Faits : A. A.a. A._ est au bénéficie d'une rente de l'assurance-vieillesse et survivants. Par décision du 6 août 2012, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: CCNC) lui a octroyé une allocation pour impotent de degré faible, à partir du 1 er mars 2011. Elle a retenu que l'assuré avait besoin d'une aide importante et régulière d'autrui pour faire sa toilette et d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. Le prononcé se fondait sur les conclusions d'une enquête réalisée au domicile de A._ (rapport d'instruction du 26 avril 2012). A.b. Après que la CCNC a rejeté, par décision sur opposition du 24 juin 2013, une première demande de révision déposée le 4 mars précédent par l'assuré, ce dernier a déposé une nouvelle demande le 8 octobre 2013. Il a fait état d'une péjoration de la situation en raison d'une plaie au tibia gauche et requis le droit à une allocation pour impotent de degré moyen. Il a en particulier indiqué avoir besoin d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie ainsi que d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir plusieurs actes ordinaires (se vêtir/se dévêtir, préparer les vêtements, faire sa toilette, aller aux toilettes, se déplacer). Il a en outre mentionné un besoin de surveillance personnelle et de soins exigés par l'invalidité (questionnaire de révision du 29 octobre 2013). A._ a produit plusieurs documents médicaux à l'appui de sa demande, dont l'appréciation du docteur B._, spécialiste en rhumatologie (rapport du 19 août 2013). Dans le cadre de l'instruction de la demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a interpellé le docteur C._, spécialiste en médecine générale et médecin traitant (rapport du 10 décembre 2013), et fait procéder à une enquête à domicile (rapport d'instruction du 18 février 2014). Par décision du 15 mai 2014, la CCNC a rejeté la demande de révision de l'assuré. Ce dernier a fait opposition à cette décision. Il a produit deux avis médicaux, dont un rapport du docteur D._, spécialiste en neurologie, du 28 avril 2014. Par décision sur opposition du 19 septembre suivant, la CCNC a confirmé le rejet de la demande. B. A._ a déféré cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. Il a produit plusieurs documents médicaux, dont les avis des docteurs E._, spécialiste en neurologie, et F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie à la Clinique G._ (rapports des 13 août et 21 mai [recte: 4 juin] 2014). Par jugement du 26 mai 2015, la juridiction cantonale l'a débouté. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement au renvoi du dossier à l'intimée pour instruction complémentaire et, subsidiairement, à l'augmentation du degré de l'allocation pour impotent, respectivement à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen, dès le 8 octobre 2013. Il produit par ailleurs un avis du docteur D._ (rapport du 6 août 2015).