Sachverhalt: A. X._ ist Eigentümerin des Grundstücks Kat.-Nr. 1 (vormals: Kat.-Nr. 2) an der Strasse S._ in A._. Das südlich an dieses grenzende, ebenfalls an der Strasse S._ gelegene Grundstück Kat.-Nr. 4, das früher zum Grundstück Kat.-Nr. 3 der Schulgemeinde A._ gehört hatte, steht im Eigentum von Y._ und Z._. Zugunsten und zulasten der Grundstücke Kat.-Nr. 1 und Kat.-Nr. 4 ist ein "unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht" (SP Art. 7) im Grundbuch eingetragen. B. Mit Eingabe vom 12. Oktober 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht D._ Klage gegen Y._ und Z._ und beantragte, es sei festzustellen, dass die Dienstbarkeit SP Art. 7 mit Bezug auf das berechtigte Grundstück Kat.-Nr. 4 und auf ihr belastetes Grundstück Kat.-Nr. 1 mit der Abtrennung des von Y._ und Z._ erworbenen Teils des Grundstücks Kat.-Nr. 3 der Schulgemeinde A._ erloschen sei, und das Grundbuchamt A._ sei anzuweisen, das Grundbuch entsprechend nachzuführen. Das Bezirksgericht D._ (I. Abteilung) und das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich wiesen die Klage durch Urteile vom 3. November 2006 bzw. vom 11. März 2008 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. April 2008 verlangt X._ die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die Gutheissung der im kantonalen Verfahren gestellten Klagebegehren; allenfalls sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht oder an das Obergericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Über die Beschwerde wurde im Rahmen einer öffentlichen Beratung entschieden.