Sachverhalt: A. A.a. Mit Eingabe vom 17. August 2012 beantragte das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn dem Amtsgericht Solothurn-Lebern, es seien gegenüber der A._ AG wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen nach Art. 731b OR zu ergreifen. Mit Verfügung vom 21. August 2012 forderte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern die A._ AG dazu auf, bis am 11. September 2012 zum Gesuch des Handelsregisteramts Stellung zu nehmen und den gesetzmässigen Zustand wieder herzustellen, unter Androhung der Auflösung und Liquidation der Gesellschaft im Säumnisfall. Die Zustellung dieser Verfügung an die A._ AG auf dem Postweg erwies sich als nicht möglich, worauf eine Publikation im Amtsblatt des Kantons Solothurn Nr. xxx vom yy.yy.yyyy erfolgte. Innert der angesetzten Frist erfolgte seitens der A._ AG indessen keine Reaktion. A.b. Mit Urteil vom 18. September 2012 ordnete der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern gestützt auf Art. 731b OR die Auflösung der A._ AG und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an. Den Zeitpunkt der Auflösung setzte der Amtsgerichtspräsident auf den 18. September 2012, 8.00 Uhr, fest. Weiter beauftragte er das kantonale Konkursamt mit der konkursamtlichen Liquidation und wies das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn an, das kantonale Konkursamt als Liquidatorin einzutragen. Das darauf von der A._ AG erhobene Wiederherstellungsgesuch vom 11. Oktober 2012 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern mit Verfügung vom 31. Oktober 2012 ab. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 12. Dezember 2012 ebenfalls ab. B. B.a. Am 12. Dezember 2013 reichte die A._ AG beim Richteramt Solothurn-Lebern ein Gesuch "betreffend Konkurs infolge Liquidation wegen Organisationsmangel" ein und beantragte, der über sie eröffnete Konkurs sei zu widerrufen und das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Gesellschaft gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012 beim Handelsregisteramt Aargau einzutragen. Mit Replik vom 17. Januar 2014 bestätigte die A._ AG die gestellten Anträge und machte dabei eine analoge Anwendung von Art. 195 SchKG geltend. Mit Urteil vom 22. Januar 2014 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern das Gesuch vom 12. Dezember 2013 ab und auferlegte der A._ AG die Gerichtskosten. B.b. Dagegen erhob die A._ AG am 3. Februar 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte die Aufhebung des angefochtenen Urteils, die Gutheissung des Gesuchs um Widerruf des Konkurses und die Anweisung des Handelsregisteramts des Kantons Aargau zur Eintragung gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012. Mit Urteil vom 10. März 2014 wies das Obergericht die Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben, das Gesuch um Widerruf des Konkurses sei gutzuheissen und das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Gesellschaft gemäss der Anmeldung vom 7. November 2012 im Handelsregister einzutragen. Das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn und das Eidgenössische Amt für das Handelsregister haben Stellungnahmen eingereicht, ohne Antrag zu stellen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.