Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende, im Jahr 1965 geborene X._ reiste im April 1988 in die Schweiz ein und heiratete hier im Juli 1988 eine Schweizerin. Im März 1994 erhielt er die Niederlassungsbewilligung. Sechs Wochen später wurde die Ehe geschieden. Nach einer fremdenpolizeilichen Verwarnung und zweimaliger Androhung der Ausweisung u.a. wegen Schuldenwirtschaft verfügte der Bereich Bevölkerungsdienste und Migration des Kantons Basel-Stadt am 18. September 2006 die Ausweisung von X._ aus der Schweiz. In jenem Zeitpunkt bestanden gegen ihn 18 Betreibungen in der Höhe von Fr. 107'978.-- und 39 Verlustscheine von insgesamt Fr. 275'958.50. Gegen die Ausweisung gelangte er erfolglos an das kantonale Sicherheitsdepartement und danach an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. B. Am 13. Mai 2008 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, den appellationsgerichtlichen Entscheid vom 19. März 2008 aufzuheben. Ihm sei die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Sicherheitsdepartement und das Appellationsgericht sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. C.