A.- K._, né le 5 février 1948, et dame K._, née le 1er mai 1953, se sont mariés le 5 juillet 1974 à Fribourg. Ils ont eu un fils, Philippe, né en 1978. B.- Le 5 décembre 1997, le mari a ouvert action en divorce. L'épouse s'est opposée au divorce et a conclu reconventionnellement à la séparation de corps et à l'octroi d'une contribution pour son entretien. Les 23 et 31 août 1999, les parties ont signé une convention réglant tous les effets accessoires de leur divorce à l'exception du principe, du montant et de la durée de la contribution d'entretien sollicitée par la défenderesse. Tandis que celle-ci a conclu au versement par le demandeur d'une pension de 2'000 fr. par mois jusqu'à ce que leur fils Philippe ait acquis son indépendance économique, puis de 2'500 fr. par mois jusqu'à ce qu'elle atteigne l'âge de la retraite et de 1'000 fr. ensuite, le demandeur a conclu au rejet pur et simple de ces prétentions. C.- Par jugement du 25 août 2000, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a prononcé le divorce des époux K._ et ratifié la convention sur les effets accessoires du divorce, laquelle prévoyait notamment qu'une somme de 150'000 fr. serait prélevée sur le compte de prévoyance professionnelle du demandeur pour être versée sur celui de la défenderesse. Le Tribunal a en outre condamné le demandeur à verser à la défenderesse une contribution d'entretien mensuelle de 1'360 fr. du prononcé du divorce à juin 2001, 1'665 fr. de juillet 2001 à juin 2008, 1'740 fr. de juillet 2008 à février 2013, 1'170 fr. de mars 2013 à mai 2017 et 830 fr. à partir de juin 2017. D.- Statuant par arrêt du 18 juin 2001 sur le recours en appel interjeté par le demandeur, la première Cour d'appel du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a réformé le jugement de première instance en réduisant la contribution d'entretien due par le demandeur à 1'200 fr. du prononcé du divorce à juin 2001, 1'430 fr. de juillet 2001 à juin 2008 et 1'500 fr. de juillet 2008 à février 2013; les contributions dues de mars 2013 à mai 2017 (1'170 fr.) puis dès juin 2017 (830 fr.) ont été confirmées. E.- Contre cet arrêt, le demandeur interjette en parallèle un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral. Par le premier, il conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.