Faits: A. A.a. C._, née en 1976, a été employée par X._ SA en qualité de serveuse du 1 er juin 2006 au 31 mai 2007, date à laquelle elle été licenciée. A ce titre, elle était assurée contre les risques d'accidents professionnels et non professionnels par la Vaudoise Générale, Compagnie d'assurance SA (ci-après: la Vaudoise). En février 2006, l'assurée a subi une intervention chirurgicale au niveau de la colonne cervicale (discectomie C6-C7 avec mise en place d'une prothèse cervicale). Le 20 juillet 2006, C._ a fait une chute dans les escaliers sur son lieu de travail. Alors qu'elle descendait à la cave, elle a glissé et a essayé de se rattraper en sautant la dernière marche en bas de l'escalier. Elle a heurté sa tête contre une poutre et est tombée à la renverse. Le même jour, elle s'est rendue au service des urgences de l'Hôpital Y._ où ont été posés les diagnostics de traumatisme crânien avec perte de connaissance et douleurs cervicales post-traumatiques. Les suites de l'accident ont été prises en charge par la Vaudoise. Se fondant sur les conclusions d'une expertise neurologique confiée au docteur F._, la Vaudoise a supprimé ses prestations au 30 mai 2007 (décision du 2 juillet 2007, confirmée sur opposition le 8 mai 2008). L'assurée ayant recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales (aujourd'hui: Chambre des assurances sociales de la Cour de justice), ce dernier a mandaté en qualité d'expert le docteur G._, spécialiste FMH en neurochirurgie (ordonnance du 26 mars 2009). Le 22 juillet 2009, C._ a subi une nouvelle intervention au niveau de la colonne cervicale (résection de la prothèse, ablation de la hernie et des osthéophytes, spondylodèse par cage et plaque). Dans son rapport d'expertise du 8 septembre 2009, le docteur G._ a retenu que les plaintes en rapport avec les cervicalgies et les brachialgies gauches étaient dues de manière probable à l'accident du 20 juillet 2006. Dans l'éventualité d'un résultat favorable de la réintervention chirurgicale du 22 juillet 2009, on pouvait considérer que le statu quo sine serait atteint à la fin de l'année 2009. Se fondant sur les conclusions de cette expertise, le Tribunal cantonal des assurances sociales a annulé la décision du 8 mai 2008 et constaté que l'assurée avait droit à des prestations d'assurance au-delà du 30 mai 2007 (arrêt du 10 mars 2010). A.b. A la suite de cet arrêt, la Vaudoise a informé l'assurée qu'elle prendrait en charge les frais médicaux et l'indemnisation de l'incapacité de travail à partir du 1 er juin 2007 jusqu'au 31 décembre 2009 en tout cas. Pour la suite, elle poursuivrait l'instruction du cas. Par lettre du 27 avril 2010 adressée à la Vaudoise, l'assurée a sollicité le versement des indemnités journalières pour la période de janvier à avril 2010 et demandé qu'un complément d'expertise soit confié au docteur G._ afin que ce dernier se prononce sur l'évolution de son état de santé. Le 21 mai 2010, l'assurée a à nouveau réclamé le versement d'indemnités journalières jusqu'au 31 mai 2010. Le même jour, la Vaudoise a mandaté le docteur G._ pour un nouveau bilan de la situation de l'assurée et lui a demandé à cet effet de répondre à plusieurs questions. Le 31 mai 2010, l'assurée s'est adressée directement au docteur G._ et lui a posé des questions complémentaires. Dans une lettre du 16 juin 2010 au médecin-conseil de la Vaudoise, le docteur D._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assurée, a fait état d'une évolution globale assez favorable sur les plans fonctionnel et neurologique, la poursuite de la physiothérapie ayant permis une amélioration de la mobilité du rachis dorso-lombaire et une amélioration fonctionnelle des membres supérieurs et inférieurs. Cette évolution avait toutefois été perturbée par des crises très douloureuses, notamment au niveau lombaire, déclenchées par des stations assises prolongées ou par des efforts tels que la montée d'escaliers. Le 22 mai 2010, l'assurée avait présenté une exacerbation aigüe des douleurs avec " paralysie " complète des deux membres inférieurs, nécessitant une hospitalisation en urgence à V._ du 22 au 27 mai 2010. Dans un rapport du 20 octobre 2010, le docteur D._ a indiqué qu'après son séjour hospitalier à V._, l'assurée avait été transférée à l'hôpital cantonal de N._ dans le service de neuro-rééducation où elle avait séjourné jusqu'au 16 juillet 2010. Le 9 septembre 2010, elle avait à nouveau présenté une crise de lombalgies et de douleurs des deux membres inférieurs avec impossibilité de marcher. Après une rééducation intensive, la situation s'était à nouveau améliorée. Le 15 octobre 2010, elle présentait encore des douleurs importantes au niveau des membres inférieurs et au niveau de la colonne lombaire et des douleurs invalidantes étaient apparues aux deux poignets. Selon le docteur D._, une incapacité de travail dans toute activité professionnelle persistait. Dans un rapport du 8 décembre 2010, le docteur P._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a indiqué suivre C._ depuis le mois de janvier 2010 en raison d'un état dépressif réactionnel au syndrome douloureux permanent dû au traumatisme de la colonne vertébrale. Il s'agissait d'un cas assez grave et complexe dans lequel la pathologie somatique entretenait l'état dépressif et influençait négativement la perception des douleurs. L'incapacité de travail était de 100 %. Le 17 février 2011, le docteur G._ a répondu aux questions de la Vaudoise et de l'assurée. Il a notamment indiqué que le statu quo sine n'était pas atteint s'agissant de la symptomatologie résiduelle au niveau cervical, laquelle était à mettre en lien avec la discopathie C5-C6 qui avait été fortement sollicitée mécaniquement lors de l'accident du 20 juillet 2006. Cette symptomatologie consistait en des cervico-brachialgies gauches. Les lombo-cruralgies hautes gauches sur double hernie discale dorso-lombaire n'étaient plus en lien de causalité avec l'accident et ce depuis le 8 septembre 2009 déjà. Une capacité de travail était envisageable à 50 % avec un rendement de 75 % dans la vente ou comme caissière, à condition d'éviter la manipulation de charges supérieures à six kilos. Dans un nouveau rapport du 5 mai 2011, le docteur D._ a noté une évolution globalement stationnaire depuis le 20 octobre 2010. Dans l'ensemble, il partageait les conclusions du docteur G._. Les cervicalgies et les cervico-brachialgies gauches persistaient de manière importante et les lombo-sciatalgies de manière fluctuante et très importante. Selon lui, l'assurée était toujours incapable de reprendre toute activité professionnelle. Le 25 mai 2011, le docteur G._ a répondu aux questions complémentaires posées par le médecin-conseil de la Vaudoise. Il a précisé que la capacité de travail s'élevait à 50 %. S'agissant des hernies dorso-lombaires, lesquelles comptaient pour environ 50 % de la gêne de l'assurée, elles n'étaient pas prises en compte dès lors qu'il n'existait plus de lien de causalité entre celles-ci et l'accident depuis le 8 septembre 2009. Le 16 juin 2011, la Vaudoise a informé l'assurée qu'après avoir soumis le rapport complémentaire du docteur G._ à son médecin-conseil, elle considérait que l'accident avait décompensé de façon déterminante l'état antérieur d'origine maladive au niveau cervical et que le statu quo ante vel sine n'allait plus jamais être atteint. Cela étant, son médecin-conseil ne comprenait pas le taux de capacité de travail dans une activité adaptée fixé à 50 % par le docteur G._. Afin de l'évaluer plus précisément, d'autres investigations allaient être effectuées. Dans l'intervalle, des indemnités journalières seraient versées pour l'année 2010. Le 4 juillet 2011, la Vaudoise a requis du docteur G._ qu'il argumente de façon détaillée, notamment par les limitations fonctionnelles, le taux d'incapacité de travail de 50 %. Ce dernier n'a pas donné suite à cette demande. Par décision du 11 juillet 2011, la Vaudoise a octroyé à l'assurée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 25 %. A.c. A la demande de l'assurance-invalidité, l'assurée a fait l'objet d'une expertise pluridisciplinaire auprès de la Clinique Z._ les 25 et 26 octobre 2011. Dans leur rapport d'expertise du 29 novembre 2011, les médecins de la Clinique Z._ ont conclu à une pleine capacité de travail sur le plan somatique dans une activité adaptée dès le 1 er janvier 2010. Sur le plan psychiatrique, la capacité de travail était nulle depuis le mois de juillet 2011. Les éléments du dossier étaient cependant insuffisants et/ou trop divergents pour permettre une appréciation concluante de la capacité de travail entre juillet 2006 et l'expertise mais il devait être admis qu'elle ne dépassait pas 50 %. Se fondant sur les conclusions de la Clinique Z._, la Vaudoise a supprimé ses prestations d'assurance au 31 décembre 2010, au motif qu'une activité adaptée à plein temps était exigible depuis le 1 er janvier 2010 (décision du 8 mars 2012). L'assureur-accidents renonçait à réclamer la restitution des indemnités journalières indûment versées. Par ailleurs, aucune rente d'invalidité n'était due, les atteintes à la santé en lien de causalité avec l'accident assuré n'ayant pas de répercussion sur le rendement dans une activité professionnelle adaptée. L'assurée ayant formé opposition à cette décision, la Vaudoise l'a rejetée par une nouvelle décision du 24 mai 2012. B. Par arrêt du 17 avril 2013, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours interjeté par l'assurée contre la décision sur opposition du 24 mai 2012. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'allocation d'une rente d'invalidité dès le 1 er janvier 2011. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. La Vaudoise conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer.