Faits: A. Les produits d'assurance élaborés par Z._ SA sont placés auprès de la clientèle par des collaborateurs de la compagnie ou, principalement, de ses agents généraux. La compagnie pourvoit à la formation de ce personnel. La formation comprend des cours donnés par un formateur selon un programme détaillé fixé par la direction, en alternance avec des stages auprès des agences. Dès le 1er septembre 2007, X._ est entré au service de la compagnie en qualité de formateur, en contrepartie d'un salaire mensuel brut fixé à 8'450 fr., payable treize fois par an, et d'une indemnité mensuelle au montant de 150 francs. L'employeuse l'a licencié le 12 janvier 2009 avec effet au 30 avril suivant et elle l'a libéré de l'obligation de travailler. X._ s'est opposé à son congé qu'il tenait pour abusif. B. Le 2 juin 2009, X._ a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. La défenderesse devait être condamnée à payer 54'925 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif et 8'738 fr.05 à titre d'indemnité de vacances, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er mai 2009; elle devait également être condamnée à remettre un certificat de travail. La défenderesse a conclu au rejet de l'action; par demande reconventionnelle, elle a réclamé le paiement de 5'000 fr. avec intérêts dès le 3 septembre 2009. Le demandeur a conclu au rejet de l'action reconventionnelle. Après audition de divers témoins, le tribunal s'est prononcé le 6 février 2012; il a rejeté l'action principale et l'action reconventionnelle. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 23 octobre 2012 sur l'appel du demandeur; elle a rejeté l'appel et confirmé le jugement. La Cour a également rejeté une requête d'assistance judiciaire jointe à l'appel. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer 36'615 fr.65 à titre d'indemnité pour licenciement abusif, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er mai 2009. L'arrêt doit également être réformé en ce sens que la demande d'assistance judiciaire jointe à l'appel soit admise. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours. La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.