Faits: A. Par jugement du 4 novembre 2004, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux X._, né en 1954, et dame X._, née Thomas en 1970, mariés le 14 décembre 1990, et leur a attribué l'autorité parentale conjointe sur leurs enfants A._ et B._, nés le 8 juin 1992 et le 30 décembre 1994. Il a confié la garde de ces enfants au père et a constitué une curatelle en application de l'art. 308 al. 1 et 2 CC. Il n'a alloué aucune pension. Le mari a deux autres enfants, issus d'une précédente union: C._, née le 23 juillet 1987, et D._, né le 14 février 1989. Il a en outre reconnu sa paternité sur l'enfant E._, né hors mariage le 13 avril 2003, pour l'entretien duquel il a été astreint à payer une contribution mensuelle de 250 fr. jusqu'à l'âge de 5 ans, 300 fr. jusqu'à l'âge de 11 ans, 600 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 700 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études ou de formation professionnelle. B. Le 2 avril 2007, dame X._ a saisi le Tribunal de première instance d'une demande de modification du jugement de divorce aux fins de se voir attribuer la garde de l'enfant A._. Elle a également conclu à la suppression de son obligation de rétrocéder à son ex-mari la rente complémentaire d'invalidité allouée à son fils, ainsi qu'à la condamnation du défendeur à lui verser une contribution mensuelle d'entretien de 1'052 fr. 70 jusqu'à la majorité de l'enfant, voire jusqu'à l'âge de 25 ans en cas d'études ou de formation professionnelle. Par jugement du 15 novembre 2007, le Tribunal de première instance a attribué la garde de l'enfant A._ à sa mère, réservé le droit de visite du père, libéré la demanderesse de l'obligation de verser au défendeur la rente complémentaire d'invalidité destinée à l'enfant et condamné le défendeur à payer à la demanderesse pour l'entretien de A._ 650 fr. par mois jusqu'à sa majorité ou jusqu'à 25 ans au plus tard en cas de poursuite des études ou de la formation professionnelle. Par arrêt du 29 avril 2008, la Cour de justice du canton de Genève a partiellement admis l'appel interjeté par le défendeur contre le jugement du 15 novembre 2007 et l'a libéré de l'obligation de verser une contribution d'entretien pour son fils A._, confirmant le jugement de première instance pour le surplus. C. Le 2 juin 2008, la demanderesse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à la réforme de l'arrêt cantonal en ce sens que le défendeur est condamné à lui verser la contribution réclamée pour l'entretien de l'enfant A._. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Plus subsidiairement encore, elle demande que lui soit accordée la possibilité d'apporter la preuve de tous les faits allégués dans ses écritures. La recourante requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimé n'a pas été invité à se déterminer.