Sachverhalt: A. Die 1964 geborene K._ war vom 1. November 1998 bis 30. April 1999 in einem befristeten Arbeitsverhältnis bei der Firma Z._ AG tätig. Seit 1. August 2000 bezieht sie bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Am 30. Juni 2004 liess K._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen die Pensionskasse X._ einreichen mit dem Antrag, diese sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen, zuzüglich Zins zu 5 %, auszurichten. Nach Beizug von Arztberichten, Durchführung einer Parteibefragung und der Einvernahme von Zeugen wies das Versicherungsgericht die Klage mit Entscheid vom 26. März 2007 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern. Ferner verlangt sie, es sei den zusätzlich in Frage kommenden Vorsorgeeinrichtungen (Vorsorgeeinrichtung Y._ und Stiftung Auffangeinrichtung BVG) der Streit zu verkünden. Schliesslich ersucht sie um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Während die Pensionskasse auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich das kantonale Gericht in ablehnendem Sinne vernehmen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. C. Mit Beschluss vom 10. Oktober 2007 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit der Versicherten ab. D. In der Folge wurde der Vorsorgeeinrichtung Y._ und der Stiftung Auffangeinrichtung BVG Gelegenheit eingeräumt, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, wovon beide Beteiligten keinen Gebrauch machten.