Faits: A. A.a Le 29 février 1968, l'État X._ (ci-après: le recourant) et la société Z._ (ci-après: l'intimée) ont conclu un accord de participation (Participation Agreement) pour la construction, l'entretien et l'exploitation, sur le territoire du recourant, d'un oléoduc. L'art. 12 (a) de l'accord de participation contient une clause arbitrale libellée en ces termes: "If at any time within the period of this Agreement or thereafter, any doubt, difference or dispute shall arise between the Parties concerning the interpretation or execution ot this Agreement or anything connecting therewith or concerning the rights and liabilities of the Parties hereunder, the same shall, failing any agreement to settle it by other means, be referred to arbitration. Each Party shall appoint one arbitrator. If such arbitrators fail to settle the dispute by mutual agreement or to agree upon a Third Arbitrator, the President of the International Chamber of Commerce in Paris shall be requested to appoint such Third Arbitrator. The decision of the Board of Arbitrators so appointed shall be final and binding upon the Parties." La pièce 5bis, produite par le recourant, propose la traduction française suivante de ladite clause: "Si, à quelque moment que ce soit pendant la durée du présent Accord ou ultérieurement, un doute, différend ou litige quelconque se produit entre les Parties concernant l'interprétation ou l'exécution de cet Accord ou toute matière y relative, ou concernant les droits et obligations des Parties découlant de cet Accord, et à défaut d'accord sur un autre mode de règlement, ce doute, différend ou litige sera soumis à l'arbitrage. Chaque Partie nommera un arbitre. Si ces arbitres ne règlent pas le litige d'un commun accord, ou s'ils ne se mettent pas d'accord sur le choix d'un Troisième Arbitre, il sera demandé au Président de la Chambre de commerce internationale [CCI] à Paris de nommer ce Troisième Arbitre. La décision du Tribunal arbitral ainsi constitué sera définitive et obligatoire pour les Parties." A.b Le 14 octobre 1994, l'intimée, se fondant sur cette clause compromissoire, a engagé une procédure arbitrale en désignant son arbitre et en invitant le recourant à nommer le sien. Elle s'est vu opposer une fin de non-recevoir, motifs pris de l'identification insuffisante de l'objet du litige et de l'absence de négociations préalables. Devant ce refus, l'intimée, par assignation du 22 août 1995, a saisi le président du Tribunal de grande instance de Paris d'une requête en désignation d'arbitre. Econduite dans un premier temps, elle a finalement obtenu gain de cause au terme d'une série de péripéties procédurales qu'il n'est pas nécessaire de relater ici. En effet, statuant le 1er février 2005, la Première Chambre civile de la Cour de cassation française a rejeté les pourvois formés par le recourant contre les arrêts des 29 mars et 8 novembre 2001 par lesquels la Cour d'appel de Paris avait imparti à celui-ci un délai pour choisir un arbitre, puis, faute d'un tel choix, désigné un arbitre à cette partie. Elle a justifié ce rejet en ces termes: "Mais attendu que l'impossibilité pour une partie d'accéder au juge, fût-il arbitral, chargé de statuer sur sa prétention, à l'exclusion de toute juridiction étatique, et d'exercer ainsi un droit qui relève de l'ordre public international consacré par les principes de l'arbitrage international et l'article 6.1, de la Convention européenne des droits de l'homme, constitue un déni de justice qui fonde la compétence internationale du président du tribunal de grande instance de Paris, dans la mission d'assistance et de coopération du juge étatique à la constitution d'un tribunal arbitral, dès lors qu'il existe un rattachement avec la France; que l'arrêt attaqué ayant relevé que la société Z._ était, en l'état de la jurisprudence de la Cour suprême du recourant, dans l'impossibilité de saisir les tribunaux [du recourant] ou [de l'intimée] pour nommer un arbitre à la place [du recourant] qui s'y refusait, dès lors que [le recourant] avait expressément déclaré ne pas reconnaître leur compétence respective pour y procéder, que cette impossibilité était générale et durable, et, enfin, que le lien avec la France, même s'il était ténu, comme résultant du choix par les parties du président de la CCI de Paris pour une désignation éventuelle d'un troisième arbitre, était le seul dont la société Z._ pouvait utilement se prévaloir pour assurer la réalisation de leur commune volonté de recourir à l'arbitrage, la cour d'appel en a exactement déduit que cet état de fait constituait, pour la société Z._, un déni de justice justifiant la compétence internationale du juge français; qu'en jugeant que le président du tribunal de grande instance, en se déclarant incompétent pour statuer, avait méconnu l'étendue de ses pouvoirs et commis ainsi un excès de pouvoir négatif, la cour d'appel a légalement justifié sa décision;" A.c Nonobstant les pourvois formés devant la Cour de cassation, les deux arbitres ont émis, le 8 octobre 2002, un premier ordre procédural. Le 24 décembre 2003, l'intimée a déposé un mémoire de demande (Statement of Claim). Elle a conclu à ce que le recourant fût condamné à lui payer, d'une part, quelque 800 millions de dollars, représentant la moitié de la valeur des actifs liés à l'accord de participation de 1968, et, d'autre part, des dommages-intérêts correspondant à la somme dont une société nommée Y._ pourrait être reconnue débitrice à l'issue d'une autre procédure arbitrale pendante. Dans son mémoire de réponse (Statement of Defence) du 23 avril 2004, le recourant a invité le Tribunal arbitral à se déclarer incompétent du fait de la désignation de son arbitre intervenue en violation de la clause arbitrale. Il a, en outre, mis en cause l'indépendance et l'impartialité de l'arbitre de l'intimée au regard du second chef de la demande de cette dernière. Sur le fond, le recourant a conclu au rejet des deux demandes et, reconventionnellement, à la condamnation de son adverse partie au paiement de dommages-intérêts au titre de la violation de l'accord de participation. Le 19 juillet 2004, les arbitres ont fixé le siège de l'arbitrage à Genève, après que l'intimée avait accepté, par lettre du 24 décembre 2003, la proposition faite en ce sens le 31 octobre 2003 par le recourant, chacune des parties maintenant d'ailleurs sa position quant à la validité de la désignation de l'arbitre du recourant par les tribunaux français. Dans le cadre d'un nouvel échange d'écritures, le recourant a persisté dans son objection relative à cette désignation, en dépit du rejet de ses pourvois par la Cour de cassation (cf. let. A.b ci-dessus). De ce fait, les parties et les arbitres sont convenus que la question de la régularité de la composition du Tribunal arbitral serait traitée à titre préalable. Après un premier échange d'écritures, le Tribunal arbitral a tenu, le 18 décembre 2006, une audience de plaidoiries à ce sujet, puis ordonné un nouvel échange d'écritures. B. Le 10 février 2012, le Tribunal arbitral a rendu une sentence, intitulée Partial Award, au terme de laquelle il a rejeté les objections soulevées par le recourant contre les nominations de son arbitre et de l'arbitre de l'intimée, admettant ainsi la régularité de sa constitution. Dans sa sentence, le Tribunal arbitral souligne que la première obligation du signataire d'une convention d'arbitrage consiste à désigner un arbitre. Selon lui, l'absence, dans la clause arbitrale litigieuse, d'une disposition supplétive applicable en cas de violation de cette obligation, ne constitue pas une échappatoire, mais confirme le caractère inéluctable d'un tel devoir. Par conséquent, dès lors qu'une partie, à l'instar du recourant, ne désigne pas son arbitre, la partie adverse est habilitée à saisir la juridiction étatique compétente afin de pallier semblable défaillance. Il s'agit là d'une règle appliquée dans de nombreux pays, y compris la Suisse (art. 179 de la loi fédérale sur le droit international privé du 18 décembre 1987 [LDIP]; RS 291). En ce qui concerne le cas concret, les arbitres notent que le recourant a eu l'occasion de développer ses arguments à quatre reprises par-devant les tribunaux français, que le droit d'être entendu de toutes les parties a été largement respecté et que la décision de la Cour d'appel de Paris de désigner un arbitre au recourant, prise pour éviter un possible déni de justice, a été confirmée par la Cour de cassation française. Ils en déduisent que pareille décision, tout à fait valable, ne peut légitimement être remise en cause.