Haftung nach Art. 429a ZGB, hat sich ergeben: A.- Am 21. Mai 1999 verfügte das Departement des Innern des Kantons Solothurn gegenüber A._ aufgrund von Angaben seiner Lebenspartnerin und des Psychiaters B._ die Einweisung in die Psychiatrische Klinik X._ zwecks Erstellung eines psychiatrischen Gutachtens, wohin er durch die Polizei am 22. Mai 1999 (Pfingstsamstag) verbracht wurde. Am 23. Mai 1999 wurde A._ durch eine Vertreterin des Amtes angehört. Er übergab ihr eine gegen die Freiheitsentziehung gerichtete Beschwerde, welche an das kantonale Verwaltungsgericht weitergeleitet wurde. Auf seinen Wunsch hin wurde A._ am 25. Mai 1999 in die Privatklinik Y._ verlegt. Das Departement ordnete an, dass A._ zur Erstellung des spezialärztlichen Gutachtens in dieser Klinik zu verbleiben habe; das Gutachten sei bis spätestens am 12. Juni 1999 zu erstellen. Eine vom Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn auf den 28. Mai 1999 angesetzte Verhandlung wurde auf Wunsch von A._ auf den 2. Juni 1999 verschoben. Am 10. Juni 1999 hob das Departement des Innern gestützt auf den ärztlichen Bericht die Freiheitsentziehung auf. A._ verblieb freiwillig noch bis zum 18. Juni 1999 in der Klinik. B.- Am 9. September 1999 reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen den Kanton Solothurn ein und verlangte Schadenersatz und Genugtuung für den seiner Ansicht nach widerrechtlichen Freiheitsentzug. Das Verwaltungsgericht holte ein psychiatrisches Gutachten von Dr. C._ ein, welches am 4. Mai 2000 erstattet wurde und zu welchem die Parteien schriftlich Stellung nehmen konnten. Anschliessend wurde versucht, die Hauptverhandlung anzusetzen, wobei dem Kläger 10 Halbtage zur Wahl vorgeschlagen wurden. Am 15. November 2000 reichte der Kläger ein Arztzeugnis ein, wonach er bis über den Jahreswechsel hinaus nicht in der Lage sei, an einer Gerichtsverhandlung teilzunehmen. Am 16. Januar 2001 legte der Anwalt des Klägers das Mandat nieder. Die auf den 2. April 2001 angesetzte Hauptverhandlung musste abgesetzt werden, weil der neue Anwalt des Klägers ein Ablehnungsbegehren gegen zwei Richter stellte. Dieses wurde am 11. April 2001 abgewiesen. Vor der neu auf den 21. Mai 2001 angesetzten Hauptverhandlung wurde von der Hausärztin des Klägers, Frau Dr. D._, ein schriftlicher Bericht eingeholt, der am 12. Mai 2001 erstattet wurde. Am 16. Mai 2001 teilte der Anwalt dem Verwaltungsgericht unter Beilage eines entsprechenden Arztzeugnisses mit, dass der Kläger aus psychischen Gründen bis auf weiteres nicht an einer Verhandlung teilnehmen könne. Das Verwaltungsgericht teilte dem Kläger am 17. Mai 2001 mit, dass die Verhandlung dennoch durchgeführt, der Kläger aber vom Erscheinen dispensiert werde. Anlässlich der Verhandlung vom 21. Mai 2001 befragte das Verwaltungsgericht B._ sowie die Sachbearbeiterin des Departements des Innern. Den Antrag des Anwalts des Klägers auf Verschiebung der Verhandlung und Parteibefragung des Klägers wies es ab, ebenso den Antrag, angeblich fehlende Seiten des Patientendossiers beizuziehen, weil dieses nicht unvollständig sei, sondern nur eine fehlerhafte Paginierung vorliege. Mit Urteil vom 21. Mai 2001 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab. Der verfügte Freiheitsentzug sei nicht widerrechtlich gewesen. C.- A._ hat mit Eingabe vom 13. Juli 2001 staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht erheben lassen. Er beantragt, das Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Nachdem er zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war, hat er am 29. August 2001 zudem Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt. Vernehmlassungen des Staates Solothurn und des kantonalen Verwaltungsgerichts sind nicht eingeholt worden. Der Instruktionsrichter hat jedoch gestützt auf Art. 95 OG die Vollständigkeit des Patientendossiers bei der Psychiatrischen Klinik X._ abgeklärt. Den Parteien ist vom Ergebnis der Rückfrage Mitteilung gemacht worden.