Faits: A. En 2005, X._ a commencé des études auprès de la Haute Ecole d'ingénieurs et de gestion du canton de Vaud. A fin mai 2006, il a subi un échec définitif. Le 3 septembre 2006, il a été admis comme étudiant à l'Ecole d'ingénieurs et d'architectes de Fribourg (ci-après: l'Ecole). B. Le 2 octobre 2007, l'Ecole a signifié à X._ son échec définitif et son exmatriculation, sur la base des notes obtenues. Le 22 octobre 2007, X._ a déposé une réclamation contre cette décision, en demandant qu'il ne lui soit pas tenu rigueur de la tardiveté de sa démarche due à la négligence d'un précédent mandataire. Par décision du 6 novembre 2007, la Direction de l'Ecole est entrée en matière sur la réclamation, sans discuter la tardiveté de cet acte, et a confirmé l'échec définitif. Statuant le 9 avril 2008 sur recours de X._, la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg (ci-après: la DEE) a refusé d'entrer en matière, constatant que la réclamation de l'intéressé avait été déposée tardivement, que la restitution du délai n'avait pas été demandée et qu'il ne paraissait exister aucun motif justifiant une telle restitution. Par arrêt du 17 décembre 2009, le Tribunal cantonal fribourgeois, Ie Cour administrative, (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par X._ et confirmé la décision de la DEE du 9 avril 2008. Les juges cantonaux ont considéré en substance que le délai de réclamation à l'encontre de la décision du 2 octobre 2007 n'avait pas été observé et qu'il n'existait pas de circonstances exceptionnelles qui auraient permis de le restituer. Partant, en entrant en matière malgré la tardiveté de la réclamation, la Direction de l'Ecole avait violé les règles impératives de procédure prévues dans le droit cantonal, de sorte que c'était à juste titre que la DEE avait refusé d'entrer en matière. L'éventuelle violation du droit d'être entendu du recourant, qui n'avait pas eu l'occasion de s'exprimer devant la DEE sur la tardiveté de sa réclamation, était au surplus guérie par la procédure devant le Tribunal cantonal. C. Contre l'arrêt du 17 décembre 2009, X._ a formé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut au fond, principalement, à l'admission du recours et à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens où il est autorisé à se présenter aux épreuves de "repêchage" de la filière suivie de 2006 à 2007 ainsi que, le cas échéant, à répéter sa première année en filière "Télécommunications" auprès de l'Ecole. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif, l'assistance judiciaire et un délai supplémentaire pour compléter son recours. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, en renvoyant pour l'essentiel à l'arrêt entrepris. La DEE propose de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité. L'Ecole a présenté ses observations tardivement. D. Par ordonnance du 9 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public, considérant la demande d'effet suspensif comme une requête de mesures provisionnelles, l'a rejetée. E. Par courrier du 22 février 2010, le recourant a spontanément remis au Tribunal fédéral une pièce qu'il avait citée dans son recours, tout en précisant celui-ci.