Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1983) stammt aus Sri Lanka und kam am 21. Oktober 1988 mit seiner Mutter und seinen Geschwistern zum Vater in die Schweiz. Er heiratete am 24. März 2006 eine Landsfrau. Aus der Beziehung gingen drei Kinder hervor (geb. 2006 und 2007). Die Ehe wurde am 29. November 2011 geschieden und die elterliche Sorge der Mutter übertragen. Seit dem 13. April 2012 ist A._ mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet; die beiden haben einen gemeinsamen Sohn (geb. 2010), der über die schweizerische Staatsbürgerschaft verfügt. A.b. A._ machte sich in der Schweiz wiederholt strafbar und wurde zuletzt mit Urteil vom 4. April 2012 zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten verurteilt (Betrug, Veruntreuung, betrügerischer Missbrauch einer Datenverarbeitungsanlage, Urkundenfälschung, Fälschen von Ausweisen usw.). Seit seiner Anwesenheit ist er insgesamt zu rund 72 Monaten Freiheitsentzug verurteilt worden. Seit dem 6. Februar 2008 befand A._ sich im Strafvollzug, dem er sich vom 25. Februar 2008 bis 5. Mai 2010 durch Flucht entzog. Ab dem 3. Juli 2012 trat er den vorzeitigen Strafvollzug an. Am 11. April 2014 ist A._ aus diesem entlassen worden. B. B.a. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (MIP) lehnte es am 29. September 2011 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern, was die Polizei- und Militärdirektion mit Entscheid vom 12. Februar 2013 auf Beschwerde hin bestätigte. Die Direktion ging aufgrund der wiederholten Straffälligkeit und der Unverbesserlichkeit von A._ davon aus, dass trotz dessen familiärer Beziehungen ein überwiegendes Sicherheitsinteresse daran bestehe, dass er das Land verlasse. Mit den heimischen Gebräuchen sei er über seine Familie und die tamilische Diaspora, in der er sich vorrangig bewegt habe, vertraut; seiner derzeitigen Gattin und dem gemeinsamen, sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befindenden Kind sei es gegebenenfalls zumutbar, ihm nach Sri Lanka zu folgen, da die Ehefrau ursprünglich ebenfalls von dort stamme. B.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 14. März 2014 ab, hielt das Amt für Migration und Personenstand indessen an, beim Bundesamt für Migration (seit 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration) ein Verfahren auf vorläufige Aufnahme einzuleiten; dementsprechend hob es die Anordnung auf, wonach A._ die Schweiz am Tag der Entlassung aus der Haft verlassen müsse: Das Bundesamt für Migration habe am 26. August 2013 beschlossen, nach zwei Inhaftierungen von Rückkehrern Wegweisungsvollzüge nach Sri Lanka vorläufig auszusetzen. Aufgrund der "plausiblen Vorbringen" von A._, er sei aufgrund seiner Herkunft und dem Umstand, dass zwischen seiner Familie und der LTTE (finanzielle) Verbindungen bestanden hätten, einer realen Gefährdung ausgesetzt, stelle sich - ausserhalb der Problematik der Verhältnismässigkeit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung - die Frage nach einer allfälligen Unmöglichkeit bzw. Unzulässigkeit des Wegweisungsvollzugs, weshalb es sich rechtfertige, diesbezüglich ein Verfahren einzuleiten und eine genauere Abklärung durch die Bundesbehörden zu veranlassen (vgl. Art. 83 Abs. 6 in Verbindung mit Abs. 7 AuG [SR 142.20]). C. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern insofern aufzuheben, als seine Beschwerde abgewiesen worden sei; er beanstandet ausdrücklich nicht die in Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids angeordnete Antragsstellung beim Staatssekretariat für Migration. A._ macht geltend, der angefochtene Entscheid sei wegen seiner Ehe, seinem familiären Verhältnis zu seinem (Schweizer) Kind und wegen seiner drei Kinder aus der früheren Beziehung unverhältnismässig. Es sei ihm nicht möglich, in seiner Heimat Fuss zu fassen, da er dort über kein Beziehungsnetz mehr verfüge und nur Tamilisch spreche. Er habe keine Beziehung mehr zu seinem Heimatland. Eine Eingliederung in den dortigen Arbeitsmarkt sei aufgrund sprachlicher und gesundheitlicher Probleme "mit erheblichen Schwierigkeiten" verbunden. Er sei mangelhaft sozialisiert, aber durchaus integriert. Im Übrigen sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, da entgegen seinen Anträgen kein aktuelles psychiatrisches Gutachten eingeholt worden sei; dies müsse vor Bundesgericht nachgeholt oder die Sache hierzu an die Vorinstanz zurückgewiesen werden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Staatssekretariat für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen. A._ hat replikweise an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten. D. Mit Verfügung vom 1. Mai 2014 hat der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.