Faits: A. Par jugement du 29 août 2013, le Président du Tribunal civil de la Veveyse a constaté que B._ est le père biologique de X._, née en 2012. Il l'a astreint à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement de 1'060 fr. par mois, allocations familiales comprises, à compter de l'entrée en vigueur du jugement et jusqu'à sa majorité ou son indépendance financière. Pour la procédure de première instance, l'assistance judiciaire totale avait été accordée à X._ (ordonnance du 18 février 2013) ainsi qu'à sa mère, A._ (ordonnance du 3 juin 2013). B. Le 24 septembre 2013, B._ a fait appel du jugement du 29 août 2013, concluant à la suppression de la contribution d'entretien. Le 30 septembre 2013, X._ a introduit un appel joint; elle a conclu à ce que la contribution d'entretien lui soit due dès sa naissance, et a en outre requis le bénéfice de l'assistance judiciaire totale. Par arrêt du 8 octobre 2013, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: la Ie Cour d'appel civil) a partiellement admis la requête d'assistance judiciaire, en ce sens que X._ est exonérée des avances de frais pour la procédure d'appel. En revanche, la désignation d'un conseil d'office lui a été refusée. C. Par mémoire du 11 novembre 2013, X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à ce que l'assistance judiciaire totale lui soit accordée, avec effet rétroactif, à compter de l'introduction de la procédure d'appel, à savoir le 30 septembre 2013, et à ce que Me Bruno Charrière lui soit désigné comme conseil d'office. Elle requiert également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.