Sachverhalt: A. Nachdem zwei Gesuche der 1946 geborenen A._ um Ergänzungsleistungen verneint worden waren (Verfügung des Amtes für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich [nachfolgend: Amt für Zusatzleistungen] vom 13. Juni 2007; Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Dezember 2011), meldete sich die Versicherte im Dezember 2012 erneut zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Nach Abklärungen errechnete das Amt für Zusatzleistungen einen Einnahmenüberschuss und verneinte mit Verfügung vom 26. Juni 2013 einen Anspruch. Daran hielt es mit Einspracheentscheid vom 8. April 2014 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 17. Dezember 2015 ab. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, das Amt für Zusatzleistungen sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Ergänzungsleistungen auszurichten; eventualiter sei ein psychiatrisches Gutachten darüber einzuholen, ob bei ihr eine pathologische Spielsucht vorhanden ist oder war. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Amt für Zusatzleistungen schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin lässt eine weitere Eingabe einreichen.