Sachverhalt: A. Im Jahr 2002 wurde gegen A.X._ ein Strafverfahren geführt wegen des Verdachts auf sexuelle Handlungen mit einem Kind und sexuelle Nötigung zum Nachteil von B.X._. Das Strafverfahren wurde am 21. Oktober 2002 eingestellt mit der Begründung, gestützt auf die Aktenlage könne keine Verurteilung erfolgen. Am 10. März 2009 erstatteten die Schwestern B.X._ und C.X._ Strafanzeige gegen A.X._ und bezichtigten ihn des sexuellen Missbrauchs. In der Folge wurde erneut ein Strafverfahren gegen A.X._ eröffnet. Dieses bezog sich unter anderem auch auf einen Vorfall, welcher bereits Gegenstand des früheren Strafverfahrens gebildet hatte. In der Anklage vom 24. April 2013 wird A.X._ vorgeworfen, in der Zeit zwischen dem 1. März 1998 und Dezember 2000, eventuell Frühling 2001, B.X._ mehrfach sexuell missbraucht bzw. je einmal Anal- und Oralverkehr mit ihr erzwungen zu haben. Weiter soll er zwischen dem 1. September 2000 und dem 18. Mai 2001 C.X._ zweimal vergewaltigt haben. Zu einem weiteren solchen Übergriff soll es am 6. Juli 2008 gekommen sein. Damit habe er sich der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind, der mehrfachen sexuellen Nötigung sowie der mehrfachen Vergewaltigung schuldig gemacht. B. Das Kriminalgericht Luzern sprach A.X._ am 5. Februar 2014 von der Anklage frei. C. Die Staatsanwaltschaft sowie B.X._und C.X._ erhoben Berufung gegen das Urteil des Kriminalgerichts Luzern. Am 28. August 2015 sprach das Kantonsgericht Luzern A.X._ im Sinne der Anklage schuldig und bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 17 Tagen. A.X._ wurde dem Grundsatz nach verpflichtet, B.X._ und C.X._ den mit den Straftaten verursachten Schaden zu ersetzen. Zur Festsetzung des Schadens verwies es die Zivilforderungen auf den Zivilweg. Es verpflichtete A.X._, B.X._ und C.X._ eine Genugtuung von je Fr. 30'000.-- zu bezahlen. D. A.X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben. Er sei von sämtlichen Anklagepunkten freizusprechen und für die ausgestandene Untersuchungshaft sei ihm eine Genugtuung von Fr. 1'950.-- zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt A.X._, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.