Sachverhalt: A. A.a. X._ wurde von der Versicherung Y._ SA betrieben (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Seeland, Dienststelle Biel [Gruppen-Nr. yyy]). Zwecks Durchführung des Pfändungsvollzugs gelangte das Betreibungsamt Seeland am 24. Mai 2013 an die Bank A._ AG und forderte diese auf, die Saldi aller auf den Namen des Schuldners lautenden Konti per Vollzugsdatum bekannt zu geben. Dagegen setzte sich X._ am 26. Juni 2013 beim Obergericht des Kantons Bern als Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen zur Wehr (Beschwerdeverfahren 13 218). Er machte geltend, das Vorgehen des Betreibungsamtes Seeland sei mit Blick auf den Pfändungsbetrag von bloss Fr. 500.-- irreführend und missbräuchlich. A.b. Nach Durchführung des Schriftenwechsels wandte sich X._ am 26. August 2013 mit einer weiteren Eingabe an das Obergericht (Beschwerdeverfahren 13 299). Darin beschwerte er sich über die Abweisung seines Gesuchs um Akteneinsicht. Er habe die Dienststelle Biel um Mitteilung ersucht, bei welchen Finanzinstituten im Rahmen der Betreibung Nr. xxx Abklärungen über seine Kontobeziehungen vorgenommen worden seien. Diese Auskunft habe ihm die Dienststelle mit Verfügung vom 15. Juli 2013 unter Hinweis auf den internen Charakter der Liste verweigert. B. Per E-Mail vom 29. August 2013 bestätigte die Dienststelle Biel gegenüber der Aufsichtsbehörde, dass die Gläubigerin die Betreibung Nr. xxx gegen X._ am 10. Juli 2013 zurückgezogen habe, da die Forderung in der Zwischenzeit beglichen worden sei. C. Das Obergericht des Kantons Bern vereinigte die Beschwerdeverfahren 13 218 und 13 299 und schrieb sie mit Entscheid vom 2. September 2013 als gegenstandslos ab. D. X._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 23. September 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt, dass die erwähnten Beschwerdeverfahren nicht als gegenstandslos betrachtet und zur Neubeurteilung an die entsprechende Instanz zurückgewiesen werden. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.