Sachverhalt: A. Z._ gebar am 25. August 2009 die Tochter Y._. Diese klagte am 6. September 2010 bei der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren am Bezirksgericht Pfäffikon gegen X._ auf Feststellung der Vaterschaft und auf Unterhalt. Mit Urteil vom 19. Dezember 2011 stellte die Einzelrichterin fest, dass X._ Vater von Y._ sei (Ziff. 1) und verpflichtete diesen, der Tochter bis zu deren Volljährigkeit resp. bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 939.-- zuzüglich allfälliger geregelter, für die Tochter bestimmter Kinderzulagen zu bezahlen. Die Beiträge waren auf den Ersten jeden Monats im Voraus, rückwirkend ab 6. September 2009 an die gesetzliche Vertreterin der Tochter, nach deren Volljährigkeit an die Tochter selbst zu entrichten (Ziff. 2). Ferner sah das Urteil die Indexierung der Beiträge vor (Ziff. 3). Die Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 2'500.-- und die übrigen Auslagen auf Fr. 400.-- bestimmt (Ziff. 4). Der Vater wurde verpflichtet, der Tochter eine Parteientschädigung in der Höhe der Rechtsvertretungskosten zu bezahlen (Ziff. 5). Die Einzelrichterin auferlegte die Kosten dem Vater, nahm diese aber infolge Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse, wobei eine Nachzahlungspflicht gemäss § 92 ZPO/ZH für die Gerichtskosten und Aufwendungen für die Rechtsvertretungen vorbehalten blieb (Ziff. 6). B. Der Vater gelangte gegen die Ziffern 2, 4, 5 und 6 des erstinstanzlichen Urteils mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 20. Februar 2013 nahm die angerufene Instanz davon Vormerk, dass die Dispositiv-Ziffer 1 des erstinstanzlichen Urteils (Feststellung der Vaterschaft) vom 19. Dezember 2011 am 11. September 2012 in Rechtskraft erwachsen sei. Mit Urteil vom gleichen Tag verpflichtete das Obergericht den Vater, seiner Tochter ab dem 6. September 2009 bis zur Volljährigkeit resp. darüber hinaus bis zum ordentlichen Abschluss einer Erstausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 696.-- zuzüglich allfälliger gesetzlich oder vertraglich geregelter, für die Tochter bestimmter Kinderzulagen zu bezahlen. Diese Beiträge sind auf den Ersten eines Monats im Voraus zahlbar an die gesetzliche Vertreterin der Tochter, auch über die Volljährigkeit hinaus, solange die Tochter in ihrem Haushalt lebt oder keine eigenen Ansprüche stellt bzw. keinen anderen Zahlungsempfänger bezeichnet (Ziff. 1). Ferner enthält auch dieses Urteil die übliche Indexierungsklausel (Ziff. 2). Die Gerichtsgebühr für das erstinstanzliche Verfahren wurde auf Fr. 2'500.-- und die Auslagen auf Fr. 400.-- bestimmt. (Ziff. 3). Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens wurden der Tochter zu einem Achtel und dem Vater zu sieben Achteln auferlegt, jedoch zufolge der den Parteien bewilligten unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse genommen. Vorbehalten bleibt die Nachzahlungspflicht nach § 92 ZPO/ZH (Ziff. 4). Der Vater wurde verpflichtet, der Tochter für das erstinstanzliche Verfahren eine Prozessentschädigung von Fr. 1'200.-- zu entrichten (Ziff. 5). Die Gerichtsgebühr für das Berufungsverfahren wurde auf Fr. 5'900.-- festgesetzt (Ziff. 6). Das Obergericht auferlegte die Kosten des Berufungsverfahrens den Parteien je zur Hälfte, nahm sie jedoch zufolge der ihnen gewährten unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse, behielt jedoch eine Nachzahlungspflicht gestützt auf Art. 123 ZPO vor (Ziff. 7). Für das Berufungsverfahren sprach es keine Parteientschädigungen (Ziff. 8). C. Der Vater (Beschwerdeführer) hat mit Eingabe vom 8. April 2013 (Entgegennahme der Beschwerde durch die schweizerische Botschaft in Berlin) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, er sei in Abänderung des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Februar 2013 zu verpflichten, der Tochter (Beschwerdegegnerin) ab dem 6. September 2009 monatliche Unterhaltsbeiträge zuzüglich allfälliger gesetzlicher oder vertraglich geregelter, für die Beschwerdegegnerin bestimmter Kinderzulagen wie folgt zu bezahlen: vom 6. September 2009 bis 31. Dezember 2010 Fr. 67.--, vom 1. Januar 2011 bis 31. Juli 2012 Fr. 28.--, vom 1. August 2012 bis 31. Dezember 2012 Fr. 214.--, vom 1.- 31. Januar 2013 Fr. 218.--, vom 1. Februar 2013 bis 31. Juli 2014 Fr. 194.--, vom 1. August 2014 bis 31. Dezember 2014 Fr. 118.--, vom 1. Januar 2015 bis zur Volljährigkeit Fr. 42.-- (Rechtsbegehren 1). Er habe der Beschwerdegegnerin für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren keine Parteientschädigung zu bezahlen (Rechtsbegehren 2). Dies unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beschwerdegegnerin (Rechtsbegehren 3). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Rechtsbegehren 4). D. Mit Präsidialverfügung vom 3. Mai 2013 wurde der Beschwerde in teilweiser Gutheissung des Antrages des Beschwerdeführers, entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin für die bis und mit April 2013 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung erteilt. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.