Faits: A. B._, né en 1952, a travaillé en qualité d'employé d'imprimerie. Il a interrompu son activité le 16 septembre 1999 pour cause de maladie et s'est annoncé le 4 juillet 2000 à l'assurance-invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a recueilli plusieurs avis médicaux. Au nombre de ceux-ci, il convient de mentionner celui du docteur U._, rhumatologue auprès de la Clinique X._, qui a posé le diagnostic de trouble somatoforme douloureux persistant et de tendinite d'Achille gauche chronique. Selon ce médecin, les plaintes douloureuses ne comportent pas d'élément spécifique; par ailleurs, les facteurs limitant la capacité de travail sont de nature subjectives et non mesurables (rapport du 28 juin 2002). De son côté, le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie auprès de la Clinique X._, a diagnostiqué un syndrome douloureux somatoforme persistant, un trouble anxieux et dépressif non spécifié, ainsi qu'un trouble de la personnalité non spécifié. A son avis, ces facteurs ne justifient au plus qu'une incapacité de travail de 25 %, quelle que soit la profession exercée (rapport du 20 août 2002). Par décision du 24 mars 2003, confirmée sur opposition le 12 novembre 2003, l'office AI a rejeté la demande au motif que le taux d'invalidité était inférieur à 40 %. L'administration avait retenu une capacité de travail résiduelle de 75 % au moins dans son activité d'imprimeur offset ainsi que dans une activité adaptée. Cette décision a été annulée par le Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui par jugement du 28 juin 2004 a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il procède à une nouvelle évaluation psychiatrique du cas. Sur le plan physique, les juges cantonaux se sont ralliés à l'avis du docteur U._, admettant que l'assuré ne présentait aucune incapacité de travail (consid. 6b p. 15 du jugement du 28 juin 2004). Dans le cadre de ce complément d'instruction, l'office AI a recueilli l'avis du docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 21 octobre 2005). Considérant que ce rapport n'était pas convaincant, l'office AI a mandaté le docteur O._, également spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin n'a retenu aucun diagnostic psychiatrique; il a attesté qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail ni de diminution de rendement sur le plan psychiatrique (rapport du 31 juillet 2007). Par décision du 11 mars 2008, l'office AI a rejeté la demande de prestations. B. B._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1er octobre 2000. A l'appui de ses conclusions, le recourant a produit un rapport du docteur L._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 27 février 2008). D'après ce médecin, l'assuré présente un syndrome douloureux persistant (depuis 1999), un trouble dépressif récurrent, en rémission sous traitement (depuis 2000), ainsi qu'une accentuation de certains traits de personnalité (depuis l'adolescence); à son avis, l'assuré n'a plus de capacité de travail exploitable de manière lucrative. Par jugement du 23 juin 2009, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1er octobre 2000, subsidiairement au renvoi de la cause pour instruction complémentaire. Par lettre du 1er décembre 2009, le recourant a sollicité la suspension de la procédure dans l'attente d'examens médicaux susceptibles de l'amener à retirer son recours. Le 29 septembre 2010, il a requis la reprise de l'instruction et a déposé, le 18 octobre 2010, un rapport du docteur G._ (du 29 septembre 2010). Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures.