Sachverhalt: A. Am 7. November 2013 führte X._, vertreten durch Rechtsanwalt A._, Beschwerde gegen zwei Verfügungen des Betreibungsamts Thal-Gäu vom 23. Oktober 2013 (betreffend Herabsetzung des Mietzinses und pfändbare Quote). Er verlangte deren Aufhebung und die Festsetzung der pfändbaren Quote auf Fr. 580.-- pro Monat. Später änderte er dieses Begehren ab und verlangte die Feststellung, dass keine pfändbare Quote bestehe. Zudem ersuchte er darum, ihm Rechtsanwalt A._ als unentgeltlichen Rechtsvertreter beizuordnen. Mit Urteil vom 10. Februar 2014 hiess die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn die Beschwerde teilweise gut und hob die Verfügung vom 23. Oktober 2013 betreffend Mietzinsherabsetzung auf (Ziff. 1). Im Übrigen trat die Behörde auf die Beschwerde nicht ein (Ziff. 2). Sie erhob keine Kosten (Ziff. 3) und wies das Gesuch um Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands ab (Ziff. 4). Die Aufsichtsbehörde sprach keine Parteientschädigung (Ziff. 5). Das Betreibungsamt wurde angewiesen, die Lohnpfändung umgehend zu revidieren und das Ergebnis der Aufsichtsbehörde mitzuteilen (Ziff. 6). B. Am 20. Februar 2014 hat X._ (Beschwerdeführer), nunmehr ohne anwaltliche Vertretung, Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt, ihm sei für das Verfahren vor der Aufsichtsbehörde die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. Die Angelegenheit sei zur Festlegung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters an die Aufsichtsbehörde zurückzuweisen. Zudem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Am 26. Februar 2014 hat der Beschwerdeführer seine Beschwerde ergänzt. Er ficht damit zusätzlich Ziff. 2 des Urteils vom 10. Februar 2013 an und verlangt, bei der Existenzminimumsberechnung auch die Steuern und die Amortisation eines Kredits zu berücksichtigen. Die Aufsichtsbehörde beantragt die Abweisung der Beschwerde. Am 27. März 2014 hat der Beschwerdeführer mitgeteilt, er habe sich mit der Aufsichtsbehörde über diejenigen Punkte geeinigt, die Gegenstand der Beschwerdeergänzung bilden.