Sachverhalt: A. D._ (Versicherter, Beschwerdeführer) ist bei der Krankenkasse X._ (Versicherung, Beschwerdegegnerin) obligatorisch krankenpflegeversichert. Zudem hat er bei ihr die Zusatzversicherungen Q._ und R._ nach dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1) abgeschlossen. Im Jahr 2008 trat beim Versicherten ein schweres Lyell-Syndrom mit Bindehautbeteiligung auf. Der Versicherte wurde daraufhin mehrmals am linken Auge operiert, wobei eine Hornhauttransplantation, eine Keratoprothetik und eine Konjunktivaplastik durchgeführt wurden. Im Zusammenhang mit der Behandlung der Augenproblematik verordnete der behandelnde Arzt der Augenklinik des Spitals L._ unter anderem die Augentropfen Fermavisc. In der Folge wandte sich der Versicherte an die Versicherung und ersuchte um Kostenübernahme für die Augentropfen Fermavisc. Die Versicherung verweigerte die Übernahme (unter anderem) mit Schreiben vom 19. Mai 2011 und 6. Juni 2011, da die Kosten weder von der Grundversicherung noch aus der Zusatzversicherung Q._ übernommen werden könnten. Die Übernahme der Kosten durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung lehnte sie sodann mit Verfügung vom 3. Juli 2012 und Einspracheentscheid vom 13. Juli 2012 ab. B. Am 9. August 2012 reichte der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt "Klage" bzw. "Beschwerde" ein. Darin verlangte er sinngemäss die Rückerstattung von Fr. 1'614.25 für die bis am 6. Juli 2012 bereits bezahlten Medikamente Fermavisc und NaCl Braun 0.9%-Lösung sowie die Kostenübernahme für dieselben Medikamente ab dem 6. Juli 2012. Es sei das Zahlungssystem "tiers payant" anzuwenden. Das Sozialversicherungsgericht eröffnete einerseits ein Beschwerdeverfahren hinsichtlich der umstrittenen Leistungspflicht aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Verfahren KV 2012.13), andererseits ein Schlichtungsverfahren hinsichtlich der umstrittenen Leistungspflicht aus den Zusatzversicherungen (Verfahren SV 2012.11). Nach Durchführung einer erfolglosen Vergleichs- und Schlichtungsverhandlung vor der Schlichtungsbehörde des Sozialversicherungsgerichts betreffend das Verfahren SV 2012.11 erhob der Versicherte Klage, wobei er im Wesentlichen an seinen in der Eingabe vom 9. August 2012 gestellten Rechtsbegehren festhielt (Verfahren ZV 2012.3). Mit zwei Urteilen vom 8. April 2013 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab (Urteil ZV 2012.3), und ebenso die Beschwerde, soweit es auf diese eintrat (Urteil KV 2012.13). C. Der Beschwerdeführer verlangt mit Beschwerde an das Bundesgericht, die Urteile KV 2012.13 und ZV 2012.3 des Sozialversicherungsgerichts vom 8. April 2013 vollumfänglich aufzuheben. Gestützt darauf wurden zwei Verfahren eröffnet, nämlich das Verfahren 9C_539/2013 betreffend die Anfechtung des Urteils KV 2012.13 und das vorliegende Verfahren betreffend die Beschwerde gegen das Urteil ZV 2012.3 (Verfahren 4D_43/2013). Die Beschwerdegegnerin beantragt im Verfahren 4D_43/2013, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, unter Verweis auf die "Beschwerdeantworten im Vorverfahren" sowie auf das angefochtene Urteil. Die Vorinstanz trägt ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde an, mit Hinweis auf das angefochtene Urteil.