Sachverhalt: A. Die 1954 geborene L._ leidet an diversen gesundheitlichen Beschwerden und lebt von ihrem Ehemann, welcher in einem nicht behinderungsangepassten Haus im Kanton Graubünden wohnt, getrennt in einer Mietwohnung im Kanton Basel-Stadt. Ihre Einkünfte bestehen insbesondere aus einer ganzen Rente und einem Assistenzbeitrag der Invalidenversicherung sowie aus einer Rente der Lebensversicherung. Ergänzungsleistungen lehnte das Amt für Sozialbeiträge Basel-Stadt unter anderem für die Zeit ab 1. Juni 2009 (Verfügung vom 11. November 2009) und 1. Januar 2010 (Verfügung vom 9. Februar 2010) ab. Die Sozialhilfe Basel-Stadt verneinte auf das von L._ im Dezember 2009 gestellte Gesuch hin einen Anspruch auf Unterstützungsleistungen unter Hinweis auf einen monatlichen Überschuss von Fr. 985.30 (Verfügung vom 21. Januar 2010). Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Stadt (WSU) ab (Entscheid vom 20. Januar 2011). B. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt lehnte die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 21. September 2012). C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Sozialhilfe Basel-Stadt sei zu verpflichten, den Anspruch auf Sozialhilfeleistungen unter Einbezug sämtlicher krankheits- und behinderungsbedingter Kosten, welche nicht durch Leistungen der Sozialversicherungen, Ergänzungsleistungen, kantonale Beihilfen oder Leistungen von Privatversicherungen gedeckt seien, neu zu berechnen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht. Das kantonale Gericht und das WSU schliessen auf Abweisung der Beschwerde. D. Der Rechtsvertreter von L._ bestätigt auf Anfrage des Bundesgerichts, dass die Rechtsschutzversicherung keine Leistungen mehr erbringt.