Sachverhalt: A. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) erlitt am 15. Juli 1989 einen ersten Verkehrsunfall. Dabei zog er sich eine Distorsion der Halswirbelsäule zu. Die B._ (Beklagte 1, Beschwerdegegnerin 1; heute: D._ AG) ist die Haftpflichtversicherung des Verursachers dieses Unfalls. Am 14. Dezember 1995 erlitt der Kläger einen zweiten Unfall. Dabei zog er sich eine Hirnerschütterung zu. Die C._ AG (Beklagte 2, Beschwerdegegnerin 2) ist die Haftpflichtversicherung des Verursachers dieses zweiten Unfalls. Im Juni 2005 schloss der Kläger mit den Beklagten einen Vergleich. Vom Vergleich nicht erfasst wurden die Heilungs- und Transportkosten. B. Am 28. Dezember 2006 reichte der Kläger beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage ein und beantragte im Wesentlichen, die Beklagte 1 sei zur Zahlung eines Fr. 1 Mio. übersteigenden Betrages nebst Zins und die Beklagte 2 zur Zahlung eines Fr. 500'000.-- übersteigenden Betrages nebst Zins zu verpflichten. In der Folge erhöhte er den von der Beklagten 1 verlangten Betrag auf Fr. 2'886'000.-- und den von der Beklagten 2 verlangten Betrag auf Fr. 1'924'000.--. Gegenstand der Klage sind aufgelaufene und zukünftige Heilungs- und Transportkosten. Das Zivilgericht wartete das Vorliegen eines durch das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt angeordneten Gutachtens ab. Nachdem das Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine (asim, Begutachtungstelle des Universitätsspitals Basel; nachfolgend: asim-Gutachten) eingereicht worden war, wies es die Klage mit Entscheid vom 26. Februar 2014 ab. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die gegen diesen Entscheid vom Kläger erhobene Berufung am 1. April 2015 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht im Wesentlichen, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Klage zu schützen. Es sei eine erneute umfassende Begutachtung des Beschwerdeführers durch eine neutrale, mit diesem abgesprochene, medizinische Institution zu verfügen. Die Beschwerdegegnerin 1 beantragt Abweisung der Beschwerde, die Beschwerdegegnerin 2 deren Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik eingereicht. Die Beschwerdegegnerinnen haben auf eine inhaltliche Stellungnahme dazu verzichtet.