Sachverhalt: A. A.a. A._ ist die Kindsmutter von B._ (geb. 1999) und C._ (geb. 2000). Die beiden Töchter sind seit März 2011 im "D._" in U._ fremdplatziert. Der Mutter wurde im August 2011 die Obhut über B._ und C._ entzogen (Art. 310 ZGB). Es bestehen Beistandschaften gemäss Art. 308 ZGB. A.b. Mit Schreiben vom 3. April 2014 ersuchte A._ die Beiständin der Kinder, sich für die Genehmigung einer in den Sommerferien mit ihren Kindern geplanten Reise nach Thailand einzusetzen. Am 27. Mai 2014 stellte die Beiständin zu Handen der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Olten-Gösgen den Antrag, dieser Reise der Kinder vom 10. Juli bis 8. August 2014 zuzustimmen. Die Kinder seien seit rund 10 Jahren nicht mehr in Thailand gewesen und wünschten sich diese Reise zum Besuch von Verwandten schon länger. B._ und C._ würden nebst der Kindsmutter von deren Mutter und Schwester und deren siebenjährigem Sohn begleitet. A.c. Nach separaten Anhörungen der Kinder und der Mutter am 11. respektive 20. Juni 2014 erwog die KESB mit Entscheid vom 25. Juni 2014, diese Erweiterung des Besuchsrechts auf eine gut vierwöchige Ferienreise nach Thailand sei in Anbetracht der bisherigen Besuchsregelung und der psychischen Erkrankung der Mutter nicht zu verantworten, und wies das Gesuch ab. B. B.a. Am 24. Juli 2014 führte A._, vertreten durch ihre Anwältin, gegen diesen Entscheid Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte, den Entscheid aufzuheben, die Ferienreise zu genehmigen und ihr für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. In der Begründung führte sie unter anderem aus, dass der Entscheid für die Kindsmutter nicht akzeptabel gewesen und diese deshalb am 10. Juli 2014 mit ihren Kindern nach Thailand gereist sei. B.b. Mit Verfügung vom 28. Juli 2014 setzte das Verwaltungsgericht der KESB Frist zur Stellungnahme in der Sache und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab. B.c. Nachdem die KESB und die Kindsmutter eine Stellungnahme eingereicht hatten, erwog das Verwaltungsgericht am 25. August 2014, der Ferienaufenthalt sei vorbei und es liege kein aktuelles Interesse der Mutter an der Beschwerde mehr vor, und schrieb das Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit ab. C. Gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtsverbeiständung vom 28. Juli 2014 erhebt A._ (Beschwerdeführerin) am 26. August 2014 Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht sei gutzuheissen, und es sei ihr auch für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassung eingeholt.