Sachverhalt: A. X._, vertreten durch seinen Rechtsanwalt, stellte am 26. Juli 2006 bei der Opferberatungsstelle des Kantons Glarus gestützt auf das Bundesgesetz vom 4. Oktober 1991 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) ein Gesuch um anwaltliche Soforthilfe und um weitere anwaltliche Hilfe. Sein Gesuch begründete er damit, dass sein Vater, Y._, der von 1962 bis 1987 bei der Z._ AG in A._ gearbeitet und im Rahmen dieser Tätigkeit Asbest ausgesetzt gewesen sei, an den Folgen eines durch die Astbestexposition verursachten Lungenkarzinoms am 25. Dezember 2005 gestorben sei. Zur Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung führte er Folgendes aus: - Beispielsweise erging vor kurzem eine Verfügung der SUVA, welche voraussichtlich anzufechten sein wird. Es sind zudem weitere rechtliche Schritte, allenfalls auch gegen die Verantwortlichen der Z._ AG, zu prüfen. Mit heutigem Datum wurde sodann beim Kantonalen Sozialamt vorsorglich ein Gesuch um Entschädigung und Genugtuung eingereicht. Auch in diesem Verfahren stellen sich komplexe rechtliche Fragen, weshalb sich ausnahmsweise der Beizug eines Rechtsvertreters auch für das Opferhilfe-Verfahren (betr. Entschädigung und Genugtuung) aufdrängt. ... - Insbesondere im SUVA-Verfahren besteht dringender Handlungsbedarf. So erging am 8. Juli 2006 eine Verfügung betreffend Übernahme diverser Schadensposten und Ausrichtung einer Integritätsentschädigung. Diese Verfügung kann innert 30 Tagen angefochten werden." Die Opferberatungsstelle entschied am 7. September 2006, X._ gelte als dem Opfer einer Straftat gleichgestellte Person im Sinne von Art. 2 Abs. 2 OHG. Gegen die Verantwortlichen der Z._ AG sei Strafanzeige eingereicht worden. Im Rahmen der Soforthilfe würden anwaltliche Kosten für eine juristische Erstabklärung im Umfang von vier Stunden resp. Fr. 600.-- übernommen. Bei dieser Abklärung sollten folgende Bereiche berücksichtigt werden: "Allfällige Kostenträger im Sozialversicherungsbereich, Haftpflichtansprüche gegenüber der Täterschaft bzw. der Haftpflichtversicherung, Rechtsvertretung im Strafverfahren". Die Opferberatungsstelle machte X._ ferner darauf aufmerksam, dass, falls weitere Rechtshilfe notwendig sein sollte, diese schriftlich zu beantragen sei. In diesem Antrag müsse konkret aufgezeigt werden, welche Ansprüche an wen und was geltend gemacht werden sollten. Bevor die Übernahme weiterer Kosten bewilligt werden könne, müsse abgeklärt werden, ob unentgeltliche Rechtsvertretung geltend gemacht werden könne. Wenn die Abklärungen zu einem negativen Resultat führen sollten, erachte sich die Opferberatungsstelle als verpflichtet, die finanziellen Verhältnisse des Gesuchstellers zu prüfen. Hierzu würden detaillierte Angaben (Steuererklärung, Lohnausweis etc.) benötigt. X._ erhob gegen den Entscheid der Opferberatungsstelle Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus mit dem Antrag, es seien erstens die im Rahmen der Soforthilfe zugesprochenen Stunden für juristische Erstabklärungen zu einem Ansatz von Fr. 200.-- zu vergüten und zweitens auch im Rahmen der weiteren Hilfe Anwaltskosten zu übernehmen. Er machte unter anderem geltend, über das Gesuch um weitere Hilfe sei nicht entschieden worden, obwohl er ein solches gestellt habe und der Opferberatungsstelle sämtliche Angaben vorgelegen hätten. Mit Urteil vom 23. Mai 2007 wies die I. Kammer des Verwaltungsgerichts die Beschwerde bezüglich des Rechtsbegehrens um Soforthilfe ab, trat auf die Beschwerde bezüglich des Rechtsbegehrens um weitere Hilfe nicht ein und wies die Beschwerde wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung ab. B. X._ hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt er die Anweisung der Opferberatungsstelle, die im Rahmen der Soforthilfe zugesprochenen Stunden zu mindestens Fr. 180.-- zu vergüten und Anwaltskosten auch im Rahmen der weiteren Hilfe zu übernehmen. Ferner ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren. C. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Justiz (BJ) als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde lässt sich vernehmen, ohne Antrag zu stellen. Die Opferberatungsstelle äussert sich mit Verspätung zur Beschwerde und nimmt ferner zur Vernehmlassung des BJ Stellung. Sie anerkennt für die dem Beschwerdeführer bereits gewährte Soforthilfe von vier Stunden anwaltlicher Hilfe einen Stundenansatz von Fr. 180.--. Das Verwaltungsgericht äussert sich ebenfalls zur Vernehmlassung des BJ. Mit Eingaben vom 9. November und 10. Dezember 2007 lässt sich der Beschwerdeführer nochmals vernehmen.