Faits: A. Le 28 octobre 1995, N._, avocat indépendant à X._, a été victime d'un accident : lors d'une course à vélo, il a chuté sur la chaussée, la tête - protégée par un casque - en avant. La Bâloise Assurances (ci-après : la Bâloise), auprès de laquelle il était assuré à titre facultatif contre le risque d'accident professionnel et non professionnel, a, dans un premier temps, pris en charge les suites de cet événement. Entre autres mesures d'instruction, elle a confié une expertise au Professeur D._ (rapport du 6 février 2001). Il ressort de cette expertise que l'assuré souffrait d'un syndrome subjectif post-traumatique (syndrome post-commotionnel), d'un syndrome cervical douloureux chronique, d'une disco-uncarthrose C5-C6 et C6-C7 et d'un status après chute à vélo avec commotion cérébrale et contusion fronto-temporale et de l'épaule gauche en 1995. Selon le rapport d'expertise, seul le syndrome douloureux post-traumatique était probablement encore en relation de causalité avec l'accident du 28 octobre 1995. Par décision du 12 mars 2001, confirmée par décision sur opposition du 25 juillet 2001, la Bâloise a mis fin à ses prestations à partir du 31 août 1999. Saisis de recours successifs de l'assuré, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (jugement du 27 août 2002) puis le Tribunal fédéral des assurances (arrêt du 10 février 2004 [affaire U 282/02]) l'ont débouté. B. Le 10 octobre 2005, N._ a demandé la révision de l'arrêt du Tribunal fédéral des assurances, en concluant principalement à son annulation et à la reconnaissance d'une incapacité de travail de 35 % du jour de l'accident à fin octobre 1999, de 25 % de fin octobre 1999 à fin octobre 2005, d'une invalidité définitive de 25 %, ainsi que du versement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. A titre subsidiaire, il demandait au tribunal d'ordonner des enquêtes et une expertise. A l'appui de sa requête, il a produit un rapport du 15 juin 2005 du docteur S._, spécialiste FMH en neuroradiologie et radiologie et rattaché au Centre d'imagerie médicale de M._ et un avis du docteur J._, spécialiste FMH en neurologie, du 7 juillet 2005, ainsi qu'un dossier d'imagerie médicale du Centre M._ (étude dynamique par IRM et CT Scan de la jonction occipito-cervicale). Sous la rubrique « Conclusion » de son rapport le docteur S._ écrivait ceci: « Confirmation de la lésion du ligament alaire droit (déjà décrite le 03.02.1999 au CT Scan fonctionnel de la charnière atlanto-occipitale) par l'actuelle nouvelle imagerie médicale (IRM 3.0 Tesla et CT-Scanner multibarrettes), qui permet de constater aussi un aspect plus mince et hétérogène du bras gauche du ligament transverse, avec dissociation des fibrilles, indiquant une lésion de ce ligament, complémentaire à la lésion du ligament alaire (voir commentaires) ». Dans les commentaires auxquels il était fait renvoi, le praticien s'exprimait ainsi: « Si les examens antérieurs, avec la technologie des années précédentes, faisaient suspecter une lésion du ligament alaire droit, pouvant ainsi laisser planer un doute quant à la réalité de cette lésion, l'utilisation des nouveaux appareils d'imagerie médicale (IRM 3.0 Tesla et CT -Scanner multibarrettes), dotés des tous derniers développements technologiques, a permis de constater et démontrer actuellement deux lésions ligamentaires mécaniquement concordantes et concomitantes dans la charnière cervico-occipitale, et autorise ainsi l'affirmation catégorique et sans ambiguïté de la réalité de la lésion du ligament alaire droit et de la lésion du bras gauche du ligament transverse ». Les nouveaux appareils auxquels il était fait référence faisaient partie, toujours selon ce médecin, « de la nouvelle génération d'appareils d'imagerie médicale dont notre institut, récemment ouvert, est équipé ». Le requérant alléguait qu'ils n'existaient pas encore au moment où l'arrêt entrepris avait été rendu. Dans son avis du 7 juillet 2005, le docteur J._ notait pour sa part que l'étude du dossier médical, l'anamnèse et l'examen du patient, suggéraient qu'il était possible, compte tenu du développement très récent de l'imagerie diagnostique, de tenter de démontrer l'existence d'une lésion au niveau du rachis cervical du patient, pouvant expliquer la persistance d'une symptomatologie douloureuse, d'ailleurs inchangée depuis le traumatisme dont celui-ci avait été victime le 28 octobre 1995. C'est la raison pour laquelle, indiquait-il, il avait adressé le patient au docteur S._, dont l'institut de radiologie est pourvu d'une « instrumentation actuellement la plus performante dans le domaine de l'imagerie diagnostique ». Se référant au rapport du docteur S._, le docteur J._ indiquait que les examens réalisés permettaient « la compréhension d'une situation douloureuse persistante, qui apparaît donc sous-tendue par une lésion anatomiquement clairement démontrée ». C. Statuant le 12 septembre 2006, le Tribunal fédéral des assurances a rejeté la requête de révision. Il a retenu, en particulier, qu'il n'était pas établi que le requérant n'eût pas été en mesure de se soumettre à des examens médicaux réalisés au moyen des appareils d'imagerie médicale qualifiés de « nouveaux » par le docteur S._ et d'en invoquer les résultats jusqu'au prononcé de l'arrêt du 10 février 2004. A défaut d'avoir démontré qu'il lui était impossible d'invoquer le moyen de preuve destiné à prouver l'existence d'une lésion du ligament alaire droit dans la procédure fédérale clôturée par l'arrêt dont il demandait la révision, le requérant ne pouvait se prévaloir d'un moyen de preuve nouveau au sens de l'art. 137 al. 1 let. b OJ. En ce qui concerne la lésion du bras gauche du ligament transverse, que le requérant invoquait à titre de fait nouveau découvert grâce aux examens réalisés par le docteur S._, le tribunal a retenu que cet élément n'était pas important au sens où l'entend la jurisprudence: si le rapport médical du 15 juin 2005 faisait état d'une telle lésion, le radiologue ne se prononçait toutefois ni sur son origine, ni sur ses conséquences, de sorte que l'affirmation du requérant selon laquelle cette atteinte expliquerait les maux dont il se plaignait ne pouvait pas être suivie. D. Par écriture du 6 novembre 2006, N._ demande la révision de l'arrêt du 12 septembre 2006. Il conclut à l'annulation de cet arrêt, avec les mêmes conclusions que celles prises dans la procédure de révision précédente.