Sachverhalt: A. A.a Die serbische Staatsangehörige X._, geb. 1974, reiste am 23. August 2001 in die Schweiz ein, wo sie am 7. September 2001 einen im Kanton Schwyz lebenden Schweizer heiratete. Gestützt darauf erhielt sie im Kanton Schwyz eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann, die mehrmals, zuletzt bis zum 6. April 2007, verlängert wurde. A.b Im Sommer 2002 leitete der Ehemann in Serbien ein Scheidungsverfahren ein. X._ rief ihrerseits am 24. November 2002 in der Schweiz den Eheschutzrichter an. Das Scheidungsurteil des Belgrader Gerichts erging am 27. Februar 2003 und wurde dort gleichentags rechtskräftig. X._ wehrte sich in der Schweiz zunächst gegen die Anerkennung des ausländischen Urteils. Nachdem sie ihren Widerstand am 1. September 2006 aufgegeben hatte, anerkannte das Zivilstandsinspektorat des Kantons Schwyz das Scheidungsurteil am 20. Oktober 2006. A.c Am 5. Dezember 2002 stellte X._ ein Gesuch um Bewilligung des Kantonswechsels, um zu ihrer im Kanton Basel-Landschaft lebenden Schwester ziehen zu können. Mit Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 10. Dezember 2003 wurde das Gesuch rechtskräftig abgewiesen, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ berufe sich rechtsmissbräuchlich auf eine nur der Form nach noch bestehende Ehe. B. B.a Am 1. Juni 2003 trat X._ eine Stelle im Kanton Basel-Stadt an und lebte dort in den folgenden Jahren mit Einverständnis der kantonalen Migrationsbehörde als Wochenaufenthalterin. Am 17. Oktober 2006 ersuchte sie um Bewilligung des Kantonswechsels. Die Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt erteilte ihr diese am 13. November 2006 provisorisch und leitete die Sache an das Bundesamt für Migration weiter zur Erteilung der dafür erforderlichen Zustimmung der Bundesbehörde. B.b Am 12. Februar 2007 verweigerte das Bundesamt für Migration die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies X._ aus der Schweiz weg. B.c In der Folge brachte X._ zwei Kinder zur Welt, über deren Vater nichts bekannt ist. C. Mit Urteil vom 8. Januar 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht eine von X._ erhobene Beschwerde gegen die Verfügung des Bundesamts für Migration vom 12. Februar 2007 ab. Zur Begründung führte es, wie schon das Bundesamt, im Wesentlichen aus, X._ berufe sich rechtsmissbräuchlich auf die inzwischen geschiedene Ehe mit einem Schweizer. Zudem habe das Bundesamt sein Ermessen nicht bundesrechtswidrig ausgeübt. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. Februar 2010 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Januar 2010 sei aufzuheben und es sei das Bundesamt für Migration anzuweisen, die Zustimmung zum Kantonswechsel und zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Überdies sei festzustellen, dass das Bundesverwaltungsgericht das Beschleunigungsgebot verletzt habe. E. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. F. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 19. Februar 2010 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.