Sachverhalt: A. A._ war zuletzt bis März bzw. April 2012 bei der B._ AG und beim Alters- und Pflegeheim C._ als Reinigerin angestellt. Im Februar 2012 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt tätigte verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht, insbesondere veranlasste sie die psychiatrische Verlaufsbegutachtung des Dr. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. Januar 2015 sowie dessen Ergänzungsschreiben vom 24. Juli 2015. Mit Verfügung vom 24. September 2015 sprach die Verwaltung A._ eine ganze Rente ab dem 1. September 2012 (Invaliditätsgrad 100 %) sowie eine Viertelsrente ab dem 1. April 2015 (Invaliditätsgrad 44 %) zu. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und hob die Verfügung vom 24. September 2015 insofern auf, als A._ ab dem 1. April 2015 noch eine halbe Invalidenrente zustehe (Entscheid vom 18. April 2016). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 18. April 2016. In prozessualer Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Während A._ die Abweisung der Beschwerde beantragen lässt, verzichten die ASGA Pensionskasse und die Mobiliar Lebensversicherungs-Gesellschaft AG auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Dazu reichte A._ am 21. Oktober 2016 eine weitere Stellungnahme ein.