Sachverhalt: A. X._ (Ehemann, geb. 1961) und Y._ (Ehefrau, geb. 1982) heirateten am 3. Mai 2002. Sie haben drei Töchter (geb. 2005, 2007, 2008). B. B.a. Am 25. August 2011 leitete die Ehefrau beim Kreisgericht Rheintal (SG) ein Eheschutzverfahren ein. In dessen Verlauf schlossen die Parteien am 11./14. Juni 2012 eine vorläufige Vereinbarung, namentlich über die Betreuung der Töchter. B.b. Das Gericht holte einen Sozialbericht bei der zuständigen Vormundschaftsbehörde ein, welcher am 4. August 2012 einging. Der Familienrichter des Kreisgerichts hörte am 23. August 2012 die älteste Tochter persönlich an. B.c. Mit Eheschutzurteil vom 14. November 2012 wies das Kreisgericht die eheliche Liegenschaft der Ehefrau zu, wobei der Ehemann bis spätestens am 30. November 2012 auszuziehen habe (Ziff. 2). Es stellte die Töchter unter die Obhut der Mutter (Ziff. 3), sprach dem Vater ein 14-tägliches Wochenendbesuchsrecht sowie drei Wochen Ferien pro Jahr zu (Ziff. 4) und errichtete eine Beistandschaft gemäss Art. 308 ZGB (Ziff. 5). Weiter verpflichtete das Gericht den Ehemann ab 1. Dezember 2012 zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrags von Fr. 600.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen an jede Tochter sowie Fr. 715.-- an die Ehefrau (Ziff. 6). C. C.a. Hiergegen erhob der Ehemann am 26. November 2012 Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Er verlangte die Aufhebung der Ziffern 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils. Das Haus sei ihm zuzuweisen, wobei die Ehefrau dieses innert 2 Wochen ab Rechtskraft des Entscheides zu verlassen habe. Die Kinder seien unter seine Obhut zu stellen, der Ehefrau sei entsprechend ein Besuchsrecht einzuräumen und diese sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Töchter einen Betrag in noch festzulegender Höhe zu entrichten. Im Hinblick auf den letzten Punkt beantragte er, die Ehefrau sei zur Auskunft über ihre Erwerbstätigkeit, ihr Einkommen und Vermögen sowie zur Edition entsprechender Dokumente zu verpflichten. Seiner Berufung sei aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die Zuweisung der Liegenschaft, eventualiter auch ein ausgedehnteres Besuchsrecht, sei überdies superprovisorisch anzuordnen. Schliesslich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. C.b. Mit Verfügung vom 29. November 2012 erteilte das Kantonsgericht in Bezug auf die Ziffern 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils superprovisorisch die aufschiebende Wirkung. Es wies darauf hin, dass weiterhin die Parteivereinbarung vom 11./14. Juni 2012 gelte (vgl. B.a). In ihrer Berufungsantwort vom 10. Dezember 2012 schloss die Ehefrau auf Abweisung der Berufung. Sie ersuchte ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege. Beide Parteien reichten weitere Schriften ein. C.c. Das Kantonsgericht gewährte beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege, wies aber die Berufung mit Entscheid vom 2. April 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Es setzte dem Ehemann Frist, bis spätestens 30. April 2013 aus der ehelichen Liegenschaft auszuziehen, und es verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung zugunsten der Ehefrau. D. D.a. Vor Bundesgericht verlangt der Ehemann (Beschwerdeführer) die Aufhebung dieses Entscheides und wiederholt im Wesentlichen die im kantonalen Verfahren gestellten Anträge (Abänderung der Ziff. 2, 3, 4 und 6 des erstinstanzlichen Urteils, vgl. C.a). Zudem seien die kantonalen Gerichts- und Parteikosten neu zu verlegen. Seiner Berufung sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Die Obhut für die Kinder sei ihm als vorsorgliche Massnahme per sofort zu übertragen oder ihm zumindest ein ausgedehnteres Besuchsrecht zu gewähren. Nur eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. D.b. Am 2. Mai 2013 gewährte das Bundesgericht bezüglich Auszug des Beschwerdeführers aus der Liegenschaft vorerst superprovisorisch einen Aufschub. Die Ehefrau (Beschwerdegegnerin) schloss mit Eingabe vom 8. Mai 2013 auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Sie beantragte ihrerseits die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Stellungnahme zum beantragten Aufschub. D.c. Mit Verfügung vom 16. Mai 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde für folgende Ziffern des erstinstanzlichen Urteils die aufschiebende Wirkung erteilt: 2 (Nutzung der ehelichen Liegenschaft), 3 (Zuteilung der Obhut über die Töchter), 4 (Besuchsrecht) und 6 (Unterhalt des Beschwerdeführers an die Kinder). Im Übrigen wies er das Gesuch um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen ab. In der Sache selbst hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt. D.d. Mit Postaufgabe vom 16. August 2013 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert weitere Beweismittel ein und stellte einen Zeugenantrag. Die Beschwerdegegnerin nahm am 28. August 2013 dazu Stellung. Am 13. September 2013 erfolgte eine weitere unaufgeforderte Noveneingabe des Beschwerdeführers.