Sachverhalt: A. A.a. A.A._ und D.A._ sind die Parteien eines vor dem Bezirksgericht March (SZ) hängigen Scheidungsverfahrens. Für die gemeinsame Tochter E.A._ (geb. 2004) ordnete das Gericht am 12. Januar 2012 eine Prozessbeistandschaft nach Art. 299 ZPO an. Ausserdem besteht eine Besuchsrechtsbeistandschaft (Art. 308 Abs. 2 ZGB). Zur Klärung der Kindesbelange holte der zuständige Einzelrichter, B._, beim Institut für Forensisch-Psychologische Begutachtung, St. Gallen, ein kinderpsychologisches Gutachten ein (Expertise vom 29. April 2014). Am 22. Mai 2014 setzte der Einzelrichter, ohne die Parteien angehört zu haben, vorsorglich das geltende "Besuchs-/Ferienrecht" von A.A._ hinsichtlich der Tochter E.A._ einstweilen aus. Auf Berufung von A.A._ hin hob das Kantonsgericht Schwyz diese Verfügung wegen Verletzung von Gehörs- und Mitwirkungsrechten auf und wies die Sache zur neuen Beurteilung an das Bezirksgericht zurück (Beschluss vom 25. November 2014). Mit Verfügung vom 10. Dezember 2014 sistierte dieses das Besuchsrecht wiederum superprovisorisch "einstweilen und längstens für die Dauer des Scheidungsverfahrens". Die Parteien erhielten Gelegenheit zur Stellungnahme im Hinblick auf die Beurteilung der Frage, ob die Massnahme aufrechtzuerhalten sei. Das Bezirksgericht verpflichtete den Besuchsrechtsbeistand zu Ersatzvorkehrungen (Förderung eines regelmässigen Briefkontakts, regelmässige Information des Vaters über aktuelle Ereignisse). A.b. Am 22. Dezember 2014 verlangte A.A._ den Ausstand von Einzelrichter B._ sowie des Gerichtsschreibers C._. Das Bezirksgericht March wies das Begehren am 28. April 2015 in anderer Besetzung ab, ebenso wie den Antrag um Leistung eines Prozesskostenvorschusses und um unentgeltliche Rechtspflege für das Ausstandsverfahren. B. A.A._ führte am 11. Mai 2015 beim Kantonsgericht Schwyz Beschwerde mit den Rechtsbegehren, der bezirksgerichtliche Entscheid vom 28. April 2015 sei aufzuheben und das Ausstandsbegehren gutzuheissen. Sämtliche "Gerichtshandlungen" von Einzelrichter B._ und Gerichtsschreiber C._ seien aufzuheben. Die Sache sei zudem zur Beurteilung der Begehren betreffend Prozesskostenvorschuss und Armenrecht an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde wie auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Beschluss vom 7. Oktober 2015). C. C.a. Am 10. November 2015 ist A.A._ mit Beschwerde in Zivilsachen resp. subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangt. Er schliesst auf Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses vom 7. Oktober 2015 und Gutheissung der Ausstandsbegehren. Zudem beantragt er, dem erstinstanzlichen Einzelrichter und dem Gerichtsschreiber sei für die Dauer des Beschwerdeverfahrens vorsorglich zu untersagen, sich mit dem zugrundeliegenden Fall zu befassen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Schliesslich verlangt er die unentgeltliche Prozessführung und anwaltliche Vertretung für das bezirks-, kantons- und bundesgerichtliche Ausstandsverfahren. C.b. Das Bundesgericht gab dem erstinstanzlichen Einzelrichter, dem Gerichtsschreiber sowie dem Kantonsgericht Gelegenheit, zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen. Die beiden Erstgenannten (Beschwerdegegner) beantragten, das Gesuch sei abzuweisen. Das Kantonsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 24. November 2015 erkannte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu (Art. 103 Abs. 3 BGG). C.c. In der Ausstandssache selber hat das Bundesgericht die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.