Sachverhalt: A. Die G._ AG betreibt unter anderem das Wasserkraftwerk Mühleberg sowie das einige Kilometer flussabwärts liegende Kernkraftwerk Mühleberg. Sie beabsichtigte, den Untergrund des Maschinenhauses sowie des Wehrs des Wasserkraftwerks zu verstärken und reichte der gemäss Art. 18 Abs. 1 und Art. 18a des Wassernutzungsgesetzes des Kantons Bern vom 23. November 1997 (WNG; BSG 752.41) zuständigen Bewilligungsbehörde, dem Amt für Wasser und Abfall des Kantons Bern (AWA), am 12. Juli 2012 ein entsprechendes Baugesuch ein. Das Bundesamt für Energie (BFE) führte in der Folge die für die Erteilung der Baubewilligung erforderliche sicherheitstechnische Prüfung durch und eröffnete dem AWA, dass es das Umbauprojekt unter Auflagen genehmige. Mit Gesamtbauentscheid vom 29. April 2013 bewilligte das AWA das Umbauprojekt unter Bedingungen und Auflagen und wies eine von A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ dagegen gemeinsam erhobene Einsprache ab, soweit es darauf eintrat. In der Rechtsmittelbelehrung wies das AWA die Verfahrensbeteiligten darauf hin, dass gegen den Entscheid Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) erhoben werden könne. B. A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ erhoben gegen den Gesamtbauentscheid des AWA am 30. Mai 2013 gemeinsam Beschwerde ans Bundesverwaltungsgericht. Sie beantragten, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die sicherheitstechnische Prüfung des BFE nicht korrekt durchgeführt worden sei und die Erdbebensicherheit der Anlage nicht nachweise. Die Sache sei zur korrekten Abklärung der Erdbebensicherheit durch das BFE an das AWA zurückzuweisen. Gleichzeitig übermittelten A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ der BVE "zur Sicherheit und Wahrung der Frist" ein Doppel der Beschwerde. Mit einzelrichterlichem Urteil vom 16. August 2013 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein, nachdem der eingeforderte Kostenvorschuss nicht fristgereicht geleistet worden war. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts blieb unangefochten. C. Am 30. September 2013 gelangten A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ mit einem neuen Rechtsvertreter an die BVE und beantragten, sie solle die Beschwerde vom 30. Mai 2013 an die Hand nehmen und diese dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern als Sprungbeschwerde überweisen oder eventualiter selber materiell behandeln. Am 7. November 2013 trat die BVE auf die Beschwerde vom 30. Mai 2013 mit Ergänzung vom 30. September 2013 nicht ein und entzog einer allfälligen Verwaltungsgerichtsbeschwerde die aufschiebende Wirkung. Gegen den Nichteintretensentscheid der BVE erhoben A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses wies die Beschwerde am 28. April 2014 ab. D. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. April 2014 haben A._, B._, C._, D._, E._ sowie F._ am 2. Juni 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die G._ AG hat mitgeteilt, dass die mit dem Gesamtbauentscheid vom 29. April 2013 bewilligten Arbeiten Mitte Mai 2014 abgeschlossen worden seien. Sie beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die BVE und die Vorinstanz beantragen Beschwerdeabweisung. Mit Eingabe vom 12. September 2014 halten die Beschwerdeführer an ihrer Beschwerde fest.