Faits : A. A.a. A._, né en 1983, de nationalité tunisienne, est arrivé en Suisse vraisemblablement au début de l'année 2013. Depuis ce moment, il s'est présenté sous sept identités différentes. A.b. Par ordonnances pénales du 5 juillet 2013, du 26 août 2013 et du 17 septembre 2013, A._ s'est vu infliger des peines privatives de liberté d'une durée respective de 30 jours pour vol, de 90 jours pour entrée illégale, séjour illégal et tentative de vol et violation de domicile, ainsi que de 60 jours pour dommages à la propriété, tentative de vol, violation de domicile et infraction à la loi fédérale sur les étrangers. Sorti de prison le 14 février 2014, A._ a été condamné la même année, par ordonnances pénales du 24 avril 2014, du 26 mai 2014 et du 3 août 2014, à des peines privatives de liberté respectives de 80, 20 et 30 jours pour séjour illégal en Suisse. L'année suivante, A._ s'est vu infliger, par ordonnances pénales du 1 eret du 9 janvier 2015, une peine privative de liberté de 90 jours pour voies de fait, tentative de vol et infraction à la loi fédérale sur les étrangers, respectivement de 10 jours-amende avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'une amende de 200 fr. pour violation de domicile. Par ordonnances pénales des 27 mars et 4 août 2015, il a encore été condamné à une peine privative de liberté de 40 jours pour séjour illégal et violation de la loi fédérale sur les stupéfiants, de même qu'à une peine privative de liberté de 20 jours pour séjour illégal uniquement. A.c. Sorti de prison et refoulé en Tunisie en date du 23 janvier 2016, A._ s'est vu interdire toute entrée en Suisse en date du 27 janvier 2016, ce jusqu'au 26 janvier 2022. Revenu en Suisse au cours du mois d'octobre 2016, A._ a été condamné par ordonnances pénales des 30 juin et 25 juillet 2017 à des peines privative de liberté de 30 jours pour entrée illégale et séjour illégal en Suisse, respectivement de 30 jours pour vol. La même année, par ordonnances pénales des 1 er septembre et 3 octobre 2017, il s'est vu infliger une peine privative de liberté de 100 jours et une amende de 100 fr. pour séjour illégal et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants, ainsi qu'une peine privative de liberté de 20 jours pour séjour illégal. Par ordonnance du 27 mars 2018, il a été condamné à une peine privative de liberté de 60 jours pour séjour illégal uniquement. A.d. Le 5 décembre 2018, A._ a informé le Service de la population de l'Etat de Vaud (ci-après : le Service cantonal) qu'il avait introduit une procédure de mariage auprès de l'Etat civil avec B._, qui est de nationalité suisse. Il a dès lors requis un permis de séjour provisoire en vue du mariage. Il a renouvelé cette demande les 29 et 30 janvier 2019. Le 11 mars 2019, A._ a transmis au Service cantonal une promesse d'embauche pour un emploi de cordonnier datée du 4 mars 2019. Il a également transmis divers documents indiquant que sa fiancée dépendait de l'aide sociale depuis 2006. Celle-ci avait entamé un stage en décembre 2018, mais y avait mis un terme en janvier 2019. Le 14 mars 2019, A._ a été condamné par le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne à une peine privative de liberté de 70 jours pour séjour illégal. B. Par décision du 16 juillet 2019, le Service cantonal a refusé d'octroyer une autorisation en vue de mariage à A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. A._ a interjeté recours contre la décision précitée auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal de l'Etat de Vaud (ci-après : le Tribunal cantonal). Celle-ci a rejeté ledit recours par arrêt du 10 janvier 2020, confirmant la décision du Service cantonal du 16 juillet 2019. C. A._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Outre l'octroi de l'effet suspensif au recours, il demande la réforme de l'arrêt du Tribunal cantonal du 10 janvier 2020 en ce sens qu'une autorisation de séjour en vue de la célébration du mariage lui soit délivrée. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt cantonal attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Par ordonnance du 11 février 2020, le Président de la Cour de céans a refusé d'octroyer l'effet suspensif au recours déposé. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.