Faits: Faits: A. A._, ressortissant du Kosovo, né le 6 mars 1967, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 7 décembre 1998, en invoquant des «problèmes psychiques et (de) dos». Dans un rapport du 25 janvier 1999, le docteur D._ a diagnostiqué des cervicobrachialgies et des lombosacralgies chroniques, des troubles de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée, ainsi qu'une personnalité de type borderline. Par ailleurs, outre deux courtes périodes d'interruption de travail entre le 6 juillet 1996 et le 6 juillet 1997, il a attesté une incapacité de travail entière depuis le 30 septembre 1997. Devant l'impossibilité d'objectiver les plaintes de l'assuré au plan somatique, le docteur D._ a adressé celui-ci au Département de psychiatrie D._ où les médecins ont posé le diagnostic d'épisode dépressif moyen sans syndrome somatique (F32.10), trouble somatoforme douloureux persistant (F450) et difficultés liées à l'emploi et au chômage (Z56) ainsi que dans les rapports avec le conjoint (Z630). Sur la base de ces constatations, ils ont attesté une incapacité de travail entière à partir du 15 juillet 1998, et ce pour une durée indéterminée (rapport du 30 avril 1999 établi par les doctoresses R._ et W._, respectivement chef de clinique et médecin-assistant au Département de psychiatrie D._). Par décision du 20 août 1999, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a refusé toute prestation à l'assuré, en considérant que celui-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi. Par décision du 20 août 1999, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a refusé toute prestation à l'assuré, en considérant que celui-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi. B. A._ a recouru contre cette décision en concluant au bénéfice de mesures de réadaptation professionnelle ou à l'octroi d'une rente d'invalidité. L'office AI a conclu au rejet du recours en faisant valoir, outre les motifs déjà exposés dans sa décision du 20 août 1999, que A._ ne remplissait pas la condition d'assurance, car il n'était plus au bénéfice d'une autorisation de séjour et avait définitivement quitté la Suisse le 31 janvier 1997, selon une attestation du 28 janvier 1999 émanant de l'Office cantonal de contrôle des habitants et de police des étrangers (ci-après : la police des étrangers). Par jugement du 27 mars 2000, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a admis le recours formé par A._ et annulé la décision attaquée, en renvoyant le dossier à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants. Par jugement du 27 mars 2000, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a admis le recours formé par A._ et annulé la décision attaquée, en renvoyant le dossier à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en reprenant les arguments et les conclusions présentés en instance cantonale. A._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales préavise en faveur de son admission.