Faits : A. A.a. Par décision du 4 juillet 2018, la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg (DEE) a mandaté M e C._ en qualité d'enquêteur pour conduire l'instruction d'une "procédure OHarc" (en référence à une ordonnance cantonale relative au harcèlement et aux difficultés relationnelles sur le lieu de travail) opposant A._, née en 1975, collaboratrice scientifique universitaire au Service D._, à son supérieur hiérarchique, B._. Par lettre du 21 novembre 2018, l'enquêteur a notifié aux parties le procès-verbal d'une audition de B._ du 20 novembre précédent et leur a imparti un délai au 3 décembre 2018 pour requérir d'éventuelles mesures d'instruction complémentaires. Le 23 novembre suivant, M e Boris Perrod, mandataire de A._, a requis une prolongation de délai, informant l'enquêteur qu'il serait à l'étranger du 26 novembre au 10 décembre 2018. Le matin du 26 novembre 2018, l'enquêteur et M e Boris Perrod se sont rencontrés fortuitement à la poste. Par courriel du même jour, l'enquêteur a prévenu le Secrétaire général de la DEE que la procédure OHarc ne pourrait pas être close avant la fin de l'année, vu la demande de prolongation annoncée. Il lui signalait également qu'il avait croisé M e Boris Perrod le matin même, alors qu'il le croyait en vacances, et que ce dernier semblait ne pas avoir particulièrement apprécié qu'il exprime sa surprise. Une trentaine de minutes plus tard, M e Boris Perrod s'est adressé à l'enquêteur par courriel (et pli postal). Se référant à leur discussion, il prenait acte que, conformément à sa demande, il s'adresserait désormais à lui "non pas en tant que 'Confrère' mais en tant que représentant de l'autorité". Il s'étonnait en outre de l'intention de l'enquêteur de peut-être refuser la demande de prolongation de délai, motif pris de "prétendus velléités de [sa] part de vouloir faire durer artificiellement la procédure, soit un prétendu comportement dilatoire", et a produit une copie de ses billets d'avion pour le soir même. Enfin, il a précisé qu'un refus de prolonger le délai entraînerait une demande de récusation. Le 27 novembre 2018, l'enquêteur a accordé la prolongation de délai requise. A.b. Le 13 décembre 2018, A._ a demandé la récusation de l'enquêteur, au motif qu'il avait fait preuve d'impartialité et d'inimitié à l'endroit de son mandataire. Par décision du 8 février 2019, la DEE a rejeté la demande de récusation et ordonné la reprise de la procédure OHarc. B. Saisie d'un recours contre la décision du 8 février 2019, la I ère Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité (jugement du 11 juin 2019). C. A._ forme un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la récusation de l'enquêteur avec effet immédiat et répétition des actes accomplis par celui-ci, et à ce que la conduite de l'instruction soit confiée à M e E._. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Préalablement, elle requiert la suspension de la procédure OHarc jusqu'à droit connu sur son recours. Le Tribunal fédéral n'a pas procédé à un échange d'écritures.