Faits: A. A._ exploite avec son épouse le Café-Restaurant X._, à Pully, depuis le 1er juin 2003 au bénéfice d'une licence qui lui a été délivrée le 24 septembre 2003 par le Département de l'économie du canton de Vaud pour une salle de consommation de cinquante places et une terrasse de trente places. L'établissement se situe à proximité de la gare de Pully-Nord, dans un quartier d'habitations auquel le degré de sensibilité II au bruit a été attribué. B._ et C._, qui occupent avec leurs deux enfants un appartement dans un immeuble voisin, sont intervenus en date du 2 juin 2006 auprès du Service de l'économie, du logement et du tourisme du canton de Vaud pour que des mesures soient prises afin de faire cesser les nuisances sonores causées par l'exploitation de la terrasse après 22h00. Le 4 juillet 2006, à 14h00, ledit service a procédé à une visite des lieux en présence des exploitants, des époux B._ et C._ ainsi que des représentants de la Commune de Pully et du Service de l'environnement et de l'énergie du canton de Vaud. Il a constaté à cette occasion la présence de 44 chaises sur la terrasse. Le Service de l'environnement et de l'énergie a formulé, en date du 6 juillet 2006, un préavis favorable à la poursuite de l'exploitation de la terrasse pour autant que le nombre de places soit maintenu à trente, qu'aucune musique n'y soit diffusée, que l'utilisation maximale se fasse entre 08h00 et 22h00, nettoyage et rangement inclus, et que l'exploitant soit rendu attentif au maintien de la tranquillité sur la terrasse, en particulier dès 19h00. Par décision du 11 juillet 2006, le Service de l'économie, du logement et du tourisme a soumis l'exploitation de la terrasse du Café-Restaurant X._ aux conditions fixées dans ce préavis. Il chargeait la Municipalité de Pully de faire respecter cette décision. Le Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) a confirmé cette décision au terme d'un arrêt rendu le 27 novembre 2007 sur recours de l'exploitant. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que l'exploitation maximale de la terrasse du Café-Restaurant X._ n'est pas limitée de 08h00 à 22h00, nettoyages et rangements inclus, mais bien de 08h00 à 24h00. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants du Tribunal fédéral. Le Tribunal administratif, le Service de l'économie, du logement et du tourisme du canton de Vaud et la Commune de Pully concluent au rejet du recours. B._ et C._ s'en remettent à justice. Invité à se déterminer, l'Office fédéral de l'environnement a confirmé le bien-fondé des mesures prises. Le recourant a pris des conclusions subsidiaires tendant à autoriser l'ouverture de la terrasse au public jusqu'à 23h00, les rangements ayant lieu après cette dernière heure ou le lendemain matin.