Faits: A. Les époux A._ et B._, séparés, occupent deux appartements distincts dans un immeuble dont leur fille est propriétaire. Ils bénéficient de prestations complémentaires à l'AVS. Par deux décisions du 25 juillet 2008, la Caisse de compensation du canton du Jura (la caisse) a alloué à B._ une prestation complémentaire mensuelle de 1'095 fr. du 1er mars au 31 décembre 2007 (première décision), ce montant étant inchangé à partir du 1er janvier 2008 (seconde décision). B._ s'est opposée à ces décisions en contestant le montant de 8'640 fr. retenu à titre de loyer (7'800 fr. de loyer et 840 fr. de charges) dans le cadre des dépenses reconnues. Elle a soutenu que le loyer mensuel s'élève à 1'300 fr., conformément au contrat de bail du 15 mars 2004 qu'elle a conclu avec sa fille. La caisse a rejeté l'opposition par décision du 3 octobre 2008, motifs pris que les quittances de loyer font état d'un montant mensuel de 650 fr. auxquels s'ajoutent 70 fr. pour les charges, soit 8'640 fr. par an. La prestation complémentaire revenant à A._ a fait l'objet d'une autre décision de la caisse du 25 juillet 2008, dans laquelle le loyer à prendre en considération a été fixé à 7'140 fr. La caisse l'a porté à 10'800 fr. (à compter du 1er juin 2008), dans une décision sur opposition du 28 janvier 2009. B. B._ a déféré la décision du 3 octobre 2008 à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal du canton du Jura, en concluant à ce qu'un montant mensuel de 1'300 fr. fût pris en compte à titre de loyer dans le calcul de sa prestation complémentaire. La juridiction cantonale l'a déboutée par jugement du 30 juin 2009. C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à ce que le montant du loyer déterminant pour le calcul de la prestation complémentaire soit fixé à 1'300 fr. par mois, sous déduction de 200 fr. pour l'usage du mobilier. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.