Sachverhalt: A. A.a. Der aus Serbien stammende A.A._ (geb. 1975) heiratete am 5. April 1997 in der Heimat seine Landsfrau B.A._ (geb. 1980), die in der Schweiz über die Niederlassungsbewilligung verfügt. Das Ehepaar hat zwei Kinder (C.A._ [geb. 1997] und D.A._ [geb. 2002]). A.b. Am 14. Oktober 1998 reiste A.A._ in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Das von B.A._ am 26. Januar 1999 gestellte Familiennachzugsgesuch wurde aufgrund ihrer Fürsorgeabhängkeit ebenso abgewiesen wie die dagegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn erhobene Beschwerde. Nachdem auch das Asylgesuch rechtskräftig abgewiesen worden war, bewilligten die Solothurner Migrationsbehörden am 26. Oktober 2001 den Familiennachzug unter der Bedingung, dass der Ehemann ein geregeltes Arbeitseinkommen nachweisen und die Familie - die seit dem genannten Datum von der Sozialhilfe unterstützt wird - sich von der Fürsorgeabhängigkeit lösen könne. A.A._ verfügt über keinen Berufsabschluss und kann nur rudimentär lesen und schreiben. Er war seit seiner Einreise in die Schweiz immer nur für kurze Zeit erwerbstätig. A.c. Mit Verfügung vom 29. April 2011 verlängerten die Migrationsbehörden die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und drohten ihm gleichzeitig deren Widerruf und die Wegweisung aus der Schweiz an für den Fall, dass er weiterhin von der Sozialhilfe abhängig und nicht erfolgreich integriert sein sollte. A.d. Am 1. Mai 2010 hatten sich die Eheleute getrennt, fanden aber im Dezember 2013 wieder zusammen. Eine Verfügung der IV-Stelle Solothurn vom 15. Juli 2013 wies das Rentenbegehren von A.A._ - bei welchem aufgrund eines Thoracic-outlet-Syndroms chronische Schmerzen in der rechten Schulter, des rechten Arms und der rechten Hand diagnostiziert wurden und der sich mehreren Operationen unterziehen musste - ab und bescheinigte ihm, dass er in der Lage sei, einer 100 % - Stelle in einer angepassten Tätigkeit nachzugehen (keine schweren körperlichen Arbeiten). Die Familie A.A._ ist bis heute auf Sozialhilfe angewiesen, zumal auch die Ehefrau aufgrund ihres starken Übergewichts unter körperlichen Beschwerden leidet und ebenfalls ihre zeitweilige Erwerbstätigkeit aufgab. Alleine an A.A._ wurden in der Zeit zwischen Juli 2010 und Januar 2014 Sozialhilfegelder in der Höhe von Fr. 112'216.40 ausgerichtet. In der Zeit davor wurden er und seine Familie während insgesamt 13 Jahren sozialhilferechtlich im Umfang von Fr. 464'363.-- unterstützt. Gegen ihn bestehen offene Betreibungen von Fr. 3'433.40 und 18 offene Verlustscheine im Betrag von Fr. 14'580.50. Strafrechtlich trat er u.a. mit einer Verurteilung vom 13. Dezember 2004 zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 8 Wochen wegen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage sowie mit einer Verurteilung vom 4. September 2006 zu 10 Tagen Gefängnis bedingt wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand und Fahrens ohne Führerausweis in Erscheinung. B. Mit Verfügung vom 11. Juli 2014 lehnte das Migrationsamt des Kantons Solothurn die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ ab und wies diesen aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, dem Betroffenen sei bereits ein überaus hoher Betrag an Sozialhilfeleistungen ausgerichtet worden und die Wahrscheinlichkeit, dass er weiterhin unterstützt werden müsse, sei aufgrund der Gesamtumstände sehr hoch. Ihn treffe auch unter Berücksichtigung der erschwerenden Faktoren ein Verschulden an seiner Situation. Zwar sei die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung für ihn und seine Ehefrau, die seit über dreissig Jahren in der Schweiz lebe, sowie für die Kinder sicher hart, doch überwögen die öffentlichen Interessen an einer Fernhaltung des Ehemannes, zumal dieser mehrfach und seit Jahren auf die Konsequenzen seiner Situation hingewiesen worden sei. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 3. November 2014 ab. C. Mit Eingabe vom 8. Dezember 2014 führt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die kantonalen Behörden anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Mit Eingabe vom 19. Januar 2015 wird ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden. D. Mit Verfügung vom 28. April 2015 hat der Instruktionsrichter der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.