Faits : A. A.a. A._ a été engagée avec effet au 1 er septembre 2016 par le Conseil administratif de la Ville de Genève (ci-après: le Conseil administratif) en tant qu'agente de police municipale pour une période initiale d'essai de deux ans. À sa sortie du centre de formation de la police, elle a été affectée à compter du 27 mars 2017 au poste de U._ puis transférée le 9 août 2017 au poste de V._. Elle a fait l'objet le 28 août 2017 d'un entretien d'évaluation par le caporal B._, qui a estimé qu'elle ne répondait pas aux exigences de la fonction. Lors d'un nouvel entretien d'évaluation qui a eu lieu le 1 er décembre 2017, le caporal C._ a estimé qu'elle ne répondait aux attentes d'aucun des critères d'appréciation. Par note du 11 décembre 2017 au commandant ad interim du service de la police municipale, A._ a contesté, sur quatorze pages, les griefs qui lui avaient été adressés. Le 16 décembre 2017, le caporal C._ a adressé au sergent D._, en mettant par erreur en copie l'ensemble de l'équipe, un courriel dans lequel il mentionnait notamment "Chaud les quatorze pages de A._, cette personne est vraiment mythomane et joue à fond la victime seule contre tous". A.b. Le 31 janvier 2018, le Conseil administratif a informé l'intéressée qu'il envisageait de résilier son engagement pendant la période d'essai. Le 12 mars 2018, A._ a été entendue par la nouvelle commandante du service de la police municipale; elle a fait état des pressions psychologiques dont elle s'estimait victime sur son lieu de travail, tant par le caporal B._ que par le caporal C._. Ce dernier a reçu un avertissement en raison du courriel précité du 16 décembre 2017 et A._ a en outre déposé plainte pénale contre lui le 15 mars 2018 pour diffamation, calomnie et injures. Par décision du 7 mai 2018, le Conseil administratif a résilié les rapports de service de A._ avec effet au 31 juillet 2018. B. B.a. A._ a recouru le 7 juin 2018 contre cette décision devant la chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la chambre administrative). Elle a conclu à ce que le licenciement soit annulé et à ce qu'il soit ordonné au Conseil administratif de la réintégrer dans ses fonctions d'agente de police municipale ou dans un poste similaire; en cas de refus de l'intimé, celui-ci devait être condamné à lui payer une indemnité de 157'117 fr. 20, équivalant à vingt-quatre mois de son dernier traitement brut; en outre, il devait être constaté qu'elle avait été atteinte dans sa personnalité et l'intimé devait être condamné à lui payer une indemnité de 78'558 fr. 60 pour tort moral. La Ville de Genève a conclu à l'irrecevabilité du recours en tant qu'il portait sur l'existence d'une atteinte à la personnalité et à son rejet pour le surplus. B.b. Lors de l'audience de comparution personnelle du 28 février 2019, A._ a déclaré qu'elle ne connaissait pas l'existence de la procédure spécifique en protection de la personnalité avant qu'un psychologue auprès de l'entité psychologie du travail de la ville lui en parle alors qu'elle était en poste à V._, mais c'était "trop tard". Par ailleurs, elle n'avait appris que récemment en quels termes ses collègues parlaient d'elle sur un groupe WhatsApp auquel elle ne participait pas. B.c. Le 12 mars 2019, la Ville de Genève a sollicité le prononcé d'une décision sujette à recours s'agissant de l'irrecevabilité des conclusions de la recourante en constatation d'une atteinte à sa personnalité et en paiement d'une indemnité pour tort moral, au motif que la contestation de la résiliation des rapports de service et la constatation d'une éventuelle atteinte à la personnalité étaient des procédures qui pouvaient donner lieu à des procès séparés. La recourante a conclu au rejet de cette requête, soutenant que la chambre administrative, saisie d'une action en contestation d'un licenciement, était compétente pour se saisir simultanément d'une demande en constatation d'une atteinte à la personnalité d'un fonctionnaire et en paiement d'une indemnité pour le tort moral subi par ce dernier. B.d. Par jugement du 21 mai 2019, la chambre administrative a déclaré irrecevables les conclusions en constatation de l'atteinte à la personnalité ainsi que celles tendant au paiement d'une indemnité de 78'558 fr. 60 pour tort moral et a réservé la recevabilité du recours contre la décision de résiliation des rapports de service ainsi que la suite de la procédure. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que les conclusions jugées irrecevables par l'autorité précédente soient déclarées recevables, et subsidiairement à son annulation, la cause étant renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'autorité cantonale déclare s'en remettre à justice sur la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. La recourante a déposé une brève réplique.