Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 25. April 2002 richtete das Tribunal de Grande Instance d'Alès/F in dem gegen C._ wegen Verdachts der Veruntreuung, der Urkundenfälschung und der Begehung von Konkursdelikten geführten Strafverfahren ein Rechtshilfeersuchen an die schweizerischen Behörden. Diesem liegt im Wesentlichen folgender Sachverhalt zugrunde: Am 26. Juli 1996 deponierte C._, Direktionspräsident der 1994 gegründeten D._ SA, die Bilanz der Gesellschaft und demissionierte von seinem Posten. Die D._ SA wurde in der Folge mit Passiven von über 37 Mio. FF liquidiert. Gemäss dem Administrations- und Finanzchef der D._ SA kam es vor, dass C._ Ausgaben ohne diesbezügliche Belege tätigte und verlangte, diese Ausgaben dem Konto "voyages et déplacements" zu belasten. Dabei handelte es sich um Ausgaben in Luxusläden, Luxushotels (gemäss Teilbelegen im Betrag von 107'568.-- FF), Reisen in Privatflugzeugen (im Betrag von 198'690.-- FF) sowie Ausgaben mit rein persönlichem Charakter (in der Höhe von 29'262.-- FF). C._ gab zwar zu, Ausgaben mittels auf die D._ SA lautende Bankkarte getätigt zu haben, unterstrich aber gleichzeitig, persönlich grosse Summen für die laufenden Rechnungen der Unternehmung aufgebracht zu haben. Die bisherigen Untersuchungsergebnisse erhellten, dass zu Lasten der D._ SA ein Kostenvorschuss in der Höhe von 386'212.50 FF (bzw. 75'000 $) verbucht wurde, welcher am 23. Februar 1995 von der Firma E._ Ltd. mit Domiziladresse in London ausgestellt worden war. Einen Beweis für eine entsprechende Leistung besagter Firma gibt es nicht. Es stellte sich heraus, dass die Firma mit Sitz in Kanada an der angegebenen Adresse in London bloss eine Niederlassung hatte, welche bereits mehrere Jahre geschlossen ist. Wie im Ersuchen weiter ausgeführt wird, wurde die Summe von 75'000 $ gemäss Weisungen von C._ am 18. April 1995 zu Lasten der D._ SA verbucht, wobei das Geld dem Konto der E._ Ltd. auf der Bank F._, Filiale London, vergütet wurde. Eine Spur betreffend Eröffnung einer Kontobeziehung dieser Firma bei der Filiale der genannten Bank in London konnte allerdings nicht eruiert werden. Doch stellte sich heraus, dass die E._ Ltd. der Bank im Jahre 1988 ein Mandat erteilt hatte. Mittels Vergütungsauftrag vom 4. Oktober 2001 wurde die Bank F._ in London von der Firma E._ Ltd. mit Domizil in Montreal/Kanada aufgefordert, zu Lasten des Euro-Firmenkontos 170'000.-- Euro an die Bank G._ (Schweiz) in Lugano auf das Euro-Konto 000000.0000 zu übertragen. - Für das um Rechtshilfe ersuchende französische Gericht besteht aufgrund des genannten Vergütungsauftrags vom 4. Oktober 2001 die Notwendigkeit zu prüfen, ob die Firma E._ Ltd. Konten bei der Bank G._ Suisse besitzt, wer Inhaber des soeben genannten Kontos ist, und ob allenfalls vor dem 23. Februar 1995 eine Überweisung in der Höhe von 75'000 $ auf eines der betreffenden Konten erfolgt war. Entsprechend ist auf dem Rechtshilfeweg um Leistung diesbezüglicher sachdienlicher Auskünfte ersucht worden, ebenso um Befragung kompetenter Bankangestellter betreffend Bankkontakte zum Angeschuldigten C._ bzw. zur Firma D._ SA. Mit Eintretensverfügung vom 16. Mai 2002 erachtete die Staatsanwaltschaft des vom Bundesamt für Justiz am 6. Mai 2002 als Leitkanton eingesetzten Kantons Basel-Stadt die Voraussetzungen zur Leistung der anbegehrten Rechtshilfe als erfüllt. Diese Verfügung wurde der betroffenen Bank, der Bank G._ Schweiz, eröffnet. Mit Schreiben vom 5. Juni 2002 teilte die Bank der Staatsanwaltschaft mit, im Hinblick auf die von dieser ins Auge gefassten Rechtshilfeleistung auf einer rekursfähigen Verfügung bestehen zu müssen; Inhaberin des fraglichen Kontos sei die B._ Ltd. mit Sitz auf Jersey, und deren wirtschaftlicher Berechtigter sei A._; die Firma sei über das französische Rechtshilfeersuchen und die Eintretensverfügung orientiert worden. Nach durchgeführten Vollzugshandlungen traf der Erste Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt am 7. November 2002 die Schlussverfügung. Im Einzelnen verfügte er, dem Rechtshilfeersuchen unter Spezialitätsvorbehalt zu entsprechen und die erhobenen Kontounterlagen und -auszüge des Kontos 000000.0000 der Bank G._ Schweiz sowie die Protokolle der am 29. August bzw. 4. November 2002 durchgeführten Einvernahmen der Zeugen A._ und H._, der bei der Bank die Firma B._ Ltd. betreut hat, herauszugeben. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2002 rekurrierte A._ gegen die am 7. November 2002 ergangene Schlussverfügung. Am 9. Dezember 2002 erhob auch die Firma B._ Ltd. vorsorglich Einsprache. Den Rekurrenten wurde mit Verfügung des Präsidenten der Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt am 11. Dezember 2002 eine peremptorische Frist bis 27. Dezember 2002 gesetzt, um sich zur Rekursbefugnis zu äussern. Dabei wurde die Firma insbesondere aufgefordert, innert dieser Frist eine Originalvollmacht und eine aktuelle Originalbestätigung der Zeichnungsberechtigung vorzulegen. Mit Schreiben vom 27. Dezember 2002 reichte der Rechtsvertreter der Firma neben einer von A._ am 20. Dezember 2002 unterzeichneten Originalvollmacht lediglich dieselbe Fotokopie nochmals ein, die er bereits der Eingabe vom 9. Dezember 2002 beigefügt hatte. Hierbei handelte es sich um die Kopie einer am 19. Mai 1999 auf Guernsey erfolgten Unterschriftenbeglaubigung. Mit Entscheid vom 14. Januar 2003 (bzw. vom 15. Dezember 2003 laut Entscheid S. 4 oben) trat die Rekurskammer auf die von A._ erhobene Beschwerde nicht ein. Sie erwog, dass er nicht Inhaber des in Frage stehenden Kontos und auch sonstwie durch die getroffenen Rechtshilfemassnahmen nicht direkt berührt sei, weshalb er nicht als beschwerdebefugt zu erachten sei. Mit demselben Entscheid trat die Rekurskammer auch auf die Beschwerde der B._ Ltd. nicht ein. In diesem Zusammenhang wurde erwogen, die genannte Fotokopie vom 19. Mai 1999 sei untauglich, die behauptete (aktuelle) Zeichnungsberechtigung von A._ für die Firma B._ Ltd. in Jersey zu belegen. Da es somit an einer Prozessbevollmächtigung der Firma für A._ fehle, sei auch auf deren Beschwerde nicht einzutreten. Mit Entscheid vom 14. Januar 2003 (bzw. vom 15. Dezember 2003 laut Entscheid S. 4 oben) trat die Rekurskammer auf die von A._ erhobene Beschwerde nicht ein. Sie erwog, dass er nicht Inhaber des in Frage stehenden Kontos und auch sonstwie durch die getroffenen Rechtshilfemassnahmen nicht direkt berührt sei, weshalb er nicht als beschwerdebefugt zu erachten sei. Mit demselben Entscheid trat die Rekurskammer auch auf die Beschwerde der B._ Ltd. nicht ein. In diesem Zusammenhang wurde erwogen, die genannte Fotokopie vom 19. Mai 1999 sei untauglich, die behauptete (aktuelle) Zeichnungsberechtigung von A._ für die Firma B._ Ltd. in Jersey zu belegen. Da es somit an einer Prozessbevollmächtigung der Firma für A._ fehle, sei auch auf deren Beschwerde nicht einzutreten. B. Mit Eingabe vom 16. Februar (Postaufgabe: 17. Februar) 2003 führen A._ (Beschwerdeführer 1) und die B._ Ltd. (Beschwerdeführerin 2) Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen: 1. Es sei der Entscheid der Rekurskammer ... aufzuheben. Es sei festzustellen, dass sowohl A._ als auch die B._ Ltd. zur Beschwerde gemäss Art. 80h lit. b IRSG legitimiert sind. 2. Es sei der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zu verbieten, die im Rahmen des Rechtshilfegesuches des Tribunal de Grande Instance d'Alès erhobenen Dokumente zu Konto Nr. 000000.0000 der Bank G._ (Schweiz) an die französische Behörde herauszugeben. 3. unter o/a Kostenfolge." Die Staatsanwaltschaft, das Strafgericht sowie das Bundesamt für Justiz beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.