Faits: A. A.a M._, ressortissante française domiciliée en France et travaillant en Suisse, s'est cassé la base du métacarpien de la main gauche le 30 août 1999. Arguant souffrir des séquelles de cette fracture, elle s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI-N) le 17 mai 2001. La requête de l'assurée a été rejetée, en tant qu'elle portait sur le droit à des mesures d'ordre professionnel (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger [ci-après: l'office AI-E] du 12 septembre 2001 entérinant le projet de décision de l'office AI-N du 26 juin précédent), et admise, en tant qu'elle portait sur le droit à une rente. L'office AI-E a alloué à l'intéressée une rente entière pour la période limitée comprise entre les 1er août 2000 et 31 mai 2003 en raison des suites somatiques de l'accident (décision du 28 janvier 2004). Considérant l'opposition de M._ pertinente, notamment en ce qui concernait la poursuite du versement de la rente après le 31 mai 2003 pour raisons psychiatriques, l'office AI-N a implicitement annulé la décision attaquée et repris l'instruction (décision sur opposition du 23 juin 2006). Au terme de ses investigations, il a informé l'assurée qu'il envisageait de lui accorder une rente entière à compter du 1er mai 2006 pour motifs psychiatriques; il ne mentionnait plus le droit reconnu précédemment (projet de décision du 26 janvier 2007). Cette intention a été confirmé par l'office AI-E (décision du 23 mars 2007). Le Tribunal administratif fédéral a partiellement admis le recours formé par l'intéressée contre la décision du 23 mars 2007, l'a annulée, puis a renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants (mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique) et nouvelle décision (jugement du 4 décembre 2008). A.b Chargé par l'office AI-E de procéder à l'instruction requise dans le jugement de première instance, l'office AI-N n'y a pas donné suite. Il a annoncé à M._ sa volonté de rejeter sa demande dans la mesure où elle ne remplissait plus les conditions d'assurance (projet de décision du 5 août 2009). Malgré les observations de l'assurée, qui exigeait l'exécution du jugement entré en force, il a confirmé son projet (décision du 7 octobre 2009). Averti du fait qu'il était incompétent pour notifier des décisions officielles, l'office AI-N a envoyé à l'intéressée une décision non datée ni signée, dont le contenu était identique à celui de l'acte administratif du 7 octobre 2009, sur papier à en-tête de l'office AI-E. Il mentionnait que son courrier ne valait pas notification. L'office AI-E n'a pas réagi. B. M._ a une nouvelle fois saisi l'autorité de recours, sollicitant l'annulation ou la constatation de la nullité de la décision non datée ni signée qui remplaçait celle du 7 octobre 2009, concluant au renvoi de la cause à l'administration pour la mise en oeuvre des mesures imposées par jugement du 4 décembre 2008. Elle invoquait la violation du principe de l'autorité de chose jugée et de l'art. 53 LPGA, ainsi que du principe de l'interdiction de l'arbitraire. La juridiction de première instance a déclaré le recours irrecevable au motif qu'il n'existait aucune décision sujette à recours (jugement du 23 février 2010). La détermination de l'office AI-E et les pièces recueillies pendant l'instruction ont été communiquées à l'assurée simultanément à la notification du jugement. C. L'intéressée interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral ou à l'office AI-E pour que lui soit accordé le droit de se prononcer sur les pièces annexées au jugement attaqué, pour qu'il soit statué sur les conclusions de son recours ou pour que le jugement du 4 décembre 2008 soit exécuté. L'office AI-E et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.