Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in U._/SG bezweckt die Verarbeitung und Verwertung von Milch und Milchprodukten sowie den Verkauf von Käsesorten aller Art. Sie ist seit Mitte 1998 in dem von der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) geführten Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Die Kollektivgesellschaft Y._ mit Sitz in V._/SG steht der X._ AG nahe. Ihr Zweck liegt in der Zucht von und dem Handel mit Tieren im Bereich der Landwirtschaft. Die Kollektivgesellschaft ist seit 2006 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. B. Die Kollektivgesellschaft Y._ ist Eigentümerin zweier Grundstücke, zu deren Lasten sie der X._ AG ein selbständiges und dauerndes Baurecht eingeräumt hatte. In den Jahren 1999 und 2000 erstellte die X._ AG auf den Baurechtsparzellen zwei Schweinemastställe. In der Folge vermietete sie diese an die Kollektivgesellschaft, ehe sie die Ställe am 22. Mai 2006 für 2,5 Mio. Franken (ohne Mehrwertsteuer) an die Baurechtsgeberin verkaufte. Vermietung und Verkauf erfolgten, ohne dass die X._ AG bei der ESTV um die Bewilligung der Versteuerung der betreffenden steuerausgenommenen Umsätze ersucht hatte. Dennoch wies die Baurechtsnehmerin und Vermieterin auf ihren Rechnungen den Mietzins mit Mehrwertsteuer aus und rechnete sie mit der ESTV in den Quartalsabrechnungen über die Mietumsätze ab. Ebenso tätigte die Vermieterin in den Jahren 1999 bis 2004 auf den Baukosten den Vorsteuerabzug. Dieser belief sich insgesamt auf Fr. 192'311.--. Den Verkauf der beiden Ställe deklarierte die X._ AG nicht (weder als steuerbaren noch als steuerausgenommenen Umsatz). C. Im Oktober 2011 unterzog die ESTV die X._ AG einer Mehrwertsteuerkontrolle. Nach erfolgter Prüfung erklärte die ESTV, die in den Jahren 1999 bis 2004 vorgenommenen Vorsteuerabzüge seien zwar unrechtmässig erfolgt, aber verjährt. Zur Veräusserung der Schweinemastställe führte sie in der "Einschätzungsmitteilung Nr. 227'963 / Verfügung" vom 22. Dezember 2011 aus: "Nutzungsänderung. Im Jahre 2006 haben Sie zwei Mastställe, für deren Vermietung Sie bis zu diesem Datum optiert haben, ohne Option des Verkaufspreises an die [Kollektivgesellschaft Y._], V._[/SG], verkauft. Es liegt eine steuerlich relevante Nutzungsänderung auf den wertvermehrenden Investitionen vor. Die Details der Berechnung entnehmen Sie bitte der separaten Beilage. Steuerbetrag Nutzungsänderung 2006: Fr. 192'311.--." Für die vier Quartale 2006 ergab sich nach korrigierten Mehrwertsteuern und Vorsteuern ein Vorsteuerüberhang von noch Fr. 135'093.--. Da die X._ AG in ihren vier Quartalsabrechnungen bereits einen Vorsteuerüberschuss von Fr. 317'255.-- beansprucht hatte, wovon Fr. 192'311.-- auf die beiden Ställe entfielen, führte dies per saldo zu einer Nachbelastung von Fr. 182'162.-- [Fr. 317'255.-- minus Fr. 135'093.--]. D. Mit "Einspracheentscheid" vom 3. Juli 2013 wies die ESTV die "Einsprache" der X._ AG vom 26. Januar 2012 ab und beliess sie die Nachbelastung 2006 bei Fr. 182'162.--. Gleichzeitig erklärte sie die Verrechnung der Steuerforderung 2006 mit einem Steuerguthaben 2010. Dagegen erhob die X._ AG Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Sie beantragte, der angefochtene "Einspracheentscheid" sei aufzuheben und es sei die Steuerforderung 2006 auf "minus Fr. 327'404.--" [entsprechend Fr. 135'093.-- plus Fr. 192'311.--] festzusetzen. E. Mit Urteil A-4611/2013 vom 4. März 2014 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gut und hob es den "Einspracheentscheid" namentlich insoweit auf, als dieser eine Nachbelastung von Fr. 192'311.-- vorsah. Zudem wies es die ESTV an, der X._ AG für das Steuerjahr 2006 den streitbetroffenen Betrag gutzuschreiben. F. Die ESTV erhebt mit Eingabe vom 4. April 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil A-4611/2013 vom 4. März 2014 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid der ESTV vom 3. Juli 2013 sei zu bestätigen. Während die Vorinstanz von einer Vernehmlassung absieht, reicht die X._ AG (nachfolgend die Steuerpflichtige ) eine detaillierte Beschwerdeantwort ein.