Art. 9 und 29 BV, Art. 6 EMRK, hat sich ergeben: A.- Die D._ AG (Beschwerdegegnerin) war bis Ende 1988 Kontrollstelle der E._ AG. Am 10. Dezember 1987 wurden die Aktien der E._ AG in die E._ Holding AG eingebracht. Sämtliche Aktien an der E._ Holding AG wurden am 24. November 1988 von der F._ AG gekauft. Am 12. Dezember 1988 schlossen die F._ AG, die E._ AG und die Bank C._ eine Vereinbarung zur Sanierung der E._ AG. Darin verpflichtete sich die F._ AG unter anderem, die Software der E._ AG zum Preis von Fr. 3'000'000.-- zu kaufen. Der Kaufpreis war zur Hälfte bis Ende 1988 zu bezahlen, für die übrigen Fr. 1'500'000.-- sollte die E._ AG der F._ AG ein langfristiges Darlehen gewähren. Die F._ AG und die E._ AG schlossen dementsprechend am 15. Dezember 1988 einen Kauf- und Lizenzvertrag sowie einen Darlehensvertrag. Danach sollte das Darlehen von Fr. 1'500'000.-- in jährlichen Raten von Fr. 300'000.-- amortisiert werden, erstmals per 30. November 1989. Am 5. Juli 1990 wurde über die E._ AG und die E._ Holding AG infolge einer Überschuldungsanzeige nach Art. 192 aSchKG der Konkurs eröffnet. Der F._ AG wurde am 28. Juni 1991 eine Nachlassstundung gewährt. Der Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung wurde am 3. Dezember 1991 richterlich genehmigt. B.- Die Bank A._, B._ und die Bank C._ (Beschwerdeführerinnen) sind Gläubigerinnen der E._ AG. Im Verlauf des Jahres 1991 liessen sie sich von der Konkursmasse die Verantwortlichkeitsansprüche gegen die Organe der konkursiten E._ AG abtreten. Am 2. September 1993 reichten die Gläubigerinnen Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt ein. Sie verlangten im Wesentlichen die Verurteilung von vier Beklagten, darunter die D._ AG, zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins gestützt auf aktienrechtliche Verantwortlichkeitsansprüche. Das Amtsgericht Luzern-Stadt wies die Klage gegen die D._ AG am 21. Dezember 1998 ab. Das Gericht kam zum Schluss, die Beschwerdegegnerin habe ihre Pflichten als Kontrollstelle der konkursiten E._ AG (nur) insoweit verletzt, als sie den Bestand der angefangenen Arbeiten der E._ AG bei der Abschlussprüfung 1988 nicht geprüft habe. Das Gericht hielt jedoch den Nachweis des Kausalzusammenhangs zwischen dieser Pflichtwidrigkeit und dem eingeklagten Schaden von Fr. 3'000'000.-- nicht für erwiesen. Mit Urteil vom 18. April 2001 trat das Obergericht des Kantons Luzern auf die Appellation der Gläubigerinnen gegen das erstinstanzliche Urteil nicht ein. Das Obergericht hielt fest, dass sich die Klägerinnen mit den Ausführungen im angefochtenen Urteil überhaupt nicht auseinandersetzten. C.- Die Gläubigerinnen haben gegen das Urteil des Obergerichts Luzern sowohl staatsrechtliche Beschwerde wie Berufung beim Bundesgericht eingereicht. Mit ihrer staatsrechtlichen Beschwerde beantragen sie die teilweise Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie die Anweisung des Obergerichts, auf die gegen die Beschwerdegegnerin gerichtete Appellation vollumfänglich einzutreten und einen Sachentscheid zu fällen. Das Obergericht des Kantons Luzern beantragt in seiner Vernehmlassung, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdegegnerin enthält sich ausdrücklich eines Antrages, verlangt aber eine Parteientschädigung und lässt sich in der Sache vernehmen.