Sachverhalt: A. A._ (geb. 1974) ist türkischer Staatsangehöriger und reiste am 10. Dezember 2006 in die Schweiz ein. Hier stellte er am 11. Dezember 2006 ein Asylgesuch. Am 15. Januar 2007 heiratete er eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Mazedonierin, worauf A._ am 16. Januar 2007 sein Asylgesuch zurückzog. Im April 2007 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erteilt. Mit Antrag vom 9. Februar 2012 ersuchte A._ um Umwandlung der Aufenthaltsbewilligung in eine Niederlassungsbewilligung. Dem Gesuch entsprach das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) mit Verfügung vom 13. April 2012. A._ und seine Ehefrau trennten sich am 31. Mai 2012. Am 24. Oktober 2012 erfolgte die einvernehmliche Scheidung der Ehegatten. B. Nach vorgängiger Gewährung des rechtlichen Gehörs widerrief das MIKA mit Verfügung vom 2. Dezember 2013 die Niederlassungsbewilligung von A._. Unter Vorbehalt einer allfälligen Zustimmung des Staatssekretariats für Migration (SEM; damals Bundesamt für Migration BFM) erteilte es ihm zugleich auf den Zeitpunkt der Rechtskraft der Verfügung eine Aufenthaltsbewilligung. Einer dagegen gerichteten Einsprache von A._ war kein Erfolg beschieden (Einspracheentscheid vom 10. Februar 2014). Kantonal letztinstanzlich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau eine gegen den Einspracheentscheid gerichtete Beschwerde mit Urteil vom 15. Dezember 2015 ab. Bereits am 7. September 2015 hatte der Beschwerdeführer beim MIKA ein Gesuch um Familiennachzug für seine am 10. Oktober 2013 zivilrechtlich und schon früher nach religiösem Brauch angetraute Frau sowie drei gemeinsame Kinder (geb. 1998, 2004 und 2006) eingereicht. C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Dezember 2015 gelangt A._ mit Beschwerde vom 13. Januar 2016 an das Bundesgericht. Er verlangt im Hauptantrag, es sei ihm die Niederlassungsbewilligung zu belassen. Eventualiter sei ihm "die B-Bewilligung zu erteilen". Das MIKA, das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und das SEM beantragen die Abweisung der Beschwerde. A._ lässt sich dazu mit Stellungnahme vom 4. Mai 2016 vernehmen.