Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2013 gegen die X._ AG ordnete die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht wegen Marktmanipulationen im Rahmen der Eigenhandelstätigkeit der Bank verschiedene Massnahmen an. In der Verfügung wird unter anderem ausgeführt, dass das Verhalten von A._ und anderen Händlern als Marktmanipulation zu qualifizieren sei, sie gegen ihre Pflichten als Effektenhändler verstossen hätten und die Bank sich dieses Verhalten als schwere Verletzung des Gewährserfordernisses anrechnen lassen müsse (Verfügung, Rz. 124, 131). Die Verfügung ist in Rechtskraft erwachsen. Am 14. Januar 2014 eröffnete die FINMA gegen A._ im Zusammenhang mit seiner Händlertätigkeit bei der X._ AG ein eingreifendes Verwaltungsverfahren, welches am 27. August 2015 auf die Händlertätigkeit bei der Y._ AG ausgeweitet wurde, deren einziges Organ und Eigner er ist. Dieses Verfahren gegen A._ ist noch nicht abgeschlossen. B. Mit Eingabe vom 25. September 2015 erhob A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Er stellte den Antrag, es sei festzustellen, dass die Verfügung der FINMA vom 13. Dezember 2013 betreffend die X._ AG "eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör sei". Zur Begründung machte er geltend, vor Erlass der Verfügung gegen die Bank nicht angehört worden zu sein. Mit Urteil vom 5. April 2016 trat das Bundesverwaltungsgericht auf das Feststellungsbegehren nicht ein und wies die Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde ab. C. Am 9. Mai 2016 hat A._ Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. April 2016 aufzuheben und das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, einen Sachentscheid in Zusammenhang mit der Verletzung des rechtlichen Gehörs bei Erlass der Verfügung der FINMA vom 13. Dezember 2013 zu erlassen. Die FINMA beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.