Faits : A. A.a. A.X._, ressortissant kosovar né en 1979, a déposé à la fin des années 1990 et au début des années 2000 des demandes d'asile en Suisse qui se sont soldées par des décisions de non-entrée en matière. Il a ensuite séjourné dans le canton des Grisons avant d'être refoulé dans son pays le 14 août 2002. Après être revenu en Suisse entre 2004 et 2005, il y a épousé une ressortissante suisse le 21 novembre 2005. Aucun enfant n'est né de cette union. Grâce à ce mariage, A.X._ a obtenu une autorisation de séjour régulièrement renouvelée puis, en novembre 2010, une autorisation d'établissement. Il a travaillé en Suisse comme coffreur, employé dans l'entreprise de son frère B.X._. En 2015, son revenu imposable s'élevait à 78'400 francs. A.X._ a indiqué verser une contribution d'entretien à son épouse depuis l'année 2006. Le 24 mars 2015, le divorce des époux a été prononcé. A.b. F.Y._, ressortissante kosovare née en 1981, dit être entrée en Suisse au début de l'année 2005 pour accoucher de son fils C.Y._ à G._ (VD) et être retournée au Kosovo avec son enfant un mois plus tard. Le 14 juin 2009, accompagnée par B.X._, elle s'est présentée au centre d'enregistrement de H._ pour y déposer une demande d'asile. Du 21 juillet 2009 au 28 avril 2010, elle a été hébergée avec son fils dans un foyer de l'Etablissement d'accueil des migrants du canton de Vaud (ci-après: EVAM) à I._ (VD). Par décision du 5 août 2009, l'Office fédéral des migrations (devenu Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM) a rejeté la demande d'asile de F.Y._ et de son fils et prononcé leur renvoi de Suisse. Les intéressés ont recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. Au printemps 2010, l'EVAM a voulu transférer F.Y._ dans un appartement à K._ (VD), mais celle-ci s'y est opposée en se prévalant d'un état de santé fragile, indiquant par ailleurs qu'un certain D.X._ s'était engagé à lui trouver un appartement privé. Le 28 avril 2010, elle a emménagé dans un appartement privé à I._ (VD). Dans le but d'obtenir une participation financière de l'EVAM, elle lui a adressé un courrier, cosigné par B.X._, lequel confirmait qu'il lui sous-louait deux chambres avec cuisine et salle de bains. L'EVAM a dès lors participé aux frais de logement de F.Y._ à hauteur de 1'000 fr. par mois. Statuant par arrêt du 13 octobre 2011 sur la décision du 5 août 2009 du SEM, le Tribunal administratif fédéral a refusé de reconnaître la qualité de réfugié à F.Y._ et à son fils, mais a renvoyé la cause à l'autorité fédérale pour complément d'instruction concernant l'exigibilité de l'exécution de leur renvoi. Le 24 mars 2012, F.Y._ a donné naissance à une fille, E.Y._. Devant la justice de paix, elle a indiqué qu'elle avait eu des relations intimes avec trois messieurs durant des soirées à l'époque de la conception et qu'elle ne savait rien des pères potentiels. Après avoir complété son instruction suite à l'arrêt du 13 octobre 2011 du Tribunal administratif fédéral, le SEM a prononcé à nouveau le renvoi de F.Y._ et de ses enfants. Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision (arrêt du 26 juin 2013). Depuis lors, F.Y._ est restée en Suisse et a bénéficié de prestations de l'aide d'urgence. Le SEM a rejeté les deux demandes de reconsidération qu'elle a formées les 5 août 2013 et 27 janvier 2014. Le 15 juin 2014, F.Y._ s'est adressée au Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) en vue d'obtenir une autorisation de séjour. Le 23 septembre 2014, cette autorité a rejeté sa demande, relevant que l'intéressée et ses enfants étaient tenus de quitter la Suisse. Le 20 novembre 2014, le SEM a rejeté la troisième demande de reconsidération formée par F.Y._. Le recours que cette dernière a interjeté auprès du Tribunal administratif fédéral a été déclaré irrecevable faute de versement de l'avance de frais. Le 5 mai 2015, le Service cantonal a notifié à F.Y._ un plan de vol pour un départ vers le Kosovo le 21 mai 2015, mais celle-ci ne s'est pas présentée à l'aéroport. Le 31 août 2015, elle a demandé au Service cantonal le réexamen de son dossier et l'octroi d'une autorisation de séjour, ce que cette autorité a refusé par décision du 16 décembre 2015. Le 21 avril 2015, une pétition avait été déposée au Grand Conseil du canton de Vaud en faveur de F.Y._ et de ses enfants, qui a été transmise au Conseil d'Etat. Celui-ci s'est prononcé en défaveur des intéressés le 2 mars 2016. A.c. Le 23 septembre 2016, A.X._ a reconnu la paternité des enfants C.Y._ et E.Y._. Par la même occasion, il a demandé le regroupement familial en leur faveur et signé quelques jours après une attestation de prise en charge financière. Le 26 septembre 2016, F.Y._ et A.X._ ont initié des démarches en vue de leur mariage. L'Etat civil de Lausanne s'est toutefois enquis au préalable du statut de séjour de F.Y._. Entendu par le Service cantonal le 10 janvier 2017, A.X._ a notamment déclaré ce qui suit: "J'ai été marié une seule fois, de 2005 (je ne sais plus le mois) à 2014. On s'est vite séparés. On a vécu 6 mois dans l'appartement. Après elle est tombée malade parce qu'elle avait pris de la cocaïne. Depuis 2006, nous n'avons plus jamais vécu ensemble. Nous n'avons pas eu d'enfant. La dernière fois que je l'ai vue c'était au divorce. Après notre séparation, elle a été hospitalisée. Je ne sais pas si elle avait une adresse, en tout cas je ne la connaissais pas. Pendant 9 ans j'ai vécu seul et je n'ai pas divorcé. Au bout de 9 ans j'ai décidé de demander le divorce parce que je suis tombé amoureux de ma fiancée. Actuellement je travaille en tant que coffreur pour [...], entreprise appartenant à mon frère. [...] Vous me demandez pourquoi je n'ai pas divorcé avant. Je vous réponds que sinon j'aurais perdu mon permis de séjour. Lors de ses séjours hospitaliers, je lui ai toujours rendu visite. D'ailleurs nous nous voyons toujours, nous sommes restés amis. [...] " Interpellé au sujet de sa relation avec F.Y._, A.X._ a expliqué qu'elle vivait en Suisse depuis 2011, qu'elle vivait auparavant au Kosovo, et qu'elle était venue une fois en Suisse en 2005 pour le chercher, mais que, comme elle ignorait son adresse et qu'il lui avait donné une fausse identité lorsqu'ils s'étaient vus pour la première fois en 2004 au Kosovo, elle ne l'avait retrouvé qu'en 2011. En 2011, ils s'étaient croisés dans un magasin à I._ et s'étaient alors rendus dans un hôtel dans les environs. A l'époque, elle habitait à I._ chez B.X._, sans qu'il ne sache depuis quand. Lui-même travaillait avec son frère B.X._ depuis 2006. Il le voyait tous les jours, mais n'avait jamais croisé F.Y._ ou son fils quand il allait boire un café chez lui. Ce n'était qu'en 2016 qu'il avait appris que F.Y._ et ses enfants habitaient avec B.X._. Il avait appris que C.Y._ et E.Y._ étaient ses enfants le 15 avril 2016 et c'est aussi ce jour-là qu'il les avait vus pour la première fois. Il avait alors proposé le mariage à F.Y._, alors qu'ils vivaient déjà depuis quatre mois ensemble à Ecublens (VD). Egalement entendue par le Service cantonal le 10 janvier 2017, F.Y._ a déclaré qu'elle avait vu A.X._ trois fois en 2004 et qu'il avaient eu des rapports intimes, dont était issu C.Y._. Elle ne connaissait que le prénom de A.X._ et l'avait perdu de vue. En 2005, elle était venue en bus en Suisse pour accoucher, avant de repartir au Kosovo. En 2009, elle était revenue en Suisse, avait vécu dans un foyer de l'EVAM jusqu'en mai 2010 avant d'aller habiter chez B.X._. Elle avait rencontré B.X._ en juin 2009 par hasard à la gare de J._ (VD) et c'était lui qui l'avait accompagnée au Centre d'enregistrement de H._. Elle n'avait toutefois appris que quelques semaines plus tard qu'il était le frère de A.X._. B.X._ savait que A.X._ était le père de son enfant, mais ne lui avait toutefois jamais dit où A.X._ se trouvait. Lorsqu'elle avait retrouvé A.X._ par hasard à I._ en juin 2011, elle lui avait annoncé qu'elle avait eu un fils. Ils avaient eu à nouveau des rapports intimes et elle ne l'avait ensuite plus revu jusqu'à ce qu'elle apprenne qu'elle était enceinte. Ensuite, elle n'avait pas revu A.X._ avant mars 2016 et c'est seulement à ce moment-là qu'il avait vu ses enfants pour la première fois. A.d. Le 7 juin 2017, le Service cantonal a fait savoir à A.X._ qu'il envisageait de proposer la révocation de son autorisation d'établissement et son renvoi. Le 17 avril 2018, l'EVAM a procédé à une dénonciation pénale pour escroquerie selon l'art. 146 du Code pénal suisse en lien avec les montants versés pour participer aux frais de logement de F.Y._. Le 16 mai 2018, A.X._ a sollicité en vain du Service cantonal la délivrance de visas de retour pour ses enfants en vue de se rendre au Kosovo en été 2018. B. Par décision du 18 mai 2018, le Département de l'économie, de l'innovation et du sport du Canton de Vaud (ci-après: le Département) a révoqué l'autorisation d'établissement du recourant et prononcé son renvoi de Suisse. A.X._, F.Y._ et les enfants C.Y._ et E.Y._ ont recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal), concluant à l'annulation de la décision du 18 mai 2018 du Département et au maintien de l'autorisation d'établissement de A.X._, subsidiairement à l'octroi d'une autorisation de séjour et plus subsidiairement au renvoi à l'autorité intimée pour nouvelles instruction et décision dans le sens des considérants. Après avoir laissé ouverte la question de la qualité pour recourir de F.Y._ et des enfants, le Tribunal cantonal a, dans un arrêt du 6 août 2018, rejeté le recours et confirmé la décision du 18 mai 2018 du Département. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A.X._ demande au Tribunal fédéral, principalement, de réformer l'arrêt attaqué en ce sens que l'autorisation du recourant n'est pas révoquée et à ce qu'un avertissement lui soit signifié; subsidiairement, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à l'instance précédente dans le sens des considérants. Le Service cantonal et le SEM ont renoncé à se déterminer. Le Tribunal cantonal se réfère à son arrêt. Par ordonnance du 7 septembre 2018, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif contenue dans le recours.