Faits : A. A.a. A._ est né en Suisse. De nationalité française, il a été naturalisé suisse en 2005. Il a obtenu en 2001 un brevet fédéral de spécialiste en exportation. Il a travaillé successivement au service de plusieurs employeurs dans la région lémanique, en dernier lieu au service de B._ SA du 1 er août 2010 au 30 septembre 2011. Le 3 octobre 2011, il s'est annoncé à l'assurance-chômage. Il a indiqué être domicilié à l'adresse rue U._, à V._. Un délai-cadre d'indemnisation a été ouvert en sa faveur et la Caisse cantonale genevoise de chômage lui a versé les indemnités prétendues. A.b. Le 23 novembre 2011, une enquête a été ouverte par l'Office cantonal genevois de l'emploi. Selon le rapport établi par le service des enquêtes de cet office, l'intéressé avait acquis en 2001 un appartement qu'il occupait à W._ (France). L'appartement de la rue U._ (deux chambres et une cuisine) était loué par C._. A._ disait avoir conservé une chambre dans ce même appartement pour un loyer mensuel de 900 fr. Il ressortait toutefois des constatations du service des enquêtes que l'appartement était occupé par les époux C._ et que deux autres personnes (D._ et E._) s'étaient annoncées au contrôle des habitants de V._ comme vivant aussi dans l'appartement en question. Le service des enquêtes a conclu qu'il était peu probable que A._ partageait ou ait partagé l'intimité du couple C._ et de deux autres personnes dans un appartement comportant seulement un salon, une chambre et une cuisine, alors qu'il était lui-même propriétaire depuis 2001 d'un appartement en France voisine. En tout cas depuis fin 2007 (date à laquelle sa mère n'était plus domiciliée à V._), A._ était certainement domicilié en France. Le 23 décembre 2011, A._ a déposé une attestation établie par F._, selon laquelle il vivait désormais chez elle, rue X._ à Y._. Le 24 février 2012, la caisse de chômage a confié un nouveau mandat d'enquête à l'Office cantonal de l'emploi. Le même jour, elle a informé l'assuré qu'elle suspendait le versement des indemnités journalières aussi longtemps que la question de son domicile n'était pas éclaircie. Rapportant le 10 avril 2012, l'Office cantonal de l'emploi a indiqué que durant la période du 4 mars au 4 avril 2012, l'enquêteur était passé à vingt-cinq reprises devant la villa sise rue X._ et qu'il n'avait jamais aperçu l'intéressé ou son véhicule devant ou à l'intérieur de la propriété. Selon une source officieuse, le véhicule était toujours et encore parqué devant l'immeuble à W._, tout en étant régulièrement utilisé. A.c. Par décision du 17 avril 2012, confirmée sur opposition le 16 juillet suivant, la caisse a nié le droit aux indemnités de A._ avec effet au 3 octobre 2011. Elle a retenu que celui-ci n'avait pas de résidence en Suisse et ne pouvait pas non plus être considéré comme un "vrai frontalier atypique" pouvant bénéficier des indemnités journalières de l'assurance-chômage suisse en vertu de la jurisprudence européenne en matière de sécurité sociale. B. Par arrêt du 9 juillet 2013, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a rejeté le recours formé par l'intéressé contre la décision sur opposition du 16 juillet 2012. C. A._ forme un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et, principalement, demande au Tribunal fédéral de dire qu'il a droit aux prestations de l'assurance-chômage dès le 3 octobre 2011; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. La caisse de chômage conclut au rejet du recours.