Sachverhalt: A. A.a. Die B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) leitete am 15. Dezember 2014 ein Schiedsverfahren gegen die A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) ein mit dem Rechtsbegehren, es sei die Beklagte zu verpflichten, der C._ S.à.r.l. einen von der Klägerin noch abschliessend zu beziffernden Betrag zu bezahlen, mindestens jedoch EUR 7'972'548.12 nebst 19.6 % MWST, EUR 915'078.77 nebst 19.6 % MWST und EUR 1'223'513.89 nebst 19.6 % MWST, d.h. insgesamt EUR 10'111'140.78 nebst 19.6 % MWST, zuzüglich Verzugszinsen. Eventualiter seien die verlangten Beträge der Klägerin zu bezahlen. Die Klage steht im Zusammenhang mit der Stilllegung einer Abwasserreinigungsanlage. Die Klägerin stellt sich auf den Standpunkt, die Beklagte hafte für einen Teil der dadurch verursachten Kosten. Die Klägerin stützt sich dabei auf einen am 15. Februar 1980 zwischen der D._ AG und der E._ AG abgeschlossenen Vertrag (nachfolgend: Rahmenvertrag), der den Betrieb der Anlage geregelt haben soll und in Art. 2 Abs. 4 Folgendes vorsieht: "D._ und E._ garantieren sich gegenseitig, dass ihre genannten Tochtergesellschaften und deren Vertreter sämtliche ihnen in diesem Vertrag zugedachten Pflichten erfüllen." Der Rahmenvertrag enthält zudem die folgende Bestimmung: "19. Schiedsgericht Der vorliegende Vertrag untersteht dem schweizerischen Recht. Differenzen über den Bestand oder die Durchführung dieses Vertrages, welche die Parteien nicht gütlich beseitigen können, werden von einem Schiedsgericht mit Sitz in Basel entschieden. Das Schiedsgericht soll nach Möglichkeit von beiden Parteien gemeinsam bestellt werden. Im übrigen gelten die Bestimmungen des Konkordates vom 27. März 1969 über die Schiedsgerichtsbarkeit." 1990 wurden im D._-Konzern verschiedene Umstrukturierungen vorgenommen. Im Jahr 1995 wurde sodann ein Teil des Unternehmens an die Beklagte ausgegliedert. Am 20. Dezember 1996 fusionierten die D._ AG und die E._ AG zur B._ AG. Die Beklagte betrachtet sich nicht an die Schiedsklausel in Art. 19 des Rahmenvertrags gebunden. A.b. Mit Schreiben vom 21. Oktober 2013 ernannte die Klägerin einen Schiedsrichter. Nachdem die Beklagte auf eine entsprechende Bezeichnung verzichtet hatte, ernannte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 24. April 2014 einen Schiedsrichter. Mit Einverständnis der Parteien einigten sich die beiden Schiedsrichter daraufhin auf einen Vorsitzenden des Dreierschiedsgerichts. B. Mit Schiedsentscheid vom 18. Dezember 2015 wies das Ad hoc Schiedsgericht mit Sitz in Basel die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten ab (Dispositiv-Ziffer 1). Das Schiedsgericht hielt fest, es sei unbestritten, dass die Klägerin als Rechtsnachfolgerin einer Unterzeichnerin des Rahmenvertrags grundsätzlich berechtigt sei, Ansprüche aus diesem Vertrag aufgrund der darin enthaltenen Schiedsklausel geltend zu machen. Auch die Beklagte sei von der Schiedsvereinbarung erfasst: Bei der Verpflichtung in Art. 2 Abs. 4 des Rahmenvertrags handle es sich entgegen der Ansicht der Beklagten nicht um eine reine Patronatserklärung durch die Muttergesellschaft, sondern um eine garantieähnliche Verpflichtung. Im Rahmen der Divisionalisierung der Geschäftsaktivitäten der D._ AG im Jahre 1990 sei der Pharmabereich ausgegliedert und nach aArt. 181 OR auf die neu gegründete Klägerin übertragen worden; das Chemiegeschäft sei von dieser Übertragung hingegen nicht betroffen gewesen und die Verpflichtung aus Art. 2 Abs. 4 des Rahmenvertrags sei zunächst bei der Muttergesellschaft D._ AG verblieben. Diese Verpflichtung sei im Jahre 1995 im Rahmen der Übertragung des Chemiegeschäfts der D._ AG auf Grundlage einer als "Umbrella Agreement" bezeichneten Vereinbarung vom 26. Juni 1995 (nachfolgend: Umbrella Agreement) nach aArt. 181 OR auf die Beklagte übergegangen und damit - im Sinne eines Nebenrechts (Art. 178 Abs. 1 OR) - auch die Schiedsvereinbarung in Art. 19 des Rahmenvertrags. Daher sei auch die Beklagte von der subjektiven Tragweite der Schiedsvereinbarung erfasst, weshalb das Schiedsgericht zuständig sei, die gegenüber ihr geltend gemachten Ansprüche nach Art. 2 Abs. 4 des Rahmenvertrags zu beurteilen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des Ad hoc Schiedsgerichts mit Sitz in Basel vom 18. Dezember 2015 mit Bezug auf Dispositiv-Ziffern 1 (Abweisung der Zuständigkeitseinrede), 5 und 6 (Kosten- und Entschädigungsfolgen) aufzuheben und es sei festzustellen, dass das Ad hoc Schiedsgericht für die zu beurteilende Streitsache nicht zuständig ist. Eventualiter sei der Schiedsentscheid mit Bezug auf Dispositiv-Ziffern 1, 5 und 6 aufzuheben und die Streitsache zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Schiedsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Schreiben vom 1. April 2016 teilte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht mit, auf eine Replik zu verzichten. D. Mit Verfügung vom 17. März 2016 gewährte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.