Faits: A. Ressortissant congolais, X._ est entré illégalement en Suisse en mars 2012 pour rejoindre son père, A._, de nationalités congolaise et française. Marié à une suissesse, ce dernier est titulaire d'une autorisation d'établissement. A son arrivée en Suisse en février 2003, A._ n'avait pas mentionné l'existence de ses quatre enfants. Le 30 mai 2012, X._ a sollicité une autorisation de séjour afin de vivre auprès de son père. L'intéressé a été entendu par la police cantonale vaudoise le 26 juillet 2012. A cette occasion, il a déclaré avoir toujours vécu à Kinshasa, où il avait terminé la scolarité obligatoire puis interrompu ses études universitaires car il " n'avai[t] pas assez d'argent et [...] ne s'entendai[t] plus avec [s]a maman ". Il avait choisi de venir en Suisse de sa propre initiative; son père n'était pas au courant de son projet. L'intéressé a également indiqué que le but de son séjour était de poursuivre ses études en Suisse. Entendu le même jour, le père de l'intéressé a confirmé qu'il n'était pas au courant du projet de son fils. Il a cependant indiqué qu'il souhaitait que son fils vienne mais qu'il n'avait rien entrepris en ce sens. B. Le 26 octobre 2012, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé X._ de son intention de refuser l'octroi d'une autorisation d'entrée en Suisse. Par décision du 22 mars 2013, après avoir entendu l'intéressé, le Service cantonal a rejeté sa demande d'autorisation de séjour et a prononcé son renvoi de Suisse. Saisi d'un recours contre cette décision, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté par arrêt du 2 juillet 2013, et a confirmé la décision du Service cantonal. Elle a retenu en substance que la demande de regroupement familial se fondait sur des raisons économiques. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'octroyer au prénommé une autorisation de séjour pour regroupement familial. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi du dossier à l'autorité inférieure pour nouvelle décision. Le Service cantonal renonce à se prononcer sur le recours. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué et l'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.