Faits: Faits: A. O._, né en 1948, a travaillé en qualité de menuisier jusqu'en 1983, puis comme employé d'intendance auprès d'une banque jusqu'en 1997. Le 12 septembre 1997, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité en indiquant qu'il souffrait d'arthrose et de dépression. L'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a recueilli l'avis du docteur M._, médecin traitant, qui a attesté une incapacité totale de travail (cf. rapports des 23 octobre 1997 et 28 mai 1999). Confronté à l'absence de renseignements complémentaires du médecin traitant, l'office AI a confié un mandat d'expertise pluridisciplinaire à la Policlinique médicale X._, fonctionnant en tant que Centre d'observation médicale de l'AI (COMAI). Dans leur rapport final du 17 mai 2001, les responsables du COMAI ont diagnostiqué un état dépressif sévère sans symptôme psychotique, un trouble mixte de la personnalité (personnalité émotionnellement labile de type impulsif et dépressif), un syndrome lombo-vertébral chronique et de l'hypertension artérielle. L'incidence de ces troubles de santé sur la capacité de travail de l'assuré a été appréciée différemment par les médecins du COMAI, suivant la nature de l'atteinte à la santé. C'est ainsi que la doctoresse N._, psychiatre, a estimé que l'ampleur de la symptomatologie psychiatrique, évoluant de manière chronique, entraînait une incapacité de travail de l'ordre de 80 %. D'un point de vue strictement rhumatologique, les médecins ont conclu que la capacité de travail ne devait pas excéder 30 % dans l'ancienne activité de menuisier nécessitant des travaux de force avec les mains, mais qu'en revanche dans une activité adaptée n'impliquant ni le port constant de charges ni des travaux de manutention pénibles, ladite capacité pourrait atteindre 80 %, hormis des périodes de poussée aiguë. A l'issue d'une évaluation multidisciplinaire, les experts ont estimé que la capacité de travail était de l'ordre de 40 %. Dans un prononcé du 17 septembre 2001, l'office AI a fait savoir à l'assuré qu'il avait arrêté son taux d'invalidité à 100 % depuis le 1er novembre 1997 puis à 60 % à partir du 1er septembre 2000. Dans un prononcé du 17 septembre 2001, l'office AI a fait savoir à l'assuré qu'il avait arrêté son taux d'invalidité à 100 % depuis le 1er novembre 1997 puis à 60 % à partir du 1er septembre 2000. B. O._ a déféré ce prononcé à la Commission cantonale genevoise de recours en matière d'AVS/AI (actuellement : Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève), en concluant principalement à l'allocation d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 1997 ainsi qu'au versement d'indemnités journalières du 1er août au 31 octobre 1997, subsidiairement à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise au COMAI. Devant la juridiction cantonale, l'office AI a contesté la recevabilité d'un recours formé contre un prononcé de l'AI. Le 23 juillet 2002, l'office AI a rendu trois décisions, par lesquelles il a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er novembre 1997 au 31 août 2000, fondée sur un taux d'invalidité de 100 %, puis d'une demi-rente à partir du 1er septembre 2000, basée sur un taux d'invalidité de 60 %. L'assuré a recouru contre ces décisions en persistant dans ses conclusions. Par jugement du 13 juin 2003, la juridiction cantonale a constaté que le recours dirigé contre le prononcé du 17 septembre 2001 était sans objet. Elle a partiellement admis le recours formé contre les décisions du 23 juillet 2002, en ce sens qu'elle a accordé une rente entière d'invalidité à l'assuré à partir du 1er septembre 2000, fondée dès ce moment-là sur un degré d'invalidité de 80 %. Par jugement du 13 juin 2003, la juridiction cantonale a constaté que le recours dirigé contre le prononcé du 17 septembre 2001 était sans objet. Elle a partiellement admis le recours formé contre les décisions du 23 juillet 2002, en ce sens qu'elle a accordé une rente entière d'invalidité à l'assuré à partir du 1er septembre 2000, fondée dès ce moment-là sur un degré d'invalidité de 80 %. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de ses décisions du 23 juillet 2002. L'intimé conclut principalement au rejet du recours, avec suite de dépens, subsidiairement à ce qu'une expertise indépendante soit ordonnée. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.