Faits: A. V._, né en 1964, a travaillé en qualité de machiniste au service de la société Y._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). En plus de cette activité, il s'occupait de la conciergerie d'un immeuble locatif et accomplissait certaines tâches rémunérées pour Z._. Le 8 juin 1997, il a été victime d'une lésion du ligament croisé antérieur du genou droit en jouant au football avec des enfants. Il a subi diverses périodes d'incapacité de travail du 2 au 23 juillet 1997, date à partir de laquelle il a pu reprendre son activité à 100 %. La CNA a pris en charge le cas. Etant donné la persistance des douleurs, l'assuré a été soumis à une intervention de plastie du ligament croisé antérieur le 11 décembre 1997. Des symptômes d'algoneurodystrophie ont ensuite nécessité un traitement de physiothérapie intensive, ainsi qu'un séjour en clinique de rééducation du 2 au 16 décembre 1998. Au mois d'octobre 2002, l'intéressé a subi une entorse au genou gauche. L'évolution du cas a été ensuite influencée défavorablement par l'apparition d'un oedème des parties molles au genou droit. Le 3 décembre 2002, l'intéressé a subi une arthrolyse arthroscopique du genou droit. Dès le 16 février 2005, il a repris son activité de machiniste à plein temps. L'assuré a annoncé une rechute qui a entraîné une incapacité de travail de 50 % à partir du 18 avril 2005. La CNA a alors requis l'avis du docteur P._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA (rapports des 23 juin et 15 juillet 2005). L'intéressé ayant requis des prestations de l'assurance-invalidité, l'Office cantonal AI du Valais a confié une expertise aux docteurs L._ et A._, médecins au service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre hospitalier B._ (Centre hospitalier B._; rapport du 28 juillet 2006). Du 26 au 29 juillet 2006, l'assuré a séjourné au Centre hospitalier C._ en raison d'une dermo-hypodermite du membre inférieur droit. Par décision du 21 novembre 2006, la CNA a alloué à l'intéressé, à partir du 1er novembre précédent, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 27 % pour les suites de l'accident du 8 juin 1997. Par une autre décision, du 29 mars 2007, elle a refusé d'allouer ses prestations pour des troubles aux hanches et au dos, motif pris qu'ils n'étaient pas en relation avec l'accident ou un autre événement engageant sa responsabilité. Saisie d'oppositions contre ces décisions, la CNA les a rejetées par décision du 21 décembre 2007, après avoir requis l'avis du docteur P._ (rapport du 24 juillet 2007). De son côté, l'office AI a requis l'avis du docteur H._, médecin responsable au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR; rapport du 27 juillet 2007). Par décision du 16 janvier 2008, l'office AI a alloué une rente entière et une demi-rente pour diverses périodes d'incapacité de gain à partir du 1er décembre 1998. Considérant que le taux d'invalidité n'était plus que de 22 % dès le 20 juin 2005, il a supprimé tout droit à une telle prestation à compter du 1er octobre 2005. L'assuré a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais (cause n° S1 08 52). B. Le 30 janvier 2008, l'intéressé a recouru également contre la décision sur opposition de la CNA du 21 décembre 2007 devant la juridiction cantonale (cause n° S2 08 11). Par jugement du 16 février 2009, celle-ci a annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à la CNA pour qu'elle alloue à l'assuré une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 34 %. En outre, elle a condamné la CNA au paiement à l'intéressé d'une indemnité de dépens de 200 fr. C. V._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux supérieur à 34 %. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision. L'intimée conclut au rejet du recours. Par écriture du 5 mai 2009, la juridiction cantonale a pris position sur certains griefs du recourant. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.