Sachverhalt: A. Der 1983 geborene A._ war zuletzt von November 2007 bis Januar 2009 als Mitarbeiter Informatik Support bei der von B._ AG tätig. Am 8. August 2012 meldete er sich wegen einer Depression zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich veranlasste berufliche und medizinische Abklärungen und holte unter anderem das psychiatrische Gutachten des Prof. Dr. med. C._, Facharzt für Neurologie und Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 1. Mai 2013 ein. Mit Vorbescheid vom 24. Juni 2013 stellte die IV-Stelle die Ablehnung des Leistungsanspruchs in Aussicht. Vom 22. August bis 6. September 2013 wurde A._ im Sanatorium D._ stationär psychiatrisch behandelt (Berichte vom 6. und 13. September 2013). Die Verwaltung unterbreitete die neuen Unterlagen Prof. Dr. med. C._, welcher am 12. September 2013 Stellung nahm. Mit Verfügung vom 14. April 2014 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. Juni 2015 ab. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ferner wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.