Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 28. Januar 2013 gelangte die OAO B._ (Gesuchsgegnerin) an das Bezirksgericht Zürich. Sie beantragte, die Entscheidung des Arbitragegerichtes der Stadt Moskau vom 22. Juli 2011 " in Verbindung mit" der Verordnung des Neunten Arbitrage- und Appellationsgerichts vom 30. November 2011, der Verordnung des Föderalen Arbitragegerichtes der Moskauer Region vom 16. Mai 2012 und dem Beschluss des Obersten Arbitragegerichts der Russischen Föderation vom 11. Dezember 2012 gegen die A._ Ltd (Gesuchstellerin) anzuerkennen und für vollstreckbar zu erklären. Mit Urteil vom 14. Oktober 2013 gab das Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht dem Begehren statt und sprach die beantragte Vollstreckbarerklärung "für das Gebiet der Schweiz" aus. Die von der A._ Ltd dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 26. Februar 2014 ab. Sodann wies das Bundesgericht mit Urteil 4A_203/2014 vom 9. April 2015 die Beschwerde der A._ Ltd ab, soweit es darauf eintrat. B. Die A._ Ltd verlangt mit Revisionsgesuch vom 20. April 2015, das Urteil des Bundesgerichts vom 9. April 2015 sei "aufzuheben und neu zu entscheiden". Mit Präsidialverfügung vom 21. April 2015 wurde dem Revisionsgesuch superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt. Das Obergericht des Kantons Zürich wurde angewiesen, die Dispositiv-Ziffer 2 (betreffend Sicherheitsleistung) seines Urteils vom 26. Februar 2014 bis zum definitiven Entscheid des Bundesgerichts über das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen aufrecht zu erhalten und die von der Gesuchstellerin geleistete Sicherheit in Höhe von RUB 802'715'124.77 und Fr. 80'000.-- der Gesuchsgegnerin vorläufig nicht auszuzahlen. Das Obergericht verzichtete auf die Beantwortung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung und Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Die Gesuchsgegnerin reichte ihrerseits am 11. Mai 2015 zusammen mit ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung und Anordnung vorsorglicher Massnahmen unaufgefordert eine Vernehmlassung zum Revisionsgesuch ein. Sie begehrt, in der Sache sei das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne. In prozessualer Hinsicht sei "von der Durchführung eines weiteren Schriftenwechsels abzusehen". Eventualiter sei die aufschiebende Wirkung aufzuheben, subeventualiter die Gesuchstellerin gemäss Art. 104 BGG zur Leistung zusätzlicher (genau bezeichneter) Sicherheit zu verpflichten. In der Folge wurden keine weiteren Vernehmlassungen eingeholt.