Sachverhalt: A. Mit ärztlicher Verfügung vom 12. April 2016 wurde A._ (geb. 1990; Betroffene) wegen einer psychischen Störung fürsorgerisch in die B._ AG, Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie, eingewiesen. Während ihres Aufenthaltes wurde sie aufgrund physischer Beschwerden notfallmässig in das Kantonsspital Frauenfeld verlegt und dort operiert. In der Folge hielt sie sich zur Rehabilitation in der Klinik V._ auf. Mit ärztlicher Verfügung vom 4. Mai 2016 wurde sie in der B._ AG, Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie, (nachfolgend: Klinik) bzw. in der Psychiatrischen Klinik W._ untergebracht. Mit Entscheid vom 23. Mai 2016 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (nachfolgend: KESB) eine dagegen erhobene Beschwerde der Betroffenen ab. B. B.a. Am 2. Juni 2016 beschloss die KESB die Weiterführung der fürsorgerischen Unterbringung der Betroffenen und verlegte diese in die Klinik. Im Weiteren delegierte die Behörde die Entlassungskompetenz an die Einrichtung. In diesem Verfahren amtete Dr. C._ als Präsidentin der KESB. B.b. Am 28. Juli 2016 ersuchte der Verein D._ die Klinik darum, die Betroffene sofort zu entlassen. Mit Entscheid vom 3. August 2016 wies die ärztliche Leitung das Entlassungsgesuch ab. Die Betroffene gelangte dagegen an die KESB, die ihre Beschwerde mit Entscheid vom 11. August 2016 abwies. Auch im Beschwerdeverfahren war Dr. C._ als Präsidentin eingesetzt. Mit Entscheid vom 29. August 2016 wies das Obergericht des Kantons Thurgau die Beschwerde der Betroffenen gegen den Entscheid der KESB ab, soweit darauf einzutreten war. C. Die Betroffene (Beschwerdeführerin) hat am 5. Oktober 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts Beschwerde erhoben. Sie beantragt, es sei vorfrageweise festzustellen, dass durch "§ 16 Abs. 1 und § 58 Abs. 2 EG ZGB sowie die diese Artikel konkretisierende Verordnung des Obergerichts (KESV), insbesondere § 19 Abs. 2, §§ 70 ff. KESV, die Art. 6 Abs. 1 und 5 Abs. 4 EMRK sowie Art. 30 Abs. 1 BV verletzt werden" (1). Der angefochtene Entscheid und die fürsorgerische Unterbringung seien aufzuheben (2). Eventuell sei das Verfahren zur Durchführung einer Anhörung/Hauptverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (3). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. D. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die KESB hat sich nicht vernehmen lassen. E. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 17. November 2016 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.