Faits: A. D._ est entré au service de la Ville de Genève le 1er décembre 2001, en qualité de forestier-bûcheron au service de X._. Son activité consistait à entretenir les espaces verts municipaux par des travaux de bûcheronnage, soit principalement, des tâches d'abattage, d'élagage et de broyage. Le 19 octobre 2004, D._ a fait l'objet d'une première évaluation de son comportement et de son travail, ensuite de laquelle il a été confirmé à son poste dès le 1er janvier 2005 et pour une durée indéterminée. En raison de dysfonctionnements de longue date au sein du groupe, une réunion avec l'équipe de forestiers-bûcherons a été organisée le 15 février 2005. Selon le procès-verbal de cette séance, D._ avait eu dans son activité des paroles et des gestes agressifs envers ses collègues. Le 6 avril 2005, la Cheffe de service a constaté que la situation ne s'était pas améliorée, raison pour laquelle elle a dissout l'équipe et réorganisé les effectifs. D._ a changé d'équipe de travail. Le 18 avril 2005, il a signé une charte - dont le but était de faire respecter strictement les plannings, les règles de sécurité et le matériel de la Ville - qui mettait en garde l'intéressé au sujet des consignes édictées et précisait qu'une violation de ces règles était considérée comme une faute professionnelle grave permettant notamment de le licencier. Dès 2006, D._ a commis plusieurs manquements professionnels. Selon un rapport interne d'accident, il a endommagé le clignotant droit du véhicule de service qu'il conduisait (rapport du 12 janvier 2006). Le 24 juillet 2006, un premier avertissement lui a été adressé motif pris qu'il avait oublié une serpette aux abord d'une pataugeoire d'un parc de la Ville et qu'il ne s'était pas inquiété de la disparition de cet outil dangereux. Le 12 juillet 2007, il a fait l'objet d'un rappel à l'ordre pour non-respect des règles d'utilisation d'une nacelle d'un élévateur automatique. Le 12 novembre 2007, il a reçu un deuxième avertissement à cause d'un excès de vitesse au volant d'un véhicule de service, infraction sanctionnée par une amende d'ordre. Le 6 mai 2009, un troisième avertissement a été prononcé en raison de dégâts occasionnés à du mobilier urbain. Le prénommé avait lâché une grosse branche sur une table de ping-pong qui avait dû être remplacée. Il n'a contesté aucun de ces avertissements. Les 15 mai 2006, 14 avril 2008 et 2 avril 2009, D._ a fait l'objet d'évaluations de son comportement et de son travail en vue d'une promotion qu'il n'a jamais pu obtenir, étant donné les préavis défavorables de ses supérieurs hiérarchiques. Le 7 janvier 2008, l'intéressé a adressé une demande de réduction de son temps de travail, dans le but d'entreprendre une formation à mi-temps, pendant deux ans, dans le domaine de l'environnement. La Ville a rejeté cette requête. Le 5 avril 2009, D._ a été victime d'un accident non professionnel qui a entrainé une incapacité de travail de longue durée. Depuis cet accident, il n'a pas repris d'activité professionnelle au service de la Ville, mais a suivi une formation, en cours d'emploi, de "spécialiste de la nature et de l'environnement" préparant au brevet fédéral du même nom. Durant cette période d'incapacité de travail, D._ a organisé également divers événements, tels que des soirées de dégustations de vin et il a collaboré dans plusieurs projets, notamment des journées de découverte et d'animations avec des enfants. Par courrier du 30 juin 2009, D._ s'est plaint de mobbing auprès de la direction de X._ qui a proposé une médiation avec les personnes concernées. Le médiateur a constaté que l'intéressé était dans une grande souffrance et dégageait une agressivité pouvant être dangereuse pour un tiers. Ne mesurant guère le danger qui entourait son travail, il était plus préoccupé par l'activité de l'autre que par lui-même (rapport du 21 janvier 2010). D._ a refusé de signer la convention de médiation établie le 30 novembre 2009, en vertu de laquelle un test d'aptitudes professionnelles devait être organisé. La médiation n'a pas abouti. Le 3 février 2010, le Conseil administratif de la Ville a informé D._ de son intention de résilier ses rapports de service au motif qu'il n'était pas apte à exercer les missions qui lui étaient confiées. Il a relevé plusieurs fautes professionnelles qui avaient justifié trois avertissements. En outre, il a mentionné le manque de progrès dans l'exercice de son métier, ses lacunes professionnelles, ses difficultés relationnelles entraînant des tensions au sein de l'équipe et mettant en danger sa sécurité et celle de ses collègues, ainsi que son refus de signer la convention de médiation. D._ ayant contesté les motifs de résiliation, il a été entendu par une délégation du Conseil administratif le 10 mars 2010. Aucun procès-verbal n'a été rédigé lors de cette séance. Par décision du 24 mars 2010, le Conseil administratif a résilié les rapports de service pour le 30 juin 2010, en reprenant les motifs mentionnés dans sa lettre du 3 février 2010. Cette décision a été déclarée exécutoire nonobstant recours. B. D._ a recouru contre cette décision de résiliation devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (depuis le 1er janvier 2011: la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève), en concluant préalablement à la restitution de l'effet suspensif, principalement à l'annulation de la résiliation et à son maintien à son poste de fonctionnaire, subsidiairement, au versement d'un montant correspondant à six mois de salaire. Par décision du 12 mai 2010, la juridiction cantonale a rejeté la demande de restitution de l'effet suspensif. Statuant le 22 novembre 2011, elle a rejeté le recours. C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'annulation de la décision de résiliation du 24 mars 2010 et au paiement d'une indemnité de 39'297 fr. 90 correspondant à six mois de salaire à titre de dommages-intérêts pour cause de licenciement injustifié. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la Chambre administrative pour nouveau jugement après complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens. La Ville de Genève conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens. De son côté le tribunal cantonal a renoncé à présenter des déterminations. Le recourant a déposé des observations sur la réponse de l'intimée.