Faits : A. A.A._ est né le 21 août 2003 à l'hôpital Daler, à Fribourg. Lors des examens médicaux effectués après la naissance, l'oeil droit de l'enfant, demeuré fermé, n'a pas été contrôlé. Dans les jours qui ont suivi, le pédiatre a suspecté un trouble de la coagulation sanguine et fait transférer l'enfant au service hématologique pédiatrique de l'Hôpital de l'Ile, à Berne. Le 28 août 2003, une afibrinogénémie est diagnostiquée et un traitement substitutif en fibrinogène est mis en place. A.A._ est resté à l'Hôpital de l'Ile jusqu'au 2 septembre 2003. Aucun examen des yeux n'a été pratiqué pendant cette hospitalisation. Le 16 septembre 2003, à l'occasion d'un contrôle dans le service hématologique pédiatrique de l'Hôpital de l'Ile, une rougeur constatée à l'oeil droit de A.A._ a fait l'objet d'un examen sans délai à la clinique ophtalmique de cet établissement; les médecins diagnostiquent alors une hémorragie de la chambre antérieure et du corps vitré. Il s'en est suivi une nouvelle hospitalisation en hématologie jusqu'au 24 septembre 2003; les dosages en fibrinogène sont augmentés et, le 22 septembre, un rinçage opératoire de la chambre antérieure est pratiqué. Le 13 janvier 2004, la clinique ophtalmique de l'Hôpital de l'Ile a demandé un second avis à l'Hôpital ophtalmique Jules Gonin, à Lausanne. Dans le courrier de transmission, les médecins bernois font état d'une hématocornée et de saignements persistant dans le corps vitré (persistierender Glaskörpereinblutung); ils précisent qu'ils envisagent une vitrectomie (complètement de l'état de fait, art. 105 al. 2 LTF). A.A._ est examiné sous narcose à Lausanne le 9 février 2004. Dans sa réponse du 10 février 2004 aux médecins bernois, l'Hôpital ophtalmique Jules Gonin pose le diagnostic de hématocornée avec membrane intra-camérulaire et décollement de rétine total en parapluie; l'oeil droit présente une perte fonctionnelle et aucune indication chirurgicale n'est retenue (complètement de l'état de fait, art. 105 al. 2 LTF). B. Par lettre du 3 janvier 2005, B.A._ et C.A._, agissant au nom de leur fils A.A._, se sont adressés à l'Hôpital de l'Ile. Ils considéraient qu'un problème de responsabilité médicale se posait et entendaient solliciter une expertise extrajudiciaire auprès du bureau d'expertises de la Fédération des médecins suisses (FMH). Avec l'accord de l'assureur responsabilité civile de l'Hôpital de l'Ile, de la Fondation de l'Hôpital de l'Ile et des médecins concernés, une telle expertise a été effectuée par le Dr D._ et le Dr E._; leur rapport date des 28 juin/2 juillet 2009. Les 21 juillet et 6 octobre 2009, les parents de A.A._ ont demandé un entretien à l'assureur en responsabilité civile de l'Hôpital de l'Ile, puis une confirmation écrite de la position de l'assureur et de son assuré. Par décision du 20 octobre 2009, la Fondation de l'Hôpital de l'Ile (ci-après: la Fondation) a rejeté "la demande du 3 janvier 2005" de A.A._. Elle considérait que, d'après l'expertise de la FMH, le traitement ophtalmologique global, les examens, leur interprétation et la demande d'un deuxième avis s'étaient déroulés selon les règles de l'art et qu'aucune faute ni omission dans l'information des parents n'avait été relevée. A.A._ a interjeté recours auprès du Tribunal administratif du canton de Berne. Il concluait à l'annulation de la décision du 20 octobre 2009 et au renvoi du dossier à la Fondation avec mandat d'ouvrir une procédure préalable et de rendre une nouvelle décision dans le sens des considérants. A titre subsidiaire, les conclusions du recours tendaient à ce qu'il soit constaté que la responsabilité de la Fondation pour la perte de l'oeil droit de A.A._ était engagée et à ce que le dossier soit renvoyé à l'intimée pour traiter et juger les prétentions du recourant. A titre encore plus subsidiaire, le recourant demandait que la Fondation soit condamnée à lui payer, avec intérêts, une indemnité de 35'000 fr. à titre de réparation morale et de 13'414 fr.70 à titre de remboursement des frais d'avocat; il réservait par ailleurs ses prétentions pour son dommage futur. Au cours de la procédure, les parties ont été invitées à formuler des questions complémentaires aux médecins qui avaient rédigé l'expertise FMH. En date du 17 juillet 2013, ceux-ci ont rendu leur rapport (expertise judiciaire), sur lequel les parties ont eu l'occasion de s'exprimer. Par jugement du 24 novembre 2014, la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne a rejeté le recours, mis les deux tiers des frais à la charge de A.A._ et condamné la Fondation à verser à celui-ci un montant de 3'500 fr. à titre de participation forfaitaire aux dépens. C. A.A._ exerce un recours en matière civile. Principalement, il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et d'admettre la responsabilité de la Fondation pour la perte de son oeil droit; il reprend pour le surplus les conclusions condamnatoires formulées dans l'instance cantonale et réserve ses prétentions pour le dommage futur. A titre subsidiaire, le recourant sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Fondation conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Invité à se déterminer, le Tribunal administratif a déposé des observations et propose le rejet du recours.