Faits: A. Les époux H.X._ et F.X._ ont pris à bail dès le 1er janvier 2006 des locaux commerciaux destinés à l'exploitation d'un café-restaurant, au sein d'un immeuble situé à ... (VD). Le loyer mensuel était de 5'470 fr., charges comprises. L'immeuble était la propriété commune de trois personnes formant une communauté héréditaire. Il était administré par une exécutrice testamentaire, qui est morte le 16 mars 2006; cet événement n'a pas été annoncé au registre foncier. Le 24 juin 2011, les locataires ont reçu un courrier dans lequel les bailleurs leur reprochaient en substance de n'avoir versé aucun loyer pour les mois de "novembre" à "juin"; l'arriéré de 43'760 fr. devait être payé dans un délai de 30 jours, faute de quoi le bail serait résilié en application de l'art. 257d CO. Par avis séparés du 25 juillet 2011, réceptionnés par les locataires le jour suivant, les trois bailleurs/propriétaires communs ont résilié le contrat pour le 30 septembre 2011; ils invoquaient le non-paiement du loyer. B. B.a. Par requête du 25 août 2011, les locataires ont saisi l'autorité de conciliation du district de la Riviera; ils concluaient en substance au constat de la nullité du congé, subsidiairement à son annulation, plus subsidiairement à une prolongation de bail pour une durée de six ans. Les bailleurs ont pour leur part demandé l'expulsion des locataires selon la procédure des cas clairs (art. 257 CPC), par requête du 11 octobre 2011 adressée au Juge de paix du district de la Riviera-Pays d'Enhaut. Le 22 novembre 2011, la propriété de l'immeuble abritant le café-restaurant a passé à la société Z._ SA. Le contrat de vente du 18 novembre 2011 précisait qu'une procédure d'expulsion était en cours concernant le bail commercial. La nouvelle propriétaire s'est annoncée aux locataires par courrier du 30 novembre 2011; elle leur a communiqué ses coordonnées bancaires pour le versement du "loyer mensuel", en précisant que "cette notification ne modifi[ait] rien à la résiliation de bail faite par les précédents propriétaires (procédure en cours reste valable) ". Dans la procédure des cas clairs, une audience des débats s'est tenue le 6 décembre 2011. A cette occasion, l'administrateur de la nouvelle bailleresse a confirmé conclure à l'expulsion des locataires. Par décision du 12 décembre 2011, dont la motivation a été adressée aux parties le 30 décembre 2011, le juge de paix a déclaré irrecevable la requête d'expulsion, au motif que le cas n'était pas clair. Il existait un doute quant au point de savoir si les précédents bailleurs, qui formaient une communauté héréditaire, avaient qualité pour résilier le bail. En effet, le registre foncier mentionnait l'existence d'une exécutrice testamentaire, qui était en principe seule compétente pour résilier le contrat. Le décès de cette personne, née en 1910 selon le registre foncier, n'était alors pas prouvé. Aucun recours n'a été formé contre cette décision. B.b. Par courrier du 20 janvier 2012, l'avocate de la bailleresse a fait grief aux locataires de n'avoir plus versé le "loyer mensuel" de 5'470 fr. depuis novembre 2010. Elle les a mis en demeure d'acquitter "l'intégralité des loyers impayés" dans un délai de 30 jours, faute de quoi leur "contrat sera[it] résilié avec effet immédiat". Le 1er février 2012, l'agent d'affaires mandaté par les locataires a écrit qu'à sa connaissance, le solde des "loyers en souffrance" dus à la nouvelle bailleresse s'élevait à 13'128 fr. pour la période du 18 novembre 2011 au 31 janvier 2012. Le 2 février 2012, l'avocate de la partie adverse a confirmé que la mise en demeure portait sur les "loyers échus" à compter du 18 novembre 2011, soit sur la somme totale de 13'128 fr. Elle a ajouté qu'il "serait de bon ton" que les locataires s'acquittent également du "loyer" du mois de février sans qu'elle ne doive à nouveau les mettre en demeure. Le 15 février 2012, le mandataire des locataires a annoncé le paiement du montant précité, qui rendait ainsi inefficace la mise en demeure du 20 janvier. Il a demandé confirmation de ces points. Le 27 février 2012, l'avocate de la bailleresse a accusé réception de 13'128 fr. et confirmé que les locataires s'étaient ainsi conformés à sa mise en demeure. Dans le même courrier, elle a toutefois sommé ceux-ci de payer le "loyer" de février 2012 dans un délai de 30 jours, en les menaçant de résilier le "contrat de bail" avec effet immédiat; elle a encore ajouté la phrase suivante: " Vous comprendrez aisément que je ne souhaite pas devoir procéder chaque mois à un avis comminatoire pour que vos mandants s'acquittent du loyer dû. " Le 6 mars 2012, elle a constaté que les locataires "persist[ai]ent dans leur intention de ne pas payer le loyer pour les locaux qu'ils occup[ai]ent"; elle a procédé à une nouvelle mise en demeure pour le "loyer" de mars 2012, avec menace de "résilier" le "contrat de bail", en précisant que cette sommation ne remettait aucunement en cause la mise en demeure du 27 février 2012, laquelle concernait le "loyer" du mois de février 2012. Le mandataire des locataires a annoncé par courrier du 13 mars 2012 que les loyers de février et mars 2012 avaient été payés. B.c. Dans le cadre de la procédure introduite par les locataires le 25 août 2011, les parties ont été assignées le 16 avril 2012 à une audience de conciliation fixée le 9 mai 2012. Lors de celle-ci, la bailleresse a notamment pris des conclusions en expulsion. La conciliation n'ayant pas abouti, une autorisation de procéder a été délivrée le 16 mai 2012 à chaque partie. L'autorisation destinée aux locataires se réfère à leur requête du 25 août 2011, dont elle reprend les conclusions en constatation de la nullité du congé, subsidiairement en annulation, plus subsidiairement en prolongation de bail. Il est ensuite précisé qu'à l'audience, des conclusions reconventionnelles en paiement de 62'905 fr. ont été prises par "le défendeur", c'est-à-dire par la bailleresse. L'autorisation de procéder délivrée à la bailleresse se réfère à la requête du 11 octobre 2011, dont elle reprend les conclusions en expulsion. Elle précise ensuite qu'en audience, des conclusions reconventionnelles en paiement de 62'905 fr. ont été prises par "le demandeur", c'est-à-dire par la bailleresse. B.d. Le 18 juin 2012, la bailleresse a adressé une demande au Juge de paix du district de la Riviera-Pays d'Enhaut, dans laquelle elle concluait en substance à l'expulsion des locataires dans un délai de 20 jours dès la notification du jugement à intervenir. Ce même 18 juin, les locataires ont déposé une demande devant le Tribunal des baux, dans laquelle ils invitaient cette autorité à constater la nullité du congé, subsidiairement à prononcer son annulation, plus subsidiairement à leur octroyer une prolongation de bail de six ans. Par prononcé du 5 juillet 2012, le Tribunal des baux a déclaré cette demande irrecevable au motif qu'elle n'était pas de sa compétence. Le 17 juillet 2012, les locataires ont déposé une demande contenant les mêmes conclusions devant le Juge de paix du district précité. Ils se prévalaient de la date du premier dépôt de la demande devant le Tribunal des baux (art. 63 CPC). Le 25 juillet 2012, le juge de paix saisi a indiqué aux parties qu'il traiterait l'écriture du 17 juillet comme une réponse à la demande déposée par la bailleresse le 18 juin et que les conclusions reconventionnelles des locataires seraient examinées à titre préjudiciel lors du contrôle de la validité du congé fondé sur l'art. 257d CO. Par décision finale du 15 mars 2013, le juge de paix a rejeté les conclusions prises par la bailleresse contre les locataires, selon demande du 18 juin 2012. Dans ses considérants en droit, il a rejeté le grief soulevé par les locataires quant à la prétendue irrecevabilité des conclusions en expulsion. Il a considéré que le congé donné par les précédents bailleurs respectait les conditions de l'art. 257d CO; toutefois, la nouvelle bailleresse, par l'intermédiaire de son avocate, avait adopté entre les mois de janvier et mai 2012 un comportement faisant inférer qu'elle renonçait à la résiliation du 25 juillet 2011 et que le bail conclu en 2006 était à ses yeux toujours en vigueur. Elle avait dès lors commis un abus de droit en requérant l'expulsion des locataires par voie reconventionnelle à l'audience de conciliation. B.e. La bailleresse a déféré cette décision à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois. Par arrêt du 12 août 2013, cette autorité a admis la requête d'expulsion et ordonné aux locataires de quitter les locaux, faute de quoi l'huissier de paix procéderait à l'exécution forcée de la décision, cas échéant avec le concours des agents de la force publique. La cause a été renvoyée au juge de paix pour qu'il fixe un nouveau délai pour libérer les lieux. En droit, la cour a considéré que le congé ne pouvait pas être révoqué dès lors qu'il avait été valablement donné. Il restait à examiner si les parties avaient conclu un nouveau bail tacite. Une telle hypothèse ne pouvait pas être retenue en l'espèce. La bailleresse n'avait donc pas abusé de son droit en demandant l'expulsion des locataires. C. Les locataires saisissent le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel ils concluent à la réforme de l'arrêt précité, en ce sens que les conclusions prises par la bailleresse au pied de sa demande du 18 juin 2012 sont rejetées. La bailleresse conclut au rejet du recours. L'autorité précédente se réfère à son arrêt. Le recours bénéficie de l'effet suspensif en vertu d'une ordonnance présidentielle du 27 novembre 2013.