hat sich ergeben: A.- B._, geboren 1975, trat am 1. September 1997 in die stationäre Therapiegemeinschaft C._ in D._ ein. Im März 1998 begann er eine Lehre als Mechaniker. Am 1. Juni 1998 trat er in die Austrittswohnung der Gemeinschaft C._ ein, was tags darauf der Fürsorgekommission A._ gemeldet wurde mit dem Hinweis darauf, dass der Aufenthalt in der Austrittswohnung ein integrierender Bestandteil des Therapiekonzeptes sei und dass der Tagessatz Fr. 120. -- betrage. Mit Schreiben vom 21. Juli 1998 teilte die Fürsorgekommission mit, angesichts des positiven Therapieverlaufs sei sie bereit, die Kosten von Fr. 120. -- pro Tag bis zum 30. Juni 1998 sowie die Lebenshaltungskosten in der Höhe von Fr. 1'300. -- (inkl. Abzug Lehrlingslohn) bis Ende Juli 1998 zu übernehmen. Gegen die-se Verfügung erhoben B._ sowie die Therapiegemeinschaft C._ Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement) und beantragten, es sei ab 1. Juni 1998 bis zum Therapieende Kostengutsprache über Fr. 120. -- pro Tag zuzüglich Lebenshaltungskosten von Fr. 1586. -- pro Monat zu erteilen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 1998 wies das Departement den Rekurs ab. Dagegen erhoben B._ sowie die Therapiegemeinschaft C._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, wobei sie beantragten, die Fürsorgekommission A._ anzuweisen, der Therapiegemeinschaft C._ Unterstützungsleistungen für B._ während seines Aufenthalts in der Austrittswohnung in der Gesamthöhe von insgesamt Fr. 22'037. -- zu bezahlen. Am 21. April 1999 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut. B.- Dagegen hat die Politische Gemeinde A._ (vertreten durch die Fürsorgekommission) beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Sie beantragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass die Gemeinde A._ ab Eintritt von B._ in die Austrittswohnung der Therapiegemeinschaft C._ nicht mehr für dessen fürsorgerechtliche Unterstützung zuständig sei. Die Therapiegemeinschaft C._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau schliesst sich vollumfänglich und ohne Einschränkungen den Ausführungen der Beschwerdeführerin an, beantragt jedoch (wohl irrtümlich) Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Polizeiwesen (für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement) beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.