Sachverhalt: A. Gegenüber der B._AG (Rechtsnachfolgerin: A._AG) verweigerte die Eidgenösische Steuerverwaltung mit Entscheid vom 6. September 2010 die Rückerstattung der Verrechnungssteuer im Betrag von Fr. 18'341'323.90 betreffend Dividenden-Bruttoerträge von Fr. 52'403'782.60 aus dem Jahr 2006. Die EStV begründete diese Verweigerung damit, dass die Gesuchstellerin nicht das Recht zur Nutzung der die Dividenden abwerfenden Aktien gehabt habe; auch liege eine Steuerumgehung vor. B. Nach erfolgloser Einsprache gelangte die A._AG am 13. September 2012 an das Bundesverwaltungsgericht, das ihre Beschwerde mit Urteil vom 13. März 2013 abwies. Wie die EStV zuvor stützte das Gericht diese Abweisung auf die beiden Gesichtspunkte der fehlenden Nutzungsberechtigung und der Steuerumgehung. C. Mit Eingabe vom 29. April 2013 hat die A._AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie stellt den Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. März 2013 aufzuheben; die Verrechnungssteuer von Fr. 18'341'323.90 sei zurückzuerstatten. D. Die Eidgenössische Steuerverwaltung und das Bundesverwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. E. Mit Replik vom 24. Juni 2013 und Duplik vom 11. Juli 2013 haben die A._AG und die EStV an ihren jeweiligen Rechtsstandpunkten festgehalten.