Faits: A. A._ et B._ sont propriétaires de la parcelle n° 5451 du registre foncier de Montreux (VD), sise en zone à bâtir - zone de forte densité selon les art. 20 ss du règlement communal du 15 décembre 1972 sur le plan d'affectation et la police des constructions (RPA). Le 23 septembre 2004, ils ont sollicité l'autorisation de construire sur ce bien-fonds de 920 m2 un immeuble de quatre appartements et un garage enterré de huit places. Mis à l'enquête publique du 12 novembre au 2 décembre 2004, ce projet a suscité une opposition. Par décision du 7 juillet 2005, la Municipalité de Montreux (ci-après: la municipalité) a levé l'opposition et délivré le permis de construire. Le 15 février 2007, l'architecte mandaté par A._ et B._ a demandé au Service de l'urbanisme de la commune de Montreux de prolonger jusqu'au 8 juillet 2008 la validité du permis de construire, celle-ci arrivant à échéance le 7 juillet 2007. Le 14 mars 2007, ce service a répondu en rappelant que le permis de construire serait périmé si la construction n'était pas commencée avant le 7 juillet 2007 et qu'une prolongation de sa validité ne pourrait être décidée qu'après que l'autorité ait vérifié si les conditions de fait et de droit étaient satisfaites pour permettre l'octroi d'une année supplémentaire. Il considérait que la requête, présentée environ cinq mois avant l'échéance, était prématurée. Il invitait donc l'architecte à la reformuler "le moment venu" et réservait la décision de la municipalité à ce sujet. L'architecte a renouvelé sa demande le 8 juin 2007. B. Par décision du 29 juin 2007, la municipalité a déclaré que le permis de construire délivré le 7 juillet 2005 était périmé. Elle avait constaté le 27 juin 2007 qu'aucun travail n'avait débuté sur la parcelle n° 5451 et elle considérait qu'au jour de l'échéance formelle du 7 juillet 2007 la construction ne pourrait pas être réputée commencée au sens de l'art. 111 RPA et de l'art. 118 de la loi cantonale sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC). Par décision du même jour, la municipalité a refusé de prolonger la validité du permis de construire, au motif que le futur règlement communal sur le plan général d'affectation et la police des constructions (RPGA) - soumis à l'enquête publique du 20 avril 2007 au 21 mai 2007 - ne permettrait plus d'autoriser le projet litigieux. Le 10 juillet 2007, la municipalité a ordonné l'arrêt immédiat des travaux. C. A._ et B._, ainsi que les sociétés C._ et D._, ont recouru contre les décisions municipales du 29 juin 2007 auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud, devenu par la suite la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 4 mars 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours, dans la mesure de sa recevabilité. Il a considéré qu'à l'échéance du permis de construire les travaux n'avaient pas commencé au sens de l'art. 118 LATC. En effet, les constructeurs n'avaient pas débuté concrètement les travaux et ils n'avaient pas apporté la preuve qu'ils possédaient la volonté sérieuse de le faire sans tarder. Il a également considéré que le projet de RPGA - qui modifiait les règles applicables dans la zone concernée - constituait une circonstance qui permettait à la municipalité de refuser la demande de prolongation. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._, ainsi que les sociétés C._ et D._, demandent au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que le recours devant le Tribunal cantonal soit admis, les décisions du 29 juin 2007 de la municipalité annulées et le permis de construire prolongé pour une année. Ils concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Ils requièrent en outre l'octroi de l'effet suspensif et de mesures provisionnelles. Le Tribunal cantonal n'a pas présenté d'observations. La Municipalité de Montreux s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. E. Par ordonnance du 30 avril 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles.