Faits: A. A.a. X._ est un établissement de droit public autonome doté de la personnalité morale. Il a pour but d'assurer la mise en oeuvre de la planification hospitalière et de coordonner les activités des hôpitaux et des instituts médicaux-techniques qui le composent, notamment les hôpitaux de A._ et B._ ainsi que les Institutions C._. L'hôpital de B._ offre des prestations en pédopsychiatrie par le biais du Service D._, anciennement Centre E._. Le Dr Y._ occupe le poste de médecin chef de clinique auprès de ce service. L'hôpital de A._ forme avec les Institutions C._, site de F._, le centre hospitalier de A._ dont le Dr V._ est le directeur et chef du département de psychiatrie. A.b. U._, né le 8 août 1994, fils de T._, a été hospitalisé auprès du service de pédiatrie de l'hôpital de A._ du 23 mars 2009 au 2 avril 2009, puis en raison d'idées suicidaires et de tensions dans ses relations avec sa mère, il a été transféré au Service D._, où il a séjourné jusqu'au 20 juillet 2009. Cette hospitalisation a été émaillée de plusieurs problèmes, principalement liés à l'opposition de la mère aux différents traitements proposés par les soignants, en particulier le Dr Y._. T._ a également tenu le Service D._ pour responsable du tentamen de son fils survenu le 16 juin 2009. Après un court séjour à l'hôpital psychiatrique de la fondation de G._, U._ a été transféré à l'hôpital psychiatrique de F._, où il a séjourné jusqu'au 21 octobre 2009. Entre novembre 2009 et mars 2010, il a été hospitalisé à quatre reprises dans ce même hôpital. Dans le même temps, il a été placé auprès de la Fondation Q._, à Sion, dès le 17 janvier 2010. Durant ces hospitalisations, T._ a fait montre d'une défiance marquée à l'endroit des Institutions C._ et du Service D._. Dès septembre 2009, elle a publié sur internet un historique concernant le cas de son fils en décrivant de manière très critique les méthodes thérapeutiques des services en cause, le refus des soignants de l'informer sur le diagnostic et les traitements médicamenteux de son fils ainsi que le sentiment de kidnapping de son enfant par les institutions. Bien qu'anonymisé, le récit reprend les initiales des noms des soignants et du patient de sorte qu'il est aisé de les identifier. A.c. Le 8 septembre 2010, le Juge du district de Sion a rejeté la requête formée par T._ et son fils tendant à la remise par X._ du dossier médical de l'adolescent mais a donné acte de ce que X._ ne s'opposait pas à ce que U._ puisse consulter son dossier médical en présence d'un professionnel de la santé de X._. A.d. Par courriel du 24 février 2011, S._, journaliste auprès du quotidien I._, appartenant à Z._ SA, a pris contact avec le Dr V._ et lui a indiqué qu'il avait été approché par une mère dont le fils avait été admis au Service D._ puis à l'Hôpital de F._, qu'il avait mené une enquête pour trouver d'autres témoignages confortant les affirmations de cette personne et que, sans que les personnes interrogées n'aient pu se concerter, plusieurs mères interrogées et dont les enfants ont également été suivis par le Service D._ ont vivement critiqué ce service et, en particulier, le Dr Y._. Les plaintes des mères ont été résumées comme suit: "Toutes les mamans interrogées sont des femmes séparées de leurs maris [sic] ou du père génétique de leurs enfants. Lorsque ceux-ci sont entrés au Centre E._, votre collaborateur, le Dr Y._, a fortement mis en accusation l'éducation donnée à leurs fils ou filles. On m'a parlé de séances systématiquement filmées alors que les mères ne le souhaitaient pas. On m'a aussi décrit une attitude hautaine, des violences verbales, tendant à dénigrer l'ado qui tentait de s'en sortir. On m'a encore évoqué des violences physiques ou des menaces. Dans un cas, la posologie d'un médicament prescrit au Centre E._, la Sertaline, indique qu'il est déconseillé au moins de 18 ans "car il peut augmenter le risque de suicide". C'est ce qui s'est passé pour un ado de 14 ans. Durant, [sic] mes interviews, j'ai également été frappé par la séparation faite entre la famille et l'adolescent. Selon les mères interrogées, il y aurait même la volonté de dresser leurs enfants [sic] contre elles. On m'a encore signalé que le Dr Y._ n'était pas inscrit à la FMH." Désirant rédiger un article sur le sujet, le journaliste a sollicité un entretien avec le Dr V._. Les deux hommes se sont rencontrés le 26 février 2011. Lors de cet entretien, le journaliste a fait des allusions explicites au cas de l'adolescent U._ et a admis qu'il était dûment renseigné sur ce dossier. Le 1 er mars 2011, S._ a fait parvenir une synthèse de l'entretien au Dr V._ qui a pu y apporter des modifications. Le document final a la teneur suivante (les modifications apportées par le Dr V._ sont entre parenthèses et précédées du sigle "→") : "Voici la synthèse de notre rdv de samedi. Cette itw peut paraître en plusieurs blocs. J'ai demandé aux diverses mères si elles acceptaient que vous jetiez un oeil sur leurs propos. Elles m'ont demandé de ne pas le faire. Mais leurs interviews contiennent ce que j'ai vous ai dit: Plaintes globales sur l'attitude de M. Y._ (jeux de pouvoir, insulte devant témoins). Entretiens filmés sans leur accord. Prescription de Sertaline pour déboucher sur une tentative de suicide. Non accès au dossier médical. Manque d'informations. Sentiments d'être coupés de leur enfant. Depuis notre rencontre j'ai vérifié une seconde fois toutes les affirmations. Je vous confirme que dans aucun des cas il n'y a eu une demande de séparation par une autorité quelconque. (→je vous précise que nous avons parlé de mesures de protection et non de demande de séparation...) Durant notre enquête, toutes les mères interrogées disent avoir très mal vécu d'être coupée [sic] de leurs enfants [sic]. Elles ne peuvent que vivre douloureusement ce genre d'épreuve. La séparation peut être requise par la justice civile pour la protection même de l'enfant. C'est parfois le patient lui-même qui peut nous la demander. Dans ces cas, notre préoccupation est vraiment cette protection, celle de l'enfant qui est notre patient. C'est un sujet délicat et il y a des façons subjectives de vivre ces événements. On peut se sentir agressé alors que c'est la personne elle-même qui adopte une attitude agressive. Nous sommes dans des situations et la violence est plutôt vécue du côté des soignants. Il faut comprendre le contexte qui est subtil. Nous exerçons un métier où il faut gérer de drôles de choses (Ces trois dernières phrases ont été biffées par le Dr. V.) (→je pense que les autres citations n'ont pas trait à la question et je vous propose donc de les supprimer). En dehors du père et de la mère, pourquoi ne consultez-vous pas les autres membres de la famille lorsqu'un ado est en crise? Nous avons pris la systémique comme modèle de thérapie. Elle est de nature, justement, à favoriser les liens avec toute la famille, même si cela est parfois difficile. Ces mesures permettent de soulager la souffrance. Notre travail se fait dans un souci de rapprochement des familles, à l'exception des situations qui requièrent des mesures de protection particulières. Pourquoi n'y a-t-il pas un accès au dossier médical de leur enfant? C'est la loi fédérale qui exige que nous respections la confidentialité des données du patient. Le dossier est mis à disposition des proches uniquement avec l'autorisation du patient et sous les conditions précisées par la loi. Il peut être physiquement consultable en la présence d'un autre médecin. Il y a des dangers pour le patient qui ne sont pas anodins. Déjà pour un adulte, quand il a accès à son dossier, cela peut être difficile à vivre. Imaginez pour un enfant. Pourquoi prescrire de la Sertaline, antidépresseur déconseillé aux personnes de moins de 18 ans? J'ai encore lu récemment que c'est un médicament qui provoque une grande polémique aux États-Unis. C'est un médicament autorisé que nous utilisons avec prudence et qui donne de bons résultats. Un de vos collaborateurs, le Dr Y._, est mis en cause dans son attitude envers les mères des patients. J'ai une entière confiance dans ce collaborateur. Si quelqu'un prétend qu'il a mal agi, je ne peux qu'encourager cette personne à le signaler aux autorités ou aux organes de surveillance. Il y a le ressenti de ces personnes, que je comprends très bien, mais ces impressions correspondent-elles à la réalité? Il faut faire très attention à ce qu'on ouvre, par rapport aux enfants, notamment, c'est un sujet délicat. Nous avons aussi des témoignages de parents qui nous remercient du travail effectué par le Dr Y._ qui voit des centaines d'enfants par année. Pourquoi n'est-il pas inscrit à la FMH? Les médecins n'ont pas l'obligation d'être affiliés à la FMH. C'est une non-information. Pourquoi ces séances avec plus de dix personnes face aux parents? Cela a des allures de tribunal? Ce sont des entretiens de réseau qui réunissent tous les intervenants autour d'un dossier. Cela permet de clarifier et de coordonner les informations. Vous pourriez aussi très mal réagir si on ne vous autorisait pas l'accès à ces séances et que vous attendiez derrière une porte que l'on vous donne des réponses." B. B.a. Par requête de mesures provisionnelles urgentes du 2 mars 2011, X._ a conclu à ce qu'il soit fait interdiction au Journal I._ par Z._ SA de publier quelque article que ce soit faisant une allusion directe ou indirecte, même en termes dissimulés, au cas de U._ et à X._. Au titre de mesures provisionnelles et au fond, X._ a pris des conclusions quasi-identiques. Par décision de mesures préprovisionnelles du même jour, le Juge du district de Sion a fait droit à la requête. Le 7 mars 2011, X._ a complété sa demande et modifié ses conclusions au titre de mesures provisionnelles et au fond en ce sens qu'il soit fait interdiction, sous la menace des peines prévues à l'art. 292 CP, au Journal I._, ou à tout autre journal par Z._ SA, de publier quelque article que ce soit faisant une allusion directe ou indirecte, même en termes dissimulés, au cas U._, au Centre E._/Service D._ et au Dr Y._ dans le sens des propos résultant des e-mails du journaliste S._ au Dr V._ du 24 février et du 1er mars 2011. À la suite de la détermination de l'intimée du 16 mars 2011, le Dr Y._ a déclaré se joindre à la requête et aux conclusions de la requête par courrier du 22 mars 2011. Par décision du 4 avril 2011, le Juge du district de Sion a admis la requête de mesures provisionnelles de X._ et du Dr Y._ dans le sens des conclusions prises le 7 mars 2011 et leur a imparti un délai de trente jours pour ouvrir action contre Z._ SA. Le 20 avril 2011, X._ et le Dr Y._ ont ouvert action au fond. B.b. Statuant sur appel de Z._ SA, la Chambre civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a, par arrêt du 31 août 2011, déclaré irrecevable la requête de mesures provisionnelles formée par le Dr Y._ et a rejeté celle de X._. C. Le 15 septembre 2011, X._ et le Dr Y._ exercent un recours en matière civile contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral concluant à son annulation et à ce que la mesure ordonnée le 4 avril 2011 par le Juge du district de Sion soit maintenue jusqu'à droit connu sur l'action au fond. Préalablement, ils demandent l'octroi de l'effet suspensif. À l'appui de leurs conclusions, ils se plaignent d'une violation des art. 10, 29 et 30 Cst., d'une application arbitraire des art. 64 et 266 CPC, 28 ss CC et 328 CO, ainsi que d'arbitraire dans l'appréciation des faits. Suite à la détermination de l'intimée, qui a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif, l'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance du 6 octobre 2011. L'intimée conclut au rejet du recours dans ses observations du 20 janvier 2012. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.