Sachverhalt: A. Die 1953 geborene A._ meldete sich im März 2000 wegen Rückenbeschweren bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 26. Februar 2003 einen Rentenanspruch verneint hatte (Invaliditätsgrad: 34,75 %), stellte A._ im Juli 2004 erneut ein Gesuch um Zusprechung einer Rente, welches die Verwaltung mit Verfügung vom 8. März 2006, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006, ablehnte (unveränderter Invaliditätsgrad). Auf eine im September 2008 erfolgte Neuanmeldung hin klärte die IV-Stelle die medizinischen Verhältnisse nochmals ab und verfügte am 22. Juli 2009 die Abweisung des Rentenbegehrens (unveränderter Invaliditätsgrad). B. A._, vertreten durch Rechtsanwalt Fredy Fässler, liess hiegegen Beschwerde erheben und beantragen, es sei ihr wiedererwägungsweise ab 30. März 2000 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen, eventualiter sei die Verfügung vom 22. Juli 2009 aufzuheben und ihr ab 12. September 2008 eine ganze Rente zuzusprechen. Gleichzeitig ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung). Mit Entscheid vom 20. Januar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es bejahte den Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung und verneinte denjenigen auf unentgeltliche Verbeiständung durch Rechtsanwalt Fredy Fässler. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr ab 30. März 2000 wiedererwägungsweise eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Eventualiter seien die Verfügung vom 22. Juli 2009 und der kantonale Entscheid vom 20. März 2010 aufzuheben und es sei ihr ab 12. Dezember 2008 eine ganze Rente zuzusprechen. Sie stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess. Sowohl für das kantonale Verfahren als auch für dasjenige vor Bundesgericht sei ihr Rechtsanwalt Fredy Fässler als unentgeltlicher Rechtsbeistand zur Seite zu stellen. D. Mit Verfügung vom 7. Mai 2010 ist das von A._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Prozesses abgewiesen worden.