Faits: A. Un accident de la circulation s'est produit à Genève le 7 juillet 1998. A._ conduisait une motocyclette; il fut heurté par une automobile qui approchait en sens inverse et obliquait à gauche. Victime de lésions corporelles, il subit une incapacité de travail totale jusqu'au 19 janvier 1999; depuis, une incapacité partielle subsiste au taux de 50%. La responsabilité civile du détenteur de l'automobile était couverte par X._ SA. Le 15 novembre 2001, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a établi un rapport détaillé concernant la situation de A._, proposant de retenir un taux d'invalidité de 50%. Des rentes d'invalidité furent accordées à A._ par décisions du 2 mai 2002 de l'assurance-accidents, du 20 mai 2003 de l'assurance-invalidité et du 11 mai 2004 de l'institution supplétive de prévoyance professionnelle. A l'égard des prétentions existant éventuellement contre elle par suite de l'accident, la compagnie X._ SA a quatre fois déclaré par écrit qu'elle renoncerait à invoquer la prescription: le 12 mai 2000, le 11 avril 2001, le 9 avril 2002 et le 22 avril 2003, chaque fois jusqu'au 7 juillet de l'année suivante. Le 13 mai 2005, A._ lui a fait notifier un commandement de payer au montant de 1'917'704 fr.28; elle a fait opposition. Le 23 mai 2005, elle a une fois encore renoncé à invoquer la prescription, jusqu'au 31 décembre 2005 et à condition que la créance ne fût pas déjà prescrite lors de cette déclaration. B. Le 10 avril 2006, A._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à payer 1'917'704 fr.28 à titre de dommages-intérêts et de réparation morale, par suite de l'accident du 7 juillet 1998. Invoquant la prescription, la défenderesse a conclu au rejet de l'action. Le tribunal s'est prononcé le 6 décembre 2007; il a rejeté l'action. Statuant le 19 septembre 2008 sur l'appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement. Elle a considéré que dès le 2 mai 2002 au plus tard, date de la première décision lui accordant une rente d'invalidité, le demandeur avait une connaissance suffisante du dommage consécutif à l'accident pour qu'il pût ouvrir action contre la défenderesse; un délai de prescription de deux ans avait couru dès cette date, pour échoir le 2 mai 2004; au jour du commandement de payer, le 13 mai 2005, la prescription était donc acquise à la défenderesse. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer diverses sommes au total de 1'917'704 fr.28 en capital, à titre de dommages-intérêts et de réparation morale, avec suites d'intérêts au taux de 5% par an dès les dates qu'il spécifie. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. La défenderesse conclut au rejet du recours.