Faits: A. En arrêt de travail depuis le 13 juillet 2007, H._, informaticien, a présenté une demande de prestations à l'assurance-invalidité le 21 février 2008, en raison d'un état de fatigue chronique. Chargés par l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) d'examiner l'assuré, les docteurs I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et E._, spécialiste en médecine interne, du Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI) ont conclu à l'absence de pathologie somatique ou psychique ayant des répercussions sur la capacité de travail; l'intéressé ne subissait aucune limitation fonctionnelle et était à même de poursuivre son activité habituelle à 100 % (expertise du 29 septembre 2008). Fort de ces conclusions, l'office AI a rejeté la demande de prestations par décision du 11 novembre 2008. B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, en concluant à la suspension de la procédure jusqu'à ce qu'il ait produit un rapport médical, ainsi qu'à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2008. Après que l'office AI s'est déterminé sur le recours, un délai au 24 février 2009 a été imparti à H._ pour répliquer et déposer le rapport médical annoncé. Le 23 février 2009, celui-ci a demandé un nouveau délai pour répondre, lequel lui a été accordé au 31 mars 2009. Requis par l'assuré de lui accorder un délai supplémentaire au 9 octobre 2009, le Tribunal a refusé la demande et clos l'échange d'écritures le 31 mars 2009. Statuant le 8 juin suivant, il a rejeté le recours. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, et, subsidiairement, par celle du recours constitutionnel subsidiaire, H._ demande l'annulation du jugement cantonal. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2008 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et examen du droit aux prestations. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.