Sachverhalt: A. Die X._-Anstalt (nachfolgend: die Steuerpflichtige) mit Sitz in U._ (FL) ist seit dem Jahr 1995 mehrwertsteuerpflichtig. Sie führt ein Treuhandunternehmen, das als Familienbetrieb ausgestaltet ist (Vater, Sohn und Tochter; eine familienexterne Angestellte mit geringem Pensum). Die Familienmitglieder besitzen Privatfahrzeuge und rechnen die geschäftlich zurückgelegten Kilometer jeweils mit der Steuerpflichtigen ab. Die Steuerpflichtige war ihrerseits bis Juli 2013 Eigentümerin eines Fahrzeugs des Typs "Y._" (Anschaffungskosten: über Fr. 100'000), das von der LSTV stets als Geschäftsfahrzeug betrachtet wurde, weshalb sie die Vorsteuer zum Abzug zuliess. B. Mit Kaufvertrag vom 29. Juli 2013 erwarb die Steuerpflichtige von einem Händler in Zürich ein Nachfolgefahrzeug, bei welchem es sich um einen Wagen der Marke "Z._" (Kennzeichen: FL xxxx) handelt. Die Gestehungskosten beliefen sich auf Fr. 230'000 (inkl. MWST). Die Steuerpflichtige brachte im dritten Quartal 2013 die Vorsteuer von Fr. 17'037.05 zum Abzug, was die LSTV zunächst am 4. Dezember 2013 zu einer die Vorsteuer nachbelastenden Einschätzungsmitteilung und hernach am 28. Januar 2014 zu einer Kontrolle veranlasste. Diese bestärkte die LSTV in ihrer Auffassung, dass der Wagen keinerlei unternehmerischen Zwecken diene. Die LSTV begründete dies mit dem Wortlaut der Versicherungspolice ("Verwendungszweck: privat"), der Finanzierung (Darlehen von Fr. 120'000 des Vaters an die Steuerpflichtige), der Nutzung des Fahrzeugs vorwiegend durch den Sohn, der fehlenden Notwendigkeit (da Umsätze primär mit nahestehenden Gesellschaften, also nicht mit unabhängigen Dritten) und der Abrechnung der Kilometer, welche die für die Steuerpflichtige tätigen Familienmitglieder mit ihren Privatfahrzeugen unternahmen. Die Steuerpflichtige entgegnete, das Fahrzeug, mit dem im ersten halben Jahr nur gut 1'000 Kilometer zurückgelegt worden waren, werde für "Fahrten nach Zürich und ins angrenzende Ausland zum Besuch von Kunden" verwendet. Dabei wirke der Sohn als Chauffeur. Das Darlehen werde in Kürze zurückbezahlt werden. Die Tochter und der Sohn seien als Zeugen einzuvernehmen, da ein Fahrtenbuch fehle. C. Aufgrund der Bestreitung erliess die LSTV am 4. April 2014 eine Verfügung. Darin verweigerte sie den Vorsteuerabzug und belastete sie folglich die beanspruchten Vorsteuern nach, was die Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein auf Sprungbeschwerde hin mit Entscheid vom 24. September 2014 bestätigte. Deren Begründung ging im Wesentlichen dahin, dass eine feste Luxusgrenze zwar fehle, dass es sich beim Fahrzeug aber in jedem Fall um ein Luxusfahrzeug handle und daher mit der zweckgemässen unternehmerischen Tätigkeit der Steuerpflichtigen unvereinbar sei. D. Die Steuerpflichtige erhob Beschwerde an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein, worin sie beantragte, die strittige Vorsteuer sei ihr gutzuschreiben. Der Verwaltungsgerichtshof hiess die Beschwerde mit Entscheid VGH 2014/120 vom 11. Dezember 2015 bzw. 21. März 2016 gut und setzte die Steuerforderung, soweit das hier interessierende dritte Quartal des Jahrs 2013 betreffend, auf minus Fr. 8'448.70 fest. Der Verwaltungsgerichtshof erkannte hauptsächlich, wenn weder Eigenverbrauch noch eine Leistung an eine nahestehende Person vorliege, sei grundsätzlich davon auszugehen, dass die (vorsteuerbelasteten) Aufwendungen getätigt worden seien, weil die Unternehmensleitung sich "in guten Treuen einen dem Unternehmen zukommenden Vorteil versprach". Dementsprechend sei auch gar nicht massgebend, ob es sich beim Geschäftsfahrzeug um einen Wagen der Luxusklasse handle. Entscheidend sei vielmehr, ob das Fahrzeug geschäftlichen oder nichtgeschäftlichen (privaten) Zwecken diene. Vorliegend habe das streitbetroffene Luxusfahrzeug ein anderes solches ersetzt. Das Halten des Wagens vom Typ "Y._" sei von der LSTV nie beanstandet worden. Die von der Steuerpflichtigen erstellte Übersicht vom 8. April 2014 zur konkreten Verwendung des neuen Fahrzeugs im Zeitraum vom 6. Juli 2013 bis zum 19. November 2013 sei weder von der LSTV noch von der Landessteuerkommission bezweifelt worden. Es sei somit davon auszugehen, dass der Wagen in der fraglichen Zeit für geschäftliche Zwecke verwendet worden sei. Dementsprechend sei der Anspruch auf Vornahme des Vorsteuerabzugs ausgewiesen. E. Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 25. April 2016 erhebt die LSTV beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Sie beantragt, das Urteil VGH 2014/120 vom 21. März 2016 sei aufzuheben und die Verfügung der LSTV vom 4. April 2014 zu bestätigen. Sie rügt eine Verletzung des Novenverbots und ist der Meinung, der Nachweis der unternehmerischen Verwendung eines Luxusfahrzeugs unterliege erhöhten Anforderungen. Diesem habe die Steuerpflichtige nicht genügt. Die Steuerpflichtige beantragt die Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz von einer Stellungnahme absieht. Die Eidgenössische Steuerverwaltung äussert sich zur Kognition des Bundesgerichts in Tatfragen. In der Sache selbst weist sie darauf hin, dass der früher ermittelte "Luxusanteil" heute von keiner Bedeutung mehr sei und daher weder zu einem Vorsteuerausschluss (bei natürlichen Personen) noch zu einem Leistungsentgelt (im Fall von juristischen Personen) führe.