Faits: A. S._, née en 1973, travaillait pour l'entreprise de nettoyage X._ SA, en qualité de femme de ménage. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès de la Nationale suisse SA compagnie d'assurances (ci-après: la Nationale). Le 1er mai 2003, elle a été victime d'un accident de la circulation. Elle se tenait debout à côté du siège passager, entre la portière ouverte et le montant latéral avant droit de la voiture familiale arrêtée au bord de la route, pendant que son mari avait une altercation avec une autre automobiliste dont le véhicule était stationné en face. Après être montée dans sa voiture, cette automobiliste a démarré brusquement, heurtant sur son passage la portière derrière laquelle se tenait l'assurée, laquelle a été coincée entre la portière et le cadre de celle-ci. Elle a reçu, le jour même, les premiers soins à l'Hôpital Y._ où il a été fait état de multiples contusions. Le docteur A._, médecin traitant de l'assurée, a attesté une incapacité de travail totale à partir du 1er mai 2003, puis de 50 % dès le 9 juin 2003. Il a toutefois indiqué que la reprise du travail était difficile. La Nationale a pris en charge le cas. En septembre 2003, la Nationale a confié au docteur M._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, le mandat de réaliser une expertise sur la personne de l'assurée. A l'examen des radiographies du bassin, l'expert a constaté une fracture de la partie supérieure de la branche ischio-pubienne gauche, désormais consolidée, avec un écrasement des tissus mous entre la surface de la fesse et la branche ischio-pubienne, lesquels expliquaient mieux l'évolution et les douleurs ressenties par l'assurée. L'incapacité de travail était de 50 % (cf. rapport d'expertise du 23 septembre 2003). L'assurée a été examinée par la doctoresse F._, spécialiste FMH en neurologie, laquelle a conclu à un status neurologique périphérique satisfaisant, constatant l'absence d'anomalie au niveau lombaire, de discopathie post-traumatique ou de lésion radiculaire. L'assurée présentait uniquement des troubles sensitifs subjectifs, surtout de L1 à L3 du côté gauche. La doctoresse a toutefois préconisé une IRM lombaire afin de rassurer l'assurée. Elle a insisté sur la nécessité de maintenir sa capacité de travail à 50 % afin que l'assurée puisse se réintégrer dans le processus professionnel aussi rapidement que possible, au vu notamment du développement d'un syndrome anxio-dépressif (cf. rapport du 30 octobre 2003). Par courrier du 17 novembre 2003, le docteur A._ a fait parvenir à la Nationale une copie des résultats de l'IRM lombaire et du bassin réalisée le 12 novembre 2003. Cet examen n'objectivait pas de lésions des tissus mous et nobles. Sur le plan subjectif en revanche, l'évolution restait stationnaire. L'assurée présentait un état dépressif réactionnel et souffrait de douleurs récurrentes. Le docteur A._ a préconisé une prise en charge dans un établissement tel que la Clinique Z._. L'assurée a séjourné à la Clinique Z._ du 2 mars au 2 avril 2004. Les médecins ont posé le diagnostic de fracture de la branche ichio-pubienne gauche et de trouble de l'adaptation avec humeur dépressive. Ils ont considéré la situation comme complètement stabilisée en ce qui concernait la fracture mais fait état de facteurs psychosociaux limitant le pronostic de reprise, à savoir la présence de troubles adaptatifs, le contexte de l'accident, la rancoeur contre les médecins n'ayant pas décelé immédiatement la fracture et les croyances. La capacité de travail était de 75 % à partir du 5 avril 2004, avec une augmentation progressive jusqu'à 100 % dans les trois à quatre semaines suivantes (cf. rapport du 27 avril 2004). La Nationale a décidé de soumettre l'assurée à une nouvelle expertise médicale qu'elle a confiée au docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Elle a en outre mandaté le docteur V._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, afin de réaliser une expertise sur le plan psychiatrique. Dans son rapport d'expertise du 9 décembre 2004, le docteur D._ a relevé que l'assurée avait subi un écrasement très puissant des tissus mous, lequel expliquait les douleurs mécaniques actuelles. Alors que la fracture s'était objectivement consolidée, l'expert a noté que la non reconnaissance de la culpabilité de la conductrice du véhicule «écraseur» constituait un aspect particulièrement douloureux et vexant, influençant de manière défavorable le potentiel de récupération fonctionnelle. Il a fixé la capacité de travail à 50 %, et indiqué qu'elle pourrait passer à 75 %, voire 80 % dans le délai d'une année. Dans son expertise du 23 décembre 2004, le docteur V._ a posé le diagnostic d'état de stress post-traumatique consécutif à l'accident du 1er mai 2003 ainsi que d'une accentuation de traits de personnalité dépendante qui pouvait avoir eu et encore avoir, avec l'épisode dépressif majeur développé après la naissance de son premier enfant, une influence défavorable sur l'évolution future. En ce qui concernait la capacité de travail, l'expert a précisé qu'il ne paraissait plus raisonnablement exigible, compte tenu des troubles de la santé consécutifs à l'accident, que l'assurée travaille trois heures par semaine comme nettoyeuse en plus de son activité de femme au foyer. La Nationale a demandé aux docteurs D._ et V._ de réexaminer l'assurée. Dans un rapport du 10 juin 2006, le docteur V._ a indiqué qu'au terme d'une psychothérapie qui s'était déroulée entre le 8 mai 2005 et le 2 juin 2006, la situation de l'assurée ne s'était que peu modifiée. L'inactivité professionnelle quasi-totale d'alors (c'est le mari de l'assurée qui accomplissait l'essentiel de ses heures de travail) s'était depuis lors concrétisée et l'assurée avait également cessé d'assumer les travaux lourds au sein de son propre ménage. Selon l'expert, les séquelles psychiatriques de l'accident justifiaient une incapacité de travail de 50 % dans toute activité adaptée et tolérable. Dans son rapport d'expertise complémentaire du 26 mars 2007, le docteur D._ a repris, pour l'essentiel, les conclusions de son précédent rapport d'expertise, en précisant que l'écrasement des tissus mous entourant la branche ischio-pubienne et leur distension par la déformation momentanée du bassin provoquaient la présence d'une réaction fibreuse cicatricielle richement innervée, laquelle expliquait le status douloureux résiduel. Sur le plan de la capacité de travail, aucune amélioration n'a été constatée. Il a toutefois retenu que dans une profession particulièrement adaptée, sans port de charge, avec variation des positions et interruptions possibles, la capacité de travail pouvait atteindre 75 %. Saisi d'une demande de prestations, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'OAI) a mis en oeuvre une expertise interdisciplinaire qu'il a confiée à la Clinique L._, fonctionnant comme Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI). Dans leur rapport du 13 décembre 2007, les doctoresses B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et C._, spécialiste FMH en rhumatologie, médecine physique et rééducation, ont relevé que les éléments objectifs des examens cliniques, radiologiques et neurologiques ne permettaient pas d'expliquer le cortège de symptômes présentés par l'assurée et notamment la persistance d'une symptomatologie décrite comme hyperalgique. Il était possible de retenir l'hypothèse évoquée par le docteur D._, selon laquelle le traumatisme aurait entraîné une compression des tissus mous entourant la branche ischio-pubienne avec, au second plan, une réaction fibreuse cicatricielle concernant des petits rameaux sensitifs de la région ischio-ilio-inguinale expliquant le status douloureux résiduel. Néanmoins, les doctoresses B._ et C._ retrouvaient une certaine discordance entre l'importance des plaintes formulées et les constatations cliniques ostéo-articulaires ainsi que la présence de 3 signes sur 5 de non-organicité de Waddell, évoquant une composante psychogène. Sur le plan psychiatrique, elles ont estimé que l'épisode dépressif et l'état de stress post-traumatique s'étaient amendés, les symptômes n'étant plus présents, et ont nié un trouble de l'adaptation. Elles ont conclu à une capacité de travail entière dans une activité adaptée ainsi que dans l'activité habituelle de nettoyage, compte tenu d'une diminution de rendement de 25 % dans cette dernière. Par décision du 30 juillet 2008, confirmée sur opposition le 30 juillet 2009, la Nationale a mis un terme au versement des prestations d'assurance avec effet au 30 septembre 2004, au motif qu'au-delà de cette date, le lien de causalité adéquate entre les suites somatiques, d'une part, et les troubles psychiques, d'autre part, et l'accident du 1er mai 2003 n'était plus donné. Entre-temps, l'OAI a rejeté la demande de rente d'invalidité présentée par S._ (décision du 12 mai 2009). B. S._ a recouru contre la décision sur opposition de la Nationale en concluant à son annulation ainsi qu'à l'octroi d'indemnités journalières fondées sur une incapacité de gain de 50 %, subsidiairement au renvoi de la cause à l'assureur-accident pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise indépendante et nouvelle décision. Le 23 août 2011, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a confirmé la décision de l'OAI du 12 mai 2009. Par jugement du même jour, la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision de la Nationale. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce dernier jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à l'octroi d'indemnités journalières fondées sur une incapacité de travail et de gain de 50 % au moins. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens. La Nationale conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. D. Par arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral a rejeté le recours de l'assurée contre le jugement du 23 août 2011 en matière d'assurance-invalidité (8C_471/2011).