Sachverhalt: A. Die 1965 geborene R._ war in einem von Februar 2001 bis Ende Mai 2003 befristeten Arbeitsverhältnis als Virologin angestellt und damit bei der "Winterthur" (heute AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 24. August 2002 erlitt sie im Südtirol als Beifahrerin des von ihrem Ehemann gesteuerten Personenwagens einen Auffahrunfall. Der am 26. August 2002 konsultierte Rheumatologe und Rehamediziner Dr. med. S._ diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und eine Fehlstellung C2 gegenüber C1. Im Wesentlichen gestützt auf das von ihr in Auftrag gegebene medizinische Gutachten des Gutachtenzentrums der Klinik X._ vom 23. August 2005 verneinte die AXA, welche bisher für die Heilbehandlung aufgekommen war und Taggelder ausgerichtet hatte, mit Verfügung vom 10. Januar 2006 mangels eines natürlich-kausalen Zusammenhangs zwischen dem erlittenen Unfall und den geltend gemachten Beschwerden ihre Leistungspflicht mit Wirkung ab 30. Juni 2003. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 30. März 2006 fest. Zudem erklärte sie gegenüber der Versicherten den Verzicht auf eine Rückforderung der bereits erbrachten Leistungen. B. B.a Gegen den Einspracheentscheid vom 30. März 2006 reichte R._ Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein mit dem Rechtsbegehren, dieser sei aufzuheben, und es seien ihr auch über den 30. Juni 2003 hinaus die gesetzlichen Leistungen aus der Unfallversicherung zu erbringen. Das kantonale Gericht zog die Akten der Invalidenversicherung bei und führte eine öffentliche Hauptverhandlung und eine persönliche Befragung durch. Zudem ordnete es mit Verfügung vom 2. Juni 2008 ein interdisziplinäres Gutachten durch die Begutachtungsstelle des medizinischen Zentrums Z._ an. Die von R._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 4. Februar 2009 ab (Urteil 8C_509/2008). B.b Das medizinische Gerichtsgutachten des medizinischen Zentrums Z._ erging am 29. Juli 2009. Die Parteien konnten dazu Stellung nehmen. Die Versicherte reichte überdies die Beurteilung des PD Dr. med. I._ vom 21. August 2009 ein. Die betroffenen Ärzte des medizinischen Zentrums Z._ erhielten Gelegenheit, sich zu den erhobenen Vorwürfen zu äussern und Zusatzfragen zu beantworten. Die Versicherte reichte daraufhin weitere medizinische Berichte ein. Mit Entscheid vom 11. Februar 2010 wies das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt R._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die AXA sei zu verpflichten, ihr die gesetzlich geschuldeten Leistungen auch nach der Einstellung per 30. Juni 2003 auszurichten; eventuell sei ein Obergutachten durch das Bundesgericht in Auftrag zu geben. Subeventuell sei die Sache nicht an die Vorinstanz, sondern an ein unabhängiges Gericht zurückzuweisen, beispielsweise an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Stellungnahme verzichtet.