Faits : A. A.a. X._, ressortissant de la République du Cabo Verde né en 1986, est arrivé en Suisse le 7 septembre 1992 pour y rejoindre ses parents et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour, puis d'une autorisation d'établissement. A.b. X._, qui n'a pas suivi de formation professionnelle ni effectué d'apprentissage, a occupé plusieurs emplois temporaires, en les alternant avec des périodes de chômage. Au 2 septembre 2016, l'intéressé faisait l'objet de poursuites pour un montant de 66'579 fr. et d'actes de défaut de biens s'élevant à 97'935 fr. A.c. Entre le 21 juin 2005 et le 3 avril 2017, X._ a été condamné pénalement à dix-sept reprises, notamment pour des infractions contre l'intégrité corporelle (lésions corporelles simples, y compris contre une personne hors d'état de se défendre) et des violations de la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121). En particulier, le 26 juin 2013, l'intéressé a été condamné à une peine privative de liberté de neuf mois, à une peine pécuniaire de 30 jours-amende à 50 fr. et à une amende de 1'800 fr., pour voies de fait, injure, menaces, contrainte, brigandage, dénonciation calomnieuse, recel, diffamation, violation des règles sur la circulation routière, vol d'usage d'un véhicule automobile, conduite d'un véhicule automobile sans permis de conduire et en état d'incapacité, ainsi que contravention à la LStup. Dans le cadre de cette condamnation, sa culpabilité a été qualifiée de "particulièrement lourde" par le Tribunal d'arrondissement de Lausanne, qui a constaté notamment l'obstination de X._ à enfreindre l'ordre public et son parcours de délinquant multirécidiviste. B. B.a. Le 14 septembre 2009, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a adressé à X._ un sérieux avertissement et a attiré son attention sur le fait que de nouvelles condamnations pénales auraient pu entraîner la révocation de son autorisation d'établissement. Par lettre du 10 juin 2014, cette autorité a informé l'intéressé que, au regard de ses nombreuses condamnations pénales, elle entendait révoquer son autorisation d'établissement. Le 4 août 2014, X._ a indiqué au Service cantonal qu'il voulait construire des bases solides pour se conformer aux règles de la société helvétique et qu'il avait trouvé un travail lui permettant de rembourser une partie de ses dettes. Le 25 août 2014, le Service cantonal, tout en renonçant à prendre des mesures administratives à l'encontre de X._, lui a adressé un (deuxième) sérieux avertissement. B.b. Par décision du 27 septembre 2016, après avoir donné à X._ la possibilité d'exercer son droit d'être entendu, le Service cantonal, compte tenu des nouvelles condamnations pénales prononcées à l'encontre de l'intéressé, a révoqué l'autorisation d'établissement de celui-ci et ordonné son renvoi de Suisse. Le 27 octobre 2016, X._ a recouru contre cette décision auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais. Le 27 septembre 2017, cette autorité a rejeté le recours. Par arrêt du 25 mai 2018, le Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par l'intéressé contre cette décision. C. A l'encontre de l'arrêt du 25 mai 2018, X._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renouvellement de son autorisation d'établissement. Le Service cantonal propose le rejet du recours. Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat aux migrations ne s'est pas prononcé. Les 21 août, 19 septembre et 9 octobre 2018, le Service cantonal a produit des nouvelles pièces.