Sachverhalt: A. A.a. Die B._ AG (Schiedsklägerin, Gesuchstellerin und Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._. Sie bezweckt die Erbringung von Dienstleistungen aller Art im Zusammenhang mit der Erstellung von Bauwerken, einschliesslich der Übernahme von Generalunternehmungen sowie den Erwerb, Verkauf und die Verwaltung von Liegenschaften. Alleinaktionär ist C._, Inhaber des bis Ende 2011 unter der Firma "D._" im Handelsregister eingetragenen Einzelunternehmens. A._ (Schiedsbeklagter, Gesuchsgegner und Beschwerdeführer) ist wohnhaft in V._. Die E._ AG ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._, die den Erwerb und die Führung von Betrieben des Hotel- und Gastgewerbes wie namentlich Restaurants bezweckt. Sie gehörte ursprünglich A._ und C._ zu je 50 %. Die beiden waren weiter zu je 50 % Miteigentümer des Grundstücks mit der Kat.-Nr. xxxx, Plan yy, sowie des Baurechts Grundbuch BI. zzzzz in der Gemeinde W._ (nachfolgend "Liegenschaft F._" sowie "Miteigentümergemeinschaft F._"). Auf dieser Liegenschaft betreibt die E._ AG als Mieterin ein Restaurant. A.b. lm Januar 2006 beschlossen A._ und C._, ihre rechtlichen Verhältnisse neu zu ordnen. In diesem Zusammenhang schlossen sie am 19. Januar 2006 eine neue Vereinbarung ab, die sämtliche bisherigen Vereinbarungen zwischen ihnen ersetzen sollte (nachfolgend "Vereinbarung F._"). In Ziff. II der Vereinbarung F._ wurde festgehalten, dass C._ seinen hälftigen Aktienanteil an der E._ AG an A._ übertragen solle, was in der Folge auch geschah. Die E._ AG steht heute in der Alleinaktionärschaft von A._. Ebenfalls am 19. Januar 2006 vereinbarten und unterzeichneten A._ und C._ ein Verwaltungsreglement und eine Betriebsordnung für die Miteigentümergemeinschaft F._. Das Verwaltungsreglement enthält in seiner Ziff. IV folgende Regelung, wie in Pattsituationen vorzugehen ist: "Können die Parteien in einer die Miteigentümergemeinschaft betreffenden Frage keine gemeinsame Entscheidung finden, so vereinbaren sie, dass nach Ablauf einer Frist von 30 Tagen seit der ersten Versammlung eine zweite Versammlung durch den Verwalter einberufen wird. Können die Parteien auch an dieser Versammlung keine Einigung finden, so soll eine von ihnen gemeinsam ernannte Drittperson beigezogen werden, die nach Anhören beider Miteigentümer einen für die Gemeinschaft verbindlichen Entscheid fällen soll. Gelingt es den Parteien nicht, diesen Dritten gemeinsam zu ernennen, so soll er nach den Bestimmungen des Konkordates über die Schiedsgerichtsbarkeit vom Bezirksgerichtspräsidenten des Bezirks Höfe ernannt werden. Der Entscheid dieses Schiedsrichters ist für die Miteigentümer verbindlich, wie wenn sie selbst einen einstimmigen Beschluss gefasst hätten." Ziff. V des Verwaltungsreglements lautet sodann wie folgt: "2. Dieses Reglement sowie allfällige Abänderungs- oder Ergänzungsbeschlüsse hiezu, wie auch richterliche Urteile und Verfügungen, sind für alle Rechtsnachfolger an der Liegenschaft GBBl. zzzzz verbindlich. 3. Jeder Eigentümer bzw. jeder Miteigentümer der vorgenannten Liegenschaft ist verpflichtet, die sich aus diesem Reglement ergebenden Verpflichtungen einem Rechtsnachfolger zu überbinden, wiederum mit der Pflicht zur Weiterüberbindung." Am 6. September 2011 übertrug C._ seinen hälftigen Miteigentumsanteil an der Liegenschaft F._ mittels einer Vermögensübertragung nach Art. 69 FusG an die B._ AG. Obwohl die E._ AG den Mietvertrag mit der Miteigentümergemeinschaft F._ am 26. Juni 2008 per Ende 2008 kündigte, hat sie die Liegenschaft bis heute nicht verlassen. Während A._ der Ansicht ist, die E._ AG berufe sich dabei auf einen gültigen, neuen Mietvertrag vom 18. Dezember 2008 mit der Miteigentümergemeinschaft F._, stellt sich die B._ AG auf den Standpunkt, dieser Mietvertrag sei nichtig. Denn dieser sehe entgegen der Abmachung in Ziff. 19 der Vereinbarung F._ statt einem jährlichen Mietzins von Fr. 360'000.-- einen um 50 % reduzierten Mietzins von lediglich Fr. 180'000.-- pro Jahr, bzw. einen monatlichen Mietzins von Fr. 15'000.-- vor. Eine solche Mietzinsreduktion liege nicht im Interesse der Miteigentümergemeinschaft F._ und stelle auch keine marktgerechte Miete dar. Zudem habe die E._ AG ab März 2014 nicht einmal mehr den eigenmächtig reduzierten monatlichen Mietzins in Höhe von Fr. 15'000.-- bezahlt, sondern lediglich noch Fr. 10'000.-- pro Monat. Gestützt auf diese Behauptungen machte die B._ AG geltend, die Miteigentümergemeinschaft F._ habe ein Interesse daran, gegenüber der E._ AG eine Klage auf Zahlung der Differenz zwischen dem ursprünglich vereinbarten Mietzins und dem tatsächlich bezahlten Mietzins zu erheben. Gemäss Ziff. IV des Verwaltungsreglements F._ sei ein Schiedsgericht zuständig für den Entscheid, ob im Namen der Miteigentümergemeinschaft - bestehend aus A._ und der B._ AG - gegenüber der E._ AG eine Klage in der Höhe von Fr. 870'000.-- zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5 % seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen zu erheben ist. A._ bestritt die Zuständigkeit eines Schiedsrichters, da weder die Form- noch die Konsensvorschriften einer Schiedsvereinbarung erfüllt seien und damit zwischen den Parteien keine solche zustande gekommen sei. B. B.a. Da sich die Parteien in der Folge nicht auf die gemeinsame Ernennung eines Schiedsrichters einigen konnten, wandte sich die B._ AG mit Eingabe vom 25. Oktober 2013 an das Bezirksgericht Höfe und ersuchte um eine entsprechende Ernennung gestützt auf Art. 362 ZPO. Nach erfolgtem Schriftenwechsel gab das Bezirksgericht den Parteien mit Verfügung vom 23. Oktober 2014 Gelegenheit, allfällige Einwendungen gegen die Ernennung von Rechtsanwalt Daniel Hochstrasser als Einzelschiedsrichter einzureichen. Mit Eingabe vom 17. November 2014 teilte die Schiedsklägerin mit, dass sie diesbezüglich keine Einwendungen habe. Der Schiedsbeklagte liess sich nicht vernehmen. Mit Verfügung vom 1. Dezember 2014 entschied das Bezirksgericht wie folgt (Dispositiv-Ziffer 1) : "Rechtsanwalt lic.iur. Daniel Hochstrasser, LL.M., Bär & Karrer AG, Brandschenkenstrasse 90 in 8072 Zürich, wird als Schiedsrichter eingesetzt für den Entscheid, ob im Namen der Miteigentümergemeinschaft bestehend aus der Gesuchstellerin und dem Gesuchsgegner gegenüber der E._ AG eine Klage in der Höhe von Fr. 870'000.-- zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5% seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen und unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der E._ AG zu erheben ist." Mit Schreiben vom 11. Dezember 2014 erklärte Daniel Hochstrasser gemäss Art. 364 ZPO Annahme des Schiedsrichtermandats. B.b. In der Folge wurde das entsprechende Schiedsverfahren durchgeführt. Mit Endschiedsspruch vom 15. Juli 2015 entschied der Einzelschiedsrichter wie folgt: "1. Es ist im Namen der Miteigentümergemeinschaft F._ bestehend aus der Klägerin und dem Beklagten gegenüber der E._ eine Klage in der Höhe von CHF 870'000 zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5% seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen und unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der E._ zu erheben. Dieser Entscheid tritt anstelle eines diesbezüglich einstimmig gefassten Beschlusses der Klägerin und des Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._. 2. Die Klägerin wird ermächtigt, in Vertretung der Klägerin und des Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._ das Prozessverfahren gegen die E._ gemäss Dispositiv-Ziffer 1 zu führen. Diese Ermächtigung tritt anstelle einer einstimmig erfolgten und unwiderrufbaren Bevollmächtigung der Klägerin durch die Klägerin und den Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._. 3. - 6. (...) " C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2015 beantragt der Schiedsbeklagte dem Bundesgericht, es sei der Endschiedsspruch vom 15. Juli 2015 aufzuheben und festzustellen, dass keine Schiedsvereinbarung bestehe; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an den Einzelschiedsrichter zurückzuweisen. Die Schiedsklägerin beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Der Einzelschiedsrichter hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein. D. Mit Urteil 4A_490/2015 trat das Bundesgericht auf die vom Schiedsbeklagten ebenfalls am 14. September 2015 separat eingereichte Beschwerde gegen den Ernennungsentscheid des Bezirksgerichts Höfe nicht ein.