Sachverhalt: A. Die Liegenschaft KTN "..." in Rickenbach, Gemeinde Schwyz, mit einer Fläche von 1'084 m2 befindet sich in der Zone W2D (2-geschossige Wohnzone-dicht). Darauf steht ein Einfamilienhaus (X._strasse "..."). B._ und C._ beabsichtigen, im südwestlichen Bereich der Parzelle ein Einfamilienhaus mit Einliegerwohnung (X._strasse "...") zu erstellen. Am 28. Mai 2014 erteilte der Gemeinderat Schwyz die Bewilligung für das Bauvorhaben unter gleichzeitiger Eröffnung des Gesamtentscheides des Amtes für Raumentwicklung des Kantons Schwyz vom 22. Mai 2014 und unter Abweisung einer Einsprache des Nachbarn (Liegenschaft KTN "...") A._. Am 3. März 2015 hiess der Regierungsrat des Kantons Schwyz eine Beschwerde des Nachbarn gut und hob den Bewilligungsentscheid des Gemeinderates auf, weil das Bauvorhaben die zulässige Ausnützungsziffer überschritt. B. In der Folge änderte die Bauherrschaft ihr Projekt. Am 29. Mai 2015 bewilligte der Gemeinderat im Wesentlichen das angepasste Bauvorhaben unter Auflagen und Bedingungen und wies gleichzeitig eine erneute Einsprache von A._ im Sinne der Erwägungen ab. Am 6. Juli 2015 überwies der Regierungsrat eine dagegen von A._ eingereichte Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Dieses wies die Beschwerde am 18. Februar 2016 ab. C. A._ führt beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die ersuchte Baubewilligung nicht zu erteilen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Im Wesentlichen werden eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör sowie Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung und bei der rechtlichen Würdigung geltend gemacht. In prozessualer Hinsicht wurde um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ersucht. B._ und C._, der Gemeinderat Schwyz und das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Amt für Raumentwicklung verzichtete auf eine Vernehmlassung, liess dabei aber erkennen, dass es keine Einwände gegen das Bauprojekt hat. D. Mit prozessleitender Verfügung vom 24. Mai 2016 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.