Faits: A. X._ a travaillé comme responsable informatique auprès de la société A._ SA à B._. A ce titre, il était assuré par son employeur contre le risque d'une perte de gain due à la maladie auprès de la Y._ SA. Il s'agit d'une assurance-maladie collective, soumise au droit privé, qui prévoit, en cas d'incapacité de gain due à la maladie, le paiement d'indemnités journalières correspondant à 80% du salaire pour une durée maximale d'indemnisation de 730 jours, moins le délai d'attente de 60 jours, soit 670 jours. Les conditions générales de l'assurance (édition de mai 1999) prévoient que l'indemnité journalière est supprimée si l'incapacité de travail est inférieure à 25%. X._ a cessé de travailler le 13 janvier 2003 en raison d'un état dépressif. L'assureur a commencé à lui verser les indemnités journalières conformément au contrat. Par la suite, il a mandaté le Dr D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, aux fins d'une expertise. Dans son rapport du 1er avril 2004, ce médecin a constaté un trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive de gravité légère et une personnalité à traits paranoïaques "sensitifs"; il a considéré que sa capacité de travail était d'au moins 80%. Sur cette base, l'assureur, après avoir versé des indemnités journalières durant 412 jours, a interrompu ses versements à partir du 30 avril 2004. X._ a contesté cette décision et réclamé les indemnités journalières pour le solde de la période assurée. B. Par demande déposée en main de la juridiction neuchâteloise le 26 juillet 2006, X._ a conclu à ce que l'assureur soit condamné à lui verser 64'433 fr.20 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004. La défenderesse a conclu au rejet de la demande dans sa totalité. Une expertise judiciaire a été confiée au Dr E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie à Genève. L'expert a conclu que l'assuré ne présentait pas d'incapacité de travail. En dernier lieu, X._ a conclu au paiement de 63'937 fr.55 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004, correspondant à 260 jours d'indemnités journalières. Par jugement du 30 juin 2010, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté la demande, statuant par ailleurs sur les frais et dépens. Elle a adopté les conclusions de l'expert judiciaire, corroborées par l'avis du Dr D._, en rejetant les autres avis médicaux invoqués par le demandeur. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement cantonal du 30 juin 2010. Il soutient que la cour cantonale a retenu de manière arbitraire que son incapacité de gain était inférieure à 25% après le 29 avril 2004. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale; subsidiairement, il reprend ses conclusions sur le fond et demande que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 63'937 fr.55 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004. L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.