Sachverhalt: A. Am 28. Juli 1989 ereignete sich in der Gemeinde Auw/AG ein Verkehrsunfall. Dabei kollidierte B._ (Beschwerdegegner, Fahrzeuglenker) als Lenker des Lieferwagens seines Arbeitgebers auf einer Kreuzung mit einem Motorradfahrer. Dieser wurde mit seinem Motorrad in ein Kornfeld geschleudert, das wegen des auslaufenden Benzins Feuer fing. Er erlitt so schwere Verletzungen, dass er daran starb. Der Fahrzeuglenker erlitt beim Unfall nur geringfügige körperliche Verletzungen und nahm seine Arbeitstätigkeit bald nach dem Unfall wieder auf. In der Folge entwickelte er jedoch psychisch derart schwere Störungen, dass er im Jahr 1990 seine Stelle verlor und invalid wurde. Er bezieht seither eine ganze Rente der Invalidenversicherung (IV). Am 1. September 1992 hob das Bundesgericht eine Verurteilung des Fahrzeuglenkers durch das Bezirksgericht Muri und das Obergericht des Kantons Aargau wegen fahrlässiger Tötung des vortrittsberechtigten Motorradfahrers auf (BGE 118 IV 277); der Fahrzeuglenker habe nicht damit rechnen müssen, dass der Motorradfahrer auf einer Hauptstrasse, auf der eine Tempolimite von 80 km/h gilt, mit einer Geschwindigkeit von 125 - 145 km/h auf die Kreuzung zufahren würde. Nach Auffassung des Fahrzeuglenkers ist seine Erwerbsunfähigkeit im Verkehrsunfall und der anschliessenden grundlosen strafrechtlichen Anklage begründet. Er verlangte daher von der SUVA die Zusprechung einer Rente, die ihm jedoch verweigert wurde. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) erkannte mit Urteil U 137/96 vom 18. Februar 1997, dass es an einem adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der Invalidität fehle. B. Mit Klage beim Zivilgericht Basel-Stadt vom 30. Oktober 2002 belangte der Fahrzeuglenker die Versicherung A._ AG (Beschwerdeführerin, Versicherung) als Haftpflichtversicherer des Motorradfahrers auf Zahlung von Fr. 844'421.-- nebst Zins als Schadenersatz für die Invalidität, die auf den Unfall vom 28. Juli 1999 zurückzuführen sei. Das Zivilgericht verneinte einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der Invalidität und wies die Klage am 15. September 2004 ab. Dagegen gelangte der Fahrzeuglenker an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, das den Entscheid des Zivilgerichts mit Urteil vom 21. Juni 2006 aufhob und die Sache an das Zivilgericht zurückwies. Es erwog u.a., dass zweifellos ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem darauf folgenden Strafverfahren einerseits und den in der Folge auftretenden psychischen Schwierigkeiten andererseits bestehe. Auch soweit die psychischen Schäden primär auf das durch den Unfall ausgelöste Strafverfahren zurückgingen, stellten sie eine adäquate Unfallfolge dar. Daran ändere nichts, dass die Fehlverarbeitung der erst vom Bundesgericht aufgehobenen strafrechtlichen Verurteilung durch den Fahrzeuglenker auf einer prämorbiden Persönlichkeitsstörung beruhe. Eine konstitutionelle Prädisposition könne den adäquaten Kausalzusammenhang weder ausschliessen noch unterbrechen. Auf eine von der Versicherung gegen diesen Zwischenentscheid erhobene Berufung trat das Bundesgericht mit Urteil 4C.31/2007 vom 20. März 2007 nicht ein. In der Folge wurde das Verfahren zur Bestimmung des quantitativen Schadenersatzanspruchs vor Zivilgericht fortgesetzt. Dieses verpflichtete die Versicherung mit Urteil vom 6. April 2009, dem Fahrzeuglenker Fr. 776'992.25 nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen, und wies die Klage im weiter gehenden Umfang ab. Eine von der Versicherung gegen dieses Urteil eingelegte Berufung wies das Appellationsgericht mit Entscheid vom 22. November 2013 ab. C. Die Versicherung beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Februar 2014, den Entscheid des Appellationsgerichts vom 22. November 2013 aufzuheben und die Klage vom 30. Oktober 2002 abzuweisen. Eventuell sei die Angelegenheit mit verbindlichen Weisungen im obigen Sinne an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Die Vorinstanz äusserte sich mit Stellungnahme vom 11. März 2014 zu einzelnen Beschwerdepunkten, ohne einen bestimmten Antrag zu stellen. Der Beschwerdegegner schliesst mit Eingabe vom 30. April 2014 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und auf Bestätigung des angefochtenen Entscheids. Gleichzeitig stellt er das Gesuch, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben. Die Beschwerdeführerin replizierte mit Eingabe vom 19. Mai 2014 zur Beschwerdeantwort. Der Beschwerdegegner verzichtete auf Bemerkungen dazu. Mit Verfügung vom 16. April 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt.