Faits: A. A.a Swissair, Société Anonyme Suisse pour la Navigation Aérienne (ci-après: Swissair), a été inscrite en 1931 au Registre du commerce de Zurich; son but consistait, notamment, dans l'exploitation de services aériens en Suisse et à l'étranger. En 1949, ladite société a ouvert une succursale à Genève. Au printemps 1997, Swissair a changé de raison sociale et modifié son but social. Appelée désormais SAirGroup SA (ci-après: SAirGroup), elle est devenue une holding. L'une de ses filiales - SAirLines SA, créée la même année - comptait elle-même, au nombre de ses sociétés filles, une société constituée en 1997 également, sous la raison Swissair, Société Anonyme Suisse pour la Navigation Aérienne (ci-après: Nouvelle Swissair), et une société existante - Crossair SA (ci-après: Crossair) -, qui effectuaient toutes deux les activités aériennes du groupe. Le 13 mai 2002, Crossair s'est transformée en Swiss International Air Lines SA (ci-après: Swiss ou la défenderesse). Nouvelle Swissair et SAirGroup ont fait l'objet de poursuites ayant abouti, pour chacune d'elles, à l'homologation d'un concordat par abandon d'actifs en mai, respectivement juin 2003, après qu'elles avaient obtenu un sursis concordataire à fin 2001. A.b Au début des années 1990, Swissair, puis SAirGroup ont progressivement recentré leurs activités sur la plate-forme de Zurich et diminué le nombre de leurs vols intercontinentaux. Pour pallier les conséquences des licenciements devenus indispensables, les deux sociétés ont élaboré, dès 1993, avec les syndicats des travailleurs concernés, plusieurs plans sociaux successifs, valables pour l'ensemble du groupe. L'un de ces plans, dénommé "Option 96", prévoit des retraites anticipées, ou préretraites, donnant droit à différentes prestations pécuniaires de la part de l'employeur jusqu'à ce que le travailleur ait atteint l'âge de la retraite AVS. Dans une lettre du 11 juillet 1997, Swissair/SAirGroup a informé son employée A._ que, conformément à divers entretiens et à un précédent courrier, elle serait mise à la retraite anticipée pour raisons économiques, selon le plan "Option 96", avec effet au 31 décembre 1997. Elle lui a également indiqué les diverses prestations liées à son futur statut de préretraitée. Le 1er novembre 2001, SAirGroup a adressé à A._ une lettre l'avisant de la cessation des versements prévus par le plan "Option 96". B. Le 13 novembre 2001, A._ a ouvert action contre SAirGroup et contre Crossair en concluant, notamment, à ce que les défenderesses soient condamnées solidairement à lui payer les indemnités de préretraite, entre autres prétentions. Par jugement du 26 août 2002, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a rectifié la désignation de Crossair pour la remplacer par celle de Swiss, rejeté la demande en tant qu'elle visait cette défenderesse, faute de légitimation passive, et condamné SAirGroup à verser une certaine somme à la demanderesse. A._ a appelé de ce jugement. Ayant passé ultérieurement un accord avec SAirGroup en liquidation concordataire, elle a retiré sa demande, avec désistement d'instance, dans la mesure où elle visait ladite société. Statuant par arrêt du 9 février 2007, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a rejeté l'appel de la demanderesse. C. A._ exerce un recours en matière civile. Elle invite le Tribunal fédéral à annuler l'arrêt cantonal et à condamner Swiss à lui payer, d'une part, des indemnités totalisant 152'690 fr., intérêts en sus, dont à déduire la somme de 91'614 fr., et, d'autre part, le montant de 20'000 fr. à titre de dommage consécutif à la suppression des facilités de transport. Subsidiairement, la demanderesse conclut à la constatation de la légitimation passive de la défenderesse et au renvoi de la cause à la Cour d'appel pour qu'elle statue sur les prétentions litigieuses. La défenderesse propose le rejet du recours. La cour cantonale en fait de même.