Sachverhalt: A. Im Juni 1999 ersuchte der Kanton Zürich als damaliger Flughafenhalter die Eidgenössische Schätzungskommission, Kreis 10, um Eröffnung formeller Enteignungsverfahren zur Beurteilung der eingegangenen Entschädigungsforderungen für übermässige Fluglärm-Immissionen. Diese Forderungen betreffen unter anderem zahlreiche Grundstücke in Opfikon-Glattbrugg, die im Bereich der Abflugschneise der Piste 16 liegen. Am 25. Mai 2001 wurde die unique zurich airport Flughafen Zürich AG (im Folgenden: Flughafen Zürich AG) als neue Flughafenhalterin auf ihr Gesuch hin unter Zuerkennung der Parteistellung zum Verfahren beigeladen. Der Kanton Zürich und die Flughafen Zürich AG erhoben als Flughafenhalter und Enteigner in den Fällen von Opfikon-Glattbrugg die Einrede der Verjährung und verlangten, dass über diese in einem Teilentscheid befunden werde. Die Verjährungseinrede wurde vom Präsidenten der Schätzungskommission am 11. Juni 2003 abgewiesen. Das Bundesgericht wies die hierauf von den Enteignern ergriffene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 27. Juni 2004 ab (BGE 130 II 394). In der Folge bestimmten die Parteien und der Präsident der Schätzungskommission 18 Verfahren, die als sog. Pilotfälle vorweg behandelt werden sollten. Zu diesen zählt das Verfahren um das X._ gehörende Grundstück Kat. Nr. 6480 (GBBl. 3033 Opfikon), Dorfstrasse 41, auf dem ein Mehrfamilienhaus mit Garagengebäude steht. B. Die Einigungsverhandlung in den 18 Verfahren verliefen im November 2005 erfolglos. Nach Durchführung eines weiteren Schriftenwechsels wurde die Schätzungsverhandlung auf den 29. März 2006 angesetzt. An dieser forderte X._ eine Minderwertsentschädigung von 35 % des Verkehrswertes seiner Liegenschaft oder allenfalls nur des Bodens nebst Zins zu den üblichen Zinssätzen. Die Enteigner beantragten, die Entschädigungsforderung abzuweisen; allenfalls sei dem Grundeigentümer - unter bestimmten Vorbehalten und Auflagen - eine Entschädigung nur für den Boden zuzusprechen. Mit Entscheid vom 20. November 2006 wies die Eidgenössische Schätzungskommission, Kreis 10, das Entschädigungsbegehren von X._ ab. Die Verfahrenskosten wurden den Enteignern auferlegt und diese zudem verpflichtet, dem Grundeigentümer eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen. C. X._ hat beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben und verlangt, dass ihm eine Minderwertsentschädigung von 25 % des Verkehrswertes der Liegenschaft Dorfstrasse 41 zugesprochen werde, wobei die Aufwendungen für die Schallschutzmassnahmen anzurechnen seien. Die Entschädigung sei als einmalige Zahlung zu leisten und ab dem dies aestimandi zu verzinsen. Im Übrigen sei die zugesprochene pauschale Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- angemessen zu erhöhen. In prozessualer Hinsicht verlangt der Beschwerdeführer, es sei ein zweiter Schriftenwechsel, ein Augenschein durch eine Delegation des Bundesgerichts und eventualiter eine mündliche Verhandlung durchzuführen. Ausserdem habe die Oberschätzungskommission den Minderwert der Liegenschaft zu schätzen. Die Enteigner beantragen Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Eventualiter sei lediglich eine Inkonvenienzentschädigung wegen vorübergehender Überschreitung der Immissionsgrenzwerte zuzusprechen. Jedenfalls seien bei der Bemessung einer Entschädigung gewisse Abzüge vorzunehmen. Die Entschädigungszahlung sei im Grundbuch einzutragen und die Zinsforderung abzuweisen. Im zweiten Schriftenwechsel haben die Parteien an ihren Begehren und ihren Standpunkten festgehalten. Die Eidgenössische Schätzungskommission, Kreis 10, hat Antrag auf Abweisung der Beschwerde gestellt und auf weitere Bemerkungen verzichtet.