Sachverhalt: A. Das Obergericht des Kantons Luzern verurteilte A._ am 4. Mai 2010 wegen schwerer Körperverletzung, mehrfachen Angriffs, einfacher Körperverletzung, Gewalt und Drohung gegen Beamte, mehrfacher Drohung, mehrfacher Sachbeschädigung, Tätlichkeit sowie mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und einer Busse von Fr. 600.--. Die ausgesprochene Freiheitsstrafe schob es zu Gunsten einer stationären therapeutischen Massnahme auf. B. Am 10. April 2015 hob der Vollzugs- und Bewährungsdienst die angeordnete stationäre Massnahme wegen Aussichtslosigkeit auf. Am 5. Mai 2015 beantragte die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern beim Kantonsgericht des Kantons Luzern, A._ sei zu verwahren. Eventualiter sei eine stationäre therapeutische Massnahme auf die Dauer von fünf Jahren anzuordnen. Die Verfahrensleitung am Kantonsgericht ordnete für A._ am 8. Mai 2015 Sicherheitshaft an, welche am 9. Juli 2015 für die Dauer des Verfahrens verlängert wurde. Ein von A._ am 24. Juni 2016 gestelltes Gesuch um Aufhebung der Sicherheitshaft wurde vom Kantonsgericht am 5. Juli 2016 abgewiesen. C. Mit Urteil vom 30. August 2016 wies das Kantonsgericht den Antrag auf Anordnung einer Verwahrung sowie den Eventualantrag auf Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme auf die Dauer von fünf Jahren ab (Dispositiv-Ziffer 1 und 2), wobei es den Parteien insoweit einstweilen nur das Urteilsdispositiv eröffnete und die Zustellung eines begründeten Urteils mit Rechtsmittelbelehrung in Aussicht stellte. Gleichzeitig entschied das Kantonsgericht, A._ sei am 2. September 2016 um 17.00 Uhr aus der Sicherheitshaft zu entlassen (Dispositiv-Ziffer 3), was es den Parteien mit kurzer Begründung eröffnete. D. Gegen die Haftentlassung durch das Kantonsgericht hat die Oberstaatsanwaltschaft am 1. September 2016 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils vom 30. August 2016 sei aufzuheben und der Beschwerdegegner in Sicherheitshaft zu belassen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde und das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei nicht einzutreten. Eventualiter seien die Beschwerde und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Er sei umgehend aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Die Vorinstanz beantragt, das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen. E. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat am 2. September 2016 entschieden, dass die Sicherheitshaft bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung fortgeführt wird.