Sachverhalt: A. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist einziger Gesellschafter der D._GmbH in Luzern und bei dieser als Geschäftsführer angestellt. Die D._GmbH hat mit der A._AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) eine Kollektivkrankentaggeldversicherung für ihre Arbeitnehmenden abgeschlossen und sämtliche Angestellten - auch B._ - auf der Basis des AHV-Lohns versichert. B._ leidet unter degenerativen Schulterproblemen, welche ihm schulterbelastende Tätigkeiten und Überkopfarbeiten verunmöglichen. Die A._AG leistete für B._ vom 30. Juli 2012 bis 31. Juli 2013 Taggelder. Dieser fordert weitere Taggeldleistungen für die Zeit vom 1. August 2013 bis zum 31. Dezember 2013, was die A._AG ablehnt. Unbestritten sind zwischen den Parteien die Höhe des versicherten Lohnes (Fr. 250'000.-- pro Jahr), die Taggeldhöhe (Fr. 547.95 für 100 %) und die fortdauernde, krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit zu 50 % von B._ für schulterbelastende Tätigkeiten und Überkopfarbeiten in seiner bisherigen Tätigkeit. B. B.a. Am 13. Januar 2014 reichte B._ beim Bezirksgericht Luzern Klage ein und beantragte, die A._AG sei zur Leistung von Taggeldern für die Zeit vom 1. August 2013 bis zum 31. Dezember 2013 in der Höhe von Fr. 52'254.10 nebst Zins zu verpflichten, unter Vorbehalt des Nachklagerechts für Taggelder ab dem 1. Januar 2014. Mit Replik vom 16. Juni 2014 reduzierte B._ seine Forderung auf Fr. 41'918.15 nebst Zins. Mit Urteil vom 17. Dezember 2014 hiess das Bezirksgericht Luzern die Klage gut und verpflichtete die A._AG zur Zahlung von Fr. 41'918.15 nebst Zins an B._. B.b. Gegen dieses Urteil erhob die A._AG Berufung an das Kantonsgericht Luzern und beantragte, das Urteil des Bezirksgerichts Luzern sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Mit Urteil vom 18. August 2015 wies das Kantonsgericht Luzern die Berufung ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil. Das Kantonsgericht kam wie bereits das Bezirksgericht zum Schluss, es liege eher eine Summen- als eine Schadensversicherung vor und B._ habe seine Schadenminderungsobliegenheit nicht verletzt. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. September 2015 beantragt die A._AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 18. August 2015 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Parteien haben Replik und Duplik eingereicht.