Faits : A. Les sociétés anonymes A._ SA et B._ SA exploitent un pensionnat de jeunes filles à vocation internationale à l'enseigne de l'Institut "D._", dans le village des Avants, au-dessus de Montreux. Le 17 juin 2009, la société anonyme C._ SA a déposé une demande de permis de construire visant à transformer et à agrandir l'ancien hôtel du même nom en une clinique privée haut de gamme, destinée à accueillir au maximum vingt-cinq patients souffrant d'addiction à l'alcool et aux drogues, équipée d'un spa et d'un parking souterrain de cinq places. A._ SA a notamment fait opposition à ce projet qu'elle considérait comme non conforme à la réglementation de la zone. Elle invoquait également les problèmes de sécurité, ainsi que l'atteinte à son avenir économique et la perte de valeur de son bien-fonds liés à l'exploitation de la clinique. Par décision du 23 juillet 2013, la Municipalité de Montreux a délivré le permis de construire sollicité et levé l'opposition. Elle a considéré que la sécurité des habitants du village des Avants et du pensionnat de jeunes filles sera assurée car les résidents de la clinique seront systématiquement accompagnés lors de leurs promenades par le personnel soignant. La Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré irrecevable, faute de qualité pour agir, le recours formé contre cette décision par A._ SA et B._ SA au terme d'un arrêt rendu le 30 mai 2014. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ SA et B._ SA demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause à l'autorité inférieure pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. Le Tribunal cantonal a produit le dossier de la cause.