Faits : A. A.a. D._, originaire du Kosovo et domicilié à Genève, était le détenteur d'un véhicule automobile Fiat à raison duquel il avait souscrit une assurance en responsabilité civile auprès de C._ SA (ci-après: la compagnie d'assurance). La police établie le 30 mai 2007 se réfère aux conditions générales d'assurance (CGA). Sur le plan territorial, l'art. 6 CGA énonce ce qui suit: "L'assurance est valable pour les dommages causés pendant la durée du contrat et qui surviennent: - en Suisse et dans la Principauté du Liechtenstein; - dans les autres Etats européens qui figurent sur la 'carte verte' (Carte internationale d'assurance pour les véhicules automobiles) et qui ne sont pas biffés." La carte verte délivrée au preneur d'assurance D._ comporte une liste de pays désignés par leur sigle officiel. Y figure notamment le sigle "SCG", correspondant à l'Etat de Serbie-et-Monténégro; ce sigle n'a pas été biffé. Au verso figure la mention "SCG (...) Serbie et Monténégro", avec l'adresse du Bureau d'assurance à Belgrade. Le Kosovo n'est pas mentionné sur cette carte. La carte verte comporte en outre une note n° 4 ayant la teneur suivante: "La couverture d'assurance fournie par les cartes vertes délivrées pour Serbie et Monténégro est limitée aux parties géographiques de Serbie et Monténégro qui sont sous le contrôle du gouvernement de Serbie et Monténégro." L'Etat de Serbie-et-Monténégro a succédé en 2003 à l'ancienne République fédérale de Yougoslavie. Cet Etat a été dissous après la déclaration d'indépendance du Monténégro survenue le 3 juin 2006, suivie par celle de la Serbie le 5 juin 2006. Lorsque l'assurance a été conclue et la carte verte délivrée en mai 2007, l'Etat de Serbie-et-Monténégro n'existait donc plus. Le Kosovo était une province de Serbie. Il a été placé sous administration internationale intérimaire chapeautée par l'ONU, en vertu d'une résolution 1244 adoptée par le Conseil de sécurité de l'ONU le 10 juin 1999. E n mai 2007, le Kosovo faisait toujours l'objet de cette mesure. Il s'est proclamé unilatéralement indépendant le 17 février 2008. Nonobstant cet événement, la carte verte n'accorde à ce jour aucune couverture d'assurance pour le territoire du Kosovo. A l'occasion de la procédure qui sera exposée ci-dessous (infra let. B), le détenteur du véhicule et preneur d'assurance a donné les explications suivantes en qualité de témoin: il était déjà assuré auprès de la même compagnie d'assurance avant de conclure un nouveau contrat en mai 2007. Il avait toujours eu une carte verte qu'il n'avait jamais lue attentivement. Il se rendait régulièrement au Kosovo avec sa voiture, dès avant 2007. A chaque fois, il devait contracter à la frontière une assurance de transit couvrant la responsabilité civile pour son véhicule pendant toute la durée de son séjour. Il essayait d'éviter celle-ci en expliquant qu'il était déjà assuré, mais l'autorité compétente lui disait que le paiement était obligatoire. Avant de signer le contrat en mai 2007, il avait un doute sur le point de savoir s'il était également assuré au Kosovo par son contrat; il pensait que c'était peut-être le cas car le Kosovo n'était pas tracé sur la carte verte. Au moment de conclure le contrat, il n'était pas sûr que la couverture s'étende au Kosovo. A.b. En été 2007, le détenteur et preneur d'assurance a prêté son véhicule à son gendre A._, qui l'a utilisé pour se rendre au Kosovo. A la frontière du Kosovo, le gendre a dû contracter une assurance intitulée "transit insurance policy" pour la période du 19 juillet au 19 août 2007. Le 25 juillet 2007, le gendre du détenteur circulait au Kosovo dans le véhicule Fiat comme passager sur la banquette arrière. Le conducteur a perdu le contrôle de la voiture, qui a fait plusieurs tonneaux pour finir sa course dans un champ. A._ a souffert d'une fracture et de lésions thoraciques; il est devenu paraplégique. Par courrier du 18 avril 2008, la compagnie d'assurance a refusé de donner suite aux prétentions émises par l'accidenté, au motif que la couverture d'assurance était "limitée aux parties géographiques de Serbie et Monténégro qui [étaie]nt sous le contrôle du gouvernement de cet Etat", ce qui n'était pas le cas du Kosovo, placé sous l'administration de l'ONU au moment de l'accident. L'accidenté a été indemnisé à raison de 90'000 euros par l'assurance de transit contractée à la frontière du Kosovo. Il touche des rentes AI pour lui-même et ses enfants, ainsi que des prestations complémentaires fédérales. Il a en outre obtenu un capital de quelque 42'300 fr. de sa caisse LPP. B. Après avoir saisi l'autorité de conciliation le 28 juin 2012, l'accidenté a déposé une demande en paiement devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il concluait à ce que la compagnie d'assurance lui verse 53'880 fr. plus intérêts. Le tribunal, d'entente avec les parties, a limité la procédure à la question de la couverture d'assurance. Par jugement du 21 août 2014, il a rejeté la demande en paiement au motif que l'assurance ne s'appliquait pas au Kosovo. L'accidenté a saisi la Chambre civile de la Cour de justice genevoise, qui a confirmé le jugement attaqué par arrêt du 20 février 2015. C. L'accidenté saisit le Tribunal fédéral d'un "recours en matière de droit privé" tendant à faire constater que la compagnie d'assurance doit entièrement prendre en charge les suites de l'accident du 25 juillet 2007 à son égard, et à obtenir le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur le dommage subi. Le recourant sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire. La compagnie d'assurance intimée et l'autorité précédente n'ont pas été invitées à se déterminer. D. Le 30 avril 2015, C._ SA a été radiée du registre du commerce par suite de fusion avec B._ SA.