Sachverhalt: A. Der 1971 geborene G._ trat am 18. April 2011 eine von der Personalausleihfirma J._ AG vermittelte Stelle als Heizungsmonteur in der P._ AG an. Im Verlauf des ersten Arbeitstages verdrehte er sich auf der Baustelle beim Heben einer Gasflasche die rechte Hand. Dabei zog er sich eine skapholunäre Bandruptur zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete ab 21. April 2011 Taggelder aus, welche sie mit Verfügung vom 22. August 2011 auf Fr. 1.60 festsetzte. G._ war mit der Taggeldberechnung nicht einverstanden und erhob Einsprache. Die SUVA kam bei einer nochmaligen Überprüfung zum Schluss, dass der Versicherte als unregelmässig Beschäftigter zu qualifizieren sei, weshalb für die Berechnung des versicherten Verdienstes der Durchschnittslohn der letzten drei Monate vor dem Unfallereignis massgebend sei. Davon ausgehend, dass der Versicherte in den drei Monaten vor Antritt der neuen Stelle keine Einkünfte zu verzeichnen hatte, setzte sie den Verdienst des ersten Arbeitstages bei der P._ AG von Fr. 239.13 den Einkünften in den letzten drei Monaten vor dem Unfall vom 18. April 2011 gleich, was - durch Multiplikation mit dem Faktor 4 - hochgerechnet auf ein Jahr zu einem Wert von Fr. 956.52 führte. Entsprechend ermittelte sie einen Taggeldansatz von Fr. 2.10 ([956.52 : 365] x 80 %) und hiess die Einsprache in diesem Sinne teilweise gut (Einspracheentscheid vom 31. Januar 2012). B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 12. Juni 2012 ab. C. G._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei ihm mit Wirkung ab 21. April 2011 ein Taggeld auf der Basis eines Taggeldansatzes von Fr. 136.30 auszurichten; eventualiter sei die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes an die SUVA zurückzuweisen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde.