Sachverhalt: A. Die russische Staatsangehörige X._ (geb. 1971) heiratete am 4. Juli 2003 den Schweizer Bürger Z._ (geb. 1961) und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung, welche mehrmals verlängert wurde (zuletzt bis zum 20. September 2007). Im Februar 2004 erhielt auch ihr aus einer früheren Ehe stammender, in die Schweiz nachgezogener Sohn Y._ (geb. 1991) eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Mutter. Im Oktober 2006 trennten sich die Eheleute. Am 19. Dezember 2006 hob das Kantonsgericht Schaffhausen auf Begehren der Ehefrau nach etwas mehr als drei Jahren ehelicher Gemeinschaft den gemeinsamen Haushalt auf unbestimmte Zeit auf. B. Aufgefordert zur Stellungnahme über die eheliche Situation nach der Trennung erklärte X._ am 26. Januar 2007 gegenüber dem Ausländeramt Schaffhausen, sie habe die Trennung wegen Unerträglichkeit des Zusammenlebens (Drohungen des Ehemannes) gewollt, strebe aber für einen späteren Zeitpunkt die Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft an. Z._ erklärte am 6. Februar 2007, er wolle das Eheleben mit seiner Frau keinesfalls wieder aufnehmen. C. Mit Verfügung vom 19. Februar 2007 widerrief das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen die bis zum 20. September 2007 gültige Aufenthaltsbewilligung von X._ und verlängerte auch die am 21. Februar 2007 ablaufende Aufenthaltsbewilligung ihres Sohnes Vadim nicht mehr. Der hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Schaffhausen erhobene Rekurs blieb erfolglos, und mit Urteil vom 20. September 2007 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 24. April 2007 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. D. Mit gemeinsamer Eingabe vom 5. Januar 2008 führen X._ und Y._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 30. November 2007 aufzuheben und festzustellen, dass der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung für X._ und die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung für ihren Sohn rechtswidrig gewesen sei. Sodann seien beide Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern, eventuell das kantonale Ausländeramt anzuweisen, den Beschwerdeführern die betreffenden Bewilligungen zu erteilen. Das Ausländeramt hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Regierungsrat beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen und das Bundesamt für Migration stellen denselben Antrag. E. Mit Verfügung vom 10. Januar 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Gesuch um weitere vorsorgliche Massnahmen wies er ab.