Sachverhalt: A. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), welche der 1967 geborenen Z._ für eine am 1. Januar 1990 erlittene Verletzung am rechten Handgelenk Taggelder ausrichtete und für die Heilbehandlung aufkam, stellte diese Leistungen mit Verfügung vom 12. Februar 1998 auf den 1. Januar 1998 ein; gleichzeitig sprach sie der Versicherten ab diesem Zeitpunkt bei einem Invaliditätsgrad von 50 Prozent eine Invalidenrente zu und gewährte ihr eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse von 20 Prozent. Nachdem Z._ durch ihren damaligen Rechtsvertreter mit dem Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente von mindestens 66 2/3 Prozent und einer Integritätsentschädigung von mindestens 30 Prozent dagegen hatte Einsprache erheben lassen, sistierte die Zürich das Verfahren bis zum Vorliegen des Ergebnisses der noch zu tätigenden Abklärungen und dem Abschluss der beruflichen Eingliederung. Am 25. Mai 2004 teilte Rechtsvertreter K._ der Zürich unter Beilage einer Vollmacht gleichen Datums mit, Z._ habe ihn mit der Interessenwahrung beauftragt, weshalb er um Zustellung der Akten ersuche. Nachdem die IV-Stelle des Kantons Zürich Z._ mit Verfügung vom 24. November 2005 bei einem Invaliditätsgrad von 90 Prozent mit Wirkung ab 1. Juli 2004 eine ganze Invalidenrente zugesprochen hatte, beabsichtigte die Zürich, das Einspracheverfahren wieder aufzunehmen. Da sie ihren Vertreter K._ telefonisch nicht hatte erreichen können, forderte sie ihn mit Schreiben vom 11. Dezember 2006 auf, eine Stellungnahme mit allfälligen gleichen oder neuen Anträgen und einer entsprechenden Begründung einzureichen und sich insbesondere zur Frage zu äussern, ob überhaupt ein Unfall vorliege. Falls er die Versicherte nicht mehr vertrete, sei ihr dies ebenfalls mitzuteilen. Eine Kopie dieses Schreibens stellte die Zürich am gleichen Tag unter Hinweis auf das unklare Vertretungsverhältnis auch der Versicherten zu und ersuchte sie um Mitteilung, falls sie nicht mehr von lic. iur. K._ vertreten werde. Am 7. Februar 2007 bestätigte dieser gegenüber der Zürich auf telefonische Anfrage hin, dass er weiterhin die Interessen von Z._ wahrnehme und innert verlängerter Frist eine neue Eingabe einreichen werde. Nachdem er diese Frist unbenutzt hatte verstreichen lassen, teilte ihm die Zürich am 7. Juni 2007 mit, sie gehe von einem Verzicht auf eine Stellungnahme aus. Mit Schreiben vom 4. Juli 2007 gelangte sie erneut an den Rechtsvertreter und gab ihm Gelegenheit, sich zur beabsichtigten Leistungseinstellung ex nunc et pro futuro zu äussern; zudem wies sie ihn darauf hin, dass er die Einsprache zurückziehen könne. Weil keine Reaktion erfolgte, erliess sie am 22. August 2007 den Einspracheentscheid, mit welchem sie die Einsprache abwies und die Verfügung vom 12. Februar 1998 insoweit aufhob, als damit Rentenleistungen und eine Integritätsentschädigung zugesprochen worden waren, verbunden mit der Feststellung, dass der Versicherten aufgrund fehlenden Unfallereignisses keine Leistungen aus der Unfallversicherung zustünden, die Rentenleistungen per 31. August 2007 eingestellt würden, jedoch auf eine Rückforderung der bisher ausbezahlten Renten und der Integritätsentschädigung von Fr. 16'320.- verzichtet werde. Diesen Entscheid stellte sie dem Rechtsvertreter und mit separatem Schreiben auch Z._ zu. B. Die mittlerweile durch Rechtsanwalt Peter vertretene Z._ liess dagegen Beschwerde einreichen, welche das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Januar 2008 in dem Sinne guthiess, dass es den angefochtenen Einspracheentscheid vom 22. August 2007 aufhob und die Sache an die Zürich zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Einsprache vom 17. Februar 1998 (mit Ergänzung vom 23. April 1998) neu entscheide. C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids; eventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses über die Frage des Vorliegens eines Unfalls oder einer unfallähnlichen Körperschädigung befinde. Z._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Überdies reicht sie ein Schreiben vom Januar 2008 ein, aus welchem hervorgeht, dass Rechtsvertreter K._ seinen Verpflichtungen aus gesundheitlichen Gründen seit längerem nicht mehr nachkommen könne. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.