Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1979) stammt aus Nigeria. Er ersuchte im Oktober 2002 unter falscher Identität (B._, geb. 1. Januar 1985 bzw. 13. Oktober 1985) in der Schweiz erfolglos um Asyl. Am 15. November 2005 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, nachdem er am 1. November 2005 eine Schweizer Bürgerin (geb. 1979) geheiratet hatte. Die Ehe wurde am 27. August 2007 geschieden, worauf das Migrationsamt Basel-Stadt es am 3. Dezember 2009 ablehnte, die Bewilligung von A._ zu verlängern; es hielt ihn an, das Land auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug hin zu verlassen. Das Bundesgericht stellte am 4. Oktober 2010 fest, dass die kantonalen Behörden davon absehen durften, die entzogene aufschiebende Wirkung der hiergegen eingereichten Eingaben wiederherzustellen (Urteil 2C_517/2010). Die Verfügung vom 3. Dezember 2009 erwuchs in Rechtskraft, ohne dass A._ in seine Heimat zurückgekehrt wäre. Am 12. November 2010 wurde ihm ein bis zum 11. November 2019 gültiges Einreiseverbot auferlegt. A.b. A._ ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden (vgl. den Sachverhalt des Urteils 2C_517/2010 vom 4. Oktober 2010). Vom 7. Mai 2009 bis 6. November 2010 befand er sich gestützt auf eine Gesamtstrafe von 3 1⁄2 Jahren Freiheitsentzug wegen qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz im Strafvollzug (Verkauf und Import von insgesamt über einem Kilogramm Kokaingemisch in hierarchisch "gehobener" Stellung, Umsatz von rund Fr. 102'664.--, mehrfache Geldwäscherei, Hinderung einer Amtshandlung usw.). Die für den 11. November 2010 organisierte Ausreise nach Nigeria trat A._ nicht an; er hielt sich in der Folge teilweise illegal in Frankreich auf. B. B.a. Nach seiner Rückkehr in die Schweiz verletzte sich A._ bei der Flucht vor der Polizei am 22. November 2011 am Knie. Die medizinischen Abklärungen ergaben, dass er an einem (Knie-) Tumor litt. Das Migrationsamt Basel-Stadt setzte den Wegweisungsvollzug deshalb vorübergehend aus. Im Juni 2014 wurde die Behandlung medizinisch für abgeschlossen erklärt (zwei Operationen [13. Dezember 2011 und 25. Juni 2013] und zahlreiche Physiotherapiesitzungen). Am 13. September 2014 hielt das Migrationsamt A._ an, das Land nunmehr zu verlassen; es erklärte seine Anordnung als sofort vollstreckbar und nahm A._ in Ausschaffungshaft. Die gegen die sofortige Wegweisung gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Mit Urteil vom 20. November 2015 bestätigte das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (im weiteren: Verwaltungsgericht) die entsprechende Anordnung. Es begründete seinen Entscheid mit der wiederholten Straffälligkeit, der problematischen finanziellen Lage sowie der ungenügenden Integration von A._. Der Vollzug der Wegweisung vom 3. Dezember 2009 sei - so die Vorinstanz - wegen seiner gesundheitlichen Probleme vorübergehend aufgeschoben worden; es sei indessen allen Beteiligten immer bewusst gewesen, dass er nach Ablauf des Aufschubs das Land würde verlassen müssen. B.b. Am 16. Juni 2014 heiratete A._ seine in der Schweiz niederlassungsberechtigte ghanaische Lebenspartnerin. Aus der Beziehung gingen zwei Kinder (geb. 2008 und 2015) hervor. Am 25. Juni 2014 ersuchte die Gattin von A._ das Migrationsamt Basel-Stadt darum, ihrem Ehemann eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug zu erteilen, was dieses wegen dessen Straffälligkeit und der Sozialhilfeabhängigkeit der Familie am 20. Oktober 2014 ablehnte. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt bestätigte die entsprechende Verfügung mit analoger Begründung am 10. September 2015. Das Rekursverfahren um den Familiennachzug ist beim Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt derzeit noch hängig. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt entliess A._ mit Blick auf das Nachzugsverfahren am 29. Oktober 2014 aus der Ausschaffungshaft. A._ wurde ab dem 31. Oktober 2014 eine "Anwesenheitsbestätigung" ausgestellt, welche bescheinigt, dass sein Bewilligungsverfahren noch hängig ist und er sich während dessen Dauer "vorläufig" in Basel aufhalten darf. Das Papier wurde letztmals bis zum 12. Mai 2016 verlängert. Nach eigenen Angaben will A._ seit der Haftentlassung bei seiner Familie gelebt haben. C. C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. November 2015 vollumfänglich aufzuheben und auf seine Wegweisung zu verzichten. Das Verwaltungsgericht habe ursprünglich das Wegweisungsverfahren sistiert, um dieses mit dem Verfahren betreffend Familiennachzug zu koordinieren; die entsprechende Verfügung sei nach dem Entscheid des Departements im Nachzugsverfahren am 17. September 2015 aufgehoben worden, ohne dass ihm das rechtliche Gehör dazu gewährt worden wäre. Der Sachverhalt sei ungenügend bzw. fehlerhaft festgestellt. Er habe - so A._ weiter - ein Recht auf den Familiennachzug, da dessen Verweigerung seinen Anspruch auf Schutz des Privat- und Familienlebens sowie das Verbot von Folter und unmenschlicher Behandlung missachte. Das Staatssekretariat für Migration, das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen bzw. abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. C.b. Der Abteilungspräsident hat der Beschwerde am 4. Februar 2016 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.