im Ehescheidungsverfahren; Prozesskostenvorschuss), hat sich ergeben: A.- M.A._ und I.A._ heirateten am ........... 1963. Sie schlossen 1966 einen Ehevertrag, mit dem sie den Güterstand der allgemeinen Gütergemeinschaft gemäss den damaligen Bestimmungen von aArt. 215 ff. ZGB vereinbarten. Die Parteien leben seit Juni 1988 getrennt. Seit dem gleichen Jahr ist der Scheidungsprozess hängig, in dessen Verlauf auf den Stichtag vom 23. Juli 1992 die Gütertrennung angeordnet wurde. Am 27. November 2000 fällte das Obergericht des Kantons Zürich das zweitinstanzliche Scheidungsurteil; gleichentags erliess es vorsorgliche Massnahmen. Beide Parteien reichten je gegen das Urteil und den Massnahmebeschluss kantonale Nichtigkeitsbeschwerden an das Kassationsgericht ein, und beide Parteien erhoben überdies gegen das Urteil Berufung an das Bundesgericht. Diese Verfahren sind zur Zeit allesamt hängig (bzw. sistiert). B.- Für das von I.A._ gegen den Massnahmebeschluss angehobene Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren auferlegte das Kassationsgericht des Kantons Zürich ihr am 31. Januar 2001 eine Prozesskaution von Fr. 12'000.--. Mit Eingabe vom 16. Februar 2001 an das Kassationsgericht stellte sie darauf das Begehren, es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, die ihr "auferlegte Prozesskaution von Fr. 12'000.-- aus dem von ihm verwalteten ehelichen Gesamtgut der Parteien zu leisten", eventuell sei sie "für berechtigt zu erklären, die Prozesskaution von Fr. 12'000.-- zulasten des Sperrkontos Nr. ......... bei der X._ Bank, lautend auf die beiden Vertreter der Parteien, zu leisten"; subeventuell verlangte sie eine Fristerstreckung zur Leistung der Prozesskaution. Der Präsident des Kassationsgerichts überwies am 28. Februar 2001 das Haupt- und das Eventualbegehren dem Obergericht zur Beurteilung. Dieses verpflichtete mit Beschluss vom 8. Mai 2001 M.A._, I.A._ einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 12'000.-- zu bezahlen; der Entscheid betreffend Rückerstattung dieses Vorschusses oder dessen Anrechnung auf güterrechtliche und/oder zivilprozessuale Gegenforderungen bleibe dem Kassationsgericht im Beschwerdeverfahren vorbehalten. Die von M.A._ gegen den Beschluss des Obergerichts eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 2. Oktober 2001 ab, soweit es darauf eintrat. C.- M.A._ hat am 21. November 2001 staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben. Weiter ersucht er um aufschiebende Wirkung. In ihrer Vernehmlassung vom 11. Dezember 2001 beantragt I.A._ die Abweisung des Gesuch um aufschiebende Wirkung, und mit Vernehmlassung vom 28. Februar 2002 beantragt sie in der Sache, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hat auf Stellungnahmen verzichtet. Der Präsident der II. Zivilabteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 12. Dezember 2001 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.