Faits: A. De nationalité roumaine et d'origine rom, X._ est née le 29 janvier 1977. Elle vit en Roumanie sans exercer d'activité professionnelle déclarée. X._ s'est adonnée à la mendicité sur la voie publique, à Chêne-Bourg et Genève, les 24 juillet, 11 août 2009, 11 septembre, 19, 29 octobre, 8, 9, 11, 17, 19 et 25 novembre 2010, notamment en quémandant de l'argent aux utilisateurs d'un parking, en tendant un gobelet aux passants ou en les sollicitant avec insistance ou encore en étant assise ou agenouillée. Le Service des contraventions de l'Etat de Genève lui a infligé, à chaque fois, une amende de 100 fr. hors frais de 30 francs. Par courriers des 14 février, 9 mars et 20 mai 2011, X._ a contesté ces contraventions. La cause a été transmise au Tribunal de police du canton de Genève. Par jugement du 13 décembre 2011, ce dernier a condamné l'intéressée, pour l'infraction de droit cantonal de mendicité, à 120 fr. d'amende, avec peine de substitution de 1 jour de privation de liberté. B. Saisie d'un appel de ce jugement, la Cour de Justice du canton de Genève l'a rejeté, par arrêt du 16 mai 2012. C. Par acte du 25 juin 2012, X._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt. Elle conclut principalement à sa réforme dans le sens de son acquittement et, à titre subsidiaire, à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert l'assistance judiciaire. Par courrier du 15 octobre 2012, X._ a encore complété son recours par l'envoi d'une pièce. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.