Faits : A. Par jugement du 4 novembre 2014, le Juge pénal de première instance du canton du Jura a déclaré X._ coupable de contrainte et de tentative d'enlèvement au préjudice de A._, et de vol au préjudice de B._. Il l'a condamné à une peine privative de liberté de 15 mois, sous déduction de 37 jours de détention avant jugement, avec sursis pendant deux ans. B. Statuant sur l'appel de X._ contre sa condamnation pour tentative d'enlèvement et vol, la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura a, par jugement du 6 mai 2015, constaté l'entrée en force du jugement de première instance en ce qui concerne l'infraction de contrainte et déclaré X._ coupable de tentative d'enlèvement et d'usage abusif de permis et de plaques. Elle a retenu les faits suivants. Le 24 octobre 2012, X._, domicilié à C._, a loué une voiture pour se rendre au domicile de son ex-amie, A._, à D._. Il a attendu devant l'immeuble de celle-ci et, le 25 octobre 2012 au matin, il l'a accostée alors qu'elle sortait de son immeuble et se rendait vers sa voiture, dont un pneu était dégonflé. X._ a arraché des mains le téléphone avec lequel A._ était en communication avec la police et l'a poussée sur le siège passager de la voiture. Il lui a alors pointé un pistolet à billes d'acier sur la joue en la menaçant de mort. Peu de temps après, la police est arrivée et X._ a jeté son arme dans un jardin voisin. Lors de la fouille de son véhicule, la police a trouvé une plaque d'immatriculation JU eee et des aimants ainsi que divers objets permettant notamment de menacer et contraindre une personne (Taser, spray, menottes érotiques, cagoules, gants noirs, corde fine, rouleaux de scotch, munitions pour pistolet à billes, boîte à outils etc). La plaque JU eee provenait de la voiture de B._ que ce dernier avait parquée devant son domicile le 24 octobre au soir. C. X._ forme un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral contre ce jugement. Il conclut, avec suite de frais et dépens, au classement de la procédure, subsidiairement à son acquittement s'agissant des infractions de tentative d'enlèvement et d'usage abusif de permis et de plaques, et à ce qu'il soit statué ce que de droit sur la mesure de la peine sanctionnant l'infraction de contrainte. A titre plus subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. D. Invités à se déterminer sur le recours, le ministère public a renoncé à formuler des observations et la cour cantonale a conclu à son rejet.