Sachverhalt: A. A.a. Die Liegenschaften Grundbuchblatt-Nr. www und xxx, Gemeinde U._, stehen im Gesamteigentum der Ehegatten A.A._ und B.A._. Mit Betreibungsbegehren vom 5. Februar 2013 leitete die Bank D._ AG gegen A.A._ (Betreibung Nr. yyy) und B.A._ (Betreibung Nr. zzz) gestützt auf eine fällige Schuldbriefforderung eine Solidarbetreibung auf Grundpfandverwertung ein. In beiden Betreibungen erfolgte die Zustellung der Zahlungsbefehle am 20. Februar 2013. Die Verwertungsbegehren wurden im Dezember 2013 gestellt. A.b. Am 20. Januar 2015 ist über A.A._ der Konkurs eröffnet worden. A.c. Mit Schreiben vom 18. Juni 2015 teilte die Bank C._ AG dem Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, mit, dass in der Betreibung Nr. zzz gegen B.A._ ein Gläubigerwechsel stattgefunden habe. Am gleichen Tag zeigte die Bank C._ AG dem Betreibungsamt auch den Gläubigerwechsel im Konkursverfahren gegen A.A._ an. In der Folge informierte das Betreibungsamt B.A._ darüber, dass in der Betreibung Nr. zzz zufolge Gläubigerwechsels anstelle der bisherigen Gläubigerin Bank D._ AG als neue Gläubigerin die Bank C._ AG getreten sei. A.d. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2015 teilte das Betreibungsamt A.A._ und B.A._ mit, dass die Grundstücke Grundbuchblatt-Nr. www und xxx, Gemeinde U._, am 29. April 2016 zwangsverwertet werden. Sie wurden aufgefordert, mit den Angehörigen die von ihnen bewohnten Grundstücke bis spätestens am 29. April 2016 zu verlassen. B. Hiergegen erhoben A.A._ und B.A._ am 23. Dezember 2015 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen. Das Obergericht hiess die Beschwerde am 18. April 2016 teilweise gut. Es stellte fest, dass alle seit dem 1. März 2013 (Datum des Rechtsvorschlags) vorgenommenen Amtshandlungen in der Betreibung Nr. zzz nichtig sind. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. A.A._ (Beschwerdeführer 1) und B.A._ (Beschwerdeführerin 2) sind mit Eingabe vom 26. April 2016 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen, das Betreibungsverfahren Nr. zzz solle nicht als nichtig, sondern als abgeschlossen gelten. Ausserdem beantragen sie sinngemäss, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und von einer Grundstück-Versteigerung abzusehen. Ferner ersuchen sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Mit Verfügung vom 27. April 2016 wurde der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 19. Mai 2016 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen, soweit es die Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamts Bern-Mittelland betraf. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.