Sachverhalt: A. Die Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führte, gestützt auf eine Strafanzeige von A._ vom 17. Februar 2012, ein Jugendstrafverfahren gegen deren Tochter B._. Mit Strafbefehl vom 20. Februar 2014 erklärte die Jugendanwaltschaft die Beschuldigte des Hausfriedensbruches schuldig. Auf eine von der Strafanzeigerin dagegen erhobene Einsprache trat die Jugendanwaltschaft mit Verfügung vom 15. Mai 2014 mangels Legitimation nicht ein. B. Eine von der Strafanzeigerin gegen die Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 15. Mai 2014 erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 15. Dezember 2014 teilweise gut. Es stellte fest, dass die angefochtene Verfügung aufgrund der funktionellen Unzuständigkeit der Jugendanwaltschaft nichtig sei und wies die Sache zur Beurteilung an das zuständige Jugendgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses trat seinerseits mit Entscheid vom 10. April 2015 auf die Einsprache (gegen die Verfügung vom 15. Mai 2014 der Jugendanwaltschaft) mangels Legitimation der Strafanzeigerin nicht ein. C. Auch gegen den Entscheid des Jugendgerichtes vom 10. April 2015 erhob die Strafanzeigerin am 27. April 2015 Beschwerde beim Appellationsgericht (Einzelgericht) wegen Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung. Dieses wies mit Entscheid vom 14. Juli 2015 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. D. Gegen den Entscheid des Appellationsgerichtes vom 14. Juli 2015 gelangte die Strafanzeigerin mit Beschwerde vom 14. September 2015 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Feststellung einer Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung im Jugendstrafverfahren. Das Appellationsgericht beantragt mit Stellungnahme vom 23. September 2015 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Jugendanwaltschaft liess sich am 2. Oktober 2015 vernehmen.