Sachverhalt: A. Am 28. Juni 2013 führte das Veterinäramt des Kantons Thurgau auf dem Hof des Landwirts A._ eine unangemeldete Kontrolle durch. Dabei bemängelte das Amt u.a. folgende Punkte: - A._ habe seinen Kühen während der Winterfütterungsperiode 2012/2013 nur 19 statt der vorgeschriebenen 30 Auslauftage gewährt; - Er habe bei mindestens sieben Kühen die Klauenpflege völlig vernachlässigt; - Er habe drei Rinder in einer Bucht ohne eingestreute Liegefläche gehalten; - Er habe neun Rinder in einer Freilaufbucht gehalten, die eine Verletzungsgefahr für die Tiere darstelle und deren Laufbereich tief mit Mist bedeckt sei; - Er habe defekte Betonspaltenelemente im Eingangsbereich zur Weide nicht entfernt, obwohl diese eine grosse Verletzungsgefahr darstellten; - Er habe sechs Kühe nur mit einer einseitigen Markierung versehen, statt wie vorgeschrieben mit einer beidseitigen. Eine weitere Kuh habe zudem gar keine Ohrmarke getragen. Als Folge hiervon erteilte das Veterinäramt A._ am 23. September 2013 detaillierte Handlungsanweisungen zur Behebung dieser Mängel resp. zur Sicherstellung eines künftigen regelkonformen Verhaltens. B. Hiergegen gelangte der Betroffene an das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau, welches den Rekurs mit Entscheid vom 31. Oktober 2014 vollumfänglich abwies. In der Folge beschwerte sich A._ am 24. November 2014 beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 30. September 2015 teilweise gut und modifizierte den Wortlaut der Verfügung des kantonalen Veterinäramtes antragsgemäss in verschiedenen Punkten. Betreffend die eingangs genannten Mängel wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde jedoch ab. C. Mit Eingabe vom 7. Januar 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, soweit damit seinen Anliegen nicht stattgegeben wurde. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Sistierung des vorliegenden verwaltungsrechtlichen Verfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss eines durch die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen geführten Strafverfahrens, welches denselben Sachverhalt zum Gegenstand habe. Das Veterinäramt, das Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Sodann lässt sich auch das Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen (BLV) zur Sache vernehmen und schliesst, dass der angefochtene Entscheid die Tierschutz- und die Tierseuchengesetzgebung des Bundes nicht verletze. Mit Schreiben vom 8. April 2016 nimmt der Beschwerdeführer zum Vernehmlassungsergebnis Stellung. Mit Verfügung vom 12. Januar 2016 entschied das Bundesgericht, das Verfahren vorläufig nicht zu sistieren.