Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 14./21. Februar 2008 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht Münchwilen die Klage des Vereins gegen Tierfabriken Schweiz (VgT) teilweise gut und verpflichtete die 20 Minuten AG, eine Gegendarstellung in der nächstmöglichen Ausgabe der Zeitschrift "20minuten" (Ausgabe St. Gallen) zu veröffentlichen. Das Begehren des VgT, es sei ihm ein Belegexemplar der Gegendarstellung zuzustellen, wurde unter Hinweis auf eine fehlende gesetzliche Grundlage für einen solchen Anspruch abgewiesen. B. Auf kantonalrechtliche Berufung sowohl des VgT wie auch der 20 Minuten AG (einschliesslich einer Anschlussberufung) hin bestätigte das Obergericht des Kantons Thurgau am 11. September 2008 dieses Urteil. C. Der VgT (Beschwerdeführer) gelangt mit einer als "zivilrechtliche Beschwerde" bezeichneten Eingabe vom 9. Oktober 2008 an das Bundesgericht und verlangt zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz; eventuell sei die 20 Minuten AG (Beschwerdegegnerin) unter Kosten und Entschädigungsfolge zu verpflichten, dem Beschwerdeführer ein Belegexemplar der Gegendarstellung zuzustellen. Beschwerdegegnerin und Obergericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen.