Faits: A. C._ est la fille, née hors mariage le 2 octobre 2011, de A._ (1978) et de B._ (1984). Lors de la séparation des parents, au mois de février 2013, l'enfant est demeurée auprès de sa mère. B. Le 19 mars 2013, le père a saisi le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant (ci-après : TPAE) d'une requête en fixation de son droit de visite à l'égard de sa fille. La mère s'est opposée à l'exercice d'un droit de visite libre par le père, faisant valoir qu'il avait été violent physiquement envers elle et vraisemblablement également verbalement envers la grand-mère maternelle de l'enfant, se déclarant cependant d'accord avec un droit de visite s'exerçant au Point rencontre une fois par semaine durant deux mois avec possibilité d'élargissement des modalités, une fois la confiance rétablie. A l'appui de sa position, la mère a produit une plainte du 25 février 2013 de la grand-mère de l'enfant contre le père pour lésions corporelles simples, accompagnée d'un certificat médical attestant d'une morsure au pouce, de deux hématomes situés respectivement sous l'ongle du pouce et sur l'avant-bras et enfin d'une contusion avec hématome de la face palmaire de l'articulation inter-phalangienne distale. Sollicité par le TPAE aux fins d'évaluer la situation, le Service de protection des mineurs (ci-après : SPMi) a, dans un rapport du 10 juin 2013, exposé que la communication entre les parents était rompue, que l'enfant ne voyait plus son père depuis plusieurs semaines, que la mère refusait toute proposition tendant à rétablir des contacts entre le père et sa fille, et que les parents s'accusaient mutuellement de consommer du cannabis et de l'alcool, la mère reprochant de surcroît au père des actes de violence envers elle et sa propre mère. Le SPMi a conclu, vu l'évolution satisfaisante de la fille et le fait que le père disposait d'un logement suffisant pour accueillir son enfant, que rien ne s'opposait à l'exercice d'un droit de visite introduit de manière progressive, d'abord un jour par semaine avec passage de l'enfant au Point rencontre, puis, dès octobre 2013, un week-end sur deux, le passage s'effectuant toujours au Point rencontre, auquel s'ajouterait des périodes de vacances, à raison de cinq semaines par an, dont deux en été. B.a. Par ordonnance du 3 juillet 2013, le TPAE a notamment fixé le droit de visite du père sur l'enfant à raison d'une demi-journée par semaine durant trois mois, puis à une journée par mois, le passage de l'enfant s'effectuant dans un Point rencontre selon les horaires de cette institution (ch. 1 et 2 du dispositif), pris acte de l'engagement du père de ne consommer ni alcool, ni cannabis, ni autre substance analogue à l'approche des jours de visite et durant celles-ci, ainsi que de son accord d'effectuer des examens médicaux attestant de sa capacité à s'occuper de sa fille, lui enjoignant de produire au curateur d'organisation et de surveillance du droit de visite, avant le début des visites, un certificat médical attestant de son absence de consommation de cannabis (ch. 5 et 6), et institué une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite, confiée au SPMi (ch. 8). La mère a recouru contre cette ordonnance le 5 août 2013, concluant à l'annulation des chiffres 1, 2 et 6 du dispositif et à ce que les modalités du droit de visite du père sur sa fille soient fixées à raison de deux heures par semaine dans un Point rencontre pendant trois mois, puis, sur préavis positif du curateur, d'abord une demi-journée par semaine pendant trois mois dans un Point rencontre, et ensuite une journée complète par semaine avec passage au Point rencontre, le tout moyennant remise par le père au curateur, avant chaque visite, d'une attestation provenant d'un médecin neutre et indépendant confirmant que celui-ci n'a consommé ni alcool, ni cannabis, ni toute autre drogue. En complément de son recours, la mère a indiqué, par lettre du 2 septembre 2013, qu'elle avait déposé des " mains courantes " à la police à plusieurs reprises, en raison des violences du père de l'enfant contre elle, entre janvier 2012 et février 2013, sollicitant l'apport de ces documents à la procédure. Invités à se déterminer, le TPAE a indiqué qu'il n'envisageait pas de reconsidérer sa décision et le père de l'enfant a conclu au rejet du recours, annexant à ses observations un rapport d'analyse médicale du 2 septembre 2013 attestant d'une absence de consommation de cannabis. Par courrier du 12 septembre 2013, le SPMi a informé la Chambre de surveillance de la Cour de justice que le père avait pu rencontrer sa fille au domicile des grands-parents maternels, que ces visites s'étaient bien déroulées et que le père avait fourni un certificat d'analyse compatible avec ses déclarations d'abstinence au cannabis, en sorte qu'il était dans l'intérêt de l'enfant que le droit de visite se déroule conformément à l'ordonnance du TPAE. B.b. Statuant par arrêt du 9 octobre 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a modifié le chiffre 1 de l'ordonnance attaquée en ce sens que le droit aux relations personnelles du père à l'égard de sa fille s'exercera à raison d'une demi-journée par semaine pendant une période de trois mois au moins et a dit qu'à l'expiration de cette période, moyennant un préavis positif du curateur, le droit de visite du père pourrait être élargi à une journée par semaine. C. Par acte du 18 novembre 2013, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à l'annulation de l'arrêt entrepris et à sa réforme en ce sens que le droit aux relations personnelles du père à l'égard de sa fille s'exercera sous surveillance à raison de deux heures par semaine dans un Point rencontre pendant trois mois au moins, puis, si le SPMi y est favorable, à raison d'une demi-journée par semaine durant trois mois, avec passage au Point rencontre, et enfin, toujours si le SPMi y est favorable, à raison d'un jour par semaine, avec passage au Point rencontre, le père étant tenu de fournir au curateur une fois par mois une attestation d'un médecin neutre et indépendant garantissant son abstinence à l'alcool, au cannabis et à toute autre drogue. A titre subsidiaire, la mère conclut à ce que les plaintes pénales qu'elle a déposées contre le père soient apportées à la procédure et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et nouveau jugement. Préalablement, la recourante sollicite l'octroi de l'effet suspensif à son recours. Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, le père s'est opposé à l'octroi de l'effet suspensif au recours et la Chambre de surveillance de la Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 6 décembre 2013, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours pour maintenir les choses en l'état existant durant la procédure fédérale et éviter que le recours ne devienne illusoire. Des réponses au fond n'ont pas été requises.