Sachverhalt: A. A._ und B._ führen vor den Gerichten des Kantons Aargau einen Prozess, in welchem es um die Anordnung vorsorglicher Massnahmen während der Dauer des Ehescheidungsverfahrens und um die Abänderung von Eheschutzmassnahmen geht. Im Scheidungsverfahren hatte das Bezirksgericht Bremgarten auf den 23. Juni 2016 zur Hauptverhandlung vorgeladen. B. Im Massnahmeverfahren vor dem Bezirksgericht Bremgarten beantragte A._ mit Klageantwort und Widerklage vom 5. Oktober 2015, B._ zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 5'000.-- zu verurteilen; eventualiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Der Präsident des Bezirksgerichts wies das Armenrechtsgesuch mit Verfügung vom 13. Januar 2016 ab. C. Dagegen legte A._ beim Obergericht des Kantons Aargau Beschwerde ein. Er hielt an seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Massnahmeverfahren fest und ersuchte auch für das Beschwerdeverfahren um das Armenrecht. Das Obergericht wies sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch ab (Entscheid vom 22. Februar 2016). D. Mit Beschwerde vom 7. April 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und ihm für das Verfahren vor dem Bezirksgericht (Bst. B) und für das kantonale Beschwerdeverfahren (Bst. C) die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen. Schliesslich stellt er auch für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Armenrechtsgesuch. In diesem Zusammenhang teilt er mit Schreiben vom 31. Mai 2016 mit, dass B._ (Beschwerdegegnerin) gestützt auf den vollstreckbaren Entscheid im Massnahmeverfahren im Umfang von Fr. 2'000.-- pro Monat eine "stille Lohnpfändung" gegen ihn erwirkt habe, weshalb er erst recht nicht in der Lage sei, für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aus eigener Kraft aufzukommen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.