fürsorgerische Freiheitsentziehung, hat sich ergeben: A.- A.S._, geboren 1990, wurde am 28. November 2001 vom Sozialdirektor der Stadt Luzern mit vorsorglicher fürsorgerischer Freiheitsentziehung zu ärztlicher Abklärung und Behandlung in das Kinderspital des Kantons Luzern eingewiesen. Gleichzeitig wurde seiner Mutter, M.S._, die elterliche Obhut vorläufig entzogen. Eine gegen diese Verfügung erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 7. Dezember 2001 ab. B.- Gegen dieses Urteil hat M.S._ mit Eingabe vom 31. Januar 2002 eidgenössische Berufung eingereicht, verbunden mit dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragt in seinen Gegenbemerkungen, die Berufung abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.