Faits: A. Le 22 février 2006, le club de football Y._ a saisi la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) d'une demande visant, notamment, à obtenir de X._, son ancien entraîneur, le paiement de 400'000 euros à titre d'indemnité conventionnelle pour résiliation anticipée du contrat de travail. Alléguant avoir déjà versé cette somme au club en question, le défendeur a conclu au rejet de la demande. Par décision du 13 mars 2008, notifiée aux parties le 20 juin 2008, la Commission du Statut du Joueur, considérant que la preuve de ce paiement n'avait pas été apportée, a condamné le défendeur à verser au demandeur la somme de 400'000 euros et les intérêts y afférents. B. B.a Le 7 juillet 2008, Me Z._, avocat à Paris, a déposé une déclaration d'appel auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS) au nom et pour le compte du défendeur. Par lettre du 23 juillet 2008, le Greffe du TAS a accusé réception de la déclaration d'appel et attiré l'attention des parties sur le fait qu'elles seraient invitées à verser des avances de frais, conformément à l'art. R64 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code). Les chiffres 1 et 2 de cette disposition énoncent ce qui suit: "R64.1 Lors du dépôt de la requête/déclaration d'appel, le demandeur verse un droit de Greffe minimum de CHF 500.-, faute de quoi le TAS ne procède pas. Cet émolument reste acquis au TAS. La Formation en tient compte dans le décompte final des frais. R64.2 Lors de la constitution de la Formation, le Greffe fixe, sous réserve de modifications ultérieures, le montant et les modalités de paiement de la provision de frais. L'introduction de demandes reconventionnelles ou nouvelles entraîne la fixation de provisions distinctes. Pour fixer le montant de la provision, le Greffe estime les frais d'arbitrage qui seront supportés par les parties conformément à l'article R64.4. La provision est versée à parts égales par la partie demanderesse et la partie défenderesse. Si une partie ne verse pas sa part, l'autre peut le faire à sa place; en cas de non-paiement, la demande/déclaration d'appel est réputée retirée; cette disposition s'applique également aux éventuelles demandes reconventionnelles." En date du 29 août 2008, le Greffe du TAS a invité les deux parties à verser chacune une provision de 19'000 fr. jusqu'au 15 septembre 2008. L'appelant a donné suite à cette invitation. L'intimé, en revanche, n'a pas versé sa part de l'avance de frais requise. Sur quoi, le Greffe du TAS, par lettre du 25 septembre 2008, se référant à son précédent courrier et à l'art. R64.2 du Code, a fixé à l'appelant un délai au 10 octobre 2008 pour verser une avance de frais complémentaire de 19'000 fr. Cette lettre se terminait par la phrase suivante: "I remind you that in the absence of payment within the said time limit, the appeal will be deemed withdrawn" (soulignement figurant dans le texte original). Par lettre du 15 octobre 2008, le Greffe du TAS, relevant que le délai fixé était échu depuis le 10 du même mois, a demandé au recourant de lui fournir la preuve du paiement de la seconde avance de 19'000 fr. Le conseil du recourant lui a répondu en ces termes par courrier du 17 octobre 2008 (sic): "I received your letter dated october, 15 informing me that you are expetting to the second advance of costs of CHF 19.000. My client informed me that payment will be made shortly". Le 12 novembre 2008, le Greffe du TAS, constatant que la provision complémentaire n'avait toujours pas été versée, a envoyé un fax aux parties pour les informer que l'appel était réputé retiré, en application de l'art. R64.2 du Code, et qu'une ordonnance de clôture leur serait notifiée dans les prochains jours. Par courrier du 13 novembre 2008, le conseil de l'appelant a adressé au TAS une "attestation de paiement" et lui a demandé de l'informer au sujet de la suite de la procédure. La pièce annexée à ce courrier est, en fait, une copie d'une lettre du 12 novembre 2008 par laquelle l'appelant prie sa banque de verser la somme de 19'000 fr. sur le compte bancaire du TAS. B.b Par Order du 18 novembre 2008, le Président suppléant de la Chambre arbitrale d'appel du TAS, constatant que l'appel était réputé retiré du fait que les avances de frais requises n'avaient pas toutes été payées, a prononcé la clôture de la procédure, rayé la cause du rôle et ordonné la restitution à l'appelant du montant versé par lui. L'ordonnance a été transmise aux parties par fax du même jour. Le 20 novembre 2008, le Greffe du TAS a reçu un avis de crédit d'une banque l'informant que l'appelant avait versé la somme de 19'000 fr. sur le compte du TAS, valeur 18 novembre 2008. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._, représenté par un nouvel avocat, demande au Tribunal fédéral d'annuler la "sentence arbitrale" rendue le 18 novembre 2008. A titre principal, il se plaint d'une violation de l'ordre public matériel, en particulier du principe de la bonne foi et de l'interdiction de l'abus de droit. Subsidiairement, le recourant dénonce une violation par le TAS de l'ordre public procédural. L'intimé n'a pas déposé de réponse dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin. Dans sa réponse, le TAS, qui a produit son dossier, conclut au rejet du recours. L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance présidentielle du 21 janvier 2009.