Sachverhalt: A. A.a. X._ schloss 1999 ein Fachhochschulstudium an der Katholischen Fachhochschule Norddeutschland Sozialpädagogik mit einem Fachhochschuldiplom ab. Im Jahr 2001 nahm sie Kontakt auf mit Prof. Dr. A._ von der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich im Hinblick auf die Abfassung einer Dissertation. Am 3. Februar 2002 stellte sie bei der Philosophischen Fakultät ein Gesuch um Anerkennung ihres deutschen Hochschuldiploms zwecks Zulassung zur Promotion als Dr. phil. Mit Schreiben vom 25. April 2002 teilte der Dekan der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich X._ mit, ihr Fachhochschuldiplom berechtige nicht zur Zulassung zur Promotion. Weiter führte er aus: "Im Gegensatz zu Fachhochschuldiplomen werden in der Regel deutsche Hochschul-/Universitätsdiplome als äquivalent zum Lizentiat unserer Fakultät anerkannt. Sollten Sie sich demnach entschliessen, an einer deutschen Hochschule im entsprechenden Fach den Magisterabschluss bzw. Masterdegree zu absolvieren, könnte mit höchster Wahrscheinlichkeit von einer Gleichwertigkeit ausgegangen werden. Jedes Gesuch um Zulassung zur Promotion wird jedoch einzeln geprüft und falls bei Ihrem geplanten Abschluss alle Voraussetzungen erfüllt wären, stünde einem Doktorat nichts mehr im Wege." A.b. In der Folge absolvierte X._ an der Technischen Universität Kaiserslautern ein Nachdiplomstudium in Erwachsenenbildung, welches sie zu Beginn des Wintersemesters 2004/2005 abschloss. Ende Juli 2005 ersuchte sie erneut um Zulassung zur Promotion an der Universität Zürich. Die Kommission für Anerkennung fremder Ausweise (KAFA) der Universität Zürich lehnte das Gesuch mit Beschluss vom 24. Januar 2006 entgegen der Auffassung von Prof. A._ gestützt auf ein Gutachten von Prof. B._ ab, da der erworbene Grad "Masters of Arts" der Technischen Universität Kaiserslautern nicht einem Lizentiatsabschluss der Universität Zürich entspreche. A.c. Am 14. Februar 2006 sandte X._ dem Dekanat der Philosophischen Fakultät per Fax eine "Rekursschrift" zu, worauf ihr der Rechtsdienst der Universität Zürich mitteilte, ein Rekurs sei an die Rekurskommission der Zürcher Hochschulen einzureichen; eine Überweisung der eingereichten Rekursschrift erfolge nicht. In der Folge reichte X._ keinen Rekurs ein. B. B.a. Am 9. März 2009 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich Staatshaftungsklage gegen die Universität Zürich und verlangte Schadenersatz von Fr. 89'621.-- nebst Zins zu 5 % seit 24. Januar 2006 sowie eine Genugtuung von Fr. 5'000.--. Sie machte Vertrauensschaden geltend, da sie im Vertrauen auf die erhaltenen Zusagen im Hinblick auf die Promotion in Zürich das Zusatzstudium in Kaiserslautern absolviert habe. Am 8. Juni 2009 trat das Bezirksgericht auf die Klage zufolge Verletzung des Grundsatzes der Einmaligkeit des Rechtsschutzes nicht ein. Das Obergericht des Kantons Zürich hob mit Beschluss vom 28. April 2010 dieses Urteil auf und wies die Klage zur weiteren Behandlung an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 24. April 2012 wies das Bezirksgericht die Klage ab. B.b. Auf Berufung von X._ entschied das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 23. April 2013 im gleichen Sinn. C. X._ erhebt Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Universität Zürich zu verpflichten, ihr Schadenersatz von Fr. 89'621.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Januar 2006 sowie eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Universität Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In der Folge hielten die Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen fest.