Sachverhalt: Sachverhalt: A. Seit 1. Februar 1986 ist A._ (Beklagter) Mieter einer Vierzimmerwohnung in der Liegenschaft Y._. Vermieterin ist die Liegenschaftenverwaltung der Stadt-Basel (Klägerin). Seit 1. Juli 1995 ist der Beklagte zusätzlich Mieter von zwei Mansardenzimmern in derselben Liegenschaft. Bei den Mietobjekten handelt es sich um ehemalige Kommunalwohnungen. Die Mieter dieser Wohnungen profitierten unabhängig von ihren finanziellen Verhältnissen von grundverbilligten Mieten. Der aktuelle Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung beträgt Fr. 476.-- und für die beiden Mansardenzimmer je Fr. 75.--. Am 1. Januar 1995 sind das Mietbeitragsgesetz (MBG, SG 890.500) und die Mietbeitragsverordnung (MIVO, SG 890.510) in Kraft getreten. Dadurch änderte sich das System insofern, als jetzt nicht mehr Wohnungen subventioniert werden, sondern die einzelnen Mieter finanzielle Hilfe erhalten, soweit sie diese benötigen. Mit amtlichem Formular vom 11. September 2000 teilte die Klägerin dem Beklagten eine Erhöhung des Nettomietzinses für die Vierzimmerwohnung per 1. Mai 2001 von Fr. 476.-- auf Fr. 662.-- mit. Die Erhöhung wurde mit einer Anpassung an die orts- und quartierüblichen Mieten begründet. Mit gleicher Begründung wurden auch die Mieten für die Mansardenzimmer von Fr. 75.-- auf je Fr. 121.-- erhöht. Mit amtlichem Formular vom 11. September 2000 teilte die Klägerin dem Beklagten eine Erhöhung des Nettomietzinses für die Vierzimmerwohnung per 1. Mai 2001 von Fr. 476.-- auf Fr. 662.-- mit. Die Erhöhung wurde mit einer Anpassung an die orts- und quartierüblichen Mieten begründet. Mit gleicher Begründung wurden auch die Mieten für die Mansardenzimmer von Fr. 75.-- auf je Fr. 121.-- erhöht. B. Diese Mietzinserhöhung wurde vom Beklagten bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten angefochten. Nachdem keine Einigung erzielt werden konnte, erhob die Klägerin beim Zivilgerichtspräsidenten Klage. Mit Urteil vom 12. Juli 2001 wurde festgestellt, dass der Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung mit Wirkung ab 1. Mai 2001 Fr. 662.-- sowie für die beiden Mansarden je Fr. 121.-- jeweils zuzüglich Nebenkosten betrage. Eine vom Beklagten gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 16. August 2002 gut, hob das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten vom 12. Juli 2001 auf, wies die Klage ab und stellte fest, dass die am 11. September 2000 per 1. Mai 2001 angekündigten Mietzinserhöhungen für die Vierzimmerwohnung und für die beiden Mansarden unzulässig bzw. nichtig seien. Gegen dieses Urteil erhob die Klägerin Berufung ans Bundesgericht und beanstandete die Feststellung der Nichtigkeit der Mietzinserhöhung für die Vierzimmerwohnung; in Bezug auf die Mansardenzimmer blieb das Urteil des Appellationsgerichtes vom 16. August 2002 unangefochten. Mit Urteil vom 31. Januar 2003 hiess das Bundesgericht die Berufung teilweise gut, hob das Urteil des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2002 auf und wies die Sache zur Neuentscheidung ans Appellationsgericht zurück (4C.330/2002, publ. in MRA 2003 S. 39 ff.). Im Anschluss daran hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Beklagten mit Urteil vom 26. März 2003 teilweise gut und erklärte die Mietzinserhöhungen für die beiden Einzimmerwohnungen bzw. Mansarden für ungültig. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten insoweit bestätigt, als es einen Mietzins ab 1. Mai 2001 von Fr. 662.-- für die Vierzimmerwohnung als nicht missbräuchlich bezeichnete. B. Diese Mietzinserhöhung wurde vom Beklagten bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten angefochten. Nachdem keine Einigung erzielt werden konnte, erhob die Klägerin beim Zivilgerichtspräsidenten Klage. Mit Urteil vom 12. Juli 2001 wurde festgestellt, dass der Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung mit Wirkung ab 1. Mai 2001 Fr. 662.-- sowie für die beiden Mansarden je Fr. 121.-- jeweils zuzüglich Nebenkosten betrage. Eine vom Beklagten gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 16. August 2002 gut, hob das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten vom 12. Juli 2001 auf, wies die Klage ab und stellte fest, dass die am 11. September 2000 per 1. Mai 2001 angekündigten Mietzinserhöhungen für die Vierzimmerwohnung und für die beiden Mansarden unzulässig bzw. nichtig seien. Gegen dieses Urteil erhob die Klägerin Berufung ans Bundesgericht und beanstandete die Feststellung der Nichtigkeit der Mietzinserhöhung für die Vierzimmerwohnung; in Bezug auf die Mansardenzimmer blieb das Urteil des Appellationsgerichtes vom 16. August 2002 unangefochten. Mit Urteil vom 31. Januar 2003 hiess das Bundesgericht die Berufung teilweise gut, hob das Urteil des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2002 auf und wies die Sache zur Neuentscheidung ans Appellationsgericht zurück (4C.330/2002, publ. in MRA 2003 S. 39 ff.). Im Anschluss daran hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Beklagten mit Urteil vom 26. März 2003 teilweise gut und erklärte die Mietzinserhöhungen für die beiden Einzimmerwohnungen bzw. Mansarden für ungültig. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten insoweit bestätigt, als es einen Mietzins ab 1. Mai 2001 von Fr. 662.-- für die Vierzimmerwohnung als nicht missbräuchlich bezeichnete. C. Mit Berufung vom 13. Juni 2003 beantragt der Beklagte dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Appellationsgerichtes vom 26. März 2003 sei insoweit aufzuheben, als damit das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten bestätigt und festgestellt worden sei, dass der Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung mit Wirkung ab 1. Mai 2001 Fr. 662.-- betrage, und es sei festzustellen, dass die am 11. September 2000 auf den 1. Mai 2001 angezeigte Mietzinserhöhung für die Vierzimmerwohnung von bisher Fr. 476.-- auf neu Fr. 662.-- missbräuchlich bzw. unzulässig sei; eventualiter sei das Urteil des Appellationsgerichtes insoweit aufzuheben, als es sich auf den Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung beziehe, und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Klägerin beantragt, auf die Berufung sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Berufung abzuweisen. Die Klägerin beantragt, auf die Berufung sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Berufung abzuweisen. D. Mit Urteil vom heutigen Tag wurde eine gleichzeitig erhobene staatsrechtliche Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten war.