Sachverhalt: A. Die Abwasserreinigungsanlage (ARA) Kiesen besteht seit 1977. Sie wird vom Gemeindeverband ARA Region Unteres Kiesental (im Folgenden: Gemeindeverband) betrieben. In der Anlage wird das Abwasser aus dem Einzugsgebiet gereinigt. Seit den neunziger Jahren wurden dort auch Speiseöl- und Speisefettabfälle aus der Speisefettindustrie sowie ab dem Jahr 2000 zusätzlich Flotatschlämme (Schlachtabfälle) aus Schlachthäusern, teilweise von Betrieben ausserhalb des Einzugsgebiets, verwertet. Diese Abfälle werden nach Bedarf bei der Vergärung von Klärschlämmen aus der Abwasserreinigung beigegeben. Bei der sog. Co-Vergärung entsteht Biogas, das zur Stromerzeugung in Blockheizkraftwerken genutzt wird. 1998 erhielt der Gemeindeverband die Baubewilligung zur Errichtung eines Blockheizkraftwerks, zwei Silos à 50 m3 Fettverwertung und eines Silos à 50 m3 Trübwasserstapel. 2002 wurde der Neubau eines weiteren Blockheizkraftwerks und eines Warmwasserspeichers bewilligt. Die bewilligten Anlagen für die Vergärung und Stromerzeugung sind gebaut und in Betrieb. B. Auf Klagen aus der Nachbarschaft über Geruchs- und Verkehrsprobleme im Zusammenhang mit dem Betrieb der Kläranlage traf die Einwohnergemeinde Kiesen am 3. September 2003 eine Verfügung zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands. Dabei ordnete sie an, dass die besonders geruchsintensiven Flotate aus Schlachthäusern nur noch in kleineren Mengen und von Schlachthäusern aus dem Einzugsgebiet der ARA angenommen werden dürften. Zusätzlich wurde die Verwertung von fetthaltigen Abfällen auf insgesamt 1000 Tonnen pro Jahr begrenzt. In der Folge reichte der Gemeindeverband beim Regierungsstatthalteramt Konolfingen drei Baugesuche ein; gegen alle drei Bauvorhaben gingen zahlreiche Einsprachen von Nachbarn und Bewohnern von Kiesen ein. - Das erste Gesuch betraf die Sanierung und Erneuerung der Abwasserstrasse (Biologie) der Kläranlage. Der Regierungsstatthalter bewilligte das Baugesuch am 8. Juli 2004; dieser Entscheid ist rechtskräftig. - Mit dem zweiten Gesuch strebte der Gemeindeverband die Annahme von 1600 Tonnen Flotaten aus Schlachthäusern in der Kläranlage an; das entsprechende Begehren wurde jedoch am 8. Oktober 2004 zurückgezogen. - Das dritte Gesuch bezweckte eine Verwertung von Speiseöl- und Speisefettabfällen im Umfang von 2000 Tonnen pro Jahr. Dabei geht es um eine Erhöhung der zuvor zugelassenen Menge um 1000 Tonnen pro Jahr; bauliche Massnahmen sind nicht geplant. Der Regierungsstatthalter erteilte hierfür am 20. Dezember 2004 die Gesamtbewilligung. C. X._, Ehepaar Z._ sowie Y._, die mit ihren Einsprachen unterlegen waren, fochten die Bewilligung vom 20. Dezember 2004 mit gemeinsamer Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (im Folgenden: BVE) an. Die BVE hiess die Beschwerde am 11. August 2005 gut, soweit sie darauf eintrat. Die Behörde bejahte die Zonenkonformität des Bauvorhabens. Sie erwog indes, die erforderliche Umweltverträglichkeitsprüfung sei nicht für die ganze Kläranlage durchgeführt worden, sondern lediglich isoliert für das betreffende Vorhaben. Ebenso wenig sei geprüft worden, ob die Gesamtanlage sanierungsbedürftig sei. An diesem Mangel ändere der Umstand nichts, dass die Sanierung der Abwasserstrasse bereits bewilligt sei und ausgeführt werde. Demzufolge hob die BVE die Bewilligung vom 20. Dezember 2004 auf und wies die Angelegenheit an den Regierungsstatthalter zurück. Der Gemeindeverband zog den Entscheid der BVE an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern weiter. Das Gericht hiess seine Beschwerde mit Urteil vom 29. Mai 2006 teilweise gut. Es hob den Entscheid der BVE auf und schützte die Bewilligung des Regierungsstatthalters vom 20. Dezember 2004 unter Ergänzung bzw. Änderung von zwei Auflagen. Das Verwaltungsgericht stellte in Übereinstimmung mit dem vorinstanzlichen Entscheid fest, dass eine Gesamtbetrachtung und -beurteilung der Umweltverträglichkeit der Anlage als Ganzes nicht stattgefunden habe. Mit Blick auf die vorhandenen Daten erübrige sich allerdings eine Rückweisung an den Regierungsstatthalter. Ferner verneinte das Verwaltungsgericht eine Pflicht zur Sanierung der gesamten Kläranlage. D. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts haben X._ sowie Y._ beim Bundesgericht am 5. Juli 2006 Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und dem Bauvorhaben sei der Bauabschlag zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Fortführung des Verfahrens an den Regierungsstatthalter zurückzuweisen. Der Gemeindeverband als Beschwerdegegner ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Kiesen und das Verwaltungsgericht sprechen sich für die Abweisung der Beschwerde aus; die BVE befürwortet die Gutheissung. Der Regierungsstatthalter verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) äussert sich mit Schreiben vom 4. November 2006 zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. Immerhin hält es Massnahmen zur Verringerung der Geruchsimmissionen beim Betanken der Fettsilos mit den angelieferten Speiseölen und -fetten für prüfenswert. Es bemängelt, dass entsprechende Schutzvorkehren nicht genauer untersucht worden seien. Die Parteien und die Einwohnergemeinde Kiesen haben zur Vernehmlassung des BAFU Stellung genommen und an ihren Begehren festgehalten. E. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 13. September 2006 aufschiebende Wirkung zuerkannt.