Sachverhalt: A. Der 1985 geborene tunesische Staatsangehörige A.A._ lernte im März 2009 in Tunesien die Schweizerin B.A._ kennen. Am 21. Juli 2010 reiste A.A._ zwecks Vorbereitung der Eheschliessung in die Schweiz ein und am 4. September 2010 heiratete er B.A._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 7. Mai 2011 kam ein gemeinsamer Sohn zur Welt. Nach einer polizeilichen Intervention wurde A.A._ am 20. November 2012 aus der ehelichen Wohnung weggewiesen und die Kantonspolizei Thurgau verhängte ein Rückkehr- und Kontaktverbot zu seiner Ehefrau und zum gemeinsamen Sohn. Per 2. März 2013 zog A.A._ definitiv in eine eigene Wohnung und am 4. Juli 2013 wurde die Ehe geschieden. Gemäss der genehmigten Scheidungskonvention wurde die elterliche Sorge für den Sohn alleine der Mutter übertragen. Für den Kindsvater vereinbarten die Gatten ein Besuchsrecht von maximal acht Stunden pro Woche. Zur Überwachung des persönlichen Verkehrs ordnete der Scheidungsrichter jedoch die Errichtung einer Beistandschaft an. Nachdem es bei der Ausübung des Besuchsrechts regelmässig zu Auseinandersetzungen zwischen den Eltern gekommen war, verfügte der zuständige Einzelrichter am 29. November 2013 gegen A.A._ ein Annäherungs- und Kontaktverbot in Bezug auf seine geschiedene Ehefrau. Der persönliche Verkehr von A.A._ zu seinem Sohn wurde in der Folge beschränkt auf begleitete Besuche in einer Kinderspielhalle. Am 7. Februar 2014 zeigte die Ehefrau A.A._ desweitern wegen Missachtung des Kontaktverbots an. B. Mit Verfügung vom 9. April 2014 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Die vom Betroffenen hiergegen ergriffenen kantonalen Rechtsmittel wurden vom Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Rekursentscheid vom 7. August 2014) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Urteil vom 28. Januar 2015) abgewiesen. C. Mit Eingabe vom 6. März 2015 führt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und auf eine Wegweisung zu verzichten. Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen gleich wie das Staatssekretariat für Migration auf Abweisung der Beschwerde. Sodann teilte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau dem Bundesgericht am 13. April 2015 in einer weiteren Eingabe mit, dass gegen A.A._ ein Strafverfahren wegen Drohung eröffnet worden sei: Dieser habe am 21. März 2015 anlässlich der begleiteten Wahrnehmung seines Besuchsrechts dem neuen Lebenspartner seiner Exfrau gedroht, er würde ihn erschiessen, falls seinem Sohn etwas passiere. Am 10. Juni 2015 liess das Migrationsamt des Kantons Thurgau dem Bundesgericht den Strafbefehl des Untersuchungsamts St. Gallen vom 21. April 2015 zukommen, mit welchem A.A._ wegen des genannten Ereignisses der Drohung schuldig erklärt und zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu je Fr. 60.-- sowie zu einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt wurde. Mit Eingaben vom 3. Juni 2015 und vom 24. Juni 2015 nimmt A.A._ sowohl zum Vernehmlassungsergebnis als auch zu den weiteren Eingaben des Verwaltungsgerichts resp. des Migrationsamtes des Kantons Thurgau Stellung. Bereits mit Verfügung vom 10. März 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.