Sachverhalt: A. A._ reichte am 31. Oktober 2014 beim Bezirksgericht Bremgarten eine begründete Ehescheidungsklage ein und beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 20'000.-- zu bezahlen. Eventualiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. B. B.a. Das Gerichtspräsidium Bremgarten wies das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 9. Juli 2015 mangels Bedürftigkeit ab. B.b. Das Obergericht des Kantons Aargau hob diese Verfügung mit Entscheid vom 26. August 2015 in teilweiser Gutheissung der von A._ dagegen erhobenen Beschwerde auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Gerichtspräsidium Bremgarten zurück. B.c. Das Gerichtspräsidium wies das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 15. Februar 2016 erneut ab. C. Dagegen gelangte A._ mit Beschwerde vom 3. März 2016 an das Obergericht mit dem Antrag, es sei die Verfügung vom 15. Februar 2016 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das bezirksgerichtliche Verfahren zu bewilligen. Ausserdem sei ihm auch für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Mit Entscheid vom 21. März 2016 wies das Obergericht sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab. D. A._ (Beschwerdeführer) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde vom 3. Mai 2016, den obergerichtlichen Entscheid vom 21. März 2016 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Beigabe von Rechtsanwalt Yann Moor als unentgeltlichem Rechtsvertreter. Weiter stellt der Beschwerdeführer das Gesuch, es sei ihm für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.