A.- X._ s'est présenté pour la troisième fois aux examens des candidats au barreau du canton du Valais lors de la session d'automne 1998. Le 18 décembre 1998, le Département de la sécurité et des institutions du canton du Valais (ci-après: le Département cantonal) a informé l'intéressé qu'il était réputé avoir échoué à l'examen, la moyenne obtenue pour l'examen oral étant insuffisante. Pour l'examen écrit, le total des notes de X._ était de 12, soit: 4 pour le droit civil et la procédure civile, 4,5 pour le droit pénal et la procédure pénale et 3,5 pour le droit public et la procédure administrative, ce qui faisait une moyenne de 4. Pour l'examen oral, le total des notes de l'intéressé était de 14,5, soit: 3 pour le droit civil et la procédure civile, 3 pour le droit pénal et la procédure pénale, 3 pour le droit public et la procédure administrative, 2,5 pour l'ensemble LP, droit international privé, législation sur le barreau et déontologie ainsi que 3 pour la plaidoirie, ce qui faisait une moyenne de 2,9. B.- Par décision du 6 octobre 1999, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Département cantonal du 18 décembre 1998. C.- L'intéressé a alors porté sa cause devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 7 avril 2000, a rejeté son recours dans la mesure où il était recevable. Le Tribunal cantonal a notamment retenu que le recours était irrecevable en tant que l'intéressé critiquait l'appréciation de ses prestations et ses notes de l'examen oral. Il a rejeté le moyen tiré d'une violation du droit d'être entendu du fait que la Commission d'examen des candidats au barreau du canton du Valais (ci-après: la Commission d'examen) n'avait pas tenu de procès-verbal des épreuves orales. Il a écarté les critiques générales de X._ sur le déroulement de l'ensemble des épreuves orales et les appréciations qui en ont découlé. Il n'a pas donné suite aux moyens de preuve proposés, à savoir l'édition du procès-verbal d'examen ainsi que l'audition de Y._ et de Z._. D'une part, l'édition du procès-verbal d'examen était "superflue" puisque la Commission d'examen n'avait pas l'obligation d'en tenir un; d'autre part, l'intéressé se limitait à prêter de vagues affirmations à Y._ de même qu'à Z._. D.- Agissant par la voie du recours de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 7 avril 2000. Il invoque les art. 4 aCst. et 6 CEDH. Il se plaint en substance de violations du droit d'être entendu, du principe de l'égalité de traitement et des armes, de l'interdiction de l'arbitraire et des règles de procédure relatives au déroulement de l'examen, ainsi que de déni de justice. Le Tribunal cantonal a renoncé expressément à se déterminer sur le recours. Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours, en se référant à des observations formulées par le Président de la Commission d'examen.