Faits : A. Par jugement du 30 janvier 2019, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a condamné X._ pour pornographie (art. 197 al. 1, 4 et 5 CP), a révoqué la libération conditionnelle qui lui avait été accordée le 20 décembre 2016 et lui a infligé une peine privative de liberté d'ensemble de 20 mois. Il a en outre instauré, en faveur du prénommé, un traitement institutionnel des troubles mentaux. B. Par jugement du 22 mai 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par X._ contre ce jugement et a confirmé celui-ci. La cour cantonale a retenu les faits suivants. B.a. X._ est né en 1956. Il a connu des problèmes d'alcoolisme au cours de son existence et bénéficie d'une curatelle de représentation et de gestion sans limitation de l'exercice des droits civils. Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2015, pour pornographie et obtention de pornographie dure, ainsi que d'une condamnation, en 2016, pour pornographie dure. A l'occasion de cette dernière condamnation, le prénommé a été soumis à un traitement psychothérapeutique ambulatoire. B.b. Dans le cadre de la première procédure pénale, X._ a été soumis à une expertise psychiatrique. Dans un rapport du 2 juin 2014, les expertes ont diagnostiqué un trouble de la personnalité immature, un trouble de la préférence sexuelle - soit une pédophilie - et un syndrome de dépendance à l'alcool. Elles ont conclu à une légère diminution de la responsabilité de l'intéressé ainsi qu'à l'existence d'un risque de récidive élevé. Les expertes ont préconisé la mise en oeuvre d'un traitement psychiatrique ambulatoire. B.c. Le 18 février 2014, X._ a volontairement débuté un suivi spécialisé auprès du Service de médecine et psychiatrie pénitentiaires de l'hôpital A._. Par décision du 20 décembre 2016, le Juge d'application des peines a libéré conditionnellement le prénommé, en subordonnant notamment cette libération à l'obligation, pour l'intéressé, de maintenir sa collaboration à la thérapie dans le cadre du traitement ambulatoire instauré en 2016. B.d. A B._, entre le 29 décembre 2016 et le 25 janvier 2018, X._ a régulièrement consulté des sites Internet pour visionner des images et films contenant des scènes d'actes d'ordre sexuel avec des mineurs. Il a également téléchargé, stocké et mis à disposition d'autres utilisateurs des images et vidéos de cette nature. Le prénommé a en outre rédigé des textes décrivant des actes d'ordre sexuel avec des garçons mineurs et a réalisé des dessins figurant des actes de cette nature entre mineurs. B.e. Une actualisation de l'expertise psychiatrique de 2014 a été diligentée. Dans leur rapport du 14 novembre 2018, les expertes ont posé le diagnostic de trouble de la personnalité immature, de trouble de la préférence sexuelle - soit une pédophilie - et de syndrome de dépendance à l'alcool. Elles ont indiqué que l'évaluation de la personnalité psycho-affective de X._ restait globalement la même qu'en 2014, que sa responsabilité était toujours légèrement diminuée et que le risque de récidive demeurait élevé. Selon elles, le prénommé tirait bénéfice de son traitement psychothérapeutique, qui l'aidait à apaiser ses pensées et pulsions sexuelles obsédantes. Les expertes ont préconisé la poursuite du traitement psychiatrique sous forme ambulatoire, en précisant qu'un traitement institutionnel n'apporterait pas de meilleures chances de succès et pourrait même se révéler délétère s'il devait entraîner une rupture du suivi avec le thérapeute actuel de X._. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 22 mai 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'une mesure de traitement ambulatoire est instaurée à la place de la mesure thérapeutique institutionnelle. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.