Faits: Faits: A. L._ a travaillé en qualité de poseur de parois et de plafonds suspendus. Souffrant de problèmes rhumatismaux, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 17 juillet 1997. L'étendue de la capacité de travail de l'assuré a fait l'objet de plusieurs avis médicaux. Dans un rapport du 16 mars 1998, les docteurs A._ et B._, médecins à la Policlinique X._ ont attesté une incapacité totale de travailler comme poseur de plafond, tandis que le psychiatre C._ a fait état d'une constellation douloureuse justifiant une incapacité de travail de 50 % (rapport du 10 février 1998). Par ailleurs, l'administration a recueilli l'avis du docteur D._, médecin traitant, qui a retenu une capacité de travail de 50 % dans une activité avec port de charges limité à 10 kg et autorisant des changements fréquents de position (rapport du 3 avril 2000). L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a estimé que l'assuré aurait une capacité de travail entière dans une activité adaptée, légère et sans port de charges dans différents secteurs de l'industrie, laquelle serait susceptible de lui procurer un revenu annuel de 41'700 fr. En comparant ce revenu avec le gain de 66'872 fr. 50 dont l'assuré aurait pu bénéficier sans l'atteinte à la santé, la perte de gain qui en résulterait atteindrait 37,64 %. Aussi, par décision du 12 septembre 2000, l'office AI a-t-il nié son droit à une rente d'invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a estimé que l'assuré aurait une capacité de travail entière dans une activité adaptée, légère et sans port de charges dans différents secteurs de l'industrie, laquelle serait susceptible de lui procurer un revenu annuel de 41'700 fr. En comparant ce revenu avec le gain de 66'872 fr. 50 dont l'assuré aurait pu bénéficier sans l'atteinte à la santé, la perte de gain qui en résulterait atteindrait 37,64 %. Aussi, par décision du 12 septembre 2000, l'office AI a-t-il nié son droit à une rente d'invalidité. B. L._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à l'allocation d'une demi-rente d'invalidité. La juridiction de recours a ordonné une expertise qu'elle a confiée au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans son rapport du 10 janvier 2002, ce médecin a attesté que l'assuré était entièrement incapable de travailler et que des mesures de réadaptation n'étaient en l'état actuel pas envisageables. L'assuré a dès lors conclu au versement d'une rente entière d'invalidité. Quant à l'office AI, il a contesté la valeur probante de l'expertise judiciaire et conclu qu'une nouvelle expertise fût ordonnée, en se fondant sur les avis des docteurs F._ et G._, tous deux du service médical régional AI (cf. rapports des 6 et 12 mars 2002). Par jugement du 16 mai 2002, le Tribunal des assurances s'est écarté des conclusions de l'expert judiciaire, tout en refusant de donner suite à la requête de l'office AI. Tenant compte d'une capacité de travail de 50 % dans un emploi adapté, il a fixé le taux d'invalidité de l'assuré à 67,9 % et réformé la décision attaquée en ce sens qu'il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 1998. Par jugement du 16 mai 2002, le Tribunal des assurances s'est écarté des conclusions de l'expert judiciaire, tout en refusant de donner suite à la requête de l'office AI. Tenant compte d'une capacité de travail de 50 % dans un emploi adapté, il a fixé le taux d'invalidité de l'assuré à 67,9 % et réformé la décision attaquée en ce sens qu'il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 1998. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause aux premiers juges afin qu'ils fassent procéder à une nouvelle expertise. L'intimé conclut au rejet du recours. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.