Faits : A. A.a. A._, né le 6 juin 1982, et B._, née le 6 août 1981, tous deux de nationalité suisse, se sont mariés le 24 octobre 2009 à Lausanne. Trois enfants sont issus de leur union: C._, né le 15 février 2007, D._, née le 25 septembre 2009, et E._ A.b., né le 18 septembre 2012. Les conjoints se sont séparés en avril 2014. A.c. Les modalités de la séparation ont été fixées par plusieurs décisions rendues sur mesures protectrices de l'union conjugale. Un mandat de surveillance judiciaire à forme de l'art. 307 CC en faveur des enfants a au surplus été confié au Service de protection de la jeunesse (SPJ). Cette mesure a par la suite été levée au bénéfice de l'instauration d'une curatelle d'assistance éducative au sens de l'art. 308 al. 1 CC, une assistante sociale auprès du SPJ ayant été nommée comme curatrice. Le SPJ a périodiquement produit un bilan de l'action socio-éducative concernant les enfants. A.d. Le 7 décembre 2016, le mari a déposé une demande unilatérale en divorce. Par jugement du 15 avril 2019, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: Tribunal) a prononcé le divorce des époux, attribué l'autorité parentale et la garde exclusive des enfants à la mère, octroyé au père un libre et large droit de visite à exercer d'entente entre les parties, un droit de visite usuel étant prévu à défaut d'entente et le passage des enfants devant s'effectuer à l'école ou chez la maman de jour, arrêté le montant mensuel assurant l'entretien convenable de chaque enfant à 653 fr. 95 pour le fils aîné, 297 fr. 95 pour la fille et 203 fr. 05 pour le cadet, aucune pension n'étant due en l'état par le père, dit qu'aucune contribution d'entretien après divorce ne serait due entre les parties et qu'aucun partage des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés durant le mariage ne serait ordonné, enfin, constaté que le régime matrimonial était dissous et liquidé. B. Par arrêt du 5 février 2020, expédié le 10 suivant, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: Cour d'appel) a rejeté l'appel interjeté par le demandeur et confirmé le jugement entrepris. C. Par acte posté le 11 mars 2020, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 5 février 2020. Il conclut à sa réforme en ce sens que l'autorité parentale sur les trois enfants est attribuée conjointement aux deux parents et que les avoirs de prévoyance professionnelle des époux sont partagés conformément aux art. 122 ss CC. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Pour le surplus, il requiert d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Des déterminations n'ont pas été requises.