Faits : A. A.a. X._ a commencé en 2015 des études de sage-femme à la Haute école de santé Vaud (ci-après: la Haute école) en vue d'obtenir un baccalauréat de cette profession. En raison de ses convictions religieuses, elle a signalé à la doyenne de son école qu'elle faisait valoir son droit à l'objection de conscience dans le cadre de ses futurs stages, afin d'être dispensée de participer à des interruptions de grossesse. A.b. La Haute école a réservé une place de stage à X._ pour la période du 23 novembre au 18 décembre 2015 au sein des Hôpitaux universitaires de Genève (ci-après: HUG). Le 28 octobre 2015, X._ a adressé un courriel à cette institution, pour manifester son refus de participer ou d'assister à une interruption de grossesse. Par courriel du 13 novembre 2015, la responsable de l'unité "salle d'accouchement" des HUG a indiqué à la Haute école et à X._ qu'elle ne pouvait pas valider la demande de stage. Face à ce refus et après un entretien avec l'intéressée, la Haute école a décidé, le 3 décembre 2015, que X._ serait en interruption d'études jusqu'à la prochaine rentrée académique au minimum. Le 22 décembre 2015, la Haute école a précisé à X._ qu'elle cherchait les réponses les plus adéquates en fonction des cadres réglementaires et éthiques. La situation était encore à l'étude, mais X._ pouvait, dans un délai de 10 jours, déposer une réclamation à la direction de la Haute école. L'intéressée n'a pas fait usage de cette possibilité. A.c. Le 10 mai 2016, la Haute école a informé X._ qu'elle pourrait reprendre sa formation à la rentrée académique 2016. La Haute école avait obtenu du Centre hospitalier universitaire vaudois (ci-après: CHUV) les éléments permettant de prendre en compte son statut d'objectrice de conscience. Un avenant au contrat de stage tripartite entre la Haute école, l'étudiante et le CHUV était annexé, qui devait être signé par les trois parties. Par courriel du 8 juin 2016, X._ a accusé réception du pli du 10 mai 2016 et indiqué à la Haute école qu'elle avait décidé de ne pas reprendre sa formation à la rentrée du mois de septembre 2016, car la proposition qui lui avait été soumise ne lui convenait pas. Le 15 juin 2016, la Haute école a pris note de la décision de X._ d'arrêter sa formation de sage-femme avec effet immédiat. B. B.a. Par courrier du 17 novembre 2016, X._ a requis de la direction des ressources humaines des HUG une décision administrative confirmant le refus, communiqué en novembre 2015, de lui attribuer une place de stage d'étudiante sage-femme. Le 13 janvier 2017, les HUG ont indiqué à X._ qu'ils n'engageaient pas les stagiaires, mais se contentaient de mettre à disposition un certain nombre de places de stage dans le cadre d'un partenariat avec la Haute Ecole. Ils refusaient de prononcer une décision de non-engagement. B.b. Le 17 décembre 2016, X._ a saisi la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients de la République et canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) d'une dénonciation visant les HUG, dans le cadre du refus de cette institution de l'admettre à un stage de sage-femme. Le 23 février 2017, la Commission de surveillance a classé la dénonciation. Le stage relevait de la formation et non pas des soins ou de la santé au sens de la loi genevoise sur la santé du 7 avril 2006 (LS/GE; RS/GE K 1 03). Ce classement était communiqué par simple avis à X._, dès lors que celle-ci avait le statut de dénonciatrice. Le 24 mars 2017, X._ a demandé à la Commission de surveillance de reconsidérer sa décision. Par courrier du 13 avril 2017, la Commission de surveillance lui a confirmé qu'elle n'entendait pas ouvrir de procédure à l'encontre des HUG. B.c. Le 5 octobre 2017, X._ a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) d'un recours pour déni de justice, visant tant les HUG que la Commission de surveillance. Elle reprochait aux premiers d'avoir refusé, le 13 janvier 2017, de rendre une décision administrative concernant sa non-admission, en novembre 2015, à un stage d'étudiante sage-femme et à la seconde d'avoir, le 23 février 2017, classé sa dénonciation. Par arrêt du 23 janvier 2018, la Cour de justice a déclaré le recours interjeté par X._ contre les HUG et la Commission de surveillance irrecevable, faute de qualité pour recourir. C. Contre l'arrêt du 23 janvier 2018 de la Cour de justice, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt querellé et de renvoyer la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. La Cour de justice, qui ne formule pas d'observations, s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Les HUG concluent, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité des recours formés par X._, respectivement à leur rejet. La Commission de surveillance n'a pas déposé d'observations. X._ a répliqué, en maintenant ses conclusions.