Sachverhalt: A. Gegen A._ wird ein Strafverfahren wegen Verdachts der sexuellen Handlungen mit Kindern und der Pornografie geführt. In diesem Strafverfahren wurde Dr. med. B._ mit der forensisch-psychiatrischen Begutachtung von A._ beauftragt. Im Gutachten vom 23. März 2015 kommt er im Wesentlichen zum Ergebnis, dass A._ an einer multiplen Störung der Sexualpräferenz mit vorwiegend fetischistischen, sadomasochistischen und ausgeprägt pädophilen Anteilen leide. Ferner weise dieser akzentuierte Persönlichkeitszüge im Sinne einer narzisstischen Persönlichkeitsstörung auf. Es bestehe hohe Rückfallgefahr und eine Behandlung sei erforderlich, wobei eine Massnahme nach Art. 59 StGB zu empfehlen sei. B. A._ wandte sich mit "Strafantrag" vom 27. August 2015 an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Darin wirft er Dr. med. B._ im Wesentlichen vor, als Sachverständiger gegen Art. 307 Abs. 1 StGB verstossen zu haben, indem er ein falsches Gutachten erstellt habe. Die Anklagekammer verweigerte mit Entscheid vom 29. September 2015 die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Dr. med. B._. C. Mit Beschwerde vom 25. November 2015 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Dr. med. B._ sei zu erteilen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Dr. med. B._ (Beschwerdegegner) hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Die Anklagekammer verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.