Faits : A. X._ exploite un salon de massage à Genève. Le 11 février 2015, le Département de la sécurité et de l'économie de la République et canton de Genève (ci-après: le Département), par son secrétaire général adjoint Y._, a écrit à l'intéressée. Il lui reprochait d'avoir, par des éléments figurant sur le site Internet du salon, porté atteinte à l'ordre public, en particulier à la santé publique. Il envisageait d'ordonner la fermeture temporaire de l'établissement pour une durée de un à six mois, de lui interdire d'exploiter tout autre salon pour une durée analogue, ainsi que de lui infliger une amende administrative. B. Le 27 février 2015, l'intéressée a sollicité la récusation de Y._ auprès du Département. Elle a invoqué le fait que celui-ci ne faisait plus preuve de l'impartialité nécessaire car il avait prononcé toutes les décisions dont elle avait fait l'objet et qu'un certain nombre de ces décisions avaient été modifiées ou annulées sur recours, que ce soit par la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) ou par le Tribunal fédéral. Cette demande a été rejetée par le Département le 10 mars 2015, qui a déclaré sa décision exécutoire nonobstant recours. L'intéressée a contesté ce prononcé le 23 mars 2015 auprès de la Cour de justice, qui a restitué l'effet suspensif au recours par décision incidente du 30 avril 2015. Dans la procédure devant cette autorité, l'intéressée a nouvellement invoqué une altercation intervenue entre Y._ et une tierce personne, employée de son salon. Par arrêt du 23 juin 2015, la Cour de justice a rejeté le recours. Après avoir écarté la demande d'audition de l'employée du salon par appréciation anticipée, la Cour de justice a jugé que les motifs qui avaient conduit à l'admission des recours contre les décisions du Département ne démontraient ni d'excès ou d'abus de la part de son secrétaire général adjoint, ni de prévention à l'égard de l'intéressée. Par ailleurs, elle a jugé que les explications du Département quant à l'incident survenu entre Y._ et la tierce personne employée du salon étaient entièrement convaincantes, ajoutant qu'on ne voyait pas en quoi cet événement aurait eu une incidence négative dans l'appréciation que Y._ pouvait avoir de l'intéressée et de son salon. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._, dans un premier acte daté du 21 juillet 2015, demande au Tribunal fédéral d'accorder l'effet suspensif à son recours. Dans un second acte du 31 août 2015, elle conclut en substance, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 23 juin 2015 de la Cour de justice et au renvoi de la cause à cette dernière pour nouvelle décision dans le sens des considérants; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt précité et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle se plaint d'établissement inexact des faits, de violation du droit d'être entendu et d'arbitraire. Par ordonnance du 23 juillet 2015, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté la requête d'effet suspensif. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département conclut au rejet du recours.