Faits: A. Le 21 octobre 2002, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Après avoir pris des renseignements notamment auprès du médecin traitant de l'assurée, le docteur I._, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a chargé son Service médical régional AI (SMR) d'examiner l'intéressée (rapport du docteur T._ du 10 septembre 2004). C._ a également suivi un stage d'observation professionnelle du 18 avril au 13 mai 2005 au Centre d'observation professionnelle de l'AI (COPAI) à Z._ (rapport du 25 mai 2005). Par décision du 28 avril 2006, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité, au motif qu'elle présentait un degré d'invalidité (28,22%) insuffisant pour ouvrir le droit à une telle prestation. L'intéressée ayant contesté ce prononcé, l'administration a maintenu son point de vue par décision sur opposition du 20 mars 2007. B. Saisi d'un recours de C._ contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui, Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales) l'a rejeté et renvoyé le dossier à l'office AI pour qu'il complète l'instruction quant à des atteintes à la santé survenues postérieurement à la décision sur opposition (jugement du 24 novembre 2008). C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande principalement la réforme en ce sens que lui soit allouée une rente entière de l'assurance-invalidité depuis la date à fixer par le Tribunal fédéral. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité de recours de première instance pour la mise en oeuvre d'une expertise médicale. Elle sollicite, par ailleurs, le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'office AI conclut implicitement au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.