Sachverhalt: A. Gestützt auf ein rechtskräftiges Scheidungsurteil will B.A._ bei ihrem früheren Ehemann A.A._ Unterhaltsbeiträge für die beiden Söhne C.A._ (geb. 1997) und D.A._ (geb. 2000) eintreiben. Am 19. Oktober 2009 beschloss die Gemeinde U._, B.A._ für die Einforderung der Kinderalimente ab 1. Oktober 2009 Inkassohilfe zu gewähren. Hierauf unterzeichnete B.A._ eine als "Vollmacht" bezeichnete und auf den 5. November 2009 datierte Urkunde. Sie erteilt der Alimenteninkassostelle Aargau darin "Auftrag und Vollmacht" für das Inkasso der erwähnten Alimente und ermächtigt die Inkassostelle, "das gesamte Inkasso durchzuführen". Der Urkunde zufolge erstreckt sich die Vollmacht auch auf die "Vertretung vor allen behördlichen und gerichtlichen Instanzen". B. Am 3. März 2015 erliess das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, in der Betreibung Nr. vvv gegen A.A._ den Zahlungsbefehl über Fr. 9'860.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 6. Februar 2015. Nachdem der Betriebene Rechtsvorschlag erhoben hatte, wandte sich B.A._, vertreten durch das Alimenteninkasso Aargau, mit einem Rechtsöffnungsgesuch an das Regionalgericht Bern-Mittelland. Mit Entscheid vom 1. Mai 2015 entsprach dieses dem Gesuch im Umfang von Fr. 9'848.-- nebst Zins zu 5 % seit 6. Februar 2015. Erfolglos wehrte sich A.A._ dagegen vor dem Obergericht des Kantons Bern. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 12. Juni 2015 ab. C. Mit Eingabe vom 8. Juli 2015 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, den Entscheid des Regionalgerichts vom 1. Mai 2015 bzw. denjenigen des Obergerichts vom 12. Juni 2015 "vollumfänglich aufzuheben und neu zu beurteilen". Aufgrund des hängigen Abänderungsverfahrens am Bezirksgericht V._, sei die Vollstreckung im Sinne von Art. 325 ZPO bis zum Vorliegen eines revidierten, rechtsgültigen Urteils aufzuschieben. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das hiesige Verfahren um das Armenrecht. Mit Verfügung vom 3. August 2015 erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.