Faits: A. Le 28 février 2003, la République et canton de Genève (ci-après: l'État de Genève) a introduit une action auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève à l'encontre de X._ S.A., en concluant au paiement d'un montant total de 642'491'092 fr. plus intérêts et au remboursement de dépenses à concurrence de 2'453'916'104 fr. L'État de Genève s'en prend à X._ S.A. en sa qualité d'organe de révision des anciennes Banque Hypothécaire du Canton de Genève et Caisse d'Épargne de Genève, dont la fusion a conduit à la création, en 1994, de la Banque Cantonale de Genève (ci-après: la BCGe). En tant que garant des dépôts d'épargne et de prévoyance de la BCGe, l'État de Genève soutient en substance qu'il a été amené à intervenir pour assainir la situation financière de la banque et qu'il a été confronté à des pertes de l'ordre de 3 milliards de francs, dont X._ S.A. peut être tenue pour responsable en raison des manquements commis en sa qualité d'organe de révision.