A.- A la suite d'une plainte de A._, le Juge d'instruction de l'arrondissement de la Côte a ouvert une enquête pénale contre E._; à l'issue de ses recherches, il a renvoyé ce prévenu devant le Tribunal correctionnel du district de Morges, accusé de lésions corporelles graves, intentionnelles ou par négligence, au préjudice du plaignant. Selon l'ordonnance de renvoi, les parties se trouvaient toutes deux, dans la nuit du 14 au 15 septembre 1996, à la discothèque "l'Eclipse" à Ecublens. Sous l'influence de l'alcool, A._ a importuné deux amies de E._ par des paroles et des gestes inconvenants. Ce dernier l'a empoigné par le cou et l'a repoussé jusqu'à la sortie de l'établissement. Là, A._ est tombé en arrière et s'est gravement blessé à la tête. Le tribunal saisi a acquitté l'accusé par jugement du 7 juillet 1999. Il a considéré que la cause de la chute n'était pas connue; celle-ci n'avait pas été provoquée par le fait que l'accusé avait "sorti" le plaignant et, par ailleurs, elle n'était alors pas prévisible. A._ a recouru avec succès au Tribunal cantonal du canton de Vaud: statuant le 8 novembre 1999, cette juridiction a annulé le jugement au motif que le déni d'un lien de causalité naturelle, entre le comportement de l'accusé et les lésions subies par le plaignant, était insoutenable; elle a renvoyé la cause au Tribunal correctionnel du district de Nyon pour nouveau jugement. B.- Après de nouveaux débats le 20 juillet 2000, ce tribunal-ci a derechef acquitté l'accusé. Il a constaté que celui-ci avait empoigné le plaignant, simultanément, par le menton et les vêtements, et l'avait forcé à marcher en arrière jusqu'au dehors de la discothèque, puis il l'avait lâché et était retourné à l'intérieur. Le plaignant avait ensuite été trouvé à terre, blessé à la tête, à proximité de la sortie. Nul ne l'avait observé entre l'instant où l'accusé l'a lâché et celui où un tiers l'a aperçu au sol, inanimé. En raison du choc subi à la tête, lui-même n'avait gardé aucun souvenir de l'épisode. Le tribunal a ainsi jugé qu'un doute important subsistait sur le déroulement des faits, et qu'il ne pouvait pas retenir que l'accusé eût poussé ou frappé le plaignant. Celui-ci a adressé un deuxième recours au Tribunal cantonal, que la Cour de cassation pénale à cette fois rejeté. C.- Agissant par la voie du recours de droit public, A._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler ce dernier arrêt du Tribunal cantonal, rendu le 19 septembre 2000. Il persiste à soutenir que la négation d'un lien de causalité naturelle, entre le comportement de l'accusé acquitté et les lésions qu'il a subies, est arbitraire et donc contraire à l'art. 9 Cst. Invités à répondre, l'intimé et le Ministère public cantonal proposent le rejet du recours; le Tribunal cantonal a renoncé à déposer des observations. D.- Le recourant et l'intimé ont chacun présenté une demande d'assistance judiciaire.