Faits: A. A.a. A._, B._ et C._ sont des professionnels de la construction. A la fin des années 1980, ils ont obtenu un crédit de 1'270'000 fr. que la banque X._ (ci-après: la banque) leur a octroyé comme débiteurs solidaires pour financer la construction de deux villas jumelles à W._, comportant un garage séparé pour deux véhicules. Le crédit était garanti par quatre cédules hypothécaires grevant la parcelle sur laquelle sont érigées les villas, par l'intégralité du revenu locatif de celles-ci ainsi que par le produit de la vente éventuelle de ces immeubles. Dès le début des années 1990, les précités ont éprouvé des difficultés à amortir le prêt. En 1993, la banque a consolidé le crédit en question à hauteur de 1'350'000 fr. sous la forme d'une avance à terme fixe renouvelable de six mois en six mois. Le 15 octobre 1998, la banque a accepté de renouveler le crédit jusqu'au 30 juin 1999, tout en précisant aux débiteurs qu'ils devaient s'efforcer de vendre les deux villas avant ce terme. Le 2 décembre 2002, une des deux villas a été vendue, de sorte que les débiteurs ont pu rembourser partiellement la dette contractée, l'avance à terme étant réduite de 1'350'000 fr. à 730'000 fr. Après avoir renouvelé plusieurs fois l'avance à terme fixe, la banque a informé les débiteurs, qui ne parvenaient pas à vendre la seconde villa, qu'elle dénonçait le prêt et les titres hypothécaires au remboursement, les mettant en demeure de régler le montant de 730'000 fr. avec intérêts à 5,125% dès le 1er avril 2003. Le 5 mars 2004, la seconde villa a été vendue, ce qui a permis à la banque, compte tenu des loyers perçus, de récupérer la somme de 695'416 fr.90. Le 3 décembre 2004, la dette des débiteurs s'élevait à 87'318 fr.25. Afin de recouvrer cette créance, la banque a invité ces derniers à lui faire des propositions de remboursement. Le 19 mai 2005, la faillite de C._ a été prononcée. La banque, qui avait produit dans celle-ci une créance de 92'117 fr.35, n'a rien pu récupérer. A.b. La banque a ensuite entrepris des négociations avec A._ et B._. Aucun accord de remboursement n'ayant été trouvé, la banque a fait notifier à chacun d'eux des poursuites les 6 juillet 2006 et 16 août 2007, auxquelles les poursuivis ont fait opposition totale. Le 10 juillet 2008, la banque a avisé les deux débiteurs de son intention d'ouvrir action en reconnaissance de dette à leur encontre. Par courrier du 8 septembre 2008, le conseil de la banque écrit ce qui suit à A._ et B._: « (...) Lors de notre rendez-vous de juillet, j'avais prononcé un chiffre médian de fr. 50'000. De votre côté, vous aviez articulé le chiffre de fr. 40'000.-. Dès lors, la banque n'accepte pas votre proposition pour solde de compte. Elle relève, au demeurant, que vous ne fixez pas de calendrier de paiement, alors que vous vous étiez engagés à le faire avant le 31 août 2008. Cela étant, ou bien je reçois de votre part un engagement clair et net de régler fr. 50'000.-, au plus tard d'ici au 31 août 2009 ou bien j'ai reçu mission de déposer la procédure, qui est du reste déjà prête. Ma mandante n'entend plus perdre davantage de temps en discussions. J'attends, par conséquent, votre réponse ces tout prochains jours. A défaut de trouver un accord d'ici mi-septembre, je ne pourrai plus retenir l'action judiciaire qui sera engagée. (...) ». Le 9 septembre 2008, A._, invoquant l'absence de B._, a demandé à la banque de reporter à la fin septembre ou au début octobre son « ultimatum de mi-septembre ». Par lettre du 10 septembre 2008, le conseil de la banque a répondu à A._ de la manière suivante: « La banque est lasse de devoir toujours repousser les délais, dans l'hypothétique espoir d'un arrangement amiable (...). Il vous faut contacter Monsieur B._ où il est avant le 15 septembre prochain. A défaut, je procéderai, ce qui ne nous empêche pas évidemment de rechercher une transaction en cours de procès. Je dois toutefois vous aviser que ma mandante va très probablement durcir sa position et demander, en tout cas, en sus le remboursement de ses frais d'avocat et de justice. Dans l'espoir que nous parviendrons, néanmoins, in extremis à une solution amiable, je vous prie de croire, Monsieur, à l'assurance de mes sentiments distingués. ». Par pli daté du 20 septembre 2008, A._ et B._ ont accepté la proposition de la banque en ces termes: « (...) Bien malgré nous, nous nous plions à la contrainte de la banque pour le montant de frs. 50'000.- au 31 août 2009 ». B. B.a. Le 24 février 2009, la banque a ouvert action en reconnaissance de dette contre A._ et B._ devant le Tribunal d'arrondissement de Lausanne, concluant à ce que ces derniers lui doivent solidairement paiement de 87'318 fr.25 avec intérêts à 5,125% dès le 4 mai 2004. Les défendeurs ont conclu principalement à libération, subsidiairement à ce qu'ils soient condamnés à verser à la demanderesse la somme de 50'000 fr. « d'ici au 30 août 2009 ». Le 18 août 2009, le conseil des défendeurs a écrit ce qui suit à la banque: « (...) Je me réfère à la convention que nos clients ont conclue et par laquelle MM. B._ et A._ s'engageaient à verser à la banque un montant de fr. 50'000.- au 31 août 2009 pour solde de tout compte et tout (sic) prétention. Mes clients vous proposent d'exécuter leur prestation sur le compte bancaire que vous leur indiquerez; la banque retirera sa demande en prenant en charge les frais de la procédure, chaque partie renonçant à des dépens. Cette proposition est limitée au 25 août 2009 et ne constitue pas une reconnaissance d'une quelconque obligation dans le cadre du procès qui les oppose. Vu son contenu, mes clients se réservent de faire usage de la présente en procédure. Dans l'attente de votre réponse, je vous prie de croire, cher Confrère, à l'assurance de mes sentiments dévoués. ». Le 19 août 2009, la banque, par l'entremise de son conseil, a répondu en ces termes aux défendeurs: « (...) Vos clients ne sont pas cohérents. Ils soutiennent qu'une convention a été conclue l'an dernier et que celle-ci prévoit le paiement de Fr. 50'000.- d'ici au 31 août 2009, pour solde de tout compte. Si tel est le cas, ils n'ont pas à poser de conditions pour l'exécution de leurs engagements. A contrario, en ne versant pas le montant de Fr. 50'000.-, ils reconnaissent ipso facto l'absence de la convention qu'ils allèguent. (...) ». Aucun paiement n'est intervenu le 31 août 2009. B.b. Les 16 et 18 décembre 2009, la banque et B._ ont conclu la transaction suivante: « I. B._ se reconnaît débiteur de la banque X._ d'un montant de Fr. 50'000.- (...), qu'il s'engage à régler d'ici au 22 décembre 2009 sur le compte no ... auprès de cet établissement. II. Moyennant exécution du chiffre I ci-dessus, la banque X._ abandonne à B._ le solde de la dette mentionnée dans le préambule, objet du présent procès et lui donne quittance de ce chef. III. La banque X._ réduira les conclusions prises dans ledit procès, qui se poursuit contre A._, du montant de Fr. 50'000.- à recevoir, à la valeur du jour du paiement. IV. La banque X._ et B._ renoncent réciproquement à des dépens. V. La présente transaction sera communiquée au président du tribunal d'arrondissement de Lausanne, pour qu'il prenne acte de l'accord partiel intervenu, l'annexe au procès-verbal pour valoir jugement, déclare B._ hors de cause et de procès, celui-ci se poursuivant entre la banque X._ et A._. ». B._ a versé 50'000 fr. à la banque le 22 décembre 2009. Le 24 décembre 2009, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a annexé la transaction susmentionnée au procès-verbal des opérations pour valoir jugement entre la banque et B._, déclaré ce dernier hors de cause et dit que le procès se poursuivrait entre la banque et le seul défendeur A._. A l'audience de jugement qui s'est tenue le 14 juin 2010, la banque a précisé ses conclusions en ce sens que A._ est son débiteur du montant de 87'318 fr.25, plus intérêts à 5,125% l'an dès le 5 mai 2004, sous déduction de 50'000 fr., valeur au 22 décembre 2009, versé par B._ en exécution de la transaction judiciaire conclue les 16 et 18 décembre 2009. A._ a conclu à sa libération. B.c. Par jugement du 12 juillet 2010, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a condamné le défendeur A._ à payer à la banque la somme de 87'318 fr.25, plus intérêts à 5,125% l'an dès le 5 mai 2004, sous déduction du montant de 50'000 fr., valeur au 22 décembre 2009, versé par B._ en exécution de la transaction judiciaire conclue les 16 et 18 décembre 2009 dans le cadre de ce procès. B.d. Statuant sur le recours interjeté par A._ contre ce jugement, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 25 mai 2011, l'a rejeté, la décision attaquée étant confirmée. C. A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Invoquant la violation des art. 3, 5 et 18 CO, le recourant conclut au rejet entier des conclusions de la demanderesse. Le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Par ordonnance du 14 novembre 2011, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif requis par le recourant.