Sachverhalt: A. Die 1972 geborene W._ war als Mitarbeiterin der Firma Y._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Sie erlitt am 11. Juni 1998 als Autolenkerin bei einem Heckauffahrunfall eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). W._ war deswegen bis 15. Juni 1998 arbeitsunfähig und bis Ende 1998 in ärztlicher Betreuung, wobei zuletzt nurmehr periodische Kontrollen stattfanden. Am 22. November 2000 verunfallte die Versicherte erneut. Der Personenwagen, in welchem sie als Beifahrerin sass, wurde beim Abbiegen von einem anderen Personenwagen im mittleren Bereich der Fahrerseite gerammt. Von ärztlicher Seite wurde erneut eine HWS-Distorsion sowie eine Schulterkontusion diagnostiziert. Die SUVA erbrachte, wie schon nach dem ersten Unfall, die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 6. Oktober 2005 verneinte sie ihre Leistungspflicht ab 28. April 2005 mangels eines kausalen Zusammenhanges der ab diesem Zeitpunkt bestandenen Beschwerden mit dem Unfall vom 22. November 2000. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 1. März 2006). B. Die von W._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Februar 2007 ab. C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 28. April 2005 weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne weitere Ausführungen zu machen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 1. resp. 10. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.