Sachverhalt: A. A.a. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist ein brasilianischer Fussballspieler mit Wohnsitz in Brasilien. A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ist ein portugiesischer Fussballclub mit Sitz in U._, Portugal. Er ist Mitglied des portugiesischen Fussballverbands, der seinerseits der Fédération Internationale de Football Association (FIFA) angehört. A.b. Am 31. Juli 2009 schlossen die Parteien einen Arbeitsvertrag für die Dauer vom 1. August 2009 bis 30. Juni 2014 ab. Der Vertrag sah ein Bruttomonatsgehalt von EUR 16'670.-- vor. Mit Vertrag vom 7. August 2009 wurde B._ bis 30. Juni 2010 an den Fussballclub C._ ausgeliehen. Nach Abschluss der portugiesischen Fussballmeisterschaft im Mai 2010 verliess B._ Portugal, um in seiner brasilianischen Heimat Ferien zu verbringen. In der Folge zerstritten sich die Parteien, da er nicht vor Saisonbeginn am 1. Juli 2010 nach Portugal zurückkehrte. Mit E-Mail vom 9. Juli 2010 teilte A._ dem Spieler mit, dass er bereits am 28. Juni 2010 oder spätestens am 1. Juli 2010 hätte zurückkehren müssen, dass er unentschuldigt ferngeblieben sei und dies eine fristlose Entlassung rechtfertige. B. B.a. Am 19. August 2010 klagte B._ bei der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten (Dispute Resolution Chamber) der FIFA gegen A._ auf Schadenersatz im Betrag von EUR 800'160.-- wegen ungerechtfertigter Vertragsauflösung. Mit Entscheid vom 17. Januar 2014 hiess die Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten die Klage teilweise gut und verpflichtete den Beklagten zur Zahlung von EUR 550'000.-- Schadenersatz wegen Vertragsverletzung. B.b. Beide Parteien fochten den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 17. Januar 2014 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) mit Berufung an. Am 10. März 2015 fand in Lausanne eine mündliche Verhandlung statt. Mit Schiedsentscheid vom 16. September 2015 wies das TAS die Berufung des Beklagten ab (Dispositiv-Ziff. 2). Die Berufung des Klägers hiess es teilweise gut (Dispositiv-Ziff. 1) und änderte den angefochtenen Entscheid dahingehend ab, dass es den Beklagten zur Zahlung von EUR 550'000.--, zuzüglich Zins zu 5 % seit 19. August 2010, verpflichtete (Dispositiv-Ziff. 3). Das Schiedsgericht regelte zudem die Kosten- und Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziff. 4 und 5) und wies sämtliche weiteren Verfahrensanträge und Begehren ab (Dispositiv-Ziff. 6). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 16. September 2015 aufzuheben. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.