Faits: A. Par contrat du 6 février 2006, A._ (ci-après: A._ ou la bailleresse) a remis à bail à Y._ et X._ une arcade de 141 m2 au rez-de-chaussée de l'immeuble sis 1, place des Augustins à Genève; les locaux étaient destinés à l'exploitation d'une entreprise de nettoyage chimique. Le loyer mensuel a été fixé en dernier lieu à 5'059 fr.; il est payable par mois d'avance. En 2009, les locataires ont, à plusieurs reprises, payé leur loyer par mois échu. Au 31 décembre 2009, ils étaient à jour. Entre janvier et mars 2010, ils ont effectué deux versements: un montant de 5'059 fr. le 20 janvier et un montant de 5'069 fr. le 4 mars. Par lettre du 8 mars 2010, la bailleresse a rappelé aux locataires qu'ils étaient tenus de payer le loyer par mois d'avance. Les locataires ont versé à la bailleresse 2'559 fr. le 12 avril 2010 et 2'500 fr. le 15 avril 2010. Par courrier du 19 avril 2010, la bailleresse a rappelé aux locataires les termes de sa lettre du 8 mars 2010 et leur a imparti un délai au 30 avril 2010 pour régler leur retard. Aucun versement n'est intervenu. Par avis comminatoires du 17 mai 2010, la bailleresse a mis les locataires en demeure de lui verser dans les trente jours un montant de 10'118 fr. représentant les arriérés de loyer de février et mai 2010; elle les a informés de son intention de résilier le bail sur la base de l'art. 257d CO s'ils ne payaient pas intégralement le montant réclamé dans le délai imparti. Le 2 mai 2010, les locataires ont avisé la régie représentant A._ qu'une infiltration d'eau s'était produite dans les locaux loués; la bailleresse a fait procéder aux réparations. Les 22 mai et 8 juin 2010, les locataires ont payé les montants de 3'059 fr., respectivement de 2'000 fr. Par avis officiels du 21 juin 2010, la bailleresse a résilié le bail pour le 31 juillet 2010, considérant que le montant mentionné dans la mise en demeure n'avait pas été intégralement réglé dans le délai imparti. B. Par requête du 19 juillet 2010 adressée à la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève, Y._ et X._ ont contesté le congé. Par requête du 4 août 2010, A._ a requis l'évacuation des époux X-Y._. La conciliation a échoué. Les parties ont chacune introduit action devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, qui a ordonné la jonction des causes. Par jugement du 17 décembre 2010, le Tribunal des baux et loyers a constaté la validité de la résiliation et condamné les locataires à évacuer immédiatement l'arcade louée. Statuant le 13 juillet 2011 sur appel de Y._ et X._, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. C. X._ et Y._ interjettent un recours en matière civile. Ils concluent à ce qu'il soit constaté que le contrat de bail du 6 février 2006 n'a pas été valablement résilié. Une avance de frais a été demandée aux recourants. Ceux-ci ont alors sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. L'intimée n'a pas été invitée à déposer une réponse.