Sachverhalt: A. X._ und Y._ sind seit 2007 miteinander verheiratet. Sie leben im selben Haushalt mit dem gemeinsamen Sohn A._ (geb. 2006) und dem Sohn bzw. Stiefsohn B._ (geb. 2004) aus einer früheren Beziehung der Ehefrau. B. B.a. In den gegen X._ und Y._ gerichteten Betreibungen Nr. aaa, bbb, ccc, ddd, eee, fff, ggg stellte das Betreibungsamt Wil am 12. April 2013 die Pfändungsurkunden Nr. hhh und iii aus. Gegen diese Verfügungen erhoben X._ und Y._ am 19. April 2013 Beschwerde beim Kreisgericht Wil als unterer Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen. Am 15. Mai 2013 reichten sie beim Kreisgericht zusätzlich eine Aufsichtsbeschwerde betreffend Anzeige der Einkommenspfändung vom 8. Mai 2013 ein. Schliesslich beschwerten sie sich am 27. Mai 2013 gleichenorts über eine Einkommenspfändung vom 15. Mai 2013. Das Kreisgericht vereinigte die Verfahren. Mit Entscheid vom 29. Mai 2013 hiess es die Beschwerde teilweise gut. Die Berechnung des Existenzminimums für den Monat Januar 2013 wurde berichtigt und den Schuldnern ein Betrag von Fr. 50.-- gutgeschrieben. B.b. Gegen den Entscheid des Kreisgerichts erhoben X._ und Y._ am 16. Juni 2013 Beschwerde beim Kantonsgericht St. Gallen als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung. Am 28. Juni 2013 reichten sie beim Kantonsgericht zusätzlich eine Beschwerde gegen die vom Betreibungsamt Wil am 18. Juni 2013 ausgestellte Pfändungsurkunde ein und beantragten, diese Beschwerde im bereits hängigen Verfahren zu behandeln. Mit Entscheid vom 27. August 2013 wies das Kantonsgericht St. Gallen die Beschwerde ab. Die gegen die am 18. Juni 2013 ausgestellte Pfändungsurkunde gerichtete Beschwerde leitete es zuständigkeitshalber an die untere Aufsichtsbehörde weiter. C. C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. September 2013 wenden sich X._ und Y._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie stellen dabei die folgenden Rechtsbegehren: "1. Das Urteil des Kantonsgerichtes / Obere Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung vom 27. August 2013 sei aufzuheben und es seien: a) Die Kinderalimente für B._ sollen allein dem Kinde zugute kommen, wie dies bereits in den Vorjahren der Fall war. Die Verrechnung der Alimente mit Miete, Krankenkasse, Betreuungskosten im Notbedarf sei zu unterbinden. Bereits getätigte Verrechnungen (ab Januar 2013) sollen zurückerstattet werden b) Die Lohnpfändung ab Mai 2013 seien auf den das Existenzminimum übersteigenden Verdienst zu beschränken und allfällig zu viel gepfändete Beträge seien umgehend zurückzuerstatten c) Die Berechnungen des monatlichen Existenzminimums, und die daraus resultierende Abrechnung (Nachforderung oder Ausgleichszahlung) seien unabhängig von einem laufenden Verfahren monatlich zu erstellen 2. Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Sachverhaltsergänzung und neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen 3. Es soll die Nichtigkeit der Pfändungsverfügungen vom 18. Juni 2013 festgestellt werden 4. Es soll die Nichtigkeit der Pfändungsverfügungen vom 12. April 2013 und vom 10. April 2013 festgestellt werden 5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge" Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.