Faits : A. A.a. A._ travaillait en qualité d'orthopédiste équin pour le compte de la société B._ Sàrl, dont elle est l'unique associée et gérante. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Mobilière Suisse Société d'Assurances SA (ci-après: la Mobilière). A.b. Le 19 décembre 2013, alors qu'elle était en incapacité de travail en raison d'un précédent accident, elle a glissé sur une plaque de glace en sortant de sa voiture et a chuté sur le côté droit du corps. A.c. Le 28 février 2014, elle a consulté la doctoresse D._, spécialiste en médecine interne générale, laquelle a diagnostiqué des contusions multiples à l'épaule, au coude, à la hanche et à la main droites. L'incapacité totale de travail a été maintenue. La Mobilière a pris en charge le cas. La Mobilière a mandaté le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique, pour une expertise. Ce médecin a rendu son rapport le 10 juillet 2014, dans lequel il a admis le rapport de causalité entre les troubles de l'assurée et l'accident et a préconisé la mise en oeuvre d'une arthro-IRM de l'épaule droite afin d'exclure une lésion de la coiffe des rotateurs ou du tendon du biceps. L'arthro-IRM a été réalisée le 6 août suivant par la doctoresse E._, spécialiste en radiologie, laquelle a conclu à une fissuration non transfixiante de la face inférieure du tendon du sus-épineux sans atrophie de son chef musculaire ainsi qu'une discrète bursite sous-acromiale. Dans un rapport du 10 septembre 2014, le docteur C._ a indiqué que cette lésion tendineuse partielle pouvait avoir une origine dégénérative ou traumatique et que dans tous les cas, le statu quo sine vel ante pouvait être arrêté à mi-septembre 2014. Après avoir recueilli divers rapports médicaux, en particulier de la doctoresse F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, la Mobilière a sollicité l'avis du docteur G._, également spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Elle lui a soumis l'ensemble des pièces médicales, en lui demandant de prendre position par rapport aux avis exprimés. Dans son rapport du 8 décembre 2014, le docteur G._ s'est distancé de l'avis des médecins consultés par l'assurée et a conclu que le statu quo sine avait été atteint un an après l'accident. Fondé sur ce rapport et sur l'avis du docteur C._, la Mobilière a supprimé le droit de l'assurée aux prestations avec effet au 31 décembre 2014 pour les frais de traitement et au 30 septembre 2014 pour l'indemnité journalière (décision du 16 décembre 2014, confirmée sur opposition le 3 mars 2015). B. Par jugement du 15 décembre 2015, la Cour des assurances de la République et canton du Jura a admis partiellement le recours formé par l'assurée. Elle a annulé la décision sur opposition du 3 mars 2015 en tant qu'elle mettait fin au versement des indemnités journalières au 30 septembre 2014 et a condamné la Mobilière à verser celles-ci jusqu'au 8 décembre 2014. C. A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant principalement à son annulation et au maintien de son droit aux indemnités journalières et à la prise en charge des frais de traitement. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour mise en oeuvre d'une expertise judiciaire et nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire. La Mobilière et la juridiction cantonale concluent au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.