A.- Le 3 mars 1999, la Vice-présidente du Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la requête de X._ tendant à la nomination d'un nouvel avocat en lieu et place de Me A._ commise selon décision du 22 janvier précédent; Statuant le 25 mai 1999, le Président de la Cour de justice civile a annulé cette décision, nommé Me L._ comme avocate d'office de X._, relevé Me A._ de son mandat et reconnu à Me Y._ le droit d'être indemnisé, dans les limites de l'art. 18 du Règlement du 18 mars 1996 sur l'assistance juridique (RAJ), pour l'activité déployée depuis le 19 janvier 1999 en vue de la défense de l'assistée dans le cadre de la procédure en divorce pendante à Genève. Par arrêt du 19 juillet 1999, la IIe Cour civile du Tribunal fédéral a annulé ce prononcé. Alors même que Me Y._ semblait maîtriser le danois et qu'aucun motif ne paraissait s'opposer à sa désignation, l'autorité cantonale ne pouvait sans arbitraire désigner Me L._, motif pris que celle-ci peut comprendre sans difficulté le danois, dès lors qu'elle parle le suédois et le norvégien. Le 16 septembre 1999, la Présidente de la Cour de justice civile a refusé derechef de désigner Me Y._ et a nommé Me M._ - qui parle le danois - pour assister X._. A l'appui de sa décision, elle a en bref exposé que Me Y._ n'avait précédemment pas respecté le règlement sur l'assistance juridique. B.- X._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral, concluant, principalement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause pour nouvelle décision. Subsidiairement, elle demande à la cour de céans de lui désigner Me Y._ comme avocat d'office et, plus subsidiairement, de l'amener "à prouver par toutes voies de droit les faits et droits allégués, au besoin en comparaissant personnellement avec son conseil" devant le Tribunal fédéral. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. La Présidente de la Cour de justice civile se réfère à ses considérants. Me M._ ne se prononce pas sur le fond du recours, mais se contente de contester les allégations de la recourante sur l'exécution de précédents mandats.