Sachverhalt: A. A.A._ und B.A._ heirateten am 23. August 2002 vor dem Zivilstandsamt in U._. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 2000) und D.A._ (geb. 2003). B. Am 29. September 2010 verfügte der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe gestützt auf eine Teileinigung der Parteien, die Kinder für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter zu stellen. A.A._ wurde ein Besuchsrecht eingeräumt und er wurde zu monatlichen Unterhaltszahlungen an die Kinder (je Fr. 800.--) und an die Ehefrau (Fr. 2'030.-- ab 2. Juli 2010) verpflichtet. C. C.a. Am 22. Juni 2012 machte B.A._ vor dem Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe die Scheidungsklage anhängig. A.A._ erklärte sich mit der Scheidung einverstanden. Eine Einigung in Bezug auf die Nebenfolgen der Scheidung konnte aber nicht gefunden werden. Namentlich verlangte jede Partei die Zusprechung der alleinigen elterlichen Sorge an sich selbst. Mit Urteil vom 9. Januar 2014 unterstellte der Einzelrichter die beiden Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter (Disp. Ziff. 2). A.A._ wurde ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt (Disp. Ziff. 3). Er wurde zudem verpflichtet, B.A._ an den Unterhalt von C.A._ und D.A._ je Fr. 1'000.-- pro Monat zu bezahlen zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen (Disp. Ziff. 4). B.A._ wurde ein bis 31. Dezember 2019 befristeter monatlicher Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'460.-- zugesprochen (Disp. Ziff. 5). C.b. Gegen dieses Urteil erhob A.A._ am 10. Februar 2014 Berufung beim Kantonsgericht Schwyz. Diesem beantragte er, ihm die elterliche Sorge zu übertragen und der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Gleichzeitig sei B.A._ zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder je Fr. 500.-- pro Monat beizusteuern. Von persönlichen Unterhaltsbeiträgen sei abzusehen. Eventualiter sei er zu verpflichten, B.A._ Unterhalt von Fr. 1'200.-- pro Monat zu bezahlen. C.c. Am 24. November 2014 beantragte A.A._ neu, die Kinder seien unter die gemeinsame elterliche Sorge der Parteien zu stellen. B.A._ verlangte die Abweisung der Berufung. Eventualiter seien die Kinder unter die gemeinsame elterliche Sorge der Parteien, aber unter die Obhut der Mutter zu stellen. C.d. Das Kantonsgericht hiess am 9. Juni 2015 die Berufung teilweise gut und stellte die Kinder C.A._ und D.A._ unter die gemeinsame elterliche Sorge von A.A._ und B.A._; die faktische Obhut wies es B.A._ zu (Disp. Ziff. 1 in Anpassung von Ziff. 2 des erstinstanzlichen Urteils). Zudem passte das Kantonsgericht die Indexklausel für die Kinderunterhaltsbeiträge an. Im Übrigen wurde die Berufung abgewiesen. D. Mit Eingabe vom 18. August 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das angefochtene Urteil teilweise aufzuheben und ihn von Unterhaltszahlungen an B.A._ zu befreien. Allenfalls seien diese auf Fr. 1'200.-- zu reduzieren und bis zum 31. Dezember 2019 zu befristen. Mit Eingabe vom 18. September 2015 reichte der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach. Es sind die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.