Sachverhalt: A. In den Morgenstunden des 28. März 2005 fuhr ein bei der B._ Versicherungen AG (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) versicherter Personenwagen bei einem kleinen Durchgangsweg zwischen den Liegenschaften U._ und V._ in W._ rückwärts, nach rechts abdrehend aus einem Parkfeld. Dabei wurde der sich hinter dem Personenwagen befindliche A._ (Gesuchsteller und Beschwerdeführer) übersehen. Dieser wurde vom rückwärtsfahrenden Personenwagen touchiert und kam dadurch zu Fall. Nach eigener Darstellung zog sich der Verunfallte durch diesen Sturz unter anderem ein Schädelhirntrauma zu, an dessen Folgen er seit dem Unfalltag leide. B. B.a. Am 23. Mai 2011 gelangte A._ an das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts Zürich und stellte ein Begehren um vorsorgliche Beweisabnahme in der Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des am 28. März 2005 erlittenen Unfalls. In prozessualer Hinsicht beantragte er zudem die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2011 wies das Einzelgericht Audienz den Antrag von A._ auf unentgeltliche Prozessführung und Bewilligung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters im Umfang von Fr. 11'000.-- ab, bewilligte es indessen im Mehrumfang und bestellte A._ in der Person von Rechtsanwalt Stolkin einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2011 ordnete das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichtes Zürich die Einholung eines Gutachtens an und schlug den Parteien Sachverständige vor, mit einer Frist von 20 Tagen, um gegen die vorgeschlagenen Einwendungen zu erheben. Der B._ Versicherungen AG wurde zudem Frist angesetzt, um allfällige Ergänzungsfragen zu formulieren. B.b. Gegen diese Verfügung erhob die B._ Versicherungen AG erfolgreich Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich, welches das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in der Form eines gerichtlichen Gutachtens mit Urteil vom 11. April 2012 abwies. B.c. Mit Urteil 4A_322/2012 vom 21. Februar 2013 hiess das Bundesgericht die von A._ gegen das obergerichtliche Urteil erhobene Beschwerde teilweise gut, hiess das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 28. März 2005 gut und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese den Parteien entsprechend den Ziffern 2 und 3 der erstinstanzlichen Verfügung Vorschläge zu den Sachverständigen unterbreitet, der Beschwerdegegnerin die Gelegenheit gibt, Ergänzungsfragen an den Sachverständigen zu formulieren, und die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens neu regelt. B.d. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2013 legte das Bezirksgericht den Fragenkatalog fest, welcher Grundlage für das zu erstellende Gutachten bilden soll (Ziff. 1). B.e. Mit Beschwerde vom 30. Dezember 2013 beantragte A._ dem Obergericht, es sei Ziffer 1 der Verfügung aufzuheben und es seien die Ergänzungsfragen 1, 3, 10, 12, 13, 16 und die selbständigen Zusatzfragen 24 bis 26 vom Fragenkatalog der Verfügung zu entfernen und die so bereinigten Gutachterfragen den Experten zur Beantwortung zu unterbreiten. Mit Urteil vom 6. Mai 2014 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1). In der Zwischenzeit erkannte das Bundesgericht mit Urteil 4A_589/2013 vom 16. Januar 2014 in einem Verfahren zwischen anderen Parteien, dass für eine vorsorgliche Beweisführung zwecks Abklärung der Prozesschancen nach Art. 158 Abs. 1 lit. b ZPO kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bestehe. Dieser Grundsatz wurde als Leitentscheid publiziert (BGE 140 III 12). Gegen das abweisende Beschwerdeurteil des Obergerichts vom 6. Mai 2014 erhob A._ schliesslich Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht und ersuchte gleichzeitig um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Verfügung vom 16. September 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Hinweis auf BGE 140 III 12 ab, worauf A._ die Beschwerde in Zivilsachen zurückzog. B.f. Mit Verfügung vom 6. Januar 2015 entzog das Einzelgericht Audienz A._ die ihm am 3. Oktober 2011 für das kantonale Verfahren gewährte unentgeltliche Rechtspflege mit Wirkung ab Verfügungsdatum. Auf Beschwerde von A._ hin hob das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 6. Februar 2015 diese Verfügung wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs auf und wies das Verfahren im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. In der Folge holte das Einzelgericht Audienz die Stellungnahme von A._ ein. Mit Verfügung vom 30. März 2015 entschied es erneut dahingehend, dass es A._ die mit Verfügung vom 3. Oktober 2011 im Fr. 11'000.-- übersteigenden Umfang bewilligte unentgeltliche Rechtspflege mit Wirkung ab Datum der Verfügung entziehe, wobei ein Erledigungsentscheid infolge Abstandnahme oder Nichtleistung des Kostenvorschusses noch von der bisherigen Bewilligung erfasst sei. Mit Urteil vom 20. Mai 2015 wies das Obergericht des Kantons Zürich die dagegen eingelegte Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1), erhob keine Gerichtskosten (Dispositiv-Ziffer 2) und sprach der Beschwerdegegnerin auch keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziffer 3). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt A._ dem Bundesgericht folgende Anträge: " Hauptantrag: 1. Es sei Ziffer 1 des Urteils vom 20. Mai 2015 aufzuheben und das Bezirksgericht Zürich anzuweisen, dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege im bisherigen Umfang weiterhin zu gewähren. 2. Es sei Ziff. 3 des Urteils vom 20. Mai 2015 aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, dem Beschwerdeführer für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen. Eventualiterantrag 3. Es sei Ziffer 1 des Urteils vom 20. Mai 2015 aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung des unterzeichnenden Rechtsvertreters zu gewähren. Zudem versehen mit folgenden Verfahrensanträgen: 4. Es sei ein zweiter Schriftenwechsel anzusetzen. 5. Es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzubilligen. 6. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung des Unterzeichnenden als unentgeltlicher Rechtsanwalt zu gewähren. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Vorinstanz." Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.