Sachverhalt: A. A._ (Mutter) und B._ (Vater) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des 2003 geborenen Kindes C._. Der Vater hat das Kind anerkannt. Mit Unterhaltsvertrag vom 9. März 2004/10. November 2004 verpflichtete er sich, der Mutter zuhanden des Kindes einen monatlichen indexierten Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'000.-- zu bezahlen sowie zusätzlich für die Hälfte der Kinderbetreuungskosten aufzukommen. Am 29. November 2004 genehmigte die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich diesen Vertrag. Die Eltern lebten ab Juni 2000 bis Februar 2012 zusammen. Ab Januar 2012 wurden die Unterhaltsbeiträge bevorschusst. B. B.a. Die Mutter betrieb den Vater im März 2012 für ausstehende Unterhaltsbeiträge und den Anteil an den Betreuungskosten (Fr. 63'286.--; Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4; Zahlungsbefehl vom 28. März 2012). B.b. Mit der im Januar 2013 beim Bezirksgericht Winterthur rechtshängig gemachten Klage forderte die Mutter vom Vater die Bezahlung der gemäss Unterhaltsvertrag ab Geburt des Kindes bzw. Dezember 2003 bis Ende 2011 (d.h. bis zum Einsetzen der Alimentenbevorschussung) geschuldeten monatlichen Barunterhaltsbeiträge von Fr. 2'000.-- , zuzüglich Teuerungszuschlag (Fr. 198'948.--), weiter die Hälfte der ab Januar 2004 bis September 2012 angefallenen Kosten für ein Kindermädchen (Fr. 210'556.--) sowie die Hälfte der Kosten für die "Schule D._" (Fr. 45'550.--), die das Kind ab Juli 2009 regelmässig bis Dezember 2012 besucht hat. An das Gesamttotal dieser Forderung (Fr. 455'054.--) rechnete die Mutter erfolgte Zahlungen des Vaters von Fr. 182'900.-- sowie Fr. 70'700.-- Direktzahlungen an die Kindermädchen an. So ergab sich der vor erster Instanz eingeforderte Betrag von Fr. 201'454.-- (der in Betreibung gesetzte Betrag von Fr. 63'286.-- plus Fr. 138'168.--). Ferner stellte sie das Begehren, den in der obgenannten Betreibung erhobenen Rechtsvorschlag im Umfang von Fr. 63'286.-- zuzüglich Zins seit 29. März 2012 sowie die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 218.-- zu beseitigen. Mit Urteil vom 15. Oktober 2014 verpflichtete das Bezirksgericht Winterthur den Vater in teilweiser Gutheissung der Klage, der Mutter Fr. 96'809.-- nebst Zins zu 5% seit dem 29. März 2012 auf Fr. 90'865.-- zu bezahlen und ihr die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 218.-- zu ersetzen. Im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen. Im Weiteren wurde der Rechtsvorschlag des Vaters in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4 (Zahlungsbefehl vom 28. März 2012) im Umfang von Fr. 63'286.-- nebst Zins zu 5% seit dem 29. März 2012 aufgehoben. B.c. Mit Urteil vom 31. März 2015 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich den Vater in teilweiser Gutheissung der Berufung, der Mutter Fr. 24'147.70 nebst Zins zu 5% seit dem 16. Januar 2013 zu bezahlen und wies die Klage im Übrigen ab. Der zugesprochene Betrag bezieht sich auf die Periode nach der Trennung der Parteien. Für die Zeit des Zusammenlebens sprach das Obergericht der Mutter nichts zu. C. Die Mutter (Beschwerdeführerin) hat gegen das obergerichtliche Urteil am 4. Mai 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei hinsichtlich der Abweisung der Klage (Forderung bis und mit Januar 2012) aufzuheben und der Vater (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr zusätzlich zu der vom Obergericht festgelegten Verpflichtung Fr. 126'093.85 (Fr. 150'241.55 ./. Fr. 24'147.70) zuzüglich 5% Zins seit dem 16. Januar 2013 und die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 218.-- zu bezahlen. Der Rechtsvorschlag des Beschwerdegegners in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4 (Zahlungsbefehl vom 28. März 2012) sei im Umfang von Fr. 63'286.-- nebst Zins seit dem 16. Januar 2013 aufzuheben. Eventuell sei die Sache betreffend die eingeklagte Forderung für die Zeit bis und mit Januar 2012 zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.