Faits : A. A.X._, ressortissant de la République démocratique du Congo né en 1986, est entré en Suisse en juin 2003 pour y déposer une demande d'asile, qui a été rejetée en novembre 2004. A.X._ et sa compatriote Y._, titulaire d'un permis d'établissement, ont eu une fille en 2004 et se sont mariés le 23 septembre 2005; l'intéressé a de ce fait obtenu une autorisation de séjour en Suisse. Le couple a divorcé en mai 2007. Le 1er février 2008, A.X._ a épousé la ressortissante suisse B.X._, avec laquelle il a eu une fille en 2009. Le couple s'est séparé une première fois en 2009; le 17 mars 2010, l'Office fédéral des migrations (l'actuel Secrétariat d'Etat aux migrations) a refusé d'approuver la prolongation du séjour de A.X._ pour raisons personnelles majeures, au motif qu'il ne s'acquittait pas de la contribution d'entretien envers ses enfants et que la fréquence de l'exercice de son droit de visite ne ressortait pas clairement du dossier. Au printemps 2010, les époux ont refait ménage commun et sont devenus les parents d'une fille en 2011, avant de se séparer en 2012. Durant son séjour en Suisse, A.X._ a été condamné pénalement, en 2008, à une peine privative de liberté de 18 mois pour lésions corporelles simples, mise en danger de la vie d'autrui, dommages à la propriété, injure, menaces, utilisation abusive d'une installation de télécommunication, violation de domicile, faux dans les certificats, insoumission à une décision de l'autorité, violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires et conduite sans permis de conduire malgré un retrait; le 19 janvier 2009, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a prononcé un avertissement à l'encontre de l'intéressé (art. 105 al. 2 LTF). En août 2009, il a été condamné à une peine privative de liberté de 20 jours pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires; en 2012, à une peine pécuniaire de 100 jours-amende à 30 fr. pour violation d'une obligation d'entretien, puis à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 40 fr. pour usage abusif de permis et/ou de plaques de contrôle et usurpation de plaques de contrôle. Auditionnée par la police le 3 avril 2014, B.X._ a indiqué que, percevant l'aide sociale, A.X._ ne devait payer aucune pension pour l'entretien de ses deux filles et qu'il ne voyait que très peu ses enfants. Le 9 avril 2014, A.X._ a déclaré à la police qu'il faisait de tout pour être le plus près possible de ses enfants, qu'il gardait les samedis et dimanches; il voyait aussi sa première fille un week-end sur deux et payait 560 fr. par mois d'entretien pour elle. En avril 2014, A.X._ faisait l'objet de poursuites à hauteur de 8'127 fr. 95 et d'actes de défaut de biens de 67'460 fr. 40, dont 42'864 fr. 10 pour des dettes envers le Bureau de recouvrement des pensions alimentaires. Entre janvier 2006 et mai 2015, il a perçu un revenu d'insertion totalisant 209'538 fr. 70. B. Par décision du 19 juin 2015, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de A.X._ et prononcé son renvoi de Suisse, au motif que son union avec une Suissesse avait bien duré plus de trois ans, mais que son intégration n'était pas réussie et qu'il n'entretenait que très peu de contacts avec ses trois enfants résidant en Suisse. A.X._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 11 décembre 2015, a rejeté son recours et confirmé la décision du 19 juin 2015. C. A.X._ forme un recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral à qui il demande, hormis l'assistance judiciaire, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et de renvoyer la cause à cette autorité pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Service cantonal et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer sur le recours; le Secrétariat d'Etat aux migrations conclut à son rejet. Le 7 avril 2016, le recourant a persisté dans les conclusions de son recours. Par ordonnance présidentielle du 5 février 2016, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.