Faits : A. A._ a été engagée par le service B._, rattaché au département des finances de la République et canton de Genève (ci-après: DF), en qualité de secrétaire 1, auxiliaire dès le 8 octobre 2001, puis employée dès le 1 er janvier 2002, pour un taux d'activité de 100 %, soit 40 heures par semaine. Le 14 janvier 2004, elle a été confirmée dans sa fonction de secrétaire 2 auprès du service B._ et, à compter du 1 er janvier 2005, elle a été nommée fonctionnaire. Elle a exercé la fonction de secrétaire de direction auprès du service B._. Depuis 2002, A._ a été absente pour cause de maladie à de nombreuses reprises, parfois pour quelques mois. Depuis le début de l'année 2006, sa situation a été suivie par le docteur C._, médecin-conseil auprès du service de santé du personnel de l'État (ci-après: SPE). Le travail de A._ a fait l'objet de plusieurs appréciations lors d'entretiens d'évaluation et de développement du personnel. Le 5 mars 2010, un entretien portant sur la période du 26 octobre 2006 au 5 mars 2010 a eu lieu en présence de D._, préposé du service B._, et de E._, responsable du secteur ressources humaines (ci-après: RH). D'une manière générale, il a été constaté que l'intéressée avait des difficultés d'accomplir les tâches de base d'une secrétaire à la direction, indépendamment de ses absences, et qu'elle pourrait effectuer d'autres tâches en relation avec ses compétences de secrétaire. Le 24 mars 2010, elle a été affectée en qualité de secrétaire au service administratif du service B._, dirigé par F._. A._ ayant contesté l'intégralité du compte rendu de l'entretien d'évaluation et de développement du personnel du 5 mars 2010, un nouvel entretien a eu lieu le 25 mai 2010 en présence d'une secrétaire générale adjointe du département, de G._, directeur des RH auprès du secrétariat général du département, ainsi que de l'intéressée et de son avocat d'alors. D'autres échanges de courriers ont eu lieu, dans lesquels A._ a déploré que les tâches qui lui étaient confiées dans le service administratif du service B._ étaient dégradantes et, pour le moins, non conformes à ses compétences et capacités réelles. Le 12 octobre 2010, l'intéressée a déposé une plainte auprès de l'office du personnel de l'Etat, en demandant l'ouverture d'une investigation à l'encontre de D._ pour harcèlement psychologique. Cette plainte a été transmise à un Groupe de confiance comme objet de sa compétence. Dans un rapport du 22 septembre 2011, celui-ci a retenu une atteinte à la personnalité de A._ de la part de D._, mais n'a pas constaté l'existence d'un harcèlement psychologique ou sexuel. Le 14 novembre 2011, l'intéressée a été transférée au service H._ en qualité de commise administrative 4 à 100 %, dans le cadre d'une affectation temporaire. Par courrier du 25 novembre 2011, A._ s'est plainte de ce qu'elle n'avait pas pu, compte tenu de la surcharge de travail de ses collègues, bénéficier d'une réelle formation, mais uniquement d'information attrapées "à la volée". De son côté, la directrice du service H._ a indiqué que la prénommée était dans un état de gêne et de stress permanent, qui ne lui permettait pas d'effectuer son activité de manière conforme et porterait à court terme atteinte à sa santé. Le 7 décembre 2011, l'intéressée a été libérée de ses obligations professionnelles et, lors d'un entretien qui s'est tenu le 19 décembre 2011, le directeur des RH auprès du secrétariat général du département a indiqué notamment qu'il serait difficile de trouver rapidement une nouvelle affectation qui soit pérenne. Par la suite, A._ a, avec son accord, été affectée temporairement en qualité de secrétaire 2 (classe 11), à la direction du service I._ du département de l'instruction publique, sous la direction de J._, directeur, et son "référent métier", K._, assistante de direction. Cette affectation deviendrait définitive dès le mois d'octobre 2012 pour autant que l'intéressée donne satisfaction dans cette nouvelle activité. Lors d'un entretien d'évaluation et de développement personnel tenu le 11 juin 2012, le responsable hiérarchique a donné une appréciation globalement bonne et a indiqué que l'intéressée était compétente et motivée mais que sa capacité à s'intégrer dans le service restait à démontrer. Par la suite, la collaboration entre A._ et K._ est devenue difficile au point qu'une "deuxième possibilité d'insertion dans le service" a été accordée et que, dès le 12 juin 2012 et avec son accord, l'intéressée a changé d'affectation à l'interne. Par acte du 30 juillet 2012, le conseiller d'État en charge du DF a prolongé l'affectation provisoire auprès du service I._ jusqu'au 31 décembre 2012. Toutefois, lors d'une séance du 1 er octobre 2012, l'intéressée a annoncé son souhait de ne pas poursuivre son activité au sein dudit service jusqu'au 31 décembre 2012 et a fait part de son intention de prendre des vacances jusqu'à ce que sa situation au DF soit réglée. Le directeur du service I._ a toutefois indiqué que son solde de vacances serait épuisé le 23 octobre 2012 et a invité l'intéressée à reprendre ses activités à cette date, à défaut de quoi son absence serait considérée comme un abandon de poste. Par lettre du 9 janvier 2013, le directeur du service I._ a constaté que l'affectation temporaire de l'intéressée au sein de son service devait être considérée comme un échec, de sorte qu'elle ne saurait être prolongée au-delà du 31 décembre 2012. Dès le 1 er janvier 2013, la fonctionnaire était réaffectée à son département d'origine, le DF. Dans un certificat du 30 janvier 2013, le docteur L._, spécialiste en médecine générale, a attesté une incapacité de travail entière du 2 novembre 2012 au 29 janvier 2013. A l'issue d'un entretien de service qui a eu lieu le 25 février 2013, le directeur des RH auprès du secrétariat général du département a informé l'intéressée de ce que l'employeur envisageait de résilier les rapports de service pour motif fondé, avec procédure de reclassement préalable, et qu'un délai de quatorze jours dès réception du compte rendu lui serait imparti pour formuler d'éventuelles observations, à la suite de quoi une décision serait prise. A plusieurs reprises (30 avril, 14 et 16 mai, 12 et 25 juin, ainsi que 3 juillet 2013), le directeur des RH auprès du secrétariat général du département a indiqué l'existence de divers postes vacants auprès de l'administration cantonale et a invité A._ à faire acte de candidature. La prénommée a toutefois décliné ces propositions en raison de son incapacité de travail due à la maladie. Dans un certificat du 12 juin 2013, la clinique M._ a fait état d'une hospitalisation durant la période du 16 mai au 12 juin 2013 et d'une incapacité de travail entière jusqu'au 12 juillet suivant. Par décision du 15 août 2013, le conseiller d'Etat en charge du DF a résilié les rapports de service de A._ pour motifs fondés, avec effet au 30 novembre 2013. B. Par mémoire daté du 16 septembre 2013, la prénommée a recouru devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en concluant à ce que la décision attaquée soit déclarée nulle, subsidiairement à ce qu'elle soit annulée et l'intéressée réintégrée dans sa fonction. Plus subsidiairement encore, elle demandait qu'en cas de refus du DF de la réintégrer, l'Etat de Genève soit condamné à lui allouer une indemnité équivalant à vingt-quatre mois du dernier traitement brut. En cours d'instance, A._ a produit une nouvelle attestation de la clinique M._, laquelle faisait état d'hospitalisations du 7 au 27 mars 2012, du 20 août au 16 septembre 2012 (avec une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 21 septembre 2012), du 16 mai au 12 juin 2013 (avec une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 12 juillet 2013), enfin du 4 novembre au 1 er décembre 2014 ([recte : 2013] avec une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 3 janvier 2014). Par décision du 18 novembre 2014, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1 er août 2012 et la Caisse de prévoyance de l'Etat de Genève (ci-après: la CPEG) lui a alloué une pension d'invalidité à compter de cette date. Après avoir tenu deux audiences de comparution personnelle des parties les 14 janvier et 11 juin 2015, la cour cantonale a rejeté le recours par jugement du 29 septembre 2015. A l'audience du 11 juin 2015, l'intéressée a produit deux rapports des docteurs N._ et O._ faisant état de deux interventions chirurgicales les 17 janvier et 18 mars 2013. C. A._ forme un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et à ce que la décision du DF du 15 août 2013 de résiliation des rapports de service soit déclarée nulle. Subsidiairement, elle demande que le DF soit condamné à lui allouer une indemnité de 182'772 fr., montant correspondant à vingt-quatre mois du dernier traitement mensuel net, avec intérêt moratoire de 5 % l'an à compter du 30 novembre 2013. Plus subsidiairement encore, elle conclut au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de frais. La cour cantonale conclut implicitement au rejet du recours. Par écriture du 25 janvier 2016, la recourante a formulé des observations sur la réponse de l'intimé.