Faits : A. Une enquête pénale est instruite contre A._ pour lésions corporelles simples, contrainte, menaces, voies de fait, injure et dommages à la propriété pour des faits commis en 2012, 2013 et 2014. Dans le cadre de cette instruction, le Ministère public de la République et canton de Genève a confié une expertise à B._, psychiatre, afin de déterminer si le prévenu était apte à prendre part aux débats. N'ayant pas réussi à rencontrer A._ et après avoir obtenu l'autorisation de procéder sur la seule base des informations que les proches et les soignants lui communiqueraient, l'expert a rendu son rapport le 31 mars 2015. Selon les conclusions de celui-ci, le prévenu n'était pas apte à participer aux débats sur le plan mental sauf s'il pouvait être accompagné par des intervenants médico-soignants, voire, si besoin, brièvement hospitalisé avant et après les débats. Dans son rapport du 27 avril 2015, la police a fait état de son intervention du 31 mars 2015 à la suite d'un conflit auquel prenait part A._. Ce dernier, ayant perdu le contrôle de lui-même, a donné des coups de pieds aux agents afin de ne pas être saisi et lancé des assiettes; il a été décidé de l'hospitaliser de façon non volontaire et son audition n'a ainsi pas pu être effectuée. Le 8 juin 2015, le Procureur a informé B._ de son intention d'ordonner une expertise psychiatrique et de la demande de récusation émise par le prévenu à son encontre. Par ordonnance du 16 juin 2015, le Ministère public a confirmé le mandat d'expertise et s'est en substance opposé à la requête de récusation. A cet égard, il a considéré que l'expert n'était pas intervenu à un "autre titre", que l'expertise requise était un complément de la première et qu'au vu des nouveaux faits constatés dans le rapport d'avril 2015, il fallait agir avec célérité, étant ainsi contraire à l'intérêt public de confier le mandat à un autre expert. B. Après un échange d'écritures, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a, par arrêt du 9 septembre 2015, déclaré irrecevable la requête de récusation dans la mesure où elle faisait grief à B._ d'avoir déjà expertisé le prévenu dans une autre procédure en 2011, la considérant comme tardive. L'autorité cantonale est en revanche entrée en matière sur la demande s'agissant du reproche fait à l'expert d'être déjà intervenu dans la procédure en cours en rendant l'expertise du 31 mars 2015, mais l'a rejetée. C. Par acte du 12 octobre 2015, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la récusation de B._ et à la nomination d'un autre expert psychiatre. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle procède à cette désignation. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire. Invité à se déterminer, l'intimé s'est en substance référé à ses précédentes déterminations. La juridiction cantonale a renvoyé à ses considérants et le Ministère public a conclu au rejet du recours. Le 24 novembre 2015, le recourant a persisté dans ses conclusions.