Sachverhalt: A. Der kurdische Iraker A._ (Jg. 1978) reiste am 8. August 1999 illegal und unter falschem Namen in die Schweiz ein. Tags darauf stellte er ein Asylgesuch. Am 10. August 2001 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration, SEM) das Gesuch ab, verfügte die Wegweisung und setzte A._ Frist bis zum 8. November 2001, um die Schweiz zu verlassen. Am 29. August 2001 heiratete A._ in Bern die Schweizerin B._. Er erhielt daraufhin im Kanton Bern eine Aufenthaltsbewilligung. Am 1. September 2002 kam der gemeinsame Sohn C._ zur Welt. B. Am 7. März 2006 stellte A._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Am 1. September 2007 unterzeichneten die Ehegatten die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hätten. Am 23. Oktober 2007 wurde A._ in Köniz eingebürgert. Am 3. Oktober 2008 reichte die damalige Ehefrau von A._ beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen ein Eheschutzgesuch ein. Zwei Tage später verliess A._ die eheliche Wohnung. Am 7. Mai 2009 wurde die Trennungsvereinbarung der Eheleute gerichtlich genehmigt; darin wurde festgehalten, dass der gemeinsame Haushalt seit dem 5. Oktober 2008 auf unbestimmte Zeit aufgehoben sei und der gemeinsame Sohn für die Dauer der Aufhebung unter die Obhut der Mutter gestellt werde. Am 18. April 2013 wurden A._ und B._ rechtskräftig geschieden. Am 21. Mai 2013 stellte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Begehren gemäss Art. 42 Abs. 1 ZGB um Berichtigung seines Namens, Vornamens und Jahrgangs im Zivilstandsregister. Er habe bei seiner Flucht falsche Angaben gemacht, um sich vor Repressalien des irakischen Staates zu schützen. Solange die Angaben nicht berichtigt seien, könne er seine neue irakische Lebenspartnerin, mit welcher er im Irak zwei Kinder (Jg. 2011 und 2012) habe, nicht heiraten. C. Am 3. Juni 2013 eröffnete das SEM ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 22. August 2014 erteilte der Heimatkanton Bern seine Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 10. September 2014 erklärte das SEM die erleichterte Einbürgerung von A._ für nichtig und stellte fest, die Nichtigkeit erstrecke sich auf alle Familienmitglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruhe. Am 10. Oktober 2014 beantragte A._ beim Bundesverwaltungsgericht, diese Verfügung des SEM aufzuheben und ihm und seinen Familienmitgliedern das Schweizer Bürgerrecht zu belassen. D. Am 11. Februar 2015 wies das Regionalgericht Bern-Mittelland den Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern an, Namen, Vornamen und Geburtsdatum von A._ entsprechend seinen Angaben zu bereinigen. Am 2. Dezember 2015 anerkannte A._ in Bern seine beiden im Irak geborenen Kinder, welche dadurch das schweizerische Bürgerrecht erwarben. Am 11. Juli 2016 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von A._ gegen die Nichtigerklärung seiner Einbürgerung ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ebenfalls ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten. E. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihm und seinen miteingebürgerten Kindern das Bürgerrecht zu belassen. Die erstinstanzlichen Verfahrens- und Parteikosten seien dem Bundesverwaltungsgericht aufzuerlegen; eventuell sei ihm für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. F. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das SEM beantragt, die Beschwerde abzuweisen.