Faits : A. B._ SA, propriétaire de la parcelle 1618 de la Commune de Leysin, a obtenu l'autorisation d'y construire un chalet (permis de construire du 22 décembre 2011) ainsi qu'un immeuble de neuf appartements (permis de construire du 1er février 2012). Le 14 octobre 2013, sur requête de la constructrice, la Municipalité de Leysin a prolongé ces permis de construire en citant expressément la disposition de la loi vaudoise du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC; RSV 700.11) relative à la péremption et à la prolongation du permis de construire. Le 20 novembre 2014, répondant à une nouvelle demande de la constructrice, la municipalité a indiqué avoir décidé, "à titre exceptionnel, d'accepter la prolongation des permis de construire [...] d'une année". Le 13 mars 2015, à la suite de l'intervention de A._, propriétaire des parcelles contiguës 305 et 2223, la municipalité a informé la constructrice de ce que les permis de construire étaient définitivement périmés vu leur validité maximale de trois ans. B. Par courrier du 23 juillet 2015, après plusieurs échanges épistolaires, la municipalité a confirmé à la constructrice qu'elle maintenait sa position s'agissant de la péremption des permis de construire. La constructrice a recouru contre cette prise de position auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois. Par arrêt du 29 janvier 2016, cette instance a annulé les décisions de la municipalité et constaté que les permis de construire étaient valables jusqu'au 31 janvier 2016. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et la décision du 20 novembre 2014 de la municipalité. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours et se réfère aux considérants de son arrêt. La Municipalité de Leysin s'en remet à justice. L'intimée se détermine et conclut au rejet du recours. Le recourant réplique et maintient ses conclusions.