Sachverhalt: A. Y._ und X._ heirateten 2002. Sie sind die Eltern der Tochter Z._ (geb. 2002). Während des Zusammenlebens betrieb die Ehefrau ein Fernstudium und der Ehemann arbeitete mit vollem Pensum als Laborant. Die Tochter Z._ wurde zeitweise in einer Kinderkrippe untergebracht. Seit Frühjahr 2005 leben die Parteien getrennt. Die Tochter blieb in der Obhut des Vaters und die Mutter verbrachte ein- bis zweimal in der Woche einige Stunden mit dem Kind. B. B.a Im Herbst 2007 reichten die Eheleute gemeinsam ein Begehren auf Scheidung ein. Mit Urteil vom 10. November 2008 schied das Kreisgericht St. Gallen die Ehe, stellte Z._ unter die elterliche Sorge des Vaters und bestätigte die schon vorsorglich errichtete Erziehungsbeistandschaft; ferner regelte es den persönlichen Verkehr der Mutter zum Kind und verpflichtete die Mutter, ab August 2010 einen indexierten Kinderunterhalt von Fr. 850.- im Monat zu bezahlen. Im Übrigen stellte es fest, dass sich die Ehegatten gegenseitig keinen nachehelichen Unterhalt schulden und güterrechtlich auseinandergesetzt sind; ferner genehmigte es die Vereinbarung über den Vorsorgeausgleich. B.b Gegen dieses Urteil gelangte X._ mit Berufung an das Kantonsgericht und verlangte im Wesentlichen, die Tochter ihrer elterlichen Sorge anzuvertrauen. Y._ beantragte, die Berufung abzuweisen und verlangte seinerseits mit Anschlussberufung die Erhöhung des von X._ geschuldeten Unterhaltsbeitrages auf Fr. 1'500.- bzw. Fr. 1'000.- im Monat. Mit Urteil vom 9. März 2010 regelte das Kantonsgericht des Kantons St. Gallen das Besuchsrecht neu und bestätigte im Übrigen den angefochtenen Entscheid. C. X._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. April 2010 an das Bundesgericht. Sie beantragt zur Hauptsache, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 9. März 2010 sei in Bezug auf die Ziffern 3 bis 5 aufzuheben; entsprechend seien die vom Kantonsgericht bestätigten Ziffern 5 und 6 des erstinstanzlichen Entscheides des Kreisgerichts St. Gallen vom 10. November 2008 vollumfänglich aufzuheben, womit ihre Verpflichtung zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen für die Tochter Z._ entfalle. Eventuell sei das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Beurteilung ihrer Erwerbschancen bzw. zu diesbezüglichen Beweiserhebungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Eingabe vom 28. Juli 2010 verlangt sie überdies die Gewährung der aufschiebenden Wirkung. In seiner Vernehmlassung vom 1. September 2010 beantragt Y._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und die aufschiebende Wirkung nicht zu erteilen. Das Kantonsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. D. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 3. Februar 2011 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.