Sachverhalt: A. Die Bau- und Werkkommission (BWK) der Gemeinde Erlinsbach erteilte der B._ AG (Bauherrin) am 21. Februar 2012 die Baubewilligung (Nr. 13/2012) für den Neubau eines Einfamilienhauses auf der dieser gehörenden Parzelle an der Hornstrasse 37 (Parzelle Nr. 996 des Grundbuchs Obererlinsbach). Die Bauparzelle wurde der zweigeschossigen Bauzone zugewiesen und befindet sich an einem gegen Osten abfallenden Hang. Gemäss den bewilligten Bauplänen sollte östlich des Untergeschosses des Hauses eine Stützmauer aus Bruchsteinen errichtet werden. Das nördlich an die Bauparzelle angrenzende Grundstück steht im Eigentum von A._ (nachstehend: Nachbar). B. Am 21. Mai 2014 reichte die Bauherrin der BWK Pläne bezüglich diverser geplanten Änderungen am bereits bewilligten Einfamilienhaus ein. Der Nachbar stellte in seinem Schreiben vom 3. Juni 2014 der BWK den Antrag, die Bauherrin habe ihre Bauarbeiten zur Errichtung des Einfamilienhauses bis zur Klärung der rechtlichen Situation sofort einzustellen. Zur Begründung brachte er vor, die entsprechende Baubewilligung sei abgelaufen und das Bauprojekt sei erheblich abgeändert worden, ohne dass diese Änderungen publiziert worden seien. Deshalb müsse das Bauvorhaben neu aufgelegt und das ordentliche Bewilligungsverfahren durchgeführt werden. Gestützt auf die von der Bauherrin am 21. Mai 2014 eingereichten Pläne bewilligte ihr die BWK mit Baubewilligung vom 12. Juni 2014 (Nr. 24/2014) den Bau eines Hobby-Raums im Untergeschoss, die Errichtung von Steinkörben statt der ursprünglich geplanten Blockwurfmauer vor dem Untergeschoss, die Aufhebung des Büro-Teils im Obergeschoss, die Begradigung der südlichen Fassade, die Verschiebung des Terrassen-Sitzplatzes im Obergeschoss vor der östlichen Fassadenfront, die Verringerung des Vorsprungs des nördlichen Obergeschossteils um 0,5 m, die veränderte Einteilung der südlichen Fassaden, die veränderte Verglasung im Eingangsbereich und die Erweiterung des Sitzplatzes vor der südseitigen Fassade. Die BWK ging davon aus, diese Änderungen seien nicht erheblich und erforderten keine Publikation. Mit Schreiben vom gleichen Tag lehnte die BWK den vom Nachbarn am 3. Juni 2014 beantragten Baustopp ab. Zur Begründung führte sie an, die Baubewilligung sei rechtzeitig auf Antrag der Bauherrin bis zum 29. Dezember 2014 verlängert worden. Die BWK habe die eingereichten Pläne bezüglich Abweichungen geprüft und die Projektänderungen gestützt auf § 8 und 10 KBV bewilligt. Die für den Grenzabstand relevanten Aussenabmessungen der Baute würden keine Änderungen erfahren. Im Obergeschoss entfalle der vorspringende östliche Teil des "Büros". Dafür werde er etwas nach Süden verlängert. Diese Abänderung sei eher von Vorteil, da das Obergeschoss gegen Süden hin etwas schmaler werde. Die anderen Änderungen beträfen den Innenausbau und seien nicht relevant. Der Beschwerdeführer focht die Abweisung seines Antrags auf Verfügung eines Baustopps beim Bau- und Justizdepartement (BJD) des Kantons Solothurn mit Beschwerde an, mit der er erneut den Erlass eines Baustopps beantragte. Das BJD wies die Beschwerde mit Verfügung vom 14. Januar 2015 ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte das BJD zusammengefasst aus, die Baubehörde habe die ihr angezeigten Änderungen als unbedeutend zu qualifizieren und ohne erneute Publikation bewilligen dürfen, zumal sie in der Hauptsache eine Reduktion des Gebäudevolumens beträfen. Da die Projektänderungen von der Baubehörde bewilligt worden seien, seien die Voraussetzungen für die Verfügung eines Baustopps nicht gegeben. Der Nachbar erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eine Beschwerde mit den Anträgen, die Verfügung des BJD vom 14. Januar 2015 und die Bewilligung der BWK von Projektänderungen mit der Auflage aufzuheben, das angepasste Projekt neu auszuschreiben. Zudem stellte der Nachbar das Gesuch, bis zum rechtsgültigen Entscheid in der Beschwerdesache einen Baustopp zu verfügen. Dieses Gesuch wies das Verwaltungsgericht am 23. Januar 2015 ab. Die Beschwerde wies es mit Urteil vom 3. März 2015 ab, soweit es darauf eintrat. C. Der Nachbar (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. März 2015 und die Baubewilligung Nr. 24/2014 aufzuheben und die Bewilligung für die Projektänderungen zu verweigern. Zudem sei der Rückbau nicht bewilligter, aber bereits ausgeführter Bauteile anzuordnen. Eventuell sei die Sache zur ordnungsgemässen Durchführung eines Baubewilligungsverfahrens an die Gemeinde Erlinsbach zurückzuweisen. Subeventuell sei die BWK anzuweisen, die Projektänderungen ordentlich auszuschreiben. Subsubeventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersuchte der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Dieses Gesuch wurde mit Präsidialverfügung vom 11. Juni 2015 abgewiesen. Das Verwaltungsgericht und die Bauherrin (Beschwerdegegnerin) beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an den in der Beschwerde gestellten Rechtsbegehren fest. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf Bemerkungen zur Replik. Die Beschwerdegegnerin bestätigt in ihrer Duplik ihre in der Vernehmlassung gestellten Anträge. Der Beschwerdeführer verzichtete auf Bemerkungen zur Duplik.