Faits: A. A._ a été engagé par la Municipalité de la commune de X._ (ci-après: la municipalité) comme employé communal polyvalent à partir du 1er septembre 1988 sur la base d'un "contrat de droit privé", conformément à ce que prévoyait un règlement communal alors en vigueur. Dès le 1er mars 1999, il a été promu en qualité de chef d'équipe communale. A compter du 1er mai 2000, il a été soumis à un nouveau statut du personnel communal adopté par le conseil communal le 27 mai 1999 et approuvé ensuite par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Ce statut s'applique à tous les collaborateurs salariés de la commune (art. 1.1). Il prévoit la compétence de la municipalité pour l'engagement et la promotion (art. 3 ss) ainsi que pour le licenciement (art. 8) et le renvoi pour justes motifs (art. 9). Sur ce dernier point, le règlement communal est ainsi libellé: "9.1 La Municipalité peut en tout temps renvoyer un employé pour justes motifs. 9.2 Constituent notamment de justes motifs, toutes circonstances qui rendent le maintien en fonction préjudiciable à la bonne marche ou à la bonne réputation de l'administration ou qui font que, selon la bonne foi, la poursuite des rapports de service ne peut plus être exigée. 9.3 A moins que les faits ne justifient un renvoi immédiat, le renvoi doit être précédé d'un avertissement écrit. 9.4 Le renvoi pour justes motifs ne peut être prononcé qu'après audition de l'employé qui peut se faire assister. 9.5 La décision de renvoi est communiquée par écrit avec indication des motifs." B. Par une décision du 21 décembre 2006, la municipalité a signifié à A._ son renvoi pour justes motifs, conformément à l'art. 9 du statut du personnel. Il a été ainsi mis fin immédiatement aux rapports de travail, la municipalité retenant à l'encontre de A._ qu'il avait réalisé, sur les heures de travail, une activité de sciage de bois de feu à la demande de plusieurs habitants de la commune, en encaissant directement et en conservant la rémunération pour le travail fourni. Il lui était également reproché de n'avoir jamais exposé cette manière de faire à la municipalité. A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Vaud. Il a conclu à sa réforme, en ce sens qu'il n'était pas licencié et continuait à être employé communal en qualité de chef de l'équipe de voirie. A titre subsidiaire, il a conclu à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à la municipalité pour nouvelle instruction et nouvelle décision. La municipalité a conclu au rejet du recours. Le Tribunal administratif a statué après une audience qui a eu lieu le 16 mai 2007. Par un arrêt rendu le 19 juillet 2007, il a admis le recours et annulé la décision de la municipalité du 21 décembre 2006. En substance, il a considéré que les motifs invoqués par l'employeur étaient assurément sérieux mais pas d'une importance telle qu'ils eussent pu justifier un licenciement avec effet immédiat, sans aucun avertissement (consid. 2a). En outre, selon cet arrêt, la municipalité, qui avait eu connaissance des faits litigieux avant le mois de novembre 2006, a tardé à prononcer le licenciement immédiat; c'est un autre motif de considérer que la décision n'est pas valable (consid. 2b). C. Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, la commune de X._ (représentée par sa municipalité) demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal administratif en ce sens que le recours déposé par A._ à l'encontre de la décision de la municipalité du 21 décembre 2006 est rejeté, cette dernière décision étant confirmée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif puis au renvoi de l'affaire à cette autorité pour complément d'instruction et nouvelle décision. La commune recourante se plaint de violations de l'art. 9 Cst., en dénonçant une application arbitraire par le Tribunal administratif de l'art. 9 du statut de son personnel, et en reprochant à la juridiction cantonale des lacunes dans les constatations de fait ainsi qu'une appréciation arbitraire de certains moyens de preuve. A._ et le Tribunal administratif concluent au rejet du recours. D. Par une ordonnance du 14 décembre 2007, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif présentée par la commune recourante. E. L'intimé A._ demande l'assistance judiciaire, à savoir la dispense des frais de justice et la désignation de Me Dovat, l'auteur de son mémoire de réponse, comme avocat d'office.