Sachverhalt: A. Der spanische Staatsangehörige X._, geb. 1966, arbeitete von 1989 bis 1994 als Saisonnier in der Schweiz. Am 6. März 1994 wurde seine Saisonbewilligung in eine Jahresaufenthaltsbewilligung umgewandelt. Mittlerweile besitzt er die Niederlassungsbewilligung. Er ist ledig und kinderlos. X._ wurde mehrfach straffällig, wobei es zu den folgenden Verurteilungen kam: Am 5. Januar 2000 wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln zu einer Busse von Fr. 1'800.--; am 7. März 2001 wegen Führens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand zu 15 Tagen Gefängnis und einer Busse von Fr. 1'000.--; am 10. März 2006 wegen mehrfacher Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz, mengenmässig qualifiziert und bandenmässig begangen, mehrfacher Geldwäscherei sowie Widerhandlungen gegen das Waffengesetz zu drei Jahren Zuchthaus und fünf Jahren Landesverweisung mit bedingtem Vollzug bei einer Probezeit von drei Jahren. Am 29. Juni 2006 wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen, unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren. B. Mit Verfügung vom 21. August 2006 wies das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, Migrationsdienst, X._ für unbestimmte Zeit aus der Schweiz aus und ordnete an, er habe das Land bis zum 15. Oktober 2006 zu verlassen. Dagegen erhob X._ erfolglos Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Entscheid vom 13. September 2007). C. Mit Urteil vom 24. Juni 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die von X._ hiegegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 28. August 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die gegen ihn verfügte und mit Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Juni 2008 bestätigte Ausweisung aufzuheben. Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wie auch das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Migrationsdienst des Kantons Bern verzichtet auf eine Stellungnahme. E. Dem vom Beschwerdeführer gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 8. September 2008 entsprochen.