Faits : A. A.a. Ressortissant congolais né en 1967, X._ est entré en Suisse le 11 janvier 2001 pour y déposer une demande d'asile. Celle-ci a été rejetée le 18 avril 2002 par l'Office fédéral des migrations, devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat) le 1er janvier 2015. Le 20 décembre 2002, X._ a épousé Y._, ressortissante suisse née en 1982. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né en 2003, et B._, né en 2007. Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 octobre 2009, le Tribunal civil de la Sarine a autorisé les époux à vivre séparément, accordé à X._ un droit de visite sur ses enfants et astreint le prénommé au paiement de contributions d'entretien mensuelles de 450 fr. par enfant. A.b. Par décision du 25 juillet 2013, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. L'intéressé a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. Statuant par arrêt du 4 février 2014, le Tribunal administratif fédéral a déclaré le recours irrecevable pour non-paiement de l'avance de frais. Cette décision est entrée en force. A.c. Par décision du 27 novembre 2013, le Tribunal civil de la Sarine a prononcé le divorce des conjoints. Il a attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère et accordé un droit de visite à X._ à raison d'un week-end sur deux et les mercredis après-midi ainsi que quatre semaines de vacances par année. L'intéressé a également été astreint au paiement d'une contribution d'entretien mensuelle de 450 fr. pour A._ et de 400 fr. pour B._. B. Par acte du 1er mai 2014, X._ a sollicité le réexamen de la décision prononcée le 25 juillet 2013 à son encontre. A l'appui de sa demande, l'intéressé a fait valoir que la procédure pénale pour violation du devoir d'assistance ouverte à son encontre en 2012 avait été classée par ordonnance du 2 mai 2013, qu'il avait conclu une convention avec le Service de l'action sociale de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Service de l'action sociale) pour le versement de contributions d'entretien le 4 juillet 2013 et qu'en date du 9 décembre 2013, le Ministère public fribourgeois avait rendu une ordonnance de non-entrée en matière concernant la plainte du Service de l'action sociale pour violation de l'obligation d'entretien. Le Secrétariat d'Etat a rejeté cette demande par décision du 15 août 2014. Il a considéré que X._ ne faisait valoir aucun fait nouveau et qu'il semblait en réalité requérir une autre appréciation juridique des faits connus en procédure ordinaire. Le recours interjeté par l'intéressé contre cette décision a été rejeté par le Tribunal administratif fédéral par arrêt du 12 mai 2015. Celui-ci a retenu que l'ordonnance de non-entrée en matière du 9 décembre 2013 rendue par le Ministère public fribourgeois et concernant la plainte du Service de l'action sociale pour violation de l'obligation d'entretien constituait un fait postérieur à la décision du 25 juillet 2013. Dans cette ordonnance, l'autorité pénale avait constaté que X._ avait honoré les engagements en matière de paiement des contributions d'entretien que l'intéressé avait pris envers le Service d'action sociale dans une convention conclue le 4 juillet 2013. Le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'il s'agissait là d'un fait nouveau et pertinent lequel devrait être examiné en parallèle avec le jugement de divorce du 27 novembre 2013. Cet élément ne suffisait cependant pas à admettre que l'intéressé entretenait un lien économique particulièrement fort avec ses enfants. Le recourant ne pouvait au demeurant pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sur mesures provisionnelles, à ce qu'il soit autorisé à demeurer en Suisse et à y exercer une activité lucrative jusqu'à droit connu sur son recours. Principalement, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 12 mai 2015 et au renouvellement de son autorisation de séjour. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée aux frais de la procédure. Par ordonnance du 31 juillet 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête en mesure provisionnelles. Le 1er septembre 2015, le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé le recourant qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire. Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. Par courrier du 7 octobre 2015, X._ a produit une nouvelle pièce.