Faits: A. Par jugement du 1er juin 2012, le Tribunal criminel du canton de Genève a reconnu Z._ coupable d'assassinat de F._ et l'a condamné à une peine privative de liberté de 16 ans, sous déduction de la détention préventive subie avant jugement. Sur le plan civil, il a été condamné à payer, conjointement et solidairement avec les autres condamnés, au père et à la mère de la victime, la somme de 40'000 fr. à chacun, plus intérêts à 5 % l'an dès le 26 novembre 2008, et, à la soeur de la victime, la somme de 20'000 fr., plus intérêts à 5% l'an dès le 26 novembre 2008, à titre de réparation du tort moral, ainsi que différents autres montants au titre de dommages-intérêts aux parents de la victime. A.X._ a été condamnée pour instigation à assassinat à une peine privative de liberté de 16 ans. B.X._, la mère de A.X._, reconnue coupable d'instigation à assassinat, a été condamnée à une peine privative de liberté de 11 ans. Enfin, l'intermédiaire, Y._, a été condamné pour instigation à assassinat à une peine privative de liberté de 11 ans. B. Par arrêt du 8 février 2013, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a rejeté l'appel formé par Z._ et confirmé le jugement de première instance. Les appels du Ministère public genevois et des autres protagonistes ont été également rejetés, mis à part celui de l'intermédiaire Y._ qui a vu sa peine réduite d'un an (dix ans de privation de liberté) à cause de ses capacités de compréhension un peu limitées. En substance, la condamnation de Z._ repose sur les faits suivants: B.a. A.X._ et F._ se sont rencontrés en janvier 2003. Dès le départ, cette relation a été émaillée de nombreuses ruptures, disputes et retrouvailles, cela de façon cyclique. Il y avait un amour réel et profond des deux côtés, avec des aspects très excessifs et des rejets ponctuels, les deux faisant également preuve de jalousie l'un envers l'autre. Vers la fin du premier semestre 2005, A.X._ est retournée vivre avec F._, pendant plusieurs années. A.X._ et F._ se sont mariés le 1er novembre 2005 à Las Vegas. Ils n'ont entrepris aucune démarche en Suisse pour faire reconnaître leur mariage, de sorte qu'ils pensaient ne pas être engagés en ce sens. B.X._ a rompu complètement les relations avec sa fille, en raison du choix opéré par celle-ci de privilégier sa relation avec F._. Dès début 2008, des difficultés rencontrées au sein du couple ont conduit A.X._ et F._ à décider de se séparer. Pour des motifs économiques, A.X._ n'a pas pu se constituer un domicile séparé et, dans l'attente de trouver un logement, a été vivre temporairement à G._ dans l'appartement du chemin H._ où F._ s'était installé. Finalement, le 13 août 2008, A.X._ est retournée vivre chez sa mère. Par la suite, A.X._ et F._ n'ont plus eu de contact pendant un mois. Le 12 septembre 2008, F._ a essayé de joindre A.X._ sans résultat. Les jours suivants, des contacts téléphoniques sont intervenus fréquemment entre F._ et A.X._, à l'initiative des deux. Ils se sont également revus à plusieurs reprises pendant cette période et jusqu'en novembre 2008. Ils ont entretenu des relations sexuelles à au moins une reprise. Le 16 octobre 2008, l'avocat de F._ a écrit à A.X._ pour lui demander la restitution de plusieurs objets, dont, notamment, la statuette emportée par A.X._ et une tasse et sous-tasse précolombiennes. A la même période, A.X._ et F._ ont abordé la question des modalités de leur divorce. F._ était cependant ambivalent s'agissant de l'avenir de sa relation avec A.X._, ce dont il lui a fait part. Il a appris de A.X._ qu'elle fréquentait un autre homme, annonce à laquelle il a réagi avec énervement. B.b. Vers la fin octobre 2008, A.X._ a rencontré Y._, à T._, rencontre à laquelle a également participé B.X._. Auparavant, elle s'était ouverte auprès de tiers, dont Y._, qu'elle avait des problèmes avec F._, qu'elle avait présenté comme menaçant. Elle a en particulier indiqué à Y._ qu'elle craignait F._. Ces propos avaient également été relayés auprès de Y._ par B.X._. Dans ce contexte, celui-ci a proposé une rencontre avec Z._ qu'il connaissait du monde hippique. Le 1er novembre 2008, les quatre protagonistes se sont retrouvés à U._ où, après salutations, Z._ s'est éloigné pour discuter avec A.X._, notamment de la rémunération pour tuer F._. B.X._ n'a pas participé à la discussion; elle a toutefois reçu un compte rendu de celle-ci sur le chemin du retour. Par la suite, Z._ et A.X._ ont eu différents contacts pour parler, d'une part, de la remise du montant convenu, en deux fois et, d'autre part, de l'avancement du projet. Le 10 novembre 2008, B.X._ a remis à sa fille la somme de 25'000 fr. correspondant à la deuxième moitié de la rémunération du tueur à gages. A.X._ ne s'est tournée vers sa mère qu'après avoir vainement tenté d'obtenir ailleurs les fonds nécessaires. Le 24 novembre 2008, A.X._ et Z._ se sont rencontrés à I._ et, à cette occasion, A.X._ a dessiné un plan de l'appartement de F._ après que Z._ lui eut indiqué qu'il n'était pas possible d'agir à l'extérieur mais que cela devait être fait dans l'appartement. A.X._ a maintenu volontairement et régulièrement le contact avec F._ depuis la mi-septembre 2008 et jusqu'au 17 novembre 2008. B.c. Dans la nuit du 25 au 26 novembre 2008, Z._ est entré dans l'appartement de F._ en passant par le toit de l'ascenseur. Il a tué ce dernier dans son appartement par deux coups de feu dans la tête, tirés à bout portant ou à courte distance, durant son sommeil. B.d. Juste après le décès de F._, A.X._ a immédiatement pris des mesures pour faire reconnaître son mariage avec ce dernier. Elle a également pris des contacts auprès de diverses administrations en se présentant comme sa veuve. Elle s'est manifestée pour récupérer la qualité de membre du spa de l'établissement J._, elle a approché la société K._ pour récupérer une avance de 8'000 fr. faite en vue de l'achat d'un véhicule et a téléphoné à une boutique pour récupérer un éventuel achat de F._. Elle a également demandé le bénéfice d'inventaire de la succession de F._, s'est manifestée envers la gérante de la société L._ pour discuter de la propriété des actions de la société et des revenus générés par celle-ci, de même qu'auprès des employés de la société M._ pour leur demander de surveiller les agissements du père de F._ en regard du patrimoine de cette société. Elle a pris des renseignements à la fin de l'année 2008 auprès de la caisse AVS et une caisse LPP pour s'enquérir des montants de la rente de veuve. Le 5 mars 2009, A.X._ s'est rendue chez N._, en compagnie de sa mère et de Y._, à l'invite de celui-ci, et elle a demandé à N._ de lui établir une fausse quittance d'un montant de 25'000 fr. pour l'achat du cheval O._ aux fins de dissimuler une sortie d'argent opérée en faveur de Z._. B.e. Interpellée le 12 mars 2009, A.X._ a reconnu avoir mandaté Z._ pour tuer F._ contre la somme de 50'000 fr. C. Contre l'arrêt cantonal, Z._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Dénonçant une violation de son droit d'être entendu et l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, il conclut, principalement, à son acquittement et à l'allocation d'une indemnité équitable; à titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire. Les autres protagonistes, à savoir A.X._, B.X._ et Y._ ont également déposé un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral.