Sachverhalt: A. A._ (geb. 1972) stammt aus Deutschland. Er kam am 29. Januar 2006 in die Schweiz und verfügte hier gestützt auf ein unbefristetes Arbeitsverhältnis als Handwerksmeister über eine bis zum 31. August 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung B (EU/EFTA-B). Sein Dienstverhältnis wurde am 9. Mai 2008 aufgelöst, nachdem es zu einer tätlichen Auseinandersetzung am Arbeitsplatz gekommen war. A._ bezog von Juli 2008 bis Juni 2010 Arbeitslosengelder. B. B.a. Am 20. Juni 2011 ersuchte A._ das Migrationsamt des Kantons Solothurn, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, was dieses am 4. Juli 2011 um ein Jahr, d.h. bis zum 31. August 2012 tat. Das Migrationsamt wies A._ darauf hin, dass sein freizügigkeitsrechtlicher Aufenthaltsanspruch erlösche, falls er nach einem Jahr immer noch arbeitslos sein sollte. Am 26. September 2012 informierte das Sozialamt U._ das Migrationsamt, dass A._ nach wie vor vollumfänglich unterstützt werden müsse. Er habe insgesamt Sozialhilfeleistungen in der Höhe Fr. 41 ́680.60 bezogen. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn lehnte es am 8. März 2013 androhungsgemäss ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ ein weiteres Mal zu verlängern, und forderte ihn auf, das Land zu verlassen. B.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies am 20. Januar 2014 die von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde ab. Zwar habe dieser während der Verlängerung seines Aufenthalts mehrere Praktika absolviert, doch sei er im entscheidenden Zeitpunkt der Verlängerung immer noch arbeitslos gewesen, weshalb nicht weiter geprüft werden müsse, ob seine Praktika (vom 1. September bis zum 31. November 2011 [B._] und vom 15. März 2012 bis 31. Juli 2012 [C._]) als Erwerbstätigkeit zu gelten hätten. Sein Verlängerungsanspruch sei so oder anders erloschen, da er im Entscheidzeitpunkt keiner Erwerbstätigkeit nachgegangen sei. Sein ursprüngliches Dienstverhältnis sei nicht wegen dauernder Arbeitsunfähigkeit aufgelöst worden, womit kein Verbleiberechtsanspruch bestehe. Im Übrigen habe A._ nach eigenen Angaben Praktika absolviert, ohne geltend zu machen, nicht voll arbeitsfähig zu sein. Bis zum Ablauf seiner Aufenthaltsbewilligung lägen aufgrund der durch die IV-Stelle in die Wege geleiteten Abklärungen keine Hinweise auf eine dauernde Arbeitsunfähigkeit im Sommer 2012 vor. A._ habe zwar inzwischen sieben Jahre in der Schweiz verbracht, sei aber seit bald fünf Jahren nicht mehr erwerbstätig und habe 34 Jahre in Deutschland gelebt, weshalb keine Gründe ersichtlich seien, welche die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen einer Härtefallregelung rechtfertigen würden. C. C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 20. Januar 2014 aufzuheben und das Migrationsamt zu verpflichten, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er sei in der Schweiz unfreiwillig arbeitslos geworden. Seine Praktika hätten als Erwerbstätigkeit zu gelten, womit ihm im Jahr 2012 für 6 Monate Arbeitnehmereigenschaft zugekommen sei und er nach wie vor von den damit verbundenen Freizügigkeitsrechten profitieren könne. Im Übrigen sei er wegen seiner Rückenprobleme nicht voll arbeitsfähig. Während der Abklärungen der IV hinsichtlich der Frage der Arbeitsfähigkeit im Vorfeld allfälliger beruflicher Integrationsmassnahmen habe er Anspruch darauf, dass seine Bewilligung verlängert werde. Das Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I zum Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) erzeuge diesbezüglich "eine gewisse Vorwirkung". A._ ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. C.b. Mit Verfügung vom 27. Februar 2014 hat das präsidierende Abteilungsmitglied der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt. Die kantonalen Behörden und das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) beantragen, die Beschwerde abzuweisen bzw. abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.