Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der am 20. Juni 1987 geschlossenen Ehe von X._ und Y._ entsprossen die beiden Kinder A._, geboren 1989, und B._, geboren 1990. Am 8. April 2000 zog X._ aus dem ehelichen Einfamilienhaus in D._ (Kanton Luzern) aus. Die beiden Kinder blieben bei der Mutter. Nachdem Y._ mit Eingabe vom 23. Januar 2001 und X._ mit Eingabe vom 15. Februar 2001 gestützt auf Art. 175 ZGB Gesuche zu den Nebenfolgen des Getrenntlebens gestellt hatten, reichten die beiden am 31. Mai 2001 beim Amtsgericht Hochdorf ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein. Im Juli 2001 übersiedelte Y._ mit den beiden Kindern zu ihrem neuen Lebenspartner nach E._ in eine Wohnung. X._ zog im August 2001 zurück nach D._ in das Einfamilienhaus, wo er mit seiner neuen Lebenspartnerin G._ und der gemeinsamen am 25. August 2001 geborenen Tochter C._ wohnt. Y._ ist Richterin, X._ ist Projektmanager. Y._ ist Richterin, X._ ist Projektmanager. B. Im Sinne einer Anordnung vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsprozesses (Art. 137 ZGB) genehmigte der amtsgerichtliche Instruktionsrichter am 26. September 2001 die von den Eheleuten X._-Y._ am 26. Juni 2001 über verschiedene Nebenfolgen des Getrenntlebens geschlossene Teilvereinbarung. Ferner verpflichtete er X._ mit Wirkung ab 8. April 2000, monatliche Unterhaltsbeiträge für die unter der Obhut der Mutter stehenden Kinder A._ und B._ von je Fr. 1'150.--, zuzüglich allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen, und für Y._ persönlich von Fr. 300.-- bis zum 30. September 2001 und Fr. 550.-- ab 1. Oktober 2001 zu zahlen. Die anderslautenden und weitergehenden Begehren wurden abgewiesen. Gegen diesen Entscheid rekurrierten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Luzern. In teilweiser Gutheissung der Rekurse setzte dieses die den beiden Kindern zugesprochenen Unterhaltsbeiträge neu fest auf je Fr. 1'425.-- bis zum 31. Januar 2001, je Fr. 1'885.-- für die Zeit vom 1. Februar 2001 bis zum 30. September 2001 und je Fr. 1'770.-- ab 1. Oktober 2001, jeweils zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Die Unterhaltsbeiträge, die der erstinstanzliche Richter Y._ persönlich zugesprochen hatte, hob das Obergericht auf. Gegen diesen Entscheid rekurrierten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Luzern. In teilweiser Gutheissung der Rekurse setzte dieses die den beiden Kindern zugesprochenen Unterhaltsbeiträge neu fest auf je Fr. 1'425.-- bis zum 31. Januar 2001, je Fr. 1'885.-- für die Zeit vom 1. Februar 2001 bis zum 30. September 2001 und je Fr. 1'770.-- ab 1. Oktober 2001, jeweils zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Die Unterhaltsbeiträge, die der erstinstanzliche Richter Y._ persönlich zugesprochen hatte, hob das Obergericht auf. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 28. Februar 2002 verlangt X._, den Entscheid des Obergerichts (II. Kammer) des Kantons Luzern vom 15. Januar 2002 aufzuheben. Beanstandet wird ausschliesslich die Höhe der in Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids A._ und B._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge. Sowohl die Beschwerdegegnerin Y._ wie auch das Obergericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Durch Präsidialverfügung vom 19. März 2002 ist der Beschwerde hinsichtlich der bis und mit Januar 2002 geschuldeten Kinderunterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.