Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1979; amerikanische Staatsangehörige) und B.A._ (geb. 1974; bulgarischer und amerikanischer Staatsangehöriger) haben am 1. Dezember 2000 in T._ (USA) geheiratet. Sie sind die Eltern der Tochter C.A._ (geb. 2005). A.b. Die Familie lebte mehrere Jahre in den USA. Im Sommer 2013 trat B.A._ in U._ (Italien) eine neue Arbeitsstelle an. Er lebte dort mit C.A._, bis diese am 10. November 2013 zu ihrer Mutter und deren neuen Lebenspartner nach V._ (Frankreich) zog. Am 17. Mai 2014 kehrte C.A._ nach U._ zu ihrem Vater zurück. Seit August 2015 leben Vater und Tochter in W._, wo B.A._ als Lehrer an der Schule D._ arbeitet. B. B.a. Anfangs März 2014 strengte B.A._ in Italien ein Strafverfahren wegen Kindsentführung gegen A.A._ an. B.b. Ein von A.A._ im Oktober 2014 in Italien anhängig gemachtes Kindesrückführungsverfahren wurde auf deren Rückzug hin am 16. Juli 2015 vom Tribunale per i Minorenni di U._ abgeschrieben. Ebenso zog B.A._ seine Strafanzeige zurück. B.c. Mit Verfügung vom 21. Juli 2015 sprach das Tribuale ordinario di U._ B.A._ in dem von ihm eröffneten Trennungsverfahren vorübergehend die Obhut und elterliche Sorge betreffend C.A._ zu. B.d. Das nachträglich wieder eröffnete italienische Kindesrückführungsverfahren wurde am 30. September 2015 (verurkundet am 7. Oktober 2015) infolge des Umzugs von Vater und Tochter in die Schweiz (Bst. A.b) erneut abgeschrieben. C. Mit Eingabe vom 9. November 2015 stellte A.A._ beim Obergericht des Kantons Bern ein Gesuch um Rückführung von C.A._ nach Frankreich. Mit Urteil vom 12. Januar 2016 wies das Obergericht das Gesuch kostenfällig ab, gewährte der Gesuchstellerin aber die unentgeltliche Rechtspflege. D. D.a. Mit Eingabe vom 24. Januar 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Rückführung von C.A._ nach Frankreich anzuordnen (Rechtsbegehren Ziff. 2). Der Beschwerde sei superprovisorisch aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziff. 3 und 4). Ferner sei B.A._ (Beschwerdegegner) zu verurteilen, der Beschwerdeführerin sämtliche durch das widerrechtliche Verbringen der gemeinsamen Tochter in die Schweiz entstandenen Kosten (so namentlich Reisekosten, Kosten für das Auffinden des Kindes, der Rechtsvertretung der Beschwerdeführerin in der Schweiz und Italien, sowie die Kosten für die Rückgabe und Rückführung des Kindes) zu bezahlen (Ziff. 5). Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 6). In diesem Fall seien die mit Verfügung des Obergerichts des Kantons Bern vom 11. November 2015 getroffenen vorsorglichen Massnahmen zu bestätigen. Ferner sei der Beschwerdegegner unter Strafandrohung von Art. 292 StGB im Unterlassungsfalle zu verurteilen, während der Dauer des Verfahrens namentlich seinen bulgarischen und amerikanischen Pass zu hinterlegen (Ziff. 7). Auch in ihrem Eventualbegehren verlangt die Beschwerdeführerin den Ersatz ihrer Kosten (Ziff. 8). Für das Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin mit separater Eingabe vom gleichen Tag die unentgeltliche Rechtspflege. D.b. Am 25. Januar 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss superprovisorisch aufschiebende Wirkung zuerkannt und den Beschwerdegegner, Rechtsanwalt Alain Pfulg als Kindesvertreter und die Vorinstanz eingeladen, sich innert zwölf Tagen zur Beschwerde und zur Frage der aufschiebenden Wirkung zu äussern. D.c. Mit Eingabe vom 5. Februar 2016 hat der Beschwerdegegner sich zur Beschwerde vernehmen lassen und zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung Stellung genommen. Er beantragt, beide abzulehnen. In der Sache gleich äussert sich Rechtsanwalt Alain Pfulg in seiner Eingabe vom 8. Februar 2016; er beantragt allerdings, das Gesuch um aufschiebende Wirkung gutzuheissen. Die Vorinstanz erklärte am 26. Januar 2016 auf eine Vernehmlassung zu verzichten und verwies im Übrigen auf den angefochtenen Entscheid. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin unter Ansetzung einer nicht erstreckbaren Frist von 12 Tagen für eine allfällige Replik zugestellt. Die Beschwerdeführerin äusserte sich nicht mehr. D.d. Am 11. Februar 2016 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Umfang der bereits superprovisorisch verfügten Massnahme gewährt. Im Übrigen lehnte er das Gesuch um die Anordnung weiterer Massnahmen für die Dauer des Verfahrens vor dem Bundesgericht ab.