Sachverhalt: A. Der 1963 geborene A._ zog sich bei einem Sturz in eine Baugrube Kopfverletzungen (leichte traumatische Hinverletzung; Contusio labyrinthii) zu. Am 6. Juli 2009 meldete er sich wegen Kopfschmerzen und Schwindel bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Das Center B._ führte im Auftrag der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft ein psychiatrisches Assessment durch (Bericht vom 18. Februar 2010). Die IV-Stelle Zürich zog die entsprechenden Unterlagen bei und gab beim Institut C._ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag, das vom 26. Oktober 2011 datiert. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Rentenanspruch des Versicherten mit Verfügung vom 31. Mai 2013 (Invaliditätsgrad: 25 %). B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Januar 2015 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei das Gutachten des Instituts C._ vom 26. Oktober 2011 als nichtig zu erklären; die Angelegenheit sei an die IV-Stelle zurückzuweisen, und er sei durch unabhängige Experten interdisziplinär zu begutachten. Weiter beantragt A._ eine Rentenzusprache, eventualiter sei ihm bis September 2011 eine befristete Invalidenrente auszurichten, und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.