Faits : A. Le 6 avril 2020, A._ a déposé plainte contre B._, avocat, pour injure et diffamation. Dans le cadre d'un litige opposant C._ aux clients de Me B._ devant le Tribunal des baux et loyers genevois, A._ avait demandé à ce tribunal de pouvoir assister la prénommée en tant que mandataire professionnellement qualifié. Dans une écriture, déposée le 18 septembre 2019, Me B._ avait notamment écrit que "l'on ne sait s'il dispose de toutes ses capacités intellectuelles", A._ ayant, devant d'autres juridictions, prétendu avoir été victime d'un AVC. L'intéressé avait aussi écrit : "A._ ne s'interdit pas de me diffamer par le biais de C._". Invité par le ministère public à lui transmettre toutes pièces susceptibles de démontrer le respect du délai de plainte au sens de l'art. 31 CP, A._ a précisé que, au mois de février 2020, C._ - qui était en litige avec Me B._ - lui avait demandé de rédiger des réquisitions de preuves et une liste de témoins dans le cadre d'une procédure pénale. Celle-ci lui avait ainsi envoyé le courrier litigieux le 27 février 2020. A._ a ajouté que, s'estimant soumis au secret professionnel et sachant que le ministère public avait accès aux documents que C._ avait déposés au mois de mars 2020 auprès du Tribunal de police et du Tribunal des baux et loyers genevois - lesquels pouvaient expliquer le retard de sa plainte -, il renonçait à produire ceux-ci. B. Par ordonnance du 14 mai 2020, le Ministère public de la République et canton de Genève a refusé d'entrer en matière sur la plainte du 6 avril 2020. Il a, en substance, considéré que cette plainte avait été déposée tardivement. C. Par arrêt du 17 juin 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 14 mai 2020 et a refusé d'accorder au prénommé le bénéfice de l'assistance judiciaire. D. A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 juin 2020, en concluant, avec suite de dépens, à sa réforme en ce sens que l'ordonnance de non-entrée en matière du 14 mai 2020 est annulée et que la cause est renvoyée au ministère public en vue de l'ouverture d'une instruction à l'encontre de Me B._. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire et demande qu'un "court délai" lui soit accordé pour "faire compléter" son écriture par un avocat, voire pour "produire de nouveau l'ensemble des pièces déjà produites".