Faits : A. A.a. A._, née en 1955, travaillait en temps qu'aide de maison au service des nettoyages de l'Institut B._. Le 13 juin 1996, elle a été victime d'un accident de la circulation, à la suite duquel elle a souffert de troubles au niveau de l'épaule droite ayant nécessité notamment une arthroscopie le 16 novembre 1996. L'assureur-accidents, la Caisse Vaudoise, a pris en charge le cas. De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 83 % à compter du 1 er novembre 1997 (projet de décision du 30 avril 2002 et décision du 13 décembre 2002). Le droit à une rente entière de l'assurance-invalidité a été maintenu à l'issue de plusieurs procédures de révision (communications des 21 septembre 2005, 8 mars 2011 et 31 juillet 2013). Par décision du 9 octobre 2007, Helsana Accidents SA (laquelle a succédé à la Caisse Vaudoise; ci-après: Helsana) a alloué à A._ une rente complémentaire LAA, fondée sur un taux d'invalidité de 83 %, à compter du 1 er janvier 2001. A.b. Dans le contexte d'une procédure de révision initiée en juin 2012, Helsana a confié une expertise orthopédique au docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, puis une expertise psychiatrique au docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Sur la base des conclusions de ces médecins, elle a supprimé le droit de l'assurée à la rente d'invalidité avec effet au 1 er juin 2015 (décision du 26 mai 2015, confirmée sur opposition le 31 juillet 2015). L'Office AI a lui aussi supprimé le droit à la rente entière d'invalidité, avec effet au 1 er octobre 2013 (décision du 9 septembre 2015). Par jugements du 27 mars 2017, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour des assurances sociales) a rejeté les recours formés par l'assurée contre les décisions de suppression de rente d'invalidité d'Helsana et de l'Office AI. Saisi de deux recours en matière de droit public contre ces jugements, le Tribunal fédéral les a annulés et a renvoyé les causes à la juridiction cantonale pour qu'elle rende de nouvelles décisions après avoir mis en oeuvre une expertise judiciaire (arrêts 8C_339/2017 et 8C_340/2017 du 1 er février 2018). B. La Cour des assurances sociales a confié la mise en oeuvre de l'expertise judiciaire au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Dans son rapport du 3 décembre 2018, l'expert a posé les diagnostics d'érosion de la face profonde au niveau de la jonction entre le tendon du sus-épineux et du sous-épineux, de status post arthroscopie de l'épaule droite, de lésion partielle articulaire et interstitielle du tendon du sus-épineux et de raideur articulaire de l'épaule droite. Par jugement du 22 novembre 2019, la Cour des assurances sociales a admis partiellement le recours de l'assurée contre la décision sur opposition d'Helsana du 31 juillet 2015, qu'elle a réformée dans le sens d'une réduction au 1 er juin 2015 de la rente d'invalidité LAA sur la base d'un taux d'invalidité de 29 %. C. Helsana forme un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision du 31 juillet 2015, subsidiairement à son annulation et à la mise en oeuvre d'une instruction complémentaire par la cour cantonale et, plus subsidiairement, à sa réforme en ce sens que la réduction de la rente d'invalidité se fonde sur un taux d'invalidité de 21 %. L'intimée conclut au rejet du recours et demande le bénéfice de l'assistance judiciaire. La Cour des assurances sociales et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.