Faits: A. Le 1er mai 2005, W._ SA (devenue par la suite Y._ SA; ci-après: la banque), ayant son siège à Genève, a engagé X._, domicilié à ..., en qualité de directeur général. Le contrat signé par les parties, qui contient une élection de droit en faveur du droit suisse, prévoit une rémunération sous la forme d'un salaire fixe, de frais de représentation, ainsi que d'un salaire variable dont les conditions sont réglées dans un document annexé signé le même jour. L'art. 2 du contrat prévoit que chacune des parties peut donner congé moyennant un préavis de 180 jours. En cas de congé, la banque a la faculté d'exiger du directeur général qu'il cesse immédiatement de travailler. L'art. 11 du contrat permet à la banque de licencier le directeur général avec effet immédiat dans un certain nombre de cas qui sont énumérés explicitement; l'alinéa 2 de cette disposition prévoit que s'il n'y a pas de justes motifs selon la loi suisse, le directeur général a le droit de percevoir une indemnité fixe correspondant à un salaire annuel. Par courrier du 29 juin 2007, la banque a mis fin au contrat de travail du directeur général pour le 30 juin 2007. Il était indiqué que l'employé recevrait, en application de l'art. 11 du contrat de travail, une indemnité équivalant à une année de salaire. Par courrier de son conseil du 17 août 2007, X._ a contesté la résiliation immédiate du rapport de travail, de sorte que les parties sont entrées en litige sur les conséquences pécuniaires de ce licenciement. Le 4 septembre 2007, la banque a versé à son employé différentes sommes, notamment le montant qu'il réclamait à titre de bonus (salaire variable) pour l'année 2005. B. Le 28 avril 2008, X._ a adressé à la juridiction des prud'hommes du canton de Genève une demande en paiement dirigée contre Y._ SA, lui réclamant au total la somme de 836'485 fr. avec intérêts. Le 1er décembre 2009, le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement. Saisie d'un appel formé par la banque et d'un appel incident interjeté par l'employé, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 28 septembre 2010, a réformé le jugement rendu en première instance et a condamné la banque, sous réserve des déductions sociales, légales et usuelles, à verser à X._ la somme brute de 451'617 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2007, ainsi que la somme brute de 186'700 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2008; elle a confirmé le jugement rendu en première instance dans la mesure où il a déclaré irrecevable la demande de l'employé tendant au paiement de 120'000 fr. à titre d'honoraires afférents à des mandats d'administrateur. Le litige qui oppose les parties comprend quatre volets.