Faits: A. A.a. M. B.X._, né en 1957, de nationalité suisse, et Mme A.X._, née en 1989, ressortissante de Côte d'Ivoire, se sont mariés dans ce pays le 31 mars 2012. Aucun enfant n'est issu de leur union. M. B.X._ est le père de deux enfants issus d'un précédent mariage, Y._, né en 1996 et Z._, née en 2003. L'épouse est arrivée en Suisse en mai 2012. Un permis de séjour de catégorie B, avec autorisation d'exercer une activité, lui a été délivré le 23 mai 2012. A.b. Le 20 décembre 2012, le mari a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, concluant au prononcé de la séparation pour une durée indéterminée et à ce que le domicile conjugal lui soit attribué. Par procédé écrit du 18 mars 2013, l'épouse a conclu à ce que la séparation soit prononcée pour une durée indéterminée et à ce que le mari soit astreint à contribuer à son entretien par le versement d'une pension mensuelle de 1'700 fr. Les époux ont été entendus à l'audience du 21 mars 2013 et ont alors passé une convention réglant partiellement leur séparation. Le 29 mai 2013, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a pris acte, pour valoir prononcé partiel de mesures protectrices de l'union conjugale, de la convention signée le 21 mars 2013, à teneur de laquelle les parties s'autorisaient à vivre séparées pour une durée indéterminée, le domicile conjugal étant attribué au mari à charge pour lui d'en assumer l'intégralité des frais. Elle a en outre condamné celui-ci à verser à l'épouse une pension mensuelle de 1'140 fr. dès et y compris le 15 mars 2013, puis de 1'340 fr. dès le 1er octobre 2013. B. Par arrêt du 16 juillet 2013, notifié le 25 juillet suivant, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé ce prononcé en ce sens que le mari n'est pas tenu de contribuer à l'entretien de l'épouse et l'a confirmé pour le surplus. Ce magistrat a considéré que le revenu du mari ne lui permettait que de couvrir son minimum vital et n'a donc pas eu à déterminer la situation financière de l'épouse. C. Par acte du 26 août 2013, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du Juge délégué. Elle conclut principalement à ce que le mari contribue à son entretien par le versement des pensions fixées en première instance. Subsidiairement, elle demande l'annulation de l'arrêt querellé et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle instruise et statue à nouveau dans le sens des considérants. La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimé propose le rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 29 août 2013, le Président de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif.