Faits: A. Depuis 2004, X._ exploite à Genève le bar à café "A._", dans une arcade donnant sur le Passage B._. D'après le cadastre, ce passage, sis sur des terrains privés, se compose d'un couloir en coude long de 70 mètres environ qui relie la rue C._ et la rue D._. A teneur de la "convention relative à l'établissement et à l'usage du passage [B._]", conclue par les propriétaires des immeubles adjacents au passage et approuvée par le Conseil municipal de la Ville de Genève en 1902, celui-ci est couvert sur toute son étendue et accessible aux seuls piétons. A ses deux entrées, la largeur doit être de 4,50 mètres et la hauteur de 4,65 mètres au maximum. Dans le reste du passage, la largeur ne doit pas dépasser 6 mètres et la hauteur 8,50 mètres environ, sauf au point de brisure de l'axe, où la largeur doit être de 10 mètres et la hauteur d'au moins 9,50 mètres. L'arcade louée par X._ donne sur la partie du couloir située entre la rue C._ et le point où celui-ci forme un coude. Devant les locaux de son établissement public et dans le couloir, elle a installé une terrasse à la disposition de ses clients. B. Par courrier du 19 novembre 2009, la Direction générale de la santé (ci-après: la Direction cantonale), actuellement rattachée au Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé de la République et canton de Genève (ci-après: le Département cantonal), a indiqué à la société gérant l'immeuble qui abrite l'arcade de X._, en résumant les obligations des exploitants et des responsables des lieux, que la loi genevoise du 22 janvier 2009 sur l'interdiction de fumer dans les lieux publics (LIF/GE; RS/GE K 1 18) et son règlement d'application homonyme du 7 octobre 2009 (RIF/GE; RS/GE K 1 18.01) s'appliquaient également au Passage B._. La société de gérance était priée de diffuser ces informations "à qui de droit". Elle s'est exécutée par courrier du 26 novembre 2009 à l'attention de X._, suite à des plaintes et au constat de l'un de ses collaborateurs que des clients du café fumaient sur la terrasse. C. X._ a recouru contre l'acte du 19 novembre 2009 auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), qui est devenu la Chambre administrative de la Cour de justice de ce canton à partir du 1er janvier 2011 (cf. notamment l'art. 143 al. 5 de la loi sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 [LOJ/GE; RS/GE E 2 05]). Par arrêt du 18 juin 2010 rendu dans la cause 2C_235/2010, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours interjeté contre la décision présidentielle du Tribunal administratif du 15 février 2010, rejetant la demande de "restitution de l'effet suspensif" formée par X._ dans son recours. En date du 31 août 2010, le Tribunal administratif a rejeté le recours de X._ contre le courrier du 19 novembre 2009, qu'il a assimilé à une décision de constatation. Il a notamment retenu que le Passage B._ ne permettait pas une circulation suffisante de l'air à l'instar d'une rue à ciel ouvert et qu'il s'apparentait à un lieu fermé accessible au public, à l'intérieur duquel se déroulaient de surcroît des activités commerciales; il convenait partant de le soumettre au régime de l'interdiction de fumer instauré par la LIF/GE. D. Agissant par la voie du "recours de droit public", X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 31 août 2010 et, statuant à nouveau, de dire que ni la LIF/GE ni le RIF/GE ne s'appliquent au Passage B._ et, plus spécialement, à la terrasse qu'elle exploite devant l'établissement "A._"; subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal administratif afin qu'il rende une nouvelle décision. Le Tribunal administratif s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt du 31 août 2010. Se référant à l'arrêt querellé, le Département cantonal, par le biais de la Direction cantonale, conclut au rejet du recours.