Faits : A. A.a. A._ était usufruitière d'un immeuble sis à D._, depuis le décès de son époux, C._. Leurs trois enfants en avaient la nue-propriété. Depuis le 6 février 2012, elle vit dans le Home médicalisé B._. Titulaire d'une rente de vieillesse, A._ a présenté une demande de prestations complémentaires le 20 décembre 2011. Par décision du 13 août 2012, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la caisse) a nié le droit aux prestations complémentaires pour les mois de décembre 2011 et janvier 2012, mais l'a reconnu à partir du 1 er février 2012, en fixant le montant mensuel alloué à 2'095 fr. Saisie d'une opposition de l'intéressée, qui contestait la prise en considération de la valeur locative de l'immeuble à titre de revenus, la caisse l'a rejetée par décision sur opposition du 12 février 2013. A.b. Par acte du 24 juin 2013, les enfants de A._ ont vendu l'immeuble dont elle était usufruitière pour le prix de 410'000 fr. La prénommée en a informé la caisse, en précisant bénéficier d'un usufruit sur le produit net de la vente, à savoir 300'000 fr. Elle a par ailleurs requis la révision de son droit aux prestations complémentaires. Le 4 avril 2014, la caisse a fixé le montant des prestations complémentaires de A._ à 1'368 fr. par mois à partir du 1 er juillet 2013 et lui a réclamé la restitution de 5'340 fr. correspondant aux prestations versées indûment du 1 er juillet 2013 au 30 avril 2014. Le calcul des prestations tenait compte d'un revenu de l'usufruit de 11'520 fr. par an (14'400 fr. correspondant à la valeur locative, moins 2'880 fr. de frais d'entretien forfaitaires de l'immeuble). La caisse a maintenu sa position par décision sur opposition du 18 juin 2014. B. Statuant le 12 août 2015 sur le recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a admis. Annulant la décision sur opposition du 18 juin 2014, il a renvoyé la cause à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants. C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut à la confirmation de sa décision du 18 juin 2014 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois pour qu'elle rende un nouvel arrêt au sens des considérants. A._ conclut au rejet du recours et à ce que son droit aux prestations complémentaires soit fixé à 1'840 fr. par mois, subsidiairement à 1'902 fr. par mois, dès le 1 er juillet 2013 et le montant à restituer à 620 fr. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) préavise l'admission du recours et l'annulation du jugement cantonal.