Sachverhalt: A. A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern des 1998 geborenen Sohnes C._. Das Kind untersteht der elterlichen Sorge von A._ (Mutter); B._ ist ein begleitetes Besuchsrecht (am ersten und dritten Sonntag im Monat von 13.30 Uhr bis 17.00 Uhr) zugesprochen. In ihrem Beschluss vom 3. September 2007 verpflichtete die Vormundschaftsbehörde R._ die beiden Eltern - namentlich im Hinblick auf die Ausübung des Besuchsrechts - zur Zusammenarbeit mit der für C._ eingesetzten Beiständin. A._ wurde aufgefordert, alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum Vater beeinträchtigen könnte, C._ angemessen auf die Besuche beim Vater vorzubereiten und den Sohn jeweils rechtzeitig bei der Pro Juventute in S._ abzugeben. Ausserdem wurde A._ darauf hingewiesen, dass ein Nichtbefolgen der erwähnten Anordnungen mit Strafanzeige im Sinne von Art. 292 StGB geahndet werden würde. Eine von A._ erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz am 22. Januar 2008 ab, wobei er A._ zusätzlich für jeden nicht erfüllten Besuchstag eine Ordnungsbusse von Fr. 300.-- während maximal 90 Tagen androhte. Das kantonale Verwaltungsgericht bestätigte den regierungsrätlichen Beschluss mit Entscheid vom 17. April 2008. A._ führte gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde an das Bundesgericht. Mit Urteil vom 23. Dezember 2008 (5A_341/2008) hob die erkennende Abteilung den angefochtenen Entscheid (wegen Missachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör) insofern auf, als sie die Sache zu neuer Entscheidung hinsichtlich der angedrohten Ungehorsamsstrafe und Ordnungsbusse an die kantonale Instanz zurückwies. In seinem neuen Entscheid vom 5. Februar 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den Beschluss des Regierungsrates vom 22. Januar 2008 erhobene Beschwerde erneut ab, soweit es darauf eintrat. Der Entscheid blieb unangefochten. B. Mit der Begründung, B._ sei verweigert worden, am 15. März 2009 das ihm zustehende Besuchsrecht gegenüber C._ auszuüben, auferlegte die Vormundschaftsbehörde R._ A._ am 27. März 2009 eine Ordnungsbusse von Fr. 300.--. Gleichzeitig wurde beschlossen, gegen A._ wegen Nichtbefolgens der am 3. September 2007 verfügten Besuchsrechtsregelung beim zuständigen Bezirksamt Strafanzeige im Sinne von Art. 292 StGB einzureichen. Die von A._ gegen den vormundschaftsbehördlichen Entscheid vom 27. März 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht (Kammer III) des Kantons Schwyz am 9. Juli 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit einer als Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 14. September 2009 verlangt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sowie die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 (Ordnungsbusse und Frist zu deren Bezahlung) des vormundschaftsbehördlichen Beschlusses vom 27. März 2009 seien aufzuheben. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.