Faits: A. A.a Y._, né en 1947, est l'époux de dame Y._, née en 1954. De cette union sont issues deux filles, nées en 1983 et 1986, actuellement étudiantes. Y._ a entretenu une relation extra-conjugale avec dame A._, née le 29 septembre 1973. Ils ont eu un fils, X._, né à Genève le 25 mars 2002. Y._ a reconnu être le père de l'enfant. Dès que dame A._ eût annoncé sa grossesse à Y._, leur relation a pris fin et de longues discussions ont eu lieu entre eux et leurs conseils respectifs au sujet de la contribution d'entretien à verser pour l'enfant à naître. A.b Le 3 mai 2002, Y._ et dame A._ ont conclu une première convention par laquelle le père s'est engagé à payer mensuellement, dès avril 2002, une contribution d'entretien en faveur de son fils d'un montant de 7'000 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 8'000 fr. de 10 à 15 ans et 10'000 fr. de 15 ans à la majorité, voire au-delà mais au plus tard jusqu'à 25 ans en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuses et suivies (ch. 5), à financer les frais d'écolage de son fils auprès d'établissements privés jusqu'à la fin de sa scolarité obligatoire, et à souscrire une assurance-vie d'une durée de 10 ans et d'un capital de 200'000 fr., avec une clause bénéficiaire irrévocable en faveur de l'enfant, ainsi qu'à en payer les primes. Cette convention a été homologuée le 25 juin 2002 par le Tribunal de première instance du canton de Genève, qui n'a pas procédé à l'audition des parties. Le même jour, les intéressés ont signé une seconde convention par laquelle Y._ s'engageait notamment à verser à dame A._ la somme de 300'000 fr., pour lui permettre de s'organiser de manière à assurer les meilleures conditions de vie et d'éducation à l'enfant. Par la suite, Y._ a contesté avoir signé librement la convention d'entretien du 3 mai 2002, expliquant avoir été bouleversé par la naissance de l'enfant et par les répercussions de cet événement sur sa propre famille. Des procédures de mainlevée et en libération de dette ont opposé les parties s'agissant du paiement de la contribution d'entretien. A.c Le 22 avril 2004, Y._ a ouvert action en modification de la contribution alimentaire, concluant à sa réduction. Il a en outre demandé à être libéré de l'obligation de financer l'écolage de son fils et de souscrire une assurance sur la vie en sa faveur. A l'appui de ses prétentions, il a requis ultérieurement la constatation de la nullité, notamment, de la convention d'entretien du 3 mai 2002, subsidiairement, la constatation de la validité de l'invalidation de cet accord, plus subsidiairement, la constatation de la validité de son exception de crainte fondée, et la condamnation de l'intimé à lui restituer le montant symbolique d'1 fr.; il s'est déclaré prêt à verser pour l'enfant une contribution d'entretien de 2'000 fr. par mois, allocations familiales non comprises, jusqu'à la majorité et au-delà en cas d'études sérieuses. Par jugement du 29 mars 2006, le Tribunal de première instance a rejeté la demande. Le demandeur a appelé de ce jugement. Par arrêt du 17 novembre 2006, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, constaté la nullité de l'art. 5 de la convention d'entretien du 3 mai 2002 dans la mesure où il prévoyait une contribution supérieure à 3'680 fr. par mois, tout engagement du père allant au-delà de ce montant étant excessif, a condamné l'enfant à restituer à celui-ci la somme symbolique d'1 fr. et a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour complément d'instruction et nouvelle décision sur la contribution d'entretien. Le recours en réforme interjeté par le défendeur contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral le 10 avril 2007 (5C.14/2007). B. Statuant sur renvoi le 1er novembre 2007, le Tribunal de première instance a, notamment, fixé le montant de la contribution d'entretien mensuellement due par le père à 1'500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 2'500 fr. de 10 à 15 ans puis 4'000 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuses et suivies, allocations familiales en sus. X._ a appelé de ce jugement, concluant à l'allocation d'une contribution d'entretien mensuelle, indexée, d'un montant de 7'200 fr. jusqu'à l'âge de 8 ans, 7'800 fr. de 8 à 15 ans et 9'500 fr. de 15 à 25 ans, dans l'hypothèse où il poursuivrait des études ou une formation professionnelle sérieuses et suivies jusqu'à cet âge. Par arrêt du 10 juillet 2008, la Cour de justice a arrêté la contribution d'entretien mensuellement due à 2'000 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 2'500 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, 3'000 fr. jusqu'à l'âge de 18 ans et 4'000 fr. dès cette date, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières. L'autorité cantonale a en outre condamné le père à payer les frais d'écolage de son fils jusqu'à ce que celui-ci atteigne l'âge de 18 ans. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus, les dépens d'appel étant compensés. C. Par actes déposés les 12 septembre, respectivement 15 septembre 2008, chacune des parties exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 10 juillet 2008. X._ reprend, principalement, les conclusions qu'il a présentées en appel s'agissant de la contribution d'entretien, et demande en outre que Y._ soit condamné à tous les dépens de la cause. Subsidiairement, il requiert le renvoi du dossier à la cour cantonale pour nouvelle décision, plus subsidiairement, après nouvelle instruction. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Y._ conclut à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que la contribution d'entretien mise à sa charge est limitée à 2'000 fr. par mois jusqu'à l'âge de 18 ans et au-delà en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières. Des réponses n'ont pas été requises.