Sachverhalt: A. A.a. Mit Schreiben vom 18. August 2015 gelangte A.X._ an das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn, Zivilstand und Bürgerrecht, als kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen. Sie führte aus, dass sie auf die Vornamen "B.A._" getauft und dabei "A._" als Rufname unterstrichen worden sei. Die Bezeichnung des Rufnamens sei offenbar untergangen, da sie von den kantonalen Ämtern mit "B.A._" oder mit "B._" angeschrieben werde. Sie ersuchte ihrer Bitte nachzukommen, die Vornamen elektronisch in der Reihenfolge zu ändern. A.b. Die Eingabe wurde als Gesuch um Bereinigung des Zivilstandsregisters entgegengenommen und als solches vom kantonalen Departement mit Verfügung vom 29. September 2015 abgewiesen. Zur Begründung hielt das Departement im Wesentlichen fest, dass ein Fehler, der auf offensichtlichem Versehen oder Irrtum beruhe, nicht vorliege. B. Gegen diese Verfügung wandte sich A.X._ mit Beschwerde vom 9. Oktober 2015 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte im Wesentlichen, "die für die Führung der Register verantwortlichen Behörden zu verpflichten, alle erforderlichen regulatorischen, organisatorischen und technischen Massnahmen zu veranlassen, damit der [...] Rufname 'A._' in den massgeblichen Registern und amtlichen Ausweisen geführt werde". Mit Urteil vom 11. Januar 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 5. Februar 2016 hat A.X._ Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es seien die zuständigen Behörden zu verpflichten, "alle erforderlichen Massnahmen zu veranlassen, damit der Rufname 'A._' als solcher wieder in der behördlichen Ansprache als massgeblicher Vorname verwendet werde". Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das kantonale Volkwirtschaftsdepartement, Zivilstand und Bürgerrecht, und das Bundesamt für Justiz (BJ) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.