Faits: A. A.a K._ est infirmière de profession. Après avoir travaillé à 60 % du 1er février 1988 au 30 septembre 2003 pour le compte de l'Hôpital Y._, elle a été engagée à compter du 1er octobre 2003 par la Résidence "Z._", où elle a travaillé à 60 % d'abord, puis à 70 % dès le 1er mars 2004. En incapacité de travail depuis le 9 juin 2004, elle a été licenciée par son employeur avec effet au 31 décembre 2004. Durant toute cette période, elle a été assurée au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de prévoyance du personnel de l'Etat. Souffrant de troubles de la lignée anxio-dépressive dans le cadre d'un épuisement professionnel, elle a déposé le 4 mars 2005 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements médicaux auprès des médecins traitants de l'assurée, les doctoresses D._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 30 mars 2005) et S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 18 juillet 2005). Il a également fait verser à la cause le dossier constitué par la Caisse-maladie Avenir, assureur perte de gain en cas de maladie. Dans un rapport du 27 mai 2005, le docteur H._, à qui la Caisse-maladie Avenir avait confié la réalisation d'une expertise psychiatrique, a retenu le diagnostic de neurasthénie et indiqué que la reprise de son activité professionnelle pouvait être effective à 50 % dès le 1er juin 2005 et probablement à 100 % dès le mois d'août 2005. Après avoir pris avis auprès de son Service médical régional (SMR), l'office AI a, par décision du 1er février 2006, confirmée sur opposition le 9 août suivant, rejeté la demande de prestations déposée par l'assurée. A.b K._ s'est par la suite inscrite au chômage. Elle a bénéficié d'un délai cadre d'indemnisation du 3 octobre 2005 au 2 octobre 2007 et touché des prestations d'assurance d'octobre 2005 à décembre 2006 sur la base de degrés d'aptitude au placement variant entre 35 et 50 %. Au cours de cette période, elle a été engagée pour une durée déterminée en qualité d'infirmière par l'Association X._; elle a travaillé à 40 % du 1er mai au 31 juillet 2006 et à 50 % du 1er août au 31 octobre 2006 et a été assurée au titre de la prévoyance professionnelle auprès du Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'Association X._. A.c Le 19 janvier 2007, K._ a déposé une nouvelle demande de prestation de l'assurance-invalidité. A l'appui de celle-ci, elle a produit un certificat médical de la doctoresse S._ du 16 janvier 2007, attestant qu'elle disposait depuis le 1er novembre 2006 d'une incapacité de travail de 50 % pour un emploi à 70 % en raison de difficultés psycho-affectives. Considérant que la situation médicale ne s'était pas modifiée depuis la dernière décision qu'il avait rendue, l'office AI a, par décision du 18 octobre 2007, rejeté la demande de prestations. L'assurée a déféré cette décision auprès de la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg). Malgré le dépôt du recours, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur A._. Dans son rapport du 21 avril 2008, ce médecin a retenu les diagnostics de trouble de l'anxiété généralisée et de trouble dépressif majeur récurrent (état actuel sévère); ces troubles occasionnaient depuis le 1er novembre 2006 une incapacité de travail de 50 % pour une activité de 70 %. Après avoir consulté les parties, le Tribunal cantonal a, par décision du 27 novembre 2008, rayé la cause du rôle. Par décisions des 16 mars et 21 avril 2009, l'office AI a alloué à l'assurée un trois quarts de rente d'invalidité avec effet au 1er novembre 2007. B. Le 17 mars 2010, K._ a ouvert action contre le Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'association X._ devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Fribourg, en concluant à ce que l'institution de prévoyance soit condamnée à lui verser des prestations d'invalidité à partir du 1er novembre 2007, y compris des intérêts moratoires à 5 % à compter du jour du dépôt de l'action. Par jugement du 10 août 2012, le Tribunal cantonal a rejeté la demande. C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à ce que le Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'association X._ soit condamné à lui verser les prestations d'invalidité légales et réglementaires (y compris des intérêts moratoires de 5 % dus à compter du 17 mars 2010). Elle assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire limité aux frais judiciaires.