Sachverhalt: A. Die B._ AG (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) betreibt eine ärztliche Notfallpraxis in Luzern. Ihre Aktien werden zu je 50% von den seit Frühling 2014 zerstrittenen Eheleuten A.D._ (Gesuchstellerin und Beschwerdeführerin) und C.D._ gehalten. Die beiden Aktionäre sind sich unter anderem über die Besetzung des Verwaltungsrats und der Revisionsstelle bei der Gesellschaft uneinig. Seit dem 14. August 2014 sind im Handelsregister als Verwaltungsräte C.D._ (einzelzeichnungsberechtigt) und A.D._ (ohne Zeichnungsberechtigung) eingetragen. An der ordentlichen Generalversammlung vom 26. August 2014 wurden jedoch beide Ehegatten nicht mehr als Verwaltungsräte bestätigt. Auch die bisherige Revisionsstelle E._ AG wurde nicht mehr wiedergewählt. B. B.a. Mit Gesuch vom 12. September 2014 stellte A.D._ dem Bezirksgericht Luzern gestützt auf Art. 731 b Abs. 1 Ziff. 2 OR folgende Rechtsbegehren gegen die B._ AG: "1. Es sei festzustellen, dass der Gesuchsgegnerin die gesetzlich vorgeschriebenen Organe fehlen. 2. Das Handelsregisteramt des Kantons Luzern sei anzuweisen, die bisherigen Verwaltungsratsmitglieder (C.D._ und A.D._) sowie die bisherige Revisionsstelle (E._ AG) der Gesuchsgegnerin im Handelsregister zu löschen. 3. Als neuer und einziger Verwaltungsrat sei F._ einzusetzen. 4. Als neue Revisionsstelle sei die G._ AG einzusetzen." Mit Stellungnahme vom 27. Oktober 2014 stellte die B._ AG folgende Anträge: "1. Das Gesuch der Gesuchstellerin sei vollumfänglich abzuweisen. 2. Eventualiter sei Dr.med. C.D._ als neuer und einziger Verwaltungsrat sowie die E._ AG als Revisionsstelle einzusetzen. 3. Subeventualiter sei H._ als neuer und einziger Verwaltungsrat einzusetzen. 4. Subsubeventualiter sei I._, Seidenhofstrasse 14, 6003 Luzern, K._ oder L._ von der M._ AG als Verwaltungsrat einzusetzen." Mit Entscheid vom 12. November 2014 traf das Bezirksgericht folgende Anordnungen: "1. Als einziger Verwaltungsrat der Gesuchsgegnerin mit Einzelunterschrift wird C.D._ ernannt. 2. Als Revisionsstelle der Gesuchsgegnerin wird die E._ AG ernannt. 3. Das Handelsregisteramt des Kantons Luzern wird angewiesen, C.D._ als Präsident mit Einzelunterschrift, die Gesuchstellerin (A.D._) als Mitglied ohne Zeichnungsberechtigung und die E._ AG als Revisionsstelle zu löschen. 4. Das Handelsregisteramt des Kantons Luzern wird ferner angewiesen, C.D._ als einziger Verwaltungsrat mit Einzelunterschrift und die E._ AG per Entscheidsdatum neu einzutragen. 5. Die Ernennungen der Organe gemäss Ziff. 1 und 2 sind bis zur nächsten ordentlichen Generalversammlung der Gesuchsgegnerin, an welcher die Wahl dieser Organe traktandiert wird, längstens bis am 30.06.2015 gültig. 6. Die Gesuchsgegnerin hat zu Gunsten der gemäss Ziff. 2 des Rechtsspruchs ernannten Revisionsgesellschaft dem Bezirksgericht Luzern innert 10 Tagen seit Rechtskraft des vorliegenden Entscheids einen Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 10'000.-- zu leisten, andernfalls die Gesuchsgegnerin nach Art. 731 b Abs. 1 Ziff. 3 OR aufgelöst und ihre Liquidation angeordnet wird. 7. Alle weitergehenden und anderslautenden Begehren der Parteien werden abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird. 8. Die Parteien haben die Gerichtskosten je zur Hälfte und ihre eigenen Kosten selbst zu tragen." B.b. Mit Berufung vom 24. November 2014 beantragte die Gesuchstellerin dem Kantonsgericht Luzern die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids und wiederholte ihre erstinstanzlich gestellten Begehren. Mit Urteil vom 29. Januar 2015 hiess das Kantonsgericht die Berufung teilweise gut, hob Dispositiv-Ziffer 6 betreffend die Vorschussleistung an die Revisionsstelle auf und bestätigte im Übrigen den angefochtenen Entscheid. Die oberinstanzlichen Prozesskosten auferlegte das Kantonsgericht der Gesuchstellerin. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Kantonsgericht teilweise aufzuheben, soweit es die Einsetzung von C.D._ als einziger Verwaltungsrat bestätigt hat, und im Übrigen sei die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Eventualiter sei das Kostendispositiv in Ziffer 8 aufzuheben und es seien sämtliche Kosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen, sowie der Beschwerdeführerin zu Lasten der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Weiter beantragt die Gesuchstellerin, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, die Vorinstanz die Abweisung soweit Eintreten. Die Parteien haben repliziert und dupliziert sowie diverse weitere, unaufgeforderte Stellungnahmen (u.a. Noveneingaben) eingereicht. Mit Eingabe vom 9. Juli 2015 hat die Gesuchstellerin ihr Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung zurückgezogen.