Sachverhalt: A. A._ (geb. 1967), italienischer Staatsangehöriger, kam am 21. Januar 1973 in die Schweiz und besuchte hier die obligatorischen Schulen. Am 31. Januar 1988 kehrte er nach Italien zurück, worauf seine Niederlassungsbewilligung erlosch. Am 12. Juni 1994 reiste er wieder in die Schweiz ein und heiratete am 1. Juli 1994 die hier niederlassungsberechtigte italienische Staatsangehörige B._. A._ erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Der gemeinsame Sohn C._ wurde 1994 geboren. Seit 2011 lebt A._ von seiner Frau und seinem Sohn getrennt. A.a. A._ ist strafrechtlich folgendermassen in Erscheinung getreten: - Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 7. September 1995: Gefängnisstrafe von 21 Tagen und Busse von Fr. 500.-- wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln und Lenkens eines Personenwagens trotz Entzugs des Lernfahrausweises; - Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 5. März 1998: Bedingte Haftstrafe von 21 Tagen und Busse von Fr. 200.-- wegen Fahrens ohne Führerausweis und Übertretung des Strassenverkehrsgesetzes; - Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 21. Juni 2000: Gefängnisstrafe von 45 Tagen und Busse von Fr. 500.-- wegen Fahrens trotz Entzugs des Führerausweises, Verletzung von Verkehrsregeln und Übertretung der Verkehrszulassungsverordnung; - Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 8. April 2004: Bedingte Haftstrafe von zehn Tagen wegen mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes; - Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 13. Januar 2006: Bedingte Gefängnisstrafe von drei Monaten wegen einfacher Körperverletzung, Fahrens ohne Führerausweis und Verletzung von Verkehrsregeln; - Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 17. September 2012: Bedingte Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu je Fr. 50.-- und 48 Stunden gemeinnützige Arbeit wegen Führens eines Motorfahrzeugs trotz Verweigerung, Entzugs oder Aberkennung des Führerausweises, wegen missbräuchlicher Verwendung von Ausweisen und/oder Kontrollschildern und wegen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz; - Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 23. Januar 2014: Freiheitsstrafe von 18 Monaten, bedingt aufgeschoben im Umfang von 12 Monaten bei einer Probezeit von vier Jahren, und Busse von Fr. 500.-- wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz (begangen zwischen ca. Ende 2011 und 14. Januar 2013), sowie wegen versuchter Nötigung und wegen Drohung (begangen ab 20. April 2013). Aufgrund seiner Straffälligkeit war A._ am 7. November 1995, am 14. Mai 1998 und am 25. Oktober 2000 ausländerrechtlich verwarnt worden. A.b. Von Februar 2001 bis März 2008 und von Juni 2008 bis Juni 2013 musste A._ von der Sozialhilfe mit insgesamt Fr. 324'345.-- unterstützt werden. B. Nachdem ein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA als Nichterwerbstätiger abgewiesen worden war (Verfügung des Migrationsamts des Kantons Zürich vom 20. März 2013, bestätigt durch den Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 9. April 2014), beantragte A._ am 20. Juni 2013 die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur Ausübung einer Erwerbstätigkeit. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies das Gesuch am 15. Oktober 2014 ab und verfügte die Wegweisung aus der Schweiz. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 20. Februar 2015; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Juli 2015). C. A._ erhebt am 14. September 2015 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zwecks Ausübung einer Erwerbstätigkeit zu erteilen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht oder an das Migrationsamt zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung, und das Staatssekretariat für Migration beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. A._ hat am 26. Januar 2016 repliziert. Mit Präsidialverfügung vom 17. September 2015 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.