Sachverhalt: A. Die Geschwister AX._ (geb. 1967) und BX._ (geb. 1964), beide Bürger von u.a. Kilchberg/ZH, gelangten am 20. August 2008 an das Bezirksgericht Horgen und beantragten gestützt auf Art. 42 Abs. 1 ZGB, es sei im Zivilstandsregister ihr Familienname "X._" in "Y._" (Änderung eines Buchstabens von "ü" in "i") zu berichtigen. Zur Begründung brachten sie Wesentlichen vor, ihre ursprünglich aus Deutschland stammenden Vorfahren hätten "Y._" geheissen. Dieser Name sei im vorletzten Jahrhundert bzw. um 1861 unbegründet in "X._" verändert worden und damals im Familienregister Kilchberg unrichtig eingetragen worden. B. Mit Verfügung vom 18. November 2008 wies das Bezirksgericht Horgen (Einzelrichter im summarischen Verfahren) die Berichtigungsklage von AX._ und BX._ ab. Auf Rekurs hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilkammer) am 12. Februar 2009 die Abweisung. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die hiergegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde mit Beschluss vom 24. Dezember 2009 ab. C. AX._ und BX._ führen mit Eingabe vom 10. Februar 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht, die Beschlüsse des Obergerichts und des Kassationsgerichts aufzuheben und die Sache an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Das Obergericht und das Kassationsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Eidgenössische Justiz-und Polizeidepartement hat nicht Stellung genommen.