Faits : A. A.a. A._ était employée polyvalente au sein d'un établissement médico-social. Elle s'est annoncée le 25 août 2011 à l'office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) et a indiqué être incapable de travailler en raison d'une tumeur osseuse bénigne du doigt. Par décision du 16 août 2012, l'office AI a rejeté la demande de l'assurée et retenu que, sous réserve des périodes du 1 er mars au 30 juin 2011 et du 10 août 2011 au 1 er janvier 2012, celle-ci disposait d'une capacité entière de travail avec une diminution de rendement de 10-15 %. Il fondait sa décision en particulier sur le rapport d'examen rhumatologique du Service médical régional de l'AI (SMR) du 25 avril 2012. La doctoresse B._, spécialiste en rhumatologie, y avait posé les diagnostics de cervio-brachialgies, lombalgies chroniques et séquelles fonctionnelles très modérées du poignet droit à la suite de l'exérèse d'un kyste intra-osseux de l'auriculaire, et avait conclu que la capacité de travail de l'intéressée était entière dans toute activité adaptée et dans l'activité habituelle, ce alors avec une diminution de rendement de l'ordre de 10-15 %. A.b. Le 10 avril 2013, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations à l'office AI, annonçant souffrir d'une dépression et être totalement incapable de travailler depuis le mois de septembre 2012. L'office AI a recueilli l'avis du médecin traitant de l'assurée, le docteur C._, spécialiste en psychiatrie. Dans ses rapports des 21 juin et 30 décembre 2013, celui-ci a attesté que sa patiente présentait un trouble obsessionnel compulsif et une personnalité anankastique, justifiant une incapacité totale de travail depuis le 6 décembre 2012. L'administration a également obtenu copie du rapport de l'expertise réalisée par la Clinique X._ sur mandat de l'assureur perte de gain, daté du 21 mars 2014. Le docteur E._, spécialiste en psychiatrie, y avait diagnostiqué un trouble obsessionnel compulsif et un trouble de l'adaptation, auquel s'associait une personnalité anankastique. Il avait retenu que ces troubles étaient sans incidence sur la capacité de travail de l'assurée, qui était entière depuis le 1 er juillet 2013. En se fondant sur ces informations, l'administration a informé A._ qu'elle entendait refuser toute prestation (projet de décision du 6 mai 2014). Celle-ci a contesté ce projet par courrier du 2 juin 2014 et a fait parvenir à l'office AI les observations du docteur C._ sur l'expertise de la Clinique X._. Le 10 juillet 2014, l'administration a décidé de rejeter la demande de l'assurée. B. Le 3 septembre 2013, A._ a formé recours devant le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales. Elle a conclu principalement à la reconnaissance de son droit à une rente entière, et subsidiairement à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique sur sa capacité de travail. A l'appui de son recours, elle a produit des rapports du docteur C._, de la Fondation F._, de son ancien employeur et de la doctoresse G._, spécialiste en psychiatrie. Par jugement du 5 juillet 2016, la juridiction cantonale a débouté l'assurée. C. A._ a déposé un recours en matière de droit public contre ce jugement le 12 septembre 2016. Elle en demande l'annulation et conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, et subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire. L'office AI s'est référée au jugement cantonal, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.