Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1959) und B._ (geb. 1970) heirateten am 5. Mai 2008. Sie sind Eltern des am 8. Februar 2008 geborenen Sohnes C._. Am 11. März 2013 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe. Unter anderem gestützt auf ein Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes (KJPD) U._ vom 25. September/6. Dezember 2012 wies es die elterliche Sorge über C._ der Mutter zu, entzog dieser jedoch die elterliche Obhut und ordnete eine Fremdplatzierung an. Die schon bestehende Beistandschaft nach Art. 308 ZGB wurde aufrechterhalten. A.b. Am 8. September 2014 klagte A._ auf Änderung des Scheidungsurteils. Er beantragte unter anderem das alleinige Sorgerecht über C._; eventuell sei den Parteien die gemeinsame elterliche Sorge zuzuweisen, wobei ihm die Obhut zu überlassen sei. Nachdem die Pflegefamilie das Pflegeverhältnis am 29. September 2014 auf den 31. Dezember 2014 gekündigt hatte, gab das Kantonsgericht den Parteien Gelegenheit, zur Frage des vorläufigen Aufenthalts des Kindes ab Januar 2015 Stellung zu nehmen. Zudem beauftragte es den KJPD V._ mit einer Begutachtung. Infolge einer Auseinandersetzung zwischen dem Lebenspartner von B._ und der Pflegemutter am Abend des 15. Dezember 2014 ersuchte die Pflegefamilie um eine sofortige Auflösung des Pflegeverhältnisses. Nach einer ergebnislosen Einigungsverhandlung entschied das Kantons gericht am 17. Dezember 2014, das Aufenthaltsbestimmungsrecht bei der zuständigen Kindesschutzbehörde zu belassen. C._ werde ab dem 19. Dezember 2014 vorläufig bei der Mutter platziert. Zudem regelte das erstinstanzliche Gericht das Besuchsrecht des Vaters, ersuchte es die zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB), die Alkoholabstinenz der Beklagten zu überwachen, und ordnete es eine sozialpädagogische Familienbegleitung für beide Parteien an. Die bestehende Beistandschaft sei fortzusetzen. B. Mit Eingabe an das Obergericht des Kantons Schaffhausen vom 29. Dezember 2014 erhob A._ Berufung mit den Anträgen, Sohn C._ sei vorübergehend bei ihm unterzubringen, eventuell über eine spezialisierte Organisation vorübergehend fremdzuplatzieren. In prozessualer Hinsicht ersuchte er unter anderem um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Vertretung). Am 17. März 2015 wies das Obergericht die Berufung in der Sache ab (Dispositiv-Ziff. 1), ebenso das Gesuch des A._ um unentgeltliche Prozessführung und Vertretung für das Berufungsverfahren (Ziff. 2). Hingegen gewährte es B._ die unentgeltliche Vertretung (Ziff. 3). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 1'500.-- auferlegte es A._ (Ziff. 4). Dieser wurde ausserdem zu einer Parteientschädigung an B._ von Fr. 4'806.-- verpflichtet (Ziff. 5). C. Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 4. Mai 2015 führte A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Obergerichts vom 17. März 2015. Er beantragte die Aufhebung von dessen Dispositiv-Ziffern 2, 4 und 5. Es sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Die Kosten vor Vorinstanz seien den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und es sei von der Zusprechung einer Parteientschädigung abzusehen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege sowie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Es seien die Akten der vorinstanzlichen Verfahren sowie der KESB U._ beizuziehen. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Obergericht liess sich am 21. September 2015 vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.