Sachverhalt: A. Die 1974 geborene G._ schloss 2002 ihre Ausbildung zur Orchesterdirigentin an der X._ ab. Seit 2001 arbeitete sie teilzeitlich als Chorleiterin/Dirigentin bei der Gemeinde Y._ sowie als Orchesterdirigentin/künstlerische Leiterin bei der Orchestergesellschaft B._. Ab 2005 war sie zudem als Dirigentin beim Kammerchor W._ tätig. Im Dezember 2007 trat bei G._ eine Autoimmunkrankheit auf, diagnostiziert als "akute demyelinisierende Erkrankung, foudroyanter MS-Schub, DD: ADEM". Im Februar 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Sie sprach der Versicherten Hilfsmittel (Rollstuhl, Rutschbrett, WC-Sitzerhöhung, Treppensteiggerät, WC-Dusch- und Trockenanlage, bauliche Änderungen, Gehhilfe etc.) und eine Hilflosenentschädigung zu. Des Weitern übernahm sie die Kosten für ein Belastbarkeits-/Aufbautraining beim Kammerchor W._ vom 1. Dezember 2008 bis 30. November 2009 und richtete für diese Zeit Taggelder aus. Mit Wirkung auf Ende November 2009 wurden die Integrationsmassnahmen beendet. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 19. Oktober 2010). B. Beschwerdeweise liess G._ das Rechtsbegehren stellen, es sei ihr eine ganze IV-Rente zuzusprechen. Die Sache sei zur Ermittlung des massgebenden Sachverhalts, konkret zur Klärung der verbleibenden Arbeitsfähigkeit anhand eines aktuellen und detaillierten Berichtes des behandelnden Arztes, und zur Überprüfung des Invaliditätsgrades an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die Beschwerde teilweise gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach G._ eine halbe Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Dezember 2009 zu (Entscheid vom 29. November 2011). C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die Beschwerde sei unter Bestätigung der Verfügung der IV-Stelle gutzuheissen und der kantonale Entscheid insoweit aufzuheben, als der Versicherten eine Rente der Invalidenversicherung zugesprochen worden sei. Eventualiter sei die Beschwerde gutzuheissen und der kantonale Entscheid insoweit aufzuheben, als der Versicherten ab April 2010 mehr als eine Viertelsrente zugesprochen worden sei. In prozessualer Hinsicht wird beantragt, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. G._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 28. Mai 2012 hat das Bundesgericht der Beschwerde des BSV die aufschiebende Wirkung zuerkannt.