Faits : A. A.a. C.Y._, ressortissant tunisien, né en1972, est arrivé en Suisse en 1993. Titulaire d'une autorisation d'établissement depuis 2006, il a épousé, le 11 août 2008, en Tunisie, sa compatriote, X._, née en 1984 (art. 105 al. 2 LTF). Deux jumeaux, A.Y._ et B.Y._, nés en 2009 en Tunisie, sont issus de cette union. A.b. Le 20 décembre 2012, X._ a déposé une demande de regroupement familial pour elle et ses enfants auprès de l'ambassade de Suisse à Tunis. Par décision du 28 juin 2013, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après : le Service cantonal) a refusé l'octroi d'un visa de long séjour ainsi que celui d'une autorisation de séjour, respectivement d'autorisations d'établissement. Il motivait sa décision par le faitque, d'une part,la famille ne disposait pas des moyens financiers suffisantspour un éventuel séjouren Suisse etque, d'autre part, les requérants ne pouvaient pas se prévaloir de l'art. 8 CEDH. Par décision du 10 décembre 2014, le Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après : le Département) a rejeté un recours formé par les intéressés contre la décision précitée du Service cantonal. La décision du Département précitée n'a pour sa part fait l'objet d'aucun recours. A.c. Par décision du 24 mars 2015, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a octroyé à C.Y._ une demi-rente d'invalidité à compter du 1er décembre 2011, étant précisé que cette rente se voit complétée par des prestations complémentaires. B. Le 27 juillet 2015, X._ et ses enfants sont entrés en Suisse munis de visa Schengen délivrés par d'autres pays européens (art. 105 al. 2 LTF) et ont formé une nouvelle demande d'autorisations de séjour respectivement d'établissement. Traitant celle-ci comme une requête de reconsidération de sa décision du 28 juin 2013, le Service cantonal est entré en matière et l'a rejetée. Suite à un recours des intéressés, le Département a confirmé ce refus par décision du 5 septembre 2016. Par arrêt du 22 septembre 2017, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a également rejeté un recours subséquent interjeté par X._ et ses enfants contre la décision du Département précitée. C. X._ (ci-après: la recourante 1), A.Y._ (ci-après: le recourant 2) et B.Y._ (ci-après: la recourante 3) interjettent un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Ils demandent, outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, l'annulation de l'arrêt attaqué, la délivrance d'autorisations de séjour respectivement d'établissement en leur faveur, subsidiairement le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Le 30 octobre 2017, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à demander une avance de frais et informé les intéressés qu'il serait statué ultérieurement sur leur demande d'assistance judiciaire. Par ordonnance du 31 octobre 2017, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a refusé d'octroyer l'effet suspensif au recours. Le Tribunal cantonal, le Département et le Service cantonal concluent au rejet du recours. Les recourants n'ont pas déposé d'observations finales.