Sachverhalt: A. Die 1954 geborene G._, gelernte Floristin und Absolventin einer Ausbildung zur Hilfspflegerin, war ab Mai 2000 als Haus- und Reinigungsdienstleiterin im Betagtenheim X._ tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Sie kündigte dieses Anstellungsverhältnis auf den 31. März 2001. Noch während der Kündigungsfrist erlitt sie am 15. März 2001 einen Verkehrsunfall. Sie prallte mit dem von ihr gelenkten Motorroller gegen die linke Seite eines vortrittswidrig einmündenden Personenwagens und zog sich ein schweres Polytrauma zu. Die Elvia gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Einholung eines polydisziplinären medizinischen Gutachtens des Zentrums Y._, vom 7. Juni 2007 schloss die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als Rechtsnachfolgerin der Elvia den Fall mit Verfügung vom 6. Juni 2008 unter Einstellung der Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen auf den 31. Dezember 2007 ab. Sie sprach G._ für die verbleibenden Unfallfolgen mit Wirkung ab 1. Januar 2008 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 35 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse von 40 % zu. Einspracheweise beantragte die Versicherte höhere Leistungen. Hierauf setzte die Allianz, nach Ankündigung einer solchen Schlechterstellung, den Erwerbsunfähigkeitsgrad für die Invalidenrente auf 25 % herab und hielt im Übrigen an der Verfügung vom 6. Juni 2008 fest (Einspracheentscheid vom 13. Juli 2009). B. G._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri gewährte ihr die unentgeltliche Verbeiständung, senkte den Erwerbsunfähigkeitsgrad für den Rentenanspruch nach entsprechender Vorankündigung weiter auf 22 % und wies die Beschwerde im Übrigen ab, soweit es darauf eintrat. Die Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand setzte das Gericht auf Fr. 1'875.- fest (Entscheid vom 27. Mai 2011). C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien eine Invalidenrente auf der Basis eines 50 % übersteigenden Invaliditätsgrades sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines 50 % übersteigenden Integritätsschadens und eventuell (rückwirkend) weiterhin Taggelder zuzusprechen; subeventuell seien die Akten mit einem neutralen Gutachten zur Frage der Unfallkausalität von Kopf- und Nackenschmerzen sowie zur Notwendigkeit einer Kniegelenksprothese zu ergänzen oder sei die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen an die Vorinstanz resp. die Allianz zurückzuweisen. Weiter wird beantragt, für das kantonale Verfahren sei im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung eine angemessene (höhere) Entschädigung zuzusprechen, und es wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.