Faits: A. A.a X._, née le 9 avril 1953, est locataire depuis le 26 avril 1984 d'un appartement de quatre pièces avec cave et jardin, dont la surface est de 70 m2, qui se trouve au rez-de-chaussée de l'immeuble sis rue ..., à Genève; depuis sa première échéance du 30 juin 1985, le bail s'est renouvelé tacitement de six mois en six mois, le préavis de résiliation étant de trois mois. Le loyer a été fixé en dernier lieu le 26 août 1992 à 1'315 fr. par mois, plus 150 fr. de charges mensuelles, sur la base d'un taux hypothécaire de 7%. X._ occupe seule ce logement. Elle souffre de déficience cardiaque, ce qui réduit notamment sa mobilité, ainsi que d'un état dépressif récurrent, pour lequel elle consulte un psychiatre une fois par semaine depuis un an. Hormis les visites fréquentes de sa fille, elle a peu de vie sociale. D'après cette dernière, son jardin représente « son dernier plaisir dans la vie ». Après avoir épuisé ses indemnités de chômage, elle perçoit de l'Hospice général de Genève le revenu minimum cantonal d'aide sociale (RMCAS), soit 2'260 fr. 40 par mois en 2007, somme augmentée à 2'399 fr. par mois depuis le 1er février 2009. Elle a sollicité en novembre 2008 des prestations de l'assurance-invalidité. On ignore ce qui est advenu de cette requête. A.b Y._ SA (ci-après: Y._), dont le siège est à ... (Vaud), est une société active dans l'achat, la vente, la promotion et la gérance de tous biens mobiliers et immobiliers; A.Z._ en est l'actionnaire unique, V._ étant administratrice. Le 1er avril 2004, Y._ est devenue propriétaire de l'immeuble situé à la rue ..., de sorte que le bail conclu avec X._ a été transféré à ladite société en application de l'art. 261 al. 1 CO. En 2005, la bailleresse a envisagé de remplacer certaines fenêtres de l'appartement loué par X._, mais y a renoncé à la demande de celle-ci. En 2007, la locataire s'est ravisée, sollicitant finalement la pose de doubles vitrages dans son appartement. Sur la base du constat d'un technicien, Y._ a avisé la locataire que le remplacement des fenêtres ne se justifiait pas, mais qu'il convenait de contrôler les joints. Le 17 août 2007, lors d'un entretien téléphonique, un différend a opposé X._ à l'administratrice de la société propriétaire à propos du remboursement de frais générés par le paiement du loyer, lesquels représentaient 31 fr.80 pour la période 2006-2007. Par avis du 12 septembre 2007, Y._ a résilié le bail de X._ pour le 30 juin 2008. Requise de motiver le congé, la bailleresse a exposé que l'actionnaire de la société propriétaire destinait l'appartement à son fils B.Z._, né le 17 novembre 1987, qui venait de commencer ses études à l'Université de Genève et devait débuter un travail à temps partiel dans cette ville. B. B.a X._ a contesté le congé par requête du 2 octobre 2007. Par décision du 11 avril 2008, la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève a annulé la résiliation, qu'elle a qualifiée de congé de représailles. Y._ a porté l'affaire devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève le 14 mai 2008, requérant la constatation de la validité du congé et l'évacuation de la locataire. Dans sa réponse, celle-ci a conclu à l'annulation du congé et à l'irrecevabilité de la requête en évacuation, subsidiairement à une prolongation du bail de quatre ans accompagnée d'une réduction de loyer de 29% en raison de la baisse du taux hypothécaire depuis la dernière fixation du loyer en 1992. Entre juillet et début septembre 2008, la bailleresse a proposé deux appartements à X._ dans l'immeuble de la rue .... Celle-ci a refusé le premier en raison de son état (traces au plafond, divers trous dans les sanitaires) et le second en raison du loyer demandé, à savoir 1'500 fr. par mois plus 150 fr. de charges mensuelles, du moment que la participation au paiement du loyer qu'elle perçoit du RMCAS, par 1'300 fr., atteint le plafond pour une personne seule et que ses revenus ne lui permettent pas d'acquitter la différence avec le loyer actuel. Entendu lors des enquêtes, B.Z._ a exposé qu'il partageait actuellement son temps entre Nyon, domicile de son père A.Z._, dont la maison dispose d'un jardin de plus de 300 m2, et Thonon (France), domicile des parents de son amie. Etudiant en sciences économiques à Genève et travaillant à temps partiel dans un café genevois propriété de Y._, il souhaite s'installer dans cette ville avec son amie, ainsi qu'avec son chien Babou, de la race « Berger de Maremme ». Il a expliqué n'être pas intéressé par les autres appartements de l'immeuble, car il est primordial, pour le confort de son chien, animal d'une certaine taille que son amie apprécie beaucoup, de pouvoir disposer d'un logement avec jardin. Par jugement du 27 avril 2009, le Tribunal des baux et loyers a annulé le congé, qui consacrait selon cette autorité une disproportion évidente des intérêts en présence. Il a jugé que le besoin de la bailleresse était relatif, dès l'instant où le fils de son actionnaire principal avait choisi ce logement uniquement en raison de l'existence d'un jardin nécessaire au confort de son chien, alors que la garde de cet animal est la plupart du temps confiée à A.Z._, qui dispose d'une demeure avec un grand jardin. Le tribunal a ainsi privilégié l'intérêt de la locataire, de santé fragile et socialement précarisée, à garder son logement. B.b Saisie d'un appel de Y._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève, par arrêt du 19 avril 2010, a annulé ce jugement et, statuant à nouveau, déclaré valable le congé notifié par la bailleresse pour le 30 juin 2008, octroyé à la locataire une unique prolongation de bail échéant le 30 juin 2011, fixé le loyer annuel à 12'246 fr., charges non comprises, pendant la durée de la prolongation et condamné la bailleresse à rembourser à la locataire le trop-perçu de loyer depuis le 1er juillet 2008. En substance, la cour cantonale s'est déclarée convaincue de la véracité du motif invoqué pour justifier le congé litigieux, qui est le besoin du fils de l'actionnaire unique de la bailleresse de disposer de son propre logement à Genève, où il travaille et étudie, pour vivre avec son amie et accueillir son chien. Elle a admis qu'il n'était pas contraire à la bonne foi que le propriétaire économique de la société propriétaire entende mettre un des appartements de celle-ci à la disposition de son fils. Selon elle, le respect du principe de la dualité juridique ne commande pas une solution différente, car contrairement aux hypothèses envisagées aux art. 271a al. 3 let. a, 272 al. 2 let. d ou 261 al. 2 let. a CO, il n'est pas question dans le cas d'espèce du besoin urgent du bailleur d'utiliser les locaux pour lui-même ou ses proches. Est seule décisive la question de savoir si l'intérêt invoqué existe et mérite protection. Or le besoin mis en avant ne saurait être considéré comme minime, de sorte que le congé est valable. Examinant les conclusions en prolongation de bail, les magistrats genevois ont procédé à une balance de l'ensemble des intérêts pertinents de l'affaire et reconnu que la situation difficile de la locataire était clairement prédominante, ce qui autorisait l'octroi d'une prolongation de bail de trois ans. Appréciant la demande de baisse de loyer pendant la durée de la prolongation d'après la méthode relative, la Chambre d'appel a retenu, sur la base d'une baisse du taux hypothécaire de 7% en 1992 à 3% en octobre 2007 et de la prise en compte de la hausse de l'indice des prix à la consommation survenue dans la même période, répercutée à raison de 40%, que le loyer devait être réduit de 22,4 %, ce qui le ramenait à 12'246 fr. par an, sans les charges, entre le 30 juin 2008 et le 30 juin 2011, la bailleresse devant restituer à la locataire les montants encaissés en trop. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Elle conclut principalement à l'annulation du congé donné le 12 septembre 2007. Subsidiairement, elle requiert qu'il lui soit octroyé une première prolongation de bail de trois ans échéant le 30 juin 2011 et que le loyer durant la prolongation soit celui arrêté par la cour cantonale, la bailleresse devant lui rembourser le trop-perçu de loyer correspondant. Plus subsidiairement, elle sollicite une unique prolongation de bail de quatre ans venant à échéance le 30 juin 2012, le loyer pendant toute la durée de la prolongation étant celui fixé par la Chambre d'appel et la bailleresse devant rembourser ce qu'elle a touché sans droit. Par ordonnance du 12 juillet 2010, la Ire Cour de droit civil a fait droit à la requête d'assistance judiciaire de la recourante et lui a désigné Me Pierre Stastny comme avocat d'office. L'intimée propose le rejet du recours.