Sachverhalt: A. Am 15. Oktober 2015 gelangte die A._ AG (Klägerin, Beschwerdeführerin) mit einem Schlichtungsgesuch betreffend eine Forderung von Fr. 600.-- zuzüglich Zins und Beseitigung des Rechtsvorschlages gegen die B._ GmbH (Beklagte, Beschwerdegegnerin) an das Friedensrichteramt Kreise 1+2 der Stadt Zürich. Am 18. November 2015 fand die Schlichtungsverhandlung statt, an der die Klägerin einen Antrag auf Entscheid im Sinne von Art. 212 ZPO stellte. Nach der Durchführung des Entscheidverfahrens unterbreitete das Friedensrichteramt den Parteien schriftlich einen auf Klagegutheissung lautenden Urteilsvorschlag im Sinne von Art. 210 ZPO. Die Beklagte lehnte diesen ab, worauf der Klägerin am 4. Dezember 2015 die Klagebewilligung ausgestellt wurde. Die Klägerin führte Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich, wobei sie die Aufhebung der Klagebewilligung und die Gutheissung ihrer Klage verlangte. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. Januar 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Geschäfts-Nr.: RU150073-O/U). B. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde begehrt die Klägerin vor Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies beantragt die Klägerin, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.