Sachverhalt: A. A.a H._ war seit 1. August 1994 als Logopädin beim Erziehungsdepartement des Kantons Schaffhausen mit einem Pensum von zuletzt 50 % angestellt. Wegen Beanstandungen durch Eltern und Lehrer der Schulgemeinde X._ fand am 14. Mai 2007 ein Gespräch mit ihr statt und wurde ihr empfohlen, sie solle kündigen und sich pensionieren lassen; ansonsten werde sie in den vorzeitigen Ruhestand versetzt. Dem leistete H._ keine Folge. Das Erziehungsdepartement löste daher mit Verfügung vom 11. Juli 2007 das Arbeitsverhältnis mit H._ wegen schlechter Arbeitsqualität auf den 31. Januar 2008 durch vorzeitige Versetzung in den Ruhestand auf (Ziff. 1) und sprach ihr eine Übergangsrente gemäss Übergangsrentendekret zu (Ziff. 2). A.b Mit Beschluss vom 27. November 2007 wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen den gegen diese Verfügung gerichteten Rekurs ab. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der H._ wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 12. November 2009 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt H._, unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids "sei die Nichtigkeit der vorzeitigen Pensionierung gemäss Ziffer 1 der Verfügung des Erziehungsdepartements vom 11. Juli 2007 festzustellen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen" (Rechtsbegehren Ziff. 1) und "es sei die Sache zur Prüfung der materiellen Voraussetzungen einer Abfindung gemäss Art. 17 PG an die Vorinstanz zurückzuweisen" (Rechtsbegehren Ziff. 2). Zudem ersucht sie für das letztinstanzliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung). Während das Erziehungsdepartement auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Obergericht mit Eingabe vom 26. Februar 2010 auf einen Antrag, nimmt aber zu verschiedenen Vorbringen inhaltlich Stellung.