Sachverhalt: A. A.a Die Ehegatten F._ und H._ reisten im Oktober 2000 erstmals in die Schweiz ein und stellten ein Asylgesuch. Nach dem rechtskräftigen Abschluss dieses ersten Asylverfahrens wurden sie im Dezember 2006 in ihr Heimatland Tunesien zurückgeschafft. Im Juli 2007 kehrten die Ehegatten F._ und H._ in die Schweiz zurück und stellen ein neues Asylgesuch. Seit März 2008 erhielten sie von der Einwohnergemeinde X._ Sozialhilfe. Mit Verfügung vom 8. September 2008 wies das Bundesamt für Migration (nachfolgend: BFM) das Asylgesuch der Ehegatten F._ und H._ ab und ordnete den Vollzug der Wegweisung an. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 29. Oktober 2010 rechtskräftig ab. Gegen die Ablehnung des Asylgesuchs und die Wegweisung reichten die Ehegatten am 15. November 2010 beim UNO-Ausschluss gegen die Folter (Committee against Torture, CAT) Beschwerde ein. Das BFM setzte daher den Vollzug der Wegweisung aus der Schweiz vorläufig aus (Schreiben vom 29. November 2010). A.b Mit Verfügung vom 11. Januar 2011 entschied die Einwohnergemeinde X._, dass den Ehegatten F._ und H._ keine Sozialhilfe, sondern lediglich noch Nothilfe ausgerichtet werde. Die tägliche finanzielle Unterstützung für Nahrung und Hygiene setzte sie mit Wirkung ab 1. Januar 2011 auf Fr. 14.- fest. Der Verbleib in der bisherigen Unterkunft wurde ihnen weiterhin gestattet. Überdies wurden sie gegen Krankheit versichert und konnten ärztliche Behandlung in Anspruch nehmen. Gegen diese Verfügung erhoben die Ehegatten F._ und H._ Beschwerde beim Departement des Innern des Kantons Solothurn (nachfolgend: DDI). Dieses wies die Beschwerde am 10. März 2011 ab, soweit es darauf eintrat. B. Gegen den Entscheid des DDI reichten die Ehegatten F._ und H._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde ein, mit welcher sie die Aufhebung dieses Entscheids sowie der Verfügung der Einwohnergemeinde X._ beantragten und die Ausrichtung der Sozialhilfe bis zum Abschluss des Verfahrens vor dem UNO-Ausschuss gegen Folter verlangten. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 11. Mai 2011 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde lassen F._ und H._ die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts und die Ausrichtung von Sozialhilfe bis zum Abschluss des Verfahrens vor dem UNO-Ausschuss gegen die Folter beantragen. Zudem ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Befreiung von den Gerichtskosten). Während das kantonale Gericht Abweisung der Beschwerde beantragt, soweit darauf eingetreten werden kann, verzichtet die Einwohnergemeinde X._ auf eine Vernehmlassung. F._ und H._ reichen am 9. September 2011 eine weitere Stellungnahme ein.