Sachverhalt: A. Am 8. Januar 2015 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (SVSA) A._ wegen des Verdachts auf Trunksucht bzw. charakterlicher Nichteignung den Führerausweis auf unbestimmte Zeit (Sicherungsentzug). Am 26. Januar 2015 stellte A._ ein Wiederzulassungsgesuch und unterzog sich in der Folge einer Fahreignungsuntersuchung durch das Institut für forensische Psychiatrie und Psychotherapie (IFPP) Langenthal. Dieses erstattete sein Gutachten am 16. Juni 2015 und verneinte darin die Fahreignung von A._ wegen Trunksucht im strassenverkehrsrechtlichen Sinn. Gestützt darauf verweigerte das Verkehrsamt (SVSA) mit Verfügung vom 9. Juli 2015 die Wiederzulassung. B. Dagegen beschwerte sich A._ am 10. August 2015 bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern (Rekurskommission). Diese wies sein Rechtsmittel am 21. Oktober 2015 ab. Sie kam zum Schluss, bei A._ habe jedenfalls bis in den Januar 2015 hinein ein Trinkverhalten vorgelegen, das eine Fahreignung ausschliesse. Inzwischen habe er seinen Alkoholkonsum stark reduziert, doch sei die seither vergangene Zeitspanne zu kurz, um die Fahreignung im gegenwärtigen Zeitpunkt zu bejahen. C. Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 5. April 2016 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er ersucht um Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide und um Wiederzulassung zum motorisierten Strassenverkehr. Die Rekurskommission und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das kantonale Verkehrsamt (SVSA) stellt Antrag auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde. A._ hat sich nochmals zur Sache geäussert.