Sachverhalt: A. A._ ist senegalesischer Staatsangehöriger. Infolge Heirat mit einer schweizerischen Staatsangehörigen wurde ihm im Januar 2003 eine erste Aufenthaltsbewilligung und, nach erfolgter Trennung und einer zweiten Heirat, im Dezember 2006 erneut eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Aus der zweiten Ehe ging ein gemeinsamer Sohn hervor. Im Jahr 2010 trennte sich das Ehepaar, worauf das Migrationsamt des Kantons Solothurn A._ im Juli 2015 aus der Schweiz wegwies. Ein gegen diese Wegweisung geführtes Rechtsmittelverfahren blieb erfolglos. Das kantonale Migrationsamt setzte A._ im November 2015 eine weitere Frist zur Ausreise bis Ende Dezember 2015 an. Kurz vor Ablauf dieser Frist hielt sich A._ in einer psychiatrischen Klinik auf und tauchte anschliessend unter. Am 22. Januar 2016 meldete er sich beim kantonalen Migrationsamt und wurde in Ausschaffungshaft versetzt; seine Hafterstehungsfähigkeit wurde gutachterlich bestätigt. B. Mit Entscheid vom 29. März 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eine Beschwerde von A._ gegen die Ausschaffungshaft ab. Ein erster Vollzug der Ausschaffung scheiterte am 6. April 2016 am Widerstand von A._. Mit Verfügung vom 20. April 2016 ordnete das kantonale Migrationsamt die Verlängerung der Ausschaffungshaft für sechs Monate an. Vom 21. bis 22. April 2016 verbüsste A._ eine eintägige Ersatzfreiheitsstrafe. Mit Entscheid vom 22. April 2016 genehmigte das Haftgericht die Verlängerung der Ausschaffungshaft vom 22. April 2016 bis 21. Oktober 2016. Die dagegen von A._ ohne Anwalt geführte Beschwerde wie auch sein Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung wurden vom kantonalen Verwaltungsgericht mit Urteil vom 17. Mai 2016 abgewiesen. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 6. Juni 2016 wendet sich der damals nicht anwaltlich vertretene A._ gegen die "Entscheidungen des kantonalen Haftgerichts bzw. des kantonalen Verwaltungsgerichts vom März 2016, vom 17. Mai 2016 und vom 27. Januar 2016". Er macht sinngemäss geltend, die Anordnungen zu seiner Versetzung in Ausschaffungshaft und deren Verlängerung seien ohne anwaltliche Vertretung und damit in Missachtung seiner Grundrechte erfolgt. Die Vorinstanz, das kantonale Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration (SEM) schliessen auf kostenfällige Beschwerdeabweisung, soweit darauf eingetreten werden könne. In zwei weiteren eingereichten Stellungnahmen vom 20. Juni 2016 und vom 23. Juni 2016 lässt sich der Beschwerdeführer zur Sache vernehmen. In einer Eingabe vom 24. Juni 2016 ersucht die am 24. Juni 2016 mandatierte Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers um Akteneinsicht und Verlängerung der Vernehmlassungsfrist. Mit dem vorliegenden Urteil wird dieses Gesuch gegenstandslos.