Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1969) reiste im Jahre 2003 in die Schweiz ein und stellte erfolglos ein Asylgesuch. Während der Hängigkeit des entsprechenden Rechtsmittelverfahrens heiratete er am 5. Januar 2005 die aus Thailand stammende Schweizer Bürgerin B._ (geb.1959), worauf er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt. Bereits wenige Monate später erteilte das Zivilgericht Basel-Stadt den Eheleuten die Bewilligung zum Getrennntleben (Verfügung vom 22. November 2005). Am 2. Juni 2006 setzte die Ehefrau die Migrationsdienste davon in Kenntnis, dass sie das Zusammenleben mit ihrem Ehemann wieder aufgenommen habe, worauf die kantonalen Behörden A._ die Aufenthaltsbewilligung mehrmals verlängerten, letztmals im Januar 2009. Im Rahmen der Prüfung zur Erteilung einer Niederlassungsbewilligung klärte das Migrationsamt in der Folge die eheliche Situation erneut ab und ordnete - zumal A._ im April 2010 im Kanton Zürich eine Drei-Zimmer-Wohnung gemietet hatte und angab, nur noch an den Wochenenden nach Basel zurückzukehren - unter Verweis auf das Vorliegen einer Scheinehe die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ an und wies diesen aus der Schweiz weg (Verfügung vom 21. Oktober 2010). B. Gegen diese Verfügung erhob A._ Rekurs beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Dieses kam in seinem Entscheid vom 30. November 2012 zum Ergebnis, es könne aufgrund der Beweiswürdigung "nicht rechtsgenüglich auf eine Scheinehe geschlossen werden", hielt dann aber dafür, die eheliche Gemeinschaft sei aufgelöst und wies den Rekurs ab. Den gegen den Departementsentscheid an den Regierungsrat gerichteten Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 22. Oktober 2013 ebenfalls ab, nachdem es ihn zuständigkeitshalber zur Beurteilung übernommen hatte. C. A._ führt mit Eingabe vom 21. Januar 2014 "Einheitsbeschwerde und Verfassungsbeschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, in Aufhebung des letztgenannten Urteils ihm - dem Beschwerdeführer - die Niederlassungsbewilligung, eventuell eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (recte: zu verlängern); eventualiter sei die Sache zur rechtskonformen Abklärung des Sachverhalts und anschliessendem Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragt Abweisung der Beschwerde, ebenso das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und das Bundesamt für Migration (BFM, heute Staatssekretariat für Migration [SEM]). Mit Verfügung vom 24. Januar 2014 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.