Art. 29 Abs. 2 BV (Zivilprozess; rechtliches Gehör), hat sich ergeben: A.- Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) führte vom 16. Juni 1999 bis zum 25. Juni 1999 im Rahmen eines Projekts der A._ AG (Beschwerdeführerin) zur Erstellung eines Wohnhauses in X._ Arbeiten zur Schwimmbadabdichtung aus. Am 25. Juni 1999 musste sie die Baustelle auf Geheiss der Beschwerdeführerin räumen. Für die geleisteten Arbeiten stellte sie dieser am 28. Juli 1999 Fr. 15'907. 70 in Rechnung. Die Beschwerdeführerin verweigerte die Zahlung unter Hinweis auf eine bestehende Unstimmigkeit unter den Parteien über die Prüfungsmodalitäten der vollendeten Arbeit. Sie warf der Beschwerdegegnerin in diesem Zusammenhang fehlenden Gewährleistungswillen vor. Zudem behauptete sie, die Beschwerdegegnerin habe den Grossteil der in Rechnung gestellten Leistungen nicht erbracht. B.- Die Beschwerdegegnerin liess hierauf im Grundbuch X._ ein Bauhandwerkerpfandrecht über Fr. 15'907. 70 nebst Zins auf der Parzelle der Beschwerdeführerin vormerken. Nach erfolglos verlaufener Sühneverhandlung beantragte die Beschwerdegegnerin am 28. Februar 2000 dem Bezirksgericht Oberlandquart die definitive Eintragung des entsprechenden Bauhandwerkerpfandrechts zu ihren Gunsten. Ferner sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin Fr. 15'907. 70 nebst Zins zu bezahlen. Das nunmehr zuständige Bezirksgericht Prättigau/Davos hiess die Klage am 1. Februar 2001 gut, modifizierte jedoch den verlangten Zinsenlauf. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Berufung der Beschwerdeführerin wies das Kantonsgericht von Graubünden mit Urteil vom 5. Juni 2001 ab. C.- Gegen den Entscheid des Kantonsgerichts Graubünden erhebt die Beschwerdeführerin staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Mit Verfügung des Präsidenten der I. Zivilabteilung vom 15. Oktober 2001 wurde dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung gewährt. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht Graubünden hat auf Vernehmlassung verzichtet.