Faits: A. W._, née en 1949, a travaillé en qualité d'employée de commerce auprès d'une compagnie d'assurance jusqu'en 1987. Dès le 1er mai 1988, elle a bénéficié d'une demi-rente d'invalidité fondée sur un degré d'incapacité de gain de 50 % (prononcé du 8 novembre 1989). Le droit à cette prestation a été confirmé à plusieurs reprises lors de procédures de révision (en 1991, 1993, 1995 et 2000). Du 1er juillet 1990 au 14 octobre 2004, l'assurée a été occupée à mi-temps en qualité d'employée d'accueil de la clientèle au service d'une banque. Depuis lors, elle a cessé le travail en raison de douleurs dorsales. Dans le cadre d'une nouvelle procédure de révision du droit à la rente, initiée d'office en septembre 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (l'office AI) a recueilli l'avis de la doctoresse B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, médecin traitant (rapport du 27 octobre 2005). L'administration a confié un mandat d'expertise à la Clinique X._, fonctionnant en tant que COMAI. Dans leur rapport d'expertise interdisciplinaire du 15 novembre 2006, les doctoresses D._, spécialiste en médecine physique et rééducation ainsi qu'en rhumatologie, et U._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont attesté une capacité de travail exigible de 70 % dans l'ancienne profession. Par décision du 3 septembre 2007, l'office AI a fixé le taux d'invalidité de l'assurée à 30 % et a mis fin au droit à la rente. B. W._ a déféré cette décision à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, en concluant principalement au maintien de la demi-rente. Par jugement du 19 décembre 2008, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision du 3 décembre 2007. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant principalement à la confirmation de sa décision, subsidiairement au renvoi de la cause pour nouvelle instruction. L'intimée conclut au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.