Faits: A. A.a A la suite d'une chute survenue le 18 octobre 2000 alors qu'il travaillait comme maçon, K._, né en 1955, a subi une fracture du poignet gauche et une fracture-tassement du mur antérieur de L1 avec fracture d'ostéophyte D12 stable. Le cas a été pris en charge par son assureur-accidents, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents, qui lui a alloué par la suite une rente d'invalidité de 32 % à partir du 1er juin 2002, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %. N'ayant pas repris d'activité lucrative en raison de douleurs dorso-lombaires, K._ a présenté, le 23 novembre 2001, une demande de prestations de l'assurance-invalidité que l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a rejetée par décision du 30 septembre 2003. A.b Le 26 mai 2004, K._ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, sur laquelle l'office AI a refusé d'entrer en matière (décision du 19 janvier 2005, confirmée sur opposition le 29 janvier 2007). Sur recours de l'assuré, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui, Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a annulé la décision sur opposition et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 18 mai 2009). Conformément aux instructions de l'autorité judiciaire, l'office AI a confié une expertise pluridisciplinaire au Centre d'Expertise X._. Dans leur rapport du 29 janvier 2010, les docteurs J._, spécialiste FMH en médecine interne, et B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, une spondylarthrite ankylosante depuis 2000, des lombalgies sur troubles statiques par modifications post traumatiques (fracture-tassement du mur antérieur) et dégénératives du rachis (arthrose interapophysaire postérieure, discopathie et ostéophytose de D12). Selon eux, l'assuré était totalement incapable de travailler dans son ancienne activité de maçon, mais disposait d'une capacité entière de travail, en dehors des poussées inflammatoires aiguës, dans toute activité légère adaptée (soit sans port de charges de plus de 10 à 15 kg). Le 29 juillet 2010, l'office AI a informé K._ qu'il envisageait de confirmer sa décision initiale et de rejeter sa demande de prestation, l'état de santé n'ayant pas évolué depuis 2003, comme l'avait établi l'expertise pluridisciplinaire. K._ a contesté ce point de vue, en produisant un rapport du docteur H._, médecin-chef du Service de médecine physique et réadaptation de l'Hôpital Y._, du 10 septembre 2010, selon lequel la capacité de travail de l'assuré était de l'ordre de 30 à 40 % avec les limitations fonctionnelles décrites. Après avoir requis l'avis de son Service médical régional (SMR), l'office AI a, par décision du 8 février 2011, nié le droit de l'assuré à une rente d'invalidité. B. Statuant le 7 août 2012 sur le recours formé par K._ contre cette décision, le Tribunal cantonal neuchâtelois, Cour de droit public, l'a rejeté. C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en concluant, en substance, à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité (fondée sur un taux d'invalidité de 70 % au minimum). Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.