Sachverhalt: A. Die B._ AG (nachstehend: Bauherrin) plant, das in ihrem Eigentum stehende und in der Industriezone liegende Grundstück Nr. 328 des Grundbuchs (GB) Hägendorf künftig mit einem Industriegebäude zu überbauen. Am 6. November 2015 stellte die Bauherrin bei der Bau- und Werkkommission Hägendorf das Gesuch, auf der genannten Parzelle die provisorische Errichtung von 15 Abstellplätzen für Lastwagen zu bewilligen. A._ ist Eigentümer und Bewohner des Reiheneinfamilienhauses an der Industriestrasse West xx, das mehr als 300 m von den projektierten Abstellplätzen entfernt liegt und zu diesen keinen Sichtkontakt hat. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2015 erteilte die Bau- und Werkkommission Hägendorf der Bauherrin die verlangte Baubewilligung unter Auflagen und trat auf eine dagegen von A._ erhobene Einsprache nicht ein, weil sie dessen Legitimation verneinte. B. A._ focht den Nichteintretensentscheid mit einer Beschwerde an, welche das Bau- und Justizdepartement (BJD) des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 22. Februar 2016 abwies, soweit es darauf eintrat. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 27. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat. C. A._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den sinngemässen Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. April 2016 aufzuheben und festzustellen, dass seine Beschwerdelegitimation gegeben sei. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung der Baugesuchsunterlagen und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer reichte zu den genannten Vernehmlassungen eine Stellungnahme ein.