Sachverhalt: A. S._ errichtete mit Testament vom 13. März 2003 eine Stiftung im Sinne der Art. 80 ff. ZGB unter dem Namen "S._ Stiftung" (im Folgenden: Stiftung oder S._ Stiftung) mit Sitz in Zürich (Ziff. I). Er widmete seinen gesamten Liegenschaftsbesitz in der Schweiz, zum Teil in Gestalt von Beteiligungen an Aktiengesellschaften als Stiftungsvermögen (Ziff. II) und legte den Zweck und die Organisation der Stiftung wie folgt fest: III. Zweck der Stiftung ist: Die Verwaltung und der weitere Ausbau der in Ziffer II genannten Investment-Gesellschaften mit dem Ziele: Den Nachkommen meiner Schwester A._, gestorben am 1.11.2001 insbesondere dem psychisch kranken und nicht zu einer Erwerbstätigkeit fähigem Sohn s. Enkel B._ als auch dem Sohn C._ und der Tochter D._ sowie Frau E._ und deren Tochter F._ sowie deren allfälligen Nachkommen bei Erwerbsunfähigkeit durch Krankheit, Unfall, Invalidität, Arbeitslosigkeit etc., ein angemessenes Auskommen zu sichern. Nach Prüfung aller Voraussetzungen kann vom Stiftungsrat Beihilfe zum Existenzaufbau, Studium, Schulung etc., gewährt werden. Nach Prüfung aller Voraussetzungen kann vom Stiftungsrat Beihilfe zum Existenzaufbau, Studium, Schulung etc., gewährt werden. IV. Die Stiftungsorgane sind der Stiftungsrat und die Kontrollstelle. Der Stiftungsrat setzt sich zusammen aus 3 Mitgliedern, und zwar aus zwei ständigen und einem nichtständigen Mitgliede. Als ständige Stiftungsmitglieder gehören den Stiftungsrat an 1. G._. 2. H._. Als nichtständiges Mitglied des Stiftungsrates wird bestimmt: I._. Die Amtszeit der ständigen Stiftungsräte ist unbefristet. Der nichtständige Stiftungsrat wird alle zwei Jahre durch die ständigen Stiftungsräte bestimmt. Sofern ein ständiger oder nichtständiger Stiftungsrat aus irgend einem Grund sein Mandat niederlegt, stirbt oder sonstwie handlungsunfähig wird, bestimmen die übrigen ständigen oder nicht ständigen Stiftungsräte seinen Nachfolger. V. Der Stiftungsrat ist mit der Verwaltung, dem weiteren Aufbau der Investmentfirmen und der Verwaltung des Stiftungsvermögens beauftragt. Er kann die Verwaltung durch eines seiner Mitglieder oder durch Drittpersonen ausüben lassen. Insolange als der Stiftungsrat G._ dem Stiftungsrat angehört, soll die Verwaltung der Liegenschaften in seinen Händen bleiben. Für diese Sonderbestimmung steht ihm eine besondere Vergütung gemäss Üblichkeit (Z[üri]ch) zu. Der Stiftungsrat ist ermächtigt ... [Aufstellung von Reglementen] Der Stiftungsrat ist ermächtigt ... [Aufstellung von Reglementen] VI. Der Stiftungsrat ... [Einzelne Pflichten und Befugnisse sowie Anlagevorschriften] Der Stifter mit Jahrgang 1912 starb am 2. Januar 2004. B. Die drei testamentarisch bestimmten Stiftungsräte traten am 3. Mai 2004 zusammen und wählten G._ (fortan: Beschwerdeführer) zum Präsidenten. Der ständige Stiftungsrat H._ erklärte am 30. Juli 2004 seinen sofortigen Rücktritt. An Stiftungsratssitzungen vom 2. und 3. Januar 2006 wurden in Abwesenheit von I._ die Ehefrau des Beschwerdeführers zum ständigen Mitglied des Stiftungsrats und K._ an Stelle von I._ zum nicht ständigen Mitglied des Stiftungsrats gewählt und beschlossen, die Stiftung beim Handelsregister anzumelden. Der abgewählte Stiftungsrat I._ focht die Beschlüsse gerichtlich an. Das Bezirksgericht Zürich hiess die Klage gut. Es wies das Handelsregister an, die Stiftung zu löschen, hob die Wahlen in den Stiftungsrat auf und stellte fest, dass I._ Stiftungsrat sei. Rechtsmittel dagegen blieben erfolglos. Zuletzt wies die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts eine Beschwerde der Stiftung ab (Urteil 5A_602/2008 vom 25. November 2008). An Stiftungsratssitzungen vom 5. und 9. März 2009 wurden die Ehefrau des Beschwerdeführers zum ständigen Mitglied des Stiftungsrats und L._ an Stelle von I._ zum nicht ständigen Mitglied des Stiftungsrats gewählt. Am 16. Juni 2009 wählte der Stiftungsrat ein neues nicht ständiges Mitglied und beschloss, die Stiftung im Handelsregister eintragen zu lassen. C. M._ (hiernach: Beschwerdegegnerin) erhob am 15. Februar 2006 Klage gegen die Stiftung und gegen den Beschwerdeführer mit dem Hauptantrag, den Beschwerdeführer als Stiftungsrat abzuberufen. Sie stellte gleichzeitig ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, das am 13. April 2006 abgewiesen wurde. Mit Replik vom 9. Februar 2009 erneuerte die Beschwerdegegnerin ihr Gesuch und beantragte, den Beschwerdeführer in seiner Funktion als Stiftungsrat für die Dauer des Verfahrens zu suspendieren und in all seinen Funktionen für die Stiftung einzustellen, eventualiter der Stiftung einen Sachwalter zu bestellen. Das Bezirksgericht Zürich traf mehrere Beschlüsse zum Verfahren. Es trat auf die Widerklage des Beschwerdeführers betreffend Ehrverletzung nicht ein (Erstbeschluss vom 25. Juni 2009). Es liess I._ als Nebenintervenienten zu (Dispositiv-Ziff. 1), suspendierte den gesamten Stiftungsrat (Dispositiv-Ziff. 2) und bestellte der Stiftung in der Person von Rechtsanwalt Dr. Hans Maurer einen Sachwalter und legte dessen Befugnisse fest (Dispositiv-Ziff. 3 und 4 des Zweitbeschlusses vom 25. Juni 2009 mit einer Berichtigung vom 8. Juli 2009). D. Gegen die Beschlüsse des Bezirksgerichts rekurrierten die Stiftung und der Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Zürich. Auf Antrag der Beschwerdegegnerin hin entzog der zuständige Kammerpräsident dem Rekurs gegen Dispositiv-Ziff. 2 bis 4 des Zweitbeschlusses die aufschiebende Wirkung (Verfügung vom 27. Oktober 2009). Die dagegen erhobene Einsprache wies das Obergericht ab (Beschlüsse vom 26. November und vom 3. Dezember 2009). Auf die anschliessende Beschwerde trat die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts nicht ein (Urteil 5A_33/2010 vom 29. Januar 2010). Am 12. Februar 2010 zog die Stiftung - vertreten durch den Sachwalter - ihren Rekurs zurück. Das Rekursverfahren wurde ihr gegenüber als durch Rückzug erledigt abgeschrieben (Dispositiv-Ziff. 1 des Beschlusses vom 20. April 2010). Das Obergericht wies den Rekurs des Beschwerdeführers gegen die Dispositiv-Ziff. 2 bis 4 des bezirksgerichtlichen Zweitbeschlusses ab. Im Übrigen wurde der Rekurs gegen beide Beschlüsse des Bezirksgerichts abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (Dispositiv-Ziff. 2 und 3 des Beschlusses vom 20. April 2010). E. Der Beschwerdeführer hat für die Stiftung und für sich am 21. Mai 2010 beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Er beantragt, den Beschluss vom 20. April 2010 aufzuheben und festzustellen, dass die S._ Stiftung keine Familienstiftung sei. Deren Sachwalter hat mitgeteilt, die Stiftung habe keine Beschwerde erhoben und der Beschwerdeführer sei nicht ermächtigt, im Namen der Stiftung eine Beschwerde zu erheben. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses gegenüber der Stiftung widerrufen, den Entscheid über die gültige Beschwerdeerhebung aber dem bundesgerichtlichen Urteil vorbehalten (Einschreibebrief vom 3. Juni 2010). Der Beschwerdeführer hat den Kostenvorschuss rechtzeitig geleistet. In der Sache sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.