Faits: A. A.a. Au début du mois d'avril 2013, A._ a sollicité l'intervention de l'Autorité de protection des Coteaux du Soleil, aux fins de bénéficier de mesures de protection. À cet effet, il a notamment exposé être apatride et handicapé, se sentir discriminé à la suite du refus de sa demande de naturalisation par la commune de Conthey, ne plus être en mesure de rémunérer les services d'un avocat pour la procédure de naturalisation, déplorer que l'AI refuse de lui financer une nouvelle prothèse de l'oeil et craindre d'être expulsé de son logement; il a, dès lors, demandé à l'Autorité de protection de l'aider à s'intégrer et de lui payer un avocat pour défendre ses intérêts. A.b. Statuant le 6 juin 2013, l'Autorité de protection a refusé d'instituer une mesure de curatelle en faveur du requérant. Elle a considéré que les conditions de l'art. 390 CC n'étaient pas réalisées, l'intéressé ne souffrant ni de déficience mentale, ni de trouble psychique, ni même d'un état de faiblesse justifiant l'adoption d'une mesure. Elle a en outre précisé son rôle et expliqué qu'il ne lui appartenait pas de donner suite à diverses revendications qui excèdent sa compétence, en particulier de veiller à l'intégration sociale du requérant. A.c. Par acte daté du 4 août 2013, mais parvenu le 5 septembre 2013 au Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), A._ a recouru contre la décision précitée. Il a renouvelé sa demande d'« assistance juridique totale, inclus et l'aide de l'avocat d'office » et formulé des conclusions tendant à «r econnaître la responsabilité de l'Autorité de la Commune de Conthey dans la procédure de [s] on intégration ", à condamner la Commune de Conthey à lui restituer un montant de 1'450 fr. ainsi qu'à lui financer les frais de son intégration, à condamner l'Office cantonal d'action sociale à lui restituer un montant de 4'639 fr. alloué par l'ODM pour son intégration ainsi qu'une somme de 2'000 fr. afférente à des retenues injustifiées sur son minimum vital durant 9 années. B. Préalablement, par acte séparé du 19 août 2013, A._ avait envoyé au Tribunal cantonal une « Demande d'assistant légal d'Etat», en sollicitant notamment l'octroi d'une « assistante légale totale, inclus et l'aide d'avocat d'office pour la procédure de recours contre la décision de Chambre pupillaire [recte: Autorité de protection] du 6 juin 2013». Par lettre du 14 septembre 2013, il s'est de nouveau adressé audit tribunal, en réaction à une détermination de l'Autorité de protection et en réitérant sa requête d'assistance judiciaire. Par décision du 17 septembre 2013, le Président de la Cour civile II du Tribunal cantonal a refusé de commettre un conseil juridique d'office à A._; par courrier du 10 octobre suivant, il a informé le prénommé que cette décision pouvait faire l'objet d'un recours auprès du Tribunal fédéral, dans les 30 jours dès sa notification. C. Par acte du 6 novembre 2013, A._ exerce un recours au Tribunal fédéral contre les «décisions» rendues les 17 septembre et 10 octobre 2013; il conclut notamment à ce qu'une «assistance légale totale, inclus et l'aide d'avocat d'office» lui soit octroyée, tant pour la procédure de recours cantonale que pour la procédure fédérale. Des déterminations n'ont pas été requises.