Faits: A. Par décision du 24 avril 1991, la Ville de Genève (ci-après: la ville) a nommé P._, née en 1949, en qualité de fonctionnaire au poste X._, dès le 1er janvier 1992 et pour une période d'essai de trois ans. Cette nomination a été confirmée, avec effet au 1er janvier 1995, par décision du conseil administratif de la ville du 7 juin 1995. Le 1er octobre 1991, la Caisse d'assurance du personnel de la Ville de Genève et des Services industriels de Genève (ci-après: CAP) a accusé réception du transfert des avoirs de libre passage accumulés par P._ auprès de son précédent employeur et l'a informée qu'elle bénéficierait, en cas de retraite à 62 ans, d'une pension calculée au taux de 55,667 % de son dernier traitement assuré. La ville encourageant alors le rachat par les membres de son personnel d'années d'affiliation manquantes auprès de la CAP, moyennant l'octroi de prêts remboursables sans intérêts, P._ a bénéficié à deux reprises de cette opportunité, ce qui lui permettait de faire passer son taux de rente à 62 ans au taux maximum de 70 %. Le 25 août 1999, la ville a résilié les rapports de service avec effet au 30 novembre suivant pour motifs graves au sens de l'art. 97 du statut du personnel de l'administration municipale du 3 juin 1986, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010 (ci-après: le SPAM). Informée par la CAP du montant de la prestation de libre passage qui lui était due, déduction faite de la créance de la ville en remboursement du solde des prêts consentis pour le rachat d'années d'affiliation, l'intéressée a donné l'ordre à la CAP de virer ses avoirs de libre passage sur un compte bloqué auprès d'une banque. Par jugement du 15 mai 2001, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève a annulé le licenciement au motif qu'il était injustifié. Ce jugement n'ayant pas fait l'objet d'un recours, la ville a indiqué à l'intéressée qu'elle pouvait reprendre une activité en qualité de Y._ chargée d'assister le directeur du département Z._. Le 30 octobre 2001, la CAP a informé P._ de son admission dans la caisse de pension à compter du 1er juillet 2001, en qualité d'assurée avec réserve, compte tenu du fait qu'un certificat médical n'avait pas été établi lors de son engagement. En outre, elle lui a demandé d'entreprendre les démarches nécessaires au transfert de sa prestation de libre passage. Ce transfert n'ayant pas eu lieu malgré plusieurs rappels, la CAP a indiqué, le 24 avril 2002, que le début de l'affiliation serait porté à l'âge de 46 ans et 9 mois au lieu de 27 ans et que le taux de la pension de retraite à 62 ans serait de 30,5 %. Le 5 janvier 2004, P._ a accepté une proposition transactionnelle de la ville consistant dans le paiement par celle-ci d'un montant de 70'000 fr. pour solde de tout compte en ce qui concerne le licenciement prononcé en 1999. L'intéressée a alors accepté de faire transférer à la CAP ses avoirs de libre passage déposés sur un compte bancaire bloqué. La CAP a accusé réception des avoirs de vieillesse et a indiqué que le début de l'affiliation serait ramené à l'âge de 28 ans et 7 mois et le taux de la rente porté à 66,833 % du dernier traitement assuré. Le 21 mai 2010, P._ a sollicité le conseil administratif de lui accorder une dérogation exceptionnelle, afin qu'elle puisse poursuivre son activité professionnelle au-delà de l'âge de 62 ans, soit durant une année et sept mois à compter du 1er février 2011, afin d'atteindre le taux de rente de 70 %. Le 30 juin 2010, le conseil administratif a indiqué que la prolongation de son activité au-delà de l'âge de 62 ans n'était statutairement pas possible à teneur de l'art. 99 SPAM. B. P._ a recouru contre ce refus devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (depuis le 1er janvier 2011: la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève) en concluant à ce que la ville lui accorde la possibilité de poursuivre son activité professionnelle au-delà de l'âge de la retraite à 62 ans en dérogation à l'art. 99 al. 4 SPAM ou qu'elle l'engage sous contrat de droit privé selon l'art. 2 al. 3 et 4 SPAM. Par jugement du 30 août 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en reprenant, sous suite de frais et dépens, ses conclusions formées en instance cantonale. L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens. De son côté, la juridiction cantonale a renoncé à se déterminer. La recourante a présenté des observations sur la réponse de l'intimée.