Faits: A. A.a A._, né en 1968, est titulaire d'un diplôme d'employé de commerce qui lui a été délivré en 1990 par l'Ecole X._. Il a exercé cette profession pendant quelques années, avant de changer d'orientation pour travailler dans les milieux de la danse et de la mode, ainsi que comme serveur et danseur dans des discothèques. Il a notamment travaillé, de septembre 1998 à septembre 1999, comme serveur, puis directeur artistique pour la société qui exploitait la discothèque Y._. Dès le mois de février 1999, cet emploi l'occupait à plein temps, pour une rémunération mensuelle de 4594 francs brut. Il était chargé d'organiser des soirées à thème et de recruter des artistes, activité qu'il complétait en travaillant au bar les vendredi et samedi soir. A la suite de la faillite de son employeur, il a présenté une demande d'indemnités journalières de l'assurance-chômage dès le 23 septembre 1999. Par décision du 14 février 2001, le Département de l'économie publique du canton de Neuchâtel, sur recours contre une décision du 31 juillet 2000 de l'Office du chômage du canton de Neuchâtel, a constaté qu'il remplissait les conditions relatives au délai-cadre de cotisation. A la suite de cette décision, la Caisse de chômage K._ lui a alloué des indemnités journalières de chômage. A.b Le 4 février 2000, A._ a été victime d'un accident de circulation lors duquel il a subi une fracture du cotyle droit avec luxation postéro-supérieure, une fracture du cotyle gauche, une fracture de la rotule droite et du condyle interne fémoral droit, une fracture du Lisfranc droit, une luxation du premier cunéiforme droit et une fracture de la tête du deuxième métatarsien droit, un traumatisme cranio-cérébral simple ainsi qu'un pneumothorax bilatéral et une contusion pulmonaire bilatérale. Il a subi en urgence plusieurs interventions chirurgicales et a été hospitalisé jusqu'au 22 mars 2000 à l'Hôpital G._, avant d'être transféré pour rééducation à la marche à l'Hôpital B._. La Caisse de chômage K._ a annoncé l'événement à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières. Le 30 mars 2000, A._ a été transféré à l'Hôpital R._ où il a séjourné jusqu'au 30 juin 2000. Le 22 novembre 2000, A._ a subi, à l'Hôpital G._, une ablation de paraosthéoarthropathies ainsi que du matériel d'ostéosynthèse du cotyle droit, de la rotule et de quatre vis dans le condyle interne, et une arthrolyse interne et proximale. Il a ensuite à nouveau séjourné à l'Hôpital R._, du 4 décembre 2000 au 26 janvier 2001. A la fin de chacun des deux séjours à l'Hôpital R._, les docteurs I._ et C._ (rapport du 3 août 2000), puis Z._ et D._ (rapport du 30 janvier 2001) ont attesté une incapacité de travail totale, pour une durée indéterminée. A.c A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Par décision du 5 septembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : Office AI) a nié le droit à des mesures de reclassement professionnel, au motif que les atteintes à la santé dont souffrait l'assuré n'entraînaient plus de diminution notable de sa capacité de travail, et par conséquent de sa capacité de gain. L'Office AI précisait toutefois que « le droit éventuel à des prestations en espèces, sous forme de rente (vraisemblablement temporaire) [serait] examiné d'office lorsque la CNA [aurait] statué sur le degré d'invalidité ». A.d La CNA a maintenu le versement d'indemnités journalières fondées sur une incapacité de travail totale. Le 22 mars 2002, le docteur E._, médecin d'arrondissement de la CNA, a examiné l'assuré et constaté une légère boiterie droite lors de la marche. Une limitation fonctionnelle partielle globale au niveau de la hanche droite et une limitation de la flexion au niveau du genou droit subsistaient, ainsi que, de manière plus générale, une atrophie musculaire sans signes dystrophiques. A ce stade, une reprise progressive d'une activité professionnelle était envisageable, dans une activité légère, plutôt sédentaire et permettant à l'assuré de se dégourdir à sa guise. Le 26 septembre 2002, le docteur E._ a revu l'assuré et attesté une capacité de travail résiduelle de 50 % au moins en tant qu'employé de commerce. Le 14 octobre suivant, A._ a été engagé comme styliste par la société V._, pour un salaire mensuel brut de 3500 francs à mi-temps. Il a toutefois abandonné cette activité professionnelle dès le 22 novembre 2002 au motif que son état de santé général s'était à nouveau dégradé. Au terme d'un nouvel examen pratiqué le 12 décembre 2002, le docteur E._ a maintenu son point de vue relatif à une capacité de travail de 50 % comme employé de commerce, eu égard aux seules lésions organiques constatées. L'état psychologique du patient exigeait toutefois un soutien et semblait compromettre une reprise du travail; un rapport de causalité naturelle avec l'accident devait être tenu pour établi. Le docteur E._ précisait qu'une nouvelle intervention chirurgicale était envisagée (arthrolyse du genou droit). La CNA a réduit de 50 % les indemnités journalières versées à l'assuré, du 14 octobre au 22 novembre 2002; elle a ensuite repris le versement d'indemnités fondées sur une incapacité de travail totale. A.e Le 2 septembre 2004, A._ s'est soumis à une arthrolyse du genou droit, avec excision d'une volumineuse ossification interne et postéro-interne et mobilisation sous narcose. L'intervention a été pratiquée par le docteur M._. Dans un rapport du 17 février 2005, celui-ci suggérait un examen par le médecin d'arrondissement de la CNA pour évaluer la capacité de travail résiduelle dans une activité sédentaire. A son avis, celle-ci était complète. Le 17 mars 2005, le docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, a examiné l'assuré et suggéré un bilan global à l'Hôpital R._. La capacité de travail dans une activité d'employé de bureau était complète depuis longtemps, en tout cas d'un point de vue somatique. A._ a donc séjourné à nouveau à l'Hôpital R._, du 6 avril au 4 mai 2005. Dans le rapport de sortie établi le 19 mai 2005, les docteurs L._ et S._ ont constaté une pleine capacité de travail dans une profession adaptée, c'est-à-dire essentiellement en position assise, ne nécessitant que peu de déplacements et qu'un port de charge limité à dix kilos; ils ont suggéré une activité de bureau, basée sur le diplôme d'employé de commerce dont l'assuré était titulaire. Les docteurs S._ et L._ se sont fondés, notamment sur un rapport du 12 avril 2005 du docteur F._, psychiatre, d'après lequel l'assuré ne souffrait pas de troubles psychiques francs, même si ses préoccupations relatives à son avenir et ses difficultés à prendre des décisions pour la suite pouvaient nécessiter une aide psychothérapeutique. Par décision du 2 décembre 2005, la CNA a mis fin à la prise en charge du traitement médical et au paiement des indemnités journalières avec effet dès le 1er janvier 2006. Le 13 juin 2006, elle a alloué à l'assuré une rente fondée sur un taux d'invalidité de 13 %, avec effet dès le 1er janvier 2006, et une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 40 %. Elle a maintenu ses prestations sans changement, par décision sur opposition du 18 octobre 2006. Entre-temps, l'Office AI a refusé l'octroi d'une rente d'invalidité à A._, par décision du 22 septembre 2006. B. Par deux recours séparés, A._ a déféré cette dernière décision, ainsi que la décision sur opposition rendue le 18 octobre 2006 par la CNA, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel. Celui-ci a rejeté les recours par deux jugements du 22 août 2008. C. C.a A._ a interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 22 août 2008 relatif à la procédure en matière d'assurance-accidents. Il conclut à l'annulation de ce jugement et à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 75 %, subsidiairement au renvoi de la cause à l'intimée pour nouvelle décision, sous suite de dépens. Il a également déposé une demande d'assistance judiciaire tendant à la libération de l'obligation d'avancer les frais de justice. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. C.b A._ a également interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 22 août 2008 relatif à la procédure en matière d'assurance-invalidité. Ce recours fait l'objet d'un arrêt séparé de ce jour, dans la cause 8C_808/2008.