Sachverhalt: A. Y._ (Beschwerdegegner) vermietete eine Viereinhalbzimmerwohnung an Z._, welche darin mit ihrem Sohn, X._ (Beschwerdeführer), wohnte. Nach dem Tod von Z._ am 21. April 2009 schlugen die gesetzlichen Erben ihre Erbschaft aus. Am 13. Juni 2009 liess der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt eine Aufforderung zur Kostensicherung publizieren. Darin forderte er die Gläubiger auf, bis am 22. Juni 2009 einen Kostenvorschuss für das summarische Konkursverfahren zu leisten, da in der ausgeschlagenen Erbschaft von Z._ nicht genügend Aktiven zur Deckung der Liquidationskosten vorhanden seien. Die Verfügung war mit der Ankündigung verbunden, dass ansonsten die konkursamtliche Liquidation nicht angeordnet würde. Dieser Aufforderung wurde binnen Frist nicht Folge geleistet und die konkursamtliche Liquidation demnach nicht angeordnet. Der Beschwerdeführer lebt weiterhin in der seinerzeit seiner Mutter vermieteten Wohnung, wobei er den Mietzins für die Monate Mai und Juni 2009 beglich. Seither bezahlte er zunächst keinen Mietzins mehr, was er damit begründet, dass ihm die Vermieterschaft weitere Zahlungen durch Vorenthaltung von Einzahlungsscheinen verunmögliche. B. B.a Der Beschwerdegegner klagte am 17. Juli 2009 beim Amtsgericht Luzern-Stadt auf Ausweisung des Beschwerdeführers aus der Wohnung. Das Amtsgericht hiess die Klage am 10. Dezember 2009 gut, indem es dem Beschwerdeführer unter Androhung von Strafe nach Art. 292 StGB befahl, diese Wohnung innert zehn Tagen seit Rechtskraft des Entscheids zu räumen und zu verlassen und den Beschwerdegegner gleichzeitig ermächtigte, die polizeiliche Vollstreckung zu verlangen. Auf Rekurs des Beschwerdeführers entschied das Obergericht des Kantons Luzern am 27. Januar 2010 gleich wie das Amtsgericht. Dem Beschwerdeführer wurde die unentgeltliche Prozessführung für das kantonale Verfahren gewährt. B.b Mit Schreiben vom 23. Dezember 2009 beantragte der Beschwerdeführer dem Konkursamt Luzern-Stadt, das von seiner verstorbenen Mutter und dem Beschwerdegegner begründete Mietverhältnis gestützt auf Art. 230a SchKG auf den Beschwerdeführer zu übertragen. Mit Entscheid vom 8. Januar 2010 trat das Konkursamt auf dieses Begehren nicht ein. Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. Januar 2010 Beschwerde an den Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt als untere kantonale Aufsichtsbehörde. C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Januar 2010 aufzuheben und festzustellen, dass zwischen den Parteien bezüglich der Viereinhalbzimmerwohnung ein ungekündigtes Mietverhältnis bestehe. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im ordentlichen Prozess an das Amtsgericht Luzern-Stadt zurückzuweisen. Er ersucht auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Sistierung des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bis zum rechtskräftigen Entscheid über das beim Konkursamt Luzern-Stadt gestellte Begehren um Abtretung des Mietverhältnisses über die Viereinhalbzimmerwohnung. Dem Begehren um aufschiebende Wirkung wurde am 11. Februar 2010 superprovisorisch entsprochen. Mit Eingabe vom 22. Februar 2010 reichte der Beschwerdegegner unaufgefordert eine Beschwerdeantwort ein, mit der er beantragte, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 7. Mai 2010 wurde dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und ihm Rechtsanwalt Beat Rohrer als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Ferner wurde das Verfahren antragsgemäss ausgesetzt bis zum rechtskräftigen Entscheid im Verfahren betreffend Abtretung des Mietvertrages zwischen Z._ und dem Beschwerdegegner an den Beschwerdeführer nach Art. 230a SchKG, und es wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt mit der Einschränkung, dass diese bei nicht vollständiger Deckung des für die Überlassung der Wohnung zu entrichtenden Entgelts dahinfiele. D. Am 18. August 2010 wies der Amtsgerichtspräsident III von Luzern- Stadt, die vom Beschwerdeführer gegen die Verfügung des Konkursamtes vom 8. Januar 2010 (vgl. lit. B.b hiervor) eingereichte Beschwerde ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde des Beschwerdeführers wies die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil 5A_760/2010 vom 21. März 2011 ab, soweit sie darauf eintrat. Mit Schreiben vom 28. März 2011 ersuchte der Beschwerdeführer darum, die Sistierung des Verfahrens bis zum Vorliegen der schriftlichen Begründung dieses Urteils aufrecht zu erhalten. Nachdem die Begründung dieses Urteil am 29. März 2011 bei der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingetroffen war, setzte diese das Verfahren fort. Mit Eingabe vom 31. März 2011, die beim Bundesgericht am 1. April 2011 einging, stellte der Beschwerdeführer diesem das Begehren, das Verfahren sei bis zum rechtskräftigen Entscheid über ein beim Bezirksgerichts Luzern am 31. März 2011 gestelltes Gesuch um konkursamtliche Liquidation der ausgeschlagenen Erbschaft auszusetzen. Der Beschwerdegegner ersuchte das Bundesgericht mit Schreiben vom 1. April 2011 darum, diesem Aussetzungsbegehren nicht zu entsprechen.