Faits: A. Le 28 octobre 2006, à six heures du matin, à la sortie du site Artamis, X._ a attaqué par derrière Y._, qui était ivre. Il l'a menacée d'un tesson de verre tranchant qu'il a plaqué sous sa gorge et l'a traînée jusqu'au bord de l'Arve, où il l'a violée sur un matelas abandonné. Auparavant, il l'avait frappée et blessée au bras avec le tesson, lui infligeant une plaie de 4 cm. Lorsque X._ a vu que le bras de la jeune fille saignait, il a pris peur et lui a proposé de l'emmener à l'hôpital. Les deux protagonistes sont remontés le talus et ont erré dans le quartier à la recherche d'un taxi pouvant les emmener à l'hôpital. Avec son téléphone portable, la victime a pu atteindre un couple d'amis qui l'a retrouvée dans le quartier. X._ l'avait quittée quelques instants auparavant; il a été interpellé 48 heures plus tard. B. Par arrêt du 15 janvier 2008, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné X._, pour viol avec cruauté (art. 190 al. 3 CP), à une peine privative de liberté de trois ans et demi, sous déduction de la détention préventive. Elle a ordonné la poursuite du traitement psychiatrique qu'il avait commencé en détention pour combattre sa dépendance aux stupéfiants. Enfin, elle l'a condamné à verser à la victime la somme de 30'000 francs, avec intérêts à 5 % dès le 28 octobre 2006, à titre d'indemnité pour tort moral, réservant les droits civils de la victime pour le surplus. La Cour d'assises a relevé que la culpabilité de l'accusé était importante. Sa faute était toutefois atténuée par le fait qu'il avait proposé à la victime d'aller à l'hôpital et lui avait permis de rester en contact téléphonique avec ses amis. Pour le surplus, la cour a constaté que X._ dont la responsabilité pénale était entière avait agi par égoïsme, pour satisfaire ses pulsions sexuelles. Ni durant l'instruction, ni à l'audience, il avait montré la moindre compassion pour sa victime. Concernant sa situation personnelle, l'accusé, ressortissant algérien, résidait à Genève sans papier et travaillait au noir. Il était un consommateur régulier d'alcool, de cocaïne et de différentes drogues et toxiques. Il avait entrepris un traitement psychiatrique pour combattre sa dépendance à ces substances, ce qui, selon la cour, était positif et devait être encouragé. Enfin, ses antécédents étaient mauvais, puisqu'il avait été condamné à douze reprises pour différentes infractions, notamment à la loi fédérale sur les stupéfiants, et avait fait l'objet de très nombreuses interpellations par la police. C. Le Ministère public genevois a formé un pourvoi contre ce dernier arrêt, estimant que la peine privative de liberté de trois ans et demi était trop clémente. La Cour de cassation de Genève a rejeté le pourvoi, par arrêt du 30 mai 2008, expliquant notamment ce qui suit: - La Cour d'assises « a pris en considération le comportement de la victime, dont certains souvenirs sont restés flous tant son alcoolisation était importante. Tout en subissant un long calvaire et en craignant pour sa vie, [la victime] n'en avait pas moins simulé un possible consentement » (arrêt attaqué p. 6, consid. 3.2, 2e paragraphe). (...) On ne peut exclure que [l'infraction] a été partiellement induite par l'état éthylique avancé de la victime. Cette dernière a admis que ses possibilités de réaction étaient annihilées au sortir du site Artamis et que, faute d'avoir pu opposer un refus ou une résistance aux menaces de son agresseur, elle s'était résolue à feindre d'accepter la relation sexuelle » (arrêt attaqué, consid. 3.2 4e paragraphe, in fine). La Cour de cassation justifie la clémence de la peine également par l'attitude concrète que l'auteur a adoptée postérieurement à son méfait, lorsqu'il a proposé à sa victime de l'emmener à l'hôpital. Elle a constaté que son comportement cruel avait cessé aussitôt qu'il avait pris conscience des blessures de sa victime (arrêt attaqué, consid. 3.2, p. 6-7). D. Contre cet arrêt, le Ministère public genevois dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il fait valoir que la peine infligée à X._ est excessivement clémente et que la cour de cassation a en conséquence violé l'art. 47 CP. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que X._ soit condamné à une peine privative de liberté de huit ans et, à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. E. Au terme de ses observations, l'intimé a conclu au rejet du recours alors que la Cour de cassation a renoncé à des déterminations.