Faits : A. A.a. B._ (ci-après : le demandeur) a travaillé dès l'année 2000 en qualité d'enseignant auprès de l'école de commerce A._ SA (ci-après : la défenderesse). Le demandeur a été engagé par la défenderesse sur la base de contrats à durée déterminée. D'abord conclus par trimestre pour les années 2000 à 2012, ces contrats ont par la suite porté sur une année académique complète, soit du 1er septembre au 31 juillet. Tous les contrats signés par les parties sauf deux prévoyaient une rémunération à l'heure ainsi qu'une indemnité de 13.04% pour les vacances. A.b. Différents reproches ont été formulés à l'endroit du demandeur par la défenderesse au cours des rapports de travail. Ceux-ci portaient sur l'utilisation et la vente par le demandeur d'un recueil de textes publié par lui-même à certains étudiants malgré l'interdiction de la défenderesse, la tenue d'un langage inadéquat durant ses cours, la consommation d'alcool dans le cadre de son travail, un certain laxisme dans la surveillance des étudiants lors d'une session d'examen ainsi qu'un comportement jugé ambigu sur le plan du racisme et du sexisme vis-à-vis de certains étudiants. Par courrier électronique du 1er mai 2014, un employé de la défenderesse a signifié au demandeur que la défenderesse avait pris la décision de mettre fin à leur collaboration à compter du semestre suivant. Il a précisé que les cours que donnait le demandeur seraient confiés à d'autres professeurs, qu'un module lui serait toutefois attribué pour le mois de septembre 2014. En guise de motifs de licenciement, la défenderesse s'est fondée sur la vente par le demandeur de son recueil de textes malgré l'interdiction lui ayant été faite et les avertissements lui ayant été donnés, pareil comportement ayant causé de l'avis de la défenderesse la rupture du lien de confiance qui unissait les parties. Au cours du mois de septembre 2014, le demandeur a dispensé un cours d'un module du Master of Business Administration (MBA). À partir du mois d'octobre, plus aucun cours ne lui a été confié. Par courrier du 6 octobre 2014, le demandeur a fait part à la défenderesse de son opposition à la résiliation des rapports de travail faute de respect des exigences de forme stipulées à l'art. 3.6 de la convention collective de travail conclue entre l'Association M._ - dont la défenderesse est membre - et l'Association N._. Par courrier recommandé du 21 novembre 2014, la défenderesse a répondu ne pas pouvoir entrer en matière concernant la poursuite de son activité, lui reprochant la tardiveté de son opposition. B. B.a. Par demande du 7 mars 2016, le demandeur a conclu à ce que la défenderesse soit condamnée à lui verser les sommes de 38'000 fr., sous déduction des charges sociales et avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mars 2015, 29'731.20 fr., sous déduction des charges sociales et avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2013, et de 22'800 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 21 novembre 2014, et à ce qu'ordre soit fait à la défenderesse de fournir au demandeur toute information utile quant à la couverture LPP conclue. Par jugement du 27 février 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a partiellement admis la demande. B.b. Par acte du 3 septembre 2018, la défenderesse a interjeté appel contre le jugement précité, concluant à sa réforme en ce sens que les conclusions de la demande du 7 mars 2016 soient rejetées. Par arrêt du 7 mars 2019, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel. Comme le Tribunal d'arrondissement, elle a jugé que les contrats successifs conclus par les parties devaient être requalifiés en un seul et unique contrat de durée indéterminée. Elle a estimé, en revanche, que la résiliation n'avait pas produit ses effets à la fin de l'année académique, soit à la fin du mois de juillet 2015, mais à la fin du premier trimestre civil de l'année 2015, soit au 31 mars 2015, et réduit la somme à verser au demandeur à titre de salaire en conséquence. C. Les deux parties ont formé un recours en matière civil au Tribunal fédéral en vue de l'annulation de l'arrêt du 7 mars 2019. Elles concluent toutes les deux, principalement, à la réforme de cet arrêt et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Chacune des parties a conclu au rejet du recours de l'autre partie. L'autorité précédente a renoncé à se déterminer sur les deux recours, se référant aux considérants de son arrêt du 7 mars 2019. La défenderesse a déposé une réplique de manière spontanée.