Faits: A. S._, née en 1944, était obligatoirement assurée contre les accidents auprès de la Nationale Suisse Assurances (ci-après: la Nationale). Le 23 février 2005, elle a fait une chute dans sa cuisine; elle a subi une fracture du péroné gauche. La Nationale a pris en charge le cas. Dans la nuit du 3 au 4 août 2005, elle a été victime d'une nouvelle chute, cette fois dans les escaliers de sa maison. Elle a souffert d'un traumatisme cranio-cérébral. Hospitalisée d'urgence à l'Hôpital X._, elle a été transférée le 7 août 2005 à l'Hôpital Y._. Elle a ensuite été adressée à la Clinique Z._, où elle a séjourné à partir du 23 août 2005. Les frais médicaux liés à ces trois hospitalisations ont été pris en charge par la Nationale. Le 17 octobre 2005, l'assurée a quitté la Clinique Z._ pour être transférée au Centre W._. Des correspondances ont été échangées entre le Centre W._ et la Nationale. L'assurée a quitté le Centre W._ le 27 février 2006. Le 21 mars 2006, celui-ci a écrit à la Nationale pour lui communiquer le bilan de sortie de la patiente et pour lui transmettre la facturation des frais de séjour. Le montant du décompte final s'élevait à 43'790 fr. L'assurée est décédée le 23 mars 2006. Sa succession a été répudiée. Le 30 avril 2006, la Nationale a informé le Centre W._ qu'elle acceptait de prendre en charge une partie des frais de séjour de son assurée dans cet établissement, soit 5'535 fr. Selon elle, les suites des deux accidents assurés ne nécessitaient pas la poursuite d'un traitement hospitalier au-delà du 31 octobre 2005. B. Le 24 juin 2008, le Centre W._ a saisi le Tribunal arbitral en matière d'assurance-accidents du canton du Jura en prenant les conclusions suivantes: 1. Ouvrir une procédure de conciliation devant le tribunal arbitral portant sur le paiement d'une somme de fr. 38'255.- demandée à la Nationale Suisse Assurances pour les prestations fournies à S._ par le Centre W._. 2. En cas d'échec de conciliation, condamner la Nationale Suisse Assurances au paiement de la somme de fr. 38'255.- ainsi que des intérêts moratoires, ou d'une autre somme à dire de justice, sous suite de frais et dépens. Dans sa réponse du 15 août 2008, la défenderesse a soulevé le grief d'incompétence ratione materiae du Tribunal arbitral en matière d'assurance-accidents. Statuant en la voie incidente le 28 février 2009, le Tribunal arbitral a admis sa compétence pour statuer sur le litige. C. La Nationale a formé un recours en matière de droit public en demandant au Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal arbitral et de déclarer irrecevable la demande du 24 juin 2008. Le Centre W._ a conclu au rejet du recours.