Sachverhalt: A. A._ (Schiedsbeklagter und Beschwerdeführer) und die B._ AG (Schiedsklägerin und Beschwerdegegnerin) sind je Eigentümer von grossen, unmittelbar nebeneinander liegenden Kieslandparzellen im Gebiet von U._/TG. Das Kiesabbaugeschäft besteht aus den Komponenten Abbau, Wiederauffüllung und Rekultivierung. Um einen geordneten, aufeinander abgestimmten Kiesabbau im Sinne des kantonalen Richtplanes sicherzustellen, einigten sich die Parteien mit Vereinbarung vom 26. Januar 2011 auf einen örtlich und zeitlich definierten Abbauplan. Mit ebenfalls vom 26. Januar 2011 datierendem Vertrag regelten die Parteien die Modalitäten zur Sicherstellung der Massenbilanz, das Nutzungsentgelt und die Rekultivierungspflicht. Ziff. 9 dieses Vertrags sieht folgende Schiedsklausel vor: "Für allfällige Streitigkeiten um die Erfüllung des vorliegenden Vertrags bestimmen die Parteien Rechtsanwalt Dr. Mike Gessner, bei dessen Verhinderung Rechtsanwalt Dr. Simon Ulrich, Frauenfeld, zum Einzelschiedsrichter. Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich in Frauenfeld. Es gelten die Bestimmungen der eidgenössischen Zivilprozessordnung zur Schiedsgerichtsbarkeit. Einem förmlichen Verfahren soll in jedem Fall ein Einigungsversuch durch den Schiedsrichter vorangehen. (...) " In der Folge entzündete sich zwischen den Parteien ein Streit im Zusammenhang mit ihren unmittelbar nebeneinander liegenden Kiesparzellen. B. B.a. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2012 ersuchte die B._ AG das im Vertrag vom 26. Januar 2011 vereinbarte Einzelschiedsgericht um Mediation. Auf dessen Vermittlung schlossen die Parteien am 13. Oktober 2012 einen Vergleich hinsichtlich eines Teils der umstrittenen Punkte. Weitere Einigungen konnten trotz diverser Vermittlungsversuche des Schiedsrichters nicht mehr erzielt werden. B.b. Mit Schiedsklage vom 27. Februar 2013 stellte die Schiedsklägerin dem Schiedsgericht unter anderem folgendes Rechtsbegehren: 2. Es sei der Beklagte zu verpflichten, der Klägerin Schadenersatz zu bezahlen wie folgt: - Fr. 1'607.40 für Kostenaufwand im Zusammenhang mit dem gestörten Massenausgleich Kies; - im Zusammenhang mit von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtem/ abgelaufenen Erdmaterial: Fr. 33.-- je Kubikmeter von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtem Erdmaterial gemäss Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens aber Fr. 17'400.--; Fr. 990.-- für aus diesem Vorgang auf Parz. yy verschmutztes Kies." Zur Begründung führt die Schiedsklägerin auf Seite 8 der Klageschrift Folgendes aus: "Die eingeklagten Ansprüche der Klägerin haben unterschiedliche Rechtsgründe. Soweit sie sich aus der Vereinbarung vom 31.10.2012 oder dem Vertrag betreffend Kiesabbau (...) herleiten, sind sie vertraglicher Natur, was für die Rechtsbegehren (...) Ziff. 2 Al. 1 (...) zutrifft. Die weiteren Begehren (Ziff. 2. Al. 2 [...]) basieren auf den nachbarrechtlichen Bestimmungen des ZGB (Art. 685 i.V.m. Art. 679 ZGB). (...) Mit dem Rechtsbegehren Ziff. 2 macht die Klägerin Schadenersatz geltend. Mit Al. 1 sind die entstandenen Kosten für die beiden gutachterlichen Beurteilungen im Zusammenhang mit den Sicherheitsbedenken beim Massenausgleich Kies eingeklagt, welche sich auf insgesamt Fr. 1'607.40 belaufen. Der Anspruch ergibt sich aus dem vertraglichen Mängelrecht. (...) Mit Al. 2 wird nachbarrechtlicher Schadenersatz für die Beseitigung des von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschten Schlammes/Erdmaterials geltend gemacht (...)." Mit Klageantwort vom 3. Mai 2013 beantragte der Schiedsbeklagte die Abweisung der Klage. Unter dem Titel "I. Formelles " führte er aus, dass er die Zuständigkeit des Schiedsgerichts nicht bestreite. Zum Klagebegehren Ziff. 2 hielt er fest, dass die Expertisekosten nicht notwendig gewesen und zudem auch nicht kausal auf vertragsverletzendes Verhalten des Schiedsbeklagten zurückzuführen seien. Den Anspruch auf Schadenersatz wegen abgerutschtem Material bestritt der Schiedsbeklagte mit der Begründung, die Schiedsklägerin habe im fraglichen Bereich am 23. November 2012 den Grenzpunkt versetzt und ihm in der Folge die Durchfahrt verboten. Aus diesem Grund habe er den Schlamm nicht mehr erreichen und auch keine Vorkehren gegen weiteres Abrutschen treffen können. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 23. Mai 2013 erneuerte die Schiedsklägerin ihr Rechtsbegehren Ziff. 2 in einer leicht modifizierten Form: "2. Es sei der Beklagte zur Leistung von Schadenersatz an die Klägerin wie folgt zu verpflichten: - Fr. 1'607.40 für Kostenaufwand i.Z. mit dem gestörten Massenausgleich Kies; - Fr. 33.--/m3 von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtes Schlamm-Material gemäss Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens aber Fr. 50'000.-; - Fr. 990.-- für aus diesem Vorgang verschmutztes Kies." Auch an der Hauptverhandlung bestritt der Schiedsbeklagte die Zuständigkeit des Schiedsgerichts zur Beurteilung der Schiedsklage nicht. B.c. Mit Teilurteil vom 8. Februar 2016 beschränkte das Schiedsgericht das Verfahren auf die Beurteilung des Klagebegehrens Ziff. 2 betreffend die Frage der Schlammentsorgung und entschied wie folgt: "1. Die Klage (Ziffer 2 der Rechtsbegehren der Klägerin B._ AG in der Fassung vom 23. Mai 2013) wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen und der Beklagte A._ verpflichtet, der Klägerin B._ AG Fr. 108'613.75 zu bezahIen. 2. Die Verfahrensgebühr für dieses TeilurteiI in der Höhe von Fr. 15'000.-- wird mit dem durch die Klägerin B._ AG geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 15'000.-- verrechnet, womit die KIägerin B._ AG im Betrage von Fr. 15'000.-- Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann. An Gutachtenskosten sind Fr. 2'357.10 angefallen. Sie werden mit dem Kostenvorschuss der KIägerin B._ AG im Betrag von Fr. 2'500.-- verrechnet (der Restbetrag von Fr. 142.90 wird der Klägerin B._ AG als Kostenvorschuss ans Schiedsgericht gutgeschrieben), womit die Klägerin B._ AG im Betrage von Fr. 2'357.10 Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann. An Kosten für die vorsorgliche Beweisaufnahme sind Fr. 24'777.20 angefallen und von der Klägerin B._ AG bereits bezahlt worden, womit die Klägerin B._ AG im Betrage von Fr. 24'777.20 Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann. 3. (Regelung der Parteikosten) " Das Schiedsgericht kam zum Schluss, dass der Schiedsbeklagte bei der Wiederverfüllung seiner Kiesgrube mit Deponiematerial nicht nach den einschlägigen Regeln der Baukunde vorgegangen sei und dadurch die schädigenden Schlammzuflüsse auf das Grundstück der Schiedsklägerin verursacht habe. Damit habe er im Sinne von Art. 684 ZGB sein Eigentum überschritten, weshalb er gestützt auf Art. 679 ZGB i.V.m. Art. 684 ZGB für den entstandenen Schaden hafte. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Schiedsbeklagte dem Bundesgericht, es sei das Teilurteil vom 8. Februar 2016" wegen Kompetenzüberschreitung bzw. Kompetenzanmassung aufzuheben bzw. für unwirksam zu erklären ". Die Schiedsklägerin und das Schiedsgericht beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. D. Mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2016 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.