A.- a) Professeur de tennis, M._ donne depuis plus de vingt ans des cours au centre sportif situé à X._. Durant cette période, il s'est constitué une importante clientèle. Le club a eu divers propriétaires successifs, il s'est appelé A._, B._ S.A. puis, dès le 1er janvier 2001, C._ S.A. M._ utilise plus particulièrement le court n° 6 du club (court intérieur) mais aussi des courts extérieurs pour y donner des cours privés à raison de 120 heures par mois. Il entretient des contacts directs avec ses élèves, tant pour fixer les rendez-vous que pour encaisser le prix de ses leçons, sans faire appel, dans ce contexte, aux services administratifs du club. Pour l'utilisation des courts entre janvier et août 2001, M._ a versé au club des montants variant entre 2'985 fr. et 3'685 fr. par mois. Il assure lui-même le paiement de ses cotisations sociales et a souscrit, à sa charge, divers contrats d'assurance. Par ailleurs, M._ reçoit du club une rémunération pour les enseignements qu'il donne lors des stages que celui-ci organise à l'intention de ses membres. A titre d'exemple, il a réalisé durant le mois de février 2001 un revenu à titre privé de 13'700 fr., a versé au club un montant de 3'400 fr. et a reçu de celui-ci 3'360 fr. représentant sa rémunération pour 48 heures d'enseignement en stage. b) Le 26 octobre 2000, après un entretien avec les responsables de B._ S.A., M._ s'est vu remettre un courrier lui confirmant que le centre sportif ne serait plus exploité par cette société à partir du 1er janvier 2001. Ce courrier précisait que désormais, les relations contractuelles le liant à elle ainsi que "tous les engagements conclus" prendraient fin au 31 décembre 2000. M._ était invité, s'il le souhaitait, à prendre contact avec les repreneurs en vue d'examiner avec eux la possibilité d'une collaboration future. c) La société C._ S.A. a repris la propriété et l'exploitation des installations sportives du club avec effet au 1er janvier 2001. Sans qu'aucun contrat de reprise de l'exploitation n'ait été signé, la société B._ S.A. a été liquidée. Dès le 1er janvier 2001, C._ S.A. s'est fixé comme objectif de développer les activités sportives pratiquées sur le site, en particulier de créer une école de tennis sur la base d'un nouveau concept pédagogique. Les relations C._ S.A. avec les professeurs de tennis ont été assujetties à un nouveau règlement entré en vigueur le 1er février 2001 ("Règlement pour les professeurs de tennis"). Dans son préambule, est considérée comme prioritaire la garantie aux membres du club d'un seuil de disponibilité des courts à raison de 50% entre 8h et 12h, 60% entre 12h et 14h et 80% à partir de 18h. d) Le 31 juillet 2001, C._ S.A. a adressé à M._ un courrier lui confirmant le contenu d'un entretien datant du mois de juin 2001 lors duquel lui avait été signifiée la résiliation de ses relations contractuelles avec le club pour le 1er septembre 2001. Il y était précisé qu'à partir de cette date, le club ne ferait plus appel à ses services pour les stages de tennis et qu'à teneur du nouveau règlement, il n'était plus autorisé à donner des leçons privées dans son enceinte. Par courrier du 9 août 2001, M._ s'est insurgé contre la décision que le club venait de prendre à son égard et a invoqué la gravité du préjudice qu'il subissait de ce fait, qualifiant les rapports le liant au club de "rapport de location" et se référant à l'intitulé "location de courts" des fiches établies par le club. Il invitait C._ S.A. à reconsidérer jusqu'au 17 août les termes de son courrier du 31 juillet 2001, à défaut de quoi il menaçait de "saisir la justice". Sans aucun commentaire, C._ S.A. a accusé réception de ce courrier le 13 août 2001. Des discussions ont eu lieu le 21 août dans les locaux du club entre M._ son avocat et le directeur général du club. Le 27 août, M._ a reçu un téléphone lui annonçant qu'aucune négociation n'était possible et que la teneur du courrier du 31 juillet était en tous points maintenue. B.- M._ a déposé devant le Tribunal des baux et loyers de Genève une requête de mesures provisionnelles et préprovisionnelles urgentes contre C._ S.A. Il concluait pour l'essentiel à ce qu'il soit autorisé à utiliser comme par le passé le court n° 6, avec libre accès du lundi au vendredi. Le 30 août 2001, le Tribunal a fait droit à ses conclusions jusqu'à nouvelle décision après audition des parties. Celles-ci ont été entendues le 10 septembre 2001. Par jugement du 17 septembre 2001, le Tribunal des baux et loyers, statuant sur mesures provisionnelles, s'est déclaré incompétent ratione materiae, a annulé l'ordonnance du 30 août 2001 et a débouté les parties de toutes autres conclusions. Par arrêt du 12 novembre 2001, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a confirmé le jugement du 17 septembre 2001. C.- M._ forme un recours de droit public contre l'arrêt du 12 novembre 2001 et conclut à son annulation. Invitée à déposer une réponse, l'intimée conclut, sur la forme, à l'irrecevabilité du recours et, sur le fond, à son rejet. La Chambre d'appel en matière de baux et loyers se réfère aux considérants de son arrêt.