Auftrag; Sorgfaltspflichtverletzung; Schadenersatz, hat sich ergeben: A.- Im April 1991 gründete A._ (Kläger) zusammen mit weiteren Personen die X._ mit Sitz in Z._. Er gehörte in der Folge deren Verwaltungsrat an. Am 30. April 1992 wurde über die X._ der Konkurs eröffnet. Hierauf beauftragte der Kläger Rechtsanwalt B._ (Beklagter) mit der Wahrung seiner Interessen im Konkursverfahren der X._. Der Beklagte vertrat gleichzeitig die Interessen von C._, Witwe des am 17. Dezember 1991 verstorbenen Mitgründers der X._ D._, sowie von E._, welcher ebenfalls Verwaltungsrat der X._ war. Der Kläger gab im Konkurs der X._ eine Forderung von Fr. 6'920.-- ein, welche von der Konkursverwaltung jedoch abgewiesen wurde. Die Firma Y._ meldete eine Forderung aus Auto-Leasingvertrag an. Diese Forderung wurde vom Konkursamt teilweise, nämlich im Betrag von Fr. 30'162.--, in der 5. Klasse zugelassen. Nachdem die Mehrheit der Konkursgläubiger auf die Geltendmachung von Verantwortlichkeitsansprüchen gegen den Verwaltungsrat der X._ verzichtet hatte, trat das Konkursamt diese Ansprüche gestützt auf Art. 260 SchKG für Fr. 15'000.-- an die Y._ AG ab. Anfangs 1994 machte die Y._ AG gegen den Kläger gerichtlich eine Forderung von Fr. 264'345. 35 geltend, welcher Betrag den gesamten von der Konkursmasse der X._ abgetretenen Verantwortlichkeitsansprüchen entsprach. Am 7. März 1994 verpflichtete sich der Kläger vergleichsweise zur Zahlung von Fr. 65'000.-- an die Y._ AG. Im vorliegenden Verfahren wirft der Kläger dem Beklagten vor, es sei ihm aufgrund vertragswidriger Führung des Anwaltsmandates durch den Beklagten ein Schaden im Umfang der an die Y._ AG bezahlten Vergleichssumme entstanden. B.- Am 29. Oktober 1997 belangte der Kläger den Beklagten beim Bezirksgericht Zürich auf Zahlung von Fr. 65'000.-- nebst Zins. Das Bezirksgericht und das hierauf mit der Sache befasste Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) wiesen die Klage mit Urteilen vom 28. September 1998 bzw. 22. Mai 2000 ab. Eine gegen das obergerichtliche Urteil gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 23. November 2000 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C.- Der Kläger führt gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) vom 22. Mai 2000 eidgenössische Berufung. Darin beantragt er dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Der Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils.