Sachverhalt: A. D._ ist Eigentümer der in der Dorfzone D, Bauzone zweiter Etappe, liegenden Parzelle Nr. "..." in Mönthal, die unter anderem mit einer ehemaligen Soldatenstube (Gebäude Nr. "...") überbaut war. Er beantragte am 30. Oktober 2014 die Erteilung einer Baubewilligung für die Errichtung eines Ersatzbaus, wogegen A. und B. C._ Einwendungen erhoben. Der Gemeinderat Mönthal wies mit Beschluss vom 29. Juni 2015 die Einwendungen ab und erteilte die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Die dagegen von A. und B. C._ erhobene Beschwerde hiess das Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau am 12. Oktober 2015 teilweise gut und ergänzte die Baubewilligung mit einer Auflage. Die von ihnen beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau eingereichte Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 27. Mai 2016 ab, soweit es darauf eintrat. B. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 5. Juli 2016 gelangen A. und B. C._ an das Bundesgericht und beantragen, die Baubewilligung vom 29. Juni 2015 sei aufzuheben. Zudem werde vom Regierungsrat des Kantons Aargau verlangt, dass der Bauzonenplan der Gemeinde Mönthal innert kurzer Zeit überarbeitet werde. D._ (Beschwerdegegner), der Gemeinderat und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das DBU hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer halten in der Replik sinngemäss an ihren Anträgen fest.