Forderung aus Versicherungsvertrag, hat sich ergeben: A.- X._ schloss bei der Versicherung Y._ (nachfolgend "Y._") für sich und seine im Betrieb mitarbeitende Ehefrau eine Krankentaggeld-Versicherung ab. Gemäss dem seit dem 1. April 1996 wirksamen Versicherungsvertrag betrug das Taggeld für Frau X._ 80% des versicherten Jahresverdienstes von Fr. 32'400.-- bei einer Wartefrist von 14 Tagen. Am 4. Mai 1998 teilte X._ der "Y._" mit, seine Ehefrau sei im April 1997 an einer Neurodermitis erkrankt; nach einem dreimonatigen Kuraufenthalt in Italien habe sie im Oktober 1997 ihre Arbeit wieder aufnehmen können. Der Naturarzt A._ habe ihr eine vom 23. April bis 30. September 1997 dauernde Arbeitsunfähigkeit bescheinigt. Mit Schreiben vom 20. Mai 1998 teilte die "Y._" X._ mit, Taggeldleistungen würden eine ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit voraussetzen, wobei diese Bestätigung von einem Arzt stammen müsse, der das eidgenössische Diplom besitze und über eine vom Bundesrat anerkannte Weiterbildung verfüge. Hierauf stellte X._ am 16. Juni 1999 der "Y._" eine Bescheinigung der Ärztin B._ zu, worin Frau X._ eine 100%-ige Arbeitsunfähigkeit für die Zeit vom 23. April bis zum 30. September 1997 attestiert wurde. Die "Y._" anerkannte dieses Attest indessen nicht, weil während des fraglichen Zeitraumes keine Behandlung oder Kontrolle von Frau X._ durch diese Ärztin stattgefunden habe und zudem während des Italienaufenthaltes keine Begleitung durch die Ärztin B._ möglich gewesen sei. Überdies machte die "Y._" geltend, dass zwischenzeitlich die Verjährung der Forderung auf Taggeldleistungen eingetreten sei. Nach ergebnislos verlaufenem Sühneversuch reichte X._ am 17. September 1999 beim Bezirksgericht W._ Klage gegen die "Y._" ein und verlangte deren Verurteilung zur Bezahlung von Fr. 12'870.-- nebst Zins und Kosten. Am 19. November 1999 wies der Bezirksgerichtspräsident die Klage ab, weil die Forderung verjährt sei. Dagegen gelangte der Kläger mit kantonaler Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Der Präsident der III. Zivilkammer wies am 2. Oktober 2000 die Berufung ab. B.- Mit eidgenössischer Berufung beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Oktober 2000 aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm einen Betrag von Fr. 12'870.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 23. Dezember 1998 zu bezahlen. Eventualiter stellt er den Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Kantonsgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden.