Faits: A. A._ et B._ sont copropriétaires de la parcelle n° 186 du registre foncier de la commune de Belmont-sur-Lausanne. Cette parcelle non construite, de 6'600 mètres carrés, est comprise dans le périmètre du plan de quartier "En Arnier" approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 18 décembre 1985. Située à l'entrée ouest de la localité, en forte pente et boisée sur sa partie inférieure par un cordon d'arbres, elle est bordée à l'ouest par la route cantonale des Monts-de-Lavaux, qu'elle surplombe, au nord par la parcelle n° 351, appartenant à la société C._, sur laquelle se trouve le bâtiment communément appelé le musée Deutsch, à l'est par la route d'Arnier, qui dessert un quartier de bâtiments d'habitation comprenant des appartements et quelques commerces, et au sud par deux parcelles supportant respectivement un parking collectif et une villa. En 1990, un projet d'implantation de bâtiments en terrasses, en accord avec ce que prévoyait le plan de quartier "En Arnier", a été autorisé mais ne s'est pas concrétisé pour des raisons financières. En 2003, les propriétaires de la parcelle n° 186 ont soumis à la Municipalité de Belmont-sur-Lausanne plusieurs projets de plan de quartier prévoyant l'implantation de bâtiments en hauteur, accolés et formant un bloc rectangulaire. Ces projets se sont heurtés au refus des autorités communales au motif que les constructions prévues ne s'intégraient pas au quartier supérieur déjà construit, présentaient un aspect trop compact et n'offraient pas ou du moins pas suffisamment de césures. La Municipalité de Belmont-sur-Lausanne a donné son aval à un nouveau plan de quartier "En Arnier II", avec son règlement, propre à la parcelle n° 186. Ce plan aménage une surface constructible potentielle de 5'463 mètres carrés répartie sur quatre éléments de construction juxtaposés, reliés par des intervalles vitrés et couverts susceptibles d'accueillir les ascenseurs et les escaliers d'accès aux appartements. Il définit trois enveloppes volumiques périphériques horizontales de construction en toiture et trois séries de quatre enveloppes volumiques périphériques verticales de construction hors terre partiellement bâties en vue d'assouplir les lignes constructives et de ménager des espaces de transition entre l'intérieur et l'extérieur. Le plan de quartier "En Arnier II" a été mis à l'enquête publique du 15 décembre 2006 au 24 janvier 2007, avec le plan d'implantation. Il a fait l'objet de quatre oppositions, dont celle de la société C._. Par décision du 3 mai 2007, le Conseil communal de Belmont-sur-Lausanne a adopté le plan de quartier "En Arnier II" ainsi que son règlement et levé les oppositions, faisant siennes les déterminations de la Municipalité à ce sujet. Le Département des institutions et des relations extérieures du canton de Vaud a approuvé préalablement ce plan le 20 juin 2007. Au terme d'un arrêt rendu le 16 janvier 2008, le Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) a admis le recours formé par la société C._ contre ces décisions qu'il a annulées. Il a considéré en substance que le projet de plan de quartier "En Arnier II" ne satisfaisait pas aux objectifs d'intégration définis à l'art. 3 al. 2 let. b de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700) et qu'il n'était pas possible de corriger les défauts qui l'affectait ultérieurement, au stade d'un projet de construction proprement dit. B. A._ et B._ ont déposé un recours en matière de droit public contre cet arrêt en date du 15 février 2008 (cause 1C_82/2008). La Commune de Belmont-sur-Lausanne en a fait de même par acte séparé du 18 février 2008 (cause 1C_84/2008). Ils demandent tous deux au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal administratif du 16 janvier 2008 en ce sens que le recours de la société C._ est rejeté, respectivement que les décisions rendues le 3 mai 2007 par le Conseil communal de Belmont-sur-Lausanne et le 20 juin 2007 par le Département des institutions et des relations extérieures sont maintenues. Subsidiairement, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils reprochent au Tribunal administratif d'avoir substitué indûment son pouvoir d'appréciation à celui des autorités communales et d'avoir violé leur droit d'être entendus en ne tenant pas de procès-verbal de l'inspection locale à laquelle il a procédé, respectivement en admettant le recours de l'opposante pour des motifs à propos desquels ils n'ont pas eu l'occasion de se prononcer. Le Tribunal administratif et la société C._ concluent au rejet des recours. Le Service cantonal du développement territorial a renoncé à déposer des observations.