Sachverhalt: A. Am 17. März 2014 stellten A._ (geb. 1977; nigerianischer Staatsangehöriger) und B._ (geb. 1982; kamerunische Staatsangehörige) beim Zivilstandsamt der Stadt Zürich ein Gesuch um Vorbereitung der Eheschliessung. Das Amt forderte die Verlobten gestützt auf Art. 98 Abs. 4 ZGB unter Ansetzung einer Frist auf, ihren rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachzuweisen. B._ gelang dieser Nachweis. A._ konnte ihn nicht erbringen. Mit Verfügung vom 30. Juni 2014 verweigerte das Zivilstandsamt die Fortsetzung des Ehevorbereitungsverfahrens und die Trauung und meldete die Personalien von A._ der zuständigen Ausländerbehörde. B. A._ erhob Beschwerde bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Diese wies das Rechtsmittel mit Verfügung vom 8. August 2014 ab. Hierauf gelangte er an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und ersuchte für das dortige Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 18. September 2014 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Befreiung von der Kostenvorschusspflicht ab und setzte A._ eine Frist vom zwanzig Tagen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'060.--. Für den Fall der Nichtbezahlung stellte es in Aussicht, auf das Rechtsmittel nicht einzutreten. Ein Fristerstreckungsgesuch wies das Verwaltungsgericht mit Verfügung vom 25. September 2014 ab. C. Mit Beschwerde vom 9. Oktober 2014 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 18. September 2014 aufzuheben und ihm für das kantonale Beschwerdeverfahren die "vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zuzubilligen". Dem weiteren Antrag, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizumessen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 31. Oktober 2014. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.