Sachverhalt: A. Der 1952 geborene H._ war seit 1. Dezember 2000 als Servicemonteur für die L._ AG tätig und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 18. Juli 2003 stürzte er in einen Liftschacht und zog sich dabei ein Schädel-Hirntrauma mit Felsenbeinfraktur links, Kalottenfraktur parietal links und kleiner Epiduralblutung parietal links zu (Austrittsbericht des Spitals X._ vom 21. Juli 2003). Die SUVA kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2007 kündigte sie an, dass sie ihre Leistungen nun auch im Zusammenhang mit den gelegentlichen Konsultationen beim Hausarzt auf Ende Oktober 2007 einstellen werde, nachdem die letzten Taggelder am 9. April 2004 ausgerichtet worden seien; gleichzeitig verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 14. März 2008). B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 22. Juli 2009). C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei zu verpflichten, ihm - allenfalls nach Vornahme weiterer Abklärungen - die gesetzlichen Leistungen (insbesondere Taggelder und die Übernahme der Heilbehandlungskosten, eventuell eine Rente und eine Integritätsentschädigung) auch nach dem 9. August (recte: 9. April) 2004 zu gewähren. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.