Sachverhalt: A. A.a. Der 1969 geborene I._ war seit 1. August 2009 als Assistenzarzt beim Spital X._ tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch unfallversichert. Gemäss Bericht der Allgemeinchirurgie des Spitals Y._ vom 11. Februar 2010 über den stationären Aufenthalt ab 1. Dezember 2009 bis 11. Februar 2010 war I._ am 1. Dezember 2009 von der Sanität auf die Notfallstation eingewiesen worden. Dort wurde eine massive akute Herzinsuffizienz festgestellt. Diagnostiziert wurde ein Status nach Multiorganversagen bei Mischintoxikation und Liegetrauma mit Rhabdomyolyse am 1. Dezember 2009. Es folgten zahlreiche Eingriffe. Am 11. Februar 2010 wurde I._ ins Zentrum Z._ verlegt. Am 14. Oktober 2011 ist er gestorben. A.b. I._ hatte der AXA am 4. Juli 2010 eine Schadenmeldung erstattet. Nach Abklärung der erwerblichen und medizinischen Verhältnisse, namentlich nach Einholung eines psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. S._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 22. Dezember 2010, verneinte die AXA mit Verfügung vom 28. Januar 2011 einen Anspruch auf Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung. Die dagegen von I._ und von der Assura Kranken- und Unfallversicherung (nachfolgend: Assura) erhobenen Einsprachen wies die AXA mit Entscheid vom 11. April 2011 ab. B. Mit Entscheid vom 9. April 2013 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die von I._ und von der Assura dagegen erhobenen Beschwerden gut, hob den Einspracheentscheid vom 11. April 2011 auf und wies die Sache zur Prüfung und Festsetzung der gesetzlichen Leistungen an die Beschwerdebeklagte zurück. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die AXA die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids vom 9. April 2013 und die Bestätigung ihres Einspracheentscheids vom 11. April 2011. Zudem ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Die Erben des I._ sel. und die Assura schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2013 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.