Sachverhalt: A. Die Sanatorium X._ AG (vormals Y._ AG; Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit dem Zweck des Betriebs der Psychiatrischen Privatklinik Sanatorium X._. A._ (Beschwerdeführer) wurde am 23. April 1986 durch seinen Hausarzt Dr. E._ mit Einweisungszeugnis notfallmässig und gegen seinen Willen in das Sanatorium X._ eingewiesen. Die kantonale Psychiatrische Klinik B._ hatte zuvor die Aufnahme wegen Überbelegung abgelehnt. Der Beschwerdeführer blieb bis zu seiner Flucht am 17. Juni 1986 in der Klinik hospitalisiert. Am 20. Juni 1986 wurde er gegen Revers seines Vaters administrativ aus der Klinik entlassen. Mit Schreiben vom 17. Juni 1989 erklärte der Beschwerdeführer gegenüber der Direktion, der Klinikaufenthalt habe dazu geführt, dass er zur Ausbildung als Primarlehrer nicht zugelassen worden sei. Im Verlauf der folgenden Jahre korrespondierten die Parteien bzw. deren Vertreter, wobei der Beschwerdeführer Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche für den materiellen und psychischen Schaden geltend machte, den er aufgrund des Aufenthalts und der Therapie gegen seinen Willen in der Klinik erlitten habe. In seinem Schreiben vom 25. März 1996 substantiierte er seine Ansprüche. Er brachte vor, die Internierung und Zwangsbehandlung habe für ihn insbesondere negative Folgen bezüglich seines Berufslebens gehabt. Er bezifferte den Einkommensausfall auf nicht unter durchschnittlich Fr. 80'000.-- pro Jahr. Berechnet ab dem 30. Altersjahr und kapitalisiert, errechnete er einen Betrag von mindestens Fr. 1'750'000.--. Zudem verlangte er eine angemessene Genugtuung und den Ersatz weiterer Auslagen und Aufwendungen. Schliesslich betrieb der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin mit Zahlungsbefehl vom 22. April 1996 für eine Forderung von Fr. 2'000'000.--. B. B.a Die Beschwerdegegnerin gelangte am 23. April 1999 an den Friedensrichter. Mit Klage vom 26. August 1999 stellte sie beim Bezirksgericht Zürich das Begehren, es sei festzustellen, dass dem Beschwerdeführer aufgrund seiner medizinischen Behandlung in der Zeit vom 23. April bis 20. Juni 1986 im Sanatorium X._ keinerlei Ansprüche gegen sie zustehen würden. Weiter sei das Betreibungsamt Kilchberg anzuweisen, die vom Beschwerdeführer angehobene Betreibung im Betreibungsregister zu löschen. Mit Präsidialverfügung vom 9. September 1999 wurde das Verfahren nach der Klagebegründung, in der die Beschwerdegegnerin die Einrede der Verjährung erhob und den Erlass eines Vorurteils beantragte, auf die Frage der Verjährung einer allfälligen Forderung des Beschwerdeführers beschränkt. Dem Beschwerdeführer wurde mit Beschluss vom 11. Oktober 1999 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Am 31. Mai 2000 hiess das Bezirksgericht die Klage infolge Verjährung der allfälligen Ansprüche des Beschwerdeführers gut. Der Beschwerdeführer erhob gegen das Urteil vom 31. Mai 2000 kantonale Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hob das angefochtene Urteil mit Beschluss vom 25. April 2001 auf und wies die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens an das Bezirksgericht zurück. Es kam zum Schluss, für deliktische Ansprüche sei die Verjährung eingetreten. Allfällige Ansprüche des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin aufgrund der medizinischen Behandlung seien jedoch quasivertraglicher Natur und dementsprechend noch nicht verjährt. Die gegen diesen Beschluss von der Beschwerdegegnerin erhobene eidgenössische Berufung hiess das Bundesgericht mit Urteil 4C.182/2001 vom 18. September 2001 (= BGE 127 III 538) teilweise gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Das Bundesgericht befand, die vorliegend allein in Frage kommenden Ansprüche aus unerlaubter Handlung (Art. 41 ff. OR) seien verjährt, ausser es würden die Voraussetzungen von Art. 60 Abs. 2 OR vorliegen (Herleitung der Klage aus einer strafbaren Handlung mit längerer Verjährungsfrist). Mit Beschluss vom 10. Mai 2002 hob das Obergericht das Urteil des Bezirksgerichts vom 31. Mai 2000 erneut auf und wies die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens und zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Das Bezirksgericht hiess die Klage am 3. Oktober 2003 wiederum gut. Es stellte fest, dass dem Beschwerdeführer aufgrund seiner medizinischen Behandlung im Sanatorium X._ im Zeitraum vom 23. April bis 20. Juni 1986 gegenüber der Beschwerdegegnerin zufolge Verjährung keinerlei Ansprüche zustehen. Zudem wies es das Betreibungsamt Kilchberg an, die Betreibung über Fr. 2'000'000.-- Dritten nicht mehr zur Kenntnis zu geben. B.b Gegen das Urteil vom 3. Oktober 2003 erhob der Beschwerdeführer erneut kantonale Berufung. Das Obergericht entzog ihm mit Beschluss vom 21. Juli 2004 wegen Aussichtslosigkeit die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsvertretung. Die gegen diesen Beschluss vom Beschwerdeführer erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 17. Februar 2005 ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde wurde vom Bundesgericht mit Urteil 4P.105/2005 vom 31. August 2005 ebenfalls abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte. Das Obergericht wies mit Beschluss vom 29. April 2008 das erneute Begehren des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es nahm davon Vormerk, dass die Beschwerdegegnerin ihr Begehren 1a auf die Feststellung beschränkte, dass dem Beschwerdeführer aufgrund seiner medizinischen Behandlung in der Privatklinik Sanatorium X._ vom 23. April bis 20. Juni 1986 keinerlei klagbaren Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche zustehen (Dispositiv-Ziffer 2). Auf die Klagebegehren 1b und 2 (Anweisung an das Betreibungsamt Kilchberg betreffend Löschung sowie Vorbehalt betreffend Geltendmachung von Schadenersatzansprüchen) trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3). Mit Urteil vom 29. April 2008 stellte das Obergericht sodann fest, dass dem Beschwerdeführer für allfällige Folgen seiner Behandlung in der Klinik der Beschwerdegegnerin vom 23. April bis 20. Juni 1986 weder klagbare Schadenersatz- noch Genugtuungsansprüche zustehen. Der Beschwerdeführer erhob gegen das Urteil des Obergerichts sowie gegen die Dispositiv-Ziffer 1 des Beschlusses vom 29. April 2008 kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, das die Beschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 24. Juli 2009 abwies, soweit es darauf eintrat. Ebenso wies es das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Kassationsverfahren ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2009 beantragt der Beschwerdeführer die Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 29. April 2008. Es sei die Feststellungsklage der Beschwerdegegnerin abzuweisen. Eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter seien die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des Beschlusses des Obergerichts vom 29. April 2008 aufzuheben. Zudem beantragt er die Aufhebung des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts vom 24. Juli 2009. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kassationsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. Das Kassationsgericht liess sich zwar vernehmen, stellte aber keine Anträge. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Ansetzung einer Frist zur Einreichung einer Replik wurde mit Verfügung vom 21. Dezember 2009 abgewiesen mit dem Hinweis, dass es der beschwerdeführenden Partei frei steht, sich umgehend zur Beschwerdeantwort zu äussern. Der Beschwerdeführer reichte mit Eingabe vom 1. Februar 2010 eine Replik ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 13. Oktober 2009 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Der Beschwerdeführer stellte am 26. Oktober 2009 ein Wiedererwägungsgesuch. Mit Verfügung vom 24. November 2009 wurde dieses gutgeheissen und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.