Sachverhalt: A. A.a. Der 1968 geborene A._ arbeitete zuletzt bis Juni 2011 als angestellter Geschäftsführer der B._ AG, wobei er primär Gipserarbeiten durchführte. In dieser Eigenschaft war er bei der Sammelstiftung Vita berufsvorsorgeversichert. Im Februar 2010 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach verschiedenen Abklärungen in medizinischer sowie erwerblicher Hinsicht - und nachdem A._ von August 2011 bis April 2012 Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezogen hatte - sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Aargau eine ganze Invalidenrente ab dem 1. August 2010 (Invaliditätsgrad 81 %) sowie eine Dreiviertelsrente ab dem 1. Dezember 2010 (Invaliditätsgrad 62 %) zu (Verfügung vom 21. Juni 2012). A.b. Die Sammelstiftung Vita teilte A._ mit Schreiben vom 10. Januar 2013 mit, sie anerkenne ihre Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge ab Juli 2011 aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit ab dem 24. Juli 2009. Unter Berücksichtigung einer Überversicherung komme eine Invalidenrente von Fr. 49'523.- pro Jahr zur Auszahlung. Die Sammelstiftung stellte die Auszahlung in Aussicht, sobald die Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau mitgeteilt habe, ob und in welcher Höhe sie Verrechnung für die im Zeitraum von August 2011 bis April 2012 ausgerichteten Taggelder beantrage. Dagegen liess A._ am 6. November 2013 verschiedene Einwände vorbringen. Unter Hinweis darauf, A._ zuvor am 5. September 2013 (erfolglos) zum Nachweis seiner Arbeitsbemühungen aufgefordert zu haben, berechnete die Sammelstiftung die Rentenbetreffnisse mit Schreiben vom 23. September 2013 wie am 10. Januar 2013 in Aussicht gestellt sowie unter Berücksichtigung einer durch die Arbeitslosenkasse geltend gemachten Verrechnung in Höhe von Fr. 20'107.65. B. Am 9. April 2014 liess A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Sammelstiftung Vita erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab dem 10. Juli 2011 eine Invalidenrente von jährlich Fr. 49'522.- sowie eine Kinderrente von jährlich Fr. 9'904.- zuzüglich eines allfälligen Teuerungsausgleichs und 5 % Zins ab Klageeinreichung auszurichten. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2015 wies das angerufene Gericht die Klage ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen in Wiederholung seines vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gestellten Begehrens. Eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Während die Sammelstiftung Vita auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.