Sachverhalt: A. A.a. A._ ist Unternehmer. Er hatte bis Ende 2010 den Club "C._" in Zürich geleitet und ist Mitglied des Verwaltungsrats der B._ AG. Die Gesellschaft ist in U._ domiziliert. Sie bezweckt laut Handelsregistereintrag hauptsächlich die Organisation und Beratung von Veranstaltungen und das Betreiben von Restaurationsbetrieben. Am 24. Februar 2011 verklagten A._ und die B._ AG die Medienunternehmen Tamedia AG, 20 Minuten AG, 20 Minutes Romandie SA und Espace Media AG vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich. Sie werfen den Beklagten Persönlichkeitsverletzungen und Verstösse gegen das Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb vom 19. Dezember 1986 (UWG; SR 241) vor. A.b. Die beklagte Tamedia AG ist ein grosses Schweizer Medienhaus mit Sitz in Zürich. Die Gesellschaft gibt namentlich die Tageszeitung "Tages-Anzeiger" und die "SonntagsZeitung" heraus und ist die Betreiberin des Fernsehsenders "TeleZüri". Die 20 Minuten AG hat ihren Sitz ebenfalls in Zürich und bezweckt im Wesentlichen die Herstellung und den Vertrieb von Pendlerzeitungen sowie die Zusammenarbeit mit anderen Informations- und Unterhaltungsmedien. Sie ist die Herausgeberin der Tageszeitung "20 Minuten", die sowohl gedruckt als auch in elektronischer Form erscheint. Im Juni 2012 übernahm die 20 Minuten AG die 20 Minutes Romandie SA, die eine entsprechende Zeitung in französischer Sprache herausgab. Als Folge der Übernahme schrieb das Handelsgericht das Verfahren gegenüber 20 Minutes Romandie SA mit Verfügung vom 25. Februar 2013 als gegenstandslos ab. Die Espace Media AG gibt die "Berner Zeitung" und die Zeitung "Der Bund" heraus. Auch diese Produkte werden sowohl in Papierform als auch online herausgegeben. Die Gesellschaft ist in Bern domiziliert. Sie bezweckt im Wesentlichen alle Tätigkeiten im Medienbereich und der Informationsvermittlung im Wirtschaftsraum Espace Mittelland. Die 20 Minuten AG und - indirekt über die Espace Media Groupe AG - auch die Espace Media AG sind zu hundert Prozent Tochtergesellschaften der Tamedia AG. A.c. Die Klage stützt sich auf Berichte, welche die Beklagten in ihren Medienerzeugnissen, namentlich in Zeitungen veröffentlichten. Die Berichte erschienen aus Anlass verschiedener Ereignisse, bei denen A._ eine Rolle spielte. Im Zentrum steht seine Verhaftung am 3. November 2009. A._ wurde der Staatsanwaltschaft Zürich Limmat zugeführt und am 6. November 2009 wieder aus der Haft entlassen. A.d. Im Dezember 2009 hatte sich der klägerische Anwalt an die Tamedia AG gewandt und ihre Berichterstattung als persönlichkeitsverletzend gerügt. Am 22. Dezember 2009 liess A._ bei der Ombudstelle RTV eine Beschwerde gegen Sendungen von TeleZüri einreichen. Im Dezember 2010 hiess die Unabhängige Beschwerdeinstanz diese Beschwerde gut. A._ gelangte auch an den Presserat, der am 16. Dezember 2010 eine Stellungnahme veröffentlichte. B. B.a. Im vorliegenden Gerichtsverfahren beruft sich A._ darauf, dass etliche Berichterstattungen der Beklagten seine Persönlichkeit verletzt hätten. Die B._ AG macht primär eine Verletzung des UWG geltend. Die Rechtsbegehren, welche die Kläger in ihrem Schriftsatz an das Handelsgericht des Kantons Zürich am 24. Februar 2011 stellten und anlässlich ihrer Replik vom 7. November 2011 ergänzten, lauten wie folgt: "1. Es sei festzustellen, dass die Beklagten mit den Berichten ab 4. November 2009 in ihren jeweiligen Medien Radio 24, TeleZüri, den Zeitungen Tages-Anzeiger, SonntagsZeitung, 20 Minuten, 20 Minutes, Der Bund, Berner Zeitung (jeweils print und online) sowie Newsnetz insbesondere mit den nachfolgenden Aussagen (in diesen Formulierungen und in ähnlichen Formulierungen mit gleichem Sinngehalt) : Themenkreis Erpressung, Drohung, Nötigung, Freiheitsberaubung: Dem Millionärssohn und Partykönig werden Erpressungsversuche vorgeworfen / Er soll Sexspiele mit Frauen aus der Modelszene gefilmt haben und mit den Sexvideos versucht haben, die Frauen zu erpressen / "A._ hat immer wieder junge Frauen unter einem Vorwand in den D._-Raum im Club C._ gelockt, da hatte er mit ihnen Sex, der von den Überwachungskameras aufgezeichnet wurde", so eine Szenekennerin. Mit diesen Aufnahmen soll A._ laut Radio 24 die Mädchen erpresst haben Themenkreis Sexualdelikte (sex. Nötigung, Belästigung, Vergewaltigung) : In Szenekreisen sei es "ein offenes Geheimnis" bzw. "ein mehr oder weniger offenes Geheimnis", dass A._ im D._-Raum seines Clubs C._ an der Bahnhofstrasse Frauen zu Sex gezwungen oder auch geschlagen habe / Im D._-Raum sollen wahre Orgien stattgefunden haben, wobei von erzwungenem Oralsex und Nacktfotos die Rede ist / Schwere Vorwürfe gegen A._, er sitzt in U-Haft, mehrere Mädchen haben ihn wegen sexueller Nötigung angezeigt / Im Beitrag reden Frauen, die wissen, was im VIP-Room vom Club passiert ist: "Mini Fründin hät gseit, dass sie mit zwei Typä i dem Ruum inä gsi isch. De eint devo isch dr A._ gsi. Und dänn hät er gseit: blas eus eis oder chunsch da numä usä". Diese Kollegin hat A._ jetzt angezeigt. Laut E._ ist ihre Freundin zu Oralsex gezwungen worden / "Es isch im Backstage-Room ine gsi, dänn hät er abgschlosse. Ich bin verschrocke. Er hät mich am Hals packt und so quasi gseit: blas mer eis". Seine Sucht ist dem millionenschweren Partykönig jetzt zum Verhängnis geworden. Aus dieser Situation hilft ihm kein Geld auf dieser Welt / Es melden sich immer mehr junge Frauen bei der Polizei, A._ habe sie im D._-Raum sexuell belästigt / Mai 2004: er sitzt 16 Tage in U-Haft wegen sexueller Beziehung mit Minderjähriger. November 2009: jetzt kommt die Jet-SetSexAffäre so richtig ins Rollen / In mindestens 3 Fällen junge Frauen im Club C._ zu Oralsex gezwungen / Weiteres Detail kommt ans Tageslicht: A._ soll sogenannte "Love Juices" benutzt haben, um seine weiblichen Opfer willig zu machen / Laut Insidern nicht das erste Mal, dass der Unternehmer wegen Sex-Übergriffen mit dem Gesetz in Konflikt kommt / So beschreibt ein Mädchen, [das] ein Heimfahr-Angebot von A._ annahm, die Reisebedingungen: "Entweder du bläst mir einen, oder du steigst aus" Themenkreis physische Gewalt: Seit Jahren kursieren Gerüchte über seinen groben Umgang mit Frauen, Ohrfeigen / Prügelei in V._ / Fusstritte / Prügelei im F._-Hotel: "A._ ist unser Hannibal" / Anwältin des Opfers sagt klar, A._ habe sie mit Eisenstange angegriffen / Videoaufnahmen zeigen klar, dass A._ mit Eisenstange angegriffen hat / Opfer: A._ habe sie und G._ mit einer Eisenstange geschlagen. Dann kam es noch schlimmer: 'er rannte auf mich zu und schlug mich voll ins Gesicht' / Bodyguards sollen A._ als Täter schützen / So kann man selbst als Milchbubi risikolos zuschlagen Themenkreis Charakterschwäche, psychische Krankheit, sittenwidriges Verhalten: Die psychosexuelle Entwicklung von A._ ist retardiert zurückgeblieben / Sein Vater hatte offenbar Mühe, den Söhnen klare Grenzen aufzuzeigen / Jetzt ist da nur noch ein junger Mann, der viel zu viel Geld geerbt hat und offensichtlich damit nicht fertig wird / A._s Strategie: Schweigegeld / Nicht das erste Mal Knastbruder / Er hatte aber den Frauen jeweils viel Geld geboten, damit sie ihre Anzeigen zurückzogen / Orgien von Blowjobs im Club C._ / Immenses Charakterproblem / Widerruf der Vorwürfe nur wegen massivem Druck und Drohung / Unmissverständlich klar gemacht, dass es für sie besser wäre, wenn sie ihre Aussage zurückziehen würde / Nutzt seine Stellung und sein Geld skrupellos aus / Lange gab es Gerüchte über das, was in A._s Club vorgeht, jetzt erst kommt alles raus. Warum dauerte das so lange? Diese Gesellschaft ist ekelhaft. Wenn man so etwas geschrieben hätte oder nur recherchiert, was eigentlich ohnehin alle wussten, so hätte es Drohungen gegeben und der Anwalt wäre gekommen / "H._" Award für A._ / Das Ende des Systems Club C._ / Jahrelang hatten Betroffene Anzeigen zurückgezogen und erhielten dafür Geld. Für einmal konnte sich A._ nicht freikaufen von juristischen Problemen / Er ist ein Sexual- und Gewalttäter / A._ scheint sich nicht bewusst zu sein, was er bei seinen Opfern angerichtet hat. War jemand nicht willig, so brauchte er Gewalt - körperlich und sexuell. Nicht immer, aber immer wieder. Das Ganze hatte System sowie indem sie durch ihre Berichte (Artikel, Bilder, Videos, Radiosendungen; jeweils unter voller Namensnennung) und deren permanente Verlinkung eine eigentliche Medienkampagne gegen den Kläger geführt haben a) den Kläger in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt haben; b) eventualiter das Bundesgesetz über [recte: gegen] den unlauteren Wettbewerb verletzt haben. b) eventualiter das Bundesgesetz über [recte: gegen] den unlauteren Wettbewerb verletzt haben. 2. Es sei festzustellen, dass die Beklagten mit den Berichten ab 4. November 2009 in ihren jeweiligen Medien Radio 24, TeleZüri, den Zeitungen Tages-Anzeiger, SonntagsZeitung, 20 Minuten, 20 Minutes, Der Bund, Berner Zeitung (jeweils print und online) sowie Newsnetz mit den nachfolgenden Aussagen (in diesen Formulierungen und in ähnlichen Formulierungen mit gleichem Sinngehalt) : Themenkreis Erpressung im Club C._ "A._ hat immer wieder junge Frauen unter einem Vorwand in den D._-Raum im Club C._ gelockt, da hatte er mit ihnen Sex, der von den Überwachungskameras augezeichnet wurde", so eine Szenekennerin. Mit diesen Aufnahmen soll A._ laut Radio 24 die Mädchen erpresst haben Themenkreis Sexualdelikte im Club C._ In Szenekreisen sei es "ein offenes Geheimnis" bzw. "ein mehr oder weniger offenes Geheimnis", dass A._ im D._-Raum seines Clubs C._ an der Bahnhofstrasse Frauen zu Sex gezwungen oder auch geschlagen habe / Im D._-Raum sollen wahre Orgien stattgefunden haben, wobei von erzwungenem Oralsex und Nacktfotos die Rede ist / Im Beitrag reden Frauen, die wissen, was im VIP-Room vom Club passiert ist: "Mini Fründin hät gseit, dass sie mit zwei Typä i dem Ruum inä gsi isch. De eint devo isch dr A._ gsi. Und dänn hät er gseit: blas eus eis oder chunsch da numä usä". Diese Kollegin hat A._ jetzt angezeigt. Laut E._ ist ihre Freundin zu Oralsex gezwungen worden / "Es isch im Backstage-Room ine gsi, dänn hät er abgschlosse. Ich bin verschrocke. Er hät mich am Hals packt und so quasi gseit: blas mer eis". Seine Sucht ist dem millionenschweren Partykönig jetzt zum Verhängnis geworden / Es melden sich immer mehr junge Frauen bei der Polizei, A._ habe sie im D._-Raum sexuell belästigt / In mindestens 3 Fällen junge Frauen im Club C._ zu Oralsex gezwungen / Weiteres Detail kommt ans Tageslicht: A._ soll so genannte "Love Juices" benutzt haben, um seine weiblichen Opfer willig zu machen sowie indem sie eine eigentliche Medienkampagne gegen die Klägerin geführt haben a) das Bundesgesetz über [recte: gegen] den unlauteren Wettbewerb verletzt haben; b) eventualiter die Klägerin in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzt haben. b) eventualiter die Klägerin in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzt haben. 3. Es sei die Beklagte 1 [Tamedia AG] zu verpflichten, innert 20 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft das Urteilsdispositiv zweimal aufeinanderfolgend auf Seite 1 sämtlicher Print-Ausgaben ihrer Medien Tages-Anzeiger und SonntagsZeitung in der Grösse einer ganzen Seite zu publizieren, als Top-Artikel in Newsnetz online zu platzieren sowie in der Sendung ZüriNews von TeleZüri und den News von Radio 24 in sämtlichen Ausgaben eines bestimmten Tages zu verlesen. Es sei die Beklagte 2 [20 Minuten AG] zu verpflichten, innert 20 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft das Urteilsdispositiv zweimal aufeinanderfolgend auf Seite 1 von 20 Minuten in der Grösse einer ganzen Seite zu publizieren und als Top-Artikel im 20 Minuten online zu platzieren. Es sei die Beklagte 3 [20 Minutes Romandie SA] zu verpflichten, innert 20 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft das Urteilsdispositiv zweimal aufeinanderfolgend auf Seite 1 von 20 Minutes in der Grösse einer ganzen Seite zu publizieren und als Top-Artikel im 20 Minutes online zu platzieren. Es sei die Beklagte 4 [Espace Media AG] zu verpflichten, innert 20 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft das Urteilsdispositiv zweimal aufeinanderfolgend auf Seite 1 der Berner Zeitung und im Der Bund zu publizieren. Es sei die Beklagte 4 [Espace Media AG] zu verpflichten, innert 20 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft das Urteilsdispositiv zweimal aufeinanderfolgend auf Seite 1 der Berner Zeitung und im Der Bund zu publizieren. 4. Es seien die Beklagten zu verpflichten, sämtliche Presseartikel, TV/Video- und Radiobeiträge mit persönlichkeitsverletzenden und gegen das UWG verstossenden Inhalten aus allen verfügbaren Archiven in allen Formen und Formaten zu löschen, insbesondere in den elektronischen (online) Archiven, den Mediendatenbanken (inkl. SMD und Swissdox) und den Internet-Suchmaschinen (insbesondere Google, inkl. Google-Index und Google-Cache); eventualiter seien die Beklagten zu verpflichten, die genannten Artikel und Beiträge in allen verfügbaren online Archiven mit dem Urteilsdispositiv zu verlinken. eventualiter seien die Beklagten zu verpflichten, die genannten Artikel und Beiträge in allen verfügbaren online Archiven mit dem Urteilsdispositiv zu verlinken. 5. Es sei den Beklagten zu verbieten, in sämtlichen ihrer Medien die in Ziffer 1 und 2 genannten Aussagen in diesen Formulierungen oder in ähnlichen Formulierungen mit gleichem Sinngehalt weiter zu verbreiten, unter Androhung von Strafe gemäss Art. 292 StGB im Widerhandlungsfall. 5. Es sei den Beklagten zu verbieten, in sämtlichen ihrer Medien die in Ziffer 1 und 2 genannten Aussagen in diesen Formulierungen oder in ähnlichen Formulierungen mit gleichem Sinngehalt weiter zu verbreiten, unter Androhung von Strafe gemäss Art. 292 StGB im Widerhandlungsfall. 6. Die Beklagten seien zu verpflichten, dem Kläger den durch die widerrechtlichen Berichte (inkl. Folgeberichte) bzw. die Medienkampagne in ihren Medien erzielten Gewinn, dessen Höhe nach Durchführung des Beweisverfahrens beziffert bzw. nach richterlichem Ermessen i.S.v. Art. 42 Abs. 2 OR abzuschätzen sein wird, herauszugeben und es seien die Beklagten zu verpflichten, sämtliche Informationen zur Eruierung bzw. Abschätzung des Gewinns offen zu legen, insbesondere die Umsatz-, Auflage- und Leserzahlen (einschliesslich Anzahl Klicks auf Online-Artikel und statistische Auswertungen zu den meistgelesenen Artikeln), die Anzahl der Einzelverkäufe, die Aushänge an den Kiosken und Zeitungsboxen an den Daten mit Negativberichten über die Kläger, die Entwicklung der Abonnementszahlen, die Entwicklung der Inserate und Werbeeinnahmen, die Umsatzrendite ihrer einzelnen Titel und ihrer Medien und insgesamt, sowie alle relevanten Vergleichszahlen in Schweizer Franken, im Zeitraum ab 1. Januar 2008 bis zum Urteilsdatum. 6. Die Beklagten seien zu verpflichten, dem Kläger den durch die widerrechtlichen Berichte (inkl. Folgeberichte) bzw. die Medienkampagne in ihren Medien erzielten Gewinn, dessen Höhe nach Durchführung des Beweisverfahrens beziffert bzw. nach richterlichem Ermessen i.S.v. Art. 42 Abs. 2 OR abzuschätzen sein wird, herauszugeben und es seien die Beklagten zu verpflichten, sämtliche Informationen zur Eruierung bzw. Abschätzung des Gewinns offen zu legen, insbesondere die Umsatz-, Auflage- und Leserzahlen (einschliesslich Anzahl Klicks auf Online-Artikel und statistische Auswertungen zu den meistgelesenen Artikeln), die Anzahl der Einzelverkäufe, die Aushänge an den Kiosken und Zeitungsboxen an den Daten mit Negativberichten über die Kläger, die Entwicklung der Abonnementszahlen, die Entwicklung der Inserate und Werbeeinnahmen, die Umsatzrendite ihrer einzelnen Titel und ihrer Medien und insgesamt, sowie alle relevanten Vergleichszahlen in Schweizer Franken, im Zeitraum ab 1. Januar 2008 bis zum Urteilsdatum. 7. Es seien die Beklagten unter deren solidarischer Haftbarkeit zu verpflichten, dem Kläger CHF 638'931.60 als Schadenersatz zu bezahlen, unter dem Vorbehalt der Nachklage; eventualiter seien die Schadenersatzforderungen nach richterlichem Ermessen auf die Beklagten aufzuteilen. eventualiter seien die Schadenersatzforderungen nach richterlichem Ermessen auf die Beklagten aufzuteilen. 8. Es seien die Beklagten unter deren solidarischen Haftbarkeit zu verpflichten, dem Kläger CHF 50'000.00 als Genugtuung zu bezahlen; eventualiter sei die Genugtuungsforderung nach richterlichem Ermessen auf die Beklagten aufzuteilen." B.b. Mit Urteil vom 26. Juni 2014 beschloss das Handelsgericht, auf das Unterlassungsbegehren gemäss Ziffer 5 der klägerischen Anträge (Bst. B.a) nicht einzutreten. In teilweiser Gutheissung der Klage stellte es fest, dass die 20 Minuten AG A._ mit je einem Artikel in den Zeitungen 20 Minuten und 20 Minutes vom 14. Mai 2010 in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt hat (Ziffer 1). Die 20 Minuten AG wurde verpflichtet, einen Artikel vom 6. November 2009, den das Gericht als persönlichkeitsverletzend einstufte, auf ihrer Webseite 20 Minuten online zu löschen (Ziffer 2). Weiter wurde die 20 Minuten AG verurteilt, gegenüber der SMD Schweizer Mediendatenbank AG bzw. der Swissdox AG eine Willenserklärung abzugeben, die in Ziffer 1 und 2 genannten Artikel aus ihren Archiven zu löschen, unter Androhung der Bestrafung der 20 Minuten AG bzw. ihrer Organe mit Busse wegen Verstosses gegen Art. 292 StGB im Falle der Zuwiderhandlung (Ziffer 3). Eine entsprechende Willenserklärung muss die 20 Minuten AG auch gegenüber Google Switzerland GmbH hinsichtlich der Suchmaschine Google (einschliesslich Google Cache und Google Index) abgeben (Ziffer 4). Im darüber hinausgehenden Umfang wies das Handelsgericht die Klage ab (Ziffer 5). C. C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. August 2014 gelangen A._ (Beschwerdeführer 1) und die B._ AG (Beschwerdeführerin 2) an das Bundesgericht. Sie verlangen im Wesentlichen, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Klage im Sinne der vorinstanzlich gestellten Anträge (Bst. B.a) gutzuheissen. Hinsichtlich der Gewinnherausgabe stellen sie das Begehren, die beklagten Medienunternehmen "im Grundsatz" zur Herausgabe des Gewinns und zur erwähnten Offenlegung sämtlicher Informationen zur Eruierung bzw. Abschätzung des Gewinns zu verpflichten und die Klage hinsichtlich der Höhe des Anspruchs zur Durchführung des Beweisverfahrens bzw. zur Abschätzung nach richterlichem Ermessen i.S.v. Art. 42 Abs. 2 OR an das Handelsgericht zurückzuweisen. An Schadenersatz fordern die Beschwerdeführer vor Bundesgericht nur mehr Fr. 627'283.75. Eventualiter beantragen sie, die Klage insgesamt zur neuen Beurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. C.b. Das Bundesgericht hat die Tamedia AG, die 20 Minuten AG und die Espace Media AG (Beschwerdegegnerinnen 1-3) sowie das Handelsgericht zur Beantwortung der Beschwerde eingeladen. Sowohl das Handelsgericht als auch die Beschwerdegegnerinnen erklärten, auf eine Vernehmlassung zu verzichten, die Beschwerdegegnerinnen unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid.