Faits: A. A._ est chef de service auprès de X._. A ce titre, il était assuré pour la prévoyance professionnelle par la Caisse de pensions de la ville de Neuchâtel (CPVN). Son divorce a été prononcé en 1998; sur injonction du tribunal civil du district de Neuchâtel, la CPVN a transféré la somme de 33'880 fr. à l'institution de prévoyance de l'ex-épouse pour satisfaire au principe du partage des prestations de sortie acquises durant le mariage. Le transfert a été effectué mais n'a jamais été enregistré sur le compte de l'intéressé; la CPVN en a informé A._ le 21 juillet 2009 et lui a transmis une fiche de prévoyance corrigée. L'assuré a exprimé sa volonté de racheter les années d'assurance perdues aux conditions de 1998. La CPVN a accédé à la demande le 24 décembre 2009 et a proposé à l'intéressé de racheter avant le 31 décembre 2009 les trois ans et un mois d'assurance perdus pour le montant de 43'674 fr. 50 au lieu d'un montant de 77'892 fr. 85 calculé aux coûts de 2009. Invoquant un temps de réflexion indispensable ainsi que l'impossibilité de réunir l'argent dans le bref délai imparti, A._ a annoncé à la CPVN le 30 décembre 1999 qu'il lui donnerait définitivement réponse avant la fin du mois de janvier 2010. L'assuré s'est enquis le 12 juillet 2010 de savoir si la proposition tenait toujours. La Caisse de pensions de la fonction publique du canton de Neuchâtel (ci-après: la caisse), qui a repris la CPVN à partir du 1er janvier 2010, a répondu par la négative le 17 décembre 2010 et s'en est expliquée. B. L'intéressé a ouvert action contre la caisse devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en date du 7 avril 2011. Au terme de deux échanges d'écritures, il a finalement conclu à ce que le montant du rachat soit fixé à 33'880 fr., à ce que les intérêts dont aurait profité l'avoir de vieillesse depuis le jour du divorce soient assumés par l'institution de prévoyance et à ce qu'il soit constaté qu'il était disposé à verser le montant en question dans les quatorze jours suivant le prononcé de la décision. La caisse a conclu au rejet de la demande. La juridiction cantonale a admis la demande de A._ dans le sens des considérants. Elle a renvoyé la cause à l'institution de prévoyance pour qu'elle fixe le montant du rachat et des intérêts compensatoires jusqu'au 31 décembre 2009, de manière à ce que l'assuré soit replacé dans la même situation que s'il avait procédé sans délai au rachat de la prestation de sortie transférée dans le cadre de son divorce. Elle a également pris acte du fait que l'assuré s'engageait à s'acquitter du montant du rachat et des intérêts (jugement du 17 juin 2013). Elle a estimé qu'une juste application du principe de la bonne foi contraignait la caisse à octroyer à l'intéressé la possibilité de reconstituer son avoir de vieillesse par un rachat opéré aux conditions existant à l'époque du transfert d'une partie de sa prestation de sortie, comme le lui avait proposé la CPVN le 24 décembre 2009. C. L'institution de prévoyance recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation pure et simple, sous suite de frais. Elle conclut accessoirement au renvoi du dossier au tribunal cantonal pour nouveau jugement au sens des considérants. A._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, et l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.