Faits : A. A._, ressortissant suisse, est domicilié à B._, en Haute-Savoie (France). Selon le contrat "d'emploi du personnel local du Service européen pour l'action extérieure en service dans un pays tiers" du 1 er octobre 2011, conclu entre C._ et A._, celui-ci travaillait en 2011 à Genève comme membre du personnel administratif de D._. Le 22 novembre 2011, la Mission permanente de la Suisse auprès de l'Office des Nations Unies et des autres organisations internationales à Genève a adressé à D._ en tant qu'employeur, ainsi qu'à A._ en tant que contribuable, une information relative à la situation fiscale de l'intéressé. Il était indiqué que A._ était entièrement soumis aux impôts suisses. Si D._, qui n'y était pas tenue en raison du statut dont elle jouissait, ne prélevait pas l'impôt à la source, il appartenait à l'employé de s'annoncer auprès de l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève (ci-après: l'Administration fiscale cantonale) pour déclarer ses revenus. Par courriers des 23 mai, 14 juin, 28 juin et 20 juillet 2012, l'Administration fiscale cantonale a demandé à A._ de produire sa déclaration fiscale pour l'impôt cantonal et communal (ci-après: ICC), ainsi que pour l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) pour la période fiscale 2011. Dans ses réponses des 29 mai, 20 juin, 2 juillet et 20 août 2012, A._ a contesté devoir remplir une déclaration fiscale en Suisse au motif que sa résidence fiscale était en France, pays dans lequel il avait déjà satisfait, pour ses revenus 2011, à ses obligations fiscales. B. Par bordereaux de taxation d'office du 13 septembre 2012, l'Administration fiscale cantonale a fixé l'ICC de A._ pour l'année fiscale 2011 à 7'075.20 fr. et l'IFD à 1'539.75 fr., sur la base d'un revenu imposable de 37'500 fr. et d'une fortune de 50'000 fr. pour l'ICC et d'un revenu imposable de 37'500 fr. pour l'IFD. Le 24 septembre 2012, A._ a déposé une réclamation contre les bordereaux précités, contestant son assujettissement à l'impôt en Suisse. Après un échange de correspondances, l'Administration fiscale cantonale a rejeté, le 27 novembre 2014, la réclamation du contribuable et maintenu, par deux décisions, les bordereaux de taxation du 13 septembre 2012. L'imposition du salaire du contribuable avait été correctement établie, notamment au regard de l'art. 17 par. 1 et 2 de la Convention du 9 septembre 1966 entre la Suisse et la France en vue d'éliminer les doubles impositions en matière d'impôts sur le revenu et sur la fortune et de prévenir la fraude et l'évasion fiscales (en vigueur depuis le 26 juillet 1967; RS 0.672.934.91; ci-après: la CDI CH-FR). Le 17 décembre 2014, A._ a recouru contre ces décisions auprès du Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Le 12 octobre 2015, après avoir implicitement joint les causes, le Tribunal administratif a rejeté le recours. Par arrêt du 19 avril 2016, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours formé par A._ contre ce jugement. En substance, les juges cantonaux ont considéré que A._, qui ne pouvait pas bénéficier d'une exonération d'impôt sur la base de son statut d'employé d'une délégation permanente auprès d'une organisation internationale, était assujetti à l'impôt en Suisse pour les revenus acquis dans ce pays. Il ne remplissait pas une des conditions de l'exception au principe de l'imposition au lieu de travail des rémunérations perçues à ce titre contenue dans la CDI CH-FR, de sorte que cette convention internationale ne s'opposait pas à l'imposition des revenus de son travail en Suisse. Le montant de l'impôt n'était pas discuté. C. A._ forme auprès du Tribunal fédéral un "recours" à l'encontre de l'arrêt du 19 avril 2016. Il demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, "d'indiquer que le pays qui doit recevoir [sa] déclaration fiscale est la France [et] qu'il n'a pas à déposer de déclaration fiscale en Suisse". Il sollicite en outre, sous le titre "conclusion et demandes", le constat de divers faits relatifs à son lieu de résidence, à ses obligations fiscales à l'égard de la France, au nombre de jours de travail qu'il a effectués en Suisse en 2011 et à la manière dont son salaire lui est versé par D._. Il dénonce une violation de la CDI CH-FR. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Administration fiscale cantonale conclut au rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions, qui se rallie au dispositif et aux considérants de l'arrêt entrepris et fait siennes les considérations de l'Administration fiscale cantonale, conclut au rejet du recours. A._ a déposé des observations.