Faits: A. X._, né en 1957, et dame X._, née en 1978, se sont mariés à Genève le 4 décembre 2003. Un enfant est issu de cette union, A._, né le 1er octobre 2004. Le mari est aussi le père d'un fils né d'une précédente union, B._, âgé de 14 ans, pour lequel il verse une contribution d'entretien d'un montant de 300 fr. par mois. Par requête du 29 juin 2007, l'épouse a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. Les conjoints se sont séparés à la mi-août 2007. Par jugement du 13 mars 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève a autorisé les parties à vivre séparées (ch. 1); attribué la garde de l'enfant à la mère (ch. 2); fait interdiction à celle-ci de fréquenter sa chorale et son église en compagnie de son fils (ch. 3); réservé au père un droit de visite s'exerçant un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines pendant les vacances d'été, puis, dès septembre 2008, un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, le mercredi ainsi que, une semaine sur deux, du mercredi matin au vendredi matin, et durant la moitié des vacances scolaires (ch. 4); ordonné, avec effet immédiat et nonobstant appel, l'instauration d'une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (ch. 5); condamné le mari à contribuer à l'entretien de sa famille à hauteur de 700 fr. par mois (ch. 6); enfin, prononcé la séparation de biens des parties (ch. 7). B. Par arrêt du 20 juin 2008, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur l'appel de chacun des époux, a annulé les chiffres 3 et 4 du dispositif du jugement de première instance. Elle a réservé au père un droit de visite s'exerçant un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines pendant les vacances d'été, dont deux consécutives au maximum, puis, dès la rentrée scolaire 2008, une semaine sur deux, du vendredi soir à la sortie de l'école au lundi matin, le mercredi et durant la moitié des vacances scolaires. Le jugement de première instance a été confirmé pour le surplus et complété en ce sens que la jouissance exclusive du domicile conjugal est attribuée à l'épouse, étant précisé que la contribution d'entretien en faveur de la famille est due à partir du 1er août 2007. C. Le mari exerce un recours en matière civile contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il conclut à ce que la garde de l'enfant lui soit attribuée, un droit de visite usuel étant réservé à l'épouse et celle-ci étant condamnée à payer mensuellement une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 500 fr. Pour le cas où l'attribution de la garde à la mère serait confirmée, il requiert un droit de visite s'exerçant, jusqu'à la rentrée scolaire de 2008, un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines durant les vacances d'été, dont deux consécutives au maximum, puis, dès la rentrée scolaire 2008, une semaine sur deux, du vendredi soir à la sortie de l'école au lundi matin, le mercredi ainsi que, une semaine sur deux, du mercredi matin au vendredi matin, et durant la moitié des vacances scolaires. Il demande en outre que l'intimée soit déboutée de toutes ses conclusions. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimée n'a pas été invitée à répondre.