Faits: A. M._, née A._, (aujourd'hui: B._) et F._ se sont mariés en 1998. Par jugement du 26 avril 2011, devenu exécutoire le 4 mai suivant, le Tribunal de première instance de la République et canton de Genève a prononcé le divorce des époux. Sous chiffre 4 du dispositif, il a ordonné le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés durant le mariage et renvoyé la cause au Tribunal cantonal des assurances pour qu'il détermine le montant de ceux-ci et procède au partage effectif. B. Par jugement du 3 octobre 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a condamné la Fondation Z._ à transférer du compte de libre passage de F._ la somme de 13'735 fr. 35 à la Fondation de libre passage Y._ (ci-après: la fondation Y._), en faveur du compte de libre passage de M._, et à verser des intérêts compensatoires sur ce montant pour la période courant entre le 4 mai 2011 et le moment du transfert. Elle a notamment tenu compte, au titre des avoirs de prévoyance de F._, d'une prestation de libre passage (acquise pendant le mariage) détenue par la Caisse de pension X._. C. B._ interjette un recours contre ce jugement dont elle demande la modification en ce sens que le partage des avoirs tienne compte, en ce qui la concerne, d'une prestation de prévoyance acquise pendant le mariage d'un montant de 3'693 fr. Elle assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire limitée à la dispense du paiement des frais judiciaires. F._, la Fondation Z._, la Caisse de pension X._, la Fondation Y._ et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.