Faits: A. Le 29 janvier 1998, la Banque X._, agissant en qualité de cessionnaire des droits de la masse en faillite de B._ SA, a ouvert une action en responsabilité contre C._, D._ et A._, anciens administrateurs de la société précitée. Elle a conclu à leur condamnation au paiement de 611'688 fr. en capital. Statuant le 28 février 2002, le Tribunal de première instance a condamné - par défaut - C._ à payer à la Banque X._ 611'688 fr. Il a en revanche rejeté la demande en tant qu'elle était dirigée contre D._ et A._, pour le motif que leur responsabilité d'administrateurs ne pouvait être engagée. Saisie d'un appel de la banque, la Cour de justice a annulé ce jugement le 14 mars 2003. Elle a en bref considéré que D._ et A._ avaient violé leurs devoirs d'administrateurs en omettant d'agir conformément à l'art. 725 al. 1 CO et commis ainsi une faute engageant leur responsabilité. Ne disposant toutefois pas des éléments suffisants pour déterminer la quotité du dommage encouru par l'appelante, elle a renvoyé la cause au tribunal pour instruction. Dans son dispositif, elle a condamné solidairement les prénommés aux dépens de première instance et d'appel, lesquels comprenaient une indemnité globale de procédure de 40'000 fr. valant participation aux honoraires d'avocat de la banque. Le bordereau d'état de frais taxé par la Cour de justice pour cette procédure s'est élevé à 69'367 fr. 20. Cet arrêt n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral. B. Le 6 janvier 2004, la Banque X._ a fait notifier à A._ un commandement de payer, poursuite no xxxx, la somme de 69'367 fr. 20. Le poursuivi y a fait opposition. Par jugement du 24 février 2004, le Tribunal de première instance de Genève a rejeté la requête de mainlevée définitive présentée par la banque. Sur appel de cette dernière, la 1ère Section de la Cour de justice a, le 17 juin 2004, annulé ce jugement et levé définitivement l'opposition. C. A._ forme un recours de droit public contre cet arrêt, concluant à son annulation, sous suite de frais et dépens, et au déboutement de la banque de toutes autres ou contraires conclusions. L'autorité cantonale se réfère à ses considérants. La Banque X._ propose, principalement, l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, son rejet dans la mesure de sa recevabilité. D. Par ordonnance du 26 juillet 2004, le Président de la IIe Cour civile du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif.