Sachverhalt: A. Die 2002 geborene A._ leidet am Aspergersyndrom bei anerkannter Autismus-Spektrums-Störung im Sinne von Ziff. 405 des Anhangs zur Verordnung über Geburtsgebrechen (GgV). Im April/Mai 2014 erfolgte deswegen eine Anmeldung für Leistungen der Invalidenversicherung. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen nahm nebst weiteren Sachverhaltserhebungen eine Abklärung an Ort und Stelle vor. Darüber erstatteten die beiden Abklärungspersonen am 6. November 2014 Bericht. Mit Verfügung vom 6. Januar 2015 sprach die IV-Stelle der Versicherten ab 1. Mai 2013 eine Hilflosenentschädigung für Minderjährige bei mittlerer Hilflosigkeit zu. Hingegen verneinte sie einen Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag, da der tägliche zeitliche Mehraufwand unter vier Stunden liege. B. Beschwerdeweise beantragte A._, es seien eine Hilflosenentschädigung entsprechend einer schweren Hilflosigkeit und ein Intensivpflegezuschlag zuzusprechen, eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 17. März 2016 dahingehend gut, dass es der Versicherten ab 1. März 2013 einen Intensivpflegezuschlag für einen invaliditätsbedingten Betreuungsaufwand von mindestens vier, aber weniger als sechs Stunden zusprach und die Sache zur Festsetzung des konkreten Leistungsanspruchs anhand der zu Hause verbrachten Tage an die Verwaltung zurückwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und ihre Verfügung vom 6. Januar 2015 zu bestätigen. Die Versicherte und das kantonale Gericht schliessen in ihren Vernehmlassungen je auf Abweisung der Beschwerde.