Sachverhalt: A. Die 1970 geborene A._ meldete sich am 13. Januar 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch, namentlich veranlasste sie eine psychiatrische Begutachtung bei B._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, (Gutachten vom 21. September 2009), und verneinte mit Verfügung vom 20. Dezember 2010 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung mit der Begründung, die einjährige Wartezeit sei nicht erfüllt. Mit Schreiben vom 19. April 2012 liess A._ unter Hinweis auf eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes erneut Leistungen der Invalidenversicherung beantragen. Nachdem die IV-Stelle eine Verlaufsbegutachtung bei B._ veranlasst hatte (Gutachten vom 5. April 2013 sowie Bericht vom 2. Januar 2014 betreffend die Zusatzuntersuchung vom 25. November 2013), verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades (IV-Grad 39 %; Verfügung vom 21. Januar 2014). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2014 gut, hob die Verfügung vom 21. Januar 2014 auf und sprach A._ ab dem 1. Oktober 2012 eine Viertelsrente zu. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, es sei der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 27. August 2014 aufzuheben und festzustellen, dass A._ keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe. In prozessualer Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtete auf eine Stellungnahme.