Sachverhalt: A. Der 1967 in der Schweiz geborene italienische Staatsangehörige X._ besass die Niederlassungsbewilligung für den Kanton Zürich. Am 19. Dezember 1988 verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Zürich zu 14 Monaten Gefängnis bedingt, worauf ihn die kantonale Fremdenpolizei verwarnte. Im Jahre 1991 reiste er nach Spanien aus. 1994 ersuchte er um erneute Bewilligung des Aufenthaltes in der Schweiz. Auf eine entsprechende Zusicherung der Behörden hin reiste er im August 1995 wieder in die Schweiz ein und erhielt darauf aus humanitären Gründen gemäss Art. 13 lit. f der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; SR 823.21) eine befristete Aufenthaltsbewilligung. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte X._ am 23. Mai 2000 wegen verschiedener Delikte zu vier Jahren Zuchthaus. Am 6. Juli 2001 wurden die spanische Ehefrau von X._ sowie ihre gemeinsame Tochter (geb. 1991) in der Schweiz eingebürgert. B. Mit Verfügung vom 1. November 2001 verweigerte die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und forderte ihn auf, das Kantonsgebiet nach Beendigung des Strafvollzugs unverzüglich zu verlassen. Am 7. April 2002 wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Den gegen die Verfügung vom 1. November 2001 eingelegten Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich am 24. Juli 2002 ab. Die hierauf erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (im Folgenden: Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 9. April 2003 ab. C. X._ hat mit Postaufgabe vom 10. Juni 2003 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht. Er beantragt, den Beschluss des Zürcher Regierungsrates vom 24. Juli 2002 sowie den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 9. April 2003 aufzuheben und dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung "zu verlängern". Zudem stellt er das Gesuch, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. D. Die Zürcher Staatskanzlei - für den Regierungsrat des Kantons Zürich - sowie das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. E. Mit Verfügung vom 7. Juli 2003 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.