Faits: A. Le 30 juin 2000, X._ a acheté pour le prix de 20'000 fr. une voiture de marque Mazda, modèle Xedos 6, immatriculée le 2 février 1998. Ce véhicule était assuré, à hauteur de 39'000 fr., en casco intégrale avec valeur vénale majorée auprès de l'Assurance Y._ (ci-après: Y._); l'assurance casco couvrait le vol du véhicule. Le 9 janvier 2004, X._ a annoncé à Y._le vol de sa voiture, survenu deux jours plus tôt à Evian. Selon la version de l'assuré, il s'est rendu le 7 janvier 2004 en voiture au centre commercial «Cora» de Thonon-les-Bains; vers 17 heures, il s'est arrêté à Evian, où il est resté jusqu'à 23 h 50 environ; c'est au moment de repartir qu'il a constaté la disparition de son véhicule; il a alors téléphoné à son fils pour qu'il vienne le chercher et a dénoncé le vol à la police française. Sur le questionnaire adressé à l'assureur, l'assuré a indiqué notamment que le compteur du véhicule affichait environ 97'000 kilomètres au moment du vol, qu'il avait reçu une seule clé lors de l'achat et qu'il en avait fait faire un double chez Mister Minit en 2002. Il a remis à l'assureur les deux clés susmentionnées et la fiche du dernier service du véhicule, effectué le 25 août 2003. Y._a constaté que le kilométrage déclaré par X._ (97'000) était bien inférieur à celui relevé lors du service exécuté quatre mois plus tôt (112'000); d'après l'assureur, cet écart représente une différence d'environ 2'000 fr. «au niveau de la taxation». Par ailleurs, le vendeur et l'ancien détenteur de la voiture annoncée volée ont certifié à la compagnie d'assurance que deux clés originales avaient été remises à l'acheteur. Y._a demandé des explications à l'assuré. Ce dernier a admis s'être trompé à propos du nombre de kilomètres figurant au compteur du véhicule en janvier 2004. Il a également reconnu avoir reçu deux clés lors de l'achat du véhicule. Il a précisé qu'il en avait perdu une, raison pour laquelle il avait demandé à Mister Minit de réaliser une copie à partir de la clé restante; à l'appui de ses dires, il a produit une attestation de Mister Minit selon laquelle une clé codée avait été confectionnée pour la voiture de marque Mazda. Par lettre du 12 février 2004, Y._a refusé de prendre en charge le sinistre annoncé, car elle était d'avis que le vol n'était pas établi à satisfaction. B. Par mémoire-demande du 10 novembre 2004, X._ a ouvert action contre Y._en paiement de 21'600 fr. Par la suite, il a augmenté ses conclusions à 21'982 fr. plus intérêts à 5 % dès le 9 janvier 2004. En cours de procédure, le demandeur a déposé une clé qui était censée être le second exemplaire original, déclaré perdu précédemment. Une expertise judiciaire a été confiée à A._, professeur auprès du département électricité et informatique de l'Ecole d'ingénieurs de .... L'expert a examiné les trois clés versées au dossier; ses conclusions seront relatées en tant que besoin dans la partie «en droit». Par jugement du 29 octobre 2007, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté la demande. Elle a considéré que l'assuré n'avait pas rendu la thèse du vol vraisemblable de manière prépondérante. C. X._ dépose un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la condamnation de Y._à lui payer la somme de 21'982 fr. avec intérêts à 5 % dès le 9 janvier 2004. Y._propose le rejet du recours. Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de sa décision.