Sachverhalt: A. Der 1940 geborene A._ bezog seit Februar 1993 eine Invalidenrente der damaligen "Winterthur" Stiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (heute: AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, Winterthur; nachfolgend: Sammelstiftung). Am 14. Dezember 2004 gelangte B._, Mitarbeiter des Patronato C._, im Namen von A._ an die Sammelstiftung und ersuchte um Zustellung der vorgesehenen Formulare für die Altersleistung (Rente oder Kapital). Dem Schreiben lag eine Vollmacht des A._ zugunsten von "Patronato C._" vom 14. Dezember 2004 bei. Die Sammelstiftung informierte A._ daraufhin am 23. Dezember 2004 über die voraussichtliche Höhe ihrer Leistungen. Am 25. Januar 2005 ersuchte B._ die Sammelstiftung im Namen von A._ um Ausrichtung des Alterskapitals auf "Kto.Nr.: xxx, lautend auf Patronato C._" bei der Bank D._. Dem Schreiben lagen eine Vollmacht zugunsten des "Patronato C._" vom 25. Januar 2005, das von der Sammelstiftung zugestellte Formular betreffend Altersleistungen sowie eine Wohnsitzbestätigung bei. Die Vollmacht und das Formular der Sammelstiftung trugen die Unterschrift von A._, letzteres zudem diejenige der Ehefrau. A._ bestreitet die Echtheit der Unterschriften. Das Formular und die Wohnsitzbestätigung waren zudem mit einem Stempel des italienischen Konsulats versehen. Mit Schreiben vom 25. April 2005 teilte die Sammelstiftung A._ mit, dass sie sein Alterskapital per 1. Mai 2005 auf das genannte Konto bei der Bank D._ überweise. A._ hat diese Mitteilung nach eigenen, von B._ bestätigten Angaben nie erhalten, weil B._ mit einem Nachsendeauftrag veranlasst hatte, dass seine Post zwischen dem 18. April und dem 6. Mai 2005 an die Adresse des Patronato C._ umgeleitet wurde. Die Sammelstiftung überwies das Alterskapital auf das genannte Konto bei der Bank D._; dessen Inhaber war B._. B._ überwies A._ von Mai 2005 bis Mai 2009 alle drei Monate je Fr. 4'866.- (Fr. 1'622.- pro Monat). Ab Juni 2009 erhielt A._ keine Zahlungen mehr. Am 30. August 2012 ersuchte A._ die Sammelstiftung um Ausrichtung der Altersleistung. Diese teilte ihm mit, dass sie sich zu keiner Leistung verpflichtet sehe. B. Klageweise liess A._ beantragen, die Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihm das Alterskapital zuzüglich Verzugszins auszurichten. Replicando stellte er den Eventualantrag, es sei ihm rückwirkend ab 1. Mai 2005 eine Altersrente auszurichten. Mit Entscheid vom 26. Mai 2015 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Die Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihm das Alterskapital zuzüglich Verzugszinsen auszurichten. Eventualiter sei ihm rückwirkend ab 1. Mai 2005 eine Altersrente auszurichten. Die Sammelstiftung beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.