Faits: A. Par jugement du 8 juillet 2013, le Tribunal correctionnel du canton de Genève a reconnu A._, ressortissant du Kosovo, coupable notamment de vol, de dommages à la propriété, de violation de domicile et d'infraction à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121). Il l'a condamné à une peine privative de liberté de 32 mois, sous déduction de 176 jours de détention avant jugement. Il l'a mis au bénéfice d'un sursis partiel, la partie ferme à exécuter étant fixée à 8 mois, et le solde de 24 mois assorti du sursis avec un délai d'épreuve de 5 ans. Le maintien en détention pour des motifs de sûreté a été ordonné. Le 9 août 2013, le Ministère public du canton de Genève (ci-après: le Ministère public) a formé un appel contre l'arrêt du 8 juillet 2013 auprès de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre pénale d'appel), sollicitant que le prénommé soit condamné à une peine privative de liberté ferme de 32 mois. Le 30 août 2013, A._ a présenté une demande de non-entrée en matière sur l'appel du Ministère public et un appel joint afin de bénéficier d'un classement ou d'un acquittement en rapport avec les deux infractions de violation de domicile ainsi qu'une réduction de peine en conséquence. Le 13 septembre 2013, A._ a demandé sa mise en liberté pour le 14 septembre 2013, au motif qu'il avait exécuté la totalité de la peine ferme. La Présidente de la Chambre pénale d'appel, B._, a rejeté la demande de libération, par ordonnance du 18 septembre 2013. Elle a considéré en substance qu'il existait un risque concret de fuite et que l'appel du Ministère public apparaissait prima facie avoir de bonnes chances de succès, de sorte que la durée de la détention subie n'enfreignait pas le principe de la proportionnalité. B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande principalement au Tribunal fédéral de constater que l'ordonnance du 18 septembre 2013 a été rendue par une autorité incompétente dès lors qu'il ne s'agissait pas de la direction de la procédure de la juridiction d'appel et que ses droits fondamentaux ont été violés. Il sollicite également sa libération immédiate. Il demande à titre subsidiaire d'enjoindre la Chambre pénale d'appel à rendre son arrêt sur appel dans un délai maximum d'un mois. Il requiert également l'assistance judiciaire. Le Ministère public et la Présidente de la Chambre pénale d'appel concluent au rejet du recours, en se référant aux termes de l'ordonnance attaquée. Dans son courrier du 8 octobre 2013, le recourant a renoncé à formuler des observations complémentaires.