Sachverhalt: A. Die politischen Gemeinden des Kantons Zug haben sich zum "Zweckverband der Zuger Einwohnergemeinden für die Bewirtschaftung von Abfällen" (kurz: Zeba; nachfolgend der Gemeindeverband ), zusammengeschlossen. Dieser lässt das Abfallaufkommen in ausserkantonale Kehrichtverwertungsanlagen verbringen, wozu er Verträge mit mehreren Transporteuren unterhält, so auch mit der X._ AG, U._ (nachfolgend die Transporteurin ). Der Transport der Kehrichtcontainer erfolgt nach der Methode des unbegleiteten kombinierten Verkehrs (UKV). Danach holen die Transporteure die Container am Verladeort ab und befördern diese per Lastwagen bis zum ersten Umschlagsbahnhof ("Vorlauf" des UKV). Dort erfolgt der Umlad von der Strasse auf die Schiene. Alsdann gelangen die Container per Bahn bis zum zweiten Umschlagsbahnhof ("Hauptlauf" des UKV), ehe der "Nachlauf" des UKV (von dort bis zum Entladeort, hier: Kehrichtverwertungsanlage), falls ein solcher überhaupt erforderlich ist, wiederum mit Lastwagen bewältigt wird. Soweit Strassenfahrzeuge im unbegleiteten kombinierten Verkehr - für den Vor- und/oder Nachlauf - eingesetzt werden, haben die Transporteure von Gesetzes wegen die Möglichkeit, die leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (LSVA) zurückzuverlangen. Nach der Verordnung zur LSVA bedingt dies insbesondere, dass die Ladebehälter oder Sattelanhänger eine Mindestlänge von 5,5 Meter (entsprechend 18 Fuss) aufweisen. B. Die Eidgenössische Zollverwaltung (OZD, Abteilung LSVA) kontrollierte im Mai 2011 die vom Gemeindeverband verwendeten Container. Dabei zeigte sich, dass die eingesetzten Ausführungen eine Aussenlänge (unter Ausschluss der Aussenbügel) von 5'343 Millimetern (Typ IES 20) bzw. 5'249 Millimetern (Typ A 24 25 525) erreichen. Die Nachkontrolle durch die RUAG Schweiz AG bestätigte dies. Unter Einbezug der Aussenbügel wären die Längenerfordernisse hingegen erfüllt. Mit Blick auf die Längenmasse von jeweils rund 5,3 Metern eröffnete die Zollverwaltung gegen den Gemeindeverband und die Transporteure Zollstrafuntersuchungen wegen unrechtmässig beanspruchter Rückerstattungen der LSVA, angeblich begangen in den Jahren 2007 bis 2011. Am 30. Mai 2012 erliess die Zollverwaltung gegenüber vier Transporteuren Nachleistungsverfügungen (Art. 12 Abs. 1 und 2 VStrR), deren gesamter Umfang den Betrag von Fr. 352'829.90 erreichte. Im vorliegenden Fall erhob die Zollverwaltung gegenüber der Transporteurin eine Nachforderung von Fr. 125'816.80. Mit einer weiteren Nachleistungsverfügung vom selben Tag erklärte die Zollverwaltung den Gemeindeverband solidarisch leistungspflichtig für Fr. 352'829.90. Alle fünf Parteien erhoben erfolglos verwaltungsinterne Beschwerde (Beschwerdeentscheide vom 4. Februar 2013). C. Das hierauf angerufene Bundesverwaltungsgericht erkannte, Auslegung und Anwendung der Verordnung durch die Zollverwaltung seien zwar nicht zu beanstanden, doch entbehrten die verordnungsgemässen Längenvorschriften einer sachlichen Begründung und seien damit willkürlich. Dementsprechend hiess es die Beschwerden gut und hob es die Beschwerdeentscheide der Eidgenössischen Zollverwaltung auf (hier: A-1225/2013 vom 27. März 2014 betreffend die Transporteurin). D. Mit Eingabe vom 7. Mai 20014 erhebt die Eidgenössische Zollverwaltung beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, die Transporteurin sei für Schwerverkehrsabgaben von Fr. 125'816.80 leistungspflichtig zu erklären; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet, reicht die X._ AG eine ausführliche Beschwerdeantwort ein.