Sachverhalt: A. A.a. Das Familiengericht U._ ordnete für E.A._ (geb. 1918) eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung im Sinne von Art. 394 f. ZGB an und entzog ihr diesbezüglich die Handlungsfähigkeit. Die Führung der Beistandschaft übertrug es unter näherer Bezeichnung der jeweiligen Aufgabenbereiche an C._, Enkelin der Betroffenen, sowie an die Berufsbeiständin D._, Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks U._ (Entscheid vom 18. Juni 2014). Auf Beschwerde einer Tochter der Betroffenen, B._, hin hob das Obergericht des Kantons Aargau den angefochtenen Entscheid am 23. Februar 2015 auf. Es wies die Sache zur neuen Beurteilung an das Familiengericht zurück; dieses habe ein ärztliches Gutachten einzuholen und gestützt darauf neu zu entscheiden. Für die Betroffene bestellte das Obergericht Rechtsanwältin F._ als amtliche Vertreterin im Beschwerdeverfahren. A.b. Am 10. April 2015 führte A.A._, Sohn der Betroffenen, Beschwerde in Zivilsachen gegen das obergerichtliche Urteil. Er wandte sich einerseits gegen die vorinstanzlich bestellte Verfahrensvertretung und anderseits gegen die Rückweisung an die erste Instanz. Nachdem E.A._ am 31. Mai 2015 verstorben war, schrieb das Bundesgericht das Verfahren mit Verfügung 5A_302/2015 vom 3. Juli 2015 als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es erhob keine Gerichtskosten (Dispositiv-Ziff. 2). Gestützt auf eine summarische, nicht abschliessende Beurteilung des mutmasslichen Verfahrensausgangs (E. 3) verpflichtete das Bundesgericht B._, an A.A._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 3). B. Am 14. September 2015 reichte B._ (Gesuchstellerin) dem Bundesgericht ein Gesuch um Revision der Abschreibungsverfügung vom 3. Juli 2015 ein. Sie beantragt, es sei deren Dispositiv-Ziff. 3, eventuell auch Ziff. 1, aufzuheben und A.A._ (Gesuchsgegner) zu verpflichten, ihr für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. Eventuell seien keine Parteientschädigungen zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Verzicht auf die Erhebung eines Gerichtskostenvorschusses sowie um aufschiebende Wirkung des Gesuchs. Nach Anhörung der Gegenpartei und der Verfahrensbeteiligten hat das Bundesgericht dem Revisionsgesuch antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt, was die Vollstreckbarkeit von Dispositiv-Ziff. 3 der bundesgerichtlichen Verfügung 5A_302/2015 angeht (Verfügung vom 9. Oktober 2015). Mit Schreiben vom gleichen Tag teilte der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin dem Bundesgericht mit, der Rechtsvertreter des Gesuchsgegners habe die strittige Parteientschädigung in Betreibung gesetzt. In der Sache holte das Bundesgericht keine Vernehmlassungen ein.