Sachverhalt: A. A.a. A._ und B._ sind die Eltern der beiden Kinder C._ und D._ (beide geb. 12. Dezember 1995). Die Ehe der Eltern wurde durch Urteil des Gemeindegerichts Pristina vom 22. Mai 1997 rechtskräftig geschieden. Das Sorgerecht über die gemeinsamen Kinder wurde A._ (Vater) zugesprochen und B._ (Mutter) verpflichtet, mit 15% ihres Einkommens zum Unterhalt der beiden Kinder beizutragen. A.b. Am 26. Oktober 2010 klagte A._ beim Bezirksgericht Basel-Stadt gegen B._ auf Leistung angemessener Unterhaltsbeiträge an die gemeinsamen Kinder der geschiedenen Eheleute. Mit Urteil vom 24. November 2011 wurde B._ verpflichtet, A._ an den Unterhalt der beiden Kinder ab November 2010 bis zu ihrer Mündigkeit monatlich vorauszahlbare Beträge von Fr. 300.-- pro Kind zu bezahlen, wobei Art. 277 Abs. 2 ZGB vorbehalten blieb. B. Dagegen erhob B._ Berufung, die das Appellationsgericht Basel-Stadt dem Antrag von A._ entsprechend mit Urteil vom 30. August 2012 abwies. Die Berufungsinstanz verpflichtete B._ zur Leistung einer Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zuzüglich Mehrwertsteuer an A._. Ferner sprach sie dem unentgeltlichen Rechtsanwalt von B._ ein Honorar von Fr. 1'170.-- zuzüglich Auslagen von Fr. 60.60 und Mehrwertsteuer aus der Gerichtskasse zu. Der unentgeltlichen Rechtsanwältin von A._, X._, sprach das Appellationsgericht zufolge offensichtlicher Uneinbringlichkeit der A._ zugesprochenen Parteientschädigung ein Honorar von Fr. 2'500.-- zuzüglich Mehrwertsteuer aus der Gerichtskasse zu (Dispositiv Absatz 5). C. Rechtsanwältin X._ (Beschwerdeführerin) hat gegen Absatz 5 des Dispositivs des Entscheids des Appellationsgerichts beim Bundesgericht Verfassungsbeschwerde eingereicht. Sie beantragt, den sie betreffenden Kostenentscheid (Absatz 5 des Dispositivs) wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs ( Begründungspflicht; Art. 29 Abs. 2 BV), Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 Abs. 1 BV) und wegen Willkür (Art. 9 BV) aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Das Appellationsgericht Basel-Stadt hat in seiner Vernehmlassung vom 8. März 2013 die Begründung des angefochtenen Entscheids nachgeliefert und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat nicht repliziert.