Sachverhalt: A. Das Betreibungsamt Schaffhausen vollzog in der gegen X._ laufenden Betreibung Nr. 1 (Gläubigerin: Y._ AG) am 14. Januar 2009 die Pfändung (Pfändungsurkunde vom 6. Februar 2009). Am 23. Februar 2009 verlangte die Gläubigerin die Nachpfändung von 100 Inhaberaktien der A._ AG, deren Alleinaktionär der Schuldner sein soll. Am folgenden Tag lud das Betreibungsamt X._ auf den 4. März 2009 zur Nachpfändung vor. Nachdem der Schuldner ausblieb, liess ihn das Betreibungsamt am 17. März 2009 (rechtshilfeweise durch das Gemeindeammann- und Betreibungsamt Niederglatt) einvernehmen. Auf die Frage nach 100 Inhaberaktien der A._ AG, welche gemäss Begehren der Gläubigerin zu pfänden seien, erklärte er, keine Aktien zu besitzen; diese seien auch nicht bei seiner Mutter. Er werde die Namen der Aktionäre nicht bekanntgeben. Mit Schreiben vom 25. März 2009 forderte das Betreibungsamt Schaffhausen X._ unter Strafandrohung auf, "die Eigentümer der Inhaberaktien der A._ AG mitzuteilen". B. Gegen diese Aufforderung gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Schaffhausen als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen. Er beklagte sich über das Vorgehen des Betreibungsamtes und beantragte die Aufhebung der Aufforderung vom 25. März 2009. Mit Entscheid vom 24. Juli 2009 wies die kantonale Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab und gab der Aufsichtsanzeige keine Folge. C. X._ ist mit als "staatsrechtliche Beschwerde" bezeichneter Eingabe vom 5. August 2009 (Postaufgabe) an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt sinngemäss die Aufhebung des Entscheides der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 24. Juli 2009 und der Aufforderung des Betreibungsamtes zur Auskunft vom 25. März 2009. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Präsidialverfügung vom 28. August 2009 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.