Faits: A. C._ a travaillé comme aide de cuisine dans un restaurant à E._ jusqu'au 10 avril 2002, date à laquelle il a été mis en arrêt de travail. Le 23 juillet 2003, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité visant singulièrement à l'octroi d'une rente, en invoquant souffrir, depuis le 12 mars 2002, d'ulcères dus à une insuffisance artérielle et veineuse. En raison d'une aggravation de son état de santé, C._ a subi une amputation à la mi-jambe gauche (le 6 octobre 2004). L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a pris en charge les coûts d'une prothèse tibiale gauche et de chaussures orthopédiques. La situation s'étant stabilisée, l'administration a rejeté la demande de rente (décision du 13 octobre 2005) avant de recueillir, sur opposition de l'intéressé, de nouveaux rapports médicaux. Il a également chargé son Service médical régional (SMR) d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 25 juillet 2006, le docteur T._, chirurgien-orthopédiste et médecin du SMR, a considéré que C._ était incapable de travailler dans son métier d'aide-cuisinier (ou d'ouvrier), mais était en mesure d'exercer à plein temps une activité adaptée (soit sédentaire, n'impliquant ni la position debout prolongée et de longues marches, ni le port de charges supérieures à 10 kilos) à partir du septième mois après l'intervention chirurgicale. Le prénommé a contesté cette appréciation en produisant un rapport de son médecin traitant, le docteur C._, du 20 octobre 2006. Par décision du 28 novembre 2006, l'office AI a partiellement admis l'opposition de l'assuré, en lui allouant une rente entière d'invalidité du 1er avril 2003 au 31 août 2005. Il a considéré, pour le surplus, qu'à partir de cette date, C._ présentait une incapacité de gain de 16 %, insuffisante pour maintenir le droit à une rente. B. Statuant le 29 mai 2007 sur le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a rejeté dans la mesure où il était recevable. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut "préalablement" à ce que soit ordonnée une expertise sur le plan cardiologique et, au fond, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2003 "sans limitation dans le temps". L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.