Faits: A. A.a N._, né en 1957, a travaillé en qualité d'indépendant entre 1984 et 1999. Le 31 mars 2000, il a déposé une demande de prestations tendant à l'octroi d'une rente auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'OAI) en raison de douleurs persistantes à la main droite à la suite d'une chute à ski. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, le docteur C._, spécialiste en chirurgie de la main, a estimé que l'assuré était en incapacité totale de travailler, en raison de douleurs neurogènes à la main droite, arthrose, maladie de Südeck, douleurs intolérables du poignet et du pouce droit, suspicion de déchirure du ligament et évolution vers une chronicisation des douleurs, fonction réduite en raison de la douleur (rapports des 7 juin 2000, 21 septembre 2001 et 21 octobre 2002). Pour compléter ces données, l'OAI a chargé l'Hôpital X._ d'une expertise bidisciplinaire, rhumatologique et psychiatrique. La doctoresse D._ et le docteur F._ ont retenu les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail suivants: syndrome douloureux somatoforme persistant, épisode dépressif moyen sans syndrome somatique, troubles mentaux et trouble du comportement liés à l'utilisation de l'alcool, utilisation nocive pour la santé, douleurs chroniques du poignet droit post-traumatique avec irradiation dans le membre supérieur droit, status post-fractures multiples du poignet droit (haut du carpe) en 1988 sur un accident de moto, éburnation de la styloïde radiale avec synovite, déchirure du ligament scapho-lunaire après traumatisme avec réception sur le poignet droit à ski en 1999, status post-dénervation dorsale du poignet, capsule dorsale scapho-lunaire et résection-suspension du trapèze, et douleurs chroniques du poignet du membre supérieur droit depuis fin 1999. L'incapacité de travail était totale (rapport du 25 mars 2003). Par décisions des 16 mai et 17 juin 2003, l'OAI, estimant que l'assuré était atteint dans sa santé psychique, lui a octroyé une rente entière d'invalidité, avec effet rétroactif à compter du 1er octobre 2000. A.b Le 15 mai 2006, une procédure de révision du droit à la rente a été initiée. Interpellés par l'OAI, les docteurs J._ et R._, médecins traitants, ont respectivement indiqué que l'état de santé de N._ était stable (rapports des 25 septembre 2006 et 28 février 2007). Afin d'obtenir des informations détaillées sur l'état de santé psychique de l'assuré, l'OAI a mandaté le Centre Y._. Le docteur S._, spécialiste en psychiatrie, a posé les diagnostics de trouble somatoforme douloureux avec hystérisation des symptômes, de dépendance à l'alcool, de personnalité histrionique et de traits passifs-dépendants; il a conclu à une pleine capacité de travail (rapport du 6 décembre 2007). Par décision du 6 mars 2008, considérant que l'état de santé de l'assuré s'était amélioré et qu'il avait retrouvé une capacité de travail à 100 % dès le 1er janvier 2006, l'OAI a supprimé sa rente d'invalidité à partir du premier jour du deuxième mois suivant la notification de cette décision. B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Afin d'obtenir des renseignements actualisés sur l'état de santé - en particulier physique - de l'assuré, l'instance cantonale a confié une expertise au Service de médecine interne de l'Hôpital X._. Les doctoresses E._ et B._ ont posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail suivants: douleur chronique du poignet droit post-traumatique avec irradiation dans le membre supérieur droit depuis 1999, syndrome douloureux somatoforme persistant, et status post-résection-suspension du trapèze, dénervation dorsale et capsulodèse dorsale limitée scapho-lunaire du poignet droit pour déchirure du ligament scapho-lunaire avec douleur du poignet droit persistante en octobre 1999. Les expertes ont estimé qu'un travail de bureau semblait adapté; il ne leur était toutefois pas possible de se prononcer sur la capacité résiduelle de travail, laquelle devait être déterminée par un médecin du travail (rapport du 29 décembre 2008). Pour compléter ces données, les premiers juges ont ordonné de procéder à un bilan professionnel de l'assuré, lequel s'est déroulé du 11 au 19 mars 2010 dans l'atelier de réadaptation préprofessionnelle de l'Hôpital X._. A l'issue de celui-ci, il a été constaté que la capacité résiduelle de travail de l'assuré était nulle (rapport du 13 avril 2010). Par jugement du 12 novembre 2010, l'instance cantonale a partiellement admis le recours de l'assuré, constaté qu'il n'avait pas droit à une rente d'invalidité - confirmant sur ce point la décision de l'OAI du 6 mars 2008 -, l'a mis au bénéfice de mesures d'ordre professionnel et d'aide au placement et renvoyé la cause à l'OAI pour mise en place de ces mesures. C. N._ et l'OAI interjettent l'un et l'autre un recours en matière de droit public contre ce jugement dont ils demandent l'annulation. L'assuré conclut principalement au maintien de sa rente pour la période postérieure au 1er mai 2008; il requiert subsidiairement le renvoi de la cause à l'instance cantonale pour décision au sens des considérants. Il assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire. De son côté, l'OAI conclut à la confirmation de sa décision du 6 mars 2008. N._ et l'OAI concluent chacun au rejet du recours de l'autre partie. Pour sa part, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se prononcer.