Faits: A. A._ était assurée du 1er janvier 1996 au 31 décembre 2003 auprès de SWICA Assurance-maladie (à l'époque SWICA Organisation de santé) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Présentant des séquelles physiques et psychiques d'une encéphalite herpétique, A._ a été admise le 30 janvier 2001 au Centre X._ puis, peu après, à l'institution Z._; ces deux établissements sont sis dans le canton de Genève. Selon l'intéressée, seul le personnel de ces institutions, spécialement formé et habitué à composer avec des personnes cérébrolésées, est à même d'exercer de manière optimale la surveillance et la prise en charge dont elle a besoin. Par décision du 29 avril 2002, la SWICA a refusé de rembourser les prestations fournies au Centre X._ et à l'institution Z._, au motif que ces établissements n'étaient pas des fournisseurs de prestations admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, que ce soit en qualité d'hôpital ou d'établissement médico-social. La prise en charge des soins prodigués par un autre fournisseur de prestations dûment reconnu demeurait cependant réservée. Le 14 août 2002, la SWICA a admis partiellement l'opposition formée par l'assurée. Elle a nié le droit de l'opposante à la prise en charge de ses frais au titre de soins dispensés en milieu hospitalier, dans un établissement médico-social ou par une organisation de soins et d'aide à domicile. En revanche, elle a décidé de procéder à un complément d'instruction sur le point de savoir si l'assurée avait reçu dans les établissements précités des soins prodigués par des infirmières et infirmiers sur prescription ou mandat médical (soins à domicile). Après s'être enquise de la nature et des modalités des soins dispensés à l'assurée, la SWICA a, par décision du 21 mai 2003, confirmée sur opposition le 31 juillet suivant, refusé d'intervenir au titre des soins à domicile pour les prestations fournies au Centre X._ et à l'institution Z._. Par jugement du 7 septembre 2004, le Tribunal administratif du canton de Genève a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision du 14 août 2002 et transmis celui formé contre la décision du 31 juillet 2003 au Tribunal cantonal des assurances sociales comme objet de sa compétence. Par arrêt du 21 mars 2006, le Tribunal fédéral des assurances a rejeté le recours formé par l'assurée à l'encontre du jugement rendu par le Tribunal administratif du canton de Genève (arrêt K 137/04 du 21 mars 2006). B. A._ est assurée depuis le 1er janvier 2004 auprès de Mutuel Assurances (à l'époque Mutuelle Valaisanne Caisse Maladie) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Par décision du 18 mars 2005, confirmée sur opposition le 28 juillet suivant, Mutuel Assurances a, pour les mêmes raisons que celles invoquées par la SWICA, refusé d'allouer ses prestations pour les soins fournis à l'institution Z._. L'assurée a formé recours auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales. C. Par jugements séparés du 8 septembre 2006, le Tribunal des assurances sociales a rejeté les recours de l'assurée formés contre la décision sur opposition du 31 juillet 2003 de la SWICA et la décision sur opposition du 28 juillet 2005 de Mutuel Assurances, en considérant notamment que les soins dispensés par le personnel de l'institution Z._ l'étaient sans mandat médical. D. A._ a interjeté un recours de droit administratif contre ces deux jugements et a conclu, sous suite de dépens, principalement, à l'octroi des prestations légales pour les soins (à domicile) dispensés par les collaborateurs des établissements dans lesquels elle a résidé ou réside, et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire. La SWICA a conclu au rejet du recours, tandis que Mutuel Assurances n'a pas déposé de prise de position. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé pour sa part à se déterminer.