Sachverhalt: A. Die Eheleute X._ und Y._ sind die Eltern des Kindes A._ (geb. 2009). Am 28. Januar 2011 reichte Y._ beim Bezirksgericht Zürich ein Gesuch um Erlass von Eheschutzmassnahmen ein mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die bereits seit 17. Januar 2011 getrennt lebenden Parteien weiterhin zum Getrenntleben berechtigt seien. Im weiteren beantragte sie den Erlass von Massnahmen bezüglich des Kindes (Obhut, Besuchsrecht und Unterhalt), die Regelung des persönlichen Unterhalts für die Dauer des Getrenntlebens und weitere Massnahmen, die hier nicht von Belang sind. Mit Urteil vom 14. Dezember 2012 ordnete das Bezirksgericht Zürich Eheschutzmassnahmen an. B. Auf Berufung von X._ hin erkannte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 5. Juni 2013, die gemeinsame Tochter der Parteien werde für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut von Y._ gestellt (1). Ferner wies das Obergericht den Antrag auf Erteilung der Weisung, es sei Y._ zu verbieten, den Wohnsitz ins Ausland zu verlegen, sowie den Antrag auf Einsetzung einer sozialpädagogischen Begleitung für Y._ ab (2 und 3). Im Weiteren ordnete das Obergericht das X._ zustehende Besuchs- und Ferienrecht (4 und 5). X._ wurde verpflichtet, Y._ an den Unterhalt und die Erziehung der Tochter ab 17. Januar 2011 monatlich im voraus, jeweils auf den Ersten des Monats einen Unterhaltsbeitrag zu bezahlen (7) und an den persönlichen Unterhalt von Y._ ab 17. Januar 2011 für die weitere Dauer des Getrenntlebens, monatlich im Voraus, jeweils auf den Ersten des Monats einen Beitrag zu leisten (8). Die Gerichtskosten des zweitinstanzlichen Verfahrens wurden Y._ zu 3/5 und X._ zu 2/5 auferlegt, jedoch zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen je auf die Gerichtskasse genommen, wobei die Nachzahlungspflicht gestützt auf Art. 123 ZPO vorbehalten blieb (14). C. X._ (Beschwerdeführer) hat am 4. Juli 2013 (Postaufgabe) gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juni 2013 beim Bundesgericht Beschwerde und Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, die Ziffern 1 bis und mit 5 vollständig, die Ziffer 7 bezüglich der Unterhaltspflicht ab 1. Februar 2013 und Ziffer 8 bezüglich der Unterhaltspflicht ab dem 1. Juli 2013 aufzuheben (1). Das Verfahren sei an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen mit der Auflage, die Parteien zur Krankheit und den psychischen Problemen und insbesondere zu den Herzbeschwerden von Y._ (Beschwerdegegnerin) und zur Einnahme von Medikamenten zu befragen. Die Beschwerdegegnerin habe darüber Auskunft zu geben, welcher Arzt die Medikamente verschrieben habe. Es seien der Hausarzt der Beschwerdegegnerin sowie der Psychiater schriftlich oder mündlich betreffend Diagnose/psychische Beschwerden bzw. betreffend Einschränkung der Erziehungsfähigkeit anzufragen und soweit nötig weitere Erhebungen im Rahmen der Offizial- und Untersuchungsmaxime durchzuführen (2). Das Obergericht des Kantons Zürich sei anzuweisen, hernach neu im Rahmen der angefochtenen Dispositiv-Ziffern zu entscheiden, dem Beschwerdeführer die Obhut über die Tochter zu übertragen und der Beschwerdegegnerin ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen (3). Das Obergericht sei anzuweisen, die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber dem gemeinsamen Kind bis zum Obhutswechsel zu befristen. Gegenüber der Beschwerdegegnerin sei die Unterhaltspflicht ebenfalls bis zum Obhutswechsel zu befristen und von weiteren Unterhaltsbeiträgen mangels Leistungsfähigkeit abzusehen (4). Eventuell seien die Beweiserhebungen vom Bundesgericht vorzunehmen und danach über die Rechtsbegehren 3 und 4 zu entscheiden (5). Subeventuell sei der Beschwerdegegnerin die Weisung zu erteilen, den Wohnsitz mit der gemeinsamen Tochter nicht ins Ausland zu verlegen sowie eine sozialpädagogische Familienbegleitung zu installieren (6). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.