Faits : A. A.a. Par contrat de travail de durée indéterminée du 20 juin 2007, l'École polytechnique fédérale de Lausanne (ci-après: l'EPFL) a engagé A._, née en 1975, docteure en chimie, comme collaboratrice scientifique à plein temps dès le 1 er janvier 2008. Ce contrat ayant été conclu dans le cadre de l'intégration au sein de l'EPFL de l'Institut B._, dont A._ était employée depuis 2002, celle-ci a continué à travailler pour le même professeur. A partir d'une date indéterminée, ses relations avec son supérieur ont commencé à se dégrader, entraînant une tentative de médiation en 2013. A partir du 10 septembre 2016, l'employée a été mise en arrêt de travail en raison d'une dépression sévère avec pleurs, insomnie, angoisses, peur de l'avenir, trouble de la mémoire et de la concentration et manque de confiance en elle-même. Par l'intermédiaire d'un avocat, elle a demandé le 9 mars 2017 à l'EPFL d'ouvrir un dialogue pour trouver une issue à cette situation, précisant qu'elle n'envisageait plus de côtoyer son supérieur. Le 11 mai 2017 s'est tenue une séance entre l'EPFL et l'employée. A.b. Le 15 juin 2017, l'employée a confirmé par écrit qu'elle ne reprendrait pas son travail pour raison de santé; elle a notamment requis l'EPFL de prendre en charge le manque à gagner occasionné par la formation qu'elle envisageait d'entreprendre en vue d'une reconversion professionnelle et de verser une indemnité pour l'atteinte occasionnée à sa santé par son supérieur; elle s'est déclarée favorable à une résolution à l'amiable du litige. Par pli du 4 juillet 2017, l'EPFL a notamment pris note que l'employée ne reprendrait pas son travail et s'est déclarée disposée à prendre en considération le projet de formation; elle a également soumis un projet de convention de départ prévoyant, en substance, la cessation des rapports de travail au 31 août 2017 et le versement d'une indemnité de départ de 60'000 fr. pour solde de tout compte. Le 10 juillet 2017, l'employée a rejeté le projet de convention; elle a précisé commencer sa nouvelle formation dès le 21 août 2017 et a souligné le caractère urgent de trouver un accord. Elle a rappelé ce caractère urgent par courrier du 17 juillet 2017 en invitant l'EPFL à lui répondre, ce que cette dernière a fait le 19 juillet 2017. Le 21 juillet 2017, l'employée a déploré qu'aucun accord ne soit trouvé et a informé l'EPFL qu'elle se déterminerait plus en détail au cours des prochains jours. A.c. Par courrier du 25 juillet 2017, l'employée a relevé que son cursus de formation débutait le 21 août 2017 et que compte tenu du soutien de l'EPFL à cette démarche, "il faut considérer que [l'employée] est libérée de son obligation de travailler par l'EPFL dès cette date". Le 21 août 2017, elle a commencé sa nouvelle formation. Par courrier du 4 septembre 2017, l'EPFL a expliqué ne pas pouvoir maintenir un poste et le salaire afférent pour une personne qui s'était engagée ailleurs et a requis que l'employée se détermine d'ici au 10 septembre 2017 sur l'offre qui lui avait été faite. Par pli du 6 septembre 2017, l'employée a élevé des prétentions pour un montant de 311'000 fr., mais a proposé de transiger à hauteur de 150'000 fr. par gain de paix. Le 20 septembre 2017, elle a requis une réponse de l'EPFL d'ici au 25 septembre 2017. A.d. Par pli du 27 septembre 2017, l'EPFL a remis à l'employée un projet de résiliation immédiate du contrat de travail et lui a imparti un délai au 5 octobre 2017 pour se déterminer. Par courrier du 4 octobre 2017, l'employée s'est déclarée stupéfaite par le mépris affiché par l'EPFL et par l'interruption des négociations; elle a notamment considéré que l'EPFL n'exposait pas quel manquement particulièrement grave fonderait un juste motif et a requis une prolongation de délai de dix jours pour pouvoir se déterminer. Le 18 octobre 2017, l'EPFL, par son mandataire, a constaté que l'employée ne s'était toujours pas exprimée et lui a imparti un délai de deux jours pour ce faire. Le même jour, l'employée a requis l'EPFL de lui communiquer ce qui fondait à son sens un juste motif pour résilier le contrat de travail avec effet immédiat. Le mandataire de l'EPFL ayant répondu que le projet de décision était explicite sur les faits et les intentions de l'EPFL, l'employée a contesté que tel fût le cas et a réitéré sa demande d'explication. A.e. Par décision du 30 octobre 2017, l'EPFL a résilié le contrat de travail avec effet immédiat au 19 septembre 2017, au motif qu'en commençant sa nouvelle formation avant de conclure une convention de résiliation, l'employée avait abandonné son poste. Le recours formé par l'employée contre cette décision auprès de la Commission de recours interne des EPF a été rejeté par décision du 28 août 2018, sous réserve de la date de la fin des rapports de travail qui a été fixée au 31 octobre 2017. B. Par arrêt du 24 mai 2019, le Tribunal administratif fédéral (ci-après: le TAF) a admis partiellement, dans la mesure de sa recevabilité, le recours interjeté par l'employée contre la décision du 28 août 2018. Il a fixé la fin des rapports de travail au 31 janvier 2018 et a condamné l'EPFL à verser à l'employée le salaire jusqu'à cette date ainsi qu'une indemnité correspondant à quatre mois de salaire brut. C. A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que l'indemnité octroyée soit fixée à douze mois de salaire brut - soit à 122'471 fr. - et subsidiairement à son annulation, la cause étant renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'EPFL conclut au rejet du recours. La recourante a répliqué et a confirmé ses conclusions. Le TAF s'est référé à son arrêt.