Faits : A. A.a. A._, ressortissant algérien né en 1981, est arrivé illégalement en Suisse en 2002. Le 16 février 2007, il a épousé B._, ressortissante tunisienne née en 1982 alors au bénéfice d'une autorisation de séjour annuelle. Trois enfants sont issus de cette union: C._, née en 2007, D._, née en 2008 et E._, né en 2010. Ceux-ci, de même que leur mère, ont obtenu des autorisations d'établissement le 4 novembre 2010. A._ et B._ se sont séparés en septembre 2013. Leur divorce a été prononcé le 11 juin 2014. A.b. L'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration (actuel Secrétariat d'Etat aux migrations) a, par décision du 18 novembre 2004, interdit à A._ d'entrer en Suisse pour une durée de dix ans. Cette décision est entrée en force. Il en a été de même de la décision du 16 novembre 2007 du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) refusant de délivrer une autorisation de séjour par regroupement familial à A._, ainsi que de la décision de cette même autorité du 11 août 2008 rejetant la demande de réexamen déposée par l'intéressé le 17 juin 2008. Au terme d'une procédure consécutive à la nouvelle demande de réexamen formulée par A._ le 12 janvier 2009, le Tribunal administratif fédéral a, par arrêt du 6 mars 2012, approuvé l'octroi d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial en faveur de l'intéressé et levé avec effet immédiat la décision d'interdiction d'entrée du 18 novembre 2004. Cette autorité a en outre attiré l'attention de A._ sur le fait qu'il devrait à l'avenir s'abstenir de commettre toute infraction, à défaut de quoi les autorités compétentes seraient probablement amenées, après réexamen de sa situation, à prononcer des mesures à son encontre. Le Service cantonal avait déjà informé le recourant en ce sens le 12 mars 2010. Le 19 mars 2012, A._ s'est vu délivrer une autorisation de séjour par regroupement familial, régulièrement prolongée jusqu'au 15 février 2015. A.c. Durant son séjour en Suisse, A._ a été condamné pénalement à treize reprises dont cinq pour des faits commis après la délivrance de son autorisation de séjour : - le 2 août 2002, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de 151 jours d'emprisonnement, assortie d'un sursis de deux ans, pour vol, délit manqué d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur et infraction à l'ancienne loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RO 49 279); l'expulsion du territoire suisse a en outre été prononcée pour trois ans; - le 30 septembre 2004, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de deux mois d'emprisonnement partiellement complémentaire à celle prononcée le 2 août 2002, le sursis accordé alors étant révoqué, pour vol, vol d'importance mineure, tentative de vol, contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121) et infraction à la LSEE; l'expulsion ferme du territoire suisse a en outre été prononcée pour une durée de trois ans; - le 15 février 2005, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de l'Est vaudois, à une peine d'emprisonnement de 100 jours, pour vol et rupture de ban; - le 2 juin 2006, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de six mois d'emprisonnement, pour vol, recel, rupture de ban et contravention à la LStup; - le 23 août 2006, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de deux mois d'emprisonnement pour rupture de ban; - le 3 novembre 2008, par le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende et à une amende de 500 fr. pour contravention et infraction à la LSEE et pour infraction à la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20); - le 17 décembre 2009, par le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de 120 jours-amende pour infraction à la LEtr; - le 11 juillet 2012, par le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois, à 200 heures de travail d'intérêt général pour infraction à la LEtr (infraction commise du 17 décembre 2009 au 5 avril 2011); - le 4 septembre 2013, par le Ministère public du canton de Vaud, à une peine privative de liberté de 30 jours pour vol (infraction commise le 3 septembre 2013); - le 30 avril 2014, par le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois, à une peine privative de liberté de 60 jours pour recel (infraction commise le 5 janvier 2014); - le 4 décembre 2014, par le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois, à une peine privative de liberté de 90 jours partiellement complémentaire à celle prononcée le 30 avril 2014, pour vol, dommages à la propriété et violation de domicile (infractions commises les 6 octobre 2013, 8 mars et 7 mai 2014); - le 4 mai 2015, par le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois, à une peine privative de liberté de 180 jours et à une amende de 400 fr. pour divers vols, infraction à la loi fédérale du 20 juin 1997 sur les armes, les accessoires d'armes et les munitions (LArm; RS 514.54) et contravention à la LStup (infractions commises les 20, 24 et 26 décembre 2014, 3 janvier, ainsi que les 1er, 9 et 10 mars 2015); - le 7 juillet 2016, par le Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois, à une peine de 20 jours-amende pour avoir, comme titulaire d'un permis d'élève conducteur, circulé au volant d'un véhicule automobile sans être réglementairement accompagné (infraction commise le 3 juin 2016). A.d. A._ s'est trouvé en incapacité de travail du 20 juillet 2012 au 30 septembre 2016. Il bénéficie du revenu d'insertion depuis le 1er septembre 2013, le montant perçu à ce titre s'élevant 52'183 fr. 45 au 14 août 2015. B. Par décision du 25 février 2016, le Service cantonal a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. La Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après : le Tribunal cantonal) a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre cette décision par arrêt du 12 janvier 2017. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, A._ conclut, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspen sif, principalement à l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal du 12 janvier 2017 et à la prolongation de son autorisation de séjour, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Par ordonnance du 15 février 2017, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours. Le Service cantonal renonce à se déterminer. Le recourant n'a pas déposé d'observations finales. Le 3 mai 2017, le Service cantonal a déposé une nouvelle pièce.