Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1960) und B._ (geb. 1967) sind die Eltern von C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2007). Sie trennten sich rund ein halbes Jahr nach der Geburt des zweiten Kindes. A.b. Das Bezirksgericht Hinwil stellte die Kinder mit Eheschutzentscheid vom 20. Dezember 2007 unter die Obhut von B._. Dem ursprünglich aus Tschechien stammenden A._ sprach es ein begleitetes Besuchsrecht zu, wobei er seine Reisedokumente während der Ausübung des Besuchsrechts der Ehefrau auszuhändigen hatte, und es wurde ihm unter Strafandrohung verboten, mit den Kindern ins Ausland zu reisen. Für die Kinder errichtete das Gericht eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB. Sodann verpflichtete es A._ zur Bezahlung monatlicher Unterhaltsbeiträge für September 2007 von Fr. 2'047.-- (Fr. 747.-- für die Ehefrau, Fr. 650.-- für jedes Kind zuzüglich Kinderzulagen) resp. ab Oktober 2007 von Fr. 2'137.-- (Fr. 837.-- für die Ehefrau, Fr. 650.-- für jedes Kind zuzüglich Kinderzulagen). A.c. Auf Rekurs von A._ und Anschlussrekurs von B._ bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich das begleitete Besuchsrecht von A._ mit Entscheid vom 22. April 2009. Es berechtigte ihn, die Kinder für die Dauer von einem Jahr jeweils am ersten und dritten Sonntag eines jeden Monats für die Dauer von vier Stunden im Besuchstreff U._ zu treffen. Die dagegen von A._ erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde und eine Beschwerde an das Bundesgericht wurden abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde (Urteil 5A_876/2009 vom 16. Februar 2010). B. B.a. Am 27. Juli 2009 reichte A._ beim Friedensrichter Illnau-Effretikon (Sprengel Bezirksgericht Pfäffikon/ZH) ein Schlichtungsgesuch betreffend Scheidung ein. Dasselbe tat B._ am 30. Juli 2009 beim Friedensrichter Bäretswil (Sprengel Bezirksgericht Hinwil). B.b. Das Bezirksgericht Pfäffikon wies die Scheidungsklage von A._ am 30. November 2010 ab, da dieser vor Ablauf der zweijährigen Trennungsfrist nach Art. 114 ZGB geklagt habe. Eine von diesem dagegen erhobene Berufung wurde später zurückgezogen. In der Folge nahm das Bezirksgericht Hinwil das Scheidungsverfahren (wieder) auf. B.c. Am 29. August 2012 gab das Bezirksgericht Hinwil bei Dr. phil. E._ ein Gutachten zur Frage der Erziehungsfähigkeit der Parteien, zur Zuteilung der elterlichen Sorge und Obhut sowie zur Ausgestaltung des Besuchsrechts während und nach der Dauer des Scheidungsverfahrens in Auftrag. Noch vor Fertigstellung des Gutachtens empfahl der Gutachter, das Besuchsrecht des Beklagten zu sistieren, bis Klarheit geschaffen sei, wie und ob das Besuchsrecht weitergeführt werden könne (Telefongespräch mit dem Bezirksgericht sowie Zwischenbericht vom 16. Januar 2013). Mit superprovisorischer Verfügung vom 16. Januar 2013 sistierte das Bezirksgericht das Besuchsrecht einstweilen. B.d. Am 25. Februar 2013 lieferte Dr. phil. E._ sein Gutachten ab, worauf die Parteien schriftlich Stellung nehmen konnten. Es fand eine Verhandlung statt. Am 5. September 2013 bestätigte das Bezirksgericht die Aufhebung des Besuchsrechts für die Dauer des Verfahrens. Den von A._ gestellten Antrag auf Einholung eines weiteren Gutachtens lehnte das Gericht ab. Weiter wies es auch eine von A._ beantragte Abänderung der gemäss Verfügung vom 20. Dezember 2007 geschuldeten Unterhaltsbeiträge ab. C. C.a. Gegen diesen Entscheid erhob A._, vertreten durch Rechtsanwältin F._, am 20. September 2013 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Einräumung eines angemessenen Besuchsrechts, die Erstellung eines (neuen) Gutachtens zum Besuchsrecht, sodann sei von einer Unterhaltsverpflichtung abzusehen. Mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 bestellte ihm das Obergericht Rechtsanwältin F._ als Vertreterin i.S.v. Art. 69 Abs. 1 ZPO für das Berufungsverfahren. Auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 3. April 2014 nicht ein (Verfahren 5A_830/2013). C.b. Das Obergericht verzichtete auf Einholung einer Berufungsantwort wegen offensichtlicher Unbegründetheit der Berufung. Es wies den Antrag auf Einholung eines (weiteren) Gutachtens betreffend Besuchskontakte ab und bestätigte mit Urteil vom 11. Juni 2014 die Aufhebung des Besuchsrechts für die Dauer des Scheidungsverfahrens. Das Begehren um Abänderung der gemäss Entscheid des Bezirksgerichts Hinwil vom 20. Dezember 2007 geschuldeten Unterhaltsbeiträge wies es ab. Sodann verweigerte es ihm die unentgeltliche Rechtspflege und auferlegte ihm die Verfahrenskosten. D. A._ (Beschwerdeführer) unterbreitet die Angelegenheit mit Eingabe vom 14. Juli 2014 dem Bundesgericht. Der nicht mehr anwaltlich vertretene Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 11. Juni 2014. Es sei ein korrektes Gutachten eines im Hauptfach Psychologie studierten Gutachters zu erstellen. Weiter seien ihm sofort freie Besuche seiner Kinder zu erlauben. Ihm sei die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Weiter sei festzustellen, dass die notwendige Vertretung für das Verfahren vor dem Obergericht nicht erforderlich gewesen sei, weshalb das Verfahren vor dem Obergericht zu wiederholen sei. Schliesslich sei der Beschwerde "aufschiebende Wirkung zu erteilen, damit sofort freie Kindskontakte möglich sind". E. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.