Faits: A. Inscrite au Registre du commerce du canton de Neuchâtel, A._ SA (ci-après: la Société), sise à F._, est une société anonyme qui a notamment pour but l'exploitation d'une clinique générale. B. Le 27 avril 2011, A._ SA a adressé au Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat) une demande d'autorisation de mise en service d'un scanner (CT-Scan) et d'une imagerie par résonance magnétique (IRM). Le Service cantonal de la santé publique du Département neuchâtelois de la santé et des affaires sociales (ci-après: le Service cantonal) a sollicité des renseignements complémentaires par courrier du 13 octobre 2011, que A._ SA lui a fournis le 2 novembre 2011. Le dossier a ensuite été soumis pour préavis au Conseil de santé, ainsi qu'à la Commission ad hoc "clause du besoin" (ci-après: la Commission) constituée par ledit conseil. Le 31 janvier 2012, A._ SA s'est déterminée au sujet d'un rapport du 22 janvier 2012 rédigé par le Service cantonal à l'attention de la Commission; elle a également pu se prononcer sur la composition de la Commission et l'intention affichée par cette dernière d'entendre tant les représentants de la Société que ceux de D._ SA, à F._, et de G._. A la suite de sa séance du 13 février 2012, la Commission a préavisé négativement la requête d'autorisation du 27 avril 2011; par quatre voix contre trois, le Conseil de santé a, le 30 mars 2012, également rendu un préavis négatif. Par arrêté du 6 juin 2012, entrant en vigueur avec effet immédiat, le Conseil d'Etat a refusé la demande d'octroi d'autorisation. A._ SA a formé recours contre cet arrêté auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Elle a parallèlement saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public, qui l'a déclaré irrecevable pour non-épuisement des voies de recours cantonales en date du 10 juillet 2012 (cause 2C_673/2012, consid. 3). Le 18 décembre 2012, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A._ SA. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ SA demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt du 18 décembre 2012 et de dire que la mise en service sollicitée du CT-Scan et de l'IRM n'est pas sujette à autorisation du Conseil d'Etat; subsidiairement, d'annuler l'arrêt précité et d'autoriser la mise en service du CT-Scan et de l'IRM; plus subsidiairement, d'annuler ledit arrêt et d'ordonner au Conseil d'Etat d'autoriser la mise en service demandée; encore plus subsidiairement, d'annuler l'arrêt précité et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal proposent le rejet du recours. D. Outre la présente procédure, A._ SA a saisi le Tribunal fédéral d'un recours contre l'arrêté du Conseil d'Etat du 21 décembre 2011 fixant la liste des hôpitaux neuchâtelois admis à pratiquer à charge de l'assurance obligatoire des soins, en tant que cet acte excluait la Société de la planification sanitaire cantonale. Par arrêt du 25 avril 2012, la Cour de céans a déclaré ledit recours irrecevable et transmis la cause au Tribunal administratif fédéral comme objet de sa compétence (arrêt 2C_104/2012). E. Le 16 décembre 2013, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique.