Faits: A. O._ a requis l'octroi d'une indemnité de chômage à partir du 1er septembre 2003. Il a réalisé divers gains intermédiaires durant le délai-cadre d'indemnisation couvrant la période du 1er septembre 2003 au 31 août 2005. Par contrat de travail du 5 avril 2005, l'intéressé a été engagé par la société X._ à partir du 18 avril suivant pour une durée indéterminée. Ce contrat prévoyait un salaire annuel brut de 108'000 fr. payable en 13 mensualités et donnait droit à 25 jours de vacances par année civile. Par courrier du 8 juillet 2005, l'employeur a résilié les rapports de travail avec effet au 18 juillet suivant, en indiquant que le salaire serait payé jusqu'à cette date, bien que le collaborateur fût libéré de l'obligation de travailler dès le 11 juillet 2005. Les 6,25 jours de vacances auxquels l'intéressé avait droit ont été compensés par le paiement d'un montant de 2'592 fr. 15. Après avoir travaillé en vertu d'un contrat d'emploi temporaire au service de Y._ du 6 septembre au 9 décembre 2005, l'assuré a requis une indemnité de chômage à partir du 12 décembre suivant. La Caisse de chômage UNIA lui a alors alloué une indemnité calculée en fonction d'un gain assuré déterminant de 6'642 fr. L'assuré ayant contesté ce montant, la caisse a rendu une décision le 2 octobre 2006, confirmée sur opposition le 28 juin 2007, par laquelle elle a fixé à 6'669 fr. le montant du gain assuré. Ce montant a été calculé sans tenir compte de la somme de 2'592 fr.15 payée par X._ au titre de l'indemnité pour les 6,25 jours de vacances qui n'avaient pas été pris par l'assuré. B. O._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi, à partir du 12 décembre 2005, d'une indemnité de chômage calculée en fonction d'un gain assuré de 7'118 fr. 90 et à la condamnation de la caisse au paiement des arriérés avec intérêt à 5 % l'an. La juridiction cantonale a ordonné une comparution personnelle des parties le 5 mars 2008 et rejeté le recours dont elle était saisie par jugement du 25 juin 2008. C. O._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en reprenant ses conclusions formulées en instance cantonale. Par ordonnance du 28 août 2008, le Président de la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a imparti au recourant un délai au 12 septembre 2008, afin de s'acquitter d'une avance de frais d'un montant de 500 fr. Par écriture du 1er septembre 2008, le recourant a demandé à être dispensé d'avancer les frais de procédure.