Faits: A. Par décision du 4 septembre 2012, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée par A._. B. B.a. Statuant le 1 er octobre 2013 sur le recours formé par A._ contre cette décision, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a rejeté (ch. 2 du dispositif) et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire dans le sens des considérants (ch. 3 du dispositif). B.b. Par acte daté du 6 novembre 2013, l'office AI a saisi la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise d'une requête en interprétation du jugement rendu le 1 er octobre précédent. Il a indiqué voir une contradiction entre le rejet du recours prononcé par la juridiction cantonale au ch. 2 du dispositif de son jugement et le renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants ordonné au ch. 3 du dispositif. Selon lui, la Chambre des assurances sociales entendait en réalité lui transmettre le dossier pour qu'il instruisît "une éventuelle aggravation de l'état de santé de l'état de santé de l'assuré, survenue postérieurement à la décision du 4 septembre 2012". Par arrêt du 10 décembre 2013, la Chambre des assurances sociales a rejeté la demande en interprétation. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à ce que la cause soit retournée à la juridiction cantonale pour nouvel arrêt en interprétation. A titre subsidiaire, il requiert la confirmation de sa décision du 4 septembre 2012. Il conclut, plus subsidiairement, à l'annulation des jugements du 10 décembre 2013 et du 1 er octobre 2013 et à la confirmation de sa décision du 4 septembre 2012. Sous suite de dépens, A._ conclut principalement au rejet du recours; à titre subsidiaire, il requiert que les conclusions subsidiaires de l'office AI soient déclarées irrecevables et son recours rejeté pour le surplus. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.