Sachverhalt: A. A.a. Der 1965 geborene, zuletzt als Tiefbauarbeiter tätig gewesene M._ bezog gestützt auf die Verfügung der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 15. Dezember 1999 für die verbleibenden Folgen eines am 22. August 1996 erlittenen Autounfalls aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV) nebst einer Integritätsentschädigung ab 1. April 1999 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und eine Hilflosenentschädigung für eine Hilflosigkeit mittleren Grades. Zudem richtete ihm die Invalidenversicherung (IV) ab 1. August 1997 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze IV-Invalidenrente aus. A.b. Im Zeitraum vom 15. September 2010 bis 4. März 2011 liess die IV M._ im Rahmen einer Beweisaufnahme vor Ort überwachen. Die SUVA erhielt vom entsprechenden Observationsbericht vom 16. Mai 2011 Kenntnis. Hierauf sistierte sie am 13. Dezember 2011 die laufenden UV-Leistungen. Mit Verfügung vom 3. Mai 2012 eröffnete sie dem Versicherten sodann, die von ihr ausgerichtete Rente und Hilflosenentschädigung werde rückwirkend ab 1. September 2010 revisionsweise aufgehoben. Zudem forderte sie einen Betrag von Fr. 24'447.20 für entsprechende Leistungen, welche demnach im Zeitraum vom 1. September 2010 bis 31. Dezember 2011 zu Unrecht ausgerichtet worden seien, zurück. Die SUVA begründete dies damit, gemäss dem Observationsbericht und den medizinischen Akten der IV habe sich der Gesundheitszustand derart gebessert, dass keine anspruchsbegründende Erwerbsunfähigkeit und Hilflosigkeit mehr vorliege. Die dagegen erhobene Einsprache und das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren wies der Unfallversicherer mit Entscheid vom 17. August 2012 ab. Zwischenzeitlich hatte auch die IV mit Verfügung vom 15. März 2012 die von ihr gewährte Invalidenrente auf des Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise aufgehoben. B. Beschwerdeweise beantragte M._, der Einspracheentscheid der SUVA vom 17. August 2012 sei aufzuheben, die bisherige Invalidenrente und Hilflosenentschädigung sei weiter zuzusprechen und für das Einspracheverfahren sei die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 6. März 2013 ab. Mit einem weiteren Entscheid vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht auch die von M._ gegen die IV-Verfügung vom 15. März 2012 erhobene Beschwerde ab, wobei sie im Sinne einer reformatio in peius die IV-Rente per 31. August 2010 aufhob. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die bisherige Rente und Hilflosenentschädigung weiter zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Durchführung der beantragten Beweismassnahmen und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz resp. an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 17. Juni 2013 lässt M._ erklären, an Beschwerde und Gesuch betreffend unentgeltliche Rechtspflege werde festgehalten. D. M._ lässt auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend IV Beschwerde erheben. Über diese entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_309/2013.