Sachverhalt: A. A.a. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist im November 1981 geboren und war im Zeitpunkt des Todes seiner Mutter am 14. Mai 1998 noch unmündig. Die A._AG (Beklagte, Beschwerdeführerin), U._, bezweckt die Erbringung von Dienstleistungen aller Art, namentlich Vermögensberatung und -verwaltung. Sie wurde von der Mutter des Klägers, die ihr im Jahre 1995 einen Vermögensverwaltungsauftrag erteilt hatte, als Willensvollstreckerin eingesetzt und nahm dieses Mandat an. Entsprechend einem testamentarischen Wunsch der Mutter des Klägers wurde ausserdem der Verwaltungsratspräsident der Beklagten, C._, von der zuständigen Vormundschaftsbehörde zum Vormund des Klägers bestellt. Die Vormundschaft erlosch mit der Volljährigkeit des Klägers am 29. November 1999. A.b. Das Mandat der Beklagten wurde auf Ende März 2004 beendet, nachdem sich C._ und der Kläger zerstritten hatten. Der Kläger erbte von seiner Mutter Aktiven im Werte von Fr. 1'576'998.--. Er verbrauchte für seine Bedürfnisse bis zur Beendigung des Mandats der Beklagten Fr. 445'914.--, so dass ohne Rendite und ohne Verlust ein Restkapital von Fr. 1'121'084.-- hätte vorhanden sein sollen. Tatsächlich verblieb per 31. März 2004 ein Kapital von Fr. 971'844.--. B. B.a. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung reichte der Kläger am 19. November 2010 beim Bezirksgericht Meilen Klage ein mit dem Begehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 378'173.11 nebst Zins zu 5% ab 7. April 2009 zu bezahlen (Klagebegehren 1), und der Beklagten sei unter Androhung der Bestrafung wegen Ungehorsams im Sinne von Art. 292 StGB zu befehlen, ihm innert 20 Tagen ab Rechtskraft des Urteils eine überprüfbare und detaillierte Schlussabrechnung unter Ausweis vereinnahmter Retrozessionen sowie einen Schlussbericht über ihre Tätigkeit vorzulegen (Klagebegehren 2). Zur Begründung brachte der Kläger vor, die Beklagte habe mit einem Teil seines Vermögens pflichtwidrig Optionsgeschäfte getätigt. Den Schaden berechnete der Kläger unter anderem so, dass er die einzelnen Optionsgeschäfte auflistete und die daraus resultierenden Verluste zusammenzählte. B.b. Das Bezirksgericht Meilen hiess mit Urteil vom 12. März 2015 die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte dazu, dem Kläger Fr. 319'571.10 nebst Zins zu 5% seit 7. April 2009 zu bezahlen. Das Gericht kam zum Schluss, der Beklagten sei der Beweis nicht gelungen, dass der Kläger der Verwaltung seines Vermögens durch Optionsgeschäfte in informierter Kenntnis der Bedeutung dieser Transaktionen zugestimmt habe. Da der Kläger durch Auflistung der Verluste (Glattstellung, Bezug der Titel) jedes einzelnen Optionsgeschäftes den Schaden ziffernmässig - nach Korrektur eines Rechenfehlers mit Fr. 430'874.88 - behauptet hatte, hielt das Bezirksgericht die ebenfalls angestellte Vergleichsrechnung mit dem durchschnittlichen Ertrag eines konservativ angelegten Vermögens nach dem Pictet-LFP-Index 93 für Willensvollstrecker für entbehrlich. Zum ziffernmässig behaupteten Schaden führte das Bezirksgericht ein Beweisverfahren durch und kam zum Schluss, dass die nachgewiesenen Verluste auf diesen Positionen unter Berücksichtigung der nachgewiesenen Gewinne, soweit diese ebenfalls auf pflichtwidrig getätigten Optionsgeschäften beruhten, Fr. 319'571.10 betrug. B.c. Mit Urteil vom 15. März 2016 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung der Beklagten ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts Meilen vom 12. März 2015. Das Obergericht kam zum Schluss, es sei unklar geblieben, ob und welche Anlagestrategie die Beklagte mit der Mutter des Klägers vereinbart hatte; jedenfalls habe die Beklagte die bisherige Strategie nicht beibehalten, sondern durch eine aggressivere ersetzt und damit ihre Pflichten verletzt, wobei nicht einmal berücksichtigt werde, dass mit Blick auf die Verhältnisse des Klägers im Vergleich zu seiner Mutter eine Kurskorrektur angebracht gewesen wäre. Das Obergericht folgte sodann der Beweiswürdigung des Bezirksgerichts darin, dass dem Kläger die Risiken des Optionshandels nicht bewusst waren und er seine Zustimmung daher nicht gültig erteilen konnte; es fügte an, dass wohl selbst bei Zustimmung des Klägers dessen Profil eine aggressive Anlage des Vermögens verboten hätte, woran auch die Genehmigung des Schlussberichts des Vormundes durch die zuständige Vormundschaftsbehörde nichts ändere. In Bezug auf die Bemessung des Schadens bestätigte das Obergericht, dass die von der Beklagten nicht substanziiert behaupteten Gewinne auf Optionen nicht angerechnet werden könnten und die konkrete Berechnung der Verluste massgebend sei. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Beklagte dem Bundesgericht den Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2016 sei aufzuheben und die Klage sei vollumfänglich abzuweisen, eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Pflichtverletzung bejaht und den vereinbarten Haftungsausschluss nicht beachtet; dass der Beschwerdegegner nicht im Bilde war, kritisiert sie ausdrücklich nicht. Zur Schadensberechnung rügt sie, dass nicht das gesamte Portfolio berücksichtigt und kein Vergleichs-Portfolio berücksichtigt worden sei. Zum Kausalzusammenhang beanstandet sie, es hätte berücksichtigt werden müssen, dass der ausgewiesene Verlust nur ein Buchverlust sei und zum Verschulden will sie berücksichtigt haben, dass keine Vorteile angerechnet und die jahrelange Duldung durch den Beschwerdegegner sowie der angeblich selbstlose Einsatz des Organs der Beschwerdeführerin nicht berücksichtigt worden seien. Schliesslich behauptet sie, mit dem Befehl zur Rechenschaft werde von ihr etwas verlangt, das sie nicht schulde bzw. bereits geleistet habe. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Beschwerdeantwort, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.