Faits : A. La fondation de droit suisse "Fondation X._" (ci-après: la Fondation), dont le siège est à Genève, a pour but principal de soutenir la troupe artistique "X._", qui offre au public des spectacles de danse et de musique liés à la culture classique chinoise. L'institution de droit public "Grand Théâtre de Genève" (ci-après: le Grand Théâtre ou l'Institution), aménagée sous la forme d'une fondation, a pour but d'assurer l'exploitation du Grand Théâtre de Genève, notamment en y organisant des spectacles d'art lyrique, chorégraphique et dramatique. B. Par lettre du 26 août 2010, la Fondation a sollicité du Grand Théâtre la possibilité pour sa troupe de se produire sur la scène de ce dernier à une date située entre le 1er et le 6 mars 2011. Le même jour, une requête identique a été transmise au Conseil administratif de la Ville de Genève (ci-après: la Ville). Le 9 septembre 2010, Tobias Richter, directeur général de l'Institution (ci-après: le directeur général), a répondu à la Fondation que le Grand Théâtre n'était pas en mesure d'accueillir le spectacle en question, car celui-ci ne correspondait pas à son projet artistique. Par la suite, l'Institution a confirmé à plusieurs reprises cette position, en indiquant également qu'il n'y avait pas de places disponibles pour une représentation au printemps 2011, car les dates en question étaient toutes prises par les représentations du Grand Théâtre, lequel n'était pas un théâtre d'accueil, mais de création. Quant à la Ville, après avoir donné dans un premier temps son "accord de principe" à la requête de la Fondation, elle a relevé, par lettre du 9 février 2011, que le spectacle proposé n'était pas compatible avec la programmation artistique du Grand Théâtre et que celui-ci ne disposait d'aucune date permettant d'accueillir la troupe soutenue par la Fondation. En outre, la Ville a indiqué qu'elle ne pouvait pas se substituer à l'appréciation du Grand Théâtre, dès lors que la compétence pour décider de l'orientation générale de celui-ci appartenait exclusivement au conseil de fondation de l'Institution. C. Le 23 février 2011, la Fondation a recouru devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) contre le refus du Grand Théâtre de mettre à sa disposition la salle de spectacle et contre le refus de la Ville d'exercer sa charge d'autorité de surveillance à l'encontre de l'Institution. Par arrêt du 28 octobre 2014, la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours formé par la Fondation. Après avoir laissé ouverte la question de savoir si le rejet de la requête de la Fondation par le Grand Théâtre constituait une décision, les juges cantonaux ont relevé que le recours était de toute façon tardif et que la Fondation ne pouvait invoquer aucun intérêt actuel à recourir. Quant à la deuxième partie du recours, concernant la manière dont la Ville avait assumé son rôle d'autorité de surveillance, la Cour de justice a constaté qu'aucun lien direct et personnel n'existait entre la Fondation, d'une part, et la Ville en sa qualité d'autorité de surveillance, d'autre part, de sorte qu'en l'absence d'une voie de recours spécialement prévue par la loi, le recours était irrecevable aussi sur ce point. Par arrêt du 3 septembre 2015 (cause 2C_1157/2014), le Tribunal fédéral a admis le recours formé par la Fondation contre l'arrêt d'irrecevabilité rendu le 28 octobre 2014 par la Cour de justice. La Cour de céans a retenu que les juges précédents avaient violé le droit fédéral en déniant à la Fondation la qualité pour recourir et a renvoyé la cause à la Cour de justice pour qu'elle examine la question de l'existence d'une décision et, le cas échéant, entre en matière sur le recours déposé le 23 février 2011 par la Fondation. En revanche, le Tribunal fédéral a confirmé l'arrêt entrepris s'agissant du refus de la Ville de se prononcer sur l'orientation artistique de l'Institution. D. Par arrêt du 7 juin 2016, la Cour de justice, après avoir constaté que la Ville avait été définitivement mise hors de cause par l'arrêt du Tribunal fédéral du 3 septembre 2015, a estimé que le refus opposé à la Fondation de louer à celle-ci la salle du Grand Théâtre constituait une décision. Partant, elle est entrée en matière sur le recours du 23 février 2011 et l'a rejeté. La Cour de justice a notamment constaté que ledit refus restreignait valablement et de manière proportionnée la liberté d'expression de la Fondation. E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Fondation demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 7 juin 2016, de lui octroyer "l'autorisation de principe" de louer la salle du Grand Théâtre et de "faire injonction à la Fondation du Grand Théâtre de Genève de fixer une date" pour la représentation de son spectacle "entre le 1er mars et le 10 mai 2019 ou entre le 1er mars et le 10 mai 2020". Subsidiairement, elle requiert l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Grand Théâtre dépose des observations et conclut à l'irrecevabilité d'une partie des conclusions prises par la Fondation, respectivement au rejet du recours. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La recourante a répliqué.