Sachverhalt: A. Die B._ B.V., Rotterdam, meldete am 9. Mai 2012 in der Nachlassstundung der C._ AG, Zug, eine Forderung von rund Fr. 1,355 Mia. an. Die Forderung wurde von den Sachwaltern der C._ AG im Umfang von rund Fr. 187 Mio. bestritten. Am 6. August 2012 wurde über die B._ B.V. in den Niederlanden das Insolvenzverfahren eröffnet und A._ (Beschwerdeführer) zum Insolvenzverwalter bestellt. B. Mit Eingabe vom 13. September 2013 stellte der Beschwerdeführer beim Kantonsgericht Zug das Begehren, es sei der Beschluss des Landgerichts Rotterdam vom 6. August 2012 über die Eröffnung des Insolvenzverfahrens über die B._ B.V. als ausländisches Konkursdekret zu anerkennen und es sei über das in der Schweiz gelegene Vermögen der B._ B.V. der Konkurs im Sinne von Art. 170 ff. IPRG zu eröffnen. Mit Entscheid vom 8. Oktober 2013 wies das Kantonsgericht das Gesuch kostenpflichtig ab, da die Niederlande kein Gegenrecht (Art. 166 Abs. 1 lit. c IPRG) hielten (Verfahren EK 2013 327). Eine dagegen gerichtete Beschwerde des Beschwerdeführers wies das Obergericht des Kantons Zug kostenpflichtig mit Urteil vom 18. Februar 2014 ab (Verfahren BZ 2013 89). Mit Urteil vom 27. März 2015 hiess das Bundesgericht die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen das Urteil des Obergerichts gut und stellte fest, dass die Niederlande Gegenrecht gewähren (Urteil 5A_248/2014, teilweise publ. in: BGE 141 III 222). Das Bundesgericht wies die Sache zur weiteren Behandlung im Sinne dieser Feststellung an das Obergericht zurück. Es verpflichtete den Kanton Zug, den Beschwerdeführer mit Fr. 4'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen. Die Neubestimmung der kantonalen Kosten übertrug es dem Obergericht. C. Mit Beschluss vom 2. Juni 2015 wies das Obergericht die Sache an das Kantonsgericht zur Neubeurteilung zurück und erhob für das vorliegende Verfahren keine Kosten (Verfahren BZ 2015 49). Am 9. Juni 2015 gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht und hielt fest, aufgrund des Bundesgerichtsentscheids vom 27. März 2015 gälten die kantonalen Entscheide vom 8. Oktober 2013 und 18. Februar 2014 als aufgehoben. Über die neuen Kosten- und Entschädigungsfolgen dieser Verfahren habe das Bundesgericht nicht entschieden, sondern damit das Obergericht beauftragt. Gemäss dem Präsidenten der Beschwerdeabteilung gehe das Obergericht davon aus, dass das Kantonsgericht in seinem Entscheid auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen der Verfahren EK 2013 327 und BZ 2013 89 auf Grundlage des bundesgerichtlichen Urteils entscheiden werde. Sollte dies nicht der Fall sein, so beantrage er, über die Kostenfolgen der Verfahren EK 2013 327 und BZ 2013 89 auf Grundlage des bundesgerichtlichen Entscheids neu zu befinden. Dabei mache er eine Prozessentschädigung geltend und beantrage weiter, dass ihm aus diesen Verfahren keine Gerichtsgebühren auferlegt werden. Mit Entscheid vom 11. Juni 2015 anerkannte das Kantonsgericht den Beschluss des Landgerichts Rotterdam vom 6. Juni 2012 als ausländisches Konkursdekret und eröffnete über das in der Schweiz gelegene Vermögen der B._ B.V. den Konkurs. Die Kosten dieses Entscheids wurden dem Beschwerdeführer auferlegt. Das Kantonsgericht hielt sodann fest, über die Kostenfolgen des Beschwerdeverfahrens vor dem Obergericht könne das Kantonsgericht nicht befinden. D. Das Obergericht nahm in der Folge die Eingabe des Beschwerdeführers vom 9. Juni 2015 als Erläuterungsbegehren hinsichtlich seines Beschlusses vom 2. Juni 2015 entgegen. In Erläuterung dieses Beschlusses stellte es mit Beschluss vom 16. Juni 2015 fest, dass dem Beschwerdeführer in den Verfahren EK 2013 327 und BZ 2013 89 keine Gerichtskosten auferlegt werden und er in diesen Verfahren keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung habe. Für diese Erläuterung (wie der erläuterte Beschluss unter dem Verfahrenszeichen BZ 2015 49) erhob das Obergericht keine Kosten und sprach es dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zu. E. Am 14. August 2015 hat der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er verlangt, den Beschluss des Obergerichts vom 16. Juni 2015 aufzuheben. Die Sache sei an das Obergericht zurückzuweisen und dieses anzuweisen, dem Beschwerdeführer im Verfahren BZ 2013 89 auf der Grundlage der kantonalen Verordnung über den Anwaltstarif unter Berücksichtigung der Honorarnote eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Das Kantonsgericht hat am 11. September 2015 auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat am 14. September 2015 beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hat sich in der Folge nicht mehr vernehmen lassen.