Sachverhalt: A. Die 1970 geborene Y._ zog sich bei einem Unfall vom 21. August 2002 eine Rückenkontusion zu. Am 5. Mai 2004 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog die Akten des Unfallversicherers bei, liess zusammen mit diesem ein Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 21. Mai 2005 erstellen und holte einen Bericht des Psychiaters Dr. med. M._ vom 27. Mai 2004 sowie einen Haushalt-Abklärungsbericht vom 20. Juli 2005 ein. Anschliessend sprach sie der Versicherten für die Zeit vom 1. August 2003 bis 31. August 2004 eine halbe Rente zu (Verfügung vom 27. September 2005). Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 22. November 2005 festgehalten. B. Nachdem die Versicherte Beschwerde erhoben hatte, drohte ihr das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 29. Januar 2007 die Vornahme einer reformatio in peius an. Die Beschwerdeführerin hielt am eingelegten Rechtsmittel fest und reichte Berichte des Dr. med. M._ vom 22. Februar sowie 26. März 2007 ein (Schreiben vom 17. April 2007). Mit Entscheid vom 20. Juni 2007 wies das Gericht die Beschwerde ab und hob den Einspracheentscheid vom 22. November 2005 auf mit der Feststellung, dass die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe. C. Y._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr eine Rente zuzusprechen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege bezüglich der Gerichtskosten ersucht. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung des Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.