Faits: A. A.a Y._ est affilié auprès de X._ SA pour l'assurance obligatoire de soins et les assurances maladie et accident complémentaires « Complementa plus », « natura » et « ultra ». Cette dernière concerne l'hospitalisation en division privée ou en clinique, sans limitation du choix de l'établissement, et est entrée en vigueur le 1er janvier 2003. Le 3 août 2005, une demande de garantie pour une hospitalisation de Y._ dès le 15 du même mois auprès de la Clinique T._ (ci-après: la clinique) a été adressée à l'assureur. Celui-ci a, le 24 août 2005, garanti le séjour en division privée. Y._ a séjourné en chambre privée à la clinique du 15 août au 2 septembre 2005. Le 16 août 2005, il a subi une opération de l'épaule gauche pratiquée par le Dr A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Les frais d'hospitalisation se sont élevés à 31'215 fr. au total. A.b Le 10 novembre 2005, sur la base des renseignements obtenus et de l'avis de son médecin-conseil, l'assureur a confirmé au Dr A._ prendre en charge en division privée la phase aiguë du traitement, à savoir du 15 au 23 août 2005. Pour le reste du séjour, l'assurance n'a accepté de verser que l'équivalent du forfait prévu pour une réadaptation, au titre de l'assurance obligatoire des soins. Ainsi, l'assureur a pris en charge, en qualité de tiers payant, le séjour à hauteur de 15'145 fr.30. Le 23 novembre 2005, le Dr A._ a contesté la position de l'assureur, qui a ultérieurement confirmé sa décision. B. Le 9 novembre 2006, Y._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant au paiement de 10'310 fr.40, plus intérêts à 5% dès le dépôt de la demande. Ce montant correspond à celui que l'assuré a dû s'acquitter auprès de la clinique, consécutivement à la suspension de la garantie d'hospitalisation à partir du 24 août 2005. La défenderesse a conclu au rejet de la demande. Dans le cadre des enquêtes, les magistrats cantonaux ont procédé à l'audition du Dr A._ le 29 novembre 2007; le Dr B._, médecin-conseil de l'assureur, a été entendu à titre de renseignements. Par jugement du 30 septembre 2008, le Tribunal cantonal des assurances a partiellement admis la demande et condamné la défenderesse à verser au demandeur la somme de 7'329 fr.70, avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 2006, ainsi qu'une indemnité de procédure de 3'750 francs. En bref, la juridiction cantonale a considéré que, du 24 août au 2 septembre 2005, l'hospitalisation du demandeur visait encore le traitement de celui-ci et non pas sa réadaptation. Le Tribunal a retenu que la garantie d'hospitalisation a été donnée sans condition, en particulier sans limitation de durée, et qu'une prise en charge limitée à la phase aiguë du traitement ne ressortait pas des conditions générales. Les magistrats ont arrêté que, sur le vu des déclarations précises et circonstanciées du Dr A._, l'assurance, chargée du contrôle des conditions d'hospitalisation, s'est écartée à tort de l'appréciation de ce dernier. Ils ont en outre observé qu'un refus rétroactif de prise en charge, après que la garantie eût été accordée, n'est pas admissible. C. C.a Contre cet arrêt, la défenderesse interjette un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut à l'annulation du jugement rendu le 30 septembre 2008, en ce sens que la demande introduite par la partie adverse soit rejetée. Le demandeur invite le Tribunal fédéral à débouter la défenderesse de toutes ses conclusions et à confirmer l'arrêt entrepris, sous suite de frais et dépens. C.b Par ordonnance présidentielle du 17 novembre 2008, l'effet suspensif a été accordé au recours.