Faits: A. C._, né en 1962, a travaillé en qualité de comptable au service de la société X._ (Suisse) SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurances (aujourd'hui : Axa Winterthur Assurances; ci-après : Winterthur Assurances). Le 1er novembre 2000, il a été victime d'un accident de la circulation ensuite duquel il a subi notamment une rupture traumatique de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Winterthur Assurances a pris en charge le cas. Depuis lors, C._ a subi diverses périodes d'incapacité de travail entière et partielle en raison des séquelles de son accident. Il n'a pas repris d'activité professionnelle depuis le mois de mai 2002. Après avoir recueilli différents avis médicaux, l'assureur-accidents a rendu une décision, le 7 février 2005, par laquelle il a supprimé le droit de l'assuré à toute prestation à partir du 31 août 2002, au motif que la symptomatologie douloureuse dont souffrait encore l'intéressé à cette date n'était pas en relation de causalité avec l'accident du 1er novembre 2000. L'assuré ayant formé opposition contre cette décision, Winterthur Assurances a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins de l'Hôpital Y._ (rapport du 19 septembre 2006). De son côté, l'intéressé a produit une expertise qu'il avait demandée à titre privé aux médecins du Service V._ de l'Hôpital Z._ (rapport du 1er février 2006). Par décision du 29 janvier 2007, Winterthur Assurances a alloué à l'assuré, à partir du 1er janvier 2007, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 %. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée par décision du 19 mars 2007. B. L'assuré a déféré cette décision sur opposition au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 %. Le 18 septembre 2007, la juridiction cantonale a entendu en qualité de témoins deux des auteurs des rapports d'expertise versés au dossier, à savoir le docteur H._, médecin à l'Hôpital Z._, et le docteur P._, médecin à l'Hôpital Y._. Elle a rejeté le recours par jugement du 27 mai 2008. C. Par décision sur opposition du 17 avril 2008, l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger a alloué à l'assuré, à partir du 1er novembre 2001, une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 50 %. L'assuré a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. D. Par écriture du 5 juin 2008, l'assuré a demandé au tribunal cantonal de "rétracter" son jugement du 27 mai précédent, au motif qu'il reposait à tort sur le principe que la décision sur opposition de l'Office AI du 17 avril 2008 était entrée en force. La juridiction cantonale a transmis cette écriture au Tribunal fédéral comme objet de sa compétence. Par ordonnance du 13 juin 2008, le Président de la Ire Cour de droit social a demandé à l'intéressé si sa lettre du 5 juin précédent constituait un recours contre le jugement du tribunal cantonal du 27 mai 2008, auquel cas il l'invitait à compléter dans le délai légal son écriture de manière à satisfaire aux exigences légales. L'assuré a déposé en temps utile un mémoire de recours, par lequel il conclut à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 %, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.