Sachverhalt: A. Die 1963 geborene Z._ bezog gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle Bern vom 24. November 1999 vom 1. Oktober bis 30. November 1997 eine Viertelsrente, vom 1. bis 31. Dezember 1997 eine halbe Rente und ab 1. Januar 1998 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (jeweils nebst Kinderrenten). Im Rahmen eines Revisionsverfahrens machte die Versicherte geltend, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert und sie sei in verschiedenen Lebensverrichtungen auf Dritthilfe sowie auf Pflege angewiesen. Die IV-Stelle holte nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 5. August 2008 ein und nahm eine Haushaltsabklärung vor (Abklärungsbericht vom 30. Januar 2009). Am 3. April 2009 verfügte sie, es bestehe kein Anspruch auf Hilflosenentschädigung. Aufgrund von Hinweisen auf einen allfälligen ungerechtfertigten Leistungsbezug sah sich die Verwaltung sodann veranlasst, die Versicherte im Rahmen einer Beweissicherung vor Ort an mehreren Tagen im Zeitraum von Juli bis November 2010 sowie erneut vom 11. bis 15. Juli 2011 überwachen zu lassen. Darüber wurde ihr am 25. November 2010 und 25. Juli 2011 Bericht erstattet. Zudem führte der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) eine psychiatrische sowie eine orthopädische Untersuchung durch und gab mehrere Stellungnahmen ab. Am 13. Dezember 2011 verfügte die IV-Stelle zunächst die sofortige Sistierung der Rente, was mit Beschwerdeentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 26. April 2012 bestätigt wurde. Am 13. Januar 2012 reichte die Verwaltung gegen Z._ Strafanzeige wegen ungerechtfertigten Leistungsbezugs ein. Mit Verfügung vom 25. Juli 2012 hob sie sodann die Invalidenrente rückwirkend per 1. Mai 2008 revisionsweise auf. Mit Verfügung vom 15. August 2012 verpflichtete sie die Versicherte überdies, in der Zeit vom 1. Mai 2008 bis 31. Dezember 2011 bezogene Rentenleistungen zurückzuerstatten. B. Die von Z._ gegen die Verfügungen vom 25. Juli und 15. August 2012 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 21. November 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt Z._ beantragen, die Verfügungen vom 25. Juli und 15. August 2012 sowie der vorinstanzliche Entscheid seien aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, die ganze Invalidenrente rückwirkend seit der Sistierung weiterhin auszurichten; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und neuen Verfügung über den Rentenanspruch ab der Sistierung an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde hinsichtlich der Rückerstattung die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 18. Februar 2014 hat das Bundesgericht der Beschwerde im Rückerstattungspunkt die aufschiebende Wirkung zuerkannt.