Sachverhalt: A. A.a. A._ meldete sich im November 2004 unter Hinweis auf Rückenbeschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen tätigte Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht. Mit Verfügung vom 14. Februar 2004 (recte: 2005) verneinte sie einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und auf eine Rente. Nachdem der Versicherte gegen den ablehnenden Entscheid Einsprache erhoben hatte, widerrief die IV-Stelle am 24. Juni 2005 ihre Verfügung und beauftragte die Medizinische Abklärungsstelle (im Folgenden: MEDAS) mit einer Begutachtung. Gestützt auf das am 14. Juni 2006 erstattete Gutachten verneinte die IV-Stelle, nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, einen Leistungsanspruch (berufliche Massnahmen und Rente; Verfügungen vom 27. Oktober 2006). A.b. Im Juni 2007 meldete sich der Versicherte erneut zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 26. Februar 2008 trat die IV-Stelle darauf nicht ein. A.c. Während einer stationären psychiatrischen Behandlung stellte der Versicherte am 16. Juli 2008 ein weiteres Leistungsbegehren. Die IV-Stelle nahm ärztliche Berichte, insbesondere zum psychischen Gesundheitszustand des Versicherten, zu den Akten und gab bei der MEDAS ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag (erstattet am 3. März 2010). Sie holte weitere Berichte bei den behandelnden psychiatrischen Fachärzten des Psychiatrie-Zentrums B._ (Bericht vom 10. April 2012) und beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD, Bericht vom 18. April 2012) ein. Mit Vorbescheid vom 20. August 2012 stellte sie die Verneinung des Rentenanspruchs in Aussicht. Daran hielt sie mit Verfügung vom 1. Oktober 2012 fest. B. A._ liess Beschwerde erheben und beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter seien zusätzliche medizinische Abklärungen vorzunehmen. Gleichzeitig legte er einen weiteren Bericht des Psychiatrie-Zentrums B._ vom 25. Januar 2013 auf. Das angerufene Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde gut, hob die Verfügung vom 1. Oktober 2012 auf und sprach dem Versicherten mit Wirkung ab 1. Januar 2009 eine ganze Rente zu. Es wies die Sache zur Festsetzung der Rentenhöhe sowie zur Ausrichtung der geschuldeten Leistungen an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 10. Juni 2014). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und ihre Verfügung vom 1. Oktober 2012 zu bestätigen. A._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.