Faits : A. Le 10 août 2019, B._ a déposé plainte pénale contre son ex-épouse, A._, pour diffamation et injure. Le premier reprochait en substance à la seconde d'avoir, entre le 1eret le 10 août 2019, écrit et publié depuis son compte Facebook, ainsi que par l'intermédiaire d'autres comptes en utilisant des pseudonymes, des messages sur Messenger et sur le compte Facebook C._, ainsi que des courriers électroniques privés et à ses clients, dans lesquels elle le traitait notamment de "connard de merde", de "trou du cul", de "père ignoble", le dénigrant tant sur le plan personnel que professionnel. La partie plaignante, par l'intermédiaire d'un avocat de choix, a complété sa plainte le 22 août 2019. B._ a en particulier chiffré des prétentions civiles à hauteur de 20'000 fr. dans la mesure où certains des commentaires auraient été publiés directement sur la page Facebook de l'hébergement hôtelier qu'il exploitait. B._ a également requis la mise en prévention de A._ pour les infractions de calomnie, menaces et utilisation abusive d'une installation de télécommunication. Entendue le 8 octobre 2019, la prévenue a reconnu avoir écrit et publié l'ensemble des commentaires qui lui étaient imputés, que ce soit par le biais de son compte Facebook ou par l'utilisation de faux comptes. Elle a également admis l'envoi de courriers électroniques à son ex-époux et aux clients de ce dernier, ce "afin de défendre sa fille". Le 5 novembre 2019, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a adressé aux parties un avis de "prochaine condamnation" pour diffamation et injure; il leur a fixé un délai au 21 novembre 2019 pour présenter des réquisitions de preuve. B._, par l'intermédiaire de son mandataire, a précisé ses conclusions civiles, réclamant 2'287 fr. 85 pour ses frais de défense, 2'000 fr. à titre de tort moral et 20'000 fr., au titre de gain manqué (24'287 fr. 85 au total). B. Par lettre du 15 novembre 2019, l'avocat Mathias Micsiz a exposé qu'il avait été consulté par la prévenue et a sollicité, en son nom, le bénéfice de l'assistance judiciaire, ainsi que sa désignation en tant qu'avocat d'office. Cette requête a été rejetée le 21 novembre 2019. Le Ministère public a en substance considéré que A._ ne se trouvait pas dans un cas de défense obligatoire et qu'indépendamment de son indigence - non établie -, la cause ne présentait aucune complexité en fait ou en droit. Le 13 décembre 2019, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision. C. Par acte du 6 janvier 2020, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que Me Mathias Micsiz soit désigné en tant que son défenseur d'office, avec effet au 15 novembre 2019. A titre subsidiaire, elle demande son annulation et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Invités à se déterminer, le Ministère public et l'autorité précédente ont renoncé à déposer des déterminations, se référant à la décision attaquée.