Faits: A. X._ est assuré auprès de Y._ (ci-après: la caisse-maladie) pour l'assurance obligatoire des soins, une assurance combinée d'hospitalisation et une assurance de soins complémentaires. En raison de problèmes liés à l'obésité, X._ a subi une intervention chirurgicale pour laquelle il a sollicité les prestations de la caisse-maladie. Le 12 mars 2008, celle-ci a refusé de prendre en charge ces frais médicaux sous l'angle de l'assurance obligatoire des soins, ce qu'elle a confirmé par une décision sur opposition rendue le 21 mai 2008; par un courrier séparé du 12 mars 2008, elle a informé l'assuré qu'elle refusait également le remboursement des frais sous l'angle de l'assurance complémentaire relevant du droit privé. Par acte du 23 juin 2008, X._ s'est adressé au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, qui est compétent aussi bien pour les prétentions relevant de l'assurance-maladie sociale que pour celles reposant sur l'assurance complémentaire de droit privé. Il a conclu à ce que cette autorité prononce qu'il a droit au remboursement du traitement médical en cause par l'assurance obligatoire de base; par ailleurs, il a conclu au remboursement dudit traitement par le biais de l'assurance privée et à ce que la caisse-maladie soit en conséquence condamnée à lui rembourser les montants suivants : - 5'000 fr. plus intérêts à compter du 23 novembre 2007 au titre de la note d'honoraires du Dr A._ datée du 16 novembre 2007; - 2'120 fr. plus intérêts dès le 11 octobre 2007, s'agissant de la facture du Dr B._, anesthésiste, datée du 15 octobre 2007; - 17'835 fr. plus intérêts dès le 1er octobre 2007, correspondant à la facture de la Clinique V._, du 26 septembre 2007. Par arrêt du 18 décembre 2008, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a dit, sous ch. 3 du dispositif de sa décision, "que le recourant a droit au remboursement des frais litigieux, sur la base de l'assurance obligatoire des soins comme sur celle de l'assurance complémentaire". La motivation concerne exclusivement l'assurance sociale, sauf la dernière phrase, où il est dit que la demande sur la base de l'assurance complémentaire est également admise "par conséquent". Le Tribunal n'a cependant alloué à l'assuré aucune des sommes qu'il demandait au titre de l'assurance de droit privé. X._ n'a pas recouru au Tribunal fédéral, quand bien même la décision cantonale ne donnait aucune suite à ses conclusions en paiement fondées sur l'assurance de droit privé. En revanche, la caisse-maladie a recouru contre cette décision auprès du Tribunal fédéral par la voie d'un recours en matière de droit public, discutant exclusivement le cas sous l'angle de l'assurance-maladie sociale. Par arrêt 9C_99/2009 du 19 mars 2010, publié in ATF 136 I 121, le Tribunal fédéral, saisi du litige exclusivement sous l'angle de l'assurance-maladie sociale, est parvenu à la conclusion que l'assuré n'avait pas droit aux prestations de l'assurance, de sorte qu'il a annulé aussi bien le ch. 1 que le ch. 2 (recte : 2 et 3) du dispositif de l'arrêt attaqué. Il a mis les frais judiciaires, pour la procédure devant le Tribunal fédéral, à la charge de l'assuré et il a renvoyé la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure. B. A la suite de cet arrêt du Tribunal fédéral, le Tribunal cantonal des assurances sociales, par arrêt du 20 avril 2010, a annulé le ch. 3 (recte : 4) du dispositif de l'arrêt du 18 décembre 2008 et a prononcé qu'il n'y avait pas lieu d'octroyer des dépens à l'assuré, qui n'avait pas obtenu gain de cause, même partiellement. Saisi d'une réclamation de l'assuré, le Tribunal cantonal des assurances sociales, par arrêt du 15 juin 2010, a rejeté la réclamation. C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 juin 2010. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, il conclut à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à la cour cantonale. L'intimée, qui agit sans recourir aux services d'un avocat, conclut au rejet du recours.