Faits: A. M._ a travaillé du 24 septembre 2002 au 30 novembre 2005 au service de la société X._ S.A. à raison d'un horaire de travail de 50 %. Le 17 août 2004, elle a requis des prestations de l'assurance-chômage. Elle désirait trouver une activité avec un horaire de travail de 80 % afin de compenser la perte économique résultant de la réduction de la contribution d'entretien versée par son ex-mari. Un délai-cadre d'indemnisation a alors été ouvert pour la période du 17 août 2004 au 16 août 2006 et l'assurée a bénéficié de la compensation de la perte de gain subie après déduction du gain intermédiaire réalisé au service de la société X._ S.A. Dans une attestation de gain intermédiaire concernant le mois de juin 2005, l'employeur a indiqué que l'assurée avait reçu une gratification d'un montant de 1'020 fr. pour l'année 2004. Aussi la Caisse cantonale de chômage du Canton de Vaud (ci-après: la caisse) a-t-elle effectué un nouveau calcul des prestations dues. Par décision du 6 juillet 2005, confirmée le 22 mai 2006, elle a alors réclamé à l'intéressée la restitution d'un montant de 2'914 fr. 90, somme représentant des prestations perçues en trop durant la période du mois d'octobre 2004 au mois de mai 2005. L'assurée ayant recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal administratif du Canton de Vaud, la caisse a rendu une décision sur opposition rectificative le 30 août 2006, par laquelle elle a annulé la décision sur opposition attaquée afin d'effectuer un nouveau calcul des prestations perçues en trop durant la période du mois de janvier au mois de mai 2005, étant donné que l'intéressée n'avait pas bénéficié en 2005 d'une gratification comme en 2004. Par décision du 1er septembre 2006, le juge instructeur de la Chambre des prestations sociales du tribunal administratif a alors rayé la cause du rôle. Par décision du 19 octobre 2006, confirmée sur opposition le 21 mars 2007, la caisse a annulé la décision du 6 juillet 2005 et réclamé à l'assurée la restitution d'un montant de 517 fr. 40, somme représentant des prestations perçues en trop du mois d'octobre 2004 au mois de mai 2005. B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition. Statuant le 12 novembre 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé la décision sur opposition du 21 mars 2007 en ce sens que l'opposition est admise et il a annulé la décision du 19 octobre 2006; il a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle statue à nouveau, conformément au considérant 5 de son jugement, sur le montant des indemnités compensatoires dues à l'assurée pour la période du mois d'août 2005 (recte: 2004) au mois de mai 2005, ainsi que sur le remboursement des prestations perçues en trop. La juridiction cantonale a considéré, en résumé, que la perte de gain déterminant le montant de l'indemnité compensatoire devait être calculée sur la base d'un gain assuré invariable de 3'343 fr. et non pas compte tenu d'un gain déterminant variant chaque mois en fonction du nombre de jours indemnisables pour le mois en question. C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (ci-après: le seco) interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal. L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la caisse s'en remet à justice. De son côté, la juridiction cantonale a présenté des déterminations aux termes desquelles elle propose le rejet du recours.