Sachverhalt: A. A.C._ sel. (vormalige Klägerin) und ihr Ehemann, B.C._, besassen ein langjähriges Feriendomizil in Spanien. Auf dem Weg dorthin wurden sie am 22. Dezember 2007 in Barcelona bestohlen. Sie waren bei der E._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) versichert. Streitig ist zwischen den Parteien, wie sich der Vorfall genau zugetragen hat. B. Mit Klage vom 11. September 2009 beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland belangte die vormalige Klägerin die Beklagte auf Zahlung eines nach Massgabe des Beweisergebnisses zu bestimmenden, Fr. 231'000.-- übersteigenden, Fr. 250'200.-- nicht übersteigenden Betrages nebst Zins. Dieses Rechtsbegehren präzisierte sie im Verlaufe des Verfahrens auf einen Fr. 225'180.-- übersteigenden, Fr. 249'300.-- nicht übersteigenden Betrag. Das Regionalgericht wies die Klage mit Entscheid vom 16. September 2014 kostenfällig ab. Die vormalige Klägerin erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Bern und hielt an den vor Regionalgericht zuletzt gestellten Begehren fest. Im Laufe des Berufungsverfahrens verstarb sie. Ihre Erben sind B.C._ und D._ (Beschwerdeführer); diese sind in den Prozess eingetreten. Mit Entscheid vom 9. Februar 2016 wies das Obergericht die Klage ebenfalls ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Beklagte zur Zahlung eines nach Massgabe des Beweisergebnisses zu bestimmenden, Fr. 217'980.-- übersteigenden, Fr. 242'100.-- nicht übersteigenden Betrages, nebst 5 % Zins seit 1. März 2008 zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur Beurteilung des Schadens und der policengemässen Entschädigung, subeventuell zur Vervollständigung des Sachverhalts an das Obergericht oder an die erste Instanz zurückzuweisen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei kostenfällig abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kö nne. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführer haben unaufgefordert eine Replik eingereicht. Die Beschwerdegegnerin hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.