Sachverhalt: A. A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ist spezialisierter Anästhesie-Arzt. Er behandelte B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) auf Überweisung von Dr. D._ (an die sich die Klägerin nach Konsum von Geflügel wegen schluckabhängiger Schmerzen im Kehlkopf im Juni zur Behandlung begeben hatte) am 8., 9. und 11. August 2003 schmerztherapeutisch in der Klinik C._ (Nebenintervenientin). Bei der letzten Behandlung vom 11. August 2003 trat ein Atemstillstand (Apnoe) auf und die Klägerin wurde in komatösem Zustand ins Kantonsspital Basel verlegt. Sie leidet heute an einer schweren hirnorganischen Beeinträchtigung mit Störung des Sprachverständnisses, des Gedächtnisses und der Merkfähigkeit sowie an motorischen Beeinträchtigungen. B. B.a. Mit Teilklage vom 17. August 2005 gelangte die Klägerin an das Bezirksgericht Rheinfelden mit folgenden Begehren: "Der Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin Fr. 204'476.-- nebst 5% Zins seit 11.08.03 (mittlerer Verfall) zu bezahlen unter Vorbehalt der Nachklage für den zukünftigen Schaden und die Genugtuung. (...) " Es handelt sich dabei um den von der Klägerin in der Zeit vom 12. August 2003 bis 31. März 2005 erlittenen Haushalt- und Pflegeschaden sowie die Aufwendungen für Franchisen und Selbstbehalte. B.b. Mit Urteil vom 23. Januar 2013 hiess das Bezirksgericht Rheinfelden die Teilklage teilweise gut und verpflichtete den Beklagten, der Klägerin Fr. 190'972.10 nebst 5 % Zins seit 11. August 2003 zu bezahlen. Das Bezirksgericht lehnte zunächst die vom Beklagten beantragte Oberexpertise ab und gelangte gestützt auf die gerichtlich eingeholten Teil-Gutachten zum Schluss, dass die Klägerin am 11. August 2003 anlässlich der Behandlung durch den Beklagten einen Atemstillstand erlitten hatte, der zu einer Sauerstoff-Unterversorgung des Gehirns führte (Hypoxie) und die Ursache des heutigen Zustands der Klägerin bilde. Der Beklagte hatte der Klinik C._ den Streit mit der Begründung verkündet, er sei am 11. August 2003 in einem Angestelltenverhältnis zu dieser Stiftung gestanden und werde im Fall, dass er haftbar gemacht werden sollte, auf seine Arbeitgeberin Regress nehmen. B.c. Das Obergericht des Kantons Aargau fasste mit Entscheid vom 21. August 2014 in teilweiser Gutheissung der Berufung des Beklagten Ziffer 1 des erstinstanzlichen Urteils neu und verpflichtete den Beklagten in teilweiser Gutheissung der Klage, der Klägerin Fr. 184'384.20 nebst 5 % Zins seit 11. August 2003 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung ab. Das Gericht verwarf zunächst die prozessualen Einwendungen des Beklagten gegen das erstinstanzliche Urteil, bejahte die Passivlegitimation des Beklagten, bejahte auch ein Vertragsverhältnis zwischen den Parteien und verwarf die Verjährungseinrede. Das Obergericht bejahte sodann aufgrund der Gutachten die natürliche Kausalität zwischen dem schmerztherapeutischen Eingriff vom 11. August 2003 und dem Gesundheitszustand der Klägerin, verneinte eine Unterbrechung dieses Kausalzusammenhangs, bejahte sodann die Sorgfaltspflichtverletzung und hielt die erforderliche Aufklärung nicht für erwiesen. Es sprach daher - nach Korrektur eines Rechenfehlers - die eingeklagten drei Schadenspositionen zu. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. November 2014 stellt der Beklagte die Anträge, das angefochtene Urteil vom 21. August 2014 (zugestellt am 13. Oktober 2014) sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe Art. 316 ZPO verletzt, indem sie keine Berufungsverhandlung durchgeführt habe. Zudem hätte die Vorinstanz seinem Antrag auf ein polydisziplinäres Obergutachten gestützt auf Art. 8 ZGB und die Grundsätze der Waffengleichheit, des Fairnessgebotes und des Gleichheitsgebotes entsprechen müssen. Weiter sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, weil einer der Gutachter zwar den Ehemann der Klägerin, aber nicht den Beklagten angehört habe. Ausserdem rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe seine Verjährungseinrede zu Unrecht abgewiesen, da er als von der Nebenintervenientin angestellter Arzt keinen Vertrag mit der Klägerin geschlossen habe und die ausservertraglichen Ansprüche verjährt seien. Er hält sodann an seiner Bestreitung des natürlichen Kausalzusammenhangs fest; vielmehr seien mitursächlich eine posteriore Leukenzephalopathie und eine Mikroembolisierung als Auswirkung der konstitutionellen Prädisposition. Schliesslich äussert sich der Beschwerdeführer zu Adäquanz und Pflichtverletzung und beanstandet die Verlegung der Prozesskosten. D. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Nebenintervenientin beantragt in der Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. E. Mit Verfügung vom 24. Februar 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.