Sachverhalt: A. A.a. A._ ist seit dem 11. Juli 2007 verbeiständet. Am 30. Juni 2015 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (KESB) ein Gesuch von A._ um Aufhebung der altrechtlichen Beistandschaft ab und überführte Letztere in eine Begleitbeistandschaft und eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung nach Art. 393 und 394 Abs. 1 i.V.m. Art. 395 ZGB. Gleichzeitig präzisierte sie die Aufgaben und Befugnisse der Beistandsperson. Weiter entliess die KESB die bisherige Beiständin aus ihrem Amt und wies den Abklärungsdienst der KESB sowie das Amt für Beistandschaften und Erwachsenenschutz (ABES) an, in Rücksprache mit A._ eine neue Beistandsperson vorzuschlagen. Dieser Entscheid ist unangefochten geblieben. A.b. Mit Entscheid vom 7. Oktober 2015 stellte die KESB fest, dass am 30. Juni 2015 über A._ eine Begleitbeistandschaft und eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung errichtet worden war, und ernannte B._ zum Beistand. Ausserdem erläuterte sie den Entscheid vom 30. Juni 2015 bezüglich der Aufgaben und Befugnisse des Beistands in zwei Punkten und verfügte diese erneut. B. Gegen den Entscheid vom 7. Oktober 2015 haben sowohl A._ als auch B._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erhoben. Mit Urteilen vom 13. April 2016 (A._ eröffnet am 27. April 2016) trat dieses auf die Beschwerde von B._ nicht ein und wies jene von A._ ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 25. Mai 2016 ist A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht gelangt und hat in der Sache folgende Anträge gestellt: I. Es sei festzustellen, dass das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den Sachverhalt mangelhaft dargestellt hat [...]. 2. Das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt [...] sei aufzuheben und wie folgt zu ändern: 2.1. Der Sachverhalt sei korrekt festzuhalten und die Zahlen seien zu überprüfen. 2.2. Es sei festzustellen, dass die Darstellungen der KESB irreführend und verfälscht sind. II. Es sei festzustellen, dass der Entscheid der KESB vom 30. Juni 2015 nunmehr zum Sachverhalt gehört und als Bundesrecht und kantonales Verfassungsrecht verletzend [...] aufzuheben sei. III. Die Verfügung der KESB vom 7. Oktober 2015 sei, als sich auf den Entscheid vom 30. Juni 2015 abstützend, nichtig zu erklären. IV. Die faktische und juristische Entmündigung der Beschwerdeführerin sei aufzuheben. V. Den Forderungen der Beschwerdeführerin gegen den Berufsbeistand B._ sei statt zu geben: Beistandsperson B._ habe der Beschwerdeführerin Fr. 1'385.-- zu leisten und habe ihr seit Amtsantritt am 1. September 2015 die monatlichen Kontoauszüge mit den jeweiligen Saldi vorzulegen. VI. Der Forderung von Fr. 160'000.-- Schadenersatz und Schmerzensgeld gegen den Kanton Basel-Stadt sei statt zu geben [...]. VII. Die Beschwerdeführerin stellt hiermit den Antrag, es seien ihr die Gerichtskosten zu erlassen und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren [...]. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. Die Beschwerdeführerin hat weitere Belege eingereicht.