Faits: A. Née en 1951, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 20 juillet 2007, en indiquant souffrir d'une chondrocalcinose avec gonarthrose et être en arrêt de travail depuis le 28 février 2007. Entre autres mesures d'instruction, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a soumis l'assurée à un examen auprès de son Service médical régional (SMR), où le docteur B._, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation a fait état d'une capacité de travail de 30 % dans l'activité habituelle de serveuse et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations décrites dans son rapport du 28 janvier 2009. Fort de ces conclusions, l'office AI a informé l'assurée en juin 2009 qu'il comptait lui refuser toute prestation, hormis une aide au placement, motif pris d'un taux d'invalidité (de 9 %) insuffisant pour ouvrir le droit à des prestations de l'assurance-invalidité. L'intéressée ayant contesté ce point de vue, l'administration a demandé l'avis du docteur S._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, puis chargé le docteur M._, également spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, d'une expertise. Dans son rapport du 22 septembre 2009, l'expert a diagnostiqué une gonarthose bilatérale interne avancée et mis en évidence une nouvelle atteinte (rupture complète et transfixiante du tendon du sus-épineux gauche). Par décisions des 23 novembre (refus de rente d'invalidité) et 24 novembre 2009 (refus de reclassement et annulation de l'aide au placement), l'office AI a rejeté la demande de l'assurée, en précisant que sa situation serait réexaminée en mai 2010 (date correspondant au terme du délai d'une année dès le moment où une incapacité totale de travail pouvait être retenue [soit dès le 22 mai 2009]). B. Statuant le 23 juillet 2010 sur le recours formé par T._ contre la décision portant sur le refus de rente, le Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton du Valais l'a rejeté, en confirmant la décision du 23 novembre 2009. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut en substance à l'octroi d'une rente entière dès le 18 juillet 2007; à titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.