Faits: A. Le 30 avril 2012, A._, domiciliée à Jegenstorf, a requis un permis de construire un chalet sur la parcelle n° 751 de la commune d'Anniviers, à Saint-Luc. Helvetia Nostra a formé opposition. Par décision du 13 juin 2012, le Conseil municipal d'Anniviers a levé l'opposition et délivré le permis de construire. Helvetia Nostra a recouru auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais. Le 22 août 2012, celui-ci a déclaré le recours irrecevable faute de qualité pour recourir de l'organisation. Helvetia Nostra a saisi le Tribunal cantonal valaisan, lequel a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable par arrêt du 23 novembre 2012. Il a mis 1'000 fr. de frais judiciaires à la charge de la recourante. B. Le 21 décembre 2012, par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra a demandé au Tribunal fédéral l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité de dernière instance, subsidiairement la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que le permis de construire est annulé. L'intimée s'en est remise aux arguments des autorités communale et cantonales. La commune a conclu à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet du recours. Les requêtes d'effet suspensif et de suspension de la procédure ont été admises par ordonnance présidentielle du 31 janvier 2013. Dans des arrêts de principe du 22 mai 2013, le Tribunal fédéral a notamment admis la qualité pour recourir d'Helvetia Nostra (ATF 139 II 271) ainsi que l'applicabilité directe des art. 75b et 197 ch. 9 Cst. (ATF 139 II 243 et 263). La procédure a été reprise par ordonnance du 2 juillet 2013. Un délai a été fixé au 16 août 2013 aux autorités communale et cantonales ainsi qu'à la constructrice pour se déterminer sur la suite de la procédure. Aucune observation n'a été formulée dans le délai imparti. Helvetia Nostra n'a pas été invitée à se déterminer, compte tenu de l'issue de la cause.