Haftung des Motorfahrzeughalters, hat sich ergeben: A.- Die damals neunzehnjährige A._ (Klägerin) erlitt als Motorradfahrerin am 3. Juni 1990 einen schweren Verkehrsunfall. Ein bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (Beklagte) versicherter Automobilist missachtete ihr Vortrittsrecht, worauf es zu einem heftigen Zusammenstoss kam. Die Klägerin war bis zum 21. Dezember 1990 im Universitätsspital Zürich hospitalisiert. Die Diagnose lautete auf Schädel-Hirn-Trauma mit Subduralhämatom rechts parietal und Kontusionsherden, Pyramidenlängsfraktur links und Kallottenfraktur. Vom 21. Dezember 1990 bis zum 11. Juli 1991 wurde die Klägerin im Kantonsspital Zug behandelt und anschliessend bis zum 6. November 1991 und erneut vom 6. Januar bis zum 15. April 1992 in der Rehabilitationsklink Valens. Seit dem 16. April 1992 wohnt die Klägerin bei ihrer Mutter, die sie pflegt und betreut. B.- Am 4. Oktober 1995 belangte die Klägerin die Beklagte vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich. Die bereinigten Rechtsbegehren lauten wie folgt: "1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin folgende Beträge zu bezahlen: a.Für den vorübergehenden Haushaltsführungsschaden bis zum Urteilsdatum Fr. 209'217.--, zuzüglich Zins zu 5% p.a. seit 15. August 1997. b. Für den Haushaltsführungsinvaliditätsschaden Fr. 793'829.-- nebst Zins zu 5% p.a. seit dem Urteilsdatum. c. Für den vorübergehenden Pflegeschaden bis zum Urteilsdatum Fr. 596'064. 55 nebst Zins zu 5% p.a. seit dem 15. August 1997. d. Eine Pflegeschadenrente von Fr. 8'538.-- monatlich, zahlbar ab Urteilsdatum vorschüssig auf den 1. eines Monats bis zum Lebensende der Klägerin. Die Pflegeschadenrente basiert auf dem Totalnominallohnindex 1993 des Bundesamtes für Statistik, Indexstand im Urteilsjahr (2001?). Sie ist jährlich auf den 1. Juli eines jeden Jahres, erstmals auf den 1. Juli 2003 dem Indexstand des Vorjahres proportional anzupassen und auf ganze Franken aufzurunden. 2. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass die Beklagte daran Fr. 216'796. 90 aner[. .]kannt hat. 3. Es sei Vormerk zu nehmen, dass es sich um eine Teilklage handelt.. " Am 12. Juni 2001 fällte das Handelsgericht folgendes Urteil: "1. a) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin Fr. 699'677.-- nebst 5% Zins - auf Fr. 527'687.-- seit dem 6. September 1997 sowie - auf Fr. 171'990.-- seit dem 12. Juni 2001 zu bezahlen. b) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 3'087.-- zu bezahlen. Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 5'145.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen. Die Rente basiert auf dem Totalnominallohnindex 1993 des Bundesamtes für Statistik für das Jahr 2001. Die erste Anpassung hat am 1. Juli 2003 zu erfolgen. Die Rente wird alsdann auf den 1. Juli jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst. Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel: neuer Index x ursprüngliche Rente neue Rente = --------------------------------- alter Index c) Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 5'928.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen. Die Rente wird nach dem Totalnominallohnindex des Bundesamtes für Statistik auf den 1. Juli jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst. Die erste Anpassung der Rente von Fr. 5'928.-- hat am 1. Juli 2018 zu erfolgen. Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel: neuer Index x ursprüngliche Rente neue Rente = --------------------------------- alter Index Im Übrigen wird die Klage abgewiesen.. " C.- Gegen das Urteil des Handelsgerichts vom 12. Juni 2001 führen beide Parteien Berufung beim Bundesgericht. Die Klägerin stellt folgende Anträge: "1.Es sei in Aufhebung des Urteils vom 12. Juni 2001 die Beklagte und Appellatin zu verpflichten, der Klägerin und Appellantin zu bezahlen: a. einen Betrag von Fr. 854'397.-- nebst Zins zu 5% p.a. - auf Fr. 527'687.-- seit dem 6. September 1997 - auf Fr. 326'710.-- seit dem 12. Juni 2001 b. für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadenrente von Fr. 3'388. 60, c. ab dem 1. Juli 2001 bis an ihr Lebensende jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente von Fr. 5'648.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils auf den 1. jeden Monats. Die Rente basiert auf dem Totalnominallohnindex 1993 des Bundesamtes für Statistik für das Jahr 2001; die erste Anpassung hat am 1. Juli 2003 zu erfolgen. Die Rente wird alsdann auf den 1. Juli jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst. Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel: neue Rente = neuer Index x ursprünglicher Index alter Index d. Eventuell sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin vom 1. Juli 2001 bis zum 31. August 2017 eine Rente von Fr. 5'684.-- und ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende eine Pflege- und Betreuungsschadenrente von Fr. 6'928.--, zahlbar monatlich im voraus jeweils auf den 1. des Monats zu bezahlen. Die Rente wird nach dem Totalnominallohnindex des Bundesamtes für Statistik auf den 1. Juli jeden Jahres dem Stand des Vorjahres angepasst. Die erste Anpassung der Rente ab 1. September 2017 von Fr. 6'928.-- hat am 1. Juli 2018 zu erfolgen. Die Anpassung erfolgt gemäss folgender Formel: neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente" alter Index Die Berufungsanträge der Beklagten lauten wie folgt: "Es sei das Urteil des Handelsgerichts Zürich vom 12. Juni 2001 aufzuheben und 1.a) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin CHF 407'705.-- nebst Zins zu 5% - auf CHF 304'621.-- seit 6. September 1997 sowie - auf CHF 103'084.-- seit dem 12. Juni 2001 zu bezahlen. b) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 2'474.-- zu bezahlen. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 3'710.--, zahlbar monatlich im Voraus auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen. Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen Verordnung über die Teuerungszulagen an Renten der obligatorischen Unfallversicherung auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen, erstmals per 1. September 2003, nach der Formel neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente alter Index c) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 5'928.--, zahlbar monatlich im Voraus jeweils auf den Ersten eines Monats, zu bezahlen. Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen Verordnung über die Teuerungszulagen an Rentner der obligatorischen Unfallversicherung auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen, erstmals per 1. September 2019 neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente" alter Index In ihrer Berufungsantwort schliesst die Klägerin auf kostenfällige Abweisung der Berufung. Die Beklagte beantragt, es sei auf die Berufung der Klägerin nicht einzutreten. Sie stellt zudem folgende Eventualanträge: "Die Berufung der Klägerin sei vollumfänglich abzuwei- sen und in Gutheissung der Berufung der Beklagten vom 28. August 2001 sei das Urteil des Handelsgerichts Zürich vom 12. Juni 2001 aufzuheben und es sei a) Die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin CHF 345'017.-- nebst Zins zu 5% - auf CHF 241'933.-- seit 6. September 1997 sowie - auf CHF 103'084.-- seit dem 12. Juni 2001 zu bezahlen. b) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 1'731.-- zu bezahlen. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 2'885.-- zahlbar monatlich im Voraus auf den Ersten jeden Monats, zu bezahlen. Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen Verordnung über die Teuerungszulagen an Renten der obligatorischen Unfallversicherung auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anz[u]passen, erstmals per 1. September 2003, nach der Formel I neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente alter Index c) Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende jeweils eine monatliche Pflege- und Betreuungsschadenrente von CHF 5'928.--, zahlbar monatlich im Voraus jeweils auf den Ersten eines Monats, zu bezahlen. Die Rente sei gemäss den Bestimmungen des/der UVG/UVV sowie der jeweils gültigen bundesrätlichen Verordnung über die Teuerungszulagen an Renten der obligatorischen Unfallversicherung auf Beginn eines Kalenderjahres der Teuerung anzupassen, erstmals per 1. September 2019 neue Rente = neuer Index x ursprüngliche Rente" alter Index Als weiteres Eventualbegehren erneuert die Beklagte ihre vor Bundesgericht gestellten Berufungsanträge. D.- Die Beklagte hat das Urteil des Handelsgerichts auch mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich angefochten. Da sich das kantonale Rechtsmittel einzig gegen die Kosten- und Entschädigungsfolgen richtet, wird die Berufung vorgängig behandelt.