Sachverhalt: A. Die 1975 geborene A._ war ab Mai 2003 als Produktionsmitarbeiterin bei der B._ AG tätig. Am 25. Februar 2011 erlitt sie bei einem Verkehrsunfall eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Der zuständige obligatorische Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Juni/Juli 2011 meldete sich A._ unter Hinweis auf die HWS-Distorsion und eine Depression bei der Invalidenversicherung (IV) zur Früherfassung und zum Leistungsbezug an. Die B._ AG kündigte das Anstellungsverhältnis auf den 31. Dezember 2011. Mit Verfügung vom 1. Juni 2012 stellte der Unfallversicherer seine Leistungen mit der Begründung, es lägen keine Unfallfolgen mehr vor, per 15. Juni 2012 ein. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte nebst weiteren Abklärungen die Akten des Unfallversicherers ein und liess die Versicherte durch ihren Regionalärztlichen Dienst (RAD) orthopädisch und neurologisch-psychiatrisch untersuchen. Gestützt auf die hierüber am 6. Juli 2012 erstatteten Berichte verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 22. Juli 2013 einen Anspruch auf Leistungen der IV. Sie begründete dies damit, es liege keine Diagnose vor, welche eine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit auslöse; aus somatischer und psychiatrischer Sicht seien jegliche Tätigkeiten im freien Arbeitsmarkt zumutbar. B. Beschwerdeweise beantragte A._, in Aufhebung der Verfügung vom 22. Juli 2013 seien vom 1. Juni bis 31. Dezember 2012 eine ganze und ab 1. Januar 2013 eine halbe Invalidenrente sowie berufliche Massnahmen zuzusprechen; eventuell sei ein psychiatrisches Gerichtsgutachten einzuholen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 14. Mai 2014 ab. C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zu weiteren Abklärungen, insbesondere zur Einholung eines psychiatrischen Gutachtens, an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt unter Hinweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.