Sachverhalt: A. A._ und B._ sind Parteien eines Eheschutzverfahrens. Am 18. März 2016 fällte das Bezirksgericht Bülach das Eheschutzurteil. Dagegen erhob A._ am 25. April 2016 im Unterhaltspunkt Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Die Berufungsschrift wurde von Rechtsanwältin Gabrielle Mazurczak verfasst und unterzeichnet. Mit Präsidialverfügung vom 10. Mai 2016 forderte das Obergericht A._ und Rechtsanwältin Mazurczak auf, innert einer Nachfrist von zehn Tagen eine das Eheschutzverfahren betreffende Originalvollmacht einzureichen, unter der Androhung, dass bei Säumnis die Eingabe vom 25. April 2016 nicht als erfolgt gelte. Gleichzeitig wurde A._ eine Frist von zehn Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- angesetzt. Diese Verfügung wurde sowohl A._ persönlich als auch Rechtsanwältin Mazurczak zugestellt. Binnen Frist wurde der Kostenvorschuss bezahlt. Die geforderte Vollmacht wurde hingegen nicht eingereicht. Mit Beschluss vom 21. Juni 2016 trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein. B. Am 27. Juli 2016 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, auf die Berufung einzutreten, allenfalls unter Ansetzung einer Nachfrist zur Einreichung einer Originalvollmacht betreffend Eheschutz. Mit Verfügung vom 10. August 2016 hat das Obergericht das von B._ (Beschwerdegegnerin) eingeleitete Berufungsverfahren bis zum Entscheid im vorliegenden Verfahren 5A_561/2016 sistiert. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.