Faits : A. Le Ministère public jurassien instruit une procédure pénale portant sur un trafic international de stupéfiants de grande ampleur, commis en bande et par métier. Dans ce cadre, la Procureure en charge du dossier a ouvert le 14 mai 2014 une instruction pénale contre A._ pour infractions graves à la loi fédérale sur les stupéfiants. Le 1 er octobre 2014, la Juge des mesures de contrainte du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura a ordonné la détention provisoire de A._ pour une durée de trois mois. Cette mesure a ensuite régulièrement été prolongée. Par ordonnance du 22 mars 2016, la Juge des mesures de contrainte a prolongé la détention provisoire du prévenu pour une durée de 3 mois, soit jusqu'au 29 juin 2016. La Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par A._ contre cette ordonnance par décision du 20 avril 2016. B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et d'ordonner sa mise en liberté immédiate assortie, si nécessaire, de l'obligation de déposer ses papiers d'identité auprès de la Police cantonale jurassienne et d'avoir un travail ainsi que de toute autre mesure de substitution à dire de justice. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert l'assistance judiciaire. Le Ministère public et la Chambre pénale des recours concluent au rejet du recours. La Juge des mesures de contrainte a renoncé à présenter des observations. Le recourant a répliqué.