Faits: A. Ressortissant français domicilié à ... (Valais), X._ dispose d'une fortune, mobilière et immobilière, estimée entre 500 et 800 millions de francs suisses, à la suite de la réalisation de l'entreprise de construction et génie civil qu'il avait fondée et dirigée au .... Par l'entremise d'un professeur de golf, X._ a fait la connaissance de A._, qui était fondé de pouvoir à la succursale de ... de la société Y._ AG (ci-après: Y._), banque ayant son siège à Zurich. A._, qui était "responsable client" au sein de l'unité de "private banking", avait une bonne réputation dans la gestion de fortune auprès des clients du golf de .... Le 5 avril 1996, X._ a ouvert un compte dénommé "..." auprès de Y._, représenté par A._. Selon les documents signés et remis en cette occasion, les parties sont convenues que leurs relations contractuelles seraient soumises au droit suisse. Pour alimenter son compte (qui était subdivisé en plusieurs comptes libellés en différentes monnaies), X._ a effectué les versements suivants: - le 10 janvier 1997, FRF 5'000'000.-- provenant d'un compte auprès de A._ à ...; - le 11 avril 1997, USD 11'940.--, soit l'équivalent de FRF 69'007.--; - le 7 août 1997, FRF 5'000'000.-- provenant de B._, à ...; - en mai 1998, FRF 6'269'372.-- sous la forme de titres provenant de C._; - le 23 juin 1998, EUR 5'941.--; - le 24 mars 1999, EUR 3'811'225,43, soit l'équivalent de FRF 25'000'000.--. Sous réserve de rares exceptions, A._ décidait seul des placements effectués à l'aide des fonds versés sur le compte. Suivant les instructions données par X._, Y._ a adressé mensuellement des relevés de dépôts périodiques à la Société D._ à .... Par ailleurs, selon une demande formulée par X._ le 13 avril 1999, un relevé des placements était envoyé tous les deux ou trois mois à une personne de confiance au .... X._ n'a jamais émis la moindre réclamation au sujet des choix effectués par A._. Les avoirs ont été gérés de manière dynamique, c'est-à-dire dans le but d'obtenir un rendement élevé. Durant le premier semestre 1997, la valeur du portefeuille avait augmenté de 16,8 %. Sur l'année 1997, l'augmentation a été d'environ 14 %. X._ souhaitait manifestement des résultats, puisqu'il a fait transférer des fonds en provenance de A._, en estimant les performances de cette banque insatisfaisantes. Par la suite, en 1998, il s'est dit "très content du dossier" et a transféré des titres déposés auprès de C._, parce qu'il estimait que les rendements obtenus auprès de cette banque n'étaient pas satisfaisants. Y._ savait que les fonds placés sur le compte "..." ne représentaient qu'une part réduite de la fortune totale de X._. A la fin de l'année 1999, des valeurs du secteur de la technologie sont apparues dans le portefeuille "...". Selon un expert, ces titres technologiques étaient à la mode dans les portefeuilles "dynamiques" à cette époque. Cette politique s'est poursuivie, sans aucune réaction de X._, tout au long de l'année 2000, la part des actions technologiques ayant culminé au 31 août 2000 à 32 % du portefeuille. Les avoirs liés au compte "..." ont atteint leur plus haut niveau le 29 février 2000 avec FRF 49'639'988.--. Par la suite, la valeur du portefeuille a régulièrement baissé, se montant, au 4 janvier 2001, à FRF 35'359'892.--. Cette baisse est principalement imputable à l'éclatement de la "bulle technologique" entre octobre et décembre 2000, ainsi qu'à des engagements résultant des positions en options. Selon les experts, les risques liés aux titres "high tech" étaient généralement sous-estimés et il a fallu la crise du dernier trimestre 2000 pour que les analystes en prennent conscience. X._ a été informé à plusieurs reprises, lors de communications téléphoniques avec A._ durant le second trimestre de l'année 2000, que l'évolution des cours était défavorable. Les deux hommes se sont rencontrés le 22 septembre 2000 et X._ en a tiré la conclusion que tout était parfaitement en règle, espérant que ses actions allaient remonter. Il a été retenu qu'une nouvelle conversation avait eu lieu en novembre 2000, après la chute des actions Miracle; un changement de stratégie n'a pas été décidé en cette occasion. Le 3 janvier 2001, A._ s'est suicidé. On ne peut exclure que son décès soit lié à l'activité professionnelle, vu le contexte extrêmement tendu qui planait sur les marchés boursiers au cours du second semestre de l'année 2000. Rien ne permet cependant d'affirmer que les difficultés rencontrées lui seraient imputables à faute. En janvier 2001, le directeur de la succursale a eu deux entretiens avec X._, le pressant de prendre une décision sur ses positions en valeurs "high tech". X._ a consulté des tiers et donné des ordres de vente par téléphone les 8, 14 et 15 février 2001. Il a procédé à la clôture de la relation "..." entre le 27 juillet et le 8 août 2001. B. Par mémoire-demande du 8 septembre 2003, X._ a ouvert action auprès des tribunaux valaisans contre Y._ (ci-après: la banque), en soutenant que son compte avait été mal géré et qu'il en était résulté pour lui un préjudice important. Il a conclu en dernier lieu à ce que Y._ soit condamné à lui payer FRF 14'994'597, 29, soit CHF 3'435'290,69 avec intérêt moyen à 5 % dès le 1er juillet 2000, sous suite de frais et dépens. La banque a conclu au rejet de la demande avec suite de frais et dépens. Par arrêt du 17 décembre 2010 expédié aux parties le 21 décembre 2010, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan a rejeté la demande avec suite de frais et dépens. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 17 décembre 2010. Invoquant une appréciation arbitraire des preuves et une violation des art. 398 al. 2 et 97 CO, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et il reprend ses conclusions sur le fond avec suite de frais et dépens. Subsidiairement, il demande le renvoi du dossier à l'autorité précédente. L'intimée conclut au rejet du recours avec suite de frais et dépens.