Sachverhalt: A. A.a. A._, geb. 1953, leidet seit 1974 an fortschreitender Multipler Sklerose. Die Invalidenversicherung sprach ihr verschiedene Hilfsmittel, eine ganze Invalidenrente sowie eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades zu. Im April 2010 stellte die Versicherte bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen ein Begehren um Übernahme der Kosten für den Umbau eines Fahrzeuges VW Caddy Life Automat im Umfang von Fr. 50'001.70, wobei insbesondere der Einbau eines Rollstuhllifts, einer elektrischen Heckklappe mit Fernbedienung, ein 6-Weg-Fahrsitzunterbau mit orthopädischem Fahrersitz "Recaro" sowie eine Standheizung vorgesehen war (Offerte der Firma B._ GmbH vom 1. April 2010 über den Betrag von Fr. 50'001.70). Das Hilfsmittel-Zentrum SAHB erachtete die Positionen "Recaro-Sitz" und "Standheizung" für unnötig, schlug aber zusätzlich eine Kostenbeteiligung für das Automatikgetriebe in der Höhe von Fr. 1'300.- vor (Total: Fr. 41'902.85). Mit Verfügung vom 2. November 2010 sprach die IV-Stelle A._ eine Kostenbeteiligung von Fr. 25'000.- zu. Die von der Versicherten dagegen erhobene Beschwerde hiess das angerufene Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen teilweise gut; es wies die Sache zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurück. Dabei ordnete es an, es sei - nebst der Fahreignung - zu prüfen, wie die Fortbewegung der Versicherten konkret ausgestaltet, insbesondere inwieweit eine selbständige Fortbewegung tatsächlich und aus medizinischer Sicht möglich sei, oder ob die Versicherte von vornherein - trotz eines zur selbständigen Benützung umgebauten Fahrzeugs - auf Dritthilfe angewiesen sei. Zusätzlich sei die medizinische Notwendigkeit eines Recaro-Sitzes sowie einer Standheizung abzuklären, ebenso seien die zeitliche Nutzung des Fahrzeugs und die Möglichkeit der Versicherten, die Fahrzeugscheiben mit mechanischen oder chemischen Mitteln selber zu enteisen, zu prüfen (Entscheid vom 30. Juni 2011). Die IV-Stelle holte beim Hausarzt der Versicherten, Dr. med. C._, Facharzt für Allgemeinmedizin, eine Stellungnahme (erstattet am 15. August 2011) ein. Sie nahm den Bericht über die amtsärztliche Untersuchung der Fahrtauglichkeit vom 19. September 2011 zu den Akten und informierte sich bei der Versicherten über die Benützung des Fahrzeuges (Aktennotiz zu Telefongespräch vom 18. Oktober 2011). Am 30. November 2011 nahm RAD-Arzt Dr. med. D._ Stellung. Die IV-Stelle führte das Vorbescheidverfahren durch und sprach der Versicherten mit Verfügung vom 16. Februar 2012 (unverändert) einen Kostenbeitrag von Fr. 25'000.- zu. A.b. Am 23. November 2012 gelangte A._ erneut an die IV-Stelle. Sie machte eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend (vermehrte Schmerzen im rechten, bislang noch funktionsfähigen Arm) und ersuchte um Übernahme der Kosten für die wegen des Kraftverlusts erforderliche Verringerung der Servolenkung des Autos in der Höhe von Fr. 2'862.-. Die IV-Stelle wies das Leistungsgesuch ab mit der Begründung, der Kostenrahmen von Fr. 25'000.- sei bereits ausgeschöpft (Verfügung vom 12. Dezember 2012). B. A._ liess gegen beide Verfügungen je separat (am 22. März 2012 und am 30. Januar 2013) Beschwerde erheben und deren Aufhebung beantragen. Es seien ihr die gesamten Umbaukosten in der Höhe von Fr. 44'150.- (gemäss korrigierter Eingabe vom 8. Mai 2012) und Fr. 2'862.- zu erstatten. Das angerufene Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen vereinigte die beiden Verfahren. Es hiess die Beschwerde gegen die Verfügung vom 16. Februar 2012 teilweise und diejenige gegen die Verfügung vom 12. Dezember 2012 vollumfänglich gut und verpflichtete die IV-Stelle, die Kosten für das beantragte Hilfsmittel (Fahrzeugumbau) in der Höhe von Fr. 43'258.45 zu übernehmen (Entscheid vom 3. März 2014). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben; ihre Verfügungen vom 16. Februar und 12. Dezember 2012 seien zu bestätigen. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.