Sachverhalt: A. Mit Klage vom 6. April 2006 an das Bezirksgericht Affoltern (Einzelrichter) verlangte die C._ AG (nach Parteiwechsel infolge Vermögensübertragung nunmehr B._ AG; nachfolgend Beschwerdegegnerin), das Konkursamt Affoltern am Albis anzuweisen, die Forderung der D._ AG (heute A._ AG; nachfolgend Beschwerdeführerin) im Betrag von Fr. 95'000.-- aus dem Kollokationsplan im Konkurs der E._ AG in Liquidation zu weisen. Eventualiter sei das Konkursamt anzuweisen, die grundpfandgesicherte Forderung der Beschwerdeführerin im Betrag von Fr. 95'000.-- im jetzt kollozierten Rang aus dem Lastenverzeichnis/Kollokationsplan zu weisen und als Forderung der dritten Klasse aufzunehmen. Das Bezirksgericht sistierte das Verfahren wegen eines Aberkennungsverfahrens auf Antrag der Beschwerdegegnerin hin während Jahren (2006 bis 2013). Nach Aufhebung der Sistierung hiess das Bezirksgericht die Klage mit U rteil vom 27. Januar 2016 gut und wies die Forderung der Beschwerdeführerin aus dem Kollokationsplan. B. Gegen dieses Urteil erklärte die Beschwerdeführerin am 6. Februar 2016 beim Bezirksgericht ohne Begründung Berufung. Das Bezirksgericht überwies die Berufungserklärung an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Obergericht wies die Beschwerdeführerin darauf hin, dass sie binnen der Berufungsfrist ihre Berufung mit Anträgen versehen und begründen könne, anderenfalls darauf nicht eingetreten werde. Am 1. März 2016 reichte die nunmehr anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin die begründete Berufung ein. Ihr Antrag lautete wie folgt: "Das Urteil vom 27. Januar 2016 sei aufzuheben. Die Sache sei an die erste Instanz zurückzuweisen mit der Anweisung, eine mündliche Replik/Duplik - Verhandlung durchzuführen. Mit Kosten und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Berufungsbeklagten." Mit Beschluss vom 24. Mai 2016 trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein. C. Gegen dieses Urteil hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, die Sache zur Durchführung eines Zivilverfahrens an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Eventuell sei das Obergericht anzuweisen, die Parteien im Rahmen einer mündlichen Verhandlung zu Replik und Duplik mit anschliessendem Haupt- und Beweisverfahren vorzuladen und danach neu zu entscheiden. Zudem ersucht sie um Wiederherstellung der Beschwerdefrist und darum, die am 28. Juni 2016 der Post übergebene Beschwerde als rechtzeitig eingereicht zu qualifizieren. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei.