Sachverhalt: A. A._ klagte am 21. Oktober 2005 beim Vermittleramt Bezirk Appenzell gegen X._ wegen Beschimpfung, weil er sie als "die Alte" betitelt habe. Dieser erschien sowohl am 17. November 2005 als auch am 5. Dezember 2005 nicht zu den anberaumten Vermittlungsvorständen. Mit Strafbefehl vom 28. März 2006 befand die Staatsanwaltschaft Appenzell Innerrhoden X._ der Beschimpfung schuldig. Gegen diesen Strafbefehl erhob X._ Einsprache, und der Fall wurde von der Staatsanwaltschaft dem Bezirksgericht Appenzell Innerrhoden zur Beurteilung überwiesen. Dieses sprach X._ mit Urteil vom 13. Dezember 2006 vom Vorwurf der Beschimpfung frei. Hingegen auferlegte es ihm die gesamten Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 1'870.--, bestehend aus den Kosten des Vermittlungsverfahrens von Fr. 200.--, Untersuchungskosten von Fr. 170.-- und Gerichtskosten von Fr. 1'500.--. B. Gegen diese Kostenverlegung reichte X._ beim Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden Berufung ein (sinngemäss) mit den Anträgen, die Verfahrenskosten seien im Umfang von Fr. 1'770.-- A._, eventualiter dem Staat aufzuerlegen. Mit Urteil vom 28. August 2007 wies das Kantonsgericht die Berufung ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts Appenzell Innerrhoden vom 28. August 2007 sei aufzuheben und die Verfahrenskosten seien im Betrag von Fr. 1'770.--, bestehend aus der Hälfte der Vermittlungskosten von Fr. 100.--, Untersuchungskosten von Fr. 170.-- sowie Gerichtskosten von Fr. 1'500.--, A._, eventualiter dem Staat aufzuerlegen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht hat auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet. A._ hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.