Faits : A. A.a. Le 23 décembre 2013, la Direction générale des finances publiques françaises (ci-après: l'autorité requérante) a adressé à l'Administration fédérale des contributions (ci-après: l'Administration fédérale) une demande d'assistance administrative concernant des contribuables figurant dans des listes annexées, en lien avec l'impôt sur le revenu et l'impôt sur les bénéfices des années 2010 et 2011, ainsi qu'avec l'impôt sur la fortune des années 2010, 2011 et 2012. L'autorité requérante y exposait que les contribuables visés faisaient l'objet d'un contrôle fiscal ouvert sur la base d'informations que lui avaient transmises les autorités judiciaires françaises. Il en ressortait qu'ils avaient été en relation d'affaires avec la banque B._ et que des transferts d'argent avaient été effectués sur des comptes bancaires ouverts en Suisse et non déclarés en France. Or, les résidents fiscaux français avaient l'obligation de déclarer les comptes bancaires ouverts à l'étranger, ceux sur lesquels ils détenaient une procuration, ainsi que les revenus de source française ou étrangère et le patrimoine situé en France et à l'étranger; quant aux non-résidents, ils étaient tenus de déclarer les revenus de source française (art. 105 al. 2 LTF). L'autorité requérante souhaitait dès lors obtenir des renseignements au sujet des comptes bancaires ouverts auprès de la banque B._ en Suisse (ci-après: la Banque), dont les contribuables mentionnés dans ces listes étaient directement ou indirectement titulaires, quelles que soient les structures interposées, ou ayants droit économiques, ainsi que ceux pour lesquels ils disposaient d'une procuration (à savoir les formulaires A, les relevés de fortune et les relevés de compte faisant apparaître tous les mouvements). S'agissant des personnes non-résidentes fiscales en France au cours des périodes visées, la communication des informations bancaires pouvait être limitée aux seuls flux de source française (art. 105 al. 2 LTF). A.b. A._ fait partie des personnes visées par la demande d'assistance administrative du 23 décembre 2013. Déférant à une ordonnance de production de l'Administration fédérale, la Banque a transmis les documents requis le 12 février 2014. Il en ressortait que A._ était, d'une part, titulaire d'une relation bancaire et que, d'autre part, il jouissait d'une procuration sur la relation bancaire ouverte au nom des époux C._ et D._. B. B.a. Par décision finale du 15 octobre 2014, l'Administration fédérale a accordé l'assistance administrative à la France et décidé de lui transmettre les états de fortune, les relevés de compte et les formulaires A liés à ces deux relations bancaires. Le 17 novembre 2014, A._ a recouru contre la décision finale du 15 octobre 2014 auprès du Tribunal administratif fédéral, concluant à titre principal à l'annulation de la décision entreprise, subsidiairement à ce que certains documents soient retranchés du dossier à transmettre au fisc français. B.b. Dans un arrêt A-6843/2014 du 15 septembre 2015, le Tribunal administratif fédéral a conclu à l'irrecevabilité de la demande d'assistance administrative du 23 décembre 2013 dans une procédure qui concernait un autre contribuable figurant sur l'une des listes qui y étaient jointes. Le 7 octobre 2015, l'Administration fédérale a demandé au Tribunal administratif fédéral de suspendre toutes les procédures pendantes fondées sur la demande d'assistance administrative du 23 décembre 2013 jusqu'à droit connu sur le recours qu'elle avait déposé auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt A-6843/2014. B.c. Par arrêt du 25 novembre 2015, le Tribunal administratif fédéral a rejeté la requête de suspension de procédure (chiffre 1 du dispositif), admis le recours (chiffre 2 du dispositif) et annulé la décision de l'Administration fédérale du 15 octobre 2014 (chiffre 3 du dispositif), sous suite de frais et dépens (cf. chiffres 4 et 5 du dispositif). En substance, les juges précédents ont retenu que la violation du droit d'être entendu que l'intéressé avait fait valoir avait été guérie devant eux. Se référant ensuite au raisonnement développé dans l'arrêt A-6843/2014 précité, ils ont considéré que la demande d'assistance administrative du 23 décembre 2013 était irrecevable, en vertu de l'art. 7 let. c de la loi fédérale sur l'assistance administrative internationale en matière fiscale [LAAF; RS 651.1], car elle était fondée sur des actes punissables au regard du droit suisse. C. A l'encontre de l'arrêt du 25 novembre 2015, l'Administration fédérale interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, en concluant, principalement, à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la confirmation de sa décision finale du 15 octobre 2014, avec suite de frais et dépens; subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvel examen dans le sens des considérants. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position. A._ s'est déterminé sur le recours et a conclu, principalement, à son irrecevabilité, sous suite de dépens, subsidiairement à son rejet, sous suite de dépens. L'Administration fédérale a déposé une réplique, sur laquelle l'intimé s'est également déterminé.