Sachverhalt: A. Die Präsidentin des Bezirksgerichts Aarau (im Folgenden: das Bezirksgericht) verpflichtete A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) mit Urteil vom 18. September 2014, B._ (Kläger, Beschwerdegegner) aus einem Anwaltsmandat Fr. 9'648.80 nebst Zins zu 5 % seit 30. Januar 2010 und Fr. 667.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 21. Oktober 2010 zu bezahlen. Auf eine Widerklage des Beklagten trat das Gericht nicht ein. Das im Dispositiv ausgefertigte Urteil wurde dem Beklagten via Publikation vom 3. Oktober 2014 im Amtsblatt des Kantons Aargau eröffnet. B. Am 29. Oktober 2014 (Postaufgabe am 1. November 2014) reichte der Beklagte beim Obergericht des Kantons Aargau eine als "Beschwerde" bezeichnete Eingabe ein, in der er sinngemäss die Aufhebung des Urteils vom 18. September 2014 beantragte. Das Obergericht wies den Beklagten mit Schreiben vom 12. November 2014 darauf hin, dass das nur im Dispositiv, ohne Begründung ergangene Urteil vom 18. September 2014 kein einem Rechtsmittel zugängliches Anfechtungsobjekt sei, worauf der Beklagte diverse weitere Eingaben einreichte und erklärte, er halte an seiner Eingabe vom 29. Oktober 2014 fest. Mit Urteil vom 21. Januar 2015 trat das Obergericht auf die genannte Eingabe nicht ein. C. Der Beklagte beantragt mit Beschwerde vom 6. März 2015, das Urteil des Obergerichts vom 21. Januar 2015, den Entscheid des Bezirksgerichts vom 18. September 2014 und eine Verfügung des Bezirksgerichts Aarau vom 9. Mai 2014 aufzuheben. Der Kläger schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Der Beschwerdeführer reichte eine Replik ein. Mit Präsidialverfügung vom 22. Mai 2015 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.