Sachverhalt: A. Am 24. Oktober 2003 schloss X._ als Mieter mit der Y._ AG einen Mietvertrag über ein Einfamilienhaus an der Z._-strasse in Basel zu einem monatlichen Mietzins von Fr. 4'550.--. Als Zweck des Mietobjekts wurde "Wohnen" sowie "Geschäft" angegeben. Gemäss Vertrag begann das Mietverhältnis am 15. November 2003 und wurde auf vier Jahre fest abgeschlossen mit der Möglichkeit, es auf Ablauf der festen Dauer unter Einhaltung einer Frist von sechs Monaten zu kündigen. Am 17. Juni 2004 kündigte die Vermieterin den Mietvertrag wegen Zahlungsverzugs des Mieters (Art. 257d OR) auf den 31. Juli 2004. Der Mieter focht die Kündigung mit Eingabe vom 15. Juli 2004 bei der Schlichtungsstelle an. Bevor diese über das Begehren des Mieters entscheiden konnte, stellte die Vermieterin am 5. August 2004 beim Zivilgericht Basel-Stadt ein Gesuch um Erlass eines Räumungsbefehls. Nachdem die beiden Verfahren beim Zivilgericht in Anwendung von Art. 274g OR vereinigt worden waren, entschied dessen Einzelrichter in Zivilsachen am 11. Oktober 2004, das Begehren um Erklärung der Nichtigkeit bzw. Unwirksamkeit der Kündigung werde abgewiesen und die Mieter (X._ und dessen Ehefrau) würden verpflichtet, das gemietete Haus bis 21. Oktober 2004 zu verlassen. Die im Entscheid vorbehaltene Wiedererwägung verweigerte der Einzelrichter mit Verfügung vom 19. Oktober 2004. B. X._ gelangte mit Beschwerde gemäss §§ 242 ff. ZPO/BS (Basel-Städtische Zivilprozessordnung vom 8. Februar 1875; GS 221.100) an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit den Anträgen, den Entscheid des Zivilgerichts vom 11. Oktober 2004 aufzuheben und die Nichtigkeit bzw. Unwirksamkeit der Kündigung vom 17. Juni 2004 festzustellen. Der Beschwerdeführer stellte zudem das Gesuch, es sei festzustellen, dass der Beschwerde aufschiebende Wirkung zukomme, bzw. es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident des Appellationsgerichts verfügte am 25. Oktober 2004, der Beschwerde werde vorläufig die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Am 10. Dezember 2004 erliess er nach Einholung der Vernehmlassungen der Gegenpartei und des Einzelrichters eine weitere Verfügung, mit welcher er die vorläufige Bewilligung der aufschiebenden Wirkung widerrief und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abwies (Dispositivziffer 3). Zur Begründung führte er aus, die Beschwerde erscheine beim gegenwärtigen Stand des Schriftenwechsels als zu wenig aussichtsreich, um die aufschiebende Wirkung zu rechtfertigen. C. X._ hat staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit den Anträgen, Ziffer 3 der Verfügung des Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 10. Dezember 2004 aufzuheben und der vor dem Appellationsgericht hängigen Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzusprechen bzw. festzustellen, dass der Beschwerde aufschiebende Wirkung zukommt. Auf Gesuch des Beschwerdeführers ist seiner staatsrechtlichen Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2005 die aufschiebende Wirkung gewährt worden. Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) und der Präsident des Appellationsgerichts schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde.