Faits: A. C._ percevait une rente de l'assurance-invalidité. Elle a requis une allocation pour impotent en octobre 2004; elle arguait avoir besoin d'aide pour accomplir divers actes ordinaires ainsi que d'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie (questionnaire du 4 octobre 2004). L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a reconnu le droit de l'assurée à une allocation pour impotence moyenne depuis le mois de janvier 2003 au moins (attestation et décision des 3 mars et 23 novembre 2004). L'intéressée a encore sollicité différents moyens auxiliaires (demandes des 28 juin 2007 ainsi que 30 mars et 7 juillet 2011) et a obtenu la transformation de son véhicule (pédalier; pommeau de direction), une barre d'appui et une planche pour salle de bain, un scooter électrique, une barre latérale de redressement ainsi qu'une orthèse (communications des 2 octobre 2007, 8 août 2011 et 17 janvier 2012) dès lors que son état de santé (hémiparésie droite séquellaire à une encéphalite survenue en 1950; troubles arthrosiques dégénératifs et de surcharge) se détériorait (rapport du docteur L._, médecin traitant spécialiste FMH en médecine interne générale, du 20 juillet 2011). La Caisse interprofessionnelle AVS de la Fédération des Entreprises Romandes (ci-après: la caisse) a reconnu le droit de C._ à une allocation de l'AVS pour impotence moyenne à partir du mois de février 2012 (décision du 24 janvier 2012) dans la mesure où elle avait accédé à l'âge de la retraite. La caisse a par l'intermédiaire de l'office AI entrepris une procédure de révision du droit à l'allocation pour impotent. L'assurée a fait état d'une péjoration de la situation (questionnaire du 16 février 2012). L'administration a conduit une enquête à domicile, dont il ressort que l'allocation pour impotence ne se justifiait plus (rapport du 22 mars 2012). La caisse a considéré que l'impotence avait été atténuée par la mise en place de divers moyens auxiliaires mais que demeurait le besoin d'aide pour accomplir deux actes ordinaires (manger; se déplacer et entretenir des contacts) de sorte que seul subsistait le droit à une allocation pour impotence faible (décision du 8 juillet 2012, confirmée sur opposition le 3 septembre suivant). B. C._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, d'un recours visant à l'annulation de la décision et au maintien de l'allocation pour impotence moyenne; elle soutenait que ni les conditions d'une révision ni celles d'une reconsidération n'étaient remplies et que la valeur probante du rapport d'enquête à domicile était nulle; elle se référait à l'avis de son médecin traitant qui, en sus des séquelles de l'hémiparésie droite, mentionnait l'évolution négative d'une lombarthrose avec syndrome radiculaire L5/6, de lombo-sciatalgies L5 et d'une cardiopathie valvulaire nécessitant une aide permanente à domicile (rapport des 11 et 20 septembre 2012). L'administration a conclu au rejet du recours. Les parties de même que l'infirmière ayant réalisé l'enquête à domicile ont été auditionnées pendant la procédure (procès-verbaux du 29 avril 2013). Le tribunal cantonal a admis le recours (jugement du 10 juin 2013). Il a annulé la décision et maintenu le droit à une allocation pour impotence moyenne; il estimait que le rapport d'enquête contenait une erreur manifeste concernant le besoin d'aide pour l'acte de manger de sorte qu'il pouvait s'en écarter. Il a aussi constaté que l'assurée avait besoin d'aide pour accomplir trois autres actes ordinaires. C. La caisse recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation. Elle sollicite en outre l'octroi de l'effet suspensif au recours. L'assurée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, et demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.