Sachverhalt: A. A.a. A._ gelangte mit als Verwaltungsbeschwerde bezeichnetem Schreiben vom 2. September 2013 an das Departement Finanzen und Gesundheit (DFG). Er beantragte, es sei festzustellen, dass Dr. med. B._ am 30. August 2013, Dr. med. C._ am 31. August 2013 und Dr. med. D._ am 1. September 2013 gegen die ihnen gemäss dem kantonalen Gesundheitsgesetz obliegenden Berufspflichten verstossen und ihm gegenüber den Notfalldienst verweigert hätten. Das DFG werde ersucht, dafür zu sorgen, dass die drei Ärzte den Notfalldienst ihm gegenüber wieder verfassungskonform leisten würden. Es sei festzustellen, dass er ungleich behandelt und diskriminiert werde, indem die genannten Ärzte ihn nicht als Hausarzt oder en passant und in Notfällen nur vereinzelt behandeln sowie ihm keine Medikamente mehr abgeben würden. Aus denselben Gründen sei festzustellen, dass die ambulante Gesundheitsversorgung für alle Bürger gleich sichergestellt werde. Ferner sei als vorsorgliche Massnahme eine Institution oder Person in der Gemeinde Glarus zu bezeichnen, die seine ärztliche Betreuung einstweilig sicherstelle. A.b. Am 24. September 2013 führte A._ Rechtsverweigerungsbeschwerde beim Regierungsrat und beantragte insbesondere, es sei dem DFG anzuordnen, umgehend über die beantragten vorsorglichen Massnahmen zu entscheiden. Der Regierungsrat wies die Rechtsverweigerungsbeschwerde am 9. Oktober 2013 ab. A.c. Das DFG trat am 24. Oktober 2013 auf die Verwaltungsbeschwerde nicht ein und leitete kein aufsichtsrechtliches Verfahren ein. B. B.a. A._ erhob am 7. November 2013 gegen den Entscheid des DFG Beschwerde beim Regierungsrat. Er beantragte, der Entscheid des Departements sei aufzuheben, und brachte seine vor dem DFG gestellten Anträge erneut vor, darunter auch das Begehren, es sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme eine Institution oder Person in der Gemeinde Glarus zu bezeichnen, welche seine ärztliche Betreuung einstweilen sicherstelle. Das instruierende Mitglied des Regierungsrates wies das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme am 10. Dezember 2013 ab. Auf eine dagegen beim Verwaltungsgericht geführte Beschwerde trat dieses mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2014 nicht ein. Am 10. Juni 2014 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab. B.b. Hiergegen gelangte A._ mit Beschwerde vom 30. Juni 2014 ans Verwaltungsgericht. Er beantragte sinngemäss, die Entscheide des DFG vom 24. Oktober 2013 und des Regierungsrats vom 10. Juni 2014 seien aufzuheben. Mit Schreiben vom 5. September 2014 beantragte A._ dem Verwaltungsgericht sodann, das Verfahren sei aufgrund seines schlechten allgemeinen Gesundheitszustandes zu sistieren. Dieses teilte A._ am 8. September 2014 mit, dass mit Blick auf den fortgeschrittenen Verfahrensstand keine hinreichenden Gründe für eine Sistierung vorlägen. Hingegen wurde ihm Gelegenheit eingeräumt, innert - aufgrund des Gesundheitszustands erstreckbarer - Frist zu den inzwischen eingegangenen Beschwerdeantworten des DFG und des Regierungsrates Stellung zu nehmen. Am 9. September 2014 teilte A._ telefonisch mit, dass er auf eine Stellungnahme verzichte. B.c. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2014 trat das Verwaltungsgericht auf die Eingabe A._s vom 30. Juni 2014 nicht ein und erhob für seinen Entscheid eine pauschale Gerichtsgebühr von Fr. 800.--. C. Mit "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Rechtsverweigerungsbeschwerde" vom 20. Oktober 2014 beantragt A._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 2. Oktober 2014 aufzuheben (Ziff. 1). Es sei im Rahmen einer Rückweisung an die Vorinstanz zu neuem Entscheid festzustellen, dass "Dr. med. B._ (V._) am 30.8.2013, Herr Dr. med. C._ (V._) am 31.8.2013 und Frau Dr. med. D._ (W._) am 1.9.2013 rechtswidrig und schuldhaft gegen ihre Berufspflichten (Art. 34 Abs. 1 Gesundheitsgesetz GL) verstossen haben und gegenüber [dem Beschwerdeführer] den Notfalldienst verweigerten" (Ziff. 2); das Departement habe dafür zu sorgen, dass die drei genannten Ärztinnen und Ärzte den Notfalldienst inskünftig wieder gesetzeskonform leisteten (Ziff. 3). Weiter sei festzustellen, dass die genannten Ärztinnen und Ärzte den Beschwerdeführer nicht als Hausarzt oder en passant Patient sowie in Notfällen nur vereinzelt behandelten und ihm keine Medikamente mehr abgeben würden (Ziff. 4). Sodann sei festzustellen, dass die ambulante Gesundheitsversorgung ihm gegenüber nicht mehr sichergestellt sei (Ziff. 5). Neben weiteren Begehren ersucht der Beschwerdeführer auch darum, es sei dafür zu sorgen, dass die genannten Ärztinnen und Ärzte ihre Berufstätigkeit so ausführen würden, dass die Gesundheitsversorgung für alle Bürger wieder sichergestellt werde (Ziff. 7). Das Departement Finanzen und Gesundheit beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen "bzw. auf diese sei nicht einzutreten"; das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen.