Faits: A. M._ a été engagé à partir du 1 er septembre 2010 par X._ en qualité d'électronicien de maîtrise. Lors d'un entretien d'évaluation qui s'est tenu le 28 septembre 2011, les prestations de M._ ont été considérées comme globalement inacceptables par son supérieur hiérarchique, F._. Une poursuite de la collaboration semblait exclue en raison du fait que l'intéressé ne satisfaisait pas aux exigences de son poste. Le 21 novembre 2011, M._ a retourné, après l'avoir signé, le compte-rendu d'évaluation accompagné de ses propres commentaires. Le 4 janvier 2012, F._ a convoqué M._ pour un entretien de service prévu le 25 janvier 2012 dans le bureau de la responsable des ressources humaines. Cet entretien devait porter sur la qualité de ses prestations et sur les dysfonctionnements constatés dans son travail, relevés notamment lors de l'entretien d'évaluation. Au cours de cet entretien, F._ fit savoir à M._ que son comportement et la qualité de ses prestations étaient susceptibles de conduire à une résiliation des rapports de service. Ces motifs ont été contestés par l'intéressé, qui formula à son tour des reproches à l'égard de son supérieur hiérarchique. Le lendemain, la responsable des ressources humaines adressa à M._ le compte-rendu de l'entretien de service accompagné de ses annexes, en lui demandant de le retourner jusqu'au 17 février 2012, avec ses observations complémentaires ou divergences. Passé ce délai, la procédure suivrait son cours sans autre avis. Le 14 février 2012, M._ requit une prolongation du délai pour se déterminer. Il avait souffert d'un malaise et se trouvait en incapacité de travail jusqu'au 23 février 2012. L'intéressé a transmis sa détermination à X._ le 22 février 2012. Il a en outre présenté un certificat médical attestant une incapacité de travail jusqu'au 29 février 2012. M._ a été licencié le 6 mars 2012 pour le 30 juin suivant. Cette décision a été retirée au motif que la résiliation était intervenue pendant une période de protection et une nouvelle décision de licenciement a été rendue le 8 juin 2012 avec effet au 30 septembre 2012. B. Saisie d'un recours contre cette décision de licenciement, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté par jugement du 29 janvier 2013. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, sous suite de dépens. X._ conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué le 20 mai 2013. D. Par ordonnance du 27 août 2013, le Tribunal fédéral a rejeté la requête d'assistance judiciaire déposée par le recourant.