Sachverhalt: A. A._ meldete sich im August 2003 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem die IV-Stelle des Kantons Aargau das Gesuch erstmals mit Verfügung vom 19. Mai 2004 resp. Einspracheentscheid vom 19. September 2005 abgewiesen hatte, holte sie im Rahmen weiterer Abklärungen insbesondere das Gutachten der Klinik B._ vom 30. August 2013 ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie mit Verfügung vom 12. Juni 2014 erneut einen Rentenanspruch. B. Dagegen erhob A._ im Juli 2014 Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau. Dieses ordnete am 9. Februar 2016 eine weitere (psychiatrische/rheumatologische) Begutachtung des Versicherten durch das Ärztliche Begutachtungsinstitut (ABI) an. Die Abklärungsstelle gab mit Schreiben vom 7. April 2016 bekannt, dass die Dres. med. C._ und D._ für die Expertise vorgesehen seien. Mit Eingabe vom 9. Mai 2016 liess der Versicherte beantragen, es sei vom formellen Ausstandsbegehren gegen die Ärzte des ABI Kenntnis zu nehmen und es seien die durch das angerufene Gericht bestimmten Gutachterpersonen, die Dres. med. C._ und D._, "wegen Besorgnis der fehlenden Ergebnisoffenheit" zu ersetzen; den Parteien seien drei Zweiervorschläge zu unterbreiten. Ferner ersuchte er um Sistierung des Ausstands- und damit des Gerichtsverfahrens bis zum Abschluss des Schlichtungsverfahrens vor der Beauftragten für Information und Datenschutz des Kantons Solothurn. Mit Entscheid vom 16. Juni 2016 wies das kantonale Gericht sowohl den Antrag betreffend Sistierung des Verfahrens als auch das Ausstandsbegehren gegen die Dres. med. C._ und D._ ab. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 16. Juni 2016 sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen mit der Anordnung, dieses habe bei den Dres. med. C._ und D._ eine Stellungnahme "gemäss Art. 49 Abs. 2 ZPO i.V.m. Art. 63 VRP-AG" zum Ausstandsbegehren des Versicherten einzuholen; eventualiter sei anzuordnen, die Vorinstanz habe das Ausstandsverfahren bis zum Abschluss des Schlichtungsverfahrens vor der Beauftragten für Information und Datenschutz des Kantons Solothurn zu sistieren; subeventualiter sei dem Ausstandsbegehren gegen die Dres. med. C._ und D._ stattzugeben und das kantonale Gericht anzuweisen, mit den Parteien eine Einigung über die Wahl der Gutachterpersonen zu suchen resp. neue Experten zu bestimmen.