Sachverhalt: A. Die 1953 geborene S._ unterzog sich am 30. Dezember 2008 im Krankenhaus B._ gestützt auf die Diagnose "absolute Schultersteife rechts; Tendinitis calc. omi permagna dext." einer Schulteroperation (Operationsbericht und Kurzarztbrief Krankenhaus B._, je vom 31. Dezember 2008). Im Januar 2009 wurde festgestellt, dass S._ an einer Luxation der rechten Schulter litt. Im Krankenhaus B._ wurde am 28. (evtl. 29.) Januar 2009 zunächst versucht, die Schulter in Narkose zu repositionieren, was nicht gelang. Beim Repositionsversuch kam es am rechten Unterarm zu einem Bruch an Radius und Ulna im Schaftbereich. Hierauf erfolgte am 29. Januar 2009 eine offene Reposition und Stabilisierungsoperation an der Schulter. Zudem wurde der Unterarm verplattet (Operationsbericht und Kurzarztbrief Krankenhaus B._ vom 5. resp. 6. Februar 2009). Im November 2009 meldete S._ der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA), bei der sie über ihren Arbeitgeber obligatorisch unfallversichert war, das Geschehen vom 28. Januar 2009 als Unfall. Die AXA verneinte mit Verfügung vom 31. März 2010 einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung mit der Begründung, beim Geschehen vom 28. Januar 2009 handle es sich nicht um einen Unfall im Rechtssinne. S._ ersuchte die AXA zunächst um wiedererwägungsweise Aufhebung der Verfügung vom 31. März 2010. Sie erwähnte hiebei ein medizinisches Gutachten des Prof. Dr. med. L._, Facharzt für Unfallchirurgie und Sporttraumatologie, vom 11. November 2009. Dieses stellte sie dem Unfallversicherer in der Folge auf dessen Aufforderung hin zu. Am 12. April 2010 beauftragte die AXA Dr. med. C._, Orthopädie, welcher sich bereits am 14. Januar 2010 beratend geäussert hatte, mit der Erstellung einer medizinischen Expertise. Diese wurde am 17. Mai 2010 erstattet. Zwischenzeitlich hatte die AXA der Versicherten am 26. April 2010 mitgeteilt, an der Verfügung vom 31. März 2010 werde festgehalten. S._ erhob Einsprache und beantragte, es sei das Ereignis vom 28. Januar 2009 als Unfall zu bewerten und die Verfügung vom 31. März 2010 entsprechend abzuändern. Die AXA holte eine Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. H._, Spezialarzt FMH Chirurgie, vom 15. Juni 2010 ein und wies die Einsprache mit Entscheid vom 9. August 2010 ab. B. Hiegegen reichte S._ Beschwerde ein, wobei sie neu geltend machte, das Auskugeln des rechten Schultergelenks habe sich beim Eingriff vom 30. Dezember 2008 ereignet und stelle ebenfalls einen Unfall dar. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 9. August 2011 ab. C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es seien aufgrund des Unfalles vom 28. Januar 2009 sämtliche Leistungen nach UVG zuzusprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.