Faits: A. Par contrat du 17 janvier 2011, dénommé Consultancy Agreement, la société de droit espagnol Z._ (ci-après: Z._) s'est engagée envers le club de football ... X._ SA (ci-après: X._) à lui fournir des services dans le but de voir un footballeur professionnel brésilien renouveler son engagement le liant à ce club. En vertu de la clause V de ce contrat, les différends relatifs à l'exécution de celui-ci seraient tranchés, au terme d'une procédure conduite en anglais, par une formation du Tribunal Arbitral du Sport (TAS) composée de trois arbitres. B. Le 9 décembre 2011, Z._ a déposé une requête d'arbitrage contre X._ auprès du TAS en vue d'obtenir le paiement de la rémunération de 100'000 euros que lui assurait le contrat précité. Dans des circonstances qui seront exposées plus loin, car elles forment le noeud du litige, un arbitre unique a été désigné en la personne d'un avocat irlandais. Par sentence du 12 avril 2013, l'arbitre unique a condamné X._ à payer à Z._ la somme de 100'000 euros, intérêts en sus. C. Le 24 mai 2013, X._ (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile contre ladite sentence. Se plaignant de ce que le Tribunal arbitral aurait été irrégulièrement composé (art. 190 al. 2 let. a LDIP), elle y invite le Tribunal fédéral à annuler la sentence attaquée. Dans leurs réponses des 29 juillet et 26 août 2013, le TAS et Z._ (ci-après: l'intimée) concluent tous deux au rejet du recours. Le 11 septembre 2013, la recourante a déposé une réplique dans laquelle elle prend position sur les arguments avancés par le TAS et par l'intimée. Cette dernière a maintenu son point de vue dans une duplique du 27 septembre 2013.