Faits : A. A._ est appointé de gendarmerie au sein de la brigade de sécurité routière de Genève. Le 31 août 2011, un cortège de trente-deux caravanes et trente-quatre voitures de gens du voyage a occupé le parking d'un centre sportif à U._, créant une importante perturbation de la circulation. Un dispositif de gendarmerie a été mis en place pour dévier ce cortège en direction de la France. Dans le cadre de cette opération, A._ et l'un de ses collègues ont été postés à un giratoire situé à proximité. Alors qu'ils effectuaient leur mission et en dépit de leurs injonctions, une voiture a forcé leur barrage, manquant de peu de les renverser. Pris en chasse par les deux policiers, le conducteur s'est arrêté à la hauteur du parking du centre sportif et a pris la fuite à pied. Rattrapé, il a été mis au sol et menotté au poignet droit. Assistant à la scène, une quarantaine d'hommes de la communauté des gens du voyage s'est précipitée vers les deux agents; une bagarre, au cours de laquelle A._ a été frappé au visage par un agresseur non identifié, s'en est suivie. Les assaillants ont finalement été dispersés au moyen de spray au poivre par les gendarmes venus en renfort. A la suite de ces événements, A._ a été pris en charge par les Hôpitaux universitaires de Genève (ci-après: les HUG). D'après les rapports des 5 septembre 2011 et 21 janvier 2013 établis par les HUG, celui-ci présentait une plaie ouverte de la columelle ainsi que de la lèvre supérieure. Une intervention chirurgicale immédiate, sous anesthésie locale, a été nécessaire. L'intéressé s'est rendu une deuxième fois aux HUG pour l'ablation des sutures. Sur le plan psychologique, un syndrome de stress post-traumatique a été identifié par le psychologue-psychothérapeute consulté par A._. Ce diagnostic a fait l'objet d'un rapport du 21 juin 2012. Le prénommé a en outre été incapable de travailler durant deux semaines. Le 24 avril 2013, le prénommé a adressé à l'Instance d'indemnisation LAVI du canton de Genève (ci-après: l'Instance LAVI) une demande d'indemnisation fondée sur la loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions du 23 mars 2007 (LAVI; RS 312.5). Il a sollicité l'octroi d'une indemnité pour tort moral d'un montant de 5'000 fr. Par ordonnance du 10 juillet 2013, l'Instance LAVI a rejeté cette demande. B. La Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève a partiellement admis le recours de A._ contre cette décision et lui a alloué un montant de 1'500 fr. à titre de réparation du tort moral. Elle a en substance jugé que l'indemnité pour risques inhérents à la fonction prévue en faveur des agents par l'art. 47 de la loi cantonale sur la police du 26 octobre 1957 (LPol/GE; rs/GE F1 05) n'équivalait pas à une réparation morale; le principe de subsidiarité ancré à l'art. 4 LAVI ne faisait dès lors pas échec à l'octroi d'une indemnisation fondée sur l'aide aux victimes, indemnisation qui se justifiait, en l'espèce, au regard des circonstances particulières de l'agression ainsi que de l'atteinte subie (cicatrice permanente sur le visage). C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police, représenté par l'Office fédéral de la justice, demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il conclut implicitement à la confirmation de l'ordonnance de l'Instance LAVI du 10 juillet 2013. La Chambre administrative s'en remet à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. A._ conclut au rejet du recours.