Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1987) wurde am 12. Januar 2006 von der Vormundschaftsbehörde des Kreises V._ entmündigt und unter die elterliche Sorge von B.A._ und C.A._ gestellt. Am 8. März 2012 hob die Vormundschaftsbehörde die Vormundschaft und die Rückversetzung unter die elterliche Sorge per 31. März 2012 auf. Gleichzeitig errichtete sie gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 aZGB in Verbindung mit Art. 393 Ziff. 2 aZGB eine kombinierte Beistandschaft. Als Beistand wurde D._ eingesetzt. B. B.a. Am 30. Juli 2013 legte D._ der seit 1. Januar 2013 zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) U._ u.a. den periodischen Rechenschaftsbericht vom 1. April 2012 bis 31. Dezember 2012 vor. Darin hielt er fest, dass es ihm nicht möglich gewesen sei, eine Beziehung zu A.A._ aufzubauen, welche mit dem Auftrag der Vormundschaftsbehörde des Kreises V._ vom 8. März 2012 vereinbar gewesen wäre. Da seine Bemühungen insgesamt erfolglos gewesen seien, legte er sein Mandat nieder und ersuchte die KESB U._ um die Einsetzung eines Berufsbeistandes. B.b. Am 19. März 2014 wurde A.A._ zur beabsichtigten Anpassung der für ihn geführten altrechtlichen Beistandschaft an das neue Recht und zur Ernennung einer neuen Beistandsperson angehört. Mit Entscheid der Kollegialbehörde vom 19. März 2014 ordnete die KESB U._ was folgt an: "4. Die aktuell bestehende Beistandschaft zur Vertretung, Einkommens- und Vermögensverwaltung (Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 aZGB) wird vorbehältlich der Vollstreckbarkeit der Errichtung der nachfolgenden Massnahme nach Erwachsenenschutzrecht per 30. April 2014 aufgehoben. Für A.A._ wird per 1. Mai 2014 eine Beistandschaft nach Erwachsenenschutzrecht errichtet. 5. Die Beiständin erhält die Aufgaben und Kompetenzen, A.A._ im Rahmen einer Vertretungsbeistandschaft (Art. 394 ZGB) in den nachfolgend aufgelisteten Bereichen zu beraten, zu unterstützen und soweit nötig bei allen damit verbundenen Handlungen (Administration, Rechtsverkehr) zu vertreten: a.a. Vermögensverwaltung (Art. 395 ZGB) : Verwaltung des gesamten Einkommens und Vermögens (insbesondere Bestreitung der Lebenskosten, Geltendmachen von Forderungen und Leistungsansprüchen, sorgfältige Verwaltung sämtlicher verwalteter Mobilien und Immobilien, Verkehr mit Banken, Post und ähnlichen Finanzinstituten); a.b. Arbeit und Bildung: stets für eine geeignete Berufs- bzw. Aus- und Weiterbildungssituation für A.A._ besorgt zu sein (insbesondere Arbeitsverhältnis, Bildungsinstitutionen, Stellensuche); a.c. öffentliche Verwaltung: insbesondere Verkehr mit Steuerbehörden, Gemeinden, Betreibungsamt; a.d. Versicherungen: stets für eine ausreichende und geeignete Versicherungsdeckung und Leistung besorgt zu sein (insbesondere Sozialversicherungen, private Versicherungen, Krankenkassen). 6. A.A._ wird der Zugriff auf das bei der Berufsbeistandschaft zu errichtende «Betriebskonto» entzogen (Art. 395 Abs. 3 ZGB). Die Beiständin wird angewiesen, das «Betriebskonto» auf den Namen von A.A._ zu eröffnen und die Kontodetails spätestens mit der Einreichung des Eingangsinventars mitzuteilen. 7. E._ (geb. 1952, von W._ / Berufsbeistandschaft X._) wird zur Beiständin von A.A._ ernannt." B.c. Gegen diesen Entscheid erhob A.A._ am 28. April 2014 Beschwerde beim Kantonsgericht von Graubünden. Sinngemäss verlangte er die Aufhebung der angeordneten Beistandschaft. Mit Entscheid vom 21. Juli 2014 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab und auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten des Beschwerdeverfahrens (Fr. 1'500.--). C. A.A._ wendet sich mit zwei Eingaben vom 15. September 2014 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Beistandschaft ersatzlos aufzuheben. Für den Fall, dass das Bundesgericht diesem Antrag nicht entspricht, verlangt A.A._ einen andern Beistand als E._. Schliesslich stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. D. Das Bundesgericht hat die Vorinstanz eingeladen, namentlich im Zusammenhang mit Art. 97 ZPO zur Beschwerde Stellung zu nehmen. Das Kantonsgericht äusserte sich mit Eingabe vom 10. März 2015. Die Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. Am 11. und am 30. März 2015 (je Datum der Postaufgabe) reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert Ergänzungen ("überarbeitetes Beschwerdeschreiben") zur Beschwerde ein. Am 31. März 2015 teilte er mit, dass ihm die letzte Sendung des Bundesgerichts (mit der Eingabe des Kantonsgerichts) infolge falscher Postleitzahl verzögert zugestellt worden sei; inhaltlich nahm er zur Vernehmlassung des Kantonsgerichts keine Stellung.