Sachverhalt: A. A.a. Die Milchgenossenschaft A._ ist eine Genossenschaft mit Sitz in A._. Sie wurde im Jahr 1910 von zahlreichen Milchbauern gegründet, um die bestmögliche Verwertung der im Genossenschaftskreis produzierten Kuhmilch zu ermöglichen. Hierzu wurde eine Milchsammelstelle errichtet, die im Jahr 1961 durch einen Neubau ersetzt wurde. Gemäss § 4 der Statuten kann jeder handlungsfähige Milchproduzent im Einzugsgebiet von A._ Mitglied der Genossenschaft werden. Die Aufnahme erfolgt gemäss § 5 der Statuten auf schriftliche Anmeldung hin durch die Verwaltung der Genossenschaft. Die Verwaltung besteht gemäss § 22 der Statuten aus dem Präsidenten, dem Aktuar und dem Kassier. Die Mitglieder der Verwaltung werden von der Generalversammlung auf drei Jahre gewählt und sind unbeschränkt wieder wählbar. Ausweislich des Handelsregisterauszugs bekleiden seit dem Jahr 2002 N._ das Amt des Präsidenten sowie Kassiers und seit dem Jahr 1996 O._ das Amt des Aktuars. A.b. Mit der Freigabe der vorher kontingentierten Milchproduktion wurde der Strukturwandel in der Milchwirtschaft vorangetrieben. Dies führte zur Liquidation zahlreicher kleinerer Betriebe und unter anderem auch dazu, dass die letzten vier verbliebenen A._ Milchbauern seit Januar 2013 ihre Milch an einen Grossabnehmer direkt ab Hof verkaufen. Am 4. Mai 2013 meldete die Milchgenossenschaft A._ dem Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau, dass sie vier neue Genossenschafterinnen aufgenommen habe. Dabei handelte es sich um die Ehefrauen der letzten vier Genossenschafter. Mit Schreiben vom 8. Mai 2013 bestätigte das Handelsregisteramt den Erhalt dieser Meldung. Am 25. Oktober 2013 beschloss die Generalversammlung der Genossenschaft in Anwesenheit von drei der neuen Genossenschafterinnen und der vier bisherigen Genossenschaftern unter anderem, die Milchhütte zu verkaufen, die Genossenschaft per sofort aufzulösen und den Liquidationserlös auf die bis im Januar 2013 noch als Milchlieferanten verbleibenden vier Genossenschafter und deren als Genossenschafterinnen aufgenommenen Ehefrauen zu verteilen. B. B.a. Am 13. Dezember 2013 gelangten mehrere ehemalige Genossenschafter mit einer Anzeige an das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau, mit der sie beantragten, es seien Ermittlungen im Sinne von Art. 157 Abs. 1 HRegV betreffend die Organisation der Milchgenossenschaft aufzunehmen, bis zum Abschluss dieser Ermittlungen keine Statutenänderungen oder anderweitige Tatsachen in das Handelsregister einzutragen und nach Abschluss dieser Ermittlungen gestützt auf Art. 941a OR beim zuständigen Gericht die Liquidation der Milchgenossenschaft A._ zu beantragen. In prozessualer Hinsicht sei ihnen die Stellung als Verfahrensbeteiligte einzuräumen. Zur Begründung führten die Anzeigeerstatter aus, dass die Milchgenossenschaft nur noch über vier Personen verfüge, die nach § 4 der Statuten Mitglieder sein könnten. Die neu aufgenommenen Ehefrauen seien keine Genossenschafterinnen, da sie keine Milch produzieren und abliefern würden. Die Genossenschaft sei damit nicht mehr beschlussfähig und nicht in der Lage, Statutenänderungen vorzunehmen. Die Milchgenossenschaft beantragte am 24. März 2014 dem Handelsregisteramt, ihre mit dem Auflösungsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung sei zu vollziehen und sie sei neu als "Milchgenossenschaft A._ in Liquidation" ins Handelsregister einzutragen. Die von den Anzeigerstattern gestellten Anträge seien abzuweisen Mit Schreiben vom 23. Juli 2014 gelangte das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen an das Bezirksgericht Frauenfeld und führte aus, die Einschätzung der ehemaligen Genossenschafter, dass die Ehefrauen der noch aktiven Genossenschafter die Anforderungen für eine Mitgliedschaft nicht erfüllen würden, könne nicht ohne weiteres als unzutreffend bezeichnet werden. Deshalb sei es sachgerecht, wenn das zuständige Zivilgericht die von der Generalversammlung am 25. Oktober 2013 gefassten Beschlüsse beurteile und die erforderlichen Massnahmen anordne. Das Bezirksgericht erwiderte mit Schreiben vom 29. Juli 2014, das Handelsregisteramt müsse feststellen, ob und allenfalls welche Mängel die Gesellschaft aufweise, bevor das Zivilgericht Massnahmen zur Behebung von Mängeln in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation einer Gesellschaft anordnen könne. Die Feststellung, ob ein Organisationsmangel vorliege, obliege dem Handelsregisteramt. In der Folge erliess das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen am 23. September 2014 eine anfechtbare Verfügung, deren Dispositiv es am 26. September 2014 ergänzte. Darin wurde der Antrag der Milchgenossenschaft abgewiesen, den Anzeigeerstattern die Parteieigenschaft zu verweigern (Ziff. 1). Weiter wurde der Antrag abgewiesen, die mit dem Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 beabsichtigte Änderung der Firmenbezeichnung in "Mlichgenossenschaft A._ in Liquidation" im Handelsregister einzutragen (Ziff. 2). Weiter wurde festgestellt, die Milchgenossenschaft leide an einem Organisationsmangel (Ziff. 3). B.b. Dagegen erhob die Milchgenossenschaft beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde, mit der sie beantragte, die Verfügung des Handelsregisteramts sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, die mit Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung samt den weiteren dadurch notwendig gewordenen Tatsachen seien ins Handelsregister einzutragen. Zur Begründung führte die Milchgenossenschaft aus, sie habe von sich aus die Mitgliederzahl auf acht angehoben. Die angeschlossenen Betriebe seien Familienbetriebe, in denen beide Eheleute mitarbeiten würden. Traditionellerweise sei freilich meist nur der Mann in die Genossenschaft aufgenommen worden, doch sei stets klar gewesen, dass auch die Ehefrauen am wirtschaftlichen Gang der Genossenschaft beteiligt seien. Das Handelsregisteramt habe die Mitteilung, die Ehefrauen der vier verbliebenen Genossenschafter seien als neue Mitglieder aufgenommen worden, am 8. Mai 2013 bestätigt, weshalb kein Anlass bestanden habe, an der Gültigkeit der Neueintritte zu zweifeln. Ein erst anderthalb Jahre später ergangener anderslautender Entscheid widerspreche dem Grundsatz von Treu und Glauben. Das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen habe seine Prüfungsbefugnis überschritten. Es dürften nur registerrechtliche Fragen umfassend geprüft werden. Die Prüfungsbefugnis für Belange des materiellen Rechts hingegen sei beschränkt. Weder der Beschluss der Generalversammlung vom 25. Oktober 2013 noch der vorangegangene Beschluss vom 26. März 2013 über die Aufnahme der Ehefrauen verstosse gegen zwingendes Recht, das im öffentlichen Interesse und zum Schutz Dritter aufgestellt worden sei. Ob die Ehefrauen die in § 4 der Statuten umschriebenen Voraussetzungen erfüllten und als Genossenschafterinnen aufgenommen werden konnten, sei eine Frage der Auslegung der betreffenden Statutenbestimmung. Selbst wenn die Zahl der Genossenschafter unter sieben gefallen wäre und keine neuen Genossenschafterinnen aufgenommen worden wären, sei die Genossenschaft weiterhin beschluss- und handlungsfähig gewesen. Denn für den Fall, dass die Mitgliederzahl unter sieben sinke, hätte es zur Sanktionierung eine hier nicht erfolgte richterliche Anordnung gebraucht, die nur auf Antrag einer der in Art. 713b OR angeführten Personen hätte erlassen werden können. Mit Entscheid vom 29. April 2015 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Ziff. 1 der angefochtenen Verfügung betreffend die Parteistellung der Anzeigerstatter auf, wies aber im Übrigen die Beschwerde ab. Das Verwaltungsgericht kam zum Schluss, dass die ehemaligen Genossenschafter als Anzeigeerstatter im handelsregisterrechtlichen Verfahren keine Parteistellung hätten, weshalb die angefochtene Verfügung in diesem Punkt aufzuheben sei. Im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen, da die Milchgenossenschaft seit dem Frühjahr 2013 nur noch über vier Genossenschafter verfügt habe, womit ein Organisationsmangel vorgelegen habe, den die Milchgenossenschaft ohne Anrufung des Richters gestützt auf Art. 731b OR nicht selber habe beheben können. Insbesondere sei sie aufgrund dieses Organisationsmangels nicht in der Lage gewesen, neue Genossenschafter aufzunehmen, geschweige denn die Liquidation zu beschliessen. Die an der Generalversammlung vom 25. Oktober 2013 gefassten Beschlüsse, insbesondere über die Statutenänderung, die sofortige Auflösung der Genossenschaft und die Verteilung des Liquidationserlöses seien daher als nichtig zu betrachten. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Milchgenossenschaft dem Bundesgericht folgende Anträge: "1. Es sei in Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichtes des Kantons Thurgau vom 29. April 2015 die Verfügung des Handelsregisteramts (Beschwerdegegner) vom 26. September 2014 mit Begründung vom 23. September 2014 aufzuheben und dieses anzuweisen, die mit Liquidationsbeschluss vom 25. Oktober 2013 erfolgte Änderung der Firmenbezeichnung ("Milchgenossenschaft A._ in Liquidation") samt den weiteren dadurch notwendig gewordenen Tatsachen ins Handelsregister einzutragen. 2. Die Kosten des kantonalen Verfahrens seien aufzuheben. 3. Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien nicht zu erheben. 4. Es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für die Verfahren vor Bundesgericht und vor Verwaltungsgericht angemessen zu entschädigen." Das Handelsregisteramt und die ehemaligen Genossenschafter beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde. Die Milchgenossenschaft hat eine Replik eingereicht.