Faits : A. A.a. A._, née en 1976, a été employée par la société B._ SA en qualité de serveuse du 1 er juin 2006 au 31 mai 2007. En février 2006, elle a subi une intervention chirurgicale au niveau de la colonne cervicale (discectomie C6-C7 avec mise en place d'une prothèse cervicale). Victime d'une chute dans les escaliers le 20 juillet suivant, elle a subi un traumatisme crânien avec perte de connaissance et des douleurs cervicales post-traumatiques. A.b. Le 9 octobre 2009, A._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a requis une copie du dossier médical constitué par l'assureur-accidents et recueilli de nombreux avis médicaux. Il a confié une expertise pluridisciplinaire (rhumatologique, neurologique et psychiatrique) à la Clinique romande de réadaptation (CRR), laquelle a été mise en oeuvre les 25 et 26 octobre 2011. Dans leur rapport d'expertise du 29 novembre 2011, les médecins de la CRR ont posé les diagnostics - avec répercussion sur la capacité de travail - de personnalité histrionique (F60.4), épisode de troubles dissociatifs moteur et sensoriel (F44.4-44.6), cervico-brachialgies gauches chroniques (M53.1), status après discectomie C6-C7 et mise en place d'une prothèse cervicale le 7 février 2006 et status après ablation de la prothèse cervicale et spondylodèse en 2009. Ils ont également fait état d'un trouble dépressif récurrent en rémission (F33.4) et d'hyperprolactinémie, lesquels n'avaient toutefois pas d'influence sur la capacité de travail. En ce qui concerne la capacité de travail, les experts ont retenu, sur le plan somatique, que l'activité habituelle n'était plus exigible et que, dans une activité adaptée, la capacité de travail était entière dès le 1 er janvier 2010. Sur le plan psychiatrique, la capacité de travail était nulle depuis le mois de juillet 2011 mais, sous la forme de mesures de réinsertion socio-professionnelles dans un environnement protégé, elle serait de 50 % au moins. En réponse à des questions complémentaires de l'office AI, les docteurs C._ et D._, du service de psychosomatique de la CRR, ont précisé que c'étaient les manifestations du trouble dissociatif qui étaient responsables de l'incapacité de travail mais que le trouble de la personnalité prédisposait à ces manifestations. En outre, les critères de gravité établis par la jurisprudence en cas de troubles somatoformes douloureux n'étaient selon eux pas transposables à un autre diagnostic (lettre du 21 mars 2012). Par la suite, la doctoresse D._ a confirmé que le trouble de la personnalité seul n'était pas incapacitant mais que son association au trouble de conversion conférait à celui-ci sa valeur incapacitante (lettre du 23 novembre 2012). A.c. Après consultation du Service médical régional de l'assurance-invalidité, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité pour la période du 1 er avril 2010 au 31 janvier 2012 (décision du 12 juin 2014). Il a retenu que depuis le 21 juillet 2006 la capacité de travail de l'assurée était nulle dans son activité habituelle et que, dans une activité adaptée, elle était de 60 % depuis le 2 novembre 2011 (date du rapport des experts psychiatres). Cela correspondait à un taux d'invalidité (de 37 %) insuffisant pour le maintien de la rente. B. L'assurée a déféré cette décision à la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève, laquelle a admis le recours et annulé la décision du 12 juin 2014 dans le sens des considérants (jugement du 1 er juillet 2015). En résumé, la juridiction cantonale a considéré que l'office AI devait poursuivre le versement de la rente entière d'invalidité au-delà du 31 janvier 2012. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à la confirmation de sa décision du 12 juin 2014 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvel examen. Préalablement, il a requis l'attribution de l'effet suspensif à son recours. L'intimée conclut au rejet du recours et requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. La juridiction cantonale déclare renoncer à se déterminer. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS), il conclut à l'admission du recours. D. Par ordonnance du 11 décembre 2015, le Juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours de l'office AI.