Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts von Sexual- und Körperverletzungsdelikten, Drohungen und weiteren Straftaten. Der Beschuldigte wurde am 4. Juni 2015 polizeilich festgenommen und am 8. Juni 2015 (vorläufig bis zum 31. August 2015) in Untersuchungshaft versetzt. Am 3. Juli 2015 wies das Zwangsmassnahmengericht Basel-Stadt ein Haftentlassungsgesuch des Beschuldigten ab. Mit Verfügung vom 24. August 2015 (welche am 25. August 2015 rektifiziert wurde) verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft vorläufig bis zum 23. November 2015. Eine vom Beschuldigten am 29. August 2015 dagegen erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, mit Entscheid vom 14. September 2015 ab. B. Gegen den Entscheid des Appellationsgerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 3. Oktober 2015 an das Bundesgericht. Er beantragt seine sofortige Haftentlassung, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen für Untersuchungshaft. Das Appellationsgericht beantragt mit Vernehmlassung vom 8. Oktober (Posteingang: 12. Oktober) 2015 die Abweisung der Beschwerde, während von der Staatsanwaltschaft keine Stellungnahme eingegangen ist. Der Beschwerdeführer replizierte am 20. Oktober 2015.