Sachverhalt: A. A.a Am 23. November 2010, 16.00 Uhr, eröffnete der Konkursrichter am Bezirksgericht Zürich über A._ den Konkurs ohne vorgängige Betreibung (Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG). Diesen Entscheid zogen A._ und B._ an das Obergericht des Kantons Zürich weiter. Die angerufene Instanz gewährte der Beschwerde einstweilen aufschiebende Wirkung und trat schliesslich mit Beschluss vom 14. März 2011 auf die Weiterziehung infolge Verspätung nicht ein, setzte aber den Konkurstermin aufgrund der gewährten aufschiebenden Wirkung neu auf den 14. März 2011, 15.15 Uhr, fest. Das Bundesgericht wies die gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde mit Urteil vom 18. Mai 2011 ab, soweit darauf einzutreten war (5A_206/2011). A.b Am 27. August 2012 erhoben A._ und B._ beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs betreibungsrechtliche Beschwerde gegen die Konkurseröffnung. Mit Zirkularerledigungsbeschluss vom 29. August 2012 trat die untere Aufsichtsbehörde auf die Beschwerde nicht ein. B. Dieser Beschluss wurde den Betroffenen am 13. September 2012 in Schweden zugestellt, worauf sie mit Eingabe vom 17. September 2012 beim Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs Beschwerde erhoben. Mit Beschluss vom 28. September 2012 zog das Obergericht als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs die Akten des Verfahrens Nr. PS120141 der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich betreffend das vom Beschwerdeführer gegen die Konkurseröffnung zusätzlich angehobene kantonale Revisionsverfahren bei. Ferner wies die angerufene Instanz mit Urteil vom gleichen Tag die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war, auferlegte A._ und B._ die zweitinstanzlichen Kosten von Fr. 500.-- unter solidarischer Haftbarkeit und sprach keine Parteientschädigung zu. C. A._ und B._ (Beschwerdeführer) haben beim Bundesgericht gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts mit Eingabe vom 6. Oktober 2012 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragen, es sei auf die Nichtigkeitsbeschwerde "sinngemäss Art. 22 SchKG" einzutreten und die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 23. November 2010 aufzuheben. Aufzuheben sei ferner die Auferlegung der Verfahrenskosten von Fr. 500.--. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. D. Mit Entscheid vom 14. Mai 2013 trat das Bundesgericht auf eine Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. September 2012 (Abweisung des kantonalen Revisionsgesuchs betreffend die Konkurseröffnung) nicht ein (5A_729/2012). Mit Urteil vom gleichen Tag trat es zudem auf ein Gesuch des Beschwerdeführers um Revision der bundesgerichtlichen Urteile 5A_206/2011 vom 18. Mai 2011 und 5F_7/2011 vom 19. Juli 2011 nicht ein.