Sachverhalt: A. B._ ist Eigentümer der in der Gewerbe- und Wohnzone liegenden Parzelle Nr. xxx in Engelberg. Auf dieser und den benachbarten Parzellen Nr. yyy und zzz befinden sich mehrere zusammengebaute Häuser (früher "C._" bzw. D._ genannt). Das Gebäude von B._ steht nicht nur auf dem Grundstück Nr. xxx, sondern erstreckt sich teilweise auf die Parzellen Nr. zzz und yyy. A._ ist Eigentümerin des Grundstücks Nr. zzz. B. Am 8. Juli 2013 ersuchte B._ um Erteilung einer Baubewilligung für die Sanierung des Daches sowie die Anbringung von inneren Wandverkleidungen und Brandschutzmassnahmen, die ihm der Einwohnergemeinderat Engelberg am 4. Juli 2014 erteilte. Gleichentags wies er die von A._ gegen das Bauvorhaben erhobene Einsprache ab, soweit er darauf eintrat, und verwies sie für ihre privatrechtlichen Einsprachepunkte auf den Zivilweg. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Obwalden wies dieser am 13. Januar 2015 ab. Diesen Beschluss focht sie beim Verwaltungsgericht an, das ihre Beschwerde mit Entscheid vom 25. November 2015 abwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. Dezember 2015 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts, des Beschlusses des Regierungsrats und des Baubewilligungsentscheids des Einwohnergemeinderats sowie die Verweigerung der Bewilligungserteilung. Die Einwohnergemeinde Engelberg, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. B._ (Beschwerdegegner) beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Mit Verfügung vom 21. Januar 2016 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.