Sachverhalt: A. A._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) arbeitete seit dem 1. Mai 2005 im Bergrestaurant C._ als Koch. Da die damaligen Pächter einen anderen Betrieb übernahmen, wurde ihm am 19. Januar 2011 per 15. April 2011 gekündigt. Die B._ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) als neue Betreiberin des Bergrestaurants C._ schloss mit dem Arbeitnehmer am 4. März 2011 einen neuen Arbeitsvertrag mit Arbeitsbeginn am 19. April 2011. Am 17. September 2011 erlitt der Arbeitnehmer einen Arbeitsunfall, woraufhin er vom 30. September 2011 bis zum 5. Oktober 2011 und ab dem 24. Oktober 2011 zumindest teilweise vom Hausarzt arbeitsunfähig geschrieben wurde. Mit Schreiben vom 25. Oktober 2011 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per 30. November 2011. Am 10. November 2011 liess der Arbeitnehmer mitteilen, dass die Kündigung aufgrund seiner Arbeitsunfähigkeit nichtig sei. Daraufhin kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis am 28. November 2011 nochmals per 31. Dezember 2011, das Arbeitsverhältnis wurde danach noch bis zum 31. Januar 2012 verlängert. B. B.a. Mit Klage vom 25. Mai 2012 gelangte der Arbeitnehmer an das Kantonsgericht Obwalden und beantragte, die Arbeitgeberin sei zu verpflichten, ihm Fr. 24'102.-- nebst Zins und Sozialversicherungsbeiträge zu bezahlen. Der Kantonsgerichtspräsident II wies die Klage mit Entscheid vom 10. April 2013 ab. Zur Begründung gab er an, es sei zwar von einem Betriebsübergang nach Art. 333 OR auszugehen, jedoch sei der Arbeitsvertrag des Klägers nicht übernommen worden. Daher sei von einem einjährigen Arbeitsverhältnis auszugehen, welches eine lediglich einmonatige Sperrfrist für Kündigungen im Krankheitsfall nach sich ziehe. Das Arbeitsverhältnis sei daher gültig auf den 31. Dezember 2011 bzw. 31. Januar 2012 gekündigt worden. B.b. Gegen dieses Urteil erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Obwalden, welches die Berufung mit Entscheid vom 3. Dezember 2014 abwies und den Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 10. April 2013 bestätigte. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 10. April 2013 und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 3. Dezember 2014 seien aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer den Betrag von Fr. 19'216.50 nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin sowie die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.