Faits: A. A._ est député au Grand Conseil du canton de Genève (ci-après: le Grand Conseil) depuis 2005. En 2006 et 2007, il a été invité à ne pas utiliser l'adresse du parlement pour sa correspondance privée. Le 5 décembre 2008, il a été exclu d'une séance du Grand Conseil avec deux autres députés pour avoir refusé de présenter des excuses pour des propos jugés offensants. Le 30 janvier 2012, A._ a envoyé, depuis son compte de messagerie électronique de député, un courriel virulent à un tiers qui venait de voir sa demande de grâce rejetée par le Grand Conseil. Se félicitant du rejet de cette demande, il a notamment écrit au tiers en question qu'il se réjouissait de le voir partir pour un "voyage bien mérité dans les geôles" où il irait nettoyer des porcheries. Il qualifiait en outre de "crime odieux" la "trahison d'amis" dont il se disait victime et il menaçait de se retourner très prochainement contre l'épouse de l'intéressé. Il concluait son message ainsi: "Finalement, l'adage qui vous sied à merveille dit que la vengeance est un plat qui se mange froid... surtout dans votre cellule ! Honte à vous et à celle qui vous accompagne dans votre triste fin de vie !". Pour ces faits, le Bureau du Grand Conseil a exclu A._ des commissions dont il était membre pour une durée de quatre mois, par décision du 24 février 2012. B. Le 22 mars 2012, statuant sur opposition de A._, le Grand Conseil a confirmé la décision susmentionnée. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), qui a rejeté le recours par arrêt du 30 juillet 2012. Cette autorité a considéré en substance que le député en question avait violé de manière flagrante l'art. 26A de la loi portant règlement du Grand Conseil (LRGC; RSG B 1 01), qui interdit aux députés de s'exprimer au nom du Grand Conseil ou d'une commission, et de donner à leurs communications une forme de nature à induire en erreur quant à l'identité de leur auteur. Le contenu du message litigieux pouvait en outre lui être imputé à faute. Quant à la sanction, elle était conforme à l'art. 32B LRGC, et d'autant plus justifiée que l'intéressé n'avait pas pris conscience du manquement à ses devoirs de député puisqu'il n'admettait qu'une "erreur d'adressage". C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, subsidiairement de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour nouvelle décision. Il demandait en outre l'octroi de l'effet suspensif, mais il a retiré cette requête le 1er octobre 2012 car l'exclusion de quatre mois prononcée à son encontre était arrivée à échéance. Le Grand Conseil a formulé des observations, concluant à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. A._ a présenté des observations complémentaires.