Sachverhalt: A. Am 28. Februar 2016 fanden im Kanton Bern Regierungsratsersatzwahlen statt mit dem Ziel, die beiden aufgrund von Rücktritten vakanten Sitze neu zu besetzen. Über das Ergebnis dieser Wahl informierte die Staatskanzlei auf ihrer Homepage, wobei sie ausführte, Christoph Ammann sei mit 182'476 Stimmen gewählt worden. Weitere Stimmen hätten erhalten: Lars Guggisberg 176'219, Pierre Alain Schnegg 154'217, Roberto Bernasconi 152'081, Patrick Gsteiger 43'192 und Bruno Moser 16'147. Insgesamt seien 385'102 Wahlzettel eingegangen, wovon 8'444 leer und 1'571 ungültig gewesen seien. Dies ergebe ein Total von 375'087 gültigen Wahlzetteln. Das absolute Mehr habe bei 181'084 Stimmen gelegen. B. Gegen diese vorläufige Veröffentlichung der Wahlergebnisse erhob Rudolf Hausherr am 2. März 2016 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass im ersten Wahlgang keiner der Kandidaten das absolute Mehr erreicht habe, und es sei für die beiden vakanten Sitze ein zweiter Wahlgang anzuordnen. Das Verwaltungsgericht wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 31. März 2016 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Mai 2016 gelangt Rudolf Hausherr an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 31. März 2016. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatskanzlei des Kantons Bern verzichtet auf eine Stellungnahme. Christoph Ammann (Beschwerdegegner) hat sich nicht vernehmen lassen. Am 25. Mai 2016 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert eine elektronische Version seiner Beschwerde mit "einigen formalen (den Sinn in keiner Weise ändernden) Korrekturen" ein.