A.- Der 1958 geborene S._ war ab 1. Februar 1993 bei der Firma M._ AG angestellt und bei der "Elvia" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 14. Februar 1996 war er als Lenker eines Personenwagens von einer Auffahrkollision betroffen. Dr. med. H._, Allgemeine Medizin FMH, den der Versicherte erstmals am 16. Februar 1996 konsultiert hatte, diagnostizierte in Berichten vom 8. und 21. März 1996 ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die Elvia holte weitere Auskünfte des Dr. med. H._ vom 10. Juni und 29. August 1996, des Zentrums Y._ vom 27. März 1996 sowie der Medizinischen Klinik des Spitals X._ vom 23. August 1996 ein. Nachdem Dr. med. H._ in einem Schreiben vom 7. Oktober 1996 eine vertrauensärztliche Untersuchung angeregt hatte, gab die Elvia bei Dr. med. B._, Chirurgie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 5. Dezember 1996 erstattet wurde. Anschliessend stellte sie - wie bereits in einem Schreiben vom 19. September 1996 angekündigt - mit Verfügung vom 8. April 1997 ihre Leistungen per 31. Juli 1996 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. August 1997 fest. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid auf mit der Begründung, im Zusammenhang mit der Erstellung und Verwertung des Gutachtens des Dr. med. B._ seien die Gehörs- und Mitwirkungsrechte des Versicherten verletzt worden (Entscheid vom 12. März 1998). Die Elvia holte - nachdem der Versicherte eine Stellungnahme der Rehaklinik vom 6. März 1998 hatte einreichen lassen - bei Dr. med. S._, Neurologie FMH, ein Gutachten ein, welches am 9. Juni 1999 erstattet wurde. Der Gutachter hatte seinerseits einen Bericht der Klinik X._, vom 10. November 1998 (Magnetresonanztomographie der LWS) und ein Gutachten des Neuropsychologischen Instituts Z._ vom 12. Januar 1999 beigezogen. In der Folge einigten sich die Parteien vergleichsweise auf eine Integritätsentschädigung auf Grund einer Integritätseinbusse von 15 %. Am 22. September 1999 liess der Versicherte - unter Beilage eines Zeugnisses des Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, vom 11. September 1999 - einen Rückfall melden und die Zusprechung weiterer Leistungen beantragen. Die Elvia lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 18. Januar 2000 ab, weil der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen sei. Diesen Standpunkt bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 5. April 2000. B.- Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Elvia zurückwies, damit diese über ihre gesetzliche Leistungspflicht neu verfüge (Entscheid vom 13. September 2001). Im Verlauf des Verfahrens hatte der Versicherte unter anderem Stellungnahmen des PD Dr. med. W._, Augenarzt FMH vom 14. Mai 2000 und des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie, Hals- und Gesichtschirurgie FMH, vom 24. August 2000 einreichen lassen. Das kantonale Gericht hatte seinerseits einen Bericht des Dr. med. E._ vom 27. Juli 2001 (Krankengeschichte, mit Beilagen) eingeholt. C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Elvia die Aufhebung des kantonalen Entscheids. S._ lässt das Rechtsbegehren stellen, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.