Faits: A. Y._ SA (ci-après: Y._), avec siège à ..., poursuit le but d'effectuer des investissements en particulier dans les pays de la Communauté des Etats Indépendants (CEI) et les Etats baltes. X._ AG (ci-après: X._), avec siège à ..., détient 892'703 actions de la société Y._, soit 33,76% du capital social. Le conseil d'administration de la société Y._ est composé de A._, président, et de B._. C._ a représenté X._ au conseil d'administration jusqu'au 31 décembre 2008, date de la prise d'effet de sa démission. A._ est président du conseil d'administration de Z.A._ SA, "gérant" des sociétés Z.B._ Group AG et Z.C._ Bank AG. Il détient une part de 72,2 % des droits de vote et 63,1% du capital de la société V._ SA, qui dispose de 50% des droits de vote dans Z.B._ Group AG. Par contrat du 15 novembre 2007, Y._ a confié la gestion de ses avoirs et des investissements à Z.D._ International Limited (ci-après: Z.D._), filiale détenue à 100% par Z.B._ Group AG. Elle a désigné Z.D._ comme Investment Manager, avec pour responsabilité d'investir, réinvestir et superviser les avoirs de la société Y._ sur une base quotidienne. En cette qualité, Z.D._ a désigné un comité d'investissement, qui est composé d'employés du groupe des sociétés Z.D._. Lors de l'assemblée générale ordinaire de la société Y._ du 25 juin 2009, le représentant de X._ a demandé des renseignements au conseil d'administration concernant notamment les investissements et le bilan, ainsi que les charges. Considérant que les réponses données par le conseil d'administration étaient peu satisfaisantes, il a soumis à cette même assemblée une demande de contrôle spécial, selon une liste de cinq questions dont il a donné lecture, en demandant qu'elles soient annexées au procès-verbal. Les questions concernaient (1) le placement des liquidités, (2) l'évaluation des participations au 31 décembre 2008, (3) le Management Fee versé à l'Investment Manager, (4) le Performance Fee versé à celui-ci pour les résultats de l'année 2008 et (5) le paiement de dividendes extraordinaires de W._ Ltd au cours de l'année 2008. Le contrôle spécial a été refusé par 1'301'000 contre 892'705 voix. B. Le 23 septembre 2009, X._ a saisi le Tribunal de première instance de Genève d'une requête en institution d'un contrôle spécial. A l'audience du 27 octobre 2009, X._ a retiré, à la lumière des explications de la société Y._ et des pièces produites, la cinquième question. La société demanderesse a fait valoir que le placement de 75% des actifs de la société Y._ auprès de Z.C._ Bank AG violait le contrat du 15 novembre 2007, le prospectus de cotation de la société, ses directives d'investissement et le devoir général de diversifier les placements et de ne pas favoriser un placement auprès d'entités proches des actionnaires. Par jugement du 17 novembre 2009, le Tribunal de première instance a déclaré la requête sans objet pour les quatre points encore litigieux et débouté X._ de ses conclusions. Il a jugé que si la requête n'était pas dépourvue d'objet lorsqu'elle avait été déposée, les renseignements fournis depuis - notamment le rapport de R._ du 19 octobre 2009 et versé au dossier - étaient suffisamment circonstanciés pour fonder une éventuelle action en responsabilité. Il a toutefois condamné Y._ aux dépens, au motif que les renseignements pertinents n'avaient été obtenus qu'après le dépôt de la requête. X._ a formé appel de ce jugement. Abandonnant sa conclusion relative à la question no 4, elle a largement complété le contenu de la question no 3 soumise au conseil d'administration lors de l'assemblée générale. Par arrêt du 4 mars 2010, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de la première instance dans son résultat, par substitution de motifs. Elle a considéré que X._ n'avait pas d'intérêt juridique à l'institution d'un contrôleur spécial dans la mesure où les renseignements nécessaires à l'ouverture d'une action en responsabilité ressortaient en particulier des réponses données par le conseil d'administration lors de l'assemblée générale du 25 juin 2009, du rapport annuel 2008 et du rapport semi-annuel 2009. La cour cantonale a en outre observé que X._ avait intenté entre-temps (soit le 24 décembre 2009) une action en responsabilité contre les membres du conseil d'administration de la société Y._. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 4 mars 2010. Limitant l'objet de son recours aux questions nos 1 et 3 (complétée devant la cour cantonale), elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à l'admission de la requête en désignation d'un contrôleur spécial, sous suite de frais et dépens. La recourante fait valoir la "violation de l'arbitraire dans la constatation des faits" (art. 9 Cst.) et invoque la transgression des art. 697a et 697b CO, les informations communiquées par Y._ étant, selon elle, insuffisantes. L'intimée conclut, principalement, à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet, sous suite de frais et dépens.