Sachverhalt: A. Die Sparkasse Y._, in B._, Deutschland, betrieb mit Zahlungsbefehl vom 5. März 2008 (Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamts A._) X._ mit Wohnsitz in A._ über den Betrag von Fr. 3'161'400.-- nebst 5 % Zins seit 3. März 2008. Die Sparkasse stützte ihre Forderung auf einen vom Betriebenen als Selbstschuldner unterzeichneten Bürgschaftsvertrag vom 9./10. November 2006 über EUR 2'000'000.--, mit welchem Forderungen der Sparkasse gegen die W._ GmbH aus einem Rahmenvertrag für Fremdwährungsdarlehen gesichert worden sein sollen. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. Auf Gesuch um provisorische Rechtsöffnung vom 28. Mai 2008 hin erteilte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Land mit Entscheid vom 2. September 2009 der Sparkasse Z._, (ebenfalls mit Sitz in B._), welche die Sparkasse Y._ in der Zwischenzeit übernommen hatte, die provisorische Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 3'161'400.-- nebst 5 % Zins seit 4. März 2008. B. Gegen diesen Rechtsöffnungsentscheid erhob X._ am 10. September 2009 Rekurs an das Obergericht des Kantons Luzern und beantragte, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und auf das Rechtsöffnungsgesuch mangels örtlicher Zuständigkeit nicht einzutreten, eventualiter dieses abzuweisen. Mit Entscheid vom 24. November 2009 erteilte das Obergericht die provisorische Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 3'124'812.45 nebst 5 % Zins seit 27. Januar 2009. C. Am 13. Januar 2010 hat X._ (fortan: Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts vom 24. November 2009 aufzuheben und auf das Rechtsöffnungsgesuch mangels örtlicher Zuständigkeit nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung. Nachdem das Obergericht gegen die Anordnung aufschiebender Wirkung keine Einwände angebracht und sich die Sparkasse Z._ (fortan: Beschwerdegegnerin) ablehnend geäussert hat, ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Präsidialverfügung vom 1. Februar 2010 abgewiesen worden. In der Sache schliesst die Beschwerdegegnerin auf Abweisung; ebenso das Obergericht, soweit auf die Beschwerde eingetreten werden könne.