Faits: A. X._, né en 1991, se prétend ressortissant de la Sierra Leone. Le 16 septembre 2009, l'Office fédéral des migrations a refusé d'entrer en matière sur sa demande d'asile et a ordonné à X._ de quitter la Suisse le jour suivant l'entrée en force de ladite décision, faute de quoi il s'exposerait à des moyens de contrainte. Dans le cadre de la procédure d'asile, X._ a indiqué être né le 10 août 1992 et posséder une double nationalité (Sierra Leone et Nigéria). Impliqué dans des affaires de stupéfiants, X._ a disparu le 1er février 2010. Il a été ramené, le 1er juillet 2010, par les autorités de St-Gall à Sion où il a été placé, du 2 juillet 2010 au 21 septembre 2010, en détention en vue de son renvoi. Il a été libéré en raison de l'impossibilité existant alors de le présenter à une délégation des autorités du Nigéria. B. Le 6 décembre 2010, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a de nouveau placé X._ en détention avec effet immédiat pour trois mois au plus. Par arrêt du 10 décembre 2010, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Juge unique) a approuvé la décision précitée, en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. A l'appui de sa décision, il a retenu que X._ avait une attitude dénotant qu'il cherchait à compliquer l'exécution de son renvoi. C. A l'encontre de l'arrêt du 10 décembre 2010, X._, dans un mémoire rédigé en anglais, a formé un recours au Tribunal fédéral ("letter of appeal"). Il ressort de ce document que le recourant veut sortir de prison, la détention affectant sa santé mentale. Estimant être en danger de mort s'il rentre en Afrique, il demande à être envoyé en Espagne où il a déposé, sous une autre identité, une demande d'asile. Il affirme qu'un délai minimum de 48 heures lui suffirait pour quitter la Suisse. Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal. L'Office fédéral des migrations a également renoncé à prendre position. Le recourant n'a, pour sa part, pas fourni d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.