Sachverhalt: A. Am xx.xx.2014 starb C._ (geb. 1925). Mit Urteil vom 18. Februar 2014 stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf fest, dass C._ als gesetzliche Erben seine Ehefrau D._ (geb. 1931) und die drei Töchter E._ (geb. 1954), F._ (geb. 1956) sowie A._ (geb. 1958) hinterliess. Zugleich eröffnete es den Erbvertrag, den der Verstorbene mit seiner Ehefrau am 27. Februar 2012 abgeschlossen hatte. Dieser Erbvertrag enthält unter anderem folgende Anordnung: "Die Ehegatten setzen je einzeln und letztwillig Dr. iur. G._, Rechtsanwalt, U._, bzw. im Verhinderungsfall die B._ GmbH, U._, als Willensvollstrecker und Teilungsliquidator ein." In der Folge hielt das Bezirksgericht fest, dass G._ das Amt des Willensvollstreckers angenommen habe. B. Mit Eingabe vom 12. Dezember 2014 teilte G._ dem Einzelgericht mit, dass er wegen unüberwindbarer Spannungen zwischen ihm und einem Teil der Erbinnen das Willensvollstreckermandat niederlege. Am 15. Januar 2015 teilte G._ dem Einzelgericht ausserdem mit, dass im Erbvertrag vom 27. Februar 2012 für den Fall der Verhinderung des ersten Willensvollstreckers die B._ GmbH als Willensvollstreckerin eingesetzt worden sei. Er erklärte, seines Erachtens sollte das Gericht diese Gesellschaft anfragen, ob sie bereit sei, das Mandat anzunehmen. "Federführend" wäre im Falle der Annahme Rechtsanwalt H._. C. Am 20. Januar 2015 setzte das Einzelgericht der B._ GmbH Frist an, um zu erklären, ob sie das Willensvollstreckermandat annehme, wobei Stillschweigen als Annahme gelte. A._ wehrte sich gegen diese Verfügung mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 5. Februar 2015 auf das Rechtsmittel nicht ein. Das Bundesgericht erachtete die dagegen erhobene Beschwerde als unzulässig (Urteil 5A_209/2015 vom 11. März 2015). D. Mit Schreiben vom 23. Februar 2015 erklärte Fürsprecher H._ in seiner Funktion als Gesellschafter und Geschäftsführer der B._ GmbH fristgerecht die Annahme des Willensvollstreckermandats. Daraufhin stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf mit Urteil vom 3. März 2015 fest, dass die besagte Gesellschaft das Amt der Willensvollstreckerin angenommen hat (Ziffer 1). Es erklärte, die B._ GmbH sei in der Nachlasssache von C._ selig alleinige Willensvollstreckerin; nach Rechtskraft des Entscheides werde auf entsprechendes Gesuch hin ein neues Willensvollstreckerzeugnis sowie ein abgeänderter Erbschein ausgestellt (Ziffer 2). Das Einzelgericht bat G._ um Rückgabe seines Willensvollstreckerzeugnisses und bestimmte die Gerichtsgebühr zu Lasten des Nachlasses auf Fr. 500.--. E. A._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein und verlangte, auf die Einsetzung der B._ GmbH als Willensvollstreckerin zu verzichten. Das Obergericht wies die Berufung ab, bestätigte das erstinstanzliche Urteil vom 3. März 2015 und auferlegte A._ die auf Fr. 3'000.-- bestimmte Entscheidgebühr (Urteil vom 13. Juli 2015). F. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. August 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und "keine zweitberufene (Ersatz) Willensvollstreckerin einzusetzen" (Ziffer 1). Für den Fall, dass die Beschwerde in der Sache nicht gutgeheissen werden sollte, verlangt die Beschwerdeführerin, die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 3'000.-- herabzusetzen (Ziffer 2). Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, erklärt die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin), sich am bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht zu beteiligen (Eingabe vom 29. April 2016). Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung (Eingabe vom 12. April 2016).