Faits : A. [A._, né en _, perçoit actuellement une rente entière d'invalidité.] Le décès de son père ainsi que divers événements consécutifs, notamment la survenance de plusieurs cambriolages à son domicile [...] ou la réception de courriels en lien avec [un Etat étranger], ont renforcé la conviction de A._ qu'il était lui-même surveillé, voire menacé par les services secrets [dudit Etat]. Depuis le 28 février 2005, l'intéressé est en traitement auprès d'une psychiatre-psychothérapeute pour soigner la schizophrénie paranoïde diagnostiquée sur sa personne. B. B.a. En 2004, A._ a commencé des études [...] à l'école B._ (ou : la Haute école). En dépit de sa maladie, un certificat médical l'a "considéré comme apte à passer des examens à l'école B._, en particulier dans les six prochains mois" (certificat médical non daté envoyé par le Dr C._ à la Commission de recours, pièce 4 dem.). B.b. Par décision du 25 février 2010 concernant la session d'examens d'hiver 2010 à laquelle s'était présenté A._, l'école B._ a admis deux certificats médicaux à propos de deux examens qui devaient dès lors être présentés une nouvelle fois et rejeté un autre certificat médical comme tardif à propos de deux autres examens, qui ont été considérés comme non acquis. L'intéressé a interjeté recours contre cette décision; celle-ci a été confirmée par un arrêt de la Commission de recours de l'école B._) du 29 juin 2010. Le 11 septembre 2010, A._ a formé recours contre cet arrêt auprès du Tribunal administratif fédéral. B.c. Par décision du 30 juillet 2010, l'école B._ a prononcé l'échec définitif de A._ après la session d'examens d'été 2010, ensuite de la production tardive de certificats médicaux relatifs aux examens auxquels l'intéressé ne s'était pas présenté. Cette décision a été confirmée sur recours par un arrêt de la Commission de recours du 22 février 2011. Le 28 mars 2011, A._ a interjeté recours contre cet arrêt auprès du Tribunal administratif fédéral. B.d. Par décisions incidentes du 27 mai, respectivement du 28 juillet 2011, le Tribunal administratif fédéral a rejeté les demandes de A._ tendant à la désignation d'un défenseur d'office et à la récusation du juge D._. L'instance précitée a motivé son refus du 27 mai 2011 d'attribuer un avocat par bénéfice de l'assistance judiciaire à A._ par le fait que le dossier ne contenait aucun élément individuel et concret laissant penser que l'intéressé avait souffert d'incapacité de discernement lors des sessions d'hiver et d'été 2010, si bien que les conclusions tendant à l'annulation des notes obtenues pour les examens litigieux paraissaient d'emblée vouées à l'échec. Quant au rejet de la demande de récusation du juge D._ et de son greffier du 28 juillet 2011, le Tribunal administratif fédéral a notamment considéré que le fait que A._ ne partageait pas les arguments développés par le juge instructeur dans sa décision du 27 mai 2011, qui rejetait l'assistance gratuite d'un mandataire, ou dans d'autres ordonnances rejetant des offres de preuves de l'intéressé ne constituait pas un motif de récusation. En outre, ces décisions de refus critiquées étaient motivées de façon compréhensible et rationnelle, de sorte qu'aucun élément objectif susceptible de fonder une apparence de prévention du juge ou de son greffier n'avait pu être décelé. Après avoir obtenu les décisions incidentes des 27 mai et 26 juillet 2011, A._ a plusieurs fois pris contact avec le Tribunal administratif fédéral, notamment dans le but de consulter son dossier. Le personnel de ce tribunal a avisé la police cantonale bernoise, au motif que l'intéressé avait parfois, dans ce contexte, fait preuve d'agressivité verbale et évoqué la possession d'une arme (cf. rapport de police du 5 juillet 2011, p. 303 du chargé de la défenderesse). Au moment de se présenter, le 17 juin 2011, soit au jour convenu, auprès du Tribunal administratif fédéral pour consulter son dossier, respectivement pour y déposer une écriture, A._ a été interpellé par les forces de l'ordre bernoises, qui l'ont conduit au poste de police pour l'y interroger, avant de le laisser partir en soirée. A cette occasion, A._ a admis qu'il avait dû mentionner la possession d'une arme lors de l'une de ses conversations avec le personnel du Tribunal administratif fédéral; il a cependant contesté avoir voulu proférer des menaces. Contre les décisions incidentes du Tribunal administratif fédéral lui refusant l'assistance judiciaire gratuite et la récusation du juge D._, A._ a recouru au Tribunal fédéral. Par arrêt de septembre 2011 joignant les causes www, la Cour de céans a jugé le recours contre la décision en matière d'assistance judiciaire tardif et donc irrecevable, et rejeté le recours en tant qu'il demandait la récusation du juge D._. B.e. Sur le fond, après avoir joint les recours de A._ du 11 septembre 2010 et du 28 mars 2011 (lit. B.a et B.b supra), le Tribunal administratif fédéral les a rejetés par arrêt du 21 septembre 2011, confirmant ainsi l'échec définitif de l'étudiant au terme de la session d'examens d'été 2010. Dans ce cadre, les juges fédéraux de première instance ont notamment considéré que la capacité de discernement du recourant devait être présumée. Son état d'anxiété durant la session d'examens d'hiver 2010 était certes attesté par certificat médical, mais le certificat du 17 février 2010, sur lequel se fondait le recourant pour justifier le retard dans le dépôt des certificats concernant les examens des 15 et 22 janvier 2010 n'indiquait pas une inaptitude médicale à passer des examens ni une incapacité à agir pour faire valoir une telle inaptitude médicale. Durant la session d'examens d'été 2010, le recourant avait produit onze certificats médicaux dont cinq immédiatement, de sorte que le retard à produire les six autres certificats ne tenait pas à une situation d'incapacité médicale d'agir à temps. Au demeurant, même en prenant en compte les six certificats tardifs, le recourant n'obtenait que 55 crédits sur les 60 requis pour réussir. A._ a interjeté recours devant le Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 septembre 2011. Il reprochait notamment au Tribunal administratif fédéral de ne pas avoir ordonné une expertise médicale. Ce recours a été déclaré irrecevable par arrêt xxx de novembre 2011. La demande de révision que A._ a introduite auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt xxx de novembre 2011 précité, au motif que le juge fédéral E._ et son greffier auraient dû se récuser, a été déclarée irrecevable par arrêt yyy de décembre 2011. B.f. A._ s'est adressé les 20 et 28 septembre de même que le 5 octobre 2012 au Département fédéral des finances (ci-après: le Département fédéral) afin de réclamer des dommages-intérêts et une indemnité à titre de réparation morale à la Confédération suisse, en raison des prétendues activités illicites commises par les juges E._, [juge au Tribunal fédéral], et D._, juge au Tribunal administratif fédéral, dans les procédures de recours concernant l'échec définitif aux examens de l'école B._ auxquels l'intéressé s'était présenté. Estimant que l'activité reprochée aux deux juges fédéraux précités s'était uniquement concrétisée dans les décisions entrées en force du Tribunal administratif fédéral, respectivement du Tribunal fédéral concernant A._, que celui-ci ne pouvait dès lors remettre en cause dans le cadre d'une demande de dommages-intérêts et d'indemnité pour tort moral, le Conseil fédéral a pris la position, le 14 décembre 2012, de rejeter la demande. C. C.a. Dans une lettre de 90 pages du 15 juin 2013 (à laquelle était jointe une déclaration formulant plusieurs requêtes, dont la récusation de plusieurs juges du Tribunal fédéral, ainsi qu'une annexe fragmentaire et un volumineux classeur de pièces), A._ a, en se référant à la position prise par le Conseil fédéral, déposé auprès du Tribunal fédéral une action demandant le versement par la Confédération de dommages-intérêts et d'une indemnité pour tort moral. Par courrier du 7 juillet 2013, incluant plusieurs annexes, A._ a en particulier souhaité connaître l'identité des juges chargés de son affaire et demandé à être entendu par le Tribunal fédéral. C.b. Par ordonnance présidentielle du 8 juillet 2013, le Tribunal fédéral a retenu que l'action rédigée par A._ ne satisfaisait pas aux exigences formelles prévues par la loi et que le demandeur n'était manifestement pas en mesure de procéder lui-même, de sorte qu'un délai lui était imparti pour désigner un mandataire, à défaut de quoi un avocat lui serait attribué par le Tribunal fédéral. Le 24 juillet 2013, Maître F._ a annoncé au Tribunal fédéral que A._ l'avait mandaté comme avocat. Les 1er septembre et 6 octobre 2013, le demandeur a informé le Tribunal fédéral de ce qu'il révoquait le mandat de son représentant - ce que ce dernier a confirmé par courrier du 6 septembre 2013 - et sollicité la désignation d'un nouvel avocat. Par ordonnance présidentielle du 14 octobre 2013, le Tribunal fédéral a désigné Maître Nicolas Blanc comme avocat d'office du demandeur; un délai prolongé lui a été imparti pour reformuler le mémoire d'action conformément aux exigences légales de nature formelle. Le 28 février 2014, A._, par l'intermédiaire de son avocat désigné, a fait parvenir au Tribunal fédéral une demande d'indemnisation reformulant l'acte du 15 juin 2013, accompagnée d'un bordereau de 18 pièces. Il requiert, à titre de mesures d'instruction immédiates, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique de sa personne ainsi que la tenue de débats oraux; il demande le paiement par la Confédération d'un montant de 15'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 20 septembre 2010 à titre de dommages-intérêts et d'un montant de 20'000 fr. avec intérêts à partir de cette même date à titre d'indemnité pour tort moral. C.c. Dans sa réponse du 15 avril 2014, à laquelle a été joint un chargé de pièces numéroté de 1 à 312, la Confédération suisse a, sous suite de frais, conclu au rejet de la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique du demandeur ainsi qu'au rejet, dans la mesure de sa recevabilité, de la demande de dommages-intérêts et d'indemnité pour tort moral. C.d. A._ a répliqué le 16 juin 2014, en produisant trois pièces additionnelles. Confirmant les conclusions prises dans son mémoire du 28 février 2014, il a pour le surplus conclu, principalement, à ce que le futur arrêt 2E_2/2013 ne soit pas publié sur le site Internet du Tribunal fédéral, ni sur un quelque autre site Internet et, subsidiairement, à ce que ledit arrêt soit publié et rendu accessible au public "sous une forme anonymisée accrue, toute mention relative à l'identité, la nationalité et le domicile du demandeur, ainsi qu'à l'école B._ étant supprimée". C.e. La Confédération suisse a dupliqué le 30 juin 2014, en concluant au rejet de la demande, sous suite de frais. D. D.a. Le 11 septembre 2014, la juge chargée de l'instruction de la procédure d'action 2E_2/2013 a tenu une audience de débats préparatoires pour fixer la suite de la procédure. A cette occasion, le demandeur a, en particulier, persisté dans sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire. Il a de plus sollicité l'audition en qualité de témoins du Préposé fédéral à la protection des données ainsi que d'un représentant du Ministère public de la Confédération, en relation avec les activités d'espionnage ayant eu cours à l'école B._ comme, de manière plus générale, en Suisse et, selon l'intéressé, responsables de l'obtention tardive de certains certificats médicaux indispensables à la poursuite de ses études. Les parties ont par ailleurs renoncé à solliciter l'interrogatoire de A._ par la Cour de céans. D.b. La procédure probatoire a été clôturée par ordonnance du 12 septembre 2014. A ce titre, la juge chargée de l'instruction a informé les parties de ce qu'elle renonçait, en l'état, à mettre en oeuvre l'expertise psychiatrique et l'audition des deux témoins sollicitées par le demandeur, celui-ci obtenant l'occasion d'exprimer oralement son point de vue lors d'une audience publique de plaidoiries. D.c. Par lettre motivée de son conseil du 25 septembre 2014, le demandeur a conclu à la réouverture de la procédure préparatoire et réitéré sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique ainsi qu'à l'audition des deux témoins précités (let. D.a supra). D.d. Par ordonnance du 9 octobre 2014, le Tribunal fédéral a réservé sa décision quant aux offres de preuves formulées par le demandeur jusqu'à la clôture des débats, a convoqué les parties à une audience de débats principaux et a, par le prononcé du huis clos partiel ne s'appliquant pas aux journalistes accrédités auprès du Tribunal fédéral, en partie accédé à la demande de huis clos formée par A._ concernant l'audience de débats principaux et l'éventuelle séance publique de délibération subséquente. D.e. Le 30 octobre 2014, le Tribunal fédéral a tenu une audience de débats principaux, dans le cadre de laquelle les parties ont confirmé leurs positions respectives. Le demandeur a pu s'exprimer personnellement. Le conseil de A._ a remis sa note de frais au Tribunal fédéral. La Cour de céans a ensuite délibéré. Les juges étant parvenus à un résultat unanime, il a été statué par voie de circulation (cf. art. 58 al. 2 LTF, sur renvoi de l'art. 1 al. 2 PCF). Cela fait, le Tribunal fédéral a procédé à la lecture publique du dispositif de l'arrêt.