Sachverhalt: A. Das Bezirksgericht Bülach sprach A._ am 11. November 2015 der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Art. 19 Ziff. 1 und 2 lit. a aBetmG) sowie der Vorbereitungshandlungen zu Raub im Sinne von Art. 260bis Abs. 1 lit. d StGB schuldig und auferlegte ihm eine Freiheitsstrafe von 8 Jahren. Von den weiteren zur Anklage gebrachten Vorwürfen sprach es ihn frei. Gegen dieses Urteil meldeten sowohl A._ als auch die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Berufung an. A._ war am 8. Februar 2011 verhaftet worden. Er befand sich in der Folge in Untersuchungs- und Sicherheitshaft, bis er am 24. März 2015 den vorzeitigen Strafvollzug antrat. Am 20. Mai 2016 verfügte das Bezirksgericht seine Entlassung per 6. Juni 2016. Weiter ordnete es eine Probezeit von 2 2/3 Jahren mit Bewährungshilfe an, erteilte A._ für die Dauer der Probezeit Weisungen (Gespräche mit der Bewährungshilfe, Drogenkonsumverbot, Verbot der Kontaktaufnahme zu einer Reihe namentlich aufgeführter Personen). Es machte den Beschuldigten schliesslich darauf aufmerksam, dass er in den Strafvollzug zurückversetzt werden könne, wenn er während der Probezeit ein Verbrechen oder Vergehen begehe, sich der Bewährungshilfe entziehe oder die Weisungen missachte. Die Staatsanwaltschaft beantragte mit Eingabe vom 24. Mai 2016 beim Bezirksgericht zuhanden der Berufungsinstanz die Fortsetzung der Haft. Am 30. Mai 2016 überwies das Bezirksgericht den Antrag dem Obergericht des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 7. Juni 2016 hob dieses die Verfügung des Bezirksgerichts auf und hiess den Antrag der Staatsanwaltschaft auf Fortsetzung des vorzeitigen Strafvollzugs gut. B. Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 11. Juli 2016 beantragt A._, die Präsidialverfügung des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst sofort aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventuell unter Anordnung von Ersatzmassnahmen. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.