Sachverhalt: A. Z._ war Mieterin einer Viereinhalbzimmer-Wohnung an der B._-Strasse in Luzern. Sie lebte darin mit ihrem Sohn X._. Z._ verstarb am 21. April 2009. X._ schlug die Erbschaft aus. Nachdem alle nächsten gesetzlichen Erben die Erbschaft ausgeschlagen hatten, teilte das Teilungsamt der Stadt Luzern dies dem Amtsgerichtspräsidenten III des Amtsgerichts Luzern-Stadt gestützt auf Art. 193 Abs. 1 SchKG mit. Am 13. Juni 2009 liess der Amtsgerichtspräsident im Kantonsblatt eine Aufforderung zur Kostensicherung publizieren. Darin forderte er die Gläubiger auf, bis am 22. Juni 2009 einen Kostenvorschuss für das summarische Konkursverfahren zu leisten, da in der ausgeschlagenen Erbschaft von Z._ nicht genügend Aktiven zur Deckung der Liquidationskosten vorhanden seien. Die Verfügung war mit der Ankündigung verbunden, dass ansonsten die konkursamtliche Liquidation nicht angeordnet würde. Da kein Gläubiger den Kostenvorschuss fristgerecht leistete, ordnete der Amtsgerichtspräsident mit Entscheid vom 26. Juni 2009 die konkursamtliche Liquidation nicht an. Dieser Entscheid blieb unangefochten. X._ verblieb in der Folge in der Wohnung an der B._-Strasse. Am 17. Juli 2009 verlangte der Vermieter seine Ausweisung. Das Amtsgericht Luzern-Stadt hiess die Klage am 10. Dezember 2009 gut. Am 23. Dezember 2009 verlangte X._ vom Konkursamt Luzern-Stadt, das Mietverhältnis an der Wohnung gestützt auf Art. 230a SchKG auf ihn zu übertragen. Mit Verfügung vom 8. Januar 2010 trat das Konkursamt auf dieses Begehren nicht ein. Sowohl im Ausweisungsverfahren wie auch hinsichtlich des abschlägigen Bescheids des Konkursamts ergriff X._ die kantonalen Rechtsmittel und hernach Beschwerden an das Bundesgericht, ohne damit durchzudringen (Urteil 5A_760/2010 vom 21. März 2011 betreffend Übertragung des Mietverhältnisses; Urteil 4A_99/2010 vom 4. April 2011 betreffend Ausweisung). B. Am 31. März 2011 stellte X._ beim Bezirksgericht Luzern den Antrag, über die ausgeschlagene Erbschaft seiner Mutter die konkursamtliche Liquidation anzuordnen. Zugleich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Verfügung vom 26. April 2011 forderte der Präsident der 3. Abteilung des Bezirksgerichts Luzern X._ auf, für die konkursamtliche Liquidation der Erbschaft bis 6. Mai 2011 einen Kostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu leisten. Am 8. Mai 2011 teilte X._ mit, er könne den Kostenvorschuss nicht bezahlen und ersuchte um Verzicht auf dessen Einforderung. Am 9. Mai 2011 setzte der Abteilungspräsident eine Nachfrist bis 20. Mai 2011 zur Bezahlung des Vorschusses. Zugleich drohte er an, auf das Gesuch um konkursamtliche Nachlassliquidation nicht einzutreten, wenn der Vorschuss nicht fristgerecht bezahlt werde. C. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 19. Mai 2011 Beschwerde. Er beantragte, die angefochtene Verfügung aufzuheben und das Bezirksgericht anzuweisen, über die fragliche Erbschaft die konkursamtliche Liquidation ohne Kostenvorschuss anzuordnen. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2011 wies das Obergericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab. Hingegen gewährte es X._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren. D. Am 5. Dezember 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) gegen diesen Entscheid Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verfügung des Bezirksgerichtspräsidiums vom 9. Mai 2011. Das Bezirksgerichtspräsidium sei anzuweisen, über die ausgeschlagene Erbschaft von Z._ die konkursamtliche Liquidation anzuordnen. Schliesslich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bezirksgericht und das Obergericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei.