Faits: Faits: A. T._, née en 1952, a travaillé comme ouvrière d'usine, puis comme aide-serveuse dans un restaurant. Dès 1990, elle a présenté des douleurs lombaires, en raison desquelles elle a subi plusieurs hospitalisations en 1994. A l'époque, les médecins ont posé le diagnostic de lombo-pygialgies droites sur spondylolisthésis de degré 2, de L5 sur S1, dans le cadre d'une spondylolyse de L5. Ces atteintes ont provoqué plusieurs périodes d'incapacité de travail. Le 30 septembre 1996, T._ a présenté une demande de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (ci-après : l'Office AI), en alléguant souffrir de douleurs dorsales invalidantes. L'Office AI s'est adressé à la doctoresse S._, médecin traitant de l'assurée, qui a notamment attesté un état anxio-dépressif avec somatisations douloureuses multiples (rapport du 29 septembre 1997). Par la suite, l'assurée a consulté le docteur Q._, qui a confirmé le diagnostic de la doctoresse S._, en faisant également état de gonarthrose gauche, probablement due à une surcharge pondérale, de lombalgies chroniques et de probable personnalité prépsychotique borderline. Il attestait une incapacité de travail totale depuis le mois de septembre 1997 (rapports des 29 mai et 18 novembre 1998). Compte tenu de ces rapports médicaux, l'Office AI a confié au Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI), le soin de réaliser une expertise pluridisciplinaire. Celle-ci a été effectuée par les docteurs D._, P._ et B._, qui se sont notamment appuyés sur un examen rhumatologique pratiqué par le docteur H._ et un examen psychiatrique par le docteur C._. Selon les experts, la capacité de travail résiduelle de la recourante était de 20 % au maximum, dans une activité adaptée (permettant l'alternance des positions, ainsi que d'éviter le port de charges lourdes et certains types de mouvements). L'incapacité de travail résultait de diverses atteintes à la santé, à savoir, notamment : syndrome douloureux somatoforme persistant de type fibromyalgie, spondylolisthésis de L5 sur S1 avec ostéophyte d'instabilité, trouble dépressif moyen avec syndrome somatique, état anxieux persistant chez une personnalité immature à traits masochistes, obésité, gonarthrose gauche et status après ostéotomie de valgisation en 1999. Se référant à l'avis du docteur H._, les experts précisaient qu'abstraction faite des troubles psychiques mis en évidence par le docteur C._ - qui en déduisait une incapacité de travail totale de l'assurée - les affections somatiques laissaient subsister une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée (rapport d'expertise du COMAI du 16 mars 2000). Par décision du 4 juillet 2001, l'Office AI a alloué un quart de rente d'invalidité à T._, avec effet dès le 1er septembre 1998, en se fondant sur un taux d'invalidité de 40 %. Il a considéré que l'expertise du COMAI n'établissait pas de manière convaincante l'existence de troubles psychiques limitant la capacité de travail de l'assurée, qui présentait donc une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée. Par décision du 4 juillet 2001, l'Office AI a alloué un quart de rente d'invalidité à T._, avec effet dès le 1er septembre 1998, en se fondant sur un taux d'invalidité de 40 %. Il a considéré que l'expertise du COMAI n'établissait pas de manière convaincante l'existence de troubles psychiques limitant la capacité de travail de l'assurée, qui présentait donc une capacité résiduelle de travail de 60 % dans une activité adaptée. B. T._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurance du canton de Vaud. Celui-ci a confié aux docteurs W._, spécialiste en chirurgie orthopédique, et M._, psychiatre, le soin de réaliser une nouvelle expertise pluridisciplinaire. Le docteur W._ a attesté une incapacité de travail totale de l'assurée, en raison d'un spondylolisthésis L5/S1 et d'une obésité morbide (indice de masse corporelle de 43,4); il décrivait, par ailleurs, plusieurs autres atteintes à la santé physique (asthme, coxa profunda bilatérale, gonarthrose gauche, dégénérescences modérées de la colonne dorsale) (rapport du 19 mai 2003). Pour sa part, le docteur M._ a fait état, après discussion avec le docteur W._, d'un épisode dépressif moyen réactionnel, mais a nié l'existence d'un trouble de la personnalité et d'une incapacité de travail causée par une affection psychique (rapport du 28 juillet 2003). Par jugement du 18 décembre 2003, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision administrative litigieuse et alloué à T._ une rente entière d'invalidité, avec effet dès le 1er septembre 1998, ainsi qu'une indemnité de dépens de 2200 fr. Par jugement du 18 décembre 2003, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision administrative litigieuse et alloué à T._ une rente entière d'invalidité, avec effet dès le 1er septembre 1998, ainsi qu'une indemnité de dépens de 2200 fr. C. L'Office AI interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.