Sachverhalt: A. A._ betrieb B._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Baden vom 26. Mai 2015 für eine Forderung von Fr. 2'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 20. April 2015. Als Grund der Forderung wurde angegeben: "Unterhaltsvertrag aus dem Jahre 1997, Mahnung vom 18.04.2015." B._erhob Rechtsvorschlag. B. B.a. Mit Klage vom 4. Januar 2016 verlangte A._ beim Gerichtspräsidium Baden die provisorische Rechtsöffnung für die betriebene Forderung und für Fr. 73.30 Betreibungskosten, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Zudem beantragte er die unentgeltliche Rechtspflege. B.b. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies das Gerichtspräsidium Baden das Rechtsöffnungsbegehren von A._ ab, auferlegte ihm die Spruchgebühr von Fr. 250.-- und verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 50.-- an B._. Das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde ebenfalls abgewiesen. C. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 28. April 2016 nicht ein und auferlegte A._ die Spruchgebühr von Fr. 450.--; ferner wurde dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren nicht entsprochen. D. A._ gelangt mit Eingabe vom 11. Juni 2016 an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt, den obergerichtlichen Entscheid vom 28. April 2016 aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Es wurden die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.