A.- U._ et sa famille étaient assurés auprès de la caisse-maladie Helvetia (devenue depuis lors Helsana Assurances SA, ci-après : Helsana). Par décision du 29 avril 1999, Helsana a rejeté l'opposition que U._ avait formée à l'encontre de la décision du 25 août 1998 par laquelle elle avait levé l'opposition formée contre le commandement de payer n°._ portant sur des arriérés de primes dues jusqu'au 31 décembre 1995 (1505 fr. 25), des frais de rappel (20 fr.), ainsi que les frais de poursuite. B.- U._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal administratif du canton de Genève, en concluant à son annulation. Par jugement du 30 mai 2000, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours et limité la mainlevée définitive de l'opposition à la somme de 374 fr. 55, plus les frais de poursuite. C.- Helsana interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la levée de l'opposition jusqu'à concurrence de 1521 fr. 65. L'intimé conclut au rejet du recours. Il demande au Tribunal fédéral des assurances de le libérer des frais de poursuite, voire de toute dette à l'égard de la recourante. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.