Faits: Faits: A. Après avoir travaillé durant plusieurs années dans la gestion de fortune pour de nombreuses banques et occupé, jusqu'au 13 juin 1983, un poste au sein de la direction de la banque Y._, A._ s'est mis à son compte, comme gérant indépendant. Il a alors incité plusieurs clients, dont il s'était occupé précédemment, à ouvrir un compte et un dépôt de titres auprès de la Banque Z._, devenue la Banque X._ (ci-après: la Banque). Il était lui-même déjà client de cette banque, pour son propre compte, d'une part, et pour le compte d'autrui, à titre fiduciaire, d'autre part. En 1976, 1978 et 1980, A._ avait ouvert, en son nom mais sous les pseudonymes de "aa", "bb" et "cc", des comptes auprès de la Banque. Il gérait les deux premiers à titre fiduciaire pour des tiers. Pour ces comptes, A._ avait signé les conditions générales de la Banque qui prévoyaient, parmi d'autres clauses, un droit de gage général de la Banque sur les papiers-valeurs déposés, celle-ci se réservant le droit de réaliser les gages de gré à gré. Il était en outre stipulé une obligation du client de présenter toute contestation d'un extrait de décompte ou de dépôt immédiatement après la réception de l'avis correspondant, mais au plus tard dans le délai fixé par la Banque. Par ailleurs, A._ et la Banque avaient convenu, lors de l'ouverture du compte, de faire garder le courrier y relatif à la Banque, le courrier ainsi retenu étant considéré comme délivré à la date qu'il portait. En 1983 et 1984, A._ a reçu le mandat de gérer des comptes ouverts par des tiers auprès de la Banque sous les pseudonymes de "dd", "ee" et "ff". Les conditions de ces dépôts étaient les mêmes que celles relatives aux comptes "aa", "bb" et "cc". B._ a été engagé par la Banque le 1er juin 1979. Il a été responsable du département de gestion de fortune à compter du 1er janvier 1981, puis sous-directeur à compter du 1er janvier 1984. A fin février 1985, il a été licencié avec effet immédiat après la découverte, en décembre 1984, de plusieurs violations de ses obligations contractuelles vis-à-vis de la Banque. Il a été condamné pénalement pour avoir, en substance, fait octroyer des crédits lombards à des personnes ou sociétés qu'il entendait ainsi favoriser, alors qu'il savait ou devait savoir que les titres déposés ne représentaient pas de garantie suffisante. Parmi les personnes favorisées figurait C._, actionnaire et animateur de la société américaine R._ Inc. et de sa filiale, S._ Company Inc., qui étaient censées explorer, puis exploiter des gisements d'or et au sujet desquelles il s'est avéré, lors de l'instruction pénale conduite contre B._, d'une part, qu'elles n'étaient pas en possession de tous les droits miniers, d'autre part, que C._, n'ayant pour seul objectif que de réaliser le plus vite possible un profit personnel, avait trompé les investisseurs sur la valeur réelle des sociétés. Parmi les autres personnes ou sociétés favorisées figurait la société T._, appartenant à E._ et F._. Cette société a été mise au bénéfice d'un crédit garanti par le dépôt de diverses actions que B._ a permis de libérer ultérieurement alors que les crédits n'étaient pas remboursés. E._ et F._ figuraient aussi parmi les administrateurs et actionnaires de la société U._, qui avait pour but la participation, diversifiée dans plusieurs secteurs économiques, dans d'autres sociétés. Il existait à Londres un marché hors bourse des actions U._, la valeur de ces titres étant publiée dans le journal économique "...". U._ a connu des difficultés financières durant l'année 1985, principalement en raison de l'échec d'un projet d'investissement dans le secteur hôtelier. La valeur de ses actions a donc baissé durant ladite année et U._ a finalement été rachetée par la société V._. Depuis octobre 1982, B._ avait placé des actions de U._ dans certains portefeuilles de clients de la Banque et il en avait acquis pour lui-même et pour sa compagne. Le premier portefeuille concerné était celui de "cc", soit le dépôt personnel de A._. Dès 1983, des actions U._ ont aussi été achetées pour les comptes "dd", "aa", "bb" et "ff". Dans le cadre de ses activités professionnelles, A._ a occupé la fonction d'administrateur de plusieurs sociétés dont W._, à Genève. Au cours de l'année 1984, des titres W._ de A._ ont été déposés à la Banque sur le compte "aa". En 1985 et après la découverte des agissements de B._, la plupart des comptes de A._ et de ses clients auprès de la Banque présentaient des débits. Dans cette situation, tant A._ que la Banque (cette dernière en vertu de son droit de gage sur les titres dans les dépôts "dd", "ee" et "aa") ont cherché à vendre des titres, dont ceux de W._, de la manière la plus avantageuse. Une offre de N._ de 73 USD par titre W._ aurait été faite en 1985. Ces titres ont finalement été vendus à N._ au prix de 55 USD par titre à fin 1989. Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque. Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque. B. Par demande du 9 novembre 1992, A._ a assigné la Banque en paiement de divers montants à titre de dommages-intérêts, en lui reprochant une mauvaise gestion de fortune. La défenderesse a conclu à libération en niant toute obligation de gestion de fortune de sa part. Par jugement du 23 octobre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande. Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement. Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement. C. Parallèlement à un recours de droit public qui a été rejeté, dans la mesure où il était recevable, par arrêt séparé de ce jour, le demandeur interjette un recours en réforme. Il y reprend les conclusions condamnatoires qu'il avait soumises aux juridictions cantonales en requérant, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. La défenderesse propose le rejet du recours.