Sachverhalt: A. Die A._ SA (Klägerin; Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach Art. 620 ff. OR mit Sitz in Freiburg. Sie bezweckt unter anderem die Beteiligung an Unternehmen im Pflege- und Gesundheitsbereich. Die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) ist ebenfalls eine Aktiengesellschaft nach Art. 620 ff. OR mit Sitz in Zürich. Sie bietet ihren Kunden vielfältige Kommunikationsdienstleistungen an. Namentlich unterstützt und betreut sie Unternehmen, die in der Öffentlichkeit stehen, darunter auch börsenkotierte Gesellschaften, bei ihren externen und internen Kommunikationsbedürfnissen. An der Generalversammlung der A._ SA vom 9. Juni 2010 wurden drei der sechs Verwaltungsräte, nämlich C._, D._ sowie E._, als Verwaltungsräte nicht wiedergewählt, und angestrebte Neuwahlen von Verwaltungsratsmitgliedern kamen nicht zustande. Nach dem Rücktritt von F._ aus dem Verwaltungsrat anlässlich der Sitzung vom 15. Juni 2010 setzte sich dieser nur noch aus den kollektivzeichnungsberechtigten Verwaltungsräten G._ und H._ zusammen. An der ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 wurden sieben zusätzliche Personen in den Verwaltungsrat gewählt, darunter die drei am 9. Juni 2010 abgewählten Verwaltungsräte. Zwischen dem 9. Juni und dem 9. September 2010 verfügte die Klägerin über keine genügenden internen Ressourcen, um die Öffentlichkeitsarbeit eigenständig wahrnehmen zu können. Zur Unterstützung der internen und externen Unternehmenskommunikation war sie daher darauf angewiesen, eine professionelle externe Dienstleistungsanbieterin beizuziehen. Am 14. Juli 2010 unterzeichneten die verbliebenen zwei Verwaltungsräte G._ und H._ für die Klägerin einen Zusammenarbeitsvertrag mit der Beklagten, in dem diese sich verpflichtete, die Klägerin in sämtlichen Belangen der externen und internen Kommunikation zu unterstützen. Im Vertrag wurden die wesentlichen Konditionen der Kommunikationsberatungstätigkeit der Beklagten geregelt und festgehalten, dass die Zusammenarbeit bereits am 9. Juni 2010 begonnen hatte. Gestützt auf diesen Vertrag liess die Beklagte der Klägerin für im Zeitraum vom 1. Juli bis 6. September 2010 erbrachte Leistungen drei Honorarrechnungen im Gesamtbetrag von Fr. 195'862.85 zukommen. Am 3. September 2010 unterzeichneten G._ und H._ eine Schuldanerkennung, wonach die Beklagte basierend auf dem Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 für die Klägerin Leistungen im genannten Gesamtbetrag erbracht hat und die Klägerin anerkennt, "die drei Rechnungen" vom 2. und vom 31. August 2010 sowie vom 3. September 2010 "vorbehaltlos zu schulden". Mit Schreiben vom 9. September 2010 wurde der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 mit sofortiger Wirkung beendet. Mit Schreiben vom 5. Oktober 2010 erklärte die Klägerin sodann, dass sie die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 anfechte bzw. widerrufe. B. Mit Klage vom 9. August 2011 beantragte die Klägerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es sei festzustellen, dass die Forderungen in der Höhe von Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Dezember 2010, für die der Beklagten mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 im Verfahren KC11.014285 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen. Zur Begründung ihrer Klage machte sie geltend, ihr Verwaltungsrat sei im Zeitraum vom 15. Juni 2010 bis zum 6. September 2010 nicht statuten- und reglementskonform zusammengesetzt und daher nicht beschlussfähig gewesen. Mit Blick auf diesen, der Beklagten bekannten Organisationsmangel im Verwaltungsrat sei weder der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 noch die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 gültig zustandegekommen. Diese seien auch vom neu und statutenkonform bestellten Verwaltungsrat im Nachhinein nie genehmigt worden. Der Zusammenarbeitsvertrag und die Schuldanerkennung würden die Klägerin auch deshalb nicht binden, weil die Beklagte ihre Leistungen nicht im allgemeinen Gesellschaftsinteresse erbracht, sondern G._ und H._ bei ihren persönlichen Interessen um Machterhalt unterstützt habe. Sodann seien die von der Beklagten in den Rechnungen aufgeführten Leistungen nicht erbracht worden. Mit Beschluss vom 29. Januar 2014 trat das Handelsgericht auf das Ausstandsgesuch der Klägerin, das diese gegen Handelsrichter Alexander Pfeifer gerichtet hatte, nicht ein. Das Gesuch sei verspätet gestellt worden, womit das Ablehnungsrecht verwirkt sei. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Handelsgericht die Klage ab. Zudem hielt es fest, die mit Verfügung des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 in der Betreibung Nr. xxx des Office des poursuites du district de Nyon (Zahlungsbefehl vom 28. März 2011) erteilte provisorische Rechtsöffnung für Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Dezember 2010, sei damit definitiv. C. Die Klägerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss sowie das Urteil des Handelsgerichts vom 29. Januar 2014 aufzuheben. Die Aberkennungsklage sei gutzuheissen. Es sei festzustellen, dass die Forderungen in der Höhe von Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Februar 2010, für die der Beschwerdegegnerin mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 im Verfahren KC11.014285 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.