Faits: Faits: A. A partir du 1er décembre 1999, A._ a été engagé par X._ AG (ci-après: X._), une société active notamment dans le domaine de l'informatique, en qualité de collaborateur pour le département d'aide à la clientèle. Le contrat prévoyait, après un temps d'essai de trois mois, un délai de résiliation de trois mois pour la fin d'un mois. A._ a tout d'abord travaillé à Y._, puis à Z._ dans le bureau ouvert par X._ à la mi-février 2001, afin de servir la clientèle romande. La gestion de ce bureau lui a été confiée. Dès février 2001, le salaire de A._ s'est élevé à 5'800 fr. brut par mois, auquel s'ajoutait une indemnité mensuelle forfaitaire de 500 fr. Les frais professionnels effectifs de A._ lui étaient également remboursés et celui-ci a reçu, jusqu'en avril 2001, une indemnité forfaitaire mensuelle pour l'utilisation à des fins professionnelles de son natel privé. A._, qui a été chargé d'équiper le bureau de Z._, s'est régulièrement plaint auprès de ses supérieurs de ne pas disposer du matériel nécessaire pour effectuer correctement son travail. Il a également émis des prétentions au sujet du remboursement de ses frais de natel et de l'intégration de l'indemnité forfaitaire mensuelle dans son salaire. Le 23 avril 2001, les dirigeants de X._ ont eu un entretien avec A._, qui avait pour but de faire comprendre à ce dernier, sans toutefois le formuler clairement, qu'une dernière chance lui était accordée afin d'améliorer son travail. A._ croyait que cet entretien était destiné à régler des questions salariales et de remboursement de frais, ainsi que des problèmes d'infrastructure. Lorsqu'il a fait part de revendications sur ces sujets, ses interlocuteurs ont coupé court à toute discussion et lui ont fait part de divers griefs relatifs à ses activités, notamment son manque de performance et son incapacité à s'identifier à son travail. Par courrier recommandé du 28 mai 2001, X._ a licencié A._ pour le 31 août 2001, en lui reprochant de ne pas être parvenu à atteindre les objectifs fixés, en dépit de l'entretien du mois d'avril 2001. Elle lui a également annoncé la résiliation de son contrat par un courrier électronique du même jour. A._ n'a retiré la lettre de licenciement qu'au début du mois de juin 2001 et il n'a pas été établi qu'il ait pris connaissance du courrier électronique avant le 1er juin 2001. Il a cessé de travailler au bureau de Z._ le 13 juillet 2001 et celui-ci a été fermé après son départ. Il a été retenu que la fermeture du bureau de Z._ était prévue à moyen terme. Le 24 août 2001, A._ s'est opposé à son congé, dont il a contesté les motifs. Le 24 août 2001, A._ s'est opposé à son congé, dont il a contesté les motifs. B. Le 26 février 2002, A._ a ouvert action devant le Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de Lausanne. Il a conclu au paiement par X._ de 6'300 fr. plus intérêt à 5% dès le 1er octobre 2001 correspondant à son salaire de septembre 2001, de 4'340 fr. avec intérêt à 5% dès le 1er septembre 2001 en remboursement de frais, commissions et arriérés de salaire, ainsi que de 19'360 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif. Il a également demandé à ce qu'il soit constaté que l'indemnité forfaitaire reçue constituait un salaire déguisé et qu'elle devait être considérée comme une véritable rémunération. Par la suite, A._ a réduit ses prétentions de 295 fr. Par jugement du 30 juillet 2002, le Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de Lausanne a constaté que l'indemnité forfaitaire figurant sur les fiches de paie faisait partie intégrante du salaire et prononcé que X._ était débitrice de A._ de 6'300 fr. sous déduction des charges sociales, avec intérêt à 5% dès le 1er octobre 2001, à titre de salaire pour le mois de septembre 2001, ainsi que de 6'300 fr. net correspondant à une indemnité pour licenciement abusif. Tant A._ que X._ ont recouru contre ce jugement. Par arrêt du 15 juillet 2003, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis le recours de X._ et rejeté le recours de A._. Le jugement du 30 juillet 2002 a été réformé dans le sens de la suppression du versement de l'indemnité de 6'300 fr. pour licenciement abusif. Il a été confirmé pour le surplus. Par arrêt du 15 juillet 2003, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis le recours de X._ et rejeté le recours de A._. Le jugement du 30 juillet 2002 a été réformé dans le sens de la suppression du versement de l'indemnité de 6'300 fr. pour licenciement abusif. Il a été confirmé pour le surplus. C. Contre l'arrêt du 15 juillet 2003, A._ (le demandeur) interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral, dont il requiert subsidiairement la conversion en un recours de droit public. Il conclut à l'admission du recours et à la réforme partielle de l'arrêt attaqué en ce sens que X._ est déclarée débitrice de A._ de la somme de 19'360 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi du dossier au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Dans ses observations rédigées en allemand, X._ (la défenderesse) conclut au rejet complet de la demande, tout en précisant qu'elle renonce à former un recours joint.