Sachverhalt: A. A._ (geb. 1968), deutscher Staatsangehöriger mit Wohnsitz in U._, und B._ (geb. 1970), deutsche Staatsangehörige mit Wohnsitz in V._ (Deutschland), führen vor dem Amtsgericht Berlin-Schöneberg (Deutschland) einen Scheidungsprozess. Mit Beschluss vom 6. November 2013 schied das Amtsgericht Berlin-Schöneberg die im Jahre 1999 geschlossene Ehe. Den Ausgleich der Versorgungsleistungen trennte es vom Scheidungsverfahren ab; diesbezüglich ist am Amtsgericht Berlin-Schöneberg ein Verfahren hängig. Mit Verfügung vom 6. Januar 2015 gab das besagte Gericht B._ auf, binnen vier Wochen in der Schweiz eine Teilung der schweizerischen Vorsorgeanwartschaften in die Wege zu leiten und dies dem Gericht gegenüber binnen dieser Frist nachzuweisen. B. B.a. Mit Eingabe vom 11. Februar 2015 machte B._ am Bezirksgericht Horgen ein Verfahren betreffend Ergänzung des Scheidungsurteils anhängig. Sie beantragte, das deutsche Scheidungsurteil vom 6. November 2013 (Bst. A) vorfrageweise anzuerkennen und die Vorsorgeeinrichtung respektive Pensionskasse von A._ anzuweisen, von seiner Austrittsleistung die Hälfte auf ein von ihr noch zu errichtendes Freizügigkeitskonto zu überweisen. B.b. Am 21. April 2015 erhob A._ vor dem Bezirksgericht Horgen die Einrede der anderweitigen Rechtshängigkeit. Gleichzeitig beantragte er, das Verfahren betreffend Ergänzung des Scheidungsurteils zu sistieren. B.c. Mit Beschluss vom 12. Mai 2015 sistierte das Amtsgericht Berlin-Schöneberg das hängige Verfahren über den Versorgungsausgleich bis zum rechtskräftigen Abschluss des Verfahrens vor dem Bezirksgericht Horgen. Die Sistierung wurde damit begründet, dass der Ausgang des schweizerischen Prozesses für das deutsche Versorgungsausgleichsverfahren vorgreiflich sei. Deshalb sei der Ausgang des Verfahrens in der Schweiz abzuwarten. A._ erhob gegen diesen Beschluss Beschwerde beim Kammergericht Berlin. Dieses wies das Rechtsmittel mit Beschluss vom 22. Juni 2015 ab. B.d. Schon vorher, mit Verfügung vom 5. Juni 2015, sistierte das Bezirksgericht Horgen gestützt auf Art. 9 Abs. 1 IPRG (SR 291) das Verfahren um Ergänzung des deutschen Scheidungsurteils bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen und anerkennungsfähigen Entscheids des zuständigen deutschen Gerichts über den Vorsorgeausgleich und über den Anteil, der in der Schweiz zu vollziehen ist. C. C.a. B._ legte gegen die Sistierungsverfügung des Bezirksgerichts Horgen (Bst. B.d) Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Sie verlangte, die bezirksgerichtliche Verfügung aufzuheben, und ersuchte für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. C.b. Mit Urteil vom 11. Dezember 2015 hiess das Obergericht die Beschwerde gut und hob die Sistierungsverfügung des Bezirksgerichts Horgen auf. D. D.a. Mit Eingabe vom 1. Februar 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er erhebt "Beschwerde im Sinne von Art. 93 BGG", eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde, und verlangt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Verfügung des Bezirksgerichts Horgen vom 5. Juni 2015 zu bestätigen. Unter Hinweis auf Vergleichsverhandlungen regte er an, das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren einstweilen zu sistieren. D.b. Mit Verfügung vom 18. Februar 2016 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu. D.c. Am 29. Februar 2016 teilte der Rechtsvertreter von B._ (Beschwerdegegnerin) dem Bundesgericht mit, dass die aussergerichtlichen Vergleichsverhandlungen gescheitert seien. D.d. Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.