Sachverhalt: A. A._ wurde 1965 geboren. Am 12. März 2012 wies ihn sein Hausarzt wegen eines Herzproblems in das Spital Schwyz ein. Am 22. März 2012 wurde er in eine Privatklinik in Zürich verlegt. Am Tag darauf wurde er am Herzen operiert. Am 1. April 2012 konnte er die Klinik verlassen. In der Folge wurde festgestellt, dass A._ nebst dem Herzproblem eine Hirnblutung erlitten hatte. Er leidet deshalb an leichten bis mittelschweren neuropsychologischen Defiziten mit einer deutlich verminderten mentalen Belastbarkeit. Am 25. September 2012 ersuchte A._ um Kostengutsprache für längerfristige Hilfe Dritter (Übernahme von Anwaltskosten) nach dem Bundesgesetz vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5). Am 23. Juli 2013 wies das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz (im Folgenden: Amt) das Gesuch ab. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz (Kammer III) am 27. November 2013 ab. B. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Es seien ihm mit Wirkung ab dem 25. Juni 2012 Beiträge für die Anwalts- und Verfahrenskosten im Sinne der Gewährung längerfristiger Hilfe Dritter nach Art. 14 OHG zuzusprechen. C. Das Verwaltungsgericht und das Amt haben je Gegenbemerkungen eingereicht. Sie beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Justiz hat auf Vernehmlassung verzichtet. A._ hat eine Replik eingereicht.