Faits: A. A.a A._ a travaillé comme nettoyeur au service de plusieurs sociétés, avant de s'associer en 1992 avec M._ pour exploiter en commun l'entreprise de nettoyage de ce dernier. Victime d'un accident le 21 mars 1995, qui a entraîné une déchirure de la corne postérieure du ménisque interne, A._ a été mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'invalidité de 40 % et une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 10 % (décision de la Caisse nationale suisse d'assurances du 30 septembre 1997). De leur côté, les organes de l'assurance-invalidité auxquels l'intéressé avait présenté une demande de prestations le 11 avril 1996 ont, à l'issue d'une procédure ayant conduit à deux jugements de la juridiction cantonale genevoise compétente, alloué à A._ une rente entière d'invalidité du 1er mars au 30 juin 1996, puis une demi-rente d'invalidité du 1er juillet 1996 au 30 septembre 1999 (décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité [ci-après: l'office AI] du 25 avril 2002 et jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 4 novembre 2003). A.b Par courrier du 9 août 2004 à l'office AI, A._ a requis l'octroi d'une rente entière d'invalidité, en invoquant une péjoration considérable de son état de santé depuis 2000, laquelle avait entraîné une diminution importante de sa capacité de travail résiduelle. L'administration a recueilli différents avis médicaux, dont ceux des docteurs O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et U._, spécialiste FMH en médecine générale et médecine du sport. Par décision du 7 juillet 2005, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assuré ne présentait aucune atteinte à la santé invalidante. A._ s'étant opposé à cette décision, l'office AI a confié une expertise bi-disciplinaire aux docteurs I._, spécialiste FMH en médecine générale, et B._, spécialiste FMH en psychiatrie, médecins auprès du Service médical régional AI (SMR). Dans leur rapport du 26 mai 2006, les médecins ont retenu, au titre de diagnostic entraînant une répercussion sur la capacité de travail, des gonalgies persistantes dans le cadre d'un status post-déchirure de la corne postérieure du ménisque interne du genou gauche, opérée par arthroscopie en 1995. Les docteurs I._ et B._ ont en revanche nié le diagnostic de fibromyalgie, mentionné précédemment par leur confrère U._, ainsi que toute limitation fonctionnelle psychiatrique. Ils ont conclu que l'activité de nettoyeur n'était plus adaptée, mais que l'assuré disposait d'une capacité de travail entière dans toute activité adaptée aux limitations fonctionnelles biomécaniques indiquées. Se fondant sur ces conclusions, l'office AI a rendu une décision sur opposition le 12 février 2007, par laquelle il a confirmé le refus de toute prestation. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Après avoir entendu le docteur O._ à titre de témoin, le Tribunal a débouté l'assuré par jugement du 22 mai 2008. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut à la reconnaissance du droit à une rente entière d'invalidité à partir du 10 août 2004. Le Tribunal fédéral a renoncé à un échange d'écritures.