Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 6. Juni 2002 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn den Anspruch von W._ (geb. 1945) auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 2002 bis auf Weiteres. Am 25. Juni 2002 ersetzte das AWA diese Verfügung durch eine neue, mit welcher der genannte Anspruch vom 1. April bis 13. Mai 2002 weiterhin verneint, ab 14. Mai 2002 hingegen im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% bejaht wurde. Die gegen die zweite Verfügung erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 8. Mai 2003 ab. A. Mit Verfügung vom 6. Juni 2002 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn den Anspruch von W._ (geb. 1945) auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 2002 bis auf Weiteres. Am 25. Juni 2002 ersetzte das AWA diese Verfügung durch eine neue, mit welcher der genannte Anspruch vom 1. April bis 13. Mai 2002 weiterhin verneint, ab 14. Mai 2002 hingegen im Umfang eines anrechenbaren Arbeitsausfalls von 50% bejaht wurde. Die gegen die zweite Verfügung erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 8. Mai 2003 ab. B. Am 17. Juni 2003 erliess das AWA eine neue Verfügung, mit welcher es den Anspruch von W._ auf die erwähnte Leistung ab 14. Mai 2002 bis auf Weiteres verneinte. Diese Verfügung bestätigte das AWA mit Einspracheentscheid vom 28. August 2003. B. Am 17. Juni 2003 erliess das AWA eine neue Verfügung, mit welcher es den Anspruch von W._ auf die erwähnte Leistung ab 14. Mai 2002 bis auf Weiteres verneinte. Diese Verfügung bestätigte das AWA mit Einspracheentscheid vom 28. August 2003. C. Auf Beschwerde von W._ hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Einspracheentscheid und Verfügung mit Entscheid vom 1. März 2004 auf. C. Auf Beschwerde von W._ hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Einspracheentscheid und Verfügung mit Entscheid vom 1. März 2004 auf. D. Das AWA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Während W._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf eine Vernehmlassung.