Sachverhalt: A. A.a. Über X._ wurde am 23. April 2012 durch den bis am 31. Dezember 2012 als Vormundschaftsbehörde tätigen Gemeinderat Z._ eine Beiratschaft gemäss Art. 395 Abs. 1 und Abs. 2 aZGB errichtet. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim bis am 31. Dezember 2012 zuständigen Bezirksamt Z._ und machte gegen den Bezirksamtmann von Y._ Ausstandsgründe geltend. Im Verlaufe des Verfahrens stellte er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 15. Oktober 2012 sistierte das Bezirksamt das Beschwerdeverfahren bis zum Entscheid des Regierungsrates über das Ausstandsbegehren. A.b. Mit Eingabe vom 4. Januar 2013 verlangte X._ die Feststellung der Nichtigkeit der angeordneten Beiratschaft infolge Inkrafttretens des neuen Erwachsenenschutzrechts. Zudem lehnte er vier Oberrichter als befangen ab. A.c. Das Obergericht, welches die Beurteilung der Beschwerde von X._ aufgrund der ab 1. Januar 2013 geltenden Behördenorganisation im Erwachsenenschutzrecht zur weiteren Bearbeitung übernommen hatte, setzte diesem mit Präsidialverfügung vom 18. Januar 2013 eine Frist von zehn Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.--. X._ hielt daraufhin an seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege fest. A.d. Mit Verfügung vom 19. Februar 2013 wies der Instruktionsrichter das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte X._ eine letzte Frist von 10 Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses. In seiner Eingabe vom 12. März 2013 setzte X._ das Obergericht in Kenntnis, dass er die erwähnte Verfügung beim Bundesgericht anfechten werde und daher erst nach dem Entscheid über seine Beschwerde eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt werden dürfe; in diesem Sinne ersuche er um entsprechende Fristverlängerung. Das Bundesgericht trat mit Urteil 5A_276/2013 vom 17. April 2013 auf die Beschwerde von X._ nicht ein. B. Mit Entscheid vom 13. Juni 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde von X._ gegen seine Verbeiratung nicht ein, da der verlangte Kostenvorschuss nicht geleistet worden war. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Juli 2013 (Postaufgabe) ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Anweisung an die Vorinstanz, ihm eine neue Frist für einen angemessenen Kostenvorschuss anzusetzen. Er verlangt die sofortige Anordnung der aufschiebenden Wirkung. Zudem stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer den Ausstand von Herrn Präsident von Werdt und von Herrn Gerichtsschreiber Füllemann. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Familiengericht hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.