Faits: A. Dès 1996, Y._ (ci-après: l'employée), citoyenne américaine, a travaillé pour un groupe de sociétés (ci-après: l'employeur) aux États-Unis. Le 14 mai 2002, elle a conclu un nouveau contrat de travail avec l'une des branches du groupe implantée à La Chaux-de-Fonds; le contrat a été partiellement modifié le 2 septembre 2002. L'employée devait commencer son activité en Suisse le 1er janvier 2003 et s'installer dans ce pays où habitait son époux, avec lequel elle s'était mariée en 2000. Le 19 novembre 2002, l'employée a eu une conversation téléphonique avec des représentants de l'employeur, au cours de laquelle il a été question de la suppression de son poste en Suisse ensuite d'une restructuration du groupe. Le lendemain, se référant à cet entretien et au fait qu'on l'avait invitée à quitter l'entreprise, elle a demandé quel serait son dernier jour de travail et posé diverses autres questions sur son avenir. Il lui a été répondu qu'elle pourrait quitter la société une fois les problèmes courants résolus, en particulier une migration informatique aux États-Unis; il a été ajouté que ses autres questions recevraient une réponse ultérieurement. En décembre 2002, l'employée a déménagé des États-Unis en Suisse. Le 17 décembre 2002, elle s'est présentée chez son employeur à La Chaux-de-Fonds et a alors été priée d'accuser réception d'une lettre du même jour qui confirmait le congé donné le 19 novembre 2002, fixait la fin des rapports de travail au 31 mars 2003 et la dispensait de son obligation de travailler jusqu'à cette date; l'employée a signé le document en précisant qu'elle n'était pas d'accord avec son contenu. Agissant par l'intermédiaire d'un avocat vaudois, l'employée a contesté son congé; elle réclamait, pour le cas où l'employeur ne reviendrait pas sur le congé, une indemnité de six mois de salaire pour licenciement abusif, ainsi que d'autres montants. Une procédure judiciaire étant envisagée, le mandataire vaudois a transmis au printemps 2003 le dossier à un confrère neuchâtelois, l'avocat X._ (ci-après: l'avocat). Celui-ci a entamé des négociations avec le mandataire de l'employeur, en faisant notamment valoir une prétention en versement d'une indemnité pour licenciement abusif ou économique. Le 15 octobre 2003, l'employée et son époux ont demandé à l'avocat des nouvelles de l'affaire, lui ont signalé leur intention d'aller de l'avant et d'intenter une procédure judiciaire et se sont inquiétés de savoir s'il y avait des délais à respecter. Le 22 octobre 2003, il leur a répondu qu'il était en négociation et qu'envisager une procédure judiciaire était prématuré. En réponse à une nouvelle interpellation de l'employée du 11 avril 2004, l'avocat lui a indiqué le 25 avril 2004 que la menace d'une procédure pour licenciement abusif n'en était plus une dès lors que le délai pour introduire une telle procédure était échu depuis fin septembre ou fin octobre 2003; il s'en excusait, tout en relevant que la menace avait tout de même permis d'obtenir le paiement du salaire jusqu'à fin avril 2003. L'employée a poursuivi ses négociations avec l'employeur avec l'aide d'un nouveau mandataire. Une transaction a finalement été conclue. En septembre 2005, l'employée s'est adressée à l'avocat pour lui indiquer qu'elle le tenait pour responsable de sa perte du droit à demander une indemnité pour licenciement abusif, qu'elle entendait lui réclamer l'équivalent à titre de réparation du dommage et qu'elle le priait d'informer son assurance en responsabilité civile. Mise au courant, celle-ci a refusé d'intervenir, estimant en substance que la perte du droit pour agir n'avait causé aucun tort à l'employée. B. Le 16 août 2006, l'employée a actionné l'avocat en paiement de 55'000 fr. représentant quatre mois de son ancien salaire de base; celui-ci a conclu au rejet, faute de dommage consécutif à l'inobservation du délai pour agir en justice. Par jugement du 18 décembre 2009, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a admis l'action; elle a condamné l'avocat à payer à l'employée 55'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mai 2003. En substance, elle a considéré que l'employeur avait violé ses obligations en manquant des égards les plus élémentaires face à une collaboratrice qui travaillait pour lui depuis six ans au moins et qui devait donner satisfaction puisque le nouveau contrat prévoyait un salaire de base annuel confortable de 165'000 fr.; en effet, il l'avait laissée quitter définitivement les États-Unis pour l'accueillir pratiquement à sa descente d'avion avec une lettre de licenciement prétendant faussement confirmer un congé déjà donné précédemment; en outre, il avait allégué des raisons économiques que l'instruction n'avait pas confirmées; en conséquence, il pouvait être admis avec une vraisemblance prépondérante qu'une indemnité pour licenciement abusif correspondant à quatre mois de salaire aurait été accordée si l'action avait été intentée à temps; l'omission d'ouvrir action, en violation fautive du devoir de diligence du mandataire, avait dès lors causé à l'employée un dommage de même montant. C. L'avocat (le recourant) a interjeté un "recours en matière de droit civil, subsidiairement constitutionnel" au Tribunal fédéral, concluant principalement au rejet de toutes les conclusions de la demande. L'employée (l'intimée) a proposé le rejet du recours.