Sachverhalt: A. A.a. A._ und B._ (Beklagte, Beschwerdeführer) waren Verwaltungsräte der D.D._ AG - heute D._ in Nachlassliquidation - (im Folgenden "D._"), deren Zweck die Entwicklung, Produktion und der Verkauf von Produkten der mechanischen und elektronischen Industrie, insbesondere Präzisionswaagen, sowie der Handel mit solchen Produkten bildete. Die E.E._ Ldt. - neu E._ AG - (im Folgenden "E._") bezweckt die Entwicklung im Bereich Mikroelektronik, Chip-Design etc., die Entwicklung und das Design von Software, Produktearchitekur, Projektmanagement von Entwicklungsprojekten bis zur Serienreife, das Halten und Vermarkten von Lizenzen und Patenten, der Erwerb von Liegenschaften und Wertschriften sowie die Abwicklung von Treuhandgesellschaften; sie kann sich an anderen Firmen beteiligen. Die F._ SA (im Folgenden "F._") bezweckt den Erwerb und die Verwaltung von industriellen Beteiligungen. Die Beklagten sind die einzigen Verwaltungsräte der F._. Sie sind wirtschaftlich - direkt oder indirekt - zu 100 % an dieser Gesellschaft berechtigt. Die Beklagten waren zudem Verwaltungsräte der E._ und - direkt oder indirekt über weitere Gesellschaften - Mehrheitsaktionäre sowohl der D._ als auch der E._. A.b. Am 5. November 2007 genehmigte der Präsident III des Amtsgerichts Luzern-Stadt den Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung der D._. Die Bank C._ AG (Kägerin, Beschwerdegegnerin) war Hauptgläubigerin und wurde mit einer Forderung im Betrag von Fr. 22'318'673.40 in der dritten Klasse zugelassen. Sie liess sich die Rechtsansprüche der Masse gemäss Art. 260 SchKG im Nachlass der D._ abtreten. B. B.a. Am 12. Juni 2012 gelangte die Klägerin an das Handelsgericht des Kantons Zürich und stellte die Rechtsbegehren, die Beklagten seien zu verurteilen, ihr unter solidarischer Haftbarkeit Fr. 4'344'153.07 als Teilschadensbetrag nebst Zins zu 5 % seit 5. November 2007 zu bezahlen, unter Vorbehalt des Nachklagerechts. In der Replik erhöhte sie ihre Forderung auf Fr. 5'317'843.17. Sie machte gestützt auf Art. 260 SchKG Verantwortlichkeitsansprüche gegen die ehemaligen Verwaltungsräte der D._ geltend. Zur Begründung brachte sie vor, die Beklagten hätten unter Verletzung ihrer Treuepflicht in den Jahren 2002 bis 2006 dafür gesorgt, dass die D._ ohne Gegenleistung sämtliche Aufwendungen der E._ für das von dieser verfolgte Entwicklungsprojekt "E1._" im Betrag von Fr. 4'344'153.07 bezahlt habe. Ausserdem hätten sie Zahlungen der D._ an die F._ zu verantworten, welche diese in den Jahren 2000 bis 2004 als "Management-Fees" ohne Gegenleistung geleistet habe. B.b. Das Handelsgericht des Kantons Zürich hiess die Klage mit Urteil vom 20. Oktober 2014 teilweise gut und verurteilte die Beklagten, der Klägerin unter solidarischer Haftbarkeit Fr. 3'908'537.31 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 5. November 2007 zu bezahlen. Im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen. Das Gericht kam zum Schluss, die Beklagten hätten ihre organschaftlichen Pflichten verletzt, indem sie veranlassten, dass die D._ ohne Gegenleistung einerseits Kosten bezahlte, die der E._ entstanden waren, und andererseits der F._ sog. Management-Fees bezahlte. Die Höhe der Kosten, welche von der E._ in den Jahren 2002 bis 2006 zu bezahlen gewesen wären und die unter der Verantwortung der Beklagten von der D._ übernommen wurden, bemass das Gericht mit Fr. 3'036'308.91. Zusammen mit den Management-Fees, welche die D._ der F._ in den Jahren 2000 bis 2004 überwies, verringerte sich das Vermögen der D._ nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid um Fr. 4'009'999.01. Das Handelsgericht bejahte auch Kausalität und Verschulden, brachte jedoch eine verrechnete Forderung von Fr. 101'461.70 in Abzug, so dass der Klägerin Fr. 3'908'537.31 zuzusprechen waren. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beklagten dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Oktober 2014 aufzuheben und die Klage sei abzuweisen, eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Antwort, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführer haben unaufgefordert eine Replik eingereicht. D. Mit Verfügung vom 18. Februar 2015 wurde das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen. Die Beschwerdegegnerin hat mit Eingabe vom 23. Februar 2015 um Wiedererwägung ersucht. Die Beschwerdeführer haben sich dazu unaufgefordert geäussert. E. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Wiedererwägungsgesuch gegenstandslos.