Sachverhalt: A. Am 16. September 2011 stellte die damalige Orange Communications SA (heute: Salt Mobile SA; nachfolgend: Salt) bei der politischen Gemeinde Sirnach das Gesuch, den Neubau einer Mobilfunk-Basisstation auf der Parzelle Nr. 829 an der Fischingerstrasse 51 zu bewilligen (für den Betrieb von GSM 900, GSM 1800 und UMTS). Das Baugrundstück befindet sich in der dreigeschossigen Wohn- und Gewerbezone (WG3). Das unmittelbar östlich angrenzende, ebenfalls in der WG3 liegende Gebiet ist mit einer Ortsbildschutzzone überlagert. Südlich der Parzelle verläuft die SBB-Bahnlinie. Das Gebiet auf der anderen Seite der Bahnlinie liegt in der Landschaftsschutzzone (Ls) und dasjenige unmittelbar westlich des Baugrundstücks in der Landwirtschaftszone (Lw). Auf der anderen Seite der Fischingerstrasse, die entlang der nördlichen Grenze der Parzelle verläuft, befindet sich eine dreigeschossige Wohnzone (W3). Die projektierte Mobilfunkanlage soll neben der südwestlichen Ecke des auf dem Baugrundstück bereits existierenden Geschäfts-/Fabrikgebäudes zu stehen kommen. Die geplante Anlage umfasst einen 21 Meter hohen Antennenmast (ohne Blitzfangstab) und neun Antennen für das GSM- und UMTS-Netz sowie zwei Geräteräume in Form von Aussenkabinen. B. Mit Entscheid vom 25. September 2012 verweigerte die Gemeinde die Erteilung der Baubewilligung, weil der Hauptzweck der geplanten Mobilfunkanlage nicht in der Versorgung der nahegelegenen Bauzone, sondern in der Abdeckung der SBB-Linie in beiden Richtungen und der Autobahn A1 in Richtung Winterthur liege. Mangels eines unmittelbaren funktionellen Bezugs zur nahegelegenen Bauzone sei die Anlage nicht zonenkonform. Ausserdem würde sie aufgrund ihrer Höhe durch die Fernwirkung sowohl die angrenzenden Ortsbildschutzzone als auch die Landschaftsschutzzone beeinträchtigen und massiv störend in Erscheinung treten. C. Gegen die Verweigerung der Baubewilligung rekurrierte Salt an das Departement für Bau und Umwelt (DBU) des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 17. September 2013 hiess das DBU den Rekurs gut und wies die Streitsache zur Erteilung der Baubewilligung an die Gemeinde zurück. D. Gegen den Entscheid des DBU reichten einerseits die anwaltlich vertretenen Ehegatten B._, und andererseits zahlreiche weitere Anwohner, vertreten durch A._, beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht vereinigte die Beschwerden und führte am 5. März 2015 einen Augenschein durch. Mit Entscheid vom 14. Mai 2014 wies es die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. E. Das Ehegatten B._ sowie die im vorinstanzlichen Verfahren beteiligten Anwohner (ohne M._, N._ und O._) erheben Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Baubewilligung für die geplante Mobilfunkantenne zu verweigern. F. Das Verwaltungsgericht, das DBU und die Beschwerdegegnerin schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) hat sich vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer halten in einer weiteren Eingabe vollumfänglich an ihren Anträgen fest.