Sachverhalt: A. A._ und B._ sind die Eltern von C._ (geb. 2010). Sie waren nie miteinander verheiratet. B. B.a. Mit Eingabe vom 29. Januar 2014 verklagte A._ B._ vor dem Bezirksgericht Aarau auf Ersatz der Entbindungskosten und weiterer infolge der Geburt des gemeinsamen Sohnes entstandener Auslagen. Ausserdem machte sie für sich persönlich Unterhaltsbeiträge sowie eine Genugtuungsforderung geltend. Im Laufe des Verfahrens änderte bzw. präzisierte A._, nun im Armenrecht durch eine Rechtsanwältin vertreten, ihre Rechtsbegehren. Sie stellte das Begehren, B._ zu verpflichten, ihr bis und mit Mai 2026 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag in der Höhe von Fr. 2'110.-- zu bezahlen. Weiter sei B._ zum Ersatz der infolge der Geburt des Sohnes notwendig gewordenen Auslagen von Fr. 3'632.-- zu verurteilen. Eventualiter forderte A._, B._ zur Bezahlung einer Genugtuungs- und Schadenersatzsumme in der Höhe von Fr. 150'000.-- zu verpflichten. B.b. Am 3. Dezember 2014 teilte A._s unentgeltliche Rechtsvertreterin dem Bezirksgericht mit, dass sie die Interessen von A._ ab sofort nicht mehr vertrete. B.c. Mit Entscheid vom 9. Januar 2015 wies das Bezirksgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. C. C.a. Darauf wandte sich A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau und stellte dabei, soweit vor Bundesgericht noch von Interesse, die folgenden Rechtsbegehren: "1. Der Entscheid des Bezirksgerichts Aarau vom 09. Januar 2015 sei aufzuheben und das Rechtsverhältnis der Parteien im Innen- und Aussenverhältnis zu prüfen. "1. Der Entscheid des Bezirksgerichts Aarau vom 09. Januar 2015 sei aufzuheben und das Rechtsverhältnis der Parteien im Innen- und Aussenverhältnis zu prüfen. 2. Es sei der Berufungsbeklagte für einen vorsorglichen Unterhaltsbetrag zu verpflichten und die Klage zur erneuten Überprüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. 2. Es sei der Berufungsbeklagte für einen vorsorglichen Unterhaltsbetrag zu verpflichten und die Klage zur erneuten Überprüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. 3. Es sei der Berufungsbeklagte zu verpflichten, alle Informationen, die im Zusammenhang mit D._ bestehen, der Berufungsklägerin umgehend mitzuteilen und auf seine künftige Mitwirkungspflicht anzuweisen." C.b. Das Obergericht trat auf die Berufung nicht ein (Urteil vom 14. Oktober 2015). D. D.a. Mit Beschwerde vom 23. November 2015 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Unter dem Titel "Rechtsbegehren" fordert sie das Bundesgericht auf, alle notwendigen Schritte einzuleiten, damit sie ihre Unterhaltsforderungen "gemäss den Rechten einer verheirateten Ehefrau" geltend machen könne. Zudem verlangt die Beschwerdeführerin, B._ (Beschwerdegegner) zu einem allfälligen Kostenvorschuss zu verpflichten. Am 26. November 2015 reichte die Beschwerdeführerin die Berufungsschrift an das Obergericht vom 11. September 2015 nach. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangt die Beschwerdeführerin mit nachträglicher Eingabe vom 4. Dezember 2015 die unentgeltliche Rechtspflege. D.b. Zur Vernehmlassung eingeladen, beantragt der Beschwerdegegner, die Beschwerde abzuweisen (Schreiben vom 30. März 2016). Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. In ihrer Replik vom 18. Mai 2016 (Datum der Postaufgabe) hält die Beschwerdeführerin sinngemäss an ihrem Standpunkt fest. Die Eingabe wurde dem Beschwerdegegner zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.