Sachverhalt: A. Mit Strafbefehl vom 21. Oktober 2013 ve1-7rurteilte der Präfekt von Nyon A._ gestützt auf einen Rapport der Waadtländer Gendarmerie vom 5. September 2013 wegen einfacher Verletzung von Verkehrsregeln im Sinn von Art. 90 Abs. 1 SVG zu einer Busse von 350 Franken. Laut diesem Rapport war A._ am 5. September 2013 am Steuer eines Lieferwagens auf der Autobahn A1 zwischen Genf und Lausanne unterwegs. Dabei soll er die Sicherheitsgurten nicht getragen und zum vo1-7rausfahrenden Automobil bei einem Tempo von rund 120 km/h während rund 400 m einen Abstand von nur 5 m eingehalten haben. Auf Einsprache von A._ hin reduzierte der Präfekt von Nyon mit Strafbefehl vom 16. Dezember 2013 die Busse auf 250 Franken. Zur Begründung führte er namentlich an, der deutschsprachige A._ habe sich mit den Waadtländer Polizeibeamten nur schlecht verständigen und seinen Standpunkt einbringen können. An der Einspracheverhandlung sei er offen und ehrlich aufgetreten ("a démontré une évidente sincérité") und habe dargelegt, dass er nicht so nahe auf den Vordermann aufgefahren und auch nicht so schnell gefahren sei, wie von den Gend1-7armen geschätzt. Er habe sich zwar dem Vordermann (zu stark) angenähert, allerdings in einer Phase kontrollierten Abbremsens. In Würdigung dieser Aussagen und des Umstands, dass es sich bei A._ um einen sehr routinierten Fahrer handle, stellte der Präfekt "im Zweifel für den Angeklagten" auf dessen Aussagen ab und hielt ihm - abgesehen vom nie bestrittenen Vorwurf, die Sicherheitsgurten nicht getragen zu haben - "nur" noch vor, aus mangelnder Vorsicht nicht stets einen genügenden Abstand zum Vordermann eingehalten zu haben. Der Strafbefehl blieb unangefochten. B. Am 9. Januar 2014 qualifizierte die Kommission für Administrativmassnahmen im Strassenverkehr des Kantons Freiburg (KAM) diesen Vorfall als schwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz im Sinn von Art. 16c Abs. 1 lit. a SVG und entzog A._ den Führerausweise für drei Monate. Am 24. Juli 2014 hiess der III. Verwaltungsgerichtshof des Freiburger Kantonsgerichts die Beschwerde von A._ gegen diese Entzugsverfügung gut und sprach eine Verwarnung aus. Er kam zum Schluss, nach dem rechtskräftigen Strafbefehl stelle der umstrittene Vorfall eine leichte Widerhandlung im Sinn von Art. 16a Abs. 1 lit. a SVG dar. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die KAM, diesen Entscheid des III. Verwaltungsgerichtshofs aufzuheben und ihre Verfügung vom 9. Januar 2014 zu bestätigen. D. Der III. Verwaltungsgerichtshof verweist auf seinen Entscheid und verzichtet eine Stellungnahme. A._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragt, die Beschwerde gutzuheissen.