Faits: A. J._ travaille en qualité d'éducatrice spécialisée au service de l'Hôpital X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurances. Le 23 décembre 2000, elle a été victime d'un accident de la circulation en France: lors d'un ralentissement, la voiture conduite par l'assurée a été heurtée à l'arrière par un véhicule qui n'avait pas freiné à temps. Elle a consulté le docteur T._, médecin à L._ (F), lequel a fait état de douleurs cervicales. Dans un rapport du 15 février 2001, le docteur D._, spécialiste en médecine interne, a fait état d'une commotion cérébrale sans perte de connaissance et d'un syndrome vertébral cervical dû à un traumatisme de type « coup du lapin ». Ce médecin a indiqué la présence de douleurs, de vertiges, d'intolérance à la lumière et au bruit, de nausées, de difficultés de concentration et de troubles de l'équilibre. Il a attesté une incapacité de travail entière depuis le 23 décembre 2000 pour une durée indéterminée. Winterthur Assurances a pris en charge le cas. Dans des rapports des 11 avril et 29 mai 2001, le docteur D._ a fait état d'une lente amélioration de l'état de santé, avec disparition des vertiges et diminution des céphalées et de l'hypersensibilité à la lumière et au bruit. Winterthur Assurances a confié une expertise au docteur A._, spécialiste en neurochirurgie. Dans un rapport du 4 octobre 2001, ce médecin a fait état d'une lésion radiologique sous la forme d'une instabilité du segment C4-C5 post-traumatique; il existait par ailleurs des phénomènes dégénératifs discrets aux niveaux C5-C6 et C6-C7. Selon l'expert, un statu quo sine vel ante n'était pas encore atteint en raison de la lente évolution de la lésion ligamentaire structurelle. Le 21 octobre 2002, Winterthur Assurances a confié une autre expertise au docteur U._, spécialiste en neurologie. Dans un rapport du 20 décembre 2002, celui-ci a nié l'origine traumatique de l'instabilité du segment C4-C5; selon l'expert, celle-ci était vraisemblablement due à la rectitude de nature dégénérative du segment inférieur, l'assurée présentant en effet des altérations dégénératives aux segments C5-C6 et C6-C7, antérieures à l'accident. Par décision du 30 septembre 2003, Winterthur Assurances a alloué à l'assurée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 %, conformément aux appréciations des docteurs A._ et U._. En outre, elle a accepté de prendre en charge, jusqu'au 31 décembre 2007, les soins préconisés par le docteur U._, à savoir la continuation du traitement d'AINS et d'antalgiques, ainsi que des séances de physiothérapie. L'assurée a formé opposition contre cette décision dont elle demandait l'annulation, en concluant au maintien de son droit à une indemnité journalière. A l'appui de cette conclusion, elle produisit un rapport d'expertise privée du docteur I._, médecin au Centre de neurologie de la Fondation Z._l (du 12 décembre 2003). En ce qui concerne les plaintes de l'assurée, ce médecin a indiqué des cervicalgies irradiant dans les membres supérieurs, associées à des paresthésies prédominantes à droite dans le territoire du dermatome C6-C8, des troubles de la concentration et de la mémoire avec difficulté à trouver les mots, une labilité émotionnelle et une grande fatigabilité, des troubles visuels, une sensation de vertiges systématisés, aggravée par l'hyperextension de la nuque, sans nausée, associée à des acouphènes apparus peu après l'accident, ainsi qu'une photophobie. Selon l'expert, il n'y avait pas d'anomalies sur le plan neurologique, hormis une contracture de la musculature para-vertébrale et une hyposensibilité mandibulaire antérieure à l'accident. En outre, le docteur I._ était d'avis qu'il existait très vraisemblablement une relation de causalité naturelle entre les symptômes neuropsychologiques et l'accident, étant donné que l'intéressée travaillait sans problème à plein temps avant cet événement. Par lettre du 24 novembre 2004, Winterthur Assurances a informé l'assurée de son intention de procéder à une reformatio in pejus de la décision du 30 septembre 2003, dans le sens d'une suppression de tout droit à des prestations, en lui accordant un délai pour retirer son opposition. L'intéressée n'a pas fait usage de cette possibilité. Par décision sur opposition du 17 mars 2005, Winterthur Assurances a rejeté l'opposition et supprimé tout droit à prestations à partir du 1er janvier 2003, tout en renonçant à réclamer le remboursement des frais médicaux déjà accordés. Elle a considéré, en résumé, qu'il n'existait pas de lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles persistant au-delà du 31 décembre 2002. B. J._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain d'au moins 30 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 30 %, ainsi qu'à la prise en charge du traitement médical pour les troubles découlant de l'accident. La juridiction cantonale a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre d'expertise médicale. Dans un rapport du 21 décembre 2006, les experts ont fait état, au titre des diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail, d'un syndrome cervical avec céphalées et cervicalgies chroniques, ainsi que de brachialgies intermittentes sur troubles dégénératifs du rachis cervical et de troubles neuropsychologiques consistant en des troubles de la concentration et une fatigabilité intellectuelle. Au titre des diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, sont mentionnées des sensations vertigineuses avec modification de la perception de la verticalité dans le contexte d'une "skew" déviation en voie de compensation. Selon les experts, les troubles neuropsychologiques et les sensations vertigineuses étaient dans une relation de cause à effet certaine avec l'accident, ce qui n'était pas le cas de la symptomatologie intermittente des brachialgies sur troubles dégénératifs aux niveaux C5, C6 et C7, ni des "protrusions/hernie discale". Par jugement du 9 mai 2007, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours. Elle a alloué à l'assurée une indemnité journalière calculée en fonction des divers taux d'incapacité de travail subie jusqu'au 31 mai 2003, ainsi qu'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 20 % dès le 1er juin suivant; en outre, elle lui a accordé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 % et reconnu son droit à la prise en charge du traitement médical jusqu'au 31 mai 2003. C. Winterthur Assurances interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation, sous suite de frais et dépens. J._ a conclu au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. D. Dans un arrêt du 19 février 2008 (U 394/06), le Tribunal fédéral a précisé sa pratique en matière d'accident consécutif à un traumatisme cervical de type « coup du lapin » sans preuve d'un déficit fonctionnel organique. Aussi, le Président de la Ie Cour de droit social a-t-il ordonné un second échange d'écritures dans la présente cause. Les parties ont fait usage de cette possibilité de compléter leurs mémoires.