Faits: A. A.a La société anonyme banque X._, (ci-après: X._ ou la banque), qui a singulièrement pour but l'exploitation d'une banque, est détenue à 100% par la société Y._ SA, contrôlée elle-même par B.B._, président du conseil d'administration de X._. Par contrat de travail du 19 mars 1998, subdivisé en dix points, la banque a engagé A._. Les chiffres 1 et 2 de l'accord fixaient respectivement la date d'entrée en fonction, soit le 1er mai 1998, l'"Echelon" et la fonction à remplir, à savoir membre de la direction générale avec la responsabilité du secteur "Risk Management and Administration"; sous le libellé "3 Traitement" de ce contrat, il était stipulé que le salaire de base annuel brut du directeur se monterait à 363'400 fr., plus une indemnité pour frais de représentation, par 36'600 fr.; sous la rubrique "4 Bonus", il était prévu la participation du directeur au plan de bonus de X._, le calcul de celui-ci se faisant à partir d'un "bonus-cible" de 150'000 fr., ledit montant de 150'000 fr. lui étant toutefois garanti pour la première année; sous l'intitulé "5 Délai de résiliation", il était instauré pour chacune des parties un délai de congé de six mois pour la fin d'un mois; s'agissant des points 6, 7 et 8, ils traitaient respectivement de l'"Horaire de travail", des "Vacances" et de la "Fondation de prévoyance"; le chiffre 9 rappelait le contenu de diverses obligations légales auxquelles était soumis le directeur et le chiffre 10 dressait la liste des documents remis à ce dernier faisant partie intégrante de son contrat de travail (art. 64 al. 2 OJ). Nommé au début 2001 membre du comité de direction générale de la banque, A._, par un avenant du 22 janvier 2001, a vu sa rémunération atteindre, à partir du 1er janvier 2001, le montant annuel brut de 550'000 fr., indemnité de frais de représentation incluse. Ledit avenant précisait, juste au-dessous du total de la rémunération mis en évidence en caractères gras, que le "bonus-cible" était fixé pour l'année 2001 à 300'000 fr. Il était pour finir spécifié que "toutes les autres conditions mentionnées dans (le) contrat de travail du 19 mars 1998 demeur(aient) inchangées" (art. 64 al. 2 OJ). A.b Dans une note d'information du 8 mars 2001, signée par B.B._ ainsi que par C.B._, président du directoire de la banque, celle-ci a annoncé sa décision d'ouvrir son capital à certains cadres supérieurs afin de leur offrir un véritable partenariat, notamment en transformant le directoire en un nouvel organe de direction, le comité exécutif; ce dernier devait ainsi comprendre trois membres de la famille B._, ainsi que trois membres n'appartenant pas à cette famille, à savoir A._, D._ et E._. Le comité exécutif s'est réuni régulièrement dès le 27 mars 2001, notamment afin de déterminer ses fonctions et de créer un plan d'intéressement lié à Y._ SA. Ce plan était destiné à certains employés privilégiés (Top Officers) qui pouvaient consacrer leur bonus annuel à l'achat d'actions de Y._ SA, une durée de blocage de trois ans étant prévue. Le 4 mai 2001, A._, D._ et E._ ont adressé à B.B._ une proposition écrite de mise en place du plan d'intéressement. A teneur de ce document, un délai de blocage de six ans était prévu, au terme duquel le partenaire avait la possibilité de vendre un quart des actions, cela pour des considérations fiscales. Le 13 septembre 2001, A._ a rédigé un document intitulé "Suggestions pour l'évaluation de la banque (mécanisme pour les cadres supérieurs)", lequel comportait une obligation de conservation des titres d'une durée de quatre ans. Lors d'une séance du 14 novembre 2001, le conseil d'administration a indiqué que le plan d'intéressement, alors à l'étude, devait avoir les caractéristiques suivantes: investissement d'un pourcentage du bonus; réduction de 25% sur les titres bloqués pour cinq ans; sortie à la valeur de rachat durant les trois premières années; droit au dividende. Le 20 novembre suivant, le projet a été approuvé par le comité exécutif. Le 10 décembre 2001, la banque a fait un point de la situation concernant le plan d'intéressement. Il en est résulté que deux plans d'intéressement distincts étaient prévus, soit le "partnership" pour les membres du comité exécutif extérieurs à la famille B._ et le "plan de participation" pour les membres de la direction générale et les membres de la direction, au nombre d'environ cinquante. Le 17 décembre 2001, le personnel a reçu une circulaire, dans laquelle les membres du comité exécutif étaient qualifiés d'associés aux responsabilités étendues et importantes, respectivement de "véritables partenaires". A.c Par lettre du 18 décembre 2001 signée par B.B._ et C.B._, la banque a confirmé à A._, sous l'intitulé "1 Responsabilités", sa nomination depuis le 1er juin 2001 au poste de responsable de la division "Private Banking" et des centres "offshores" du groupe X._; selon la rubrique "2 Rémunération", le document mentionnait que le salaire annuel de base de l'intéressé était porté à 1'323'900 fr., auquel s'ajoutait une indemnité pour frais de représentation de 176'100 fr., étant précisé que ladite augmentation de salaire serait valable rétroactivement dès le 1er mai 2001 et que le contrat de partenariat promis serait signé avec effet rétroactif à la même date; d'après le libellé "3 Délai de résiliation", le délai de congé du contrat de travail était porté, avec effet immédiat, à 12 mois; une dernière clause désignée "4 Prévoyance professionnelle" mentionnait le salaire assuré (art. 64 al. 2 OJ). La lettre du 18 décembre 2001 spécifiait encore in fine que "les autres clauses (du) contrat du 19 mars 1998 demeur(aient) inchangées" (art. 64 al. 2 OJ). Il a été retenu qu'un mémorandum interne de la banque, daté du 29 novembre 2001, spécifiait que l'augmentation de la rémunération de certains cadres à 1'500'000 fr., avec effet rétroactif au 1er mai 2001, entraînait la suppression de tout bonus. A.d Dans le contexte de l'année 2001, laquelle s'est révélée difficile pour la banque, les prestations de A._ ont été jugées très professionnelles. La situation économique a poursuivi sa dégradation en 2002, notamment dans la division du "Private Banking". Les deux plans d'intéressement en cours d'élaboration ont alors été modifiés afin d'être établis non plus sur la valeur boursière des titres de la banque, mais sur la valeur comptable de l'entreprise. En juin 2002, le secteur "Private Banking" a été scindé en deux divisions, soit le "Private Banking I", qui recouvrait le secteur correspondant d'un établissement nouvellement acquis par X._, et le "Private Banking II" conduit par A._. A.e Le 10 mars 2003, un projet du plan d'intéressement destiné aux membres du comité exécutif a été transmis à A._ par B.B._ en tant que "concrétisation de l'engagement pris le 31 mai 2001", afin que le premier puisse formuler ses observations. A._ a fait part singulièrement de son mécontentement au sujet des dividendes - qui, selon lui, devaient être acquis indépendamment de la durée du contrat de travail -, ce qui a suscité l'incompréhension de B.B._. Ce dernier a précisé à A._, par lettre du 19 juin 2003, que les dividendes en question ne seraient acquis dans leur totalité qu'à la condition que leur bénéficiaire restât au service de la banque pendant six ans à compter du mois de juin 2003, et que les dividendes déjà versés depuis 2001 sur ces titres se retrouvaient dans le prix d'acquisition des actions, lequel avait été diminué à due concurrence; ainsi, leur acquéreur profitait économiquement du montant des dividendes en payant moins pour l'achat des titres. Le 30 juin 2003, un plan définitif de partenariat, préparé par la banque, a été adressé à A._, ainsi qu'à D._ et E._. X._ indiquait au premier nommé que ce plan lui permettait d'acquérir 0,5% du capital-actions de Y._ SA. Le plan devait arriver à maturité le 1er juillet 2009. En cas d'acceptation, A._ était prié de signer le document et de le retourner à X._. Afin de permettre le financement dudit plan, X._ proposait au directeur un contrat de prêt portant sur 5'864'269 fr.85. Dans un courrier du même jour, la banque a en outre fait savoir à A._ que les deux tiers de sa rémunération annuelle brute, soit 1'000'000 fr., lui restaient acquis et qu'il s'y ajouterait un bonus maximal de 500'000 fr. versé en fonction de l'atteinte des objectifs fixés par la banque (art. 64 al. 2 OJ). Le 20 août 2003, les deux autres membres du comité exécutif concernés par le plan de partenariat, à savoir D._ et E._, ont signé le plan qui leur avait été proposé. Par courrier du 30 septembre 2003, A._ s'est refusé à signer le plan proposé, au motif qu'il ne reflétait pas l'accord original du mois de mai 2001, lequel devait permettre une acquisition pleine et entière des actions, "sans période de titularisation". B.B._, prenant acte du refus de l'intéressé, a écrit à ce dernier le 14 octobre 2003 qu'en présentant le plan en cause, il considérait avoir honoré sa promesse du mois de mai 2001 d'ouvrir le capital-actions de la banque. X._ a répondu pour sa part à A._ le 21 octobre 2003 qu'un accord originel, tel que ce dernier l'avait évoqué, n'avait jamais existé. A.f Pour l'année 2003, X._ avait estimé insatisfaisants les résultats du secteur "Private Banking". Au début 2004, au vu de l'aggravation des tensions avec A._, laquelle faisait apparaître que les rapports de travail ne pourraient plus être maintenus, la banque a relancé F._, qu'elle avait rencontré en septembre 2003 pour un poste de "Head of Asset Manager", en lui proposant cette fois de reprendre la direction du "Private Ban- king II". A._, qui avait jugé prudent de laisser passer un peu de temps après avoir reçu le pli de B.B._ d'octobre 2003, lui a répondu par lettre du 28 avril 2004. Soulignant les divergences d'opinion existant au sujet du plan de partenariat, le directeur a proposé de signer un contrat de durée déterminée avec X._, correspondant au terme de la période de "titularisation", cela afin de garantir sa présence au sein de la banque jusqu'en 2006. Se référant à un entretien du même jour, la banque, par pli du 18 mai 2004, a résilié le contrat de travail de A._, avec effet au 31 mai 2005. Elle l'a libéré de son obligation de travailler à compter du 21 mai 2004, les vacances devant être prises durant le délai de congé. Invitée à donner les motifs du congé, X._ a indiqué que la position particulièrement élevée qu'occupait A._ nécessitait un lien de confiance particulièrement fort, lequel avait été irrémédiablement rompu. Elle a déclaré que l'intéressé n'avait pas atteint les objectifs professionnels qui lui avaient été fixés au cours des deux dernières années et que ses rapports avec les autres membres du comité exécutif s'étaient détériorés. La banque a réfuté tout lien entre le refus de A._ de signer le plan de partenariat et le congé qui lui a été signifié huit mois plus tard. Le 1er juillet 2004, X._ a engagé F._ en tant que successeur de A._. Ce dernier, par pli du 21 septembre 2004, a déclaré résilier le contrat de travail avec effet immédiat, notamment au motif que la longue inactivité à laquelle il était contraint par sa libération du devoir de travailler était de nature à lui causer un préjudice difficilement réparable. Ce congé a été accepté par la banque le 29 septembre 2004. B. B.a Par demande du 29 juillet 2004, A._ a actionné la banque devant la juridiction des prud'hommes genevoise. Dans ses dernières conclusions, le demandeur a requis que la défenderesse soit condamnée à lui payer les montants suivants: - 750'000 fr., plus intérêts à 5% l'an dès le 28 mai 2004, à titre d'indemnité pour licenciement abusif correspondant à six mois de salaire; - 4'128'125 fr., avec divers intérêts, à titre d'indemnités pour la violation par la banque de son obligation de verser les dividendes dus en vertu du contrat de partenariat; - 900'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 août 2004 au titre de bonus pour les années 2001 à 2003. Le demandeur a fait valoir qu'il avait conclu avec la banque un accord portant sur la participation à un plan d'intéressement afférent au capital-actions de Y._ SA et que la défenderesse, en lui proposant par la suite un contrat de partenariat qui ne correspondait pas à cet accord, avait imparfaitement exécuté ladite convention. Il en a déduit qu'il avait droit à l'intérêt positif au contrat jusqu'au 31 mai 2005. A._ a qualifié son licenciement de doublement abusif; d'une part, il était la conséquence de son refus d'accepter une modification défavorable de ses conditions de travail devant entrer en vigueur avant l'écoulement du délai de congé (congé-modification); d'autre part, le congé avait immédiatement suivi sa réclamation tendant à l'exécution d'une obligation résultant de son contrat de travail. La défenderesse a conclu, quant au fond, au déboutement du demandeur. La banque a exposé qu'aucun accord oral n'avait été conclu en 2001 entre les parties et que le plan de partenariat concrétisant la promesse de B.B._ n'avait jamais été accepté par le demandeur. Elle a en outre indiqué que le licenciement intervenu ne pouvait être qualifié d'abusif, dès l'instant où il était dû à la dégradation tant des rapports de travail que de la qualité des prestations de A._. En cours d'instruction, la défenderesse a produit une lettre de Y._ SA, indiquant qu'une participation de 0,5% à son capital aurait donné droit aux dividendes suivants: - 1'102'500 fr. pour l'année 2001; - 330'750 fr. pour l'année 2002; - 826'875 fr. pour l'année 2003; - 1'868'000 fr. pour l'année 2004. B.b Par jugement du 11 août 2005, le Tribunal des prud'hommes de Genève, après rectification d'une erreur de calcul au sens de l'art. 160 de la loi de procédure applicable, a condamné la défenderesse à verser au demandeur le montant brut de 100'000 fr. Cette autorité a considéré que le congé donné au demandeur ne pouvait être qualifié d'abusif, faute de connexité étroite entre le licenciement et le moment où ce cadre avait fait valoir ses prétentions; du reste, les motifs de congé allégués par X._ paraissaient bien réels. La juridiction prud'homale a nié qu'un plan d'intéressement ait été conclu entre les parties en 2001, de sorte que le défendeur n'était pas fondé à réclamer des dividendes à la banque sur cette base. Elle a admis que la rémunération du demandeur, telle qu'elle avait été augmentée le 18 décembre 2001, avec effet rétroactif au 1er mai 2001, incluait le bonus. Toutefois, s'agissant de la période du 1er janvier au 30 avril 2001, un bonus devait être attribué à A._, par 100'000 fr. B.c A._ a appelé de ce jugement. Statuant par arrêt du 27 février 2006, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a entièrement confirmé le jugement entrepris. En substance, l'autorité cantonale a relevé que la promesse faite par B.B._ au printemps 2001 à propos de l'établissement d'un plan de partenariat futur ne constituait qu'une déclaration d'intention, dénuée de portée juridique. Examinant encore la question sous l'angle de la responsabilité fondée sur la confiance, elle a exposé que rien ne démontrait que la banque, par son comportement, aurait suscité chez le demandeur un espoir légitime, qu'elle aurait pu anéantir par la suite au mépris de la bonne foi. Puis, la Cour d'appel a interprété à la lumière de la théorie de la confiance l'avenant du 18 décembre 2001. Elle a déduit de l'interprétation objective de cet acte que le nouveau salaire global du demandeur, augmenté de manière très importante, ne permettait pas à A._ d'admettre qu'il avait en plus droit à un bonus. Enfin, la cour cantonale a expliqué que la vraisemblance des motifs de licenciement allégués par le demandeur n'avait pas été démontrée, qu'en revanche l'incompatibilité d'humeur entre C.B._ et A._, devenue grave au fil du temps, avait été établie, ce qui signifiait que le congé délivré le 18 mai 2004 à ce dernier était parfaitement licite. En substance, l'autorité cantonale a relevé que la promesse faite par B.B._ au printemps 2001 à propos de l'établissement d'un plan de partenariat futur ne constituait qu'une déclaration d'intention, dénuée de portée juridique. Examinant encore la question sous l'angle de la responsabilité fondée sur la confiance, elle a exposé que rien ne démontrait que la banque, par son comportement, aurait suscité chez le demandeur un espoir légitime, qu'elle aurait pu anéantir par la suite au mépris de la bonne foi. Puis, la Cour d'appel a interprété à la lumière de la théorie de la confiance l'avenant du 18 décembre 2001. Elle a déduit de l'interprétation objective de cet acte que le nouveau salaire global du demandeur, augmenté de manière très importante, ne permettait pas à A._ d'admettre qu'il avait en plus droit à un bonus. Enfin, la cour cantonale a expliqué que la vraisemblance des motifs de licenciement allégués par le demandeur n'avait pas été démontrée, qu'en revanche l'incompatibilité d'humeur entre C.B._ et A._, devenue grave au fil du temps, avait été établie, ce qui signifiait que le congé délivré le 18 mai 2004 à ce dernier était parfaitement licite. B.d Parallèlement à un recours de droit public, qui a été rejeté dans la mesure de sa recevabilité par arrêt de ce jour, A._ exerce un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut à ce que la défenderesse soit condamnée à lui payer la somme de 900'000 fr. plus intérêts à 5 % dès le 26 août 2004. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt déféré.