Sachverhalt: A. A._ (geb. 1966) ist Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina. Aus erster Ehe hat er zwei Kinder (geb. 1995 und 1997), welche in seiner Heimat wohnen. A._ heiratete am 28. Februar 2004 eine mehr als 18 Jahre ältere, im Kanton Zürich niedergelassene Serbin. Am 25. Mai 2004 reiste A._ in die Schweiz ein, wo ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Ab Juli 2004 ging er verschiedenen beruflichen Tätigkeiten als Fassadenisoleur, Hilfsarbeiter in einer Garage und Maler nach. Im November 2005 erlitt A._ eigenen Angaben zufolge einen Arbeitsunfall. Seither ging er keiner Erwerbstätigkeit mehr nach, weshalb er von der Sozialhilfe unterstützt werden musste. Bis 8. September 2014 belief sich der Unterstützungsbetrag auf insgesamt Fr. 156'215.65. Die eheliche Gemeinschaft wurde spätestens im Oktober 2006 aufgegeben und die Ehe am 24. Juni 2009 in Serbien geschieden. Seit seinem Arbeitsunfall klagt A._ über verschiedene gesundheitliche Beschwerden. Im März 2007 und November 2009 ersuchte er erfolglos um Ausrichtung von IV-Leistungen. Ein drittes Verfahren ist noch nicht rechtskräftig abgeschlossen; im Vorbescheidsverfahren wurde ein Rentenanspruch allerdings erneut verneint. A._ befand sich in den Jahren 2011 bis 2014 verschiedentlich in stationär-psychiatrischer Behandlung und es sind ihm mehrere Medikamente zur Einnahme verordnet. B. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 8. Oktober 2013 ein Gesuch von A._ um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2014 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich den dagegen erhobenen Rekurs ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 10. Juni 2015. C. A._ (Beschwerdeführer) führt mit Eingabe vom 17. August 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt "das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Juni 2015 sowie die Verfügung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, Migrationsamt, vom 8. Oktober 2013 und der Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, Rekursabteilung, vom 27. Oktober 2014 aufzuheben". Das Migrationsamt des Kantons Zürich sei ferner anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (Vorinstanz) verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt die Abweisung der Beschwerde. Nicht vernehmen liess sich das Migrationsamt des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 19. August 2015 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.