Faits: A. A._, né en 1963, et dame A._, née en 1968, sont les parents de B._, né le 23 juillet 1998. Le couple s'est séparé au mois de janvier 2008, la mère ayant quitté le domicile conjugal avec l'enfant. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 26 février 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère, accordé au père un droit de visite à exercer dans un point de rencontre un après-midi toutes les deux semaines, droit de visite dont la durée et la fréquence pourraient être progressivement élargies avec l'aval du curateur ad hoc, et instauré une curatelle de surveillance et d'organisation du droit aux relations personnelles au sens de l'art. 308 al. 2 CC. Selon ce jugement, le père, qui avait subi un grave accident vasculaire cérébral en 2006, était dépressif et souffrait d'une dépendance à l'alcool. Ses problèmes de santé se traduisaient par des comportements psychiquement et physiquement inadéquats à l'égard de son fils, qui avait peur de lui et ressentait en outre de la colère à son égard, tout en étant inquiet pour lui. La Chambre pénale de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 15 février 2010, reconnu le père coupable de lésions corporelles simples sur l'enfant pour avoir infligé à celui-ci une forte fessée en 2007. Par ordonnance du Tribunal tutélaire du canton de Genève du 3 juin 2010, le droit de visite du père a été modifié en ce sens qu'il a été fixé à une visite de quatre heures tous les quinze jours, à l'extérieur du point de rencontre, avec passage en ce lieu. Cette autorité a par ailleurs donné acte aux parents de leur accord concernant les appels téléphoniques prévus le lundi soir, un mercredi soir sur deux, le jeudi soir et le dimanche soir. B. La mère a formé une requête unilatérale en divorce le 9 juillet 2010. Le 28 janvier 2011, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a rendu un rapport d'évaluation sociale, après avoir entendu l'enfant. Par jugement de divorce du 22 septembre 2011, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère (ch. 2 du dispositif), réservé au père un droit de visite devant s'exercer, en l'état, à raison d'un repas par semaine, soit le mercredi et le samedi alternativement (ch. 3), limité en l'état les relations téléphoniques entre le père et le fils à un appel par semaine (ch. 4) et maintenu la curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (art. 308 al. 2 CC), à charge pour le curateur de réévaluer régulièrement la situation et de proposer, dès que possible, un élargissement du droit de visite (ch. 5). Le Tribunal a en outre ordonné l'exécution provisoire, nonobstant appel, des chiffres 3, 4 et 5 du dispositif de son jugement et transmis celui-ci au Tribunal tutélaire pour exécution (ch. 6). Statuant le 11 mai 2012 sur l'appel interjeté par le père, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, confirmé les chiffres 3 à 5 du jugement de première instance. C. Par acte du 15 juin 2012, le père exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 11 mai 2012. Il conclut à l'annulation de cette décision et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral. Des réponses n'ont pas été requises.