Sachverhalt: A. Die politischen Gemeinden des Kantons Zug haben sich zum "Zweckverband der Zuger Einwohnergemeinden für die Bewirtschaftung von Abfällen" (kurz: Zeba; nachfolgend der Gemeindeverband), zusammengeschlossen. Dieser lässt das Abfallaufkommen in ausserkantonale Kehrichtverwertungsanlagen verbringen, wozu er Verträge mit mehreren Transporteuren unterhält. Hier von Bedeutung sind die X._ AG, U._, die Einwohnergemeinde der Stadt Zug und die Y._ AG, V._. Der Transport der Kehrichtcontainer erfolgt nach der Methode des unbegleiteten kombinierten Verkehrs (UKV). Danach holen die Transporteure die Container am Verladeort ab und befördern diese per Lastwagen bis zum ersten Umschlagsbahnhof ("Vorlauf" des UKV). Dort erfolgt der Umlad von der Strasse auf die Schiene. Alsdann gelangen die Container per Bahn bis zum zweiten Umschlagsbahnhof ("Hauptlauf" des UKV), ehe der "Nachlauf" des UKV (von dort bis zum Entladeort, hier: Kehrichtverwertungsanlage), falls ein solcher überhaupt erforderlich ist, wiederum mit Lastwagen bewältigt wird. Soweit Strassenfahrzeuge im unbegleiteten kombinierten Verkehr - für den Vor- und/oder Nachlauf - eingesetzt werden, haben die Transporteure von Gesetzes wegen die Möglichkeit, die leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (LSVA) zurückzuverlangen. Nach der Verordnung zur LSVA bedingt dies insbesondere, dass die Ladebehälter oder Sattelanhänger eine Mindestlänge von 5,5 Meter (entsprechend 18 Fuss) aufweisen. B. Die Eidgenössische Zollverwaltung (OZD, Abteilung LSVA) kontrollierte im Mai 2011 die vom Gemeindeverband verwendeten Container. Dabei zeigte sich, dass die eingesetzten Ausführungen eine Aussenlänge (unter Ausschluss der Aussenbügel) von 5'343 Millimetern (Typ IES 20) bzw. 5'249 Millimetern (Typ A 24 25 525) erreichen. Die Nachkontrolle durch die RUAG Schweiz AG bestätigte dies. Unter Einbezug der Aussenbügel wären die Längenerfordernisse hingegen erfüllt. Mit Blick auf die Längenmasse von jeweils rund 5,3 Metern eröffnete die Zollverwaltung gegen den Gemeindeverband und die Transporteure Zollstrafuntersuchungen wegen unrechtmässig beanspruchter Rückerstattungen der LSVA, angeblich begangen in den Jahren 2007-2011. Am 30. Mai 2012 erliess die Zollverwaltung gegenüber vier Transporteuren Nachleistungsverfügungen (Art. 12 Abs. 1 und 2 VStrR), deren gesamter Umfang den Betrag von Fr. 352'829.90 erreichte. Davon betroffen waren die X._ AG (für Fr. 125'816.80), die Einwohnergemeinde der Stadt Zug (für Fr. 59'890.45), die Y._ AG (für Fr. 55'321.50) und ein weiteres Transportunternehmen (für Fr. 111'801.15). Mit einer weiteren Nachleistungsverfügung vom selben Tag erklärte die Zollverwaltung den Gemeindeverband solidarisch leistungspflichtig für Fr. 352'829.90. Die Rückerstattung habe, so die Zollverwaltung, auf Ebene der Transporteure zu tieferen Kosten geführt, was letztlich auch dem Gemeindeverband zugute gekommen sei. Deshalb sei der Gemeindeverband solidarisch leistungspflichtig. Alle fünf Parteien erhoben erfolglos verwaltungsinterne Beschwerde (Beschwerdeentscheide vom 4. Februar 2013). C. Die X._ AG (Verfahren A-1225/2013), die Y._ AG (A-1380/2013), die Einwohnergemeinde der Stadt Zug (A-1381/2013) und der Gemeindeverband (A-1356/2013), nicht aber der vierte Transporteur riefen das Bundesverwaltungsgericht an. Dieses hiess mit Entscheiden vom 27. März 2014 alle vier Beschwerden gut und hob die Beschwerdeentscheide der Zollverwaltung auf. Es erkannte, Auslegung und Anwendung der Verordnung durch die Zollverwaltung seien zwar nicht zu beanstanden, doch entbehrten die verordnungsgemässen Längenvorschriften einer sachlichen Begründung und seien damit willkürlich. D. Mit Eingabe vom 7. Mai 2014 erhebt die Eidgenössische Zollverwaltung beim Bundesgericht in allen vier Fällen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Hinsichtlich des Gemeindeverbandes beantragt sie, dieser sei für Schwerverkehrsabgaben von Fr. 352'829.90 leistungspflichtig zu erklären; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet, reicht der Gemeindeverband eine ausführliche Beschwerdeantwort ein und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit Entscheiden vom 18. Juli 2015 heisst das Bundesgericht die Beschwerden der Eidgenössischen Zollverwaltung bezüglich der Einwohnergemeinde der Stadt Zug (Verfahren 2C_422/2014), der X._ AG (2C_424/2014) und der Y._ AG (2C_425/2014) gut und bestätigt es den Beschwerdeentscheid der Eidgenössischen Zollverwaltung vom 4. Februar 2013.