Faits: A. Le 30 novembre 2005, X._, agent sportif, et Y._, joueur professionnel évoluant à l'époque au club de A._, ont signé une convention intitulée "contrat de médiation". Par ce contrat, d'une durée de deux ans, Y._ a chargé X._ de s'entremettre, à titre exclusif, en vue de la négociation, de la conclusion et du renouvellement de contrats avec des clubs de football affiliés à la FIFA, y compris dans le cadre d'opérations de transfert. L'agent avait droit à une commission de 10% de la rémunération brute revenant au mandant en sa qualité de joueur professionnel de football. Selon l'art. 10 du contrat, tout litige en rapport avec celui-ci serait soumis à un arbitre unique désigné par le président de la Chambre d'arbitrage ordinaire du Tribunal Arbitral du Sport (TAS), dont le siège est à Lausanne, la langue de l'arbitrage étant le français. La même disposition prévoyait encore ceci: "la sentence rendue par la formation d'arbitrage sera définitive et exécutoire, et ne sera susceptible d'aucun recours". En exécution de ce contrat, Y._ a versé à X._ les sommes de 200'000 euros et de 600'000 euros en 2006. Par lettre recommandée du 2 mai 2007, le joueur a résilié le contrat de médiation. B. Le 20 juin 2007, X._ a déposé une requête d'arbitrage auprès du TAS afin de réclamer le paiement d'une somme totale supérieure à six millions d'euros en exécution du contrat de médiation. De son côté, Y._ a conclu, reconventionnellement, à la constatation de la nullité dudit contrat et au remboursement des 800'000 euros versés à l'agent. Les parties se sont entendues pour nommer Me T._, avocat, en qualité d'arbitre unique. Le TAS a ratifié ce choix. Par sentence du 16 avril 2008, communiquée aux mandataires des parties au moyen d'un fax du même jour, l'arbitre unique a constaté la nullité du contrat de médiation pour violation des règles régissant l'activité d'agent sportif. Il a condamné X._ à restituer la somme de 600'000 euros à Y._, reconnu ce dernier débiteur de l'agent d'un montant de 259'400 euros sur la base d'une précédente convention dont la validité n'avait été remise en cause par aucune des parties, ordonné la compensation entre les deux créances et dit que la différence porterait intérêt au taux légal à compter du prononcé de la sentence. Toutes autres ou plus amples conclusions ont été rejetées par l'arbitre, lequel a encore dit que chaque partie supporterait la moitié des frais de l'arbitrage de même que ses propres frais. C. Le 16 mai 2008, X._ a formé une demande de révision dans laquelle il invite le Tribunal fédéral à annuler la sentence précitée et à renvoyer la cause au TAS pour nouveaux débats et nouvelle décision. Selon lui, ladite sentence aurait été rendue par un arbitre partial et sur la base de titres faux. Le requérant sollicite que l'effet suspensif soit octroyé à sa demande de révision. Dans sa réponse, Y._ conclut à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet de cette demande. Au terme de ses observations, le TAS propose le rejet de la demande de révision. La requête d'effet suspensif a été admise à titre superprovisoire par ordonnance présidentielle du 21 mai 2008.