Faits : A. A.a. A._ a été engagé par l'Hôpital B._ (aujourd'hui: Etablissement hospitalier multisite cantonal, ci-après: EHM) en qualité d'infirmier au bloc opératoire dès le 16 juillet 2001. En août 2013, la direction générale de l'EHM ainsi que sa direction logistique ont confié à une commission sécurité le mandat de "Suivi des travaux relatifs au nouveau bloc OP modulaire préfabriqué à mettre en oeuvre sur le site de B._ et coordination des activités du chantier avec celles du bloc OP". La commission sécurité était composée de dix personnes, dont A._. A.b. Par courrier électronique du 11 décembre 2013 adressé à D._, chef du service des constructions de l'EHM et membre de la commission sécurité, A._ a indiqué qu'en tant qu'ingénieur en hygiène-sécurité-environnement, il se permettait de lui poser diverses questions au sujet de la pose, dans un local de stockage de matériel opératoire, de deux filtres servant à piéger les radio-nucléïdes et mentionnait un risque de contamination du matériel servant pour les opérations par les particules radioactives. Le 13 décembre 2013, E._, technicien-chef en médecine nucléaire, lui a répondu que tout avait été validé par l'Office fédéral de la santé publique (ci-après: OFSP). A.c. Lors d'une séance du 16 décembre 2013, la commission sécurité a constaté que les réponses apportées par E._ ne satisfaisaient pas les utilisateurs et a en conséquence décidé d'inviter ce dernier ainsi que deux spécialistes à la prochaine séance agendée au 20 janvier 2014. A.d. Par la suite, A._ a persisté à requérir de E._ la demande à l'OFSP (courriels des 17, 18 et 28 décembre 2013 et du 6 janvier 2014) et la réponse de cette autorité. Le 8 janvier 2014, F._ (infirmier-chef des blocs opératoires) a invité A._ à respecter les limites du mandat qui lui avait été attribué. A.e. A._ a été informé de la confirmation de conformité des circuits de ventilation du service de médecine nucléaire aux exigences en matière de radioprotection délivrée le 13 janvier 2014 par G._, de l'OFSP. A.f. Dans sa séance du 20 janvier 2014, la commission sécurité a décidé de déplacer en toiture le système de filtres, précisant que "cette décision, bien que subjective et probablement émotionnelle, [était] empreinte d'une plus grande acceptabilité". A.g. Le 5 février 2014, A._ a interpellé H._ (directrice des soins), I._ (directeur général) et J._ (chargé de sécurité) et leur a transmis l'ensemble des courriels échangés avec MM. D._, E._ et F._, en mettant en cause ces deux derniers et en relevant qu'à ce jour, les conduits n'étaient toujours pas identifiés, ce qui constituait une mise en danger de la sécurité et de la santé d'autrui. A.h. Un groupe de travail composé de G._, J._, E._ et K._ (technicienne et coordinatrice en radioprotection) s'est réuni le 11 février 2014 dans le nouveau bloc opératoire du site de B._. Il ressort de cette réunion que le dispositif de ventilation et les filtres à proximité des instruments opératoires ne représentaient pas de danger pour les utilisateurs et que l'installation était conforme aux normes applicables en la matière. A la question lui demandant si le déplacement des filtres en toiture était nécessaire pour garantir la sécurité, G._ a répondu par la négative, précisant qu'il s'agissait plus d'une décision prise pour calmer l'aspect émotionnel des utilisateurs. A.i. Dans un courriel du 12 février 2014 adressé à J._, A._ s'en est pris à la direction de l'EHM, estimant que celle-ci "n'a[vait] rien à faire du risque éventuel de contamination sur la santé de son personnel". A.j. Se prévalant d'une rupture de confiance à l'égard de A._, la direction des soins lui a retiré, le 14 février 2014, le mandat de suivi des travaux au bloc opératoire. A.k. Le 4 mars 2014, A._ a écrit à G._ afin d'obtenir confirmation de la conformité des conduits et filtres de médecine nucléaire au bloc opératoire de B._. Le même jour, il s'est en outre adressé à L._, conseiller d'Etat et président du conseil d'administration de l'EHM, afin, disait-il, de lui exposer la situation de manière confidentielle. A.l. Par décision du 12 mai 2014, la Direction de l'EHM a prononcé un avertissement à l'encontre de A._. Il lui était notamment reproché de s'être obstiné à manifester son opposition aux travaux en relation avec les installations du bloc opératoire malgré les explications qui lui avaient été fournies et les multiples confirmations de conformité, d'avoir porté un jugement plus que déplacé à l'encontre de la direction par courriel du 12 février 2014 adressé à J._ ainsi que d'avoir persisté à penser que les mesures prises n'étaient pas conformes aux dispositions réglementaires en vigueur, mettant en doute les compétences de nombreuses personnes pourtant engagées au regard de leurs compétences reconnues. B. A._ a saisi la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, concluant à l'annulation de la décision d'avertissement. Par arrêt du 5 novembre 2015, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 5 novembre 2015 ainsi que la décision d'avertissement de la Direction de l'EHM du 12 mai 2014. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif. L'EHM conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, ainsi qu'au refus de la demande d'effet suspensif. Subsidiairement, sous suite de frais et dépens, il conclut au rejet du recours. D. Par ordonnance du 14 mars 2016, le juge instructeur a rejeté la requête d'effet suspensif.