Sachverhalt: A. Der 1961 geborene M._ war als Objektleiter im Reinigungsbereich der Firma X._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 26. Februar 2006 auf einer Treppe stürzte. Auf der Notfallstation des Universitätsspitals Z._ wurden eine Commotio cerebri und multiple Prellungen diagnostiziert. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 16. Mai 2008 und Einspracheentscheid vom 15. September 2008 sprach sie M._ ab 1. Juni 2008 aufgrund unfallbedingter Einschränkungen der rechten Hand und der linken Schulter eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 18 % und eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von 20 % zu. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 15. Oktober 2009 ab. C. Mit Beschwerde lässt M._ beantragen, die Sache sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides an die SUVA zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen und anschliessendem neuen Entscheid über den Rentenanspruch und die Integritätsentschädigung zurückzuweisen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.