Faits: A. A.a Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, inscrite au registre du commerce depuis le 24 mars 2009, est active dans le commerce maritime, notamment le transport de marchandises et l'affrètement de bateaux et cargaisons. Cette société, dont le capital-actions s'élève à 4'000'000 fr., a pour administrateur-président A._ et compte au nombre de ses administrateurs en particulier B._. Par contrat de travail signé le 27 mars 2009, Y._ a engagé dès le 1er avril 2009 X._, alors domicilié à Genève, en qualité de directeur général, doté d'un pouvoir de signature individuelle, pour un salaire annuel brut d'au moins 378'000 fr.; le contrat, d'une durée d'une année, était reconductible tacitement d'année en année, sauf dénonciation donnée par écrit six mois avant l'échéance de l'accord. Pendant que X._ travaillait à son service, Y._ a créé son site internet sous l'adresse " Y.ch ". Par pli recommandé du 30 octobre 2009, Y._ a résilié avec effet immédiat le contrat de X._ en invoquant la commission par celui-ci d'actes répréhensibles. A la suite de ce congé abrupt, X._ a ouvert action le 6 avril 2010 contre Y._ devant le Tribunal des prud'hommes de Genève, requérant notamment le versement de son salaire pendant quatorze mois ainsi que le paiement d'une indemnité pour licenciement immédiat injustifié. Il a été constaté que le travailleur avait annoncé, lors d'une audience de comparution personnelle des parties tenue le 14 juillet 2010 devant l'autorité prud'homale, qu'il était désormais domicilié à Hong-Kong (Chine). La procédure prud'homale est actuellement pendante devant les autorités genevoises. A.b Au début 2010, Y._ a découvert l'existence et le contenu du site internet " Y.com ". Les pages de ce site, dont le nom de domaine avait été acquis par X._ le 20 mars 2009, avaient été partiellement modifiées par ce dernier le 7 décembre 2009, soit après la notification du congé sans délai précité. Il a été retenu que le site " Y.com " présentait en anglais en date du 2 février 2010 le contenu suivant: " En page 1 : le titre du site est " Welcome [trad. : " bienvenue "] Y._ ". Au milieu de la page se trouve le texte suivant : " Shipmanagement & technical expertise in order to prevent accident we maintain experts of the highest standard ", soit traduit en français " Management maritime et expertise technique afin de prévenir des accidents - nous gardons des experts du plus haut niveau ". Au-dessus de ce texte figure une photographie - la 2ème de la page - prise depuis la capitainerie d'un bateau de transport maritime et montrant le point avant affrontant de hautes vagues; au-dessous dudit texte figure une autre photographie - la 3ème de la page - montrant un navire de transport maritime droit et à flot, à l'arrêt sur une eau bleue turquoise peu profonde, et attenant à une bande de terre escarpée et rocailleuse. En page 3 : sur deux photographies figure un bateau de transport maritime - à moins qu'il s'agisse d'un navire différent sur chaque photographie - dont le bas de la coque est rouge et le haut bleu; sur la partie avant du bateau, sur la face horizontale de couleur rouge, ressort une couleur jaunâtre différente du rouge, tandis que sur la surface horizontale bleue sont visibles des marques étendues et compactes de couleur foncée difficile à déterminer, plutôt brunâtre. Ce navire présente un aspect usé, ancien. Sur la 3ème photographie de la page (la même photographie - mais en plus grand - que la 1ère photographie de la page 1) est présentée une cheminée de bateau avec le logo de Y._. En page 6 : une photographie montre A._ et B._ à l'arrière d'un véhicule; tous deux habillés en jeans et en polo et paraissent attendre quelque chose; A._ croise les bras, tandis que B._, qui regarde en direction de l'objectif de l'appareil-photo, tient un fruit dans la main. L'autre photographie montre B._ dans la même tenue, avec un appareil-photo, devant un paysage semi-urbain. Il est écrit qu'il est directeur exécutif, de nationalité russe. En page 7 (avant-dernière page) : sous " Contact ", " Y._ SA " et son logo, sont indiquées les références suivantes : " ... " L'adresse pour courriels était celle de X._ ". Quant au site web " Y.ch ", s'il mentionne les noms des trois navires composant la flotte de Y._, il ne contient pas de photographies de ceux-ci; les numéros de téléphone et téléfax qui y sont indiqués correspondent à des appareils fixes, à Genève, l'adresse pour courriels étant celle de Y._. Par lettre et télécopie du 3 février 2010, Y._, estimant que le site " Y.com " la dénigrait, a imparti à X._ un délai au 8 février 2010 pour mettre ce site hors service et entamer les démarches en vue de céder à la société la titularité dudit nom de domaine. Le 5 février 2010, X._ s'est déclaré prêt à vendre l'adresse du site à Y._, non sans nier toute intention d'avoir provoqué une confusion avec le site officiel de ladite société (i.e. " Y.ch ") et tout caractère dénigrant des informations contenues dans le site " Y.com ". Y._ ayant réitéré sa requête par courrier du 5 février 2010, X._ lui a fait savoir le 8 février 2010 que le site " Y.com " avait été désactivé. B. B.a Par demande déposée le 14 septembre 2010 devant la Cour de justice du canton de Genève, Y._ a actionné X._. La société a conclu à ce que la cour cantonale constate que le site " Y.com " dont le défendeur est titulaire constitue, dans sa version au 2 février 2010, un acte de concurrence déloyale commis à son détriment, à ce qu'elle interdise au défendeur d'utiliser ledit nom de domaine, à ce qu'elle le condamne à réparer le dommage pécuniaire subi par la demanderesse au moyen du paiement d'un montant équitable, avec intérêts, et, enfin, à ce qu'elle le condamne également à verser à la demanderesse la somme de 50'000 fr. plus intérêts à titre de tort moral. Le défendeur a conclu, à la forme, à l'irrecevabilité de l'action pour en particulier nullité de l'assignation qui aurait indiqué un domicile erroné et, au fond, au rejet entier des conclusions de la demanderesse. Au cours de l'audience de comparution personnelle du 7 avril 2011, le défendeur, par la bouche de son conseil, s'est engagé à ne pas réactiver le site " Y.com " et à transférer ce nom de domaine à la demanderesse, sans réclamer de montant en contrepartie, étant précisé que cet engagement ne constituait aucune reconnaissance de responsabilité de sa part. Le juge délégué a informé les parties que dans l'arrêt à rendre, il serait donné acte au défendeur de son engagement. Dans ses conclusions motivées du 13 mai 2011, Y._ a pris acte de l'engagement du défendeur de lui transférer gracieusement le nom de domaine " Y.com " et de ne pas réactiver ce site. S'agissant de son préjudice pécuniaire, la demanderesse a précisé qu'une perte de 5'000 US$ par jour correspondait à un montant de 200'000 fr. pour deux mois d'activité. B.b La Cour de justice, statuant en instance unique en vertu du droit cantonal par arrêt du 4 novembre 2011, rectifié par arrêt du 2 février 2012, a déclaré irrecevable la conclusion en constatation d'acte de concurrence déloyale formée par la demanderesse, a donné acte au défendeur de son engagement de ne pas réactiver le site internet " Y.com " et de transférer gratuitement le nom de domaine dudit site à la demanderesse et a condamné le défendeur à verser à cette dernière la somme de 25'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2010 à titre d'indemnité pour tort moral. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Principalement, il conclut au déboutement de la demanderesse de toutes ses conclusions. Subsidiairement, il requiert que le montant de l'indemnité pour tort moral soit fixé équitablement, la demanderesse étant déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. Encore plus subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants. L'intimée propose principalement que le recours soit déclaré irrecevable, subsidiairement qu'il soit rejeté, la décision attaquée étant confirmée.