Sachverhalt: A. X._ stellte am 31. Dezember 2007 bei der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde (RAB) das Gesuch um Zulassung seiner Gesellschaft Y._ AG (ab 13. Januar 2009 umfirmiert in Z._ AG) als Revisionsexpertin und um entsprechenden Eintrag in das Revisorenregister. Am 23. Januar 2008 bat die Revisionsaufsichtsbehörde die Y._ AG, ihre Mitarbeitenden aufzufordern, sich beim Register der RAB anzumelden bzw. sich mit der Unternehmung zu verbinden. Am 28. Januar 2008 stellte X._ das Gesuch um persönliche Zulassung als Revisionsexperte. Am 9. September 2009 teilte die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde der Z._ AG u.a. mit, sie habe festgestellt, dass letztere als Revisionsstelle bei verschiedenen Gesellschaften im Handelsregister eingetragen sei und zwar ein Gesuch um Zulassung gestellt habe, jedoch aktuell über keine Zulassung der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde verfüge. X._ und die Z._ AG liessen darauf am 2. November 2009 u.a. antworten, es seien die Gesuche der Gesellschaft und von X._ hängig und gestützt auf die Übergangsbestimmungen von Art. 43 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302) seien sie davon ausgegangen, dass sie bis zum definitiven Entscheid über die Zulassung als Revisor/in bzw. Revisionsexperte/in Revisionsdienstleistungen erbringen dürften. B. Mit Verfügung vom 19. November 2009 wies die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde das Gesuch von X._ um Zulassung als Revisionsexperte ab, soweit sie darauf eintrat. Das in diesem Gesuch enthaltene Gesuch um Zulassung als Revisor wies sie ebenfalls ab. Die Revisionsaufsichtsbehörde erwog im Wesentlichen, X._ habe nach dem 1. Januar 2008 Revisionsdienstleistungen erbracht, ohne über eine entsprechende Zulassung zu verfügen. Sie verwarf dessen Auffassung, wonach er gutgläubig habe davon ausgehen können, mit Einreichung des Zulassungsgesuches seiner Gesellschaft über eine persönliche Zulassung zu verfügen. Es ergebe sich daraus, dass der Gesuchsteller nicht für eine einwandfreie Erbringung von Revisionsdienstleistungen bürge. Ferner hielt sie fest, X._ verfüge auch nicht über die notwendige (beaufsichtigte) Fachpraxis, um als Revisionsexperte zugelassen werden zu können. Mit Urteil vom 6. Mai 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 7. Juni 2010 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das genannte Urteil sowie die diesem zugrunde liegende Verfügung aufzuheben, ihn als Revisionsexperte gemäss Art. 4 RAG zuzulassen und ins Register aufzunehmen sowie ihn als Revisor gemäss Art. 5 der Verordnung vom 22. August 2007 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3) zuzulassen und ins Register aufzunehmen. Die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.