Faits: A. Une société anonyme fondée le 19 mars 2002, ayant son siège à Genève, a adopté, le 14 avril 2004, la raison sociale « SwissIndependent Trustees SA ». Son but social est d'agir comme fiduciaire « trustee » et, en cette qualité, de détenir, gérer, acquérir, aussi bien en son nom qu'au nom de bénéficiaires de trusts, des actifs tant mobiliers qu'immobiliers non assujettis à la loi fédérale sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger. La société Chappaz Trust Company SA, inscrite le 23 mai 2008 avec siège à Genève, a adopté la raison sociale « Swiss Trustees SA » le 18 août 2008. Elle a pour but la gestion de fortune et le placement de capitaux, la fourniture des prestations de services et de conseils s'y rapportant, ainsi que la création et l'administration de trusts et de sociétés. SwissIndependent Trustees SA et Swiss Trustees SA sont l'une et l'autre actives à Genève. Selon leurs adresses respectives, elles ne sont distantes l'une de l'autre que de quelques dizaines de mètres. Si l'on introduit les mots « Swiss Trustees SA » dans les moteurs de recherche Google ou Telsearch, on obtient en première ligne des renseignements concernant SwissIndependent Trustees SA. B. Estimant que la raison sociale inscrite en second lieu dans l'ordre chronologique, à savoir Swiss Trustees SA, crée un risque de confusion, SwissIndependent Trustees SA a introduit auprès de la Cour de justice du canton de Genève, par acte déposé le 26 novembre 2008, une action dirigée contre Swiss Trustees SA, tendant principalement à ce qu'il soit ordonné à cette dernière de cesser d'utiliser la raison sociale « Swiss Trustees SA » et de la faire radier du registre du commerce. La défenderesse s'est opposée à la demande, soutenant qu'il n'y avait pas de risque de confusion en raison des logos utilisés et du mot « Independent » figurant dans la première raison sociale inscrite. Par arrêt du 15 mai 2009, la cour cantonale, siégeant en instance cantonale unique, a ordonné à Swiss Trustees SA de faire procéder sans délai à la modification ou à la radiation de sa raison sociale, lui faisant interdiction d'utiliser le nom « Swiss Trustees SA » à titre de raison de commerce, réservant l'octroi d'éventuels dommages et intérêts à la partie demanderesse et condamnant la défenderesse aux dépens. La cour cantonale a estimé qu'il y avait risque de confusion et que la défenderesse, en adoptant sa raison sociale, avait violé l'art. 951 al. 2 CO. C. Swiss Trustees SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 mai 2009. Soutenant qu'il n'y avait pas de risque de confusion et qu'il n'y avait en conséquence pas de violation de l'art. 951 CO et de l'art. 3 let. d LCD, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet de la demande avec suite de dépens, subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale. L'intimée a conclu au rejet du recours et à la confirmation de la décision attaquée avec suite de dépens. La requête d'effet suspensif présentée par la recourante a été admise par ordonnance présidentielle du 13 juillet 2009.