Faits: Faits: A. X._ occupe depuis 1978 un poste d'enseignant du degré primaire auprès de la Ville de Neuchâtel. Le 23 juin 1999, à la suite de plaintes de parents d'élèves, le Directeur des écoles primaires de la Ville de Neuchâtel (ci-après: le Directeur) a adressé un avertissement à X._. Celui-ci a pour l'essentiel été invité à changer son comportement à l'égard de ses élèves, à faire régner la discipline dans sa classe et à respecter le programme scolaire et ses objectifs. Le 2 juillet 1999, X._ a établi les carnets scolaires des élèves de sa classe. Les 25/26 août 1999, le Directeur, se référant au contenu de ces carnets, a transmis le dossier de l'intéressé à la Commission scolaire de la Ville de Neuchâtel (ci-après: la Commission scolaire) pour qu'elle décide de la suite à donner à la procédure. Le 2 novembre 1999, la Commission scolaire a suspendu provisoirement X._ de son activité. Le 16 mai 2000, elle a prononcé la résiliation des rapports de service de l'intéressé avec effet au 31 août 2000 et le maintien de sa suspension avec paiement du salaire jusqu'à cette même date. Sur recours, cette décision a été confirmée le 25 septembre 2000 par le Département de l'instruction publique et des affaires culturelles du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département). Le 2 juillet 1999, X._ a établi les carnets scolaires des élèves de sa classe. Les 25/26 août 1999, le Directeur, se référant au contenu de ces carnets, a transmis le dossier de l'intéressé à la Commission scolaire de la Ville de Neuchâtel (ci-après: la Commission scolaire) pour qu'elle décide de la suite à donner à la procédure. Le 2 novembre 1999, la Commission scolaire a suspendu provisoirement X._ de son activité. Le 16 mai 2000, elle a prononcé la résiliation des rapports de service de l'intéressé avec effet au 31 août 2000 et le maintien de sa suspension avec paiement du salaire jusqu'à cette même date. Sur recours, cette décision a été confirmée le 25 septembre 2000 par le Département de l'instruction publique et des affaires culturelles du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département). B. X._ a recouru contre la décision du Département du 25 septembre 2000 auprès du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après : le Tribunal administratif). Par arrêt du 13 février 2001, le Tribunal administratif a admis le recours en ce sens que la décision de la Commission scolaire du 16 mai 2000 et celle du Département du 25 septembre 2000 ont été annulées et il a renvoyé la cause à la Direction des écoles primaires de la Ville de Neuchâtel (ci-après: la Direction) au sens des considérants. Il a notamment estimé que la Direction n'avait pas laissé à l'intéressé un délai raisonnable pour s'améliorer, vidant ainsi de son sens et de son utilité la procédure d'avertissement prévue par la loi. Depuis la rentrée de l'année scolaire 2001/2002, X._ occupe un poste d'enseignant dans un autre établissement scolaire de la Ville de Neuchâtel. Par décision du 9 décembre 2002, la Commission scolaire a renoncé à toute mesure à son égard et ordonné le classement du dossier. Depuis la rentrée de l'année scolaire 2001/2002, X._ occupe un poste d'enseignant dans un autre établissement scolaire de la Ville de Neuchâtel. Par décision du 9 décembre 2002, la Commission scolaire a renoncé à toute mesure à son égard et ordonné le classement du dossier. C. Le 15 mai 2001, X._ a adressé à la Ville de Neuchâtel une demande d'indemnisation, en se fondant sur la loi du 26 juin 1989 sur la responsabilité des collectivités publiques et de leurs agents du canton de Neuchâtel (ci-après: LResp ou la loi neuchâteloise). Par acte du 2 juillet 2001, la Ville de Neuchâtel a écarté les prétentions de l'intéressé. Le 4 janvier 2002, X._ a introduit auprès du Tribunal administratif une action en responsabilité à l'encontre de la Ville de Neuchâtel. II a conclu essentiellement à ce que celle-ci soit condamnée à lui verser, avec intérêt à 5% à compter du 15 mai 2001, une somme de 31'719 fr. - augmentée des montants que les derniers développements engendreraient - au titre des différents dommages directs éprouvés, ainsi qu'une somme de 40'000 fr. au titre du tort moral subi. Statuant le 13 mai 2003, le Tribunal administratif a rejeté la demande dans la mesure où elle était recevable. S'agissant du tort moral et de la part du dommage relative à des frais de psychothérapie et d'expertise médicale, il a considéré en substance que la demande déposée le 15 mai 2001 était tardive, que les prétentions de X._ étaient dès lors "prescrites" et que l'action devait donc être déclarée irrecevable sur ces points. En ce qui concerne la part du dommage relative à des frais d'avocat et de photocopies, le Tribunal administratif a essentiellement retenu que la décision de la Commission scolaire du 16 mai 2000 n'était pas arbitraire et ne pouvait par conséquent pas engager la responsabilité de la Ville de Neuchâtel. Statuant le 13 mai 2003, le Tribunal administratif a rejeté la demande dans la mesure où elle était recevable. S'agissant du tort moral et de la part du dommage relative à des frais de psychothérapie et d'expertise médicale, il a considéré en substance que la demande déposée le 15 mai 2001 était tardive, que les prétentions de X._ étaient dès lors "prescrites" et que l'action devait donc être déclarée irrecevable sur ces points. En ce qui concerne la part du dommage relative à des frais d'avocat et de photocopies, le Tribunal administratif a essentiellement retenu que la décision de la Commission scolaire du 16 mai 2000 n'était pas arbitraire et ne pouvait par conséquent pas engager la responsabilité de la Ville de Neuchâtel. D. Agissant le 13 juin 2003 par la voie du recours de droit public, X._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 13 mai 2003 et de renvoyer la cause à celui-ci pour nouvelle décision. II reproche au Tribunal administratif d'avoir appliqué le droit cantonal neuchâtelois de façon arbitraire en retenant que sa demande d'indemnisation était tardive. Le 16 juin 2003, X._ a déposé une version plus élaborée du recours interjeté le 13 juin 2003. Précisant que cette deuxième mouture était irrecevable en tant qu'acte, il a sollicité un deuxième échange d'écritures. Le Tribunal administratif conclut au rejet du recours. La Ville de Neuchâtel conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Le recourant n'a pas répliqué dans le délai imparti à cette fin.