Sachverhalt: A. Die 1966 geborene J._ meldete sich im Juni 2006 wegen eines chronischen Schmerzsyndroms bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen verneinte die IV-Stelle mit Vorbescheid vom 8. Mai 2007 einen Rentenanspruch. Am 21. Mai 2007 erhob J._ schriftlich Einwand und stellte weitere Berichte und zusätzliche Beweismittel in Aussicht. Mit Verfügung vom 15. Juni 2007 wies die Verwaltung das Leistungsbegehren ab. Mit Schreiben vom 4. Juli 2007 an die IV-Stelle wiederholte J._ unter Bezugnahme auf die "Mahnung vom 15. 06. 2007" den Einwand gegen den Vorbescheid, bat unter Hinweis auf den für den 11. Juli 2007 vereinbarten Termin beim Spezialisten um Geduld und kündigte an, medizinische Berichte nach Erhalt weiterzuleiten. Am 12. Juli 2007 teilte ihr die IV-Stelle mit, die Frist für das Einreichen von Einwänden sei nun abgelaufen; sie habe die Möglichkeit, gegen die Verfügung vom 15. Juni 2007 Beschwerde beim Versicherungsgericht einzureichen. B. Am 17. Oktober 2007 liess J._ Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen erheben, welches mit Entscheid vom 21. Januar 2008 darauf nicht eintrat. C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. Januar 2008 sei aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.