Art. 9 BV (Rechtsöffnung), hat sich ergeben: A.- Am 1. November 2000 stellte die Bank X._ das Begehren, es sei ihr definitive Rechtsöffnung zu erteilen in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes Zürich 1 (Arrest Nr. ...; Zahlungsbefehl vom 25. August 2000) für Fr. 9'188'000.-- nebst Zins zu 5% seit 9. November 1984, Fr. 7'508'000.-- nebst Zins zu 5% seit 1. März 1985, Fr. 95'850.-- nebst Zins zu 5% seit 22. August 2000. Die Bank X._ stützte ihr Rechtsöffnungsbegehren auf das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. März 1998 (bestätigt durch das Urteil [5C. 109/1998] des Bundesgerichts vom 14. August 2000), das in Dispositiv- Ziff. 1 wie folgt lautet: "Der Beklagte 1 [G._] wird verpflichtet, der Klägerin [Bank X._] Zug um Zug gegen die Herausgabe der von ihr als Pfand gehaltenen Aktien der G._ Investment AG und der D._ Ltd. US$ 8'000'000.-- zuzüglich 5% Zins ab 9. November 1984 sowie Fr. 7'508'000.-- zuzüglich 5% Zins ab 1. März 1985 zu bezahlen.. " Weiter berief sich die Bank X._ auf die Dispositiv-Ziff. 3 und 6, in denen G._ zur Zahlung von Prozessentschädigungen von insgesamt Fr. 95'850.-- verpflichtet wird. B.- Mit Verfügung vom 21. Februar 2001 hiess die Einzelrichterin im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsbegehren der Bank X._ teilweise gut; im Umfang der (verarrestierten) Forderung von Fr. 9'188'000.-- nebst Zins, d.h. für die in Schweizer Franken betriebene Forderung von 8 Mio. US$, wies sie das Begehren ab. Hiergegen erhob die Bank X._ kantonale Nichtigkeitsbeschwerde und machte im Wesentlichen geltend, die Voraussetzungen für die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung seien auch in Bezug auf die Forderung von Fr. 9'188'000.-- nebst Zins gestützt auf Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils vom 13. März 1998 gegeben. Mit Erledigungsbeschluss vom 22. Juni 2001 wies das Obergericht (III. Zivilkammer) des Kantons Zürich die Nichtigkeitsbeschwerde ab. C.- Mit Eingabe vom 17. Juli 2001 und (ergänzend) vom 17. August 2001 führt die Bank X._ staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht, der Erledigungsbeschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Weiter ersucht sie, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. G._ und das Obergericht haben zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht Stellung genommen. Mit Verfügung vom 23. August 2001 hat der Präsident der II. Zivilabteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.