Sachverhalt: Sachverhalt: A. P._, geboren 1953, arbeitete ab Juli 1990 als Angestellte in der Hauswirtschaft/Lingerie des Alters- und Pflegeheims Q._ und war bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend "Winterthur") unfallversichert. Am 21. März 1995 stürzte sie auf einer Treppe; das gleichentags aufgesuchte Spital X._ diagnostizierte eine Commotio cerebri, eine Coccyxfraktur sowie unklare wandernde Rückenschmerzen. Da P._ nicht aus der Spitalpflege entlassen werden wollte, wurde sie am 29. März 1995 in das Spital Y._ verlegt, wo die konservative Therapie bis zum 27. April 1995 weitergeführt wurde. Am 12. Juni 1995 war P._als Beifahrerin in einen Autounfall verwickelt, als der von ihrem Ehemann gelenkte Wagen wegen eines anderen Fahrzeuges von der Fahrbahn abkam und fahrerseitig in mehrere Bäume prallte. P._wurde in das Spital Y._ eingewiesen, welches eine Commotio cerebri, ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und eine Wirbelsäulenkontusion diagnostizierte. Die "Winterthur" nahm medizinische Abklärungen vor und zog die entsprechenden Berichte bei, so u.a. mehrere des Hausarztes Dr. med. G._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, der Höhenklinik W._ vom 27. Oktober 1995, der psychiatrischen Klinik Z._ vom 19. März und 3. April 1996 sowie der Rehabilitationsklinik O._ vom 26. Juli 1996. Mit Verfügung vom 29. März 1996 sprach die "Winterthur" P._ eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 15 % zu und stellte die Heilbehandlung ein. Gegen diese Verfügung wurde kein Rechtsmittel ergriffen. Im Mai 1997 liess P._ den Antrag stellen, über den Rentenanspruch zu verfügen. Nachdem sich die "Winterthur" geweigert hatte, wurde sie mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. September 1999 dazu angehalten. In Nachachtung dieses Entscheides verneinte die "Winterthur" mit Verfügung vom 10. Dezember 2001 den Rentenanspruch mangels natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs, nachdem sie intern eine Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. R._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 7. resp. 21. November 2001 eingeholt hatte. Mit Einspracheentscheid vom 10. Juli 2002 bestätigte die "Winterthur" die Verfügung von Dezember 2001, wobei sie auf den Bericht ihres beratenden Psychiaters Dr. med. C._ vom 5. Juni 2002 und den eingeholten Bericht der Klinik Z._ vom 19. Juni 1996 verwies. Im Mai 1997 liess P._ den Antrag stellen, über den Rentenanspruch zu verfügen. Nachdem sich die "Winterthur" geweigert hatte, wurde sie mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. September 1999 dazu angehalten. In Nachachtung dieses Entscheides verneinte die "Winterthur" mit Verfügung vom 10. Dezember 2001 den Rentenanspruch mangels natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs, nachdem sie intern eine Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. R._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 7. resp. 21. November 2001 eingeholt hatte. Mit Einspracheentscheid vom 10. Juli 2002 bestätigte die "Winterthur" die Verfügung von Dezember 2001, wobei sie auf den Bericht ihres beratenden Psychiaters Dr. med. C._ vom 5. Juni 2002 und den eingeholten Bericht der Klinik Z._ vom 19. Juni 1996 verwies. B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Mai 2003 ab. B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Mai 2003 ab. C. P._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Anträgen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und des Einspracheentscheides sei die "Winterthur" anzuweisen, den Sachverhalt abzuklären, und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen. Die "Winterthur" lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung (ab dem 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), auf eine Vernehmlassung verzichtet.