Faits: A. A._ exploite depuis plus de treize ans un chalet de vente de produits du terroir sur le site du col de La Vue-des-Alpes (commune de Fontaines). Ce périmètre a fait l'objet du plan spécial de développement touristique "Vue des Alpes 2001", édicté par le Conseil communal de Fontaines (ci-après: le Conseil communal) le 21 mars 1995 et sanctionné par le Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel le 6 novembre 1996. Ce plan a pour but de promouvoir l'espace touristique dudit périmètre, d'améliorer l'attractivité du site en renforçant notamment l'infrastructure existante et en créant de nouvelles structures sportives. Une partie de ce périmètre, notamment le parking de La Vue-des-Alpes est affecté au domaine public cantonal. Le chalet de vente était d'abord installé dans l'angle d'un restaurant, sis sur la parcelle n° 2340 du registre foncier, propriété privée de l'Etat de Neuchâtel. Estimant que le nouveau gérant du restaurant exigeait un loyer excessif, A._ a demandé au Conseil communal de lui accorder un autre emplacement, contre versement d'un loyer, par courrier du 20 juin 2007. Le 2 juillet 2007, le Conseil communal a répondu qu'il ne délivrait de telles autorisations que pour les étalages de ventes mobiles, ce qui n'était pas le cas du stand de l'intéressée. Il a invité celle-ci à s'adresser au Service cantonal des ponts et chaussées (ci-après: le Service). Dans le courant de l'été 2007, l'exécutif communal a autorisé provisoirement le déplacement du chalet de vente au sud du parking de La Vue-des-Alpes. Le 26 novembre 2007, le Service a informé la prénommée de la création de nouveaux emplacements pour les stands sur le domaine public cantonal et du fait que désormais la commune assurerait la gestion des marchands ambulants sur le site du col de La Vue-des-Alpes. Il l'a aussi invitée à solliciter auprès de cette autorité l'attribution d'une place de stand mobile, en précisant encore qu'aucune construction ou stand fixe ne pouvait être admis, sous réserve d'une autorisation de construire. Il l'a par ailleurs priée de déplacer son chalet, afin de ne pas perturber les travaux d'entretien hivernal. Les 7 et 28 janvier 2008, A._ a demandé au Conseil communal de lui attribuer une place de stand, en précisant qu'elle avait fait monter des roulettes sous son chalet de vente. Le 2 juin 2008, le Conseil communal a averti l'intéressée qu'elle ne pouvait plus laisser son échoppe à une place fixe avant d'avoir demandé et obtenu un permis de construire. Il l'a priée d'évacuer le chalet sur un terrain au lieu-dit "Les Loges", en contrebas du parking. Le 24 juin 2008, A._ a informé le Conseil communal qu'elle avait entamé des démarches auprès du Service pour obtenir un permis de construire. Par décision du 3 novembre 2008, le Conseil communal a constaté que le chalet nécessitait un permis de construire, lequel ne pouvait être accordé, car l'autorité cantonale refusait son implantation sur le domaine public. Il a par conséquent ordonné la démolition du chalet litigieux. B. Par décision du 19 août 2009, le Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat) a rejeté le recours que A._ avait interjeté contre cette décision. La Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision, par arrêt du 10 février 2011. Elle a considéré en substance que le chalet de vente tel qu'il est conçu et exploité constituait une construction au sens des art. 2 et 27 de la loi cantonale sur les constructions du 25 mars 1996 (LConstr/NE; RSN 720.0), soumise à autorisation. L'Etat de Neuchâtel n'entendant pas autoriser le stationnement durable de stands de vente sur le domaine public de La Vue-des-Alpes, l'autorisation de construire ne pouvait être octroyée. L'ordre de démolition (entendu plutôt comme une remise en état des lieux) respectait en outre le principe de la proportionnalité. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert subsidiairement d'«inviter l'autorité compétente à [lui] accorder une autorisation d'exploiter [son] stand mobile à l'endroit actuel ou à tel autre endroit à désigner sur le domaine public 55, au lieu-dit "La Vue-des-Alpes"». Le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal concluent au rejet du recours. D. Par ordonnance du 11 avril 2011, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif, formulée par la recourante.