A.- B._ est propriétaire, à Saxon, d'un terrain bâti d'une villa qu'il occupe avec sa famille. Une treille d'environ deux mètres de hauteur, agrémentée de rosiers grimpants, est plantée à quelque 25 centimètres du muret en béton faisant office de limite de propriété avec la parcelle voisine de A._. Le 26 juin 1999, ce dernier s'est rendu chez son voisin pour lui demander de couper la treille qui ne respectait pas, selon lui, les distances aux limites de propriété; il a réitéré sa demande le 1er juillet 1999 en communiquant une copie des dispositions du règlement communal des constructions de Saxon relatives aux constructions en limite. Le 5 juillet 1999, A._ est intervenu auprès de la Commune de Saxon pour qu'elle procède à l'arrachage ou au déplacement de la vigne et des rosiers. Le 19 juillet 1999, l'autorité communale a répondu que cette question ressortait au droit privé et qu'il devait s'adresser au Juge de la Commune ou à un avocat de son choix pour la régler. Le lendemain, vers 20h00, B._ a constaté que sa treille et trois rosiers avaient été brûlés par un herbicide foliaire de contact, selon un rapport établi le 27 juillet 1999 par l'Office cantonal de la viticulture. Le 13 septembre 1999, son conseil a informé A._ des dégâts causés à la treille, qu'il attribuait à une possible mauvaise application d'un produit de nettoyage du goudron de la part de celui-ci, en lui demandant si l'assurance responsabilité civile serait d'accord de prendre en charge les conséquences de cet accident. Le 15 septembre 1999, B._ a constaté que treize ceps de sa treille avaient été sectionnés à leur base. Le même jour, son épouse a eu une vive altercation avec sa voisine, en présence de C._. Selon ce témoin, dame A._ aurait déclaré : "Il y a trois mois déjà que l'on vous a dit de la couper. Vous allez toujours plus haut. Maintenant c'est fait.. " Sur plainte de B._, le Juge d'instruction pénale du Bas-Valais a ouvert une instruction contre A._ pour dommage à la propriété, le 8 mars 2000; celui-ci a nié toute implication dans les déprédations causées à son voisin. B.- A._ a été renvoyé à raison de ces faits devant le Juge des districts de Martigny et St-Maurice; par jugement du 4 juillet 2000, celui-ci l'a reconnu coupable de dommages à la propriété et l'a condamné à une amende de 1'000 fr., avec délai de radiation d'un an. Il l'a en outre astreint à verser à B._ une somme de 1'500 fr., à titre d'indemnité civile. Statuant le 23 mai 2001, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: la Cour d'appel pénale ou la cour cantonale) a très partiellement admis l'appel formé par A._ contre ce jugement, ramenant à 1'400 fr. le montant alloué à B._ à titre de réparation du dommage. Elle s'est déclarée convaincue de la culpabilité de l'accusé sur la base de plusieurs indices convergents, à savoir la forte détermination de celui-ci à obtenir l'enlèvement de la treille, le fait que la déprédation du 20 juillet 1999 avait été commise à partir de sa propriété, quelques heures après qu'il eut appris que la Commune de Saxon n'interviendrait pas, l'étroite correspondance de temps entre la réception du courrier du 13 septembre 1999 et le sectionnement des ceps, les propos tenus par son épouse à leur voisine et l'absence au dossier d'éléments permettant d'incriminer une tierce personne. C.- Agissant par la voie du recours de droit public pour violation des art. 9 Cst. et 6 § 2 CEDH, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement de la Cour d'appel pénale qu'il tient pour arbitraire et contraire à la présomption d'innocence. La Cour d'appel pénale se réfère à son jugement. B._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.