Faits : A. A._ a travaillé en qualité d'opérateur au service de la société B._ SA à C._ du 11 septembre 2000 au 31 août 2012. Par décision du 24 avril 2013, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'Office AI) l'a mis au bénéfice d'un trois quarts de rente d'invalidité à compter du 1 er août 2012 en lui reconnaissant un taux d'incapacité de gain de 64 %. Le 2 octobre 2013, A._ s'est inscrit à l'assurance-chômage en tant que demandeur d'emploi, en indiquant être disposé à travailler à un taux d'activité de 40 %. Par décision du 21 février 2014, confirmée sur opposition le 21 juillet suivant, le Service des arts et métiers et du travail de la République et canton du Jura (devenu le Service de l'économie et de l'emploi dès le 1 er juin 2015 [ci-après: le SEE]) a déclaré l'assuré inapte au placement depuis le 2 octobre 2013. B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 21 juillet 2014, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a admis et a annulé la décision attaquée par jugement du 20 octobre 2015. C. Le SEE interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à la confirmation de la décision sur opposition du 21 juillet 2014, sous suite de frais et dépens. L'intimé et la cour cantonale concluent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ne s'est pas déterminé.