Faits: A. Le 11 mai 2007, la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté le recours interjeté par M._ dans la cause qui l'opposait à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (cause I 946/05). Dans cet arrêt, elle a constaté que l'office AI avait violé le principe de la célérité au cours de la procédure administrative (consid. 5.4). Pour ce motif, elle a alloué à l'assuré une indemnité de dépens pour l'instance fédérale à la charge de l'office AI. B. Par acte daté du 20 septembre 2007, M._ a adressé à l'office AI une demande en réparation du préjudice subi du fait de la violation du principe de la célérité de la procédure. Le montant réclamé correspondait à la note des frais et honoraires de son représentant pour l'activité déployée durant toute la durée du litige. Par décision du 12 juin 2008, l'office AI a rejeté la demande en paiement. C. Le 4 juillet 2008, M._ a déféré cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant à ce que l'office AI soit condamné à lui verser, avec intérêts à 5 % à compter du 20 septembre 2007, les sommes de 10'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et de 58'347 fr. 50 à titre de dommages et intérêts. Par jugement du 26 novembre 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales a rejeté le recours (chiffre 2 du dispositif), tout en condamnant l'office AI à verser à l'assuré une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens (chiffre 3 du dispositif). D. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à l'annulation du chiffre 3 de son dispositif. M._ conclut au rejet du recours, tandis que l'office AI et le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève ont renoncé à se déterminer.