Sachverhalt: A. B._ (Vater) und A._ (Mutter) sind seit 2003 verheiratet. 2009 wurde ihre Tochter C._ geboren. B. Am 14. Mai 2013 reichte der Vater beim Bezirksgericht Lenzburg die Ehescheidungsklage ein und beantragte als vorsorgliche Massnahme unter anderem, es sei ihm für die Dauer des Verfahrens die Obhut über die Tochter zuzuteilen. Im erstinstanzlichen Verfahren wurde eine Verhandlung durchgeführt. Die Mutter verlangte ihrerseits die Zuteilung der Obhut über ihre Tochter. Zudem wurde aufgrund der psychischen Probleme der Mutter ein Gutachten der Psychiatrischen Dienste Aargau AG (nachfolgend PDAG) über ihre Erziehungsfähigkeit eingeholt. Nachdem beide Parteien zum Gutachten Stellung genommen hatten, stellte das Bezirksgericht die Tochter mit Entscheid vom 29. Oktober 2013 unter die Obhut des Vaters und regelte das Besuchs- und Ferienrecht der Mutter sowie deren Unterhaltsbeitrag an die Tochter. C. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die dagegen gerichtete Berufung der Mutter mit Entscheid vom 9. Dezember 2013 ab. D. Die Mutter (Beschwerdeführerin) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Januar 2014, die Tochter unter ihre Obhut zu stellen, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Betreffend Neubeurteilung der übrigen Punkte sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Sie beantragt, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu gewähren und eine frühere Vereinbarung (betreffend Obhutswechsel alle 14 Tage) fortzuführen. Die Beschwerdeführerin ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Der Beschwerdegegner beantragt, das Gesuch abzuweisen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Präsidialverfügung vom 10. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung verweigert. Es sind die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.