Sachverhalt: Sachverhalt: A. X._ erlitt am 15. Juni 1990 einen Sportunfall, bei welchem er sich eine Verletzung am rechten oberen Sprunggelenk zuzog. Er wurde daraufhin in der Schulthess-Klinik in Zürich operiert. Für die Heilungskosten - insbesondere die beiden chirurgischen Eingriffe vom 14. Oktober 1993 und vom 6. November 1996 - und den entsprechenden Spitalaufenthalt kam die deutsche Hallesche-Nationale Versicherung auf. A. X._ erlitt am 15. Juni 1990 einen Sportunfall, bei welchem er sich eine Verletzung am rechten oberen Sprunggelenk zuzog. Er wurde daraufhin in der Schulthess-Klinik in Zürich operiert. Für die Heilungskosten - insbesondere die beiden chirurgischen Eingriffe vom 14. Oktober 1993 und vom 6. November 1996 - und den entsprechenden Spitalaufenthalt kam die deutsche Hallesche-Nationale Versicherung auf. B. Seit dem 1. Januar 1996 ist X._ bei der Y._ Krankenversicherung obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 5. Mai 1997 beantragte er bei der Y._ den Abschluss verschiedener Zusatzversicherungen, unter anderem auch der Infortuna Unfallversicherung. Am 29. August 1997 teilte ihm die Y._ mit, die gewünschten Zusatzversicherungen könnten abgeschlossen werden, allerdings mit einem lebenslänglichen Vorbehalt "Arthrose des oberen Sprunggelenks". Nachdem X._ gegen den Vorbehalt interveniert hatte, wurde er schliesslich ohne einen solchen auf den 1. Oktober 1997 in die gewünschte Zusatzversicherung aufgenommen. B. Seit dem 1. Januar 1996 ist X._ bei der Y._ Krankenversicherung obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 5. Mai 1997 beantragte er bei der Y._ den Abschluss verschiedener Zusatzversicherungen, unter anderem auch der Infortuna Unfallversicherung. Am 29. August 1997 teilte ihm die Y._ mit, die gewünschten Zusatzversicherungen könnten abgeschlossen werden, allerdings mit einem lebenslänglichen Vorbehalt "Arthrose des oberen Sprunggelenks". Nachdem X._ gegen den Vorbehalt interveniert hatte, wurde er schliesslich ohne einen solchen auf den 1. Oktober 1997 in die gewünschte Zusatzversicherung aufgenommen. C. Am 1. November 1999 bat die Schulthess-Klinik die Y._ für X._ um Kostengutsprache für die stationäre Behandlung seiner Arthrose des oberen Sprunggelenks. Die Y._ ersuchte am 4. November 1999 die Heilanstalt und am 18. November 1999 ihren Versicherungsnehmer um ergänzende Angaben, bevor die Kostengutsprache erteilt werden könne. X._ begab sich vom 15. bis 30. November 1999 zur stationären Behandlung in die private Abteilung der Schulthess-Klinik. Am 9. Juni 2000 ersuchte die Schulthess-Klinik die Y._ erneut um Kostengutsprache für eine stationäre Behandlung und teilte mit, dass der Patient bereits drei Tage zuvor eingetreten sei. Am Tag des Klinikaustritts, am 13. Juni 2000, erneuerte X._ persönlich sein Ersuchen um Kostengutsprache für beide Klinikaufenthalte. Die Schulthess-Klinik stellte ihm am 14. Juni 2000 Rechnung über Fr. 19'155.25 für die nicht gedeckten Kosten des ersten Klinikaufenthalts. Die Y._ ihrerseits teilte X._ am 19. Juni 2000 mit, dass sie noch weitere Abklärungen treffen müsse. Sie informierte am 28. Juni 2000 die Schulthess-Klinik dahingehend, dass eine Kostenübernahme für den Privatanteil (Mehrkosten) aus der Zusatzversicherung ausgeschlossen sei, da es sich um den Rückfall eines vor Versicherungsabschluss erfolgten Unfalls handle. Am 15. September 2000 stellte die Schulthess-Klinik X._ Rechnung über Fr. 12'240.20 für die ungedeckten Kosten aus dem zweiten Klinikaufenthalt. Mit Schreiben vom 6. Februar 2001 bekräftigte die Y._ gegenüber X._ ihre Rechtsauffassung, für die beiden stationären Heilbehandlungen nicht leistungspflichtig zu sein, erklärte sich indes bereit, die ungedeckten Kosten des ersten Aufenthaltes zu einem Drittel (Fr. 6'385.10) zu übernehmen. In der Folge setzte die Schulthess-Klinik ihre erste Rechnung auf Fr. 12'770.15 herab. Der anschliessende Briefwechsel zwischen X._ und der Y._ führte zu keiner einvernehmlichen Lösung. C. Am 1. November 1999 bat die Schulthess-Klinik die Y._ für X._ um Kostengutsprache für die stationäre Behandlung seiner Arthrose des oberen Sprunggelenks. Die Y._ ersuchte am 4. November 1999 die Heilanstalt und am 18. November 1999 ihren Versicherungsnehmer um ergänzende Angaben, bevor die Kostengutsprache erteilt werden könne. X._ begab sich vom 15. bis 30. November 1999 zur stationären Behandlung in die private Abteilung der Schulthess-Klinik. Am 9. Juni 2000 ersuchte die Schulthess-Klinik die Y._ erneut um Kostengutsprache für eine stationäre Behandlung und teilte mit, dass der Patient bereits drei Tage zuvor eingetreten sei. Am Tag des Klinikaustritts, am 13. Juni 2000, erneuerte X._ persönlich sein Ersuchen um Kostengutsprache für beide Klinikaufenthalte. Die Schulthess-Klinik stellte ihm am 14. Juni 2000 Rechnung über Fr. 19'155.25 für die nicht gedeckten Kosten des ersten Klinikaufenthalts. Die Y._ ihrerseits teilte X._ am 19. Juni 2000 mit, dass sie noch weitere Abklärungen treffen müsse. Sie informierte am 28. Juni 2000 die Schulthess-Klinik dahingehend, dass eine Kostenübernahme für den Privatanteil (Mehrkosten) aus der Zusatzversicherung ausgeschlossen sei, da es sich um den Rückfall eines vor Versicherungsabschluss erfolgten Unfalls handle. Am 15. September 2000 stellte die Schulthess-Klinik X._ Rechnung über Fr. 12'240.20 für die ungedeckten Kosten aus dem zweiten Klinikaufenthalt. Mit Schreiben vom 6. Februar 2001 bekräftigte die Y._ gegenüber X._ ihre Rechtsauffassung, für die beiden stationären Heilbehandlungen nicht leistungspflichtig zu sein, erklärte sich indes bereit, die ungedeckten Kosten des ersten Aufenthaltes zu einem Drittel (Fr. 6'385.10) zu übernehmen. In der Folge setzte die Schulthess-Klinik ihre erste Rechnung auf Fr. 12'770.15 herab. Der anschliessende Briefwechsel zwischen X._ und der Y._ führte zu keiner einvernehmlichen Lösung. D. X._ reichte am 4. Oktober 2002 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Y._ ein. Er verlangte von der Beklagten aufgrund seiner Zusatzunfallversicherung die Zahlung seiner ungedeckten Kosten für die beiden Klinikaufenthalte vom 15. bis 30. November 1999 und vom 6. bis 13. Juni 2000 in der Höhe von insgesamt Fr. 25'010.35. Zudem sei festzustellen, dass die Y._ für die Folgen seines Sportunfalls auch künftig leistungspflichtig sei und allfällige Spitalkosten der privaten Abteilung zu übernehmen habe. Mit Urteil vom 16. Dezember 2003 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. D. X._ reichte am 4. Oktober 2002 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Y._ ein. Er verlangte von der Beklagten aufgrund seiner Zusatzunfallversicherung die Zahlung seiner ungedeckten Kosten für die beiden Klinikaufenthalte vom 15. bis 30. November 1999 und vom 6. bis 13. Juni 2000 in der Höhe von insgesamt Fr. 25'010.35. Zudem sei festzustellen, dass die Y._ für die Folgen seines Sportunfalls auch künftig leistungspflichtig sei und allfällige Spitalkosten der privaten Abteilung zu übernehmen habe. Mit Urteil vom 16. Dezember 2003 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. E. Mit Berufung vom 13. Februar 2004 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, das vorinstanzliche Urteil sei im Sinne der Erwägungen aufzuheben; die Leistungspflicht der Beklagten sei festzustellen und die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger die Kosten der privaten Abteilung des Spitalaufenthaltes vom 15. bis 30. November 1999 und vom 6. bis 13. Juni 2000 von insgesamt Fr. 25'010.35 zu bezahlen. Die Y._ schliesst auf Abweisung der Berufung; das Sozialversicherungsgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.