Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 31. März 2015 stellte A._ beim Kantonsgericht Schwyz ein Gesuch um personalrechtlichen Rechtsschutz im Sinne von § 27 des Personal- und Besoldungsgesetzes des Kantons Schwyz vom 26. Juni 1991 (Personalgesetz; PG; SRSZ 145.110). Mit Verfügung vom 1. April 2015 teilte der Kantonsgerichtspräsident dem Gesuchsteller mit, das Gesuch werde dem Gesamtgericht unterbreitet. Gleichzeitig forderte dieser A._ auf, den Abfindungsvertrag zwischen ihm und dem Kanton Schwyz einzureichen. A._ ersuchte daraufhin um Fristerstreckung und Einsicht in die anonymisierten Fassungen der bisher vom Kantonsgericht ausgesprochenen Rechtsschutzgewährungen. Mit Verfügung vom 20. Mai 2015 wies der Kantonsgerichtspräsident das Einsichtsgesuch ab, worauf A._ ein Wiedererwägungsgesuch stellte. Mit Verfügung vom 23. Juni 2015 setzte der Kantonsgerichtspräsident Frist zur Einreichung des Abfindungsvertrages und zur näheren Begründung des Gesuchs an. B. Am 26. Juni 2015 verlangte A._ den Ausstand des Kantonsgerichtspräsidenten. Mit Verfügung vom 3. Juli 2015 teilte der Vizepräsident des Kantonsgerichts dem Gesuchsteller mit, über das Ausstandsbegehren werde das Gesamtgericht ohne den vom Gesuch betroffenen Kantonsgerichtspräsidenten befinden. Der Kantonsgerichtspräsident erhielt Gelegenheit, sich zum Ausstandsbegehren zu äussern. Mit Entscheid vom 12. Oktober 2015 wies das Kantonsgericht das Ausstandsgesuch ab und auferlegte dem Gesuchsteller die Kosten des Ausstandsverfahrens. C. Mit Eingabe vom 10. November 2015 reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz verwaltungsgerichtliche Klage ein mit dem Rechtsbegehren: "1. Es sei - allenfalls vorfrageweise - festzustellen, a) dass das Kantonsgericht in Personalstreitigkeiten keine negative Entscheidbefugnis hat und die formelle Ausstandsentscheidung bzw. jedenfalls die Kostenauflage gemäss Beschluss GGE 2015 demzufolge nichtig bzw. unverbindlich ist, und b) dass Streitigkeiten nach Personal- und Besoldungsgesetz bis Fr. 30'000.- sowie generell alle Vorverfahren unentgeltlich sind und der vorliegende Streitwert diesen Betrag nicht überschreitet. 2. Es sei die Edition der Rechtsschutzgewährungsanordnungen in den Fällen B._ und C._ anzuordnen. 3. Es sei festzustellen, dass dem Kläger die Durchführung eines korrekten Vorverfahrens im Sinne von § 62 Abs. 2 VRP verweigert wurde, und es sei die Nachholung desselben anzuordnen, evtl. durch eine Referentenaudienz am Verwaltungsgericht zu ersetzen. Eventuell sei dem Kläger der verlangte Rechtsschutz in einer Fr. 30'000.- nicht übersteigenden Höhe zuzusprechen. 4. Eventuell sei die Ausstandssache zur Aufhebung des Beschlusses GGE 2015 2 als Beschwerde an das Bundesgericht zu überweisen. 5. Unter Entschädigungsfolge zulasten des Kantons." Das Verwaltungsgericht trat mit Entscheid vom 12. November 2015 auf die Klage nicht ein und leitete die Sache an das Bundesgericht weiter. Zur Begründung führte es an, das Kantonsgericht habe über das Gesuch des Klägers um Gewährung von Rechtsschutz im Sinne von § 27 PG noch nicht befunden. Solange dieses Vorverfahren pendent sei, könne gestützt auf § 62 Abs. 2 Satz 3 PG auf die Klage nicht eingetreten werden. Überdies sei das Verwaltungsgericht nicht zuständig zur Überprüfung von Ausstandsentscheiden des Kantonsgerichts. D. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2015 stellte A._ die ergänzenden Anträge: "1. In Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids vom 12. November 2015 sei die Sache - samt Anträgen zum Vorverfahren - an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zur Beurteilung zurückzuweisen. 2. Eventuell sei der kantonsgerichtliche Beschluss vom 12. Oktober 2015, soweit er nicht nichtig zu erklären sei, mindestens insoweit aufzuheben, als dem Beschwerdeführer damit Kosten auferlegt und über die Ausstandsfrage hoheitlich befunden wurde. 3. Unter Kosten und Entschädigungsfolge." Das Bundesgericht hat sich vom Kantonsgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassung eingeholt.