Sachverhalt: A. A.a X._ (vormals Y._) ist seit 1976 Eigentümerin des Grundstücks Kat.-Nr. xxx, GBBl. yyy, mit dem Haus B._ in Zürich. Zu Lasten dieser Liegenschaft und zu Gunsten der Stadt Zürich ist seit dem 24. November 1909 folgende als "Quartierservitut" bezeichnete Dienstbarkeit im Grundbuch eingetragen: "Es dürfen keine Fabriken angelegt und keine geräuschvollen, die Luft verunreinigenden, unsittlichen oder feuergefährlichen Gewerbe betrieben werden. Ebenso ist die Anlage von Werkplätzen für Steinhauer, Zimmerleute etc. und die Ausübung von Droschken- und Fuhrhaltereigeschäften nicht gestattet." A.b Durch eine Mieterin wird seit dem 8. September 1995 im ersten und seit etwa Mitte 1999 auch im zweiten Obergeschoss des Hauses B._ unter dem Namen "D._" ein Sexsalon betrieben. Das von der Salon-Inhaberin erst nachträglich eingereichte Gesuch um Erteilung der baurechtlichen Bewilligung der Nutzungsänderung wurde von der Bausektion der Stadt Zürich am 19. Juli 2000 abgewiesen. Die anschliessenden verwaltungsrechtlichen Rechtsmittelverfahren führten am 5. Mai 2003 zu einem Urteil der I. Öffentlichrechtliche Abteilung des Bundesgerichts (1P.771/2001 und 1P.773/2001), worin die von Y._ (X._) und der Mieterin erhobenen staatsrechtlichen Beschwerden teilweise gutgeheissen wurden. Mit Entscheid vom 18. Februar 2004 stellte die Bausektion der Stadt Zürich in der Folge fest, dass das Bordell im ersten Obergeschoss zulässig und nur im zweiten Obergeschoss aufzuheben sei. B. Mit Eingabe vom 12. August 2004 reichte die Stadt Zürich beim Bezirksgericht Zürich gegen X._ Klage ein und beantragte, der Beklagten unter Androhung von Ordnungsbusse oder Bestrafung wegen Ungehorsams gemäss Art. 292 StGB zu verbieten, in der Liegenschaft B._ sexgewerbliche Dienstleistungen anzubieten oder zu dulden. Die Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und erhob Widerklage mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die zu Gunsten der Klägerin und zu Lasten ihres Grundstücks im Grundbuch eingetragene Personaldienstbarkeit "Quartierbestimmungen betr. Gewerbebeschränkungen z.G. Stadt Zürich" für die Klägerin alles Interesse verloren habe, und das zuständige Grundbuchamt sei anzuweisen, den entsprechenden Eintrag zu löschen; allenfalls sei festzustellen, dass das Verbot, ein unsittliches Gewerbe zu betreiben, ungerechtfertigt sei, und das Grundbuchamt anzuweisen, die eingetragene Dienstbarkeit entsprechend abzuändern. Das Bezirksgericht hiess die Klage am 18. Januar 2006 gut und wies die Widerklage ab. In Abweisung einer Berufung der Beklagten bestätigte das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich diesen Entscheid mit Urteil vom 22. Dezember 2006. C. Mit Eingabe vom 15. Februar 2007 hat die Beklagte eidgenössische Berufung erhoben. Sie beantragt, in entsprechender Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids die Klage abzuweisen und die Widerklage gutzuheissen. Ferner seien die Kosten- und Entschädigungsfolgen für alle drei Instanzen zu Lasten der Klägerin zu regeln. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden. D. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hat am 15. Oktober 2007 beschlossen, dass auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, die die Beklagte gegen das obergerichtliche Urteil ebenfalls eingereicht hatte, nicht eingetreten werde.