Faits: A. X._ SA (ci-après: la Société) est une société anonyme dont le siège est à A._ et qui a été inscrite le 2 octobre 2006 au registre du commerce. Son capital-actions de 100'000 fr. est divisé en 100 actions nominatives. La Société a pour but la construction, l'achat, la vente et la rénovation d'immeubles bâtis ou non bâtis ainsi que toutes les autres opérations s'y rapportant directement ou indirectement. Elle est aux mains de trois actionnaires: B._, qui assume la présidence, C._, qui assume le secrétariat, et D._. La Société est propriétaire des parcelles nos ****, ****, **** et **** du cadastre de la commune de A._. Le Conseil communal a autorisé, sur ces parcelles, la construction de quatre immeubles résidentiels devisés à 6'334'270 fr. chacun, soit 25'337'080 fr. au total. Le 23 mai 2006, il a délivré les permis y relatifs pour les bâtiments "E._" (n° ****) et "F._" (n° ****), puis le 21 décembre 2006 pour les bâtiments "G._" (n° ****) et "H._" (n° ****). Ces bâtiments s'élèveront dans un endroit qualifié de lieu touristique par la législation valaisanne. Il est prévu qu'ils soient vendus en PPE, notamment à des étrangers qui s'engageront à les louer à des tiers, dans le cadre d'un concept de para-hôtellerie de luxe dénommé X._. Le 7 mars 2008, la Société a soumis un certain nombre de documents au Service valaisan des registres fonciers et de la géomatique (ci-après: le Service cantonal) dans le cadre du projet de promotion X._ et "en relation avec la problématique des acquisitions par des personnes domiciliées à l'étranger et des attributions pour des lits marchands". Au nombre de ces pièces figurait une déclaration de la Société attestant qu'elle était une société suisse fondée en vue de la promotion des quatre bâtiments résidentiels sur les immeubles précités qu'elle acquérait en son nom propre, les appartements qu'ils allaient abriter étant destinés à la vente. Il s'en est suivi un échange de correspondance (lettres et courriels) entre le Service cantonal et la Société. Dans ce cadre, le Service cantonal a relevé, le 8 avril 2008, que les déclarations des actionnaires de la Société ne suffisaient pas pour prouver que celle-ci n'était pas assujettie à la loi fédérale du 16 décembre 1983 sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger (LFAIE; RS 211.412.41); il a donc demandé d'autres documents, notamment les attestations des prêteurs sur formule ad hoc et, si la promotion était financée par des fonds propres, toutes les pièces utiles. Le 15 avril 2008, le Service cantonal a indiqué à la Société qu'il manquait encore l'attestation bancaire de financement portant sur l'intégralité de la promotion pour que le projet soit conforme à la LFAIE. La Société a contesté l'obligation de déposer une attestation bancaire portant sur l'intégralité du financement et a fait parvenir au Service cantonal quatre attestations bancaires où I._ Banque (Suisse) SA confirmait avoir accordé à la Société ainsi qu'à B._ et C._ quatre crédits de 2'000'000 fr., garantis par cédule hypothécaire et cession du produit de la vente pour chacun des bâtiments du projet. Le 18 avril 2008, le Service cantonal a réitéré sa demande de pièces destinées à prouver le financement de l'intégralité de la promotion immobilière (attestations bancaires ou déclarations d'intention); il ajoutait que, si la Société contestait le dépôt de ces documents, elle était invitée à indiquer si elle désirait une décision formelle de refus qui lui permettrait, le cas échéant, de faire recours. Le 8 août 2008, la Société a sollicité du Service cantonal la notification d'une décision formelle dans les trente jours. Par décision du 5 septembre 2008, le Service cantonal a refusé les autorisations de principe requises. Il a relevé que la Société n'avait pas prouvé qu'elle n'était pas soumise au régime d'autorisation de la LFAIE dans le cadre de la promotion immobilière en cause, autrement dit que le financement de l'achat des terrains et de la construction des différents bâtiments n'était pas assujetti à la LFAIE. B. Par arrêt du 30 janvier 2009, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de la Société contre la décision du Service cantonal du 5 septembre 2008. Les juges cantonaux ont essentiellement souligné que la maxime d'office prévue à l'art. 22 al. 1 LFAIE était limitée par le devoir des parties de coopérer à l'établissement des faits, surtout de ceux qu'elles sont mieux à même de connaître. La Société ayant acquis les parcelles précitées à A._ dans le but de réaliser un projet de promotion immobilière comportant la vente de PPE à des personnes à l'étranger, l'autorité devait contrôler le financement des achats de terrains et celui des constructions pour déterminer si des personnes assujetties à la LFAIE contribuaient aux investissements. Or, à l'exception des attestations prouvant l'octroi de crédits bancaires de 8'000'000 fr., la Société n'avait pas donné de renseignements vérifiables sur le financement des chantiers. Son plan financier avait tout au plus la valeur d'une déclaration générale, sans force probante, sur la façon dont elle comptait obtenir, par des ventes de PPE, l'argent affecté à l'extinction des créances des entreprises, ce qui n'était pas suffisant. Quant à l'inégalité de traitement par rapport à un concurrent dont se plaignait la Société, elle ne pourrait être soulevée valablement par celle-ci que si elle résultait d'une pratique du Service cantonal, ce qui ne pouvait être présumé. C. Le 17 février 2009, la Société a déposé au Tribunal fédéral un recours en matière de droit public et, subsidiairement, un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 30 janvier 2009. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Dans le recours en matière de droit public, la Société fait valoir qu'elle a respecté toutes les dispositions de la LFAIE; elle se plaint que l'exigence relative au dépôt d'une attestation bancaire portant sur l'intégralité du financement du projet ne repose sur aucune base légale; elle se dit victime d'une inégalité de traitement par rapport à un concurrent qui, sur la base de pièces analogues aux siennes, aurait obtenu des autorisations de principe. Dans son recours constitutionnel subsidiaire, la Société reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé arbitrairement son droit d'être entendue; elle lui fait aussi grief d'avoir porté atteinte à la liberté économique et au principe de l'égalité. Le Tribunal cantonal a renoncé à déposer des déterminations. Le Service cantonal conclut au rejet du recours avec suite de frais. L'Office fédéral de la justice propose de rejeter le recours.