Sachverhalt: A. A._ ist Stockwerkeigentümer des Grundstücks Nr. xxx auf dem Stammgrundstück yyy am C._-Weg in Luzern. Seine Liegenschaft liegt an erhöhter Lage mit Blick auf den Vierwaldstättersee. A._ erhob Einsprache gegen das Bauvorhaben der B._ AG, das in der Erweiterung und Sanierung des - weiter unten gelegenen - Betagtenzentrums D._ besteht und namentlich eine Aufstockung der Baute vorsieht. Am 5. Oktober 2015 wies die Baudirektion der Stadt Luzern die Einsprache A._s ab und erteilte der B._ AG die nachgesuchte Baubewilligung. B. Mit Urteil vom 8. Februar 2016 ist das Kantonsgericht Luzern nicht auf die Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid eingetreten. Es hat erkannt, es fehle ihm die erforderliche Beziehungsnähe zum Bauvorhaben, weshalb er nicht beschwerdebefugt sei. C. Mit Eingabe vom 11. März 2016 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen das Urteil des Kantonsgerichts (Vorinstanz). Er beantragt, das Urteil vom 8. Februar 2016 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Am 13. April 2016 hat A._ ausserdem eine Beschwerdeergänzung eingereicht. Das Kantonsgericht sowie die Stadt Luzern beantragen beide die Abweisung der Beschwerde. Die B._ AG stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. A._ hat sich nochmals vernehmen lassen.