Faits : A. A._, ressortissant suisse, né en 1992 a résidé en Grande-Bretagne de 2005 à 2010, où il a obtenu son permis de conduire le 7 mai 2010. Il est rentré en Suisse dans le canton de Fribourg en juillet 2010. Le 20 octobre 2010, l'Office de la circulation et de la navigation du canton de Fribourg lui a délivré, en échange de son permis britannique, un permis de conduire suisse à l'essai comportant la date d'échéance du 15 août 2012. En janvier 2012, A._ s'est installé en Valais et a annoncé son changement d'adresse au Service de la circulation et de la navigation du canton du Valais (SCN). Par courrier reçu par l'intéressé le 15 novembre 2012 - consécutif à une demande de duplicata justifiée par la perte de ce document -, le SCN lui a communiqué que son permis à l'essai était échu depuis le 15 août 2012 et l'a enjoint de lui transmettre une attestation de cours "L2". Par courrier du 16 novembre 2012, A._ a sollicité de l'Office fédéral des routes (OFROU) l'autorisation exceptionnelle de pouvoir suivre la formation complémentaire nécessaire à l'obtention de son permis définitif, en dépit de l'expiration du délai de trois mois dès l'échéance de son permis à l'essai (art. 24b al. 2 de l'ordonnance du 27 octobre 1976 réglant l'admission à la circulation routière [OAC, RS 741.51]). A._ faisait valoir qu'il ignorait, encore quelques jours auparavant, qu'il devait participer à une formation de conduite obligatoire pour que son permis devienne définitif. Par lettre du 25 janvier 2013, l'OFROU a informé A._ que sa situation ne constituait pas un cas de rigueur justifiant une dérogation au délai prévu à l'art. 24b al. 2 OAC pour suivre la formation prescrite; en cas de désaccord, il avait la possibilité de solliciter une décision susceptible de recours. Le 18 février 2013, B._, agissant pour son fils A._, a demandé à l'OFROU de rendre une telle décision. B. Par décision du 28 février 2013 fondée sur l'art. 150 al. 6 OAC, l'OFROU a confirmé le contenu de sa lettre du 25 janvier 2013 et rejeté la demande de A._, mettant les frais de procédure, par 200 francs, à la charge de ce dernier. A l'appui de sa décision, il a notamment relevé que l'intéressé ne pouvait ignorer que son permis était seulement à l'essai et arrivait à l'échéance le 15 août 2012, date figurant au recto de son document. S'il ignorait - malgré les renseignements (lettre, brochures) en principe fournis avec le permis - la procédure à suivre pour recevoir un permis définitif, il lui incombait de demander des explications auprès de l'Office de la circulation de son canton de domicile. Saisi d'un recours de A._ contre cette décision, le Tribunal administratif fédéral l'a partiellement admis en ce sens que la décision de l'OFROU du 28 février 2013 était annulée faute de compétence matérielle de cette autorité et la cause renvoyée au SCN pour décision au sujet de la demande de prolongation de délai du recourant. Selon l'instance précédente, l'OFROU n'était pas habilité, sur la base de l'art. 150 al. 6 OAC, à statuer sur la demande de prolongation de délai du recourant, cette compétence étant du ressort du service cantonal compétent. C. Le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (DETEC), par l'intermédiaire de l'OFROU, interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral, en concluant à l'annulation de celui-ci et au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour qu'il statue sur le fond de la cause. L'OFROU se plaint d'une violation de la législation en matière de circulation routière. A._ forme également un recours contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral. Il conclut à la réforme de cet arrêt en ce sens que tous les frais occasionnés pour l'obtention du permis de conduire (formation suisse et examen) soient imputés à l'OFROU et que des dépens lui soient alloués pour la procédure devant le Tribunal administratif fédéral.