Sachverhalt: A. Am 24. Februar und 4. April 2003 erhob K._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin, beim Schiedsgericht in Sozialversicherungen des Kantons Zürich Klagen gegen die CSS Versicherung, Luzern, in deren Rechtsnachfolge heute die CSS Kranken-Versicherung AG, Luzern, (nachfolgend: CSS) als Krankenkasse die obligatorische Krankenpflegeversicherung (nachfolgend: OKP) betreibt. Die Rechtsbegehren betrafen die Vergütung von Honorarrechnungen, die der Arzt als zugelassener Leistungserbringer für die Behandlung von OKP-Versicherten der CSS in den Jahren 2001 und 2002 stellte. Nach durchgeführten Sühneverhandlungen und Vergleichsgesprächen und anschliessender Vereinigung der Prozesse sowie erhobener Widerklage trat das Schiedsgericht am 26. Juni 2007 auf die Klage und die Widerklage mangels Zuständigkeit nicht ein. K._ liess Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Hauptantrag auf Aufhebung des Entscheides vom 26. Juni 2007 und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Durchführung des Verfahrens. B. Mit Urteil 9C_563/2007 vom 11. Dezember 2007 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut und hob den Entscheid vom 26. Juni 2007 auf. Es wies die Sache an das Schiedsgericht zurück, damit es über die vereinigten Klagen vom 24. Februar und 4. April 2003 sowie die Widerklage materiell entscheide. C. Nach letztinstanzlicher Erledigung mit Nichteintretensentscheid des Ausstandsbegehrens des Klägers vom 5. Juni 2008 gegen das leitende Mitglied und den Gerichtssekretär des Schiedsgerichts (Urteil 9C_87/2009 vom 21. April 2009) teilte das Schiedsgericht den Parteien mit Verfügung vom 6. Mai 2009 die Namen der für die Besetzung des Spruchkörpers vorgesehenen Schiedsrichter/innen mit und setzte dem Kläger gleichzeitig eine Frist von 20 Tagen ab Erhalt der Verfügung zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 8'000.- an. Im Falle von Säumnis wurde Nichteintreten auf die Klage angedroht. Die Verfügung vom 6. Mai 2009 wurde am 12. Mai 2009 vom Rechtsvertreter des Klägers in Empfang genommen. Am 10. Juni 2009 gelangte der Rechtsvertreter mit einem Fristwiederherstellungsgesuch zur Kautionsfrage an das Schiedsgericht und reichte ein der Post nicht rechtzeitig übergebenes Fristerstreckungsgesuch vom 2. Juni 2009 nach. D. Mit Beschluss vom 1. Februar 2010 wies das Schiedsgericht das klägerische Begehren um Wiederherstellung der Frist zur Leistung einer Kaution ab (Dispositiv-Ziff. 1). Auf die Klage und Widerklage trat es nicht ein (Dispositiv-Ziff. 2). Es verpflichtete den Kläger zur Bezahlung einer Prozessentschädigung an die Beklagte (Dispositiv-Ziff. 5). Eine Eingabe des Klägers vom 9. Juni 2009 (Gesuch um Stellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes) wies es aus dem Recht (Dispositiv-Ziff. 4). E. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Antrag auf Aufhebung des Beschlusses des Schiedsgerichts vom 1. Februar 2010; die Frist für die Stellung der Kaution sei wiederherzustellen und das Verfahren zur Fortsetzung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zur Beurteilung des Fristwiederherstellungsgesuchs zur Leistung der Kaution sowie zur Fortsetzung des Verfahrens zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 22. April 2010 weist das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab.