Faits: A. Le 9 décembre 2004, A.Y._ et X._ ont signé un contrat par lequel ce dernier recevait, moyennant le paiement de 1'600 fr. par mois, l'usage d'un caveau pour la dégustation des vins, à l'enseigne "...". A.Y._ a signé en son nom personnel, mais avec l'accord de sa soeur B.Y._, qui était propriétaire des locaux. Le contrat était conclu pour une durée d'une année, soit du 15 décembre 2004 au 30 novembre 2005, renouvelable ensuite pour cinq ans sauf résiliation donnée six mois à l'avance. Le 21 novembre 2005, A.Y._ et X._ ont signé un avenant prévoyant que le contrat était prolongé jusqu'au 20 mai 2006. A la fin avril 2006, X._ a cessé l'exploitation commerciale du caveau de dégustation. Il s'est acquitté des mensualités jusqu'à la fin mai 2006, mais il n'a pas restitué les clés des locaux, dans lesquels il a laissé du matériel, notamment du vin, lui appartenant. Le 30 mai 2007, A.Y._ et X._ ont conclu, par l'intermédiaire de leurs mandataires respectifs, une transaction prévoyant que le contrat du 9 décembre 2004 était en tout cas résilié avec effet au 31 mars 2007 et que X._ autorisait A.Y._ à faire changer les cylindres des portes, sans préjuger des sommes dues entre les parties. Le 6 juin 2007, B.Y._ - propriétaire des locaux - a fait changer les cylindres des portes d'entrée du caveau, afin de pouvoir y pénétrer. Le 26 juin 2007, deux employés de X._ sont venus récupérer les bouteilles de vin, ainsi que le matériel encore entreposé dans les locaux. B. Par mémoire-demande du 13 novembre 2007, A.Y._ a ouvert action contre X._ par-devant le Tribunal des districts d'Hérens et Conthey, lui réclamant le paiement des mensualités de juin 2006 jusqu'à la libération des locaux en juin 2007. Elle a conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser la somme de 19'200 fr. avec intérêts à 5% l'an à compter de chaque échéance, avec suite de frais et dépens. X._ s'est opposé à la demande. Par jugement du 8 janvier 2010, le juge de district a condamné X._ à verser à A.Y._ la somme de 19'200 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 15 décembre 2007, avec suite de frais et dépens. Saisi d'un appel formé par X._, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan, par arrêt du 9 novembre 2010, a condamné X._ à verser à A.Y._ la somme de 19'200 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 15 décembre 2007, avec suite de frais et dépens. C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt cantonal du 9 novembre 2010. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ainsi qu'une violation du droit d'être entendu sous l'angle du droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.), il conteste la légitimation active de sa partie adverse et le montant des dommages-intérêts qui ont été alloués à cette dernière. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet de la demande avec suite de frais et dépens. L'intimée conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours avec suite de frais et dépens.