Sachverhalt: A. X._ (geb. 1969) und Y._ (geb. 1969) heirateten im Jahr 2000. Sie haben eine gemeinsame Tochter (geb. 2002). B. Ende 2011 leitete Y._ ein Scheidungsverfahren ein. Mit Vereinbarung vom 6. Dezember 2011 einigten sich die Parteien über vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Verfahrens, welche mit Urteil des Bezirksgerichts Z._ vom 7. Dezember 2011 genehmigt wurden. Demnach übernahm Y._ die Obhut für die Tochter. X._ bezahlte ab 1. Januar 2012 einen monatlichen Kindesunterhaltsbeitrag von Fr. 1'500.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Gegenüber der Ehefrau verpflichtete er sich zu einer Unterhaltszahlung von Fr. 5'500.-- pro Monat, zuzüglich Fr. 12'000.--, welche er der Ehefrau im Juni jedes Jahres als Ausgleich für erhaltene Boni bezahle. C. C.a. Am 9. März 2012 stellte X._ ein Gesuch um Abänderung des Entscheids vom 7. Dezember 2011, worauf das Bezirksgericht Z._ den ersten Entscheid mit Urteil vom 3. Mai 2012 in Bezug auf den Betreuungsplan der Tochter abänderte und eine Besuchsrechtsbeistandschaft errichtete. C.b. Am 20. Juli 2012 stellte X._ ein weiteres Abänderungsgesuch, nun betreffend Reduktion der Unterhaltszahlungen für das Kind und die Ehefrau. Am 21. Dezember 2012 reichte er eine Zusatzeingabe ein und beantragte gar die Aufhebung des Ehegattenunterhalts per 1. Februar 2013. Mit Entscheid vom 4. April 2013 reduzierte das Bezirksgericht die vom Ehemann zu bezahlenden Kinderunterhaltsbeiträge ab dem 1. Februar 2013 auf monatlich Fr. 1'200.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Den Ehegattenunterhalt reduzierte es rückwirkend ab 1. Januar 2012 bis 31. Januar 2013 auf Fr. 3'600.-- resp. auf Fr. 1'500.-- ab Februar 2013. Von allfälligen Bonuszahlungen sei innert zehn Tagen die Hälfte an die Ehefrau zu überweisen und diese sei mit den entsprechenden Belegen zu bedienen. Weiter berechtigte das Gericht den Ehemann, die ab 1. Januar 2012 zu viel bezahlten Kinder- und Ehegattenunterhaltsbeiträge mit dem laufenden Ehegattenunterhalt zu verrechnen. D. D.a. Hiergegen erhob Y._ mit Eingabe vom 15. April 2013 Berufung an das Obergericht des Kantons Thurgau. Sie beantragte, der Kinderunterhalt sei gemäss Bezirksgerichtsurteil vom 7. Dezember 2011 beizubehalten (Fr. 1'500.--). Ihr persönlicher Unterhaltsbeitrag könne per 1. August 2012 auf Fr. 3'600.-- reduziert werden. Die Bonusregelung im Urteil vom 7. Dezember 2011 sei unverändert zu bestätigen. Eventualiter sei der Ehemann zu verpflichten, ihr die Hälfte eines zusätzlich zu dem gemäss Arbeitsvertrag vom 19. September 2012 geschuldeten ordentlichen Gehalt ausgerichteten Salärs zu bezahlen und sich über die Höhe dieses Salärs auszuweisen. D.b. Der Ehemann verlangte die Abweisung der Berufung. Beide Parteien reichten weitere Stellungnahmen, der Ehemann zudem neue Akten ein. D.c. Das Obergericht hiess die Berufung mit Urteil vom 19. Juni 2013 teilweise gut (Ziff. 1 des obergerichtlichen Urteils) und hob den Abänderungsentscheid vom 4. April 2013 in Bezug auf Kindes- und Ehegattenunterhalt auf (Ziff. 2a). Der Kindesunterhaltsbeitrag betrug demnach wieder unbefristet die ursprünglich festgelegten Fr. 1'500.--. Den Betrag zugunsten der Ehefrau setzte das Obergericht in Abänderung des Bezirksgerichtsurteils vom 7. Dezember 2011 ab dem 1. August 2012 auf Fr. 3'600.-- fest. Die vom Ehemann gestützt auf den ersten Entscheid ab 1. Januar 2013 zu viel bezahlten Ehegattenunterhaltsbeiträge seien mit den laufenden Unterhaltsbeiträgen zu verrechnen (Ziff. 2b). Sodann regelte es die Bonusklausel neu (Ziff. 2c). Die Verfahrenskosten auferlegte das Obergericht dem Ehemann (Ziff. 3). E. Mit Eingabe vom 21. August 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Ziffern 1, 2a und b sowie 3 des vorinstanzlichen Entscheids unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Ehefrau. Der Unterhaltsbeitrag für die Tochter sei ab 1. Januar 2012 bis 31. Januar 2013 auf Fr. 1'500.-- und ab 1. Februar 2013 auf Fr. 1'200.-- festzulegen, je zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Der Unterhaltsbeitrag für die Ehefrau sei ab 1. Januar 2012 bis 31. Januar 2013 auf Fr. 3'600.-- und ab 1. Februar 2013 auf Fr. 1'500.-- zu reduzieren. Weiter seien die von ihm zu viel bezahlten Ehegattenunterhaltsbeiträge mit den laufenden zu verrechnen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu gewähren. F. F.a. Mit Stellungnahmen vom 28. August 2013 und 3. September 2013 beantragten sowohl die Beschwerdegegnerin also auch die Vorinstanz die Abweisung des Antrags um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 9. September 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde für die bis und mit Juli 2013 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt. F.b. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten der Vorinstanzen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.