Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich führte gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen vorsätzlicher schwerer Körperverletzung und vorsätzlichen Verbreitens menschlicher Krankheiten. Mit Einstellungsverfügung vom 26. November 2004 wurde das Strafverfahren eingestellt. Die Verfügung ist in Rechtskraft erwachsen. Die Staatsanwaltschaft erhob indessen Anklage wegen fahrlässiger Begehung der gleichen Delikte. In der Anklageschrift vom 28. Juli 2005 wird A._ vorgeworfen, er habe die Geschädigte X._ beim ungeschützten Geschlechtsverkehr im Frühjahr/Sommer 2002 mit dem HI-Virus angesteckt. Dazu sei es gekommen, obwohl er früher mehrfach mit B._ ungeschützt sexuell verkehrt und diese ihm im Juli 2000 mitgeteilt habe, dass sie HIV-positiv sei. Im Wissen um die Möglichkeit, von B._ oder einer anderen Person mit dem HI-Virus angesteckt worden zu sein, habe A._ es unterlassen, einen HIV-Test zu machen, und die Geschädigte über das Ansteckungsrisiko nicht aufgeklärt. Damit habe er den ungeschützten Geschlechtsverkehr - auf die Nichtexistenz der eigenen HIV-Positivität und das Ausbleiben einer Infizierung vertrauend - in pflichtwidriger Unvorsicht ausgeführt. B. Das Bezirksgericht Zürich sprach A._ am 27. März 2006 der fahrlässigen schweren Körperverletzung (Art. 125 Abs. 1 und 2 StGB) sowie der fahrlässigen Verbreitung menschlicher Krankheiten (Art. 231 Ziff. 2 StGB) schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 9 Monaten. Es verpflichtete ihn, der Geschädigten X._ eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 30'000.-- zu bezahlen und ihr den aus der HIV-Infizierung entstandenen Schaden vollumfänglich zu ersetzen. Für die Bemessung des Schadenersatzes verwies es die Geschädigte auf den Zivilweg. C. Gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhob A._ Berufung (im Schuldpunkt) und X._ Anschlussberufung (im Zivilpunkt). Mit Urteil vom 28. März 2007 sprach das Obergericht des Kantons Zürich A._ vollumfänglich frei. Auf die Zivilforderungen der Geschädigten trat es nicht ein. D. X._ führt gegen das Urteil des Obergerichts vom 28. März 2007 Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und der Beschwerdegegner der schweren fahrlässigen Körperverletzung im Sinne von Art. 125 Abs. 1 und 2 StGB sowie der fahrlässigen Verbreitung menschlicher Krankheiten im Sinne von Art. 231 Ziff. 2 StGB schuldig zu sprechen und angemessen zu bestrafen. X._ verlangt weiter, der Beschwerdegegner sei zu Schadenersatz und Genugtuung zu verpflichten, es seien ihm die Kosten des vorinstanzlichen und des vorliegenden Verfahrens vollumfänglich aufzuerlegen, und sie sei für beide Verfahren angemessen zu entschädigen. Schliesslich stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. E. Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich lässt sich mit dem Antrag auf Gutheissung der Beschwerde vernehmen. A._ beantragt deren vollumfängliche Abweisung.