Faits: A. A.a. Agissant par ses parents, A._ s'est annoncé le 18 mars 2011 auprès de l'Agence communale d'assurances sociales de U._ (l'agence communale), invoquant une surdité congénitale. Il a joint à sa demande un courrier adressé le 15 mars 2011 par le docteur B._, spécialiste FMH en oto-rhino-laryngologie auprès de la Clinique C._, à la doctoresse D._, spécialiste FMH en pédiatrie. Ce médecin indiquait que les oto-émissions acoustiques de dépistage avaient échoué à la maternité et avaient été obtenues auprès de C._ le 15 mars 2010; depuis que l'assuré avait atteint l'âge de 7 mois, ses parents avaient l'impression qu'il ne réagissait pas aux stimulations auditives et des examens réalisés le 10 mars 2011 avaient révélé l'existence d'une surdité congénitale profonde bilatérale. L'agence communale a transmis le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI). Le 15 avril 2011, l'oto-rhino-laryngologue précité a fait parvenir à l'administration une missive qu'il avait adressée le 11 de ce mois à la doctoresse E._, médecin à la Clinique F._, dans laquelle il informait cette dernière qu'en dépit d'un appareillage auditif, A._ ne réagissait pas aux bruits du quotidien et que dès lors une implantation cochléaire était indiquée. Par communications du 21 avril 2011, l'administration a octroyé à l'assuré des mesures médicales ainsi que la prise en charge de deux appareils acoustiques. Le 6 juin 2011, le docteur B._ a envoyé à la doctoresse E._ un courrier, qu'il a adressé en copie à l'office AI, dans lequel il a indiqué notamment que lorsque l'assuré avait atteint l'âge de 4 à 5 mois, ses parents avaient remarqué qu'il réagissait très rapidement aux stimulations visuelles mais pas aux bruits, contrairement aux autres enfants de leur entourage; averti rapidement, le pédiatre traitant avait rassuré les intéressés mais ceux-ci, inquiets de la disparition du babillage de leur fils à l'âge de 9 à 10 mois, avaient alors décidé de consulter un oto-rhino-laryngologue. Par communications du 29 juin 2011, l'office AI a informé l'assuré qu'il prenait en charge un appareil acoustique avec composants implantés ainsi que les frais relatifs à la pose de celui-ci. A.b. Le 15 mai 2012, les parents de A._ ont déposé auprès de l'office AI une demande d'allocation pour mineurs impotents, faisant état d'un besoin accru de surveillance à l'intérieur et à l'extérieur de l'appartement ainsi que de difficultés pour entrer en communication. Invité par l'administration à fournir des précisions, le père de l'assuré a déclaré qu'il devait "[s']occuper constamment de A._, étant donné [que celui-ci] n'entend pas ou pas vraiment" (courrier du 27 juillet 2012). Interpellée, l'École cantonale pour enfants sourds a déclaré que l'assuré, qui avait été implanté à droite en septembre 2011, avait participé dès avril de cette année à l'accueil parents-bébé et que le Service éducatif itinérant avait été mis en place à partir du 6 septembre 2011 (courrier du 27 juin 2012). L'office AI a envisagé par projet du 24 octobre 2012 d'octroyer à A._ une allocation d'impotence faible pour mineur à partir du 1er avril 2012, soit à l'issue d'un délai d'attente d'un an à compter du début de la prise en charge pédago-thérapeutique. En dépit des objections du père de l'intéressé, qui estimait que le droit à l'allocation était né à une date antérieure (courrier du 21 novembre 2012), l'administration a maintenu sa position par décision du 19 décembre 2012. B. Saisi d'un recours de l'assuré contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis et a reconnu par jugement du 2 décembre 2013 le droit de A._ à une allocation pour impotent de degré faible à partir du 1er juillet 2010. C. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, concluant à la confirmation de la décision du 19 décembre 2012. L'intimé conclut au rejet du recours, éventuellement à son admission partielle et au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire puis nouveau jugement. L'office AI conclut à l'admission du recours.