Sachverhalt: A. A.a X._ erlitt am 30. Juli 1995 einen Schulterdurchschuss. Mit Urteil vom 24. September 1996 befand das Obergericht des Kantons Thurgau den Straftäter der versuchten vorsätzlichen Tötung und weiterer Delikte für schuldig und bestrafte ihn mit vier Jahren Zuchthaus. Zudem verpflichtete es den Straftäter, X._ eine Genugtuung von Fr. 8'000.-- sowie Schadenersatz von Fr. 8'687.10, je nebst Zins zu bezahlen. A.b Am 28. Juli 1997 stellte X._ beim Bezirksgericht Frauenfeld das Begehren, es sei ihm eine opferhilferechtliche Entschädigung von maximal Fr. 100'000.-- sowie eine opferhilferechtliche Genugtuung von Fr. 20'000.-- zu entrichten. Das Bezirksgericht sistierte das Verfahren bis zur Erledigung der sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche des Gesuchstellers. Mit Urteil vom 25. Mai/28. Juni 2007 wies es das Gesuch um Entschädigung mit der Begründung ab, dem Gesuchsteller sei bei Verwertung seiner Restarbeitsfähigkeit weder ein Erwerbs- noch ein Haushaltsschaden entstanden. Das Gesuch um Genugtuung wies es mit Rücksicht auf die ausbezahlte sozialversicherungsrechtliche Integritätsentschädigung ab. A.c X._ erhob gegen das Urteil des Bezirksgerichts Berufung mit dem Antrag, es sei ihm eine Entschädigung von Fr. 100'000.-- sowie eine Genugtuung von Fr. 20'000.-- zu entrichten, je zuzüglich 5 % Zins ab dem 1. Januar 2007. Gleichzeitig stellte er den Antrag, es sei ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten betreffend Beeinträchtigung in Erwerb und Haushalt sowie eine berufsberaterische Abklärung in Auftrag zu geben und A._ sowie B._ als Zeugen sowie ihn als Berufungskläger persönlich zu befragen. Mit Urteil vom 18. Dezember 2007 schützte das Obergericht des Kantons Thurgau das Urteil des Bezirksgerichts und wies das Gesuch des Beschwerdeführers ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragte X._ beim Bundesgericht, in teilweiser Aufhebung des Urteils des Obergerichts sei sein Gesuch um Entrichtung einer Entschädigung von Fr. 100'000.--, zuzüglich 5 % Zins ab dem 1. Januar 2007, gutzuheissen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung bzw. zur Berechnung der Entschädigung nach OHG an die erste Instanz, eventuell die Vorinstanz, zurückzuweisen. C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht beantragt ebenfalls Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde verzichtet auf Stellungnahme.