Sachverhalt: A. Durch Urteil des Superior Court of California, County of Santa Barbara, vom 22. August 2002 wurde die Ehe von Y._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) geschieden. Unter anderem wurde Y._ verpflichtet, an den Unterhalt der beiden Kinder S._, geboren 1993, und T._, geboren 1994, monatliche Beiträge von insgesamt 1'085 US Dollar zu zahlen. Bereits im Oktober 2000 war X._ mit den Kindern in die Schweiz gezogen. In der Folge ging Y._ eine neue Ehe ein und kam im März 2003 seinerseits mit seiner Ehefrau in die Schweiz. Nachdem er eine Abänderung des Scheidungsurteils verlangt hatte, schlossen er und X._ am 29. April 2004 eine Vereinbarung über die elterliche Sorge (die X._ zugewiesen werden solle), das (Y._ einzuräumende) Besuchsrecht und die Unterhaltsbeiträge für die Kinder. Die Vereinbarung, worin sich Y._ verpflichtete, mit Wirkung ab 1. Mai 2004 an den Unterhalt von S._ und T._ monatlich je Fr. 730.-- beizutragen, wurde in dem ebenfalls vom 29. April 2004 datierten Urteil der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirks B._ genehmigt. B. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht B._ Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. August 2002 bzw. des Abänderungsentscheids vom 29. April 2004 und verlangte eine Erhöhung der den Kindern zustehenden Unterhaltsbeiträge. Die Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirks B._ hiess diese Abänderungsklage am 27. Dezember 2005 insofern gut, als sie Y._ mit Wirkung ab 1. November 2004 verpflichtete, an den Unterhalt von S._ monatliche Beiträge von Fr. 1'050.-- und an denjenigen von T._ solche von Fr. 890.--, je zuzüglich allfälliger Kinderzulagen, zu zahlen. Sie legte fest, dass die Unterhaltsbeiträge jedem Kind bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus, geschuldet seien. Gegen diesen Entscheid erhob Y._ Berufung, worauf das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 2. November 2007 die Unterhaltsbeiträge für jedes der beiden Kinder auf monatlich Fr. 970.-- für die Zeit vom 1. Januar 2005 bis zum 31. März 2006 und monatlich Fr. 730.-- für die Zeit ab 1. April 2006 festsetzte (Dispositiv-Ziffer 1). Den einzelrichterlichen Entscheid änderte es ferner auch hinsichtlich des Besuchsrechts ab (Dispositiv-Ziffer 2). C. X._ führt mit Eingabe vom 6. Dezember 2007 Beschwerde in Zivilsachen und verlangt, Dispositiv-Ziffer 1 des obergerichtlichen Entscheids aufzuheben und Y._ (Beschwerdegegner) in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils vom 27. Dezember 2005 zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder monatlich insgesamt Fr. 1'940.-- (Fr. 1'050.-- für S._ und Fr. 890.-- für T._) beizutragen; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.