Faits: A. X._, ressortissant tunisien né en 1971, a épousé le 12 avril 2008 en Tunisie Y._, ressortissante suisse. Le 12 juillet 2008, il est entré en Suisse au bénéfice d'un visa. Le 21 novembre 2008, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a ratifié une convention de mesures protectrices de l'union conjugale autorisant les conjoints à vivre séparés jusqu'à fin novembre 2009, étant précisé qu'ils vivaient séparés depuis le 5 octobre 2008. Aucun enfant n'est issu de cette union. Le 19 janvier 2009, le Service de la population du canton de Vaud a délivré à X._ une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Sur réquisition du Service de la population, X._ et son épouse ont été entendus respectivement le 19 et le 21 août 2009 par la Police municipale d'Epalinges. Il ressort du procès-verbal d'audition que si X._ aspirait à reprendre la vie conjugale et était persuadé qu'il en allait de même de son épouse, celle-ci pour sa part ne désirait plus vivre avec l'intéressé ni même entrer en contact avec lui; elle avait du reste changé de domicile, s'établissant dans une autre ville, à l'insu de son époux. Elle a affirmé que si elle n'avait pas encore entrepris de procédure de divorce, elle en avait néanmoins la ferme intention, précisant qu'elle déposerait sa demande en divorce au plus tard à l'occasion de la prochaine audience, prévue en novembre 2009, au Tribunal d'arrondissement précité dans le cadre de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale. Elle exposait également avoir requis la séparation après avoir compris, à la suite de plusieurs événements, que l'intéressé ne l'aimait pas. Par courriers des 22 septembre et 5 octobre 2009, le Service de la population a informé X._ de son intention de refuser le renouvellement de son autorisation de séjour et de lui impartir un délai pour quitter la Suisse. Le prénommé s'est déterminé le 2 novembre 2009. Par décision du 24 novembre 2009, le Service de la population a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et lui a imparti un délai d'un mois pour quitter la Suisse. B. Contre cette décision, X._ a recouru à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal ou l'autorité précédente), qui l'a débouté par arrêt du 1er mars 2011. Les juges cantonaux ont considéré que le prénommé ne pouvait se prévaloir de son mariage pour en déduire un droit à une autorisation de séjour en vertu des art. 42 et 49 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), ainsi que de l'art. 8 CEDH. Il ne pouvait non plus bénéficier de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, selon lequel un tel droit subsiste après la dissolution de la famille, lorsque des raisons personnelles majeures imposent la poursuite du séjour en Suisse. A cet égard, le Tribunal cantonal a notamment retenu que X._ avait toute sa famille en Tunisie, à l'exception d'un frère et de l'épouse de celui-ci qui vivent en Suisse. Il ne pouvait se prévaloir d'attaches particulièrement étroites avec la Suisse, alors que sa réintégration en Tunisie ne semblait guère poser de problème. X._ faisait en outre valoir que la poursuite de son séjour en Suisse s'imposait pour des raisons médicales, en raison notamment du diabète de type 1 dont il souffrait. En se prévalant d'un "contact avec un médecin sur place", il prétendait en effet qu'il n'existait pas en Tunisie de traitement adapté à son type de diabète. X._ n'apportait toutefois pas la preuve de ses dires et il semblait peu probable qu'il ne puisse bénéficier d'un traitement adapté en Tunisie. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, de réformer l'arrêt du 1er mars 2011 en ce sens que son autorisation de séjour est renouvelée; à titre subsidiaire, il demande que l'arrêt en question soit annulé et le dossier renvoyé à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. A titre préalable, il requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif. Le Service de la population renonce à se déterminer sur le recours. L'autorité précédente se réfère aux considérants et au dispositif de son arrêt. L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours. Par ordonnance présidentielle du 8 avril 2011, la requête d'effet suspensif a été admise. Par courrier du 28 avril 2011, X._ a produit une pièce supplémentaire.