Sachverhalt: A. Der serbische Staatsangehörige A.A._ (geboren am 1954) heiratete am 1976 seine Landsfrau B.A._ (geb. 1960), mit welcher er einen Sohn hat (C.A._, geb. 1978), der bis heute in Serbien lebt. A.A._ hielt sich zwischen 1988 und 1996 als Saisonnier in der Schweiz auf. Im August 1999 zog er im Rahmen des Familiennachzuges zu seiner hier aufenthalts- bzw. seit dem 7. Februar 2003 niederlassungsberechtigten Ehefrau und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge regelmässig verlängert wurde. Im Jahre 2002 verlor A.A._ seine Arbeitsstelle als Reinigungsmitarbeiter im Spital U._. Er geht bis heute keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Im Jahr 2006 verstarb seine Ehefrau. Seither wird er vom Sozialdienst U._ unterstützt. Zusätzlich bezieht er eine BVG-Witwerrente von monatlich Fr. 606.--. B. Am 13. Oktober 2009 wurde A.A._ vom Migrationsdienst des Kantons Bern formell verwarnt und u.a. aufgefordert, keine Sozialhilfe mehr zu beziehen und einer geregelten Arbeit nachzugehen. Abgesehen von der Teilnahme an Beschäftigungs- bzw. Integrationsprogrammen gelang dies A.A._ jedoch nicht. Am 8. Oktober 2012 lehnte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern einen Antrag auf eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung schliesslich ab und wies A.A._ aus der Schweiz weg. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos; und mit Urteil vom 9. April 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid vom 27. Mai 2013 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 14. Mai 2014 führt A.A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 9. April 2014 aufzuheben und das Amt für Migration und Personenstand anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Der Migrationsdienst des Kantons Bern hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt (heute: Staatssekretariat) für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 20. Mai 2014 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.