Faits : A. A.a. B._, né en 1979, de nationalité portugaise, et A._, née en 1979, ressortissante suisse, se sont mariés en 2006 au Portugal. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2008, et D._, né en 2010. Par jugement du 22 novembre 2011, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: Tribunal) a prononcé le divorce des époux. Il a de plus ratifié la convention signée le 10 août 2011, par laquelle les parties ont notamment attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite du père, dit que celui-ci contribuerait à l'entretien de chacun de ses enfants par le versement d'une contribution mensuelle de 520 fr. jusqu'à l'âge de neuf ans, 570 fr. jusqu'à l'âge de douze ans, 620 fr. jusqu'à l'âge de quinze ans, puis 670 fr. jusqu'à la majorité et au-delà "jusqu'au terme d'une formation appropriée aux conditions de l'art. 277 al. 2 CC", allocations familiales en sus, et dit que le mari contribuerait en outre à l'entretien de l'épouse par le versement d'un montant de 460 fr. par mois jusqu'au 31 octobre 2016. A.b. Par jugement du 1er février 2016, le Tribunal a partiellement admis la demande de modification du jugement de divorce formée par le débirentier le 13 février 2013 (ch. I). Il a notamment réduit, dès et y compris jugement définitif et exécutoire, les contributions d'entretien mensuellement dues pour chaque enfant à 300 fr. jusqu'à l'âge de neuf ans, 350 fr. jusqu'à l'âge de douze ans, 400 fr. jusqu'à l'âge de quinze ans, puis 500 fr. jusqu'à la majorité et au-delà "jusqu'au terme d'une formation appropriée aux conditions de l'art. 277 CC" (ch. II/III). La pension en faveur de leur mère a en outre été supprimée également dès jugement définitif et exécutoire (ch. II/IV). Le Tribunal a par ailleurs condamné celle-ci à verser au débirentier une somme de 2'500 fr. à titre de dépens (ch. VIII). B. Le débirentier a interjeté appel contre ce jugement. Il concluait à ce que la réduction des contributions d'entretien en faveur des enfants et la suppression de celle due à leur mère prennent effet au 1er février 2013 et à ce que les dépens de première instance soient arrêtés à une somme minimale de 15'000 fr. Par mémoire de réponse et appel joint, la défenderesse a conclu au rejet des conclusions de l'appel et à la réforme du jugement attaqué en ce sens que les chiffres I, II/III et II/IV du dispositif de celui-ci soient supprimés. Par arrêt du 19 mai 2016, dont la rédaction a été notifiée le 20 juillet suivant, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Cour d'appel) a partiellement admis l'appel du père et rejeté l'appel joint de la mère. Elle a réformé, sous ch. III du dispositif de sa décision, les ch. II/III, II/IV et VIII du jugement du 1er février 2016 en ce sens que la réduction des contributions à l'entretien des enfants et la suppression de la pension en faveur de leur mère prennent effet dès le 1er mars 2016, celle-ci se voyant condamner à une indemnité de dépens de première instance de 9'000 fr. C. Par acte du 14 septembre 2016, A._ exerce un recours "en matière de droit civil" [recte: en matière civile] au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut, principalement, à ce que son recours soit admis et à ce que l'arrêt rendu le 19 mai 2016 par la Cour d'appel soit réformé en ce sens que "l'appel est rejeté", "l'appel joint est admis" et "le jugement rendu le 1er février 2016 par le [Tribunal] est modifié en ce sens que le chiffre I ainsi que les points III et IV du chiffre II sont supprimés". Subsidiairement, elle demande que "le point VIII du chiffre III" de l'arrêt entrepris, accordant des dépens de 9'000 fr. à l'intimé, soit supprimé. Encore plus subsidiairement, elle sollicite l'annulation de dit arrêt, la cause étant renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La recourante sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations sur le fond n'ont pas été requises. L'autorité cantonale s'en est remise à justice concernant la requête d'effet suspensif, tandis que l'intimé a conclu à son rejet. D. Par ordonnance présidentielle du 6 octobre 2016, la requête d'effet suspensif a été rejetée. Par courrier daté du même jour, la recourante a retiré sa requête.