Sachverhalt: A. Die 1952 geborene S._, seit Dezember 1989 als Operationsschwester im Spital D._ tätig gewesen, leidet an einem panvertebralen Schmerzsyndrom, einer beginnenden medialen Arthrose beider Knie sowie an einer depressiven Erkrankung. Mit Wirkung ab November 1996 bezog sie eine Invalidenrente in wechselnder Höhe, zuletzt ab Juli 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 50 Prozent eine halbe Rente (Verfügung vom 25. Oktober 2001). Aufgrund eines Revisionsgesuchs vom 7. Juli 2002, in welchem eine Verschlechterung des Gesundheitszustands geltend gemacht wurde, klärte die IV-Stelle des Kantons Bern den aktuellen medizinischen Sachverhalt ab, indem sie namentlich ein Gutachten des Medizinischen Zentrums R._ vom 21. Oktober 2003 (ergänzt durch eine gutachtliche Stellungnahme vom 10. März 2004) sowie - veranlasst durch eine Aktennotiz des Ärztlichen Dienstes der IV-Stelle - eine weitere Expertise des Zentrums V._ vom 20. Dezember 2005 einholte. In der Folge lehnte die Verwaltung die Erhöhung der Rentenleistung ab und bestätigte den bisherigen Invaliditätsgrad von 50 Prozent (mit Einspracheentscheid vom 20. Dezember 2006 bestätigte Verfügung vom 5. Januar 2006). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 7. August 2007). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung von kantonalem und Einspracheentscheid, mit Wirkung ab Juli 2002 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Ausserdem ersucht sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.