Faits: A. A._, ressortissant du Bengladesh né en 1968, est arrivé en Suisse en hiver 1991. Il y a déposé une demande d'asile, qui a été définitivement rejetée le 19 juin 1992. Le 15 mai 1995, il a épousé à Neuchâtel B._, ressortissante suisse née en 1955. Il s'est alors vu délivrer une autorisation de séjour dans le but de vivre auprès de son épouse. Aucun enfant n'est issu de cette union. Le 7 août 2000, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée fondée sur son mariage avec B._. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, les époux ont contresigné, le 15 septembre 2001, une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient vivre en communauté conjugale effective et stable, résider à la même adresse et n'envisager ni séparation, ni divorce. La déclaration signée précisait en outre que "si cet état de fait est dissimulé", la naturalisation facilitée pouvait être annulée dans les cinq ans. Par décision du 4 octobre 2001, l'Office fédéral des étrangers (actuellement Office fédéral des migrations [ODM]) a accordé la naturalisation facilitée à A._. B. Le 27 mars 2002, B._ a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale auprès du Président du Tribunal civil du district de Neuchâtel. Par ordonnance du 8 janvier 2004, cette autorité judiciaire a notamment pris acte de la volonté commune des époux de vivre séparés et du fait que A._ s'était constitué un domicile propre dès le 1er avril 2002. Le 9 novembre 2004, les époux ont déposé une requête commune tendant au prononcé de leur divorce. Le divorce des époux A._ et B._ a été prononcé le 18 avril 2005 par le Tribunal civil du district de Neuchâtel. Le 28 décembre 2004, l'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration (IMES, devenu ensuite l'ODM) a fait savoir à A._ qu'il envisageait d'ouvrir une procédure en vue d'une éventuelle annulation de la naturalisation facilitée. L'intéressé a présenté des observations le 24 janvier, le 11 août et le 20 octobre 2005. Le 16 janvier 2006, l'ODM a interpellé l'avocate ayant représenté B._ au sujet des violences conjugales alléguées par celle-ci dans la procédure de divorce. Le 12 juin 2006, l'avocate en question a répondu qu'elle n'avait plus de contact avec sa cliente et que, "pour des raisons de langue", celle-ci ne comprenait absolument pas ses sollicitations. A._ n'a pas été informé de cet échange de correspondances. Par ailleurs, l'ODM lui a refusé la consultation de certaines pièces du dossier, en application de l'art. 27 al. 1 let. b PA. Par décision du 30 août 2006, l'ODM a prononcé l'annulation de la naturalisation facilitée de A._, avec l'assentiment des autorités compétentes du canton des Grisons. Cet office a considéré que le mariage de l'intéressé n'était pas constitutif d'une communauté conjugale effective et stable au moment de la signature de la déclaration commune du 15 septembre 2001 et de l'octroi de la naturalisation facilitée, de sorte que celle-ci avait été obtenue sur la base de déclarations mensongères et d'une dissimulation de faits essentiels. L'enchaînement rapide des événements - demande de naturalisation, mariage, obtention de la naturalisation facilitée, séparation et divorce - fondait la présomption que la naturalisation avait été obtenue frauduleusement, présomption que l'intéressé n'était pas parvenu à renverser. C. A._ a recouru contre cette décision auprès du Département fédéral de justice et police. La cause a été transmise au Tribunal administratif fédéral, conformément à l'art. 53 al. 2 de la loi sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF; RS 173.32). Par arrêt du 12 décembre 2008, le Tribunal administratif fédéral a rejeté ce recours. Il a constaté une violation du droit d'être entendu du recourant en relation avec le courrier de l'avocate de son ex-épouse daté du 16 juin 2006; ce vice de procédure avait toutefois été réparé devant le Tribunal administratif fédéral. Cette autorité a également estimé que l'ODM avait appliqué correctement les art. 27 et 28 PA s'agissant des pièces demeurées confidentielles. Enfin, Tribunal administratif fédéral a confirmé l'appréciation de l'ODM concernant la présomption que la naturalisation avait été obtenue frauduleusement, les éléments avancés par A._ n'étant pas suffisants pour renverser cette présomption. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de dire qu'il a droit au maintien de sa naturalisation facilitée. Subsidiairement, il requiert que l'affaire soit renvoyée à l'autorité inférieure pour que la violation de son droit d'être entendu soit réparée. Il se prévaut de l'art. 29 al. 2 Cst. et se plaint d'une constatation arbitraire des faits et d'une violation de l'art. 41 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN; RS 141.0). L'ODM et le Tribunal administratif fédéral ont renoncé à se déterminer.