Faits: A. S._, né en 1978, est arrivé en Suisse le 30 avril 2011, après avoir transité par l'Italie. Il a requis l'asile en Suisse et a été attribué au canton de Vaud. Par décision du 26 juillet 2011, l'Office fédéral des migrations (ODM) a refusé d'entrer en matière sur la demande d'asile et a prononcé le renvoi de S._. Cette décision est devenue définitive et exécutoire le 6 août 2011. La veille, les autorités ont été informées de la disparition de l'intéressé. Le 11 octobre 2011, celui-ci s'est présenté en Suisse et a requis une nouvelle fois l'asile. Il a été placé par l'É tablissement vaudois d'accueil des migrants (ci-après : EVAM) dans l'abri de protection civile Z._ (PC). L'intéressé s'est opposé à son renvoi en Italie. Le 16 février 2012, il a requis la reconsidération de la décision du 26 juillet 2011. Par décision du 7 mars 2012, l'ODM a refusé d'entrer en matière sur cette demande. Par arrêt du 30 avril 2012, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par S._ contre cette décision. Le 16 février 2012, l'intéressé a requis de l'EVAM d'être transféré dans un autre type de logement en faisant valoir, en substance, que ses conditions d'hébergement à l'abri PC lui rappelaient les conditions inhumaines et traumatisantes de ses détentions dans son pays d'origine. Par décision du 21 février 2012, confirmée sur opposition le 20 mars suivant, l'EVAM a rejeté la demande de transfert de l'intéressé dans un autre type de logement. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le chef du Département de l'économie du canton de Vaud (aujourd'hui: le Département de l'économie et du sport; ci-après: DECS) l'a rejeté par décision du 29 juin 2012. B. Par jugement du 10 octobre 2012, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre la décision du DECS du 29 juin 2012. C. S._ interjette un recours contre ce jugement en concluant à son annulation, sous suite de dépens. Préalablement, il demande à être dispensé de payer des frais de procédure. L'É tat de Vaud, agissant par le chef du DECS, et la juridiction cantonale ont renoncé à se déterminer sur le recours. D. Par décision du 14 décembre 2012, l'ODM a "levé" sa décision du 7 mars 2012 et réouvert la procédure d'asile en Suisse, motif pris que le délai pour procéder au renvoi en Italie était expiré.