Sachverhalt: A. A.a Am 15. Oktober 2001 wurde D._ Opfer eines Tötungsdelikts. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach den Täter mit Urteil vom 6. Februar 2004 unter anderem der vorsätzlichen Tötung für schuldig und bestrafte ihn mit 14 Jahren und 9 Monaten Zuchthaus sowie mit einem Landesverweis von 15 Jahren. Ausserdem verpflichtete es den Täter, dem Vater des Opfers, B._, eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- nebst Zins sowie Schadenersatz von Fr. 11'952.70, der Mutter des Opfers, A._, eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- nebst Zins sowie Schadenersatz von Fr. 3'029.20 und dem Bruder des Opfers, C._, eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Dieses Urteil des Geschworenengerichts ist rechtskräftig. A.b Am 27. November 2003 stellten die Eltern des Opfers bei der Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Gesuch um Ausrichtung einer Entschädigung und einer Genugtuung. Am 18. Dezember 2003 substanziierten die Eltern ihre Gesuche um finanzielle Opferhilfe. Gleichzeitig stellte der Bruder des Opfers ein Gesuch um finanzielle Opferhilfe. Mit Verfügung vom 7. März 2008 wies die kantonale Opferhilfestelle sämtliche Gesuche ab. Gegen die Verfügung der Opferhilfestelle beschwerten sich die Eltern und der Bruder des Opfers beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Es wurde beantragt, dass den Eltern je eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- zuzüglich Zins und eine Entschädigung von insgesamt Fr. 14'929.90 zuzüglich Zins und dem Bruder eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- zuzüglich Zins auszurichten seien. Mit Urteil vom 20. Oktober 2009 wies das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde ab. Es begründete seinen Entscheid damit, dass die Eltern das Opferhilfegesuch nicht rechtzeitig innerhalb der gesetzlich vorgesehenen zweijährigen Verwirkungsfrist gestellt hätten, obwohl sie von den Behörden auf die Verwirkungsfrist hingewiesen worden seien. Bezüglich des Bruders liess das Gericht die Frage offen, ob ihm die Verwirkungsfrist entgegengehalten werden könne, da er mangels einer engen Beziehung zum Verstorbenen ohnehin keine finanzielle Opferhilfe beanspruchen könne. B. A._, B._ und C._ haben gegen das Urteil des Sozialversicherungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und "die Klage der Beschwerdeführer 1-3 nach Massgabe des Bundesrechts in billiger und fairer Weise zu beurteilen und gutzuheissen". Eventualiter sei das Urteil aufzuheben und die Akten an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen neu entscheiden könne. Ferner ersuchen die Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren. C. Das Sozialversicherungsgericht und die kantonale Opferhilfestelle verzichten auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesverwaltungsbehörde verzichtet ebenfalls auf Stellungnahme.