Faits : A. Par jugement du 23 août 2016, le Tribunal du IIIe arrondissement pour les districts de Martigny et St-Maurice a condamné X._, pour tentative de meurtre, à une peine privative de liberté de 7 ans, a révoqué le sursis à l'exécution de la peine prononcée le 29 août 2013 par le Ministère public valaisan et a ordonné un traitement ambulatoire au sens de l'art. 63 CP. Il a en outre condamné le prénommé à verser à A._ la somme de 25'000 fr., avec intérêts, à titre d'indemnité pour tort moral. B. Par jugement du 31 janvier 2017, la Cour pénale I du Tribunal cantonal du canton du Valais a admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et l'a réformé en ce sens que le prénommé est acquitté et que les prétentions civiles de A._ sont renvoyées au for civil. En substance, la cour cantonale a retenu les faits suivants. B.a. Le 22 juillet 2014, entre 13 h 30 et 13 h 40, A._ a quitté son domicile de B._ pour se promener. A proximité de l'amphitéâtre romain, elle a constaté la présence d'un inconnu assis sur un banc en pierre. Elle a poursuivi sur le chemin pédestre reliant l'amphithéâtre au chemin C._. Peu après, l'inconnu, qui avait emboîté son pas, l'a dépassée à la hauteur de l'intersection du sentier menant au chemin D._. Parvenu à la lisière de la forêt, l'individu s'est retourné. Il se trouvait alors à une cinquantaine de mètres de A._. Il a posé à terre le sac qu'il portait et en a sorti une hache, longue de 40 à 50 cm. Il est revenu vers la prénommée en marchant et en tenant la hache par le manche, le long de la jambe. Arrivé près d'elle, il lui a intimé à plusieurs reprises l'ordre de reculer, avant de lui asséner de nombreux coups de hache à la tête puis de disparaître. B.b. A._ a été retrouvée, assise à même le sol, désorientée et la tête ensanglantée, par un promeneur qui a fait appel aux urgences peu avant 14 h. Elle a subi 13 plaies au scalp, qui ont nécessité la pose d'agrafes chirurgicales et dont certaines étaient associées à des fractures sous-jacentes. Elle a aussi présenté des ecchymoses et des tuméfactions au cuir chevelu, au visage, au cou et aux membres supérieurs, ainsi que des dermabrasions au cuir chevelu et aux membres supérieurs et inférieurs gauches. Selon le constat de lésions du 2 décembre 2014, la vie de A._ n'a pas été concrètement mise en danger, car celle-ci est restée hémodynamiquement stable au cours de la prise en charge médicale. L'hémorragie active qui a nécessité l'intervention chirurgicale aurait pu présenter un risque vital non négligeable, si la prise en charge avait été moins rapide. B.c. Le 11 août 2014, les Drs E._ et F._, du Centre de compétences en psychiatrie et psychothérapie de l'Hôpital G._, ont informé le ministère public du fait que X._ avait été suivi à leur consultation du 9 décembre 2013 au 2 juin 2014 et qu'il était dès cette dernière date en rupture de soins. Ils ont indiqué que, durant sa prise en charge, le prénommé avait proféré à plusieurs reprises des menaces contre autrui "selon un scénario semblable à celui qui s'[était] déroulé [le 22 juillet 2014] à B._ (une personne âgée menacée d'une hache) ". Sur la base de cette information, le ministère public a ouvert, le 14 août 2014, une instruction pénale contre X._, pour lésions corporelles graves. Le 15 janvier 2015, l'instruction a été étendue à l'infraction de tentative de meurtre, subsidiairement de mise en danger de la vie d'autrui. B.d. Au terme de l'appréciation des diverses preuves recueillies durant l'instruction, la cour cantonale a retenu que X._ n'était pas la personne ayant assailli A._ le 22 juillet 2014. C. A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 31 janvier 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que la culpabilité de X._ est constatée et que ce dernier doit lui payer la somme de 25'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le Ministère public du canton du Valais forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 31 janvier 2017, en concluant, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens que X._ est condamné, pour tentative de meurtre, à une peine privative de liberté de 7 ans, que le sursis à l'exécution de la peine prononcée le 29 août 2013 par le Ministère public valaisan est révoqué et qu'un traitement ambulatoire au sens de l'art. 63 CP est ordonné. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. D. Invitée à se déterminer sur le recours de A._ et sur celui du ministère public, la cour cantonale a fait part de ses observations. X._ a quant à lui présenté une réponse et conclu au rejet des deux recours. Les déterminations de la cour cantonale et de X._ ont ensuite été communiquées au ministère public ainsi qu'à A._, laquelle a renoncé à présenter des observations à cet égard.