Faits : A. A.a. Par décision du 20 novembre 2012, confirmée sur opposition le 25 juillet 2013, la Faculté des sciences de l'Université de Genève (ci-après: l'Université) a éliminé X._ du programme de maîtrise bidisciplinaire mineure en biologie (ci-après: la maîtrise), à la suite d'un (double) échec de l'étudiante à l'examen de biologie du développement I (art. 105 al. 2 LTF). Le 16 juillet 2013 (recte: 16 septembre 2013), l'étudiante a recouru contre la décision sur opposition du 25 juillet 2013. Dans le cadre de ce recours, elle a été mise au bénéfice de l'assistance juridique par décision du 27 septembre 2013. Par arrêt du 28 octobre 2014, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève a admis le recours et renvoyé le dossier à l'Université pour que celle-ci fasse passer une nouvelle fois l'examen en question à l'intéressée. A.b. Le 2 juin 2015, X._ a obtenu la note 3,25 à l'examen litigieux (art. 105 al. 2 LTF). Par décision du 14 juillet 2014 (recte: 14 juillet 2015), l'Université a éliminé X._ de la maîtrise. B. Le 4 août 2015, l'étudiante a requis l'assistance juridique en vue de former opposition contre la décision d'élimination du 14 juillet 2015 puis, dans un deuxième temps, pour recourir contre la décision sur opposition. Par décision du 6 août 2015, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève (ci-après: le Vice-président du Tribunal civil) a rejeté la requête d'assistance juridique précitée, en considérant que l'on pouvait raisonnablement attendre de l'intéressée qu'elle agisse seule dans la procédure d'opposition. Par décision du 6 novembre 2015, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: le Vice-président de la Cour de justice) a rejeté le recours formé par X._ contre le refus de lui octroyer l'assistance juridique prononcé le 6 août 2015. De même, cette autorité a refusé de procéder à l'audition que l'intéressée avait requise. Le Vice-président de la Cour de justice a retenu, en substance, que l'étudiante n'avait apporté aucune preuve du fait que l'Université serait hostile à son encontre. En outre, elle parlait le français et disposait de tous les éléments nécessaires pour s'opposer valablement à la décision d'élimination du 14 juillet 2015 sans l'aide d'un avocat, la complexité de la procédure en question n'étant pas établie. C. A l'encontre de la décision du 6 novembre 2015, X._ dépose un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme de la décision attaquée en ce sens que le bénéfice de l'assistance judiciaire lui soit octroyé pour la procédure d'opposition à la décision de l'Université du 14 juillet 2015. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. Le Vice-président de la Cour de justice se réfère aux considérants de sa décision. Le Vice-président du Tribunal civil n'a pas formulé d'observations.