Sachverhalt: A. A.a Mit "Kostenfestsetzungsbeschluss" vom 24. Mai 2011 setzte das Landgericht A._ (Deutschland) die von X._ und B._ aufgrund eines Urteils vom 9. Dezember 2010 an Y._ zu erstattenden Kosten auf "EUR 4'832.23 nebst Zinsen in Höhe von fünf Prozentpunkten über dem Basiszinssatz nach § 247 BGB" seit dem 23. Dezember 2010 fest. A.b Mit Begehren vom 2. November 2011 hob Y._ gegen X._ die Betreibung für eine Forderung von Fr. 6'043.15 nebst Zins von 5% seit 23. Dezember 2010 an. Das Betreibungsamt C._ erliess am 3. November 2011 den Zahlungsbefehl (Betreibung Nr. xxx1890), wobei es als Gläubiger "RAe Conrad, Schneider" angab. X._ erhob Rechtsvorschlag. Auf das Gesuch von Y._ vom 14. November 2011 um Vollstreckbarerklärung des Kostenfestsetzungsbeschlusses vom 24. Mai 2011 und um definitive Rechtsöffnung trat das Bezirksgericht Schwyz mit Verfügung vom 15. Dezember 2011 nicht ein, da der Gläubiger gemäss Zahlungsbefehl und der "Kläger gemäss Rechtsöffnungsklage" nicht identisch seien und Y._ demnach "nicht verfahrenslegitimiert" sei. B. B.a Auf ein neues Betreibungsbegehren von Y._ gegen X._ hin erliess das Betreibungsamt C._ (Betreibung Nr. xxx2323) am 29. Dezember 2011 den Zahlungsbefehl für eine Forderung von Fr. 6'043.15 nebst Zins von 5% seit 23. Dezember 2010. X._ erhob wiederum Rechtsvorschlag. B.b Mit Gesuch vom 23. Januar 2012 ersuchte Y._ das Bezirksgericht Schwyz um vorfrageweise Vollstreckbarerklärung des Kostenfestsetzungsbeschlusses vom 24. Mai 2011 und um definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag. Das Bezirksgericht erteilte Y._ mit Verfügung vom 8. März 2012 in der Betreibung Nr. xxx2323 des Betreibungsamts C._ die definitive Rechtsöffnung für Fr. 6'043.15 nebst Zins zu 5% seit 23. Dezember 2010, für die Kosten des Zahlungsbefehls sowie für die Spruchgebühr und Parteientschädigung seiner Verfügung. C. Eine von X._ dagegen erhobene Beschwerde vom 18. Mai 2012 wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 24. Dezember 2012 ab. D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Verfassungsbeschwerde vom 6. Februar 2013, der kantonsgerichtliche Beschluss vom 24. Dezember 2012 sei aufzuheben und die definitive Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. xxx2323 sei zu verweigern. Eventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 8. Februar 2013 hat das Bundesgericht dieses Gesuch abgewiesen. Das Bundesgericht hat die Vorakten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.