Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Raubes, Freiheitsberaubung und mehrfachen Diebstahls. Der Beschuldigte wurde am 14. Mai 2014 festgenommen und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichtes des Kantons Aargau vom 17. Mai 2014 in Untersuchungshaft versetzt. Ein vom Beschuldigten am 24. März 2015 erhobenes Haftentlassungsgesuch wies das Zwangsmassnahmengericht am 31. März 2015 ab. Am 9. April 2015 wurde der Beschuldigte aus der Untersuchungshaft in den vorzeitigen Strafvollzug versetzt. Am 17. April 2015 verfügte die Staatsanwaltschaft seine Rückversetzung in die Untersuchungshaft. B. Der Beschuldigte erhob am 13. April 2015 Beschwerde gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 31. März 2015. Mit Entscheid vom 5. Mai 2015 hiess das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, die Beschwerde teilweise gut. Im Dispositiv seines Entscheides wies es die Staatsanwaltschaft (gestützt auf Art. 397 Abs. 4 StPO) an, die noch ausstehenden Untersuchungshandlungen bis zum 30. Juni 2015 zum Abschluss zu bringen. In seinen Erwägungen stellte es eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen fest. Ausserdem stellte es fest, dass die am 17. April 2015 erfolgte Rückversetzung des Beschwerdeführers in die Untersuchungshaft nichtig sei und er sich "formell nach wie vor im vorzeitigen Strafvollzug" befinde. Im Übrigen, insbesondere hinsichtlich des vom Beschuldigten gestellten Haftentlassungsgesuchs, wies es die Beschwerde ab. C. Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 5. Mai 2015 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 3. Juni 2015 an das Bundesgericht. Er beantragte unter anderem seine Haftentlassung. Mit Urteil vom 1. Juli 2015 hiess das Bundesgericht die Beschwerde teilweise gut. Es ergänzte Ziffer 1 des Entscheiddispositives vom 5. Mai 2015 des Obergerichts mit der Feststellung, dass die Staatsanwaltschaft das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt hatte. Den Haftentlassungsantrag wies das Bundesgericht ab (Verfahren 1B_203/2015). D. Am 2. Juli 2015 stellte der Beschuldigte ein weiteres Haftentlassungsgesuch, welches das kantonale Zwangsmassnahmengericht am 13. Juli 2015 abwies. Eine vom Beschuldigten am 20. Juli 2015 dagegen erhobene Beschwerde (inklusive Haftentlassungsgesuch) wies das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, mit Entscheid vom 14. August 2015 ab. Gleichzeitig stellte das Obergericht (in den Erwägungen und im Entscheiddispositiv) fest, dass die Staatsanwaltschaft das Beschleunigungsgebot in Haftsachen erneut verletzt habe. E. Gegen den Entscheid des Obergerichts vom 14. August 2015 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 3. September (Posteingang: 7. September) 2015 nochmals an das Bundesgericht. Er beantragt neben der Aufhebung des angefochtenen Entscheides seine sofortige Haftentlassung. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet. Die Staatsanwaltschaft nimmt in ihrer verspäteten Eingabe vom 16. September 2015 ebenfalls keine inhaltliche Stellungnahme zur Beschwerde. Sie verweist auf die Akten bzw. den angefochtenen Entscheid.