Sachverhalt: A. Mit Klage vom 23. November 2015 stellte A.A._ vor dem Bezirksgericht Luzern in einem Nachverfahren nach Art. 125 ZPO eine Reihe von Forderungsbegehren gegen B.A._. Der Streitwert betrug insgesamt Fr. 370'000.--. Der Kläger ersuchte das Bezirksgericht darum, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwältin Claudia Zumtaugwald als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu ernennen. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht das Gesuch mit der Begründung ab, A.A._ sei der Bedürftigkeitsnachweis nicht gelungen. B. Dagegen erhob A.A._ am 3. März 2016 Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Er hielt an seinem Armenrechtsgesuch für das Verfahren vor dem Bezirksgericht fest und ersuchte auch für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht wies sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Entscheid vom 6. Mai 2016). C. Mit Beschwerde vom 20. Juni 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Rechtsverbeiständung unter Kostenfolgen zu Lasten des Staates zu gewähren. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.