Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 6. November 2015 beantragte die Schweizerische Eidgenossenschaft (Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) dem Kantonsgericht Schaffhausen unter Hinweis auf das Fehlen der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der A._AG, Schaffhausen, (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) die Ergreifung der erforderlichen Massnahmen nach Art. 731b Abs. 1 Ziff. 3 OR. B. B.a. Mit Verfügung des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 7. Januar 2016 wurde die A._AG infolge Organisationsmangels aufgelöst und die Liquidation ihres Vermögens nach den Vorschriften über den Konkurs angeordnet. Gleichzeitig wurde ihr jede Verfügung über ihr Vermögen untersagt. Die Verfügung des Kantonsgerichts vom 7. Januar 2016 wurde am 8. Januar 2016 verschickt und - dem angefochtenen Entscheid zufolge - der B._AG als Domizilhalterin der A._AG am 11. Januar 2016 zugestellt. B.b. Mit Eingabe vom 26. Januar 2016 stellte die A._AG beim Kantonsgericht Schaffhausen folgende Anträge: "1. Es sei der Gesuchsgegnerin die Frist zur Einreichung der Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen wieder herzustellen. 2. Es sei bis zur rechtskräftigen Entscheidung dieses Wiederherstellungsgesuchs bzw. bis zur Einreichung der Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen von einer Mitteilung an das Konkursamt des Kantons Schaffhausen und an das Handelsregisteramt des Kantons Schaffhausen abzusehen. ..." Das Kantonsgericht leitete das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Schaffhausen weiter. B.c. Mit Verfügung vom 29. März 2016 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei die Verfügung des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 29. März 2016 aufzuheben und es sei das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist gutzuheissen. Eventualiter sei die angefochtene Verfügung vom 29. März 2016 aufzuheben und die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht eine Replik, die Beschwerdegegnerin hat ihm eine Duplik eingereicht.