Sachverhalt: A. N._ erhob am 8. April 2008 beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde, mit welcher er die - nicht beigelegte - Verfügung der IV-Stelle Bern vom 18. März 2008 beanstandete. Das Verwaltungsgericht forderte ihn am 22. April 2008 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 700.- und zur Einreichung der angefochtenen Verfügung auf. Nachdem der Versicherte dieser Aufforderung nicht nachgekommen war, setzte ihm das Gericht mit Verfügung vom 28. Mai 2008 eine Frist bis 9. Juni 2008 zur Bezahlung des Kostenvorschusses und zur Einreichung der angefochtenen Verfügung. Mit Entscheid vom 19. Juni 2008 trat das Verwaltungsgericht androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein, weil der Versicherte der Aufforderung gemäss Verfügung vom 28. Mai 2008 innerhalb der bis 9. Juni 2008 laufenden Frist nicht nachgekommen sei. B. Gegen diesen Entscheid erhob N._ beim Bundesgericht Beschwerde, indem er sinngemäss die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente beantragte. Nach entsprechender Aufforderung durch das Bundesgericht (Verfügung bzw. Mitteilung vom 23. Juli 2008) reichte der Versicherte am 25. August 2008 unter Zustellung des kantonalen Entscheides ein ergänzte Beschwerde ein, mit der sinngemäss das Eintreten auf seine vorinstanzliche Beschwerde und die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung verlangt wurde. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. Die IV-Stelle erklärt ebenfalls - mit dem Begehren um Abweisung - den Verzicht auf eine Stellungnahme zur Beschwerde.