Sachverhalt: A. Die 1970 geborene, als Servicemitarbeiterin tätig gewesene Z._ übte diesen Beruf stundenweise im Zwischenverdienst aus und bezog Arbeitslosenentschädigung, als sie am 19. Oktober 2003 auf der Autobahn als Mitfahrerin in einem Ford Transit einen Verkehrsunfall erlitt. Aufgrund eines Unfalles, der sich kurz davor auf der Überholspur ereignet hatte, signalisierte ein Polizeibeamter den nahenden Verkehrsteilnehmern, die Geschwindigkeit herabzusetzen und auf der rechten Fahrspur zu bleiben. Der Fahrer des auf dieser Spur verkehrenden Ford Transit reduzierte die Geschwindigkeit, als er den Vorunfall und die Anwesenheit der Polizei wahrnahm. Ein vor ihm fahrender Nissan Patrol bremste seinerseits wegen eines anderen, von der Überholspur wechselnden Autos stark ab. Der Fahrer des Ford wurde davon überrascht. Er leitete noch eine Vollbremsung ein. Dennoch prallte sein Fahrzeug frontal ins Heck des Nissan. Z._, welche in der - nicht mit Sicherheitsgurten ausgerüsteten - 3. Sitzreihe des Ford Transit sass, prallte mit der linken Körperseite gegen den vorderen Sitz. Gemäss Bericht des Spitals X._ vom 19. Oktober 2003 zog sie sich dabei eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine Trapeziusmuskelzerrung zu. Es wurde eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. In der Folge wurde überdies ein linksseitiges Kontusionstrauma der Schulter und des linken Sprunggelenkes diagnostiziert (kreisärztlicher Untersuchungsbericht vom 4. Dezember 2003). Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie Z._ mit Verfügung vom 6. Oktober 2006, die Leistungen würden mit dem 31. Juli 2006 eingestellt; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 19. Oktober 2003. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 24. Januar 2007). B. Die von Z._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 28. August 2007 ab. C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien rückwirkend ab dem 1. August 2006 die vollen Versicherungsleistungen, d.h. Heilbehandlung und Taggeld, allenfalls eine Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 40 %, zuzusprechen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 8. resp. 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.