Art. 9 und 29 Abs. 2 BV (Zivilprozess), hat sich ergeben: A.- Die Eheleute C._ und D._ waren Eigentümer der Liegenschaft X._. Mit öffentlich beurkundetem Vertrag vom 10. Januar 1997 verkauften sie die Liegenschaft zum Preis von Fr. 600'000.-- an A._. Der Grundbuchverwalter von Luzern-Land verweigerte in der Folge den Grundbucheintrag mit der Begründung, die Verkäufer seien im Zeitpunkt des Vertragsschlusses urteilsunfähig gewesen. Die entsprechende Abweisungsverfügung wurde von der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Luzern am 27. Oktober 1997 aufgehoben. Die von C._ - seine Ehefrau D._ war am 27. Juni 1997 verstorben - gegen diesen Entscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wurde vom Bundesgericht mit Urteil vom 26. Mai 1998 abgewiesen. Am 25. Juni 1998 trug das Grundbuchamt die Eigentumsübertragung am Grundstück X._ im Grundbuch ein. B.- Am 26. Mai 1998 reichte C._ Klage gegen A._ ein mit den Begehren, es sei festzustellen, dass der Grundstückkaufvertrag vom 10. Januar 1997 mangels Urteilsfähigkeit der Verkäufer nichtig sei; zudem sei das Grundbuchamt Luzern-Land anzuweisen, ihn als Alleineigentümer des Grundstücks X._ im Grundbuch einzutragen. Mit Urteil vom 17. Dezember 1999 hiess das Amtsgericht Luzern-Land die Klage gut. Der Beklagte appellierte an das Obergericht des Kantons Luzern. Im Laufe dieses Verfahrens verstarb der Kläger, worauf an dessen Stelle Rechtsanwalt B._ als Willensvollstrecker in den Prozess eintrat. Am 1. Oktober 2001 fällte das Obergericht folgendes Urteil: "1.Die Erben des am 11. Juni 2000 verstorbenen Dr. C._ sind Eigentümer der Liegenschaft X._. 2. Der Kläger wird ermächtigt, gegen Vorweisung dieses Urteils, versehen mit der Rechtskraftbescheinigung des Obergerichts, beim Grundbuchamt Luzern-Land die Erben des Dr. C._ als Eigentümer der Liegen- schaft X._ im Grundbuch eintragen zu lassen. Mit Vollzug dieser Eintragung ist die provisorische Vormerkung des Eigentums von Dr. C._ bzw. dessen Erben gemäss Entscheid des Amtsgerichtsprä- sidenten I von Luzern-Land vom 17. Juni 1998 im Grundbuch zu löschen. 3. Der Kläger hat dem Beklagten Zug um Zug gegen Rück- Rückgabe des Inhaberschuldbriefes vom 28. November 1996 über Fr. 600'000.--, lastend im 2. Rang auf Grundstück X._, den Kaufpreis von Fr. 600'000.-- zuzüglich der Zinsen, welche für diesen Betrag auf einem Konto der Bank Y._ gutgeschrieben wurden, zu bezahlen. ......." C.- Der Beklagte hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung und staatsrechtlicher Beschwerde angefochten. Mit der vorliegenden Beschwerde beantragt er, dieses Urteil aufzuheben. Der Beschwerdegegner und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.