Sachverhalt: A. A.a. Am 18. August 2011 verurteilte das Bezirksgericht Zofingen A._ wegen einfacher Körperverletzung, mehrfachen Verabreichens gesundheitsgefährdender Stoffe an Kinder, Diebstahls, Hehlerei, Nötigung, Vorbereitungshandlungen zu Raub, mehrfacher Übertretungen des und Vergehens gegen das Waffengesetz sowie verschiedener Verkehrs- und Betäubungsmitteldelikte zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren und widerrief den bedingten Vollzug einer Geldstrafe von 75 Tagessätzen. Wegen Uneinbringlichkeit wurde letztere in der Folge in eine Ersatzfreiheitsstrafe von 75 Tagen umgewandelt. Am 10. August 2013 hatte A._ diese Freiheitsstrafen vollständig verbüsst. Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau versetzte A._ per 11. August 2013 in Sicherheitshaft. Am 14. November 2013 verhängte das Bezirksgericht Zofingen eine stationäre Massnahme i.S.v. Art. 65 Abs. 1 i.V.m. Art. 56 Abs. 1 und Art. 59 Abs. 1 StGB für die Dauer von 1 1⁄2 Jahren gegen A._ und verlängerte die Sicherheitshaft bis zum 13. Februar 2014. Am 12. Mai 2014 trat A._ in die Psychiatrische Klinik Königsfelden ein. Am 1. Mai 2015 flüchtete er und wurde am 29. August 2015 wieder verhaftet. Am 3. September 2015 verweigerte das Amt für Justizvollzug (AJV) A._ die bedingte Entlassung aus der stationären Massnahme auf den Ablauf der Regelhöchstdauer per 10. März 2016 und ordnete an, er habe bis zum Entscheid des Bezirksgerichts Zofingen in der stationären Massnahme zu verbleiben. Am 7. September 2015 beantragte die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm dem Bezirksgericht Zofingen, die stationäre Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 4 StGB vom 14. November 2013 um fünf Jahre zu verlängern. Im Sinne eines provisorischen Zwischenentscheides sei für die Verfahrensdauer die am 14. November 2013 angeordnete stationäre Massnahme vorläufig zu verlängern. Am 9. September 2015 trat die Präsidentin des Bezirksgerichts Zofingen auf den Antrag auf provisorische Verlängerung der Massnahme nicht ein. Am 28. Januar 2016 verlängerte das Bezirksgericht Zofingen die stationäre therapeutische Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 1 StGB für die Dauer von höchstens fünf Jahren. Die Dauer der erstandenen freiheitsentziehenden Massnahmen von insgesamt 232 Tagen rechnete es nach Art. 51 StGB auf die Dauer an. Am 10. März 2016 wies das AJV A._ zum Massnahmenvollzug ins Massnahmenzentrum Bitzi ein. Am 8. April 2016 hiess das Obergericht des Kantons Aargau die Beschwerde von A._ gut, hob den Beschluss des Bezirksgerichts Zofingen vom 28. Januar 2016 auf und wies die Sache zu neuem Entscheid ans Bezirksgericht zurück (Dispositiv-Ziffer 1). Die Beschwerde der Staatsanwaltschaft schrieb es als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziffer 2). Auf das Haftentlassungsgesuch von A._ trat es ebensowenig ein (Dispositiv-Ziffer 3) wie auf das Gesuch um Gewährung der amtlichen Verbeiständung (Dispositiv-Ziffer 4). A.b. Am 14. April 2016 stellte die Präsidentin des Bezirksgerichts Zofingen beim Zwangsmassnahmengericht das Gesuch, A._ für die vorläufige Dauer von drei Monaten in Sicherheitshaft zu nehmen. Am 16. April 2016 wies das Zwangsmassnahmengericht das Gesuch ab und ordnete die Entlassung von A._ an. Diese Verfügung wurde von der Staatsanwaltschaft gleichentags beim Obergericht angefochten mit den Anträgen, sie aufzuheben und für die Dauer des Verfahrens Sicherheitshaft anzuordnen. Nachdem das Obergericht A._ für die Dauer des Beschwerdeverfahrens in Sicherheitshaft versetzt hatte, hiess es die Beschwerde der Staatsanwaltschaft am 20. Mai 2016 gut und versetzte A._ für die vorläufige Dauer von drei Monaten bis zum 14. Juli 2016 in Sicherheitshaft. A.c. Am 7. Juni 2016 hiess das Bundesgericht die Beschwerde von A._ gegen den Obergerichtsentscheid vom 8. April 2016, soweit es darauf eintrat, teilweise gut und stellte fest, dass das Obergericht eine formelle Rechtsverweigerung begangen hatte, indem es auf den Antrag auf Haftentlassung nicht eingetreten war; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 1B_31/2016). B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 21. Juni 2016 beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts vom 20. Mai 2016 aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen oder eventuell die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. C. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht verzichten unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung.