Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 3. Juli 2007 erteilte das Gerichtspräsidium 3 Baden B.X-Y._ (Gläubigerin) in der gegen A.X._ (Schuldner) eingeleiteten Betreibung Nr. 00000000 des Betreibungsamtes Birmenstorf definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 57'105.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 24. Mai 2007, die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 100.--, den Kostenansatz von Fr. 500.-- sowie die Parteientschädigung von Fr. 986.50. Das Gerichtspräsidium gab den Rechtsöffnungsentscheid am 4. Juli 2007 als Gerichtsurkunde bei der Post Baden auf; die Sendung wurde dem Schuldner am 5. Juli 2007 von der Post Birmenstorf avisiert. Nachdem der Schuldner die Gerichtsurkunde nicht abgeholt hatte, sandte sie die Post mit dem Vermerk: "nicht abgeholt" an den Absender zurück, worauf sie am 16. Juli 2007 beim Gerichtspräsidium Baden eintraf. Dieses schickte dem Schuldner am 14. August 2007 mit gewöhnlicher Post eine Kopie des Rechtsöffnungsentscheids und wies ihn darauf hin, dass die Rechtsmittelfrist abgelaufen und der Entscheid am 7. August 2007 in Rechtskraft erwachsen sei. B. Der Schuldner ersuchte am 20. August 2007 um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist, welches Begehren das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 24. Oktober 2007 abwies. C. Der Schuldner gelangt mit Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist gutzuheissen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. D. Mit Eingabe vom 25. Januar 2008 ersucht der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.