Faits: A. A.a W._ est au bénéfice d'une formation d'hôtelier et de cafetier-restaurateur. Dès 1995, il a exploité les restaurants X._ à A._, B._, C._ et D._ sous la forme d'une société en nom collectif. Par la suite, il a repris à titre personnel les établissements de C._ et de D._, qu'il a exploités en raison individuelle. Le 3 février 1999, W._ a été victime d'une fracture multi-fragmentaire par éclatement de la tête de l'humérus droit, dont l'évolution a été compliquée par une nécrose de la tête humérale. Le 31 mai 2001, le docteur E._ a procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse. Dans un rapport médical LAA du 28 décembre 2001, ce médecin a indiqué que le patient présentait pour l'instant et certainement de longue durée une incapacité de travail de 50 %. L'assureur-accidents a confié une expertise au docteur U._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 14 mars 2002, l'expert a posé le diagnostic de nécrose de la tête humérale droite après fracture sous-capitale (quatre fragments et plus), stade IV selon Neer. Dans le cadre d'un travail de restaurateur en cuisine, une incapacité de travail de l'ordre de 50 % semblait correcte. A.b Le 7 décembre 2001, W._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 5 janvier 2002, le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne, a indiqué que le patient avait présenté une incapacité de travail de 100 % du 3 février au 4 juin 1999, de 50 % du 5 juin au 15 août 1999, de 30 % du 11 décembre 2000 au 29 janvier 2001 et de 50 % à partir du 30 janvier 2001. Il signalait que depuis l'ablation du matériel d'ostéosynthèse, il persistait une très importante limitation fonctionnelle au niveau de l'épaule. Dans un rapport du 21 janvier 2002, le docteur E._ a posé le diagnostic de status post-fracture de l'épaule droite avec nécrose de la tête humérale. Il retenait une incapacité de travail de 100 % du 31 mai au 15 juin 2001 et de 50 % dès le 16 juin 2001. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a mis en oeuvre une enquête pour indépendant, qui a été effectuée le 9 décembre 2002. Dans un rapport du 10 décembre 2002, sous la rubrique relative au champ d'activité avant la survenance de l'atteinte à la santé, l'enquêteur a mentionné les tâches de gestion (organisation, administration, salaires, élaboration de recettes, propositions de banquets, contrôles de la marchandise, achats, hygiène) représentant le 20 à 25 % de l'engagement, tout en indiquant que W._ était un homme de terrain avant tout. Celui-ci se consacrait à la formation du personnel de service, mais surtout aux tâches de cuisinier tout en restant très impliqué au niveau du service. Il assumait non seulement un renfort mais les remplacements aussi bien en cuisine qu'au service lors de l'absence de personnel. En raison du handicap au niveau du bras droit, l'assuré avait dû engager un cuisinier supplémentaire, à qui il avait confié le rôle de chef de cuisine. Par rapport à ses empêchements, il avait dû se replacer dans l'entreprise. En se chargeant des relations avec la clientèle et en améliorant l'accueil, son objectif était de développer l'entreprise dans le but d'augmenter le chiffre d'affaires et ainsi d'amortir l'engagement financier du poste supplémentaire de cuisinier, objectif qui n'avait pas pu être atteint, les fins de semaine étant de toute façon complètes et la clientèle n'ayant pas répondu à l'appel en semaine. Par décision du 3 avril 2003, l'office AI a rejeté la demande: Dans la mesure où un établissement comme celui de W._ exigeait un travail important de direction et de gestion, il n'était pas possible d'admettre qu'il pourrait assumer, en plus, un poste de cuisinier à 80 % au moins. Il en résultait que l'incapacité de travail médico-théorique de 50 % dans l'activité de cuisinier n'occasionnait pas une diminution de la capacité de gain atteignant 40 %. Le 5 mai 2003, W._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 28 avril 2006, l'office AI a rejeté l'opposition, au motif que l'application de la méthode générale de comparaison des revenus conduisait à nier toute diminution de gain. D'autre part, si l'on appliquait la procédure extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, la pondération des tâches mettait en évidence un degré d'invalidité inférieur à 40 %, attendu que l'assuré présentait une incapacité de travail de 50 % uniquement dans l'activité de cuisinier. B. Le 2 juin 2006, W._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction cantonale étant invitée à lui accorder une rente d'invalidité d'une quotité à dire de justice, mais au minimum un quart de rente, subsidiairement à renvoyer le dossier à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants. Par jugement du 29 août 2008, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. W._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, le dossier étant renvoyé au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.