Sachverhalt: A. A.a Am 4. März 1999 bewilligte die Vormundschaftsbehörde Kottwil X._ und ihrem damaligen Ehemann Z._ die Aufnahme von A._ (geb. 8. August 1993, indische Staatsangehörige) sowie B._ (geb. 2. Juni 1997) als Pflegekinder im Hinblick auf eine spätere Adoption. A.b A._ besucht seit Sommer 2002 die heilpädagogische Schule der Stiftung C._ und lebt im dortigen Wohnheim. Anfänglich verbrachte A._ die Wochenenden und die Ferien bei den Pflegeeltern; am 27. Januar 2003 wurde der Kontakt zu diesen durch behördliche Anordnung einstweilen unterbrochen. Im (erfolglosen) Rechtsmittelverfahren ging es um den Schluss des Vormundes des Kindes, welcher aus Beobachtungen von Lehrpersonen und des Betreuungspersonals zur Auffassung kam, dass die Pflegeeltern das Kind wegen Überforderung ziemlich wahrscheinlich geschlagen hätten, und sowie um die Überforderung der Pflegeeltern im Umgang mit der Behinderung des Kindes (Urteil 5P.283/2003 des Bundesgerichts vom 15. September 2003 E. 3.4). A.c Am 3. Dezember 2004 widerrief die Regierungsstatthalterin des Amtes Willisau die Pflegekinderbewilligung für A._. Es ergab sich mit aller Deutlichkeit, dass zwischen A._ und der Pflegefamilie nicht nur keine tragfähige, stabile Beziehung entstand, sondern das Kind eine eigentliche und ernst zu nehmende Abwehrhaltung gegenüber den Pflegeeltern entwickelt hatte; die Rückkehr in die Pflegefamilie wurde als Gefahr für die gesunde Weiterentwicklung des Kindes erachtet (Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 16. Februar 2005 E. 2.7). A.d B._ wurde am 28. Februar 2006 von X._ adoptiert, bei welcher nach ihrer Heirat mit Y._ am 8. Juli 2005 auch der Sohn D._ (geb. 21. Dezember 1993) lebt. A.e Am 27. Oktober 2006 ersuchten X._ und Y._ um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._ zwecks späterer Adoption. Das Gesuch wurde vom Regierungsstatthalter des Amtes Luzern am 11. Mai 2007 und im Rechtsmittelverfahren vom Obergericht des Kantons Luzern am 18. Juli 2007 abgewiesen. B. B.a Am 21. September 2009 stellten X._ und Y._ erneut ein Gesuch um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._. Das Kind sei ihnen, eventuell der Ehefrau allein in Pflege zu geben. An den Wochenenden und in den Ferien sei A._ unter ihre Obhut, eventuell in diejenige der Ehefrau zu geben; unter der Woche solle das Kind weiterhin in der Stiftung C._ zur Schule zu gehen. B.b Mit Entscheid vom 4. Februar 2010 wies die Vormundschaftsbehörde Oberkirch das Gesuch ab. Zur Begründung stützte sie sich auf die Stellungnahmen des Vormundes von A._, der Vormundschaftsbehörde Ettiswil und der Stiftung C._, die übereinstimmend zum Schluss gelangten, eine Veränderung sei nicht im Sinne des Kindeswohls, sondern würde die inzwischen erreichte Stabilität gefährden. Sie lehnte die Einholung eines weiteren Gutachtens ab, nachdem der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst des Kantons Luzern sich am 15. Juni 2004 bereits geäussert hatte. Die Vormundschaftsbehörde Oberkirch verwies insbesondere auf die Behinderung von A._; diese erfordere eine professionelle, stationäre Betreuung, welche durch eine Pflegekinderbewilligung nicht gewährleistet wäre. B.c Gegen den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhoben X._ und Y._ Beschwerde, welche der Regierungsstatthalter des Amtes Sursee am 5. Juli 2010 abwies. Das Obergericht Luzern (II. Kammer) wies die von den Gesuchstellern erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 6. September 2010 ab. C. Mit Eingabe vom 6. Oktober 2010 führen X._ und Y._ Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung zurückzuweisen; eventuell sei das Gesuch um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._ in Familienpflege gutzuheissen. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Oberkirch hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.