Sachverhalt: A. Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt sprach A._ am 9. Juni 2016 der mehrfachen versuchten vorsätzlichen Tötung, der Gefährdung des Lebens, des Raufhandels und des mehrfachen Vergehens gegen das Waffengesetz schuldig und verurteilte ihn zu fünfeinhalb Jahren Freiheitsstrafe. Gegen dieses Urteil hat A._ Berufung angemeldet. Der Vorfall, der zur Verurteilung führte, hatte sich am 17. Oktober 2015 ereignet. Am 26. Oktober 2015 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt A._ in Untersuchungshaft. Die Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft wurde seither mehrfach verlängert, letztmals mit Beschluss des Strafgerichts vom 9. Juni 2016 bis zum 1. September 2016. Am 13. Juni 2016 bewilligte die Verfahrensleitung des Strafgerichts den vorzeitigen Strafvollzug. Gegen den Beschluss des Strafgerichts vom 9. Juni 2016 erhob A._ Beschwerde ans Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 20. Juni 2016 wies dieses die Beschwerde ab. B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 1. Juli 2016 ans Bundesgericht beantragt A._, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und er selbst sei umgehend aus der Haft zu entlassen. Die Staatsanwaltschaft und das Appellationsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.