A.- a) A._ a travaillé en qualité d'étancheur au service de la société X._ SA, depuis le 5 juin 1990. A ce titre, il était assuré contre les accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 16 juin 1992, il s'est blessé à la main gauche avec une scie circulaire en découpant une plaque métallique. Dans un rapport du 14 octobre 1992, le docteur B._, médecin d'arrondissement de la CNA, a fait état d'une sévère mutilation de la main gauche, en indiquant que l'index était globalement hypoesthésique et que la mobilité du pouce, raccourci d'un demi-centimètre, était restreinte. Un an et demi plus tard, il a constaté que l'activité antérieure ne pouvait pas être reprise et qu'une occupation manuelle légère ne pourrait être exercée qu'avec un rendement diminué, en revanche, un travail de contrôle de surveillance était sans autre exigible. L'atteinte à l'intégrité pouvait être évaluée à 20 % (rapport du 27 avril 1994). En date du 3 mai 1994, la CNA a informé l'assuré qu'elle mettait fin au paiement des soins médicaux et à l'indemnité journalière au 30 juin 1994. Par décision du 8 juillet 1994, la CNA a alloué à A._ une rente d'invalidité fondée sur un taux de 33,33 % depuis le 1er juillet 1994, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité physique de 20 %. Saisie d'une opposition de l'assuré, la CNA l'a rejetée par décision du 17 février 1995. b) Par décision du 7 décembre 1994, et motivation du 8 décembre 1994, le secrétariat de l'AI a informé l'assuré qu'il lui allouait une rente entière de l'assurance-invalidité fondée sur un taux de 100 %, du 16 juin 1993 au 30 juin 1994 (seulement), et qu'elle n'allouerait plus de rente par la suite, dès lors que le degré d'invalidité retenu par la CNA depuis le 1er juillet 1994 était de 33,33 % et que, s'agissant d'une même atteinte, ce taux liait l'assurance-invalidité. B.- A._ a recouru, par acte daté du 6 janvier 1995, devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision de l'AI du 7 décembre 1994, en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Par mémoire du 3 avril 1995, le prénommé a recouru devant la même autorité contre la décision sur opposition de la CNA du 17 février 1995, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 80 % et d'une IPAI de 50 %. Par décision du 15 août 1995, les juges cantonaux ont prononcé la jonction des deux causes. En cours d'instruction, une expertise psychiatrique a été confiée aux docteurs C._ et D._, du Département Universitaire de Psychiatrie Adulte (ciaprès : DUPA). Dans leur rapport d'expertise du 15 mars 1996, ces praticiens concluent à une incapacité de travail totale due à des troubles psychiques, survenus environ deux semaines après l'accident, qui sont entièrement attribuables à l'accident. La CNA a produit un rapport du 8 mai 1996 du docteur E._, psychiatre, qui conteste la valeur de l'expertise. Dans un rapport complémentaire du 13 novembre 1997, le docteur C._ s'est exprimé notamment sur l'avis du docteur E._ du 8 mai 1996, tout en maintenant les conclusions résultant du rapport d'expertise. Par jugement du 3 mars 1998, la Cour cantonale a considéré que A._ avait droit à une rente d'invalidité de la CNA fondée sur une incapacité de gain de 100 % et à une IPAI correspondant à une atteinte à l'intégrité de 30 %. Elle a jugé que le prénommé avait également droit à une rente entière de l'assurance-invalidité. Elle a en conséquence annulé les deux décisions administratives litigieuses et renvoyé la cause respectivement à la CNA et à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : OAI), pour nouvelle décision conformément aux considérants. Les juges cantonaux ont retenu en particulier que l'assuré souffrait de troubles psychiques en relation de causalité naturelle et adéquate avec l'accident entraînant une incapacité totale de travail. C.- La CNA interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant au rétablissement de sa décision sur opposition du 17 février 1995. A._ conclut au rejet du recours, et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. L'OAI propose l'admission du recours, en alléguant que l'on peut exiger de l'intimé qu'il fasse preuve de bonne volonté et mette à profit ses capacités de travail dans une activité adaptée. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé. D.- La Ière Chambre du Tribunal fédéral des assurances a tenu une audience publique ouverte aux parties le 22 novembre 2001.