Faits: A. Le 24 mars 2006, sur réquisition de la Fondation institution supplétive LPP, Agence générale de la Suisse romande (ci-après: la Fondation ou l'institution supplétive), l'Office des poursuites de Morges-Aubonne a notifié à Z._, dans la poursuite n° xxxx, un commandement de payer les sommes de 18'572 fr.65 avec intérêts à 6% l'an dès le 1er janvier 2006 et de 100 fr. sans intérêts. La cause de l'obligation indiquée était "[...] solde du compte courant prime au 31.12.2005" et "frais de contentieux". Le poursuivi a formé opposition totale. Le 24 mai 2006, la Fondation a rendu une décision selon laquelle le poursuivi, désigné comme "l'employeur", était son débiteur des montants susmentionnés. Selon une attestation du 4 août 2006, aucun recours n'a été formé devant la Commission fédérale de recours en matière de prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité. B. Le 4 octobre 2006, la Fondation a requis le Juge de paix du district de Morges de prononcer la mainlevée définitive de l'opposition. Elle a produit le commandement de payer, la décision du 24 mai 2006 et l'attestation de la Commission fédérale de recours du 4 août 2006. Le Juge de paix a rejeté la requête par décision du 15 novembre 2006, au motif que la décision du 24 mai 2006 était postérieure au commandement de payer. Statuant le 8 mars 2007, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par la Fondation et maintenu le prononcé entrepris. C. Contre cet arrêt, la Fondation exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à sa réforme en ce sens que la mainlevée au commandement de payer est accordée pour les montants susmentionnés, ainsi que pour les frais du commandement de payer par 193 fr.35. L'intimé n'a pas déposé de réponse. L'autorité cantonale se réfère à son arrêt.