Sachverhalt: A. A.a. Mit Urteil des Amtsgerichts Thal-Gäu vom 22. Juni 2006 wurde die Ehe von B.A._ und A.A._ geschieden. Das Amtsgericht hielt in Ziff. 7 des Urteils fest, dass A.A._ Anspruch auf die Hälfte der nach dem Freizügigkeitsgesetz für die Ehedauer zu ermittelnden Austrittsleistung des B.A._ bei der Pensionskasse der X._ habe und die Akten nach Rechtskraft des Entscheides an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn gingen. Das Urteil trat hinsichtlich des Scheidungspunktes und der Teilung der Austrittsleistung (gemäss Ziff. 7) am 7. Juli 2006 in Rechtskraft, während es in anderen Punkten an das Obergericht und schliesslich an das Bundesgericht weiter gezogen wurde. In der Folge unterblieb eine Überweisung der Akten an das Versicherungsgericht. Auf den 31. Dezember 2008 trat B.A._ aus der X._ Personalversicherung - Pensionskasse der X._ aus und liess sich die Austrittsleistung auf die Freizügigkeitsstiftung 2. Säule Bank Y._ AG überweisen. Diese zahlte B.A._ am 29. Oktober 2009 das Freizügigkeitsguthaben in Höhe von Fr. 226'581.15 infolge Aufnahme einer selbstständigen Erwerbstätigkeit bar aus. A.b. A.A._ gelangte am 9. Oktober 2009 an das Versicherungsgericht und ersuchte um Vornahme der Teilung der Austrittsleistung von B.A._. Mit Urteil vom 11. Juli 2011 verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn B.A._ zur Überweisung von Fr. 126'536.-- zuzüglich Zins auf das Freizügigkeitskonto von A.A._. Das Bundesgericht wies die von A.A._ dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war (Urteil 9C_589/2011 vom 27. Januar 2012). Die von A.A._ in der Folge gegen B.A._ angehobene Betreibung endete am 2. April 2014 mit der Ausstellung eines Verlustscheines über Fr. 177'500.--. B. B.a. Bereits am 18. März 2010 hatte A.A._ beim Departement des Innern ein erstes Schadenersatzbegehren eingereicht. Der Vorsteher des Bau- und Justizdepartements lehnte das Begehren am 27. Mai 2010 ab, weil die Voraussetzungen für eine Haftung des Kantons nicht erfüllt seien, insbesondere ein Schaden nicht nachgewiesen sei. B.b. Am 17. Januar 2013 forderte A.A._ vom Kanton Solothurn erneut die Bezahlung eines Schadenersatzes in der Höhe von Fr. 126'536.-- zuzüglich Zins sowie eine Entschädigungssumme von Fr. 4'383.15. Sie machte geltend, das Amtsgericht Thal-Gäu habe es versäumt, die Akten nach Eintritt der Rechtskraft an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zu überweisen. Dies habe dem inzwischen aus der X._ Personalversicherung ausgetretenen B.A._ ermöglicht, das gesamte Freizügigkeitsguthaben in bar zu beziehen. Mit Schreiben vom 18. Juni 2013 wies die Staatskanzlei des Kantons Solothurn das Schadenersatzbegehren ab, da die Haftungsvoraussetzungen nicht erfüllt seien. B.c. Am 10. Mai 2014 erhob A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage auf Schadenersatz gegen den Kanton Solothurn. Mit Urteil vom 21. Januar 2015 wies das Verwaltungsgericht die Klage wegen Ablaufs der Verjährungsfrist ab (Ziff. 1) und wies die Klägerin an, dem Kanton Solothurn eine Parteientschädigung von Fr. 13'971.75 zu bezahlen (Ziff. 2). Die Gerichtskosten übernahm in Folge der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege der Kanton Solothurn (Ziff. 3). C. Mit Eingabe vom 27. Februar 2015 erhebt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 21. Januar 2015 sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei Ziff. 2 des Urteils aufzuheben und die Beschwerdeführerin von der Bezahlung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner zu entbinden. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und der Kanton Solothurn beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.