Faits: A. X._, ressortissant afghan, est arrivé en Suisse le 14 février 2011 et a été enregistré au centre d'enregistrement de Bâle. Le 23 mars 2011, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'ODM) a refusé d'entrer en matière sur la demande d'asile de l'intéressé et ordonné son renvoi de Suisse. Par nouvelle décision du 26 avril 2011, remplaçant la précédente, l'ODM a une nouvelle fois refusé d'entrer en matière sur la demande d'asile, et prononcé l'admission provisoire de X._. Le 27 avril 2011, l'ODM a attribué X._ au canton de Zurich. Celui-ci a sollicité le réexamen de cette décision et son attribution au canton de Vaud, faisant valoir qu'il était mineur et que ses parents et ses frères résidaient dans ce canton. L'ODM a rejeté cette demande le 17 janvier 2012. Un recours est pendant contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. B. Par requête du 1er juin 2011, X._ a requis la rectification de ses données personnelles dans le système d'information central sur la migration (ci-après: le système SYMIC), en ce sens qu'il est inscrit que sa date de naissance est le 10 mai 1998 et non le 1er janvier 1993 comme enregistré dans ce système. Par courriers des 27 juin et 18 juillet 2011, il a produit l'original de sa "taskara". Estimant que l'intéressé n'avait pas rendu vraisemblable sa minorité, l'ODM a rejeté sa requête le 10 août 2011. Il a par ailleurs relevé que la date qui figurait sur le document original fourni par le requérant était le 1376.9.6, ce qui correspondait au 27 novembre 1997; la date de naissance du 10 mai 1998 ne pouvait ainsi pas être retenue. Par arrêt du 2 avril 2012, le Tribunal administratif fédéral a partiellement admis le recours de X._ contre la décision précitée. La mention du caractère litigieux de la date de naissance du requérant du "01.01.1993" figurant dans le système SYMIC devait être ajoutée à cette donnée. Le Tribunal administratif fédéral a considéré pour l'essentiel que la date de naissance alléguée par l'intéressé, à savoir le 27 novembre 1997, apparaissait moins plausible que celle du 1er janvier 1993 figurant dans le système SYMIC. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 2 avril 2012. Il requiert également l'assistance judiciaire partielle, en ce sens qu'il est renoncé à la perception d'une avance de frais de procédure. Le recourant estime en substance que l'autorité intimée n'a pas suffisamment tenu compte de tous les éléments au dossier. Il se plaint d'une violation de la loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données (LPD; RS 235.1) ainsi que des art. 6 et 8 CEDH. Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position sur le recours. L'ODM indique que le recours ne contient aucun élément ou moyen de preuve nouveau susceptible de modifier son point de vue quant à l'âge du requérant. Le recourant a déposé des observations le 14 juin 2012, précisant que lors de leur audition en mai 2011, ses parents avaient tous les deux déclaré que leur fils Y._ était âgé de 16 ans et leur fils X._ de 13 ans; il produit les procès-verbaux de l'audition de ses parents.