Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt ein Strafverfahren gegen die türkischen Staatsangehörigen A._ und B._ sowie weitere Personen. Sie wirft ihnen insbesondere vor, am 20. November 2010 an einer vorsätzlichen Tötung beteiligt gewesen zu sein. B. Am 8. Dezember 2014 stellte A._ den Antrag, gegen ihn sei das abgekürzte Verfahren durchzuführen. Am 10. Dezember 2014 hiess die Staatsanwaltschaft den Antrag gut. Gleichentags setzte die Staatsanwaltschaft die Mitbeschuldigten hierüber in Kenntnis. Da gegen sie ein abgekürztes Verfahren nicht in Betracht komme bzw. sie bisher keinen Antrag auf Durchführung eines solchen gestellt hätten, werde das Verfahren gegen A._ von jenem gegen sie abgetrennt. C. Am 22. Dezember 2014 erhob B._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau. Er beantragte, 1. die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 10. Dezember 2014 (gemeint: betreffend die Verfahrenstrennung) aufzuheben (...). Am 26. März 2015 schrieb das Obergericht die Beschwerde in Bezug auf den Beschwerdeantrag 1 als gegenstandslos geworden ab. D. Ebenfalls am 26. März 2015 sprach das Bezirksgericht Kreuzlingen auf Anklageschrift der Staatsanwaltschaft vom 18. Dezember 2014 hin A._ im abgekürzten Verfahren schuldig der Gehilfenschaft zur vorsätzlichen Tötung, der Gehilfenschaft zur versuchten qualifizierten Erpressung sowie der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und auferlegte ihm eine Freiheitsstrafe von 5 Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft sowie des vorzeitigen Strafvollzugs. E. Mit Urteil vom 6. Oktober 2015 (1B_187/2015) hiess das Bundesgericht die von B._ gegen den Entscheid des Obergerichts vom 26. März 2015 erhobene Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat. Es hob den Entscheid des Obergerichts auf, soweit dieses die Beschwerde als gegenstandslos abgeschrieben hatte, und wies die Sache zur Behandlung des Beschwerdeantrags 1 an dieses zurück. F. Am 12. November 2015 schützte das Obergericht die Beschwerde vom 22. Dezember 2014, soweit es darauf eintrat, teilweise. Es hob die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 10. Dezember 2014 betreffend die Abtrennung des Verfahrens gegen A._ auf und stellte die Nichtigkeit der Anklageschrift sowie des Urteils des Bezirksgerichts im abgekürzten Verfahren fest. G. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts vom 12. November 2015 aufzuheben und die Beschwerde von B._ vom 22. Dezember 2015 vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei festzustellen, dass das Urteil des Bezirksgerichts vom 26. März 2015 rechtskräftig sei. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. H. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau hat sich nicht vernehmen lassen. B._ hat Gegenbemerkungen eingereicht. Er beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Eventualiter sei sie abzuweisen. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen. A._ hat hierzu Stellung genommen.