Sachverhalt: A. Zwischen Y._ (als Klägerin) und X._ (als Beklagter) ist vor dem Bezirksgericht B._ ein Gerichtsverfahren betreffend Ungültigkeit bzw. Herabsetzung erbrechtlicher Verfügungen hängig. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2006 erklärte X._, sie lehne Bezirksgerichtspräsidentin Z._ wegen Befangenheit ab. Das Ausstandsbegehren wurde mit Urteil des Bezirksgerichts B._ vom 4. Januar 2007 abgewiesen. Die von X._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht) am 30. Mai 2007 ab. B. Mit einer als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. des BGG" bezeichneten Eingabe vom 4. Juli 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben, und verlangt ausserdem (dem Sinne nach), ihr Ausstandsbegehren sei gutzuheissen. Es ist keine Vernehmlassung zur Beschwerde eingeholt worden.