Faits : A. A.X._ et son époux B.X._, ressortissants congolais nés respectivement en 1963 et en 1962, ont tous deux été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. B.X._ a été condamné à deux reprises en 2006 pour des violences conjugales (voies de fait qualifiées et injures, respectivement voies de fait qualifiées) et le couple, après une première séparation de quelques mois en 2007, ne fait plus ménage commun depuis le mois de décembre 2010. A.X._ a déposé au mois d'avril 2011 une demande tendant à faire venir en Suisse l'enfant C._, ressortissant congolais né en 2004, qu'elle avait adopté en République démocratique du Congo en janvier 2011. Elle a en substance indiqué que la mère de cet enfant - qui était le fils de son frère - était décédée au mois de juin 2010 et qu'il avait été décidé à l'occasion d'un conseil de famille tenu le 24 décembre 2010 de lui confier la prise en charge de l'intéressé. Elle précisait que l'enfant conservait dans son pays, outre son père malade, un oncle paternel âgé de 61 ans, chômeur, un cousin de son père âgé de 39 ans, étudiant, un grand-père maternel âgé de 64 ans, veuf et à la retraite, ainsi qu'une tante maternelle âgée de 39 ans; cela étant, compte tenu de la situation difficile que traversait la famille, ces personnes ne pouvaient assurer la prise en charge de l'enfant. A.X._ a joint à sa demande de regroupement familial un jugement d'adoption congolais rendu en 2011 par le Tribunal de Kinshasa/Matete. Invitée par le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: Service de la population) à apporter un certain nombre de renseignements complémentaires en lien avec cette demande, A.X._ a notamment indiqué que son mari, même s'il n'avait pas adopté cet enfant, consentait à cette démarche, s'était engagé à prendre en charge les dépenses résultant de cette adoption et souhaitait participer au développement socio-éducatif de C._. A.X._ a encore complété les déclarations faites dans sa demande d'avril 2011 en expliquant que C._ vivait seul avec son père et qu'il avait en outre deux demi-frères maternels. Elle a par ailleurs déclaré entretenir des contacts téléphoniques quotidiens avec son fils adoptif. B. Le 17 octobre 2011, C._ a déposé une demande de visa pour long séjour auprès de l'Ambassade de Suisse à Kinshasa. Celle-ci, dans un rapport adressé le 12 mars 2012 au Service de la population, a en particulier confirmé l'authenticité du jugement d'adoption et son entrée en force. Par décision du 17 juillet 2012, le Service de la population a refusé l'octroi d'une autorisation d'entrée en Suisse, respectivement de séjour, en faveur de C._. Le 23 août 2012, C._ et A.X._ ont contesté ce prononcé auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Tribunal cantonal). Dans un arrêt du 20 décembre 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours des intéressés. Il a retenu que le jugement d'adoption était valable, mais qu'il consacrait une adoption simple, c'est-à-dire une adoption dans laquelle l'adopté conserve ses liens avec sa famille d'origine. Une telle adoption ne permettant pas le regroupement familial, il a confirmé le refus d'octroi de l'autorisation de séjour. Il a en outre exclu un cas de placement d'enfant, faute pour C._ d'être orphelin de père et de mère, de ne pas pouvoir être pris en charge par les membres de sa famille dans son pays d'origine ou de se trouver dans un cas individuel d'extrême gravité. Les juges cantonaux ont finalement estimé que les intéressés n'avaient jamais vécu ensemble et que leur relation n'était par conséquent pas protégée par l'art. 8 par. 1 CEDH. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle subsidiaire du recours constitutionnel, A.X._ et C._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'accorder une autorisation de séjour et une autorisation d'entrée en Suisse à C._, subsidiairement d'annuler la décision du Tribunal cantonal du 20 décembre 2013 et de renvoyer la cause à celui-ci pour nouvelles instruction et décision. Ils se plaignent de violation des art. 43 al. 1 et 30 al. 1 let. b de la loi fédéral du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), d'inégalité de traitement, d'arbitraire et de violation de l'art. 8 CEDH. Le Service de la population renonce à se déterminer, le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et l'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours. Dans des observations finales, les intéressés confirment implicitement leurs conclusions.