Sachverhalt: Sachverhalt: A. X._ reichte am 17. Februar 2003 beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen Klage gegen Y._ ein. Er beantragte, diese unter Strafandrohung im Unterlassungsfall zur unentgeltlichen und unbelasteten Herausgabe des Eigentümerschuldbriefes über Fr. 8'000.--, lastend auf seinem Grundstück Z._-Gbbl. Nr. ... im fünften Rang, zu verpflichten. Mit Urteil vom 24. Oktober 2003 wies der Gerichtspräsident 2 die Klage ab. Die Gerichtskosten wurden den Parteien hälftig auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. A. X._ reichte am 17. Februar 2003 beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen Klage gegen Y._ ein. Er beantragte, diese unter Strafandrohung im Unterlassungsfall zur unentgeltlichen und unbelasteten Herausgabe des Eigentümerschuldbriefes über Fr. 8'000.--, lastend auf seinem Grundstück Z._-Gbbl. Nr. ... im fünften Rang, zu verpflichten. Mit Urteil vom 24. Oktober 2003 wies der Gerichtspräsident 2 die Klage ab. Die Gerichtskosten wurden den Parteien hälftig auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. B. Auf Appellation von X._ bestätigte der Appellationshof des Kantons Bern am 20. Januar 2004 das vorinstanzliche Urteil und wies die Klage ebenfalls ab. Hingegen schützte er die von Y._ erhobene Anschlussappellation und verurteilte X._ zur Tragung sämtlicher erst- und oberinstanzlichen Gerichtskosten im Umfang von Fr. 5'000.-- sowie zur Leistung einer Parteientschädigung an Y._ für das erst- und oberinstanzliche Verfahren von insgesamt Fr. 6'612.50 (zuzüglich Auslagen und Mehrwertsteuer). B. Auf Appellation von X._ bestätigte der Appellationshof des Kantons Bern am 20. Januar 2004 das vorinstanzliche Urteil und wies die Klage ebenfalls ab. Hingegen schützte er die von Y._ erhobene Anschlussappellation und verurteilte X._ zur Tragung sämtlicher erst- und oberinstanzlichen Gerichtskosten im Umfang von Fr. 5'000.-- sowie zur Leistung einer Parteientschädigung an Y._ für das erst- und oberinstanzliche Verfahren von insgesamt Fr. 6'612.50 (zuzüglich Auslagen und Mehrwertsteuer). C. X._ gelangt mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids im Kosten- und Entschädigungspunkt. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Gegen den nämlichen Entscheid des Appellationshofs ist X._ auch mit eidgenössischer Berufung an das Bundesgericht gelangt (Verfahren 5C.52/2004).