Faits : A. A.a. A._ s'est fait engager le 18 juillet 2008 par B._ SA comme apprenti en mécatronique d'automobiles pour la période du 4 août 2008 au 3 août 2012. Il avait déjà suivi une formation d'automaticien couronnée par un certificat fédéral de capacité (CFC), ce qui a été pris en compte dans sa rémunération progressive (1'300 fr. la première année, puis 1'400 fr., 1'600 fr. et 1'800 fr. les années suivantes). Né en juillet 1987, le prénommé est passionné par le sport automobile et les belles mécaniques. Il a effectué des cours de pilotage sur neige et sur circuit et s'est profilé comme organisateur de sorties sur circuit. A.b. Dans un rapport du 1er décembre 2009, le formateur responsable de l'apprenti a indiqué que les exigences requises en conformité avec l'ordonnance sur la formation n'étaient que partiellement atteintes dans les domaines suivants: quantité/rythme de travail; maniement des moyens et équipements; stratégie d'apprentissage et de travail; collaboration et communication. Dans la rubrique "objectifs pour le prochain semestre", il était mentionné que l'apprenti était appliqué, mais pouvait améliorer ses compétences professionnelles et méthodologiques. A.c. Le 25 juin 2010, B._ SA (ci-après: l'employeuse) a demandé à l'apprenti d'aller chercher une Jaguar de collection au domicile d'un client et d'amener ce véhicule au garage. L'apprenti a effectué un détour non autorisé. Par ailleurs, le moteur a été fortement endommagé lors du trajet à cause d'une fuite d'huile. Les pompiers ont dû intervenir; dans leur rapport, ils ont fait état d'une traînée d'huile s'étendant sur plusieurs kilomètres. Le 29 juin 2010, l'employeuse a exprimé son insatisfaction quant au travail de l'apprenti et lui a annoncé son intention de résilier le contrat à titre anticipé. Les parties se sont entendues sur l'octroi d'un délai supplémentaire de deux mois afin de permettre à l'intéressé de poursuivre son apprentissage et de trouver une nouvelle place. Par lettre du 30 juin 2010, adressée en copie au commissaire d'apprentissage, l'employeuse a déclaré résilier le contrat de l'apprenti pour le 3 août 2010. Elle précisait notamment ce qui suit: " Suite au dernier incident survenu avec la Jaguar Type E [...], nous n'avons plus confiance en vos capacités d'effectuer un travail qui correspond aux attentes de notre entreprise ". Le 6 juillet 2010, l'apprenti a contesté le contenu de cette lettre et s'est opposé à la résiliation anticipée. Il a été en incapacité de travail pour cause de maladie du 5 juillet au 5 septembre 2010. Sur requête de l'apprenti, l'employeuse a confirmé par lettre du 24 août 2010 qu'elle l'avait libéré de son obligation de travailler et qu'il était autorisé à poursuivre son apprentissage auprès de n'importe quel concurrent. L'apprenti a été engagé par un autre garage le 6 septembre 2010, mais a ensuite été licencié pour le 5 novembre 2010, au motif qu'il exerçait parallèlement une activité proche de celle de son employeur. La Jaguar endommagée a été réparée et restituée au client le 24 novembre 2010. L'employeuse a établi une facture de 20'651 fr. 55. Son assurance responsabilité civile a refusé de prendre le cas en charge, arguant notamment du fait que la fuite provenait d'un filtre desserré dont le montage était incorrect. B. B.a. Le 24 décembre 2010, l'apprenti a déposé une demande contre l'employeuse devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. Il concluait à la délivrance d'un certificat de travail, à une indemnité de 9'600 fr. pour licenciement immédiat injustifié et au paiement de 20'993 fr. 15. L'employeuse a conclu au rejet, en invoquant la compensation. A titre reconventionnel, elle a requis le paiement de 811 fr. 25 pour des vacances prises sans droit, respectivement de 20'651 fr. 55 pour le dommage causé sur la Jaguar.