Faits: A. F._ a été nommée par le Conseil administratif de la Ville de Genève au poste de cheffe de service à X._ dès le 1 er août 2008. Par lettre du 16 décembre 2008, elle a résilié ses rapports de service avec effet au 31 mars 2009. Le 19 décembre 2008, la Direction des ressources humaines de la Ville a pris acte de cette démission en précisant toutefois que les rapports prendraient fin au 31 janvier 2009, conformément à l'art. 7 al. 6 du Statut du personnel de l'administration municipale. A la suite d'une nouvelle correspondance de l'intéressée, le Conseil administratif de la Ville lui a écrit, le 14 janvier 2009, pour lui confirmer que la démission prendrait effet au 31 janvier 2009. B. Le 28 avril 2009, F._ a saisi le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (depuis le 1 er janvier 2011: la Chambre administrative de la Cour de justice) d'une action pécuniaire tendant au paiement de deux salaires mensuels de 13'705 fr. 65 chacun pour les mois de février et mars 2009, d'un montant de 7'029 fr. 60 au titre d'indemnité pour cumul de fonctions et d'une somme de 1'000 fr. au titre de réparation morale. La Ville a conclu à l'irrecevabilité de la requête et, subsidiairement, à son rejet. Par arrêt du 11 juin 2013, la Chambre administrative, après avoir considéré la demande comme un recours dirigé contre la décision du Conseil administratif du 14 janvier 2009, a annulé cette décision en tant qu'elle mettait fin aux rapports de service au 31 janvier 2009. Elle a arrêté la fin des rapports de fonction de l'intéressée au 31 mars 2009, et renvoyé la cause au Conseil administratif "pour qu'il arrête le montant du traitement net du salaire dû à Madame F._ en fonction du droit aux vacances et au treizième salaire au 31 mars 2009, sous déduction des charges sociales". La Cour était composée des juges T._, président, H._, D._ et V._, ainsi que du juge suppléant N._. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Ville de Genève demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler l'arrêt de la Chambre administrative et de renvoyer la cause à celle-ci pour nouvelle décision au sens des motifs. Elle requiert, au préalable, l'effet suspensif. F._ a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif. Au principal, elle conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La juridiction cantonale s'est également déterminée sur le recours. Elle a conclu à son rejet. D. Par ordonnance du 18 novembre 2013, le juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours