Sachverhalt: A. A.a. Die Ehegatten A._, geb. 1961, und B._, geb. 1970, ersuchten am 16. Mai 2012 für sich und ihre Kinder C._, geb. 1998, und D._, geb. 2000, um Erteilung der eidgenössischen Einbürgerungsbewilligung. Am 14. August 2012 überwies das Gemeindeamt des Kantons Zürich die Gesuchsunterlagen der Gemeinde Weiningen zum Entscheid über die Aufnahme ins Gemeindebürgerrecht. In der Folge lud die Bürgerkommission der Gemeinde Weiningen die Ehegatten A._ und B._ zu einem Gespräch ein, an dem auch die beiden Kinder teilnahmen. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2012 wies der Gemeinderat Weiningen das Einbürgerungsgesuch der Familie A._ und B._ ab. Dagegen beschritt die Familie den Rechtsweg. Mit Urteil vom 14. Februar 2014 hiess das Bundesgericht letztinstanzlich eine Beschwerde in der Sache gut und wies die Angelegenheit zur Vornahme ergänzender Verfahrensschritte und Sachverhaltsabklärung sowie zu neuem Entscheid an den Gemeinderat Weiningen zurück (BGE 140 I 99). A.b. Nach einem erneuten Einbürgerungsgespräch am 25. Juni 2014 lehnte der Gemeinderat Weiningen das Einbürgerungsgesuch der Eltern A._ und B._ mit Beschluss vom 14. Juli 2014 wiederum ab; demjenigen der Kinder C._ und D._ entsprach er unter Vorbehalt der Zustimmung der Eltern. Zur Begründung der Nichteinbürgerung der Eltern machte der Gemeinderat im Wesentlichen eine ungenügende Integration wegen mangelnder geografischer und staatsbürgerlicher Kenntnisse bei nur knapp ausreichenden Sprachkenntnissen geltend. A.c. Am 20. Mai 2015 wies der Bezirksrat Dietikon einen dagegen erhobenen Rekurs von A._ ab. B. Mit Urteil vom 11. November 2015 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine bei ihm erhobene Beschwerde von A._ ab. C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vollumfänglich aufzuheben; eventuell sei der Gemeinderat Weiningen anzuweisen, ihn in das Gemeindebürgerrecht aufzunehmen. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, die Nichteinbürgerung sei willkürlich und rechtsungleich; überdies sei der entscheidende Gemeinderat nicht unabhängig gewesen und habe ihm das rechtliche Gehör verweigert. Der Gemeinderat Weiningen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat Dietikon und das Verwaltungsgericht verzichteten auf eine Stellungnahme.