Faits: A. B._ bénéficie d'une rente entière d'invalidité, notamment en raison d'un trouble de la personnalité. Le 8 septembre 2010, il a déposé une demande d'allocation pour impotent, invoquant un besoin d'aide pour l'entretien de contacts sociaux (compte tenu de problèmes auditifs et respiratoires), ainsi que la nécessité de bénéficier d'un accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie, étant dans l'impossibilité de téléphoner et ayant des difficultés à suivre une conversation à plus de deux personnes. Par décision du 18 août 2011, qui faisait suite à un projet du 7 juin 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande, au motif que l'assuré n'avait besoin d'aide que pour un seul acte ordinaire de la vie, l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie n'étant pas justifié. B. B._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire. Par jugement du 13 février 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à ce que son droit à une allocation pour impotent soit reconnu et que la cause soit renvoyée à l'office intimé. Ce dernier ainsi que l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.