Sachverhalt: A. Der irakische Staatsangehörige A._ (geb. 1980) reiste am 15. Mai 2003 unter falschem Namen in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, welches das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration) am 31. Oktober 2005 unter Gewährung der vorläufigen Aufnahme abwies. Im August 2007 heiratete A._ die aus der Türkei stammende Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1988), worauf er die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt. Die Bewilligung wurde letztmals bis zum 14. August 2013 verlängert. Aus der Ehe gingen ein Sohn (geb. 2008) und eine Tochter (geb. 2011) hervor. Beide Kinder verfügen über die schweizerische Staatsbürgerschaft. Am 12. August 2013 wurde das Getrenntleben der Eheleute gerichtlich festgestellt und die Obhut über die Kinder der Ehefrau übertragen. A._ wurde ein Besuchsrecht für jeden zweiten Samstag von 10 Uhr bis 16 Uhr, ab Eintritt der Schulpflicht für jedes zweite Wochenende von Samstag 10 Uhr bis Sonntag 18 Uhr, eingeräumt. Zwischen dem 1. September 2008 und 31. Dezember 2014 wurde die Familie bzw. - nach der Trennung - A._ von der Sozialhilfe mit insgesamt Fr. 195'000.-- unterstützt. Mit Blick auf den Sozialhilfebezug hatte das Migrationsamt des Kantons Zürich am 1. November 2012 eine Verwarnung ausgesprochen. Die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten verurteilte A._ mit Strafbefehl vom 4. Juni 2014 wegen fahrlässiger und grober Verletzung der Verkehrsregeln, Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall sowie Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer bedingten Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 30.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von Fr. 2'000.--. Die Staatsanwaltschaft Baden verurteilte ihn mit Strafbefehl vom 28. August 2014 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln zu einer unbedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und verlängerte die Probezeit für die am 4. Juni 2014 ausgesprochene Strafe auf drei Jahre. Mehrere 2013 angehobene Strafverfahren wegen Drohung und Nötigung zum Nachteil der Ehefrau wurden eingestellt. A._ hatte die gegen ihn erhobenen Vorwürfe stets bestritten. B. Am 16. Januar 2015 wies das Migrationsamt das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 10. Juni 2015 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 3. Dezember 2015, wobei es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abwies. C. A._ erhebt am 6. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und (sinngemäss) das Migrationsamt anzuweisen, ihm weiterhin eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventuell sei das angefochtene Urteil insoweit aufzuheben, als damit die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verweigert worden sei. Im Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt A._ die unentgeltliche Prozessführung mit seinem Rechtsvertreter als unentgeltlichem Rechtsbeistand. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung, und das Staatssekretariat für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Am 7. Januar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt worden.