Faits : A. A.a. Par contrat de travail du 3 janvier 2000, Z._ SA (ci-après: l'employeuse), à... (VD), société spécialisée dans l'équipement et les services destinés à l'industrie de l'emballage, a engagé X._ (le salarié) en qualité de président de la direction générale de la holding Z._ Group SA, avec le titre d'administrateur délégué du conseil d'administration. Le salarié avait été engagé par l'employeuse dès le 1er avril 1982 dans le cadre d'une mission de plusieurs années aux Etats-Unis d'Amérique, puis à partir du 1er septembre 1989 comme assistant de la direction générale de Z._ SA. Le 6 mai 2009, l'employeuse et le salarié ont signé un " Avenant au contrat de travail " dont la teneur est notamment la suivante: " Préambule (...) En application de l'art. 3 du Contrat de travail, le délai de résiliation est de 24 mois. Des divergences de vues sont apparues entre les parties à la fin de l'année 2008 s'agissant de l'avenir de la direction du Groupe M. X._ ayant exprimé le souhait d'être libéré de ses fonctions et de pouvoir prendre sa retraite anticipée à l'âge de 60 ans, les parties ont recherché un accord réglant de manière définitive les conditions qui y présideront. Le présent Avenant a ainsi pour but de régler les modalités de fin des rapports de travail. Les parties conviennent de ce qui suit, étant précisé que le contrat de travail du 3 janvier 2000 continue à faire foi pour tous les points qui ne sont pas expressément réglés ci-après. Article 1 Fin des rapports de travail D'un commun accord, les parties conviennent irrévocablement de mettre un terme à leurs rapports de travail au 30 juin 2011. Au vu des engagements pris par l'employeur envers le directeur en vertu du présent avenant, notamment ceux prévus aux articles 2, 3 et 4 ci-dessous, le directeur accepte que le terme de son contrat ne soit en aucun cas reporté à une date postérieure au 30 juin 2011nonobstant tout (sic) incapacité de travail (pour cause de maladie ou accident par exemple) qui pourrait survenir entre la signature de la présente convention et le 30 juin 2011. De même, l'employeur ne pourra en aucun cas procéder à la résiliation anticipée du contrat de travail avant le 30 juin 2011, sous réserve d'une résiliation immédiate pour justes motifs au sens de l'article 337 CO. Article 2 Libération de l'obligation de travailler et obligation d'assistance Le Directeur sera libéré de ses fonctions directoriales à compter du 7 mai 2009, soit au lendemain de l'Assemblée générale de Z._ Group SA. A partir de cette date et jusqu'au 30 juin 2009, l'activité de Directeur consistera à faciliter la prise de fonctions du nouveau Président de la Direction générale de l'Employeur. Le Directeur s'engage à se présenter, sur simple préavis de 48 heures de l'Employeur, dans les locaux de ce dernier afin de contribuer, par tous services et conseils nécessaires, à faciliter la prise de fonctions du nouveau Président de la Direction générale. Le Directeur sera lié par cette obligation d'assistance entre le 30 juin et le 31 décembre 2009 ce à raison de 40 jours ouvrables au maximum. Pour le surplus, le Directeur est libéré de l'obligation de travailler jusqu'au terme des rapports contractuels. Article 3 Salaire et frais de représentation Jusqu'au 30 juin 2011, le Directeur percevra son salaire selon les modalités définies ci-dessous: A. Salaire fixe Dès le 1er mai 2009 et jusqu'au 30 juin 2011, l'Employeur versera au Directeur un salaire mensuel fixe de CHF 59'769.25. B. Frais de représentation Le Directeur ayant déjà perçu un montant de CHF 28'500.- à titre de frais de représentation pour l'année 2009, l'employeur lui versera: - un montant de CHF 28'500.- brut à titre de frais de représentation pour l'année 2010, payable le 10 janvier 2010; et - un montant de CHF 14'250.- brut à titre de frais de représentation pour le premier semestre de l'année 2011, payable le 11 janvier 2011. C. Salaire variable L'Employeur versera au Directeur à titre de part variable du salaire: - un montant de CHF 697'236.70 brut pour l'année 2009, payable au 31 mars 2010; - un montant de CHF 678'392.50 brut pour l'année 2010, payable au 31 mars 2011, et - un montant de CHF 339'196.25 brut pour le premier semestre de l'année 2011, payable au 31 mars 2012. En cas de prédécès, l'Employeur versera les montants prévus ci-dessus aux héritiers du Directeur. Article 4 Liquidation du plan d'intéressement " LTIP " Le Directeur conservera la propriété des 9'697 actions de Z._ Group SA qu'il a souscrites dans le cadre du plan " Long Term Incentive Program ". Ces actions lui seront transférées par l'Employeur au terme de la période de blocage de trois ans. Article 5 Restitution des propriétés réciproques Au 30 juin 2009, le Directeur restituera à l'Employeur tout matériel appartenant à la société qu'il a reçu ou utilisé dans le cadre de ses activités pour l'Employeur (effets et fichiers personnels, badges, clés et appareils de sécurité, etc.), ainsi que tout document ou toute autre information, sous quelque forme que ce soit, concernant la société ou ses clients, entrés en sa possession durant les rapports de travail. Les Parties confirment par souci de clarté que le Directeur conservera son véhicule de fonction y compris ses accessoires et percevra une prime de CHF 45'000.- net destinée au remplacement dudit véhicule. Ce montant lui sera versé le 30 juin 2009. Dès le 1er juillet 2009, le directeur assumera tous les frais relatifs à l'entretien dudit véhicule (réparations, assurances, pneus, lavage et essence). Moyennant bonne et fidèle exécution de ces dispositions, les parties confirment ne plus avoir de prétentions l'une envers l'autre à cet égard. (...) Article 7 Nouvelles activités du Directeur Moyennant le respect par le Directeur des obligations mises à sa charge par le présent avenant, l'Employeur s'engage à verser au Directeur les montants mentionnés aux articles 3 à 5 du présent Avenant même si ce dernier devait exercer une nouvelle activité lucrative, dépendante ou indépendante, notamment au sein de conseils d'administration. L'acceptation par le Directeur de mandats d'administrateurs n'est pas subordonnée à l'accord de l'Employeur et le nombre de mandats que peut accepter le Directeur n'est pas limité. De même, l'Employeur renonce à imputer sur les montants mentionnés aux articles 3 à 5 du présent Avenant la rémunération, les honoraires, le remboursement de frais, etc. perçus par le Directeur auprès d'autres employeurs, mandants, etc. en vertu d'une telle activité. Toutefois, le Directeur demeure lié envers l'Employeur par son devoir de fidélité et ne pourra ni entreprendre, ni accepter d'activités dépendantes ou indépendantes susceptibles d'être concurrentes à celles des Sociétés de Z._ Group SA, directement ou indirectement. Article 8 Clause de non-concurrence En considération des engagements pris par l'Employeur aux termes des articles 3 à 5 du présent Avenant, le Directeur s'engage à n'entreprendre, directement, indirectement ou par la prise d'un emploi, par la fourniture de conseils, par la conclusion ou le maintien de relations d'affaires avec des clients actuels ou anciens de l'Employeur ou d'une quelconque autre manière, en Suisse ou à l'étranger, aucune activité économique concurrente (sic) celles de l'Employeur et ses sociétés affiliées, ce pendant une période de deux ans à compter du 30 juin 2011. (...) En cas de violation de cette clause de non-concurrence, le Directeur devra payer à l'Employeur une pénalité de CHF 100'000.- pour chaque violation. (...) (...) Article 15 Solde de tout compte Sous réserve de l'exécution correcte de leurs obligations telles que fixées dans le présent Avenant et le Contrat de travail, les Parties se confirment réciproquement qu'elles n'auront plus aucun droit, prétention ou créance l'une envers l'autre, à quel que (sic) titre que ce soit, et elles s'accordent mutuellement quittance pour solde de tout compte. ". De janvier 2010 au 30 juin 2011, date de la fin de ses rapports de travail, le salarié a occupé des fonctions dirigeantes dans d'importantes sociétés en Suisse. Ainsi, dès le 29 mars 2010, il était membre du conseil d'administration de A._ AG, société qui lui a versé à ce titre une rémunération totale brute de 218'986 fr.35 jusqu'au 30 juin 2011. Depuis, 2010, il a exercé la fonction d'administrateur vice-président de B._ SA, pour laquelle il a touché jusqu'au 30 juin 2011 une rétribution totale brute de 893'563 fr. Egalement à partir de 2010, le salarié était membre du conseil d'administration de C._ SA; entre 2010 et le 30 juin 2011, ladite société lui a versé une rémunération totale brute de 408'333 fr.35. Dès le 18 mars 2010, il a été désigné président du conseil d'administration de D._ SA; entre cette date et le 30 juin 2011, celle-ci lui a versé le montant brut de 283'340 fr.50, et non de 383'343 fr. comme l'a retenu la Cour d'appel en se basant erronément sur la rémunération versée par cette société pour toute l'année 2011, au lieu de celle, déterminante, versée entre le 1er janvier et le 30 juin 2011 (art. 105 al. 2 LTF). Avant le terme de son contrat de travail (i. e. le 30 juin 2011), le salarié a donc encaissé depuis 2010 à titre de rémunérations auprès de tiers un total brut de 1'804'223 fr. 20 (218'986,35 + 893'563 + 408'333,35 + 283'340,50) et non de 1'904'225 fr.70 comme l'a constaté à tort la Cour d'appel en raison de l'erreur de calcul susmentionnée (art. 105 al. 2 LTF). Pour sa part, l'employeuse a versé au salarié entre le 1er mai 2009 et le 30 juin 2011, soit pendant une période de 26 mois, le salaire mensuel fixe brut de 59'769 fr.25 prévu par l'art. 3 let. A de l'avenant, ce qui représente un montant total brut de salaires fixes se montant à 1'554'000 fr.50. L'employeuse lui a aussi versé des frais forfaitaires annuels bruts de 28'500 fr. fixés par l'art. 3 let. B de l'avenant, à savoir 19'000 fr. en 2009 ( 2/3 de 28'500 fr. pour la période de 8 mois entre le 1er mai et le 31 décembre 2009, et non 3/4 de 28'500 fr. ainsi que l'a retenu à tort la Cour d'appel qui a mal calculé ce rapport), 28'500 fr. pour l'entier de 2010 et 14'250 fr. pour six mois en 2011, ce qui donne un total brut de frais forfaitaires ascendant à 61'750 fr. (et non à 49'875 fr. comme mentionné faussement par la Cour d'appel). L'employeuse lui a encore octroyé un salaire variable brut pour 2009 de 464'824 fr.45 (2/3 du bonus de 697'236 fr.70 prévu par l'art. 3 let. C de l'avenant, et non 3/4 de ce montant comme l'a retenu faussement la Cour d'appel en raison de la répétition de la même erreur) et pour 2010 de 678'392 fr.50, ce qui représente un total brut de salaires variables se montant à 1'143'216 fr.95 pour ces deux années (et non à 1'201'320 fr. comme l'a calculé erronément la cour cantonale), aucun bonus n'ayant été versé au salarié en 2011. L'addition des salaires mensuels fixes bruts, des frais forfaitaires bruts et des salaires variables bruts touchés par le salarié au cours des 26 mois précités donne un total brut de 2'758'967 fr. 45 (1'554'000,50 + 61'750 + 1'143'216,95), et non de 2'805'195 fr.50 comme l'a retenu à tort la Cour d'appel. A.b. Le 7 janvier 2010, l'ingénieur E._ et trois autres ingénieurs de l'employeuse (F._, G._, H._) ont adressé le courriel suivant au salarié: " Bonjour M. X._, (...) Après avoir tenté de vous joindre par téléphone en vain, nous nous permettons de reprendre contact avec vous suite au bref entretien que vous avez eu avec Maître V._ concernant notre création d'entreprise. Ayant eu un retour favorable de votre sentiment de réalisation, nous nous permettons de vous demander un rendez-vous afin de vous présenter notre projet plus précisément. Pouvez-vous nous communiquer votre disponibilité afin que nous puissions organiser ce meeting. Nous vous confirmerons le lieu après avoir pris connaissance de votre disponibilité. (...) ". Le 11 janvier 2010, un entretien téléphonique s'est déroulé entre E._ et le salarié. Le même jour, E._ a envoyé au salarié un courriel ayant le contenu suivant: " Bonsoir M. X._, Pour donner suite à notre conversation de ce jour, veuillez trouver ci-joint le courrier que nous avions écrit il y a deux mois à notre intermédiaire qui vous était destiné... Nous sommes une équipe d'ingenieurs (sic) multitechnologies et d'encadrement de Z._ group capitalisant une longue expérience produit. Nous souhaitons créer notre propre entreprise dans le but (sic) developper (sic) et de mettre sur le marché un produit directement concurentiel (sic) à Z._group. Notre équipe n'étant plus réellement en phase avec les décisions stratégiques et les processus d'entreprise depuis votre depart (sic) du groupe, nous souhaitons vous demander si vous auriez la motivation de jouer le role (sic) de sponsor voir (sic) même de sponsor investisseur pour crédibilisé (sic) l'image de notre nouvelle structure industrielle. Le projet est avancé au sein de l'équipe, un planning à suivre avec objectif... 2012, un budget et des avants-projets techniques avancés dans une ligne directrice plus moderne que les technologies utilisées actuellement chez Z._. Un des fils conducteurs sera notamment une notion de développement durable avec des machines consommant moins d'énergie. Un partenaire commercial et un partenaire industriel ont été approchés. Le projet est donc avancé dans les idées et il est maintenant question de rentrer en matière en contactant des fournisseurs, des investisseurs, des partenaires et des collaborateurs potentiels de cette structure. (...) ". Il a été constaté que le salarié a admis que le projet décrit dans ce courriel était concurrent aux machines commercialisées par l'employeuse, tout en précisant ignorer que les ingénieurs en cause utilisaient du matériel et du savoir-faire appartenant à celle-ci. Toujours en janvier 2010, un collaborateur inconnu de l'employeuse a pris langue avec le responsable des stages auprès de l'Ecole I._ dans le but que des étudiants/ingénieurs de cette école rédigent un cahier des charges pour la plieuse-colleuse concurrente. Il s'en est suivi des échanges de courriels et des rencontres entre les quatre ingénieurs susnommés, plus trois autres ingénieurs de l'employeuse (i. e. J._, K._ et L._) et des ingénieurs de I._. A.c. Au cours de l'été 2010, les sept ingénieurs précités ainsi qu'un tiers ont constitué une société à responsabilité limitée, inscrite au registre du commerce en juillet 2010 sous la raison sociale M._ Sàrl (ci-après: M._), dont le but était notamment de développer, réaliser et commercialiser des machines industrielles. Il n'a pas été établi que le salarié a contribué d'une quelconque manière au projet développé par les sept ingénieurs et M._, ni qu'il aurait promis de le faire. Dans ce contexte, N._ AG, société allemande concurrente de l'employeuse sur le marché des plieuses-colleuses, a été abordée par l'ingénieur F._. Une rencontre s'est tenue le 17 juin 2010 entre le précité, O._, directeur général de N._ AG et un avocat, dans lequel un projet qui prévoyait la vente par M._ d'une première machine en 2012 et d'une seconde en 2014 a été présenté à O._. Entendu comme témoin, O._ a déclaré qu'il était clair que les collaborateurs de l'employeuse souhaitaient devenir indépendants et faire concurrence à cette dernière. A l'issue de la rencontre du 17 juin 2010, N._ AG a alerté l'employeuse sur les activités déployées par certains de ses collaborateurs. L'employeuse a résilié les contrats de travail des sept ingénieurs entre le 14 juin et le 6 septembre 2010, pour le 31 août 2010 pour l'un deux, pour le 30 novembre 2010 pour cinq autres et pour le 31 décembre 2010 pour le dernier; tous ont été libérés de l'obligation de travailler avec effet immédiat. L'employeuse leur a reproché en particulier d'avoir conçu, alors qu'ils étaient ses employés, un projet de machines plieuses-colleuses concurrentes à celles qu'elle avait elle-même développées, en violant ses secrets de fabrication et commercial. Le 19 août 2010, l'employeuse a déposé plainte pénale contre les sept ingénieurs. A.d. Le 2 août 2012, le salarié a introduit une poursuite contre l'employeuse portant sur une somme de 330'196 fr. 25 en capital; la cause de l'obligation indiquée était la suivante : "Article 3 lettre C de l'avenant au contrat de travail signé le 6 mai 2009 ". La poursuivie a fait opposition totale. B. Par demande du 13 juillet 2012, Z._ SA (demanderesse) a ouvert action contre X._ (défendeur) devant la Chambre patrimoniale du canton de Vaud. La demanderesse a conclu à ce que le défendeur lui verse le montant de 1'964'113 fr.15 avec intérêts à 5% l'an dès le 26 mars 2012, qui représente, selon elle, la totalité des revenus réalisés par le défendeur dans le cadre de son activité pour des tiers durant le délai de congé. Le défendeur a conclu à libération. Reconventionnellement, il a conclu à ce que son adverse partie lui verse le montant brut de 339'196 fr.25, dont à déduire les cotisations sociales, légales et contractuelles, plus intérêts à 5% l'an dès le 1er avril 2011, correspondant au salaire variable pour le premier semestre 2011 selon l'art. 3 let. C de l'avenant du 6 mai 2009, libre cours étant laissé à la poursuite du 2 août 2012. Le défendeur a invoqué à toutes fins utiles le moyen de la compensation. De nombreux témoins ont été entendus. En cours d'instance, la demanderesse a reconnu ne pas avoir versé au défendeur le montant de 339'196 fr.25 qu'il a réclamé par reconvention. Par jugement du 20 juin 2014, la Chambre patrimoniale a dit que la demanderesse est débitrice du défendeur de la somme brute de 339'196 fr.25, sous déduction des charges sociales usuelles et contractuelles, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er avril 2012, l'opposition à la poursuite du 2 août 2012 étant définitivement levée. Saisie d'un appel de la demanderesse, qui reprenait ses conclusions de première instance, et d'un appel joint du défendeur, qui souhaitait obtenir un peu moins du double des dépens qui lui avaient été alloués par la Chambre patrimoniale, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 27 novembre 2015, a admis partiellement l'appel principal et rejeté l'appel joint. La cour cantonale a condamné le défendeur à verser à la demanderesse la somme brute de 1'904'225 fr.70 avec intérêts à 5% l'an dès le 28 mars 2012, sous déduction de 339'196 fr.25, montant brut, valeur au 1er avril 2012, l'opposition à la poursuite du 2 août 2012 étant maintenue. C. Le défendeur exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Le recourant conclut principalement à la confirmation du jugement rendu le 20 juin 2014 par la Chambre patrimoniale; subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt du 27 novembre 2015 et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours. Le recourant a répliqué et l'intimée a dupliqué.