Sachverhalt: A. A.a. Am 6. Mai 2011 verstarb B.A._ (Erblasserin). Einziger gesetzlicher Erbe ist ihr Sohn A.A._. C.A._ (geb. 1999) und D.A._ (geb. 2001) sind dessen Kinder. In einer öffentlichen letztwilligen Verfügung vom 24. Februar 2006 verfügte B.A._ wie folgt: "Meine Erbschaft fällt bei meinem Tode an meine Enkel C.A._ und D.A._, U._, belastet mit dem Nutzniessungsrecht zu Gunsten meines Alleinerben A.A._, 1961, U._. Sollte die Ehefrau des Alleinerben vor ihm sterben, oder sollte die Ehe durch Scheidung aufgelöst werden, so fällt die Erbschaft direkt an meinen Sohn A.A._, 1961, U._." A.b. Am 17. Mai 2011 eröffnete das Gerichtspräsidium Lenzburg das Testament. Im Erbenverzeichnis der Gemeindekanzlei U._ vom 14. Juni 2011 ist A.A._ als einziger gesetzlicher Erbe seiner verstorbenen Mutter eingetragen. In der Erbbescheinigung des Gerichtspräsidiums Lenzburg vom 28. Juni 2011 wurden unter Vorbehalt erbrechtlicher Klagen C.A._ und D.A._ als einzige Erben anerkannt. B. B.a. Mit Schreiben vom 13. Juli 2011 wandte sich A.A._ an die Vormundschaftsbehörde U._ und teilte dieser mit, dass die letztwillige Verfügung der Erblasserin seinen Pflichtteilsanspruch verletze und zudem eine unsittliche Auflage und Bedingung enthalte, welche die Verfügung ungültig mache. Eine allfällige Klage hätte sich gegen seine Kinder zu richten; die Klagefrist laufe am 6. Mai 2012 ab. Deshalb sei den beiden Kindern ein geeigneter Beistand zu ernennen. Eine gerichtliche Auseinandersetzung sei nach Möglichkeit aus familiärer Rücksichtnahme zu vermeiden. B.b. Am 8. August 2011 wurde die Amtsvormundin E._ zur Beiständin der Kinder gemäss aArt. 395 Ziff. 1 ZGB ernannt. B.c. Vertreten durch ihre Beiständin schlossen C.A._ und D.A._ mit ihrem Vater A.A._ im März/April 2012 in einfacher Schriftform einen Erbteilungsvertrag ab. Darin stellten die Parteien die Ungültigkeit und Unverbindlichkeit der letztwilligen Verfügung (s. Sachverhalt Bst. A.a) fest. Gleichzeitig wurde vertraglich festgehalten, die Einsetzung der beiden Enkel als Erben sei unwirksam und der gesamte Nachlass, insbesondere der hälftige Miteigentumsanteil an der Liegenschaft Nr. xxx Grundbuch U._, werde auf A.A._ übertragen. A.A._ verpflichtete sich, seinen beiden Kindern je einen Betrag von Fr. 10'000.-- zu überweisen. B.d. Am 30. April 2012 genehmigte die Vormundschaftsbehörde U._ den Erbteilungsvertrag (Bst. B.c) und entliess die Beiständin aus ihrem Amt. B.e. Mit Verfügung vom 11. Juni 2012 wies das Grundbuchamt Lenzburg die Anmeldung der vertraglich vereinbarten Handänderung (Bst. B.c) mit der Begründung ab, es fehle die "Anmeldung des Erbganges von 1939 B.A._". Ausserdem sei A.A._ gemäss Erbbescheinigung des Gerichtspräsidiums Lenzburg nicht Erbe der Verstorbenen (vgl. Bst. A.b ). Der Eigentumsübergang ins Alleineigentum von A.A._ sei daher nicht mittels vorgelegtem Erbteilungsvertrag möglich, sondern bedürfe eines öffentlich beurkundeten Vertrags. B.f. In der Folge beauftragte A.A._ Notarin Dr. iur. F._, die Erbteilung schriftlich zu beurkunden. Die Notarin setzte einen mit dem ersten Vertrag (Bst. B.c) inhaltlich deckungsgleichen Vertrag zwischen A.A._ und seinen beiden Kindern auf. Am 16. Juli 2013 unterzeichneten A.A._ und E._ diesen Vertrag, und die Notarin errichtete die öffentliche Urkunde. B.g. Mit Eingabe vom 5. August 2013 ersuchte die Notarin die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde um Genehmigung dieses öffentlich beurkundeten Vertrags. Am 22. Januar 2014 verweigerte das Familiengericht Lenzburg in seiner Funktion als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) seine Zustimmung in zwei separaten Entscheiden für beide Kinder. C. A.A._ legte gegen die beiden Entscheide Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 7. November 2014 ab. D. Mit Beschwerde vom 10. Dezember 2014 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und dem öffentlich beurkundeten Erbteilungsvertrag (Bst. B.f ) die Zustimmung zu erteilen. Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und das Familiengericht Lenzburg sowie die Kinder zur Vernehmlassung eingeladen. Das Familiengericht hat in getrennten Eingaben vom 11. März 2015 betreffend jedes der beiden Kinder auf eine Vernehmlassung verzichtet und im Übrigen auf die Begründung im vorinstanzlichen Entscheid verwiesen. Mit Schreiben vom 10. März 2015 (Datum der Postaufgabe) hat auch die Vorinstanz unter Hinweis auf ihren Entscheid auf eine Vernehmlassung verzichtet. C.A._ und D.A._ erklärten in separaten Schreiben vom 10. März 2015 übereinstimmend, dass sie mit der Beschwerde ihres Vaters einverstanden seien und hinter ihm stünden. Das Bundesgericht hat die Vernehmlassungen zur Wahrung des rechtlichen Gehörs dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht und dem Familiengericht in Kopie zugestellt. E. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 27. August 2015 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.