Faits: Faits: A. Du 21 août au 31 octobre 2000, A._ a travaillé auprès de la banque X._ S.A. (ci-après: la banque), en qualité d'employée intérimaire de l'agence Y._ S.A. (ci-après: Y._). Le contrat-cadre de travail applicable entre Y._ et A._ stipulait notamment que, pour toutes les missions, les trois premiers mois seraient considérés comme temps d'essai. Par contrat du 26 octobre 2000, A._ a été engagée par la banque, à partir du 1er novembre 2000 et pour une durée indéterminée, en qualité de secrétaire auprès du service de gestion commerciale. Il était expressément prévu que la première période de trois mois serait considérée comme temps d'essai. Les tâches confiées à A._ étaient les mêmes que celles qu'elle exerçait lorsqu'elle travaillait au sein de la banque en tant qu'employée intérimaire. Le salaire versé par la banque était sensiblement supérieur à celui que percevait A._ lorsqu'elle était employée par Y._. Par courrier du 12 janvier 2001 remis en mains propres, la banque a mis un terme au contrat de travail conclu avec A._ pour le 19 janvier 2001, la libérant immédiatement de son obligation de travailler. Les motifs de la résiliation étaient liés à un conflit relationnel. A._ a été malade et incapable de travailler du 24 janvier au 22 février 2001. Par courrier du 28 février 2001, elle a contesté le délai de congé de sept jours, estimant qu'un deuxième temps d'essai était illégal. Elle prétendait avoir droit à un délai de congé d'un mois, qui devait être reporté au 31 mars 2001 en raison de son incapacité de travail, et elle réclamait son salaire jusqu'à cette date. Le 26 mars 2001, la banque lui a répondu qu'elle avait été licenciée alors qu'elle se trouvait dans une période d'essai, conformément au contrat signé le 26 octobre 2000. Le 26 mars 2001, la banque lui a répondu qu'elle avait été licenciée alors qu'elle se trouvait dans une période d'essai, conformément au contrat signé le 26 octobre 2000. B. Par demande en justice déposée le 13 juin 2001, A._ a assigné la banque en paiement de 16'298,80 fr. plus intérêt à 5 % l'an à partir du 19 janvier 2001. Ce montant correspondait pour l'essentiel au paiement de son salaire jusqu'au 31 mars 2001. Elle demandait également l'indication écrite des motifs de son licenciement et la délivrance d'un certificat de travail. Le 14 septembre 2001, A._ a requis à titre additionnel que la banque lui verse 5'000 fr. d'indemnité pour licenciement abusif, plus 5'000 fr. pour tort moral et harcèlement psychologique. Par jugement du 3 octobre 2001, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné la banque à payer à A._ la somme de 713,40 fr. bruts, avec intérêt à 5 % l'an dès le 19 janvier 2001, et à établir un certificat de travail détaillé portant sur la nature et la durée des rapports de travail, ainsi que sur la qualité du travail et la conduite de cette employée. A._ a appelé de ce jugement et a requis le versement de 15'243,55 fr. plus intérêt. L'employeur a déposé un appel incident, en concluant à l'annulation du jugement du 3 octobre 2001 en tant qu'il était condamné à établir un certificat de travail détaillé. En cour de procédure, les parties ont trouvé un arrangement quant au contenu du certificat de travail et un projet a été remis à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Par arrêt du 17 juillet 2002, celle-ci a rejeté tant l'appel principal que l'appel incident et confirmé la décision entreprise, sous réserve de la remise du certificat de travail. Statuant à nouveau sur ce point, elle a donné acte aux parties que la banque délivrerait un certificat de travail au contenu identique au projet qui lui avait été soumis et que celui-ci indiquerait le 19 janvier 2001 comme date de la fin des rapports de travail entre les parties. Enfin, elle a condamné en tant que besoin la banque à établir et délivrer ledit certificat. Par arrêt du 17 juillet 2002, celle-ci a rejeté tant l'appel principal que l'appel incident et confirmé la décision entreprise, sous réserve de la remise du certificat de travail. Statuant à nouveau sur ce point, elle a donné acte aux parties que la banque délivrerait un certificat de travail au contenu identique au projet qui lui avait été soumis et que celui-ci indiquerait le 19 janvier 2001 comme date de la fin des rapports de travail entre les parties. Enfin, elle a condamné en tant que besoin la banque à établir et délivrer ledit certificat. C. Contre cet arrêt, A._ (la demanderesse) interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision entreprise et à la condamnation de la banque d'une part à lui verser le montant brut de 15'243,55 fr. avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er avril 2001, d'autre part à établir et à délivrer un certificat détaillé portant sur la nature et la durée des rapports de travail, ainsi que sur la qualité de son travail et sa conduite. Elle requiert enfin à ce qu'il soit dit que ce certificat indiquera le 31 mars 2001 comme date de la fin des rapports de travail entre les parties. La banque (la défenderesse) propose à la Cour de céans de déclarer le recours irrecevable à la forme et, au fond, de le rejeter dans la mesure de sa recevabilité, tout en confirmant l'arrêt du 17 juillet 2002, avec suite de dépens.