Sachverhalt: A. X._ und Y._ sind die getrennt lebenden Eltern der Kinder A._ (geb. 1998) und B._ (geb. 2003). Mit Verfügung vom 16. Dezember 2011 erstellte die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde C._ gestützt auf die in der Trennungsvereinbarung der Eheleute vom 12. Januar 2011 enthaltene Ferienregelung einen Ferienplan für die Frühlings- und Sommerferien. B. X._ gelangte gegen diese Verfügung an das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland und beantragte, die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Ferien im Sinne der Beschwerdebegründung festzusetzen, eventuell die Angelegenheit zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Nach einer längeren Sistierung des Beschwerdeverfahrens trafen die Eheleute in der Abänderungs- und Scheidungsvereinbarung vom 24. April 2013 vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland eine umfassende Besuchs- und Ferienregelung. Diese wurde dem nunmehr für das Beschwerdeverfahren betreffend die Verfügung vom 16. Dezember 2011 zuständigen Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, mitgeteilt. Diese Instanz schieb in der Folge am 18. November 2013 das Beschwerdeverfahren als erledigt vom Geschäftsverzeichnis ab. Des weiteren gab sie dem Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege nicht statt (2), auferlegte ihm die oberinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 400.-- (5) und verurteilte ihn dazu, Y._ die Parteikosten von Fr. 3'312.40 zu ersetzen (6). C. X._ (Beschwerdeführer) hat gegen den ihm am 19. November 2013 eröffneten Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, am 18. Dezember 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, die Ziffern 2, 5 und 6 des angefochtenen Entscheides aufzuheben, die Verfahrenskosten Y._ (Beschwerdegegnerin), eventuell dem Staat Bern aufzuerlegen und ihm eine angemessene Parteientschädigung zulasten der Beschwerdegegnerin zuzusprechen. Ferner sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren gutzuheissen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er ebenso um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.