Faits: A. A.a Le 27 juillet 2011, A._ s'est vu notifier le commandement de payer les montants de 289 fr. 40, avec intérêt à 5% dès le 10 juin 2011, et de 210 fr., à l'instance de B._ SA, dans la poursuite n° xxxx de l'office des poursuites et faillites du district de Sion. Le 17 octobre 2011, elle s'est vu notifier la commination de faillite puis, le 25 janvier 2012, B._ SA a requis sa faillite. A.b Le 27 février 2012, l'avis de l'audience de faillite, fixée au 17 avril 2012, a été expédié aux parties par pli recommandé. Le pli recommandé contenant la convocation de A._ a été retourné à l'expéditeur avec la mention "Non réclamé". B. B.a Par décision du 17 avril 2012, le juge suppléant III du district de Sion a prononcé la faillite de A._, avec effet le même jour à 14 heures 15. B.b Par décision du 24 mai 2012, le Juge de l'Autorité de recours en matière de faillite du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours interjeté par la faillie contre cette décision. C. Par acte posté le 19 juin 2012, A._ exerce un recours en matière civile contre cet arrêt, assorti d'une demande d'effet suspensif, concluant à son annulation. Elle se plaint de la violation de son droit d'être entendu, protégé à l'art. 29 al. 2 Cst., en ce sens qu'elle n'a pas pu se présenter à l'audience du 17 avril 2012, faute d'avoir reçu une citation à comparaître. Par acte posté le 11 juillet 2007, la recourante a en outre requis d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Invitées à se déterminer, l'intimée n'a transmis aucune observation alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de l'arrêt attaqué. D. L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 13 juillet 2012, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les mesures conservatoires demeurant toutefois en vigueur.