Sachverhalt: A. Der 1958 geborene schwedische Staatsangehörige S._ war seit 1. September 1994 als Angestellter der Firma X._, bei der Eidgenössischen Versicherungskasse (heute: Pensionskasse des Bundes PUBLICA) für die berufliche Vorsorge versichert. Gegen Unfälle war er obligatorisch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) versichert. Am 4. Juli 1995 meldete die Firma X._ der SUVA, der Versicherte habe am 2. Juli 1995 einen Verkehrsunfall erlitten. Nach einem Ausweichmanöver sei er mit dem Personenwagen in den Strassengraben hinunter und anschliessend auf einen Acker gefahren. In der Folge habe er u.a. über Schmerzen in Nacken und Rücken geklagt. Gestützt auf die Ergebnisse der von ihr angeordneten medizinischen Abklärungen lehnte die SUVA ihre Leistungspflicht für das gemeldete Ereignis vom 2. Juli 1995 ab, weil ein Unfall weder erwiesen noch wahrscheinlich sei (Verfügung vom 28. April 1998). Die Verneinung der Leistungspflicht wurde vom Bundesgericht letztinstanzlich mit Urteil vom 26. August 2008 (8C_727/2007) bestätigt. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland sprach S._ mit Verfügung vom 21. April 2005 rückwirkend ab 1. Juli 1996 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. B. Am 9. Mai 2008 liess S._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage einreichen mit dem Rechtsbegehren, die PUBLICA sei zu verpflichten, ihm ab gerichtlich zu bestimmendem Zeitpunkt die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen, zuzüglich Zins zu 5 %, auszurichten. Mit Entscheid vom 9. November 2010 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt der Versicherte beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die PUBLICA zu verpflichten, ihm ab 1. Juli 1996 die gesetzlichen und reglementarischen Vorsorgeleistungen, zuzüglich Verzugszins ab 1. Juli 1996, auszurichten; eventuell sei die Sache zu rechtsgenüglicher Abklärung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.