Faits : A. Par jugement du 18 mars 2019, le Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers a reconnu B.B._ coupable d'abus de confiance, de faux dans les titres et de violation d'une obligation d'entretien et l'a condamné à 12 mois de peine privative de liberté avec sursis pendant trois ans et à 3'226 fr. 50 de frais de justice. Il a également reconnu A._ coupable de faux dans les titres et l'a acquitté des préventions d'abus de confiance et d'escroquerie. Il l'a condamné à 20 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, à une part des frais de justice arrêtée à 1'075 fr. et à une indemnité de dépens de 3'500 fr. pour les frais de défense de la partie plaignante. Il l'a enfin condamné à verser sur un compte bloqué du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers un montant de 20'000 fr. en vue de la liquidation du régime matrimonial des époux B._. Le Tribunal de police a refusé qu'une indemnité au titre de l'art. 429 CPP soit allouée à A._. B. Par jugement du 29 octobre 2019, la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a partiellement admis l'appel de A._ et a annulé le jugement du 18 mars 2019 en tant qu'il le condamnait à verser un montant de 20'000 fr. sur un compte bloqué. La cour cantonale a confirmé le jugement du Tribunal de police pour le surplus. En résumé, la cour cantonale a retenu les faits suivants: B.a. En été 2009, les époux B._ ont acquis ensemble le snack-bar C._, sis avenue D._ à E._. Les époux ont conjointement exploité l'établissement jusqu'à leur séparation le 24 juin 2014. Le 5 janvier 2015, le snack-bar a été inscrit au registre du commerce au nom de B.B._, en raison individuelle. B.b. Par contrat du 3 mars 2016, B.B._ a vendu à A._ le snack-bar C._, avec son "infrastructure technique complète, comprenant notamment le mobilier, les appareils divers, l'agencement, les installations d'aération, le réfrigérateur à boissons, les tables et les chaises". Le contrat mentionnait que le prix de vente était de 10'000 fr., hors TVA et payables au comptant. Le contrat de vente a été préparé par la fiduciaire du vendeur, à la demande de celui-ci. Le prix de vente réel du snack-bar convenu entre B.B._ et A._ était de 150'000 fr. et non de 10'000 fr. comme mentionné dans le contrat. B.c. Le 25 avril 2016, F.B._ a déposé plainte pénale contre B.B._, à qui elle reprochait d'avoir vendu le snack-bar sans son accord, alors qu'elle était copropriétaire du mobilier et du matériel, qui plus est pour le prix de 150'000 fr., alors que le prix annoncé était de 10'000 francs. C. Contre ce dernier jugement cantonal, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, avec suite de frais et dépens, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est acquitté du chef de prévention de faux dans les titres et qu'une indemnité au sens de l'art. 429 CPP d'un montant de 5'542 fr. 93 pour la procédure de première instance et d'un montant de 2'610 fr. 25 pour la procédure d'appel lui est allouée. Il conclut "en tout état de cause et subsidiairement aux conclusions" susmentionnées à ce qu'une indemnité de 3'500 fr. lui soit allouée pour ses frais de défense relative à la libération de cinq préventions. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle l'acquitte du chef de prévention de faux dans les titres et qu'elle statue à nouveau sur la répartition des frais, des dépens et de l'indemnité au sens de l'art. 429 CPP pour la procédure cantonale. Invitée à se déterminer, la cour cantonale a renoncé à formuler des observations et se réfère aux considérants de son jugement. Le Ministère public a également renoncé à se déterminer.