Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) ist der Vater von B._, geboren 1999. B._ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge ihrer Mutter und wird beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) des Kantons Solothurn medizinisch behandelt. B. B.a. Der Beschwerdeführer ist mit der medizinischen Behandlung seiner Tochter nicht einverstanden. Er schrieb deshalb an die betreuende Psychotherapeutin, die behandelnden Ärzte und an die Chefärztin des Departements Kinder- und Jugendpsychiatrie. Am 18. Februar 2014 nahm die Chefärztin zu seinen Einwänden Stellung. B.b. Mit Einschreibebrief vom 22. April 2014 an das Departement des Innern des Kantons Solothurn erhob der Beschwerdeführer eine als "Begründete Aufsichtsbeschwerde" überschriebene Beschwerde betreffend den KJPD und namentlich gegen die Chefärztin und die Psychotherapeutin. Er warf dem KJPD unter anderem eine Missachtung von Art. 275a ZGB und eine Verweigerung der darin erwähnten Rechte ab Februar 2014 vor und beantragte an erster Stelle, die Behandlung seiner Tochter sei dem KJPD zu entziehen. B.c. Das Departement des Innern überwies die Eingabe des Beschwerdeführers als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten zuständigkeitshalber an die Solothurner Spitäler AG zur Weiterbehandlung (Verfügung vom 12. Mai 2014). C. C.a. Die Solothurner Spitäler AG äusserte sich mit Schreiben vom 2. Juli 2014 zu den Beschwerdegründen und setzte dem Beschwerdeführer eine Frist zur Stellungnahme (Verfügung vom 2. Juli 2014). C.b. In seiner Einsprache vom 10. Juli 2014 verwahrte sich der Beschwerdeführer gegen die vorläufige Beurteilung seiner Einwände und betonte, dass es ihm ausschliesslich und primär um die Abwendung von potenziellen Schäden bei seiner Tochter gehe. C.c. Die Solothurner Spitäler AG verweigerte dem Beschwerdeführer das Informations- und Anhörungsrecht zur medizinischen Behandlung seiner Tochter bis auf Weiteres (Verfügung vom 25. August 2014). C.d. Der Beschwerdeführer beantragte dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Eingabe vom 3. September 2014, sein Begehren gehöre als eigentliche Aufsichtsbeschwerde behandelt, die Missstände im KJPD müssten objektiv, gründlich und unabhängig untersucht werden und Amtsmissbrauch bzw. anderweitiges strafbares Fehlverhalten gehörten geahndet. Er stelle Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege. Einen der Missstände begründete der Beschwerdeführer damit, dass Art. 275a ZGB nicht beachtet worden sei. C.e. Das Verwaltungsgericht beanstandete die Verweigerung des Informations- und Anhörungsrechts gemäss der angefochtenen Verfügung vom 25. August 2014 nicht und erklärte sich für aufsichtsrechtliche Rügen als unzuständig. Es wies die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziff. 1) und erhob für sein Verfahren VWBES.2014.377 keine Kosten (Dispositiv-Ziff. 2 des Urteils vom 15. Oktober 2014). D. Am 13. November 2014 hat der Beschwerdeführer eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Dispositiv-Ziff. 1 des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 15. Oktober 2014 erhoben. Er ersucht um unentgeltlichen Rechtsbeistand und unentgeltliche Rechtspflege und erneuert in der Sache seine vor Verwaltungsgericht gestellten Begehren. Sollte das Verwaltungsgericht nicht vollumfänglich zuständig sein, gehöre die zuständige Behörde genannt und seine Beschwerde an diese gerichtet. Allfällige Prozesskosten seien den kollusiv verbündeten Rechtsdiensten des Departements des Innern und der Solothurner Spitäler AG aufzuerlegen. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden. E. Auf Gefährdungsmeldung hin eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn ein Verfahren zur Prüfung von Kindesschutzmassnahmen. Der Beschwerdeführer beteiligte sich am Verfahren und stellte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, das die KESB abwies, soweit sie darauf eintrat (Entscheid vom 14. August 2014). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht ab (Urteil vom 9. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.378). Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren ist Gegenstand des Beschwerdeverfahrens 5A_890/2014 vor Bundesgericht.