Faits : A. Le 3 juillet 2013, A._ a demandé au Tribunal civil du canton de Genève de lui accorder l'assistance juridique pour un recours formé auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève à l'encontre d'une décision de l'Office du logement du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal du logement) du 23 mai 2013. Dans sa requête, elle a demandé la nomination de l'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'ASLOCA) en tant que conseil juridique. B. Par décision du 15 juillet 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté cette demande, au motif que les conditions posées pour la nomination et la rémunération d'un mandataire professionnellement qualifié, soit en l'espèce l'ASLOCA, par l'assistance juridique n'étaient pas réalisées. Le fait que le droit cantonal autorisait une partie à se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié dans le cadre d'une procédure administrative n'était pas pertinent sous l'angle des règles applicables en matière d'assistance juridique. Par acte du 21 août 2013, A._ a formé un recours contre cette décision auprès de la Cour de justice (Assistance judiciaire), qui, par l'entremise de sa Vice-présidente, l'a partiellement admis le 12 septembre 2013. C. Contre la décision du 12 septembre 2013, A._ interjette un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à l'annulation de la décision entreprise en tant qu'elle consacre une violation de son droit d'être entendue et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Subsidiairement, A._ demande l'annulation de la décision attaquée et à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours contre la décision de l'Office cantonal du logement et à ce que l'ASLOCA, respectivement un collaborateur de l'ASLOCA, soit nommé en tant que conseil juridique; plus subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à l'autorité précédente dans le sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la nomination de Me Pierre Stastny en tant qu'avocat d'office. Le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé la recourante qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire. La Vice-Présidente de la Cour de justice et la Vice-Présidente du Tribunal civil ont déposé des observations, se référant pour le surplus aux considérants de leur décision. Le 16 janvier 2014, la recourante a répondu aux observations formulées par la Vice-Présidente de la Cour de justice. D. Le 1er octobre 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a octroyé à A._ l'assistance juridique limitée aux frais judiciaires pour le recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice contre la décision sur réclamation prononcée le 23 mai 2013 par l'Office cantonal du logement.