Sachverhalt: A. C._ und auch seine Ehefrau arbeiteten in der Firma P._ AG, wo beiden per Ende April 2005 gekündigt wurde. In der Folge versuchte C._ am 11. Februar 2005 in suizidaler Absicht, sich im Lager des Arbeitgeberbetriebes mit einem Plastikband zu erhängen, wurde jedoch von einem Arbeitskollegen noch rechtzeitig entdeckt, sodass er gerettet werden konnte. Auf die Erstbehandlung in der Klinik für Unfallchirurgie des Universitätsspitals Y._ folgten unter anderem Aufenthalte in der Psychiatrischen Privatklinik des Sanatoriums K._ vom 21. Februar bis 21. April 2005 und in der Rehaklinik B._ vom 12. Oktober bis 23. November 2005. Zudem stand C._ regelmässig in ärztlicher, vor allem psychiatrischer Behandlung. Eine Arbeitsfähigkeit konnte er indessen nicht mehr erlangen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), bei welcher C._ gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten obligatorisch versi-chert war, kam für die Heilbehandlung auf und erbrachte Taggeldzahlungen, stellte diese Leistungen mit Verfügung vom 21. Juni 2007 jedoch auf den 30. September 2007 hin ein, weil die noch vorhandenen Beschwerden organisch nicht erklärbar seien und mit dem - als Unfall anerkannten - Ereignis vom 11. Februar 2005 nicht in adäquatem Kausalzusammenhang stünden. Daran hielt sie auf die Einsprachen des Versicherten selbst und der Helsana Versicherungen AG als dessen Krankenversicherung hin mit Entscheid vom 21. Juli 2008 fest. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen gerichtete Beschwerde von C._ mit Entscheid vom 10. März 2010 ab. C. C._ lässt Beschwerde erheben mit dem Antrag, die SUVA sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheids zu verpflichten, ihm die "gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Rente, Integritätsentschädigung)" zu erbringen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.