Sachverhalt: A. A._, Chiropraktor von Beruf, wurde am 8. Oktober 2006 von einem Einbrecher tätlich angegriffen, wobei er sich unter anderem eine Daumenverletzung rechts zuzog. Die Schweizerische National-Versicherungs-Gesellschaft AG (nachstehend: National), bei welcher A._ als Selbstständigerwerbender freiwillig gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert war, kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Per 1. Juni 2008 stellte sie ihre Taggeldleistungen ein, nachdem der Handchirurg Dr. med. C._ ab diesem Zeitpunkt eine - versuchsweise - vollständige Arbeitsfähigkeit bescheinigt hatte. Dr. med. D._, Facharzt FMH für Chirurgie und Handchirurgie, hingegen attestierte am 26. Januar 2010 für die Zeit ab 1. Juni 2008 eine lediglich 50%ige Arbeitsfähigkeit als Chiropraktor und empfahl zwecks Steigerung derselben einen operativen Eingriff zur Stabilisierung des Daumengrundgelenkes (Bandnaht/-plastik mit Raffung der Gelenkkapsel). Als A._ - auf eine hinsichtlich der Durchführung einer solchen Operation zunächst bis 1. März 2010 gesetzte und nach zusätzlichen Abklärungen bis 16. April 2010 verlängerte Bedenkzeitfrist hin - deren Zumutbarkeit in Abrede stellte und auf einem Taggeldanspruch entsprechend der von Dr. med. D._ angegebenen Arbeitsunfähigkeit beharrte (Schreiben vom 16. April 2010), verneinte die National mit Verfügung vom 28. Januar 2011 einen Taggeldanspruch rückwirkend ab 1. Juni 2008 sowie jeglichen Anspruch auf Rentenleistungen und/oder eine Integritätsentschädigung. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. März 2011 fest. B. In teilweiser Gutheissung einer dagegen gerichteten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 28. März 2011 auf und sprach A._ für die Zeit ab 1. Juni 2008 bis 16. April 2010 ein Taggeld auf der Basis einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit zu; im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Beschwerdeweise lässt A._ beantragen, es sei ihm - unter Aufhebung des kantonalen Entscheides - ab 1. Juni 2008 ein Taggeld auf der Basis einer 60%igen Arbeitsunfähigkeit und ab 3. Januar 2011 ein solches aufgrund einer noch 40%igen Arbeitsunfähigkeit zu gewähren; ferner sei die National zu verpflichten, ihm eine Entschädigung für eine Integritätseinbusse von mindestens 8 % auszurichten und über einen allfälligen Rentenanspruch zu befinden. Die National schliesst - wie zuvor schon die Vorinstanz - auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.