Faits : A. A._ travaille en qualité de journaliste au Service B._ de l'entreprise C._. A ce titre il est assuré obligatoirement contre le risque d'accident et de maladie professionnelle auprès de La Bâloise Compagnie d'assurances SA (ci-après: La Bâloise). Dans son activité, l'assuré apparaît régulièrement sur les plateaux de télévision et doit se faire maquiller. Au cours de l'année 2013 il a ressenti des problèmes aux yeux, des démangeaisons, des maux de tête, une hypersensibilité à la lumière et au vent. Dans un rapport du 27 mars 2014, le docteur D._, spécialiste en ophtalmologie, a diagnostiqué une conjonctivite allergique aux deux yeux. Après avoir recueilli divers renseignements médicaux et requis l'avis du docteur E._, spécialiste en médecine du travail et en médecine interne, et médecin à la Division de médecine du travail de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA; rapport du 4 août 2014), La Bâloise a reconnu comme maladie professionnelle la conjonctivite allergique bilatérale déclenchée par des composants de produits de maquillage. Au cours de l'année 2015, l'assuré a consulté plusieurs médecins. Dans des rapports des 7 décembre 2015 et 14 janvier 2016, les docteurs F._, spécialiste en ophtalmologie et ophtalmochirurgie, et G._, spécialiste en ophtalmologie, ont diagnostiqué un Floppy Eyelid Syndrom et une blépharite chronique avec chalazions à répétition. Ces deux médecins ayant préconisé la mise en oeuvre d'une intervention chirurgicale des paupières, La Bâloise a requis des renseignements complémentaires auprès des docteurs F._ (rapport du 3 février 2016) et E._ (rapport du 5 avril 2016). L'opération en cause a été réalisée le 11 février 2016 par le docteur G._. Par décision du 12 avril 2016, La Bâloise a nié le droit de l'assuré à la prise en charge des frais liés au Floppy Eyelid Syndrom et à la blépharite chronique, motif pris que ces troubles ne constituent pas des maladies professionnelles et que l'intervention chirurgicale n'était pas en relation de causalité avec la maladie professionnelle reconnue, à savoir la conjonctivite allergique bilatérale. Saisie d'oppositions de l'assuré et d'Assura, assurance-maladie de l'intéressé (ci-après: Assura), La Bâloise les a rejetées par décision du 12 septembre 2016. B. Par jugement du 24 janvier 2018, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 12 septembre 2016. C. A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à l'allocation des prestations légales, en particulier la prise en charge de l'opération du 11 février 2016, subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable, sous suite de frais, ce que requiert également la cour cantonale. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. Par écriture du 7 juin 2018, le recourant a pris position sur la réponse de l'intimée.