(Disziplinarverfahren), hat sich ergeben: A.- Y._ wandte sich am 20. März 2001 telefonisch an Rechtsanwalt X._, nachdem ihr Ehemann zwei Tage zuvor aus der ehelichen Wohnung ausgezogen war. Sie wünschte, von Rechtsanwalt X._ persönlich betreut zu werden. Am 23. März 2000 fand im Hinblick auf ein Eheschutzverfahren eine erste Besprechung statt, anlässlich der auch die Anwaltsvollmacht unterzeichnet wurde. Dabei erklärte Rechtsanwalt X._ Y._ unter anderem, er könne auf Grund der Kostenstruktur seines Anwaltsbüros keine Prozessvertretungen in unentgeltlicher Rechtspflege übernehmen; in ihrem Fall würden die Anwaltskosten von ihrem Ehemann übernommen. Nach einer zweiten Besprechung am 14. April 2000 mit beiden Parteien verlangte Rechtsanwalt X._ vom Ehemann von Y._ die Bezahlung eines Anwaltskostenvorschusses von Fr. 3'225.-- einschliesslich Mehrwertsteuer. Nachdem dieser Zahlungsaufforderung keine Folge geleistet worden war, verlangte Rechtsanwalt X._ von Y._ selber am 8. Mai 2000 einen Kostenvorschuss, diesmal in der Höhe von Fr. 3'762. 50 einschliesslich Mehrwertsteuer. Im gleichen Schreiben bestätigte Rechtsanwalt X._ "der guten Ordnung halber", dass er nicht in der Lage sei, so genannte unentgeltliche Prozessführungen zu übernehmen; ausserdem teilte er seiner Klientin mit, ihr Dossier werde vorläufig von seinem Mitarbeiter, Fürsprecher Z._, bearbeitet. Am 10. Mai 2000 erklärte ihr X._, er könne weitere Kopien erst nach Eingang des Kostenvorschusses erstellen, und empfahl ihr, einen anderen Anwalt zu beauftragen, wenn sie mit der Mandatsführung durch Fürsprecher Z._ nicht einverstanden sein sollte. Nachdem Y._ in der Folge den Rechtsanwalt gewechselt hatte, reichte sie gegen Fürsprecher X._ am 27. Juni 2000 eine Disziplinarbeschwerde ein. Sie beanstandete dessen Weigerung, die Vertretung in unentgeltlicher Prozessführung zu übernehmen, sowie das Erheben eines Anwaltskostenvorschusses trotz offensichtlicher Mittellosigkeit und machte geltend, die Honorarforderung von Fr. 1'972. 50 sei übermässig. B.- Die Anwaltskammer des Kantons Bern beurteilte die Erklärung von Fürsprecher X._, wonach er keine Prozessvertretungen in unentgeltlicher Prozessführung übernehme, als Verstoss gegen die Standeswürde (Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes des Kantons Bern vom 6. Februar 1984) und disziplinierte ihn mit Entscheid vom 28. Juni 2001 mit einer Busse von Fr. 600.--. Einen Verstoss gegen die in Art. 12 des Fürsprecher-Gesetzes vorgesehene Pflicht zur amtlichen Prozessvertretung verneinte sie, da Rechtsanwalt X._ nicht vom Richter zum amtlichen Anwalt ernannt worden sei. Auch eine Verletzung des Anwaltstarifs wurde verneint. C.- Gegen den am 18. Juli 2001 bzw. 23. Juli 2001 eröffneten Entscheid hat X._ mit Eingabe vom 14. September 2001 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 27 BV (Wirtschaftsfreiheit), Art. 30 Abs. 1 BV (Garantie der richtigen Besetzung des Gerichts) sowie wegen Willkür (Art. 9 BV) erhoben. Er stellt den Antrag, den Entscheid der Anwaltskammer vom 28. Juni 2001 aufzuheben. Ausserdem stellt er das Gesuch um aufschiebende Wirkung. D.- Am 19. September 2001 hat die Anwaltskammer mitgeteilt, dass ihr bei der Bekanntgabe der Zusammensetzung im vorliegenden Fall ein Versehen unterlaufen sei, das von Amtes wegen zu berichtigen sei. Sie reicht diesbezüglich eine Berichtigungsverfügung vom 19. September 2001 ein. Nachdem Y._ am 27. September 2001 dem Bundesgericht mitgeteilt hatte, dass sie gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung keine Einwände habe, hat der Abteilungspräsident der Beschwerde mit Verfügung vom 16. Oktober 2001 die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Y._ beantragt mit Vernehmlassung vom 19. Oktober 2001, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen. Die Anwaltskammer verzichtet unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung.