Faits : A. Le 12 mai 2015, le Tribunal criminel des Montagnes et du Val-de-Ruz a reconnu A._ coupable d'actes d'ordre sexuel avec des enfants (art. 187 ch. 1 CP), de contrainte sexuelle (art. 189 al. 1 CP), de viol (art. 190 al. 1 CP) et d'inceste (art. 213 CP) en lien avec les faits reprochés à l'égard de deux des trois enfants concernés; il l'a condamné à une peine privative de liberté de quatre ans. Le prévenu, ainsi que la troisième victime présumée ont formé appel contre ce jugement. Le 17 juillet 2015, le Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds a déposé un appel joint. Au cours de la procédure d'appel, le Procureur a demandé la mise en détention pour motifs de sûreté du prévenu, requête rejetée le 14 avril 2016 par la direction de la procédure de la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Cette autorité a, par arrêt du 30 mai 2016, condamné A._ à une peine privative de liberté de cinq ans et prononcé son internement au sens de l'art. 64 al. 1 CP. Ce même jour, elle a ordonné l'arrestation immédiate du prévenu et son placement en détention pour des motifs de sûreté, retenant, notamment au vu des rapports d'expertise psychiatrique établis par le docteur B._ les 27 décembre 2011 et 29 mars 2016, l'existence d'un risque de récidive. B. Par acte du 9 juin 2016, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et à sa libération immédiate. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire. Invitée à se déterminer, l'autorité précédente s'est référée à sa décision. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours. Le 21 juin 2016, le recourant a persisté dans ses conclusions.