Sachverhalt: A. A._ (Arbeitnehmer) absolvierte 1986/87 im Betrieb der Y._ AG (Arbeitgeberin), welche später mit X._ AG firmierte, ein Praktikum und trat bei ihr per 1. Juni 1991 eine Vollzeitstelle an. Er wurde zunächst als Kunststoffspritzer eingesetzt, arbeitete sich in der Folge betriebsintern hoch, war als Informatik-, Arbeitsvorbereitungs- und Logistik-Manager tätig und übernahm Mitte November 2007 interimistisch die Leitung der Abteilung Logistik. Zuletzt bezog der Arbeitnehmer einen monatlichen Bruttolohn von Fr. 5'500.-- zuzüglich 13. und 14. Monatslohn. Die Arbeitgeberin hat am 18. Februar 2008 den Arbeitnehmer beurlaubt bzw. freigestellt und ihm am 28. Februar 2008 ein Schreiben vom 26. Februar 2008 übergeben, in dem sie ihm die Kündigung des Arbeitsverhältnisses per Ende Mai 2008 aufgrund innerbetrieblicher Umstrukturierungen mitteilte. Gemäss Arztzeugnis des Hausarztes des Arbeitnehmers vom 13. Mai 2008 war dieser bis zum 31. Mai 2008 wegen Krankheit arbeitsunfähig. Mit anwaltlichem Schreiben vom 26. Mai 2008 teilte der Arbeitnehmer der Arbeitgeberin mit, er sei - wie bereits angezeigt - seit dem 13. Mai 2008 krank und erhebe wegen missbräuchlicher Kündigung Einsprache im Sinne von Art. 336b OR. Später übermittelte der Arbeitnehmer der Arbeitgeberin ein Arztzeugnis vom 30. Mai 2008, das seine weitere Arbeitsunfähigkeit bis zum 30. Juni 2008 bestätigte. Die Arbeitgeberin wies in ihrem Schreiben vom 6. Juni 2008 den Vorwurf der missbräuchlichen Kündigung zurück und gab an, da der Arbeitnehmer trotz Freistellung offenbar für längere Zeit krank sei, dränge sich der Verdacht auf, dass es sich bei den Arztzeugnissen um Gefälligkeitsgutachten handle. Der Arbeitnehmer werde daher zur Klärung der Situation aufgefordert, sich bis zum 14. Juni 2008 beim Vertrauensarzt der Arbeitgeberin, Dr. C._, zur Untersuchung zu melden. Sollte der Arbeitnehmer dieser Aufforderung nicht Folge leisten, werde die Arbeitgeberin von seiner Arbeitsfähigkeit ausgehen. Im Antwortschreiben vom 10. Juni 2008 hielt der Vertreter des Arbeitnehmers am Vorwurf der missbräuchlichen Kündigung fest und fragte die Arbeitgeberin, auf welcher gesetzlichen oder vertraglichen Grundlage sie eine Untersuchung bei ihrem Vertrauensarzt verlange. In der Folge vereinbarte der Arbeitnehmer mit Dr. C._ einen Termin, den er jedoch mangels einer Antwort auf den Brief vom 10. Juni 2008 wieder absagte. Im Schreiben vom 13. Juni 2008 erklärte die Arbeitgeberin gegenüber dem Arbeitnehmer, sie habe bei begründetem Verdacht auch ohne vertragliche Grundlage einen Anspruch, seine Arbeitsfähigkeit vom Vertrauensarzt abklären zu lassen. Verweigere er die Konsultation bei Dr. C._, gehe er das Risiko ein, dass die Arbeitgeberin und später allenfalls das Gericht die in Frage gestellten Arztzeugnisse nicht akzeptiere. Die Arbeitgeberin werde die Lohnzahlungen nach Ablauf der Kündigungsfrist einstellen, sofern sie die Arztzeugnisse nicht als stichhaltig betrachte. In seiner Antwort vom 16. Juni 2008 bestritt der Arbeitnehmer, dass der Verdacht begründet sei und gab an, es entspreche dem Standard, bei Anordnung einer vertrauensärztlichen Konsultation nicht nur einen Arzt, sondern mehrere Ärzte vorzuschlagen. Er sei jedoch bereit, sich von Dr. C._ untersuchen zu lassen, wenn dieser von der Krankenversicherung beauftragt werde, was die Arbeitgeberin mitzuteilen habe. Gemäss Lohnabrechnung vom 26. Juni 2008 bezahlte die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer für den Monat Juni den Monatslohn von brutto Fr. 5'500.-- zuzüglich einer Gratifikation von Fr. 5'500.-- (bzw. 13. Monatslohn). Am 27. Juni 2008 schrieb der Arbeitnehmer, mangels Antwort auf sein Schreiben vom 16. Juni 2008 gehe er davon aus, die Arbeitgeberin hege keine Zweifel an seiner Arbeitsunfähigkeit mehr. Zudem legte er dar, weshalb er die Kündigung als missbräuchlich erachtete. Am 30. Juni 2008 bescheinigte der Hausarzt des Arbeitnehmers, dass dieser bis zum 18. Juli 2008 arbeitsunfähig sei. Im anwaltlichen Schreiben vom 11. Juli 2008 führte die Arbeitgeberin unter Bezugnahme auf das Schreiben des Arbeitnehmers vom 27. Juni 2008 namentlich aus, der Arbeitnehmer habe per Ende Mai 2008 bisher insgesamt 184 Kalendertage bzw. 155 Arbeitstage wegen Krankheit oder aus anderen Gründen gefehlt. Bei der Berechnung der Sperrfrist würden bei Krankheit sämtliche Absenzen zusammengezählt, wenn sie auf dieselbe (Krankheits-)ursache zurückgingen. Nach den Arztzeugnissen sei bis zum Beweis des Gegenteils davon auszugehen, dass der allergrösste Teil der krankheitsbedingten Ausfälle auf dieselbe Ursache zurückzuführen sei. Demnach sei die Sperrfrist [von 180 Tagen gemäss Art. 336c Abs. 1 lit. b OR] bereits vor Ende Mai 2008 abgelaufen. Sollte das Arbeitsverhältnis auf diesen Zeitpunkt bereits geendet haben, behalte sich die Arbeitgeberin sämtliche ihr daraus zustehenden Einwendungen vor. Auf jeden Fall dürfte die Sperrfrist im Juni abgelaufen sein und das Arbeitsverhältnis damit spätestens Ende Juni 2008 geendet haben. Die Auszahlung des Lohnes für diesen Monat sei erfolgt. Sollten die weiteren Abklärungen ergeben, dass das Arbeitsverhältnis nicht bis Ende Juni 2008 andauere, behalte sie sich die Rückforderung des bereits ausbezahlten Lohnes vor. Dieser werde in jedem Fall mit den Krankentaggeldleistungen verrechnet, welche von der Z._ Kranken-Versicherung AG (nachstehend: Z._ Krankenkasse) bezahlt worden seien bzw. würden. Diese Versicherung habe die entsprechenden Abklärungen eingeleitet und behalte sich die Anordnung einer vertrauensärztlichen Konsultation vor. Da das Arbeitsverhältnis vermutungsweise per Ende Mai 2008, spätestens aber per Ende Juni 2008 geendet habe, erübrige sich für die Arbeitgeberin die Frage der vertrauensärztlichen Konsultation. Das Arztzeugnis, welches den Arbeitnehmer vom 30. Juni bis 18. Juli 2008 für arbeitsunfähig erkläre, habe die Arbeitgeberin im Original an die Z._ Krankenkasse weitergeleitet. Da das Arbeitsverhältnis spätestens per Ende Juni 2008 geendet habe, liege es an dieser, die weitere Arbeitsunfähigkeit zu prüfen. B. Am 2. September 2008 klagte der Arbeitnehmer (Kläger) beim Arbeitsgericht Rheintal gegen die Arbeitgeberin (Beklagte). An der Hauptverhandlung stellte er die Begehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm als Entschädigung für die missbräuchliche Kündigung Fr. 9'267.-- brutto und als Lohn für die Monate Juli und August 2008 Fr. 12'833.-- netto zuzüglich 5 % seit 1. September 2008 zu bezahlen und ein Arbeitszeugnis gemäss dem Vorschlag des Präsidenten des Arbeitsgerichts auszustellen. Der Kläger ging davon aus, die Kündigungsfrist sei während seiner Krankheit vom 13. Mai bis zum 18. Juli 2008 unterbrochen und das Arbeitsverhältnis daher erst am 31. August 2008 beendet worden. Am 13. Februar 2009 bestätigte die Z._ Krankenkasse, der Beklagten am 9. Juli 2008 für die Zeit vom 13. Mai 2008 bis zum 30. Juni 2008 Taggelder von Fr. 3'763.50 und dem Kläger am 14. Oktober 2008 für die Zeit vom 1. bis 18. Juli 2008 Taggelder von Fr. 3'565.45 bezahlt zu haben Mit Entscheid vom 26. Mai 2009 verpflichtete das Arbeitsgericht die Beklagte, dem Kläger ein Arbeitszeugnis im Sinne der Erwägungen auszustellen und ihm als Lohn für die Monate Juli und August 2008 Fr. 12'833.35 brutto abzüglich der von der Z._ Krankenkasse an den Kläger geleisteten Taggelder von Fr. 3'565.45 und eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung von Fr. 5'500.-- netto zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies das Arbeitsgericht die Klage ab. Zur Begründung führte es namentlich aus, der Kläger müsse sich entgegenhalten lassen, dass er der Aufforderung der Beklagten, sich einer vertrauensärztlichen Untersuchung zu unterziehen, nicht nachgekommen sei. Jedoch grenze das Verhalten der Beklagten an Rechtsmissbrauch, wenn sie sich auf den Standpunkt stelle, die Arbeitsunfähigkeit des Klägers sei nicht belegt, gleichzeitig aber vorbehaltlos Taggeldleistungen der Z._ Krankenkasse für die Monate Mai und Juni im Umfang von Fr. 3'763.50 entgegennehme. Angesichts der glaubwürdigen Arztzeugnisse von Dr. med. D._ sei deshalb von der Arbeitsunfähigkeit des Klägers in der Zeit vom 13. Mai bis 18. Juni 2008 auszugehen. Auf Berufung der Beklagten und Anschlussberufung des Klägers hin verpflichtete das Kantonsgericht St. Gallen die Beklagte, dem Kläger ein Arbeitszeugnis gemäss der Formulierung des Arbeitsgerichts unter Nennung des 30. Juni statt des 31. August 2008 als Enddatum auszustellen und Fr. 5'500.-- netto zuzüglich 5 % Zins seit 1. September 2008 zu bezahlen. Im Übrigen wies das Kantonsgericht die Klage ab. C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, das Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 15. Dezember 2009 - abgesehen von der Verpflichtung zur Ausstellung eines Arbeitszeugnisses - aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger Fr. 9'267.-- brutto sowie Fr. 6'416.-- netto, je zuzüglich 5 % Zins seit 1. September 2008, zu bezahlen und ein Arbeitszeugnis gemäss vorinstanzlichem Entscheid mit Enddatum 31. August 2008 auszustellen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.