Sachverhalt: A. X._ stammt aus Nigeria und wurde am 2. Juli 1963 geboren. Er reiste am 6. November 1995 unter Umgehung der Grenzkontrolle in die Schweiz ein, stellte unter falschem Namen vergeblich ein Asylgesuch und verliess die Schweiz. Am 2. Mai 1999 gelangte er wiederum illegal in die Schweiz, verheiratete sich am folgenden Tag mit der um 19 Jahre älteren Schweizerbürgerin Y._, die er ein halbes Jahr vorher in Mailand kennengelernt hatte, und erhielt daraufhin eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Am 24. Juni 2002 ersuchte X._ um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 14. März 2005 eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen unterschriftlich davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde oder die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG führen könne. Am 7. Dezember 2005 wurde X._ erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er die Bürgerrechte des Kantons Zürich und der Stadt Zürich sowie des Kantons Basel-Stadt und der Stadt Basel. Am 16. Februar 2006 stellte X._ beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzbegehren. Der zuständige Einzelrichter hielt in seiner Verfügung vom 16. Mai 2006 fest, dass die Parteien ab Ende Juli 2006 und weiterhin auf unbestimmte Zeit getrennt leben, und ordnete die Gütertrennung an. Die Ehe wurde schliesslich am 30. Oktober 2009 rechtskräftig geschieden. B. Das Bundesamt für Migration eröffnete am 26. August 2008 gegen X._ ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG. Mit Verfügung vom 30. November 2010 erklärte das Bundesamt die am 7. Dezember 2005 erfolgte erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 3. Januar 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesverwaltungsgericht wies mit Zwischenverfügung vom 28. Januar 2011 das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung ab und forderte den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- auf. Zur Begründung führte das Gericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde aufgrund der derzeitigen Aktenlage als aussichtslos zu bezeichnen sei. X._ führte dagegen beim Bundesgericht Beschwerde. Mit Urteil vom 17. März 2011 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG mangels hinreichender Begründung nicht ein (Verfahren 1C_85/2011). C. In der Folge setzte das Bundesverwaltungsgericht X._ am 11. April 2011 eine neue Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.--. Dieser wurde innert der gesetzten Frist geleistet. Nach Abschluss eines weitern Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht betreffend Ausstand (Zwischenverfügung vom 21. November 2011, Verfahren C-5128/2011) ersuchte X._ erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Er begründete das neue Ersuchen wiederum mit seiner prekären finanziellen Lage. Mit Zwischenverfügung vom 12. April 2012 wies die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts das erneute Gesuch ab. Zur Begründung führte sie aus, die aktuelle Eingabe von X._ vermöge an der Einschätzung der Aussichtslosigkeit der Begehren in der Hauptsache nichts zu ändern. X._ focht diesen Entscheid beim Bundesgericht an. Dieses wies die Beschwerde am 31. Oktober 2012 ab, soweit darauf einzutreten war (Verfahren 1C_243/2012). D. Mit Entscheid vom 18. Januar 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ in der Sache selbst ab. Es führte im Wesentlichen aus, die konkreten Umstände begründeten ohne weiteres eine tatsächliche Vermutung, dass im massgebenden Zeitraum (gemeinsame Erklärung und erleichterte Einbürgerung) keine stabile, auf die Zukunft gerichtete eheliche Gemeinschaft bestanden hatte. Es sei dem Beschwerdeführer nicht gelungen, die gegen ihn sprechende tatsächliche Vermutung überzeugend in Frage zu stellen. E. Gegen dieses Urteil hat X._ beim Bundesgericht am 27. Februar 2013 Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts, eventualiter die Rückweisung der Sache an dieses. Er weist in seiner Beschwerde im Wesentlichen darauf hin, dass er keine eheliche Spannungen im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung bzw. der Einbürgerung wahrgenommen habe und daher keine Täuschungsabsichten hatte und dass seine Ehe trotz des Altersunterschieds auf einem ausgewogenen Verhältnis der Eheleute gründete. Er verweist auf eine Reihe von bundesgerichtlichen Präjudizien. Im Übrigen ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.