Sachverhalt: A. Y._ reichte am 21. September 2011 beim Regionalgericht Bern-Mittelland eine Klage auf Scheidung von seiner Ehefrau, X._, ein. Die Einigungsverhandlung fand am 7. Februar 2012 statt, wobei festgestellt wurde, dass ein Scheidungsgrund bestehe und Vergleichsverhandlungen derzeit nicht möglich seien. Am 25. April 2012 reichte Y._ die schriftlich begründete Scheidungsklage ein. X._ erstattete am 27. August 2012 Klageantwort. Das Regionalgericht setzte die Hauptverhandlung auf den 11. Dezember 2012 an und gab ein Gutachten über den Verkehrswert der gemeinsamen Liegenschaft der Parteien in Auftrag. Mit Schreiben vom 6. Dezember 2012 zog Y._ die Scheidungsklage zurück. Das Regionalgericht forderte daraufhin die Parteien auf, sich zur Kostenliquidation zu äussern. X._ beantragte, die Gerichtskosten Y._ aufzuerlegen und ihn zu verurteilen, ihr eine Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- zu bezahlen. Y._ beantragte, die Gerichtskosten zu halbieren und die Parteikosten wettzuschlagen. Mit Verfügung vom 7. Januar 2013 stellte der Gerichtspräsident des Regionalgerichts den Klagerückzug fest und schrieb infolgedessen das Verfahren als gegenstandslos ab. Die Gerichtskosten von Fr. 3'436.-- auferlegte er den Parteien je zur Hälfte. Y._ wurde verurteilt, X._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- (inkl. MwSt) zu bezahlen. Weitergehende Parteikosten sollten die Parteien selber tragen. B. Am 20. Januar 2013 erhob X._ beschränkt auf den Kostenpunkt Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Sie verlangte, die Gerichtskosten Y._ aufzuerlegen und ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- (inkl. MwSt) zu verpflichten. Mit Entscheid vom 8. April 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab, auferlegte X._ die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens und verurteilte sie zur Bezahlung einer - mit separater Verfügung noch zu bestimmenden - Parteientschädigung an Y._. C. Am 13. Mai 2013 hat X._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts. Sie beantragt, die erstinstanzlichen Gerichtskosten Y._ (Beschwerdegegner) aufzuerlegen und ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- (inkl. MwSt) zu verpflichten. Desgleichen verlangt sie, ihm die obergerichtlichen Gerichtskosten aufzuerlegen und ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 1'400.-- (inkl. MwSt) zu verurteilen. Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdegegner ersucht um Abweisung der Beschwerde.