Faits: A. La Maison X._ est un établissement médico-social de droit public qui accueille des personnes âgées (voir la loi cantonale genevoise [8441] concernant la Maison X._). Son personnel est soumis au statut de la fonction publique tel que défini par la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissement publics médicaux du 4 décembre 1997 (LPAC; RSG B 5 05). M._ a été engagée par la Maison X._ en qualité de femme de ménage le 1er janvier 1995. Depuis son engagement, la qualité du travail fourni par la prénommée a toujours été appréciée et reconnue par son employeur. En revanche, son comportement a donné lieu à plusieurs rappels à l'ordre. Par lettre du 16 janvier 1997, M._ a été priée de se conformer aux consignes en vigueur et de respecter les autres membres du personnel à la suite d'un incident avec une cheffe d'unité. Le 1er septembre 2000, la prénommée a été déplacée dans une autre unité de soins en raison d'une querelle survenue le 13 juin 2000 avec une collègue de travail (voir lettre du 27 juillet 2000). Le 5 février 2002, l'employeur a adressé un avertissement à M._ pour avoir eu des écarts de langage et tenu des propos racistes à l'égard d'une autre collègue en présence d'une résidente. Elle était invitée à se ressaisir, faute de quoi des mesures plus sévères seraient prises à son encontre. M._ a manifesté son désaccord dans une lettre du 14 février suivant. A l'issue d'un entretien avec ses supérieurs hiérarchiques, la sanction a été confirmée par décision du 21 mars 2002. Cette décision est entrée en force. Le 12 mai 2006, M._ s'est vue notifier un nouvel avertissement. Il lui était reproché d'avoir agressé verbalement une résidente et de s'être mise en colère à propos du chien de celle-ci. Son attitude envers cette personne a été qualifiée d'inadmissible. Il lui était demandé de faire preuve de respect à l'égard des personnes âgées et d'effectuer ses tâches sans commentaire. Cette sanction n'a pas été attaquée. Au cours de l'année 2008, trois autres incidents ont impliqué M._. Le 14 février 2008, un troisième avertissement lui a été infligé pour avoir insulté une collègue, A._, en employant des mots à caractère raciste. Il était précisé qu'au cas où ce genre d'épisode devait se reproduire, un licenciement pourrait être envisagé dès lors qu'un tel comportement dénotait une inaptitude à remplir les exigences du poste. Au courant de l'été, M._ s'est disputée avec B._, qui effectuait le remplacement d'une collègue malade. D'après les déclarations de B._, M._ n'avait pas accepté sa présence dans l'équipe de nettoyage. Le ton était monté et M._ l'avait frappée au bras alors qu'elle s'apprêtait à téléphoner à leur chef. Une séance de médiation a été organisée le 12 août 2008, au cours de laquelle M._ a exprimé son souhait qu'elles travaillent dans des unités séparées. Le 4 septembre suivant, l'employeur a offert à M._ de suivre des cours de français, ce qu'elle a refusé en raison de la présence de A._ à ces cours. En date du 10 septembre 2008, le supérieur hiérarchique de M._, C._, s'est entretenu avec elle et lui a annoncé qu'elle serait déplacée pour la dernière fois dans un autre bâtiment. Immédiatement après cet entretien, la prénommée s'est rendue à l'étage où travaillait A._. Furieuse du fait qu'elle avait fait l'objet de la mesure de déplacement et non sa collègue, M._ l'aurait menacée elle et ses enfants «de payer pour ça». Le même jour, M._ a été priée de rester à la maison jusqu'à nouvel avis. Au cours d'une séance du 28 octobre 2008, le Conseil d'administration de la Maison X._ a décidé d'ordonner l'ouverture d'une enquête administrative à l'encontre de M._. L'enquête a été confiée à un juge de la Cour de Justice du canton de Genève. L'enquêteur a procédé à une comparution personnelle des parties et entendu onze témoins. Selon ses conclusions, M._ avait eu une attitude générale inadmissible envers sa hiérarchie et ses collègues. Elle avait refusé de se soumettre aux injonctions de ses supérieurs, et s'était montrée agressive, autoritaire et grossière envers ses collègues. Ce faisant, elle avait violé ses devoirs et obligations de service. Malgré les nombreuses occasions qui lui avaient été données de s'améliorer, elle n'avait pas changé de comportement. Même en tenant compte de ses états de service, il n'apparaissait pas qu'une autre mesure que la «révocation» pût être envisagée vu la répétition et la gravité des manquements constatés. Le rapport d'enquête a été transmis à l'intéressée qui s'est déterminée le 20 février 2009. Par décision du 31 mars 2009, le Conseil d'administration a prononcé la révocation de M._ au sens de l'art. 16 al. 1 let. c ch. 5 de la LPAC. La prénommée était libérée de son obligation de travailler durant le délai de congé. En outre, la décision était immédiatement exécutoire nonobstant recours éventuel. B. M._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative) en concluant à l'annulation de la décision de révocation et à sa réintégration. Préalablement, elle a demandé la restitution de l'effet suspensif. Par décision du 6 juillet 2009, la présidente du tribunal administratif a rejeté la requête en restitution de l'effet suspensif. Après avoir tenu une audience de comparution personnelle, l'autorité cantonale a rejeté le recours, par jugement du 19 janvier 2010. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à ce qu'il soit ordonné à la Maison X._ de la réintégrer dans ses fonctions; subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Maison X._ conclut à l'irrecevabilité du recours, sinon à son rejet. Le tribunal administratif ne s'est pas déterminé.