Sachverhalt: A. X._ (geb. 2008) ist die Tochter von Z._ und Y._. Dieser anerkannte seine Vaterschaft am 5. Februar 2010. X._ lebt zusammen mit ihrer Mutter und ihren Halbgeschwistern S._ (geb. 1998) und T._ (geb. 2012) in A._. Der Vater lebt in B._ (Deutschland). B. Am 3. September 2010 klagte X._, gesetzlich vertreten durch ihre Mutter, gegen Y._ auf Unterhalt. Mit Urteil vom 18. Oktober 2011 verpflichtete das Bezirksgericht Horgen Y._, seiner Tochter rückwirkend ab 10. Juni 2009 und bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 2'000.-- zu bezahlen. C. C.a. Dagegen reichten sowohl X._ als auch Y._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. X._ verlangte einen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 2'550.-- ab 10. Juni 2009 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus. Y._ beantragte, die Unterhaltsbeiträge wie folgt festzusetzen: Rückwirkend ab 10. Juni 2009 bis zum 31. Juli 2011 monatlich Fr. 1'300.-- und ab 1. August 2011 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus, monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 860.--, zuzüglich der anfallenden hälftigen Kosten für die Betreuung von X._ in einem Kindergarten. C.b. Mit Urteil vom 11. Januar 2013 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich Y._ zur Leistung folgender monatlicher Unterhaltsbeiträge: Fr. 1'500.-- ab 10. Juni 2009 bis und mit Januar 2013, Fr. 1'800.-- ab Februar 2013 bis und mit April 2020, Fr. 2'000.-- ab Mai 2020 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus. D. D.a. Mit Beschwerde vom 18. Februar 2013 (Postaufgabe) ans Bundesgericht verlangt X._ (Beschwerdeführerin), Y._ (Beschwerdegegner) zur Leistung der folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträge zu verpflichten: Bis und mit 6. Altersjahr Fr. 2'550.--, zuzüglich Kinderzulagen und der Hälfte der anfallenden Fremdbetreuungskosten; ab 7. bis 12. Altersjahr: Fr. 2'418.--, zuzüglich Kinderzulagen und der Hälfte der anfallenden Fremdbetreuungskosten; ab 13. Altersjahr: Fr. 2'337.--, zuzüglich Kinderzulagen, bis zum Abschluss der Erstausbildung auch über die Mündigkeit hinaus. Zudem stellt X._ ein Gesuch um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege. D.b. Am 19. Februar 2013 teilte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin mit, dass sie von der Leistung eines Kostenvorschusses einstweilen dispensiert ist, über das Gesuch um entgeltliche Prozessführung aber erst zu einem späteren Zeitpunkt entschieden wird. Gleichzeitig wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Im Übrigen holte das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten ein. Auf eine Vernehmlassung wurde verzichtet.