Sachverhalt: A. P._ stürzte am ........ während der Arbeit als Verkäuferin von einer Leiter. Die obligatorische Unfallversicherung (SUVA) kam für die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen auf und erbrachte - bis ........ - die gesetzlichen Leistungen (u.a. Heilbehandlung, Taggeld). Im September 2004 hatte sich P._ wegen Rückenbeschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Mit Verfügung vom 22. Februar 2008 wies die IV-Stelle das Begehren ab. Mit Entscheid vom 9. Dezember 2009 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Verfügung auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. Am 27. August 2010 wurde P._ von Dr. med. G._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, untersucht und begutachtet (Expertise vom 13. September 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. März 2011 den Anspruch auf eine Invalidenrente. B. Die Beschwerde der P._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 26. Januar 2012 ab. C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den hauptsächlichen Rechtsbegehren, der Entscheid vom 26. Januar 2012 sei aufzuheben; die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter mit der Verpflichtung, eine neutrale interdisziplinäre medizinische Begutachtung durchzuführen; die Vorinstanz oder die IV-Stelle sei zu verpflichten, den Rentenanspruch zu prüfen und gegebenenfalls befristet oder dauernd eine Rente auszurichten sowie berufliche Massnahmen durchzuführen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Kantonales Gericht und IV-Stelle beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.