Sachverhalt: A. Die 1955 geborene K._ meldete sich im März 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle Luzern klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) polydisziplinär, insbesondere viszeralchirurgisch und psychiatrisch, begutachten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Juli 2007 den Anspruch auf eine Invalidenrente. B. Die Beschwerde der K._ hiess die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern mit Entscheid vom 2. Dezember 2008 in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 19. Juli 2007 aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, der Versicherten für die Zeit vom 1. November 2003 bis 31. August 2005 eine halbe Rente und ab 1. September 2005 eine ganze Rente auszurichten. C. Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlichen-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 2. Dezember 2008 sei aufzuheben. K._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit darauf einzutreten ist. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 5. Februar 2009 hat die Instruktionsrichterin im Sinne einer provisorischen Anordnung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.