Faits : A. A.a. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 15 avril 2011, la Juge de paix du district de l'Ouest lausannois (ci-après: Juge de paix) a ordonné, à titre provisoire, la privation de liberté à des fins d'assistance de A._ et son placement au CHUV, à Lausanne, dès le 14 avril 2011 et ce pour une durée indéterminée, jusqu'à son transfert dans tout autre établissement approprié, déclaré l'ordonnance immédiatement exécutoire et dit qu'elle resterait en vigueur jusqu'à la décision sur la privation de liberté à des fins d'assistance. Cette décision a été rendue à la suite notamment de l'hospitalisation le 8 mars 2011 de l'intéressée au CHUV en raison d'une "chute sur éthylisation aiguë" ainsi que du signalement de son cas à la Justice de paix du fait d'une mise en danger de sa personne par des épisodes d'alcoolisme majeurs. La Juge de paix avait au préalable informé A._, par courrier du 18 mars 2011, qu'elle ouvrait une enquête en interdiction civile et en privation de liberté à des fins d'assistance à son endroit (ci-après: PLAFA). Le même jour, elle a requis le Centre d'Expertises du Département de psychiatrie du CHUV de procéder à l'expertise de l'intéressée. A.b. Dans le document médico-social de transmission établi le 22 mars 2011, l'infirmière de liaison au CHUV a notamment indiqué ce qui suit: "5. Contexte et habitude de vie - ..] Mme A._ entend cette décision [ s'agissant de la PLAFA ] et la vit plus ou moins bien, mais accepte d'aller en attente de placement puis en EMS, idéalement à D._ dans l'attente de la décision de justice [...]. 9. Prise en charge le jour du transfert - ..] Motif du transfert / Objectifs de soins / Projet pour le patient: Mme trouve un lieu de vie en attente de la décision du Juge, elle souhaiterait vraiment pouvoir aller à D._ et voir avec eux soit de rester en EMS ou de pouvoir intégrer les appartements protégé (sic) avec la poss (sic) d'aller en UAT [Unité d'accueil temporaire]. Mme est ok et impatiente de pouvoir aller en attente aux SPAH [Structure de préparation et d'attente à l'hébergement] dans une ch (sic) seule." Par télécopie du 27 mai 2011, l'infirmière de liaison du Bureau régional d'information, d'orientation et de liaison (ci-après: BRIO) a déposé une demande de long séjour en faveur de A._ auprès de la Fondation B._ (ci-après: la Fondation ou l'intimée). Il ressort ce qui suit de la demande d'orientation transmise en annexe, sous la rubrique "Souhaits de l'usager et/ou de son entourage": "EMS D._ ou Appartement protégé (en attendant la décision de la Justice de paix) Mme est ok pour le SPAH [Structure de préparation et d'attente à l'hébergement] la pensée". A.c. Le 1er juin 2011, A._ a été transférée au sein de l'établissement médico-social de la Fondation. Durant son séjour au sein de cet établissement, A._ s'est vue remettre un "Contrat d'hébergement en Long Séjour". Ce contrat, prévu pour une durée indéterminée, courrait dès le 1er juin 2011. Il n'a été ni daté ni signé par les parties. Il détaille à son article 5, intitulé "conditions financières", les prestations qui sont à la charge du résident. Par courrier du 28 juin 2011, A._ a requis la Justice de paix de la tenir informée de l'avancement de la procédure. Elle a indiqué qu'elle était contrainte de rester enfermée à la Fondation contre sa volonté depuis le 15 avril 2011 et que ce séjour forcé était très coûteux pour elle. A.d. Par acte du 6 juillet 2011, A._ a requis la levée immédiate de son placement provisoire. Elle a précisé que si elle ne s'était pas opposée à l'ordonnance de mesures provisionnelles du 15 avril 2011, c'était parce que la situation devait être réglée de manière provisoire en attendant le résultat d'une rapide expertise psychiatrique. Dans son procédé écrit du 13 juillet 2011, elle a précisé que la cause de la privation de liberté à des fins d'assistance prononcée le 15 avril 2011 à son encontre n'existait plus. A.e. Le 15 juillet 2011, après avoir entendu l'intéressée et le Dr C._ en qualité d'expert, la Justice de paix a décidé de lever la mesure de privation de liberté à des fins d'assistance prononcée à l'endroit de A._ avec effet au 25 juillet 2011, dit que l'enquête en privation de liberté à des fins d'assistance et en interdiction civile était poursuivie et invité la Fondation à mettre en place un réseau de soutien pour A._ en vue de sa sortie. A.f. Par décision du 12 octobre 2011, la Justice de paix a clos l'enquête en interdiction civile et en privation de liberté à des fins d'assistance ouverte à l'endroit de l'intéressée, a renoncé à prononcer une quelconque mesure et a laissé les frais de la cause à la charge de l'Etat. A.g. Le 30 juin 2011, la Fondation a adressé à A._ une facture pour ses frais d'hébergement du mois de juin 2011 d'un montant de xxxx fr. Elle en a fait de même pour le mois de juillet 2011, la facture s'élevant à xxxx fr. Après plusieurs échanges de courriers entre la Fondation et A._ au sujet du règlement de ces factures, cette dernière s'est vue notifier un commandement de payer la somme de xxxx fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 10 août 2011 (poursuite n° xxxx), auquel elle a fait opposition totale. B. B.a. Par décision du 16 mai 2013, la Juge de paix a rejeté la demande en paiement déposée le 11 octobre 2012 par la Fondation contre A._. Elle a considéré qu'eu égard à son refus d'être placée, contre son gré, à des fins d'assistance, A._ n'était pas liée contractuellement pour son séjour dans cet établissement, de sorte que la Fondation ne pouvait se prévaloir de l'existence d'un contrat pour exiger le paiement des frais socio-hôteliers y relatifs. B.b. Par arrêt du 7 mars 2014, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a admis le recours interjeté par la Fondation contre cette décision qu'elle a réformée en ce sens que la demande en paiement déposée le 11 octobre 2012 par cette dernière est admise et que A._ est sa débitrice à hauteur de xxxx fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 31 juillet 2011 à titre de frais d'hébergement, l'opposition formée au commandement de payer (poursuite n° xxxx) étant définitivement levée à due concurrence. C. Par acte du 2 mai 2014, A._ forme un recours en matière civile ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre cette décision. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la confirmation de la décision rendue par la Juge de paix le 16 mai 2013. A l'appui de ses conclusions, elle invoque une appréciation arbitraire des faits en violation de l'art. 9 Cst., ainsi que l'application arbitraire de l'art. 1 CO. Elle requiert en outre que son recours soit muni de l'effet suspensif. D. La requête d'effet suspensif a été rejetée par ordonnance présidentielle du 23 mai 2014.