Sachverhalt: A. Die Eheleute A._ und B._, beide kosovarische Staatsangehörige, ersuchten mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 um Erteilung des Bürgerrechts. Das erste Gespräch zwischen ihnen und dem Gemeinderat Uttwil fand am 29. Juni 2010 statt. Am 3. Mai 2011 erteilte das Bundesamt für Migration den Eheleuten die eidgenössische Einbürgerungsbewilligung. B. Am 21. Mai 2013 fand aufgrund der Wahl neuer Gemeinderatsmitglieder ein zweites Abklärungsgespräch mit A._ und B._ statt, bei dem sie schriftlich geprüft wurden. Mit Schreiben vom 28. September 2013 ersuchten die Eheleute um Traktandierung ihres Einbürgerungsgesuchs an der Gemeindeversammlung. Der Gemeinderat beantragte dessen Ablehnung mit der Begründung, die Deutschkenntnisse und die soziale Integration seien ungenügend. Am 12. November 2013 lehnte die Gemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch mit 76 Ja- zu 153 Nein-Stimmen ab. C. Den gegen diesen ablehnenden Einbürgerungsentscheid erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit (DJS) des Kantons Thurgau am 31. März 2014 ab. Ebenso wies das Verwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 3. Dezember 2014 ab. D. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 2. Februar 2015 an das Bundesgericht beantragen A._ und B._ die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die verfahrensbeteiligte Gemeinde, eventualiter an das Verwaltungsgericht. Die Politische Gemeinde Uttwil, das DJS und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Parteien halten im weiteren Schriftenwechsel an ihren Anträgen fest.