Sachverhalt: A. Im Jahr 2005 stellte die Sunrise Communications AG erstmals bei der Stadt Thun ein Baugesuch für den Bau einer Mobilfunkanlage, bestehend insbesondere aus einem 3 m hohen Antennenträger mit insgesamt sechs Kombiantennen und zwei Richtfunkantennen auf dem Dachfirst des Gebäudes Jägerweg 27 (Parzelle Nr. 1647) in der Wohnzone W2 von Thun. Mit Entscheid vom 31. März 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine von zahlreichen Anwohnerinnen und Anwohnern gegen das Bauvorhaben eingereichte Beschwerde gut und wies das Baugesuch aus Gründen der Ästhetik ab. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft. B. Die Sunrise Communications AG stellte am 14. Oktober 2009 erneut ein Baugesuch für den Bau einer Mobilfunkanlage auf dem Dach des Gebäudes Jägerweg 27. Die Stadt Thun verzichtete auf eine Publikation des Baugesuchs und verweigerte am 11. Februar 2010 die Baubewilligung. Die dagegen erhobene Beschwerde der Sunrise Communications AG hiess die Berner Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion (BVE) am 5. Mai 2010 gut und wies die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens an die Stadt zurück. Nachdem das Verfahren auf Antrag der Sunrise Communications AG sistiert worden war, reichte diese am 29. Juni 2012 geänderte Projektpläne ein. Diese sahen neu je eine ca. 1,8 m hohe Rohrantenne mit integrierten UMTS-Antennen auf je einer Dachfläche und eine Richtfunkantenne auf der nördlichen Dachhälfte des Gebäudes Jägerweg 27 vor. Die Stadt Thun nahm das geänderte Bauvorhaben als Projektänderung entgegen und publizierte es zweimal im Amtsanzeiger. Dagegen gingen mehrere Einsprachen ein. Am 8. Juli 2013 bewilligte die Stadt das Vorhaben unter Bedingungen und Auflagen. C. Gegen diesen Entscheid erhoben mehrere Einsprecher am 15. August 2013 Beschwerde bei der BVE. Diese holte unter anderem einen Fachbericht der kantonalen Kommission zur Pflege der Orts- und Landschaftsbilder (OLK) ein. Mit Entscheid vom 16. September 2014 ergänzte sie die Bewilligung mit Auflagen betreffend die Farbgestaltung der Antennen und Abnahmemessungen der Strahlung an drei zusätzlichen Orten mit empfindlicher Nutzung (OMEN). Im Übrigen wies sie die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. D. Das Verwaltungsgericht wies die gegen den Entscheid der BVE erhobene Beschwerde am 1. September 2015 ab, soweit es darauf eintrat. E. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben die im Rubrum genannten Beschwerdeführer am 2. Oktober 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und auf das mit Publikation vom 16. August 2012 bekannt gemachte Bauprojekt vom 29. Juni 2012 sei nicht einzutreten. Eventualiter sei die Baubewilligung zu verweigern. Subeventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Augenscheins und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. F. Die Sunrise Communications AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht und die Stadt Thun schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführer halten in der Replik an ihren Rechtsbegehren fest. G. Mit Verfügung vom 29. Oktober 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.