Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) und D._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern der 2008 geborenen B._. Der Mutter wurde mit Beschluss vom 26. Juni 2008 der damals zuständigen Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich die elterliche Obhut entzogen und ihr Kind einstweilen im Kinderhaus E._ untergebracht. Dort verblieb B._ bis zum 1. Juni 2009. Unter Vermittlung der F._ GmbH konnte sie anschliessend bei der Pflegefamilie G._ in U._ (TG) untergebracht werden, wo sie heute noch lebt. B. Mit Urteil vom 19. Juli 2013 verpflichtete das Einzelgericht am Bezirksgericht Zürich A._, seiner Tochter (Beschwerdegegnerin 1) für den Zeitraum vom 22. Mai 2008 bis 14. Mai 2009 Unterhalt von Fr. 48'480.-- zu bezahlen. Zudem wurde er verpflichtet, kraft Subrogation der Stadtgemeinde Zürich, Sozialdepartement (Beschwerdegegnerin 2), die folgenden Unterhaltsbeiträge zu erstatten: Fr. 8'000.-- für die Monate November und Dezember 2009, Fr. 31'800.-- für das Jahr 2010, Fr. 38'400.-- für das Jahr 2011 und Fr. 38'400.-- für das Jahr 2012. Den Unterhalt ab 2013 setzte das Bezirksgericht auf Fr. 3'200.-- pro Monat zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen fest. C. C.a. Gegen dieses Urteil erhoben A._ Berufung und B._ sowie die Stadtgemeinde Zürich Sozialdepartement Anschlussberufung beim Obergericht des Kantons Zürich. C.b. Das Obergericht verpflichtete A._ mit Urteil vom 17. Juni 2014, seiner Tochter für den Zeitraum vom 22. Mai 2008 bis 8. November 2009 für ihren Unterhalt den Betrag von Fr. 59'993.-- (Fr. 30'460.-- für das Jahr 2008 und Fr. 29'533.-- für das Jahr 2009) zu bezahlen (Ziff. 1). Ferner verpflichtete es ihn, der Stadtgemeinde Zürich, Sozialdepartement, folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: Vom 9. November 2009 bis zum 31. Dezember 2009 gesamthaft Fr. 3'467.--, vom 1. Januar 2010 bis 31. Dezember 2012 monatlich je Fr. 2'000.-- (total Fr. 72'000.--) und vom 1. Januar 2013 bis zur Rechtskraft des obergerichtlichen Urteils monatlich Fr. 2'600.-- zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen (Ziff. 2, Abs. 1-3). Ab Rechtskraft des Urteils sollte er der Tochter ebenfalls monatlich Fr. 2'600.-- plus Zulagen bezahlen, dies bis zur Mündigkeit oder darüber hinaus bis zum Abschluss der Ausbildung (Ziff. 3). D. Mit Eingabe vom 18. August 2014 wendet sich A._ an das Bundesgericht. Dabei stellt er die folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei die vorliegende Beschwerde gutzuheissen und in der Folge sei die Ziff. 2, Abs. 3 des angeführten Urteils aufzuheben, weil sich die verfügte Massnahme als unangemessen erweist. 2. Eventualiter sei festzustellen, dass die in der erwähnten Ziffer des Urteils ab Januar 2013 verfügten monatlichen Unterhaltsbeiträge für die Klägerin 1 als enorm hoch und von den üblichen geregelten Kindsunterhaltsrichtlinien extrem abweichend sind. 3. Es seien deshalb die Unterhaltsbeiträge für die Klägerin 1 ab Januar 2013 entsprechend neu zu bemessen und mit den geltenden Pflegegeld-Richtlinien in Einklang zu bringen. 4. Eventualiter seien die Unterhaltsbeiträge ab Januar 2013 für die Klägerin 1 wie die vorher geltend gemachten auf einen Betrag von monatlich CHF 2'000.-- zzgl. Kinderzulage festzusetzen." Er verlangt, seiner Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. E. E.a. Mit Verfügung vom 2. September 2014 erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung für den ab dem 1. Januar 2013 bis und mit Juli 2014 geschuldeten Unterhalt, nachdem sowohl das Obergericht als auch die Beschwerdegegnerin 2 auf eine Stellungnahme hierzu verzichtet hatten. Im Übrigen wies der Präsident das Gesuch ab. E.b. Am 22. September 2014 teilte H._ von den Sozialen Diensten der Stadt Zürich dem Bundesgericht mit, dass sie die Beschwerdegegnerin 1 im Verfahren vertrete. Sie reichte eine Substitutionsvollmacht der Beiständin des Kindes, C._, ein. Auf Nachfrage hin, teilte das Sozialzentrum I._ mit Schreiben vom 16. Juli 2015 mit, dass die das Kind betreffende Korrespondenz weiterhin an die Adresse der Beiständin zu erfolgen habe. E.c. Mit Vernehmlassung vom 30. Juni 2015 beantragte die Beschwerdegegnerin 2, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin 1 verzichtete auf eine Stellungnahme.