Sachverhalt: A. A._ ist eine von elf Vermächtnisnehmerinnen im Nachlass von C._. Der Erblasser starb im Jahr 1994. Als einzigen Erben hatte er D._ eingesetzt. Gemäss der letztwilligen Verfügung soll A._ ein Zwanzigstel des Nettonachlasses zukommen. Als Willensvollstrecker amtete Advokat und Notar B._. B. Am 30. Dezember 1997 unterbreitete B._ dem einzigen Erben und sämtlichen Vermächtnisnehmern seine Nachlassabrechnung. Demnach beträgt der Nettonachlass knapp Fr. 54 Mio. und das Vermächtnis von A._ Fr. 2'691'391.40. Als Testamentsvollstreckerhonorar für B._ einschliesslich des Honorars der Bank E._ sowie Mehrwertsteuer ist auf der Abrechnung der Betrag von Fr. 600'000.-- angegeben. D._ genehmigte diese Abrechnung am 7. Januar 1998. C. Mit Schreiben vom 4. September 2006 wandte sich A._ an B._ und bat um Substantiierung des Willensvollstreckerhonorars. In einem Schreiben vom 9. Mai 2007 erklärten B._ und sein Bürokollege, dass sie das Honorar entsprechend dem prozentualen Tarif gemäss Basler Notariatsgebührentarif berechnet hätten. D. Am 10. November 2009 verklagte A._ den Willensvollstrecker vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verlangte, B._ zu verurteilen, über seine Tätigkeit als Willensvollstrecker im Nachlass Rechenschaft abzulegen, insbesondere seinen Zeitaufwand detailliert auszuweisen, und das Willensvollstreckerhonorar nach Massgabe der einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen gerichtlich festzulegen. Sie stellte ausserdem den Antrag, B._ zu verurteilen, ihr mindestens den Betrag von Fr. 35'800.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. Dezember 2009 zu bezahlen, und behielt sich eine Teilklage bzw. Mehrforderung vor. Das Zivilgericht wies die Klage mit Entscheid vom 6. November 2013 ab, soweit es darauf eintrat. E. Die unterlegene Klägerin erhob Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie hielt nur mehr an ihrem auf Geldzahlung gerichteten Begehren (s. Bst. D) fest und stellte im Übrigen den Eventualantrag, die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Appellationsgericht wies die Berufung ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid (Entscheid vom 24. Juni 2015). F. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. September 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt den Antrag, den Entscheid des Appellationsgerichts "vollumfänglich aufzuheben" und die Sache zur Neubeurteilung, "nämlich zur materiellen Beurteilung", an die Vorinstanz, eventuell an das Zivilgericht zurückzuweisen. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, stellt B._ (Beschwerdegegner) den Antrag, die Beschwerde in Bestätigung des Entscheids des Appellationsgerichts "vollumfänglich abzuweisen", soweit überhaupt darauf einzutreten ist (Beschwerdeantwort vom 31. Mai 2016). Unter Verzicht auf weitere Erläuterungen beantragt mit Schreiben vom 3. Mai 2016 (Datum der Postaufgabe) auch das Appellationsgericht die Abweisung der Beschwerde. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.