Sachverhalt: A. A.a. Mit Urteil vom 22. November 2013 hiess das Bezirksgericht Zürich in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 5 das Begehren um definitive Rechtsöffnung der Y._ GmbH gegen die X._ AG über den Gesamtbetrag von Fr. 29'964'380.-- samt Zinsen und Kosten gut. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von der X._ AG dagegen erhobene Beschwerde am 23. Januar 2014 ab. Die X._ AG gelangte daraufhin an das Bundesgericht, welches ihre Beschwerde mit Urteil 5A_165/2014 vom 25. September 2014 ebenfalls abwies, soweit darauf einzutreten war. A.b. Am 5. Juli 2013 verlegte die X._ AG ihren Sitz von U._ nach V._. Das nunmehr zuständige Betreibungsamt Höfe liess am 16. Januar 2015 in der bei ihm unter der Nr. yyy laufenden Betreibung die Konkursandrohung gegen die X._ AG im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) öffentlich bekannt machen. A.c. Die X._ AG beantragte daraufhin beim Bezirksgericht Höfe als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs die Aufhebung der Konkursandrohung und die Publikation der Aufhebung im SHAB. Die Beschwerde wurde am 5. Mai 2015 abgewiesen. B. Die gegen die erstinstanzliche Verfügung von der X._ SA eingereichte Beschwerde wurde vom Kantonsgericht Schwyz als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs mit Beschluss (BEK 2015 70) vom 23. Juli 2015 teilweise gutgeheissen und die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und Neubeurteilung an die untere kantonale Aufsichtsbehörde zurückgewiesen. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2015 wies die untere kantonale Aufsichtsbehörde die Beschwerde erneut ab. Die daraufhin von der X._ AG bei der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde eingereichte Beschwerde wurde mit Beschluss vom 18. April 2016 abgewiesen. C. Die X._ AG ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Mai 2016 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses sowie die Aufhebung der im SHAB öffentlich bekannt gemachten Konkursandrohung. Die Beschwerdeführerin stellt das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung, welchem sich die Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) widersetzt. Das Kantonsgericht hat keine Einwände erhoben. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung des präsidierenden Mitgliedes vom 1. Juni 2016 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden. Die Beschwerdegegnerin hat sich unaufgefordert in der Sache geäussert, welche Eingabe der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs übermittelt wurde. Auf eine Antwort zu deren Stellungnahme hat die Beschwerdegegnerin verzichtet.