Faits: A. A.a S._ a travaillé en qualité de traducteur-interprète auxiliaire pour le Secrétariat général X._. Il a exercé cette activité en tant que salarié de 1989 à 1999, puis en tant qu'indépendant de 1999 au mois d'avril 2005, enfin à nouveau en qualité de salarié. Depuis le 1er janvier 2006, il exerce en plus la même activité au service de Z._. Il a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 1er juillet 2007 en faisant valoir qu'il n'avait plus assez de travail dans le cadre des contrats susmentionnés. Par décision du 1er octobre 2007, confirmée sur opposition le 28 février 2008, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud a refusé l'octroi d'une indemnité de chômage, motif pris que l'assuré n'était pas sans emploi ni partiellement sans emploi. S._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. La caisse de chômage ayant indiqué qu'elle allait revenir sur sa décision et en rendre une nouvelle après une instruction complémentaire, le tribunal a considéré que la cause était devenue sans objet et l'a rayée du rôle par décision du 30 avril 2009. A.b Par décision sur opposition rectificative du 8 juin 2009, la caisse de chômage a confirmé sa décision du 1er octobre 2007 pour le motif substitué que l'assuré ne subissait pas une perte de travail à prendre en considération, dès lors que l'activité exercée était un travail sur appel qui n'avait pas présenté un caractère suffisamment régulier durant les douze mois qui avaient précédé la date à partir de laquelle l'indemnité de chômage avait été demandée (juillet 2006 à juin 2007). B. Saisie d'un recours contre cette décision sur opposition, la juridiction cantonale a ordonné une audience d'instruction le 14 janvier 2010. Elle a rejeté le recours par jugement du 18 mars 2010. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à l'octroi des prestations de l'assurance-chômage à partir du 1er juillet 2007. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens. La caisse intimée s'en remet à justice. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son jugement, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) a renoncé à présenter des déterminations.