Sachverhalt: Die IV-Stelle des Kantons Aargau stellte fest, der 1949 geborene, bis zu einem Unfall im Dezember 2004 als Fassadenisoleur und nebenberuflich als Hauswart erwerbstätige V._ sei in der Zeit vom 9. Dezember 2005 (Ablauf der Wartefrist) bis 8. Juni 2010 zu 30 Prozent invalide gewesen; für die Folgezeit ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 38 Prozent. Demgemäss verneinte die Verwaltung den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 11. November 2010). Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 17. August 2011). V._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihm, unter Aufhebung von vorinstanzlichem Entscheid und strittiger Verfügung, mit Wirkung ab Dezember 2005 eine Viertelsrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.