Sachverhalt: A. Der 1955 geborene A._ ist seit 1982 Inhaber und Geschäftsführer eines Garagenbetriebes. Er bezog wegen Kniebeschwerden vom 1. Januar bis 30. September 1996 eine befristete ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung (IV). Dies stützte sich auf die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Luzern vom 7. Juni 1999 und den diese bestätigenden Beschwerdeentscheid des damaligen Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) vom 22. März 2001. Im Juli 2011 meldete sich A._ unter Hinweis auf eine Rückenproblematik, welche mehrere Operationen erforderte, erneut zum Leistungsbezug bei der IV an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern holte nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres Gutachten der Aerztliches Begutachtungsinstitut GmbH, Basel (nachfolgend: ABI), vom 30. April 2012 ein. In der Folge sah sie sich aufgrund von neu geltend gemachten Befunden veranlasst, bei der MEDAS Oberaargau ein weiteres polydisziplinäres Gutachten in Auftrag zu geben. Dieses wurde am 17. April 2014 erstattet. Mit Verfügung vom 5. Juni 2014 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf eine Invalidenrente, da der Invaliditätsgrad lediglich 35 % betrage. B. Beschwerdeweise beantragte A._, in Aufhebung der Verfügung vom 5. Juni 2014 sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen und sei ein Gerichtsgutachten auf dem Gebiet der Schmerztherapie einzuholen; eventuell sei eine BEFAS-Expertise zu veranlassen und seien Eingliederungsmassnahmen nach Art. 8a IVG anzuordnen. Das Kantonsgericht Luzern führte eine öffentliche Verhandlung durch, an welcher sie den Versicherten befragte. Es holte zudem ein polydisziplinäres Gutachten des Spitals B._ vom 29. Februar 2016 ein. Mit Entscheid vom 8. Mai 2016 hiess das Gericht die Beschwerde insofern gut, als es die Verfügung vom 5. Juni 2014 aufhob und dem Versicherten ab 1. Januar 2012 eine Dreiviertelsrente zusprach. Zudem auferlegte es der IV-Stelle die Gerichtskosten sowie die vom Spital B._ in Rechnung gestellten Gutachtenskosten von Fr. 19'996.- und verpflichtete sie, dem Versicherten eine Parteientschädigung zu bezahlen. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 5. Juni 2014 sei zu bestätigen; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. A._ beantragt, die Beschwerde und das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung seien abzuweisen. Das kantonale Gericht schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid zumindest in dem Sinne abzuändern, dass dem Versicherten nur eine halbe Rente zugesprochen und der IV-Stelle die Kosten des Gerichtsgutachtens nur bis zur Höhe von Fr. 14'784.- überbunden würden. Mit einer weiteren Eingabe äussert sich A._ zur Vernehmlassung des BSV. Er hält an seinen Rechtsbegehren fest.