Sachverhalt: A. B.B._ (geb. 2014) ist die Tochter von A._ (geb. 1966) und C.B._ (geb. 1981). Die Eltern waren nie miteinander verheiratet. B. B.a. Gestützt auf die Klagebewilligung des Friedensrichteramts Kreis Schaffhausen vom 9. Juli 2014 verklagte die Tochter den Vater am 2. September 2014 vor dem Kantonsgericht Schaffhausen auf Unterhalt. Rückwirkend ab der Geburt und bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, mindestens aber bis zum Erreichen der Volljährigkeit forderte sie monatliche Alimente von Fr. 1'200.-- (Ziff. 1). Zudem sei A._ zur Bezahlung der Kinder- und/oder Ausbildungszulagen zu verurteilen, die ihm zustehen (Ziff. 2). Ausserdem verlangte sie, die Alimente nach der gerichtsüblichen Formel an den Landesindex der Konsumentenpreise zu koppeln (Ziff. 3). Mit Urteil vom 26. März 2015 hiess das Kantonsgericht die Klage in dem Sinne gut, dass es der Klägerin die Alimente in der verlangten Höhe zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen ab Januar 2014 bis zur Volljährigkeit zusprach, die Unterhaltsbeiträge indexierte und den Vater zur Geltendmachung der ihm zustehenden gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen und dergleichen verpflichtete. C. A._ legte beim Obergericht des Kantons Schaffhausen Berufung ein. Er stellte das Begehren, die monatlichen Kinderalimente von Oktober bis und mit Juni 2015 auf Fr. 200.-- und von 1. Juli 2015 bis 31. Dezember 2019, eventuell bis 30. September 2031, auf Fr. 800.-- festzusetzen. Das Obergericht hiess die Berufung teilweise gut und bestimmte die monatlichen Unterhaltsbeiträge neu auf Fr. 1'000.-- für die Zeit von Januar 2014 bis April 2015 und auf Fr. 1'200.-- ab Mai 2015 bis zur Volljährigkeit des Kindes, je zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen (Urteil vom 4. Dezember 2015). D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Januar 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zurück an die Vorinstanz zu weisen. Eventualiter sei er zu verurteilen, B.B._ (Beschwerdegegnerin) von Oktober 2014 bis und mit Mai 2015 monatliche Alimente von Fr. 200.-- und ab Juli 2015 solche von Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Gestützt auf ein entsprechendes Gesuch des Beschwerdeführers erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 4. Februar 2016 die aufschiebende Wirkung für die bis und mit Dezember 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge. Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.