Sachverhalt: A. Der 1958 geborene, schwedische Staatsangehörige S._ war seit dem 1. September 1994 als Angestellter der Firma AU._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 4. Juli 1995 liess er der SUVA einen am 2. Juli 1995 in Schweden mit einem Mietauto erlittenen Selbstunfall melden. Laut den im Polizeirapport vom 2. Juli 1995 festgehaltenen Aussagen des Versicherten wich er einem Rentier aus, kam daraufhin von der Strasse ab und fuhr den Strassengraben hinunter auf einen Acker. Anschliessend klagte er über Schmerzen im Nacken und Rücken sowie ein Prickeln und ein schlechtes Gefühl in den Beinen. Der SUVA gegenüber gab er später an, er habe ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) mit multiplen Symptomen und Beschwerden in verschiedenen Körperteilen erlitten. Von der Unfallstelle aus wurde er mit der Ambulanz in die orthopädische Klinik des Spitals AG._ gebracht, wo er bis 7. Juli 1995 hospitalisiert blieb. Von dort wurde er zur weiteren Abklärung in die neurologische Klinik des Spitals AK._ überwiesen. Vom 19. Juli bis 25. September 1995 wurde ärztlich verordnete Krankengymnastik durchgeführt. Am 10. Oktober 1995 erfolgte eine multidisziplinäre Untersuchung im Center AR._ und am 14. Dezember 1995 auf dessen Veranlassung hin eine Abklärung durch Frau Dr. med. AE._. Am 8. Februar 1996 konsultierte S._ Dr. med. AL._ vom Center AF._. Die SUVA veranlasste alsdann eine Untersuchung durch Kreisarzt Dr. med. AD._, welche am 23. Februar 1996 in Schweden durchgeführt wurde, und die neurologische Abklärung des Dr. med. AO._ vom 2. Oktober 1996. Am 3. Oktober 1996 erlitt der Versicherte als Fahrgast eines Taxis eine Auffahrkollision. Es folgten weitere Beurteilungen durch Dr. med. AB._ des Spitals AK._ am 3. Oktober 1996, durch Frau Dr. med. AE._ am 28. Oktober 1996 und im Auftrag des schwedischen Unfallversicherers durch Dr. med. AY._ am 4. November 1996. Nachdem die SUVA dem Versicherten am 3. April 1997 mitgeteilt hatte, sie stelle sämtliche Versicherungsleistungen - insbesondere das bis 28. Februar 1997 ausgerichtete Taggeld - ein, verneinte sie mit Verfügung vom 28. April 1998 ihre Leistungspflicht für das geltend gemachte Unfallereignis vom 2. Juli 1995, da dieses weder erwiesen noch wahrscheinlich sei und davon auszugehen sei, dass S._ den Wagen in betrügerischer Absicht bewusst von der Strasse gelenkt habe; überdies habe dieser Vorfall gemäss den medizinischen Unterlagen keine neuen behandlungsbedürftigen Unfallfolgen bewirkt; für das Unfallereignis vom 3. Oktober 1996 bestehe keine Versicherungsdeckung. Gleichzeitig forderte die SUVA einen Betrag von Fr. 143'158.05 zurück. Eine in Schweden durchgeführte Untersuchung wegen allfälligen Versicherungsbetrugs stellte die Staatsanwaltschaft am 17. Juni 2002 ein, da sich kein eindeutiges Bild über den Verlauf des Verkehrsunfalls ermitteln lasse. Mit Einspracheentscheid vom 27. April 2006 hiess die SUVA die Einsprache des Versicherten insofern gut, als sie von der Rückforderung der bereits erbrachten Versicherungsleistungen absah. B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. September 2007 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, es seien ihm die gesetzlichen Leistungen für den Unfall vom 2. Juli 1995 zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu diesem Zweck an die SUVA zurückzuweisen; subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie gegebenenfalls gestützt auf ergänzende Abklärungen erneut über den Leistungsanspruch befinde. Zudem reichte er den Bericht des Prof. AA._ vom 12. November 2007 zu den verschiedenen Erklärungen über den Unfallverlauf sowie eine Übersetzung der Bescheinigung des Psychiaters Dr. med. AM._ vom 23. Februar 2006 ein. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. Am 26. Februar 2008 lässt S._ eine Stellungnahme zur Vernehmlassung der SUVA einreichen. D. In BGE 134 V 109 hat das Bundesgericht seine Praxis zur Kausalitätsprüfung bei Unfällen mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der Halswirbelsäule oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (so genannte Schleudertrauma-Praxis) präzisiert. Den Parteien wurde am 10. März 2008 Gelegenheit gegeben, sich zu dieser Präzisierung der Rechtsprechung und allfälligen Auswirkungen derselben auf die in ihren bisherigen Rechtsschriften eingenommenen Standpunkte zu äussern. Davon hat S._ am 9. April 2008 Gebrauch gemacht, während die SUVA auf eine Stellungnahme verzichtet.