Sachverhalt: A. Der 1953 geborene W._ war als Polier in der Firma B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 15. Oktober 2003 innerorts einen Verkehrsunfall erlitt. Ein abbiegender BMW 328 prallte frontal in die linke vordere Ecke des Mazda 626, in dem der Versicherte als Beifahrer sass. W._ wurde notfallmässig ins Spital U._ überführt. Dort wurden eine traumatische Milzruptur und eine Rippenserienfraktur mit Hämatopneumothorax links diagnostiziert und eine Rissquetschwunde frontal links am Kopf festgestellt. Es wurden eine apikale und basale Thoraxdrainage links sowie eine mediane Laparotomie mit Revision des Abdomens und Splenorhaphie vorgenommen. Am 4. November 2003 konnte W._ das Spital wieder verlassen (Spitalbericht vom 10. November 2003). Es folgten nebst ambulanter Behandlung Rehabilitationsaufenthalte in der Klinik D._ (vom 4. bis 29. November 2003) und in der Klinik E._ (vom 7. Juli bis 18. August 2004). Die SUVA gewährte Heilbehandlung. Zudem richtete sie Taggeld aus, welches sie mit rechtskräftiger Verfügung vom 21. November 2003 wegen Nichttragens der Sicherheitsgurten um 10 % kürzte. Nach verschiedenen Abklärungen eröffnete die SUVA dem Versicherten mit Verfügung vom 8. März 2007, die Leistungen würden auf den 31. Juli 2007 eingestellt und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente, da die bestehenden Beschwerden organisch nicht hinreichend nachweisbar, sondern vielmehr psychischer Natur seien und es am rechtserheblichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 15. Oktober 2003 fehle. Mit Verfügung vom 9. März 2007 sprach der Versicherer W._ für den bestehenden Tinnitus eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 5 % zu. Der Versicherte erhob Einsprache gegen die Verfügung vom 8. März 2007. Die SUVA hielt an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007). B. Die von W._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid UV.2007.00515 vom 2. März 2009 ab. In einem separaten Verfahren betreffend Leistungsansprüche des W._ aus der Invalidenversicherung hob das Sozialversicherungsgericht eine Verfügung der IV-Stelle auf und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung und zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück (Entscheid IV.2008.00419 vom 2. März 2009). C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid betreffend Unfallversicherung und die Verfügung der SUVA vom 8. März 2007 (resp. der an die Stelle der Verfügung getretene Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007) seien aufzuheben, der Unfallversicherer sei zu verpflichten, weiterhin, auch ab 1. April 2007, die gesetzlich geschuldeten Leistungen zu erbringen, zuzüglich Verzugszins zu 5 %, und die Sache sei an die SUVA zurückzuweisen, damit diese die notwendigen Sachverhaltsabklärungen durchführe und danach über den Rentenanspruch neu entscheide. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 21. Juli 2009 äussert sich W._ nochmals.