Faits: A. A.a R._ a été engagé en qualité de maçon en mars 1989 par l'entreprise X._ & Cie SA, emploi qu'il a cessé d'exercer en avril 1999 pour des raisons de santé. Le 14 octobre 1999, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur U._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, a déposé ses conclusions dans un rapport du 30 octobre 1999. L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève a mis en oeuvre un stage d'observation, qui a eu lieu du 27 mars au 23 juin 2000 (rapport d'évaluation du 22 juin 2000). Il a confié une expertise au docteur A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 8 mai 2000, ce médecin a posé le diagnostic de status après contusion cervico-dorsale, de conflit sous-acromial de l'épaule droite avec déchirure partielle du sous-scapulaire et tendinite du sus-épineux, en présence d'un acromion de type II, de cyphose dorsale sur ancien Scheuermann et d'ancienne section de P3 D2 droit. Il indiquait que tout travail debout ou assis de manutention légère, n'exigeant pas un travail à l'horizontale des épaules était tout à fait compatible avec l'atteinte physique et exigible à 100 %. Par décision du 11 septembre 2000, l'office AI a rejeté la demande, au motif que l'assuré présentait une invalidité de 27 % et qu'il n'avait pas droit à une rente. Par jugement du 28 mars 2002, la Commission cantonale genevoise de recours en matière d'AVS/AI a rejeté le recours formé par celui-ci contre cette décision. A.b Le 16 janvier 2003, R._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 3 février 2003, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de fibromyalgie, d'état dépressif et d'alcoolisme chronique. Il indiquait que la capacité de travail était nulle. Dans un rapport du 19 mars 2004, le docteur E._, médecin de la Clinique Y._, a retenu les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de fibromyalgie, de lombalgies chroniques, d'état dépressif, de dépendance à l'alcool, de périarthrite chronique et de douleurs chroniques. Le patient, dont l'état de santé s'aggravait, présentait une incapacité de travail de 100 % dans le métier de maçon. Invité par le docteur L._, spécialiste FMH en médecine générale et médecin de l'office AI, à donner des renseignements complémentaires, le docteur E._ a répondu que la persistance de la dépression avait pour origine somatique la comorbidité fibromyalgique, la dépression constatée étant clairement et en majeure partie la conséquence des douleurs rebelles aux traitements de sédation de la pathologie fibromyalgique. Il a précisé que le patient était abstinent depuis sa première prise en charge auprès de la consultation d'alcoologie (lettre du 18 février 2005). Sur proposition du docteur L._ (avis SMR du 22 mars 2005), l'office AI a confié une expertise à la doctoresse O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 7 mai 2005, ce médecin a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble somatoforme ([CIM-10] F45) existant depuis 2001, d'alcoolisme chronique, actuellement abstinent d'après le patient (F10.2), présent depuis plusieurs années, de trouble dépressif récurrent, sans précision (F33.9), et retenu quelques traits de personnalité passive. A son avis, la capacité de travail ne dépassait pas 50 % pour des problèmes psychiques. Répondant dans un document du 2 juin 2005 à un questionnaire complémentaire du docteur L._ du 30 mai 2005, l'expert a indiqué notamment que d'après les renseignements obtenus, R._ était bien intégré dans sa vie familiale. Dans un avis SMR du 12 septembre 2005, le docteur L._, constatant que les critères permettant de nier l'exigibilité d'un effort de volonté en cas de troubles somatoformes douloureux persistants n'étaient pas réunis, a conclu qu'il n'y avait pas de nouvelles atteintes à la santé ayant valeur de maladie justifiant une incapacité de travail durable. Par décision du 24 novembre 2005, l'office AI, rejetant la demande pour ce motif, a nié tout droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-invalidité. Les 20 décembre 2005 et 23 janvier 2006, R._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 2 juillet 2007, l'office AI a rejeté l'opposition. B. Par jugement du 19 février 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par R._ contre cette décision. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci, le Tribunal fédéral étant invité à dire et constater qu'il a droit à un trois quarts de rente d'invalidité et à renvoyer la cause à l'office AI pour calcul de la rente et nouvelle décision. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.