Faits : A. A.a. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 7 mars 2013, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal de première instance) a notamment autorisé les époux B.A._ et A.A._ à vivre séparés, attribué la garde des enfants C._, né le 23 octobre 2001, et D._, née le 27 décembre 2003, à leur mère, instauré une curatelle d'appui éducatif en faveur des enfants et condamné le père à payer une contribution à l'entretien de sa famille. Par décision du 23 mai 2014, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève (ci-après: Tribunal civil) a octroyé à A.A._ l'assistance judiciaire pour déposer une demande unilatérale en divorce, avec effet au 22 mai 2014, limitée à la première instance. Les enfants habitent chez leur père, depuis la mi-juin 2014 selon ce dernier et depuis septembre 2014 selon leur mère, en raison de la présence de punaises de lit au domicile de cette dernière. Par décisions des 26 septembre et 7 octobre 2014, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: TPAE) a levé les mandats de curatelle d'appui éducatif, se fondant sur le rapport périodique établi le 13 mars 2014 par les curateurs des enfants, selon lesquels l'attitude de la mère, dans son rôle éducatif et par rapport aux enfants, était désormais adéquate. A.b. Par acte du 12 novembre 2014, le père a déposé une demande unilatérale en divorce, assortie d'une requête en mesures provisionnelles tendant à l'instauration d'une garde alternée sur les enfants et à la suppression de la contribution d'entretien. Il faisait valoir qu'il assumait une garde exclusive de fait sur ses deux enfants depuis la mi-juin 2014, à la requête de son épouse dont l'appartement était infesté de punaises de lit. Cette situation s'inscrivait dans la durée de sorte qu'il ne se justifiait plus de le contraindre au versement d'une contribution d'entretien. Il mettait par ailleurs en doute les compétences parentales de son épouse et requérait l'audition de ses enfants, favorables à une garde alternée. La désinfection de l'appartement de la mère a été effectuée début mars 2015, à l'issue de laquelle les enfants l'ont réintégré. Par ordonnance du 2 avril 2015, le Tribunal de première instance a débouté le père des fins de sa requête en mesures provisionnelles. Il a retenu que l'élément nouveau de la résidence effective des enfants chez leur père ne pouvait être qualifié de durable, ces derniers ayant réintégré le domicile maternel avant le prononcé de dite ordonnance. Par ailleurs, il ne ressortait pas du dossier que la mère négligeait ses enfants, les décisions du TPAE soutenant plutôt la thèse contraire. Si la situation des parents méritait d'être éclaircie - manque de réaction de la mère face à la problématique des punaises de lit, état de santé de cette dernière, disponibilité des parents - par une instruction menée en profondeur, pour permettre au Tribunal de statuer d'une manière conforme à l'intérêt des enfants dans le cadre de la décision au fond, aucun élément alarmant ne permettait de penser que leur bien-être était menacé, ce qui justifierait une modification de l'actuel régime de garde. B. B.a. Le 23 avril 2015, le père a sollicité l'extension de l'assistance judiciaire pour former appel de l'ordonnance de mesures provisionnelles du 2 avril 2015 au motif que le Tribunal de première instance avait refusé d'entendre ses enfants et de faire établir un rapport par le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi). Le même jour, il a formé appel de l'ordonnance précitée par-devant la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice). Par décision du 6 mai 2015, le Vice-président du Tribunal civil a rejeté cette requête d'extension au motif que les chances de succès de l'appel envisagé paraissaient extrêmement faibles. B.b. Par acte expédié le 18 mai 2015 à la Cour de justice, le père a recouru contre la décision du 6 mai 2015. Il a conclu principalement à l'annulation de la décision querellée et à l'octroi de l'extension de l'assistance judiciaire à la procédure d'appel contre l'ordonnance de mesures provisionnelles du 2 avril 2015, subsidiairement au renvoi du dossier à l'instance inférieure pour complément d'instruction et nouvelle décision. Par décision du 10 juin 2015, expédiée le 17 juin 2015, la Cour de justice, par son Vice-président, a rejeté le recours. C. Par acte posté le 17 juillet 2015, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision de la Cour de justice du 10 juin 2015. Il conclut principalement à son annulation et à sa réforme en ce sens que l'extension de l'assistance judiciaire à la procédure d'appel contre l'ordonnance de mesures provisionnelles du 2 avril 2015 est accordée. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert enfin d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Des observations n'ont pas été requises. D. Par ordonnance superprovisionnelle du 20 juillet 2015, le Président de la Cour de céans a ordonné à la Cour de justice de suspendre le délai imparti au recourant pour s'acquitter de l'avance de frais relative à la procédure d'appel contre l'ordonnance du 2 avril 2015 jusqu'à droit jugé sur le présent recours. Il a confirmé cette mesure par ordonnance provisionnelle du 24 août 2015.