Sachverhalt: A. X._ betreibt in Z._ eine Pizzeria. Am Abend des 11. Februar 2003 kehrten Y._ und A._ dort ein. In der Folge kam es zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen Y._ und dem Pizzaiolo, worauf A._ die Polizei verständigte. Kurz darauf erschien X._ in seinem Restaurant und forderte Y._ und A._ auf, das Lokal zu verlassen und draussen zu warten. Anschliessend schloss er das Restaurant ab. Zusammen warteten die drei auf die Ankunft der Polizei. In dieser Zeit und auch noch als die Polizei vor Ort war, sollen Y._ und A._ X._ aufs Übelste beschimpft haben. B. Auf Strafantrag von X._ sprach der Bezirksgerichtsausschuss Prättigau/Davos Y._ mit Urteil vom 10. Juni 2004 wegen Beschimpfung gemäss Art. 177 Abs. 1 StGB schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 350.--. Auf Berufung des Beurteilten hin hob der Kantonsgerichtsausschuss von Graubünden das erstinstanzliche Urteil auf, stellte das Verfahren ein und auferlegte die Verfahrens- und Parteikosten dem Antragsteller. C. X._ führt sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde, mit denen er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, die Streitsache zur neuen Entscheidung zurückzuweisen und das Urteil des Bezirksgerichtsausschusses Prättigau/Davos zu bestätigen. D. Das Kantonsgericht beantragt in seinen Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerden, soweit darauf einzutreten sei. Namens des Beschwerdegegners reichte am 25. April 2005 auf Briefpapier von Rechtsanwalt Dr. Luzius Schmid der bei diesem tätige Praktikant die Vernehmlassung zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde ein, mit welcher die Abweisung der Beschwerde beantragt wird. Auf Ansetzung einer Nachfrist durch den Instruktionsrichter des Kassationshofs hat der Rechtsanwalt die Rechtsschrift am 28. April 2005 selbst unterzeichnet. Zur staatsrechtlichen Beschwerde wurde beim Beschwerdegegner keine Vernehmlassung eingeholt.