Sachverhalt: A. Mit Verfügungen vom 6. Juni 2002 verpflichtete das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich (AZL) die 1939 geborene N._ zur Rückerstattung von zu viel ausgerichteten Leistungen in der Höhe von insgesamt Fr. 60'732.-. Die Rückforderung betraf den Zeitraum vom 1. Juni 1995 bis 30. Juni 2002 und umfasste u.a. bundesrechtliche Ergänzungsleistungen sowie Beihilfen und Gemeindezuschüsse nach kantonalem Recht. Auf Einsprache hin reduzierte der Bezirksrat Zürich mit Beschluss vom 26. Juni 2003 den Rückerstattungsbetrag auf Fr. 41'491.-. Einer allfälligen Beschwerde gegen die Rückerstattungsverpflichtung entzog er die aufschiebende Wirkung. B. N._ reichte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein und beantragte u.a., es sei festzustellen, dass sie nichts zurückzuzahlen habe; weiter sei dem Rechtsmittel aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Bezirksrat Zürich verzichtete auf eine Vernehmlassung. Das AZL beantragte die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 13. April 2004 wies das kantonale Sozialversicherungsgericht das Begehren um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegen den Entscheid des Bezirksrates Zürich vom 26. Juni 2003 ab. C. N._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung vom 13. April 2004 sei aufzuheben und der Beschwerde gegen den bezirksrätlichen Beschluss vom 26. Juni 2003 sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Weitern wird um unentgeltliche Rechtspflege nachgesucht. Amtsstelle und Bezirksrat beantragen je die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung reicht keine Vernehmlassung ein.