Faits : A. X._ est titulaire, depuis 1981, d'une licence de pilote professionnel d'avion et, depuis 1991, d'une licence de pilote de ligne. Depuis de nombreuses années, il est également titulaire d'une licence de pilote privé d'avion avec extensions d'instructeur FI ("Flight Instructor"), IRI ("Instrument Rating Instructor") et TRI ("Type Rating Instructor"). B. B.a. Par décision du 28 décembre 2012, l'Office fédéral de l'aviation civile (ci-après: l'Office fédéral) a retiré avec effet immédiat et pour une durée indéterminée les extensions d'instructeur FI, IRI et TRI détenues par X._. La décision prévoyait que ces extensions seraient restituées à l'intéressé si celui-ci produisait une attestation de l'Office fédéral démontrant sa réussite aux examens théoriques pour pilotes privés relatifs aux branches Droit aérien, ainsi que Performance et planification de vol, et une évaluation positive de ses compétences pour les fonctions FI, IRI et TRI. Enfin, compte tenu de l'intérêt de sécurité publique en jeu, la décision a été déclarée exécutoire nonobstant recours. Le recours de l'intéressé tendant à la restitution immédiate de l'effet suspensif a été rejeté en dernière instance par le Tribunal fédéral par arrêt du 21 juin 2013 (cause 2C_293/2013). Il était en substance reproché à X._, alors qu'il agissait comme commandant de bord et instructeur, d'avoir procédé, le 26 novembre 2012 à l'aérodrome de Lausanne, à l'atterrissage d'un avion alors que la visibilité en vol et sur la piste était inférieure à 500 mètres, soit nettement en-dessous des 1'500 mètres imposés pour les vols à vue (art. 38 al. 1 de l'ordonnance du 4 mai 1981 concernant les règles de l'air applicables aux aéronefs [ORA; RS 748.121.11]). De plus, l'atterrissage ayant eu lieu par le sud de la piste, le pilote aurait survolé en "courte finale" une zone à forte densité d'habitations. B.b. A l'encontre de la décision de l'Office fédéral du 28 décembre 2012, X._ a déposé un recours auprès du Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 15 mai 2014, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours de X._. L'annulation de la décision de l'Office fédéral ne figure pas au dispositif de l'arrêt, mais ressort de ses considérants (cf. arrêt attaqué, consid. 5.11). Dans son jugement, le Tribunal administratif fédéral a retenu, en substance, que les éléments du dossier ne permettaient pas de conclure que le recourant n'avait pas respecté les conditions de visibilité prévues à l'art. 38 ORA. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (DETEC), représenté par l'Office fédéral, demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 15 mai 2014 et de confirmer la décision de l'Office fédéral du 28 décembre 2012. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position. L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet.