Faits : A. X._ a été engagée le 1er octobre 1986 en qualité de secrétaire 1 à l'Office W._. Elle a été nommée fonctionnaire le 23 août 1989, puis promue secrétaire 2 le 2 mars 1990. Le 12 janvier 2001, elle a déposé une plainte pour harcèlement sexuel et psychologique contre l'un de ses anciens chefs de service. A la suite d'une enquête interne, l'Office du personnel de l'Etat du canton de Genève (ci-après: l'Office du personnel) a constaté que la plainte de l'intéressée était infondée, ce qu'a confirmé le Conseil d'Etat du canton de Genève le 8 octobre 2003. L'arrêté n'a pas été contesté. A. X._ a été engagée le 1er octobre 1986 en qualité de secrétaire 1 à l'Office W._. Elle a été nommée fonctionnaire le 23 août 1989, puis promue secrétaire 2 le 2 mars 1990. Le 12 janvier 2001, elle a déposé une plainte pour harcèlement sexuel et psychologique contre l'un de ses anciens chefs de service. A la suite d'une enquête interne, l'Office du personnel de l'Etat du canton de Genève (ci-après: l'Office du personnel) a constaté que la plainte de l'intéressée était infondée, ce qu'a confirmé le Conseil d'Etat du canton de Genève le 8 octobre 2003. L'arrêté n'a pas été contesté. B. Le 1er octobre 2001, X._ a été transférée auprès de Y._, rattaché au Département cantonal genevois de l'instruction publique (ci-après: le Département cantonal). Le 26 août 2002, Z._ est entré en fonction comme administrateur de Y._. X._ et Z._ ont, dès le 16 septembre 2002, échangé de nombreux courriers électroniques sur leur place de travail. A partir du mois de mars 2003, leurs relations se sont dégradées, à tel point que, le 25 mars 2003, X._ a demandé au directeur de Y._ d'intervenir. Z._ a été en incapacité de travailler dès la mi-juin 2003 et ses rapports de service avec le canton de Genève ont pris fin le 31 août 2003. A son retour de vacances, le 22 septembre 2003, X._ a refusé de reprendre son service "tant que la direction ne prendrait pas les mesures adéquates pour protéger sa personnalité". Après un entretien du 26 septembre 2003 avec le directeur de Y._ et un responsable des ressources humaines du Département cantonal, l'intéressée a été provisoirement affectée, à partir du 1er octobre 2003, à la Direction générale de U._. Ce transfert a ensuite été confirmé avec effet au 1er juin 2004. A son retour de vacances, le 22 septembre 2003, X._ a refusé de reprendre son service "tant que la direction ne prendrait pas les mesures adéquates pour protéger sa personnalité". Après un entretien du 26 septembre 2003 avec le directeur de Y._ et un responsable des ressources humaines du Département cantonal, l'intéressée a été provisoirement affectée, à partir du 1er octobre 2003, à la Direction générale de U._. Ce transfert a ensuite été confirmé avec effet au 1er juin 2004. C. Par courrier du 29 décembre 2003, X._ a exigé du Département cantonal de lui trouver une autre place de travail et de lui transmettre une lettre d'excuses. Elle a également demandé que l'Etat de Genève lui verse une indemnité de 25'000 fr. sur la base des art. 4 et 5 de la loi fédérale du 24 mars 1995 sur l'égalité entre femmes et hommes (ci-après: LEg ou la loi sur l'égalité; RS 151.1). Dans sa réponse du 3 février 2004, le Département cantonal a refusé d'entrer en matière sur les prétentions de l'intéressée. Le 8 mars 2005, X._ a déposé une action en constatation et en paiement contre l'Etat de Genève auprès de la Juridiction des Prud'hommes du canton. Ses conclusions tendaient notamment à ce qu'il soit constaté qu'elle avait fait l'objet d'actes de harcèlement sexuel dans le cadre de son travail au sein de Y._ et à ce que l'Etat de Genève soit condamné à lui verser 32'085 fr. à titre d'indemnité pour harcèlement sexuel et tort moral. La cause ayant été déclarée non conciliée le 2 mai 2005, l'intéressée a saisi le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Le 8 mars 2005, X._ a déposé une action en constatation et en paiement contre l'Etat de Genève auprès de la Juridiction des Prud'hommes du canton. Ses conclusions tendaient notamment à ce qu'il soit constaté qu'elle avait fait l'objet d'actes de harcèlement sexuel dans le cadre de son travail au sein de Y._ et à ce que l'Etat de Genève soit condamné à lui verser 32'085 fr. à titre d'indemnité pour harcèlement sexuel et tort moral. La cause ayant été déclarée non conciliée le 2 mai 2005, l'intéressée a saisi le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). D. Par arrêt du 16 mai 2006, le Tribunal administratif a rejeté l'action en constatation et en paiement de X._ contre l'Etat de Genève, en tant qu'elle était recevable. Il a considéré en substance que l'intéressée n'avait pas fait l'objet d'actes de harcèlement sexuel dans le cadre de son travail au sein de Y._ et que, en tout état de cause, elle n'avait droit à aucune indemnité de la part de l'Etat de Genève. D. Par arrêt du 16 mai 2006, le Tribunal administratif a rejeté l'action en constatation et en paiement de X._ contre l'Etat de Genève, en tant qu'elle était recevable. Il a considéré en substance que l'intéressée n'avait pas fait l'objet d'actes de harcèlement sexuel dans le cadre de son travail au sein de Y._ et que, en tout état de cause, elle n'avait droit à aucune indemnité de la part de l'Etat de Genève. E. X._ a interjeté un recours de droit administratif au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal administratif du 16 mai 2006. Elle demande, sous suite de dépens, de constater qu'elle a fait l'objet d'actes de harcèlement sexuel dans le cadre de son travail au sein de Y._ et de condamner l'Etat de Genève à lui verser une indemnité de 32'085 fr. plus intérêts ainsi que, subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal administratif pour complément d'instruction. Elle se plaint de la violation des art. 29 al. 2 et 30 al. 1 Cst., 4 et 5 al. 3 LEg, y compris d'excès et d'abus du pouvoir d'appréciation, ainsi que d'une constatation manifestement inexacte et incomplète des faits pertinents. Elle requiert en outre la production du dossier de l'autorité intimée. Le Tribunal administratif a renoncé à formuler des observations et déclare persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Etat de Genève conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours en tant qu'il est recevable et à la confirmation de l'arrêt entrepris. Le Bureau fédéral de l'égalité entre femmes et hommes propose l'admission du recours.