Faits: A. Dès le 1er février 1984, X._ a pris à bail un appartement de trois pièces dans un bâtiment d'habitation sis à Carouge. En 1998, 2001 et 2003, le locataire a intenté trois actions judiciaires à la bailleresse Y._ SA, les deux premières tendant à la réduction du loyer et à l'exécution de travaux par suite de défauts du bien loué, et la troisième tendant à l'annulation d'un congé. A chaque fois, le locataire a usé des services professionnels de Me Mauro Poggia, avocat à Genève, et a obtenu définitivement gain de cause. En février 2006, assisté de Me Michel Rudermann, le locataire a intenté une nouvelle action tendant à la réduction du loyer et à l'exécution de travaux; il a obtenu gain de cause en première instance et, à la connaissance du Tribunal fédéral, l'appel de la défenderesse est actuellement pendant. B. Le 13 avril 2007, devant la commission de conciliation compétente puis devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, X._ a derechef ouvert action contre Y._ SA. La défenderesse devait être condamnée à payer 30'160 fr. et 7'783 fr.10 pour remboursement des honoraires respectivement versés à Me Poggia et à Me Rudermann dans ces quatre procès, et 10'000 fr. à titre de réparation morale. Ces sommes devaient porter intérêts au taux de 5% par an dès le 13 avril 2007, jour de l'introduction de la demande. La défenderesse a conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande et subsidiairement au rejet de l'action. Le tribunal s'est prononcé le 22 mai 2008; il a rejeté l'action. La Chambre d'appel en matière de baux et loyers a statué le 21 juin 2010 sur l'appel du demandeur. Elle a déclaré la demande irrecevable en tant que celle-ci portait sur le remboursement de 7'783 fr.10 versés à Me Rudermann. Elle a renvoyé la cause au Tribunal des baux et loyers, pour complément d'instruction et nouvelle décision, en tant que la demande portait sur le remboursement de 30'160 fr. versés à Me Poggia, et elle a rejeté l'action en tant que la demande portait sur une indemnité de réparation morale au montant de 10'000 francs. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre d'appel en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer 30'160 fr. pour remboursement des honoraires versés à Me Poggia et 10'000 fr. pour réparation morale, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 13 avril 2007. Des conclusions subsidiaires tendent au renvoi de la cause au Tribunal des baux et loyers pour nouvelle décision. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours. La défenderesse n'a pas été invitée à répondre. D. Agissant elle aussi par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre d'appel en ce sens que la demande soit jugée irrecevable. Des conclusions subsidiaires tendent au rejet de l'action ou, plus subsidiairement, au renvoi de la cause à la Chambre d'appel pour nouvelle décision. Invité à répondre, le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité de ce recours et, subsidiairement, à son rejet. Il demande l'assistance judiciaire dans cette instance également.