Faits: A. R._, né en 1970, travaille pour le compte de la société X._ SA. A ce titre, il est obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la compagnie d'assurances AXA Winterthur. Par une déclaration d'accident datée du 11 février 2010, l'assuré a informé AXA Winterthur qu'il avait été victime d'un accident le 14 septembre 2009, alors qu'il pratiquait le catamaran au large de K._ (Italie). Il a indiqué que le bateau sur lequel il naviguait, avait chaviré à 2 ou 3 kilomètres des côtes et qu'en essayant de le remettre en place, il s'était déchiré les deux épaules. L'épaule gauche s'était remise, tandis que l'épaule droite le gênait encore beaucoup. Dans un questionnaire destiné à AXA Winterthur, l'assuré a précisé que le catamaran avait chaviré à la suite d'un coup de vent et qu'il avait tenté sans succès de le redresser pendant environ trente minutes, avant qu'on ne vienne finalement l'aider. Au moment de remonter sur le catamaran, il s'était rendu compte que "ses bras ne répondaient plus". Le 18 janvier 2010, l'assuré a consulté le docteur C._, spécialiste FMH en médecine interne. Dans un rapport du 19 mars 2010, ce praticien a diagnostiqué une tendinite (post-déchirure) de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Il a mis cette affection en relation avec l'événement du 14 septembre 2009, en indiquant qu'en voulant redresser son catamaran l'assuré avait ressenti de violentes douleurs à l'épaule droite, ainsi qu'un «crac». Des médicaments anti-inflammatoires et des séances de physiothérapie ont été prescrits. Par décision du 1er juin 2010, confirmée sur opposition le 16 juillet 2010, AXA Winterthur a refusé d'allouer des prestations à l'assuré au motif que l'atteinte à la santé ne résultait ni d'un accident ni d'une lésion corporelle assimilée à un accident. B. R._ a recouru contre la décision du 16 juillet 2010 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan. Par jugement du 24 janvier 2012, le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision sur opposition et renvoyé la cause à AXA Winterthur pour qu'elle octroie les prestations dues à l'assuré. C. AXA Winterthur interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimé conclut à la confirmation de l'arrêt cantonal, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.