Faits: A. La société B._ SA est propriétaire de la parcelle n° 1367 du registre foncier de la commune de Pully. D'une superficie de 2'470 m 2et de la forme approximative d'un rectangle, la parcelle supportait une maison d'habitation, détruite en 2006, et compte une bambouseraie, ainsi qu'un certain nombre d'arbres de diverses espèces, dont une majorité de thuyas. Le 16 décembre 2011, B._ SA a déposé auprès de la Municipalité de Pully une demande de permis de construire un bâtiment d'habitation de 8 appartements avec garage souterrain pour 17 véhicules et trois places de parc couvertes; l'accès au garage souterrain est prévu au moyen d'une rampe. Mis à l'enquête publique le 25 janvier 2012, le projet a suscité l'opposition de voisins, dont A._ propriétaire de la parcelle voisine n° 1368, et de l'Association vaudoise pour la construction adaptée aux handicapés (AVACAH) : les premiers ont principalement critiqué l'abattage d'arbres sur la parcelle, tandis que la seconde a uniquement demandé qu'au moins une place de parc souterraine et une place visiteur, adaptées à l'usage des personnes handicapées soient intégrées au projet. Ces oppositions ont amené la constructrice à déposer des plans modifiés comportant désormais l'aménagement de deux places de stationnement adaptées aux personnes handicapées - en lieu et place des trois places de parc couvertes - et le maintien de sept arbres d'ornement. B. Se fondant sur la synthèse des autorisations spéciales et des préavis recueillis par la Centrale des autorisations de construire (CAMAC), la Municipalité a, par décision du 14 septembre 2012, levé les oppositions et délivré le permis de construire le bâtiment projeté. A._ a interjeté recours contre cette décision, se plaignant notamment d'une violation de la réglementation en matière de construction adaptée aux handicapés et des normes cantonales et communales relatives à l'abattage des arbres. L'AVACAH n'a pas participé à la procédure de recours. Après avoir instruit la cause, en particulier au moyen d'une inspection locale, le Tribunal cantonal a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable, avec suite de frais et dépens à charge du recourant, par arrêt du 7 août 2013. S'agissant des griefs tirés des normes sur l'accessibilité, pour les personnes handicapées, des immeubles d'habitation, la cour cantonale a considéré que A._ n'avait pas la qualité pour recourir, ce qui rendait irrecevable cet aspect-là de son recours. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal ainsi que la décision de la Municipalité de Pully. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. B._ SA et la Municipalité de Pully concluent au rejet du recours. Le recourant n'a pas déposé d'observations complémentaires. Par ordonnance du 23 septembre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.