Sachverhalt: A. A.a. A._ war bei einer Internatsschule tätig und dadurch bei der Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (im Folgenden: Mobiliar) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 13. Mai 2006 einen Unfall erlitt. Nach Abklärungen u.a. zum medizinischen Sachverhalt sprach ihm die Mobiliar mit Verfügung vom 5. Januar 2009 eine Integritätsentschädigung für eine durch Tinnitus bedingte Integritätseinbusse von 10 % zu. Dagegen führte A._ Einsprache auf Prüfung der Rentenfrage. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2009 und Einspracheentscheid vom 15. Februar 2010 verneinte die Mobiliar einen Anspruch auf weitere Geldleistungen. A._ führte Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess diese mit Entscheid vom 9. März 2011 in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid vom 15. Februar 2010 aufhob und die Sache zu ergänzender medizinischer Abklärung sowie zu anschliessender Rentenprüfung und neuer Verfügung an die Mobiliar zurückwies. A.b. Die Mobiliar holte ein medizinisches Gutachten vom 6. März 2012 ein. Mit Verfügung vom 13. Juli 2012 hielt sie fest, die geltend gemachten Beschwerden stünden spätestens seit 31. Dezember 2007 nicht mehr in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 13. Mai 2006. Aus organischer Sicht hinterlasse der Unfall keine Folgen, die die weiter dauernden Heilbehandlungen zu Lasten des Unfalles begründeten. Es würden keine weiteren Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung erbracht. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 21. November 2012 fest. B. Beschwerdeweise beantragte A._, der Einspracheentscheid vom 21. November 2012 und die Verfügung vom 13. Juli 2012 seien aufzuheben und es seien weiterhin Leistungen für die Folgen des Verkehrsunfalles vom 13. Mai 2006 zuzusprechen. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2013 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Beschwerde dahin gehend gut, dass der Einspracheentscheid vom 21. November 2012 aufgehoben und die Sache zur Prüfung des Rentenanspruchs und zu neuer Verfügung an die Mobiliar zurückgewiesen wurde. C. Die Mobiliar lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid vom 29. Oktober 2013 aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 21. November 2012 zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei, schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit hat sich nicht vernehmen lassen. D. Mit Verfügung vom 21. Februar 2014 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.