Faits: A. Y._, ressortissant mexicain né en 1957, diplomate, et X._, ressortissante espagnole née en 1962, se sont mariés en 1989. De cette union sont issus deux enfants, nés en 1989 et 1993. Le 27 novembre 1996, le Tribunal de première instance de La Haye, statuant d'accord entre les parties, a prononcé le divorce des époux Y._ et a attribué la garde et l'autorité parentale sur les enfants au père, réservant à la mère un droit de visite et d'hébergement. X._ s'est remariée aux Pays-Bas avec un fonctionnaire brésilien. Elle s'est ensuite installée au Brésil où les enfants l'ont rejointe en septembre 1998. Par jugement du 11 novembre 1998, la Chambre de la famille du Tribunal de Brasilia (Brésil) a homologué l'accord des ex-époux transférant à compter du 25 septembre 1998 la garde des enfants à la mère, le père bénéficiant d'un très large droit de visite. L'exequatur de cette décision a été prononcé à Genève par jugement du 3 décembre 2003. X._ s'est installée à Genève, avec son deuxième mari et ses enfants, en mars 1999, avant de déménager en France voisine en septembre 2000. Elle a divorcé de son second mari en mars 2001 et travaille depuis août 2001 pour une organisation internationale à Genève. Depuis le 1er juillet 2003, X._ réside à nouveau à Genève avec ses enfants. Y._ était pour sa part en poste à Genève, en sa qualité de diplomate, jusqu'en mai 2004. Muté depuis lors en Amérique du Sud, il s'est remarié et a deux enfants en bas âge. B. En juin 2002, Y._ a déposé auprès du Juge aux affaires familiales du Tribunal de Grande Instance de Bourg-en-Bresse une requête tendant à l'instauration d'une garde alternée. En juillet 2002, X._ a saisi le même juge d'une demande d'exequatur du jugement brésilien du 11 novembre 1998. Les deux procédures ont été jointes. Par "ordonnance modifiant les mesures accessoires après jugement" rendue le 22 avril 2003, le Juge aux affaires familiales du Tribunal de Grande Instance de Bourg-en-Bresse a, notamment, dit que l'autorité parentale était exercée en commun par les deux parents, ordonné à titre provisoire la résidence en alternance des enfants au domicile respectif de leurs père et mère durant une période de neuf mois, condamné le père à verser à la mère une contribution d'entretien de 500 euros par mois pour chacun des enfants, ordonné une mesure de médiation familiale aux frais partagés des parties, renvoyé l'affaire et les parties - sans nouvelles convocations - à l'audience du 27 janvier 2004 pour qu'il soit statué définitivement sur la résidence des enfants au sens de l'art. 373-2-9 CCfr. et fait injonction aux parties de conclure pour cette date au vu du résultat du rapport de médiation familiale. C. Par déclaration du 23 mai 2003, X._ a fait appel de l'ordonnance du 22 avril 2003. Après avoir pris des conclusions sur le fond, elle a signifié de nouvelles conclusions le 22 janvier 2004, sollicitant de la Cour d'appel de Lyon, notamment, qu'elle se déclare incompétente pour connaître du litige, qui devait être dévolu aux juridictions helvétiques et soumis à l'application du droit suisse. L'instruction de la cause a été clôturée le 26 novembre 2004 et une audience de plaidoiries s'est tenue le 14 décembre 2004. Par arrêt du 21 février 2005, aujourd'hui définitif, la Cour d'appel de Lyon a rejeté l'exception d'incompétence; elle a considéré que si, postérieurement au jugement, la mère avait transféré définitivement sa résidence en territoire helvétique, il lui appartenait au vu de cet élément nouveau de saisir la juridiction suisse de première instance compétente, la Cour d'appel de Lyon demeurant toutefois compétente pour statuer sur l'appel du jugement rendu par le Tribunal de Grande Instance de Bourg-en-Bresse. Sur le fond, la Cour d'appel a notamment réformé l'ordonnance déférée en ce sens qu'elle a fixé la résidence des enfants chez leur père, qu'elle a fixé le droit de visite de la mère et qu'elle a dit que celle-ci devait assumer les frais de trajet des enfants dans le cadre de l'exercice du droit de visite. D. Par jugement du 1er décembre 2005, le Tribunal de première instance du canton de Genève a admis la requête de Y._ en exequatur de l'arrêt de la Cour d'appel de Lyon du 21 février 2005. X._ a appelé de ce jugement auprès de la Cour de justice du canton de Genève. Elle a soutenu que l'arrêt de la Cour d'appel de Lyon ne pouvait pas être reconnu et exécuté en Suisse, notamment parce que les autorités françaises n'étaient plus compétentes ensuite du déplacement, pendant la procédure d'appel, de la résidence habituelle des enfants en Suisse. E. Statuant par arrêt du 16 février 2006, la première Section de la Cour de justice a rejeté l'appel et a confirmé le jugement du 1er décembre 2005. La motivation de cet arrêt, dans ce qu'elle a d'utile à retenir pour l'examen du recours, est en substance la suivante : E.a En vertu de l'art. 1er de la Convention de La Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs, les autorités de l'État de la résidence habituelle d'un mineur sont compétentes pour prendre des mesures tendant à la protection de sa personne ou de ses biens. La Suisse et la France ont ratifié cette Convention, qui est donc applicable au cas d'espèce. L'art. 5 al. 1 de la Convention dispose qu'au cas de déplacement de la résidence habituelle d'un mineur d'un État contractant dans un autre, les mesures prises par les autorités de l'État de l'ancienne résidence habituelle restent en vigueur tant que les autorités de la nouvelle résidence habituelle ne les ont pas levées ou remplacées. E.b En droit international privé, la situation de fait qui conditionne tant la compétence des tribunaux que la désignation de la loi applicable peut évoluer au fil du temps. En principe, les conditions de recevabilité initiales déterminent les règles de compétence et la loi applicable jusqu'à l'issue du litige; c'est le principe de la perpetuatio fori. Toutefois, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la Convention de La Haye de 1961 présente une exception à ce principe, en ce sens que lorsqu'un enfant mineur dont les père et mère sont en instance de divorce déplace en cours de procédure sa résidence habituelle dans un autre État contractant, les autorités de cet État sont seules compétentes pour statuer sur l'attribution de l'autorité parentale ainsi que sur les relations personnelles entre l'enfant et ses père et mère (ATF 123 III 411 consid. 2a). E.c La présente espèce diffère toutefois sur un point essentiel de celle qui a donné lieu à l'arrêt du Tribunal fédéral précité. En effet, dans le cas présent, la mesure avait déjà été prise par la juridiction de première instance, et le déplacement de résidence n'est survenu qu'au cours de la procédure d'appel. Cela étant, il n'était pas contraire à l'esprit de la Convention que les juges français admissent leur compétence. La décision rendue n'étant ainsi pas contraire à l'ordre public suisse, c'est à bon droit que le premier juge en a prononcé l'exequatur. F. Agissant par la voie du recours de droit public au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de cet arrêt. Elle a en outre présenté une demande d'effet suspensif, que le Président de la Cour de céans, après avoir recueilli les déterminations de l'intimé et de l'autorité cantonale, a admise par ordonnance du 2 mars 2006. Invité à présenter ses observations sur le fond, l'intimé conclut avec suite de frais et dépens au rejet du recours, dans la mesure où celui-ci est recevable.