Faits: A. A.a A._ détient deux actions de la Société Anonyme du Journal de Genève et de la Gazette de Lausanne (ci-après: SAJGGL) sur un total de 1'162'500 actions nominatives. En 1997, A._ et d'autres actionnaires minoritaires ont tenté en vain de s'opposer à la cessation de la parution du Journal de Genève et Gazette de Lausanne et à la création subséquente du quotidien Le Temps. La SAJGGL s'est depuis lors transformée en une société holding dont la principale activité était de détenir 47 % du capital-actions de la SA Le Temps. Elle possédait par ailleurs une créance postposée de 6 millions de francs contre cette société. B._ était administrateur de la SAJGGL et de la SA Le Temps. Disposant d'une signature collective à deux, il a signé, avec une autre personne, la convention de postposition de la créance de la SAJGGL, agissant tant pour cette dernière que pour la SA Le Temps. Lors de l'assemblée générale de la SAJGGL du 4 juillet 2000, alors que la situation comptable de la société correspondait à celle visée à l'art. 725 al. 1 CO, B._ a recommandé aux actionnaires de ne pas tirer de conséquences de cette situation comptable et de ne pas aviser le juge. A la suite d'une offre d'achat lancée en février 2001, le 80 % des actions de la SAJGGL a été regroupé en mains de quelques actionnaires alliés à un groupe de banquiers privés. Ces actionnaires majoritaires ont délégué au conseil d'administration de la SAJGGL le soin de les représenter lors des assemblées générales de la société. Le 31 mai 2001, la SAJGGL a vendu à trois actionnaires, à savoir C._, D._ et E._ SA, sa participation de 47 % du capital-actions de la SA Le Temps, ainsi que sa créance postposée pour le prix de 11 millions de francs. Cette vente était soumise à l'approbation de l'assemblée générale. Lors de l'assemblée générale de la SAJGGL du 22 juin 2001, il a notamment été décidé, à la majorité absolue, de ratifier la vente conclue le 31 mai 2001, de dissoudre la SAJGGL et de nommer B._ en qualité de liquidateur. La dissolution a été acceptée par 1'049'448 voix dont 1'035'523 voix étaient représentées par les organes de la société. Depuis le 22 juin 2001, la SAJGGL n'a pratiquement plus exercé d'activité. A.b Le 22 août 2001, A._, de concert avec un groupe d'actionnaires, a introduit une action en justice à Genève tendant notamment à l'annulation de la décision d'approbation du rapport de gestion et des comptes pour l'exercice 2000 de la SAJGGL, de la décharge donnée aux administrateurs, de leur reconduction dans leurs fonctions et de l'élection de Y._ en tant qu'organe de révision, ainsi qu'à l'annulation des décisions prises le 22 juin 2001. Par ordonnance du 1er juillet 2002, le Tribunal a notamment interdit à titre provisoire l'inscription au registre du commerce de la dissolution et de la mise en liquidation de la SAJGGL. Par jugement du 8 décembre 2005, le Tribunal de première instance a rejeté la demande pour l'essentiel, annulant uniquement la décision de décharge des administrateurs, pour le motif que ceux-ci avaient voté leur propre décharge. A._ et ses consorts ont appelé de cette décision. La procédure est actuellement pendante devant la Cour de justice genevoise. La vente par la SAJGGL de 47 % du capital-actions de la SA Le Temps, ainsi que la dissolution et la liquidation subséquente de la SAJGGL sont donc pour l'instant bloquées et dépendent de l'issue des procédures pendantes. Les actionnaires candidats au rachat du capital-actions de la SA Le Temps n'ont payé à la qu'une partie des 11 millions de francs stipulés, le solde du prix de vente, portant intérêt, a été garanti à première demande par des billets à ordre émis par lesdits actionnaires, qui n'ont pas été acquittés. Ce montant a été comptabilisé au poste actif "débiteurs" dans les livres de la SAJGGL. A.c Lors d'une assemblée générale du 11 février 2004, les comptes pour les exercices 2001 et 2002 de la SAJGGL ont été approuvés et la décharge du liquidateur a été votée. A cette occasion, B._ a considéré que les conditions mises à la réalisation de la convention du 31 mai 2001 étaient réunies, de sorte que celle-ci était devenue exécutoire. A.d Le 25 juin 2004, A._, qui n'était pas satisfait des informations qui lui avaient été transmises à sa requête avant et au cours de l'assemblée du 11 février 2004, a déposé une demande de renseignements et de consultation de pièces à l'encontre de la SAJGGL. Rejetée en première instance, cette demande a été admise par la Cour de justice, qui a ordonné à la SAJGGL d'autoriser A._ à consulter les livres. A.e Lors de l'assemblée générale de la SAJGGL du 6 juillet 2004, B._ a expliqué que le poste débiteurs apparaissant à l'actif du bilan à hauteur de 6'845'469,94 fr. représentait le solde de la dette de deux des trois actionnaires ayant repris la participation de la société dans la SA Le Temps, le troisième ayant payé entièrement sa part, dès que les conditions d'achat de la convention du 31 mai 2001 avaient été réunies. Ce solde était garanti par deux billets à ordre immédiatement négociables. A l'époque, le conseil d'administration avait considéré qu'il n'était pas adéquat de faire porter aux actionnaires repreneurs la charge de l'immobilisation de la totalité de leur engagement financier pris dans la perspective d'une liquidation de la société, alors que celle-ci était reportée en raison d'éléments qu'ils ne maîtrisaient pas. A.f Lors de l'assemblée générale du 23 juin 2005, il a été décidé de réduire le capital social de la SAJGGL de 13'960'000 fr. à 4'068'750 fr. par remboursement de 8 fr. 50 par action, de modifier les statuts en ce sens, de reporter le bénéfice de l'exercice 2004, de donner la décharge au liquidateur et de nommer Y._ aux fonctions d'organe de révision. B._ a pris part au vote. La réduction du capital social était justifiée par le fait que, n'exerçant plus aucune activité commerciale, la SAJGGL était surcapitalisée, ce qui entraînait des frais inutiles, notamment en matière d'impôts, au détriment de la société et des actionnaires. Cette réduction devait s'effectuer par un versement en espèces aux actionnaires pour un montant de 3'693'937 fr. 50 et par compensation partielle de la créance des actionnaires repreneurs des actifs de la SAJGGL à hauteur de 6'187'312 fr. 50 Pour ces derniers, la réduction envisagée avait donc pour effet de compenser partiellement le paiement du prix de vente avec le remboursement de leurs actions. A l'occasion de cette assemblée, A._ a dénoncé un conflit d'intérêts de Y._, en raison de ses mandats de révision pour la SA Le Temps et le Groupe Edipresse. Le 24 août 2005, un groupe d'actionnaires minoritaires comprenant A._ a actionné la SAJGGL en annulation de la décision de réduire le capital social. Cette procédure est actuellement pendante. La modification statutaire entérinant la diminution du capital-actions a été publiée dans la Feuille d'avis officielle le 12 décembre 2005. A.g En sa qualité d'administrateur de la SAJGGL, B._ recevait 50'000 fr. d'honoraires annuels et il a continué à percevoir le même montant en qualité de liquidateur de la société. Cette rémunération est versée sur la base de notes d'honoraires succinctes. La comptabilité de la SAJGGL est tenue par la Société Z._, qui s'occupe aussi de certaines tâches administratives. Elle perçoit environ 60'000 fr. d'honoraires annuels. Le contentieux judiciaire de la SAJGGL est pris en charge par une Etude d'avocats, qui a encaissé 22'000 fr. d'honoraires en 2004. A.h Le 2 août 2005, A._ a déposé une plainte pénale contre B._ et les trois actionnaires candidats au rachat de 47 % du capital-actions de la SA Le Temps. Le classement de cette plainte par le Procureur général a été confirmé par la Chambre d'accusation. Le recours de A._ au Tribunal fédéral contre cette décision a été déclaré irrecevable le 28 mars 2006 (cause 1P.171/2006). B. Le 28 octobre 2005, A._ a déposé une action à l'encontre de la SAJGGL en concluant à la révocation pour justes motifs de B._ de ses fonctions de liquidateur de la société et en requérant, à titre préalable, la condamnation de cette dernière à produire diverses pièces (art. 64 al. 2 OJ). Par jugement du 16 janvier 2006, le Tribunal de première instance a débouté A._ de l'entier de ses conclusions. La 1ère Section de la Cour de justice, par arrêt du 18 mai 2006, a rejeté le recours déposé par A._ et confirmé le jugement attaqué. C. Contre l'arrêt du 18 mai 2006, A._ (le demandeur) dépose un recours en réforme au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de la décision attaquée et à ce que le Tribunal fédéral, statuant à nouveau, révoque B._ de ses fonctions de liquidateur de la SAJGGL et retourne la cause à l'autorité cantonale, afin qu'elle nomme un nouveau liquidateur offrant toutes les garanties de compétences et d'indépendance nécessaires. La SAJGGL (la défenderesse) propose de rejeter le recours et de confirmer l'arrêt du 18 mai 2006.