Faits : A. Le 8 mars 2010, X._ est entré au service de Z._ SA en qualité de conducteur de véhicules pour le transport des personnes. Son salaire mensuel brut, dû treize fois par an, s'élevait à 5'178 fr.55. Dès le 14 juin et jusqu'au 18 juillet 2011, cet employé s'est trouvé en incapacité partielle de travail, au taux de 50%, en raison d'une dépression avec fatigue importante et pertes de mémoire. Le 7 juillet, l'employeuse lui a adressé par écrit une menace de résiliation de son contrat de travail. Elle faisait état de manquements qu'il avait commis dans son activité: au retour de ses vacances, il s'était rendu au dépôt de ... alors qu'il devait prendre son service à celui de ..., et il avait deux fois omis de respecter la signalisation en place dans le village de .... Lors de ces faits, il s'était comporté de manière inappropriée avec son chef puis avec le syndic de .... Enfin, son chef rencontrait régulièrement des difficultés à le joindre bien que l'entreprise lui eût remis un téléphone cellulaire. En raison de la même maladie, l'employé s'est trouvé en incapacité totale de travail du 19 juillet au 5 septembre 2011, puis derechef au taux de 50% jusqu'au 14 octobre. Le 7 puis le 10 octobre, alors qu'il assurait des services de transport public, l'employé a deux fois omis d'attendre l'arrivée de correspondances en retard. Le 11 octobre, l'employé transportait près de vingt élèves âgés de quatorze à quinze ans. A l'arrêt de ..., il a quitté le véhicule et ses passagers, laissant le moteur en marche et les portes ouvertes, pour aller faire un achat personnel au magasin situé de l'autre côté de la rue. Son absence a duré entre cinq et dix minutes. Le 13 octobre 2011, l'employeuse a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. Dès le 15, l'employé s'est de nouveau trouvé en incapacité totale de travail. B. Le 2 mars 2012, X._ a ouvert action contre Z._ SA devant l'autorité de conciliation compétente puis devant le Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de La Côte. La défenderesse devait être condamnée à payer 24'821 fr.45 à titre de salaire brut, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 14 octobre 2011, et à établir un certificat de travail différent de celui déjà remis; le libellé de ce document devait être précisé en cours d'instance. La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Le tribunal a recueilli divers témoignages puis il s'est prononcé le 8 juillet 2013. Retenant que la résiliation abrupte du contrat n'était pas justifiée, il a partiellement accueilli l'action. Il a condamné la défenderesse à payer 5'178 fr.55 à titre d'indemnité nette et 14'399 fr.30 à titre de salaire brut, avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 14 octobre et le 1er décembre 2011; la défenderesse était en outre condamnée à établir un certificat de travail dont le jugement énonçait le libellé. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 29 janvier 2014 sur l'appel de la défenderesse. Elle a jugé que les faits survenus à ... le 11 octobre 2011 justifiaient la résiliation abrupte du contrat. Elle a réformé le jugement et rejeté l'action en paiement; elle a confirmé la condamnation à établir un nouveau certificat de travail, duquel elle a toutefois modifié le libellé. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de confirmer entièrement le jugement de première instance. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours. La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.