Faits : A. A.a. A._ et B._, domiciliés en France, ont un fils, C._, domicilié en Suisse, lequel est passionné de musique et titulaire d'un diplôme de violoncelliste. A.b. En 2006, D._ - qui est luthier à I._ (France) - a remis à C._ un violoncelle " E._ ". C._ a pu utiliser l'instrument comme outil de travail. A.c. Le 2 novembre 2007, D._ a établi une quittance au nom de A._, portant sur la vente dudit violoncelle pour un montant de 80'000 euros. Sur cette quittance, il est mentionné que 20'000 euros ont été réglés le jour même. En outre, il est écrit que 30'000 euros ont été payés le 20 avril 2008. B. B.a. A la suite d'une plainte déposée le 18 septembre 2009 par le Service de prévoyance et d'aide sociales (ci-après: le SPAS), une enquête pénale a été ouverte contre C._ et son épouse F._, lesquels n'avaient pas annoncé leurs revenus accessoires aux services sociaux. B.b. Le 13 janvier 2010, dans le cadre de l'enquête pénale, de nombreux instruments de musique, dont le violoncelle " E._ ", ont été découverts au domicile de C._ et ont fait l'objet d'un inventaire. Ces objets ont ensuite été séquestrés. B.c. Le SPAS, qui s'était constitué partie civile, a conclu à la dévolution à l'Etat de tous les objets séquestrés, afin qu'ils soient vendus aux enchères publiques par l'Office des poursuites en dédommagement du préjudice qu'il avait subi. B.d. Par document daté du 15 septembre 2010, A._ a attesté posséder à ce jour le violoncelle " E._ " d'une valeur de 80'000 euros, ainsi que quatre autres instruments séquestrés dans le cadre de la procédure pénale. Le 28 septembre 2010, C._ a adressé un courrier à la Police de sûreté, auquel il a joint le document établi par sa mère le 15 septembre 2010. B.e. Par jugement du 31 juillet 2015, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de La Côte (ci-après: le Tribunal correctionnel) a notamment constaté que C._ et son épouse F._ s'étaient rendus coupables d'escroquerie par métier et de faux dans les titres. Il a ordonné la confiscation et la dévolution à l'Etat à titre de dédommagement du préjudice subi par le SPAS des objets séquestrés en mains de C._, en particulier du violoncelle " E._ ". B.f. Le 29 octobre 2015, C._ a remis le violoncelle " E._ " à l'Etat de Vaud, par l'intermédiaire de son employé J._. Depuis cette date, l'instrument a été entre les mains de l'Etat de Vaud et n'a plus quitté les locaux de celui-ci. B.g. Par attestation manuscrite du 5 novembre 2015, D._ a déclaré que A._ lui devait toujours à ce jour la somme de 30'000 euros, solde à régler pour le violoncelle " E._ ". C. C.a. Le 22 août 2016, A._, B._ et D._ ont déposé une requête de conciliation auprès du Tribunal d'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Tribunal d'arrondissement), dans laquelle ils ont, en substance, conclu à ce que le violoncelle " E._ " leur soit restitué. Ils ont notamment indiqué qu'ils étaient consorts nécessaires dans la mesure où ils étaient propriétaires communs dudit violoncelle. A cet égard, ils ont précisé qu'ils avaient convenu d'un régime de propriété commune sur l'instrument jusqu'à son plein paiement par A._ et B._. C.b. L'audience de conciliation s'est tenue le 18 octobre 2016. A cette occasion, D._ s'est retiré de la procédure. La conciliation a en outre échoué, de sorte qu'une autorisation de procéder a été délivrée à A._ et B._. C.c. Le 18 janvier 2017, A._ et B._ ont déposé une demande auprès du Tribunal d'arrondissement, concluant à ce qu'ordre soit donné au Conseil d'Etat du canton de Vaud de leur restituer, dans les cinq jours suivant l'entrée en force de la décision à intervenir, le violoncelle " E._ " détenu par le Service pénitentiaire de l'Etat de Vaud (ci-après: le SPEN) ensuite du jugement exécutoire rendu le 31 juillet 2015 par le Tribunal correctionnel. Par réponse du 9 juin 2017, l'Etat de Vaud a conclu ce que la demande soit déclarée irrecevable, subsidiairement à ce qu'elle soit rejetée. C.d. Le 19 septembre 2017, A._ et B._ ont produit dans la procédure un courrier, réceptionné le 24 août 2017 par leur conseil, dans lequel D._ a confirmé qu'il n'était plus le propriétaire du violoncelle " E._ " qu'il leur avait vendu, ayant en effet omis de stipuler sur la facture rester le propriétaire de cet instrument tant que celui-ci ne lui avait pas été entièrement payé. Le 3 octobre 2017, les demandeurs ont produit une pièce, établie par le luthier G._ et datée du 26 novembre 2015, certifiant que le violoncelle " E._ " " présenté ce jour pour être soumis à [son] expertise et appartenant à Madame et Monsieur A._ et B._ (...) a[vait] une valeur de CHF 160'000.- ". Le 27 novembre 2017, ils ont produit un nouveau certificat de G._, daté du 10 novembre 2017 et modifié par rapport à celui du 26 novembre 2015 en ce sens qu'il était désormais fait référence au violoncelle " E._ " " présenté en date du 29 janvier 2008 pour être soumis à [son] expertise et appartenant à Madame et Monsieur A._ et B._ (...) ". C.e. Par jugement du 19 juin 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a rejeté la demande déposée le 18 janvier 2017 par A._ et B._ contre l'Etat de Vaud. C.f. Par arrêt du 12 juillet 2019, notifié en expédition complète le 3 septembre suivant, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par A._ et B._ et confirmé le jugement attaqué. D. Par acte posté le 4 octobre 2019, A._ et B._ exercent un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 12 juillet 2019. Ils concluent à son annulation et à sa réforme en ce sens que le violoncelle " E._ " leur soit restitué, subsidiairement qu'il le soit uniquement à A._, dans les cinq jours suivant l'entrée en force de la présente décision. Plus subsidiairement, ils sollicitent le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Des déterminations n'ont pas été requises.