Faits: A. La "FMH Fédération des médecins suisses", (...), "FMH Foederatio Medicorum Helveticorum", est une association médicale suisse. X._, née en 1965, est titulaire d'un diplôme de docteur en médecine de l'Université "Cyrille et Méthode" de Skopje (République de Macédoine). Après avoir suivi différentes formations postgrades en médecine en Macédoine, elle a entrepris, dès le 1er octobre 1995, une formation postgrade spécifique en ophtalmologie à Skopje, Belgrade et Genève. Le 14 août 2007, X._ a déposé auprès de la Commission des titres de la FMH (ci-après la Commission des titres) une demande visant à obtenir une attestation d'équivalence au titre de spécialiste en ophtalmologie. Par décision du 26 octobre 2007, la Commission des titres a considéré qu'une attestation d'équivalence ne pourrait être remise à X._ qu'au moment où elle attesterait de la réussite de l'examen de spécialiste en ophtalmologie. L'opposition effectuée par X._ contre cette décision auprès de la Commission d'opposition pour les titres de formation postgraduée de la FMH (ci-après la Commission d'opposition) a été rejetée par décision du 20 mars 2008. B. Par mémoire du 24 avril 2008, X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. A l'appui de ses conclusions, elle a allégué que la décision attaquée se fondait sur une attestation de stage de l'Université de Skopje mentionnant des dates erronées. Elle a produit une nouvelle pièce et soutenait, sur la base de ce document, avoir terminé les 48 mois de formation requis le 31 octobre 1999 déjà, de sorte qu'en application des dispositions transitoires, elle remplissait les conditions d'octroi de l'attestation d'équivalence au titre de spécialiste en ophtalmologie sans avoir besoin de passer d'examen. La procédure devant le Tribunal administratif fédéral a été suspendue afin d'attendre l'issue de deux procédures en reconsidération déposées auprès de la Commission d'opposition par X._. Ces demandes en reconsidération ayant été rejetées, le Tribunal administratif fédéral a statué sur le cas en date du 12 août 2010. Il a admis le recours de X._, annulé toutes les décisions de la Commission d'opposition et de la Commission des titres et invité cette dernière à délivrer l'attestation requise à X._. C. Par acte en langue allemande du 23 septembre 2010, la FMH, Commission des titres, et la FMH, Commission d'opposition, ont déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elles demandent l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 12 août 2010 et le refus de l'octroi du titre de spécialiste en ophtalmologie à X._, le tout sous suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, elles requièrent le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'acte de recours était accompagné notamment d'une procuration en faveur de Me Andreas Danzeisen émise par la FMH et signée par son président et son secrétaire général. Par ordonnance du 7 octobre 2010, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête de l'intimée tendant à ce que soit ordonnée la traduction du mémoire de recours. Par ordonnance du 22 octobre 2010, il a par ailleurs accordé l'effet suspensif au recours. L'intimée a déposé sa réponse le 10 novembre 2010. Elle conclut à l'irrecevabilité du recours à la forme, et à son rejet au fond, sous suite de frais et dépens. Par acte d'instruction du 10 janvier 2012, des informations complémentaires sur la pratique consistant à délivrer des attestations d'équivalence aux titres de formations postgrades ont été demandés à FMH, en sa qualité d'organisation responsable de filières de formation postgrade accréditées, à la Commission fédérale des professions médicales MEBEKO compétente pour reconnaître des titres postgrades étrangers, ainsi qu'à l'Office fédéral de la santé publique responsable de la surveillance en matière de professions de la santé, qui ont répondu dans le délai imparti. Ces courriers ont été transmis à l'intimée.