Faits: Faits: A. Par contrat de travail du 2 septembre 1993, X._ SA (la défenderesse), société affiliée à Y._ SA, a engagé A._ (le demandeur) en qualité d'employé de commerce. Le 1er février 1996, le travailleur a été promu employé responsable adjoint de la gestion du stock. La rémunération du demandeur devait atteindre 4'692 fr. brut par mois dès le 1er janvier 2000. Le délai ordinaire de congé de son contrat de travail était alors de deux mois. Le 14 décembre 1999, A._ a été arrêté et placé en détention préventive jusqu'au 23 décembre 1999. Le vendredi 24 décembre 1999, A._ a pris langue avec B._, responsable du personnel de la défenderesse, pour évoquer les circonstances qui lui avaient valu d'être détenu préventivement pendant dix jours. Il a déclaré à sa supérieure hiérarchique qu'on lui reprochait d'avoir fait entrer illégalement en Suisse des femmes originaires d'Afrique pour leur permettre de se prostituer. B._ a alors enjoint le salarié de rentrer à la maison et d'attendre que X._ SA le convoque ultérieurement. La prénommée a informé de la situation le département juridique de Y._ SA. Le personnel de la défenderesse occupé aux tâches de production et de gestion du stock a été en vacances de fin d'année du 24 décembre 1999 au lundi 3 janvier 2000. En revanche, la direction était en tout temps opérationnelle durant les relâches de fin d'année (art. 64 al. 2 OJ). Le mercredi 29 décembre 1999, agissant expressément au nom et pour le compte de X._ SA, C._, avocate employée au département juridique de Y._ SA, a adressé un fax à l'avocate D._, conseil de A._, pour faire état de la surprise de la défenderesse lorsqu'elle a appris l'arrestation dudit travailleur et de son inquiétude "quant aux rumeurs qui courent sur les motifs de cette dernière (traite de femmes)". C._ demandait à l'avocate D._ de prendre contact avec elle "afin de pouvoir discuter de cette situation difficile ...". Le jeudi 6 janvier 2000, A._ a été convoqué par la défenderesse, qui lui a fait remettre en mains propres la résiliation immédiate de son contrat de travail étant donné les "problèmes qu'(il avait) avec la justice ... ". Le 10 janvier 2000, A._, par l'entremise de son mandataire, a contesté ce licenciement. Le 10 janvier 2000, A._, par l'entremise de son mandataire, a contesté ce licenciement. B. B.a Le 20 mars 2000, A._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal des prud'hommes du district du Locle. Il a réclamé en dernier lieu à la défenderesse le versement total de 37'358 fr.70 plus intérêts à 5 % l'an dès le 7 janvier 2000. Ce montant représente le salaire courant entre le 6 janvier 2000 et le 31 mars 2000, y compris la part du 13e salaire et le paiement des vacances, par 15'326 fr.70, moins le salaire perçu par le travailleur auprès d'une entreprise tierce pendant cette période, par 6'120 fr., d'où un reliquat de 9'206 fr.70, plus 28'152 fr. à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée correspondant à six mois de salaire. Contestant l'existence de justes motifs de renvoi, le demandeur a fait valoir que son inculpation n'était pas de nature à détruire la confiance qu'impliquent les rapports de travail ou à l'ébranler de façon telle que leur poursuite ne pouvait être envisagée. B.b Par jugement du Tribunal correctionnel du 6 décembre 2002, A._ a été condamné à trois mois d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans. Cette autorité a retenu que le demandeur s'était rendu coupable d'infractions à l'art. 23 de la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers du 26 mars 1931 (LSEE; RS 142.20) en faisant notamment passer illégalement la frontière franco-suisse à des Camerounaises, pour avoir pris en charge à Zurich deux ressortissantes de cet Etat arrivées illégalement en Suisse et pour avoir encaissé à plusieurs reprises, pour le compte de sa compagne, des montants pour la location de documents d'identité. A._ a également été retenu coupable de faux dans les titres pour avoir contracté un emprunt bancaire de 30'000 fr. en imitant la signature de son ex-épouse sur le contrat de prêt. B.c Par jugement du 4 février 2005, le Tribunal des prud'hommes a partiellement admis l'action et condamné la défenderesse à verser au demandeur 9'206 fr. 70 à titre de salaire et 4'692 fr. à titre d'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, le tout avec intérêts à 5 % dès le 7 janvier 2000. Les premiers juges ont retenu que le congé immédiat signifié le 6 janvier 2000 était tardif, du moment que la défenderesse avait été informée le 24 décembre 1999 de la mise en détention préventive du travailleur sous la prévention d'avoir participé à une filière exploitant des prostituées camerounaises et que le service des ressources humaines de X._ SA pouvait, sans en référer à quiconque, prendre la décision de le congédier sans délai. De toute manière, les justes motifs invoqués faisaient défaut, étant donné que les soupçons de l'employeur n'étaient que très partiellement fondés et que les infractions finalement retenues n'étaient pas de nature à briser définitivement la confiance nécessaire à la poursuite des rapports de travail. Le Tribunal des prud'hommes a ainsi alloué au demandeur ce qu'il aurait gagné si son contrat avait pris fin à l'échéance de son délai de congé (i.e. le 31 mars 2000) et a condamné la défenderesse à lui verser une indemnité réparatrice correspondant à un mois de salaire. B.d Saisie d'un recours de la défenderesse, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, par arrêt du 5 juillet 2005, a cassé le jugement de première instance et, statuant à nouveau, entièrement débouté le demandeur. Les juges cantonaux ont considéré dans un premier temps que la résiliation intervenue le 6 janvier 2000 n'était pas tardive. Admettant que le travailleur avait été licencié parce qu'il était soupçonné d'avoir joué un rôle dans une affaire relative à un réseau international de prostitution et d'avoir falsifié des pièces d'identité en relation avec l'entrée en Suisse de femmes camerounaises, l'autorité cantonale a jugé qu'il avait terni la réputation de son employeur et ruiné l'estime que pouvaient avoir à son endroit les collaborateurs de l'entreprise, en particulier le personnel féminin, et démontré par là qu'il n'était pas digne de confiance. La circonstance que la défenderesse ait d'abord cru que les documents falsifiés concernaient des pièces d'identité n'était pas déterminante puisque l'employeur pouvait se prévaloir d'un motif qui n'était pas connu lors du licenciement mais qui s'inscrivait dans la lignée des autres motifs ayant mené au congé. B.d Saisie d'un recours de la défenderesse, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, par arrêt du 5 juillet 2005, a cassé le jugement de première instance et, statuant à nouveau, entièrement débouté le demandeur. Les juges cantonaux ont considéré dans un premier temps que la résiliation intervenue le 6 janvier 2000 n'était pas tardive. Admettant que le travailleur avait été licencié parce qu'il était soupçonné d'avoir joué un rôle dans une affaire relative à un réseau international de prostitution et d'avoir falsifié des pièces d'identité en relation avec l'entrée en Suisse de femmes camerounaises, l'autorité cantonale a jugé qu'il avait terni la réputation de son employeur et ruiné l'estime que pouvaient avoir à son endroit les collaborateurs de l'entreprise, en particulier le personnel féminin, et démontré par là qu'il n'était pas digne de confiance. La circonstance que la défenderesse ait d'abord cru que les documents falsifiés concernaient des pièces d'identité n'était pas déterminante puisque l'employeur pouvait se prévaloir d'un motif qui n'était pas connu lors du licenciement mais qui s'inscrivait dans la lignée des autres motifs ayant mené au congé. C. Le demandeur exerce un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut à l'annulation de cette décision et à la confirmation du jugement du Tribunal des prud'hommes. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt entrepris.