Sachverhalt: A. Mit Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 13. Januar 2003 wurde die Ehe von A._ (geb. 1950) und C._ (geb. 1958) geschieden. Das Gericht genehmigte eine Vereinbarung der Ehegatten, die unter anderem die Auflösung der bisher gemeinsam betriebenen Arztpraxis regelte, und übertrug die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter B._ (geb. 1992) der Mutter. Der Vater wurde verpflichtet, der Mutter einen monatlichen und indexierten Kindesunterhaltsbeitrag von Fr. 875.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) bis zum zurückgelegten 12. Altersjahr und danach von Fr. 1'000.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) bis zum Erreichen der Volljährigkeit zu bezahlen. B. B.a. Mit Eingabe vom 24. November 2010 beantragte B._ dem Zivilgericht Basel-Stadt, ihren Vater zur Bezahlung von angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen rückwirkend ab August 2010 sowie zur Zahlung eines (einmaligen) Betrages von Fr. 4'698.50, zuzüglich Zins zu 5 Prozent seit dem 26. Juli 2007, zu verpflichten. Mit Klagebegründung vom 15. November 2012 präzisierte sie ihr ursprüngliches Klagebegehren und verlangte von ihrem Vater einen monatlichen Unterhaltsbetrag von mindestens Fr. 2'000.-- rückwirkend erstmals per August 2010. A._ beantragte die kostenfällige Abweisung der Klage. Mit Urteil vom 27. September 2012 verurteilte das Zivilgericht A._ zur einmaligen Zahlung von Fr. 4'698.50 (zzgl. Zins zu 1,25 Prozent). B.b. Gegen dieses Urteil wandte sich B._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses verpflichtete mit Entscheid vom 19. November 2014 A._, seiner Tochter rückwirkend für die Monate August 2010 bis und mit Dezember 2011 einen Unterhaltsbetrag von monatlich Fr. 1'000.-- (total Fr. 17'000.--) zu bezahlen. Ferner wurde A._ verpflichtet, seiner Tochter (rückwirkend) ab September 2014 und für die Dauer von maximal sechs Jahren einen Ausbildungsunterhaltsbetrag von monatlich Fr. 500.-- zu bezahlen. Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens von Fr. 2'700.-- und des Berufungsverfahrens von Fr. 4'000.-- wurden A._ und B._ je zur Hälfte auferlegt. Die den Parteien entstandenen ausserordentlichen Kosten beider Instanzen wurden wettgeschlagen. C. C.a. Mit Eingabe vom 5. März 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 19. November 2014, soweit damit die Berufung von B._ (Beschwerdegegnerin) teilweise gutgeheissen worden ist. Deren Klage gemäss Eingabe vom 24. November 2010 bzw. mit präzisierten Rechtsbegehren gemäss Klagebegründung vom 15. November 2011 seien vollumfänglich abzuweisen (Ziff. 1). Zudem seien sämtliche ordentlichen und ausserordentlichen Kosten des Verfahrens in allen drei Instanzen (Bundesgericht, Appellationsgericht Basel-Stadt und Zivilgericht Basel-Stadt) der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. C.b. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 17. März 2015 für die bis und mit Februar 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt, das Gesuch im Übrigen jedoch abgewiesen. Das Bundesgericht hat das Appellationsgericht Basel-Stadt und die Beschwerdegegnerin zur Vernehmlassung eingeladen. In ihrer ausführlichen Eingabe vom 5. Mai 2015 beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Gleiches beantragt das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Schreiben vom 30. April 2015. Die Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt, worauf sich dieser noch einmal äusserte.