Faits: Faits: A. Le 29 mai 1980, A._ a passé avec la SI Y._ un contrat de bail portant sur un appartement de 3 pièces dans l'immeuble sis F._ à Genève. Le bail a été renouvelé tacitement jusqu'à sa résiliation le 28 juillet 1999 pour défaut de paiement du loyer. Le 26 août 1999, la propriétaire a convoqué le locataire pour un état des lieux de sortie fixé au 6 septembre 1999, par des courriers envoyés aux deux adresses de ce dernier, G._ et F._. Sur requête de la SI Y._, A._ a été condamné à évacuer l'appartement en application de l'art. 257d CO, selon jugement par défaut du 6 avril 2000, devenu définitif et notifié à l'adresse F._. Tous les actes préalables à l'exécution de ce jugement ont été notifiés à cette adresse. Le 12 octobre 2000, le Procureur général de Genève a ordonné l'exécution forcée dudit jugement d'évacuation. Les 16 et 24 octobre 2000, A._ a demandé au Procureur général de le reconvoquer, ce que le magistrat a refusé au motif que le locataire ne s'était jamais présenté devant les autorités judiciaires et de police. Le 22 novembre 2000, la porte d'entrée de l'appartement a été ouverte en présence de l'huissier judiciaire mis en oeuvre, et les 8, 11, 12 et 13 décembre 2000, les objets le meublant ont été déménagés par l'entreprise chargée de cette exécution forcée. Le 22 novembre 2000, la porte d'entrée de l'appartement a été ouverte en présence de l'huissier judiciaire mis en oeuvre, et les 8, 11, 12 et 13 décembre 2000, les objets le meublant ont été déménagés par l'entreprise chargée de cette exécution forcée. B. Le 26 avril 2001, X._ AG, nouveau propriétaire (ci-après: X._), a poursuivi A._ pour les frais de l'évacuation susmentionnée et un mois d'occupation illicite du logement. Devant la carence de son débiteur, X._ a déposé devant l'autorité de conciliation une demande en paiement pour la somme totale de 6'114 fr.05 avec intérêts à 5% dès le 31 janvier 2001, qui a été portée en temps utile devant le Tribunal des baux et loyers de Genève. Par jugement du 31 mai 2002, cette juridiction a entièrement fait droit à la demande de X._. En temps utile A._ a saisi la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de la Cour de justice de Genève. Par arrêt du 16 juin 2003, notifié le 21 juin, la cour cantonale a rejeté l'appel. Elle a retenu que le Tribunal des baux et loyers n'avait pas violé le droit à la preuve en refusant d'ouvrir des enquêtes relatives à cette évacuation. Au demeurant, seule eût été pertinente l'audition d'un fonctionnaire de police, le témoin B._, pour établir que le locataire avait convenu avec le service des évacuations de la police de libérer le logement à fin décembre 2000. Toutefois, comme le Procureur général avait ordonné l'exécution forcée le 12 octobre 2000, le service de la police ne pouvait plus octroyer de délai, de sorte que l'audition du témoin B._ était inutile. Par arrêt du 16 juin 2003, notifié le 21 juin, la cour cantonale a rejeté l'appel. Elle a retenu que le Tribunal des baux et loyers n'avait pas violé le droit à la preuve en refusant d'ouvrir des enquêtes relatives à cette évacuation. Au demeurant, seule eût été pertinente l'audition d'un fonctionnaire de police, le témoin B._, pour établir que le locataire avait convenu avec le service des évacuations de la police de libérer le logement à fin décembre 2000. Toutefois, comme le Procureur général avait ordonné l'exécution forcée le 12 octobre 2000, le service de la police ne pouvait plus octroyer de délai, de sorte que l'audition du témoin B._ était inutile. C. Agissant le 21 août 2003 par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Chambre d'appel et d'ordonner des mesures probatoires, notamment des enquêtes. Invoquant l'art. 9 Cst., il fait valoir en substance que, si la validité du congé n'était pas contestée, il ne répondait pas du préjudice subi par le propriétaire et consistant dans les frais d'évacuation, parce que l'échec de la notification de divers actes judiciaires ne lui était que "très partiellement imputable". En effet, le propriétaire connaissait l'adresse de son domicile, tout à fait distincte de celle de l'appartement objet de l'évacuation, et utilisé comme dépôt. Le témoin B._ aurait pu rapporter que le locataire disposait du temps nécessaire au déménagement, alors que l'évacuation s'est déroulée sans qu'il n'en ait été informé, contre toute attente. Il reproche à la Chambre d'appel de n'avoir pas sanctionné l'appréciation anticipée arbitraire des preuves par le tribunal, lorsque ce dernier a exclu l'audition des témoins cités. L'intimée conclut au rejet du recours avec suite de frais et dépens. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.