Sachverhalt: A. Der 1950 geborene P._ war seit dem 1. April 1994 als selbstständig erwerbender Wirt tätig und dabei freiwillig bei der SWICA Versicherungen AG (Swica) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 11. April 2010 geriet er als Lenker eines Autos in Montenegro bei nasser Witterung in einer Rechtskurve von der Strasse ab und kollidierte mit einer Betonwand. Gemäss Schadenmeldung UVG vom 22. April 2010 zog er sich beim Unfall eine Schulter- und eine Ellbogenkontusion rechts, eine Radiusfraktur links, einen Muskelfaserriss rechts und eine Thoraxkontusion zu. Die Swica erbrachte Versicherungsleistungen in Form von Taggeld und Heilbehandlung. Die distale intraartikuläre mehrfragmentäre Radiusfraktur wurde am 16. April 2010 an der Klinik X._ mittels Plattenosteosynthese therapiert. Um ihre weitere Leistungspflicht abzuklären liess die Unfallversicherung P._ durch Dr. med. N._ begutachten (Expertise vom 30. November 2010). Am 1. April 2011 wurde P._ an der Klinik Y._ wegen eines subacromialen Impingements an der rechten Schulter, einer Bicepstendinopathie und einer partiellen Rotatorenmanschettenruptrur rechts arthroskopisch operiert. Gestützt auf einen Aktenbericht ihres beratenden Arztes, PD Dr. med. L._, Facharzt für Chirurgie, vom 13. April 2011 stellte die Swica ihre Leistungen mit Verfügung vom 9. Juni 2011 rückwirkend auf den 31. Januar 2011 ein. Für die Folgen der Radiusfraktur links bestehe keine weitere Behandlungsbedürftigkeit und seit dem 1. Februar 2011 sei der Versicherte voll arbeitsfähig. Hinsichtlich der Schulterbeschwerden bestehe kein Anspruch auf Versicherungsleistungen und bezüglich der darüber hinaus geltend gemachten psychischen Beeinträchtigungen werde der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der Gesundheitsschädigung verneint. Daran hielt die Unfallversicherung auch auf Einsprache hin fest (Entscheid vom 6. Oktober 2011). B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich nach Beizug der Akten der Invalidenversicherung - welche unter anderem ein bidisziplinäres Gutachten der Dres. med. F._, Facharzt für Innere Medizin und Rheumatologie FMH, und R._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 16. Juli 2012 enthielten - mit Entscheid vom 28. Mai 2013 ab. C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Swica habe ihm über den 31. Januar 2011 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; insbesondere habe die Swica für die Schulteroperation vom 1. April 2011 Heilbehandlung und Taggeld zu leisten sowie dafür und für die Folgen der Handgelenksverletzung eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung auszurichten. Schliesslich sei nach weiterer Abklärung der somatischen Unfallfolgen die Adäquanz der psychischen Beschwerden erneut zu prüfen. Eventuell habe die Unfallversicherung abzuklären, ob die Schulterverletzung Folge einer Berufskrankheit sei, und entsprechende Leistungen auszurichten. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Die Swica, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.