Sachverhalt: A. A.a. Am 1. März 2013 erteilte der Gemeinderat Ennetbürgen der D._ GmbH, unter Auflagen und Bedingungen, die baurechtliche Bewilligung für den Neubau eines Zweifamilienhauses auf dem Grundstück Parzelle Nr. 1257 im Grundbuch Ennetbürgen. Gleichzeitig wies er mit separatem Beschluss die Einsprache von A. und B. C._ ab. A.b. Am 28. Januar 2014 hiess der Regierungsrat des Kantons Nidwalden eine dagegen von A. und B. C._ erhobene Beschwerde gut und hob die Baubewilligung auf. Mit Urteil vom 29. September 2014 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden eine dagegen eingereichte Beschwerde der D._ GmbH gut, hob den Entscheid des Regierungsrates auf und bestätigte die vom Gemeinderat Ennetbürgen erteilte Baubewilligung. A.c. Mit Urteil 1C_610/2014 vom 24. Juli 2015 hiess das Bundesgericht eine dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen eines formellen Mangels gut und wies die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück, da dieses seinen Entscheid lediglich in der Besetzung zu viert und nicht zu fünft gefällt hatte, nachdem zu Beginn der Beratung ein Richter in den Ausstand getreten war. B. Mit Zirkulationsbeschluss vom 15. Februar 2016 in Fünferbesetzung hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden die Beschwerde der D._ GmbH wiederum gut, hob den Entscheid des Regierungsrates auf und bestätigte die vom Gemeinderat Ennetbürgen erteilte Baubewilligung. C. Mit erneuter Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. April 2016 an das Bundesgericht beantragen A. und B. C._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 15. Februar 2016 aufzuheben; eventuell sei der Entscheid aufzuheben und die ihm zugrunde liegende Baubewilligung zu verweigern. In prozessualer Hinsicht stellten sie Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Zur Begründung wird im Wesentlichen ausgeführt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts leide erneut an einem formellen Mangel, weil er im Zirkulationsverfahren ergangen sei. In der Sache sei er sodann willkürlich. Schliesslich sei auch die Höhe der Kosten und Entschädigungen verfassungswidrig, die A. und B. C._ für das verwaltungsgerichtliche Verfahren auferlegt worden seien. Die D._ GmbH und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Politische Gemeinde Ennetbürgen verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Regierungsrat sah von einer Stellungnahme zu den prozessualen Streitpunkten ab und verwies in der Sache unter Verzicht auf neue Ausführungen auf seinen früheren Standpunkt im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_610/2014, woran er festhielt. In Replik und Duplik halten A. und B. C._ einerseits sowie die D._ GmbH im Wesentlichen an ihren Standpunkten fest. Die Politische Gemeinde Ennetbürgen verzichtete erneut auf eine Vernehmlassung. Mit als Kurzstellungnahme bezeichneter Eingabe vom 26. September 2016 äusserten sich A. und B. C._ nochmals zur Sache. D. Mit prozessleitender Verfügung vom 12. Mai 2016 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung unter Hinweis darauf ab, dass der Regierungsrat ein bei ihm hängiges Verfahren im Zusammenhang mit einer Beschwerde der Bauherrschaft bis zur rechtskräftigen Erledigung des vorliegenden Streites sistiert habe, womit die strittige Baute vorerst sowieso nicht erstellt werden könne.