Faits: A. En automne 2009, A._, agriculteur et propriétaire de la parcelle n° 2914 du cadastre de la commune des Bayards (NE) en nature de pâturages et d'environ deux hectares, y a procédé sans autorisation à une opération mécanique lourde (girobroyage), après avoir traité le sol à la barre avec un produit phytosanitaire. Le Service neuchâtelois de la faune, des forêts et de la nature a dénoncé pénalement l'intéressé et l'a invité à déposer une demande d'autorisation, ce que celui-ci a fait le 19 décembre 2009. Une expertise sur les conséquences de l'opération pour le sol et l'écosystème a été réalisée par le laboratoire sol et végétation de l'Université de Neuchâtel, qui a remis son rapport le 20 avril 2010. Par jugement du 24 novembre 2010, le Tribunal de police du district de Val-de-Travers a condamné A._ à une amende de 500 francs. Il a considéré que celui-ci savait que, selon les circonstances, le girobroyage nécessitait une autorisation et qu'il connaissait le statut de la zone, savoir celui d'un site naturel et paysager d'importance nationale. Le tribunal a estimé en revanche que la parcelle ne constituait pas un pâturage boisé et qu'une autorisation n'était donc pas requise à ce titre. B. Par décision du 17 janvier 2013, le Département cantonal de la gestion du territoire a refusé de délivrer une autorisation a posteriori d'effectuer une opération mécanique lourde sur le bien-fonds litigieux et a imparti à son propriétaire un délai d'un an pour prendre des mesures de réparation, faute de quoi elles seraient exécutées par substitution à ses frais par une entreprise forestière. Ces mesures consistent en la création d'aires de régénération ligneuse (trois surfaces d'au moins 36 m2 chacune) constituées d'un mélange défini d'arbres divers et protégés par des barrières permanentes ainsi qu'en la pâture extensive de la surface girobroyée. Par arrêt du 27 juin 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours de A._ contre cette décision. Elle a en substance considéré que le refus de l'autorisation a posteriori n'était pas critiquable, vu le dommage considérable que l'intervention portait à un site protégé, et que la mesure de réparation imposée respectait le principe de proportionnalité. Elle a laissé indécise la qualification de pâturage boisé de la parcelle, dès lors que son appartenance à un site répertorié à l'inventaire fédéral des paysages, sites et monuments naturels (IFP) suffisait à justifier le refus de l'autorisation et la mesure de réparation. C. A._ interjette un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à l'octroi en sa faveur de l'autorisation de girobroyer la parcelle n° 2914, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La cour cantonale ne se détermine pas. Le Département cantonal du développement territorial et de l'environnement (qui a succédé au Département de la gestion du territoire) et l'Office fédéral de l'environnement (OFEV) déposent leurs observations; ils concluent l'un et l'autre au rejet du recours. Le recourant et le département cantonal se déterminent une seconde fois. Par ordonnance du 24 septembre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.