Faits : Faits : A. A.a Y._ & Cie est une société en commandite inscrite au registre du commerce de Genève. Cette société a pour but la banque et toutes opérations s'y rattachant, de même que les affaires immobilières et le commerce de transit. Le 1er mai 1985, la banque a engagé X._ en qualité de trader. Jusqu'en 2000, X._ a travaillé au service du trading à court terme, avec pour dernier supérieur direct A._. Dès le 1er septembre 2000, X._ a été transféré au fichier central de la banque, plus précisément au sein du service « voyage » du département « gestion document et courrier »; ce département était dirigé par B._. X._ a d'abord été intégré à l'équipe « cotations », avec pour supérieurs directs C._ et D._. A partir du 1er janvier 2002, il s'est vu confier la responsabilité de l'équipe « cotations », avant de devenir, le 1er juillet 2002, responsable du secrétariat général. Dans ces nouvelles fonctions, X._ dépendait directement de B._, avec qui il entretenait, depuis l'été 2002, des relations tendues. Les rapports d'évaluation 2001, 2002 et 2003 font état d'une carence, chez X._, de qualités directoriales. En 2004, un nouveau transfert a été opéré. Plusieurs postes ont été offerts à X._, qui a finalement opté pour celui proposé au service « info-voyages », dépendant du fichier central de la banque. Cette fonction, qui consistait à renseigner les gestionnaires de comptes et les clients, ainsi qu'à faire d'autres tâches ponctuelles, permettait de se former aux tâches de compliance officer, ce qui intéressait X._. Le 1er juin 2004, celui-ci a donc rejoint le fichier central. A.b En été 2002, un projet confidentiel, intitulé « projet ... », a été mis en place. X._ a été chargé, dans le cadre de ce projet, de l'exécution informatique d'ordres de transfert portant sur des montants supérieurs à 10'000'000 francs. A la suite d'une modification temporaire de la directive 9 de la banque, ces ordres informatiques ne devaient pas être visés par les associés de la banque. A.c Dans le cadre de ses fonctions, X._ a photocopié de nombreux documents confidentiels. Le 18 septembre 2004, il a adressé une lettre anonyme à la banque, réclamant le paiement de 42'000'000 fr., à défaut de quoi des renseignements confidentiels seraient publiés. Une enquête pénale a été ouverte en relation avec ces faits. Le 29 septembre 2004, X._ a été licencié avec effet immédiat. A.c Dans le cadre de ses fonctions, X._ a photocopié de nombreux documents confidentiels. Le 18 septembre 2004, il a adressé une lettre anonyme à la banque, réclamant le paiement de 42'000'000 fr., à défaut de quoi des renseignements confidentiels seraient publiés. Une enquête pénale a été ouverte en relation avec ces faits. Le 29 septembre 2004, X._ a été licencié avec effet immédiat. B. Par demande déposée le 24 février 2005 auprès de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, X._ a conclu à la condamnation de Y._ & Cie au paiement de 10'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral. Il faisait état d'actes de mobbing exercés à son encontre par ses supérieurs hiérarchiques dans le cadre de son activité professionnelle et invoquait une violation par la banque de son obligation de protection des travailleurs prescrite par l'art. 328 CO. Par jugement du 20 février 2006, le Tribunal des prud'hommes a débouté le demandeur des fins de sa demande. Ce jugement a été confirmé, le 8 septembre 2006, par la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, qui a rejeté l'appel formé par le demandeur. En substance, les juges cantonaux ont considéré que l'existence d'actes de mobbing antérieurs au transfert du demandeur au sein du service « voyage » en 2000 n'a pas été établie et que ce transfert ne pouvait être qualifié de rétrogradation. S'agissant du déroulement du « projet ... », en été 2002, les magistrats ont jugé qu'aucun acte de harcèlement ne pouvait être retenu. Ils ont de même estimé que l'attitude de B._ à l'égard de X._, si elle pouvait être qualifiée de maladroite, n'était pas constitutive d'une violation des droits de la personnalité du demandeur. Enfin, la cour cantonale a considéré que le second transfert au service « info-voyages » ne dénotait pas une intention de la banque de dévaloriser le demandeur ou de le confiner dans un poste sans avenir. Par jugement du 20 février 2006, le Tribunal des prud'hommes a débouté le demandeur des fins de sa demande. Ce jugement a été confirmé, le 8 septembre 2006, par la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, qui a rejeté l'appel formé par le demandeur. En substance, les juges cantonaux ont considéré que l'existence d'actes de mobbing antérieurs au transfert du demandeur au sein du service « voyage » en 2000 n'a pas été établie et que ce transfert ne pouvait être qualifié de rétrogradation. S'agissant du déroulement du « projet ... », en été 2002, les magistrats ont jugé qu'aucun acte de harcèlement ne pouvait être retenu. Ils ont de même estimé que l'attitude de B._ à l'égard de X._, si elle pouvait être qualifiée de maladroite, n'était pas constitutive d'une violation des droits de la personnalité du demandeur. Enfin, la cour cantonale a considéré que le second transfert au service « info-voyages » ne dénotait pas une intention de la banque de dévaloriser le demandeur ou de le confiner dans un poste sans avenir. C. Le demandeur interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et la constatation des faits, il requiert son annulation. La défenderesse propose de déclarer le recours irrecevable, voire de le rejeter, dans la mesure où il serait recevable.