Faits: A. Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont A._. Ce dernier, prévenu de complicité de blanchiment d'argent, a été placé en détention provisoire le 30 juillet 2012. Le 23 août 2012, le Procureur a procédé, en présence de A._ et de son avocat, à la perquisition à la banque X._, à Genève, des coffres n o xxx et yyy liés au compte bancaire n o zzz de la société B._ et pour lesquels A._ bénéficiait d'une procuration individuelle. Le mandataire du prévenu a requis immédiatement la mise sous scellés des documents trouvés dans le coffre n o xxx (n°_60), alléguant que ceux-ci pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU). Quant aux pièces découvertes dans le "safe" n o yyy, elles n'ont été ouvertes par le MPC, en présence de A._ ainsi que de son mandataire, que le 27 août 2012 et placées lors de cette séance sous scellés par le Procureur en raison de leurs possibles liens avec D._ (n o _62, n o _61, n o _162, n o _63, n o _64 et n o _65). B. Par requêtes du 12 et du 17 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) des demandes de levée des scellés. A._ et le MPC se sont déterminés à plusieurs reprises. La qualité de partie lui ayant été refusée dans ces procédures, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui - après avoir suspendu les procédures devant le Tmc - a admis sa requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, le premier juge a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. A._ et la République d'Ouzbékistan ont notamment été invités à se déterminer jusqu'au 9 août 2013, délai prolongé au 16 août 2013, sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées directement par le DFAE au Tmc (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013). Le 19 août 2013, le premier juge a refusé d'accorder à A._ un délai complémentaire pour se déterminer. Par ordonnances du 21 août 2013, l'instance précédente a admis les deux requêtes de levée des scellés. C. Par actes du 23 septembre 2013, A._ forme deux recours en matière pénale contre ces décisions, concluant à l'annulation de celles-ci, au rejet des requêtes de levée des scellés et, subsidiairement, au renvoi des causes à l'autorité précédente pour nouvelles décisions au sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'effet suspensif aux recours. Invités à se déterminer, le Ministère public et le Tmc ont conclu au rejet des recours dans la mesure de leur recevabilité; le second a en particulier précisé que, selon, lui, A._ ne serait pas légitimé à invoquer l'immunité diplomatique pour s'opposer à la levée des scellés. La République d'Ouzbékistan a appuyé les recours. Le premier juge, le Procureur, la République d'Ouzbékistan et le recourant - notamment pour ce dernier, dans des écritures du 11 novembre, puis du 2 décembre 2013 - ont déposé des déterminations complémentaires, persistant dans leurs conclusions. Par ordonnances du 15 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé dans les deux procédures.