Sachverhalt: A. A._ (Versicherter, Kläger, Beschwerdeführer) trat per 1. März 2008 als Geschäftsführer/Koch des Hotel U._ der B._ AG bei (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin). Am 1. Juli 2013 liess der Versicherte der Versicherung eine Krankmeldung per 28. Juni 2013 zukommen. Diese erbrachte ab dem 28. Juni 2013 das versicherte Krankentaggeld. Nachdem sie Abklärungen getätigt hatte, informierte die Versicherung den Versicherten mit Schreiben vom 9. Dezember 2013 darüber, dass eine 80-prozentige Arbeitsfähigkeit für eine angepasste Tätigkeit vorliege, weshalb sie noch während einer Anpassungsfrist von 3 Monaten Taggeldleistungen erbringe (bis 31. März 2014) und verwies ihn für die Zeit danach an die Arbeitslosenversicherung. Mit Schreiben vom 11. Juli 2014 teilte der Versicherte mit, dass er unmöglich vermittelbar sei. Am 26. Januar 2015 unterbreitete die Versicherung dem Versicherten ein Vergleichsangebot, welches dieser ablehnte. Gemäss Schreiben vom 16. Februar 2015 erachtete die Versicherung keine weiteren Taggeldleistungen für berechtigt. B. Mit Eingabe vom 1. Mai 2015 reichte der Kläger beim Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, verwaltungsrechtliche Klage ein und beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 30'682.05 zu bezahlen. Mit Entscheid vom 3. Juni 2016 wies das Obergericht des Kantons Uri die Klage ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 3. Juni 2016 sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 30'682.05 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Sachverhaltsergänzung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin sowie die Vorinstanz haben auf eine Stellungnahme verzichtet.