Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 20. Juni 2016 sprach das Bezirksgericht Zürich, 8. Abteilung, A._ der mehrfachen (qualifizierten) Widerhandlung gegen Art. 19 Abs. 2 lit. a BetmG i.V.m. Art. 19 Abs. 1 lit. c BetmG sowie der mehrfachen Geldwäscherei im Sinne von Art. 305 bis Ziff. 1 StGB schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingten Freiheitsstrafe von 24 Monaten. Mit Beschluss vom gleichen Tag wurde er aus der Sicherheitshaft entlassen. Gegen dieses Urteil meldete die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Berufung an und beantragte gleichzeitig die Fortsetzung der Sicherheitshaft. Mit Präsidialverfügung vom 24. Juni 2016 verfügte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürichs die Sicherheitshaft. B. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Präsidialverfügung des Obergerichts sei aufzuheben. Er sei umgehend aus der Haft zu entlassen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat eine verspätete Vernehmlassung eingereicht. Der Beschwerdeführer hat auf eine Stellungnahme verzichtet.