Sachverhalt: A. A.a. A._ (Beschwerdeführer) ist Alleinerbe der am 27. März 1998 verstorbenen C._. Mit Urteil des Einzelrichters des Gerichtskreises Locarno-Città vom 31. März 2010 wurde der Beschwerdeführer verpflichtet, D._ im Sinne eines Rentenvermächtnisses ab dem 1. April 2010 eine indexierte monatliche Rente von Fr. 9'021.44 zu bezahlen. In Abgeltung der ausstehenden Rentenzahlungen bis 30. März 2010 wurde der Beschwerdeführer weiter verpflichtet, D._ Fr. 775'982.60 nebst 5 % Zins seit dem 12. November 2007 zu bezahlen. Mit Urteil vom 28. März 2013 korrigierte das Appellationsgericht des Kantons Tessin das genannte Urteil auf Anschlussappellation D._s hin dahingehend, dass der vom Beschwerdeführer für ausstehende Rentenzahlungen zu leistende Betrag auf Fr. 958'599.-- nebst 5 % Zins seit dem 12. November 2007 festgesetzt wurde. Die Kosten der erstinstanzlichen Verfahrens von Fr. 34'745.-- wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Die Kosten des Anschlussappellationsverfahrens von Fr. 5'050.-- wurden dem Beschwerdeführer zu drei Vierteln und D._ zu einem Viertel auferlegt. Der Beschwerdeführer wurde ausserdem verpflichtet, D._ Parteientschädigungen von Fr. 30'000.-- (für Appellations- und Anschlussappellationsverfahren) zu bezahlen. A.b. Am 8./13. Mai 2013 schlossen der Beschwerdeführer und D._ unter Bezugnahme auf diese beiden Urteile eine Vereinbarung, wonach der Beschwerdeführer D._ den Betrag von insgesamt Fr. 1'000'000.-- in fünf betraglich festgesetzten Raten bezahle. Mit den vereinbarten Zahlungen erklärte sich D._ für sämtliche gegenwärtigen und zukünftigen Ansprüche im Zusammenhang mit dem Erbgang von C._ als entschädigt. Die Parteien hielten zudem fest, dass eine nicht fristgerechte Zahlung im Sinne des Zahlungsplanes die Auflösung der Vereinbarung zur Folge habe und zwischen ihnen wieder das Urteil des Appellationsgerichts vom 28. März 2013 gelte. A.c. Am 8. Mai 2013 zedierte D._ seine Ansprüche gegenüber dem Beschwerdeführer an B._ (Beschwerdegegner). B. Nachdem der Beschwerdeführer Teilzahlungen im Gesamtbetrag von Fr. 555'200.-- geleistet hatte, verweigerte er ab Januar 2014 weitere Zahlungen. Der Beschwerdegegner betrieb daraufhin den Beschwerdeführer mit Zahlungsbefehl vom 11. Februar 2014 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._) für die Beträge von Fr. 695'547.10 (nebst Zins zu 5 % seit 19. Dezember 2013), Fr. 422'998.95 (nebst Zins zu 5 % seit 12. November 2007), Fr. 30'000.-- (nebst Zins zu 5 % seit 7. Februar 2014), Fr. 17'379.50 (nebst Zins zu 5 % seit 7. Februar 2014) und Fr. 3'787.50 (nebst 5 % Zins seit 7. Februar 2014). Er stützte sich dabei auf die Urteile des Einzelrichters des Gerichtskreises Locarno-Città und des Tessiner Appellationsgerichts. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. C. Am 21. März 2014 ersuchte der Beschwerdegegner beim Bezirksgericht Zürich um definitive Rechtsöffnung für Fr. 695'547.06 (nebst Zins zu 5 % seit 19. Dezember 2013), Fr. 422'998.96 (nebst Zins zu 5 % seit 7. Februar 2014), Fr. 30'000.-- (nebst Zins zu 5 % seit 7. Februar 2014), Fr. 17'379.50 (nebst Zins zu 5 % seit 7. Februar 2014) und Fr. 3'787.50 (nebst 5 % Zins seit 7. Februar 2014) sowie die Zahlungsbefehls- und die Rechtsöffnungskosten. Mit Urteil vom 4. Juni 2014 erteilte das Bezirksgericht die verlangte definitive Rechtsöffnung, mit Ausnahme des Betrags über Fr. 3'787.50 nebst Zins sowie der Betreibungs- und Rechtsöffnungskosten. D. Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer am 4. August 2014 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Urteils und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Zudem ersuchte er um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung am 8. August 2014 ab. Mit Urteil vom 28. Oktober 2014 wies es die Beschwerde ab. E. Am 1. Dezember 2014 hat der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 28. Oktober 2014 und des bezirksgerichtlichen Urteils vom 4. Juni 2014. Das Rechtsöffnungsbegehren des Beschwerdegegners sei abzuweisen. Mit Schreiben vom 18. und 19. März 2015 hat sich der Beschwerdeführer persönlich an das Bundesgericht gewandt. Das Bundesgericht hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers daraufhin mitgeteilt, dass es weiterhin von einem Vertretungsverhältnis ausgehe und dem Beschwerdeführer deshalb nicht antworte. Am 23. April 2015 hat das Bundesgericht den Beschwerdegegner und das Obergericht zur Beschwerdeantwort aufgefordert. Am 29. April 2015 hat das Obergericht auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner hat am 15. Mai 2015 verlangt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Mit separaten Eingaben vom 1. Juni 2015 hat der Beschwerdeführer (durch seinen Vertreter) einerseits aufschiebende Wirkung, die bereits superprovisorisch anzuordnen sei, und andererseits die Ansetzung einer Replikfrist verlangt. Das Bundesgericht hat mit Verfügungen vom 2. Juni 2015 alle Vollziehungsvorkehrungen bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung untersagt und zugleich die Beteiligten zu Vernehmlassungen zu diesem Gesuch aufgefordert sowie dem Beschwerdeführer Frist zur Replik (in der Hauptsache) bis 15. Juni 2015 angesetzt. Nach Intervention des Beschwerdeführers wurde dem Betreibungsamt am 3. Juni 2015 gesondert mitgeteilt, dass das ausgesprochene Verbot von Vollziehungsvorkehrungen auch die Steigerungspublikation betrifft. Am 4. Juni 2015 hat das Obergericht auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Der Beschwerdegegner hat am 12. Juni 2015 um Abweisung ersucht. Am 15. Juni 2015 hat der Beschwerdeführer seine Replik eingereicht. Mit Präsidialverfügung vom 18. Juni 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Am 23. Juni 2015 hat der Beschwerdegegner eine spontane Duplik eingereicht. Der Beschwerdeführer hat am 6. Juli 2015 eine Triplik eingereicht. Der Beschwerdegegner hat sich daraufhin nicht mehr vernehmen lassen.