Sachverhalt: A. A._ meldete sich im Oktober 1998 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Mit Verfügung vom 21. März 2000 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn einen Leistungsanspruch. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde am 18. September 2001 insofern gut, als es die Sache wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs an die Verwaltung zu neuem Entscheid zurückwies. Gestützt auf das Gutachten des Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 9. Mai 2002, sprach die IV-Stelle am 1. November 2002 ab 1. April 1998 eine halbe sowie ab 1. August 2000 eine ganze Invalidenrente zu. Mit Mitteilung vom 1. Dezember 2005 bestätigte die IV-Stelle den bisherigen Rentenanspruch. Im Rahmen der 2008 eingeleiteten erneuten Revision teilte die IV-Stelle A._ gestützt auf das Gutachten des Instituts C._, vom 27. Oktober 2009 mit, es bestehe nur noch Anspruch auf eine halbe Rente. Im Rahmen seiner Einwendungen liess A._ je ein Gutachten des Prof. Dr. med. D._, Facharzt für Chirurgie, speziell Allgemeinchirurgie und Traumatologie, sowie des Dr. med. E._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 3. Oktober 2010 einreichen. Am 9. Mai 2011 teilte die IV-Stelle mit, angesichts des nunmehr ermittelten Invaliditätsgrades von 39 % beabsichtige sie, die Rente einzustellen. Mit Verfügung vom 4. Januar 2013 reduzierte die IV-Stelle den Rentenanspruch auf eine Viertelsrente bei einem Invaliditätsgrad von 42 %. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 1. Mai 2014 gut, hob die Verfügung vom 4. Januar 2013 auf, stellte fest, A._ habe weiterhin Anspruch auf die bisherige Rente, und wies die Sache zur Prüfung sowie allfälligen Durchführung von Eingliederungsmassnahmen an die IV-Stelle zurück. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei in Gutheissung der Beschwerde der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verfügung vom 4. Januar 2013 zu bestätigen; eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid soweit aufzuheben, als festgestellt werde, A._ habe weiterhin Anspruch auf die bisherige Rente. Zudem beantragt die IV-Stelle, ihrer Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf eingetreten werden könne. Eventualiter seien bei Gutheissung der Beschwerde der vorinstanzliche Entscheid in Dispositivziffer 1 sowie die Verfügung vom 4. Januar 2013 aufzuheben; subeventualiter seien bei Gutheissung der Beschwerde der vorinstanzliche Entscheid in Dispositivziffer 1 sowie die Verfügung vom 4. Januar 2013 aufzuheben, verbunden mit der Feststellung, die IV-Stelle habe ihm eine Dreiviertelsrente, subsubeventualiter eine halbe Rente zukommen zu lassen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung nicht zuzuerkennen. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 23. September 2014 gewährte das Bundesgericht der Beschwerde der IV-Stelle die aufschiebende Wirkung.