Faits: A. Le 29 avril 2007, une élection s'est déroulée dans la commune de Vernier (GE) pour la désignation des trois membres du conseil administratif (exécutif). Ont été élus Thierry Apothéloz et Yvan Rochat. Les autres candidats n'ayant pas obtenu la majorité requise, un second tour a été organisé le 3 juin 2007. Thierry Cerutti, candidat du parti "Mouvement Citoyens Genevois", a été élu à cette occasion. Cependant, par arrêt du 5 février 2008, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a admis les deux recours formés contre cette élection et il l'a annulée. Il a considéré que le scrutin en cause n'était pas l'expression fidèle et sûre de la volonté des électeurs, au sens de l'art. 34 Cst., en raison de plusieurs irrégularités. Le recours en matière de droit public que Thierry Cerutti a formé contre cet arrêt a été rejeté par la Cour de céans (arrêt 1C_123/2008 du 29 mai 2008). B. Par arrêté du 18 juin 2008, publié dans la Feuille d'avis officielle du canton de Genève (ci-après: FAO) du 20 juin 2008, le Conseil d'Etat du canton de Genève a fixé au 28 septembre 2008 "la date du second tour de scrutin pour l'élection d'un membre du Conseil administratif de la commune de Vernier". Cet arrêté se référait à "l'élection complémentaire" annulée du 3 juin 2007 et impartissait un délai au 11 août 2008 à midi pour le dépôt des candidatures, en précisant ce qui suit: "seuls peuvent déposer une liste les partis politiques, autres associations ou groupements qui ont participé au premier tour". Le 26 juin 2008, la section genevoise du parti de l'Union Démocratique du Centre (ci-après: UDC-GE) et Ruth Kälin − membre de l'UDC-GE, citoyenne de Vernier et conseillère municipale de cette commune − ont recouru contre cet arrêté auprès du Tribunal administratif. Elles soutenaient en substance que l'élection du 28 septembre ne devait pas être considérée comme un second tour, de sorte que la règle de l'art. 100 al. 2 de la loi cantonale sur l'exercice des droits politiques (LEDP; RS/GE A 5 05) − selon laquelle seuls les partis ayant participé au premier tour pouvaient déposer des listes − ne trouvait pas application. De plus, l'arrêté contesté violait l'art. 34 Cst. car il ne permettait pas de prendre en compte le "changement de choix" des électeurs depuis le 29 avril 2007. Le Tribunal administratif a rejeté le recours par arrêt du 1er juillet 2008. Il a considéré que l'élection du 3 juin 2007, qui a été annulée et qui devait être répétée, était bien un second tour, de sorte que l'art. 100 al. 2 LEDP s'appliquait. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Ruth Kälin et l'UDC-GE demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que l'arrêté du Conseil d'Etat du 18 juin 2008 et d'inviter le Conseil d'Etat à "convoquer les électeurs de la commune de Vernier pour le premier tour d'une élection complémentaire au Conseil administratif pour raison de vacance, au sens de l'art. 103 al. 5 LEDP". Elles requièrent en outre l'effet suspensif. Le Tribunal administratif a renoncé à présenter des observations. La Commune de Vernier s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat a présenté des observations et conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Il précise que l'UDC-GE n'a pas déposé de liste dans le délai imparti par l'arrêté du 18 juin 2008. D. Par ordonnance du 19 août 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.