Faits: A. Le 29 janvier 2008, le chef du Service de la circulation routière et de la navigation du canton du Valais a infligé à X._ une amende de 300 fr. pour contravention à l'art. 90 ch. 1 LCR, en relation avec les art. 34 al. 3, 36 al. 3 et 3 al. 1 de l'ordonnance du 13 novembre 1962 sur les règles de la circulation routière (OCR). B. Par arrêt du 11 août 2008, le juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'appel formé par X._. Cet arrêt retient en substance ce qui suit : Le 8 septembre 2007, à 13h, X._ circulait au volant de sa voiture sur la route d'Hérens, de Sion en direction de Vex. Sortant d'un virage, il a voulu se rendre sur une place en bordure de la voie de descente pour y consulter une carte. Il a enclenché son indicateur de gauche et a obliqué à gauche, sans apercevoir la moto qui le dépassait. L'avant droit de la moto heurta l'arrière gauche de la voiture ; le motocycliste est tombé et s'est blessé au coude. C. Contre cet arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il se plaint du fait que la cour cantonale a rejeté sans aucune motivation ses offres de preuves (audition du témoin à charge et expertise) et fait valoir que les faits ont été établis de manière arbitraire. En outre, il dénonce la violation des art. 26, 34, 35 et 90 LCR ainsi que l'application arbitraire des art. 207 et 210 du code de procédure pénale valaisan. Il conclut, principalement, à son acquittement ; à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction ; à titre très subsidiaire, à ce que les frais soient mis à sa charge seulement pour moitié et à ce qu'une indemnité de dépens de 400 fr. lui soit versée. En outre, il sollicite l'effet suspensif. D. Appelé à se déterminer, le juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a déposé des observations, sans prendre de conclusions.