Sachverhalt: A. B._ (Mutter) und C._ (Vater) sind die miteinander verheirateten Eltern von A._ (geb. 2006). B. B.a. Am 18. Februar 2014 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Schaffhausen (KESB Schaffhausen) für A._ eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. Zur Beiständin wurde D._ ernannt. B.b. Am 19. November 2014 hob die KESB Schaffhausen gestützt auf Art. 310 Abs. 1 ZGB superprovisorisch das elterliche Aufenthaltsbestimmungsrecht auf und platzierte A._ im U._ (V._). B.c. Mit Verfügung vom 20. Mai 2015 stellte die Eheschutzrichterin des Kantonsgerichts Schaffhausen fest, dass die Voraussetzungen zur Aufhebung des gemeinsamen Haushalts von B._ und C._ erfüllt seien. Sie wies die eheliche Wohnung der Ehefrau zur alleinigen Benutzung zu. Sodann ordnete sie an, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über das Kind bis auf weiteres bei der KESB Schaffhausen zu belassen. B.d. Mit Beschluss vom 2. Juni 2015 bestätigte die KESB Schaffhausen die vorsorglich verfügte Aufhebung des elterlichen Aufenthaltsbestimmungsrechts und die Fremdplatzierung des Kindes (s. Bst. B.b). C. C.a. Am 6. Juli 2015 erhoben A._ und B._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Sie beantragten, den Beschluss der KESB Schaffhausen vom 2. Juni 2015 (Bst. B.d) aufzuheben, die Sache zu neuer Prüfung der Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und zur Rückplatzierung per neues Schuljahr an die Vorinstanz zurückzuweisen und die KESB bzw. die Beiständin zu beauftragen, die geeignete Einschulung von A._ in W._ sowie die engmaschige Familienbegleitung am Wohnsitz der Mutter zu organisieren. C.b. Das Obergericht wies die Beschwerde am 22. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Es gewährte B._ für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Dispositiv-Ziffer 2) und befreite sie einstweilen von der Bezahlung der Gerichtskosten von Fr. 600.-- (Dispositiv-Ziffer 3). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 4). D. Mit Eingabe vom 25. Mai 2016 wenden sich A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sinngemäss verlangen sie, die Ziffern 1-4 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über den Beschwerdeführer der Beschwerdeführerin allein zu übertragen und den Beschwerdeführer im Haushalt der Beschwerdeführerin zu platzieren. Im Sinne eines Eventualantrags beantragen sie, die Sache zur Prüfung der Rückplatzierung des Beschwerdeführers an die KESB Schaffhausen zurückzuweisen. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangen die Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.