Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. 1963, reiste 1979 zu seinem Vater in die Schweiz, wo er die Niederlassungsbewilligung erhielt. 1991 verheiratete er sich mit einer Landsfrau, mit der er zwei Kinder hat. 2000 wurde die Ehe geschieden, wobei die Mutter die elterliche Sorge über die Kinder erhielt. 2002 heiratete X._ die kroatische Staatsangehörige A._. Aus dieser zweiten Ehe ging ein Sohn hervor. Ein Gesuch um Familiennachzug wurde am 23. Oktober 2003 abgelehnt, weil die finanziellen Verhältnisse für den Familienunterhalt nicht genügten. Am gleichen Tag leitete das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht Graubünden (nachfolgend: Amt) eine Prüfung der Bewilligung ein wegen Verschuldung und wegen verschiedener strafrechtlicher Verurteilungen (Drohung, einfache Körperverletzung, Verkehrsdelikte, Checkbetrug, Freiheitsberaubung usw.). Mit Verfügung vom 17. Dezember 2004 drohte das Amt X._ den Widerruf der Niederlassungsbewilligung an, weil er seinen öffentlich- und privatrechtlichen Verpflichtungen nicht rechtsgenüglich nachkomme; erneute Straffälligkeit sowie weitere Betreibungen oder Verlustscheine hätten die Ausweisung aus der Schweiz zur Folge, und die aufgelaufenen Schulden seien abzubauen. B. Am 28. September 2007 beantragte X._ die Verlängerung der Kontrollfrist seines Ausländerausweises. Am 27. Februar 2008 gab ihm das Amt die Gelegenheit, sich zur Bewilligungssituation bzw. zur finanziellen Lage zu äussern. Am 20. Mai 2008 gewährte ihm das Amt die verlangte Verlängerung mit dem Hinweis, dass die Abklärungen zur Überprüfung des Aufenthaltsstatus noch nicht abgeschlossen seien. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2008 widerrief das Amt die Niederlassungsbewilligung von X._. Im Wesentlichen begründete es dies damit, er sei seinen öffentlich- und privatrechtlichen Zahlungsverpflichtungen nur äusserst liederlich nachgekommen und habe sich seit 2004 bloss ungenügend um die Tilgung der aufgelaufenen Schulden bemüht. Überdies sei ihm die Ausreise in das Heimatland oder zu Ehefrau und Kind zumutbar. C. Am 24./31. August 2009 wies das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden eine dagegen erhobene Beschwerde ab. Mit Urteil vom 19. Januar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden eine dagegen eingereichte Beschwerde ebenfalls ab. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. März 2010 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sowie die damit geschützte Verfügung des Amts für Polizeiwesen und Zivilrecht Graubünden aufzuheben. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt unter Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör erhoben bzw. offensichtlich unrichtig festgestellt. Zudem missachte das Verwaltungsgericht die bundesrechtlichen Voraussetzungen des Widerrufs einer Niederlassungsbewilligung. E. Das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht Graubünden hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. F. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 9. April 2010 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.