Sachverhalt: A. Die M._ AG ist eine seit dem 18. Oktober 1994 im Handelsregister eingetragene Aktiengesellschaft mit Sitz in A._. Sie bezweckt laut Handelsregisterauszug den Betrieb einer Bank, die Verwahrung und Verwaltung von Anteilen oder Aktien von in- und ausländischen Anlagefonds für andere (Depotgeschäft), die Anschaffung oder Veräusserung von Wertpapieren einschliesslich die Einlösung von Zins-, Dividenden- oder Erträgnisscheinen für andere (Effektengeschäft) sowie die Vermögensverwaltung mit Anteilen oder Aktien von in- und ausländischen Anlagefonds (fondsgebundene Vermögensverwaltung). Die M._ AG ist eine Tochtergesellschaft der R._ GmbH in G._ (später S._; im Folgenden auch als T._ oder als Muttergesellschaft bezeichnet). Sie vertreibt in- und ausländische Anlagefonds für ihre Kundschaft. Die Kundenanteile an den M._-Fonds werden bei der T._ (Muttergesellschaft) verwahrt. Die M._ AG ist seit dem 1. Januar 1995 im Register für Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen. B. Die Eidgenössische Steuerverwaltung führte im April 1998 bei der M._ AG eine Mehrwertsteuerkontrolle betreffend die Steuerperioden 1. Quartal 1995 bis 4. Quartal 1997 durch. Aufgrund dieser Kontrolle forderte sie mit Ergänzungsabrechnung (Nr. 26225) vom 28. Oktober 1998 Mehrwertsteuern im Betrag von Fr. 308'682.-- nach (nebst Verzugszins). Grund dieser Nachforderung waren zum einen zu wenig versteuerte Bezüge von Dienstleistungen aus dem Ausland, namentlich Bezüge bei unabhängigen Dritten sowie bei nahestehenden Personen, zum andern Vorsteuerkorrekturen, Leistungen an das Personal, nicht versteuerte Kommissionen, Privatanteile sowie Fehler bei der Umsatzsteuerberechnung. Am 7. Oktober 1999 und am 6. Januar 2000 verlangte die M._ AG die Rückerstattung der bereits bezahlten Fr. 113'566.15. Dieser Betrag war ihr als steuerliches Entgelt für Dienstleistungsbezüge (Depotgebühren) bei der T._ in Rechnung gestellt worden. Mit Entscheid vom 5. September 2000 hielt die Eidgenössische Steuerverwaltung aber an der gesamten Nachforderung von Fr. 308'682.-- fest und erhob Verfahrenskosten von Fr. 240.--. Eine Einsprache hiergegen (vom 3. Oktober 2000) wurde am 29. September 2003 abgewiesen. C. Am 29. Oktober 2003 erhob die M._ AG Beschwerde bei der Eidgenössischen Steuerrekurskommission. Im Hauptantrag verlangte sie die Aufhebung des Einspracheentscheides vom 29. September 2003 und die Rückerstattung der ihrer Ansicht nach zu viel bezahlten Fr. 113'566.15 (Depotgebühren), Fr. 77'562.80 (zu viel gekürzte Vorsteuern) sowie Fr. 21'239.03 (zu viel bezahlte Verzugszinsen) nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Dezember 1999. Im Weiteren solle festgestellt werden, dass sie, die Beschwerdeführerin, in der Zeit zwischen dem 1. Januar 1995 und dem 31. Dezember 1997 keine Drittverwahrungsleistungen gegen Entgelt von der S._ bezogen habe. Eventualiter sei festzustellen, dass der Marktwert der von der S._ bezogenen Drittverwahrungsleistungen mit dem Satz von 0,00 %, subeventualiter mit dem Satz von 0,01 % zu bemessen sei. Die Eidgenössische Steuerrekurskommission erkannte zusammengefasst, der Eidgenössischen Steuerverwaltung sei der ihr obliegende Beweis für das Bestehen eines Entgelts beziehungsweise eines Leistungsaustausches betreffend die von der T._ erbrachten Depotverwahrungsleistungen nicht gelungen und auch aufgrund der Akten lasse sich solches nicht eruieren. Demgegenüber erweise es sich insgesamt als grundsätzlich glaubhaft, dass der rekurrierenden M._ AG von der T._ für deren Verwahrungsleistungen kein Entgelt verrechnet worden sei. Diese aus dem Ausland bezogenen Dienstleistungen unterstünden damit mangels Steuerobjekts nicht der Mehrwertsteuer. Dementsprechend hiess die Steuerrekurskommission mit Urteil vom 27. März 2006 die Beschwerde im Hauptantrag gut, soweit sie darauf eintrat, und hob den Einspracheentscheid vom 29. September 2003 auf. Sie verpflichtete die Eidgenössische Steuerverwaltung, den Betrag von Fr. 113'566.15 zurückzuerstatten oder gutzuschreiben und einen Vergütungszins von 5 % auszurichten. Im Übrigen wies sie die Sache zur Neubeurteilung bezüglich der Vorsteuer an die Eidgenössische Steuerverwaltung zurück. D. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat am 11. Mai 2006 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben mit den Rechtsbegehren, der Entscheid der Eidgenössischen Steuerrekurskommission vom 27. März 2006 sei vollumfänglich aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 29. September 2003 sei mit Ausnahme von Ziff. 3 des Dispositivs (Kosten) zu bestätigen. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Bundesrecht (Art. 104 lit. a OG), insbesondere des massgeblichen Mehrwertsteuerrechts (Frage des Entgelts), sowie eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (Art. 104 lit. b in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 OG). Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen abzuweisen. Die Eidgenössische Steuerrekurskommission hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.