Sachverhalt: A. A.a. Mit Eingabe vom 22. Januar 2014 reichte A.A._ beim Gerichtspräsidium Zofingen ein gegen B.A._ gerichtetes Eheschutzbegehren ein. Mit Beschluss vom 29. Januar 2014 überwies die Justizleitung des Kantons Aargau das Verfahren wegen Vorliegens eines Ausstandsgrunds an das Gerichtspräsidium des Bezirks Baden. Dieses bewilligte am 21. Mai 2014 den Parteien das Getrenntleben. Die Kinder C.A._ (geb. 2001), D.A._ (geb. 2004), E.A._ (geb. 2005) und F.A._ (geb. 2007) stellte es zur Pflege und Erziehung unter die Obhut der Mutter (B.A._). Ihr wurde auch die eheliche Liegenschaft zugewiesen. A.A._ seinerseits wurde verpflichtet, seinen Kindern ab Juni 2014 die folgenden Unterhaltsbeiträge zuzüglich allfällig bezogener Kinderzulagen auszurichten: Fr. 520.-- für F.A._ und je Fr. 830.-- für C.A._, D.A._ und E.A._. Der Unterhaltsanspruch von B.A._ wurde auf Fr. 3'000.-- ab Juni 2014 festgesetzt. A.b. In teilweiser Gutheissung der Berufung von A.A._ stellte das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 18. September 2014 die vier Kinder unter die Obhut des Vaters (Ziff. 1/2.1). Ihm wurde auch die eheliche Liegenschaft zugewiesen (Ziff. 1/3.1), die B.A._ innert zehn Tagen ab Zustellung des obergerichtlichen Entscheids zu verlassen hatte (Ziff. 1/3.2). Ferner stellte das Obergericht fest, dass A.A._ ab dem Auszug von B.A._ aus der ehelichen Wohnung für den Unterhalt der Kinder aufkommt (Ziff. 1/4.3). A.A._ wurde ferner verpflichtet, B.A._ ab Juni 2014 bis zu ihrem Auszug aus der ehelichen Wohnung an ihren persönlichen Unterhalt Fr. 3'000.-- pro Monat zu bezahlen (Ziff. 1/5.1). Ab ihrem Auszug aus der ehelichen Wohnung reduzierte sich der Betrag auf Fr. 1'365.-- (Ziff. 1/5.2). Die obergerichtliche Entscheidgebühr von Fr. 2'000.-- auferlegte das Obergericht zu einem Fünftel (Fr. 400.--) A.A._ und zu vier Fünfteln (Fr. 1'600.--) B.A._ (Ziff. 3). Letztere hatte ihrem Ehemann auch drei Fünftel seiner zweitinstanzlichen Parteikosten (Fr. 2'049.60) zu ersetzen (Ziff. 4). B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. November 2014 an das Bundesgericht verlangt A.A._ (Beschwerdeführer) die Aufhebung der Ziff. 1/5.2, Ziff. 3 und Ziff. 4 des Urteils des Obergerichts. Er sei zu verpflichten, B.A._ (Beschwerdegegnerin) in der Zeit vom 18. Oktober 2014 bis 31. Januar 2015 an ihren persönlichen Unterhalt monatlich vorschüssig einen Beitrag von Fr. 417.-- zu bezahlen, die obergerichtlichen Verfahrenskosten seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihm die Parteikosten im Verfahren vor dem Obergericht zu ersetzen (Rechtsbegehren Ziff. 1). Eventualiter verlangt er die Rückweisung der Sache an das Obergericht (Ziff. 2). Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (Ziff. 3). Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin zur Vernehmlassung eingeladen. Mit Schreiben vom 25. März 2015 erklärte die Vorinstanz, auf eine solche zu verzichten. Die Beschwerdegegnerin antwortete am 13. April 2015. Sie beantragt, die Rechtsbegehren Ziff. 1-3 des Beschwerdeführers abzuweisen. Zudem stellt die Beschwerdegegnerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die Eingaben dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.