Sachverhalt: A. Der 1952 geborene N._ arbeitet seit Juli 2000 als Chauffeur bei der Firma A._. Zu seinen ursprünglichen Aufgaben als Kurierfahrer gehörte in erster Linie das Abholen von Reisegepäck am Flughafen und die anschliessende Zustellung in die ganze Schweiz oder ins grenznahe Österreich. Er legte im Geschäftsfahrzeug ca. 18'000 Kilometer pro Jahr zurück und lieferte im Tag rund 50 Gepäckstücke aus, welche jeweils bis zu 35 kg wogen. Am 2. Juni 2006 erlitt er beim Ausliefern eines Reisekoffers ein Distorsionstrauma der rechten Schulter (mit partieller Unterflächenruptur der ansatznahen Supraspinatussehne und Traumatisierung einer AC-Gelenksarthrose). Wegen persistierender Bewegungseinschränkung und verminderter Belastungstoleranz des betroffenen Schultergelenks sowie eines vorbestehenden Rückenleidens (Lumbovertebralsyndrom bei degenerativen Veränderungen der Lendenwirbelsäule mit rechtsseitiger Lumboischialgie) konnte der Versicherte in der Folge seine Erwerbstätigkeit nicht mehr in der bisherigen Weise ausüben. Er wird nur noch für den Transport leichter Güter eingesetzt und versieht die neue Aufgabe für die bisherige Arbeitgeberfirma nur mehr zu einem Pensum von 50 %. Mit Verfügung vom 13. September 2011 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich einen Rentenanspruch, weil N._ in einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit ein 75%-Pensum ausfüllen und damit ein rentenausschliessendes Einkommen erzielen könnte. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 7. Juni 2013 ab. C. N._ führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Zusprechung einer halben, eventuell einer Viertels-Invalidenrente ab 1. Oktober 2009. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.