Sachverhalt: A. A._, wohnhaft in U._ (ZH), war Vorsitzender des "Supervisory Board" (Aufsichtsrat) der lettischen Gesellschaft C._ mit Sitz in V._ (Lettland). Gesellschaft C._ ist Eigentümerin eines Teils des Öltransithafens von V._ und hält Beteiligungen im Transport- und Mediensektor. Im Hafen von V._ nimmt sie Ölprodukte zur Zwischenlagerung und Verladung auf Tankschiffe entgegen. Die B._ SA ist eine vornehmlich im Rohstoffhandel tätige Gesellschaft mit Sitz in W._ (GE). B. Nach einem erfolglos verlaufenen Schlichtungsverfahren verklagte die B._ SA A._ am 10. Juni 2011 beim Bezirksgericht Meilen auf Verletzung ihrer Persönlichkeit. Anlass zur Klage gaben Aussagen, mit denen A._ in Pressemitteilungen der Gesellschaft C._ und auf lettischen Online-Medienportalen zitiert wird. Hintergrund dieser Aussagen waren unter anderem Meinungsverschiedenheiten zwischen der Gesellschaft C._ und B._ SA über den Verbleib von Zahlungen der B._ SA für Dienstleistungen der Gesellschaft C._ und - damit zusammenhängend - über die Weiterführung der Geschäftsbeziehungen. Mit Urteil vom 9. April 2014 stellte das Bezirksgericht Meilen fest, dass A._s Aussagen "B._ uses blackmailing tactics" und "B._ intimidates and uses strong arm tactics vis-à-vis D._" die Persönlichkeitsrechte der B._ SA widerrechtlich verletzen. A._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies das Rechtsmittel am 30. Oktober 2014 ab. C. Mit Beschwerde vom 3. Dezember 2014 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Klage der B._ SA (Beschwerdegegnerin) "vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist". Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und das Obergericht zur Vernehmlassung eingeladen. Das Obergericht erklärte am 4. März 2015, darauf zu verzichten. Die Beschwerdegegnerin beantragte mit Schreiben vom 20. März 2015, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.