Faits: Faits: A. J._, né en 1961, a travaillé en qualité de machiniste au service de la société X._. A ce titre, il était assuré contre les accidents professionnels et non professionnels et contre les maladies professionnelles auprès de la Caisse nationale suisse en cas d'accidents (CNA). Il était par ailleurs au bénéfice d'une assurance d'indemnités journalières de la Caisse-maladie suisse pour les industries du bois et du bâtiment et branches annexes (CMBB). Le 18 novembre 1995, J._ a consulté son médecin traitant, le docteur A._, pour des douleurs au bras droit en raison de mouvements répétés exécutés dans le cadre de son travail. Le médecin a diagnostiqué une tendinite crépitante des tendons extenseurs d'origine professionnelle. Ce diagnostic a été confirmé par le docteur B._, médecin d'arrondissement de la CNA (rapport du 11 janvier 1996). Le cas a été pris en charge par l'assureur-accidents. Après avoir subi une première intervention chirurgicale effectuée par le docteur C._ (évidement du semi-lunaire, greffe osseuse, résection d'une pseudarthrose de la styloïde cubitale et synovectomie du poignet), J._ a consulté la doctoresse D._, spécialiste en chirurgie de la main à la Clinique chirurgicale et permanence de Y._. La praticienne a constaté que l'assuré souffrait d'une maladie de Kienböck avancée, avec sclérose complète du semi-lunaire qui était fracturé. Elle a proposé une arthodèse du poignet, intervention à laquelle l'assuré s'est soumis le 23 septembre 1996. Le docteur E._, spécialiste en chirurgie de la division de médecine des accidents de la CNA, a considéré que les troubles ressentis par l'intéressé n'avaient plus rien à voir avec les premiers diagnostics posés de tendinite crépitante (rapport du 22 juillet 1996). Se fondant sur cet avis, la CNA a réexaminé le dossier de l'assuré. Par décision du 31 juillet 1996, elle a signifié à J._ qu'elle ne prendrait plus en charge son cas, dès lors qu'il ne présentait pas une tendinite crépitante - comme l'indiquaient les premiers diagnostics - mais une maladie de Kienböck, non assimilable à une maladie professionnelle; elle renonçait par ailleurs à lui réclamer les prestations versées à tort, mais s'adresserait directement à la CMBB à cette fin. L'assuré et la CMBB ont tous deux formé opposition contre cette décision. Le 24 avril 1997, l'assureur-accidents a rejeté l'opposition de la CMBB, au motif que les (nouveaux) troubles ressentis par J._ n'avaient pas d'origine traumatique et que les affections dont il souffrait ne pouvaient pas être considérées comme résultant d'une maladie professionnelle. L'assuré et la CMBB ont tous deux formé opposition contre cette décision. Le 24 avril 1997, l'assureur-accidents a rejeté l'opposition de la CMBB, au motif que les (nouveaux) troubles ressentis par J._ n'avaient pas d'origine traumatique et que les affections dont il souffrait ne pouvaient pas être considérées comme résultant d'une maladie professionnelle. B. B.a La CMBB a déféré cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et du canton du Jura, Chambre des assurances, en concluant, notamment, à son annulation et à ce que la CNA soit tenue de prendre en charge le cas. Dans le cadre d'une instruction médicale complémentaire, la CMBB a produit un rapport d'expertise du 1er septembre 1997 du docteur F._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, selon lequel l'atteinte présentée par l'assuré constituait une maladie professionnelle. Par jugement du 3 août 1999, le tribunal cantonal a admis le recours, considérant que l'affection dont souffre l'assuré est une maladie professionnelle au sens de la loi. B.b Saisi d'un recours formé par la CNA contre ce jugement, le Tribunal fédéral des assurances l'a admis et a renvoyé la cause au Tribunal cantonal jurassien pour qu'il complète l'instruction et confie une expertise médicale à un spécialiste de la maladie de Kienböck (arrêt du 2 mai 2000). B.c Conformément à cet arrêt, le tribunal cantonal a chargé le docteur G._, médecin-adjoint de l'unité de chirurgie de la main de l'Hôpital Z._ d'une expertise. Dans son rapport rendu le 11 décembre 2000, le médecin a conclu que la maladie présentée par J._ résultait de manière prépondérante (50 % ou plus) de son activité professionnelle. Dans le cadre d'une instruction complémentaire, la CNA a procédé à des investigations pour déterminer la mesure dans laquelle l'assuré avait été exposé à des vibrations dans le cadre de son travail. Elle a ainsi mené des entretiens avec deux représentants de l'employeur de l'intéressé, Sieurs H._ et I._, ainsi qu'avec l'assuré, et en a produit les procès-verbaux (du 2 avril 2001), accompagnés d'une évaluation technique de l'exposition professionnelle à des vibrations effectuée par K._, ingénieur de la CNA (du 11 mai 2001). Elle a également versé à la procédure une nouvelle appréciation du docteur E._ (du 20 juin 2001), selon lequel la part de causalité des vibrations dans l'apparition de la maladie de Kienböck chez l'assuré était nettement en-dessous de 50 %. Requis par le tribunal cantonal de se prononcer sur le résultat de ces investigations, le docteur G._ a rendu un complément d'expertise le 4 janvier 2002. Le tribunal cantonal a également procédé à l'audition de L._ et M._, qui avaient travaillé avec l'assuré, depuis 1977 pour le premier, et dès 1978 pour le second (procès-verbaux de l'audience du 21 mai 2002). Après que les parties se furent déterminées encore une fois sur l'ensemble du dossier, le tribunal a rendu, le 29 août 2002, un nouveau jugement par lequel il a admis le recours et annulé la décision litigieuse en ce sens que «l'affection dont souffre l'appelé en cause [J._] est une maladie professionnelle, au sens des considérants». Après que les parties se furent déterminées encore une fois sur l'ensemble du dossier, le tribunal a rendu, le 29 août 2002, un nouveau jugement par lequel il a admis le recours et annulé la décision litigieuse en ce sens que «l'affection dont souffre l'appelé en cause [J._] est une maladie professionnelle, au sens des considérants». C. La CNA interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant au rétablissement de la décision sur opposition du 24 avril 1997. La CMBB et J._ concluent tous deux au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales, domaine Maladie et accident (intégré, depuis le 1er janvier 2004, à l'Office fédéral de la santé publique) a renoncé à se déterminer.