Sachverhalt: A. Der 2007 geborene A._ steht seit 5. Februar 2013 bei Dr. phil. B._, Psychotherapeutin SPV/FSP/VOPT, in psychotherapeutischer Behandlung. Ein Gesuch um Kostengutsprache für die Psychotherapie lehnte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens mit Verfügung vom 2. März 2015 ab. B. Gegen diese Verfügung reichten sowohl A._ als auch die Atupri Krankenkasse Beschwerde ein. Das angerufene Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen vereinigte die beiden Verfahren. Es hiess die Beschwerden gut, hob die angefochtene Verfügung auf und verpflichtete die IV-Stelle, die Kosten der Psychotherapie ab Februar 2013 zu übernehmen. Die Sache wurde zum Erlass einer entsprechenden Verfügung an die IV-Stelle zurückgewiesen (Entscheid vom 21. April 2016). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei insofern aufzuheben, als sie die Kosten für die bei A._ vor Februar 2014 durchgeführte Psychotherapie übernehmen müsse. Zudem sei dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die Atupri Krankenkasse gibt zu erkennen, dass sie die Ausführungen der IV-Stelle in der Beschwerde als zutreffend erachtet, enthält sich aber eines formellen Antrages. Der Versicherte lässt sich nur zur Frage der aufschiebenden Wirkung vernehmen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt die Abweisung der Beschwerde und eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.