Faits: Faits: A. T._ a souffert de troubles psychiques qui l'ont empêchée d'acquérir une formation professionnelle. Elle bénéficie d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1er juin 1997. Depuis le mois de septembre 2002, elle suit des cours à l'Ecole X._ afin d'acquérir une formation d'assistante médicale. Elle a présenté une demande tendant à l'octroi d'une indemnité journalière durant cette formation. Par une communication du 15 août 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé l'assurée qu'il allait prendre en charge les frais de la formation susmentionnée durant les trois premiers mois, soit du 2 septembre au 30 novembre 2002, afin d'évaluer l'aptitude de l'intéressée à suivre cette formation. Par décision des 23/26 août 2002, l'office AI a alloué à l'assurée une indemnité journalière pour la période précitée. Le droit à cette prestation a été prolongé durant la période du 1er décembre 2002 au 15 juin 2005, terme probable de la formation suivie (décision du 8 janvier 2003). Par décision du 30 janvier 2003, confirmée sur opposition le 12 mai suivant, l'office AI a refusé de prendre en charge les frais liés à la formation d'assistante médicale. Il a considéré que cette formation n'entraînait pas des frais beaucoup plus élevés que pour une personne valide désirant devenir assistante médicale, du moment que la majorité des personnes qui choisissent cette profession suivent une école plutôt que la filière de l'apprentissage. Lors de la procédure d'opposition introduite par ministère de Me Thonney, avocat à Lausanne, T._ a sollicité le bénéfice de l'assistance juridique et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office. Par décision des 12/18 juin 2003, l'office AI a rejeté cette demande, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire. Lors de la procédure d'opposition introduite par ministère de Me Thonney, avocat à Lausanne, T._ a sollicité le bénéfice de l'assistance juridique et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office. Par décision des 12/18 juin 2003, l'office AI a rejeté cette demande, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire. B. T._ a recouru devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 12 mai 2003 de refus de prise en charge des frais liés à la formation d'assistante médicale et contre la décision des 12/18 juin 2003 de rejet de la demande d'assistance juridique. La juridiction cantonale a joint les deux causes. En outre, elle a invité les parties à lui adresser un questionnaire complémentaire à l'intention du docteur C._, médecin traitant de l'assurée, lequel a rédigé un rapport le 19 avril 2004. Par jugement du 3 juin 2004, la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision sur opposition de refus de prise en charge des frais de formation professionnelle initiale et admis le recours contre la décision de rejet de la demande d'assistance juridique. Elle a renvoyé la cause à l'office AI pour nouvelle décision faisant droit à une telle demande. Par jugement du 3 juin 2004, la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision sur opposition de refus de prise en charge des frais de formation professionnelle initiale et admis le recours contre la décision de rejet de la demande d'assistance juridique. Elle a renvoyé la cause à l'office AI pour nouvelle décision faisant droit à une telle demande. C. T._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement en concluant, sous suite de dépens, à la prise en charge par l'assurance-invalidité des frais de la formation d'assistante médicale suivie à l'Ecole X._, soit notamment les frais d'inscription, de cours et d'écolage, pour la totalité de la durée de ses études, à savoir du 2 septembre 2002 au 15 juin 2005. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement. En outre, elle demande le bénéfice de l'assistance judiciaire en procédure fédérale (cause I 713/04). L'office AI conclut au rejet du recours. De son côté, il forme un recours de droit administratif contre le jugement cantonal, dans la mesure où la juridiction cantonale a accordé à l'assurée le bénéfice de l'assistance juridique dans la procédure d'opposition et, partant, alloué à l'intéressée une indemnité de dépens pour la procédure cantonale (cause I 676/04). T._ conclut au rejet de ce recours, sous suite de dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations sur les recours.