Faits: A. Propriétaire d'un bâtiment sis 7-9, route de la Poste aux Avants, C._ a déposé le 26 juillet 2011 une demande de permis de construire portant sur la transformation dudit bâtiment en vue de créer un bar pour le compte de D._. L'opposition formée au projet par "A._ - B._" exploitant le Buffet de la Gare, sis 3, route de la Poste aux Avants, a été levée par décision du 9 décembre 2011 de la Municipalité de Montreux, qui a délivré le permis de construire requis. Le 12 janvier 2012, "A._ - B._" a interjeté recours contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal). A la demande de D._, le Juge instructeur du Tribunal cantonal a sollicité de A._ un extrait du registre du commerce la concernant ou, à défaut, une copie de ses statuts et de l'acte de fondation, ainsi qu'une procuration écrite justifiant des pouvoirs de B._ (signée par les fondateurs de la société ou par les membres du conseil d'administration ou encore par toute personne ayant le pouvoir de représenter la société). Un délai pour ce faire a été imparti au 14 mars 2012, à défaut de quoi le recours serait réputé retiré et, partant, irrecevable (art. 16 en relation avec l'art. 27 al. 5 de la loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative [ci-après: la LPA/VD; RS/VD 173.36]). Par courrier du 14 mars 2012, le conseil nouvellement constitué pour A._ et B._ a expliqué que A._ en formation "était actuellement en cours d'inscription dans le canton de Vaud"; il a en outre produit diverses pièces relatives à A._, domiciliée aux Seychelles; enfin, il a ajouté que si la qualité pour ester en justice devait être déniée à A._, elle devait être accordée à B._, seule exploitante du restaurant. B. Par arrêt du 28 mars 2012, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable. Le Tribunal cantonal a estimé, d'une part, que B._ n'avait pas produit de procuration justifiant de ses pouvoirs de représentation, ce qui rendait le recours irrecevable. D'autre part, il est arrivé à la conclusion que A._ n'avait pas la capacité d'être partie ni celle d'ester en justice; enfin, B._ n'avait pas agi à titre individuel, mais au nom de la société en formation. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal du 28 mars 2012, en ce sens que le recours formé le 12 janvier 2012 est recevable et que A._ et B._ ont la capacité d'être partie et d'ester en justice et, partant, la légitimité pour s'opposer au permis de construire litigieux. Subsidiairement, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. La Commune de Montreux renonce à se déterminer sur la question de la recevabilité du recours cantonal. D._ conclut à l'irrecevabilité du recours. De son côté, le Service de la promotion économique et du commerce (SPECo) a renoncé à s'exprimer sur la recevabilité du recours; en revanche, il a indiqué avoir délivré un constat d'exploitation pour la période gérée par la société A._ du 1er avril 2011 au 21 mai 2012 et une licence provisoire pour l'exploitation du café-restaurant "Buffet de la Gare" depuis que l'entreprise individuelle "E._, B._" est inscrite au registre du commerce du canton de Vaud. A la suite de l'ordonnance du 6 juin 2012 du Président de la Ire Cour de droit public rejetant la requête d'effet suspensif des recourantes, le SPECo a informé le Tribunal fédéral qu'une autorisation d'exploiter avait été délivrée au café-bar "D._ Café". Les parties se sont encore exprimées ultérieurement, persistant dans leurs précédentes conclusions.