Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Widerhandlung gegen das Bankengesetz. Am 29. April 2014 beauftragte die Staatsanwaltschaft einen Sachverständigen mit der Erstattung eines psychiatrischen Gutachtens. Auf die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 31. Oktober 2014 nicht ein, soweit es sie nicht als gegenstandslos abschrieb. Auf das gegen den Sachverständigen gerichtete Ausstandsgesuch trat es nicht ein. B. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben. Die Angelegenheit sei an dieses zurückzuweisen, damit es die bei ihm erhobene Beschwerde materiell behandle und darüber in der Sache entscheide. Überdies ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. C. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen. Sie beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; ebenso die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. A._ hat auf eine Stellungnahme hierzu verzichtet.