Faits: A. La société X._ Sàrl (ci-après: la société) a été inscrite au Registre du commerce de Genève en 1996; A._ en était associé-gérant. La société a été affiliée en tant qu'employeur auprès de la Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après: la caisse). Pendant les années 2000 et 2001, la société n'a pas payé ses cotisations sociales; elle a repris ses versements régulièrement de janvier à octobre 2002, sans parvenir à combler les arriérés. La faillite de la société a été prononcée le 22 septembre 2003. Le 24 mai 2004, la caisse a produit (à titre provisoire) une créance totale de 108'161 fr. 95. L'état de collocation a été déposé et publié le 18 août 2004; la créance de la caisse a été admise en 2e classe pour la somme de 95'219 fr. 85 et en 3e classe pour la somme de 12'942 fr. 10. Par décision du 2 novembre 2005, confirmée sur opposition le 22 mars 2006, la caisse a réclamé à A._ le paiement du montant de 94'971 fr. 55, à titre de réparation du dommage qu'elle avait subi dans la faillite de la société. Cette prétention correspondait aux cotisations paritaires restées impayées pour les années 2000 et 2001, frais et intérêts inclus. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice, Chambre des assurances sociales) en concluant à son annulation. Par jugement du 31 octobre 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant principalement à sa libération, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif à son recours.