Sachverhalt: A. A.C._, D.F._ und G._ erstatteten am 17. Februar 2012 teilweise gemeinsam, teilweise getrennt Strafanzeige gegen zahlreiche Personen wegen diverser Delikte. Sie machten unter anderem geltend, B.C._ und E.F._ hätten sich der Verleumdung bzw. üblen Nachrede schuldig gemacht. Die diesbezüglich als Staatsanwaltschaft amtende Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: Staatsanwaltschaft oder Beschwerdegegnerin 1) stellte die Verfahren gegen B.C._ und E.F._ am 14. Mai 2014 ein. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die gegen die Einstellungsverfügungen gerichteten Beschwerden von A.C._, D.F._ und G._ am 22. Mai 2015 ab. B. A.C._, D.F._ und G._ beantragen mit Beschwerde in Strafsachen vom 14. September 2015, der appellationsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, die Verfahren unverzüglich wieder an die Hand zu nehmen. Es sei festzustellen, dass es im vorliegenden Strafverfahren zu einer Rechtsverweigerung und einer Rechtsverzögerung gekommen sei. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und zur Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen. C. Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt wurden zur Vernehmlassung, beschränkt auf die Rüge der Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung, eingeladen. Das Appellationsgericht beantragt unter Verzicht auf eine Stellungnahme, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft lässt sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. A.C._, D.F._ und G._ halten in ihrer Replik an ihrer Auffassung fest.