Sachverhalt: A. A._ ist Gesuchsgegnerin in einem von ihrem Vater, B._, angehobenen Verfahren auf provisorische Rechtsöffnung über Fr. 158'880.-- (Verfahren EB160035-G des Bezirksgerichts Meilen). B._ stützt sich auf einen Vertrag über ein zinsloses Darlehen von EUR 150'000.--, während A._ geltend macht, diesen Betrag als Schenkung bzw. Erbvorbezug erhalten zu haben. Mit Verfügung und Urteil vom 27. April 2016 erteilte das Bezirksgericht Meilen provisorische Rechtsöffnung und wies das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. B. Dagegen hat A._ am 12. Mai 2016 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich erhoben. Sie ersucht darin um Aufhebung von Verfügung und Urteil vom 27. April 2016, um Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bezirks- und das obergerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat die Beschwerde gegen die Rechtsöffnung in das Verfahren RT160088-O verwiesen und gegen die Abweisung des Armenrechtsgesuchs in das separate Verfahren RT160094-O/U. Mit Beschluss und Urteil vom 9. Juni 2016 hat es die Beschwerde in Bezug auf die erstinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen. Sodann hat es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren RT160094-O/U abgewiesen. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- wurden A._ auferlegt. C. Am 20. Juli 2016 hat A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt die Aufhebung des Beschlusses und des Urteils vom 9. Juni 2016. Ihr sei für das obergerichtliche Verfahren RT160094-O/U und für das bezirksgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Allenfalls sei die Sache (hinsichtlich der unentgeltlichen Rechtspflege im bezirksgerichtlichen Verfahren) an das Obergericht oder an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Sowohl das Bezirksgericht wie auch das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.