Faits : A. A.a. X._, née en 1960 au Brésil, est arrivée en Suisse en 2003, où elle a épousé le ressortissant espagnol A._. Ce dernier a été naturalisé suisse en 2005, son épouse en 2010. Depuis son arrivée en Suisse, X._ n'a pas de revenus stables; elle dépend actuellement de l'assistance publique. Son époux perçoit des prestations de l'assurance-invalidité. A.b. La fille de X._, B._, née en 1979 au Brésil, a suivi sa mère en Suisse en 2003. B._ étant atteinte d'une surdité profonde, elle et sa mère avaient appris la langue des signes en portugais au Brésil pour communiquer entre elles. A son arrivée à Genève, la fille a en outre appris la langue des signes en français. Elle fait ménage commun avec son compagnon suisse, C._, lequel est lui aussi atteint d'une surdité profonde et communique dans la langue des signes en français. En 2009, B._ a donné naissance à D._, qui n'est pas affecté par le handicap de ses parents. A.c. A partir de 2009, X._ s'est adressée, sans succès, à plusieurs autorités genevoises ainsi qu'à diverses associations aux fins d'obtenir la prise en charge en sa faveur de cours de langue des signes en français, en vue de pouvoir communiquer avec sa fille, le compagnon de celle-ci et son petit-fils dans cette langue. Durant la période de chômage précédant sa mise au bénéfice de l'aide sociale, l'intéressée a, avec l'accord des autorités, utilisé les chèques-formation, en principe destinés à sa réinsertion professionnelle, pour acquérir quelques rudiments de ladite langue dans le cadre de cours organisés par la Fondation pour la formation des adultes à Genève. En parallèle, elle a continué à solliciter la prise en charge de cours approfondis par l'Etat. B. Par décision du 19 janvier 2015, le Département de l'instruction publique, de la culture et du sport de la République et canton de Genève (ci-après: le Département cantonal) a rejeté la demande de X._ d'accéder gratuitement à des cours de langue des signes en français. L'intéressée a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de Justice), laquelle a rejeté son recours par arrêt du 6 octobre 2015. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 6 octobre 2015, de constater son droit à bénéficier de cours gratuits de la langue des signes en français et d'inviter le canton à organiser ces cours dans un délai d'un mois à compter de la notification de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle sollicite en outre sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire complète. S'en rapportant à justice quant à la recevabilité du recours, le Département cantonal et, en substance, la Cour de Justice concluent à son rejet. Dans sa réplique, la recourante a persisté dans les termes et les conclusions de son recours.