Faits : A. A._, ressortissante étrangère, souffre de séquelles d'une poliomyélite avec atteinte du membre inférieur droit contractée à l'âge de cinq ans. Elle est arrivée en Suisse en février 2004, où l'assurance-invalidité a pris en charge des frais supplémentaires de formation professionnelle initiale, une aide au placement et des frais d'orientation professionnelle (communications des 25 septembre 2006, 20 juin 2008, 6 juillet et 7 octobre 2009. En 2009 et 2013, elle a eu deux enfants. Le 18 juillet 2011, A._ a déposé une demande d'allocation pour impotent, exposant qu'elle avait besoin de l'aide d'un tiers depuis septembre 2009 pour placer correctement l'orthèse sur sa jambe droite, ainsi que mettre et ôter les vêtements passant par cette jambe. Elle a aussi mentionné le besoin d'aide pour entrer et sortir de la douche depuis 2004. En outre, elle a indiqué avoir besoin d'un accompagnement durable et régulier pour faire face aux nécessités de la vie, soit pour lui permettre de vivre chez elle ainsi que pour les rendez-vous et les contacts hors domicile. Sur la base des renseignements obtenus (cf. rapport du docteur B._, spécialiste en médecine générale, du 22 août 2011; rapport d'enquête du 15 février 2012), l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande, par décision du 14 juin 2012. En bref, il a considéré que les conditions d'assurance n'étaient pas remplies, car le besoin d'aide dans l'accomplissement de certains actes ordinaires de la vie existait déjà en raison des séquelles d'une poliomyélite au moment où A._ était arrivée en Suisse. Cette décision a été annulée par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, qui, par jugement du 18 juin 2015, a renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire sur le caractère invalidant de l'obésité pathologique mise en évidence par l'expertise du docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (rapport du 21 août 2013). Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable un recours de la prénommée dirigé contre ce jugement (arrêt 9C_593/2015 du 23 septembre 2015). L'office AI a complété le dossier notamment par les avis des docteurs B._ (des 4 décembre 2015 et 21 décembre 2016) et C._ (du 6 avril 2016), ainsi que du Service médical régional (ci-après: le SMR; des 13 novembre 2015 et 4 février 2016). Par décision du 6 juillet 2017, l'office AI a rejeté la demande. En bref, il a retenu que l'excédent de poids n'avait pas provoqué d'atteinte à la santé et n'était pas la conséquence d'un trouble de santé, si bien que l'obésité ne devait pas être considérée comme une atteinte à la santé invalidante au sens de la loi. B. A._ a formé un recours contre cette décision que le Tribunal cantonal a rejeté par jugement du 5 novembre 2019. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré faible au moins, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée aux frais de justice. L'intimé conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.