Sachverhalt: A. X._ streitet sich seit Jahren mit der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bülach Nord (vormals Vormundschaftsbehörde Bülach) darüber, ob bzw. in welchem Umfang er auf Vermögen und Vermögenserträge seines Sohnes A._ (geb. 12. Februar 1997) greifen darf, um den Unterhalt und die Ausbildung seines Sohnes zu finanzieren und die Kosten des gemeinsamen Haushaltes zu bestreiten. B. B.a. Am 26. Dezember 2013 ersuchte X._ die damalige Vormundschaftsbehörde Bülach darum, die vom Beistand ermittelten und zur Auszahlung vorgesehenen Vermögenserträge für das Jahr 2012 unverzüglich zu überweisen und festzustellen, dass diese Beträge nicht ausreichten, um den Bedarf des Sohnes zu decken. Am 21. Juni 2013 begründete die Behörde ihre ablehnende Haltung zur Frage der Verwendung des Kindesvermögens und dessen Erträgen. Am 30. Juni 2013 nahm X._ dazu Stellung. Er bezeichnete die Auffassung der Behörde als krassen Rechtsmissbrauch und forderte ultimativ eine Zahlung innert einer Woche. Am 14. Juli 2013 liess er mitteilen, er betrachte seine menschliche Würde als durch die Behörde verletzt. Er kündigte eine erneute gerichtliche Konfrontation an. Am 16. Juli 2013 wies die KESB Bülach den Antrag von X._ auf Auszahlung eines Betrages aus dem Kindesvermögensertrag von A._ für das Jahr 2012 ab. B.b. Gegen diesen Entscheid liess X._ in seinem Namen und im Namen seines Sohnes beim Bezirksrat Bülach Beschwerde führen. Er beantragte, den Beschluss der KESB Bülach Nord aufzuheben. Zudem sei festzustellen, dass der KESB in der Sache betreffend Bezug des Ertrages des Kindesvermögens nach Art. 319 ZGB keinerlei Entscheidkompetenz zukomme, sondern dass sie lediglich als aufsichtsrechtliche Behörde gegenüber der Beistandschaft walten dürfe. Die KESB sei anzuweisen, die umgehende Auszahlung des (korrekt ermittelten) Ertrages des Kindesvermögens für das Jahr 2012 anzuordnen. Eventualiter verlangte X._ die Rückweisung der Sache an die KESB Bülach Nord (oder an den Beistand). In diesem Fall sei die KESB Bülach Nord anzuweisen, den rechtserheblichen Sachverhalt vollständig und richtig festzustellen, indem der sechzehnjährige A._ angehört und ordnungsgemäss über seine Meinung befragt werde und die protokollierten Aussagen zusammen mit den übrigen (vollständigen) Akten dem Entscheidgremium zur Kenntnisnahme vorgelegt werden. Weiter sei die "wiederholte haftungsbegründende Rechtswidrigkeit des Verwaltungshandelns der KESB festzustellen". Für den Fall, dass der Bezirksrat in der Sache materiell entscheiden wolle, sei seinem Antrag um vollumfängliche Auszahlung der korrekt ermittelten Erträge aus dem Kindesvermögen pro 2012 stattzugeben. B.c. Am 18. Dezember 2013 wies der Bezirksrat A._s Beistand im Sinne einer vorsorglichen Massnahme an, "an X._ resp. A._" Fr. 15'000.-- aus den verwalteten Mitteln auszuzahlen. Am 26. März 2014 hiess er auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gut und forderte X._ auf, einen Anwalt seines Vertrauens zu bezeichnen. In der Folge kam es aufgrund von Rechtsmittelverfahren zu Verzögerungen. Am 5. Dezember 2014 schickte X._s Anwalt dem Bezirksrat die Akten zurück, ohne in der Sache eine Stellungnahme abzugeben. B.d. Am 12. Februar 2015 wurde A._ volljährig. B.e. Am 25. Februar 2015 fasste der Bezirksrat Bülach folgenden Beschluss: "I.a) Das Verfahren VO.2013.39 wird im Sinne der Erwägungen (Ziff. 2) als gegenstandslos geworden am Protokoll des Bezirksrates Bülach abgeschrieben. b) Es wird vorgemerkt, dass sich im Sinne der Erwägungen (Ziff. 3) die KESB Bülach Nord noch mit der letzten Berichterstattung sowie mit der Schlussberichterstattung zu befassen haben wird. II. Es werden keine Kosten erhoben.- Über die Honorarnote von Rechtsanwalt lic. iur. F._ wird bei Vorliegen der entsprechenden Honorarnote separat entschieden." C. C.a. X._ wandte sich an das Obergericht des Kantons Zürich und stellte folgende Anträge: "1. Es sei der Abschreibungsbeschluss des Bezirksrats Bülach Nr. 53 (VO.2013.39) vom 25. Februar 2015 vollumfänglich aufzuheben und die Sache zur ordnungsgemässen materiellen Behandlung in einem den verfahrensrechtlichen Normen nach 52 ff Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] (SR 272) sowie den völkerrechtlichen Garantien nach Art. 6 Ziff. 1 Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten [EMRK] (SR 0.101) und Art. 14 II Internationaler Pakt über bürgerliche und politische Rechte [IPBPR] (SR 0.103.2) i.V.m. Art. 12 ff Übereinkommen über die Rechte des Kindes [UNO-Kinderrechtskonvention] (SR 0.107) genügenden Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. 2. In dem Fall, dass das Obergericht des Kantons Zürich die Angelegenheit materiell selbst entscheiden will und nicht wie beantragt zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückweist, sei in einem ordnungsgemässen Verfahren der rechtserhebliche Sachverhalt richtig und vollständig festzustellen und dem Antrag des Beschwerdeführers (an die Vormundschaftsbehörde Bülach/KESB Bülach Nord und an den Bezirksrat Bülach) auf vollumfängliche Auszahlung der korrekt ermittelten Erträge aus dem Kindsvermögen pro 2012 stattzugeben. 3. Es sei die wiederholte haftungsbegründende Rechtswidrigkeit des Verwaltungshandeln[s] der Vormundschaftsbehörde Bülach/KESB Bülach Nord sowie die Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung der Rechtsmittelbehörde und die mit dem Abschreibungsbeschluss einhergehende Verletzung der Garantie auf Zugang zu einem fairen Verfahren im Sinne Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR festzustellen." C.b. Am 13. Juli 2015 fällte das Obergericht den folgenden Beschluss: "1. Das Verfahren wird bezüglich der Anträge betreffend Beiträge aus dem Kindesvermögen abgeschrieben. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten. 2. Die Gebühr von Fr. 300.-- für den Entscheid der KESB vom 16. Juli 2013 wird bestätigt. 3. Für das Verfahren des Obergerichts werden keine Kosten erhoben und wird keine Parteientschädigung zugesprochen." D. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2015 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Im Wesentlichen stellt er dieselben Rechtsbegehren wie vor der Vorinstanz. Zusätzlich beschwert er sich darüber, dass die Vorinstanz den von ihm bevollmächtigten Vertreter nicht habe zulassen wollen und ihm eine Busse auferlegt habe. In prozessualer Hinsicht stellt er das Begehren, vorgängig über die Zusammensetzung des Spruchkörpers informiert zu werden. Schliesslich verlangt er für das bundesgerichtliche Verfahren eine mündliche und öffentliche Parteiverhandlung und Urteilsberatung. Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.