Sachverhalt: A. Der 1967 geborene V._, als Plattenleger in der Firma M._ AG angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 9. April 2003 einen Verkehrsunfall. Im Kreisverkehr fuhr ein nachfolgender Personenwagen ins Heck des von ihm gelenkten und verkehrsbedingt angehaltenen VW Golf. Im gleichentags aufgesuchten Spital B._ wurde eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und der Lendenwirbelsäule (LWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 3. Dezember 2004 die Einstellung der Leistungen auf den 31. Dezember 2004. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Die von der Helsana Versicherungen AG hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 6. Mai 2005). B. Die von V._ erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, soweit es darauf eintrat, ebenso ab wie das vom Versicherten gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung (Entscheid vom 25. Oktober 2006). C. V._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, es seien weiterhin die vollen Taggelder auszurichten; eventuell seien eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen; subeventuell sei die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 9. resp. 10. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.