Sachverhalt: A. A.a. Der aus Mazedonien stammende A._ (geb. 1987) heiratete am 28. Januar 2009 die in der Schweiz niedergelassene Landsfrau B._. Er reiste im Oktober 2009 im Rahmen des Familiennachzugs erstmals in die Schweiz ein, verliess das Land am 3. Dezember 2009 aber bereits wieder, und seine Ehe wurde am 13. April 2010 vom Bezirksgericht Meilen geschieden. A.b. Am 2. November 2012 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau C._ (geb. 1988), reiste im Rahmen des Familiennachzugs am 13. Januar 2013 erneut in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Gemäss deren Eheschutzbegehren vom 2. September 2013 trennte sich das Paar am 5. Juli 2013 und A._ zog aus der gemeinsamen Wohnung aus. B. Mit Verfügung vom 13. März 2014 verlängerte das aargauische Amt für Migration und Integration (im Folgenden: MIKA) - nachdem es A._ das rechtliche Gehör gewährt hatte - dessen Aufenthaltsbewilligung nicht mehr und wies ihn an, spätestens 30 Tage nach Rechtskraft der Verfügung die Schweiz zu verlassen. Die von A._ hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Einsprache-Entscheid des MIKA vom 25. Juni 2014, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 8. Juli 2015). C. Mit Eingabe vom 25. August 2015 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das MIKA anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventuell sei das MIKA zu verpflichten, die Angelegenheit dem Staatssekretariat für Migration zur Anordnung der vorläufigen Aufnahme gemäss Art. 83 Abs. 1 und Abs. 4 AuG vorzulegen. Das MIKA beantragt Abweisung der Beschwerde, ebenso das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und das Staatssekretariat für Migration (SEM). D. Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 26. August 2015 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.