Faits: A. Par écriture du 21 mai 2008, D._ a adressé au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) un recours dirigé contre la Caisse suisse de compensation, la Centrale de compensation et la Caisse cantonale genevoise de compensation, concernant les actes ainsi désignés : « - la décision sur opposition du 21 avril 2008 par laquelle la Caisse suisse de compensation refuse d'exécuter le jugement prononcé le 18 juillet 1991 par la Commission cantonale genevoise de recours en matière d'AVS, d'AI et d'APG; - le retard mis par la Caisse suisse de compensation à exécuter la décision de justice susmentionnée; - le retard mis par la Caisse cantonale genevoise de compensation à exécuter la décision de justice susmentionnée ». Il a conclu à ce que la Caisse suisse de compensation ou la Caisse cantonale genevoise de compensation ou la Centrale de compensation ou la Confédération suisse fussent condamnées à lui payer diverses sommes (167'234 fr. au total) augmentées d'intérêts, sans retard ni tergiversation, au prononcé de la mainlevée définitive à l'opposition formée au commandement de payer n° X._ notifié à la Centrale et Caisse suisse de compensation (Confédération suisse), à l'octroi d'une indemnité de 1'423 fr. pour dommage matériel et d'une indemnité de 10'000 fr. pour tort moral (ces prétentions ont ensuite été retirées), ainsi qu'une indemnité de procédure. La Caisse cantonale genevoise de compensation et la Centrale de compensation / Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger ont conclu principalement à l'irrecevabilité du recours. Par jugement du 14 avril 2009, le tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable, dans la mesure où il n'était pas devenu sans objet. B. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation avec suite de dépens. A titre principal, il conclut à ce que la Caisse cantonale genevoise de compensation ou la Caisse suisse de compensation soient condamnées à lui payer diverses sommes (167'234 fr. au total) augmentées d'intérêts, sans retard ni tergiversation. Subsidiairement, il conclut à ce que les deux caisses prénommées soient condamnées à lui payer la rente AI extraordinaire qui lui est due - y compris postérieurement au premier avril 1998 - aux termes du jugement prononcé le 18 juillet 1991 par la Commission cantonale genevoise de recours. A titre plus subsidiaire, il demande au Tribunal fédéral de renvoyer la cause au Tribunal cantonal vaudois ou à toute autre autorité compétente pour qu'elle prononce une décision dans le sens des considérants. Quoi qu'il soit décidé, il requiert la tenue d'une audience publique de plaidoirie. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.