Sachverhalt: A. X._ wurde am 4. November 2001 von Polizeibeamten der Stadtpolizei Zürich, die irrtümlicherweise annahmen, es mit einem bewaffneten Drogenhändler zu tun zu haben, in Handschellen gelegt und festgenommen. Am 4. Februar 2002 erstattete er gegen die Polizeibeamten unter anderem wegen Körperverletzung Strafanzeige. Das am 10. Oktober 2003 gestellte Gesuch um opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung wurde mit Verfügung vom 17. Oktober 2003 von der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich, Kantonale Opferhilfestelle, bis zum Abschluss des Straf- und Staatshaftungsverfahrens sistiert. Mangels Rechtswidrigkeit des Verhaltens der Polizeibeamten stellte die Bezirksanwaltschaft Zürich das Strafverfahren ein. Der gegen die Verfahrenseinstellung von X._ eingelegte Rekurs blieb erfolglos. Mit Beschluss vom 24. März 2004 wies die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Nichtigkeitsbeschwerde von X._ ebenfalls ab. In der Folge wies die Kantonale Opferhilfestelle das Gesuch um Opferhilfeleistungen mit Verfügung vom 1. Juni 2006 ab. Sie begründete diesen Entscheid damit, dass aufgrund der Ergebnisse des Strafverfahrens keine Straftat vorliege. Der Gesuchsteller habe daher keine opferhilferechtlichen Ansprüche, weshalb es sich erübrige, den Ausgang des Staatshaftungsverfahrens abzuwarten. Gegen diese Verfügung erhob X._ Beschwerde und beantragte neben deren Aufhebung die Gewährung von Sofort- und Langzeithilfe sowie Entschädigungs- und Genugtuungsleistungen, eventualiter Sofort- und Beratungshilfe für die Durchsetzung seiner Ansprüche. Des Weitern stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung. Mit Urteil vom 2. Februar 2007 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, die Beschwerde ab. Es schützte den Standpunkt der Kantonalen Opferhilfestelle, mangels Rechtswidrigkeit des Verhaltens der Beamten liege keine Straftat vor. Die Polizeibeamten hätten bei ihrer Aktion vom 4. November 2001 im Sinne eines Sachverhaltsirrtums geglaubt, in Ausübung ihrer Amtspflicht zu handeln, und seien - unter Berücksichtigung dieses Sachverhaltsirrtums - gesetzmässig und verhältnismässig vorgegangen. Somit liege ein Rechtfertigungsgrund vor, und X._ komme demzufolge nicht Opfereigenschaft im Sinne des OHG zu. Ferner wies das Sozialversicherungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._ beim Bundesgericht die Aufhebung des Urteils des Sozialversicherungsgerichts, die Zusprechung von Sofort- und Langzeithilfe sowie Entschädigung und Genugtuung, eventuell die Zusprechung von Sofort- und Beratungshilfe für die Durchsetzung seiner opferhilferechtlichen Ansprüche. Des Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. C. Das Sozialversicherungsgericht und die Kantonale Opferhilfestelle verzichteten auf Stellungnahme. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. Der Beschwerdeführer nahm zu dieser Vernehmlassung Stellung.