Faits : A. Ressortissant étranger, A._ était au bénéfice d'une autorisation de séjour temporaire pour études (de type B), valable jusqu'au 16 septembre 2012. Selon une attestation du 19 juillet 2012 du doyen de la Faculté des sciences de l'Université de Neuchâtel, le prénommé a soutenu avec succès sa thèse de doctorat en date du 11 juillet 2012. Dès le 12 juillet 2012, il a bénéficié d'une autorisation de séjour pour recherche d'emploi (de type L) valable durant six mois, soit jusqu'au 11 janvier 2013. A._ a demandé à bénéficier des indemnités de chômage à partir du 5 octobre 2012. Il a bénéficié des indemnités légales d'octobre 2012 à février 2013. Après avoir demandé des renseignements au Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le SMIG), l'Office juridique et de surveillance du Service de l'emploi du canton de Neuchâtel (ci-après: l'OJSU) a, par décision du 9 septembre 2013, déclaré l'assuré inapte au placement dès le 12 janvier 2013, au motif qu'il n'était pas au bénéfice d'une autorisation de travail. Entre-temps, le 13 septembre 2013, la Caisse de chômage Unia a rendu une décision, par laquelle elle a réclamé la restitution des prestations versées pour la période du 12 janvier au 28 février 2013, par 5'753 fr. 75. L'assuré ayant formé une opposition contre la décision de l'OJSU du 9 septembre 2013, ce dernier l'a rejetée, par une nouvelle décision du 4 décembre 2013, après avoir requis l'avis du SMIG (cf. courriel du 20 novembre 2013). B. A._ a recouru contre cette décision sur opposition devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Il invoquait notamment une violation de son droit d'être entendu, au motif que le contenu du courriel du SMIG du 20 novembre 2013 ne lui avait pas été communiqué avant que l'OJSU ne rende sa décision sur opposition. Statuant le 8 mai 2015, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation ainsi qu'à celle de la décision sur opposition du 4 décembre 2013. L'OJSU conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet. A._ a répliqué.