Sachverhalt: A. Der 1984 geborene D._ war als Mechaniker in der Firma S._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. April 2006 erlitt er als Lenker eines Personenwagens einen Heckauffahrunfall. Der anderntags aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit bis 1. Mai 2006 (Bericht vom 27. Mai 2006). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Im Dezember 2006 bestätigte der Hausarzt den Abschluss der Heilbehandlung. Ab 1. Juni 2006 war D._ neu als Bohrassistent in der Firma H._ AG angestellt und wiederum bei der SUVA obligatorisch unfallversichert. Am 19. September 2006 verletzte er sich bei einem Berufsunfall am rechten Knie, worauf die SUVA vorübergehend Heilbehandlung und Taggeld ausrichtete. Ein weiterer Leistungsanspruch aus diesem Unfall wurde nicht geltend gemacht. Am 9. August 2007 suchte D._ wegen Rückenschmerzen im Bereich der oberen Brustwirbelsäule (BWS) mit Ausstrahlungen in den linken Arm das Spital X._ auf, wo er bis zum folgenden Tag hospitalisiert wurde. Dies meldete die Firma H._ AG am 28. August 2007 der SUVA als Rückfall zum Autounfall vom 24. April 2006. In der Folge gab der Versicherte auch Beschwerden im Bereich der HWS und der Lendenwirbelsäule (LWS) an. Mit Verfügung vom 15. Oktober 2007 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht für die gemeldeten Beschwerden mit der Begründung, es fehle am natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 24. April 2006. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 23. Januar 2008). B. Die von D._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 5. Februar 2009 ab. C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und der Verfügung der SUVA vom 15. Oktober 2007 seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Die Akten der Vorinstanz und der SUVA wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.