Faits : A. A.A._, né en 1975, et B.A._, née en 1984, tous deux de nationalités kosovare et suisse, se sont mariés le 27 février 2003 au Kosovo. Deux enfants, nés à Genève, sont issus de cette union: C._, né en 2004, et D._, né en 2006. Le 2 juillet 2014, l'épouse a sollicité des mesures protectrices de l'union conjugale. Le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal de première instance) a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise familiale et l'a confiée au Centre universitaire romand de médecine légale, qui a désigné à cette fin la Dresse E._ (médecin chef de clinique au Service de psychiatrie de l'enfant et de l'adolescent) et, en qualité de co-expert, la Dresse F._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie forensique). Dans leur rapport intermédiaire du 23 juillet 2015, les expertes ont recommandé le placement urgent des enfants dans un foyer, le retrait de la garde et une restriction du droit de visite des parents, le retrait de l'autorité parentale du père, le suivi psychiatrique de la mère, la mise en place d'une guidance parentale pour le père, le suivi pédopsychiatrique et institutionnel des deux enfants et la mise en oeuvre d'une curatelle de représentation de ceux-ci. Les expertes ont confirmé la teneur de leur rapport et de leurs conclusions lors de l'audience du 24 novembre 2015. B. B.a. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale par jugement du 10 décembre 2015, le Tribunal de première instance a, notamment, retiré aux parties la garde et le droit de déterminer le lieu de résidence des enfants (ch. 2 du dispositif), ordonné le placement immédiat de ceux-ci dans un foyer (ch. 3), ordonné une mesure de curatelle ad hoc de financement, d'organisation et de surveillance du lieu de placement des enfants ainsi que pour faire valoir leur créance alimentaire (ch. 4), suspendu provisoirement pour une durée de trois mois le droit de visite et limité celui-ci pendant cette période à des contacts épistolaires, dans un premier temps, puis téléphoniques à raison d'une fois par semaine, étant précisé que ces contacts devaient être surveillés par un professionnel (ch. 5), réservé aux parents, à l'issue de cette suspension, un droit de visite de deux heures par semaine dans un cadre médiatisé (ch. 6), confirmé la mesure de curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (ch. 7), ordonné le suivi pédopsychiatrique intensif et institutionnel des enfants, ordonné à cette fin une curatelle ad hoc pour organiser ce suivi et limité l'autorité parentale en conséquence (ch. 8), transmis le jugement au Tribunal de protection de l'enfant pour la confirmation et la nomination d'un ou plusieurs curateurs (ch. 9), condamné les parties à se soumettre à une guidance parentale (ch. 10), enfin, donné acte à la mère de son engagement à se soumettre à une guidance parentale (ch. 11) et à un suivi psychiatrique (ch. 12). B.b. Le père a interjeté appel contre cette décision, en requérant l'effet suspensif. Il concluait en substance à ce que la garde des enfants lui soit attribuée, un droit de visite étant réservé à la mère. Par arrêt du 20 janvier 2016, la Cour de justice du canton de Genève a rejeté la requête tendant à la suspension de l'effet exécutoire attaché notamment aux chiffres 2 à 9 du dispositif du jugement entrepris et a désigné un curateur de représentation des enfants. C. Par acte posté le 15 février 2016, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 20 janvier 2016. Il conclut préalablement à ce que la décision attaquée soit annulée, à ce que l'effet suspensif soit octroyé "au jugement rendu par le Tribunal de première instance le 10 décembre 2015" et à ce que soient ordonnées toutes mesures utiles à la sauvegarde de ses intérêts et de ceux de ses enfants (art. 103 al. 3 et 104 LTF), notamment un rapport de crédibilité de ces derniers. Principalement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Des réponses sur le fond n'ont pas été requises. D. Dans ses déterminations sur la requête d'effet suspensif du 18 février 2016, l'intimée s'est opposée à ce que celui-ci soit accordé, arguant que les enfants avaient été placés dans un foyer par le Service de protection des mineurs du canton de Genève (SPMi) depuis le 16 février 2016. Par ordonnance du 2 mars 2016, le Président de la cour de céans a rejeté les mesures provisionnelles sollicitées par le recourant, y compris sa demande de restitution d'effet suspensif.