Sachverhalt: A. A._ (Kläger) und B._ (Beklagte) streiten sich um eine Forderung von Fr. 2'000.--. B. B.a. Am 24. Juni 2015 stellte die Friedensrichterin des Friedensrichteramts Kreis III des Kantons Aargau dem Kläger die Vorladung (Terminverschiebung) für die Schlichtungsverhandlung vom 31. Juli 2015 zu. Der Kläger blieb der Schlichtungsverhandlung fern. Mit Verfügung vom 3. August 2015 schrieb die Friedensrichterin das Verfahren infolge Säumnis des Klägers als gegenstandslos ab und auferlegte dem Kläger die Kosten des friedensrichterlichen Verfahrens von Fr. 160.--. Gleichzeitig gewährte sie A._ die unentgeltliche Rechtspflege, so dass die Verfahrenskosten vorerst auf die Gerichtskasse genommen wurden. B.b. A._ erhob Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses trat mit Entscheid vom 10. September 2015 nicht auf die Beschwerde ein, soweit sich diese gegen die Abschreibung des Schlichtungsverfahrens richtete. Hinsichtlich des Kostenentscheids wies das Obergericht die Beschwerde ab. Es auferlegte A._ die obergerichtliche Entscheidgebühr und wies sein Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren ab. C. A._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 7. Oktober 2015 an das Bundesgericht. Er verlangt, die Sache an ein unbefangenes und unparteiliches oberes kantonales Gericht zurückzuweisen. Zudem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung hat das Bundesgericht mit Verfügung vom 4. November 2015 abgewiesen. Im Übrigen wurden die vorinstanzlichen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.