 fr. par mois). La Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt. La bailleresse recourante a encore déposé des observations. L'intimé a renvoyé à son mémoire de réponse et a renoncé à des observations complémentaires.