Faits: A. A._ et B._ sont copropriétaires de la parcelle n° 2'496 du registre foncier de la commune d'Yverdon-les-Bains. Ce bien-fonds de 8'436 m2 est situé dans un secteur constructible (zone d'activités). Il supporte notamment un bâtiment d'affectation mixte de six étages sur rez, comprenant quatorze logements et de nombreux locaux commerciaux, ainsi que soixante-six places de stationnement dont quarante-neuf sont attribuées aux surfaces commerciales. Le 6 juin 2011, A._ et B._ ont déposé une demande de permis de construire portant sur la transformation intérieure du bâtiment, le déplacement d'un quai de chargement et l'adjonction de vingt places de stationnement pour les activités commerciales. Mis à l'enquête publique du 25 juin au 25 juillet 2011, ce projet n'a pas suscité d'opposition. Par décision du 31 août 2011, la Municipalité d'Yverdon-les-Bains a délivré le permis de construire s'agissant des transformations intérieures et de la modification du quai de chargement. Elle a cependant refusé l'adjonction de vingt places de stationnement, au motif que le nombre de places existantes était déjà supérieur aux valeurs de la norme VSS 640 281 (norme de l'Association suisse des professionnels de la route et des transports), à laquelle il faudrait en outre appliquer "un facteur de 50 à 80 % des besoins selon le plan AggloY". A._ et B._ ont recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté leur recours par arrêt du 12 avril 2012. Cette autorité a considéré en substance que la norme VSS 640 281 s'appliquait par un renvoi dynamique du règlement communal et que cette norme n'autorisait pas une augmentation du nombre de places de stationnement sur la parcelle n° 2'496. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que le permis de construire pour l'adjonction de vingt places de parc est délivré. Ils concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Le Service de la mobilité du canton de Vaud a présenté des observations. La Municipalité d'Yverdon-les-Bains en a fait de même, concluant au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. A._ et B._ ont formulé des observations complémentaires.