Sachverhalt: A. A.a. B.A._ (geb. 1998) legte vom 10. bis zum 12. März 2014 die Aufnahmeprüfung für das Gymnasium an der Kantonsschule Burggraben, St. Gallen, ab. Am 14. März 2014 verfügte der Rektor der Kantonsschule, mit der erreichten Notensumme von 14 Punkten (Deutsch = 3.4; Französisch = 4.0; Mathematik 1 = 3.6; Mathematik 2 = 3.0) habe B.A._ die Aufnahmeprüfung für den Eintritt in das Gymnasium nicht bestanden. A.b. Bereits Ende Dezember 2013 hatten die damaligen Mathematik- und Sprachlehrkräfte des Sekundarschülers bei der Kantonsschule Burggraben nachgefragt, ob dieser die Aufnahmeprüfung, mindestens aber den Aufsatz im Fach Deutsch mit Computer absolvieren könne. In Stresssituationen sei B.A._s Schrift dermassen unleserlich, dass niemand sie entziffern könne. Gleiches hatte der Vater, A.A._, aufgrund von visuomotorischen Schwierigkeiten beantragt, als er B.A._ am 1. Februar 2014 zur Prüfung anmeldete. Seinem Antrag verlieh er mit einem Bericht des Zentrums für Schulpsychologie und therapeutische Dienste des Kantons Appenzell Ausserrhoden (SPD/AR) vom 29. Januar 2014 Nachdruck. Darin wird empfohlen, B.A._ als Nachteilsausgleich bei der Aufnahmeprüfung sowie bei allen künftigen schriftsprachlichen Prüfungen an der Kantonsschule die Verwendung eines Computers, zu ermöglichen. Der Computer sei indessen nur eine Erleichterung, das Problem an sich seien "Blackouts", von denen B.A._ berichte. Durch die computergestützte Arbeit könne es gelingen, die Leistungen bis zum "Blackout" zu verbessern. A.c. Am 28. Februar 2014, das heisst zehn Tage vor der Prüfung, eröffnete der Kantonsschulrektor den Eltern und B.A._ anlässlich einer mündlichen Besprechung, B.A._ dürfe weder den Computer benützen noch bekomme er zusätzliche Zeit für das Lösen der Aufgaben. Die prüfenden Lehrpersonen würden jedoch über die Schreibschwäche informiert und seien angehalten, das Geschriebene zu entziffern. In der Folge wurde B.A._ ermöglicht, den Aufsatz im Fach Deutsch im Anschluss an die Prüfung auf einen Tonträger zu sprechen. B. Mit Rekurs gegen den negativen Prüfungsentscheid gelangte A.A._ an den Erziehungsrat. Er beantragte insbesondere, die Verfügung vom 14. März 2014 sei aufzuheben und die gesamte Prüfung sei unter Gewährung normaler, international anerkannter Nachteilsausgleiche (Computerbenützung, mehr Zeit) innert einvernehmlicher Frist zu wiederholen. Der Erziehungsrat wies den Rekurs ab. Dagegen erhob A.A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Er ersuchte darum, den angefochtenen Rekursentscheid und die Verfügung der Kantonsschule vom 14. März 2014 aufzuheben. Der Entscheid der Kantonsschule sei durch eine Verfügung zu ersetzen, wonach B.A._ die Aufnahmeprüfung bestanden habe; auch seien keine Gebühren oder Kosten zu erheben. Das Verwaltungsgericht lehnte die Beschwerde am 16. September 2014 ab. C. Mit Eingabe vom 22. Oktober 2014 beantragt A.A._ für B.A._ dem Bundesgericht, das Urteil vom 16. September 2014 sei aufzuheben; die Sache sei an das Verwaltungsgericht zur Gutheissung der Beschwerde oder zu weiteren Abklärungen an den Erziehungsrat zurückzuweisen. Ihm sei für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und eine Parteientschädigung zuzusprechen. Der Beschwerde sei mit Bezug auf die Kosten aufschiebende Wirkung zu gewähren; zudem sei als vorsorgliche Massnahme dem Rektor der Kantonsschule Trogen (AR) zu gestatten, "den Abweisungsentscheid der Kantonsschule zu ignorieren und gemäss eigenem Ermessen eine Aufnahme B.A._s zu verfügen". Am 25. November 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen abgewiesen. Das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.