Sachverhalt: A. Am 16. März 2005 reichte die Y._ GmbH als Grundeigentümerin ein Baugesuch für eine Balkonerweiterung mit Quergiebel bei einem Wohnhaus auf der Parzelle Nr. 2028 in Appenzell (Wohnzone W2; Quartierplangebiet "Unterer Imm" vom 13. Juli 1992 [revidiert am 18. Januar 2006]) ein. Gemäss Baugesuch war eine Balkonvergrösserung nach vorne um 1,6 Meter, das Anbringen eines seitlichen Windschutzes im Erdgeschoss und im ersten Obergeschoss sowie ein neuer Balkon mit Quergiebel im Dachgeschoss geplant. In der öffentlichen Planauflage gab die Bezirksverwaltung Rüte als Bauzweck "Balkonerweiterung mit Quergiebel" an. Mit Entscheid vom 4. Mai 2005 erteilte das Bau- und Umweltdepartement des Kantons Appenzell Innerrhoden der Y._ GmbH die entsprechenden Bewilligungen bezüglich Gewässer- und Umweltschutz sowie Energie. Mit Entscheid vom 23. Mai 2005 erteilte der Bezirksrat Rüte der Y._ GmbH die Baubewilligung, nachdem innerhalb der öffentlichen Auflagefrist vom 19. bis 29. April 2005 keine Einsprachen gegen das Bauvorhaben eingegangen waren. Dabei wies der Bezirksrat Rüte darauf hin, dass der Ausbau des Dachgeschosses nicht Bestandteil dieser Bewilligung sei und Wohnraumerweiterungen bewilligungspflichtig seien. Bei der Baukontrolle durch den Bezirksrat Rüte wurde in der Folge festgestellt, dass die Seiten bei den Quergiebeln nicht aus Kupfer, sondern aus Eternit gefertigt worden waren, und dass der Dachvorsprung mit 90 Zentimetern länger als die auf dem Plan bewilligten 30 Zentimeter war. Z._, welcher das Baugesuch im Namen der Y._ GmbH unterzeichnet hatte, wurde deswegen mit Fr. 3'000.-- gebüsst. Hingegen wurde auf den Rückbau des Dachvorsprungs verzichtet. B. Am 6. Juni 2009 reichte die Y._ GmbH beim Bezirksrat Rüte ein Baugesuch für einen Dachausbau ein. Gegenstand des Gesuchs bildet der Durchbruch vom ersten Obergeschoss ins Dachgeschoss verbunden mit einer Wendeltreppe, der Ausbau des Dachgeschosses und der Einbau von Dachfenstern. Der Nachbar X._ erhob am 25. Juni 2009 Einsprache mit dem Antrag, das Baugesuch sei abzuweisen. Zur Begründung führte er unter anderem aus, die gemäss dem Quartierplanreglement "Unterer Imm" zulässige Gebäudehöhe von 6,5 Metern und die zulässige Firsthöhe von 9,5 Metern seien nicht eingehalten. Das Quartierplanreglement werde überdies verletzt, weil das Gebäude vier- statt zweigeschossig sei. Mit Einspracheentscheid vom 5. November 2009 wies der Bezirksrat Rüte die Einsprache von X._ ab. Den von diesem am 14. November 2009 eingereichten Rekurs wies die Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden mit Entscheid vom 27. April 2010 ab. Diesen Entscheid focht X._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 14. Juni 2010 beim Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden an. Mit Urteil vom 2. November 2010 wies dieses die Beschwerde ab. C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und das Baugesuch der Beschwerdegegnerin (Dachausbau mit Dachfenstereinbau) nicht zu genehmigen. Eventualiter sei der Rückbau des im Jahr 2005 vorgenommenen Ausbaus (Balkonerweiterung mit Quergiebeln) anzuordnen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Vornahme ergänzender Sachverhaltsuntersuchungen und zur anschliessenden Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht X._, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Verfügung vom 9. März 2011 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab. Das Bau- und Umweltdepartement verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Standeskommission beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Das Kantonsgericht und die Beschwerdegegnerin stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen fest.