Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen versuchter Nötigung, Drohung und einfacher Körperverletzung, begangen im Wesentlichen im Zusammenhang mit den familiären Beziehungen des Beschuldigten. Er wurde am 30. November 2015 festgenommen und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Aargau vom 4. Dezember 2015 für drei Monate in Untersuchungshaft versetzt. In der Folge wurde die Haft am 2. März 2016 und am 2. Juni 2016 um jeweils drei weitere Monate bis zum 29. August 2016 verlängert (die gegen letztere Verfügung erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_281/2016 vom 5. September 2016 ab). B. Am 22. Februar erstattete Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, zuhanden der Staatsanwaltschaft ein fachärztliches Kurzgutachten (Gefährlichkeitsgutachten) über A._. Am 6. Mai 2016 erteilte die Staatsanwaltschaft demselben Gutachter den Auftrag zur Erstellung eines psychiatrischen Vollgutachtens. Nachdem sich die Parteien zur Person des Gutachters äussern und Ergänzungsfragen stellen konnten, wurde Dr. med. B._ von der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 30. Mai 2016 mit der Erstellung des Vollgutachtens über den Beschuldigten förmlich beauftragt. Dagegen erhob A._ am 13. Juni 2016 Beschwerde bei der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau mit dem Antrag, die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 30. Mai 2016 sei aufzuheben. Mit Entscheid vom 27. Juli 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C. A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft sowie das Obergericht des Kantons Aargau haben auf eine Stellungnahme verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.