Sachverhalt: A. Die Korporationsgemeinde Horw ist eine sog. gemischte Korporation. Sie ist zur Hauptsache eine Personalkorporation. Vereinzelt beruhen die Bürgerrechte auf Realrechten. Die Korporation erliess am 14. November 2000 ein total revidiertes Korporationsreglement; der Regierungsrat des Kantons Luzern genehmigte das Reglement am 18. Dezember 2001. Gestützt auf das neue Reglement von 2000/2001 stellte der Korporationsrat am 2. April 2002 fest, der frühere Hof A._ bestehe nicht mehr und das zugehörige Realrecht sei erloschen. Mit Eingabe vom 30. März 2005 beantragte X._ beim Korporationsrat, den Hof A._ wieder in das Verzeichnis der Korporationsbürgerrechte aufzunehmen. Der Korporationsrat wies das Gesuch mit Entscheid vom 4. September 2006 ab. Diesen Entscheid bestätigte der Korporationsrat am 7. November 2006 auf Einsprache von X._ hin. B. X._ focht den kommunalen Einspracheentscheid mit Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (im Folgenden: JSD) an. Mit Beschluss vom 26. August 2008 nahm der Regierungsrat die Eingabe als Stimmrechtsbeschwerde entgegen und wies sie ab. C. Gegen den Entscheid des Regierungsrats erhebt X._ mit Eingabe vom 29. September 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an das JSD. Eventualiter sei vom Bundesgericht direkt über den Bestand des streitigen Realrechts und über die Eintragung im Verzeichnis der Bürgerrechte zu entscheiden. Die Korporation Horw stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese an die zuständige Instanz zu überweisen; im Eintretensfall sei die Beschwerde abzuweisen. Das JSD ersucht namens des Regierungsrats um Abweisung der Beschwerde; ebenso sei der Eventualantrag der Korporation Horw abzuweisen. X._ lässt sich mit Eingabe vom 28. Januar 2009 zu den Eingaben von Korporation und JSD vernehmen; dabei hält sie an ihren Anträgen fest. Die eingegangenen Stellungnahmen sind den Verfahrensbeteiligten gegenseitig zur Kenntnisnahme zugestellt worden.