Sachverhalt: A. Die 1980 geborene W._ war seit August 2001 als Verkäuferin bei der Bäckerei-Konditorei X._ angestellt und damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch unfallversichert. Am Abend des 16. November 2002 wurde sie, auf einer Hauptstrasse liegend, von einem Personenwagen erfasst und einige Meter weit mitgeschleift. Dabei zog sie sich eine schwere offene Beckenfraktur, eine Sakrumfraktur transforaminal links, eine Schambeinastfraktur beidseits, eine Acetabulumfraktur links sowie eine offene Femurkopfluxation rechts zu. Es folgten eine längere Hospitalisation und mehrere operative Eingriffe. Die Zürich holte Berichte der behandelnden Institutionen sowie Akten über den Unfallhergang ein. Ausserdem gab sie bei Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 22. Juli 2004 erstattet wurde. Gestützt darauf lehnte es der Versicherer mit Verfügung vom 12. Oktober 2004 ab, für das Ereignis vom 16. November 2002 Leistungen zu erbringen. Zur Begründung wurde erklärt, die Versicherte habe sich in suizidaler Absicht auf die Fahrbahn gelegt, ohne dass ihre Fähigkeit zu vernunftgemässem Handeln im damaligen Zeitpunkt gänzlich aufgehoben gewesen sei. Nachdem die Versicherte Einsprache erhoben hatte, holte die Zürich ein weiteres Gutachten von Dr. med. R._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 27. Juli 2005 ein. Anschliessend hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. Oktober 2005 an der Verneinung ihrer Leistungspflicht fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Zürich zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. In den Erwägungen hielt das Gericht fest, es könne weder auf eine beabsichtigte Selbstschädigung noch auf einen Suizidversuch geschlossen werden. Die Frage, ob die Versicherte den Unfall grobfahrlässig herbeigeführt habe, lasse sich aufgrund der Akten nicht abschliessend beurteilen (Entscheid vom 26. Juni 2007). C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben "und im Sinne der Bestätigung des Einspracheentscheides vom 24. Oktober 2005 sei von einer absichtlichen Selbstschädigung auszugehen". W._ lässt die Abweisung der Beschwerde, eventuell die Aufhebung des kantonalen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz bzw. die Beschwerdeführerin beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 5. Dezember 2007 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.