Faits: A. A.X._, né en 1965, et B.X._, née en 1963, se sont mariés le 8 décembre 1989 à Vernier (GE). Les enfants suivants sont issus de cette union: C._, née en 1990, D._, né en 1991, E._, né en 1992, F._, née en 1994, et G._, né en 1995. Durant l'union conjugale, l'épouse a en outre donné naissance à H._, né en 1997, et aux jumeaux I._ et J._, nés en 1999. Ces trois derniers enfants n'ont pas le mari pour père biologique. Les conjoints vivent séparés depuis janvier 2012 à tout le moins. B. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 27 novembre 2012, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, attribué à la mère la garde des jumeaux I._ et J._ et condamné le mari à verser, dès le prononcé du jugement, la somme de 2'400 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de l'épouse et de ces deux enfants. Il a en outre autorisé les conjoints à vivre séparés, attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde des enfants G._ (actuellement majeur) et H._, réservé au père un droit de visite sur les enfants I._ et J._ et, à la mère, un droit de visite sur l'enfant H._, enfin, prononcé les mesures pour une durée indéterminée. Le mari a interjeté appel contre ce jugement. Quant à l'épouse, elle a formé un appel joint, qu'elle a ensuite retiré. Par arrêt du 30 août 2013, la Cour de justice du canton de Genève a augmenté à 3'280 fr. par mois le montant de la contribution d'entretien due par le mari. C. Par acte du 7 octobre 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 30 août 2013. Il conclut, principalement, à ce qu'il lui soit donné acte de son accord de verser la somme de 1'224 fr. par mois pour les jumeaux, et à ce qu'il soit dit qu'il ne doit aucune contribution à l'épouse. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. L'intimée propose, principalement, la confirmation de l'arrêt attaqué. A titre subsidiaire, elle demande d'être acheminée à prouver, par toutes voies de droit, les faits allégués dans sa réponse. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 28 novembre 2013, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours pour les contributions dues jusqu'à fin septembre 2013, mais non pour les montants dus à partir du 1er octobre 2013.