Faits : Faits : A. Par décision du 8 juin 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a reconnu le droit de S._, né en 1959, à une demi-rente d'invalidité, pour un taux d'invalidité de 50 %, dès le 1er septembre 1998, en raison d'un trouble somatoforme douloureux, d'un état dépressif majeur et d'un trouble de la personnalité non spécifié. Pour statuer, l'office AI disposait en particulier des avis des docteurs A._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 17 décembre 1998), B._, spécialiste en neurologie (rapport du 24 avril 1998) et C._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie (rapport du 12 mars 1998). Par décision du 10 octobre 2000, entrée en force, l'office AI a rejeté une demande de réexamen que le docteur D._, généraliste, avait présentée le 31 août 2000 pour le compte de l'assuré, en se référant à un avis de son confrère E._, spécialiste en neurologie (rapport du 15 juin 2000). L'assuré s'est annoncé une nouvelle fois à l'AI, par écriture du 6 juin 2001, en demandant principalement le versement d'une rente entière d'invalidité et subsidiairement la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. A l'appui de sa requête, il a produit un avis du docteur F._, chef de clinique adjoint au Secteur psychiatrique X._ (rapport du 4 avril 2001). En bref, ce médecin indiquait qu'il lui semblait que l'état de santé psychique de l'assuré s'était aggravé par rapport à l'évaluation clinique du docteur A._ en 1998 et recommandait de procéder à un bilan psychiatrique complet, voire à une deuxième expertise. Par décision du 5 octobre 2001, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la nouvelle demande de prestations. Par décision du 5 octobre 2001, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la nouvelle demande de prestations. B. Par jugement du 22 mai 2002, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre cette décision par l'assuré. B. Par jugement du 22 mai 2002, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre cette décision par l'assuré. C. Ce dernier interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant principalement à ce qu'une expertise soit ordonnée afin d'établir son degré d'invalidité et subsidiairement à l'allocation d'une rente entière sur la base d'un taux d'invalidité de 66 2/3 % au moins. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'office intimé conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.