Sachverhalt: A. Mit Entscheid vom 19. Oktober 2015 wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (DJS) ein Gesuch von A._ um längerfristige Hilfe gemäss Art. 13 Abs. 2 und Art. 16 des Bundesgesetzes über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) ab. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ mit auf den 4. November 2015 datierter Beschwerde (Poststempel: 11. November 2015, Eingang: 13. November 2015) an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Am 10. Mai 2016 stellte das Verwaltungsgericht A._ eine Kopie des Zustellnachweises betreffend den angefochtenen Entscheid vom 19. Oktober 2015 zu und gab ihr die Möglichkeit, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern. Mit Eingabe vom 17. Mai 2016 machte A._ geltend, der angefochtene Entscheid sei ihr erst am 23. Oktober 2015 zugegangen. Die Beschwerde sei daher rechtzeitig erhoben worden. Mit Entscheid vom 8. Juni 2016 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde von A._ nicht ein. B. A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Verwaltungsgericht und das Departement beantragen die Abweisung der Beschwerde.