Faits : A. A.a. A.A._, né en 1978, et B.A._, née en 1980, tous deux de nationalité française, se sont mariés le 27 août 2005. Deux enfants sont issus de cette union: C._, née en 2005, et D._, née en 2014. Les conjoints vivent séparés depuis la fin de l'année 2016. A.b. Le 19 septembre 2017, l'épouse a formé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 9 février 2018, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal) a notamment attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal (ch. 2) et confié à chacun des parents la garde alternée des enfants (ch. 3), le domicile légal de ceux-ci étant chez leur mère (ch. 4). Il a en outre condamné le mari à payer les contributions d'entretien suivantes: - pour l'épouse, 2'860 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 2'485 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 5); - pour l'enfant D._, allocations familiales ou d'études non comprises, 3'000 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 2'900 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 6); - pour l'enfant C._, allocations familiales ou d'études non comprises, 3'770 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 3'650 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 7). Le Tribunal a par ailleurs condamné le mari à verser à l'épouse la somme de 2'000 fr. à titre de dépens (ch. 10). B. Le mari a appelé de ce jugement. Par arrêt du 21 août 2018, expédié le 11 septembre 2018, la Cour de justice du canton de Genève a annulé les chiffres 5 à 7 du dispositif et, statuant à nouveau sur ces points, a condamné le mari à verser, dès le 1er janvier 2017 et sous déduction des montants déjà versés, des contributions d'entretien mensuelles de 2'000 fr. pour l'épouse, 3'000 fr. pour D._ et 2'000 fr. pour C._. L'autorité cantonale a en outre donné acte au débirentier de son engagement de payer en sus l'écolage privé de C._ jusqu'à la fin de l'année scolaire 2017-2018, l'y condamnant en tant que de besoin. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus. C. Par acte posté le 12 octobre 2018, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 août 2018. Il conclut à son annulation en tant qu'il confirme sa condamnation à payer à l'intimée 2'000 fr. à titre de dépens de première instance, à ce que le montant mensuellement dû pour l'entretien de sa fille D._ soit réduit de 3'000 fr. à 2'500 fr. et à ce qu'aucune contribution ne soit allouée à l'épouse. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours. Le recourant a persisté dans les termes de son recours sans formuler d'observations complémentaires. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.