A.- Au début de l'année 1988, A._ a fait la connaissance à Genève de B._ et de C._, venus des Etats-Unis, qui lui ont dit qu'ils s'occupaient d'une affaire internationale relative à des métaux précieux impliquant la société Y._ Limited (ci-après: Y._). C._ a présenté A._ à D._, qui était à l'époque directeur de la succursale genevoise de X._ et également trustee de Y._. Avant même l'arrivée des deux hommes d'affaires à Genève, A._, désireuse de leur venir en aide, a effectué des démarches pour trouver un appartement et elle a reconnu qu'elle avait fait diverses avances de fonds, dans l'espoir d'être engagée par eux. En février 1988, à la suite de son intervention, un bail a été conclu portant sur un appartement à Genève. Ce contexte a donné lieu à trois litiges distincts entre A._ (ci-après: la demanderesse) et X._ (ci-après: la banque). Le premier litige concerne une garantie bancaire en relation avec les sûretés exigées par le bailleur. Il a été tranché définitivement par un arrêt du Tribunal fédéral du 2 novembre 2001, qui a confirmé le rejet des prétentions de la demanderesse (cause 4C.183/2001). Seuls les deux autres différends font l'objet de la présente procédure. Le deuxième litige concerne le paiement de trois mois de loyer pour l'appartement. Il ressort des pièces produites que la demanderesse a ouvert un compte auprès de la banque le 6 octobre 1988 et qu'elle a prélevé, le même jour, 10 800 fr. qu'elle a reversés sur le compte dont elle était titulaire à Z._. Deux jours après, elle s'est fait remettre par Z._ un chèque bancaire de 10 800 fr. à l'ordre du bailleur, qui a reçu le chèque le 10 octobre 1988 en paiement de trois mois de loyer. La demanderesse ne conteste pas que cet argent a été avancé par la banque, mais elle soutient que l'emprunt était simulé, pour cacher l'intervention de la banque dans cette affaire. Cette dernière conteste que la qualité d'emprunteuse de la demanderesse soit simulée. Compte tenu de la situation conflictuelle, elle a renoncé à réclamer cette somme à sa cliente, mais elle a opéré une compensation avec un montant de 4000 fr. versé sur le compte de la demanderesse et dont celle-ci lui réclame paiement. Le troisième litige porte sur une somme de 57 000 fr. Le 25 août 1988, B._ a remis 57 000 fr. à la banque, en lui donnant pour instructions, par lettre, de transférer ces fonds à Y._ à quatre conditions alternatives. Selon les documents produits, l'argent a été crédité sur un compte intitulé "clients de passage", parce que B._ n'avait alors pas de compte auprès de la banque. Selon le journal de la banque du 12 septembre 1988, les 57 000 fr. ont été virés à cette date sur le compte de Y._, valeur 27 août 1988. Au bénéfice d'une cession de créance du 11 juillet 1994, la demanderesse soutient que la banque a violé les instructions de son mandant et qu'elle est redevable de la somme de 57 000 fr. La banque prétend au contraire que B._, après le dépôt de la somme, a donné l'ordre oral de transférer le montant en question. B.- Le 6 décembre 1995, A._ a assigné la banque devant les tribunaux genevois. Elle a conclu au paiement de 57 000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 25 août 1988 et de 4000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 28 juin 1989. Par jugement du 17 mai 2001, le Tribunal de première instance du canton de Genève a entièrement rejeté l'action. Statuant sur appel de la demanderesse le 18 janvier 2002, la Chambre civile de la Cour de justice a confirmé le jugement du 17 mai 2001. C.- A._ interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 18 janvier 2002. L'effet suspensif, qu'elle sollicite également, lui a été refusé par ordonnance du 28 février 2002. L'intimée conclut au rejet du recours, à la confirmation de l'arrêt attaqué et, subsidiairement, à la compensation avec diverses créances alléguées.