Faits: A. Le 17 décembre 2007, A._ a été arrêté dans le cadre d'une enquête portant sur un trafic de cocaïne. Il a été inculpé le lendemain d'infractions à la loi fédérale sur les stupéfiants ainsi qu'à la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers et il a été placé en détention préventive. Au terme de sa première audition par le Juge d'instruction du canton de Vaud (ci-après: le juge d'instruction), il a demandé la désignation d'un défenseur d'office. Par fax du 19 décembre 2007, Me Y._ a écrit au juge d'instruction qu'il avait été consulté par l'épouse de A._ pour défendre les intérêts de son mari; il demandait une autorisation de visite pour rencontrer le prénommé en prison. Ce fax a été envoyé aux alentours de 18h00 et le juge d'instruction n'en a eu connaissance que le lendemain. Par courrier du 20 décembre 2007, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Tribunal d'arrondissement) a informé Me X._, avocat-stagiaire, qu'il était désigné en qualité de défenseur d'office de A._. Le 21 décembre 2007, Me Y._ a écrit au juge d'instruction pour se plaindre de n'avoir pas pu rencontrer son client, qui était entendu par la police. Par courrier du 26 décembre 2007, le juge d'instruction a répondu qu'il n'était pas responsable du contretemps ayant empêché Me Y._ de rencontrer son client. Il informait également l'avocat prénommé de la désignation de Me X._ en qualité de défenseur d'office. Le 25 janvier 2008, Me X._ a demandé à être relevé de sa mission, ce qui a été fait le 28 janvier 2008, par prononcé du Président du Tribunal d'arrondissement. Le 29 janvier 2008, Me Y._ a confirmé avoir été mandaté comme défenseur de choix par A._ et il a produit une procuration signée par celui-ci. B. Le 17 avril 2008, Me Y._ a requis sa désignation en qualité de défenseur d'office de A._. Il faisait valoir que son client, respectivement l'épouse de celui-ci, n'avaient plus les moyens de le rémunérer comme avocat de choix. Par prononcé du 3 juin 2008, le Président du Tribunal d'arrondissement a refusé de désigner Me Y._ comme défenseur d'office de A._. Il a considéré que le prévenu n'avait pas expressément demandé que Me Y._ soit désigné, que Me X._ n'avait pas désemparé dans sa mission de défenseur, que le lien de confiance avec le prévenu n'était pas rompu et, enfin, que Me Y._ n'avait pas allégué de circonstances exceptionnelles et imprévisibles faisant que son client ou sa famille ne pouvaient plus le rémunérer. A._ a recouru contre ce prononcé auprès du Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 24 juin 2008. Considérant qu'il n'existait aucune raison objective de relever le défenseur d'office X._ de sa mission, le Tribunal cantonal a reproché à Me Y._ d'avoir fait relever le prénommé "en se prétendant consulté comme avocat de choix avant, quelques semaines plus tard, de vouloir être désigné d'office". Ce procédé reviendrait à permettre au prévenu de choisir son défenseur d'office. C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour qu'il désigne Me Y._ en qualité de défenseur d'office et qu'il statue sur sa requête d'assistance judiciaire. Il requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal et le Tribunal d'arrondissement ont renoncé à se déterminer.