Sachverhalt: A. Die Eheleute A.A._ (geb. 1967) und B.A._ (geb. 1973) heirateten 2004 und wurden Eltern der gemeinsamen Tochter C.A._ (geb. 2006). A.A._ hat fünf voreheliche Kinder, drei (volljährige) Kinder leben in U._, zwei Kinder kamen mit ihr in die Schweiz, D._ (geb. 1995) und E._ (geb. 1997). B. Am 6. September 2012 beantragte A.A._ beim Bezirksgericht Willisau den Erlass von Eheschutzmassnahmen. Mit Entscheid vom 21. Januar 2014 erklärte das Bezirksgericht Willisau die Parteien als berechtigt, nach Aufhebung des gemeinsamen Haushalts weiterhin und für unbestimmte Zeit getrennt zu leben (Ziff. 1). Die gemeinsame Tochter C.A._ unterstellte es der Obhut von B.A._ (Ziff. 2) und erteilte ihm im Sinne von Art. 307 ZGB die Weisung, sich zu einer spezialisierten Fachperson in Erziehungsberatung zu begeben (Ziff. 3). Weiter regelte das Bezirksgericht Willisau das Besuchsrecht von A.A._ (Ziff. 4) und hielt die für C.A._ bereits errichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB aufrecht (Ziff. 5). Die weitergehenden oder anderslautenden Anträge der Parteien wies das Bezirksgericht Willisau ab (Ziff. 6). Die Parteien hatten die Gerichtskosten je zur Hälfte und ihre eigenen Parteikosten je selbst zu bezahlen. Aufgrund der A.A._ bewilligten unentgeltlichen Rechtspflege ging ihr hälftiger Gerichtskostenanteil zu Lasten des Staates und ihre Rechtsvertreterin wurde von der Bezirksgerichtskanzlei Willisau entschädigt (Ziff. 7). C. Gegen diesen Entscheid erhob A.A._ beim Kantonsgericht des Kantons Luzern am 3. Februar 2014 Berufung und beantragte die Aufhebung der Ziff. 2, 3, 4, 6 und 7 bzw. die Zuteilung der gemeinsamen Tochter C.A._ unter ihre Obhut und die Regelung der damit zusammenhängenden Folgen (Besuchsrecht von B.A._ sowie dessen Verpflichtung zu Unterhaltsbeiträgen für sie persönlich und das Kind). Mit Urteil vom 24. Oktober 2014 wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern die Berufung ab (Ziff. 1). A.A._ gewährte es die unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 2). Zudem bestätigte es die bezirksgerichtliche Kostenverlegung. Die Gerichts- und Beweiskosten des Berufungsverfahrens hatten die Parteien wiederum je hälftig und ihre eigenen Kosten selbst zu tragen (Ziff. 3). D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Dezember 2014 beantragt A.A._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 24. Oktober 2014 aufzuheben, die gemeinsame Tochter C.A._ unter ihre Obhut zu stellen und die Sache zur Neubeurteilung der übrigen Trennungsfolgen (Besuchsrecht, Unterhaltsbeiträge) an das Bezirksgericht Willisau zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Am 19. Januar 2015 stellte B.A._ (Beschwerdegegner) ein Gesuch um superprovisorische Anordnung eines Ferienbesuchsrechts für die erste Februarwoche 2015. Mit Verfügung vom 20. Januar 2015 ist das Bundesgericht auf dieses Gesuch mangels Zuständigkeit nicht eingetreten. Mit Schreiben vom 10. Februar 2015 reicht der Beschwerdegegner dem Bundesgericht zwei erstinstanzliche Entscheide (Entscheid des Bezirksgerichts Willisau vom 29. Januar 2015 betreffend vorsorgliche Massnahmen; Entscheid des Bezirksgerichts Kulm vom 28. Januar 2015 betreffend eine Sistierung des Besuchsrechts) ein. Es sind die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.