Faits : A. A.a. A._ a été affilié à l'Institution de prévoyance B._ en qualité de salarié de l'entreprise C._ Sàrl à partir du 1 er janvier 2005. Il a quitté cette institution le 30 novembre 2007, ayant mis un terme à son activité salariée pour exercer la profession d'avocat indépendant. Le 28 mars 2008, il a déposé une demande à la Caisse paritaire de pension de la Fédération Suisse des Avocats (actuellement: Caisse de pension Fédération Suisse des Avocats, CPFSA; ci-après: la caisse) en vue d'assurer sa prévoyance professionnelle et celle de son personnel. Par lettre du 18 avril 2008, la caisse l'a admis comme assuré avec effet au 1 er avril 2008. Le 6 août 2008, A._ a fait savoir à la caisse qu'il se trouvait en incapacité de travail depuis avril 2008. A cette occasion, il a produit des certificats d'arrêts de travail du docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qui attestait d'une incapacité de travail de 50 % du 22 avril au 31 mai 2008. Cet arrêt de travail de 50 % a été prolongé jusqu'au 30 juin 2008, puis porté à 80 % jusqu'au 31 août 2008 (certificats des 23 avril, 6 juin et 4 juillet 2008). Le 1 er juin 2009, le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a établi un rapport sur la base des éléments du dossier. Il a constaté que ceux-ci étaient insuffisants pour établir un diagnostic précis et a examiné quelques diagnostics pouvant entrer en ligne de compte. A propos du début de la maladie, il a considéré qu'elle avait été diagnostiquée pour la première fois le 22 avril 2008 mais qu'elle existait très vraisemblablement déjà auparavant. En ce qui concerne le début de l'incapacité de travail, il a estimé qu'il n'était pas complètement exclu, mais très extraordinaire (vraisemblance de moins de 1 %), que l'assuré ait pu passer d'une pleine capacité de travail à une maladie chronique ayant des incidences significatives sur la capacité de travail en l'espace de 14 jours. Il en a déduit que l'incapacité de travail existait déjà lors de l'affiliation. A.b. Par demande, datée du 20 août 2008 et adressée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), A._ a requis l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur D._, psychiatre traitant, a diagnostiqué un trouble délirant et hallucinatoire persistant avec épuisement nerveux (F22.8 selon CIM-10) depuis avril 2008 (rapport du 10 septembre 2008), entraînant une incapacité totale d'exercer la profession d'avocat. Le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et le docteur G._, spécialiste en médecine interne, ont examiné l'assuré à la demande de l'office AI. Dans leur rapport du 23 juin 2009, ils ont diagnostiqué des autres troubles psychotiques non organiques (F28 selon CIM-10) et se sont référés à l'arrêt de travail du docteur D._ pour fixer le début de l'incapacité au 22 avril 2008. Par décision du 7 février 2011, l'office AI a octroyé à A._ une rente entière d'invalidité à partir du 1 er avril 2009, qui a été maintenue lors d'une procédure de révision (communication du 10 février 2012). Il a considéré notamment que depuis le 22 avril 2008, la capacité de travail de l'assuré était "considérablement" restreinte. B. Par mémoire daté du 6 mai 2011, A._ a ouvert action contre la caisse devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Il a conclu, principalement, à ce que son droit aux prestations d'invalidité de la part de la caisse fût reconnu avec effet rétroactif au 1er avril 2009 et que cette dernière fût tenue de calculer les prestations dues sur la base d'un salaire annuel de 118'422 francs. Subsidiairement, il a demandé que les prestations fussent calculées en fonction d'un salaire annuel de 80'000 francs. Plus subsidiairement, il a requis que la caisse fût tenue de lui verser les prestations minimales LPP à compter du 1er avril 2009, à charge pour elle de les calculer. La juridiction cantonale a demandé une expertise au docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 4 juin 2014, l'expert a diagnostiqué un trouble schizotypique (F21 selon CIM 10). Il a admis qu'il était hautement vraisemblable (> 75 %) que l'assuré souffrait de troubles psychiques depuis les débuts de l'âge adulte, même si ceux-ci n'avaient pas été d'emblée incapacitants. De plus, il a considéré que l'assuré avait pu, de bonne foi, ne pas se rendre compte de ses troubles psychiques avant la consultation chez le docteur D._. Par jugement du 2 juillet 2015, la juridiction cantonale a admis partiellement la demande en ce sens qu'elle a octroyé une rente entière d'invalidité limitée aux prestations minimales LPP. C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, elle en demande la réforme en ce sens que toutes les conclusions de A._ soient rejetées. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.