Faits: A. B._ a travaillé à partir du 1er juillet 2008 en qualité d'aide-monteur en constructions métalliques pour le compte de la société X._ Sàrl et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 7 juillet 2008, il est tombé d'une échelle d'une hauteur de 3 à 4 mètres au cours de son activité professionnelle. Il a été admis au Centre hospitalier Y._, où les médecins ont fait état d'une fracture ouverte du pilon tibial droit, d'une fracture-tassement de la vertèbre L3, ainsi que de lésions aux 1er, 2ème et 3ème métatarsiens gauches. La CNA a pris en charge le cas. L'assuré a séjourné à trois reprises (du 30 juillet au 16 septembre 2008, du 7 octobre au 3 novembre 2009 et du 3 au 31 août 2010) à la Clinique Z._. Par courrier du 13 octobre 2010, la CNA a informé l'assuré qu'elle allait mettre fin à la prise en charge du traitement médical et au paiement de l'indemnité journalière au 30 novembre suivant. Après avoir requis l'avis du docteur O._, médecin d'arrondissement (rapport d'examen médical final du 26 novembre 2010), la CNA a rendu une décision le 3 mai 2011, confirmée sur opposition le 2 décembre suivant, par laquelle elle a alloué à l'assuré, à partir du 1er décembre 2010, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 15 % et lui a accordé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 32,50 %. B. B._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 61 % et, subsidiairement, à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise médicale. A l'appui de ses conclusions, il a produit un rapport de son médecin traitant, la doctoresse I._, spécialiste en médecine générale (du 14 décembre 2011). La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 7 juin 2012. C. B._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à ce qu'un taux d'invalidité de 61,3 % lui soit reconnu et qu'une rente et une indemnité pour atteinte à l'intégrité soient allouées dans ce sens. Subsidiairement, il demande la mise en oeuvre d'une expertise afin d'évaluer les problèmes dorsaux, leur incidence sur la capacité de travail, ainsi que le lien de causalité avec l'accident. Préalablement, il requiert la dispense de payer des frais judiciaires et de fournir une avance de frais. La CNA conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.