Sachverhalt: A. Die Brüder A.X._, Markus und C.X._ gründeten am 18. Mai 1989 unter der Firma "Gebrüder X._ später umfirmiert in "X._ Gebrüder") eine Kollektivgesellschaft mit Sitz in I._ (Kanton Basel-Landschaft). Diese wurde am 5. Dezember 1990 in das Handelsregister eingetragen. Mit Schreiben vom 17. Juni 2011 an A.X._ und B.X._ kündigte C.X._ den Gesellschaftsvertrag auf den 31. Dezember 2011. C.X._ erklärte darin, dass er die Kündigung auf Art. 574 Abs. 1 OR i.V.m. Art. 545 Abs. 1 Ziff. 6 OR sowie Art. 546 OR stütze. Er hielt fest, dass die Liquidation der Gesellschaft im Handelsregister eintragen zu lassen und anschliessend umgehend mit der Liquidation zu beginnen sei. Für die Modalitäten der Liquidation verwies C.X._ auf die Art. 582 ff. OR und hielt fest, diese seien mit seinem (von ihm bevollmächtigten) Sohn D.X._ abzusprechen. Am 2. Januar 2012 unterbreiteten A.X._ und B.X._ dem Handelsregisteramt Basel-Landschaft das Kündigungsschreiben von C.X._ vom 17. Juni 2011 und meldeten die Liquidation an. Gemäss Publikation im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) vom 5. Januar 2012 wurden C.X._ mit Tagesregister-Eintrag vom 2. Januar 2012 als Gesellschafter mit Einzelunterschrift der Kollektivgesellschaft "X._ Gebrüder" und dessen zeichnungsberechtigter Sohn D.X._ aus dem Handelsregister gelöscht. Weiter wurde die Kollektivgesellschaft in Liquidation gesetzt und die Brüder von C.X._ wurden als Gesellschafter und Liquidatoren mit Einzelunterschrift im Handelsregister eingetragen. B. B.a. Gegen den obgenannten Handelsregistereintrag erhob C.X._ mit Eingabe vom 12. Januar 2012 beim Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft Einsprache und verlangte die Rückgängigmachung des erfolgten Registereintrages von Amtes wegen. C.X._ machte geltend, dass er mit der Kündigung vom 17. Juni 2011 das Gesellschaftsvertragsverhältnis gekündigt, nicht aber seine Gesellschafterstellung aufgegeben habe. Das Handelsregisteramt hätte daher gemäss Art. 17 Abs. 1 lit. b HRegV für die Anmeldung vom 2. Januar 2012 die Unterschrift aller drei Gesellschafter verlangen müssen. Da das Handelsregisteramt die Löschung von D.X._ (als Zeichnungsberechtiger) und C.X._ sowie die Eintragung von A.X._ und B.X._ als Liquidatoren ohne Unterschrift von C.X._ vorgenommen habe, sei die gesamte Eintragung materiell falsch und damit von Amtes wegen zu berichtigen. Weiter wies C.X._ darauf hin, dass weder er als Gesellschafter noch D.X._ als Zeichnungsberechtigter vor der Löschung bzw. Eintragung vom Handelsregisteramt angehört worden seien, womit ihr Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sei. Dies müsse zur Nichtigkeit der Eintragung und damit zur amtlichen Berichtigung der Löschungen bzw. Eintragungen führen. Mit Verfügung vom 16. Januar 2012 erklärte das Handelsregisteramt, dass mit der Genehmigung durch das Eidgenössische Amt für das Handelsregister am 3. Januar 2012 die Eintragung rechtswirksam geworden sei und ab diesem Zeitpunkt keine Eingriffe in das Register mehr möglich seien. Dem Antrag auf eine Berichtigung von Amtes wegen und der damit verbundenen Löschung des gesamten Eintrages vom 2. Januar 2012 mit Wiederherstellung des Eintragungszustandes vor dem 2. Januar 2012 könne das Handelsregisteramt mangels gesetzlicher Grundlage und Entscheidungsbefugnis nicht nachkommen. B.b. Gegen diese Verfügung erhob C.X._, mit Eingabe vom 25. Januar 2012 beim Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft Beschwerde. Er beantragte, es sei das Handelsregisteramt gerichtlich anzuweisen, alle mit Tagesregister-Datum vom 2. Januar 2012 erfolgten Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CH-xxx, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft zu löschen und die bis zu diesem Datum geltenden Eintragungen wiederherzustellen. Weiter sei nach erfolgter Berichtigung das Handelsregisteramt gerichtlich anzuweisen, die entsprechenden Berichtigungspublikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen. Das Kantonsgericht nahm die Eingabe von C.X._ als Beschwerde i.S. von § 43 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Landschaft über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO; SGS 271) i.V.m. Art. 165 HRegV entgegen. Es hiess diese mit Urteil vom 30. Mai 2012 gut und wies das Handelsregisteramt an, alle mit Tagesregister-Datum vom 2. Januar 2012 erfolgten Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CH-xxx, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft zu löschen und die bis zu diesem Datum geltenden Eintragungen wiederherzustellen und die entsprechenden Berichtigungspublikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellen A.X._ und B.X._ dem Bundesgericht die folgenden Begehren: "1. Es sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und dementsprechend sei das Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft anzuweisen, alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CHF-xxx, die infolge des Urteils der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 vorgenommen worden sind und das TR-Datum vom 7. Juni 2012 tragen, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft wieder zu streichen und alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder mit TR-Datum vom 2. Januar 2012 wieder einzutragen und die entsprechenden Publikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen. 2. Eventualiter sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und es sei das Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft anzuweisen, alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CHF-xxx, die infolge des Urteils der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 vorgenommen worden sind und das TR-Datum vom 7. Juni 2012 tragen, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft wieder zu streichen und alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder mit TR-Datum vom 2. Januar 2012 wieder einzutragen mit Ausnahme der Löschung von Herrn C.X._ als Gesellschafter mit Einzelunterschrift und die entsprechenden Publikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen. 3. Subeventualiter sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und es sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen unter Einbezug der Beschwerdeführer in das Verfahren. 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Kantons Basel-Landschaft und zulasten des Beschwerdegegners 1 je zu gleichen Teilen." C.X._ (Beschwerdegegner 1) beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Das Handelsregisteramt (Beschwerdegegner 2) liess sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. A.X._ und B.X._ reichten Replik, C.X._ Duplik ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 24. Oktober 2012 wurden die Gesuche der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie Erlass vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.