Sachverhalt: A. A._ fuhr am 14. Dezember 1997 einen Ferrari 328 GTS auf der Autobahn Gerona-Alicante in Spanien. Sein Vater folgte ihm in einem Range Rover nach. Beide Fahrzeuge trugen Schweizer Kennzeichen und wurden vom Vater gehalten. Vor einer langgezogenen Linkskurve wechselte A._ von der rechten Fahrspur auf die linke Überholspur, um ein Anhängerfahrzeug zu überholen, wobei der Vater in seinem Fahrzeug es ihm gleichtat. Wegen eines Seat Cordoba mit spanischem Kennzeichen, der nach einem vorangegangenen Selbstunfall zu einem grossen Teil auf der linken Spur liegen geblieben war, musste A._ abrupt bremsen, um ein Auffahren auf den Seat Cordoba zu verhindern, was ihm auch gelang. Der Vater konnte allerdings nicht mehr rechtzeitig bremsen, weshalb es zu einer Kollision des Range Rovers mit dem Ferrari kam. Der Seat Cordoba wurde bei diesem Unfall nicht touchiert. In der Folge begab sich A._ in Spanien und nach seiner Rückkehr auch in der Schweiz in ärztliche Behandlung. Ab dem 1. Oktober 2007 wurde A._ eine Invalidenrente zugesprochen. Die Y._ AG (heute: B._ AG) als Haftpflichtversicherung der beiden Fahrzeuge mit Schweizer Kennzeichen zahlte A._ aus dem Unfallereignis einen Betrag von Fr. 80'000.-- akonto. B. B.a. Mit Teilklage vom 18. April 2011 beantragte A._ dem Zivilgericht Basel-Stadt, es sei die B._ AG zur Zahlung von Fr. 30'000.-- zu verurteilen. Der Kläger führte aus, die Teilklage diene zur Klärung der Grundsatzfrage, ob spanisches oder schweizerisches Recht auf den Fall anwendbar sei; seiner Ansicht nach sei es das schweizerische Recht. Mit Klageantwort vom 29. August 2011 beantragte die Beklagte die Abweisung der Klage. Nach einem zweiten Schriftenwechsel beschränkte die Instruktionsrichterin des Zivilgerichts das Verfahren auf die Frage des anwendbaren Rechts. Nach Durchführung einer Hauptverhandlung hielt das Zivilgericht mit Zwischenentscheid vom 26. Oktober 2012 fest, dass spanisches Recht anwendbar sei. B.b. Dagegen erhob der Kläger Berufung, auf welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 11. März 2013 nicht eintrat. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_183/2013 vom 29. April 2013 ebenfalls nicht ein. B.c. Mit Verfügung vom 1. Juli 2013 forderte die Instruktionsrichterin des Zivilgerichts die Beklagte auf darzulegen, welche Bestimmungen des spanischen Rechts zur Beurteilung der vorliegenden Klage zur Anwendung kämen. Mit Eingabe vom 30. September 2013 machte die Beklagte diesbezügliche Angaben und reichte ein Rechtsgutachten ein. Am 19. März 2014 fand eine Fortsetzungsverhandlung statt und mit Entscheid vom selben Tag wies das Zivilgericht die Teilklage ab. B.d. Mit Eingabe vom 18. August 2014 ersuchte der Kläger das Appellationsgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Hinblick auf ein allfälliges Berufungsverfahren. Mit Verfügung vom 3. September 2014 wies der Instruktionsrichter des Appellationsgerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Am 12. September 2014 erhob der Kläger Berufung, mit der er beantragte, der Entscheid des Zivilgerichts sei aufzuheben und die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 30'000.--- zu verurteilen, wobei weitere Forderungen aus dem Ereignis von 14. Dezember 1997 vorbehalten seien; zudem ersuchte er um Wiedererwägung der Verfügung betreffend die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Berufungsantwort vom 16. Oktober 2014 beantragte die Beklagte die Abweisung der Berufung und des Wiedererwägungsgesuchs. Aufgrund der Ausführungen in der Berufung verneinte der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 22. Oktober 2014 nunmehr die Aussichtslosigkeit der Berufung und bewilligte das Wiedererwägungsgesuch des Klägers um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 30. Juni 2015 wies das Appellationsgericht die Berufung ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Kläger dem Bundesgericht folgende Anträge: "1. a. In Gutheissung der Beschwerde sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, an den Beschwerdeführer einen Betrag von CHF 30'000.00 zu bezahlen. Weitere Forderungen aus dem Ereignis vom 14. Dezember 1997 sind ausdrücklich vorbehalten (Teilklage). b. Eventuell sei die Sache an die erste Instanz (Zivilgericht Basel-Stadt) zur Beurteilung der Forderung des Beschwerdeführers und Klägers nach den Bestimmungen des Schweizerischen Rechts zurückzuweisen. c. Subeventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Beurteilung der Angelegenheit nach Schweizerischem Recht zurückzuweisen. 2. Dem Beschwerdeführer sei für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung mit dem Unterzeichneten als unentgeltlichem Rechtsbeistand zu gewähren. 3. Unter o/e-Kostenfolge." Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.