Sachverhalt: A. A.a A. X._, B. X._, C. Y.-X._, D. X._, E. Z.-X._ und F. W.-X._ sind die Kinder der im Jahre 1996 verstorbenen Eheleute G. + H. X.-U._. Letztere hatten am 4. November 1994 einen Erbvertrag abgeschlossen, worin unter anderem festgelegt wurde, die Teilung des Nachlasses mit Zuweisung der Aktien der Gebr. X._ AG solle erst nach dem Ableben des zweitverstorbenen Ehegatten stattfinden. Dieser solle die notwendigen Massnahmen treffen, um den Weiterbetrieb der genannten Gesellschaft als modernen Mostereibetrieb zu gewährleisten. A.b Mit Vertrag vom 11. Januar 2001 mietete A. X._ von der Gebr. X._ AG die im operativen Betrieb dieser Gesellschaft vorhandenen Gegenstände. Am 12. Januar 2001 wurde die Gebr. X._ AG auf X. V._ AG umbenannt, und mit Vertrag vom 18. Januar 2001 mietete A. X._ von dieser die Mosterei und Brennerei (Gewerbe- und Lagerräume an der T._strasse in S._). Am 23. Februar 2001 wurde unter der Firma "Gebr. X._ AG" eine neue Gesellschaft gegründet mit dem Gesellschaftszweck "Betrieb einer Mosterei und Brennerei". Einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsratspräsident ist A. X._. A.c In Gutheissung eines Begehrens der X. V._ AG wurden A. X._ und die Gebr. X._ AG durch Verfügung des Einzelrichters am Bezirksgericht R._ vom 10. Februar 2006 aus den gemieteten Räumlichkeiten ausgewiesen. Gleichzeitig wurde ihnen aufgegeben, die von ihnen gemäss Mietvertrag vom 11. Januar 2001 benutzten Gegenstände herauszugeben. Den von A. X._ und der Gebr. X._ AG hiergegen erhobenen Rekurs wies das Kantonsgericht Schwyz (1. Rekurskammer) am 23. Mai 2006 ab, und am 30. Oktober 2006 wies das Bundesgericht (I. Zivilabteilung) seinerseits eine bei ihm eingereichte Berufung ab, soweit darauf einzutreten war. B. B.a Am 7. September 2006 reichte A. X._ beim Bezirksgericht R._ gegen seine fünf Geschwister eine Klage auf Teilung der elterlichen Nachlasse ein. Er beantragte insbesondere die Zuweisung der Liegenschaft KTN xxxx in S._, auf der das Mosterei- und Brennereigebäude steht, an ihn. B.b Im Rahmen des Erbteilungsverfahrens ersuchte A. X._ das Bezirksgericht mit Eingabe vom 30. Januar 2007 darum, im Sinne einer vorsorglichen Massnahme, vorab superprovisorisch mit sofortiger Wirkung, seinen Geschwistern und der X. V._ AG unter Strafandrohung zu befehlen, jede Ausweisungsmassnahme gegen ihn und die Gebr. X._ AG bezüglich der Liegenschaft KTN xxxx zu unterlassen. Der Gerichtspräsident wies mit Verfügung vom 6. Februar 2007 das Gesuch ab, soweit darauf einzutreten war. Den von A. X._ hiergegen erhobenen Rekurs wies das Kantonsgericht Schwyz (1. Rekurskammer) am 29. August 2007 ab, soweit es darauf eintrat. Ebenso wies es das Gesuch von A. X._ um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung ab. C. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2007 führt A. X._ Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses und erneuert sein Massnahmengesuch. Daneben wendet er sich gegen die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen und die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung. Ferner ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Durch Präsidialverfügung vom 10. Oktober 2007 ist das Begehren des Beschwerdeführers, dem Rechtsmittel aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.