Sachverhalt: A. X._ und Z._ sind die Eltern des 1993 geborenen Sohnes A._. Bei der 1995 durch das Bezirksgericht B._ ausgesprochenen Scheidung ihrer Ehe wurde A._ unter die elterliche Gewalt der Mutter gestellt. X._ wurde ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt. Das Kantonsgericht Wallis hob am 7. November 2000 die Besuchsrechtsregelung vollständig auf. Nachdem X._ wiederholt um Errichtung einer Beistandschaft für A._ ersucht und das Vormundschaftsamt C._ dem Begehren am 13. März 2008 entsprochen hatte, hob das Bezirksgericht D._ (Bezirksrichter Y._) den vormundschaftsbehördlichen Beschluss am 24. April 2009 auf und stellte ausdrücklich fest, dass X._ kein Recht auf persönlichen Verkehr mit seinem Sohn zustehe. Mit Urteil vom 4. August 2009 (5A_370/2009) hob die erkennende Abteilung das Urteil des Bezirksrichters auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an die kantonale Instanz zurück. Der Entscheid wurde ausschliesslich damit begründet, dass der Bezirksrichter den Anspruch von X._ auf rechtliches Gehör missachtet habe, indem er auf ein Schreiben von A._ abstellte, das X._ zwar zugestellt wurde, von dem dieser aber nur einen Tag vor Fällung des Entscheids Kenntnis erlangt hatte. In seiner Vernehmlassung vom 13. Juli 2009 an das Bundesgericht hatte der Bezirksrichter vorgebracht, X._ sei bei der Zustellung des erwähnten Schreibens ausdrücklich darauf hingewiesen worden, dass der Entscheid umgehend aufgrund der Akten gefällt werde, und hätte als Jurist mit Anwaltspraktikum wissen müssen, dass eine allfällige Stellungnahme umgehend einzureichen gewesen wäre. B. Mit Eingabe vom 10. September 2009 an das Präsidium des Kantonsgerichts Wallis erklärte X._, er lehne Bezirksrichter Y._ ab, und verlangte, dieser sei von der Neubeurteilung der vom Bundesgericht zurückgewiesenen Sache zu entbinden. Der Kantonsgerichtspräsident wies das Ausstandsbegehren am 3. Dezember 2009 ab. C. Mit einer als "Einheitsbeschwerde in öffentlich-rechtlichen und/oder zivilrechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 2. Januar 2010 verlangt X._ die Aufhebung des Präsidialentscheids vom 3. Dezember 2009. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.