Sachverhalt: A. Der 1964 geborene M._ war seit 1990 als Monteur von Klimageräten bei der Firma S._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am frühen Morgen des 18. Juli 2002 war er auf der Autobahn in Ungarn als Beifahrer von einem Verkehrsunfall betroffen. Dabei zog er sich gemäss Bericht des am Folgetag aufgesuchten Gesundheitszentrums in L._ vom 12. August 2002 Verletzungen an der rechten Schulter, an der Halswirbelsäule (HWS) sowie am linken Ellenbogen zu. Die SUVA holte Auskünfte des Versicherten vom 30. August 2002 ein. Zudem zog sie diverse Berichte des Hausarztes Dr. med. F._, des Spitals X._ und der Klinik Y._ (MR-Arthro rechte Schulter vom 7. Mai 2003) bei. Des Weiteren holte die Anstalt einen Austrittsbericht der Rehaklinik Z._ vom 2. Juli 2003 (über einen vom 30. April bis 4. Juni 2003 dauernden Aufenthalt) sowie Stellungnahmen des Dr. med. G._, SUVA-Abteilung Arbeitsmedizin, vom 25. Februar und 22. August 2003 und des Dr. med. P._, SUVA-Abteilung Versicherungsmedizin, vom 8. August 2003 ein. Ausserdem veranlasste sie am 24. Juli 2003 und am 15. Januar 2004 Untersuchungen durch den Kreisarzt Dr. med. B._. Am 11. Februar 2004 teilte die SUVA dem Versicherten schliesslich mit, sie stelle die Heilkostenleistungen "mit dem Erhalt dieses Schreibens" und das Taggeld auf Ende März 2004 ein. Mit Verfügung vom 19. März 2004 sprach die Anstalt dem Versicherten für die Zeit ab 1. April 2004 eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbsunfähigkeit von 15% und eine Integritätsentschädigung von Fr. 16'020.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 15%, zu. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 8. Juni 2004 festgehalten. B. Die dagegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer Rente von 70% wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Beizug der Akten der Eidgenössischen Invalidenversicherung und der Arbeitslosenversicherung ab (Entscheid vom 28. November 2006). Zuvor hatte das Gericht mit Zwischenentscheid vom 14. Juli 2005 ein Ausstandsgesuch abgewiesen, was das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 26. Mai 2006 (U 305/05) bestätigte. C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab 1. April 2004 eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von 70% zuzusprechen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Auf eine entsprechende Anfrage des Gerichts hielt der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 13. November 2007 am Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung fest.