Sachverhalt: A. Der Verein A._ reichte am 22. Juni 2013 beim Volksschulamt des Kantons Zürich ein Gesuch um Führung einer Privatschule mit Kindergartenstufe ein. Mit Verfügung vom 26. Mai 2014 wies das Volksschulamt dieses ab. Den dagegen vom Verein A._ eingereichten Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 17. Dezember 2014 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen gut, wies sie im Übrigen indes ab und bestätigte damit die gesuchsabweisende Verfügung des Volksschulamts. B. Am 30. Januar 2015 reichte der Verein A._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eine Strafanzeige ein gegen unbekannte Täterschaft, tätig beim Volksschulamt des Kantons Zürich, wegen Verleumdung und Amtsmissbrauch, evtl. Beschimpfung. Er begründete dies damit, dass das seinem Bewilligungsgesuch beigelegte Bildungskonzept "Islamischer Kindergarten A._" mit Bemerkungen wie "Pädophilie" und "Schizo" versehen worden seien. Auf Ersuchen der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat übernahm die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich die Strafuntersuchung. Diese übermittelte die Akten auf dem Dienstweg via Oberstaatsanwaltschaft an das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und beantragte, ebenso wie der Verein A._, die Erteilung der Ermächtigung. Das Obergericht beschloss mit Entscheid vom 24. Juli 2015, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen Unbekannt nicht zu erteilen. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 14. September 2015 beantragt der Verein A._, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und es sei die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen unbekannte Täterschaft, tätig beim Volksschulamt des Kantons Zürich, zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft I, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht verzichten auf eine Vernehmlassung.