Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdegegner) beanspruchte infolge eines Autounfalls von der X._ Versicherungen AG (Beschwerdeführerin) Leistungen aus einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung. B. Nachdem sich die Parteien über die zu erbringenden Leistungen nicht hatten einigen können, klagte der Beschwerdegegner am 23. Juni 2008 beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau gegen die Beschwerdeführerin mit dem Hauptbegehren, es sei die Beschwerdeführerin zur Zahlung von insgesamt Fr. 124'930.32 zu verurteilen, zuzüglich 5 % Zins ab Klageeinreichung. Dem Beschwerdegegner wurde im kantonalen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege samt Verbeiständung bewilligt. Mit Urteil vom 21. Januar 2010 verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung der Klage, dem Beschwerdegegner Fr. 3'015.95 zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 23. Juni 2008 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage des Beschwerdegegners ab (Dispositiv-Ziff. 1). Das Versicherungsgericht erhob keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziff. 2) und sprach auch keine Parteientschädigungen zu (Dispositiv-Ziff. 3). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei ihr eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 11'424.30, zuzüglich Fr. 456.95 Spesenentschädigung und Fr. 902.95 MWST aus dem Prozess vor dem Versicherungsgericht zuzusprechen. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Gleichzeitig beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet.