Sachverhalt: A. Am 5. Juni 2014 erstattete die Aufsichtskommission Bildung und Gesundheit (ABG) des Zürcher Kantonsrates einen Bericht zu den Ereignissen am Medizinhistorischen Institut der Universität Zürich, die zur Entlassung von Professor Christoph Mörgeli führten. Gestützt auf diesen Bericht stellte die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich am 25. Juni 2014 der dortigen Oberstaatsanwaltschaft den Antrag, bei der Geschäftsleitung des Kantonsrats (im Folgenden: Geschäftsleitung) ein Verfahren zur Ermächtigung der Strafverfolgung gegen die damalige Regierungspräsidentin Regine Aeppli wegen des Verdachts des Amtsmissbrauchs einzuleiten. Dem entsprach die Oberstaatsanwaltschaft mit Verfügung vom 26. Juni 2014. Mit Schreiben vom 7. Juli 2014 überwies die Geschäftsleitung das Ermächtigungsgesuch an die Justizkommission des Kantonsrats (im Folgenden: Justizkommission) zu Bericht und Antrag an die Geschäftsleitung. Am 25. August 2014 gab die Justizkommission Regine Aeppli Gelegenheit zur Stellungnahme. Am 3. bzw. 5. September 2014 überwiesen die Staatsanwaltschaft I bzw. die Oberstaatsanwaltschaft der Geschäftsleitung weitere Akten zum Ermächtigungsgesuch, unter anderem eine Strafanzeige vom 22. August 2014 von Christoph Mörgeli gegen Regine Aeppli. Die Geschäftsleitung leitete diese Akten an die Justizkommission weiter. Mit Stellungnahme vom 5. September 2014 beantragte Regine Aeppli, dem Ermächtigungsgesuch nicht stattzugeben. Am 15. September 2014 forderte die Geschäftsleitung die Oberstaatsanwaltschaft auf, einen begründeten Antrag zum Ermächtigungsgesuch nachzureichen. Dazu nahm die Oberstaatsanwaltsschaft am 22. September 2014 Stellung. Am 25. September 2014 überwies die Geschäftsleitung die Stellungnahme der Oberstaatsanwaltschaft an die Justizkommission. Am 30. September 2014 gab die Justizkommission Regine Aeppli Gelegenheit, sich zu den am 3. bzw. 5. September 2014 neu eingereichten Akten und zum Schreiben der Oberstaatsanwaltschaft vom 22. September 2014 zu äussern. Dies tat Regine Aeppli am 31. Oktober 2014. Sie beantragte erneut, dem Ermächtigungsgesuch nicht stattzugeben. Am 2. Dezember 2014 beantragte die Justizkommission der Geschäftsleitung, das Ermächtigungsgesuch eigenständig als offensichtlich unbegründet von der Hand zu weisen. Dies lehnte die Geschäftsleitung am 8. Januar 2015 ab. Sie beantragte vielmehr dem Kantonsrat die Ablehnung des Ermächtigungsgesuchs, da es unbegründet sei. B. Mit Beschluss vom 23. Februar 2015 gab der Kantonsrat dem Ermächtigungsgesuch der Oberstaatsanwaltschaft nicht statt (Amtsblatt des Kantons Zürich Nr. 9 vom 6. März 2015, Meldungsnummer 00103621). Er kam zum Schluss, dem Ermächtigungsgesuch, dem Bericht der ABG sowie den weiteren eingereichten Akten könnten keine genügend konkreten Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten von Regine Aeppli entnommen werden. Gegen die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung sprächen sodann vor allem staatspolitische Gründe. Mit dem Bericht der ABG und dessen Beratung im Kantonsrat sei dem öffentlichen Interesse an der Aufklärung der Vorfälle, die zur Entlassung von Christoph Mörgeli führten, genügend Rechnung getragen worden. C. Christoph Mörgeli erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, der Kantonsrat sei anzuweisen, das Ermächtigungsgesuch vom 21. August 2014 des Beschwerdeführers anhand zu nehmen und zu beurteilen. Eventualiter sei der Beschluss des Kantonsrats aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an diesen zurückzuweisen. D. Die Oberstaatsanwaltschaft und Regine Aeppli haben auf Vernehmlassung verzichtet. Die Geschäftsleitung hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Christoph Mörgeli hat hierzu Stellung genommen. Die Beteiligten haben auf weitere Bemerkungen verzichtet.