Sachverhalt: A. A.a X._ wurde am 23. Oktober 1997 unverschuldet Opfer eines Strassenverkehrsunfalls (Auffahrunfall). Dabei erlitt er ein Halswirbelsäulen-Distorsionstrauma. Der Fahrzeugführer, welcher den Unfall verursacht hatte, wurde strafrechtlich gebüsst. A.b X._ ist seit 1995 arbeitslos. Im März 1998 wurde er von der Arbeitslosenversicherung ausgesteuert. Mit Verfügung vom 29. Juli 1998 teilte ihm die SUVA Aarau mit, dass sie ihn als zu 75% arbeitsfähig einstufe und die Versicherungsleistungen per 19. Januar 1998 daher einstellen werde. X._ erhob dagegen erfolglos Einsprache. Darauf beschwerte er sich beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, welches das Rechtsmittel am 27. Juli 2005 abwies. Gegen dieses Urteil ist zurzeit ein bundesrechtliches Beschwerdeverfahren hängig. A.c Am 4. Januar 2001 bewilligte das Departement des Innern des Kantons Solothurn, X._ einen opferhilferechtlichen Entschädigungsvorschuss in der Höhe von Fr. 20'000.-- auszurichten. Am 2. August 2001 bewilligte es einen zweiten Vorschuss in der Höhe von Fr. 7'200.--, was einen monatlichen Beitrag an die Lebenshaltungskosten von Fr. 600.-- in der Zeitspanne vom 1. Juli 2001 bis 30. Juni 2002 ergab. Am 3. Februar 2003 stellte X._ ein weiteres Vorschussbegehren für den Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis 31. Dezember 2003 von monatlich Fr. 2'266.65. Mit Verfügung vom 3. April 2003 wies das Departement des Innern das Begehren ab. Zur Begründung führte es an, X._ habe seine Ausbildung, deren Kosten vom Kanton Solothurn getragen würden, abgebrochen. X._ könne sich beruflichen Eingliederungsmassnahmen nach IVG nicht länger entziehen. Die Beurteilung eines allfälligen weiteren Vorschussgesuchs nach OHG werde daher von der sofortigen Bereitschaft von X._ abhängig gemacht, umgehend bei der zuständigen IV-Stelle ein Gesuch um Massnahmen/Leistungen nach IVG einzureichen und sich an die Leiterin der Beratungsstelle der Pro Infirmis zu wenden. X._ stellte am 6. Mai 2003 erneut ein Gesuch um Vorschussleistungen und erklärte seine sofortige Bereitschaft, ein Gesuch um berufliche Massnahmen zu stellen. Nach Einsicht in ein ärztliches Gutachten der RehaClinic, wonach die Durchführung einer Psychotherapie zur Verbesserung der Erwerbsfähigkeit notwendig sei, stellte das Departement des Innern am 18. Dezember 2003 einen weiteren Vorschuss unter der Bedingung in Aussicht, dass X._ sich konsequent einer ambulanten psychiatrischen Behandlung unterziehe. Nach Erhalt einer Bestätigung über den Therapiebeginn am 31. Januar 2005 bewilligte das Departement des Innern am 10. März 2005 einen Entschädigungsvorschuss von Fr. 5'400.--, was einer monatlichen Unterstützungsleistung von Fr. 600.-- für die Zeitspanne vom 1. Dezember 2004 bis 31. August 2005 entspricht. A.d X._ beschwerte sich gegen diese Verfügung beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Er beanstandete eine zu tiefe Vorschussbemessung. Zudem müssten die Vorschussleistungen rückwirkend per 1. Juli 2002 ausgerichtet werden. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 14. Juli 2005 ab. Das Bundesgericht hiess die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil 1A.244/2005 vom 27. März 2006 gut, hob das kantonale Urteil auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurück. Als Begründung führte das Bundesgericht an, das Verwaltungsgericht sei der aus Art. 15 OHG fliessenden Pflicht zur summarischen Prüfung der Voraussetzungen des Entschädigungsvorschusses nicht genügend nachgekommen. Dementsprechend habe es auch nicht dargelegt, weshalb es eine Vorschusszahlung in der Höhe von Fr. 5'400.-- resp. Fr. 600.-- monatlich als angemessen erachte. A.e Mit Urteil vom 16. Oktober 2006 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde erneut ab. Zur Begründung zog es ein Urteil des kantonalen Sozialversicherungsgerichts vom 27. Juli 2005 heran, welches den Anspruch von X._ auf SUVA-Leistungen betraf. Das Verwaltungsgericht schloss sich dem Standpunkt des Sozialversicherungsgerichts an, wonach dem Unfallereignis vom 23. Oktober 1997 keine massgebende Bedeutung für die psychischen Symptome und die damit verbundene Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers zukomme. Es sei davon auszugehen, dass ab dem 19. Januar 1998 zwischen dem Unfall und dem behaupteten Schaden kein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Für den Zeitraum vom 1. Juli 2002 bis 31. August 2005 könnten daher keine höheren als die bereits verfügten Vorschüsse ausgerichtet werden. B. X._ hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. Oktober 2006 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanz resp. an das Amt für Gemeinden und soziale Sicherheit zurückzuweisen, damit dieses über den Beginn, die Höhe und die Fortdauer der Vorschussleistungen nach Art. 15 OHG im Sinne der bereits eingereichten Schadensberechnungen neu verfüge. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. C. Das Verwaltungsgericht und das Departement des Innern, vertreten durch das Amt für soziale Sicherheit, schliessen auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Behörde liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.