Faits: A. A._, née en 1944, de nationalité française, a épousé en décembre 1969 B._, dont elle a eu deux enfants, C._ née en 1980 et D._ née en août 1982. Par jugement du 6 mai 1998, le Tribunal civil du district de Y._ a prononcé le divorce des époux. A partir du 1er octobre 2000 jusqu'au 30 novembre 2008, A._ a bénéficié de l'octroi d'une rente entière d'invalidité (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 30 novembre 2001), dont le montant était de 1'161 fr. par mois pendant la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008. Le 7 mai 2008, A._ a acquis la nationalité suisse. Le 31 août 2008, elle a présenté une demande de rente de vieillesse, en indiquant qu'elle avait été domiciliée en France, où elle avait travaillé, jusqu'à son entrée en Suisse le 1er juillet 1979. La Caisse de compensation AVS Commerce de gros + Commerce de transit (ci-après: la caisse) a relevé que dans le calcul de la rente d'invalidité allouée jusque-là, c'est à tort que les revenus réalisés par l'ex-conjoint durant les années 1970 à 1972 avaient été partagés entre les époux et attribués pour moitié à chacun d'eux (splitting), attendu que A._ n'était pas assurée auprès de l'AVS suisse pendant cette période, faute d'être domiciliée en Suisse. Elle a ainsi procédé à un nouveau calcul de la rente d'invalidité en fonction des périodes suisses d'assurance, tout en partageant entre les époux les revenus réalisés par l'ex-mari pendant l'année 1998 dès lors que le jugement de divorce du 6 mai 1998 n'était devenu définitif et exécutoire que le 1er juin 1999. Par décisions du 17 novembre 2008, l'office AI a fixé nouvellement la rente d'invalidité à 1'056 fr. par mois pour la période du 1er décembre 2003 au 31 décembre 2004, à 1076 fr. par mois pour la période du 1er janvier 2005 au 31 décembre 2006, et à 1'107 fr. par mois pour la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008 en se fondant sur un revenu annuel moyen de 49'062 fr., les autres éléments demeurant inchangés (durée de cotisations de 20 années et six mois, 9 années de bonifications pour tâches éducatives, échelle de rente 27). Par décision du 17 novembre 2008, confirmée sur opposition le 5 décembre 2008, la caisse a alloué à A._ à partir du 1er décembre 2008 une rente ordinaire simple de vieillesse de 1'107 fr. par mois, calculée sur la base des mêmes éléments que la rente d'invalidité à laquelle elle succédait. B. Par arrêt du 6 janvier 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par A._ contre la décision sur opposition du 5 décembre 2008. C. Par lettre du 4 février 2010 (timbre postal), A._ a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, en requérant l'assistance judiciaire. Par lettre du 10 février 2010, le Tribunal fédéral l'a informée du fait que le recours ne semblait pas remplir les exigences de forme posées par la loi (nécessité de formuler des conclusions et une motivation), et que seule une rectification dans le délai de recours était possible. Dans une écriture du 16 février 2010 qu'elle a déposée à la suite de cet avertissement, A._ fait valoir que la rente d'invalidité qui lui a été allouée durant la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008 était de 1'161 fr. par mois et demande que ses droits soient reconnus et rétablis dans le calcul de sa rente de vieillesse pour les années 1970, 1971 et 1972, pendant lesquelles son ex-mari n'avait pas ou avait peu de travail en tant que musicien d'orchestre et où elle est allée travailler en France, comme l'attestent les mandats qu'elle lui envoyait tous les mois. Elle sollicite à titre exceptionnel l'octroi de pleines bonifications pour tâches éducatives pour la période de 1998 à 2003. Sa demande d'assistance judiciaire a été rejetée par ordonnance du 17 mars 2010.