Faits: A. A.a En l'absence de convention tarifaire entre les partenaires concernés, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a adopté le 26 juillet 2000, conformément à l'art. 47 de la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10), le règlement fixant le tarif des traitements ambulatoires et des interventions de chirurgie ambulatoire pratiqués dans les cliniques privées à charge de l'assurance obligatoire des soins (RSG J 3 05.14). Ce règlement - entré en vigueur avec effet rétroactif au 1er janvier 2000 - prévoyait que les traitements ambulatoires les plus courants donnaient lieu à trente forfaits qui n'englobaient en principe pas le matériel (art. 3 al. 1); pour les autres traitements ambulatoires, le catalogue des prestations hospitalières (CPH) était pris comme base de facturation avec une valeur de point fixée à 4 fr. 10, le matériel utilisé lors de l'intervention étant facturé en sus (art. 3 al. 2); quant aux honoraires médicaux, ils devaient être facturés d'après le règlement du 3 juin 1981 fixant le tarif-cadre des prestations médicales pour soins ambulatoires aux assurés des caisses-maladie (RSG J 3 05.12; art. 3 al. 3). A.b Saisi de divers recours contre le règlement précité, le Conseil fédéral a, par l'entremise du Département fédéral de justice et police, édicté, par décision de mesures provisionnelles du 8 janvier 2001, un tarif applicable du 1er janvier 2000 jusqu'à décision sur le fond. Il a ainsi ordonné l'application du tarif-cadre du 3 juin 1981 à la facturation de toutes les prestations fournies en ambulatoire par les cliniques privées, à l'exception de certaines prestations (salle d'opération, utilisation d'un lit et surveillance postopératoire) pour lesquelles le CPH devait être pris comme base de tarification avec une valeur de point fixée à 4 fr. 95, le matériel utilisé lors de l'intervention étant facturé en sus. A.c Le 7 mars 2003, le Conseil fédéral a annulé l'art. 3 al. 1 du règlement du 26 juillet 2000 et dit que les prestations visées par cette disposition devaient être remboursées en application du CPH avec une valeur de point fixée à 4 fr. 10, le matériel utilisé lors de l'intervention étant facturé en sus. A.d Par décision du 7 mai 2003, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a modifié le règlement litigieux, en ce sens qu'il a abrogé l'art. 3 al. 1 et modifié la teneur de l'art. 3 al. 2 dans le sens suivant : « S'agissant des traitements ambulatoires et des prestations de chirurgie ambulatoire, le CPH est pris comme base de tarification avec une valeur de point fixée à 4 fr. 10 pour ce qui concerne la salle d'opération, l'utilisation du lit ainsi que la surveillance postopératoire. Le matériel utilisé lors de l'intervention est facturé en sus ». A.e La demande d'interprétation formée contre la décision du Conseil fédéral du 7 mars 2003 ainsi que le recours formé contre la modification du règlement du 26 juillet 2000 ont été rejetés par le Conseil fédéral les 26 septembre 2003 et 12 mars 2004. B. Le 8 mars 2004, KPT Caisse-maladie SA (ci-après : la KPT), institution d'assurance habilitée à pratiquer l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, a saisi le Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève d'une demande dirigée contre la Clinique Y._ SA (aujourd'hui : X._ SA; ci-après : la Clinique), société qui exploite une clinique privée à Genève. Elle a réclamé le paiement de la somme de 164'680 fr. 85 plus intérêt à 5 % dès le 1er janvier 2002 au titre des montants que cette clinique avait perçus en trop depuis le 1er janvier 2000, ainsi que de la somme de 41'200 fr. plus intérêt à 5 % dès le 17 mars 2003 au titre des frais administratifs qu'elle a dû engager pour contrôler les factures litigieuses (calculée sur la base d'un taux de 25 % par rapport au montant à restituer). Par la suite, la KPT a réduit ses prétentions respectives à 80'000 fr. et 20'000 fr. Par jugement du 12 février 2010, le Tribunal arbitral des assurances a déclaré la demande partiellement recevable, soit en tant qu'elle portait sur la créance en restitution, l'a partiellement admise et a condamné la Clinique à verser à la KPT la somme de 29'703 fr. 20. C. La KPT et la Clinique interjettent l'une et l'autre un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elles demandent l'annulation. La KPT conclut à la condamnation de la Clinique au paiement des montants de 80'000 fr. et 20'000 fr. De son côté, la Clinique conclut, à titre principal, au rejet des conclusions prises en instance cantonale par la KPT et, subsidiairement, au renvoi de la cause au Tribunal arbitral des assurances pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle assortit son recours d'une demande d'effet suspensif ainsi que d'une requête de suspension de la procédure. Chaque partie s'est déterminée sur le recours de l'autre, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à s'exprimer à leur sujet.