Sachverhalt: A. Mit Entscheid vom 29. März 2006 wies die Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt einen Rekurs von X._ und einer weiteren Person gegen einen Einspracheentscheid des Bauinspektorates des Kantons Basel-Stadt ab und bewilligte das Baugesuch der Swisscom Mobile AG für eine Kommunikationsanlage auf dem Dach der Liegenschaft Greifengasse 22 in Basel mit folgenden Auflagen: "Die Anlage ist vor Inbetriebnahme in ein QS-System [Qualitätssicherungssystem] gemäss Rundschreiben des BAFU vom 16. Januar 2006, das die Einhaltung der bewilligten Sendeleistungen und Senderichtungen sicherstellt, einzubinden. Die Vollzugsbehörde hat die von den Betreibern mitgeteilten Überschreitungen der bewilligten Werte mit Adressangaben pro Quartal in geeigneter Form bekannt zu geben. Die Rekurrentin 1 [Beschwerdeführerin] und der Rekurrent 2 sind durch die Bewilligungsbehörde in geeigneter Form über Abnahme- und Kontrollmessungen zu informieren, sei es durch Zustellen der Ergebnisse oder durch Publikation." Die Baurekurskommission hatte einen Augenschein durchgeführt. B. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht wies den Rekurs von X._ mit Urteil vom 20. Juni 2007 ab. Vor Appellationsgericht wurde eine mündliche Verhandlung durchgeführt. C. X._ führt mit Eingabe vom 28. September 2007 Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts vom 20. Juni 2007 und die Entscheide der Baurekurskommission vom 29. März 2006 und des Bauinspektorats vom 11. Oktober 2005 seien aufzuheben. Das Baubegehren sei abzuweisen. Eventuell sei die Streitsache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Ferner sei Dr. med. Z._ als medizinischer Gutachter zum aktuellen Stand der gesundheitlichen Beeinträchtigung durch Mobilfunkanlagen zu befragen. Mit Präsidialverfügung vom 25. Oktober 2007 hat das Bundesgericht das Gesuch von X._ um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. D. Die Swisscom Mobile AG und das Bauinspektorat beantragen Abweisung der Beschwerde. Die Baurekurskommission hat erklärt, sie schliesse sich der Stellungnahme des Bauinspektorats an. Das Appellationsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das als Bundesfachbehörde zur Stellungnahme eingeladene Bundesamt für Umwelt BAFU ist der Ansicht, die Vorschriften zum Schutz vor nichtionisierender Strahlung seien im angefochtenen Entscheid korrekt angewandt worden (Stellungnahme vom 14. Dezember 2007). X._ hat sich zu den Vernehmlassungen mit Eingaben vom 17. Januar 2008 und 20. Januar 2008 geäussert.