Faits: A. A.a B.X._, né en 1947, et A.X._, né en 1952, tous deux agriculteurs et viticulteurs à ..., sont les fils de X._, qui était propriétaire d'un important domaine agricole constitué de plusieurs parcelles situées notamment à ... et à .... En 1983, X._ a donné à chacun de ses deux fils, en copropriété pour une demie, plusieurs parcelles sises sur les territoires desdites communes. Deux d'entre elles - les nos 1 et 2 de la commune de ... - ont une surface, respectivement, de 3'580 m2 et de 39'320 m2. Il n'est pas établi qu'à la suite de cette donation, les frères A.X._ et B.X._ se seraient comportés plus comme des promoteurs immobiliers qu'en qualité de paysans vivant de la culture de leur domaine. Le 23 mars 1989, B.X._ et A.X._ ont constitué une cédule hypothécaire au porteur, grevant en premier rang la parcelle n° 1, pour un montant de 2'000'000 fr. dont ils sont solidairement débiteurs (n° zzz). A.b Depuis 1977 au moins, B.X._ et A.X._ ont été en relations d'affaires avec la Banque Z._ (ci-après: la Banque). Au début des années 1990, A.X._, qui désirait développer un projet agricole et immobilier au Portugal, et B.X._, qui entendait se lancer dans un projet immobilier en Espagne, se sont adressés à la Banque en vue d'obtenir un crédit destiné à financer leurs projets. Ils ne l'ont toutefois pas sollicitée pour leur donner des conseils au sujet de ceux-ci et ne l'ont jamais associée aux discussions et tractations y relatives. A l'époque, la fortune et le revenu annuel imposables des prénommés étaient, respectivement, de 401'000 fr. et de 106'400 fr. pour A.X._, de 331'000 fr. et de 101'400 fr. pour B.X._. Le 31 mai 1990, la Banque a octroyé à chacun des deux frères A.X._ et B.X._ un crédit en compte courant de 6'000'000 fr., sans amortissement, avec intérêts à 8,5% l'an et commission trimestrielle de 0,25% sur le solde débiteur le plus élevé. A titre de garantie, chaque emprunteur a cédé en propriété à la Banque une cédule hypothécaire au porteur de 6'000'000 fr. en premier rang grevant sa quote-part d'une demie de la parcelle n° 2 (cédule n° xxx pour B.X._ et cédule n° yyy pour A.X._), les deux cédules ayant été constituées le 9 février 1990. Le 26 juillet 1990, la Banque a augmenté la ligne de crédit consentie aux frères A.X._ et B.X._ de 6'000'000 fr. à 7'500'000 fr. La moitié de cette somme faisait l'objet d'une avance à terme fixe, la limite du crédit en compte courant étant ramenée à 3'750'000 fr., sans amortissement, avec intérêts échelonnés de 8,5 à 9% et commission trimestrielle de 0,25% sur le solde débiteur le plus élevé. Afin de garantir cette augmentation de crédit, les deux emprunteurs ont cédé en propriété à la Banque la cédule hypothécaire au porteur de 2'000'000 fr. qu'ils avaient constituée sur la parcelle n° 1. A.c A.X._ a développé des activités agricoles au Portugal entre 1991 et 1994. Par lettre du 14 mai 1992, il a indiqué à la Banque que les montants empruntés avaient servi "au montage complet d'un projet de haute qualité au Portugal comprenant appartements, hôtels, tennis, piscines et golf". Cependant, alléguant que la mise en oeuvre de ce projet avait pris du retard pour des raisons d'ordre administratif, il sollicitait une rallonge de crédits en précisant que l'affaire devrait vraisemblablement se conclure dans le courant de l'hiver prochain et qu'il avait donné oralement la priorité d'achat à l'un des grands groupes internationaux de vacances. Prenant acte de ces explications, la Banque a fixé à A.X._ un délai au 15 août 1992 pour régulariser la situation et lui verser la somme de 160'562 fr. correspondant au dépassement de la limite de son compte courant. Elle l'a relancé, par courriers des 27 octobre et 20 novembre 1992, pour des dépassements de 95'854 fr. et de 96'104 fr. Le 9 octobre 1992, la Banque a écrit à chacun des deux frères A.X._ et B.X._ pour les informer qu'elle consentait à renouveler jusqu'au 26 février 1993 l'avance à terme fixe de 3'750'000 fr., au taux de 8,7/8% l'an, échue le 26 août 1992. A la date du 16 février 1993, cette avance présentait un solde débiteur de 3'916'406 fr. 25 pour l'un et l'autre emprunteur. Par courrier du 2 juin 1993, la Banque a accepté d'en prolonger une dernière fois l'échéance jusqu'au 26 octobre 1993, au taux de 6,5% l'an, pour autant que les intérêts échus, totalisant 886'849 fr. 50, fussent intégralement payés avant le 30 juin de la même année. Le 29 octobre 1993, A.X._ a déposé plainte pénale, à Genève, contre l'administrateur de la société qui lui avait vendu les terrains destinés à la mise en oeuvre du projet immobilier au Portugal et contre un promoteur actif en Algarve. La plainte a été classée par le Procureur général, le 27 janvier 1994, et son auteur a recouru en vain contre l'ordonnance de classement. A.d Par courriers séparés, de même contenu, envoyés le 10 décembre 1993 aux frères A.X._ et B.X._, la Banque a dénoncé au remboursement les crédits qu'elle leur avait alloués, soit un total de 8'135'862 fr. 20 - 4'219'456 fr., valeur au 30 septembre 1993, au titre du compte courant et 3'916'406 fr. 25, valeur au 26 février 1993, au titre de l'avance à terme fixe - pour A.X._ et un total de 8'110'950 fr. 25 - 4'194'544 fr., valeur au 30 septembre 1993, au titre du compte courant et 3'916'406 fr. 25, valeur au 26 février 1993, au titre de l'avance à terme fixe - pour B.X._. Il n'est pas établi que les débiteurs aient procédé à des versements en faveur de la Banque de 1993 à 1999. Le 8 mars 1994, des commandements de payer portant sur les sommes précitées et les intérêts y afférents ont été notifiés à A.X._ (n° ...) et à B.X._ (n° ...) dans le cadre de poursuites en réalisation des gages immobiliers initiées par la Banque. A fin juin 1995, le conseil des frères A.X._ et B.X._ a soumis, sans succès, à la Banque une série de propositions en vue de trouver une solution amiable. Le 21 mai 1996, la Banque a fait notifier de nouveaux commandements de payer, en rapport avec les susdites sommes, à A.X._ (n° ...) et à B.X._ (n° ...). Un commandement de payer identique a été notifié à chacun des deux frères en sa qualité de tiers propriétaire de l'immeuble. A.e Le 19 décembre 1996, les débiteurs se sont vu notifier chacun un commandement de payer pour un montant de 2'000'000 fr., avec intérêts à 10% l'an dès le 23 mars 1993, dans les poursuites en réalisation du gage immobilier nos ... (B.X._) et ... (A.X._) au titre du capital de la cédule hypothécaire n° zzz. En date du 6 février 1997, l'Office des poursuites de ... a notifié un commandement de payer, pour un montant de 6'000'000 fr., avec intérêts à 10% dès le 9 février 1992, à B.X._, dans la poursuite en réalisation de gage immobilier n° ..., au titre du capital de la cédule hypothécaire n° xxx, et à A.X._, dans la poursuite en réalisation de gage immobilier n° ..., au titre du capital de la cédule hypothécaire n° yyy. Un commandement de payer identique a été notifié à chacun des deux frères en sa qualité de tiers propriétaire de l'immeuble. Le 14 décembre 1998, la Banque a requis la vente des immeubles grevés par les cédules hypothécaires nos zzz, xxx et yyy. Cependant, par lettre du 7 mars 2000, elle a indiqué aux frères A.X._ et B.X._ qu'elle serait disposée à maintenir une position d'attente à leur égard, pendant une durée déterminée, aux conditions admises par les parties, dont un versement mensuel de 3'000 fr. à effectuer par chacun des deux débiteurs. Entre le mois d'avril 2000 et le mois de juillet 2002, A.X._ et B.X._ se sont acquittés, respectivement, d'un total de 102'648 fr. 45 et de 106'523 fr. 10 de ce chef. Leur endettement total s'élève à 12'621'527 fr. pour le premier et à 12'469'694 fr. 35 pour le second. Le 12 septembre 2003, de nouveaux commandements de payer ont été notifiés à A.X._ (n°s ... et ...) et à B.X._ (n°s ... et ...) en rapport avec les cédules hypothécaires nos yyy, xxx et zzz précitées. Les poursuivis ont fait opposition totale à tous les commandements de payer susmentionnés. Par prononcés consécutifs à une audience du 8 janvier 2004, la Présidente du Tribunal d'arrondissement compétent, statuant par défaut, a levé provisoirement ces oppositions. A.f B.X._ et A.X._ ont soulevé l'exception de prescription et invoqué la compensation. B. Par demande du 29 janvier 2004 adressée à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, A.X._ et B.X._ ont ouvert action en libération de dette contre la Banque afin de faire constater qu'ils ne sont pas débiteurs de celle-ci des montants, en capital et intérêts, formant l'objet des poursuites n°s ..., ..., ... et .... Les demandeurs ont pris des conclusions additionnelles tendant à voir la Banque condamnée à payer 3'671'527 fr. à A.X._ et 3'519'694 fr. 35 à B.X._, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2002, à titre de réparation du préjudice qu'elle leur avait causé par l'octroi de crédits de manière totalement inconsidérée et par son refus de négocier pendant cinq ans. Dans sa réponse du 23 juin 2004, la défenderesse a conclu au rejet de l'action en libération de dette et des conclusions additionnelles prises par les demandeurs. Reconventionnellement, elle a réclamé le paiement, par ceux-ci, des soldes des comptes courants et des avances à terme fixe, soit 8'705'120 fr. 75, plus intérêts à 9,1/4% l'an dès le 1er juillet 2002, et 3'916'406 fr. 25, plus intérêts à 8,7/8% l'an dès le 27 février 1993, s'agissant de A.X._, et 8'553'288 fr. 10, avec intérêts à 9,1/4% l'an dès le 1er juillet 2002, ainsi que 3'916'406 fr. 25 plus intérêts à 8,7/8% l'an dès le 27 février 1993, s'agissant de B.X._. Statuant le 13 juillet 2010, la Cour civile a rendu un jugement dans le dispositif duquel elle a admis partiellement l'action en libération de dette formée par les demandeurs (I), dit que A.X._ doit payer à la Banque, d'une part, 4'219'456 fr., avec intérêts à 8,5% dès le 30 septembre 1993, sous déduction de dix-huit versements de 3'000 fr., de quatre versements de 6'000 fr. et d'un versement de 5'125 fr. 35, valeur à la date de leur paiement (II), et, d'autre part, 3'916'406 fr. 25, avec intérêts à 8 7/8% dès le 27 février 1993 (III). Elle a reconnu B.X._ débiteur de la Banque, d'une part, de 4'194'544 fr., avec intérêts à 8,5% l'an dès le 30 septembre 1993, sous déduction de vingt-neuf versements de 3'000 fr. et d'un versement de 19'523 fr. 10, valeur à la date de leur paiement (IV), et, d'autre part, de 3'916'406 fr. 25, avec intérêts à 8 7/8% dès le 27 février 1993 (V). Elle a levé définitivement les oppositions formées par les demandeurs aux commandements de payer relatifs à la poursuite n° ... de l'Office des poursuites et faillites de ... à concurrence de 6'000'000 fr., avec intérêts dès le 4 septembre 2000 à 8 7/8% sur la somme de 3'916'406 fr. 25 et à 8,5% sur le solde (VI), levé définitivement les oppositions formées par les demandeurs aux commandements de payer relatifs à la poursuite n° ... dudit Office à concurrence de 6'000'000 fr. avec intérêts dès le 4 septembre 2000 à 8 7/8% sur la somme de 3'916'406 fr. 25 et à 8,5% sur le solde (VII), levé définitivement l'opposition formée par B.X._ au commandement de payer n° ... du même Office à concurrence de 2'000'000 fr., avec intérêts à 8,5% dès le 4 septembre 2000 (VIII), levé définitivement l'opposition formée par A.X._ au commandement de payer n° ... de l'Office en question à concurrence de 2'000'000 fr. avec intérêts à 8,5% dès le 4 septembre 2000 (IX), réglé le sort des frais de justice (X) et des dépens (XI) et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions (XII). En droit, les premiers juges ont considéré que les demandeurs devaient payer à la défenderesse les soldes des avances à terme fixe et des comptes courants à la date de résiliation de ces prêts, sous déduction des versements effectués par eux d'avril 2000 à juillet 2002. En ce qui concerne le taux de l'intérêt moratoire dû sur ces sommes, ils ont retenu, pour les comptes courants, celui prévu par les lettres d'octroi de crédit du 31 mai 1990 et, pour les avances à terme fixe, celui prévu par les lettres du 9 octobre 1992 contresignées par les demandeurs, cet intérêt courant dès la date fixée dans les résiliations des prêts. Ils ont admis que les créances litigieuses n'étaient pas prescrites. Les premiers juges ont considéré, par ailleurs, que la Banque n'avait pas violé ses obligations contractuelles. C. C.a Le 14 septembre 2010, les demandeurs (ci-après: les recourants) ont interjeté séparément un recours en matière civile au Tribunal fédéral. A titre principal, chacun d'eux conclut à l'admission de son action en libération de dette et à la constatation qu'il ne doit plus rien à la défenderesse (ci-après: l'intimée), les oppositions aux commandements de payer nos ..., ... et ... devant être définitivement maintenues. Subsidiairement, l'un et l'autre recourant conclut à ce qu'il soit reconnu débiteur de l'intimée de 4'194'544 fr., sans intérêts, sous déduction des montants déjà versés, et de 3'916'406 fr. 25, également sans intérêts. Plus subsidiairement enfin, chaque recourant reconnaît devoir à l'intimée ces deux sommes, sous imputation des montants déjà payés, mais avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2002 pour la première et à compter du 27 février 1993 (A.X._), resp. du 11 décembre 2003 (B.X._), pour la seconde. B.X._ demande en outre, relativement à ses conclusions subsidiaires, que ses oppositions aux commandements de payer précités soient maintenues pour les montants dépassant ceux qui seront alloués à la créancière. C.b Parallèlement à leurs recours en matière civile, A.X._ et B.X._ ont recouru sur le plan cantonal contre le jugement de la Cour civile. De ce fait, la procédure de recours fédérale a été suspendue à l'égard des deux recourants jusqu'à droit connu sur les recours cantonaux par ordonnances présidentielles du 22 septembre 2010. Par arrêt du 25 novembre 2010 notifié le 23 mars 2011 aux parties, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a rejeté les deux recours et maintenu le jugement attaqué. C.c Le 9 mai 2011, A.X._ a déposé un recours en matière civile complémentaire dans lequel il a confirmé ses précédentes conclusions. Les demandes d'effet suspensif présentées par les deux recourants ont été rejetées par ordonnances présidentielles du 15 juin 2011. Dans ses réponses du 20 juin 2011, l'intimée propose le rejet des deux recours. La Cour civile s'en remet à justice quant au sort de ceux-ci.