Faits: A. C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 16 mars 2007, invoquant souffrir d'un syndrome des jambes sans repos et de dépression chronique. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis des médecins traitants, puis soumis l'assurée à deux reprises à un examen auprès du Service médical régional AI (SMR). Dans leurs rapports successifs (des 28 janvier et 21 avril 2008), les médecins du SMR ont nié l'existence d'une atteinte à la santé invalidante et conclu à une capacité entière de travail dans toute activité sur le plan psychiatrique. Par décision du 9 mai 2008, l'office AI a rejeté la demande de l'assurée. B. C._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Entre autres mesures d'instruction, le Tribunal a chargé les docteurs A._, neurologue, et le docteur B._, psychiatre et psychothérapeute, d'une expertise. Le docteur A._ a diagnostiqué notamment un syndrome des jambes sans repos d'intensité moyenne et conclu à une capacité de travail de 60 % (rapport du 21 octobre 2009). De son côté, le docteur B._ a indiqué que l'assurée souffrait d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, et présentait des traits de personnalité anxieuse (et obsessionnelle); elle disposait d'une capacité résiduelle de travail de 50 % (rapport du 25 janvier 2010). Par jugement du 16 septembre 2010, le Tribunal a partiellement admis le recours, annulé la décision du 9 mai 2008 et reconnu le droit de C._ à une demi-rente d'invalidité dès le 1er septembre 2008. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 9 mai 2008. La requête d'effet suspensif qui assortit son recours a été admise par ordonnance du 18 février 2011. C._ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.