Sachverhalt: A. Die 1990 geborene B._ bezieht eine Waisenrente der Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV). Sie studiert an der Universität X._ und ist als Untermieterin in einer möblierten Wohnung in G._ wohnhaft. Für Miete und Nebenkosten bezahlt sie Fr. 990.- monatlich. Am 22. September 2011 meldete sie sich für Ergänzungsleistungen zur Waisenrente an. Mit Verfügung vom 10. Januar 2012 sprach die EL-Durchführungsstelle B._ für die Monate Oktober bis Dezember 2011 eine Ergänzungsleistung von monatlich Fr. 1'470.-, ab Januar 2012 eine solche von Fr. 1'492.-, zu. Bei der Berechnung anerkannte sie als Ausgaben u.a. einen Mietzins von jährlich Fr. 9'840.- und einen Lebensbedarf von Fr. 9'945.-. Auf Einsprache hin änderte die Ausgleichskasse die Verfügung vom 10. Januar 2012 zum Nachteil der Versicherten ab. Mit der Begründung, B._ sei es mit Blick auf ihre Schadenminderungspflicht zuzumuten, während der Dauer ihres Studiums bei ihrem Vater zu wohnen, würden anstelle des Mietzinses der hälftige Eigenmietwert der Liegenschaft des Vaters und lediglich der tiefere Lebensbedarf für Kinder angerechnet. Gemäss Entscheid vom 11. April 2012 resultierte eine monatliche Ergänzungsleistung von Fr. 1'120.- (Oktober bis Dezember 2011) und von Fr. 1'142.- (ab Januar 2012). B. Die von B._ hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 8. Mai 2013 teilweise gut, hob den Einspracheentscheid vom 11. April 2012 auf und wies die Sache zu neuer Berechnung des Anspruchs im Sinne der Erwägungen und neuer Verfügung an die Ausgleichskasse zurück. C. Die Ausgleichskasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt zur Hauptsache, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Während B._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.