Sachverhalt: A. Die 1959 geborene türkische Staatsangehörige X._ hielt sich mit einem Besuchervisum bei Verwandten in der Schweiz auf, als sie 2005 den 1964 geborenen Schweizer Y._ heiratete. Aufgrund dieser Eheschliessung erhielt sie hier eine Aufenthaltsbewilligung. 2010 verstarb Y._ in O._, wobei seine Gattin zu dieser Zeit in der Türkei weilte. B. Mit Verfügung vom 26. April 2011 lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab, da es die Voraussetzungen hierfür als nicht gegeben erachtete. Ein hiergegen ergriffener Rekurs wurde vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel mit Entscheid vom 13. September 2013 abgewiesen. Anders als das Migrationsamt ging das Departement nicht nur vom Fehlen der Verlängerungsvoraussetzungen aus, sondern es erachtete die Beziehung von X._ und Y._ von vornherein als Scheinehe. Hiergegen rekurrierte die Betroffene beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 17. Juli 2014 ebenfalls ab, doch liess es die Frage nach dem Vorliegen einer Scheinehe offen: Wie das Migrationsamt beschränkte sich das Appellationsgericht auf die Prüfung der Verlängerungsvoraussetzungen und erachtete diese als nicht gegeben. C. Mit Eingabe vom 15. September 2014 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen, es sei ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Migration (seit 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Migrationsamt verzichtet auf eine Vernehmlassung und schliesst sich der Stellungnahme des Appellationsgerichtes an. Mit Eingabe vom 5. Januar 2015 nimmt X._ zum Vernehmlassungsergebnis Stellung und hält an ihren Anträgen fest. Mit Verfügung vom 18. September 2014 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.