Faits: A. A.a. X._ exploite une entreprise de taxi dans la région lausannoise. En 1977, il a été mis au bénéfice d'une autorisation A pour taxis de place, qui lui confère le droit et implique l'obligation de stationner sur les emplacements du domaine public concerné. A.b. Le 20 août 2008, l'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis (ci-après: l'Association) -, qui avait auparavant fondé un monopole de service public portant sur l'exploitation d'un central d'appel des taxis de place (ci-après: les taxis A) -, a désigné la société Taxi Services Sàrl (ci-après: la Société concessionnaire) comme titulaire de la concession du central d'appel des taxis A, pour une durée initiale de cinq ans à partir du 1 er janvier 2009. Le Comité de direction de l'Association en a informé tous les titulaires d'autorisations A par circulaire du 17 septembre 2008, en soulignant leur obligation de s'abonner au central d'appel A à peine de non-renouvellement ou de retrait, suivi de la réattribution de leur autorisation A à partir du 1 er janvier 2009. Le 30 septembre 2008, la Société concessionnaire a fait parvenir à tous les titulaires d'autorisations A un contrat d'abonnement au central d'appel; un rappel a été adressé en octobre 2008 aux intéressés n'ayant pas signé ce contrat. A.c. Un certain nombre de titulaires d'une autorisation A, dont X._, n'ayant pas encore signé le contrat d'abonnement, la Commission administrative du Service intercommunal de taxis de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: la Commission administrative) a été saisie de la procédure de retrait desdites autorisations A. Après avoir imparti aux exploitants de taxis concernés un ultime délai pour signer le contrat, la Commission administrative leur a retiré, y compris à X._, respectivement a refusé de renouveler leur autorisation A à compter du 1 er janvier 2009, par décisions des 28 novembre et 1 er décembre 2008. Ceux-ci ont recouru contre ces décisions devant le Comité de direction, en requérant l'octroi de l'effet suspensif. Par décisions incidentes du 9 janvier 2009, le Président du Comité de direction a retiré, respectivement refusé l'effet suspensif accordé à titre de mesure préprovisionnelle aux recours. Par arrêt du 26 juin 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis les recours formés contre les décisions incidentes et a maintenu l'effet suspensif. Le 21 août 2009, le Comité de direction a rejeté les recours formés par les exploitants concernés et confirmé les décisions des 28 novembre et 1 er décembre 2008. Les intéressés, dont X._, ont recouru contre cette dernière décision auprès du Tribunal cantonal. X._ a toutefois retiré son recours par une lettre manuscrite du 1er juin 2010, dont le Tribunal cantonal a pris acte le lendemain; toujours le 1 er juin 2010, X._ a informé l'Association au sujet de son retrait dans les termes suivants: "Suite à notre entretien téléphonique de ce jour, par la présente, je vous confirme que je me suis retiré du recours Y._ et consorts. Je vous remercie d'en prendre note et attends votre confirmation pour la suite (...) " B. Par courrier adressé à X._ le 10 juin 2010, la Commission administrative a relevé que le retrait de son recours rendait exécutoire la décision du 24 [recte: 28] novembre 2008, et l'a invité à restituer son autorisation A ainsi que la carte de son véhicule. Par courrier du 15 juin 2010, la Société concessionnaire a, à son tour, informé X._ qu'il ne pouvait s'affilier au central d'appel, dès lors qu'il ne bénéficiait plus d'une autorisation A. X._ a formé recours contre la "décision" du 10 juin 2010 auprès du Tribunal cantonal, avant de retirer celui-ci le 30 juin 2010. Il a dans l'intervalle déposé un recours contre les "décisions" des 10 et 15 juin 2010 devant le Comité de direction, concluant à ce que l'ordre de restitution de son autorisation A, respectivement le refus de son affiliation au central d'appel soient annulés, de sorte qu'il demeurerait titulaire de l'autorisation A et serait abonné au central d'appel. Le Comité de direction a rejeté son recours, dans la mesure de sa recevabilité, par décision du 23 février 2012 et a imparti un délai de 30 jours à X._ pour restituer l'autorisation A, au motif qu'à la suite du retrait de son recours du 1 er juin 2010 devant le Tribunal cantonal, la décision de la Commission administrative du 28 novembre 2008 était devenue exécutoire et l'autorisation A caduque à partir du 1 er janvier 2009; il incombait le cas échéant à l'intéressé de déposer une nouvelle demande d'autorisation A, qui serait intégrée à la liste d'attente régissant les candidatures. X._ a contesté la décision du 23 février 2012 devant le Tribunal cantonal, qui a admis son recours et réformé ladite décision "en ce sens que l'autorisation A en faveur de X._ est en l'état réputée maintenue, à charge de Taxi Services Sàrl de se prononcer sur sa demande d'affiliation au central d'appel". C. Le Comité de direction forme, pour le compte de l'Association, un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal du 23 avril 2013. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt en ce sens que l'autorisation A de X._ n'est pas réputée maintenue, que son recours est rejeté et que la décision du 23 février 2012 est confirmée. Il requiert subsidiairement l'annulation de l'arrêt du 23 avril 2013 et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. X._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué et renonce à former des observations. Dans ses observations des 1 er juillet et 14 août 2013, la Commission administrative conclut à l'admission du recours. Tout en s'en remettant à justice sur les conclusions prises dans le recours, la Société concessionnaire appuie la position de l'autorité recourante. L'Association recourante s'est encore déterminée le 20 septembre 2013.