Sachverhalt: A. Die B._ GmbH mit Sitz in U._ (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) betreibt ein exportorientiertes Produktionsunternehmen auf dem Gebiet der Wärmeübertragung. Sie beschäftigt ein paar Dutzend Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Die Stammanteile an der Gesellschaft gehören je zur Hälfte A._ (Gesuchstellerin und Beschwerdeführerin) und C._. Zwischen den beiden Gesellschaftern besteht seit geraumer Zeit Zwist, was namentlich die Beschlussfassung in der Gesellschafterversammlung erschwert. Die Gesellschaftsstatuten sehen vor, dass die Bestellung der Geschäftsführer durch Beschluss der Gesellschafter erfolgt und die Bestellung jederzeit von den Gesellschaftern widerrufen werden kann. lm Handelsregister sind die beiden Gesellschafter als Geschäftsführer eingetragen. Ebenfalls eingetragen ist D._ als Vorsitzender der Geschäftsführung. Alle drei verfügen über Kollektivunterschrift zu zweien. Die Gesuchstellerin hat auch mit D._ Meinungsverschiedenheiten. Sie wirft ihm wiederholte und grobe Rechtsverletzungen vor, u.a. Verstösse gegen das Gleichbehandlungsgebot (Art. 813 OR) und die Treuepflicht (Art. 812 OR, Art. 321a Abs. 1 OR). D._ habe sich auf die Seite von C._ geschlagen und versuche zusammen mit diesem, die Gesuchstellerin "zu verdrängen ". B. B.a. Mit vorsorglichem Massnahmegesuch vom 22. Juli 2015 stellte die Gesuchstellerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich folgende Anträge: "1. Es sei D._ mit sofortiger Wirkung vorsorglich die Geschäftsführungs- und Vertretungsfunktion für die B._ GmbH (CHE-108.532.465) zu entziehen. 2. Das Handelsregisteramt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Anordnung gemäss Ziff. 1 in das Handelsregister einzutragen. 3. Die in Ziff. 1 und 2 beantragten vorsorglichen Massnahmen seien im Sinne von Art. 265 ZPO sofort und ohne vorgängige Anhörung der Beklagten anzuordnen. 4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen, zuzüglich MwSt, zu Lasten der Beklagten." Mit Verfügung vom 23. Juli 2015 wies das Handelsgericht das Dringlichkeitsbegehren ab. Am 18. August 2015 reichte die Gesuchstellerin einen ersten und am 9. September 2015 einen zweiten als "Noveneingabe " bezeichneten Schriftsatz ein. Mit Gesuchsantwort vom 10. September 2015 beantragte die Gesuchsgegnerin die Abweisung des Massnahmegesuchs. Am 23. Oktober 2015 reichte die Gesuchstellerin schliesslich eine dritte "Noveneingabe " ein. B.b. Mit Urteil vom 26. November 2015 wies das Handelsgericht das Massnahmegesuch ab und auferlegte der Gesuchstellerin die Gerichts- und Parteikosten. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. Dezember 2015 stellt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht folgende Anträge: "1. Das Urteil des Einzelgerichts des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 26. November 2015 im Verfahren HE150336 sei aufzuheben. 2.1 Es sei D._ mit sofortiger Wirkung vorsorglich die Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis für die B._ GmbH (CHE-108.532.465) zu entziehen. 2.2 Das Handelsregisteramt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Anordnung gemäss Ziff. 2.1 in das Handelsregister einzutragen. 3. Eventualiter sei die Sache zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. 4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin." Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung Nichteintreten auf die Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.