A.- A._ a été engagé dès le 1er octobre 1998 en qualité de moniteur dans un établissement de fitness à Genève par Y._ SA. Le contrat signé par les parties contient une clause signifiant - selon une interprétation non litigieuse - que l'employeur s'engageait à conclure une assurance permettant le paiement intégral du salaire en cas de maladie. Dans le courant du mois d'octobre 1999, cet établissement de fitness a été repris par Z._ SA, devenue par la suite X._ SA. Selon les explications données par cette société, le précédent exploitant avait résilié, pour la date de la remise, les contrats d'assurance qu'il avait conclus avec W._. Dans le courant du mois d'octobre 1999, la reprenante est entrée en contact avec la société d'assurances K._ en vue de contracter une assurance collective perte de gain en cas de maladie. Cette société a recueilli diverses informations et les documents d'assurance ont été établis en date du 24 mars 2000; ils prévoient que la couverture d'assurance est donnée dès le 1er janvier 2000. Le salarié a été totalement incapable de travailler pour cause de maladie du 18 novembre 1999 jusqu'au 21 mai 2000. Son cas a été exclu de l'assurance conclue avec K._. Ayant appris que l'assureur ne couvrirait pas la perte de gain du moniteur de sport, l'employeur a cessé de lui verser son salaire. Par courrier du 25 mai 2000, il a déclaré résilier le contrat de travail pour le 31 mai 2000. B.- Le 16 juin 2000, le travailleur a déposé devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève une demande en paiement, réclamant à son ancien employeur 23'380 fr.90 avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2000, à titre de salaires pour la période du 1er mars au 31 juillet 2000 et à titre d'indemnités pour les vacances. La Caisse de chômage du SIT est intervenue dans la procédure, faisant valoir la subrogation légale pour des indemnités versées au travailleur en ce qui concerne les mois de juin et juillet 2000, à savoir 5'967 fr. Par jugement du 24 janvier 2001, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 23'380 fr.90 avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2000, sous déduction de la somme nette de 5'967 fr. à verser à la Caisse de chômage du SIT. Saisie par la défenderesse, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 12 novembre 2001, a confirmé le jugement précité. Sur les deux points qui demeurent litigieux, la cour cantonale a considéré que la défenderesse n'avait pas apporté la preuve qu'elle avait payé le salaire du mois de mars 2000 et qu'elle devait être tenue pour responsable de l'absence de la couverture d'assurance due contractuellement à l'employé. C.- Parallèlement à un recours en réforme, la défenderesse (qui a changé de raison sociale entre-temps) interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant un déni de justice formel et l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué. Le demandeur propose la confirmation de l'arrêt attaqué. La cour cantonale se réfère à ses considérants. La caisse de chômage n'a pas déposé d'observations.