Sachverhalt: A. Auf dem Gebiet der Gemeinde Elm (GL) befindet sich die Alp Bischof. Die Nutzung und Bewirtschaftung der Alp erfolgt im Rahmen der Alpkorporation Bischof. Am 26. März 2007 fand eine Hauptversammlung der Alpkorporation Bischof statt. X._ besitzt 0,5 Anteilsrechte und ist Mitglied der Alpkorporation. Sie bevollmächtigte Y._, Anträge an diese Hauptversammlung zu richten und an ihrer Stelle an der Versammlung teilzunehmen. Dieser unterbreitete der Korporation am 15. März 2007 schriftlich Anträge. Mit Schreiben vom 23. März 2007 wurde X._ von der Korporation darüber informiert, dass die gewählte Stellvertretung nicht als zulässig betrachtet werde. Die fraglichen Anträge würden der Versammlung nicht zur Abstimmung vorgelegt. X._ könne aber die Anträge zuhanden der darauf folgenden Hauptversammlung erneut einreichen. B. X._ und Y._ erhoben gegen die Alpkorporation Bischof bzw. gegen deren Beschlüsse vom 26. März 2007 Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Glarus. Sie forderten die Wiederholung der besagten Versammlung unter Abstimmung über die nicht zugelassenen Anträge. Mit Entscheid vom 5. Juni 2007 trat der Regierungsrat auf die Beschwerde nicht ein. Er argumentierte, es handle sich bei der Alpkorporation um eine privatrechtliche Körperschaft. Für die Beurteilung der vorgebrachten Rügen sei der Zivilrichter zuständig. C. Den Entscheid des Regierungsrats zogen X._ und Y._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus weiter. Mit Entscheid vom 11. Juni 2008 nahm dieses die Eingabe als öffentlich-rechtliche Stimmrechtsbeschwerde entgegen und wies sie ab, soweit es darauf eintrat. Bei der Kostenverlegung nahm das Verwaltungsgericht eine Korrektur am unterinstanzlichen Entscheid zugunsten der Beschwerdeführer vor. D. X._ und Y._ führen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Weiter verlangen sie die Feststellung, dass es sich bei der Alpkorporation Bischof um eine öffentlich-rechtliche Korporation handle und auf kantonaler Ebene der öffentlich-rechtliche Rechtsweg zulässig sei. Eventuell sei die Frist für das Einreichen zivilrechtlicher Rechtsmittel wieder herzustellen. Die Alpkorporation, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren fest.