Sachverhalt: A. X._ wurde am 4. September 1971 geboren und stammt aus Jordanien. Er heiratete am 5. Juli 1998 eine Schweizer Bürgerin und stellte am 7. Januar 2004 das Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 20. September 2005 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen überdies unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantrage oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Bestätigt wurde mit der schriftlichen Erklärung überdies die Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Am 31. Oktober 2005 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde Kirchberg, Kanton St. Gallen. Am 18. Januar 2006 zog er aus der gemeinsamen Wohnung aus und meldete sich ohne seine Ehefrau an einer neuen Adresse in Winterthur an. Am 26. Januar 2006 richteten er und seine Ehefrau ein gemeinsames Scheidungsbegehren an das Bezirksgericht Winterthur, das am 4. Juli 2006 die Scheidung aussprach. Das Urteil ist am 30. August 2006 in Rechtskraft erwachsen. B. Diese Umstände veranlassten das Bundesamt für Migration, am 18. September 2006 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren konnte er zwei Mal schriftlich Stellung nehmen. Nachdem das Amt für Bürgerrecht und Zivilstand des Kantons St. Gallen am 7. Februar 2007 die entsprechende Zustimmung erteilt hatte, erklärte das Bundesamt die Einbürgerung von X._ mit Verfügung vom 9. März 2007 für nichtig. C. Mit Urteil vom 16. April 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen die erstinstanzliche Verfügung eingereichte Beschwerde von X._ ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0) erfüllt. D. Mit Eingabe vom 20. Mai 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt im Wesentlichen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben. E. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.