Sachverhalt: A. A.a. A._ und B._ sind je Eigentümer der benachbarten Grundstücke GB U._ Nr. xxx bzw. GB U._ Nr. yyy. Auf Klage von B._ verpflichtete die Präsidentin des Bezirksgerichts Brugg am 30. Oktober 2013 A._, innert 30 Tagen seit Rechtskraft des Urteils sämtliche auf seinem Grundstück den Grenzabstand von sechs Metern verletzenden Hochstammbäume, welche nicht unter die Kategorie Obstbäume fallen, zu fällen und diese zu entfernen (Ziff. 2). Zudem wurde A._ verpflichtet, innert der nämlichen Frist sämtliche auf seinem Grundstück bis zu einem Meter an die Grenze zum klägerischen Grundstück wachsenden Bäume und Büsche auf die gesetzlich erlaubte Höhe von drei Metern zurückzuschneiden, sowie die den Grenzabstand von einem Meter verletzenden Sträucher und Büsche vollständig zu entfernen (Ziff. 3). A.b. Die gegen diese Anordnung von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 2. September 2014). B. B.a. Mit Klage vom 14. April 2015 beantragte B._ beim Bezirksgericht Brugg, was folgt: "2. Es sei als Ersatzvornahme ein Forstunternehmen damit zu beauftragen, die im 6 Meter Abstand der gemeinsamen Grenze liegenden Bäume bis auf Höhe des Wurzelstocks abzusägen und die Reststämme zu entfernen. "2. Es sei als Ersatzvornahme ein Forstunternehmen damit zu beauftragen, die im 6 Meter Abstand der gemeinsamen Grenze liegenden Bäume bis auf Höhe des Wurzelstocks abzusägen und die Reststämme zu entfernen. 3. Es sei als Ersatzvornahme ein Forst- oder Gartenbauunternehmen anzuweisen, sämtliche sich im ein-Meter-Grenzabstand befindlichen Büsche und Sträucher vollständig zu entfernen und die sich im Grenzabstande von einem bis drei Meter befindlichen Sträucher und Büsche so unter dem Schnitt zu halten, dass das gesetzlich zulässige Höhenmass von 3 Metern nicht überschritten wird und nach Vornahme des Schnittes sei das Schnittgut vollständig von der Parzelle zu entfernen und abzutransportieren." B.b. Nachdem am 22. Juli 2015 unter ihrer Leitung eine Augenscheinverhandlung auf den Grundstücken der Parteien stattgefunden hatte, fällte die Gerichtspräsidentin von Brugg am 11. November 2015 in der Sache folgendes Urteil: "2.1. Das Forstamt U._ wird beauftragt, als Ersatzvornahme auf dem Grundstück des Gesuchsgegners, GB U._ Nr. xxx, sämtliche den Grenzabstand von sechs Metern zum Grundstück des Gesuchstellers, GB U._ Nr. yyy, verletzenden Hochstammbäume zu fällen (auf eine Höhe von 60 cm) und diese zu entfernen. 2.2. Das Forstamt wird zudem beauftragt, als Ersatzvornahme auf dem Grundstück des Gesuchsgegners, GB U._ Nr. xxx, sämtliche den Grenzabstand von einem Meter zum Grundstück GB U._ Nr. yyy verletzenden Sträucher und Büsche vollständig zu entfernen. 2.3. Des Weiteren wird das Forstamt U._ beauftragt, als Ersatzvornahme auf dem Grundstück des Gesuchsgegners, GB U._ Nr. xxx, sämtliche sich im Grenzabstand von einem Meter zum Grundstück GB U._ Nr. yyy befindlichen Sträucher und Büsche auf die gesetzlich erlaubte Höhe von drei Metern zurückzuschneiden." B.c. Die gegen diesen Entscheid von A._ erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 5. April 2016 teilweise gut. Die Dispositiv-Ziffern 2.2 und 2.3 des erstinanzlichen Urteils (Bst. B.b) wurden aufgehoben und das Verfahren zum Vorgehen im Sinne der Erwägungen an das Bezirksgericht zurückgewiesen (Dispositiv-Ziffer 1.1). Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 1.2). Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'500.-- wurden B._ zu zwei Dritteln und A._ zu einem Drittel auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2). Zudem wurde B._ verpflichtet, A._ an seine Anwaltskosten Fr. 302.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3). C. C.a. Mit Verfassungsbeschwerde vom 18. Mai 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 1.1, 1.2, 2 und 3 des Entscheids des Obergerichts und die Rückweisung der Sache zu neuer Beurteilung. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts in dem Sinne neu zu fassen, dass das Obergericht die Sache bezüglich aller Punkte (Bst. B.b) zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht zurückweise, sämtliche Kosten des obergerichtlichen Verfahrens B._ (Beschwerdegegner) auferlege und diesen zu einer Parteientschädigung von Fr. 905.-- verurteile. Zudem verlangt der Beschwerdeführer, seiner Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. C.b. Das Bundesgericht hat der Beschwerde mit Verfügung vom 15. Juni 2016 die aufschiebende Wirkung erteilt. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen einholt, aber die vorinstanzlichen Akten beigezogen.