Sachverhalt: A. C._ (vormals D._) ist Eigentümerin des in der Gemischten Gemeinde Aeschi b. Spiez auf der Parzelle Gbbl. Nr. 646 gelegenen Ferienzentrums Aeschiried. Das Zentrum befindet sich im Wirkungsbereich der Überbauungsordnung "Stiftung Blaukreuzheim Aeschiried" vom 28. Mai 1999, bestehend aus dem Überbauungsplan und den Überbauungsvorschriften. Die Planung umfasst das Grundstück Gbbl. Nr. 646 mit dem Ferienheim und einen kurzen Abschnitt der Zufahrtsstrasse (Allmigässli). Das Ferienheim besteht aus zwei Gebäuden, dem "Seeblick" und dem "Chalet". Mit Vertrag vom 22./24. September 2014 vermietete die Stiftung ab dem 1. Oktober 2014 den Trakt "Seeblick" an den Kanton Bern zur Nutzung als Kollektivunterkunft für die dem Kanton zugewiesenen Asylbewerberinnen und Asylbewerber (nachfolgend auch: Durchgangszentrum). Der Trakt "Chalet" wurde mit Ausnahme der Wäscherei nicht vermietet, wird jedoch ebenfalls nicht mehr weiter als Ferienheim betrieben. Mit Schreiben vom 24. Oktober 2014 ersuchten A.A._ und B.A._, Eigentümer des in der Nähe des Ferienheims gelegenen Grundstücks Gbbl. Nr. 657, beim Regierungsstatthalteramt Frutigen-Niedersimmental um Akteneinsicht im Baubewilligungsverfahren betreffend das Durchgangszentrum. Für den Fall, dass kein Bewilligungsverfahren durchgeführt werde, beantragten sie die Eröffnung eines solchen. Nachdem die stellvertretende Regierungsstatthalterin ihnen mitgeteilt hatte, dass kein Baugesuch eingegangen sei, ersuchte die Gemischte Gemeinde Aeschi b. Spiez das Regierungsstatthalteramt am 28. Oktober 2014 um Klärung der Baubewilligungspflicht. Mit Feststellungsverfügung vom 14. November 2014 entschied das Regierungsstatthalteramt, dass für den Betrieb des Durchgangszentrums bei einer Beschränkung auf maximal 100 Betten kein Baubewilligungsverfahren durchzuführen sei; für jede darüber hinausgehende Aufstockung der Betten sei jedoch eine Baubewilligung erforderlich. Gleichzeitig wies das Regierungsstatthalteramt ein Gesuch von A.A._ und B.A._ um Erlass eines vorsorglichen (superprovisorischen) Verbots ab, das Ferienzentrum als Durchgangszentrum zu nutzen. Einer allfälligen Beschwerde gegen die Verfügung entzog das Regierungsstatthalteramt die aufschiebende Wirkung. Die von A.A._ und B.A._ am 20. November 2014 gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 22. Dezember 2014 ab. Gleichzeitig entzog sie einer allfälligen Beschwerde gegen ihren Entscheid die aufschiebende Wirkung. A.A._ und B.A._ fochten diesen Entscheid am 28. Januar 2015 mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 22. April 2015 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. Mai 2015 beantragen A.A._ und B.A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass die Umnutzung des Ferienzentrums Aeschiried in ein Durchgangszentrum für Asylsuchende baubewilligungspflichtig sei. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und das Verwaltungsgericht stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. C._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern hat eine Vernehmlassung eingereicht, ohne ausdrücklich Anträge zu stellen. Die Gemischte Gemeinde Aeschi b. Spiez und das Bundesamt für Raumentwicklung ARE verzichten auf eine Stellungnahme. Die Beschwerdeführer halten an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.