Sachverhalt: A. B._ war im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (nachfolgend: OKP) bei der Mutuel Krankenversicherung AG (nachfolgend: Krankenkasse) versichert und wohnte im Kanton Zürich, als sie vom 19. Januar bis 31. März 2012 in der allgemeinen Abteilung der im Kanton Thurgau gelegenen Klinik A._ stationär behandelt wurde. Hierfür stellte die Klinik A._ AG (nachfolgend: Klinik) der "Groupe Mutuel" für jeden Aufenthaltstag die "Tagestaxe Allg." von Fr. 369.- (unter Abzug des darin enthaltenen Kantonsanteils von 51 %) und zusätzlich die Differenz dieser Taxe zur "Tagestaxe AllgCH" von Fr. 590.-, mithin Fr. 221.-, in Rechnung. Die Krankenkasse stellte sich auf den Standpunkt, für die erfolgte Behandlung dürfe über die "Tagestaxe Allg." von Fr. 369.- hinaus keine Rechnung gestellt werden. B. Am 18. Juli 2012 erhob die Krankenkasse Klage mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die Klinik auch für ausserkantonale Patienten den für die innerkantonalen Patienten gültigen Tarif, d.h. eine Tagespauschale von Fr. 369.-, anzuwenden habe und dass sie - allenfalls mit Ausnahme von ausgewiesenen Zusatzkosten - keine weiteren Beträge in Rechnung stellen dürfe. Die Klinik liess beantragen, auf die Klage sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess die Klage mit Entscheid vom 11. Dezember 2013 in dem Sinne gut, als es feststellte, dass die Klinik für den Aufenthalt der B._ aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung eine Tagespauschale von Fr. 369.-, ansonsten aber keine weiteren finanziellen Ansprüche geltend machen könne. C. Die Klinik lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 11. Dezember 2013 sei aufzuheben und auf die Klage der Krankenkasse sei nicht einzutreten, eventualiter sei die Klage abzuweisen, subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Die Krankenkasse und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Klinik lässt dazu mit einer weiteren Eingabe Stellung nehmen.