Faits : A. X._ est inscrit au registre du commerce de Genève depuis le 12 janvier 2012 en tant que titulaire de l'entreprise individuelle X._, qui a notamment pour but de fournir un service de voiturier et valet de parking. Depuis le 24 mai 2012, l'Aéroport International de Genève (ci-après: l'Aéroport) a invité sans succès et à plusieurs reprises X._ à cesser ses activités de valet de parking sur les différents parkings du site aéroportuaire en l'absence de concession délivrée. La rencontre des clients et l'encaissement des prestations à l'intérieur des parkings créaient de nombreux attroupements et gênaient la bonne exploitation du site. B. Par décision du 23 septembre 2013, l'Aéroport a fait interdiction à X._, ainsi qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires d'accéder au site aéroportuaire, sous la menace des sanctions prévues à l'art. 292 CP. Cette décision était déclarée immédiatement exécutoire nonobstant recours. X._ a recouru contre cette décision sur le plan cantonal en demandant son annulation et, à titre de mesures provisionnelles urgentes, la suspension de l'exécution de ladite décision et la restitution de l'effet suspensif. Le 7 novembre 2013, le Président de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté la requête en restitution de l'effet suspensif et de mesures provisionnelles. Par arrêt du 27 février 2014 (cause 2C_1161/2013), le Tribunal fédéral a admis le recours de X._, annulé la décision du 7 novembre 2013 et restitué l'effet suspensif du recours déposé sur le plan cantonal à l'encontre de la décision du 23 septembre 2013. Par arrêt au fond du 23 juin 2015 notifié le 30 juin 2015, la Cour de justice a rejeté le recours de X._. C. Contre cet arrêt, X._ a formé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral le 31 juillet 2015 et a complété sa motivation le 1er septembre 2015. Il conclut à son annulation et à ce que le Tribunal fédéral, statuant à nouveau, annule la décision de l'Aéroport du 23 septembre 2013et dise que X._ peut exercer son activité de valet de parking sur le site aéroportuaire de l'Aéroport, sous suite de frais et dépens. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision, sous suite de frais et dépens. Par ordonnance du 3 septembre 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif formée par X._. La Cour de justice a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Aéroport a déposé des déterminations, en concluant au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Les parties ont respectivement formé une réplique et une duplique.