Sachverhalt: A. A.a. Mit Schreiben vom 23. Juli 2013 beantragte B.X._ (Ehemann) dem Zivilgericht Basel-Stadt (Zivilgericht) die Regelung des Getrenntlebens von seiner Frau A.X._ (Ehefrau). A.b. Die Ehefrau liess am 19. August 2013 ein Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung stellen. Sie begründete ihr Begehren damit, dass sie kein Vermögen habe und finanziell bedürftig sei. Zwar hätten die Ehegatten eine Liegenschaft in Frankreich (Liegenschaft). Diese sei jedoch seit längerer Zeit zum Verkauf ausgeschrieben und ob daraus ein Gewinn resultiere, sei fraglich. A.c. Das Zivilgericht bestätigte den Ehegatten das Getrenntleben mit Verfügung vom 27. August 2013. Zugleich traf es eine vorläufige Unterhaltsregelung für die drei gemeinsamen Kinder. A.d. Am 15. Oktober 2013 bestätigte das Zivilgericht das Getrenntleben und sprach sich zur Obhutszuteilung aus. Betreffend die Obhut der jüngsten Tochter sollten die Ehegatten das Gericht bis am 15. Januar 2014 über eine Einigung informieren. Die Unterhaltsregelung blieb unverändert. Der Kostenentscheid sollte zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen (Ziff. 6). A.e. Am 10. Dezember 2013 stellte die Ehefrau ein Gesuch um Anordnung einer superprovisorischen Schuldneranweisung, da der Ehemann die mit Verfügung vom 27. August 2013 festgesetzten Kinderunterhaltsbeiträge nicht rechtzeitig zahlte. Darin ersuchte sie überdies um die Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge und um Kostenverlage auf das Hauptverfahren. A.f. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 wies das Zivilgericht das Gesuch um Schuldneranweisung kostenfällig (Ziff. 5) ab (Ziff. 2). In Ziff. 4 des Entscheides hielt das Zivilgericht fest: " Der Antrag beider Ehegatten auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen. " In der separaten Rechtsmittelbelehrung zu Ziff. 4 wies das Zivilgericht die Ehegatten auf die Möglichkeit der Beschwerde hin. A.g. Dieser Entscheid wurde der Ehefrau über ihre Rechtsvertreterin am 18. Dezember 2013 zugestellt. Diese erhob während der Frist von 10 Tagen keine Beschwerde. A.h. Am 14. Januar 2014 liess sich die Ehefrau zur Besuchsregelung und zu Obhutsfragen betreffend die jüngste Tochter vernehmen. Sie informierte das Gericht, dass die Ehegatten zwischenzeitlich einen Vorvertrag für die Liegenschaft unterzeichnen konnten. Es sei allerdings noch nicht bekannt, ob netto ein Erlös resultiere. Die Abrechnung werde frühestens im April 2014 vorliegen, weshalb sie das Gericht bitte, erst nach Kenntnis dieser Abrechnung den Kostenentscheid zu fällen. Mit Schreiben vom 6. Februar 2014 reichte die Ehefrau dem Zivilgericht weitere Unterlagen zur finanziellen Situation der Ehegatten sowie den Vorvertrag zum Liegenschaftsverkauf ein. A.i. Am 13. Februar 2014 entschied das Zivilgericht über die Obhutszuteilung des jüngsten Kindes (Ziff. 1), die Errichtung einer damit verbundenen Besuchsrechtsbeistandschaft (Ziff. 2), sowie den Kinder- und Ehegattenunterhalt (Ziff. 3 und 4). Die Ehegatten wurden zur hälftigen Bezahlung der Gerichtskosten verurteilt, die Parteikosten wurden wettgeschlagen (Ziff. 5). A.j. Beide Ehegatten verlangten die schriftliche Urteilsbegründung. B. B.a. Am 28. März 2014 erhob die Ehefrau Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Appellationsgericht oder Vorinstanz). Die Berufung richtete sich einerseits gegen die Obhutszuteilung, die Besuchsrechtsanordnung und die Höhe des Unterhalts (Ziff. 2, 3 und 4). Andererseits verlangte die Ehefrau, es sei ihr für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, und die beiliegende Honorarnote für das erstinstanzliche Verfahren zu bewilligen (Ziff. 5). Eventualiter sei diese Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 6), alles unter Kostenfolge zu Lasten des Berufungsbeklagten respektive unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung (Ziff. 8). B.b. Das Appellationsgericht gewährte den Ehegatten mit Verfügung vom 23. April 2014 die unentgeltliche Prozessführung für das zweitinstanzliche Verfahren - unter dem ausdrücklichen Hinweis auf die Möglichkeit eines Widerrufs und der Rückforderung, insbesondere im Falle der Gewinnerzielung aus dem Verkauf der Liegenschaft. B.c. Mit Entscheid vom 26. Mai 2014 (zugestellt am 17. Juni 2014) prüfte und bestätigte das Appellationsgericht den erstinstanzlichen Kostenentscheid. In den Ziff. 4.2 und 4.3 der Entscheidbegründung erachtete es die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung als mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 rechtskräftig entschiedene und für den Kostenentscheid nicht mehr relevante Frage. Im Dispositiv bestätigte das Appellationsgericht daher die Kostenregelung des erstinstanzlichen Urteils, ohne auf die unentgeltliche Rechtspflege Bezug zu nehmen. B.d. Am 19. Juni 2014 stellte die Vorinstanz den Ehegatten ein im Dispositiv - Ziff. 1, betreffend den Wohnsitz des jüngsten Kindes - berichtigtes Urteil zu. C. C.a. Die Ehefrau (Beschwerdeführerin) erhob am 17. Juli 2014 Beschwerde in Zivilsachen. Sie verlangt, die von der Vorinstanz in Ziff. 4.3 der Entscheidbegründung verfügte Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren sei aufzuheben und der Beschwerdeführerin für das Eheschutzverfahren vor dem Zivilgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Weiter beantragt sie, die Honorarnote vom 28. März 2014 für das Verfahren vor dem Zivilgericht sei zu genehmigen, eventualiter an dieses oder die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Schliesslich verlangt die Beschwerdeführerin die Kostenfolge zulasten der Vorinstanz respektive die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht, und stellt Verfahrensanträge zur Aktenedition und zur Einreichung einer Replik. C.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassung eingeholt. Insofern besteht kein Anlass zur Gewährung eines Replikrechts.