Faits : A. A.a. X._ est propriétaire d'une parcelle avec villa individuelle située dans la commune de... (GE). En 2005, il est entré en contact avec la société Z._ SA en vue de vendre ce bien. Ladite société a remis au propriétaire le texte d'un contrat de courtage daté du 23 septembre 2005. A teneur de ce document, le propriétaire (ci-après: le mandant) chargeait la société (ci-après: la courtière) de lui indiquer ou de lui amener un acquéreur pour sa propriété, ou de lui servir d'intermédiaire pour la négociation de cette vente (art. 1 et 2). Le prix de vente demandé était de 8'800'000 fr. Ce prix n'avait cependant qu'une valeur indicative, toute offre d'achat, même inférieure, devant être transmise au mandant (art. 3). Le mandant s'engageait à payer à la courtière, «dès la conclusion de la vente, une commission de 5% sur les premiers 500'000 fr. et 3% sur l'excédent, plus TVA, calculée sur le prix accepté». La courtière devait communiquer au mandant le nom de toutes les personnes auxquelles elle ferait des offres. Si l'une d'elles se portait acquéreur de la propriété, la commission de vente était intégralement due, même si la vente intervenait après la fin du contrat (art. 5 al. 1). En outre, la commission de vente était intégralement due dans le cas où la courtière indiquait ou amenait un acquéreur solvable au prix demandé et où le mandant renonçait à vendre (art. 5 al. 2). A.b. Au mois d'avril 2006, les parties ont convenu de proposer la propriété du mandant au prix de vente de 9'900'000 fr. Par courrier du 25 avril 2008, la courtière a pris note du souhait du mandant de fixer le prix de vente à 13'000'000 fr. et ce «aux conditions énoncées dans le contrat de courtage signé par vos soins en septembre 2005». En 2008 et 2009, le mandant a conclu avec des tiers huit autres contrats de courtage non exclusifs, qui ne garantissaient pas aux tiers concernés le paiement d'une commission si le mandant renonçait à la vente. Le 27 août 2009, la courtière a fait savoir au mandant que le prix de vente souhaité, soit 9'800'000 fr., lui semblait peu réalisable au vu du contexte économique. Elle estimait la valeur de la propriété à 4'650'000 fr. et préconisait de la proposer au prix de 7'000'000 fr., ce que le mandant a refusé. Le 5 octobre 2010, les parties ont convenu de baisser le prix de vente proposé de 9'800'000 fr. à 7'900'000 fr. A.c. Le 22 novembre 2010, une avocate a annoncé à la courtière que l'un de ses clients dénommé A._ offrait d'acquérir à terme la propriété de X._ au prix de 7'700'000 fr. L'avocate précisait que, pour des raisons administratives, elle signerait sans doute elle-même l'acte et que le terme de la vente pourrait être fixé au 31 janvier 2011, avec substitution d'acheteur en faveur de son client aux mêmes termes et conditions. Par courrier du 25 novembre 2010, faisant suite à une entrevue du même jour, la courtière a indiqué au mandant que dans le cas où la vente aurait lieu au prix de 7'880'000 fr. en faveur des époux A._ ou d'une personne se substituant à eux, elle accepterait de réduire sa commission à un montant forfaitaire de 230'000 fr. TTC. En contrepartie de ce geste commercial, la commission devait cependant être acquittée le jour de la vente à terme. Le 30 novembre 2010, le mandant a accusé réception de ce courrier et a indiqué à la courtière qu'il n'était pas disposé à payer une commission avant l'encaissement du prix de la vente à terme, raison pour laquelle il refusait sa proposition. Il ajoutait qu'après réflexion, et faute d'avoir trouvé un objet de remplacement, il ne pouvait pas vendre sa propriété; aussi priait-il la courtière de bien vouloir mettre en suspens «le contrat de courtage que nous avons signé». A.d. Par courrier du 2 décembre 2010, la courtière s'est étonnée de voir le mandant renoncer à la vente de sa villa. Elle a notamment rappelé que l'acte de vente avait été commandé à un notaire le 25 novembre 2010, en vue d'une vente à terme prévue le 2 décembre 2010 à 15 h 00; lors d'une entrevue le 29 novembre 2010, le mandant avait encore confirmé la vente de sa maison au prix de 7'880'000 fr. et avait demandé à la courtière de négocier la date de mise à disposition des lieux. Finalement, le mandant lui avait annoncé le 30 novembre 2010 qu'il ne souhaitait plus vendre son bien et qu'il avait pris contact avec l'étude du notaire pour annuler le rendez-vous fixé. La courtière considérait que son travail avait été accompli et qu'elle avait droit à une commission de vente de 230'000 fr., conformément au contrat de courtage signé par le mandant le 23 septembre 2005, puisque la vente n'avait pas été conclue en raison de la renonciation de celui-ci. La courtière invitait le mandant à lui verser ledit montant dans les dix jours. Par la suite, la courtière a persisté à réclamer le paiement de 230'000 fr., en vain. B. B.a. Après avoir déposé une requête de conciliation le 12 juin 2013, la courtière (ci-après: la demanderesse) a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une demande tendant à ce que le mandant (ci-après: le défendeur) soit condamné à lui payer la somme de 230'000 fr., intérêts en sus. A l'appui de sa demande, elle a produit notamment une copie du contrat de courtage du 23 septembre 2005 qui comportait uniquement la signature de deux représentants de la demanderesse, à l'exclusion de celle du défendeur. B.b. Le défendeur s'est opposé à la demande, exposant notamment qu'il n'avait pas signé le contrat transmis par la demanderesse le 23 septembre 2005, car les termes de l'art. 5 ne lui convenaient pas. Il a produit un exemplaire du contrat de courtage signé uniquement par deux représentants de la demanderesse. Il a par ailleurs expliqué qu'il n'entendait vendre sa maison, dans laquelle il habitait, qu'à la condition d'avoir trouvé un objet de remplacement. B.c. A l'audience d'instruction du 13 mai 2014, la demanderesse a déclaré ne pas avoir d'autre exemplaire du contrat que la copie déjà produite. A l'issue des débats principaux le 4 novembre 2014, le tribunal a imparti à la demanderesse un délai au 5 décembre 2014 pour produire toute information relative à la communication du contrat au défendeur, ainsi que les avis de visite de son bien. Par pli recommandé adressé au tribunal le 12 décembre 2014, la demanderesse a produit diverses pièces, dont une copie du contrat de courtage portant la signature des deux parties. Elle a expliqué avoir pu récupérer ces documents dans son ancien système informatique. Le défendeur s'est opposé à la recevabilité des pièces. Il a également contesté l'authenticité du tirage du contrat produit, sa signature apparaissant avoir été manipulée. Lors d'une audience subséquente, le représentant de la demanderesse a déclaré que le système informatique de la société était en cours de changement depuis les mois de janvier ou février 2014. Il avait retrouvé la copie signée du contrat litigieux en consultant l'ancien système informatique, tout en admettant qu'il aurait pu effectuer cette vérification plus tôt. B.d. Par jugement du 31 août 2015, le Tribunal de première instance a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions à l'encontre du défendeur. En substance, le Tribunal a déclaré irrecevables, parce que produites tardivement, les pièces adressées par courrier du 12 décembre 2014, dont la copie du contrat de courtage signé par les deux parties. L'instruction de la cause n'avait par ailleurs pas permis de démontrer que ledit contrat avait été signé, ni que la clause de garantie de commission dont se prévalait la demanderesse liait le défendeur. Les relations des parties étaient dès lors soumises au régime légal ordinaire, dans lequel le mandant restait libre de refuser ou d'accepter l'affaire, sous réserve de l'art. 156 CO dont les conditions d'application n'étaient pas réalisées, et n'avaient au demeurant pas fait l'objet d'allégations. La demanderesse ne pouvait dès lors prétendre à aucune rémunération. B.e. Par arrêt du 8 avril 2016, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel interjeté par la demanderesse et a condamné le défendeur à lui payer 230'000 fr. plus intérêts. Les juges cantonaux ont acquis la conviction que le défendeur avait effectivement signé le contrat de courtage daté du 23 septembre 2005. Ils ont en outre considéré que la demanderesse pouvait réclamer le paiement de sa commission en vertu de l'art. 5 al. 2 dudit contrat dès lors qu'elle avait indiqué au défendeur un acquéreur solvable au prix demandé et que le défendeur avait renoncé à vendre. C. Le défendeur a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel il conclut principalement au rejet de la demande, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour complément d'instruction et nouvelle décision. La demanderesse a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.