Sachverhalt: A. Die D._ AG ist Eigentümerin der Parzellen Nrn. 761 und 1417 in Luzern (rechtes Ufer), die mit einem von der E._ AG betriebenen Spital überbaut sind. Entlang der nördlichen Grundstücksgrenzen verläuft die St.-Anna-Strasse, im Süden schliesst die Rigistrasse an die beiden Grundstücke. Mit zwei separaten Eingaben vom 29. Juli 2013 ersuchte die E._ AG zum einen um die Bewilligung für den Abbruch der bestehenden Trakte A und B sowie deren Ersatz durch einen Trakt A+, zum andern um die Bewilligung für den Neubau eines Trakts E Hof. Gegen das Bauvorhaben Trakt A+ gingen zahlreiche Einsprachen ein. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2014 erteilte der Stadtrat Luzern die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Auf drei der erhobenen Einsprachen trat er nicht ein, darunter auf jene von A. und B. C._. Gegen den Entscheid des Stadtrats erhoben A. und B. C._ sowie weitere Personen Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Mit Urteil vom 16. März 2016 wies das Kantonsgericht Luzern die Beschwerden von A. und B. C._ ab, hiess dagegen die beiden weiteren Beschwerden gut, hob den Entscheid des Stadtrats auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an diesen zurück. In Bezug auf die Beschwerde von A. und B. C._ erwog es, der Stadtrat sei zu Recht nicht auf ihre Einsprache eingetreten. Sie könnten nicht als besonders berührt gelten und seien deshalb auch nicht einspracheberechtigt. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Mai 2016 beantragen A. und B. C._, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Kantonsgericht schliesst auf die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerinnen beantragen primär, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, und eventualiter, sie sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Stadtrat hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer haben eine weitere Stellungnahme eingereicht.