Faits: A. Le 28 juin 2012, la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des affaires pénales) a reconnu A._ coupable de participation à une organisation criminelle, de blanchiment d'argent aggravé répété, de vols répétés, de vols répétés d'importance mineure, de dommage à la propriété, de violations répétées de domicile, de recel d'importance mineure, d'acquisition et de consommation de stupéfiants. Il a notamment été condamné à une peine privative de liberté de 78 mois, sous déduction des 837 jours de détention provisoire subis. Ce même jour, l'autorité susmentionnée a prononcé le maintien en détention pour des motifs de sûreté de A._; cette mesure a été prolongée par décisions du 30 octobre 2012, du 29 janvier et du 25 juillet 2013. Par arrêt du 23 septembre 2013 (cause 6B_125/2013), le Tribunal fédéral a annulé le jugement du 28 juin 2012, considérant que le droit d'être entendu de A._ avait été violé. Il a renvoyé le dossier à l'autorité précédente, lui enjoignant d'obtenir des informations s'agissant de la retranscription en français des conversations téléphoniques tenues en langue étrangère (méthode appliquée, identité des personnes ayant participé à ce processus, instructions reçues). Le 7 octobre 2013, la Cour des affaires pénales a requis auprès du Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (Tmc) la prolongation de la détention pour motifs de sûreté, demande remplacée le 9 suivant par une requête de mise en détention. Par ordonnance du 10 octobre 2013, le Tmc a ordonné la détention pour motifs de sûreté de A._ jusqu'au 7 avril 2014, décision confirmée le 11 novembre 2013 par la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des plaintes). Par décision du 15 novembre 2013, la Cour des affaires pénales a renvoyé l'accusation au Ministère public de la Confédération (MPC) pour complément d'instruction, se dessaisissant de la cause. Ce même jour, A._ a requis sa mise en liberté immédiate au motif que sa détention ne reposait sur aucune titre juridique valable, demande qui a été rejetée le 26 novembre 2013 par le Tmc; celui-ci a en outre constaté que le prévenu était en détention provisoire jusqu'au 7 avril 2014. B. Le 23 décembre 2013, la Cour des plaintes a admis partiellement le recours intenté par A._ contre cette décision. En raison du renvoi par la Cour des affaires pénales de la cause au MPC, l'autorité de jugement a considéré que la détention effectuée entre le 22 et le 26 novembre 2013 ne reposait sur aucun titre juridique valable, violation qui pouvait être réparée par une constatation de l'irrégularité, une admission partielle du recours sur ce point, la mise à charge de l'Etat des frais de justice, ainsi que l'octroi de pleins dépens. La Cour des plaintes a en revanche estimé qu'au vu des charges pesant sur l'intéressé et de la peine prévisible, la durée de la détention subie (45 mois) demeurait proportionnée. Elle a enfin renvoyé à sa décision du 11 novembre 2013 s'agissant de l'existence des soupçons suffisants, ainsi que du risque de fuite. C. Par acte daté du 27 décembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement. Il conclut en substance à sa libération immédiate, ainsi qu'à la constatation dans le jugement attaqué que la détention subie entre le 22 et le 25 novembre 2013 était illégale. Il requiert, à titre subsidiaire, son annulation et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire. L'autorité précédente a renoncé à se déterminer, tandis que le MPC a conclu au rejet du recours, sans former d'observations. Le 21 janvier 2014, le recourant a déposé des déterminations complémentaires, persistant dans ses conclusions.