Sachverhalt: A. Die Offene Dorfgemeinde Andermatt stimmte am 28. Oktober 2010 einem neuen Reglement über den Tourismus in den Gemeinden Andermatt, Hospental und Realp (im Folgenden auch "Tourismusreglement" oder "TR") zu. Dieses Reglement sollte den Tourismus in den drei Gemeinden des Urserentals auf eine neue Grundlage stellen. Es sieht unter anderem vor, dass die drei Gemeinden eine Beherbergungsgebühr erheben. Mit Urteil vom 5. Juli 2011 (2C_951/2010) wies das Bundesgericht die Beschwerde eines Ferienwohnungseigentümers gegen die Einführung dieser Beherbergungsgebühr ab, soweit es darauf eintrat. Inzwischen - am 1. Juli 2011 - war das Reglement in der Einwohnergemeinde Andermatt in Kraft getreten. Am 23. Oktober 2011 wurde es revidiert und u.a. der Abgabesatz pro m2 Nettowohnfläche für Ferienwohnungen (dazu hinten E. 2) von Fr. 20.-- auf Fr. 14.-- gesenkt. B. A._ ist Eigentümer des auf der Parzelle Nr. yyy gelegenen Ferienhauses in Andermatt. Gegen die ihm am 5. September 2011 vom Gemeinderat Andermatt provisorisch in Rechnung gestellte Beherbergungsgebühr für das Jahr 2011 erhob er Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Uri und beantragte die Aufhebung der genannten Rechnung sowie die Aufhebung bzw. Abänderung von Teilen des Tourismusreglements. Am 20. März 2012 wies der Regierungsrat diese Beschwerde ab. A._ wehrte sich gegen diesen Entscheid erfolglos bis zum Bundesgericht (vgl. Urteil 2C_258/2013 vom 13. September 2013). C. Am 28. Oktober 2013 legte der Gemeinderat Andermatt gegenüber A._ die Beherbergungsgebühren für das Jahr 2011 auf Fr. 860.75 und für die Jahre 2012 und 2013 auf je Fr. 1'475.60 (definitiv) fest und stellte ihm diese Beträge in Rechnung. Die von A._ hiegegen geführte Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Uri blieb erfolglos, und mit Urteil vom 10. April 2015 wies das Obergericht des Kantons Uri (verwaltungsrechtliche Abteilung) die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 22. April 2014 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 10. Juni 2015 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil sowie die gestützt auf das Tourismusreglement zugestellten Rechnungen aufzuheben. Die Einwohnergemeinde Andermatt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Justizdirektion - für den Regierungsrat - äussert sich, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Das Obergericht des Kantons Uri verzichtet auf Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 28. August 2015 hält A._ an seinen Anträgen fest. Am 2. Dezember 2016 reichte er dem Bundesgericht unaufgefordert den Geschäftsbericht 2015 der Andermatt-Urserental Tourismus GmbH sowie den Bericht "Wirtschaftliche Entwicklung im Urserental" der Urner Kantonalbank (November 2016) ein.