Faits: A. A.X._ est propriétaire d'un chien de race Labrador né en 2006. Le 20 mars 2009, son petit-fils de dix-neuf mois a été griffé au visage par ce chien. Le cas a été dénoncé au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du canton de Genève (ci-après: le service) par le Dr Y._, au moyen d'un document officiel intitulé "formulaire pour l'annonce de blessures par morsure de chien chez l'être humain". Il était précisé qu'il s'agissait d'une griffure et non d'une morsure. Au cours d'un entretien téléphonique ayant eu lieu le 25 mars 2009, la mère de l'enfant a expliqué au service que son fils connaissait bien le chien concerné, qui était jeune et assez excité. Selon elle, l'enfant avait été griffé parce qu'il s'était trop approché de la gamelle du chien. Par courrier du 27 mars 2009, l'épouse de X._ a donné une explication semblable, en précisant qu'il ne s'agissait ni d'une agression, ni d'une morsure. Le 3 avril 2009, le service a procédé à une évaluation, au cours de laquelle il a constaté que le chien était vif et assez brusque, même s'il ne manifestait pas de comportement agressif. Il a en outre relevé que le chien avait fugué une fois détaché et que sa maîtresse avait eu de la peine à le faire revenir. A cette occasion, les époux X._ ont expliqué que le chien avait griffé l'enfant en tendant sa patte vers sa gamelle. Ils ont précisé que la griffure était assez profonde, raison pour laquelle le pédiatre avait décidé de suturer la blessure. Par décision du 7 avril 2009, le service a ordonné que des mesures de sécurité soient prises par les époux X._ afin d'éviter que le chien n'effraie ou ne blesse des personnes ou ses congénères et afin d'éviter que le chien ne se trouve seul ou sans surveillance en présence d'enfants. Il a également ordonné qu'un test de maîtrise soit passé avec le chien par les époux X._ et par toute autre personne susceptible de promener régulièrement l'animal en question, le rapport y relatif devant parvenir au service avant le 30 septembre 2009. B. A.X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), en demandant l'annulation de la décision attaquée, subsidiairement la levée de l'obligation de passer un test de maîtrise avec le chien. Le Tribunal administratif a rejeté ce recours par arrêt du 25 août 2009. Il a considéré en substance que la griffure subie par l'enfant était assimilable à une morsure, de sorte que le cas devait être dénoncé au service en application de l'art. 12 al. 1 de la loi cantonale du 1er octobre 2003 sur les conditions d'élevage, d'éducation et de détention des chiens (LChiens; RSG M 3 45). De plus, le détenteur de l'animal n'ayant pas observé les dispositions applicables en la matière, le service pouvait ordonner diverses mesures en application de l'art. 23 LChiens. Les mesures ordonnées en l'espèce respectaient en outre le principe de la proportionnalité. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il se plaint implicitement d'une application arbitraire de la législation cantonale sur les chiens et il invoque une violation du principe de la proportionnalité. Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de son arrêt. Agissant pour le Service de la consommation et des affaires vétérinaires, le Département de l'économie et de la santé du canton de Genève s'est déterminé; il conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'Office vétérinaire fédéral a présenté des observations, concluant que les mesures ordonnées ne semblaient pas disproportionnées.