Faits: A. Par décision du 9 janvier 2006, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de R._ à une rente d'invalidité ainsi qu'à des mesures professionnelles, au motif que sur la base des renseignements médicaux se trouvant au dossier, l'intéressée présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Représentée par Me Jean-Michel Duc, avocat à Lausanne, l'assurée s'est opposée à cette décision en concluant à l'octroi d'une demi-rente AI à partir du mois de mars 2000 ainsi qu'à des mesures de réadaptation professionnelles; elle a en outre sollicité le bénéfice de l'assistance juridique pour la procédure d'opposition en invoquant une situation économique difficile. Par décision du 8 mai 2006, l'office AI a rejeté la demande d'assistance juridique, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire. B. R._ a déféré la décision du 8 mai 2006 au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui l'a déboutée par jugement du 21 novembre 2006. C. R._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement dont elle a demandé l'annulation, avec suite de dépens, en concluant à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance juridique gratuite pour la procédure d'opposition. Tant l'office intimé que l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.