Sachverhalt: A. S._ (geb. 1957), von März 1995 bis zur wirtschaftlich bedingten Entlassung Ende Oktober 1997 als Dreher berufstätig, erhielt durch Verfügungen vom 20. April 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % im Härtefall mit Wirkung ab 1. August 1997 eine halbe Invalidenrente zugesprochen (gerichtlich bestätigt durch Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 11. Januar 2002). Als Ergebnis eines vom Versicherten eingeleiteten Revisionsverfahrens gelangte ab 1. Dezember 2004 noch eine Viertels-Invalidenrente zur Ausrichtung, was zuletzt das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 8. August 2005 bestätigte. Ein weiteres Revisionsverfahren führte zur gerichtlichen Bestätigung der Viertelsrente durch rechtskräftigen Entscheid des zürcherischen Sozialversicherungsgerichts vom 12. Juli 2006, desgleichen ein amtliches Revisionsverfahren gemäss Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 3. März 2008. Schliesslich bestätigte die IV-Stelle die Ausrichtung der Viertelsrente durch unangefochten gebliebene Verfügung vom 31. März 2010. Am 23. Juli 2011 ersuchte S._ gestützt auf einen Arztbericht der Klinik X._ vom 5. Juli 2011 erneut um Rentenrevision; entweder sei seine Rente zu erhöhen oder ihm "zu helfen, eine neue und leichtere Arbeitsstelle zu finden". Die IV-Stelle holte von Dr. med. R._ einen Arztbericht vom 22. August 2011 ein und führte mit dem Versicherten am 15. März 2012 ein Informationsgespräch. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 hob die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren die Viertelsrente zum 31. Juli 2012 mit der Begründung auf, die Diagnosen, welche zur Rentenzusprechung geführt hätten, gehörten zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Zustandsbildern ohne nachweisbare organische Grundlage. Einer allfälligen Beschwerde entzog die IV-Stelle die aufschiebende Wirkung. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es die angefochtene Verfügung vom 21. Juni 2012 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit "diese unter Weiterausrichtung der bisherigen Viertelsrente ab 1. August 2012 die erforderlichen Abklärungen im Sinne der Erwägungen treffe und hernach über den Rentenanspruch des Beschwerdeführers neu verfüge" (Entscheid vom 22. Mai 2013). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren auf Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides vom 22. Mai 2013 (Ziff. 1), auf Aufhebung der vorinstanzlichen Anweisung, wonach während des weiteren Abklärungsverfahrens weiterhin die bisherige Rente auszurichten sei (Ziff. 2), auf Feststellung, dass kein Rentenanspruch mehr bestehe (Ziff. 3) und auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung für die eingereichte Beschwerde (Ziff. 4). Auf die Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen. Das kantonale Gericht teilt mit Schreiben vom 15. August 2013 mit, dass es auf eine Vernehmlassung verzichte. Der Versicherte trägt auf Abweisung der Beschwerde an. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Nachdem diese Vernehmlassungsantworten den Verfahrensbeteiligten angezeigt worden sind, teilt das Sozialversicherungsgericht am 17. Oktober 2013 mit, es beabsichtige, ebenfalls eine Vernehmlassung einzureichen, weshalb es um Ansetzung einer angemessenen Frist zur Einreichung einer solchen bittet. Daraufhin wird ein zweiter Schriftenwechsel angeordnet. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Sozialversicherungsgericht nimmt mit Eingabe vom 5. November 2013 zur Sache einlässlich Stellung, ohne allerdings einen förmlichen Antrag zu stellen. D. Mit Verfügung vom 11. November 2013 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.