Sachverhalt: A. Am 24. September 2007 führte X._ ein Motorfahrzeug in angetrunkenem Zustand (1,81 Promille Blutalkoholkonzentration). Am 6. Dezember 2007 verfügte das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern gegen ihn deswegen einen Warnungsentzug des Führerausweises für die Dauer von fünf Monaten. Der rechtskräftig gewordene Entzug endete am 23. Februar 2008. Am 29. März 2008 kollidierte derselbe Lenker in Root/LU mit einem parkierten Personenwagen; dabei war er (mit 1,96 Promille) erneut alkoholisiert. Mit Strafverfügung vom 1. Dezember 2008 sprach ihn der ausserordentliche Amtsstatthalter von Luzern deswegen wegen FiaZ, Vereitelung einer Blutprobe und pflichtwidrigen Verhaltens nach Unfall mit Fremdschaden schuldig und verurteilte ihn rechtskräftig zu einer (unbedingten) Geldstrafe von Fr. 7'200.-- sowie einer Busse von Fr. 500.--. B. Gestützt auf ein verkehrsmedizinisches Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRMZ) vom 2. Juli 2008 verfügte das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern am 8. September 2008 gegen X._ einen Sicherungsentzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit (Art. 16d Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 17 SVG). Die Wiedererteilung des Ausweises machte es vom Nachweis einer mindestens sechsmonatigen totalen und ärztlich kontrollierten Alkoholabstinenz, vom klaglosen Verhalten des Lenkers sowie vom Ergebnis einer Kontrolluntersuchung beim IRMZ abhängig. Eine vom Lenker dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Abgaberechtliche Abteilung, mit Urteil vom 28. April 2009 teilweise gut. Es hob die Verfügung des Strassenverkehrsamtes vom 8. September 2008 auf und wies das Administrativverfahren (zum Erlass einer neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen) an das Strassenverkehrsamt zurück. In seinen Erwägungen erkannte das Verwaltungsgericht, dass das Strassenverkehrsamt anstelle des Sicherungsentzuges einen Warnungsentzug von mindestens zwölf Monaten (Art. 16c Abs. 2 lit. c SVG) zu verfügen habe. C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichtes gelangte das Strassenverkehrsamt mit Beschwerde vom 2. Juni 2009 an das Bundesgericht. Die beschwerdeführende kantonale Behörde beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung des von ihr verfügten Sicherungsentzuges. X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Strassen empfiehlt in seiner Stellungnahme vom 3. August 2009 ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 23. September 2009 reichte die beschwerdeführende Behörde unaufgefordert eine weitere Unterlage ein. Der private Beschwerdegegner liess sich dazu am 4. Januar 2010 vernehmen.