Faits: A. P._ oeuvrait au service de X._ SA à G._ (ci-après : X._) depuis le 10 avril 2007, en qualité de collaborateur « Helpdesk ». Cette société est active dans la production et les services de systèmes de distribution de carburant. Le 8 ou le 9 novembre 2007, le prénommé est tombé malade et a cessé de travailler. Le 15 novembre 2007, son employeur lui a rappelé, par avertissement écrit, son obligation de fournir un certificat médical en cas d'absence pour cause de maladie de plus de trois jours. Le lendemain, X._ a enjoint à l'assuré, par un second avertissement, de cesser avec effet immédiat une activité privée qu'il avait exercée durant le temps de travail et au moyen de l'infrastructure de l'employeur. Il est apparu en effet que Y._ SA avait demandé à P._ des instructions pour la livraison d'un container de meubles en provenance de Chine, sans lien aucun avec les activités de l'employeur. Par lettre du 17 décembre 2007, X._ a résilié les rapports de service au 31 mars 2008, au motif que l'employé avait reçu deux avertissements pour comportement inadéquat et qu'il avait produit un certificat médical attestant une incapacité de travail pour une durée indéterminée; de plus, elle l'a libéré de ses fonctions avec effet immédiat. Cependant, après avoir intercepté de nouvelles communications de la part de Y._ et d'une entreprise chinoise au sujet d'une livraison de sofas devant avoir lieu au nom de P._ dans ses propres locaux, X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat le 28 décembre 2007. L'assuré a requis l'indemnité de chômage dès le 1er avril 2008. Il ressort de sa demande du 24 avril 2008 qu'il avait été totalement incapable de travailler pour cause de maladie jusqu'au 31 janvier 2008 et que, du 1er février au 31 mars 2008, il avait envisagé de mettre sur pied, en association avec sa femme, une activité d'indépendant dans la vente de mobilier et d'appareils électroniques importés de Chine; il avait renoncé à ce projet parce que celui-ci n'aurait pas procuré suffisamment de moyens d'existence à deux personnes. Par décision du 27 juin 2008, le Service public de l'emploi du canton de Fribourg a reconnu l'aptitude au placement de l'assuré depuis le 24 avril 2008. Toutefois, par décision du 30 juin 2008, la caisse de chômage UNIA a suspendu le droit de l'intéressé à l'indemnité pendant 35 jours depuis le 1er janvier 2008, pour chômage fautif. Par décision du 24 juillet 2008, la caisse de chômage a rejeté l'opposition formée par P._. Le 23 juin 2009, le Président du Tribunal civil Z._ a pris acte de la transaction passée, sans reconnaissance de responsabilité de part et d'autre, entre P._ et X._ pour régler les prétentions pécuniaires élevées par l'employé consécutivement à la fin des rapports de travail. B. L'assuré a déféré la décision de la caisse de chômage du 24 juillet 2008 au Tribunal administratif du canton de Fribourg (devenu la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal). Ce recours a été rejeté par jugement du 12 mai 2011. C. P._ interjette un recours en matière de droit administratif (recte : en matière de droit public) en concluant, sous suite de frais et dépens, à titre principal, à l'annulation de la décision de la caisse de chômage du 24 juillet 2008, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. Il a joint à son recours la copie d'une lettre adressée le 10 janvier 2008 par son assurance de protection juridique à X._. La cour cantonale et la caisse de chômage proposent le rejet du recours. Quant au Secrétariat d'Etat à l'économie (seco), il a renoncé à présenter des déterminations.