Sachverhalt: Sachverhalt: A. B._ war bis Ende November/Anfangs Dezember 1987 bei der Bank X._ (Klägerin und Widerbeklagte, im Folgenden Klägerin) als Bereichsleiter der Abteilung Wertschriften/Anlagen im Range eines Vizedirektors tätig. Ab Herbst 1982 nahm B._ zu Lasten diverser Kunden der Klägerin spekulative Investitionen in Goldminenprojekte in Mexiko und Kanada vor. Unter anderem investierte er Kundengelder von insgesamt US$ 3'346'000.-- in Partizipationsscheine (PS) der Y._ SA, die auf diesem Weg in ein Minenprojekt in Mexiko flossen. B._ wurde mit Urteil des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 2. März 1994 wegen mehrfacher qualifizierter Veruntreuung etc. zu einer bedingt vollstreckbaren Gefängnisstrafe verurteilt. A.a Am 27. August 1986 eröffnete A._ (Beklagter und Widerkläger im kantonalen Verfahren, verstorben am 1. September 2002) bei der Klägerin ein offenes Depot. (im Folgenden "Konto von A._ "). Unter demselben Datum erteilte er D._, einem ehemaligen Dienstkollegen von B._, darüber Vollmacht. Vom 28. August 1986 bis zum 10. Oktober 1986 lieferte B._ in das Depot von A._ Y._ SA-PS bzw. Bestätigungen zur Zeichnung dieser Papiere im Nominalwert von US$ 2'271'000.-- (entsprechend einem Wert von SFr. 4'028'111.90) ein. Die entsprechenden Papiere hatten zuvor auf die Klägerin gelautet. A.b In der Zeit vom 28. August 1986 bis zum 29. Dezember 1986 verkaufte B._ aus dem Depot von A._ Y._ SA-PS im Betrag von nominal US$ 1'736'000.-- zum Preis von insgesamt Fr. 3'169'957.60 wieder an die Klägerin und schrieb diesen Betrag dem Konto von A._ gut. Die verbliebenen Y._ SA-PS im Nominalwert von US$ 535'000.-- stornierte die Klägerin am 10. Dezember 1987 und schrieb dem Konto von A._ dafür Fr. 858'154.30 gut. Nach ihrer Darstellung wollte sie damit gegenüber A._ wie gegenüber andern Kunden eine Schadenersatzpflicht erfüllen, nachdem sie festgestellt hatte, dass B._ nicht existierende Y._ SA-PS verkauft hatte. Insgesamt wurden dem Konto von A._ durch Verkauf bzw. Stornierung von Y._ SA-PS Fr. 4'028'111.90 gutgeschrieben. A.c Vom 4. September 1986 bis zum 21. Oktober 1986 führte die Klägerin auf Anweisung des Bevollmächtigten D._ zu Lasten des Kontos von A._ Zahlungen über insgesamt Fr. 2'050'000.-- an die Z._ AG aus, die als Überbrückungskredit für eine Mine in Mexiko bestimmt waren. Am 19. Februar 1987 überwies die Klägerin ohne schriftliche Anweisung ab dem Konto von A._ Fr. 234'575.-- (bzw. Can$ 200'000.--) an die E._ Co. in Kanada. Auf persönliche Anweisung von A._ wurden schliesslich am 24. Februar 1987 zu Lasten seines Kontos weitere Fr. 430'000.-- an die Z._ AG überwiesen. Insgesamt wurden dem Konto von A._ aus diesen Überweisungen Fr. 2'714'575.-- belastet. A.c Vom 4. September 1986 bis zum 21. Oktober 1986 führte die Klägerin auf Anweisung des Bevollmächtigten D._ zu Lasten des Kontos von A._ Zahlungen über insgesamt Fr. 2'050'000.-- an die Z._ AG aus, die als Überbrückungskredit für eine Mine in Mexiko bestimmt waren. Am 19. Februar 1987 überwies die Klägerin ohne schriftliche Anweisung ab dem Konto von A._ Fr. 234'575.-- (bzw. Can$ 200'000.--) an die E._ Co. in Kanada. Auf persönliche Anweisung von A._ wurden schliesslich am 24. Februar 1987 zu Lasten seines Kontos weitere Fr. 430'000.-- an die Z._ AG überwiesen. Insgesamt wurden dem Konto von A._ aus diesen Überweisungen Fr. 2'714'575.-- belastet. B. Am 23. August 1990 gelangte die Klägerin an das Kantonsgericht Schaffhausen mit dem Begehren, A._ sei zu verpflichten, ihr Fr. 4'028'111.90 nebst Zins zu bezahlen. Sie machte im Wesentlichen geltend, der Beklagte sei in den Jahren 1984/85 noch gar nicht ihr Kunde gewesen, weshalb er entgegen seiner Behauptung keine Bareinlagen ohne Quittungen im Umfang von rund Fr. 4'000'000.-- getätigt habe. Sie stellte sich unter anderem insbesondere auf den Standpunkt, die Gutschriften über insgesamt Fr. 4'028'111.90 auf dem Konto von A._ seien grundlos erfolgt. A._ reichte am 8. April 1993 seinerseits Klage beim Kantonsgericht Schaffhausen ein. Er beantragte, die Klägerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 2'714'575.-- nebst Zins zu bezahlen. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, entsprechende Überweisungen ab seinem Konto seien sorgfaltswidrig erfolgt. Das Kantonsgericht vereinigte die Verfahren und behandelte die Klage von A._ als Widerklage. Am 25. September 2000 wies es nach einem umfangreichen Beweisverfahren sowohl Klage wie Widerklage ab. Gegen dieses Urteil gelangten sowohl die Klägerin als auch A._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses wies am 7. Juni 2002 beide Rechtsmittel ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil mit Abweisung von Klage (Dispositivziffer 1) und Widerklage (Dispositivziffer 2). Das Gericht kam in Würdigung der Beweise insbesondere zum Schluss, es sei weder der Klägerin noch dem Beklagten gelungen nachzuweisen, dass A._ der Klägerin über deren Organ B._ vor Kontoeröffnung rund Fr. 4'000'000.-- in bar übergeben habe bzw. nicht übergeben habe. Gegen dieses Urteil gelangten sowohl die Klägerin als auch A._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses wies am 7. Juni 2002 beide Rechtsmittel ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil mit Abweisung von Klage (Dispositivziffer 1) und Widerklage (Dispositivziffer 2). Das Gericht kam in Würdigung der Beweise insbesondere zum Schluss, es sei weder der Klägerin noch dem Beklagten gelungen nachzuweisen, dass A._ der Klägerin über deren Organ B._ vor Kontoeröffnung rund Fr. 4'000'000.-- in bar übergeben habe bzw. nicht übergeben habe. C. Mit eidgenössischer Berufung vom 6. September 2002 stellen die Töchter und gesetzlichen Erbinnen von A._ (im Folgenden: Beklagte), die Anträge, Ziffer 2 des Dispositivs des obergerichtlichen Urteils vom 7. Juni 2002 sei aufzuheben und die Klägerin sei zu verpflichten, den Beklagten SFr. 2'714'575.-- nebst Zins zu 5% auf Teilbeträgen mit unterschiedlichen Fälligkeiten zu bezahlen. Sie rügen die Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften, insbesondere von Art. 8 ZGB durch unrichtige Verteilung der Beweislast und unhaltbare Beweiswürdigung. Überdies machen sie geltend, aus der allgemeinen Lebens- und Bankerfahrung sowie dem Strafurteil gegen B._ hätten andere Schlüsse gezogen werden müssen als dies die Vorinstanz im angefochtenen Urteil getan habe. Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung und beantragt mit Anschlussberufung, Ziffer 1 des Dispositivs des Urteils des Obergerichts aufzuheben und die Beklagten zu verpflichten, der Klägerin Fr. 4'028'111.90 nebst 5% Zins auf verschiedenen Fälligkeiten zu bezahlen. Sie rügt die Verletzung der Art. 8 und 2 ZGB. Die Beklagten beantragen in der Antwort, die Anschlussberufung sei abzuweisen.