Sachverhalt: A. A.a. A.B._ und C.D._ sind nicht miteinander verheiratet und die Eltern von E._ (geboren 2009) und F._ (2011). Die Kinder erhielten den Familiennamen der Mutter. A.b. Mit Entscheiden vom 16. und 17. April 2014 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks Hinwil der Mutter die elterliche Sorge für ihre Kinder und stellte diese unter die alleinige Sorge des Vaters. A.c. In der Folge wurde der Vater "vor dem 1. Juli 2014" mehrmals beim Zivilstandsamt der Stadt Winterthur vorstellig, um die Erklärung abzugeben, dass die Kinder seinen Familiennamen - denjenigen des Vaters als alleinigen Inhaber der elterlichen Sorge - tragen sollen. Am 7. Juli 2014 wurde die Namenserklärung schriftlich entgegengenommen und beurkundet sowie im Personenstandsregister der Familienname von "B._" in "D._" geändert. B. B.a. Am 26. September 2014 gelangte A.B._ an die Direktion der Justiz und des Innern (Gemeindeamt) des Kantons Zürich und beantragte, der Familienname "D._" der beiden Kinder sei im Personenstandsregister zu streichen und es sei an dessen Stelle "B._" einzutragen. Im Wesentlichen machte A.B._ geltend, dass am 1. Juli 2014 die Rechtslage geändert habe: Änderungen bei der Zuteilung der elterlichen Sorge hätten keine Auswirkungen auf den Namen der Kinder unverheirateter Eltern, unter Vorbehalt einer Namensänderung nach Art. 30 Abs. 1 ZGB. Mit Verfügung vom 13. November 2014 nahm das kantonale Gemeindeamt die Beschwerde als Aufsichtsbeschwerde entgegen und wies diese ab. B.b. Gegen die Verfügung des kantonalen Gemeindeamtes erhob A.B._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Sie erneuerte ihren Antrag, wonach "B._" anstelle "D._" als Familiennamen der Kinder einzutragen sei. Mit Urteil vom 29. Juli 2015 wurde die Beschwerde abgewiesen. C. Mit Eingabe vom 25. September 2015 hat A.B._ Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Juli 2015 aufzuheben. In der Sache sei der Name "D._" (den Namen des Beschwerdegegners) als Familiennamen der Kinder zu löschen und an dessen Stelle "B._" einzutragen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen, jedoch die kantonalen Akten eingeholt worden.