Faits: Faits: A. A.a Lors d'un cours de répétition accompli en octobre 1988, P._, né en 1961, contracta une trachéo-bronchite, avec toux spastique. Depuis cette époque, il souffre d'un asthme bronchique, ainsi que d'une pathologie oto-rhino-laryngologique et respiratoire devenue chronique (en particulier de rhinite congestive et de pharyngite). Ces atteintes l'ont rendu à plusieurs reprises partiellement ou totalement inapte au travail. Son cas fut pris en charge par l'assurance militaire. Le 25 février 1999, il subit une conchotomie (cautérisation) des deux cornets nasaux moyen et inférieur avec méatotomie bilatérale visant à élargir le méat du sinus maxillaire des deux côtés. Le lendemain de cette opération, il se plaignit d'importantes douleurs au niveau des maxillaires supérieurs. En raison de la persistance de cette symptomatologie, il fut adressé, entre autres médecins, à trois spécialistes en oto-rhino-laryngologie (ORL), les docteurs M._, du service ORL et de chirurgie cervico-faciale du Centre hospitalier X._, W._, médecin à la Clinique Y._, et A._, médecin à U._. Se fondant notamment sur les avis de ces médecins, l'Office fédéral de l'assurance-militaire (ci-après : OFAM) avisa P._ que le syndrome douloureux n'était pas en relation avec l'affection ORL et qu'il serait mis fin au versement des indemnités journalières le 30 juin 2000 (lettre du 16 mai 2000). Par écriture du 31 mai 2000, l'assuré s'opposa à ce refus. L'OFAM versa au dossier, notamment, un nouvel avis du docteur M._, ainsi qu'une appréciation du docteur R._, médecin-chef du service d'anesthésiologie et antalgie de l'Hôpital Z._ (rapports des 13 et 20 novembre 2000). Par ailleurs, il confia deux expertises, l'une au docteur H._, spécialiste ORL à l'Hôpital V._ et l'autre au docteur T._, spécialiste en neurologie à la policlinique neurologique du même établissement hospitalier. P._ s'étant plaint dans l'intervalle d'un déni de justice au Département fédéral de l'intérieur pour obtenir la reprise du versement des indemnités journalières, l'OFAM se vit enjoindre par cette autorité, (le 13 décembre 2001) de statuer jusqu'au 31 janvier 2002 sur la demande de l'intéressé. Par décision du 30 janvier 2002, l'OFAM refusa derechef toute prestation, dès le 1er juillet 2000, au motif que le syndrome douloureux présenté par l'intéressé n'était pas en relation avec l'opération assurée. Il accorda par ailleurs l'assistance juridique gratuite à l'assuré. A.b Par acte du 22 février 2002, P._ fit opposition à la décision précitée. Alléguant que l'instruction n'était pas terminée lorsque l'OFAM a statué, il conclut à l'annulation de la décision incriminée, à l'octroi des prestations requises après le dépôt des deux expertises et à la mise en oeuvre d'une décision incidente relative à la prise en charge du syndrome douloureux jusqu'à la fin de la procédure. Entre-temps, le docteur T._ rendit son expertise le 31 janvier 2002. Par décision incidente du 27 mars 2002, l'OFAM suspendit la procédure d'opposition jusqu'à réception de l'expertise du docteur H._ et déclara au surplus irrecevable la requête du 22 février 2002. Le 16 avril 2002, le docteur H._ communiqua son expertise. En outre, les deux experts répondirent à des questions complémentaires (le 1er mai 2002 pour le spécialiste ORL et le 6 août 2002 pour le spécialiste en neurologie). A.c Le 5 juillet 2002, P._ sollicita le retrait du dossier du rapport du docteur H._ et la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise, au motif que ce médecin s'était entretenu à plusieurs reprises avec le docteur N._, médecin-conseil de l'OFAM. Par la suite, il produisit une lettre du 24 septembre 2002 de la doctoresse G._, alors assistante en neurologie à l'Hôpital V._. Le 9 janvier 2003, il déposa une plainte contre le docteur N._ auprès de la direction de l'OFAM, alléguant que ce médecin avait influencé l'expert H._ et qu'il était partial et incompétent. Cette plainte fut écartée par le directeur de l'OFAM le 9 avril 2003. Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM rejeta l'opposition, aux motifs que le grief de prévention était mal fondé (sinon tardif) et qu'il n'existait aucun lien de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération du 25 février 1999. Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM rejeta l'opposition, aux motifs que le grief de prévention était mal fondé (sinon tardif) et qu'il n'existait aucun lien de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération du 25 février 1999. B. Saisi d'un recours de P._ contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 25 mai 2004. B. Saisi d'un recours de P._ contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 25 mai 2004. C. P._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, sous suite de dépens. Il conclut, principalement, à la prise en charge par l'assurance militaire du syndrome douloureux dont il souffre depuis février 1999. A titre subsidiaire, il demande la mise en oeuvre préalable d'une surexpertise à la charge de l'assurance militaire et réitère sa conclusion principale. Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. L'OFAM, compétent pour la gestion de l'assurance militaire jusqu'au 30 juin 2005 (depuis le 1er juillet 2005 : la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents), a conclu au rejet du recours.