Faits: Faits: A. Par jugement du 27 mars 2001, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a notamment condamné X._, pour prise d'otage qualifiée (art. 185 ch. 2 CP), extorsion qualifiée (art. 156 ch. 3 CP), utilisation frauduleuse d'un ordinateur (art. 147 CP), abus de confiance (art. 138 ch.1 CP) et vol (art. 139 ch. 1 CP), à la peine de 9 ans de réclusion, sous déduction de 800 jours de détention préventive, ordonnant en sa faveur un traitement ambulatoire en détention. Le tribunal a par ailleurs condamné plusieurs coaccusés et statué sur des conclusions civiles. Saisie d'un recours en nullité et en réforme de X._, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a écarté par arrêt du 20 décembre 2001. Saisie d'un recours en nullité et en réforme de X._, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a écarté par arrêt du 20 décembre 2001. B. S'agissant des faits pertinents pour le jugement de la présente cause, cet arrêt retient, en résumé, ce qui suit. B.a Dans le courant de l'année 1998, X._ a eu l'idée d'enlever le fils d'amis de ses parents, en vue d'obtenir de la famille de celui-ci une rançon de 5 millions de francs. A cette fin, il a imaginé un plan d'exécution et décidé de recourir à des hommes de main. A la mi-décembre 1998, une première équipe, recrutée dans les semaines précédentes, a tenté à cinq reprises mais sans succès d'enlever la victime. Une seconde équipe a alors été recrutée, qui, après plusieurs tentatives infructueuses entre le soir du 19 décembre et l'après-midi du 21 décembre 1998, est parvenue à ses fins. C'est ainsi que, le 21 décembre 1998, vers 19 heures, la victime a été assaillie près de son véhicule, à la rue de Genève, à Lausanne, par trois hommes cagoulés, dont deux brandissaient une arme à feu chargée; elle a ensuite été jetée sur la banquette arrière d'un véhicule, conduit par un quatrième homme, puis cagoulée et menottée, avant d'être emmenée dans une grange abandonnée au lieu-dit La Rasse, dans la région d'Evionnaz, en Valais. Sur place, elle a été dépouillée de son portefeuille et de sa montre, puis contrainte, sous menaces de mort, de fournir les numéros de code de ses cartes bancaires, postale et de crédit, au moyen desquelles des prélèvements de plusieurs milliers de francs ont été effectués par la suite, notamment par X._. La victime a été séquestrée durant 45 heures, sous la surveillance de deux des quatre hommes, avant d'être libérée par la police vaudoise le 23 décembre 1998, vers 16 heures 20, à Aclens. Durant ces deux jours, la mère de la victime a été contactée à plusieurs reprises afin qu'une rançon de 5 millions de francs soit versée en échange de la libération de l'otage. La famille de la victime s'est exécutée en versant une somme de 500.000 francs, exigée à titre de premier acompte. B.b Dans le cadre de précédentes affaires pénales, X._ avait été soumis à deux expertises psychiatriques, qui faisaient état d'un trouble de la santé mentale (trouble de la personnalité) et d'un développement mental incomplet (immaturité affective) et concluaient que ces troubles n'étaient pas de nature à atténuer la faculté de l'expertisé d'apprécier le caractère illicite de ses actes, mais diminuaient en revanche sa capacité de se déterminer d'après cette appréciation correcte dans une mesure moyenne à importante (expertise du 23 juillet 1992), respectivement dans une mesure moyenne (expertise du 25 février 1994). Une nouvelle expertise a été effectuée dans le cadre de la présente procédure. Selon l'expert, qui a déposé son rapport le 21 juillet 2000, l'expertisé souffre d'un grave trouble narcissique de la personnalité, avec tendance antisociale et fonctionnement prépsychotique; à raison de ce trouble, l'expertisé, au moment d'agir, n'était pas privé, fût-ce partiellement, de sa capacité d'apprécier le caractère illicite de ses actes, mais sa capacité de se déterminer d'après cette appréciation était diminuée dans une mesure moyenne. B.c A raison des faits décrits sous lettre B.a ci-dessus, X._ a été reconnu coupable de prise d'otage qualifiée au sens de l'art. 185 ch. 2 CP, d'extorsion qualifiée au sens de l'art. 156 ch. 3 CP et d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur au sens de l'art. 147 al. 1 CP. Les infractions d'abus de confiance et de vol également retenues à son encontre l'ont été à raison de faits sans rapport direct avec le rapt. Au stade de la fixation de la peine, les juges cantonaux ont notamment tenu compte d'une diminution moyenne de la responsabilité de l'accusé, faisant application des art. 11 et 66 CP. A cet égard, la cour de cassation cantonale a estimé que la diminution de responsabilité retenue justifiait une réduction de la peine d'environ 40 %. Compte tenu de cet élément et des autres, à charge et à décharge, à prendre en considération, elle a jugé que la peine de 9 ans de réclusion infligée en première instance à l'accusé, bien que sévère, n'était pas excessive. Au stade de la fixation de la peine, les juges cantonaux ont notamment tenu compte d'une diminution moyenne de la responsabilité de l'accusé, faisant application des art. 11 et 66 CP. A cet égard, la cour de cassation cantonale a estimé que la diminution de responsabilité retenue justifiait une réduction de la peine d'environ 40 %. Compte tenu de cet élément et des autres, à charge et à décharge, à prendre en considération, elle a jugé que la peine de 9 ans de réclusion infligée en première instance à l'accusé, bien que sévère, n'était pas excessive. C. X._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant une application arbitraire de l'art. 373 al. 2 du code de procédure pénale vaudois (CPP/VD) et, dans ce contexte, une violation des art. 29 al. 2 Cst. et 6 ch. 3 let. d CEDH, ainsi qu'une application arbitraire des art. 11, 13, 63 et 66 CP, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt. Le Ministère public conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.