Sachverhalt: A. Die 1967 geborene D._ war als Sachbearbeiterin bei der E._ AG tätig und dadurch bei der Alpina Versicherungs-Aktiengesellschaft (nachfolgend: Alpina) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 20. Februar 2004 mit dem Fahrrad stürzte. Dabei zog sie sich gemäss den ärztlichen Erstdiagnosen Unterkiefer- und Zahnfrakturen sowie eine Riss-quetschwunde an der Unterlippe zu. In medizinischen Folgeberichten wurden überdies ein Schädel-Hirntrauma (commotio cerebri) und ein Halswirbelsäulen-Syndrom erwähnt. Die Alpina gewährte Heilbe-handlung und richtete Taggeld aus. Ab März 2007 zeigten sich Symptome einer Multiplen Sklerose (MS), welche Erkrankung nach neurologischen Abklärungen im Sommer 2007 endgültig diagnostiziert werden musste. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), als Rechtsnachfolgerin der Alpina, holte hierauf zur Abgrenzung von Unfall- und Krankheitsfolgen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten der Klinik X._ vom 8. Juli 2009 ein. Mit Verfügung vom 11. November 2009 eröffnete die Zürich der Versicherten, die Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen würden per 30. September 2009 eingestellt, da die noch bestehenden Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 20. Februar 2004 stünden. Daran hielt der Unfallversicherer auf die von D._ erhobene Einsprache hin fest, wobei er zugleich auch den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung verneinte (Entscheid vom 20. April 2010). Zwischenzeitlich hatte die Invalidenversicherung, bei der sich D._ im Oktober 2006 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, am 26. Februar 2008 rückwirkend ab 1. Januar 2007 vorübergehend eine Viertelsrente und ab 1. April resp. 1. Oktober 2007 eine ganze Invalidenrente verfügt. B. Beschwerdeweise beantragte D._, es sei der Einsprache-entscheid vom 20. April 2010 aufzuheben und die Zürich zu verpflichten, weiterhin Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.