Faits: A. Ressortissant congolais né le *** 1985, X._ est arrivé en Suisse le 18 septembre 2001. Par décision du 15 janvier 2002, confirmée sur recours le 28 avril 2003, l'Office fédéral des migrations a rejeté la demande d'asile déposée par l'intéressé. Le renvoi de Suisse a été ordonné pour le 23 juin 2003. Le *** 2004, X._ est devenu le père d'un enfant prénommé A._ dont la mère est B._, ressortissante angolaise et titulaire d'une autorisation de séjour. Le couple s'est marié le 10 novembre 2006. A la suite du mariage, X._ a sollicité une autorisation de séjour en vue du regroupement familial. Le 16 octobre 2008, le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé X._ qu'il avait l'intention de refuser de lui délivrer une autorisation de séjour au motif que sa situation financière ne lui permettait pas d'assumer l'entretien de la famille. Le 19 novembre 2008, B._ et A._ ont obtenu la nationalité suisse. Le 27 janvier 2009, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour en vue du regroupement familial, valable jusqu'au 29 mai 2010. L'intéressé a sollicité le renouvellement de son autorisation de séjour le 9 novembre 2009. Le 1er février 2011, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a autorisé les époux à se constituer un domicile séparé, jusqu'au 29 février 2012. La garde de l'enfant a été confiée à la mère, X._ disposant d'un droit de visite à hauteur d'un week-end sur deux. L'intéressé a par ailleurs été astreint au versement d'une pension mensuelle de 450 fr. A teneur d'une attestation de l'Office des poursuites du 13 mai 2011, X._ faisait l'objet de poursuites à hauteur de 9'575 fr. 05 et d'actes de défaut de biens pour 27'265 fr. 90. B. Le 8 août 2011, le Service cantonal a informé X._ de son intention de ne pas renouveler son autorisation de séjour. Par décision du 19 décembre 2011, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour aux motifs que l'intéressé vivait séparé de son épouse depuis février 2011 et qu'il n'était pas établi qu'il entretenait des relations étroites et effectives avec son fils. Saisie d'un recours contre cette décision, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté par arrêt du 23 octobre 2012. Elle a considéré, en substance, que le recourant n'entretenait pas de liens suffisamment étroits, tant sur le plan affectif qu'économique, avec son fils pour pouvoir invoquer l'art. 8 CEDH. En outre, durant ses onze ans de présence en Suisse, l'intéressé n'avait jamais exercé d'activité lucrative. Il vivait par ailleurs de l'aide sociale. A la date du 17 novembre 2011, il avait reçu, depuis le 1er janvier 2011, un revenu d'insertion pour un montant de 17'593 fr. 05. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt rendu le 23 octobre 2012 par le Tribunal cantonal en ce sens qu'il obtienne une prolongation de son autorisation de séjour. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 8 CEDH ainsi que des art. 2, 3, 9 et 12 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107). Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et le Service cantonal renonce à se déterminer sur le recours. L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours. Par ordonnance du 22 novembre 2012, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif déposée par l'intéressé. Par courrier du 14 janvier 2013, X._ a produit un courrier daté du 20 décembre 2012 qu'il a adressé au Service social de Lausanne et une lettre de son épouse du 6 janvier 2013.