Faits : A. Par ordonnance du 2 avril 2019, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de protection) a notamment accordé à A._ et B._ l'autorité parentale conjointe sur leur fils C._ (2012), attribué la garde de l'enfant au père, réservé à la mère un droit de visite et fixé les modalités de celui-ci, donné instruction à la mère de s'abstenir de toute consommation d'alcool avant et pendant chaque visite, respectivement de renoncer à une visite ou l'écourter si elle ne se sentait pas en état de s'occuper adéquatement de l'enfant, exhorté la mère à mettre en place les suivis requis sur le plan médical et thérapeutique auprès d'un lieu de consultation spécialisé, donné instruction à la mère d'organiser avec ses médecins la réalisation de tests toxicologiques inopinés et, cela fait, de prier ceux-ci d'en adresser aux curateurs les résultats, accompagnés de tous commentaires médicaux utiles, invité la mère à délier ces praticiens de leur secret médical, afin de les autoriser à collaborer dans la mesure utile avec le Service de protection des mineurs et notamment, à informer sans délai celui-ci en cas de péjoration de l'état de leur patiente ou d'interruption de sa prise en charge et instauré une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite. Il a déclaré son ordonnance immédiatement exécutoire. Par acte du 3 juin 2019, la mère a interjeté recours, concluant à l'annulation de l'ordonnance précitée et, préalablement, à la restitution de l'effet suspensif. Par décision du 14 juin 2019, le Président de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance) a restitué l'effet suspensif au recours. B. Par acte du 27 juin 2019, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à l'annulation de la décision querellée et à ce qu'il soit dit que l'effet suspensif n'est pas restitué, respectivement à ce que la demande d'effet suspensif soit rejetée. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il demande également que les frais et dépens des procédures cantonale et fédérale soient mis à la charge de l'intimée, subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à la Chambre de surveillance pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale. Invitée à se déterminer, l'intimée a conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement au rejet de celui-ci dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale s'en est quant à elle " rapport[ée] quant à l'octroi de l'effet suspensif et [s'est] référ[ée] aux considérants de son arrêt quant au fond ".