Faits : A. Le 11 juillet 2013, X._ a demandé au Tribunal civil du canton de Genève de lui accorder l'assistance juridique pour un recours formé auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève à l'encontre d'une décision de l'Office du logement du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal du logement) du 22 mai 2013. Dans sa requête, elle a demandé la nomination de l'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'ASLOCA) en tant que conseil juridique. Par décision du 15 juillet 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté cette demande, au motif que les conditions posées pour la nomination et la rémunération d'un mandataire professionnellement qualifié, soit en l'espèce l'ASLOCA, par l'assistance juridique n'étaient pas réalisées. Le fait que le droit cantonal autorisait une partie à se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié dans le cadre d'une procédure administrative n'était pas pertinent sous l'angle des règles applicables en matière d'assistance juridique. Par acte du 21 août 2013, X._ a formé un recours contre cette décision auprès de la Cour de justice (Assistance judiciaire), qui, par l'entremise de sa Vice-présidente, l'a partiellement admis le 12 septembre 2013. Le 1er octobre 2013, statuant sur renvoi de la Cour de justice, la Vice-présidente du Tribunal civil a accordé l'assistance juridique pour le recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice contre la décision sur réclamation prononcée le 22 mai 2013 par l'Office cantonal du logement, la limitant aux frais de recours, à l'exclusion des frais d'avocat. B. Contre la décision du 12 septembre 2013, X._ a formé auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public. Par arrêt du 11 juin 2014 (cause 2C_1042/2013), le Tribunal fédéral a admis le recours, annulé l'arrêt attaqué et renvoyé l'affaire à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il a retenu qu'en omettant d'examiner le grief de la recourante concernant la conformité du droit cantonal au droit supérieur, les juges cantonaux n'avaient pas respecté le droit d'être entendue de l'intéressée. Le 13 août 2014, la Cour de justice a rendu un nouvel arrêt par lequel elle a rejeté le recours formé par X._ en tant qu'il portait sur la nomination d'office de l'ASLOCA. C. Contre cette décision, X._ interjette un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut, préalablement, à l'octroi de l'assistance judiciaire, et, principalement, à l'annulation de la décision entreprise en tant qu'elle consacre une violation de son droit d'être entendue et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Subsidiairement, X._ demande l'annulation de la décision attaquée et à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours contre la décision de l'Office cantonal du logement du 22 mai 2013 et à ce que l'ASLOCA, respectivement un collaborateur de l'ASLOCA, soit nommé en tant que conseil juridique; plus subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à l'autorité précédente dans le sens des considérants. Le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé la recourante qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire. Le Vice-Président du Tribunal civil persiste dans sa décision initiale du 15 juillet 2013 et se réfère aux observations du 28 novembre 2013, qu'il avait déposées dans la cause 2C_1042/2013. L'Autorité de recours en matière d'Assistance judiciaire renonce à se déterminer. Le 28 octobre 2014, la recourante a formulé des observations complémentaires.