Sachverhalt: A. Am 17. Februar 2012 erstatteten A._, B._ und C._ Strafanzeige gegen D._ (geb. 1994) und E._ (geb. 1996), die beiden Töchter von B._, sowie gegen diverse weitere Personen. D._ und E._ wird in der Strafanzeige unter anderem vorgeworfen, sich des Datendiebstahls (Art. 143 StGB) und Ehrverletzungsdelikten (Art. 173, 174 und 177 StGB) schuldig gemacht zu haben. D._ wird zudem des Hausfriedensbruchs (Art. 186 StGB) bezichtigt. Der Rechtsvertreter der drei Privatklägerinnen ersuchte die Jugendanwaltschaft Basel-Stadt mit Schreiben vom 23. September 2012 um vollumfängliche Akteneinsicht. Der zuständige Jugendanwalt verfügte am 25. Oktober 2012, dass die Akteneinsicht nach der ersten Einvernahme von D._ gewährt werde; die Teilnahme an Beweiserhebungen werde nach Eröffnung des Untersuchungsverfahrens bewilligt. Gegen diese Verfügung erhoben A._, B._ und C._ mit Eingabe vom 8. November 2012 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragten insbesondere, die Jugendanwaltschaft sei anzuweisen, unverzüglich Strafverfahren gegen D._ und die anderen Personen zu eröffnen. Des Weiteren seien ihnen sämtliche Teilnahmerechte und unverzüglich die vollumfängliche Akteneinsicht zu gewähren. Mit Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 hiess das Bundesgericht eine von A._, B._ und C._ in gleichem Zusammenhang erhobene Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde gut und wies die Strafverfolgungsbehörde an, die notwendigen Ermittlungen vorzunehmen oder eine Nichtanhandnahmeverfügung zu erlassen. Mit Entscheid vom 25. Juni 2013 wies das Appellationsgericht die Beschwerde vom 8. November 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- auferlegte es A._, B._ und C._ und verpflichtete diese, D._ eine Parteientschädigung von Fr. 880.-- zu bezahlen. Das Appellationsgericht erwog zusammenfassend, soweit die Eröffnung eines Strafverfahrens gegen D._ beantragt werde, sei darauf hinzuweisen, dass die Jugendanwaltschaft am 27. Februar 2013 eine Nichtanhandnahmeverfügung erlassen habe. Diese Verfügung sei mit separater Beschwerde angefochten worden und bilde nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Soweit dort nicht genannte Tatbestände oder weitere Beschuldigte betroffen seien, seien die Strafverfolgungsbehörden aufgrund des Urteils des Bundesgerichts 1B_549/2012 vom 12. November 2012 gehalten, das Verfahren voranzutreiben bzw. gegebenenfalls weitere Nichtanhandnahmeverfügungen zu erlassen. Das Appellationsgericht führte weiter aus, die angefochtene Verfügung vom 25. Oktober 2012 erweise sich als rechtens, soweit das Gesuch um Akteneinsicht abgewiesen worden sei. Die Parteien könnten gemäss Art. 101 Abs. 1 StPO die Akten spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise einsehen; D._ sei erst am 1. November 2012 erstmals einvernommen worden. Schliesslich hielt das Appellationsgericht fest, gestützt auf die Strafanzeige habe noch nicht von einem hinreichenden Tatverdacht ausgegangen werden können. Es sei deshalb nicht zu beanstanden, dass bis am 25. Oktober 2012 noch kein Strafverfahren eröffnet und A._, B._ und C._ zum damaligen Zeitpunkt die Teilnahme an Beweiserhebungen verweigert worden sei (vgl. Art. 147 Abs. 1 StPO). B. Mit Eingabe vom 28. Oktober 2013 führen A._, B._ und C._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beantragen, die Jugendanwaltschaft sei anzuweisen, gegen D._ und weitere Personen unverzüglich und unter Gewährung sämtlicher Teilnahmerechte ein Strafverfahren zu eröffnen. Zudem machen sie eine Rechtsverweigerung geltend und beanstanden den Kostenentscheid des Appellationsgerichts. Hingegen fechten sie den vorinstanzlichen Entscheid hinsichtlich der Akteneinsicht nicht an, da ihnen diese in der Zwischenzeit gewährt worden sei. Das Appellationsgericht und D._ beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde. Die Jugendanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerinnen halten in ihrer Stellungnahme vom 25. Februar 2014 an das Bundesgericht fest, aufgrund der am 17. Februar 2014 ergangenen Einstellungsverfügungen gegen D._ wegen übler Nachrede und anderen Tatbeständen sei ihr Antrag auf Eröffnung eines Strafverfahrens gegenstandslos geworden. An der Rüge der Rechtsverweigerung werde jedoch festgehalten, weil die "Nichteröffnungsverfügung" der Jugendanwaltschaft und der angefochtene Entscheid der Vorinstanz inhaltlich eine Rechtsverweigerung darstellten. Nach wie vor angefochten werde auch die Kostenregelung der Vorinstanz.