Faits : A. A._ a travaillé en qualité de maître de dessin auprès d'un établissement scolaire secondaire. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse vaudoise (ci-après: la Caisse), à laquelle a succédé Mutuel Assurances SA (ci-après: Mutuel Assurances), ainsi qu'auprès de La Suisse, Société d'assurances contre les accidents (ci-après: La Suisse), à laquelle a succédé Helsana Assurances SA (ci-après: Helsana). En vertu d'un contrat de collaboration passé le 19 septembre 1983, la Caisse (alors Caisse cantonale vaudoise d'assurance en cas de maladie et d'accidents) et La Suisse, la Caisse garantissait les prestations de courte durée, notamment les frais de traitement et les indemnités journalières, alors que La Suisse garantissait les rentes d'invalidité et les indemnités pour atteinte à l'intégrité. Le 8 octobre 2002, l'employeur a adressé à la Caisse une déclaration d'accident-bagatelle indiquant que l'assuré avait fait une chute le 12 septembre précédent en essayant de fermer une fenêtre et s'était blessé à la hanche, au bras et au genou droits. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué une déchirure et une désinsertion de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite avec rupture complète du tendon du biceps (rapport du 6 mars 2003). Le 5 novembre 2002, ce médecin a procédé à une arthroscopie de l'épaule droite. L'intéressé a repris son travail le 3 mars 2003. Par décision du 11 avril 2003, confirmée sur opposition le 7 août 2006, la Caisse a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à compter du 31 octobre 2002, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre les troubles de l'épaule droite subsistant après cette date et l'événement du 12 septembre 2002. Saisie d'un recours, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé la décision sur opposition attaquée en ce sens que la Caisse est tenue de prendre en charge les suites de l'accident au-delà du 31 octobre 2002 sur le plan orthopédique. Par ailleurs, elle a annulé ladite décision en tant qu'elle concernait l'aspect neurologique et a renvoyé la cause à la Caisse pour complément d'instruction et nouvelle décision (jugement du 1 er octobre 2009). Après avoir complété l'instruction, Mutuel Assurances a rendu une décision le 10 juillet 2012, confirmée sur opposition le 19 février 2013, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à l'indemnité journalière à dater du 3 mars 2003. B. L'assuré a recouru devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant au maintien, à charge de Mutuel Assurances, de son droit à l'indemnité journalière pour la période du 1 er mars 2004 au 31 décembre 2011 et à l'octroi, à charge de Helsana, d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 80 %, à partir du 1 er janvier 2012, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 40 %. En outre, il demandait à la cour cantonale de constater que Mutuel Assurances et Helsana étaient solidairement responsables du remboursement des frais encourus par lui pour avis et traitements médicaux en relation avec le litige. Par jugement du 21 janvier 2015, la cour cantonale a déclaré irrecevables les conclusions du recours tendant à l'octroi par Helsana d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, ainsi que les conclusions relatives à la prise en charge des notes d'honoraires des médecins consultés. Par ailleurs, elle a rejeté le recours en tant qu'il était dirigé contre la suppression par Mutuel Assurances de l'indemnité journalière à compter du 3 mars 2003. C. A._ forme un recours contre ce jugement dont il demande l'annulation, en reprenant à titre principal ses conclusions déposées en instance cantonale. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause "aux instances inférieures" pour complément d'instruction et nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens. Mutuel Assurances conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. Helsana demande la confirmation du jugement attaqué en tant qu'il déclare irrecevables les conclusions formées contre elle. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.