Sachverhalt: A. B.B._ (Mutter) und A._ (Vater) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C.B._ (geb. 2007) und D.B._ (geb. 2010). Die Eltern verfügen über ein gemeinsames Sorgerecht. Sie leben seit September 2011 getrennt. Während ein Unterhaltsvertrag aus der Zeit des Zusammenlebens besteht, haben die Eltern keine ausdrückliche Regelung über die Betreuung der Kinder bzw. das Besuchsrecht getroffen. B. B.a. Mit Gesuch vom 22. März 2013 ersuchte der Vater um Regelung des Besuchs- und Ferienrechts sowie die Aufteilung der Feiertage. Er beantragte ein Besuchsrecht für jedes dritte Wochenende von Freitag 17.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Die Mutter beantragte ihrerseits Betreuungszeiten an jedem dritten Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Ausserdem habe der Vater allfällige Zusatzkosten für die Fremdbetreuung zu übernehmen, falls er das Besuchswochenende weniger als zwei Wochen vorher absage. Im Rahmen einer zweiten Stellungnahme beantragte die Mutter - knapp ein Jahr später - Betreuungszeiten an jedem zweiten Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Mit Entscheid vom 6. August 2014 des Familiengerichts U._ als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde wurde der Vater berechtigt und verpflichtet, die beiden Kinder an jedem dritten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen; der Entscheid sah im Weiteren vor, dass Absagen betreffend Besuchstage nach Möglichkeit mindestens sieben Tage im Voraus zu erfolgen haben (Ziff. 1.1 des Entscheids). Im Weiteren regelte das Gericht das Ferienrecht (Ziff. 1.2) und die Feiertage (Ziff. 1.3). B.b. Die Mutter gelangte gegen diesen Entscheid an das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, mit dem Begehren, in Abänderung von Ziffer 1.1 des erstinstanzlichen Entscheides sei der Vater für berechtigt und verpflichtet zu erklären, seine Kinder jedes zweite Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, zu betreuen, wobei Absagen betreffend Kinderbetreuung an den Betreuungswochenenden mindestens sieben Tage im Voraus zu erfolgen hätten. Allfällige mit der Absage des Vaters (zwei Wochen oder weniger) verbundene, nachgewiesene Zusatzkosten für die Fremdbetreuung seien vom Vater zu tragen. Im Weiteren stellte sie einen Antrag auf Abänderung der Regelung betreffend das Ferienrecht; danach soll der Vater nicht nur berechtigt sein, zwei Wochen pro Jahr mit den Kindern Ferien zu verbringen, sondern dazu auch verpflichtet sein (Ziffer 1.2). Der Vater schloss auf Abweisung der Begehren. In Gutheissung der Beschwerde änderte das Obergericht Ziff. 1.1 des erstinstanzlichen Entscheides ab. Es berechtigte und verpflichtete den Vater, die Kinder an jedem zweiten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu sich zu nehmen oder für eine Betreuungsalternative besorgt zu sein. Sodann regelte es das Ferienrecht im Sinne des Antrages der Mutter. C. Der Vater (Beschwerdeführer) hat am 22. April 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und jenes des Familiengerichts U._ vom 6. August 2014 zu bestätigen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. D. Mit Präsidialverfügung vom 12. Mai 2015 wurde der Beschwerde mit Bezug auf die Frage der Organisation einer Alternativbetreuung entgegen dem Antrag der Mutter (Beschwerdegegnerin) aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 17. Dezember 2015 zur Sache vernehmen lassen. Sie ersucht um Abweisung der Beschwerde. Weitere Stellungnahmen sind nicht erfolgt. F. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 25. Februar 2016 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.