Faits : A. A.A._ (1971) et B.A._ (1970) se sont mariés le 17 juillet 1992. Ils ont eu deux enfants, aujourd'hui majeurs. Leur séparation est intervenue au mois d'août 2017. L'épouse a introduit une requête de mesures protectrices de l'union conjugale par acte déposé au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal) le 5 septembre 2017. B. B.a. Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 12 juin 2018, le Tribunal a notamment condamné l'époux à verser à son épouse, au titre de contribution à son entretien, 3'450 fr. par mois jusqu'au mois d'août 2019, puis 1'000 fr. par mois à compter du mois de septembre 2019. B.b. L'épouse a fait appel de cette décision, concluant principalement à ce que la contribution d'entretien soit fixée à 10'800 fr. par mois avec "effet rétroactif " au 1er septembre 2017, subsidiairement à ce qu'elle s'élève à 6'800 fr. par mois avec "effet rétroactif " au jour du dépôt de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale, soit le 5 septembre 2017. Dans sa réponse, l'époux a conclu à la confirmation du jugement de première instance. B.c. Par arrêt du 25 janvier 2019, expédié le 19 mars 2019, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a partiellement admis l'appel formé par l'épouse et condamné l'époux à lui verser 3'450 fr. par mois à titre de contribution d'entretien, dès l'entrée en force de son arrêt. C. Le 23 avril 2019, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et principalement à sa réforme, en ce sens que B.A._ est condamné à contribuer à son entretien par le versement mensuel de 3'450 fr. dès le 12 juin 2018, date du jugement de première instance. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Elle conclut aussi à ce que son époux soit condamné à lui verser la somme de 4'400 fr. à titre de provisio ad litemet sollicite subsidiairement le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. D. Une requête en rectification de l'arrêt entrepris ayant été introduite auprès de la Cour de justice, l'instruction de la présente cause a été suspendue par ordonnance présidentielle du 9 mai 2019, à la requête de la recourante. La Cour de justice a déclaré irrecevable la requête de rectification le 24 septembre 2019, pour le motif qu'il n'y avait pas de contradiction entre les considérants et le dispositif de son arrêt du 25 janvier 2019. Le 14 novembre 2019, le Président de la Cour de céans a informé les parties de ce que l'instruction de la cause était reprise. E. Invité à se déterminer, l'intimé a conclu au rejet du recours et demande le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. La Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt.