Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. ... 1964, reiste im Jahr 1989 in die Schweiz ein. Zwischen Oktober 1989 und Oktober 1993 stellte er hier erfolglos drei Asylgesuche. Am 11. November 1994 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, worauf ihm am 29. November 1994 im Kanton Aargau eine Jahresaufenthaltsbewilligung erteilt wurde. In der Folge erhielt X._ am 13. Oktober 1999 die Niederlassungsbewilligung. B. B.a Am 17. Oktober 2000 stellte X._ ein erstes Gesuch um Familiennachzug für seine beiden in der Türkei lebenden Söhne, A._ (geb. ... 1985) und B._ (geb. ... 1988). Die Fremdenpolizei des Kantons Aargau (heute: Migrationsamt) trat auf das Gesuch nicht ein, weil der Gesuchsteller trotz Aufforderung die verlangten Auskünfte und Unterlagen nicht beigebracht hatte (Verfügung der Sektion Aufenthalt vom 15. März 2001). Die dagegen erhobene Einsprache wurde abgewiesen. Im Einspracheentscheid vom 10. April 2001 führte die Fremdenpolizei (Rechtsdienst) aus, der Gesuchsteller sei zwar weder auf seine Mitwirkungspflichten noch auf die Säumnisfolgen aufmerksam gemacht worden. Trotzdem könne auf eine Rückweisung der Sache an die Sektion Aufenthalt verzichtet werden, weil der Familiennachzug aufgrund der Aktenlage ohnehin zu verweigern wäre. Eine Beschwerde gegen diesen Entscheid wurde vom Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau am 9. November 2001 abgewiesen. Das Rekursgericht befand, es bestehe kein Grund zur Änderung der Obhutsverhältnisse. Das Urteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft. B.b Am 12. August 2002 reichte X._ ein zweites Gesuch um Nachzug seiner beiden Söhne ein. Er machte geltend, die Verhältnisse hätten sich in der Zwischenzeit massiv geändert: Die bisherigen Betreuungsmöglichkeiten im Heimatland gebe es nicht mehr und alternative bestünden nicht; in der eingetretenen Notsituation könne nur noch der Vater die Betreuung gewährleisten. Das Migrationsamt des Kantons Aargau (Sektion Aufenthalt) wies das Gesuch mit Verfügung vom 11. Dezember 2002 ab, im Wesentlichen mit der Begründung, bei den eingereichten Bestätigungen und Belegen handle es sich mit höchster Wahrscheinlichkeit um Fälschungen. Der Rechtsdienst des Migrationsamtes hob diesen Entscheid "in teilweiser Gutheissung einer Einsprache und von Amtes wegen (Nichtigkeit)" mit Instruktionsverfügung vom 9. Januar 2003 auf. Er ordnete in der Folge verschiedene Beweismassnahmen an, unter anderem Abklärungen durch die Schweizerische Botschaft in Ankara (Instruktionsverfügungen vom 5. Februar und vom 28. Juli 2003). Mit Entscheid vom 6. April 2004 wies das Migrationsamt (Rechtsdienst) die Einsprache ab, soweit wiedererwägungsweise der Familiennachzug für A._ und B._ beantragt werde. C. Das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau hiess mit Urteil vom 17. Dezember 2004 eine von X._ erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid des Migrationsamtes vom 6. April 2004 auf und wies dieses an, den Aufenthalt von A._ und B._ zu regeln. Das Rekursgericht kam zusammengefasst zum Schluss, dass der beschwerdeführende Vater die formell vorrangige familiäre Beziehung zu seinen nachzuziehenden Söhnen habe und dass sich eine Übersiedlung in die Schweiz aufgrund der fehlenden Betreuung in der Heimat als notwendig erweise. D. Das Bundesamt für Migration hat am 26. Januar 2005 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben mit den Anträgen, das Urteil des Rekursgerichts vom 17. Dezember 2004 aufzuheben und den Familiennachzug der beiden Söhne des Beschwerdegegners, A._ und B._, zu verweigern. Das Bundesamt rügt eine Verletzung von Bundesrecht, weil die Voraussetzungen für einen nachträglichen Familiennachzug nicht gegeben seien. E. Das Rekursgericht im Ausländerrecht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde des Bundesamtes gutzuheissen und die Verweigerung des Familiennachzugs zu bestätigen. Der Beschwerdegegner, X._, stellt primär den Antrag, auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei mangels einer rechtsgültigen Unterschrift nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.