Faits: A. A.a. X._, né en 1959, exploite depuis 2006 un établissement faisant office de bar et salle de jeux à Genève. Le 12 mars 2010, il a souscrit auprès de la société Y._ SA une assurance collective perte de gain pour indépendant soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). Le contrat couvrait, pour la période du 1er février 2010 au 31 décembre 2013, les conséquences économiques d'une incapacité de travail résultant d'une maladie ou d'un accident. A partir d'une incapacité de 25 %, l'assureur s'engageait à verser des indemnités journalières calculées en fonction d'un salaire annuel convenu de 96'000 fr., et ce pendant une durée de 730 jours, après un délai d'attente de 14 jours. A.b. Le 30 juin 2010, la compagnie d'assurance a reçu un rapport du médecin traitant de l'assuré, soit le Dr A._, spécialiste FMH en médecine interne. Celui-ci attestait d'une incapacité de travail totale dès le 10 mai 2010, après que l'assuré eut glissé et chuté sur le dos en portant une caisse. Le diagnostic posé était "contusion entorse lombaire + cervicale". La reprise totale du travail était prévue dans les trois à quatre semaines. Le 19 octobre 2010, un spécialiste FMH en urologie employé par une permanence médico-chirurgicale a observé que l'assuré souffrait de dorso-lombalgies aiguës et de vertiges depuis le 19 septembre 2010, date à laquelle l'assuré avait effectué une chute accidentelle à vélo. Le médecin a retenu une incapacité de travail totale du 20 septembre au 25 octobre 2010. Les clichés radiologiques effectués à cette occasion révélaient une colonne cervicale et dorsale d'aspect normal, sans lésion visible. Le 3 janvier 2011, le médecin traitant de l'assuré (Dr A._) a diagnostiqué chez celui-ci un syndrome anxio-dépressif réactionnel depuis novembre 2010, dans un contexte de séparation avec son épouse, de surcharge de travail et de "burn-out". Une incapacité de travail à 100 % a été retenue dès le 2 décembre 2010 pour une durée indéterminée; une réévaluation devait être faite deux ou trois mois après le début de l'incapacité. L'assureur a mis en oeuvre son médecin-conseil, soit le Dr B._, spécialiste FMH en médecine générale. Dans un rapport du 24 janvier 2011, celui-ci a également retenu un état anxio-dépressif réactionnel à un conflit conjugal. Selon lui, l'incapacité de travail à 100 % devait perdurer au plus tard jusqu'au 14 février 2011. Dès cette date, une reprise de travail à 50 % au moins devait avoir lieu. Dans un rapport du 4 mars 2011, le Dr C._, spécialiste FMH en psychiatrie, a diagnostiqué chez l'assuré un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique et une anxiété généralisée depuis l'été 2010. L'assuré était déclaré incapable de travailler depuis le 24 février 2011. La date de reprise du travail était imprévisible. La compagnie d'assurance a chargé le Dr D._, également spécialiste FMH en psychiatrie, d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 28 mars 2011, ce médecin a fait état d'un trouble anxieux et dépressif mixte en rémission, entraînant une incapacité de travail totale depuis le 2 décembre 2010, puis de 50 % dès le 14 février 2011; la pleine capacité devait être recouvrée le 1er avril 2011. En juin 2011, l'assuré a annoncé à la compagnie d'assurance une incapacité de travail totale causée par des "problèmes de dos". Son médecin traitant, le Dr A._, a précisé dans un rapport du 19 juillet 2011 que le patient souffrait de cervico-brachialgies droites avec discopathies sur les vertèbres cervicales C3-C4 à C6-C7 et sténose canalaire marquée en C5-C6. Selon l'anamnèse, les douleurs remontaient à plusieurs semaines, avec parésie de l'épaule droite. Il retenait une incapacité de travail totale dès le 30 mai 2011 pour une durée indéterminée. La compagnie d'assurance a invité le Dr E._ à effectuer une expertise rhumatologique et orthopédique. Dans son rapport du 18 août 2011, ce médecin a diagnostiqué des cervico-dorsalgies sur troubles dégénératifs cervicaux C3 à C7 avec rétrécissement foraminal en C5-C6 plus marqué à droite. Il a en outre fait les observations suivantes: l'assuré émettait des plaintes majeures, mais les constatations somatiques étaient somme toute mineures. En définitive, l'assuré souffrait d'une atteinte somatique légère, sous forme d'arthrose cervicale s'accompagnant de douleurs cervicales et dorsales avec contracture des angulaires de l'omoplate et des trapèzes. Le bilan psychiatrique avait déjà été fait quant aux conséquences psychologiques d'un arrêt de travail prolongé, sans qu'une incapacité professionnelle ne soit reconnue. Cette conclusion valait aussi sur le plan somatique: les éléments observés au status commandaient au plus une adaptation du temps de travail avec deux pauses prolongées matin et après-midi, ce qui conduisait à reconnaître une capacité de travail de 90 % dans l'activité habituelle. Cependant, dans ce contexte difficile, et pour donner à l'assuré la meilleure chance de réinsérer sa profession, il était proposé d'intensifier le programme de physiothérapie et de retenir une incapacité de travail pendant six semaines encore jusqu'à l'achèvement du traitement, après quoi l'assuré devrait être apte à accomplir sa tâche à 90 %. Le pronostic serait certainement difficile dans la mesure où il n'était pas un candidat actif à la reprise du travail; la situation actuelle semblait lui convenir. A.c. La compagnie d'assurance a réduit les indemnités journalières de l'assuré dès le 15 février 2011, puis les a supprimées dès le 1er avril 2011. Par courrier du 19 septembre 2011, la société ... Assurance SA a déclaré résilier le contrat d'assurance avec effet rétroactif au 31 mai 2011. A.d. La section d'enquête du groupe dont fait partie l'assureur a procédé à des contrôles sur le lieu de travail de l'assuré. Dans son rapport du 1er octobre 2011, l'enquêteur a indiqué s'être rendu à cinq reprises dans le bar, soit les 16 juillet, 28 juillet, 23 août, 30 août et 6 septembre 2011; les visites avaient duré 25 minutes pour la plus courte et 2 h 30 pour la plus longue. A chaque fois, l'assuré était présent, discutant avec les clients, supervisant l'activité de l'établissement; la première fois, l'assuré avait servi l'enquêteur, pris des commandes en terrasse et effectué du rangement sur les tables. B. B.a. Le 20 mars 2012, l'assuré a saisi la Cour de justice du canton de Genève d'une demande en paiement dirigée contre ... Assurance SA. Il prétendait au montant total de 58'821 fr. 50 plus intérêts à titre d'indemnités perte de gain pour la période de février 2011 à janvier 2012; il entendait en outre faire constater son droit au versement d'indemnités jusqu'à amélioration notable de sa capacité de gain ou épuisement des prestations convenues. Les documents réunis au cours de la procédure ont révélé les faits suivants: en 2011, le bar de l'assuré a réalisé un chiffre d'affaires supérieur à celui de 2010 (575'117 fr. 55, contre 546'044 fr. 60 en 2010). En 2008, 4 des 7 employés de l'établissement ont touché des indemnités journalières. Par la suite, tel a été le cas de 4 des 5 employés en 2009, de 4 des 9 employés en 2010 et enfin, de 4 des 8 employés en 2011. En particulier, le fils de l'assuré a travaillé dans le bar en mars 2010, puis a touché des indemnités journalières jusqu'à la fin 2011. La fille de l'assuré a également travaillé un mois en décembre 2010, pour ensuite toucher des indemnités journalières pendant toute l'année 2011. L'épouse de l'assuré a perçu des indemnités pendant 7 mois en 2008, 7 mois en 2009, toute l'année 2010 et de janvier à septembre 2011. Enfin, l'assuré lui-même, avant de contracter avec la compagnie d'assurance, avait déjà perçu des indemnités journalières du 20 janvier au 16 mars 2008, puis du 4 juin 2008 au 4 janvier 2009, et enfin du 14 mai au 19 juillet 2009. B.b. La Chambre des assurances sociales de la Cour de justice a rendu sa décision le 26 février 2013. Elle a ordonné la substitution des parties, en ce sens que la défenderesse devenait Y._ SA. Sur le fond, elle a rejeté l'action de l'assuré. C. L'assuré saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il réitère les conclusions formulées devant l'autorité précédente, mais en les dirigeant contre Y._ SA. Cette dernière conclut au rejet du recours. Elle produit un bordereau de pièces déjà versées au dossier cantonal, lequel a été transmis à la cour de céans.