Sachverhalt: A. Im Rahmen der Prüfung eines Baugesuchs für eine Wärmepumpe mit Erdsonde stellte die Abteilung für Baubewilligungen des Departements Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau fest, dass auf der Parzelle Nr. 476 in der Gemeinde Schneisingen ohne Baubewilligung ein Holzschopf und ein Baucontainer errichtet worden waren. Auf Aufforderung der kommunalen Bauverwaltung reichte A._ ein nachträgliches Baugesuch ein. Dieses wurde mit Verfügung der Abteilung Baubewilligungen vom 18. Mai 2015 und mit Beschluss des Gemeinderats Schneisingen vom 30. Juni 2015 abgewiesen. Gleichzeitig wurde der Baugesuchsteller zum Rückbau verpflichtet. Eine von A._ dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Aargau am 16. Dezember 2015 ab. Gegen den Entscheid des Regierungsrats gelangte A._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Mit Urteil vom 28. April 2016 wies dieses das Rechtsmittel ebenfalls ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 1. Juni 2016 beantragt A._, das verwaltungsgerichtliche Urteil sei aufzuheben und die kantonalen Behörden seien anzuweisen, ihm eine provisorische Bewilligung gemäss § 15a des Gesetzes des Kantons Aargau vom 19. Januar 1993 über Raumentwicklung und Bauwesen (Baugesetz, BauG; SAR 713.100) zu erteilen. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Der Gemeinderat und der Regierungsrat haben sich nicht vernehmen lassen.