Faits : A. Le 3 décembre 2014, A._ a déposé plainte contre B._ et C._, pour faux témoignage, calomnie et complicité d'enlèvement de mineur, respectivement pour instigation à faux témoignage. Le 14 août 2017, il a encore déposé une plainte pour faux dans les titres. L'intéressé a notamment, en substance, reproché à B._ d'avoir aidé C._ à enlever son fils D._ à l'étranger, et à celle-ci d'avoir amené le premier nommé à mentir durant une audition conduite par le ministère public. Par décision du 6 novembre 2019, le Ministère public de la République et canton de Genève a partiellement classé la procédure ouverte à la suite de ces plaintes. Par ailleurs, par acte d'accusation du 9 novembre 2019, il a renvoyé B._ en jugement pour faux témoignage et faux dans les titres, de même que C._, pour instigation à faux dans les titres. B. Par arrêt du 15 janvier 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision. Il en ressort notamment ce qui suit. B.a. A._ et C._ se sont mariés en 2009. De leur union est né D._, la même année. Le couple s'est séparé le 28 juin 2010. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 4 octobre 2010, le Tribunal de première instance a attribué la garde de D._ à C._ et a réservé à A._ un droit de visite sur l'enfant à raison de deux après-midi chaque week-end, à élargir le moment venu et en accord avec le curateur à un week-end sur deux. Les rapports entre les époux se sont révélés conflictuels, ce qui a donné lieu à l'ouverture de diverses procédures civiles et pénales. A._ a déposé plainte contre son épouse, laquelle ne respectait pas le droit de visite instauré par le tribunal. C._ a été condamnée, en avril 2012, pour insoumission à une décision de l'autorité. B.b. En avril 2011, C._ s'est rendue aux Etats-Unis d'Amérique avec D._, sans en avertir préalablement A._. Dans ce pays, elle s'est installée chez son compagnon B._. Par ordonnance sur mesures superprovisionnelles du 1er février 2013, la garde et l'autorité parentale sur D._ ont été attribuées à A._. Il a en outre été fait interdiction à C._ de quitter le territoire suisse avec l'enfant. Cette décision a été confirmée par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 15 mars 2013. B.c. Parallèlement aux procédures civiles, A._ a déposé différentes plaintes pénales contre C._, pour diffamation ou calomnie, enlèvement de mineur, violation du devoir d'assistance et d'éducation, ou pour vol. Par arrêt du 31 mai 2017, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a condamné C._ pour enlèvement de mineur, violation du devoir d'assistance et d'éducation et violation d'une obligation d'entretien. La cour cantonale a notamment retenu que le départ de la prénommée avait été planifié et que sa relation avec B._ avait commencé avant son voyage aux Etats-Unis d'Amérique. Par arrêt du 12 avril 2018 (6B_787/2017 et 6B_132/2018), le Tribunal fédéral a confirmé la décision cantonale concernant ce volet de l'affaire. C. A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 janvier 2020, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que le ministère public est invité à poursuivre l'instruction dirigée contre B._ pour complicité d'enlèvement de mineur et celle dirigée contre C._ pour instigation à faux témoignage. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.