Sachverhalt: A. Dr. B._ (Kläger und Beschwerdegegner) war bei der A._ AG (Beklagte und Beschwerdeführerin) ab 1. März 2003 als leitender Arzt und ab 1. April 2005 als stellvertretender Chefarzt der Klinik in U._ angestellt. Das Arbeitsverhältnis wurde mit Anstellungsvertrag vom 14. Januar 2003 begründet. Mit Vertragsänderung vom 1. April 2005 wurde die Normalarbeitszeit von Dr. B._ bei einem Beschäftigungsgrad von 100% auf wöchentlich 48 Stunden festgesetzt. Nachdem sich die Parteien nicht auf eine weitere Vertragsänderung einigen konnten, kündigte Dr. B._ das Arbeitsverhältnis per 30. September 2011. In der Folge verlangte Dr. B._ von der A._ AG eine Entschädigung für seine in der Zeit vom 14. Juni 2006 bis 31. Januar 2009 tatsächlich geleisteten Pikett-Einsätze als Überstunden bzw. Überzeit. Weiter machte er eine Entschädigung für geleistete Pikettdienste in der Zeit vom 7. Oktober 2009 bis 30. September 2011 geltend. Zur Begründung führte er aus, dass er sich während dieser Dienste in der Klinik habe aufhalten müssen, da er infolge seines Umzugs am 31. Juli 2009 von seinem bisherigen Wohnort U._ nach V._ die von der A._ AG verlangte Interventionszeit von 15 Minuten sonst nicht mehr habe einhalten können. Damit habe die Zeit des Pikettdienstes als Arbeitszeit bzw. als Überzeit zu gelten, soweit die gesetzliche Höchstarbeitszeit von 50 Stunden überschritten worden sei. B. B.a. Nachdem sich die Parteien nicht über die geforderten Entschädigungen einigen konnten, wandte sich Dr. B._ mit Klage vom 3. Dezember 2012 an das Arbeitsgericht Zurzach. Mit in der Replik vom 12. Juni 2013 angepassten Rechtsbegehren beantragte er, es sei die A._ AG zu verurteilen, ihm den Betrag von mindestens Fr. 614'262.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. Oktober 2011 auf dem Betrag von mindestens Fr. 612'492.15 zu bezahlen, unter Vorbehalt allfälliger Rektifikation und Mehrforderung auf Grund des Beweisergebnisses. Mit Urteil vom 16. Juli 2014 hiess das Arbeitsgericht die Klage teilweise gut und verurteilte die A._ AG zur Zahlung von Fr. 250'944.10 nebst Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 249'474.-- seit dem 1. Oktober 2011. B.b. Dagegen erhob die A._ AG am 12. September 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau mit dem Antrag, die Klage sei lediglich im Umfang von Fr. 42'857.70 gutzuheissen. Dr. B._ beantragte in seiner Berufungsantwort die Abweisung der Berufung und erhob Anschlussberufung, mit der er die Gutheissung der Klage im Umfang von Fr. 356'000.-- beantragte. Mit Urteil vom 18. August 2015 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut, hob den erstinstanzlichen Entscheid bis auf die Verlegung der Gerichtskosten auf und verurteilte die A._ AG zur Zahlung von Fr. 245'374.90 nebst Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 243'904.80 seit 1. Oktober 2011. Die Anschlussberufung wies das Obergericht ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts bis auf die Abweisung der Anschlussberufung aufzuheben und die Klage sei lediglich im Umfang von Fr. 42'857.70 gutzuheissen. Dr. B._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Präsidialverfügung vom 8. Februar 2016 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.