Sachverhalt: A. Die Sunrise Communications AG, Zürich, reichte am 9. September 2009 ein Baugesuch für den Neubau einer Mobilfunkanlage auf dem Grundstück Nr. 744 des Grundbuchs Berneck ein. Gemäss dem Standortdatenblatt soll die Anlage drei UMTS-Antennen, eine Richtfunkantenne sowie die notwendige technische Infrastruktur umfassen. Die Antennen sollen an einem drei Meter langen Mast auf dem ausgebauten Satteldach des zweigeschossigen Postgebäudes an der Neugass 23 im Dorf Berneck angebracht werden. Dieses Dorf ist im Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder von nationaler Bedeutung aufgenommen. Das Baugrundstück liegt in der dreigeschossigen Kernzone K2 und im Ortsbildschutzgebiet "Dorf Neugass". B. Das Amt für Umweltschutz und Energie (AFU) kam in seiner Stellungnahme zum Baugesuch vom 21. Dezember 2009 zum Ergebnis, die Immissions- und Anlagegrenzwerte seien eingehalten, wenn zum Schutz des Ortes mit empfindlicher Nutzung (OMEN) 01A eine Dachabschirmung realisiert werde. Daraufhin bewilligte der Gemeinderat Berneck mit Beschluss vom 7. September 2010 das Baugesuch mit Auflagen und wies die dagegen erhobenen Einsprachen ab. Dagegen rekurrierten einige Einsprecher an das Baudepartement des Kantons St. Gallen. Das kantonale Amt für Kultur (Abteilung Denkmalpflege) kam in seiner Stellungnahme vom 30. November 2010 zum Ergebnis, das Bauprojekt verletze die denkmalpflegerischen Grundsätze nicht. Am 22. Februar 2011 führte das Baudepartement einen Augenschein durch, kam in einer vorläufigen Beurteilung zum Schluss, die Rekurse seien bezüglich der Dachabschirmung beim OMEN 01A begründet und sistierte das Verfahren. Daraufhin reichte die Bauherrin am 25. März 2011 bezüglich des OMEN 01A ein Korrekturgesuch ein, das der Gemeinderat mit Beschluss vom 3. April 2012 unter Abweisung der dagegen erhobenen Einsprachen bewilligte. Dagegen erhob A._ einen Rekurs an das Baudepartement. Dieses vereinigte die Rekursverfahren gegen die beiden kommunalen Bewilligungen und wies mit Entscheid vom 12. Februar 2013 die dagegen erhobenen Rekurse ab. Gegen diesen Rekursentscheid erhob A._ eine Beschwerde, die das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 16. April 2014 abwies, soweit es darauf eintrat. C. A._ (Beschwerdeführer) erhebt beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. April 2014 sei aufzuheben, eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 25. Juni 2014 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers, vorsorglich die Wiederanbringung von Bauvisieren anzuordnen, als gegenstandslos ab. Das Baudepartement und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die Sunrise Communications AG (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Umwelt kam in seiner Vernehmlassung zum Ergebnis, der angefochtene Entscheid stehe im Einklang mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen in der Beschwerde gestellten Anträgen fest. Die weiteren Verfahrensbeteiligten verzichteten auf eine Duplik.