Sachverhalt: A. Die 1945 geborene, zuletzt als kaufmännische Angestellte tätig gewesene G._ war als Bezügerin von Arbeitslosenentschädigung bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 26. Januar 2002 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Renault Twingo wurde beim vortrittsberechtigten Abbiegen an der vorderen rechten Seite von einem entgegenkommenden Ford Mondeo gerammt. Wegen danach aufgetretener Beschwerden suchte G._ am 29. Januar 2002 den Hausarzt auf, welcher auf eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) befand und ab dem Unfallzeitpunkt eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte. In der Folge wurde von ärztlicher Seite auch die Diagnose einer milden traumatischen Gehirnverletzung gestellt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 20. Januar 2005 die Einstellung der Leistungen auf den 28. Februar 2005. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Die vom Krankenversicherer der G._ hiegegen erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 3. November 2005). B. In Gutheissung der von G._ hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Kantonsgericht Basel-Landschaft den Einspracheentscheid vom 3. November 2005 auf, und es verpflichtete die SUVA, die Versicherungsleistungen über den 28. Februar 2005 hinaus zu erbringen (Entscheid vom 27. September 2006). C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. G._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.