Sachverhalt: A. A.a. B.A._ (geb. 2013) ist der Sohn von A.A._ und C._. Am 22. Juni 2015 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Nordbünden den gemeinsam sorgeberechtigten Eltern vorsorglich das Aufenthaltsbestimmungsrecht über den Sohn und brachte diesen zuerst bei der Grossmutter mütterlicherseits und später bei den Grosseltern väterlicherseits unter. Schon am 7. Mai 2013 hatte die KESB über B.A._ eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Am 15. Dezember 2015 ernannte sie ausserdem eine Verfahrensbeiständin. Ein vom Vater gegen den vorsorglichen Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts erhobenes Rechtsmittel blieb erfolglos. A.b. Mit Entscheid vom 25. Februar 2016 teilte die KESB die Obhut über B.A._ dem Kindsvater zu und erteilte Letzterem Verhaltensanweisungen. Gleichzeitig regelte sie das Besuchs- und Ferienrecht der Mutter. Ausserdem erweiterte die KESB die bestehende Erziehungsbeistandschaft und regelte die Aufgaben und Kompetenzen der Beistandsperson. B. Am 4. April 2016 erhob A.A._ beim Kantonsgericht von Graubünden Beschwerde gegen den Entscheid vom 25. Februar 2016. In der Sache beantragte sie die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Zuteilung der Obhut über B.A._ (Betroffener) an sich selbst. Dem Kindsvater sei ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen, welches mit einer "Besuchsrechtbeistandschaft" zu verknüpfen sei. Weiter ersuchte sie das Kantonsgericht für das Beschwerdeverfahren um Befreiung von den Gerichtskosten und um Beiordnung ihres Rechtsvertreters als unentgeltlicher Rechtsbeistand. In der Verfügung vom 13. Juni 2016 (eröffnet am 16. Juni 2016) hielt das Kantonsgericht fest, ein "spezielles Gesuch" um unentgeltliche Rechtspflege sei nur für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu stellen. Ein allfälliger Verzicht auf die Erhebung von Verfahrenskosten werde im Hauptverfahren geprüft. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies das Kantonsgericht ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juli 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei in Gutheissung der Beschwerde die Verfügung des Kantonsgerichts vom 13. Juni 2016 aufzuheben und es sei ihr für das kantonale Beschwerdeverfahren ihr Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen. Eventuell sei das Verfahren "im Sinne der bundesgerichtlichen Weisungen entsprechend den Erwägungen der vorliegenden Beschwerde" an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Befreiung von den Gerichtskosten und um Beiordnung ihres Rechtsvertreters als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassung eingeholt.