Sachverhalt: A. A.a. Die 2002 geborene A.A._ trat im August 2008 nach einem Jahr Kindergarten vorzeitig in die 1. Klasse der Primarschule U._/SG ein. Im Schuljahr 2011/12 besuchte sie die 4. Klasse. A.b. Mit Blick auf eine allfällige Hochbegabung klärte der Schulpsychologische Dienst des Kantons St. Gallen (SPD) A.A._ am 21. und 23. Februar 2012 ab. Die untersuchende Psychologin stellte anhand zweier Testverfahren ("HAWIK-IV" bzw. "CFT 20-R") fest, es liege bei A.A._ zwar ein überdurchschnittliches Leistungspotenzial vor, aber es könne nicht von einer Hochbegabung ausgegangen werden. Bei diesem Befund könne kein Antrag auf Besuch einer Schule für Hochbegabte gestellt werden. Als Kind mit guter Begabung könne A.A._ grundsätzlich in der Regelklasse beschult und spezifisch gefördert werden. A.c. Ab dem 23. April 2012 liessen die Eltern von A.A._, B.A._ und C.A._, ihre Tochter durch die Privatschule "X._" in V._/SG beschulen. Anfang September 2012 wechselte sie an die Privatschule "Y._" in W._/SG. Auf Wunsch ihrer Eltern untersuchte der SPD A.A._ am 3. September 2012 erneut auf Hochbegabung (mit dem Testverfahren "PSB-R-Horn"). Gemäss dem Bericht vom 11. September 2012 könne bei A.A._ zwar von intellektuellen Fähigkeiten im überdurchschnittlichen Bereich, jedoch nicht von einer Hochbegabung gesprochen werden. A.d. Am 12. Februar 2013 liessen die Eltern A.A._ durch eine als Privatgutachterin beigezogene Psychologin auf Hochbegabung abklären. Diese kam zum Schluss, es liege Hochbegabung vor. B. B.a. Am 23. Februar 2013 beantragten B.A._ und C.A._ dem Schulrat der Primarschulgemeinde U._, u.a. die Kosten für die Beschulung ihrer Tochter an den Privatschulen "X._" bzw. "Y._" und die Fahrspesen ab dem 23. April 2012 zu übernehmen. Der Schulrat wies das Gesuch am 3. April 2013 ab. B.b. Dagegen erhoben B.A._ und C.A._ am 15. April 2013 Rekurs beim Erziehungsrat des Kantons St. Gallen. Sie beantragten insbesondere, dem Rekursentscheid über A.A._s Hochbegabung sei ihr Privatgutachten vom 15. Februar 2013 und nicht die beiden Gutachten des SPD zu Grunde zu legen; eventualiter sei ein neues (Ober-) Gutachten zu erstellen. Während des Schriftenwechsels verfügte der Schulrat am 6. August 2013 die Zuweisung von A.A._ in die Privatschule "Y._" ab dem Schuljahr 2013/14 unter Kostengutsprache für Schulgeld und Materialkosten, nicht aber für die Kosten des Schulweges (sowie ohne Rückwirkung auf den bisherigen Schulbesuch an Privatschulen ab dem 23. April 2012). Soweit ersichtlich haben die Eltern diese Verfügung in Bezug auf die Frage der Schulwegkosten vor dem Bildungsdepartement angefochten. B.c. Im März 2013 teilten die Eltern mit, A.A._ werde im Sommer 2014 ans Untergymnasium der Kantonsschule Burggraben in St. Gallen eintreten, was ein weiteres Indiz für ihre Hochbegabung sei. Nachdem die Parteien ihren Verzicht auf das beantragte (Ober-) Gutachten mitgeteilt hatten, wies der Erziehungsrat mit Entscheid vom 21. Mai 2014 den Rekurs ab, soweit er darauf eintrat. Die gegen diesen Entscheid von A.A._ erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 27. November 2015 ab. C. Mit Eingabe vom 4. Januar 2016 erhebt A.A._, vertreten durch ihre Eltern, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und der Kanton St. Gallen sei zu verpflichten, alle Kosten im Zusammenhang mit den Besuchen von Schulen für Hochbegabte zu bezahlen. Weiter sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin hochbegabt sei. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht und das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen sowie die Primarschulgemeinde U._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin repliziert.