A.- X._ S.A. a pour but notamment le commerce et la fabrication d'articles d'horlogerie. Elle fait partie du groupe de joaillerie D._, du nom de son actionnaire principal B._, qui comprend diverses S.A., dont la manufacture des montres X._ S.A. et Y._ S.A. Par contrat du 23 juin 1998, A._, alors directeur de la société Z._ S.A., a été engagé par X._ S.A. en qualité de "directeur général, avec la responsabilité de la gestion du personnel de toutes les sociétés du groupe E._". Le contrat, conclu pour une durée indéterminée, devait prendre effet au 1er octobre 1998, les trois premiers mois de service étant considérés comme temps d'essai. Après cette période, chaque partie pourrait résilier le contrat moyennant un préavis de six mois. Le salaire mensuel brut était fixé à 20 000 fr. versé treize fois l'an. Contrairement à ce qui était prévu dans le contrat, A._ a officiellement commencé son activité pour X._ S.A. le 16 septembre 1998. Il a en outre travaillé durant 21 jours, entre le 17 juillet et le 16 septembre 1998, sans être rémunéré. En juillet et août 1998, A._ a participé à diverses conférences et établi des rapports et courriers concernant la structure de la société qui l'employait, préconisant notamment l'engagement de 3 personnes. A fin août, il a participé à deux conseils d'administration. Dans un courrier du 14 novembre 1998, adressé à B._, A._ a décrit la situation financière du groupe comme catastrophique. Le 23 novembre, il a rendu un "rapport stratégique sur l'avenir de la marque E._" proposant, notamment d'effectuer des investissements pour quelque 21 millions de francs sur trois ans. Lors d'une réunion, qui s'est tenue le 23 novembre 1998, il a été décidé que l'activité de A._ se déroulerait désormais depuis L._, que son équipe s'en irait et qu'il ne conserverait que les collaborateurs indispensables pour l'assister dans ses tâches quotidiennes. Par courrier du 25 novembre, le prénommé s'est déclaré très satisfait d'avoir des directions à suivre. Par une lettre du 27 novembre, il devait cependant formuler quelques constatations réservées quant à la stratégie définie le 23 novembre 1998 et émettre quelques recommandations. Le 1er décembre 1998, il acceptait des mandats d'administrateur de X._ S.A. et de la manufacture des montres E._. Le 16 décembre 1998, soit le dernier jour de sa période d'essai, A._ a signé un avenant à son contrat de travail du 23 juin 1998. Selon celui-ci, il s'engageait à respecter la politique générale définie par B._ le 23 novembre 1998, à savoir que son activité serait basée à L._, que son équipe serait restreinte au strict minimum nécessaire pour l'assister dans sa gestion quotidienne à L._, que l'activité de la manufacture des montres E._ devait correspondre aux besoins du groupe dans une vocation horlogère pure, qu'il s'abstiendrait de faire de la publicité en Europe et de dépasser le budget alloué. Les 17 et 18 décembre 1998, diverses réunions ont eu lieu. B._ y a pris plusieurs décisions, réduisant le pouvoir décisionnel de A._. Il a aussi fixé un voyage en Arabie Saoudite, obligeant son employé à écourter des vacances prévues jusqu'au 10 janvier 1999. Par courrier du 18 décembre 1998, A._ a déclaré avoir parfaitement compris la nouvelle stratégie qu'il convenait de mettre en place. Dans ce même courrier, il a indiqué souhaiter prendre immédiatement les quelques jours de vacances qui lui restaient sur l'année 1998, a précisé qu'il serait donc en vacances du 19 décembre 1998 au 10 janvier 1999 et qu'il reprendrait le travail à L._ le lundi 11 janvier 1999. B.- Par pli du 4 janvier 1999 adressé à B._, faisant suite à un téléphone qu'il avait eu avec ce dernier, A._ a résilié son contrat de travail pour le 31 juillet 1999 et renoncé à ses mandats d'administrateur. Dans un courrier du même jour adressé à une collaboratrice, il a prié d'annuler le voyage en Arabie Saoudite prévu cette semaine-là; il indiquait rester dans "l'expectative" dans la mesure où, lors de leur conversation téléphonique du matin, B._ lui avait "raccroché au nez" en ayant déclaré ne plus vouloir le voir et sans l'informer de la suite des opérations. Il ajoutait qu'il repartait en congé tel qu'il était prévu initialement et qu'il reviendrait le 11 janvier 1999. Dans une lettre datée également du 4 janvier 1999, B._ a fait part à A._ de son mécontentement et l'a informé de ce que son voyage prévu à Jeddah le 5 janvier 1999 était maintenu. Par retour de courrier du même jour, le demandeur a expliqué les motifs de sa démission; il exposait notamment que l'enchaînement des événements entre le 14 et le 18 décembre 1998 l'avait amené à douter de la confiance que B._ avait en lui. Il a aussi émis des propositions de modifications du voyage de Jeddah, soit quant à sa date, soit quant à la personne qui devait le faire. Par courrier du 5 janvier 1999 adressé à A._, B._ a constaté l'absence de ce dernier à Jeddah. Simultanément, le conseil de X._ S.A. a informé A._ que sa démission constituait un abus de droit manifeste et que, compte tenu de cette situation, la société était fondée à considérer que les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du temps d'essai. A titre superfétatoire, il a ajouté que le contrat de travail était résilié avec effet immédiat, et a indiqué les motifs de cette résiliation. Par lettre du 8 janvier 1998, le conseil du demandeur a pris acte du licenciement immédiat et en a contesté les motifs. C.- a) Le 11 mars 1999, A._ a assigné X._ S.A. devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève en paiement des sommes suivantes: - 1530 fr. à titre de participation de l'employeur aux frais de l'assurance maladie et d'allocations familiales, - 19 752 fr.10 à titre de salaire correspondant à 21 jours de travail effectués avant le 16 septembre 1998; - 142 380 fr. à titre de salaire pour les mois de janvier à juillet 1999. - 13 560 fr. à titre de treizième salaire; - 18 165 fr.90 à titre d'indemnité pour les vacances non prises en 1998 et 1999; - 3383 fr.30 à titre de remboursement de frais professionnels; - 122 040 fr. à titre d'indemnité correspondant à six mois de salaire. Le demandeur a en outre conclu à la constatation de ce que la clause de prohibition de concurrence contenue dans son contrat de travail n'était plus valable. Par déclaration du 12 mars 1999, complétée par courriers ultérieurs, la Caisse de chômage FTMH, office de la Côte, a déclaré intervenir dans la procédure pour se subroger dans les droits de son assuré à concurrence de 39 762 fr.85 nets, représentant les indemnités versées du 6 janvier au 31 juillet 1999. La défenderesse a conclu au déboutement du demandeur et à sa condamnation à réparer le préjudice subi par la société du chef du paiement des salaires des mois de janvier et février 1999 aux trois membres de l'équipe du demandeur. Cette prétention n'a pas été chiffrée. Par jugement du 20 octobre 1999, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer au demandeur: - la somme brute de 22 437 fr.80, intérêts en sus; - la somme brute de 172 175 fr.45, avec intérêts, sous déduction de la somme nette de 39 762 fr.85 à verser à la Caisse de chômage FTMH la Côte; - la somme nette de 3383 fr.30, intérêts en sus. Le tribunal a également condamné la défenderesse à payer à la Caisse de chômage FTMH la Côte la somme nette de 39 762 fr.85 et a donné acte au demandeur de ce que la défenderesse renonçait à la clause de prohibition de concurrence. b) Statuant sur appel de la défenderesse et sur appel incident du demandeur, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a, par arrêt du 15 mai 2000, annulé le jugement de première instance et - condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 165 619 fr.15, avec intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, sous déduction de la somme nette de 39 762 fr.85 à verser à la Caisse de chômage FTMH la Côte; - condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 1190 fr. avec intérêts à 5% dès le 5 janvier 1999; - condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme nette de 3383 fr.30, plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999; - condamné la défenderesse à payer à la Caisse de chômage FTMH la Côte la somme nette de 39 762 fr.85; - donné acte au demandeur de ce que la défenderesse renonce à la clause de prohibition de concurrence. D.- X._ S.A. recourt en réforme au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 15 mai 2000 en tant qu'il la condamne à payer au demandeur la somme brute de 165 619 fr.15 avec intérêts et à la Caisse de chômage FTMH la somme nette de 39 762 fr.85. Elle prend également des conclusions tendant au déboutement de ses adverses parties de tous leurs chefs de demande et de conclusions. Le demandeur invite le Tribunal fédéral à rejeter le recours. Il forme un recours joint tendant à la condamnation de la défenderesse à lui payer - la somme brute de 6623 fr.65 avec intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre de complément d'indemnité pour vacances non prises en nature; - la somme nette de 64 500 fr., plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre d'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO; - la somme brute de 19 638 fr.60, plus intérêts à 5% dès le 11 mars 1999, à titre de salaire pour les 21 jours de travail effectués avant le 16 septembre 1998, l'arrêt attaqué étant confirmé pour le surplus. Subsidiairement, le demandeur conclut à la confirmation de l'arrêt attaqué et au déboutement de la défenderesse de toute autre ou contraire conclusion. La défenderesse, en réponse au recours joint, conclut au déboutement du demandeur des conclusions prises sur recours joint, et de toute autre ou contraire conclusion.