Faits: A. Titulaire d'un certificat fédéral de capacité de mécanicien en automobiles, M._ (né en 1958) a travaillé comme chauffeur-livreur pour la société X._ SA du 1 er janvier 1979 au 31 mars 2006, date à laquelle les rapports de travail ont pris fin en raison d'absences pour cause de maladie durant de nombreux mois. Le 20 mars 2007, M._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Après avoir recueilli des avis médicaux, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a mis en oeuvre un stage d'orientation professionnelle en avril 2009, qui a dû être interrompu le 12 juin 2009, l'assuré n'ayant pas été prêt à aborder une quelconque reconversion (cf. rapport de l'atelier d'intégration professionnelle du 14 janvier 2010). Sur requête de l'office AI, M._ a été examiné par le docteur R._, spécialiste en médecine physique et rééducation, du Service médical régional AI (SMR). Le médecin a diagnostiqué (avec répercussion sur la capacité de travail) des lombosciatalgies chroniques (status après cure de hernie discale L4/L5 G, modification de type inflammatoire MODIC II et phénomènes inflammatoires aux dépens des articulaires postérieures L4/L5 avec image de géode et d'ostéophyte, déconditionnement musculaire et discopathies étagées), des gonalgies droites sur status après nécrose aseptique du condyle interne, ainsi que des douleurs chroniques de la cheville droite sur status après fracture et ostéosynthèse à l'âge de 19 ans. Il a indiqué que l'assuré avait notamment mentionné avoir été pris en charge dans le courant 2008 par un psychologue et qu'il décrivait un état anxiodépressif à caractère fluctuant, évoluant depuis plusieurs années. Le docteur R._ a conclu qu'en fonction des atteintes à la santé objectives mises en évidence sur le plan ostéoarticulaire, sans prendre en considération la composante à caractère non organique à laquelle se surajoutait la notion d'un trouble anxiodépressif, l'assuré présentait une incapacité totale de travail dans l'activité habituelle, mais disposait en revanche d'une capacité de travail de 70 % (100 % avec une diminution de rendement de 30 %) dans une activité adaptée aux limitations décrites (rapport du 10 juillet 2009). Le 19 octobre 2009, l'office AI a informé l'assuré qu'il comptait le mettre au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1 er mars 2006 au 31 mars 2007, puis d'une demi-rente du 1er avril 2007 au 31 mai 2008 et à partir du 1er juin 2009 (la suspension de la rente étant due au versement d'indemnités journalières du 20 mai 2008 au 12 juin 2009). M._ a contesté ce projet de décision, en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 2006 (avec interruption de mai 2008 à juin 2009), puis en sollicitant une expertise bidisciplinaire avec volet psychiatrique. Il a par la suite produit une expertise (du 6 septembre 2010) réalisée par le docteur A._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne, qui s'est adjoint l'aide de la doctoresse C._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 30 août 2010). Le docteur A._ y concluait que l'incapacité de travail s'élevait à 70 % avec 30 % de diminution de rendement dans une activité adaptée. Après avoir requis l'avis du docteur S._ du SMR, notamment sur un courrier du docteur A._ (reçu par le conseil de l'assuré le 25 mars 2011), l'office AI a rendu deux décisions le 15 juillet 2011, par lesquelles il a alloué à l'assuré une rente entière d'invalidité du 1 er mars 2006 au 31 mars 2007, fondée sur un degré d'invalidité de 100 %, puis une demi-rente d'invalidité du 1er avril 2007 au 31 mai 2008 et à nouveau dès le 1er juin 2009, fondée sur un degré d'invalidité de 56 %. B. Statuant le 5 novembre 2012 sur les recours formés par M._ contre ces décisions, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, les a rejetés en confirmant les décisions du 15 juillet 2011. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, M._ demande principalement au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, de réformer le jugement cantonal, en ce sens qu'il a droit à une rente entière d'invalidité du 1 er mars 2006 au 31 mai 2008, puis dès le 1er juin 2009, avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mars 2006 et au pro rata temporis jusqu'au 31 mai 2008, respectivement dès le 1er juin 2009. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation des décisions de l'office AI du 15 juillet 2011 et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelles instruction et décision. L'office AI a conclu au rejet du recours.