Faits : A. A._ a une formation d'orthophoniste. Le 17 mars 2017, elle a informé l'Office de l'enseignement spécialisé de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: l'Office de l'enseignement spécialisé) qu'elle souhaitait reprendre son activité, qu'elle avait dû suspendre en 2008, en qualité d'indépendante; elle désirait savoir si la reconnaissance obtenue en 2002, qui lui permettait de facturer ses prestations audit office, était toujours valable. En date du 6 avril 2017, l'Office de l'enseignement spécialisé a signalé à A._ qu'elle ne figurait plus, depuis 2008, sur la liste des logopédistes reconnus si bien qu'il ne lui rembourserait pas ses prestations. L'intéressée a alors, par courrier du 23 mai 2017, requis que la reconnaissance de sa qualification soit "réactivée", afin qu'elle puisse pratiquer à charge dudit office; elle sollicitait une décision susceptible de recours en cas de réponse négative. L'Office de l'enseignement spécialisé n'ayant pas donné suite à cette lettre, après en avoir accusé réception, A._ l'a relancé le 28 août 2017. Dans un courrier du 2 octobre 2017, celui-ci a confirmé sa position précédente. Le 25 septembre 2018, A._, par le biais de son mandataire, a requis de la cheffe du Département de l'éducation et de la famille de la République et canton de Genève (ci-après: le Département de l'éducation) qu'elle donne à l'Office de l'enseignement spécialisé les instructions nécessaires pour que ses prestations soient remboursées au moment de sa reprise d'activité, puisqu'elle était au bénéfice d'une reconnaissance. Ce courrier ayant été transmis audit office, cette autorité y a répondu, le 23 octobre 2018, en se référant à sa prise de position du 6 avril 2017 et a considéré que la requête n'amenait aucun élément nouveau permettant de la réexaminer. Le Département de l'éducation a, par décision du 11 juin 2019, rejeté le recours de A._ à l'encontre du prononcé du 23 octobre 2018: au regard de son contenu, le document du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé constituait une décision, malgré l'absence d'indications relatives à la voie de droit par laquelle elle pouvait être attaquée; cet élément ne justifiait pas le temps mis par la recourante à la contester, à savoir près d'une année; les conditions de la reconsidération n'étaient, en outre, pas remplies. B. Par arrêt du 29 octobre 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a également rejeté le recours de A._. Elle a jugé que le courrier du 2 octobre 2017 devait être qualifié de décision administrative; l'intéressée aurait dû s'informer des moyens de l'attaquer et d'agir en temps utile, ce à quoi elle n'avait pas procédé; il était abusif d'attendre presque une année pour contester une décision dont le contenu et la portée ne pouvaient échapper à sa destinataire. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision du 11 juin 2019 du Département de l'éducation spécialisé et de lui reconnaître le droit d'exercer en qualité d'orthophoniste indépendante habilitée à facturer ses prestations à charge de l'Etat, subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour une nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Département de la justice, de la sécurité et de la culture de la République et canton de Neuchâtel, chargé par le Département de l'éducation de répondre au recours, et le Tribunal cantonal concluent au rejet de celui-ci. A._ s'est encore prononcée par écriture du 20 mars 2020.