Faits: A. Par contrat de travail daté du 1er janvier 2005, la société X._ Sàrl a engagé C._ pour divers travaux, à savoir la livraison de voitures, le rapatriement de véhicules, l'immatriculation, le nettoyage, ainsi que différentes activités de bureau. Le salaire mensuel convenu était de 4'400 fr. brut, à raison de huit heures par jour, trois ou quatre jours par semaine. Le personnel de l'entreprise a fait l'objet d'une police d'assurance-accidents obligatoire auprès de Generali Assurances (ci-après: Generali) à partir du 1er janvier 2005 (police n° "yyy"). X._ était à l'origine une raison individuelle constituée le 4 février 2004 et exploitée par D._, fils de l'assurée. Au mois de juin 2005, la société X._ Sàrl a été inscrite au registre du commerce, avec reprise des actifs et passifs de X._. En outre, C._ travaillait à temps partiel dans un salon de coiffure et percevait un salaire mensuel de 1'700 fr. net pour cette activité. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Mobilière Assurances (ci-après: la Mobilière). Le 14 février 2005, l'intéressée a été victime d'un traumatisme cranio-cérébral et de contusions multiples en chutant d'un tabouret à son domicile. Generali a pris en charge les frais médicaux et alloué des indemnités journalières. A la demande de l'assureur-accidents, l'intéressée lui a communiqué à différentes reprises des copies de ses fiches de salaire, de son contrat de travail, ainsi que de sa déclaration fiscale relative à l'année 2005. Par courrier du 2 décembre 2009, Generali a exprimé des doutes au sujet de la perception effective d'un salaire par C._ dans l'entreprise familiale et, partant, quant à sa qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident. Après un échange de correspondance, Generali a rendu une décision le 3 juin 2010, confirmée sur opposition le 27 août suivant, par laquelle elle a nié à C._ la qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident et lui a réclamé la restitution d'un montant de 288'667 fr. 75 correspondant aux prestations indûment perçues. Subsidiairement, dans l'éventualité où la Mobilière devrait prendre en charge les suites de l'accident du 14 février 2005, Generali indiquait qu'il appartiendrait à cet assureur de lui verser un montant de 128'259 fr. 60. B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) a entendu les parties en audience de comparution personnelle et procédé à l'audition de plusieurs témoins. Par jugement du 30 novembre 2011, la juridiction cantonale a annulé les décisions des 3 juin et 27 août 2010 en tant qu'elles réclamaient la restitution des prestations, dans le sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que Generali ne pouvait pas se prévaloir d'un motif de révocation (reconsidération ou révision procédurale) des décisions (formelles et/ou matérielles) d'octroi des prestations. En revanche, elle a jugé que l'assureur-accidents était fondé à supprimer le droit de l'intéressée à des prestations d'assurance avec effet ex nunc et pro futuro, du moment que celle-ci n'était pas assurée obligatoirement contre le risque d'accident au moment de l'événement du 14 février 2005. C. C._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en tant qu'il confirme le droit de Generali de mettre fin à l'octroi des prestations d'assurance avec effet ex nunc et pro futuro, en concluant à la reprise du versement de ces prestations à partir du 2 décembre 2009, le tout sous suite de dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.