Faits: Faits: A. Par arrêt du 11 novembre 2002, la Cour correctionnelle avec jury du canton de Genève (ci-après: la Cour correctionnelle) a condamné A._ à trois ans de réclusion et à dix ans d'expulsion du territoire suisse pour viol et rupture de ban. Elle a retenu en substance que l'accusé avait contraint son ex-amie B._ à entretenir des relations sexuelles avec lui dans la soirée du 13 novembre 2001, après l'avoir frappée et forcée à ingérer de la méthadone. Le 14 novembre 2002, A._ s'est pourvu en cassation auprès de la Cour de cassation du canton de Genève (ci-après: la Cour de cassation ou la cour cantonale) contre cet arrêt en tant qu'il porte sur sa condamnation pour viol. Il reprochait notamment au jury d'avoir failli à son devoir de motiver ses décisions en ne se prononçant pas sur l'état psychologique de B._ avant les faits, tel qu'il ressortait du témoignage de C._, et sur la lettre qu'il lui avait adressée le lendemain, alors qu'il s'agissait d'éléments décisifs pour apprécier le déroulement des faits. Par arrêt du 27 juin 2003, la Cour de cassation a rejeté le pourvoi. Elle a écarté le grief tiré d'une violation du droit d'être entendu au motif que A._ n'avançait que très lapidairement une insuffisance de motivation et ne tentait pas de démontrer sur quels points précis la motivation retenue ne permettrait pas de comprendre la décision prise. Par arrêt du 27 juin 2003, la Cour de cassation a rejeté le pourvoi. Elle a écarté le grief tiré d'une violation du droit d'être entendu au motif que A._ n'avançait que très lapidairement une insuffisance de motivation et ne tentait pas de démontrer sur quels points précis la motivation retenue ne permettrait pas de comprendre la décision prise. B. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, qui consacrerait une atteinte inadmissible à son droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., et de renvoyer la cause à la Cour de cassation afin qu'elle statue à nouveau. Il requiert l'assistance judiciaire. La Cour de cassation se réfère à son arrêt. Le Procureur général du canton de Genève conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'intimée propose également de le rejeter et sollicite l'assistance judiciaire.