Sachverhalt: A. A.a Die 1954 geborene S._ meldete sich im November 1998 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 20. Januar 2003 und Einspracheentscheid vom 1. September 2003 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn den Anspruch der Gesuchstellerin auf eine Invalidenrente, was das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 23. August 2004 bestätigte. Mit Urteil vom 18. Februar 2005 (I 623/04) hob das Eidg. Versicherungsgericht dieses Erkenntnis auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie eine öffentliche Verhandlung durchführe und danach neu entscheide. A.b Nach Durchführung einer Instruktionsverhandlung holte das kantonale Versicherungsgericht beim Zentrum X._ eine Expertise ein, wozu die Parteien sich äussern konnten. In der Folge nahm der verantwortliche ärztliche Leiter der Abklärungsstelle zu Zusatzfragen des Rechtsvertreters der Versicherten sowie zu einem von diesem eingeholten Überprüfungsgutachten Stellung. Beide Parteien äusserten sich dazu. Mit Entscheid vom 18. August 2008 wies das kantonale Versicherungsgericht die Beschwerde ab. B. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 18. August 2008 sei aufzuheben und ihr die gesetzlichen Leistungen nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 50 % zuzüglich eines Verzugszinses zu 5 % ab wann rechtens auszurichten, eventualiter die Streitsache zur Neuabklärung und zu neuer Entscheidung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Kantonales Gericht und IV-Stelle beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.