Faits : A. A.a. Z._ SA (l'employeuse ou la société), dont le siège est à... (VD), a pour but social le commerce, l'industrie d'hydrocarbures liquides et gazeux, leurs dérivés et des opérations financières, commerciales, industrielles, mobilières ou immobilières. La maison mère de l'employeuse est la société anonyme A.Z._ SpA., dont le siège est à... (Italie). Par contrat de travail de durée indéterminée du 18 juin 2007, Z._ SA a engagé à partir du lundi 2 juillet 2007 X._ (le travailleur) en qualité de responsable des forces de vente de son réseau, soit en tant que cadre de " 2 ème niveau ". Le contrat fixait le salaire du travailleur à 10'770 fr. brut par mois, plus un treizième salaire au prorata temporis du temps travaillé, instaurait une période d'essai de trois mois et arrêtait le droit aux vacances à 25 jours ouvrables par an; l'accord renvoyait pour le surplus au règlement interne de l'employeuse. L'art. 6 du règlement interne de l'employeuse, daté de janvier 2010, fixait les délais de congé après le temps d'essai et l'art. 7 arrêtait la durée de travail hebdomadaire (pauses comprises), qui était pour le travailleur de 40 h., la semaine de travail étant de cinq jours ouvrables. L'art. 8, intitulé " Heures supplémentaires ", avait la teneur suivante: " La société a le droit d'exiger que le collaborateur accomplisse des heures supplémentaires, dans le cadre prévu par la loi. Tout travail supplémentaire n'est admis que sur ordre et autorisation de la société. Sont considérées comme heures supplémentaires les heures de travail au-delà de la durée normale du travail (horaire contractuel). Les heures supplémentaires suivantes donnent droit à majoration: - Pour le travail supplémentaire effectué de jour (été 05h00/20h00; hiver 6h00/20h00) en dehors de l'horaire contractuel ainsi que le samedi jusqu'à 17h00 = majoration 25% - Pour le travail supplémentaire effectué de nuit (20h00/resp. 05h00 en été; 6h00 en hiver) ainsi que le dimanche et les jours fériés et le samedi dès 17h00 = majoration de 50% Les majorations ne peuvent être cumulées; la plus importante l'emporte. Les heures supplémentaires sont, en principe, non remboursées, mais compensées par un congé. Dans la mesure du possible, cette compensation est à effectuer dans les deux mois. Les collaborateurs, cadres de la société, appelés à travailler les samedis, dimanches et jours fériés, peuvent compenser ces heures par un congé, sans majoration. (...) Pour le surplus, les dispositions spéciales complémentaires au présent règlement sont applicables (notamment en matière d'horaire variable) ". Le règlement interne de l'employeuse est complété par la " Procédure horaire de travail " (version août 2010), document dont l'objectif est de définir et rappeler les règles concernant l'horaire de travail, la gestion des présences et des absences. Ce document comporte en particulier les dispositions suivantes: " 4 Règles opérationnelles 4.1 Types d'horaires 4.1.1 Horaire variable Ce type d'horaire concerne tant les employés du Siège que le personnel administratif des unités périphériques. (dépôts et bureaux régionaux). L'entreprise est ouverte du lundi au vendredi de 7h30 à 19h00. La durée réglementaire de travail hebdomadaire (pour un plein temps) est de 40h00; la moyenne quotidienne est de 8h00. Le principe de l'horaire libre est appliqué à l'ensemble du personnel, à l'exception des personnes pour lesquelles un statut particulier a été défini. Chaque bureau s'organise pour assurer une permanence en fonction de son activité. • Les périodes bloquées durant lesquelles la présence de tous les collaborateurs est obligatoire sont : • Matin 9h00 - 12h00 • Après-midi 14h15 - 16h30 (16h00 le vendredi) • Les périodes "variables " durant lesquelles chaque collaborateur peut fixer librement le début et la fin de son travail (sous réserve du point 3.1.4) sont: • Matins 07h30 - 09h00 • Midi* 12h00 - 14h15 • Après-midi 16h30 - 19h00 *dont au moins 30 minutes de pause obligatoire Une pausé quotidienne de 15min est comprise dans le temps de travail. Les périodes bloquées et les périodes variables forment ensemble le temps cadre. Les heures effectuées en dehors du temps cadre ne sont pas comptabilisées (à moins que l'on ait à faire (sic) à des heures supplémentaires). La période bloquée (temps de travail journalier minimum) est de 5h45. Le temps cadre, déduction faite de la pause obligatoire de midi (temps de travail journalier maximum) est de 11h00. Les heures de travail effectuées durant la période d'ouverture des bureaux ne peuvent être considérées comme heures supplémentaires conformément au principe même de l'horaire variable. Il appartient à chacun de gérer son temps de travail afin d'arriver en fin de mois avec un écart de +/- 10heures par rapport au temps théorique. 4.2 Gestion de l'horaire 4.2.1 Gestion des. présences Chaque employé soumis à l'horaire variable (personnel du siège et personnel administratif des périphéries) doit timbrer. Pour ce faire, il existe un système de timbrage (via pointeuse ou/et via l'ordinateur). (...) 4.2.3 Heures supplémentaires L 'article 8, pages 9 et 10 du règlement d'entreprise, explique précisément ce que l'on entend par heures supplémentaires et comment elles sont traitées; il n'est donc pas nécessaire de le répéter ici. Rappelons simplement qu'elles doivent être autorisées par votre supérieure avant qu'elles n'aient lieu et que la Société est en droit de vous demander d'en faire au besoin. (...) ". En cours d'emploi, le travailleur a requis la conversion en heures supplémentaires payées d'heures de travail qu'il avait effectuées les fins de semaine (samedi/dimanche) et les jours fériés; l'employeuse a accédé à ces requêtes. A.b. Le 14 janvier 2008, la société a promu le travailleur responsable du département Réseau avec effet au 11 janvier 2008. Son salaire mensuel brut a été augmenté à 11'200 fr., payé treize fois l'an. Le 19 mars 2008, le travailleur a été nommé fondé de pouvoir avec effet au 11 mars 2008; le salaire mensuel brut de ce dernier a été augmenté à 11'750 fr. avec effet rétroactif au 1er janvier 2008. Par courriel du 13 novembre 2008, R._, responsable des ressources humaines auprès de l'employeuse, a rappelé au travailleur qu'il n'avait pas le titre de directeur - titre réservé aux directeurs inscrits ès qualité au registre du commerce - et l'a prié de n'utiliser pour préciser sa position que les termes " Retail Manager " ou " Responsable Réseau ". Pour l'année 2008, le travailleur a perçu une prime liée à la performance d'un montant de 16'500 fr., qui lui a été versée en juin 2009. Par courrier du 8 juillet 2009, le salaire mensuel brut du travailleur a été augmenté à 12'900 fr., avec effet rétroactif au 1er janvier 2009. En été 2009, le travailleur a décidé d'entreprendre, avec l'accord de l'employeuse, une formation supérieure en cours d'emploi au sein de l'International Institute for Management Development (IMD). La société a accepté de participer aux frais de formation à charge pour le travailleur de rester à son service pendant les deux ans suivant l'obtention de son diplôme; entre 2009 et 2011, ce dernier a obtenu neuf semaines de congé pour les besoins de sa formation. Par courrier du 14 juillet 2010, le salaire mensuel brut du travailleur a été porté à 13'400 fr. dès le 1er janvier 2010 dans le cadre de la politique de révision des salaires de l'employeuse. Par lettre du 19 mai 2011, l'employeuse a informé le travailleur que son salaire mensuel brut était augmenté à 13'550 fr. avec effet au 1er janvier 2011 et qu'une prime de 14'500 fr. lui serait versée en mai 2011. Par courrier du 16 avril 2012, l'employeuse a porté le salaire mensuel brut du travailleur à 13'650 fr. dès le 1er janvier 2012; il a encore reçu une prime de performance de 15'650 fr. en mai 2012. A.c. Le 29 octobre 2012, le travailleur a fait savoir à l'employeuse qu'il souhaitait mettre un terme à son contrat de travail pour le 28 février 2013. Par lettre du 28 novembre 2012, cette dernière l'a notamment relevé de son obligation de travailler dès le 31 décembre 2012, terme ramené plus tard au 17 décembre 2012. Il résulte d'un décompte produit par le travailleur, ni daté ni signé, qu'il aurait accumulé 624 heures supplémentaires durant ses années de service chez l'employeuse, soit de 2007 à 2012; sur ce total, 107 heures auraient été effectuées de nuit. Ce décompte correspond en gros au tableau produit par l'employeuse, qui indique, selon les relevés du système de pointage et par rapport à l'horaire contractuel, les excédents d'heures par année représentant un total de 633,26 heures pour la même période et qui distingue les excédents d'heures par mois; ces excédents sont inférieurs ou égaux à 10 heures par mois en 2007 et de 2009 à 2012, et se montent à 12,3 heures par mois pour l'année 2008 (art. 105 al. 2 LTF). Selon le témoin S._, responsable Administration & Control au sein de la société, celle-ci n'a jamais requis du travailleur qu'il effectue des heures supplémentaires. A la suite d'un accident, X._ a été incapable de travailler du 12 janvier au 1er mars 2013. B. X._ (demandeur) a ouvert action le 28 octobre 2013 devant les autorités vaudoises contre Z._ SA (défenderesse), lui réclamant le montant de 64'018 fr.50 plus intérêts à 5% l'an dès le 28 février 2013 à titre de rétribution d'heures supplémentaires, plus divers autres montants qui ne sont plus litigieux. La défenderesse a conclu à sa libération. Par jugement du 8 avril 2015, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a entièrement débouté le demandeur. Saisie d'un appel du travailleur, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 19 novembre 2015, l'a rejeté et a confirmé le jugement du 8 avril 2015. En substance, à propos des heures supplémentaires, la cour cantonale a retenu que le demandeur n'exerçait pas au sein de l'intimée une fonction dirigeante élevée au sens de l'art. 9 de l'ordonnance 1 du 10 mai 2000 relative à la loi sur le travail (OLT 1; RS 822.111), de sorte que cet élément ne suffisait pas pour lui en dénier le paiement. Elle a toutefois jugé que le demandeur n'a pas établi que les heures supplémentaires invoquées, soit celles excédant la durée contractuelle de 40 heures, dépassaient la marge mensuelle de 10 heures prévue dans le contrat de travail, hormis en 2008 pour 27,7 heures supplémentaires. Elle a également admis que le demandeur n'a de toute façon pas apporté la preuve que les besoins de la défenderesse ou les directives de celle-ci l'auraient empêché de récupérer les heures supplémentaires alléguées dans le cadre de son temps de travail variable. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut principalement à la réforme de cet arrêt en ce sens qu'il est prononcé que la défenderesse est condamnée à lui payer 64'018 fr.50 plus intérêts à 5% l'an dès le 28 février 2013 à titre de rémunération de ses heures supplémentaires. Subsidiairement, le recourant requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement. L'intimée propose le rejet du recours.