Faits: A. X._, né en 1992, est un ressortissant du Nigéria. L'Office fédéral des migrations a refusé la demande d'asile déposée par X._ et a ordonné son renvoi le 6 avril 2010. B. Le 2 décembre 2010, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après le Service cantonal) a placé X._ en détention avec effet immédiat pour trois mois au plus. Par arrêt du 3 décembre 2010, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a approuvé la décision précitée, en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. A l'appui de sa décision, il a retenu que, lors de l'audience qui s'était tenue le jour-même, X._ avait attribué à l'une de ses soeurs un âge différent de celui qu'il avait mentionné lors de son interrogatoire sur ses motifs d'asile, sans pouvoir expliquer cet écart de manière plausible. C. A l'encontre de l'arrêt du 3 décembre 2010, X._, dans un mémoire rédigé en anglais, a formé un recours au Tribunal fédéral ("appeal"). Il ressort de ce document que le recourant admet qu'il est désormais inévitable pour lui de quitter la Suisse. Il demande à pouvoir s'en aller par ses propres moyens, afin de se rendre dans un endroit où il sera accepté et aura une meilleure vie. Il refuse de retourner au Nigéria, qu'il a quitté parce que la situation était insupportable pour lui. Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal et de l'Office fédéral des migrations. Le recourant n'a, pour sa part, pas fourni d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.