Sachverhalt: A. Am 19. Dezember 2011 erklärte das Bezirksgericht Zürich X._ der versuchten Nötigung schuldig und sprach ihn im Übrigen frei. Auf seine Berufung und auf Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft sowie von A.Y._ hin verurteilte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich X._ am 11. September 2012 wegen versuchter Nötigung und mehrfacher sexueller Belästigung zu einer bedingten Geldstrafe von 45 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 1'000.--. Mit Urteil 6B_666/2012 vom 13. Juni 2013 wies das Bundesgericht die von X._ dagegen erhobene Beschwerde ab. B. B.a. Am 4. Juli 2013 erstattete X._ im Zusammenhang mit dem oben erwähnten Verfahren Strafanzeige gegen A.Y._, B.Y._, C._ und D._ wegen falscher Anschuldigung sowie teilweise "Prozessbetrugs", Freiheitsberaubung und Nötigung. Am 17. April 2014 erstattete X._ eine weitere Strafanzeige gegen A.Y._ wegen Verleumdung und übler Nachrede. Die Staatsanwaltschaft nahm die Strafuntersuchungen nicht an die Hand, wogegen X._ am 19. August 2013 bzw. am 30. Juni 2014 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich erhob. B.b. Die III. Strafkammer des Obergerichts wies die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen Verleumdung und übler Nachrede am 8. Januar 2015 ab. Das Bundesgericht wies die Beschwerde in Strafsachen von X._ gegen diesen Entscheid ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_175/2015 vom 9. April 2015). B.c. Am 16. Februar 2015 wies die III. Strafkammer des Obergerichts auch die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Verfahrens wegen falscher Anschuldigung sowie "Prozessbetrugs" (falschem Zeugnis), Freiheitsberaubung und Nötigung ab. Im Verlaufe dieses Verfahrens erhob X._ ein Ausstandsbegehren gegen die Oberrichter der III. Strafkammer. Die I. Strafkammer des Obergerichts wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 25. März 2015 ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen, eventualiter subsidiär Verfassungsbeschwerde, und beantragt die Aufhebung des Beschlusses der I. Strafkammer des Obergerichts vom 25. März 2015 und die Gutheissung des Ausstandsgesuchs. Eventualiter sei der aufgehobene Beschluss zu neuer Entscheidung an eine andere Kammer des Obergerichts des Kantons Zürich zurückzuweisen. Zugleich stellt er ein Ausstandsgesuch gegen die am Beschluss vom 25. März 2015 beteiligten Oberrichter der I. Strafkammer sowie gegen den in dieser Sache tätig gewesenen Gerichtsschreiber. D. Die Beschwerden in Strafsachen von X._ gegen den Entscheid der III. Strafkammer des Obergerichts vom 16. Februar 2015 (Nichtanhandnahme in der Sache) und gegen eine weitere von der III. Strafkammer des Obergerichts am 18. November 2014 abgewiesene Beschwerde (betreffend eine Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 10. Juli 2013) sowie die Beschwerde in Strafsachen gegen die von der I. Strafkammer des Obergerichts am 31. März 2015 abgewiesene Revision des Urteils vom 11. September 2012 bilden Gegenstand der separaten Verfahren 6B_312/2015, 6B_1242/2014 bzw. 6B_527/2015.