Sachverhalt: Sachverhalt: A. B._ wurde am 8. September 1992 im Hotel Nova Park in Zürich erschossen. Der als Täter des Tötungsdeliktes dringend verdächtigte A._ und sein Begleiter flohen. In der Folge eröffnete die Bezirksanwaltschaft Zürich eine Strafuntersuchung gegen A._ und liess ihn international zur Verhaftung ausschreiben. Im Januar 1994 wurde der Verfolgte in Istanbul festgenommen. Da eine Auslieferung des türkischen Staatsangehörigen an die Schweiz nicht möglich war, liess das Bundesamt für Polizei (BAP) über die Schweizer Botschaft in Ankara am 28. Juli 1995 bei den türkischen Behörden ein Ersuchen um Übernahme des Strafverfahrens stellen. A. B._ wurde am 8. September 1992 im Hotel Nova Park in Zürich erschossen. Der als Täter des Tötungsdeliktes dringend verdächtigte A._ und sein Begleiter flohen. In der Folge eröffnete die Bezirksanwaltschaft Zürich eine Strafuntersuchung gegen A._ und liess ihn international zur Verhaftung ausschreiben. Im Januar 1994 wurde der Verfolgte in Istanbul festgenommen. Da eine Auslieferung des türkischen Staatsangehörigen an die Schweiz nicht möglich war, liess das Bundesamt für Polizei (BAP) über die Schweizer Botschaft in Ankara am 28. Juli 1995 bei den türkischen Behörden ein Ersuchen um Übernahme des Strafverfahrens stellen. B. Nach mehrfachen unbeantworteten Nachfragen teilte das türkische Aussenministerium der Schweizer Botschaft in Ankara am 1. Mai 1998 mit, dass der gegen A._ eingeleitete Strafprozess immer noch gerichtlich hängig sei ("que le procès de A._ se poursuit toujours auprès de la 3e Chambre de la Cour d'Assises de Bursa"). Am 23. Mai 1999 wurde A._ in Deutschland festgenommen. Auf Ersuchen des BAP vom 15. Juni 1999 hin lieferte Deutschland den Verfolgten am 22. Oktober 1999 an die Schweiz aus mit der Auflage, ihn nicht an die Türkei abzuschieben bzw. weiterauszuliefern, da ihm in Deutschland rechtskräftig Asyl gewährt worden sei. B. Nach mehrfachen unbeantworteten Nachfragen teilte das türkische Aussenministerium der Schweizer Botschaft in Ankara am 1. Mai 1998 mit, dass der gegen A._ eingeleitete Strafprozess immer noch gerichtlich hängig sei ("que le procès de A._ se poursuit toujours auprès de la 3e Chambre de la Cour d'Assises de Bursa"). Am 23. Mai 1999 wurde A._ in Deutschland festgenommen. Auf Ersuchen des BAP vom 15. Juni 1999 hin lieferte Deutschland den Verfolgten am 22. Oktober 1999 an die Schweiz aus mit der Auflage, ihn nicht an die Türkei abzuschieben bzw. weiterauszuliefern, da ihm in Deutschland rechtskräftig Asyl gewährt worden sei. C. Im Januar 2000 teilte das türkische Justizministerium den Schweizer Behörden mit, dass das Strafverfahren abgeschlossen, das Urteil aber noch nicht rechtskräftig sei. Seit 20. Juni 2000 befindet sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug. Am 22. September 2000 ging beim Bundesamt für Justiz eine Note des türkischen Aussenministeriums ein. Danach wurde A._ vom Strafgericht ("Cour d'Assises") in Bursa mit beigelegtem Urteil vom 15. Dezember 1999 wegen vorsätzlicher Tötung von B._ zu zehn Jahren Freiheitsstrafe verurteilt. Nach Überprüfung durch die Appellationsinstanz ist das türkische Strafurteil seit 26. Juni 2000 rechtskräftig und vollstreckbar. C. Im Januar 2000 teilte das türkische Justizministerium den Schweizer Behörden mit, dass das Strafverfahren abgeschlossen, das Urteil aber noch nicht rechtskräftig sei. Seit 20. Juni 2000 befindet sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug. Am 22. September 2000 ging beim Bundesamt für Justiz eine Note des türkischen Aussenministeriums ein. Danach wurde A._ vom Strafgericht ("Cour d'Assises") in Bursa mit beigelegtem Urteil vom 15. Dezember 1999 wegen vorsätzlicher Tötung von B._ zu zehn Jahren Freiheitsstrafe verurteilt. Nach Überprüfung durch die Appellationsinstanz ist das türkische Strafurteil seit 26. Juni 2000 rechtskräftig und vollstreckbar. D. Am 27. Februar 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich das Obergericht des Kantons Zürich um Durchführung eines Exequaturverfahrens. Mit Beschluss vom 22. Juni 2001 erklärte das Obergericht (III. Strafkammer) des Kantons Zürich das türkische Strafurteil gegen A._ für vollstreckbar, und es ordnete den Strafvollzug nach schweizerischem Recht an. D. Am 27. Februar 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich das Obergericht des Kantons Zürich um Durchführung eines Exequaturverfahrens. Mit Beschluss vom 22. Juni 2001 erklärte das Obergericht (III. Strafkammer) des Kantons Zürich das türkische Strafurteil gegen A._ für vollstreckbar, und es ordnete den Strafvollzug nach schweizerischem Recht an. E. Dagegen gelangte A._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 8. August 2001 an das Bundesgericht. Die von ihm erhobenen Rügen gehen aus den nachfolgenden Erwägungen hervor. Er stellt folgende Rechtsbegehren: 1. Der Beschluss des Obergerichtes des Kantons Zürich, III. Strafkammer, vom 22. Juni 2001 sei in den Dispositivziffern 1 und 2 vollumfänglich aufzuheben. 2. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese ein eigentliches Exequaturverfahren durchführt und das türkische Urteil an das schweizerische Recht anpasst, insbesondere die Sanktion von 10 Jahren Zuchthaus auf 7 1⁄2 Jahre Zuchthaus reduziert. 2. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese ein eigentliches Exequaturverfahren durchführt und das türkische Urteil an das schweizerische Recht anpasst, insbesondere die Sanktion von 10 Jahren Zuchthaus auf 7 1⁄2 Jahre Zuchthaus reduziert. F. Mit Verfügung des Präsidenten der I. öffentlichrechtlichen Abteilung vom 16. August 2001 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Ansetzung einer Nachfrist zur Einreichung einer zusätzlichen Beschwerdebegründung abgewiesen (vgl. Art. 33 und Art. 108 Abs. 3 OG i.V.m. Art. 12 Abs. 2 IRSG). F. Mit Verfügung des Präsidenten der I. öffentlichrechtlichen Abteilung vom 16. August 2001 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Ansetzung einer Nachfrist zur Einreichung einer zusätzlichen Beschwerdebegründung abgewiesen (vgl. Art. 33 und Art. 108 Abs. 3 OG i.V.m. Art. 12 Abs. 2 IRSG). G. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung je ausdrücklich verzichtet. Das Bundesamt für Justiz liess sich mit Stellungnahme vom 18. Oktober 2001 im abschlägigen Sinne vernehmen. Der Beschwerdeführer replizierte mit Eingabe vom 13. November 2001.