Faits: A. J._ a été engagé dès le 1er janvier 2002 par X._. Les rapports de travail ont été résiliés par son employeur pour le 31 mars 2004. Le 30 mars 2004, J._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur Y._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et spécialiste en médecine psychosomatique, a produit un rapport du 28 mai 2004 (y compris un questionnaire complémentaire du 27 mai 2004). Par lettre du 26 novembre 2004, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a avisé l'assuré qu'il était nécessaire de procéder à une expertise médicale et qu'elle serait confiée au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans sa réponse du 2 décembre 2004, J._ a déclaré qu'il ne désirait pas récuser ce médecin, pour autant qu'il n'y ait pas de motif de le faire. Il demandait que soit examinée l'utilité d'une expertise sur les actes de harcèlement moral ("mobbing/bossing"), en affirmant qu'ils étaient l'unique cause des atteintes à sa santé psychique. Le 9 décembre 2004, l'office AI a confirmé la nécessité d'une expertise psychiatrique, qui a été confiée le 14 décembre 2004 au docteur E._ par les médecins du SMR. Dans le cadre de celle-ci, J._ a participé le 22 septembre 2005 à un entretien et à des examens paracliniques, ainsi qu'à des tests psychométriques et leurs corrections ayant eu lieu respectivement les 24 août et 22 septembre 2005. Le docteur E._ et la psychologue-psychothérapeute A._ ont déposé leurs conclusions dans un rapport du 11 novembre 2005. Reprochant au docteur E._ de ne lui avoir posé lors de l'entretien aucune question sur le "mobbing/bossing", l'assuré a invité l'office AI à procéder à une expertise sur la réalité des actes de harcèlement dont il déclarait avoir fait l'objet, en lui donnant la possibilité de se prononcer sur le choix de l'expert (lettre datée du 4 août 2006). Dans une prise de position du 16 août 2006, I._ et L._, respectivement gestionnaire et juriste de l'office AI, l'ont informé qu'il n'y avait pas lieu de procéder à une nouvelle expertise psychiatrique. Le 8 septembre 2006, J._ a déposé devant le Conseil de l'Office AI du canton de Vaud une requête en récusation à l'encontre de I._ et de L._. Le 29 octobre 2006, il en a fait de même à l'encontre du docteur E._, de la psychologue-psychothérapeute A._ et de la doctoresse R._. Par décision du 15 août 2007, l'office AI, avisant J._ qu'il était compétent pour se prononcer sur la requête en récusation du 8 septembre 2006 dirigée contre I._ et L._, l'a rejetée. Dans une communication, datée également du 15 août 2007, il l'a informé que les motifs de récusation invoqués dans la requête du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._ étaient de nature matérielle et qu'il n'appartenait pas à l'administration de rendre une décision sur ce point, ces motifs pouvant être invoqués dès qu'une décision sur le fond aurait été rendue. B. Dans deux mémoires séparés, datés du 14 septembre 2007, J._ a formé recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision du 15 août 2007 de rejet de la requête en récusation du 8 septembre 2006, d'une part, et, d'autre part, pour déni de justice contre la communication de l'office AI du 15 août 2007 concernant les motifs matériels de récusation invoqués dans la requête du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._. Par jugement du 15 janvier 2008, le Tribunal des assurances a rejeté les recours (ch. I du dispositif). Considérant que le recours pour déni de justice était dirigé contre une décision non formelle rejetant la requête en récusation du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._, il a prononcé que la décision non formelle de l'office AI du 15 août 2007 était confirmée (ch. II du dispositif). La décision (formelle) du 15 août 2007 de rejet de la requête en récusation du 8 septembre 2006 a été confirmée (ch. III du dispositif). C. Le 8 avril 2008, J._ a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la «décision non formelle» de l'office AI du 15 août 2007, la cause étant renvoyée au Conseil de l'Office AI du canton de Vaud pour qu'il statue sur la récusation de ce médecin, de la psychologue-psychothérapeute A._ et de la doctoresse R._. A titre subsidiaire, il invitait le Tribunal fédéral à dire que l'art. 30 al. 1 LPJA (RS-VD 173.36) est inconstitutionnel et que le Conseil de l'Office AI du canton de Vaud a commis un déni de justice et à annuler sa décision prise en application de l'art. 30 al. 1 LPJA. Dans sa réponse du 24 juin 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a conclu au rejet du recours dans la mesure où il était recevable. Le 24 juin 2008, J._ a informé le Tribunal fédéral que l'office AI lui avait adressé un projet de décision (daté du 26 mai 2008) portant sur l'octroi d'une rente entière. Il sollicitait la suspension de la procédure jusqu'au prononcé de la décision finale de l'office AI. Par ordonnance du 25 juillet 2008, la procédure a été suspendue jusqu'au 25 octobre 2008. Le 31 octobre 2008, les parties ont été invitées à se prononcer sur la suite/reprise de la procédure. Dans ses observations du 6 novembre 2008, l'office AI était de l'avis que la cause pouvait effectivement être reprise. J._ ne s'est pas prononcé. Par ordonnance du 28 novembre 2008, la procédure a été reprise. Dans un préavis du 5 janvier 2009, l'Office fédéral des assurances sociales s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral.