Faits: A. A.a P._ est assuré auprès de Mutuel Assurances pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Le 20 octobre 2006, Mutuel Assurances a communiqué à l'intéressé le montant de sa prime valable à compter du 1er janvier 2007. L'assuré ayant contesté la légitimité de la hausse qui lui avait été annoncée, la caisse a confirmé le montant de la prime par décision du 12 décembre 2006, confirmée sur opposition le 2 avril 2007. A.b P._ a déféré la décision du 2 avril 2007 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. La procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur une affaire parallèle pendante devant la juridiction cantonale, puis devant le Tribunal fédéral, opposant les mêmes parties et concernant le montant de la prime due pour l'année 2001. Après que le Tribunal fédéral eut définitivement tranché ce litige (arrêt 9C_312/2008 du 24 novembre 2008), le Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné le 20 janvier 2009 la reprise de la cause et fixé à P._ un délai au 20 février 2009 pour retirer son recours ou déposer un mémoire complémentaire. Sur la base de l'échange d'écritures qui s'en est suivi, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a, par ordonnance du 30 avril 2009 - confirmée par arrêt incident du 8 juin 2009 -, ordonné la mise en oeuvre d'une expertise comptable devant porter sur l'exercice financier de l'année 2006 de Mutuel Assurances et imparti aux parties un délai échéant au 29 mai 2009 - prolongé ensuite jusqu'au 14 juillet 2009 - pour lui communiquer plusieurs noms d'experts-comptables, ainsi que la liste des questions qu'elles souhaitaient voir poser à l'expert qui serait désigné. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevables les recours interjetés par Mutuel Assurances contre ces deux décisions (arrêt 9C_485/2009, 9C_565/2009 du 16 juillet 2009). A.c Par ordonnance du 3 août 2009, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a imparti aux parties un nouveau délai échéant au 28 août 2009 - prolongé ensuite jusqu'au 9 novembre 2009 - pour déposer des propositions de noms d'experts et de questions à leur soumettre. Après s'être préalablement assuré de leur disponibilité, P._ a proposé de nommer la Fiduciaire X._ SA, par la personne de J._, et la Fiduciaire Y._ SA, par la personne de C._. Par ordonnance du 16 décembre 2009, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise comptable devant porter sur l'exercice comptable 2006 de Mutuel Assurances, désigné J._ et C._ en qualité d'experts et défini la mission d'expertise. B. Invoquant les contacts préalables établis entre l'assuré et les experts désignés, Mutuel Assurances a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales d'une demande de récusation à l'encontre de J._ et de C._. Par jugement incident du 9 mars 2010, le Tribunal cantonal des assurances a rejeté la demande. C. Mutuel Assurances interjette un recours en matière de droit public, concluant à l'annulation du jugement attaqué et à ce qu'il soit fait droit à sa demande de récusation. P._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer.