Faits : A. A._ travaille au Centre C._ depuis 2003. Il a été engagé par un contrat de travail de droit privé soumis aux art. 319 ss CO. Par un avenant du 11 septembre 2009, il est devenu le directeur de ce centre à partir du 1 er juillet 2009, après avoir assumé cette fonction par intérim depuis le 1 er septembre 2007. Il a alors été colloqué en classe 13, échelon 12 (actuellement classe 13, échelon 18). Le Centre C._ est l'un des quatre centres faisant partie de la Fondation B._, qui est elle-même membre de l'Association neuchâteloise des Maisons pour Enfants, Adolescents et Adultes (ANMEA). L'ANMEA a signé une convention collective de travail (CCT-ES) entrée en vigueur le 1 er janvier 2011. Sont soumis à cette convention les employés des institutions membres de l'ANMEA, à l'exception toutefois des membres du collège de direction, dont A._ notamment. A partir du 1 er juillet 2013, un nouveau directeur a été engagé au Centre D._, qui est également l'un des quatre centres de la Fondation B._. Ce directeur a été colloqué en classe 13, échelon 28, dès son entrée en fonction. A._ s'est plaint d'une inégalité de traitement auprès de la Fondation B._. Il a vainement demandé à cette dernière de faire le nécessaire pour que sa situation salariale soit régularisée et qu'un arriéré de salaire lui soit versé. B. Par écriture du 30 juin 2014, A._ a ouvert action devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel en lui demandant de constater la discrimination salariale dont il se disait victime par rapport au directeur nouvellement engagé par le Centre D._, de condamner la Fondation B._ à lui verser un salaire mensuel brut de 11'831 fr., ainsi qu'un arriéré de salaire total de 13'048 fr. 55. Statuant le 9 juin 2015, la Cour de droit public a déclaré la demande irrecevable, considérant que le litige relevait du droit privé et qu'en conséquence, elle n'était pas compétente pour en connaître. C. A._ exerce un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et reprend, sur le fond, ses précédentes conclusions. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. La Fondation B._ ne s'est pas déterminée sur le recours.