Sachverhalt: A. Vor dem Richteramt Dorneck-Thierstein führen X._ (Ehemann bzw. Vater) und Z._ (Ehefrau bzw. Mutter) ein Ehescheidungsverfahren, das Letztere am 24. März 2010 angehoben hatte. Am 30. September 2010 teilte der Amtsgerichtspräsident die Obhut über den gemeinsamen Sohn Y._ (geb. 4. November 2002) für die Dauer des Scheidungsverfahrens dem Vater zu. Die Mutter erhielt ein Besuchsrecht, das jede zweite Woche von Donnerstagabend, 19.00 Uhr, bis Montagmorgen, 7.00 Uhr, und in den Zwischenwochen von Mittwochabend, 19.00 Uhr, bis Donnerstagabend, 19.00 Uhr, auszuüben ist, wobei das letztgenannte Besuchsrecht faktisch offenbar von Donnerstagabend bis Freitagabend ausgeübt wird. Hinzu kommt ein Ferienrecht von sechs Wochen pro Jahr. Die Ehefrau und Mutter wurde verpflichtet, für den Sohn Y._ einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 950.-- zuzüglich Kinderzulagen und für ihren Ehemann von Fr. 765.-- zu bezahlen. Am 13. Januar 2012 änderte der Amtsgerichtspräsident die Verfügung vom 30. September 2010 ab und verpflichtete die Ehefrau, für den Sohn Y._ mit Wirkung ab 1. Februar 2012 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'050.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Zugleich wurde der Unterhaltsbeitrag für den Ehemann ebenfalls mit Wirkung ab 1. Februar 2012 auf Fr. 250.-- reduziert. B. Gegen die Verfügung vom 13. Januar 2012 erhob der Ehemann am 25. Januar 2012 Berufung. Er beantragte, die Ehefrau zu verpflichten, mit Wirkung ab Oktober 2011 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'840.-- (Fr. 1'070.-- für Y._ und Fr. 2'770.-- für ihn persönlich) zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Mit Urteil vom 28. März 2012 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die Berufung ab. C. Am 27. April 2012 hat X._ (Beschwerdeführer) gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Z._ (Beschwerdegegnerin) sei zu verpflichten, ihm und dem Sohn Y._ mit Wirkung ab Februar 2012 für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'569.-- (Fr. 1'050.-- für den Sohn und Fr. 519.-- für ihn persönlich) zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz oder an die erste Instanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Am 25. Mai 2012 hat der Beschwerdeführer Unterlagen zu seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nachgereicht. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.