Sachverhalt: A. Am 29. Juni 2015 bewilligte der Stadtrat Baden der Miteigentümergemeinschaft B._ (Bauherrin) den Abbruch des Gebäudes Nr. 512 sowie den Neubau eines Wohn- und Geschäftshauses auf den Parzellen Nr. 662, 5961 und 664 an der Bahnhofstrasse 7 in Baden. Die von A._ gegen das Bauvorhaben erhobene Einwendung wies der Stadtrat gleichzeitig ab, wobei er in der Rechtsmittelbelehrung darauf hinwies, dass die Rechtsstillstandsfristen nicht gelten. B. Der Baubewilligungsentscheid wurde A._ am 3. Juli 2015 zugestellt. Er erhob dagegen am 2. September 2015 eine Beschwerde, in der er geltend machte, diese erfolge unter der Berücksichtigung der Gerichtsferien fristgerecht. Das Departement Bau, Verkehr und Umwelt (BVU) verneinte die Anwendbarkeit der Gerichtsferien und trat daher mit Entscheid vom 28. September 2015 auf die Beschwerde wegen Nichteinhaltung der Beschwerdefrist nicht ein. A._ focht diesen Entscheid mit einer Beschwerde an, die das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 20. November 2015 abwies. C. A._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den sinngemässen Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. November 2015 aufzuheben und die Sache an das BVU zur materiellen Beurteilung zurückzuweisen. Die Bauherrin (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Stadtrat und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer weist in seiner Eingabe vom 7. April 2016 auf ein beim Bundesgericht hängiges Verfahren bezüglich eines anderen Bauprojekts hin und stellt in seiner Replik die Anträge, es seien die Akten dieses Verfahrens beizuziehen; es sei bei den Vorinstanzen in Erfahrung zu bringen, ob noch andere Beschwerden bezüglich des fraglichen Projekts hängig seien; es sei von Amtes wegen festzustellen, an welchen Orten an der Bruggerstrasse auf dem Stadtgebiet der Stadt Baden nur wenig höher als das Strassenniveau in einem Abstand von wenigen Metern eine Wohnnutzung realisiert worden sei. Ansonsten werde an den gestellten Anträgen festgehalten. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Duplik, das Verfahren möglichst prioritär zu behandeln. Der Beschwerdeführer reichte zur Duplik Bemerkungen ein.