Faits : A. A._, ressortissant russe anciennement domicilié dans son pays d'origine, est entré en Suisse le 30 septembre 2011. Il bénéficie depuis cette date d'un titre de séjour (permis B), renouvelé à plusieurs reprises par l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève (ci-après : OCPM). Le 14 août 2018, A._ a déposé une demande d'asile. A l'appui de celle-ci, il a produit divers documents, dont une "décision du 12 juillet 2018 de mise en liberté provisoire sous caution" rendue par l'Office fédéral de la justice (ci-après : OFJ) assortie d'une convention de mise en liberté sous caution portant la même date, des copies apostillées de son passeport russe et de son titre de séjour en Suisse, une attestation de l'OCPM et la copie d'un bail à loyer. Cette demande a été complétée le 2 octobre 2018 par son avocate; cinquante-six pièces ont été déposées. Le Service d'État aux migrations (ci-après : SEM) a entendu l'intéressé les 22 octobre et 12 novembre 2018. Lors de la relecture du procès-verbal de la seconde audition, le 19 novembre 2018, A._, assisté d'une interprète, a apporté plusieurs précisions et compléments à ses déclarations, ce qui a été consigné dans un nouveau procès-verbal. A cette même date, il a versé au dossier un article du 18 mars 2015 issu de son blog Internet. Par courrier du 28 novembre 2018, l'avocate du requérant a retourné les procès-verbaux des séances du 22 octobre et du 12 novembre 2018 révisés après lecture; elle a joint à cet envoi une transcription, au moyen d'un logiciel de traitement de texte, des principales adaptations opérées. A également été produite une écriture datée du 27 novembre 2018, rédigée a priori par A._ en langue russe et intitulée "complément à la demande d'asile", document pour lequel une traduction en français certifiée conforme à l'original a été fournie. Il ressort de ces différents éléments que A._ soutient craindre être l'objet, par le biais de la procédure pénale russe ouverte le 17 décembre 2014 à son encontre pour escroquerie contre les intérêts de la banque E._ - qu'il dirigeait jusqu'en décembre 2014 -, d'un "procès politique fantoche". En substance, il serait devenu "persona non grata" aux yeux de certains hauts dirigeants étatiques et de la classe politique à la suite de dénonciations d'un système de dilapidation des biens publics dont les fonctionnaires précités auraient bénéficié; il en aurait notamment découlé la prise de contrôle de son établissement bancaire par les autorités russes, l'ouverture de la procédure pénale et un mandat d'arrêt émis à son encontre le 24 juillet 2015. Selon A._, son refus de taire ces détournements en ferait un opposant au régime "malgré lui" et, dans l'hypothèse d'un retour en Russie, il craignait de subir le même sort que le conseil russe de B._ - C._ - ou D._, décédé en détention préventive. Dans sa décision du 12 décembre 2019 - notifiée le 17 suivant -, le SEM a dénié à A._ la qualité de réfugié et a rejeté sa demande d'asile. Il a également constaté que le prononcé d'un renvoi relevait de la compétence des autorités cantonales en matière de police des étrangers puisque A._ bénéficiait d'une autorisation de séjour délivrée par les autorités genevoises, seules dès lors compétentes pour la prolonger, la modifier ou la révoquer. B. Précédemment, par décision du 29 novembre 2019, l'OFJ a admis la demande d'extradition formulée le 18 avril 2016 par l'Ambassade de la Fédération de Russie pour les infractions, commises d'entente avec des individus non identifiés, de détournements de fonds, d'abus de pouvoir et de blanchiment d'argent, ce sous réserve de la décision du Tribunal pénal fédéral relative à l'objection de délit politique (art. 55 al. 2 de la loi fédérale du 20 mars 1981 sur l'entraide internationale en matière pénale [EIMP; RS 351.1]) et de l'octroi du statut de réfugié par les autorités suisses compétentes en matière d'asile. Dans un même arrêt du 11 août 2020, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a rejeté l'objection du délit politique (cause RR.2019), ainsi que le recours formé contre la décision du 29 novembre 2019 de l'OFJ (cause RR.2020). Un recours en matière de droit public contre cette décision a été déposé auprès du Tribunal fédéral (cause 1C_444/2020). C. Le 21 septembre 2020, la Cour IV du Tribunal administratif fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours formé par A._ contre la décision du SEM du 12 décembre 2019. Faute d'être dans la compétence du SEM et l'objet du litige, la conclusion tendant au refus de l'extradition a été déclarée irrecevable (cf. consid. 2). Le Tribunal administratif fédéral a ensuite écarté les griefs de violation du droit d'être entendu soulevés à l'encontre du SEM (dont les défauts allégués de prise en compte de la procédure pénale russe, de l'affaire C._ et des arrêts de la Cour européenne des droits de l'homme [ci-après : CourEDH; cf. consid. 4]). Il a considéré que le préjudice financier éventuellement subi par A._ n'était pas déterminant, vu la situation financière de celui-ci (cf. consid. 7.1). Cette autorité a également estimé que A._ n'avait pas établi l'existence d'une crainte de persécution future en cas de retour en Russie, que ce soit du fait des autorités étatiques (cf. consid. 7.2 et 7.4) ou de tiers (cf. consid. 7.3 et 7.4). Selon le Tribunal administratif fédéral, la non-reconnaissance de la qualité de réfugié et le refus de l'asile pouvaient donc être confirmés, sans qu'il soit nécessaire d'examiner l'éventuelle violation du principe de non-refoulement (cf. consid. 7.5). D. Par acte du 23 octobre 2020, A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, concluant à son annulation et au renvoi de la cause au SEM. A titre subsidiaire, il demande la constatation de son statut de réfugié et l'octroi de l'asile. Le recourant sollicite également l'octroi de l'effet suspensif. L'autorité précédente ne s'est pas opposée à l'octroi de l'effet suspensif et a renoncé à se déterminer sur le fond. Quant au SEM, il a en substance conclu au rejet du recours. Le 27 novembre 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions. Par ordonnance du 16 novembre 2020, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la demande d'effet suspensif.