Sachverhalt: A. Die aus Gambia stammende X._ (geb. 1977) heiratete im Februar 1999 in Afrika den Schweizer Bürger Y._ (geb. 1962). Ein erstes Gesuch um Nachzug der Ehefrau in die Schweiz wurde abgelehnt, weil der Ehemann eine längere Gefängnisstrafe zu verbüssen hatte. Später wurde ein zweites Gesuch bewilligt, worauf X._ im März 2003 einreiste. Am 17. April 2003 gebar sie den Sohn A._. Am 10. Mai 2005 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt das Getrenntleben der Eheleute X._-Y._. Ausserdem erkannte es am 16. März 2006 auf Antrag des Ehemannes dessen Vaterschaft zu A._ ab. Am 28. März 2007 brachte X._ in der Schweiz die Tochter B._ zur Welt. Den Antrag von X._ vom 16. Dezember 2005 um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt am 29. Oktober 2007 ab. Die von ihr dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. B. Mit Beschwerde vom 4. Mai 2009 beantragt X._ dem Bundesgericht, das in dieser Sache kantonal letztinstanzlich gefällte Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. Januar 2009 sowie den vorausgegangenen Entscheid des kantonalen Sicherheitsdepartements vom 22. September 2008 aufzuheben; ihr sowie ihrem Sohn A._ sei die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventualiter seien die Entscheide "vorläufig aufzuheben zwecks weiterer Abklärungen und der Beschwerdeführerin und ihrem Sohn A._ eine befristete Aufenthaltsbewilligung bis zum Abschluss des Verfahrens auszustellen". Mit Eingabe vom 7. Mai 2009 reichte X._ ein Schreiben vom 6. Mai 2009 der Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Kantons Basel-Stadt nach. C. Wegen eines von X._ beim kantonalen Migrationsamt gestellten Wiedererwägungsgesuchs sistierte der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 28. Mai 2009 das Verfahren. In der Folge trat das kantonale Migrationsamt auf das Wiedererwägungsgesuch nicht ein, worauf das Bundesgericht am 23. September 2009 das Verfahren wieder aufnahm. D. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Migrationsamt hat sich nur zur Sistierung geäussert, jedoch nicht zur Sache selbst.