Sachverhalt: A. T._, geboren am 23. März 1944, war ab Mai 1990 als Hebamme in der Klinik X._ tätig und aufgrund dieses Arbeitsverhältnisses bei der Pensionskasse V._ berufsvorsorgerechtlich versichert. Am 7. Februar 1992 erlitt sie einen Unfall, in dessen Folge sie ihre Erwerbsfähigkeit vollständig einbüsste. Sowohl die zuständige IV-Stelle als auch der Unfallversicherer sprachen ihr entsprechende Invalidenrenten zu. Auch die Pensionskasse V._ anerkannte einen grundsätzlichen Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente aus (weitergehender) Berufsvorsorge, musste jedoch - zufolge Überentschädigung - keine Rentenleistungen erbringen. Nachdem T._ am 23. März 2008 das 64. Altersjahr zurückgelegt hatte, wurde ihre IV-Rente mit Wirkung ab 1. April 2008 durch eine Altersrente der AHV abgelöst. Die Versicherte ersuchte daraufhin die Pensionskasse V._ um Ausrichtung der ihr zustehenden berufsvorsorgerechtlichen Invalidenrente, was die Vorsorgeeinrichtung ablehnte. Sie stellte sich auf den Standpunkt, anstelle der früher bezogenen IV-Rente sei nunmehr die AHV-Altersrente in die Überentschädigungsberechnung mit einzubeziehen, weshalb sie nach wie vor keine vorsorgerechtlichen Rentenleistungen zu erbringen habe. B. Am 2. September 2008 erhob T._ Klage beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau. Dieses hiess mit Urteil vom 2. Juli 2009 die Klage gut und verpflichtete die Pensionskasse V._, der Klägerin mit Wirkung ab 1. April 2008 in Koordination mit der Rente der obligatorischen Unfallversicherung eine auf einem Invaliditätsgrad von 100 % basierende Invalidenrente auszurichten, zuzüglich Verzugszins von 5 % ab 4. September 2008 für die bis zu diesem Zeitpunkt geschuldeten Rentenbetreffnisse und für die restlichen ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum. C. Die Pensionskasse V._ führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und vollumfängliche Abweisung der Klage. T._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung verzichtet.