Sachverhalt: A. Der 1958 geborene A._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 18. April 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 46 % vom 1. Oktober 1999 bis 31. Oktober 2000 eine halbe Härtefallrente und ab 1. Januar 2001 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung. Mit Verfügung vom 4. März 2008 erhöhte die Verwaltung den Anspruch revisionsweise per 1. September 2004 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % auf eine halbe Rente. Im Rahmen eines weiteren Revisionsverfahrens holte die nunmehr zuständige IV-Stelle des Kantons Aargau ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten der Medizinische Begutachtungsstelle B._ vom 27. August 2012 ein. Mit Verfügung vom 15. Januar 2013 hob sie die Rente auf den ersten Tag des zweiten Monats nach Zustellung der Verfügung auf. Sie begründete dies damit, die Prüfung des Leistungsanspruchs nach den Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket (nachfolgend: SchlBest IVG) habe einen Invaliditätsgrad von lediglich 33 % ergeben. Zugleich sprach die Verwaltung dem Versicherten berufliche Wiedereingliederungsmassnahmen zu. B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau lud die AXA Winterthur als berufliche Vorsorgeeinrichtung bei. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 wies es die Beschwerde und zugleich - mangels ausgewiesener Bedürftigkeit - das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und weiterhin eine halbe Rente, eventuell eine Viertelsrente zuzusprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.