Sachverhalt: A. A.a. Im summarischen Verfahren vor Bezirksgericht Kulm wurde B._ für das künftige Scheidungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und lic. iur. A._ als amtlicher Anwalt bestimmt. Dieser reichte am 17. April 2013 im Namen seines Mandanten beim Bezirksgericht Kulm Scheidungsklage gegen C._ ein und beantragte nebst der Scheidung der Ehe unter anderem die Zuweisung der im Gesamteigentum der Parteien stehenden Liegenschaft GB D._ Nr. xxx in das Alleineigentum des Klägers und die Verpflichtung der Ehefrau, dem Kläger als güterrechtliche Ausgleichszahlung Fr. 75'000.-- zu bezahlen. A.b. An der Hauptverhandlung vom 24. April 2015 reichten die Parteien eine vom Gericht ausgearbeitete vollständige Vereinbarung über die Nebenfolgen der Scheidung ein. Mit Entscheid vom 26. Mai 2015 schied das Bezirksgericht Kulm die Ehe der Parteien und genehmigte die Vereinbarung über die Nebenfolgen. A.c. Mit Kostennote vom 2. Juni 2015 ersuchte Rechtsanwalt A._ um Auszahlung einer Entschädigung für die Vertretung seines Mandanten in der Höhe von Fr. 26'812.60 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer). Am 2. Juli 2015 setzte der Gerichtspräsident die Entschädigung auf Fr. 16'295.60 (inkl. Fr. 1'207.10 MWSt.) fest. B. Mit Entscheid vom 3. Dezember 2015 wies das Obergericht des Kantons Aargau die von A._ gegen die Kostenfestsetzung erhobene Beschwerde ab. C. Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer) hat am 29. Januar 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den vorinstanzlichen Entscheid Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. D. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bezirksgericht Kulm hat sich nicht vernehmen lassen.