Faits: A. S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 29 juin 2010; elle a indiqué qu'elle souffrait du dos et de dépression. Dans deux rapports des 13 juillet et 4 novembre 2010, la doctoresse A._, généraliste et médecin traitant de l'assurée, a fait état d'importants troubles du rachis lombaire et d'état anxio-dépressif, notamment. De son côté, dans ses rapports des 6 septembre et 11 octobre 2010, la doctoresse C._, psychiatre traitant, a attesté la présence d'un état dépressif majeur sévère, récurrent, en rémission partielle. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au docteur B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie. Dans son rapport du 24 janvier 2011, ce médecin a posé le diagnostic, avec répercussion sur la capacité de travail, de lombalgies chroniques sur une hernie discale L3-L4 droite présente depuis 2010. La capacité de travail était de 60 % dans la profession de lingère et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (pas de port de charges de plus de 5kg, pas de mouvements répétés du rachis, avec la possibilité de changer la position toutes les heures). Le docteur B._ a préconisé de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique. L'Office AI a mandaté le docteur R._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport d'expertise du 29 août 2011, le docteur R._ a posé le diagnostic de dysthymie; il a attesté que la capacité de travail de l'assurée était entière sur le plan psychique. Par décision du 16 août 2012, l'office AI a rejeté la demande (mesures professionnelles et rente). B. S._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à son annulation, à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique et à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité au moins. Par jugement du 12 juin 2013, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation avec suite de frais et dépens. Elle conclut au renvoi de la cause aux premiers juges, afin qu'ils ordonnent une nouvelle expertise psychiatrique et fixent à nouveau le degré d'invalidité. Par ailleurs, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.