Sachverhalt: A. A._ studiert seit Herbst 1984 Biologie an der Universität Bern. Im Sommer 2014 ersuchte er um Einsicht in alle bei der Universität über ihn "bearbeiteten oder archivierten Akten". Das Generalsekretariat der Universität Bern teilte A._ in der Folge mit, Daten über ihn befänden sich in vier Datensammlungen. Diese könne er über seinen Online-Zugang grösstenteils selbst einsehen, die übrigen Unterlagen seien bei der Universität einsehbar. Über seine Korrespondenz mit der Universität verfüge er selbst, und ein Anspruch auf Einsicht in interne Arbeitsmittel bestehe nicht. Auf Beschwerde hin wies die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die Universität an, A._ Einsicht in die vier erwähnten Datensammlungen zu gewähren, soweit er selbst nicht Zugriff darauf habe. B. Mit Urteil vom 18. April 2016 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde A._s gegen den Entscheid der Erziehungsdirektion teilweise gut und ordnete an, es sei ihm zusätzlich Einsicht in die ihn betreffenden Datensammlungen des Generalsekretariats und der Philosophisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Bern zu gewähren. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. A._ führt mit Eingabe vom 23. April 2016 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, soweit ihm die Akteneinsicht in Aktennotizen, Computerdaten und Korrespondenzen verweigert werde. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Erziehungsdirektion und die Universität Bern haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nochmals zur Sache geäussert.