Sachverhalt: A. A._ (geb. 1952) und B._ (geb. 1954) wurden mit Urteil des Bezirksgerichts Horgen am 7. Dezember 2007 geschieden. Das Bezirksgericht genehmigte die Teilvereinbarung der Parteien über die Scheidungsfolgen. Ziffer 5 der Vereinbarung (bzw. Ziff. 3.5 des Scheidungsurteils) lautet wie folgt: "Der Kläger verpflichtet sich, der Be klagten persönlich monatliche Unterhaltsbeiträge im Sinne von Art. 125 ZGB wie folgt zu be zahlen: Fr. 2'900.-- ab 1. Dezember 2007 bis zur ordentlichen Pensionierung des Klägers, jedoch frühestens ab Erreichen seines 60. Altersjahrs, zahlbar monatlich im Voraus jeweils auf den Ersten eines jeden Monats. Dieser Betrag erhöht sich um Fr. 800.-- monatlich, sobald der Kläger gegenüber dem Sohn C._ nicht mehr unterstützungspflichtig ist." Am 9. September 2013 stellte B._ unter anderem bezüglich der zitierten Ziffer ein Erläuterungsbegehren. Mit Urteil vom 28. Juni 2014 hiess das Bezirksgericht Horgen das Begehren bezüglich Ziffer 5 gut und erläuterte diese dahin, dass die Unterhaltspflicht des Klägers längstens bis zur ordentlichen Pensionierung andauert, im Falle einer Frühpensionierung jedoch erst mit Erreichen des 60. Altersjahrs entfällt. In der Begründung hielt das Bezirksgericht fest, es ergebe sich klar, dass B._ mit der Formulierung einen persönlichen Unterhaltsbeitrag längstens bis zu seiner ordentlichen Pensionierung mit 65 Jahren schulde, im Falle einer Frühpensionierung aber mindestens bis zum Erreichen des 60. Altersjahrs. Die Sichtweise von A._, wonach eine Frühpensionierung nur bei einer durch ein Arztzeugnis erwiesenen Arbeitsunfähigkeit ermöglicht werden sollte, ergebe sich nicht aus dem Wortlaut des Urteils. Eine solche Bedingung hätte ausdrücklich in die Konvention aufgenommen werden müssen. Das Motiv für die Frühpensionierung spiele keine Rolle. Das Erläuterungsurteil blieb unangefochten. B. Mit Zahlungsbefehl vom 15. Dezember 2015 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Horgen) betrieb A._ B._ für Unterhaltsbeiträge von Januar bis Dezember 2015 gemäss Scheidungsurteil vom 7. Dezember 2007 in der Höhe von Fr. 22'653.30 nebst 1 % Zins seit 1. April 2015 und eine Forderung in der Höhe von Fr. 22'540.85 nebst 1 % Zins seit 1. September 2015. B._ erhob Rechtsvorschlag. Am 18. Januar 2016 verlangte A._ vom Bezirksgericht Horgen, ihr gestützt auf das Scheidungs- und das Erläuterungsurteil definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Beträge nebst Zins zu erteilen. Das Bezirksgericht wies das Begehren mit Urteil vom 17. März 2016 ab. C. Am 30. März 2016 erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie verlangte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Urteils und sinngemäss die Gutheissung ihres Rechtsöffnungsgesuchs. Allenfalls sei die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Mit Urteil vom 30. Juni 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab. D. Am 9. September 2016 hat A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und sinngemäss, ihr Rechtsöffnungsgesuch gutzuheissen. Allenfalls sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie darum, über ihre Beschwerde in einer öffentlichen Beratung zu entscheiden. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.