Sachverhalt: A. Die OAO B._ (Beschwerdegegnerin) ist eine Versicherungsgesellschaft mit Sitz in Moskau und eine vollkonsolidierte Tochtergesellschaft des deutschen B._ Konzerns. Die A._ Ltd (Beschwerdeführerin) bezweckt jede Art von Direkt- und Rückversicherung mit Ausnahme der direkten Lebensversicherung. Sie ist auf die Deckung von Risiken im Zusammenhang mit dem Bau und Betrieb von internationalen Infrastrukturanlagen spezialisiert. Ihr Sitz befindet sich in Zürich. Am 25. Dezember 2008 schloss die OAO B._ mit der staatlichen russischen Energiegesellschaft C._ (Versicherungsnehmerin) einen Vertrag betreffend die Versicherung diverser Wasserkraftwerke und anderer Gebäude der Versicherungsnehmerin ab. Kurz zuvor war sie mit verschiedenen Rückversicherungsgesellschaften, darunter der A._ Ltd mit einem Anteil von 17.2 %, separate Rückversicherungsverträge über eine Summe von insgesamt USD 200 Mio. eingegangen. Der Rückversicherungsvertrag mit der A._ Ltd enthielt eine Gerichtsstandsklausel zugunsten der russischen Gerichte. Am 17. August 2009 kam es im versicherten Wasserkraftwerk D._ zu einem Unfall, bei dem 75 Menschen ums Leben kamen und massiver Sachschaden entstand. Trotz des Widerstands der Rückversicherer zahlte die OAO B._ der C._ bis Ende Juli 2010 die volle Versicherungssumme gemäss dem Erstversicherungsvertrag aus. Die Rückversicherer stellten sich zunächst auf den Standpunkt, dass infolge grober Pflichtverletzungen seitens der Versicherungsnehmerin kein Versicherungsfall vorliege. Schliesslich leisteten sie ihre jeweiligen Anteile an der Versicherungssumme - mit Ausnahme der A._ Ltd, die bloss rund USD 11.5 Mio. überwies. Am 30. Dezember 2010 machte die OAO B._ beim Arbitragegericht der Stadt Moskau, einem staatlichen Handelsgericht, eine Forderungsklage über 765'786'695.27 Russische Rubel gegen die A._ Ltd anhängig. Die A._ Ltd erhob Widerklage auf Rückerstattung der geleisteten Zahlung. Am 22. Juli 2011 hiess das Arbitragegericht die Klage gut und wies die Widerklage ab. Diese Entscheidung focht die A._ Ltd beim Neunten Arbitrage- und Appellationsgericht an, das sie (als erste Rechtsmittelinstanz) mit Verordnung vom 30. November 2011 bestätigte. Die A._ Ltd gelangte daraufhin an die dritte Instanz, das Föderale Arbitragegericht der Moskauer Region. Mit Verordnung vom 16. Mai 2012 gab dieses der Kassationsbeschwerde nicht statt. Schliesslich lehnte das Oberste Arbitragegericht der Russischen Föderation mit Beschluss vom 11. Dezember 2012 die Verweisung des Verfahrens an ihren Präsidenten zur aufsichtsrechtlichen Überprüfung ab. Damit war der Instanzenzug in Russland erschöpft. B. Mit Eingabe vom 28. Januar 2013 gelangte die OAO B._ an das Bezirksgericht Zürich. Sie beantragte, die Entscheidung des Arbitragegerichts der Stadt Moskau vom 22. Juli 2011 " in Verbindung mit" der Verordnung des Neunten Arbitrage- und Appellationsgerichts vom 30. November 2011, der Verordnung des Föderalen Arbitragegerichts der Moskauer Region vom 16. Mai 2012 und dem Beschluss des Obersten Arbitragegerichts der Russischen Föderation vom 11. Dezember 2012 gegen die A._ Ltd anzuerkennen und für vollstreckbar zu erklären. Mit Urteil vom 14. Oktober 2013 gab das Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht dem Begehren statt und sprach die beantragte Vollstreckbarerklärung "für das Gebiet der Schweiz" aus. Die von der A._ Ltd dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 26. Februar 2014 ab. C. Die A._ Ltd begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 26. Februar 2014 sei aufzuheben. Das Begehren der OAO B._ um Anerkennung und Vollstreckbarerklärung der russischen Entscheidung sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die OAO B._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt auf sie eingetreten werden könne. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 25. April 2014 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. In einer Eingabe vom 10. Juli 2014 beantragte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung teilweise wieder zu entziehen. Die Beschwerdeführerin widersetzte sich diesem Antrag und begehrte ihrerseits, sie sei zu einer (zusätzlichen) Sicherheitsleistung zu verpflichten.