Art. 9 BV (Zivilprozess), hat sich ergeben: A.- Die A._ stellt medizinische Geräte her und handelt mit diesen. Ihr Geschäftsführer, C._, lernte im August 1991 B._ kennen, der unter der Firma "D._" Instrumente für die Augenchirurgie herstellt. Dabei wurde erstmals über eine mögliche Zusammenarbeit zwischen der A._ und B._ sowie dem ebenfalls anwesenden E._ gesprochen. Im November 1991 einigten sich C._ und B._ darüber, dass die A._ bei der Teilnahme an der bevorstehenden "Medica 91", einer Fachmesse, einige Produkte Arns mitnehmen werde. C._ unterbreitete B._ und E._ bei dieser Gelegenheit den Entwurf eines Zusammenarbeitsvertrags hinsichtlich der Vermarktung chirurgischer Produkte, doch lehnten beide die Unterzeichnung dieses Vertrages ab. Die A._ behauptet, an der "Medica 91" im Interesse B._s verschiedene Geschäftskontakte geknüpft zu haben. Es steht aber einzig fest, dass B._ durch Vermittlung der A._ der F._ GmbH im Anschluss an die Messe drei Skalpelle liefern konnte. Im September 1992 unterbreitete C._ neuerdings den Entwurf eines Zusammenarbeitsvertrags, dessen Unterzeichnung B._ aber ablehnte. Mit Rechnungen vom 16. März und 3. September 1992 verlangte B._ von der A._ die Zahlung von Fr. 2'392.-- für die drei an die F._ GmbH gelieferten Skalpelle sowie von Fr. 1'036.-- für die Lieferung eines Messers an die A._. Am 7. Oktober 1992 mahnte er sie wegen der offenen Rechnungsbeträge und verlangte die Rückgabe der Instrumente, welche er ihr für Demonstrationszwecke zur Verfügung gestellt hatte. Die A._ hatte B._ ihrerseits am 24. April und am 30. September 1992 für ihre Bemühungen Rechnung über Fr. 22'400.-- und Fr. 14'200.-- gestellt. Mit Schreiben vom 16. Oktober 1992 lehnte dieser die Bezahlung der in Rechnung gestellten Beträge ab. Vorher hatte ihm die A._ mit Brief vom 12. Oktober 1992 mitgeteilt, sie fasse sein Begehren um Rückgabe der Instrumente als Kündigung des Zusammenarbeitsvertrags auf. B.- Am 25. Mai 1993 reichte die A._ Klage gegen B._ ein mit dem Begehren, den Beklagten zur Zahlung von Fr. 34'135.-- nebst 5 % Zins seit 12. Oktober 1992 zu verpflichten. Der Beklagte verlangte widerklageweise die Verpflichtung der Klägerin zur Zahlung von Fr. 3'428.-- nebst 5 % Zins seit 7. Oktober 1992 sowie zur Herausgabe bestimmter Instrumente. Das Kantonsgericht Schaffhausen wies mit Urteil vom 11. August 1997 die Hauptklage ab. Die Widerklage schrieb es zufolge Anerkennung im Umfang von Fr. 2'465.-- als erledigt ab; es verpflichtete die Klägerin sodann zur Herausgabe der Instrumente und wies die Widerklage im Übrigen ab. Dieser Entscheid, welchen die Klägerin an das Obergericht des Kantons Schaffhausen weiterzog, wurde von diesem mit Urteil vom 20. August 1999 bestätigt. Auf Berufung der Klägerin hob das Bundesgericht das Urteil des Obergerichts mit Entscheid vom 4. Januar 2000 (4C. 390/1999) auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an dieses zurück. Das Bundesgericht kam zum Ergebnis, die Klägerin habe Anspruch auf Auslagenersatz gemäss Art. 402 Abs. 1 OR; da die Vorinstanz aber keine Feststellungen darüber getroffen habe, ob und inwieweit die von der Klägerin erhobenen Forderungen als Auslagen zu betrachten seien, müsse die Sache zur Abklärung dieser Frage an das Obergericht zurückgewiesen werden. C.- Nach der Fortsetzung des Verfahrens wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Urteil vom 21. September 2001 die Berufung wiederum ab. Es wies dementsprechend die Hauptklage ab und schrieb die Widerklage zufolge Anerkennung im Umfang von Fr. 2'465.-- als erledigt ab; verpflichtete die Klägerin zur Herausgabe der Medizinalinstrumente und wies im Übrigen die Widerklage ab. D.- Die A._ hat das Urteil des Obergerichts vom 21. September 2001 mit staatsrechtlicher Beschwerde und Berufung angefochten. Mit der vorliegenden Beschwerde beantragt sie dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat eine Vernehmlassung eingereicht, in welcher es zu einer der von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Rügen Stellung nimmt und im Übrigen unter Verweis auf die Begründung des angefochtenen Urteils auf eine Stellungnahme verzichtet.