Faits: A. R._ s'est marié avec S._ en 2004. Il est arrivé en Suisse en mai 2005. Du 15 novembre au 15 décembre 2005, il a trouvé un emploi temporaire auprès l'entreprise X._ Sàrl et était, à ce titre, assuré contre le risque d'accident par la Caisse nationale suisse en cas d'accidents (CNA). Le samedi 26 novembre 2005, R._ a fait une chute de la fenêtre de la cuisine située au 4ème étage de l'immeuble où il habitait avec son épouse et le fils de celle-ci, T._. Les secours et la gendarmerie sont arrivés sur les lieux peu de temps après. R._ a été immédiatement transporté au Centre hospitalier Y._ où les médecins ont diagnostiqué un polytraumatisme avec syndrome partiel de la queue de cheval sur fracture burst de L3. Selon le rapport de police établi le 24 janvier 2006, la centrale avait été alertée vers 15h22 par T._, qui avait indiqué que son beau-père venait de sauter par la fenêtre de la cuisine. Des déclarations de S._ entendue sur place, il ressortait notamment que son mari souffrait de troubles psychiques et qu'il lui arrivait d'avoir des crises (5 en moyenne par semaine), ce qu'elle supportait difficilement; que cet après-midi là, il se trouvait dans la cuisine et qu'ils parlaient fort; qu'elle lui avait proposé de retourner dans son pays pour réfléchir à leur situation; qu'au moment où elle lui avait dit qu'elle allait sortir et qu'elle se dirigeait vers la porte, elle l'avait vu enjamber la fenêtre de la cuisine et sauter dans le vide sans rien dire de spécial. La police a également recueilli la déposition de H._, un ami de T._ présent dans l'appartement le jour même, qui a dit que les parents s'étaient disputés verbalement et qu'il avait entendu la maman crier, au moment où elle s'apprêtait de sortir de l'appartement, «R._ arrête, arrête». Un inspecteur de l'identité judiciaire a relevé une trace de pas, l'avant en direction du vide, sur le rebord extérieur de la fenêtre de la cuisine. Aucune enquête pénale n'a été ouverte à la suite de cet événement. Le 17 janvier 2006, S._ a été interrogée par un inspecteur de la CNA à son domicile. Elle a déclaré que son mari souffrait de crises d'épilepsie et qu'il avait récemment accepté de voir un médecin. Elle-même venait de faire une fausse couche. Le jour du drame, vers 15h, ils discutaient d'un voyage à l'étranger dans la famille de celui-ci. Elle incitait son mari à y aller pour se ressourcer mais elle ne voulait pas l'accompagner car elle ne se sentait pas encore assez bien après son curetage. R._ se trouvait près de la fenêtre assis sur le congélateur. Il n'avait pas mangé et beaucoup fumé. Elle devait sortir et ils avaient convenu de rediscuter le soir. Alors qu'elle se dirigeait vers la porte de la cuisine pour partir, elle a entendu un bruit sourd et s'est retournée. Son mari avait déjà basculé de la fenêtre. Elle a crié : R._ arrête arrête, mais il était déjà trop tard pour faire quelque chose. Elle a affirmé que lorsqu'elle avait été entendue par la police, elle était sous médicaments et avait signé sa déposition sans la lire, le gendarme lui ayant précisé qu'il avait retranscrit ce qu'elle avait dit. Selon elle, son mari ne s'était pas jeté en bas de la fenêtre. L'assuré a été entendu par la CNA le 5 décembre 2006. A cette occasion, il a déclaré qu'il était sujet à des malaises et des vertiges depuis son adolescence à la suite de divers chocs reçus à la tête en jouant au foot. Le matin du samedi du 26 novembre 2005, il était sorti pour aller au travail. Il n'avait rien mangé hormis un croissant très tôt le matin et beaucoup fumé. De retour à la maison après midi, sa femme et lui parlaient d'un voyage à l'étranger à Noël. Elle ne voulait pas venir avec lui. Ils parlaient fort. Tout en discutant, il s'était assis sur le rebord de la fenêtre. Il avait un café à côté de lui et était en train de fumer. Il avait d'abord posé ses pieds sur la tablette métallique qui jouxtait le rebord de la fenêtre puis les avaient laissés pendre à l'extérieur. Il avait l'habitude de s'asseoir ainsi pour regarder les matches de foot qui se déroulaient sur le terrain voisin. Après un moment, sa femme lui avait annoncé qu'elle allait sortir en ville. Tandis qu'il s'était redressé pour revenir à l'intérieur de la cuisine, il avait vu comme un voile noir devant ses yeux. Il avait dû basculer en avant alors que sa femme revenait à la cuisine. Selon lui, sa chute était due à un état de faiblesse. Il revenait de trouver un emploi et n'avait aucune raison de se suicider. Après avoir invité le service de neurochirurgie de Y._ et la Clinique Z._ à répondre à un questionnaire (voir leurs rapports respectifs des 2 mars et 26 mars 2007), la CNA a refusé de prendre en charge l'événement, considérant qu'il s'agissait d'une tentative de suicide (décision du 30 avril 2007, confirmée sur opposition le 22 mai suivant). B. L'assuré et son assureur-maladie, la KPT/CPT Caisse-maladie SA (ci-après : la CPT), ont tous deux recouru contre la décision sur opposition de la CNA devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Le tribunal cantonal a joint les causes. Par jugement du 3 février 2010, il a admis les recours et annulé la décision litigieuse, en ce sens que la CNA est tenue de prendre en charge les suites de l'événement du 26 novembre 2005. C. La CNA interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition du 22 mai 2007. R._ conclut au rejet du recours et sollicite l'assistance judiciaire. La CPT conclut également au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.