Faits: A. Feu B._, né en 1934, travaillait comme sacristain pour la Commune ecclésiastique catholique romaine de X._. A ce titre, il était assuré par son employeur contre le risque d'accidents professionnels et non professionnels, auprès de la Mobilière suisse société d'assurances (ci-après : la Mobilière). Le 13 juillet 2006, B._ est tombé d'une échelle alors qu'il cueillait des cerises. Il a été transporté par hélicoptère à l'Hôpital Y._, avant d'être transféré au Service de chirurgie de l'Hôpital Z._. Les médecins ont notamment constaté qu'il avait été victime d'une commotion cérébrale (perte de connaissance pendant vingt minutes environ sur les lieux de l'accident) et d'une fracture multifragmentaire de l'os pubien droit; ils ont également fait état d'une suspicion de fracture de l'os temporal droit avec hématotympan droit (rapport du 14 juillet 2006 des docteurs S._ et L._; rapport du 17 juillet 2006 établi à l'Hôpital Z._). Dans un rapport daté du 26 juillet 2006, mais en réalité établi à une date ultérieure inconnue, le docteur M._, médecin à l'Hôpital Z._, a exposé que B._ avait été hospitalisé dans le Service de chirurgie de cet établissement, du 14 au 31 juillet 2006, date de son transfert au Service de médecine physique et rééducation. Le docteur M._ a fait état des diagnostics suivants, à titre principal : «1) contusion cérébrale avec shearing injuries et confusion post-traumatique et agitation nocturne, 2) fracture du rocher non déplacée à droite avec hématotympan et paralysie faciale retardée à droite, 3) fracture avec plusieurs fragments légèrement déplacée de l'os pubien à droite, 4) cholécystite sur cholécystolithiase». A titre secondaire, il a mentionné les diagnostics de presbyacousie des deux côtés, d'adénocarcinome de la prostate (premier diagnostic en novembre 2005) traité notamment par radiothérapie percutanée du 8 mai au 29 juin 2006, de diverticulose sigmoïdienne et d'hypertension artérielle. Le patient présentait une désorientation et une agitation, surtout nocturne, depuis son accident, de sorte qu'un scanner cérébral avait été réalisé. Le diagnostic de confusion post-traumatique avec agitation nocturne avait été posé et un traitement médicamenteux instauré. Au cours du séjour à l'hôpital, le patient était de plus en plus orienté, mais avait encore des épisodes agités la nuit. Il s'était par ailleurs plaint d'un déficit auditif à droite et avait développé une paralysie faciale à droite. Le 23 juillet 2006, il avait fait état de douleurs à l'hypocondre droit, avec douleurs à la palpation, sans signe de péritonisme. Au cours du séjour, les douleurs et les signes inflammatoires avaient diminué. La réalimentation avait été bien tolérée. A l'époque du transfert dans le Service de médecine physique et réadaptation, B._ pouvait marcher avec de l'aide. En raison d'une cholécystite sur cholécystolithiase légère, l'indication pour une cholécystectomie était donnée. Un rendez-vous était prévu le 30 août 2006 au cabinet du docteur P._ pour planifier l'opération. Par la suite, l'évolution s'est caractérisée par une accentuation des détériorations sur le plan cérébral, avec confusion, désorientation et agitation nocturne. La persistance d'une abdominalgie associée à une accentuation de la leucocytose et d'une insuffisance rénale a nécessité le transfert de l'assuré dans le Service de médecine interne de l'Hôpital Z._ le 18 août 2006. Un iléus abdominal sur bride probable a été diagnostiqué. Le 20 août 2006, B._ est décédé d'un choc septique sur iléus abdominal (rapport du 17 janvier 2007 du docteur E._, chef du Service de médecine physique et rééducation de l'Hôpital Z._). La Mobilière a adressé à l'Hôpital Z._ un questionnaire relatif aux circonstances et à la cause du décès. Les docteurs R._ et H._ ont répondu négativement à la question de savoir si le décès était dû uniquement à l'accident et à celle de savoir si les suites de l'accident avaient été déterminantes comme cause du décès. Ils ont précisé que B._ était décédé d'un choc septique sur iléus (rapport du 1er septembre 2006). Par décision du 17 novembre 2006, la Mobilière a refusé d'allouer une rente à A._, veuve de B._, et de prendre en charge les frais funéraires et de transport du défunt. Elle a considéré que le décès de l'assuré n'était pas d'origine accidentelle, mais maladive. A._ s'est opposée à cette décision en exposant qu'une intervention chirurgicale n'avait pas pu être pratiquée pour soigner son époux, en raison de son état général trop faible. Elle s'est également référée, notamment, à un rapport du 22 décembre 2006 du docteur H._, médecin généraliste dont B._ était le patient depuis 1982. Le docteur H._ y précise que si le choc septique survenu à la suite d'une cholécystite aiguë avait été la cause du décès, la décision de ne pas pratiquer une intervention chirurgicale et une anesthésie avait été prise en raison de l'état cérébral de l'assuré, qui ne permettait pas une telle intervention. Or, cet état cérébral résultait bien de l'accident du 13 juillet 2006. La Mobilière a demandé à son médecin-conseil, le docteur O._, de prendre position sur la question du rapport de causalité entre l'accident et le décès de l'assuré. Ce médecin a exposé que l'assuré était décédé des suite d'une cholécystite aiguë non traitée ayant entraîné un choc septique. Si une intervention chirurgicale avait dû avoir lieu, elle aurait dû être pratiquée aux alentours du 23 juillet 2007 et non au mois d'août, alors que le patient se trouvait dans un état général dégradé non pas en raison du problème cérébral d'origine accidentel, mais en raison du problème septique abdominal non traité. L'état confusionnel, en particulier, provenait du problème septique et non du traumatisme crânien. Une intervention aux alentours du 23 juillet 2006 aurait probablement permis d'éviter le décès (rapport du 12 janvier 2007). A._ a encore produit un rapport établi le 19 février 2007 par le docteur C._, médecin-chef et spécialiste en médecine interne à l'Hôpital Z._. Ce dernier expose qu'à cause notamment des suites des traumatismes subis lors de l'accident du 13 juillet 2006, une intervention chirurgicale n'avait pas pu être pratiquée en vue de traiter un iléus abdominal dont souffrait B._. Par une nouvelle décision du 28 février 2007, puis une décision sur opposition du 15 mai 2007, la Mobilière a maintenu son refus d'allouer une rente de veuve et de prendre en charge les frais funéraire et de transport du défunt. B. Par jugement du 23 avril 2008, le Tribunal cantonal jurassien a rejeté le recours interjeté contre la décision sur opposition du 15 mai 2007. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en demande la réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée, en substance, au paiement d'une rente de veuve et à la prise en charge des frais funéraires et de transport du défunt, sous suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction et statue à nouveau. La Mobilière conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.