Sachverhalt: A. B.A._ und A.A._ sind seit 1995 verheiratet. Sie sind die Eltern zweier Töchter, C.A._ (geb. 1995) und D.A._ (geb. 1998). Mit Eingabe vom 4. September 2012 ersuchte die Ehefrau das Bezirksgericht Zürich um Regelung des Getrenntlebens. Am 17. Juni 2014 erging das Eheschutzurteil. Das Bezirksgericht regelte die Kinderbelange, wies die eheliche Wohnung Frau und Kindern zu, verurteilte den Ehemann zur Herausgabe verschiedener Gegenstände und räumte ihm überdies das Recht ein, den Familienhund alle 14 Tage zu sich zu nehmen. Soweit vor Bundesgericht noch streitig, wurde A.A._ verpflichtet, B.A._ persönlich für die weitere Dauer des Getrenntlebens monatliche Alimente von Fr. 15'480.-- (ab 1. Oktober 2012), Fr. 13'110.-- (ab 1. Juli 2013), Fr. 15'480.-- (ab 1. Oktober 2013) sowie Fr. 10'430.-- ab 1. Januar 2015 zu bezahlen. B. Beide Parteien legten beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein. Die Ehefrau verlangte für sich monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 22'455.-- (ab 1. Oktober 2012) und Fr. 19'455.-- (ab dem vierten Monat nach erfolgreichem Abschluss ihrer Primarlehrerinnen-Ausbildung). Der Ehemann wollte ihr über verschiedene Zeitabschnitte monatliche Alimente zwischen Fr. 7'205.-- und Fr. 1'640.-- zugestehen. Mit Urteil vom 16. April 2015 sprach das Obergericht B.A._ die folgenden Frauenalimente zu: Fr. 12'570.-- vom 1. Oktober 2012 bis zum 31. Juli 2015, Fr. 10'900.-- vom 1. August 2015 bis zum 31. Juli 2016 sowie Fr. 9'800.-- ab 1. August 2016 für die weitere Dauer des Getrenntlebens. Die Gerichtskosten für das erstinstanzliche Verfahren auferlegte das Obergericht zu 5/8 der Ehefrau und zu 3/8 dem Ehemann. Schliesslich wurde B.A._ dazu verurteilt, A.A._ für das erstinstanzliche Verfahren eine reduzierte Entschädigung von Fr. 2'160.-- zu bezahlen. C. A.A._ wendet sich mit Beschwerde vom 19. Mai 2015 an das Bundesgericht. Er verlangt, die Alimente für B.A._ (Beschwerdegegnerin) vom 1. August 2015 bis zum 31. Juli 2016 auf Fr. 8'905.-- und diejenigen ab 1. August 2016 auf Fr. 5'664.-- festzusetzen (Ziffer 1). Weiter seien die Gerichtskosten für das erstinstanzliche Verfahren der Beschwerdegegnerin zu drei Vierteln und ihm zu einem Viertel aufzuerlegen (Ziffer 2). Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'320.-- inklusive Mehrwertsteuer. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.