Faits: A. A.a B._ est arrivée en Suisse au milieu des années 80. Durant la décennie suivante, elle a alterné des périodes d'emploi temporaire et de chômage. Le 10 octobre 2001, elle a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, alléguant souffrir de problèmes psychiques. L'Office genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a alors recueilli les renseignements médicaux usuels auprès des médecins traitants de l'assurée, à savoir les docteurs M._ (rapport du 2 août 2002) et H._ (rapport du 25 août 2002). D'après ceux-ci, l'assurée présentait des troubles de la personnalité paranoïaque et un épisode dépressif moyen, lesquels engendraient une incapacité de travail totale depuis le 1er juin 2001. Par décision du 28 octobre 2002, l'office AI a rejeté la demande de prestations, motif pris que les troubles dont souffrait l'assurée remontaient généralement à l'adolescence, de sorte qu'elle ne pouvait justifier d'une année de cotisation au moment de la survenance de l'invalidité. A.b Le 31 mars 2005, B._ a déposé une nouvelle demande de prestations. A cette occasion, le docteur M._ a indiqué que le diagnostic avait été revu depuis l'époque de la première demande de prestations et que l'affection en cause pouvait, en fait, avoir débuté à l'âge adulte. Il a expliqué qu'il manquait alors de recul pour déterminer la véritable nature des troubles présentés par l'assurée (lettres des 25 avril 2005 et 15 août 2006). Par décision du 19 juin 2006, confirmée sur opposition le 7 novembre suivant, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la nouvelle demande de prestations, faute pour l'assurée d'avoir établi l'existence d'une modification de son état de santé. B. B._ a déféré au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève la décision sur opposition de l'office AI. Au cours d'une audience d'instruction qui s'est tenue le 17 octobre 2007, le docteur D._ a indiqué que l'assurée souffrait d'une schizophrénie paranoïde, affection qui apparaît habituellement à l'âge adulte, et expliqué les raisons pour lesquelles ce diagnostic n'avait pas pu être posé plus rapidement. Considérant que les conditions d'une révision procédurale étaient remplies, le Tribunal cantonal des assurances sociales a, par jugement du 19 mars 2008, admis le recours, annulé les décisions des 28 octobre 2002, 19 juin et 7 novembre 2006, et alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité à compter du 1er février 2002. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation; à titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Il assortit son recours d'une requête d'effet suspensif. B._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission. D. Par ordonnance du 10 septembre 2008, le juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours.