Faits: A. A.a X._ a été successivement directeur de la société A._ AG (ci-après: A._) du 30 décembre 1997 au 2 février 2000, directeur et membre de son conseil d'administration de cette date jusqu'au 1er octobre 2003, puis à nouveau directeur jusqu'au 4 juillet 2007. Depuis 1999, la Banque Y._ SA (ci-après: la banque), dont le siège est à Genève, a accordé des crédits à A._. En mars 2008, pour accepter de renouveler un crédit de 2'000'000 US$ à cette société, la banque a sollicité de celle-ci l'émission d'une « Promissory Note ». C'est ainsi que le 25 avril 2008, A._, représentée par X._, a signé à Genève une « Promissory Note », libellée en langue anglaise de la façon suivante: « For value received, we promise to pay against this Promissory Note AT SIGHT to the order of Banque Y._ SA, Geneva, Switzerland, the amount of (1'800'000 US$) effective payment to be made in USD without deduction for and free of any taxes, collection charges, impost, levies or duties present or future of any nature ». Sur la teneur exacte de ce texte, le Tribunal fédéral ajoute des éléments de fait, non relevés en totalité dans le jugement critiqué, mais qui ressortent manifestement de la pièce produite au dossier (art. 105 al. 2 LTF). Ce document porte au recto les deux mentions suivantes: « Avalised for an amount of USD 1'620'000.00 by Mr B._/ Avalised for an amount of USD 180'000.00 by Mr M. X._ ». En dessous de la première mention figure la signature de B._; au-dessous de la seconde se trouve celle de X._. A.b Le 29 janvier 2009, la « Promissory Note » a été présentée pour paiement par la banque à A._, laquelle a refusé tant de l'accepter que de la payer. Un notaire biennois a dressé le 30 janvier 2009 un « Note Protest » se référant à l'art. 1036 CO. Le 12 février 2009, la « Promissory Note » a été présentée pour paiement à X._. Ce dernier a le même jour indiqué qu'il n'était pas lié par le titre, des éléments nécessaires à sa validité faisant défaut. Toujours à la même date, le notaire biennois susmentionné a établi un protêt faute de paiement (art. 1034 al. 1 CO). La banque a alors introduit une poursuite pour effets de change contre A._. Le juge compétent n'a pas admis l'opposition formée par la poursuivie et la faillite de A._ a été prononcée par jugement du 24 avril 2009. La banque a ensuite requis la poursuite de X._ sur la base du « Promissory Note », titre qu'elle a considéré comme un billet à ordre avalisé par le précité. Elle a renoncé à introduire une poursuite pour effets de change, car X._ n'était pas soumis à la faillite (art. 39 et 177 LP). Ayant introduit une poursuite ordinaire par voie de saisie contre le prénommé, que ce dernier a frappée d'opposition, elle a obtenu, par jugement du 29 mai 2009 rendu par le Président de l'Arrondissement judiciaire II Bienne-Nidau, la mainlevée provisoire de l'opposition, laquelle a été prononcée à concurrence de 204'300 fr. correspondant à 180'000 US$, plus intérêts à 6% l'an dès le 29 janvier 2009. Saisie d'un recours du poursuivi, la Cour d'appel du canton de Berne, par arrêt du 3 août 2009, a confirmé le jugement de mainlevée. B. Par demande du 22 juin 2009, X._ a déposé devant le Tribunal de commerce du canton de Berne une action en libération de dette à l'encontre de la banque, concluant à ce qu'il soit constaté qu'il n'est pas le débiteur de cet établissement et à ce que la poursuite dirigée contre lui soit annulée. Par ordonnance du 24 juillet 2009, le demandeur a été invité à fournir une sûreté de 28'000 fr. Il a obtempéré. La banque défenderesse a conclu à libération. Par jugement du 5 février 2010, le Tribunal de commerce a rejeté la demande et statué sur les frais et dépens de la cause. Les motifs de cette décision seront exposés ci-dessous dans la mesure utile. C. X._ exerce au Tribunal fédéral un recours en matière civile contre le jugement en question. Il conclut, principalement à la réforme de cette décision, en ce sens qu'il n'est pas débiteur de la défenderesse, la poursuite diligentée à son endroit étant annulée. Subsidiairement, le recourant requiert l'annulation du jugement du 5 février 2010, l'affaire devait être retournée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Par ordonnance du 27 septembre 2010, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par le recourant. L'intimée propose le rejet du recours.