Sachverhalt: A. A._ und B._ sind die verheirateten Eltern der Tochter C._ (geb. 9. Februar 2009). B. B.a. Mit Eingabe vom 28. Januar 2015 beantragte B._ beim Bezirksgericht Luzern die Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes sowie die Regelung der damit verbundenen Folgen. B.b. Anlässlich der Eheschutzverhandlung vom 12. Mai 2015 schlossen die Eltern vor dem Bezirksgericht Luzern eine Vereinbarung, in der sie den Kontakt zu ihrer Tochter bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Eheschutzentscheides regelten. B.c. Am 23. Juni 2015 fällte das Bezirksgericht Luzern den Eheschutzentscheid. Es stellte C._ unter die alternierende Obhut der Eltern und hielt fest, dass C._ ihren gesetzlichen Wohnsitz bei der Mutter hat. Ferner regelte das Bezirksgericht den Unterhalt des Kindes und der Mutter und wies das eheliche Haus A._ zu alleinigem Nutzen und Gebrauch zu. C. C.a. Gegen den Entscheid des Bezirksgerichts legte B._ Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. C.b. Am 12. November 2015 fand vor dem Kantonsgericht eine Instruktionsverhandlung statt, an der die Parteien befragt wurden. Tags darauf beauftragte der Instruktionsrichter die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Luzern damit, eine Erziehungs beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB zu errichten. Am 4. Dezember 2015 unterrichtete die KESB Luzern das Kantonsgericht darüber, dass es, das Ka ntonsgericht, die Errichtung einer Beistandschaft anordnen müsse. In der Verfügung sei zu erwähnen, ob das Besuchsrecht gemäss Anordnung des Bezirksgerichts gelte oder ob ein neues Besuchsrecht vorsorglich durch das Kantonsgericht festgelegt worden sei. C.c. Mit Urteil vom 21. Januar 2016 änderte das Kantonsgericht, soweit vor Bundesgericht von Interesse, das bezirksgerichtliche Urteil insofern ab, als es C._ unter die (alleinige) Obhut der Mutter stellte. Der Vater wurde berechtigt und verpflichtet, C._ auf eigene Kosten und ohne Abzüge an den Unterhaltsbeiträgen jedes zweite Wochenende von Freitag, Schulschluss am Mittag, bis Montag, Schulbeginn am Morgen, sowie während sechs Wochen pro Jahr in den Schulferien zu sich zu Besuch zu nehmen. Ferner verpflichtete das Kantonsgericht A._, ab 1. August 2015 an den Unterhalt von C._ monatlich Fr. 1'205.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen (Ziffer 1 des Dispositivs). Weiter errichtete das Kantonsgericht für C._ eine Besuchsbeistandschaft im Sinn von Art. 308 Abs. 2 ZGB; die Bestimmung der Person des Beistandes blieb der KESB Luzern überlassen (Ziffer 4 des Dispositivs). Schliesslich bestätigte das Kantonsgericht den erstinstanzlichen Kostenspruch. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens auferlegte es A._; die oberinstanzlichen Parteikosten hatte jede Partei selbst zu tragen (Ziffer 5 des Dispositivs). D. D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. März 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Anordnung der alternierenden Obhut, wobei seine Betreuungszeiten wie folgt zu regeln seien: Jede zweite Woche von Freitag Schulschluss am Mittag bis Dienstag Schulschluss sowie alternierend jede andere zweite Woche von Montag Schulschluss am Mittag bis Mittwoch Schulanfang; dazu während sechs Wochen in den Schulferien. Die monatlichen Kinderalimente seien ab 1. August 2015 bis zum bundesgerichtlichen Obhutsentscheid auf Fr. 1'205.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) und für die Zeit danach auf Fr. 1'090.-- (zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 115.--) festzusetzen. Im Eventualantrag verlangt der Beschwerdeführer, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D.b. Der Beschwerdeführer hat ein Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt, dem sich B._ (Beschwerdegegnerin) widersetzte. Das Bundesgericht entsprach dem Antrag zwecks Aufrechterhaltung des bisherigen Zustandes (Verfügung vom 18. März 2016). D.c. In einer weiteren Eingabe vom 11. Mai 2016 hielt die Beschwerdegegnerin an ihrem Standpunkt fest, wonach die gemeinsame Obhut mit alternierender Betreuung im vorliegenden Fall eklatant gegen das Kindeswohl verstosse. Sie reichte Ausdrucke von an sie gerichteten E-Mails des Kinder- und Jugendschutzes der Stadt Luzern ein. Einem ersten Schreiben zufolge ist der Beschwerdeführer darüber informiert worden und damit einverstanden, dass die Besuche bis zu einem persönlichen Gespräch mit C._ sistiert seien. In einer zweiten E-Mail wurde der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, dass die Besuche beim Vater jedes zweite Wochenende jeweils am Sonntag stattfinden, und ein weiteres Gespräch der Behörde mit dem Kind angekündigt. D.d. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz eingeladen, in der Sache Stellung zu nehmen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde ihres Ehemannes kostenpflichtig abzuweisen (Eingabe vom 19. September 2016). Denselben Antrag stellt - unter Verzicht auf eine ausführliche Stellungnahme - auch das Kantonsgericht (Schreiben vom 16. September 2016). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.