Sachverhalt: A. In der von Y._ als Gläubiger gegen die X._ AG als Schuldnerin eingeleiteten Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamts Z._ erliess das Betreibungsamt am 19. April 2012 die Konkursandrohung. Gemäss Handelsregister hat die X._ AG ihren Sitz in Z._ und ist als ihre Adresse "c/o A._" angegeben. Die Konkursandrohung wurde der X._ AG am 23. April 2012 an ihrer im Handelsregister eingetragenen (Domizil-) Adresse zugestellt. Am 18. Mai 2012 stellte Y._ beim Kantonsgericht Zug das Konkursbegehren. B. Am 4. Juni 2012 erhob die X._ AG Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zug als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Sie beantragte, es sei festzustellen, dass ihr die Konkursandrohung nicht rechtsgültig zugestellt worden sei und es sei ihr die Frist "gemäss Art. 161 Ziff. 4" wiederherzustellen. Sodann sei das Kantonsgericht anzuweisen, die auf den 12. Juni 2012 angesetzte Konkursverhandlung mangels rechtsgültiger Zustellung der Konkursandrohung abzusagen. Zudem beantragte sie, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Das Obergericht wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Sodann trat es mit Präsidialverfügung vom 21. Juni 2012 auf die Beschwerde wegen verspäteter Erhebung nicht ein. C. C.a Dem Bundesgericht beantragt die X._ AG (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 12. Juli 2012, es sei die Verfügung des Obergerichts vom 21. Juni 2012 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung. Das Betreibungsamt hat sich dazu nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat sich dem Gesuch nicht widersetzt (Schreiben vom 18. Juli 2012). Y._ (nachfolgend Beschwerdegegner) hat beantragt, das Gesuch abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei (Vernehmlassung vom 2. August 2012). Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 3. September 2012 die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. C.b Am 12. Juni 2012 eröffnete das Kantonsgericht über die Beschwerdeführerin den Konkurs. Die von der Beschwerdeführerin dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Urteil vom 4. Juli 2012 ab. Dagegen hat die Beschwerdeführerin ebenfalls Beschwerde an das Bundesgericht erhoben (Verfahren 5A_805/2012).