Sachverhalt: A. Am 11. Februar 2013 reichte die B._ AG ein Baugesuch für den Neubau eines mehrgliedrigen Wohnhauses mit Schwimmbad, Wellness und Autoeinstellhalle auf der Parzelle Nr. 487, BG Engelberg, ein. Das Vorhaben sieht die Erstellung von fünf Appartements mit folgenden Nettowohnflächen (NWF) vor: - "Master" (841.3 m2 ); - "Wendenstöcke" (3,5 Zimmer, 212.1 m2 ); - "Jochpass" (3.5 Zimmer, 134.3 m2 ); - "Titlis" (2.5 Zimmer, 119.6 m2 ); - "Graustock" (2.5 Zimmer, 105.7 m2 ). Die Parzelle befindet sich in der zweigeschossigen Wohnzone (W2B) und teilweise in der Landwirtschaftszone; sie wird vom Quartierplan "Chligrüssli" umfasst, der am 14. Mai 2012 von der Einwohnergemeinde Engelberg genehmigt wurde. Am 5. Juni 2013 erteilte die Einwohnergemeinde Engelberg die Baubewilligung unter Auflagen und Bedingungen und wies die gegen das Vorhaben erhobenen Einsprachen ab. Am 14. Juni 2013 erteilte das Bau- und Raumentwicklungsdepartement die raumplanerische Ausnahmebewilligung für die Verbreiterung der Zufahrt ab der Fellenrütistrasse auf der Parzelle Nr. 487. B. Am 3. Juli 2013 reichten A._, Eigentümer der an das Baugrundstück angrenzenden Parzelle Nr. 488, und zwei weitere Einsprecher Beschwerde beim Regierungsrat ein und beantragten die Aufhebung der Baubewilligung. Der Regierungsrat vereinigte die Beschwerden und wies sie am 22. Oktober 2013 im Sinne der Erwägungen ab. C. Dagegen erhob A._ am 25. November 2013 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden. Dieses forderte die B._ AG auf, verbindliche Erklärungen zur künftigen Nutzung der fünf Wohnungen abzugeben. Am 23. Dezember 2014 hiess es die Beschwerde teilweise gut. Es verpflichtete den Gemeinderat Engelberg, für jede der fünf Wohnungen die vorgesehene Nutzung als Erstwohnung im Einzelnen festzulegen und das Grundbuchamt nach Rechtskraft des Entscheids anzuweisen, auf dem Grundbuchblatt des betroffenen Grundstücks für jede Wohnung die Anmerkung "Erstwohnung" anzubringen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. D. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid hat A._ am 2. Februar 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts und die ihm vorausgehenden Entscheide des Regierungsrats Obwalden und des Gemeinderats Engelberg seien aufzuheben, unter gleichzeitiger Abweisung des Baugesuchs der B._ AG. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz bzw. an den Gemeinderat zurückzuweisen. E. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Einwohnergemeinderat Engelberg verweist auf seinen Beschluss vom 5. Juni 2013, an dessen Erwägungen er festhält, und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Auch der Regierungsrat Obwalden beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Raumentwicklung geht in seiner Vernehmlassung davon aus, dass die vom Verwaltungsgericht angeordneten Nutzungsbeschränkungen den Anforderungen der Zweitwohnungsgesetzgebung genügen. Zu den übrigen Ausführungen des Beschwerdeführers verzichtet es auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer hat keine Replik eingereicht.