Faits: A. En novembre 2001, Y._ a consulté X._, médecin-dentiste, en vue notamment de se faire poser plusieurs implants dentaires avec couronnes. Le Dr X._ a procédé à divers traitements en 2002, qui ont donné lieu à des réclamations de Y._. Cette dernière, insatisfaite du résultat, a par la suite consulté d'autres médecins-dentistes, qui ont effectué des traitements supplémentaires et de réparation. Le Dr X._ a adressé plusieurs factures à Y._. Cette dernière s'en est acquittée partiellement; en revanche, elle a refusé de payer le solde des factures en invoquant la compensation avec sa propre créance en dommages-intérêts, d'un montant de 25'000 fr., qu'elle faisait valoir contre le prénommé. Ce montant comprenait les frais encourus pour les prestations effectuées par d'autres médecins-dentistes, le coût des travaux de réparation futurs nécessaires, les frais de trajet, les honoraires d'avocat ainsi qu'une indemnité pour tort moral. Le 3 juin 2004, A._ SA, qui s'était fait céder les créances d'honoraires contre Y._, a fait notifier à celle-ci trois commandements de payer pour des soldes d'honoraires de 1'927 fr. 80, de 2'590 fr. 70 et de 4'522 fr. 90, auxquels s'ajoutaient les intérêts moratoires et les frais de recouvrement. Y._ a formé opposition à ces poursuites. B. Aucun accord n'ayant été trouvé entre les parties, Y._ a assigné X._ devant les juridictions valaisannes. Selon ses conclusions dans leur teneur finale, elle demandait qu'il soit condamné à lui payer la somme de 20'120 fr. 75 à titre de dommages-intérêts ainsi que 6'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, le tout avec intérêts. Le défendeur a conclu au rejet des conclusions de la demanderesse et, reconventionnellement, à ce que cette dernière lui paye le montant de 10'221 fr. 25 plus intérêts, ce montant étant compensé à due concurrence avec celui de 5'425 fr. 90 qu'il reconnaissait devoir à la demanderesse. Celle-ci a conclu à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet de la demande reconventionnelle. Par jugement du 10 juillet 2008, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a condamné le défendeur à verser à la demanderesse le montant de 11'092 fr. 05, avec intérêts à 5% dès le 1er janvier 2004, ainsi que 7'484 fr. 70, rejetant toute autre et plus ample conclusion. Elle a considéré, en substance, que le défendeur avait manqué à son devoir de diligence au sens de l'art. 398 al. 2 CO lors de la pose des implants. C. Le défendeur a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile. Il conclut à ce que le jugement attaqué soit réformé en ce sens que lui-même est reconnu débiteur de la demanderesse du montant de 5'425 fr. 90 reconnu par lui, que la demanderesse est reconnue débitrice envers lui du montant de 10'221 fr. 25 et que ce dernier montant est compensé à due concurrence avec le montant précité. Le recourant a sollicité également l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qu'il a obtenu à titre superprovisoire par ordonnance présidentielle du 14 août 2008. L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci.