Faits: A. A.a. Y._ est un ressortissant algérien titulaire d'un passeport diplomatique et d'un visa américain de type B1. Il est l'un des représentants et négociateurs politiques pour la cause T._ (...), notamment dans l'enceinte des Nations Unies. En mars 1994, il a engagé une relation bancaire avec un établissement qui a ensuite été repris par Z._ SA (ci-après: la banque). Les parties ont convenu que la correspondance serait adressée au client "banque restante". Au mois d'avril 1999, le client prénommé a constitué avec l'aide de la banque une fondation de droit liechtensteinois dénommée Fondation X._, dont il était le bénéficiaire. La fondation a ouvert auprès de la banque une relation de compte courant et de dépôt, ainsi qu'un dossier titres. La correspondance devait être retenue à la banque, les communications étant ainsi réputées parvenues à la cliente en bonne et due forme. La banque a reçu un mandat de gestion qui a été résilié en février 2000. Un pouvoir de gérance a ensuite été confié à Y._. Dans un formulaire A rempli en mars 2002, celui-ci a été désigné comme l'ayant droit économique des avoirs déposés au nom de la fondation. Au sein de la banque, des employés différents (gestionnaires de compte) ont été chargés de s'occuper de la Fondation X._ et de Y._. A.b. Entre 1999 et 2002, les deux clients précités ont fait des investissements importants dans les titres d'une vingtaine de sociétés américaines cotées en bourse. En novembre 1999, les autorités fiscales américaines de l'IRS (Internal Revenue Service) ont publié une réglementation concernant l'imposition à la source des revenus américains, qui devait s'appliquer au plus tard le 1er janvier 2003. Les banques étrangères désirant proposer des titres américains à leurs clients devaient désormais revêtir le statut d'intermédiaire agréé ( Qualified Intermediary, QI). Elles devaient s'engager à effectuer un certain nombre d'identifications, en particulier déterminer si le client est une "US Person" ou une "Non-US Person", et assurer l'échange d'informations avec le fisc américain. Entre avril 2000 et novembre 2002, l'Association Suisse des Banquiers (ASB) a édicté des circulaires concernant ce statut "QI". Elle a en particulier émis une circulaire n° 6971 du 7 avril 2000 assortie d'une annexe 1, préconisant en substance la méthode suivante: la banque doit contacter les clients non répertoriés comme américains pour déterminer s'ils ont néanmoins une obligation fiscale envers les Etats-Unis, compte tenu de la définition large des "US Persons". Celle-ci se fonde non seulement sur le domicile et la nationalité, mais aussi sur la détention d'une "Green Card" ou la résidence sur sol américain pendant une certaine durée. Pour les comptes insuffisamment documentés, la banque doit prélever un impôt à la source de 30 % sur les dividendes et intérêts des titres US, que les personnes non assujetties peuvent se faire rembourser auprès des autorités fiscales américaines; elle n'a en revanche aucune obligation de renseigner spontanément les autorités américaines, ni de prélever un impôt sur le produit de vente des titres US, du moment que les paiements sont effectués hors des Etats-Unis ou sur des comptes gérés hors de ce pays. Lorsque la banque identifie un client comme une "US Person", elle doit lui demander l'autorisation de communiquer ses coordonnées au fisc américain ou de vendre ses titres; en cas de refus, elle doit procéder à la vente des titres avant une certaine échéance, en l'occurrence fixée le 31 décembre 2002, si elle est juridiquement en mesure de le faire. A.c. Au mois de novembre 2002, le gestionnaire du compte bancaire de la fondation s'est posé la question de savoir si Y._, soit son ayant droit économique désigné, devait être qualifié de "US Person". La banque a tenté sans succès de joindre la fondation et le prénommé en vue d'obtenir la documentation requise. Elle a notamment envoyé le 21 novembre 2002 un courrier à l'adresse de la fondation à Vaduz, dans lequel elle l'invitait à produire les documents requis et l'avertissait qu'à défaut, elle devrait procéder à la vente des titres américains avant la fin du mois de décembre 2002. Elle a découvert que Y._ n'était pas domicilié à l'adresse qu'il avait indiquée à Alger. Pendant deux jours, elle a vainement tenté de le joindre aux trois numéros de téléphone qu'il avait communiqués. N'ayant obtenu aucune réponse, la banque a vendu entre le 19 et le 24 décembre 2002 tous les titres américains appartenant à la fondation. Le produit de la vente, soit USD 1'630'065.-, a été versé sur le compte de la fondation. Aucune vente n'a été opérée sur le portefeuille personnel de Y._. A.d. Le 3 juillet 2003, ce dernier a rencontré le gestionnaire de son compte personnel, qui lui a fait remplir des documents concernant l'impôt à la source américain. Le client a répondu par la négative à toutes les questions concernant la qualité de "US Person". Les 15 et 28 juillet 2003, la banque a décidé de bloquer les comptes de la fondation et de Y._ en attendant des éclaircissements. Elle avait notamment constaté que le prénommé avait donné des dates de naissance différentes dans les divers documents d'ouverture de compte et qu'il était très actif au sein (....[cause T._]). A la fin juillet 2003, le client s'est entretenu par téléphone avec le gestionnaire du compte de la fondation, lequel lui a annoncé la vente des titres américains. Les deux hommes se sont rencontrés le 7 août 2003. Le gestionnaire a expliqué la réglementation "QI" et les conséquences de l'impôt à la source si les titres avaient été conservés. Il a précisé que la banque avait nourri des doutes quant à son statut de "US Person" en constatant que diverses instructions avaient été communiquées par fax depuis les Etats-Unis et que Y._ avait donné un numéro de téléphone portable américain. Le client a fait part de son incompréhension, reprochant à la banque d'avoir vendu les titres à un moment particulièrement défavorable. Toutefois, il n'a pas ordonné le rachat de ces titres, ni exprimé le souhait d'y procéder. Dans un courrier du 19 septembre 2003, le client a reproché à la banque d'avoir vendu les titres américains de la fondation et d'avoir ainsi porté préjudice aux intérêts de celle-ci. La banque a répondu le 16 mars 2004 que la vente des titres américains s'imposait pour toutes les personnes n'ayant pas pu confirmer avant le 31 décembre 2002 qu'elles n'appartenaient à aucune catégorie des "US Persons". Le 21 avril 2004, le client a contesté ces explications, objectant qu'au regard de sa nationalité algérienne et de son visa diplomatique, les éléments avancés par la banque n'étaient pas suffisants pour justifier la vente forcée des titres de la fondation. En octobre 2004 et février 2005, la banque a exprimé la volonté de mettre un terme aux relations contractuelles avec la fondation et le client Y._. Le 28 février 2005, ce dernier a signé les documents établis par la banque. Concernant son compte personnel, il a signé une instruction de vendre l'ensemble des titres et de solder le compte. Il a également signé l'ordre de dissoudre la fondation et de solder le compte de celle-ci. Il a accepté de donner ces instructions de clôture alors même qu'il ne comprenait pas la décision de la banque. Le conseil de la fondation a adopté deux résolutions en date du 3 mars 2005, l'une relative à la distribution de fortune au bénéficiaire Y._, l'autre prononçant la dissolution et liquidation de la fondation. Le client a émis des prétentions en dommages-intérêts à l'encontre de la banque. Celle-ci a indiqué qu'elle entrerait en matière dès que le client justifierait de ses pouvoirs de représenter la fondation. Le 31 octobre 2006, le client a saisi les tribunaux liechtensteinois d'une requête visant à la désignation d'un curateur pour la fondation. La demande a été rejetée le 2 avril 2007 par le Landgericht de Vaduz. Statuant sur recours, l' Obergericht de Vaduz a ordonné par arrêt du 5 juillet 2007 la désignation d'un curateur pour que la fondation puisse faire valoir ses prétentions à l'encontre de la banque. Un avocat liechtensteinois a été nommé curateur le 15 septembre 2008. Le Landgericht a validé la constitution d'un avocat genevois pour représenter la fondation devant les tribunaux suisses. En raison de ces procédures, Y._ a encouru des frais judiciaires et honoraires d'avocat de 25'284 fr. Les frais liés à l'activité du curateur se sont élevés à 28'000 fr. B. B.a. Le 13 juillet 2009, Y._ et la Fondation X._, représentée par son curateur, ont actionné la banque devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Leurs conclusions tendaient en dernier lieu au paiement de USD 1'497'163.- en faveur de la fondation, pour le préjudice subi par la vente forcée de ses titres à un moment inopportun, respectivement au versement de CHF 53'284.- en faveur de Y._, pour les frais liés à la mise en place d'un curateur (CHF 25'284.- + 28'000.-). Le premier poste (USD 1'497'163.-) correspond à la différence entre la valeur des titres au 28 février 2005, soit à la fin des relations contractuelles, et le produit de leur vente forcée en décembre 2002 (USD 3'127'227.57 - 1'630'065.-). Par jugement du 13 décembre 2012, le tribunal a condamné la banque à verser USD 270'530.- plus intérêts à 5 % dès le 29 juillet 2005 en faveur de la fondation, et CHF 53'284.- plus intérêts dès le 15 septembre 2008 en faveur du client Y._. Les trois quarts des frais et dépens ont été mis à la charge de la banque. En substance, le tribunal a jugé que la banque avait agi en violation de ses obligations contractuelles et devait dédommager la fondation pour la hausse des titres enregistrée entre leur vente forcée en décembre 2002 (USD 1'630'065.-) et le 31 juillet 2003 (USD 1'900'595.-), date à laquelle la cliente avait découvert l'opération. La banque devait aussi répondre des frais engagés pour désigner un curateur à la fondation radiée. B.b. Tant les demandeurs que la défenderesse ont déposé un appel auprès de la Chambre civile de la Cour de justice. Par arrêt du 27 septembre 2013, cette autorité a réformé le jugement, en ce sens que la somme de USD 270'530.- allouée à la fondation porte intérêts dès le 31 juillet 2003, et non pas dès le 29 juillet 2005. Elle a confirmé la décision pour le surplus. C. Les demandeurs Y._ et Fondation X._ ont déposé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral. Ils requièrent la réforme partielle de l'arrêt attaqué, en ce sens que la banque est condamnée à payer à la fondation le montant de USD 1'497'163.- plus intérêts à 5 % dès le 24 décembre 2002 et doit supporter la totalité des frais et dépens de première et deuxième instance. Pour le surplus, l'arrêt devrait être confirmé en tant qu'il alloue CHF 53'284.- à l'autre demandeur. La banque conclut principalement à l'irrecevabilité du recours en tant qu'il émane de la fondation et à son rejet en tant qu'il est déposé par le demandeur Y._. De son côté, la banque a également interjeté un recours en matière civile, par lequel elle entend principalement faire constater que la fondation n'a pas la qualité pour agir et que sa demande est irrecevable, respectivement faire prononcer le rejet des conclusions du demandeur Y._. Les deux demandeurs concluent au rejet de ce recours. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.