Faits : A. A.a. A._ (ci-après: la poursuivie ou la plaignante) fait l'objet de plusieurs poursuites, dont une en réalisation de gage immobilier, n° xxxx de l'Office des poursuites du district de Morges (ci-après: l'Office), exercée à l'instance de la Banque C._. A.b. Le 16 octobre 2012, le commandement de payer dans la poursuite n° xxxx a été notifié à la poursuivie. Par prononcé du 5 juin 2013, le Juge de paix du district de Morges (ci-après: Juge de paix) a prononcé la mainlevée provisoire de l'opposition formée par la poursuivie et constaté l'existence du droit de gage. A.c. Le 25 juillet 2013, la Banque C._ a requis la vente de l'immeuble de la poursuivie (RF xxx de la Commune de E._). La réquisition de réalisation était accompagnée du prononcé de mainlevée du 5 juin 2013 muni d'un timbre humide attestant que, n'ayant fait l'objet d'aucun recours, il était définitif et exécutoire dès le 25 juin 2013. A.d. Par courriers recommandés du 2 août 2013, l'Office a adressé à la plaignante et à son époux un avis de réception de la réquisition de réalisation. Ces deux envois lui ont été renvoyés avec la mention " non réclamé ". A.e. Par acte du 18 octobre 2013, la poursuivie a recouru contre le prononcé de mainlevée du 5 juin 2013. Par décision du 23 octobre 2013, la requête d'effet suspensif contenue dans le recours a été admise. Par arrêt du 6 janvier 2014, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois a annulé le prononcé du 5 juin 2013 et renvoyé la cause au Juge de paix pour qu'il fasse notifier la requête de mainlevée à la poursuivie, lui fixe un délai pour se déterminer, et statue à nouveau. A.f. Par prononcé du 13 février 2014, le Juge de paix a derechef prononcé la mainlevée provisoire de l'opposition et constaté l'existence du droit de gage. La poursuivie a recouru contre ce prononcé par acte du 2 mai 2014. L'effet suspensif requis a été accordé par décision du 6 mai 2014. Par arrêt du 8 septembre 2014, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours et confirmé le prononcé entrepris. La poursuivie a recouru auprès du Tribunal fédéral par acte du 14 octobre 2014. Par ordonnance du 10 novembre 2014, l'effet suspensif a été accordé au recours. Le Tribunal fédéral a finalement déclaré le recours irrecevable, par arrêt du 29 janvier 2015 (5A_800/2014). A.g. Par pli simple du 30 janvier 2015, l'Office a transmis à la poursuivie et à son époux un exemplaire de la publication de la vente aux enchères publiques de l'immeuble. L'annonce de dite vente aux enchères a été publiée dans la Feuille des avis officiels (FAO) et la Feuille officielle suisse du commerce (FOSC) du 6 février 2015. A.h. Le 10 mars 2015, le conjoint de la poursuivie s'est vu remettre, " pour lui-même et à charge de remise à Mme A._ ", la " communication de l'état des charges " daté du 3 mars 2015. Par courrier du 20 mars 2015 adressé à l'Office, la poursuivie et son époux, se référant à la " communication de l'état des charges notifiée le 10 mars 2015 ", ont contesté cet état des charges. Le 24 mars 2015, l'Office a répondu à la poursuivie et à son époux par pli expédié en courrier recommandé et en courrier A. Le pli recommandé a été renvoyé à l'Office avec la mention " non réclamé ". A.i. Le 23 mars 2015, l'Office a adressé à la poursuivie et à son époux, en courrier recommandé et en courrier A, une copie des conditions de vente. Les plis recommandés ont été renvoyés à l'Office avec la mention " non réclamé ". A.j. Le 20 avril 2015, l'Office a envoyé à la poursuivie, en courrier recommandé et en courrier A, une copie de l'avis de fixation de délai pour ouvrir action en contestation d'un droit inscrit à l'état des charges. Le pli recommandé a été renvoyé à l'Office avec la mention " non réclamé ". A.k. La vente aux enchères de l'immeuble de la poursuivie a eu lieu le 17 juin 2015. L'immeuble a été adjugé à B._, pour le prix de 410'000 fr. B. B.a. Le 30 octobre 2015, la poursuivie a saisi l'autorité inférieure de surveillance en matière de poursuite pour dettes et faillite de l'arrondissement de La Côte d'une plainte LP contre l'adjudication de l'immeuble intervenue le 17 juin 2015 et tous les actes de l'Office postérieurs au 29 janvier 2015. Elle a notamment conclu à ce que les opérations effectuées par l'Office dans la poursuite en cause après cette date, notamment l'adjudication de l'immeuble, soient annulées et l'Office invité à " reprendre le cours de la poursuite précitée à la date du 29 janvier 2015 ". B.b. Par prononcé du 11 janvier 2016, la Présidente du Tribunal d'arrondissement de La Côte (ci-après: la Présidente) a déclaré irrecevable la plainte déposée le 30 octobre 2015. En résumé, elle a considéré que, d'une part, la plainte était tardive et, d'autre part, la procédure qui avait conduit à la réalisation de l'immeuble n'était pas entachée de nullité. B.c. Par acte du 22 janvier 2016, la plaignante a recouru contre ce prononcé. Elle a conclu principalement à sa réforme en ce sens que les conclusions de la plainte sont admises, subsidiairement, à l'annulation du prononcé et au renvoi du dossier à l'autorité inférieure pour nouvelle décision dans le sens des considérants. B.d. Par arrêt du 8 avril 2016, notifié le 2 mai 2016, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois, en sa qualité d'autorité supérieure de surveillance, a rejeté le recours. C. Par acte posté le 13 mai 2016, la poursuivie exerce un " recours " au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 8 avril 2016. Elle conclut à son annulation et à sa réforme en ce sens que les opérations effectuées par l'Office dans la poursuite n° xxxx postérieurement au 29 janvier 2015, soit notamment l'adjudication de l'immeuble RF xxx de la Commune de E._, sont annulées et que l'Office est invité à reprendre le cours de la poursuite précitée à la date du 29 janvier 2015. Subsidiairement, elle sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Des observations sur le fond n'ont pas été requises. D. Par ordonnance présidentielle du 17 juin 2016, la requête d'effet suspensif assortissant le recours a été admise en ce sens que l'Office est invité à ne pas procéder à la distribution du produit de la vente aux enchères jusqu'à droit connu sur l'issue du présent recours.