Sachverhalt: A. X._ ist Landwirt und Eigentümer verschiedener in den Gemeinden L._, M._, N._ und O._ gelegenen landwirtschaftlicher Grundstücke, welche zusammen ein landwirtschaftliches Gewerbe bilden. Eines der in der Gemeinde L._ gelegenen Grundstücke (Katasternummer ..., Q._) mit einer Fläche von über 53'000 m2 wurde im Rahmen der Zonenplanrevision von 2010 von der Landwirtschafts- in die Wohnzone umgezont. Die Zonenplanänderung trat am 1. Juni 2011 in Kraft. B. Am 23. Dezember 2010 beantragte X._ beim Landwirtschaftsamt des Kantons Schwyz zu prüfen, ob die Bewilligung zum Erwerb verschiedener landwirtschaftlicher Grundstücke (u.a. des Grundstücks Q._) durch die von ihm zu gründende A.X._ AG zu erteilen sei. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 10. Juni 2011 entschied das Landwirtschaftsamt, die Bewilligung werde infolge Verstosses gegen das Realteilungsverbot nicht erteilt. C. Die A.X._ AG wurde am 12. Dezember 2011 im Handelsregister eingetragen. Am 13. Dezember 2011 teilte X._ dem Volkswirtschaftsdepartement mit, mit Sachübernahmevertrag vom 7. Dezember 2011 habe die A.X._ AG das Einzelunternehmen Landwirtschaftsbetriebe X._ übernommen; zugleich und mit Ergänzung vom 22. Mai 2012 stellte er folgendes Gesuch: "1. Es sei die Bewilligung zum Erwerb des landwirtschaftlichen Gewerbes von X._ bzw. der Grundstücke a) Nrn. xxx usw. alle L._, b) Nr. yyy, O._, c) Nrn. zzz usw., alle M._, und d) Nr. qqq, N._, durch die A.X._ AG zu erteilen. Eventualiter sei die Bewilligung unter Auflagen zu erteilen, wie sie von den Gesuchstellern im vorliegenden Gesuch vorgeschlagen werden. 2. Es seien die gemäss den im Grundbuch angemerkten öffentlich-rechtlichen Eigentumsbeschränkungen betreffend Bodenverbesserungen, RRB 1571 (13.10.1994, Beleg 483 L._; 28.01.1998, Beleg 30a L._) und RRB 558 (31.05.1976, Beleg 39 O._; 10.02.2005, Beleg 46O._), erforderlichen Zustimmungen zu den Eigentumsübertragungen zu erteilen. 3. Bei Gutheissung der Bewilligung zum Erwerb des landwirtschaftlichen Gewerbes bzw. der landwirtschaftlichen Grundstücke gemäss Antrag Ziff. 1 sei die Bewilligung zum Erwerb von 100 % des Aktienkapitals an der Gesellschaft A.X._ AG durch die von X._ gehaltene B.X._ Holding AG (in Gründung) zu erteilen. Eventualiter sei die Bewilligung unter Auflagen zu erteilen, wie sie von den Gesuchstellern im vorliegenden Gesuch vorgeschlagen werden." Das Amt für Landwirtschaft liess durch Eduard Hofer und Benno Studer ein Gutachten (datiert vom 29. Februar 2012) erstellen. Mit Verfügung vom 20. Juli 2012 lehnte es die Ziff. 1 des Gesuchs ab und trat auf die Ziffern 2 und 3 nicht ein. D. Dagegen erhoben die A.X._ AG und X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und wiederholten die im Gesuch gestellten Anträge. Mit Urteil vom 17. Januar 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. E. Die A.X._ AG und X._ erheben mit gemeinsamer Eingabe vom 27. Februar 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, es sei in Aufhebung des angefochtenen Urteils die Bewilligung zum Erwerb des landwirtschaftlichen Gewerbes von X._ bzw. der Grundstücke a) Nrn. xxx usw. alle L._, b) Nr. yyy, O._, c) Nrn. zzz usw., alle M._, und d) Nr. qqq, N._, durch die A.X._ AG zu erteilen. Im Übrigen sei die Sache an das Amt für Landwirtschaft zur Beurteilung der Anträge Ziffern 2 und 3 des Gesuchs vom 22. Mai 2012 zurückzuweisen. Das Amt für Landwirtschaft und das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz sowie das Bundesamt für Justiz beantragen Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführer replizieren.