Sachverhalt: A. Die Gemeindeversammlung der Einwohnergemeinde Dornach/SO vom 9. Dezember 2015 behandelte unter anderem unter Traktandum 1 die Kosten des "Sanierungsprojektes Apfelseestrasse" und unter Traktandum 7 das "Budget 2016". Der Kredit für das Projekt zur Instandstellung der Apfelseestrasse von drei Millionen Franken wurde zuhanden der Urnenabstimmung verabschiedet, und in der Folge beschloss die Gemeindeversammlung das Budget 2016, das den genannten Kredit mit enthielt. B. Gegen den Kredit- und Budgetentscheid der Gemeindeversammlung vom 9. Dezember 2015 führte Max Rumpel als Stimmberechtigter der Einwohnergemeinde Dornach Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Solothurn. Im Wesentlichen machte er geltend, der Beschluss über das Budget 2016 sei mit der gleichzeitigen Festsetzung des Steuerfusses verbunden und als unrechtmässig aufzuheben, weil der Kredit für das Sanierungsprojekt Apfelseestrasse nicht vorgängig durch Urnenabstimmung bestätigt worden sei. Überdies sei eine neutrale Fachperson mit einer Untersuchung gegenüber dem Amt für Gemeinden des Kantons Solothurn zu betrauen, weil dieses offenbar dem Gemeindepräsidenten von Dornach vor der Gemeindeversammlung auf Anfrage hin falsche Auskünfte erteilt habe. Am 23. Februar 2016 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde vom 24. März 2016 beantragt Max Rumpel, den Beschluss des Regierungsrates vom 23. Februar 2016 aufzuheben und festzustellen, dass einmalige Ausgabenbeschlüsse, die nach dem Budgetbeschluss erfolgen, erst in das Budget des folgenden Jahres eingestellt werden dürfen; zudem sei gegen den Leiter des Amts für Gemeinden ein administrativer Verweis auszusprechen wegen Kompetenzüberschreitung und gesetzwidriger Auskunftserteilung; auch gegenüber dem Gemeinderat Dornach sei ein Verweis auszusprechen, weil dieser wiederholt gegen die Gemeindeordnung verstossen habe. Die Einwohnergemeinde Dornach verzichtete auf eine Vernehmlassung. Das Amt für Gemeinden des Kantons Solothurn schliesst für den Regierungsrat auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Max Rumpel äusserte sich am 12. Juni 2016 nochmals zur Sache.