Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland führt ein Strafverfahren gegen A._ insbesondere wegen des Verdachts der Drohung. Sie wirft ihm vor, am 23. Dezember 2015, kurz nach Mitternacht, seine Schwester am Telefon massiv beschimpft und mit dem Tod bedroht zu haben. Überdies habe er in der Zeit vom 1. Oktober 2015 bis zum 23. Dezember 2015 in Telefongesprächen mit seinem Vater mehrfach Todesdrohungen gegen seine Schwester, seinen Bruder und seine Mutter ausgestossen. A._ habe dem Vater gesagt, er wolle die Schwester zerstückeln und vergraben. Am 19. Dezember 2015 habe A._ am Telefon dem früheren Ehemann der Schwester gesagt, er müsse diese und den Bruder "aus dem Weg räumen"; das sei seine - A._s - Aufgabe. Am 23. Dezember 2015 nahm die Polizei A._ fest. Am 26. Dezember 2015 versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Zürich in Untersuchungshaft. B. Am 6. März 2016 ersuchte A._ um Haftentlassung. Am 10. März 2016 beantragte die Staatsanwaltschaft die Abweisung des Gesuchs und die Verlängerung der Untersuchungshaft um drei Monate. Am 18. März 2016 wies das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Meilen das Haftentlassungsgesuch ab und verlängerte die Untersuchungshaft bis längstens zum 18. Juni 2016. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 15. April 2016 ab. Es bejahte den dringenden Tatverdacht und Wiederholungsgefahr. Mildere Ersatzmassnahmen anstelle der Haft erachtete es zur Bannung der Wiederholungsgefahr als ungenügend. Die Dauer der Haft beurteilte es als verhältnismässig. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Zudem stellt er Eventualanträge. D. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet; ebenso die Staatsanwaltschaft unter Hinweis auf zwei Eingaben im kantonalen Verfahren und den angefochtenen Entscheid. A._ hat auf weitere Bemerkungen verzichtet.