Faits : A. Par jugement du 22 août 2017, le Juge du district de Sion a condamné X._, pour faux dans les certificats, à une peine privative de liberté de six mois - avec sursis durant deux ans - ainsi qu'à une amende de 600 francs. Il a en outre dit que les prétentions civiles de A._ étaient réservées et renvoyées au for civil. B. Par jugement du 11 avril 2019, la Cour pénale I du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté les appels formés par le ministère public et par A._ contre ce jugement. Elle a partiellement admis celui formé par X._ et a réformé ledit jugement en ce sens que le prénommé est libéré du chef de prévention d'escroquerie et qu'il est condamné, pour faux dans les certificats, à une peine pécuniaire de 120 jours-amende à 10 fr. le jour, avec sursis durant deux ans. Elle a confirmé le jugement pour le surplus. La cour cantonale a retenu les faits suivants. B.a. Au mois de janvier 2012, la police a appris que des personnes avaient tenté de vendre des billets de loterie prétendument gagnants. De faux billets de "B._" avaient été imprimés sur un rouleau vierge qui avait été dérobé dans un point de vente de A._ à Genève. C._ a rencontré X._ à la fin de l'année 2011. Ce dernier lui a proposé de vendre des billets de "B._" prétendument gagnants, en lui promettant une participation de 10 % par billet vendu. X._ a fourni à l'intéressé une liste de noms de personnes à contacter ainsi que les numéros de téléphone correspondants et lui a demandé de leur proposer un billet de "B._" gagnant de 50'000 fr. pour le prix de 33'000 francs. Entre décembre 2011 et février 2012, trois individus ont accepté une telle proposition. Pour les rencontrer, C._ s'est fait conduire aux lieux de rendez-vous par X._, qui l'attendait alors dans la voiture. Le 19 décembre 2011, C._ a rencontré D._, qu'il avait préalablement appelé et auprès duquel il s'est légitimé au moyen d'un permis de séjour au nom de E._, document qui lui avait été remis par X._. D._ lui a remis une somme de 15'000 fr. en échange du billet de "B._" prétendument gagnant. Le 29 décembre 2011, C._, en se faisant passer pour un certain F._, a rencontré G._ dans un restaurant. Il lui a vendu un billet de "B._" prétendument gagnant de 50'200 fr. pour un prix de 25'000 francs dont 13'000 francs ont été versés. Le 31 janvier 2012, H._ a acquis auprès de I._, locataire de l'un des appartements de sa société, un billet de "B._" prétendument gagnant de 50'200 fr., pour un prix de 30'500 francs. Ce billet avait été remis à I._ par C._ contre une commission de 3'050 francs. Après une disjonction des causes, C._ a été jugé en procédure simplifiée. C. Le Ministère public du canton du Valais forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 11 avril 2019 (6B_567/2019), en concluant, avec suite de frais, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. A._ forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 11 avril 2019 (6B_577/2019), en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à la constatation de sa nullité et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Subsidiairement, elle conclut à sa réforme en ce sens que X._ est condamné, pour escroquerie et faux dans les certificats, à une peine fixée à dire de justice.