Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen wies das Gesuch der A._ (geb. 1958) um Ausrichtung einer Invalidenrente ab. Zur Begründung führte die Verwaltung im Wesentlichen aus, die administrativgutachtlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent (Gutachten der MEDAS vom 19. August 2011) beziehe sich auf eine Depression, welche "einzig aus der Trennung von ihrem Ehemann herrührt". Dabei handle es sich um einen invalidenversicherungsrechtlich unbeachtlichen Faktor. Nach allgemeiner Lebenserfahrung könne erwartet werden, dass "mit der nötigen Willensanstrengung die mit der Trennung einhergehenden Probleme überwunden werden können" (Verfügung vom 25. Januar 2012). B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen gerichtete Beschwerde gut und sprach A._ mit Wirkung ab November 2010 eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 20. Januar 2014). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Beschwerdeentscheid sei aufzuheben. A._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung).