Faits: A. La société genevoise V._ SA, fondée en septembre 2003, a engagé en octobre 2003 une relation de compte courant avec la banque W._ SA. Il était convenu que celle-ci adresse la correspondance au siège de la société. Le 3 décembre 2003, l'administrateur unique de V._ SA a octroyé une procuration avec signature individuelle à l'actionnaire unique A._, citoyen français. Le prénommé était autorisé à entreprendre tout acte juridique en rapport avec la relation bancaire, notamment déposer, emprunter ou retirer des valeurs, ou encore effectuer des versements ou prélèvements sous quelque forme que ce soit. Au cours de l'été 2004, le titulaire de la procuration a informé la banque du fait que V._ SA s'était engagée à racheter le fonds de commerce d'un café-restaurant. Le 11 août 2004, il a transmis une copie de l'acte de vente dont il ressortait que le prix était fixé à 520'000 fr. En septembre 2004, il a annoncé à la banque qu'un versement d'environ 2 millions d'euros allait parvenir sur le compte de la société. Eu égard à l'importance du montant, la banque a invité V._ SA à lui fournir de plus amples renseignements sur le transfert envisagé et sur l'ayant droit économique des fonds déposés sur les comptes ouverts au nom de la société. Le 15 septembre 2004, A._ a signé et remis à la banque un "formulaire A" qui se rapportait à un compte de la société concernant le café-restaurant; V._ SA y était désignée comme ayant droit économique. Selon un contrôle interne de la banque, le document aurait dû être signé par l'administrateur de la société. Par courrier du 23 septembre 2004 portant l'en-tête de V._ SA, A._ a précisé qu'une somme de 1,8 ou 2 millions d'euros allait être versée par une entité française dénommée Z._, présentée comme l'associée de V._ SA; ces fonds devaient servir à des opérations d'investissement à Genève. Le 30 septembre 2004, Z._ a versé 600'000 euros sur l'un des comptes de V._ SA. Le lendemain, ce même compte a été débité de 495'499 euros, somme qui a été convertie en francs suisses (741'626 fr.) pour être virée à la société ayant vendu le fonds de commerce du restaurant. Le 5 octobre 2004, les statuts de V._ SA ont été modifiés. X._ a été nommé nouvel administrateur unique avec signature individuelle. La société, dont le but initial consistait à prendre des participations et à effectuer des opérations commerciales principalement à l'étranger, devait désormais se consacrer à la création, l'achat, la vente et l'exploitation de cafés-restaurants. Le siège social a été implanté dans une autre localité genevoise. La Feuille officielle suisse du commerce a publié ces données le .... Le 12 octobre 2004, un employé de la banque a rédigé une note interne intitulée "Transactions inhabituelles", qui était consacrée aux 600'000 euros reçus par V._ SA. Selon les explications de A._, il s'agissait d'un acompte sur le remboursement de sommes qu'il avait investies dans la construction d'un barrage hydroélectrique en France, et sur le bénéfice réalisé dans cette opération. Le même jour, l'employé bancaire a pris divers renseignements commerciaux sur les sociétés V._ SA et Z._. Le 26 octobre 2004, la banque a écrit un courrier à V._ SA, adressé à l'ancien siège de la société. Invoquant l'obligation de se renseigner imposée par la législation sur le blanchiment d'argent, la banque s'interrogeait notamment sur la raison d'un versement aussi important, qui contrastait avec le peu d'activités enregistrées jusque-là sur les comptes de la société. Elle demandait aussi des renseignements sur l'actionnariat de V._ SA et sur la fonction occupée par A._ au sein de cette société. Enfin, eu égard au changement d'administrateur, elle exigeait un nouveau jeu de documents de signatures. V._ SA a répondu le 27 octobre 2004 sous la signature de A._. Ce dernier expliquait que la société s'était initialement consacrée à des démarches de prospection ne générant pas d'activité significative. Le transfert de fonds était dû à des opérations réalisées en partenariat avec Z._ dans le domaine d'activité de celle-ci. Il précisait être l'actionnaire unique de V._ SA et l'ayant droit économique des fonds versés à celle-ci. Le 28 octobre 2004, Z._ et V._ SA, représentée par A._, ont signé une convention selon laquelle la première mettait à disposition de la seconde la somme de 2 millions d'euros, remboursable dans les trois ans, pour la recherche de sites d'exploitation hydroélectrique en Suisse. Le jour suivant, Z._ a versé 1,4 millions d'euros sur le compte de V._ SA, en sus des 600'000 euros déjà transférés. La banque n'a pas été informée de cet accord. Le 1er novembre 2004, le nouvel administrateur de V._ SA s'est rendu dans les locaux de la banque pour lui remettre les documents requis. L'organe a en particulier confirmé le pouvoir de signature conféré à A._ sur les comptes de la société; sur le formulaire A, il a désigné le prénommé comme l'ayant droit économique des fonds déposés sur les comptes de la relation bancaire. Il a demandé d'adresser la correspondance bancaire au nouveau siège de V._ SA, sauf instruction particulière. Le 4 novembre 2004, un cadre de la banque a rencontré A._. Celui-ci a réaffirmé que les 2 millions d'euros étaient destinés à des investissements en Suisse. Il a précisé que Z._ était majoritairement détenue par une tierce personne, mais qu'il avait lui-même investi des fonds dans cette société sous la forme de cession de parts en blanc. Le cadre a résumé le contenu de cette entrevue dans une note interne intitulée "transactions inhabituelles". De nombreux virements et retraits en espèces ont été prélevés sur l'un des comptes de V._ SA. Son solde a passé de 1,4 millions d'euros le 29 octobre 2004 à 3'647 euros le 31 mars 2005. Ont notamment été opérés un virement de 100'000 euros en faveur d'un "client de la banque" et un virement de 66'361 euros à l'attention d'une société, avec la mention "consignation capital". Des montants ont été transférés sur le compte de V._ SA consacré au café-restaurant, tandis que d'autres ont servi à payer des charges apparemment relatives à l'exploitation du restaurant. Par ailleurs, des retraits en espèces importants ont été effectués à intervalles réguliers. Il n'est pas contesté que A._ est l'auteur de tous les ordres de virement et des retraits en espèces. Le 7 avril 2005, les avoirs de V._ SA ont été saisis dans le cadre d'une enquête pénale ouverte notamment contre le premier administrateur de la société et contre A._. Celui-ci a été condamné en mai 2008 à six ans de réclusion pour abus de confiance aggravés et instigation à abus de confiance aggravés. La faillite de V._ SA a été prononcée le 22 mai 2006. Z._ a vu sa créance de 2 millions d'euros colloquée en 3 ème classe pour un montant de 3'109'920 francs suisses. L'office des faillites a en outre porté à l'inventaire deux créances en responsabilité contre l'administrateur X._ et contre le réviseur, en leur qualité d'organes, ainsi qu'une prétention en responsabilité contractuelle contre la banque; ces prétentions ont fait l'objet d'une cession des droits de la masse en faveur de Z._. B. B.a. Le 22 décembre 2010, Z._ a intenté une action à Genève visant à faire condamner solidairement l'administrateur X._, l'organe de révision et la banque au paiement de 3'109'920 fr. à titre de dommages-intérêts pour violation de leurs obligations à l'égard de V._ SA. Les défendeurs ont conclu au rejet. Par jugement du 20 juin 2012, le Tribunal de première instance (14 ème Chambre) a débouté Z._ de toutes ses conclusions. B.b. Cette décision a été déférée à la Chambre civile de la Cour de justice, qui a partiellement admis l'appel formé par Z._ dans un arrêt du 25 janvier 2013. Elle a en outre rejeté le recours formé par la banque au sujet de l'indemnité allouée pour ses frais de défense. Sur le fond, la Cour a nié tout manquement de la banque et de l'organe de révision, confirmant ainsi le rejet de l'action intentée contre ces deux sociétés. En revanche, elle a considéré que l'administrateur avait enfreint son devoir de diligence et de surveillance. Selon ses propres dires, il n'avait exercé aucune activité pour V._ SA jusqu'à l'arrestation de l'actionnaire unique. Il ne s'était jamais rendu dans les locaux de la société, n'avait pas pris connaissance de la correspondance et des relevés bancaires adressés au siège de la société, attendant de recevoir des comptes que la fiduciaire ne lui avait jamais transmis. La cour a partiellement annulé le jugement et renvoyé la cause au premier juge pour qu'il complète ses constatations concernant le dommage causé à V._ SA. C. C.a. L'administrateur a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel il concluait au rejet de l'action intentée à son encontre par Z._. Le recours a été rejeté dans la mesure où il était recevable par arrêt du 27 août 2013 (4A_120/2013). C.b. La société Z._ a également déposé un recours en matière civile. Elle requiert d'annuler le jugement du Tribunal de première instance en tant qu'il rejette l'action contre la banque et de renvoyer la cause à cette autorité pour instruction complémentaire et nouvelle décision. La recourante produit un bordereau de pièces déjà versées au dossier cantonal, lequel a été transmis à la cour de céans. La banque intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. L'autorité précédente se réfère aux motifs de son arrêt.