Faits: A. La société X._ SA (Y._ SA jusqu'au 9 février 2009) a pour but le transport et la distribution de marchandises comestibles et autres, l'exploitation d'un garage, y compris l'entretien et le commerce de voitures. En sa qualité d'employeur, la société est affiliée auprès de la Caisse interprofessionnelle neuchâteloise de compensation pour l'industrie, le commerce et les arts et métiers CICICAM-CINALFA (ci-après : la caisse). De 2005 à 2008, elle a régulièrement confié des livraisons à A._. A la suite d'un contrôle d'employeur, la caisse a constaté que Y._ SA n'avait pas déclaré les rétributions versées à A._ en 2005, 2006 et 2007. Par décision du 15 octobre 2008, confirmée par décision sur opposition du 15 janvier 2009, elle a réclamé à la société la somme de 22'366 fr. 25 au titre des cotisations paritaires dues par celle-ci en tant qu'employeur, le travail effectué par A._ pour Y._ SA devant être qualifié d'activité dépendante. B. X._ SA a déféré la décision sur opposition au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales (aujourd'hui : Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), qui l'a déboutée par jugement du 24 août 2010. C. X._ SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'admission de son recours et à l'annulation de la décision sur opposition litigieuse. La caisse conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales renonce à se déterminer.