Sachverhalt: A. X._ fuhr am 5. April 2008 um 22.50 Uhr bei starkem Regen mit seinem Personenwagen in der Stadt Basel auf dem Wasgenring in Richtung Allschwilerstrasse. Auf der Kreuzung Wasgenring / Blotzheimerstrasse kollidierte er mit dem Fussgänger F._, der in alkoholisiertem Zustand die Strasse wenige Meter neben dem Fussgängerstreifen überquerte. F._ wurde zu Boden geworfen und blieb schwer verletzt liegen. B. Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt verurteilte X._ aufgrund dieses und eines anderen Sachverhalts am 10. März 2010 wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung und einfacher Verletzung der Verkehrsregeln. Sie bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 50.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie mit einer Busse von Fr. 350.--. Vom Vorwurf, im Zeitpunkt der Kollision nur mit eingeschaltetem Standlicht gefahren zu sein, sprach sie ihn frei. Die Berufung von X._ wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 31. Januar 2012 ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der fahrlässigen schweren Körperverletzung und der einfachen Verletzung der Verkehrsregeln freizusprechen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.