Sachverhalt: A. Der 1957 geborene A._ war als Betriebsmitarbeiter über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 26. November 2003 mit dem Auto verunfallte. Für die hiebei erlittenen Verletzungen gewährte die SUVA Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 23. Juni 2004 und Einspracheentscheid vom 17. August 2004 setzte sie das Taggeld ab 17. Mai 2004 nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von noch 50 % herab und stellte es per 1. Juli 2004 gestützt auf die Annahme einer vollen Arbeitsfähigkeit gänzlich ein. Mit Beschwerdeentscheid vom 30. November 2005 hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und neuer Verfügung an den Unfallversicherer zurück. Dieser holte medizinische Gutachten verschiedener Fachrichtungen ein. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 und Einspracheentscheid vom 27. Juni 2013 schloss die SUVA den Fall per 1. August 2004 folgenlos ab. B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess diese nach ergänzender medizinischer Abklärung teilweise gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 27. Juni 2013 auf und stellte fest, der Versicherte habe bis 18. Juli 2005 Anspruch auf Taggeld und auf Heilbehandlung, soweit letztere nicht bereits vom Unfallversicherer übernommen worden sei. Im Übrigen, hinsichtlich eines Leistungsanspruchs über den 18. Juli 2005 hinaus, wies das Gericht die Beschwerde ab (Entscheid vom 5. Mai 2015). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ sinngemäss, es seien Leistungen über den 18. Juli 2005 hinaus zuzusprechen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit heutigem Datum fällt das Bundesgericht auch das Urteil in den (vereinigten) Verfahren 8C_718/2015 und 8C_719/2015, in welchen es um den Anspruch des A._ auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung geht.