Sachverhalt: Sachverhalt: A. K._ (geb. 1959) absolvierte vom März 1977 bis März 1981 eine Ausbildung zur Hotelfachassistentin. 1981 und 1985 gebar sie zwei Söhne. Im September 1994 wurde die Ehe geschieden, nachdem K._ sich wegen Gewalttätigkeit des Ehemannes ein halbes Jahr im Frauenhaus aufgehalten hatte. Seit 1989 übt sie eine Tätigkeit als Heimarbeiterin aus. Weiter nahm sie Stellen als Haushalthilfe und Raumpflegerin an. Wegen psychischen Problemen, Zähneklappern, Zittern, Schlafstörungen und Schweissausbrüchen meldete sich K._ am 29. Oktober 1996 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen, erwerblichen und Haushaltsabklärungen sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 19. Juli 2001 bei einem Invaliditätsgrad von 41 % eine Viertelsrente zu. Ein eventueller Härtefall konnte nicht geprüft werden, da das Ergänzungsblatt 3 nicht ausgefüllt zurückgesandt worden war. A. K._ (geb. 1959) absolvierte vom März 1977 bis März 1981 eine Ausbildung zur Hotelfachassistentin. 1981 und 1985 gebar sie zwei Söhne. Im September 1994 wurde die Ehe geschieden, nachdem K._ sich wegen Gewalttätigkeit des Ehemannes ein halbes Jahr im Frauenhaus aufgehalten hatte. Seit 1989 übt sie eine Tätigkeit als Heimarbeiterin aus. Weiter nahm sie Stellen als Haushalthilfe und Raumpflegerin an. Wegen psychischen Problemen, Zähneklappern, Zittern, Schlafstörungen und Schweissausbrüchen meldete sich K._ am 29. Oktober 1996 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen, erwerblichen und Haushaltsabklärungen sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 19. Juli 2001 bei einem Invaliditätsgrad von 41 % eine Viertelsrente zu. Ein eventueller Härtefall konnte nicht geprüft werden, da das Ergänzungsblatt 3 nicht ausgefüllt zurückgesandt worden war. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholen eines gerichtlichen Gutachtens von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie, vom 24. August 2002 gut und sprach K._ ab dem 1. Januar 1996 eine ganze IV-Rente zu. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholen eines gerichtlichen Gutachtens von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie, vom 24. August 2002 gut und sprach K._ ab dem 1. Januar 1996 eine ganze IV-Rente zu. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die IV-Stelle beantragen, es sei festzustellen, dass die Versicherte ab 1. Januar 1996 bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung als zu je 50% als Erwerbstätige und im Haushalt Tätige zu betrachten sei, und die Sache sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es die Berechnung der Invaliditätsgrade der Jahre 1996 bis 2001 nach der gemischten Methode neu vornehme. K._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und die unentgeltliche Verbeiständung beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.