Faits: A. R._ a travaillé en qualité de manoeuvre du bâtiment. Le 28 février 2005, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il souffrait d'une hernie discale, de maux de dos et de jambes. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au Centre d'expertises médicales (CEM); les experts ont déposé leur rapport le 9 février 2007. L'office AI a ensuite requis l'avis du docteur A._, psychiatre au SMR, qui a remis son rapport le 14 janvier 2008. Dans un projet de décision du 21 mai 2008, l'office AI a fait savoir à l'assuré que sa capacité de travail était nulle dans son activité habituelle de manoeuvre, mais qu'une capacité entière pouvait être exigée dans une activité adaptée; comme la perte de gain qui s'ensuivait était de 2 %, l'office AI envisageait de refuser l'octroi d'une rente, mais restait à sa disposition pour une aide au placement. Le dossier a été complété par un rapport de la doctoresse U._, psychiatre, du 8 avril 2009, ainsi que par un rapport du docteur T._, chirurgien orthopédique, médecin au SMR, du 13 juillet 2009. Par décision du 12 mai 2010, l'office AI a rejeté la demande. B. R._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant principalement à son annulation et au renvoi de la cause pour nouvelle instruction, subsidiairement à l'octroi d'une rente. L'office AI a produit un rapport du docteur O._, psychiatre, du 28 avril 2011. Par jugement du 1 er novembre 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens. Il conclut principalement au versement d'une rente entière d'invalidité dès le 1 er juillet 2005, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges, plus subsidiairement à l'administration.