Sachverhalt: A. A.a. Die A._ AG (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) ist im Bereich der Anlageberatung und Vermögensverwaltung tätig. Mit Eingabe vom 5. September 2013 stellte sie beim Bezirksgericht Zürich gestützt auf Art. 261 ZPO i.V.m. Art. 15 Abs. 1 DSG und Art. 28a ZGB ein Begehren um vorsorgliche Massnahmen. Sie beantragte, es sei der Bank B._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) unter Androhung der Bestrafung nach Art. 292 StGB mit sofortiger Wirkung zu verbieten, im Zusammenhang mit ihrem Bankkunden C._, Kunden-Nr. xxx, dem Department of Justice (DoJ) der Vereinigten Staaten von Amerika und/oder der eidgenössischen Finanzmarktaufsicht (Finma) Personendaten der Gesuchstellerin oder deren Partner und Mitarbeiter zu übermitteln. A.b. Mit Verfügung vom 6. September 2013 entsprach das Bezirksgericht Zürich dem Antrag auf superprovisorische Anordnung der Massnahme, unter Androhung einer Busse an die Organe der Gesuchsgegnerin bis zu Fr. 10'000.-- im Widerhandlungsfall. A.c. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2013 trat das Bezirksgericht Zürich auf das Gesuch vom 5. September 2013 nicht ein (Dispositiv-Ziff. 1). Gleichzeitig ordnete das Gericht an, die mit Verfügung vom 6. September 2013 angeordnete superprovisorische Massnahme bleibe in Kraft, bis die Rechtsmittelfrist verstrichen sei oder bis nach Abschluss des Verfahrens vor Obergericht, falls von diesem nichts anderes angeordnet werde (Dispositiv-Ziff. 2). Das Bezirksgericht verneinte seine sachliche Zuständigkeit und erachtete das Handelsgericht des Kantons Zürich für zuständig. B. Dagegen erhob die Gesuchstellerin Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 2. Dezember 2013 sei aufzuheben und die Sache sei mit der Auflage an das Bezirksgericht zurückzuweisen, über die anbegehrte vorsorgliche Massnahme materiell zu entscheiden. Mit Urteil vom 24. Februar 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung ab (Dispositiv-Ziff. 1). Gleichzeitig ordnete das Obergericht an, die mit Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 6. September 2013 angeordnete Massnahme bleibe vorbehältlich eines abweichenden Entscheides des Bundesgerichts bis zum Ablauf der Beschwerdefrist in Kraft (Dispositiv-Ziff. 2). Das Obergericht hielt alle Voraussetzungen nach Art. 6 Abs. 2 ZPO für erfüllt und fügte an, das Erfordernis von Art. 6 Abs. 2 lit. b ZPO (Möglichkeit der Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht) wäre auch gegeben, wenn entgegen der Ansicht des Gerichts von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit auszugehen wäre. Die Erfüllung der bundesrechtlichen Voraussetzungen der sachlichen Zuständigkeit nach Art. 6 ZPO hielt das Obergericht freilich nicht für hinreichend in der Meinung, die Kantone könnten die bundesrechtliche Kompetenz zur Errichtung eines Handelsgerichts auch nur teilweise ausschöpfen. Das Obergericht prüfte daher auch nach kantonalem Recht (§ 44 lit. b des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG; LS 211.1]), ob die Zuständigkeit des Handelsgerichts für die vorliegende Streitsache bestehe, was es bejahte. Das trotzdem einstweilen angeordnete Verbot bestätigte das Gericht bis zum Ablauf der Beschwerdefrist mit der Begründung, es sei ein negativer Kompetenzkonflikt mit dem Handelsgericht zu erwarten. C. Mit Beschwerde vom 27. März 2014 stellt die Gesuchstellerin den Antrag, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. Februar 2014 aufzuheben und die Angelegenheit sei an das Bezirksgericht Zürich zurückzuweisen mit der Auflage, auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen einzutreten. Ausserdem stellt sie den "Verfahrensantrag", im Falle der Abweisung der Beschwerde sei die vom Bezirksgericht Zürich mit Verfügung vom 6. September 2013 angeordnete Massnahme bis zum Ablauf einer fünftägigen Frist ab Zustellung des bundesgerichtlichen Entscheides analog zu Art. 63 ZPO in Kraft zu lassen. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der verfassungsrechtlichen Rechtsweggarantie gemäss Art. 29a BV. Zur Begründung führt sie aus, es liege keine vermögensrechtliche Streitigkeit vor und das Handelsgericht des Kantons Zürich habe sich in einer Verfügung vom 1. Februar 2012 (publiziert in den Blättern für Zürcherische Rechtsprechung [ZR] 111/2012 S. 183) für die Beurteilung von Klagen ohne Streitwert unter Bezugnahme auf § 44 lit. b GOG (der ein qualifiziertes Schweigen enthalte) für nicht zuständig erklärt. Daran sei seither festgehalten worden, womit das Handelsgericht auf das Gesuch der Beschwerdeführerin ebenfalls nicht eintreten werde. Die Beschwerdegegnerin schliesst in der Antwort auf Abweisung der Beschwerde und des Verfahrensantrags. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. D. In Wahrnehmung des unbedingten Replikrechts halten beide Parteien in je einer weiteren Eingabe an ihren Anträgen fest.