Faits: A. T._, né en 1966, a travaillé comme aide-plâtrier jusqu'en 1986, avant d'exercer différentes autres activités, dont celle de traducteur occasionnel. Du 12 mars au 11 juin 2001, il a été engagé par X._ SA, en qualité d'aide de bureau temporaire à plein temps. A ce titre, il était affilié à la fondation Groupe Mutuel Prévoyance (ci-après: la fondation). Son contrat de travail a été prolongé du 12 juin au 11 septembre 2001, mais il a été mis en arrêt total de travail dès le 13 juillet 2001, date à partir de laquelle il n'a plus retravaillé. Depuis le 1er juillet 2002, T._ a été mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité, compte tenu d'un taux d'invalidité de 73 % (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg du 17 mai 2004). En revanche, la fondation l'a informé qu'elle refusait de lui accorder des prestations de la prévoyance professionnelle, au motif que "l'incapacité de gain à l'origine de l'invalidité" avait débuté avant son affiliation à la fondation (courrier du 27 février 2006). B. Par demande du 11 juillet 2006, T._ a assigné la fondation en paiement d'une rente d'invalidité mensuelle de 508 fr. 25 à partir du mois d'août 2006 avec intérêts de 5 % l'an dès le 1er de chaque échéance, ainsi que d'un montant de 24'904 fr. 25 (rentes arriérées de juillet 2002 à juillet 2006) avec intérêts de 5 % l'an dès l'ouverture d'instance. Statuant le 21 février 2008 après avoir requis de l'Office fribourgeois de l'assurance-invalidité le dossier de l'assurance-invalidité concernant l'intéressé, le Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Fribourg a rejeté la demande. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande implicitement l'annulation, en concluant à ce que la fondation soit condamnée à lui verser une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 2002. Sollicitant d'abord le bénéfice de l'assistance judiciaire, il a par la suite retiré sa requête. La fondation conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.