Sachverhalt: A. A.a V._ starb 1975 und hinterliess seine Ehefrau X._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin 1) sowie die drei Kinder S._ (im Folgenden: Beschwerdegegner), Y._ (im Folgenden: Beschwerdeführerin 2) und Z._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) als Erben. Seine Liegenschaft GB A._ ging zu 7/16 auf die Beschwerdeführerin 1 und zu je 3/16 auf die Kinder über. A.b Die Beschwerdeführerin 1 hatte am 19. September 1980 dem Beschwerdegegner ein Darlehen von Fr. 80'000.-- gewährt. Da die Rückzahlung ausblieb, versuchte sie, die Forderung durch Zwangsvollstreckung einzutreiben. Am 2. September 1996 stellte ihr das Betreibungsamt B._ einen Verlustschein über den Gesamtbetrag von Fr. 90'765.20 aus. A.c Die Beschwerdeführerin 1 zog im Jahr 2004 ins Altersheim C._. Zur Finanzierung der Heimkosten betrieb sie den Beschwerdegegner aufgrund des Verlustscheins über Fr. 90'765.20 erneut. Im Rechtsöffnungsverfahren obsiegte sie mit Verfügung des Bezirksgerichts Meilen vom 16. März 2006 und hernach im Aberkennungsverfahren mit Urteil des Bezirksgerichts Meilen vom 18. Dezember 2006. Der Beschwerdegegner wird von der R._ AG betrieben, welche die Verwertung seines Miteigentumsanteils von 3/16 an der Liegenschaft GB Nr. 1 verlangt. Der Anteil hat gemäss betreibungsamtlicher Schätzung einen Wert von Fr. 46'500.--. A.d Der Beschwerdegegner ist Verwaltungsratspräsident der R._ AG und zugleich ihr Mehrheitsaktionär. Die Beschwerdeführer befürchten, dass es sich bei der angesetzten Verwertung um ein rechtsmissbräuchliches Vorgehen handle, das ausschliesslich dazu diene, den Verkauf des Hauses zu hintertreiben und den Miteigentumsanteil des Beschwerdegegners der Zwangsvollstreckung durch seine in finanzielle Schwierigkeiten geratene Mutter zu entziehen. Sie verlangten daher mit Eingabe vom 15. März 2007 vom Betreibungsamt A._, die von der R._ AG erwirkte Pfändung wegen Rechtsmissbrauchs zu löschen. Das Betreibungsamt erachtete die Voraussetzungen hierfür als nicht erfüllt und wies das Begehren mit in Briefform verfasster Verfügung vom 22. März 2007 ab. B. Mit Eingabe vom 1. April 2007 beschwerten sich die Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Schaffhausen als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen. Sie beantragten im Wesentlichen, die Verfügung des Betreibungsamts vom 22. März 2007 aufzuheben, das Verfahren der R._ AG auf Grundpfandverwertung zu löschen und ein neues Verfahren auf Grundpfandverwertung zugunsten der Beschwerdeführerin 1 zu eröffnen. Mit Entscheid vom 8. Februar 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. C. C.a Mit Beschwerde vom 17. Februar 2008 haben die Beschwerde-führer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Sie beantragen in der Hauptsache, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und ihre Anträge gemäss ihrer Eingabe vom 1. April 2007 an das Obergericht gutzuheissen. C.b Am 30. März 2008 haben die Beschwerdeführer wegen der vom Betreibungsamt auf den 21. Mai 2008 angesetzten Verwertung des Miteigentumsanteils das Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt. Das Betreibungs- und Konkursamt hat auf Stellungnahme zum Gesuch verzichtet, und das Obergericht hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdegegner beantragt, das Gesuch abzuweisen. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.