Faits: A. Air-Glaciers SA (ci-après: la Société ou l'intimée), société anonyme de siège à Sion, est immatriculée dans le registre des assujettis à la taxe sur la valeur ajoutée (ci-après: TVA) depuis le 1er janvier 1995. Selon l'inscription au registre du commerce, la Société a pour but d'"assurer du trafic aérien commercial", en exerçant notamment les activités suivantes: le transport à la demande de passagers et de fret en Suisse et à l'étranger, l'exploitation de lignes régulières pour le transport de passagers et de fret en Suisse et à l'étranger, les vols de tourisme, les vols de recherche et de secours en montagne, l'école de pilotage d'avions et d'hélicoptères, les vols photos, les traitements agricoles, la réparation et maintenance de ses propres appareils et des appareils de tiers. Selon un dépliant de la Société, celle-ci dispose d'une flotte de 30 appareils: hélicoptères pour les interventions d'urgence locales et avions-ambulance pour les rapatriements. Dans ce dépliant, la Société propose au public "d'adhérer à son organisation" en commandant la "carte de sauvetage", qui coûte, annuellement, 30 fr. pour une personne seule et 70 fr. pour l'ensemble de la famille. Dans ce dernier cas, la carte vaut pour les parents, "tous les enfants non mariés, indépendamment de leur âge et de leur domicile", ainsi que pour les animaux de rapport. La Société décrit comme suit les "avantages" de la carte de sauvetage: "Air-Glaciers prend à sa charge dans tous les cas les frais d'assistance et de transport en cas d'urgence dans la mesure où ni assurances, ni caisses-maladie ou autre tiers censés fournir des prestations ne subviendraient totalement ou partiellement à ces frais: Suisse et Principauté du Liechtenstein - Vols de sauvetage jusqu'à l'hôpital le plus proche ou le plus approprié - Vols de transfert médicalement nécessaires, d'un hôpital à un autre - Vols de recherche tant que l'espoir de vie subsiste - Vols préventifs d'évacuation lors de vie en danger - Actions de recherche et de secours par des colonnes terrestres tant que l'espoir de vie subsiste - Frais d'ambulance jusqu'à l'hôpital le plus proche ou le plus approprié - Vols de transport pour animaux de rapport blessés, malades ou morts jusqu'à la route carrossable la plus proche. Les transports se font en combinaison avec d'autres vols. Les vols de recherche sont exclus. Cette prestation est exclusivement réservée aux titulaires de la carte familiale. Monde entier - Vols de rapatriement médicalement nécessaires vers la Suisse pour les personnes domiciliées en Suisse et en Principauté du Liechtenstein, ainsi que pour les expatriés suisses - Vols de rapatriement du défunt à son dernier domicile en Suisse, avec l'accord des autorités compétentes Il n'existe cependant aucun droit à ces prestations, car Air-Glaciers les accomplit dans la mesure de ses possibilités personnelles et techniques ainsi que de ses moyens disponibles. Les interventions sont fonction de critères médicaux, sociaux et opérationnels. Air-Glaciers décide de la manière dont l'intervention se déroule et du moment de son exécution. La centrale d'alarme principale d'Air-Glaciers est à la disposition de toute personne gravement malade, blessée ou en détresse, 24 heures sur 24." En avril 1998, l'Administration fédérale des contributions, Division principale de la taxe sur la valeur ajoutée (ci-après: l'Administration fédérale ou la recourante) a effectué auprès de la Société un contrôle fiscal portant sur les périodes allant du 1er janvier 1995 au 31 décembre 1997 (du 1er trimestre 1995 au 4ème trimestre 1997). Au terme de ce contrôle, elle a établi l'avis de crédit no 73924 du 21 avril 1998 d'un montant de 427'935 fr. Ce montant résultait notamment du fait que l'Administration fédérale avait estimé que les recettes provenant de la vente des cartes de sauvetage étaient exclues du champ de l'impôt, alors que la Société les avait partiellement imposées. L'Administration fédérale avait en outre - et notamment en relation avec le nouveau traitement fiscal des recettes provenant de la vente des cartes de sauvetage - modifié la répartition de l'impôt préalable entre celui, déductible, attribué aux chiffres d'affaires imposables et celui, non déductible, se rapportant aux chiffres d'affaires exclus du champ de l'impôt ainsi qu'aux dons et subventions. Le 12 mars 1999, l'Administration fédérale a toutefois émis le décompte complémentaire no 157'109 d'un montant de 280'397 fr., qui réduisait d'autant le montant de l'avis de crédit précité. Elle a en effet estimé que la carte de sauvetage ne constituait pas une assurance - du fait qu'elle ne donnait aucun droit à une contre-prestation - et que le montant versé pour l'acquérir ne représentait pas non plus une cotisation. Les chiffres d'affaires provenant de la vente desdites cartes constituaient bien plutôt des dons destinés à soutenir l'activité de la Société en général. Ils n'étaient certes pas imposables, mais entraînaient une réduction proportionnelle de l'ensemble de l'impôt préalable déductible, à concurrence de 280'397 fr. au total. B. La Société a contesté ce décompte complémentaire, lequel a été confirmé par décision du 18 octobre 2000. La réclamation que la Société a interjetée contre cette décision a été rejetée par prononcé du 27 septembre 2005. La Société a déféré cette décision à la Commission fédérale de recours en matière de contributions (ci-après: la Commission de recours). En tant que successeur de la Commission de recours, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours par arrêt du 19 juillet 2007. Il a considéré que la remise de la carte de sauvetage contre le versement d'un montant de 30 ou 70 fr. selon les cas constituait un échange de prestations. En effet, celui qui versait ce montant en vue d'obtenir la carte ne voulait pas effectuer un don, mais bien obtenir une prestation - dont l'exécution dépendait de la réalisation d'un risque tel que celui d'accident ou de maladie - consistant en l'une des interventions mentionnées dans le dépliant précité ou, si l'intervention était le fait d'un tiers, en la prise en charge des frais y relatifs. Le fait que la carte ne conférait pas un droit à l'intervention de la Société ne changeait rien à l'existence d'un échange des prestations, du moment qu'en droit suisse il n'est pas nécessaire que les prestations échangées le soient en vertu d'une obligation. A cet égard, le Tribunal administratif fédéral a relevé que, selon ses dires, la Société "intervient systématiquement quand elle en est requise" et que si, "par extraordinaire", elle ne devait pas être en mesure de le faire, le sauvetage serait assuré par une compagnie concurrente qui lui facturerait ensuite ses prestations (p. 13 de l'arrêt). Il a aussi repris à son compte les déclarations de la Société selon lesquelles elle était intervenue "6975 fois en faveur des titulaires de cartes de sauvetage dans la période comprise entre le 1er janvier 1992 et le 15 septembre 2000" (p. 12). Au demeurant, le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'une partie des prestations de la Société était exclue du champ de l'impôt en vertu de l'art. 14 ch. 6 de de l'ordonnance fédérale du 22 juin 1994 régissant la taxe sur la valeur ajoutée (OTVA; RO 1994 II 1464 et les modifications ultérieures), disposition qui vise le transport de malades, de blessés ou de personnes invalides à l'aide de véhicules spécialement aménagés à cet effet. Il n'était cependant pas nécessaire de les définir précisément, du moment que les prestations de la Société étaient de toute manière exclues du champ de l'impôt à un autre titre, à savoir comme opérations d'assurances au sens de l'art. 14 ch. 14 OTVA. Cette disposition n'était, en effet, pas applicable seulement aux opérations fournies par des entreprises soumises à la législation fédérale sur la surveillance des assurances. Compte tenu de ce qui précède, le Tribunal administratif fédéral a considéré que les prémisses sur lesquelles l'Administration fédérale s'était fondée lorsqu'elle avait établi l'avis de crédit no 73924 - dont le montant n'avait au demeurant pas été contesté - étaient correctes. Il s'est donc limité à annuler la décision entreprise ainsi que le décompte complémentaire no 157'106, que celle-ci confirmait. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'Administration fédérale demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 19 juillet 2007 et de confirmer la décision sur réclamation du 27 septembre 2005, sous suite de frais et dépens. Elle soutient que le Tribunal administratif fédéral a admis l'existence d'un échange de prestations sur la base d'un état de fait établi de manière manifestement inexacte. Pour le cas où le Tribunal de céans devrait tout de même partager cette opinion, elle conteste le fait que les prestations soient exclues du champ de l'impôt en vertu de l'art. 14 ch. 14 OTVA. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à déposer des observations. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.