Sachverhalt: A. Im September 2005 meldete der 1960 geborene A._ der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) einen Rückfall zu einem am 27. August 1995 erlittenen Unfall, bei dem er sich am linken Arm verletzt hatte. Mit Verfügung vom 26. Februar 2009 sprach ihm die Allianz eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 14 % zu. Hingegen verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels einer leistungsbegründenden Invalidität. A._ reichte am 3. April 2009 vorsorglich Einsprache ein und beantragte eine Fristerstreckung zur Nachreichung der Einsprachebegründung. Mit Schreiben vom 24. April 2009 setzte ihm die Allianz eine Frist bis 8. Juni 2009, um "die Mängel der Einsprache (zu) beheben" und "zur Frage des Nichteintretens wegen bewusst mangelhafter Einsprache Stellung zu nehmen". Am 8. Juni 2009 reichte der Versicherte die Einsprachebegründung ein und äusserte sich zur Eintretensfrage. Mit Entscheid vom 7. September 2009 trat die Allianz auf die Einsprache nicht ein. B. In Gutheissung der von A._ hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 7. September 2009 auf und verpflichtete die Allianz, auf die Einsprache einzutreten, die Anträge materiell zu prüfen und darüber einen neuen Entscheid zu fällen (Entscheid vom 2. März 2010). C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid zu bestätigen. A._ und kantonales Gericht lassen je auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.