Sachverhalt: A. A.a. Mit Beschluss vom 2. November 2011 erteilte die Vormundschaftsbehörde Prättigau-Davos den Eltern X._ und Y._ sowie deren Sohn Z._ (geboren 1997) die Weisung, dieser habe im Sinne einer Kindesschutzmassnahme eine Time-Out-Zeit in der Klinik A._ zu verbringen, dort zu wohnen und die Schule zu besuchen. Den Sozialdienst der Gemeinde Davos wies die Vormundschaftsbehörde an, bei grundsätzlicher Kostenpflicht der Eltern, für die externe Platzierung subsidiäre Kostengutsprache zu leisten. Der Beschluss ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Z._ hielt sich vom 3. November bis 23. Dezember 2011 und vom 2. Januar bis 1. Februar 2012 in der Klinik A._ auf. Für diese Zeit stellte die Klinik der Vormundschaftsbehörde Rechnung im Betrag von insgesamt Fr. 24'000.-. A.b. Mit Verfügung vom 24. April 2012 stellte die Gemeinde Davos fest, dass die Eltern von Z._ aufgrund ihrer finanziellen Verhältnisse nicht in der Lage seien, die Kosten der externen Platzierung ihres Sohnes zu bezahlen. Sie beschloss daher, die entstandenen Kosten in Höhe von Fr. 24'000.- subsidiär zu übernehmen und den für die Platzierung bevorschussten Betrag über eine Grundpfandverschreibung beim Grundbuchamt Davos sicherzustellen. Die Eltern von Z._ forderte sie auf, zwecks Regelung der Modalitäten für die Grundpfandverschreibung mit dem Sozialdienst Davos Kontakt aufzunehmen. Weiter hielt die Gemeinde fest, gemäss Gesetzgebung über die öffentliche Unterstützung sei die geleistete Sozialhilfe rückerstattungspflichtig. B. Die von X._, Y._ und Z._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 30. April 2013 ab. C. X._ und Y._ beantragen dem Bundesgericht mit einer als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 9. September 2013, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben mit der Feststellung, dass keine Schuld im Sinne der Verfügung der Gemeinde Davos vom 24. April 2012 bestehe. Die Gemeinde Davos und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.