Sachverhalt: A. A.X._ ist Eigentümer der Grundstücke Nrn. 621 und 1708, GB Sursee. Parzelle Nr. 1709, GB Sursee, befindet sich im Miteigentum von A.X._, B.X._ und C.X._ sowie der Erbengemeinschaft des D.X._ (bestehend aus E.X._ und F.X._, G.X._ und H.X._). Die drei Grundstücke liegen im Baugebiet der Gemeinde Sursee. Sie sind an ihren Rändern gegen die Ring- und die Buchenstrasse hin von dicht bewachsenen Baumreihen und Buschwerk gesäumt. Diese Bepflanzung stammt offenbar aus den achtziger Jahren und wurde zur Stabilisierung der Strassenböschungen angelegt. B. Der Stadtrat Sursee erliess am 12. Mai 2004 ein Inventar der Natur- und Landschaftsschutzobjekte von lokaler Bedeutung. Dabei nahm er unter anderem die erwähnten Randbepflanzungen auf den drei Parzellen als so genannt orientierenden Inhalt in dieses Inventar auf. Es wurde am 9. November 2004 von der zuständigen kantonalen Behörde genehmigt. Die Familien X._ erhielten anlässlich von Vorabklärungen im Hinblick auf die Überbaubarkeit ihrer Parzellen formlos Kenntnis von dem sie betreffenden Inhalt des Inventars. In der Folge verlangten sie am 4. März 2005 vom Stadtrat Sursee einen anfechtbaren Entscheid über die Frage, ob die Randbepflanzungen auf den Parzellen Nr. 621, 1708 und 1709 entlang der Ringstrasse geschützte Hecken im Sinne der einschlägigen kantonalen Natur- und Landschaftsschutzgesetzgebung seien. Der Stadtrat holte daraufhin einen Fachbericht bei der kantonalen Dienststelle für Natur- und Landschaftsschutz ein, der am 18. Mai 2005 erstattet wurde. Mit Entscheid vom 8. Juni 2005 stellte der Stadtrat fest, dass die Bepflanzungen entlang der Ringstrasse auf den fraglichen Grundstücken in Entsprechung des Inventars geschützte Hecken darstellen würden. Für die Überbauung des Areals stellte der Stadtrat eine Ausnahmebewilligung zur Beseitigung in Aussicht. Ob und inwiefern eine Ausnahmebewilligung erteilt werden könne, werde indessen erst anhand eines konkreten Bauprojekts beurteilt. C. Gegen den kommunalen Feststellungsentscheid gelangten die Grundeigentümer - der Rechtsmittelbelehrung folgend - an das Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern. Dieses überwies die Streitsache am 13. Oktober 2005 zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Die verwaltungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts wies die Beschwerde mit Urteil vom 3. Oktober 2006 ab, soweit es darauf eintrat. D. A.X._, B.X._ und C.X._ sowie die Erbengemeinschaft des D.X._ führen gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht; eventualiter sei die Eingabe als staatsrechtliche Beschwerde entgegenzunehmen. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Weiter ersuchen sie um Feststellung, dass die Randbepflanzungen auf den genannten drei Grundstücken entlang der Ring- und der Buchenstrasse keine geschützten Hecken seien. Eventuell sei anzuordnen, dass diese Hecken durch eine Alleebepflanzung nördlich der Ringstrasse auf Kosten der Stadt Sursee, allenfalls des Kantons Luzern, zu ersetzen seien. Subeventuell sei für die Überbauung eine bedingungslose Ausnahmebewilligung in Aussicht zu stellen. Allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht oder gar an den Stadtrat Sursee zurückzuweisen. Der Stadtrat Sursee und das Verwaltungsgericht sprechen sich für die Abweisung der Beschwerde aus, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) äussert sich mit Schreiben vom 25. Januar 2007 zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. E. Der Instruktionsrichter im bundesgerichtlichen Verfahren hat den Parteien mit Verfügung vom 2. Mai 2007 Gelegenheit gegeben, sich zur Bedeutung von Art. 6 der kommunalen Bau- und Zonenordnung im vorliegenden Fall zu äussern. Mit dieser Norm hatte sich das Verwaltungsgericht nicht befasst. Die Parteien wie auch das Verwaltungsgericht haben sich in der Folge zu der aufgeworfenen Frage vernehmen lassen.