Sachverhalt: A. A.a. A._ (Betroffene bzw. Mutter) und R._ (Verfahrensbeteiligter bzw. Vater) sind die Eltern der Söhne B._ (geb. 1998) und C._ (geb. 2003). Nach Angaben des Verfahrensbeteiligten leidet die Betroffene unter einem Verfolgungswahn. In der Ehe herrscht ein angespanntes Verhältnis. Nachdem der Vater auf dem PC seines Sohnes C._ einen Abschiedsbrief mit Hinweis auf latente Suizidalität vorgefunden und deshalb am 12. Dezember 2012 den Notfalldienst aufgesucht hatte, wurde er an die Psychiatrischen Dienste D._ verwiesen. Der zuständige Arzt befragte den Sohn C._ am 19. Dezember 2012. Er erklärte, er erlebe seine Mutter übermässig kontrollierend und vermute, sie leide unter einem Verfolgungswahn. Er leide unter den als unverhältnismässig erlebten Anschuldigungen seiner Mutter gegen seinen Vater. Weiter zu erwähnen ist die telefonische Meldung der Psychologin E._ des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes vom 8. Januar 2013, wonach der Sohn gleichentags einen Zusammenbruch mit Weinen und Krämpfen erlitten hatte. A.b. Am 4. Januar 2013 reichte der Verfahrensbeteiligte beim Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht (nachfolgend Familiengericht) eine Gefährdungsmeldung ein, in der er auf das krankhafte Verhalten der Betroffenen hinwies und um Hilfe ersuchte. B. B.a. Nach Anhörung der Betroffenen und des Verfahrensbeteiligten ordnete der Präsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 30. Januar 2013 ihre psychiatrische Begutachtung an und gab ihr Gelegenheit, zur Fragestellung an den Gutachter Stellung zu nehmen sowie Änderungs- und Ergänzungsanträge anzubringen. In der Folge war sie über längere Zeit landesabwesend. Mit Eingabe vom 17. Mai 2013 ersuchte sie, nunmehr vertreten durch Rechtsanwältin Karin Meyer, die Verfügung vom 30. Januar 2013 in Wiedererwägung zu ziehen, auf welchen Antrag der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 21. Mai 2013 eintrat und ihn abwies. B.b. Mit Entscheid vom 22. Juli 2013 trat das Obergericht des Kantons Aargau auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 21. Mai 2013 nicht ein. Am 29. Oktober 2013 hob das Bundesgericht auf Beschwerde der Betroffenen hin den obergerichtlichen Entscheid auf und wies die Sache zur Behandlung der kantonalen Beschwerde gegen die erstinstanzliche Verfügung vom 21. Mai 2013 an das Obergericht zurück (5A_655/2013). Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 19. Februar 2014 ab. C. Die Betroffene hat am 13. März 2014 (Postaufgabe) gegen das Urteil des Obergerichts vom 19. Februar 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und von der psychiatrischen Begutachtung abzusehen. D. Nachdem die Vorinstanz auf eine Stellungnahme zum entsprechenden Gesuch der Beschwerdeführerin verzichtet hatte, wurde der Beschwerde mit Verfügung vom 4. April 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. Das Familiengericht und die Vorinstanz haben auf Vernehmlassung verzichtet. Der Verfahrensbeteiligte schliesst auf Abweisung der Beschwerde.