Sachverhalt: A. Die in Rumänien wohnhafte A._ (Beschwerdeführerin) hat für die X._ AG im Laufe der Jahre 1999 bis 2001 Dienstleistungen erbracht. Dafür hat sie unbestrittenermassen knapp Fr. 25'000.-- als Entgelt erhalten. Am 4. September 2005 reichte sie beim Zivilgericht Basel-Stadt, wo die X._ AG ihren Sitz hat, eine Klage ein, mit der sie die X._ AG zur Zahlung von weiteren Fr. 763'335.-- zu verurteilen beantragte. Für diesen Prozess ersuchte sie um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Am 23. Juli 2007 wies der Präsident des Zivilgerichts dieses Gesuch ab und setzte der Beschwerdeführerin eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 20'000.-- sowie zur schriftlichen Begründung der Klage. Eine gegen die entsprechende Verfügung erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 25. Februar 2008 wegen Aussichtslosigkeit der Prozessbegehren ab. Es entschied, es sei nicht zu beanstanden, dass der Zivilgerichtspräsident den Eintritt der Verjährung nach dem anwendbaren rumänischen Recht als höchst wahrscheinlich beurteilt hatte. B. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Juli 2008, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Zivilgericht die unentgeltliche Rechtspflege und der unentgeltliche Rechtsbeistand zu gewähren. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Am 14. Juli 2008 - vor Ablauf der Beschwerdefrist - reichte die Beschwerdeführerin eine Ergänzung zur Beschwerdeschrift ein. Der Präsident der I. zivilrechtlichen Abteilung gewährte der Beschwerde mit Verfügung vom 24. Juli 2008 die aufschiebende Wirkung. Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.