Faits: A. B._ était affilié à la Caisse d'assurance du personnel de la ville de Genève, des services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale (CAP) pour la prévoyance professionnelle. Il a épousé T._ le 28 août 2008. Celle-ci est née le 6 décembre 1966. B._ est décédé le 18 octobre 2008. La CAP et T._ sont entrées en pourparlers. L'institution de prévoyance a d'abord accordé à l'épouse de son assuré une indemnité de 83'625 fr., correspondant à trois pensions annuelles, dès lors que celle-ci ne remplissait pas les conditions légales et statutaires lui permettant de percevoir une rente de conjoint survivant (courrier du 28 octobre 2008). T._ a toutefois sollicité l'allocation d'une pension de conjoint survivant dans la mesure où elle avait la charge de deux filles issues d'un de ses précédents mariages (courrier du 2 décembre 2008). La CAP a donné suite à cette requête; elle a reconnu le droit de l'épouse de son assuré à une rente de conjoint survivant de 831 fr. 85 par mois (minimum LPP) à compter du 1er novembre 2008 et a réclamé la restitution préalable des 83'625 fr. (courrier du 25 mars 2009). T._ a pris l'engagement de rembourser l'indemnité perçue aussitôt que l'institution de prévoyance lui aurait garanti le versement d'une pension statutaire annuelle de conjoint survivant de 27'875 fr. (courrier du 24 avril 2009). Les deux interlocuteurs ont maintenu leurs positions respectives dans la suite des pourparlers. La CAP soutenait que la notion statutaire d'enfant à charge devait être interprétée plus restrictivement que la notion légale et requérait un lien de filiation avec le défunt; elle a en outre déclaré compenser sa créance en restitution de l'indemnité avec les prétentions de rente (courriers des 19 mai, 8 et 23 juin et 8 décembre 2009, ainsi que des 6 janvier et 31 août 2010). L'épouse de l'assuré contestait l'interprétation de l'institution de prévoyance relative à la notion d'enfant à charge et défendait la thèse contraire; elle a par ailleurs renoncé à invoquer la prescription jusqu'au 31 décembre 2010 (courriers du 29 mai et 22 juin 2009, ainsi que des 4 janvier et 6 septembre 2010). B. T._ a déposé le 23 décembre 2010 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (actuellement la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) une demande contre la CAP. Elle concluait à la condamnation de l'institution de prévoyance au versement mensuel, principalement, d'une rente statutaire de 2'323 fr. en contrepartie de la restitution des 83'625 fr. ou, à titre subsidiaire, d'une rente légale de 831 fr. 85 sans la contrepartie indiquée; elle persistait dans son interprétation de la notion d'enfant à charge et ne considérait être tenue à rembourser l'indemnité que si une rente statutaire lui était octroyée. L'institution de prévoyance a implicitement conclu au rejet des conclusions de la demande. Elle requérait sur la base de l'argumentation déjà développée précédemment que soient constatés son acceptation de payer une rente légale de 831 fr. 85 et le bien-fondé de la compensation. Invitées plusieurs fois à se prononcer, les parties ont campé sur leurs positions respectives. L'épouse de l'assuré a en outre invoqué la prescription de la créance en restitution de l'indemnité pour conjoint survivant depuis le 1er janvier 2011 et soutenu que la compensation portait atteinte à son minimum vital. La demande a été partiellement admise (jugement du 28 février 2013). La juridiction cantonale a considéré que T._ pouvait prétendre la rente de 831 fr. 85 mais pas l'indemnité de 83'625 fr., que la compensation entre indemnité et prétentions de rente était valable dès lors que le minimum vital de l'épouse de l'assuré n'était pas lésé, que la créance de la CAP en remboursement était cependant prescrite au 31 décembre 2010, que l'institution de prévoyance devait donc reprendre le versement de la rente à partir du 1er février 2013 et payer à T._ un montant de 20'796 fr. 25, correspondant au montant capitalisé de la rente minimale due pour la période courant du mois de janvier 2011 au mois de janvier 2013 inclus avec intérêts à 5 % l'an dès le 15 janvier 2012. C. La CAP et l'épouse de l'assuré recourent contre le jugement dont elles requièrent l'annulation, sous suite de frais et dépens. La première conclut à la constatation de la validité de sa compensation, quelque soit la période considérée, ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour nouveau jugement au sens des considérants (cause 9C_298/2013); la seconde reprend ses conclusions formulées en première instance (cause 9C_310/2013); toutes deux ont conclu au rejet du recours de la partie adverse. T._ a également requis l'octroi de l'assistance judiciaire pour les deux procédures fédérales. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.