Sachverhalt: A. A._ und B._ hatten am 10. Dezember 1988 geheiratet. Sie sind die Eltern des volljährigen Sohnes C._ und der Tochter D._, die am 3. Januar 1998 geboren ist. Das Landgericht Athen schied die Ehe der Parteien mit Urteil vom 26. Mai 2003 im Säumnisverfahren. Unterhaltsbeiträge wurden keine festgesetzt. B. Auf Klage von B._ hin ergänzte das Bezirksgericht Willisau mit Urteil vom 13. Januar 2015 das Scheidungsurteil (Bst. A) dahingehend, dass A._ seiner Tochter ab 1. Januar 2015 monatliche Kinderalimente von Fr. 400.-- und ab 1. April 2015 solche von Fr. 1'000.-- schuldet. C. A._ legte Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. Er verlangte, die Kinderalimente auf Fr. 270.-- von April bis Dezember 2015 zu bestimmen. Das Kantonsgericht hiess die Berufung teilweise gut und setzte die Unterhaltsbeiträge auf Fr. 400.-- (ab 1. Januar 2015) und Fr. 730.-- (ab 1. April 2015) fest (Urteil vom 8. April 2015). D. Auf Beschwerde von A._ hin hob das Bundesgericht das Urteil vom 8. April 2015 (Bst. C) wegen einer Gehörsverletzung auf und wies die Sache an das Kantonsgericht zurück, weil es dem Vater das Recht abgeschnitten hatte, auf B._s Berufungsantwort vom 20. März 2015 zu replizieren (Urteil 5D_81/2015 vom 4. April 2016). E. Das neuerliche Verfahren vor dem Kantonsgericht endete gleich wie dasjenige im Jahre 2015 (Bst. C) : Die Alimente für D._ wurden auf Fr. 400.-- (ab 1. Januar 2015) und Fr. 730.-- (ab 1. April 2015) bestimmt (Urteil vom 25. Mai 2016). F. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Juli 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) erneut an das Bundesgericht. Er verlangt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und ihn zu verpflichten, B._ (Beschwerdegegnerin) ab 1. April 2015 bis 2. Januar 2016 für die gemeinsame Tochter D._ monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 270.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen (Ziff. 1). Eventualiter beantragt er, die Sache zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.