Sachverhalt: A. Mit Arbeitsvertrag vom 27. Dezember 1995 stellte die X._ AG (Arbeitgeberin) Y._ (Arbeitnehmer) als "Geschäftsleiter" der Arbeitgeberin und deren Schwestergesellschaft, der Garage Z._ AG, an. Gemäss Ziffer 1 des Arbeitsvertrages oblag dem Arbeitnehmer namentlich die Führung eines geordneten Taxi- und Garagenbetriebes, die Verantwortung aller administrativer und vertraglicher Belange der beiden Gesellschaften und die Rekrutierung und Ausbildung des Personals. Ziffer 2 des Arbeitsvertrages sah folgendes Konkurrenzverbot vor: "Nach einer allfälligen Beendigung des Arbeitsverhältnisses verpflichtet sich der Arbeitnehmer im Sinne von OR 340 während der Dauer von zwei Jahren, in der Stadt Zürich und angrenzenden Gemeinden, weder auf eigenen Namen ein mit den beiden Gesellschaften sich konkurrenzierendes Geschäft zu betreiben oder sich in einem solchen zu betätigen. Bei Zuwiderhandlungen gegen dieses Konkurrenzverbot hat der Arbeitnehmer eine Konventionalstrafe von CHF 20 000.-- zu bezahlen. Die Arbeitgeberin kann neben der Bezahlung dessen auch die Aufhebung des vertragswidrigen Zustandes verlangen." Mit Schreiben vom 27. November 2008 kündigte die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer den Arbeitsvertrag auf den 31. Mai 2009 und stellte ihn bis zu diesem Zeitpunkt frei. B. Am 14. April 2009 klagte der Arbeitnehmer (Kläger) beim Arbeitsgericht Zürich gegen die Arbeitgeberin (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 2'135.-- brutto. Mit Eingabe vom 23. Mai 2009 erhöhte der Kläger seine Forderung auf Fr. 27'829.10. Seit dem 1. Juni 2009 betreibt der Kläger in Zürich ein Taxiunternehmen. An der Sühneverhandlung vom 2. Juni 2009 erhob die Beklagte Widerklage auf Zahlung von Fr. 22'862.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 2. Juni 2009. Gemäss den an der Hauptverhandlung vom 29. Juli 2009 geänderten Widerklagebegehren Ziff. 3-5 beantragte die Beklagte zudem, dem Kläger als vorsorgliche Massnahme im Sinne von § 110 ZPO/ZH unter Androhung der Bestrafung nach Art. 292 StGB zu verbieten, bis am 31. Mai 2011 auf dem Gebiet der Stadt Zürich und angrenzenden Gemeinden auf eigenen Namen ein mit der Beklagten konkurrenzierendes Geschäft zu betreiben oder sich in einem solchen zu betätigen. Dieses Massnahmebegehren wies das Arbeitsgericht am 29. Juli 2009 ab. Einen dagegen erhobenen Rekurs der Beklagten wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 12. April 2010 ab. C. Die Beklagte (Beschwerdeführerin) erhebt beim Bundesgericht Beschwerde mit den Anträgen, den Beschluss des Obergerichts vom 12. April 2010 aufzuheben und Ziff. 3 bis 5 des anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Arbeitsgericht vom 29. Juli 2009 geänderten Widerklagebegehrens gutzuheissen. Der Kläger (Beschwerdegegner) beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.