Sachverhalt: A. A.a. A._ (Ehemann/Vater) und B._ (Ehefrau/Mutter) sind die verheirateten Eltern ihres Sohnes namens C._ (2009). Die Eltern leben seit Juni 2012 getrennt. Mit Eheschutzentscheid des Gerichtspräsidiums Aarau vom 26. Oktober 2012 wurde die Obhut über den Sohn der Mutter zugewiesen und dem Vater ein gerichtsübliches Besuchsrecht zugesprochen. Die eheliche Liegenschaft wurde der Mutter zur Benutzung zugewiesen und der Vater/Ehemann verpflichtet, Beiträge an den Unterhalt des Sohnes und an jenen der Ehefrau zu leisten. A.b. Am 6. Juni 2014 leitete der Ehemann am Bezirksgericht Aarau das Scheidungsverfahren ein. Im Rahmen der Klagebegründung ersuchte er um Erlass vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens. Konkret beantragte er, den Sohn unter seine Obhut zu stellen, das Besuchsrecht der Mutter zu regeln und die eheliche Liegenschaft ihm zur ausschliesslichen Benutzung zuzuweisen; ferner sei festzustellen, dass er auf Unterhaltsbeiträge für den Sohn verzichte und kein Anspruch der Ehefrau auf persönliche Unterhaltsbeiträge bestehe. A.c. Am 7. Juli 2015 änderte das Gerichtspräsidium Aarau das Urteil der nämlichen Instanz vom 26. Oktober 2012 ab: Es verpflichtete die Mutter bis zum 1. Januar 2016 aus der ehelichen Liegeschaft auszuziehen und wies die Liegenschaft ab diesem Zeitpunkt dem Vater sowie dem Sohn zu. Zudem verbot es der Mutter unter Androhung der Strafen nach Art. 292 StGB, genau bezeichnete Gegenstände mitzunehmen (2). Ferner stellte es den Sohn unter die Obhut des Vaters (3.1), regelte das Besuchsrecht der Mutter (3.2) und stellte des weiteren fest, dass der Vater auf Unterhaltsbeiträge für den Sohn verzichtet (3.4 [recte wohl 3.3]). Schliesslich erkannte es, dass die vom Ehemann an die Ehefrau zu leistenden Unterhaltsbeiträge ab 1. Januar 2016 dahinfallen (4). B. Die Mutter gelangte gegen diesen Entscheid mit Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau mit dem Begehren, den angefochtenen Entscheid des Gerichtspräsidiums aufzuheben und das Gesuch des Vaters um Erlass vorsorglicher Massnahmen abzuweisen. Überdies beantragte sie den Aufschub der Vollstreckung des erstinstanzlichen Entscheids. Der Vater schloss auf Abweisung des eingelegten Rechtsmittels. Am 19. Oktober 2015 wies der Instruktionsrichter das Gesuch der Mutter um Aufschub der Vollstreckung ab. In Gutheissung der Berufung hob das Obergericht am 20. Januar 2016 den angefochtenen Entscheid auf und wies "die Klage" ab (Ziff.1). Des Weiteren wies es die Mutter an, alles zu unterlassen, was geeignet ist, den Sohn gegenüber seinem Vater negativ zu beeinflussen (negative Äusserungen in Bezug auf den Vater in Anwesenheit des Sohnes). Es aufregte die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- dem Vater und verpflichtete diesen, der Mutter ihre richterlich festgesetzten Parteikosten von Fr. 2'970.-- zu bezahlen. C. Der Vater (Beschwerdeführer) hat am 27. Januar 2016 (Postaufgabe) gegen den obergerichtlichen Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben; er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Im Weiteren ersuchte er um superprovisorische Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Ferner hat er am 28. Januar 2016 (Postaufgabe) einen Zusatz eingereicht. Darin beantragte er den Erlass vorsorglicher Massnahmen. Am 8. Februar 2016 (Postaufgabe) stellte er ein weiteres Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen. Die Mutter (Beschwerdegegnerin) hat sich am 15. Februar 2016 (Postaufgabe) zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen. D. Mit Verfügung vom 17. Februar 2016 trat der Präsident der erkennenden Abteilung auf das Massnahmegesuch vom 8. Februar 2016 nicht ein und schrieb jenes vom 28. Januar 2016 als gegenstandslos geworden ab; ferner erteilte er der Beschwerde in teilweiser Gutheissung des Gesuchs des Beschwerdeführers aufschiebende Wirkung für die vom Obergericht der Beschwerdegegnerin zugesprochene Parteientschädigung und wies das Gesuch im Übrigen ab. E. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.