Sachverhalt: A. Die 1993 geborene A._ zog Anfang Mai 2014 von Zürich kommend nach Solothurn. Am 27. Juni 2014 gelangte sie an die Sozialen Dienste der Stadt Solothurn (SDS) und ersuchte um wirtschaftliche Hilfe. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2014 verpflichteten die SDS A._, ab dem 8. Dezember 2014 bis auf Weiteres einen Projekteinsatz zu leisten. Werde diese Auflage erfüllt, würden die Sozialhilfeleistungen ab dem 1. Dezember 2014 im Verhältnis zum geleisteten Pensum auf ihr Konto ausbezahlt. Die von A._ dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Departement des Innern mit Entscheid vom 22. Mai 2015 teilweise gut (Dispositiv-Ziffer 5.1). Es wies die SDS an, den Unterstützungsanspruch rückwirkend per 1. September 2014 zu berechnen und entsprechend auszurichten (Dispositiv-Ziffer 5.2). Weiter wurden die SDS aufgefordert, per 1. Januar 2015 die individuelle Prämienverbilligung bei der Ausgleichskasse Solothurn anzumelden (Dispositiv-Ziffer 5.3). Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 5.4). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn trat mit Entscheid vom 16. September 2015 auf die von den SDS erhobene Beschwerde mit dem Antrag, Dispositiv-Ziffern 5.1, 5.2 und 5.3 des vorinstanzlichen Entscheids seien aufzuheben, nicht ein (Dispositiv-Ziffer 2). Die Beschwerde von A._ wies es ab (Dispositiv-Ziffer 1). C. Die Einwohnergemeinde der Stadt Solothurn führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese materiell entscheide. A._ ersucht um unentgeltliche Verbeiständung, ohne sich zur Sache zu äussern. Das kantonale Gericht beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.