Faits: A. D.Y._ et A.Y._ sont mariés depuis le 1er septembre 1979. Ils ont six enfants, nés entre 1980 et 1993, dont B._, né en 1983, et C._, né en 1987. En 1995, D.Y._ a consulté X._, médecin psychiatre à Genève, auprès duquel elle a entamé une psychanalyse. En 2000, A.Y._ a entrepris à son tour une psychanalyse. Il a consulté à cet effet X._ à raison de trois séances hebdomadaires, qui sont passées à quatre entre 2002 et 2009. En 2004, B.Y._ a également sollicité l'aide de X._, qu'il a consulté une à deux fois par semaine jusqu'en 2009. A la même période, C.Y._ a aussi débuté un traitement, à un rythme bihebdomadaire, qui a duré jusqu'en 2009. Enfin, l'une des filles du couple Y._ a également été suivie dès 2004, à raison de deux fois par semaine, pendant plusieurs mois, par X._. En février 2006, une relation sentimentale a débuté entre D.Y._ et son psychiatre. Ceux-ci ont entretenu des relations intimes et sont partis à plusieurs reprises en vacances ensemble, le tout à l'insu de A.Y._. Nonobstant cette relation, X._ a poursuivi le traitement de ce dernier ainsi que des enfants du couple. A plusieurs reprises, D.Y._, ainsi que B._ et C._, ont exprimé leur souhait de cesser leur thérapie, mais en ont été dissuadés par X._. Pour la prise en charge des membres de sa famille, A.Y._ a versé pendant toutes ces années environ CHF 3'500.- par mois à X._, en sus des frais pris en charge par l'assurance-maladie. Le 26 août 2009, un cousin de A.Y._ auquel D.Y._ s'était confiée, a informé celui-ci de l'existence de la relation entre son épouse et X._. Depuis ce jour, A.Y._ et ses fils B._ et C._ ont cessé leur traitement auprès de X._. B. Le 16 septembre 2009, A.Y._ a déposé plainte contre X._ auprès de la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du canton de Genève (ci-après la Commission). Par deux courriers séparés du 2 novembre 2009, B.Y._ et C.Y._ ont également déposé plainte contre X._ auprès de la Commission. A la suite de ces plaintes, X._ a été licencié avec effet immédiat par la permanence médicale de Z._ qui l'employait. Le 3 septembre 2010, la sous-commission 1 de la Commission a entendu A.Y._ et X._. Le 3 décembre 2010, D.Y._ a été entendue à titre de renseignements. Enfin, B.Y._ et C.Y._ ont été entendus le 21 décembre 2010. Le 5 septembre 2011, la Commission a délivré un préavis à l'intention du Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé du canton de Genève (ci-après le Département), dont l'essentiel de la teneur a été repris dans un arrêté prononcé par cette autorité le 15 novembre 2011, retirant à X._ l'autorisation de pratiquer sa profession pour une période limitée à deux ans. Par acte du 16 décembre 2011, X._ a recouru contre cet arrêté auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice du canton de Genève (ci-après la Cour de justice). Par arrêt du 8 janvier 2013, celle-ci a rejeté le recours. Elle a retenu, en substance, que la Commission n'était pas un tribunal au sens de l'art. 6 CEDH, de sorte qu'il n'y avait pas de droit à obtenir une audience publique devant elle, et que le recourant n'avait pas sollicité d'audience publique devant la Cour de justice. Elle a admis par ailleurs que le préavis de la Commission constituait un document préparatoire interne qu'il n'était pas nécessaire de communiquer aux parties. En ce qui concernait la question de la prescription soulevée par le recourant, elle a retenu que les agissements reprochés à X._ s'étaient étendus de mars 2000 à août 2009, de sorte que la prescription absolue n'était pas acquise. S'agissant des manquements du praticien, la Cour de justice a considéré que le recourant avait violé son secret professionnel, notamment en dévoilant à D.Y._ des secrets que lui confiait A.Y._, et qu'il avait enfreint les règles de l'art, en particulier en entreprenant des thérapies simultanément avec plusieurs membres de la même famille et en n'interrompant pas les traitements au moment où avait commencé sa liaison avec D.Y._. La Cour de justice a également admis que le comportement du recourant avait violé la dignité et les droits de la personnalité des plaignants. Les juges ont en revanche laissé ouverte la question de savoir s'il était conforme aux règles de l'art de cumuler les approches analytique et systémique dans une thérapie de type psychanalytique. En ce qui concernait enfin la proportionnalité de la mesure prononcée, la Cour de justice a relevé que la sanction infligée était clémente au regard de la gravité des manquements commis. C. Par acte du 22 janvier 2013, X._ a demandé au Tribunal fédéral que l'effet suspensif soit accordé à titre superprovisoire à l'arrêt du 8 janvier 2013. Le 23 janvier 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé à titre superprovisoire l'effet suspensif au recours en indiquant qu'aucune mesure d'exécution de la décision attaquée ne pouvait être prise jusqu'à décision sur la requête d'effet suspensif. Par acte du 21 février 2013, X._ a déposé un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du 8 janvier 2013. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Les intimés concluent au rejet du recours, avec suite de dépens. Le recourant a déposé une ultime détermination le 26 avril 2013.