Faits : A. Par jugement du 19 janvier 2017, le Tribunal pénal de l'arrondissement de la Gruyère a condamné X._, pour actes d'ordre sexuel avec des enfants, contrainte sexuelle et tentative de contrainte sexuelle, à une peine privative de liberté de quatre ans. B. Par arrêt du 27 novembre 2018, la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a partiellement admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et a réformé celui-ci en ce sens que le prénommé est condamné, pour actes d'ordre sexuel avec des enfants s'agissant des actes commis entre 2002 et 2005, abus de la détresse concernant les actes commis entre 2010 et 2012 et tentative d'abus de la détresse en raison des actes commis en 2013, à une peine privative de liberté de 30 mois, avec sursis portant sur 24 mois durant trois ans. La cour cantonale a retenu les faits suivants. B.a. X._ et B._ se sont mariés en 1986. De leur union sont nés A._, en 1989, puis C._ en 1991. Le 1er avril 2012, A._ a quitté le domicile familial. Le 3 mai 2014, alors qu'elle était âgée de 25 ans et avait pris son indépendance depuis plus de deux ans, la prénommée a dénoncé à la police avoir été victime d'attouchements sexuels de la part de son père durant une dizaine d'années. B.b. A D._, dans la maison familiale, entre 2002 et 2011, X._ s'est rendu en moyenne un dimanche par mois dans la chambre de A._ dans le dessein de lui caresser les parties intimes. Alors que le reste de la famille s'habillait et faisait sa toilette, l'intéressé poussait la porte de la chambre de sa fille sous prétexte de la réveiller et s'asseyait sur le bord du lit pour toucher les seins et le sexe de A._ à même la peau. Lors de l'une de ces visites, X._ a tenté d'introduire ses doigts dans le vagin de sa fille. En outre, à un moment indéterminé durant cette période, il a commencé à demander à A._ qu'elle lui masse le sexe. B.c. Dès 2009, époque à laquelle X._ et sa fille avaient congé le vendredi après-midi, le prénommé a profité de l'absence hebdomadaire de son épouse et de son fils pour rejoindre A._ dans sa chambre. Il caressait cette dernière par-dessus ses habits, avant d'introduire sa main dans son pantalon pour lui toucher le sexe. Occasionnellement, il ouvrait également son propre pantalon pour que sa fille pût glisser sa main dans son slip et lui masser le sexe. A une occasion, alors que A._ était assise à son bureau, l'intéressé s'est livré aux mêmes caresses avant d'amener sa fille à le masturber jusqu'à éjaculation. B.d. A E._, le 3 octobre 2012, au domicile de A._, X._ s'est assis à côté d'elle sur le canapé et lui a touché les parties intimes. Bien que A._ eût ôté la main de son père à plusieurs reprises, ce dernier ne s'est arrêté qu'après un certain laps de temps. B.e. A D._, dans la maison familiale, en janvier 2013, X._ a proposé à A._ de lui montrer les modifications qu'il avait réalisées dans la cave. Profitant de se trouver seul aux côtés de sa fille, il a tenté de toucher celle-ci, laquelle a réussi à le repousser. B.f. Durant l'instruction, une expertise psychiatrique portant sur A._ a été mise en oeuvre. Cette expertise a été réalisée par la Dresse F._. Au cours de la procédure d'appel, eu égard aux critiques adressées par X._ à l'expertise réalisée par la Dresse F._, une nouvelle expertise psychiatrique portant sur A._ a été confiée au Dr G._. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 novembre 2018 (6B_204/2019), en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté, que les conclusions civiles prises par A._ sont rejetées, qu'une indemnité de 24'162 fr. 80 lui est allouée pour ses dépens dans la procédure de première instance, qu'une indemnité de 5'000 fr., avec intérêts, lui est allouée à titre de l'art. 429 al. 1 let. c CPP, et qu'une indemnité de 23'776 fr. 15 lui est allouée pour ses dépens dans la procédure d'appel. Subsidiairement, il conclut à sa réforme en ce sens qu'il est condamné, pour actes d'ordre sexuel avec des enfants, abus de la détresse et tentative d'abus de la détresse, à une peine privative de liberté de 18 mois, avec sursis durant trois ans, et qu'une indemnité de 23'969 fr. 45 lui est allouée pour ses dépens. Plus subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision après qu'une expertise de crédibilité a été mise en oeuvre. Le Ministère public du canton de Fribourg forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 novembre 2018 (6B_206/2019), en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. D. Invités à se déterminer sur le recours du ministère public, la cour cantonale s'est référée à l'arrêt attaqué, tandis que X._ a conclu principalement à l'irrecevabilité et subsidiairement au rejet de celui-ci.