Sachverhalt: A. A.a. Im Rahmen der von A._ gegen B._ angehobenen Betreibung Nr. xxx pfändete der Betreibungskreis Weesen-Amden am 7. April 2011 den dem Schuldner zustehenden Anteil an der einfachen Gesellschaft Baukonsortium B._-C._-D._. Am 21. Mai 2012 stellte A._ das Verwertungsbegehren. Der Einzelrichter am Kreisgericht See-Gaster, untere Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen, verfügte am 5. Juli 2013 die Verwertung des gepfändeten Anteils durch Auflösung und Liquidation der einfachen Gesellschaft. Nachdem eine gütliche Einigung mit den Gesellschaftern am 27. Februar 2014 ausgeblieben war, bot das Betreibungsamt A._ die Abtretung des schuldnerischen Anteils an der Gesellschaft an, wovon dieser nicht Gebrauch machte. In der Folge wurde am 4. Juli 2014 der gepfändete Anteil versteigert. A._ erhielt den Zuschlag für Fr. 13'000.--. A.b. Am 6. November 2014 erstellte das Betreibungsamt den Kollokationsplan und die Verteilungsliste. Als Forderung von A._ kollozierte es den Betrag, einschliesslich Zinsen und Kosten, von insgesamt Fr. 164'100.10. Alsdann wies es dem Gläubiger vom Verwertungserlös (Liquidationsanteil) netto Fr. 98'085.-- zu. Über die Restforderung von Fr. 66'015.10 sollte ihm ein Verlustschein ausgestellt werden. A.c. Gegen den Kollokationsplan und die Verteilungsliste erhob B._ bei der unteren Aufsichtsbehörde erfolglos Beschwerde. Auf seine Beschwerde hin hob das Kantonsgericht St. Gallen, obere Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung, am 11. Mai 2015 den Kollokationsplan sowie die Verteilungsliste auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Betreibungsamt zurück. Die obere Aufsichtsbehörde hielt im Urteil fest, dass der Versteigerungserlös Fr. 13'000.-- (abzüglich Verwertungskosten) zu verteilen sei, und dem Gläubiger (über die nicht gedeckte Forderung) ein Verlustschein auszustellen sei. Die Zahlung des Kantons Wallis in der Höhe von Fr. 103'310.10 an das Betreibungsamt betreffe indes das Verhältnis zwischen der einfachen Gesellschaft und dem Kanton Wallis. Es obliege dem Betreibungsamt, "mit dem Kanton Wallis Absprachen über eine allfällige Rückvergütung des Betrages zu treffen". A.d. Daraufhin gelangte A._ an das Betreibungsamt. Er verlangte - unter Hinweis auf eine Vereinbarung mit B._ - die Vergütung des betreffenden Betrages von Fr. 103'310.10, welcher der Staat Wallis dem Betreibungsamt als Werklohn an das Baukonsortium B._-C._-D._ überwiesen hatte. Allenfalls sei eine Ergänzungs- bzw. Nachpfändung allfälliger Forderungen von B._ aus der Liquidation der einfachen Gesellschaft vorzunehmen. Mit Verfügung vom 26. Juni 2015 gab das Betreibungsamt diesen Anträgen keine Folge. Es hielt unter Hinweis auf die Erwägungen der oberen Aufsichtsbehörde im Urteil vom 11. Mai 2015 daran fest, den Betrag dem Kanton Wallis zurückzuzahlen. B. Hiergegen erhob A._ erfolglos Beschwerde bei der unteren Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen. Die obere Aufsichtsbehörde wies seine Beschwerde am 13. September 2015 ebenfalls ab. C. Mit Eingabe vom 28. September 2015 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheides der oberen Aufsichtsbehörde und (wie bereits im kantonalen Verfahren) die Anweisung an das Betreibungsamt, ihm den vom Staat Wallis bezahlten Betrag von Fr. 103'310.10 plus Zinsen zu überweisen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ist am 30. September 2015 abgewiesen worden. Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.