Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1960) und B.B._ (geb. 1963) sind die unverheirateten Eltern der Söhne C.B._ (geb. 1997) und D.B._ (geb. 1999) sowie der Tochter E.B._ (geb. 2002). Die Parteien führten von 1995 bis anfangs 2007 einen gemeinsamen Haushalt, seit 2002 in einem dem Vater gehörenden Haus. Nach der Trennung blieb B.B._ vorerst mit ihren Kindern und ihrem neuen Lebenspartner F._ in dieser Liegenschaft wohnen. Mit Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. März 2009 wurden sie allerdings ausgewiesen. A.b. Bis im Sommer 2007 fand ein regelmässiger Kontakt zwischen dem Vater und seinen Kindern statt. Seither ist der persönliche Verkehr faktisch unterbrochen. Am 10. Oktober 2007 wandte sich A.A._ an die Sozialbehörde von Fällanden und beantragte, die elterliche Sorge über die gemeinsamen Kinder beiden Eltern zu übertragen und den persönlichen Verkehr zu regeln. Nach Einholung eines Abklärungsberichtes, in welchem ein gerichtsübliches Besuchsrecht empfohlen worden war, räumte die Sozialbehörde Fällanden dem Vater vorerst für die Dauer von sechs Monaten ein eingeschränktes und begleitetes Besuchsrecht ein. Sodann errichtete sie eine Besuchsrechtsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB und ernannte eine Beiständin. Auf den Antrag, die elterliche Sorge beiden Eltern zuzuteilen, trat die Sozialbehörde nicht ein; die Anträge auf Anordnung einer Beistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 ZGB bzw. Abklärung der Erziehungsfähigkeit der Mutter lehnte die Sozialbehörde ab (Beschluss vom 24. April 2008). A.c. Auf Beschwerde des Vaters ordnete der Bezirksrat Uster mit Beschluss vom 25. Juni 2008 ein unbegleitetes Besuchsrecht am ersten und dritten Wochenende eines jeden Monats sowie an Feiertagen und während der Schulferien für die Dauer von vier Wochen an. Er legte ferner fest, dass der Vater die Kinder zu Beginn des Besuchsrechts und die Mutter die Kinder nach Beendigung desselben abhole, was alles von der Beiständin zu organisieren und zu überwachen sei. Soweit weitergehend, wies der Bezirksrat die Beschwerde ab. A.d. Mit Beschluss vom 4. März 2009 änderte die Sozialbehörde Fällanden die Modalitäten des Besuchsrechts. Neu sollte die Mutter die Kinder zum Vater bringen und dieser die Kinder nach Beendigung des Besuchsrechts zurückbringen. Die Beiständin wurde neu beauftragt, die Entwicklung der Kinder zu verfolgen, mit den Kindern periodisch Kontakt zu pflegen und sich bei Bedarf bei den Lehrkräften über die persönliche und schulische Entwicklung zu erkundigen. A.e. Gegen diesen Beschluss erhob der Vater am 17. März 2009 Beschwerde beim Bezirksrat Uster und beantragte, es seien unverzüglich Kindesschutzmassnahmen anzuordnen, um die Kinder vor psychischen und physischen Übergriffen der Mutter zu schützen. Letztere sei unter Androhung von griffigen Massnahmen anzuhalten, ihren Lebensabschnittspartner von den Kindern fernzuhalten und ihn mit sofortiger Wirkung aus der derzeitigen Wohnung der Kinder auszuweisen. Ferner sei die Erziehungsfähigkeit der Mutter abzuklären, die Obhut über die Kinder auf ihn zu übertragen und die Übertragung der elterlichen Sorge an ihn abzuklären. Sodann seien die Modalitäten und die Notwendigkeit von flankierenden Massnahmen für die Obhutszuteilung an ihn abzuklären. Schliesslich beantragte der Vater, es sei die Teilrechtskraft des angefochtenen Beschlusses festzustellen und der angeordnete persönliche Verkehr als einstweilige vorsorgliche Massnahme anzuordnen unter Entzug der aufschiebenden Wirkung eines allfälligen Rechtsmittels. Mit Präsidialverfügung vom 24. März 2009 stellte der Bezirksrat Uster fest, dass die Anordnung des Besuchsrechts nicht angefochten worden und dieses somit durchzuführen sei. Mit Beschluss vom 22. Juli 2009 wies der Bezirksrat Uster die Beschwerde ab. A.f. Gegen den Beschluss des Bezirksrats Uster vom 22. Juli 2009 erhob A.A._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich. Er wiederholte - zum Teil in leicht abgeänderter Form - seine im bisherigen Verfahren gestellten Begehren. Nach Einholung eines kinderpsychiatrischen Gutachtens wies das Obergericht den Rekurs mit Beschluss vom 30. Juli 2010 ab, ebenso das Begehren auf Anordnung einer Erziehungsbeistandschaft und weiterer Kindesschutzmassnahmen. Ferner sistierte es das Besuchsrecht bis zum 31. Dezember 2011 und forderte die Eltern auf, das gemeinsame Gespräch aufzunehmen und nötigenfalls um mediatorische Unterstützung bemüht zu sein. In den Erwägungen wies es die Mutter darauf hin, dass sich die Frage des Sorgerechts- und Obhutsentzugs ernsthaft stellen werde, sollte sie sich diesen Gesprächen grundlos verschliessen. Sodann beauftragte das Obergericht die Beiständin, sich regelmässig bei den Lehrkräften der Kinder über den aktuellen Zustand zu erkundigen und nötigenfalls der Vormundschaftsbehörde Bericht und Antrag über zu ergreifende Kindesschutzmassnahmen zu stellen. A.g. A.A._ wandte sich an das Bundesgericht. Seine Beschwerde wurde vom Bundesgericht mit Urteil vom 13. Januar 2011 abgewiesen (Verfahren 5A_656/2010). B. B.a. Am 22. Mai 2012 ersuchte A.A._ die Vormundschaftsbehörde U._, umgehend die geeigneten Massnahmen zum Schutz des Kindeswohls zu ergreifen, damit seine Kinder wieder Kontakt zu ihm haben könnten. Die Behörde teilte ihm in der Folge am 12. Juni 2012 schriftlich mit, dass sie von seinen Bemühungen Kenntnis genommen habe, mit der Mutter Kontakt aufzunehmen, und dass sie es bedaure, dass er damit keinen Erfolg gehabt habe. Sie sehe - namentlich auch im Licht der Entscheide der Gerichte - keine Möglichkeit, solche Kontakte behördlich zu erzwingen. B.b. Am 8. August 2012 wandte sich A.A._ an den Bezirksrat. Er stellte den Antrag, die Vormundschaftsbehörde anzuweisen, alle vom Gesetz vorgesehenen Massnahmen zu ergreifen und unter Androhung von Sanktionsmassnahmen durchzusetzen, damit die Kinder wieder Kontakt mit ihm haben könnten. B.c. Nachdem sich der Entscheid des Bezirksrats verzögerte, wandte sich A.A._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 16. Mai 2013 stellte dieses fest, dass der Bezirksrat den Anspruch von A.A._ auf Behandlung der Sache "innert angemessener Frist" verletzt habe (Verfahren PQ130010-O/U). C. C.a. In der Sache hatte der Bezirksrat bereits am 15. April 2013 entschieden. Er wies die Angelegenheit an die Vormundschaftsbehörde zurück, damit diese in Würdigung der aktuellen Situation über den verlangten Vollzug oder eine Änderung der formell geltenden Kontaktregelung entscheide. C.b. Ende Mai 2013 hatte die Beiständin der nunmehr zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Uster (im Folgenden KESB) Bericht über ihre Tätigkeit erstattet. Dabei hielt sie fest, dass die drei Kinder anständig und gut erzogen und auf dem Weg zur eigenen Identität seien. Die konfliktreiche Familiengeschichte habe die Kinder zusammengeschweisst. Die Kinder könnten die Ausweisung aus dem Haus und die rechtlichen Demarchen des Vaters gegen die Mutter nicht verstehen. Sie besuchten den Vater auf Veranlassung von F._, damit Ruhe sei, nicht aber aus innerem Antrieb. C.c. Die KESB hörte alle Beteiligten an und hob mit Beschluss vom 11. Dezember 2013 die Beistandschaft für die Kinder auf. Über eine Abänderung der formell geltenden Kontaktregelung entschied sie nicht. C.d. Gegen diesen Beschluss wandte sich A.A._ an den Bezirksrat. Er verlangte, die KESB sei anzuweisen, den rechtskräftigen Entscheid des Bezirksrates vom 15. April 2013 umgehend umzusetzen und damit das Besuchsrecht durchzusetzen. Die KESB habe alle dafür vorgesehenen Massnahmen anzuordnen. Insbesondere sei ein Beistand mit in der Beschwerde näher umschriebenen Aufgaben zu ernennen bzw. beizubehalten. Ferner sei der Mutter vorab mitzuteilen, dass ihre Erziehungsfähigkeit nicht gegeben sei, wenn sie den angeordneten Massnahmen nicht Folge leiste bzw. nicht mitwirke und ihr deshalb nötigenfalls die Obhut und die elterliche Sorge abgesprochen werden könne. Die Fortschritte aller Bemühungen sei mindestens alle drei Monate zu überprüfen und schriftlich festzuhalten. C.e. Mit Entscheid vom 17. Juni 2014 wies der Bezirksrat die Beschwerde ab (mit Ausnahme eines formellen Punktes: die KESB Uster wurde angewiesen, ein Begehren um Protokollberichtigung zu behandeln). Die Beistandschaft sei nicht mehr nötig und auch nicht zweckmässig. Eine Gefährdung der Kinder in ihrer Entwicklung oder ein Bedarf an besonderer behördlicher Unterstützung sei nicht gegeben. Die Kinder könnten Kontakte zum Vater aufnehmen, wenn sie dies wollten. Die Akzeptanz für das dem Vater vorschwebende Aufarbeiten der Vergangenheit sei bei der Mutter und den Kindern nicht erkennbar und auch durch eine Beistandschaft nicht zu erreichen. C.f. A.A._ wandte sich gegen diesen Entscheid an das Obergericht des Kantons Zürich. Hier stellte er die folgenden Anträge: "1. Die Rechtsverweigerung und die damit verbundene Rechtsverzögerung durch die Beschwerdegegnerin 1 [gemeint: die KESB Uster] und durch den Bezirksrat Uster seien förmlich festzustellen und es seien die geeigneten Vorkehren zu treffen, dass den Kindern und dem Beschwerdeführer dadurch keine Nachteile entstehen. 2. Die Beschwerdegegnerin 1 sei anzuweisen, den rechtskräftigen Entscheid des Bezirksrates vom 15. April 2013 umgehend umzusetzen, und damit das Besuchsrecht der Kinder und des Beschwerdeführers (Vaters) durchzusetzen. Dafür habe die Beschwerdegegnerin alle gesetzlich dafür vorgesehenen nötigen Massnahmen mit Beharrlichkeit und mit Nachdruck anzuordnen und durchzusetzen. 3. Die Beschwerdegegnerin 1 sei unter Androhung von Verwaltungsmassnahmen zu verpflichten, die genannten Massnahmen gemäss Ziffer 1 umgehend, d.h. innert weniger Arbeitstage, in die Wege zu leiten und dafür zu sorgen, dass eine weitere unnötige Verzögerung der jetzt erneut nötigen Wiederaufnahme der Vater-Kind-Beziehung und den damit verbundenen wiederholten schädigenden Kontaktabbrüchen vermieden wird. 4. Der Entscheid der Beschwerdegegnerin 1 vom 11.12.2013 sei aufzuheben und es sei die Beistandschaft für die Kinder/Jugendlichen C.B._, D.B._ und E.B._ im oben genannten Sinn fortzuführen bzw. neu zu errichten. 5. Der Schlussbericht der Beiständin G._ sei nicht zu genehmigen bzw. zurück zu weisen." D. Nach einer aufwändigen und zum Teil unkonventionellen Instruktion wies das Obergericht des Kantons Zürich die Beschwerde mit Urteil vom 30. Januar 2015 ab. Gleichzeitig legte es die Kontakte des Vaters zu seinen Kindern C.B._, D.B._ und E.B._ wie folgt fest: "Vater und Kinder treffen sich zu gemeinsamen Essen - am ersten Sonntag im Monat, von 11.30 Uhr bis 13.30 Uhr im Haus des Vaters an der H._strasse xxx in V._, und - am dritten Dienstag im Monat von 18.00 bis 20.00 Uhr in der Wohnung der Familie B._ im I._ in U._. Es wird vorgemerkt, dass die Mutter zugesichert hat, an diesen Abenden nicht anwesend zu sein. Eine einvernehmliche Änderung des Wochentages bleibt vorbehalten." E. A.A._ (Beschwerdeführer) wendet sich gegen dieses Urteil mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er stellt die folgenden Anträge: "1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. Januar 2015 sei aufzuheben. 2. Die KESB Uster sei in diesem Verfahren als Partei und nicht als Erstinstanz zu behandeln. 3. Es seien das mit Beschluss der Vormundschaftsbehörde Fällanden vom 25. Juni 2008 ausgesprochene Besuchsrecht am ersten und dritten Wochenende eines jeden Monats sowie an Feiertagen und 4 Wochen während der Schulferien sowie die Änderung der Modalitäten gemäss Beschluss der Vormundschaftsbehörde Fällanden vom 4. März 2009 zu bestätigen. 4. Der Entscheid der KESB Uster vom 11. Dezember 2013 sei aufzuheben und es sei die Beistandschaft für die Kinder C.B._, D.B._ und E.B._ fortzuführen, bzw. neu zu errichten. 5. Die KESB Uster sei anzuweisen, das Besuchsrecht umgehend umzusetzen unter Einsatz der gesetzlichen Massnahmen zu dessen Durchsetzung bei Weigerung der Beschwerdegegnerin 2 und Mutter. 6. Es sei die KESB Uster unter Androhung von Verwaltungsmassnahmen und der Androhung der Ungehorsams[s]trafe (Art. 292 StGB) zu verpflichten, die Massnahmeanträge gemäss Ziffer 3 bis 5 umgehend in die Wege zu leiten und durchzusetzen, zur Vermeidung einer weiteren Verzögerung der dringend angezeigten Wiederaufnahme der Kind-Vater Beziehung, um wiederholt schädigende Kontaktabbrüche zu vermeiden. 7. Die Rechtsverweigerung und die damit verbundene Rechtsverzögerung der KESB Uster und des Bezirksrats Uster seien förmlich festzustellen. 8. Der Schlussbericht der Beiständin G._ sei nicht zu genehmigen, bzw. zurück zu weisen. 9. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. Januar 2015 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen." Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin, die Vorinstanz und die KESB Uster zur Vernehmlassung eingeladen. Die Vorinstanz erklärt am 2. Juli 2015, auf eine solche zu verzichten. Die KESB Uster teilt dem Bundesgericht am 9. Juli 2015 mit, auf eine Vernehmlassung ebenfalls zu verzichten, und beantragt dem Bundesgericht, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin liess sich nicht vernehmen. Zur Wahrung zur rechtlichen Gehörs wurden die Vernehmlassungsantworten dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht.