Faits : A. Dans une contestation pécuniaire portée devant les tribunaux vaudois, la société enregistrée en Italie U._ SRL s'est fait conseiller et représenter par Me X._, avocat à Lausanne. Celui-ci lui a adressé dix notes d'honoraires et de débours au total de 45'952 fr.35; il y indiquait les prestations exécutées mais il ne précisait pas le temps qu'il leur avait consacré. La cliente a versé des provisions au total de 11'000 francs. B. Le 5 mai 2015, la cliente a présenté une demande de modération des honoraires au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte. L'avocat a déposé des déterminations où il faisait état d'un temps de travail global de 125 h 30 et d'un tarif horaire moyen de 336 fr.83. Il y a joint des « rapports d'affaire » indiquant le temps consacré à chaque prestation. Le Président du Tribunal civil a considéré que certaines d'entre elles - surveillance et correction du travail d'un collaborateur; conférences avec ce collaborateur; démarches concernant la relation de l'avocat avec des confrères - ne donnaient pas lieu à honoraires; cela l'a conduit à retrancher « en équité » 25 h 00 d'activité et à réduire le total des honoraires de 42'273 fr.35 à 33'868 fr.50, soit 100 h 30 à 337 francs. Le Président a confirmé le montant des débours, soit 3'679 francs. Par prononcé du 27 octobre 2015, il a arrêté le total des honoraires et débours à 37'547 fr.50. U._ SRL a saisi la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal pour réclamer la réduction de ce total au montant de 11'000 fr. déjà versé par elle. L'autorité de recours a statué le 5 février 2016. Sur les durées d'activité indiquées dans les « rapports d'affaire », elle a opéré quatre réductions supplémentaires totalisant 29 h 15 et elle a corrélativement réduit les honoraires à 24'011 fr.25, soit 71 h 15 à 337 francs. Elle a réduit les débours à 5% des honoraires admis, soit 1'200 fr.65. Le total des honoraires et débours admis s'élève ainsi à 25'211 fr.90. C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, Me X._ requiert le Tribunal fédéral de fixer le total des honoraires et débours au montant de 37'547 fr.50 déjà arrêté par le Président du Tribunal civil. L'intimée U._ SRL conclut au rejet du recours. Les parties ont spontanément déposé une réplique et une duplique.