Faits : A. A.a. Le 19 juin 2013, à la suite d'un différend entre A._ et des scootéristes, les gendarmes X._ et B._ sont intervenus sur les lieux de l'altercation. X._ a demandé à A._ de présenter ses papiers d'identité. Celui-ci a refusé de les présenter, ainsi que de suivre les gendarmes au poste de police. Lorsque les gendarmes ont tenté de l'interpeller pour l'emmener, il ne s'est pas laissé faire. X._ a alors pratiqué un contrôle du cou pour plaquer au sol A._, qui a été menotté et conduit dans les locaux de la police. Par courrier du 19 septembre 2013, A._ a déposé plainte pénale à l'encontre de X._ en raison des faits survenus le 19 juin 2013 pour abus d'autorité (art. 312 CP), lésions corporelles simples (art. 123 CP), menaces (art. 180 CP), injures (art. 177 CP) et voies de fait (art. 126 CP). A.b. Le 22 septembre 2013, X._ a été entendu par la police en tant que personne appelée à donner des renseignements. Il a porté plainte contre A._ au motif que la confrontation avait été violente et qu'il avait senti des coups de la part de A._ sur son flanc droit. Lors de son audition, il a déposé plainte pénale contre A._, mais a répondu " non " aux questions de savoir s'il souhaitait participer à la procédure comme demandeur au pénal et au civil si une infraction poursuivie d'office ou sur plainte était retenue. Ces déclarations figurent au procès-verbal, que X._ a dûment signé. A.c. Le 13 février 2014, X._ a été entendu par la police en qualité de prévenu. Par ordonnance du 2 mai 2014, le Ministère public de la République et canton de Genève a ouvert une instruction pénale contre X._ et A._. Par courrier du 17 juillet 2014, Me C._ a informé le ministère public que X._ l'avait chargé de la défense de ses intérêts. Lors des actes de l'instruction préliminaire, en particulier des auditions, le ministère public a considéré X._, qui était assisté puis représenté par son conseil, en qualité de prévenu et de partie plaignante. Par ordonnance pénale du 4 juin 2015, le ministère public a classé la procédure menée à l'encontre de X._, sans statuer sur ses frais de défense. X._ n'a pas recouru contre cette décision. Le ministère public a considéré X._ comme partie plaignante tout au long de la procédure préliminaire, le retrait intervenu devant la police lui ayant échappé. B. Par jugement du 6 octobre 2016, le Tribunal de police du canton de Genève a dénié à X._ la qualité de partie plaignante (demanderesse au pénal et au civil), a déclaré ses conclusions civiles irrecevables, a reconnu A._ coupable de violences ou menaces contre les autorités et les fonctionnaires et l'a condamné à un travail d'intérêt général de 40 heures, avec sursis durant trois ans, ainsi qu'aux frais de procédure. Il a considéré en substance que X._ avait renoncé expressément et irrévocablement à participer à la procédure en qualité de demandeur au pénal et au civil (art. 120 al. 1 et 2 CPP). Il était très peu vraisemblable qu'il se soit trompé au sens de l'art. 23 CO, vu sa qualité de policier amené à expliquer aux justiciables les conséquences d'une renonciation à faire valoir ses droits. C. Par acte du 22 novembre 2016, X._ a formé une déclaration d'appel contre le jugement du Tribunal de police, concluant à être admis en qualité de partie plaignante (demanderesse au pénal et au civil), ainsi qu'à la condamnation de A._ à lui payer la somme de 17'402 fr. 30, plus intérêts, au titre de ses frais de défense. Après délibération, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice du canton de Genève a dénié la qualité de partie plaignante à X._, n'est pas entrée en matière sur l'appel principal formé par celui-ci et a constaté la caducité des appels joints formés par le ministère public et A._. Au surplus, la cause a été gardée à juger sur les frais de procédure et les honoraires d'avocat. X._ a renoncé à toute indemnisation de ses frais de défense pour la procédure d'appel. Me C._, avocat de choix de X._, a déposé auprès du Tribunal de police un état de frais pour la procédure de première instance pour un montant total de 17'402 fr. 30. Me D._, avocat de choix de A._, a déposé un état de frais pour ses prestations durant la procédure d'appel pour un montant total de 5'508 francs. Par arrêt du 19 mai 2017, la cour cantonale a déclaré irrecevable l'appel formé par X._, a constaté la caducité des appels joints formés par le ministère public et par A._, a condamné X._ aux deux tiers des frais de la procédure d'appel, lui a alloué une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, à la charge de l'Etat, pour ses frais de première instance et l'a condamné à verser à A._ la somme de 1'600 fr. au titre de ses frais de défense durant la procédure d'appel. D. Le ministère public forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 19 mai 2017, en concluant, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens qu'une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, n'est pas allouée à X._, que ses conclusions relatives au paiement de ses frais de défense sont déclarées irrecevables et qu'il est condamné à la totalité des frais de la procédure d'appel. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué en tant qu'il alloue à X._, à charge de l'Etat, une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, pour ses frais de défense de première instance et le condamne aux deux tiers des frais de la procédure d'appel, et à ce qu'il soit débouté de ses conclusions en indemnisation et condamné à la totalité des frais de la procédure d'appel. Plus subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. Invité à se déterminer sur le recours, l'intimé conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour violation du droit d'être entendu. La cour cantonale persiste dans les termes de son arrêt et renonce à formuler des observations.