Sachverhalt: A. B.X._, irakischer Staatsangehöriger, ersuchte im Rahmen der Registrierung der Geburt seines Sohnes um Abgabe einer Erklärung nicht streitiger Angaben gemäss Art. 41 ZGB betreffend den Familiennamen. Mit Verfügung vom 13. Februar 2008 verweigerte das Gemeindeamt des Kantons Zürich, Abteilung Zivilstandswesen, die Bewilligung zur Entgegennahme der Erklärung mit der Begründung, dass der Familienname kontrovers sei. Hiergegen erhob B.X._ Rekurs und beantragte, es sei sein Gesuch um Abgabe einer Erklärung nicht streitiger Angaben betreffend den Familiennamen zu bewilligen. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies den Rekurs mit Verfügung vom 31. März 2008 ab. B. B.X._ gelangte mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und verlangte die Eintragung in das Zivilstandsregister mit dem Familiennamen "A.Z._"; eventuell sei die Angabe dieses Familiennamens als Erklärung gemäss Art. 41 ZGB zu bewilligen. Mit Entscheid vom 30. Juli 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Sodann wies es das Gesuch von B.X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, auferlegte ihm die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- und sprach ihm keine Parteientschädigung zu. C. Mit Eingabe vom 5. September 2008 führt B.X._ Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts (einzig) betreffend Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben und ihm für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; eventuell seien ihm die Verfahrenskosten für das vorinstanzliche Verfahren zu erlassen. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.