Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 27. Dezember 2010 wies die Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen das Gesuch von K._ um Erlass der Rückerstattung zuviel ausgerichteter Ergänzungsleistungen (EL) in der Höhe von Fr. 16'125.- ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Dezember 2011 fest, wobei sie einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren verneinte. B. Dagegen liess K._ Beschwerde erheben. Mit Entscheid vom 6. August 2012 wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Ausgleichskasse an, der Versicherten eine Entschädigung für unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren zuzusprechen (Dispositiv-Ziffer 1), sprach deren Rechtsvertreterin eine Entschädigung für das Beschwerdeverfahren zu (Dispositiv-Ziffer 4) und wies im Übrigen das Rechtsmittel ab (Dispositiv-Ziffer 2). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Ausgleichskasse, es sei festzustellen, dass für das Einspracheverfahren kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung besteht. K._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.