Faits: A. A la suite des recours déposés par X._ SA contre deux décisions sur opposition du Chimiste cantonal du canton de Neuchâtel interdisant la commercialisation de certains produits importés par la Société, le Conseiller d'Etat, Chef du Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseiller d'Etat) a rendu une décision le 17 août 2012. Il était indiqué, en fin de décision, que celle-ci pouvait " faire l'objet d'un recours, dans les 30 jours à compter de sa notification [...] auprès du Tribunal cantonal ". La décision a été notifiée à l'intéressée le 21 août 2012. Le 20 septembre 2012, X._ SA a interjeté contre cette décision un recours auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). B. Par arrêt du 18 juin 2013, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté. Il a retenu en substance que le délai pour recourir devant lui était de dix jours et non de trente jours comme indiqué de manière inexacte par le Conseiller d'Etat. Au demeurant, dûment représentée par un mandataire professionnel, la Société ne pouvait se réclamer du droit à la protection de la bonne foi, car la simple lecture de la loi lui aurait permis de déceler l'inexactitude du renseignement donné. C. A l'encontre de cet arrêt, X._ SA forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. La Société conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision. A l'appui de ses conclusions, elle invoque la violation de son droit d'être entendue ainsi que la protection de la bonne foi. Le Tribunal cantonal renonce à formuler des observations et se réfère aux considérants de son arrêt. Le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et des finances du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service juridique) conclut à l'admission du recours.