Sachverhalt: A. Der 1974 geborene D._ war als Lackierer bei der Firma C._ AG tätig, als er am 18. Juni 2000 beim Inline-Skaten von einem Personenwagen angefahren wurde. Gemäss Bericht des Spitals S._ vom 10. Juli 2000 zog er sich dabei eine Tibiaschaft-Trümmerfraktur rechts sowie Verletzungen am linkem Daumen und Vorderarm sowie am Schädel zu. Am 13. Januar 2004 verunfallte D._, nunmehr als Hilfslackierer bei der Firma I._ AG angestellt, erneut. Ein entgegenkommendes Motorfahrzeug kollidierte mit dem von ihm gelenkten Personenwagen. Laut Bericht des Spitals R._ vom 14. Januar 2004 erlitt D._ dabei eine Schulterkontusion links, eine Kniekontusion rechts und eine Schürfwunde an der Stirn. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als für beide Ereignisse zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte jeweils Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Jahr 2005 machte der Versicherte neu als Unfallfolge Beschwerden am linken Knie geltend, welche in der Folge u.a. operativ behandelt wurden. Mit Verfügung vom 9. Juli 2008 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht hiefür mit der auf kreisärztliche Berichte gestützten Begründung, es bestehe kein sicherer oder wahrscheinlicher Kausalzusammenhang zwischen diesen Beschwerden und den beiden Unfällen von 2000 und 2004. Die vom Krankenpflegeversicherer des D._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 20. Januar 2009 ab. B. D._ reichte Beschwerde ein, welche das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. Juli 2010 abwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, für die Kniebeschwerden links die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an die Vorinstanz oder den Versicherer zurückzuweisen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 20. Oktober 2010 lässt D._ einen Arztbericht vom 9. September 2010 einreichen.