Sachverhalt: A. Der 1952 geborene Z._ meldete sich im Dezember 2004 bei der Invalidenversicherung und ersuchte um Berufsberatung und Arbeitsvermittlung. Die IV-Stelle Bern liess den Versicherten u.a. in der Behindertenwerkstätte A._ (BEWA) beruflich abklären (Bericht vom 20. Dezember 2005). Ferner holte sie bei den Psychiatrischen Diensten des Spitals Y._ den Bericht vom 17. August 1990 über die ambulanten Behandlungen von Z._ seit 1984 ein. Gestützt auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 17. März 2006, wonach «kein IV-relevanter Gesundheitsschaden mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit vorliegt», verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 24. März 2006 den Anspruch auf berufliche Massnahmen und eine Rente. Nach Einholung einer weiteren Stellungnahme des RAD vom 3. Juli 2006 bestätigte die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 18. Juli 2006 die Leistungsablehnung. B. Die Beschwerde des Z._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 21. Dezember 2006 ab. C. Z._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben und die Sache sei zu ergänzender Abklärung und zu neuer Entscheidung über den Leistungsanspruch zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.