A.- A._ a travaillé successivement au service de plusieurs établissements médico-sociaux en qualité d'aide-soignant. En dernier lieu, il a été engagé dès le 1er septembre 1989 par la Résidence X._, qui a résilié le contrat de travail avec effet immédiat, le 27 février 1992. En raison de cet engagement, A._ a été affilié au Fonds de prévoyance de l'Association Vaudoise d'Etablissements Médico-Sociaux (AVDEMS; ci-après : le fonds de prévoyance). Le 31 mars 1992, puis le 28 octobre 1992, le fonds de prévoyance a adressé à l'intéressé un questionnaire relatif au sort de sa prestation de libre passage. Le 23 novembre 1992, A._ a rempli et retourné ce questionnaire en indiquant qu'il désirait le maintien de son compte individuel auprès du fonds de prévoyance, sans paiement de cotisations pour la couverture des risques décès et invalidité; il a précisé qu'il se trouvait "toujours au chômage". B.- Le 16 février 1993, A._ a présenté une demande de rente de l'assurance-invalidité. Son médecin traitant, le docteur P._, chef de clinique adjoint à l'Hôpital ophtalmique Y._, a posé à l'intention du secrétariat de l'assurance-invalidité le diagnostic de "dystrophie choroïdienne péripapillaire à transmission autosomale récessive" et d'astigmatisme myopique bilatéral (rapport du 10 mars 1993). Par décision du 19 janvier 1996, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud a accordé à l'assuré une rente entière d'invalidité, avec effet au 1er mai 1994. L'assuré a recouru contre cette décision en concluant au versement d'une rente à partir du 1er janvier 1993 déjà. Par jugement du 3 mai 1996, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours. Saisi d'un recours de droit administratif dirigé contre ce jugement, le Tribunal fédéral des assurances l'a partiellement admis par arrêt du 23 septembre 1997. Il a renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction portant sur le moment de la survenance de l'incapacité de travail de l'assuré. C.- A la suite de cet arrêt, le tribunal des assurances a repris l'instruction du cas. Il a adressé un questionnaire au docteur P._, qui a répondu par lettre du 24 novembre 1997. Par un deuxième jugement, du 21 janvier 1998, le tribunal des assurances a reconnu à l'assuré le droit à une rente de l'assurance-invalidité dès le 1er mars 1993. Il a retenu, sur la base des explications fournies par le docteur P._, que l'incapacité de travail de l'assuré avait débuté le 1er mars 1992. D.- Le 31 mars 1998, A._ a demandé au fonds de prévoyance de lui allouer, également, une rente d'invalidité. Le fonds de prévoyance lui a opposé un refus, au motif que l'incapacité de travail avait débuté en réalité le 1er mai 1993; il ne remplissait donc pas les conditions mises au versement par le fonds de prévoyance d'une rente d'invalidité, attendu qu'il n'était plus couvert, à cette date, pour le risque d'invalidité (lettre du 16 juillet 1998). E.- A._ a alors assigné le fonds de prévoyance devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud en paiement d'une rente d'invalidité à partir du 1er mars 1993. Le fonds de prévoyance a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 26 mai 1999, le tribunal des assurances a alloué à l'assuré une rente d'invalidité de 1250 fr. 60 par mois à partir du 1er mars 1994. Se référant à son jugement du 21 janvier 1998, il a retenu, en bref, que l'incapacité totale de travailler avait débuté le 1er mars 1992, à une époque où l'assuré bénéficiait encore d'une couverture du risque d'invalidité par le fonds de prévoyance. Comme l'assuré avait droit, par ailleurs, à des indemnités journalières d'assurance-maladie, en raison de sa perte de gain, jusqu'au 28 février 1994, le droit à une rente du fonds de prévoyance devait être différé jusqu'au 1er mars 1994. F.- Le fonds de prévoyance interjette un recours de droit administratif en concluant à l'annulation de ce jugement et au rejet de la demande. A._ conclut au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il renonce à présenter une proposition.