Faits : A. Par jugement du 17 décembre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour dommages à la propriété et injure, à une peine pécuniaire de 45 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant deux ans, ainsi qu'à une amende de 300 francs. B. Par jugement du 25 mars 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré irrecevable l'appel formé par X._ contre ce jugement. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 25 mars 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouvelle décision. Subsidiairement, il conclut à sa réforme en ce sens que son appel formé contre le jugement du 17 décembre 2018 est admis, qu'il est acquitté, qu'une indemnité de 12'522 fr. 90 lui est allouée à titre de dépens pour la procédure de première instance et qu'une indemnité de 2'200 fr. lui est accordée à titre de réparation du dommage économique subi en raison de la procédure. Il conclut également à ce qu'il soit acheminé "à rapporter, par toutes voies de droit utiles, la preuve des faits allégués dans la présente écriture". Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif. Par ordonnance du 28 mai 2019, le Président de la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par X._.