A.- Le 28 avril 1994, dame D._ a demandé l'assistance judiciaire dans son procès en divorce, ouvert le 3 décembre 1990. Elle a indiqué que son revenu était la pension provisionnelle - impayée depuis 13 mois - de 4'500 fr. par mois à la charge de son mari T._ et s'est déclarée d'accord de rembourser les frais de procès qui seraient avancés par l'État à raison de versements mensuels de 100 fr. dès la fin du procès. Par décision du 5 mai 1994, le Bureau d'assistance judiciaire du canton de Vaud lui a accordé l'assistance requise, sous réserve d'une contribution mensuelle de 100 fr. dès la fin du procès. B.- Par jugement du 23 mars 1998, le Président du Tribunal civil du district de Nyon a prononcé le divorce des époux T._ et ratifié la convention sur les effets accessoires du divorce signée par ceux-ci. Cette convention prévoyait que T._ verserait à son ex-épouse, au plus tard le 31 janvier 1998, la somme de 85'000 fr. à titre de "capital-rente" selon l'art. 151 aCC, ainsi qu'un montant de 13'325 fr. représentant l'arriéré des pensions provisionnelles échues. Le montant de 98'325 fr. a effectivement été versé avant le 13 février 1998. C.- Avisé le 22 avril 1998 du jugement de divorce incluant la convention sur les effets accessoires, le Bureau d'assistance judiciaire, par lettre du 12 mai 1998, a demandé à dame D._ le remboursement de 38'200 fr., montant qu'il avait assumé, jusqu'au 15 mai 1998. Dame D._ a répondu le 28 mai 1998 n'être pas en mesure de payer ce montant et être disposée à verser 100 fr. par mois au maximum. Sur réquisition de l'État de Vaud, un commandement de payer la somme de 38'200 fr. a été notifié le 22 juin 1998 à dame D._ dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon. La mainlevée provisoire de l'opposition formée par la poursuivie lui ayant été refusée, l'État de Vaud a ouvert action en reconnaissance de dette le 10 mars 1999. D.- Par jugement du 30 juin 2000, le Tribunal civil du district de Nyon a condamné dame D._ à verser à l'État de Vaud la somme de 38'200 fr., avec intérêt à 5% l'an dès le 16 mai 1998, sous déduction de 500 fr. (valeur au 30 janvier 1999) représentant les dépens accordés à la poursuivie dans la procédure de mainlevée provisoire; il a en outre levé à concurrence de ce montant l'opposition formée dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon. E.- Par arrêt du 16 mai 2001, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis le recours formé par dame D._ contre ce jugement et réformé celui-ci en ce sens que dame D._ a été condamnée à payer à l'État de Vaud la somme de 37'700 fr., montant échu à raison de 100 fr. le premier de chaque mois dès le 1er avril 1998, plus intérêts - à un taux non spécifié - dès le 15 septembre 1998 (recte: 15 septembre 1999, échéance moyenne entre le 1er avril 1998 et le 16 mai 2001); l'opposition formée dans la poursuite n° 315'792 de l'Office des poursuites de l'arrondissement de Nyon a été levée à concurrence de 300 fr., montant exigible au moment de la notification du commandement de payer. F.- Agissant par la voie du recours de droit public au Tribunal fédéral, dame D._ conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de cet arrêt. La recourante ayant requis l'effet suspensif, l'intimé et l'autorité cantonale ont été invités à se déterminer, outre sur le recours sur la requête d'effet suspensif. Ni l'intimé - qui, sur le fond a proposé de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité - ni l'autorité cantonale ne s'étant opposés à cette requête, le Président de la Cour de céans a prononcé l'effet suspensif par ordonnance du 26 septembre 2001.