Faits: A. Le 11 décembre 2003, le Dr W._, médecin-chirurgien FMH, a opéré Y._ à l'abdomen. L'intervention a eu lieu à la Clinique U._, exploitée par Z._ SA. Lors de l'ablation du drain cinq jours après l'opération, deux tubules sont restées dans l'abdomen de la patiente. Cette dernière s'est plainte par la suite de douleurs abdominales persistantes. Le 23 novembre 2004, la Dresse A._, médecin-radiologue, a effectué un CT (tomographie assistée par ordinateur) abdominal à la Clinique X._. Celui-ci relevait la présence d'un corps étranger. La Dresse A._ ne l'a toutefois pas remarqué. En février 2008, un autre médecin a découvert le corps étranger. Il l'a enlevé le 6 janvier 2009. Depuis lors, les douleurs de Y._ ont disparu. B. Par mémoire du 6 juin 2012, Y._ (demanderesse) a ouvert action contre W._. Elle concluait au paiement de 40'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et 11'300 fr. en remboursement des frais de la procédure de preuve à futur. En même temps que sa réponse, W._ a déposé deux requêtes d'appel en cause, l'une contre Z._ SA, l'autre contre la Fondation X._. Dans cette dernière requête, W._ alléguait qu'en cas d'admission de l'action intentée contre lui, il pourrait se retourner contre la Fondation X._ pour les conséquences de l'erreur commise par la radiologue du service de radiologie de la Clinique X._. Par jugements incidents du 22 avril 2013, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a admis la requête contre Z._ SA et rejeté celle dirigée contre la Fondation X._. W._ a interjeté recours contre le second jugement. Par arrêt du 12 juin 2013 dont les considérants ont été notifiés le 22 août 2013, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours et confirmé le jugement attaqué. En résumé, la cour cantonale a retenu que la Dresse A._ travaillait à la Clinique X._ comme radiologue indépendante, qu'elle était au bénéfice d'une assurance responsabilité civile personnelle et qu'elle n'était pas liée à la Fondation X._ par contrat de travail; elle en a déduit que la requête aurait due être dirigée contre la Dresse A._. A titre superfétatoire, les juges précédents relèvent que, selon le rapport d'expertise du Dr B._, aucune faute ni violation des règles de l'art ne peut être retenue en relation avec l'intervention du 23 novembre 2004 à la Clinique X._. C. W._ (recourant) interjette un recours en matière civile. Il conclut à ce que l'appel en cause de la Fondation X._ (intimée) soit admis. L'intimée propose le rejet du recours. A la suite de la réponse, le recourant a déposé des observations. Y._ et Z._ SA ont toutes deux déclaré s'en remettre à justice.