Sachverhalt: A. Die 1977 geborene M._ meldete sich am 25. Mai 2009 wegen Migräne, Akne inversa sowie psychischen Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt tätigte diverse Abklärungen und holte beim Begutachtungszentrum Y._ ein polydisziplinäres Gutachten vom 7. September 2011 ein. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte sie mit Verfügung vom 30. November 2011 einen Rentenanspruch der Versicherten. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 23. April 2012 gut, hob die Verfügung vom 30. November 2011 auf und verpflichtete die IV-Stelle der Versicherten ab November 2009 bis Januar 2010 eine halbe Rente und ab Februar 2010 eine Viertelsrente auszurichten. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei ein Anspruch der Versicherten auf eine Viertelsrente anzuerkennen. Zudem ersucht sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. Die Versicherte lässt Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, soweit nicht die Monate November 2009 bis Februar 2010 betreffend, beantragen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen schliesst auf Gutheissung der Beschwerde der IV-Stelle und beantragt die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides, soweit der Versicherten von November 2009 bis Januar 2010 mehr als eine Viertelsrente zugesprochen wurde. D. Mit Verfügung vom 11. Januar 2011 hat das Bundesgericht der Beschwerde der IV-Stelle die aufschiebende Wirkung für die Zeit vom 1. November 2009 bis 31. Januar 2010 zuerkannt.