Sachverhalt: A. X._ (Beschwerdeführer) und Z._ (Beschwerdegegnerin) sind die unverheirateten und nicht zusammenlebenden Eltern des am xxxx 2001 geborenen Y._. Die elterliche Sorge kommt der Mutter Z._ zu, unter deren Obhut Y._ lebt; diese Frage ist durch den angefochtenen Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Mai 2008 entschieden worden, und dieser Entscheid ist in diesem Punkt vor Bundesgericht nicht angefochten. Dem nicht sorgeberechtigten Vater hat das Obergericht - in Abweisung seines Rekurses und in Bestätigung der Entscheide der Vormundschaftsbehörde A._ und des Bezirksrates B._ - ein Besuchsrecht vom Freitagabend bis Sonntagabend, 18 Uhr, jedes zweite Wochenende eingeräumt. B. Gegen die Verweigerung der Ausdehnung des Besuchsrechts "bis Montagmorgen Schulbeginn" richtet sich die vorliegende Beschwerde in Zivilsachen. Eine Beschwerdeantwort wurde nicht eingeholt.