Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 21. November 2013 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (im Folgenden: Strassenverkehrsamt) A._ den Führerausweis bis zur Abklärung der Fahreignung vorsorglich. Es ordnete eine Eignungsuntersuchung durch das Institut für Rechtsmedizin in Bern an. Dagegen erhob A._ Beschwerde bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern (im Folgenden: Rekurskommission). Am 29. April 2014 bestätigte der Präsident der Rekurskommission den vorsorglichen Führerausweisentzug (lit. a). Am 7. Mai 2014 setzte er die A._ zulasten des Strassenverkehrsamts zugesprochene Parteientschädigung auf insgesamt Fr. 1'951.55 fest (lit. a). B. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, lit. a des Entscheids des Präsidenten der Rekurskommission vom 29. April 2014 sei aufzuheben. Der vorsorgliche Führerausweisentzug sei aufzuheben und die Sache an das Strassenverkehrsamt, eventualiter die Vorinstanz zurückzuweisen. Aufzuheben sei überdies lit. a des Entscheids des Präsidenten der Rekurskommission vom 7. Mai 2014. A._ sei eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 3'246.14 auszurichten. Eventualiter sei lit. a des Entscheids des Präsidenten der Rekurskommission vom 7. Mai 2014 aufzuheben und dieser anzuweisen, über die Parteientschädigung neu zu befinden. C. Der Präsident der Rekurskommission und das Strassenverkehrsamt haben sich je vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Strassen beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde. A._ hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen. D. Mit Verfügung vom 26. Juni 2014 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um Anordnung einer vorsorglichen Massnahme abgewiesen.