Sachverhalt: A. A.a. Dr. med. A._ war ab... 2001 als Assistenzarzt und ab.... 2005 als Oberarzt i.V. am Spital B._ angestellt. Nachdem sich ab Herbst 2005 Differenzen mit dem vorgesetzten Chefarzt und der Spitalleitung ergaben und A._ ab Juni 2008 stressbedingte Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit geltend machte, fand im August 2008 ein Gespräch mit dem Chefarzt und dem Leiter des Personaldienstes statt, anlässlich welchem A._ eine einvernehmliche Beendigung des Anstellungsverhältnisses vorgeschlagen wurde. Eine solche kam nicht zustande. Am 4. September 2008 wurde A._ freigestellt. Die am 12. September und 24. Oktober 2008 ausgesprochenen Kündigungen mussten wegen Nichteinhaltung der Sperrfrist zurückgenommen werden. Die Arbeitgeberin kündigte das Arbeitsverhältnis in der Folge mit Schreiben vom 25. November 2008 auf den 28. Februar 2009. Auf Einsprache hin wurde die Kündigung mit Schreiben vom 9. März 2009 begründet. A.b. Am 15. Dezember 2010 liess A._ eine Nachzahlung von ambulanten Poolzulagen für den Zeitraum vom 1. Januar 2006 bis 28. Februar 2009 von Fr. 42'646.35 sowie von stationären Poolzulagen von Fr. 15'750.-, die Rückerstattung von Kurskosten von Fr. 2'346.-, die Auszahlung des zu Unrecht zum Abzug gebrachten Betrags für Ferien von Fr. 4'320.30, eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung von sechs Monatslöhnen bzw. Fr. 63'342.50, eine Vergütung für Überzeit/Bereitschaftsdienst von Fr. 323'371.60, alles nebst Verzugszins zu 5 % seit 1. März 2009, sowie die Abänderung des Arbeitszeugnisses verlangen. Die Direktion der Spitäler Schaffhausen wies die Forderungen mit Verfügung vom 2. November 2011 ab. Den hiegegen erhobenen Rekurs hiess der Spitalrat der Spitäler Schaffhausen mit Entscheid vom 16. Oktober 2013 im Betrag von Fr. 4'320.30 brutto für Ferien zuzüglich Zinsen zu 5 % seit 1. März 2009 gut; im restlichen Umfang wies er ihn ab. A._ wurden die Verfahrenskosten im Betrag von Fr. 2'000.- auferlegt; eine Parteientschädigung wurde nicht zugesprochen. B. Beschwerdeweise liess A._ beantragen, es sei ihm eine Entschädigung von Fr. 451'776.75 zuzüglich Zins zu 5 % seit 18. Januar 2011 zuzusprechen, eventuell sei die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ihm seien weder für das Rekurs- noch für das Beschwerdeverfahren Kosten aufzuerlegen und für beide Verfahren je eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 28. August 2015 teilweise gut. Es verpflichtete die Direktion der Spitäler Schaffhausen A._ Pikettzulagen von Fr. 504.- abzüglich der geschuldeten Sozialversicherungsbeiträge sowie eine Entschädigung wegen sachlich nicht gerechtfertigter Kündigung von Fr. 28'293.-, beides nebst Verzugszins zu 5 % seit 18. Januar 2011, zu bezahlen. Bezüglich der stationären Poolzulagen wies es die Sache zum Neuentscheid an die Direktion der Spitäler Schaffhausen zurück. Die Kosten des Rekursverfahrens von Fr. 2'000.- auferlegte das kantonale Gericht zu 4/5 A._ und zu 1/5 der Direktion der Spitäler Schaffhausen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, die Direktion der Spitäler Schaffhausen sei zu verpflichten, ihm Fr. 322'867.60 Lohn für Überzeitarbeit sowie Fr. 42'646.35 an ambulanten Poolzulagen für die Jahre 2007 bis 2009, beides zuzüglich 5 % Zins seit 18. Januar 2011, zu bezahlen. Die Kosten des Rekursverfahrens und des kantonalen Beschwerdeverfahrens seien dementsprechend zu 1/10 ihm und zu 9/10 der Direktion Spitäler Schaffhausen aufzuerlegen; zudem habe Letztere ihm für das Rekursverfahren eine angemessene Parteientschädigung und für das vorinstanzliche Verfahren eine solche von Fr. 7'200.- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache betreffend Entschädigung für geleisteten Bereitschaftsdienst bzw. betreffend Anspruch auf ambulante Poolzulagen sowie zur Festsetzung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für die beiden vorangegangenen Verfahren zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Direktion der Spitäler Schaffhausen lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen.