Faits : A. A.a. A._, né le 30 juillet 1956, a été engagé par le Syndicat C._ le 1er mars 2003 en qualité de secrétaire syndical pour un salaire mensuel brut de 5'200 fr., payé treize fois l'an. Amené à effectuer de nombreux déplacements, dans des usines ou sur des chantiers, A._ disposait d'une voiture de fonction. A cette époque, ce syndicat était dirigé dans le canton de Vaud par deux secrétaires régionaux, soit D._ et E._. Dès le début des rapports de travail, le travailleur a été apprécié par ses collègues, ses supérieurs et les membres du syndicat. Il ressort d'un rapport d'évaluation du 10 février 2004 établi par E._, alors supérieur direct du travailleur, que ce dernier a fait preuve, durant l'année 2003, de rigueur, d'intensité et d'efficacité dans son travail. Le 10 janvier 2005, le Syndicat C._ a fusionné notamment avec un autre syndicat pour former le Syndicat B._. Par contrat signé le 27 octobre 2004, entré en vigueur le 1er janvier 2005, A._ a été engagé par le Syndicat B._ au sein du secrétariat de X._; son salaire mensuel brut était de 5'225 fr., plus treizième salaire. Le Syndicat B._ a supprimé les voitures de fonction pour les secrétaires syndicaux et les a remplacées par un défraiement sous forme d'une indemnité forfaitaire mensuelle de 300 fr. pour compenser l'utilisation des véhicules privés. En plus de ce défraiement, le travailleur touchait mensuellement une indemnité de représentation de 300 fr. A la suite de la fusion précitée, F._, alors compagne de D._ avant de devenir son épouse, a pris la direction du secrétariat de X._, devenant de la sorte la supérieure hiérarchique de A._; dès son arrivée, elle a dirigé le comité de section. F._ et A._ se connaissaient déjà pour avoir travaillé dans des locaux communs et n'entretenaient pas de bonnes relations. Il a été retenu que F._ n'avait ni formation ni culture syndicale, qu'elle rencontrait des difficultés quotidiennes dans la gestion de sa section, qu'il lui était difficile de se faire accepter en tant que femme et qu'elle était débordée. Elle a souvent critiqué le travail de A._, mais aussi celui d'autres collaborateurs, se montrant autoritaire et exerçant un contrôle systématique et excessif de leur activité. Ainsi, elle a entrepris d'examiner préalablement le contenu du courrier reçu quotidiennement par certains de ses collaborateurs, dont celui de A._, sans en avertir les intéressés, retenant parfois le courrier pendant plusieurs jours. A._ et d'autres collaborateurs ont reçu de F._ à plusieurs reprises des instructions contradictoires et des reproches injustifiés. Pour sa part, A._ se comportait comme un électron libre et peinait à se plier aux directives. Il paraissait tout savoir d'emblée et, de ce fait, manquait de la modestie nécessaire à l'accomplissement de son travail. A.b. Par courrier du vendredi 9 septembre 2005, F._ a en particulier tancé A._ pour son absence de l'après-midi du même jour, qu'il était prié de justifier. Le précité lui a répondu le 12 septembre 2005 qu'il supprimait toutes les sorties qu'il avait prévues. Dans le cadre d'une action syndicale menée en octobre 2005 pour s'opposer au " travail du dimanche ", F._ a reproché à A._ ainsi qu'à deux autres secrétaires syndicaux (G._ et H._) d'être arrivés en retard au rendez-vous fixé pour le début de l'action. Les remarques insérées par F._ dans le rapport d'évaluation de A._ relatif à son activité pendant le second semestre 2005 divergeaient diamétralement de celles émanant de E._. Le 6 juillet 2006, F._ a reproché injustement à A._ de s'être attribué indûment le mérite de l'adhésion de nouveaux membres. Le 14 septembre 2006, D._, à la suite d'un entretien avec A._, a écrit une lettre de " mise en garde " à ce dernier auquel il reprochait divers manquements aux règles et directives du Syndicat B._. Le 16 avril 2007, A._, convoqué par D._, a signé une convention de départ, prévoyant la fin des rapports de travail au 30 septembre 2007, la libération de l'obligation de travailler dès le 17 avril 2007, le versement d'une prime de départ de 17'455 fr. ainsi que d'un montant de 8'000 fr. pour l'accompagnement professionnel à la recherche d'un nouvel emploi. Le même jour, le secrétaire syndical G._ a également signé une convention de départ. Informé par D._ que les rapports de travail avec A._ et G._ avaient pris fin " d'un commun accord ", les anciens collègues de A._ ont vivement réagi. Le 20 avril 2007, A._ a contesté son licenciement auprès de son ancien employeur, lequel, le 23 avril 2007, a confirmé le congé, donné pour des raisons d'ordre économique et structurel. Lors d'une assemblée du personnel du Syndicat B._ tenue le 25 avril 2007, une résolution a été votée à l'unanimité qui relevait qu'une pression a été exercée sur certains collègues, pouvant s'apparenter à du "mobbing ". Le Syndicat B._ a refusé de réintégrer A._. Celui-ci, incapable de travailler dès le 21 mai 2007, a perçu son salaire jusqu'au 30 septembre 2008. Par décision du 13 mai 2009, il a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité avec effet au 1er janvier 2008. Il vit actuellement en Espagne avec ses rentes d'invalidité des premier et deuxième piliers. B. B.a. Par demande déposée le 7 septembre 2009 devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, A._ (demandeur), domicilié à cette époque à Chavornay (VD), a ouvert action contre le Syndicat B._ (défendeur), concluant à ce qu'il lui verse la somme de 101'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2008. Le défendeur s'est opposé à la demande. Le Juge instructeur de la Cour civile a ordonné une expertise, qu'il a confiée à I._, psychiatre-psychothérapeute FMH. Dans son rapport du 9 février 2011, l'expert a déclaré que le demandeur était dans un état dépressif chronique; dans ses conclusions, il a écrit qu'il existait un rapport de causalité direct et unique entre les troubles psychiques développés par le demandeur et " ce qu'il a vécu, soit subi, lorsqu'il était employé par (le défendeur), y compris les circonstances de la perte de son emploi ". Plusieurs témoins ont été entendus. Par ordonnance du 4 juin 2012, le Juge instructeur a ratifié la convention de procédure et son avenant passés par les parties les 24 avril 2012 et 22 mai 2012, ordonnant la disjonction de la question préjudicielle suivante: " Le syndicat B._ est-il responsable de l'incapacité de travail subie par A._ depuis le mois de novembre 2007 et du dommage éventuel qui en résulte ?". B.b. Par jugement préjudiciel du 11 janvier 2013, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a répondu négativement à la question préjudicielle susrappelée. A titre liminaire, la Cour civile a déclaré que ne seraient retenues que dans la mesure de leur corroboration par un autre élément du dossier les dépositions notamment de D._, ami puis époux de la supérieure hiérarchique du demandeur, et de G._, ancien collègue du demandeur, licencié le même jour dans des circonstances similaires. Sur le fond, elle a retenu que le demandeur avait échoué à prouver qu'il a été victime de mobbing et qu'il n'avait pas démontré non plus que le comportement de l'employeur pût transgresser d'une autre manière l'art. 328 CO. Saisie d'un appel du demandeur, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 14 mars 2014, l'a rejeté, le jugement attaqué étant confirmé. C. A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Principalement, il conclut à la réforme de cet arrêt en ce sens que le défendeur est responsable de l'incapacité de travail qu'il a subie depuis le mois de novembre 2007 et du dommage éventuel qui en résulte. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt déféré, la cause étant renvoyée à la cour cantonale " pour qu'elle procède dans le sens des considérants de l'arrêt à intervenir ". Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire. L'intimé n'a pas été invité à répondre.