Sachverhalt: A. A.X._, (Beschwerdeführer) und B.Y._, (Beschwerdegegnerin) schlossen am 31. Juli 2002 einen Vertrag betreffend die "Übertragung des Notariatsbüros A.X._". Für den Fall, dass sich aus diesem Vertrag Streitigkeiten ergeben sollten, verpflichteten sich die Parteien, Dr. iur. Z._ als Schiedsrichter anzurufen. B. B.a Mit Eingabe vom 30. April 2007 rief die Beschwerdegegnerin Z._ als Einzelschiedsrichter an mit dem Rechtsbegehren, es sei der Beschwerdeführer zur Zahlung von Fr. 225'237.10 zuzüglich Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2006 zu verpflichten. Der Beschwerdeführer reichte am 23. Mai 2007 ein Ablehnungsbegehren gegen den Schiedsrichter Z._ ein, das er mit der geschäftlichen Verbindung der Beschwerdegegnerin mit dem Einzelschiedsrichter begründete. Dieser bestritt das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds. Das in der Folge angerufene Obergericht des Kantons Aargau wies das Ausstandsbegehren mit Urteil vom 9. Januar 2008 ab. Es hielt unter anderem fest, dass die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Unterzeichnung des Vertrags vom 31. Juli 2002 zwar in Bürogemeinschaft mit dem Einzelschiedsrichter tätig war, der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend gemacht habe, Z._ in Unkenntnis dieses Umstands als Schiedsrichter benannt zu haben. Die Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin auch nach der Übernahme des Notariatsbüros des Beschwerdeführers noch immer auf dem Briefkopf der Kanzlei des Einzelschiedsrichters als Notarin aufgeführt werde, stelle insoweit keine Veränderung der Verhältnisse im Vergleich zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses dar. Zudem habe der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dargelegt, dass die Bestellung von Z._ an die Bedingung geknüpft gewesen sei, dass nach der Übertragung des Notariatsbüros die Geschäftsbeziehungen zwischen diesem und der Beschwerdegegnerin aufgelöst würden. B.b Mit Eingabe vom 4. Mai 2009 verlangte der Beschwerdeführer in einer weiteren Eingabe, der Einzelschiedsrichter habe in Ausstand zu treten und berief sich darauf, er habe von seiner vormaligen Sekretärin nunmehr erfahren, dass die Z._ AG deren Vizepräsident des Verwaltungsrats Z._ sei, der Beschwerdegegnerin im Juli 2005 ein Darlehen über Fr. 100'000.-- gewährt habe. Dabei sei dem Darlehensvertrag zu entnehmen, dass das Darlehen "zur Überbrückung eines Liquiditätsengpasses im Notariatsbüro des Borgers (entstanden im Zusammenhang mit dem Kauf des Notariatsbüros 'Y._ & X._' in C._)" dienen solle. Der Einzelschiedsrichter stellte die Darlehensgewährung nicht in Abrede, bestritt jedoch das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds und setzte das Verfahren mit Verfügung vom 22. Mai 2009 fort. Mit Urteil vom 3. Februar 2010 wies das Obergericht des Kantons Aargau das Ausstandsbegehren gegen den Einzelschiedsrichter Z._ ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 3. Februar 2010 aufzuheben und es sei festzustellen, dass sich Z._ infolge Ablehnung in den Ausstand zu begeben habe. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Verfügung vom 14. April 2010 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.