Faits : A. A._, né le 30 mars 1991, est entré en Suisse en mai 2014 en présentant un faux passeport serbe, lequel comportait un visa Schengen. Le 26 août 2014, il a obtenu du Service de la population du Canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) une autorisation de séjour pour activité lucrative fondée sur l'Accord de libre circulation des personnes (ALCP), après avoir produit un faux passeport slovène et sur la base d'un engagement auprès d'un viticulteur vaudois. En février 2017, au cours d'une interpellation, la police cantonale vaudoise a eu des doutes sur la validité des documents que A._ lui présentait. Elle a dès lors procédé à leur contrôle, au terme duquel elle a établi que l'intéressé était en réalité de nationalité kosovare, qu'il était recherché par Interpol et qu'il était signalé sous mandat d'arrêt international par les autorités kosovares et sous mesures extraditionnelles pour meurtre/assassinat. En 2010, A._ avait été condamné par la Cour de C._ à une peine de 9 ans et 2 mois de prison pour avoir tué B._ le 25 janvier 2009, alors qu'il était encore mineur. A._ a été incarcéré en vue de son extradition le 10 février 2017 sur décision de l'Office fédéral de la justice, décision contre laquelle il a recouru auprès du Tribunal pénal fédéral. Le 7 mars 2017, l'Office fédéral de la justice a ordonné sa libération, parce que la prescription absolue, qui avait été atteinte en vertu du droit pénal suisse des mineurs, constituait un motif de refus de la collaboration internationale en vertu des règles applicables en matière d'entraide pénale internationale. Par jugement devenu définitif le 24 novembre 2017, le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois (ci-après: le Tribunal de police) a condamné A._ à 120 jours-amende à 30 fr. avec sursis pendant 2 ans et à une amende de 600 fr. pour faux dans les titres, entrée illégale et comportement frauduleux à l'égard des autorités, en lien avec l'usage qu'il avait fait des passeports serbe et slovène pour entrer en Suisse et y obtenir une autorisation de séjour UE/AELE avec activité lucrative. B. Par décision du 9 juin 2017, le Service cantonal a révoqué l'autorisation de séjour de A._ et prononcé son renvoi de Suisse. Le 13 juillet 2017, A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, principalement, de réformer l'arrêt attaqué en ce sens que son autorisation de séjour n'est pas révoquée, mais confirmée, que la décision de renvoi de Suisse est annulée et qu'il soit autorisé à séjourner et à travailler en Suisse et dans l'UE/AELE; subsidiairement, d'annuler l'arrêt attaqué et de l'autoriser à séjourner et à travailler en Suisse et dans l'UE/AELE; plus subsidiairement encore, d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision après l'avoir auditionné et auditionné son employeur. Par ordonnance du 13 novembre 2018, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours. Le Tribunal cantonal et le Service de la population ont renoncé à se déterminer et se réfèrent à l'arrêt attaqué.