Faits: A. A.a M._, né en 1951, a travaillé comme manoeuvre dans le bâtiment dès l'âge de 14 ans, d'abord au Portugal, puis en Suisse, dès 1986. Il a notamment travaillé comme maçon pour l'entreprise X._, à partir du 1er octobre 1998. Le 24 mai 2002, cette société a informé la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) du fait que M._ souffrait d'allergies diverses touchant les mains, les bras, le front et les jambes. La doctoresse H._, spécialiste en dermatologie, a mis en évidence une double pathologie, soit une forte allergie à pratiquement tous les produits que l'intéressé touchait pendant son travail de maçon et une surinfection à Trichophyton rubrum. Le patient était alors en arrêt de travail et le médecin a exprimé l'avis qu'il ne pourrait plus travailler dans la branche du bâtiment (rapport du 9 avril 2002). Dans un rapport ultérieur, ce médecin a diagnostiqué une dermite de contact en raison d'une forte sensibilisation à la colophane, au thiuram-mix, à l'éthylène diamine, au Quaternium 15 et au formaldéhyde, soit des produits rencontrés pendant le travail. Le traitement, par stéroïdes locales, s'était terminé le 13 mai 2005. Il subsistait une incapacité de travail entière dans la profession de maçon pour une durée « indéfinie ». A partir du 27 mai 2002, l'assuré a été suivi par son médecin traitant habituel, le docteur S._. En août 2002, il a subi une opération en raison d'une hernie inguinale. Le 27 septembre 2002, il a été examiné par le docteur T._, spécialiste FMH en médecine du travail. Selon les constatations de ce médecin, les lésions, au demeurant discrètes, se limitaient alors aux plantes et aux faces latérales internes des deux pieds. Des investigations étaient nécessaires pour en déterminer l'origine. A.b Le 28 mars 2003, la CNA a informé l'assuré qu'elle prendrait en charge les suites de l'affection dermatologique depuis son annonce en 2002 (c'est-à-dire dès le 4 mars 2002) jusqu'au 14 août 2002. L'incapacité de travail qui perdurait depuis le 15 août 2002, consécutive à l'opération de la hernie inguinale, était étrangère à la maladie professionnelle et ne donnait pas droit aux prestations en cas de maladie professionnelle. Le 9 avril 2003, la CNA a déclaré l'assuré inapte à tous les travaux au contact du ciment, des composés du chrome, de la colophane et des additifs de caoutchouc, avec effet rétroactif au 15 août 2002. A.c Le 21 mai 2003, l'assuré a de nouveau été examiné par le docteur T._. Ce médecin a constaté que l'eczéma de contact allergique pris en charge comme maladie professionnelle n'était pas encore guéri, car il subsistait des lésions chroniques fluctuantes au niveau des mains et des pieds. Il a préconisé un suivi dermatologique. Il a noté, par ailleurs, que des troubles musculo-squelettiques avaient fait leur apparition au cours de l'automne 2002, alors que l'intéressé se trouvait en arrêt de travail depuis le mois de mars précédent et sans aucun phénomène déclenchant identifiable. Ces dernières pathologies n'avaient cependant pas de rapport démontré avec l'activité professionnelle de l'assuré. Malgré la persistance des lésions d'eczéma décrites, l'état cutané était néanmoins stabilisé, ce qui aurait permis la mise en oeuvre de mesures de réadaptation. Cependant, les pathologies musculo-squelettiques faisaient principalement, sinon exclusivement, obstacle à la mise en oeuvre de pareilles mesures. Le patient a de nouveau été adressé à la doctoresse H._, qui a noté, dans un rapport du 16 juin 2003, que le status des mains était satisfaisant; il restait des lésions eczématiformes sur certains endroits, mais peu étendues et bien contrôlées. A.d L'assuré a suivi un stage d'observation professionnelle dans un Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité du 1er septembre 2003 au 28 septembre 2003. Par la suite, le docteur C._ a établi une expertise à l'intention de l'Office de l'assurance-invalidité (rapport du 18 février 2005). L'expert a posé le diagnostic d'eczéma allergique de contact, de spondylarthrite ankylosante et de ruptures partielles du tendon du sus-épineux droit et du sus-scapulaire, avec conflit acromio-sous-acromial. Il a attesté une totale incapacité de travail et a écarté l'éventualité de mesures de réadaptation professionnelle en raison des limitations physiques, cutanées et ostéoarticulaires du patient. Le 3 novembre 2005, l'Office de l'assurance-invalidité a alloué à l'assuré une rente entière, fondée sur une incapacité de gain de 100 pour cent, à partir du 1er mars 2003. A.e A la demande de la CNA, l'assuré a encore été examiné à l'Hôpital Y._. Dans un rapport du 24 mars 2006, le docteur P._, médecin consultant, a constaté l'absence de lésions cutanées au niveau des mains, du corps, des coudes, des genoux, du tronc et des plis. En revanche, le patient présentait un eczéma du visage, bénin et sans rapport avec l'eczéma professionnel, ainsi qu'un eczéma plantaire. A la suite de tests complémentaires, le docteur T._ a estimé que la dermatose des pieds n'était pas la conséquence de l'eczéma de contact assuré comme maladie professionnelle par la CNA (rapport du 11 juillet 2006). Par décision du 19 janvier 2007, confirmée par décision sur opposition du 31 juillet suivant, la CNA a signifié à l'assuré son refus de lui allouer des prestations supplémentaires. Selon elle, l'eczéma des pieds et la dermite faciale ne relevaient pas d'une maladie professionnelle. Quant à l'eczéma des mains, il avait complètement disparu depuis le début de l'année 2005, de sorte que l'assuré aurait pu reprendre une activité en évitant les allergènes, ainsi que tout travail en milieu humide avec des irritants. Il ne subsistait donc pas de séquelles invalidantes des troubles dermatologiques assurés. Il ne restait qu'une prédisposition à une maladie et non une maladie professionnelle proprement dite. Par conséquent, le droit à une rente d'invalidité n'était pas ouvert. Au demeurant, même si l'on admettait l'existence d'une atteinte à la santé assurée, celle-ci n'aurait pas empêché l'intéressé de réaliser un revenu sensiblement égal à celui qu'il aurait pu obtenir en qualité de maçon. La maladie professionnelle n'était pas propre à entraîner une perte de gain. B. Par jugement du 29 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté un recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de la CNA. C. M._ interjette un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à la CNA pour détermination de son taux d'invalidité et fixation du montant de la rente d'invalidité à laquelle il prétend. La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.