Arbeitsvertrag; Kündigungsfrist, hat sich ergeben: A.- Die X._ AG kündigte am 6. Juli 1998 das Arbeitsverhältnis mit A._ auf den 31. Oktober 1998. Der Arbeitnehmer stellte sich in der Folge auf den Standpunkt, dass die vertragliche Kündigungsfrist nicht drei, sondern sechs Monate betrage. Er berief sich auf den Arbeitsvertrag, den er am 9. März 1984 mit der Aktiengesellschaft vorm. Y._ abgeschlossen hatte. Diese Gesellschaft hatte am 15. Februar 1995 ihren Geschäftsbereich "Mühle" an die damals neu gegründete Z._ AG mit Sitz in Zürich übertragen, für welche A._ seither tätig war. Ab 1. August 1997 arbeitete er für die N._ AG in deren Betrieb in O._. Die N._ AG wurde am 10. Juni 1998 von der X._ AG übernommen. B.- A._ klagte im November 1998 beim Bezirksgericht Weinfelden gegen die X._ AG auf Zahlung von Fr. 25'837. 50 nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 1998. Der Betrag entspricht drei Monatslöhnen und dem anteilsmässigen 13. Monatslohn. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 9. Oktober 1999 ab. Es kam zum Schluss, dass der ursprüngliche Arbeitsvertrag des Klägers zwar auf die Z._ AG übergegangen sei, dass aber zwischen dieser Gesellschaft und der N._ AG keine rechtlichen Verbindungen bestanden hätten und insbesondere keine Betriebsübernahme im Sinne von Art. 333 OR erfolgt sei. Zudem sei zwischen den beiden Gesellschaften keine Übernahme des Arbeitsvertrags mit dem Kläger und auch zwischen diesem und der N._ AG keine Fortführung des früheren Arbeitsvertrags oder der Abschluss eines neuen mit identischem Inhalt vereinbart worden. C.- Das Obergericht des Kantons Thurgau wies mit Urteil vom 16. März 2000 die Berufung des Klägers und dessen Klage ab. Das Obergericht bestätigte die Begründung des Bezirksgerichts und hielt namentlich fest, der Beweis sei nicht erbracht worden, dass das Arbeitsverhältnis mit dem Kläger von der Z._ AG auf die N._ AG übergegangen sei oder dass diese den Kläger zu den gleichen Bedingungen angestellt habe. D.- Der Kläger hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung und staatsrechtlicher Beschwerde angefochten. Die Beschwerde ist vom Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tag abgewiesen worden, soweit darauf eingetreten werden konnte. Mit der vorliegenden Berufung beantragt der Kläger, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Beklagte zur Zahlung von Fr. 25'837. 50 nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 1998 zu verpflichten, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte stellt in ihrer Berufungsantwort die Anträge, auf die Berufung nicht einzutreten bzw. sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und das angefochtene Urteil zu bestätigen.