Sachverhalt: A. A.a Am 1. Juli 2004 wurde die damals 22-jährige B._ von ihrem Ex-Freund C._ ermordet. Das Strafgericht des Kantons Schwyz sprach den Täter mit Urteil vom 6. Juli 2006 des Mordes schuldig und verurteilte ihn zu einer lebenslänglichen Zuchthausstrafe. Dem Vater der Ermordeten, A._, sprach es eine Genugtuung in der Höhe von CHF 40'000.-- nebst 5 % Zins seit dem schädigenden Ereignis zu. Eine vom Verurteilten gegen diesen Entscheid geführte Berufung wies das Kantonsgericht Schwyz mit Urteil vom 29. November 2006 ab und bestätigte das angefochtene Urteil des Strafgerichts auch im Zivilpunkt. Das Bundesgericht wies die gegen das Urteil des Kantonsgerichts geführte staatsrechtliche Beschwerde sowie die Nichtigkeitsbeschwerde von C._ mit Urteil vom 29. Juni 2007 (6P.47/2007 und 6S.106/2007) ab, soweit es darauf eintrat. A.b Am 20. Februar 2006 reichte A._ ein Gesuch um eine opferhilferechtliche Genugtuung im Betrag von CHF 50'000.-- ein. Am 7. März 2007 verstarb A._. Mit Beschluss vom 8. Januar 2008 wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz das Gesuch um eine opferhilferechtliche Genugtuung mit der Begründung ab, dass an der leiblichen Vaterschaft von A._ Zweifel bestehen würden und dieser auch faktisch keine enge Beziehung zu seiner verstorbenen Tochter gehabt habe. Gegen diesen Beschluss beschwerten sich die Kinder des verstorbenen A._, nämlich X._ und Y._ (Kinder aus der Ehe von A._ mit D._) sowie Z._ (Tochter von A._ und E._) beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und beantragten nebst der Aufhebung des Beschlusses die Zusprechung einer Genugtuung von insgesamt CHF 40'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit dem 1. Juli 2004, eventualiter die Aufhebung des Beschlusses und die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz. Mit Entscheid vom 24. April 2008 (und Berichtigung des Urteilsdispositivs vom 30. Mai 2008) hiess die Kammer III des Verwaltungsgerichts die Beschwerde insofern teilweise gut, als dass der Genugtuungsanspruch von A._ sel. auf CHF 12'000.-- nebst Zins seit dem 1. Juli 2004 festgesetzt wurde, welcher seinen Erben (anteilsmässig) auszuzahlen sei (Dispositiv-Ziffer 1), und verpflichtete die Vorinstanz zur Bezahlung einer reduzierten Parteientschädigung an die Beschwerdeführer von insgesamt CHF 600.-- (Dispositiv-Ziffer 3). In der Urteilsbegründung führte das Verwaltungsgericht aus, grundsätzlich sei die Anspruchsberechtigung des Vaters des Opfers gegeben und die Vererblichkeit des Anspruchs auf die Erben ebenfalls zu bejahen. Entgegen der Ansicht des Regierungsrates müsse davon ausgegangen werden, dass A._ der leibliche Vater des Opfers sei. Auch habe sich dieser um seine Tochter gekümmert, so dass er auch faktisch als Vater zu betrachten sei. Die faktischen Eltern seien den leiblichen Eltern hinsichtlich des Genugtuungsanspruchs gleichgestellt. A._ habe eine normale, aber nicht überdurchschnittlich enge Bindung zu seiner Tochter gehabt. Unter Berücksichtigung opferhilferechtlicher Bemessungsgrundsätze sei eine Genugtuung in der Höhe von CHF 12'000.-- angemessen. B. X._, Y._ und Z._ haben als Erbengemeinschaft gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Die Beschwerdeführer beantragen, Dispositif-Ziffer 1 und 3 des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben, und es sei ihnen zusammen eine Genugtuung von CHF 40'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit dem 1. Juli 2004 sowie eine volle Parteientschädigung für das erstinstanzliche Gerichtsverfahren zuzusprechen, alles unter Entschädigungsfolgen zulasten der Vorinstanz. C. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Der Regierungsrat des Kantons Schwyz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesverwaltungsbehörde schliesst ebenfalls auf Beschwerdeabweisung. Die Beschwerdeführer verzichten auf eine weitere Stellungnahme.