Faits: A. A.a L._, née en 1950, a travaillé en qualité d'employée de maison auprès de X._ et était, à ce titre, assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Elvia Assurances (aujourd'hui: Allianz Suisse Société d'Assurances SA [ci-après: Allianz]). Le 14 juin 2001, elle a glissé sur le sol mouillé et elle est tombée sur le genou droit. Les différents médecins consultés ont fait état d'une entorse et d'une contusion du genou droit avec épanchement persistant. Ils ont attesté une incapacité de travail. L'assureur-accidents a pris en charge le cas. Par décision du 19 décembre 2003, confirmée sur opposition le 5 janvier 2005, il a supprimé le droit aux prestations d'assurance (frais médicaux et indemnité journalière) à partir du 1er octobre 2003, motif pris que l'affection au genou droit n'entraînait plus d'incapacité de travail dans une activité adaptée et qu'il n'existait pas de troubles psychiques en relation de causalité avec l'accident survenu le 14 juin 2001. A.b Saisi d'un recours de l'assurée qui concluait au maintien de son droit aux prestations d'assurance au-delà du 30 septembre 2003, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a admis partiellement en ce sens qu'il a reconnu le droit de l'assurée à une indemnité journalière calculée en fonction d'une incapacité de travail de 50 % jusqu'au 29 février 2004 (jugement du 1er novembre 2006). B. L'assurée, qui avait entrepris une activité de couturière au service de son employeur le 1er avril 2005, a été entièrement incapable de travailler du 17 janvier au 19 mars 2007, et partiellement, à raison de 50 %, à partir du 20 mars 2007 en raison de cervico-brachialgies chroniques à gauche et d'un état anxio-dépressif. Allianz a alloué des indemnités journalières au titre de l'assurance- maladie perte de gain. Le 3 novembre 2008, elle a informé l'assurée que ce versement prendrait fin le 15 janvier 2009 avec l'épuisement de son droit à prestations (700 indemnités journalières). Le 26 février 2009, l'assurée a demandé à Allianz de lui allouer une indemnité journalière de l'assurance-accidents fondée sur une incapacité de travail de 50 % en raison de vives douleurs qu'elle considérait comme une suite de l'accident du 14 juin 2001. A l'appui de sa requête, elle a produit un rapport d'expertise privée du docteur C._, spécialiste en orthopédie et chirurgie, du 21 février 2009. Par décision du 27 août 2009, confirmée sur opposition le 23 août 2010, Allianz a rejeté la requête de l'assurée qu'elle a traitée comme une demande de révision de sa décision sur opposition du 5 janvier 2005, par laquelle elle avait supprimé le droit aux prestations d'assurance à partir du 1er octobre 2003. C. L._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), en concluant à l'octroi, à compter du mois de janvier 2007, de prestations de l'assurance-accidents fondées sur un taux d'invalidité de 100 % ou sur un taux fixé à dires d'expert. Par jugement du 8 juin 2011, la juridiction cantonale a converti le recours en une demande de révision de son jugement du 1er novembre 2006 et elle l'a rejetée au sens des considérants, dans la mesure où elle était recevable. D. L._ interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et des décisions d'Allianz des 27 août 2009 et 23 août 2010, et à l'octroi, dès le mois de janvier 2007 et pour une durée indéterminée, de prestations de l'assurance-accidents fondées sur un taux d'invalidité de 100 % ou sur un taux fixé à dires d'expert, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué, à la confirmation de sa décision sur opposition du 23 août 2010 et au rejet du recours dans toutes ses autres et contraires conclusions. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) ont renoncé à présenter des déterminations sur le recours. Par écriture du 4 novembre 2011, la recourante a déposé des observations sur la réponse de l'intimée.