Sachverhalt: A. Die am 18. Juli 2001 geborene A._ ist die Tochter von X._ (geb. 1963) und B._ (geb. 1946). In der am 14. August 2006 erfolgten Scheidung wurde die elterliche Sorge der Mutter zugeteilt. Danach wohnte A._ bei ihrer Mutter und deren vormaligen Ehegatten C._. Im Herbst 2007 ging X._ eine Beziehung mit dem aus Libyen stammenden D._ ein. In der Folge wandte sie sich vertieft dem muslimischen Glauben zu. Sie entschied sich u.a. zum Tragen der Burka und hielt ihre Tochter an, in der Primarschule eine Kopfbedeckung (Hijab) zu tragen. Im Mai 2009 zog X._ zusammen mit ihrer Tochter zu D._ nach Y._. B. Ab Januar 2010 kam es zu wiederholten Meldungen des Vaters an die Vormundschaftsbehörde Y._. Der Vater brachte seine Sorge um das Wohlergehen seiner Tochter zum Ausdruck. Er warf der Mutter vor, ihre Tochter ungenügend zu betreuen. Wiederholt sei die Mutter ins Ausland verreist und niemand habe gewusst, wo sie sich aufhalte und wann sie zurückkehre. Auch C._ meldete sich bei der Vormundschaftsbehörde. Er berichtete von den wirtschaftlichen Schwierigkeiten von X._ und davon, dass ihre Beziehung zu D._ von häuslichen Gewaltszenen geprägt sei und zu einer starken religiösen islamischen Ausrichtung geführt habe. A._ leide stark darunter. An Weihnachten 2009 sei die Mutter nach E._ gereist, ohne dass die Betreuung von A._ gesichert gewesen sei. Ende Mai 2011 wurde schliesslich die Lehrerin von A._ bei der Vormundschaftsbehörde vorstellig. Sie teilte dieser mit, A._ habe ihr gegenüber erklärt, dass sie es bei ihrer Mutter nicht mehr aushalte. C. Im Zuge der von der Vormundschaftsbehörde veranlassten Abklärungen durch das Jugendsekretariat fand am 17. Juni 2011 ein Gespräch mit A._ statt. Dabei wiederholte sie, dass sie Angst habe, äusserte Suizidgedanken und weigerte sich strikt, zur Mutter zurückzukehren. In einem Zwischenbericht hielt das Jugendsekretariat fest, dass die Aussagen des Kindes auf eine Gefährdung des Kindeswohls hindeuteten, was seine psychosoziale Entwicklung und physische Unversehrtheit betreffe. Die Tiefe des Konflikts zwischen den Eltern, der Umgang mit der fundamental gelebten Religion der Mutter und das Auseinanderdriften der Lebenswelten der Eltern scheine das Kind in traumatisierendem Masse zu überfordern. In Absprache mit der Vormundschaftsbehörde wurde A._ daher am 17. Juni 2011 notfallmässig in einer SOS-Pflegefamilie untergebracht. D. D.a Mit Beschluss vom 24. Juni 2011 hob die Vormundschaftsbehörde Y._ im Rahmen superprovisorischer Massnahmen die mütterliche Obhut über A._ auf und errichtete eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. Nach Anhörung beider Elternteile und einem Gespräch mit A._ bestätigte die Behörde diese Massnahmen. Der entsprechende Beschluss vom 7. Juli 2011 blieb unangefochten. D.b Ende Oktober 2011 gingen bei der Vormundschaftsbehörde der Abklärungsbericht des Jugendsekretariates Y._ sowie eine diesen ergänzende kinderpsychologische Abklärung ein. Beide Berichte stellen im Ergebnis eine belastete und das Kind belastende Beziehung zu den Eltern fest, weil die Trennung der Eltern unverarbeitet sei und A._ die Mutter für die damit verbundenen Wechsel des Umfelds verantwortlich zu machen scheine. Vordergründig klar werde vom Kind eine eindeutige räumliche Distanzierung von der Mutter gewünscht. Gleichzeitig zeige sich auf emotionaler Ebene aber das Bedürfnis nach Unternehmungen mit der Mutter. Das Jugendsekretariat anerkannte zwar grundsätzlich die Fähigkeit der Mutter zur Pflege der Tochter, hielt allerdings fest, die Mutter sei den Erziehungsfragen und kommenden Themen unter anderem aufgrund der Widerstände der Tochter nicht gewachsen. Daraus würden gegenseitige Verletzungen resultieren. In der Folge wurde die therapeutische Begleitung von A._ an die Kinder- und Jugendpsychiaterin Dr. med. F._ delegiert. Ferner wurde A._ über die Beiständin bei der Sozialpädagogischen Lebensgemeinschaft (Frau G._) in H._ umplatziert. D.c Mit Beschluss vom 14. Februar 2012 nahm die Vormundschaftsbehörde Y._ formell Kenntnis von A._s Umplatzierung und traf die folgende auszugsweise wiedergegebene Regelung der Besuchs- bzw. Kontaktrechte: "[...] 2. Die Mutter, X._, geb 1963, von I._, wird vorläufig berechtigt erklärt, a) A._ alle drei Wochen für zwei Stunden, nach Organisation und Festlegung der Besuchsmodalitäten durch die Beiständin, begleitet zu sehen; b) A._ wöchentlich, Mittwoch abends, in der Sozialpädagogischen Lebensgemeinschaft H._ anzurufen. [...] 6. Die Beiständin nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB erhält im Rahmen der besonderen Befugnisse die zusätzlichen Aufträge, a) den Besuchskontakt von A._ zur Mutter gemäss Dispositiv Ziffer 2 sowie in Berücksichtigung der Erwägungen der Vormundschaftsbehörde zu organisieren, sowie nach Rücksprache mit der Therapeutin und den weiteren involvierten Fachpersonen die Kontaktzeit sowie -häufigkeit, nach Massgabe vom Wohl von A._, auszudehnen; [...] c) den durch die Therapeutin von A._, Dr. med. F._, Y._, erstellten Bericht zur Entwicklungsabklärung von A._ an die Vormundschaftsbehörde weiterzuleiten sowie eine schriftliche Einschätzung der Therapeutin zur weiteren Besuchskontaktsituation sowie betreffend den allfälligen weiteren therapeutischen Bedarf von A._ sowie ihren Eltern, einzuholen; d) zuhanden der Vormundschaftsbehörde bis spätestens 30. April 2012 Bericht zur Situation von A._ zu erstatten und gleichzeitig Antrag für die weitere Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts von A._ zu ihren Eltern zu stellen. e) der ordentliche Berichtstermin - 30. Juni 2013 - bleibt unverändert. [...]" E. X._ beschwerte sich am 27. Februar 2012 beim Bezirksrat Y._ gegen Dispositiv-Ziffer 2/a des Beschlusses vom 14. Februar 2012. Sie beantragte, ihre Tochter jedes zweite Wochenende unbegleitet zu sich auf Besuch nehmen zu können. Eventuell sei sie für berechtigt zu erklären, A._ jede zweite Woche für drei Stunden unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Der Bezirksrat wies die Beschwerde am 29. Juni 2012 ab. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Berufung ab und bestätigte den Beschluss des Bezirksrats (Urteil vom 8. November 2012). F. Gegen dieses Urteil reichte X._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin) am 14. Dezember 2012 Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein. Sie beantragt, das Urteil vom 8. November 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich vollumfänglich aufzuheben und sie in Abänderung von Ziffer 2/a des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde der Stadt Y._ vom 14. Februar 2012 für berechtigt zu erklären, ihre Tochter jedes zweite Wochenende unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Eventualiter sei sie in Abänderung von Ziffer 2/a des erwähnten Beschlusses für berechtigt zu erklären, ihre Tochter jede zweite Woche für drei Stunden unbegleitet zu sich auf Besuch zu nehmen. Subeventualiter verlangt die Beschwerdeführerin, das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zur Begründung ihrer Anträge legt die Beschwerdeführerin zusätzliche Schreiben von Bekannten und Zeichnungen ihrer Tochter vor. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt, wohl aber die Akten der Vorinstanz beigezogen worden.