Sachverhalt: A. Vor dem Bezirksgericht Dietikon ist ein Verfahren hängig, das eine Klage von A._ (Kläger, Beschwerdeführer) auf richterliche Aufhebung oder Einstellung der gegen ihn laufenden Betreibung im Sinne von Art. 85a SchKG zum Gegenstand hat. Mit Verfügung vom 8. April 2014 wies das Bezirksgericht das Gesuch des Klägers um unentgeltliche Rechtspflege für dieses Verfahren ab. Der Kläger focht die besagte Verfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses wies mit Urteil vom 21. Mai 2014 sowohl die kantonale Beschwerde als auch das darin gestellte Gesuch des Klägers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab. B. Der Kläger begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 21. Mai 2014 sei aufzuheben. Dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Prozessführung sowie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung "an die Vorinstanz" zurückzuweisen. Sodann ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt. C. Mit Präsidialverfügung vom 25. August 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.