Faits: A. A._ Sàrl (ci-après: A._), société avec siège à Genève et dont B._ était associée et C._ associé gérant, a organisé le concours annuel de Miss Suisse Romande de 2002 à 2006. Dans ce cadre, A._ a attribué à Y._ Sàrl (ci-après: Y._), société de production de films à ..., dont D._ est l'associé gérant, divers mandats entre 2005 et 2006, notamment l'élaboration d'un spot et de clips TV. Ces divers travaux exécutés, Y._ a adressé à A._ trois factures qui se montent, respectivement, à 8'608 fr., 2'439 fr. 29 et 11'975 fr. 88. Ces factures n'ont pas été honorées par A._ et Y._ a fait notifier à cette dernière société des commandements de payer pour les deux premières factures. Confrontés à un manque de fonds propres et à la suite de soupçons d'irrégularités ayant entaché l'élection de Miss Suisse Romande 2005, les associés de A._ ont recherché un partenaire. En mars 2006, ils sont convenus avec E._ de la création d'une nouvelle société, X._ Sàrl (ci-après: X._), dont le nouveau partenaire devenait associé gérant, avec signature individuelle, pour une part de 10'000 fr., B._ et C._ étant associés pour des parts de 5'000 fr. chacun. La nouvelle société, avec siège social à Genève, a été créée le 6 juin 2006. A la fin de l'année 2006, Y._ a fait notifier à X._ des commandements de payer pour les trois factures qu'elle avait adressées à A._ entre 2005 et 2006. X._ y a fait opposition. Au nom de cette société, E._ a relevé, dans deux courriers successifs, n'avoir aucun rapport avec A._ qui avait organisé seule les élections de Miss Suisse Romande 2005 et 2006. Concernant la poursuite portant sur un montant de 11'975 fr. 88, Y._, par un courrier de son avocat du 12 janvier 2007, a offert de retirer celle-ci si X._ payait une prétention réduite à 9'000 fr. d'ici le 25 janvier 2007. X._ n'a pas versé ce montant dans le délai imparti, mais a fait transférer, le 10 mai 2007, la somme de 9'000 fr. sur le compte postal de Y._ avec la communication « X._ 2005-2006 ». D._ a accusé réception des fonds, le 31 mai 2007, en relevant que seul un montant de 9'000 fr. a été versé sur un total estimé à 20'000 fr. La faillite de A._ a été prononcée le 12 juin 2007 et clôturée le 2 avril 2008. Y._ n'a pas produit dans la faillite. B. B.a Le 3 avril 2007, Y._ a introduit une action en paiement, devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, contre A._ et X._, pris solidairement entre elles, concluant que les défenderesses soient condamnées à lui payer le montant des trois factures et requérant la mainlevée des oppositions aux deux commandements de payer notifiés à A._ et à deux des commandements de payer notifiés à X._. X._ s'est opposée à la demande. Elle a expliqué que, dans le courant du mois d'avril 2007, B._ avait proposé à Y._ de collaborer avec la nouvelle société X._. Dans le cadre de pourparlers auxquels ont assistés plusieurs témoins, B._ et D._ étaient parvenus, selon la première, à un accord amiable: D._ acceptait le règlement des factures litigieuses moyennant le versement d'un montant total de 9'000 fr. pour solde de tout compte et s'engageait à retirer les poursuites dirigées contre X._; B._ s'engageait en contrepartie à faire tout ce qui était en son pouvoir pour que X._ confie régulièrement des travaux à Y._ pour la couverture audiovisuelle des événements qu'elle organisait. Entendus le 10 octobre 2008, les avocats des parties ont renoncé à toute mesure probatoire. Par jugement du 6 novembre 2008, le Tribunal de première instance a débouté Y._ de ses conclusions et l'a condamnée aux dépens. Il a retenu que le mandant des travaux effectués entre 2005 et 2006 était A._ et que Y._ ne pouvait donc réclamer le paiement des factures à X._. Il a considéré qu'il n'y avait pas à prononcer la levée du voile corporatif, puisque X._, contrairement à A._, était financée et dominée par E._ et que C._ avait perdu tout contrôle et toute influence dans la société X._. Enfin, l'autorité de première instance a retenu qu'il n'était pas établi que X._ s'était engagée vis-à-vis de Y._ à reprendre les obligations de A._. B.b Le 15 décembre 2008, Y._ a appelé de ce jugement. Elle a réduit ses conclusions de première instance, en réclamant les mêmes sommes, mais sous déduction du montant de 9'000 fr. versé le 10 mai 2007 "à titre d'acompte". Elle a pris une conclusion nouvelle en mainlevée de l'opposition relative au troisième commandement de payer notifié à X._. X._ a conclu à la confirmation du jugement attaqué, soulignant que le paiement de 9'000 fr. du mois de mai 2007 ne constitue qu'une reprise de dette interne, convenue entre X._ et A._, "qui a notamment donné lieu à une cession de l'usage des clips". Par arrêt du 19 juin 2009, la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement entrepris, condamné X._ à payer à Y._ les montants de 8'608 fr., 2'439 fr. 30 et 11'975 fr. 90, sous imputation de 9'000 fr. versés le 10 mai 2007, avec intérêts à 5% l'an dès le 11 mai 2007 et prononcé, à due concurrence, la mainlevée des oppositions aux commandements de payer portant sur les sommes de 2'439 fr. 30 et 11'975 fr. 90. La cour cantonale a confirmé que X._ n'invoquait pas abusivement son indépendance juridique, mais elle a retenu que, par l'accord du mois d'avril 2007, les parties sont convenues (art. 1 CO) que X._ reprenne la totalité de la dette de A._ envers Y._ (art. 176 CO). C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 19 juin 2009. Invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application du droit fédéral (art. 8 CC), la recourante conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme en ce sens qu'il soit dit que X._ n'est pas débitrice des factures de 2'439 fr. 30, 8'608 fr, 11'975 fr. 88 et que les poursuites correspondantes n'iront pas leur voie et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. L'intimée conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt cantonal.