Sachverhalt: A. Der 1957 geborene A._ war als Bauarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 23. April 2010 bei einem Unfall am rechten Knie verletzte. Er musste sich deshalb mehreren Operationen (u.a. Versorgung mit einer Knie-Totalprothese) unterziehen. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Mit Verfügung vom 8. Mai 2012 schloss sie den Fall ab, indem sie dem Versicherten für die verbleibenden Unfallfolgen eine ab 1. April 2012 laufende Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 11 % und eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 18 % zusprach. Im April 2013 meldete A._ der SUVA einen Rückfall. Diese gewährte erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Sie leistete dabei auch Kostengutsprache für den am 9. Oktober 2014 vorgenommenen Ersatz der Knie-Totalprothese. Mit Verfügungen vom 2. und 30. Juli 2015 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau A._ ihrerseits eine abgestufte Rente der Invalidenversicherung zu, von April 2011 bis Dezember 2014 bei einem Invaliditätsgrad von 43 %, von Januar bis Juni 2015 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % und ab Juli 2015 bei einem Invaliditätsgrad von 58 %. Mit Verfügung vom 8. September 2015 eröffnete die SUVA dem Versicherten, nach dem medizinischen Befund liege am rechten Knie wieder der Endzustand vor und sei keine erhebliche Verschlimmerung der Unfallfolgen gegeben. Der nach Unfallversicherungsrecht bestehende Invalidenrentenanspruch könne somit nicht erhöht werden. Weitere Behandlungsmassnahmen seien nicht angezeigt. Die Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen endeten daher am 30. September 2015. A._ erhob Einsprache. Er beantragte, ihm seien ab 1. Oktober 2015 eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 58 % und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe einer Integritätseinbusse von 25 % zuzusprechen. Mit Entscheid vom 12. Februar 2016 wies die SUVA die Einsprache im Rentenpunkt ab und trat bezüglich Integritätsentschädigung nicht auf sie ein. B. Beschwerdeweise erneuerte A._ die mit Einsprache gestellten Anträge. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 16. Juni 2016 wies es die Beschwerde bezüglich Rente ab und trat bezüglich Integritätsentschädigung nicht darauf ein. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt A._ wieder die gleichen Rechtsbegehren zu Rente und Integritätsentschädigung. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.