Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts auf Geldwäscherei, mehrfachen Pfändungsbetrugs und Widerhandlungen gegen das Bundesgesetz betreffend die Lotterien und die gewerbsmässigen Wetten (LG; SR 935.5). Ihm wird vorgeworfen, dass Gelder deliktischer Herkunft in der Höhe von Fr. 400'000.-- auf seine Konten bar einbezahlt und grösstenteils wieder bar bezogen worden seien. Ausserdem soll er gegenüber dem Betreibungsamt Vermögenswerte verheimlicht und als Restaurantbetreiber in seinem Lokal gewerbsmässig Wetten vermittelt und zu ihrer Eingehung Gelegenheit geboten haben. B. Am 2. Juni 2016 verfügte die Staatsanwaltschaft gestützt auf Art. 30 StPO die Abtrennung des Verfahrens wegen Widerhandlungen gegen das LG und dessen Überführung in ein separates Übertretungsstrafverfahren. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Solothurn mangels genügender Begründung bzw. mangels offensichtlichen Vorliegens der Beschwerdebefugnis nicht ein (Dispositiv Ziff. 1). Zudem wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Ziff. 2). Zur Begründung führte es aus, der Beschwerdeführer habe sich zu seiner Legitimation gemäss Art. 382 Abs. 1 StPO nicht geäussert. Zwar habe er darauf hingewiesen, dass es der Staatsanwaltschaft bei der Verfahrenstrennung um die bevorstehende Verjährung gehe. Er habe aber nicht ausgeführt, inwiefern seinerseits ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Verfügung bestehe. Dabei sei zu bemerken, dass ein allfälliger Strafbefehl, gegen den Einsprache erhoben werde, die Verjährungsfrist weiter laufen lasse. Würde wegen der Übertretungen eine Anklage erhoben, könnten die hier gegen die Verfahrenstrennung vorgebrachten Einwendungen auch beim Sachgericht geltend gemacht und die Vereinigung beantragt werden. Da das rechtlich geschützte Interesse damit keineswegs offensichtlich sei, hätte er es darlegen müssen. Überdies sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. C. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 12. September 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei diese anzuweisen, eine kurze Nachfrist von fünf Arbeitstagen gemäss Art. 385 StPO zu gewähren. Zudem sei Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses aufzuheben und die unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren zu bewilligen. In prozessualer Hinsicht ersucht er auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.