Sachverhalt: A. A._ (geb. 1949) hatte im Jahr 1977 das luzernische Anwaltspatent erworben. B. Am 13. Mai 2015 entzog ihm die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern das Anwaltspatent mit der Begründung, er erfülle die Voraussetzungen für die Erteilung des Anwaltspatents nicht mehr, da gegen ihn am 18. Dezember 2014 beim Betreibungsamt U._ Verlustscheine in der Höhe von Fr. 46'392.95 und beim Betreibungsamt V._ Verlustscheine in der Höhe von Fr. 276'110.30 vorgelegen hätten. Mit dem Entscheid, das Anwaltspatent zu entziehen, wurden zwei hängige Disziplinarverfahren als gegenstandslos abgeschrieben. Die gegen den Entzug des Anwaltspatents erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern am 10. August 2015 ab und bewilligte auch die unentgeltliche Rechtspflege nicht, da die Beschwerde aussichtslos sei. C. A._ erhebt am 5. Oktober 2015 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Rechtswidrigkeit des Patententzugs festzustellen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Kantonsgericht und die Aufsichtsbehörde schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Justiz stellt keinen Antrag; es hält jedoch dafür, der Entzug des Anwaltspatents sei, sofern es sich um eine Disziplinarmassnahme handle, nicht mit dem Bundesrecht vereinbar. In ihrer Vernehmlassungsantwort weist die Aufsichtsbehörde darauf hin, es gehe nicht um einen disziplinarischen Entzug des Anwaltspatents. Der Entscheid stütze sich auf das kantonale Anwaltsgesetz, in dem der Patententzug geregelt sei. Der Erwerb und damit auch der Entzug des Anwaltspatents liege in der Kompetenz der Kantone.