Faits: Faits: A. A.a M._, né en 1932, est entré en Suisse en 1951. Entre 1951 et 1959, il a effectué des études de médecine à l'Université X._. Du 20 juillet 1959 au 30 juin 1961, il a occupé un poste d'assistant à la Clinique B._ à V._. Du 1er juillet 1961 au 5 juillet 1964, il a travaillé en qualité d'assistant régulier à la Clinique psychiatrique universitaire de l'Hôpital Y._, à P._. Nommé aux fonctions de médecin-adjoint de l'Hôpital W._ à N._, il a travaillé en cette qualité entre le 1er juillet 1964 et le 1er octobre 1966. Du 1er octobre 1966 au 30 août 1967, il a été interne régulier à l'Hôpital S._, à L._. Ayant acquis la formation de psychiatre et psychothérapeute FMH, il est retourné en Iran. Dès 1978, il s'est établi en Suisse. Le 17 janvier 1997, M._ a présenté une demande de rente de vieillesse. Par décision du 20 mai 1997, la Caisse de compensation des médecins, dentistes et vétérinaires - devenue Medisuisse - lui a alloué dès le 1er mars 1997 une rente ordinaire de vieillesse de 769 fr. par mois, assortie d'une rente complémentaire pour son épouse et d'une rente pour enfant. Elle se fondait sur l'échelle de rente 17 et sur un revenu annuel moyen de 239'746 fr. pour dix-sept années et deux mois de cotisations. Le 11 janvier 2003, M._, produisant plusieurs documents dont une attestation de l'Université X._ du 13 décembre 2002, a invité Medisuisse à effectuer un nouveau calcul de sa rente de vieillesse, qui prenne en compte comme années de cotisations ses années d'études et les années pendant lesquelles il avait travaillé dans des hôpitaux jusqu'au 30 août 1967. Le 27 août 2003, la caisse a rendu une nouvelle décision de rente en remplacement de la décision du 20 mai 1997, par laquelle elle allouait à M._ une rente mensuelle de vieillesse de 950 fr. à partir du 1er mars 1997, de 959 fr. dès le 1er janvier 1999, de 983 fr. à partir du 1er janvier 2001 et de 1007 fr. dès le 1er janvier 2003. Elle se fondait sur l'échelle de rente 21 et sur un revenu annuel moyen de 331'692 fr. pour vingt et une années et un mois de cotisations. Le 19 décembre 2003, M._, produisant une lettre de l'Université X._ du 12 décembre 2003, a demandé que ses années d'études soient prises en compte comme années de cotisations dans le calcul de la rente. Par décision du 18 mai 2004, Medisuisse, rejetant la demande, a confirmé le calcul de la rente, au motif que M._ n'avait pas cotisé à l'AVS entre 1951 et 1959 et que la prise en compte des années d'études était exclue. Le 3 juin 2004, M._ a formé opposition contre la décision du 18 mai 2004. Par décision du 15 juillet 2004, Medisuisse a rejeté l'opposition. A.b Le 25 juin 2004, F._, née le 10 juillet 1941, épouse de M._, a déposé une demande de rente de vieillesse. Par décision du 7 juillet 2004, Medisuisse a alloué à F._ à partir du 1er août 2004 une rente ordinaire de vieillesse de 1'142 fr. par mois. Elle se fondait sur l'échelle de rente 30 et sur un revenu annuel moyen de 125'334 fr. pour vingt-sept années et six mois de cotisations. Par une autre décision rendue le même jour, elle a alloué à M._ une rente mensuelle de vieillesse de 800 fr. dès le 1er août 2004, sur la base de l'échelle de rente 21 et d'un revenu annuel moyen de 182'304 fr. pour vingt et une années et un mois de cotisations. Le 23 juillet 2004, M._ a formé opposition contre la décision du 7 juillet 2004 le concernant. Par décision du 13 août 2004, Medisuisse a rejeté l'opposition. Le 23 juillet 2004, M._ a formé opposition contre la décision du 7 juillet 2004 le concernant. Par décision du 13 août 2004, Medisuisse a rejeté l'opposition. B. Dans un mémoire du 24 août 2004, M._ a formé recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 15 juillet 2004, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la nullité de celle-ci. Il demandait que la cause soit renvoyée à Medisuisse pour nouveau calcul de la rente, qui tienne compte des années d'études entre octobre 1951 et avril 1959 comme années de cotisations. Dans une écriture du 14 décembre 2004, il a requis l'audition des docteurs A._ et D._ à L._, qui tous deux avaient fait leurs études en même temps que lui et avaient produit des attestations de l'Université X._, ce qui avait suffi à débloquer la situation avec l'AVS. Le 17 mai 2005, il a précisé que ces médecins percevaient une rente de vieillesse calculée sur la base de l'échelle 44, applicable dans le cas d'une rente complète. Interpellée par le juge instructeur, l'Agence J._ de L._ a répondu qu'à la suite des recherches effectuées dans ses archives, elle n'avait trouvé aucune trace de règlement de cotisations AVS au moyen de timbres ou d'exonération du paiement des cotisations en ce qui concerne M._ pour ses années d'études entre 1951 et 1959. Sur requête du juge instructeur, Medisuisse a indiqué que la rente avait été calculée sur la base des documents pertinents en sa possession, y compris ceux comportant un numéro AVS fondé sur une date de naissance erronée, qui avait été découvert après la demande de réexamen du 11 janvier 2003. En raison des inscriptions manquantes, elle n'avait pas pu prendre en compte la période entre le 20 juillet 1959 et le 30 juin 1961 et celle allant de 1965 au 30 août 1967. Par jugement du 29 mai 2006, le Tribunal des assurances a rejeté le recours. Par jugement du 29 mai 2006, le Tribunal des assurances a rejeté le recours. C. Le 20 juillet 2006, M._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de celui-ci en ce sens que la rente de vieillesse à laquelle il a droit depuis le 1er mars 1997 devait être calculée en tenant compte des années d'études entre le 1er octobre 1951 et avril 1959 comme années de cotisation, d'une part, et, d'autre part, des périodes de cotisation du 20 juillet 1959 au 30 juin 1961 et de 1965 à 1967. A titre subsidiaire, il demandait que le jugement du 29 mai 2006 soit déclaré nul et de nul effet, la cause étant renvoyée au Tribunal des assurances du canton de Vaud pour nouveau calcul de la rente dans le sens de ce qui précède. Medisuisse a conclu au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.