Sachverhalt: A. A.a. A._ arbeitete als wissenschaftlicher Mitarbeiter für das Institut für Föderalismus (IFF) der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Freiburg. Ab 1. Januar 2007 leitete er dessen Dokumentationszentrum. In dieser Funktion war er für die Erarbeitung und Sicherstellung des Betriebs des auf einer Vereinbarung zwischen der Konferenz der Kantonalen Justiz- und Polizeidirektorinnen und -direktoren (KKJPD) und der Universität beruhenden Internetportals LexFind verantwortlich. Am 9. Mai 2011 stellte A._ drei Mitgliedern des Institutsrats des IFF ein Schreiben zu, in welchem er unter anderem mitteilte, dass das Projekt LexFind eingestellt worden sei, seine Mitarbeiterin aus gesundheitlichen Gründen die Kündigung eingereicht habe, er seinerseits das Kündigungsverfahren abwarte und die Zeit bis zur Kündigung zur Wahrung eigener Interessen nutzen werde. Mit Verfügung vom 19. Mai 2011 löste die Universität Freiburg das Anstellungsverhältnis mit A._ fristlos auf. Dagegen beschritt A._ erfolglos den Rechtsweg. Mit Urteil vom 15. Dezember 2014 wies das Bundesgericht die bei ihm eingereichte Beschwerde letztinstanzlich ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 8C_258/2014). A.b. Am 28. September 2012 stellte A._ bei der Universität Freiburg unter anderem den Antrag, es sei der Jahresbericht 2011 des IFF in allen Sprachfassungen aus dem Internet zu entfernen und nicht mehr weiter zu verbreiten. Zur Begründung führte er aus, bestimmte Textstellen im Jahresbericht verletzten seine Persönlichkeit, indem über die Umstände der Auflösung des Arbeitsverhältnisses ein falscher Eindruck vermittelt und die Schwierigkeiten mit dem Projekt LexFind in seinen Verantwortungsbereich gerückt würden. A.c. Mit als "Aufsichtsbeschwerde gegen die Universität" bezeichneter Eingabe vom 4. Dezember 2012 gelangte A._ an den Staatsrat des Kantons Freiburg und machte geltend, die Universität weigere sich, sein Gesuch vom 28. September 2012 zu behandeln. Nachdem die Vorsteherin der Direktion für Erziehung, Kultur und Sport in den Ausstand getreten war, wurde die Angelegenheit ihrem Stellvertreter, dem Vorsteher der Sicherheits- und Justizdirektion, überwiesen. Am 18. März 2013 teilte dieser A._ mit, seine Eingabe sei als Rechtsverweigerungs- und nicht als Aufsichtsbeschwerde entgegenzunehmen und werde daher zuständigkeitshalber der Rekurskommission der Universität weitergeleitet. Mit Brief vom 22. März 2013 anerkannte die Rekurskommission ihre Zuständigkeit. Am 12. August 2013 wies sie die Beschwerde ab. Sie führte aus, die Formulierungen im strittigen Jahresbericht seien nicht zu beanstanden und A._ habe keinen rechtlich geschützten Anspruch darauf, dass die Universität ihren Standpunkt von sich aus aufgebe. Damit gebe es auch keinen Anspruch auf Beurteilung eines Begehrens, das hierauf abziele, weshalb keine Rechtsverweigerung vorliege. B. Dagegen erhob A._ am 26. August 2013 Beschwerde beim Kantonsgericht Freiburg. In der Sache beantragte er, es sei in Aufhebung des Entscheids der Rekurskommission festzustellen, dass ihm die Universität durch Nichtbehandlung seines Gesuchs vom 28. September 2013 das Recht verweigert und dass der Staatsrat seine Aufsichts- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde zu Unrecht der Rekurskommission überwiesen habe. Weiter sei die Universität anzuweisen, den Jahresbericht 2011 des IFF in allen Sprachfassungen aus dem Internet zu entfernen und nicht mehr weiter zu verbreiten. Auch sei der Universität zu verbieten, Personendaten von A._ über die Auflösung des Arbeitsverhältnisses an Dritte bekannt zu geben, und sie sei anzuweisen, den Jahresbericht 2011 des IFF nach Absprache mit A._ zu berichtigen und die berichtigte Fassung an die bisherigen Empfänger des Jahresberichts zu übermitteln. Schliesslich verlangte er die Ausrichtung einer Genugtuung im Betrag von Fr. 5'000.--. In der Folge wurde das Verfahren bis zur rechtskräftigen Erledigung des parallelen Verfahrens im Zusammenhang mit der fristlosen Entlassung sistiert und am 7. Januar 2015 im Anschluss an das Urteil des Bundesgerichts 8C_258/2014 vom 15. Dezember 2014 wieder aufgenommen. Am 1. Juni 2015 wies das Kantonsgericht Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte den Entscheid der Rekurskommission der Universität vom 12. August 2013 (Ziff. I des Urteilsdispositivs). Gleichzeitig auferlegte das Kantonsgericht A._ die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- unter Verrechnung mit dem von diesem geleisteten Kostenvorschuss (Ziff. II des Urteilsdispositivs). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Juli 2015 an das Bundesgericht beantragt A._ mit Bezug auf die geltend gemachte Rechtsverweigerung, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg aufzuheben und das Verfahren zu neuem Entscheid an den Staatsrat des Kantons Freiburg, eventuell an das Kantonsgericht Freiburg, zurückzuweisen. Mit Blick auf das Datenschutzrecht und die behauptete Persönlichkeitsverletzung wiederholt A._ im Wesentlichen die vor dem Kantonsgericht gestellten Rechtsbegehren. Eventuell sei die Sache an das Kantonsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchte A._ um Erlass vorsorglicher Massnahmen. Zur Begründung seiner Sachanträge macht er im Wesentlichen einen Verstoss gegen den Grundsatz eines fairen Verfahrens nach Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 29 der Verfassung des Kantons Freiburg vom 16. Mai 2004 (KV/FR; SR 131.219) und Art. 6 EMRK sowie gegen das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV geltend. Die Universität Freiburg und das Kantonsgericht Freiburg schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Rekurskommission der Universität Freiburg äusserte sich nur zum Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen. A._ nahm am 28. September 2015 nochmals Stellung. D. Mit Verfügung vom 24. September 2015 wies der Instruktionsrichter der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen ab.