Sachverhalt: A. A._, mit Jahrgang 1945 und Wohnsitz in X._, unterzog sich am 10. Februar 2015 einer verkehrsmedizinischen Untersuchung, die Hinweise auf mögliche verkehrsrelevante Defizite der Frontalhirnleistung lieferte. Am 25. März 2015 wurde daher eine ärztlich begleitete Kontrollfahrt durchgeführt. Das Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRMZ) kam in seinem Gutachten vom 9. April 2015 zum Ergebnis, bei der Kontrollfahrt seien die geteilte Aufmerksamkeit und auch der Lerneffekt als grenzwertig beurteilt worden; insgesamt könne die Fahreignung von A._ weiterhin befürwortet werden; zur Überprüfung der Hirnleistungsdefizite sei jedoch nach Ablauf eines Jahres eine verkehrsmedizinische Untersuchung durchzuführen. Gestützt auf dieses Gutachten verfügte das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich am 1. Juli 2015, A._ werde der Führerausweis mit Auflagen belassen, es habe jedoch nach Ablauf von einem Jahr zur Überprüfung der festgestellten Hirnleistungsdefizite eine verkehrsmedizinische Kontrolluntersuchung am IRMZ oder durch einen Arzt/eine Ärztin mit dem Titel "Verkehrsmediziner/-in SGRM" oder mit einem von der SGRM als gleichwertig anerkannten Titel zu erfolgen. B. Gegen diese Verfügung erhob A._ einen Rekurs, den die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 23. März 2016 abwies, wobei es aus Gründen der Verkehrssicherheit dem Lauf der Beschwerdefrist einer allfälligen Beschwerde an das Verwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung entzog. Diesen Rekursentscheid focht A._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an. Das damit gestellte Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Präsidialverfügung vom 29. April 2016 ab. C. A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 29. April 2016 sei aufzuheben und der beim Verwaltungsgericht hängigen Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Strassenverkehrsamt schliesst auf Abweisung der Beschwerde.