Sachverhalt: A. Die Liegenschaft an der Strasse F._ in Bern ist in sieben Stockwerkeinheiten eingeteilt. Vier davon gehören C.H._ resp. seiner Ehefrau D.H._, sowie ihrem gemeinsamen Sohn E.H._, welche alle in dieser Liegenschaft wohnen. Die restlichen drei Stockwerkeinheiten standen im Eigentum von B._, welche nach ihrer Heirat mit A._ überwiegend in Tunis lebte. Sie vermietete die Parterrewohnung seit 1970 der X._ AG (Mieterin). Dieser Mietvertrag wurde im Jahr 2002 bis zum 31. Oktober 2012 verlängert. Verwaltungsratspräsident der Mieterin ist C.H._, der mit B._ befreundet war und von ihr mit der Vermögens- und Liegenschaftsverwaltung betraut und testamentarisch als Willensvollstrecker eingesetzt wurde. B._ verstarb am 13. November 2003. Gegen ihre Tochter aus erster Ehe erhob A._ beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen am 24. November 2004 eine Erbteilungsklage. In der Folge verlangte A._ von C.H._ als Willensvollstrecker die Leistung von Abschlagszahlungen, welche dieser verweigerte. Dagegen erhob A._ Beschwerde, welche die Regierungsstatthalterin von Bern mit Entscheid vom 30. September 2005 abwies. Am 1. Februar 2006 reichte A._ gegen C.H._ wegen Verdachts der Veruntreuung eine Strafanzeige ein. Das gerichtliche Verfahren betreffend die Erbteilung wurde am 8. Februar 2006 durch einen Vergleich beendet, der die Übertragung der drei Stockwerkeinheiten an der Strasse F._ auf A._ vorsah. Dieser wurde damit Vermieter und kündigte am 3. Oktober 2006 den Mietvertrag mit der Mieterin aus wichtigem Grund per 30. April 2007. Zur Begründung führte er hauptsächlich die tiefe Zerrüttung und gegenseitige Feindschaft zwischen ihm und C.H._ an. Auf Ersuchen der Mieterin hob das Mietamt der Stadt Bern mit Entscheid vom 23. November 2006 die am 3. Oktober 2006 per 30. April 2007 ausgesprochene Kündigung auf. B. Am 18. Dezember 2006 klagte der Vermieter (Kläger) beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen gegen die Mieterin (Beklagte) mit den Begehren, der Entscheid des Mietamtes der Stadt Bern vom 23. November 2006 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die am 3. Oktober 2006 ausgesprochene Kündigung des Klägers gültig sei. Mit Urteil vom 23. November 2006 wies der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Klage ab. Dieses Urteil wurde auf Appellation des Klägers hin vom Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, am 11. Februar 2008 bestätigt. C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 11. Februar 2008 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die gegenüber der Beklagten (Beschwerdegegnerin) am 3. Oktober 2006 per 30. April 2007 ausgesprochene Kündigung gültig sei. Die Beschwerdegegnerin stellt die Anträge, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Bei Gutheissung der Beschwerde sei die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens an den Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen zurückzuweisen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.