Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) war während längerer Zeit Vorstandsmitglied und ist bis heute Mitglied des Vereins B._ in Liquidation (Beschwerdegegner). Mit Gesuch vom 13. Oktober 2014 ersuchte der Beschwerdeführer beim Zivilgericht Basel-Stadt um Eröffnung des Konkurses über den Beschwerdegegner gestützt auf Art. 190 SchKG. Er berief sich dabei sowohl auf den Tatbestand der betrügerischen Handlungen zum Nachteil der Gläubiger (Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG) als auch auf denjenigen der Zahlungseinstellung (Art. 190 Abs. 1 Ziff. 2 SchKG). Mit Entscheid vom 28. November 2014 wies das Zivilgericht das Begehren ab. B. Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 9. Februar 2015 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte, es sei über den Beschwerdegegner der Konkurs zu eröffnen. Mit Entscheid vom 7. Juli 2015 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab. C. Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2015 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts und die Eröffnung des Konkurses über den Beschwerdegegner; allenfalls sei die Sache an das Appellationsgericht oder das Zivilgericht zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.