Sachverhalt: A. Die Arbeitsverhältnisse von 80 Angestellten der E._ SA, unter ihnen B._ und C._, wurden auf den 1. April 2013 von der F._ AG übernommen. Die betroffenen Angestellten traten gleichzeitig von der Pensionskasse D._ (nachfolgend: PK D._), die zuvor für die berufliche Vorsorge zuständig war, in die Pensionskasse A._ (nachfolgend: PK A._) über. Die PK D._ überwies der PK A._ am 28. März 2013 Vorsorgekapital der Versicherten in Höhe von Fr. 6'276'433.30. In der Folge führte sie eine Teilliquidation mit Stichtag 31. Dezember 2013 durch. Mit Rundschreiben vom 22. Dezember 2014 orientierte sie insbesondere über die am Stichtag vorhandenen freien Mittel und den Verteilschlüssel; demnach entfielen von den freien Mitteln Fr. 1'235'911.- auf die Übertritte zur PK A._. Am 19. Februar 2015 übertrug sie freie Mittel in der genannten Höhe auf die neue Pensionskasse. Zuvor, auf den 1. Januar 2015, erfolgte bei der PK D._ eine Umstellung vom Leistungs- zum Beitragsprimat, verbunden mit einer Verstärkung der technischen Rückstellungen um rund Fr. 3'600'000.-. Zwischen dem 1. Januar 2014 und dem 19. Februar 2015 hatte die PK D._ auf ihrem Gesamtvermögen eine Performance von 5,45 % erzielt. Über eine entsprechende nachträgliche Erhöhung des Anspruchs auf freie Mittel konnte keine Einigung gefunden werden. B. Mit Klage vom 26. August 2015 liessen die PK A._, B._ und C._ beantragen, die PK D._ sei zu verurteilen, (1) den Anspruch der PK A._ aus Teilliquidation basierend auf den im Zeitpunkt der Ausrichtung der Teilliquidation vorhandenen Aktiven zu berechnen ohne Berücksichtigung der zu Gunsten der Beklagten zwischenzeitlich vorgenommenen Änderung der technischen Rückstellungen mit der damit verbundenen entsprechenden Verminderung der Aktiven und (2) den gemäss Ziff. 1 zu ermittelnden Betrag mit 5 % ab 19. Februar 2015 zu verzinsen; (3) eventualiter sei die PK D._ zu verurteilen, den gesamten Betrag, der aus Teilliquidation überwiesen wurde, ab 31. Januar 2014 mit 5 % zu verzinsen. Mit Entscheid vom 19. Mai 2016 trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt auf die Klagebegehren Ziff. 1 und 2 gar nicht sowie auf das Klagebegehren Ziff. 3 nur teilweise ein. C. Die PK A._, B._ und C._ lassen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, in Aufhebung des Entscheids vom 19. Mai 2016 sei das kantonale Gericht anzuweisen, auf die Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 der Klage einzutreten. Die PK D._ schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführer lassen eine weitere Eingabe einreichen.