Sachverhalt: A. A.a. Mit Schreiben vom 27. Februar 2012 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eine Strafanzeige gegen das "Betreibungsamt 11", die "Stadtpolizei Zürich (Hr. Y._) und Winterthur" im Zusammenhang mit einem gegen ihn durchgeführten betreibungsrechtlichen Verfahren ein. Am 8. März 2012 ersuchte die Staatsanwaltschaft X._, seine Anzeige zu verdeutlichen und alle wesentlichen schriftlichen Unterlagen oder möglichen Beweismittel einzureichen. X._ ergänzte seine Ausführungen erst wieder mit Schreiben vom 13. Februar 2013. A.b. Am 17. Mai 2013 überwies die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Strafanzeige von X._ auf dem Dienstweg (über die Leitung der Staatsanwaltschaft und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich) dem Obergericht des Kantons Zürich. Dabei beantragte sie, die für eine Strafverfolgung erforderliche Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung nicht zu erteilen, da aus den eingegangenen Unterlagen nicht annähernd nachvollziehbar sei, wer wann und wo welche Straftat begangen haben sollte. A.c. Am 8. August 2013 beschloss das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Verfahrens gegen unbekannte Funktionäre der Betreibungsämter Zürich 11 und 12 nicht zu erteilen. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, dass aus den vorgetragenen Beanstandungen kein strafrechtlich massgebliches Verhalten ersichtlich sei. B. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 18. September 2013 an das Bundesgericht beantragt X._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat zu ermächtigen, eine Strafuntersuchung gegen die angezeigten Personen zu eröffnen. Im Wesentlichen macht er geltend, das Obergericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und sein Beschluss sei bundesrechtswidrig und willkürlich. C. Das Betreibungsamt 12 hat unter Hinweis darauf, am fraglichen Fall überhaupt nicht beteiligt zu sein, auf Äusserungen verzichtet. Das Betreibungsamt 11 bestätigt, in der Sache allein tätig gewesen zu sein, und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2013 stellt X._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.