Faits: A. Emrah Emre, ressortissant turc né le 18 décembre 1980, est entré en Suisse avec ses parents le 21 septembre 1986. Le 1er juin 1990, il a obtenu une autorisation de séjour annuelle qui a par la suite été régulièrement prolongée. Les 12 novembre 1997, 10 novembre 1999 et 13 août 2002, Emrah Emre a été condamné à des peines respectivement de deux mois et demi de détention avec sursis, six mois de détention avec sursis et cinq mois d'emprisonnement ferme pour une série d'infractions commises entre 1994 et 2000 (lésions corporelles simples et graves; voies de fait; vol; brigandage; dommages à la propriété; recel; injures; menaces; émeute; violation de la législation sur les armes et violation grave des règles sur la circulation routière). Par décision du 2 juin 2003, le Service des étrangers du canton de Neuchâtel a prononcé l'expulsion administrative de Emrah Emre pour une durée indéterminée. Les recours formés par Emrah Emre contre son expulsion ont été rejetés, d'abord le 12 décembre 2003 par le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif), puis le 3 mai 2004 par le Tribunal fédéral, dans un arrêt 2A.51/2004. En résumé, il ressort de ce dernier prononcé que la nécessité de préserver la Suisse d'un délinquant récidiviste, incapable de s'adapter à l'ordre établi et représentant une menace grave pour la sécurité publique, l'emportait, dans la pesée des intérêts, sur l'atteinte à la vie privée et familiale de l'intéressé consécutive à son renvoi dans son pays d'origine. B. Le 20 octobre 2004, Emrah Emre a été renvoyé en Turquie. Revenu illégalement en Suisse en mai ou juin 2005, il a été arrêté et placé en détention le 1er juillet 2005 en exécution des mandats d'arrêt émis sur la base de ses condamnations pénales. Après différentes péripéties de procédure ainsi que deux nouvelles condamnations pénales à des peines de trois et deux mois d'emprisonnement respectivement pour utilisation abusive d'une installation de communication et pour rupture de ban, il a apparemment derechef été renvoyé en Turquie le 1er novembre 2005. C. Entre-temps, le 20 novembre 2004, Emrah Emre avait saisi la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: la Cour européenne) d'une requête tendant à faire constater que son expulsion du territoire suisse pour une durée indéterminée, confirmée par le Tribunal fédéral, violait les art. 3 et 8 de la Convention européenne du 4 novembre 1950 de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales (CEDH, ci-après également citée: Convention européenne; RS 0.101). Par arrêt du 22 mai 2008, devenu définitif le 22 août suivant, la Cour européenne a partiellement admis la requête dont elle était saisie, en ce sens qu'elle a constaté que la mesure d'expulsion litigieuse constituait une violation de l'art. 8 CEDH. Elle a de ce chef condamné la Confédération suisse à verser au requérant les sommes de 3'000 EUR à titre de tort moral et de 4'650 EUR pour ses frais et dépens "devant les instances internes et devant la Cour". Interpellé sur la suite qu'il entendait donner à cette affaire, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a invité Emrah Emre, le 19 juin 2008, à déposer une demande de révision auprès du Tribunal fédéral. Par écriture remise à la Poste le 19 novembre 2008, Emrah Emre a formé une demande de révision au Tribunal fédéral, en concluant à l'annulation de son arrêt (précité) 2A.51/2004 du 3 mai 2004, ainsi qu'à l'annulation de l'arrêt précédemment rendu dans cette même affaire par le Tribunal administratif le 12 décembre 2003. Il requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire complète et la désignation de son mandataire comme avocat d'office. Le Tribunal administratif et le Département de l'économie du canton de Neuchâtel ont renoncé à déposer des observations sur la demande de révision. L'Office fédéral des migrations en propose le rejet.