Faits: A. K._ a travaillé en qualité d'opticienne au service de la société X._ SA du 1er mai 1995 au 31 décembre 2001. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accident auprès de Bâloise Assurances SA (ci-après: la Bâloise). Présentant un syndrome vertébral lombaire aigu, elle a été hospitalisée à l'Hôpital Y._ du 3 au 12 février 1997, où une hernie discale L5-S1 a été diagnostiquée. Le docteur M._, spécialiste en rhumatologie et médecin traitant de l'assurée, a procédé à deux injections péri-articulaires dans la région lombaire le 7 mars 1997. K._ a été hospitalisée derechef dans l'établissement susmentionné du 4 au 12 avril 1997 en raison d'une lombosciatalgie aiguë droite apparue, selon ses médecins traitants, le 31 mars précédent. Le 22 mars 1999, l'assurée a consulté le professeur I._, chef du service de neurochirurgie de l'Hôpital Z._ et du Centre hospitalier W._, en raison de douleurs persistantes à la jambe droite. Dans son rapport du 22 mars 1999, le professeur I._ a indiqué qu'en réponse à sa proposition de procéder à des infiltrations, l'intéressée a déclaré que les douleurs en cause avaient débuté après une telle mesure thérapeutique lors de son hospitalisation au mois d'avril 1997. Par la suite, de nombreux médecins ont été consultés par l'assurée et informés par elle de sa suspicion à propos de l'intervention du docteur M._. Le 21 mars 2003, les docteurs B._ et E._, spécialistes en rhumatologie, ainsi que U._, spécialiste en neurologie, ont établi un rapport pour le compte du Bureau d'expertises extrajudiciaires de la FMH, dans le cadre d'un litige opposant K._ et le docteur M._, auquel celle-ci reprochait une erreur médicale. Dans ce cadre, les experts ont entendu le médecin prénommé, lequel a contesté les accusations de son ancienne patiente en indiquant que l'infiltration en cause (pratiquée en réalité le 7 mars 1997) avait été suivie d'une période sans douleurs sciatalgiques et d'une reprise du travail. Selon le docteur M._, la lombosciatalgie aiguë droite qui avait motivé l'hospitalisation de l'intéressée au mois d'avril 1997 était apparue le 31 mars précédent. Dans leur rapport, les experts prénommés ont longuement examiné et discuté la crédibilité des versions divergentes données par les protagonistes. Ils ont qualifié celle du docteur M._ de beaucoup plus vraisemblable. K._ a été mise au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité à compter du 1er novembre 2001. Le 27 août 2010, elle a formé une demande de prestations de l'assurance-accidents auprès de la Bâloise en faisant valoir qu'elle avait été victime d'un accident lors de l'injection pratiquée 7 mars 1997. Par décision du 21 juillet 2011, confirmée sur opposition le 1er septembre suivant, l'assureur-accidents a refusé d'allouer ses prestations. B. Saisie d'un recours de l'assurée qui demandait la mise en oeuvre d'une expertise médicale, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté sans donner suite à cette offre de preuve (jugement du 10 août 2012). C. K._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à ce que l'intimée soit condamnée à lui allouer des prestations pour l'événement dont elle a été victime le 7 mars 1997, subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale propose le rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer sur celui-ci. La recourante a déposé des observations supplémentaires le 3 décembre 2012. L'intimée a demandé qu'elles soient écartées du dossier, tout en contestant intégralement son contenu.