Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 11. November 2003 sprach die IV-Stelle Schaffhausen dem 1971 geborenen S._ unter Zugrundelegung eines Invaliditätsgrades von 40 % ab 1. Oktober 2002 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu. Hiegegen erhob der Versicherte am 11. Dezember 2003 Einsprache mit dem Begehren, die Sache sei zu ergänzender medizinischer Abklärung (Einholung eines psychiatrischen Gutachtens) und anschliessender Neuverfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle erliess daraufhin am 27. Januar 2004 eine Wiedererwägungsverfügung, mit welcher sie auf die angefochtene Verfügung vom 11. November 2003 zurückkam, einen Rentenanspruch von S._ mangels leistungsbegründender Invalidität rückwirkend ab 1. Oktober 2002 verneinte und die Rückforderung der bereits bezogenen Rentenbetreffnisse mit separater Verfügung in Aussicht stellte. Anschliessend schrieb sie die gegen die ursprüngliche Rentenverfügung gerichtete Einsprache zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab (Einspracheentscheid vom 8. April 2004). Mit Einspracheentscheid vom 13. April 2004 wies die IV-Stelle sodann die gegen die Wiedererwägungsverfügung erhobene Einsprache ab. B. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen hiess die (sinngemäss) gegen beide Einspracheentscheide erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 15. April 2005 insoweit gut, als es die angefochtenen Einspracheentscheide und die Wiedererwägungsverfügung vom 27. Januar 2004 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese S._ "bei einer allfällig in Aussicht stehenden Aufhebung der mit Verfügung vom 11. November 2003 zugesprochenen IV-Rente die Möglichkeit zum Rückzug der Einsprache vom 11. Dezember 2003 gibt" (Dispositiv-Ziffer 1 mit Verweisung auf die Urteilserwägungen). C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. S._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das kantonale Gericht hat, ohne einen formellen Antrag zu formulieren, eine Stellungnahme eingereicht, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde verzichtet.