Faits: A. C._, né hors mariage le 30 septembre 2009, est le fils de A._ et de B._. Le couple s'est séparé au mois de mai 2012; l'enfant demeure avec sa mère, qui réside à D._. Depuis le mois de novembre 2012, les contacts entre l'enfant et son père, actuellement domicilié à E._, ont été interrompus. B. Le 29 novembre 2012, la mère a sollicité du Tribunal tutélaire (dorénavant Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant) du canton de Genève qu'il fixe les modalités du droit de visite du père, exposant en substance craindre que le désintérêt de ce dernier pour son fils ne mette en danger le bien de l'enfant, lequel souffre, depuis sa naissance, de problèmes de santé nécessitant régulièrement des hospitalisations et occasionnant des crises difficiles à gérer. Le père a requis de pouvoir exercer son droit de visite un week-end sur deux, d'avoir libre accès à l'enfant lorsque celui-ci se trouve au Jardin d'enfants thérapeutique (ci-après: JETH) et de pouvoir le contacter téléphoniquement tous les mardis à 19h20, précisant que les modalités de son droit aux relations personnelles avec son fils, telles qu'elles avaient été convenues avec la mère, n'étaient pas respectées par celle-ci. La mère s'est opposée à l'exercice d'un droit de visite du père un week-end sur deux, et a indiqué avoir toujours informé le père des éléments relatifs à la santé de leur enfant, alors que celui-ci ne se montrait pas régulier dans ses contacts avec l'enfant, d'une part, et avec les équipes soignantes et éducatives, d'autre part. Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi), qui a établi un rapport d'évaluation à la demande du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant, a relevé des difficultés de communications importantes entre les parents, une rupture des relations père-fils et néanmoins une bonne évolution de l'enfant. Le SPMi a préconisé que le droit de visite du père soit progressivement réinstauré à raison d'une reprise de contact de deux heures au JETH, de deux droits de visite de trois heures au Chalet Savigny, structure intégrée par l'enfant, puis un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures. B.a. Par ordonnance du 1 er juillet 2013, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant a fixé le droit de visite du père, après une reprise de contact de deux heures au JETH et une visite de trois heures avec passage de 30 minutes en début et fin de visite au JETH, à un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures (ch. 1), a instauré une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles et désigné deux responsables du SPMi aux fonctions de curateurs (ch. 2 et 3), invitant ces derniers à établir un rapport de situation à la fin du mois de septembre 2013 en vue d'un éventuel élargissement du droit de visite du père (ch. 4). Le 17 juillet 2013, la mère a formé recours contre cette ordonnance, concluant à ce que le droit de visite du père soit en l'état limité à une reprise de contact de deux heures au JETH, le chiffre 1 de l'ordonnance attaquée étant annulé pour le surplus et les chiffres 2 à 4 étant confirmés. La mère a admis que le droit de visite du père soit progressivement repris et que celui-ci est apte à gérer les crises de l'enfant, mais faisait valoir que la progression prévue était trop rapide au vu des problèmes de l'enfant et que la reprise d'un droit de visite à la journée ne devait pas être envisagée avant 2014; le père habitant à E._, il n'était pas envisageable, selon elle, de déplacer l'enfant en ce lieu pour 9 heures seulement. Le SPMi a persisté dans les conclusions prises dans son rapport. Le père a qualifié de " farfelue " l'hypothèse d'un aller/retour de l'enfant de D._ à E._ en 9 heures et a exposé que le JETH avait donné son accord pour les modalités de visite prévues en son sein ou avec passage en son sein. B.b. Statuant par décision du 11 septembre 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours de la mère et confirmé l'ordonnance du 1 er juillet 2013. C. Par acte du 16 octobre 2013, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, en ce qu'il confirme l'ordonnance du 1 er juillet conférant au père de l'enfant une reprise de contact avec l'enfant de deux heures, puis d'un droit de visite de trois heures avec passage de 30 minutes au début et à la fin, et enfin un droit de visite un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures. La recourante a sollicité au préalable que l'effet suspensif soit octroyé à son recours. Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, le père a conclu à son rejet, l'autorité précédente a exposé que l'octroi de cette mesure retarderait de plusieures semaines la reprise des contacts entre père et fils - dont le premier rendez-vous doit de toute manière se dérouler en milieu protégé -, et le SPMi s'est déclaré non favorable à la requête, expliquant qu'il était important que l'enfant puisse revoir son père, qu'il n'a pas revu depuis mi-novembre 2012. D. Par ordonnance du 5 novembre 2013, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours pour maintenir les choses en l'état existant durant la procédure fédérale et éviter que le recours ne devienne illusoire. Des réponses au fond n'ont pas été requises.