Sachverhalt: A. Die 1969 geborene A._ meldete sich im Juli 2004 wegen chronischen Schmerzen am Bewegungsapparat bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 15. November 2005 verneinte die IV-Stelle Uri den Anspruch auf eine Rente, woran sie auf Einsprache der Versicherten hin festhielt (Entscheid vom 19. Januar 2006). Am 20. Februar 2006 liess A._ Beschwerde erheben und beantragen, der Einspracheentscheid sei aufzuheben. Die Sache sei zur Neubeurteilung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Eventualiter sei festzustellen, dass ein Invaliditätsgrad von mindestens 70 % besteht, und ihr eine Rente zuzusprechen. Mit Eingabe vom 23. Februar 2006 ersuchte A._ zudem um Durchführung einer mündlichen Verhandlung. Das Obergericht des Kantons Uri wies die gestellten Anträge, einschliesslich den verfahrensrechtlichen, welchen es als verspätet erachtete, mit Entscheid vom 31. Januar 2007 ab. Die von A._ hiegegen mit dem Hauptantrag auf Aufhebung des kantonalen Entscheides und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz und dem Eventualantrag auf Zusprechung einer Rente erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 10. Januar 2008 gut, hob den Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 31. Januar 2007 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre (d.h. eine öffentliche Verhandlung durchführe) und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 19. Januar 2006 neu entscheide. B. In Nachachtung des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2008 führte das Obergericht des Kantons Uri am 9. Mai 2008 eine öffentliche mündliche Verhandlung durch. Mit Entscheid vom selben Tag wies es die Beschwerde ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr eine Rente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen und zum Neuentscheid an die Vorinstanz, eventuell die IV-Stelle, zurückzuweisen. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.