Sachverhalt: A. Die 1957 geborene A._ war bis September 2004 als Ressortleiterin Administration/Sponsoring bei der Stiftung B._ angestellt. Danach war sie arbeitslos. Zwischendurch war sie im Zwischenverdienst in einem Schwimmbad und als Skilehrerin tätig. Am 11. Dezember 2005 verunfallte A._ beim Skifahren. Sie erlitt dabei ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) und eine Commotio cerebri. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) gewährte aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV) Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Januar 2007 meldete sich A._ unter Hinweis auf persistierende Beschwerden bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Obwalden traf Sachverhaltsabklärungen und zog die Akten der Zürich bei. Mit Verfügung vom 9. April 2009 verneinte sie einen IV-Leistungsanspruch. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden hob diese Verfügung mit Entscheid vom 21. Dezember 2010 auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Nach entsprechender Beweisergänzung verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 7. Mai 2012 mangels eines genügenden Invaliditätsgrades erneut einen Anspruch auf eine IV-Rente. Die Versicherte könne sich melden, falls sie Arbeitsvermittlung wünsche. Zwischenzeitlich hatte die Zürich mit Verfügung vom 17. März 2008 und Einspracheentscheid vom 9. März 2012 ihre Leistungen per 30. November 2007 eingestellt, da die darüber hinaus geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien. B. Beschwerdeweise beantragte A._, die Verfügung der IV-Stelle vom 7. Mai 2012 sei aufzuheben und es seien die gesetzlichen IV-Leistungen, insbesondere eine Rente, eventuell berufliche Massnahmen, zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. März 2014 ab. Mit einem weiteren Entscheid vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht auch die von A._ gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers vom 9. März 2012 erhobene Beschwerde ab. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Begehren betreffend IV-Leistungen erneuern. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das kantonale Gericht schliesst mit dem gleichen Antrag. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. A._ lässt auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend UV Beschwerde erheben. Über diese entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_325/2014.