Faits: A. A.a A._ est né en 2007, de l'union des époux X._. Les époux sont aussi les parents de B._, né en 2003. Le 28 mai 2008, le Dr G._, pédiatre, a signalé à la Chambre pupillaire de Bagnes qu'il soupçonnait la mère de A._ de souffrir du syndrome de Münchhausen par procuration, ayant entraîné une carence nutritionnelle chez l'enfant. Une copie de la lettre du médecin a été adressée à l'Office pour la protection de l'enfant (OPE). Le 2 juin 2008, le chef de l'OPE a décidé, en application de l'art. 21 al. 1, 1ère phrase, de la loi en faveur de la jeunesse du 11 mai 2000, de retirer provisoirement la garde de A._ à ses parents et de le placer auprès du service de pédiatrie de l'Hôpital du Chablais, à Aigle. A.b Le dossier a ensuite été transmis à la Chambre pupillaire, qui a confirmé le retrait du droit de garde par décision du 4 juillet 2008. Cette décision a été annulée le 22 juillet 2008 par le Juge du district de l'Entremont statuant en qualité d'autorité tutélaire de surveillance, qui a enjoint la Chambre pupillaire de compléter l'instruction - en administrant une expertise psychiatrique de la recourante - avant de rendre une décision définitive. Le 19 août 2008, le juge de district a annulé la décision rendue le 13 août 2008 par la Chambre pupillaire, dans la mesure où elle maintenait A._ en milieu hospitalier. A.c Par décision du 1er septembre 2008, le président de la Chambre pupillaire a «maintenu la situation actuelle jusqu'à l'issue du processus de recherche d'une famille d'accueil». Les recours des parents et de l'enfant concerné contre cette décision ont été déclarés irrecevables par le juge de district le 5 septembre 2008. Un rapport d'expertise a été déposé le 23 octobre 2008 par les Drs R._, psychiatre, et M._, pédopsychiatre. Par décision du 28 novembre 2008, la Chambre pupillaire a confirmé, en tant que mesure d'urgence au sens de l'art. 56 de la loi d'application du code civil suisse du 24 mars 1998 [LACCS/VS], le retrait du droit de garde selon l'art. 310 al. 1 CC, et a confié à l'OPE le mandat de placer l'enfant à l'«Îlot d'accueil», au Bouveret, ainsi que d'organiser le droit de visite des parents en collaboration avec cette structure. B. Chacun des parents a recouru contre cette décision. La mère a principalement conclu à ce que l'enfant soit restitué à ses deux parents, des mesures d'accompagnement psychologique étant prises pour aider la transition; elle a en outre requis des mesures immédiates tendant notamment à ce qu'une expertise judiciaire soit confiée sans délai au Dr D._ et à ce que l'enfant soit restitué à ses deux parents, subsidiairement à ce que ceux-ci et la psychologue F._ puissent avoir librement accès à A._ pendant les heures de visite de l'hôpital. Le père a demandé, sur le fond, que le droit de garde sur l'enfant lui soit attribué. A titre provisoire, il a également requis des mesures en ce sens, ainsi que la mise en oeuvre immédiate d'une surexpertise confiée au médecin susmentionné, aux fins d'expertiser ses propres compétences parentales. Par décision du 5 décembre 2008, le juge de district a, notamment, confirmé le retrait du droit de garde (ch. 3), placé A._ dans une «famille d'accueil neutre», la Chambre pupillaire devant statuer à nouveau sur le lieu du placement après avoir respecté le droit d'être entendu des parents et de l'enfant (ch. 4), institué une curatelle éducative, confiée à l'OPE, pour assurer la mise en oeuvre et la surveillance courante du placement (ch. 5), invité la Chambre pupillaire à statuer sur l'étendue des relations personnelles entre A._ et chacun de ses parents et sur une éventuelle curatelle de surveillance de ces relations, dans le sens des considérants, après avoir respecté le droit d'être entendu des parents et de l'enfant (ch. 6), déclaré sans objet, dans la mesure de leur recevabilité, la requête de mesures immédiates de la mère, respectivement la requête de mesures provisoires du père (ch. 7), et rejeté les demandes d'assistance judiciaire de chacun des recourants (ch. 8). C. Contre la décision du 5 décembre 2008, chacune des parties exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. La mère conclut à l'annulation de la décision rendue par le juge de district le 5 décembre 2008 et au renvoi du dossier à cette autorité pour nouvelle décision dans le sens des considérants, tous les frais de procédure et de jugement étant mis à la charge de la Chambre pupillaire, y compris une indemnité à titre de dépens. Le père sollicite quant à lui l'annulation tant de la décision de la Chambre pupillaire du 28 novembre 2008 que de celle du juge de district du 5 décembre 2008, l'attribution du droit de garde sur l'enfant, enfin, la mise à la charge de la Commune de Bagnes d'une équitable indemnité pour ses frais d'intervention, d'une part, ainsi que de tous les frais de procédure et de jugement, d'autre part. Chaque recourant requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. La recourante a déposé un mémoire complémentaire le 24 décembre 2008. Des réponses n'ont pas été requises. D. Par ordonnance du 16 décembre 2008, l'ancien président de la IIe Cour de droit civil a, sur requête de la mère, interdit superprovisoirement à l'Hôpital d'Aigle, à la Chambre pupillaire et à l'OPE de retirer l'enfant de l'hôpital précité pendant la procédure devant le Tribunal fédéral. La présidente de la cour de céans a, par ordonnance du 6 janvier 2009, partiellement admis la demande de mesures provisionnelles de la mère en ce sens qu'il est fait interdiction à l'Hôpital d'Aigle, à la Chambre pupillaire et à l'OPE de retirer l'enfant dudit hôpital pendant la procédure devant le Tribunal fédéral. Par ordonnance du 13 janvier suivant, la présidente a par conséquent déclaré sans objet la demande de mesures provisionnelles, présentée par le père, de surseoir au placement de l'enfant dans une famille d'accueil, et l'a rejetée pour le surplus.