Art. 30 Abs. 1 BV (Ausstand), hat sich ergeben: A.-X._ ist Kläger in einem beim Handelsgericht Zürich hängigen Forderungsstreit gegen die Versicherung B._. Er leitet seinen Anspruch gegen die Versicherung aus einem Verkehrsunfall ab, der bei ihm ein Schleudertrauma verursacht und zu einer dauernden Teilinvalidität geführt habe. Am 29. Februar 2000 stellte X._ ein Ablehnungsbegehren gegen Handelsrichter A._. Die Befangenheit des Handelsrichters begründete er zunächst mit dessen Stellung bei der Versicherung C._, welche eine Geschäftspolitik betreibe, die sich gegen die berechtigten Interessen von Geschädigten richte; er bezeichnete als fraglich, ob der Handelsrichter als für Personenschäden zuständiges Mitglied der Direktion dieser Versicherungsgesellschaft nicht schon grundsätzlich in allen Fällen dieser Art befangen sei. Jedenfalls ergebe sich die Befangenheit des Handelsrichters im vorliegenden Verfahren aus dem vermutlich von ihm gemachten Vorschlag eines medizinischen Experten, der durch seine versicherungsfreundliche Extremhaltung bei der Beurteilung von Halswirbelsäulen-Distorsionstraumen bekannt sei, sowie durch die Fragestellung im Rahmen der Zeugeneinvernahmen, von denen er als Kläger den Eindruck gehabt habe, als wäre sie von einem zweiten Rechtsbeistand der Beklagten vorgenommen worden. B.- Die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich wies das Ablehnungsbegehren mit Beschluss vom 26. April 2000 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. Die Verwaltungskommission stellte fest, es sei seit dem Beweisauflagebeschluss vom 19. Oktober 1998 bekannt, dass Handelsrichter A._ als Richter am Verfahren beteiligt sei. Der Kläger habe seinen Einwand verspätet vorgebracht und könne daher aus der Stellung des Handelsrichters bei der Winterthur Versicherung nichts mehr ableiten; auch materiell wäre diesem Einwand zudem nicht statt zu geben. Bezüglich des Verhaltens des Handelsrichters im Prozess hielt das Obergericht fest, Handelsrichter A._ habe sich entgegen der durch nichts belegten Vermutung des Gesuchstellers zum beanstandeten Expertenvorschlag nicht geäussert. Seine Fragen an die Zeugin Y._ seien nicht unqualifiziert und auch seine Frage bezüglich der medizinischen Einschätzung des Gesundheitszustandes des Klägers an eine Wirtin lasse nicht auf Befangenheit schliessen; die Frage nach dem Kontext eines Schreibens an den Zeugen Z._ betreffe schliesslich einen wesentlichen Punkt und auch wenn in diesem Zusammenhang der Hinweis auf eine Praxis im Rahmen des Beweisverfahrens überflüssig sei, so ergebe sich daraus jedenfalls kein Hinweis auf Befangenheit. C.-X._ hat gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. April 2000 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er beruft sich auf Art. 30 Abs. 1 BV und stellt das Rechtsbegehren, es sei in Aufhebung des angefochtenen Beschlusses festzustellen, dass Handelsrichter A._ im Verfahren HG 960505 in Sachen X._ c. Versicherung B._ kein unabhängiger und unparteiischer Richter im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV sei und deshalb aus dem Verfahren auszuscheiden habe. D.-Handelsrichter A._ erklärt in seiner Stellungnahme, er sei auch nach Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Beschwerdeführers gewissenhaft unbefangen in der in Frage stehenden Sache und auch grundsätzlich in Handelsgerichtsangelegenheiten. Die Versicherung B._ schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet auf Vernehmlassung und erklärt unter Verweis auf § 63 des kantonalen Gerichtsverfassungsgesetzes, dass der Beschwerdeführer sich in Kenntnis der Problematik für das Handelsgericht entschieden habe.