Faits : A. A.a. A._, né en 1972, marié et père de deux enfants (nés en 2014 et 2017), a travaillé pour le compte de B._ SA du 11 juin 2009 au 31 janvier 2011. A ce titre, il a été assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès d'Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana), ainsi qu'auprès de la Fondation collective LPP Swiss Life (ci-après: la Caisse de pensions) pour la prévoyance professionnelle. A.b. A la suite d'un accident survenu le 5 septembre 2009, ayant notamment occasionné une fracture-luxation radio-carpienne du poignet droit, l'assuré a perçu des indemnités journalières de l'assurance-accidents entre le 8 septembre 2009 et le 30 avril 2014 (décision d'Helsana du 21 janvier 2014, et décision sur opposition du 30 avril 2014, confirmée par arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 20 août 2015). Il a par ailleurs été exonéré du paiement des cotisations de la prévoyance professionnelle dès le 5 décembre 2009 (correspondance du 18 janvier 2011). Une rente de l'assurance-invalidité lui a également été octroyée du 1er septembre 2010 au 31 mars 2012 (droit à une rente entière jusqu'au 31 décembre 2011, puis à une demi-rente; décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] du 27 mai 2016). En raison de troubles lombaires ayant nécessité différents examens médicaux dès le 7 mai 2014, l'office AI a ensuite reconnu le droit de l'assuré à une demi-rente d'invalidité dès le 1er mai 2015, assortie de rentes complémentaires pour enfants (décisions des 12 février et 27 mai 2016 et 15 et 27 novembre 2017). A.c. Au mois de janvier 2018, A._ s'est adressé à la Fondation collective LPP Swiss Life en vue d'obtenir des prestations de la prévoyance professionnelle. La Caisse de pensions a nié toute obligation de prester (correspondance du 8 février 2018). En bref, elle a considéré qu'un droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle ne pouvait pas être reconnu à l'assuré pour les suites de l'accident du 5 septembre 2009 dans la mesure où il avait perçu des indemnités journalières de l'assurance-accidents jusqu'au 30 avril 2014 et où il avait ensuite recouvré une capacité totale de travail. Quant à l'atteinte à la santé apparue en mai 2014, elle était distincte de celle occasionnée par l'accident en 2009 et était survenue à une époque où l'intéressé n'était plus assuré auprès d'elle. B. Le 24 juillet 2018, A._ a ouvert action devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Il a principalement conclu à ce que la Fondation collective LPP Swiss Life soit condamnée à lui octroyer une demi-rente d'invalidité du 1er octobre au 31 décembre 2011, puis dès le 1er mai 2015, assortie de rentes complémentaires pour ses enfants dès le 29 avril 2014 et le 1er octobre 2017. Par jugement du 30 août 2019, la juridiction cantonale a rejeté la demande. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement au renvoi du dossier à la juridiction cantonale pour complément d'instruction puis nouvelle décision. Préalablement, il requiert la suspension de la présente cause jusqu'au dépôt des expertises sollicitées dans le cadre d'une procédure civile pendante l'opposant à l'assureur responsabilité civile du "responsable de l'accident" du 5 septembre 2009, la Zurich Compagnie d'Assurances SA. Il a réitéré la demande de suspension le 22 novembre 2019.