Sachverhalt: A. W._, geboren 1973, bezog seit 1. März 2000 für die Folgen zweier Fahrradunfälle (vom 10. November 1994 und 19. August 1998) eine halbe Rente der Invalidenversicherung (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Luzern vom 6. August 2003; bestätigt mit Verfügung vom 28. September 2004). Im Jahre 2007 führte die IV-Stelle eine (weitere) revisionsweise Überprüfung der Anspruchsberechtigung durch, setzte mit Verfügung vom 2. Juli 2008 die bisherige halbe Rente auf eine Viertelsrente herab und forderte aufgrund einer Meldepflichtverletzung zu Unrecht bezogene Leistungen für die Zeit vom 1. Juni 2005 bis 31. August 2007 zurück. B. Beschwerdeweise beantragte W._ insbesondere die Weiterausrichtung einer halben Invalidenrente und ersuchte um Feststellung, dass die zwischen 1. Juni 2005 und 31. August 2007 bezogenen Leistungen nicht zurückzufordern seien. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 21. Dezember 2009 in dem Sinne teilweise gut, als es in Abänderung der Verfügung der IV-Stelle vom 2. Juli 2008 feststellte, dass W._ ab Januar 2008 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgenden Anträgen: "1. Die Ziffer 1 des Rechtsspruches des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 21.12.2009 sei insofern aufzuheben, als festgestellt wird, die Beschwerdegegnerin habe ab Januar 2008 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung. 2. Es sei die Richtigkeit der Verfügung vom 2. Juli 2008 festzustellen. 3. Die Ziffern 4 und 5 des Rechtsspruches des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 21.12.2009 seien aufzuheben. 4. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. 5. Unter Kostenfolge zu Lasten der Beschwerdegegnerin." Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. W._ lässt beantragen, in Bestätigung des vorinstanzlichen Urteils seien sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen; eventuell sei auf die Beschwerde nicht einzutreten.