Faits: A. X._ a travaillé en qualité de chef de rang pour la Brasserie A._ à B._. Son employeur avait conclu une assurance collective soumise à la LCA avec Y._ couvrant les employés contre le risque d'une perte de gain due à la maladie. Dès le 8 avril 2008, X._ s'est trouvé en incapacité totale de travail et il a dû subir un remplacement valvulaire aortique. Il a fait valoir son droit aux indemnités journalières prévues par l'assurance collective. Par courrier du 24 octobre 2008, Y._ a informé son assuré qu'elle cesserait le versement de ses prestations le 31 octobre 2008, considérant que celui-ci avait recouvré une capacité complète de travail dès le 1er novembre 2008. Une expertise judiciaire confiée au médecin-chef du service de cardiologie des Hôpitaux Universitaires Genevois, a conclu que X._ pouvait reprendre une activité à plein temps dès le 1er novembre 2008 à la condition que celle-ci soit adaptée à son état. Le 29 novembre 2008, X._ a été licencié pour le 31 janvier 2009. B. Le 29 janvier 2009, X._ a déposé une demande en paiement à l'encontre de Y._, concluant, sous suite de dépens, au versement des indemnités journalières au-delà du 31 octobre 2008. Y._ s'est opposée à la demande. Par arrêt du 12 mai 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a admis partiellement la demande, condamnant Y._ à payer à X._ les indemnités journalières pour une incapacité de travail entière jusqu'au 31 janvier 2009. Adoptant les conclusions de l'expert, la cour cantonale a admis que X._ avait une entière capacité de travail dès le 1er novembre 2008, mais à la condition que son activité soit adaptée à son état. Elle a donc estimé qu'il devait se reconvertir et qu'il se justifiait de lui accorder pour cela un délai d'adaptation de trois mois, soit jusqu'au 31 janvier 2009. Elle a observé également qu'en vertu de l'art. III 25 des conditions générales d'assurance, l'obligation de verser les prestations s'est éteinte au moment où le rapport de travail a pris fin, soit également au 31 janvier 2009. C. Ayant reçu cet arrêt le 21 mai 2010, X._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le lundi 21 juin 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation de l'art. 71 LAMal et une mauvaise application du délai d'adaptation de trois mois, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à l'octroi des indemnités journalières jusqu'au 16 avril 2009. Préalablement, il a sollicité l'assistance judiciaire, puis a retiré cette requête par lettre du 27 août 2010. Y._, qui plaide sans l'assistance d'un avocat, a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.