Sachverhalt: A. Der 1961 geborene E._ ist seit 1991 in der Firma X._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 22. Mai 1995 verunfallte er bei der Arbeit, indem er mit dem Kopf gegen ein Rohr stiess. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen und schloss den Fall mit Einspracheentscheid vom 30. Juli 1998, welchen das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit rechtskräftigem Beschwerdeentscheid vom 24. Februar 1999 bestätigte, folgenlos ab. Am 4. Oktober 2001 und 31. Juli 2002 erlitt der Versicherte als Autolenker Verkehrsunfälle (Heckauffahrunfall und seitliche Kollision mit anderem Fahrzeug). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Mit Verfügung vom 9. September 2005 und Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006 stellte sie die Leistungen auf den 30. September 2005 ein. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zu einem versicherten Ereignis. B. Die von E._ gegen den Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 14. März 2007 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt E._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die SUVA anzuweisen, ergänzende Sachverhaltsabklärungen zu treffen und danach eine Invalidenrente festzusetzen. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt. Mit Eingabe vom 31. Mai 2007 lässt E._ Arztberichte nachreichen.