Sachverhalt: A. X._ und Y._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von A._ (geb. 2007) und B._ (geb. 2008). Die Vormundschaftsbehörde von C._ übertrug ihnen mit Entscheid vom 22. Juni 2011 vereinbarungsgemäss die gemeinsame elterliche Sorge über die beiden Kinder. B. Am 25. November 2011 verlangte Y._ beim Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern die alleinige elterliche Sorge über die beiden Kinder. Daraufhin beantragte X._ in ihrer Vernehmlassung vom 16. Januar 2012 ihrerseits die Übertragung der elterlichen Sorge an sie allein. Der Regierungsstatthalter teilte mit Entscheid vom 29. August 2012 die alleinige elterliche Sorge über die beiden Kinder Y._ zu. C. Dagegen erhob X._ am 10. September 2012 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Luzern. Sie beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an den Regierungsstatthalter zur Neubeurteilung. Eventualiter sei ihr die alleinige elterliche Sorge für die beiden Kinder zu übertragen. Y._ habe ihr für die Kinder Unterhaltsbeiträge von mindestens je Fr. 2'500.-- zu bezahlen und ihm sei ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen. Subeventualiter sei festzustellen, dass die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge nicht vorlägen. Der Instruktionsrichter hörte die beiden Kinder am 9. November 2012 an und befragte am 6. Dezember 2012 beide Parteien. Mit Urteil vom 4. März 2013 wies das Obergericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. D. Am 26. April 2013 hat X._ (Beschwerdeführerin) gegen dieses Urteil des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie verlangt dessen Aufhebung und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zu neuer Entscheidung. Eventuell sei die elterliche Sorge für die beiden Kinder ihr alleine zuzuteilen. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.