Faits: A. Par jugement du 5 novembre 2007, le Tribunal civil de la Gruyère a prononcé le divorce des époux A._ et B._ et a ratifié leur convention sur les effets accessoires qui attribuait à la mère l'autorité parentale et la garde des enfants C._, née en 2002, et D._, né en 2005. B. Le 4 novembre 2009, B._ a ouvert action en modification du jugement de divorce, concluant à une augmentation des contributions d'entretien en faveur des enfants. Par jugement du 25 mars 2010, le Président du Tribunal civil de la Sarine a ratifié la convention que les parties ont conclue en audience, modifiant notamment le droit de visite du père, le montant des contributions à l'entretien des enfants, et prenant acte de l'engagement de la mère de ne pas changer le domicile des enfants hors des frontières cantonales sans en aviser le père au moins un mois à l'avance. La pension mensuelle en faveur de chacun des enfants a été fixée à 650 fr. jusqu'à l'âge de 13 ans révolus, à 750 fr. jusqu'à l'âge de 16 ans révolus et à 850 fr. jusqu'à la majorité ou la fin des études, selon l'art. 277 al. 2 CC. Le 1er juin 2010, A._ a interjeté un appel contre ce jugement, alléguant que la mère lui avait appris, par courrier du 19 mai 2010, qu'elle avait décidé de s'installer en Tunisie avec les enfants et son ami à partir du 1er août 2010, fait qu'il ignorait au moment où il avait accepté de transiger. Il a expliqué que la situation financière et légale (statut de touriste) des enfants dans ce pays est précaire et les expose, dans un pays musulman où ils fréquentent les écoles publiques (avec leçons d'arabe et de Coran), à un déracinement de la culture et de la religion occidentales, de sorte qu'il a conclu à ce que l'autorité parentale et la garde des enfants lui soient confiées et à ce que la mère contribue à leur entretien par le versement d'une contribution mensuelle. La mère a conclu au rejet de l'appel. Statuant le 1er juillet 2011, la Ie Cour d'appel civil du canton de Fribourg a réformé le jugement de première instance du 25 mars 2010 et modifié le jugement de divorce du 5 novembre 2007, en ce sens qu'elle a attribué l'autorité parentale et la garde des enfants au père, sous réserve d'un droit de visite en faveur de la mère. Elle a débouté le père de toutes autres conclusions, notamment en ce qui concerne l'octroi d'une contribution d'entretien en faveur des enfants à charge de la mère, de sorte qu'il doit subvenir seul à l'entretien des enfants. C. Par acte du 14 juillet 2011, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt cantonal, en ce sens que la mère est astreinte à contribuer à l'entretien de chacun des enfants par le versement d'une pension mensuelle de 650 fr., subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. A l'appui de ses conclusions, il reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé le droit fédéral, en particulier les art. 133 al. 1, 276 et 285 al. 1 CC. Il requiert préalablement l'octroi de l'assistance judiciaire. Par écriture du 29 juillet 2011, B._ interjette également un recours en matière civile au Tribunal fédéral, faisant grief à l'autorité cantonale d'avoir violé l'art. 134 al. 1 CC. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, à ce que l'autorité parentale et la garde des enfants lui soient attribués, ainsi qu'à la condamnation du père à contribuer à leur entretien par le versement d'une pension mensuelle de 650 fr. chacun jusqu'à l'âge de 13 ans révolus, de 750 fr. jusqu'à l'âge de 16 ans révolus et de 850 fr. jusqu'à la majorité ou la fin de leurs études. Au préalable, elle sollicite l'effet suspensif au recours et le bénéfice de l'assistance judiciaire. Invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, le père a conclu à son rejet et à ce qu'aucun des recours interjetés contre l'arrêt cantonal ne déploie d'effet suspensif. Des observations sur le fond n'ont pas été sollicitées. D. Par ordonnance du 11 août 2011, la Présidente de la Cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif déposée par la mère. E. Le 9 septembre 2011, le père a déposé une requête de "mesures superprovisionnelles" devant le Tribunal fédéral. Il conclut à ce qu'il soit ordonné à la mère de faire venir les enfants en Suisse et de les [lui] remettre, sous la menace de l'amende de l'art. 292 CP, ainsi qu'à ce qu'elle [lui] remette les passeports des enfants. La mère a conclu au rejet de la requête par détermination du 29 septembre 2011 et sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire. Par ordonnance du 3 octobre 2011, le Juge instructeur a rejeté la requête de mesures superprovisionnelles déposée par le père. F. Par écriture spontanée du 12 octobre 2011, le père, sans procéder par l'intermédiaire de son avocat, a complété sa requête d'assistance judiciaire.