Faits: A. A.a. Mme A.X._, née en 1970, et M. B.X._, né en 1967, se sont mariés à Chêne-Bougeries (GE) le 18 août 1994, sous le régime de la séparation de biens. Le couple a quatre enfants: C._, devenu majeur en 2010, D._, né en 1995, ainsi que E._ et F._, nés en 2000. Les conjoints se sont séparés à la fin de l'année 2010. Depuis lors, M. B.X._ ne s'est acquitté d'aucune contribution d'entretien en faveur de sa famille. A.b. La situation financière des parties se résume ainsi: A.b.a. M. B.X._ est historien d'art de formation. Il exerce à plein temps une activité d'indépendant dans le domaine de la vente et de l'expertise d'oeuvres d'art. Son épouse critique essentiellement le montant du revenu qui lui est imputé, sans contester le montant de ses charges: Entre mai 2011 et décembre 2012, le revenu de M. B.X._ a été arrêté à 2'310 fr.; ses charges incompressibles ont quant à elles été fixées à 2'285 fr. (1'200 fr. [entretien de base OP] + 600 fr. [loyer] + 485 fr. [assurance-maladie] ). Dès janvier 2013, son revenu mensuel a été fixé à 4'500 fr. pour des charges incompressibles de 2'785 fr. A compter du mois de septembre 2013, le revenu de M. B.X._ a été porté à 8'000 fr., somme tenant compte de la mise en location de sa villa secondaire située à G._ (France), pour un loyer de 3'500 fr. Ses charges ont été arrêtées à 5'500 fr. A.b.b. Le revenu et les charges de Mme A.X._ ne sont pas critiqués. Celle-ci est employée à temps partiel auprès de la " Fondation H._ "; elle exerce en outre une fonction d'administratrice au sein de la société I._ SA. En 2011 et 2012, elle a réalisé, à ce double titre, un salaire mensuel net moyen de 4'427 fr. et 5'921 fr. 15. Depuis le 1er janvier 2013, son salaire mensuel net se chiffre à 4'900 fr., étant précisé que son activité au sein de la " Fondation H._ " a été augmentée à 80% et que ses honoraires d'administratrice auprès de la société I._ SA ont été drastiquement réduits. Les charges mensuelles de Mme A.X._ s'élèvent à 6'375 fr. entre le 1er janvier et le 31 août 2013, puis à 6'735 fr. à compter du 1er septembre 2013, compte tenu d'une charge fiscale de 360 fr. par mois. A.b.c. Aux dires des parties, durant les dernières années de la vie commune, l'entretien de la famille a été essentiellement assumé par l'épouse, au moyen d'une avance d'hoirie et de la réalisation de divers éléments de fortune. B. Le 4 mai 2012, Mme A.X._ a introduit une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Par jugement du 25 septembre 2012, la juridiction a notamment attribué la garde des enfants mineurs à l'épouse (ch. 2), aménagé un droit de visite en faveur du mari (ch. 3) et condamné celui-ci au versement d'une contribution à l'entretien de la famille de 2'500 fr. à compter du 1er mai 2011 (ch. 4), montant fondé sur un revenu hypothétique de 7'000 fr. Le 10 mai 2013, statuant sur appel de l'époux, la Cour de justice a annulé et réformé le ch. 4 précité et fixé la contribution d'entretien à 1'635 fr. par mois entre le 1er janvier 2013 et le 31 août 2013, puis à 2'300 fr. par mois à compter du 1er septembre 2013, les allocations familiales étant dues en sus, montant fondé sur un revenu hypothétique de 4'500 fr., puis 8'000 fr. C. C.a. Agissant le 13 juin 2013 par la voie du recours en matière civile, Mme A.X._ conclut à l'annulation de l'arrêt rendu par la Cour de justice et à la condamnation de son époux au versement d'une contribution à l'entretien de la famille de 2'300 fr. à compter du 1er mai 2011. A l'appui de ses conclusions, la recourante invoque l'arbitraire dans l'établissement des faits et dans l'application du droit fédéral. La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Appelés à se déterminer, la Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt tandis que l'intimé conclut à la confirmation de l'arrêt attaqué et au rejet de la requête d'assistance judiciaire. C.b. M. B.X._ a également interjeté un recours en matière civile le 14 juin 2013. Son recours a toutefois été déclaré irrecevable par arrêt du 20 août 2013, faute de paiement de l'avance de frais dans le délai imparti (5A_451/2013).