Faits: A. Par jugement du 24 mai 2012, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois a condamné A.X._, pour violation par négligence de son devoir d'assistance et d'éducation (art. 219 CP) et enlèvement de mineur (art. 220 CP), à une peine pécuniaire de 75 jours-amende à 20 francs le jour, sous déduction de quarante-deux jours de détention préventive subie. Sur le plan civil, il a donné acte de ses réserves civiles à B.X._. B. Par jugement du 13 février 2013, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis l'appel formé par A.X._ en ce sens qu'elle a réduit la peine pécuniaire à 60 jours-amende à 10 francs le jour et suspendu l'exécution de la peine pendant trois ans. En résumé, elle a retenu les faits suivants: B.a. Au début des années 2000, A.X._ a rencontré C.Y._, avec lequel elle s'est rapidement installée dans le canton de Genève. Elle est tombée enceinte en 2003 et a donné naissance à B.X._ le 9 août 2004. En raison de difficultés, notamment, dans l'éducation de leur enfant, le couple s'est séparé au début de l'année 2005. Le 11 mai 2006, après avoir appris que A.X._ avait résilié son bail, la Présidente du Tribunal tutélaire de Genève l'a informée de l'ouverture d'une enquête en limitation de son autorité parentale et lui a signifié une interdiction de quitter la Suisse avec l'enfant. A.X._ est toutefois partie avec son fils quelques jours avant l'audience et s'est installée en Suède, dans une maison acquise avec ses économies. En juin 2007, C.Y._ a obtenu, par voie de mesures provisoires, de pouvoir voir son fils un week-end par mois. Les autorités suédoises ont ensuite retiré la garde de B.X._ à la mère et placé l'enfant en institution, puis dans une famille d'accueil de mai à août 2008, date à laquelle B.X._ est arrivé en Suisse sous la garde de son père, dont le domicile avait été désigné comme lieu de résidence de l'enfant. De retour en Suisse, ce dernier, âgé de quatre ans, présentait d'importants problèmes de comportement. Il criait beaucoup, refusait toute contrainte, ne s'alimentait qu'au biberon, dormait mal et n'était pas propre. Placé chez son père, l'enfant a fait de rapides progrès. Par jugement du 6 novembre 2008, le Tribunal de première instance du Värmland (Suède) a attribué la garde exclusive de B.X._ à son père (le droit suédois ne distinguant pas droit de garde et autorité parentale) et instauré un droit de visite en faveur de la mère, à raison d'une semaine par mois, à savoir du premier lundi du mois jusqu'au lundi suivant, assorti de contacts téléphoniques réguliers. B.b. Face au refus de C.Y._ de lui confier B.X._, A.X._ s'est rendue le mardi 2 décembre 2008 à Chavornay, à la sortie de la crèche fréquentée par son fils, en s'adjoignant les services d'un mercenaire résidant en France dont l'activité principale consistait à rechercher et à rapatrier des enfants. Vers 13h30, pendant que D.Y._, épouse de C.Y._, qui était allée chercher B.X._ à la crèche, installait sa propre fille, âgée de trois mois, dans sa voiture et que B.X._ attendait d'être pris en charge de l'autre côté du véhicule, A.X._, profitant de la situation, a appelé son fils, l'a pris dans ses bras et s'est enfuie en courant, avant de monter dans l'automobile du mercenaire. Ce dernier a aussitôt conduit A.X._ et son fils jusqu'à un embranchement autoroutier et s'est fait remettre quelques centaines d'euros comme rétribution pour sa participation. A.X._ a alors pris le volant d'un véhicule et a rejoint son ami, en France, avant d'entreprendre, avec lui et son enfant, le voyage jusqu'à son domicile en Suède, voyage qu'ils ont effectué en deux jours, en partie en voiture et en partie en bateau, et au cours duquel ils se sont arrêtés à plusieurs reprises pour se ressourcer et s'amuser. C.Y._ a déposé une plainte pénale le 2 décembre 2008. Le 9 décembre suivant, il est allé en Suède rechercher son fils, qui lui a été remis par les services sociaux de Strömstad, après que ceux-ci eurent pris contact avec A.X._ par l'intermédiaire de l'autorité centrale en matière d'enlèvement international d'enfants de l'Office fédéral de la justice. B.c. Par ordonnance de mesures provisonnelles du 11 mars 2009, le Juge de paix du district du Gros-de-Vaud a limité l'exercice du droit de visite de A.X._ à un week-end par mois, a imposé son exercice en Suisse exclusivement et a ordonné la remise, à cette occasion, des papiers d'identité de A.X._ à C.Y._. Le 25 avril 2009, vers 10h00, C.Y._, son épouse et leur fille se sont rendus au collège de Penthéréaz avec B.X._ pour que A.X._ puisse le prendre en charge jusqu'au lendemain à 18h00. Cette dernière avait au préalable déclaré qu'elle s'installerait à l'Hôtel des Horloges, à Plan-les-Ouates, dans le canton de Genève, où elle avait réservé une chambre à son nom. Elle s'est donc présentée au rendez-vous, a recueilli son enfant, qu'elle a installé dans une poussette, et s'en est allée. A.X._ ne s'est toutefois pas rendue à l'hôtel précité, mais a franchi la frontière pour s'établir à Rumilly, en France voisine, où elle avait planifié de vivre dans la clandestinité afin de ne pas se voir retirer son enfant. Elle a notamment éteint son téléphone portable pour éviter d'être localisée et n'a pas répondu aux appels de C.Y._ qui, s'inquiétant du sort de B.X._, a porté plainte le 26 avril 2009. En outre, pour communiquer avec un cercle restreint de connaissances, elle a envoyé des courriels en utilisant plusieurs adresses internet afin de brouiller les pistes. Le 10 juin 2009, A.X._ a été interpellée par la police française dans un parc public de la ville d'Annecy. C.Y._ s'est rendu sur place quelques heures plus tard et a pu récupérer l'enfant. Durant son séjour en France, A.X._ a privé son fils de l'autonomie dont il aurait dû bénéficier de façon croissante en fonction de son âge. Elle lui a donné le biberon, l'a déplacé en poussette et l'a suralimenté, voyant dans la prise de poids une garantie absolue de bonne santé. Elle s'est en outre rendue à l'Hôpital Beauregard du Val d'Aoste, en Italie, dans le but de soumettre l'enfant à des examens médicaux destinés à confirmer le pronostic de trouble autistique posé par les médecins suédois et obtenir ainsi des certificats médicaux qu'elle envisageait d'utiliser sur le plan juridique pour démontrer que l'éducation prodiguée par le plaignant à l'enfant était inadéquate et ainsi récupérer la garde sur ce dernier. De retour en Suisse, B.X._, qui avait pris plus de deux kilos en un mois, ne savait plus manger seul et avait régressé dans son comportement. B.d. En cours d'instruction, A.X._ a été soumise à une expertise psychiatrique. Dans son rapport du 29 janvier 2010 (pièce 101), confirmé et précisé lors de son audition par le premier juge, le Dr E._, médecin associé du Secteur psychiatrique Nord, a posé le diagnostic de trouble de la personnalité de type paranoïaque, pathologie psychiatrique, qu'il a qualifiée de grave, chronique et probablement en voie de péjoration. Il a précisé que le trouble se manifeste sous forme d'un caractère soupçonneux et une tendance envahissante à déformer les événements pour leur donner une coloration hostile ou méprisante, d'un sens tenace et combatif de ses propres droits, hors de proportion avec la réalité, d'une tendance à surévaluer sa propre importance se traduisant par des attitudes de perpétuelle référence à soi-même et d'une préoccupation par des explications à type de conspiration concernant les événements extérieurs. Selon l'expert, chez la prénommée, ce délire organise son existence autour de deux ou trois idées interdépendantes, à savoir la malveillance de son ex-compagnon, la maladie de son fils et l'exclusivité des aptitudes à s'occuper de son fils malade, qu'elle détient. Le fait que A.X._ ne reconnaisse pas sa maladie (anosognosie) est constitutif de sa pathologie. En outre, la prénommée présente une alexithymie, à savoir l'incapacité à accéder à ses propres émotions et aux émotions d'autrui. L'expert a dit imaginer que A.X._ avait dû se trouver fort empruntée face à un nourrisson dont elle ne pouvait interpréter correctement le comportement, la conduisant à projeter sur lui ses incompétences communicationnelles. C'est ce mécanisme qui serait à la base de la conviction délirante d'une maladie chez l'enfant. L'expert a encore souligné que les enlèvements (au sens commun du terme) reprochés à l'expertisée s'apparentaient à des attitudes masochiques qui anéantissaient ses efforts pour récupérer la garde de son fils. Il a relevé en outre qu'il était possible que ce soit l'attitude de l'expertisée qui engendre chez l'enfant des troubles du comportement et a émis l'hypothèse que dans la représentation psychotique du monde par l'expertisée, la relation fusionnelle avec l'enfant devait lui paraître préférable à toute autre. B.e. Dans un certificat médical du 18 juin 2008, les médecins suédois avaient posé un diagnostic de trouble du spectre autistique et faisaient état " des difficultés évidentes chez B.X._ ", difficultés auxquelles sa mère tentait " aussi bien que possible de faire face " pour aider l'enfant dans son développement (pièce 139/1.6, confirmé par un certificat du même établissement du 5 septembre 2008, pièce 199/2.7). En mars 2009, la professeure F._ relevait l'évolution clinique rapide et favorable de l'enfant dans un environnement adapté ainsi que son potentiel cognitif sous-jacent tout à fait bon, pour en tirer la conclusion que cette évolution parlait contre un autisme dit du développement, d'origine génétique ou lésionnelle, et émettait l'hypothèse qu'il puisse s'agir de syndromes autistiques liés à une condition environnementale particulière, éventuellement liée à la prise en charge par la mère elle-même (dans le cas d'un éventuel syndrome de Münchhausen by Proxy) (pièces 143/1B et 182/2). Dans un courrier du 20 septembre 2011, le pédo-psychiatre G._, à Lausanne, en charge du suivi de B.X._ depuis environ un an, a établi un certificat médical retraçant sa prise en charge, dont il ressort que l'enfant souffrirait de troubles réactionnels de l'attachement caractérisés par un mode de relations sociales perturbé et inapproprié constaté avant l'âge de cinq ans également communément appelés " syndrome pseudo-autistique ". Le niveau intellectuel s'améliorait et le développement cognitif de l'enfant augmentait également rapidement. Si le pronostic était difficile à fournir, notamment au sujet du potentiel de rattrapage cognitif et émotionnel, le fait que l'enfant progressait rapidement malgré la persistance de quelques traits autistiques était de bonne augure. Le rattrapage développemental permettait d'affirmer, selon ce praticien, qu'un trouble envahissant du développement (tel que l'autisme) était peu probable. Enfin, le Dr G._ considérait qu'un syndrome de Münchhausen by Proxy était très probable (pièce 143/1D). Dans un rapport d'évaluation psychologique (non daté) fondé sur des examens effectués les 20 octobre et 17 novembre 2011, la psychologue H._, du cabinet du Dr G._, a également conclu à un trouble de l'attachement plutôt qu'à un trouble d'ordre autistique, notamment en raison de la nette progression de B.X._ depuis qu'il n'était plus en présence de sa mère biologique. Dans un meilleur cadre, plus stimulant et aidant, B.X._ pouvait se développer (pièce 174/1). C. Contre le jugement d'appel, A.X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'elle est libérée du chef d'accusation de violation par négligence du devoir d'assistance ou d'éducation et qu'une peine pécuniaire inférieure à 60 jours-amende lui est infligée. En outre, elle sollicite l'assistance judiciaire. Invités à se déterminer, la curatrice de l'enfant B.X._ a conclu au rejet du recours, alors que C.Y._ a renoncé à se déterminer sur le fond du recours et s'en est remis à justice. A.X._ n'a pas déposé de réponse.