Faits: A. Par jugement du 31 août 2007, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a constaté que X._ s'était rendu coupable de mise en danger de la vie d'autrui et de prise d'otage qualifiée, l'a déclaré non punissable en raison de son irresponsabilité pénale et a ordonné qu'il soit soumis à un traitement institutionnel dans un établissement psychiatrique approprié ou dans un établissement d'exécution des mesures. Sur le plan civil, il a astreint X._ à verser à Y._ un montant de 10'000 fr., avec intérêt à 5% dès le 15 janvier 2007, à titre d'indemnité pour tort moral, donnant pour le surplus acte à celle-ci de ses réserves civiles. Statuant sur recours de X._, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par arrêt du 25 octobre 2007, confirmant le jugement qui lui était déféré. B. Cet arrêt retient, en résumé, ce qui suit. B.a X._, né en 1981, a connu des difficultés à la pré-adolescence. A sa demande, il a été placé dans un foyer dès l'âge de 13 ans. Il a interrompu sa scolarité en 8ème année et n'a pu terminer une formation. En 2001, des troubles psychiatrique se sont révélés et il a été hospitalisé à plusieurs reprises jusqu'en 2007. Avant sa mise en détention préventive, il vivait dans un foyer à Lausanne, ne travaillant pas et bénéficiant d'une rente AI complète. Il est suivi par l'Office du Tuteur général. B.b Le 14 janvier 2007, X._ s'est rendu dans le magasin Aperto de la gare de Lausanne en vue d'y agresser une vendeuse, dans le but d'être arrêté et emprisonné. Après avoir effectué un tour de reconnaissance, il est sorti du magasin, puis y est revenu avec un couteau de poche en main, dont la lame était déployée. Il a saisi Y._ par derrière, au niveau des épaules, et a placé le tranchant de la lame sur sa gorge en lui criant de lui remettre la caisse. Il l'a ensuite contrainte à avancer en direction du bureau du responsable du magasin, en la faisant passer de sa droite à sa gauche afin de voir le chemin. Deux clients ont alors réussi à le désarmer et à l'immobiliser. B.c Au cours de l'enquête, X._ a été soumis à une expertise psychiatrique. Dans leur rapport du 8 mai 2007, les experts ont posé le diagnostic de schizophrénie paranoïde continue. Ils ont constaté que l'expertisé était à même d'apprécier le caractère illicite de ses actes, mais incapable de se déterminer d'après cette appréciation. Ils ont préconisé un suivi ambulatoire, reposant sur une médication neuroleptique au long cours et sur un traitement psycho-sociothérapeutique. Ils ont relevé que ce traitement pourrait devoir être précédé d'une période de traitement hospitalier. L'un des experts a été entendu aux débats. Il a confirmé la mesure proposée, en précisant qu'une mesure thérapeutique institutionnelle avait essentiellement été écartée en raison des difficultés pratiques liées à son exécution, vu les faibles moyens actuellement à disposition. X._ a déclaré qu'il souhaitait être placé dans une institution. Sa tutrice a estimé qu'un traitement institutionnel s'imposait, compte tenu des variations de l'état psychique de son pupille et de l'intensité de ses symptômes schizophréniques. B.d Les juges cantonaux ont estimé que, nonobstant les conclusions de l'expertise, il se justifiait d'ordonner une mesure thérapeutique institutionnelle au sens de l'art. 59 CP, considérant qu'elle était indispensable pour favoriser l'évolution positive de l'intéressé et pour prévenir la commission de nouvelles infractions. En ce qui concerne le montant de l'indemnité pour tort moral, la cour cantonale a jugé que celui de 10'000 fr. fixé en première instance était adéquat, au vu des souffrances de la victime consécutives à l'atteinte qu'elle avait subie. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral, pour arbitraire dans l'appréciation des preuves et violation des art. 56, 56a, 59 et 63 CP ainsi que de l'art. 49 CO. Il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué, en ce sens qu'il soit soumis à un traitement ambulatoire selon l'art. 63 al. 2 CP et que le montant de l'indemnité pour tort moral alloué à la victime soit réduit à 3000 fr., subsidiairement à son annulation. Il sollicite l'assistance judiciaire. L'intimée, invitée à se déterminer sur le grief relatif au montant de l'indemnité qui lui a été allouée à titre de réparation morale, a fait savoir, après l'échéance du délai imparti à cet effet, qu'elle renonçait à le faire. Pour le surplus, des déterminations n'ont pas été requises.