Faits: A. A.a G._, née le 23 mars 1958, a été engagée dès le 2 décembre 1974 en qualité d'employée du service hôtelier (cafétéria) de l'Hôpital X._, à raison d'un horaire de travail complet. Veuve depuis le 30 avril 2002, elle a présenté entre le 1er mai 2002 et le 31 mars 2003 des périodes d'incapacité totale ou partielle de travail. Depuis le 1er avril 2003, elle n'effectue plus que la moitié de l'horaire de travail. Le 9 février 2004, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assurée, a déposé un rapport du 16 mars 2004. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise au COMAI de Lausanne. Dans un rapport du 22 novembre 2004, les médecins de l'Hôpital Y._ ont retenu les diagnostics avec influence essentielle sur la capacité de travail de syndrome douloureux somatoforme persistant ([CIM-10] F45.4), de personnalité dépendante (F60.7) et de trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée (F43.21). Ils concluaient à une capacité de travail de 50 % dans l'activité actuelle. Le 7 février 2005, l'office AI a avisé G._ qu'elle présentait une invalidité de 50 % dès le 1er mai 2003, date à partir de laquelle elle avait droit à une demi-rente. Par décision du 18 mars 2005, il lui a octroyé une rente. A.b Dès le 29 septembre 2005, l'office AI a procédé à la révision du droit de l'assurée à une demi-rente d'invalidité. Retenant les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de lombosciatalgies bilatérales, de cervicalgies chroniques prédominantes en C7-D1 à gauche, d'état dépressif et de crises de panique, le docteur R._, dans un rapport du 19 octobre 2005, a indiqué que l'incapacité de travail de 50 % était inchangée. Sur requête du docteur B._ (avis médical SMR du 25 janvier 2006), le docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a effectué un examen psychiatrique. Dans un rapport du 4 septembre 2006, il a retenu les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de personnalité dépendante (F60.7), de dysthymie (F34.1) et de syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4). Il indiquait que G._ présentait une capacité de travail exigible totale sur le plan strictement psychiatrique dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, conclusion qui a été reprise par le docteur B._ dans un rapport d'examen SMR du 13 octobre 2006. Dans un projet de décision du 12 janvier 2007, l'office AI a informé G._ qu'elle ne présentait plus d'atteinte à la santé invalidante, ni sur le plan somatique ni sur le plan psychique, et que son droit à une demi-rente serait supprimé, ce que celle-ci a contesté par lettre du 24 janvier 2007. Le 25 janvier 2007, il l'a avisée que son courrier n'apportait aucun élément nouveau et qu'à défaut d'éléments probants, la décision de suppression du droit à la rente serait notifiée à l'échéance du délai de 30 jours de la procédure préalable. Par lettre du 1er février 2007, l'assurée a requis la prolongation du délai jusqu'au 28 février 2007, requête qu'elle a renouvelée le 8 février 2007 à la suite du refus de l'office AI du 5 février 2007. Le 13 février 2007, celui-ci l'a avisée qu'à défaut d'être en possession d'arguments probants d'ici au 20 février 2007, il lui notifierait la décision de suppression de son droit à la rente. Par décision du 20 février 2007, l'office AI a supprimé le droit de G._ à une demi-rente dès le premier jour du 2ème mois suivant la notification de la décision. B. Par jugement du 12 décembre 2007, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par G._ contre cette décision. C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision de suppression du droit à la rente du 20 février 2007, la cause étant renvoyée à l'office AI, respectivement à la juridiction cantonale, pour nouvelle décision au sens des considérants, aux motifs que le premier a violé son droit d'être entendue et la seconde les principes en matière de révision. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours, ce que propose également l'Office fédéral des assurances sociales dans un préavis du 21 avril 2008.