Sachverhalt: A. Am 28. Februar 2014 ersuchte die B._ Liegenschaften AG die Politische Gemeinde Münchwilen um die Erteilung einer Baubewilligung für die Erstellung eines Betriebsgebäudes für die Produktion, die Lagerung und die Ausstellung von Fenstern auf ihrer in der Industriezone gelegenen Parzelle Nr. 462 im Grundbuch Münchwilen an der Murgtalstrasse "...". A._, Stockwerkeigentümer einer rund 480 m vom Bauplatz entfernten, in der Wohn- und Gewerbezone 3 gelegenen Liegenschaft an der Murgtalstrasse "...", erhob Einsprache, auf welche die Gemeinde mit der Begründung nicht eintrat, ihm fehle die Einsprachelegitimation. Das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) wies die Beschwerde von A._ gegen diesen Nichteintretensentscheid am 23. Januar 2015 ab. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid des DBU am 16. September 2015 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._, die Entscheide von Verwaltungsgericht, DBU und Gemeinde aufzuheben und die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung der Einsprache an die Gemeinde zurückzuweisen. Er ersucht, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, die Kosten der Staatskasse aufzuerlegen und ihn angemessen zu entschädigen. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen der Vorinstanzen seien neu zu verlegen. C. Das Verwaltungsgericht und das DBU beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die B._ Liegenschaften AG beantragt, die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Denselben Antrag stellt die Gemeinde Münchwilen. D. Am 20. Januar 2016 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. E. A._ verweist in seiner Replik auf einen Grundsatzentscheid der Gemeinde vom 1. Dezember 2015 über ein Lastwagenfahrverbot für die Mezikonerstrasse. Die B._ Liegenschaften AG stellt sich auf den Standpunkt, die letzte Eingabe von A._ stelle ein unzulässiges Novum dar.