Sachverhalt: A. Die Mutter der im Januar 2004 geborenen A._ meldete ihre Tochter im September 2014 unter Hinweis auf "ADS" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 16. Januar 2015 den Anspruch auf medizinische Massnahmen im Rahmen des Geburtsgebrechens Ziffer 404. B. In Gutheissung der Beschwerde von A._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 23. Mai 2016 die angefochtene Verfügung auf, stellte fest, dass sie am Geburtsgebrechen Ziff. 404 Anhang GgV leide, und wies die Sache zur Fortsetzung des Verwaltungsverfahrens im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 23. Mai 2016 sei aufzuheben und die Verfügung vom 16. Januar 2015 zu bestätigen. Das kantonale Versicherungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung. A._ hat sich nicht vernehmen lassen.