Sachverhalt: A. Bezirksrichter Felix Ziltener (Beschwerdegegner) ist seit Ende Oktober 2006 als Einzelrichter im beschleunigten Verfahren mit dem am Bezirksgericht Zürich hängigen Verfahren FB060144 befasst. Der Prozess betrifft die Kollokation einer Forderung der Masse en faillite ancillaire de Sabena SA (Beschwerdeführerin) in der Nachlassliquidation der SAirGroup AG. B. Am 20. Januar 2011 stellte die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht ein Gesuch um Ausstand des Beschwerdegegners. Am 24. Januar 2011 überwies der Beschwerdegegner das Ausstandsgesuch der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich zur Behandlung. Mit Beschluss vom 17. März 2011 wies die Verwaltungskommission das Ausstandsgesuch ab. Als Rechtsmittel gegen diesen Beschluss wurde die Beschwerde an das Bundesgericht genannt. Am 5. Mai 2011 erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Bundesgericht. Mit Urteil vom 8. August 2011 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde wegen Verletzung des Grundsatzes der double instance (Art. 75 BGG) nicht ein (Urteil 5A_320/2011, teilweise publiziert in: BGE 137 III 424). C. Am 16. September 2011 gelangte die Beschwerdeführerin an das Bezirksgericht Zürich und verlangte, dass es das Ausstandsgesuch vom 20. Januar 2011 behandle. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2011 trat das Bezirksgericht darauf nicht ein, da es zur Beurteilung des Gesuchs sachlich nicht zuständig sei. Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 24. November 2011 Beschwerde an das Obergericht. Sie beantragte, die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Das Bezirksgericht sei anzuweisen, auf das Ausstandsgesuch vom 20. Januar 2011 bzw. 16. September 2011 einzutreten und dieses materiell zu behandeln. Eventuell sei die vorliegende Eingabe als Rekurs gegen den Beschluss der Verwaltungskommission vom 17. März 2011 entgegenzunehmen und an die Rekurskommission weiterzuleiten. In diesem Eventualfall sei der Beschluss der Verwaltungskommission vom 17. März 2011 aufzuheben und der Beschwerdegegner anzuweisen, in den Ausstand zu treten. Mit Beschluss und Urteil vom 7. Dezember 2011 wies die II. Zivilkammer des Obergerichts die Beschwerde ab. Im Beschluss wurde festgehalten, die Eingabe vom 24. November 2011 werde entsprechend dem Eventualantrag als Beschwerde gegen den Beschluss der Verwaltungskommission vom 17. März 2011 entgegengenommen und an die Rekurskommission weitergeleitet. Mit Beschluss vom 5. Mai 2012 trat die Rekurskommission auf die Beschwerde nicht ein. D. Am 11. Juni 2012 hat die Beschwerdeführerin gegen den Beschluss der Rekurskommission vom 5. Mai 2012 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, die Nichtigkeit des Beschlusses der Rekurskommission vom 5. Mai 2012 und des Beschlusses der Verwaltungskommission vom 17. März 2011 festzustellen oder eventualiter den angefochtenen Beschluss aufzuheben. So oder anders sei die Sache entweder an das Bezirksgericht zurückzuweisen oder ihr (der Beschwerdeführerin) eine angemessene Frist anzusetzen, um das Ausstandsbegehren erneut dem Bezirksgericht oder einer anderen zu bezeichnenden Instanz zu unterbreiten. Allenfalls sei die Sache nach Aufhebung des angefochtenen Beschlusses an die Vorinstanz zurückzuweisen oder das Ausstandsgesuch gegen den Beschwerdegegner durch das Bundesgericht gutzuheissen. Am 18. September 2012 hat die Beschwerdeführerin beantragt, ihrer Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Nachdem sich der Beschwerdegegner dem Gesuch widersetzt (Eingabe vom 25. September 2012), die Nachlassmasse der SAirGroup AG in Nachlassliquidation auf Stellungnahme verzichtet (Eingabe vom 27. September 2012) und das Obergericht keine Vernehmlassung eingereicht hat, ist der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 8. Oktober 2012 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Die Nachlassmasse der SAirGroup AG in Nachlassliquidation hat in der erwähnten Eingabe zugleich auf Stellungnahme in der Sache verzichtet. Das Bundesgericht hat in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt.