Sachverhalt: A. A.a. Mit Urteil K 45/04 vom 25. Januar 2006 bestätigte das Eidg. Versicherungsgericht den vom Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Bern mit Entscheid vom 10. Februar 2004 angeordneten Ausschluss des Dr. med. A._ für zwei Jahre von der Kassenpraxis mehrerer Krankenversicherer. A.b. Am 30. Oktober 2013 hiess das bernische Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten die Klagen verschiedener Krankenversicherer gut und verpflichtete Dr. med. A._, den Betrag von Fr. 136'836.50 zurückzuerstatten wegen Überarztung in den Jahren 2004 und 2005. Ferner schloss das Gericht Dr. med. A._ - im Verhältnis zu den Klägern - definitiv von der Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung aus; dessen Begehren auf eine öffentliche Schlussverhandlung wies es ab. A.c. Mit Urteil vom 1. April 2014 (9C_885/2013) hiess das Bundesgericht, II. sozialrechtliche Abteilung, eine Beschwerde des Dr. med. A._ gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache an das kantonale Schiedsgericht zurück zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, zur ordentlichen Bekanntgabe des Spruchkörpers des Schiedsgerichts und zum Entscheid über das Einsichtsrecht des Beschwerdeführers in die Daten-CD der Krankenversicherer (Daten-Pool). A.d. Der Vorsitzende des Schiedsgerichts wies mit Verfügung vom 13. Oktober 2014 ein Sistierungsgesuch ab und hielt am Termin der am 24. September 2014 auf den 24. Oktober 2014 angesetzten (öffentlichen) Schlussverhandlung fest. Am 17. Oktober 2014 reichte Dr. med. A._ ein Ablehnungsbegehren gegen den Vorsitzenden ein. Die Schlussverhandlung wurde in der Folge abgesagt und der Prozess bis zur rechtskräftigen Beurteilung des Ausstandsbegehrens sistiert (Verfügung vom 21. Oktober 2014). Mit Urteil vom 27. November 2014 wies das Schiedsgericht (in der Besetzung unter Ausschluss des zur Ablehnung beantragten Vorsitzenden) das Ausstandsbegehren ab. Dieses Urteil blieb unangefochten. A.e. Nach Aufhebung der Sistierung setzte der Vorsitzende des Schiedsgerichts die öffentliche Verhandlung mit Verfügung vom 28. Januar 2015 auf den 5. März 2015 an. Am 25. Februar stellte Dr. med. A._ wegen gesundheitlicher Gründe ein Verschiebungsgesuch, welches mit Verfügung vom 26. Februar abgewiesen wurde, wobei ihm gleichzeitig die Möglichkeit offen gelassen wurde, das Gesuch hinreichend zu begründen. Dr. med. A._ reichte in der Folge einen ausführlicheren ärztlichen Bericht ein, worauf der Vorsitzende - unter Angabe der Verschiebungsgründe - die Schlussverhandlung absetzte (Verfügung vom 4. März 2015). Dr. med. A._ reichte ein (zweites) Ausstandsbegehren gegen den Vorsitzenden ein (Schreiben vom 16. April, Eingang am 20. April 2015). Das Schiedsgericht befand über das Ablehnungsbegehren - unter Mitwirkung des abgelehnten Vorsitzenden - im Vorgang zur schliesslich auf den 1. Mai 2015 festgesetzten Schlussverhandlung. B. Mit Urteil vom 14. Juni 2015 wies das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Bern das zweite Ablehnungsbegehren vom April 2015 gegen den Vorsitzenden als offensichtlich unbegründet ab (Dispositiv-Ziffer 1), verpflichtete den Beklagten in Gutheissung der Klage, den Betrag von Fr. 136'836.50 für die Jahre 2004 und 2005 zurückzuerstatten (Dispositiv-Ziffer 2) und schloss ihn im Verhältnis zu den Klägern 1-11 und 13-25 definitiv von der Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung aus. Auf die Klage des Klägers Nr. 12 trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3). C. Dr. med. A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde ("plainte constitutionelle") und beantragt sinngemäss die Aufhebung des schiedsgerichtlichen Entscheids; eventuell sei die Sache an dieses zurückzuweisen, damit es einen allfälligen Rückerstattungsbetrag nach der analytischen Berechnungsmethode berechne. In einem weiteren Eventualbegehren verlangt der Beschwerdeführer, das Schiedsgericht habe der Tatsache Rechnung zu tragen, dass er multimorbide, chronische Patienten behandle. Der Beschwerde sei überdies die aufschiebende Wirkung zu erteilen.