Faits : A. A._, ressortissant étranger, est arrivé en Suisse en août 2008. Indiquant souffrir des séquelles d'un accident survenu le 27 juillet 2009 (luxation de l'épaule gauche), il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 13 août 2010. Alors qu'il séjournait dans une unité de rééducation, l'assuré a manifesté des troubles psychiatriques justifiant son transfert au Centre de psychiatrie B._ le 24 janvier 2012. Se fondant sur les informations obtenues durant l'instruction (dont le dossier de la Caisse nationale suisse en cas d'accidents [CNA]), l'office AI a informé A._ de son intention de rejeter la demande. Malgré l'incapacité totale de travail de l'assuré dans toute activité jusqu'à la fin de l'année 2012, il ne remplissait pas les conditions générales d'assurance, soit les trois ans de cotisations au moment de la survenance de l'invalidité; à l'échéance du délai de carence d'une année, en juillet 2010, A._ était en Suisse depuis seulement deux ans (projet de décision du 15 juillet 2013). L'assuré a contesté ce projet, en relevant que l'administration n'avait pas pris en considération l'affection psychiatrique qui s'ajoutait à la problématique somatique (écriture du 31 octobre 2013). Se fondant sur l'avis de son Service médical régional (SMR), l'office AI a étendu l'instruction au volet psychiatrique de l'état de santé de A._. Selon les différents médecins du Centre B._ consultés par l'assuré, celui-ci souffrait d'une schizophrénie paranoïde totalement incapacitante depuis janvier 2012 (notamment rapport du 2 décembre 2013). Par décision du 14 juillet 2014, l'office AI a rejeté la demande au motif que l'assuré ne réalisait pas les conditions générales d'assurance en juillet 2010. B. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Par jugement du 25 août 2015, la juridiction cantonale a admis le recours, réformé la décision en ce sens que l'assuré avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er janvier 2013 et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il calcule le montant de la rente et des intérêts dus sur les arriérés. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. A._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission par écriture du 9 novembre 2015, sur laquelle l'intimé s'est prononcé le 14 décembre suivant.