Sachverhalt: A. A.a Die 1962 geborene N._ arbeitete seit Januar 2007 mit einem Teilpensum von 25 Prozent in der O._ AG, wo sie als Assistentin des CEO tätig war. Im Juli 2008 meldete sie sich wegen einer Lösungsmittel- und Nahrungsmittelintoleranz bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Die IV-Stelle Bern führte medizinische und berufliche Abklärungen durch. Nachdem sich der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) für eine Begutachtung in der Medizinischen Abklärungsstation (MEDAS) am Spital X._ ausgesprochen hatte, teilte die IV-Stelle der Versicherten am 6. November 2008 ihre Absicht mit, ein entsprechendes Gutachten in Auftrag zu geben. Am 6. Januar 2009 gab die MEDAS N._ den Termin und das Programm der vorgesehenen Begutachtung sowie die Namen der drei dafür vorgesehenen Gutachter bekannt. Mit Eingabe vom 15. Januar 2009 erhob sie Einwände gegen die genannten Gutachter und bezeichnete die Begutachtung aus gesundheitlichen Gründen als unzumutbar. Mit Verfügung vom 23. Januar 2009 hielt die IV-Stelle an der angeordneten Abklärungsmassnahme fest, da kein schützenswerter Ausstands- oder Ablehnungsgrund vorliege. Zudem wies sie auf die Mitwirkungspflichten hin und drohte für den Fall einer Verweigerung die Beurteilung des Leistungsbegehrens aufgrund der Akten oder Nichteintreten an. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 24. März 2009 nicht ein, da keine formellen Ausstandsgründe geltend gemacht worden seien. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 28. Juli 2009 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 8C_418/2009). A.b Da N._ dem Aufgebot der MEDAS nicht nachkam, stellte die IV-Stelle nach Rücksprache mit dem RAD im Vorbescheid vom 18. Februar 2009 die Abweisung des Leistungsbegehrens in Aussicht. Die Versicherte wies in der Folge darauf hin, dass sie gesundheitsbedingt nicht in der Lage sei, an einer herkömmlichen Begutachtung teilzunehmen. Die IV-Stelle verneinte dies und lehnte mit Verfügung vom 20. April 2009 den Anspruch auf Invalidenrente ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 11. Februar 2010 ab. C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen resp. materieller Würdigung an die IV-Stelle zurückzuweisen; eventuell seien ihr die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese in rechtmässiger Besetzung nochmals materiell über die Streitsache befinde. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle, das Bundesamt für Sozialversicherungen und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.