Faits : A. A.a. B.A._, née en 1968, et A.A._, né en 1958, se sont mariés le 21 avril 1989. Trois enfants sont issus de cette union, soit C._, née en 1990, D._, né en 1991, et E._, né en 1996. Le 1er novembre 2005, les époux ont suspendu définitivement la vie commune. A.b. Le 25 mai 2011, le mari a ouvert action en divorce, concluant, outre au prononcé de celui-ci, à l'exercice conjoint de l'autorité parentale, à l'attribution de la garde de son fils cadet, le droit de visite de la mère étant réservé, à la liquidation du régime matrimonial et au partage des prestations de sortie. Il a spécifié qu'il entendait contribuer, " seul ", à l'entretien de l'enfant. L'épouse s'est ralliée au principe du divorce et a admis les conclusions du demandeur tendant au maintien de l'autorité parentale conjointe, à l'attribution de la garde de l'enfant, à la réglementation du droit de visite, à la liquidation du régime matrimonial et au partage des avoirs de prévoyance. Elle a contesté que son mari supportait, " seul ", le coût d'entretien de l'enfant. Reconventionnellement, elle a conclu à ce que le demandeur soit astreint à lui verser mensuellement une contribution d'entretien de 1'500 fr., payable le premier de chaque mois dès l'entrée en force du jugement de divorce et portant intérêt à 5% dès chaque échéance. Au débat final du 17 mars 2014, les parties ont exposé qu'elles étaient convenues de la liquidation du régime matrimonial. Le demandeur a pour le surplus confirmé ses conclusions initiales, précisant que sa caisse de pensions devait verser sur le compte de libre passage de la défenderesse le montant de 139'295 fr. à titre de partage du deuxième pilier. L'épouse a également maintenu ses conclusions initiales. Elle a spécifié qu'elle réclamait, d'une part, le versement d'une rente mensuelle de 1'500 fr. jusqu'à ce qu'elle ait atteint l'âge de 64 ans, et, d'autre part, le transfert, à titre de partage des prestations de sortie, d'un montant de 154'821 fr. B. B.a. Par jugement du 14 juillet 2014, la Juge du district de Monthey a prononcé le divorce des conjoints. Pour le surplus, elle a, notamment, dit qu'en contrepartie de la cession par l'épouse de sa quote-part de propriété de l'immeuble n° xxxx, plan xx, de la commune de U._, le mari lui verserait le montant de 107'680 fr., ordonné à la caisse de pensions de celui-ci de payer, à titre d'indemnité équitable, la somme de 139'295 fr. sur le compte de prévoyance professionnelle de l'épouse, et condamné le mari à verser en mains de celle-ci, d'avance le premier de chaque mois, jusqu'à ce qu'elle atteigne l'âge de 64 ans révolus, une contribution d'entretien de 1'500 fr., cette contribution portant intérêt à 5% dès chaque date d'échéance. B.b. Contre ce jugement, le mari a interjeté appel devant le Tribunal cantonal du canton du Valais. Il a, principalement, contesté le principe de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse. Subsidiairement, il a invité l'autorité cantonale à réduire le montant alloué à 500 fr. par mois, payable jusqu'au 30 novembre 2016. Par jugement du 12 avril 2016, le Tribunal cantonal du canton du Valais a réformé le jugement attaqué en ce sens que le mari versera en mains de l'épouse, d'avance le premier de chaque mois, une contribution d'entretien de 1'500 fr. par mois jusqu'au 30 novembre 2019, puis de 1'330 fr. du 1er décembre 2019 jusqu'à ce que la crédirentière atteigne l'âge de 64 ans révolus, la contribution portant intérêt à 5% dès chaque date d'échéance. C. Par acte posté le 13 mai 2016, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement du 12 avril 2016. Il conclut à son annulation et à sa réforme en ce sens qu'aucune contribution d'entretien n'est due en faveur de l'épouse. Subsidiairement, il requiert que la contribution d'entretien soit fixée à 1'500 fr. par mois jusqu'au 30 novembre 2019, puis à 1'089 fr. du 1er décembre 2019 jusqu'à ce que la crédirentière atteigne l'âge de 64 ans révolus. Plus subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. L'intimée conclut au rejet du recours. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son jugement.