Sachverhalt: A. Nachdem ein erstes Leistungsgesuch am 31. Mai 2002 abgelehnt worden war, meldete sich die 1948 geborene S._ im Juli 2005 erneut bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 22. November 2007 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 40 % ab 1. Februar 2005 eine Viertelsrente zu. B. Am 14. Januar 2008 erhob Rechtsanwalt Tim Walker namens und im Auftrag von S._ bei der IV-Stelle Einsprache und beantragte unter anderem, die Verfügung vom 22. November 2007 sei aufzuheben und seiner Mandantin eine höhere Invalidenrente zuzusprechen. Die Verwaltung überwies die Eingabe zuständigkeitshalber an das kantonale Versicherungsgericht zur Behandlung als Beschwerde. Mit präsidialem Entscheid vom 9. September 2008 trat das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen auf die Eingabe vom 14. Januar 2008 (Einsprache) nicht ein. C. S._ lässt durch Rechtsanwalt Tim Walker Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der Entscheid vom 9. September 2008 aufzuheben, soweit das Rechtsmittel ganz oder teilweise gutgeheissen werde, für das kantonale Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen sowie ein zweiter Schriftenwechsel nach Zustellung der Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten durchzuführen. Kantonales Gericht, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 11. Februar 2009 ist das Gesuch von S._ um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit abgewiesen worden.