Sachverhalt: A. Der Kanton Zürich, vertreten durch die Bildungsdirektion, betreibt A._ auf Rückerstattung eines Studiendarlehens (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Kloten). Er stützt sich auf die Rückerstattungsverfügung des Amts für Jugend und Berufsberatung vom 26. September 2011 betreffend eine Restschuld von Fr. 15'100.-- zuzüglich aufgelaufene Zinsen von Fr. 8'997.10. B. Am 21. November 2013 wandte sich der Kanton Zürich mit einem Begehren um definitive Rechtsöffnung an das Bezirksgericht Bülach. Zur Stellungnahme eingeladen, kündigte A._ am 27. Dezember 2013 an, seinen Standpunkt anlässlich der von ihm geforderten mündlichen Verhandlung ausführlich vorzutragen. Mit Verfügung vom 6. Januar 2014 hielt das Bezirksgericht an der schriftlichen Stellungnahme fest und setzte A._ hierzu eine neue Frist von zehn Tagen. Gestützt auf ein entsprechendes Armenrechtsgesuch befreite es A._ von der Zahlung allfälliger Gerichtskosten, verweigerte ihm jedoch die unentgeltliche Verbeiständung. Dass sich A._ in der Folge noch schriftlich zum Rechtsöffnungsbegehren geäussert hätte, lässt sich den Akten nicht entnehmen. Am 30. Januar 2014 erteilte das Bezirksgericht Bülach dem Kanton Zürich im summarischen Verfahren die definitive Rechtsöffnung für Fr. 15'100.-- nebst Zins zu 4 % seit 1. Juni 2012 und die Betreibungskosten sowie für Kosten und Entschädigung. A._ erhob darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 12. August 2014 ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren hiess auch das Obergericht lediglich bezüglich der verlangten Befreiung von den Gerichtskosten gut. C. Mit Eingabe vom 17. September 2014 erhebt A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 72 ff. BGG und/oder subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG. Er verlangt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht Bülach zwecks Durchführung eines ordentlichen und fairen Verfahrens. Zudem sei der Rechtsöffnungsrichter anzuweisen, ihm die unentgeltliche Prozessführung wie auch einen unentgeltlichen Rechtsanwalt zu gewähren. Schliesslich sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung in der Höhe der tatsächlich entstandenen Kosten und der erbrachten Vertretungsaufwendungen zuzusprechen. D. Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und die Bildungsdirektion des Kantons Zürich (Beschwerdegegner) zur Vernehmlassung eingeladen. Beide erklärten auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 7. bzw. 22. Oktober 2014). Am 22. Januar 2015 hat das Bundesgericht die Sache öffentlich beraten. Der Beschwerdeführer hatte in einem Schreiben vom 20. Januar 2015 angekündigt, der öffentlichen Beratung nicht beizuwohnen.