Sachverhalt: A. A.a. Am 31. März 2015 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Uri (KESB) die fürsorgerische Unterbringung von A._, deutscher Staatsangehöriger mit damaligem Wohnsitz in U._, in der Pflegewohngruppe B._ an. Diese Verfügung wurde mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Uri angefochten (OG V 2015 12). Das Beschwerdeverfahren ist immer noch hängig. A.b. Mit Verfügung vom 8. Juni 2015 teilte die Pflegewohngruppe B._ der KESB mit, der Bruder und ein Neffe hätten den Betroffenen nach Deutschland mitgenommen. Die KESB liess ihn in der Folge zur polizeilichen Rückführung ausschreiben. Der Beschwerdeführer wohnt nunmehr in Deutschland. A.c. Mit Verfügung vom 9. Juli 2015 ordnete die KESB gestützt auf Art. 426 Abs. 1 ZGB eine fürsorgerische Unterbringung des Betroffenen in der Psychiatrischen Klinik C._ an. Damit entfiel die am 31. März 2015 angeordnete Massnahme mit sofortiger Wirkung. Einer allfälligen Beschwerde gegen die neue Massnahme wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. B. B.a. Gegen diese Verfügung reichte der Betroffene, vertreten durch Rechtsanwalt Michael Brülhart, am 20. Juli 2015 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Uri ein mit den Begehren, es sei festzustellen, dass der Entscheid der KESB vom 9. Juli 2015 nichtig sei und die besagte Behörde für allfällige Erwachsenenschutzmassnahmen nicht zuständig sei (1a). Eventuell sei sofort in einem beschwerdefähigen Entscheid über die Nichtigkeit der Verfügung vom 9. Juli 2015 sowie über die Zuständigkeit der KESB zu befinden (1b). Subeventualiter sei die Verfügung vom 9. Juli 2015 mit Ausnahme der Dispositiv-Ziff. 4 aufzuheben und von der Anordnung von Massnahmen gestützt auf Art. 426 Abs. 1 und Art. 428 ZGB zu verzichten (1c). Subsubeventualiter sei das Verfahren zu sistieren, dem Beschwerdeführer Akteneinsicht zu gewähren und ihm eine angemessene Frist zur Begründung der Beschwerde anzusetzen (1d). Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen (2). Die Ausschreibung zur Rückführung des Beschwerdeführers sei bei sämtlichen involvierten Amtsstellen und Behörden sofort zu widerrufen (3a). Den verantwortlichen Personen sei unter Androhung der Ungehorsamsstrafe gemäss Art. 292 StGB zu untersagen, jeglichen Behörden den Aufenthaltsort des Beschwerdeführers in Deutschland bekannt zu geben (3b). B.b. Mit prozessleitender Verfügung vom 22. Juli 2015 wurde die Beschwerde unter der Verfahrensnummer OG V 2015 30 in das Geschäftsprotokoll aufgenommen und der KESB eine zehntägige Frist zur Einreichung der Akten und einer Stellungnahme zur Beschwerde gesetzt. Mit Eingabe vom 23. Juli 2015 ersuchte der Beschwerdeführer unter Hinweis auf Art. 450e Abs. 5 ZGB, Art. 29 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK um einen sofortigen Entscheid. Bisher hat das Obergericht noch nicht entschieden. C. Der Betroffene gelangt mit Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 29. Juli 2015 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Obergericht habe über die in der rubrizierten Angelegenheit gestellten Begehren 1a, 1b, 2, 3a und 3b zu entscheiden. Eventuell habe das Bundesgericht über die in der Beschwerde vom 20. Juli 2015 gestellten Begehren 1a, 1b, 2, 3a und 3b zu befinden. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Der Beschwerdeführer reichte am 3. August 2015 eine Beschwerdeergänzung ein. Das Obergericht hat sich am 10. August 2015 vernehmen lassen. Es reichte die Verfügung vom 10. August 2015 zu den Akten, wonach der Beschwerde gegen die Verfügung der KESB vom 9. Juli 2015 aufschiebende Wirkung erteilt worden ist. Der Beschwerdeführer hat sich dazu am 14. August 2015 vernehmen lassen.