Faits: A. Au terme de son apprentissage de dessinateur-géomètre (formation soutenue par l'assurance-invalidité), D._, né en 1958, a été engagé par le bureau d'ingénieurs X._ à partir de juillet 1997. En parallèle, il a créé sa propre entreprise de paysagiste ("Y._"), en 2002. Le 1er décembre 2003, alors qu'il avait complètement cessé de travailler depuis le 18 mars précédent en raison de problèmes dorsaux, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 6 août 2004, le docteur B._, spécialiste en médecine interne, a fait état de la persistance d'un syndrome douloureux chronique (dont l'origine était difficilement identifiable), malgré une spondylodèse L4/L5 effectuée en février 2004; le syndrome rachidien lombaire limitait la capacité de travail à 30% comme paysagiste; celle-ci pouvait être portée à 60% dans une activité plus légère. Au terme d'une expertise requise par l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI), le docteur G._, rhumatologue, a conclu qu'au vu de l'intensité du syndrome algique, du handicap fonctionnel et de l'examen clinique, la capacité de travail de D._ était nulle dans toute activité lucrative (rapport du 22 juin 2005, complété le 8 septembre 2005). L'office AI a alors chargé son Service médical régional (SMR), d'un nouvel examen de l'assuré. Spécialiste en rhumatologie et médecine physique et rééducation auprès du SMR, le docteur P._ a diagnostiqué notamment des lombalgies chroniques non déficitaires dans un contexte de discopathies étagées et de troubles dégénératifs L5/S1, un status post spondylodèse L4/L5 et un status post fracture du poignet gauche avec arthrose secondaire. Selon lui, l'intensité du syndrome algique était insuffisant pour justifier une incapacité de travail totale; celle-ci devait être fixée à 50% dans l'activité de géomètre, la capacité de travail étant entière dans une activité adaptée tenant compte des limitations fonctionnelles décrites (rapport du 5 juillet 2006, complété le 20 octobre 2006). Par décision du 15 mars 2007 (confirmant un projet de décision du 31 octobre précédent), l'office AI a rejeté la demande de prestations, motif pris de l'absence de toute incapacité de gain. B. Statuant le 1er octobre 2007 sur le recours formé par l'assuré contre la décision administrative, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, l'a rejeté. C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en concluant principalement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal jurassien pour instruction complémentaire sous forme d'une expertise judiciaire. A titre subsidiaire, il requiert l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. La Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien et l'office AI concluent au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.