Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1972), stammt aus Bosnien-Herzegowina. Aus einer ersten, am 22. Februar 1992 in U._ (Bosnien) geschlossenen Ehe mit D.D._ hat sie die Kinder E.D._ (geb. 1992) und F.D._ (geb. 1999). Nach der Scheidung am 22. Oktober 2002 wurde A.A._ das Sorgerecht für die Kinder zugesprochen. Seit 2008 lebte der Sohn F.D._ mit ihrem Einverständnis bei seinem Vater in U._; die volljährige Tochter E.D._ lebt in V._. Am 14. August 2009 heiratete A.A._ in W._ (Kroatien) den kroatischen Staatsbürger B.A._ (geb. 1972), welcher seit Ende 1999 über eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz verfügte. Am 26. Juni 2011 reiste sie zu ihrem Mann in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung (gültig bis zum 25. Dezember 2012). Der gemeinsame Sohn C.A._ wurde 2011 geboren. Er ist kroatischer Staatsangehöriger und im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Am 12. September 2012 intervenierte die Kantonspolizei St. Gallen bei der Familie A._ im häuslichen Bereich. Das Bezirksgericht Werdenberg-Sarganserland stellte am 6. November 2012 fest, dass die Eheleute A._ seit dem 12. September 2012 getrennt lebten. Der Sohn C.A._ wurde unter die alleinige Obhut von A.A._ gestellt, und B.A._ wurde ein begleitetes Besuchsrecht eingeräumt. Das Untersuchungsamt Altstätten stellte die Strafverfahren gegen B.A._ und A.A._ wegen Tätlichkeiten bzw. Drohung im häuslichen Bereich am 4. Dezember 2012 ein. B. Am 13. Dezember 2012 ersuchte A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. In der Folge scheiterte offenbar ein Versuch der Gatten, die eheliche Gemeinschaft wieder aufzunehmen. Am 5. Juli 2013 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies A.A._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen vom 26. September 2014, Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. Januar 2016). C. C.a. A.A._ erhebt am 15. Februar 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Am 7. März 2016 reicht sie ein Schreiben des Beistands des Sohnes C.A._ mit Datum vom 1. März 2016 ein. Das Sicherheits- und Justizdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht und das Staatssekretariat für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Am 16. Februar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. C.b. Am 14. April 2016 übersendet das Verwaltungsgericht eine Eingabe von B.A._ vom 4. April 2016, in dem dieser dem Verwaltungsgericht mitteilte, der Sohn C.A._ befinde sich mit ihm als Vater und Rechtsvertreter in der Republik Kroatien. Die Ehe zwischen ihm und A.A._ sei durch ein Urteil des Amtsgerichts in X._ geschieden und ihm - B.A._ - die Pflege und Erziehung des Sohnes C.A._ zugeteilt worden. Weil sich aufgrund dieses rechtskräftigen Urteils das Kind nicht mehr bei der Mutter, sondern gesetzmässig bei ihm als Vater in der Republik Kroatien befinde, schlage er vor, das Verfahren zu beschleunigen. Am 25. April 2016 reicht A.A._, welche vom Verwaltungsgericht mit einer Kopie der Eingabe von B.A._ bedient worden war, unaufgefordert eine Stellungnahme ein, in der sie erklärt, B.A._ sei über die Ostertage ohne ihr und des Beistands Einverständnis mit C.A._ nach Kroatien gefahren und habe das Kind nicht mehr zurückgebracht. Deswegen sei bei der Zentralbehörde in Bern ein Antrag auf Rückführung gestellt worden. Während des Rückführungsverfahrens dürfe sie - A.A._ - nicht aus der Schweiz ausgewiesen werden. Auch deswegen sei die Beschwerde gutzuheissen. Der Beistand von C.A._ sei als Auskunftsperson bzw. als Zeuge einzuvernehmen. C.c. Mit Replik vom 25. Mai 2016 hält A.A._ an ihren Anträgen fest und stellt weitere Beweisanträge. Zudem reicht sie den Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 17. Mai 2016 betreffend Anerkennung und Vollstreckung eines ausländischen Urteils/superprovisorische Massnahmen (Gesuchsteller: B.A._; Gesuchsgegnerin: A.A._) ein.