Sachverhalt: A. Mit Entscheid vom 30. März 2012 bestätigte das Regionalgericht Bern-Mittelland einen von A._ (Versicherter) mit seinen Gläubigern abgeschlossenen Nachlassvertrag mit Dividendenvergleich. Es stellte fest, dass eine Forderung der Versicherung X._ AG (Versicherung) im Betrag von Fr. 1'708.75 bestritten ist, und setzte dieser Frist zur Klage gemäss Art. 315 SchKG an, ansonsten sie der Sicherstellung der Dividende verlustig gehe. B. B.a Die Versicherung (Klägerin) reichte am 23. April 2012 gegen den Versicherten (Beklagter) beim Regionalgericht Bern-Mittellland fristgerecht Klage ein. Dieses trat mit Entscheid vom 8. Juni 2012 mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein und stellte die Verfahrensakten in sinngemässer Anwendung von Art. 1 Abs. 3 ZPO/BE dem Obergericht des Kantons Bern zu. Dieses sandte die Akten dem Regionalgericht zurück und führte dazu im Schreiben vom 13. Juni 2012 aus, ein Kompetenzkonfliktverfahren, wie es das frühere kantonale Prozessrecht gekannt habe, sei in der schweizerischen Zivilprozessordnung nicht mehr vorgesehen. Daraufhin trat das Regionalgericht mit Entscheid vom 20. Juli 2012 erneut mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein. B.b Gegen diesen Entscheid erhob die Klägerin beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde mit den Anträgen, das Regionalgericht sei anzuweisen, auf die Klage einzutreten. Das Obergericht trat mit Entscheid vom 12. November 2012 auf die Beschwerde nicht ein. C. Die Beschwerdeführerin erhebt beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts vom 12. November 2012 aufzuheben und den Beklagten zur Zahlung von Fr. 1'708.75 zu verpflichten. Eventuell sei der Entscheid aufzuheben und das Obergericht anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten. Subeventuell sei das Obergericht anzuweisen, ihr eine Nachfrist im Sinne von Art. 132 Abs. 1 ZPO einzuräumen, um die Beschwerde vom 14. September 2012 rechtsgültig zu unterzeichnen. Der Beschwerdegegner stellt den Antrag, die Beschwerde sei "zurückzuweisen". Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme.