Sachverhalt: A. A.a. X._ (geb. 1977, deutscher Staatsangehöriger) ist seit langer Zeit drogenabhängig (Polytoxikomanie). Das Landgericht München I verurteilte ihn am 17. November 2004 wegen schweren Raubes sowie schwerer räuberischer Erpressung in drei Fällen zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren. Zugleich ordnete es seine Unterbringung in einer Entziehungsanstalt an. Vor Vollzug dieser Massregel (Massnahme) waren mindestens viereinhalb Jahre der Freiheitsstrafe zu vollstrecken. Am 10. Juli 2009 wurde X._ aus der Justizvollzugsanstalt zur Therapie in die Klinik München-Ost verbracht. Am 29. Mai 2010 kehrte er nach einem Geländeausgang nicht mehr auf die Station zurück. Ab September 2010 verübte er an verschiedenen Orten in der Schweiz Beschaffungsdelikte. Seit dem 13. Mai 2011 befindet er sich in Untersuchungshaft und vorzeitigem Strafvollzug im Kanton Zürich. A.b. Am 23. November 2011 ersuchte das Bayerische Staatsministerium der Justiz das schweizerische Bundesamt für Justiz (BJ) um Auslieferung von X._ zwecks Vollstreckung einer Restfreiheitsstrafe von 973 Tagen. Das BJ erliess am 30. November 2011 einen Auslieferungshaftbefehl. Mit Verfügung vom 22. Dezember 2011 bewilligte es die Auslieferung. Nach Ablauf der Rechtsmittelfrist teilte das BJ der deutschen Behörde die Bewilligung der Auslieferung mit. Zugleich schob es die Übergabe bis zum Wegfall des schweizerischen Hafttitels auf (Schreiben vom 27. Januar 2012). A.c. Das Bezirksgericht Zürich sprach X._ mit Urteil vom 6. Mai 2013 des gewerbsmässigen Diebstahls, des mehrfachen (teilweise versuchten) Raubes, der Fälschung von Ausweisen, der falschen Anschuldigung, der Widerhandlung gegen das Ausländergesetz, der Tätlichkeiten und mehrfachen Übertretung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig. Es verurteilte ihn zu fünf Jahren Freiheitsstrafe (unter Einrechnung von 724 Tagen Untersuchungshaft und vorzeitigem Strafvollzug) sowie zu einer Busse von Fr. 500.-. Zugleich ordnete es eine stationäre therapeutische Massnahme im Sinne von Art. 60 StGB (Suchtbehandlung) an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zu diesem Zweck auf. Dieses Urteil wurde rechtskräftig. Mit Präsidialverfügung vom 15. Mai 2013 bewilligte das Bezirksgericht den vorzeitigen Antritt der Massnahme. A.d. Das BJ teilte dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich mit, eine Vollstreckung der Massnahme sei nur möglich, wenn eine geschlossene Anstalt zur Verfügung stehe (Zuschrift vom 7. Juni 2013). Mit Verfügung vom 20. Juni 2013 stellte die kantonale Behörde die Vollzugsbemühungen für die strafgerichtlich angeordnete Massnahme nach Art. 60 StGB ein. Dem Bezirksgericht Zürich beantragte sie, nach Eintritt der Rechtskraft der Verfügung zu prüfen, ob die verhängte Freiheitsstrafe zu vollziehen sei. Mit Rekurs an die kantonalzürcherische Direktion der Justiz und des Innern beantragte X._, die Massnahme sei durchzuführen und die Vollzugsbemühungen seien unverzüglich fortzusetzen. Die Direktion wies den Rekurs ab (Verfügung vom 23. September 2013). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Urteil vom 26. Februar 2014). C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 26. Februar 2014 sei aufzuheben. Das kantonale Amt für Justizvollzug sei anzuweisen, die Suchbemühungen (hinsichtlich der mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 6. Mai 2013 angeordneten Massnahme nach Art. 60 StGB) fortzusetzen. Ausserdem ersucht X._ um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung). Das Amt für Justizvollzug und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen die Abweisung der Beschwerde und verzichten auf eine Vernehmlassung.