Sachverhalt: A. E._ (Beschwerdeführer, Jg. 1965) war seit 15. Januar 1997 für die Y._ GmbH, ab 1. Januar 2002 in der Funktion als Betriebsmitarbeiter im Bereich "Verpackung" tätig und über seine Arbeitgeberin bei der X._ AG (Beschwerdegegnerin) im Rahmen eines Kollektivvertrags krankentaggeldversichert. Die Y._ GmbH kündigte die Anstellung am 31. Januar 2008 per 30. April 2008, wobei sie E._ ab sofort von der Arbeit freistellte. Die behandelnden Dres. med. F._, Kinder - und Jugendpsychiatrie, Psychotherapie FMH und Familientherapie, und G._, Innere Medizin und Rheumatologie FMH, attestierten ab 1. Februar 2008 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit. Wegen der Krankschreibung verlängerte sich das Arbeitsverhältnis bis 31. Oktober 2008. Auf den 1. November 2008 trat E._ in die Einzeltaggeldversicherung der X._ AG über. Die Beschwerdegegnerin erbrachte zunächst Taggeldleistungen, stellte diese aber gemäss Schreiben vom 18. November 2008 (bestätigt am 26. November 2008) unter Hinweis auf die in den Gutachten der Dres. med. H._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 24. Oktober 2008 und I._, Facharzt für Rheumatologie und Innere Medizin FMH, vom 13. November 2008 angegebene uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit in einer körperlich leichten, wechselbelastenden Beschäftigung - nach Gewährung einer dreimonatigen Übergangsfrist - per Ende Februar 2009 wieder ein. B. Mit Klage vom 15. Januar 2010 beantragte E._, die X._ AG sei zu verpflichten, ihm auch für die Zeit ab 1. März (2009) Taggelder zufolge Arbeitsunfähigkeit auszubezahlen; eventualiter sei sie zu verpflichten, ihm für den Zeitraum vom 1. März bis 31. August 2009 Taggelder zufolge Arbeitsunfähigkeit auszubezahlen. Am 22. März 2010 teilte er mit, die IV-Stelle Schaffhausen habe Eingliederungsmassnahmen und eine Rente abgelehnt, wobei er dieser Ablehnung keinen Einfluss auf den Leistungsanspruch gegenüber der X._ AG beimesse. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen wies die Klage ab (Entscheid vom 2. September 2011). C. E._ lässt am 10. Oktober 2011 Beschwerde in Zivilsachen erheben mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die X._ AG zu verpflichten, ihm für den Zeitraum vom 1. März bis 31. August 2009 Taggelder von insgesamt Fr. 20'976.-- auszubezahlen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung, während die X._ AG am 2. November 2011 auf Abweisung der Beschwerde schliesst. Mit einer weiteren Eingabe vom 1. Dezember 2011 äussert sich E._ zur Stellungnahme der X._ AG vom 2. November 2011.