Sachverhalt: A. Der 1962 geborene V._ war bis zum 30. Juni 2002 bei der C._ AG als Projektleiter angestellt; anschliessend bezog er bis zum 31. Januar 2004 Leistungen der Arbeitslosenversicherung und war deshalb bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (nachfolgend: Auffangeinrichtung) für die berufliche Vorsorge versichert. Vom 1. November 2003 bis 28. Februar 2005 war er bei der A._ GmbH teilzeitig als Projektmitarbeiter tätig. Ein weiteres, am 1. September 2005 angetretenes Arbeitsverhältnis wurde vom Arbeitgeber auf das Ende der Probezeit aufgelöst, weil der Arbeitnehmer den geforderten Leistungen nicht entsprochen habe. Im Januar 2006 wurde bei V._ Chorea Huntington diagnostiziert und für die bisherige Tätigkeit eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Die IV-Stelle Basel-Landschaft sprach ihm mit Verfügungen vom 6. und 12. Juni 2006 eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. Februar 2006 zu. Eine von V._ gegen die Vorsorgeeinrichtung der C._ AG erhobene Klage betreffend Invalidenrente wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft ab mit der Begründung, eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses sei mangels echtzeitlicher medizinischer Beurteilungen nicht rechtsgenüglich erstellt (Entscheid vom 22. September 2010). Die Auffangeinrichtung verneinte mit Schreiben vom 29. August 2011 eine Leistungspflicht ebenfalls mit der Begründung, es sei nicht echtzeitlich nachgewiesen, dass eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von mindestens 20 % vor Ende Januar 2004 eingetreten sei. B. In Gutheissung der Klage des V._ verpflichtete das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 1. November 2012 die Auffangeinrichtung, ihm mit Wirkung ab 1. Januar 2005 eine Invalidenrente entsprechend den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen zu gewähren (Dispositiv-Ziff. 1). Es überwies die Sache an die Auffangeinrichtung, damit sie dem Ausgang des Verfahrens entsprechend die Höhe der Leistungen betraglich ermittle (Dispositiv-Ziff. 2). Ferner verpflichtete es die Auffangeinrichtung, dem Kläger eine Parteientschädigung von Fr. 12'000.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 4). C. Die Auffangeinrichtung lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 1. November 2012 sei aufzuheben und die Klage des V._ abzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid teilweise aufzuheben und V._ eine BVG-Invalidenrente erst ab 1. Februar 2006 zuzusprechen (Dispositiv-Ziff. 1) sowie die Parteientschädigung auf ein angemessenes Mass zu reduzieren (Dispositiv-Ziff. 4). Subeventualiter sei der Entscheid vom 1. November 2012 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. V._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen; eventuell sei eine Invalidenrente ab Mai 2005 zu gewähren. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.