Faits: Faits: A. Suite à un accident de circulation survenu en 1990, dame B._ a confié en 1995 la défense de ses intérêts à A._, avocat au barreau de Genève. Le 15 juin 1996, ce dernier l'a engagée en qualité de secrétaire à temps partiel; le dernier salaire mensuel brut de la salariée s'élevait à 1974 fr. Dès le 12 février 1999, dame B._ s'est trouvée en incapacité totale de travailler pour cause de maladie, soit, selon un rapport médical du 19 octobre 1999, une "profonde dépression consécutive aux douleurs permanentes provenant de l'accident". Par ailleurs, dame B._ était particulièrement sensible à l'attitude de son employeur, très exigeant et sujet à de brusques accès de colère; cette situation a entraîné une détérioration de son état psychique, selon un rapport médical du 17 décembre 2000. Par ailleurs, dame B._ était particulièrement sensible à l'attitude de son employeur, très exigeant et sujet à de brusques accès de colère; cette situation a entraîné une détérioration de son état psychique, selon un rapport médical du 17 décembre 2000. B. Le 29 mai 2000, dame B._ s'est plainte auprès de l'Ordre des avocats de Genève de ce que A._ retenait une partie des indemnités d'assurance au titre de provisions pour l'activité qu'il déployait pour elle, en sa qualité de mandataire. Par lettre du 31 mai 2000, reçue par A._ le 2 juin suivant dans la matinée, l'Ordre a requis de son membre un certain nombre de documents comptables relatifs à ce dossier. Par lettre recommandée datée du 1er juin 2000 (jeudi de l'Ascension, férié), postée le 2 juin entre 20 h. et 22 h.00, A._ a résilié le contrat de travail de dame B._ avec effet au 31 août 2000. Cette écriture porte les initiales "cf", soit celles du clerc d'avocat dame C._, qui a déclaré ne pas travailler à l'étude les jours fériés, ni antidater ou postdater les courriers qu'elle avait à rédiger. Le 4 juillet 2000, dame B._ s'est opposée à son licenciement en invoquant l'art. 336b al. 1 CO et a demandé la motivation du congé. Son employeur l'a justifié le 5 juillet 2000 par "des restructurations intervenues au sein de (son) Etude". Le 22 décembre 2000, dame B._ a déposé une demande en paiement devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, concluant à l'allocation de 11 844 fr. à titre d'indemnité pour résiliation abusive de son contrat de travail et de 10 000 fr. à titre de réparation morale, le tout avec intérêts à 5% dès le 2 juin 2000. A._ a conclu à l'irrecevabilité, respectivement au rejet de la demande. Par jugement du 1er novembre 2001, le Tribunal des prud'hommes a condamné A._ à payer à son ancienne employée la somme de 1500 fr., avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000. Dame B._ a appelé de ce jugement, en reprenant ses précédents moyens. A._ a formé appel incident en concluant à la condamnation de l'appelante principale au paiement de 1579 fr.50 avec intérêts à 5% dès le 30 septembre 2000, 1632 fr.15 avec intérêts à 5% dès le 31 octobre 2000, 11 953 fr.45 + TVA et intérêts à 5% dès le 6 juillet 2000 et 1329 fr.70 + TVA et intérêts à 5% dès le 2 juin 2000. Statuant par arrêt du 16 septembre 2002, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a condamné A._ à payer à dame B._ la somme nette de 5922 fr. avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000. En substance, la juridiction cantonale a retenu que les conclusions nouvelles de A._ étaient irrecevables dans la mesure où elles outrepassaient celles prises en première instance. Le licenciement était abusif, ce qui donnait droit à l'appelante principale de réclamer une indemnité que la cour cantonale a fixée à trois mois de salaire, soit 5922 fr. L'ancienne employée n'avait par contre pas droit à une indemnité pour tort moral, le profond état dépressif ayant trouvé son origine dans les douleurs lancinantes consécutives à l'accident de circulation de 1990. Statuant par arrêt du 16 septembre 2002, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a condamné A._ à payer à dame B._ la somme nette de 5922 fr. avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000. En substance, la juridiction cantonale a retenu que les conclusions nouvelles de A._ étaient irrecevables dans la mesure où elles outrepassaient celles prises en première instance. Le licenciement était abusif, ce qui donnait droit à l'appelante principale de réclamer une indemnité que la cour cantonale a fixée à trois mois de salaire, soit 5922 fr. L'ancienne employée n'avait par contre pas droit à une indemnité pour tort moral, le profond état dépressif ayant trouvé son origine dans les douleurs lancinantes consécutives à l'accident de circulation de 1990. C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt mentionné ci-dessus et de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour nouvelle décision. Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié contrairement à la réalité le témoignage de son clerc, dame C._, au sujet de la lettre de congé du 1er juin 2000. Il fait également grief à la Cour d'appel de n'avoir pas porté en déduction du montant de 5922 fr. la somme de 4541 fr.35, représentant le total de trois montants déjà versés à son ancienne employée ou dus par cette dernière. L'intimée conclut au rejet du recours. La Cour d'appel se réfère à son arrêt.