Faits: A. Inscrite au registre du commerce le 26 juillet 1988, la société X._ SA a notamment pour but l'achat et la vente de tout matériel de mesures scientifiques et industrielles. J._ en a été l'administrateur unique depuis le 9 novembre 1998. Dès le mois de novembre 2001, il en a été en outre le salarié, en qualité de responsable des ventes. Après avoir démissionné de sa fonction d'administrateur, le prénommé a été licencié le 20 janvier 2004, avec effet au 30 avril suivant. Lors d'une assemblée générale extraordinaire tenue le 7 mai 2004, les actionnaires de X._ SA ont pris acte de la fin du mandat d'administrateur de l'intéressé et de la nomination d'un nouvel administrateur. A cette occasion, le siège de la société a été transféré de Y._ à Z._. Ces changements ont été inscrits au registre du commerce le 12 mai 2004 et publiés à la Feuille officielle suisse du commerce le 18 mai suivant. J._ a bénéficié d'indemnités de chômage à partir du 7 mai 2004. Pendant la période d'indemnisation, il a annoncé des gains intermédiaires réalisés au service de X._ SA dès le mois d'octobre 2004. Par contrat de travail du 27 avril 2005, ladite société l'a engagé en qualité d'ingénieur à partir du 2 mai suivant. Par décision du 27 mai 2005, confirmée sur opposition le 12 juillet suivant, la Caisse de chômage de la Chambre vaudoise du commerce et de l'industrie (ci-après : la caisse CVCI) a nié le droit de l'assuré aux indemnités de chômage allouées à partir du 7 mai 2004. Elle a considéré que malgré son licenciement avec effet au 30 avril 2004 et sa démission de sa fonction d'administrateur unique, l'intéressé avait conservé la capacité d'influencer considérablement les décisions de la société X._ SA. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal administratif du Canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 1er mai 2006. Par une seconde décision du 27 mai 2005, la caisse CVCI a réclamé à l'assuré la restitution d'un montant de 45'440 fr. 90, représentant les indemnités perçues à tort durant la période du 7 mai 2004 au 31 mars 2005. Saisie d'une opposition contre cette décision, la Caisse d'assurance-chômage de la Société des jeunes commerçants (ci-après : la caisse) - qui avait repris l'ensemble des dossiers de la caisse CVCI à la suite de sa fermeture définitive en décembre 2005 - l'a rejetée par décision du 15 novembre 2006. B. Statuant le 10 juillet 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition. C. J._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que le Tribunal fédéral constate qu'il n'est pas débiteur de l'intimée. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement ou à la caisse pour nouvelle décision. En outre, il requiert l'octroi de l'effet suspensif. La caisse a renoncé à présenter des déterminations sur le recours, ainsi que sur la requête d'effet suspensif. Quant au Secrétariat d'Etat à l'économie, il ne s'est pas non plus déterminé. Par ordonnance du 10 novembre 2008, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.