Faits : A. A._ a été engagée en qualité d'intérimaire par C._SA (société dont les actifs et passifs ont été repris par B._ SA en 2013) le 21 juin 2004. Dès le 6 janvier 2005, elle a travaillé comme employée fixe en tant qu'opératrice sur presses. Son travail consistait à placer, avec sa main gauche, une pièce à étamper sur la matrice, à nettoyer la matrice et la pièce au moyen d'une soufflette tenue dans la main droite, à actionner la presse en appuyant sur une pédale, à retirer la pièce étampée avec la main gauche et à répéter le processus. Le 2 juillet 2008, l'employée a été victime d'un accident sur son lieu de travail. Alors qu'elle procédait aux travaux d'étampage, elle s'est piquée au pouce gauche à plusieurs reprises jusqu'à saigner. Elle s'est rendue à l'infirmerie pour y faire poser un pansement. Lorsqu'elle est revenue à son poste de travail, elle a voulu récupérer la pièce qui était tombée derrière l'outillage de la machine à étamper lors de la dernière manoeuvre exécutée. Elle a alors tendu la main droite dans la machine et s'est profondément coupée à l'annulaire droit avec la cale de compensation. Il n'y a eu aucun autre accident de cette nature dans l'entreprise, ni avant, ni après cet événement. Le 31 janvier 2009, l'employée a été licenciée. L'assurance-invalidité lui a reconnu un degré d'invalidité de 100 % dès le 2 juillet 2009, puis de 53 % dès le 13 juin 2011. La CNA/Suva (Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents) lui a alloué une rente d'invalidité de 22 % dès le 1 er juillet 2011 et une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %. B. B.a. A l'issue d'une procédure de conciliation infructueuse, l'employée a porté sa demande, le 31 mai 2017, devant le Conseil de prud'hommes du Tribunal de première instance de Porrentruy, concluant à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer 30'000 fr. avec intérêts et précisant qu'il s'agissait d'une action partielle. Avec l'accord des parties, les débats ont été limités à la question du principe de la responsabilité de l'employeuse. Par jugement du 5 septembre 2018, le Tribunal de première instance a débouté l'employée. Les premiers juges ont laissé ouverte la question de la recevabilité de l'action partielle. Ils ont considéré que l'accident, aux conséquences graves et invalidantes pour l'employée, n'était pas imputable à une violation du devoir de diligence de l'employeuse. L'imprudence commise par l'employée était inhabituelle et lui était imputable. Malgré le sort de la demande, l'employée n'était pas redevable de dépens vu le rapport de force inégal avec l'employeuse. B.b. Le Tribunal cantonal du canton du Jura a été saisi d'un appel de l'employée et d'un appel joint de l'employeuse (ce dernier sur la question des dépens de première instance). Par arrêt du 14 mars 2019, il a rejeté l'appel et admis l'appel joint, condamnant l'employée à verser à l'employeuse une indemnité de dépens de 13'901 fr. pour la procédure de première instance et de 3'781 fr. pour celle de deuxième instance. Ses motifs seront évoqués ci-dessous dans la mesure utile à la discussion. C. L'employée a interjeté un recours en matière civile contenant les mêmes conclusions que dans sa demande. L'autorité précédente s'est référée à son arrêt. L'employeuse a pour sa part conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La recourante a déposé une réplique suscitant le dépôt d'une duplique de la partie adverse, tous mémoires par lesquels elles ont confirmé leurs conclusions respectives.