Faits: A. A.a. M. B.X._, né en 1971, et Mme A.X._, née en 1972, tous deux de nationalité suisse, se sont mariés à Vevey le 15 décembre 2001. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2003 et D._, née en 2005. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 décembre 2006, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a notamment autorisé les conjoints à vivre séparés et confié la garde de leurs enfants à la mère. Depuis lors, les époux ont signé plusieurs conventions réglant notamment la question du droit de visite, conventions qui ont été approuvées judiciairement. En outre, une mesure de curatelle à forme de l'art. 308 al. 1 et al. 2 CC a été instaurée en faveur des enfants le 10 août 2007 et le Service de protection de la jeunesse (SPJ) désigné en qualité de curateur. Le 4 octobre 2007, une expertise pédopsychiatrique a été mise en oeuvre et confiée au Dr E._ avec pour mission de faire toute proposition utile relative à l'attribution de la garde des enfants et à l'exercice des relations personnelles. Le 7 novembre 2007, ce médecin a rendu un préavis recommandant de retirer la garde à la mère et de la confier au SPJ, à charge pour ce service d'organiser un placement des enfants. A.b. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 novembre 2007, la Présidente du Tribunal, considérant en substance que le placement des enfants s'imposait pour les protéger du conflit conjugal, particulièrement destructeur, a retiré avec effet immédiat le droit de garde sur les deux enfants à la mère, confié leur garde au SPJ, à charge pour ce service de les placer ensemble dans un lieu protégé et approprié, et délégué, dans un premier temps, au SPJ la mission d'organiser le droit de visite de chaque parent sur les enfants, dans le lieu et selon les modalités les plus appropriés. Les enfants ont été placés dans un foyer le 26 décembre 2007 puis, dès le mois d'août 2011, dans un autre, en raison de l'âge de l'aîné. A la suite du prononcé du 22 novembre 2007, l'épouse a déposé de nombreuses requêtes visant à ce que le droit de garde sur les enfants lui soit attribué ou concernant l'exercice de son droit de visite. Le mari a également sollicité la mise en place de diverses mesures provisoires. Ces requêtes ont donné lieu à la notification de plusieurs décisions judiciaires. B. Par jugement du 28 février 2013, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, notamment, prononcé le divorce des époux, attribué l'autorité parentale sur l'aîné au père et celle sur la cadette à la mère, confié la garde des deux enfants au SPJ, avec entre autres missions de décider de leur lieu de vie et d'organiser le droit de visite de chacun des parents, enfin, transmis le jugement à l'autorité de protection de l'enfant compétente pour assurer le suivi de la mesure de retrait du droit de garde. Par arrêt du 8 mai 2013, notifié en expédition complète le 16 juillet 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté les appels interjetés par chacune des parties et confirmé le jugement de première instance. C. Par acte du 11 septembre 2013, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt précité. Elle conclut, principalement, à ce que l'autorité parentale et la garde des enfants lui soient confiées, aucune mesure de retrait du droit de garde n'étant prononcée. Subsidiairement, elle demande l'attribution de l'autorité parentale et de la garde. La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises.