Sachverhalt: A. A.a. A.A._ ist bosnisch-herzegowinischer Staatsbürger. Er wurde 1986 in der Schweiz geboren. Am 31. Dezember 2010 heiratete er seine Landsfrau B.A._. Sie reiste im Rahmen des Familiennachzugs am 3. September 2012 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Zweck des Verbleibs bei ihrem Gatten. Die Eheleute sind im Dezember 2014 Eltern eines Kindes geworden, das ebenfalls die bosnisch-herzegowinische Staatsbürgerschaft besitzt. A.b. A.A._ ist in der Schweiz wie folgt strafrechtlich verurteilt worden: - Mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 4. März 2003 wegen Tätlichkeiten zu einer Arbeitsleistung von zwei Halbtagen; - mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 13. November 2003 wegen einfacher Körperverletzung zu einer Busse von Fr. 200.--. Nach den ersten beiden Verurteilungen verwarnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau A.A._ am 2. Februar 2004. In der Folge wurde dieser wie folgt bestraft: - Mit Strafverfügung der Jugendanwaltschaft Thurgau vom 22. März 2004 wegen Ruhestörung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz mit Busse von Fr. 100.--; - mit Strafverfügung der Staatsanwaltschaft St. Gallen vom 27. Juni 2007 wegen Führens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand zu einer Geldstrafe von 10 Tagessätze und einer Busse von Fr. 2'000.--. Nach diesen Straferkenntnissen verwarnte ihn das Migrationsamt am 7. September 2007 ein zweites Mal und drohte ihm bei erneuter Straffälligkeit die Wegweisung an. Es kam hernach zu weiteren Verurteilungen: - Mit Strafverfügung des Bezirksamts Frauenfeld vom 2. November 2007 unter anderem wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 500.--; - mit Strafverfügung des Bezirksamts Kreuzlingen vom 14. August 2008 wegen Störung der öffentlichen Ruhe und Ordnung zu einer Busse von Fr. 250.--; - mit Urteil des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 12. November 2008 unter anderem wegen mehrfacher Körperverletzung, Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsgesetzgebung sowie Widerhandlungen gegen das Waffengesetz zu einer Geldstrafe zu 120 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 8'500.--; - mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau vom 22. Januar 2011 wegen einfacher Körperverletzung zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätze und einer Busse von Fr. 500.--; - mit Urteil des Bezirksgerichts Arbon vom 19. Februar 2013 wegen versuchter schwerer Körperverletzung und Angriffs zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 11 Monaten. B. Am 3. März 2014 widerrief das Migrationsamt Thurgau die Niederlassungsbewilligung von A.A._. Ein hiergegen erhobener Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit blieb erfolglos. Die dagegen geführte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Urteil vom 22. Oktober 2014 ab. C. Mit einer Eingabe vom 8. Dezember 2014, die als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichnet wird, beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Oktober 2014 sei aufzuheben. Er macht sinngemäss geltend, vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei abzusehen, und die Aufenthaltsbewilligung seiner Gattin sei zu verlängern. Die Migrationsbehörden seien anzuweisen, auf eine Wegweisung der beiden zu verzichten. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau, das Departement für Justiz und Inneres und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.