Sachverhalt: A. Y._ (geb. 1956) ist Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina und hielt sich seit Januar 1983 bis August 2004 zusammen mit seiner Ehefrau ununterbrochen in der Schweiz auf. Er verfügte zunächst über eine Aufenthalts- und seit 1993 über eine Niederlassungsbewilligung. Im August 2004 meldete sich Y._ bei der Fremdenpolizei (heute: Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei) der Einwohnergemeinde Bern definitiv in seine Heimat ab, worauf seine Niederlassungsbewilligung erlosch. Gleichzeitig erwirkte er bei seiner Pensionskasse die Barauszahlung der Austrittsleistung. Im Dezember 2004 reiste Y._ mit einem Touristenvisum erneut in die Schweiz ein und hielt sich in der Folge bei seiner Ehefrau X._ (geb. 1951) auf. Diese ist ebenfalls bosnisch-herzegowinische Staatsangehörige und verfügt seit 1979 über eine Niederlassungsbewilligung. Das Ehepaar hat zwei Töchter (geb. 1982 und 1984). Y._ hat zudem aus einer früheren Ehe einen Sohn und eine Tochter (geb. 1979 und 1982); der Sohn reiste 1991 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein. B. X._ reichte am 10. Juni 2005 bei der Einwohnergemeinde Bern ein Gesuch um Nachzug ihres Ehemannes ein. Mit Verfügung vom 23. November 2006 wurde das Gesuch abgewiesen und Y._ eine Ausreisefrist bis 15. Januar 2007 gesetzt. Die Einwohnergemeinde Bern machte geltend, der Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung erlösche, wenn ein Ausweisungsgrund vorliege. Die Familie X._ und Y._ werde sozialhilferechtlich unterstützt und es lägen Verlustscheine in der Höhe von über Fr. 160'000.-- vor. Zudem sei Y._ gerichtlich verurteilt worden. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, welche mit Entscheid vom 26. Juni 2007 die Beschwerde als unbegründet abwies. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 13. Oktober 2008 ab und setzte Y._ eine neue Ausreisefrist bis 5. Dezember 2008. Mit Urteil 2C_826/2008 vom 6. März 2009 wies das Bundesgericht die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab. C. Daraufhin gelangten Y._ und X._ an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR). Mit Urteil Nr. 52166/09 vom 11. Juni 2013 stellte der EGMR eine Verletzung von Art. 8 EMRK fest und sprach den Beschwerdeführern Ersatz von Partei- und Verfahrenkosten ("pour frais et dépens") im Umfang von EUR 9'000.-- zu. Weitergehende Entschädigungsansprüche wurden abgewiesen. Am 7. Oktober 2013 wies der Ausschuss der Grossen Kammer des EGMR den Antrag der Schweizer Regierung, die Rechtssache im Sinne von Art. 43 EMRK an die Grosse Kammer zu verweisen, ab. Damit ist das Urteil des EGMR vom 11. Juni 2013 endgültig geworden (Art. 44 Abs. 2 lit. c EMRK). D. Y._ und X._ sind mit Revisionsgesuch vom 6. Januar 2014 an das Bundesgericht gelangt. Die Gesuchsteller machen Revision wegen Verletzung der EMRK (Art. 122 BGG) geltend. Sie beantragen, es sei - unter Kosten- und Entschädigungsfolgen - das Urteil 2C_826/2008 des Bundesgerichts aufzuheben und Y._ die Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs zu gewähren. Mit separatem Schreiben vom 6. Januar 2014 ersuchen die Gesuchsteller um unentgeltliche Rechtspflege. E. Das Verwaltungsgericht und die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration verzichten auf eine Vernehmlassung. Die Einwohnergemeinde Bern stellt keinen Antrag, führt aber aus, dass gestützt auf das Urteil des EGMR vom 11. Juni 2013 das am 23. Dezember 2013 neu eingereichte Gesuch um Familiennachzug bewilligt würde. Das Bundesamt für Justiz hat sich nicht vernehmen lassen.