Sachverhalt: A. Der kubanische Staatsangehörige A._ (geb. 1968) reiste am 5. Oktober 2002 in die Schweiz ein. Nach Ablauf seines Visums am 30. November 2002 blieb er in der Schweiz, worauf er wegen verschiedener Verstösse gegen die Ausländergesetzgebung wie folgt bestraft wurde: - 19. Januar 2004: 25 Tage Gefängnis bedingt und Busse von Fr. 300.--; - 9. September 2004: Busse von Fr. 900.--; - 6. September 2005: 30 Tage Gefängnis bedingt; - 28. Februar 2006: 45 Tage Gefängnis unbedingt. Ein am 6. September 2005 gestelltes Asylgesuch wie das Bundesamt für Migration am 28. September 2005 ab; auf einen dagegen erhobenen Rekurs trat die (damalige) Asylrekurskommission am 22. November 2005 nicht ein. A._ liess die Ausreisefrist ungenutzt verstreichen, worauf der Bereich Dienste (heute: Migrationsamt) des Kantons Basel-Stadt ihn am 19. Dezember 2005 vom ganzen Kantonsgebiet ausgrenzte. Nachdem A._ seine Gefängnisstrafe von 45 Tagen verbüsst hatte, wurde er unter Androhung der Ausschaffungshaft zum unverzüglichen Verlassen der Schweiz verpflichtet. Am 27. Juli 2006 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte kubanische Staatsangehörige B._, worauf ihm am 10. Mai 2007 die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt unter diversen Bedingungen vorläufig für sechs Monate erteilt und die Ausgrenzung aufgehoben wurde. Die Ehegemeinschaft wurde am 24. März 2008 aufgegeben. Am 6. November 2008 wurde E.C._ geboren, der gemeinsame Sohn von A._ und der brasilianischen Staatsangehörigen D.C._. A._ anerkannte seinen Sohn am 15. Januar 2010. Die Ehe mit B._ wurde am 19. April 2010 geschieden. Zwischen 1. April 2009 und 30. September 2010 wurde A._ von der Sozialhilfe mit einem Gesamtbetrag von Fr. 9'476.75 unterstützt. B. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs ordnete das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt am 4. November 2010 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung an und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 14. März 2013 ab. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 27. Januar 2014. C. A._ erhebt am 10. März 2014 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er beantragt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Appellationsgericht, das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.