Faits: A. C._, né en 1962, a travaillé en qualité de manoeuvre du bâtiment. Invoquant des lésions cervicales d'origine accidentelle, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 24 novembre 2005. Les docteurs P._, M._ et D._, médecins à l'Hôpital X._, ont posé deux diagnostics ayant une influence essentielle sur la capacité de travail : d'une part un syndrome douloureux somatoforme persistant se manifestant par des cervico-scapulo-dorsalgies, d'autre part des traits paranoïdes. A leur avis, une capacité totale de travail peut être envisagée dans une activité adaptée, mais il conviendra de tenir compte de facteurs socioculturels limitatifs (expertise du 18 octobre 2006). Quant au docteur R._, médecin au SMR Y._, il a estimé que le trouble somatoforme n'a aucune influence objective sur la capacité de travail et qu'il est explicable avant tout par des facteurs culturels étrangers à l'AI (rapport du 23 janvier 2007). Par décision du 16 mars 2007, l'Office cantonal AI du Valais a refusé l'octroi de toutes prestations (mesures d'ordre professionnel et rente). B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton du Valais qui l'a débouté par jugement du 24 septembre 2007. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au versement d'une rente d'invalidité. Par ordonnance du 8 avril 2008, le Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire du recourant. Me S._, avocat, qui représentait le recourant, a résilié son mandat. Le recourant a encore produit plusieurs écritures. L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.