Faits: A. Le 28 avril 2009, la société italienne Y._ SpA a saisi le Tribunal civil du district de A._ d'une requête d'exequatur d'un arrêt par lequel la Cour d'appel de Venise, statuant le 15 décembre 2004, avait condamné X._ SA, société ayant son siège à A._, actuellement en liquidation, à rembourser à la requérante la somme de 295'822,90 euros. A la requête étaient joints une copie certifiée conforme dudit arrêt, datée du 18 mai 2005, qui attestait le caractère exécutoire de celui-ci, ainsi qu'un procès-verbal de notification d'une copie de l'arrêt à X._ SA, intimée à la requête. Y._ SpA a requis, en outre, le séquestre des biens de la débitrice et le blocage du registre du commerce. Par ordonnance du 8 mai 2009, le président du Tribunal civil a prononcé l'exequatur de l'arrêt en question, invité le Registre du commerce du canton de Neuchâtel à bloquer toute inscription relative à X._ SA à titre de mesure provisoire et dit que les conclusions ayant trait au séquestre feraient l'objet d'une décision séparée. En bref, le président a considéré que la procédure était soumise à la Convention concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale du 16 septembre 1988 (Convention de Lugano; RS 0.275.11; ci-après: CL) et que les conditions posées par ladite convention pour admettre la requête d'exequatur étaient remplies. B. X._ SA en liquidation a recouru contre cette ordonnance en faisant valoir que l'arrêt formant l'objet de la requête d'exequatur ne constituait pas une décision définitive, dès lors qu'il était frappé d'un recours en cassation. Par arrêt du 16 juillet 2009, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Se référant à l'art. 30 al. 1 CL, les juges cantonaux ont relevé que l'autorité saisie du recours peut certes surseoir à statuer si la décision à exécuter fait l'objet d'un recours ordinaire, tel le recours en cassation du droit de procédure civile italien. Ils ont toutefois nié que la pièce produite par la recourante suffise à établir les allégations de cette partie quant au dépôt d'un recours en cassation visant l'arrêt de la Cour d'appel de Venise. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._ SA en liquidation demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 16 juillet 2009 et de rejeter la requête d'exequatur. Elle produit, avec son mémoire, une pièce en langue italienne, datée du 21 mai 2009, censée prouver que la procédure de recours contre l'arrêt vénitien est toujours pendante devant la Cour de cassation italienne. Dans sa réponse, l'intimée s'oppose au dépôt de cette pièce et conclut au rejet du recours. L'autorité cantonale se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans son arrêt. La requête d'effet suspensif formulée dans le recours a été rejetée par ordonnance présidentielle du 8 octobre 2009.