Faits: Faits: A. Dès mai 1997, la Banque X._ SA a engagé Y._ en qualité de gestionnaire des comptes de sa clientèle privée, avec rang de sous-directeur. Par la suite, Y._ a été promu au titre de directeur adjoint. Il gérait les comptes de quelques deux cent trente clients dont les avoirs totalisaient près de 130 millions de francs. Le 4 décembre 2001, il a souscrit un avenant à son contrat de travail par lequel il s'interdisait, pendant les trois ans qui suivraient la fin de sa collaboration, de contacter ou solliciter la clientèle de la banque, de manière directe ou indirecte, au profit d'un nouvel employeur, d'un tiers ou de lui-même. Le directeur adjoint a présenté sa démission le 24 mai 2004 pour le 31 août de la même année; il est ensuite entré au service de N._ SA, une société active dans les opérations financières et la gestion de fortunes. A l'annonce de cette démission, la banque a désigné son collaborateur Z._ pour reprendre la gestion des comptes confiés à Y._. Ce dernier était chargé de l'introduire auprès des clients et de l'informer de l'état des comptes et des dossiers. Des dissensions se sont rapidement élevées à ce sujet, la banque reprochant au directeur adjoint de ne pas coopérer loyalement à la préparation de son successeur. Dans les mois qui ont suivi le départ de Y._, quelques-uns des clients concernés, qui avaient, selon la banque, des liens familiaux entre eux, ont fait clore leurs comptes, au nombre de sept, et transférer leurs avoirs à d'autres établissements bancaires. Certains ont désormais confié un mandat de gestion à N._ SA. Dans les mois qui ont suivi le départ de Y._, quelques-uns des clients concernés, qui avaient, selon la banque, des liens familiaux entre eux, ont fait clore leurs comptes, au nombre de sept, et transférer leurs avoirs à d'autres établissements bancaires. Certains ont désormais confié un mandat de gestion à N._ SA. B. Le 18 mars 2005, la Banque X._ SA a ouvert action contre Y._ devant la juridiction des prud'hommmes du canton de Genève. Sa demande tendait au paiement de 387'024 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 janvier 2005. Elle reprochait au défendeur d'avoir capté ce groupe de clients en violation de l'engagement qu'il avait souscrit et de lui avoir ainsi causé un dommage correspondant aux frais de gestion de comptes et de garde de titres qu'elle ne pouvait plus prélever. Contestant qu'il eût agi en violation de ses devoirs, le défendeur a conclu au rejet de l'action. La demanderesse a fait citer Z._ à titre de témoin. A l'audience du 6 juin 2005, elle a expliqué que celui-ci était un organe de la banque, de sorte que le Tribunal de prud'hommes l'a interrogé en cette qualité. Le tribunal a ensuite statué le 30 août 2005; au motif que la preuve d'un débauchage des clients n'avait pas été apportée, il a donné gain de cause au défendeur. La demanderesse a appelé du jugement en persistant dans ses conclusions initiales. Elle a en outre pris des conclusions préalables qu'elle libellait comme suit: - Admettre le témoignage apporté par ... Z._. - Ordonner la réouverture des enquêtes. - Ordonner [au défendeur] de communiquer le ou les numéros de téléphone portable [utilisés par lui du 1er janvier au 31 décembre 2004]. - Ordonner [au défendeur] de fournir la liste des appels [émis ou reçus par lui dans cette période]. - Ordonner à tout opérateur téléphonique de fournir les relevés précités. - Impartir [à la demanderesse] un délai raisonnable pour compléter la liste de témoins dès réception des relevés précités. A l'ouverture de l'audience du 7 février 2006, présidée par le juge Patrick Blaser, juge suppléant à la Cour de justice et Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, les parties ont déclaré n'avoir aucun motif de récusation contre les juges présents. Elles ont ensuite, l'une et l'autre, confirmé leurs conclusions et leurs arguments. Le Président a alors levé l'audience; selon le procès-verbal, « la Cour gard[ait] la cause à juger sur conclusions préalables et, le cas échéant, sur le fond ». L'audience a duré de 18h30 à 18h45. A l'ouverture de l'audience du 7 février 2006, présidée par le juge Patrick Blaser, juge suppléant à la Cour de justice et Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, les parties ont déclaré n'avoir aucun motif de récusation contre les juges présents. Elles ont ensuite, l'une et l'autre, confirmé leurs conclusions et leurs arguments. Le Président a alors levé l'audience; selon le procès-verbal, « la Cour gard[ait] la cause à juger sur conclusions préalables et, le cas échéant, sur le fond ». L'audience a duré de 18h30 à 18h45. C. Le 9 du même mois, la demanderesse a introduit une demande de récusation dirigée contre le président Blaser. Elle exposait que dans l'instance d'appel, une nouvelle audition de Z._, cette fois en qualité de témoin plutôt que d'organe d'une partie, était absolument indispensable. Lors de l'audience, le président Blaser était averti que Z._ était présent dans la salle d'attente. Il aurait dû immédiatement délibérer, avec les autres juges de la Cour, pour décider de la qualité de témoin ou de partie, puis procéder à l'audition. En levant abruptement l'audience, il avait refusé cette audition et, par là, manifesté sa partialité. La demanderesse faisait aussi état d'une hostilité existant depuis plusieurs années entre le président Blaser et son propre avocat, issue d'une autre affaire judiciaire. Elle se référait à l'art. 91 let. e et i de la loi genevoise d'organisation judiciaire (OJ gen.), selon lequel un juge est récusable s'il a manifesté son avis avant le temps d'émettre son opinion pour le jugement (let. e), ou s'il a, d'une quelconque manière, témoigné haine ou faveur pour l'une des parties (let. i). Invité à prendre position, le président Blaser a contesté toute partialité; il a indiqué que lors de l'audience, il ignorait la présence de Z._ dans la salle d'attente. Dès le 1er mars 2006, la composition de la Cour d'appel s'est modifiée en ce sens que les fonctions des juges autres que le Président arrivaient à leur terme et que ces juges étaient désormais remplacés par d'autres personnes. Par décision du 18 juillet 2006, la Cour d'appel a rejeté la demande de récusation, dans la mesure où elle était recevable. En tant qu'elle reposait sur des faits antérieurs à l'audience du 7 février 2006, elle était tardive car l'instante avait procédé devant le président Blaser en connaissance de ces faits; pour le surplus, les circonstances ne justifiaient pas une récusation. La Cour a délibéré et statué dans sa nouvelle composition, sans la participation du président Blaser. Par décision du 18 juillet 2006, la Cour d'appel a rejeté la demande de récusation, dans la mesure où elle était recevable. En tant qu'elle reposait sur des faits antérieurs à l'audience du 7 février 2006, elle était tardive car l'instante avait procédé devant le président Blaser en connaissance de ces faits; pour le surplus, les circonstances ne justifiaient pas une récusation. La Cour a délibéré et statué dans sa nouvelle composition, sans la participation du président Blaser. D. Agissant par la voie du recours de droit public, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler cette décision. Invoquant les art. 9 et 30 al. 1 Cst., elle se plaint d'une constatation arbitraire des faits déterminants, d'une application arbitraire des dispositions cantonales précitées et d'une violation de la garantie constitutionnelle d'un tribunal indépendant et impartial. Invité à répondre, le défendeur et intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. La Cour d'appel a renoncé à présenter des observations et le recours n'a pas été communiqué au président Blaser. Par ordonnance du 23 octobre 2006, le Président de la Ire Cour civile a accueilli une demande d'effet suspensif présentée par la recourante.