Faits: A. C._, née en 1982, a été victime de deux accidents le 26 avril 2011, l'un à 13h40, qui lui a provoqué un «claquage» à l'épaule droite alors qu'elle déplaçait de la vaisselle, et l'autre à 22h40, quand la voiture dans laquelle elle avait pris place, a été heurtée à l'arrière par un autre véhicule. A la suite du premier accident, le docteur F._, du service des urgences de l'Hôpital Z._, a diagnostiqué une cervico-brachialgie non déficitaire. Après le second accident, le docteur L._, du même service, a posé le diagnostic de contusions multiples au thorax et à la colonne lombaire. La Mobilière Suisse, Société d'assurances SA, (ci-après: la Mobilière), assureur-accidents de C._, a ouvert le dossier N° xxx pour le sinistre de 13h40 (ci-après: sinistre N° 1) et le dossier N° yyy pour celui de 22h40 (ci-après: sinistre N° 2). Elle a décidé de traiter ces affaires par courriers séparés. Par lettre du 30 janvier 2012, l'assurance a informé C._ que le sinistre N° 1, dénommé «sinistre xxx à 13h40», ne constituait ni un accident, faute de facteur extérieur dommageable, ni une lésion corporelle assimilée à un accident, si bien qu'elle refusait de le prendre en charge. Elle a estimé que la rupture du tendon du sus- et sous-épineux dont souffrait C._ relevait de la maladie et a imparti à celle-ci un délai de 20 jours pour faire valoir ses objections motivées. Par lettre du même jour, la Mobilière a admis de prendre en charge le sinistre N° 2, dénommé «sinistre yyy à 22h40». Elle a considéré que les lésions diagnostiquées (contusion thoracique et colonne lombaire) n'avaient pas entraîné d'incapacité de travail, de sorte qu'elle avait l'intention de limiter son intervention aux seuls frais médicaux engendrés par ces troubles. Par lettre du 8 février 2012, C._ a contesté la «décision» de l'assureur-accidents, en faisant valoir que la déchirure de la coiffe des rotateurs était traumatique et non dégénérative. Par décision du 10 février 2012 concernant le sinistre N° 1, dont l'entête était semblable à celui de la lettre du 30 janvier 2012, c'est-à-dire faisait référence aux deux accidents, la Mobilière a confirmé le refus de prise en charge. Le 2 mars 2012, l'assurance s'est adressée à C._ en lui rappelant qu'elle avait été victime d'un accident sur la voie publique le 26 avril 2011 à 22h40 (sinistre N° 2) et que celui-ci n'était pas la cause de la pathologie de l'épaule droite. En présence d'une contusion à l'épaule droite, accompagnée d'une distorsion cervicale, elle a admis une incapacité de travail jusqu'au 10 juillet 2011 et précisé qu'«au-delà du 10 juillet 2011, toutes les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 seraient (sont) à considérer comme guéries». Dans une lettre du 8 mars 2012, C._ s'est référée au courrier de la Mobilière du 2 mars 2012 et a contesté la «décision», en se fondant sur divers courriers du docteur N._, son chirurgien traitant, et en rappelant que les déchirures des rotateurs ne pouvaient pas être dégénératives chez une personne de son âge. Par décision du 23 mars 2012, la Mobilière a estimé que ces éléments n'étaient pas susceptibles de modifier sa prise de position du 2 mars 2012, selon laquelle la pathologie de l'épaule droite ne résultait pas de l'accident sur la voie publique. Par ailleurs, l'assurance a réitéré que toutes les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 devaient être considérées comme guéries à partir du 10 juillet 2011. Par lettre du 3 avril 2012, C._ a formé opposition à la décision du 23 mars 2012, réaffirmant que les lésions à l'épaule droite étaient d'origine traumatique. Par décision sur opposition du 16 juillet 2012, la Mobilière a retenu que la décision du 10 février 2012 concernant le sinistre N° 1 était définitive et exécutoire faute d'avoir fait l'objet d'une opposition motivée dans le délai de 30 jours. Pour le surplus, elle a rejeté l'opposition formée contre la décision du 23 mars 2012 concernant le sinistre N° 2. B. C._ a déféré la décision sur opposition du 16 juillet 2012 à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Celle-ci a informé les parties qu'elle allait ouvrir deux dossiers, l'un concernant la recevabilité de l'opposition (sinistre N° 1) et l'autre concernant le rejet de l'opposition (sinistre N° 2). Par jugement du 25 mars 2013, la juridiction cantonale a statué sur la recevabilité de l'opposition. Elle a admis le recours et annulé la décision sur opposition dans la mesure où elle concernait cette question. Par ailleurs, elle a renvoyé la cause à la Mobilière pour nouvelle décision concernant le sinistre N° 1. C. La Mobilière interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la confirmation de sa décision sur opposition du 16 juillet 2012. A titre préalable, elle requiert que l'effet suspensif soit accordé au recours. C._ a conclu au rejet du recours et déposé une demande d'assistance judiciaire. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. D. Par ordonnance du 2 septembre 2013, la requête d'effet suspensif a été admise.