unentgeltlicher Rechtsvertreter), hat sich ergeben: A.- Rechtsanwalt X._ erhob am 11. Januar 1999 für Y._ beim Einzelrichter des Bezirksgerichtes Zürich Staatshaftungsklage gegen den Kanton Zürich. Gleichzeitig reichte er ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ein. Dabei legitimierte er sich mit einer von Y._ am 2. April 1998 in der Ausschaffungshaft in Kloten unterzeichneten Anwaltsvollmacht, die ihn ausdrücklich zu dessen Vertretung betreffend "Strafverfahren/Ausschaffungshaft" berechtigte. Mit Verfügung vom 26. Januar 1999 wies der Einzelrichter für Zivilsachen des Bezirksgerichts Zürich das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab. Rechtsanwalt X._ rekurrierte dagegen im Namen von Y._ an das Obergericht des Kantons Zürich, wobei er für diesen wiederum um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersuchte. Mit Verfügung vom 8. April 1999 setzte der Präsident der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich Y._ und Rechtsanwalt X._ eine Frist von zehn Tagen an, um eine den Hauptprozess betreffende Anwaltsvollmacht im Original einzureichen, unter sinngemässer Androhung, dass im Säumnisfall auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Die Frist wurde auf Gesuch von Rechtsanwalt X._ hin, der geltend machte, seinen Mandanten nicht erreichen zu können, zweimal verlängert. Nach Ablehnung eines Wiedererwägungsgesuchs wurde mit Verfügung vom 24. Juni 1999 eine Notfrist von weiteren 30 Tagen angesetzt. Die Präsidialverfügung vom 8. April 1999 konnte Y._ am 22. Juli 1999 eröffnet werden. Dieser befand sich zu jener Zeit erneut in Ausschaffungshaft und wurde am 16. August 1999 nach Albanien ausgeschafft. Da weder X._ noch Y._ der Verfügung vom 8. April 1999 bzw. 24. Juni 1999 Folge geleistet hatten, trat die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich (im Folgenden auch Obergericht) mit Beschluss vom 3. September 1999 mangels genügender Vollmacht weder auf den Rekurs noch auf das Gesuch um unentgeltlich Prozessführung und Verbeiständung ein. Dem von X._ gestellten Antrag, es sei von der Beibringung einer Originalvollmacht abzusehen, da er den Aufenthaltsort seines Mandanten nicht habe ausfindig machen können, wurde nicht stattgegeben. Auf ein von Rechtsanwalt X._ gestelltes Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Beibringung einer Originalvollmacht und um Wiedererwägung des Beschlusses des Obergerichts vom 3. September 1999 bzw. der Präsidialverfügung vom 8. April 1999 trat das Obergericht am 4. Oktober 1999 nicht ein. Mit Entscheid vom 31. August 2000 trat auch das Kassationsgericht des Kantons Zürich (im Folgenden auch Kassationsgericht) mangels genügender Legitimation von Rechtsanwalt X._ zur Vertretung von Y._ weder auf die in dessen Namen gegen die Entscheide vom 3. September bzw. 4. Oktober 1999 eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde noch auf das auch vor dem Kassationsgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ein. Die Kosten des Verfahrens wurden Rechtsanwalt X._ auferlegt. B.-Mit Eingabe vom 6. Oktober 2000 führt Rechtsanwalt X._ (im Folgenden auch Beschwerdeführer 1) hiergegen sowohl in eigenem als auch im Namen von Y._ (im Folgenden auch Beschwerdeführer 2) staatsrechtliche Beschwerde. Dabei wird eine Verletzung des Willkürverbots, des Grundsatzes von Treu und Glauben, des Fairnessgebots sowie eine mehrfache formelle Rechtsverweigerung geltend gemacht und beantragt, den Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 31. August 2000 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses Gericht zurückzuweisen. Eventualiter wird die Aufhebung der Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. September 1999 und 4. Oktober 1999 sowie der Präsidialverfügung vom 8. April 1999 beantragt. Ersucht wird weiter um die Zustellung der Akten des Obergerichts des Kantons Zürich zur Einsichtnahme sowie um das Ansetzen einer neuen Frist zur ergänzenden Begründung der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde. Für Y._ wird zudem auch vor Bundesgericht ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Befreiung von der Pflicht, dem Bundesgericht eine schriftliche Vollmacht vorzulegen, eingereicht. Dem von X._ in eigenem Namen gestellten Gesuch um Befreiung von der Kostenvorschusspflicht wurde mit Schreiben bzw. Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 11. Oktober 2000 nicht stattgegeben. C.- Das Kassationsgericht und die Finanzdirektion des Kantons Zürich haben auf eine Stellungnahme verzichtet.