Faits : A. Par ordonnance du 3 septembre 2015, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après : TPAE) a fixé les relations personnelles entre l'enfant mineure C._ - née hors mariage le 24 décembre 2008 de la relation entre A._ et B._ - et le père de celle-ci et ordonné certaines mesures dans l'intérêt de la mineure. A.a. A._ a recouru contre cette ordonnance le 4 novembre 2015. Un délai au 26 novembre 2015 lui a été imparti pour verser l'avance de frais de 400 fr. Par courrier du 20 novembre 2015, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a informé A._ que le délai pour le versement de l'avance de frais était suspendu jusqu'à droit jugé sur sa demande d'assistance juridique. Par décision du 19 novembre 2015, le Vice-président du Tribunal civil de première instance a rejeté la requête d'assistance juridique formée le 19 octobre 2015 par A._ pour son recours contre l'ordonnance du TPAE du 3 septembre 2015. Le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 25 janvier 2016 rejeté le recours formé par A._ contre la décision du 19 novembre 2015 lui refusant le bénéfice de l'assistance juridique. Le 19 février 2016, la Chambre de surveillance a accordé un délai supplémentaire au 3 mars 2016 à A._ pour le paiement de l'avance de frais. Le 26 février 2016, A._ a recouru au Tribunal fédéral contre la décision du 25 janvier 2016, sollicitant au préalable le bénéfice de l'effet suspensif, en ce sens que le délai pour verser l'avance de frais dans la procédure de recours cantonale pendante était suspendu (cause 5A_169/2016). Par ordonnance du 1 er mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a invité le Vice-président de la Cour de justice à se déterminer sur la requête d'effet suspensif et a ordonné que, jusqu'à décision sur la requête d'effet suspensif, aucune mesure d'exécution de l'arrêt attaqué ne soit prise. L'autorité cantonale n'a pas déposé d'observations. Par ordonnance du 16 mars 2016, confirmant la mesure prise le 1 er mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours, " afin d'éviter le risque qu'un arrêt d'irrecevabilité faute de paiement de l'avance de frais soit rendu par la cour cantonale avant l'issue de la présente procédure ". A.b. Statuant par arrêt du 7 avril 2016, la Chambre de surveillance de la Cour de justice, considérant que A._ n'avait pas fourni l'avance de frais dans le délai supplémentaire qui lui avait été accordé, ni n'avait été mise au bénéfice de l'assistance juridique, a déclaré irrecevable le recours interjeté par l'intéressée contre la décision du 3 septembre 2015 du TPAE, en application des art. 59 al. 2 let. f et 101 al. 3 CPC. Par arrêt du 4 mai 2016, le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours de A._ contre la décision du Vice-président de la Cour de justice du 25 janvier 2016 (5A_169/2016). B. Par acte remis à la Poste le 25 avril 2016, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à l'annulation de l'arrêt déféré rendu le 7 avril 2016 par la Chambre de surveillance de la Cour de justice et au renvoi de la cause à cette autorité pour instruction et nouvelle décision. La recourante requiert implicitement l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Invités à se déterminer, la partie adverse et le TPAE n'ont pas répondu, alors que l'autorité précédente a, par lettre du 28 avril 2016, déclaré ignorer l'existence du recours déposé le 26 février 2016 au Tribunal fédéral dans la procédure d'assistance judiciaire (5A_169/2016), comme celle du prononcé de l'effet suspensif (ordonnances des 1er et 16 mars 2016).