Ehescheidung, hat sich ergeben: A.- R._, Jahrgang 1943, und S._, Jahr- gang 1950, heirateten am 7. August 1971 in Arbon. Sie sind italienische Staatsangehörige. Zur Familie R.S._ gehören drei heute volljährige Kinder, geboren 1971, 1977 und 1980. Auf Antrag der Ehefrau trennte das Bezirksgericht Arbon die Ehe der Parteien für ein Jahr und ordnete die unterhalts- und güterrechtlichen Ansprüche (Urteil vom 16. Oktober 1998). Im Dezember 1999 reichte die Ehefrau die Scheidungsklage ein. B.- Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens wurde R._ erstinstanzlich zu Unterhaltsbeiträgen an seine Ehefrau verpflichtet, dann aber von der Unterhaltspflicht ab 1. Juli 2000 befreit, weil er seine Arbeitsstelle auf den 30. Juni 2000 gekündigt und seinen Wohnsitz nach Italien verlegt hatte (Verfügungen vom 16. März 2000 und vom 28. Juni 2001). Auf Rekurs von S._ stellte das Obergericht des Kantons Thurgau die Unterhaltspflicht wieder her (Rekursentscheid vom 27. Juli 2001). Die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts hat die staatsrechtliche Beschwerde von R._ mit Urteil vom heutigen Tag gutgeheissen und den angefochtenen Rekursentscheid aufgehoben (5P. 379/2001). C.- Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 30. Juni 2000). Von den Berufungen beider Parteien hielt das Obergericht des Kantons Thurgau diejenige von S._ für teilweise begründet und setzte den monatlichen Unterhaltsbeitrag fest auf Fr. 1'300.-- bis zum Eintritt von R._ in die AHV-Berechtigung und danach auf Fr. 200.-- bis zum Eintritt von S._ in die AHV-Berechtigung (Dispositiv-Ziffer 2). Das Obergericht legte seinen Berechnungen Einkünfte von R._ von insgesamt Fr. 3'030.-- pro Monat zugrunde, bestehend aus einem hypothetischen Erwerbseinkommen von Fr. 1'500.-- (bzw. einer in der Schweiz hypothetisch erhältlichen Invalidenrente), einer AHV-Rente von Fr. 900.--, einer Nutzungsentschädigung für Wohnung und Garagen von Fr. 430.-- und einem Ertrag auf dem BVG-Guthaben von Fr. 200.-- (E. 2a S. 11 ff. und E. 3a-c S. 17 ff.). Die Leistungsfähigkeit von S._ setzte das Obergericht auf monatlich Fr. 930.-- (Erwerbseinkommen) und Fr. 20.-- (Vermögensertrag) fest (E. 2b und E. 3 S. 16 des Urteils vom 10. Mai 2001). D.- Mit eidgenössischer Berufung beantragt R._, Dispositiv-Ziffer 2 des obergerichtlichen Urteils sowie die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben. Eventuell sei die Streitsache zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zu neuerlicher Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. In seinen Gegenbemerkungen stellt das Obergericht den Antrag, die Berufung abzuweisen. S._ schliesst auf Abweisung der Berufung. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Weiter verlangt sie, beim Obergericht ein allenfalls vorhandenes Protokoll über die mündliche Befragung von R._ oder entsprechende Handnotizen der Gerichtsschreiberin ins Recht zu nehmen. E.- Die von R._ gleichzeitig gegen das nämliche Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde hat die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom heutigen Tag abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (5P. 393/2001).