Faits: A. Par décision du 14 novembre 2011, la Juge suppléante IV du district de Sion a prononcé la faillite de X._ Sàrl à la requête de Y._ Sàrl. B. Par jugement du 16 décembre 2011, le Juge de l'autorité de recours en matière de faillite du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours interjeté par X._ Sàrl et prononcé la faillite de cette dernière avec effet ce même 16 décembre 2011 à 14 heures. Il a considéré que, si X._ Sàrl avait établi par titre que le montant de la poursuite n° xxx, l'opposant à Y._ Sàrl avait été payé en capital, intérêts et frais, la seconde condition cumulative prévue à l'art. 174 al. 2 LP pour permettre l'annulation du jugement de faillite n'était pas remplie, à savoir que la faillie n'avait pas rendu vraisemblable sa solvabilité. C. Contre cet arrêt cantonal, X._ Sàrl interjette, le 3 février 2012, un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une demande d'effet suspensif. Invoquant la violation de l'art. 174 al. 2 LP, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, donc implicitement au rejet de la réquisition de faillite déposée par Y._ Sàrl. Aucune observation sur le fond n'a été requise. D. L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 12 mars 2012, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les éventuelles mesures conservatoires prises en vertu des art. 162 ss, 170, 174 al. 3 et 221 ss LP demeurant toutefois en vigueur.