Sachverhalt: A. A._ (geb. 1984) ist brasilianischer Staatsangehöriger. Am 15. Februar 1999 reiste er mit seinem Halbbruder zu seiner Mutter in die Schweiz ein und erhielt zunächst eine Aufenthaltsbewilligung. Am 10. September 2002 wurde ihm aufgrund der italienischen Staatsbürgerschaft seiner Mutter die Niederlassungsbewilligung EG/EFTA (heute: EU/EFTA) erteilt. Am 6. Januar 2003 wurde A._ wegen Raubs, mehrfacher Nötigung, Angriffs, mehrfachen Diebstahls, Drohung, Tätlichkeiten und anderen Delikten mit einer bedingten Einschliessung von 14 Tagen bestraft; zudem wurde eine Erziehungshilfe angeordnet. Mit Strafbefehl vom 2. September 2003 wurde er wegen Diebstahls, Sachbeschädigung und Hausfriedensbruchs zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 30 Tagen verurteilt. Das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) verwarnte ihn am 9. Oktober 2003 und stellte ihm schwerer wiegende fremdenpolizeiliche Massnahmen in Aussicht für den Fall, dass er erneut gerichtlich bestraft werden oder sein Verhalten zu anderen berechtigten Klagen Anlass geben sollte. Am 17. April 2012 verurteilte das Bezirksgericht Horgen A._ wegen versuchter eventualvorsätzlicher Tötung (begangen am 13. Dezember 2008), gewerbs- und bandenmässigen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung, mehrfachen Hausfriedensbruchs, Vergehens gegen das Waffengesetz, Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie Entwendung zum Gebrauch zu einer Freiheitsstrafe von siebeneinviertel Jahren. Der Vollzug der Strafe wurde zugunsten einer Massnahme für junge Erwachsene nach Art. 61 StGB aufgeschoben. A._ befand sich seit dem 25. Februar 2010 im vorzeitigen Massnahmevollzug; die Massnahme sollte längstens bis zum 24. Februar 2014 dauern. B. Am 31. Mai 2013 widerrief das Migrationsamt die Niederlassungsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 14. August 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 23. Oktober 2013. C. A._ erhebt am 5. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Niederlassungsbewilligung nicht zu widerrufen, eventuell sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Von der Wegweisung sei abzusehen. Ferner ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mit seinem Rechtsvertreter als unentgeltlichem Rechtsbeistand. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 16. Dezember 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Ein Gesuch des Migrationsamts um Abänderung dieser Verfügung und Nichtgewährung der aufschiebenden Wirkung ist mit Präsidialverfügung vom 9. Januar 2014 abgewiesen und der Beschwerde weiterhin aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.