Faits: A. Y._, née en 1958, et X._, né en 1959, se sont mariés le 8 mars 1995. Un enfant est issu de leur union, A._, née en 1994. B. B.a Le 17 juillet 2007, Y._ a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale et pris notamment des conclusions relatives à la garde de l'enfant, ainsi qu'aux contributions à verser par son mari pour l'entretien de la famille. Une audience de conciliation s'est déroulée le 13 mars 2008, ensuite de l'introduction par X._ d'une demande de divorce. Par décision du 11 avril 2008, Z._, juge de district, a, entre autres points, autorisé les époux à vivre séparés pour une durée indéterminée, attribué la garde de l'enfant à sa mère et astreint le mari à verser des contributions d'entretien mensuelles de 2'000 fr. en faveur de l'enfant et de 5'000 fr. en faveur de l'épouse. Le mari a interjeté un pourvoi en nullité contre cette décision, qui a été rejeté dans la mesure de sa recevabilité le 25 août 2008. B.b Invité par la cour cantonale à transmettre son dossier à la suite du dépôt de ce pourvoi, le juge de district a notamment précisé, dans sa lettre d'accompagnement du 6 juin 2008, ce qui suit: "(...) Concernant les griefs soulevés dans le pourvoi en nullité, je tiens à préciser que, lors de la séance du 22 août 2007, X._ a expressément confirmé que son épouse, qui selon lui devait s'occuper des aspects administratifs, n'avait jamais travaillé pour son cabinet médical, bien qu'un salaire annuel de 30'000 fr. lui était versé. Cet élément ressort d'ailleurs non seulement du procès-verbal d'audience, mais également des allégués des deux parties (...). Ce n'est qu'après avoir été averties du fait que l'établissement d'un faux certificat de salaire - intégré dans la comptabilité du cabinet et qui avait permis l'obtention d'allocations familiales - pouvait avoir des répercussions pénales, que les parties ont indiqué lors de l'audience précitée que Y._ effectuait quelques courses pour le cabinet et quelques lessives. A réception de votre décision sur le pourvoi en nullité, la question d'une dénonciation pénale devra d'ailleurs être examinée (...)." Par lettre du 19 juin 2008 adressée au juge de district, le mari, par le biais de son mandataire, a demandé la récusation de ce magistrat en ces termes: