Faits: Faits: A. A.a C._, né en 1906, et B._, née en 1911, tous deux de nationalité française, se sont mariés en France en septembre 1930. Le couple a eu deux enfants, A._, né en 1931, domicilié au Canada, et D._, née en 1933, domiciliée en Suisse. Les époux C.B._ étaient soumis au régime légal français de la communauté de biens meubles et acquêts, auquel ils ont ajouté une clause d'attribution intégrale de la communauté en usufruit au survivant d'entre eux, selon acte notarié dressé le 28 juillet 1992. Le 31 janvier 1998, C._ est décédé à Cannes où il résidait. A teneur de la déclaration de succession établie les 24 et 27 juillet 1998, la totalité des biens issus de la succession, d'une valeur de FF 6'008'950, a été dévolue à B._ en usufruit, A._ et D._ en étant les nus-propriétaires. A.b Le 26 novembre 1957, C._, son épouse et leurs deux enfants, ainsi que E._, décédée par la suite, ont conclu avec la Banque Y._ à Genève (dont les droits et obligations ont été repris depuis lors par X._ et Cie; ci-après: la Banque) un contrat de compte joint intitulé "SIP ...". La convention de compte joint instituait une clause de solidarité active entre les déposants pour toutes sommes et valeurs entrées en compte, ceux-ci se donnant réciproquement mandat et procuration pour gérer et administrer le dépôt et le compte courant, chaque déposant ayant le pouvoir de retirer toutes valeurs, tous titres et toutes sommes faisant partie du dépôt ou figurant au crédit de leur compte joint et d'en donner valable quittance et décharge par la signature de l'un d'entre eux. La convention autorisait également chacun des déposants, par sa seule signature, à gérer le compte et à donner des ordres à cet effet, les déposants déclarant relever et garantir solidairement la banque de tout dommage pouvant résulter pour eux de l'exécution de la convention, notamment du retrait du dépôt par l'un d'entre eux. Une élection en faveur du droit et des tribunaux suisses était prévue. Le 2 mai 1962, les pouvoirs des deux enfants du couple C.B._ sur le compte SIP ... ont été annulés (E._ étant décédée entre-temps). Le compte est devenu un compte joint des époux C.B._. Ceux-ci ont toutefois conféré par instructions un droit de regard à leurs enfants, qui pouvaient "émettre leur opinion et renseigner leur père". Les instructions données à la Banque précisaient encore qu'au décès des co-titulaires, les avoirs du compte seraient attribués à parts égales entre les deux enfants du couple. Le même jour, C._ et B._ ont signé une convention similaire à celle du 26 novembre 1957 portant sur l'ouverture du compte joint SIP .... Ce document contenait la même clause de solidarité active que celle prévue dans la convention de 1957 et un pouvoir de disposition identique. Au 31 décembre 1997, les avoirs déposés sur le compte SIP ... auprès de la Banque s'élevaient à FF 5'297'347'000 (recte: CHF 5'297'947), sous forme de titres et de liquidités. Le 13 mars 1998, après le décès de son époux, B._ a donné l'ordre à la Banque de clôturer le compte SIP ... et de transférer l'intégralité des avoirs sur un nouveau compte ouvert à son seul nom, dans le même établissement, sous l'intitulé "CBK ...". Le 18 mars 1998, B._ a demandé à la Banque de lui remettre une somme de CHF 1'845'000 par prélèvement sur le compte SIP ..., qui a été clôturé le 9 avril 1998. A.c Le 11 janvier 2001, A._ a déposé plainte pénale à Genève contre inconnu pour gestion déloyale. Il indiquait avoir appris, deux ans après la mort de son père, l'existence d'avoirs en Suisse indûment soustraits par des tiers. Le classement de cette plainte pénale par le Ministère public a été confirmé par la Chambre d'accusation le 10 mai 2001, au motif qu'en présence d'un compte joint, B._ pouvait utiliser les valeurs patrimoniales lui appartenant, dès lors qu'elle avait l'usufruit de l'entier de la succession. Le 27 juin 2001, A._ a déposé une nouvelle plainte pénale à l'encontre de B._ et de D._ pour faux dans les titres. Il soutenait ne pas avoir signé la convention de compte joint du 26 novembre 1957, sa signature ayant été imitée, et il contestait l'authenticité de la convention du 2 mai 1962. Le classement de cette plainte pour des motifs de forme n'a fait l'objet d'aucun recours. A.d Le 26 juillet 2001, A._ a déposé en France une action en liquidation de partage de la succession de son père devant le Tribunal de Grande Instance de Grasse. Il a notamment demandé le rattachement à la succession de divers biens que B._ et D._, ainsi que sa famille, auraient reçus du vivant de C._, parmi lesquels figuraient entre autres des valeurs issues du compte joint dont son père était titulaire à Genève. Dans le cadre des procédures menées en France, A._ a obtenu diverses saisies conservatoires en juin et en juillet 2003, affectant les avoirs de B._. Par jugements des 2 février et 29 mars 2005, les Tribunaux de Grande Instance de Paris et de Grasse ont rejeté les requêtes en rétractation formées par B._ au motif essentiel qu'il n'appartenait pas au juge de l'exécution de la saisie de trancher des contestations de fond. Dans ces deux décisions, il a été relevé que A._ avait allégué avoir découvert postérieurement à la déclaration de la succession l'existence de valeurs dépassant CHF 5'000'000 sur un compte en Suisse dont il revendiquait le quart. Dans le cadre des procédures menées en France, A._ a obtenu diverses saisies conservatoires en juin et en juillet 2003, affectant les avoirs de B._. Par jugements des 2 février et 29 mars 2005, les Tribunaux de Grande Instance de Paris et de Grasse ont rejeté les requêtes en rétractation formées par B._ au motif essentiel qu'il n'appartenait pas au juge de l'exécution de la saisie de trancher des contestations de fond. Dans ces deux décisions, il a été relevé que A._ avait allégué avoir découvert postérieurement à la déclaration de la succession l'existence de valeurs dépassant CHF 5'000'000 sur un compte en Suisse dont il revendiquait le quart. B. Le 16 avril 2003, A._ a déposé, auprès des autorités judiciaires genevoises, une demande en paiement à l'encontre de la Banque, lui réclamant la somme de 1'324'486,75 fr. avec intérêt à 5 % dès le 31 mars 1998, ce qui correspondait au montant qu'il estimait devoir lui revenir en sa qualité d'héritier, sur les avoirs bancaires sis en Suisse. Il a invoqué la responsabilité de la Banque, lui reprochant, en sa qualité de mandataire, d'avoir laissé sa mère disposer du compte sans se préoccuper des droits des autres héritiers. La Banque a conclu au rejet de la demande. B._, appelée en cause, a également proposé le rejet de la demande et des prétentions récursoires formées à son encontre par la Banque. Par jugement du 20 mars 2005, le Tribunal de première instance a débouté A._ des fins de sa demande. Statuant sur appel de A._, la Chambre civile de la Cour de justice, par arrêt du 17 février 2006, a confirmé le jugement du 20 mars 2005. Statuant sur appel de A._, la Chambre civile de la Cour de justice, par arrêt du 17 février 2006, a confirmé le jugement du 20 mars 2005. C. Parallèlement à un recours en réforme, A._ interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 février 2006. Se plaignant d'une violation de son droit d'être entendu, d'arbitraire et d'un déni de justice, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué. La Banque propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. B._ conclut à son rejet. La cour cantonale se réfère, pour sa part, aux considérants de son arrêt.