Sachverhalt: A. In den Morgenstunden des 28. März 2005 fuhr ein bei der X._ Versicherungen AG versicherter Personenwagen bei einem kleinen Durchgangsweg zwischen den Liegenschaften R._ und S._ in T._ rückwärts, nach rechts abdrehend aus einem Parkfeld. Dabei wurde der sich hinter dem Personenwagen befindliche A._ übersehen. Dieser wurde vom rückwärtsfahrenden Personenwagen touchiert und kam dadurch zu Fall. Nach eigener Darstellung zog sich der Verunfallte durch diesen Sturz unter anderem ein Schädelhirntrauma zu, an dessen Folgen er seit dem Unfalltag leidet. B. B.a Am 28. Mai 2010 gelangte A._ an das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts Zürich und stellte ein Begehren um vorsorgliche Beweisabnahme in der Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des am 28. März 2005 erlittenen Unfalls. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2011 ordnete das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichtes Zürich die Einholung eines Gutachtens an und schlug den Parteien Sachverständige vor, mit einer Frist von 20 Tagen, um gegen die Vorgeschlagenen Einwendungen zu erheben. Der X._ Versicherungen AG wurde zudem Frist angesetzt, um allfällige Ergänzungsfragen zu formulieren. B.b Gegen diese Verfügung erhob die X._ Versicherungen AG Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Sie beantragte, es sei die angefochtene Verfügung aufzuheben und es sei das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung abzuweisen, eventualiter sei die Sache zur Abweisung des Gesuchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ beantragte, es sei auf die Berufung nicht einzutreten, eventualiter sei die Berufung abzuweisen. Weiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand in der Person von Rechtsanwalt Philip Stolkin beizuordnen. Mit Beschluss und Urteil vom 11. April 2012 hiess das Obergericht die Berufung gut (Dispositiv-Ziffer 1) und wies das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in der Form eines gerichtlichen Gutachtens ab (Dispositiv-Ziffer 2). Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren hiess das Obergericht gut. Demgegenüber verurteilte es A._ dazu, der X._ Versicherungen AG Parteientschädigungen von Fr. 10'000.-- für das erstinstanzliche Verfahren (Dispositiv-Ziffer 4) und Fr. 3'000.-- für das Berufungsverfahren (Dispositiv-Ziffer 7) auszurichten. Weiter auferlegte es A._ die auf Fr. 5'000.-- festgesetzte erstinstanzliche Entscheidgebühr, wobei es diese mit dem bei der ersten Instanz geleisteten Kostenvorschuss verrechnete (Dispositiv-Ziffer 3). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt A._ dem Bundesgericht folgende Hauptanträge: "1. Es seien Ziffer 1 und 2 des obergerichtlichen Urteils vom 11. April 2012 aufzuheben und das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 28. Februar 2005 [recte: 28. März 2005] zu bewilligen und das BEGAZ in Basel mit einer Begutachtung zu beauftragen. 2. Es sei Ziffer 3 des obergerichtlichen Urteils vom 11. April 2012 aufzuheben und die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens der Beschwerdegegnerin zu entschädigen. Jedenfalls sei der Beschwerdeführer infolge Mittellosigkeit von der Leistung der Parteientschädigung zu befreien. 3. Es sei Ziffer 4 des obergerichtlichen Urteils vom 11. April 2012 aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu entrichten. 4. Es sei dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten." Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer Folgendes: 5. Es seien Ziffer 1 und 2 des obergerichtlichen Verfahrens aufzuheben und das Audienzrichteramt des Bezirksgerichts des Kantons Zürich anzuweisen, das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 28. Februar 2005 [recte: 28. März 2005] wieder anhand zu nehmen und eine dem Bezirksgericht gut scheinende Gutachterstelle mit der Erstellung eines Gutachtens zu beauftragen." Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer um die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren unter Beiordnung von Rechtsanwalt Stolkin als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein. D. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2012 hiess das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gut und gab ihm Rechtsanwalt Stolkin als Rechtsbeistand bei.