Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1994) ist der Sohn von B.A._ und C.A._. Die Eltern sind geschieden. Der Vater hat sich später mit D._ vermählt. A.b. Mit Urteil vom 17. Mai 2011 betreffend die Nebenfolgen der Scheidung verurteilte das Obergericht des Kantons Aargau B.A._, seinem damals minderjährigen Sohn monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'500.-- zuzüglich einer allfälligen Ausbildungszulage zu bezahlen. Das Obergericht ging von einem tatsächlichen Monatseinkommen des Vaters in der Höhe von Fr. 8'593.-- aus. A.c. Am 21. Februar 2012 wurde A.A._ volljährig. Zu diesem Zeitpunkt besuchte er eine private Mittelschule in Frankreich. Im September 2013 nahm er das Studium an der Universität E._ in London (Vereinigtes Königreich) auf. B. Am 4. Februar 2013 leitete A.A._ beim Friedensrichteramt Kreis III des Kantons Aargau gegen B.A._ ein Schlichtungsverfahren betreffend Unterhalt ein. Gestützt auf die Klagebewilligung vom 15. April 2013 machte er am 22. April 2013 beim Gerichtspräsidium Baden einen Zivilprozess anhängig. Er stellte das Begehren, seinen Vater rückwirkend auf den 1. März 2012 und bis zum ordentlichen Abschluss des Studiums zur Bezahlung eines monatlichen indexierten Unterhaltsbeitrages von Fr. 1'500.-- zuzüglich einer allfälligen Ausbildungszulage zu verurteilen. Für das Verfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Präsidium des Bezirksgerichts (Familiengericht) Baden entsprach diesem Begehren und hiess die Klage gut (Entscheid vom 16. September 2014). C. B.A._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid dem Grundsatz nach, bestimmte aber, dass die Unterhaltsbeiträge erst vom 1. Januar 2015 an zu bezahlen seien (Entscheid vom 13. Januar 2015). D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. März 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sinngemäss beantragt er, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und ihm die Unterhaltsbeiträge im Sinne des erstinstanzlichen Entscheides rückwirkend ab 1. März 2012 zuzusprechen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. Eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, lässt B.A._ (Beschwerdegegner) beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann (Eingabe vom 18. September 2015). Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeantwort wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.