Sachverhalt: A. Die 1951 geborene A._ war zuletzt vom 23. Mai 2005 bis 8. Januar 2012 (letzter Arbeitstag) als Montagemitarbeiterin in einem Pensum von 90 % bei der C._ AG tätig. Sie meldete sich am 8. Juni 2012 mit Hinweis auf dauernde Nacken- und Schultergürtelschmerzen, Schmerzen in allen Gelenken und Sehnen, Schlafstörungen, eine chronische Müdigkeit und Schweissausbrüche bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch; namentlich veranlasste sie eine interdisziplinäre Begutachtung durch das Zentrum für Medizinische Begutachtung (ZMB), Basel (Expertise vom 10. Juli 2014). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch mit Verfügung vom 29. Mai 2015. B. Die dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 13. April 2016 ab. C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 13. April 2016 sowie der Verfügung vom 29. Mai 2015. Ihr sei mit Wirkung ab 1. Januar 2013 eine ganze Rente, eventualiter eine halbe Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung, während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst.