(Feststellungsklage nach Art. 85a SchKG), hat sich ergeben: A.- Im Jahre 1996 setzte Y._ gegen Z._ einen Betrag von Fr. 250'000.-- in Betreibung und erwirkte die provisorische Rechtsöffnung. Das von Z._ angehobene Aberkennungsverfahren wurde im September 1998 abgeschrieben. Im März 1999 forderte Y._ von Z._ weitere Fr. 15'437. 75 auf dem Betreibungsweg ein; dieser erhob keinen Rechtsvorschlag. Am 21. Juni 1999 erhob Z._ (nachfolgend: Kläger oder Beschwerdeführer) beim Kantonsgericht von Appenzell A.Rh. (nachfolgend: Kantonsgericht) Klage auf Feststellung nach Art. 85a SchKG, dass die von Y._ (nachfolgend: Beklagter) in Betreibung gesetzten Forderungen nicht bestehen. Der Beklagte beantragte die Abweisung der Klage. In der Folge eröffnete der Präsident des Obergerichts von Appenzell A.Rh. am 5. Januar 2000 über den Kläger den Konkurs mit Wirkung ab 30. November 1999. Am 26. Januar 2000 beschloss die Gerichtsleitung des Kantonsgerichts, das Feststellungsverfahren werde eingestellt und das Konkursamt Appenzeller Mittelland ersucht, dem Gericht innert 20 Tagen seit Durchführung der zweiten Gläubigerversammlung bzw. - im Falle des summarischen Verfahrens - der Auflage des Kollokationsplans mitzuteilen, ob die Konkursmasse oder einzelne Gläubiger den Prozess fortführen wollten. Der ausdrückliche oder stillschweigende Verzicht auf die Fortführung des Prozesses gelte als Rückzug der Feststellungsklage durch die Konkursmasse. Für den Fall der Nichtfortsetzung des Prozesses würden die Gerichtskosten im voraussichtlichen Betrag von Fr. 730.-- vorsorglich zur Kollokation angemeldet. B.- Im summarischen Konkursverfahren wurde im Juli 2000 der Kollokationsplan aufgelegt. Daraufhin erwog die Gerichtsleitung des Kantonsgerichts am 31. Oktober 2000, nach Auskunft des Konkursamtes wollten weder die Konkursmasse noch einzelne Gläubiger das Feststellungsverfahren weiterführen. Deshalb stehe es dem Konkursschuldner und Kläger frei, den Prozess selber fortzusetzen. Die Gerichtsleitung setzte dem Kläger eine Frist von zehn Tagen zur Abgabe einer entsprechenden Erklärung und wies darauf hin, dass bei Stillschweigen oder Ablehnung der Verzicht auf Fortführung des Prozesses angenommen und die Klage als durch Rückzug erledigt am Gerichtsprotokoll abgeschrieben werde. Am 14. November 2000 antwortete der Kläger, er halte den Beschluss der Gerichtsleitung für obsolet, weil der Prozess durch den Verzicht der Masse bereits im Konkursverfahren abschliessend erledigt worden sei. Mit Beschluss vom 14. Dezember 2000 schrieb das Kantonsgericht das Feststellungsverfahren als durch Rückzug der Klage erledigt am Protokoll ab, auferlegte die amtlichen Kosten dem Kläger und verpflichtete diesen, den Beklagten mit Fr. 12'010. 45 ausseramtlich zu entschädigen. Hiergegen beschwerte sich der Kläger erfolglos bei der Justizaufsichtskommission des Obergerichts von Appenzell A.Rh. (nachfolgend: Justizaufsichtskommission). C.- Mit Eingabe vom 15. Juni 2001 erhebt der Kläger staatsrechtliche Beschwerde. Er beantragt, die Entscheide der Justizaufsichtskommission und des Kantonsgerichts seien aufzuheben, und die Sache sei im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden.