Faits: A. Les époux B._ et C._, ressortissants turcs, parents de trois enfants nés en 2004, 2010 et 2011, sont titulaires, respectivement, d'une autorisation de séjour et d'une autorisation d'établissement. Le 10 juin 2010, C._ a déposé une demande d'entrée en Suisse pour sa mère, A._, née le 3 mars 1960, ressortissante turque. Il a indiqué que sa mère vivait seule en Turquie, qu'elle souhaitait venir en Suisse pour être plus proche de ses enfants, et petits-enfants, qu'elle serait entièrement prise en charge par lui et son épouse et que son activité se résumerait à la garde de ses petits-enfants. La prénommée, qui s'était mariée en Turquie le 20 août 1979 avec D._, avait divorcé le 21 mai 1992. Son ex-mari, ainsi que ses deux fils, C._ et E._ résidaient en Suisse, dans le canton de Neuchâtel. A la demande du Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations), C._ a déposé le 1er novembre 2010 diverses pièces, telles que des certificats de salaires, une attestation de l'Office des poursuites, un bail à loyer, ainsi que des documents officiels turcs. Faisant suite à une dénonciation anonyme lui ayant été adressée en octobre 2011, à teneur de laquelle A._ vivait en Suisse depuis plusieurs années déjà, ledit service a demandé à la police neuchâteloise d'auditionner la prénommée. Entendue le 18 janvier 2012, celle-ci a déclaré, en substance, que son ex-époux et ses deux fils habitaient en Suisse, que cela faisait deux-trois ans qu'elle était entrée illégalement en Suisse, que depuis lors elle s'occupait de sa petite-fille atteinte de trisomie ainsi que de ses deux autres petits-enfants et du ménage, que son fils et sa belle-fille subvenaient à ses besoins, qu'elle n'envisageait pas d'apprendre le français car elle devait s'occuper de ses petits-enfants et ne savait ni lire ni écrire en turc, et enfin qu'un retour en Turquie serait pour elle catastrophique car elle n'y avait plus rien ni personne. B. Après avoir donné la possibilité au mandataire de A._ de déposer des observations, le Service des migrations a refusé par décision du 22 juin 2012 d'accorder une autorisation de séjour à la prénommée et lui a imparti un délai au 31 août 2012 pour quitter la Suisse. Il a considéré que deux des trois conditions posées par l'art. 28 LEtr, concernant l'admission de rentiers, n'étaient pas remplies, dès lors que l'intéressée n'avait pas atteint l'âge de 55 ans et qu'elle ne disposait pas d'un revenu propre suffisant pour subvenir à son entretien. Il a également relevé que la LEtr ne prévoyait pas de regroupement familial pour les ascendants et que, selon l'art. 8 CEDH, un tel regroupement n'était possible que si la personne concernée se trouvait dans un rapport de dépendance particulier avec le membre de sa famille autorisé à séjourner en Suisse, ce qui n'était pas le cas de A._ vis-à-vis de son fils. Le service susdit a encore retenu que la situation de la prénommée ne constituait pas un cas individuel d'une extrême gravité au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr. S aisi d'un recours de A._ contre le prononcé du 22 juin 2012 du Service des migrations, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) a, d'une part, admis par décision incidente du 6 août 2012 la requête de mesure provisionnelle tendant à l'octroi de l'effet suspensif et, d'autre part, rejeté le recours par décision du 12 octobre 2012, niant par la même occasion que A._ puisse se prévaloir de l'art. 8 CEDH. Il a également retenu qu'un séjour en Suisse ne s'imposait pas en raison d'un cas individuel d'une extrême gravité. Le 5 juin 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé contre la décision du 12 octobre 2012. C. A._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 5 juin 2013 du Tribunal cantonal. Outre l'effet suspensif, elle requiert principalement l'octroi d'une autorisation de séjour, subsidiairement le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Le 8 juillet 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.