Sachverhalt: A. B._ arbeitete seit 1959 bei der Firma W._ AG (nunmehr X._ AG). Auf den 1. Juli 2007 wurde er vorzeitig pensioniert. Die BVG-Vorsorgestiftung der Y._ AG richtete bis zum Zeitpunkt des ordentlichen Altersrücktritts (30. Juni 2008) eine AHV-Überbrückungsrente aus und übernahm Arbeitnehmer-Alterssparbeiträge. Ausserdem zahlte die Fürsorgestiftung der Y._ AG für den selben Zeitraum eine Zusatzrente aus. Gestützt auf einen Bericht der Revisionsstelle der Ausgleichskassen vom 23. April 2009 erhob die Ausgleichskasse S._ auf diesen Leistungen bei der X._ AG Sozialversicherungsbeiträge (AHV/IV/EO sowie ALV, einschliesslich Verwaltungskosten und Zinsen) in Höhe von Fr. 7'243.55 (Verfügung vom 10. März 2010 und Einspracheentscheid vom 12. April 2010). B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die am 12. Mai 2010 eingereichte Beschwerde der X._ AG gut und hob den Einspracheentscheid auf (Entscheid vom 13. Dezember 2011). C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse zu bestätigen. Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt unter Hinweis auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil des Bundesgerichts 9C_12/2011 vom 8. August 2011 (BGE 137 V 321) Gutheissung der Beschwerde.