Sachverhalt: A. Der 1965 geborene J._ war als Produktionsmitarbeiter in der Firma B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. April 2003 erlitt er einen Unfall. Er hatte den von ihm gelenkten Opel Corsa vor einem Fussgängerstreifen angehalten. Ein nachfolgender Toyota Corolla prallte ins Heck des Opels. J._ zog sich namentlich ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 12. Dezember 2006 verneinte sie einen weiteren Leistungsanspruch ab 1. Februar 2007, da die noch bestehenden Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 8. April 2003 stünden. Daran hielt die SUVA auf die von J._ und seinem Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 31. März 2007). B. Die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Zusprechung weiterer Heilbehandlung und Taggeldleistungen, evtl. einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, wie auch das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung, ab (Entscheid vom 31. Oktober 2008). C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien über den 31. Januar 2007 hinaus Leistungen, insbesondere Heilbehandlung, Taggeld und eine Invalidenrente, zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und zur neuen Beurteilung zurückzuweisen. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.