Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1959) und B.A._ (1960) heirateten im Jahr 1993. Die gemeinsamen Kinder C.A._ und D.A._ wurden 1994 resp. 1998 geboren. Die Eheleute lebten seit 2007 getrennt. B. Mit Urteil vom 10. April 2012 schied das Kreisgericht See-Gaster die Ehe auf gemeinsamen Antrag der Parteien hin. Was die vor Bundesgericht noch strittigen Punkte angeht, verpflichtete das Kreisgericht A.A._, den Söhnen ab Rechtskraft des Scheidungsurteils monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 1'100.-- zu bezahlen, der Ehefrau solche von Fr. 3'600.-- bis August 2014 und danach von Fr. 1'900.-- bis zum Eintritt des Ehemanns in das ordentliche AHV-Alter; den nachehelichen Unterhalt erklärte das erstinstanzliche Gericht im Umfang von Fr. 500.-- für nicht abänderbar (Vorsorgeunterhalt). C. Auf Berufung von A.A._ und Anschlussberufung von B.A._ hin änderte das Kantonsgericht St. Gallen den kreisgerichtlichen Entscheid vom 10. April 2012 mit Urteil vom 15. Januar 2015 ab, indem es A.A._ verpflichtete, ab dem 1. Oktober 2014 an den Unterhalt des Sohnes D.A._ monatlich und im Voraus Fr. 1'700.-- zuzüglich Ausbildungszulagen zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 1), sowie an den Unterhalt seines volljährigen Sohnes C.A._ monatlich und im Voraus Fr. 500.-- zuzüglich Ausbildungszulagen (Ziff. 2), dies jeweils bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung. Ebenfalls ab dem 1. Oktober 2014 habe er an B.A._ monatlich im Voraus nachehelichen Unterhalt von Fr. 2'200.-- und ab August 2018 bis zu seinem Eintritt ins ordentliche AHV-Alter einen solchen von Fr. 2'100.-- zu bezahlen (Ziff. 3). D. A.A._ (Beschwerdeführer) erhob am 16. Februar 2015 Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, die Ziffern 1 und 3 des Urteils vom 15. Januar 2015 seien aufzuheben. Er sei zu verpflichten, ab dem 1. September 2014 jeweils monatlich im Voraus an den Unterhalt von Sohn D.A._ Fr. 1'100.-- (zuzüglich allfälliger Ausbildungszulagen) sowie an B.A._ unabänderlichen nachehelichen Unterhalt von Fr. 500.--, befristet bis zu seinem Eintritt ins ordentliche AHV-Alter, zu bezahlen. B.A._ und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.