Faits: A. Le 24 septembre 2010, X._ (demandeur) a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye d'une action en protection de la personnalité dirigée contre A._ et l'Association B._ (défendeurs). Les parties ont comparu à l'audience du 14 janvier 2011, au cours de laquelle elles ont été interrogées; après la clôture de la procédure probatoire, le conseil du demandeur et le défendeur A._ ont plaidé. Selon le dispositif du jugement prononcé ce même jour et notifié aux défendeurs le 31 janvier 2011, l'action a été admise en ce sens, notamment, que les défendeurs ont été astreints à faire cesser toute atteinte à la personnalité du demandeur. Le 25 février 2011, les défendeurs ont sollicité la rédaction du jugement. B. Par écritures séparées des 28 et 31 janvier 2011, les défendeurs - par l'intermédiaire de leur avocat - ont requis la récusation de Jean-Benoît Meuwly, Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye. Le 11 mars 2011, ils ont déposé une plainte pénale à l'encontre de celui-ci pour abus d'autorité (art. 312 CP). Par décision du 11 avril 2011, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye a rejeté la requête de récusation. Le 12 mai 2011, les défendeurs ont recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg, concluant à la récusation du magistrat précité. Le 20 août 2011, ils ont demandé la récusation du "Tribunal Cantonal du Canton de Fribourg entier" en raison d'un arrêt de la Chambre pénale du Tribunal cantonal, du 9 août 2011, rejetant leur recours contre une ordonnance de non-entrée en matière rendue le 28 avril précédent par le Ministère public; tous les membres ordinaires de la section civile du Tribunal cantonal se sont récusés. Statuant le 17 février 2012, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité. C. Par acte du 3 mai 2012, les défendeurs forment un recours en matière civile au Tribunal fédéral; ils concluent à l'annulation de la décision du Tribunal cantonal et à la récusation du Président Meuwly (ch. 1), ainsi qu'à l'annulation du jugement rendu le 14 janvier 2011 par le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye (ch. 2). Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures sur le fond. D. Par ordonnance du 2 juillet 2012, la Juge présidant la IIe Cour de droit civil a suspendu la présente procédure de recours jusqu'à droit connu sur la demande de récusation dirigée à l'encontre de la Juge fédérale Hohl, Présidente de ladite Cour. Par ordonnance du 14 août 2012, la IIe Cour de droit civil a rejeté cette requête.