A.- A._, domicilié dans le canton de Genève, a demandé en 1997 à l'administration de ce canton une aide financière pour lui permettre de suivre les cours de la faculté de droit de l'Université de Fribourg. La Commission des allocations spéciales, instituée par la loi cantonale genevoise sur l'encouragement aux études, a statué sur cette demande le 5 janvier 1998, en proposant d'accorder un prêt à certaines conditions, pour l'année académique 1997/1998. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Ce recours a été rejeté par un arrêt rendu le 1er septembre 1998. Le juge délégué à l'instruction de cette affaire, au sein du Tribunal administratif, était Mme le Juge X._, laquelle avait entendu le recourant lors de l'audience de comparution personnelle du 26 juin 1998. B.- Le 26 octobre 1998, A._ a adressé au Tribunal administratif une "demande de reconsidération" de l'arrêt du 1er septembre 1998. Invité par le Tribunal administratif à répondre, le Service cantonal des allocations d'études et d'apprentissage (SAEA) s'est déterminé le 16 novembre 1998. Le même jour, A._ a déposé un mémoire complémentaire. Un nouveau délai de déterminations a été fixé au service précité, qui en a demandé la prolongation le 5 janvier 1999; son mémoire a été déposé le 19 janvier 1999. Le Tribunal administratif a statué sur la "demande de reconsidération", traitée comme une demande de révision, par un arrêt rendu le 2 février 1999. Il l'a déclarée irrecevable, aucun motif de révision n'ayant été clairement invoqué par A._. Mme le Juge X._ était membre de la cour qui a pris cette décision. L'arrêt du 2 février 1999 a été communiqué aux parties le 5 février 1999. C.- Par lettre du 1er février 1999, mise à la poste le jour même, A._ a demandé à Mme le Juge X._ de se récuser dans la procédure concernant sa demande d'aide financière. Il reprochait à ce magistrat un manque d'impartialité, en invoquant l'attitude adoptée à son égard lors de l'audience de comparution personnelle du 26 juin 1998 et les conditions de prolongation du dernier délai fixé au Service cantonal des allocations d'études et d'apprentissage (prolongation accordée de façon prétendument irrégulière le 5 janvier 1999). La demande de récusation de Mme le Juge X._ a été simultanément transmise au Président du Tribunal administratif. Ces deux lettres ont été reçues au Tribunal administratif le 2 février 1999. Il n'en a pas été fait mention dans l'arrêt rendu ce même jour. Le 5 février 1999, le Président du Tribunal administratif a écrit à A._, en répondant à la demande de récusation dans les termes suivants: "Lorsque le Tribunal administratif statuera sur les mérites de votre recours, il le fera dans une composition qui ne comprendra pas Mme X._". D.- Le 8 mars 1999, A._ a adressé au Tribunal administratif une "demande en annulation" de l'arrêt du 2 février 1999. Il y a retracé les différentes étapes de la procédure administrative et judiciaire depuis le dépôt de sa demande d'aide financière, en présentant divers griefs, notamment à l'encontre d'actes d'instruction pris par Mme le Juge X._. Le Tribunal administratif - dans une composition ne comprenant pas le magistrat précité - a statué sur cette "demande en annulation" par un arrêt rendu le 22 juin 1999. Il a traité cette demande comme une demande de révision de l'arrêt du 2 février 1999 et il l'a déclarée irrecevable. Il s'est prononcé exclusivement sur la question de la récusation de Mme le Juge X._, en considérant en substance que la requête de A._ à cet égard était tardive. E.- Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 22 juin 1999, afin que le Tribunal administratif statue à nouveau en donnant suite à sa demande de récusation, en ordonnant une nouvelle comparution des parties et en prenant en considération l'ensemble de ses griefs. Il se plaint de la violation de nombreuses garanties formelles du droit constitutionnel (art. 4 et 58 aCst. , art. 6 par. 1 CEDH) et du droit cantonal de procédure. Invité à répondre au recours, le Tribunal administratif se réfère simplement à son arrêt. F.- Le recourant demande l'assistance judiciaire (cf. art. 152 OJ). Il requiert en outre d'être admis à comparaître et à s'exprimer lors d'une audience publique du Tribunal fédéral.