Faits: A. S._ s'est inscrit au chômage le 6 décembre 2010. Un délai cadre d'indemnisation lui a été ouvert dès le 1er janvier 2011. Du 26 au 30 décembre 2011, l'assuré a pris des vacances et été libéré de son obligation de rechercher un emploi durant cette période. Par décision du 20 janvier 2012, l'Office régional de placement de Lausanne (ORP) a suspendu le droit de l'assuré à l'indemnité de chômage pour une durée de 5 jours à compter du 1er janvier 2012, au motif que celui-ci n'avait pas déposé ses recherches d'emploi du mois de décembre 2011 dans le délai prescrit (soit au plus tard le 5 janvier 2012). Le 25 janvier 2012 (timbre postal), l'assuré s'est opposé à cette décision. Il a expliqué qu'en raison des fêtes de fin d'année et de son départ en vacances, il avait malencontreusement oublié de remettre le formulaire requis. Il a joint le document à son opposition. Dans une nouvelle décision du 28 mars 2012, le Service cantonal de l'emploi a partiellement admis l'opposition en ce sens qu'il a réduit la durée de la suspension à quatre jours. B. S._ a recouru contre cette dernière décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Par jugement du 1er octobre 2012, le tribunal cantonal a admis le recours et annulé la décision attaquée. C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de la décision prononcée en première instance. Le Service cantonal de l'emploi forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal dont il requiert l'annulation en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 28 mars 2012. S._ s'est déterminé sur les recours, en concluant à leur rejet.