Sachverhalt: A. Die Eheleute A._ und B._ leben seit mehreren Jahren getrennt. Auf die Berufung von A._ hin stellte das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 4. Juni 2012 fest, dass sich die Ehegatten gegenseitig keinen Unterhalt schulden. B._ erhob Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses trat auf das Rechtsmittel nicht ein (Urteil 5A_486/2012 vom 18. Juli 2012). B. B.a. Am 17. Juni 2014 wandte sich B._ mit einem Auskunftsbegehren an das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost. Sie beantragte, ihren Ehemann unter Strafandrohung und Ansetzung einer peremptorischen Frist zu verurteilen, ihr verschiedene Unterlagen betreffend seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse sowie die revidierten Jahresrechnungen 2010-2013 der A.B._ AG auszuhändigen. B.b. A._ nahm Stellung zum Auskunftsgesuch. In seiner Eingabe vom 14. Juli 2014 beantragte er, die Begehren seiner Ehefrau abzuweisen. Am 22. September 2014 reichte B._ einen weiteren Schriftsatz ein. Darin konkretisierte sie ihre Begehren vom 17. Juni 2014. Diese Eingabe wurde am 1. Oktober 2014 mit dem Verfügungsstempel "Doppel an Gegenpartei z.K." versehen und am 2. Oktober 2014 an die Rechtsbeiständin von A._ spediert, welche diese am 3. Oktober 2014 in Empfang nahm. B.c. Mit als Verfügung betiteltem Entscheid vom 13. Oktober 2014 verpflichtete das Zivilkreisgericht A._ in Gutheissung des Auskunftsbegehrens von B._ zur Einreichung folgender Unterlagen: Umfassender Vermögensstand mit Belegen per 31. Mai 2014 inkl. Vollständigkeitserklärung, Einkommen 2012, 2013 und aktuell (inkl. Zuwendungen aus dem Nachlass C._ und der A.B._ AG), Steuererklärungen 2012 und 2013 inkl. Wertschriftenverzeichnisse und revidierte Jahresrechnungen 2010-2013 der A.B._ AG. Für den Fall, dass A._ dem strafbewehrten Herausgabebefehl nicht nachkommen sollte, ordnete es entsprechende amtliche Erkundigungen an. A._ wurde verurteilt, für die Gerichtskosten von Fr. 600.-- aufzukommen und B._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'121.10 zu bezahlen. C. C.a. A._ legte beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Berufung ein. Mit Entscheid vom 2. Dezember 2014 trat das Kantonsgericht auf die Berufung mangels eines aktuellen Rechtsschutzinteresses nicht ein. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 10. August 2015 gut (Urteil 5A_9/2015 vom 10. August 2015). Das Kantonsgericht habe auf die Berufung einzutreten und zu prüfen, was der Beschwerdeführer der erstinstanzlichen Verfügung entgegenhalte, insbesondere seinen Vorwurf, das Zivilkreisgericht habe seinen Anspruch auf Gewährung des rechtlichen Gehörs verletzt. C.b. Nach Eingang des Bundesgerichtsentscheids führte das Kantonsgericht das Verfahren fort und wies die Berufung schliesslich mit Entscheid vom 3. November 2015 ab. D. Dagegen gelangt A._ mit Eingabe vom 28. Dezember 2015 an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 3. November 2015 aufzuheben und das Auskunftsersuchen von B._ (Beschwerdegegnerin) vollumfänglich abzuweisen bzw. die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 13. Januar 2016 abgewiesen. In der Sache beantragt die Beschwerdegegnerin unter Verzicht auf eine einlässliche Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Obergericht hat zu einzelnen Ziffern der Beschwerdebegründung Stellung genommen und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.