Sachverhalt: A. Am 27. September 2014 nahm die Kantonspolizei Glarus A._ den Führerausweis provisorisch ab. Gleichzeitig stellte sie dessen Personenwagen vorläufig sicher. Dem Lenker wird vorgeworfen, die signalisierte Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h (ausserorts) um mindestens 72 km/h überschritten zu haben. Am 10. Dezember 2014 verfügte die Staats- und Jugendanwaltschaft des Kantons Glarus, Abteilung Administrativmassnahmen, den vorsorglichen Sicherungsentzug des Führerausweises für unbestimmte Zeit. Gleichzeitig wurde der Lenker verpflichtet, sich zur Abklärung seiner Fahreignung einer verkehrspsychologischen Untersuchung zu unterziehen. Einer allfälligen Beschwerde entzog die Administrativmassnahmenbehörde die aufschiebende Wirkung. B. Auf eine vom Lenker gegen die Verfügung vom 10. Dezember 2014 der Administrativmassnahmenbehörde erhobene Beschwerde trat der Präsident des Verwaltungsgerichtes des Kantons Glarus am 30. Januar 2015 nicht ein. Eine vom Lenker dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 9. Juli 2015 gut. Es hob den Nichteintretensentscheid auf und wies die Sache zurück an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung des hängigen Rechtsmittels (Verfahren 1C_129/2015). Mit Urteil vom 19. November 2015 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, die Beschwerde des Lenkers ab. C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichtes vom 19. November 2015 gelangte der Lenker mit Beschwerde vom 22. Dezember (Posteingang: 28. Dezember) 2015 an das Bundesgericht. Er beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Strassen beantragen je die Abweisung der Beschwerde, während die kantonale Administrativmassnahmenbehörde am 14. Januar 2016 auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet hat. Eine Replik des Beschwerdeführers ist nicht eingegangen.