Sachverhalt: A. Der 1971 geborene P._, von Beruf Werkzeugmacher, liess sich wegen eines Rückenleidens im Zeitraum von August 2001 bis Juni 2002 zum PC-LAN-Supporter umschulen. Anschliessend absolvierte er ein bis Ende Januar 2004 dauerndes Praktikum am Spital X._ mit begleitender beruflicher Weiterbildung. Die Invalidenversicherung erbrachte für beide Massnahmen die gesetzlichen Leistungen. Danach arbeitete P._ weiter im Spital X._ als IT-Helpdesk-Support. Eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes im August 2006 führte zu einem Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik Y._ im Oktober 2006 und machte schliesslich eine (zweite) Operation am Rücken im Juli 2007 notwendig. Es erfolgte eine Umplatzierung im Betrieb, indem P._ neu als Mitarbeiter Helpdesk IT Technik eingesetzt wurde, wobei das Arbeitspensum 60 % betrug. Im Januar 2008 meldete sich P._ erneut bei der Invalidenversicherung an und beantragte Wiedereinschulung und eine Rente. Im Rahmen der Abklärungen durch die IV-Stelle des Kantons Graubünden wurde er am 4. November 2008 von Dr. med. N._, Spezialarzt Orthopädische Chirurgie FMH und Medizin, gutachtlich untersucht. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 2. April 2009 den Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art; mit einer weiteren Verfügung vom 12. Juni 2009 sprach sie dem Versicherten für die Zeit vom 1. August 2007 bis 30. September 2008 eine Viertelsrente zu. B. Die Beschwerde des P._ gegen die Verfügung vom 12. April 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden als Versicherungsgericht ab (Dispositiv-Ziffer 1), wobei es zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Erhebung von Gerichtskosten absah und die Rechtsanwältin des Versicherten zu Lasten der Gerichtskasse entschädigte (Dispositiv-Ziffer 2 und 3a; Entscheid vom 1. Dezember 2009). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids vom 1. Dezember 2009 sei aufzuheben und ihm über den 30. September 2008 hinaus unbefristet eine Viertelsrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zu weiterer Abklärung und anschliessendem Erlass einer neuen Verfügung an die IV-Stelle zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Die IV-Stelle und das kantonale Gericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.