Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Veruntreuung, der ungetreuen Geschäftsbesorgung und weiterer Delikte. Sie wirft ihm insbesondere vor, er habe als Buchhalter der B._ AG Bargeld dieser Gesellschaft im Betrag von mehreren Hunderttausend Franken für eigene Zwecke verwendet. B. Am 12. Juni 2013 ersuchte die B._ AG, welche sich als Privatklägerin konstituiert hatte, um Akteneinsicht. Am 7. Oktober 2013 bewilligte die Staatsanwaltschaft die Einsicht in die Akten mit Ausnahme des Auszugs aus dem Strafregister von A._. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zug (I. Beschwerdeabteilung) am 25. Februar 2014 ab. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben, und weiteren Anträgen. D. Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf seinen Entscheid die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die B._ AG hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen und die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 7. Oktober 2013 zu bestätigen. A._ hat eine Replik mit weiteren Anträgen eingereicht. Die B._ AG hat dem Bundesgericht in der Folge eine Eingabe an die Staatsanwaltschaft zur Kenntnisnahme zugestellt. A._ hat hierzu mit zusätzlichen Anträgen Stellung genommen. E. Mit Verfügung vom 14. Mai 2014 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.