Sachverhalt: A. Die aus Serbien stammende X._ (geb. 1969) reiste im Juli 1986 in die Schweiz ein und heiratete am 22. November 1989 ihren Landsmann Y._ (geb. 1966). Aus dieser mit Urteil des Bezirksgerichts Uster vom 1. Oktober 1992 geschiedenen Ehe ging der Sohn A._ (geb. 1991) hervor, der bei der Scheidung unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt wurde. Während diese arbeitete, wurde er tagsüber von der Grossmutter mütterlicherseits (geb. 1948) betreut. Ende Dezember 1996 kehrte die Grossmutter mit ihrem Enkel nach Serbien zurück. Seither lebt A._ bei ihr und besuchte in seiner Heimat auch die Schule. Am 17. Juli 1997 heiratete X._ ihren Landsmann Z._, mit dem sie die beiden Kinder B._ (geb. 1997) und C._ (geb. 1999) hat. Sie, der Ehemann und die beiden Kinder erwarben im Jahre 2003 das Schweizer Bürgerrecht. In den Jahren 2003 und 2005 hielt sich A._ jeweils besuchsweise bei seiner Mutter und ihrer neuen Familie in Wallisellen auf. Auch besuchte X._ ihren Sohn regelmässig in seinem Heimatland. B. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2006 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Migrationsamt) das von X._ am 29. Mai 2006 gestellte Gesuch um Familiennachzug ihres Sohnes A._ ab, im Wesentlichen mit der Begründung, die Mutter könne keine vorrangige Beziehung zu ihrem Sohn aus erster Ehe nachweisen und lege auch keine stichhaltigen Gründe dar, welche eine Veränderung der bisherigen Betreuungsverhältnisse gebieten würden. Ein gegen diese Verfügung erhobener Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 28. Dezember 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 18. September 2007 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. C. Mit Eingabe vom 1. Februar 2008 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2007 aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, dem Sohn A._ die Einreise in die Schweiz zwecks Verbleibs bei der Mutter zu bewilligen bzw. A._ die Niederlassungsbewilligung (eventuell eine Aufenthaltsbewilligung) zu erteilen. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.