Sachverhalt: A. Die Eheleute B.A._ (Ehefrau) und A.A._ (Ehemann) sind die Eltern des 1994 geborenen Sohnes C.A._. Am 20. Oktober 2010 reichten sie eine Vereinbarung betreffend Getrenntleben ein, worauf der Eheschutzrichter des Kantons Schaffhausen mit Verfügung vom 25. November 2010 den gemeinsamen Haushalt der Parteien auf unbestimmte Zeit aufhob. Die Ehefrau wurde verpflichtet, die eheliche Wohnung bis spätestens 31. Dezember 2010 zu verlassen. Der aus der Ehe hervorgegangene Sohn wurde für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut des Ehemannes gestellt. Dieser wurde verpflichtet, für den Unterhalt des Sohnes aufzukommen und an den Unterhalt der Ehefrau monatliche, jeweils im Voraus zahlbare, erstmals per 1. Januar 2011 geschuldete Beiträge von Fr. 2'635.-- zu bezahlen. Das Urteil sah im Weiteren vor, dass sich der Unterhaltsbeitrag des Ehemannes bei einer Veränderung der finanziellen Verhältnisse von mehr als 10 % der in der beigelegten Vereinbarung vom 20. Oktober 2010 enthaltenen Bedarfsberechnung entsprechend ändere, wenn sich daraus eine "Veränderung des Unterhaltsbeitrages von mehr als Fr. 200.-- pro Monat ergebe". Einkommenserhöhungen sollen jeweils lediglich zu 80 % berücksichtigt werden. B. B.a. Am 30. November 2012 beantragte der Ehemann die Aufhebung der eheschutzrichterlichen Unterhaltsregelung. Die Ehefrau schloss am 19. Februar 2013 dahin, in Abänderung der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 25. November 2010 sei der Ehemann zu verpflichten, ihr monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'764.-- ab 1. Dezember 2012 und von Fr. 1'775.-- ab 1. Januar 2013 zu bezahlen. Mit Verfügung vom 31. Dezember 2013 verpflichtete die Eheschutzrichterin des Kantonsgerichts Schaffhausen den Ehemann in Abänderung der Verfügung vom 25. November 2010, an den Unterhalt der Ehefrau jeweils im Voraus zahlbare Beiträge von Fr. 830.-- zu bezahlen. Im Übrigen blieb es bei der Verfügung vom 25. November 2010. B.b. Die Ehefrau gelangte an das Obergericht des Kantons Schaffhausen und ersuchte darum, den Ehemann zu verpflichten, ihr ab dem 1. Dezember 2012 im Voraus jeweils auf den Ersten jeden Monats zahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'775.-- zu bezahlen. Mit Urteil vom 17. März 2015 hob das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Verfügung vom 31. Dezember 2013 bezüglich der Unterhaltsregelung auf und verpflichtete den Ehemann, der Ehefrau jeweils im Voraus zahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'764.-- ab 1. Dezember 2012 und von Fr. 1'775.-- ab 1. Januar 2013 zu leisten. C. Der Ehemann hat am 7. April 2015 (Postaufgabe) gegen den obergerichtlichen Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt im Wesentlichen, den obergerichtlichen Entscheid bezüglich der Unterhaltsverpflichtung aufzuheben. Eventualiter ersucht er darum, ihn in Abänderung der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 25. November 2010 zu verpflichten, an den Unterhalt der Ehefrau (Beschwerdegegnerin) monatlich, jeweils im Voraus mit Fr. 799.10, subeventuell mit Fr. 830.-- pro Monat beizutragen. Im Weiteren beantragt er, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu verleihen. D. Mit Präsidialverfügung vom 29. April 2015 wurde der Beschwerde nach Anhörung des Obergerichts und der Beschwerdegegnerin aufschiebende Wirkung für die bis und mit März 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge zuerkannt. E. Die Ehefrau hat sich am 15. Juli 2015 vernehmen lassen; sie schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat am 3. August 2015 repliziert. Die Beschwerdegegnerin hat am 10. August 2015 ihre Duplik eingereicht. Beide Parteien beharren auf ihren Standpunkten. F. Am 11. März 2013 reichte der Beschwerdeführer beim Kantonsgericht Schaffhausen das gemeinsame Scheidungsbegehren ein. In diesem Verfahren stellte er am 26. Juni 2013 ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen, womit er insbesondere beantragte, der heutigen Beschwerdegegnerin ab 26. April 2013 keinen persönlichen Unterhaltsbeitrag zuzusprechen. Gemäss dem heutigen Stand des Verfahrens hat das Obergericht des Kantons Schaffhausen das Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass vorsorglicher Massnahmen mit Entscheid vom 27. März 2015 abgewiesen. Der Beschwerdeführer hat auch diesen Entscheid am 10. April 2015 beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten (5A_294/2015 act. 1 und 2).