Faits: A. Le 22 juillet 2003, le Juge d'instruction des affaires économiques du canton du Valais (ci-après: le juge d'instruction) a ouvert une instruction pénale d'office contre A._, qui était soupçonné d'avoir utilisé à son profit des biens, sommes d'argent et autres valeurs patrimoniales au détriment de la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais (ci-après: la CRPE), dont il était le président. Le 24 février 2009, le procureur général du canton du Valais l'a renvoyé à jugement devant le Tribunal du IIe arrondissement pour le district de Sion, pour répondre des infractions d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 CP), de vol (art. 139 ch. 1 CP), d'escroquerie (art. 146 ch. 1 CP), de gestion déloyale (art. 158 ch. 1 al. 1 et 3 et ch. 2 CP), de faux dans les titres (art. 251 ch. 1 CP), d'instigation à faux dans les titres (art. 24 al. 1 et 251 ch. 1 CP) et de blanchiment d'argent (art. 305bis ch. 1 CP). En substance, il est reproché à A._ d'avoir, en sa qualité de président de la CRPE et de secrétaire général de la Fédération des magistrats, des enseignants et des fonctionnaires de l'Etat du Valais (la FMEF), occasionné à ces deux entités, spécialement la première, un préjudice de plusieurs millions de francs. Le 27 juillet 2009, les parties ont été citées à comparaître au débat final du 19 octobre 2009. Le 7 août 2009, A._ a soumis une requête d'assistance judiciaire au Président du Tribunal du IIe d'arrondissement pour le district de Sion. Il concluait à sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle limitée à la désignation d'un avocat d'office, en la personne de Me Olivier Couchepin, dès le 1er septembre 2008. Par décision du 8 septembre 2009, le juge précité a rejeté la requête d'assistance judiciaire, au motif que l'intéressé avait échoué à rendre vraisemblable son indigence. Le 16 septembre 2009, il a néanmoins désigné Me Olivier Couchepin en qualité de défenseur d'office au sens de l'art. 49 ch. 3 du Code de procédure pénale valaisan du 22 février 1962 (CPP/VS; RS/VS 312.0), avec effet au jour de sa requête. B. A._ a contesté la décision du 8 septembre 2009 auprès du Juge de l'autorité de plainte du Tribunal cantonal du canton du Valais. Par décision du 9 octobre 2009, celui-ci a considéré que la plainte devait être déclarée irrecevable faute de motivation suffisante et que, "même recevable sous cet angle, elle devrait être rejetée". Le Juge de l'autorité de plainte a dès lors également abordé le fond, considérant en substance que l'indigence de A._ n'avait pas été démontrée. Selon le dispositif de cette décision, la plainte était rejetée dans la mesure de sa recevabilité. C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et de lui octroyer l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale. Il se plaint de formalisme excessif et invoque l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif ainsi que l'assistance judiciaire dans la présente procédure. Le Président du Tribunal du IIe arrondissement pour le district de Sion, le Procureur général et le Juge de l'autorité de plainte du Tribunal cantonal du canton du Valais ont tous renoncé à se déterminer. D. Par ordonnance du 15 octobre 2009, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif formée par le recourant.