Faits : A. A.a. A.A._, ressortissant turc né en 1957, vit en Suisse depuis le 10 septembre 1972. Il est titulaire d'une autorisation d'établissement. Le 30 octobre 2010, l'intéressé a épousé en Turquie B.A._, ressortissante turque née en 1971. Celle-ci a rejoint son mari en Suisse le 27 février 2011 et a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, laquelle a été régulièrement renouvelée jusqu'en février 2017. Aucun enfant n'est issu de cette union. A.b. A.A._ n'exerce plus aucune activité lucrative depuis le début de l'année 2011. L'intéressé s'est inscrit en décembre 2017 auprès de l'Office régional de placement et a suivi un programme de réinsertion professionnelle entre les mois de février et de mai 2018. B.A._, hormis une activité de femme de ménage qu'elle n'a exercée que pendant trois jours en avril 2018, n'a jamais travaillé en Suisse. En 2012, elle a suivi un cours intensif de français pour débutants. Sur le plan financier, A.A._ et B.A._, qui résident à X._, ont bénéficié depuis le 1er avril 2011 de subsides provenant de l'aide sociale. Leur dette sociale s'élevait à 247'156 fr. 10 le 23 février 2018. B. Par décision du 12 mars 2018, après avoir adressé à B.A._ deux mises en garde en lien avec sa situation financière et lui avoir donné la possibilité d'exercer son droit d'être entendue, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de l'intéressée et prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 8 janvier 2019, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A.A._ et B.A._ contre cette décision. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que les intéressés étaient dépendants de l'aide sociale depuis 2011 et que, dans ces conditions, B.A._ ne pouvait pas se prévaloir d'un droit de séjour en Suisse. C. A l'encontre de l'arrêt du 8 janvier 2019, A.A._ (le recourant 1) et B.A._ (la recourante 2) déposent un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renouvellement de l'autorisation de séjour de la recourante 2. Ils demandent en outre au Tribunal fédéral de renoncer à percevoir "toute avance de frais". Le Service cantonal et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat aux migrations ne s'est pas prononcé. Par ordonnance du 28 janvier 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.