Sachverhalt: A. Am 1. März 2009, kurz nach 22.15 Uhr, kam es auf dem Wasserturmplatz in Liestal zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen X._ und A._, welche dadurch ausgelöst wurde, dass die beiden (unabsichtlich) zusammengestossen waren. X._ ging auf A._ los. Er stiess diesen zunächst mit dessen Kopf voran gegen eine Schaufensterscheibe. Danach warf er ihn mit dessen Kopf voran gegen ein Bushäuschen. In der Folge verpasste er ihm einen Faustschlag ins Gesicht, wodurch A._ zu Boden ging. Nachdem A._ wieder aufgestanden war, versetzte ihm X._ einen weiteren Faustschlag ins Gesicht, wodurch A._ erneut zu Boden ging. Als X._ in der Folge von A._ abliess und sich entfernte, nahm A._ im Aufstehen ein Messer hervor. Als X._ darauf aufmerksam wurde, ging er ungeachtet des Messers, welches A._ in einer Hand hielt, wiederum auf diesen los. Er verpasste ihm erneut zwei Faustschläge ins Gesicht, bis er von A._ mit dem Messer verletzt wurde. X._ erlitt eine potentiell lebensbedrohliche Stichverletzung in der linken Brusthälfte in der Mitte zwischen Brustwarze und Schlüsselbein auf Höhe der dritten Rippe. A._ erlitt Schwellungen im Gesicht, Prellungen, Hautverfärbungen und Abschürfungen am rechten Ellenbogen und im Schulterbereich, punktförmige Blutungen auf beiden Schultern sowie diverse oberflächliche Verletzungen an den Unterschenkeln und in einem Kniegelenk. Ein lebensgefährliches Blutstauungssyndrom im Kopf- und Halsbereich, welches A._ zudem erlitt, konnte nicht zweifelsfrei den Handlungen von X._ zugerechnet werden. B. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft sprach X._ mit Urteil vom 7. Dezember 2010 der versuchten schweren Körperverletzung schuldig. Es sprach ihn ausserdem wegen Handlungen, die nicht Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens bilden, der falschen Anschuldigung und der mehrfachen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig. Es bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten, unter Anrechnung der vom 2. März 2009 bis zum 7. Dezember 2010 ausgestandenen Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 646 Tagen, sowie mit einer Busse von 200 Franken respektive, bei deren schuldhaften Nichtbezahlung, mit einer Ersatzfreiheitsstrafe von 2 Tagen. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde gemäss Art. 57 Abs. 2 StGB aufgeschoben, und es wurde gestützt auf Art. 56a Abs. 2 StGB sowohl eine stationäre Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen (Art. 59 StGB) als auch eine stationäre Massnahme für junge Erwachsene (Art. 61 StGB) angeordnet. Das Kantonsgericht verpflichtete X._ zudem, A._ eine Genugtuung von Fr. 1'500.-- zu zahlen. Mit diesem Urteil bestätigte das Kantonsgericht im Wesentlichen den erstinstanzlichen Entscheid des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 18. März 2010. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei vom Vorwurf der versuchten schweren Körperverletzung freizusprechen (und stattdessen der einfachen Körperverletzung schuldig zu sprechen) und zu einer angemessenen Freiheitsstrafe unter Anrechnung der bis zum Zeitpunkt des Urteils ausgestandenen Untersuchungs- und Sicherheitshaft zu verurteilen. Die Anordnung von Massnahmen im Sinne von Art. 59 und Art. 61 StGB sei aufzuheben. X._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.