Sachverhalt: A. A.a. Der 1957 geborene A._ war als Mitarbeiter der C._ bei der Vorsorgestiftung B._ für den Aussendienst in der Schweiz berufsvorsorgeversichert. Am 15. Oktober 2008 erkrankte er. Ab 15. Oktober 2010 richtete die Vorsorgestiftung B._ eine Invalidenrente (100 %) von jährlich Fr. 73'500.- sowie eine Invalidenüberbrückungsrente (100 %) von jährlich Fr. 26'376.- aus. A.b. Im Zusammenhang mit dem bei der Invalidenversicherung laufenden Verfahren, das mit einer Rentenverfügung abgeschlossen wurde, nahm die Vorsorgestiftung B._ diverse Male Kürzungen ihrer Leistungen vor: Im Monat April 2011 wegen der Taggelder, die die Invalidenversicherung für die Dauer der Eingliederungsmassnahmen vom 14. Februar bis 13. März 2011 entrichtet hatte; ab 1. August 2011 wegen Aufnahme einer Teilerwerbstätigkeit am 1. Juni 2011 an einem geschützten Arbeitsplatz in der Pension D._ (gekürzte BVG-Invalidenrente von Fr. 30'420.- jährlich bei unveränderter BVG-Invalidenüberbrückungsrente von Fr. 26'376.- jährlich); ab 1. November 2011 wegen der Zusprache einer ganzen Rente durch die Invalidenversicherung (gekürzte BVG-Invalidenrente von Fr. 28'956.- jährlich bei gleichzeitigem Wegfall der BVG-Invalidenüberbrückungsrente). Nachdem A._ seine Tätigkeit bei der Pension D._ auf Ende November 2011 gekündigt hatte, nahm die Vorsorgestiftung B._ im Januar 2012 eine weitere Überentschädigungsberechnung vor und richtete rückwirkend ab 1. Dezember 2011 eine gekürzte Invalidenrente von Fr. 43'350.- jährlich aus. B. Am 8. Dezember 2014 reichte A._ Klage beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern ein und beantragte, die Vorsorgestiftung B._ habe ihm ab 15. Oktober 2010 eine Jahresinvalidenrente von Fr. 73'500.- - eventualiter eine solche von Fr. 67'080.- bzw. subeventualiter von Fr. 66'600.- - abzüglich der bereits ausgerichteten Rentenleistungen zu bezahlen, zuzüglich 5 % Zins ab jeweiligem Fälligkeitstag, frühestens per Datum der Klageeinreichung. Mit Entscheid vom 11. Dezember 2015 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage teilweise gut und verpflichtete die Vorsorgestiftung B._, dem Kläger die bis zur Klageeinreichung zu viel gekürzten Rentenbetreffnisse in der Höhe von Fr. 18'245.- zuzüglich 5 % Zins seit 8. Dezember 2014 zu bezahlen (Dispositiv Ziffer 1). Hinsichtlich der nach Klageeinreichung fällig gewordenen Invalditätsleistungen wies es die Akten an die Vorsorgestiftung B._ zurück zur Berechnung der Überentschädigung im Sinne der Erwägungen und anschliessenden Nachzahlung der zu viel gekürzten Rentenbetreffnisse zuzüglich Zins ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum (Dispositiv Ziffer 2). Im Übrigen wies es die Klage ab (Dispositiv Ziffer 3). C. A._ erhebt dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und wiederholt den in der Klage gestellten Hauptantrag.