Sachverhalt: A. A.a. Die Eheleute B.A._ (Ehefrau) und A.A._ (Ehemann) reichten am 20. Oktober 2010 eine Vereinbarung betreffend Getrenntleben ein, worauf der Eheschutzrichter des Kantonsgerichts Schaffhausen mit Verfügung vom 25. November 2010 den gemeinsamen Haushalt der Parteien auf unbestimmte Zeit aufhob. Der Ehemann wurde verpflichtet, an den Unterhalt der Ehefrau monatliche, jeweils im Voraus zahlbare, erstmals per 1. Januar 2011 geschuldete Beiträge von Fr. 2'635.-- zu bezahlen. Das Urteil sah im Weiteren vor, dass sich der Unterhaltsbeitrag des Ehemannes bei einer Veränderung der finanziellen Verhältnisse von mehr als 10 % der in der beigelegten Vereinbarung vom 20. Oktober 2010 enthaltenen Bedarfsberechnung entsprechend ändere, wenn sich daraus eine "Veränderung des Unterhaltsbeitrages von mehr als Fr. 200.-- pro Monat ergebe". Einkommenserhöhungen sollen jeweils lediglich zu 80 % berücksichtigt werden. A.b. Mit Verfügung vom 31. Dezember 2013 verpflichtete die Eheschutzrichterin des Kantonsgerichts Schaffhausen den Ehemann in Abänderung der Verfügung vom 25. November 2010, an den Unterhalt der Ehefrau jeweils im Voraus zahlbare Beiträge von Fr. 830.-- pro Monat zu bezahlen. Im Übrigen blieb es bei der Verfügung vom 25. November 2010. Mit Urteil vom 17. März 2015 hob das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Verfügung vom 31. Dezember 2013 auf und verpflichtete den Ehemann, der Ehefrau jeweils im Voraus zahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'764.-- ab 1. Dezember 2012 und von Fr. 1'775.-- ab 1. Januar 2013 zu leisten. Am 27. November 2015 hiess das Bundesgericht eine Beschwerde des Ehemannes gut, soweit darauf einzutreten war, hob den obergerichtlichen Entscheid auf und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurück (5A_280/2015 act. 29). B. B.a. Am 11. März 2013 reichte der Ehemann das gemeinsame Scheidungsbegehren ein. Am 26. Juni 2013 ersuchte er um Erlass vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens mit den Anträgen, es sei der Ehefrau mit Wirkung ab 29. April 2013 (Einreichung des begründeten Scheidungsbegehrens), eventuell ab Eingabe der Rechtsschrift, kein persönlicher Unterhaltsbeitrag mehr zuzusprechen; eventuell seien die Dispositiv-Ziffern 6 und 7 der Verfügung des Eheschutzrichters vom 25. November 2010 mit Wirkung ab 29. April 2013, eventuell ab Eingabe der Rechtsschrift, aufzuheben. B.b. Mit Verfügung vom 18. Juni 2014 wies der Einzelrichter des Kantonsgerichts Schaffhausen das Gesuch um Abänderung der Eheschutzverfügung vom 31. Dezember 2013 für die Zeit vom 29. April 2013 bis 30. September 2014 ab; der Ehemann wurde verpflichtet, der Ehefrau weiterhin einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 830.-- zu bezahlen. Demgegenüber wurde die Pflicht des Ehemannes zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen ab 1. Oktober 2014 aufgehoben. B.c. Mit Entscheid vom 27. März 2015 (10/2014/15/K) des Obergerichts des Kantons Schaffhausen wurde die Berufung der Ehefrau gutgeheissen, das Massnahmegesuch des Ehemannes abgewiesen. Die Dispositiv-Ziffern 2.1 und 2.2 der Verfügung des Einzelrichters des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 18. Juni 2014 wurden ersatzlos aufgehoben. C. Mit Beschwerde vom 10. April 2015 (Postaufgabe) beantragt der Ehemann (Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 27. März 2015 aufzuheben und das Verfahren zur Ausfällung eines neuen Entscheides an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter stellt er den Antrag, die Ziffer 2.1 der Verfügung des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 18. Juni 2014 dahingehend abzuändern, dass er der Ehefrau (Beschwerdegegnerin) für die Zeit vom 29. April 2013 bis 30. September 2014 jeweils im Voraus zahlbare Beiträge von Fr. 799.10 zu bezahlen habe. Für die Zeit ab 1. Oktober 2014 sei Ziffer 2.2 der Verfügung des Kantonsgerichts vom 18. Juni 2014 zu bestätigen, wonach ab dem 1. Oktober 2014 kein Unterhaltsbeitrag mehr geschuldet sei. Subeventuell sei er zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin für die Zeit vom 29. April 2013 bis 30. September 2014 monatlich Fr. 830.-- zu bezahlen. Für die Zeit nach dem 1. Oktober 2014 sei er von jeglicher Unterhaltspflicht zu entbinden. D. Mit Verfügung vom 29. April 2015 wurde der Beschwerde mit Bezug auf die bis und mit März 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt und das Gesuch im Übrigen abgewiesen. E. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 15. Juli 2015 zur Sache vernehmen lassen. Sie schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat am 3. August 2015 repliziert. Ein weiterer Schriftenwechsel ist nicht erfolgt.