Sachverhalt: A. B._ war vom 18. Juni bis zum 27. Juli 2012 im Universitätsspital Basel-Stadt zur Durchführung einer Herzklappenoperation hospitalisiert. Nach der gut verlaufenen Operation entwickelte sich ein Infekt, welcher zu einer Vereiterung der Brusthöhle führte. Vom 27. Juli bis zum 9. August 2012 wurde B._ zur Regeneration in die Klinik Schloss Mammern verlegt. Nach einer Besserung des Zustands wurde am 9. August 2012 erneut ein Sekretausfluss festgestellt. Am 13. August 2012 wurde B._ ans Universitätsspital zurückverlegt, wo die Wunde geöffnet und gereinigt wurde. Am 8. September 2012 wurde B._ fieberfrei nach Hause entlassen. Am 17. September 2012 verstarb B._ nach einer erfolglos gebliebenen Reanimation. Am 6. August 2013 reichte die Witwe von B._, A._, bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eine "Strafanzeige/Strafantrag" gegen das Universitätsspital Basel-Stadt, die involvierten Ärzte und Angestellte der Verwaltung ein wegen fahrlässiger Tötung aufgrund medizinischer Fehlbehandlung sowie Urkundenunterdrückung. Sie führte an, es sei nicht auszuschliessen, dass das vorzeitige Ableben von B._ durch die Infektion, die ungenügende Betreuung und Behandlung und vor allem die verfrühte Entlassung schuldhaft verursacht worden sei. Die Überprüfung der medizinischen Akten habe zudem ergeben, dass mehrere Seiten entfernt worden seien. Die Staatsanwaltschaft liess Patientenakten beschlagnahmen, führte verschiedene Einvernahmen durch und gab bei Prof. Dittmann vom Institut für Rechtsmedizin der Universität Basel (IRM) ein Gutachten zum Ableben von B._ in Auftrag. Dieses wurde am 30. Juni 2014 von der Leitenden Ärztin Dr. K. Gerlach erstattet. Am 18. November 2014 nahm die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren nicht an die Hand. Am 20. September 2015 hiess das Appellationsgericht Basel-Stadt die Beschwerde von A._ gut und wies die Staatsanwaltschaft an, ein neues Gutachten ausserhalb des IRM einzuholen. B. Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt die Staatsanwaltschaft, es sei festzustellen, dass ihre Nichtanhandnahmeverfügung vom 18. November 2014 mangels Legitimation von A._ zur Beschwerde in Rechtskraft erwachsen sei und der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts Bundesrecht verletze. Im Falle der Gutheissung dieses Antrags sei im Hinblick auf künftige Verfahren festzustellen, dass die Vorinstanz Art. 184 Abs. 3 StPO zu Unrecht angewandt habe, sie eine Befangenheit der Sachverständigen in analoger Anwendung von Art. 56 StPO zu Unrecht bejaht habe und dass es im Verfahren nach Art. 183 Abs. 2 StPO keiner vorgängigen Anhörung bezüglich der Auswahl des Sachverständigen bedürfe. Sollte das Appellationsgericht nach Ansicht des Bundesgerichts zu Recht auf die Beschwerde eingetreten sein, sei der Entscheid wegen Bundesrechtswidrigkeit aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. C. Das Appellationsgericht verzichtet auf Vernehmlassung und beantragt, die Beschwerde abzuweisen. D. Die Staatsanwaltschaft teilt mit, A._ habe bei ihr ein Gesuch um Einsicht in die Krankengeschichte von B._ eingereicht. Sie beantragt, das Bundesgericht solle A._ auffordern, das Akteneinsichtsgesuch zu begründen und das Gesuch abzuweisen oder eventuell an die Staatsanwaltschaft zur Beurteilung zurückzuschicken. A._ teilt mit, ihr Akteneinsichtsgesuch beziehe sich auf das Verfahren vor der Staatsanwaltschaft, nicht auf das bundesgerichtliche Verfahren. Sie beantragt dem Bundesgericht festzustellen, dass die Staatsanwaltschaft für dessen Behandlung zuständig sei. Für den Fall, dass sich das Bundesgericht selber für die Behandlung des Gesuchs als zuständig erachte, sei es gutzuheissen und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, ihr Einsicht in die originale Krankenakte ihres verstorbenen Ehemannes zu gewähren. In der Sache beantragt A._, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.