Sachverhalt: A. M._ erlitt am ... eine ausgeprägte Subarachnoidalblutung bei rupturiertem Giant-Aneurysma der Arteria cerebri media links (Bericht Klinik X._ vom 18. September 2007). In der Folge bezog sie von der Invalidenversicherung verschiedene Leistungen, u.a. medizinische Massnahmen und Hilfsmittel. Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen Hilflosenentschädigung für Minderjährige für Hilflosigkeit mittleren (1. Januar 2008 bis 30. Juni 2009) und leichten Grades (1. Juli 2009 bis 30. Juni 2010) zu. B. In Gutheissung der dagegen eingereichten Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 25. April 2012 die Verfügung vom 25. Mai 2011 auf und sprach M._ für die Zeit vom 1. Juli 2009 bis 30. Juni 2010 eine Entschädigung für Hilflosigkeit mittleren Grades zu. C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 25. April 2012 sei aufzuheben. M._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei; eventualiter sei die Entschädigung für eine mittlere Hilflosigkeit bis 30. September 2009 auszurichten. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.