Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (Beschwerdeführer) und B.A._ (Beschwerdegegnerin) heirateten im Jahr 2010. Sie sind Eltern von C.A._ (geb. 2010). Am 15. Juni 2013 trennten sie sich. Die Tochter lebt seither hauptsächlich bei der Mutter. Im Dezember 2013 leitete die Beschwerdegegnerin beim Bezirksgericht Schwyz ein Eheschutzverfahren ein. A.b. Das Bezirksgericht verpflichtete den Beschwerdeführer mit Urteil vom 4. November 2014 zur Bezahlung folgender monatlicher Unterhaltsbeiträge: für die Tochter Fr. 400.-- (Juli bis September 2013) resp. Fr. 800.-- (Oktober bis Dezember 2013), Fr. 825.-- (ab Januar 2014) zuzüglich Kinderzulagen sowie an die Ehefrau Fr. 1'450.-- (Oktober bis Dezember 2013) resp. Fr. 625.-- (ab. 1. Januar 2014). Allfällige vom Ehemann geleistete Unterhaltsbeiträge seien anrechenbar. Sodann regelte es Obhut, Besuchs- und Ferienrecht für die Tochter und ordnete die Gütertrennung an. B. B.a. Der Beschwerdeführer erhob am 17. November 2014 Berufung gegen das Eheschutzurteil. Soweit nachfolgend noch strittig, verlangte er, es sei festzustellen, dass er der Ehefrau keinen persönlichen Unterhalt zu bezahlen habe. Die Kindesunterhaltsbeiträge seien auf Fr. 800.-- ab 1. Januar 2014 festzusetzen. In ihrer Berufungsantwort vom 28. November 2014 beantragte die Beschwerdegegnerin die Abweisung der Begehren. B.b. Das Kantonsgericht Schwyz hiess die Berufung mit Entscheid vom 29. April 2015 in Bezug auf das Besuchs- und Ferienrecht teilweise gut. Die Unterhaltsbeiträge legte es wie folgt fest: für die Tochter Fr. 825.-- zuzüglich Kinderzulagen (ab 15. Juni 2013) und an die Ehefrau Fr. 1'450.-- (Oktober bis Dezember 2013) resp. Fr. 625.-- (ab 1. Januar 2014). In diesem Zeitraum bereits geleistete Unterhaltsbeiträge seien anrechenbar. C. C.a. Der Beschwerdeführer erhebt am 8. Juni 2015 Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt, sowohl das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 29. April 2015 (Ziff. 1-3) als auch das Urteil des Bezirksgerichts Schwyz vom 4. November 2014 (Ziff. 4, 6 und 7) seien aufzuheben. Er hält an seinen vor der Vorinstanz gestellten Begehren fest. So sei festzustellen, dass er der Ehefrau keinen persönlichen Unterhalt zu bezahlen habe. Die Kindesunterhaltsbeiträge seien auf Fr. 800.-- ab 1. Januar 2014 festzusetzen. Falls bereits von 15. Juni 2013 bis Ende 2013 Beiträge zugesprochen würden, seien seine in dieser Phase erbrachten Leistungen (direkte Bezahlung der vormals ehelichen Wohnung, Unterhaltszahlungen) anzurechnen. Weiter wehrt er sich gegen die Kosten- und Entschädigungsregelung im kantonalen Verfahren. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Schliesslich verlangt er, seiner Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. C.b. Die Beschwerdegegnerin widersetzte sich mit Eingabe vom 18. Juni 2015 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Stellungnahme zum ersuchten Aufschub. Mit Verfügung vom 22. Juni 2015 erkannte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde für die bis und mit Mai 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zu und wies das Gesuch im Übrigen ab. C.c. Das Bundesgericht hat sodann die A kten, aber in der Hauptsache keine Vernehmlassungen eingeholt.