Faits : A. Par jugement du 30 mars 2020, le Tribunal d'application des peines et des mesures genevois (ci-après : TAPEM) a ordonné la poursuite du traitement institutionnel dont bénéficie A._, jusqu'au prochain contrôle annuel. B. Par arrêt du 2 juin 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre ce jugement. Il en ressort ce qui suit. B.a. A._, ressortissant suisse et haïtien, est né en 1977. Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2011, pour délit contre la LStup et blanchiment d'argent, d'une condamnation, en 2015, pour opposition aux actes de l'autorité, divers délits et contraventions à la LCR et contravention à la LStup, ainsi que d'une condamnation, en 2018, pour lésions corporelles simples, dommages à la propriété et injure. B.b. Par jugement du 30 mai 2018, le Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève a condamné A._, pour lésions corporelles graves, à une peine privative de liberté de neuf mois. Il a en outre ordonné, au profit du prénommé, un traitement thérapeutique institutionnel au sens de l'art. 59 CP. Il a en substance été retenu que A._ avait, le 29 juillet 2017, attiré dans sa chambre le concierge de l'hôtel dans lequel il résidait et l'avait frappé en divers endroits, lui causant plusieurs lésions. L'intéressé avait expliqué aux policiers, puis aux différents intervenants, qu'il aurait été harcelé depuis des mois par des inconnus qui s'introduisaient dans sa chambre nuitamment pour lui couper les cheveux et la barbe durant son sommeil, et qu'il aurait à cet égard soupçonné le concierge car ce dernier possédait une clé. Dans le cadre de cette procédure, une expertise psychiatrique avait été mise en oeuvre. Dans un rapport du 11 janvier 2018, les experts avaient posé un diagnostic de psychose dissociative. Au moment des faits, A._ avait souffert d'une schizophrénie paranoïde, voire héboïdophrénique, de sévérité élevée, sa responsabilité ayant été fortement restreinte. Les experts avaient par ailleurs indiqué qu'en raison du caractère chronique et envahissant de la maladie, il existait un risque important de récidive d'actes de violence. Selon eux, un traitement médical dispensé en milieu institutionnel fermé semblait nécessaire pour la prise en charge du trouble mental diagnostiqué et afin de diminuer le risque de récidive. A._ a été incarcéré en prison du 30 juillet 2017 au 20 mai 2019, date à laquelle il a été transféré dans l'établissement de B._. B.c. Selon le rapport d'évaluation du 10 octobre 2019 établi par le Service des mesures institutionnelles (ci-après : SMI), A._ avait, pendant l'entretien, présenté un récit laconique, sans contextualisation dans le temps, avec une absence frappante d'investissement émotionnel. Le prénommé niait les faits ayant conduit à son arrestation, qu'il qualifiait de "bagarre". Les éléments délirants de persécution étaient bien présents. L'anosognosie était complète. En conclusion, A._ présentait, "en plus d'une symptomatologie délirante floride, des symptômes négatifs en premier plan, tels que l'appauvrissement de la pensée jusqu'à l'alogie, l'isolement, l'abrasement majeur des affects et une certaine forme d'aboulie". Le diagnostic posé par les experts psychiatres, soit une schizophrénie heboïdophrénique, apparaissait tout à fait pertinent, ainsi que l'orientation vers un placement en milieu fermé. B.d. Une séance de réseau s'est tenue le 21 octobre 2019. Au terme de la discussion entre les intervenants, le diagnostic de schizophrénie paranoïde a été repris, mais aucun symptôme psychotique, idée délirante franche ou bizarrerie n'avait été observé. Le bilan neuropsychologique effectué en octobre 2019 avait mis en évidence une absence de retard mental mais des difficultés et des limites à la cognition sociale et la reconnaissance des émotions ressenties par autrui. Le maintien du placement à B._ était préavisé, pour continuer le suivi et permettre de confirmer ou infirmer les conclusions de l'expertise réalisée en 2018. B.e. La direction de B._ a préavisé, le 1er novembre 2019, en faveur du maintien de la mesure actuelle et de la poursuite du séjour de A._ dans l'établissement. B.f. Selon le rapport de suivi médico-psychologique établi par le SMI le 7 janvier 2020, A._ n'avait pas souhaité entamer de suivi avec la psychologue de l'unité ni ne bénéficiait d'aucun traitement médicamenteux. Sur le plan clinique, le prénommé faisait preuve de stabilité depuis son admission dans l'établissement en mai 2019. Il ne manifestait pas d'hostilité ni ne tenait des propos menaçants. Son humeur était globalement stable. Aucun trouble formel de la pensée ou de contenu mental délirant n'avait été objectivé, ni aucun trouble de la perception détecté. Le bilan neuropsychologique, effectué en octobre 2019, avait mis en évidence un fonctionnement intellectuel limite, caractérisé par un faible niveau de raisonnement verbal et perceptif. Selon les médecins, l'attitude de A._ reflétait une remise en question quasi inexistante couplée à une anosognosie complète, en lien avec une forte peur de la stigmatisation. L'intéressé espérait que l'absence de symptômes durables persuaderait les autorités du défaut d'indication pour la poursuite de sa détention à B._. Les médecins avaient conclu à l'absence de symptomatologie floride du registre psychotique. L'établissement d'un lien thérapeutique avec A._ représentait l'objectif principal pour la suite de sa prise en charge. Une clarification du contour diagnostique serait faite d'ici au prochain rapport, en se fondant sur la capacité de l'intéressé à gérer des frustrations et investir les relations interpersonnelles. B.g. Le 17 janvier 2020, le Service de l'application des peines et mesures (ci-après : SAPEM) a préavisé en faveur du maintien de la mesure institutionnelle. Aucune progression n'avait été réalisée par A._, lequel avait besoin d'être encadré et suivi pour le traitement de la schizophrénie heboïdophrénique, afin d'éviter tout risque de récidive. B.h. Par requête du 24 février 2020, le ministère public a conclu au maintien de la mesure thérapeutique. C. A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 2 juin 2020, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que le SAPEM est enjoint de saisir la Commission d'évaluation de la dangerosité (ci-après : CED) à très bref délai et que la procédure est suspendue jusqu'à réception du préavis de cette commission. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.