Faits: A. A.a G._ a travaillé en qualité de nurse. A la suite d'un accident de la circulation routière dont elle a été victime le 3 août 1987, elle a présenté un status après fracture ouverte longitudinale de la rotule droite. Se fondant sur un prononcé présidentiel du 11 juin 1990 de la Commission AI du canton de Genève concluant à une invalidité de 100 % depuis le 1er août 1988 et prévoyant que la rente devait être allouée pour une durée limitée jusqu'au 31 août 1988, la Caisse de compensation FRSP-CIAM, par décision du 24 octobre 1990, lui a octroyé une rente entière d'invalidité pour le mois d'août 1988. A.b Le 5 octobre 1998, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 1er juillet 1999, le docteur W._, spécialiste FMH en médecine interne, a posé le diagnostic de polyarthrite rhumatoïde séropositive (découverte en 1998) et celui de fibromyalgie (déjà posé en 1996). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu à une invalidité de 100 % depuis le 1er mai 1998, date à partir de laquelle il a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité (décision du 14 février 2000). Dès juin 2006, il a procédé à la révision de son droit à la rente. Le 29 septembre 2006, il a informé G._ que le degré d'invalidité n'avait pas changé et qu'elle continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité. A.c Le 4 octobre 2000, G._ a présenté une demande d'allocation pour personnes impotentes, en répondant à un questionnaire. Au cours de l'année 2004, elle a renouvelé sa demande, en remplissant à nouveau le questionnaire figurant sous la rubrique relative aux indications concernant l'impotence. L'office AI a procédé à une enquête au domicile de l'assurée le 4 octobre 2004 (rapport daté du même jour). Le docteur P._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de G._, a indiqué dans un rapport du 17 décembre 2004 que la maladie était évolutive, que les crises étaient de plus en plus fréquentes et difficilement maîtrisables et que dans ces moments-là la patiente était presque totalement impotente, ne pouvait s'habiller ni conduire de véhicule. Dans un avis du 10 janvier 2005, le docteur L._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin de l'office AI, a admis que l'assurée présentait lors des crises qui étaient assez fréquentes un handicap pouvant être important qui l'empêchait "actuellement" d'accomplir trois actes ordinaires de la vie. Le 13 janvier 2005, l'office AI a informé G._ qu'elle réalisait depuis septembre 2000 les conditions ouvrant le droit à une allocation pour impotent dans le cas d'une impotence de degré faible, vu qu'elle avait besoin d'aide pour se vêtir et se dévêtir, couper les aliments, se coiffer et se doucher. Elle avait droit à l'allocation pour impotent dès le 1er septembre 2001, date à partir de laquelle celle-ci lui a été octroyée (décision du 21 février 2005). A.d Dès le 25 novembre 2008, l'office AI a procédé à la révision du droit de G._ à une rente entière d'invalidité. Le professeur A._, médecin-chef du Service de rhumatologie de l'Hôpital X._, a consigné les renseignements demandés dans un rapport médical intermédiaire du 12 décembre 2008. Le docteur P._ en a fait de même dans un rapport médical intermédiaire du 19 décembre 2008. Dans un rapport du 25 mars 2009, le docteur J._, spécialiste FMH en neurologie, a posé le diagnostic avec effet sur la capacité de travail de polyarthrite rhumatoïde séropositive et de cervicalgies et lombalgies droites. A partir du 5 mai 2009, l'office AI a procédé à la révision du droit de G._ à l'allocation pour impotent. Dans un questionnaire du 8 mai 2009, celle-ci a indiqué que son état de santé s'était aggravé et qu'elle avait besoin de l'aide régulière et importante d'autrui pour accomplir la plupart des actes ordinaires de la vie. Elle a aussi répondu à un questionnaire du 8 mai 2009 relatif à l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie. Le 13 août 2009, l'office AI a procédé à une enquête au domicile de l'assurée. Dans un rapport daté des 13 et 14 août 2009, l'enquêtrice a indiqué que G._ n'avait pas besoin d'une aide régulière et importante pour les actes de la vie quotidienne. Ce rapport, qui concluait que les conditions du droit à une allocation pour impotent n'étaient plus remplies, relevait que la situation de l'assurée s'était nettement améliorée par rapport à l'enquête précédente et que son regain d'autonomie constituait un motif de révision. Dans un préavis du 7 octobre 2009, l'office AI a informé G._ que les conditions de la régularité, de la durée et de l'intensité de l'accompagnement n'étaient plus remplies par rapport à l'enquête précédente et que sa situation s'était réellement améliorée, de sorte que son droit à l'allocation pour impotent devait être supprimé. Le 18 octobre 2009, celle-ci a fait part à l'office AI de ses observations, qu'elle a complétées le 3 décembre 2009. Par décision du 7 décembre 2009, l'office AI, tout en s'exprimant sur les observations de l'assurée, a supprimé son droit à l'allocation pour impotent dès le premier jour du 2ème mois suivant la notification de la décision. B. Par lettre du 4 janvier 2010 (timbre postal), G._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant implicitement à son annulation et au maintien de son droit à l'allocation pour impotent. Dans sa réponse du 2 février 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé la juridiction cantonale que dans le cadre de la procédure de révision du droit de G._ à une rente d'invalidité entamée à partir du 25 novembre 2008, il avait remis le 19 janvier 2010 une demande d'expertise pluridisciplinaire au Centre d'Expertise Médicale (CeMed) Y._. B.a Par arrêt incident du 16 mars 2010, la juridiction cantonale a suspendu l'instance dans l'attente du rapport d'expertise du CeMed. L'expertise du CeMed a été effectuée par les docteurs S._ (spécialiste FMH en rhumatologie) et B._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie). Dans leur rapport du 18 mai 2010, ces médecins ont posé le diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail de polyarthrite rhumatoïde séropositive érosive dès 1998. Ils ont posé les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de fibromyalgie (présente depuis 1996), de discopathies cervicales (présentes depuis 2004) et lombaires (présentes depuis 2007), de gonarthrose tri-compartimentale du genou droit (présente depuis 2007) - status après fracture de la rotule du genou droit (survenue en 1987) - et de tendinopathie achilléenne droite (présente depuis 2004). Ils ont considéré que la fibromyalgie n'était accompagnée d'aucune comorbidité psychique et que la capacité de travail était entière sur le plan strictement psychiatrique dans toute activité respectant les limitations fonctionnelles somatiques. Dans un avis médical du 29 juillet 2010, la doctoresse U._, médecin SMR, a retenu que depuis mai 2009 l'évolution de la polyarthrite rhumatoïde était parfaitement maîtrisée et que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré. Elle a soumis un questionnaire aux experts du CeMed, lesquels, dans un rapport complémentaire du 2 septembre 2010, ont répondu que les limitations fonctionnelles étaient uniquement somatiques et ne concernaient pas la fibromyalgie et que les atteintes à la santé somatique retenues et détaillées étaient en rapport avec la maladie rhumatismale inflammatoire chronique évolutive, soit la polyarthrite rhumatoïde, et entraînaient une incapacité de travail complète et définitive dans l'activité de nurse exercée auparavant ainsi que dans toute autre activité. Ils ont relevé que l'affirmation de la doctoresse U._ selon laquelle l'assurée, bien qu'étant atteinte d'une maladie chronique, ne présentait plus de besoin d'aide pour les actes de la vie quotidienne était en contradiction avec ce qu'ils avaient indiqué dans leur rapport du 18 mai 2010 en ce qui concerne les activités quotidiennes. Dans un avis du 14 septembre 2010, la doctoresse U._ a considéré que son appréciation du 29 juillet 2010 restait valable. Le 21 septembre 2010, l'office AI a informé G._ que le degré d'invalidité n'avait pas changé et qu'elle continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité. B.b Dès la reprise de l'instance le 13 octobre 2010, les parties ont eu la possibilité de déposer leurs observations. Dans sa réponse du 9 novembre 2010, l'office AI a conclu au rejet du recours. Dans ses déterminations du 11 novembre 2010, G._ a déclaré persister dans les termes et conclusions de son recours. Par arrêt du 18 janvier 2011, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 7 décembre 2009 (ch. 3 du dispositif) et dit que G._ avait droit à l'allocation d'impotent de degré faible dès le 1er septembre 2001 sans discontinuité (ch. 4 du dispositif). C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à ce qu'il soit annulé et à ce que la décision de suppression du droit à l'allocation pour impotent du 7 décembre 2009 soit confirmée. Il a également sollicité l'octroi de l'effet suspensif au recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 17 mai 2011. G._ conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt entrepris du 18 janvier 2011 soit confirmé. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.