Sachverhalt: A. A.a B.A._, C.A._, D.A._, E.A._ und F.A._ (Beschwerdeführer) sind Eigentümer der Gesellschaften der Y._-Gruppe. Dazu gehört u.a. die Y.A._ GmbH & Co., Bielefeld. Diese hält 75 % der Geschäftsanteile an der ungarischen Y.B._ Kft. Die restlichen 25 % im Betrag von DEM 2 Mio. hatte die Z._ GmbH gezeichnet mit der Berechtigung, im Fall der Insolvenz der Y._-Gruppe (bzw. einer ihrer Gesellschaften), von dieser den sofortigen Kauf dieses Geschäftsanteils (nachfolgend: Z._ GmbH-Geschäftsanteil) zu verlangen (nachfolgend: Andienungsrecht). Gleichzeitig verpflichtete sich die X._ AG (Beschwerdegegnerin) gemäss Zeichnungsvertrag vom 20. November 1998 gegenüber der Z._ GmbH, in die Rechtsstellung der Y._-Gruppe einzutreten, wenn diese ihre Verpflichtung zum Erwerb des Z._ GmbH-Geschäftsanteils nicht erfüllt. Daneben verpflichteten sich die Beschwerdeführer gemäss Bürgschaftsvertrag vom 27. November 1998 bzw. öffentlich beurkundeter Erklärung vom 28. Dezember 1999 unter solidarischer Haftung, die Beschwerdegegnerin von allen Forderungen bis zum Höchstbetrag von DEM 2.5 Mio. freizustellen, sollte sie von der Z._ GmbH aus dem Zeichnungsvertrag in Anspruch genommen werden. A.b Am 1. Februar 2002 wurde über die Y.A._ GmbH & Co. das Insolvenzverfahren eröffnet. In der Folge fasste die Z._ GmbH die Beschwerdegegnerin gestützt auf das Andienungsrecht gemäss Zeichnungsvertrag vom 20. November 1998 ins Recht, worauf diese den Z._ GmbH-Geschäftsanteil für EUR 971'454.57 übernahm. B. Am 20. Dezember 2002 reichte die Beschwerdegegnerin beim Amtsgericht Luzern-Stadt Klage ein und beantragte, die Beschwerdeführer seien unter solidarischer Haftung zu verpflichten, ihr EUR 971'454.57 zuzüglich 5 % Zins seit dem 25. September 2002 zu bezahlen, und zwar Zug um Zug gegen Abtretung ihrer Rechte an und aus dem Geschäftsanteil an der Y.B._ Kft. Mit Urteil vom 24. Juni 2005 wurde die Klage gutgeheissen. Die von den Beschwerdeführern erhobene Appellation wies das Obergericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 14. November 2006 ab, hiess die Klage ebenfalls gut und verpflichtete die Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftung EUR 971'454.57 zuzüglich Zins zu 5 % seit 25. September 2002 zu bezahlen. Im Übrigen erklärte es die Klage als gegenstandslos. Sämtliche Prozesskosten wurden den Beschwerdeführern auferlegt, so unter anderem die Gerichtsgebühr vor Obergericht im Betrag von Fr. 45'000.--. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde verlangen die Beschwerdeführer die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts des Kantons Luzern vom 14. November 2006. Die Beschwerdegegnerin sowie die Vorinstanz schliessen in ihren Stellungnahmen auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Parallel zur staatsrechtlichen Beschwerde haben die Beschwerdeführer in gleicher Sache eidgenössische Berufung eingelegt.