Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. September 2001), hat sich ergeben: A.- I._ wurde 1954 geboren und ist türkischer Staatsangehöriger. Mit Anklageschrift vom 26. Juni 2001 wirft ihm die Staatsanwaltschaft vor, am Abend des 28. Juni 2000 mit einem Küchenmesser (Klingenlänge ca. 25 cm) mehrmals auf seine Ehefrau eingestochen und ihr dabei schwere Verletzungen im Bauch und an der Hand zugefügt zu haben. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Bestrafung von I._ wegen vollendeten Tötungsversuches im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB. I._ befindet sich seit dem 28. Juni 2000 in Haft. Am 20. Oktober 2000 und 11. April 2001 wies das Bundesgericht von I._ gegen die Untersuchungshaft erhobene staatsrechtliche Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat. Am 10. Juli 2001 ordnete der Präsident der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Sicherheitshaft an. Am 8. August 2001 ersuchte I._ um Aufhebung der Haft. Am 17. August 2001 gab der Präsident der Anklagekammer dem Gesuch keine Folge und überwies die Akten der Anklagekammer zum endgültigen Entscheid. Diese wies mit Beschluss vom 14. September 2001 das Haftentlassungsgesuch ab. B.- I._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, den Beschluss der Anklagekammer aufzuheben; er sei auf freien Fuss zu setzen. I._ rügt eine Verletzung von Art. 8, 9, 10 und 31 BV. C.- Die Anklagekammer hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. D.- I._ hat Bemerkungen zur Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft eingereicht.