Sachverhalt: A. Die 1970 geborene A._ ist bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend SWICA) krankenversichert. Sie liess sich am 13. November 1998 von Dr. med. Dr. med. dent. S._, die Weisheitszähne 28 und 38 (links) entfernen. Die Rechnung über den Betrag von Fr. 924.35 sandte sie der SWICA zur Rückerstattung. Diese anerkannte mit Verfügung vom 6. Mai 1999 Fr. 140.95 als Pflichtleistung für eine bei dieser Gelegenheit durch den Arzt vorgenommene Behandlung einer Hautveränderung, lehnte aber die Übernahme der restlichen Kosten von Fr. 783.40 für die Entfernung der beiden Weisheitszähne und die Behandlung der damit verbundenen Pathologie ab. Mit Einspracheentscheid vom 15. März 2000 hielt die SWICA an ihrem Standpunkt fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 28. Juni 2002 ab, im Wesentlichen mit der Begründung, eine eindeutige Verlagerung der beiden entfernten Weisheitszähne sei nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt. Ebenso sei gestützt auf die Berichte der von der SWICA konsultierten Ärzte Dr. med. dent. P._ und Prof. Dr. Dr. med. I._, Klinik für Zahn-, Mund- und Kieferkrankheiten und Kieferchirurgie der Universität X._, eine follikuläre Zyste nicht vorhanden. Der von Dr. med. Dr. med. dent. S._ geltend gemachte chronische Druckschmerz mit Ausstrahlung im Horizontalbereich des Unterkiefers links sowie die rezidivierenden pericoronalen Infekte an den Weisheitszähnen sodann entsprächen nicht einem pathologischen Geschehen im Sinne der Rechtsprechung. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt A._, die Behandlung sei als Pflichtleistung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung anzuerkennen und die entsprechenden Kosten seien ihr zurückzuerstatten. Zur Begründung verweist sie auf die Angaben des behandelnden Arztes Dr. med. Dr. med. dent. S._. Die SWICA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung. In weiteren Eingaben äussern sich Dr. med. Dr. med. dent. S._ sowie die SWICA zur Frage der Entschädigung der gutachterlichen Tätigkeit des Arztes. D. Am 19. August 2004 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht eine parteiöffentliche Beratung durchgeführt.