Sachverhalt: A. Der 1952 geborene A._, vom 1. September 2010 bis 30. April 2011 als Statist beim Theater B._ angestellt, hatte sich am 24. Juli 2012 zum Bezug von Arbeitslosentschädigung für die Zeit ab 11. Juli 2012 angemeldet. Mit Verfügung vom 11. März 2013 lehnte die Arbeitslosenkasse syndicom die Anspruchsberechtigung wegen Nichterreichens der Beitragszeit und der Mindestgrenze des versicherten Verdienstes ab. Daran wurde auf Einsprache hin festgehalten (Einspracheentscheid vom 3. Juni 2013). B. Hiegegen reichte A._ Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ein. Das angerufene Gericht sistierte das Verfahren am 23. August 2013 bis zur rechtskräftigen Erledigung des vom Beschwerdeführer erwähnten arbeitsrechtlichen Schiedsverfahrens vor der Bühnenschiedskommission Basel-Stadt. Am 17. Februar und 13. Juni 2014 wurde die Sistierung verlängert, bestätigt durch Verfügung vom 1. Juli 2014. C. C.a. Mit an das Appellationsgericht Basel-Stadt gerichteter Aufsichtsbeschwerde/Rechtsverzögerungsbeschwerde verlangte A._ die Aufhebung der Sistierung des arbeitslosenversicherungsrechtlichen Prozesses und dessen Weiterführung. Ferner ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Appellationsgericht leitete am 15. August 2014 einen Meinungsaustausch mit dem Bundesgericht bezüglich der (funktionellen) Zuständigkeitsfrage ein. Das Sozialversicherungsgericht liess sich mit Eingabe vom 22. August 2014 dazu vernehmen. C.b. Am 7. November 2014 teilte das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten mit, dass es sich als zuständig erachte und die Sache an die Hand nehme. In der Folge erhielt A._ die Gelegenheit, sämtliche Verfahrensakten in den Räumlichkeiten des basel-städtischen Sozialversicherungsgerichts einzusehen, wovon er Gebrauch machte. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2014 nahm er nochmals ausführlich Stellung. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.