Faits: A. X._ SA est une société active dans le domaine de la recherche et la sélection d'artistes et de personnel artistique; A._ est son administrateur unique. En 1996, elle a introduit Y._ dans la sélection du personnel de l'émission Z._ de la télévision suisse-romande, émission dirigée par le journaliste B._. Y._ fut retenu pour prendre part à l'émission en qualité de figurant régulier; il y exercerait l'activité de barman et serait chargé d'accueillir les invités de l'émission et de leur offrir des boissons. L'émission, produite chaque jour du lundi au vendredi, était suspendue de mi-juin à mi-septembre et pendant les fêtes de fin d'année. Y._ participait régulièrement. Un salaire lui était versé par X._ SA en fonction de son temps de présence; celle-ci facturait un montant fixe pour chaque participation, majoré d'une « commission d'agence », à la succursale genevoise de la Société suisse de radiodiffusion et télévision. Y._ ne percevait aucun salaire dans les périodes où l'émission était suspendue. Il n'était annoncé à aucune caisse de compensation et les déductions sociales n'étaient donc pas opérées. Y._, Français domicilié en France, ne bénéficiait pas de l'autorisation nécessaire à l'exercice d'une activité lucrative en Suisse. Au mois d'août 2002, se désignant en qualité d'employeuse, X._ SA a adressé une demande d'autorisation à l'office cantonal de la population. Contresignée par Y._, cette demande mentionnait un salaire brut, variable, de 3'000 fr. par mois. Des dissensions se sont élevées entre Y._ et divers membres de l'équipe produisant l'émission. En raison de son absence injustifiée le 21 juin 2002, B._ a décidé son exclusion durant une semaine. A l'issue de l'émission du 2 octobre 2002, B._ lui a signifié son exclusion définitive et immédiate. X._ SA a alors recruté un autre figurant pour le remplacer. Sans succès, le 11 octobre 2002, Y._ s'est adressé à cette société et à la télévision suisse-romande pour réclamer 120'000 euros à titre de réparation du préjudice subi. B. Le 3 février 2003, Y._ a ouvert action contre A._, B._, X._ SA et la Société suisse de radiodiffusion et télévision (ci après: Télévision SSR) devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Ses demandes, par la suite jointes, tendaient au paiement de 174'000 fr. à titre d'indemnités diverses. En cours d'instance, le demandeur s'est désisté de l'action intentée contre B._ et, contre les autres défendeurs, il a réduit ses conclusions à 88'807 fr.20 en capital, y compris 32'400 fr. à titre d'arriéré de salaire, et il a réclamé des intérêts au taux de 5% par an dès le 3 octobre 2002. Ces défendeurs ont conclu au rejet des actions dirigées contre eux. Après audition de plusieurs témoins, le Tribunal de prud'hommes s'est prononcé le 29 avril 2005. Il a partiellement accueilli l'action intentée contre X._ SA et il a condamné cette défenderesse à payer 9'000 fr. à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, et 10'000 fr. à titre d'indemnité nette. Ces sommes portaient intérêts selon les conclusions nouvelles du demandeur. La défenderesse s'était liée à celui-ci par un contrat de travail et, le 2 octobre 2002, ce contrat avait été résilié abruptement et sans juste motif. Le demandeur avait donc droit au salaire des mois d'octobre, novembre et décembre 2002, à raison de 3'000 fr. par mois, et à une indemnité évaluée à 10'000 fr. Les deux autres défendeurs n'avaient contracté aucune obligation contractuelle envers lui et ils n'avaient donc pas qualité pour défendre; en conséquence, les actions intentées contre eux étaient rejetées. X._ SA ayant appelé du jugement pour réclamer le rejet complet de l'action la concernant, le demandeur a usé de l'appel incident. Outre les prétentions déjà reconnues par le tribunal, par 19'000 fr. en principal, il revendiquait 45'000 fr. de salaire impayé pendant les années 1997 à 2001. Ses conclusions étaient dirigées contre Télévision SSR et X._ SA; A._ n'était plus en cause. Statuant le 31 mai 2006, la Cour d'appel a confirmé le jugement. C. Agissant par la voie du recours en réforme, X._ SA requiert le Tribunal fédéral de modifier l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que l'action intentée contre elle soit rejetée. Elle conteste s'être liée au demandeur par un contrat de travail et elle soutient qu'un pareil contrat a été conclu entre le demandeur et Télévision SSR exclusivement. Le demandeur conclut au rejet du recours. Exerçant le recours joint, il a présenté des conclusions identiques à celles déjà prises en appel. Télévision SSR n'a été invitée à répondre ni au recours principal ni au recours joint. X._ SA n'a pas été invitée à répondre au recours joint. D. Le demandeur a sollicité l'assistance judiciaire. Par une décision incidente du 7 novembre 2006, le Tribunal fédéral a accueilli sa demande pour la réponse au recours principal et il a désigné Me Joanna Bürgisser en qualité d'avocate d'office; il a rejeté la demande pour le surplus. Par lettre du 30 novembre 2006, ce conseil a annoncé le retrait du recours joint.