Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.Y._ erlitt am 23. Juni 1988 zusammen mit ihren damals vierjährigen Söhnen einen Verkehrsunfall. Hinsichtlich der aus diesem Unfall folgenden Haftpflichtansprüche wurde sie - unter anderem - von Rechtsanwalt Dr. X._ (Beschwerdeführer) vertreten. Dieser schloss für sie am 11. November 1991 einen Vergleich mit der Haftpflichtversicherung des Unfallverursachers ab. Am 11. März 2002 reichten A.Y._, ihr Ehegatte B.Y._ sowie deren Söhne C._ und D._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen Rechtsanwalt X._ ein; sie beantragten, diesen zu verpflichten, ihnen wegen Sorgfaltspflichtverletzungen bei der Mandatsführung einen Fr. 1 Mio. übersteigenden Betrag zu bezahlen. Am 11. März 2002 reichten A.Y._, ihr Ehegatte B.Y._ sowie deren Söhne C._ und D._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen Rechtsanwalt X._ ein; sie beantragten, diesen zu verpflichten, ihnen wegen Sorgfaltspflichtverletzungen bei der Mandatsführung einen Fr. 1 Mio. übersteigenden Betrag zu bezahlen. B. Im Rahmen des Prozesses beantragte der Beschwerdeführer die Kautionierung von A.Y._ und B.Y._ (Beschwerdegegner). Das Bezirksgericht wies diesen Antrag mit Beschluss vom 13. Juli 2004 ab, wogegen nicht rekurriert wurde. Am 25. Januar 2005 stellte der Beschwerdeführer erneut einen Kautionierungsantrag gegen die Beschwerdegegner, dem das Bezirksgericht mit Beschluss vom 22. März 2005 ebenfalls nicht statt gab. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer erfolglos an das Obergericht des Kantons Zürich, das seinen Rekurs am 13. Mai 2005 abwies. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Sitzungsbeschluss vom 5. Dezember 2005 ab. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer erfolglos an das Obergericht des Kantons Zürich, das seinen Rekurs am 13. Mai 2005 abwies. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Sitzungsbeschluss vom 5. Dezember 2005 ab. C. Der Beschwerdeführer hat gegen diesen Beschluss staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 8, 9 und Art. 29 Abs. 1 BV erhoben. Ausser der Aufhebung des angefochtenen Beschlusses beantragt er, "das Obergericht des Kantons Zürich als Vorinstanz" sei anzuweisen, die Beschwerdegegner im Zivilprozess, den diese gegen den Beschwerdeführer eingeleitet hätten, zu kautionieren. Das Kassationsgericht hat auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet. Die Beschwerdegegner beantragen sinngemäss die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem ersuchen sie um Durchführung einer mündlichen, nicht-öffentlichen Verhandlung vor dem Bundesgericht sowie eine Zeugenanhörung.