Faits: Faits: A. Le divorce des époux B._ et A._ a été prononcé le 23 mai 1996; ceux-ci avaient eu une fille, C._, née le 19 août 1992. Le jugement de divorce met à la charge de B._ une contribution mensuelle pour l'entretien de sa fille, fixée à 1'500 fr. jusqu'à ce que celle-ci atteigne l'âge de dix ans, puis de 1'750 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, enfin de 2'000 fr. jusqu'à la majorité voire jusqu'à l'âge de vingt-cinq ans en cas d'accomplissement d'une formation sérieuse. Ces contributions n'étant pas payées, A._ - à qui le jugement de divorce avait attribué l'autorité parentale - a conclu le 21 août 1998 une convention avec le Service cantonal d'avance et de recouvrement des pensions alimentaires (SCARPA) du Département de l'instruction publique de la République et canton de Genève, convention par laquelle elle a chargé ce service d'entreprendre toutes les démarches nécessaires à l'encaissement de la pension alimentaire, en cédant sa créance à l'Etat de Genève. Dès le 1er septembre 1998, le SCARPA a versé à A._ une avance mensuelle. Ces contributions n'étant pas payées, A._ - à qui le jugement de divorce avait attribué l'autorité parentale - a conclu le 21 août 1998 une convention avec le Service cantonal d'avance et de recouvrement des pensions alimentaires (SCARPA) du Département de l'instruction publique de la République et canton de Genève, convention par laquelle elle a chargé ce service d'entreprendre toutes les démarches nécessaires à l'encaissement de la pension alimentaire, en cédant sa créance à l'Etat de Genève. Dès le 1er septembre 1998, le SCARPA a versé à A._ une avance mensuelle. B. En 1999, B._ a atteint l'âge de soixante-cinq ans. Une rente pour l'enfant C._ a été allouée conformément à l'art. 22ter de la loi fédérale sur l'assurance-vieillesse et survivants (LAVS; RS 831.10). Cette rente, versée à l'enfant par l'intermédiaire de sa mère, était de 767 fr. par mois du 1er mars 1999 au 31 décembre 2000; depuis lors, elle se monte à 787 fr. par mois. Le SCARPA a été informé par la Caisse cantonale genevoise de compensation AVS-AI-APG-AC du versement de cette rente. Ce service a alors rendu deux décisions, les 2 septembre et 28 octobre 2002, destinées à A._ et concernant la contribution due à l'enfant C._. Dans la première de ces décisions, le SCARPA a d'abord exposé qu'il devait "réduire le montant de la pension" à 713 fr. par mois avec effet rétroactif pour la période du 1er janvier 2001 au 31 août 2002, et à 963 fr. par mois dès le 1er septembre 2002. Ces chiffres correspondaient aux montants des contributions mensuelles selon le jugement de divorce après déduction de la rente AVS versée directement à l'enfant (soit à sa mère) en vertu de l'art. 285 al. 2bis CC. La décision retient ensuite que "dans la mesure où le montant de la rente (...) versée directement par l'AVS était supérieur au montant de l'avance légale maximum", la bénéficiaire n'avait "pas droit au versement de cette avance". Le SCARPA a dès lors demandé la restitution d'une somme de 13'460 fr., correspondant à vingt avances mensuelles de 673 fr., versées pour la période du 1er janvier 2001 au 31 août 2002. Par la seconde décision, le SCARPA a demandé la restitution de 8'076 fr., correspondant au total des avances perçues à tort pour la période du 1er janvier au 31 décembre 2000. Ce service a affirmé que, pour cette période également, il était "contraint de réduire le montant de la pension alimentaire (...) à 733 fr. par mois". Par la seconde décision, le SCARPA a demandé la restitution de 8'076 fr., correspondant au total des avances perçues à tort pour la période du 1er janvier au 31 décembre 2000. Ce service a affirmé que, pour cette période également, il était "contraint de réduire le montant de la pension alimentaire (...) à 733 fr. par mois". C. A._ a recouru auprès du Tribunal administratif cantonal contre les deux décisions du SCARPA. Le Tribunal administratif a joint les deux causes et rejeté les recours par un arrêt rendu le 17 juin 2003. Appliquant la loi cantonale sur l'avance et le recouvrement des pensions alimentaires (LARPA) ainsi que le règlement d'application de cette loi (RALARPA), il a considéré en substance que la contribution d'entretien due par le père devait être diminuée de la rente AVS pour enfant et que cette rente, versée à l'enfant, était supérieure au montant maximum de l'avance selon le droit cantonal, à savoir 673 fr. par mois (art. 9 LARPA et art. 4 al. 1 RALARPA); aussi les prétentions à des avances étaient-elles mal fondées. C. A._ a recouru auprès du Tribunal administratif cantonal contre les deux décisions du SCARPA. Le Tribunal administratif a joint les deux causes et rejeté les recours par un arrêt rendu le 17 juin 2003. Appliquant la loi cantonale sur l'avance et le recouvrement des pensions alimentaires (LARPA) ainsi que le règlement d'application de cette loi (RALARPA), il a considéré en substance que la contribution d'entretien due par le père devait être diminuée de la rente AVS pour enfant et que cette rente, versée à l'enfant, était supérieure au montant maximum de l'avance selon le droit cantonal, à savoir 673 fr. par mois (art. 9 LARPA et art. 4 al. 1 RALARPA); aussi les prétentions à des avances étaient-elles mal fondées. D. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif. Elle reproche à la Cour cantonale de s'être prononcée sur l'étendue de la contribution d'entretien due par le père de l'enfant C._ et elle se plaint à ce propos d'arbitraire. Elle voit dans le refus d'allouer des avances de pensions alimentaires, et dans l'obligation de rembourser des avances déjà perçues, une violation du principe de la légalité ainsi qu'une application arbitraire du droit cantonal. Elle prétend enfin que l'arrêt attaqué est insuffisamment motivé. Pour l'Etat de Genève, le Département de l'instruction publique conclut à l'irrecevabilité du recours de droit public, subsidiairement à son rejet. Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt.