Sachverhalt: A. A._ war ab 1. September 2003 bei der Firma B._ angestellt. Damit war sie bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Nach einem Sturz am 19. Januar 2004 arbeitete sie nicht mehr bis zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses durch die Arbeitgeberin auf Ende April 2004. Am 31. März 2005 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten der asim [Academy of Swiss Insurance Medicine, Universitätsspital Basel] vom 22. November 2010) sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Verfügung vom 16. Mai 2011 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % rückwirkend ab 1. Januar 2005 eine ganze Rente samt zwei Kinderrenten zu. Das Gesuch der A._ um Ausrichtung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge lehnte die GastroSocial Pensionskasse ab (Schreiben vom 22. Juni 2011 und 9. April 2013). B. Am 15. Juli 2013 reichte A._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente sowie entsprechende Kinderrenten basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % ab 1. Januar 2005 zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % seit dem 1. Januar 2005. Das Gericht holte die Klageantwort ein, führte einen zweiten Schriftenwechsel durch und liess die IV-Akten edieren. Mit Entscheid vom 12. Mai 2015 wies es die Klage ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 12. Mai 2015 sei aufzuheben und die GastroSocial Pensionskasse zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente sowie entsprechende Kinderrenten basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % ab 1. Januar 2005 zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % seit dem 1. Januar 2005. Die GastroSocial Pensionskasse ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ hat im Rahmen des Replikrechts Bemerkungen zur Stellungnahme der GastroSocial Pensionskasse gemacht (Eingabe vom 15. September 2015).