Faits: A. D._, née en 1942, est veuve depuis le 13 juillet 2007. Elle a présenté une demande de rente de vieillesse datée du 2 août 2007, complétée au crayon et non signée. Dans un écrit séparé, elle s'enquérait du montant de la rente si elle en sollicitait le versement dès le 1er septembre 2007, respectivement le 1er janvier 2008, voire plus tard, son intention étant de travailler encore quelques années. Par lettre du 6 août 2007, la caisse a retourné à D._ une formule de demande de rente de vieillesse, en l'invitant à la compléter au stylo et à la signer. Elle attirait son attention sur le fait qu'elle avait atteint l'âge de 64 ans révolus en juillet 2006 et que si elle souhaitait ajourner le versement de la rente d'un an ou plus, elle devait faire parvenir sa demande d'ici le "31 août 2007". Le 21 août 2007, la caisse est entrée en possession d'une demande de rente de vieillesse, datée du 2 août 2007, remplie au stylo et signée par D._. Par lettre du 21 août 2007, suivie d'un rappel du 11 septembre 2007, elle a invité la requérante à produire une copie de son livret de famille complet, ainsi que du jugement de divorce du premier mariage de son défunt mari. Par décision du 22 novembre 2007, la caisse a avisé D._ qu'elle n'avait pas droit au versement d'une rente anticipée, sa demande étant tardive, ni à l'ajournement de la rente, attendu que la déclaration d'ajournement aurait dû être présentée avant le 31 juillet 2007. La rente de vieillesse serait calculée et versée avec effet rétroactif au 1er août 2006, une fois les documents requis produits. Le 26 novembre 2007, D._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 30 novembre 2007, la caisse a rejeté l'opposition. B. Par jugement du 18 avril 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par D._ contre cette décision. C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que sa demande d'ajournement de la rente de vieillesse est admise et que la rente n'est versée qu'à partir du 1er janvier 2008. La Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS n'a pas répondu au recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.