Sachverhalt: A. A.a. Der aus dem Kosovo stammende A.A._ (geb. 1973) reiste am 5. März 1991 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche regelmässig verlängert wurde (zuletzt bis zum 29. November 2012). Am 27. April 2000 heiratete er seine Landsfrau B.A._. Die beiden haben drei Kinder, C.A._ (geb. 2001), D.A._ (geb. 2003) und E.A._ (geb. 2004). B.A._ und die Kinder sind ebenfalls im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung. Am 19. Oktober 2011 wurde die Ehe geschieden; das Sorgerecht und die Obhut über die Kinder verblieben bei der Mutter. Das damals eingeräumte gerichtsübliche Besuchsrecht für A.A._ wurde angesichts entstandener Schwierigkeiten im März 2015 von der zuständigen Behörde für die Dauer von zwei Jahren ganz aufgehoben. Auf Beschwerde hin genehmigte das Kantonsgericht Luzern am 2. November 2015 eine Vereinbarung der geschiedenen Eheleute über ein begleitetes Besuchsrecht, jeweils einen Samstag pro Monat während vier Stunden. A.A._ ist seit November 2003 bei der X._AG als Taxichauffeur angestellt. Gegen ihn bestehen 15 Betreibungen im Gesamtbetrag von etwas über Fr. 23'000.-- und offene Verlustscheine in der Höhe von etwas über Fr. 25'000.--. A.b. Am 25. Mai 2012 bestrafte das Kriminalgericht Luzern A.A._ mit zwei Jahren Freiheitsstrafe bedingt wegen Vergewaltigung gemäss Art. 190 Abs. 1 StGB und wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Waffengesetz. A.A._ hatte im Februar 2010 - unter Einsatz eines Brotmessers als Drohmittel - seine (Noch-) Ehefrau vergewaltigt. Die Verurteilung wurde zweitinstanzlich vom Kantonsgericht und auch vom Bundesgericht (Urteil 6B_567/2014 vom 14. Oktober 2014) geschützt. B. Mit Verfügung vom 9. März 2015 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch von A.A._ um eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Die hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 13. August 2015, Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 9. Februar 2016). C. Mit "Beschwerde (Art. 82 ff.) " vom 14. März 2016 beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts vom 9. Februar 2016 aufzuheben, auf eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. Wegweisung zu verzichten, und ihn - den Beschwerdeführer - bloss zu verwarnen (Art. 96 Abs. 2 AuG). Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um "vollumfängliche" unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. D. Mit Verfügung vom 15. März 2016 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Akten sind beigezogen, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.