Sachverhalt: A. A.a. Am 26. Juli 2012 schrieb das Tiefbauamt des Kantons Graubünden im Rahmen eines offenen Verfahrens die Tunnelbaumeisterarbeiten für die Umfahrung Silvaplana an der Julierstrasse H3a öffentlich aus. Als Zuschlagskriterien festgelegt wurden dabei Preis/Preiswahrheit (50 %), Bauablauf/Termine (20 %), Qualität (20 %) sowie Umwelt (10 %). Innert der Eingabefrist gingen sieben Offerten (z.T. mit Varianten) ein, darunter diejenigen der E._ AG, zum Preis von Fr. 31'052'241.70 für das Grundangebot bzw. Fr. 30'491'835.10 für die Angebotsvariante, sowie der ARGE A._ zum Preis von Fr. 30'737'694.-- für das Grundangebot, Fr. 29'774'972.25 für Variante 1 und Fr. 30'216'804.35 für Variante 2. A.b. Mit Vergabeentscheid vom 15. Januar 2013 und Verfügung vom 17. Januar 2013 erteilte die Regierung des Kantons Graubünden den Zuschlag zum Betrag von Fr. 30'491'835.10 an die E._ AG für deren Angebotsvariante. Die beiden Varianten der ARGE A._ wurden ausgeschlossen mit der Begründung, sie entsprächen nicht dem Auflageprojekt. Von den verbleibenden Offerten war die Variante der E._ AG das günstigste Angebot; mit einem Abstand von 0,8 % folgte das Grundangebot der ARGE A._. B. Die ARGE A._ erhob am 1. Februar 2013 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit dem Antrag, in Aufhebung des Vergabeentscheids sei die Variante der E._ AG vom Wettbewerb auszuschliessen und der Zuschlag sei ihr - der ARGE A._ - zu erteilen, eventuell sei das Verfahren zur Neubeurteilung oder zur allfälligen Durchführung einer neuen Ausschreibung an die Vergabestelle zurückzuweisen, subeventualiter die Rechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids festzustellen. Mit Urteil vom 6. März 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 30. April 2014 erhebt die ARGE A._ beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und in Aufhebung des Vergabeentscheids die Sache an die Vergabestelle zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen; eventualiter sei die Rechtswidrigkeit des Vergabeentscheids festzustellen. Das Verwaltungsgericht, das Bau-, Verkehrs- und Forstdepartement des Kantons Graubünden sowie die E._ AG beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.