Faits: A. A._, de nationalité suisse, est né en décembre 1987 en Italie. Par décision du 27 juin 2003, l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) a admis qu'il avait droit à une contribution aux soins spéciaux pour mineur impotent pendant la période du 1er février 2001 au 31 décembre 2004. Par lettre du 27 août 2003, il a informé A._ que cette prestation ne lui serait pas octroyée, attendu que l'Italie versait déjà une prestation visant le même but. Dans une demande de prestations de l'assurance-invalidité datée du 29 novembre 2007, parvenue à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: OAI) le 7 décembre 2007, A._ a requis l'octroi d'une rente. Il indiquait que la famille de A._ habitait alors en Italie, mais qu'en mars 2008, date de la prochaine retraite du père de A._, elle viendrait s'installer en Suisse de manière définitive. Dans un préavis du 31 janvier 2008, l'OAIE, auquel le dossier a été transmis, a nié le droit de A._ à une rente ordinaire, au motif que lors de la survenance de son invalidité le 1er janvier 2006, les conditions d'assurance n'étaient pas réalisées. Il relevait que l'octroi d'une rente extraordinaire ou d'une allocation pour impotent ne pouvait être envisagé, étant donné que A._ était domicilié à l'étranger. Par décision du 25 février 2008 adressée à la mère de A._, laquelle avait élu domicile en Suisse depuis le 19 février 2008, l'OAIE a rejeté pour ces motifs la demande de rente. Le 1er mai 2008, A._ est arrivé en Suisse, où il a élu domicile auprès de ses parents. Le 9 mai 2008, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une rente, et une demande d'allocation pour impotent de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 21 août 2008, le docteur D._, chef de clinique X._, a posé le diagnostic d'autisme infantile (84.0) et de retard mental sévère (F72). Dans un préavis du 5 février 2009, l'OAI a informé les parents de A._ que leur fils avait droit à une allocation pour une impotence de degré moyen. Par décision du 19 mars 2009, il a alloué à A._ une allocation pour impotent à partir du 1er mai 2008. Dans un préavis de refus de rente du 6 février 2009, l'OAI a admis que A._ était invalide à 100 % depuis le 1er janvier 2006, mais nié qu'il ait droit à une rente ordinaire ou à une rente extraordinaire d'invalidité, les conditions d'assurance n'étant pas remplies. Lors d'une audition du 3 mars 2009, les parents de A._ ont fait part à l'OAI de leurs observations, en relevant qu'ils avaient été mal informés, qu'il était clair que s'ils avaient eu connaissance du fait que leur fils devait être en Suisse au plus tard courant janvier 2008 pour pouvoir bénéficier d'une rente d'invalidité, ils auraient fait le nécessaire, et qu'ils auraient effectivement pu venir en Suisse avant mai 2008 (depuis mars 2006). Par décision du 11 décembre 2009, l'OAI, rejetant les griefs des parents de A._ pour les raisons exposées par l'OFAS dans une prise de position du 5 octobre 2009, a nié le droit de A._ aussi bien à une rente ordinaire, au motif que lors de la survenance de son invalidité le 1er janvier 2006, les conditions d'assurance n'étaient pas réalisées, qu'à une rente extraordinaire, au motif qu'il ne présentait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge. B. Par arrêt du 20 mai 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a admis le recours formé par A._ contre la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 11 décembre 2009 et annulé celle-ci (ch. 2 du dispositif), mis A._ au bénéfice d'une rente extraordinaire dès le 1er janvier 2008 à charge de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ch. 3 du dispositif), renvoyé le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour calcul des prestations dues, puis nouvelle décision (ch. 4 du dispositif), et l'a condamné à verser à A._ une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens (ch. 5 du dispositif) et mis à sa charge un émolument de 500 fr. (ch. 6 du dispositif). C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Sa requête d'effet suspensif a été admise par ordonnance du 27 septembre 2010. A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. Dans un préavis du 22 septembre 2010, l'OFAS, qui produit sa prise de position du 5 octobre 2009, propose l'admission du recours.