Faits: A. A.a Par jugement du 21 décembre 1983, le Tribunal de Grande instance de Paris a prononcé le divorce des époux A._, né en 1933, et dame B._, née en 1926, et a homologué leur convention du 6 décembre 1983 sur les effets du divorce. Aux termes de cet accord, le mari s'est notamment engagé à verser mensuellement à l'épouse une rente viagère, indexée, de 6'500 francs suisses (5'750 fr. après remboursement d'un crédit), à payer les cotisations d'assurances maladie et accident de celle-ci et, au cas où il viendrait à décéder, à ce que son capital-décès lui soit alloué. Au moment du divorce et jusqu'en 1992, A._ percevait un salaire mensuel net de 21'655 fr. Mis à la retraite anticipée à 59 ans, il s'est établi comme indépendant à Genève. Il a cessé son activité professionnelle au 1er janvier 1999, notamment pour des raisons de santé. Jusqu'en novembre 2000, il a régulièrement payé la rente mentionnée, qui s'élevait alors, compte tenu de l'indexation, à 8'199 fr. Il a ensuite versé irrégulièrement des montants réduits. A.b Le 25 octobre 2000, le débirentier a demandé au Tribunal de première instance de Genève, par la voie d'une action en modification du jugement de divorce, à être entièrement libéré du versement de la rente due à la crédirentière et de l'obligation de payer les cotisations d'assurances de celle-ci, ainsi qu'à recouvrer la libre disposition de son capital-décès. Statuant sur mesures provisoires le 24 juin 2002, le Tribunal de première instance a ramené à 2'500 fr. par mois la rente due à la défenderesse à compter du 1er juin 2001. Sur le fond, cette juridiction a, le 19 décembre 2002, réduit la contribution d'entretien à 2'100 fr. par mois et libéré le demandeur de son obligation de payer les cotisations susmentionnées dès le prononcé de son jugement, en application de l'art. 276-3 du Code civil français. Par arrêt du 14 novembre 2003, la Cour de justice du canton de Genève a modifié ces deux décisions. Sur mesures provisionnelles, elle a fixé à 1'700 fr. par mois la contribution due à la défenderesse, sous déduction du montant des cotisations d'assurances de celle-ci payées par le demandeur. Sur le fond, elle a également réduit la rente à 1'700 fr. par mois, sous la même déduction (ch. 1 et 2 du dispositif), et a débouté le demandeur de son chef de conclusions en libération du paiement des cotisations d'assurances maladie et accident; elle a confirmé le jugement de première instance pour le surplus. Le Tribunal fédéral a, par arrêt du 26 mars 2004 (5P.3/2004), partiellement admis, sur le fond, le recours de droit public interjeté par la défenderesse, considérant en substance que la cour cantonale n'avait pas tenu compte de la fortune du demandeur pour fixer la nouvelle contribution d'entretien. La défenderesse a en revanche été entièrement déboutée s'agissant des mesures provisoires. Le 18 février 2005, la Cour de justice a annulé le jugement du Tribunal de première instance du 19 décembre 2002 et a renvoyé la cause à cette juridiction pour complément d'instruction portant sur la fortune du débirentier en 1983 et de 1991 jusqu'au 25 octobre 2000, sur les revenus éventuels issus de celle-ci au cours de ces années et sur son utilisation pendant la même période. Le recours de droit public interjeté par le demandeur contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral le 25 avril 2005 (5P.96/2005). A.c Après complément d'instruction, le Tribunal de première instance a, par jugement du 17 novembre 2005, fixé la contribution d'entretien à 1'700 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances, avec effet au jour de son prononcé. Statuant le 15 septembre 2006 sur l'appel de chacune des parties, la Cour de justice a confirmé ce jugement. Par arrêt du 26 mars 2007 (5P.441/2006), le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours de droit public formé par la défenderesse contre l'arrêt du 15 septembre 2006, considérant que la motivation de la Cour de justice était arbitraire puisqu'elle laissait inexpliquée une diminution de fortune du débirentier, entre 1999 et 2000, de plus de 1'400'000 fr. et que, la contribution à l'entretien de la défenderesse ayant été fixée au seul disponible de 1'700 fr. de celui-ci, cela entraînait en outre un résultat arbitraire. Statuant le 14 septembre 2007, la Cour de justice a annulé le jugement du Tribunal de première instance du 17 novembre 2005 et lui a renvoyé la cause pour complément d'instruction portant sur les raisons de la diminution de la fortune du débirentier, en particulier entre 1999 et 2000. Dans ses conclusions après enquêtes, le demandeur a, le 24 avril 2009, conclu au versement d'une contribution d'entretien s'élevant à 1'700 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances, dont il s'acquitterait directement. La défenderesse a pour sa part, le 23 avril 2009, persisté dans ses conclusions en déboutement du demandeur; elle a en outre conclu à ce qu'il soit prononcé que l'arrêt de la Cour de justice du 14 novembre 2003 soit annulé avec effet ex tunc, soit dès le 10 mai 2002, en ce qui concerne les mesures provisoires. B. Par nouveau jugement du 1er octobre 2009, le Tribunal de première instance a fixé la rente due à la défenderesse à 1'850 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances payées directement par le débirentier, dès le prononcé de sa décision. Les parties ont été déboutées de toutes autres conclusions. Par arrêt du 16 avril 2010, la Cour de justice a, sur mesures provisoires, condamné le demandeur à verser à la défenderesse, dès le 23 avril 2009, la somme de 3'000 fr. par mois. Sur le fond, elle a fixé le montant de la rente à 3'000 fr. par mois et a libéré le demandeur de son obligation de payer les cotisations d'assurances maladie et accident de la défenderesse, dès le 25 octobre 2000. C. Par un seul et même acte déposé le 21 mai 2010, le demandeur forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 16 avril 2010. A titre principal, il conclut, sur mesures provisoires, à ce que l'intimée soit déboutée de toutes ses conclusions et, sur le fond, à ce qu'il soit condamné à verser à celle-ci une rente de 1'700 fr. par mois dès le 25 octobre 2000. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet des recours. En ce qui concerne le recours en matière civile, elle demande en outre, d'une part, que l'arrêt de la Cour de justice du 14 novembre 2003 sur mesures provisoires soit modifié avec effet ex tunc, soit dès le 10 mars 2002, le recourant étant condamné à lui verser la somme de 3'500 fr. par mois jusqu'à l'entrée en vigueur du jugement au fond; elle sollicite d'autre part la modification du jugement de divorce rendu entre les parties le 21 décembre 1983 par le Tribunal de Grande instance de Paris en ce sens que le montant de la prestation compensatoire à la charge du recourant est fixé à 3'500 fr. par mois, celui-ci étant libéré de son obligation de lui payer ses cotisations d'assurances maladie et accident, avec effet à la date d'entrée en vigueur de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 11 juin 2010, la Présidente de la cour de céans a admis la demande d'effet suspensif pour les contributions d'entretien dues sur mesures provisoires jusqu'à fin avril 2010 seulement. L'effet suspensif a été attribué au recours sur le fond par ordonnance du même jour.