Sachverhalt: A. A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) und die B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) schlossen zwischen Februar 2011 und Januar 2012 mehrere Mietverträge über Wohnungen an der Strasse U._ in V._ ab. B. Mit Klage vom 30. Oktober 2014 unterbreitete die Mieterin dem Bezirksgericht Zofingen das Begehren, die Vermieterin sei zu verurteilen, ihr "die seit dem 1. März 2011 bis zum 30. September 2013 zu viel bezahlten Mietzinse in der Höhe von insgesamt Fr. 25'630.-- zuzüglich Zins [...]" zu bezahlen. Anlässlich der Hauptverhandlung erhöhte sie die Klageforderung auf Fr. 29'510.-- zuzüglich Zins. Zur Begründung der Klage machte die Mieterin sinngemäss geltend, bei den jeweiligen von den Parteien geschlossenen neuen Mietverträgen habe es sich um blosse Mietzinserhöhungen gehandelt. Da diese nicht mit dem amtlichen Formular angezeigt worden seien, seien sie nichtig und die zu viel bezahlten Mietzinse von der Vermieterin zurückzuerstatten. Am 5. November 2014 wurde der Mieterin für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und Rechtsanwalt Christoph Meyer als unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt. Mit Urteil vom 28. Januar 2015 verurteilte der Präsident des Bezirksgerichts die Vermieterin, der Mieterin den Betrag von Fr. 7'125.-- zuzüglich Zins zu fünf Prozent seit 21. August 2014 zu bezahlen. Im Übrigen wies er die Klage ab. Die dagegen gerichtete Berufung der Mieterin wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 25. März 2015 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch der Mieterin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (für das Berufungsverfahren) wies es ebenfalls ab (Dispositiv-Ziffer 2). Sodann auferlegte es der Mieterin die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- für das Berufungsverfahren (Dispositiv-Ziffer 3). C. Die Mieterin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, es seien die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 des Urteils des Obergerichts aufzuheben. Ihr sei für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und in der Person ihres Rechtsvertreters ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben. Ferner ersucht die Mieterin auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie um Rechtsverbeiständung. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.