Faits: A. Le 24 septembre 2002, Y._ a requis l'autorisation d'assainir une étable sise sur la parcelle n° 7267 de la commune d'Ayent, en zone à bâtir. Ce projet comportait une rénovation partielle du bâtiment central et de ses annexes, ainsi que la construction d'une fosse à purin et d'un enclos pour la stabulation libre du bétail. Le 2 juillet 2003, le Conseil d'Etat du canton du Valais a approuvé ce projet moyennant diverses réserves, charges et conditions et écarté les oppositions formées par plusieurs voisins. Par arrêt du 12 février 2004, la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale) a admis le recours des opposants et annulé l'arrêté du Conseil d'Etat en tant qu'il délivrait l'autorisation de construire. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit public et déclaré sans objet le recours de droit administratif déposés contre cet arrêt par Y._ (causes 1A.107/2004 et 1P.251/2004). Le 28 avril 2006, Y._ a soumis à l'enquête publique la construction d'une fosse à purin et la pose d'une barrière métallique de sécurité sur le mur de soutènement existant. Par décision du 18 novembre 2011, le Service cantonal de l'agriculture a approuvé le projet sous diverses réserves, charges et conditions et écarté les oppositions des voisins. Le Tribunal cantonal a rejeté le recours interjeté par X._ contre cette décision au terme d'un arrêt rendu le 5 avril 2012. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer le dossier à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Tribunal cantonal propose de déclarer le recours irrecevable, subsidiairement de le rejeter. Le Service de l'agriculture se réfère à sa décision, à sa réponse au recours au Tribunal cantonal et à l'arrêt attaqué. Y._ et la Commune d'Ayent n'ont pas déposé d'observations. Par ordonnance présidentielle du 11 juin 2012, l'effet suspensif a été accordé au recours.