Sachverhalt: A. Der 1970 geborene S._ war seit dem 1. Januar 2003 als Verkaufsleiter in der Firma X._ GmbH tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 8. Januar 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Renault 19 fuhr innerorts ins Heck des von ihm gelenkten und vor einer Ampel angehaltenen Audi A6. Wegen auftretender Schmerzen im Nackenbereich begab sich S._ noch am Unfalltag zur Untersuchung ins Spital Y._. Dessen Ärzte diagnostizierten eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Der Hausarzt bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfall. Seither geht der Versicherte keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die Allianz richtete Taggelder aus und gewährte Heilbehandlung. Es folgten verschiedene medizinische Abklärungen, wobei mit MR-Untersuchung vom 8. Mai 2003 eine Diskushernie auf Höhe C3/4 festgestellt wurde. Mit Verfügung vom 23. März 2004 stellte der Unfallversicherer die Leistungen mit sofortiger Wirkung ein. Daran hielt er auf die von S._ und dessen Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest. Zur Begründung führte die Allianz aus, soweit die noch bestehenden Beschwerden mit der Diskushernie zu erklären seien, fehle es an der natürlichen, bezüglich der restlichen, objektiv nicht ausgewiesenen Beschwerden an der adäquaten Unfallkausalität (Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2004). B. S._ erhob Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess diese mit Entscheid vom 31. August 2005 mit der Begründung, die Allianz habe den adäquaten Kausalzusammenhang zu früh geprüft, gut und bejahte eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute Teil des Bundesgerichts) hob diesen Entscheid auf. Es bejahte den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie die Adäquanz prüfe und über die Leistungsansprüche materiell urteile (Urteil U 106/06 vom 5. Oktober 2006). Mit Entscheid vom 28. März 2007 hiess das Kantonsgericht die Beschwerde erneut gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2004 auf und verpflichtete die Allianz, die Versicherungsleistungen über den 23. März 2004 hinaus zu gewähren. C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid vom 28. März 2007 sei aufzuheben. S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf die mit BGE 134 V 109 vorgenommene Präzisierung der Schleudertrauma-Praxis.