Sachverhalt: A. Der Elternrat Stein am Rhein stellte am 23. Januar 2014 ein Gesuch um Errichtung eines Skaterparks auf dem Parkplatz des Grundstücks GB Nr. 1410 an der Mühlenstrasse 10 in Stein am Rhein, das in der Wohn- und Gewerbezone WG 3 liegt. Auf dem rund 255 m 2 grossen Platz sollen drei bis zu 1.5 m hohe Rampen aufgestellt werden. Nach der Publikation des Baugesuchs im Amtsblatt des Kantons Schaffhausen verlangte A._ die Zustellung des baurechtlichen Entscheids. Der Stadtrat Stein am Rhein erteilte nach Behandlung einer Einwendung am 12. März 2014 die Baubewilligung für den Skaterpark unter Bedingungen und Auflagen. B. Auf den dagegen von A._ erhobenen Rekurs trat der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen mangels Vorliegens der Rechtsmittelbefugnis am 14. April 2015 nicht ein, ergänzte die angefochtene Baubewilligung jedoch mit einer weiteren Auflage zu den Betriebszeiten. Demgegenüber hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 10. Juni 2016 die Verwaltungsgerichtsbeschwerde insoweit gut, als die Rechtsmittellegitimation verneint wurde. In inhaltlicher Hinsicht wies es die gegen das Bauprojekt erhobenen Einwände aber ab und bestätigte den Rekursentscheid mit der zusätzlichen Auflage. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. August 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids, soweit die angefochtene Baubewilligung bestätigt worden sei. Diese sei aufzuheben. Eventualiter sei die Baubewilligung insoweit abzuändern, dass die Betriebszeiten auf Montag bis Freitag zwischen 9.00 Uhr bis 12.00 Uhr und von 13.30 Uhr bis 18.00 Uhr beschränkt würden. Zudem seien die Gerichtskosten für das kantonale Verfahren dem Elternrat Stein am Rhein aufzuerlegen und dieser habe ihm eine angemessene Parteientschädigung auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neuentscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Der Elternrat Stein am Rhein (Beschwerdegegner) und das Obergericht verzichten auf eine Stellungnahme. Der Stadtrat Stein am Rhein und der Regierungsrat haben sich nicht vernehmen lassen.