Sachverhalt: A. A.a. A._ (Beschwerdeführer 1, Kläger) ist ehemaliger Bereiter der Eidgenössischen Militärpferdeanstalt und besass einen Reitstall. C._ (Beschwerdegegnerin 1, Beklagte) ritt ab dem Frühjahr 2010 drei bis vier Mal pro Woche Pferde aus dem Reitstall von A._. B._ (Beschwerdeführer 2) ist Rechtsanwalt in U._. A.b. Am 22. Juli 2010 und am 2. September 2010 verkaufte A._ die beiden Pferde "D._" und "E._" an C._. Am 9. November 2010 bezog er von seinem Sparkonto Fr. 150'000.-- und übergab die bezogenen Geldscheine in drei Couverts zu je Fr. 50'000.-- an C._, welche die Couverts in ihrem Bankschliessfach deponierte. A._ behauptete in der Folge, er habe den Geldbetrag hinterlegt, C._ stellte sich auf den Standpunkt, er sei geschenkt. A.c. Am 1. Oktober 2012 erhob A._ beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen C._. Er verlangte die Herausgabe der beiden Pferde E._ und D._ sowie die Bezahlung von Fr. 156'660.--, eventualiter von Fr. 195'060.-- zuzüglich Verzugszins. Die Vertretung von A._ führte Rechtsanwalt B._. Das Amtsgericht wies die Klage mit Urteil vom 12. Juni 2013 ab. Die Gerichtskosten übertrug es zufolge unentgeltlicher Rechtspflege dem Staat Solothurn. Gegen dieses Urteil gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Solothurn, wobei er die im erstinstanzlichen Verfahren noch geltend gemachte Forderung in der Höhe von Fr. 6'660.-- für angeblich unbezahlt gebliebene Reitstunden fallen liess. Das Obergericht wies die Berufung mit Urteil vom 17. März 2014 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es wegen Aussichtslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 4). Mit Urteil vom 2. Dezember 2014 (Verfahren 4A_262/2014) hiess das Bundesgericht die Beschwerde von A._ gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. März 2014 teilweise gut, hob dieses Urteil auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück. Die Gutheissung der Beschwerde betraf das Begehren auf Bezahlung von Fr. 150'000.--; die Beschwerde gegen die Abweisung des Begehrens um Herausgabe der beiden Pferde E._ und D._ samt Zaumzeug und Sattel durch das Obergericht wurde abgewiesen. B. Mit Urteil vom 25. August 2015 hiess das Obergericht des Kantons Solothurn die Berufung des Klägers teilweise gut und hob das Urteil des Amtsgerichts von Solothurn-Lebern vom 12. Juni 2013 teilweise auf (Ziffer 1). Es stellte fest, dass das Urteil vom 12. Juni 2013 hinsichtlich der Herausgabe der beiden Pferde "E._" und "D._" inklusive Zaumzeug und Sattel in Rechtskraft erwachsen sei (Ziffer 1) und verpflichtete die Beklagte, dem Kläger den Betrag von Fr. 150'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit 1. März 2012 zu bezahlen. Ausserdem entschied das Obergericht des Kantons Solothurn: " 4. Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt B._ für das Berufungsverfahren wird gutgeheissen. 5. An die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens von CHF 12'500.00 hat A._ CHF 3'125.00 und C._ CHF 9'375.00 zu bezahlen. Zufolge unentgeltlicher Rechtspflege trägt der (sic!) Kostenanteil von A._ der Staat Solothurn; vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates während 10 Jahren, sobald A._ zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO). 6. An die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von CHF 10'000.00 hat A._ CHF 2'500.00 und C._ CHF 7'500.00 zu bezahlen. Zufolge unentgeltlicher Rechtspflege trägt der (sic!) Kostenanteil von A._ der Staat Solothurn; vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates während 10 Jahren, sobald A._ zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO). Der von C._ geleistete Kostenvorschuss in der Höhe von CHF 1'000.00 wird mit ihrem Anteil verrechnet. 7. C._ hat an A._ für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von CHF 2'332.80 zu bezahlen. Für diesen Betrag besteht während zweier Jahre eine Ausfallhaftung des Staates. Vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates während 10 Jahren. 8. Rechtsanwalt B._ wird für das erstinstanzliche Verfahren (für CHF 2'332.80) nicht durch die Staatskasse entschädigt. 9. C._ hat an A._ für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von CHF 6'534.00 zu bezahlen. Für einen Betrag von CHF 4'252.50 besteht während zweier Jahre eine Ausfallhaftung des Staates. Vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates während zehn Jahren sowie der Nachzahlungsanspruch des unentgeltlichen Rechtsbeistands im Umfang von CHF 2'281.50 (Differenz von CHF 4'252.50 zum vollen Honorar von CHF 6'534.00), sobald A._ zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO). 10. Rechtsanwalt B._ wird für das zweitinstanzliche Verfahren (für Fr. 4'252.50) nicht durch die Staatskasse entschädigt. 11. Rechtsanwalt B._ hat gegenüber A._ einen Nachzahlungsanspruch im Umfang von CH 2'281.50 (Differenz vo n CHF 4'252.50 zum vollen Honorar von CHF 6'534.00) sobald A._ zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO)." C. Gegen die Ziffern 6-11 des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 25. August 2015 haben A._ und B._ Beschwerde in Zivilsachen / subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht. A._ richtet seine Beschwerde gegen C._, B._ bezeichnet den Kanton Solothurn als Gegenpartei. Die Beschwerde enthält folgendes Rechtsbegehren: " 1. Die Ziffern 6-11 (Regelung der Gerichts- und Parteikosten- entschädigungen) des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn (...) vom 25. August 2015 (...) seien aufzuheben. 2. Die Angelegenheit sei zur neuen Festsetzung der Gerichts- kosten und Parteientschädigungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. 3. Eventualiter: Die Kostenregelung sei neu wie folgt zu regeln: A Verteilung der Gerichtskosten vor Obergericht 4. An die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von CHF 10'000.00 hat der Kläger CHF 1'600.00 und die Beklagte CHF 8'600.00 zu bezahlen. Zufolge unentgeltlicher Rechtspflege trägt den Kostenanteil des Klägers der Staat Solothurn; vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates in diesem Umfang während 10 Jahren, sobald der Kläger zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO). Der von der Beklagten geleistete Kostenvorschuss in der Höhe von CHF 1'000.00 wird mit ihrem Anteil verrechnet. B Verteilung der Parteikosten im erstinstanzlichen Verfahren 5. Die Beklagte hat dem Kläger für das Verfahren vor erster Instanz eine reduzierte Parteientschädigung von CHF 18'140.20 zu bezahlen, wobei die Ausfallhaftung des Staates von CHF 11'801.95 besteht. Vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates in diesem Umfang während 10 Jahren. 6. Die Honorarnote des Anwalts des Klägers aus unentgeltlicher Rechtspflege wird auf CHF 3'521.25 festgesetzt. Da der Kläger bis insgesamt CHF 7'200.00 die Kosten selber tragen muss, wird dieser Betrag nicht durch die Staatskasse ausbezahlt. 7. Der Anwalt des Klägers hat gegenüber dem Kläger einen Nachzahlungsanspruch im Umfang von CHF 1'956.25 (Differenz UP-Honorar von CHF 180.-- zu CHF 280.--) sowie - für den Fall, dass für die Parteientschädigung die Ausfallhaftung des Staates zum Tragen kommen sollte - von CHF 10'108.05, sobald der Kläger zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO). C Verteilung der Parteikosten im obergerichtlichen Verfahren 8. Die Beklagte hat dem Kläger im Verfahren vor Obergericht eine reduzierte Parteientschädigung von CHF 12'387.60 zu bezahlen, wobei eine Ausfallhaftung des Staates von CHF 8'067.60 besteht. Vorbehalten bleibt der Rückforderungsanspruch des Staates während 10 Jahren. 9. Die Hono rarnote des Anwalts des Klägers aus unentgeltlicher Rechtspflege wird auf CHF 1'069.20 festgesetzt. Da der Kläger bis CHF 7'200.00 die Kosten selber tragen muss, wird dieser Betrag nicht durch die Staatskasse ausbezahlt. 10. Der Anwalt des Klägers hat gegenüber dem Kläger einen Nachzahlungsanspruch im Umfang von CHF 550.00 (Differenz UP-Honorar von CHF 180.-- zu CHF 280.--) sow ie - für den Fall, dass für die Parteientschädigung die Ausfallhaftung des Staates zum Tragen kommen sollte - von CHF 4'320.00, sobald der Kläger zur Nachzahlung in der Lage ist (Art. 123 ZPO)." Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer 1 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und -verbeiständung durch den unterzeichneten Rechtsanwalt für das Verfahren vor Bundesgericht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.