Faits : A. Par décision du 19 novembre 2015, le Vice-président du Tribunal civil de première instance du canton de Genève a rejeté la requête d'assistance juridique formée le 19 octobre 2015 par A._ dans le cadre de la procédure de recours contre l'ordonnance rendue le 3 septembre 2015 par le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant (ci-après : TPAE) fixant les relations personnelles entre l'enfant mineure C._ - née hors mariage le 24 décembre 2008 de la relation entre A._ et B._ - et le père de celle-ci et ordonnant certaines mesures dans l'intérêt de la mineure, aux motifs que la cause de la mère était dénuée de chances de succès et que l'assistance d'un avocat n'était pas nécessaire pour la procédure envisagée, celle-ci ayant, dans l'intervalle - le 25 octobre 2015 -, déposé son recours en personne auprès de la Chambre de surveillance, concluant à l'annulation de l'ordonnance du TPAE. Statuant sur recours du 1er décembre 2015 de A._ contre la décision lui refusant le bénéfice de l'assistance juridique, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 25 janvier 2016 communiqué aux parties le 28 janvier 2016, rejeté ledit recours. B. Par acte du 26 février 2016, A._ exerce un recours en matière civile du Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de la décision du 25 janvier 2016 et à sa réforme en ce sens qu'il lui est accordé l'assistance judiciaire nécessaire dans le cadre de la procédure de recours contre l'ordonnance du 3 septembre 2015 du TPAE, comprenant la désignation d'un avocat d'office et l'exonération des frais et dépens. Au préalable, la recourante sollicite le bénéfice de l'effet suspensif, en ce sens que le délai pour verser l'avance de frais dans la procédure de recours cantonale pendante devant la Chambre de surveillance est suspendu. Elle demande aussi implicitement le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, l'autorité précédente n'a pas déposé d'observations. C. Par ordonnance du 16 mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours. Des réponses au fond n'ont pas été requises. D. Par lettre remise à la Poste le 18 mars 2016, la recourante a transmis à la cour de céans un "complément de dossier", produisant en l'occurrence plusieurs pièces à l'appui de son recours.