Faits : A. A.a. A compter du 11 mars 2002, A._ (le travailleur), né le 1er mars 1977, a été engagé en qualité de magasinier par la Fondation B._ (ci-après: la fondation), à Lausanne, qui est une fondation d'utilité publique ayant pour but de lutter contre la cécité et d'en prévenir ou d'en atténuer les conséquences; son salaire mensuel brut se montait à 4'271 fr., versé treize fois l'an. Selon l'art. 18, premier paragraphe, du statut du personnel de la fondation du 6 septembre 2004, intitulé " Occupation accessoire ", " l'employé qui désire avoir une occupation accessoire rémunérée doit en aviser l'employeur et recueillir son accord préalable "; d'après l'art. 18, second paragraphe, du même statut, l'occupation accessoire doit être conciliable avec la situation ou les devoirs de la charge de l'employé et ne pas nuire à l'exercice de sa fonction, à sa santé ou constituer une concurrence déloyale envers l'employeur. L'art. 48 du statut, sous le titre " Sanctions ", dispose ce qui suit: " L'employé qui enfreint ses devoirs généraux ou particuliers, soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence, est passible de sanctions, sans préjudice de celles, pénales ou civiles, qui pourraient être prononcées contre lui. Elles seront: l'avertissement oral, l'avertissement écrit, la résiliation du contrat de travail " (art. 105 al. 2 LTF). Ayant obtenu en cours d'emploi un brevet fédéral de " spécialiste d'achat/approvisionnement " en mai 2005 ainsi qu'un diplôme fédéral d'"acheteur diplômé " en juin 2011, le travailleur a été promu dès le 23 juin 2011 responsable des achats et de l'approvisionnement pour un salaire mensuel brut de 6'488 fr., payé treize fois l'an. A.b. Le 22 février 2012, la fondation a organisé une soirée destinée à ses collaborateurs occupant un poste à responsabilités; outre le travailleur, y ont participé C._ directeur opérationnel adjoint, D._ et E._, toutes deux responsables des secrétariats, F._, responsable techniques et infrastructures, G._, directrice opérationnelle, H._, responsable intendance, I._, responsable du service social, et J._, responsable restauration. Le but de cette rencontre était de resserrer les liens entre les collaborateurs en dehors d'un cadre purement professionnel. Au cours de cette soirée marquée par les récits de A._, il a été retenu, sur la base de témoignages des participants, que le précité a parlé à ses collègues d'une activité exercée parallèlement à son travail pour la fondation, laquelle lui aurait rapporté des gains qu'il n'aurait pas déclarés au fisc; il a également fait état d'acquisitions de nombreux biens dans des conditions particulières, pouvant laisser penser à des éventuels actes de recel, et fait part des fraudes à l'assurance qu'il aurait commises en relation avec plusieurs de ses biens. Quelques jours après la soirée, le travailleur a demandé à C._ si son comportement ce soir-là avait posé problème. Ce dernier lui a répondu qu'il avait tenu des propos inadéquats, lesquels avaient choqué certains collègues. A une date indéterminée, C._ et G._ ont rédigé un rapport à l'attention du responsable des ressources humaines de la fondation sur l'attitude du travailleur lors de la soirée du 22 février 2012. Afin que ce dernier puisse s'expliquer, il a été convoqué à une séance tenue le 8 mars 2012 en présence de C._ G._ et K._, conseillère en ressources humaines. A cette occasion, le travailleur a reconnu avoir tenu les propos rapportés, précisant n'être pas un grand criminel. Il a ajouté avoir la conscience tranquille et n'avoir commis aucune fraude au détriment de la fondation. Par pli recommandé du 9 mars 2012, la fondation, se référant à l'entretien de la veille, a licencié le travailleur pour le 30 juin 2012, tout en le libérant de l'obligation de travailler avec effet immédiat. Requise par le travailleur de motiver le congé, la fondation lui a expliqué, par courrier du 27 mars 2012, que la résiliation du contrat a été causée par la rupture du lien de confiance, circonstance aggravée par la position de cadre qu'il occupait dans une fonction de responsable des achats et approvisionnement. B. La conciliation n'ayant pas abouti, le travailleur a déposé le 4 septembre 2012 une demande contre la fondation auprès du Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de Lausanne, concluant à ce que la défenderesse lui doive paiement de la somme de 30'000 fr. au titre d'indemnité pour congé abusif au sens de l'art. 336 al. 1 let. a CO. La fondation défenderesse a conclu à sa libération. Le Tribunal de prud'hommes a entendu six témoins. Par jugement du 27 janvier 2014, le Tribunal de prud'hommes a entièrement débouté le demandeur. Saisie d'un appel du demandeur, qui sollicitait le versement par la défenderesse de la somme de 30'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 30 juin 2012, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 14 novembre 2014, l'a rejeté, le jugement attaqué étant confirmé C. A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut principalement à la réforme de cette décision en ce sens que la fondation lui doit paiement de 30'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30 juin 2012; subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité compétente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours.