Sachverhalt: A. A.a. A._ (Beschwerdeführer) mit Wohnsitz in U._, Kroatien, ist ein professioneller Fussballspieler kroatischer und australischer Nationalität. Er spielte regelmässig für die kroatische Fussballnationalmannschaft. Die Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Zürich. A.b. Am 19. November 2013 fand im Rahmen der Qualifikation für die FIFA-Weltmeisterschaft 2014 zwischen den Nationalmannschaften von Kroatien und Island in Zagreb das Rückspiel statt. Kroatien gewann mit 2:0 und qualifizierte sich damit für die Weltmeisterschaft 2014 in Brasilien. Etwa vierzig Minuten nach Spielende behändigte A._ ein Mikrophon und begab sich allein in die Mitte des Spielfelds. Während er die linke Hand, in der er ein Fussballtrikot hielt, mit regelmässigen Bewegungen in die Höhe streckte, rief er mindestens zweimal "u boj, u boj" ("auf in den Kampf"), woraufhin die kroatischen Zuschauer jeweils mit dem Ruf "za narod svoj" ("für unser Volk") antworteten. Danach rief er etwa viermal "za dom" ("für die Heimat"), woraufhin die Masse jeweils "spremni" ("wir sind bereit") schrie. Am 20. November 2013 reichte das Netzwerk FARE, eine Dachorganisation, die sich gegen Diskriminierung im Fussball einsetzt, der FIFA einen Bericht über den erwähnten Vorfall ein. Darin wurde darauf hingewiesen, dass der Ausdruck "za dom spremni!" ein kroatischer Gruss sei, der während des Zweiten Weltkriegs von der faschistischen Ustascha-Bewegung verwendet wurde. A.c. Am 22. November 2013 leitete die Disziplinarkommission der FIFA ein Verfahren gegen A._ ein. Mit Entscheid vom 12. Dezember 2013 stellte die FIFA-Disziplinarkommission einen Verstoss gegen Art. 58 Abs. 1 lit. a des FIFA-Disziplinarreglements (Ausgabe 2011) anlässlich des Länderspiels vom 19. November 2013 fest, der herabwürdigende, diskriminierende oder verunglimpfende Äusserungen oder Handlungen unter Strafe stellt. Die Disziplinarkommission sperrte A._ für die nächsten zehn Länderspiele, sprach für die betreffenden Fussballspiele ein Stadionverbot gegen ihn aus und verhängte eine Busse von Fr. 30'000.--. A.d. Mit Entscheid vom 21. Februar 2014 wies die Berufungskommission der FIFA eine von A._ gegen den Entscheid der FIFA-Disziplinarkommission vom 12. Dezember 2013 erhobene Berufung ab und bestätigte die verhängten Sanktionen. B. Mit Eingabe vom 9. April 2014 focht A._ den Entscheid der FIFA-Berufungskommission vom 21. Februar 2014 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) mit Berufung an. Am 15. bzw. 17. April 2014 einigten sich die Parteien auf eine Beurteilung im beschleunigten Verfahren nach R52 TAS-Code. Am 8. Mai 2014 fand in Lausanne die Hauptverhandlung statt. Dabei wurden unter anderem die von A._ angerufenen Sachverständigen, Professor B._ und Professor C._, sowie der von der FIFA angerufene Professor D._ befragt. Mit Entscheid vom 12. Mai 2014 (begründet zugestellt am 29. Juli 2014) wies das TAS die Berufung ab und bestätigte den Entscheid der FIFA-Berufungskommission vom 21. Februar 2014. Das TAS sah es als erwiesen an, dass mit der von A._ skandierten Parole "za dom - spremni!" eine Verbindung zum faschistischen Regime der Ustascha zum Ausdruck gebracht wurde, was eine nach Art. 58 Abs. 1 lit. a des FIFA-Disziplinarreglements strafbare Diskriminierung darstelle. Das Schiedsgericht berücksichtigte dabei unter anderem, dass die Zuschauer auf der im Schiedsverfahren eingereichten Videoaufnahme - entsprechend dem sog. Hitlergruss - den rechten Arm erhoben, als sie "spremni" riefen. Den Einwand von A._, er selbst habe lediglich "za dom" und nicht "spremni" gerufen, sondern seine Anhänger, liess das Schiedsgericht nicht gelten; er habe eindeutig mit seinen Anhängern kommuniziert, weshalb ihm die gesamte Parole zuzurechnen sei, wie wenn er sie selbst ausgerufen hätte. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 12. Mai 2014 aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das TAS beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht. D. Mit Verfügung vom 20. November 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab.