Sachverhalt: A. X._ ist Eigentümer eines in St. Moritz gelegenen Wohnhauses, welches bis anhin eine Bruttogeschossfläche (BGF) von 368 m2 aufwies. Mit Bau- und Einspracheentscheid vom 18. April 2005 entsprach der Gemeindevorstand St. Moritz dem Baugesuch für einen An- und Umbau. Am 11. Mai 2005 stellte das Gemeindebauamt X._ die provisorischen Anschlussgebühren für Wasser (Fr. 10'240.--) und Kanalisation (Fr. 10'760.--) in Rechnung, ausgehend von einem Mehrwert von Fr. 500'000.--. Mit Bauentscheid vom 24. Oktober 2005 entsprach der Gemeindevorstand einem weiteren, den Umbau des auf der Liegenschaft gelegenen Nebengebäudes betreffenden Baugesuch unter Auflagen und Anordnungen. B. Nach Vorliegen der amtlichen Schätzung vom 22. Dezember 2006 stellte die Gemeindeverwaltung St. Moritz am 19. März 2007 (in Ergänzung zur provisorischen Rechnung vom 11. Mai 2005) Anschlussgebühren in der Höhe von Fr. 37'290.85 für Wasser (2 % des Mehrwertes zuzügl. 2,4 % MWST) und von Fr. 39'184.55 für Abwasser (2 % des Mehrwertes zuzügl. 7,6 % MWST) definitiv in Rechnung, ausgehend von einem Mehrwert von insgesamt Fr. 2'320'841.40 (Fr. 1'820'841.40 zuzügl. Fr. 500'000.-- gemäss provisorischer Rechnung). Mit Einspracheentscheid und Veranlagungsverfügung vom 17. September 2007 bestätigte der Gemeindevorstand St. Moritz die genannte Rechnung. C. Mit Urteil vom 15. April 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 3. Kammer, die von X._ hiegegen eingereichte Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 11. September 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. April 2008, der Einspracheentscheid und die Veranlagungsverfügung der Gemeinde St. Moritz vom 17. September 2007 und damit die Rechnungsstellungen vom 19. März 2007 aufzuheben und die Sache eventualiter an die Gemeinde St. Moritz zur Neuverfügung im Sinne der Erwägungen, subeventualiter an das Verwaltungsgericht zur Beweisergänzung und Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen. Die Gemeinde St. Moritz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. E. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels haben die Parteien an ihren Begehren und Standpunkten festgehalten.