Sachverhalt: A. Die philippinische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1975) heiratete am 14. Februar 2012 den Schweizer Bürger B.A._ (geb. 1967), worauf ihr am 28. Februar 2012 die Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 15. April 2013 reisten die vier Kinder von A.A._ aus früheren Beziehungen, C._ (geb. 1992), D._ (geb. 1997), E._ (geb. 1998) und F._ (geb. 2004) mit einem Touristenvisum in die Schweiz ein. Am 24. Juni 2013 ersuchte A.A._ um Familiennachzug für ihre vier Kinder. Mit Stellungnahme vom 14. August 2013 wurde eventualiter beantragt, für D._, E._ und F._ sei der Aufenthalt als Pflegekinder von B.A._ zu bewilligen, für C._ eine Aufenthaltsbewilligung im Hinblick auf die Erwachsenenadoption durch B.A._ zu erteilen. Mit Verfügung vom 2. September 2013 hiess das Amt für Migration und Schweizer Ausweise des Kantons Solothurn (MISA) das Gesuch um Familiennachzug zugunsten von F._ gut, wies aber die Gesuche betreffend D._ und E._ sowie C._ ab. B. Dagegen erhoben A.A._ und B.A._ sowie C._ am 9. September 2013 Beschwerde an das Verwaltungsgericht dies Kantons Solothurn. Die Beschwerde von C._ wurde am 6. Januar 2014 zurückgezogen. Mit Urteil vom 24. Februar 2014 schrieb das Verwaltungsgericht die Beschwerde von C._ als gegenstandslos ab, wies die Beschwerde von A.A._ und B.A._ ab und setzte C._ sowie D._ und E._ Frist bis 30. April 2014 zum Verlassen der Schweiz. C. A.A._ sowie B.A._ erheben mit gemeinsamer Eingabe vom 28. März 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, es sei ihnen der Nachzug der Kinder D._ und E._ zu bewilligen und diesen Aufenthaltsbewilligungen zum Verbleib bei A.A._ und B.A._ zu erteilen. Zugleich ersuchen sie um Erteilung der unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 2. April 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie das Bundesamt für Migration (seit 1.1.2015: Staatssekretariat für Migration) beantragen Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 19. Juni 2014 wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit abgewiesen, worauf die Eheleute A.A._ und B.A._ den Kostenvorschuss bezahlten.