Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 1. Oktober 2014 teilte die IV-Stelle Luzern A._ mit, es werde ihm durch die Ausgleichskasse Luzern ab 1. November 2014 eine ganze Rente der Invalidenversicherung von Fr. 2'097.- im Monat samt zwei Kinderrenten von je Fr. 839.- ausgerichtet. Betreffend IV-Nachzahlung wurde auf den Erlass einer rückwirkenden Verfügung verwiesen. In dem mit Zusprache einer Invalidenrente überschriebenen (zweiten) Teil der Verfügung wurde nach Darlegung der gesetzlichen Grundlagen und der Begründung, u.a. mit Stellungnahme zu den Einwänden gegen den Vorbescheid vom 28. Mai 2014, festgehalten: Wir verfügen deshalb: Sie haben Anspruch auf folgende Renten: Anspruchsbeginn: Art der Rente: 01.02.2011 01.07.2012 Viertelsrente ganze Rente Am 3. Dezember 2014 erliess die IV-Stelle zwei Verfügungen, womit sie die Rentenleistungen für die Zeit vom 1. Februar 2011 bis 30. Juni 2012 und vom 1. Juli 2012 bis 31. Oktober 2014 sowie die Höhe der Nachzahlung unter Berücksichtigung der Ansprüche Dritter (Verrechnung mit den Rückforderungen des Sozialamtes der Gemeinde und der Arbeitslosenkasse) festsetzte. B. Am 10. Dezember 2014 reichte A._ Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, ein mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung vom 3. Dezember 2014 sei aufzuheben und ihm spätestens ab Herbst 2010 bis zum 30. Juni 2012 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 30. April 2015 trat das kantonale Gericht auf das Rechtsmittel nicht ein. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 30. April 2015 sei aufzuheben und das Kantonsgericht anzuweisen, auf die Beschwerde vom 10. Dezember 2014 einzutreten. Die IV-Stelle ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.