Sachverhalt: A. B._ wohnte im Kanton Basel-Stadt, als sie vom 1. bis zum 27. Januar 2012 in der im Kanton Aargau gelegenen Privat-Klinik C._ stationär behandelt wurde. Hierfür stellte die A._ AG dem Kanton Basel-Stadt den kantonalen Beitrag (55 %) für 27 Behandlungstage in Rechnung (Fr. 10'617.75), wobei sie eine Tagespauschale von Fr. 715.- berücksichtigte. Der Kanton Basel-Stadt bezahlte einen Anteil an den Behandlungskosten (Fr. 9'058.50) auf der Basis einer Tagespauschale von Fr. 610.-; diese entsprach dem (damals provisorischen) KVG-Tarif für die Behandlung von Patienten, die im Kanton Aargau wohnen. Das Gesundheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, Bereich Gesundheitsversorgung, lehnte es mit Verfügung vom 3. August 2012 ab, die geltend gemachte Restforderung der Leistungserbringerin (Fr. 1'559.25) zu begleichen. Daran hielt das Gesundheitsdepartement mit Rekursentscheid vom 9. September 2013 fest. Am 3. Juli 2013 genehmigte der Regierungsrat des Kantons Aargau einen neuen, rückwirkend ab 1. Januar 2012 geltenden Tarifvertrag zwischen der A._ AG und dem Krankenversicherer von B._ (Amtsblatt Nr. 28 vom 22. Juli 2013). Damit wurde die Tagespauschale von Fr. 610.- auf Fr. 655.- angehoben, weshalb der Kanton Basel-Stadt der Leistungserbringerin eine Nachzahlung von Fr. 668.25 leistete. B. Das gegen den Rekursentscheid vom 9. September 2013 ergriffene Rechtsmittel wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 6. Juni 2014 ab. C. Die A._ AG lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 6. Juni 2014 sei aufzuheben; der Beitrag des Kantons Basel-Stadt an die Kosten der ausserkantonalen Wahlhospitalisation der B._ sei auf Fr. 10'617.75 festzusetzen und der Kanton Basel-Stadt sei zu verpflichten, den noch offenen Restbetrag von Fr. 891.- zu bezahlen. Das Gesundheitsdepartement des Kantons BaselStadt, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit beantragen die Abweisung des Rechtsmittels. Die A._ AG lässt dazu mit einer weiteren Eingabe Stellung nehmen.