Faits: A. Y._ a mandaté A._, architecte, et B._, entrepreneur, pour la construction d'une villa. Le 4 septembre 2003, il a déposé une requête de preuve à futur contre A._, B._ et B._ SA, tous les trois représentés par l'avocat X._; cette requête tendait à l'administration d'une expertise visant à établir l'existence de défauts affectant ladite villa, leur origine et le coût des réparations. Le 18 février 2008, Y._ a présenté une demande en paiement à l'encontre de A._ et B._. Il a déposé simultanément une écriture par laquelle il a contesté la capacité de postuler de l'avocat X._, même s'il ne représentait plus que A._, en invoquant un conflit d'intérêts. Par décision du 7 août 2008, le Juge suppléant des districts de Martigny et St-Maurice a admis l'exception de procédure et déclaré qu'en raison d'un conflit d'intérêts effectif, l'avocat X._ n'avait pas la qualité pour postuler en faveur de A._ dans la contestation civile qui l'opposait à Y._. B. Par jugement du 13 novembre 2008, l'Autorité de cassation du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Tribunal cantonal), statuant par Juge unique, a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le pourvoi en nullité formé par X._ contre la décision précitée du 7 août 2008. Le Tribunal cantonal a statué avec un pouvoir d'examen limité à l'arbitraire s'agissant tant du droit que des faits. C. Le 17 décembre 2008, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement du Tribunal cantonal du 13 novembre 2008. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué et à la constatation que le mandat qui lui a été confié par A._ ne contrevient pas à l'art. 12 let. a et b de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61). Le Tribunal cantonal a renoncé à formuler des observations sur le recours. Le Juge suppléant des districts de Martigny et St-Maurice a fait savoir qu'il avait suspendu la cause au fond jusqu'à droit connu sur la capacité de postuler de l'avocat recourant. Y._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. La Chambre de surveillance des avocats valaisans s'est déterminée sur ses compétences par rapport à celles de l'autorité judiciaire saisie. D. Par ordonnance du 30 janvier 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.