Faits : A. A.a. A._ a perçu des prestations de l'assurance-chômage à partir du 2 novembre 1998. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 20 février 2000, il a été victime d'une rupture de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche après avoir glissé sur une plaque de glace. Le 20 juillet suivant, il a subi une lésion du ménisque externe du genou droit après une chute dans les escaliers de son immeuble. Le 5 novembre 2000, il a trébuché sur sa chienne et a heurté le sol bétonné directement avec le genou droit replié. La CNA a pris en charge les suites de ces accidents. L'assuré a subi diverses interventions chirurgicales, en particulier une acromioplastie (9 mai 2000), une arthroplastie totale du genou droit (12 mars 2003), suivie du remplacement de la prothèse à deux reprises (les 3 septembre 2007 et 5 mars 2009), ainsi qu'une opération d'implantation d'une prothèse de la hanche gauche (le 23 février 2011). Après avoir confié une expertise aux médecins du Bureau romand d'expertises médicales (BREM; aujourd'hui: Bureau d'expertises médicales [BEM]; rapport du 24 septembre 2012), la CNA a rendu une décision le 27 février 2013, confirmée sur opposition le 8 juillet suivant, par laquelle elle a alloué à l'assuré, à compter du 1 er janvier 2013, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 30 % et une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 18,33 %. La décision sur opposition a été déférée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, laquelle a rejeté le recours par jugement du 23 mai 2016. Saisi d'un recours en matière de droit public contre ce jugement, le Tribunal fédéral a statué par jugement dont la date est identique à celle du présent arrêt (cause 8C_517/2016). A.b. Le 20 décembre 2012, le professeur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a prescrit neuf séances de physiothérapie, en précisant: " genou/hanche dos ". De son côté, le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a prescrit neuf séances de physiothérapie en relation avec le genou droit (rapport du 21 décembre 2012). Après avoir requis l'avis du docteur D._, spécialiste en chirurgie (rapport du 17 juin 2013), la CNA a rendu une décision le 19 décembre 2013, confirmée sur opposition le 30 juin 2014, par laquelle elle a reconnu le droit de l'assuré à la prise en charge d'une seule séance de physiothérapie par semaine pour les troubles à l'épaule gauche et au genou droit. B. L'assuré a recouru contre la décision sur opposition du 30 juin 2014 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant à la prise en charge de deux séances de physiothérapie par semaine, ainsi que des frais de déplacement y relatifs depuis le mois de juillet 2013. Par courrier du 17 mars 2016, le juge instructeur a informé l'assuré que la Cour se réservait de modifier à son détriment la décision attaquée et lui a imparti un délai expirant le 23 mai 2016 pour lui indiquer s'il entendait retirer son recours. Au cours de l'audience de jugement tenue le 23 mai 2016, l'assuré a produit un rapport du professeur B._, du 17 mai précédent. Par jugement du 23 mai 2016, la cour cantonale a rejeté le recours dont elle était saisie et a réformé la décision sur opposition attaquée en ce sens que les frais de traitement de physiothérapie postérieurs au 31 décembre 2012 et les frais de déplacements y relatifs ne sont pas à la charge de l'assureur-accidents. C. A._ forme un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et de la décision sur opposition du 30 juin 2014. Il demande la prise en charge, au titre des frais de traitement, de deux séances de physiothérapie hebdomadaires et des frais de déplacement y relatifs à compter du mois de janvier 2013. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'intimée pour complément d'instruction, le tout sous suite de dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.