Faits: A. A.a X._, né le 12 septembre 1960, et dame X._, née le 10 août 1969, se sont mariés le 29 août 1989 à Genève. Deux enfants sont issus de cette union: A._, née le 28 décembre 1989, aujourd'hui majeure, et B._, né le 4 mars 1996. Les époux se sont séparés en mars 2004. A.b Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 24 septembre 2004, le Tribunal de première instance de Genève a notamment donné acte, d'une part, aux conjoints de l'exercice d'une garde alternée des enfants, ceux-ci vivant de façon prépondérante chez leur père, et, d'autre part, au mari de son engagement de payer à l'épouse une contribution à son entretien et, partiellement, à celui des enfants, d'un montant de 2'200 fr. par mois. D'un commun accord, les parties ont réduit le montant de la contribution précitée à 1'000 fr. par mois dès le 1er juin 2005. B. B.a Le 9 juin 2006, le mari a ouvert action en divorce. Celui-ci a été prononcé le 11 janvier 2007 par le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur partie. Par arrêt du 14 septembre 2007, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce jugement. Saisie d'un appel contre le jugement sur mesures provisoires rendu par le Tribunal de première instance le 24 mai 2007, la Cour de justice a modifié, par arrêt du 14 décembre 2007, les mesures protectrices de l'union conjugale en ce sens qu'elle a notamment condamné le mari à payer à l'épouse, dès le 2 mars 2007, une contribution d'entretien d'un montant de 1'700 fr. par mois, et à prendre en charge l'intégralité des frais des enfants. B.b Par jugement du 1er novembre 2007, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué au père la garde et l'autorité parentale sur les enfants, donné acte à celui-ci de son engagement de prendre en charge l'intégralité de leurs frais, ordinaires et extra-ordinaires, fixé le droit de visite de la mère, constaté que les époux n'avaient plus de prétentions à faire valoir du chef de la liquidation de leur régime matrimonial, réglé le partage des avoirs de prévoyance professionnelle et débouté les parties de toutes autres conclusions. Statuant le 18 avril 2008, la Cour de justice a condamné le mari à payer à l'épouse la somme de 12'344 fr. à titre de liquidation du régime matrimonial, ordonné le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés pendant le mariage, transmis l'affaire au Tribunal cantonal des assurances pour qu'il établisse les avoirs de prévoyance des conjoints et procède au partage, et alloué à l'épouse une contribution d'entretien d'un montant de 2'000 fr. par mois jusqu'au 31 décembre 2012. C. Le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 18 avril 2008, concluant à son annulation en tant qu'il le condamne à payer une contribution d'entretien en faveur de l'épouse. L'intimée n'a pas été invitée à répondre sur le fond. D. Par ordonnance du 13 juin 2008, le Président de la cour de céans a refusé l'effet suspensif.