Ausschaffungshaft gemäss Art. 13b ANAG, hat sich ergeben: A.- Der aus Georgien stammende A._, geboren 1977, reiste nach eigenen Angaben am 12. Juni 2001 illegal in die Schweiz ein. Tags darauf stellte er ein Asylgesuch. Am 24. Juli 2001 nahm ihn die Kantonspolizei Basel-Stadt wegen Diebstahlverdachts fest; am 25. Juli 2001 verfügten die Einwohnerdienste des Kantons Basel-Stadt, Internationale Kundschaft, die Ausgrenzung von A._ aus dem Gebiet des Kantons Basel-Stadt. Am 30. August 2001 teilte das Bundesgrenzschutzamt Weil am Rhein dem Bundesamt für Flüchtlinge mit, dass A._ schon am 18. Dezember 2000 nach Deutschland eingereist und dass sein dort gestelltes Asylgesuch am 18. April 2001 abgelehnt worden sei. Mit Verfügung vom 21. September 2001 trat das Bundesamt für Flüchtlinge auf das Asylgesuch von A._ nicht ein und wies diesen aus der Schweiz weg. Nachdem die Stadtpolizei Bern A._ am 6. September 2001 und am 3. Oktober 2001 in der Drogenszene angetroffen sowie am 2. November 2001 wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz verzeigt hatte, grenzte ihn der Migrationsdienst des Kantons Bern mit Verfügung vom 15. November 2001 aus dem Gebiet der Gemeinde Bern aus. B.- Am 3. Dezember 2001 nahm der Migrationsdienst des Kantons Bern A._ in Ausschaffungshaft. Mit Entscheid vom 6. Dezember 2001 prüfte und genehmigte der Haftrichter 1 des Haftgerichts III Bern-Mittelland die Ausschaffungshaft. C.- Dagegen hat A._ mit Schreiben vom 27. Dezember 2001 beim Bundesgericht in russischer Sprache Beschwerde erhoben. Die Eingabe wurde von Amtes wegen übersetzt. Der Beschwerdeführer beantragt, aus der Haft entlassen zu werden, damit er seinen Vater noch lebend wiedersehen könne. Er erklärt, er sei psychisch krank und drogenabhängig. Der Haftrichter sowie der Migrationsdienst des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer hat sich nicht mehr zur Sache geäussert.