Faits: A. Par décision du 12 novembre 2007, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée par F._. B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette décision, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a entendu les docteurs D._ et R._ en tant que témoins (audience du 21 novembre 2008). Il a ensuite donné la possibilité à l'office AI de soumettre les procès-verbaux d'enquêtes à son Service médical régional AI (SMR) et de se déterminer dans le délai imparti. Par jugement du 20 août 2009, il a débouté l'assurée. C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi "de prestations de l'AI pleines et entières". Dans sa détermination du 16 octobre 2009, le Président suppléant de la Chambre 8 du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales indique qu'en raison d'une erreur de classement (corrigée depuis lors) il n'a pas eu connaissance de la réponse de l'office AI datée du 6 janvier 2009; le Tribunal n'ayant pas statué sur certaines conclusions et n'ayant pas pris en considération des faits pertinents ressortant en particulier du courrier du 6 janvier 2009, il propose l'admission du recours. Pour sa part, l'office AI conclut à l'admission partielle du recours, en ce sens que le jugement entrepris soit annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.