Faits: A. A.a A._, né en 1957, et dame A._, née en 1964, se sont mariés le 15 février 2003 à Cologny. Un enfant, B._, est né de cette union en 2003. Le 17 avril 2007, les époux ont signé un accord aux termes duquel ils faisaient plusieurs constats. D'une part, les conditions de travail de l'époux ne correspondaient plus à ses objectifs d'épanouissement et commençaient à avoir des incidences sur sa santé. D'autre part, un nouveau système de garde de l'enfant devait être mis en place en raison de son entrée à l'école, nécessitant l'engagement d'une personne à domicile durant les premières années. Or, une diminution du temps de travail ou un changement d'employeur pour l'épouse n'était pas souhaité alors par les deux époux, compte tenu de sa situation professionnelle. Aussi, après avoir analysé l'impact financier d'une cessation d'activité de l'époux, les parties étaient arrivées à la conclusion que la différence entre le coût de garde et l'économie réalisable pouvait être résorbée dans le budget annuel sans mettre en péril la situation financière familiale et serait même compensée par les revenus immobiliers de l'époux. Celui-ci avait donc pris la décision - "de son propre chef, en toute liberté et sans contraintes aucunes" - de cesser son activité salariée. En substance, il s'engageait à assumer les fonctions de "père au foyer" tout en essayant de développer une activité indépendante dans le domaine du modélisme ferroviaire, le week-end ou durant la semaine suivant l'évolution possible de cette activité et les besoins de disponibilité pour la garde de l'enfant. Pour sa part, l'épouse s'engageait à subvenir aux besoins financiers du ménage et à soutenir son époux dans cette nouvelle étape de vie et dans son activité indépendante, principalement pour sa partie administrative. Les époux ont précisé qu'ils avaient conscience que cet accord était passé au regard de la situation de l'époque, qui allait évoluer dans le temps, et que des adaptations seraient donc nécessaires. A.b Les époux vivent séparés depuis le 13 août 2009. L'épouse est restée vivre au domicile conjugal avec l'enfant. A.c Par acte du 31 août 2009, l'époux a formé devant le Tribunal de première instance de Genève une requête de mesures protectrices de l'union conjugale avec mesures préprovisoires urgentes. Il a conclu, entre autres points, à ce que le tribunal lui attribue l'usage exclusif du domicile conjugal, condamne l'épouse à continuer d'assumer le paiement des intérêts hypothécaires liés à l'appartement et les éventuels amortissements dus, lui attribue la garde de l'enfant, réserve en faveur de la mère un large droit de visite et la condamne à lui verser, par mois et d'avance, une contribution mensuelle à l'entretien de la famille de 8'000 fr. par mois. Par ordonnance du 23 septembre 2009, le Vice-président du Tribunal de première instance a rejeté la requête de mesures préprovisoires urgentes. A.d L'épouse a conclu, en substance, à ce que le tribunal lui attribue la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, réserve un large droit de visite au père et condamne celui-ci au paiement d'une somme de 500 fr. à titre de contribution à l'entretien de son fils dès le 1er septembre 2009. A.e Dans un rapport d'évaluation sociale du 12 janvier 2010, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a relevé que les parents étaient tous deux impliqués et complémentaires dans l'éducation de leur enfant, même s'ils avaient des points de divergence. La mère était davantage axée sur l'éducation, était plus cadrante, insistait pour que l'enfant évolue dans un cadre sécurisant et organisé et estimait que son mari ne privilégiait pas les besoins de l'enfant. Pour sa part, le père était plus soucieux du plaisir de son fils et plus flexible. Les relations entre les parents étaient tendues, en raison du conflit conjugal, mais ils maintenaient toutefois un dialogue minimum au sujet de leur enfant. Dans la mesure où la mère était - depuis la séparation - davantage impliquée dans le quotidien de l'enfant et dans son suivi scolaire que le père, et que l'enfant semblait - de l'avis de tous les intervenants - avoir trouvé un équilibre dans la nouvelle organisation de son quotidien, le SPMi a préconisé de confier sa garde à sa mère. Pour tenir compte de l'âge de l'enfant et des liens étroits qu'ils avaient construits, un large droit de visite entre père et fils devait être prévu. A.f L'épouse travaille comme comptable auprès d'une banque. Jusqu'en mars 2010, elle était employée à 100% pour un salaire mensuel net de 9'744 fr. 30 versé quatorze fois l'an, à savoir 11'368 fr. 35 sur douze mois. Elle a ensuite diminué son taux d'activité à 80%, pour un revenu mensuel net de 8'845 fr. Elle est propriétaire de l'appartement conjugal. Depuis 18 ans et jusqu'au mois de juin 2007, l'époux a travaillé en qualité de serveur auprès de X._, pour un salaire mensuel net de 4'385 fr. 60. Il est propriétaire de deux appartements en France voisine. Selon les baux produits, il retire de la location du premier 930 euros et du second 690 euros, correspondant à un revenu mensuel de 2'370 fr. B. B.a Par jugement du 17 mars 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a notamment attribué à l'époux la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, a réservé un large droit de visite en faveur de la mère et condamné celle-ci à verser une contribution à l'entretien de sa famille de 1'530 fr. par mois, allocations familiales non comprises. Pour fonder sa décision quant à la garde de l'enfant, le tribunal est parti du constat que le père avait cessé, avec l'accord de la mère, toute activité professionnelle depuis le mois de juillet 2007 pour se consacrer entièrement à l'éducation de son fils et qu'aucun élément ne permettait de retenir qu'il ne s'investissait pas correctement dans son éducation et son suivi scolaire. Que l'épouse travaille à 100% ou à 80% ne changeait rien au fait que, si la garde de l'enfant lui était confiée, celui-ci devrait être pris en charge par une maman de jour jusqu'au retour de la mère à la maison et par les cuisines scolaires pour les repas de midi, alors que son père, dont il était très proche, était en mesure de s'occuper de lui. B.b Statuant sur appel des deux parties, par arrêt du 12 août 2010, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, réservé en faveur du père un large droit de visite et condamné celui-ci à verser en mains de l'épouse, allocations familiales non comprises, 500 fr. au titre de contribution à l'entretien de son fils, dès le 1er janvier 2010. C. L'époux interjette le 17 septembre 2010 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que la garde sur son fils lui est confiée, que la jouissance exclusive de l'appartement conjugal lui est octroyée et que l'intimée est condamnée à verser une contribution à son entretien et celui de l'enfant de 3'590 fr. par mois. Il se plaint d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) des art. 273 ss CC, ainsi que d'arbitraire dans l'établissement des faits. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer.