Faits: A. Le 24 juillet 2012, C._ a déposé un permis de construire un chalet avec deux places de parc extérieures sur la parcelle n° 3271 de la commune de Château-d'Oex. Helvetia Nostra et B._ ont formé opposition. Le 20 décembre 2012, la Municipalité de Château-d'Oex a levé les deux oppositions et délivré le permis de construire requis. Helvetia Nostra, A._ et B._ ont recouru conjointement contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud. Celui-ci a rejeté le recours par arrêt du 9 avril 2013, laissant indécise la question de la qualité pour agir des recourants et considérant en substance que les art. 75b et 197 ch. 9 Cst. n'étaient pas applicables avant le 1er janvier 2013. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité de dernière instance. Subsidiairement, ils concluent à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'autorisation de construire est annulée. Dans les arrêts de principe rendus le 22 mai 2013 en matière d'autorisation de construire une résidence secondaire, le Tribunal fédéral a admis la qualité pour recourir d'Helvetia Nostra (ATF 139 II 271) ainsi que l'applicabilité directe des art. 75b et 197 ch. 9 Cst. aux permis de construire délivrés après le 11 mars 2012 (ATF 139 II 243), indépendamment de la date de dépôt de la demande (ATF 139 II 263). Par ordonnance du 9 juillet 2013, un délai a été imparti aux parties pour qu'elles se déterminent suite à la publication des arrêts précités sur le site internet du Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal s'en remet à justice, de même que la commune de Château-d'Oex qui demande que les frais et dépens soient mis à la charge de la constructrice. L'intimée n'a pas procédé.