Sachverhalt: A. A._ (geb. 1965) ist Staatsangehöriger Brasiliens. Im Alter von 37 Jahren reiste er Mitte Januar 2003 in die Schweiz ein, um hier wenig später, Ende Februar 2003, eine Landsfrau zu heiraten. Der Kanton Zürich erteilte dem Ehemann die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau, die zu diesem Zeitpunkt bereits über eine Niederlassungsbewilligung verfügte. Im Frühling 2007 wurde den Eheleuten eine gemeinsame Tochter geboren. Abgeleitet von ihrer Mutter, erhielt auch sie die Niederlassungsbewilligung. Die Ehe wurde am 18. Januar 2010 mit Urteil des Bezirksgerichts X._/ZH geschieden und die Tochter zunächst unter die gemeinsame Sorge beider Elternteile, später dann von der Sozialbehörde Y._/ZH unter die alleinige Obhut des Vaters gestellt (Verfügung vom 23. Januar 2012). Kindsvater und Kindsmutter verständigten sich darauf, dass diese Regelung auch im Fall einer Wegweisung aufrecht bleiben solle. Vater und Tochter leben gemeinsam in einer eigenen Wohnung, wogegen die Kindsmutter nach Brasilien zurückkehrte. Die Tochter wird tagsüber fremdbetreut. Ihr wurde ein sprachbetonter allgemeiner Entwicklungsrückstand diagnostiziert. Aus diesem Grund bedarf sie heilpädagogischer Unterstützung, wenn sie sich auch in Portugiesisch und Schweizerdeutsch auszudrücken vermag. Mitte 2011 wurde ihr ein Beistand zur Seite gestellt. B. Die Eheleute bezogen von Juni 2004 bis April 2010 Sozialhilfe von insgesamt Fr. 234'261.--. Die Leistungen wuchsen bis Anfang März 2013 auf Fr. 256'213.-- an. Dem Betreibungsregister zufolge bestehen zulasten von A._ offene Verlustscheine von rund Fr. 10'800.--. Der Kindsvater hat in seiner Heimat ein Studium in Psychologie abgeschlossen, trat auf dem schweizerischen Arbeitsmarkt aber kaum in Erscheinung. Insgesamt war er bis anhin während neun Monaten erwerbstätig, im Übrigen arbeitslos. In Ausübung seiner damaligen beruflichen Tätigkeit wusch A._ Geldmittel in Höhe von Fr. 131'000.--, die aus Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz stammten, und beging er zwei Urkundenfälschungen. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern bestrafte ihn deswegen mit Urteil vom 21. Mai 2010 wegen qualifizierter Geldwäscherei und mehrfacher Urkundenfälschung zu einer bedingten Geldstrafe von 300 Tagessätzen zu je Fr. 50.--. In den zurückliegenden sechs Jahren war A._ nicht mehr erwerbstätig, er nimmt aber im Umfang einiger Wochenstunden in einer Kindertagesstätte an einem Arbeitsintegrationsprogramm teil. C. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch A._s um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm zum Verlassen der Schweiz eine Frist bis zum 31. Dezember 2012. Der dagegen gerichtete Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos. Mit Entscheid vom 31. Oktober 2013 bestimmte die Rekursbehörde die Frist zum Verlassen auf den 28. Februar 2014 und wies sie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsvertretung ab. Dagegen gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dessen 4. Abteilung hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 5. Februar 2014, soweit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsvertretung betreffend, gut. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab und erstreckte es die Ausreisefrist bis zum 30. April 2014. D. Mit Eingabe vom 12. März 2014 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei bezüglich der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung aufzuheben (Anträge 1 und 3.1), das Migrationsamt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern (Antrag 2), eventualiter sei die Frist für die Ausreise auf einen Zeitpunkt nach dem Ende des Schuljahres 2014 festzulegen (Antrag 3.2). Zudem seien ihm die unentgeltliche Prozessführung und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bewilligen (Antrag 4). Während die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf eine Vernehmlassung verzichten, beantragt das Bundesamt für Migration die Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt des Kantons Zürich lässt sich nicht vernehmen.