Sachverhalt: A. Im Oktober 2008 behandelte der Obergerichtsschreiber des Kantons Solothurn zwei Gesuche von X._ um Kostenerlass: Das Verfahren OGERL.2008.12 betraf eine Gebühr von Fr. 200.--, welche X._ durch die Zivilkammer des Obergerichts Solothurn auferlegt wurde. Das Kostenerlassgesuch wurde mit Beschluss vom 21. Oktober 2008 abgewiesen. Das Verfahren OGERL.2008.15 hatte eine Gebühr in Höhe von Fr. 400.-- zum Gegenstand, welche aus einem Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht resultierte. Dieses Kostenerlassgesuch wurde am 29. Oktober 2008 abgewiesen. B. Gegen den Beschluss des Obergerichtsschreibers vom 21. Oktober 2008 im Verfahren OGERL.2008.12 beschwerte sich X._ mit Eingabe vom 6. November 2008 erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Eine danach beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde wurde am 3. März 2009 als durch Rückzug erledigt abgeschrieben (Verfahren 5D_15/2009). C. Am 7. Oktober 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und rügt eine "völlige Rechtsverweigerung": Das Solothurner Verwaltungsgericht sei anzuweisen, die "Beschwerde vom 6.11.2008 bezüglich illegale Gebühren i.S. falsche Wegweisung" unverzüglich zu behandeln. Ausgehend davon, dass sich diese Rechtsverweigerungsbeschwerde auf das abgeschlossene kantonale Rechtsmittelverfahren betreffend den Beschluss des Obergerichtsschreibers vom 21. Oktober 2008 (Verfahren OGERL.2008.12) beziehe, erachten das Obergericht und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde als gegenstandslos und beantragen in ihren Vernehmlassungen das Nichteintreten auf die Beschwerde. D. Mit Eingabe vom 22. Oktober 2009 repliziert X._ unaufgefordert: Er macht geltend, dass seine beim Bundesgericht geführte Beschwerde - entgegen der Auffassung der solothurnischen Gerichte - nicht das kantonale Beschwerdeverfahren gegen den Beschluss vom 21. Oktober 2008 (OGERL.2008.12) betreffe, sondern sich vielmehr auf das Verfahren gegen den Beschluss vom 29. Oktober 2008 (OGERL.2008.15) beziehe; gegen diesen habe er am 6. November 2008 ebenfalls ein Rechtsmittel erhoben. Aus den von ihm eingereichten Beilagen geht hervor, dass er die entsprechende Beschwerdeschrift mit der gleichen eingeschriebenen Postsendung verschickt haben will, wie die inzwischen rechtskräftig beurteilte Beschwerde gegen den Beschluss OGERL.2008.12 vom 21. Oktober 2008. Das Obergericht bekundet am 28. Oktober 2009, dass es keine Kenntnis von einer Beschwerde gegen den Beschluss OGERL.2008.15 vom 29. Oktober 2008 habe; es gehe davon aus, dass dieser Entscheid in Rechtskraft erwachsen sei. Am 3. November 2009 teilt auch das Verwaltungsgericht mit, dass bei ihm keine Beschwerde gegen den betreffenden Beschluss eingegangen sei. E. Mit Eingabe vom 19. Dezember 2009 äussert sich X._ erneut unaufgefordert zur Sache.