Sachverhalt: A. Am Morgen des 21. August 2007 demontierten die Brüder D.E._ und C.E._ als Arbeitnehmer der X._ AG auf einer Baustelle bei Regenwetter ein viergeschossiges Fassadengerüst. Weil der Vorarbeiter D.E._ unter Rückenschmerzen litt, bestieg nicht er, sondern sein Bruder, der bei der X._ AG als Hilfsarbeiter bzw. Handlanger angestellt war, das Gerüst, um dieses zu demontieren. Dabei stürzte C.E._ vom obersten Gerüstgang über neun Meter in die Tiefe. Er erlitt unter anderem ein schweres Schädel-Hirn-Trauma sowie multiple Gesichtsfrakturen, und es bestand akute Lebensgefahr. C.E._ ist seit dem Unfall arbeitsunfähig. Die Anklage wirft A.X._ vor, er habe als stellvertretender Geschäftsführer und Bauführer der X._ AG sorgfaltswidrig nicht dafür gesorgt und kontrolliert, dass die Brüder E._ die Arbeiten am 21. August 2007 nach den für den Gerüstbau geltenden Sicherheitsvorschriften erledigten. B.X._ habe es als Geschäftsführer der X._ AG sorgfaltswidrig unterlassen, die Brüder E._ über die geltenden Sicherheitsbestimmungen zu informieren, sie zur korrekten Durchführung der Abbauarbeiten zu ermahnen und die Baustelle sowie die Mitarbeiter zu kontrollieren oder eine genaue Kontrolle durch den jeweiligen Baustellenverantwortlichen zu veranlassen. B. Der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt sprach A.X._ und B.X._ am 17. Dezember 2009 der fahrlässigen schweren Körperverletzung schuldig. Er verurteilte sie zu einer bedingten Geldstrafe von 45 Tagessätzen zu Fr. 90.-- (A.X._) bzw. 60 Tagessätzen zu Fr. 450.-- (B.X._). Er hiess die unbezifferte Schadenersatz- und Genugtuungsforderung von C.E._ dem Grundsatz nach gut, legte die Haftungsquote auf 100 % fest und verwies ihn zur Festsetzung der Höhe der Ansprüche auf den Zivilweg. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte am 4. Juni 2013 das erstinstanzliche Urteil. Das Bundesgericht hiess die gegen das Urteil des Appellationsgerichts geführte Beschwerde in Strafsachen wegen Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör am 19. Juni 2014 gut. Es wies die Sache zur Einvernahme weiterer Zeugen und zu neuer Entscheidung an das Appellationsgericht zurück (Verfahren 6B_862/2013). Dieses bestätigte am 23. Januar bzw. 4. Februar 2015 das Urteil des Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt erneut. C. A.X._ und B.X._ beantragen mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben, sie seien von Schuld und Strafe freizusprechen, und die Zivilforderung sei abzuweisen. D. Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt beantragen die Abweisung der Beschwerde, unter Verzicht auf eine Stellungnahme. C.E._ lässt sich vernehmen und beantragt, die Beschwerde abzuweisen.