Sachverhalt: A. Der 1968 geborene S._ ist Geschäftsführer und einziger Gesellschafter der Firma X._ GmbH, einem in der Transportbranche tätigen Einmannbetrieb, und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) u.a. gegen die Folgen von Nichtberufsunfällen versichert. Nachdem er sich am 10. Oktober 2006 eine Handgelenksdistorsion rechts zugezogen hatte, meldete er am 20. Mai 2008 zwei weitere Unfallereignisse vom 24. und 25. April 2008, welche er im Rahmen eines - krankheitsbedingten - Aufenthaltes im Spital Niederbipp erlitten habe. Die SUVA nahm in der Folge Abklärungen vor und kam mit Verfügung vom 1. September 2008, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 19. November 2008, zum Schluss, dass die angezeigten Ereignisse keine Versicherungsleistungen auslösende Verletzungen bewirkt hätten. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach Durchführung einer Parteiverhandlung ab (Entscheid vom 3. September 2009). C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt im Wesentlichen, es seien ihm Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen zu erbringen; ferner seien ihm eine auf einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit beruhende Invalidenrente und eine "volle" Integritätsentschädigung zuzusprechen. Des Weitern ersucht er um Durchführung einer Parteiverhandlung und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.