Faits: A. N._, né en 1950, était assuré auprès de la Caisse de pensions X._ (ci-après: la caisse de pensions), qui lui versait une rente d'invalidité. Le prénommé (célibataire) et G._ (veuve) ont rempli le 11 octobre 2007 une annonce de partenariat, par laquelle ils informaient la caisse de pensions de l'existence d'un partenariat entre eux en vue de garantir d'éventuels droits à des prestations en faveur du partenaire survivant. N._ est décédé en mai 2010. Par lettre du 18 mai 2010, G._ a informé la caisse de pensions qu'elle ne percevait pas de rente de veuve du 2ème pilier. La caisse de pensions, se fondant sur l'annonce de partenariat du 11 octobre 2007 et sur les déclarations de G._ et les documents qu'elle avait produits, a informé la prénommée le 16 juin 2010 qu'elle bénéficiait dès le 1er juin 2010 d'une rente de partenaire survivant de 1'919 fr. par mois et qu'un capital-décès de 9'591 fr. lui serait versé le 18 juin 2010. Après avoir eu connaissance d'une lettre du 10 juin 2010 de la Fondation de Prévoyance en faveur du personnel de Y._ SA confirmant à G._ son droit à une rente de veuve, elle a, par lettre du 22 juin 2010, avisé G._ qu'il n'existait aucun droit à des prestations de partenaire survivant vu qu'elle-même était au bénéfice d'une rente de survivant d'une autre institution de prévoyance et lui a réclamé la restitution du capital-décès de 9'591 fr. Par lettre du 24 septembre 2010, elle a informé la mandataire de G._ qu'elle renonçait à réclamer le remboursement du capital-décès de 9'591 fr. et lui a confirmé qu'il n'existait aucun droit à des prestations de partenaire survivant, position qu'elle a maintenue dans un courrier du 3 novembre 2010. B. Le 20 décembre 2010, G._ a ouvert action contre la Caisse de pensions X._ devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que la caisse de pensions soit condamnée à lui verser une rente de veuve annuelle de 23'028 fr. dès le 1er juin 2010 et les arriérés de rentes avec intérêts à 5 % dès la date de versement. Dans sa réponse du 18 janvier 2011, la caisse de pensions a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet de l'action. G._ a déposé ses observations le 10 février 2011 et la caisse de pensions en a fait de même le 21 février 2011. Par arrêt du 8 juin 2012, la juridiction cantonale a rejeté la demande. C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la Caisse de pensions X._ étant condamnée à lui verser une rente annuelle de 23'028 fr. dès le 1er juin 2010 avec intérêts à 5 %, à titre subsidiaire une rente annuelle de 19'212 fr. dès le 1er juin 2010 avec intérêts à 5 %. A titre plus subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à l'autorité inférieure pour nouvelle décision au sens des considérants, y compris sur les frais et dépens "des instances inférieures".