Faits: A. Née en 1945, G._ travaillait depuis 1985 comme ouvrière dans une fabrique de cartonnages. Après avoir subi un premier accident en 1994, qui a entraîné des lésions à la main droite et différentes périodes d'incapacité de travail, elle a été victime d'un second accident affectant sa main gauche, le 3 juillet 2002, qui l'a empêchée de travailler jusqu'au 18 novembre 2002. Elle a repris son activité à mi-temps du 19 novembre 2002 jusqu'au début de l'année 2004. En arrêt complet de travail à partir du 4 mars 2004, elle n'a plus retravaillé depuis lors et les rapports de travail ont pris fin le 30 juin suivant. Entre-temps, le 31 mars 2003, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a pris des renseignements économiques et médicaux avant de nier, par décision du 16 novembre 2005, le droit de l'assurée à une rente, au motif que le taux d'invalidité (de 19 %) était insuffisant pour ouvrir le droit à une telle prestation. Contestant cette décision, l'intéressée a produit des rapports médicaux des docteurs C._, spécialiste en médecine interne, oncologie et hématologie (du 13 mars 2006), P._, spécialiste en chirurgie plastique, reconstructive et esthétique et en chirurgie de la main (du 3 avril 2006), et M._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie (du 12 avril 2006), qu'elle avait tous trois consultés à différentes reprises. Le 2 mai 2007, l'office AI a rejeté l'opposition de G._. B. La prénommée a déféré la décision sur opposition au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui l'a déboutée par jugement du 8 avril 2008. C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande principalement l'annulation, en concluant au renvoi de la cause au Tribunal vaudois des assurances pour instruction complémentaire et nouvelle décision. A titre subsidiaire, elle conclut à la réforme du jugement cantonal, en ce sens que lui soit reconnu le droit à une rente d'invalidité à partir du 31 mars 2003. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.