Sachverhalt: A. A._ (geb. 1978) ist Staatsangehöriger der Republik Bangladesch. Er stellte in der Schweiz ein Asylgesuch, welches nach seiner Heirat mit einer Schweizerbürgerin und der damit verbundenen Ausstellung einer Aufenthaltsbewilligung gegenstandslos wurde (Rückzug). Am 5. Mai 2004 verstarb seine Gattin. Am 13. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht Zürich seine zweite, am 16. März 2005 eingegangene Ehe. Bei dieser handelte es sich - wie das Bundesgericht am 15. August 2012 rechtskräftig feststellte (Urteil 2C_3/2012) - um eine sogenannte "Umgehungsehe" ("Scheinehe/Ausländerrechtsehe"). B. Am 3. Mai 2013 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte dominikanische Staatsangehörige B._. Ende Mai 2014 hoben die Eheleute die häusliche Gemeinschaft auf. Die Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, der E inwohnergemeinde Bern lehnten es in der Folge am 5. Dezember 2014 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern und hielten ihn an, das Land zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. C. A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. Juni 2016 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ macht geltend, dass er am 20. September 2016 die Schweizerbürgerin C._ geheiratet und er gestützt hierauf am 22. September 2016 darum ersucht habe, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Bei seinem negativen Beschwerdeentscheid vom 22. Juni 2016 sei das Verwaltungsgericht zu Unrecht davon ausgegangen, dass er sich in keiner Härtefallsituation befinde, nachdem er seit 16 Jahren im Land lebe, hier beruflich wie sozial integriert sei und ihm eine Rückkehr nach Bangladesch nicht mehr zugemutet werden könne. Am 28. Juli 2016 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei. Am 2. August 2016 holte das Bundesgericht die kantonalen Akten ein. Am 20. Oktober 2016 teilten die Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, der Einwohnergemeinde Bern dem Bundesgericht mit, dass sich A._ mit einer Schweizerbürgerin (geb. 1965) verheiratet und gestützt hierauf ein neues Bewilligungsverfahren eingeleitet habe; bis zu weiteren Instruktionen seitens des Bundesgerichts werde das Gesuch (noch) nicht bearbeitet.