Considérant en fait et en droit: 1. 1.1 Dans le cadre d'une procédure d'exécution forcée engagée par la ville de Lancy, qui avait été son employeur, X._, agissant par l'intermédiaire de son mandataire, Me Z._, a intenté contre celle-ci une action en libération de dette devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Cette juridiction s'étant déclarée incompétente, X._ a saisi le Tribunal administratif du canton de Genève - devenu le 1er janvier 2011 la chambre administrative de la section administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) -, par acte daté du 17 mai 2010. L'enveloppe utilisée portait un timbre suisse de 2 fr. 20 oblitéré à Martigny le 17 mai 2010. Sur ce dernier était apposée une étiquette d'affranchissement, imprimée par le bureau de poste de 1200 Genève 1, datée du 19 mai 2010 à 12h10. L'enveloppe à fenêtre ne comportait aucune mention manuscrite. La signature figurant sur la demande ressemblait à celle apposée sur l'accusé de réception du jugement du Tribunal de première instance. Elle était encadrée par les termes: "Pour Madame X._, Me Z._, avocat". L'assistance judiciaire ayant été refusée par la vice-présidente du Tribunal de première instance, X._ a requis la reconsidération de cette décision. Selon la demande de reconsidération, la magistrate prénommée ignorait manifestement que si l'acte adressé au Tribunal administratif portait un timbre oblitéré le 19 mai 2010, une attestation était apposée au dos dudit courrier, dans laquelle un témoin certifiait que celui-ci avait été expédié dans la soirée du 17 mai 2010. La Cour de justice a toutefois ultérieurement constaté qu'aucune inscription manuscrite ne figurait sur cette enveloppe. Entendu lors d'une audience de comparution personnelle du 7 mars 2011, Me Z._ a indiqué que le recours avait été remis à la poste de Martigny le dernier jour du délai. Le témoin avait été Me Y._, avocat-stagiaire à Martigny, auquel il avait également délégué la rédaction du recours. Il ignorait si ce dernier avait lui-même un témoin. 1.2 Par arrêt du 22 mars 2011, la Cour de justice a déclaré irrecevable l'action en libération de dette, qui n'avait pas été remise à un bureau de poste suisse dans le délai légal de vingt jours de l'art. 83 al. 2 LP. Selon cette autorité, la preuve qu'un acte a été déposé en temps utile résulte en principe de la date d'oblitération postale, même s'il est possible de l'apporter d'autres manières, notamment en faisant appel à des témoins. Elle a relevé ce qui suit: "Les explications données par le conseil de la demanderesse lors de l'audience de comparution personnelle manquent singulièrement de clarté, si ce n'est de cohérence. Il expose avoir sous-traité la rédaction de la demande à un avocat-stagiaire valaisan, qui aurait mis cet acte à la poste à Martigny, à l'attention du Tribunal administratif. Si ces explications étaient admises, elles auraient pour conséquence que Me Z._ n'aurait pas eu la demande en main et n'aurait pas pu la signer. Dans ce cas, un faux aurait été remis au Tribunal administratif, irrecevable pour défaut de signature olographe originale (...). L'autre hypothèse plausible est que la demande a été mise à la poste par Me Y._ le 17 mai 2010 à l'attention de Me Z._. A réception, ce dernier l'aura signée, puis remise à la poste, cette fois le 19 mai 2010, soit après l'expiration du délai de recours. (...) Au vu de ce qui précède, la demande sera déclarée irrecevable sans qu'il ne soit nécessaire de déterminer si cette irrecevabilité est fondée sur la tardiveté du recours ou le défaut de signature originale". 1.3 A l'encontre de ce jugement, X._ a formé un recours en matière de droit public, en concluant à son annulation, sous suite de frais. Elle a joint un courrier de Me Y._ du 27 avril 2011. Par acte du 30 mai 2011, elle a demandé à bénéficier de l'assistance judiciaire. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La ville de Lancy, défenderesse à l'action en libération de dette, conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La recourante a répliqué. 2. Manifestement infondé, le recours doit être rejeté en la forme simplifiée de l'art. 109 LTF. 2.1 En premier lieu, les moyens de preuve joints au mémoire de recours et à la réplique sont irrecevables, tout comme ceux offerts en regard des multiples allégués du recours, le Tribunal fédéral fondant son jugement sur les faits établis par l'instance précédente (art. 99 al. 1 et 105 al. 1 LTF). Dans le même ordre d'idées, les faits présentés dans le recours sont irrecevables, en tant qu'ils ne ressortent pas directement de l'arrêt de la Cour de justice. En second lieu, le jugement entrepris contient une double motivation, dont chacun des termes permet de déclarer l'action en libération de dette irrecevable: le dépôt tardif du recours et l'absence de signature du mandataire. Or, lorsque la décision attaquée se fonde sur plusieurs motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes, il incombe au recourant, sous peine d'irrecevabilité, de démontrer que chacune d'entre elles est contraire au droit (ATF 133 IV 119 consid. 6.3 p. 120 s.; arrêt 5A_806/2009 du 26 avril 2010 consid. 2 et 3.3). En l'occurrence, le recourant n'a motivé son acte, s'agissant de la question de la signature, que dans la réplique - sous réserve de l'offre d'une expertise graphologique, en p. 14 du recours. Une telle motivation est tardive, car le droit de répliquer n'a ni pour fonction, ni pour conséquence de prolonger le délai légal de recours et d'autoriser le complètement d'une écriture déficiente. Dans ces conditions, le recours est donc en principe irrecevable. Il en va d'autant plus ainsi que l'argumentation présentée est de nature essentiellement appellatoire et ne remplit pas les conditions de motivation des art. 42 et surtout 106 al. 2 Cst. 2.2 Sur le fond, si l'on comprend bien son argumentation actuelle, qui s'inscrit dans le prolongement de motivations successives pour le moins non univoques, le projet de mémoire rédigé par Me Z._ aurait été expédié par voie électronique à Me Y._ à Martigny, retravaillé par l'avocat-stagiaire avant être soumis le dimanche 16 mai au soir à Me Z._ pour signature, puis emporté à Martigny afin d'y être posté par Me Y._ le lundi 17 mai. Cette version n'est pas celle retenue par la Cour de justice qui, sans arbitraire, a retenu deux autres hypothèses. Peu importe, de ce point de vue, que la version de la recourante puisse justifier la signature de Me Z._ sur une écriture expédiée depuis Martigny, car une telle situation ne permet pas encore de conclure à l'arbitraire du jugement cantonal. Au demeurant, la recourante ne dit pas que la Cour de justice aurait, sur cette question, dû administrer d'autres moyens de preuve ou qu'elle aurait arbitrairement refusé ceux qu'elle aurait proposés, violant par là même son droit d'être entendue. Ce type de grief n'est en effet soulevé qu'en relation avec la question de la double oblitération. On relèvera toutefois que la version actuelle de la recourante, respectivement de son mandataire, est parfaitement impropre à expliquer l'existence d'une double oblitération. 2.3 S'agissant du sceau figurant sur l'enveloppe, la recourante relève à juste titre que celui-ci bénéficie en principe d'une présomption d'exactitude (cf. arrêt 5P.113/2005 du 13 septembre 2006 consid. 3.1 et les références citées). Une telle présomption perd toutefois toute portée, lorsque, comme en l'espèce, l'enveloppe est frappée de deux sceaux, l'un apposé dans le délai légal de recours, l'autre postérieurement. Ni la loi, ni la jurisprudence ne règle cette situation. Rien n'indique en tout cas que ce soit la date la plus favorable au recourant qui devrait être retenue. A défaut de présomption, c'est la règle de l'art. 8 CC, également valable en droit public, et notamment en procédure, qui s'applique, le recourant supportant le fardeau de la preuve du respect du délai de recours (cf. ATF 92 I 253 consid. 3 p. 257; arrêt 5P.113/2005, précité, consid. 3.1). Il incombe donc au recourant d'établir par tout autre moyen qu'il a déposé son écriture en temps utile, preuve qu'il doit pouvoir amener en procédure avant que son acte ne soit frappé d'irrecevabilité. En l'espèce, un témoignage aurait pu servir cette cause. La recourante ne fait pas valoir qu'elle aurait offert un tel témoignage et que la Cour de justice aurait refusé de l'administrer sur la base d'une appréciation anticipée de ce moyen de preuve qui serait arbitraire. En outre, il est pour le moins peu usuel, pour un mandataire professionnel, d'expédier une écriture le dernier jour du délai sans le faire sous pli recommandé. Celui-ci, simple et peu onéreux, permet à l'avocat de se ménager un moyen de preuve incontestable en cas, notamment, de perte du document par les services postaux. Un tel moyen d'expédition n'est certes pas imposé par la loi. Celui qui y renonce accepte cependant le risque de voir la date exacte de l'expédition, voire même cette dernière, remise en question par l'autorité destinataire de l'envoi. En conséquence, celui qui ne s'aménage pas les moyens de preuve nécessaires lors de l'expédition de l'envoi, en recourant à l'envoi recommandé ou en faisant attester la date de l'envoi par un ou plusieurs témoins mentionnés sur l'enveloppe, ou n'invoque pas en cours de procédure des moyens propres à établir cet envoi en temps utile, supporte les conséquences de l'absence de la preuve lui incombant. Contrairement à ce que pense la recourante, il n'y a guère de place ici pour reprocher à l'autorité précédente une violation de la maxime d'office, notamment au regard de l'obligation des parties de collaborer à l'établissement des faits, en particulier de ceux qui les concernent personnellement. 3. En tant que recevable, le recours doit donc être rejeté. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF). La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 3 LTF).