Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Z._, geboren am 6. Januar 1939 und zuletzt wohnhaft gewesen in A._, starb am 31. Mai 2001. Mit Testament vom 13. September 2000 hatte sie Y._ als Alleinerbin eingesetzt, daneben aber auch die Ausrichtung verschiedener Vermächtnisse und sonstige Anordnungen, unter anderem zugunsten von W._, verfügt. Gleichzeitig hatte sie X._ (Fürsprecher und Notar) zum Willensvollstrecker bestimmt. A.b Mit Vollmacht vom 7. Juni 2001 wurde X._ von Y._ ermächtigt, folgende Rechtsgeschäfte zu besorgen: "Liquidation des Nachlasses Z._, Saldierung und Verkauf von Wertschriften, Bezahlen von Rechnungen etc." Am 14. Juli 2001 unterzeichnete Y._ eine vom 9. Juli 2001 datierte Vereinbarung mit W._, die von X._ ausgearbeitet worden war und von diesem unter dem Vermerk "Der Willensvollstrecker" mitunterzeichnet wurde. Art. 3 der Vereinbarung lautet wie folgt: " Die Alleinerbin leistet an W._ per Ende August 2001 folgenden Geldbetrag: a. das Vermächtnis Fr. 100'000.-- b. als Abgeltung des Wohnrechtes Fr. 87'150.-- c. als Abgeltung für die Hundepflege Fr. 62'850.-- Total Fr. 250'000.--". A.c Mit Schreiben vom 30. August 2001 erteilte X._ der Versicherung U._ den Auftrag, das zum Nachlass von Z._ gehörende Depot Nr. ..., enthaltend 2'200 Namenaktien, "umgehend aufzulösen und zu verkaufen". Zu diesem Verkauf kam es indessen erst am 12. September 2001, d.h. nach dem Einbruch des Kurses für die Aktien der Versicherung U._ als Folge der Terroranschläge des 11. September 2001 in New York. Am 26. September 2001 überwies X._ an W._ den Betrag von Fr. 250'656.--. A.c Mit Schreiben vom 30. August 2001 erteilte X._ der Versicherung U._ den Auftrag, das zum Nachlass von Z._ gehörende Depot Nr. ..., enthaltend 2'200 Namenaktien, "umgehend aufzulösen und zu verkaufen". Zu diesem Verkauf kam es indessen erst am 12. September 2001, d.h. nach dem Einbruch des Kurses für die Aktien der Versicherung U._ als Folge der Terroranschläge des 11. September 2001 in New York. Am 26. September 2001 überwies X._ an W._ den Betrag von Fr. 250'656.--. B. Mit Eingabe vom 19. Februar 2003 erhob Y._ beim Gerichtskreis IV Aarwangen-Wangen Klage gegen X._ und beantragte, den Beklagten zu verpflichten, ihr Fr. 125'026.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. September 2001 zu zahlen. Sie verlangte damit Ersatz für den Schaden, der ihr dadurch erwachsen sei, dass der Beklagte die Aktien der Versicherung U._ nicht pflichtgemäss bis Ende August 2001 veräussert habe. Der Präsident 2 des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen hiess die Klage am 19. November 2003 im Umfang von Fr. 81'026.-- (nebst Zins zu 5 % seit 12. September 2001) gut. Gegen dieses Urteil erhob der Beklagte Appellation, die Klägerin hierauf (bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen) Anschlussappellation. Der Appellationshof (1. Zivilkammer) des Kantons Bern verpflichtete den Beklagten mit Urteil vom 14. April 2004, der Klägerin Fr. 30'600.-- nebst Zins zu 5 % seit 12. September 2001 zu zahlen. Der Appellationshof (1. Zivilkammer) des Kantons Bern verpflichtete den Beklagten mit Urteil vom 14. April 2004, der Klägerin Fr. 30'600.-- nebst Zins zu 5 % seit 12. September 2001 zu zahlen. C. Mit Berufung an das Bundesgericht verlangt der Beklagte, die Klage vollumfänglich abzuweisen. Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung.