Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügung des Einzelrichters im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach vom 16. Mai 2007 wurde A._, B._, C._, D._ und E._ (im Folgenden: Beschwerdegegner) in der gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes S._ für Fr. 10'611.25 nebst Zinsen und Kosten definitive Rechtsöffnung erteilt. Gleichzeitig wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung abgewiesen A.b Die Beschwerdegegner stützten ihr Rechtsöffnungsbegehren auf das erstinstanzliche Urteil des Bezirksgerichts Surselva vom 1. März 2005, womit der Beschwerdeführer zu einer Prozessentschädigung von Fr. 8'031.50 an die Beschwerdegegner verpflichtet wurde, sowie auf das zweitinstanzliche Urteil des Kantonsgerichts Graubünden vom 5. September 2005, womit der Beschwerdeführer zu einer Prozessentschädigung von Fr. 2'579.75 an die Beschwerdegegner verurteilt wurde. Die Berufung, welche der Beschwerdeführer gegen das Urteil des Kantonsgerichts betreffend die Ungültigkeit eines Testaments beim Bundesgericht eingereicht hatte, wurde mit Urteil vom 26. September 2006 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (5C.95/2006). A.c Die vom Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Zürich gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Nichtigkeitsbeschwerde hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 14. August 2007 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Ferner wurde das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen. B. Mit Eingabe vom 3. Oktober 2007 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt im Wesentlichen, der obergerichtliche Beschluss sei aufzuheben, da die Betreibung der Beschwerdegegner nichtig im Sinne von Art. 22 SchKG sei. Sodann stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Begehren um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 22. Oktober 2007 abgewiesen. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.