Sachverhalt: A. W._, geb. 1954, arbeitete seit 1993 in der Lingerie des Spitals X._ und war daher bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 10. September 2006 (Sonntag) stürzte sie beim Treppensteigen an ihrem Wohnort auf die linke Seite. Zur ärztlichen Erstbehandlung suchte sie am 11. September 2006 die Hausärztin Dr. med. B._ auf, welche röntgenologisch keine Frakturen feststellen konnte. Ein Bericht zur ärztlichen Erstbehandlung der Dr. med. B._ findet sich nicht bei den Akten. Nach einer einwöchigen konservativen Behandlung mit Verordnung einer Handgelenksmanschette nahm die Versicherte ihre angestammte Tätigkeit wieder auf bei einer Arbeitsfähigkeit von 50%. Aufgrund zunehmender Schwellungszuständen und Schmerzen unter Belastung am linken Handgelenk liess sie sich am 13. November 2006 von Dr. med. Z._ spezialärztlich handchirurgisch untersuchen. Dieser veranlasste unverzüglich weitere bildgebende Abklärungen, welche einen Zustand nach Handgelenkstrauma mit TFCC-Läsion sowie eine scapholunäre Bandläsion mit Knorpelschaden am Radius des linken Handgelenks zeigten und einen ersten operativen Eingriff des Dr. med. Z._ am 27. November 2006 erforderten. Ab 14. November 2006 blieb die Versicherte voll arbeitsunfähig. In der Folge entwickelte sich ein "CPRS [Complex Regional Pain Syndrome] der linken Hand nach komplexem Handwurzeltrauma" (Bericht des Dr. med. Z._ vom 27. Mai 2007). Die AXA übernahm die Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Nach umfangreichen therapeutischen Bemühungen und medizinischen Abklärungen verneinte sie die Unfalladäquanz der psychischen Beschwerden und stellte die entsprechende, bis anhin "freiwillig" übernommene Behandlung per 30. September 2010 ein; es bestehe (ab 1. Oktober 2010) kein Rentenanspruch. Gleichzeitig forderte die AXA die Versicherte auf, sich während sechs Monaten bei ihrer Hausärztin einer engmaschig überwachten Schmerztherapie zu Lasten der AXA zu unterziehen; über einen "allfälligen Integritätsschaden [könne] erst nach Abschluss der Schmerztherapie" entschieden werden (Verfügung vom 16. September 2010). Die dagegen am 19. Oktober 2010 erhobene und am 26. November 2010 ergänzte Einsprache hiess die AXA teilweise gut, indem sie der Versicherten mit Wirkung ab 1. Januar 2010 eine Invalidenrente aufgrund einer unfallbedingten Erwerbsunfähigkeit von 24% zusprach und ihr die unentgeltliche Verbeiständung gewährte; im Übrigen wies sie die Einsprache ab (Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2011). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der W._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 14. Oktober 2013 in dem Sinne gut, als es den angefochtenen Einspracheentscheid aufhob, die Sache zur weiteren Übernahme der Heilbehandlung und Ausrichtung von Taggeld über den 31. Dezember 2009 hinaus - unter Anrechnung der seit 1. Januar 2010 gewährten Invalidenrente - an die AXA zurückwies und bestimmte, dass diese nach Einholung einer erneuten polydisziplinären Expertise über den Heilbehandlungsabschluss sowie den - allfälligen - Anspruch auf Integritätsentschädigung und Invalidenrente neu zu befinden habe. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA beantragen, ihr Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2011 sei unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids zu bestätigen. Eventualiter sei die Sache "zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die AXA zurückzuweisen". Zudem ersucht die AXA darum, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Während W._ auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung schliesst sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 11. Februar 2014 hat der Instruktionsrichter das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.