Sachverhalt: A. S._, geboren 1972, leidet seit einer Heckauffahrkollision von 1995 an Beschwerden auf Höhe der Halswirbelsäule (HWS). Am 17. März 2003 trat er eine neue Arbeitsstelle als Anlageberater in der Firma X._ SA (nachfolgend: Arbeitgeberin) an und war in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Nach einer ersten Kündigungsandrohung vom 17. Dezember 2003 per 28. Februar 2004 für den Fall der Nichterfüllung arbeitsvertraglich vereinbarter Ziele kündigte die Arbeitgeberin am 25. Februar 2005 das Arbeitsverhältnis per 30. April 2005 und stellte den Versicherten ab anfangs März 2005 frei. Innerhalb der laufenden Kündigungsfrist wurde der Versicherte krankheitsbedingt arbeitsunfähig. Am 24. Juni 2005 teilte ihm die Arbeitgeberin mit, dass das Arbeitsverhältnis in Anwendung von Art. 336c OR bei anhaltender Arbeitsunfähigkeit spätestens per 31. August 2005 beendet werde. Während die zuständige Kollektiv-Krankentaggeldversicherung dem Versicherten ein Taggeld im Sinne von Ziffer 6.6 des Personalreglements 2003 der Arbeitgeberin entrichtete, stürzte und verletzte sich dieser am 16. Februar 2006 als Fahrgast bei einem Notstopp eines Trams. Am 14. Juni 2007 liess der Versicherte dieses Ereignis bei der AXA als Unfall anmelden. Diese verneinte mit Verfügung vom 19. Oktober 2007, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 27. März 2009, eine UVG-Deckung in Bezug auf das angemeldete Ereignis, weil der Versicherte per 31. August 2005 aus dem Betrieb der Arbeitgeberin ausgetreten sei und die Deckung demzufolge 30 Tage später geendet habe. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des S._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 24. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids beantragten, die AXA habe ihm vom 27. Mai 2007 bis 15. Juni 2008 ein UVG-Taggeld, ab 16. Juni 2008 "eine UVG-Rente in Höhe von 75 %" sowie eine angemessene Integritätsentschädigung auszurichten. Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit überhaupt darauf einzutreten sei, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.