Sachverhalt: A. H._ (geb. 1955) bezog mit Wirkung ab 1. Juli 2010 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 11. April 2011). Auf ihr Gesuch vom 27. April 2011 hin sprach ihr die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, mit Verfügung vom 10. Mai 2012 monatliche Ergänzungsleistungen und Beihilfen zu (für die Zeit vom 1. Juli bis 31. Dezember 2010 monatliche Ergänzungsleistungen von Fr. 311.- und monatliche Beihilfen von Fr. 159.-, vom 1. Januar bis 30. April 2011 Fr. 399.- und Fr. 202.- sowie ab 1. Mai 2011 Fr. 437.- und Fr. 202.-). Eine von der Versicherten dagegen erhobene Einsprache hiess die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, teilweise gut; sie sprach der Versicherten für die Zeit vom 1. Juli bis 31. Dezember 2010 Fr. 866.- und Fr. 202.- zu, vom 1. Januar bis 30. April 2011 Fr. 1'021.- und Fr. 202.-, vom 1. Mai bis 31. Dezember 2011 Fr. 475.- und Fr. 202.- sowie ab 1. Dezember 2012 Fr. 511.- und Fr. 202.- (Einspracheentscheid vom 7. Juni 2012). B. Beschwerdeweise beantragte H._, der Einspracheentscheid sei insoweit aufzuheben, als die Zusatzleistungen ab Mai 2011 auf monatlich Fr. 677.- (Ergänzungsleistungen von Fr. 475.- und Zusatzleistungen von Fr. 202.-) respektive auf Fr. 713.- (Ergänzungsleistungen von Fr. 511.- und Zusatzleistungen von Fr. 202.-) herabgesetzt worden seien, und es seien ihr die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2013 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab. C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. In einer weiteren Eingabe hat H._ ein neues Beweismittel aus einem zwischen ihr und den Sozialbehörden der Gemeinde Z._ vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hängigen Prozess betreffend Sozialhilfeleistungen eingereicht (Auszug aus einer Stellungnahme des die Sozialbehörden vertretenden Rechtsanwalts E._ vom 5. Dezember 2013).