Sachverhalt: A. A.a. A._ war 2012 bei der ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (nachfolgend: ÖKK) obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 27. August 2012 erklärte sie - durch Unterzeichnung des entsprechenden Formulars - den Beitritt zur Avenir Krankenversicherung AG (nachfolgend: Avenir) auf den 1. Januar 2013. Diese bestätigte die Aufnahme und stellte ihr u.a. den Versicherungsausweis zu. Mit Schreiben vom 6. September 2012 (nicht eingeschrieben) und 21. Dezember 2012 (eingeschrieben) teilte die Avenir der ÖKK den Versichererwechsel mit. Am 6. September 2012 hatte A._ auch bei der Sansan Versicherungen AG einen Antrag auf Aufnahme in die obligatorische Krankenpflegeversicherung gestellt. Am 19. September 2012 ging bei der ÖKK das Schreiben mit der Kündigung des Versicherungsverhältnisses samt der Bestätigung der Nachversicherung ab 1. Januar 2013 durch den neuen Krankenversicherer ein. A.b. Am 11. Dezember 2012 und 16. Juni 2014 setzte die Avenir gegen A._ die Prämien für die Monate Juli bis September 2013 und Januar bis März 2014 sowie eine Kostenbeteiligung für Mai 2013 in Betreibung. Mit Verfügungen vom 13. Juni und 17. Juli 2014 hob sie den Rechtsvorschlag gegen die betreffenden Zahlungsbefehle auf. Die dagegen erhobenen Einsprachen wies sie mit Entscheiden vom 6. Januar 2015 ab. B. In Gutheissung der Beschwerde der A._ hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 3. Juni 2015 die beiden angefochtenen Einspracheentscheide auf. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Avenir, der Entscheid vom 3. Juni 2015 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass A._ ab dem 1. Januar 2013 bei ihr obligatorisch krankenpflegeversichert ist. A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.