Sachverhalt: A. In der von B._ gegen A._ angehobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Spreitenbach erteilte der Präsident des Bezirksgerichts Baden am 4. Februar 2016 antragsgemäss die definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 322'558.--, Fr. 10'020.90 und Fr. 4'008.35 jeweils zuzüglich der laufenden und verfallenen Zinsen. Als Rechtsöffnungstitel wurde das Urteil des Tribunal de Grande Instance de Paris vom 12. September 2008, bestätigt durch das Urteil der Cour d'Appel de Paris vom 17. Juni 2011, eingereicht. Mit diesen Urteilen wurde A._ zur Rückzahlung des Kaufpreises für ein Bild, das sich als gefälscht erwiesen hatte, und zu einer Genugtuung sowie einer Prozessentschädigung an B._ verpflichtet. B. Gegen den Rechtsöffnungsentscheid wandte sich A._ an das Obergericht des Kantons Aargau, welches auf seine Beschwerde mit Entscheid vom 2. Mai 2016 nicht eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. Mai 2016 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid zurück zu weisen. Der Beschwerdeführer beantragt zudem die aufschiebende Wirkung. B._ als Beschwerdegegnerin widersetzte sich dem Gesuch. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 8. Juni 2016 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. In der Sache sind die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.