Sachverhalt: Der 1970 geborene P._ meldete sich, nachdem ein erstes Rentenbegehren mit rechtskräftiger Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 27. März 2001 mangels einer anspruchsbegründenden Invalidität abgewiesen worden war, im Januar 2002 unter Hinweis auf eine gesundheitliche Verschlechterung erneut zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Basel-Stadt prüfte die Neuanmeldung materiell und verneinte mit der Begründung, es liege keine relevante Änderung des Invaliditätsgrades vor, wiederum eine Rentenberechtigung (Verfügung vom 15. Oktober 2004 und Einspracheentscheid vom 21. Februar 2006). Beschwerdeweise beantragte P._, es sei eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 14. September 2006). Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt P._ seine vorinstanzlichen Rechtsbegehren erneuern. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Entscheid vom 15. März 2007 wies das Bundesgericht ein Gesuch des P._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.