Sachverhalt: A. A.a. X._ (geb. 1951) leidet an einer schweren Alkoholabhängigkeit, die bei ihm zu schwerwiegenden Nebenfolgen, wie die Korsakow-Demenz führte. Überdies stürzte er mehrmals in alkoholisiertem Zustand und zog sich dabei lebensbedrohliche Verletzungen zu: So kam es 2003 zu einem ersten durch Alkoholabusus bedingten Sturz, der eine Hirnblutung zufolge hatte. X._ bezieht seit 1995 eine 100%-Invalidenrente und ist verbeiständet. A.b. Am 18. September 2012 verfügte das Bezirksamt Y._ die Zurückbehaltung von X._ in der psychiatrischen Klinik A._ verbunden mit dem Auftrag, eine geeignete Platzierungsmöglichkeit für seine Behandlung und Betreuung zu suchen. X._ hielt sich in der Folge bis zum 15. November 2012 in der Klinik auf und wurde schliesslich vom Bezirksamt Y._ zwecks Weiterführung der Betreuung und Behandlung in das Rehabilitationshaus B._ verlegt. A.c. Im Januar 2013 beantragte X._ beim nunmehr zuständigen Familiengericht (Erwachsenenschutzbehörde) die Aufhebung der fürsorgerischen Unterbringung, die ihm die angerufene Instanz mit Entscheid vom 17. Januar 2013 verweigerte. Eine dagegen erhobene Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau blieb erfolglos (Entscheid vom 29. Januar 2013). B. B.a. Im Rahmen einer periodischen Überprüfung der fürsorgerischen Unterbringung entschied das Familiengericht Y._ am 31. Juli 2013, die Voraussetzungen einer fürsorgerischen Unterbringung seien nach wie vor gegeben, weshalb X._ weiterhin im Rehabilitationshaus B._ zurückbehalten werde. B.b. X._ beschwerte sich dagegen mit Eingabe vom 2. August 2013 persönlich und mit einer weiteren Eingabe seines Anwaltes, Dr. Andreas Baumann, vom 9. August 2013 beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau gegen die Weiterführung der Massnahme und verlangte die Entlassung aus der Einrichtung. Anlässlich der Verhandlung vom 13. August 2013 hörte die angerufene Instanz den Betroffenen in Gegenwart seines Anwalts, den Beistand des Betroffenen, C._, sowie die Heimleiterin, D._, an. Befragt wurde ferner Dr. med. E._ als sachverständige Gutachterin. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. Der anwaltlich vertretene X._ (Beschwerdeführer) hat mit Eingabe vom 6. September 2013 (Postaufgabe) gegen das ihm am 2. September 2013 zugestellte Urteil des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihn aus der fürsorgerischen Unterbringung zu entlassen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.