Faits : A. A.a. B._ (1967) et A._ (1978), tous deux de nationalité française, sont les parents non mariés de l'enfant C._, née en 2015 à Y._ (France). Ils se sont séparés le 18 juin 2015. A.b. Par jugements des 25 janvier 2016 et 4 septembre 2017, le Tribunal de Grande Instance de Z._ (France) a instauré l'autorité parentale conjointe sur l'enfant, dit que son lieu de résidence habituelle se trouvait chez sa mère et fixé le droit de visite du père ainsi que la contribution d'entretien due par ce dernier à l'enfant. A.c. A._ a quitté la France le 14 mars 2018 pour venir s'installer avec sa fille à U._ (Neuchâtel) chez son compagnon d'alors. Ayant épuisé son droit aux indemnités de chômage, elle avait été mise au bénéfice de l'aide sociale. B._ vit à V._ en France voisine et travaille en Suisse en tant qu'enseignant. Il est également le père de deux garçons de dix et treize ans issus d'une autre relation, dont il n'a pas la garde mais qu'il voit régulièrement le week-end. A.d. Le 6 juillet 2018, A._ a saisi l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: APEA) d'une requête tendant à la confirmation de l'autorité parentale conjointe et de l'octroi de la garde sur sa fille en sa faveur et à la fixation des modalités d'exercice du droit de visite du père. Le droit de visite du père sur sa fille a été fixé par l'APEA lors d'une audience le 14 janvier 2019. A.e. Le 22 janvier 2020, B._ a déposé une requête de mesures superprovisionnelles visant à obtenir la garde de sa fille dans la mesure où A._ vivait, suite à la rupture d'avec son compagnon, dans un hôtel où elle partageait sa chambre avec l'enfant. A.f. Le 13 mars 2020, l'APEA a rendu une décision confirmant notamment l'attribution de l'autorité parentale conjointe sur l'enfant à ses deux parents ainsi que la garde à sa mère et fixant le droit de visite du père. A.g. Le 4 mai 2020, B._ a déposé une requête de mesures superprovisionnelles en vue de l'attribution en sa faveur de la garde exclusive de l'enfant et, subsidiairement, du retour immédiat de celle-ci en Suisse, exposant que la mère lui avait adressé une lettre l'informant qu'elle avait déménagé à W._ en France suite à " un renvoi de Suisse ". A.h. Par décision de mesures superprovisionnelles du 11 mai 2020, la Présidente de l'APEA a donné droit aux conclusions de la requête et cité les parties à comparaître le 25 mai 2020. Seul B._ a comparu à dite audience. Il a retiré sa requête de mesures superprovisionnelles au profit de celle formée dans le cadre de la procédure d'appel pendante devant la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après: Cour des mesures de protection; infra let. B). B. B.a. Le 14 mai 2020, B._ a fait appel par-devant la Cour des mesures de protection de la décision du 13 mars 2020 ( supra let. A.f), concluant principalement, entre autres points, à l'attribution en sa faveur de la garde exclusive de sa fille et à la fixation d'un large droit de visite de la mère. B.b. Le 26 mai 2020, B._ a déposé une requête de mesures superprovisionnelles tendant à ce que la garde exclusive de sa fille lui soit attribuée. Le 9 juin 2020, A._ a conclu au déboutement du père. Elle a notamment indiqué s'être domiciliée à W._, dans la banlieue de E._ (France), auprès de sa mère, et avoir saisi le Juge des affaires familiales du Tribunal judiciaire de E._ pour qu'il prenne une nouvelle décision au vu du changement de situation. B.c. Par ordonnance de mesures provisoires du 11 juin 2020, le Président de la Cour des mesures de protection (ci-après: Président) a constaté le caractère illicite du déplacement de l'enfant, a restreint l'autorité parentale conjointe de la mère et lui a retiré le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant, et a ordonné à la mère de ramener l'enfant à son père à V._ ou en tout autre lieu. C. Par acte du 29 juin 2020, A._ forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cette ordonnance, concluant à son annulation. Elle requiert préalablement l'octroi de l'effet suspensif et d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Invités à se déterminer, la Cour des mesures de protection n'a pas répondu et l'intimé a conclu, principalement, à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. D. Par ordonnance présidentielle du 21 juillet 2020, la requête d'effet suspensif a été admise.