A.- a) Cheikh Youssef Mohamed Abdel Wahab Naghi (ci-après: Cheikh Naghi), homme d'affaires très fortuné domicilié à Jeddah (Arabie Saoudite), s'est lié d'amitié avec Richard Warczyk, qui s'occupait de ses fonds auprès de la British Bank of Middle East depuis 1988. Richard Warczyk a été engagé en août 1993 par Clariden Bank S.A. (ci-après: Clariden), établissement bancaire de droit suisse et filiale du Crédit Suisse. Ayant confiance en Warczyk, Cheikh Naghi a ouvert un compte auprès de Clariden. Le 2 août 1993, il a ainsi signé un document d'ouverture de compte prévoyant notamment l'application du droit suisse et la compétence des tribunaux genevois; ce document précise que la banque a la possibilité de faire un appel de fonds supplémentaires lorsque les actifs ou la marge sont insuffisants et que si le client ne fournit pas les fonds supplémentaires requis, elle peut réaliser, sans autre avertissement ou formalité, les actifs afin de couvrir sa créance ou restaurer la marge. Le 24 août 1993, Cheikh Naghi s'est rendu dans les locaux de Clariden à Genève pour une entrevue avec Warczyk et Daniel Kropf, directeur de l'établissement bancaire. Cheikh Naghi a exprimé sa conviction que le cours du dollar allait monter de façon substantielle et fait part de sa volonté de spéculer dans ce sens. Il a été convenu que les communications entre les parties seraient quotidiennes. Le même jour, Cheikh Naghi a signé un mandat pour des transactions sur futures et options, dont les conditions générales précisaient que le client confirmait avoir connaissance des risques inhérents à ces opérations et avoir soigneusement considéré s'ils étaient compatibles avec sa situation de fortune; s'agissant des opérations sur devises, la formule indiquait que la banque pouvait demander au client une couverture et/ou une marge suffisante et liquider les positions ouvertes sans avis préalable, en tout temps, en cas de couverture insuffisante. Le 27 août 1993, Cheikh Naghi a signé un mandat de gestion en faveur de Clariden, limité aux transactions en devises. Selon ce mandat, le client permettait à Clariden de gérer son compte sans instructions particulières; la banque était autorisée à prendre toutes les mesures dans le meilleur intérêt du client, ce dernier conférant à la banque un pouvoir illimité d'administration dans ce sens. Il était précisé que la banque appliquerait à cette gestion la même diligence que pour ses propres affaires. Le même jour, Cheikh Naghi a versé sur son compte la somme de 20 millions US$, sous forme de deux chèques de 10 millions US$ chacun. Si, dans un premier temps, le compte a été subdivisé en deux, ces deux sous-comptes ont été ultérieurement à nouveau réunis en une seule entité. Le 13 octobre 1993, Cheikh Naghi a signé une procuration en faveur de Yousuf Shaikh, lequel est intervenu par la suite comme son conseiller financier. Il semble que Cheikh Naghi était en contact téléphonique quotidien avec Warczyk et qu'il recevait chaque jour la communication des opérations. b) Au début du mois de juillet 1994, Clariden a fait un appel de marge, parce que la couverture n'était pas suffisante et que le dollar évoluait défavorablement. Le 10 juillet 1994, Cheikh Naghi a fait transférer trois millions US$ à Clariden. Le 14 juillet 1994, Yousuf Shaikh s'est entretenu avec le responsable de la table des changes chez Clariden; selon le rapport établi par ce dernier, Yousuf Shaikh était parfaitement conscient de l'état des pertes qui s'élevaient approximativement à 16,7 millions US$. Les 21 et 22 juillet 1994, Richard Warczyk a conseillé à Cheikh Naghi de réaliser une partie de ses positions; l'opération n'a pu s'effectuer, car Cheikh Naghi a fixé un cours minimum qui n'a pas été atteint. Warczyk a expliqué que son activité essentielle consistait en conseils, les ordres étant toujours donnés par Cheikh Naghi ou Yousuf Shaikh, que la décision se prenait en commun, que s'il y avait un désaccord, les protagonistes renonçaient généralement et que le mandat de gestion signé par Cheikh Naghi n'était qu'une garantie pour le cas où Warczyk ne parviendrait pas à joindre son client. Pour les opérations "forex" (foreign exchange ou marché international des devises), il a été décidé, en août 1994, d'appliquer la méthode dite des cours historiques. Une discussion a eu lieu à ce sujet entre Richard Warczyk et Yousuf Shaikh; Cheikh Naghi a déclaré, lors d'une réunion avec Daniel Kropf, qu'il bénéficiait de cette méthode à la British Bank of Middle East. Selon rapport des 11 et 12 août 1994, Richard Warczyk a insisté pour une augmentation de la marge, les pertes s'élevant alors à 9 520 400 US$. Le 16 août 1994, Cheikh Naghi a transféré à nouveau cinq millions US$ à Clariden. Yousuf Shaikh a admis qu'il savait qu'il existait des pertes sur le compte. Le 18 octobre 1994 à Jeddah, Warczyk a tenté de convaincre Yousuf Shaikh de ne pas augmenter les positions pour ne pas accroître les risques. Cheikh Naghi a été averti de la nécessité d'apporter des fonds supplémentaires. Ultérieurement, le responsable de la table des changes de Clariden a rencontré à nouveau deux fois Cheikh Naghi, dont une fois en présence de Yousuf Shaikh. Selon ce cadre bancaire, ses interlocuteurs connaissaient parfaitement les mécanismes du commerce des devises et donnaient l'impression de savoir où ils allaient, de sorte que la banque n'avait rien à leur expliquer. A ses dires, si Cheikh Naghi prenait toutes les décisions lui-même, le compte était suivi attentivement par le département des crédits de Clariden, de jour en jour, voire d'heure en heure et il y avait un contrôle de la marge doublé d'un contrôle informatique. Au 31 décembre 1994, les actifs nets étaient de 22 787 669 US$ et au 6 janvier 1995 de 24 078 710 US$. c) Selon un rapport de Warczyk du 9 janvier 1995, celui-ci a souligné le danger de la baisse du dollar qui nécessitait des fonds supplémentaires pour maintenir la marge. Le lendemain, à Jeddah, Cheikh Naghi a signé en faveur de Clariden un mandat spécial pour les transactions à options, en monnaies étrangères uniquement; selon ce mandat, le client demandait à Clariden de gérer son compte d'une façon indépendante et sans directives spécifiques; la banque s'engageait à agir avec la même diligence que celle qu'elle applique à ses propres affaires; le droit suisse était déclaré applicable et l'accord signé mentionnait encore la préférence du client pour une gestion très "agressive" sur une période de trois ans. D'après un rapport établi par Warczyk le 6 février 1995, son auteur a fait part à Yousuf Shaikh de son inquiétude à propos de la faiblesse du dollar et a refusé toute idée d'augmentation. Ces derniers ont décidé de rester quotidiennement en contact, comme d'habitude, pour chaque nouvelle action. Le lendemain, les susnommés se sont revus et ont discuté de la stratégie et des mesures à prendre en vue de couvrir certaines pertes importantes dues à la chute continue du dollar, et du choix de maintenir aussi longtemps que possible la méthode des cours historiques. Warczyk a précisé clairement qu'à l'avenir la banque n'appliquerait plus cette méthode pour de nouvelles positions, lesquelles seraient désormais accompagnées de limites "stop loss" dans le but d'éviter de trop grosses pertes. Les intéressés n'ont pas pris de décision immédiate pour de nouvelles positions, préférant attendre une stabilisation du marché. Il résulte d'un nouveau rapport de Warczyk que celui-ci a téléphoné à Cheikh Naghi le 7 mars 1995, que l'homme d'affaires lui a promis l'envoi d'un fax pour le transfert de fonds supplémentaires et que le même soir, Cheikh Naghi l'a appelé pour organiser une conférence téléphonique avec un représentant du Crédit Suisse afin de transférer l'argent nécessaire pour garder les positions ouvertes. Le 8 mars 1995 au matin, Cheikh Naghi a rappelé Warczyk pour ce transfert, mais toutes les positions avaient déjà été clôturées, laissant des actifs nets s'élevant à 4 367 783 US$. Cheikh Naghi a manifesté son mécontentement. Le même jour, il a révoqué avec effet immédiat la procuration en faveur de Yousuf Shaikh. Le 31 mars 1995, Warczyk a démissionné de ses fonctions au sein de Clariden en raison de son désaccord avec la clôture des positions de Cheikh Naghi. Ce même jour, Daniel Kropf a expliqué à Cheikh Naghi que la clôture de ses positions avait permis d'éviter des pertes encore plus importantes. B.- Invoquant la responsabilité du gérant de fortune, Cheikh Naghi a déposé devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, le 21 février 1998, une demande en paiement dirigée contre Clariden, réclamant en dernier lieu à cette dernière la somme de 27 030 057, 83 US$ avec intérêts. Par jugement du 8 septembre 1999, le Tribunal de première instance a rejeté la demande. Saisie d'un appel de Cheikh Naghi, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 14 avril 2000, a confirmé le jugement attaqué. En substance, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que la banque n'avait fait que suivre les instructions précises et quotidiennes de son client, lequel s'était obstiné, malgré les mises en garde, à spéculer sur une hausse du dollar à un moment où cette monnaie a connu une chute spectaculaire. C.- Cheikh Naghi exerce un recours en réforme au Tribunal fédéral. Reprochant à la banque d'être restée passive, malgré sa qualité de gérante discrétionnaire, entre le 9 janvier 1995 et le 7 mars 1995, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la condamnation de sa partie adverse à lui payer la somme de 19 700 000 US$ avec intérêts; subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. L'intimée propose l'irrecevabilité, subsidiairement le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt attaqué. Par ordonnance du 17 août 2000, le Président de la Ie Cour civile a admis la demande de sûretés en garantie des dépens présentée par la défenderesse et invité le recourant à verser une somme de 80 000 fr., à défaut de quoi ses conclusions seraient déclarées irrecevables. Le 4 septembre 2000, l'avocat Raphaël Treuillaud a informé le Tribunal fédéral du décès du recourant, survenule 7 juillet 2000 à Jeddah. Ses héritiers, à savoir son épouse Hoda Ben Mohamed Omar Jamjoum et ses enfants Mohamed, Yasser, Saleh et Ammar Naghi ont pris sa place dans la procédure.