Faits: A. A.a B._, né en 2007, est le fils de A._, née en 1988. Le père n'a pas reconnu l'enfant. Le 22 mars 2007, C._, assistante sociale à l'Office des mineurs, a signalé la situation de l'enfant à l'Autorité tutélaire du district de Neuchâtel et demandé qu'une enquête sociale lui soit confiée. Le 2 août 2007, elle a déposé un rapport dont il ressortait que la mère, le père présumé et l'enfant avaient été accueillis à la «Maison de Prébarreau» le 27 juin 2007. L'enfant avait toutefois été placé à «La Ruche» le 2 juillet suivant. Dès la fin du mois de juillet 2007, la mère et le père présumé ont quitté la «Maison de Prébarreau» pour une autre institution, «L'enfant c'est la vie», dans le cadre d'un accueil familial. A.b Le 3 octobre 2007, l'Autorité tutélaire a désigné C._ en qualité de curatrice de l'enfant, dont elle a ratifié le placement à «La Ruche». La curatrice a, le 15 avril 2008, informé l'Autorité tutélaire de l'interruption de l'accueil familial, survenu le 7 décembre 2007, en raison des nombreuses altercations entre la mère et le père présumé, l'enfant étant alors resté à «La Ruche». Le 12 janvier 2010, elle a rapporté qu'entre septembre 2008 et mars 2009, les contacts entre «La Ruche» et la mère de l'enfant avaient été quasiment interrompus. Depuis le 1er août 2009, celui-ci ne sortait pratiquement plus de l'institution et n'avait plus aucun contact avec sa famille. Le personnel de «La Ruche» avait constaté que B._ commençait à souffrir de cette situation d'autant que, contrairement à lui, les autres enfants de l'institution retournaient régulièrement dans leur famille, de sorte que la question de son placement en vue d'adoption se posait à nouveau. La curatrice signalait encore qu'elle avait tenté plusieurs fois d'entrer en contact avec la mère, mais en vain. Le 11 février 2010, «La Ruche» a fait parvenir à l'Autorité tutélaire un rapport selon lequel B._ risquait de passer toute sa vie d'enfant et d'adolescent en institution et qu'il serait bon qu'il puisse trouver, dans une famille d'accueil, une personne qui se prête à un attachement particulier et significatif de sa part, comme il en avait la capacité. A.c Le 17 février 2010, la mère a fait part de sa volonté de récupérer la garde de son fils. Après avoir été rendue attentive au fait qu'elle devrait prendre régulièrement contact avec lui, des droits de visite ont à nouveau été mis sur pied. Elle ne s'est toutefois pas présentée aux visites des 21 avril, 5 mai et 12 mai 2010. La curatrice l'a alors informée, le 18 mai 2010, que l'enfant en avait souffert, qu'il l'avait attendue et qu'il ne comprenait pas pourquoi sa mère n'était pas venue le voir. Le 5 juillet 2010, une audience a été appointée devant l'Autorité tutélaire, à laquelle seule la curatrice a comparu. Celle-ci a déclaré qu'elle n'avait plus eu de contacts avec la mère depuis son courrier du 18 mai 2010 et qu'elle estimait que l'autorité parentale devait lui être retirée. A.d Le 19 octobre 2010, l'Autorité tutélaire de surveillance du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a retiré l'autorité parentale à la mère. Celle-ci n'a pas participé à la procédure, bien qu'elle ait été invitée à présenter des observations. Elle n'a pas non plus recouru contre la décision précitée. Le 22 octobre 2010, C._ a été désignée en qualité de tutrice de l'enfant. Dès janvier 2011, celui-ci a été placé dans une famille d'accueil en vue d'adoption. A.e Le 12 avril 2011, agissant par l'intermédiaire d'une avocate, la mère a demandé à consulter le dossier tutélaire de son fils, ce qui lui a été refusé par l'autorité compétente au motif que l'enfant avait été placé dans une famille d'accueil et que le placement se déroulait dans de bonnes conditions. La mère a réitéré sa demande les 6 mai, 20 juin et 16 août 2011, tout au moins concernant les pièces du dossier allant de la naissance de l'enfant jusqu'à la décision de l'Autorité tutélaire de surveillance du 19 octobre 2010. Elle a finalement eu accès au dossier, qui a été retourné à l'autorité concernée le 1er septembre 2011. B. Le 4 octobre 2011, la mère a déposé auprès de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: APEA) une requête urgente tendant à l'instauration de relations personnelles avec son fils. Elle faisait valoir qu'elle avait retrouvé une certaine stabilité et qu'elle allait commencer une formation professionnelle. Le 18 janvier 2012, un rapport a été établi sur la situation de l'enfant dans sa famille d'accueil. Il en ressortait que des liens durables s'étaient déjà tissés entre elle et l'enfant, qu'aucune restriction ne se posait à l'adoption, qui devait avoir lieu si possible dans les meilleurs délais, et que tout droit de visite de la mère serait néfaste pour l'enfant. Par décision du 15 février 2012, l'APEA a rejeté la requête. Cette autorité a considéré, en bref, que des efforts très importants avaient été faits pendant près de quatre ans pour que la mère puisse tisser un lien avec son fils, malheureusement sans résultat, que sa protection impliquait qu'il puisse continuer à s'épanouir dans son milieu actuel et qu'une confrontation avec sa mère - qu'il n'avait d'ailleurs jamais réclamée - constituerait un traumatisme pour lui. Par arrêt du 30 juillet 2012, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté l'appel interjeté par la mère contre cette décision. C. Par acte du 13 septembre 2012, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 30 juillet 2012. Elle conclut principalement à ce qu'elle soit autorisée à entretenir des relations personnelles avec son fils, la cause étant renvoyée à l'autorité de première instance pour nouvelle décision et mise en oeuvre du droit de visite. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité de première instance pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises.