Faits: A. C._, né le 30 juin 1956, a été engagé à partir du 4 septembre 2000 en qualité de poseur de sol par l'entreprise F._ SA. A ce titre, il était assuré auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) contre le risque d'accidents, professionnels ou non, et de maladie professionnelle. Le 15 mai 2001, C._ a consulté le docteur D._, généraliste, pour un eczéma important des mains favorisé par l'usage des résines et durcisseurs dans son travail. Le 6 juin 2001, son employeur a annoncé le cas à la CNA, en indiquant qu'il avait travaillé pour la dernière fois dans l'entreprise le 29 mai 2001. Après instruction au plan médical, la CNA a déclaré C._ inapte à tous travaux au contact de résines époxy avec effet immédiat, par décision du 3 août 2001. Le 13 août 2001, F._ SA a informé l'assuré que, suite à la décision de la CNA, elle devait résilier son contrat de travail. Le 28 août 2001, H._ SA a signé un contrat de travail avec C._, selon lequel l'entreprise l'engageait en qualité de poseur de revêtements de sols à partir du 1er septembre 2001. Du 19 au 30 septembre 2001, il a interrompu son activité pour raison médicale (certificat du 27 septembre 2001 du docteur G._). Le 30 septembre 2001, H._ SA a résilié le contrat de travail pour le 31 octobre 2001. Par décision du 2 novembre 2001, la CNA a étendu l'inaptitude de l'assuré à la profession de poseur de sols. Le 6 décembre 2001, C._ a demandé à être mis au bénéfice d'une indemnité pour changement d'occupation. Par décision du 21 mai 2002, la CNA a nié le droit de l'assuré à une telle indemnité, car il n'avait pas exercé l'activité dangereuse pendant au moins 300 jours au cours des deux années ayant précédé la notification des décisions d'inaptitude. Sur opposition, la CNA a confirmé son point de vue dans une nouvelle décision du 20 septembre 2002. B. Par jugement du 7 mai 2003, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a admis le recours formé par C._ contre cette décision et annulé celle-ci. C. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à son annulation. C._ conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (actuellement en la matière, l'Office fédéral de la santé) en propose l'admission.