Faits: A. Les époux A.X._ et B.X._ se sont mariés le 4 mai 2002 à Dakar (Sénégal). Un enfant est issu de cette union: C.X._, née le 18 juin 2004 à Genève. Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 7 octobre 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal «dès que [l'épouse] aura trouvé un nouveau logement», instauré une garde alternée et «fixé le lieu du domicile principal de l'enfant» chez son père. Ce jugement n'a pas été exécuté faute de séparation des parents. B. Par nouveau jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 8 juin 2012, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué au père la garde de l'enfant et la jouissance exclusive du domicile conjugal, un délai au 15 juillet 2012 étant fixé à l'épouse pour qu'elle quitte ledit domicile. L'épouse a interjeté appel contre cette décision, concluant notamment à l'attribution de la garde de l'enfant et du domicile conjugal; simultanément, elle a requis l'effet suspensif à son recours. Par décision du 6 juillet 2012, le Président de la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a refusé d'accorder l'effet suspensif. C. Par acte du 2 août 2012, l'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'assistance judiciaire. Elle sollicite au préalable l'octroi de l'effet suspensif à son recours; au fond, elle conclut principalement à l'annulation de la décision querellée et à l'octroi de l'effet suspensif à son appel contre le jugement du Tribunal de première instance, subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance inférieure pour nouvelle décision. Des déterminations n'ont pas été demandées. D. Par décision du 6 août 2012, la Présidente de la Cour de céans a refusé d'octroyer l'effet suspensif au recours en matière civile.