Sachverhalt: A. Der 1975 geborene M._ war als Dachdecker bei der Q._ GmbH angestellt und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 24. Juli 2004 half er einem Bekannten auf dem Bauernhof beim Reinigen der Dachrinnen. Da die Regenrinne infolge eines Isolationsdefekts an einer Kabelleitung unter Strom stand, erlitt er eine Muskelverkrampfung. Nachdem der anwesende Besitzer die Stromeinwirkung hatte unterbrechen können, stürzte der inzwischen bewusstlos gewordene Versicherte mitsamt der Metallleiter aus rund drei Metern Höhe auf den Betonboden. Vom alarmierten Rettungsdienst wurde er daraufhin notfallmässig ins Spital X._ überwiesen, wo die behandelnden Ärzte folgende Diagnose stellten: Jochbeinfraktur rechts, commotio cerebri, kleine Subarachnoidalblutung rechts, contusio bulbi rechts, multiple Prellungen LWK, Sternum, Becken und posttraumatischer benigner paroxysmaler Lagerungsschwindel rechts. Über den Unfallhergang konnte der Versicherte gegenüber den Ärzten keine Angaben machen. Laut Austrittsbericht der Klinik für Hals- und Gesichtschirurgie vom 4. August 2004 wurde er wegen der commotio cerebri und der Subarachnoidalblutung zunächst überwacht, bevor am 27. Juli 2004 die Jochbeinfraktur operativ saniert werden konnte. In der Folge weilte M._ vom 23. August bis 1. Oktober 2004 zur Rehabilitation in der Klinik V._. Dort kam es am 1. September 2004 zu einem Sturz unklarer Ursache. Vom 7. Dezember 2005 bis 12. Januar 2006 folgte nochmals ein stationärer Aufenthalt in der Klinik V._. Wegen einer Exazerbation der Schmerzen wurde der Versicherte vom 1. bis 6. Februar 2008 und vom 18. bis 23. Februar 2008 im Spital X._ hospitalisiert. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen des Ereignisses vom 24. Juli 2004 und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Gestützt auf die von ihr veranlassten psychiatrischen (Bericht vom 21. Februar 2008), neurologischen (Bericht vom 10. Juni 2008) und neuropsychologischen (Bericht vom 23. Januar 2008) Untersuchungen in der Klinik Z._ lehnte sie mit Verfügung vom 19. Dezember 2008 und Einspracheentscheid vom 10. September 2009 mit Wirkung ab Ende Dezember 2008 einen weitergehenden Leistungsanspruch ab, da die geklagten Beschwerden nicht mehr in einem ursächlichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 24. Juli 2004 stünden. B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 26. Mai 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ beantragen, die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheids zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen weiterhin zu erbringen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Während SUVA und kantonales Gericht auf Abweisung der Beschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.