Faits: A. A.a. Le 1er octobre 1998, Y._ AG et la société en nom collectif Garage X._ se sont liées par un contrat dit « de vente et de représentation » qui intégrait l'entreprise de cette société-ci - un garage exploité à ... - au réseau des garages et ateliers de la marque de véhicules Y._. Ce contrat était conclu pour une durée indéterminée et chaque partie pouvait le résilier pour la fin d'un mois à condition d'observer, en règle générale, un délai de résiliation de deux ans. A partir de 2004, les relations entre les parties se sont détériorées pour cesser à la fin de ladite année. A.b. Le 4 avril 2006, Y._ AG a ouvert action contre Garage X._ devant le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel. Elle a conclu à ce que la défenderesse fût condamnée, notamment, à cesser d'utiliser la marque Y._, à tolérer l'enlèvement des installations publicitaires de cette marque et à payer diverses sommes, dont un montant minimum de 60'000 fr. à titre de remise du gain illicite. Dans leur dernier état, ses conclusions pécuniaires dépassaient 200'000 fr. La défenderesse a conclu à sa libération des fins de la demande. Après diverses péripéties procédurales, qui ont donné lieu au prononcé de trois arrêts du Tribunal fédéral en 2006 et 2007 (causes 4P.299/2006, 4A_85/2007 et 4A_443/2007), la IIe Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, statuant en instance unique, a rendu son jugement sur le fond en date du 1er février 2010. Dans le dispositif de ce jugement, elle a, notamment, sommé la défenderesse de cesser d'utiliser la marque Y._, sous la menace, pour ses associés, des peines prévues par l'art. 292 CP; ordonné, à certaines conditions, la confiscation des objets en possession de la défenderesse sur lesquels figurait la marque Y._; enjoint à la défenderesse de permettre l'accès nécessaire au démontage des installations Y._ par la société B._ AG, mandatée par Y._ AG, sous la menace, pour ses associés, des peines prévues par l'art. 292 CP; condamné la défenderesse au versement de 84'000 fr., plus intérêts, à titre de remise d'un gain illicite; enfin, rejeté la demande pour le surplus. Par arrêt du 27 mai 2010, le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours en matière civile formé par la défenderesse contre le jugement précité (cause 4A_175/2010). A.c. Le 8 novembre 2011, la Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, statuant sur une requête en exécution du jugement du 1er février 2010 déposée par Y._ AG, a chargé le greffe du Tribunal cantonal de procéder à la confiscation ordonnée dans ledit jugement, le cas échéant avec l'aide de la police, et sommé l'intimée à la requête d'autoriser la société B._ AG ou toute autre personne désignée par la Cour à accéder au garage pour le démontage des installations Y._, l'aide de la police étant réservée au besoin. B. En date du 2 novembre 2012, Y._ AG a déposé une nouvelle requête d'exécution du jugement en question, en ce sens, d'une part, que le Garage X._ devait être condamné à une amende d'ordre de 750 fr. par jour jusqu'à ce qu'il cesse d'utiliser la marque Y._ et, d'autre part, que l'hébergeur du site Internet www.centre-Y._.ch devait être invité à en bloquer l'utilisation. Par décision du 2 mai 2013, la Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a ordonné à la société C._ SA, hébergeur du site de l'intimée à la requête, de bloquer l'utilisation de l'adresse www.centre-Y._.ch. Elle a mis en demeure le Garage X._ de ne plus faire référence à la marque Y._, dès le 31 mai 2013, dans sa publicité ou de quelque manière que ce soit, sous réserve de l'usage admis dans l'ATF 128 III 146, en particulier de cesser d'utiliser la désignation centre-Y._ et Y._@fournisseur. Les juges cantonaux ont encore dit qu'en cas de non-respect de ces injonctions, le Garage X._ serait condamné, sur requête de Y._ AG, à verser une amende d'ordre de 400 fr. par jour d'inexécution, conformément à l'art. 343 al. 1 let. c CPC. Ils ont rejeté, au surplus, toute autre conclusion. C. Le 5 juin 2013, la société en nom collectif Garage X._ (ci-après: la recourante), agissant seule, a formé un recours en matière civile, assorti d'une requête d'effet suspensif. Elle conclut, principalement, à l'annulation de la décision du 2 mai 2013 et au renvoi de la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision au sens des considérants de l'arrêt fédéral à venir. A titre subsidiaire, la recourante invite le Tribunal fédéral à dire qu'elle a correctement exécuté, à ce jour, le jugement rendu le 1er février 2010 par la IIe Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois. Dans sa réponse du 21 juin 2013, Y._ AG (ci-après: l'intimée) conclut au rejet du recours. Quant à l'autorité intimée, elle a renoncé à présenter des observations.