Sachverhalt: A. Am 11. Februar 2014 eröffnete der Präsident des Kantonsgerichts Obwalden über die X._ AG auf Begehren der Y._ AG den Konkurs. B. Dagegen erhob die X._ AG mit Eingabe vom 24. Februar 2014 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Obwalden. Am 3. März 2014 reichte sie weitere Unterlagen ein. Das Obergericht holte seinerseits beim Betreibungsamt Obwalden Auskünfte über die Schuldnerin ein, wozu sich die X._ AG mit Eingabe vom 17. März 2014 vernehmen liess. Mit Entscheid vom 21. März 2014 wies das Obergericht die gegen die Konkurseröffnung gerichtete Beschwerde ab. Zur Begründung hielt es fest, die X._ AG habe den geschuldeten Betrag nachgewiesenermassen an das Betreibungs- und Konkursamt Obwalden zuhanden der Y._ AG als Gläubigerin bezahlt. Zwar habe sie damit bewiesen, dass die Schuld einschliesslich Zinsen und Kosten getilgt sei, doch habe sie ihre Zahlungsfähigkeit nicht glaubhaft machen können. C. Die X._ AG (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 24. April 2014 an das Bundesgericht und beantragt, das obergerichtliche Urteil vom 21. März 2014 sowie die Konkurseröffnung aufzuheben. Zudem beantragt sie, das Betreibungs- und Konkursamt Obwalden anzuweisen, der Y._ AG (Beschwerdegegnerin) den einbezahlten Betrag von Fr. 2'013.15 auszuzahlen. Weiter ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdegegnerin hat sich hinsichtlich des Gesuchs um aufschiebende Wirkung nicht vernehmen lassen und das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2014 ist der Beschwerde in dem Sinne aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, als der Konkurs eröffnet bleibt, Vollstreckungsmassnahmen bis zum Entscheid des Bundesgerichts jedoch zu unterbleiben haben. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.