Faits: A. H._, née en 1971, a été mise au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à partir du 1 er novembre 2005 (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel du 5 novembre 2008). Sur demande du 30 octobre 2008, elle s'est vu allouer par la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: CCNC) des prestations complémentaires avec effet rétroactif dès le 1 er juin 2008 (décision du 11 novembre 2008). Dans un courriel du 2 février 2010, H._ a avisé la CCNC qu'elle percevait une rente du deuxième pilier. Sur requête, elle a produit un décompte de prestations de la prévoyance professionnelle du 27 février 2009, relatif à la rente d'invalidité à laquelle elle avait droit après un délai d'attente de 24 mois, décompte qui lui avait été adressé à titre confidentiel par l'institution de prévoyance et fixait les prestations dues à ce titre à 47'122 fr. 30 pour la période du 4 novembre 2006 au 31 mars 2009 et à 5'024 fr. par trimestre à partir du 1 er avril 2009. Par décision du 16 février 2010, la CCNC a informé H._ que compte tenu de la rente d'invalidité versée par l'institution de prévoyance, il n'existait aucun droit à des prestations complémentaires avec effet rétroactif dès le 1 er juin 2008. Elle lui demandait la restitution du montant versé indûment à ce titre, de 11'872 fr. au total. Dans une lettre du 3 mars 2010, H._ a sollicité la remise de l'obligation de restituer la somme réclamée. Dans une autre lettre du 4 mai 2010, elle a déclaré que tous les documents de l'AI et de la Compagnie d'assurances X._ avaient été en possession de son mandataire fiscal, de mars à décembre 2009. Le 9 août 2010, la CCNC a rendu une décision rejetant la demande de remise au motif que l'assurée avait commis une négligence grave en ne l'informant pas qu'elle avait droit à une rente de la prévoyance professionnelle, ce qui excluait d'emblée la bonne foi, et une décision de compensation de sa créance en restitution avec la rente AI à concurrence de 400 fr. par mois, compte tenu du minimum vital. A la suite de l'opposition formée par H._ contre cette décision, la CCNC, avec l'accord de l'assurée, a demandé des renseignements au docteur T._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), lequel a pris position dans une lettre du 28 janvier 2011. Par décision du 7 novembre 2011, la CCNC a rejeté l'opposition. B. Le 9 décembre 2011, H._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. A titre principal, elle invitait la juridiction cantonale à dire et constater que la restitution ne pouvait être exigée dans la mesure où l'intéressée était de bonne foi et qu'elle la mettrait dans une situation difficile. A titre subsidiaire, elle concluait au renvoi de la cause à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Par arrêt du 13 février 2013, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours et annulé les décisions des 9 août et 7 novembre 2011 (recte: 9 août 2010 et 7 novembre 2011) de la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation en tant qu'elles portaient sur la compensation (ch. 1 du dispositif). C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. A titre principal, elle invite le Tribunal fédéral à statuer sur le fond de la cause au sens des considérants, et partant, à dire et constater que la restitution ne peut être exigée dans la mesure où l'intéressée était de bonne foi et qu'elle la mettrait dans une situation difficile. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants.