Sachverhalt: A. Z._ ist Eigentümer der Liegenschaft Rebstockhalde xx, Grundstück Nr. 3543, Grundbuch (GB) Luzern, rechtes Ufer. Am 30. März 2009 reichte er bei der Stadt Luzern ein Baugesuch ein für den Abbruch des oberirdischen Teils des bestehenden Einfamilienhauses, das Erstellen eines zweigeschossigen Neubaus auf dem bestehenden Untergeschoss, bauliche Veränderungen im Untergeschoss und die Neugestaltung des Hauszugangs auf der Westseite. Das Bauprojekt lag vom 9. bis 28. April 2009 öffentlich zur Einsicht auf. Innert der Planauflagefrist erhoben die benachbarte Grundeigentümerin X._ (Rebstockhalde yy, Grundstück Nr. 3766, GB Luzern) und der mit ihr zusammen wohnende Y._ Einsprache gegen das Bauvorhaben. Mit Entscheid vom 19. August 2009 erteilte der Stadtrat von Luzern Z._ - unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen - die Baubewilligung für das Bauprojekt. Die Einsprache wies der Stadtrat, soweit sie öffentlich-rechtliche Punkte betraf, im Sinne der Erwägungen ab; im privatrechtlichen Einsprachepunkt verwies er die Einsprecher an das Zivilgericht. Die von X._ und Y._ am 11. September 2009 erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 8. Februar 2010 ab, soweit es darauf eintrat. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. März 2010 beantragen X._ und Y._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und die nachgesuchte Baubewilligung sei zu verweigern. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Des Weiteren sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Z._, die Stadt Luzern und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 20. April 2010 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.