Faits: A. S._ est assuré auprès de la KPT Caisse-maladie SA (ci-après: la caisse) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, ainsi qu'à titre complémentaire. Souffrant de troubles psychiques sévères, il a été hospitalisé du 28 octobre au 4 novembre 2008 à la Clinique X._. A la suite de cette hospitalisation, A._, mère de l'assuré a sollicité de la caisse la prise en charge, par le biais de l'assurance obligatoire des soins et, le cas échéant, des assurances complémentaires, des frais de transport auxquels elle avait dû faire face entre le 28 octobre et le 4 novembre 2008. Elle a expliqué qu'elle avait dû conduire son fils à la clinique depuis leur lieu de séjour à Y._, qu'elle s'était rendue quotidiennement à son chevet depuis son domicile de Z._ et qu'elle avait encore effectué le trajet aller-retour entre son domicile et la clinique pour aller rechercher son fils, avant de le reconduire à Y._. Il s'en est suivi un important échange de correspondance entre A._ et la caisse. Finalement, la caisse a, par décision du 3 mars 2010, confirmée sur opposition le 14 juillet suivant, refusé la prise en charge des frais de transport de l'assuré, au motif qu'il avait pu utiliser un moyen de transport privé, soit le véhicule de sa mère, et n'avait pas été contraint de recourir à une entreprise de transport. Quant aux trajets que A._ avait effectués seule, ils n'étaient pas pris en charge par l'assurance obligatoire des soins. B. B.a Le 14 septembre 2010, l'assuré, représenté par sa mère, a déféré cette décision auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant, d'une part, à ce que la caisse soit condamnée à lui rembourser le 50 % des frais encourus par sa mère pour son transport à et de la Clinique X._ et, d'autre part, à ce que la cause soit renvoyée à la caisse pour qu'elle se détermine sur les autres frais de déplacement encourus par sa mère pour se rendre à la clinique. Par jugement du 24 août 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours formé par l'assuré. B.b Le 20 février 2011, l'assuré, toujours représenté par sa mère, a déposé auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice une demande contre la caisse tendant, entre autres conclusions, à la prise en charge par ses assurances complémentaires, de l'ensemble des frais de déplacement encourus par sa mère entre le 28 octobre et le 4 novembre 2008. Par jugement du 24 août 2011, confirmé par arrêt du Tribunal fédéral du 13 février 2012 (cause 4A_609/2011), la juridiction cantonale a entièrement rejeté la demande de l'assuré C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement rendu le 24 août 2011 par la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en concluant à la prise en charge, au titre de l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, de 50 % des frais de transport (aller et retour) engendrés par son hospitalisation à la Clinique X._. La caisse conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. S._ a présenté des contre-observations.