Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2012 erstattete A._ gegen den für Schlieren zuständigen Stadtammann und Betreibungsbeamten B._, gegen den Kantonspolizisten C._ und gegen die für die Region Schlieren zuständige Pikett- bzw. Notfallärztin D._ Strafanzeige wegen "Amtsmissbrauchs, Amtswillkür sowie Korruption". Mit Eingabe vom 29. Oktober 2012 erstattete A._ Strafanzeige gegen die bei der Stadt Schlieren angestellten Polizisten E._ und F._ wegen eines "unverhältnismässigen groben Übergriffs bei Personenkontrolle" bzw. wegen Amtsmissbrauchs. Mit (separater) Eingabe vom 29. Oktober 2012 erstattete A._ zudem Strafanzeige gegen die Kantonspolizisten G._ und H._ wegen "Amtswillkür und Korruption". Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 27. November 2013 das bei ihr hängige Verfahren an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Mit Beschluss vom 13. Februar 2014 erteilte das Obergericht der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. B. A._ führt mit Eingabe vom 19. März 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und der Staatsanwaltschaft sei die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. B._ beantragt in der Hauptsache, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Die übrigen Beschwerdegegner haben sich nicht vernehmen lassen. Die Eingaben wurden A._ zur Kenntnisnahme zugestellt.