Sachverhalt: A. B.A._ (geb. 1994) ist die Tochter von A.A._ und C.A._. Die Ehe der Eltern wurde am 18. Juni 1999 vom Obergericht des Kantons Aargau geschieden. A.A._ wurde verurteilt, seinen Töchtern D.A._, E.A._ und B.A._ folgende monatliche indexierte Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: - Fr. 450.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen bis zum vollendeten 6. Altersjahr; - Fr. 550.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen ab dem 7. bis zum vollendeten 12. Altersjahr; - Fr. 600.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen ab dem 13. Altersjahr bis zum Eintritt der Kinder in die volle wirtschaftliche Selbständigkeit, mindestens aber bis zum 18. Altersjahr. Ausbildungsbeiträge gemäss Art. 277 Abs. 2 ZGB bleiben vorbehalten." B. B.a. Mit Eingabe vom 7. Juni 2013 gelangte B.A._ an das Bezirksgericht Uster mit dem Rechtsbegehren, A.A._ zu verpflichten, ihr rückwirkend seit 1. Mai 2012 angemessene Unterhaltszahlungen zu leisten. B.b. In seiner Stellungnahme vom 29. August 2013 (Datum der Postaufgabe) stellte A.A._ das Begehren, die Klage abzuweisen. B.c. Anlässlich der Verhandlung vom 18. Juni 2014 stellte B.A._ folgendes Rechtsbegehren: "In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen sei der Beklagte rückwirkend seit dem 1. Mai 2012 zu verpflichten, der Tochter B.A._ folgende Unterhaltsbeiträge zu leisten, zahlbar monatlich im Voraus auf den 1. eines jeden Monats: - 1. Mai 2012 bis 30. Juli 2013: Fr. 1'250.-- - 1. August 2013 bis 28. Februar 2015: Fr. 1'500.-- - 1. März 2015 bis zum Abschluss der Lehre: Fr. 1'000.-- - während Besuch der BMS [Berufsmittelschule] Fr. 1'500.--" B.d. In seinem Urteil vom 2. Oktober 2014 kam das Bezirksgericht Uster zum Schluss, dass für den beklagten Vater auch die Leistung eines reduzierten Unterhaltsbeitrages an die volljährige Tochter nicht zumutbar sei. Unter dem Titel "Wirkungen" hielt es in der Urteilsbegründung fest, es erscheine trotz Vorliegens eines Abänderungsverfahrens verfehlt, einer allfälligen im Scheidungsurteil über die Mündigkeit hinaus geregelten Unterhaltsverpflichtung den Vorrang gegenüber dem Erfordernis der persönlichen Zumutbarkeit von Art. 277 Abs. 2 ZGB zuzusprechen. Der erstinstanzliche Urteilsspruch lautete: "Die Klage wird vollumfänglich abgewiesen." C. C.a. B.A._ legte Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Sie hielt an ihrem Begehren fest, A.A._ "in Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen" zur Bezahlung der erwähnten Unterhaltsbeiträge zu verurteilen (s. Bst. B.c). A.A._ liess in seiner Berufungsantwort vom 25. März 2015 beantragen, die Berufung "vollumfänglich abzuweisen". C.b. Das Obergericht pflichtete dem Bezirksgericht darin bei, dass es A.A._ persönlich nicht zuzumuten sei, Unterhaltsbeiträge an seine volljährige Tochter zu leisten. Es stellte aber fest, dass A.A._ keine Widerklage erhoben habe. Daraus folgerte es, dass die im Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 über die Volljährigkeit der Tochter hinaus festgesetzten Unterhaltsbeiträge in der Höhe von monatlich Fr. 600.-- (Bst. A) nach wie vor Bestand hätten. Diesbezüglich habe das Bezirksgericht die Dispositionsmaxime verletzt. Im Ergebnis wies das Obergericht die Klage ab (Urteil vom 7. Juli 2015). D. D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. August 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Juli 2015 wie folgt zu ergänzen: "Es wird festgestellt, dass die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers der Beschwerdegegnerin gegenüber mit deren 18. Geburtstag erloschen ist." Eventualiter sei das Urteil wie folgt zu ergänzen: "In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen wird festgehalten, dass die Unterhaltspflicht des Kindsvaters mit dem 18. Altersjahr von Tochter B.A._ erloschen ist." oder: "In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen wird die Unterhaltspflicht des Kindesvaters per 18. Altersjahr von Tochter B.A._ aufgehoben." Eventualiter stellt der Beschwerdeführer den Antrag, die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. D.b. Entgegen dem Antrag von B.A._ (Beschwerdegegnerin) hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 31. August 2015 hinsichtlich der gemäss Scheidungsurteil bis und mit Juli 2015 aufgelaufenen Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt. D.c. Eingeladen, sich auch zur Sache vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 22. Oktober 2015, auf die Beschwerde nicht einzutreten, da der Beschwerdeführer nicht beschwert sei. Sie weist darauf hin, dass dieser am 27. Juli 2015 und damit noch vor Einreichung seiner Beschwerde an das Bundesgericht auf Abänderung des Scheidungsurteils geklagt habe. Als Beleg reicht sie ein entsprechendes Schreiben des Beschwerdeführers an das Friedensrichteramt U._ vom 27. Juli 2015 ein. Die Vorinstanz erklärte am 6. Oktober 2015, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Die Vernehmlassungsantworten sind dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht worden.