Faits: A. A._ SA est une société anonyme dont le siège se trouve à Bâle et dont l'entier du capital-actions est détenu par Fondation B._ à Vaduz (ci-après: la Fondation). Le 20 février 2008, A._ SA a déclaré à l'Instance pour la publicité des participations de SWX Swiss Exchange SA - actuellement SIX Swiss Exchange SA - (ci-après: l'IPP) qu'elle détenait, depuis sa constitution en 1964, des actions de E._ SA (B._ SA jusqu'en 1996), société dont les titres de participation sont cotés à la SIX Swiss Exchange SA. Elle a précisé posséder 89'135'960 actions de E._ SA, ce qui correspondait à 3,2663 % de son capital-actions. A cette époque, le capital-actions de E._ SA, entièrement libéré, s'élevait au total à 1'364'485'500 fr. et était divisé en 2'728'971'000 actions nominatives d'une valeur de 0,50 fr. chacune. Le 31 mars 2008, A._ SA a requis de l'IPP une exemption de l'obligation de déclarer sa participation dans E._ SA, subsidiairement un allégement de cette obligation. Par une recommandation du 13 juin 2008 adressée à A._ SA et à la Fondation, l'IPP a constaté qu'il existait, à la suite de la révision législative entrée en vigueur le 1er décembre 2007, une obligation de déclarer la participation dans E._ SA détenue par la Fondation via la société A._ SA et de désigner les membres de la famille B._-C._, qui étaient de facto en mesure de décider les changements de statuts de la Fondation, en tant qu'ayants droit économiques des participations de A._ SA dans E._ SA. L'IPP a refusé tout motif d'exemption ou d'allégement de cette obligation. A la suite du rejet de cette recommandation par ses destinataires, la Chambre des offres publiques d'acquisition de la Commission fédérale des banques (ci-après: la CFB) a ouvert une procédure administrative en juillet 2008. B. Par décision du 1er octobre 2008, la CFB a confirmé la recommandation de l'IPP, en rejetant l'opposition formée à son encontre par A._ SA et la Fondation. A l'encontre de cette décision, A._ SA, la Fondation ainsi que C._, membre du Conseil de famille de la Fondation, ont recouru auprès du Tribunal administratif fédéral qui, par arrêt du 20 juillet 2010, a rejeté leur recours, en confirmant l'obligation de déclarer leurs participations dans E._ SA et de désigner les membres du Conseil de famille de la Fondation en qualité d'ayants droit économiques. Le chiffre 2 du dispositif précise que, si les recourants souhaitent ne pas être soumis à l'obligation de déclarer, un nouveau délai leur sera imparti par l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers (FINMA), afin qu'ils diminuent leur participation dans E._ SA en-dessous du seuil des 3 % des droits de vote. C. Contre l'arrêt précité du 20 juillet 2010, A._ SA, la Fondation et C._ forment un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours. SIX Swiss Exchange SA propose son rejet et la confirmation de l'arrêt attaqué. La FINMA (qui a remplacé la CFB depuis le 1er janvier 2009; cf. art. 58 de la loi fédérale du 22 juin 2007 sur l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers [LFINMA; RS 956.1]), s'est référée en particulier à l'arrêt attaqué, tout en présentant des déterminations tendant au rejet du recours.