Faits: A. P._ est affilié à Helsana Assurances SA et assuré pour l'assurance obligatoire des soins depuis le 1er janvier 2006. La prime mensuelle pour 2006 s'élevait à 227 fr. 50. Pour les mois de janvier et février 2006, il a bénéficié de la prise en charge des primes d'assurance-maladie par le subside de l'Etat de Genève. A partir de mars 2006, les cotisations sont restées impayées. Celles dues pour juillet à décembre 2006 ont fait l'objet de poursuites. En février 2007, le Service de l'assurance-maladie de la République et canton de Genève a donné à la caisse l'instruction de déduire, dès le 1er mars 2006, le subside cantonal de 80 fr. par mois (groupe A) des primes d'assurance-maladie de l'assuré. Par lettre du 29 mai 2007, Helsana a avisé P._ que les poursuites pour les primes de juillet à décembre 2006 étaient annulées et qu'il devait s'acquitter de la prime mensuelle de 147 fr. 50 (227 fr. 50 - 80 fr.) pour les mois de mars à décembre 2006. Elle l'invitait à verser le montant de 1'475 fr. d'ici au 20 juin 2007. Le 17 juillet 2007, elle lui a adressé un ultime rappel pour un montant de 1'621 fr. 50 (10 x 147 fr. 50 + 146 fr. 50), correspondant aux primes mensuelles de 147 fr. 50 pour les mois de mars à décembre 2006 et de 146 fr. 50 pour le mois de janvier 2007. Le 3 septembre 2007, la caisse lui a fait notifier dans la poursuite n° A._ un commandement de payer la somme de 1'621 fr. 50, avec intérêts à 5 % dès le 1er juillet 2006. Elle requérait également le paiement de 30 fr. de frais d'intervention et de 120 fr. de frais de rappel. P._ a fait opposition au commandement de payer. Par décision du 24 septembre 2007, la caisse a prononcé qu'il était débiteur du montant de 1'869 fr. (soit 1'621 fr. 50 + 97 fr. 50 [intérêts moratoires] + 30 fr. [frais d'intervention] + 120 fr. [frais de rappel]) et qu'elle levait l'opposition à la poursuite n° A._ jusqu'à concurrence de cette somme. Le 19 octobre 2007, celui-ci a formé opposition contre cette décision. Les primes de février à avril 2007 (146 fr. 50 + 146 fr. 50 + 26 fr. 50 [prime corrigée]) ont fait l'objet de la poursuite n° B._, dans laquelle Helsana a fait notifier à P._ le 13 juin 2007 un commandement de payer la somme de 319 fr. 50, avec intérêts à 5 % dès le 19 février 2007. Elle requérait également le paiement de 30 fr. de frais d'intervention et de 40 fr. de frais de rappel. L'assuré a fait opposition au commandement de payer. Par décision du 5 juillet 2007, la caisse a prononcé qu'il était débiteur du montant de 425 fr. 05 (soit 319 fr. 50 + 5 fr. 55 [intérêts moratoires] + 30 fr. [frais d'intervention] + 30 fr. [frais de poursuite] + 40 fr. [frais de rappel]) et qu'elle levait l'opposition à la poursuite n° B._ jusqu'à concurrence de cette somme. Le 31 juillet 2007, P._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 10 décembre 2007, Helsana a rejeté les oppositions contre les décisions des 5 juillet et 24 septembre 2007. B. Par jugement du 5 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a partiellement admis au sens des considérants le recours formé par P._ contre cette décision (ch. 2 du dispositif), prononcé la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer dans la poursuite n° A._ à concurrence de 1'621 fr., dont 1'475 fr. portant intérêts à 5 % dès le 20 juin 2007 et 146 fr. 50 portant intérêts à 5 % dès le 1er janvier 2007, ainsi que de 30 fr. de frais d'intervention et 40 fr. de frais de rappel (ch. 3 du dispositif), et prononcé la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer dans la poursuite n° B._ à concurrence de 319 fr. 50, portant intérêts à 5 % dès le 19 février 2007, ainsi que de 30 fr. de frais d'intervention, 40 fr. de frais de rappel et 30 fr. de frais de poursuite (ch. 4 du dispositif). C. Dans un mémoire du 4 juin 2008, P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert implicitement l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien des oppositions aux commandements de payer, à l'annulation de toutes les poursuites à son encontre, y compris les intérêts et frais réclamés, et à l'octroi de la somme de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts. Il demande à être libéré de toutes obligations vis-à-vis d'Helsana, qui est invitée à s'adresser au Service de l'assurance-maladie et à l'Hospice général pour le recouvrement des primes impayées. Le 25 juin 2008, il a fait parvenir au Tribunal fédéral une nouvelle écriture, accompagnée de documents.