Verlängerung der Ausschaffungshaft, hat sich ergeben: A.-Nachdem er sich bereits früher illegal in der Schweiz aufgehalten hatte und am 9. April 1994 durch den Kanton Bern ausgeschafft worden war, wurde der algerische Staatsangehörige X._ am 7. Februar 1997 von der Polizei aufgegriffen. Am 10. Februar 1997 stellte er ein Asylgesuch. Mit Verfügung vom 10. Juli 1997 stellte das Bundesamt für Flüchtlinge fest, dass X._ die Flüchtlingseigenschaft nicht erfülle; es lehnte dessen Asylgesuch ab und wies ihn, unter Ansetzung einer Ausreisefrist, aus der Schweiz weg. Mit dem Wegweisungsvollzug wurde der Kanton Luzern beauftragt. In der Folge war X._ für die Behörden nicht mehr auffindbar, wobei er nach eigenen Angaben die Schweiz aber nicht verliess, sondern an verschiedenen Orten schwarz arbeitete. Am 17. Mai 2001 wurde er von der Kantonspolizei Freiburg aufgegriffen; dabei erklärte er, er wolle erneut um Asyl ersuchen. Bis zum 27. Mai 2001 verbüsste er eine unbedingte Gefängnisstrafe von 10 Tagen wegen illegalen Aufenthalts und Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung. Am 28. Mai 2001 nahm das Amt für Migration des Kantons Luzern X._ zur Sicherstellung der nie vollzogenen asylrechtlichen Wegweisung vom 10. Juli 1997 in Ausschaffungshaft. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, bestätigte mit Urteil vom 30. Mai 2001 die Haft bis 27. August 2001. Das Bundesamt für Flüchtlinge trat am 25. Juni 2001 auf das neue Asylgesuch von X._ nicht ein und wies ihn wiederum, mit sofortiger Wirkung und unter Androhung der Ausschaffung im Unterlassungsfall, aus der Schweiz weg. Einer allfälligen Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung. Die Schweizerische Asylrekurskommission lehnte am 6. August 2001 das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit Schreiben vom 7. August 2001 stellte X._ beim Verwaltungsgericht, Verwaltungsrechtliche Abteilung, des Kantons Luzern ein Haftentlassungsgesuch (Postaufgabe am 9. August, Eingang beim Verwaltungsgericht am 13. August 2001), worin insbesondere auf seinen (psychischen) Gesundheitszustand hingewiesen wurde. Auf Anordnung des Verwaltungsgerichts hin liess das Amt für Migration X._ am 17. August 2001 durch einen Psychiater untersuchen, welcher einen Bericht erstellte. Am 20. August 2001 verlängerte das Amt für Migration, nach Anhörung von X._, die Ausschaffungshaft um drei Monate; es ersuchte das Verwaltungsgericht (nachfolgend: Haftgericht) um entsprechende Bestätigung und um Abweisung des Haftentlassungsgesuchs. An der mündlichen Verhandlung vor dem Haftgericht am 22. August 2001 ersuchte X._ um eine neues psychiatrisches Gutachten. Mit Urteil vom 22. August 2001 wies das Haftgericht das Haftentlassungsgesuch zur Zeit ab und bewilligte die Verlängerung der Ausschaffungshaft bis 27. November 2001. Es lehnte zudem den Antrag auf ein psychiatrisches Obergutachten zur Zeit ab, wies aber die Vollzugsbehörde an, bei einer Verschlechterung des psychischen Zustandes des Inhaftierten unverzüglich eine erneute psychiatrische Begutachtung zu veranlassen; eine solche habe spätestens in einem Monat nach dem Haftverlängerungsurteil zu erfolgen, wobei der Bericht dem Gericht und dem Rechtsvertreter von X._ von Amtes wegen zuzustellen sei. Die vollständige Ausfertigung des Urteils mit Begründung datiert vom 24. August 2001 und wurde vom Rechtsvertreter von X._ am 27. August 2001 entgegengenommen. B.-Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 25. September 2001 beantragt X._, das Urteil des Haftgerichts sei aufzuheben, er sei aus gesundheitlichen Gründen unverzüglich freizulassen und es sei ihm die angemessene Pflege zukommen zu lassen, wobei er im Hinblick auf die Fortführung des am 17. Mai 2001 eingeleiteten Asylverfahrens vollumfänglich dem Bundesamt für Flüchtlinge zur Verfügung gestellt werden solle. Im Übrigen beantragt er, er sei vorläufig aufzunehmen und es sei zu veranlassen, dass er in den Genuss von denjenigen Massnahmen komme, welche das Gesetz für den Fall vorsehe, dass eine Wegweisung zur Zeit nicht zumutbar sei. Das Amt für Migration beantragt vollumfängliche Abweisung der Beschwerde; das Haftgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Innert der hierfür angesetzten Frist haben das Bundesamt für Ausländerfragen nicht Stellung genommen und der Beschwerdeführer sich nicht ergänzend geäussert.