A.- Par contrat du 5 août 1994, C._ a été engagé comme chauffeur par la Mission permanente de la République du Burundi auprès de l'Office des Nations Unies et des autres Organisations Internationales à Genève (ci-après: la Mission) pour un salaire de 2300 fr. par mois, auquel s'ajoutaient un forfait de 300 fr. pour les heures supplémentaires ainsi que le remboursement de la cotisation mensuelle de l'assurance-maladie. Le contrat a été signé par l'ambassadrice Nshimirimana, alors en charge de la Mission. Le 22 juillet 1997, C._ a requis en vain une augmentation de salaire. Par contrat d'engagement du 29 décembre 1997, document rédigé sur papier à en-tête de la Mission, muni du sceau de cette dernière et signé par l'ambassadeur Nsanze, la rémunération de C._ a passé de 2678 fr. à 3100 fr. dès le 1er janvier 1998, participation à l'assurance-maladie en sus. Ce nouveau salaire incluait le forfait de 300 fr. pour les heures supplémentaires. Le délai de congé a été porté immédiatement à trois mois (alors que, selon le contrat du 5 août 1994, il n'était de trois mois qu'à compter de la cinquième année de service). Enfin, la durée des vacances a été augmentée de deux jours (soit 22 jours par an). Le 30 décembre 1997, le Ministère burundais des relations extérieures et de la coopération (ci-après: le Ministère) a rappelé l'ambassadeur Nsanze en l'invitant à quitter son poste dans le délai d'un mois; il a confié la direction de la Mission à Epiphanie Kabushemeye, chargée d'affaires ad intérim. Cette dernière a enjoint au personnel de respecter ses instructions. Le 8 janvier 1998, Terence Nsanze a écrit au Président de la République du Burundi et au Ministère pour contester la nomination d'Epiphanie Kabushemeye comme "chef de l'ambassadeur". De ce fait, il a continué à exercer ses fonctions officielles jusqu'au 12 février 1998. Le 9 janvier 1998, Epiphanie Kabushemeye a reproché à C._ d'avoir refusé d'obtempérer à ses instructions. C._ a transmis ce courrier à Terence Nsanze, lequel lui a confirmé que "seul l'ambassadeur est chef de Mission permanente jusqu'à l'expiration du délai réglementaire accordé par le gouvernement burundais". L'ambassadeur a invité C._ à s'opposer "même avec la force" à toute personne portant atteinte à la sécurité de l'ambassade. Il a précisé que ses instructions primaient celles du premier conseiller. C'est ainsi que C._ a "repoussé" Epiphanie Kabushemeye et une secrétaire qui entendaient accéder aux locaux de la Mission. Par lettre du 12 janvier 1998, Epiphanie Kabushemeye a reproché à C._ de continuer à se rebeller contre ses instructions. Au vu de son "entêtement", elle l'a ensuite suspendu de ses fonctions pendant cinq jours, soit du 19 au 23 janvier 1998, avec retenue de salaire. C._ s'est néanmoins présenté à son travail le 22 janvier. Ce comportement lui a valu un nouvel avertissement écrit. Le 14 janvier 1998, le Ministère a reproché à Terence Nsanze d'avoir empêché l'accès de l'ambassade au personnel diplomatique en faisant changer les serrures. Par notes des 19 janvier et 6 février 1998, le Ministère a confirmé au Directeur général de l'Office des Nations Unies à Genève que l'ambassadeur Nsanze ne pouvait plus se prévaloir du titre de Représentant permanent du Burundi à Genève à compter du 31 janvier 1998; en attendant l'arrivée de son successeur, Epiphanie Kabushemeye assurait l'intérim. L'insoumission de C._ a duré jusqu'au 13 février 1998, date à laquelle la police genevoise a procédé à son évacuation, ainsi qu'à celle de Terence Nsanze. Du 14 février au 12 mars 1998, C._ s'est trouvé dans l'incapacité totale de travailler ensuite de maladie. Le 28 février 1998, un nouvel ambassadeur, Adolphe Nahayo, a pris ses fonctions à la tête de la Mission. Le 2 mars 1998, C._ a requis le paiement de ses salaires de janvier et février 1998 conformément au contrat de travail du 29 décembre 1997 (soit deux fois 3301 fr.). Le 6 mars suivant, l'employeur a refusé de payer les salaires réclamés, au motif que le contrat de travail du 29 décembre 1997 n'avait pas été discuté avec le premier conseiller (Epiphanie Kabushemeye) ni soumis pour approbation au Ministère. Selon l'employeur, l'ambassadeur Nsanze avait commis un abus de pouvoir et de confiance. Dès son retour à la Mission, le 12 mars 1998, C._ a constaté qu'un nouveau chauffeur avait été engagé et qu'il n'avait pratiquement rien à faire. Par pli du 16 mars 1998, l'ambassadeur Nahayo a confirmé à C._ qu'il ne reconnaissait pas les modifications du contrat de travail initial du 5 août 1994. Il ajoutait que, s'il souhaitait continuer à travailler à la Mission, C._ devait admettre l'application de son contrat initial avec un salaire de 2678 fr. Par lettre du 17 mars 1998, rédigée en anglais, C._ a maintenu que le seul contrat valable était celui signé le 29 décembre 1997. Il a en outre indiqué que, si la Mission souhaitait le renvoyer, il convenait de respecter le délai contractuel de trois mois. Par lettre du 18 mars 1998, l'ambassadeur Nahayo a refusé d'entrer en matière sur une demande rédigée en anglais et a exigé que C._ s'adresse à lui en français, langue officielle de la Mission. Le même jour, C._ a déféré à l'exigence de l'ambassadeur. Il s'est étonné que l'ambassadeur ne puisse pas utiliser la langue la plus courante dans les organisations internationales, tout en estimant qu'il s'agissait d'une tactique dilatoire. Il a réclamé ses salaires des mois de janvier à mars 1998, intérêts de retard compris. Enfin, se référant implicitement au courrier de l'ambassadeur du 6 mars 1998, il s'est offusqué des accusations d'abus de pouvoir et de confiance portées contre l'ambassadeur Nsanze et lui-même, accusations qu'il jugeait regrettables et déplacées, gratuitement diffamatoires, graves et constitutives d'un véritable affront. Par pli du 26 mars 1998, la Mission a résilié le contrat de travail de C._ avec effet immédiat. A l'appui de sa décision, la Mission invoquait les avertissements signifiés à l'intéressé les 9, 12, 16 et 22 janvier 1998; elle lui reprochait d'avoir persisté à réclamer, par lettre du 17 mars 1998, l'application du contrat irrégulier du 29 décembre 1997 et d'avoir tenu, dans sa lettre du 18 mars 1998, des propos malveillants envers l'ambassadeur Nahayo. La Mission invitait C._ à venir chercher ses salaires de janvier, février et mars 1998, sous déduction de cinq jours de mise à pied, soit 8157 fr.20. C._ a rejeté cette offre par lettre du 30 mars 1998; il a persisté à exiger le respect du contrat du 29 décembre 1997. B.- Par demande du 15 septembre 1998, C._ a assigné la République du Burundi en paiement de 53 750 fr., intérêts en sus. Ce montant comprend 9300 fr. à titre de salaire pour les mois de janvier à mars 1998, 9300 fr. à titre de préavis de congé pour les mois d'avril à juin 1998, 1550 fr. à titre d'indemnité de vacances pour le premier semestre 1998, 18 600 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif (six mois de salaire) et 15 000 fr. à titre d'indemnité pour heures supplémentaires. La défenderesse a contesté la demande, mais a déclaré accepter de payer au demandeur 7587 fr.70 à titre de salaire pour les mois de janvier à mars 1998, selon contrat du 5 août 1994, 669 fr.50 à titre de 13e salaire pro rata temporis et 669 fr.50 à titre d'indemnité pour deux semaines de vacances non prises. Elle s'engageait en outre à lui délivrer un certificat de travail. Par jugement du 17 août 1999, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions, tout en donnant acte à la défenderesse de ce qu'elle s'engageait à lui verser les montants qu'elle reconnaissait devoir. Saisie par le demandeur, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a annulé ce jugement et condamné la défenderesse à payer au demandeur 27 824 fr.90, intérêts en sus. C.- La défenderesse exerce un recours en réforme contre cet arrêt. Elle conclut implicitement au rejet des conclusions du demandeur, sous réserve des montants qu'ellea admis de payer devant le Tribunal des prud'hommes. Le demandeur propose le rejet du recours.