Sachverhalt: Sachverhalt: A. X._ (Beschwerdeführer) unterzog sich am 8. April 1998 im Spital Y._ (Beschwerdegegnerin) einer sogenannten Whipple-Operation (Duodenopankreatektomie; Entfernung von Teilen der Bauchspeicheldrüse, der Gallenblase, des Magens und des Zwölffingerdarms). Im Nachgang mussten weitere Eingriffe vorgenommen werden. Am 30. Mai 1998 wurde die parenterale Ernährung (Ernährung unter Umgehung des Magen-Darm-Trakts) erforderlich. Es wurde versucht, mittels Subclavia-Punktion (Anstechen der Vena subclavia) einen zentralen Venenkatheter einzuführen. Nachdem es an beiden Körperseiten zu Fehlpunktionen gekommen war, wurden die Versuche abgebrochen. Es stellte sich heraus, dass der Beschwerdeführer einen Hirninfarkt erlitten hatte. Der Venenkatheter wurde hierauf mittels einer Jugularispunktion (Anstechen der Vena jugularis) eingeführt. Als Folge dieses Hirninfarkts ist der Beschwerdeführer vollständig invalid und bezieht nunmehr Versicherungsleistungen. A. X._ (Beschwerdeführer) unterzog sich am 8. April 1998 im Spital Y._ (Beschwerdegegnerin) einer sogenannten Whipple-Operation (Duodenopankreatektomie; Entfernung von Teilen der Bauchspeicheldrüse, der Gallenblase, des Magens und des Zwölffingerdarms). Im Nachgang mussten weitere Eingriffe vorgenommen werden. Am 30. Mai 1998 wurde die parenterale Ernährung (Ernährung unter Umgehung des Magen-Darm-Trakts) erforderlich. Es wurde versucht, mittels Subclavia-Punktion (Anstechen der Vena subclavia) einen zentralen Venenkatheter einzuführen. Nachdem es an beiden Körperseiten zu Fehlpunktionen gekommen war, wurden die Versuche abgebrochen. Es stellte sich heraus, dass der Beschwerdeführer einen Hirninfarkt erlitten hatte. Der Venenkatheter wurde hierauf mittels einer Jugularispunktion (Anstechen der Vena jugularis) eingeführt. Als Folge dieses Hirninfarkts ist der Beschwerdeführer vollständig invalid und bezieht nunmehr Versicherungsleistungen. B. Im Februar 1999 machte der Beschwerdeführer gegenüber dem Spital Y._ Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend. Die Parteien einigten sich darauf, ein aussergerichtliches FMH-Gutachten in Auftrag zu geben, das am 8. März 2000 erstattet und am 13. Juni 2000 ergänzt wurde. Am 1. März 2001 erhob der Beschwerdeführer Klage beim Regierungsstatthalteramt auf Zahlung von Fr. 354'586.10 Schadenersatz und Fr. 50'000.-- Genugtuung wegen Verletzung ärztlicher Aufklärungs- und Sorgfaltspflichten. Nach Durchführung eines Beweisverfahrens unter Einholung eines gerichtlichen Gutachtens wurde die Klage am 1. September 2005 abgewiesen. B. Im Februar 1999 machte der Beschwerdeführer gegenüber dem Spital Y._ Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend. Die Parteien einigten sich darauf, ein aussergerichtliches FMH-Gutachten in Auftrag zu geben, das am 8. März 2000 erstattet und am 13. Juni 2000 ergänzt wurde. Am 1. März 2001 erhob der Beschwerdeführer Klage beim Regierungsstatthalteramt auf Zahlung von Fr. 354'586.10 Schadenersatz und Fr. 50'000.-- Genugtuung wegen Verletzung ärztlicher Aufklärungs- und Sorgfaltspflichten. Nach Durchführung eines Beweisverfahrens unter Einholung eines gerichtlichen Gutachtens wurde die Klage am 1. September 2005 abgewiesen. C. Der Beschwerdeführer appellierte an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Er berief sich auf ungenügende Aufklärung sowohl hinsichtlich der Whipple-Operation als auch hinsichtlich der Subclavia-Punktion sowie auf eine Sorgfaltspflichtsverletzung. Mit Urteil vom 14. Juli 2006 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab. Es kam zum Ergebnis, der Beschwerdeführer sei hinreichend über die Whipple-Operation aufgeklärt worden. Ob die Risikoaufklärung hinsichtlich der Subclavia-Punktion genügt habe, erscheine zweifelhaft. Diesbezüglich sei indessen von einer hypothetischen Einwilligung auszugehen. Bei der Subclavia-Punktion sei die medizinische Sorgfaltsregel, wonach ein Wechsel von der einen Körperseite zur anderen ohne Unterbrechung der Behandlung nicht angezeigt sei, verletzt worden. Diese Regel diene aber der Vermeidung von Risiken, die sich nicht verwirklicht hätten, weshalb fraglich sei, ob ein Rechtswidrigkeitszusammenhang zwischen dieser Regel und dem eingetretenen Schaden bestehe. Zur Hauptsache begründete das Verwaltungsgericht die Abweisung der Klage jedoch mit dem Fehlen des Kausalzusammenhangs. Es sei schon höchst ungewiss, ob zwischen der Sorgfaltspflichtsverletzung (Unterlassen einer Behandlungspause) und dem eingetretenen Schaden ein natürlicher Kausalzusammenhang bestehe. Dies konnte das Verwaltungsgericht seiner Ansicht nach jedoch offen lassen, weil nicht voraussehbar gewesen sei, dass wegen des Unterlassens der Behandlungspause ein Hirninfarkt eintreten könnte. Demnach wäre ein allenfalls gegebener Kausalzusammenhang zwischen der Sorgfaltspflichtsverletzung und dem eingetretenen Schaden jedenfalls nicht adäquat. C. Der Beschwerdeführer appellierte an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Er berief sich auf ungenügende Aufklärung sowohl hinsichtlich der Whipple-Operation als auch hinsichtlich der Subclavia-Punktion sowie auf eine Sorgfaltspflichtsverletzung. Mit Urteil vom 14. Juli 2006 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab. Es kam zum Ergebnis, der Beschwerdeführer sei hinreichend über die Whipple-Operation aufgeklärt worden. Ob die Risikoaufklärung hinsichtlich der Subclavia-Punktion genügt habe, erscheine zweifelhaft. Diesbezüglich sei indessen von einer hypothetischen Einwilligung auszugehen. Bei der Subclavia-Punktion sei die medizinische Sorgfaltsregel, wonach ein Wechsel von der einen Körperseite zur anderen ohne Unterbrechung der Behandlung nicht angezeigt sei, verletzt worden. Diese Regel diene aber der Vermeidung von Risiken, die sich nicht verwirklicht hätten, weshalb fraglich sei, ob ein Rechtswidrigkeitszusammenhang zwischen dieser Regel und dem eingetretenen Schaden bestehe. Zur Hauptsache begründete das Verwaltungsgericht die Abweisung der Klage jedoch mit dem Fehlen des Kausalzusammenhangs. Es sei schon höchst ungewiss, ob zwischen der Sorgfaltspflichtsverletzung (Unterlassen einer Behandlungspause) und dem eingetretenen Schaden ein natürlicher Kausalzusammenhang bestehe. Dies konnte das Verwaltungsgericht seiner Ansicht nach jedoch offen lassen, weil nicht voraussehbar gewesen sei, dass wegen des Unterlassens der Behandlungspause ein Hirninfarkt eintreten könnte. Demnach wäre ein allenfalls gegebener Kausalzusammenhang zwischen der Sorgfaltspflichtsverletzung und dem eingetretenen Schaden jedenfalls nicht adäquat. D. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 14. September 2006 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. Juli 2006 wegen Willkür bei der Beweiswürdigung und bei der Auslegung und Anwendung des massgebenden kantonalen öffentlichen Haftungsrechts. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde.