Sachverhalt: A. Vor dem Einzelrichter des Kantonsgerichts Schaffhausen, Y._, ist eine Forderungsklage der V._ AG gegen die X._ AG über Fr. 5'186.30 nebst Zins hängig. Nachdem der Einzelrichter unter anderem ein Sistierungsgesuch der X._ AG abgewiesen hatte, stellte diese ein (erstes) Ablehnungsbegehren gegen Y._. Dieses wurde vom Kantonsgericht des Kantons Schaffhausen mit Beschluss vom 13. September 2010 abgewiesen. Hiergegen rekurrierte die X._ AG erfolglos an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Eine gegen dessen Entscheid gerichtete Verfassungsbeschwerde wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 4D_8/2011 vom 27. April 2011). B. Mit Verfügung vom 15. September 2011 wies der Einzelrichter ein weiteres Sistierungsgesuch der X._ AG ab, wogegen letztere am 30. September 2011 Beschwerde an das Obergericht erhob. Darin stellte sie zudem ein erneutes Ausstandsbegehren gegen Y._. Am 9. November 2011 wies das Kantonsgericht, dem das Obergericht das Ausstandsbegehren zuständigkeitshalber überwiesen hatte, dieses kostenpflichtig ab, wogegen die X._ AG Beschwerde an das Obergericht führte. Das Obergericht auferlegte der X._ AG am 28. Dezember 2011 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.--. Mit Verfügung vom 16. März 2012 stellte es fest, die X._ AG habe den Kostenvorschuss auch innert der gesetzten Nachfrist nicht geleistet, weshalb es auf die Beschwerde nicht eintrat. C. Die X._ AG (Beschwerdeführerin) beantragt mit "staatsrechtlicher Beschwerde", die Verfügung des Obergerichts sei "wegen Verletzung der Ausstandspflichten des Obergerichts Richters R._ und des Obergerichts Gerichtsschreibers S._" aufzuheben. Sodann beantragt sie, "vorbefasste und mehrfach abgelehnte, ausständige Richter und Personen der Rechtspflege" hätten "bis zum betreffenden Entscheid in den Ausstand zu treten und sich bis zur rechtsgültigen Klärung zu enthalten, ggf. sind zur Erfüllung der Verfassungsrechtlichen gegebenen Garantie des unabhängigen, neutralen Richters ggf. ausserkantonale Ersatzrichter zu berufen [...]". Die Vorinstanz liess sich zur Beschwerde vernehmen, ohne Anträge zu stellen. Y._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. D. Mit Eingabe vom 11. Juni 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin unter anderem darum, es sei ihr die vorgesehene Besetzung des Bundesgerichts zur Kenntnis zu bringen und es sei ihr Auskunft darüber zu geben, ob und welche der beteiligten Gerichtspersonen dem "Schaffhauser Juristenverein angehören, angehört haben oder freundschaftliche Beziehungen dort pflegen im Sinne der Einschätzung des Neutralitätsgesichtspunktes". In einem Schreiben datiert vom 12. Juni 2012 beantragte die Beschwerdeführerin schliesslich die Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens bis zur Entscheidung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte über die Beschwerde gegen den Entscheid des Bundesgerichts vom 27. April 2011. Zudem wiederholte sie das Gesuch um Bekanntgabe der beteiligten Gerichtspersonen und stellte weitere Eingaben in Aussicht.