Sachverhalt: A. Der 1972 geborene G._ war als selbstständig erwerbender Bodenleger bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen Unfallfolgen versichert, als er am 31. Mai 2005 bei der Arbeit einen Unfall erlitt. Ein Zementsack fiel beim Abladen aus einer Höhe von drei Paletten herunter und prallte gegen die rechte Seite des Kopfes - nach anderer Darstellung in den Akten auch gegen die rechte Schulter-/Nackenpartie - des Versicherten. Der Kopf wurde dadurch nach links gekippt. G._ verlor das Gleichgewicht, knickte in den Knien ein resp. fiel auf diese. Der gleichentags aufgesuchte Hausarzt erhob die Befunde einer starken Druckdolenz der Halswirbelsäule (HWS), rechtsseitig betont, allseits schmerzhaft bewegungseingeschränkt, mit lumbalen Schmerzen ins rechte Bein ausstrahlend, ohne Hinweise auf radikuläre Symptome. Er diagnostizierte eine Distorsion von HWS und Lendenwirbelsäule (LWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (Bericht vom 22. Juni 2005). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 22. November 2005 teilte sie G._ mit, sie werde aufgrund der bezüglich Unfallfolgen wieder gegebenen vollen Arbeitsfähigkeit ab 1. April 2006 kein Taggeld mehr leisten. Daran hielt sie mit Schreiben vom 29. Mai 2006 fest. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2008 eröffnete die SUVA dem Versicherten, sämtliche Versicherungsleistungen würden mit sofortiger Wirkung eingestellt. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerde an der LWS seien nicht mehr unfallbedingt, sondern ausschliesslich krankhafter Natur. Bezüglich der noch geklagten Beschwerden im Bereich des Kopfes und des Nackens fehle es an einer organisch nachweisbaren Unfallfolge; die Adäquanzprüfung ergebe, dass dem Unfall vom 31. Mai 2005 keine rechtserhebliche Bedeutung für diese Beschwerden zukomme. Die von G._ hiegegen erhobene Einsprache wies die SUVA mit Entscheid vom 27. Januar 2010 ab. B. G._ führte Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einspracheentscheides seien die UVG-Leistungen auch ab dem 22. Oktober 2008 zuzusprechen. Replicando beantragte er überdies, die SUVA sei zur Bezahlung der Kosten eines von ihm eingeholten und im kantonalen Verfahren aufgelegten medizinischen Gutachtens zu verpflichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.