Sachverhalt: A. Der 1959 geborene A._ bezog vom 1. Mai bis zum 30. November 1989 sowie ab dem 1. Juli 1991 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 23. November 1990 und vom 10. Juli 1998). Anlässlich eines im Oktober 2008 eingeleiteten Revisionsverfahrens holte die IV-Stelle ein bidisziplinäres Gutachten der MEDAS ein (erstattet am 10. Juni 2010) und verfügte gestützt darauf die Renteneinstellung per Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats; einer Beschwerde gegen diese Verfügung entzog sie die aufschiebende Wirkung (Verfügung vom 23. Mai 2012). Dagegen erhob A._ unter Beilage verschiedener medizinischer Berichte Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau. Die IV-Stelle hob die Renteneinstellungsverfügung lite pendente auf (Verfügung vom 28. September 2012) und wies mit Zwischenverfügung vom 9. Oktober 2012 auf die andauernde Wirkung der entzogenen aufschiebenden Wirkung hin. Nach Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) veranlasste die Verwaltung eine polydisziplinäre Begutachtung im Institut B._ (erstattet am 19. März 2013) und hob gestützt hierauf die Rente rückwirkend per Juli 2012 auf (Verfügung vom 5. Juli 2013). B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 9. September 2014 gut und hob die Verfügung vom 5. Juli 2013 auf. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 9. September 2014 sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle vom 5. Juli 2013 zu bestätigten. In prozessualer Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und beantragt, es dieser die aufschiebende Wirkung nicht zuzuerkennen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.