Faits: A. A.a X._, ressortissant kosovar né le 8 septembre 1966, est entré en Suisse le 6 janvier 1992. Le 31 décembre 1999, il a épousé dame X._, née le 6 février 1970, également originaire du Kosovo. Cette dernière a rejoint son mari en Suisse le 4 novembre 2000, au bénéfice d'une autorisation de séjour à titre de regroupement familial. Le couple X._ a deux enfants: A._, né en 2000, et B._, née en 2009. X._ a obtenu la nationalité suisse le 4 juin 2008. A.b X._ est l'aîné d'une fratrie de cinq enfants. L'un de ses frères, C._, a trois filles, issues de son union avec D._: E._, née en 1993, F._, née en 1995, et G._, née en 1996. C._ est décédé le 22 juin 1997. Son épouse a quitté le domicile familial quatre mois plus tard, abandonnant leurs trois filles, qui, depuis lors, ont été prises en charge par leur famille paternelle. Leur mère a quant à elle refait sa vie de son côté. A.c Entre 2006 et 2007, les époux X._ ont initié, au Kosovo, une procédure d'adoption des trois filles de feu C._. Celle-ci a été prononcée le 13 juillet 2007 par le Tribunal municipal de Lipjan. B. B.a Le 12 septembre 2007, X._ a déposé trois demandes de visa pour la Suisse en faveur des jeunes filles. La demande de reconnaissance du jugement d'adoption a été transmise à la Direction de l'état civil du canton de Vaud (ci-après la Direction). Le 16 septembre 2008, la Direction a sollicité de la représentation suisse au Kosovo qu'elle lui communique différents renseignements et documents relatifs à l'adoption des trois enfants. Dans sa réponse, l'Ambassade suisse du Kosovo a précisé que "les autorités kosovares sembl[ai]ent excessivement libérales dans leur interprétation de la loi, qui elle-même [était] assez floue". Elle recommandait aux autorités suisses de refuser de reconnaître toute adoption prononcée au Kosovo. La Direction a entendu X._ le 3 novembre 2008, et les époux X._ ont encore eu l'occasion de se déterminer avant que l'autorité ne statue. B.b Par décision du 9 mars 2009, le Département de l'intérieur du canton de Vaud a déclaré irrecevable la demande de reconnaissance de l'adoption prononcée le 13 juillet 2007 par le Tribunal municipal de Lipjan, la rejetant pour le surplus. Il a, partant, refusé de transcrire cette décision d'adoption dans le registre informatisé de l'état civil. Statuant le 12 août 2009 sur le recours des époux X._, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté et a confirmé la décision du Département de l'intérieur. C. Par acte du 14 septembre 2009, les époux X._ exercent un recours en matière civile devant le Tribunal fédéral. Soutenant que la décision attaquée violerait l'interdiction de l'arbitraire ainsi que les art. 25 ss LDIP, ils concluent à l'admission du recours et à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'adoption des enfants E._, F._ et G._ soit reconnue en Suisse. L'autorité intimée n'a pas été invitée à répondre. D. Par acte du 29 septembre 2009, les recourants ont requis l'assistance judiciaire.