Sachverhalt: A. Die Emissionszentrale der Schweizer Gemeinden mit Sitz in Bern (Klägerin und Beschwerdegegnerin) ist eine Genossenschaft gemäss Art. 838 ff. OR. Sie wurde am 15. Oktober 1971 als Selbsthilfeorganisation der Schweizer Gemeinden gegründet und bezweckt die Beschaffung von Geldern für ihre Mitglieder, insbesondere durch Ausgabe von Obligationenanleihen in eigenem Namen, aber im Auftrag und auf Rechnung der Mitglieder. Die Munizipalgemeinde Fiesch (Beklagte und Beschwerdeführerin) ist Genossenschafterin der Beschwerdegegnerin. Sie beteiligte sich mit Fr. 2'000'000.-- an einer Obligationenanleihe Serie 63/1993 vom April 1993, deren Gesamtsumme Fr. 232'400'000.-- betrug. Nach Ziffer 5 des Vertrags vom 19./22. April 1993 über die Ausgabe der Obligationenanleihe zwischen der Beschwerdegegnerin und verschiedenen Gemeinden (im Folgenden: Anleihensvertrag) haften die einzelnen Gemeinden für den Ausfall einer anderen Gemeinde nicht solidarisch, sondern im Verhältnis zu den Quoten, mit denen sie sich an der Anleihe beteiligen. Die Munizipalgemeinde Leukerbad war mit Fr. 10'000'000.-- an der Anleihe Serie 63/1993 beteiligt. Ihre Zahlungsunfähigkeit führte zu einem Ausfall von Fr. 12'538'611.-- (Fr. 10'000'000.-- plus Zins bis zur Endfälligkeit). Nach Abzug eines Solidaritätsbeitrags der an der Anleihe beteiligten Gemeinden von insgesamt Fr. 760'000.-- (wovon der Beschwerdeführerin Fr. 65'000.-- angerechnet wurden) sowie einer Zahlung der Munizipalgemeinde Leukerbad von Fr. 2'359'652.75 beträgt der Ausfall noch Fr. 9'418'958.25. Die Beschwerdegegnerin stellte der Beschwerdeführerin für den quotenmässigen Betrag dieses Ausfalls Rechnung in Höhe von Fr. 20'954.20 (Fr. 84'702.85 zuzüglich Zins von Fr. 1'251.35 abzüglich Solidaritätsbeitrag von Fr. 65'000.--). Nach erfolgloser Mahnung leitete die Beschwerdegegnerin die Betreibung ein, worauf die Beschwerdeführerin Recht vorschlug. Mit Schreiben vom 10. November 2004 leitete die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Schiedsklausel in Ziffer 10 des Anleihensvertrags das Schiedsverfahren ein. Sie stellte das Begehren, die Beschwerdeführerin sei zu verurteilen, ihr einen Betrag von Fr. 20'954.20 nebst Zins zu 7 % seit dem 9. Februar 2004 sowie einen Betrag von Fr. 1'250.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 2. September 2004 (Ersatz für Inkasso-Auslagen) zu bezahlen. In ihrer Klageantwort beantragte die Beschwerdeführerin, die Klage sei abzuweisen (Ziffer 1) und es sei festzustellen, dass die Munizipalgemeinden Fiesch, Ernen, Oberwald, Raron, Steg, Täsch und Wiler der Beschwerdegegnerin aus der Quotenbürgschaft für die Gemeinde Leukerbad in den Emissionsanleihen 63/1993 und 73/1996 nichts schulden (Ziffer 2). B. Mit Urteil vom 12. Januar 2006 verpflichtete das Schiedsgericht die Beschwerdeführerin in Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 20'954.20 nebst Zins zu 7 % seit dem 9. Februar 2004 sowie einen Betrag von Fr. 1'250.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 7. September 2004 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1). Auf das beklagtische Rechtsbegehren 2 der Klageantwort wurde weiterhin nicht eingetreten (Dispositiv-Ziffer 2). Die Schiedsgerichtskosten wurden separat abgerechnet (Dispositiv-Ziffer 3); sie betrugen schliesslich Fr. 141'600.--. Die Kosten wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt (Dispositiv-Ziffer 4). Zur Begründung führte das Schiedsgericht aus, die Voraussetzungen für das Feststellungsbegehren in der Klageantwort der Beschwerdeführerin fehlten, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Den Anspruch auf Sicherstellung der Beschwerdegegnerin gegenüber der Beschwerdeführerin nach dem Anleihensvertrag qualifizierte das Schiedsgericht als Garantie, nachdem es den Parteien mit Beschluss vom 13. Juli 2006 diese rechtliche Beurteilung in Aussicht gestellt und sie dazu angehört hatte. Das Schiedsgericht hielt fest, dass Einreden und Einwendungen aus dem Hauptverhältnis gegenüber der selbständigen Garantie unzulässig seien und lehnte die Verrechnung mit Verantwortlichkeitsansprüchen gegen die Organe der Beschwerdegegnerin mangels Gegenseitigkeit ab. C. Das Obergericht des Kantons Bern wies mit Entscheid vom 16. Mai 2007 eine Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin gegen das Schiedsurteil vom 12. Januar 2006 ab, soweit es darauf eintrat. Das Gericht verwarf insbesondere die Rüge gemäss Art. 36 lit. c KSG, das Schiedsgericht habe rechtswidrig von sich aus die Frage einer Garantie aufgeworfen. Das Gericht folgte sodann der Beschwerdeführerin nicht in der Ansicht, Art. 25 KSG sei durch die Verweigerung jeglicher Beweisaufnahme verletzt worden (Art. 36 lit. d KSG). Die Verletzung des Willkürverbotes im Sinne von Art. 36 lit. f KSG verneinte das Gericht in der Erwägung, die Parteistandpunkte seien entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin keineswegs identisch gewesen und ihren Ausführungen sei nicht zu entnehmen, welche Rechtsnormen willkürlich angewandt worden sein sollten. Das Obergericht verwarf schliesslich die Rüge, die Gerichtskosten von Fr. 141'000.-- (insbesondere diejenigen für die Gerichtsschreiberin in Höhe von Fr. 96'000.--) seien offensichtlich übersetzt im Sinn von Art. 36 lit. i KSG. D. Mit Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 ff. BGG) und mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) vom 22. Juni 2007 stellt die Beschwerdeführerin die Rechtsbegehren, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 16. Mai 2007 sei aufzuheben (Ziffer 1), das Schiedsurteil vom 12. Januar 2007 sei aufzuheben und die Schiedsklage der Emissionszentrale der Schweizer Gemeinden vom 22. Februar 2005 sei abzuweisen (Ziffer 2). Sie rügt die Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV in Bezug auf die Beurteilung ihrer Rüge der Verletzung von Art. 25 Abs. 1 lit. a KSG (Art. 36 lit. d KSG), die Verletzung von Art. 9 BV in Bezug auf ihre Rüge, der Schiedsspruch beruhe auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen (Art. 36 lit. f KSG), sowie die Verletzung von Art. 9 BV in Bezug auf die Anwendung von Art. 202 Abs. 2 ZPO BE. E. Die Beschwerdegegnerin stellt in der Antwort den Antrag, die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde seien abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht des Kantons Bern verzichtet mit Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf eine Stellungnahme.