Sachverhalt: A. A.a. Mit Schadenmeldung UVG vom 30. Oktober 2012 teilte die B._ AG der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit, der bei ihr seit 10. September 2012 als Polier angestellte A._ (geb. 1946) habe sich am 29. Oktober 2012 auf einer Treppe eine Schulterluxation zugezogen. Die SUVA eröffnete A._ mit Schreiben vom 20. Dezember 2012, er erhalte für die Folgen des Berufsunfalles Versicherungsleistungen. Das Taggeld werde ihm durch den Arbeitgeber ausbezahlt, wobei der Anspruch am 1. November 2012 beginne. Die Kosten der Heilbehandlung würden den Ärzten und weiteren Leistungserbringern direkt vergütet. A.b. Mit Verfügung vom 9. April 2014 stellte die SUVA ihre Leistungen wegen unterbliebener Mitwirkung ein. Mit E-Mail vom 11. Mai 2014 beantragte A._ die Überweisung der ausstehenden Taggelder. Die SUVA nahm die Eingabe als Einsprache entgegen und wies diese mit Entscheid vom 22. September 2014 ab, da weder die Versicherungsdeckung noch ein Unfallereignis belegt sei. B. Mit Schreiben an die SUVA vom 24. Oktober 2014 verlangte A._ wiederum die Überweisung sämtlicher ausstehender Zahlungen, weil sich die Unfallversicherung am 20. Dezember 2012 zur Übernahme der Versicherungsleistungen verpflichtet habe. Die SUVA überwies das Schreiben an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, welches einen Schriftenwechsel veranlasste und A._ aufforderte, sich namentlich zu seinem Anstellungsverhältnis zu äussern und dieses zu belegen. Nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels wies das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde ab mit der Begründung, A._ gehe die Versicherteneigenschaft ab (Entscheid vom 26. Januar 2016). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, die Sache sei in Aufhebung des angefochtenen Entscheids an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen, damit dieses darüber befinde, ob das gemeldete Unfallereignis vom 29. Oktober 2012 mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sei. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.