Sachverhalt: A. A.a. Der 1971 geborene A._, welcher über keine Berufsbildung verfügt, war zwischen 1992 und 1997 bei verschiedenen Arbeitgebern tätig, vorwiegend als Ersatzteil-Logistiker. Er bezog im Zeitraum zwischen März 1997 und September 1998 Arbeitslosenentschädigung und wird seit Mai 1997 durch die Sozialhilfe unterstützt. Mit Ausnahme kleinerer Arbeitseinsätze ist er seit anfangs 1997 keiner Erwerbstätigkeit mehr nachgegangen und im Wesentlichen als Hausmann und allein erziehender Vater seines im November 1998 geborenen Sohnes tätig. A.b. A._ meldete sich im Januar 2012 nach entsprechender Aufforderung durch die Sozialhilfe bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an und beantragte eine Rente der Invalidenversicherung. Die IV-Stelle Basel-Stadt führte verschiedene erwerbliche und medizinische Abklärungen durch, namentlich veranlasste sie eine psychiatrische Begutachtung bei Dr. med. B._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, (Gutachten vom 29. September 2012) und eine Abklärung im Haushalt (Bericht vom 21. Januar 2014 sowie ergänzende Stellungnahmen vom 7. Februar 2014 und vom 23. Mai 2014). Nachdem die Verwaltung die Arbeitsvermittlung am 4. Juni 2013 abgeschlossen hatte, weil sich der Versicherte nach seinen Angaben "subjektiv nicht arbeitsfähig" fühlte, verneinte sie mit Verfügung vom 28. Mai 2014 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad 15 %). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 18. März 2015 ab. C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag auf Zusprechung einer Viertelsrente der Invalidenversicherung ab 1. Juli 2012.