Sachverhalt: A. Am 23. Dezember 2002 erhob die Helsana Versicherungen AG (nachstehend: Helsana) beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen den Kanton Zürich mit dem Rechtsbegehren: Es sei der Beklagte zu verpflichten, der Klägerin einen vom Gericht zu beziffernden Geldbetrag zu bezahlen. Im Weitern stellte die Helsana folgenden Verfahrensantrag: Es sei das Verfahren für 18 Monate zu sistieren. Eventualiter sei die Klage von Amtes wegen an das zuständige Gericht weiterzuleiten und im Sinne der vorerwähnten Begehren weiterzubehandeln. Subeventualiter sei die Klage an die zuständige kantonale Stelle zwecks Erlass einer verwirkungsfristwahrenden und beschwerdefähigen Verfügung betreffend den geltend gemachten Rückforderungsanspruch weiterzuleiten. In der Begründung führte der Krankenversicherer u.a. aus, er habe bis Anfang 2002 sämtliche Rechnungen betreffend medizinisch indizierte ausserkantonale ambulante Behandlungen vollumfänglich bezahlt. Mit zwei Urteilen vom 21. Dezember 2001 (K 203/98 und K 204/98) habe das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass die Kantone bei medizinisch bedingten ausserkantonalen ambulanten Behandlungen in öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern grundsätzlich eine Differenzzahlungspflicht nach Art. 41 Abs. 3 KVG treffe, wenn und soweit die in Rechnung gestellten Kosten höher seien als die Tarife des Standortkantons. In Anbetracht dieser Entscheide stelle sich für die Klägerin das Problem der Rückforderung des jeweils vorgeleisteten Tarifdifferenzbetrages, welcher durch den Wohnkanton hätte bezahlt werden müssen. Mit Beschluss vom 14. Januar 2003 trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ohne Anhörung der Gegenpartei auf die Klage nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Im Weitern ordnete es an, die Sache werde nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids an die Direktion des Gesundheitswesens des Kantons Zürich überwiesen zur Entgegennahme als Begehren um Erlass einer anfechtbaren Verfügung (Dispositiv-Ziffer 2). B. Die Helsana erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich sei zu verpflichten, auf die Eingabe vom 23. Dezember 2002 einzutreten. Der Kanton Zürich, vertreten durch die Gesundheitsdirektion, beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung als Aufsichtsbehörde (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit) reicht keine Vernehmlassung ein.