Sachverhalt: A. Das Bundesamt für Migration eröffnete am 26. August 2008 gegen X._ ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG. Mit Verfügung vom 30. November 2010 erklärte das Bundesamt die am 7. Dezember 2005 erfolgte erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 3. Januar 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesverwaltungsgericht wies mit Zwischenverfügung vom 28. Januar 2011 das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung ab und forderte den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- auf. Zur Begründung führte das Gericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde aufgrund der derzeitigen Aktenlage als aussichtslos zu bezeichnen sei. X._ führte dagegen beim Bundesgericht Beschwerde. Mit Urteil vom 17. März 2011 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG mangels hinreichender Begründung nicht ein (Verfahren 1C_85/2011). B. In der Folge setzte das Bundesverwaltungsgericht X._ am 11. April 2011 eine neue Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.--. Dieser wurde innert der gesetzten Frist geleistet. Nach Abschluss eines weitern Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht betreffend Ausstand (Zwischenverfügung vom 21. November 2011, Verfahren C-5128/2011) ersuchte X._ erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Er begründete das neue Ersuchen wiederum mit seiner prekären finanziellen Lage. Mit Zwischenverfügung vom 12. April 2012 wies die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts das erneute Gesuch ab. Zur Begründung führte sie aus, die aktuelle Eingabe von X._ vermöge an der Einschätzung der Aussichtslosigkeit der Begehren in der Hauptsache nichts zu ändern. C. Gegen diesen Entscheid hat X._ beim Bundesgericht am 14. Mai 2012 Beschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, es sei die angefochtene Zwischenverfügung aufzuheben und es sei ihm im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht wie auch im Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Sinne von Art. 41 und 64 BGG zu gewähren. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.