Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1964) und B.A._ (geb. 1961) wurden am 28. Februar 1995 geschieden. Das auf einer Konvention basierende Scheidungsurteil verpflichtete B.A._ zu Unterhaltszahlungen an seine geschiedene Ehefrau und die am xx.xx.1993 geborene gemeinsame Tochter. B. B.a. Die Unterhaltsbeiträge für die geschiedene Ehefrau betrugen Fr. 3'600.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zum zehnten Geburtstag des Kindes (xx.xx.2003) und danach Fr. 1'500.-- bis zum 16. Geburtstag des Kindes (d.h. bis zum xx.xx.2009). Die Unterhaltsbeiträge für die Tochter wurden auf Fr. 650.-- bis zu deren zehnten Geburtstag und danach auf Fr. 750.-- bis zu deren Mündigkeit (d.h. bis zum xx.xx.2011) festgesetzt. B.b. In den ersten Jahren bezahlte B.A._ beide Beträge je unter Berücksichtigung der genauen Indexierung. Ab 2005 überwies er A.A._ monatlich pauschal Fr. 2'500.-- für beide Unterhaltsbeiträge zusammen. Er bezahlte den (ganzen) Betrag über den xx.xx.2009 (16. Geburtstag der Tochter) hinaus weiter. B.c. Am 18. Juli 2011 teilte B.A._ der geschiedenen Ehefrau mit, er habe festgestellt, dass er den Dauerauftrag an sie seit einigen Jahren nicht geändert habe, womit er insgesamt Fr. 35'354.-- zu viel bezahlt habe; er ersuchte sie um Rückvergütung. B.d. Am 4. November 2011 leitete B.A._ ein Schlichtungsverfahren ein, welches zu keiner Einigung führte. Die Klagebewilligung datiert vom 9. Februar 2012. Parallel dazu leitete er eine Betreibung ein über den Betrag von Fr. 35'354.--, zuzüglich Zinsen seit 18. Juli 2011 (Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes U._). A.A._erhob Rechtsvorschlag. C. C.a. Am 18. April 2012 klagte B.A._ vor dem Bezirksgericht Zürich auf Rückerstattung von Fr. 35'033.--, zuzüglich 5 % Zinsen seit 18. Juli 2011, sowie auf Bezahlung von Fr. 525.-- als Ersatz für die Kosten der Klagebewilligung. Weiter sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung im Umfang von Fr. 35'033.--, zuzüglich 5 % Zinsen seit 18. Juli 2011, und Zahlungsbefehlskosten aufzuheben. C.b. A.A._ beantragte die Abweisung der Klage und widerklageweise die Bezahlung von Fr. 7'247.--, zuzüglich Zins. C.c. Das Bezirksgericht wies mit Urteil vom 20. August 2013 sowohl Klage als auch Widerklage ab. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien im Verhältnis von 4/5 (B.A._) zu 1/5 und verpflichtete B.A._ zur Leistung einer Parteientschädigung an A.A._. D. D.a. Gegen dieses Urteil erhob B.A._ am 18. Oktober 2013 Beruf ung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er wiederholte die bereits vor dem Bezirksgericht gestellten Begehren. Sodann seien die Kosten beider Instanzen A.A._ aufzuerlegen und ihm sei eine Parteientschädigung zuzusprechen. D.b. Das Obergericht setzte A.A._ die gesetzliche Frist von 30 Tagen zur Einreichung einer Berufungsantwort. Ihr damaliger Anwalt ersuchte am letzten Tag der Frist um eine Fristerstreckung. Das Obergericht wies das Gesuch ab mit der Begründung, bei der Antwortfrist handle es sich um eine gesetzliche Frist, welche der Richter nicht erstrecken könne. Diese Rechtsfrage ist insoweit unbestritten. D.c. Mit Urteil vom 21. Januar 2014 hiess das Obergericht die Berufung gut und verpflichtete A.A._ zur Rückzahlung von Fr. 35'033.--, zuzüglich 5 % Zins seit 18. Juli 2011, und Fr. 525.--. Den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes U._ hob es im beantragten Umfang auf. Weiter auferlegte es A.A._ die Verfahrenskosten beider Instanzen sowie eine Parteientschädigung an B.A._. E. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Februar 2014 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts. Die Klage von B.A._ (Beschwerdegegner) vom 18. April 2012 sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen abzuweisen; eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner hat sich zwei Mal vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hat repliziert. F. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 22. Januar 2015 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.