Faits : A. Par jugement du 18 avril 2018, le Tribunal pénal du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura a condamné X._, pour faux dans les certificats et escroquerie, à une peine privative de liberté de 24 mois, avec sursis durant deux ans, peine partiellement complémentaire à celle prononcée le 20 janvier 2010 par le Ministère public jurassien. Il a en outre condamné le prénommé à payer à l'assurance A._ une somme de 393'549 fr. 80 avec intérêts. B. Par jugement du 6 février 2019, la Cour pénale du Tribunal cantonal jurassien, statuant sur l'appel formé par X._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens qu'une partie de l'accusation portant sur l'infraction de faux dans les certificats est classée, que X._ est condamné, pour faux dans les certificats et escroquerie, à une peine privative de liberté de 18 mois, avec sursis durant deux ans, peine cumulative à celle prononcée le 20 janvier 2010 par le Ministère public jurassien, ainsi qu'à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 10 fr. le jour. Elle a confirmé le jugement pour le surplus. La cour cantonale a retenu les faits suivants. B.a. X._ s'est installé en 2003 en tant que thérapeute indépendant. En 2012, il a déposé une demande d'enregistrement au Registre de médecine empirique (ci-après : RME). A l'appui de celle-ci, il a renvoyé à des documents fournis à l'occasion de précédentes demandes, en particulier à des diplômes émanant de l'Université B._ et du Collège C._. Sa demande a été refusée en février 2012. B.b. Entre septembre 2007 et décembre 2009, X._ a obtenu des indemnités journalières perte de gain de la part de l'assurance A._, pour un montant total de 393'549 fr. 80. Ces montants ont été obtenus sur la base de certificats médicaux successifs faisant état d'incapacités de travail de 50% à 100%, alors que, durant la même période, le prénommé a facturé des prestations remboursées par l'assurance maladie complémentaire à raison de taux d'activité supérieurs. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 6 février 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté et que l'assurance A._ est renvoyée à faire valoir ses prétentions devant la juridiction civile. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.