Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Verursachung einer Explosion (Art. 223 Ziff. 1 StGB), versuchter Tötung (Art. 111 StGB i.V.m. Art. 22 Abs. 1 StGB), Sachbeschädigung (Art. 144 StGB), Diebstahls (Art. 139 Ziff. 1 StGB) und Veruntreuung (Art. 138 Ziff. 1 StGB). Sie verdächtigt ihn u.a., am 3. Februar 2016 an seiner Arbeitsstelle im Restaurant "..." eine Explosion ausgelöst zu haben, indem er in einem Abstellraum eine Gasflasche geöffnet und eine brennende Kerze daneben gestellt habe. Damit habe er vom Umstand ablenken wollen, dass er zuvor Fr. 26'700.- aus dem Tresor seines Arbeitgebers gestohlen hatte. A._ wurde am 5. Februar 2016 festgenommen und am 8. Februar 2016 in Untersuchungshaft versetzt. Am 16. März 2016 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch. Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt wies dieses am 24. März 2016 ab und verlängerte die Untersuchungshaft um 12 Wochen bis zum 27. Juni 2016. Am 20. April 2016 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde von A._ gegen diesen Haftentscheid ab. B. Mit Beschwerde vom 25. Mai 2016 beantragt A._, diesen Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Untersuchungshaft zu entlassen oder die Sache eventuell an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. C. Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat auf eine Replik verzichtet.