Faits: A. Z._ est citoyenne de la République du X._ et elle est domiciliée en France, à proximité de Genève; elle y est venue en octobre 1993, accompagnant son époux qui était fonctionnaire de l'Organisation des Nations Unies. B. Dès le 9 juin 1995, Z._ est entrée au service de la Mission permanente de la République du X._ auprès de l'Office des Nations Unies à Genève, en qualité de secrétaire. Elle avait souscrit un « contrat d'engagement du personnel local » dont l'art. 8, sous l'intitulé « contentieux », se lisait comme suit: Pour toute contestation et pour ce qui n'est pas prévu ou précisé dans le présent contrat, les parties auront recours à l'avis du service du protocole local compétent, et pour autant que les usages diplomatiques le permettent, à la compétence du pouvoir judiciaire local. La Mission comprenait alors deux diplomates, soit l'ambassadeur et un conseiller, une collaboratrice administrative qui était désormais Z._, et deux chauffeurs. L'ambassadeur est demeuré le seul diplomate pendant les années 2000 et 2001; depuis janvier 2007, il est assisté de deux conseillers. Outre son rôle diplomatique, la Mission assume pour toute la Suisse le service consulaire de la République du X._. Dès octobre 1996 au plus tard, la secrétaire s'est chargée de la comptabilité de la Mission et du service des paiements, sous le contrôle de l'ambassadeur. Elle jouissait du droit de signature collective à deux auprès de la banque. Elle était également chargée des affaires consulaires; sous le contrôle de l'ambassadeur, elle renouvelait des passeports et elle délivrait des visas. Elle signait ces documents et elle y apposait le sceau officiel de la Mission. Elle signait des lettres avec la mention « assistante de l'ambassadeur ». Avec l'accord du Ministère des affaires étrangères, elle expédiait les affaires courantes de la Mission et elle en recevait les hôtes pendant les absences de l'ambassadeur; le titre officiel de chargée d'affaires ad interim ne lui était toutefois pas attribué. Dès le 1er avril 2007, selon une note de l'ambassadeur datée du 19 mars précédent, la comptabilité et le service consulaire furent retirés à Z._ pour être dorénavant confiés au « diplomate le moins gradé », c'est-à-dire au deuxième conseiller, « à l'instar de ce qui se pratiquait dans les autres missions du X._ à l'étranger ». Ce dessaisissement s'accompagnait de la suppression d'une « prime de comptabilité » mensuelle que la secrétaire avait perçue dès l'été de 1999. La secrétaire a énergiquement protesté auprès du Ministère des affaires étrangères et elle a aussi alerté divers diplomates et hauts fonctionnaires du X._. Le Ministère a confirmé le dessaisissement le 17 juillet 2009. Au cours de ce même mois, la secrétaire est partie en vacances au X._, avec sa famille, ainsi qu'elle le faisait chaque été. Faute d'avoir obtenu l'accord de l'ambassadeur, elle avait remis un certificat médical attestant d'une incapacité totale de travail du 29 juin au 1er août 2009. Le 13 août 2009, l'ambassadeur a ordonné à Z._ de mettre fin à son activité au service de la Mission. C. Le 27 novembre 2007, Z._ a ouvert action contre la République du X._ devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée au paiement de diverses sommes au total de 83'019 fr.25, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juin 2007. Par la suite, la demanderesse a amplifié ses conclusions au total de 92'825 fr.95. A titre principal, la défenderesse a excipé de l'immunité de juridiction et conclu à l'irrecevabilité de la demande; à titre subsidiaire, elle a conclu au rejet de l'action et introduit une demande reconventionnelle tendant au paiement de 10'000 francs. Par jugement du 15 mars 2010, le tribunal a partiellement accueilli l'action principale et condamné la défenderesse à payer 4'000 fr. et 43'914 fr.65, respectivement avec intérêts dès le 1er juin et dès le 14 août 2007. Le tribunal a rejeté l'action reconventionnelle. La Cour d'appel a statué le 18 avril 2011 sur l'appel de la défenderesse. Elle a annulé le jugement, accueilli l'exception d'incompétence fondée sur l'immunité de juridiction et déclaré la demande principale irrecevable. D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour d'appel et de renvoyer la cause à cette autorité pour nouvelle décision. La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.