Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1970; Vater) und B.A._ (geb. 1972; Mutter) heirateten im Juli 2003 in Luzern. Aus der Ehe ging die gemeinsame Tochter C.A._ (geb. 2005) hervor. Seit Februar 2009 leben die Parteien getrennt. B. Nachdem die Parteien im Jahr 2009 ein Eheschutzverfahren geführt hatten, reichten beide Parteien am 7. Februar 2011 bzw. 8. Februar 2011 die Scheidungsklage ein. Mit Entscheid vom 14. März 2013 schied das Bezirksgericht Aarau die Ehe, stellte C.A._ unter die elterliche Sorge der Mutter und berechtigte den Vater, die Tochter an jedem zweiten Wochenende im Monat von Freitag, 18.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, zu sich auf Besuch zu nehmen und zwei Wochen Ferien im Jahr mit ihr zu verbringen. Zudem regelte es das Besuchsrecht über die allgemeinen Feiertage und die vermögensrechtlichen Nebenfolgen der Scheidung. C. Beide Parteien reichten gegen den Entscheid des Bezirksgerichts beim Obergericht des Kantons Aargau Berufung ein. Mit Urteil vom 27. November 2013 wies das Obergericht die gegen vermögensrechtliche Nebenfolgen der Scheidung gerichtete Berufung der Mutter ab, soweit es darauf eintrat. Die Berufung des Vaters hiess es im Güterrechtspunkt teilweise gut. Das ihm zustehende Besuchsrecht fasste es insofern neu, als es ihn berechtigt erklärte, die Tochter am ersten und dritten Wochenende im Monat von Freitag 18.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, zu sich auf Besuch zu nehmen. Den Ferienanspruch beliess es bei 2 Wochen im Jahr und auch die Feiertagsregelung behielt es bei (Ziffer 2/3.1). D. D.a. A.A._ (Beschwerdeführer) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Januar 2014 an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, Ziffer 2/3.1 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben und wie folgt neu zu entscheiden: "Der Beklagte wird berechtigt erklärt, die Tochter C.A._ an jedem zweiten Wochenende von Freitag 18.00 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr, zu sich auf Besuch zu nehmen und fünf Wochen Ferien im Jahr mit ihr zu verbringen, welche drei Monate im Voraus anzumelden sind." Zudem beantragt er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, was die angefochtene Wochenendbesuchsregelung angeht. B.A._ (Beschwerdegegnerin) hat sich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung (im Gegensatz zum Obergericht) widersetzt. Mit Präsidialverfügung vom 10. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. D.b. Das Bundesgericht hat die Beteiligten zur Vernehmlassung eingeladen. Die Beschwerdegegnerin beantragt mit Eingabe vom 27. Januar 2015, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht, die Beschwerdegegnerin eine Duplik.