Sachverhalt: A. Gegen A._ ist eine Strafuntersuchung hängig wegen Betrugs, eventuell gewerbsmässig begangen, versuchten Betrugs und Urkundenfälschung. Mit Verfügung vom 21. April 2016 ordnete das Haftgericht des Kantons Solothurn (Haftrichterin Barbara Steiner, Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger) auf Antrag der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn Untersuchungshaft bis am 20. Juli 2016 an. Am 23. Juni 2016 reichte A._ ein Haftentlassungsgesuch ein, zu welchem die Staatsanwaltschaft am 27. Juni 2016 ablehnend Stellung bezog. Das Haftgericht liess A._ die Stellungnahme mit Verfügung vom 28. Juni 2016 zur Vernehmlassung zukommen. Am 1. Juli 2016 verlangte A._ den Ausstand der Haftrichterin Barbara Steiner und der Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger, nachdem er mit Erhalt der Verfügung vom 28. Juni 2016 Kenntnis davon erhalten hatte, dass Haftrichterin Barbara Steiner (erneut) Verfahrensleiterin war. Zur Begründung führte A._ aus, Haftrichterin Barbara Steiner und Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger hätten mit ihrer Entscheidbegründung vom 21. April 2016 die Unschuldsvermutung verletzt und ihn vorverurteilt, was einen Ausstandsgrund darstelle. Haftrichterin Barbara Steiner und Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger überwiesen am 4. Juli 2016 das Ausstandsbegehren zuständigkeitshalber der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. In ihrer gleichzeitig eingereichten, zweiseitigen Stellungnahme zum Ausstandsbegehren beantragten sie dessen Abweisung. Die Beschwerdekammer des Obergerichts stellte A._ die Stellungnahme noch gleichentags um 16.22 Uhr per Fax ohne Fristansetzung zur Kenntnisnahme zu. Mit Beschluss vom 5. Juli 2016 wies die Beschwerdekammer des Obergerichts das Ausstandsgesuch gegen Haftrichterin Barbara Steiner und Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger ab. Zugleich wurde A._ zur Bezahlung der Kosten des Ausstandsverfahrens von Fr. 300.-- verpflichtet. Am 8. Juli 2016 wies das Haftgericht (Haftrichterin Barbara Steiner, Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger) das Haftentlassungsgesuch von A._ ab. B. Mit Eingabe vom 18. Juli 2016 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt, der Beschluss der Beschwerdekammer des Obergerichts vom 5. Juli 2016 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell seien Haftrichterin Barbara Steiner und Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger in Aufhebung des Beschlusses der Vorinstanz in den Ausstand zu versetzen. Des Weiteren ersucht der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 BGG). Die Beschwerdekammer des Obergerichts beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Haftrichterin Barbara Steiner und Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hält an seinen Vorbringen in der Beschwerde fest. Mit Verfügung vom 26. Juli 2016 verlängerte das Haftgericht (Haftrichterin Barbara Steiner, Haftgerichtsschreiberin Karin Scheidegger) auf Antrag der Staatsanwaltschaft die Untersuchungshaft gegen A._ bis am 20. Oktober 2016.