Faits : A. A._, ressortissante de la Côte d'Ivoire née en 1971, est entrée illégalement en Suisse en septembre 2005. Elle a vécu sans autorisation chez B._, ressortissant portugais titulaire d'une autorisation d'établissement UE/AELE. En 2006, l'intéressée a donné naissance à une fille, C._, de nationalité portugaise, qui a été reconnue par son père B._. Les parents se sont mariés le 8 août 2007. En avril 2008, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE au titre de regroupement familial. Par décision de mesures protectrices du 30 juin 2011, les époux ont été autorisés à vivre séparés. La garde de l'enfant a été attribuée à A._. Le père a été condamné à verser une contribution d'entretien mensuelle à l'enfant. B. Par courrier du 13 février 2012, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a informé A._ qu'il soumettait le dossier à l'Office fédéral des migrations (depuis le 1er janvier 2015: le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM). Par décision du 20 juin 2013, le SEM a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour en faveur de l'intéressée et prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 15 septembre 2015, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours formé par l'intéressée contre la décision du SEM susmentionnée. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt rendu le 15 septembre 2015 par le Tribunal administratif fédéral. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Le Tribunal administratif fédéral a produit le dossier de la cause et renoncé à prendre position. Le SEM a déposé des observations et conclu à l'admission du recours.