Faits : A. La société X._ (ci-après: X._) est propriétaire d'une parcelle à... sur laquelle elle entendait construire un immeuble adossé à une importante falaise. Sur proposition de l'architecte, Z._ SA Bureau d'Ingénieurs Conseils (ci-après: Z._ SA) a été chargée de diverses prestations en relation avec des travaux spéciaux. A la suite de différends, le mandat a été révoqué. Z._ SA a alors adressé à X._ une facture de 17'820 fr., que la destinataire a contestée. B. Les parties se sont mises d'accord pour soumettre le litige à un arbitre unique. A défaut d'entente sur la personne de l'arbitre, celui-ci a été désigné par le juge d'appui étatique en la personne de l'avocat A._. Par sentence du 19 avril 2016, l'arbitre a dit que X._ devait payer à Z._ SA le montant de 17'820 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 12 mai 2011. C. Assistée d'un avocat qui résiliera son mandat par la suite, X._ interjette un recours en matière civile. Elle demande l'annulation de la sentence arbitrale. Tout en contestant la recevabilité du recours, Z._ SA conclut au rejet de celui-ci. L'arbitre a déposé de brèves observations. La recourante a répliqué. Par ordonnance du 13 juillet 2016, la Présidente de la cour de céans a accordé l'effet suspensif requis par la recourante.