A.- Par jugement du 4 décembre 2000, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de l'Est vaudois a condamné P._ à six mois d'emprisonnement pour lésions corporelles simples, escroquerie et faux dans les titres. Il a été retenu que P._ avait, le 11 juillet 1998, asséné deux violents coups de tête à C._, devant une discothèque lausannoise; par ailleurs, P._ aurait incité son amie, D._, à obtenir un crédit de 25'000 fr. en présentant à la banque une carte d'identité sur laquelle ne figurait par erreur que son deuxième prénom, L._, et en fournissant de faux justificatifs sur le montant de son loyer (1'115 fr. au lieu de 2'230 fr.) et une feuille de paie d'une entreprise dans laquelle elle avait travaillé temporairement. Le tribunal a alloué 800 fr. de dépens à C._, à la charge de P._, et a mis une partie des frais, soit 2000 fr., à la charge de ce dernier. B.- P._ a formé contre ce jugement un recours en réforme et en nullité auprès de la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois. Il se plaignait de ne pas avoir été pourvu d'un défenseur d'office, alors que la cause présentait des difficultés en fait et en droit. Le seul fait d'avoir incité son amie à demander un prêt sous un faux prénom n'était pas constitutif d'instigation à escroquerie. C.- Par arrêt du 10 janvier 2001, notifié le 11 mai 2001, la Cour de cassation a confirmé le jugement. Les conditions d'une défense d'office n'étaient pas réunies: la peine encourue par le recourant n'excluait pas l'octroi du sursis et une mesure au sens des art. 42 ss CP n'était pas envisageable; la cause ne présentait pas de difficultés particulières en fait ou en droit; condamné plusieurs fois pour escroquerie, P._ disposait d'une formation de conseiller en assurances, de sorte qu'il pouvait faire face aux difficultés toutes relatives de la cause. Il n'était d'ailleurs pas établi qu'il ait demandé un défenseur d'office. L'usage d'une fausse identité et de documents falsifiés, à la confection desquels le recourant avait participé, était constitutif d'astuce. D.- P._ forme un recours de droit public contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il requiert l'effet suspensif et l'octroi de l'assistance judiciaire. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt. Le Ministère public a renoncé à se déterminer. C._ conclut au rejet du recours. L'effet suspensif a été accordé par ordonnance présidentielle du 2 juillet 2001.