Faits: A. D.X._, née en 1930, était assurée auprès de W._ SA (ci-après: W._), dès le 1er janvier 1997, pour les risques de décès ou d'invalidité par accident; selon la police d'assurance (ci-après: police n° 1), le capital-décès était de 5'000 fr. et le capital-invalidité était de 100'000 fr. avec une progression de 225 % (progressivité A). Le 26 mai 1999, l'assurée a été grièvement blessée à la tête à la suite d'une chute de vélo provoquée par l'ouverture intempestive d'une porte de voiture. Le lendemain de l'accident, elle a subi une opération afin d'évacuer un hématome temporal gauche. Elle présentait en outre une contusion temporale droite, un hématome orbitaire supérieur gauche ainsi qu'une fracture temporale gauche. Lorsqu'elle a quitté l'hôpital le 23 juin 1999, D.X._ présentait une nette aphasie motrice avec un léger bradypsychisme. Le 21 septembre 1999, W._ a accusé réception de la déclaration d'accident. Par courriers des 18 janvier 2000 et 19 juillet 2000, l'assureur a informé l'assurée qu'il ne lui était pas encore possible de déterminer le taux d'invalidité lié à l'accident du 26 mai 1999. Le 12 octobre 2000, W._ a fait parvenir à D.X._ une nouvelle police d'assurance (ci-après: police n° 2), destinée à remplacer la précédente à partir du 1er janvier 2001; en effet, comme l'assurée atteignait l'âge de 70 ans en l'an 2000, les conditions générales d'assurance prévoyaient dès l'année suivante un capital-décès de 20'000 fr. et un capital-invalidité de 40'000 fr. avec une progression de 225 %. Dans une lettre du 20 novembre 2000 adressée à W._, le Dr R._ a exposé que, à la suite de l'accident du 26 mai 1999, sa patiente, D.X._, avait subi des lésions graves et définitives à la tête, accompagnées de troubles psychiques, et développé par ailleurs un Parkinson post-traumatique; selon l'avis du médecin traitant, l'accident en cause était le seul responsable du dommage permanent et durable dont l'assurée souffrait, sans espoir de récupération. Le 7 décembre 2000, W._ a indiqué à A.X._, époux de D.X._, qu'une expertise serait mise en oeuvre au début 2001 par l'assureur responsabilité civile de l'automobiliste et que l'assurée était invitée à patienter, dans la mesure où un tel rapport était utile pour déterminer son taux d'«invalidité restante» à la suite de l'accident. Par courrier du 18 octobre 2001, W._ a informé A.X._ que l'expertise n'avait pas encore eu lieu de sorte qu'il n'était toujours pas possible de déterminer «le degré de l'invalidité restante»; elle maintenait son intérêt à participer à l'expertise et avisait le mari de l'assurée qu'elle le tiendrait au courant du suivi de l'affaire. Les démarches en vue de mettre en place une expertise se sont poursuivies tout au long de 2002. Victime d'une chute le 23 mars 2003, D.X._ est tombée dans le coma; elle est décédée le 1er avril 2003. Ses héritiers sont son époux ainsi que ses fils, B.X._ et C.X._. Les parties s'accordent pour dire que le décès est une conséquence de l'accident du 26 mai 1999. Par lettre du 16 octobre 2003 adressée à A.X._, W._ a reconnu, après examen du dossier médical, que l'assurée avait développé, à la suite de l'accident du 26 mai 1999, un Parkinson post-traumatique qui avait entraîné une impotence gravissime; comme le décès était secondaire audit accident, l'assureur allouait un montant de 5'000 fr. à titre de capital-décès. Représenté pour la première fois par un avocat, A.X._ a répondu, par lettre du 30 octobre 2003, que son épouse était invalide à 100 % avant son décès; il invitait dès lors W._, conformément à la police n° 2, à verser le capital-invalidité de 40'000 fr. en sus du capital-décès, qui s'élevait à 20'000 fr. Le 19 mars 2004, W._ a accepté, à titre exceptionnel et sans préjudice pour l'avenir, la proposition de verser la somme de 60'000 fr. pour les suites de l'accident du 26 mai 1999. Le 25 mars 2004, l'avocat de A.X._ et de ses fils a rappelé que le capital-invalidité était certes de 40'000 fr. selon la police n° 2, mais avec une progression de 225 % au maximum, ce qui représentait un montant de 90'000 fr. pour une invalidité à 100 %. Par courrier du 12 mai 2004, W._ a invoqué la prescription à l'égard des prétentions liées au capital-invalidité dépassant le montant de 40'000 fr. qu'elle acceptait de payer à ce titre; elle faisait valoir que l'invalidité totale et définitive de l'assurée était survenue en décembre 2000 de sorte que le délai de deux ans prévu à l'art. 46 al. 1 LCA était largement dépassé. En outre, l'assureur confirmait que le capital-décès s'élevait à 20'000 fr. et que le versement de ce montant n'était pas remis en cause. Par lettre du 8 juillet 2004, le conseil des héritiers de l'assurée a contesté la prescription des prétentions liées au capital-invalidité. Par ailleurs, il réclamait désormais un montant de 225'000 fr. à ce titre, soit un capital de 100'000 fr. majoré de 225 %; il considérait en effet que la police n° 1 s'appliquait au capital-invalidité dès lors que l'accident était antérieur à la modification des sommes d'assurance à partir de 2001. En revanche, le capital-décès était bien de 20'000 fr., conformément à la police n° 2, puisque la chute à l'origine du décès avait eu lieu le 23 mars 2003. W._ a payé le montant de 60'000 fr. aux ayants droit en date du 23 septembre 2004. Elle a maintenu que l'indemnité d'invalidité était prescrite pour le surplus. Les 8 juin 2004, 16 décembre 2004 et 22 avril 2005, les héritiers de l'assurée ont fait notifier à W._ des commandements de payer pour des montants respectifs de 110'000 fr. et 400'000 fr., avec intérêts à 5 % dès le 25 mars 2004. W._ a formé opposition. B. Par demande du 23 décembre 2005, A.X._, B.X._ et C.X._ ont ouvert action contre W._ en paiement de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 mai 1999. Ce montant représente le capital pour une invalidité à 100 % selon la police n° 1, soit 225'000 fr. (100'000 fr. avec une progression de 225 %), moins le montant de 40'000 fr. déjà versé par W._ au titre du capital-invalidité. Par arrêt incident du 28 mars 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté l'exception d'incompétence à raison de la matière soulevée par la défenderesse. W._ a invoqué ensuite la prescription des prétentions faisant l'objet de la demande. Par arrêt incident du 13 mars 2007, le tribunal a rejeté l'exception de prescription. Le 3 août 2007, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en matière civile formé par W._ contre cette décision incidente (cause 4A_200/2007). Le Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné la comparution des mandataires pour le 2 octobre 2007. A cette occasion, le représentant de W._ a déclaré qu'en admettant que les prétentions des demandeurs ne soient pas prescrites, l'assureur serait tenu de verser les prestations découlant de la police n° 1, en vigueur au jour de l'accident, à savoir un capital-décès de 5'000 fr. et un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 %, sous déduction des montants déjà versés. Par arrêt du 16 octobre 2007, le tribunal a «invit[é] W._ à verser aux demandeurs les prestations dues en application de la police d'assurance en vigueur en mai 1999, à savoir un capital-décès de 5'000 fr. et un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 % sous déduction des sommes déjà versées» et l'y a «condamn[ée] en tant que de besoin». C. W._ (la défenderesse) interjette un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal (cause 4A_487/2007). A titre principal, elle conclut au rejet de l'action pour cause de prescription et, subsidiairement, demande l'annulation de la décision entreprise et le renvoi de la cause à l'instance cantonale pour qu'elle complète l'administration des preuves et statue au sens des considérants. A.X._, B.X._ et C.X._ (les demandeurs) forment également un recours en matière civile (cause 4A_491/2007). Ils reprennent les conclusions de leur demande, à savoir que W._ soit condamnée à leur verser la somme de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 mai 1999. Parallèlement, les demandeurs ont déposé une demande de révision auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales, au motif que ce dernier aurait omis de se prononcer sur les intérêts réclamés. Par ordonnance du 29 novembre 2007, le Président de la cour de céans a suspendu l'instruction des deux procédures de recours jusqu'à droit connu sur la demande de révision cantonale; il a en outre invité le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève à transmettre au Tribunal fédéral un exemplaire de son arrêt sur la demande de révision cantonale dès que celui-ci aura été rendu. Par courrier du 12 février 2008 (recte: 2009), le conseil des demandeurs s'est inquiété de savoir où en était la procédure devant le Tribunal fédéral. La Présidente de la cour de céans lui a alors répondu qu'elle n'avait reçu aucune communication de la part du Tribunal cantonal des assurances sociales de sorte que les causes 4A_487/2007 et 4A_491/2007 étaient toujours suspendues dans l'attente de l'arrêt cantonal sur révision. Le 26 février 2009, le mandataire des demandeurs a remis au Tribunal fédéral une copie de l'arrêt du 5 février 2008 par lequel le Tribunal cantonal des assurances sociales avait déclaré la demande en révision irrecevable. Les procédures relatives aux deux recours en matière civile ont ainsi pu reprendre. A.X._, B.X._ et C.X._ concluent à l'irrecevabilité du recours interjeté par W._, subsidiairement à son rejet. W._ propose le rejet du recours formé par A.X._, B.X._ et C.X._.