Sachverhalt: A. Das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland führt seit dem 17. August 2007 eine Voruntersuchung gegen X._ wegen des Verdachtes der ungetreuen Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung mit einem mutmasslichen Deliktsbetrag von über Fr. 200'000.--. Der Angeschuldigte ist Strafanzeiger in einem separaten Strafverfahren. Am 13. November 2007 stellte der Angeschuldigte gegen den Untersuchungsrichter und den ermittelnden Beamten der Kantonspolizei ein Ablehnungsgesuch, auf welches das Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, mit Beschluss vom 5. Februar 2008 nicht eintrat. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 9. Juni 2008 ab (Verfahren 1B_64/2008). B. Am 24. September 2009 reichte der Angeschuldigte beim Obergericht eine Beschwerde gegen polizeiliche Ermittlungshandlungen ein. Am 25. September 2009 stellte er ein weiteres Ablehnungsgesuch gegen den ermittelnden Beamten der Kantonspolizei. Mit Beschluss vom 12. Februar 2010 wies das Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, die Beschwerde und das Ausstandsbegehren ab. C. Gegen den Beschluss des Obergerichtes vom 12. Februar 2010 gelangte X._ mit Beschwerde vom 19. März 2010 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung von Ziffer 3 des Dispositives des angefochtenen Entscheides (betreffend Ausstandsbegehren). Das Untersuchungsrichteramt und der vom Ausstandsbegehren betroffene Ermittlungsbeamte haben auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet. Das Obergericht beantragt (mit Hinweis auf den angefochtenen Entscheid) die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 26. April 2010 bewilligte das Bundesgericht die aufschiebende Wirkung der Beschwerde.