Sachverhalt: A. A.a. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geb. 1975) reiste am 18. April 1999 als Asylsuchender über Deutschland in die Schweiz ein. In Deutschland war zuvor sein erstes Kind zur Welt gekommen. Am 4. Februar 2000 heiratete A._ die Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1949) und erhielt im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung. Am 13. Januar 2005 wurde ihm gestützt auf die Ehe die Niederlassungsbewilligung erteilt. Die Ehe blieb kinderlos und wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Luzern vom 8. September 2011 geschieden. A.b. Am 4. April 2012 heiratete A._ die im Kosovo lebende C._ (geb. 1980). Am 20. Juni 2013 stellte er bei der Abteilung Migration des Kantons Obwalden ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau C._ und die drei gemeinsamen Kinder D._ (geb. 16. Mai 2004), E._ (geb. 8. Juni 2005) und F._ (geb. 29. Juni 2009). Die Abteilung Migration erhielt damit erstmals Kenntnis davon, dass A._ in seiner Heimat drei Kinder hat. In der Folge sistierte die Abteilung Migration das Verfahren betr. Familiennachzug bis zum Abschluss eines neu eingeleiteten Verfahrens betr. Widerruf der Niederlassungsbewilligung. Im Laufe des Verfahrens gab A._ an, dass er zudem eine Tochter J._ (geb. 20. Feburar 2012) aus einer im Jahr 2011 eingegangenen Beziehung mit G._, der Ex-Frau seines Bruders, habe. B. B.a. Mit Verfügung vom 19. November 2013 widerrief die Abteilung Migration die Niederlassungsbewilligung von A._ und wies diesen aus der Schweiz weg. B.b. Die von A._ dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Regierungsrates des Kantons Obwalden vom 1. April 2014; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden vom 26./27. Mai 2015). B.c. Während des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht hatte G._ der Abteilung Migration mitgeteilt, sie habe von 2001 bis 2012 ununterbrochen mit A._ im gleichen Haushalt zusammengelebt und dieser sei der leibliche Vater ihrer drei Kinder H._ (geb. 27. August 2005), I._ (geb. 16. Januar 2008) und J._ (geb. 20. Februar 2012). A._ bestätigte mit Schreiben vom 20. Januar 2015 die Vaterschaft der drei Kinder und führte aus, er sei 2003 mit G._ zusammengezogen und diese Beziehung habe mit Unterbrüchen bis 2012 gedauert. C. Mit Eingabe vom 29. Juni 2015 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden sei aufzuheben und es sei vom Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung abzusehen. Das Verwaltungsgericht, der Regierungsrat und die Abteilung Migration des Kantons Obwalden sowie das Staatssekretariat für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 30. Juni 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Mit Verfügung vom 15. September 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ein Gesuch um Sistierung des Verfahrens abgewiesen, da nicht ersichtlich war, inwiefern der geltend gemachte Vaterschaftsprozess (zu den Kindern seiner Schwägerin) den Ausgang des ausländerrechtlichen Verfahrens beeinflussen könnte.