Sachverhalt: A. Aufgrund einer Aufsichtsanzeige eröffnete die Anwaltskammer des Kantons Solothurn am 28. April 2015 gegen A._, einen im Anwaltsregister des Kantons Solothurn eingetragenen Rechtsanwalt, ein Verfahren wegen Verletzung von Berufsregeln. B. Am 3. August 2015 stellte A._ ein Ausstandsbegehren gegen den Präsidenten der Anwaltskammer sowie gegen deren Sekretär. Die Anwaltskammer wies das Ausstandsbegehren am 23. September 2015 ab. Dagegen gelangte A._ an die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn, welche in der Rechtsmittelbelehrung als Beschwerdeinstanz angegeben war. Das Obergericht trat sinngemäss auf die Beschwerde nicht ein und überwies sie am 3. Dezember 2015 zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Dieses stellte am 7. Dezember 2015 fest, das Verfahren sei überwiesen worden, und stellte den Verfahrensbeteiligten weitere prozessleitende Verfügungen in Aussicht. C. A._ erhebt am 22. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit folgenden Anträgen: Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, vom 3. Dezember 2015, sowie die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Dezember 2015 seien aufzuheben. Die Streitsache sei unter Feststellung der Nichtigkeit der angefochtenen Entscheide zum Neuentscheid an das Obergericht des Kantons Bern zu überweisen, dies aufgrund der fehlenden Ergebnisoffenheit des gesamten Obergerichts des Kantons Solothurn und der systemimmanenten Gefahr der fehlenden Unabhängigkeit bzw. der Abstimmung der erst- und zweitinstanzlichen Entscheidfindung. Eventualiter sei die Beschwerdesache an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese weitere Abklärungen vornehme und das Verwaltungsgericht anweise, die seit 1. Januar 2005 ergangenen Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn betreffend Anwaltskammer als Vorinstanz zu publizieren oder ihm - A._ - in anonymisierter Form zur Verfügung zu stellen. Das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und die Anwaltskammer schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Präsidialverfügung vom 18. Februar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt, das Gesuch um Sistierung des Verfahrens indessen abgewiesen worden. Mit unaufgeforderter Eingabe vom 22. Februar 2016 stellte A._ verschiedene Beweis- und Verfahrensanträge, darunter ein weiteres Sistierungsgesuch. Die Verfahrensanträge sind am 29. Februar 2016 behandelt worden, mit Ausnahme des Antrags, die Beschwerde sei in Anwendung von Art. 23 Abs. 1 und 2 BGG unter Einholung der Zustimmung der I. Sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts zu entscheiden. Am 18. März 2016 reichte A._ eine Replik ein. Darin beantragt er, das Beschwerdeverfahren zu sistieren, bis das hängige Ausstandsverfahren gegen den leitenden Gerichtsschreiber des Verwaltungsgerichts rechtskräftig abgeschlossen sei.