Faits: A. A.a A la requête de la Compagnie X._ SA (ci-après: la Compagnie X._), l'Office des poursuites de Genève a notifié le 27 février 2003 à la Fédération Y._ un commandement de payer la somme de 1'185'600'000 CHF (poursuite n° ...), contre-valeur de la somme de 800'000'000 USD que la Fédération Y._ s'était engagée à payer à la Compagnie X._ en vertu d'un Protocole d'accord conclu le 31 juillet 2002 entre les parties. Par jugement du 7 juillet 2003, le Tribunal de première instance de Genève a levé provisoirement l'opposition à cette poursuite formée par la Fédération Y._. La Compagnie X._ et la Fédération Y._ avaient inséré une clause d'arbitrage dans le Protocole d'accord en cause, selon laquelle tous les différends auxquels celui-ci pourrait donner lieu seraient soumis à un ou trois arbitres statuant selon le Règlement d'arbitrage de la Chambre de Commerce Internationale (CCI). Le siège de l'arbitrage a été fixé à Paris, le français étant choisi comme langue de la procédure arbitrale. Les parties avaient assujetti le Protocole d'accord susmentionné au droit luxembourgeois. Par demande du 30 juillet 2003, la Fédération Y._ a présenté le litige résultant du Protocole d'accord à la Cour internationale d'arbitrage de la CCI à Paris, conformément à la clause arbitrale dudit accord. Le 19 octobre 2004, la Compagnie X._ et la Fédération Y._ ont signé un acte de mission, fixant les règles que le Tribunal arbitral, formé de trois arbitres, aurait à appliquer à la procédure arbitrale. Le 5 juin 2007, le Tribunal arbitral a rendu une sentence à la majorité de ses membres, à teneur de laquelle notamment la créance visée par la poursuite n° ... en Suisse a été déclarée en l'état inexistante, faute de réalisation, à la date du prononcé de la sentence, de la condition à laquelle est subordonnée l'efficacité singulièrement du Protocole d'accord du 31 juillet 2002. Cette sentence a été communiquée aux plaideurs le 7 juin 2007. Le 5 juillet 2007, la Compagnie X._ a déposé une requête en correction et interprétation de la sentence arbitrale rendue le 5 juin 2007. A.b A la demande de la Fédération Y._, la sentence arbitrale susrappelée a été revêtue de l'exequatur en France le 25 juin 2007 et signifiée à la Compagnie X._ le 13 juillet 2007 à Genève, par l'intermédiaire du Parquet du Procureur général de Genève. Cette signification mentionnait en particulier le délai dans lequel un appel de la décision accordant l'exequatur pouvait être interjeté devant la Cour d'Appel de Paris, soit trois mois dès le 13 juillet 2007. Dans un document appelé « Addendum », daté du 17 octobre 2007, le Tribunal arbitral a partiellement admis la requête en correction d'erreurs matérielles et rejeté la requête en interprétation qu'avait formées la Compagnie X._. Aucune ordonnance d'exequatur de cet « Addendum », communiqué aux parties à une date indéterminée, n'a été signifiée à celles-ci. A.c Par requête du 8 janvier 2008, la Fédération Y._ a demandé la reconnaissance en Suisse de la sentence arbitrale du 5 juin 2007. La compagnie X._ s'est opposée à cette requête. Se fondant sur un avis de droit rédigé par un professeur de droit français, elle soutient que la sentence du 5 juin 2007 n'a pas de caractère obligatoire, aux motifs que le délai de recours en annulation de ladite sentence arbitrale a été prorogé par la reddition de l' « Addendum » du 17 octobre 2007, que ce délai ne commencera à courir qu'après la signification d'une ordonnance conférant l'exequatur à l'ensemble formé de la sentence et de l'« Addendum » ou de l'« Addendum » seulement, que le délai de recours expirera trois mois après ce terme et que, jusque-là, ce délai demeure suspensif de toute exécution en application de l'art. 1506 du Nouveau Code de Procédure civile français (NCPC). A.d Par jugement du 13 mars 2008, le Tribunal de première instance de Genève a reconnu le « jugement » rendu le 5 juin 2007 par la Cour internationale d'arbitrage de la CCI à Paris dans la cause divisant la Fédération Y._ d'avec la Compagnie X._. B. Saisie d'un appel interjeté par la Compagnie X._ contre le jugement du 13 mars 2008, la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 7 août 2008, a confirmé cette décision. La cour cantonale a fait application de la Convention de New York du 10 juin 1958 pour la reconnaissance et l'exécution des sentences arbitrales étrangères (ci-après: la Convention de New York; RS 0.277.12). Elle a laissé indécise la question de savoir si le délai d'exercice du recours en annulation qui pourrait être dirigé contre la sentence du 5 juin 2007 avait été prorogé par la notification de l' « Addendum » du 17 octobre 2007, thèse soutenue par la Compagnie X._. L'autorité cantonale, en accord avec la doctrine majoritaire, a considéré que l'effet suspensif d'un recours déposé contre la sentence arbitrale ne constitue un motif d'opposition selon l'art. V ch. 1 let. e de la Convention de New York que dans la mesure où l'effet suspensif a été accordé par l'autorité judiciaire. Elle en a conclu que l'effet suspensif découlant directement de l'art. 1506 NCPC « ne suffi(sait) pas pour refuser l'exequatur de la sentence arbitrale du 5 juin 2007 et de la sentence corrective du 17 octobre 2007 ». Or, la Compagnie X._ n'avait pas prétendu avoir interjeté un recours en annulation en France contre les sentences en question ni avoir obtenu du juge compétent la suspension de l'exécution desdites sentences. En définitive, la Cour de justice a retenu que rien ne s'opposait à la reconnaissance en Suisse de la sentence arbitrale du 5 juin 2007. C. La Compagnie X._ exerce un recours en matière civile contre l'arrêt précité. Elle conclut à la mise à néant de cet arrêt, la Fédération Y._ devant être déboutée de toutes ses conclusions. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt du 7 août 2008. Par ordonnance du 13 octobre 2008, le Président de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par la recourante.