Sachverhalt: A. A._ wurde 1962 im Iran geboren. Nach seiner Flucht in die Türkei im Jahre 1987 anerkannte ihn die UNO als Flüchtling. 1989 gelangte er in die Schweiz und lebte seither, mit Ausnahme einiger Monate, die er im Kanton Freiburg verbrachte, in Trimmis/GR. A._ ist geschieden und hat eine inzwischen volljährige Tochter. Vom April 1995 bis zum Februar 2001 bezog er Sozialhilfe, und für sein Scheidungsverfahren wurde ihm im Oktober 2010 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. A._ arbeitet als Taxifahrer. B. B.a. Am 3. April 2012 ersuchte A._ die Bürgergemeinde Trimmis um Einbürgerung. Dieser wurde am 5. Dezember 2012 von den zuständigen Behörden mitgeteilt, dass die formellen Voraussetzungen des Bundes und des Kantons Graubünden erfüllt seien. B.b. Am 21. Februar 2013 fand ein Einbürgerungsgespräch vor dem Bürgerrat statt. Dieser teilte A._ mit, dass sein Gesuch nur geringe Chancen habe, weshalb ihm nahegelegt werde, dieses zurückzuziehen. In der Folge unterzeichnete er das vorbereitete Rückzugsschreiben. B.c. Am 4. März 2013 teilte A._ der Bürgergemeinde über seinen Rechtsvertreter mit, er sei überrumpelt worden und halte am Gesuch fest. Die Bürgergemeinde antwortete am 20. März 2013, sie stelle der Bürgerversammlung einen negativen Antrag, weil die Voraussetzungen für eine Einbürgerung nicht erfüllt seien. A._ hielt auch danach an seinem Gesuch fest. B.d. An der Bürgerversammlung vom 19. April 2013 lehnte die Bürgergemeinde das Einbürgerungsgesuch von A._ mit 28 zu 0 Stimmen ab. Dieser Entscheid wurde dem Gesuchsteller am 3. Mai 2013 eröffnet und schriftlich im Wesentlichen damit begründet, dass er keine erkennbaren sozialen Beziehungen in der Gemeinde, zu Vereinen oder anderen lokalen Institutionen pflege; überdies nehme er kaum an öffentlichen Dorf- und Quartierveranstaltungen teil und mangle es ihm an Grundlagenkenntnissen über die politische und gesellschaftliche Ordnung sowie am Wissen über örtliche Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuche. An derselben Bürgerversammlung wurde hingegen die Tochter von A._ eingebürgert. C. Mit Urteil vom 30. Januar 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden eine dagegen gerichtete Beschwerde ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die Bürgergemeinde habe sich bei ihrer Einschätzung, A._ sei nicht hinreichend sozial integriert, auf mehrere sachliche Integrationskriterien gestützt und diese korrekt festgestellt und gewürdigt. Aus dem Umstand, dass seine Tochter eingebürgert worden sei, könne der Gesuchsteller nichts zu seinen Gunsten ableiten. Überdies vermittle der Erhebungsbericht vom 21. Februar 2013 den Eindruck, dass bei A._ auch das Erfordernis der Vertrautheit mit den kantonalen und kommunalen Lebensgewohnheiten bzw. mit der politischen und gesellschaftlichen Ordnung zu verneinen wäre, was aber offenbleiben könne. Und schliesslich falle wohl die nicht erfolgte Rückzahlung der Kosten für die unentgeltliche Rechtspflege zu seinen Lasten ins Gewicht, worauf aber ebenfalls nicht weiter einzugehen sei. D. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 28. März 2014 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an die Bürgergemeinde Trimmis zurückzuweisen zur Erteilung des Bürgerrechts. Im Wesentlichen macht er einen Verstoss gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Verfahren sowie die unvollständige Abklärung des Sachverhalts geltend. In einer separaten Eingabe ersucht A._ sodann um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren. E. Die Bürgergemeinde Trimmis schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden stellt Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. F. A._ hat sich nochmals zur Sache geäussert. Weitere Eingaben gingen beim Bundesgericht nicht mehr ein. G. Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat über die Beschwerde an einer öffentlichen Beratung entschieden.