Sachverhalt: A. A.a. Auf Ersuchen des Bezirks Höfe erteilte das Bezirksgericht Horgen in der gegen A.A._ laufenden Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Thalwil-Rüschlikon-Kilchberg am 2. März 2016 definitive Rechtsöffnung für die Forderung von Fr. 800.-- sowie für Betreibungskosten von Fr. 119.30, die Spruchgebühr von Fr. 150.-- und die Parteientschädigung von Fr. 50.--. Das Urteil erging in unbegründeter Form. Es enthielt den Hinweis an die Parteien, dass sie innert zehn Tagen beim Bezirksgericht eine Begründung zu verlangen haben, sofern sie eine Beschwerde erheben wollen. Werde eine Begründung verlangt, so laufe den Parteien die Frist zur Einreichung eines Rechtsmittels ab Zustellung des begründeten Entscheids. A.b. Am 14. März 2016 verlangte B.A._ für die Betriebene die Begründung des Rechtsöffnungsentscheides. Das Bezirksgericht trat mit Verfügung vom 17. März 2016 auf diesen Antrag nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1) und auferlegte B.A._ die Spruchgebühr von Fr. 100.-- (Dispositiv-Ziffern 2 und 3). A.c. B.A._ und A.A._ gelangten gegen die bezirksgerichtliche Verfügung an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie machten im Wesentlichen geltend, dass das Bezirksgericht eine Nachfrist im Sinne von Art. 132 Abs. 1 ZPO hätte ansetzen müssen und stellten den Antrag, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und das Bezirksgericht sei anzuweisen, die fehlende Vollmacht einzufordern. Zudem fochten sie die erstinstanzliche Spruchgebühr an. A.A._ reichte innert der vom Obergericht angesetzten Nachfrist die von ihr ebenfalls unterzeichnete Kopie der Beschwerdeschrift ein. Das Obergericht wies mit Urteil vom 23. Juni 2016 die Beschwerde von B.A._ ab, soweit es darauf eintrat. Das Bezirksgericht habe ihm zu Recht die Kosten für das Nichteintreten auf das Begründungsbegehren auferlegt; zur Anfechtung des Nichteintretens selbst sei er mangels Beschwer nicht legitimiert. Die Beschwerde von A.A._ gegen die bezirksgerichtliche Nichteintretensverfügung wies es ab, da sie bereits mit Verfügung vom 10. Februar 2016 und somit in demselben Verfahren darauf hingewiesen worden sei, dass sie eine Vollmacht einzureichen habe, wenn sie sich von ihrem Ehemann vertreten lassen wolle. B. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. August 2016 sind A.A._ (Beschwerdeführerin 1) und B.A._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen namentlich die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils sowie die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht, verbunden mit der Anweisung, den Beschwerdeführer 2 zur Beibringung einer Vollmacht in Verzug zu setzen. Es sind die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.