Faits : A. En 2007, la Clinique B._ SA (ci-après: la Clinique ou la défenderesse), dont le but est notamment l'exploitation de centres d'esthétique, a chargé C._, qui exerçait alors son activité en entreprise individuelle, d'aménager et de décorer les locaux qu'elle exploitait à Lausanne. Ces travaux ont été effectués à son entière satisfaction et le prix convenu a été payé. B. B.a. Le 1er octobre 2009, la Clinique, qui envisageait d'ouvrir cinq ou six centres en Suisse a repris contact avec C._, désormais associé gérant de A._ Sàrl (ci-après: l'architecte ou la demanderesse), en vue de l'aménagement et de la décoration de ces centres. Une première offre de l'architecte du 16 novembre 2009 n'a pas été acceptée. L'architecte a formulé une deuxième offre le 18 novembre 2009 pour le prix de 141'000 fr. hors taxes pour les six centres prévus, soit 23'500 fr. hors taxes par centre. Puis, il a établi un contrat écrit, sur la base de cette offre, mais pour cinq centres uniquement, pour le prix de 117'500 fr. hors taxes, soit toujours 23'500 fr. hors taxes par centre, la clinique ne voulant plus réaliser que cinq centres. Le contrat n'a pas été signé. B.b. Le 15 janvier 2010, alors que l'aménagement n'était pas terminé, la Clinique a mis fin aux travaux de l'architecte, invoquant des divergences de vues quant à la rémunération de celui-ci, et l'a prié de faire parvenir sa facture pour les prestations effectuées. Le 3 février 2010, l'architecte a donc adressé sa facture finale ainsi que sa note de frais de déplacement à la Clinique. Sa facture s'élève au montant total de 58'750 fr. hors taxes (63'215 fr. avec taxes). La note pour les frais de déplacement est de 1'737 fr. hors taxes (1'869 fr. avec taxes). La Clinique a contesté la facture, estimant qu'elle était basée sur des affirmations erronées, et a demandé à l'architecte de la reformuler en tenant compte du fait que l'offre acceptée portait sur une rémunération de 15'000 fr. hors taxes par centre. Le 18 février 2010, puis le 15 mars 2010, l'architecte a mis la Clinique en demeure de lui verser le montant de sa facture. Faute de paiement, il lui a fait notifier un commandement de payer. C. Le 4 juillet 2011, l'architecte a ouvert action contre la Clinique devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne, concluant à la condamnation de celle-ci à lui payer les montants de 63'215 fr. avec intérêts à 6% l'an dès le 19 février 2010 et 1'869 fr. avec intérêts à 6% l'an dès le 19 février 2010 et à la mainlevée définitive de l'opposition formée au commandement de payer à concurrence de ces montants. La défenderesse a conclu au rejet de la demande et formé une demande reconventionnelle de 7'000 fr. A bien plaire, elle a offert de liquider le litige par le versement à la demanderesse de 20'000 fr. pour solde de tous comptes. Par jugement du 30 juin 2014, le Tribunal a rejeté la demande principale, faute de preuve du montant des prétentions invoquées, ainsi que la demande reconventionnelle. Statuant le 18 novembre 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel de la demanderesse et confirmé le jugement attaqué. D. Le 9 mars 2015, la demanderesse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à la réforme de l'arrêt cantonal en ce sens que la défenderesse soit condamnée à lui payer les montants de 63'215 fr. avec intérêts à 6% l'an dès le 19 février 2010 et de 1'869 fr. avec intérêts à 6% l'an dès le 19 février 2010 et que la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer n° xxx soit levée à concurrence de ces montants; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle estime qu'une expertise n'était pas nécessaire pour prouver ses prétentions et qu'en niant qu'elle en avait apporté la preuve, la cour a apprécié arbitrairement les preuves et violé l'art. 8 CC et les art. 373, 377 et 404 CO. La défenderesse conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Les parties ont encore déposé chacune des observations. La requête d'effet suspensif formée par la demanderesse, pour éviter d'avoir à s'acquitter immédiatement des dépens auxquels elle a été condamnée, a été rejetée par ordonnance présidentielle du 11 mai 2015.