Sachverhalt: A. A.A._ und B.A._ heirateten 1992 in U._ (Kroatien). Aus der Ehe gingen die Töchter C.A._ (geb. 1994) und D.A._ (geb. 1997) hervor. B. B.a. Am 18. Februar 2013 reichten B.A._ und A.A._ beim Bezirksgericht Baden ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein. Betreffend Nebenfolgen der Scheidung beantragten sie dem Gericht, diese gemäss Gesetz zu regeln. Nachdem Vergleichsverhandlungen gescheitert waren, stellte A.A._ - soweit vor Bundesgericht noch relevant - den Antrag, ihren Ehemann zu einer güterrechtlichen Ausgleichszahlung von mindestens Fr. 80'000.-- zu verpflichten. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 13. November 2014 erhöhte sie diesen Betrag auf mindestens Fr. 144'589.40. B.b. Am 2. Juni 2015 schied das Bezirksgericht Baden die Ehe der Parteien. Gleichzeitig genehmigte es ihre Teilvereinbarung vom 28. Mai 2013 und verpflichtete B.A._, seiner Frau eine güterrechtliche Ausgleichszahlung von Fr. 2'950.-- zu leisten. B.c. Die von A.A._ gegen diesen Entscheid eingereichte Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 2. Februar 2016). Ebenfalls abgewiesen wurde ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Die obergerichtliche Entscheidgebühr von Fr. 9'000.-- auferlegte das Obergericht A.A._. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. April 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht mit dem Antrag, B.A._ (Beschwerdegegner) zu einer güterrechtlichen Ausgleichszahlung von mindestens Fr. 145'895.-- zu verpflichten. Zudem sei ihr sowohl für das vorinstanzliche Verfahren wie auch für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Bundesgericht hat die Vorinstanz dazu eingeladen, sich zur Frage der verweigerten unentgeltlichen Rechtspflege vernehmen zu lassen. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet (Schreiben vom 1. September 2016). In der Sache wurden keine Vernehmlassungen, aber die vorinstanzlichen Akten eingeholt.