Sachverhalt: A. Der serbische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1983) ersuchte 2003 in der Schweiz erstmals erfolglos um Asyl. Im Herbst 2005 reiste er erneut in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Das Asylverfahren wurde infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben, da A.A._ am 10. März 2006 die Schweizer Bürgerin B.A._ geheiratet und das Migrationsamt des Kantons Zürich ihm in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erteilt hatte. Die Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 9. März 2011 verlängert. Aus der Ehe mit B.A._ sind die beiden Kinder C.A._ (geb. 2007) und D.A._ (geb. 2009) hervorgegangen. Die eheliche Wohngemeinschaft wurde am 6. März 2011 aufgegeben. Auf Begehren der Ehefrau bewilligte das Bezirksgericht Zürich mit Urteil vom 7. Juni 2011 das Getrenntleben der Eheleute auf unbestimmte Zeit und teilte ihr die Obhut über die Kinder zu. A.A._ wurde ein Besuchsrecht eingeräumt und für dessen Durchführung und Organisation eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. A.A._ ist strafrechtlich wie folgt in Erscheinung getreten: Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte ihn mit Urteil vom 25. Januar 2007 unter anderem wegen Raubes zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 12 Monaten bei einer Probezeit von drei Jahren Das Bezirksgericht Zürich verurteilte A.A._ sodann mit - noch nicht rechtskräftigem - Urteil vom 26. Februar 2013 wegen mehrfacher Körperverletzung, mehrfacher Nötigung, Drohung, wiederholter Tätlichkeiten, mehrfachen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen und mehrfacher Widerhandlungen gegen Vorschriften der Strassenverkehrsgesetzgebung zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten. A.A._ trat in Bezug auf dieses Strafverfahren den vorzeitigen Strafvollzug an. Weiter mussten gegen A.A._ wegen ehelicher Gewalt Schutzmassnahmen (Kontakt- und Rayonverbot) angeordnet werden. Er hat sodann in erheblicher Höhe Sozialhilfe bezogen und ist verschuldet. B. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 wies das Migrationsamt das Gesuch von A.A._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 30. April 2013. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 23. April 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. September 2013). C. Mit Eingabe vom 25. Oktober 2013 erhebt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 18. September 2013 sei aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 12. November 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.