Faits : A. A.a. Par contrat du 24 juillet 2008, A.A._ et B.A._ (ci-après: les époux ou les propriétaires), qui se sont mariés par la suite, ont acheté, en copropriété chacun pour moitié, l'immeuble n° 8 de la commune de.., dans le canton de Fribourg, d'une surface de 1'080 m2, comprenant une ferme (après rénovation, un appartement de 5,5 pièces) et une habitation (appelée dépendance; après rénovation, deux appartements de 2,5 et 3,5 pièces), ainsi qu'un jardin d'agrément et un pré pour le prix de 135'000 fr. Ils ont été inscrits au registre foncier le 14 novembre 2008. L'acquisition de cet immeuble et les importants travaux de rénovation des bâtiments ont été financés essentiellement par des fonds propres des époux, un versement anticipé des avoirs de prévoyance professionnelle du mari et deux crédits de construction accordés par C._ le 3 juin 2009. A.b. A la fin de l'année 2009, les propriétaires sont entrés en relation avec B._ (ci-après: B._ ou la banque) pour que celle-ci reprenne leurs crédits contractés auprès de C._. Ainsi, le 22 décembre 2009, la banque leur a accordé deux prêts hypothécaires à taux fixe, le premier d'un montant de 410'000 fr. avec intérêts à 2,67% l'an net, et le second de 540'000 fr. avec intérêts à 2,08%, puis 2,67%, prêts garantis par quatre cédules hypothécaires et le nantissement d'une police d'assurance vie-prévoyance liée de l'époux et d'un avoir de compte épargne 3 de l'épouse. Était également prévue la cession du revenu locatif actuel et futur de l'immeuble. Les travaux de rénovation ayant nécessité des fonds supplémentaires, la banque a accordé aux propriétaires un crédit complémentaire de 70'000 fr sous forme d'une limite de crédit sur leur compte courant, avec intérêts à 3,05%, lequel a été consolidé en un troisième prêt hypothécaire à taux fixe de 88'000 fr. au taux de 1,81 %, également garanti par les quatre cédules hypothécaires et les deux nantissements, ainsi que la cession du revenu locatif. A.c. Les époux qui vivaient avec leurs enfants dans l'appartement de la ferme ont déménagé dans une villa à Marly et ont remis celui-ci en location à une société pour un loyer de 2'250 fr. par mois, charges comprises, dès le 1er avril 2011. Les circonstances de ces déménagement et mise en location sont litigieuses. Les deux appartements de 2,5 et 3,5 pièces situés dans l'habitation ont été remis à bail respectivement pour 1'100 fr., charges comprises, dès le 1er février 2011 et pour 1'450 fr., charges comprises, dès le 1er novembre 2011. A.d. Des créanciers ayant mis en poursuite les époux le 10 janvier 2012, leur capacité de rembourser la banque a été affectée. Le 17 janvier 2012, le second prêt hypothécaire a été renouvelé à des conditions différentes: il était prévu que l'intégralité du revenu locatif était cédée à la banque, que les conditions des prêts à taux variable étaient applicables et qu'une indemnité serait due à la banque en cas d'insolvabilité manifeste des emprunteurs. Le 20 avril 2012, ne percevant plus de revenus locatifs en raison de la saisie requise par les autres créanciers, la banque a dénoncé avec effet immédiat les trois prêts hypothécaires accordés aux copropriétaires et leur a imparti un délai au 22 mai 2012 pour rembourser leurs dettes, soit 410'000 fr. avec intérêts, 540'000 fr. avec intérêts, 88'000 fr. avec intérêts et deux indemnités de 14'878 fr. 20 et 691 fr. 70. La validité de la dénonciation des prêts n'est pas contestée. B. B.a. Le 24 mai 2012, B._ a requis la poursuite en réalisation de gage immobilier des propriétaires, se fondant sur les quatre cédules hypothécaires. Un commandement de payer en réalisation de gage immobilier a été notifié à chacun d'eux le 19 juin 2012 pour les montants sus-indiqués. Les débiteurs n'ont pas formé d'opposition aux commandements de payer. B.b. En juin 2012, puis en décembre 2012 et en janvier 2013, puis encore en mai 2013, les propriétaires ont eu des discussions avec la banque, au cours desquelles ils ont formulé des propositions (de vente partielle, soit de la dépendance, de reprise du financement par une autre banque, soit D._) que la banque a refusées. La question de savoir si la banque a violé ses obligations de diligence en refusant ces propositions est litigieuse. L'immeuble était estimé par l'Établissement cantonal d'assurance des bâtiments à 1'271'000 fr. L'experte mandatée par l'Office des poursuites l'a estimé à 990'000 fr. en février 2013 et entre 1'164'912 fr. 95 et 1'354'015 fr. en mars 2016. L'expert judiciaire a considéré que l'estimation de 1'345'000 fr. était raisonnable. B.c. La banque a produit une créance de 1'083'958 fr. 60 (valeur au 29 mai 2013). L'immeuble a été vendu aux enchères forcées le 29 mai 2013. Il a été adjugé à la banque, seule enchérisseuse, pour le prix de 795'000 fr. La plainte déposée contre l'adjudication a été rejetée. Du produit de la vente, la banque a reçu de l'Office le montant de 774'975 fr. 05. Elle a reçu un certificat d'insuffisance de gage de 308'983 fr. 60 (soit un total de 1'083'958 fr. 65). L'experte mandatée par l'Office, comme l'expert judiciaire ont estimé que le prix d'acquisition se situait à 20% en dessous de la valeur d'estimation de mars 2013, le second ayant précisé que la propriété avait été acquise à une valeur entre 30% à 40% inférieure aux estimations et de plus de 40% inférieure à l'estimation découlant de la proposition de l'autre banque. B.d. La banque a offert aux époux de racheter leur immeuble au prix de 795'000 fr. plus les frais et le montant de son découvert. Par courrier du 8 novembre 2013, elle le leur proposait pour le prix de 1'131'936 fr. 35. Finalement, la banque a revendu l'immeuble à un tiers en mars 2014 pour le prix de 950'000 fr. L'expert judiciaire a estimé que, probablement, la banque avait subi une perte plus importante en ayant acheté l'immeuble dans la vente aux enchères forcées puis en l'ayant revendu à un tiers que si elle avait accepté la dernière proposition de refinancement des propriétaires, si celle-ci avait été concrète, ferme et sans conditions (perte oscillant entre 91'090 fr. et 44'905 fr.). C. Le 11 août 2014, les époux propriétaires ont ouvert action en paiement contre la banque devant la Chambre patrimoniale du canton de Vaud, concluant à la condamnation de la banque notamment à leur payer les montants de 550'000 fr., 308'997 fr. 60, 8'638 fr. 40, 30'744 fr. 20 et 153'500 fr. (soit un total de 1'051'880 fr. 20), ainsi qu'un montant à préciser en cours d'instance, tous montants portant intérêts à 5% l'an dès le 29 mai 2013. Ils ont également conclu à la restitution au second des demandeurs de la police d'assurance vie-prévoyance liée et à la restitution au premier des demandeurs de l'avoir du compte d'épargne 3. La Chambre patrimoniale a rejeté la demande par jugement du 27 septembre 2018. Statuant par arrêt du 6 mai 2019, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel des demandeurs et confirmé le jugement attaqué. Elle a examiné, sur la base de l'art. 97 al. 1 CO, les quatre comportements de la banque dont les demandeurs déduisaient une responsabilité de celle-ci pour violation de son devoir de diligence. Premièrement, elle a considéré que la banque n'a pas suggéré et encore moins contraint les débiteurs à mettre leur ferme en location. Deuxièmement, elle a jugé que la banque n'a pas violé son devoir de diligence en n'acceptant pas les propositions des débiteurs qui ne lui permettaient pas de recouvrer l'entier de sa créance, et celle de reporter la vente aux enchères: tout d'abord, la cour cantonale a constaté en fait que les propositions des débiteurs ne lui permettaient pas de recouvrer l'entier de sa créance: l'offre de refinancement de l'autre banque (D._) n'était pas ferme, comme l'avait constaté l'expert, l'employé de cette banque, E._ l'ayant d'ailleurs qualifiée seulement d'acceptable; les offres d'achat de la dépendance n'étaient pas fermes, selon l'expert judiciaire, et ne permettaient pas à la banque de recouvrer l'intégralité de ses créances, puisqu'il subsistait un découvert entre 44'905 et 40'353 fr.; en ce qui concerne la prise en compte de l'impôt sur les gains immobiliers, la cour a retenu que l'absence d'impôt sur le gain immobilier n'était pas étayée et que le témoin F._ lui-même envisageait l'éventualité d'une erreur, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de s'écarter des chiffres de l'expert; la cour cantonale en a déduit en droit que la banque n'était pas obligée d'accepter des propositions qui ne lui permettaient pas de recouvrer l'entier de sa créance, de sorte qu'elle n'avait pas violé son devoir de diligence. Ensuite, la cour cantonale a considéré que la banque n'avait aucun devoir contractuel d'accepter un report de la vente aux enchères. Troisièmement, la cour cantonale a considéré que la banque n'a violé aucun devoir de diligence en privilégiant son seul intérêt de créancière à obtenir le remboursement de sa créance, et que les débiteurs n'ont pas démontré en quoi l'appréciation des premiers juges serait erronée. Quatrièmement, la cour cantonale a considéré que la banque n'a pas violé son devoir de diligence en acceptant une mise à prix de l'immeuble aux enchères de 990'000 fr., fixée par l'Office des poursuites, ni en obtenant l'adjudication au prix de 795'000 fr., inférieur aux estimations des experts, les débiteurs n'indiquant pas quelle règle aurait été violée, ce d'autant qu'une plainte à l'autorité de surveillance n'a pas abouti, les circonstances de l'adjudication ne violant aucune règle. D. Contre cet arrêt, qui leur a été notifié le 13 mai 2019, les demandeurs ont interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 12 juin 2019, concluant à sa réforme en ce sens que les conclusions de leur demande sus-rappelées soient admises et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle instruction et/ou nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils invoquent un établissement inexact et arbitraire des faits (art. 97 al. 1 LTF et 9 Cst.) et, se basant sur un état de fait modifié selon leurs voeux, une violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Ils sollicitent l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. La banque intimée n'a pas été invitée à se déterminer.