(Girsbergtunnel), hat sich ergeben: A.- Das Tiefbauamt des Kantons Thurgau liess im Amtsblatt vom 5. Dezember 1997 die Bauarbeiten für den Girsbergtunnel der Nationalstrasse A 7 im offenen Verfahren ausschreiben. Es gingen insgesamt 15 Angebote von sieben Arbeitsgemeinschaften ein. Die E._ AG wertete die Offerten aus und unterbreitete dem Tiefbauamt einen Vergabeantrag zugunsten der Arbeitsgemeinschaft Y._; in Zusammenarbeit mit dem Bundesamt für Strassen schloss sich das Tiefbauamt diesem Antrag an. Mit Beschluss vom 28. April 1998 vergab der Regierungsrat des Kantons Thurgau die Arbeiten der ARGE Y._. Das Bundesamt für Strassen stimmte dieser Arbeitsvergebung am 4. Mai 1998 zu. Am 13. Mai 1998 unterzeichnete das Tiefbauamt des Kantons Thurgau, welches zu diesem Zeitpunkt vom Eingang einer Beschwerde noch keine Kenntnis hatte, einen Werkvertrag mit der ARGE Y._. B.- Die als Konkurrentin an der Submission mitbeteiligte Arbeitsgemeinschaft X._ erhob gegen den Vergebungsentscheid am 11. Mai 1998 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Die Erteilung der aufschiebenden Wirkung wurde vom Präsidenten des Verwaltungsgerichts mit Verfügung vom 30. Juni 1998 unter Hinweis auf den bereits erfolgten Vertragsabschluss abgelehnt. Das Gesuch um volle Akteneinsicht wurde, soweit es die von der Konkurrentin ARGE Y._ eingereichten Offertunterlagen betraf, vom Verwaltungsgericht mit Zwischenentscheid vom 28. Oktober 1998 abgewiesen. Mit Urteil vom 19. Mai 1999 wies das Gericht die Beschwerde in der Sache ab. C.- Hiergegen hat die ARGE X._ am 16. September 1999 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, das Verwaltungsgerichtsurteil vom 19. Mai 1999 aufzuheben und die Rechtswidrigkeit der Verfügung (recte: Zuschlagsmitteilung) des Tiefbauamtes vom 28. April 1998 festzustellen; eventuell sei die Sache an die "Vorinstanz" zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt unter Hinweis auf die ergangenen Entscheide, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das thurgauische Departement für Bau und Umwelt stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Die ARGE Y._ hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.