Faits: A. S._ est assuré auprès de Helsana par l'intermédiaire de son employeur, X._ AG, pour une indemnité journalière relevant de la LAMal couvrant le 80 % de son salaire à compter du 31e jour. Le 3 avril 2008, l'assuré a été victime d'une atteinte accidentelle au coude droit. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris les suites de cet événement à sa charge. Par décision du 19 mai 2009, confirmée sur opposition le 13 août 2009, la CNA a mis un terme au versement de ses prestations au 30 juin 2009, au motif que les troubles dont l'assuré se plaignait n'étaient pas suffisamment démontrables d'un point de vue organique; l'assureur-accidents a aussi nié l'existence d'un lien de causalité adéquate. La décision du 13 août 2009 a été attaquée devant le tribunal cantonal des assurances (dossier AA 103/2009). L'assurance-invalidité a mis en oeuvre des mesures d'ordre professionnel, sous la forme d'un stage qui a débuté le 4 mai 2009. A partir du 8 mai 2009, l'assuré a été déclaré en incapacité de travail en raison de l'état de son coude. Helsana Assurances SA (Helsana), en sa qualité d'assureur-maladie, a accepté de verser des indemnités journalières dès le 1er juillet 2009, sur la base d'une incapacité totale de travail pour cause de maladie. Helsana a confié un mandat d'expertise à l'institut Y._ AG. A la lumière du rapport du 5 janvier 2010, Helsana a fait savoir à l'assuré, par décision du 19 février 2010 confirmée sur opposition le 22 juillet 2010, qu'il était apte à travailler à 75 % dans une activité appropriée. Les indemnités journalières ont ainsi été réduites à hauteur de 34 % de son gain assuré à compter du 1er mai 2010, soit après une période d'adaptation de trois mois. B. Contestant la capacité résiduelle de travail de 75 %, S._ a déféré la décision d'Helsana du 22 juillet 2010 au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, en concluant à son annulation et à la poursuite du versement des indemnités journalières entières au-delà du 30 avril 2010 (dossier Amal 87/2010). La procédure de recours Amal 87/2010 a été suspendue jusqu'à droit connu dans la procédure AA 103/2009. Le 20 septembre 2010, la CNA a acquiescé au recours, en ce sens qu'elle a annulé ses décisions des 19 mai et 13 août 2009 et accepté de reprendre l'instruction du cas. Dans ses explications, la CNA s'est référée à l'appréciation du docteur P._, de son service médical (rapport du 10 septembre 2010). Ce médecin indiquait que les examens pratiqués avaient permis de reconnaître une origine organique au moins partielle aux plaintes de l'assuré, que la liquidation du cas au 30 juin 2009 était prématurée et que d'autres interventions médicales devraient encore être prises en charge par la CNA. Par décision du 23 septembre 2010, le tribunal cantonal a rayé la cause AA 103/2009 du rôle et alloué une indemnité de dépens de 2'313 fr. 40 à l'assuré à charge de la CNA. Par lettre du 23 août 2011, l'assuré a fait savoir au tribunal que la procédure dirigée contre Helsana était désormais sans objet. Il a conclu à l'allocation de dépens à charge de cet assureur, au motif que son appréciation de l'incapacité de travail s'était avérée erronée au regard de celle de la CNA. Subsidiairement, l'assuré a conclu au versement d'une indemnité de dépens à charge de l'Etat, par équité. Constatant que la procédure Amal 87/2010 était devenue sans objet en raison de la reprise du versement des indemnités journalières par la CNA, la juridiction cantonale a condamné Helsana à verser à l'assuré une indemnité de dépens de 6'054 fr. 55, débours et TVA compris (correspondant à la note d'honoraires de Me Beuret du 23 août 2011), par décision du 9 septembre 2011. C. Helsana interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre cette décision. A titre principal, elle conclut à son annulation dans la mesure où elle est condamnée aux dépens; subsidiairement, elle demande que les dépens soient fixés à nouveau. Avec suite de frais et dépens, l'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet pour le cas où il serait recevable. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.