Faits: A. A.a Par décision du 22 février 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée le 15 décembre 2004 par P._, au motif que sa capacité de travail était entière dans toute activité adaptée aux limitations fonctionnelles - limitation des déplacements à 50 m environ et à plat, pas de station debout prolongée, pas de port de charges de plus de 15 kg - et qu'il n'avait aucun droit à des prestations. L'assuré a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, qui l'a rejeté par arrêt du 6 mars 2008, et contre ce jugement devant le Tribunal fédéral, qui l'a rejeté par arrêt du 5 mars 2009. A.b P._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité les 27 avril et 20 mai 2009. Il a produit un rapport d'expertise privée du 18 avril 2008 du docteur C._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique), ainsi que plusieurs autres documents médicaux. Dans un avis du 14 septembre 2009, la doctoresse M._, médecin du SMR, a conclu à une incapacité de travail dans toute activité depuis le 9 novembre 2006, vu la survenance d'une épicondylite gauche, d'une capsulose rétractile de l'épaule gauche et de discopathies C3-C4 et C4-C5 depuis le dernier examen des médecins du SMR du 13 juillet 2006. Cet avis a été rectifié par la doctoresse S._, médecin du SMR, dans un avis du 4 janvier 2010 où se référant à la consultation du docteur O._ du 30 avril 2007 lors de laquelle ce médecin avait constaté une aggravation de l'état de santé du patient, elle a retenu que l'assuré avait présenté une aggravation de son état de santé avec une incapacité totale de travail dans toute activité depuis avril 2007. Dans un préavis du 15 janvier 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé P._ que sa capacité de travail était considérablement restreinte depuis le 1er avril 2007 (début du délai d'attente d'un an) et qu'il présentait une invalidité de 100 % depuis le 1er avril 2008 et avait droit à une rente entière dès le 1er octobre 2009 (échéance de la période de six mois à compter de la date à laquelle il avait fait valoir son droit à des prestations). Par décision du 24 mars 2010, il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er octobre 2009. B. Le 5 mai 2010, P._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation en tant qu'elle fixait le début du droit à la rente au 1er octobre 2009. Il formulait également une demande de révision de la décision de l'office AI du 22 mars (recte: février) 2007 et de l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 6 mars 2008, dont il requérait l'annulation. La juridiction cantonale était invitée à dire et prononcer que le droit à une rente entière d'invalidité avait débuté le 1er novembre 2007 et à condamner l'office AI à allouer à l'assuré de manière rétroactive les prestations dues, avec un intérêt de 5 %. Le 1er juin 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu au rejet du recours. Dans ses observations du 22 juin 2010, P._, en modification de ses conclusions précédentes faisant remonter le début du droit à la rente au 1er novembre 2007, a demandé que son droit à une rente entière d'invalidité soit reconnu dès le 1er février 2007 (trois mois à compter du 9 novembre 2006, date à laquelle la doctoresse M._ avait fait remonter l'incapacité de travail dans toute activité). L'office AI, au vu des arguments avancés par l'assuré, a demandé qu'il soit procédé à un complément d'instruction (lettre du 13 juillet 2010). Interpellé par la juridiction cantonale, il a produit un avis médical de la doctoresse S._ du 9 août 2010 et requis le 13 août 2010 le renvoi de la cause pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale indépendante, en vue d'une évaluation spécifique. Le 1er septembre 2010, P._ a déposé ses observations. Par arrêt du 12 mai 2011, la juridiction cantonale a déclaré la demande de révision irrecevable et l'a transmise au Tribunal fédéral comme objet de sa compétence (ch. 1 et 2 du dispositif). Il a déclaré le recours recevable et l'a rejeté (ch. 3 et 4 du dispositif). Il a mis un émolument de 200 fr. à la charge de P._ (ch. 5 du dispositif). C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'annulation de la décision de l'office AI du 24 mars 2010 en tant qu'elle fixe le début du droit à la rente au 1er octobre 2009, le Tribunal fédéral étant invité à dire et prononcer que le droit à la rente entière d'invalidité ainsi que le droit à son paiement débutent le 1er novembre 2007, voire le 1er mai 2008 au plus tard. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.