Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, Abteilung Wirtschaftsdelikte, führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und weitere Beschuldigte wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten mit einem Deliktsbetrag von ca. USD 31 Mio. Mit Verfügungen vom 28. April 2016 ordnete sie die Edition von Bankunterlagen durch verschiedene Banken an. Der Beschuldigte und sechs Gesellschaften stellten je Siegelungsgesuche, worauf die edierten Bankunterlagen am 20. Mai 2016 versiegelt wurden. B. Mit Verfügung vom 12. Juli 2016 wies das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht (ZMG), das von der Staatsanwaltschaft am 24. Mai 2016 eingereichte Entsiegelungsgesuch ab. C. Gegen die Verfügung des ZMG gelangte die Staatsanwaltschaft mit Beschwerde vom 10. August 2016 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz; eventualiter sei das Entsiegelungsgesuch gutzuheissen. Das ZMG hat am 15. August 2016 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschuldigte beantragt mit Stellungnahme vom 25. August 2016, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Sechs vom Entsiegelungsgesuch betroffene Gesellschaften haben (innert der auf 26. August 2016 angesetzten Frist) keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingereicht. Zur Stellungnahme des Beschuldigten vom 25. August 2016 sind innert angesetzter Frist ebenfalls keine Vernehmlassungen eingetroffen. Mit Verfügung vom 7. September 2016 wurde das Gesuch der Staatsanwaltschaft um aufschiebende Wirkung der Beschwerde (nach Einholung von diesbezüglichen Stellungnahmen der Verfahrensbeteiligten) bewilligt.