Faits: A. Le Ministère public de la Confédération (ci-après: le MPC) instruit une enquête contre A._ et trois autres ressortissants ouzbeks pour des infractions de blanchiment d'argent et de faux dans les titres. Dans ce cadre, il a ordonné des séquestres de comptes bancaires, des perquisitions de coffres-forts ainsi que la saisie de divers objets et documents. Certaines pièces étaient susceptibles de jouir de l'inviolabilité garantie par la Convention de Vienne sur les relations diplomatiques (RS 0.191.01) et la loi fédérale sur l'Etat hôte (LEH; RS 192.12), dans la mesure où elles concernaient la cheffe de la mission permanente de l'Ouzbékistan auprès de l'ONU à Genève. Elles ont par conséquent été placées sous scellés. A._, qui ne bénéficie pas de l'immunité diplomatique, a été placé en détention provisoire. Par courrier du 15 août 2012, la République d'Ouzbékistan a indiqué au MPC qu'un ordinateur portable et une clé USB saisis contenaient des données couvertes par l'immunité diplomatique, de sorte qu'elle demandait leur restitution. Le MPC a alors requis des indications complémentaires permettant d'identifier les objets dont la restitution était sollicitée. Le 5 septembre 2012, la République d'Ouzbékistan a demandé au MPC le procès-verbal des perquisitions et un inventaire des objets saisis. Par courrier du 7 septembre 2012, elle a donné certains renseignements, en expliquant notamment pourquoi A._ était en possession des données en question. Le 14 septembre 2012, le MPC a refusé de donner les informations requises par la République d'Ouzbékistan, au motif que celle-ci n'était pas partie à la procédure et que le caractère vague de sa requête ne permettait pas d'identifier les objets revendiqués ni de retenir qu'elle disposait d'un droit sur ceux-ci. B. Le MPC a demandé la levée des scellés au Tribunal cantonal des mesures de contrainte du canton de Berne (ci-après: le Tmc), en application de l'art. 248 al. 3 du Code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0). Par courrier du 21 septembre 2012, la République d'Ouzbékistan est intervenue auprès du Tmc pour revendiquer "un ordinateur portable, une clé USB et certains documents" en alléguant que ces objets bénéficiaient au moins pour partie de l'immunité diplomatique. Elle demandait également à participer à la procédure de levée des scellés. Le Président du Tmc a rejeté cette requête par un courrier du 24 septembre 2012, complété par une décision du 25 septembre 2012. Il a considéré en substance que la République d'Ouzbékistan n'avait pas la qualité de partie à la procédure de levée des scellés et qu'elle n'avait pas établi dans quelle mesure elle serait directement touchée dans ses droits au sens de l'art. 105 CPP. C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, la République d'Ouzbékistan demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et d'ordonner au Tmc de l'admettre en qualité de participant à la procédure de levée de scellés. A titre de mesures provisionnelles, elle requiert du Tribunal fédéral qu'il ordonne au Tmc de suspendre l'instruction de la demande de levée de scellés jusqu'à l'issue de la procédure de recours. La décision attaquée indiquant une voie de droit au Tribunal pénal fédéral, la République d'Ouzbékistan a également formé un recours auprès de cette autorité. Par ordonnance du 11 octobre 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a suspendu la présente procédure jusqu'à droit jugé sur ledit recours. Celui-ci ayant été déclaré irrecevable, l'instruction a été reprise. Le MPC et le Tmc ont présenté des observations, concluant au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. La recourante a formulé des observations complémentaires. D. Le 16 octobre 2012, A._ a été remis en liberté. L'ordinateur portable revendiqué par la République d'Ouzbékistan ainsi que des clés USB ont été restitués au prénommé, les données qu'ils contenaient ayant été sauvegardées par le MPC. E. Par ordonnance du 1er novembre 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête de mesures provisionnelles.