Sachverhalt: A. A.a Am 5. März 1994 heiratete X._ in Zürich die um 19 Jahre ältere Schweizerin Y._. In der Folge stellte er am 24. Juli 1998 das Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 16. August 1999 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen überdies unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht. Bestätigt wurde mit der schriftlichen Erklärung überdies die Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. A.b Am 19. Januar 2000 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde A._. Bereits zuvor, nämlich am 10. Oktober 1999, hatte er die eheliche Wohnung verlassen. A.c Am 28. Juni 2000 wurde X._ rechtskräftig von seiner Ehefrau geschieden und ehelichte im November 2000 in seinem Herkunftsland eine bengalische Staatsangehörige, die im Dezember 2000 das erste gemeinsame Kind zur Welt brachte. B. B.a Diese Vorfälle veranlassten das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; heute: Bundesamt für Migration; BFM) ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren wurde X._ verschiedentlich angehört. Nachdem der Heimatkanton Zürich seine Zustimmung erteilt hatte, wurde die Einbürgerung von X._ mit Verfügung des Bundesamtes vom 2. September 2004 für nichtig erklärt. B.b Mit Entscheid vom 6. September 2005 wies das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement die gegen die erstinstanzliche Verfügung eingereichte Verwaltungsbeschwerde von X._ ab und gab überdies seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht statt. Das Departement hielt im Wesentlichen dafür, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (SR 141.0; BüG) erfüllt. C. X._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Departementes aufzuheben und das Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung einzustellen. Es ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.