Sachverhalt: A. Am 18. Juli 2013 reichte die Bank X._ AG beim Betreibungsamt Liestal je ein Betreibungsbegehren auf Pfandverwertung gegen A._ und gegen B._ für Fr. 287'000.-- ein. Als Pfandgegenstand wurde der Inhaber-Papier-Schuldbrief vom 9. Juli 2007 über Fr. 308'000.-- lastend als Gesamtpfand auf den Grundstücken Nr. xxx und Nr. yyy in C._ bezeichnet. A._ ist verheiratet mit D._ und Alleineigentümerin der belasteten Grundstücke, wobei das erstgenannte Grundstück als Familienwohnung dient. B. B.a. Das Betreibungsamt stellte A._ in ihrer Eigenschaft als Betriebene und Pfandstellerin - entsprechend dem Betreibungsbegehren - sowie ihrem Ehemann einen Zahlungsbefehl zu. Es wurde kein Rechtsvorschlag erhoben. B.b. B._ erhielt als Betriebener unter der selben Verfahrensnummer ebenfalls einen Zahlungsbefehl, auf welchem A._ als Dritteigentümerin des Pfandes aufgeführt wurde. Dagegen setzte sich die Bank zur Wehr und verlangte vom Betreibungsamt, B._ in einem eigenen Verfahren einen Zahlungsbefehl als Betriebener zuzustellen und A._ als Dritteigentümerin zu bezeichnen. Das Betreibungsamt wies die Bank am 27. September 2013 darauf hin, dass B._ nicht als Eigentümer des Pfandobjektes im Grundbuch eingetragen sei und ihr gegenüber lediglich solidarisch hafte. Der entsprechende Zahlungsbefehl an B._ werde daher von Amtes wegen aufgehoben. Zudem wies das Betreibungsamt auf die Möglichkeit hin, gegen B._ eine ordentliche Betreibung einzuleiten, allenfalls auch gegen ihn und gegen A._ als Solidarschuldner. B.c. Die Bank bestand gemäss Schreiben vom 10. Oktober 2013 auf ihrem ursprünglichen Betreibungsbegehren gegen B._, welchem das Betreibungsamt (wie bereits zuvor in Aussicht gestellt) am 22. Oktober 2013 keine Folge leistete. C. Gegen diese Mitteilung erhob die Bank am 30. Oktober 2013 Beschwerde an die Aufsichtsbehörde Schuldbetreibung und Konkurs Basel-Landschaft. Sie bestand auf der Anweisung an das Betreibungsamt, ihrem Betreibungsbegehren vom 18. Juli 2013 Folge zu leisten und B._ einen Zahlungsbefehl auf Verwertung des Pfandes und A._ einen solchen als Dritteigentümerin zuzustellen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2013 trat die Aufsichtsbehörde auf die Beschwerde nicht ein. D. Die Bank X._ AG ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. Januar 2014 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und erneuert ihre im kantonalen Verfahren gestellten Begehren. Die Aufsichtsbehörde hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen.