Sachverhalt: A. Y._ (Beschwerdegegner) verrichtete von August 2004 bis November 2004 zusammen mit seinem Bruder und weiteren Personen Elektroinstallationsarbeiten bei einem Umbau in T._. X._ (Beschwerdeführer) war der örtliche Bauleiter. Am 17. März 2006 forderte der Vertreter des Beschwerdegegners vom Beschwerdeführer die Zahlung von Fr. 13'107.-- für die vom Beschwerdegegner und dessen Bruder geleisteten Arbeitsstunden sowie für Materialkosten. Der Beschwerdeführer bestritt, dass der Beschwerdegegner und dessen Bruder Auftragnehmer von ihm gewesen seien. Sie hätten die Arbeiten für Z._ ausgeführt. Dieser sei ihr Auftraggeber gewesen. B. Am 3. August 2006 reichte der Beschwerdegegner (sein Bruder hatte ihm zuvor seine Forderung gegen den Beschwerdeführer abgetreten) beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen den Beschwerdeführer ein und beantragte, dieser sei zu verpflichten, ihm Fr. 13'899.37 nebst Zins zu 5% seit wann rechtens zu bezahlen. Der Einzelrichter befragte Z._ und den Bruder des Beschwerdegegners als Zeugen und hiess die Klage mit Urteil vom 9. November 2006 gut. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer erfolglos an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hiess die Klage am 22. Juni 2007 ebenfalls gut. In Gutheissung einer vom Beschwerdeführer erhobenen kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde hob das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 5. Mai 2008 das Obergerichtsurteil vom 22. Juni 2007 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Nach Ergänzung des Beweisverfahrens (ergänzende Zeugeneinvernahme von Z._) verpflichtete das Obergericht den Beschwerdeführer mit Urteil vom 23. Oktober 2008 erneut, dem Beschwerdegegner Fr. 13'899.37 nebst Zins zu 5 % seit 10. April 2006 zu bezahlen. Eine dagegen vom Beschwerdeführer erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht mit Zirkulationsbeschluss vom 21. Dezember 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 21. Dezember 2009 und das Urteil des Obergerichts vom 23. Oktober 2008 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner sowie das Kassationsgericht und das Obergericht verzichteten auf eine Vernehmlassung. Mit Präsidialverfügung vom 11. März 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.