Sachverhalt: A. A.a. Am 29. Dezember 2014 klagte A.A._ vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland auf Scheidung der Ehe mit B.A._. Mit Entscheid vom 4. Februar 2016 stellte das Regionalgericht fest, dass A.A._ den Gerichtskostenvorschuss nicht innert Frist geleistet habe, und trat auf die Klage nicht ein. A.b. Mit Eingabe vom 12. März 2016 beantragte A.A._ beim Regionalgericht, der für das Scheidungsverfahren zuständige Gerichtspräsident D._ (Beschwerdegegner) habe in den Ausstand zu treten und es seien verschiedene Entscheide und Verfügungen aufzuheben bzw. als nichtig zu erklären. Am 16. März 2016 leitete das Regionalgericht die Eingabe an das Obergericht des Kantons Bern zur Prüfung der Frage weiter, ob A.A._ Berufung eingereicht habe. Mit Schreiben vom 17. März 2016 teilte A.A._ dem Obergericht mit, er sei mit dem Vorgehen des Regionalgerichts nicht einverstanden. Sein Gesuch sei durch dieses zu behandeln. In der Folge überwies das Obergericht die Akten dem Regionalgericht, da keine Berufung erhoben worden sei. A.c. Mit Entscheid vom 8. April 2016 wies das Regionalgericht das Ausstandsgesuch ab. B. Die von A.A._ am 28. April 2016 hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Entscheid vom 10. Mai 2016 (eröffnet am 18. Mai 2016) ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juni 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, was folgt: "1. Es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, i.S. A.A._ c. D._, vom 10.05.2016, vollumfänglich aufzuheben. 2. Ziffer 1 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden. 3. Ziffer 2 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden. 4. Ziffer 3 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden. 5. Ziffer 5 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden. 6. Folgende Oberrichterin und Oberrichter werden wegen Befangenheit aufgrund von Nichtbeweisabnahme per sofort abgelehnt: a) Frau Oberrichterin E._ b) Herr Dr. iur. F._ c) Herr Dr. iur. G._ 7. Es sollen aufgrund der bewiesenen Befangenheit von [D._] sämtliche Entscheide vom 24.03.2015 bis heute annulliert d.h. als ungültig erklärt werden. 8. Gemäss Art. 50 ZPO soll [D._] dazu angehalten werden[,] sich zu den Befangenheitsgründen zu äussern. 9. Es sollen dem Noch-Ehemann aufgrund der tatsächlichen Befangenheit von [D._] keine Gerichtskosten mehr auferlegt werden. 10. Es [soll] dem Noch-Ehemann eine angemessene Parteientschädigung gem. Art. 68 BGG eingeräumt werden. 11. Wegen klarer Befangenheit von [D._] soll das Verfahren an die Vorinstanz zwecks Neubeurteilung unter neuer Leitung zurückgewiesen werden. 12. Es [sollen] dem Noch-Ehemann wegen bewiesener Erfolgschancen die [unentgeltliche Rechtspflege] zugestanden und [es sollen] seinerseits keine Gerichtskosten mehr verlangt werden. 13. Es sei eine öffentliche und mündliche Verhandlung aufgrund der Partei als Privatperson [durchzuführen]. 14. Es seien an den Noch-Ehemann und seinem Rechtsvertreter als Privatpersonen d.h. als juristische Laien keine allzu hohen Anforderungen mehr zu stellen. 15. [...]" Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.