Faits : A. A._ (1997) et B._ (1995) sont les parents non mariés de C._, née le 14 mai 2014. Lorsque ses parents se sont séparés, l'enfant est resté chez sa mère. Par convention du 17 juillet 2015, les parents ont convenu d'un droit de visite en faveur du père à raison d'un à deux jours toutes les cinq semaines, en présence de la mère et au domicile de celle-ci. B. Par demande du 13 juillet 2015, le père a requis du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de protection) l'instauration de l'autorité parentale conjointe. Le Service de protection des mineurs (SPMi) a rendu un premier rapport le 26 novembre 2015. B.a. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 10 février 2016, confirmée par décision de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) du 21 avril 2016, le Tribunal de protection a accordé à B._ un droit de visite sur C._, à exercer au Point Rencontre à raison de deux heures toutes les trois semaines. Il a aussi prononcé une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles ainsi qu'un suivi de guidance parentale en faveur de l'enfant. Une expertise familiale a été ordonnée par décision du 26 février 2016. Le rapport d'expertise a été rendu le 10 octobre 2016. Le SPMi a rendu un rapport le 17 novembre 2016. Une audience s'est tenue le 30 novembre 2016. B.b. Par ordonnance du 22 février 2017, le Tribunal de protection a attribué l'autorité parentale sur C._ conjointement à ses deux parents et fixé le droit de visite du père, qui devait s'exercer selon les modalités suivantes, assorties en l'état d'un " temps de battement " de 15 minutes avant et après les visites: " - 2h toutes les deux semaines au sein du Point Rencontre; - puis, après trois visites à quinzaine à l'intérieur du Point Rencontre, une journée à quinzaine avec passage de l'enfant par le Point Rencontre selon des horaires qui seront fixés d'entente avec cette institution et les curatrices; - et enfin, après trois visites d'une journée avec sortie, un week-end sur deux, du samedi au dimanche, avec passage de l'enfant au Point Rencontre, ainsi que durant les vacances scolaires, à raison d'une semaine en été 2017, puis de la moitié des petites vacances et de deux semaines non-consécutives en été 2018 et enfin, une fois que la mineure sera scolarisée, durant la moitié des vacances scolaires ". Le Tribunal de protection a en outre maintenu la curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles, ordonné la mise en place d'un suivi de guidance parentale en faveur de l'enfant et de ses parents et un suivi de l'enfant par le Service éducatif itinérant, invité les curatrices à veiller à la mise en place rapide et effective de ces suivis et à interpeller sans délai le Tribunal de protection si l'intérêt de l'enfant commande l'instauration d'autres mesures de protection, le cas échéant avec limitation correspondante de l'autorité parentale ou adaptation des modalités de visite père-enfant. Il a demandé aux parents d'effectuer avec sérieux et régularité une thérapie de séparation auprès d'une consultation spécialisée, à tout le moins dès l'issue de la procédure pénale xxxxx, donné acte au père de ce qu'il a entrepris un suivi thérapeutique individuel et sérieux, et invité la mère à mettre en place un suivi thérapeutique individuel sérieux et régulier. La totalité des bonifications pour tâches éducatives a été attribuée à la mère. Pour le surplus, le Tribunal de protection a arrêté et réparti les frais judiciaires de première instance. B.c. Par arrêt du 4 août 2017, la Cour de justice a très partiellement admis le recours interjeté par la mère contre cette ordonnance. Elle l'a réformée s'agissant de la question des frais et dépens et l'a confirmée pour le surplus. C. Par mémoire du 17 août 2017, A._ exerce un " recours " au Tribunal fédéral, sollicitant l'annulation de l'arrêt entrepris et sa réforme, en ce sens que l'autorité parentale exclusive sur C._ est maintenue en sa faveur, que la garde de fait lui est octroyée et que le droit de visite du père sur l'enfant s'exerce à raison de deux heures toutes les trois semaines au Point Rencontre, la situation devant être réévaluée " après 6 mois à compter de la reddition du jugement du Tribunal de céans, notamment s'agissant de l'instauration de journées, week-ends ou de vacances ". Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité " inférieure " pour nouvelle décision. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Invité à se déterminer, l'intimé a conclu principalement à ce que le recours soit déclaré sans objet en ce qui concerne le droit de visite et rejeté pour le surplus. Subsidiairement, il a conclu au rejet du recours. Plus subsidiairement, il a demandé que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision, dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral. Il a en outre sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Pour sa part, la cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. La recourante a requis que l'effet suspensif soit octroyé à son recours, y compris à titre superprovisionnel. Par ordonnances présidentielles des 18 août et 6 septembre 2017, ces requêtes ont été rejetées.