Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1956) ist türkischer Staatsangehöriger mit kurdischer Abstammung. Am 3. Juli 1982 reiste er über die Bundesrepublik Deutschland in die Schweiz ein und ersuchte am 15. Juli 1982 um Asyl. Am 19. November 1982 verfügte das damalige Bundesamt für Polizeiwesen die Wegweisung. Der Entscheid wurde ausdrücklich als Zwischenverfügung bezeichnet und A._ wurde mitgeteilt, der Asylentscheid werde ihm im Ausland an eine von ihm zu bezeichnende Adresse zugestellt. Auf eine gegen den Wegweisungsentscheid erhobene Beschwerde trat das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement EJPD, Beschwerdedienst, am 28. Januar 1983 nicht ein. Die offenbar gegen den Endentscheid betreffend Asyl am 21. Februar 1983 erhobene Beschwerde zog A._ am 7. Oktober 1991 zurück, nachdem ihm und seiner 1989 in die Schweiz gekommenen Ehefrau sowie der 1990 geborenen Tochter aus humanitären Gründen die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung in Aussicht gestellt worden war. Am 11. Oktober 1991 schrieb das EJPD, Beschwerdedienst, das Beschwerdeverfahren als durch Rückzug erledigt ab. Aus der Ehe ging am 3. November 1991 eine zweite Tochter hervor. Am 13. November 1992 wurde allen Familienmitgliedern die Aufenthaltsbewilligung erteilt. A._ erhielt am 11. Februar 2002 die Niederlassungsbewilligung. Seine seit 1997 von ihm geschiedene Ehefrau und die beiden Töchter erlangten am 29. September 2004 das Schweizer Bürgerrecht. A.b. Bereits am 25. Oktober 1999 hatte das Obergericht des Kantons Zürich A._ in zweiter Instanz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten wegen Erpressung, mehrfacher versuchter Nötigung und Angriffs verurteilt. Deswegen wurde er am 2. Februar 2000 ausländerrechtlich verwarnt. Am 13. Juli 2011 verurteilte das Bezirksgericht Zürich A._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, mehrfacher einfacher Körperverletzung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz, begangen am 23. Mai 2005, zu einer Freiheitsstrafe von fünfeinhalb Jahren und einer Busse von Fr. 250.--. Das Obergericht des Kantons Zürich bestätigte die Schuldsprüche mit Urteil vom 23. Mai 2013 und reduzierte die Freiheitsstrafe um sechs Monate auf fünf Jahre. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_773/2013 vom 28. Juli 2014 ab. Bis zu seiner bedingten Entlassung am 21. September 2008 hatte sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug befunden; die Reststrafe musste er nicht mehr verbüssen. Mit Strafbefehl vom 23. Januar 2014 verurteilte die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat A._ wegen Widerhandlungen gegen das Ausländergesetz zu einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 50.--, aufgeschoben mit einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von Fr. 100.--. B. Am 13. Mai 2015 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich die Niederlassungsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 16. September 2015; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Dezember 2015). C. A._ erhebt am 17. Januar 2016 "Beschwerde in verwaltungsrechtlichen Angelegenheiten und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, die Niederlassungsbewilligung sei ihm nicht zu entziehen, eventualiter sei von der Wegweisung abzusehen und subeventualiter sei die Angelegenheit zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung, und das Staatssekretariat für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. A._ hat am 4. Mai 2016 eine Replik eingereicht. Mit Präsidialverfügung vom 19. Januar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Mit Schreiben vom 3. Mai 2016 teilt das Migrationsamt mit, A._ habe beim Staatssekretariat für Migration ein neues Asylgesuch eingereicht.