Faits: A. Dame A._, qui souhaitait obtenir une autorisation de séjour et de travail en Suisse, a décidé de créer une société à responsabilité limitée qui devait l'engager. Afin de ne pas apparaître dans la constitution de cette société, elle a passé, le 20 septembre 2003, une convention avec X._ et B._, lesquels ont accepté, agissant gratuitement et à titre fiduciaire, d'apparaître comme les titulaires des parts sociales, le premier à concurrence de 19'000 fr. et le second de 1'000 fr. Il a été retenu qu'en réalité dame A._ était l'unique propriétaire des parts sociales précitées. La société à responsabilité limitée, qui devait à l'origine s'appeler V._, a finalement été dénommée W._. Le 26 février 2004, un contrat de travail a été conclu entre la société W._ Sàrl et dame A._. Le 19 mars 2004, un permis L a été délivré à dame A._. Le 23 juillet 2004, X._, sur papier à l'en-tête de la société W._ Sàrl, a adressé une note d'honoraires à l'avocat de dame A._ pour le travail qu'il avait effectué en faveur de cette dernière. N'ayant pas obtenu satisfaction, il a dénoncé, par lettre du 21 mars 2005, la convention du 20 septembre 2003 en indiquant qu'il renonçait à son rôle d'associé-gérant avec signature individuelle. B. Le 21 novembre 2006, X._ a introduit devant le Tribunal de première instance de Genève une action en paiement dirigée contre dame A._ (ci-après: la défenderesse), lui réclamant une somme totale de 31'100 fr. Cette prétention se décompose de la manière suivante: 6'100 fr. à titre de contre-prestations pour les services rendus, 17'000 fr. à titre de contreparties financières pour le retard apporté dans la suppression de son nom et de sa qualité d'associé-gérant au registre du commerce et 8'000 fr. à titre de dommages-intérêts pour tort moral au sens de l'art. 28 CC. Par jugement du 11 octobre 2007, le Tribunal de première instance a rejeté la demande, en considérant les faits comme non prouvés. Cette décision a été annulée par un arrêt de la Cour de justice du 18 avril 2008, qui a constaté que la procédure n'avait pas été régulière et que la motivation du jugement attaqué était lacunaire. Statuant à nouveau le 3 septembre 2009, le Tribunal de première instance a rejeté la demande en invoquant plusieurs motifs partiellement alternatifs. Il a estimé que si l'activité déployée par X._ l'avait été en faveur de la société W._ Sàrl, il devait s'adresser à cette dernière; par ailleurs, le demandeur ne pouvait rien réclamer à la défenderesse, parce que les services rendus à celle-ci étaient gratuits; enfin, il a été observé que le demandeur n'avait pas apporté la preuve d'un dommage. Désirant appeler de ce jugement, X._ a sollicité l'assistance judiciaire, le 14 octobre 2009, demandant à être dispensé des frais d'introduction. Par décision du 26 octobre 2009, le vice-président du Tribunal de première instance a rejeté la requête en considérant que l'appel était voué à l'échec. Statuant sur recours le 10 février 2010, le vice-président de la Cour de justice a confirmé cette décision. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 10 février 2010. Il conclut à l'annulation de cette décision en reprenant ses conclusions sur le fond, qu'il chiffre désormais au total à 34'200 fr. Il sollicite également l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral.