Sachverhalt: A. Die 1944 geborene G._ ist kosovarische Staatsangehörige und wohnt in Kosovo. Nachdem ihr am 3. März 1938 geborener Ehemann, ebenfalls kosovarischer Staatsangehöriger, am 27. August 2010 verstorben war, meldete sie sich am 8. Oktober 2010 (Eingang 9. November 2010) bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer Hinterlassenenrente an. Am 30. November 2010 verneinte die SAK verfügungsweise einen entsprechenden Anspruch, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, sie kosovarische Staatsangehörige sei und ihren Wohnsitz ausserhalb der Schweiz habe. Auf Einsprache hin hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 4. April 2011 daran fest. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 12. Januar 2012 in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid vom 4. April 2011 und die Verfügung vom 30. November 2010 aufhob und die Sache an die SAK zurückwies "damit sie die Prüfung des Antrags der Beschwerdeführerin auf Ausrichtung einer Hinterlassenenrente fortsetze und anschliessend unter Anwendung des noch in Kraft stehenden Sozialversicherungsabkommens in der Sache neu verfüge". Auf die dagegen erhobene Beschwerde des Bundesamtes für Sozialversicherungen (BSV) trat das Bundesgericht mit Urteil 9C_167/2012 vom 23. Mai 2012 nicht ein, weil das BSV die Rechtsmittelvoraussetzungen des angefochtenen Zwischenentscheides nicht substanziiert habe. In Nachachtung des Entscheides des Bundesverwaltungsgerichts prüfte die SAK den Rentenanspruch und teilte G._ mit Verfügung vom 6. August 2012 mit, sie hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine Witwenrente in der Höhe von monatlich Fr. 337.- ab 1. September 2010 und Fr. 343.- ab 1. Januar 2011, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse ihr Antrag dennoch abgewiesen werden. Auf Einsprache hin hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 24. September 2012 daran fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht gut und sprach G._ eine monatliche Witwenrente von Fr. 337.- mit Wirkung ab 1. September 2010 zu (Entscheid vom 14. Juni 2013). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 (recte: 24. September 2012) zu bestätigen. G._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das BSV und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.