Sachverhalt: A. Die X._ SA (mit Sitz in der Schweiz) und die Z._ LLC (mit Sitz in den USA) schlossen am 17. Mai 2002 einen Alleinvertriebs- und Lizenzvertrag ab, den sie Schweizer Recht unterstellten und der eine Schiedsklausel (ICC-Einzelschiedsgericht mit Sitz in London; Englisch als Verfahrenssprache) enthielt. Im Jahr 2006 leitete die X._ SA ein Schiedsverfahren ein. Mit Schiedsspruch vom 3. November 2009 stellte der Einzelschiedsrichter insbesondere fest, die X._ SA sei die Inhaberin gewisser Marken, verbot der Z._ LLC deren weitere Verwendung und verurteilte die X._ SA zur (verzinslichen) Zahlung von USD 50'000.--. Er verpflichtete die X._ SA, der Z._ LLC die vorgeschossene Hälfte der Schiedskosten von (verzinslichen) USD 185'000.-- zu ersetzen, ihr eine Parteientschädigung von (verzinslichen) USD 3'794'824.98 zu bezahlen und ihr den geleisteten Mehrwertsteuervorschuss zurückzuerstatten. Ein Gesuch der X._ SA vom 3. Dezember 2009 auf Auslegung des Schiedsspruchs wies der Einzelschiedsrichter mit Entscheid vom 8. Januar 2010 ab. B. Am 28. Oktober 2010 leitete die Z._ LLC für eine Forderung von Fr. 4'014'624.88 (nebst Zins und Zinseszins) gegen die X._ SA die Betreibung ein. Als Grund der Forderung gab sie das "ICC Schiedsurteil (...) vom 3. November 2009" an. Gegen den Zahlungsbefehl vom 2. November 2010 in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts A._ erhob die X._ SA am 11. November 2010 Rechtsvorschlag. C. C.a Am 1. Dezember 2010 ersuchte die Z._ LLC das Bezirksgericht Höfe um definitive Rechtsöffnung für Fr. 4'014'624.88 nebst Zins und Zinseszins. Das Rechtsöffnungsgesuch versah sie insbesondere mit beglaubigten Kopien des Alleinvertriebs- und Lizenzvertrags mit der Schiedsklausel vom 17. Mai 2002, des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 und des einzelschiedsrichterlichen Entscheids vom 8. Januar 2010 über das Auslegungsgesuch. Ebenso legte sie eine beglaubigte Übersetzung des Dispositivs des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 bei. Zusammen mit ihrer Replik vom 28. Januar 2011 reichte die Z._ LLC zudem eine Übersetzung des Abschnitts "V. Costs" des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 und des einzelschiedsrichterlichen Entscheids vom 8. Januar 2010 über das Auslegungsgesuch nach. C.b Mit Verfügung vom 13. April 2011 (und deren Berichtigung vom 19. April 2011) erteilte das Bezirksgericht der Z._ LLC für den Betrag von "Fr. 3'984'690.94 plus Fr. 205'713.89 sowie für Zins und Zinseszins auf Fr. 4'190'404.84 zu 5% p.a. ab 29. Oktober 2010" die definitive Rechtsöffnung. Im Übrigen wies es das Rechtsöffnungsgesuch ab. D. Eine von der X._ SA am 28. April 2011 erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 10. Oktober 2011 ab, soweit es darauf eintrat. E. Dem Bundesgericht beantragt die X._ SA (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Oktober 2011, der kantonsgerichtliche Beschluss sei aufzuheben und das Gesuch der Z._ LLC (nachfolgend Beschwerdegegnerin) um definitive Rechtsöffnung abzuweisen. Zudem ersucht sie, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme zu diesem Gesuch verzichtet (Schreiben vom 3. November 2011). Die Beschwerdegegnerin hat auf Abweisung des Gesuchs geschlossen und eventualiter einen Antrag auf Sicherstellung der Parteientschädigung gestellt (Vernehmlassung vom 11. November 2011). Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 14. November 2011 - wie zuvor bereits superprovisorisch - die aufschiebende Wirkung zuerkannt und das Sicherstellungsgesuch der Beschwerdegegnerin abgewiesen. In der Sache beantragen das Kantonsgericht (Vernehmlassung vom 22. November 2011) und die Beschwerdegegnerin (Vernehmlassung vom 2. Dezember 2011) die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.