Sachverhalt: A. A._ ist seit 1. August 2012 Bachelorstudent der pharmazeutischen Wissenschaften an der Philosophisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Basel. Am 18. November 2014 wurde ihm aufgrund gesundheitlicher Beeinträchtigungen (Energielosigkeit, Prüfungsangst, eingeschränkte Aufnahmefähigkeit, Konzentrationsstörung vor und bei Prüfungen) auf Antrag hin ein Nachteilsausgleich gewährt. Dieser berechtigte ihn dazu, sich noch bis zum Tag einer Prüfung von dieser abzumelden. Im Rahmen des Aufbaustudiums absolvierte A._ am 13. Januar 2015 zum zweiten Mal die Prüfung zur Vorlesung "Organische Chemie I". Am 15. Januar 2015 wurde ihm mitgeteilt, dass er die Prüfung nicht bestanden habe. Gleichentags ersuchte A._ um Einsicht in die Prüfung. Diese wurde ihm am 30. Januar 2015 gewährt. B. Am 4. Februar 2015 stellte A._ einen Härtefallantrag mit dem Begehren, die Bewertung der Prüfung sei zu annullieren. Zur Begründung führte er an, dass er aufgrund seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung nicht in der Lage gewesen sei, die Prüfung vom 13. Januar 2015 ordnungsgemäss abzulegen. Die Philosophisch-Naturwissenschaftliche Fakultät wies den Antrag am 24. Februar 2015 ab und schloss A._ mit Verfügung vom 3. März 2015 infolge wiederholten Nichtbestehens der Prüfung zur Vorlesung "Organische Chemie I" vom Bachelorstudium aus. Das Rechtsmittel gegen die Abweisung des Härtefallantrags und den Ausschluss vom Bachelorstudium an die Rekurskommission der Universität Basel blieb erfolglos. Die Rekurskommission stellte sich auf den Standpunkt, dass A._ weder unmittelbar nach dem Wegfall seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung ein Annullierungsgesuch, noch innert fünf Tagen nach dem Prüfungstermin ein Arztzeugnis vorgelegt habe, wie das die einschlägige Studienordnung verlange. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies eine von A._ dagegen gerichtete Beschwerde kantonal letztinstanzlich mit Urteil vom 18. April 2016 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. Mai 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 18. April 2016 sei aufzuheben. Zudem verlangt er die Gutheissung seines Härtefallantrags vom 4. Februar 2015 sowie die Zulassung zu einer Wiederholung der Prüfung im Fach "Organische Chemie I". Ferner beantragt er unter anderem die Aufhebung der Verfügung betreffend Exmatrikulation vom 3. März 2015 und die Feststellung, weiterhin an der Universität Basel im Studium der Pharmazie immatrikuliert zu sein. Das Bundesgericht zog mit Präsidialverfügung vom 1. Juni 2016 die vorinstanzlichen Akten bei. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.