Sachverhalt: A. Am 17. Februar 2000 unterzeichnete die damals minderjährige B._ (Klägerin) - vertreten durch ihren Vater C._ - ein Formular, gemäss dessen Text sie sich bei der von A._ (Beklagter) betriebenen privaten Coiffeurschule für die Dauer von 36 Monaten als Schülerin anmeldete. Mit Schreiben vom 18. Februar 2000 (recte: 18. März 2000) bestätigte der Beklagte die ins Auge gefasste Ausbildung. Ab dem 16. August 2000 liess sich die Klägerin beim Beklagten als Coiffeuse ausbilden. Am 12. November 2002 brach sie die Ausbildung ab. Die Klägerin geht davon aus, dass sie während dieser Zeit beim Beklagten eine Lehre absolviert habe. Demgegenüber macht der Beklagte geltend, dass er der Klägerin an der von ihm betriebenen Coiffeurschule Unterricht erteilt habe. B. Mit Klage vom 14. November 2002 vor Arbeitsgericht des Kantons Luzern forderte die Klägerin vom Beklagten insgesamt Fr. 21'866.80 unter verschiedenen Rechtstiteln. Unter anderem verlangte sie Fr. 12'000.-- als Lohn für die Zeit vom 16. August 2000 bis zum 12. November 2002. Mit Urteil vom 26. Januar 2005 verpflichtete das Arbeitsgericht den Beklagten, der Klägerin Fr. 12'888.80 netto zu bezahlen. Dieser Betrag setzt sich zusammen aus dem eingeklagten Lohn von Fr. 12'000.-- sowie Kosten für Arbeitsgeräte in der Höhe von Fr. 888.80. Dagegen erhob der Beklagte Appellation ans Obergericht des Kantons Luzern. Mit Urteil vom 5. April 2006 verpflichtet das Obergericht des Kantons Luzern den Beklagten, der Klägerin Fr. 12'000.-- zu bezahlen. Dabei handelte es sich um den eingeklagten Betrag für Lohn. C. Mit Berufung vom 20. Juni 2006 beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichtes des Kantons Luzern vom 5. April 2006 sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Die Klägerin beantragt sinngemäss die Abweisung der Berufung.