Faits : A. A.a. A._, née en 1963, travaillait comme femme de ménage dans un hôtel. Elle a été licenciée pour faute grave le 27 septembre 2011. Elle a déposé une première demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 14 mai 2012. Elle arguait souffrir des séquelles incapacitantes de différents troubles somatiques. L'office AI a requis l'avis des médecins traitants. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a fait état d'une algodystrophie du membre supérieur droit, d'un syndrome épaule-main et d'un syndrome lombovertébral totalement incapacitants depuis le 25 octobre 2011 (rapport du 14 juin 2012). Le docteur C._, spécialiste en médecine interne générale, a attesté l'existence de discopathies L3-5 et d'une arthrose postérieure L5-S1 (rapport du 26 juin 2012) stables engendrant une incapacité totale de travail depuis le 25 octobre 2011 (rapport du 29 octobre 2012). La doctoresse D._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, a évoqué des lombosciatalgies gauches chroniques, des douleurs à l'épaule droite en relation avec une tendinopathie de la coiffe des rotateurs et éventuellement un certain degré de capsulite rétractile ainsi qu'un syndrome douloureux chronique prohibant l'exercice de l'activité habituelle mais autorisant probablement la pratique d'une activité légère (rapport du 1 er mars 2013). L'administration a en outre diligenté une expertise qui, compte tenu de l'absence de suivi psychiatrique, devait porter uniquement sur l'aspect rhumatologique du cas. Le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, a été mandaté à cet effet. Il a considéré que des douleurs à l'épaule droite sur rupture intra-substantielle du supra-épineux et des lombalgies chroniques sur obésité et manque d'activité physique empêchaient la pratique du métier de femme de ménage depuis le mois d'octobre 2011 mais autorisaient la reprise d'une activité adaptée depuis le mois d'avril 2013. Il a également relevé l'absence de plaintes d'ordre psychologique ou de troubles de la lignée somatoforme (rapport du 31 mars 2014). Se fondant sur le rapport d'expertise du docteur E._, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité pour la période limitée allant du 1 er novembre 2012 au 30 juin 2013 (décision du 25 septembre 2014). La décision n'a pas été contestée. A.b. Ayant repris contact avec l'administration par le truchement du docteur F._, médecin traitant, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (rapport du 6 mai 2015), A._ a été invitée à déposer une nouvelle demande de prestations. Elle s'est exécutée le 10 juin 2015, invoquant les séquelles d'un accident survenu en 2010. Considérant que l'assurée n'avait pas rendu plausible la modification notable de son état de santé, l'office AI a d'abord envisagé de refuser d'entrer en matière sur sa nouvelle demande de prestations (projet de décision du 16 octobre 2015). Il est toutefois revenu sur son intention dès lors que la doctoresse G._, médecin traitant, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, avait attesté un état psychologique fortement dégradé après une intervention neurochirurgicale (rapport du 5 novembre 2015) et le docteur F._ une capsulite rétractile sans amélioration envisageable. Invitée à préciser son avis, la doctoresse G._ a indiqué que sa patiente souffrait d'un trouble dépressif récurrent, épisode sévère avec symptômes psychotiques, observé en juillet 2015 mais en rémission partielle depuis l'automne 2015, ainsi que d'un trouble mixte de la personnalité avec prédominance de traits évitants et histrioniques. Elle a ajouté que les symptômes persistants mais de gravité fluctuante étaient apparus en 2010 selon l'anamnèse. Elle en a déduit une incapacité totale de travail comme femme de ménage et éventuellement une capacité résiduelle de travail de 20 % dans une activité adaptée (rapport du 4 février 2016). Le Service de neurochirurgie de l'Hôpital H._ a indiqué avoir pratiqué une craniotomie pour excision d'un méningiome le 11 septembre 2015 (rapport du 12 février 2016). Le docteur F._ a confirmé l'existence d'une capsulite rétractile totalement incapacitante depuis le 2 avril 2015 (rapport du 5 février 2016). L'administration a également confié la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire à la Clinique romande de réadaptation (CRR). Les experts ont diagnostiqué une tendinopathie chronique de l'épaule droite, des lombalgies chroniques sur troubles dégénératifs du rachis, une gonarthrose fémorotibiale droite, un état de stress post-traumatique depuis l'âge de quinze ans, une altération de la personnalité après une expérience de catastrophe (état de stress post-traumatique chronique) décompensée depuis 2011, ainsi qu'un trouble de l'humeur non spécifié (évolution dépressive réactionnelle sévère), un trouble somatoforme non spécifié et une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques depuis 2011. Ils en ont déduit, sur le plan somatique, une capacité résiduelle de travail nulle depuis l'automne 2011 dans l'activité habituelle puis de 70 % dès le 1 er avril 2013 dans une activité adaptée et, sur le plan psychique, une incapacité totale de travail depuis le mois d'octobre 2011 (rapport du 17 juillet 2018). Sur demande de l'office AI, le docteur I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie rattaché à la CRR, a précisé que l'état psychique attesté était stable depuis 2011 (rapport complémentaire du 28 septembre 2018). Le docteur J._ du Service médical régional de l'administration (SMR) a inféré du rapport d'expertise que l'état de santé de l'intéressée ne s'était pas modifié de façon notable depuis la décision du 25 septembre 2014 (avis du 14 novembre 2018). Sur la base de l'avis du SMR, l'office AI a rejeté la nouvelle demande de prestations (décision du 18 janvier 2019). B. Saisie d'un recours de A._ contre cette décision, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a admis. Elle a annulé la décision du 18 janvier 2019 et reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1 er novembre 2012 sans limitation dans le temps (jugement du 25 septembre 2019). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 18 janvier 2019 telle qu'il a proposé de la modifier durant l'instance précédente (reconnaissance du droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er juillet 2016). A._ conclut au rejet du recours. Elle sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.