Faits: Faits: A. R._ a été victime de plusieurs accidents dès 1972, qui ont entraîné différentes lésions du genou droit. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après : CNA) lui a alloué une rente d'invalidité de 25 % dès le 1er janvier 1979 en raison des séquelles de ces accidents. Le 3 janvier 1998, le prénommé a été renversé par une voiture roulant de 40 à 50 km/h, alors qu'il traversait la route. Il a subi un traumatisme crânien simple, avec perte de connaissance, des fractures des côtes 2 à 9, du col du péroné droit, du nez et de l'acromion gauche, et a été hospitalisé jusqu'au 21 janvier 1998. Pendant son séjour à l'hôpital, les médecins ont également dû traiter une surinfection pulmonaire. Depuis l'accident, R._ n'a pas repris son activité professionnelle de peintre en bâtiment et fait état de douleurs persistantes dans les épaules, d'insomnie et d'asthénie. Le 31 juillet 1998, le docteur W._, spécialiste en médecine interne et maladie rhumatismales, décrivait un status après polytraumatisme en janvier 1998, avec notamment une capsulite rétractile de l'épaule droite et conflit sous-acromial de l'épaule gauche. Le patient présentait également une probable arthrose du compartiment interne du genou droit. Le traitement proposé consistait en infiltrations de corticoïde au niveau de l'épaule droite d'abord, puis à gauche, complétées d'une physiothérapie. Dans deux rapports, des 22 juillet 1999 et 6 août 1999, le docteur S._, médecin traitant de R._ attesta une incapacité de travail totale depuis l'accident, pour une durée indéterminée; en plus des atteintes à la santé décrites par le docteur W._, ce praticien décrivait un état dépressif réactionnel à l'accident et à l'incapacité de travail. Lors d'examens pratiqués pendant un séjour à la Clinique R._ (dont un consilium psychiatrique réalisé par le docteur M._, et un examen neuropsychologique par la doctoresse Z._), les médecins constatèrent un tableau clinique compatible avec un syndrome post-commotionnel, dominé par des douleurs mal systématisées, une fluctuation de l'humeur avec passablement de sentiments dépressifs, des troubles mnésiques modérés, un fléchissement dysexécutif et des difficultés de concentration. R._ démontra néanmoins une capacité de travail entière dans une activité n'impliquant pas le port de charges à hauteur de tête (10 kg) ou avec la main gauche (12,5 Kg), ni un travail au dessus de la tête, ni de se tenir accroupi ou assis en position inclinée vers l'avant; la coordination des mains à droite et à gauche était limitée (rapport du 5 juin 2000 et annexes). L'Office cantonal AI du Valais confia par ailleurs une expertise psychiatrique au docteur O._, qui posa le diagnostic de syndrome post-commotionnel et de trouble dépressif modéré chronique, tout en considérant que ces atteintes à la santé n'entraînaient pas d'incapacité de travail (rapport du 30 juin 2001). Sur cette base, l'office AI nia son droit aux prestations demandées, au motif qu'il ne présentait pas un taux d'invalidité ouvrant droit à une rente (décision du 9 juillet 2001). Les recours successifs de l'assuré devant le Tribunal cantonal des assurances du Valais et devant le Tribunal fédéral des assurances furent rejetés. Entre-temps, la CNA avait alloué à l'assuré une rente fondée sur un taux d'invalidité de 33,33 %, en se référant à plusieurs activités de substitution accessibles à l'assuré malgré son handicap, ainsi qu'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 10 %, par décision du 13 février 2001. R._ s'opposa à cette décision et déposa un rapport d'expertise établi le 23 mars 2002 par le docteur A._, psychiatre. Ce praticien posait les diagnostics de trouble de l'adaptation avec réaction anxieuse et dépressive, dépression actuellement légère, prolongée (CIM F 43.21) et très probable syndrome post-contusionnel (F 07.2); par ailleurs, l'évolution de ces atteintes à la santé pouvait être influencée par les difficultés de l'assuré liées à l'emploi et au chômage (Z 56). Le docteur A._ attestait une incapacité de travail de 50 % au moins dans toute activité professionnelle; avec un traitement psychiatrique adapté, cette capacité de travail était susceptible d'amélioration et une reprise du travail pleinement envisageable, sous réserve d'atteintes à la santé physique. Par décision sur opposition du 12 juillet 2002, la CNA refusa de modifier les prestations allouées précédemment. Par décision sur opposition du 12 juillet 2002, la CNA refusa de modifier les prestations allouées précédemment. B. L'assuré déféra la cause au Tribunal cantonal des assurances du Valais, en concluant à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 50 %, subsidiairement sur un taux d'invalidité de 36 %. Par jugement du 24 avril 2003, le Tribunal cantonal des assurances du Valais a rejeté le recours. B. L'assuré déféra la cause au Tribunal cantonal des assurances du Valais, en concluant à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 50 %, subsidiairement sur un taux d'invalidité de 36 %. Par jugement du 24 avril 2003, le Tribunal cantonal des assurances du Valais a rejeté le recours. C. R._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. La CNA propose le rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales, division maladies et accidents (intégrée à l'Office fédéral de la santé publique depuis le 1er janvier 2004) a renoncé à se déterminer.