Faits: A. A.a Né en 1963, M._ a travaillé en qualité de maçon au service de la société X._ SA jusqu'au 20 janvier 1994, date à laquelle il a été mis en arrêt de travail en raison de cervico-dorsalgies. Au cours de l'instruction ouverte par l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) après le dépôt d'une demande de prestations de l'assurance-invalidité, le prénommé a effectué un stage au Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COPAI) en automne 1997. Présentant un conflit sous-acromial à l'épaule, il a par ailleurs subi une intervention chirurgicale en juin 2000. Après avoir demandé notamment l'avis de son médecin-conseil (note du docteur C._ du 26 juin 2000), l'office AI a, par prononcé du 27 juillet 2000, fixé à 100 % le degré d'invalidité de M._ dès le 20 janvier 1995. Le 20 octobre suivant, il l'a mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 2000, avant de lui allouer, le 1er décembre 2000, une rente entière pour la période du 1er janvier 1995 au 31 octobre 2000. A.b Dans une procédure de révision du droit à la rente initiée en mai 2004, l'office AI a recueilli divers avis médicaux et chargé le Centre d'observation médicale (COMAI) d'une expertise, qui a été rendue le 17 janvier 2004. Se fondant sur les conclusions de celle-ci, qu'il a soumises à l'appréciation de son Service médical régional (SMR; avis des docteurs L._ et H._ du 8 février 2005), l'office AI a supprimé le droit de l'assuré à une rente d'invalidité à partir du 1er décembre 2005, en retenant que des mesures d'ordre professionnel ne se justifiaient pas (décision du 31 octobre 2005). M._ s'étant opposé à cette décision, l'administration l'a confirmée par décision sur opposition du 7 juin 2006. B. Saisi d'un recours formé par l'assuré, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a partiellement admis, par jugement du 20 décembre 2006. Confirmant la décision sur opposition du 7 juin 2006 en tant qu'elle supprimait la rente d'invalidité (chiffre 4 du dispositif), il l'a annulée en ce qu'elle refusait des mesures d'ordre professionnel. C. M._ a interjeté un recours de droit administratif, en concluant en substance au maintien du droit à une rente d'invalidité. Il a par ailleurs requis le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'office AI a conclu au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.