Faits: A. A._, B._ et C._ sont propriétaires de la parcelle n° 29 du registre foncier de Château-d'Oex, au lieu-dit "La Frasse". Ce bien-fonds est situé en zone de chalets, régie par les art. 14 ss du règlement communal sur le plan d'extension et la police des constructions (ci-après le RPE), approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 19 septembre 1980 et modifié pour la dernière fois en 2009. La société D._ est propriétaire de la parcelle voisine n° 4243, également située en zone de chalets. Par décision du 6 août 2009, la Commune de Château-d'Oex lui a accordé l'autorisation de construire sur ce bien-fonds deux chalets comprenant chacun plusieurs logements ainsi qu'un garage souterrain. Le 15 septembre 2009, A._, B._ et C._ et une vingtaine d'autres propriétaires du secteur ont requis de la Commune de Château-d'Oex l'élaboration d'un plan de quartier intitulé "La Frasse-Dessous", afin de limiter la construction de résidences secondaires dans un périmètre donné incluant notamment la parcelle n° 4243. Ils demandaient également à la commune de surseoir à l'octroi du permis de construire délivré le 6 août 2009. Ce permis a par ailleurs été contesté dans le cadre d'une procédure distincte, qui fait l'objet d'une cause connexe (arrêt 1C_482/2010 de ce jour). Par décision du 22 octobre 2009, la Commune de Château-d'Oex a refusé de donner suite à la requête tendant à l'établissement du plan de quartier précité. B. A._, B._ et C._ ont recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté ce recours par arrêt du 24 août 2010. En substance, le Tribunal cantonal a considéré que l'établissement du plan de quartier requis par les recourants n'était pas l'instrument adéquat pour lutter contre la problématique des "lits froids", qui doit se régler au niveau communal, voire régional. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._, B._ et C._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer le dossier à la Commune de Château-d'Oex pour qu'elle procède à l'étude du plan de quartier sollicité et ordonne les mesures provisoires nécessaires à cet effet. Ils requièrent en outre l'octroi de l'effet suspensif. Au terme de ses observations, D._ conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. La Commune de Château-d'Oex conclut au rejet du recours. Le Service cantonal du développement territorial s'est déterminé sommairement. Le Tribunal cantonal y a renoncé. Les recourants et D._ ont présenté plusieurs observations complémentaires. D. Par ordonnance du 3 novembre 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.