Sachverhalt: A. Der aus Tunesien stammende X._ (geb. 1971) reiste am 11. Mai 1995 im Rahmen des Familiennachzugs zu seiner hier niedergelassenen Ehefrau Y._ (geb. 1964) in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge regelmässig verlängert wurde, zuletzt bis zum 1. Oktober 2009. Am 1. Januar 2002 verstarb Y._. Am 31. Oktober 2006 heiratete X._ die ungarische Staatsangehörige Z._ (geb. 1981). Nach der Trennung der Eheleute anfangs 2009 wurde diese Ehe mit Urteil des Bezirksgerichts Luzern vom 30. August 2011 geschieden. B. Am 16. Oktober 2009 hatte X._ um eine weitere Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ersucht. Am 9. November 2009 teilte ihm das Amt für Migration des Kantons Luzern mit, es sehe sich aufgrund zur Aktenlage zu weiteren Abklärungen veranlasst. Auf sämtliche Aufforderungen des Amtes zur Akteneinreichung (verbunden mit Androhungen des Nichteintretens auf das Verlängerungsgesuch) reagierte X._ nicht. Ebenso wenig beachtete er die mehrmaligen Schreiben des Amtes - eines davon wurde ihm am 29. März 2011 gar polizeilich zugestellt -, welche ihm die Gelegenheit einräumten, sich zum vorgesehenen Nichteintreten zu äussern. Daraufhin trat das Amt für Migration mit Verfügung vom 15. April 2011 wegen Verletzung der Mitwirkungspflichten auf das Verlängerungsgesuch nicht ein. C. Nachdem das Amt für Migration es am 12. Mai 2011 abgelehnt hatte, die am 15. April 2011 ergangene Verfügung in Wiedererwägung zu ziehen, focht X._ am 19. Mai 2011 diese Verfügung fristgerecht mit Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern an. Diese Beschwerde blieb erfolglos, und mit Urteil vom 26. Juni 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Departementsentscheid vom 2. November 2011 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 2. August 2012 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Sache an das Amt für Migration zurückzuweisen unter gleichzeitiger Verpflichtung, auf das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vom 16. Oktober 2009 einzutreten und dem Beschwerdeführer Gelegenheit zur Einreichung der notwendigen Unterlagen zu geben. Sodann wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso das Bundesamt für Migration. X._ machte von der Möglichkeit, sich noch einmal zu äussern, keinen Gebrauch. E. Mit Verfügung vom 6. August 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannnt.