Sachverhalt: A. A.a. A._ ist die Mutter von C._ (geb. 2014). B._ anerkannte das Kind am 1. Juli 2014 als seinen Sohn. Am 13. April 2015 übertrug die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde E._ (KESB) den Kindseltern die gemeinsame elterliche Sorge über ihren Sohn und regelte die Betreuungsanteile der Eltern. A.b. Aufgrund eines Vorfalles betreffend den Neffen von A._, der in ihrem Haushalt lebt, schritt die Polizei am 27. September 2015 zu einer Durchsuchung des Hauses, wobei Waffen mit zugehöriger Munition aufgefunden und beschlagnahmt wurden. Die Polizei fand das Haus, in dem sich auch das Kind aufhielt, in einem desolaten Zustand vor. Am 28. September 2015 fand im Beisein der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde E._ (KESB) eine weitere Hausdurchsuchung statt, wobei die Behörde das Haus in einem überstellten und zugemüllten Zustand vorfand. Mit superprovisorischem Entscheid vom 29. September 2015 entzog die KESB der Mutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht über den Sohn und platzierte diesen bei seinem Vater. A.c. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2015 bestätigte die Vizepräsidentin der KESB den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Mutter über ihren Sohn vorsorglich bis zum rechtskräftigen Abschluss des ordentlichen Verfahrens und platzierte das Kind vorläufig bei seinem Vater. Der Mutter wurde ein Besuchsrecht von dreimal wöchentlich drei Stunden zugestanden, wobei sich die Parteien über die genauen Besuchszeiten zu verständigen haben. Die früher für den Sohn errichtete Beistandschaft wurde bestätigt. Die Mutter wurde angewiesen, den Sohn persönlich am Wohnort des Kindsvaters abzuholen und dorthin zurückzubringen, verbunden mit dem Verbot, sich mit dem Sohn während der Besuchszeit zu ihrem Wohnhaus zu begeben. B. Die von der Mutter gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies die Präsidentin des Kantonsgerichts Basel-Landschaft mit Urteil vom 22. Dezember 2015 ab; überdies verweigerte sie der Mutter die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. C. Die Mutter (Beschwerdeführerin) hat am 29. Januar 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das Urteil der Präsidentin des Kantonsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Sie beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner beantragt sie, ihr für das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Überdies stellt sie den Antrag, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und ihr (der Beschwerdeführerin) für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. D. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 16. Februar 2016 nach Anhörung des Vaters (nunmehr Beschwerdegegner), der Vorinstanz und der KESB dem Antrag des Beschwerdegegners entsprechend abgewiesen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Der Beschwerdegegner ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.