Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Luzern sprach dem 1969 geborenen A._ mit Verfügung vom 18. April 2008 (mit Berechnungs- und Auszahlverfügungen) rückwirkend ab März 2005 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern) hob die Verfügung vom 18. April 2008 mit Beschwerdeentscheid vom 17. November 2009 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Nach Einholung eines medizinischen Gutachtens vom 6. September 2010 (mit Ergänzung vom 15. Februar 2011) sprach die IV-Stelle dem Versicherten mit Verfügungen vom 3. Oktober 2012 ab November 2003 eine ganze Invalidenrente und von September 2004 bis November 2011 eine Viertelsrente zu. Zudem verlange sie von ihm die Rückerstattung von demnach für den Zeitraum März 2005 bis November 2011 zu viel entrichteten Rentenbetreffnissen im Gesamtbetrag von Fr. 33'719.-, wovon ein Teil in Verrechnung gebracht werde. Mit Beschwerdeentscheid vom 20. Dezember 2013 hob das Kantonsgericht Luzern diese Verfügungen auf und sprach dem Versicherten von April bis Oktober 2002 eine ganze Rente, von November 2002 bis Oktober 2003 eine Viertelsrente, von November 2003 bis August 2004 eine ganze Rente und ab September 2004 eine halbe Rente zu. In den Entscheidserwägungen erklärte es überdies die verfügte Rückforderung für verwirkt. Die IV-Stelle berechnete hierauf die Rentenbeträge gestützt auf die zugesprochenen Leistungen. Dabei verrechnete sie bereits ausbezahlte mit noch zu erbringenden Rentenbetreffnissen (Verfügungen vom 10. September 2014). B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Kantonsgericht Luzern vereinigte das Verfahren mit zwei Beschwerdeverfahren betreffend Ergänzungsleistungen und gewährte dem Versicherten die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 20. Juli 2015 hob es die Verfügungen vom 10. September 2014 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese die Rentenbeträge unter Berücksichtigung der im Entscheid vom 20. Dezember 2013 festgestellten Verwirkung des Rückforderungsanspruchs neu berechne. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides seien die Verfügungen vom 10. September 2014 zu bestätigen; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzusprechen. A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei sie abzuweisen; zudem sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Ausgleichskasse Luzern schliesst sich der Beschwerde der IV-Stelle an. D. Mit Verfügung vom 23. November 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.