Faits: A. A la fin du mois d'août 2005, Orange Communications SA a déposé une demande de permis de construire relative à l'installation de deux antennes de téléphonie mobile sur deux pylônes caténaires de la ligne de chemin de fer du Montreux-Oberland bernois (MOB), situés sur les parcelles nos 8097 et 3822 du registre foncier de la commune de Montreux, propriété de la Compagnie du chemin de fer Montreux-Oberland bernois SA, ainsi qu'à la pose d'une armoire BTS et d'une armoire de comptage sur la parcelle n° 3822, à proximité de la route de Fontanivent. La parcelle n° 8097 est inclue dans la zone de faible densité du plan d'affectation de la commune de Montreux du 15 décembre 1972. La parcelle n° 3822 est classée pour partie dans cette zone et pour partie dans la zone ferroviaire MOB du plan de quartier "Derrière Fontanivent" approuvé le 7 août 1974 par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Ce projet, mis à l'enquête publique du 7 au 27 octobre 2005, a suscité 93 oppositions, dont celles de A._ et consorts. Les préavis et autres décisions des services cantonaux concernés ont été communiqués le 21 mars 2006 à la Municipalité de Montreux par la Centrale des autorisations du Département des infrastructures du canton de Vaud. Le Service cantonal de l'environnement et de l'énergie a émis un préavis favorable, après s'être assuré du respect des exigences de l'ordonnance fédérale sur la protection contre le rayonnement non ionisant du 23 décembre 1999 (ORNI; RS 814.710) pour les bâtiments voisins les plus exposés. Entre autres conditions, il a demandé que l'installation soit intégrée à un système d'assurance de qualité selon la circulaire de l'Office fédéral de l'environnement du 16 janvier 2006. Il a en outre réservé une éventuelle modification de l'installation afin de respecter les valeurs limites imposées par l'ORNI "en cas de réalisation de nouveaux lieux à utilisation sensible en accord avec les règlements sur l'aménagement du territoire en vigueur au moment de la date du permis de construire". Par décision du 23 juin 2006, la Municipalité de Montreux a refusé de délivrer le permis de construire sollicité. Elle a estimé que l'antenne amont n'était pas conforme à la destination de la zone ferroviaire MOB définie par le plan de quartier "Derrière Fontanivent", que l'armoire de comptage ne respectait pas la limite des constructions par rapport aux parcelles voisines et à la route de Fontanivent, et que le projet n'était ni d'intérêt public ni conforme aux buts sociaux de la Compagnie du Chemin de fer Montreux-Oberland bernois SA. Au terme d'un arrêt rendu le 19 octobre 2007, le Tribunal administratif du canton de Vaud, devenu la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal depuis le 1er janvier 2008 (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale), a admis le recours formé par Orange Communications SA contre cette décision qu'il a réformée en ce sens que le permis de construire sollicité doit être délivré. B. Agissant principalement par la voie du recours en matière de droit public et subsidiairement par celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ et consorts demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de confirmer la décision de la Municipalité de Montreux du 23 juin 2006 refusant le permis de construire et de renvoyer le dossier à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens cantonaux. A la forme, ils dénoncent divers vices de procédure. Sur le fond, ils se plaignent de l'insuffisance du système d'assurance de qualité mis en place par l'opérateur, de la non prise en compte de lieux à utilisation sensible pertinents, des nuisances sonores dues à la climatisation de l'armoire BTS ainsi que d'une application arbitraire du règlement communal sur la protection des arbres. Le Tribunal administratif, le Service cantonal de l'environnement et de l'énergie et Orange Communications SA concluent au rejet du recours. La Commune de Montreux et la Compagnie du Chemin de fer Montreux-Oberland bernois SA ont renoncé à se déterminer. L'Office fédéral de l'environnement a déposé des observations circonstanciées au sujet desquelles les parties ont eu l'occasion de se déterminer. C. Par ordonnance du 21 décembre 2007, le Juge instructeur a admis la demande d'effet suspensif présentée par les recourants.