Sachverhalt: A. Der seit 1996 als selbständiger Psychiater tätige D._ meldete sich im Juli 2006 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie den Versicherten rheumatologisch untersuchen und begutachten. In seiner Stellungnahme zur Expertise vom 5. Februar 2007 machte D._ eine Verschlimmerung des Gesundheitszustandes geltend. Mit Vorbescheid vom 26. April 2007 teilte ihm die IV-Stelle mit, er habe ab 1. Juli 2005 Anspruch auf eine Viertelsrente. Dagegen liess der Versicherte Einwände erheben, woraufhin die Verwaltung weitere Abklärungen vornahm. Mit Vorbescheid vom 7. März 2008 verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente. Am 21. Oktober 2008 erliess sie eine in diesem Sinne lautende Verfügung. B. Die Beschwerde des D._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 22. Januar 2010 ab. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 22. Januar 2010 sei aufzuheben und ihm eine Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, während kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.