Sachverhalt: A. A.a Der 1968 geborene J._ arbeitete bis 31. Mai 2004 als Elektromonteur bei der Firma X._ AG. Zudem war er bis 31. Dezember 2005 bei der Baugenossenschaft Y._, nebenberuflich als Hauswart tätig. Am 20. Dezember 2003 erlitt er bei einer Auffahrkollision eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Am 21. September 2004 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese sprach ihm ab 1. Dezember 2004 bis 31. März 2006 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %) und ab 1. April bis 2006 bis 31. Januar 2007 eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad 50 %; Verfügungen vom 11. Februar und 24. April 2008) zu. Die dagegen eingereichten Beschwerden wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Es hob die Verfügungen auf, soweit dem Versicherten damit über den 31. Januar 2006 hinaus eine Rente zugesprochen wurde (Entscheid vom 6. Februar 2009). Die dagegen geführte Beschwerde hiess das Bundesgericht teilweise gut. Es hob diesen Entscheid sowie die Verfügungen der IV-Stelle auf und wies die Sache an diese zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch neu verfüge. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_362/2009 vom 14. Dezember 2009). A.b Die IV-Stelle zog diverse Arztberichte und ein interdisziplinäres (internistisches/allgemeinmedizinisches, psychiatrisches und neurologisches) Gutachten des Instituts M._ vom 21. Juni 2010 bei. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2010 verneinte sie den Rentenanspruch (Invaliditätsgrad 35 %). B. In teilweiser Gutheissung der dagegen geführten Beschwerde hob das kantonale Gericht die Verfügung auf und stellte fest, der Versicherte habe ab 1. Dezember 2004 bis 31. Januar 2006 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrenten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Es setzte die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters auf Fr. 1'399.50 (inklusive Mehrwertsteuer) fest; es entschädigte ihn mit Fr. 1'119.60 aus der Gerichtskasse und verpflichtete die IV-Stelle, ihm eine Prozessentschädigung von Fr. 279.90 zu bezahlen (Entscheid vom 30. Januar 2012). C. J._, vertreten durch Rechtsanwalt A._, und dieser selber führen gemeinsam Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgenden Rechtsbegehren: In teilweiser Aufhebung des kantonalen Entscheides sei dem Versicherten auch ab 1. Februar 2006 eine Rente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von mindestens 40 % zuzusprechen; das Gutachten des Instituts M._ vom 21. Juni 2010 sei vollständig aus dem Recht zu weisen; die IV-Stelle sei zu verpflichten, dem Bundesgericht die Originale oder Kopien der im Institut M._ angefertigten Teilgutachten zu edieren; eventuell sei sie im Rahmen einer Rückweisung zu verpflichten, eine neue polydisziplinäre Begutachtung in Auftrag zu geben; dem Versicherten sei die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Rechtsanwalt A._ seien im vorinstanzlichen Verfahren die Aufwendungen von total 11,5 Stunden zu entgelten. Ein zweiter Schriftenwechsel sei durchzuführen. Bei der Vorinstanz wurden die Akten eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.