Faits: A. Le 24 janvier 2007, Z._ a signé une procuration avec pouvoir de substitution en faveur notamment de Me Y._, avocat à ... dans le canton du Valais. Le mandataire devait défendre les intérêts de la prénommée dans des procédures civiles matrimoniales et dans un procès pénal. Le contrat a pris fin le 17 mai 2011, avec l'envoi d'un décompte daté du 15 mai 2011. La mandante ne s'est pas acquittée des montants réclamés, soit 22'541 fr. 90 et 2'068 fr. 40. Une poursuite a été intentée contre la mandante, qui a fait opposition. Une requête de mainlevée a été déposée et rejetée. L'avocat a ensuite cédé sa créance d'honoraires à l'étude où il exerçait, laquelle avait pris la forme d'une société anonyme (X._ SA). B. B.a. Le 22 février 2012, l'étude d'avocats a déposé une demande en reconnaissance de dette contre la mandante, devant le Tribunal de .... Elle concluait au paiement de 22'541 fr. 90 et à la mainlevée définitive de l'opposition dans la poursuite en cours. La défenderesse a implicitement conclu au rejet de la demande, en se plaignant de la qualité du travail fourni par l'étude. Faisant application de la procédure simplifiée (art. 243 ss CPC), le Juge de district a tenu une unique audience le 10 mai 2012. A cette occasion, la défenderesse a introduit des allégations et s'est déterminée sur celles de la demanderesse. Cette dernière a introduit un allégué supplémentaire (cf. au surplus infra, consid. 3.3). Par décision du 22 mai 2012, le Juge de district a rejeté l'action, au motif qu'il n'y avait pas d'allégations sur l'étendue de l'activité exercée par le mandataire (heures consacrées, difficultés particulières, etc.) et qu'il ne pouvait tenir compte d'aucun élément de fait justifiant les honoraires réclamés. B.b. L'étude d'avocats a fait appel devant le Tribunal cantonal. Par jugement du 22 août 2013, le Juge de la Cour civile I a confirmé la décision et rejeté la demande, avec l'argumentation suivante: la maxime des débats atténuée, qui s'appliquait en l'occurrence (art. 247 al. 1 CPC), ne dispensait pas les parties d'alléguer les faits dont elles entendaient déduire des droits. Dès lors qu'elle intentait une action en paiement d'honoraires, la demanderesse devait exposer tous les critères justifiant sa prétention, tels que l'éventuel tarif horaire convenu, le nombre d'heures consacrées aux différents dossiers et les éventuelles difficultés rencontrées dans la gestion de ceux-ci. Même en procédure simplifiée, elle ne pouvait prétendre que les décomptes d'activité produits étaient partie intégrante de la demande et faisaient office d'allégués. La demanderesse était une société anonyme vouée à fournir des prestations juridiques, et dont les organes étaient titulaires du brevet d'avocat; quant à la défenderesse, elle procédait sans l'aide d'un mandataire professionnel. Dans une telle constellation, le premier juge pouvait partir du principe que la demanderesse avait indiqué l'ensemble des faits et moyens de preuve nécessaires pour statuer; il avait d'autant moins de raison d'inviter la demanderesse à compléter ses allégations lors des débats qu'elle avait précisément fait usage de cette faculté en introduisant un allégué supplémentaire. C. L'étude d'avocats (ci-après: la recourante) saisit le Tribunal fédéral d'un recours constitutionnel subsidiaire dans lequel elle requiert que la mandante soit condamnée à lui payer les sommes de 22'541 fr. 90, 2'068 fr. 40 et 508 fr. 75. Elle requiert en outre la mainlevée définitive de l'opposition formée dans la poursuite en cours. Dans ses déterminations, la mandante (ci-après: l'intimée) précise qu'elle refuse de payer les montants requis. L'on peut en inférer qu'elle conclut au rejet du recours. Quant à l'autorité précédente, elle se réfère à son arrêt.