Sachverhalt: A. Am 24. Oktober 2007 fand im Rahmen des ordentlichen Konkursverfahrens betreffend die Krankenkasse Z._ die erste Gläubigerversammlung statt. Am 29. Oktober 2007 erhob X._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Winterthur als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde betreibungsrechtliche Beschwerde unter anderem mit den Anträgen, es sei der Beschluss des Büros der ersten Gläubigerversammlung, welches einen Grossteil der vom Beschwerdeführer vorgelegten Vollmachten für ungültig erklärt hat, aufzuheben, es seien alle verlangten Vollmachten, Unterschriften und Stimmen für gültig zu erklären, und es sei die erste Gläubigerversammlung mit den Abstimmungen ein zweites Mal durchzuführen. Mit Beschluss vom 25. Februar 2008 trat das Bezirksgericht Winterthur auf die Beschwerde nicht ein, unter anderem mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe die Eingabe in seinem eigenen Namen und nicht im Namen der von ihm angeblich vertretenen Gläubiger eingereicht. Der Beschwerdeführer sei nicht im erforderlichen Sinne direkt in seinen eigenen rechtlich geschützten Interessen betroffen. Die Gläubiger hätten entweder selber oder vertreten durch ihn auftreten müssen. Mangels Aktivlegitimation des Beschwerdeführers könne auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. In einer Eventualerwägung führte das Gericht zudem aus, die Beschwerde wäre auch materiell unbegründet gewesen. B. Gegen diesen Beschluss erhob X._ Rekurs. Auch das Obergericht verneinte seine Aktivlegitimation und trat auf den Rekurs in diesem Punkt nicht ein. C. Gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Juni 2008 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses sowie desjenigen des Büros der ersten Gläubigerversammlung vom 24. Oktober 2007, soweit er anders ausgefallen wäre, wenn die von ihm vorgelegten Vollmachten und entsprechend die vom Beschwerdeführer vertretenen 110 Stimmen als gültig angenommen worden wären. Es seien zudem die von ihm vorgeschlagenen ausseramtlichen Konkursverwalter und der von ihm vorgeschlagene Gläubigerausschuss als ernannt zu erklären. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.