Faits: A. M. A.X._, né en 1961, et Mme B.X._, née en 1967, se sont mariés le 2 juin 2006 à Collonges-Bellerive. Une fille, C._, née le 1er avril 2007, est issue de cette union. Dès 2011, les conjoints ont rencontré d'importantes difficultés conjugales. Le 23 janvier 2013, l'épouse a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 22 mars 2013, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, attribué aux parents une garde alternée sur l'enfant et la jouissance exclusive du logement conjugal au mari. Il a de plus condamné celui-ci à verser mensuellement des contributions d'entretien de 400 fr. pour la fillette et de 3'100 fr. pour l'épouse. B. Par arrêt du 28 juin 2013, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, attribué à la mère la garde de l'enfant, sous réserve du droit de visite du père, ainsi que la jouissance exclusive du domicile conjugal. Les contributions d'entretien mensuelles ont par ailleurs été portées à 860 fr. pour l'enfant et à 4'550 fr. pour l'épouse. C. Par acte du 29 juillet 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre cet arrêt. Il demande en substance, principalement, la garde de l'enfant, sous réserve du droit de visite de la mère, la jouissance exclusive du domicile conjugal, un délai de 30 jours étant imparti à celle-ci pour déménager, qu'il soit dit qu'il percevra les allocations familiales et, enfin, qu'il lui soit donné acte de son engagement de verser, en faveur de l'épouse, une contribution à son entretien d'un montant de 3'700 fr. par mois à compter du jour où elle quittera le domicile conjugal. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Des réponses sur le fond n'ont pas été requises. L'intimée a par ailleurs sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire. D. Par ordonnance du 12 août 2013, le Président de la cour de céans a admis la requête d'effet suspensif du mari.