Sachverhalt: A. A._, kaufmännische Angestellte mit Fachausweis und abgeschlossenem Lehrmeisterkurs, Mutter einer 2007 geborenen Tochter, meldete sich im Oktober 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an (Massnahmen für berufliche Eingliederung und Rente). Sie gab an, von........ bis........ Hausfrau (Haushalthilfe) gewesen zu sein; vom........ bis........ habe sie halbtags gearbeitet. Sie leide an Polytoxikomanie (inkl. Aethyl) und an einer instabilen Persönlichkeit; 2008 sei sie wegen eines Lungentumors operiert worden. Die Versicherte wohnte Im Zeitpunkt der Anmeldung zusammen mit ihrer Tochter im Heim B._. Im September 2009 wechselte sie in eine Einrichtung mit "von auswärts betreutem Wohnen". Die zuständige IV-Stelle des Kantons St. Gallen prüfte berufliche Massnahmen; solche mussten jedoch aus medizinischen Gründen, welche mehrere stationäre Spitalaufenthalte notwendig machten, immer wieder verschoben werden. Das von der Stiftung C._ ab Mitte Januar 2013 durchgeführte viermonatige Belastbarkeitstraining mit dem Ziel eines daran anschliessenden Aufbautrainings wurde am 22. März 2013 wegen verschiedener gesundheitlicher und alkoholbedingter Rückschläge vorzeitig abgebrochen. Ebenfalls blieben die Eingliederungsversuche der IV-Stelle Uri erfolglos. In dem von der IV-Stelle eingeholten polydisziplinären Gutachten der MEDAS Zentralschweiz vom 2. Mai 2012 wurden im Konsens der beteiligten Disziplinen (internistisch, pneumologisch und psychiatrisch) folgende Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit gestellt: Emotional instabile Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typ ICD-10 F60.31; Bipolare affektive Störung ICD-10 F31.7; Polytoxikomanie mit u.a. Störungen durch Alkoholabhängigkeitssyndrom; Obstruktive Pneumopathie bei Asthma bronchiale (nicht allergisch) sowie Raucherbronchitis. Aus rein körperlicher Optik sei die Versicherte im früheren Beruf als kaufmännische Angestellte arbeitsfähig; sie sei indessen seit Jahren reduziert arbeitsfähig. Überblicke man die Krankengeschichte, so könne gesagt werden, dass seit November 2007 kaum mit einer verwertbaren Arbeitsfähigkeit zu rechnen war. Die Gutachter attestierten eine vollständige Arbeitsunfähigkeit ab November 2007. Aktuell könne die Arbeitsfähigkeit namentlich aus psychiatrischer Sicht (noch) nicht beurteilt werden, sodass die Versicherte weiterhin als arbeitsunfähig zu betrachten sei. Im ergänzenden Bericht vom 3. September 2012 hielten sie fest, es seien berufliche Massnahmen zu ergreifen, welche eine sozialpraktische und ressourcenorientierte Abklärung umfassten, sodass die Arbeitsfähigkeit in rund einem Jahr nochmals zu beurteilen sei. Im "Fragebogen zur Rentenabklärung betreffend Erwerbstätigkeit/Haushalt" vom 19. Dezember 2012 gab die Versicherte an, sie wäre als Gesunde im kaufmännischen Bereich tätig in einem Pensum von 40-50 %. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach die IV-Stelle mit Verfügungen vom 27. Januar und 18. Februar 2014 A._ ab 1. November 2011 eine halbe und ab 1. August 2012 eine ganze Invalidenrente samt Kinderrente zu. Für die Festsetzung des Rentenbeginns stellte sie auf den Controlling-Bericht vom 4. November 2011ab, wonach die Versicherte in den ersten drei Lebensjahren ihrer Tochter als Hausfrau und Mutter einzustufen war; danach wäre sie gemäss den Richtlinien des Sozialamtes (im Gesundheitsfall) zu 50 % erwerbstätig. Im Aufgabenbereich Haushalt sei sie nicht eingeschränkt (gewesen). B. Die Beschwerde der A._ mit dem Antrag auf Zusprechung einer IV-Rente ab einem früheren Zeitpunkt hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 24. Mai 2016 in dem Sinne gut, dass es in Aufhebung der Verfügungen vom 27. Januar und 18. Februar 2014 den Anspruch auf eine ganze Rente ab 1. April 2009 bejahte und die Sache zur Festsetzung und Ausrichtung der Leistungen an die IV-Stelle zurückwies. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur bundesrechtskonformen Prüfung der Statusfrage und Neubeurteilung des Rentenanspruchs zurückzuweisen. Die Vorinstanz beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. A._ ersucht um Abweisung des Rechtsmittels und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) lässt sich im Sinne der Gutheissung der Beschwerde vernehmen.