Sachverhalt: A. Im Januar 1997 verbrachte X._ (Kläger) im Skigebiet des Kantons Glarus seine Ferien. Zur Benützung der Skilifte und Skipisten besass er eine Wochenkarte der Y._ AG (Beklagte). Am 8. Januar 1997 stürzte er im untersten, relativ steilen Teil einer der Pisten und verlor mit aller Wahrscheinlichkeit beim Aufprall auf der hart gefrorenen Unterlage das Bewusstsein. In der Folge rutschte er unkontrolliert rund 75 Meter weit die Piste hinunter und rund zwölf Meter über den Pistenrand hinaus und glitt dann über eine Böschung in einen sechzehn Meter tiefen Geländeeinschnitt (Runse), wo er auf ein dort angebrachtes Rohr aufschlug und sich einen offenen Schädelbruch zuzog. Der Unfall machte einen längeren Spitalaufenthalt erforderlich und hat zu einer voraussichtlich bleibenden Gehbehinderung geführt. B. Nach erfolglosem Sühneverfahren beantragte der Kläger im November 2000 beim Kantonsgericht des Kantons Glarus, die Beklagte sei zur Zahlung von Schadenersatz in der Höhe von DM 475'000.-- nebst Zins zu verpflichten. Das Kantonsgericht wies die Klage mit Urteil vom 28. Januar 2002 ab. Dagegen legte der Kläger beim Obergericht des Kantons Glarus Berufung ein, wobei er das Begehren auf umgerechnet EUR 192'931.-- nebst Zins reduzierte. Mit Urteil vom 21. März 2003 wies das Obergericht die Berufung ab. C. Der Kläger beantragt dem Bundesgericht mit Berufung, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung, insbesondere zur Bemessung des Schadenersatzes, ans Obergericht zurückzuweisen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.