A.- Par décision du 27 avril 2001, la Caisse cantonale vaudoise de compensation (la caisse) a mis V._ au bénéfice d'une rente AVS, avec effet au 1er mai 2001, calculée sur la base d'un revenu annuel moyen déterminant de 24 720 fr., en fonction de l'échelle de rente 37. B.- Par écriture du 31 mai 2001, V._ a recouru devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre cette décision dont il demandait l'annulation, en contestant qu'il présentât des lacunes de cotisation. Dans une écriture ultérieure, il a allégué, notamment, qu'il avait acquitté des cotisations AVS, au moyen de timbres, alors qu'il était étudiant à l'Université X._ (de 1956 à 1961). Le 22 juin 2001, la cour cantonale a invité la caisse à lui faire parvenir le dossier de la cause et à se déterminer sur le recours jusqu'au 17 août 2001. Le 9 juillet 2001, celle-ci a conclu au rejet du recours, en indiquant qu'il appartenait à la Caisse cantonale genevoise de compensation de se déterminer sur l'inscription des cotisations afférentes aux études de V._ à l'Université X._. Le 27 juillet 2001, la cour cantonale a imparti à l'assuré un délai au 7 septembre 2001 pour fournir explications et pièces complémentaires. Par lettre du 26 août 2001, V._ a présenté de nouvelles déterminations. Il a par ailleurs demandé à la cour cantonale de statuer rapidement sur le recours, après avoir rappelé que la cause était pendante depuis mai 2001. Le 10 septembre 2001, le Tribunal des assurances a imparti à la caisse un délai au 1er octobre 2001 pour produire de nouvelles déterminations et pièces éventuelles. C.- Par écriture du 8 novembre 2001, V._ a déposé devant le Tribunal fédéral des assurances un recours pour déni de justice. Il requiert le tribunal de constater que la durée de la procédure devant la juridiction cantonale est excessive. Par ailleurs, il sollicite la dispense des frais de justice au niveau fédéral et demande à la cour de céans de "retenir qu'une assistance judiciaire serait indispensable pour tout complément souhaitable". Le Tribunal des assurances du canton de Vaud n'a pas présenté d'observations.