Faits: A. A.a X._ est un agent de joueurs de football espagnol, domicilié en Espagne, au bénéfice d'une licence. Y._ est un footballeur professionnel brésilien domicilié au Portugal. Par un document écrit daté du 28 avril 2003 et signé de sa main, Y._ a autorisé X._ et deux autres personnes à négocier, à titre exclusif, ses droits fédératifs sur le marché européen jusqu'au 31 août 2003. Le 27 août 2003, Z._, club de football portugais, et Y._ ont signé un contrat de travail valable jusqu'au 30 juin 2006. A.b A fin mai 2005, X._ a pris contact avec la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) pour lui signaler que, du fait de la signature de ce contrat de travail et sur la base de la procuration du 28 avril 2003, il réclamait à Y._ le paiement d'une commission correspondant à 5% du salaire annuel fixé dans le contrat de travail, intérêts en sus. Le footballeur a contesté devoir quoi que ce fût à l'agent de joueurs. Par décision du 27 mai 2007, le juge unique de la Commission du Statut du Joueur a rejeté la demande de X._. Il a retenu, en substance, que le demandeur n'avait pas réussi à établir qu'il avait participé d'une quelconque manière aux pourparlers ayant abouti à la conclusion du contrat de travail précité. B. Saisi d'un appel de X._, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS), composé de trois membres, l'a rejeté par sentence du 8 août 2008. Il a considéré que les parties avaient valablement passé un contrat de courtage de négociation régi, en premier lieu, par les règles pertinentes de la FIFA et, à titre subsidiaire, par celles du droit suisse, en particulier les art. 412 ss CO. A l'instar du juge unique, il a estimé, lui aussi, que l'agent de joueurs n'avait pas prouvé avoir déployé quelque activité que ce fût dans le cadre de la négociation du contrat de travail. Prenant en compte un argument avancé par l'appelant, le TAS a envisagé ensuite l'hypothèse dans laquelle, selon la jurisprudence suisse, la stipulation d'une clause d'exclusivité valable peut impliquer, suivant les circonstances, une renonciation à l'exigence du lien de causalité entre l'activité du courtier et la conclusion du contrat (ATF 100 II 361 consid. 3d p. 365). Il a cependant écarté l'applicabilité de ce principe jurisprudentiel en l'espèce, motif pris de ce qu'une norme juridique contraignante du droit suisse - l'art. 8 al. 2 let. a de la loi fédérale du 6 octobre 1989 sur le service de l'emploi et la location de services (LSE; RS 823.11) - déclare nuls et non avenus les arrangements qui interdisent au demandeur d'emploi de s'adresser à un autre placeur. Enfin, le TAS a également exclu que le footballeur ait violé le contrat de courtage en concluant le contrat de travail avec Z._ sans l'assistance de son agent. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler la sentence du 8 août 2008 et de renvoyer la cause au TAS pour nouvelle sentence dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Il reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendu. L'intimé conclut au rejet du recours. Le TAS, qui a produit son dossier, déclare renoncer à déposer une réponse, tout en attirant l'attention du Tribunal fédéral sur le fait que les parties ont formellement accepté l'application du droit suisse dans la présente affaire.