Faits: A. M. A.X._, né en 1976, et Mme B.X._, née en 1975, se sont mariés le 14 avril 2004 à E._. Un enfant est issu de cette union: C._, né en 2006. Les parties se sont séparées le 1er mai 2007. Depuis lors, elles entretiennent des relations très conflictuelles. De nombreuses décisions, déjà préalablement au dépôt de leur requête en divorce, ont été rendues, notamment en ce qui concerne la garde et le droit de visite sur l'enfant. B. Par jugement du 30 mai 2011, le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a, notamment, prononcé le divorce des parties; attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère; dit que le père bénéficiera d'un droit de visite à exercer un week-end sur deux, du vendredi à 13h30 actuellement, puis dès la sortie de l'école lorsque l'enfant sera scolarisé, au dimanche à 18h00, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires et des jours fériés selon un calendrier établi par la curatrice et joint en annexe pour faire partie intégrante du dispositif; dit que le père pourra en outre contacter l'enfant par téléphone deux soirs par semaine, entre 18h30 et 19h30; confié au Service de protection de la jeunesse (SPJ) un mandat de surveillance judiciaire au sens de l'art. 307 CC en faveur de l'enfant; relevé la curatrice de son mandat de représentation au sens de l'art. 146 CC; dit que le père contribuera à l'entretien de l'enfant, dès jugement définitif et exécutoire, par le versement d'une pension mensuelle, allocations familiales éventuelles et indexation non comprises, de 900fr. jusqu'à l'âge de 6 ans, 1'000 fr. jusqu'à l'âge de 12 ans, 1'100 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 1'200 fr. jusqu'à la majorité ou jusqu'à l'achèvement d'une formation appropriée, dans les limites de l'art. 277 al. 2 CC; attribué à l'épouse les droits et obligations portant sur l'appartement et la place de parking dont les parties sont locataires; enfin, dit qu'il y a lieu de partager par moitié la prévoyance professionnelle des époux et de transférer d'office le dossier à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal pour qu'elle procède au calcul des prestations de sortie à partager. Par arrêt du 27 novembre 2012, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel du mari et confirmé le jugement de première instance. C. M. A.X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 novembre 2012. Il conclut à l'annulation du jugement de divorce et à la réouverture de l'instruction, la cause étant renvoyée au Tribunal d'arrondissement de La Côte pour qu'il statue à nouveau dans le sens des considérants. Subsidiairement, il demande que le jugement contesté soit complété sur plusieurs points compte tenu des nouvelles mesures provisionnelles prononcées et de la convention passée entre les parties. Il sollicite en outre la réouverture de l'instruction en divorce au vu de nouveaux éléments et d'instructions ouvertes dans le cadre de la demande de révision du 22 août 2012, de la requête de mesures provisionnelles du 19 mai 2012 et de celle du 4 septembre 2012, encore pendantes. Il requiert enfin le maintien de l'autorité parentale conjointe entre les parents, la garde restant attribuée à la mère, et la fixation d'une pension en faveur de l'enfant d'un montant annuel de 3'000 fr. depuis le 1er avril 2010. Le recourant sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations sur le fond n'ont pas été requises. D. Par ordonnance du 11 avril 2013, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif pour les contributions dues jusqu'à fin janvier 2013, mais non pour les montants dus à partir du 1er février 2013.