Faits: A. G._ a travaillé en qualité de polisseur au service de la société X._ SA et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Il a été victime d'un accident de la circulation le 22 juillet 2010. Alors qu'il circulait au volant de sa voiture et s'était arrêté devant un passage-piéton afin de laisser passer des piétons, son véhicule a été percuté à l'arrière par une automobile qui le suivait. Le lendemain, l'assuré a consulté la doctoresse R._, laquelle a diagnostiqué un mécanisme d'accélération cranio-cervical, sans fracture ni luxation, et n'a fait état d'aucun déficit neurologique (rapport du 23 juillet 2010). L'intéressé a été entièrement incapable de travailler à partir du 23 juillet 2010. La CNA a pris en charge le cas. Dans un rapport du 31 août 2010, le docteur B._, médecin traitant, de l'assuré, a fait état de douleurs situées en de nombreux endroits, de fatigue et de troubles de la mémoire. Au mois de septembre 2010, l'intéressé a été soumis à un examen neuropsychologique qui a révélé une importante réduction des capacités attentionnelles et exécutives, un déficit de récupération mnésique et un manque important d'incitation (rapport du 11 octobre 2010). Une reprise du travail à un taux de 50 % dès le 21 février 2011 a échoué. A la demande du docteur B._, l'assuré a consulté le docteur O._, spécialiste en neurologie, lequel a diagnostiqué un whiplash injury avec perturbation de la sphère psycho-affective, une réduction des capacités exécutives et attentionnelles, ainsi qu'un état dépressivo-anxieux sévère et il a évoqué un examen neurologique dans les limites de la normalité. En outre, ce médecin a fait état d'un traumatisme cranio-cérébral banal avec toutefois des conséquences neuropsychologiques sévères (rapport du 9 mai 2011). Après avoir recueilli divers renseignements complémentaires (rapport des doctoresses I._ et E._, médecins au Centre Y._, du 5 juillet 2011; rapport biomécanique de U._, à T._, du 21 juin 2011), la CNA a mis en oeuvre un stage à la Clinique Z._, du 21 juin au 20 juillet 2011. Dans un rapport du 3 août 2011, les médecins de cet établissement ont fait état d'un trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée après un accident aux conséquences objectivement bénignes. Par décision du 27 décembre 2011, confirmée sur opposition le 10 février 2012, la CNA a supprimé le droit de l'assuré aux prestations d'assurance (frais de traitement et indemnité journalière) avec effet au 31 décembre 2011 et lui a dénié le droit à une rente d'invalidité, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. B. G._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura en concluant à l'octroi des prestations de l'assurance-accidents obligatoire, subsidiairement à la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire. En cours de procédure, l'intéressé a produit divers avis médicaux, en particulier des rapports de la doctoresse S._, psychiatre et psychothérapeute (du 13 avril 2012) et du professeur F._, neurologue au Centre V._, en France (du 27 avril 2012). Par jugement du 27 novembre 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours dont elle était saisie. C. G._ forme un recours contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents obligatoire, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise médicale pluridisciplinaire, le tout sous suite de frais et dépens. En outre, il dépose une requête d'assistance judiciaire tendant à être dispensé de toute avance de frais et à se voir désigner M e Seidler en qualité d'avocat d'office. L'intimée conclut au rejet du recours, ce que propose également la juridiction cantonale. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.