Faits: A. J._ a bénéficié de prestations complémentaires à l'assurance-invalidité depuis le 1er septembre 1991. Dès août 2000, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation a procédé au réexamen de son droit à des prestations complémentaires. L'assurée a signé une demande de révision du 25 août 2000, qui indiquait la rente AI comme revenu et ne déclarait aucun élément de fortune mobilière. Dans un rapport du 25 août 2000 figurant au dos de la formule, l'agence communale AVS, répondant par l'affirmative à la question de savoir si les déclarations faites étaient conformes à la situation réelle, a indiqué un revenu effectif de 17'400 fr. et une fortune effective de 171'000 fr. selon la dernière taxation fiscale 1999. Par décision du 2 novembre 2000, la caisse a continué d'allouer à J._ des prestations complémentaires à partir du 1er août 2000. Dès novembre 2004, la caisse a réexaminé le droit de l'assurée à des prestations complémentaires. J._ a signé une demande de révision du 11 novembre 2004. La caisse a invité l'agence communale AVS à produire les documents fiscaux et les polices d'assurance de la requérante. Par décision du 19 juin 2006, procédant à un nouveau calcul qui tenait compte de la rente viagère, des avoirs en épargne et de l'assurance-vie (valeur de rachat) dont bénéficiait J._, elle lui a réclamé la restitution de 81'811 fr. au titre de prestations complémentaires indûment perçues à partir du 1er juin 2001. Le 13 juillet 2006, l'assurée, invoquant des erreurs sur les montants déterminants pour le calcul des impôts qui faisaient l'objet de discussion avec le service des contributions, a formé opposition contre cette décision. Par décision du 7 février 2007, la caisse a rejeté l'opposition. Le 27 avril 2007, J._ a présenté une demande de remise de l'obligation de restituer la somme de 81'811 fr. Le 4 mai 2007, la caisse l'a avisée du dépôt imminent d'une plainte pénale à son encontre, de sorte qu'une décision ne serait rendue sur sa requête qu'à l'issue de la procédure pénale. Le 1er juin 2007, l'assurée a versé la somme de 81'121 fr. encore due sur le montant réclamé en restitution. Par jugement du 25 février 2008, le Tribunal de police du district de X._ a acquitté J._, faute d'intention délictueuse. Par décision du 25 août 2008, la caisse a rejeté la demande de remise de l'obligation de restituer, au motif que l'assurée ne pouvait se prévaloir de sa bonne foi, son comportement étant constitutif d'une négligence grave. Le 19 septembre 2008, J._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 2 octobre 2008, la caisse a rejeté l'opposition. B. Le 31 octobre 2008, J._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction cantonale étant invitée à condamner la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation à lui restituer la somme de 81'121 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er juin 2007. A titre subsidiaire, elle demandait que la cause soit renvoyée à la caisse de compensation pour nouvelle décision au sens des motifs. Par arrêt du 10 mars 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. J._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens de première et deuxième instances, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à lui accorder le bénéfice de la remise de l'obligation de restituer la somme de 81'121 fr. et à condamner la caisse à la restitution de cette somme avec intérêts à 5 % dès le 6 juin 2008. A titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants. La Caisse cantonale neuchâteloise de compensation déclare qu'elle n'a pas d'observations à déposer dans le cadre du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.