Sachverhalt: A. Im Rahmen eines Berufungsverfahrens betreffend Betrug, Urkundenfälschung und versuchter Erpressung gab die 1. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern A._ am 2. März 2016 die voraussichtliche Besetzung des Spruchkörpers, unter anderem mit Oberrichter Peter Zihlmann, bekannt. Mit Gesuch vom 21. März 2016 beantragte A._ den Ausstand von Oberrichter Peter Zihlmann wegen Befangenheit. Mit Beschluss vom 9. Mai 2016 wurde das Ausstandsbegehren von der 1. Strafkammer (ohne Mitwirkung des abgelehnten Oberrichters) abgewiesen. B. Mit Eingabe vom 10. Juni 2016 führt A._ Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptbegehren, der Beschluss vom 9. Mai 2016 sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass Oberrichter Peter Zihlmann in den Ausstand zu treten habe. Sodann sei die amtliche Verteidigung sowie die Offizialverbeiständung zu gewähren. Die 1. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern und Oberrichter Zihlmann haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.