Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 9. Juni 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau N._ u.a. in Berücksichtigung der Expertise des ABI (Ärztliches Begutachtungsinstitut) vom 24. August 2007) ab 1. Juni 2006 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Im Rahmen des im Dezember 2008 von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens wurde die Versicherte durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) untersucht und begutachtet (Expertise vom 19. August 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 13. Januar 2011 die halbe Rente auf Ende des folgenden Monats auf. B. In Gutheissung der Beschwerde der N._ hob das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 4. April 2012 die Verfügung vom 13. Januar 2011 auf und verpflichtete die IV-Stelle, ihr weiterhin eine halbe Rente auszurichten. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 4. April 2012 sei aufzuheben und dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. N._ beantragt, nicht auf die Beschwerde einzutreten, eventualiter sie abzuweisen. Das kantonale Versicherungsgericht verweist auf die Begründung seines Entscheids, ohne einen Antrag zu stellen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.