Sachverhalt: A. Der kubanische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1968) reiste Ende 1998 in die Schweiz ein und heiratete im März 1999 die hier niedergelassene chilenische Staatsangehörige B.A._, worauf ihm zunächst die Aufenthalts- und im März 2004 die Niederlassungsbewilligung erteilt wurde. Am 6. November 2000 ging aus der Ehe der Sohn C.A._ hervor. Im November 2004 erhielten B.A._ und C.A._ das Schweizer Bürgerrecht. B. Mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 20. Oktober 2004 wurde A.A._ wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand sowie Verletzung von Verkehrsregeln zu einer bedingten Gefängnisstrafe von zwei Monaten und einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt, unter Ansetzung einer Probezeit von drei Jahren. Aufgrund dieser Verurteilung wurde A.A._ am 17. November 2004 fremdenpolizeilich verwarnt. Mit Urteil vom 5. März 2008 sprach das Bezirksgericht Zürich A.A._ der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig und verurteilte ihn (unter Einbezug der am 20. Oktober 2004 ausgefällten bedingten Strafe) zu einer Gesamtstrafe von drei Jahren, wobei der Vollzug im Umfang von 18 Monaten aufgeschoben wurde (bei einer Probezeit von drei Jahren). In der Folge widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich A.A._ mit Verfügung vom 21. Juli 2008 die Niederlassungsbewilligung und ordnete an, er habe das schweizerische Staatsgebiet unverzüglich nach Entlassung aus dem Strafvollzug zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde gegen den abschlägigen Rekursentscheid des Regierungsrats des Kantons Zürich mit Entscheid vom 20. Mai 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 ab. C. A.A._ machte daraufhin Vollzugshindernisse gegen seine Wegweisung geltend, da er als Auswanderer nach kubanischer Gesetzgebung nicht mehr zur ständigen Wohnsitznahme in seiner kubanischen Heimat berechtigt sei. Mit Urteil C-6436/2010 vom 23. Dezember 2013 erachtete das Bundesverwaltungsgericht den Wegweisungsvollzug als durchführbar und lehnte eine vorläufige Aufnahme letztinstanzlich ab. D. Mit Gesuch vom 27. Januar 2014 ersuchte A.A._ das Migrationsamt um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wobei er vorbrachte, sich bei der kubanischen Botschaft in Bern erfolglos um ein Gesuchsformular für die definitive Wiedereinreise nach Kuba bemüht zu haben. Das Migrationsamt wies das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 17. Juni 2014 ab und trat auf das Ersuchen, ein Gesuchsformular für die definitive Wiedereinreise nach Kuba auf dem Amtsweg einzuholen, nicht ein. Eine Beschwerde bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos (Entscheid vom 21. November 2014). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 11. März 2015 ab. E. Am 13. Mai 2015 erhebt A.A._ Beschwerde beim Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei das Gesuchsformular zur Wiedereinreise zwecks erneuter Wohnsitzaufnahme in Kuba bei der kubanischen Botschaft auf dem Amtsweg einzuholen. Während die Sicherheitsdirektion explizit auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, beantragt das Verwaltungsgericht die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen.