Sachverhalt: A. A._ und B.B._ sind die geschiedenen Eltern von C.B._ (geb. 1999). B. B.a. Am 19. November 2013 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Appenzell Ausserrhoden (im Folgenden KESB Appenzell Ausserrhoden) der Mutter die Obhut über die Tochter und platzierte diese nach einer vorübergehenden Unterbringung im Haus D._ beim Vater. Weiter wurde für C.B._ eine Beistandschaft errichtet und die elterliche Sorge der Mutter im Bereich Ausbildung beschränkt. Mit der Beistandschaft wurde E._, Berufsbeiständin bei den Sozialen Diensten Vorderland, betraut. B.b. Gegen diesen Entscheid liess A._ am 14. Dezember 2013 Beschwerde beim Obergericht Appenzell Ausserrhoden erheben. B.c. Am 12. August 2014 sagte das Obergericht die auf den 18. August 2014 angesetzte mündliche Verhandlung ab, weil zwischen der KESB Appenzell Ausserrhoden und der Beschwerdeführerin ein Gespräch stattgefunden hatte und Erstere eine neue Verfügung in Aussicht stellte. In der Folge wurde das Verfahren beim Obergericht vorläufig ausgesetzt, weil B.B._ in der Zwischenzeit beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden eine Klage auf Abänderung des Unterhalts anhängig gemacht hatte. In diesem Verfahren genehmigte die Einzelrichterin des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden eine Vereinbarung, in der sich B.B._ und A._ darauf verständigten, dass die Tochter künftig beim Vater wohnen und die Mutter an den Unterhalt der Tochter monatlich Fr. 250.-- bezahlen sollte. Der diesbezügliche Entscheid des Kantonsgerichts erwuchs am 14. Juli 2015 in Rechtskraft. B.d. Mit Schreiben vom 23. Juli 2015 orientierte das Obergericht die Parteien über die geplante Abschreibung des vor ihm hängigen Beschwerdeverfahrens. Die Parteien erhielten Gelegenheit, sich innert einer Frist von vierzehn Tagen zur Kostenverlegung zu äussern und ihre Kostennoten einzureichen. Die Anwälte beider Parteier nutzten diese Gelegenheit (Eingaben vom 7. und 11. August 2015). Die KESB Appenzell Ausserrhoden verzichtete auf eine Stellungnahme. B.e. Mit Entscheid vom 23. September 2015 schrieb das Obergericht die Beschwerde von A._ zufolge Gegenstandslosigkeit ab (Ziffer 1) und auferlegte der Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten von Fr. 800.-- (Ziffer 2). A._ wurde keine Entschädigung zugesprochen (Ziffer 3.1) und sie wurde verpflichtet, B.B._ für seine Vertretungskosten mit Fr. 6'105.-- (inklusive Barauslagen und Mehrwertsteuer) zu entschädigen (Ziffer 3.2). C. C.a. Mit Beschwerde vom 26. Oktober 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Ziffern 2, 3.1 und 3.2 des vorinstanzlichen Urteils aufzuheben und ihr zu Lasten der KESB Appenzell Ausserrhoden eine Parteientschädigung von Fr. 4'800.-- zuzusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. C.b. Das Bundesgericht hat mit Schreiben vom 27. Oktober 2015 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht entsprochen, weil die drohende Vollstreckung von Geldforderungen keine die aufschiebende Wirkung rechtlich geschützter Interessen darstellt. C.c. Zur Vernehmlassung eingeladen, erklärt das Verwaltungsgericht unter Hinweis auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil, auf Gegenbemerkungen zu verzichten (Eingabe vom 18. Februar 2016). Die KESB Appenzell Ausserrhoden beantragt in ihrer Vernehmlassung vom 9. März 2016, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Der Beschwerdegegner verzichtet auf ein Rechtsbegehren mit der Erklärung, von den Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin nicht direkt betroffen zu sein (Vernehmlassung vom 4. April 2016). Für das Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt der Beschwerdegegner die unentgeltliche Rechtspflege. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht. C.d. Am 31. März 2016 hat die Beschwerdeführerin persönlich diverse weitere Dokumente eingereicht, die ihrer Einschätzung nach für die Beurteilung des Falls wichtig und bisher nicht berücksichtigt worden seien.