Faits: A. A._, né en 1953, a travaillé en qualité de carrossier indépendant. Souffrant de lésions cervicales, d'origine dégénérative et traumatique (wiplash consécutif à un accident de la circulation du 13 septembre 2002), il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 1 er septembre 2004. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a recueilli plusieurs avis médicaux. Parmi ceux-ci, figurent des rapports émanant des docteurs S._, chirurgien (du 27 mars 2003), B._, médecin traitant (du 19 septembre 2004) et G._, neurochirurgien (du 5 novembre 2004); ce dernier a attesté une capacité de travail de 50 % au mieux dans une activité adaptée. A l'issue d'une expertise pluridisciplinaire (rhumatologique, psychiatrique et neurologique) conduite au Centre X._ par les docteurs L._, R._ et H._, la capacité de travail de l'assuré a été fixée à 80 % dans une activité adaptée, avec une diminution de rendement de 10 %, à compter de l'année 2002 (rapport du 20 décembre 2006). Le Centre X._ a confirmé son appréciation (rapport du 28 août 2009). L'office AI s'est fondé sur les conclusions du Centre X._. Par décision du 3 décembre 2009, consécutive à un projet du 28 octobre 2009, il a fixé le taux d'invalidité à 25 %, résultant de la comparaison d'un revenu sans invalidité de 50'000 fr. avec un gain d'invalide de 37'419 fr. L'office AI a ainsi refusé d'allouer une rente. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice, Chambre des assurances sociales), en concluant à son annulation et à l'octroi d'une rente entière à compter du 1 er octobre 2003, fondée sur un degré d'invalidité de 84 %. La juridiction cantonale a mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire (ordonnance du 6 juillet 2011). Les docteurs P._, rhumatologue, et D._, psychiatre, ont déposé leurs rapports respectifs les 20 octobre 2011 et 28 février 2012. Dans une écriture conjointe du 26 juin 2012, ils ont précisé que l'assuré conservait une capacité de travail de 75 %, de laquelle il fallait encore retrancher 25 % à titre d'une diminution du rendement justifiée par une limitation fonctionnelle de la mobilité du rachis cervical associée à des troubles dégénératifs cervicaux. Les experts judiciaires n'ont pas été en mesure de dater le début de l'incapacité de travail ni son étendue initiale. La Chambre des assurances sociales a tenu compte de l'incapacité de travail attestée par les docteurs D._ et P._, qu'elle a jugée valable dès l'année 2002. Elle a dès lors fixé le taux d'invalidité à 48 %, après avoir ramené le revenu d'invalide à 25'985 fr. Par jugement du 31 janvier 2013, elle a annulé la décision du 3 décembre 2009 (ch. 2 du dispositif), reconnu à l'assuré le droit à un quart de rente à compter du 13 septembre 2003 (ch. 3) et condamné l'office AI aux dépens (ch. 4) ainsi qu'aux frais (ch. 5). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en ce sens que le quart de rente ne soit versé qu'à partir du 1 er octobre 2011. L'assuré intimé conclut au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. A._ a également interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 31 janvier 2013 en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à compter du 1 er septembre 2003. Son recours a été déclaré irrecevable par arrêt du 19 avril 2013 (9C_202/2013). La demande de révision qu'il a formée à l'encontre de cet arrêt a été rejetée ce jour (9F_7/2013). Par ordonnance du 21 mai 2013, le Juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours de l'office AI, limité à la période pour laquelle ce dernier conteste devoir servir le quart de rente (de septembre 2003 à septembre 2011).