Faits : A. Par jugement du 4 septembre 2017, A._ a été reconnue coupable d'infanticide et condamnée à 24 mois de privation de liberté, sous déduction de la détention avant jugement, avec sursis pendant deux ans. Ce jugement se prononçait, en outre, sur la levée du séquestre sur divers objets, ainsi que sur les frais et indemnités. B. Saisie d'un appel du ministère public, par jugement du 9 octobre 2019, la Cour pénale I du Tribunal cantonal valaisan l'a rejeté et a confirmé le jugement de première instance. En bref, le jugement sur appel repose sur l'état de fait suivant. B.a. A._ est née en 1982 à B._, où elle a vécu avec ses parents et sa soeur aînée. Elle a obtenu, après deux ans de formation, un certificat fédéral de capacité de vendeuse. En 2002, elle a rencontré C._, né en 1981. Le 12 août 2004, elle a donné naissance à l'enfant prénommé D._. C._ et A._ se sont mariés en 2007, à E._. Leur second fils, F._, est né en 2008. A la suite de difficultés conjugales, A._ est retournée vivre auprès de ses parents, à G._, avec ses deux fils. Dès le 1 er janvier 2011, elle y a trouvé du travail à temps partiel en tant qu'aide de cuisine dans une crèche. Elle a pris à bail un appartement de trois pièces et demie, dans le même bâtiment que celui de ses parents. Elle a, par la suite, été mise au bénéfice d'une rente AI à 100%. B.b. Enceinte des oeuvres de son nouveau compagnon, H._, rencontré en 2012, elle n'a découvert sa grossesse que lorsque le travail s'est déclenché, alors qu'elle se trouvait dans son appartement, en présence de son fils cadet. Grâce à l'intervention de ses parents, elle a finalement accouché dans l'ambulance, donnant naissance à I._, en 2013. Après avoir décidé de la faire adopter, elle a révoqué son consentement en temps utile, de sorte que sa fille lui a été confiée. Le divorce des époux A._ et C._ a été prononcé le 9 décembre de la même année. B.c. En raison d'une cécité brutale à l'oeil gauche, A._ a séjourné au service de neurologie de l'Hôpital de J._, du 1 er au 13 octobre 2015. Dans le cadre d'une série d'examens, un scanner du thorax a été effectué. Les médecins ont alors découvert que la patiente était enceinte d'un quatrième enfant, dont la naissance était prévue aux alentours du 10 décembre 2015. A._ a mal réagi à cette annonce et a caché la grossesse à ses proches, ainsi qu'au père de l'enfant, H._, dont elle redoutait la réaction. Lors de la consultation conjointe gynéco-obstétrique et pédiatrique du 18 novembre 2015, elle a exprimé le désir que l'enfant à naître soit confié à l'adoption. Le réseau ad hoc a été mis en place. B.d. Selon les faits, repris sans modification par les autorités cantonales de l'acte d'accusation, dans la nuit du mardi 1 er décembre 2015, A._ a débuté son travail d'accouchement sur son canapé, à son domicile de K._. Elle s'est déplacée dans la salle de bain pour accoucher dans la baignoire, vers 4 heures. Après avoir accouché, elle a expulsé le placenta, coupé le cordon ombilical avec [des] ciseau[x], puis emmailloté le nouveau-né, qu'elle a placé à côté d'elle, sur son bras, lorsqu'elle s'est couchée sur son canapé-lit. Elle n'a pas regardé l'enfant, ne l'a pas caressé, ne lui a pas parlé et n'a eu aucun geste à son égard durant l'heure où elle est restée couchée avec lui. Sans le vouloir et alors qu'elle était à moitié endormie, elle l'a nourri durant une demi-heure, le nouveau-né venant de lui-même car il cherchait son sein. Vers 6 heures 30, A._ a déposé son nouveau-né sur le tapis de la salle de bain. Elle a pris un linge qu'elle a maintenu sur la tête de l'enfant de ses deux mains et l'a étouffé durant une demi-heure. Pendant qu'elle l'étouffait, elle sentait les battements du coeur du nouveau-né car en serrant le linge sur son visage, elle avait positionné son bras droit sur le coeur de l'enfant. Durant l'acte, celui-ci a gigoté quelque peu et poussé de petits cris. A._ n'a jamais eu l'intention de garder ce bébé parce que ses trois premiers enfants lui suffisaient et qu'elle n'avait pas assez de place dans son appartement pour en garder un de plus. Elle a tué son benjamin afin que ses proches ignorent son existence, qu'il parte et que le problème se règle ainsi, par la mort. Après lui avoir ôté la vie, A._ a déposé son corps dans une armoire à vêtements, dans la chambre à coucher de ses deux fils. Elle a levé ses trois enfants, leur a préparé le déjeuner avant qu'ils s'en aillent à l'école et à la crèche pour sa fille. Une fois seule, A._ a pris le corps du bébé mort et lui a parlé durant une demi-heure. Elle l'a placé ensuite dans un sac à poubelles, puis dans un coffre sur le balcon. Cela fait, elle s'est affairée dans la maison et a décoré le sapin de Noël. Elle a pris ensuite le repas de midi avec ses parents et son aîné. Vers 14 heures, elle a saisi le sac où se trouvait la dépouille de l'enfant et l'a déposé dans la poubelle de la maison. Puis, elle a jeté la poubelle avec le cadavre, le placenta et le cordon ombilical, dans un " molok ". B.e. A la suite de ces événements, A._ ne s'est pas présentée au rendez-vous fixé le 9 décembre 2015 (terme théorique de la grossesse) avec une sage-femme ni n'a répondu aux appels téléphoniques de l'Hôpital de J._. Le jour-même, L._, sa mère, a été informée par une sage-femme que sa fille avait manqué un rendez-vous, que celle-ci était enceinte et que la grossesse était à son terme. L'intéressée a contacté sa fille pour lui conseiller de prendre contact avec l'Hôpital de J._. En regagnant son domicile, L._ a déclaré à sa fille, par le biais de l'interphone, qu'elle l'attendait chez elle. A._ s'est rendue au domicile de ses parents, avec I._, et a avoué à sa mère qu'elle avait accouché et qu'elle avait complètement paniqué; elle ne savait plus comment réagir. L._ a compris que sa fille s'était séparée du nouveau-né, sans que celle-ci ne le dise clairement. B.f. Le 10 décembre 2015, A._ a contacté téléphoniquement l'Hôpital de J._ et a informé les professionnels qu'elle avait accouché. Son interlocuteur lui a dit qu'elle pouvait se présenter au service de périnatalité avec son bébé. Elle s'est rendue seule à l'Hôpital de J._ par les transports publics. Informés que cette dernière était venue seule, la sage-femme conseil M._ ainsi que le Dr N._, pédo-psychiatre, ont questionné A._ au sujet de la localisation de l'enfant. C'est à ce moment-là qu'elle a avoué et décrit ce qui s'était passé. Le spécialiste a expliqué qu'elle " semblait soulagée de pouvoir expliquer ce qu'elle avait fait " et qu'il avait "eu l'impression qu'elle avait accepté de venir vers [eux] pour cette raison ". B.g. A._ a été placée à l'Hôpital de O._ sur un mode volontaire du 10 au 22 décembre 2015, puis maintenue dans cet établissement à des fins d'expertise du 23 décembre 2015 au 22 février 2016. Elle a ensuite regagné son domicile. B.h. En cours d'instruction, le Dr P._, psychiatre et psychothérapeute FMH, a été mandaté afin de procéder à une expertise. Il a rendu son rapport le 12 février 2016 et s'est encore exprimé dans un complément du 8 avril 2016, puis en audience ainsi qu'en réponse à des questions écrites du procureur. Il a conclu, en substance, à l'existence de divers troubles de la personnalité dans un contexte associé à la puerpéralité, tout en excluant résolument toute influence de l'état puerpéral dans la commission des faits. C. Le Ministère public du canton du Valais forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement sur appel du 9 octobre 2019. Il conclut, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens que A._ soit condamnée à 10 ans de privation de liberté, sous déduction de la détention avant jugement, pour assassinat. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du jugement querellé et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, A._ a été invitée à déposer des observations sur le recours par l'entremise de Maître Jean-Claude Vocat, désigné conseil d'office pour la procédure fédérale. Elle a conclu à son rejet par acte du 19 décembre 2019. Cette écriture a été transmise au Ministère public valaisan à titre de renseignement. La cour cantonale a renoncé à répondre au recours.