Faits: A. A.a Depuis le 1er avril 2002, X._ a travaillé pour l'entreprise A._ SA, à Genève, en tant qu'ébéniste polisseur. A ce titre, il était au bénéfice d'une assurance collective conclue avec B._ Caisse-maladie, devenue Y._ Assurances SA (ci-après: l'assurance), couvrant les conséquences économiques d'une incapacité de travail due à la maladie; l'indemnité journalière assurée, correspondant à 80% du salaire, était octroyée dès le 31e jour jusqu'au 720e jour après l'apparition de la maladie en cas d'incapacité de travail d'au minimum 50%. D'après les conditions générales de l'assurance collective, édition de septembre 2005, est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique ou mentale. Le 11 février 2010, l'assurance a reçu une déclaration selon laquelle le travailleur était en incapacité de travail depuis le 21 décembre 2009. Par rapport du 15 mars 2010, le Dr C._, médecin traitant de l'assuré, a diagnostiqué une hypertension artérielle rebelle au traitement existant depuis 2008, une broncho-pneumopathie chronique obstructive, existant depuis des années, et une cyphoscoliose, présente également depuis plusieurs années. D'après ce médecin, l'incapacité de travail de l'assuré était totale à compter du 21 février 2009. Mandatée par l'assurance pour une mission d'expertise, la Dresse D._, spécialiste en rhumatologie auprès de la clinique E._, a diagnostiqué, dans un rapport du 7 juin 2010, une cyphoscoliose dorso-lombaire, en partie responsable d'une insuffisance respiratoire chronique, et une névralgie cervico-brachiale C6 droite. Ce spécialiste a estimé que l'assuré pouvait reprendre son activité professionnelle dès le 29 avril 2010, avec toutefois une diminution de rendement de 20%. Par courrier du 11 mai 2010, l'assurance a informé l'assuré qu'au vu des conclusions du rapport d'expertise de la Dresse D._, le versement des indemnités journalières prendrait fin le 16 mai 2010. Le 17 mai 2010, l'assuré a tenté sans succès de reprendre son activité lucrative. Le 21 mai 2010, le Dr C._ a attesté d'une incapacité de travail totale de l'assuré jusqu'au 7 juin 2010, de sorte que celui-ci, par pli du même jour, a demandé à l'assurance qu'elle lui verse à nouveau des indemnités journalières. Le 23 juin 2010, l'entreprise A._ SA a mis fin au contrat de travail de l'assuré, avec effet au 31 août 2010. L'assurance a chargé le Dr F._, spécialiste en pneumologie auprès de la clinique E._, d'une nouvelle expertise de l'assuré. Par rapport du 7 juillet 2010, ce praticien a diagnostiqué une broncho-pneumopathie chronique obstructive de grade II associée à une cyphoscoliose. Il a considéré que la capacité de travail de l'assuré était totale, avec baisse de rendement de 15%. Par courrier du 23 juillet 2010, l'assurance, sur la base des conclusions de ce pneumologue, a indiqué à l'assuré qu'il bénéficiait d'une capacité de travail dans son activité habituelle de 100% dès le 16 mai 2010, avec une baisse de rendement de 20%; l'assurance en a inféré qu'elle n'avait pas à reconsidérer sa prise de position du 11 mai 2010. Par rapport du 16 septembre 2010, le Dr G._, spécialiste FMH en pneumologie consulté par l'assuré, a diagnostiqué une broncho-pneumopathie chronique obstructive avec syndrome respiratoire fonctionnel obstructif sévère, compliqué d'une hypoxémie et d'une polyglobulie secondaire, dans le contexte d'un tabagisme chronique actif. Selon ce médecin, la capacité de travail de l'assuré comme vernisseur en ébénisterie était très réduite, un travail dans une fonction sédentaire pouvant cependant convenir. Le Dr G._ a attesté d'une incapacité de travail de l'assuré pour la période s'étendant du 1er juin 2010 au 31 août 2010. Par rapport du 26 novembre 2010, le Dr F._ a maintenu ses conclusions, en dépit de celles divergentes du Dr G._. A.b Du 29 août au 12 octobre 2010, l'assuré a été hospitalisé en raison de deux accidents vasculaires cérébraux (AVC). Le 7 septembre 2010, l'assuré a fait part à l'assurance de son hospitalisation à compter du 29 août 2010 et a requis le versement des indemnités journalières prévues par l'assurance collective. Le 24 septembre 2010, l'assurance a reçu une déclaration d'incapacité de travail débutant le 29 août 2010. Le 27 septembre 2010, l'assurance a écrit à l'assuré qu'à compter du 1er septembre 2010 il ne bénéficiait plus de la couverture d'assurance de son ancien employeur, mais qu'il avait la faculté de maintenir l'affiliation en qualité de membre individuel. Par rapport du 15 octobre 2010, la Dresse H._, médecin adjoint dans le service de neurorééducation des Hôpitaux I._, a diagnostiqué un accident vasculaire cérébral ischémique survenu le 22 août 2010. La capacité de travail dans l'activité exercée antérieurement était nulle du 29 août 2010 au 12 novembre 2010 (art. 105 al. 2 LTF). Le 9 novembre 2010, la Dresse J._, cheffe de clinique dans le service de neurorééducation des I._, a attesté une incapacité de travail totale de l'assuré du 29 août 2010 au 30 novembre 2010. B. Par demande du 18 janvier 2011 déposée devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève, X._ a conclu à ce que l'assurance lui verse 40'466 fr., plus intérêts à 5% dès le 17 octobre 2010, à titre d'indemnités journalières du 17 mai 2010 au 18 janvier 2011 et à ce que son droit à des indemnités journalières après ce terme soit reconnu. L'assurance a conclu au déboutement de l'assuré. Par arrêt du 28 novembre 2011, la Chambre des assurances sociales, statuant en instance cantonale unique, a partiellement admis la demande en ce sens que l'assurance a été condamnée à verser au demandeur des indemnités journalières entières pour la période du 28 septembre 2010 au 30 novembre 2010, avec intérêts à 5% l'an dès le 7 octobre 2010, ainsi que pour la période postérieure au 30 novembre 2010 si l'assuré fournissait à l'assurance les certificats médicaux attestant de son éventuelle incapacité de travail. C. X._, alors représenté par l'Association suisse des assurés (ASSUAS), exerce un recours en matière droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce que l'assurance soit condamnée à lui payer des indemnités journalières entières du 17 mai au 28 septembre 2010, l'arrêt attaqué étant confirmé pour le surplus. L'intimée propose l'irrecevabilité du recours, l'ASSUAS n'étant pas en droit de représenter le recourant, et, sur le fond, le rejet dudit recours. Averti par le Tribunal fédéral que l'ASSUAS ne pouvait pas le représenter en instance fédérale (cf. art. 40 al. 1 LTF) et invité à signer lui-même le recours, le recourant a remédié à cette irrégularité dans le délai qui lui avait été imparti. Dans sa réplique, le recourant a informé le Tribunal fédéral qu'il était désormais représenté par l'avocat genevois Pierre-Bernard Petitat. Il a également produit une décision prise le 22 mars 2012 par l'Office cantonal AI de Genève, qui se réfère à un avis du Service Médical Régional (SMR) du 15 novembre 2011. L'assurance a dupliqué en confirmant les termes de sa réponse.