Faits: A. La société A._ est propriétaire de différents biens immobiliers, dont un lot de trois appartements en propriété par étage (PPE), portant les nos 3.03, 3.04 et 3.05, situés dans un bâtiment à l'adresse rue Marignac 14 à Genève. Ces trois appartements sont mis en location. Par arrêté du 15 février 2010, le département cantonal des constructions et des technologies de l'information, devenu depuis le département de l'urbanisme (ci-après: le département), a autorisé l'aliénation de l'appartement de trois pièces n° 3.04 à B._. B. L'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'Asloca) a recouru contre cette autorisation auprès de la commission cantonale de recours en matière administrative, devenue depuis le 1er janvier 2011 le Tribunal administratif de première instance (ci-après: le TAPI). Après avoir procédé à l'audition des parties, le TAPI a admis le recours et annulé l'autorisation d'aliéner l'appartement n° 3.04 le 29 mars 2011. Par arrêt du 24 août 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours de A._ contre le jugement du TAPI du 29 mars 2011. Elle a considéré en substance que la société recourante ne justifiait pas d'avoir obtenu l'accord du 60 % des autres locataires de l'immeuble et que, de toute façon, vu la pénurie sévère de logements locatifs dans le canton de Genève, l'intérêt public au maintien du statu quo était indéniable. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 24 août 2012, de dire que le recours de l'Asloca devant le TAPI était infondé et de rétablir l'autorisation litigieuse. Subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à la cour cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision. La recourante se plaint pour l'essentiel d'un établissement inexact des faits, d'une violation de son droit d'être entendue et du principe de la séparation des pouvoirs ainsi que d'une application arbitraire du droit cantonal. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le département propose l'admission du recours et l'Asloca conclut à son rejet.