Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 18. Juni 2002 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1948 geborenen S._ ab 1. Januar 2002 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Im März 2005 leitete die Verwaltung von Amtes wegen ein Revisionsverfahren ein und traf entsprechende Abklärungen. Mit Verfügung vom 4. Mai 2006 hob sie die Rente auf mit der Begründung, der Gesundheitszustand der Versicherten habe sich verbessert und die Erzielung eines rentenausschliessenden Einkommens sei möglich. Mit Einspracheentscheid vom 14. August 2006 bestätigte die IV-Stelle die Rentenaufhebung mit der substituierten Begründung, die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der Verfügung vom 18. Juni 2002 seien erfüllt. B. B.a In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der S._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 3. Dezember 2007 den Einspracheentscheid vom 14. August 2006 auf und wies die Sache zur Behandlung der Einsprache im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. Die Beschwerde der IV-Stelle des Kantons St. Gallen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 29. April 2008 in dem Sinne gut, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 3. Dezember 2007 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wurde, damit sie über die wiedererwägungsweise Aufhebung der Rente durch die IV-Stelle entscheide (Dispositiv-Ziffer 1). B.b Mit Entscheid vom 21. November 2008 hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 14. August 2006 erneut auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, den Entscheid vom 21. November 2008 aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, über die wiedererwägungsweise Aufhebung der Invalidenrente materiell zu entscheiden. Das kantonale Gericht und S._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Versicherte lässt ferner um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.