Sachverhalt: A. A._ (10. Mai 1968; Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo) reiste 1996 und 1998 illegal in die Schweiz ein und stellte jeweils ein Asylgesuch. Das erste wurde abgewiesen; auf das zweite trat das damalige Bundesamt für Flüchtlinge nicht ein. Vor Ablauf der Ausreisefrist heiratete A._ eine Schweizer Bürgerin (16. April 1999), weshalb er in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Ehe wurde 2007 geschieden. B. Am 20. April 2012 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau (Migrationsamt) die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab; die kantonalen Rechtsmittel und auch die Beschwerde vor Bundesgericht (Verfahren 2C_613/2013) dagegen waren alle erfolglos. Am 27. Februar 2014 setzte das Migrationsamt A._ eine Ausreisefrist bis 31. März 2014; diese liess er ungenutzt verstreichen. In der Folge verfügte das Migrationsamt eine Ausschaffungshaft von drei Monaten ab 24. April 2014, 16.00 Uhr, was das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 28. April 2014 bestätigte. Am 23. Mai 2014 trat das Bundesamt für Migration (BFM) auf ein Gesuch von A._ um vorläufige Aufnahme und um Aussetzung des Vollzugs der Wegweisung nicht ein. Da eine (zwangsweise) Zuführung von kongolesischen Staatsangehörigen bei der Botschaft in Bern damals und zur Zeit nicht möglich war bzw. ist und A._ bei der Organisation eines Termins bei der Botschaft zwecks Beschaffung notwendiger Papiere sich nicht kooperativ zeigte, verfügte das Migrationsamt am 14. Juli 2014 zunächst eine Durchsetzungshaft von vorläufig einem Monat ab 14. Juli 2014, 17.01 Uhr, danach am 4. August 2014 eine Verlängerung um weitere zwei Monate ab 12. August, 17.01 Uhr, was das Verwaltungsgericht am 16. Juli bzw. 6. August 2014 bestätigte. Am 1. September 2014 stellte A._ beim BFM ein Asylgesuch. In der Folge (12. September 2014) wies dieses gestützt auf Art. 97 AsylG (SR 142.31) das Migrationsamt an, den Vollzug der Wegweisung, insbesondere die Beschaffung der Reisepapiere, zu unterlassen. Am 18. September 2014 beantragte A._ beim Verwaltungsgericht Haftentlassung, da aufgrund der Weisung des BFM vom 12. September 2014 der Vollzug nicht mehr möglich sei. Das Haftentlassungsgesuch wies das Verwaltungsgericht am 26. September 2014 ab. C. Vor Bundesgericht beantragt A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlicher Angelegenheit, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. September 2014 aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter stellt er mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde dieselben Anträge. D. Das Migrationsamt verzichtet auf eine Stellungnahme und beantragt Abweisung der Beschwerde; das Verwaltungsgericht beantragt vernehmlassungsweise Abweisung der Beschwerde. Das BFM hat eine Stellungnahme eingereicht. Der Beschwerdeführer hat sich nochmals geäussert. E. Mit Verfügung vom 7. Oktober 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen abgewiesen.