Faits: A. B._, né en 1975, de nationalité kosovare, est entré illégalement en Suisse début janvier 2007; depuis lors, il a travaillé sans autorisation dans le domaine de la construction. Il a été interpellé sur un chantier de Renens le 1 er octobre 2007. Le 16 novembre 2007, l'Office fédéral des migrations (ODM) a émis à son encontre une interdiction d'entrée et de séjour valable jusqu'au 15 novembre 2009. Le 3 septembre 2008, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a rendu à son encontre une décision de renvoi, immédiatement exécutoire; le renvoi a été exécuté le 9 septembre 2008. Par jugement du 5 novembre 2009, B._ a été condamné par défaut par le Tribunal de police de La Chaux-de-Fonds à une peine privative de liberté ferme de six mois et au paiement d'une amende de 1'000 fr. - peine d'ensemble après révocation d'un précédent sursis - pour séjour et travail illégal, ainsi que pour avoir conduit une voiture alors qu'il était en possession d'un faux permis de conduire. B. B.a. Le 2 décembre 2011, B._ a requis de l'Ambassade de Suisse à Pristina l'ouverture d'une procédure préparatoire de mariage; il désirait se marier en Suisse avec A._, ressortissante suisse née en 1965; il a également demandé une autorisation d'entrée en Suisse en vue de mariage. L'Office de l'état civil du Nord vaudois a entendu la fiancée le 23 février 2012; le fiancé a été auditionné le 30 avril 2012 à l'Ambassade de Suisse à Pristina. Après avoir été informés par la Direction de l'état civil, le 14 mai 2012, que des doutes sérieux existaient quant à leur intention de fonder une communauté conjugale, les fiancés se sont déterminés par écrit le 23 mai 2012. B.b. Par décision du 23 juillet 2012, l'Office de l'état civil a refusé de prêter son concours à la célébration du mariage. B.c. Par acte du 14 septembre 2012, la fiancée a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: CDAP). Dans ses observations du 26 octobre 2012, la Direction de l'état civil a conclu au rejet du recours. Le 30 novembre 2012, la recourante a déposé un mémoire complémentaire. Par lettre du 14 février 2013, la fiancée a requis l'annulation de l'audience de la CDAP prévue le 6 mars 2013, pour le motif que plusieurs membres de la famille de son fiancé avaient été auditionnés la veille par des représentants des services diplomatiques de Suisse au Kosovo, sans doute à la demande de l'autorité intimée; elle a indiqué qu'il convenait d'obtenir des éclaircissements à ce sujet, respectivement de suspendre la procédure le temps qu'elle puisse se déterminer sur les procès-verbaux d'audition établis; elle a également requis l'audition de son fiancé et de l'un des frères de celui-ci. Le 20 février 2013, la Direction de l'état civil a confirmé qu'elle avait adressé à l'Ambassade de Suisse à Pristina une requête en vue de procéder à une enquête de situation afin de vérifier si le fiancé vivait seul avec ses enfants, ou s'il faisait toujours ménage commun avec son épouse coutumière. L'audience a été renvoyée. Le 1er mars 2013, la Direction de l'état civil a remis à la CDAP le rapport d'enquête établi le 14 février 2013 par un membre du personnel de l'ambassade, qui s'était rendu au domicile du fiancé avec des interprètes. Par courrier du 30 avril 2013, la fiancée a demandé que le rapport du 14 février 2013 soit retiré du dossier. Le 24 avril 2013, elle a indiqué qu'elle n'avait pas de mesure d'instruction complémentaire à présenter. La Direction de l'état civil s'est encore déterminée le 27 mai 2013. Le 4 juin 2013, la fiancée a indiqué, par l'intermédiaire de son conseil, qu'elle renonçait à la convocation d'une audience ainsi qu'à l'audition de témoins. Le recours a été rejeté par arrêt du 3 septembre 2013. C. Par acte du 4 octobre 2013, la fiancée dépose un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que l'Office de l'état civil "est invité à célébrer le mariage des fiancés "; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause " à l'autorité intimée " pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Des réponses n'ont pas été requises.