Faits : A. A.a. Au mois de décembre 2016, la Faculté de psychologie et des sciences de l'éducation de l'Université de Genève (ci-après: la Faculté) a mis au concours, pour une entrée en fonction le 1er août 2018 ou à une date à convenir, un poste de "professeur-e ordinaire associé-e ou assistant-e avec prétitularisation conditionnelle" à la section de psychologie, domaine neuropsychologie clinique et intégrative. Le candidat devait notamment bénéficier "du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy (Loi [fédérale] sur les professions [relevant du domaine] de la psychologie du 18 mars 2011 [RS 935.81]) ou remplir les conditions pour son obtention". A.b. Le 28 février 2017, A._ a fait acte de candidature pour le poste précité. Le 15 septembre 2017, la Faculté l'a informé que la commission de nomination avait choisi de retenir sa candidature primo locoet de proposer sa nomination en qualité de professeur assistant avec prétitularisation conditionnelle; ladite proposition devait être confirmée par le collège des professeurs ordinaires de la section et de la faculté, avant d'être soumise au rectorat. Le 22 décembre 2017, le doyen de la Faculté a informé A._ que le rectorat avait refusé la condition de titularisation conditionnelle proposée par la commission de nomination, c'est-à-dire l'obtention du titre de psychologue spécialiste en neuropsychologie dans le cours du premier mandat de professeur assistant, et que cette décision contraignait la Faculté à ne pas pouvoir retenir sa candidature pour la suite de la procédure. Par courrier du 25 janvier 2018, A._ a demandé au rectorat de réévaluer la situation, en confirmant le préavis initial de la commission de nomination retenant sa candidature primo loco. Il faisait valoir que personne ne bénéficiait alors du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy, de sorte qu'il n'était pas soutenable d'écarter un candidat pour ce motif. Au surplus, il remplissait les conditions du critère alternatif du profil souhaité, en ce sens qu'il satisfaisait aux conditions pour obtenir le titre de spécialisation en question. A.c. Par courrier du 30 janvier 2018, le vice-recteur de l'Université a écrit au doyen de la Faculté. Il rappelait que, le 18 septembre 2017, le rectorat avait été interpellé sur l'existence de difficultés importantes relativement à cette procédure de nomination, notamment sous l'angle du titre requis pour le poste, le texte de l'annonce mentionnant que les candidats devaient être au bénéfice "du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy (...) ou remplir les conditions pour son obtention". Or le processus d'accréditation par les autorités fédérales n'avait pas encore commencé, de sorte que nul ne pouvait effectivement être titulaire d'un titre postgrade fédéral en neuropsychologie au sens de la LPsy; de plus, à défaut de formation accréditée, nul ne pouvait remplir les conditions pour l'obtention du titre. Il en résultait que le concours pour ledit poste avait "malheureusement inclus dans son cahier des charges et son appel à candidature une condition que personne ne remplit et que personne ne pourra remplir avant 2, voire 3 ans, dans le meilleur des cas". A.d. Par courrier du 11 juin 2018, le rectorat a informé A._, de même que l'autre candidate restant en lice, de la clôture de la procédure de nomination. Il a indiqué que la mise au concours avait malheureusement inclus une condition que, pour les motifs exposés ci-dessus, personne ne remplissait et ne pourrait remplir avant deux voire trois ans; dans ces circonstances, lors de sa séance du 28 mai 2018, le rectorat avait estimé que la procédure ne s'était pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université et avait en conséquence proposé la clôture de la procédure de nomination. A.e. Le 13 juillet 2018, A._ a déclaré former opposition contre la "décision" de clôture de la procédure de nomination. Demandant préalablement l'accès à l'ensemble du dossier relatif à cette procédure, il concluait à l'annulation de la "décision" et à ce qu'il soit dit que la procédure de nomination se poursuit. Par décision du 21 août 2018, le recteur a déclaré l'opposition irrecevable, au motif que la décision de clôture de l'ouverture d'un poste n'était pas une décision administrative. L'annonce de clôture de la procédure de nomination procédait du constat que l'une des exigences fixées lors de la mise au concours du poste en question n'était en l'état pas réalisable, de sorte que les profils de candidats retenus ne remplissaient pas les conditions formelles posées par l'inscription. Dans ces circonstances, la procédure de nomination ne s'était pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université et la clôture s'imposait. Cette annonce, intervenue sans qu'il ait été procédé à aucune nomination, n'était qu'une information relative à un acte d'organisation interne et ne constituait ni une décision d'exclusion d'une candidature ni une décision de refus d'embauche. B. A._ a recouru devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève contre cette décision, dont il demandait l'annulation. A titre préalable, il sollicitait la production de l'ensemble du dossier relatif à la procédure de nomination et à sa clôture. Au fond, il concluait principalement à la condamnation de l'Université à lui payer une indemnité équivalente à trois mois de salaire d'un professeur associé, soit au minimum 38'145 fr. 60, et subsidiairement au renvoi de la cause au rectorat pour statuer sur le fond, une fois l'accès au dossier garanti. La Chambre administrative a rejeté le recours par arrêt du 28 mai 2019. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à la condamnation de l'Université à lui payer une indemnité équivalente à trois mois de salaire d'un professeur associé, soit au minimum 38'145 fr. 60. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de la décision sur opposition du 21 août 2018 et, cela fait, à l'annulation de la procédure de nomination litigieuse et à ce qu'il soit dit que cette procédure se poursuit, ou à tout le moins au renvoi de la cause au rectorat pour statuer sur le fond, une fois l'accès au dossier garanti. La cour cantonale a renoncé à se déterminer. L'intimée conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué.