Faits: A. Par décision du 18 février 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après : l'office AI) a révisé le droit à la rente dont F._ était titulaire et mis fin aux prestations allouées, avec effet dès le 1er avril 2005. Il a rejeté l'opposition de l'assuré par décision sur opposition du 15 juin 2005, notifiée le 17 juin suivant. Sous le titre «moyens de droit», l'office AI a précisé que cette décision sur opposition pouvait faire l'objet d'un recours devant le Tribunal cantonal jurassien, dans les 30 jours à compter de sa notification; il a également indiqué que selon la loi fédérale sur la procédure administrative, les délais fixés en jours ne couraient pas du 7ème jour avant Pâques au 7ème jour après Pâques inclus (a), du 15 juillet au 15 août inclus (b) et du 18 décembre au 1er janvier inclus (c). B. Le 17 août 2005, F._ a saisi le Tribunal cantonal jurassien d'un recours contre la décision sur opposition du 15 juin 2005. Par jugement du 8 décembre 2005, la juridiction cantonale a déclaré le recours irrecevable. Elle a considéré que les règles relatives à la suspension des délais du 15 juillet au 15 août, citées par l'office AI, n'étaient pas applicables et que le droit cantonal pertinent ne prévoyait aucune période de suspension des délais, de sorte que le recours était tardif. C. F._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement. Il en demande l'annulation et conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle entre en matière sur le recours contre la décision sur opposition du 15 juin 2005, sous suite de frais et dépens. L'office AI conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.