Sachverhalt: A. X._ stellte am 16. April 2009 beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs in der so genannten "Kronenbar" in seinem Betrieb Hotel Krone AG in Solothurn. Am 21. September 2009 wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn dieses Gesuch ab mit der Begründung, das Fumoir erfülle die Kriterien an einen Nebenraum nicht, da es aufgrund seiner Lage im Betrieb (separater Eingang) als eigenständiger Betrieb wahrgenommen werde; zudem handle es sich um einen eigenen Gastronomiebereich (Bar). Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 21. Dezember 2009 ab. B. Mit Eingabe vom 8. Februar 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, die Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 21. Dezember 2009 und des Departementes des Inneren des Kantons Solothurn vom 21. Dezember 2009 aufzuheben. Ihm - dem Beschwerdeführer - sei zu bewilligen, in der Kronenbar des Hotels Krone in Solothurn - allenfalls unter Auflagen - ein Fumoir zu betreiben. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an das Departement des Innern des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Das Gesundheitsamt des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde.