Faits : A. Par jugement du 31 mai 2017, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour tentative de contrainte, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 150 fr. le jour, avec sursis pendant trois ans, ainsi qu'à une amende de 5'000 fr., et a en outre condamné le prénommé à payer à A._ la somme de 6'458 fr. 40 pour ses dépenses dans la procédure. Il a par ailleurs rejeté les conclusions de ce dernier tendant à l'allocation d'une indemnité pour tort moral à charge de X._. B. Par jugement du 15 novembre 2017, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et a réformé celui-ci en ce sens que le prénommé est acquitté et qu'il doit payer une somme de 1'728 fr. à A._ pour ses dépenses dans la procédure. Elle a confirmé le jugement pour le surplus. La cour cantonale a retenu les faits suivants. X._, né en yy._, exploite à V._ un bureau d'architecture, Z._ SA, dont il est l'administrateur unique. L'avocat A._, en qualité de représentant de B._ SA, a émis à l'encontre de Z._ SA des prétentions concernant des malfaçons dans la construction d'un immeuble, dont les travaux avaient été dirigés par cette dernière société. Le 27 décembre 2013, A._ a fait notifier à Z._ SA un commandement de payer la somme de 1'000'000 fr., dont la cause était désignée en ces termes : "Défauts affectant l'immeuble PPE P._ - Interruption de la prescription". Le 12 décembre 2014, A._ a fait notifier une nouvelle poursuite à Z._ SA, pour un montant de 1'000'000 francs. Le 20 février 2015, il a transmis à la société précitée un rapport d'expertise concluant à l'existence de défauts de l'ouvrage et précisant que le coût de remise en état à la charge de Z._ SA s'élevait à 13'000 fr., montant que cette dernière était mise en demeure de payer, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2010. Le 3 mars 2015, Z._ SA a fait notifier à B._ SA une poursuite, portant sur un montant de 100'000 fr., dont la cause était : "acte interruptif de prescription, dommages et intérêts". Par lettre du 26 février 2016, Z._ SA, agissant sous la plume de X._, a imparti à A._ un délai de 10 jours pour retirer les deux poursuites dirigées contre elle en échange de la délivrance d'une renonciation à se prévaloir de la prescription. X._ a précisé que s'il n'obtenait pas satisfaction, il lui ferait notifier, à titre personnel, un commandement de payer, indiquant que "ces agissements [n'étaient] pas tolérables". Le 4 avril 2016, Z._ SA a fait notifier à A._, à titre personnel, à son domicile privé, un commandement de payer le montant de 200'000 fr., indiquant la cause suivante : "acte interruptif de prescription, dommages et intérêts". Dans une lettre du 21 avril 2016, X._ a critiqué le "manque de déontologie" de A._. Il a ajouté qu'en lui faisant notifier deux commandements de payer de plus de 1'000'000 fr. chacun, alors que la valeur litigieuse était limitée à 14'000 fr., celui-ci lui avait causé du tort en portant atteinte à son crédit. C. A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 15 novembre 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que X._ est condamné, pour contrainte ou tentative de contrainte, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 150 fr. le jour, avec sursis pendant trois ans, ainsi qu'à une amende de 5'000 fr., que le prénommé doit lui payer la somme de 6'458 fr. 40 pour ses dépenses dans la procédure de première instance, ainsi qu'une indemnité à titre de réparation du tort moral. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. D. Invités à se déterminer sur la question d'une violation du droit d'être entendu de A._, le ministère public a conclu à l'admission du recours, tandis que la cour cantonale a en substance contesté l'existence d'une telle violation et que X._ a conclu au rejet du recours.