Faits : A. X._ SA s'est chargée d'exécuter des travaux d'aménagement et d'entretien dans le parc d'une résidence à La Tour-de-Peilz. Le 27 octobre 2008, elle a obtenu du juge compétent une ordonnance de mesures préprovisionnelles l'autorisant à requérir l'inscription d'une hypothèque légale d'entrepreneur sur les immeubles concernés. Aux termes d'une convention passée entre elle et les propriétaires A._ et B._, l'hypothèque a été remplacée par la garantie d'un établissement bancaire au montant maximum de 274'206 fr.20, à payer sur présentation d'un jugement définitif. Le juge a ratifié cette convention pour valoir ordonnance de mesures provisionnelles. B. Le 16 mars 2009, X._ SA a ouvert action contre A._ et B._ devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Le défendeur A._ devait être condamné à payer 363'296 fr.40 à titre de solde du prix des travaux, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2008. En outre, la Cour devait donner acte à la demanderesse de ce que la garantie bancaire « pouvait être encaissée à concurrence des sommes que [les défendeurs] seraient reconnus lui devoir ». Les défendeurs ont conclu au rejet de l'action et A._ a pris des conclusions reconventionnelles. « Toutes compensations opérées », la demanderesse devait être condamnée à payer 810'000 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts au taux de 5% par an dès le dépôt de la réponse. La demanderesse a conclu au rejet de l'action reconventionnelle. La Cour civile a fait établir une expertise et elle a entendu divers témoins. La Cour s'est prononcée le 9 novembre 2012 par un jugement dont elle a communiqué le dispositif le 3 décembre 2012 puis l'expédition complète le 6 octobre 2013. Sur l'action principale, elle a condamné A._ à payer 361'902 fr.80 avec intérêts au taux de 5% par an dès le 29 octobre 2008; elle a rejeté les conclusions afférentes à la garantie bancaire. La Cour a entièrement rejeté l'action reconventionnelle. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 3 février 2014 sur l'appel des défendeurs; elle a confirmé le jugement. Elle a communiqué le dispositif de son arrêt le 5 février 2014 puis l'expédition complète le 7 mai suivant. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, les défendeurs requièrent le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que la demanderesse soit condamnée à payer 810'000 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 18 mai 2009. La demanderesse conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. Les parties ont spontanément déposé une réplique et une duplique.