Faits: A. X._, ressortissant français né le 21 février 1980, est arrivé en Suisse au mois d'octobre 1985 pour rejoindre sa mère qui avait épousé un ressortissant suisse. Il a suivi sa scolarité obligatoire à A._ et a poursuivi des études au gymnase de la même ville sans toutefois les mener à terme. Initialement mis au bénéfice d'une autorisation de séjour, il a ensuite reçu, à une date qui ne ressort pas du dossier, une autorisation d'établissement puis, à partir du 14 novembre 2003, une autorisation d'établissement CE/AELE, avec délai de contrôle au 21 mai 2007; celle-ci précisait, comme but du séjour, "la recherche d'un emploi". Dès l'âge de quatorze ans, X._ a commencé à consommer de l'héroïne. Il a depuis lors constamment occupé les services de police et les tribunaux de la région, notamment pour des infractions à la Loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (Loi sur les stupéfiants, LStup; RS 812.121), des vols, des dommages à la propriété, des violations de domicile. Peu avant d'avoir atteint ses dix-sept ans, il a entamé une cure de désintoxication aux établissements du B._ et du C._, à D._. Ceci ne l'a toutefois nullement empêché de recommencer à consommer des stupéfiants après coup. Le 23 janvier 1998, l'Autorité tutélaire du district de La Chaux-de-Fonds l'a condamné à un placement en maison d'éducation pour un an au minimum. Il s'est évadé à deux reprises de l'établissement, à savoir en février et en août 1998. X._ a fait l'objet de toute une série de condamnations: - Le 4 novembre 1998, le Tribunal correctionnel du district de La Chaux-de-Fonds l'a condamné à dix mois d'emprisonnement pour vol, vol d'importance mineure, dommages à la propriété et infraction à la Loi sur les stupéfiants; - le 10 février 2000, le Tribunal de police du district de La Chaux-de-Fonds l'a condamné à nonante jours d'emprisonnement pour vol, abus de confiance et infractions à la Loi sur les stupéfiants. L'exécution de la peine a été suspendue au profit d'un traitement ambulatoire dans un établissement pour toxicomanes; - le 6 juillet 2000, le Tribunal de police du district de Neuchâtel l'a condamné à dix jours d'arrêt sans sursis pour contravention à la Loi sur les stupéfiants, peine partiellement complémentaire à celle prononcée le 10 février 2000 et qui a également été suspendue au profit d'un traitement ambulatoire; - le 3 septembre 2002, le Tribunal de police du district de Neuchâtel l'a condamné à trente jours d'emprisonnement sans sursis pour vol, menaces et infraction à la Loi sur les stupéfiants; - le 13 février 2004, le Tribunal correctionnel du district de La Chaux-de-Fonds l'a condamné à seize mois d'emprisonnement pour tentatives de vol, vols, dommages à la propriété, violation de domicile, infractions à la loi fédérale du 20 juin 1997 sur les armes, les accessoires d'armes et les munitions (Loi sur les armes, LArm; RS 514.54) et infraction à la Loi sur les stupéfiants; - le 9 juin 2005, il a derechef été condamné à une amende de 200 fr. pour infraction à la Loi sur les stupéfiants; - le 20 décembre 2006, le Tribunal correctionnel du district de Neuchâtel l'a condamné à vingt mois d'emprisonnement pour vol, tentative de vol, utilisation frauduleuse d'un ordinateur ainsi qu'infraction grave à la Loi sur sur les stupéfiants; - le 24 août 2007, le Tribunal correctionnel du district de Neuchâtel l'a condamné à une peine privative de liberté sans sursis de douze mois pour vol, dommages à la propriété, violation de domicile et infractions à la Loi sur les stupéfiants. La totalité des infractions jugées avait été commise durant le délai d'épreuve d'une libération conditionnelle octroyée le 4 janvier 2007. L'exécution de la peine a été suspendue au profit d'un traitement institutionnel des addictions, qui a été abrogé le 31 août 2007; - le 8 mai 2008, le Tribunal de police du district de Neuchâtel l'a condamné à une peine privative de liberté de cent jours sans sursis pour infraction à la Loi sur les stupéfiants, jugement confirmé par la Cour de cassation pénale le 3 juillet 2008. La durée totale des peines privatives de liberté s'élève à cinq ans et cinq mois. X._ a par ailleurs été arrêté par la police biennoise en mars 2009, en possession de marijuana. Il a également admis, en septembre 2009, avoir commis des vols en s'introduisant de manière clandestine chez des gens en violation de leur domicile. En outre, de la drogue a été saisie lors d'une perquisition de la police à son domicile le 8 septembre 2009. B. Après avoir envisagé l'expulsion de X._ en raison de ses activités délictuelles, l'Office cantonal des étrangers (devenu par la suite le Service cantonal des étrangers puis le Service cantonal des migrations; ci-après indifféremment cité: le Service cantonal) a finalement renoncé, le 3 juin 1998, à prononcer une mesure administrative. Le 30 septembre 2004, le Service cantonal lui a adressé un sévère avertissement et l'a prévenu qu'une procédure de renvoi de Suisse pourrait être engagée s'il commettait de nouvelles infractions. Au regard de la poursuite de son activité délictuelle et après lui avoir accordé un droit d'être entendu, en avril 2008, le Service cantonal a décidé, le 16 mai 2008, de révoquer l'autorisation d'établissement de X._ et lui a imparti un délai de départ pour quitter la Suisse au jour de sa libération. Saisi d'un recours, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel l'a rejeté, par décision du 22 juin 2009, en considérant en substance que le parcours personnel de l'intéressé mettait en évidence son incapacité à s'adapter à l'ordre établi en Suisse. En particulier, ses nombreuses condamnations, ainsi que le sévère avertissement prononcé en septembre 2004, ne l'avaient pas empêché de récidiver. Par jugement du 15 janvier 2010, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par X._ contre la décision du Département cantonal de l'économie. C. X._ dépose un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal cantonal. Il conclut à l'octroi de l'effet suspensif au recours ainsi qu'au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. Sur le fond, il requiert l'annulation de la décision attaquée, sous suite de frais et dépens, ainsi que le prolongation de son autorisation d'établissement. En substance, il se prévaut d'une mauvaise pesée des intérêts, ceux présidant à la poursuite de son séjour en Suisse devant prévaloir sur ceux qui pourraient justifier la révocation de son autorisation d'établissement. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, à l'instar du Service cantonal qui précise que X._ n'a pas demandé la prolongation de son permis d'établissement et déposé les documents usuels à l'échéance du délai de contrôle (21 mai 2007), si bien que les difficultés qu'il allègue pour trouver un travail en l'absence d'un titre de séjour lui sont imputables. Par ordonnance du 18 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours.