Faits : A. A._, né en 1951, travaillait en qualité de plâtrier-peintre auprès de la société B._ Sàrl. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA). Selon les déclarations d'accident des 2 et 12 novembre 2015, l'assuré a subi le 26 juillet 2015 une contusion de la jambe droite en voulant "enlever un scotch sur une petite échelle". Par décision du 7 juillet 2016, confirmée sur opposition le 12 août suivant, la CNA a refusé d'allouer ses prestations au motif que A._ avait donné des renseignements contradictoires et incohérents qui ne permettaient pas de rendre vraisemblable la survenance d'un événement assuré. B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 12 juin 2018. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à ce que la CNA soit tenue d'accorder des prestations pour l'accident dont il affirme avoir été victime le 26 juillet 2015. Il conclut également au renvoi de la cause à l'autorité intimée afin qu'elle statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale. La cour cantonale conclut au rejet du recours, tandis que l'intimée et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.