Faits: A. Le 10 septembre 2012, A._ a requis un permis de construire un chalet de quatre appartements sur la parcelle n° 1376 de la commune de Rougemont. Helvetia Nostra a formé opposition. Par décision du 25 octobre 2012, la Municipalité de Rougemont a écarté l'opposition et délivré le permis de construire. Helvetia Nostra a saisi la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois, laquelle a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable - laissant indécise la question de la qualité pour agir d'Helvetia Nostra - par arrêt du 28 mars 2013. La cour cantonale s'est référée à un arrêt de principe du 22 novembre 2012 selon lequel l'art. 75b Cst. ne faisait pas obstacle à la délivrance de permis de construire avant le 1 er janvier 2013. Elle a mis à la charge de la recourante 1'000 fr. d'émolument judiciaire, la constructrice n'ayant pas été invitée à procéder. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra demande au Tribunal fédéral l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité de dernière instance, subsidiairement la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que le permis de construire est annulé. Dans des arrêts de principe du 22 mai 2013, le Tribunal fédéral a notamment admis la qualité pour recourir d'Helvetia Nostra (ATF 139 II 271) ainsi que l'applicabilité directe des art. 75b et 197 ch. 9 Cst. (ATF 139 II 243 et 263). Sur le vu de ces arrêts, les parties ont été invitées à se déterminer par ordonnance du 4 juillet 2013. Le Tribunal cantonal s'en rapporte à justice. La Municipalité de Rougemont relève que le projet concerne la démolition d'un bâtiment déjà utilisé comme résidence secondaire, et une reconstruction sans augmentation de la surface habitable. Cette question n'ayant pas été examinée, il y aurait lieu de renvoyer la cause à la cour cantonale, ou à l'autorité communale. La constructrice a fait valoir les mêmes arguments; elle demande au Tribunal fédéral de compléter l'état de fait; elle conclut au rejet du recours ou à la suspension de la procédure en vue d'un complément du permis de construire. La recourante devrait être interpellée sur le maintien de son recours.