Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1972) stammt aus dem Kosovo. Er reiste am 27. September 2002 zu seiner in der Schweiz niedergelassenen Gattin ein, die ebenfalls kosovarische Bürgerin ist. Aus der Ehe gingen zwei Kinder (geb. 2003 und 2006) hervor. Die Kinder verfügen wie die Ehefrau über eine Niederlassungsbewilligung. A.b. Mit Entscheid vom 5. Oktober 2007 sprach das Migrationsamt des Kantons Thurgau gegenüber A._ eine Verwarnung aus. Es stellte darin unter anderem fest, dass das Bezirksamt Frauenfeld ihn am 15. Mai 2007 wegen ANAG-Widerhandlungen gebüsst habe und dass er beim Betreibungsamt U._ mit 47 betreibungsrechtlichen Vorgängen über Fr. 89'096.60 und sieben offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 7'876.-- verzeichnet sei. Mit einer weiteren Verwarnung am 21. Oktober 2011 drohte das Migrationsamt A._ erneut die Wegweisung aus der Schweiz an. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, im Rahmen der hängigen Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung habe es festgestellt, dass sowohl die Summe der Betreibungen als auch die Gesamtsumme der Verlustscheine stark angestiegen seien (35 offene Verlustscheine in der Höhe von Fr. 102'051.15; per 19. August 2011). Mit Strafbefehl vom 5. Juni 2013 erkannte die Staatsanwaltschaft Frauenfeld A._ des mehrfachen Betrugs für schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 150 Tagessätzen sowie einer Busse von Fr. 1'200.--. Die Taten waren zwischen dem 15. September 2009 und dem 26. April 2010 begangen worden. B. Mit Verfügung vom 12. März 2014 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Den hiergegen erhobenen Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau wies dieses ab. Eine dagegen beim Verwaltungsgericht geführte Beschwerde blieb erfolglos (Urteil vom 4. Februar 2015). C. Mit Eingabe vom 23. März 2015 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau sei aufzuheben. Die Streitsache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz bzw. an das Migrationsamt des Kantons Thurgau zurückzuweisen mit der Anweisung, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Verfügung vom 24. März 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Staatssekretariat für Migration beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest.