Sachverhalt: A. A.a. V._ ist ausgebildete Hotelfachfrau und Inhaberin eines Handelsdiploms sowie eines kaufmännischen Fähigkeitszeugnisses. Sie leidet an einer schizoaffektiven Störung (ICD-10 Ziff. F25.1). Am 26. Mai 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt sprach ihr mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 23. Dezember 2010). Von Dezember 1999 bis Juni 2008 war sie bei verschiedenen Arbeitgebern erwerbstätig und bezog wiederholt Arbeitslosenentschädigung. Dadurch war V._ im angegebenen Zeitraum bei folgenden Vorsorgeeinrichtungen versichert: - Personalvorsorgestiftung X._ (Tätigkeit bei der Firma P._ vom 1. Dezember 1999 bis 8. Februar 2005); - Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E._ AG vom 9. Februar bis 4. Mai 2005); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 5. Mai bis 18. Dezember 2005); - Personalvorsorgestiftung X._ (Tätigkeit bei der Firma A._ vom 19. Dezember 2005 bis 19. März 2006); - Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E._ AG vom 20. März 2006 bis 19. Januar 2007); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 20. Januar bis 28. Februar 2007); - Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (Tätigkeit bei der N._ AG vom 1. März 2007 bis 31. Oktober 2007); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 1. November bis 9. Dezember 2007); - Pensionskasse Basel-Stadt (Tätigkeit beim Departement B._ vom 10. Dezember 2007 bis 30. Juni 2008). Alle beteiligten Vorsorgeversicherer lehnten je für sich eine Zuständigkeit hinsichtlich Invalidenleistungen ab. A.b. Mit Klage vom 11. Oktober 2011 beantragte V._ dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, die Pensionskasse Basel-Stadt sei zu verpflichten, Vorleistungen zu erbringen. Am 7. März 2012 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht die Pensionskasse Basel-Stadt, der Versicherten als Vorleistung mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente gemäss gesetzlichem Obligatorium zu entrichten (noch ohne betragsmässige Festsetzung). Auf Beschwerde der Pensionskasse hin erkannte das Bundesgericht, diese erleide durch den angefochtenen Zwischenentscheid, der als solcher nicht vollstreckbar sei, unter anderem im Hinblick auf die Verjährung einer allfälligen Regressforderung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Demgemäss trat es auf die Beschwerde der Pensionskasse Basel-Stadt nicht ein (Urteil 9C_392/2012 vom 17. Dezember 2012). Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt mit Entscheid vom 28. Mai 2013, der Klägerin mit Wirkung ab 9. Dezember 2010 als Vorleistung eine Invalidenrente von monatlich Fr. 804.90 zuzüglich Zins seit 11. Oktober 2011 zu entrichten. B. Am 26. April 2012 hatte V._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt gegen die erwähnten Vorsorgeeinrichtungen Klage erhoben. Die Personalvorsorgestiftung X._ - respektive eventuell die Stiftung 2. Säule swissstaffing, subeventuell die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, sub-subeventuell die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge oder sub-sub-subeventuell die Pensionskasse Basel-Stadt - sei zu verurteilen, ihr für den Zeitraum ab Mai 2007 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 50 Prozent und ab Mai 2009 gestützt auf einen solchen von 100 Prozent eine Invalidenrente nach Reglement auszurichten, zuzüglich Verzugszinsen. Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt, der Klägerin die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen zu erbringen. Die Klage gegen die übrigen Beklagten wies es ab (Entscheid vom 22. Mai 2013). C. C.a. Die Pensionskasse Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei jegliche sie treffende Leistungspflicht zu verneinen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 1). Zudem sei die Sache in Bezug auf die Leistungspflicht der übrigen ins Recht gefassten Vorsorgeeinrichtungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei sei die Klage gegen die Personalvorsorgestiftung X._, eventuell gegen die Stiftung 2. Säule swissstaffing, subeventuell gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und sub-subeventuell gegen die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge in dem Umfang, als die Beschwerdeführerin dannzumal Vorleistungen an die Klägerin erbracht haben würde, abzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 2). Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. C.b. V._ und die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Personalvorsorgestiftung X._ beantragt ebenfalls Abweisung der Beschwerde; eventuell sei die gegen sie gerichtete Klage abzuweisen. Die Stiftung 2. Säule swissstaffing, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.