Sachverhalt: A. B.A._ (Staatsangehörige der Slowakei) und A.A._ (Staatsangehöriger der Schweiz) heirateten im Oktober 2007. Die Ehe blieb kinderlos. Seit März 2014 lebt B.A._ nicht mehr bei ihrem Ehegatten in U._, sondern in ihrer Eigentumswohnung in V._, Slowakei. Mit Gesuch vom 13. Juni 2014 verlangte sie beim Bezirksgericht Horgen den Erlass von Eheschutzmassnahmen. Mit Urteil vom 28. Oktober 2014 bewilligte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Horgen den Parteien das Getrenntleben (Ziff. 1) und wies die eheliche Wohnung dem Ehemann zu (Ziff. 2). Sie verpflichtete A.A._, seiner Ehefrau rückwirkend ab dem 1. März 2014 und für die Dauer des Getrenntlebens monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'129.-- zu bezahlen, wobei sie den Ehemann berechtigte, sämtliche bisherigen für diesen Zeitraum geleisteten Zahlungen (einschliesslich für B.A._ geleistete Direktzahlungen) in Abzug zu bringen (Ziff. 3). Weiter wurde A.A._ verpflichtet, seiner Ehefrau während der Dauer des Getrenntlebens die Hälfte eines allfälligen an ihn ausbezahlten Bonus, höchstens jedoch Fr. 6'000.-- pro Jahr zu bezahlen (Ziff. 4). Die Gerichtskosten (Ziff. 5) wurden ca. im Verhältnis 2/3 zu 1/3 verlegt und A.A._ verpflichtet, seiner Ehefrau eine auf ca. 2/3 reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Ziff. 6-7). B. Gegen die Ziff. 3-4 und 6-7 dieses Urteils erhob A.A._ am 26. Januar 2015 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte, es sei die Vollstreckung der Unterhaltsverpflichtung (Ziff. 3 und 4) aufzuschieben und festzustellen, dass er seiner Ehefrau keinen Unterhalt schulde. Eventualiter sei ein angemessener reduzierter Unterhaltsbeitrag festzusetzen. Ferner verlangte er, die Kosten vollumfänglich seiner Ehefrau aufzuerlegen. Nach Einholung der Stellungnahme zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gewährte das Obergericht des Kantons Zürich der Berufung am 2. April 2015 in Bezug auf Dispositivziff. 3 des angefochtenen Urteils für rückwirkend geschuldete Unterhaltsbeiträge (ab März 2014) bis und mit Ende März 2015, sowie ab dem 1. Juni 2015 im Fr. 2'047.35 übersteigenden Betrag, die aufschiebende Wirkung. Ein erneuter Antrag des Ehemannes, der Berufung auch ab 1. Mai 2015 die aufschiebende Wirkung zu gewähren, wies die Vorinstanz mit Verfügung vom 6. Mai 2015 ab. Mit Beschluss und Urteil vom 1. September 2015 merkte das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vor, dass die Dispositivziff. 1, 2 und 5 des Einzelgerichts am Bezirksgericht Horgen vom 28. Oktober 2014 rechtskräftig wurden (Beschluss Ziff. 1) und wies das Gesuch der Ehefrau um Leistung eines Prozesskostenvorschusses, eventualiter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren, ab (Beschluss Ziff. 2). Sodann erkannte es: "1. Der Gesuchsgegner wird verpflichtet, der Gesuchstellerin persönlich rückwirkend vom 1. März 2014 bis 31. Mai 2015 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 2'830.-- zu bezahlen. 2. a) Der Gesuchsgegner wird verpflichtet, der Gesuchstellerin persönlich für die Zeit vom 1. Juni 2015 bis 30. September 2015 das von ihm erzielte durchschnittliche monatliche Nettoeinkommen (Nettofixum [ohne monatliche Spesenpauschale von Fr. 2'000.--] zuzüglich Fr. 338.-- verdeckter Lohnbestandteil zuzüglich die durchschnittlichen Nettoprovisionen der Monate Juni bis September 2015 wie folgt weiterzuleiten: den monatlich Fr. 10'203.-- übersteigenden Betrag bis zu einem Maximalbetrag von monatlich je Fr. 1'452.--; 1/2 des monatlich Fr. 11'655.-- übersteigenden Betrags bis zu einem Maximalbetrag von monatlich je Fr. 1'379.--. Der Gesuchsgegner wird verpflichtet, der Gesuchstellerin die betreffenden Lohn- und Provisionsabrechnungen innert 5 Tagen nach Erhalt unaufgefordert zukommen zu lassen. Die Unterhaltszahlungen für die Monate Juni, Juli, August und September 2015 sind zahlbar innert 10 Tagen nach Erhalt der Provisionszahlung. b) Der Gesuchsgegner wird verpflichtet, der Gesuchstellerin persönlich für die Zeit ab 1. Oktober 2015 (für die weitere Dauer des Getrenntlebens) das von ihm erzielte durchschnittliche monatliche Nettoeinkommen (Nettofixum [ohne Spesenpauschale von monatlich Fr. 2'000.--] zuzüglich Fr. 338.- verdeckter Lohnbestandteil zuzüglich 1/3 der jeweils quartalsweise ausbezahlten Nettoprovision) wie folgt weiterzuleiten: den monatlich Fr. 10'203.-- übersteigenden Betrag bis zu einem Maximalbetrag von monatlich je Fr. 502.--; 1/2 des monatlich Fr. 10'705.-- übersteigenden Betrags bis zu einem Maximalbetrag von monatlich je Fr. 1'379.--. Der Gesuchsgegner wird verpflichtet, der Gesuchstellerin die betreffenden Lohn- und Provisionsabrechnungen jeweils innert 5 Tagen nach Erhalt unaufgefordert zukommen zu lassen. Die Unterhaltszahlungen für die der Provisionsabrechnung zugrunde liegenden drei Monate sind zahlbar innert 10 Tagen nach Erhalt der betreffenden Provisionszahlung. 3. Der Gesuchsgegner wird für die Dauer des Getrenntlebens verpflichtet, der Gesuchstellerin unter Vorlage der entsprechenden Belege die Hälfte eines allfälligen an ihn ausbezahlten Bonus, höchstens jedoch Fr. 6'000.-- pro Jahr, zu bezahlen, zahlbar innert 30 Tagen nach Auszahlung des Bonus an ihn, erstmals betreffend den Bonus für das Jahr 2014." Die erst- und zweitinstanzlichen Gerichtskosten auferlegte die Vorinstanz den Parteien je zur Hälfte (Ziff. 4 und Ziff. 7) und sprach für das kantonale Verfahren keine Partei- bzw. Umtriebsentschädigungen zu (Ziff. 5 und Ziff. 8). C. C.a. Gegen die Ziff. 1 sowie Ziff. 2. a) und b) wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) mit Beschwerde vom 2. Oktober 2015 an das Bundesgericht. Er beantragt die Reduktion seiner Unterhaltsverpflichtung ab März 2014 sowie die Berechtigung, bisher geleistete Zahlungen in Abzug zu bringen, und verlangt ferner, seiner Beschwerde sei gestützt auf Art. 103 Abs. 3 BGG die aufschiebende Wirkung zu erteilen. C.b. B.A._ (Beschwerdegegnerin) sowie die Vorinstanz sind am 5. Oktober 2015 eingeladen worden, sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern. Der Beschwerdeführer hat am 13. Oktober 2015 eine weitere Eingabe zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eingereicht. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat sich dem Gesuch widersetzt. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 22. Oktober 2015 für Unterhaltsbeiträge bis und mit Oktober 2015 die aufschiebende Wirkung erteilt. C.c. Mit Verfügung vom 5. April 2016 sind die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz zur Vernehmlassung in der Sache eingeladen worden. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet, die Beschwerdegegnerin hat mit Eingabe vom 19. April 2016 beantragt, die Beschwerde sei unter Kostenfolgen abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Replik des Beschwerdeführers ist am 29. April 2016 erfolgt, die Beschwerdegegnerin hat mit Schreiben vom 3. Mai 2016 auf eine weitere Stellungnahme verzichtet.