Faits : A. A._ (ci-après: le joueur ou le footballeur) est un joueur de football professionnel.... Football Club B._ (ci-après: le Club) est un club de football, membre de la Fédération C._ de football. Selon le footballeur, celui-ci aurait conclu, en date du 30 septembre 2016, un contrat de travail de durée déterminée avec le Club, ce que celui-ci conteste, pour la période allant du 1er janvier 2017 au 31 décembre 2019, prévoyant une rémunération mensuelle de 41'500 euros ainsi que divers montants supplémentaires. Le 7 octobre 2016, le joueur a conclu un contrat de travail avec le club de football D._ pour une durée déterminée échéant le 15 juin 2017. Ledit contrat a pris fin le 12 décembre 2016, alors que le joueur avait évolué à quatre reprises sous les couleurs de son nouveau club. Le 16 janvier 2017, le footballeur a invité le Club à entreprendre les démarches nécessaires afin que l'exécution du contrat, prétendument conclu, puisse débuter. Après plusieurs mises en demeure restées sans effet, le joueur a assigné le Club devant la Chambre de Résolution des Litiges (CRL) de la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) en vue d'obtenir le paiement de la somme de 1'544'000 euros à titre de réparation du dommage consécutif à la rupture unilatérale de la convention conclue par les parties. Statuant le 24 août 2018, la CRL a débouté le joueur des fins de sa demande. En bref, elle a considéré que le demandeur n'avait pas établi, à satisfaction de droit, avoir conclu un contrat de travail avec le le défendeur. B. Le 10 décembre 2018, le footballeur a appelé de cette décision auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS). L'appelant a transmis son mémoire d'appel au TAS en date du 7 janvier 2019. Une Formation de trois membres a été constituée par le TAS le 19 février 2019. Le Club et la FIFA ont déposé leurs réponses respectives en date du 4 et 26 février 2019. Le 11 juin 2019, la Formation a tenu une audience à Lausanne. Par sentence du 29 mai 2020, la Formation, statuant à la majorité de ses membres, a rejeté l'appel. En substance, elle a considéré que la question de savoir si l'appelant avait effectivement conclu un contrat de travail avec l'intimé pouvait souffrir de demeurer indécise. Se référant à l'art. 18 al. 5 du Règlement du Statut et du Transfert des Joueurs (RSTJ; en anglais: RSTP), édicté par la FIFA, et au commentaire du RSTJ établi par celle-ci, elle a en effet considéré que le prétendu contrat conclu par les parties avait automatiquement pris fin lorsque le joueur s'était engagé le 7 octobre 2016 avec le club xxx. C. Le 8 juillet 2020, le footballeur (ci-après: le recourant) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral aux fins d'obtenir l'annulation de la sentence précitée. Le TAS, par la voix de son Directeur général, a conclu à l'irrecevabilité du recours, et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Le recourant a déposé une réplique spontanée, suscitant le dépôt d'une duplique du TAS.