Faits: A. L._, né en 1964, de nationalité britannique, travaillait depuis le mois de juin 1993 au service de X._ (...), à Londres. Au mois de septembre 2001, l'employeur et le salarié ont convenu d'un détachement de ce dernier auprès de X._ (Suisse) SA, à Genève. Le 20 décembre 2001, l'INLAND REVENUE IN CONTRIBUTIONS OFFICE, à Newcastle, a délivré au salarié un certificat de détachement en Suisse pour une durée maximale de vingt-quatre mois, du 1er décembre 2001 au 30 novembre 2003, en certifiant que, durant cette période, l'intéressé restait soumis au paiement des cotisations sociales en Grande-Bretagne. Aussi bien L._ a-t-il travaillé à Genève, avant d'être licencié par X._ (Suisse) SA, le 7 mai 2003, pour le 19 août 2003. B. L._ s'est annoncé à l'assurance-chômage et à l'Office cantonal genevois de l'emploi, en demandant à bénéficier des indemnités de chômage à partir du 19 août 2003. X._ (Suisse) SA a confirmé que L._ avait été employé à son service du 1er décembre 2001 au 19 août 2003 en qualité de directeur, en précisant qu'il n'avait jamais cotisé à l'AVS. Par décision du 10 décembre 2003, la Caisse cantonale genevoise de chômage a dénié au requérant le droit à l'indemnité prétendue, au motif qu'il ne pouvait pas justifier d'une période de cotisation en Suisse de douze mois au minimum et que les périodes de cotisation accomplies dans un Etat membre de l'Union européenne ne pouvaient pas être prises en considération, car il n'avait pas accompli, en dernier lieu, une période de cotisation en Suisse. La caisse a rejeté une opposition de l'intéressé par une nouvelle décision du 29 mars 2004. C. Par jugement du 20 janvier 2005, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé contre cette dernière décision par L._. D. L._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement en concluant au versement d'indemnités journalières pendant son chômage. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) a également formé un recours de droit administratif dans lequel il conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvel examen des droits du requérant. La caisse cantonale de chômage a conclu au rejet des recours.