Sachverhalt: A. A.a Der Präsident des Bezirksgerichts Kulm hiess am 28. September 2001 das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege für die von ihr erhobene Erbteilungsklage gut und bestimmte Rechtsanwalt A._ zum unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Schreiben vom 30. August 2002 verlangte X._ vom Gerichtspräsidium Kulm, einen Wechsel des unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bewilligen, weil sie das Vertrauen in Rechtsanwalt A._ verloren habe. Der Bezirksgerichtspräsident verweigerte am 23. September 2002 einen Wechsel des unentgeltlichen Rechtsbeistands, weil dieser nur in Frage komme, wenn der bestellte Rechtsvertreter die Interessen des Verbeiständeten nicht pflichtgemäss wahre, wovon im konkreten Fall keine Rede sein könne. Am 14. Oktober 2002 teilte X._, vertreten durch Rechtsanwalt B._, dem Bezirksgerichtspräsidium mit, dass sie auf den unentgeltlichen Rechtsbeistand durch Rechtsanwalt A._ verzichte. In der Folge entliess der Bezirksgerichtspräsident mit Verfügung vom 24. Dezember 2002 den unentgeltlichen Rechtsvertreter A._ aus seinem Amt. A.b Am 10. Januar 2008 stellte X._, nun vertreten durch Rechtsanwalt Dr. Raoul Stampfli, im gleichen Hauptverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und ersuchte, Rechtsanwalt Stampfli als unentgeltlichen Rechtsbeistand einzusetzen. Der Präsident des Bezirksgerichts Kulm wies das Gesuch mit Verfügung vom 23. Januar 2008 ab. B. Gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer), welches die Beschwerde mit Entscheid vom 17. März 2008 abwies. C. Mit Eingabe vom 24. April 2008 hat X._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, der obergerichtliche Entscheid sei aufzuheben, und die Vorinstanz sei anzuweisen, die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Präsidialverfügung vom 19. Mai 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Der Präsident des Bezirksgerichts Kulm schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Stellungnahme verzichtet.