Faits : A. Z._ SA, dont le siège social est à V._, a pour but l'exploitation d'un commerce de fer et métaux, papier et matières recyclables diverses, importation et exportation de ces matières ainsi que toutes opérations commerciales, financières, industrielles et immobilières convergentes. Le capital-actions de cette société est détenu majoritairement par A._ SA, à W._, propriétaire d'un groupe d'entreprises fournissant des solutions de recyclage complètes. Par contrat du 26 août 2005, Z._ SA (l'employeur) a engagé X._ (l'employé) en qualité de "responsable de [la] société" à partir du 12 septembre 2005. En tant que responsable de la "succursale" de V._, l'employé avait des tâches "tout autant stratégiques qu'opérationnelles". Son travail consistait en l'organisation et la gestion des activités pratiques, techniques et commerciales du site de V._. L'employé participait notamment au développement du chiffre d'affaires du marché valaisan par l'acquisition de nouveaux clients et le suivi personnalisé de la clientèle. Il répondait directement de ses actions auprès de la direction générale du groupe. Le contrat de travail prévoyait un salaire mensuel brut de 6'700 fr., auquel s'ajoutaient le remboursement des frais professionnels et un treizième salaire. Au moment de la cessation des rapports de travail, l'employé percevait un salaire mensuel net de 7'691 fr.30, treizième salaire en sus. Le 13 décembre 2013, Z._ SA a signifié à X._ la rupture immédiate des relations de travail, en raison de manquements constatés dans la conduite de l'entreprise, plus particulièrement de son "étroite collaboration " avec un autre employé de la société, B._, constitutive à ses yeux de "concurrence déloyale ". En substance, l'employeur reprochait à l'employé d'avoir toléré que le prénommé se livre, durant son temps libre, au commerce de ferraille, concurrençant ainsi les autres fournisseurs de la société, qui s'en étaient plaints. B. Le 30 janvier 2014, X._ a saisi le Tribunal du travail du canton du Valais d'une requête de conciliation à l'encontre de Z._ SA, concluant au paiement de 25'457 fr.50 à titre de salaire et 4'542 fr.50 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. A la suite de l'échec de la conciliation, l'employé a déposé une demande tendant au paiement d'un montant de 27'283 fr.80, soit 19'000 fr.90 à titre de salaire et 8'282 fr.90 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. Par jugement du 3 février 2015, le Tribunal du travail a admis la demande à concurrence de 24'126 fr.95. Il a considéré que le licenciement immédiat était injustifié. Par jugement du 24 avril 2017, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais, par son Président statuant comme Juge unique, a admis l'appel déposé par Z._ SA et a rejeté la demande de X._. En substance, le juge a considéré que l'employé, vu la position qu'il occupait dans l'entreprise, avait commis un grave manquement justifiant un licenciement immédiat en omettant d'informer l'employeur de l'activité de récupération de ferraille déployée par B._ durant son temps libre. C. X._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal, puis de condamner Z._ SA à lui verser un montant net de 24'066 fr.95, soit 15'171 fr.85 à titre de salaire pendant le délai de congé, 7'631 fr.30 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié et 1'263 fr.80 à titre de treizième salaire. Ses conclusions subsidiaires tendent au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement. Z._ SA n'a pas été invitée à se déterminer sur le recours.