Faits: A. Le 25 mai 2007, la société portugaise X._, en liquidation (ci-après: X._) a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête tendant à la nomination d'un arbitre. La requérante indiquait qu'elle entendait élever une prétention en paiement de 948'460 US$, plus intérêts, à l'encontre de la société espagnole Y._ SA (ci-après: Y._), pour cause d'inexécution partielle d'un accord de coopération conclu le 7 mars 1997 avec cette société. Selon X._, le différend devait être soumis à un tribunal arbitral de trois membres, avec siège à Genève, en vertu d'une clause compromissoire insérée dans ledit accord. La requérante précisait qu'elle avait désigné son arbitre, lequel avait accepté sa mission, mais que sa cocontractante avait refusé de choisir le sien. Contestant l'existence de la convention d'arbitrage invoquée, au motif que le contrat de coopération daté du 7 mars 1997 en était resté au stade du projet, Y._ s'est opposée à la requête de X._. Par jugement du 4 janvier 2008, le Tribunal de première instance a rejeté la requête, en application de l'art. 179 al. 3 LDIP, après avoir constaté que les parties n'étaient pas liées par une convention d'arbitrage. B. Contre ce jugement, reçu par elle le 8 janvier 2008, X._ a interjeté appel le 18 du même mois. Y._ a conclu à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet de ce moyen de droit. Par arrêt du 3 avril 2008, la Cour de justice du canton de Genève a déclaré irrecevable l'appel formé par X._ et mis les dépens à la charge de cette partie. Elle a retenu, en bref, que le droit de procédure genevois ne prévoit aucun recours contre le refus du juge de nommer un arbitre. C. Le 9 mai 2008, X._ a formé, dans un seul mémoire, un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle y prend une série de conclusions en cascade qui tendent, en substance, à ce que le Tribunal fédéral annule la décision attaquée, nomme l'arbitre dont la désignation incombe à Y._, invite les deux arbitres à choisir un président et dise que le Tribunal arbitral aura à connaître des différents points énumérés par elle. A titre subsidiaire, la recourante conclut au renvoi du dossier à la cour cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Plus subsidiairement encore, X._ requiert que lui soit restitué le délai pour recourir au Tribunal fédéral contre le jugement du Tribunal de première instance et qu'un nouveau délai de recours lui soit octroyé à cette fin. L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours et, subsidiairement, au rejet de ceux-ci. La cour cantonale se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans la décision attaquée. Par ordonnance du 12 juin 2008, le président de la Ire Cour de droit civil a rejeté la demande de sûretés en garantie des dépens déposée par l'intimée.