Faits : A. A._, né en 1957, a été victime de deux accidents en 1986 et 1998 qui ont entraîné premièrement une fracture du plateau tibial droit puis une entorse du genou droit avec fissure du plateau tibial et rupture du ménisque. Pour les suites de ces accidents, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA) a alloué à l'intéressé, entre autres prestations, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 24 % à partir du 1 er août 2002. Pour fixer le taux d'invalidité, elle s'est fondée sur un rapport d'examen médical final du 19 septembre 2002 de son médecin d'arrondissement, le docteur B._, spécialiste en chirurgie. Ce médecin a estimé la capacité de travail de l'assuré entière dans des activités adaptées à son handicap (activités légères alternant les positions assise et debout sans port de charges lourdes, ni montée et descente d'escaliers ou position figée de longue durée). A la suite de l'opposition de l'assuré contre cette décision, les parties ont conclu une transaction et se sont accordées pour fixer le taux de la rente d'invalidité à 30 %. L'augmentation du taux était uniquement liée à des raisons économiques, à savoir au montant du gain annuel assuré. Cette transaction a été entérinée par décision du 30 avril 2004. En octobre 2008, l'assuré a annoncé à la CNA une rechute, en invoquant la diminution de sa capacité de travail. Se fondant notamment sur un rapport d'examen médical final de son médecin d'arrondissement, le docteur C._, spécialiste en chirurgie, du 28 janvier 2009, la CNA a refusé d'augmenter la rente d'invalidité du recourant (décision du 14 mai 2009 confirmée sur opposition le 19 octobre 2009). Elle a considéré que la capacité de travail résiduelle n'avait pas subi de modification notable par rapport à celle constatée lors de l'examen du 19 septembre 2002. En février 2010, l'assuré a annoncé une nouvelle rechute en vue d'une intervention chirurgicale (mise en place d'une prothèse du genou droit) pratiquée le 29 avril 2010, à la suite de laquelle il a perçu des indemnités journalières. Par la suite, l'assuré a subi une nouvelle opération en mars 2011 (remplacement de la rotule), puis une troisième en janvier 2013 (névrectomie du nerf infra-patellaire droit). Par décision du 13 juin 2014, confirmée sur opposition le 13 avril 2015, la CNA a mis un terme au versement des indemnités journalières avec effet au 31 juillet 2014 et maintenu le droit de l'assuré à une rente d'invalidité d'un taux de 30 %. Se fondant en particulier sur les rapports médicaux des 15 novembre 2012 et 10 juin 2014 établis par le docteur C._, elle a considéré, une nouvelle fois, que la capacité de travail de A._ n'avait pas subi de modification notable par rapport à celle constatée lors de l'examen final du 19 septembre 2002. Par ailleurs, la CNA a refusé de prendre en charge une éventuelle incapacité de travail en raison des troubles psychiques apparus après l'annonce de sa rechute, faute d'un rapport de causalité avec les accidents. B. L'assurée a saisi la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura d'un recours contre la décision sur opposition du 13 avril 2015, en concluant au versement d'une rente d'invalidité supérieure à 30 % et au renvoi de la cause à la CNA pour qu'elle mette en oeuvre une expertise pluridisciplinaire aux fins de procéder au calcul du degré d'invalidité. Par jugement du 12 janvier 2016, la Cour des assurances a rejeté le recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la CNA pour mise en oeuvre d'une expertise médicale. La CNA conclut au rejet du recours, tout comme la juridiction cantonale, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.