Sachverhalt: A. Die A._ AG, U._/SO, verfügte seit dem 15. Dezember 2004 über eine Bewilligung für die Tätigkeit als Finanzintermediärin. Ihre Organe waren B._ und C._. Am 10. Februar 2005 wurden dem auf die A._ AG lautenden Postkonto zwei Banküberweisungen von der Bank D._ S.A., Luxemburg, im Gesamtbetrag von EUR 5'000'000.-- gutgeschrieben. Der Überweisung lag die arglistige Vortäuschung eines gewinnbringenden Anlagegeschäfts zugrunde. Der Geldbetrag rührte somit aus einem Verbrechen her. Am 11. Februar 2005 hob B._, der einzige Verwaltungsrat der A._ AG, vom Postkonto der Gesellschaft einen Betrag von CHF 4'600'000.-- in bar ab, wobei er die Barabhebung mit dem Kauf eines Edelsteines begründete. Diesen Betrag händigte er daraufhin der damaligen Direktorin der A._ AG, C._, aus. Diese reiste mit dem Geld angeblich nach Rom und soll es an eine ihr nicht näher bekannte Person namens G._ weitergegeben haben. Seither ist das Geld trotz intensiver Ermittlungen verschwunden. B._ und C._ wurden u.a. wegen dieser Tat vom Obergericht des Kantons Solothurn am 23. September 2013 in zweiter Instanz des gewerbsmässigen Betruges, der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung und der mehrfachen Geldwäscherei zu Freiheitsstrafen verurteilt (vgl. Verfahren 6B_1198/2013 vom 18. Juli 2014). Der Schweizerischen Post wird vorgeworfen, sie habe die Barauszahlung vom 11. Februar 2005 ohne jegliche materielle Vorprüfung bezüglich Herkunft und Verwendung des Geldes ausgeführt. Sie habe auch zu jenem Zeitpunkt trotz Kenntnis der entsprechenden Risiken - namentlich im Bereich von Barauszahlungen - nicht alle erforderlichen und zumutbaren Vorkehren getroffen, um Geldwäschereihandlungen zu verhindern. Die damals gültigen Reglemente hätten bei Bargeldbezügen ab einem Betrag von CHF 100'000.-- lediglich das Ausfüllen des Formulars A1 sowie allfällige weitere nachträglich zu treffende Abklärungen vorgesehen. Vorgängige Nachforschungen bzw. eine Aufschiebung der Barauszahlung zwecks Plausibilisierung der wirtschaftlichen Hintergründe seien ungeachtet der Höhe des Barbezuges nicht vorgesehen gewesen. Das Fehlen jeglicher Einschränkungen oder Bedingungen bei Barbezügen in beliebiger Höhe habe dazu geführt, dass der Mitarbeiter der Compliance-Abteilung die Barauszahlung trotz der Ungewöhnlichkeit der Transaktion ohne materielle Prüfung freigegeben habe. B. Am 16. Juli 2010 erhob die Staatsanwaltschaft Solothurn gegen die Schweizerische Post Anklage wegen Geldwäscherei. Das Amtsgericht von Solothurn-Lebern sprach die Schweizerische Post am 19. April 2011 der Geldwäscherei schuldig und verurteilte sie zu einer Busse von CHF 250'000.--. Die Zivilforderungen wies es ab. Auf Berufung der Schweizerischen Post und Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft sprach das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 19. November 2015 die Schweizerische Post bzw. deren Rechtsnachfolgerin, die Schweizerische Post AG, von der Anklage der strafrechtlichen Verantwortlichkeit nach Art. 102 Abs. 2 StGB i.V.m. Art. 305bis StGB (Geldwäscherei) frei. C. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt Beschwerde in Strafsachen, mit der sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt in seinen Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde. Die Schweizerische Post AG stellt in ihrer Vernehmlassung den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.