Sachverhalt: A. A.a. Am 9. April 2010 wurde über die 1926 geborene B.A._ eine Beistandschaft errichtet. Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 passte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Basel-Stadt diese Massnahme dem am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen Kindes- und Erwachsenenschutzrecht an und setzte C._, Berufsbeiständin beim Amt für Beistandschaften und Erwachsenenschutz, als Beiständin nach Art. 394 Abs. 1 ZGB in Verbindung mit Art. 395 ZGB ein. Der Beiständin wurde aufgetragen, stets für eine geeignete Wohnsituation bzw. Unterkunft besorgt zu sein, die Verbeiständete bei allen in diesem Zusammenhang erforderlichen Handlungen wie auch beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten soweit erforderlich zu vertreten und sie ferner beim Erledigen der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere ihr Einkommen und Vermögen sorgfältig zu verwalten. Mit Urteil vom 2. Dezember 2014 erweiterte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht die bestehende Beistandschaft auf eine Vertretungsbeistandschaft in medizinischen Belangen gemäss Art. 378 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB und übertrug diese Aufgabe der bereits eingesetzten Beiständin. A.b. Am 28. Mai 2014 erlitt B.A._ einen Schlaganfall. Nach einem kurzen Aufenthalt im Spital D._ war sie bis zum 28. Juli 2014 zur Rehabilitation im Spital der Stiftung E._. Die Beiständin veranlasste ihre Platzierung im Alters- und Pflegeheim der Stiftung E._, wo sich die Betroffene seit dem 28. Juli 2014 aufhält. B. Mit Eingabe vom 18. Dezember 2014 erhob A.A._, Sohn der Verbeiständeten, bei der KESB Beschwerde gemäss Art. 419 ZGB gegen die Beiständin und beantragte, die von ihr veranlasste Platzierung seiner Mutter im Alters- und Pflegeheim E._ rückgängig zu machen und die Mutter nach Hause zu entlassen. Soweit Einwände gegen eine Rückkehr bestünden, seien diese unverzüglich schriftlich zu begründen. Die "momentane Situation" sei einmal "korrekt und in Ruhe" mit dem Hausarzt der Verbeiständeten, mit ihm, seiner Mutter und einer Vertretung der KESB zu besprechen. Die angerufene Instanz wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Oktober 2014 ab. A.A._ gelangte gegen diesen Entscheid an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches seine Beschwerde mit Urteil vom 20. Februar 2015 abwies. C. A.A._ (Beschwerdeführer) hat am 25. April 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Appellationsgerichts Beschwerde erhoben. Er beantragt, es sei unverzüglich der langjährige Hausarzt der Mutter zu beauftragen, zusammen mit der Mutter und dem Beschwerdeführer abzuklären, ob die Mutter in ihre eigene Wohnung zurückkehren und dort mit zusätzlicher Unterstützung durch die Spitex betreut werden könne. Dabei solle der Hausarzt selbständig und ohne Beeinflussung durch die KESB, die Beiständin oder die Angestellten des Heims entscheiden können. Bejahe der Hausarzt die entsprechende Möglichkeit, sei nach einer Woche die Situation durch ihn vor Ort zu überprüfen und abzuklären; soweit alles in Ordnung sei, habe eine erneute Prüfung nach einer Woche, dann nach zwei Wochen usw. zu erfolgen. Im Weiteren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.