Sachverhalt: A. Am 12. Februar 2010 erschien in der Zeitschrift D._ der Artikel "Was der Verrat kostet". Wegen dieses Artikels leitete A._ ein Privatstrafklageverfahren betreffend Ehrverletzung gegen einen Journalisten sowie die Herausgeberin der Zeitschrift ein. C._ führte die Untersuchung als Untersuchungsrichter. Am 24. Februar 2014 fand vor dem Bezirksgericht Zürich die Hauptverhandlung statt. Am 2. Mai 2014 stellte Bezirksrichter B._ als Einzelrichter das Strafverfahren ein, weil am 12. Februar 2014 die Verfolgungsverjährung eingetreten sei. A._ erstattete am 30. Dezember 2015 Strafanzeige gegen C._ und B._ wegen Begünstigung. A._ wirft C._ vor, er habe durch unnötige und rechtswidrige Sistierungen in der erwähnten Strafuntersuchung dazu beigetragen, dass die angezeigte Ehrverletzung am Tag der Hauptverhandlung bereits verjährt gewesen sei. B._ wird von A._ vorgeworfen, er habe die Hauptverhandlung so angesetzt, dass die angezeigte Ehrverletzung am Tag der Hauptverhandlung bereits verjährt gewesen sei. B. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies die Sache am 12. Januar 2016 via Leitung der Staatsanwaltschaft und Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich ans Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die angezeigten Personen. Die Staatsanwaltschaft I beantragte, die Ermächtigung nicht zu erteilen, weil nach summarischer Prüfung keine Anhaltspunkte für eine vorsätzliche Tatbegehung vorlägen. Mit Beschluss vom 11. Februar 2016 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die angezeigten Personen nicht. C. Gegen den Beschluss des Obergerichts hat A._ am 21. März 2016 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen C._ und B._ zu erteilen. Die Vorinstanz, die Oberstaatsanwaltschaft, die Staatsanwaltschaft I sowie die Beschwerdegegner haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.