Sachverhalt: A. Die Eheleute X._ (geb. 1977; Ehefrau) und Y._ (geb. 1980; Ehemann) sind die gemeinsamen Eltern der Kinder A._ (geb. 2005) und B._ (geb. 2008). Am 23. April 2013 beantragte der Ehemann beim Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt Eheschutzmassnahmen; diesem Begehren entsprach das angerufene Gericht mit Urteil vom 10. Juli 2013; es stellte fest, dass die Parteien zum Getrenntleben berechtigt sind und seit dem 12. Februar 2013 getrennt leben. Der Ehemann wurde verpflichtet, der Ehefrau an den Unterhalt der Kinder mit Wirkung ab Mitte Februar 2013 monatlich vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von je Fr. 985.-- zuzüglich allfälliger Kinder- und Familienzulagen (5) sowie an den Unterhalt der Ehefrau persönlich ab Mitte Februar 2013 bis Ende Mai 2013 Fr. 305.-- und ab 1. Juni 2013 Fr. 870.-- pro Monat zu bezahlen (6). Im Weiteren stellte die erste Instanz fest, dass in der Berechnung der Unterhaltsbeiträge für die Ehefrau die gemeinsamen Steuerschulden für das Jahr 2011 in der Bedarfsrechnung des Ehemannes enthalten sind und im Rahmen einer späteren güterrechtlichen Auseinandersetzung nicht mehr berücksichtigt werden können (7). B. Mit Urteil vom 22. Oktober 2013 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die vom Ehemann erhobene Berufung ab. In teilweiser Gutheissung der Berufung der Ehefrau hob es die Ziffern 5 und 6 des erstinstanzlichen Urteils auf und verpflichtete den Ehemann, an den Unterhalt der Kinder ab Mitte Februar 2013 monatlich vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von je Fr. 995.--, zuzüglich allfälliger Kinder- und Familienzulagen zu bezahlen und an den Unterhalt der Ehefrau monatlich und im Voraus ab Mitte Februar 2013 bis Ende Mai 2013 mit Fr. 360.-- und ab 1. Juni 2013 mit Fr. 1'015.-- beizutragen. C. Die Ehefrau (Beschwerdeführerin) hat am 25. November 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das Urteil des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, das angefochtene Urteil aufzuheben und den Ehemann (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr persönlich mit Wirkung ab 1. Juni 2013 und für die weitere Dauer des Verfahrens monatlich und zum Voraus Fr. 1'738.50 zu bezahlen. Ferner sei der Beschwerdegegner zu sämtlichen Gerichtskosten (der kantonalen Verfahren) zu verurteilen. Schliesslich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Vernehmlassung vom 12. März 2014 (Postaufgabe), die Beschwerde abzuweisen und im Fall ihrer Gutheissung die Ziff. 7 des Urteils des Gerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt aufzuheben und ersatzlos zu streichen. Auch er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Beschwerdeführerin hat auf Replik verzichtet. D. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 22. Mai 2014 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.