Sachverhalt: A. A.a Mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Stadt vom 6. Januar 2004 wurde die Ehe von Z._ und X._-Y._ geschieden. Die Kinder S._ (geb. 1995) und T._ (geb. 1998) wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt, welche nach der Scheidung wieder ihren angestammten Namen "Y._" annahm und seit der Heirat am 13. Mai 2005 den Familiennamen "X._" trägt. A.b In der Folge reichte X._-Y._ als gesetzliche Vertreterin der beiden unmündigen Kinder bei der zuständigen Behörde ein Gesuch um Namensänderung gemäss Art. 30 Abs. 1 ZGB ein, mit welchem sie die Änderung des Familiennamens der Kinder von "Z._" in "X._" verlangte. Das Gesuch wurde abgelehnt. Mit Urteil vom 16. Juni 2008 wies das Bundesgericht eine gegen diese Verweigerung der Namensänderung eingereichte Beschwerde in Zivilsachen der beiden Kinder ab, soweit darauf einzutreten war (5A_61/2008). A.c Am 7. November 2006 gelangte Z._ an das Amtsgericht Luzern-Stadt und ersuchte um vorsorgliche Massnahmen zum Schutz seiner Persönlichkeit gemäss Art. 28c ZGB. Er beantragte im Wesentlichen, X._-Y._ sei zu verpflichten, es bis zum Abschluss des Namensänderungsverfahrens zu unterlassen, die Kinder mit dem Namen "X._" zu benennen. Mit Entscheid vom 5. Februar 2007 hiess der Amtsgerichtspräsident II von Luzern-Stadt das Begehren gut und setzte Z._ eine Frist von 30 Tagen zur Klageeinreichung an, ansonsten die angeordneten Massnahmen dahinfielen. Sowohl das Obergericht des Kantons Luzern wie auch das Bundesgericht schützten auf Rechtsmittel der X._-Y._ hin diesen Entscheid (Urteil 5A_190/2007 vom 10. August 2007). B. B.a Am 2. Mai 2007 klagte Z._ beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen X._-Y._ mit dem Antrag, die schon in den vorsorglichen Massnahmen gestellten Begehren nunmehr als definitives Urteil zu erlassen. B.b Nachdem mit Urteil des Bundesgerichts vom 16. Juni 2008 die Namensänderung endgültig abgewiesen worden war (5A_61/2008), hiess das Amtsgericht mit Urteil vom 15. Dezember 2008 die von Z._ angehobene Klage gut. Eine von X._-Y._ dagegen erhobene Appellation wies das Obergericht des Kantons Luzern am 10. November 2009 ab und verbot X._-Y._ unter Androhung der Bestrafung nach Art. 292 StGB im Wiederhandlungsfall, "die Kinder S._ Z._ und T._ Z._ ausserhalb des privaten Bereichs im Sinne der Erwägungen gegenüber jeglichen Dritten, unabhängig ob es sich dabei um Private oder Behörden handelt, S._ X._ und T._ X._ zu nennen". Zudem verpflichtete es X._-Y._, "sämtliche aktuellen mit S._ X._ und T._ X._ bestehenden Informationen und Eintragungen in privaten Büchern und Registern sowie in öffentlich zugänglichen Büchern und Registern unverzüglich zu berichtigen sowie Eintragungen von S._ Z._ und T._ Z._ unter dem Namen X._ zu unterlassen". Überdies verhielt das Obergericht X._-Y._ dazu, Z._ eine Genugtuung von Fr. 1'000.- zu bezahlen. C. Dagegen hat X._-Y._ beim Bundesgericht mit Eingabe vom 1. Februar 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Mit Präsidialverfügung vom 5. März 2010 ist das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung dem Antrag des Beschwerdegegners entsprechend abgewiesen worden. Zur Sache selbst ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. D. Der Beschwerdegegner ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.