Faits: A. Le 15 octobre 2004, le Ministère public de la Confédération a ouvert une enquête pénale à l'encontre de A._, de B._ et de X._ pour blanchiment d'argent. Dans ce cadre, des séquestres ont été ordonnés les 24 février, 6 et 9 juin 2005 sur les valeurs patrimoniales déposées sur trois comptes bancaires ouverts auprès de la Banque C._ - dont le titulaire est X._ -, sur un appartement en propriété par étage sur la commune de D._ et sur des actions de la société E._ SA, appartenant également au prénommé. Par ordonnance du 22 avril 2010, le Ministère public de la Confédération a clos la procédure pénale ouverte contre X._ pour blanchiment d'argent au bénéfice d'un non-lieu pour cause de prescription de l'action pénale. Il a maintenu les séquestres précités et précisé qu'il appartenait au Tribunal pénal fédéral de statuer sur la confiscation des biens séquestrés dans le cadre de la procédure à l'encontre de A._, X._ devant être considéré comme tiers saisi. La Ire Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a confirmé cette ordonnance par un arrêt du 18 mai 2010 et a transmis à la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des affaires pénales) la compétence de statuer sur la demande de levée des séquestres. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours déposé contre cette décision, par arrêts 6B_531/2010 du 23 juin 2010 et 1B_197/2010 du 24 juin 2010. B. Le 28 mai 2010, X._ a demandé à la Cour des affaires pénales de suspendre la procédure de plainte afin qu'il puisse adresser au procureur fédéral une requête comportant l'ensemble des prétentions qu'il entend faire valoir contre la Confédération en réparation du préjudice résultant de sa détention préventive et d'autres actes d'instruction, conformément à l'art. 122 al. 1 de la loi fédérale sur la procédure pénale du 15 juin 1934 (PPF; RS 312.0). Par décision présidentielle du 16 juin 2010, la Cour des affaires pénales a rejeté la demande de suspension de la procédure de plainte et celle de levée des séquestres. C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler la décision présidentielle de la Cour des affaires pénales et de lever immédiatement les séquestres. Il se plaint notamment de violations de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de la présomption d'innocence (art. 32 al.1 Cst.) et de la garantie de la propriété (art. 26 Cst.). La Cour des affaires pénales se réfère intégralement à son arrêt. Le Ministère public de la Confédération conclut au rejet du recours.