Faits: A. En novembre 1992, X._, avocat, a été mandaté par Y._ Holding (ci-après: Y._) pour la défense des intérêts, sur le plan civil et pénal, de sociétés suisses du groupe en raison de la responsabilité encourue en qualité d'organe de revision de la société A._, mise en faillite en octobre 1992. Vu son importance et sa complexité, cette affaire était suivie au sein de Y._ par un groupe de pilotage présidé par B._. Pour remplir ce mandat, qui s'est étendu de novembre 1992 à septembre 2002 et a représenté 12'519 heures de travail non contestées, l'avocat a constitué en son étude une équipe formée de lui-même et de deux, puis trois collaborateurs qualifiés. Le 18 juin 1993, X._ a présenté à Y._ un document intitulé «forecast of legal cost», fixant à 5'987'500 fr. les frais et honoraires estimés pour la défense de Y._, sur la base d'un tarif horaire de 500 fr. Ce document comportait une réserve relative aux «success fees» qui n'étaient pas inclus dans l'estimation et qui devaient être déduits des dépens alloués par le tribunal et payés par la partie qui succombait. Ce document, qui avait pour but d'annoncer aux assureurs un budget prévisionnel, a été accepté par Y._, d'après le procès-verbal de la réunion du 18 juin 1993 signé par B._ le 31 août 1993. Un des collaborateurs de X._ a commenté cette estimation en expliquant les critères de tarification des honoraires d'avocat applicables à Genève, notamment la complexité de l'affaire et le résultat obtenu. Un montant total de 5'066'410 fr. a été payé à X._ sur la base de notes d'honoraires, non contestées, qui ne mentionnaient aucune facturation supplémentaire ultérieure au vu du résultat qui serait obtenu. La première note d'honoraires du 19 février 1993 distinguait le temps consacré par chaque avocat, avec un tarif horaire différencié, ce qui n'a plus été le cas par la suite, les factures se fondant désormais sur un tarif moyen de 400 fr. l'heure. Le 28 janvier 2002, X._ a annoncé à Y._ son intention de demander des honoraires complémentaires. A la requête de B._, il a précisé les raisons de cette prétention dans un courrier du 10 juin 2002. B._ a indiqué à ses collègues de Londres qu'il considérait les honoraires déjà versés à X._ comme modestes, de sorte qu'il n'apparaissait pas comme déraisonnable qu'il veuille faire valoir une note d'honoraires complémentaire. Dans une note d'honoraires du 15 novembre 2002 qualifiée de «finale», X._ a réclamé à Y._ le paiement d'une somme complémentaire de 6'491'599 fr. à titre d'ajustement tenant compte du résultat et de la complexité de l'affaire; selon ce document, les honoraires globaux, avant déduction des montants déjà versés, s'élevaient à 11'560'000 fr., représentant 2 % d'une valeur litigieuse de 578 millions de francs. Quand bien même le montant exigé dépassait ses prévisions, B._ a proposé à ses collègues de Londres d'acquitter la note complémentaire, ce que ceux-ci ont refusé. B. Le 29 janvier 2004, X._ a saisi la Commission de taxation des honoraires d'avocat du canton de Genève (ci-après: la commission) d'une demande de taxation de sa note d'honoraires. Y._ a nié que X._ puisse obtenir des honoraires complémentaires. Par décision du 2 août 2005, la commission a fixé à 1'251'900 fr. les honoraires encore dus par Y._ à X._, en vertu de la note d'honoraires du 15 novembre 2002. Elle a jugé que des honoraires de 500 fr. par heure avaient été clairement prévus dans le «forecast of legal cost» de sorte qu'il convenait d'adapter la facturation sur la base de ce tarif horaire, à la place de celui de 400 fr. appliqué dans les notes d'honoraires intermédiaires; pour les 12'519 heures de travail accomplies, le complément de 100 fr. par heure aboutissait au résultat susmentionné de 1'251'900 fr. Contre cette décision, X._ a interjeté un recours de droit public, que le Tribunal fédéral a admis par arrêt du 18 janvier 2006 (cause 4P.256/2005). En substance, la cour de céans a jugé que la commission avait commis un déni de justice formel en retenant l'existence d'un accord portant sur un tarif horaire moyen de 500 fr. et en se retranchant derrière cette convention pour s'abstenir d'examiner les différents critères énoncés à l'art. 34 de la loi genevoise sur la profession d'avocat (LPAv/GE), en particulier celui du résultat obtenu, lequel motivait précisément la majoration réclamée par l'avocat. La commission a rendu une nouvelle décision en date du 22 juin 2007. Elle a retenu que X._ s'était occupé de «quatre volets s'agissant des procédures diligentées en Suisse», puis elle a examiné le résultat attribuable à l'avocat dans chacun d'entre eux. Elle a également relevé que l'avocat n'avait pas directement participé à la mise en oeuvre de l'accord global, qui a eu pour conséquence le retrait de toutes les procédures civiles et pénales en Suisse et à l'étranger; sur la base de cette transaction, Y._ a déboursé 107 millions USD, dont 47 millions USD en rapport avec les actions de la masse en faillite de A._ (ci-après: la masse) introduites en Suisse. En définitive, la commission a estimé qu'une majoration de 150 % des honoraires était adéquate; elle a fixé les honoraires totaux de X._ à 7'599'615 fr. (5'066'410 x 150 %), le complément d'honoraires étant ainsi arrêté à 2'533'205 fr. (7'599'615 - 5'066'410). Il convient de préciser à ce sujet que la majoration appliquée réellement par la commission n'est pas de 150 %, mais bien de 50 %. C. X._ interjette un recours qu'il intitule «recours constitutionnel subsidiaire». Il conclut à l'annulation de la décision du 22 juin 2007 et demande au Tribunal fédéral de dire que sa note d'honoraires du 15 novembre 2002 est conforme au droit et aux usages et, partant, de confirmer le solde dû de 6'491'599 fr. Y._ propose le rejet du recours. Pour sa part, la commission se réfère aux considérants de sa décision.