Sachverhalt: A. Der 1950 geborene J._ ist bei der Intras Krankenkasse obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 20. Dezember 2001 wurde ihm wegen einer morbiden Adipositas im Spital X._ ein Magen-Bypass eingesetzt, wofür die Intras vorgängig, am 22. Juni 2000, Kostengutsprache erteilt hatte. Als der Versicherte, nachdem er postoperativ vorerst abgenommen hatte, erneut zunahm, ersuchte Dr. med. A._, Facharzt FMH für Chirurgie spez. Viszeralchirurgie, die Intras mit Schreiben vom 24. Februar 2005 um Erteilung einer Kostengutsprache für eine Reoperation, welche am 11. April 2005 im Spital X._ durchgeführt wurde (laparaskopische und offene Adhäsiolyse, biliopankreatische Diversion; stationärer Aufenthalt vom 11. bis 15. April 2005). Mit Schreiben vom 9. Mai 2005 teilte die Intras Dr. med. A._ mit, die Voraussetzungen für eine Kostenübernahme seien nicht erfüllt. An diesem Standpunkt hielt sie im Verlaufe der weiteren Korrespondenz fest. Mit Verfügung vom 6. Januar 2006 lehnte die Intras eine Übernahme der Kosten der Operation vom 11. April 2005 ab. Dagegen erhob der Versicherte Einsprache. In Gutheissung der von J._ eingereichten Beschwerde wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweige-rung wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Intras an, über die Einsprache ohne Verzug einen Entscheid zu erlassen (Entscheid vom 2. September 2008). Mit Entscheid vom 1. September 2009 trat die Intras auf die Einsprache nicht ein (Ziffer 1), eventualiter wies sie sie ab (Ziffer 2). B. Der Versicherte liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Intras sei zu verpflichten, sämtliche Kosten im Zusammenhang mit dem Eingriff und der Behandlung vom 11. bis 15. April 2005 zu übernehmen und auf den geschuldeten Leistungen Verzugszins zu entrichten sowie den weiteren Verzugsschaden zu ersetzen. Mit Entscheid vom 2. Juli 2010 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde teilweise gut und hob Ziffer 1 des Einspracheentscheides auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur weiteren Abklärung und zu neuem Entscheid an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Die Intras schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) lässt sich vernehmen, ohne einen formellen Antrag zu stellen.