Sachverhalt: A. A._ und B._ heirateten 2000. Im 2000 wurde der gemeinsame Sohn C._ geboren. Die Ehe wurde mit Urteil des Richteramtes Olten-Gösgen vom 28. Februar 2008 geschieden. In Ziffer 6 dieses Ehescheidungsurteils wurde A._ verpflichtet, an den Unterhalt seines Sohnes C._ einen monatlich vorauszahlbaren Beitrag von Fr. 200.-- zu bezahlen. B. B.a. Mit Klage vom 21. Februar 2013 beantragte A._ beim Richteramt Olten-Gösgen die Aufhebung des monatlichen Unterhaltsbeitrages von Fr. 200.--. B._ schloss auf Abweisung der Klage und beantragte die Sistierung des Verfahrens bis zum IV-Entscheid betreffend das von A._ angestrengte Rentenverfahren. Nach Vorliegen des abschlägigen Entscheids der IV-Stelle Solothurn und Aufhebung der Sistierung wies das Richteramt die Klage am 2. März 2015 ab. B.b. A._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn und erneuerte sein im erstinstanzlichen Verfahren gestelltes Begehren. Das Obergericht wies die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Urteil vom 9. Mai 2016). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Juni 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, das Urteil des Obergerichts vom 9. Mai 2016 und den in Ziffer 6 des Scheidungsurteils vom 28. Februar 2008 festgesetzten monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 200.-- an seinen Sohn aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.