Sachverhalt: A. A._ (geb. 1975) und B._ (geb. 1982), beide deutsche Staatsangehörige, sind die verheirateten Eltern von C._ (geb. 2007). B. B.a. Mit Eingabe vom 17. Oktober 2014 ersuchte B._ das Bezirksgericht Kreuzlingen um Erlass von Eheschutzmassnahmen. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, beantragte sie, ihr die alleinige elterliche Obhut über den Sohn zuzuteilen und dem Vater ein gerichtsübliches Besuchsrecht einzuräumen. Auch A._ verlangte die alleinige elterliche Sorge; eventualiter sei die wechselseitige Obhut über C._ beiden Parteien zuzusprechen, indem sich das Kind jede alternierende Woche bei einem der beiden Elternteile aufhalte (Eingabe vom 3. Dezember 2014). B.b. Nachdem es anlässlich der Eheschutzverhandlung vom 7. Januar 2015 feststellte, dass mit Blick auf den Obhuts- und - davon abhängig - den Unterhaltsstreit weitere Abklärungen erforderlich würden, verfügte das Bezirksgericht am 13. Januar 2015 "superprovisorisch", C._ vorläufig der Obhut der Mutter anzuvertrauen und dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen. In der Folge verlangte A._, den Entscheid vom 13. Januar 2015 abzuändern und die wechselseitige Obhut anzuordnen. Das Bezirksgericht wies das Begehren am 23. März 2015 ab. Einem Antrag der Mutter, das Besuchsrecht des Vaters vorläufig auszusetzen, war kein Erfolg beschieden (Entscheid des Bezirksgerichts vom 1. April 2015). B.c. Im Eheschutzverfahren fällte das Bezirksgericht am 15. Juni 2015 seinen Entscheid. Es bewilligte den Eheleuten per 1. August 2013 das Getrenntleben, regelte die Benutzung der ehelichen Wohnung und setzte die Kinder- und Frauenalimente fest. Die Obhut über C._ übertrug es der Mutter. Dem Vater räumte es ein ausgedehntes Besuchs- und Ferienrecht in dem Sinne ein, dass der Sohn zwei von drei Wochenenden sowie die Zeit von Mittwochabend bis Donnerstagvormittag (Schulbeginn) beim Vater verbringt. C. A._ reichte Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau ein. Dieses erklärte das Rechtsmittel mit Entscheid vom 21. Oktober 2015 für unbegründet und bestätigte den bezirksgerichtlichen Entscheid. D. D.a. Mit Beschwerde vom 14. Dezember 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, C._ unter die alternierende Obhut der Eltern zu stellen, und beantragt folgende Betreuungsregelung: " in geraden Wochen : von Sonntag, 00.00 Uhr bis Schulbeginn (08.15 Uhr) beim Vater; von Montag, 08.15 Uhr (Schulbeginn), bis Mittwochabend, 18.00 Uhr bzw. nach dem Sport, bei der Mutter; von Mittwochabend, 18.00 Uhr, bzw. nach dem Sport, bis Samstag, 12.00 Uhr, beim Vater; von Samstag, 12.00 Uhr bis Sonntag, 00.00 Uhr, bei der Mutter. in ungeraden Wochen : von Sonntag, 00.00 Uhr bis Mittwochabend, 18.00 Uhr bzw. nach dem Sport bei der Mutter; von Mittwochabend, 18.00 Uhr, bzw. nach dem Sport, bis Sonntag 00.00 Uhr, beim Vater." Die Ferien soll der Sohn hälftig und die Feiertage alternierend bei einem Elternteil verbringen. Ferner erklärt der Beschwerdeführer, an den Unterhalt von Mutter und Kind ab 1. Oktober 2014 monatlich höchstens Fr. 1'240.-- bezahlen zu wollen, wobei dieser Betrag im Ermessen des Bundesgerichts auf die Mutter und das Kind zu verteilen sei. Eventualiter sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne des Hauptantrags an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer, B._ (Beschwerdegegnerin) zur Bezahlung der Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens und einer angemessenen Parteientschädigung zu verurteilen. D.b. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde abzuweisen. Ausserdem ersucht sie für das Verfahren vor dem Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege (Eingabe vom 14. April 2016). Auch die Vorinstanz beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde (Schreiben vom 29. März 2016). Die Vernehmlassungen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.