Sachverhalt: A. A.a. Die Nationale Anti-Doping Agentur Deutschland (NADA; Beschwerdegegnerin) ist zuständig für die Umsetzung des World Anti-Doping Agency Codes (WADA-Code) und damit auch eines Dopingkontrollsystems in Deutschland. A._ (Beschwerdeführer) mit Wohnsitz in U._ ist ein professioneller Radrennfahrer, der zur massgeblichen Zeit mit einer Lizenz des Bunds Deutscher Radfahrer (BDR) an nationalen und internationalen Radrennen teilnahm. A.b. Im Juni 2007 wurde A._ bereits einmal positiv auf Testosteron getestet. Nachdem er über die Ergebnisse der A-Probe in Kenntnis gesetzt worden war, verzichtete er auf die Analyse der B-Probe und gab zu, eine verbotene Substanz verwendet zu haben. Als Folge davon wurde A._ von seiner damaligen Radsportmannschaft entlassen. Drei Monate darauf gab er auch zu, Erythropoietin (EPO) verwendet und Bluttransfusionen durchgeführt zu haben. Dies wurde im Laufe der Anti-Doping-Verfahren vor dem BDR festgestellt. Mit Entscheid des damals noch zuständigen Bundessportgerichts des BDR vom 10. Dezember 2007 wurde gegen A._ aufgrund der Dopingvergehen unter Berücksichtigung seiner umfassenden Zusammenarbeit eine einjährige Sperre verhängt. A.c. Am 27. Februar 2011 nahm A._ als Mitglied einer italienischen Radsportmannschaft am Grand Prix in Lugano teil, einer internationalen Sportveranstaltung unter der Schirmherrschaft der Union Cycliste Internationale (UCI). Die schweizerische Anti-Doping-Organisation führte anlässlich dieses Wettkampfs Dopingkontrollen durch; auch bei A._ wurde eine Blut- und eine Urinprobe entnommen. Am 4. März 2011 wurde die A-Probe von dem von der WADA anerkannten Swiss Laboratory for Doping Analyses in Lausanne untersucht. Dabei wurde menschliches Wachstumshormon (human Growth Hormone, hGH) nachgewiesen, das nach Rule 21 in Verbindung mit Rule 29 der UCI-Anti-Doping-Regulations (UCI-ADR) als verbotene Substanz gilt. Am 15. März 2011 teilte das Labor das von der Norm abweichende Analyseergebnis (Adverse Analytical Finding, AAF) dem internationalen Verband UCI mit. Die Analyse anhand des "hGH Isoform Differential Immunoassays Test" (hGH-Test) führte zu folgenden Analysewerten: 2.45 für Kit 1 und 2.43 für Kit 2. Die Grenzwerte (Decision Limits, DL), die nach den anwendbaren Bestimmungen zu einer Mitteilung eines abweichenden Analyseergebnisses durch das Labor an den Verband führen, betrugen 1.81 für Kit 1 und 1.68 für Kit 2. Mit Schreiben vom 18. März 2011 setzte die UCI den BDR und den Radrennfahrer A._ über das Analyseergebnis in Kenntnis und suspendierte den Athleten vorläufig nach Artikel 235 UCI-ADR. Am 5. und 6. April 2011 analysierte das Labor in Lausanne auf Verlangen des Athleten auch die B-Probe. Die beiden von A._ bezeichneten Vertreter, Prof. Santo Davide Ferrara und Dr. Alessandro Nalesso, bestätigten, dass die B-Probe korrekt geöffnet und analysiert wurde. Am 7. April 2011 teilte das Labor dem internationalen Verband UCI mit, dass die B-Probe mit Analysewerten von 3.16 für Kit 1 und 2.34 für Kit 2 den Nachweis eines sog. rekombinanten (d.h. künstlich hergestellten) menschlichen Wachstumshormons ("recGH") bestätige. Am gleichen Tag informierte die UCI den BDR über das Testergebnis und forderte den Nationalverband auf, ein Disziplinarverfahren gegen A._ einzuleiten. B. B.a. Mit Schreiben vom 28. April 2011 teilte die NADA A._ die Testergebnisse mit, die nach ihrer Ansicht einen Dopingverstoss belegten. Am 3. Juni 2011 wies der Präsident der Anti-Doping-Kommission der UCI ein Gesuch um Aufhebung der vorläufigen Sperre ab. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Tribunal Arbitral du Sport (TAS) mit Entscheid vom 24. August 2011 ab. Am 15. Juli 2011 leitete die NADA beim Schiedsgericht der Deutschen Institution für Schiedsgerichtsbarkeit (DIS) ein Schiedsverfahren gegen A._ ein und verlangte dessen Bestrafung aufgrund eines wiederholten Dopingvergehens. Nach zwei Anhörungen und Befragung verschiedener Experten wies das DIS-Schiedsgericht die Schiedsklage der NADA mit Entscheid vom 19. Juni 2012 ab. Der Einzelschiedsrichter begründete seinen Entscheid insbesondere damit, dass die Berechnung der Grenzwerte (DL) nicht hinreichend belegt worden sei. Am 15. August 2012 beantragte A._ eine neue Lizenz und unterzeichnete eine neue Schiedsvereinbarung. B.b. Mit Eingabe vom 12. Juli 2012 focht die NADA den Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 beim TAS an. Mit Verfügung vom 7. August 2012 entschied der Vizepräsident der Berufungsdivision auf Antrag des Athleten hin unter anderem, dass das Verfahren zwar auf Englisch geführt werde, die Parteien aber sämtliche Unterlagen und Beweismittel auch auf Deutsch (ohne Übersetzung) einreichen und die Rechtsvertreter im Falle einer mündlichen Verhandlung sowohl in deutscher als auch in englischer Sprache plädieren können. Mit Schreiben vom 29. August 2012 forderte A._ die NADA auf, seine Probe ein weiteres Mal zu analysieren, diesmal mit dem sog. Bio-Marker-Test, was die NADA ablehnte. Die NADA reichte am 3. September 2012 ihre Berufungsschrift ein und beantragte im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 sei aufzuheben und gegen A._ sei infolge wiederholten Dopingverstosses eine mindestens achtjährige Sperre sowie eine Geldbusse zu verhängen. Mit Verfügung vom 4. September 2012 wies der Vizepräsident der Berufungsdivision die weiteren prozessualen Anträge des Athleten ab. Nachdem der International Council of Arbitration for Sport (ICAS) am 10. September 2012 ein Ausstandsbegehren von A._ abgewiesen hatte, wurde die Zusammensetzung des Schiedsgerichts mit Entscheid vom 25. September 2012 bestätigt. Am 7. Dezember 2012 reichte A._ seine Berufungsantwort ein, wobei er die Zuständigkeit des TAS bestritt. Bereits mit Schreiben vom 30. Oktober 2012 hatte er sich auf die Unzuständigkeit des TAS berufen mit der Begründung, er habe die abgeschlossene Schiedsvereinbarung aus wichtigem Grund aufgelöst, weil er die finanziellen Mittel für das Schiedsverfahren nicht aufbringen könne. Mit Zwischenentscheid vom 21. März 2013 wies das TAS die Unzuständigkeitseinrede ab und erklärte sich für zuständig. Mit Schreiben vom 11. April 2013 verzichtete A._ ausdrücklich darauf, den Zwischenentscheid über die Zuständigkeit beim Bundesgericht mit Beschwerde anzufechten. Mit Verfügung vom 16. April 2013 ordnete das TAS angesichts des inzwischen ergangenen Schiedsentscheids vom 25. März 2013 in Sachen Andrus Veerpalu v. International Ski Federation (TAS 2011/A/2566), der unter anderem ebenfalls die Bestimmung der Grenzwerte (DL) für den hGH-Test zum Gegenstand hatte, einen weiteren Schriftenwechsel an. Am 6. Mai 2013 reichte die NADA eine zweite Rechtsschrift ein und teilte dem TAS unter anderem mit, dass die WADA eine neue wissenschaftliche Studie (DL Review) unter der Leitung von Prof. Hanley (Hanley-Bericht) eingeleitet habe, um die bisherigen Grenzwerte neu zu berechnen und beantragte, die Ergebnisse der Studie als zusätzliches Beweismittel zuzulassen. Zwischen dem 28. und dem 30. August 2013 fand in Lausanne die mündliche Verhandlung statt. Dabei wurden verschiedene von den Parteien bezeichnete Gutachter befragt. Mit Verfügung vom 30. August 2013 wurde den Parteien Frist zur Stellungnahme zum Hanley-Bericht sowie - auf Antrag von A._ - zu den Aussagen des Gutachters Dr. Saugy zu der (unter anderem) von ihm verfassten Studie "The effect of a period of intensive exercise on the isoform test to detect growth hormone in doping in sports" (Voss-Studie) angesetzt. Am 23. September 2013 reichte A._ seine Stellungnahme zu den Aussagen von Dr. Saugy zur Voss-Studie ein, mit der er unter anderem ein neues Gutachten von Prof. Hofbauer einreichte, der bis dahin nicht als Gutachter bezeichnet worden war. Mit Eingabe vom 23. September 2013 äusserte sich die NADA sowohl zu den Aussagen von Dr. Saugy als auch zum Hanley-Bericht. Mit Schreiben vom 26. September 2013 beantragte sie, das Gutachten von Prof. Hofbauer zur Voss-Studie sei als unzulässiges neues Beweismittel nach Abschluss der mündlichen Verhandlung aus dem Recht zu weisen. Am 2. Dezember 2013 reichte A._ dem Schiedsgericht seine Stellungnahme zum Hanley-Bericht mit ausführlichen Anhängen ein, unter anderem mit Gegengutachten von Dr. Pitsch, Prof. Scholz und Prof. Hofbauer. Eine hierzu eingereichte Stellungnahme der NADA vom 23. Dezember 2013 wurde mit Verfügung vom 24. Dezember 2013 für unzulässig erklärt. B.c. Mit Schiedsentscheid vom 21. Februar 2014 hiess das TAS die Berufung der NADA teilweise gut, es hob den Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 auf und verhängte infolge wiederholten Dopingvergehens eine achtjährige Sperre gegen A._. Ausserdem wurden dem Athleten eine Busse von EUR 38'500.-- auferlegt und sämtliche Wettkampfresultate anlässlich des Grand Prix von Lugano sowie im Zeitraum zwischen 27. Februar 2011 und 18. März 2011 aberkannt. Das TAS sah es nach Würdigung der verschiedenen Beweismittel und insbesondere der Gutachteraussagen als erwiesen an, dass A._ durch Verwendung (künstlich hergestellter) menschlicher Wachstumshormone (recGH) die massgebenden Anti-Doping-Regeln verletzte. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. März 2014 (ergänzt mit Eingabe vom 5. Mai 2014) beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 21. Februar 2014 aufzuheben und die Sache sei zu neuer Entscheidung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. D. Mit Verfügung vom 31. März 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um superprovisorische Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit Eingabe vom 3. Juni 2014 ersuchte der Beschwerdeführer erneut um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.