Sachverhalt: A. Die 1952 geborene W._ lebt im Konkubinat mit H._ und besorgt den gemeinsamen Haushalt. Am 1. Januar 1999 schlossen die Konkubinatspartner einen ab diesem Zeitpunkt geltenden Arbeitsvertrag. Darin vereinbarten sie, dass W._ von H._ für die Übernahme des auf ihn entfallenden Anteils der Haus- und Gartenarbeit, entsprechend einem Pensum von 20 % resp. 8 Wochenstunden, ein monatliches Gehalt von Fr. 1400.- brutto bezieht. Am 6. Dezember 2000 meldete sich H._ unter Hinweis auf diesen Sachverhalt bei der AHV an, worauf er rückwirkend ab 1. Januar 1999 als Hausdienstarbeitgeber erfasst wurde (Bestätigung AHV-Zweigstelle T._ vom 28. September 2001). Am 6. März 2001 stellte H._ als Arbeitgeber (Betriebsart "Haushalthilfe Privathaushalt") bei der "Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft" (nachstehend: Mobiliar) Antrag auf Abschluss eines Vertrages über die obligatorische Versicherung UVG gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen bei sofortigem Vertragsbeginn. Die Mobiliar entsprach diesem Antrag und stellte am 2. Mai 2001 die Police Nr. X._ aus, welche am 9. Mai 2001 an H._ und W._ versandt wurde. Am 13. April 2001 erlitt W._ einen ersten und am 23. Juni 2001 einen zweiten Zeckenbiss. Als Folge dieser Ereignisse wurde von ärztlicher Seite eine mit Behandlungsbedürftigkeit und Arbeitsunfähigkeit verbundene Borreliose diagnostiziert. Den ersten Zeckenbiss vom 13. April 2001 meldete H._ der Mobiliar am 13. Januar 2002 als Unfall. Mit Verfügung vom 16. April 2002 verneinte der Unfallversicherer seine Leistungspflicht für das Ereignis und erklärte den Versicherungsvertrag rückwirkend per 6. März 2001 als aufgehoben mit der Begründung, W._ sei als Konkubinatspartnerin von der obligatorischen Unfallversicherung ausgeschlossen. Daran hielt die Mobiliar auf die von W._ und H._ gemeinsam sowie von der Krankenkasse Steffisburg, als obligatorischer Krankenversicherer der W._, erhobenen Einsprachen hin fest. Sie führte dabei zusätzlich an, der Versicherungsvertrag wäre ohnehin erst mit der Zustellung der Police vom 2. Mai 2001 und somit nach dem gemeldeten Zeckenbiss vom 13. April 2001 zustande gekommen, was eine Leistungsberechtigung gegenüber der Mobiliar selbst bei Geltung des Versicherungsobligatoriums für W._ ausschlösse (Einspracheentscheide vom 8. August 2002). B. Hiegegen erhoben W._ und H._ einerseits und die Krankenkasse Steffisburg anderseits je Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern vereinigte die beiden Verfahren. Mit Entscheid vom 15. Oktober 2003 hiess es die Rechtsmittel insoweit gut, als es, den obligatorischen Unfallversicherungsschutz für W._ und das Bestehen der Versicherungsdeckung bei der Mobiliar bei Eintritt des Schadenereignisses vom 13. April 2001 bejahend, den Unfallversicherer verpflichtete, den Anspruch der Versicherten auf die gesetzlichen Leistungen nach UVG zu prüfen und darüber zu verfügen. Auf weitere Beschwerdeanträge (betreffend den zweiten Zeckenbiss vom 23. Juni 2001 und die eventualiter geltend gemachte Aufnahme in die freiwillige Versicherung nach UVG) trat es nicht ein. C. Die Mobiliar führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei das Leistungsbegehren betreffend Unfallereignis von W._ vom 13. April 2001 abzuweisen. W._ und H._ schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Die Krankenkasse Steffisburg lässt sich mit demselben Antrag vernehmen, ohne sich weiter zur Sache äussern. Das Bundesamt für Gesundheit, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung, beantragt, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei in dem Sinne gutzuheissen, dass zwar ein UVG-Vertrag zwischen der Mobiliar und H._ zustande gekommen, indessen W._ als Konkubinatspartnerin in dieser Eigenschaft nicht obligatorisch unfallversichert sei.