Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1952) leidet an einer Halbseitenlähmung. Damit sie atmen kann, wurde ihr ein Tracheostoma angelegt. Die Beeinträchtigungen sind die Folge eines Hirninfarkts, der sie am 6. Januar 2014 traf. Daneben leidet A.A._ an einem Schlafapnoesyndrom, an Diabetes und an Bluthochdruck sowie an weiteren Begleiterkrankungen. Sie ist die unverheiratete Mutter zweier erwachsener Kinder, des Sohnes B.A._ und der Tochter C.A._. Beide Kinder wohnen mietzinsfrei in der mütterlichen Liegenschaft, in der auch A.A._ vor dem 6. Januar 2014 lebte. Heute wohnt A.A._ im Pflegezentrum U._. B. Mit Schreiben vom 9. Oktober 2014 ersuchte das Pflegezentrum U._ die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (im Folgenden: KESB U._) um Prüfung einer Erwachsenenschutzmassnahme für A.A._. Anlass dazu gaben unbezahlte Rechnungen des Pflegezentrums und die Forderung nach einem Gesuch um Ergänzungsleistungen zur AHV/IV. In der Folge befragte die KESB U._ A.A._. Bei der Oberärztin des Gesundheitszentrums U._ wurde ein Bericht zu ihrem Gesundheitszustand eingeholt, ihre beiden Kinder wurden angehört. Mit Entscheid vom 15. Januar 2015 errichtete die Behörde für A.A._ eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung gemäss Art. 394 i.V.m. Art. 395 Abs. 1 und 2 ZGB. Als Beiständin wurde D._ von den Sozialdiensten U._ ernannt. Ihre Aufgabenbereiche umfassen die Wohnsituation bzw. Unterkunft, das gesundheitliche Wohl und die medizinische Betreuung sowie die Vertretung in administrativen und finanziellen Angelegenheiten. C. Vergeblich wehrte sich A.A._ vor der Zürcher Justiz gegen die Errichtung der Beistandschaft. Sowohl der Bezirksrat Dielsdorf (Urteil vom 4. Mai 2015) als auch das Obergericht des Kantons Zürich (Urteil vom 16. Juni 2015) bestätigten den Entscheid der KESB U._ vom 15. Januar 2015 (Bst. B). D. A.A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Beschwerde vom 19. August 2015 an das Bundesgericht. Sie verlangt, von der Anordnung einer Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung abzusehen. Eventuell sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die KESB U._ anzuweisen, die erforderlichen Massnahmen und Abklärungen zu treffen, um für sie, die Beschwerdeführerin, Ergänzungsleistungen und allfällige weitere Sozialleistungen zu beantragen. Subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Antragsgemäss hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 1. September 2015). Das Obergericht des Kantons Zürich erklärte, auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Eingabe vom 2. Oktober 2015). In gleicher Weise äusserte sich die KESB U._, die überdies auf das Urteil des Bezirksrates Dielsdorf vom 4. Mai 2015 und das Urteil des Obergerichts vom 16. Juni 2015 verwies (Schreiben vom 8. Oktober 2015).