Faits : A. X._ SA est une société anonyme ayant pour but le « développement sur des matériaux composites en dentisterie et autres applications dans d'autres industries » et elle est inscrite au registre du commerce de Genève depuis février 2002. Sans activité dans les années 2003 et 2004, elle a engagé Y._ en qualité de directeur général dès le 1er février 2005. Le directeur était le seul travailleur employé par la société; il devait percevoir un salaire de 12'000 fr. par mois, montant net, pour un engagement à temps plein, et ce salaire lui fut effectivement versé jusqu'au mois de mai 2005. Par un accord séparé, les parties convinrent que le directeur mettrait au point la fabrication d'une machine à préparer les surfaces métalliques pour des prothèses dentaires et qu'il accomplirait toutes les démarches administratives et financières nécessaires à cette fin. Le directeur apporterait 225'000 fr. à la société et il recevrait, en contrepartie, des actions correspondant à 40% du capital social. En février 2005, avant la conclusion de cet accord, il avait déjà versé 75'000 euros. Le 23 août 2005, en raison de « divergences sur la marche de la société », les parties conclurent un accord qui avait pour objet de mettre fin à l'activité du directeur. Les rapports de travail expireraient à fin septembre. La société promettait de verser, au 31 août, 48'000 fr. à titre de salaire pour les mois de juin à septembre et 75'000 euros pour remboursement du « prêt » qu'elle avait reçu. B. Le 12 septembre 2005, Y._ a ouvert action contre X._ SA devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Sa demande tendait au paiement des sommes précitées de 48'000 fr. et 75'000 euros, avec intérêts au taux de 5% par an dès le dépôt de cette même demande. La défenderesse a contesté qu'un accord fût venu à chef, entre les parties, le 23 août; elle soutenait que le demandeur avait été licencié avec effet immédiat, pour de justes motifs, le 19 de ce mois. Elle a élevé des prétentions reconventionnelles portant sur le remboursement du loyer d'un appartement, par 5'400 fr., sur le remboursement de l'impôt à la source qu'elle n'avait pas retenu sur le salaire versé, par 20'938 fr., et, enfin, sur « un montant au moins équivalent à la prétention [du demandeur] » à titre de dommages-intérêts. Après avoir interrogé divers témoins, le Tribunal de prud'hommes s'est prononcé le 15 juin 2006. Il a donné entièrement gain de cause au demandeur. Faute de conclusions chiffrées, la demande reconventionnelle était jugée irrecevable en tant qu'elle portait sur des dommages-intérêts; pour le surplus, cette demande était rejetée. La défenderesse ayant déféré la cause à la Cour d'appel, celle-ci a statué le 20 novembre 2006. L'accord du 23 août 2005 n'était plus contesté et l'appel portait seulement sur les prétentions reconventionnelles; les conclusions étaient alors chiffrées à 92'720 fr.90 en tout, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 31 octobre 2005. Sur le loyer de 5'400 fr., la Cour a confirmé le jugement. Sur l'impôt à la source de 20'938 fr., la Cour a admis l'action reconventionnelle et elle a autorisé la défenderesse à imputer ce montant sur ce qu'elle devait au demandeur. Sur les dommages-intérêts, la Cour a confirmé l'irrecevabilité de l'action en raison de l'absence de conclusions chiffrées en première instance; selon une motivation additionnelle de son prononcé, elle a jugé que les faits à la base de cette action n'étaient pas prouvés et que celle-ci devait donc être rejetée. C. Agissant par la voie du recours de droit public et du recours en réforme, les deux recours étant présentés dans un mémoire unique, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral, à titre principal, d'annuler l'arrêt de la Cour d'appel et de lui renvoyer la cause pour complément d'instruction et nouveau prononcé; à titre subsidiaire, elle requiert la condamnation du demandeur à lui payer 66'500 fr., avec intérêts à 5% par an dès le 31 octobre 2005, par imputation sur sa propre créance. Le demandeur conclut au rejet de chacun des recours, dans la mesure où ils sont recevables; la Cour d'appel n'a pas présenté d'observations.