Faits: A. Originaire de Serbie et Monténégro, S._ n'a bénéficié d'aucune formation professionnelle. Elle a travaillé à temps partiel au service des sociétés D._ AG pour lesquelles elle effectuait des travaux de nettoyage. Après avoir subi plusieurs périodes d'incapacité de travail (totale et partielle) en raison de douleurs dorsales, S._ a été mise en arrêt complet de travail à partir du 1er mai 2008. Ses employeurs ont mis fin aux rapports de travail au 31 août 2008, respectivement au 20 septembre suivant. S._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 12 juin 2008. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a recueilli les renseignements usuels et effectué une enquête économique sur le ménage (rapport du 27 avril 2009). Après avoir requis l'avis du médecin traitant de l'assurée, le docteur T._, spécialiste FMH en médecine interne, l'office AI a également soumis S._ à un examen auprès du docteur P._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie et médecin auprès de son Service médical régional (SMR). Diagnostiquant notamment des lombalgies chroniques persistantes dans le cadre de troubles dégénératifs étagés, ce médecin a conclu que l'assurée n'était plus capable de travailler dans son activité habituelle, mais qu'elle disposait en revanche d'une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée aux limitations décrites (rapport du 17 février 2009). Le 21 septembre 2009, l'office AI a rendu une décision par laquelle il a refusé toute mesure de reclassement professionnel; il était en revanche prêt à examiner le droit à une aide au placement, à la requête de l'intéressée. Par la suite, le 28 octobre 2010, l'administration a également nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité. En application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité, elle a fixé à 12 % le degré d'invalidité, compte tenu d'une absence de perte de gain en lien avec l'activité lucrative (prise en compte pour 50 %) et d'une invalidité de 11,5 % dans les travaux habituels (empêchement de 23 % pris en compte pour 50 %). B. En temps voulu, S._ a déféré ces deux décisions à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en produisant de nouveaux avis de son médecin traitant. La juridiction cantonale a joint les causes, et entendu en qualité de témoins les docteurs T._ et C._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, qui avait suivi l'assurée en février et mars 2008 (cf. procès-verbaux des 26 mai 2011 et 7 juillet 2011). Statuant le 29 mai 2012, elle a débouté l'assurée. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut principalement à ce qu'il soit dit qu'elle est incapable de travailler et qu'elle a droit à un quart de rente d'invalidité dès le 15 janvier 2008. A titre subsidiaire, puis plus subsidiaire encore, elle requiert en substance le renvoi de la cause à la juridiction cantonale, respectivement à l'office AI, pour la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire et une nouvelle décision au sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal fédéral n'a pas procédé à un échange d'écritures.