Faits: A. Par décisions des 22 mars et 18 mai 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a alloué à compter du 1er mars 2001 une rente d'invalidité à A._, née en 1955, fondée sur un degré d'invalidité de 45 % (demi-rente pour cas pénible, suivie d'un quart de rente). A l'occasion d'une révision du droit à la rente, la Clinique C._, fonctionnant en tant que COMAI, a été mandatée à fin d'expertise pluridisciplinaire. Sur la base du rapport des docteurs O._ et M._ du 14 septembre 2007, l'office AI a admis que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré. Il a fixé le degré de l'invalidité à 39 %, ce qui l'a conduit à supprimer la rente par décision du 24 octobre 2008. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice, Chambre des assurances sociales) en concluant au maintien du quart de rente ainsi qu'à l'octroi de mesures professionnelles. Par jugement du 3 mars 2009, la juridiction cantonale a rejeté le recours. Elle a toutefois substitué ses motifs à ceux de l'office AI, considérant que l'octroi du quart de rente était jadis manifestement erroné. Le tribunal a dès lors confirmé la suppression de rente, après avoir fixé le degré d'invalidité à 34 %. Saisi par l'assurée, le Tribunal fédéral a annulé ce jugement, par arrêt du 22 janvier 2010 (9C_262/2009). Il a renvoyé la cause aux premiers juges afin qu'ils puissent inviter l'assurée à se déterminer sur la question de la reconsidération. Le tribunal cantonal a entendu la doctoresse V._. Cette dernière a notamment déclaré que sa patiente est totalement incapable de travailler depuis août 2009 et de tenir son ménage; elle a précisé que la récidive de 2009 est probablement une récidive du cancer du sein de 2000, car il n'a pas été retrouvé de nouvelles lésions qui expliqueraient ce cancer de 2009 (cf. procès-verbal d'enquêtes du 20 avril 2010). Par jugement du 27 avril 2010, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision du 24 octobre 2008, maintenu le droit au quart de rente octroyé par décision du 18 mai 2005 (ch. 2 du dispositif), reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2009 (ch. 3), et jugé que la demande de mesures professionnelles était sans objet (ch. 4). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut d'une part à la confirmation de sa décision du 24 octobre 2008, d'autre part à ce que la cause lui soit renvoyée pour examen du droit aux prestations à compter du mois de juillet 2009. L'assurée conclut au rejet du recours, avec suite de dépens; elle sollicite d'être dispensée du paiement des frais de procédure. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il propose l'admission du recours. Par ordonnance du 10 septembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI.