Faits : A. A.a. X._ (demandeur et recourant), alors qu'il était en formation en vue d'obtenir le certificat de capacité d'assistant en soins et santé communautaire, a été engagé par la Fondation Z._ (défenderesse et intimée) sur la base d'un contrat d'apprentissage conclu le 21 avril 2011 avec effet au 15 août 2011 pour une durée d'une année, soit jusqu'au 14 août 2012. A.b. En 2012, le demandeur a réalisé une revue du personnel sous forme d'une vidéo projetée à la soirée du personnel. Dans ce film, le demandeur a repris le concept du film " Titanic " et a mis en scène la directrice des soins de l'Hôpital (A._), qui apparaissait plus âgée et parlait de ce qu'elle avait vécu et d'intrigues au sein de l'établissement de la défenderesse; il était alors connu que cette employée allait quitter l'établissement à la fin de l'année 2012 car ses attentes et celles du directeur n'étaient pas compatibles pour le poste d'adjointe du directeur général que celle-ci aurait dû occuper. Dans le film, la défenderesse est quant à elle dépeinte comme s'engageant dans une voie trouble. A._ y est présentée comme gardienne des valeurs pour l'avenir de la défenderesse. La défenderesse, pour n'avoir pas écouté les mises en garde de A._, est condamnée à sombrer tel le célèbre navire. Par la suite, A._, ainsi que la personne qui jouait son rôle dans le film ont été licenciées. A.c. Par courrier du 5 juin 2012, le directeur de la défenderesse a adressé un avertissement au demandeur et l'a simultanément libéré de son obligation de travailler jusqu'à l'expiration de son contrat de travail au 14 août 2012. A cet égard, il était précisé que l'avertissement faisait suite aux événements survenus lors de la fête du personnel qui avait eu lieu le vendredi 1er juin, et la libération de l'obligation de travailler était justifiée par le fait que la présence du demandeur au sein de la défenderesse était susceptible de perturber son bon fonctionnement. Le demandeur a contesté la version des faits donnée par le directeur dans son courrier du 5 juin 2012 et a indiqué que la façon de procéder lui avait été extrêmement préjudiciable, dès lors qu'elle l'avait privé de la possibilité d'effectuer ses examens pratiques au sein de son établissement, soit son lieu de formation, et ce à 21 jours des examens. B. B.a. Par demande du 26 avril 2013 adressée au Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de l'Est vaudois, le demandeur a notamment conclu, avec suite de frais et dépens, au paiement en sa faveur par la défenderesse d'une indemnité de 6'600 fr., dont 4 mois de salaire à 1'265 fr. brut par mois, au paiement en sa faveur du montant de l'indemnité versée à son conseil d'office dans le cadre de l'assistance judiciaire et à la délivrance par la défenderesse d'un nouveau certificat d'apprentissage. En date du 26 mars 2015, le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement, au terme duquel il a reconnu la défenderesse débitrice d'une indemnité d'un montant de 3'000 fr. (chiffre I du dispositif), et d'une indemnité à titre de dépens de 3'000 fr. (chiffre II du dispositif). Pour le surplus, il a rejeté toute autre ou plus ample conclusion. B.b. Par jugement du 28 avril 2016, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a admis le recours de la défenderesse et a réformé les chiffres I et II du dispositif du jugement comme suit: I. La demande de X._ est rejetée. II. X._ est débiteur de la Fondation Z._ d'un montant de 3'000 fr. à titre de dépens. Le jugement est confirmé pour le surplus. C. Le demandeur a formé un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral en vue d'obtenir, en substance, l'annulation de l'arrêt cantonal et la confirmation du jugement du 26 mars 2015 rendu par le Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de l'Est vaudois, subsidiairement le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvel arrêt. Une demande d'assistance judiciaire est également jointe au recours constitutionnel.