Faits: A. T._, né en 1966, a travaillé en qualité de maçon (chef d'équipe). En arrêt de travail depuis le 25 mars 2008, il a présenté une demande de prestations de l'AI le 26 septembre 2008. Selon un projet d'acceptation de rente du 8 février 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) envisageait de le mettre au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité, fondée sur une perte de gain de 51 %. L'administration retenait en particulier une incapacité de travail totale dans l'activité habituelle, ainsi qu'une capacité résiduelle de travail de 65 % dans un emploi adapté. L'assuré a manifesté son opposition par lettre du 23 février 2010 dans laquelle il a également requis l'assistance gratuite d'un conseil juridique. Par décision du 19 mai 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a refusé de lui attribuer un avocat d'office. B. T._ a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud qui l'a débouté par jugement du 22 septembre 2010. C. T._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande l'annulation ainsi que celle de la décision du 19 mai 2010, en concluant à ce que l'assistance juridique lui soit accordée pour la procédure administrative. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Le recourant précise que l'office intimé lui a alloué une demi-rente d'invalidité, par décision du 7 juillet 2010, contre laquelle il a formé recours auprès du tribunal cantonal.