Sachverhalt: A. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geboren 1955) weilte zuerst als Saisonnier, ab 1979 als Jahresaufenthalter in der Schweiz. Seine Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 12. März 2012 verlängert. Seine Ehefrau (geb. 1953) kam 1981 in die Schweiz und erhielt ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung. Das Ehepaar hat vier Töchter, von denen die älteste 1982, die jüngste 1991 geboren wurde. Zwei der Töchter verfügen mittlerweile über das Schweizer Bürgerrecht. Gegen A._ ergingen zahlreiche Verurteilungen im Bagatellbereich wegen Verkehrsregelverletzungen; sodann kam er spätestens seit 1998 seinen Zahlungsverpflichtungen nicht nach. Er und seine Familie mussten von Juni bis Oktober 1994 sowie von Januar 1996 bis Januar 1997 mit wirtschaftlicher Sozialhilfe unterstützt werden. Am 11. November 2001 erlitt A._ einen Arbeitsunfall. In der Folge wurde ihm im Oktober 2006 rückwirkend ab 1. November 2002 eine ganze IV-Rente zugesprochen, die ab 1. April 2008 durch Ergänzungsleistungen erweitert wurde. Mehrere Versuche von A._, die Niederlassungsbewilligung zu erlangen, blieben wegen mangelnder Mitwirkung erfolglos. Hingegen wurde er zweimal (am 14. April 2003 und am 19. Januar 2010) ausländerrechtlich verwarnt. A._ häufte beträchtliche Schulden an, die auch nach der rückwirkenden Zusprache der IV-Rente weiterhin zunahmen. Im Juli 2013 bestanden gegen ihn Verlustscheine von insgesamt rund Fr. 280'000.--. B. Unter Hinweis auf die hohe Verschuldung und die fehlenden Anzeichen einer Besserung lehnte das Migrationsamt des Kantons Luzern mit Verfügung vom 6. Dezember 2012 eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und wies diesen aus der Schweiz weg. C. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Beschwerdeentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 29. Juli 2013; Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Juni 2016), jeweils unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. D. A._ erhebt mit Eingabe vom 21. August 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gutzuheissen. Zudem beantragt er Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Kantonsgericht und das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration) beantragen Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement reicht eine nachträgliche Unterlage, aber keine Vernehmlassung ein. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 26. August 2014 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - die aufschiebende Wirkung zuerkannt.