Faits : A. A.a. Le Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code) régit la procédure applicable devant le Tribunal Arbitral du Sport. Il énonce notamment ce qui suit, dans sa version entrée en vigueur le 1er janvier 2017: Art. R31 Notifications et communications al. 3: «La requête d'arbitrage, la déclaration d'appel et tout autre mémoire écrit, imprimé ou sauvegardé sur support numérique, doivent être déposés par courrier au Greffe du TAS par les parties en autant d'exemplaires qu'il y a d'autres parties et d'arbitres, plus un exemplaire pour le TAS, faute de quoi le TAS ne procède pas. S'ils sont transmis par avance par télécopie ou par courrier électronique à l'adresse électronique officielle du TAS [...], le dépôt est valable dès réception de la télécopie ou du courrier électronique par le Greffe du TAS mais à condition que le mémoire et ses copies soient également déposés par courrier le premier jour ouvrable suivant l'expiration du délai applicable, comme mentionné ci-dessus.» [passage souligné par le Tribunal fédéral] Art. R49 Délai d'appel «En l'absence de délai d'appel fixé par les statuts ou règlements de la fédération, de l'association ou de l'organisme sportif concerné ou par une convention préalablement conclue, le délai d'appel est de vingt-et-un jours dès la réception de la décision faisant l'objet de l'appel. Le/la Président (e) de Chambre n'ouvre pas de procédure si la déclaration d'appel est manifestement tardive et doit notifier cette décision à la personne qui l'a déposée. Lorsqu'une procédure est mise en oeuvre, une partie peut demander au/à la Président (e) de Chambre ou au/à la Président (e) de la Formation, si une Formation a déjà été constituée, de la clôturer si la déclaration d'appel est tardive. Le/la Président (e) de Chambre ou le/la Président (e) de la Formation rend sa décision après avoir invité les autres parties à se déterminer.» Art. R51 Motivation de l'appel al. 1: «Dans les dix jours suivant l'expiration du délai d'appel, la partie appelante soumet au Greffe du TAS un mémoire contenant une description des faits et des moyens de droit fondant l'appel, accompagné de toutes les pièces et offres de preuves qu'elle entend invoquer. (...) » A.b. Le 7 février 2018, le Juge unique de la Commission du Statut du Joueur, au sein de la Fédération Internationale de Football Association (FIFA), a communiqué aux parties par courrier électronique les motifs de sa décision rendue le 11 juillet 2017 dans la cause divisant l'entraîneur B._ d'avec Club A._, soit un club de football (ci-après: le club). B. B.a. Par fax et courrier électronique du 28 février 2018, le club a adressé une déclaration d'appel au Tribunal Arbitral du Sport à Lausanne (ci-après: le TAS). Le 8 mars 2018, le club a demandé au Greffe du TAS de prolonger de cinq jours, soit jusqu'au 15 mars 2018, le délai pour déposer son mémoire d'appel. Le 12 mars 2018, le club s'est enquis par e-mail du sort de sa requête. Le Secrétaire général adjoint du TAS a répondu qu'il n'était pas possible d'ouvrir une procédure alors que les originaux de la déclaration d'appel n'étaient toujours pas parvenus; la demande de prolongation serait traitée sitôt la procédure ouverte. Le club a alors déposé ce même 12 mars un mémoire d'appel par fax et par e-mail, en précisant que ledit mémoire et la déclaration d'appel seraient aussi envoyés par courrier le lendemain. Il ajoutait que le conseil de l'entraîneur lui avait dit vouloir discuter avec son client du point de savoir si ce dernier acceptait l'ouverture de la procédure bien que les versions papier ( «the hard-copies ») de la déclaration d'appel n'aient pas été déposées précédemment. Le 13 mars 2018, le club a adressé au TAS le pli annoncé. Dans le courrier d'accompagnement, le conseil qui représentait alors le club expliquait qu'en raison d'une malencontreuse erreur de son secrétariat ( «Due to an unfortunate mistake of Counsel's secretariat »), la déclaration d'appel n'avait pas encore été déposée par courrier, bien qu'elle l'ait été en temps utile par fax et par e-mail. Si nécessaire, il était prêt à déposer une demande motivée de restitution du délai prévu pour déposer la déclaration d'appel par courrier. Toutefois, il s'abstenait en l'état puisque le conseil de la partie adverse disait vouloir discuter avec son client du point de savoir si ce dernier acceptait le dépôt tardif des écritures par courrier et s'il consentait ainsi à l'ouverture de la procédure en dépit des circonstances précitées. Par e-mail du 15 mars 2018 adressé aux conseils des parties, le TAS a invité le conseil de l'entraîneur à indiquer dans un délai échéant le 20 mars si son client acceptait le dépôt tardif de la déclaration d'appel par courrier afin que le Greffe du TAS ouvre une procédure. Il était précisé qu'à défaut de réponse dans le délai imparti ou en cas d'objection, aucune procédure ne serait ouverte, conformément à l'art. R31 du Code; dans cette hypothèse, aucune demande de restitution ne serait prise en compte. Le 20 mars 2018, le conseil de l'entraîneur a informé le TAS que son client s'opposait au dépôt tardif de la déclaration d'appel par courrier et qu'en conséquence, aucune procédure ne devait être initiée. B.b. Par e-mail du 20 mars 2018, le Secrétaire général adjoint du TAS a confirmé aux parties que le Greffe ne procéderait pas s'agissant de l'appel déposé par le club, eu égard au contenu de la lettre du conseil de l'entraîneur ainsi qu'à l'art. R31 du Code. Tout en invitant le club à fournir ses coordonnées bancaires aux fins de lui rembourser le montant versé pour le dépôt de la déclaration d'appel, le Secrétaire adjoint a dit rester à disposition des parties pour de plus amples informations. Le 12 avril 2018, le club a contesté le bien-fondé de cette analyse et a requis que le TAS procède à l'arbitrage, alternativement que la Formation ou le Président de Chambre rende une décision contre laquelle il puisse recourir, le cas échéant, au Tribunal fédéral suisse. Dans un e-mail du 13 avril 2018 adressée aux conseils des parties, le Secrétaire général adjoint du TAS a accusé réception du courrier du club et a confirmé intégralement le contenu de sa lettre du 20 mars 2018, en précisant que le refus de procéder tenait au non-respect de l'art. R31 du Code; l'examen des conditions administratives pour initier une procédure relevait du Greffe du TAS. Cette question ne concernait pas l'art. R49 du Code. Par e-mail du 18 avril 2018, le conseil du club a invité le TAS à lui adresser par courrier ses lettres du 20 mars et 13 avril 2018, qui n'avaient à ce jour été communiquées que par e-mails. Le même jour, le TAS a répondu qu'il accusait réception de cette demande et qu'il y donnait suite. Son courrier expédié en Allemagne à l'adresse du conseil du club a été réceptionné le 19 avril 2018. C. Le 19 avril 2018, le club a saisi le Tribunal fédéral d'un premier recours en matière civile concluant à l'annulation de la décision rendue par le Greffe du TAS le 20 mars 2018. Précisant qu'il attendait une notification de cette sentence par courrier, il s'est réservé le droit de compléter son recours. Le 17 mai 2018, le club a déposé un nouveau mémoire de recours concluant à l'annulation de la sentence arbitrale rendue le 20 mars 2018, subsidiairement à l'annulation de celle rendue le 13 avril 2018. Il a demandé la suspension de la procédure initiée par le premier recours jusqu'à droit connu sur le second recours. Par ordonnance du 18 mai 2018, la Présidente de la Cour de céans a rejeté la demande de suspension en précisant que les deux actes de recours dirigés contre la même décision donnaient lieu à une procédure unique. Le délai pour verser l'avance de frais a été prolongé au 4 juin 2018. Il a encore été précisé que sauf avis contraire du recourant exprimé dans ce même délai, le recours du 17 mai 2018 serait réputé remplacer celui du 19 avril 2018. En temps utile, le club a effectué l'avance de frais requise et a admis que le second recours, pour autant qu'il soit jugé recevable ratione temporis, remplace le premier. L'entraîneur de football intimé a conclu au rejet du recours. Le TAS a produit le dossier de la cause et déposé des déterminations à l'issue desquelles son Secrétaire général a requis le rejet du recours. Le club recourant a déposé une réplique qui n'a suscité aucun commentaire de la partie adverse.