Sachverhalt: A. A.a. Die Ehegatten A.A._ und C.A._ wurden mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 31. August 2011 geschieden. Der 2002 geborene Sohn D.A._ verblieb unter gemeinsamer elterlicher Sorge. Bereits mit Verfügung vom 7. Oktober 2010 hatte die damalige Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich die elterliche Obhut aufgehoben und das Kind fremdplatziert. A.b. Abänderungsklagen von A.A._, mit welchen sie die Zuteilung der elterlichen Sorge und Obhut über Sohn D.A._ an sie (allein) erreichen wollte, wurden abgewiesen (Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 10. Juni 2013) resp. zufolge Rückzugs abgeschrieben (Verfügung des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 15. Dezember 2014). Mit Abänderungsklage vom 24. Februar 2015 beantragte C.A._ vor dem Bezirksgericht Dietikon das alleinige Sorgerecht. In diesem Verfahren stellte A.A._ ein Gesuch um Ausstand der Bezirksrichterin B._. Das Bezirksgericht wies das Gesuch ab (Urteil vom 8. Juni 2015). B. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil vom 13. Juli 2015). C. C.a. A.A._ gelangte mit "Verfassungsbeschwerde" vom 14. August 2015 an das Bundesgericht. Sie verlangt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Angelegenheit zur Feststellung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. C.b. Unter Beilage einer Vorladung des Bezirksgerichts Dietikon vom 20. August 2015 (zu einer Einigungsverhandlung und Verhandlung betreffend vorsorgliche Massnahmen) stellte A.A._ mit Eingabe vom 11. August (richtig: 9. September; Datum der Postaufgabe) 2015 das Gesuch, es sei Bezirksrichterin B._ (Beschwerdegegnerin) vorläufig zu verbieten, in der vorliegenden Sache zu amten. Bezirks- und Obergericht verzichteten auf eine Vernehmlassung in diesem Punkt. Das Bundesgericht untersagte der Beschwerdegegnerin, den Abänderungsprozess weiterzuführen, bis das bundesgerichtliche Urteil über die Ausstandsfrage ergangen ist (Verfügung vom 29. September 2015). C.c. In der Ausstandssache selber hat das Bundesgericht die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.