Faits : A. Par jugement du 27 novembre 2014, la juge II du district de Monthey a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée, de faux dans les titres, de tentative d'escroquerie et de fausse déclaration d'une partie en justice et l'a condamné à une peine privative de liberté de vingt-quatre mois avec sursis pendant deux ans. Sur le plan civil, elle a condamné X._ à payer à la Fondation A._ 330'779 fr. 55 avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er novembre 2008. B. Par jugement du 26 février 2016, la Cour pénale II du Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'appel formé par X._. En résumé, elle a retenu les faits suivants: B.a. Né en 1940 à B._, X._ a, au terme de sa scolarité obligatoire, débuté des études d'ingénieur en mécanique, qu'il n'a pas achevées. En qualité d'autodidacte, il a travaillé, pendant plusieurs années, dans les domaines de la stimulation neuromusculaire électrique et de la médecine physique. X._ est l'inventeur d'un stimulateur neuromusculaire électrique, commercialisé sous la marque aaa. Il en a également créé et breveté une nouvelle version, vendue sous la marque bbb. Par la suite, il a élaboré un concept de rééducation globale après lésion du système nerveux central, qui associe des orthèses fonctionnelles pour les membres inférieurs à une électrostimulation neuromusculaire réglée en boucle fermée en temps réel. B.b. Pour la réalisation de ce projet, qualifié initialement d'utopique, a été constituée, en 1998, la Fondation A._. Cette fondation a développé, en collaboration avec C._, D._, E._ et F._, des appareils destinés à l'amélioration de l'autonomie et de la qualité de vie des personnes paraplégiques, hémiplégiques et infirmes cérébrales. Créé par la Fondation A._, un dispositif, nommé ccc, est utilisé par la clinique G._, à H._, I._, à J._, ainsi que par K._, à L._. Cet appareil consiste en un dispositif de rééducation ou d'entraînement des membres inférieurs d'une personne; il sert ainsi à la remobilisation des muscles et des articulations, en particulier. D'autres appareils, le dddet le eee, sont en cours de développement. Le premier d'entre eux est destiné à l'entraînement à la marche, alors que le second constitue un dispositif d'assistance à la marche autonome. X._ et le Prof. M._ ont comparu le 11 août 1998 devant notaire, pour signer l'acte constitutif de fondation de la Fondation A._ et arrêter la teneur des statuts. En vertu de l'article 10 des statuts, le secrétaire général permanent, nommé par le conseil de fondation, "prépare les propositions, exécute les décisions et coordonne les activités de la Fondation" (al. 3). Il tient "le livre des procès-verbaux des décisions du Conseil" et gère "l'organisation ordinaire, les fonds de la Fondation, les encaissements et les dépenses ordinaires et il en assume la responsabilité devant le Conseil de Fondation", cette fonction étant "rémunérée, sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la Fondation" (al. 4). Dans une première version des statuts préparée par X._, l'art. 10 al. 4 prévoyait que la fonction de secrétaire général, à plein temps, était "rémunérée", sans autre précision. Le Dr N._ a manifesté son désaccord avec la clause qui prévoyait une rémunération de la fonction de secrétaire général. Il a indiqué à X._ que "soit on modifiait les statuts, soit il refusait de donner son accord avec ce texte". Dans un fax du 24 juin 1998, X._ a signalé au Dr N._ que, à la suite de leur conversation téléphonique du jour même, il avait modifié l'art. 10 al. 4 des statuts comme suit: "Cette fonction est rémunérée, sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la Fondation". X._ a été désigné secrétaire général permanent et directeur de la Fondation A._. B.c. En septembre 2000, l'épouse de X._ et son fils O._ ont constitué la société P._ Sàrl, qui avait pour but la fourniture de prestations d'ingénierie, de conseil et d'assistance dans le domaine du génie biomédical. X._ était l'associé gérant de cette société, avec signature individuelle. Selon les explications de X._, la Sàrl gérait le patrimoine familial et abritait les activités qu'il développait durant son temps libre (20 %). A partir du mois de novembre 2000, les notes d'honoraires de l'intéressé à l'adresse de la fondation ont été établies sur papier à en-tête de la Sàrl. X._ a expliqué qu'il était un employé de P._ Sàrl au bénéfice d'un mandat de direction auprès de la Fondation A._. Il n'y avait aucune relation contractuelle entre la société et la fondation, mais celle-là se chargeait de l'encaissement des honoraires de X._ auprès de celle-ci. Les honoraires étaient prélevés sur le compte courant bancaire ou dans la caisse de la Fondation A._. Bénéficiant de la signature individuelle en ce qui concernait le CCP et la banque, X._ donnait les ordres de paiement pour la Fondation A._. Les honoraires étaient inclus dans le poste "recherche et développement " au même titre que les salaires des ingénieurs de C._. Dès l'exercice 2005, au vu des difficultés de trésorerie rencontrées par la Fondation A._, X._ a renoncé, en partie, à l'encaissement de ses honoraires, mais a comptabilisé la partie non payée dans un poste compte courant (" P._ c/c "), figurant au passif du bilan sous la rubrique " Fonds étrangers ". La note suivante figurait dans les comptes annuels en rapport avec le compte courant en question: "Il s'agit des honoraires dus à P._ Sàrl, par laquelle X._ fournit à la Fondation A._ ses prestations d'ingénierie biomédicale et de direction de la Fondation". A partir de 2007, ce texte a été complété avec la phrase suivante: "Il est prévu que ce solde d'honoraires sera payé progressivement par le biais des royalties futures versées par Q._ SA". X._ ou la société P._ Sàrl, pour le compte de celui-ci, ont facturé 1'426'035 fr. et encaissé 1'203'589 fr., de 2000 à 2009, à titre d'honoraires. Ils ont notamment perçu 183'135 fr. (pour 154'944 fr. facturés), en 2008, et 40'350 fr. (pour 96'183 fr. facturés), en 2009. B.d. En 2004, la Fondation A._ a constitué la société Q._ SA, aux fins de permettre la fabrication et la vente des dispositifs médicaux. De la sorte, la fondation demeurait sans but lucratif, ce qui lui permettait de conserver le soutien financier des collectivités publiques et de R._, notamment. Les deux entités étaient liées par un contrat de licence et de partenariat, à teneur duquel la Fondation A._ demeurait titulaire des brevets. B.e. La fiduciaire S._ a exercé la fonction d'organe de révision de la Fondation A._ depuis 1999. S._ avait fait la connaissance de X._ bien avant la création de la Fondation A._. En cours d'instruction, il a expliqué que la rubrique "dépenses" du poste pertes et profits intégrait les coûts relatifs au projet ccc ("R&D du projet ccc "), en particulier les honoraires de P._ Sàrl. Selon S._, un poste spécifique "honoraires" n'avait pas été créé parce que le terme "recherche et développement" correspondait bien à la nature du travail effectué par X._. Il était la tête pensante du projet. S._ ne voyait aucun problème de mettre les honoraires de P._ dans cette rubrique ("R&D"), étant donné que le travail principal de X._ était le développement technique. Au début, celui-ci effectuait les travaux bénévolement. Il a estimé le travail de direction administratif à environ 5 % des honoraires perçus par l'intéressé. Pour lui, "si les honoraires ont été payés, c'est que la fondation en avait les moyens"; même si des royalties n'étaient pas payées, des honoraires pouvaient être encaissés, dès lors que "la fondation avait la capacité financière pour faire ces paiements". B.f. Par décision du 18 mars 2011, l'autorité de surveillance des fondations du canton du Valais (ci-après: l'autorité de surveillance) a considéré que les actes du conseil de fondation (non-résiliation du contrat liant la Fondation A._ à Q._ SA, non-encaissement des créances (royalties), non-mise en oeuvre du " Business Model ", cessions des actifs de la Fondation A._ à Q._ Holding SA) n'appelaient pas une intervention de l'autorité de surveillance au sens de l'art. 84 al. 2 CC. Elle a considéré que les versements ordonnés par X._, lorsqu'il était membre du conseil de fondation, secrétaire général et directeur de la Fondation A._ en faveur de P._ Sàrl pour les montants de 10'500 fr., de 40'350 fr. et de 183'135 fr. ainsi que le salaire versé à son fils étaient constitutifs de violation des articles 7, 9 et 10 des statuts. Mandatée par l'autorité de surveillance, la société Fiduciaire T._ SA a rédigé, le 19 octobre 2010, un rapport d'expertise comptable. Elle a estimé que la Fondation A._ n'était pas en situation de surendettement à la fin décembre 2008. Selon l'expert, les honoraires du recourant avaient été correctement facturés, comptabilisés et payés pour autant que les disponibilités étaient suffisantes. L'expert a relevé que la fondation n'avait, en 2009, clairement plus les moyens de rémunérer X._. Les frais de fonctionnement étaient de l'ordre de 800'000 fr. (salaires, honoraires X._ et sous-traitants principalement). Jusqu'en 2007, les dons de l'Etat du Valais, de R._ et de la Ville de J._ avaient couvert les frais de fonctionnement. Ces dons se sont réduits à 700'000 fr. en 2008 et à 300'000 fr. en 2009 et n'ont pas été compensés par les royalties attendues (retard technique et difficulté à convaincre les acheteurs potentiels), ce qui avait occasionné le surendettement. De l'avis de l'expert, la comptabilisation des honoraires de X._ sous la rubrique "R&D des projets", sans être formellement contraire au droit, n'était pas très transparente. Lesdits honoraires ne figuraient pas dans la déclaration fiscale vaudoise de la Fondation A._ sur le formulaire "rémunération des dirigeants". L'expert a relevé que, au 30 juin 2010, la fondation disposait de 107'483 fr. de liquidités, avec les "engagement suivants": prêt U._ (67'500 fr.), passifs transitoires (8'837 fr.) et provision honoraires X._/P._ (251'858 fr.). Il a souligné que cette provision pouvait mettre en danger la situation financière et donc remettre en question l'assainissement de la fondation, tout en indiquant que les royalties étaient largement insuffisantes pour verser ces honoraires qui n'étaient donc pas exigibles. A la question de savoir si l'activité de X._ correspondant aux honoraires réclamés était établie d'une quelconque manière, il a répondu qu'il n'y avait aucune documentation à ce sujet, mais qu'une activité de 80 % ne le choquait pas à la lecture du dossier. De son point de vue, les honoraires de X._ étaient exigibles seulement si la fondation encaissait suffisamment de royalties, ce qui n'était pas le cas à ce jour. Dans son rapport complémentaire du 14 février 2011, l'expert a relevé que l'exercice 2008 de la fondation bouclait avec une perte et que les liquidités étaient négatives de 115'434 fr. au 31 décembre 2008. Selon lui, en facturant 154'944 fr. et en prélevant 183'135 fr., X._ avait mis la fondation dans une situation délicate. Par la perception d'honoraires en 2008 et en 2009, X._ avait diminué le patrimoine de la fondation. L'expert a considéré que le "rattrapage" d'honoraires effectué en 2008 constituait un "avantage" indu, car la fondation n'avait plus les liquidités suffisantes. De son point de vue, le conseil de fondation savait ou aurait dû savoir que X._ facturait 12'000 fr. par mois à la fondation. Entendu le 6 septembre 2011 par la juge du district de Monthey, V._, de la société Fiduciaire T._ SA, a expliqué qu'en 2008, la fondation n'avait pas encaissé de royalties; il n'y avait en tout cas pas de montants suffisants permettant de payer les honoraires en retard et les autres charges de la fondation. Il a souligné que si, dans le respect de l'article 10 des statuts, X._ n'avait pas facturé pour 154'000 fr. d'honoraires en 2008, l'exercice en question n'aurait pas affiché une perte, qui s'était par la suite répercutée et avait conduit à un manque de liquidités en 2009. B.g. Le 30 avril 2008, X._ a signé un contrat de travail conclu entre la fondation et son fils O._, engagé comme assistant de direction dès le 1er juin 2008. Ce dernier se trouvait alors au chômage et ne disposait pas de formation spécifique. Son expérience professionnelle se limitait à des emplois de paysagiste et d'ouvrier, puis de contremaître en matière de construction. Après une période de formation, il a intégré un comité de pilotage composé de W._, un de ses amis, et de U._. Formé à l'initiative de X._, le comité avait pour tâche de poursuivre les réflexions de Business Model, élaboré par X._, en définissant la structure la plus appropriée pour garantir la viabilité et le perfectionnement du projet des cyberthèses, respectivement de lever des fonds pour ce faire, à un moment où la fondation rencontrait de très sérieux problèmes financiers. En séance du 20 juin 2008, X._ a déclaré au conseil de fondation que le Business Model n'entraînerait aucune charge financière pour la Fondation A._. O._ a pourtant perçu un salaire mensuel brut de 6000 fr., à savoir un salaire mensuel net de 5'176 fr. 25, versé 13 fois par an. Le contrat de travail de O._ a pris fin le 30 septembre 2009. Compte tenu des charges sociales et des montants payés par l'assurance-chômage, la Fondation A._ a versé 95'794 fr. 57 à titre de salaire à O._. C. Contre le jugement cantonal du 26 février 2016, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. En substance, il conclut à son acquittement du chef d'accusation de gestion déloyale aggravée et au rejet des prétentions civiles de la Fondation A._. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.