Sachverhalt: A. Durch Urteil des Familienrichters am Bezirksgericht B._ vom 18. Januar 2001 wurde die Ehe von Z._ und X._ geschieden und wurden die beiden gemeinsamen Kinder S._, geboren 1997, und T._, geboren 1999, unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Gleichzeitig wurde eine Vereinbarung über die Nebenfolgen richterlich genehmigt, wonach Z._ das Recht zustand, die beiden Kinder bis Ende 2002 jeweils am ersten Wochenende und ab Januar 2003 jeweils am ersten und am dritten Wochenende jeden Monats zu sich auf Besuch zu nehmen und ausserdem mit beiden jährlich 14 Tage Ferien zu verbringen. Am 11. Juli 2001 erstattete X._ gegen Z._ Anzeige wegen angeblicher sexueller Übergriffe gegenüber der Tochter S._. Während des hierauf gegen ihn eingeleiteten Strafverfahrens verzichtete Z._ freiwillig auf das Besuchsrecht. Mit Urteilen vom 23. April 2004 und vom 23. November 2005 wurde er durch das Kreisgericht K._ bzw. durch das Kantonsgericht von der Anklage mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind und der Schändung freigesprochen. B. Mit Eingabe vom 2. Juni 2006 reichte X._ bei der Vormundschaftsbehörde von A._ das Begehren ein, das Z._ gemäss Scheidungsurteil zustehende Besuchsrecht gegenüber den beiden Kindern sei aufzuheben. Am 5. September 2007 beschloss die Vormundschaftskommission A._, das im Scheidungsurteil genehmigte Besuchs- und Ferienrecht werde aufgehoben und Z._ werde für die nächsten zwölf Monate ein begleitetes Besuchsrecht zugesprochen; die Besuche würden jeden Monat einmal, abwechselnd an einem Sonntag- bzw. an einem Samstagnachmittag, während jeweils längstens vier Stunden und unter fachlicher Begleitung in einem institutionellen Rahmen stattfinden. Gleichzeitig wurde für die beiden Kinder eine Besuchsrechtsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 und 3 ZGB angeordnet und Amtsvormund Y._ als Beistand eingesetzt. Diesem wurde aufgegeben, die weiteren Kontaktmodalitäten festzulegen, die Kontakte zu überwachen und spätestens vor Ablauf von sechs Monaten sowie vor Ablauf der Jahresfrist Bericht zu erstatten und Antrag zu stellen. X._ gelangte an den Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserhoden, der die Beschwerde am 1. April 2008 abwies. Mit Urteil vom 17. Dezember 2008 wies das Verwaltungsgericht (2. Abteilung) von Appenzell Ausserhoden seinerseits die von X._ erhobene Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Februar 2009 beantragt X._, das verwaltungsgerichtliche Urteil - mit Ausnahme der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - und das Z._ (Beschwerdegegner) gemäss Scheidungsurteil vom 18. Januar 2001 zustehende Besuchsrecht aufzuheben. Ausserdem ersucht sie darum, ihr auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.