Faits : A. A._ travaillait pour le compte de B._ SA, à U._ (aujourd'hui C._ SA, à V._). Le 9 mai 2008, alors qu'il était en train de nettoyer un tour (de 270 kg), il a fait basculer en avant le socle de cette machine avant de s'apercevoir du poids de celui-ci (entre 80 et 120 kg). Pour retenir ce socle, A._ a fourni un important effort, lequel a été suivi immédiatement par un premier blocage du dos. La déclaration de sinistre LAA à l'attention de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a été établie par la suite (le 7 août 2012). Le 13 mai 2008, l'assuré a consulté son médecin de famille, le docteur D._, qui a diagnostiqué une petite hernie L4-L5 et a préconisé un traitement conservateur (avec anti-douleurs, anti-inflammatoires et physiothérapie durant un mois; rapport du 28 septembre 2012). Le contrat de travail de durée déterminée liant A._ à B._ SA a pris fin le 31 mai 2008, si bien que celui-ci n'a pas repris le travail. Il a touché des indemnités de chômage jusqu'au 31 octobre 2008. A partir du 1er novembre 2008, il a été engagé en qualité de sommelier au Restaurant E._. Il a été licencié pour le 30 juin 2010 (questionnaire pour l'employeur du 15 août 2010). En raison de ses problèmes de dos, l'assuré a consulté les services de neurochirurgie de l'Hôpital F._ et de l'Hôpital G._, où il a subi une discectomie le 14 avril 2011. Dans un rapport du 24 septembre 2012, le docteur H._, chirurgien orthopédiste et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que le lien de causalité entre l'événement du 9 mai 2008 et les troubles dorsaux était au mieux possible; il n'existait aucun critère de Krämer permettant d'admettre l'origine post-traumatique de la hernie et il n'y avait pas de lésion assimilée à un accident. Par décision du 2 octobre 2012, la CNA a refusé de prester, au motif qu'il n'existait aucun lien de causalité certain, ou pour le moins établi au degré de la vraisemblance prépondérante, entre l'événement du 9 mai 2008 et les troubles dorsaux annoncés. Statuant sur l'opposition de A._, la CNA l'a rejetée en reprenant l'argumentation de sa décision précédente (décision sur opposition du 14 novembre 2012). B. A._ a déféré cette dernière décision à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois, qui, par jugement du 10 mars 2014, a rejeté le recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation. Il demande, principalement, que son droit aux prestations de l'assurance-accidents pour les conséquences de l'événement du 9 mai 2008 soit reconnu et, subsidiairement, que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision, après un éventuel complément d'instruction. Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. L'intimée conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.