Sachverhalt: A. Die 1966 geborene B._ unterzog sich im März 2004 einer Bandscheibenoperation L5/S1. Im November und Dezember 2004 wurden zwei Bauchoperationen durchgeführt (Entfernung der Gebärmutter und Lösen eines Darmverschlusses). Im Oktober 2005 meldete sich B._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügungen vom 12. September 2008 für die Zeit vom 1. März 2005 bis 31. Januar 2007 und ab 1. Juni 2007 eine halbe Invalidenrente sowie für die Monate Februar bis Mai 2007 eine ganze Invalidenrente, je samt drei Kinderrenten zu. B. Die Beschwerde der B._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 18. März 2009 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 18. März 2009 sei aufzuheben und ihr rückwirkend ab 1. März 2005 mindestens eine Dreiviertelsrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zur weiteren Abklärung und Neufestsetzung der Leistungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Kantonales Gericht und IV-Stelle stellen keinen Antrag zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. In einer weiteren Eingabe nach Abschluss des Schriftenwechsels hat sich der Rechtsvertreter von B._ zur Stellungnahme des kantonalen Gerichts geäussert.