Sachverhalt: A. Mit Zahlungsbefehl vom 20. Juni 2014 liess B._ A._ für Frauen- und Kinderalimente vom 1. August 2013 bis 30. Juni 2014 betreiben. Die Betreibungsforderung beträgt Fr. 22'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Januar 2014 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._). Als Forderungsurkunde legte B._ das Urteil 3B 11 38 des Obergerichts des Kantons Luzern vom 8. September 2011 betreffend ein Verfahren nach Art. 175 und 179 ZGB ins Recht. In diesem Urteil bestimmte das Obergericht die Höhe der Alimente. Ausserdem stellte es fest, dass die von A._ "geschuldeten Unterhaltspflichten im Zeitraum von Februar 2010 bis Mitte April 2011 im Umfang von Fr. 18'146.45 verrechnungsweise erfüllt sind". B. Nachdem A._ gegen den Zahlungsbefehl Rechtsvorschlag erhoben hatte, wandte sich B._ mit einem Rechtsöffnungsgesuch an das Bezirksgericht Kriens. Am 27. November 2014 erteilte ihr die dortige Einzelrichterin die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 22'000.-- nebst 5 % Zins seit 15. Januar 2014. C. A._ gelangte mit Beschwerde ans Kantonsgericht Luzern und verlangte sinngemäss, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Das Kantonsgericht befand, B._ könne für die Zeit nach Eintritt der Volljährigkeit der Kinder keine Kinderalimente mehr geltend machen. Da der Sohn C._ am 27. November 2013 volljährig geworden sei, könne B._ für dessen Unterhaltsanspruch nur für die Zeit vom 1. August bis 1. November 2013 die definitive Rechtsöffnung erteilt werden. Entsprechend hiess das Kantonsgericht das Rechtsmittel von A._ teilweise gut. Es erteilte B._ die definitive Rechtsöffnung für Fr. 15'000.-- nebst 5 % Zins seit 15. Januar 2014 (Urteil vom 3. März 2015). D. Mit Eingabe vom 27. April 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er hält dem Rechtsöffnungsgesuch eine Verrechnungsforderung in der Höhe von Fr. 18'146.45 entgegen (vgl. Bst. A) und stellt sinngemäss das Begehren, B._ (Beschwerdegegnerin) die Rechtsöffnung zu verweigern. Mit Verfügung vom 28. April 2015 liess der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Beschwerdegegner mitteilen, dass sein Antrag, das vorliegende Verfahren 5D_72/2015 mit dem Verfahren 5A_942/2014 zu vereinigen, gegenstandslos ist, weil das zuletzt genannte Verfahren mit Urteil vom 14. April 2015 abgeschlossen worden sei. Überdies ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm das Recht zur Replik auf Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin und auf eine allfällige Vernehmlassung des Kantonsgerichts einzuräumen. Nachdem keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist auch dieser Antrag gegenstandslos.