Faits: A. A.a S._, née en 1969, sans formation professionnelle, a exercé l'activité de vendeuse. Le 19 mars 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 19 mai 2003, le docteur P._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, sans syndrome somatique ([CIM-10] F33.10), d'état de stress post-traumatique chronique (F43.1) et de personnalité émotionnellement labile, type borderline (F60.31). Il indiquait que la patiente avait présenté une incapacité de travail de 100 % dès le 22 juin 2002. A partir du 8 septembre 2003, l'assurée a bénéficié d'une mesure de reclassement sous la forme d'une initiation au travail dans le domaine de la vente et de la gestion de marchandises, mesure qui a été prolongée jusqu'au 7 mars 2004. Dans un rapport du 3 mai 2004, le docteur P._ a relevé que l'état de santé de la patiente s'était amélioré, que le status psychique n'avait pas beaucoup changé et qu'un emploi à 50 % était raisonnablement exigible de sa part, avec une diminution de rendement de 10 - 20 %. Dans un prononcé du 18 juin 2004, l'Office AI Berne a conclu à une invalidité de 50 % depuis le 1er juin 2003, date à partir de laquelle il a alloué à S._ une demi-rente d'invalidité (décision du 16 septembre 2004). A.b Dès juillet 2006, l'office AI a procédé à la révision du droit de S._ à une demi-rente d'invalidité. Sur proposition de son Service médical régional (rapport SMR du 11 janvier 2007), il a confié une expertise au docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 31 juillet 2007, ce médecin, écartant l'existence d'un stress post-traumatique, a posé les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de trouble de l'adaptation, réaction dépressive prolongée ([CIM-10] F43.21), et de polytoxicomanie (F19): syndrome de dépendance d'alcool, utilisation épisodique; utilisation nocive pour la santé de cannabis (F12); status après utilisation nocive pour la santé de cocaïne et héroïne (F14.1). Il concluait que l'assurée était du point de vue psychiatrique capable de travailler à 100 %. Par lettre du 21 décembre 2007, l'office AI a invité S._ à consulter son médecin traitant, afin de se soumettre à une thérapie de sevrage. Sans nouvelles de sa part, il lui a communiqué le 14 février 2008 un préavis de suppression de son droit à une demi-rente d'invalidité, au motif qu'elle avait manqué à son obligation de coopérer. Le 4 mars 2008, celle-ci a fait part à l'office AI de ses observations. Le 10 mars 2008, le docteur P._ a nié qu'il y ait "actuellement" dépendance à des boissons alcoolisées. Par lettre du 18 mars 2008, l'office AI, admettant l'objection de l'assurée, l'a informée que la décision prévoyant la suppression de son droit à la rente était "suspendue" et que la procédure de révision suivait son cours. Le docteur P._, dans un rapport du 20 août 2008, a relevé que la légère amélioration de l'état de santé décrite dans son dernier rapport n'était plus présente, mais que dans l'ensemble les symptômes étaient restés les mêmes. A cause du manque d'aide extérieure et de son état très instable, la patiente ne venait pas régulièrement aux consultations, dont la dernière remontait au 16 juin 2008. Dans un rapport médical SMR du 12 septembre 2008, la doctoresse K._, spécialiste en médecine générale, a posé le diagnostic (avec répercussions sur la capacité de travail) de trouble de l'adaptation, réaction dépressive prolongée. Elle indiquait que le rapport du docteur P._ du 20 août 2008 ne révélait pas de nouveaux aspects par rapport à l'expertise du docteur A._ du 31 juillet 2007, dont il y avait lieu de suivre les conclusions en ce sens que l'assurée ne présentait plus d'incapacité de travail. Dans un préavis du 18 septembre 2008, l'office AI a informé S._ qu'elle ne présentait plus d'incapacité de travail depuis fin juillet 2007 au moins ni aucune invalidité, de sorte que les conditions du droit à la rente n'étaient plus remplies. Celle-ci, produisant une appréciation du docteur P._ du 27 octobre 2008, a fait part à l'office AI de ses observations datées du 16 octobre 2008, complétées le 25 novembre 2008. Les motifs pour lesquels l'assurée contestait que son état de santé se soit amélioré ont été réfutés par la doctoresse K._ dans une prise de position du 1er décembre 2008 et par décision de l'office AI du 4 décembre 2008 supprimant son droit à une rente d'invalidité avec effet à compter de la fin du mois suivant la date de la décision. B. Le 19 janvier 2009, S._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Berne, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. Par jugement du 14 septembre 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à celle de la décision de suppression du droit à la rente du 4 décembre 2008. Produisant copie d'une prise de position du docteur P._ du 12 octobre 2009, elle demande que le Tribunal fédéral constate qu'elle continue à avoir droit au moins à une demi-rente d'invalidité et fixe son droit aux prestations, à titre subsidiaire que le dossier soit renvoyé à l'office AI pour instruction complémentaire, expertise médicale et nouvelle décision au sens des considérants. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office AI Berne conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.