Sachverhalt: A. A.a. Die A._ (Versicherte, Klägerin, Beschwerdeführerin), ist eine Kollektivgesellschaft mit Sitz in U._. Sie bezweckt hauptsächlich den Betrieb einer Handelsmühle und die Führung einer Kollektiv-Getreidesammelstelle. Die B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in V._ und betreibt jede Art von Versicherung und Rückversicherung mit Ausnahme der direkten Lebensversicherung. A.b. Die A._, hat bei der B._ AG eine Geschäftsversicherung abgeschlossen. Die Police datiert vom 17. August 2007. Die Versicherung beinhaltet eine Fahrhabe- und eine Betriebsunterbrechungsversicherung, beide gegen die Ereignisse "Feuer und Elementarschaden". Für die Betriebsunterbrechungsversicherung gelten neben der Police die Allgemeinen Versicherungsbedingungen und die Zusatzbedingungen, beide vom Januar 2007. A.c. Am 13. Dezember 2009 ereignete sich in der von der Versicherten betriebenen Mühle ein Brand. Den dabei entstandenen Sachschaden (Fahrhabe) regelten die Parteien einvernehmlich: Die Versicherung zahlte per Saldo aller Ansprüche insgesamt Fr. 2'735'000.--. Die entsprechende Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 enthält den handschriftlichen Zusatz "excl BU". A.d. Als Schadenersatz für den Betriebsunterbruch leistete die Versicherung vorerst eine Akontozahlung von Fr. 300'000.--. Da sich die Parteien nicht über die Höhe der Entschädigung für den Betriebsunterbruch einigen konnten, zeigte die Versicherung der Versicherten mit E-Mail vom 19. August 2011 an, sie mache von ihrem Recht auf die Durchführung eines Sachverständigenverfahrens Gebrauch. Die Versicherung informierte über die Wahl ihres Sachverständigen und forderte die Versicherte auf, ihren Sachverständigen zu bezeichnen. B. B.a. Am 2. April 2012 reichte die Versicherte beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage ein und beantragte, die Versicherung sei zur Zahlung von Fr. 792'883.-- nebst Zins zu verurteilen; weitere Schadenspositionen würden ausdrücklich vorbehalten. Eventualiter beantragte die Versicherte die Anordnung einer Expertise zum betriebswirtschaftlichen Betriebsunterbrechungsschaden. Die Versicherte begründete ihren Anspruch wie folgt: Maximale Versicherungsdeckung von Fr. 1'019'000.-- plus Zuschlag unter der Leistungskategorie "Besondere Sachen und Kosten" von Fr. 73'883.-- abzüglich Akontozahlung von Fr. 300'000.--. B.b. Mit ihrer Klageantwort beantragte die Versicherung die Sistierung des Verfahrens. Sie führte aus, gemäss dem Versicherungsvertrag sei die Höhe des Betriebsunterbrechungsschadens durch ein Schiedsgutachten im Sinne von Art. 189 Abs. 3 ZPO festzustellen. Die Versicherte habe trotz mehrfacher Aufforderung ihren Sachverständigen noch nicht bestellt. Die Versicherung habe daher ein Summarverfahren gegen die Versicherte auf gerichtliche Ernennung von deren Sachverständigen eingeleitet. Bis zum Abschluss des vereinbarten Sachverständigenverfahrens sei der vorliegende Prozess zu sistieren. Mit Verfügung vom 12. September 2012 sistierte der damalige Präsident des Handelsgerichts das Verfahren längstens bis zum Vorliegen des Schiedsgutachtens. B.c. Im Summarverfahren wurde in der Folge ein Sachverständiger für die Versicherte ernannt. Dieser ernannte seinerseits zusammen mit dem Sachverständigen der Versicherung einen Obmann. Nach Zustellung des Berichts des Obmanns vom 24. März 2015 an das Handelsgericht hob der Vizepräsident des Handelsgerichts die Sistierung im ordentlichen Verfahren auf. B.d. Mit mehrfach abgeändertem Rechtsbegehren beantragte die Versicherung schliesslich, es sei gerichtlich davon Vormerk zu nehmen, dass sie sich dem Entscheid des Obmanns unterzogen und der Versicherten Fr. 719'000.-- (Fr. 1'019'000.-- abzgl. Aktontozahlung Fr. 300'000.--) ohne Zins bezahlt habe. Das Verfahren sei in diesem Umfang als gegenstandslos abzuschreiben. Im Mehrbetrag von Fr. 73'883.-- sowie bezüglich des eingeklagten Zinses sei die Klage abzuweisen. B.e. Mit Replik vom 25. September 2015 stellte die Versicherte das abgeänderte Rechtsbegehren, die Versicherung sei zur Zahlung von Fr. 73'883.-- nebst Zins sowie von Zins auf dem anerkannten Betrag von Fr. 719'000.-- zu verurteilen. Die Versicherte führte aus, der Versicherungsvertrag sehe (neben der Versicherungssumme betr. den Betriebsunterbruch) eine weitere Versicherungssumme von Fr. 500'000.-- für besondere Sachen und Kosten vor, worunter die Position "Marktpreisschwankungen, d.h. Preisdifferenz zwischen Schaden- und Wiederbeschaffungstag" falle. Diese Position sei mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 nicht abgegolten worden, da diese den Betriebsunterbrechungsschaden explizit ausgeschlossen habe. B.f. Mit ihrer Duplik machte die Versicherung geltend, es sei nun nicht mehr klar, ob die Versicherte die Fr. 73'883.-- als Fahrhabe- oder als Betriebsunterbrechungsschaden geltend mache. Der Fahrhabeschaden sei einvernehmlich mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 per Saldo aller Ansprüche geregelt worden. Ein weiterer Anspruch unter dem Titel "Fahrhabe" sei nicht gegeben. Beim Betriebsunterbrechungsschaden sei mit der Akontozahlung von Fr. 300'000.-- und der nachträglichen Zahlung von Fr. 719'000.-- die maximale Versicherungssumme bereits vollständig ausbezahlt worden; es bestünden somit auch unter diesem Titel keine weiteren Ansprüche. B.g. Mit Beweisverfügung vom 25. November 2015 setzte der Vizepräsident des Handelsgerichts eine Instruktionsverhandlung zwecks Versuchs einer Einigung auf den 5. Januar 2016 an. Nachdem die Versicherung das Handelsgericht informiert hatte, es bestehe kein Spielraum für Vergleichsverhandlungen mehr, setzte der Vizepräsident die Instruktionsverhandlung mit Verfügung vom 1. Dezember 2015 ab. B.h. Am 19. Januar 2016 fand die Hauptverhandlung vor dem Handelsgericht statt, anlässlich welcher sich die Parteien je zwei Mal zum Beweisergebnis und zur Sache äussern konnten. Der Vizepräsident ergänzte zudem die Beweisverfügung vom 25. November 2015. B.i. Mit Urteil vom 19. Januar 2016 wies das Handelsgericht des Kantons Aargau die Klage ab, soweit sie nicht als gegenstandslos abgeschrieben wurde. Das Handelsgericht kam zum Schluss, die Parteien hätten den Fahrhabeschaden einvernehmlich per Saldo aller Ansprüche mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 bereinigt. Es sei nicht ersichtlich, weshalb diese Saldoklausel nicht auch den noch erhobenen Anspruch der Versicherten erfassen sollte, wenn dieser als Fahrhabeschaden qualifiziert würde. Auch unter dem Titel des Betriebsunterbrechungsschadens stehe der Versicherten nichts mehr zu, weil die Versicherung die maximale Versicherungssumme von Fr. 1'019'000.-- bereits ausbezahlt habe. Verzugszinsen seien keine geschuldet, weil sich die Versicherung im Zeitpunkt der Zahlung nicht in Verzug befunden habe. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Februar 2016 beantragt die Versicherte dem Bundesgericht, das Urteil der Vorinstanz sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen "zwecks ordentlicher Bestellung des Handelsgerichts und entsprechender Beweisabnahme und Durchführung der entsprechenden Beweisverhandlung". Die Beschwerdegegnerin und (sinngemäss) die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht. D. Mit Präsidialverfügung vom 11. April 2016 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.