Sachverhalt: A. Mit zwei Entscheiden vom 5./14. Februar 2008 wies der Richter in Schuldbetreibung und Konkurs am Bezirksgericht Z._ die Rechtsöffnungsbegehren ab, die X._ in den von ihm gegen die Einwohnergemeinde E._ eingeleiteten Betreibungen Nrn. ... eingereicht hatte. Den Betreibungen liegen Sozialhilfeansprüche für die Monate November bzw. Dezember 2007 zugrunde. Gegen beide Entscheide erhob X._ beim Kantonsgericht Wallis Nichtigkeitsklage. Die jeweiligen Rechtsbegehren enthielten unter der Ziff. 1.4 Folgendes: "Aufgrund der Bedürftigkeit des Nichtigkeitsklägers werden keine Kosten zu seinen Lasten erhoben" . B. Durch Schreiben des Präsidenten des kantonsgerichtlichen Kassationshofes in Zivilsachen vom 6. März 2008 wurde X._ mitgeteilt, dass aus der erwähnten Stelle der Nichtigkeitsklagen geschlossen werde, er ersuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, und dass über dieses Begehren vorab entschieden werde. Am 11. April 2008 wies der Präsident der Kassationsbehörde das Armenrechtsgesuch ab. C. Mit Eingabe vom 9. Mai 2008 erhebt X._ "Beschwerde" und verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids vom 11. April 2008. Unter Hinweis auf seine Bedürftigkeit stellt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren den Antrag, es seien ihm keine Kosten aufzuerlegen. Durch Präsidialverfügung vom 14. Mai 2008 ist dem Beschwerdeführer mitgeteilt worden, es werde mit Rücksicht auf sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Einforderung eines Kostenvorschusses abgesehen. Der Präsident der kantonalen Kassationsbehörde hat sich in seiner Eingabe vom 27. Mai 2008 zur Beschwerde geäussert, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen.