Faits: A. E._ travaille en qualité d'ingénieur de production au service de la société X._ SA depuis le 1er janvier 2001. A ce titre, il est assuré contre le risque d'accident auprès de La Mobilière Suisse Société d'assurances SA (ci-après: La Mobilière). Le 1er décembre 2004, E._ a été victime d'un accident de la circulation, à la suite duquel il a souffert d'un traumatisme crânien simple avec des contractures musculaires cervicales. Selon le rapport de la gendarmerie vaudoise du 2 décembre 2004, l'assuré n'avait pas attaché sa ceinture de sécurité. Il a subi une incapacité de travail entière jusqu'au 5 décembre 2004 et il a repris son activité à temps complet à compter du 6 décembre suivant. Dès le 27 décembre 2004, l'assuré s'est plaint d'oppressions thoraciques et de malaises à chaque effort. Dans la nuit du 19 au 20 janvier 2005, il a été hospitalisé en urgence au Centre hospitalier Y._ pour un syndrome coronarien aigu. Une coronarographie effectuée le 21 janvier 2005 a mis en évidence un infarctus du myocarde sur occlusion de la coronaire droite proximale. Une angioplastie coronaire avec implantation d'un stent (prothèse endovasculaire), ainsi qu'une nouvelle coronarographie de contrôle ont été pratiquées. E._ a subi une incapacité entière de travail jusqu'au 6 mars 2005, puis de 50 % durant la période du 7 mars au 4 avril 2005. La Mobilière a pris en charge le cas. Toutefois, par décision du 20 juin 2005, confirmée sur opposition le 23 août 2005, elle a réduit de 10 % l'indemnité journalière, au motif que l'assuré n'avait pas attaché sa ceinture de sécurité. Au mois d'avril 2005, l'assuré s'est plaint de douleurs gastriques. Les médecins consultés par l'assuré ont fait état d'une aérophagie. La Mobilière a confié une expertise au docteur A._, médecin-chef au service de cardiologie de l'Hôpital Z._. Cet expert a indiqué que l'intéressé avait "besoin de traitement médical concernant ses problèmes d'aérophagie qui [étaient] certainement également secondaires à l'accident de la circulation", tout en ajoutant qu'il ne pouvait se prononcer "quant à l'origine possiblement séquellaire à l'accident de circulation" (rapport du 30 novembre 2009). Par décision du 17 décembre 2010, confirmée sur opposition le 14 mars 2011, La Mobilière a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à compter du 4 avril 2005. Se référant à l'ensemble des renseignements d'ordre médical versés au dossier, elle a considéré que le statu quo sine avait été atteint le 5 avril 2005 au plus tard en ce qui concerne les troubles cardiaques et qu'en outre il n'existait pas de lien de causalité entre l'aérophagie apparue après cette date et l'accident du 1er décembre 2004. B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 6 décembre 2011. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents pour ses troubles liés à l'aérophagie. Subsidiairement, il demande l'annulation du jugement cantonal et le renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. La Mobilière conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations. Le 1er mai 2012, le recourant a adressé des observations et produit des rapports des docteurs S._, spécialiste en cardiologie (du 26 avril 2005), et H._, spécialiste en médecine générale (du 27 avril 2005). Par écriture du 2 mai 2012, l'intimée a demandé au tribunal d'écarter ces pièces du dossier, au motif que ces moyens de preuve n'avaient pas été soumis à la juridiction cantonale. Le recourant s'est déterminé à ce sujet.