Sachverhalt: A. Gegen A._ läuft im Kanton Zürich ein Strafverfahren wegen Mordes. Am 11. Dezember 2013 stellte das Bezirksgericht Affoltern in einem Teilurteil fest, A._ habe die ihm vorgeworfene Handlung vom 7. Januar 2009 begangen. Am 27. März 2014 ordnete das Bezirksgericht eine Ergänzung des psychiatrischen Gutachtens von PD (heute: Prof.) Dr. med. B._ vom 15. Mai 2013 über A._ an und beauftragte damit denselben Sachverständigen. B. Am 16. Dezember 2014 stellte A._ ein Ablehnungsgesuch gegen B._ sowie allfällige unter dessen Verantwortung an der Erstellung des Gutachtens beteiligte weitere Personen. Mit Beschluss vom 6. Februar 2015 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, das Gesuch ab. C. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. März 2015 beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Befangenheit von B._ sowie von allenfalls unter dessen Verantwortung an der Erstellung des Gutachtens beteiligten Personen festzustellen; eventuell sei in Gutheissung der Beschwerde und unter Aufhebung des fraglichen Beschlusses die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Überdies ersucht A._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, A._ habe dem Sachverständigen am 11. November 2014 ein Haftentlassungsgesuch übergeben. Dieser habe es in der Folge unterlassen, das Gesuch an die zuständige Strafbehörde weiterzuleiten, wozu er verpflichtet gewesen wäre. Durch diese Pflichtverletzung habe der Gutachter belegt, dass er gegenüber A._ voreingenommen sei, weshalb er in den Ausstand treten müsse. In seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht widersetzt sich B._ ohne ein ausdrückliches Rechtsbegehren sinngemäss dem Antrag von A._. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung des Antrags in der Sache sowie des prozessualen Rechtsbegehrens. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme. Das Bezirksgericht Affoltern liess sich innert Frist nicht vernehmen. Mit weiterer Eingabe vom 26. Mai 2015 äusserte sich A._ nochmals zur Sache.