Sachverhalt: A. Gegen A._ läuft die Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Sihltal. Als Grund der Forderung hat B._, vertreten durch C._, ausstehende Unterhaltszahlungen angegeben. Am 6. März 2015 wurde der Zahlungsbefehl im Wohnheim D._ an der E._strasse yyy in U._ Frau F._ von der Heimleitung ausgehändigt. Frau F._ legte den Zahlungsbefehl in das hausinterne Postfach von A._. Dort entnahm der Betriebene die Urkunde am 13. März 2015. B. Mit Eingabe vom 22. März 2015 erhob A._ Rechtsvorschlag. Am 26. März 2015 (Postaufgabe am 30. März 2015) reichte er beim Betreibungsinspektorat des Kantons Zürich eine "Beschwerde betreffend Zustellung von Zahlungsbefehlen und Fristwiederherstellungsgesuch" ein. Der Schriftsatz wurde an das Bezirksgericht Horgen als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs weitergeleitet. Am 10. April 2015 sandte A._ dort eine Ergänzung ein. In der Folge stellte das Bezirksgericht fest, dass die zehntägige Rechtsvorschlagsfrist am 16. März 2015 abgelaufen und der am 22. März 2015 erhobene Rechtsvorschlag verspätet war. Es wies das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlages sowie dasjenige um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und auferlegte dem Beschwerdeführer die auf Fr. 100.-- bestimmten Gerichtskosten (Urteil vom 23. April 2015). C. A._ gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Er berief sich auf seinen Gehörsanspruch und beharrte darauf, dass das Gericht seine Eingabe vom 10. April 2015 (s. Bst. B) beachte und prüfe bzw. seinen Entscheid transparent und nachvollziehbar begründe; zu diesem Zweck sei die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Gegebenenfalls sollte das Obergericht gestützt auf die Eingabe vom 10. April 2015 selbst entscheiden und die Rechtsvorschlagsfrist wiederherstellen. In prozessualer Hinsicht stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin Annegret Katzenstein. Es wurde mit separatem Beschluss vom 19. Juni 2015 abgewiesen. Ausserdem ersuchte er für das kantonale Beschwerdeverfahren um das Armenrecht. Das Obergericht trat auf die Beschwerde nicht ein und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Beschluss vom 23. Juli 2015). D. Mit Beschwerde vom 11. August 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Verfahren "zur Korrektur" und zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen (Ziffer 1). Dieses solle die Stellen der Eingabe vom 10. April 2015, die angeblich bereits in der Eingabe vom 26./30. März 2015 enthalten sein sollen, "genau" bezeichnen (Ziffer 2). Selbiges verlangt der Beschwerdeführer im Sinne eines Eventualbegehrens vom Bundesgericht selbst, verbunden mit einer Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht Horgen. Subeventualiter stellt er das Begehren, die Rechtsvorschlagsfrist wiederherzustellen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.