A.- S._ a été employé comme ouvrier tapissier chez L._ Sàrl, fabrique de meubles, de 1988 à fin décembre 1996. À ce titre, il était couvert par une assurance collective d'indemnités journalières selon la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221. 229.1) conclue par l'employeur auprès de la Visana. L'assuré a été déclaré incapable de travailler à 100% dès le 27 février 1996, en raison de lombalgies. La Visana a alloué ses prestations, soit une indemnité de 124 fr. 28 par jour, pour la période du 27 février au 5 mai 1996, puis pour celle du 6 décembre 1996 au 5 février 1997. B.- Le 5 mai 1996, l'assuré s'est coincé le pouce de la main gauche dans la portière de sa voiture, ce qui a causé une incapacité de travail totale du 6 mai au 6 juillet 1996. Du 8 mai au 7 juillet 1996, la SUVA a versé des prestations réduites, de 41 fr. par jour, soit la différence entre le salaire journalier intégral de 165 fr. et l'indemnité journalière de la Visana. L'assuré s'est rendu en Turquie pour ses vacances du 15 juillet au 11 août 1996. C.- Le 24 septembre 1996, L._ Sàrl a résilié le contrat de travail de S._ pour le 31 décembre 1996. Elle l'a informé que le versement des indemnités journalières cesserait au 31 décembre 1996 et qu'il avait la possibilité de s'assurer pour les mêmes prestations en assurance individuelle. Le 28 janvier 1997, S._ a requis de la Visana son passage dans l'assurance individuelle d'indemnités journalières, mais n'a pas retourné la proposition d'assurance qui lui a été adressée le 12 juin 1997 pour signature par la Visana. Celle-ci l'a encore relancé le 2 septembre 1997 et lui a imparti un délai de 10 jours pour lui retourner la proposition dûment signée, à défaut de quoi elle considérerait sa demande comme nulle et non avenue. L'assuré a bien reçu ce courrier mais n'a pas retourné le document requis. D.- Le 4 février 1998, S._ a actionné la Visana devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant au paiement de la somme correspondant au total de l'indemnité journalière due selon le contrat collectif pour la période du 6 mai au 5 décembre 1996, puis dès le 6 février 1997 jusqu'à épuisement du droit aux prestations. La défenderesse a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 2 août 2000, le Tribunal a admis partiellement les conclusions de la demande (I) en condamnant la défenderesse à verser au demandeur la somme de 23'116 fr. - correspondant à de pleines indemnités journalières pour les périodes du 6 mai au 14 juillet et du 12 août au 5 décembre 1996 - plus intérêts à 5% l'an dès le 14 février 1998 (II), ainsi que la somme de 2'000 fr. à titre de dépens réduits (III); il a en revanche rejeté les conclusions tendant au paiement d'indemnités journalières dès le 6 février 1997 (IV). E.- Contre ce jugement, les deux parties exercent un recours en réforme au Tribunal fédéral. Le demandeur conclut principalement à la réforme du jugement attaqué en ce sens que la défenderesse doit lui payer un montant de 80'906 fr. (23'116 fr. + 57'790 fr.) plus intérêts à 5% l'an dès le 14 février 1998, et subsidiairement à son annulation suivi du renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. La défenderesse sollicite la réforme du jugement entrepris dans le sens du rejet de la demande. La défenderesse propose le rejet du recours du demandeur, tandis que celui-ci n'a pas été invité à présenter des observations sur le recours de la défenderesse.