Faits: A. A._ a travaillé en qualité de chauffeur au service de l'entreprise de transports Z._ SA. Une carte de crédit destinée à l'acquisition de carburant se trouvait en permanence dans les camions qu'il conduisait. A B._, qui était étranger à l'entreprise, A._ a fourni les indications nécessaires pour que celui-là pût, alors que les camions demeuraient en stationnement le samedi et le dimanche à Daillens, s'emparer d'une carte, se procurer du carburant sans le payer, puis replacer la carte là où il l'avait prise. L'opération fut exécutée deux fois selon ce plan. Une troisième fois, B._ conserva la carte et s'en servit durant près de deux semaines, jusqu'à son arrestation survenue le 22 octobre 2007. Au total, B._ a prélevé indûment 23'792 litres de carburant, pour lesquels Z._ SA a dû acquitter 37'928 fr.18. Par suite de ces faits, le 5 décembre 2008, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a reconnu A._ coupable d'instigation à l'utilisation frauduleuse d'un ordinateur, selon les art. 24 al. 1 et 147 al. 1 CP; envers Z._ SA, il l'a déclaré débiteur du montant précité. A._ a contesté sa condamnation à rembourser le prix du carburant prélevé par B._. La Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a statué le 8 juin 2009; elle a rejeté le recours. B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de cassation pénale en ce sens qu'il n'est pas débiteur du montant de 37'928 fr.18 envers Z._ SA, et que cette société est renvoyée à agir devant les tribunaux civils. L'intimée Z._ SA conclut au rejet du recours.