Faits: A. P._ (né en 1942 et domicilié à Genève) travaillait comme technicien en téléphonie au service de la société X._ SA (ci-après: la société) depuis 1970. En tant que tel, il était assuré au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pension de X._ SA (ci-après: la caisse). Après que la société a annoncé au cours du mois d'août 2001 une restructuration d'entreprise, qui comportait notamment le licenciement de P._, celui-ci a été mis en arrêt de travail total pour motifs de santé. La société lui a alors proposé de prendre une retraite anticipée dès le 1er octobre 2002, moyennant notamment une augmentation de son capital de couverture de 165'550 fr. (lettre du 12 septembre 2001). Le 4 mars 2002, la société a mis un terme aux rapports de travail avec effet au 30 juin 2002. Ayant présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, le 20 mars 2002, P._ a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité, assortie d'une rente pour conjoint, du 1er août 2002 au 28 février 2003, puis d'une demi-rente dès le 1er mars 2003 (décisions de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 10 décembre 2003 et arrêt I 404/05 du Tribunal fédéral du 19 septembre 2006). Ensuite de ces décisions, P._ s'est adressé à la caisse en lui réclamant, en vain, des prestations d'invalidité, et lui a fait notifier un commandement de payer, le 24 septembre 2007, pour un montant de 100'000 fr. plus intérêts à 5% dès le 1er août 2001. B. B.a Par demande du 23 septembre 2009, P._ a ouvert action contre la caisse devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant à ce qu'elle soit condamnée au versement d'un montant de 114'865 fr. 50 plus intérêts à 5% dès le 1er février 2005, (représentant une rente d'invalidité entière du 1er août 2002 au 28 février 2003, une demi-rente du 1er mars au 30 septembre 2007 et une somme de 670 fr. 50 au titre de réparation du préjudice subi). Par jugement "sur partie et incident" du 15 mars 2010, le tribunal a constaté que la caisse était tenue de verser au demandeur des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle et l'a invitée à lui fournir le calcul de la rente d'invalidité, ainsi que les documents utiles au sens des considérants dans un délai de 30 jours à partir de l'entrée en force de son prononcé. Le recours formé par la caisse contre cette décision a été déclaré irrecevable par arrêt du Tribunal fédéral du 10 juin 2010. B.b Poursuivant l'instruction de la cause, le tribunal a fixé au 16 août 2010 le délai dans lequel la caisse était invitée à fournir les pièces pertinentes. La caisse a versé différents documents à la procédure et explicité sa position; l'intéressé s'est déterminé à leur sujet. Par jugement du 27 juin 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a condamné la caisse à verser à P._ une somme de 69'520 fr. avec intérêts à 5% dès le 24 septembre 2007 (ch. 1 du dispositif) et pris acte de l'engagement de la caisse de verser à P._ une somme de 1250 fr. en l'y condamnant en tant que de besoin (ch. 2 et 3 du dispositif). C. C.a Par demande datée du 8 septembre 2011, P._ a sollicité de la Cour de justice de la République et canton de Genève la révision de son jugement du 27 juin 2011. C.b En parallèle, P._ et la caisse ont tous deux interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, la caisse déférant également le jugement du 15 mars 2010 au Tribunal fédéral. Sous suite de frais et dépens, la caisse conclut à l'annulation des jugements cantonaux du 27 juin 2011 et 15 mars 2010 et au rejet de la demande formée par P._ devant la juridiction cantonale. Elle sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours (cause 9C_629/2011). De son côté, sous suite de dépens, P._ conclut à l'annulation du jugement cantonal du 27 juin 2011 et à ce que la caisse soit condamnée à lui verser une somme de 72'047 fr. avec intérêts à 5% dès le 24 août 2007. Il requiert aussi la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de révision du jugement du 27 juin 2011 et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire (cause 9C_668/2011). Les parties se sont déterminées sur leur recours respectif, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se prononcer. D. D.a Par ordonnance du 24 octobre 2011, le Tribunal fédéral a joint les deux causes, admis la requête d'octroi de l'effet suspensif de la caisse et suspendu la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de révision datée du 8 septembre 2011. D.b Le 24 octobre 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a déclaré irrecevable la demande de révision présentée par P._, ce dont elle a informé le Tribunal fédéral le 14 novembre 2011.