Sachverhalt: A. Der im Kanton Nidwalden wohnhafte J._ war in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (nachfolgend: OKP) bei der KPT Krankenkasse AG (nachfolgend: Krankenkasse; KPT) und für Leistungen "allgemeine Abteilung ganze Schweiz" bei der KPT Versicherungen AG (nachfolgend: Zusatzversicherer) versichert. Vom 8. bis 14. Juli 2005 unterzog er sich in der allgemeinen Abteilung der swissana clinic meggen im Kanton Luzern einer Hüftimplantation. Die Klinik stellte J._ insgesamt den Betrag von Fr. 14'640.20 in Rechnung (7 Tagespauschalen zu je Fr. 790.- und ein Hüftimplantat zu Fr. 5'458.70 sowie zusätzliche Rechnungen für Arztleistungen, Physiotherapie und Labor). Der von J._ bezahlte gesamte Betrag wurde ihm von den Versicherern vergütet. Mit Schreiben vom 9. August 2006 teilte die KPT der Klinik mit, laut bundesrätlichem Tarifentscheid vom 4. März 2005 betrage ihre Tagespauschale Fr. 887.- (Kliniktarif von Fr. 493.- plus Arzttarif von Fr. 394.-). Dies ergebe für den Spitalaufenthalt von J._ (inklusive Implantat) den Betrag von Fr. 6'209.-. Darum habe die Klinik von der bereits bezahlten Summe (Fr. 14'640.20) den Differenzbetrag (Fr. 8'431.20) an sie zurückzuerstatten. Sie werde dann die erforderliche Korrektur vornehmen (Rückabwicklung der Abrechnung/Kostenbeteiligung des Versicherten). B. Nach erfolgloser Vermittlungsverhandlung am 18. Oktober 2006 reichte die KPT am 21. November 2006 beim Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG des Kantons Luzern Klage gegen die Klinik ein. Sie stellte die folgenden Rechtsbegehren: 1. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, für den Aufenthalt von Herrn J._ auf der allgemeinen Abteilung der swissana clinic vom 8. bis 14. Juli 2005 Rechnung nach dem vom Bundesrat im Entscheid vom 4. März 2005 festgesetzten Kliniktarif von Fr. 493.- pro Tag zu stellen, wobei die Kosten für das Implantat im Kliniktarif enthalten sein müssen. 2. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, Herrn J._ die über den vom Bundesrat für die obligatorische Krankenpflegeversicherung festgesetzten Kliniktarif hinausgehenden Zahlungen zurückzuerstatten. Mit Urteil vom 26. Mai 2009 trat das Schiedsgericht auf die Klage wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit nicht ein. C. Die KPT erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt: 1. Das Schiedsgerichtsurteil vom 26. Mai 2009 sei aufzuheben. 2. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, für den Aufenthalt von Herrn J._ auf der allgemeinen Abteilung der swissana clinic vom 8. bis 14. Juli 2005 Rechnung nach dem vom Bundesrat im Entscheid vom 4. März 2005 festgesetzten Kliniktarif von Fr. 493.- pro Tag zu stellen, wobei die Kosten für das Hüftimplantat im Kliniktarif gemäss den anrechenbaren Kosten enthalten sein müssen. 3. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, Herrn J._ die über den vom Bundesrat für die obligatorische Krankenpflegeversicherung festgesetzten Tarif hinausgehenden Zahlungen zurückzuerstatten. Vorinstanz und Klinik beantragen Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.