Faits: A. M._ est affilié à la Mutuelle Valaisanne, Assurance maladie et accident (ci-après : la Mutuelle), pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Le 23 octobre 2000, la Mutuelle lui a notifié un nouveau certificat d'assurance, aux termes duquel la prime mensuelle de l'assurance obligatoire des soins avec franchise annuelle de 1'200 fr., d'un montant de 200 fr. 10, a été portée, à partir du 1er janvier 2001, à 218 fr. L'assuré ayant contesté cette augmentation, la caisse a confirmé sa position par décision du 20 décembre 2000, confirmée sur opposition le 23 février 2001. B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal administratif du canton de Genève (aujourd'hui, en matière d'assurances sociales : Tribunal cantonal des assurances sociales) l'a déclaré irrecevable, motif pris qu'il n'était pas compétent ratione materiae (jugement du 7 août 2001). C. Par arrêt du 31 mai 2002 (K 120/01), le Tribunal fédéral des assurances a admis le recours formé contre ce jugement par M._. Il a annulé ledit prononcé et renvoyé l'affaire à la juridiction cantonale pour décision sur le fond, après examen des autres conditions de recevabilité du recours contre la décision sur opposition du 23 février 2001. Il a considéré, en résumé, que la juridiction cantonale ne pouvait pas se fonder sur l'art. 129 al. 1 let. b OJ pour refuser d'entrer en matière sur le recours portant sur un tarif de primes d'assurance. En effet, cette norme est une disposition applicable dans la procédure de recours de droit administratif devant l'autorité de dernière instance mais ne s'applique pas dans la procédure de recours devant un tribunal cantonal des assurances compétent pour connaître des litiges en matière d'assurance-maladie. D. Le 29 octobre 2002, la juridiction cantonale a invité la Mutuelle à produire « toutes les pièces visées à l'art. 85 OAMal pour les périodes déterminantes pour la prime 2001, ainsi que les rapports de l'organe de révision pour les mêmes périodes (art. 86 OAMal) ». Par ailleurs, elle a requis l'Institution commune LAMal et Santé Suisse de lui indiquer l'augmentation des coûts de la santé durant les années 1999, 2000 et 2001, sur le plan suisse et à Genève en particulier. Le 4 novembre 2002, l'Institution commune LAMal a adressé à la juridiction cantonale la statistique de la compensation définitive des risques 2001. Le 8 novembre suivant, Santé Suisse lui a fait parvenir un extrait de l'évolution des coûts en Suisse et dans le canton de Genève pour les années 1999 à 2001. De son côté, la Mutuelle a produit les pièces mentionnées à l'art. 85 OAMal « concernant les périodes déterminantes pour fixation de la prime 2001 », ainsi que les rapports de l'organe de révision, en insistant sur le caractère confidentiel de ces documents. La juridiction cantonale ayant constaté que les pièces produites concernaient seulement l'année 2001, elle a requis la Mutuelle de fournir les documents relatifs aux années 1999 et 2000. Par le ministère de son avocat, celle-ci a demandé à la juridiction cantonale de constater que la production des documents concernant les années 1999 et 2000 était sans objet pour l'issue du litige. Par jugement du 11 mars 2003, la juridiction cantonale a rejeté le recours en tant qu'il était recevable. E. M._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision. L'intimée conclut, sous suite de dépens, à l'irrecevabilité du recours et à la confirmation du jugement entrepris. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose de déclarer le recours irrecevable.