Faits : A. C._, née en 1904, habitait à Lausanne dans un appartement de cinq pièces dont elle était propriétaire. Elle avait confié la gestion de sa fortune, s'élevant à plusieurs millions de francs français, à une société financière basée à Paris, au sein de laquelle B._ travaillait en qualité d'assistante de gestion. Par testament authentique du 3 novembre 1998 établi par le notaire D._, C._ a institué héritière de tous ses biens B._ ou, à défaut, la fille de celle-ci, sous réserve de certains legs. En 1998, C._ a engagé la mère de A._ en qualité de gouvernante. Le fils remplaçait sa mère lorsque celle-ci était en congé. Les relations entre C._ et B._ se sont dégradées en 2001 à la suite de divergences au sujet d'un virement demandé par la première nommée. Le 30 octobre 2001, C._ a téléphoné au notaire D._ afin de modifier ses dispositions de dernière volonté; elle souhaitait que les deux enfants de sa gouvernante deviennent ses héritiers à la place de B._. Lors d'une conversation téléphonique, le notaire D._ a trouvé C._ confuse et tourmentée, mais lucide. Lorsqu'il s'est rendu chez elle, C._ n'a pas pu lui dire pourquoi elle lui avait demandé de se déplacer; elle était très incohérente. Le notaire D._ a alors décidé de ne pas instrumenter la modification des dernières volontés de C._. B._ a abordé le Juge de paix de Lausanne pour lui faire part de son inquiétude au sujet de C._. Le 21 février 2002, le juge l'a informée qu'une enquête de voisinage avait été effectuée et que C._ était bien portante, bien qu'elle souffrît d'une grave surdité. Par testament authentique du 19 août 2002, C._ a révoqué toutes dispositions testamentaires prises antérieurement; sous réserve de certains legs, elle a institué héritiers de tous ses biens, d'une part, A._ pour son appartement et la moitié de sa fortune mobilière et, d'autre part, une amie proche pour l'autre moitié de la fortune mobilière. L'acte a été instrumenté par la notaire E._, à laquelle deux certificats médicaux attestant la capacité de discernement de la testatrice avaient été présentés. C._ est décédée à Lausanne trois mois plus tard dans sa nonante-neuvième année. B._ a fait opposition au testament du 19 août 2002 et à la délivrance d'un certificat d'héritier. Le 6 février 2004, agissant par le ministère d'un avocat, elle a ouvert action contre les deux héritiers devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois en concluant à l'annulation du testament du 19 août 2002 et à l'homologation du testament du 3 novembre 1998. Elle a fait défaut à l'audience préliminaire, puis n'a pas donné suite à l'invitation à déposer sa liste de témoins. Par jugement contumacial du 27 novembre 2006, la Cour civile a rejeté la demande et condamné B._ à verser 7'050 fr. à A._ à titre de dépens et le même montant à l'autre héritière. B._ a demandé le relief, mais a de nouveau fait défaut à l'audience; par prononcé du 19 juillet 2007, il a été constaté que la demande de relief était caduque et que le jugement du 27 novembre 2006 restait en vigueur. Par la suite, B._ a fait part à son conseil de sa stupéfaction de ne pas avoir été informée du cours de la procédure et des audiences fixées. L'associé de son conseil lui a alors expliqué que celui-ci souffrait depuis de nombreux mois d'une importante dépression, motif pour lequel il avait négligé la plupart des courriers qui lui étaient adressés. B. Le 5 mars 2009, A._ a ouvert action contre B._ en paiement de 100'000 fr. avec intérêts devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. D'une part, il demandait réparation du dommage résultant de la perte des loyers liée à la non-location de l'appartement depuis le décès de C._ jusqu'au 1er novembre 2008, date à laquelle il en avait pris possession à la suite du partage avec sa cohéritière; d'autre part, il réclamait remboursement des frais d'avocat engagés dans le cadre de la procédure en annulation du testament du 19 août 2002. B._ a conclu au rejet de l'action et, reconventionnellement, à ce que A._ soit condamné à lui payer 28'547 fr.50 plus intérêts pour des frais d'avocat. Par jugement du 2 juillet 2013, le Tribunal civil a rejeté tant la demande principale que la demande reconventionnelle. A._ a interjeté appel en reprenant ses conclusions en paiement de 100'000 fr. Par arrêt du 21 mai 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel et confirmé le rejet de l'action de A._. En particulier, elle a jugé que la demande en remboursement des frais d'avocat n'était pas fondée, car B._ avait usé de la possibilité légale d'ouvrir action en annulation d'un testament, sans qu'un abus de droit ne puisse lui être reproché de ce fait et sans qu'on puisse la rendre civilement responsable des longueurs de la procédure dues à la maladie de son mandataire. Parallèlement à cette procédure civile en Suisse, A._ a dénoncé B._ en France auprès du Procureur de la République. Il lui reproche d'avoir usé de stratagème et manipulé C._ en abusant de sa fragilité pour se faire instituer héritière en 1998. C. A._ interjette un recours en matière civile contre l'arrêt du 21 mai 2014. Il conclut à ce que B._ soit condamnée à lui payer le montant de 55'105 fr.55 avec intérêt à 5% dès le 5 mars 2009, montant correspondant à des frais d'avocat engagés en relation avec la procédure en annulation de testament; il renonce à demander des dommages-intérêts pour perte de loyers. B._ propose le rejet du recours. Par la suite, les deux parties ont chacune déposé de leur propre chef un second mémoire.