Sachverhalt: A. A.a. Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen des Verdachts der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Schändung, der sexuellen Nötigung, der Körperverletzung, des Herstellens von Pornografie, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, der Urkundenfälschung, der Verletzung des Geheim- und Privatbereichs durch Aufnahmegeräte und der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten. Hinsichtlich der Sexualdelikte wirft sie ihm im Wesentlichen vor, verschiedenen Frauen, die er teilweise im Internet kennengelernt habe, Geld für die Einnahme eines Medikaments (Rohypnol) versprochen zu haben. Die Frauen hätten das Medikament eingenommen, ohne zu wissen, um was es sich tatsächlich handelte. Danach seien sie in einen tiefen Betäubungszustand geraten, worauf A._ verschiedene sexuelle Handlungen an ihnen vorgenommen und dies gefilmt habe. A.b. Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau versetzte A._ am 24. März 2014 wegen Kollusions- und Wiederholungsgefahr in Untersuchungshaft. Es verlängerte die Haft in der Folge mehrmals, erneut mit Verfügung vom 19. März 2015 bis zum 20. Juni 2015. Dagegen erhob A._ Beschwerde. Mit Entscheid vom 19. Mai 2015 wies das Obergericht des Kantons Aargau das Rechtsmittel ab. Es bejahte sowohl Kollusions- als auch Wiederholungsgefahr. Am 14. Juli 2015 wies das Bundesgericht eine dagegen erhobene Beschwerde ab, wobei es die Wiederholungsgefahr bejahte, jedoch offen liess, ob auch Kollusionsgefahr vorliege (Urteil 1B_221/2015). A.c. Seit dem 16. Juni 2015 befindet sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug. B. B.a. Am 17. Februar 2016 stellte A._ bei der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach ein Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug, eventuell unter Anordnung von Ersatzmassnahmen. Die Staatsanwaltschaft beantragte am 22. Februar 2016 beim Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau die Abweisung des Gesuchs und die Weiterführung des vorzeitigen Strafvollzugs. Mit Entscheid vom 9. März 2016 wies das Zwangsmassnahmengericht das Gesuch ab. B.b. Am gleichen Tag, d.h. ebenfalls am 9. März 2016, eröffnete die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach im Strafverfahren den Verfahrensabschluss und teilte den Verfahrensbeteiligten mit, dass sie beabsichtige, gegen A._ Anklage zu erheben. B.c. A._ führte gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 9. März 2016 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Dessen Beschwerdekammer in Strafsachen wies die Beschwerde am 26. April 2016 ab, wobei es weiterhin vom Vorliegen von Kollusions- und Wiederholungsgefahr ausging. C. Mit Beschwerde vom 30. Mai 2016 an das Bundesgericht beantragt A._, die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts aufzuheben und ihn unverzüglich aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventuell unter Anordnung geeigneter Ersatzmassnahmen. Subeventuell wird um Rückweisung an eine der Vorinstanzen zu ergänzender Sachverhaltsabklärung ersucht. Zur Begründung macht A._ im Wesentlichen geltend, Kollusions- und Wiederholungsgefahr lägen nicht mehr vor. In prozessualer Hinsicht stellt er ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach schliesst ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme. Weitere Rechtsschriften gingen beim Bundesgericht nicht mehr ein.