Sachverhalt: A. A.a. Am 25. November 2013 stellte A._ beim Obergericht des Kantons Bern als Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen ein Ausstandsgesuch gegen alle Mitarbeiter des Betreibungsamtes U._. Anlass hiezu bildete das gegen die Gesuchstellerin hängige Betreibungsverfahren Nr. xxx. Das Obergericht wies das Begehren von A._ am 10. Dezember 2013 ab, soweit darauf einzutreten war (Verfahren AB 13 404). A.b. Dieser Entscheid wurde A._ mit Gerichtsurkunde vom 11. Dezember 2013 zugestellt, welche ihr am 12. Dezember 2013 zur Abholung auf der Post gemeldet wurde. Da der Entscheid innert der 7-tägigen Frist nicht abgeholt worden war, sandte ihn die Post mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Obergericht zurück. Mit Schreiben vom 3. Januar 2014 liess das Obergericht seinen Entscheid mit gewöhnlicher Post an A._ zugehen. Dabei wurde der Adressatin mitgeteilt, dass Postsendungen, die zur Abholung angemeldet und innert sieben Tagen nicht abgeholt werden, am letzten Tag der Abholfrist als zugestellt gelten. B. B.a. Der am 6. Dezember 2015 von A._ bestellte Rechtsvertreter gelangte am 7. Dezember 2015 an das Obergericht und verlangte Akteneinsicht (im Verfahren AB 13 404), welche ihm gewährt wurde. B.b. Mit einer als "Beschwerdeergänzung" bezeichneten Eingabe gelangte die nun anwaltlich vertretene A._ am 8. März 2016 an das Obergericht. Sie verlangte die Feststellung, dass B._, C._, D._ und E._ vom Betreibungsamt U._ befangen seien. Deren Handlungen in den gegen sie laufenden Pfändungsverfahren Gruppe Nr. yyy sowie Nr. xxx seien als nichtig zu erachten. A._ stellte sich auf den Standpunkt, dass das Verfahren nach wie vor hängig sei, da ihr der Entscheid des Obergerichts vom 10. Dezember 2013 bisher nicht eröffnet worden sei. B.c. Die Aufsichtsbehörde trat mit Entscheid vom 4. Juli 2016 auf die Eingabe von A._ vom 8. März 2016 samt dem Gesuch um unentgeltliche Rechtpflege nicht ein. C. A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Juli 2016 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die vollständige Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Anweisung an die Vorinstanz, ein rechtsgenügliches Urteil zu fällen. Weiter stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen.