Sachverhalt: A. Der 1982 geborene A._ war zuletzt als Fenstermonteur bei der B._ GmbH tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. Dezember 2009 kündigte die Arbeitgeberin das Anstellungsverhältnis mit der Begründung, sie gebe den operativen Teil ihrer Tätigkeit auf, per 31. Januar resp. 28. Februar 2010. Am 27. Dezember 2009 stürzte A._ mit dem Snowboard und verletzte sich an der rechten Schulter. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2013 teilte sie dem Versicherten mit, sie stelle die Heilbehandlungsleistungen und per 31. Dezember 2013 auch das Taggeld ein. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2013 verneinte die SUVA einen Anspruch auf eine Invalidenrente, da die unfallbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit lediglich 5.35 % betrage. Mit Verfügung vom 19. März 2014 sprach die SUVA A._ eine Integritätsentschädigung für eine unfallbedingte Integritätseinbusse von 15 % zu. Der Versicherte erhob gegen die Verfügung vom 19. Dezember 2013 Einsprache mit dem Antrag auf Ausrichtung weiteren Taggelds, eventuell einer Invalidenrente. Mit Entscheid vom 25. März 2014 wies die SUVA die Einsprache ab. B. Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Es erklärte überdies das vom Versicherten gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege hinsichtlich der Gerichtskosten infolge Kostenlosigkeit des Verfahrens als gegenstandslos und wies es hinsichtlich unentgeltlicher Verbeiständung mangels ausgewiesener Bedürftigkeit ab (Entscheid vom 19. Januar 2016). C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und ihm sei weiterhin ein volles Taggeld, eventuell ab 1. Januar 2014 eine Rente von mindestens 42 %, zuzusprechen; subeventuell sei die Sache in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides zur Vornahme weiterer Abklärungen an die SUVA, allenfalls an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Zudem sei für das vor- und das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt. D. Am Bundesgericht ist überdies ein Beschwerdeverfahren betreffend Rentenleistungen der Invalidenversicherung (IV) hängig (Verfahren 9C_95/2016).