Sachverhalt: A. Die X._ mit Sitz in U._ bezweckt namentlich den Erhalt, Ausbau, Unterhalt, Betrieb und die Verwaltung des Flugfeldes Y._. Am 16. Dezember 2009/31. Mai 2012 ersuchte sie das Bundesamt für Zivilluftfahrt (BAZL) um Erteilung einer Betriebsbewilligung für das Flugfeld Y._. B. B.a. Das BAZL wies das Gesuch der X._ mit Verfügung vom 7. Januar 2016 ab. Gleichzeitig verweigerte es die Genehmigung des Betriebsreglements. Die X._ erhob dagegen mit Eingabe vom 17. Februar 2016 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses verlangte mit Zwischenverfügung vom 22. Februar 2016 die Leistung eines Kostenvorschusses in der Höhe von Fr. 4'000.-- bis 14. März 2016 und drohte für den Säumnisfall an, auf die Beschwerde nicht einzutreten. B.b. Mit Schreiben vom 14. März 2016 ersuchte die X._ um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses, eventualiter um Reduktion desselben. Zudem beantragte sie eine Erstreckung der Frist zur Leistung eines allfälligen Kostenvorschusses um 30 Tage. Das Bundesverwaltungsgericht hiess das Fristerstreckungsgesuch mit Verfügung vom 16. März 2016 teilweise gut und erstreckte die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis 22. März 2016. Gleichzeitig wies es darauf hin, dass eine weitere Fristerstreckung ausgeschlossen sei und auf die Beschwerde im Säumnisfall nicht eingetreten werde. Gemäss Sendungsverfolgung der Schweizerischen Post traf die Verfügung am 17. März 2016 bei der Abhol-/Zustellstelle ein. Aufgrund eines Nachsendeauftrags wurde die Verfügung indes erst am 18. März 2016 mit Abholfrist bis 26. März 2016 (Ostersamstag) in das Postfach der X._ avisiert. B.c. Nachdem sie die Verfügung des Bundesverwaltungsgerichts am 29. März 2016 abgeholt hatte, gelangte die X._ mit Schreiben vom 1. April 2016 an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um Fristwiederherstellung. Mit Urteil vom 20. April 2016 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde gegen die Verfügung des BAZL nicht ein, da der Kostenvorschuss nicht geleistet worden war und Gründe für eine Fristwiederherstellung nicht vorlagen. C. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgericht erhebt die X._ mit Eingabe vom 27. Mai 2016 (Postaufgabe: 30. Mai 2016) Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils "samt der Kostenverfügung". Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Während das BAZL auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten das Eidgenössische Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK) sowie das Bundesverwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung. Die X._ nimmt mit Eingabe vom 5. September 2016 zu den Vernehmlassungsantworten Stellung.