Sachverhalt: A. Rechtsanwalt X._ (praktizierend in F._) vertrat A._ gegen ihren von Rechtsanwalt Y._ (praktizierend in G._) vertretenen Ehemann B._ in einem Ehescheidungs- bzw. Eheschutzverfahren (vgl. u.a. das Urteil des Bundesgerichts 5P.182/2005 vom 21. Oktober 2005). Im Zusammenhang mit diesem Verfahren zeigte Rechtsanwalt Y._ seinen Berufskollegen X._ bei der Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri an und verlangte, gegen Kollege X._ sei eine disziplinarische Massnahme wegen Verletzung der Berufsregeln zu verfügen. Mit Entscheid vom 30. Mai 2007 belegte die Aufsichtskommission Rechtsanwalt X._ wegen Verletzung von Berufsregeln gestützt auf Art. 12 lit. a in Verbindung mit Art. 17 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) mit einem Verweis. B. Entgegen der diesem Entscheid beigegebenen, auf die Weiterzugsmöglichkeit an das Bundesgericht hinweisenden Rechtsmittelbelehrung erhob Rechtsanwalt X._ am 8. August 2007 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Uri. Dieses trat mit Entscheid vom 3. April 2008 auf die Beschwerde nicht ein. C. Mit Eingabe vom 5. Mai 2008 führt Rechtsanwalt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 3. April 2007 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 8. August 2007 einzutreten. Die Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht des Kantons Uri verweist auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (Bundesamt für Justiz) verzichtet auf eine Stellungnahme.