Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1977) reiste am 23. April 2001 zu seiner zum damaligen Zeitpunkt in der Schweiz aufenthaltsberechtigten ebenfalls türkischen Ehefrau B._, welche er zuvor in der Heimat geheiratet hatte. Am 4. Mai 2001 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt; im Februar 2004 erhielt die Ehefrau die Niederlassungsbewilligung. In den Jahren 2002 und 2006 kamen zwei gemeinsame Söhne zur Welt. Per 1. Dezember 2007 bewilligte das Zivilgericht den Eheleuten das Getrenntleben. Im Rahmen des Gesuchs um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung wurden A._ und seine Ehefrau zur ehelichen Situation befragt. Am 18. Oktober 2010 stellte ihm das Migrationsamt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung in Aussicht und gewährte ihm das rechtliche Gehör. Am 18. Februar 2011 verfügte das Amt wie angekündigt und wies A._ aus der Schweiz weg. Die hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 30. November 2012, Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt [als Verwaltungsgericht] vom 24. August 2015). Die Ehe A._ - B._ war inzwischen, im Herbst 2011, geschieden worden. B. Mit Eingabe vom 2. Oktober 2015 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventuell sei die Angelegenheit zur Sachverhaltsergänzung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen. Mit Präsidialverfügung vom 8. Oktober 2015 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.