Faits: A. R._, marié, père d'un enfant, travaillait comme ouvrier de production auprès de la Société X._ SA dont le personnel était assuré en matière de prévoyance professionnelle auprès de la compagnie d'assurance Winterthur Columna fondation LPP (ci-après: Winterthur). Incapable de travailler une première fois en novembre-décembre 1998 en raison de douleurs dorsales, il n'a plus exercé d'activité lucrative depuis le 22 janvier 1999 et son employeur a résilié le contrat de travail avec effet au 31 octobre 1999. Le 8 février 2005, l'intéressé a demandé à l'institution de prévoyance professionnelle de son ancien employeur de lui verser les prestations dues en cas d'invalidité. Suite à une expertise pluridisciplinaire effectuée auprès de la Clinique Y._ (du 13 janvier 2005), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'OAI) lui a alloué, par décision du 23 mars 2005, une demi-rente d'invalidité depuis le 1er juillet 2002 et une rente entière à partir du 1er octobre 2002. Par lettre du 20 juin 2005, la Winterthur a signifié à l'intéressé son refus de prestations, au motif qu'il n'était plus assuré auprès d'elle au moment de la survenance de l'incapacité de travail due à des troubles sur le plan psychique dont la cause était à l'origine de son invalidité. B. Par écriture du 2 novembre 2005, R._ a ouvert action contre la Winterthur, en concluant au versement des prestations d'invalidité LPP prévues par le certificat personnel en matière de prévoyance professionnelle valable dès le 1er janvier 1999. La défendresse a conclu au rejet de l'action, en invoquant le fait que le moment déterminant à partir duquel la capacité de travail du demandeur s'était détériorée de manière sensible et durable pour aboutir à l'invalidité était le 1er juillet 2001, soit après que le rapport d'assurance avait pris fin. Par jugement du 8 mai 2008, après avoir eu accès au dossier constitué par l'assureur-invalidité, le Tribunal cantonal de Fribourg, Cour des assurances sociales, a rejeté la demande. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au versement d'une rente d'invalidité LPP annuelle de 20'982 fr. pour lui-même et de 2'583 fr. pour son enfant, avec effet au 16 novembre 2000. La Winterthur conclut au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il renonce à se déterminer.