Faits: A. X._ est née le 18 septembre 1992 dans le canton de Zurich, où ses parents étaient domiciliés. Après leur divorce en 1998, l'autorité parentale sur l'enfant a été attribuée à la mère. En 1999, les autorités tutélaires de la ville de Zurich ont retiré à celle-ci le droit de garde sur l'enfant, qu'ils ont confiée à une famille d'accueil à Meilen (ZH). Depuis lors, X._ est restée dans le canton de Zurich où elle a poursuivi sa scolarité. Depuis 1999, son entretien est pris en charge par les services sociaux de la ville de Zurich. Quant à sa mère, elle s'est établie dans le canton de Genève où elle est, depuis 2002, domiciliée dans la commune de Meyrin (GE). B. B.a En juin 2005, la curatrice de X._ a adressé à la commune de Meyrin une demande d'avance des pensions alimentaires en faveur de sa pupille. Par décision du 25 août 2005, le Service cantonal d'avance et de recouvrement des pensions alimentaires (ci-après: Scarpa) a refusé d'intervenir pour le motif que l'enfant créancier n'était pas domicilié dans le canton de Genève. B.b Le Tribunal administratif du canton de Genève, saisi en septembre 2005 par la curatrice de l'enfant, a rejeté le recours par arrêt du 7 mars 2006. C. Le 19 juillet 2006, X._ a interjeté contre cet arrêt un recours de droit public, sollicitant également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal administratif du canton de Genève a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt.