Faits: A. X._ SA exploite une bijouterie-horlogerie à Genève. En mars 2005, elle a passé une commande à Z._ SA, entreprise de vitrerie et d'installation de stores, portant sur la fourniture et la pose de quatre grilles roulantes constituées de tubes d'aluminium horizontaux assemblés avec des brides de serrages verticales, profilés sans serrure mais avec une protection de relevage contre le haut. Les grilles roulantes ont été posées entre le 13 mai et le 13 juin 2005. Le 21 décembre 2009, la bijouterie-horlogerie a été cambriolée. Selon la plainte pénale déposée alors, les malfaiteurs ont soulevé le grillage de protection pour pénétrer dans le magasin. Par lettre du 26 janvier 2010, X._ SA a imputé à Z._ SA la responsabilité du préjudice résultant du cambriolage, qui aurait été rendu possible par la mauvaise exécution du système de protection de la grille contre le relevage vers le haut. Le 14 juillet 2010, X._ SA a requis une poursuite à l'encontre de Z._ SA, portant sur un montant total de 281'904 fr.52. B. Par acte déposé le 22 mars 2011 en vue de conciliation, X._ SA a assigné Z._ SA en paiement de 245'759 fr.55, 10'369 fr.75 et 19'173 fr.25, plus intérêts. Elle concluait en outre à ce que la défenderesse soit condamnée à réparer le défaut, à ses frais, dans les trente jours à compter de l'entrée en force du jugement. Dans sa demande, X._ SA faisait état d'un courriel du 30 juin 2010 dans lequel le conseil de Z._ SA, sollicité le même jour par le conseil de la demanderesse, déclarait que sa cliente renonçait à exciper de la prescription pour autant que celle-ci ne soit pas déjà acquise. Z._ SA a soulevé l'exception de prescription. Le Tribunal de première instance du canton de Genève a limité la procédure à cette question. Lors des débats d'instruction du 1 er février 2012, le conseil de X._ SA a produit un courrier daté du 30 avril 2010, que le conseil de Z._ SA lui avait adressé dans le cadre de pourparlers transactionnels; cette lettre portait la mention "SOUS LES PLUS EXPRESSES RÉSERVES D'USAGE" et son contenu était caviardé, sauf les formules de politesse et la phrase suivante: "Afin de vous éviter la rédaction d'une réquisition de poursuite, ma mandante est prête à renoncer, envers X._, à invoquer l'exception de prescription, pourvu que celle-ci ne soit pas déjà acquise." Le conseil de X._ SA a précisé que la production de ce courrier en partie caviardé était autorisée par le Bâtonnier de l'Ordre des avocats genevois. Lors des débats principaux du 15 juin 2012, le conseil de X._ SA a produit la lettre du Bâtonnier du 15 décembre 2011. A cette occasion, le conseil de Z._ SA a demandé que ledit courrier ainsi que celui du 30 avril 2010 soient écartés des débats. Par jugement du 21 septembre 2012, le Tribunal de première instance a rejeté l'exception de prescription. Statuant le 26 avril 2013 sur appel de Z._ SA, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement de première instance et débouté X._ SA de toutes ses conclusions. C. X._ SA interjette un recours en matière civile. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal, de confirmer le jugement de première instance ou de constater que Z._ SA a renoncé à soulever l'exception de prescription pour toute créance de X._ SA fondée sur les travaux réalisés dans la bijouterie-horlogerie, puis de renvoyer la cause au Tribunal de première instance pour qu'il rende un jugement sur le fond. A titre préalable, la recourante a conclu à l'octroi de l'effet suspensif. Par ordonnance du 4 juillet 2013, la Présidente de la cour de céans a rejeté cette demande. Z._ SA propose principalement le rejet du recours. Pour sa part, la Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt.