Faits: A. A._ a exercé l'activité d'employée de maison, effectuant à l'extérieur des travaux de ménage tout en s'occupant de la garde d'enfants. Atteinte de cervicalgies et de lombalgies, elle a présenté le 13 juillet 2009 une demande de prestations de l'assurance-invalidité, produisant une attestation de la doctoresse E._ (spécialiste FMH en rhumatologie et en médecine interne générale) du 10 juillet 2009 selon laquelle il ne lui était plus possible d'assumer ses activités professionnelles. Dans un rapport du 2 septembre 2009, le docteur N._ (spécialiste FMH en médecine interne générale) a attesté une incapacité de travail de 75 % dans l'activité d'employée de maison depuis le 8 juillet 2009. Dans un rapport du 2 octobre 2009, la doctoresse E._ a admis que l'incapacité de travail était de 50 à 60 % depuis plusieurs années. Une enquête économique sur le ménage a été effectuée (rapport du 26 mars 2010). Le 1er décembre 2010, les docteurs U._ (spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation) et C._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), tous deux médecins du Service médical régional de l'AI (ci-après: SMR), ont procédé à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique. Dans un rapport du 21 février 2011, ils ont posé les diagnostics avec répercussion durable sur la capacité de travail de cervicobrachialgies gauches chroniques, de troubles statiques et dégénératifs avancés du rachis cervical, de lombalgies communes prédominant à gauche, de troubles dégénératifs modérés du rachis lombaire, d'arthrose nodulaire déformant du 2ème rayon de la main droite et de gonalgies gauches mécaniques sur gonarthrose débutante. Ces médecins ont indiqué que l'assurée présentait les limitations fonctionnelles suivantes: pas de port de charges supérieures à 3 kg de façon répétitive et au-delà de 7.5 kg de façon occasionnelle; pas d'activité en antépulsion au-delà de 60° de façon répétitive et formelle au-delà de 90° contre résistance; pas de mouvement d'extension du rachis cervical de façon formelle avec absence de mouvement de rotation brusque droite/gauche; pas de position statique prolongée du rachis cervical; pas de position statique assise au-delà de 45 minutes sans possibilité de varier les positions assise/debout de préférence à la guise de l'assurée; pas de position en porte-à-faux en antéflexion du rachis lombaire contre résistance; pas de montée ou descente d'escaliers; pas de position en genou flexion ou accroupie à répétition. Ils concluaient à une capacité de travail exigible de 50 % dans l'activité habituelle et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles depuis novembre 2008. Dans un préavis de refus de rente du 12 mai 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a informé A._ qu'elle présentait depuis le mois de novembre 2008 une capacité de travail entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles et que l'invalidité résultant de la comparaison des revenus était de 18 %, taux qui ne donnait pas droit à une rente. Il a également nié tout droit à un reclassement dans un préavis daté du même jour. L'assurée, dans des observations du 15 juin 2011, est arrivée à la conclusion qu'elle présentait une invalidité de 67 %, taux donnant droit à un trois-quarts de rente. Par décision du 29 août 2011, l'office AI, tout en prenant position sur les observations de A._, a refusé toute rente d'invalidité pour le motif exposé dans le préavis. Par une autre décision datée du même jour, il a refusé tout reclassement. B. A._ a formé un recours contre la décision en matière de refus de rente devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a conclu au rejet du recours. Par lettre du 30 janvier 2012, A._ a fait état d'une aggravation de son état de santé, singulièrement de poussées d'arthrose, et produit deux attestations des docteurs N._ du 20 janvier 2012 et D._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique) du 24 janvier 2012. L'office AI a pris position sur ces documents dans des observations du 9 février 2012. Par arrêt du 11 octobre 2012, la juridiction cantonale a admis le recours en ce sens que la décision entreprise était annulée et la cause renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel pour instruction complémentaire et nouvelle décision selon les considérants (ch. 1 du dispositif). C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais, à son annulation avec ou sans renvoi de la cause à l'instance judiciaire précédente, la décision du 29 août 2011 en matière de refus de rente d'invalidité étant confirmée. A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Elle requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.