Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in der Schweiz und die X._ SA mit Sitz in Frankreich sind Tochtergesellschaften der ebenfalls in der Schweiz ansässigen X._ Holding AG. Die X._ SA betreibt in Rogerville bei Le Havre in der Normandie eine Abfallverwertungsfabrik, u.a. für Altbatterien. Am 7. April 2004 ersuchte die X._ AG das Bundesamt für Umwelt, Wald und Landschaft (BUWAL, seit dem 1. Januar 2006 umbenannt in Bundesamt für Umwelt, BAFU) um Bewilligung für den Export von 50 Tonnen eines Altbatteriengemischs nach Frankreich zur Verwertung in der Anlage der X._ SA. Das BUWAL verbot die geplante Ausfuhr mit Verfügung vom 11. Mai 2004 und berief sich dabei auf das Autonomieprinzip, wonach grundsätzlich anzustreben sei, Abfälle im Inland zu entsorgen. Es führte aus, mit der Y._ AG stehe in der Schweiz eine Batterieverwertungsanlage auf dem besten Stand der Technik zur Verfügung. Da viele öffentliche Gelder in diese Anlage geflossen seien, rechtfertige sich eine gewisse Amortisationssicherung und damit während einigen Jahren auch ein Ausfuhrverbot für Batterien. Weiter hielt es fest, der Verwertungsgrad, den die Anlage der X._ SA erreiche, sei nicht mit dem der Y._ AG vergleichbar. Insgesamt erachte es die Batterieentsorgung bei der X._ SA nicht als umweltverträglich. B. Mit einer am 10. Juni 2004 bei der Rekurskommission des Eidgenössischen Departements für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (REKO/UVEK, seit dem 1. Juli 2004 umbenannt in Rekurskommission für Infrastruktur und Umwelt [REKO/INUM]; AS 2004 2155) erhobenen Beschwerde beantragte die X._ AG die Aufhebung der Verfügung des BUWAL vom 11. Mai 2004 sowie die Bewilligungserteilung bzw. eine entsprechende Weisung an das BUWAL. Im Rahmen des Beschwerdeverfahrens vor der Rekurskommission erklärte das BUWAL am 13. August 2004, aufgrund der jüngsten Informationen der Beschwerdeführerin halte es nicht daran fest, dass Altbatterien bei der X._ SA in Frankreich nicht umweltverträglich entsorgt werden könnten. Bei der Frage, ob eine Entsorgung im Inland sinnvoll sei, spielten die Kosten eine Rolle, von Bedeutung sei aber insbesondere auch, ob es sich um Abfälle handle, deren Entsorgung heikel sei und ob für die betreffende Abfallart die schweizerische Entsorgungsautonomie gänzlich in Frage gestellt würde, wenn Exporte zugelassen würden. Die Y._ AG beherrsche die technisch schwierige Verwertung von Batterien und sei damit in der Schweiz das einzige und europaweit eines von wenigen Unternehmen. Müsste die Batterienentsorgung bei der Y._ AG eingestellt werden, wäre die Schweiz in diesem Bereich ganz vom Ausland abhängig. Da die Entsorgungsautonomie bei den Batterien einen hohen Stellenwert habe, vermöge ein Preisunterschied von etwas mehr als 30 Prozent keinen Verzicht auf eine Inlandentsorgung zu rechtfertigen. Eine solche erweise sich deshalb vorliegend nicht nur als möglich, sondern auch als sinnvoll. In der Folge hat die Rekurskommission die Y._ AG als Beigeladene ins Beschwerdeverfahren einbezogen. Am 29. August 2005 teilte das BUWAL der Rekurskommission mit, aufgrund neuer Erkenntnisse der zuständigen französischen Behörden sowie eines Schlussberichts vom 29. Juni 2005 über ein von der X._ AG veranlasstes Audit bei der X._ SA ergebe sich, dass die Entsorgung nicht in der von der X._ AG ursprünglich dargelegten Art und Weise erfolge. Sie könne, insbesondere im Vergleich mit dem Verfahren bei der Y._ AG nicht als umweltverträglich bezeichnet werden. Der Instruktionsrichter der Rekurskommission lehnte den daraufhin gestellten Antrag der X._ AG, die neue Beurteilung des BUWAL aus dem Recht zu weisen und einen Sachverständigen beizuziehen, ab. Mit Urteil vom 23. Februar 2006 wies die Rekurskommission die Beschwerde der X._ AG ab, soweit sie darauf eintreten konnte, und das Verfahren nicht gegenstandslos geworden war. Sie war zum Schluss gekommen, es bestehe keine Gewähr dafür, dass die Batterien in der Anlage der X._ SA in Frankreich umweltgerecht entsorgt werden könnten. Die unterlegene Beschwerdeführerin verpflichtete sie, die Verfahrenskosten von Fr. 4'000.-- zu bezahlen und der Y._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 19'798.40 auszurichten. C. Mit Gesuch vom 27. Februar 2006 an die Rekurskommission INUM verlangte die X._ AG, auf eine Publikation des Urteils vom 23. Februar 2006 zu verzichten, worauf die Rekurskommission den zuvor schon für kurze Zeit auf ihrer Homepage publizierten Entscheid im Sinne einer vorsorglichen Massnahme unverzüglich wieder entfernte. Am 2. März 2006 konkretisierte die X._ AG ihre Anträge und verlangte eventualiter unter anderem, von einer Veröffentlichung des Entscheids sei zumindest so lange abzusehen, bis dieser rechtskräftig sei und alle Rechtsmittel ausgeschöpft seien. Die Rekurskommission wies am 2. Mai 2006 das Gesuch der X._ AG um Verzicht auf die Publikation des Urteils vom 23. Februar 2006 ab. Auch den Eventualantrag um Aufschub der Publikation wies die Rekurskommission ab. Hingegen stimmte sie dem Antrag um Abdeckung gewisser Stellen des Urteils teilweise zu. D. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht vom 24. März 2006 (Verfahren Nr. 61/2006) beantragt die X._ AG unter anderem die Aufhebung des Urteils der Rekurskommission vom 23. Februar 2006. Zudem stellt sie eine Vielzahl weiterer Anträge, auf die, soweit erforderlich, im Rahmen der nachfolgenden Erwägungen eingegangen wird. E. Die Rekurskommission INUM, die Y._ AG und das BAFU beantragen die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 24. März 2006. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels halten die Parteien an ihren Rechtsauffassungen und im Wesentlichen auch an ihren Anträgen fest. F. Mit einer zweiten Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 1. Juni 2006 (Verfahren Nr. 117/2006) beantragt die X._ AG, der Entscheid der Rekurskommission INUM vom 2. Mai 2006 betreffend Publikation des Urteils vom 23. Februar 2006 sei teilweise aufzuheben und zu ändern. Auf eine Publikation des Beschwerdeentscheids der Rekurskommission sei mindestens so lange zu verzichten als dieser nicht rechtskräftig sei. Zudem verlangt sie die Abdeckung weiterer Stellen des Urteils und stellt zusätzliche Anträge, auf die, soweit erforderlich, im Rahmen der nachfolgenden Erwägungen eingegangen wird. Die Rekurskommission INUM beantragt die Abweisung dieser zweiten Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Im gleichen Sinne äussert sich das BAFU, während die Y._ AG zu den Anträgen betreffend Publikationspraxis der Rekurskommission INUM, die sie nicht direkt betreffen, keine Anträge stellt und im Übrigen die Abweisung der Anträge der X._ AG verlangt. G. Ein Gesuch der X._ AG, der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 24. März 2006 sei aufschiebende Wirkung beizulegen, hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts mit Verfügung vom 12. Mai 2006 abgewiesen. Am 28. Juli 2006 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der Beschwerde der X._ AG vom 1. Juni 2006 aufschiebende Wirkung beigelegt und die Rekurskommission INUM angewiesen, während dem vorliegenden Beschwerdeverfahren neben dem Beschwerdeentscheid vom 23. Februar 2006 auch ihren Entscheid vom 2. Mai 2006 betreffend Urteilspublikation nicht auf ihrer Homepage im Internet zu publizieren.