Sachverhalt: A. AX._ ist türkische Staatsangehörige, wurde in Basel geboren, besuchte in Muttenz die Primarschule, absolvierte in Istanbul eine vierjährige Mittelschule und liess sich dort als Religionslehrerin ausbilden. Heute wohnt sie in Muttenz und übt eine freiwillige Tätigkeit als Religionslehrerin sowie Gelegenheitsarbeiten aus. Zusammen mit ihren Eltern (BX._ und CX._) und ihrem Bruder (DX._) stellte AX._ im Herbst 2002 in Muttenz ein Gesuch um Einbürgerung; das Gesuch der Mutter, CX._, ist später zurückgezogen worden. Die Zivilrechtsabteilung 1 der Justiz-, Polizei- und Militärdirektion des Kantons Basel-Landschaft führte mit der Gesuchstellerin am 19. Mai 2003 ein Gespräch, stellte deren Integration in Frage und forderte den Bürgerrat von Muttenz auf, das Eignungsgespräch zu führen. Der Bürgerrat führte dieses durch und befürwortete am 18. Juni 2003 die Einbürgerung. Daraufhin unterbreitete die Zivilrechtsabteilung 1 die Erhebungsberichte erneut dem Bürgerrat. Dieser bestätigte seine positive Haltung am 1. Oktober 2003. Darauf teilte die Direktion der Gesuchstellerin am 2. Dezember 2003 die kantonale Bewilligung für die Einbürgerung in Muttenz mit. Am 14. Mai 2004 entsprach die Bürgergemeindeversammlung dem Gesuch um Aufnahme in das Bürgerrecht von Muttenz und erteilte AX._ das Gemeindebürgerrecht. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES) erteilte die eidgenössische Einbürgerungsbewilligung am 28. Oktober 2004. B. Im Hinblick auf die Erteilung des Kantonsbürgerrechts beriet die Petitionskommission des Landrates des Kantons Basel-Landschaft die Einbürgerungsgesuche der Familie X._ einlässlich und beantragte dem Landrat, die Gesuche vorerst zurückzustellen, damit weitere Informationen eingeholt werden könnten. Der Landrat folgte diesem Antrag. Die Petitionskommission führte weitere Diskussionen. Ihr Präsident und eine Vertreterin der Zivilrechtsabteilung 1 hörten AX._ erneut an. Am 15. März 2005 beschloss die Petitionskommission mit knapper Mehrheit, dem Landrat die Ablehnung des Ersuchens von AX._ zu beantragen; die Mehrheit der Petitionskommission hegte in ihrem Bericht an den Landrat vom 22. März 2005 Zweifel an der Integration von AX._. Demgegenüber beantragte sie einstimmig die Gutheissung der Gesuche von BX._ und DX._. Der Landrat behandelte die Einbürgerungsgesuche an seiner Sitzung vom 7. April 2005. Der Vizepräsident der Petitionskommission erläuterte den Antrag der Kommission. Es fand eine ausführliche Diskussion statt. Schliesslich lehnte der Landrat das Einbürgerungsgesuch von AX._ mit 46 zu 34 Stimmen ab. Die Gesuche von BX._ und DX._ wurden demgegenüber unter Erteilung des Kantonsbürgerrechts gutgeheissen. Der negative Entscheid ist AX._ von der Landeskanzlei am 22. April 2005 mitgeteilt worden. C. Gegen diesen Entscheid des Landrates hat AX._ beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde erhoben (Datierung vom 15. April 2005, Postaufgabe am 25. Mai 2005). Sie beantragt die Aufhebung des Landratsbeschlusses und die Feststellung, dass dieser Art. 9 EMRK verletze; ferner ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, der angefochtene Beschluss beruhe auf keiner hinreichenden Begründung bzw. stütze sich auf diskriminierende und gegen Art. 8 Abs. 2 und 3 BV verstossende Motive. Der Landratsbeschluss verletze zudem die Religionsfreiheit gemäss Art. 15 BV und Art. 9 EMRK. In weitern Eingaben vom 7. und 26. September 2005 bzw. vom 6. Dezember 2005 ersucht die Beschwerdeführerin um Einsicht in die Protokolle der Petitionskommission bzw. um Herausgabe dieser Protokolle. In der Weigerung der Petitionskommission um Herausgabe dieser Protokolle erblickt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Der Rechtsdienst des Regierungsrates beantragt für den Landrat die Abweisung der Beschwerde. Ferner stellt er den Antrag, das Gesuch um Einsicht in die Protokolle der Petitionskommission sei abzuweisen. Die Justiz-, Polizei- und Militärdirektion verzichtete auf eine Stellungnahme. In ihrer Replik vom 6. Dezember 2005 hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen und namentlich an ihrem Einsichtsgesuch fest. In einer weitern Eingabe vom 21. März 2006 wies die Beschwerdeführerin darauf hin, dass sie nunmehr als Sekretariatshilfe in einer gynäkologischen Praxis in Muttenz tätig sei.