Sachverhalt: Sachverhalt: A. W._ (geb. 1947) erlitt 4. Oktober 1999 einen Verkehrsunfall, bei welchem sie sich eine Commotio cerebri (Gehirnerschütterung), verschiedene Prellungen, eine Rissquetschwunde oberhalb des rechten Auges sowie eine Kontusion der Schneidezähne zuzog. Als Angestellte bei der B._ AG war sie bei der "Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft" obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Sie versah die Stelle seit November 1992 mit einem Pensum von 50 %; das Arbeitsverhältnis endete per Ende Mai 2000. W._ war ausserdem bis Juli 1998 zu ungefähr 50 % als Trainerin bei der Schule Y._ tätig. In entsprechendem Umfang bezog sie von November 1998 bis zum Unfall Arbeitslosenentschädigung. Der Unfallversicherer erbrachte bis zum 2. Februar 2000 Taggeldleistungen auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Der behandelnde Arzt Dr. X._ attestierte der Versicherten für die Zeit ab dem 3. Februar 2000 zunächst eine volle Arbeitsfähigkeit, korrigierte diese Einschätzung indes später. Die effektive Arbeitsunfähigkeit ab dem 3. Februar 2000 betrage 50 %. Aufgrund einer Fehlüberlegung habe er die Angabe über die Leistungsfähigkeit ursprünglich nur auf die Teilzeitstelle bei der B._ AG bezogen (Schreiben an die B._ AG vom 20. April 2000). Mit durch Einspracheentscheid vom 5. Januar 2001 bestätigter Verfügung vom 16. November 2000 stellte der Unfallversicherer fest, die rückwirkende Änderung des Unfallscheins sei nicht glaubwürdig. Die Leistungspflicht für Taggelder entfalle ab dem 3. Februar 2000. Mit durch Einspracheentscheid vom 5. Januar 2001 bestätigter Verfügung vom 16. November 2000 stellte der Unfallversicherer fest, die rückwirkende Änderung des Unfallscheins sei nicht glaubwürdig. Die Leistungspflicht für Taggelder entfalle ab dem 3. Februar 2000. B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gut. Der Unfallversicherer habe die Taggeldleistungen über den 2. Februar 2000 hinaus zu gewähren, da die Versicherte auch nach diesem Zeitpunkt zu 50 % arbeitsunfähig gewesen sei (Entscheid vom 23. Juli 2002). B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gut. Der Unfallversicherer habe die Taggeldleistungen über den 2. Februar 2000 hinaus zu gewähren, da die Versicherte auch nach diesem Zeitpunkt zu 50 % arbeitsunfähig gewesen sei (Entscheid vom 23. Juli 2002). C. Die Vaudoise Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft reicht Verwaltungsgerichtsbeschwerde ein mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, währenddem das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, währenddem das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichtet. D. Die Versicherte lässt mit Eingabe vom 10. Oktober 2003 ein medizinisches Gutachten vom 11. September 2003 nachreichen.