Faits: A. F._ a travaillé comme boulanger-pâtissier, avant d'être engagé en tant qu'apprenti-peintre auprès d'une entreprise genevoise en 1995. Victime d'un accident de la circulation en décembre 1995, le prénommé a été mis au bénéfice d'une rente d'invalidité de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'invalidité de 29 % à partir du 1er janvier 2000, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 15 % (décision sur opposition de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents du 19 septembre 2002, entrée en force à la suite du jugement du Tribunal administratif genevois du 3 février 2004, qui a rejeté le recours de l'assuré). Entre-temps, le 26 novembre 1997, F._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité. Après différentes mesures d'instruction ordonnées par l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI), il a commencé, le 1er décembre 1999, une formation d'agent de sécurité auprès de l'entreprise X._ qu'il a cependant interrompue peu après. Par la suite, il a invoqué souffrir d'une atteinte psychique. L'office AI a alors requis l'avis du docteur V._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, selon lequel son patient présentait un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique (F 32.1) et disposait d'une capacité de travail de 50 % au niveau psychosomatique. L'administration a également soumis l'assuré à un examen psychiatrique auprès de son Service médical régional pour la Suisse romande (SMR). Par décision du 30 novembre 2006, l'office AI a nié le droit de F._ à une rente d'invalidité, motif pris d'un taux d'invalidité (de 27 %) insuffisant pour la reconnaissance du droit à une rente. B. B.a A la suite de deux recours successifs de l'assuré, le Tribunal fédéral a annulé le jugement rendu le 20 juin 2007 par le Tribunal cantonal des assurances de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), ainsi que la décision de l'office AI du 30 novembre 2006, et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise psychiatrique et nouvelle décision. B.b En conséquence, l'office AI a confié une expertise au docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 5 décembre 2008, l'expert a diagnostiqué un trouble dépressif majeur, épisode isolé (état actuel en rémission partielle) et conclu à une capacité de travail entière au niveau psychiatrique. Fort de ces conclusions, et réitérant ses considérations antérieures sur une capacité de travail entière dans une activité adaptée, l'office AI a, par décision du 25 mars 2009, refusé toute prestation à F._. B.c L'assuré a déféré cette décision à la Cour de justice genevoise, Chambre des assurances sociales, en produisant notamment un rapport du docteur V._, du 12 juin 2009. Après avoir procédé à des enquêtes (auditions du docteur A._ et X._, la juridiction cantonale a, par jugement du 5 octobre 2011, partiellement admis le recours dans le sens des considérants et annulé la décision du 25 mars 2009 (ch. 2 du dispositif). Elle a reconnu le droit de F._ à une rente entière d'invalidité du 25 décembre 1996 au 31 mars 2000, sous imputation éventuelle des indemnités journalières (ch. 3 du dispositif). Elle a par ailleurs renvoyé la cause pour le calcul des prestations dues au sens des considérants et décision sur les mesures de réadaptation professionnelles (ch. 4 du dispositif). C. F._ et l'office AI interjettent tous deux un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de dépens, l'assuré conclut à l'annulation du jugement cantonal "en tant qu'il a limité le droit à la rente d'invalidité du 25 décembre 1996 au 31 mars 2000" et à la reconnaissance de son droit à une rente d'invalidité "fondée sur un degré d'invalidité de 50 % au moins à compter du 25 décembre 1996 et ce pour une durée illimitée". Il demande également que soit ordonné le versement en ses mains des rentes dues et qu'il soit mis au bénéfice de mesures d'ordre professionnel "pour les 50 % restants". De son côté, l'office AI conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de la décision du 25 mars 2009 "en ce qu'elle refusait tout droit à la rente". Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours. F._ et l'office AI ont chacun conclu au rejet du recours de l'autre, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé au sujet de leurs écritures respectives. D. Par ordonnance du 22 février 2012, le Tribunal fédéral a joint les deux causes et admis la requête d'octroi de l'effet suspensif de l'administration.