Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen führte und führt komplexe Strafuntersuchungen gegen A._ wegen des Verdachts der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung und weiterer Delikte. Anstelle von Untersuchungshaft verfügte das Regionale Zwangsmassnahmengericht, Kreisgericht Rheintal, am 29. Juli 2011 eine Ausweis- und Schriftensperre zulasten des Beschuldigten. Zwischen dem 5. Dezember 2011 und 9. Januar 2012 sistierte das Zwangsmassnahmengericht diese Ersatzmassnahme (gegen Auflage einer Sicherheitsleistung von Fr. 20'000.--) für eine Reise des Beschuldigten in die Dominikanische Republik. B. Am 3. April 2012 stellte der Beschuldigte ein weiteres Gesuch um Sistierung der Ausweis- und Schriftensperre. Mit Verfügung vom 11. April 2012 wies das Zwangsmassnahmengericht dieses Gesuch ab. Am 15. Juni 2012 beantragte der Beschuldigte beim Zwangsmassnahmengericht die vollständige Aufhebung der Ausweis- und Schriftensperre. Im Eventualstandpunkt beantragte er, das Reiseverbot sei jeweils während den Sommer- und Weihnachtsschulferien des Kantons Zürich zu sistieren, nötigenfalls unter Auflageeiner Sicherheitsleistung von maximal Fr. 20'000.--. Mit Verfügung vom 27. Juni 2012 wies das Zwangsmassnahmengericht auch diese Anträge ab. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde entschied die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 15. August 2012 abschlägig. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 15. März 2013 teilweise gut. Es hob den Entscheid der Anklagekammer vom 15. August 2012 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen (Verfahren 1B_558/2012). C. Am 29. Mai 2013 entschied die Anklagekammer neu, dass die Ersatzmassnahme auf Zusehen hin jeweils während den Sommer- und Weihnachtsferien des Kantons Zürich für die (nachgewiesene) Dauer der Begleitung der Enkelkinder des Beschuldigten in die Dominikanische Republik sowie jeweils fünf Tage vor Reiseantritt und fünf Tage nach der Rückkehr in die Schweiz sistiert würde, sofern der Beschuldigte (spätestens 10 Tage vor dem Reiseantritt) eine Sicherheit in der Höhe von Fr. 20'000.-- bei der Staatsanwaltschaft leiste. D. Nach Abschluss einer ersten Strafuntersuchung wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung, betrügerischen Konkurses und weiterer Straftaten (mit einem Deliktsbetrag in Millionenhöhe) erhob die Staatsanwaltschaft am 20. November 2014 diesbezüglich Anklage gegen den Beschuldigten. Die Staatsanwaltschaft beantragte ein Strafmass von 3 1⁄2 Jahren Freiheitsstrafe. E. Am 22. Oktober 2015 ersuchte der Beschuldigte (letztmals) um vollständige Aufhebung der Ausweis- und Schriftensperre. Eventualiter seien diese Ersatzmassnahmen für Haft (verbunden mit einer Sicherheitsleistung von Fr. 20'000.--) dauernd aufzuheben bzw. zu sistieren, bis ein rechtskräftiges Strafurteil in der Sache vorliege. Mit Entscheid vom 3. November 2015 wies das Regionale Zwangsmassnahmengericht, Kreisgericht Rheintal, das Gesuch ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 22. Dezember 2015 ab, soweit sie darauf eintrat. F. In der noch hängigen Strafuntersuchung wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung, Misswirtschaft und weiteren Straftaten (mit Deliktsbeträgen in Millionenhöhe) erfolgten Ende 2015 die Schlussvorhalte. G. Gegen den Entscheid der Anklagekammer vom 22. Dezember 2015 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 19. Februar 2016 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die (ersatzlose) Aufhebung der Ausweis- und Schriftensperre. Eventualiter sei diese durch eine Sicherheitsleistung von Fr. 20'000.-- (ersatzweise) "bis auf weiteres dauernd aufzuheben bzw. zu sistieren". Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 1. März 2016 die Abweisung der Beschwerde. Die Anklagekammer hat am 7. März 2016 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet, während vom kantonalen Zwangsmassnahmengericht keine Stellungnahme eingegangen ist.