Sachverhalt: A. X._ fuhr am 6. Juni 2002, kurz nach Mitternacht, mit seinem Personenwagen Opel Astra in Wangen b. Olten bei starkem Regen auf einer abschüssigen Strasse in einer leichten Rechtskurve im Bereich einer Verzweigung geradeaus und prallte gegen einen Gartenzaun. Das Fahrzeug wurde an der vorderen Stossstange und am Getriebe (Automatik) beschädigt. Der Zaun wurde über eine Länge von zirka sieben Metern umgefahren, und zudem wurden Blumenbeete etc. beschädigt. Da der Wagen nicht mehr fahrtauglich war, begab sich X._, der kein Mobiltelefon bei sich hatte, zu Fuss zu seinem Wohnhaus, das ungefähr einen Kilometer von der Unfallstelle entfernt war. Auf dem Weg dorthin stolperte er im Bereich einer unbeleuchteten Bahnunterführung über Blumentröge, wobei er sich an den Händen und Knieen sowie am Gesicht Schürfungen zuzog. Zu Hause angekommen, rief er seinen Sohn X._ jun. an, der in Egerkingen wohnte. Gemeinsam fuhren sie zur Unfallstelle. Der Sohn erkannte, dass zur Bergung des im Zaun verkeilten Fahrzeugs der Beizug eines Abschleppdienstes nötig war. Er fuhr seinen Vater nach Hause, avisierte einen Abschleppdienst und schleppte mit dessen Mitarbeiter um ca. 03.00 Uhr den Unfallwagen ab, nachdem er zuvor das auf die Strasse ausgelaufene Getriebeöl mittels Holzspänen gebunden hatte. X._ jun. klebte einen Zettel auf den Briefkasten des Einfamilienhauses, zu welchem der beschädigte Zaun gehörte. Er gab darauf den Namen und die Adresse des Unfallverursachers, den Zeitpunkt des Unfalls und seine eigene Mobiltelefonnummer an. Zudem teilte er mit, dass er die Geschädigte um 07.30 Uhr anrufen werde. Die Geschädigte, Y._, rief um 07.11 Uhr die Polizei und danach, um ca. 07.20 Uhr, X._ jun. auf dessen Mobiltelefon an. Die Polizei rief am Vormittag X._ jun. an. Dieser teilte mit, dass sein Vater unterwegs sei. Letzterer hatte sich am Vormittag zur ambulanten Behandlung seiner Schürfungen, die er beim Sturz erlitten hatte, und zur Kontrolle ins Kantonsspital Olten begeben. Der Polizeibeamte und X._ jun. kamen überein, dass X._ am Nachmittag auf dem Polizeiposten Hägendorf vorsprechen werde. X._ erschien um 14.15 Uhr auf dem Posten. Auf entsprechende Fragen sagte er unter anderem aus, er habe während der Fahrt das Autoradio abgestellt, sei daher kurzfristig unaufmerksam gewesen und deshalb im Bereich der leichten Rechtskurve geradeaus in den Gartenzaun gefahren. Vor dem Unfall habe er im Verlauf des Abends im Bergrestaurant Rumpel zu einem kalten Bratenteller ca. 2 dl Weisswein und danach einen oder zwei kleine Zwetschgenschnäpse getrunken. B. Das Obergericht des Kantons Solothurn sprach X._ am 26. Mai 2004 in Bestätigung des Urteils des Gerichtsstatthalters von Olten-Gösgen vom 29. September/21. Oktober 2003 des pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall (Art. 92 Abs. 1 SVG) und der Vereitelung einer Blutprobe (Art. 91 Abs. 3 SVG) schuldig und verurteilte ihn deswegen sowie unter Berücksichtigung des rechtskräftigen erstinstanzlichen Schuldspruchs wegen Verletzung von Verkehrsregeln (Art. 90 Ziff. 1 SVG i.V.m. Art. 31 Abs. 1 SVG und Art. 3 Abs. 1 VRV) zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von fünf Tagen und zu einer Busse von 400 Franken. C. X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, er sei von den Vorwürfen des pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall und der Vereitelung einer Blutprobe freizusprechen. D. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet.