Faits : A. Actif au sein de la société A._ SA en tant que gérant de fortune, X._ a été approché - probablement dans le courant de l'année 2005 - par B._, lequel souhaitait fonctionner comme apporteur d'affaires rémunéré à la commission. Dans ce cadre, ce dernier a introduit plusieurs membres de sa famille auprès d'A._ SA, notamment C._ et D._. Le 31 décembre 2015, huit membres de la famille de B._, dont C._ et D._, ont déposé plainte concernant la gestion de leurs avoirs opérée par X._ au sein d'A._ SA. B. Par ordonnance du 11 octobre 2018, le Ministère public central vaudois, division criminalité économique, a classé la procédure ouverte contre X._ pour gestion déloyale et faux dans les titres, a mis une partie des frais de procédure à sa charge et lui a alloué une indemnité de 20'399 fr. 75 pour ses dépens. C. Par arrêt du 12 avril 2019, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par C._ et D._ contre cette ordonnance mais a admis celui de X._. Elle a réformé cette décision en ce sens que les frais de procédure sont laissés à la charge de l'Etat et qu'une indemnité de 28'507 fr. 10 est allouée à ce dernier pour ses dépens. D. Le Ministère public central du canton de Vaud forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 12 avril 2019, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que l'ordonnance de classement du 11 octobre 2018 est confirmée, que les frais de la procédure de recours sont mis à la charge de X._ et qu'aucune indemnité n'est allouée à ce dernier pour ladite procédure. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.