Sachverhalt: A. Während ihrer Ehe mit X._ gebar Z._ 1989 die Tochter Y._. In einem Eheschutzverfahren zwischen X._ und Z._ fand am 2. Juni 2005 eine Instruktionsverhandlung statt, an der zur Sprache kam, ob X._ überhaupt der Erzeuger von Y._ sei. B. Mit Eingabe vom 15. Mai 2006 stellte X._ beim Amtsgerichtspräsidium von A._ ein Gesuch um Ansetzung einer Aussöhnungsverhandlung mit Z._ und Y._ betreffend Anfechtung der Vaterschaft (Art. 256 ZGB) bezüglich Y._. X._ reichte in der Folge am 31. Oktober 2006 gegen Z._ und Y._ eine Anfechtungsklage nach den Art. 256 ff. ZGB ein. Das Amtsgericht A._ wies die Klage am 4. September 2008 ab. Mit Urteil vom 9. März 2009 wies das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern seinerseits die von X._ gegen den amtsgerichtlichen Entscheid erhobene Appellation ab, soweit es darauf eintrat. C. X._ führt (in der gleichen Rechtsschrift; Art. 119 Abs. 1 BGG) Beschwerde in Zivilsachen wie auch Verfassungsbeschwerde und verlangt im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Klage nach Durchführung eines Vaterschaftstests gutzuheissen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Vernehmlassungen zu den Beschwerden sind nicht eingeholt worden.