Sachverhalt: A. B._ und A._ (beide Jahrgang 1984) sind die Eltern des gemeinsamen Sohnes C._ (geb. 2008). Mit Urteil vom 15. April 2010 erhob das Stadtgericht Keszthely (Ungarn) eine zwischen den Eltern geschlossene Vereinbarung zum Urteil, in der sich der Vater verpflichtete, der Mutter an den Unterhalt des Kindes monatlich EUR 220.-- zu zahlen (Urteil 7.P.20.698/2009/11). B. B.a. Am 14. Januar 2016 gelangte A._ an das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH). Sie stellte folgende Rechtsbegehren: "1. Es sei das Urteil vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, für vollstreckbar zu erklären. 2. Es sei festzustellen, dass der Gesuchsgegner der Gesuchstellerin gestützt auf das Urteil vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, an den Unterhalt des gemeinsamen Sohnes seit dem 1. April 2010, einen monatlichen, bis zum 10. jedes Monats im Voraus fälligen Kindesunterhalt von EUR 220.-- zu leisten habe. 3. Der Gesuchstellerin sei für das vorliegende Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Sie sei von der Pflicht, einen Gerichtskosten- und Anwaltskostenvorschuss zu leisten, zu befreien. Der Gesuchstellerin sei der Unterzeichnende, Rechtsanwalt Sandor Horvath, als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben. 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Staates." B.b. Mit Urteil und Verfügung vom 11. Februar 2016 erklärte das Bezirksgericht das Urteil des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, für vollstreckbar (Ziff. 1 des Urteils). Auf die Feststellungsklage trat das Bezirksgericht nicht ein (Ziff. 2 des Urteils). Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegte das Bezirksgericht den Parteien je zur Hälfte (Ziff. 3 und 4 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 5 des Urteils). A._ wurde die unentgeltliche Prozessführung gewährt (Ziff. 1 der Verfügung). Ihr Begehren um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes wies das Bezirksgericht jedoch ab (Ziff. 2 der Verfügung). C. Gegen die Verweigerung der unentgeltli chen Verbeiständung legte A._ beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Beschluss und Urteil vom 22. April 2016 bzw. berichtigtem Urteil vom 24. Mai 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteils), und auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- (Ziff. 2 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 3 des Urteils). Den Antrag von A._ auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das zweitinstanzliche Verfahren wies das Obergericht ab (Ziff. 1 des Beschlusses). Auf den Antrag, Rechtsanwalt Sandor Horvath für seine Bemühungen als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Verfahren mit Fr. 1'496.45 (inkl. Auslagen und 8 % Mehrwertsteuer) zu entschädigen, trat das Obergericht nicht ein (Ziff. 2 des Beschlusses). D. D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai und 7. Juni 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Ziffern 1 und 2 des Beschlusses sowie die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Obergerichts (s. Bst. C) aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Bezirkgericht Pfäffikon sowie für das Verfahren vor dem Obergericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und den unterzeichnenden Anwalt als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. D.b. Eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet (Mitteilung vom 27. September 2016). D.c. Am 18. Oktober 2016 hat die Beschwerdeführerin unaufgefordert eine Kostennote für das Verfahren vor dem Bundesgericht über Fr. 2'122.45 eingereicht.