Sachverhalt: A. A.a. A.A._ ist die Mutter von B.A._ (geb. 2001). Zugunsten des Sohnes besteht eine Beistandschaft. Im Sommer 2009 trat B.A._ in das Schulheim C._ in U._ ein. Im Februar 2011 wurde A.A._ die elterliche Obhut entzogen (Art. 310 Abs. 1 ZGB). Mit Entscheid vom 10. Juli 2013 verfügte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Oberaargau die Umplatzierung von B.A._ in das Zentrum D._. In der Folge übernahm die KESB Region Solothurn die laufenden Kindesschutzmassnahmen und setzte per 1. August 2013 E._ als neuen Mandatsträger ein. A.b. Mit Gesuch vom 29. Oktober 2013 beantragte die anwaltlich vertretene A.A._ unter anderem, es sei die Rückplatzierung von B.A._ zur Kindsmutter vorzubereiten und hierfür ein Erziehungsfähigkeitsgutachten einzuholen. Für das Verfahren ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. B. B.a. Am 25. Juni 2014 erhob A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Rechtsverzögerungsbeschwerde. Sie rügte, dass über das Gesuch vom 29. Oktober 2013 noch nicht entschieden worden sei. B.b. Am 14. Oktober 2014 reichte die KESB Region Solothurn dem Verwaltungsgericht ihren Entscheid vom 8. Oktober 2014 ein. Die KESB hatte entschieden, den bestehenden Obhutsentzug, die Platzierung im Zentrum D._ und die Beistandschaft durch E._ aufrechtzuerhalten, jedoch das Besuchsrecht der Kindsmutter zu erweitern. B.c. Bezug nehmend auf diesen Entscheid schrieb das Verwaltungsgericht die Rechtsverzögerungsbeschwerde mit Urteil vom 15. Oktober 2014 ab. Es erhob keine Kosten und wies den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. C. C.a. Dagegen erhebt A.A._ (Beschwerdeführerin) am 12. November 2014 Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts teilweise aufzuheben und ihr für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung nach Aufwand zuzusprechen, eventualiter die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. C.b. Mit Verfügung vom 25. November 2014 hat das Bundesgericht das Verwaltungsgericht zur Vernehmlassung eingeladen. Dieses stellt mit Eingabe vom 1. Dezember 2014 den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und verzichtet mit Verweis auf den angefochtenen Entscheid und die Akten auf eine Vernehmlassung. Überdies setzt es das Bundesgericht davon in Kenntnis, dass die Beschwerdeführerin gegen den Entscheid der KESB vom 8. Oktober 2014, namentlich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, am 12. November 2014 eine Beschwerde erhoben hat. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.