Sachverhalt: A. Der 1980 geborene A._ schloss 2002 eine Lehre als Betriebspraktiker ab. Im November 2003 hatte er sich erstmals bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Luzern übernahm als erstmalige berufliche Ausbildung eine Attestlehre als Büroassistent, die A._ am 20. August 2008 erfolgreich abschloss. Am 23. September 2009 meldete er sich unter Hinweis auf eine Trichterbrust und eine Angsterkrankung wiederum bei der Invalidenversicherung an. Vom 4. Januar bis 28. August 2011 absolvierte er auf Veranlassung durch die Invalidenversicherung bei der Interessengemeinschaft Arbeit ein Arbeitstraining, anschliessend bis 23. Dezember 2011 einen Berufsförderungskurs. Mit Verfügung vom 10. August 2012 lehnte die IV-Stelle den Anspruch des Versicherten auf eine Invalidenrente ab. Die von A._ eingereichte Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 4. September 2013 dahingehend gut, dass es die angefochtene Verfügung aufhob und die Sache zu weiteren psychiatrischen Abklärungen und neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückwies. Die IV-Stelle holte in der Folge ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. B._ vom 17. Februar 2014 ein. Der Versicherte reichte seinerseits einen Bericht des Psychiaters und Neurologen Dr. med. C._ vom 5. Mai 2014 ein. Mit Verfügung vom 10. Juli 2014 sprach die IV-Stelle A._ auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von 50 % rückwirkend ab 1. Januar 2014 eine halbe Invalidenrente zu. B. Die vom Versicherten hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher er zur Hauptsache die Aufhebung der Verfügung und die Zusprechung mindestens einer Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung hatte beantragen lassen, wies das Kantonsgericht Luzern nach Einholung einer Ergänzung des Gutachtens des Dr. med. B._ vom 25. Juni 2015 und Eingang einer Stellungnahme des Dr. med. C._ (vom 6. Juli 2015) mit Entscheid vom 10. September 2015 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern; des Weiteren beantragt er, das kantonale Gericht habe ihm die zusätzlichen medizinischen Abklärungskosten der Dres. med. C._ und D._ zu vergüten. Ferner ersucht er um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.