Faits: A. Le 14 août 2004 en début de soirée, Y._, qui souhaitait avoir une discussion avec son père, X._, au sujet du soutien financier qu'elle sollicitait, est entrée dans la chambre de ce dernier, alors même qu'elle savait qu'il s'y était rendu pour ne plus en parler. Voyant que son père, qui ne s'était jamais montré violant physiquement par le passé, tenait à la main un révolver, Y._ a immédiatement pris la fuite. Sortant de sa chambre, X._ a tiré cinq coups de feu en direction de sa fille, acceptant l'éventualité de la tuer, étant précisé qu'elle s'est dans un premier temps retranchée dans une pièce voisine, puis qu'elle a tenté de s'échapper par l'escalier. X._ a encore appuyé à deux reprises sur la détente de l'arme en direction de l'époux de Y._, qui était arrivé à son secours, mais aucun coup de feu n'est parti, le chargeur étant vidé. Une des balles a touché Y._ au niveau de l'épaule et a pénétré jusqu'à la moelle épinière, provoquant une hémiplégie définitive. Une autre balle l'a blessée au niveau du mollet. Après une longue hospitalisation, Y._ a pu rentrer à son domicile, mais elle a besoin de soins constants, nuit et jour, pour tous les gestes de la vie courante. Elle doit recevoir les soins que l'on prodigue normalement aux nourrissons. Il en résulte une perte complète d'autonomie et une atteinte à sa dignité de femme, d'épouse et de mère. Elle éprouve encore des souffrances physiques très importantes et seuls des soins palliatifs permettent d'atténuer quelque peu celles-ci. Dans la force de l'âge, ses projets de vie ont été anéantis. Sa vie familiale et sociale est gravement perturbée, notamment en raison de l'absence totale de sensations au niveau du bas du corps, en particulier de la vessie. Elle doit vivre avec le souvenir du geste meurtrier de son père qui a également perturbé ses deux enfants. Au moment des faits, X._ souffrait depuis de nombreuses années d'un grave diabète et sa vue était très diminuée; il était dans un état dépressif résultant de la dégradation de sa situation économique et de la persistance des conflits avec sa fille. Il a été retenu que sa responsabilité était moyennement restreinte et qu'il avait manifesté par la suite un repentir sincère en faisant un important effort financier en faveur de sa fille. B. Par arrêt du 20 juin 2008, la Cour d'assises du canton de Genève a reconnu X._ coupable de tentative de meurtre (pour les coups de feu tirés sur sa fille) et de crime impossible de meurtre (pour avoir tiré sur son gendre alors que l'arme n'était plus chargée) et l'a condamné à une peine privative de liberté de trois ans, dont six mois sans sursis. La Cour d'assises a ajourné la cause à une date ultérieure pour instruction et jugement des prétentions civiles. La Cour d'assises a, par arrêt du 30 avril 2009, statué sur les conclusions civiles sous la forme d'une décision partielle (exclusivement sur le tort moral) et condamné X._, notamment, à payer à Y._, à titre d'indemnité pour tort moral, le montant de 103'880 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 14 août 2004. Elle a fixé l'indemnité pour tort moral à 250'000 fr., puis elle a réduit cette somme de 50'000 fr. en considérant que la victime avait commis une faute concomitante; elle a relevé en effet que Y._ s'était obstinée à vouloir imposer à son père une discussion à laquelle il voulait échapper, allant jusqu'à le suivre dans sa chambre. Le montant ainsi déterminé (200'000 fr.) a été imputé d'une somme de 96'120 fr. pour tenir compte d'une indemnisation reçue de l'assurance-accident. Y._ a recouru auprès de la Cour de cassation genevoise, en contestant la réduction de 50'000 fr. sur l'indemnité pour tort moral. Par arrêt du 4 décembre 2009, cette juridiction a estimé que la faute commise n'était pas en relation de causalité adéquate avec le préjudice, vu le comportement imprévisible de X._. Elle a donc supprimé la réduction de 50'000 fr. et condamné X._ à payer à Y._, à titre d'indemnité pour tort moral, la somme de 153'880 fr. avec intérêts à 5% dès le 14 août 2004, statuant par ailleurs sur les dépens. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 4 décembre 2009. Invoquant une violation de l'art. 44 CO, il estime que la réduction de l'indemnité doit être maintenue afin de tenir compte de la faute concomitante et conclut, sous suite de dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce qu'il soit condamné à payer à sa fille, à titre d'indemnité pour tort moral, la somme de 103'880 fr. avec intérêts à 5% dès le 14 août 2004; subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la cour cantonale. L'intimée a conclu à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet avec suite de frais et dépens. Elle n'a pas été représentée par un avocat devant le Tribunal fédéral. Ce n'est que le 25 mai 2010 qu'un mandataire a informé la Cour de céans que l'intimée lui avait confié la défense de ses intérêts.