Sachverhalt: A. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach X._ am 25. August 2006 der versuchten eventualvorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB schuldig. Es bestrafte ihn - unter Zubilligung einer Verminderung der Schuldfähigkeit in schwerem Grade - mit zwei Jahren Gefängnis, unter Anrechnung von 120 Tagen erstandener Polizei- und Untersuchungshaft. Es ging davon aus, dass X._ den Geschädigten, der in Tat und Wahrheit ein Polizeibeamter war, irrtümlich für einen Einbrecher hielt und somit sachverhaltsirrtümlich (Art. 19 Abs. 1 StGB) eine Notwehrsituation (Art. 33 Abs. 1 StGB) annahm, wobei er aber durch die bewusste und gewollte Abgabe eines Schusses in Richtung des am Hauseingang stehenden vermeintlichen Einbrechers, wodurch allerdings niemand getroffen wurde, die Grenzen der Notwehr überschritt (Art. 33 Abs. 2 Satz 1 StGB). Mit Beschluss vom gleichen Tag ordnete das Geschworenengericht die Einziehung der Tatwaffe sowie die Verwertung von mehreren weiteren Schusswaffen samt Munition und die Verwendung des Verwertungserlöses zur Kostendeckung an. B. X._ erhebt mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Geschworenengerichts sei aufzuheben und die Sache zu seiner Freisprechung, eventualiter zu seiner Verurteilung wegen versuchter Gefährdung des Lebens (im Sinne von Art. 129 in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB), subeventualiter zu seiner Verurteilung zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von höchstens 18 Monaten wegen versuchter vorsätzlicher Tötung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. C. X._ focht das Urteil des Geschworenengerichts auch mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies mit Zirkulationsbeschluss vom 12. November 2007 die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. D. X._ erhebt gegen des Beschluss des Kassationsgerichts mit Eingabe vom 7. Januar 2008 Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens an das Geschworenengericht zurückzuweisen. Er ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und beantragt ferner, der Beschwerde in Strafsachen sei, insbesondere auch in Bezug auf die zivilrechtlichen Ansprüche, die aufschiebende Wirkung zu erteilen. E. Mit einer weiteren Eingabe vom 7. Januar 2008 erhebt X._ unter Hinweis auf die Rechtsmittelbelehrung im Entscheid des Kassationsgerichts sowie auf Art. 100 Abs. 6 BGG auch Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Geschworenengerichts vom 25. August 2006, welches er bereits am 31. Dezember 2006 mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde angefochten hat. Er stellt darin im Wesentlichen dieselben Anträge wie in der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde. Er bezeichnet seine Eingabe vom 7. Januar 2008 als Ergänzung zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde, welche er zum integrierenden Bestandteil der neuen Eingabe erklärt.