A.- X._, avocat à Genève, s'est trouvé à plusieurs reprises en conflit avec la Vice-Présidente du Tribunal de première instance du canton de Genève au sujet de sa nomination comme avocat d'office. Dans deux cas, ses clientes ont recouru contre le refus de ce magistrat de le désigner comme avocat d'office, d'abord auprès de la Présidente de la Cour de justice civile du canton de Genève, puis auprès du Tribunal fédéral, lequel a rejeté les recours dans la mesure où ils étaient recevables, par arrêts de la IIe Cour civile du 13 janvier 2000 (5P. 382/1999 et 5P.378/1999). A la suite de la plainte déposée au nom d'une cliente contre la Vice-Présidente du Tribunal de première instance, X._ a été condamné, par décision du Conseil supérieur de la magistrature du 11 octobre 1999, à une amende de 250 fr. Le recours de droit public que l'intéressé a formé contre cette décision a été rejeté dans la mesure où il était recevable, par arrêt de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 25 avril 2000 (2P. 318/1999). B.- Le 23 mai 2000, la Présidente du Tribunal de première instance a décidé que X._ ne serait plus nommé d'office en application de l'art. 16 al. 2 in fine du règlement sur l'assistance juridique du 18 mars 1996 (en abrégé: RAJ) et que cette mesure déploierait ses effets sur une période de deux ans à partir du 27 mars 2000. Elle lui reprochait notamment une nouvelle violation du règlement sur l'assistance juridique, soit d'avoir continué à assister une cliente d'office qui avait acquis en cours de procédure les ressources nécessaires pour assumer les frais de sa défense, sans en aviser l'autorité compétente. C.- X._ forme un recours de droit public contre cette décision et conclut à son annulation, sous suite de frais et dépens. Préalablement, il a présenté une requête d'effet suspensif et une demande de suspension de la procédure jusqu'à doit connu sur ses recours déposés auprès de la Cour de justice et du Tribunal administratif du canton de Genève contre la même décision. La Présidente du Tribunal de première instance a renoncé à se déterminer sur le recours. D.- Les demandes d'effet suspensif et de suspension de la procédure de recours de droit public ont été rejetées, par ordonnance présidentielle du 22 août 2000. Par arrêt du 29 août 2000, le Tribunal administratif a déclaré irrecevable le recours de X._ contre la décision de la Présidente du Tribunal de première instance du 23 mai 2000.