Sachverhalt: A. Der 1970 geborene G._ war über die Arbeitslosenkasse bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall versichert, als am 23. Oktober 1997 innerorts ein nachfolgender Opel Senator ins Heck des von ihm gelenkten und für einen Abbiegevorgang angehaltenen Ford Fiesta prallte. Der Ford wurde dadurch weggeschleudert und kam auf dem Trottoir der Gegenfahrbahn zum Stillstand. G._ suchte gleichentags das Spital X._ auf, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine Kontusion der Lendenwirbelsäule (LWS) diagnostiziert wurde. In der Folge wurde auch ein mildes Schädel-Hirntrauma geltend gemacht. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 29. Juli 1998 eröffnete sie dem Versicherten, ab 8. Dezember 1997 werde das Taggeld wegen nurmehr geringfügiger Arbeitsunfähigkeit eingestellt. Auf den 19. Januar 1998 werde der Fall abgeschlossen, da wieder eine volle Arbeitsfähigkeit bestehe und keine behandlungsbedürftigen Unfallfolgen mehr vorlägen. Die SUVA verneinte überdies mit der Begründung, es fehle an einer unfallbedingten Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit und der Integrität, einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. September 1998 fest. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 27. Juli 2005 ab. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts) hob diesen Entscheid mit Urteil U 355/05 vom 3. August 2007 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese eine öffentliche Verhandlung durchführe und danach einen neuen Entscheid fälle. Das kantonale Gericht setzte hierauf wiederholt eine Verhandlung an, welche jeweils wegen Krankheit des Versicherten verschoben wurde. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2008 beraumte das Gericht eine öffentliche Verhandlung auf den 19. Januar 2009 an. Es hielt fest, G._ sei das Erscheinen freigestellt; die Verhandlung werde auch ohne seine Teilnahme durchgeführt. Auf eine hiegegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 8C_41/2009 vom 16. Januar 2009 nicht ein. Am 19. Januar 2009 fand die Verhandlung vor dem kantonalen Gericht statt. Der Rechtsvertreter des Versicherten nahm daran teil. G._ und die SUVA blieben der Verhandlung fern. B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2009 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde erneut ab. C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ab 8. Dezember 1997 die gesetzlichen Leistungen (nebst Verzugszins) nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 100 % und eines Integritätsschadens von mindestens 43.5 % zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz resp. die SUVA zurückzuweisen, wobei für die Zeit der noch vorzunehmenden Abklärungen Taggeld auszurichten sei. Weiter sei die SUVA zu verpflichten, die Kosten der von G._ veranlassten Abklärungen zu übernehmen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.