Sachverhalt: A. A.a In einem Eheschutzverfahren, das zwischen den Eheleuten X._ und Y._ hängig war, verfügte die Einzelrichterin im summarischen Verfahren des Bezirks Z._ am 17. Mai 2005 unter anderem, dass Y._ an den Unterhalt der beiden Kinder A._ und B._ Beiträge von monatlich je Fr. 2'200.-- und an denjenigen von X._ solche von monatlich Fr. 10'990.-- zu zahlen habe. Im Scheidungsverfahren, das X._ während der Hängigkeit des Eheschutzverfahrens eingeleitet hatte, stellte Y._ das Begehren, die ihr zustehenden Unterhaltsbeiträge seien im Rahmen der anzuordnenden vorsorglichen Massnahmen herabzusetzen. Zufolge Rückzugs der Scheidungsklage wurde das Verfahren jedoch abgeschrieben. A.b Mit Eingabe vom 11. Februar 2006 reichte X._ beim Einzelrichter im ordentlichen Verfahren des Bezirks Z._ eine neue Scheidungsklage ein. Am 20. Januar 2006 ersuchte Y._ um Anordnung vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsprozesses (Art. 137 Abs. 2 ZGB) mit dem Antrag, die in der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 17. Mai 2005 für den Unterhalt der Ehefrau und der beiden Kinder festgelegten Beiträge rückwirkend ab 24. August 2005 "angemessen auf Fr. 7'000.--" je Monat zu reduzieren. In Abänderung der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 17. Mai 2005 setzte der Einzelrichter am 7. Mai 2007 die X._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf Fr. 10'975.-- herab. B. Y._ rekurrierte an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, die X._ persönlich zugesprochenen Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 24. August 2005 auf monatlich Fr. 2'600.-- zu reduzieren. Mit Beschluss vom 29. Februar 2008 hiess das Obergericht (I. Zivilkammer) den Rekurs teilweise gut und setzte die strittigen Unterhaltsbeiträge mit Wirkung ab 20. Januar 2006 und mit zeitlicher Staffelung (bei einem obersten Betrag von Fr. 6'550.--) neu fest (Dispositiv-Ziffer 1). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. April 2008 verlangt X._, Dispositiv-Ziffer 1, gegebenenfalls auch die Dispositiv-Ziffern 2 - 4 (Kosten- und Entschädigungsfolgen) des Beschlusses vom 29. Februar 2008 aufzuheben und die Sache hinsichtlich der strittigen Punkte zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.