Sachverhalt: A. A.a. Der 1958 geborene A._ meldete sich im Februar 2003 wegen einer Hautkrankheit (Allergie) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem die AHV/IV-Rekurskommission und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Sache mehrfach zur weiteren oder erneuten Abklärung an die IV-Stelle des Kantons Thurgau zurückgewiesen hatten (Entscheide vom 3. September 2007, vom 2. April 2008 und vom 23. Juni 2010), wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 23. Februar 2012 ab. Die dagegen erhobenen Beschwerden wiesen sowohl das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheid vom 11. Juli 2012) wie auch das Bundesgericht (Urteil 9C_734/2012 vom 12. Juni 2013) ab. A.b. Im Juni 2014 meldete sich A._ unter Hinweis auf eine Knieoperation und Schulterschmerzen erneut zum Leistungsbezug an. Nach entsprechendem Vorbescheid vom 16. Juli 2014 trat die IV-Stelle auf das Leistungsbegehren nicht ein (Verfügung vom 1. Oktober 2014). Diese Verfügung zog die Verwaltung am 28. Oktober 2014 in Wiedererwägung und veranlasste eine polydisziplinäre Begutachtung bei der Ärztlichen Begutachtungsinstitut GmbH (ABI; Gutachten vom 28. September 2015). Nach entsprechendem Vorbescheid vom 24. November 2015 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren mit zwei Verfügungen vom 11. Februar 2016 ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 18. Mai 2016 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids ab dem 6. Dezember 2014 eine ganze Invalidenrente, eventuell berufliche Massnahmen zu gewähren. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, ein der Praxis gemäss BGE 141 V 281 entsprechendes polydisziplinäres Gutachten einzuholen. Die Sache sei zudem zur Neuverlegung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens an das kantonale Gericht zurückzuweisen.