Faits: A. A.a T._ a souffert depuis l'adolescence de problèmes d'épaule. Au bénéfice d'un diplôme de commerce, elle a occupé divers emplois de secrétariat et de bureau et travaillé en qualité de vendeuse et gérante de boutiques et de barmaid. Au chômage depuis le 1er avril 1997, elle a été victime d'un accident de la circulation routière le 31 mai 1997, à la suite duquel elle a présenté une incapacité de travail de 100 %, puis de 50 % dès le 13 octobre 1998 (rapport du 14 octobre 1998 du docteur F._, médecin associé du Centre Hospitalier X._. Son cas a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 5 juin 1998, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une aide au placement. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise médicale au docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie. Dans un rapport du 25 avril 2000, l'expert a posé les diagnostics de status après fracture sous-capitale à trois fragments de l'humérus gauche traitée de manière conservative (accident du 31 mai 1997) et de capsulite rétractile secondaire actuellement résolue, tout en relevant l'absence d'éléments psychopathologiques ayant valeur de maladie. Il indiquait que depuis le 24 janvier 2000, l'assurée travaillait en tant que serveuse-réceptionniste à l'Hôtel Y._ et que, hormis les activités de service, l'activité décrite était parfaitement adaptée sur le plan médical. Dans un préavis du 13 juin 2000, l'office AI a fixé l'invalidité de l'assurée à 100 % dès le 1er mai 1998, 50 % dès le 1er novembre 1998 et 30 % dès le 1er novembre 1999. Il l'a mise au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er mai au 31 octobre 1998 et d'une demi-rente du 1er novembre 1998 au 31 octobre 1999 (décisions du 6 septembre 2000). A.b A partir du 15 mai 2000, T._ a exercé l'activité de réceptionniste auprès de l'Hôtel Z._, d'abord à 70 % puis à 100 % dès le 1er novembre 2000. Elle a quitté son employeur le 30 novembre 2001 pour travailler dans un autre établissement, engagement qui n'a finalement pas eu lieu en raison d'une incapacité de travail survenue le 29 novembre 2001. Du 1er janvier au 28 février 2002, elle a travaillé en qualité de téléphoniste-réceptionniste au service de l'entreprise W._ SA. Le 27 janvier 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité en raison d'une rechute de ses problèmes d'épaule. La CNA, saisie de l'annonce d'une rechute de l'accident du 31 mai 1997, a confié une expertise médicale au docteur S._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin de la Clinique V._, dans le cadre de laquelle celle-ci a été effectuée. Dans un rapport du 7 décembre 2004, ce médecin a posé les diagnostics d'instabilité de l'épaule gauche à prédominance postérieure, de douleurs chroniques de l'épaule gauche après fracture à trois fragments de l'humérus proximal (31 mai 1997), de status après cure de luxation postérieure de l'épaule gauche (1986), d'instabilité multidirectionnelle de l'épaule droite et de hanche à ressaut gauche. A la question de savoir quelles positions et fonctions n'étaient plus exigibles de la part de l'assurée, l'expert a répondu que la patiente n'était plus en mesure de manipuler des outils ou de travailler les bras levés, que le moindre mouvement du bras gauche était fortement douloureux et s'accompagnait d'un déplacement de la tête humérale incompatible avec la plupart des activités envisageables et que dans la situation actuelle, seul un travail ne nécessitant que l'usage du membre supérieur droit entrait en considération. La CNA a mis fin au paiement des soins médicaux et de l'indemnité journalière avec effet à partir du 1er janvier 2006. Dès cette date, elle a alloué à T._ une rente d'invalidité pour une incapacité de gain de 43 %, compte tenu d'un revenu sans invalidité de 4'200 fr. et d'un revenu d'invalide de 2'400 fr. par mois (décision du 31 mars 2006, confirmée sur opposition le 5 octobre 2006). Dans un préavis du 9 mai 2006, l'office AI a informé T._ qu'elle présentait une invalidité de 43 % depuis le 1er janvier 2004, date à partir de laquelle elle avait droit à un quart de rente de l'assurance-invalidité. Celle-ci lui a fait part de ses observations. Par décision du 8 novembre 2006, l'office AI lui a alloué un quart de rente d'invalidité dès le 1er janvier 2004, en l'avisant que les éléments apportés lors de la procédure d'audition n'étaient pas de nature à modifier sa position, soit notamment la possibilité de réaliser un revenu mensuel de 2'400 fr. correspondant à une activité monomanuelle à 50 % exigible selon les évaluations médicales effectuées. B. Le 5 décembre 2006, T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, ou que justice dira. Produisant une lettre du 20 novembre 2006 de la doctoresse N._, psychiatre-psychothérapeute, elle requérait à titre subsidiaire la mise sur pied d'une expertise psychiatrique, la cause étant renvoyée à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle a produit plusieurs certificats médicaux de son médecin traitant, la doctoresse I._, spécialiste FMH en médecine interne, qui attestaient une incapacité de travail de 100 % depuis le 1er janvier 2003, d'une durée indéterminée. Par jugement du 22 avril 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'allocation d'une rente entière d'invalidité, à titre subsidiaire à l'allocation d'une rente pour une invalidité de 67 % et plus subsidiaire d'une rente pour une invalidité de 51 %, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle produit plusieurs documents (fourres n° 1 à 10), accompagnés d'un commentaire figurant dans un mémoire séparé. Elle demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. Par lettre du 19 janvier 2010, elle a produit deux certificats médicaux du 19 janvier 2010 et un autre du 16 novembre 2009 de la doctoresse I._. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel déclare qu'il n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.