Sachverhalt: A. A.a. Am 11. März 2011 verstarb A._, geb. 1931, in Zürich. Mit Urteil des Einzelgerichts im summarischen Verfahren des Bezirks Meilen vom 2. August 2011 erfolgte die Testamentseröffnung betreffend ihren Nachlass (Verfahren EL110080). Am 20. Januar 2012 erliess das Einzelgericht einen Nachtrag zum Testamentseröffnungsurteil vom 2. August 2012. Ein weiteres die Eröffnung des Nachlasses betreffendes Urteil erging schliesslich am 26. Juli 2012 im Verfahren EL 120272. A.b. In der Folge erhob die gesetzliche Erbin der Erblasserin, B._, am 9. März 2012 Herabsetzungsklage nach Art. 522 ZGB namentlich gegen den von der Erblasserin Begünstigten, X._. Dieser beantragte beim Einzelgericht des Bezirks Meilen Akteneinsicht in die Verfahren EL110080 und EL120272, die ihm die angerufene Instanz mit Verfügung vom 17. August 2012 verweigerte. B. Mit Beschluss vom 14. November 2012 wies das Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, in Abweisung einer aufsichtsrechtlichen Beschwerde von X._ das Gesuch um Akteneinsicht ab. C. X._ (Beschwerdeführer) hat am 21. Dezember 2012 (Postaufgabe) gegen den vorgenannten Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er ersucht um Aufhebung des Beschlusses und um Gewährung der Akteneinsicht in die Verfahren EL110080 und EL120272 des Bezirksgerichts Meilen sowie in sämtliche Verfahren betreffend Testamentseröffnung im Nachlass A._. Eventuell seien ihm zumindest die Urteile vom 26. Juli 2012 und vom 2. August 2011 sowie alle weiteren Urteile über die Eröffnung von Testamenten im Nachlass A._ bekanntzugeben. Es sind keine Vernehmlassungeneingeholt worden.