Sachverhalt: A. Am 17. Dezember 2001 schied das Bezirksgericht Arbon die Ehe von B._ und C._. Das Gericht stellte die Kinder D._ (geb. 1990) und A._ (geb. 1994) unter die elterliche Sorge der Mutter und verpflichtete den Vater zu Unterhaltsleistungen an die Kinder. C._ erhielt anstelle einer Rente eine Kapitalabfindung von Fr. 300'000.-- und Fr. 850'000.-- aus Güterrecht sowie rund Fr. 110'000.-- aus beruflicher Vorsorge. Am 8. Februar 2011 übertrug das Obergericht des Kantons Thurgau in einem Abänderungsverfahren die elterliche Sorge über A._ dem Vater und verpflichtete die Mutter zu monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 500.--. Die Beschwerde von C._ an das Bundesgericht blieb erfolglos (Urteil 5D_48/2011 vom 16. Mai 2011). Am 2. Mai 2012 verpflichtete das Kreisgericht St. Gallen den Vater in einem Abänderungsverfahren zur Bezahlung von Mündigenunterhalt an die Tochter D._. B. Mit Klage vom 12. Mai 2014 verlangte A._ von seinem Vater B._ Volljährigenunterhalt von monatlich Fr. 1'600.-- für Januar bis August 2013, reduziert um Kost und Logis, und von Fr. 1'600.-- ab September 2013, "ev. wie viel mehr", zuzüglich Ausbildungszulagen. Zudem sei sein Vater zur Rückerstattung von Fr. 6'999.25 zu verpflichten. An der Hauptverhandlung bezifferte A._ die Reduktion für Kost und Logis mit Fr. 700.-- pro Monat und verlangte ab September 2013 Fr. 1'830.--. Zudem verlangte er neu, der Vater habe sich für den Fall, dass er (der Sohn) aus der gemeinsamen Wohnung mit der Mutter ausziehe, an seinem erhöhten Bedarf mit zusätzlich Fr. 320.-- pro Monat und für den Fall eines Auslandssemesters mit 80 % dieser Kosten zu beteiligen. B._ schloss auf Klageabweisung. Mit Entscheid vom 27. Mai 2015 verpflichtete das Bezirksgericht Arbon B._ zu Unterhaltszahlungen an A._ von monatlich Fr. 530.-- ab 1. September 2013 bis zum ordentlichen Abschluss des Masterstudiums an der Universität St. Gallen. Weiter verpflichtete es ihn zur Rückerstattung von Fr. 4'617.25. Im Übrigen wies es die Klage ab. C. Mit Berufung vom 6. Oktober 2015 an das Obergericht des Kantons Thurgau beantragte A._ die Aufhebung der Unterhaltsregelung des Bezirksgerichts und die Rückweisung zur Neubeurteilung. Allenfalls sei B._ zu verpflichten, ihm ab 14. Januar bis August 2013 Fr. 1'600.-- Unterhalt (reduziert um Kost und Logis von Fr. 700.--) und ab September 2013 Fr. 1'830.-- zuzüglich allfälliger Ausbildungszulagen zu bezahlen. Mit Entscheid vom 14. April 2016 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte inhaltlich den Entscheid des Bezirksgerichts. D. Am 27. Juni 2016 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen und - hinsichtlich der noch strittigen Punkte - des bezirksgerichtlichen Entscheids. Die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen. Allenfalls sei B._ (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ab September 2013 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'830.--, zuzüglich allfälliger Ausbildungszulagen, zu bezahlen. Die Kosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens seien entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. Die Vorinstanz sei anzuweisen, den Beschwerdegegner zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 12'600.-- für das erstinstanzliche Verfahren und von Fr. 7'000.-- für das zweitinstanzliche Verfahren zu entrichten. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.