Sachverhalt: A. A._ und B._ sind die Eltern der beiden Kinder C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2007). Am 25. Juni 2014 schied das Regionalgericht Bern-Mittelland die Ehe der Eltern. Es stellte die Kinder unter die elterliche Sorge des Vaters und regelte den persönlichen Verkehr zwischen der Mutter und den Kindern. Die Kinder leben zur Zeit im Kinderheim E._ in U._. B. B.a. Am 27. November 2014 reichte die Vertreterin der beiden Kinder Berufung beim Obergericht des Kantons Bern ein. Sie beantragte, die elterliche Sorge und Obhut über die beiden Kinder der Mutter zu übertragen und dem Vater ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende von Freitag Schulschluss bis am Sonntag 18.00 Uhr sowie während der Hälfte der Schulferien einzuräumen. B.b. Am 1. Dezember 2014 reichte auch A._ Berufung ein. Sie beantragte, die elterliche Obhut und Sorge über die Kinder beiden Parteien gemeinsam, eventualiter ihr alleine zu übertragen. Ferner sei B._ ab Rechtskraft der Ehescheidung zu angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen von mindestens Fr. 600.-- pro Kind zu verurteilen. B.c. In ihrer Antwort auf die Berufung der Kindesvertreterin vom 27. Februar 2015 ergänzte bzw. modifizierte A._ ihre Rechtsbegehren dahingehend, dass ihr die elterliche Sorge und Obhut allein übertragen werde; eventualiter sei ihr die elterliche Sorge gemeinsam mit dem Kindsvater zuzuteilen. Auch ihre Begehren zum Betreuungs- und Kontaktrecht des Vaters konkretisierte sie, insbesondere mit Details zur Übergabe der Kinder und zum Ferienrecht. B.d. Mit Entscheid vom 1. Dezember 2015 stellte das Obergericht die gemeinsamen Kinder C._ und D._ unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern, unter Zuteilung der alleinigen Obhut an B._. Zudem regelte das Obergericht den persönlichen Verkehr von A._ mit den Kindern, ordnete die Weiterführung der Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 ZGB an und verpflichtete A._, für die Kinder ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zur Volljährigkeit monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 560.-- zu bezahlen. C. C.a. A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Eingabe vom 19. Januar 2016 an das Bundesgericht. Sie verlangt die teilweise Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Unterstellung der beiden Kinder unter ihre alleinige Obhut (Rechtsbegehren, Ziff. 1). Zudem sei der persönliche Verkehr von B._ (Beschwerdegegner) zu seinen Kindern zu regeln (Rechtsbegehren, Ziff. 2). Der Beiständin seien die Kompetenz und der Auftrag zu erteilen, unter Berücksichtigung des Kindeswohls zu bestimmen, auf welchen Zeitpunkt hin eine Übersiedlung der Kinder vom Kinderheim E._ zur Beschwerdeführerin zu erfolgen hat (Rechtsbegehren, Ziff. 3). Zudem seien die vom Beschwerdegegner für die Kinder zu leistenden Unterhaltsbeiträge festzulegen (Rechtsbegehren, Ziff. 4), unter Berücksichtigung der Teuerung, soweit sich das Einkommen des Beschwerdegegners mit der Teuerung entwickle, wobei der Beschwerdegegner die Beweislast für eine fehlende oder nicht vollständige Angleichung seines Einkommens an die Teuerung zu tragen habe (Rechtsbegehren, Ziff. 5). Zudem stellt die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. C.b. Das Bundesgericht hat den Beschwerdegegner, die Kinderanwältin und die Vorinstanz eingeladen, zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen. Der Beschwerdegegner hat sich dem Gesuch widersetzt (Eingabe vom 1. Februar 2016), während die Kinderanwältin dieses unterstützt hat (Eingabe vom 28. Januar 2016). Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet (Eingabe vom 22. Januar 2016). Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat mit Verfügung vom 2. Februar 2016 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise entsprochen, um sicherzustellen, dass die Kinder während des Verfahrens vor dem Bundesgericht weiterhin im Kinderheim E._ in U._ leben. C.c. Der Beschwerdegegner hat in seiner Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zusätzlich die unentgeltliche Rechtspflege beantragt. C.d. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, in der Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.