Sachverhalt: A. X._ und Y._ (beide Jahrgang 1964) hatten 1988 geheiratet. Sie sind die Eltern dreier Kinder (geb. 1989, 1991 und 1992). Ende Dezember 2010 hatten sie die Scheidung beantragt. Über deren Folgen konnten sie sich nicht einigen. B. Das Bezirksgericht A._ schied die Ehe am 17. September 2012. Es verpflichtete X._ zu einer güterrechtlichen Zahlung von Fr. 493.80. Y._ wurde verurteilt, seiner geschiedenen Frau eine monatliche Entschädigungsrente gemäss Art. 124 ZGB von Fr. 279.10 und vom 1. Januar 2018 bis zum 31. August 2028 einen monatlichen Betrag von Fr. 600.-- als reinen Vorsorgeunterhalt gemäss Art. 125 ZGB zu bezahlen. Y._s Vorsorgeeinrichtung wurde gerichtlich angewiesen, diese Beträge auf ein Konto der geschiedenen Frau zu überweisen. C. Y._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses hiess das Rechtsmittel teilweise gut. Es bestimmte die güterrechtliche Ausgleichszahlung von X._ an Y._ auf Fr. 13'876.80. Streitig war überdies, ob Y._ über seine IV-Rente von monatlich Fr. 2'900.-- hinaus ein Zusatzeinkommen erzielt. Das Obergericht stellte fest, es bestünden keine klaren Hinweise auf ein höheres als das von der Firma B._ bescheinigte Einkommen von Fr. 952.-- von April bis Dezember 2011, weshalb Y._ neben der Rente ein Einkommen von Fr. 105.-- pro Monat anzurechnen sei. Im Ergebnis wurde Y._ verurteilt, seiner geschiedenen Frau eine monatliche Entschädigungsrente gemäss Art. 124 ZGB von Fr. 41.-- (bis 31. März 2013), von Fr. 151.-- (1. April 2013 bis 30. April 2029) und von Fr. 46.-- (ab 1. Mai 2029) zu bezahlen, verbunden mit der Zahlungsanweisung an die Vorsorgeeinrichtung. Nur für den Fall, dass er nach Italien zurückkehrt, wurde Y._ verpflichtet, X._ monatlich Fr. 279.10 gemäss Art. 124 ZGB und Fr. 600.-- als reinen Vorsorgeeunterhalt gemäss Art. 125 ZGB zu bezahlen. Der obergerichtliche Entscheid datiert vom 22. Januar 2013. Die Prozessvertreterin von X._ hat ihn am 19. Februar 2013 in Empfang genommen. D. X._ legte gegen den Berufungsentscheid eine Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht ein. Gleichzeitig gelangte sie am 21. März 2013 mit einem Revisionsbegehren an das Obergericht. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sistierte das Beschwerdeverfahren 5A_214/2013 mit Verfügung vom 22. März 2013 bis zum Revisionsentscheid des Obergerichts. E. Ihr Revisionsgesuch stützte X._ auf einen Lohnausweis vom 2. Februar 2013, der Y._ für die Zeit vom 1. Januar bis zum 30. Juni 2012 einen Nettolohn von Fr. 7'211.-- bescheinigt, sowie auf einen Vorsorgeausweis von Y._ vom 8. September 2011 mit der Angabe eines Jahresbruttolohns von Fr. 15'840.-- bei einem Beschäftigungsgrad von 30 %. In der Sache beantragte sie, die monatliche Entschädigungsrente von Fr. 279.-- sei ihr ab 1. April 2013 zuzusprechen. Weiter sei Y._ zu verurteilen, ihr monatlich vorschüssig Fr. 600.-- als reinen Vorsorgeunterhalt zu zahlen. Ausserdem verlangte sie von ihm gestützt auf Art. 124 und/oder 125 und Art. 126 ZGB eine Entschädigung von Fr. 13'876.80. In prozessualer Hinsicht ersuchte X._ im Revisionsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege und um vorsorgliche Anweisung der Vorsorgeeinrichtung des früheren Ehemannes, den monatlichen Betrag von Fr. 279.-- auf ihr Konto zu überweisen. Mit Verfügung vom 28. März 2013 wies der Instruktionsrichter am Obergericht beide Begehren ab. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht im Streit um das Armenrecht gut. Hinsichtlich der vorsorglichen Anweisung trat es hingegen nicht auf die Beschwerde ein (Urteil 5A_313/2013 vom 11. Oktober 2013). Mit Entscheid vom 22. April 2014 wies das Obergericht das Gesuch um Revision des Berufungsentscheids vom 22. Januar 2013 ab. F. Mit Beschwerde vom 8. Juli 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt den Antrag, den Entscheid des Obergerichts vom 22. April 2014 aufzuheben und ihre Revisionsbegehren (Bst. E) gutzuheissen. Im Sinne eines Eventualantrages verlangt sie, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Zur Stellungnahme eingeladen lässt Y._ (Beschwerdegegner) in seiner Eingabe vom 17. März 2015 beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf "überhaupt eingetreten werden kann". Überdies ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Zur Wahrung des rechtlichen Gehörs hat das Bundesgericht die Eingabe des Beschwerdegegners der Beschwerdeführerin zugestellt.