Faits: A. A._, ressortissant algérien né le 19 octobre 1966, est entré en Suisse le 30 janvier 1995 au bénéfice d'un visa délivré par l'Ambassade de Suisse en Tunisie le 16 novembre 1994 et valable nonante jours. Il a déposé une demande d'asile le 22 mai 1995. L'Office fédéral des réfugiés ayant rejeté sa requête et prononcé son renvoi de Suisse le 14 février 1996, A._ a interjeté un recours, le 18 mars 1996, contre cette décision auprès de la Commission suisse de recours en matière d'asile, recours qu'il a retiré à la suite de son mariage, le 4 avril 1996, avec B._, ressortissante suisse née le 29 décembre 1966. Il s'est vu délivrer une autorisation de séjour annuelle qui a régulièrement été renouvelée jusqu'en 2000. Le 29 décembre 1999, A._ a introduit une demande visant à l'octroi de la naturalisation facilitée. Le 8 février 2001, les époux ont contresigné une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient vivre en une communauté conjugale effective et stable, résider à la même adresse et n'envisager ni séparation, ni divorce. Par décision du 9 avril 2001, l'Office fédéral des étrangers, intégré depuis lors à l'Office fédéral des migrations, a accordé la naturalisation facilitée à A._. Par courrier du 7 novembre 2005, le Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne a informé l'Office fédéral des migrations que les époux A._ et B._ avaient divorcé par un jugement entré en force le 9 décembre 2003, qu'ils ne faisaient plus ménage commun depuis le 11 janvier 2002 et que l'intéressé avait épousé en date du 19 septembre 2005 une ressortissante algérienne, née le 8 mai 1978. Le 21 décembre 2005, l'Office fédéral des migrations a invité A._ à prendre position sur l'opportunité d'ouvrir une procédure en annulation de la naturalisation facilitée. Les ex-époux se sont déterminés par écrit en date des 1er et 2 février 2006. Divers échanges d'écritures ont eu lieu. Par décision du 23 mars 2006, l'Office fédéral des migrations a prononcé, avec l'assentiment de l'autorité cantonale compétente, l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à A._ au motif que l'octroi de celle-ci s'était effectué sur la base de déclarations mensongères. Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision au terme d'un arrêt rendu le 15 juillet 2008 sur recours de l'intéressé. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de maintenir la naturalisation facilitée. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision dans le sens des considérants et plus subsidiairement au renvoi de la cause à l'Office fédéral des migrations pour nouvelle décision dans le sens des considérants et à l'octroi d'une indemnité de 3'000 fr. pour ses frais d'avocat. Il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, d'une constatation inexacte et incomplète des faits pertinents et d'un excès du pouvoir d'appréciation. L'Office fédéral des migrations et le Tribunal administratif fédéral ont renoncé à se déterminer. L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance du Juge instructeur du 10 octobre 2008.