Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1953) und B.A._ (1959) haben 1987 geheiratet. 1988 wurde die gemeinsame Tochter C.A._ geboren. Die Eheleute lebten seit Mai 2006 getrennt. Mit Urteil vom 4. Juli 2013 schied das Bezirksgericht Baden die Ehe auf gemeinsamen Antrag der Parteien hin. Bezüglich des nachehelichen Unterhalts entschied das Gericht was folgt: 2. Der Gesuchsteller wird verpflichtet, der Gesuchstellerin ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zur Pensionierung des Gesuchstellers einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 4'440.00 monatlich vorschüssig zu bezahlen. 3. Die Unterhaltsbeiträge basieren auf folgenden Werten: - monatliches hypothetisches Nettoeinkommen des Gesuchstellers: Fr. 8'600.00 - monatliches Nettoeinkommen der Gesuchstellerin (türkische Rente) : Fr. 475.00 4. Die Unterhaltsbeiträge gemäss Ziff. 2 hievor werden wie folgt indexiert: [...]" A.A._ legte gegen dieses Urteil Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Er stellte, soweit vor Bundesgericht noch relevant, die Anträge, Dispositiv-Ziff. 2 des bezirksgerichtlichen Urteils sei aufzuheben; er sei neu zu verpflichten, der Berufungsgegnerin ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zu seinem ordentlichen Pensionsalter, längstens jedoch bis 31. März 2018, einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 1'100.-- vorschüssig zu bezahlen. Weiter seien die Dispositiv-Ziff. 3 und 4 des angefochtenen Urteils aufzuheben; die in Ziff. 3 angegebenen Daten seien durch in der Berufungsschrift näher spezifizierte zu ersetzen. Das Obergericht wies die Berufung ab, soweit es darauf eintrat und das Verfahren nicht (hinsichtlich eines zufolge teilweisen Rückzugs der Berufung rechtskräftig gewordenen Punktes) als erledigt abschrieb (Urteil vom 19. November 2014). Dagegen erhob A.A._ am 13. Januar 2015 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das angefochtene Urteil sei vollumfänglich aufzuheben; die Akten seien zu neuer Entscheidung an das Obergericht des Kantons Aargau zurückzuweisen. Eventuell sei er zu verpflichten, B.A._ mit Wirkung ab 4. Juli 2013 bis und mit 14. Juli 2018 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'618.80 (nicht indexiert) zu bezahlen. A.b. Das Bundesgericht hob den obergerichtlichen Entscheid vom 19. November 2014 auf und wies die Sache nach Art. 112 Abs. 3 BGG an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde trat es nicht ein (Urteil 5A_34/2015 vom 29. Juni 2015). B. Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die Berufung von A.A._ teilweise gut und setzte den Unterhaltsbeitrag auf Fr. 3'840.-- fest (Urteil vom 16. Dezember 2015). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Februar 2016 beantragt A.A._ die Aufhebung des angefochtenen Urteils im Unterhalts-, Kosten- und Entschädigungspunkt (Ziff. 1) und die Rückweisung an das Obergericht mit der Anweisung, ein neues Urteil "im Sinne der nachfolgenden Rügen" zu fällen und die Unterhalts-, Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu regeln (Ziff. 2). Eventuell sei er auf einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'618.80 für den Zeitraum 4. Juli 2013 bis 4. Juli 2018 zu verpflichten (Ziff. 3). Zudem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. B.A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventuell sei sie abzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. A.A._ liess darauf replizieren. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.