Faits: A. De nationalité roumaine et d'origine rom, X._ est née le 6 juillet 1986. Elle vit en Roumanie sans exercer d'activité professionnelle déclarée. X._ s'est adonnée à la mendicité sur la voie publique, à Genève et Lancy/GE, les 26 octobre 2010, 13 mars et 12 mai 2011 en quémandant de l'argent aux passants, respectivement en leur présentant un gobelet en carton. Le Service des contraventions de l'Etat de Genève lui a infligé, à chaque fois, une amende de 100 fr. hors frais de 30 francs. Par courriers des 7 février, 5 mai et 19 juillet 2011, X._ a contesté ces contraventions. La cause a été transmise au Tribunal de police du canton de Genève. Par jugement du 12 décembre 2011, ce dernier a condamné l'intéressée, pour l'infraction de droit cantonal de mendicité, à 30 fr. d'amende, avec peine de substitution de 1 jour de privation de liberté. B. Saisie d'un appel de ce jugement, la Cour de Justice du canton de Genève l'a rejeté, par arrêt du 28 mars 2012. C. Par acte du 11 juin 2012, X._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt. Elle conclut principalement à sa réforme dans le sens de son acquittement et, à titre subsidiaire, à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert l'assistance judiciaire. Par courrier du 15 octobre 2012, X._ a encore complété son recours par l'envoi d'une pièce. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.