Faits : A. A.a. Au décès de leur père, B._ et ses trois soeurs ont hérité d'un certain nombre d'actions des sociétés C._ SA, D._ SA et E._ SA. Par la suite, une personne a fait part aux soeurs de B._ de son intention de racheter les actions en question. Le 4 mars 2016, celles-ci ont informé leur frère de leur volonté commune d'accepter ladite offre et lui ont imparti un délai au 4 mai 2016 pour donner son accord. La fratrie s'est réunie le 14 avril 2016 à X._ pour discuter du sort qui devait être réservé aux actions précitées. F._, G._ et H._, avocats fiscalistes, ainsi que I._, le mari d'une des soeurs de B._, ont également participé à la réunion. A l'insu des autres personnes présentes, B._ a enregistré toute la séance. A.b. A._ exerce la profession d'avocat à X._. Après la réunion du 14 avril 2016, il a assumé la défense des intérêts de B._. Le 10 août 2016, celui-ci, représenté par son avocat, a déposé une requête de mesures provisionnelles et superprovisionnelles auprès du Tribunal civil de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal civil) visant à interdire à ses soeurs de céder à tout tiers les actions dont elles avaient hérité. A l'appui de sa requête, il a produit l'enregistrement qu'il avait effectué le 14 avril 2016, "dans le but de rendre vraisemblable son droit de priorité ou de préemption sur les actions de ses soeurs". Le 22 août 2016, A._, à qui l'avocat des soeurs de B._ avait demandé de retirer l'enregistrement du dossier déposé auprès du Tribunal civil, a refusé de donner suite à cette requête, en relevant qu'il appartenait à cette autorité de déterminer si la pièce en question était recevable. A.c. Par ordonnance du 3 octobre 2016, le Tribunal civil, en considérant qu'il n'existait pas en l'espèce d'intérêt prépondérant justifiant l'utilisation d'une preuve obtenue de manière illicite et que celle-ci n'apparaissait de toute façon pas apte à influer sur l'issue de la cause, a écarté l'enregistrement du dossier. Par arrêt du 10 février 2017, la chambre civile de la Cour de justice (ci-après: la chambre civile) a rejeté l'appel formé par B._ contre l'ordonnance du 3 octobre 2016. Cette autorité a retenu que la manifestation de la vérité relative à des prétentions de nature patrimoniale ne devait pas prendre le pas sur le respect de l'art. 179ter CP, de sorte que l'enregistrement effectué par l'intéressé à l'insu des autres participants à la réunion du 14 avril 2016 ne pouvait pas être pris en considération. B. Par décision du 10 avril 2017, la Commission du barreau du canton de Genève (ci-après: la Commission du barreau) a prononcé un avertissement à l'encontre de A._. Elle a considéré que l'intéressé, qui avait sciemment produit en justice l'enregistrement (dont il connaissait le caractère illicite) d'une réunion confidentielle visant à trouver une solution transactionnelle entre son client et les soeurs de celui-ci, avait commis un manquement grave à son obligation d'exercer sa profession avec soin et diligence et avait dès lors violé l'art. 12 let. a LLCA. Saisie d'un recours contre la décision de la Commission du barreau, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) l'a rejeté le 17 octobre 2017. Les juges cantonaux ont constaté, en substance, que la réunion du 14 avril 2016 avait pour but de trouver un accord au sujet de la vente des actions dont B._ et ses soeurs avaient hérité, de sorte que la production en justice, par A._, de l'enregistrement de ces discussions transactionnelles et confidentielles constituait une violation de l'art. 12 let. a LLCA. L'autorité cantonale a aussi relevé que les propos échangés lors de la rencontre du 14 avril 2016 étaient de toute façon couverts par le secret professionnel des avocats qui avaient assisté à la réunion et que, pour cette raison également, en produisant auprès du Tribunal civil l'enregistrement effectué par son client, A._ avait violé l'art. 12 let. a LLCA. La Cour de justice a enfin considéré que, en agissant de la sorte, l'avocat avait aussi manqué à son devoir de diligence au sens de l'art. 398 al. 2 CO, car il avait exposé B._ à l'éventualité d'une poursuite pénale fondée sur l'art. 179ter CP, alors qu'il était manifeste que le Tribunal civil allait écarter l'enregistrement du dossier. C. A l'encontre de l'arrêt du 17 octobre 2017, A._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il demande à la Cour de céans, sous suite de dépens, d'annuler l'arrêt entrepris et de constater qu'il n'a pas violé l'art. 12 let. a LLCA. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Commission du barreau se réfère à sa décision du 10 avril 2017. La Cour de justice renonce à transmettre des observations et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.