Sachverhalt: A. Die B._ AG liess A._ betreiben. Der Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxx wurde am 15. Oktober 2015 in Abwesenheit des Schuldners an C._ übergeben. Den vom Schuldner am 28. Oktober 2015 erhobenen Rechtsvorschlag wies das Betreibungsamt Region Solothurn mit Verfügung vom 2. November 2015 als verspätet ab. B. A._ stellte mit Schreiben vom 20. November 2015 ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist. Er machte geltend, er sei davon ausgegangen, die Frist betrage 10 Arbeitstage. Des Weiteren hielt er dafür, die Zustellbescheinigung der Postbotin und die Zustellung an C._ seien widerrechtlich. Mit Urteil vom 22. Dezember 2015 wies die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn das Gesuch ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Januar 2016 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt sinngemäss die Feststellung, dass der Zahlungsbefehl nicht rechtsgenüglich zugestellt wurde, eventualiter die Rückweisung an die Aufsichtsbehörde. Es sind die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.