Faits : A. A.a. La Doctoresse A._, ressortissante allemande née en 1964, diplômée de l'Université de B._, pratique en tant qu'ophtalmologue depuis 1991. Autorisée à exercer la profession de médecin dans le canton de Genève depuis le 25 juin 2003, elle a repris, en 2006, la Clinique ophtalmologique de C._. A.b. Le 13 février 2012, M. D._, né en 1923, aujourd'hui décédé, a déposé une plainte auprès de la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) contre la Dresse A._. Il avait perdu l'usage de l'oeil droit à la suite d'opérations effectuées par cette spécialiste les 14 septembre et 13 octobre 2011 (cataracte et pause d'un implant). Le 31 août 2012, Mme E._, née en 1928, et M. E._, né en 1925 et aujourd'hui décédé, ont également adressé une plainte à la Commission de surveillance à l'encontre de la Dresse A._. Celle-ci les avait tous deux opérés de la cataracte les 11 novembre 2009 et 13 janvier 2010. Les deux patients avaient par la suite souffert d'un décollement de la rétine et n'avaient pas retrouvé la pleine fonctionnalité de leur yeux. A la suite de ces plaintes, la Commission de surveillance a ouvert, les 6 mars et 31 octobre 2012, deux procédures administratives à l'encontre de la Dresse A._, laquelle a contesté toute faute. A.c. Le 21 novembre 2012, le Médecin cantonal, rattaché à la direction générale de la santé du Département de l'emploi, des affaires sociales et de la santé du canton de Genève (ci-après: le Département), a indiqué à la Dresse A._ qu'il envisageait de lui retirer son droit de pratiquer des chirurgies oculaires (cf. art. 105 al. 2 LTF). Celle-ci a proposé de continuer d'opérer le temps de l'instruction en étant assistée d'un confrère. Le 1er avril 2015, le Médecin cantonal a pris, à titre provisionnel, la décision d'interdire tout acte chirurgical à la Dresse A._, qui avait été assistée d'un généraliste et non d'un spécialiste en ophtalmologie lors d'opérations chirurgicales ayant donné lieu à de nouvelles plaintes (cf. art. 105 al. 2 LTF). La Dresse A._ n'a pas recouru contre ce prononcé. B. Le 30 avril 2015, la Commission de surveillance a rendu deux préavis à l'attention du Département, préconisant le retrait définitif de l'autorisation de la Dresse A._ de pratiquer la chirurgie ophtalmique, au motif d'une violation grave des devoirs professionnels. L'intéressée ne s'était pas rendue compte d'une complication post-opératoire chez M. E._, n'avait pas posé le diagnostic correct de décollement de la rétine chez Mme E._, et avait notamment laissé sans raison une lentille rompue à l'intérieur de l'oeil de M. D._. Ses gestes chirurgicaux étaient maladroits et ses constatations cliniques fausses. En outre, la Dresse A._ adoptait une attitude désinvolte face au sort des patients, manquait de rigueur dans la tenue de ses dossiers et rejetait la responsabilité de ses actes sur les autres intervenants. Par arrêté du 15 septembre 2015, le Département, faisant siens les préavis de la Commission de surveillance, a retiré à la Dresse A._ l'autorisation de pratiquer la chirurgie, un arrêté fixant les dates du retrait de l'autorisation devant être publié dans la feuille d'avis officielle du canton de Genève une fois que l'arrêté serait définitif et exécutoire. Le 7 juin 2016, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours formé par l'intéressée contre l'arrêté du 15 septembre 2015. En substance, les juges cantonaux ont considéré que le Département avait à juste titre suivi les préavis de la Commission de surveillance, fondés sur des constatations de fait précises. La violation des devoirs professionnels était grave; trois patients avaient totalement ou partiellement perdu l'usage d'un oeil. Dès lors que la Dresse A._ surestimait ses capacités et ne prenait pas conscience de ses erreurs, la sanction prononcée était proportionnée au but visé de protection de la santé des patients et devait partant être confirmée. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Dresse A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 7 juin 2016 et de renvoyer l'affaire à cette autorité pour qu'elle établisse en tant que de besoin les conséquences économiques de la décision contestée et que, sur cette base, elle décide, avec l'aide d'experts si nécessaire, les actes opératoires à autoriser au regard de l'intérêt public. Elle se plaint d'une violation du principe de la proportionnalité. Le Département s'en remet à justice quant à la recevabilité du recours, conclut à son rejet et à la confirmation du jugement entrepris. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La Dresse A._ a déposé des observations finales, en persistant dans ses conclusions. D. Par ordonnance du 1 er septembre 2016, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où elle n'était pas sans objet, la requête d'effet suspensif contenue dans le recours.