Sachverhalt: A. Dr. X._ (Arbeitnehmer) arbeitete vom 1. Oktober 2001 bis zum 31. Oktober 2004 zu 100 % als Oberarzt in der Abteilung Anästhesiologie bei der Regionalspital E._ AG (Arbeitgeberin). Der Arbeitsvertrag vom 6. August 2001 sah ein Monatsgehalt von brutto Fr. 9'941.45 vor und erklärte den Gesamtarbeitsvertrag für das Personal bernischer Spitäler (GAV) als integrierenden Bestandteil. Der GAV 2000 enthält folgende Bestimmungen: "34.00 Arbeitszeit, Ferien und Feiertage, Urlaub 34.10 Arbeitszeit 1 Die Arbeitszeit beträgt bei einem Beschäftigungsgrad von 100 Prozent maximal 42 Stunden pro Woche, entsprechend 2184 Stunden pro Jahr. 2 [...] 3 [...] 4 [...] 5 [...] 6 [...] 7 Arbeitszeit für Assistenz- und Oberärzte Für Assistenzärzte und -ärztinnen sowie Oberärzte und -ärztinnen gelten die Bestimmungen, welche demnächst mit dem Kanton Bern ausgehandelt und in der neuen VOA festgeschrieben werden. Bis diese neue Regelung in Kraft tritt, darf die Arbeitszeit für Assistenzärzte und - ärztinnen sowie Oberärzte und -ärztinnen 55 Stunden pro Woche nicht überschreiten. Pikettdienst in der Nacht und an Wochenenden im Spital gilt uneingeschränkt als Arbeitszeit. Für diese Zeit werden keine Zulagen ausgerichtet. 34.20 Überstunden [...] 34.30 Pikettdienst, Nacht-, Wochenend- und Feiertagsarbeit 1 [...] 2 Pikettdienst ausserhalb des Betriebsgeländes Während des Pikettdienstes steht die Mitarbeiterin oder der Mitarbeiter ausserhalb des Betriebes entsprechend dem Einsatzdispositiv auf Abruf bereit. Die Zeit, während welcher die Mitarbeiterin oder der Mitarbeiter effektiv beschäftigt ist, gilt als Arbeitszeit. In der Regel wird diese Zeit kompensiert. 3 Pikettdienst innerhalb des Betriebsgeländes Während des Pikettdienstes steht die Mitarbeiterin/der Mitarbeiter innerhalb des Spitalgeländes entsprechend dem Einsatzdispositiv auf Abruf bereit. Dieser Pikettdienst gilt voll als Arbeitszeit. Ausgenommen ist die nachts in einem dafür reservierten Raum verbrachte Ruhezeit. Die Anrechnung dieser nächtlichen Ruhezeit als Arbeitszeit wird in den Ausführungsbestimmungen festgelegt. Während der Übergangszeit (Ziff. 71.00 GAV) gelten die jeweiligen betrieblichen Regelungen. Von dieser Regelung ausgenommen sind Assistenzärzte und -ärztinnen sowie Oberärzte und -ärztinnen. 4 Die Bestimmungen des Arbeitsgesetzes sowie der dazu gehörenden Verordnungen sind einzuhalten." Der GAV 2004 enthält folgende Bestimmungen: "Art. 11 Arbeitszeit 11.1 Wochenarbeitszeit und Arbeitszeitmodelle 1 Die Arbeitszeit beträgt bei einem Beschäftigungsgrad von 100 Prozent 42 Stunden pro Woche. [...] 11.2 Arbeitszeit für Assistenz- und Oberärzte Für Assistenzärzte und -ärztinnen sowie Oberärzte und -ärztinnen gelten die Bestimmungen der kantonalen Verordnung über die Anstellungsverhältnisse des ärztlichen Spitalpersonals und - soweit anwendbar - des Arbeitsgesetzes. 11. 3 Überstunden [...] 11.4 Pikettdienst, Nacht-, Wochenend- und Feiertagsarbeit Für diese Dienste werden Zeitgutschriften gesprochen und Zuschläge ausgerichtet. Umfang und Ansätze sind in den Ausführungsbestimmungen festgelegt. 11.5 Pikettdienst in Rufbereitschaft Während des Pikettdienstes in Rufbereitschaft steht die Mitarbeiterin/der Mitarbeiter für allfällige Arbeitseinsätze bereit. Die Zeit, während der die Mitarbeiterin/der Mitarbeiter effektiv beschäftigt ist, gilt als Arbeitszeit. Die Wegzeit zu und von der Arbeit ist in diesem Fall an die Arbeitszeit anzurechnen. In der Regel wird diese Zeit kompensiert. 11.6 Pikettdienst in Arbeitsbereitschaft 1 Während des Pikettdienstes in Arbeitsbereitschaft steht die Mitarbeiterin/der Mitarbeiter für allfällige Arbeitseinsätze in weniger als 30 Minuten bereit. Der Dienst kann innerhalb oder ausserhalb des Betriebsgeländes geleistet werden. Die gesamte zur Verfügung gestellte Zeit gilt als Arbeitszeit. 2 Änderungen des Arbeitsgesetzes, der Verordnung und der Wegleitung seco bleiben vorbehalten." Die Privatwohnung des Arbeitnehmers lag gemäss seinen Angaben 100 Meter vom Spital entfernt. Er konnte sich während des Pikettdienstes zu Hause aufhalten, war jedoch verpflichtet, innert 15 Minuten einsatzbereit zu sein. B. Am 4. Januar 2007 klagte der Arbeitnehmer (Kläger) beim Gerichtskreis V Burgdorf-Fraubrunnen gegen die Arbeitgeberin (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 108'846.--. Er verlangte damit Lohn für in den Jahren 2002, 2003 und 2004 geleistete Überstunden und Überzeit, wobei er davon ausging, der von ihm geleistete Pikettdienst habe vollumfänglich als Arbeitszeit zu gelten. Mit Urteil vom 28. Juli 2009 wies der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises V Burgdorf-Fraubrunnen die Klage ab. Auf Appellation des Klägers hin bestätigte der Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern am 10. Dezember 2009 den erstinstanzlichen Entscheid. C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, das Urteil des Obergerichts vom 10. Dezember 2009 sei aufzuheben und dem Kläger sei für die Jahre 2002, 2003 und 2004 (bis Oktober) für geleistete Überzeit Fr. 108'864.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Bestimmung der anrechenbaren Überzeit bzw. der anrechenbaren Piketteinsatzstunden und der angemessenen Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 14. April 2010 unaufgefordert eine Replik eingereicht.