Sachverhalt: A. Mit Vertrag vom 1. Dezember 2005 vermietete die Y._ (Vermieterin) im Erdgeschoss des Bahnhofs Solothurn an der Z._strasse ein Ladenlokal von ca. 30 m2 an die Q._ GmbH. Der Vertrag sah eine feste Vertragsdauer bis 31. Januar 2011 mit der Option auf Verlängerung bis 31. Januar 2016 vor. Der Mietzins wurde auf 10 % des Umsatzes bis zu Fr. 400'000.--, und darüber auf 9 % des Umsatzes bei einem jährlichen Grundmietzins von Fr. 30'000.-- festgelegt. Mit Vereinbarung vom 14. Juni 2007 übertrugen die Parteien den Mietvertrag per 1. Juli 2007 auf die X._ GmbH als neue Mieterin. Diese übte am 23. Juni 2009 ihr Optionsrecht auf Verlängerung des Mietvertrages bis zum 31. Januar 2016 aus. Im Schreiben vom 11. November 2009 gab die Vermieterin unter dem Betreff "Mahnung" gegenüber der Mieterin zusammengefasst an, diese habe die Zahlungsfrist bezüglich der Mietzinse und Akontozahlungen für die Monate September und Oktober im Gesamtbetrag von Fr. 5'745.80 überschritten. Weiter führte die Vermieterin aus: "Gestützt auf Art. 257d OR setzen wir Ihnen zur Begleichung des rückständigen Mietzinses eine Frist von 30 Tagen. Sollte Ihre Zahlung bis zum Ablauf dieser Frist nicht bei uns eingehen, werden wir gezwungen sein, das Mietverhältnis gemäss den gesetzlichen Bestimmungen zu kündigen." Dieses Schreiben ist der Mieterin am 12. November 2009 zugegangen, welche am 3. Dezember 2009 einen ausstehenden Monatsmietzins bezahlte. Am 14. Dezember 2009 kündigte die Vermieterin den Mietvertrag wegen Zahlungsrückstands gemäss Art. 257d OR per 31. Januar 2010 mit der Begründung, die Monatsmiete Oktober 2009 sei trotz Mahnungen nicht beglichen worden. Am 21. Dezember 2009 überwies die Mieterin zwei Monatsmietzinse. Mit Eingabe vom 15. Januar 2010 focht die Mieterin die Kündigung vom 14. Dezember 2009 bei der Schlichtungsbehörde für Mietsachen des Oberamts Region Solothurn an, welche die Kündigung mit Entscheid vom 19. April 2010 als unwirksam erklärte. B. Am 21. Mai 2010 klagte die Vermieterin beim Richteramt Solothurn-Lebern auf Feststellung der Rechtswirksamkeit der Kündigung vom 14. Dezember 2009 und auf Ausweisung der Mieterin. Mit Urteil vom 2. Juli 2010 stellte der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern die Wirksamkeit der umstrittenen Kündigung fest und wies die Mieterin unter Androhung der Rechtsfolgen nach Art. 292 StGB an, die Mieträumlichkeiten bis am 23. Juli 2010 zu verlassen. Einen dagegen erhobenen Rekurs der Mieterin wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 16. September 2010 ab, wobei es die Frist zur Ausweisung auf den 30. September 2010, 12.00 Uhr, verlängerte. C. Die Mieterin (Beschwerdeführerin) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, in Aufhebung der Ziffern 1- 4 des Urteils des Obergerichts vom 16. September 2010 sei die Rechtsunwirksamkeit der Kündigung vom 14. Dezember 2009 festzustellen und das Ausweisungsbegehren abzuweisen. Dem weiteren Begehren um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 12. November 2010 stattgegeben. Die Vermieterin (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.