Faits : A. A._ s'est vu allouer une rente entière de l'assurance-invalidité (décisions du 24 octobre 1985) à compter du 1 er octobre 1981, confirmée après mise en oeuvre de mesures professionnelles les 25 mai 1988, 22 novembre 1991, 28 février 1995 et 14 novembre 2002. A l'invitation de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI), les docteurs B._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et D._, spécialiste en médecine interne générale et pneumologie, du Service médical régional (SMR) ont diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - un trouble délirant persistant (dysmorphophobie délirante), un trouble de la personnalité émotionnellement labile de type impulsif et un trouble panique; l'assuré présentait vraisemblablement de façon définitive une incapacité totale de travail sur le plan psychiatrique (rapport du 6 mars 2007). Le 28 mars 2007, l'office AI a communiqué à l'assuré la poursuite du versement d'une rente entière de l'assurance-invalidité, fondée sur un degré d'invalidité de 100 %. Ayant appris que A._ avait effectué différents travaux pour le compte de la Commune de E._ en août 2009 (débroussaillage, nettoyage des berges, balayage, etc.), l'office AI l'a entendu le 26 juillet 2011, puis a mis en oeuvre une expertise psychiatrique. Dans son rapport du 2 août 2012, le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a fait état - sans répercussion sur la capacité de travail - d'une personnalité émotionnellement labile de type borderline et d'un syndrome douloureux somatoforme persistant; l'assuré était apte à travailler à plein temps depuis plusieurs années. L'office AI a ensuite mandaté un enquêteur externe, lequel a observé l'assuré effectuer des travaux d'entretien et de jardinage pour des particuliers (rapport d'enquête du 16 septembre 2013), et suspendu provisoirement le versement de la rente (décision incidente du 4 avril 2014, confirmée sur recours de l'assuré le 21 août 2014 par le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances). Par décision du 23 juillet 2014, l'office AI a supprimé la rente de l'assurance-invalidité avec effet rétroactif au 1 er janvier 2009; en bref, il a retenu que A._ présentait une capacité de travail entière et qu'il avait manifestement déployé depuis 2009 au moins une activité lucrative indépendante. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances. Par jugement du 29 octobre 2015, la cour cantonale a partiellement admis le recours, annulé la décision du 23 juillet 2014 en ce qu'elle supprimait la rente avec effet rétroactif au 1er janvier 2009 et supprimé la rente de l'assuré avec effet au 1er septembre 2014. C. A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il demande principalement au Tribunal fédéral de dire et déclarer qu'il a droit aux prestations de l'assurance-invalidité au-delà du 1 er septembre 2014 et subsidiairement de prononcer le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.