Sachverhalt: A. Der 1944 geborene A._, bis 6. Juli 2014 in der Schweiz und seither in Deutschland wohnhaft, ist Bezüger einer Altersrente der schweizerischen Alters- und Hinterlassenenversicherung. Im Jahr 2014 war er bei einem schweizerischen Krankenversicherer versichert. Am 24. Juni 2014 stellte A._ ein Gesuch um Prämienverbilligung durch den Bund für das Jahr 2014. Die Gemeinsame Einrichtung KVG forderte bei ihm mit E-Mail vom 26. August 2014 fehlende Unterlagen ein. Sie traf weitere Abklärungen. Unter Hinweis darauf, dass er gemäss den Angaben der Ausgleichskasse Zug bis 2002 einen BVG-pflichtigen Lohn bezogen habe, forderte sie A._ mit E-Mail vom 14. November 2014 auf, weitere Angaben zu seiner BVG-Versicherung zu machen und entsprechende Belege einzureichen. Des Weitern verlangte sie von ihm Informationen zu seinem Geschäftseinkommen bzw. -vermögen und entsprechende Belege. In seinem Antwortmail selben Datums äusserte sich A._ dahingehend, dass er nie BVG-Beiträge entrichtet und auch keine Auszahlung erhalten habe. Hinsichtlich der verlangten Angaben zu Geschäftseinkünften bzw. -vermögen erklärte er, die Firma B._ habe nichts mit ihm zu tun; er habe dort nur gearbeitet. Mit Vorbescheid vom 1. Dezember 2014 stellte die Gemeinsame Einrichtung KVG A._ Nichteintreten auf sein Gesuch um Prämienverbilligung in Aussicht, sofern er die von ihm am 26. August und am 14. November 2014 verlangten Unterlagen betreffend BVG-Versicherung und Geschäftseinkommen bzw. -vermögen nicht bis 1. Januar 2015 einreiche. In seinem Schreiben vom 29. Dezember 2014 machte A._ sinngemäss geltend, sein Anspruch auf Prämienverbilligung sei ausgewiesen; des Weitern beschwerte er sich über die fallführende Mitarbeiterin. Die Verwaltung erstreckte die Frist zur Einreichung der erforderlichen Unterlagen bis 20. Februar 2015, mit der Androhung, dass sein Gesuch im Unterlassungsfalle abgewiesen werde (Schreiben vom 12. Januar 2015). Nach weiterem Brief- und Mailverkehr trat die Gemeinsame Einrichtung KVG auf das Gesuch um Prämienverbilligung für das Jahr 2014 nicht ein (Verfügung vom 3. März 2015). B. Beschwerdeweise beantragte A._, die Verfügung vom 3. März 2015 sei aufzuheben und die Gemeinsame Einrichtung KVG anzuweisen, auf sein Gesuch einzutreten, falls erforderlich Beweise abzunehmen und sein Gesuch gutzuheissen. Mit Entscheid vom 14. Juli 2016 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Es sei auf seinen Antrag um Prämienverbilligung einzutreten und ihm eine Prämienverbilligung zu gewähren. Eventualiter sei die Sache an die Gemeinsame Einrichtung KVG zurückzuweisen.