Faits: A. A.a G._, née en 1954, était employée de maison au service d'un couple privé, depuis le 1er juin 1996. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents par Lloyd's Underwriters London (ci-après : Lloyd's). Le 22 décembre 1996, à 4h30, la voiture que conduisait l'assurée au Portugal a traversé la chaussée avant d'aller percuter un arbre. La mère de la conductrice, qui avait pris place à l'avant du véhicule, est décédée au cours de son transport à l'hôpital. Sa fille a souffert d'une fracture de l'humérus gauche avec un syndrome cervico-brachial, blessures qui ont nécessité une intervention chirurgicale au Portugal. L'assurée y est restée hospitalisée jusqu'à mi-janvier 1997. Elle a par la suite présenté un état dépressif pour lequel elle a été traitée dès le 4 avril 1997 par la doctoresse I._, psychiatre et psychothérapeute. Lloyd's a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières jusqu'au 15 avril 1997. Dès cette date, elle a mis fin à ses prestations. A la suite d'un recours, le Tribunal administratif du canton de Genève a constaté le droit de l'assurée aux prestations litigieuses jusqu'au 30 novembre 1997 au moins; il a renvoyé la cause à l'assureur-accidents pour instruction complémentaire et décision sur le droit aux prestations pour la période postérieure au 30 novembre 1997. A.b Reprenant l'instruction de la cause, Lloyd's a confié une expertise médicale de l'assurée à la doctoresse D._, psychiatre et psychothérapeute. Dans un rapport du 14 septembre 1999, cette dernière a indiqué que G._ souffrait de troubles psychiques apparus immédiatement après l'accident du 22 décembre 1996 et qui ont fortement augmenté d'intensité dans les mois suivants. L'experte a posé le diagnostic d'épisode dépressif sévère avec symptômes psychotiques congruents à l'humeur (F 32.3, selon la Classification statistique internationale des maladies et des problèmes de santé connexes, 10ème éd. 1993 [CIM-10]), et décompensation de la structure de la personnalité. Elle a précisé que l'état psychique de l'intéressée n'était pas le résultat d'une genèse cérébro-organique ou endogène, mais que sa nature était psychogène. Elle a exposé que l'accident en question avait joué un rôle de désorganisation traumatique dans un fonctionnement de personnalité antérieurement stable et que l'assurée présentait un tableau clinique s'inscrivant dans un deuil pathologique de type mélancolique, affection pour laquelle on ne pouvait fixer de limitation dans le temps. La doctoresse D._ a relevé, en anamnèse, que G._ était fille unique; l'époux et la mère de l'assurée, qui vivait avec le couple G._ depuis le décès de son propre époux en 1993, formaient sa seule famille. A la question de savoir si des facteurs étrangers à l'accident avaient joué un rôle dans la genèse ou dans la persistance de ces troubles, la doctoresse D._ a répondu que l'on devait retenir à ce titre seulement la structure de la personnalité, pour autant non assimilable à un trouble de personnalité. Par ailleurs, l'experte a estimé que l'intéressée était totalement incapable de travailler, au-delà du 1er décembre 1997 et pour une durée indéterminée, dans son activité antérieure d'employée de maison ou de gouvernante; G._ subissait un dommage permanent du fait de l'accident, dans le sens de l'apparition d'un trouble psychique grave et invalidant. Appelé à donner son avis sur cette expertise, le médecin-conseil de Lloyd's, le docteur T._, psychiatre et psychothérapeute, a exposé dans un rapport du 9 novembre 1999 que l'assurée était atteinte d'un grave trouble dépressif avec des symptômes psychotiques, nécessitant absolument une thérapie psychiatrique. Cette atteinte à la santé réduisait la capacité de travail de l'intéressée de 80 %. Le docteur T._ a précisé que l'accident était l'une des causes de l'atteinte à la santé, mais que son importance, comme facteur causal, s'estompait progressivement au profit d'autres causes. Le médecin-conseil a par ailleurs nié toute atteinte à l'intégrité d'origine accidentelle, en l'absence de troubles cérébraux organiques. A la suite de ce rapport médical, Lloyd's a demandé à la doctoresse D._ un rapport d'expertise complémentaire. Dans un nouveau rapport, du 13 décembre 1999, la spécialiste prénommée a exposé que les atteintes à la santé présentées par l'assurée n'étaient plus, désormais, en relation de causalité avec l'accident du 22 septembre 1996. Elle a souligné qu'elle n'avait diagnostiqué ni un état de stress post-traumatique, ni un état dépressif réactionnel, et a précisé que si le trouble dépressif majeur, sévère et chronique dont souffrait l'assurée persistait au-delà d'une année après l'accident, des facteurs préexistant à l'accident en étaient à l'origine (structure de personnalité assimilable à un facteur constitutionnel). Dans ce contexte, l'accident n'avait été que le révélateur d'un dysfonctionnement de cette organisation de personnalité antérieurement stable. La doctoresse D._ a ajouté partager l'avis du docteur T._ selon lequel il n'y avait pas lieu de retenir une atteinte à l'intégrité physique ou psychique au sens strict puisqu'il n'y avait pas eu de dégât cérébral irréversible. Enfin, elle a exposé que le deuil pathologique était une notion relevant de la maladie et qui, par définition, était chronique, l'accident n'ayant fait que favoriser ou permettre l'éclosion de la maladie. Par décision et décision sur opposition des 28 janvier et 25 juillet 2000, Lloyd's a refusé d'allouer des prestations pour la période postérieure au 1er décembre 1997. B. B.a L'assurée a déféré la cause au Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après : Tribunal administratif). Ce dernier a constaté que la recourante présentait encore, après le 1er décembre 1997, une incapacité de travail de 100 % et une atteinte à l'intégrité de 75 %, en relation de causalité avec l'accident assuré; il a renvoyé la cause à Lloyd's pour qu'elle fixe le montant des prestations dues à l'assurée (jugement du 23 avril 2002). La juridiction cantonale s'est notamment fondée sur les constatations d'une expertise judiciaire établie le 4 février 2002 par le docteur U._, psychiatre et psychothérapeute, nonobstant certaines critiques émises par le docteur T._ dans une détermination du 6 mars 2002. Le docteur U._ a repris le diagnostic d'épisode dépressif sévère posé par la doctoresse D._, en précisant que cet état pouvait être qualifié de moyen ou léger cinq ans après l'accident. Malgré cette évolution, l'incapacité de travail restait totale, mais une amélioration n'était pas exclue dans un délai de deux à trois ans. Le lien de causalité avec l'accident était certain. A la suite d'un recours de Lloyd's, le Tribunal fédéral des assurances (depuis le 1er janvier 2007 : Ire et IIème Cours de droit social du Tribunal fédéral) a annulé le jugement entrepris et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement (arrêt U 177/02 du 15 juin 2004). B.b La cause a été transmise au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève (ci-après : Tribunal des assurances), entré en fonction le 1er août 2003 et qui a repris les compétences attribuées précédemment au Tribunal administratif dans le domaine de l'assurance-accidents. A la demande du Tribunal des assurances, le docteur U._ a établi un rapport d'expertise complémentaire le 17 janvier 2005. Il s'est notamment déterminé sur les critiques émises par le docteur T._ et a maintenu, pour l'essentiel, les constatations déjà décrites dans l'expertise du 4 février 2002. Lloyd's en a contesté la valeur probante et a demandé la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise. La juridiction cantonale a accepté cette demande et a confié un mandat d'expert judiciaire au docteur A._, médecin-psychiatre à la clinique X._. Dans un rapport du 12 janvier 2006, ce dernier a posé le diagnostic de troubles de l'adaptation (réaction de deuil), avec perturbation mixte des émotions et des conduites (F 43.25 CIM-10), ainsi que d'épisode dépressif léger, chronique (F 32.0 CIM-10). Il a cependant précisé que le diagnostic de deuil compliqué serait plus exact. Ce diagnostic ne figurait pas dans le CIM-10, ni dans la 4ème édition du Diagnostic Manual of mental disorders (DSM-IV); toutefois, son introduction dans la cinquième édition de ce système de classification (DSM-V, en cours d'élaboration) était probable. Le docteur A._ a exposé que le lien de causalité naturelle entre l'accident du 22 décembre 1996 et les atteintes à la santé psychique dont souffrait encore l'assurée était certain; l'incapacité de travail restait totale. Lloyd's a produit une détermination du 6 mars 2006 du docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, dans laquelle celui-ci met en doute le rapport de causalité naturelle entre l'accident assuré et les atteintes à la santé psychique persistant près de dix ans plus tard, en l'absence d'état de stress post-traumatique. Par jugement du 22 novembre 2006, le Tribunal des assurances a alloué à G._, sous suite de dépens, une rente fondée sur un taux d'invalidité de 100 %, avec effet dès le 1er décembre 1997, et une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 50 %; il a renvoyé la cause à Lloyd's pour qu'elle fixe le montant exact des prestations. C. Lloyd's a recouru contre ce jugement. Elle en demande l'annulation et conclut, en substance, à la confirmation de la décision sur opposition du 25 juillet 2000. L'intimée conclut au rejet du recours et à la condamnation de l'intimée à une amende pour «téméraire plaideur». Entendue en qualité d'intéressée, Concordia propose le rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.