Faits : A. A._ est né le 10 mai 2002 affecté d'une maladie génétique engendrant un grave dysfonctionnement hépatique. Condamné à court terme, il ne pouvait être sauvé que par une greffe de foie. Son frère aîné était décédé de la même maladie en 1993, à l'âge de 6 mois. Ses deux frères puînés ne souffrent pas de cette anomalie, mais l'un d'eux est né sans fontanelle, ce qui a nécessité un suivi médical pour s'assurer que son cerveau ne subirait pas de séquelles. En décembre 2002, A._ a subi une transplantation du foie aux Hôpitaux Universitaires de Genève (HUG). La greffe a réussi. Toutefois, un risque lié à l'anesthésie s'est réalisé. L'enfant s'est retrouvé en état d'hypo-oxygénation cérébrale pendant l'opération; la perfusion destinée à se diffuser en intraveineuse dans le système sanguin s'est répandue dans les tissus du cou en raison d'un déplacement du cathéter central ou de l'éclatement d'une veine. Des lésions neurologiques graves et irréversibles en ont résulté; l'enfant est désormais lourdement handicapé. Les parents avaient accepté l'idée d'une transplantation - tel n'avait pas été le cas pour leur fils aîné - et avaient consenti à l'opération; toutefois, le risque de séquelles neurologiques n'avait pas été spécifiquement abordé. B. B.a. Le 15 décembre 2006, l'enfant, représenté par ses parents, a assigné les HUG devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il concluait au paiement de quelque 17 millions de francs à titre de réparation du dommage subi. Le tribunal a rendu une première décision qui a été annulée en appel. L'assistance judiciaire a été accordée pour les frais d'appel, puis pour la continuation de la procédure devant le Tribunal de première instance. L'action en paiement a été rejetée par un nouveau jugement du 13 septembre 2013. Le tribunal a en substance considéré que les parents de l'enfant avaient reçu une information suffisante pour consentir à la transplantation de façon éclairée et qu'au demeurant, un consentement hypothétique pouvait être retenu. Les parents de l'enfant ont divorcé en cours de procédure, soit en février 2008. B.b. Le 4 octobre 2013, l'enfant, représenté par un avocat, a sollicité l'extension de l'assistance judiciaire à la procédure d'appel. Le 16 octobre 2013, il a formé appel contre le jugement au fond. La Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté la demande d'assistance le 27 novembre 2013, au motif que les chances de succès d'un appel paraissent très faibles (art. 117 let. b CPC). La Vice-présidente de la Cour de justice a confirmé ce refus d'assistance par décision du 30 janvier 2014. C. A._, représenté par le même avocat au bénéfice d'une procuration signée par la mère de l'enfant, saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile tendant à réformer la décision du 30 janvier 2014, en ce sens que l'assistance judiciaire est étendue à la procédure d'appel dirigée contre le jugement du 13 septembre 2013. A titre préalable, il a demandé à être dispensé de verser une avance de frais pour la présente procédure. Par ordonnance du 20 juin 2014, la cour de céans a rejeté la demande d'assistance judiciaire; il n'était en effet pas démontré que le paiement d'une avance de frais de 2'500 fr. porterait atteinte au minimum nécessaire pour les besoins élémentaires du recourant et de sa famille. L'avance de frais a ensuite été versée en temps utile.