Faits : A. Le 5 mars 2012, C._ a déposé une demande d'autorisation portant sur la construction de trois immeubles d'habitation (C1 à C3) et d'un parking enterré sur les parcelles n os 697 et 708, folio 10, sises au lieu-dit "La Duit", sur le territoire de l'ancienne commune anniviarde de Grimentz. Les bâtiments présentent un sous-sol en béton armé, un rez-de-chaussée en maçonnerie crépie, deux étages, des combles et surcombles en mélèze ainsi qu'une couverture en bardeaux de mélèze gris; les façades et les encadrements seront en bois imprégné. D'une surface totale de 4'021 m 2, les parcelles n os 697 et 708 sont situées en zone mixte de construction 0.50 et d'équipements publics et touristiques selon le plan d'affectation des zones (PAZ) et le règlement des constructions et des zones (RCCZ) de l'ancienne Commune de Grimentz, adoptés le 13 juin 2005 et homologués par le Conseil d'Etat du canton du Valais les 3 mai 2006 et 7 février 2007. Il s'agit d'une zone à aménager soumise au plan de quartier "Le Hameau des bains". Le plan de quartier (PQ) "Le Hameau des bains" du 11 décembre 2006 a été adopté, après la fusion des anciennes communes du Val d'Anniviers, par le Conseil municipal de la Commune d'Anniviers les 17 juin et 1 er juillet 2009. Il a ensuite été homologué par l'assemblée primaire le 8 juillet 2009. Ce plan porte sur un projet d'espace thermoludique de résidences hôtelières et d'habitations. B. En cours d'enquête publique, le projet a fait l'objet de plusieurs oppositions, dont celle de A._ et B._, propriétaires de la parcelle n o 938, située dans le voisinage immédiat. A la suite de différentes séances de conciliation, le constructeur a modifié une première fois le projet. Le 22 octobre 2012, le Conseil communal d'Anniviers a octroyé l'autorisation de construire; une autorisation complémentaire a en outre été délivrée le 5 novembre 2013. Ces décisions ont fait l'objet d'un recours administratif. C._ a alors modifié une deuxième fois le projet en y intégrant les exigences liées à l'espace réservé aux eaux superficielles (ERE) des torrents Grand-Combe et Golettaz situés dans le périmètre; le projet a également été mis en conformité avec les différents préavis des services cantonaux. Mis à l'enquête publique le 19 décembre 2014, ce nouveau projet a suscité l'opposition de A._ et B._. Le 2 juin 2015, le Service cantonal des routes, transports et cours d'eau (SRTCE) a informé le conseil communal qu'il était nécessaire que la situation du torrent Grand-Combe soit régularisée, celui-ci ayant été déplacé et mis "sous tuyau" illégalement par des propriétaires de parcelles non concernées par le présent litige; à défaut, il ne pouvait être entré en matière sur la détermination de l'ERE. Au terme de son instruction, le SRTCE a préavisé favorablement, sous conditions, les bâtiments C2 et C3, émettant en revanche un préavis négatif pour l'immeuble C1. Ledit service a notamment constaté que les immeubles C2 et C3 se trouvaient hors de la zone de dangers hydrologiques, que l'espace réservé au torrent Grand-Combe avait été mis à l'enquête, suscitant deux oppositions, que le dossier n'était pas homologué et que l'ERE en vigueur, à savoir une bande inconstructible de 9 m de part et d'autre du lit actuel, était applicable. Le SRTCE ajoutait encore que le projet devait être coordonné avec le projet communal d'aménagement sécuritaire du torrent. Par décision du 31 juillet 2015, le conseil communal a délivré l'autorisation de construire les immeubles C2 et C3, écartant par là même les différentes oppositions. Le permis de construire le bâtiment C1 a en revanche été refusé "au vu de l'espace réservé aux eaux en vigueur sur le tracé actuel du torrent et les oppositions au projet d'espace réservé futur dans la procédure en cours". Le 6 août 2015, la commune a prononcé la "remise en état du torrent mis sous tuyau sans autorisation". Le 1 er septembre 2015, A._ et B._ ont recouru au Conseil d'Etat contre l'octroi du permis de construire du 31 juillet 2015. Le recours a été rejeté par décision du 7 décembre 2016. Le 10 janvier 2017, les prénommés ont porté la cause devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du Valais. Par arrêt du 12 janvier 2018, la cour cantonale a rejeté le recours dont elle était saisie, dans la mesure où il était recevable. Elle a en particulier jugé que le projet était conforme à l'affectation prévue par la planification en vigueur, sur laquelle il n'y avait au demeurant pas lieu de revenir. Le projet était par ailleurs conforme à la législation sur les résidences secondaires ainsi qu'à la loi fédérale du 24 janvier 1991 sur la protection des eaux (LEaux; RS 814.20). C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et le permis de construire délivré par la Commune d'Anniviers. Ils sollicitent également l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer sur le recours. Le Conseil d'Etat se réfère pour l'essentiel à sa décision ainsi qu'à l'arrêt attaqué et sollicite le rejet du recours. La Commune d'Anniviers et le constructeur intimé concluent au rejet du recours. Selon l'Office fédéral du développement territorial (ARE), l'arrêt attaqué démontre que le projet est conforme à l'art. 15 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700) ainsi qu'à l'art. 26 de la loi fédérale sur les résidences secondaires du 20 mars 2015 (LRS; RS 702); l'ARE propose partant le rejet du recours. Egalement invité à se prononcer, l'Office fédéral de l'environnement (OFEV) estime, en substance, que l'entrée/sortie du parking souterrain ne devrait pas pouvoir prendre place dans l'ERE actuel; l'office fédéral termine en indiquant l'importance d'une coordination entre la définition de l'ERE et le projet d'aménagement hydraulique. Au terme d'un second échange d'écritures, les parties ont persisté dans leurs conclusions respectives. Par ordonnance du 12 mars 2018, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.