Sachverhalt: A. A.a Am 21. November 2007 ersuchte X._ (geb. 1942) die Vormundschaftsbehörde der Kreise Oberengadin/Bergell (Vormundschaftsbehörde) um Unterstützung in den Bereichen Pflegekosten, Rentenpfändung, Ehescheidungsverfahren sowie seine künftige Wohnsituation. Seinem Einverständnis und seinem Begehren entsprechend ordnete die Vormundschaftsbehörde mit Verfügung vom 13. Dezember 2007 eine Beistandschaft im Sinn von Art. 394 ZGB an und ernannte den Amtsvormund zum Beistand. A.b Im Jahr 2008 wurde X._ aufgrund einer allgemeinen Erschöpfung notfallmässig in die psychiatrische Klinik A._ eingewiesen. Am 14. März 2008 teilte der Co-Chefarzt der Klinik dem Beistand mit, X._ sei wegen langandauernder und wahrscheinlich bleibender psychophysischer Defizite dauerhaft nicht in der Lage, allein zu wohnen; die Klinik habe daher im Einverständnis mit X._ damit begonnen, für ihn im Raum Chur eine Altersinstitution zu suchen. Im Auftrag des Beistandes erteilte die Vormundschaftsbehörde der psychiatrischen Klinik A._ den Auftrag, X._ psychiatrisch zu untersuchen. Das Gutachten von Dr. med. Y._ vom 5. September 2008 stellte bei X._ eine dauerhafte psychische Störung in Form einer narzisstischen Persönlichkeitsstörung fest, die mit einer über Jahre dauernden Therapie, bei leichtem Verlauf ambulant, bei schweren Störungen stationär behandelt werden könne. Laut Gutachten ist X._ bedingt durch die psychische Störung nicht immer in der Lage, sein alltägliches Leben eigenständig und erfolgreich zu bewältigen. Der Gutachter gelangt zum Schluss, bei ihm seien aufgrund krankheitsbedingter Einschränkungen der Urteilsfähigkeit die Voraussetzungen für eine Beiratschaft bzw. Vormundschaft gegeben. A.c Am 23. Dezember 2008 reichte X._ beim Bezirksgericht Maloja als Aufsichtsbehörde Beschwerde ein und beantragte, die Amtsvormundschaft Oberengadin von ihrem Auftrag zu entbinden und seinen Fall zur Regelung der Pflegebedürftigkeit und des Notbedarfs einer anderen Institution zu übertragen. Diese Beschwerde ergänzte er mit weiteren Eingaben vom 24. und 28. Dezember 2008. Das Beschwerdeverfahren (Verfahren 120-2008-19) wurde wegen des angeschlagenen Gesundheitszustandes von X._ über längere Zeit sistiert. A.d Am 15. April 2009 widerrief X._ seine Einwilligung zur Beistandschaft und reichte am 15. August 2009 eine weitere Beschwerde beim Bezirksgericht Maloja als Aufsichtsbehörde gegen die Vormundschaftsbehörde ein, die er am 6. und 19. September 2009 ergänzte. In der letzten ergänzenden Eingabe beantragte er die unverzügliche Aufhebung der Beistandschaft und die Sistierung des Beschwerdeverfahrens (Verfahren 120-2009-16). A.e Am 17. August 2010 hob die Vormundschaftsbehörde die Beistandschaft auf eigenes Begehren auf, genehmigte den Schlussbericht des Beistandes und entliess diesen aus seinem Amt. Eine von X._ gegen diesen Entscheid eingereichte Beschwerde wies das Bezirksgericht Maloja am 6. Dezember 2011 ab (Verfahren 120-2010-15). Dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. A.f Mit Entscheid vom 21. September 2010 schrieb das Bezirksgericht Maloja die beiden Aufsichtsbeschwerden (120-2008-19 und 120-2009-16) als erledigt ab bzw. wies sie vollumfänglich ab, soweit darauf einzutreten war; es auferlegte die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- und die Schreibgebühren von Fr. 500.-- X._ und sprach keine Entschädigungen zu. Das Bezirksgericht anerkannte seine Zuständigkeit gestützt auf Art. 420 Abs. 2 ZGB und hielt dafür, angesichts der bereits aufgehobenen Beistandschaft verfüge X._ nicht mehr über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Überprüfung der Beschwerden, soweit es um die Aufhebung der Beistandschaft gehe. Im Weiteren prüfte das Bezirksgericht aber die vom Beschwerdeführer bzw. seinem Anwalt gegen die Vormundschaftsbehörde erhobenen Vorwürfe und erachtete diese als haltlos. B. X._ gelangte gegen diesen Entscheid mit Beschwerde vom 6. Dezember 2010 und mit einer weiteren Eingabe vom 10. März 2012 an das Kantonsgericht von Graubünden. Er beantragte, den Entscheid des Bezirksgerichts Maloja vom 21. September 2010 aufzuheben und das Beschwerdeverfahren bis zur Erledigung des Beschwerdeverfahrens 120-2010-15 (Beschwerde gegen die Aufhebung der Beistandschaft) zu sistieren. Der Präsident des Kantonsgerichts nahm die Beschwerde mit Verfügung vom 23. April 2012 als Berufung im Sinn der ZPO entgegen und wies sie ab, soweit darauf einzutreten war. C. X._ (Beschwerdeführer) hat gegen diese Verfügung am 31. Mai 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt zur Hauptsache, die Verfügung des Präsidenten des Kantonsgerichts von Graubünden vom 23. April 2012 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die zuständige Aufsichtsbehörde im Vormundschaftswesen des Kantons Graubünden zurückzuweisen. Die Kosten der beiden Beschwerdeverfahren (120-2008-19 und 120-2009-16) sowie die Kosten des Kantonsgerichts seien dem Kanton Graubünden aufzuerlegen. Eventuell sei die Eingabe als Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.