Sachverhalt: A. A.a Die Freizügigkeitsstiftung X._ (nachfolgend: Freizügigkeitsstiftung) löste am 28. Februar 2006 das seit kurzem bestehende Freizügigkeitskonto des D._ vorzeitig auf und zahlte die Austrittsleistung von Fr. 106'329.30 nach dessen Weisungen aus. Seine Ehefrau P._ erhob am 3. April 2006 Klage auf Scheidung. In diesem Verfahren bestritt die Freizügigkeitsstiftung die Existenz einer teilbaren Austrittsleistung, während die Ehefrau geltend machte, die Saldierung des Freizügigkeitskontos sei ohne ihre Zustimmung erfolgt. Mit Entscheid des Kreisgerichts vom 7. Dezember 2006 wurde die Ehe der P._ und des D._ geschieden (Dispositiv-Ziffer 1) und u.a. der jeweilige Anspruch der Parteien auf die Hälfte der nach Freizügigkeitsgesetz für die Ehedauer zu ermittelnden Austrittsleistung des anderen Ehegatten festgestellt (Dispositiv-Ziffer 6). Am 27. Februar 2007 überwies das Kreisgericht die Sache zur weiteren Beurteilung an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses räumte P._ Gelegenheit ein, gegen die Freizügigkeitseinrichtung beim "zuständigen Versicherungsgericht des Kantons Basel-Landschaft" Klage zu erheben und sistierte das bei ihm anhängig gemachte Vorsorgeausgleichsverfahren. A.b P._ erhob am 27. Juni 2008 beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Klage gegen die Freizügigkeitsstiftung mit folgenden Rechtsbegehren: 1. Es sei festzustellen, dass die Beklagte die Freizügigkeitsleistung des D._ im Betrag von Fr. 106'214.95 am 20. Februar 2006 an ihn ausbezahlt hat, ohne dass die erforderliche Zustimmung der Klägerin als Ehefrau vorlag. 2. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin auf deren Vorsorgeeinrichtung mit Fr. 53'107.45 zuzüglich gesetzliche Zinsen vom 21. Februar 2006 bis zur effektiven Überweisung (abzüglich 1⁄2 der eigenen Austrittsleistung gemäss Art. 122 ZGB) den ihr gemäss Scheidungsurteil zustehenden hälftigen Anspruch zu bezahlen. Mit Entscheid vom 21. November 2008 trat das Gericht mangels örtlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein und überwies die Angelegenheit zuständigkeitshalber zur weiteren Behandlung an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Die von der Freizügigkeitsstiftung dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 9C_1060/2008 vom 26. Mai 2009 ab. B. Mit Entscheid vom 8. Februar 2010 wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1) und verweigerte die Teilung der Austrittsleistung der P._ im Sinn der Anordnung des Scheidungsurteils (Dispositiv-Ziffer 2). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit folgenden Rechtsbegehren: 1. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. Februar 2010 sei aufzuheben. 2. Es sei festzustellen, dass beklagte Partei nicht D._ sel. ist, sondern die Freizügigkeitsstiftung. 3. Es sei festzustellen, dass die Freizügigkeitsstiftung die Freizügigkeitsleistung des D._ sel. im Betrag von Fr. 106'329.30 an ihn ausbezahlt hat, ohne dass die erforderliche Zustimmung der Klägerin als Ehefrau vorlag. 4. Die Freizügigkeitsstiftung sei zu verpflichten, der Klägerin auf deren Vorsorgeeinrichtung mit Fr. 53'107.45 zuzüglich gesetzliche Zinsen vom 21. Februar 2006 bis zur effektiven Überweisung (abzüglich 1⁄2 der eigenen Austrittsleistung gemäss Art. 122 ZGB) den ihr gemäss Scheidungsurteil zustehenden hälftigen Anspruch zu bezahlen. 5.-6. (...) Die Freizügigkeitsstiftung lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.