Sachverhalt: A. Am 25. September 2016 fand die eidgenössische Volksabstimmung über das Bundesgesetz über den Nachrichtendienst (Nachrichtendienstgesetz, NDG) statt. Gemäss den vorläufigen amtlichen Endergebnissen wurde die Vorlage mit 65.5 % Ja-Stimmen angenommen. Im Vorfeld der Abstimmung, am 2. September 2016, erhob Daniel Muster Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Er beantragte in erster Linie, die bevorstehende Abstimmung in sämtlichen Kantonen auszusetzen bzw. für ungültig zu erklären. Eventualiter sei die Anordnung auf die Kantone der Ostschweizer Justiz- und Polizeidirektoren (OJPD: Appenzell Ausserrhoden, Appenzell Innerrhoden, Glarus, Graubünden, Schaffhausen, St. Gallen, Thurgau und Zürich) sowie die umliegenden Kantone Aargau, Schwyz und Zug zu beschränken. Subeventualiter sei festzustellen, dass die Medienmitteilungen, die der Kanton Zürich und die OJPD zur bevorstehenden Abstimmung verfasst hätten, unrechtmässig seien. Zur Begründung machte er geltend, dass die Medienmitteilungen unzulässige Einmischungen in den Abstimmungskampf auf Bundesebene darstellten. Darüber hinaus seien sie unvollständig, denn es würden wesentliche Gesichtspunkte des Nachrichtendienstgesetzes verschwiegen. Vergleichbare inhaltliche Unzulänglichkeiten weise auch die Informationsbroschüre des Bundes auf. Es sei anzunehmen, dass die Mängel den Abstimmungskampf entscheidend beeinflussen könnten. Mit Beschluss vom 14. September 2016 trat der Regierungsrat auf die Beschwerde mangels Zuständigkeit insoweit nicht ein, als sie sich gegen die Informationsbroschüre des Bundes und die Medienmitteilung der OJPD richtete. In Bezug auf seine eigene Medienmitteilung wies er die Beschwerde ab. Der Kanton Zürich sei von der Vorlage besonders betroffen, insbesondere weil er häufig Durchführungsort von Grossveranstaltungen sei und eine verletzliche Infrastruktur aufweise. Das Eingreifen in den Abstimmungskampf sei deshalb zulässig. Die Medienmitteilung sei zudem objektiv und sachlich. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 22. September 2016 wiederholt Daniel Muster seine im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Anträge. Der Regierungsrat beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Bundeskanzlei beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.