Faits : A. A._, né en 1978, travaille depuis 2004 en qualité de ferblantier-couvreur indépendant et est assuré facultativement contre les risques d'accident et de maladie professionnelle auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 11 janvier 2018, il a informé la CNA d'une suspicion de maladie professionnelle consistant en des troubles aux tendons des deux coudes. Dans un rapport du 22 janvier 2018, le docteur B._, spécialiste en médecine générale, a posé les diagnostics d'épitrochléites bilatérales et de chondropathie fémoro-patellaire droite. Il a qualifié ces troubles de maladie professionnelle liée "à la pratique quotidienne du port de charges". Le 6 février 2018, l'assuré a eu un entretien avec un collaborateur de la CNA, au cours duquel il a notamment décrit les différentes tâches liées à son activité professionnelle. Dans un rapport du 15 février 2018, le docteur C._, spécialiste en médecine du travail et en médecine interne générale, et médecin à la division de médecine du travail de la CNA, a indiqué que les tâches décrites par l'assuré correspondaient à l'activité habituelle d'un ferblantier-couvreur et a requis l'avis du docteur D._, médecin à la division de médecine des assurances de la CNA. Dans un bref rapport du 23 février 2018, ce médecin a relevé que l'activité professionnelle exercée par l'assuré n'était pas de nature à entraîner une épicondylopathie bilatérale. En outre, bien que le diagnostic ne soit pas objectivé, de plus amples investigations étaient superflues dans la mesure où, même si un spécialiste devait le confirmer, la condition que l'atteinte ait été causée de manière nettement prépondérante par l'activité professionnelle ne serait pas réalisée. Se fondant sur les avis des docteurs D._ et C._ (nouveaux rapports des 27 février et 19 avril 2018), la CNA a rendu une décision le 28 février 2018, confirmée sur opposition le 25 avril suivant, par laquelle elle a refusé de prendre en charge le cas au motif de l'absence d'un lien de causalité nettement prépondérant entre l'activité de l'assuré et les troubles constatés. B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 4 octobre 2018. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise judiciaire, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.