Sachverhalt: A. Im Rahmen des von Y._ (Ehefrau) angestrengten Eheschutzverfahrens verpflichtete der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises XII Frutigen-Niedersimmental X._ (Ehemann) mit Entscheid vom 5. Januar 2009 unter anderem zur Leistung von gestaffelten Unterhaltsbeiträgen (monatlich Fr. 1'097.-- von Juli 2007 bis November 2008 und Fr. 2'561.-- ab Dezember 2008). Weiter verpflichtete der erstinstanzliche Richter die Ehegattin, den allfälligen Antritt einer neuen Arbeitsstelle umgehend zu melden, damit die Unterhaltsbeiträge mit Wirkung ab dem Monat, da die Anstellung erfolgt, neu berechnet werden können. B. Beide Parteien erhoben vor dem Obergericht des Kantons Bern Appellation, die Ehegattin mit dem Begehren, für die Zeit zwischen Juli 2007 und November 2008 Unterhaltsbeiträge von monatlich mindestens Fr. 1'475.-- zugesprochen zu erhalten. Weiter stellte sie den Antrag, allfällige neue Lohneinkünfte seien erst ab dem Monat zu berücksichtigen, in dem sie die Lohnzahlungen effektiv erhalte. X._ beantragte dem Obergericht seinerseits, die von ihm geschuldeten Unterhaltsbeiträge herabzusetzen. Mit dem hier angefochtenen Entscheid vom 24. März 2009 legte das Obergericht des Kantons Bern die Unterhaltsbeiträge neu fest auf Fr. 1'387.-- für die Zeitspanne Juli 2007 bis November 2008 und auf Fr. 1'802.-- ab Dezember 2008. Weiter bestätigte das Obergericht die Pflicht der Ehegattin, dem Ehegatten unverzüglich zu melden, "wenn sie eine neue Stelle gefunden hat, bzw. wenn sie ein höheres Einkommen als Fr. 1'584.-- erzielt". C. Mit Beschwerde vom 27. April 2009 ersucht X._ (Beschwerdeführer) das Bundesgericht, Dispositiv Ziff. 2 und 3 des angefochtenen Entscheides aufzuheben und herabgesetzte Unterhaltsbeiträge festzulegen. Weiter stellt er den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Präsidentin der urteilenden Abteilung des Bundesgerichtes hat mit Verfügung vom 10. Juni 2009 praxisgemäss die anbegehrte aufschiebende Wirkung erst für die rückständigen Unterhaltsbeiträge gewährt. Mit Eingabe vom 19. Juni 2009 ersucht der Beschwerdeführer um Wiedererwägung dieser Verfügung. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.