Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach dem 1974 geborenen A._ eine ganze Invalidenrente ab 1. September 2004 zu (Verfügungen vom 21. November 2008 und 17. Februar 2009). Im Rahmen eines im Mai 2009 eröffneten Revisionsverfahrens ermittelte sie, insbesondere gestützt auf die Gutachten der Dres. med. B._ (Facharzt für Allgemeine Innere Medizin und Rheumatologie) und C._ (Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie) vom 6. September 2011, einen Invaliditätsgrad von 52 %, weshalb sie die bisherige ganze Rente auf Ende September 2012 auf eine halbe herabsetzte (Verfügung vom 17. August 2012). Im Februar 2014 machte A._ sinngemäss eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend. Im Rahmen der Abklärungen holte die zwischenzeitlich zuständig gewordene IV-Stelle des Kantons Thurgau u.a. das interdisziplinäre Gutachten der MEDAS Bern vom 24. Februar 2015 ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 14. September 2015 auf Ende Oktober 2015 auf (Invaliditätsgrad 11 %). B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 20. Januar 2016 ab. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 20. Januar 2016 sei ihm bis auf Weiteres eine halbe Rente zuzusprechen; eventualiter seien ihm berufliche Eingliederungsmassnahmen zuzusprechen resp. sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Parteien haben Gelegenheit erhalten, sich zur Zulässigkeit einer Rentenaufhebung mit substituierter Begründung zu äussern. Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer lässt weitere Eingaben einreichen.