Sachverhalt: A. A._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) war seit dem Jahre 2011 bei der Stiftung B._ (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) angestellt. Im August 2013 wurde er zum Leiter Administration befördert. Am 22. April 2014 kündigte ihm die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 31. Juli 2014, wobei es zu einer Freistellung kam. Sie begründete die Kündigung damit, dass zwischen ihr und dem Arbeitnehmer keine Vertrauensbasis mehr bestehe, nachdem bekannt geworden sei, dass der Arbeitnehmer auf seinem persönlichen Laufwerk zahlreiche, nicht im Zusammenhang mit seinen Aufgaben stehende Daten gespeichert und damit eine regelrechte Parallelstruktur zu den bestehenden Datenstrukturen der Arbeitgeberin geschaffen habe. Der Arbeitnehmer focht die Kündigung als missbräuchlich an. B. B.a. Mit Klage vom 10. Dezember 2014 stellte der Arbeitnehmer beim Bezirksgericht Aarau folgende Begehren: "1. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger als Entschädigung in Anwendung von Art. 336a OR i.V. mit Art. 336 Abs. 2 lit. b OR von vier Monatslöhnen, ausmachend Fr. 25'908.-- auszurichten. 2. Dem Kläger sei eine Genugtuung von Fr. 2'000.-- auszurichten." Mit Entscheid vom 12. Mai 2015 wies das Bezirksgericht Aarau die Klage ab, wobei die Gerichtskosten auf die Staatskasse genommen wurden und keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. B.b. Gegen diesen Entscheid erhob der Kläger mit Eingabe vom 19. November 2015 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses wies die Berufung mit Entscheid vom 14. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. April 2016 aufzuheben und seine Klage gutzuheissen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.