Sachverhalt: A. A.a. X._ war Ende der achtziger und zu Beginn der neunziger Jahre Beirat nach aArt. 395 Abs. 2 ZGB der inzwischen verstorbenen A._ (Betroffene). Y._ ist ihr Sohn. A.b. Am 23. Oktober 2008 fasste die Commissione tutoria regionale 11, sede di Losone (Vormundschaftsbehörde), Beschluss betreffend die "Tassazione note di onorario per mercede e rimborso spese dell'ex-assistente legale avv. X._". Die vorliegend einzig interessierende Dispositivziffer 1 lautet wie folgt: "L'istanza è parzialmente accolta. Di conseguenza, sono tassati ed approvati nella seguente misura mercede e spese relative all'attività di assistente legale dell'avv. X._ per il periodo dal 1.1.1991, importo dal quale andranno dedotti gli eventuali acconti già incassati. Mercede 1.1.1991 - 31.12.1991 fr. 120'000.-- Mercede 1.1.1992 - 04.06.1992 (5 mesi) fr. 50'000.-- Rimborso spese 1.1.1991 - 04.06.1992 fr. 20'772.-- Totale fr. 190'772.--." A.c. Die gegen diesen Beschluss von X._ und Y._ erhobenen Rekurse wies die Autorità di vigilanza sulle tutele (Aufsichtsbehörde) am 27. Februar 2009 ab. Der Entscheid ist rechtskräftig. B. Mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamts Kreis Klosters (Betreibungs-Nr. xxxx) vom 1. Februar 2010 forderte X._ von Y._ die Zahlung von insgesamt Fr. 360'537.10 (Fr. 190'772.-- sowie aufgelaufene Zinsen und Spesen) zuzüglich Zinsen. Als Forderungsurkunde gab er den Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 27. Februar 2009 an. Y._ erhob Rechtsvorschlag. Das Gesuch von X._ vom 26. April 2010 um definitive Rechtsöffnung wies das Bezirksgericht Prättigau/Davos am 9. Juni 2010 ab. Dagegen beschwerte sich X._ beim Kantonsgericht Graubünden und beim Bundesgericht. Der Beschwerde war kein Erfolg beschieden, weil die Verfügung der Vormundschaftsbehörde einen Vorbehalt hinsichtlich allfällig bereits geleisteter Akontozahlungen enthielt und somit der tatsächlich geschuldete Betrag nicht behördlich festgestellt war (Urteil 5A_866/2010 vom 4. Februar 2011). C. Mit Klage vom 7. August 2013 gelangte X._ an das Bezirksgericht Prättigau/Davos. Er verlangte von Y._ die Bezahlung von ausstehenden Honoraren und Spesen aus der Beiratschaft im Umfang von Fr. 190'772.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 4. Juni 1992. Mit Entscheid vom 4. September 2014 (mitgeteilt am 27. Januar 2015) hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete Y._ zur Zahlung von Fr. 190'772.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 23. Oktober 2008. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- auferlegte es im Umfang von Fr. 6'000.-- Y._ und im Umfang von Fr. 4'000.-- X._. Ausserdem verpflichtete es Y._, X._ mit Fr. 2'669.75 zu entschädigen. D. Gegen diesen Entscheid reichte Y._ am 27. Februar 2015 beim Kantonsgericht von Graubünden Berufung ein. Mit Urteil vom 2. Juni 2016 (eröffnet am 7. Juni 2016) wies das Kantonsgericht das Rechtsmittel ab. Dagegen hiess es eine von X._ erhobene Anschlussberufung teilweise gut. In Abänderung des vorinstanzlichen Kostenentscheids auferlegte es die erstinstanzlichen Gerichtskosten im Umfang von Fr. 9'000.-- Y._ und im Umfang von Fr. 1'000.-- X._. Weiter verurteilte es Y._ zur Zahlung einer Entschädigung von Fr. 10'679.05 (inkl. MWSt) an X._. Ausserdem auferlegte das Kantonsgericht die oberinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- Y._ und verpflichtete diesen, X._ für das Berurungsverfahren mit Fr. 4'000.-- (inkl. Spesen und MWSt) zu entschädigen. E. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2016 gelangt Y._ (Beschwerdeführer) mit den folgenden Anträgen an das Bundesgericht: "1. Das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 sei vollumfänglich aufzuheben und auf die Klage von X._ sei nicht einzutreten. 2. Evt. sei das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 vollumfänglich aufzuheben und die Klage von X._ sei abzuweisen. 3. Subevt. sei das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht von Graubünden zurückzuweisen. 4. Die Gerichtskosten von CHF 10'000.00 für das Verfahren vor Bezirksgericht Prättigau-Davos sowie die Gerichtskosten von CHF 10'000.00 für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht von Graubünden seien X._ aufzuerlegen. 5. X._ sei zu verpflichten, Y._ für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Prättigau-Davos ausseramtlich mit CHF 12'000.00 zuzüglich MWST von 8 % und für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht von Graubünden mit CHF 5'000.00 zuzüglich MWST von 8 % zu entschädigen. 6. Unter voller gerichtlicher und aussergerichtlicher Kosten- und Entschädigungsfolge für das Beschwerdeverfahren zulasten von X._." Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt. Mit Vernehmlassungen vom 5. September 2016 und vom 27. Oktober 2016 beantragen das Kantonsgericht und X._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.