Faits : A. A._ et B._ sont les parents non mariés de C._, né en 2008, et de D._, née en 2011. Ils vivent séparés depuis le mois de mars 2015. B._ dispose de l'autorité parentale exclusive sur les deux enfants. Une garde alternée a été mise en place par les parents à raison de 60% pour la mère et de 40% pour le père. B. Le 8 juillet 2015, la mère a déposé une requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles tendant à ce que le père soit condamné à verser, à partir du 1 er juillet 2015, des contributions d'entretien pour ses enfants, d'un montant de 6'600 fr. par mois pour l'aîné et de 5'600 fr. par mois pour la cadette. Par décision d'extrême urgence du 15 juillet 2015, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Président) a rejeté la requête de mesures superprovisionnelles. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 19 août 2015, le Président a condamné le père à contribuer à l'entretien de ses enfants par le versement de pensions mensuelles de 4'200 fr. en faveur de l'aîné et de 3'300 fr. en faveur de la cadette, allocations familiales en sus, à partir du 1 er août 2015 et jusqu'à droit connu sur la procédure au fond. Statuant sur appel des deux époux, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour d'appel civile) a, par arrêt du 26 novembre 2015, fixé le montant mensuel des contributions d'entretien à 5'400 fr. en faveur de l'aîné et à 4'500 fr. en faveur de la cadette. C. Par acte du 15 février 2016, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à ce que la pension mensuelle en faveur de C._ soit fixée à 2'500 fr. et celle en faveur de D._ à 2'200 fr., à ce que les frais judiciaires de deuxième instance, arrêtés à 5000 fr., soient mis à la charge de l'intimée et à ce que celle-ci soit condamnée à lui verser les sommes de 2'500 fr., à titre de " restitution d'avance de frais de deuxième instance ", et de 2'400 fr., à titre d'indemnité de dépens pour la procédure de deuxième instance. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours, la Cour d'appel civile s'en est remise à justice et l'intimée a conclu à son rejet. D. Par ordonnance du 7 mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif. Des observations sur le fond n'ont pas été requises.