Sachverhalt: A. X._ ersuchte am 30. Juni 2008 um Erlass der direkten Bundessteuer 2004 in der Höhe von Fr. 105.--, der Staatssteuer 2005 in der Höhe von Fr. 36'781.-- und der direkten Bundessteuer 2005 in der Höhe von Fr. 44'610.60. Mit Verfügung vom 1. Juli 2008 teilte die Erlassabteilung des Finanzdepartements des Kantons Solothurn dem Steuerpflichtigen mit, für Steuerforderungen, die bereits in Betreibung gesetzt worden seien, könne nicht um Erlass ersucht werden. Auf das Erlassgesuch werde nicht eingetreten. Eine weitere Eingabe des Steuerpflichtigen vom 28. Juli 2008, worin dieser erklärte, dass im Zeitpunkt der Veranlagung der fraglichen Steuern er sich im Ausland aufgehalten habe und sein Treuhänder krank gewesen sei, wurde nach Rücksprache mit dem Steuerpflichtigen als Rekurs und Beschwerde an das Kantonale Steuergericht Solothurn weitergeleitet. Dieses wies mit Urteil vom 1. Dezember 2008 Rekurs und Beschwerde ab. B. Gegen den Entscheid des Kantonalen Steuergerichts Solothurn vom 1. Dezember 2008 führt X._ Beschwerde mit dem sinngemässen Begehren, dem Steuererlassgesuch für die Steuern 2004 und 2005 sei stattzugeben und es seien die fraglichen Steuern zu erlassen. Er beanstandet ausserdem, dass sein ehemaliger Treuhänder als Richter am angefochtenen Entscheid mitgewirkt habe. Das Steuergericht des Kantons Solothurn beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Finanzdepartement des Kantons Solothurn liess sich nicht vernehmen. Die Eidgenössische Erlasskommission für die direkte Bundessteuer beantragt, auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei nicht einzutreten. Es sei festzustellen, dass die Verfügung der Erlassabteilung des Finanzdepartements des Kantons Solothurn hinsichtlich der direkten Bundessteuer 2005 nichtig sei, und es sei das Erlassgesuch hinsichtlich dieser Steuer an die Eidgenössische Erlasskommission zu überweisen.