Faits: A. A.a. Médecin psychiatre de profession, C._ a travaillé en tant que chef de clinique adjoint pour le compte de l'Hôpital X._. Souffrant de troubles lombaires, il s'est adressé à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) qui l'a mis au bénéfice d'une rente entière fondée sur un degré d'invalidité de 90 % à compter du 1er mai 2002 (décision du 25 novembre 2002). Cette prestation a été supprimée par décision du 1er mai 2006, l'assuré ayant progressivement recouvré une capacité de travail de 80 % en tant que psychiatre indépendant. A.b. Le 29 août 2007, C._ a demandé le réexamen de son droit à des prestations en raison d'une aggravation de son état de santé. Par décision du 11 août 2008, l'office AI l'a mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er juin 2007 compte tenu d'un taux d'invalidité de 50 %. L'assuré ne s'est pas opposé à cette décision. A.c. Le 2 décembre 2008, C._ a transmis à l'office AI un questionnaire tendant à l'augmentation de sa rente d'invalidité compte tenu d'une importante diminution de la mobilité. Après avoir recueilli l'avis des médecins traitants et celui de son Service médical régional (SMR), l'office AI a informé l'assuré que la mise en place d'une expertise pluridisciplinaire s'avérait nécessaire. Celle-ci devait être effectuée par le Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité de Y._. L'assuré a refusé de se soumettre à cette mesure. Il a produit une attestation médicale du 15 novembre 2010 cosignée par les docteurs D._, spécialiste FMH en médecine générale, O._, spécialiste FMH en rhumatologie auprès de l'Hopital Z._, F._, spécialiste FMH en anesthésie et antalgie auprès de Z._, B._, spécialiste FMH en pneumologie, R._, spécialiste FMH en neurologie et G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et les professeurs A._, spécialiste FMH en endocrinologie, U._, spécialiste FMH en néphrologie et hypertension auprès de Z._ et E._, chef de service auprès du Département de médecine interne de Z._, faisant état d'une capacité de travail résiduelle de 25 %. Par projet de décision du 17 février 2011, l'office AI a informé l'assuré qu'il comptait rejeter sa demande. Il lui a imparti un délai de trente jours pour revenir sur son refus de se soumettre à une expertise médicale en l'avertissant qu'à défaut son droit à une demi-rente d'invalidité serait maintenu. Malgré les objections formulées par l'assuré à l'encontre de ce projet et la production d'un nouveau rapport du 21 mars 2011 cosigné par les auteurs de l'attestation du 15 novembre 2010, l'office AI a, par décision du 19 avril 2011, confirmé le maintien du droit à une demi-rente d'invalidité. B. C._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 3 juin 2013. C. C._ interjette un "recours en matière de droit public et constitutionnel subsidiaire" contre ce jugement, dont il demande, sous suite de frais et dépens, principalement la réforme en ce sens qu'il est mis au bénéfice d'une rente d'invalidité entière dès le 1er décembre 2008. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision et/ou décision "dans le sens des considérants".