Faits : A. B._ a travaillé dès le 1 er novembre 2011 en qualité de responsable du service formation et développement au Centre A._ à un taux d'activité de 70 %. Son contrat de travail était soumis à la Convention collective de travail du secteur de la santé du canton de Neuchâtel, version droit public, 2008 - 2012. Le 13 juillet 2012, le directeur général du Centre A._ et le directeur des ressources humaines ont fait part à la prénommée de griefs en relation avec la gestion de son horaire de travail, plus particulièrement en ce qui concerne l'utilisation de la timbreuse. Ils l'ont informée de l'ouverture prévue d'une procédure administrative portant sur ces faits et lui ont fait part de l'alternative consistant pour elle à présenter sa démission. Trois quarts d'heure environ après cet entretien, l'intéressée a donné son congé pour le 31 août 2012. Par courrier du 6 août 2012, B._ a contesté les accusations de malhonnêteté formulées à son égard et a exprimé ses regrets d'avoir donné sa démission sous la contrainte. Le 10 septembre suivant, elle a déclaré invalider son congé donné sous l'empire d'une crainte fondée et a informé le Centre A._ qu'elle était disposée à reprendre son activité en tout temps. Le Centre A._ a répliqué que l'intéressée ne faisait plus partie de son personnel à la suite de sa démission (lettre du 24 septembre 2012). B. Par écriture du 21 juin 2013, B._ a ouvert action devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel en demandant que le Centre A._ soit condamné à lui payer, à titre de salaire, la somme de 44'706 fr. 10, ainsi qu'une indemnité pour tort moral d'un montant de 5'000 fr., le tout assorti d'intérêts. Subsidiairement, elle concluait au paiement d'un montant de 3'363 fr. 80 au titre d'un solde de vacances. Statuant à titre préjudiciel sur la validité de la révocation, le 10 septembre 2012, de la démission remise par l'intéressée le 13 juillet 2012, la cour cantonale a reconnu que la demande était bien fondée dans son principe en tant qu'elle portait sur les salaires dus par le défendeur à la demanderesse, sous réserve du montant litigieux, et il a invité celle-ci à lui communiquer ses conclusions chiffrées définitives relatives au montant dû au titre du salaire. En outre, elle a décliné sa compétence pour connaître de l'action en responsabilité dirigée contre le défendeur (jugement du 17 mars 2014). Le 7 juillet 2014, la demanderesse a réduit ses prétentions et a conclu à ce que le défendeur soit condamné à payer, à titre de salaire, la somme de 42'171 fr. 70. Par écriture du 17 juin 2015, elle a indiqué que l'indemnité due par le défendeur devait correspondre au montant maximum de six mois de salaire, soit 43'971 fr. Par jugement du 30 juillet 2015, la cour cantonale a condamné le défendeur à payer à la demanderesse la somme de 43'971 fr., montant correspondant à six mois de salaire brut, avec intérêt à 5 % dès le 21 juin 2013. C. Le Centre A._ forme un recours en matière de droit public en concluant à la réformation du jugement attaqué en ce sens que B._ est déboutée de toutes ses conclusions, subsidiairement en ce sens que le Centre A._ est condamné à payer à la prénommée une somme fixée à dire de justice mais en aucun cas plus élevée que 7'328 fr. 50, avec intérêt à 5 % l'an dès le 21 janvier 2013. Plus subsidiairement encore, il demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La cour cantonale a renoncé à se déterminer.