Faits: A. Par contrat du 19 juin 2006, X._ (la bailleresse) a cédé à V._ (la locataire, qui a désormais pour nom Y._) l'usage d'un appartement en duplex dans l'immeuble sis rue du ... à Neuchâtel, moyennant un loyer mensuel de 2'200 fr. auquel s'ajoute 250 fr. pour les frais accessoires. Par contrat séparé conclu à la même date, X._ a également cédé à Y._ l'usage d'une place de stationnement pour un loyer net mensuel de 110 fr. Le montant total à payer s'élevait donc à 2'560 fr. par mois (2'200 fr. + 250 fr. + 110 fr.). La relation contractuelle nouée entre les parties prenait effet le 1er octobre 2006 et arrivait à échéance le 30 septembre 2007; sauf résiliation donnée six mois à l'avance, le bail se renouvelait ensuite tacitement pour une durée indéterminée, chacune des parties ayant la faculté de résilier par avis signifié six mois à l'avance pour le 31 mars, le 30 juin ou le 30 septembre de chaque année. Par lettre recommandée du 29 septembre 2009, la locataire a résilié le contrat pour le 30 octobre 2009, date qu'elle a rectifié par la suite en précisant qu'elle visait le 31 octobre 2009. Lorsque la locataire a quitté les lieux en octobre 2009, la bailleresse a établi un rapport de remise de l'appartement faisant état de différents défauts qui seraient imputables à la locataire, étant observé que les documents rédigés lors de l'emménagement et signés par les deux parties établissaient que l'appartement était alors en bon état. Y._ a refusé de signer ce rapport. La bailleresse a fait établir un constat par un notaire le 9 novembre 2009. Elle a fait procéder ensuite à divers travaux de remise en état. B. Par demande du 12 juillet 2010, précédée d'une vaine tentative de conciliation, la bailleresse a ouvert action à l'encontre de la locataire devant le Tribunal civil du district de Neuchâtel, réclamant à cette dernière la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% dès le jour du dépôt de la demande. Elle a fait valoir que le bail ne pouvait être résilié que pour la prochaine échéance contractuelle, à savoir le 31 mars 2010, et que la locataire lui était redevable des sommes convenues jusqu'à cette date. Par ailleurs, elle a demandé le remboursement de diverses factures de réparations qui, selon elle, avaient été rendues nécessaires par des dégâts imputables à la locataire. La locataire s'est opposée à la demande en totalité. Elle a conclu reconventionnellement à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 2'288 fr. avec intérêts à 5% dès le 1er octobre 2009 en raison d'une réduction de loyer qui lui serait due pour de prétendus défauts de la chose louée; elle a demandé également le remboursement d'une facture d'électricité, s'élevant à 158 fr.75, qui se rapporte à la période du 1er janvier au 31 mars 2010 (appelée dans la procédure " facture A._ "). La bailleresse a conclu à l'irrecevabilité et subsidiairement au rejet de la demande reconventionnelle. Statuant par jugement du 16 septembre 2011, le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers a admis la demande principale et rejeté la demande reconventionnelle. En conséquence, il a condamné la locataire à payer à la bailleresse la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 12 juillet 2010, mettant à la charge de la première les frais et dépens de la procédure. Statuant sur appel de la locataire, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, par arrêt du 16 août 2012, n'a admis que partiellement la demande principale et a également admis partiellement la demande reconventionnelle (pour la facture A._), fixant à 7'997 fr.45 avec intérêts à 5% dès le 12 juillet 2010 la somme due par la locataire à la bailleresse. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves, une violation des art. 8 CC, 264 et 267 CO, ainsi que de l'art. 144 de l'ancien Code de procédure civile neuchâtelois, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 12 juillet 2010; subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. L'intimée propose le rejet du recours, pour autant qu'il soit recevable.