Sachverhalt: A. A._ (geb. 1971) und B._ (geb. 1978) hatten 2001 geheiratet. Sie sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 2002) und D._ (geb. 2003). Mit Entscheid vom 16. März 2009 schied das Zivilgerichtspräsidium Basel-Stadt die Ehe der Eltern. Es teilte die elterliche Sorge über die Kinder der Mutter zu (Ziffer 2) und verurteilte den Vater auf der Grundlage der genehmigten Scheidungsvereinbarung vom 11./18. August 2008 bzw. der Änderung vom 12. Januar 2009, an den Unterhalt der Kinder monatlich vorauszahlbare Alimente von je Fr. 450.-- und ab Vollendung des 12. Altersjahres von je Fr. 550.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen (Ziffer 3). Diesen Unterhaltsbeiträgen lag seitens des Vaters ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 4'400.-- (inkl. 13. Monatslohn, exkl. Kinderzulagen) zugrunde. A._s Existenzminimum wurde mit Fr. 3'657.-- beziffert. B. B.a. Mit Klage vom 27. Juni 2013 beantragte A._ beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt, die Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern in Abänderung des Scheidungsurteils (s. Bst. A) mit Wirkung ab 1. Juli 2013 gänzlich aufzuheben; eventualiter sei er ab 1. Juli 2013 von seiner Unterhaltspflicht zu befreien und ab Beginn eines mutmasslichen Arbeitsverhältnisses zu verpflichten, den Fr. 3'400.-- übersteigenden Anteil seines jeweiligen Nettomonatslohnes (zzgl. allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen) je hälftig an den Unterhalt seiner beiden Kinder zu bezahlen. B.b. In der Folge sistierte das Zivilgericht das Abänderungsverfahren mit Rücksicht auf ein Rentenverfahren, das A._ bei der Invalidenversicherung angestrengt hatte. Im Anschluss an eine erste Hauptverhandlung vom 26. November 2014 wurde die Unterhaltspflicht bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Rentenentscheids vorsorglich eingestellt. Am 9. Juni 2015 reichte A._ den rechtskräftigen Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Februar 2015 ein, der seinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung verneint. Am 25. September 2015, dem Tag der zweiten Hauptverhandlung, entschied das Zivilgericht, A._s Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern in Abänderung von Ziffer 3 des Scheidungsurteils (Bst. A) rückwirkend ab dem 1. Juli 2013 bis Ende September 2015 aufzuheben und A._ ab 1. Oktober 2015 zu verpflichten, an seine beiden Kinder monatliche Alimente von je Fr. 240.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen. B.c. A._ erhob Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte, den erstinstanzlichen Entscheid aufzuheben, soweit darin seine Unterhaltspflicht nicht auch für die Zeit ab Oktober 2015 aufgehoben wurde. Das Appellationsgericht wies die Berufung ab (Entscheid vom 12. Februar 2016). C. Mit Beschwerde vom 18. März 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den Entscheid des Appellationsgerichts (Bst. B.c) sowie Ziffer 1 des Entscheids des Zivilgerichts (Bst. B.b) aufzuheben, soweit darin seine Unterhaltspflicht nicht auch für die Zeit ab dem 1. Oktober 2015 aufgehoben wird. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid vom 12. Februar 2016 - "soweit er nicht von Gesetzes wegen ungültig ist" - aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung im Sinne der nachstehenden Ausführungen zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.