Sachverhalt: A. Die aus Bosnien-Herzegowina stammende Y._ (geb. 1971) reiste am 6. Januar 1992 zwecks Stellenantritts in die Schweiz ein, wo sie eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Luzern erhielt. Am 1. Januar 1993 reiste ihr Landsmann X._ (geb. 1971) ebenfalls in die Schweiz ein und heiratete sie. Im Sommer 1993 wurde ihm im Rahmen des Familiennachzugs eine letztmals bis zum 8. August 2007 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erteilt. Ihrem ausserehelich geborenen Sohn A._ (geb. 1991) und ihren nach der Eheschliessung in der Schweiz geborenen Kindern B._ (geb. 1994) und C._ (geb. 1999) wurden ebenfalls Aufenthaltsbewilligungen erteilt, die - wie diejenige der Kindsmutter - bisher regelmässig verlängert wurden. Am 31. Oktober 2007 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch um Erteilung von Niederlassungsbewilligungen für sämtliche Familienangehörigen ab. Gleichzeitig verweigerte es die Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung des Familienvaters X._ und wies ihn weg. Es warf ihm strafrechtliche Verurteilungen vor. Der Entscheid über die Verweigerung der Niederlassungsbewilligung erwuchs in Rechtskraft. Gegen die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung wandte sich X._ erfolglos an das Justiz- und Sicherheitsdepartement und an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Aufgrund einer verfahrensrechtlichen Besonderheit im Kanton Luzern und einer im Verlauf des Verfahrens in Kraft getretenen Rechtsänderung befasste sich das Verwaltungsgericht zweimal mit dem Begehren von X._ (s. auch den in dieser Sache ergangenen Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts 2C_161/2009 vom 14. Juli 2009). In einem ersten Urteil vom 29. Januar 2009 befand das Verwaltungsgericht, dass X._ keinen Anspruch auf eine Bewilligung geltend machen könne. In einem späteren Urteil vom 6. April 2010 wies es das Rechtsmittel gegen den zwischenzeitlich ergangenen Beschwerdeentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 16. November 2009 ab, mit dem eine ermessensweise Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung abgelehnt worden war. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. Mai 2010 beantragen die Eheleute X._ und Y._ und ihre drei Kinder A._, B._ und C._ dem Bundesgericht, beide Urteile des Verwaltungsgerichts vom 29. Januar 2009 und 6. April 2010 aufzuheben und X._ die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei festzustellen, dass X._ über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfüge, und die Sache zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Sache "zu weiteren Beweisabklärungen (insbesondere Anhörung der Kinder und Ehefrau)" an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Migration stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Das Amt für Migration sowie das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern haben sich nicht vernehmen lassen. C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 19. Mai 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung zuerkannt.