Sachverhalt: A. A.a Die X._ AG wurde im Jahr 2003 gegründet und hat ihren Sitz in J._ (Kanton Aargau). Sie bezweckt die Herstellung, den Handel und die Erbringung von Dienstleistungen mit Bauelementen jeglicher Art, insbesondere mit Zaun- und Toranlagen aus Aluminium im gesamten schweizerischen Markt. A.b Am 7. März 2012 wurde die Löschung von A._ als Mitglied des Verwaltungsrats der X._ AG im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) publiziert. Die Gesellschaft verfügte in der Folge nur noch über einen Verwaltungsrat mit Wohnsitz in Österreich und einen kollektivzeichnungsberechtigten Direktor mit Wohnsitz in der Schweiz. A.c Mit öffentlicher Bekanntmachung im SHAB vom 5. April 2012 wies das Handelsregisteramt des Kantons Aargau die X._ AG darauf hin, dass die Gesellschaft die gesetzlich zwingend vorgeschriebene Organisation nicht aufweise, und forderte sie gestützt auf Art. 154 HRegV auf, innert 30 Tagen den rechtmässigen Zustand wiederherzustellen und die entsprechende Eintragung anzumelden. Die angesetzte Frist lief unbenützt ab. B. B.a Mit Gesuch vom 23. Mai 2012 stellte das Handelsregisteramt dem Handelsgericht des Kantons Aargau gestützt auf Art. 941a Abs. 1 OR den Antrag, es seien aufgrund von Mängeln in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der X._ AG die erforderlichen Massnahmen im Sinne von Art. 731b OR zu ergreifen. B.b Die Bestätigung des Handelsgerichts vom 30. Mai 2012 über den Eingang des Gesuchs konnte der Gesuchsgegnerin an der im Register eingetragenen Domiziladresse sowie den zur Anmeldung verpflichteten Personen nicht zugestellt werden. Mittels öffentlicher Bekanntmachung im SHAB vom 8. Juni 2012 bestätigte das Handelsgericht den Parteien den Eingang des Gesuchs und setzte der Gesuchsgegnerin eine Frist von 20 Tagen zur Erstattung einer schriftlichen Antwort. Die Gesuchsgegnerin liess sich nicht innert Frist vernehmen. Mittels öffentlicher Bekanntmachung vom 16. Juli 2012 setzte das Handelsgericht der Gesuchsgegnerin eine letzte Frist von 10 Tagen zur Beseitigung des Organisationsmangels unter Androhung der Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs. Die Gesuchsgegnerin liess die Frist ungenutzt verstreichen. B.c Mit Entscheid vom 20. August 2012 (veröffentlicht im SHAB vom 22. August 2012) löste das Handelsgericht die Gesuchsgegnerin auf, ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an (Dispositiv-Ziffern 1-4) und auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- der Gesuchsgegnerin (Dispositiv-Ziffer 5). Das Handelsgericht kam zum Schluss, dass die Gesellschaft nicht durch eine Person vertreten werden könne, die Wohnsitz in der Schweiz hat (Art. 718 Abs. 4 OR). Die Gesuchsgegnerin weise damit einen Organisationsmangel i.S. von Art. 731b OR auf und sei aufzulösen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchsgegnerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons Aargau vom 20. August 2012 aufzuheben und das Organisationsmängelverfahren infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Abschreibung infolge Gegenstandslosigkeit zurückzuweisen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Gesuchsgegnerin macht im Wesentlichen geltend, dass die Gesellschaft mit Beschluss der Generalversammlung vom 16. Juli 2012 aufgelöst worden und B._ mit Wohnsitz in K._ als Liquidator mit Einzelunterschrift eingesetzt worden sei. Diese Tatsachen seien am 17. August 2012 in das Tagebuch des Handelsregisters eingetragen worden, womit im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids der Organisationsmangel wirksam behoben gewesen sei. Der Grund, weshalb die Beschwerdeführerin auf die Aufforderungen der Vorinstanz nicht reagiert habe, liege darin, dass sie ihre Geschäftstätigkeit zwischenzeitlich aufgegeben und über keinen Briefkasten an ihrem Domizil mehr verfügt habe. Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung demgegenüber die Gutheissung der Beschwerde im Eventualpunkt, da der massgebliche Organisationsmangel, d.h. das Fehlen eines zeichnungsberechtigten Vertreters mit Sitz in der Schweiz gemäss Art. 718 Abs. 4 OR, im Urteilszeitpunkt nicht mehr bestanden habe. D. Mit Präsidialverfügung vom 22. Oktober 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.