Faits: A. A.a Lors d'une délibération du 31 mars 1992, le Conseil municipal de la commune de X._ (ci-après: la commune) a ouvert un crédit de 250'000 fr. en vue de l'aménagement d'une crèche à X._. Le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a approuvé cette délibération par arrêté du 4 mai 1992. Par lettre du 9 juin 1992, le conseil administratif de la commune de X._ (ci-après: le conseil administratif) a engagé R._ en qualité de directrice de la future crèche. L'association appelée à gérer la crèche n'était pas encore créée et le Service de la Petite Enfance devait donner son approbation à l'engagement. Une prise de fonctions provisoire était proposée à l'intéressée à partir du 10 juin 1992, soit avant l'ouverture de la crèche prévue le 24 août 1992. Dans un premier temps, le traitement horaire brut était de 32 fr. 45. Dès que l'engagement deviendrait définitif, le salaire mensuel et toutes les modalités concernant les charges sociales seraient communiquées à l'intéressée. A.b L'association initialement prévue par le Conseil administratif pour gérer la crèche n'a jamais vu le jour. En revanche, la commune de X._ a décidé, par délibération du 29 septembre 1992, de créer une fondation de droit privé, la "Fondation Y._", dont le but était de "développer toutes activités de la Commune de X._ en faveur de la jeunesse, notamment par la création de crèches, jardins et garderies d'enfants, colonies de vacances et restaurants scolaires". Cette fondation, constituée le 22 décembre 1992, était chargée de surveiller la gestion de la crèche, laquelle était quant à elle dirigée par R._, avec l'appui du comité de soutien de la crèche. L'engagement de R._ a fait l'objet de plusieurs discussions entre 1993 et 1995, lors des séances du Conseil de Fondation. Le cahier des charges de la directrice de la crèche, établi lors des séances des 16 janvier et 13 février 1995 et signé par R._ le 30 mars 1995, prévoyait qu'elle était engagée par le Conseil de Fondation et dépendait administrativement du comité de gestion. A.c Le 12 novembre 1996, le Service de protection de la jeunesse a autorisé R._ à diriger la crèche "V._". Postérieurement à la délivrance de cette autorisation, un contrat de travail d'une durée indéterminée a été conclu entre la crèche, représentée par le conseiller administratif P._, et R._. Dactylographié sur du papier à en-tête de la commune, ce contrat était daté du 1er septembre 1992. P._ a expliqué par la suite que cette date avait été apposée afin de régulariser la situation de R._, dont l'engagement effectif remontait au 9 juin 1992. A.d Par décision du conseil de fondation du 6 mai 1998, la crèche a été "sortie" du champ d'activités de la fondation et sa gestion a été confiée à un comité de gestion mandaté par le conseil administratif. A.e Le 27 mars 2001, le Service de protection de la jeunesse a suspendu l'autorisation de diriger la crèche délivrée à R._. A.f La commune a résilié le contrat de travail de R._ le 26 juin 2002 pour le 30 septembre suivant. R._ a recouru contre son licenciement devant le Tribunal administratif du canton de Genève (procédure A/716/2002). Au cours de cette procédure, elle a été reconnue invalide à 100 % par l'Office cantonal de l'assurance-invalidité, de sorte que le Tribunal administratif a considéré qu'elle n'avait plus d'intérêt actuel à recourir. B. B.a Le 2 janvier 2008, R._ a déposé devant le Tribunal administratif (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative) une demande en paiement dirigée contre la commune de X._, lui réclamant la somme de 21'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 30 mars 2002 ainsi que diverses sommes représentant le 13ème salaire pour les années 1992 à 2002. Préalablement, elle a conclu à ce qu'il soit constaté que ses rapports de travail avec la commune de X._ soient soumis au droit public. En outre, elle a demandé à ce qu'il soit ordonné à la commune de procéder à son intégration dans la Caisse d'assurance du personnel de la Ville de Genève (CAP), avec effet rétroactif au 10 juin 1992, respectivement de réserver ses droits, dans l'hypothèse où cette intégration n'était pas possible, sur la différence entre les prestations que lui aurait versé la CAP et celles qu'elle touchait de Z._ à laquelle elle avait été affiliée. A l'appui de sa demande, R._ a produit les avis de droit du Professeur A._, du 30 novembre 1999, et de Maîtres M._ et S._, du 14 février 2001, relatif au statut des crèches dans la commune de X._, un rapport d'audit financier de la crèche "V._", du 7 novembre 2001, ainsi qu'un rapport du 20 décembre 2002 relatif à la crèche adressé au Conseil d'Etat par l'inspection cantonale des finances. La commune s'est opposée à la demande. Les parties ont répliqué et dupliqué. B.b Le 5 mai 2008, les parties ont été informées que l'apport de la procédure A/716/2002 avait été ordonné par le tribunal. La juridiction cantonale a entendu R._ et G._, secrétaire général de la commune de X._, en audience de comparution personnelle le 25 septembre 2008. Elle a en outre tenu une audience d'enquêtes en présence des parties, au cours de laquelle elle a entendu P._ (le 22 janvier 2009). Le 27 février 2009, la commune a produit les procès-verbaux des séances du Conseil administratif du 1er novembre 1996 au 30 juin 1997, conformément à ce qui avait été décidé lors de l'audience d'enquêtes. Etant donné les nombreuses informations étrangères à la procédure qui n'avaient pas à être portées à la connaissance de R._, elle sollicitait que seuls certains extraits soient mis à la disposition de cette dernière. Par ailleurs, elle requérait l'audition de J._ et C._, conseillers administratifs de la commune à l'époque des faits. Le 8 décembre 2009, le tribunal a informé R._ qu'après examen des procès-verbaux précités, seuls les extraits mentionnant la crèche seraient versés au dossier. Après avoir donné aux parties la possibilité de se déterminer sur les compte-rendus d'audience et d'enquêtes, le Tribunal administratif a déclaré irrecevable la demande déposée par R._, par arrêt du 1er juin 2010, au motif que ses rapports de travail avec la commune étaient soumis au droit privé. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut à ce qu'il soit constaté que ses rapports de travail avec la commune de X._ étaient soumis au droit public et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur ses prétentions pécuniaires. La commune de X._ a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.