Faits : A. A.A._, né en 1973 et B.A._, née en, se sont mariés en 2011 à U._ (VD). Une enfant est issue de cette union: C._, née en 2012. A.A._ est également le père d'un autre enfant, issu d'une précédente union, lequel est aujourd'hui majeur. B. B.a. Le mari a ouvert action en divorce par le dépôt d'une demande unilatérale le 31 janvier 2017. Par réponse du 20 septembre 2017, l'épouse a, s'agissant notamment des contributions d'entretien dues à sa fille et à elle-même, pris les conclusions suivantes: " V.- A.A._ contribuera à l'entretien de sa fille à titre de coûts directs par le versement d'une pension mensuelle, allocations familiales en sus, payable en mains de B.A._ d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de: - CHF 853.95 jusqu'à l'âge de 10 ans révolus puis; - CHF 935.95 jusqu'à l'âge de 16 ans révolus puis; - CHF 1'053.95 depuis lors et jusqu'à ce que C._ ait atteint la majorité ou la fin d'une formation appropriée au sens de l'art. 277 al. 2 CC. VI.- A.A._ contribuera à l'entretien de sa fille à titre de contribution de prise en charge par le versement d'une pension mensuelle, allocations familiales en sus, payable en mains de B.A._ d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de: - CHF 1'550.20 jusqu'à l'âge de 16 ans révolus; VII.- Les contributions d'entretien fixées sous chiffre V et VI permettent d'assurer l'entretien convenable de l'enfant C._. (...) Subsidiairement à VI : XI.- A.A._ contribuera à l'entretien de B.A._ par le versement d'une pension mensuelle, d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de CHF 1'550.20, jusqu'au 1er juin 2028, date à laquelle toute contribution d'entretien prendra fin. " B.b. Par jugement du 1er octobre 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a notamment prononcé le divorce des époux (I), a ratifié pour valoir jugement la convention partielle sur les effets accessoires du divorce signée par ceux-ci à l'audience du 25 janvier 2018 (II), a dit que le père contribuerait à l'entretien de sa fille par le versement d'une pension mensuelle, éventuelles allocations familiales en sus, de 1'500 fr. jusqu'à l'âge de 16 ans, puis de 860 fr. jusqu'à la majorité ou l'achèvement d'une formation professionnelle appropriée au sens de l'art. 277 al. 2 CC (III), a dit que le montant assurant l'entretien convenable de l'enfant était de 1'500 fr. 55 par mois, allocations familiales par 250 fr. déduites (IV), a dit que le mari contribuerait à l'entretien de l'épouse par le versement, dès jugement de divorce définitif et exécutoire, d'une pension mensuelle, d'un montant de 570 fr. jusqu'au 1er juin 2028 (V), enfin, a dit que les contributions fixées sous chiffres III et V seraient indexées (VI). B.c. Par acte du 1er novembre 2018, le demandeur a interjeté appel contre ce jugement, concluant à sa réforme en ce sens que le chiffre V du dispositif est annulé, aucune contribution d'entretien n'étant due entre les époux, et que le chiffre VI du dispositif est modifié, en tant que la clause d'indexation qu'il comprend ne s'applique qu'à la pension fixée sous chiffre III, soit celle due en faveur de l'enfant. L'appel concernait uniquement la portée des conclusions prises par la défenderesse, le demandeur soutenant que les premiers juges avaient statué ultra petita. Par arrêt du 21 février 2019, expédié le lendemain, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel et confirmé le jugement entrepris. C. Par acte posté le 27 mars 2019, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 février 2019. Il conclut principalement à sa réforme dans le sens de ses conclusions prises en appel. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recourant requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Des déterminations n'ont pas été requises.