Faits: A. B._, exploite un magasin de décoration sous une raison individuelle de commerce. Le 14 décembre 2010, elle a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en alléguant présenter une incapacité de travail totale en raison de douleurs chroniques d'origine multiple et de dépression depuis le mois d'octobre 2005. La doctoresse C._, médecin traitant de l'assurée, a fait état d'une fibromyalgie et de douleurs de type osseux. Elle a mentionné aussi une maladie de Lyme, une intolérance au gluten, une intoxication au plomb et au mercure, ainsi que des problèmes liés à l'accoutumance à des analgésiques et des opiacés. A son avis, l'incapacité de travail était totale (rapports des 9 février et 19 mai 2011). De son côté, le docteur S._, consulté par l'assurée, a retenu uniquement le diagnostic de fibromyalgie (rapport du 10 janvier 2011). Afin de clarifier la situation, singulièrement de pouvoir déterminer s'il existait une atteinte psychiatrique associée à la fibromyalgie, le Service médical régional de l'assurance invalidité (SMR) a préconisé la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique que l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a confiée au docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (communication du 7 octobre 2011). Par lettre du 21 octobre 2011, l'assurée s'est opposée à la nomination du docteur E._. A son avis, une expertise psychiatrique ne lui paraissait pas adéquate compte tenu de la pathologie somatique complexe. Par ailleurs, le docteur E._ était déjà intervenu comme expert pour le compte d'un assureur perte de gain en cas de maladie (Vaudoise Assurances), dont elle contestait les conclusions (cf. expertise du 9 janvier 2007); en outre, ce médecin était notoirement contesté en tant qu'expert. L'assurée a dès lors requis la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire auprès d'un centre universitaire. Par décision incidente du 25 novembre 2011, l'OAI a maintenu le mandat d'expertise confié au docteur E._, sans ordonner de plus amples investigations. B. B._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant à son annulation. Par jugement du 11 juillet 2012, la juridiction cantonale a prononcé le dispositif suivant : I. Le recours est admis II. L'expert désigné par l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud est récusé. III. La cause est renvoyée à l'intimé pour qu'il administre une expertise pluridisciplinaire conformément aux considérants. IV. et V. (dépens et frais). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à la confirmation de sa décision incidente du 25 novembre 2011. L'assurée intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable, avec suite de frais et dépens. Elle produit deux nouveaux avis médicaux. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.