Faits: A. B._ et C._ sont les enfants de A._. Une mise sous curatelle au sens de l'art. 308 CC a été prononcée le 21 janvier 2005 pour B._ et le 26 mai 2008 pour C._. Le 21 février 2005, l'autorité tutélaire a ratifié le placement de la mère et de son fils intervenu le 22 novembre 2004 au Foyer X._. La mère rencontrant d'importants problèmes de santé psychique l'empêchant par moment de s'occuper de son fils, celui-ci a été par la suite partiellement intégré dans un groupe dudit foyer dès le 13 juin 2005. Quelques semaines après la naissance de C._, les enfants ont été placés partiellement dans ce même foyer. A la suite de l'hospitalisation non volontaire de la mère à la Maison de santé de Préfargier, le 14 septembre 2009, peu après la perte de son emploi, les enfants ont été accueillis par le Groupe d'accueil et d'urgence Z._. Par décision du 16 avril 2010, l'autorité tutélaire a ratifié le placement des enfants au foyer précité, avec effet au 26 octobre 2009. Elle se basait sur un rapport du Dr F._, qui suivait régulièrement la mère, et sur un rapport du 11 février 2010 de la curatrice des enfants. Par la suite, la mère a exercé son droit aux relations personnelles de manière fluctuante, en fonction de sa situation personnelle. La collaboration s'est ultérieurement détériorée entre la mère et les professionnels concernés si bien que celle-ci a requis la désignation d'un nouveau curateur et émis des plaintes contre le foyer. Par décision du 25 janvier 2012, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: APEA) a confirmé la curatrice dans ses fonctions et dit qu'il serait statué ultérieurement sur la suite à donner au placement des enfants. Dans une expertise psychiatrique du 17 février 2012, la Dresse G._ a précisé qu'elle ne pouvait pas répondre à toutes les questions posées au motif que la collaboration de la mère avait été insuffisante, et qu'elle ne l'avait pas autorisée à rencontrer les enfants. Elle a diagnostiqué un trouble mixte de la personnalité et en a déduit que la mère ne pouvait accueillir ses enfants que quand elle allait bien. Vu la fluctuation de son état psychique, la mère ne représentait pas un modèle sécurisant pour eux et ses capacités éducatives n'étaient pas suffisantes. La psychiatre proposait le placement des enfants dans une famille d'accueil pour un essai de six mois. Par décision du 16 mars 2012, l'APEA a suspendu le droit de visite de la mère jusqu'à ce qu'il puisse s'exercer dans un Point rencontre, les enfants étant en crise et en souffrance. Dans un rapport du 1er juin 2012, la curatrice a indiqué avoir effectué des démarches auprès du Service de l'enfant et de la jeunesse du canton de Fribourg. Une famille d'accueil professionnelle lui avait été proposée. Outre la ratification du placement au sens de l'art. 310 CC, elle préconisait d'instituer un mandat de tutelle à l'égard des deux enfants. B. Par décision rendue par voie de circulation le 3 octobre 2012, l'APEA a confirmé le retrait du droit de garde de la mère sur ses enfants, modifié le lieu de placement du Foyer X._ au domicile de la famille D._, à E._ (FR), dès l'entrée en force de la décision, enfin, dit que les coordonnées de la famille d'accueil seraient communiquées à la mère par la tutrice lorsque la décision serait entrée en force et que le placement interviendrait. Elle a par ailleurs maintenu la curatelle au sens de l'art. 308 al. 1 CC et approuvé les rapports de la curatrice, qui a été confirmée dans ses fonctions. La mère a fait appel de cette décision. Par arrêt du 21 novembre 2012, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté le grief de l'appelante relatif à la violation de son droit d'être entendue mais a annulé les chiffres 1 à 3 de la décision du 3 octobre 2012, l'enfant B._ n'ayant pas été entendu. Après avoir procédé à l'audition de ce dernier le 28 novembre 2012, l'APEA, par décision du 3 décembre 2012, a confirmé le retrait du droit de garde de la mère sur ses enfants, modifié le lieu de placement du Foyer X._ au domicile de la famille D._ à E._ dès l'entrée en force, enfin, dit que les coordonnées de la famille d'accueil seraient communiquées par la tutrice à la mère lorsque la décision serait entrée en force et que le placement interviendrait. La mère a derechef fait appel de cette décision. Elle a notamment déposé un certificat médical de son médecin généraliste, la Dresse H._, dans le but de démontrer qu'elle est parfaitement capable de s'occuper de ses enfants. Dans ses observations, l'Office de protection de l'enfant a estimé que le placement dans une famille d'accueil, loin de représenter un arrêt de la relation entre la mère et les enfants, permettrait à ceux-ci d'évoluer au quotidien dans un environnement familial, tout en entretenant des contacts avec leurs parents. Par arrêt du 15 février 2013, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a rejeté l'appel. C. Par acte du 20 mars 2013, la mère exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 15 février 2013. Elle conclut à l'annulation de la décision entreprise et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises.