Faits: A. Anciennement domiciliée dans le canton de Neuchâtel, A._ a fait l'objet de plusieurs avertissements et retraits de permis pour excès de vitesse entre 1994 et 2005. En 2006, dans le cadre d'une instruction visant trois infractions commises au moyen d'un véhicule appartenant à l'une de ses sociétés, la prénommée a nié être la conductrice dudit véhicule et indiqué être domiciliée à Ibiza. Les procédures ouvertes pour ces dernières infractions ont été classées. Lors d'une nouvelle infraction commise en 2007 - sanctionnée d'un retrait de permis pour une durée d'un mois - A._ a signalé qu'elle avait perdu son permis. Un duplicata lui a alors été remis, remplacé ensuite par un nouveau permis de conduire. Le 9 mars 2009, A._ a signalé au Service cantonal des automobiles et de la navigation du canton de Neuchâtel (ci-après: le SCAN) qu'elle s'était fait voler son permis de conduire et elle a sollicité la délivrance d'un nouveau permis. Par courrier du 7 avril 2009, le SCAN lui a répondu qu'il ne pouvait pas accéder à cette requête, dès lors qu'il avait constaté qu'elle n'avait plus de domicile en Suisse depuis le 31 août 2001. Le fichier des habitants du canton de Neuchâtel mentionnait en effet un départ pour une "commune hors de Suisse", en Espagne, à partir de cette date. Il ne pouvait dès lors lui être délivré qu'une attestation de détention d'un permis de conduire suisse, ce qui avait été fait. Après plusieurs échanges de correspondances infructueux, A._ a formellement requis la délivrance d'un duplicata de permis de conduire, en alléguant notamment qu'elle ne s'était pas créé de nouveau domicile depuis 2001, ni en Suisse ni à l'étranger. Par décision du 9 juin 2009, la commission administrative du SCAN a rejeté cette requête. B. A._ a recouru contre cette décision auprès du Département cantonal de la gestion du territoire, qui a rejeté le recours par décision du 18 août 2009. L'intéressée a contesté cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par arrêt du 24 septembre 2010. En substance, cette autorité a considéré que A._ ne remplissait aucune des conditions posées par l'art. 5a de l'ordonnance fédérale réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière (OAC; RS 741.51), qui prévoit que le permis n'est délivré qu'aux personnes qui résident en Suisse, y séjournent ou qui désirent conduire à titre professionnel des véhicules immatriculés en Suisse. De plus, les autorités cantonales n'étaient pas compétentes pour délivrer un nouveau permis de conduire ou un duplicata, tant au regard de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; RS 741.01) que de la Convention internationale sur la circulation routière du 8 novembre 1968 (dite convention de Vienne). Enfin, dans la mesure où ni le canton de Neuchâtel ni la Suisse ne sont les lieux où A._ séjourne le plus fréquemment, seule une attestation au sens de l'art. 24f al. 2 OAC pouvait lui être délivrée. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de dire qu'elle a "le droit d'obtenir un nouveau permis de conduire, à défaut un duplicatum de celui-ci, et dire que l'autorité cantonale compétente doit le lui délivrer", et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Elle se plaint d'un établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF et elle invoque l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ainsi que la violation de l'art. 22 LCR et des art. 5a et 24f OAC. Le Tribunal administratif, le Département cantonal de la gestion du territoire et l'Office fédéral des routes ont renoncé à présenter des observations, en concluant néanmoins au rejet du recours. Au terme de ses observations, le SCAN conclut également au rejet du recours.