Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. 1955, reiste im Dezember 1983 in die Schweiz zu seiner hier lebenden Ehefrau ein. 1986 wurde ein von ihm gestelltes Asylgesuch abgewiesen. 1990 erhielten er und seine Familie eine Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen. In der Folge wurde X._ wiederholt sozialhilfeabhängig, machte Schulden und wurde verschiedentlich wegen Verletzung von Verkehrsdelikten sowie wegen Ungehorsams des Schuldners im Betreibungs- und Konkursverfahren strafrechtlich verurteilt. 1994, 1995 und 2002 verwarnte ihn die jeweils zuständige Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt. 2004 drohten ihm die Einwohnerdienste Basel-Stadt die Ausweisung an. Am 10. März 2006 wurde ihm die Aufenthaltsbewilligung, nach längeren Abklärungen, letztmals verlängert. Mit Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt vom 14. Juni 2006 wurde X._ wegen verschiedener Straftaten, insbesondere mehrfachen Diebstahls, mehrfachen Betrugs, Nötigung sowie mehrfacher einfacher Körperverletzung und Tätlichkeiten zu 22 Monaten Gefängnis und zehn Jahren Landesverweisung verurteilt. Auf ein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vom 20. April 2007 teilte die Migrationsbehörde Basel-Stadt (Bereich Bevölkerungsdienste und Migration; heute: Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt) X._ mit, dass ein Ausweisungsverfahren eingeleitet werde. Mit Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 7. Juni 2007 wurde die Ehe von X._ geschieden. Am 5. Dezember 2007 bestätigte das Appellationsgericht Basel-Stadt das Urteil des Strafgerichts vom 14. Juni 2006, setzte jedoch elf Monate der verhängten Gefängnisstrafe zur Bewährung aus bei einer Probezeit von vier Jahren. Mit Verfügung vom 28. November 2008 verweigerte die Migrationsbehörde die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies ihn aus der Schweiz weg. B. Am 20. November 2009 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt einen dagegen erhobenen Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. Dagegen reichte X._ Rekurs beim Appellationsgericht Basel-Stadt ein, wobei er je ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowie um Bewilligung der aufschiebenden Wirkung stellte. Am 19. Februar 2010 heiratete er eine Schweizerin. Mit Verfügung vom 8. März 2010 wies der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt sowohl das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung als auch dasjenige um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. April 2010 an das Bundesgericht beantragt X._, den Entscheid des Präsidenten des Appellationsgerichts vom 8. März 2010 aufzuheben, dem vor dem Appellationsgericht hängigen Rekurs die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und X._ für das Verfahren vor dem Appellationsgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. D. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt hat sich zur Beschwerde vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen, führt inhaltlich aber aus, weshalb seiner Ansicht nach die angefochtene Verfügung zu bestätigen sei. E. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 5. Mai 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren zuerkannt.