Faits : A. Le 22 janvier 2019, A._ a sollicité l'assistance judiciaire pour ouvrir action en divorce. Cette requête a été rejetée le 20 février 2019 par le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève; par décision du 24 mai suivant, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce refus. B. B.a. Par jugement du 30 août 2019, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux A._ et B._, maintenu l'autorité parentale conjointe sur les enfants, attribué la garde de ceux-ci à la mère et condamné le père au versement d'une contribution à leur entretien, après lui avoir imputé un revenu hypothétique de 15'000 fr. par mois. B.b. Le 3 octobre 2019, A._ a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour appeler de ce jugement. Statuant le 15 janvier 2020, la Présidente du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté la requête; le 11 mars suivant, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours du requérant contre cette décision. C. Par écriture (non signée) expédiée le 28 mai 2020, A._ interjette un recours au Tribunal fédéral selon l'" art. 78 LTF " contre la décision du 11 mars 2020; sur le fond, il conclut à l'octroi de l'assistance judiciaire dans la procédure de divorce. Des observations n'ont pas été requises. D. Par ordonnance présidentielle du 5 juin 2020, la requête du recourant tendant à la prolongation du délai de recours pour remettre des pièces complémentaires a été rejetée; en outre, un délai au 16 juin 2020 lui a été imparti pour remédier au défaut de signature manuscrite.