Faits: A. Y._ est décédée alors qu'elle était hospitalisée et prise en charge par la Dresse A._. Son mari, X._, a porté plainte. A._ a été renvoyée en jugement sous l'accusation d'homicide par négligence (art. 117 CP). Aux débats, X._ a pris contre elle des conclusions civiles tendant au paiement de quelque 42'000 fr. de dommages-intérêts et de 50'000 fr. d'indemnité pour tort moral. Par jugement du 4 décembre 2008, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de La Côte a acquitté A._ et donné acte de ses réserves civiles à X._. B. X._ a recouru contre ce jugement. Par arrêt du 17 mars 2009, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a, dans une large mesure, déclaré le recours irrecevable et l'a rejeté pour le surplus. C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. L'intimée A._ conclut à l'irrecevabilité du recours, tandis que la cour cantonale propose son rejet. Le ministère public du canton de Vaud renonce à se déterminer.