Sachverhalt: A. Am 20. Mai 2014 strahlte die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (SRG) resp. das Schweizer Fernsehen SRF im Konsumentenmagazin "A._" einen Beitrag mit dem Titel "Zahnarztpfusch" aus. Eingeleitet wurde der Beitrag mit dem Hinweis der Moderatorin, dass sich Zahnarztzentren, in denen mehrere Zahnärzte tätig sind, bei Behandlungsfehlern häufig aus der Verantwortung stehlen könnten, zumal die Haftungsfrage unklar sei. Der anschliessende Filmbericht thematisierte den Fall einer Patientin, welche sich in der Zahnklinik Z._ ein Implantat einsetzen lassen wollte. Die Operation missglückte der behandelnden Zahnärztin jedoch und führte zur Schädigung eines Nervs, was für die Patientin einen andauernden Gefühlsverlust im betroffenen Mund- und Gesichtsbereich zur Folge hatte. Hieran vermochte auch eine nachfolgende Entfernung des Implantats durch den Zahnklinik Z._-Zahnarzt Dr.med.dent. X._, nichts zu ändern. Erwähnt wurde im Bericht sodann, dass Dr.med.dent. X._ der Patientin anbot, die Nachbehandlung nicht zu fakturieren, sofern die Patientin im Gegenzug auf sämtliche Ansprüche verzichte. In Zusammenhang mit der Behandlung der betroffenen Patientin in der Zahnklinik Z._ hob der Kommentator auch hervor, dass sich die Beschwerden gegen die Zahnklinik Z._ bei der Patientenstelle N._/O._ häuften, wozu sich ein Vertreter der Patientenstelle äusserte. In einem dem Filmbericht nachfolgenden Studiogespräch erörterte die Moderatorin schliesslich sowohl den konkreten Fall als auch die allgemeine Haftungsproblematik bei Zahnarztzentren mit einem Patientenanwalt. Mit Schreiben vom 12. Juni 2014 beanstandete Dr.med.dent. X._ den genannten Beitrag beim Ombudsmann der SRG. Dieser erachtete die Beanstandungen in seinem Schlussbericht vom 30. Juli 2014 jedoch als unberechtigt. B. Hierauf beschwerte sich Dr.med.dent. X._ mit Eingabe vom 15. September 2014 bei der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen (UBI). Er beanstandete, der erwähnte Beitrag verletze das Sachgerechtigkeitsgebot, zumal wesentliche Fakten unterschlagen bzw. falsch dargestellt worden seien: (1) Es sei unerwähnt geblieben, dass die betroffene Patientin gegen die behandelnde Zahnärztin eine Zivilklage eingereicht habe; (2) der angebliche Behandlungsfehler sei übertrieben dargestellt worden; (3) die Anzahl der eingegangenen Beschwerden gegen die Zahnklinik Z._ sei nicht ins Verhältnis zur Anzahl Behandlungen gesetzt worden; (4) ein zweites, verbessertes Vergleichsangebot von ihm sei unerwähnt geblieben. Sodann rügte Dr.med.dent. X._, dass (5) der Bericht des Ombudsmannes der SRG keine eigentliche Subsumtion enthalte. Mit Entscheid vom 30. Januar 2015 hiess die UBI die Beschwerde gut, soweit sie darauf eintrat: Zur Begründung führte sie aus, Verfahrensgegenstand vor der UBI bilde die beanstandete Sendung und nicht der Bericht der Ombudsstelle der SRG, zumal die Ombudsstelle gar keine Entscheidbefugnis habe. Auf die Beschwerde könne deshalb nicht eingetreten werden, soweit damit die angeblich fehlende rechtliche Subsumtion im Schlussbericht des Ombudsmannes gerügt werde. Unbegründet sei die Beschwerde zudem insofern, als weder eine wesentliche Übertreibung des im Raum stehenden Behandlungsfehlers vorliege, noch Belege für ein angebliches verbessertes Vergleichsangebot vorgebracht worden seien. Ebenso sei es nicht erforderlich gewesen, die Anzahl der Reklamationen gegen die Zahnklinik Z._ ins Verhältnis zur Anzahl Behandlungen zu setzen; es gelte jedoch festzuhalten, dass dieser Aspekt in keinem direkten Zusammenhang zur vom Beitrag thematisierten haftungsrechtlichen Problematik gestanden sei, wohl aber das vom Beitrag zuvor gezeichnete negative Bild von der Zahnklinik Z._ verstärkt habe. Als begründet erachtete die UBI die Beschwerde insofern, als im Beitrag keine Erwähnung fand, dass die geschädigte Patientin gegen die behandelnde Zahnärztin, welche nunmehr in der Stadt S._ praktiziert, einen Zivilprozess eingeleitet hat, um ihre Ansprüche aus dem erlittenen Schaden geltend zu machen. Indem die Redaktion den Fokus des Berichts stattdessen einzig auf die Zahnklinik Z._ gerichtet habe, sei der Eindruck vermittelt worden, diese habe für den Schaden aufzukommen. C. Mit Eingabe vom 1. Juni 2015 führt die SRG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie stellt den Antrag, den Entscheid der UBI vom 30. Januar 2015 aufzuheben und festzustellen, dass der streitbetroffene Beitrag das Sachgerechtigkeitsgebot nicht verletzt hat. Die UBI sowie Dr.med.dent. X._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 22. September 2015 nimmt die SRG zum Vernehmlassungsergebnis Stellung.