Sachverhalt: A. A.a. Die FC A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._. Sie verfügt über eine professionelle Fussballmannschaft, die in der schweizerischen Super League spielt. Die FC B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in V._. Sie führt eine professionelle Fussballmannschaft, die an der schweizerischen Challenge League teilnimmt. A.b. Im Februar 2011 unterzeichneten die Parteien eine "Vereinbarung betreffend definitivem Transfer des Spielers C._, geb. xxx" (nachfolgend "Transfervereinbarung") sowie einen "Zusatz zur Vereinbarung vom 01.02.2011 betreffend definitivem Transfer des Spielers C._, geb. xxx" (nachfolgend "Zusatzvereinbarung"). Die Transfervereinbarung legte unter anderem Folgendes fest: "1. Der Fussballspieler C._, geboren xxx, tritt sofort vom FC B._ zum FC A._ über. 2. Der FC B._ bestätigt, dass er seinen mit dem Fussballspieler C._, geboren xxx, bestehenden Arbeitsvertrag mit Wirkung ab dem 31.01.2011 aufgelöst hat. 3. Der FC A._ bestätigt, dass er mit dem Fussballspieler C._, geboren xxx, einen bis zum 30.06.2015 befristeten Arbeitsvertrag (Lizenzspielervertrag) abgeschlossen hat. 4. Der FC A._ bezahlt dem FC B._ für den Transfer des Fussballspielers C._, vorgenannt, total CHF 50'000 (Schweizerfranken fünfzigtausend) zuzüglich 8% Mehrwertsteuer. Die vorgenannte Vertragsauskaufsumme wird am 20. Februar 2011 zur Zahlung an den FC B._ fällig. Weitergehende Verpflichtungen des von FC A._ gegenüber dem FC B._ bestehen nicht." Gemäss Zusatzvereinbarung sahen die Parteien unter anderem Folgendes vor: "1. Der FC B._ ist bei einem Weitertransfer des Spielers C._ vom FC A._ zu einem weiteren Verein mit 10% an einem allfälligen Transfer- oder Leihgewinn mitbeteiligt. Das heisst, der FC B._ ist weiterhin mit 10% Miteigentümer an den wirtschaftlichen Rechten des Spielers. 2. In Präzisierung von Ziff. 1 wird festgehalten, dass von einem allfälligen Transferertrag vorerst der vom FC A._ nachweislich erbrachte Transferaufwand in Abzug gebracht wird. Lediglich die Differenz zwischen Transferaufwand und Transferertrag bildet den Transfergewinn." In der Folge kam es zu einem Transfer des Spielers zur FC D._ AG, wobei sich die Transfersumme auf rund Fr. 1.2 Mio. belief. Die Klägerin machte unter Bezugnahme auf die Bestimmungen der Zusatzvereinbarung einen Anspruch in der Höhe von Fr. 124'416.-- (inkl. MWST) geltend. Die Beklagte leistete zunächst eine Zahlung von Fr. 35'640.--; in der Folge bestritt sie Bestand und Höhe des Anspruchs. B. Mit Eingabe vom 16. Oktober 2014 leitete die Klägerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) eine Schiedsklage ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 88'776.-- (inkl. MWST), zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit dem 16. Juli 2013 zu verurteilen. Die Beklagte widersetzte sich der Klage. Am 28. Mai 2015 fand in Lausanne eine mündliche Verhandlung statt. Mit Schiedsspruch vom 17. August 2015 hiess das TAS die Klage teilweise gut und verurteilte die Beklagte zur Zahlung von Fr. 50'976.-- (inkl. MWST), zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab 16. Juli 2013. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des TAS vom 17. August 2015 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen (Antrags-Ziff. 1). Zudem sei das TAS anzuweisen, die Klage der Beschwerdegegnerin abzuweisen (Antrags-Ziff. 2). Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Schiedsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht eine Replik eingereicht.