Sachverhalt: A. Die 1957 geborene A._ ist geschieden, M utter eines Sohnes (geb. 1989) und arbeitete bis Ende 2001 stundenweise als Zeitungsverträgerin. Mit Verfügung vom 8. November 2005 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt einen Rentenanspruch nach medizinischen Abklärungen sowie einer Erhebung im Haushalt. Anfang 2007 meldete sich A._ insbesondere aufgrund psychischer Beschwerden und einer Alkoholkrankheit erneut zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle veranlasste eine neue Haushaltsabklärung, g ab beim Begutachtungszentrum BL (BEGAZ), Binningen, eine polydisziplinäre Expertise in Auftrag (Gutachten vom 12. Januar 2009) und legte den invalidenversicherungsrechtlichen Status der Versicherten fest (50 % Erwerb und 50 % Haushalt). Mit Verfügung vom 10. März 2010 sprach sie A._ ab 1. Juli 2007 eine Dreiviertelsrente zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt am 1. September 2010 gut und wies die Sache an die Verwaltung zurück. Die IV-Stelle beauftragte in der Folge das Spital B._ mit einer rheumatologischen Expertise (Gutachten vom 10. Mai 2011) und holte beim Aerztlichen Begutachtungsinstitut (nachfolgend: ABI), Basel, ein ergänzendes polydisziplinäres Gutachten ein, das vom 25. Juni 2013 datiert. Den Status der Versicherten passte sie ab Januar 2013 an (80 % Erwerb und 20 % Haushalt). Mit Verfügung vom 13. Mai 2015, betitelt mit dem Hinweis "Ersetzt unsere Verfügung vom 15.03.2010", gewährte die IV-Stelle A._ nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren lediglich ab 1. Dezember 2010 bis 31. Juli 2013 eine Dreiviertelsrente (Invaliditätsgrad: 65 %). B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Januar 2016 insoweit gut, als es der Versicherten "in Abänderung der angefochtenen Verfügung" von Januar bis Ende Juli 2013 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 80 %) zusprach. C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihr ab Juli 2007 eine ganze Invalidenrente auszurichten; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.