Faits : A. A._, né en 1956, a travaillé au service de l'établissement B._, établissement médico-social, depuis 2002, d'abord en qualité de chef de service, puis de directeur administratif et ressources humaines, et enfin de directeur général adjoint. Il a été mis au bénéfice d'une rente-pont AVS partielle à compter du 1 er janvier 2017; une mise à la retraite anticipée complète était prévue pour le 1 er janvier 2018. Entre-temps, des soupçons d'irrégularités et de manquements répétés dans l'accomplissement de ses fonctions ont conduit l'établissement B._ à suspendre le prénommé de ses fonctions avec effet immédiat et à ouvrir une enquête administrative à son encontre en novembre 2016. Son traitement a été suspendu, avec effet immédiat, par décision du 7 juin 2017. Le 13 février 2017, A._ a demandé à anticiper son départ à la retraite complète au 1 er décembre 2017, en raison de nouvelles mesures structurelles prises par la caisse de pension de l'Etat de Genève (augmentation de l'âge pivot avec effet au 1 er janvier 2018). Dans un courriel du 16 mai 2017, l'employeur a répondu qu'il se prononcerait après la clôture de l'enquête administrative. Par lettre du 15 novembre 2017, A._ a sollicité l'employeur de se déterminer jusqu'au 22 novembre suivant sur sa demande d'anticipation du départ à la retraite. Le 17 novembre 2017, l'enquêteur a rendu son rapport, à la suite de quoi A._ a informé son employeur qu'il entendait déposer des observations dans un délai de 30 jours. B. Par acte du 29 novembre 2017, l'intéressé a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève d'un recours, dans lequel il lui demandait de constater que son employeur n'avait pas répondu à sa requête de mise à la retraite anticipée au 1 er décembre 2017 et de renvoyer la cause à celui-ci pour prise de décision. Subsidiairement, il concluait à ce qu'il soit ordonné à l'établissement B._ d'accepter sa requête. Le 6 février 2018, la juridiction cantonale a rendu son jugement, dans lequel elle a rejeté le recours, en tant qu'il était recevable. C. A._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire par mémoire du 14 mars 2018, dans lequel il conclut à l'annulation du jugement cantonal et reprend en substance les conclusions formulées devant l'autorité précédente. La cour cantonale persiste dans les considérants et le dispositif de son jugement. L'intimée conclut à l'irrecevabilité des recours.