Sachverhalt: A. Die Mutter von A._ meldete ihren Sohn im November 2014 mit dem Vermerk "POS 404" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Der Anmeldung beigelegt war der Untersuchungs-Report des "ADHD-Kompetenzzentrum Ostschweiz" erstellt am 28. März 2014. Als Autoren wurden Dr. med. B._ (Chefarzt) und Dr. phil. C._ genannt, welcher das Dokument allein unterzeichnet hatte. Letzterer, Fachpsychologe FSP sowie Kinder- und Jugendpsychologe SKJP, behandelte A._ ab 9. Januar 2015. Gestützt auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes Ostschweiz vom 26. und 30. März 2015 teilte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Vorbescheid vom 20. April 2015 mit, dass das Gesuch um medizinische Massnahmen wegen Fehlens einer ärztlich gestellten Diagnose, einer Verordnung sowie der Psychotherapieindikation abgelehnt werden müsse. Dagegen opponierten die Eltern des Versicherten und der obligatorische Krankenversicherer (SWICA Krankenversicherung AG; nachfolgend: SWICA), welcher Vorleistungen erbracht hatte. Nach ergänzenden Abklärungen verfügte die IV-Stelle am 2. November 2015 im Sinne des Vorbescheids. B. Die SWICA und auch A._ erhoben je Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nach Vereinigung der Verfahren und zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 24. Mai 2016 teilweise guthiess, soweit darauf eingetreten werden konnte, indem es die Sache zur weiteren Abklärung und zur anschliessenden neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurückwies. C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und die Verfügung vom 2. November 2015 zu bestätigen. Die SWICA, A._ (Beschwerdegegner) und auch das kantonale Versicherungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung.