Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf, hat sich ergeben: A.-Wer die zürcherische Rechtsanwaltsprüfung bestanden hat, erhält vom Obergericht das Fähigkeitszeugnis, welches zur berufsmässigen Vertretung und Verbeiständung von Parteien in Zivil- und Strafprozessen vor den zürcherischen Gerichten sowie vor Untersuchungs- und Anklagebehörden und deren Oberinstanzen berechtigt (vgl. § 1 und § 2 des zürcherischen Gesetzes vom 3. Juli 1938 über den Rechtsanwaltsberuf [Anwaltsgesetz]). Die Modalitäten der Rechtsanwaltsprüfung sind in der Verordnung vom 26. Juni 1974 über die Fähigkeitsprüfung für den Rechtsanwaltsberuf (Anwaltsprüfungsverordnung) geregelt. Danach besteht die Prüfung aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil (§ 11). Die Zulassung zur mündlichen Prüfung (§ 15) setzt eine genügende schriftliche Prüfung - zu der ein Bewerber höchstens drei Mal antreten kann (§ 14) - voraus. Fällt die mündliche Prüfung ungenügend aus, so bestimmt die Prüfungskommission auf Grund des Gesamtergebnisses der schriftlichen und mündlichen Prüfung, ob die mündliche im ganzen Umfange oder in einzelnen Fächern zu wiederholen sei. Wird Teilwiederholung angeordnet, so sind die Leistungen des Bewerbers in den einzelnen Fächern zu bewerten, und es sind die Qualifikationen (sehr gut, gut, genügend oder ungenügend) zu protokollieren (§ 17 Abs. 1). Die Wiederholung findet in der Regel frühestens drei und höchstens neun Monate nach der ersten Prüfung statt. Fällt das Gesamtergebnis unter Mitberücksichtigung der früher bestandenen Teilprüfungen wiederum ungenügend aus, so weist die Prüfungskommission den Bewerber ab (§ 17 Abs. 2). Abgewiesene Bewerber können sich frühestens zwei Jahre nach der letzten Teilprüfung zu einer neuen Prüfung anmelden. Sie haben die ganze Prüfung zu bestehen (§ 18). B.- X._, lic. iur., geboren 1970, bestand die schriftliche Anwaltsprüfung im dritten Versuch. Am 7. Juli 2000 teilte ihm die Anwaltsprüfungskommission mit, er habe nunmehr "die ganze mündliche Prüfung zu absolvieren", für welche er sich innert einer Frist von sechs Monaten anmelden könne. Am 3. März 2001 legte X._ die mündliche Prüfung ab. Gleichentags erliess die Prüfungskommission den folgenden Beschluss: "1.Die mündliche Prüfung wird dem Kandidaten mit Ausnahme der Fächer StVR, StGB und StPO abgenommen; in den genannten Fächern hat er die Prüfung zu wiederholen (mündlich eröffnet). 2. Der Kandidat kann sich frühestens nach vier Monaten und muss sich spätestens innert sieben Monaten (...) einer Teilwiederholung der mündlichen Prüfung unterziehen. 3. Schriftliche Mitteilung an den Kandidaten durch besondere Zuschrift. Die Leistungen des Kandidaten in den abgenommenen Fächern werden als genügend bewertet.. " Am 3. Juli 2001 legte X._ die mündliche Wiederholungsprüfung ab. Gleichentags beschloss die Anwaltsprüfungskommission, dem Bewerber X._ werde das Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf nicht erteilt, weil er "weder die erste mündliche Prüfung vom 3. März 2001 noch die zweite mündliche Prüfung vom 3. Juli 2001 bestanden" habe. C.- Mit Schreiben vom 9. August 2001 ersuchte X._ die Anwaltsprüfungskommission, ihm sämtliche ihn betreffenden, an den mündlichen Anwaltsprüfungen vom 3. März und 3. Juli 2001 erstellten "Protokolle und Prüfungsfragebögen" herauszugeben bzw. darin Einsicht zu gewähren. Auf dieses Begehren erhielt er am 16. August 2001 vom Präsidenten der Anwaltsprüfungskommission folgende Antwort: "Ihre Prüfungsakten stehen Ihnen nach wie vor nach Voranmeldung bei Frau Buchegger offen. Allerdings muss ich Ihnen einmal mehr klarstellen, dass die Handnotizender Examinatoren interne Papiere sind, die sich nichtin den Akten befinden. Gleiches gilt für die - von Ihnen so bezeichneten - 'Prüfungsfragebögen'. (...)." D.- Mit Eingabe vom 3. September 2001 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er rügt die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör und weiterer Verfahrensgarantien (Art. 29 BV) sowie die Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV). Sodann macht er geltend, die Prüfungsexperten seien befangen gewesen. X._ stellt die Anträge, den Entscheid vom 16. August 2001 aufzuheben und die Anwaltsprüfungskommission zu verpflichten, ihm die "- anlässlich der mündlichen Anwaltsprüfungen vom 3. März 2001 und 3. Juli 2001 erstellten - Protokolle und Prüfungsfragebögen herauszugeben" bzw. "diesbezüglich geeignet Einsicht zu gewähren". Ferner sei der Entscheid vom 3. März 2001 betreffend die Prüfungswiederholung im Fach Staats- und Verwaltungsrecht aufzuheben, ebenso der Beschluss vom 3. Juli 2001 betreffend die Nichterteilung des Fähigkeitsausweises für den Rechtsanwaltsberuf. Sodann verlangt X._, es sei ihm das Rechtsanwaltspatent zu erteilen; eventuell sei die mündliche Prüfung mit unabhängigen Experten teilweise zu wiederholen. Schliesslich ersucht er um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit verspätet eingereichter Vernehmlassung vom 31. Oktober 2001 beantragt das Obergericht des Kantons Zürich (Anwaltsprüfungskommission) die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Am 15. November 2001 verfügte der Instruktionsrichter, die Eingabe der Anwaltsprüfungskommission vom 31. Oktober 2001 werde als Amtsbericht entgegengenommen. X._ machte von der Gelegenheit, hierzu Stellung zu nehmen, Gebrauch; mit Eingabe vom 4. Januar 2002 hielt er an seinen Anträgen fest.