Sachverhalt: A. A.a. A._ reichte am 17. Dezember 2012 sowie am 15. und 26. Januar 2013 eine Strafanzeige ein gegen das Strasseninspektorat der Stadt St. Gallen und namentlich dessen Leiter B._ wegen des Verdachts der Verschmutzung von Gewässern. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, das Strasseninspektorat verschmutze durch Abkippen und Deponieren von mit Abfällen versehenem, beim Winterdienst gesammeltem Altschnee, der älter als drei Tage sei, den Bavariabach und die Steinach. A.b. Mit Verfügung vom 19. Februar 2013 trat das Untersuchungsamt St. Gallen auf die Strafanzeige nicht ein. Dagegen erhob Ulrich Stettler Beschwerde an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Diese hob die Verfügung des Untersuchungsamts am 27. März 2013 auf, weil der vorgängig erforderliche Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht eingeholt worden sei. A.c. Am 14. Mai 2013 übermittelte das Untersuchungsamt St. Gallen der Anklagekammer die Akten zwecks Durchführung des Ermächtigungsverfahrens. Am 14. August 2013 entschied die Anklagekammer, die Ermächtigung nicht zu erteilen. B. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 30. September 2013 an das Bundesgericht beantragt A._, die Staatsanwaltschaft St. Gallen zur Durchführung eines Strafverfahrens wegen Gewässerverschmutzung zu ermächtigen (Antrag 1); eventuell sei das Strasseninspektorat direkt wegen Verstössen gegen das Gewässerschutzgesetz zu verurteilen (Antrag 2); schliesslich sei die "sehr large Auslegung" der anwendbaren Bestimmungen durch das Amt zu rügen und dieses zu sorgfältigerem Umgang bei der Umsetzung derselben anzuhalten (Antrag 3). C. Der Stadtrat der Stadt St. Gallen stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Die Anklagekammer hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. A._ hat sich am 17. Dezember 2013 nochmals zur Sache geäussert.