Sachverhalt: Mit Verfügung vom 29. Juni 2005 und Einspracheentscheid vom 12. September 2006 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt einen Anspruch des 1962 geborenen B._ auf eine Rente der Invalidenversicherung mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 19. März 2007 ab. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente mit Wirkung ab 1. April 2001. Das überdies gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde mit Entscheid vom 11. Juni 2007 abgewiesen. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.