Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a A._ (Beschwerdeführer) war Alleinaktionär der D._ AG. Diese erwarb mit Aktienkaufvertrag vom 18. Juni 1987 von der E._ AG, das (gesamte) Aktienpaket an der Société de l'Hôtel F._ SA. Die F._ SA war Eigentümerin der Résidence G._ (Apparthotel) in Genf, d.h. der Besitz des Aktienpakets vermittelte das wirtschaftliche Eigentum an der Liegenschaft Résidence G._ in Genf. Die Verkäuferin, E._ AG, wurde von H._ beherrscht, mit dem der Beschwerdeführer seit Jahren befreundet war und zahlreiche Immobiliengeschäfte getätigt hatte. Grundlage des Kaufentscheids bildete ein Kurzexposé, das von I._, dem Direktor der "H._-Unternehmen", verfasst und dem Beschwerdeführer am 15. Juni 1987 übergeben worden war. Darin ist eine Berechnung des zukünftigen Mietertrags enthalten, der auf total brutto Fr. 1'878'500.-- p.a. geschätzt wird. Sodann wird ein Kaufpreis von Fr. 22,1 Mio. vorgesehen, zu dem der Kauf schliesslich auch abgeschlossen wurde. Mit Vertrag vom 14. Juli/11. August 1988 gewährte die Schweizerische Bank C._, die später von der Bank B._ (Beschwerdegegnerin; nachfolgend wird der Einfachheit halber auch die Bank C._ als Beschwerdegegnerin bezeichnet) übernommen wurde, der D._ AG ein Darlehen von Fr. 12,8 Mio. für den vorgenannten Aktienkauf. Als Sicherheit wurde der Beschwerdegegnerin ein Inhaberschuldbrief, lastend auf der Liegenschaft Résidence G._ über Fr. 12,8 Mio. übergeben. Der F._ SA gewährte die Beschwerdegegnerin direkt ein Darlehen von Fr. 3,2 Mio. Die Verhandlungen mit der Bank über diese Darlehen zur Finanzierung des erwähnten Kaufgeschäfts vom 18. Juni 1987 wurden im Auftrag der Kreditnehmerinnen weitgehend von I._ geführt. Der Beschwerdeführer verpflichtete sich, für das Darlehen über Fr. 12,8 Mio., das die Beschwerdegegnerin der D._ AG gewährt hatte, bis zu einem Höchstbetrag von Fr. 15'360'000.-- als Solidarbürge einzustehen. Gleichentags ging der Beschwerdeführer auch eine Solidarbürgschaft über Fr. 3'840'000.-- zur Sicherung des Kredits über Fr. 3,2 Mio. ein, den die Beschwerdegegnerin der F._ SA direkt gewährt hatte. Der Bürgschaftsvertrag über Fr. 15'360'000.-- datiert vom 12. August 1988, bezeichnet P._ als Ort der Unterzeichnung und enthält die Unterschrift des Beschwerdeführers. In dem darauf hin erstellten und zum Bürgschaftsvertrag gehörenden "act authentique", datierend vom gleichen Tag, hat Notar K._ die Solidarbürgschaft verurkundet. Effektiv wurde der Vertrag allerdings am 11. August 1988 unterzeichnet und am gleichen Tag in L._ notariell verurkundet. A.b Der Darlehensvertrag über Fr. 12,8 Mio. enthält zwei Vorbehalte, die wie folgt lauten (im Folgenden auch bloss als "die Bedingungen" bezeichnet): "Die Auszahlung des Darlehens ist davon abhängig, dass 1. die Expertise des Architekten M._ den neuen Verkehrswert der Liegenschaft bestätigt, 2. der Nettoertragswert ab 1. August 1988 Fr. 1,358 Millionen beträgt." Die Beschwerdegegnerin zahlte das Darlehen an die D._ AG aus, obwohl diese Vorbehalte nicht erfüllt waren. - Der von der Beschwerdegegnerin beauftragte Experte M._ hatte den "valeur de gage" der Liegenschaft mit seinem Gutachten vom 4. Juli 1988 auf Fr. 16 Mio. beziffert, bei einem Anlagewert von Fr. 12,7 Mio. und einem kapitalisierten Ertragswert von Fr. 18,1 Mio. Das entsprechende Gutachten wurde dem Beschwerdeführer vor dem Abschluss des Darlehensvertrages vom 14. Juli/11. August 1988 und der Auszahlung des Darlehens nicht ausgehändigt. Das Geschäft mit dem Apparthotel Résidence G._ entwickelte sich nicht wie von den Parteien des Kaufvertrags angenommen. Auch Ende 1991, nach Ablauf einer von den Parteien nachträglich, am 30. Juni 1989 vereinbarten Defizitgarantie (sog. 3-Jahres-Plan), war keine entscheidende Verbesserung festzustellen. Die Zahlungsverzögerungen bei den Schuldzinsen häuften sich. Das Geschäft mit dem Apparthotel Résidence G._ entwickelte sich nicht wie von den Parteien des Kaufvertrags angenommen. Auch Ende 1991, nach Ablauf einer von den Parteien nachträglich, am 30. Juni 1989 vereinbarten Defizitgarantie (sog. 3-Jahres-Plan), war keine entscheidende Verbesserung festzustellen. Die Zahlungsverzögerungen bei den Schuldzinsen häuften sich. B. Mit Teilklage vom 29. November 1995 beim Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, (im Folgenden "Appellationshof") forderte die Beschwerdegegnerin vom Beschwerdeführer aufgrund der Solidarbürgschaft die fälligen Zinsen per 31. Dezember 1991 und per 30. Juni 1992 auf dem der D._ AG gewährten Darlehen über Fr. 12,8 Mio. Sie beantragte mit im Laufe des Verfahrens modifiziertem Rechtsbegehren, den Beschwerdeführer zu verpflichten, ihr einen Betrag von Fr. 986'016.05 zuzüglich Zins zu 7.5 % auf Fr. 483'070.20 seit dem 1. Januar 1992 und auf Fr. 502'945.85 seit dem 1. Juli 1992 zu bezahlen und den Rechtsvorschlag in der angehobenen Betreibung aufzuheben. Eventuell sei der Beschwerdeführer zu verurteilen, der Beschwerdegegnerin einen Betrag von Fr. 1'162'960.04 zu bezahlen. Der Beschwerdeführer schloss mit Klageantwort vom 5. März 1996 auf Abweisung der Klage und erhob gleichzeitig Widerklage mit dem folgenden, während des Verfahrens geänderten Begehren: 1. Constater que le défendeur et demandeur reconventionnel n'est pas lié à la demanderesse et défenderesse reconventionnelle par les actes de cautionnement datés du 12.8.1988 suivants: 1.1 Cautionnement d'un prêt de Fr. 12.8 mio consenti à D._ AG le 14.7.1988 jusqu'à concurrence d'un montant maximum de 15.36 mio; 1.2 cautionnement d'un prêt de 3.2 mio consenti à la SI F._ SA le 14.7.1988 jusqu'à concurrence d'un montant maximum de 3.84 mio. 2. Condamner la demanderesse et défenderesse reconventionelle à payer les montants suivants au défendeur et demandeur reconventionnel: 2.1 CHF 6'100'000.00 avec intérêt à 6.15% dès le 1.8.1988 2.2 CHF 250'000.-- avec intérêt à 5% dès le 1.1.1998. (...)." Der Beschwerdeführer stellte sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, die Bürgschaft für das Darlehen an die D._ AG sei hinfällig, weil der Darlehensvertrag zwischen der D._ AG und der Beschwerdegegnerin nicht gültig zustande gekommen sei. Zum einen habe die Beschwerdegegnerin das Darlehen ausbezahlt, obwohl die Bedingungen im Darlehensvertrag, dass der Experte M._ den Verkehrswert und den Ertragswert der Liegenschaft Résidence G._ bestätigen müsse, nicht erfüllt gewesen seien. Zum anderen hätte sich die D._ AG bzw. der Beschwerdeführer nicht auf das Darlehen vom 14. Juli/11. August 1998 eingelassen, wenn ihr bzw. ihm die Expertise M._ durch die Beschwerdegegnerin, H._ und I._ nicht in Täuschungsabsicht unterschlagen worden wäre, und sie bzw. er demnach gewusst hätte, dass der Kaufpreis für die F._ SA bzw. deren Liegenschaft dermassen übersetzt sei. - Die Verträge mit der Beschwerdegegnerin seien für ihn von H._ und I._, denen er vollends vertraut habe, ohne seine Beteiligung ausgehandelt worden. Er sei entsprechend auch beim Eingehen der Bürgschaft getäuscht worden. Da er überdies bei der notariellen Verurkundung der Bürgschaft durch Notar K._ am 12. August 1988 nicht anwesend gewesen sei, sei die Bürgschaft formungültig. Im Zusammenhang mit der Widerklage machte der Beschwerdeführer geltend, die Beschwerdegegnerin habe ihre vertraglichen Verpflichtungen als Darlehensgeberin verletzt und dadurch der D._ AG einen Schaden zugefügt. Er mache entsprechend Schadenersatz geltend, nachdem ihm die D._ AG die entsprechenden Forderungen abgetreten habe. Ferner forderte er Schadenersatz für die von ihm im Zusammenhang mit dem "F._-Geschäft" angestrengten Strafverfahren gegen H._, Notar K._ sowie I._ und N._, den Leiter der Genfer Niederlassung der Beschwerdegegnerin. Der Appellationshof verpflichtete den Beschwerdeführer mit Urteil vom 9. Juni 2005 unter weitgehender Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin Fr. 960'000.-- zuzüglich Zins zu 7,5 % auf Fr. 480'000.-- seit dem 1. Januar 1992 und auf Fr. 480'000.-- seit dem 1. Juli 1992 zu bezahlen. Im entsprechenden Umfang hob er den Rechtsvorschlag in der gegen den Beschwerdeführer angehobenen Betreibung auf. Die Widerklage wies der Appellationshof ab. Der Appellationshof verpflichtete den Beschwerdeführer mit Urteil vom 9. Juni 2005 unter weitgehender Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin Fr. 960'000.-- zuzüglich Zins zu 7,5 % auf Fr. 480'000.-- seit dem 1. Januar 1992 und auf Fr. 480'000.-- seit dem 1. Juli 1992 zu bezahlen. Im entsprechenden Umfang hob er den Rechtsvorschlag in der gegen den Beschwerdeführer angehobenen Betreibung auf. Die Widerklage wies der Appellationshof ab. C. Der Beschwerdeführer beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Urteil des Appellationshofs aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Appellationshof hat auf eine Stellungnahme verzichtet und verweist auf seine Urteilsbegründung. Parallel zum vorliegenden Rechtsmittel hat der Beschwerdeführer in gleicher Sache eidgenössische Berufung eingelegt. Den Parteien wurde mitgeteilt, dass ein vom Beschwerdeführer gestelltes Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung damit gegenstandslos geworden sei.