Faits: A. Du 1er décembre 2007 au 31 juillet 2008, Y._ a travaillé, en qualité de préparateur d'une exposition et d'un ouvrage sur la "collection ..., pour le compte de X._, membre du comité de la Société A._. Le contrat de travail liant les parties a été négocié, dès le mois d'octobre 2007, par messagerie électronique. Y._ a préparé un projet de contrat de travail, qu'il a soumis, en précisant qu'il n'était pas un spécialiste en la matière (sous-entendu du droit du travail et des assurances sociales) à X._ qui l'a jugé trop compliqué et qui lui a retourné un projet remanié. Celui-ci évoquait un salaire de 5'600 fr. brut par mois pour un poste de 60% pendant 5 mois avec les précisions suivantes: "Monsieur Y._ est assuré par l'entreprise X._ selon les réglementations en vigueur, à savoir: a) AVS/AI/APG, 100% pour Monsieur Y._; b) LPP, 100% pour Monsieur Y._; c) Accident au lieu et hors du lieu de travail, 100% pour Monsieur Y._." Ce contrat a été signé. Il a par la suite été prolongé de trois mois et a pris fin le 31 juillet 2008. B. Par demande du 23 octobre 2008, Y._ a conclu notamment à ce que X._ soit condamné à lui payer le montant de 6'979 fr. 20 net avec intérêts à 5% dès le 1er mai 2008 au titre de cotisations sociales impayées (part due par l'employeur) et 2'332 fr. 40 brut avec les mêmes intérêts dès la même date pour des vacances non prises en nature. S'agissant des vacances, le recourant a finalement acquiescé à concurrence de 2'022 fr. 35 brut, mais il a conclu au rejet de la demande pour les cotisations sociales. Par jugement du 17 août 2009, le Tribunal des prud'hommes du district de Neuchâtel a condamné X._ à verser à Y._ une somme de 6'240 fr. 40 net avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2008 à titre de restitution des cotisations sociales déduites à tort (part de l'employeur) et à un reliquat après acquiescement de 130 fr. 10 brut pour les vacances non prises. Il a considéré en bref que s'il y avait bien apparemment un accord des parties sur le fait que Y._ prendrait seul en charge l'intégralité des cotisations sociales (part employeur et part travailleur), un tel accord serait nul, et que de ce fait le contrat litigieux devait être interprété dans un sens conforme à la législation impérative en la matière, de sorte que X._ devait à Y._ les cotisations sociales impayées, à charge pour ce dernier de payer lui-même les assureurs sociaux concernés. Saisi d'un recours de X._, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal de Neuchâtel l'a rejeté, par arrêt du 22 janvier 2010. C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt cantonal du 22 janvier 2010. Le recourant requiert l'effet suspensif durant la procédure devant le Tribunal fédéral et conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que le Tribunal fédéral rejette, sur le fond, la demande de Y._, tout en donnant acte de son acquiescement du paiement relatif aux vacances non prises. Il invoque une violation de l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. L'intimé conclut au rejet de la requête portant sur l'effet suspensif et, sur le fond, au rejet du recours. Le 1er mars 2010, par ordre de la Présidente de la Ire Cour de droit civile du Tribunal fédéral, l'effet suspensif a été accordé au recours à titre superprovisoire, en ce sens qu'aucune mesure d'exécution de la décision attaquée ne pourra être prise jusqu'à ce qu'il soit statué sur la requête d'effet suspensif.