Sachverhalt: A. A.a Der 1969 geborene K._ war selbstständigerwerbender Zimmermann. Am 27. März 2002 erlitt er bei einem Arbeitsunfall eine intraartikuläre Calcaneusfraktur rechts, die operativ versorgt wurde. Er meldete sich im Juli 2003 bei der Invalidenversicherung zur Wiedereinschulung in die bisherige Tätigkeit an, worauf die IV-Stelle Bern erwerbliche und medizinische Abklärungen vornahm (unter anderem Beizug jeweils mehrerer Berichte des Prof. Dr. med. S._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, sowie des Dr. med. H._, Innere Medizin Physikalische Medizin und Rehabilitation FMH, Reha-Klinik X._). Der IV-Berufsberater schlug im März 2004 eine Abklärung durch die Berufliche Abklärungsstelle (BEFAS) vor. Diese war ab 30. August 2004 für eine Dauer von vier Wochen vorgesehen, wurde jedoch bereits nach einigen Tagen wegen einer geplanten Operation (Versteifung des Fussgelenkes) verschoben und schliesslich auf November/Dezember 2004 geplant. Mit Verfügung vom 10. August 2004 lehnte die Verwaltung den Anspruch auf Wartezeittaggelder ab, da während des BEFAS-Aufenthalts nur die Anspruchsvoraussetzungen der objektiven und subjektiven Eingliederungsfähigkeit abgeklärt werden sollten und somit noch keine berufliche Eingliederungsmassnahme vorliege, die objektiv und subjektiv angezeigt sei. Mit Einspracheentscheid vom 22. September 2004 bestätigte die IV-Stelle diese Verfügung. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 28. Januar 2005 ab. Die hiegegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007 Bundesgericht) bezüglich des Anspruchs auf Wartetaggelder ab. Es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf Invalidenrente verfüge (Urteil vom 8. Juli 2005). A.b Vom 22. November bis 17. Dezember 2004 weilte der Versicherte zwecks beruflicher Abklärung in der BEFAS. Diese führte aus, aktuell sei der Versicherte in der Lage, ganztags eine körperlich leichte, kurzfristig mittelschwere, vorwiegend sitzende Tätigkeit auszuüben. Langzeitig stehende und gehende Tätigkeiten seien nicht möglich. Das Gehen auf unebenem Boden und auf Leitern solle nur selten verlangt sein. In diesem Rahmen betrage die Gesamtleistung 100 % (Bericht vom 22. Februar 2005). Mit Verfügung vom 28. Juni 2005 gewährte die IV-Stelle dem Versicherten eine Umschulung in Form einer Ausbildung zum Car-Chauffeur. Mit Schreiben vom 26. Oktober 2005 verweigerte ihm das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern aus medizinischen Gründen die Erteilung eines entsprechenden Lernfahrausweises der Kategorie D. Die IV-Stelle holte unter anderem einen Bericht des Dr. med. S._ vom 28. Februar 2006 ein. Mit Schreiben vom 9. Juni 2006 forderte sie den Versicherten auf, sich im Rahmen seiner Schadenminderungspflicht der geplanten Operation zu unterziehen und ihr bis spätestens 7. Juli 2006 den vorgesehenen Operationstermin, den Operationsort und den Namen des operierenden Arztes schriftlich bekannt zu gegeben, damit die beruflichen Eingliederungsmassnahmen und die weiteren Leistungsabklärungen möglichst rasch weitergeführt werden könnten. Sollte er dieser Aufforderung nicht nachkommen, müssten die Leistungen verweigert oder aufgehoben werden. Mit Schreiben vom 29. Juni 2006 teilte der Versicherte der IV-Stelle mit, Prof. Dr. med. I._, der die Operation durchführen werde, habe die Stelle gewechselt und werde im August 2006 in Y._ eine neue Stelle antreten; er werde sich erst Ende August 2006 für die Operation anmelden können. Die IV-Stelle zog einen Abklärungsbericht für Selbstständigerwerbende vom 24. August 2006 bei, worin hinsichtlich der Restarbeitsfähigkeit des Versicherten trotz Gesundheitsschadens auf den BEFAS-Bericht vom 22. Februar 2005 abgestellt wurde. Der Versicherte stellte der IV-Stelle am 29. August 2006 das Terminaufgebot des Spitals Z._ vom 24. August 2006 für die Untersuchung vom 15. September 2006 und am 3. Oktober 2006 die Bestätigung dieses Spitals vom 15. September 2006 betreffend den Spitaleintritt am 18. Dezember 2006 zur Operation zu. Am 20. Dezember 2006 wurde er in diesem Spital am unteren Sprunggelenk (USG) rechts operiert (Interpositionsarthrodese). Mit Verfügung vom 19. Juni 2007 sprach die IV-Stelle dem Versicherten für die Zeit vom 1. März bis 31. Juli 2003 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %) zu. Es gebe keinen Grund, ihm bis zum Abschluss der geplanten Eingliederungsmassnahme eine Rente zuzusprechen, da er auch ohne diese seit Mai 2003 in der Lage sei, ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen. Für die Einzelheiten verweise sie auf den Abklärungsbericht für Selbstständigerwerbende vom 24. August 2006. Hierin wurde ein Invaliditätsgrad von 9 % ermittelt. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde - womit der Versicherte neu Berichte des Prof. Dr. med. S._ vom 12. März und 16. Juli 2007 auflegte - wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 23. Januar 2008). C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheides und Zusprechung einer Invalidenrente ab 1. März 2003 bis auf Weiteres. Er legt neu einen Bericht des Prof. Dr. med. S._ vom 14. Februar 2008 auf. Die IV-Stelle schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.