Sachverhalt: A. Die 1971 geborene S._ bezog ab 1. Oktober 1999 eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt zwei Kinderrenten, ab 1. März 2003 zudem eine Zusatzrente für den (zweiten) Ehemann (Verfügungen vom 6. November 2001 und 7. Juli 2003). Im Rahmen des von der IV-Stelle des Kantons Aargau im April 2004 eingeleiteten Revisionsverfahrens wurde S._ in der Psychiatrischen Klinik X._ abgeklärt (Gutachten vom 21. Dezember 2006). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in welchem die Versicherte eine Stellungnahme der behandelnden Psychiaterin vom 2. April 2007 einreichen liess, setzte die IV-Stelle die ganze Rente zum 1. Oktober 2007 auf eine halbe Rente herab und sprach der Versicherten mit Verfügung vom 14. August 2007 die entsprechenden Leistungen zu, wobei sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzog. In der Mitteilung vom 12. Oktober 2007 sodann bejahte sie den Anspruch auf Arbeitsvermittlung. B. Die Beschwerde der S._ gegen die Verfügung vom 14. August 2007 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 28. Mai 2008 ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. Mai 2008 und die Verfügung vom 14. August 2007 seien aufzuheben und ihr die bisherige ganze Rente weiterhin zu gewähren, eventuell die Akten an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zur Durchführung weiterer medizinischer und beruflicher Massnahmen zurückzuweisen. IV-Stelle und kantonales Gericht verzichten auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.