Faits: A. A.a G._, ressortissant italien né en 1956, a été mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er septembre 1994, assortie d'une rente complémentaire pour sa fille S._ (née en 1985), ainsi que de prestations complémentaires fédérales et cantonales à partir du 1er mars 1996. Par lettre du 7 mai 2002, l'intéressé a informé l'Office cantonal genevois des personnes âgées (OCPA; depuis le 1er mai 2008: Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève [SPC]) de son départ définitif du canton de Genève pour l'Italie le 30 juin 2002. L'administration a alors indiqué à G._ qu'elle supprimait le versement de toutes les prestations à cette date, en raison de son départ de V._ (courrier du 1er juillet 2002). Trois jours plus tard, G._ a informé l'OCPA de sa décision de rester en Suisse. En conséquence, l'administration a derechef accordé des prestations complémentaires à l'intéressé à partir du 1er juillet 2002 (décision du 22 juillet 2002). A.b Le 15 janvier 2009, sur requête du SPC, G._ a certifié être domicilié et avoir sa résidence effective sur le territoire du canton de Genève. Par la suite, il a indiqué n'avoir pas séjourné hors de V._ pendant plus de trois mois par année, ni payé de loyer lors de séjours à R._ (I) ou à L._ (I) pour rendre visite à sa fille. Il a également fait parvenir au SPC des relevés bancaires relatifs à un compte auprès de la Banque X._ pour les années 2004 à 2008 et à un compte auprès de la Banque Y._, en Italie. Le collaborateur du SPC en charge du dossier de l'intéressé a constaté que celui-ci avait régulièrement effectué des versements du compte bancaire X._ en sa faveur ou en faveur de sa fille sur le compte bancaire italien et qu'il disposait d'un téléphone portable avec un numéro italien. Par décisions des 11 et 12 août 2009, le SPC a demandé à G._ la restitution de 59'193 fr. 95 correspondant aux prestations complémentaires versées pendant la période du 1er septembre 2004 au 31 décembre 2007 (soit 34'948 fr.), aux subsides destinés à la couverture des primes de l'assurance-maladie alloués du 1er septembre 2004 au 31 août 2009 (soit 23'877 fr. 60) et aux frais médicaux remboursés en 2006 et 2009 (soit 368 fr. 35, factures des 17 février 2006, 14 janvier 2009 et 17 mars 2009). En bref, le SPC a considéré que le droit à des prestations complémentaires cantonales et fédérales devait être supprimé au 1er septembre 2004, parce que le centre d'intérêts de l'ayant droit n'était pas dans le canton de Genève (courrier du 13 août 2009). G._ s'est opposé à ces décisions, en faisant valoir qu'il avait toujours résidé à V._ et n'avait pas séjourné en Italie plus d'un mois par an pour de brèves visites. Il a par ailleurs produit une attestation de clôture (au 26 novembre 2007) de son compte bancaire auprès de la Banque Y._, ainsi que les courriers par lesquels S._ avait annoncé, le 14 octobre 2004, son départ de Suisse (au 15 septembre 2004) pour suivre des études à R._ (I), respectivement, le 20 juin 2009, son retour sur territoire genevois. Après avoir motivé son point de vue (courrier du 27 novembre 2009), le SPC a rejeté l'opposition de l'intéressé par décision (sur opposition) du 16 mars 2010. B. G._ a déféré cette décision à la Cour de justice, Cour des assurances sociales, de la République et canton de Genève, qui l'a entendu le 1er septembre 2010, ainsi que sa fille, le 10 novembre suivant. Par jugement du 19 janvier 2011, la Cour de justice genevoise a partiellement admis le recours, annulé la décision du 16 mars 2010 "en ce qu'elle a supprimé le droit aux prestations complémentaires à compter du mois de juin 2009 et réclamé la restitution d'un montant supérieur à 57'999 fr. 95" et l'a confirmé pour le surplus. Elle a par ailleurs renvoyé la cause au SPC pour qu'il examine le droit aux prestations complémentaires à compter du mois de juin 2009 et rende une nouvelle décision sur ce point. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, G._ conclut à ce que le Tribunal fédéral annule le jugement cantonal, reconnaisse qu'il ne doit pas restituer la somme de 57'999 fr. 95, maintienne son droit aux prestations complémentaires à compter du 1er septembre 2004 et renvoie la cause au SPC pour qu'il rétablisse son droit aux prestations complémentaires avec effet au 1er juin 2009. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 11 avril 2011, ainsi que le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le SPC conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.