Faits : A. A.a. A._, né en 1977, de nationalité italienne, et B._, née en 1979, ressortissante suisse et italienne, se sont mariés en 2003 à U._ (GE), sans conclure de contrat de mariage. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2005, et D._, né en 2007. Les conjoints vivent séparés depuis le 28 janvier 2013, date à laquelle l'épouse a quitté le domicile conjugal avec les enfants. A.b. Par jugement du 5 février 2015, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a, notamment, autorisé les époux à vivre séparés (ch. 1 du dispositif), attribué le domicile conjugal au mari (ch. 2), ordonné une garde alternée des enfants, du lundi matin au mercredi à 18h00 auprès de leur mère et du mercredi à 18h00 au vendredi matin auprès de leur père, un week-end sur deux du vendredi soir au lundi, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires (ch. 3), le domicile légal des enfants étant chez leur mère (ch. 4), condamné le mari à s'acquitter de la part de la prime d'assurance-maladie de l'épouse non prise en charge par l'employeur de celui-ci, les frais médicaux non remboursés, les primes d'assurance-vie, les frais extra-scolaires, les frais de "parascolaires", de cuisines scolaires et de transport (ch. 6), et dit que le père conservait, dès le 1er février 2015, l'intégralité des allocations familiales (ch. 7). Les parties ont été déboutées de toutes autres conclusions (ch. 12). B. Par arrêt du 28 août 2015, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur appel de chacune des parties, a confirmé les chiffres 3 et 6 du dispositif du jugement de première instance, étant précisé que les primes d'assurance-vie visées par le chiffre 6 ne comprennent pas celles relatives au contrat conclu par l'épouse. L'autorité cantonale a en outre annulé les chiffres 7 et 12 du dispositif de ce jugement et, statuant à nouveau, a condamné le mari à verser à l'épouse la somme de 3'600 fr. à titre d'arriérés d'allocations familiales pour la période de février 2013 à janvier 2014, et, en tant que de besoin, la moitié des allocations familiales perçues dès cette date, enfin, dit que lesdites allocations seront versées en mains de chaque partie pour moitié. C. Par acte du 9 octobre 2015, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 28 août 2015. Il conclut, principalement, à ce que soit ordonnée l'audition de E._, et à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser, dès le 1er février 2013, des contributions d'entretien de 300 fr. par mois pour chacun des enfants, allocations familiales non comprises, et de 420 fr. par mois en sa faveur, ce dernier montant étant augmenté à 570 fr. par mois dès le 1er février 2014. Il demande en outre au Tribunal fédéral de dire que les contributions qu'il a versées à l'intimée depuis la séparation du couple seront portées en déduction de toute somme due théoriquement à celle-ci. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, plus subsidiairement, requiert d'être acheminé à prouver par toutes voies de droit les allégués de son écriture. Des observations sur le fond n'ont pas été requises. D. Par ordonnance du 8 décembre 2015, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours pour les arriérés d'allocations et les allocations familiales dues à l'épouse jusqu'à la fin du mois de septembre 2015, mais l'a refusé pour les montants dus à ce titre à partir du 1er octobre 2015.