Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Vertrag vom 19. Juni 1989 mietete die X._ AG (im Folgenden Mieterin, Gesuchsgegnerin und Beschwerdeführerin) von der Y._ AG (Vermieterin, Gesuchstellerin und Beschwerdegegnerin) eine Teilfläche der Baurechtsparzelle Nr. 1 Grundbuch Lyssach. Die Vermieterin wurde später Eigentümerin der mit dem Baurecht belasteten Parzelle Nr. 2 Grundbuch Lyssach. Das Mietverhältnis war bis zum 31. Dezember 1994 befristet, sollte aber verlängert werden können, wenn die Vermieterin das Terrain nicht für eigene Zwecke benötigen würde. Mit Nachtrag vom 20./25. März 1996 wurde der Vertrag bis zum 30. Juni 2001 verlängert. Die Vermieterin sicherte wiederum zu, dass nach Ablauf der Mietdauer ein neuer Mietvertrag abgeschlossen werden könne, sofern sie das Terrain nicht für eigene Zwecke benötigen sollte. Der Mietzins sollte neu ausgehandelt und insbesondere der Teuerung angepasst werden. Mit Schreiben vom 3. Juli 2001 erklärte die Vermieterin gegenüber der Mieterin, dass der befristete Mietvertrag abgelaufen sei und setzte ihr eine Frist bis Ende Jahr zur Räumung des Mietobjekts. A. Mit Vertrag vom 19. Juni 1989 mietete die X._ AG (im Folgenden Mieterin, Gesuchsgegnerin und Beschwerdeführerin) von der Y._ AG (Vermieterin, Gesuchstellerin und Beschwerdegegnerin) eine Teilfläche der Baurechtsparzelle Nr. 1 Grundbuch Lyssach. Die Vermieterin wurde später Eigentümerin der mit dem Baurecht belasteten Parzelle Nr. 2 Grundbuch Lyssach. Das Mietverhältnis war bis zum 31. Dezember 1994 befristet, sollte aber verlängert werden können, wenn die Vermieterin das Terrain nicht für eigene Zwecke benötigen würde. Mit Nachtrag vom 20./25. März 1996 wurde der Vertrag bis zum 30. Juni 2001 verlängert. Die Vermieterin sicherte wiederum zu, dass nach Ablauf der Mietdauer ein neuer Mietvertrag abgeschlossen werden könne, sofern sie das Terrain nicht für eigene Zwecke benötigen sollte. Der Mietzins sollte neu ausgehandelt und insbesondere der Teuerung angepasst werden. Mit Schreiben vom 3. Juli 2001 erklärte die Vermieterin gegenüber der Mieterin, dass der befristete Mietvertrag abgelaufen sei und setzte ihr eine Frist bis Ende Jahr zur Räumung des Mietobjekts. B. Am 30. Oktober 2001 gelangte die Mieterin an das Mietamt Burgdorf mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass das Mietverhältnis seit 30. Juni 2001 für fünf Jahre weiterbestehe, eventuell sei die Miete längstmöglich zu erstrecken. Das Mietamt holte eine Vernehmlassung ein und lud zu einer Schlichtungsverhandlung, welche in der Folge mehrmals verschoben wurde. B. Am 30. Oktober 2001 gelangte die Mieterin an das Mietamt Burgdorf mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass das Mietverhältnis seit 30. Juni 2001 für fünf Jahre weiterbestehe, eventuell sei die Miete längstmöglich zu erstrecken. Das Mietamt holte eine Vernehmlassung ein und lud zu einer Schlichtungsverhandlung, welche in der Folge mehrmals verschoben wurde. C. Mit Entscheid vom 7. Januar 2002 entsprach der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises V Burgdorf-Fraubrunnen einem Gesuch der Vermieterin und befahl der Mieterin, die von ihr belegte Teilfläche in Lyssach Grundbuchblatt Nr. 2 bis spätestens Freitag 25. Januar 2002 mittags zu räumen und zu verlassen. Für den Fall, dass sie diesen Befehl nicht befolgen sollte, wurde der Gesuchsgegnerin die zwangsweise Räumung auf schriftliches Begehren der Gesuchstellerin angedroht, wenn nötig unter Beizug polizeilicher Hilfe. Für den Fall böswilliger Missachtung des Befehls wurde der Gesuchsgegnerin eine Strafe nach Art. 403/404 ZPO/BE angedroht. Gegen diesen Entscheid erklärte die Gesuchsgegnerin Appellation. Der Appellationshof des Kantons Bern befahl der Gesuchsgegnerin mit Urteil vom 13. Februar 2002, die von ihr belegte Teilfläche in Lyssach, Grundbuchblatt Nr. 2, bis spätestens 15. April 2002 mittags, zu räumen und zu verlassen, unter Androhung der Folgen gemäss Art. 404 Abs. 4 ZPO/BE in Verbindung mit Art. 403 ZPO/BE. Für den Fall der Widersetzlichkeit der Gesuchsgegnerin wurde die Gesuchstellerin ermächtigt, ohne Rücksprache mit dem Gericht, den zuständigen Betreibungsweibel schriftlich zu beauftragen, die Räumung auf Kosten der Gesuchsgegnerin zwangsweise vorzunehmen, wenn nötig unter Beizug polizeilicher Hilfe. Gegen diesen Entscheid erklärte die Gesuchsgegnerin Appellation. Der Appellationshof des Kantons Bern befahl der Gesuchsgegnerin mit Urteil vom 13. Februar 2002, die von ihr belegte Teilfläche in Lyssach, Grundbuchblatt Nr. 2, bis spätestens 15. April 2002 mittags, zu räumen und zu verlassen, unter Androhung der Folgen gemäss Art. 404 Abs. 4 ZPO/BE in Verbindung mit Art. 403 ZPO/BE. Für den Fall der Widersetzlichkeit der Gesuchsgegnerin wurde die Gesuchstellerin ermächtigt, ohne Rücksprache mit dem Gericht, den zuständigen Betreibungsweibel schriftlich zu beauftragen, die Räumung auf Kosten der Gesuchsgegnerin zwangsweise vorzunehmen, wenn nötig unter Beizug polizeilicher Hilfe. D. Die Gesuchsgegnerin erhob am 18. März 2002 staatsrechtliche Beschwerde gegen dieses Urteil. Sie macht geltend, der Appellationshof habe Art. 274a, 272 ff. und 274g OR willkürlich ausgelegt. Zudem sei ihr Anspruch auf den verfassungsmässigen Richter (Art. 30 Abs. 1 BV) verletzt. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Verfügung vom 29. April 2002 gewährte der Präsident der I. Zivilabteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung.