Sachverhalt: A. X._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) sind die Eltern einer Tochter namens Z._ (geb. 2005). Per 1. März 2006 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf. Seither lebt die Ehefrau mit zwei vorehelichen Kindern in der Dominikanischen Republik. Mit Gesuch vom 23. Januar 2007 leitete sie vor dem Richteramt Solothurn-Lebern ein Eheschutzverfahren ein. B. B.a Mit Urteil vom 23. März 2007 verpflichtete der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern den Ehemann, mit Wirkung ab 1. März 2006 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 700.-- zuzüglich Kinderzulagen für die Tochter und von Fr. 500.-- für die Ehefrau zu bezahlen. B.b Gegen dieses Urteil erhob der Ehemann am 5. April 2007 Rekurs an das Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte, er sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Ehefrau monatlich höchstens Fr. 190.-- und an den Unterhalt der Tochter höchstens Fr. 150.--, zuzüglich Kinderzulagen, zu bezahlen. Mit Urteil vom 27. Juni 2007 verurteilte das Obergericht des Kantons Solothurn den Ehemann in teilweiser Gutheissung des Rekurses, rückwirkend ab 1. März 2006 für die Tochter einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von Fr. 250.--, zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen, zu bezahlen. Im Übrigen wurde der Rekurs abgewiesen, namentlich soweit der Ehemann die Herabsetzung der Unterhaltsleistung für die Ehefrau beantragt hatte. Die Gerichtskosten wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. Infolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde der Anteil der Beschwerdeführerin an den Gerichtskosten vom Staat Solothurn übernommen und dem unentgeltlichen Anwalt zulasten der Staatskasse eine Entschädigung von Fr. 1'230.-- ausgerichtet. C. Die Ehefrau (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Juli 2007 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 27. Juni 2007 sei aufzuheben und der Ehemann (nachfolgend: Beschwerdegegner) zu verurteilen, ihr mit Wirkung ab 1. März 2006 für die Tochter Z._ einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von Fr. 700.--, zuzüglich allfällig bezogener Kinderzulagen, zu bezahlen, alles unter Anrechnung bereits bezahlter Unterhaltsbeiträge. Zudem sei der Beschwerdegegner zu den Gerichts- und Parteikosten der Vorinstanz zu verurteilen. In seiner Vernehmlassung vom 16. April 2008 beantragt der Beschwerdegegner Nichteintreten, eventuell Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt Abweisung der Beschwerde. D. In einer separat begründeten Eingabe ersucht die Beschwerdeführerin zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.