Sachverhalt: A. X._ (Arbeitnehmerin) arbeitete seit dem 1. Februar 2000 als Teilzeitangestellte in der Filiale Z._ der Y._ (Arbeitgeberin). Das Arbeitsverhältnis gestaltete sich zunächst problemlos. Im September 2008 wechselte die Arbeitnehmerin zur neu eröffneten Filiale A._. Am 23. September 2008 fand auf Veranlassung ihres Vorgesetzten ein Gespräch statt, namentlich zu den Themen Teamfähigkeit, Leistungswillen, Ausdruck bzw. Verständigung und Einsatzbereiche. Am 20. Oktober 2008 wurde die Arbeitnehmerin schriftlich ermahnt und am 10. November 2008 unter Kündigungsandrohung verwarnt, unter anderem wegen mangelnder Arbeitsqualität und -quantität, fehlender Kritikakzeptanz, Respektlosigkeit gegenüber Vorgesetzten und mangelnder Effizienz beim Einkassieren. Am 12. Dezember 2008 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 31. März 2009. Die Arbeitnehmerin erhob Einsprache gegen die Kündigung und bestritt sämtliche Vorwürfe. B. Am 28. April 2009 belangte die Arbeitnehmerin (Klägerin) die Arbeitgeberin (Beklagte) vor dem Arbeitsgericht der Stadt Bern auf Zahlung einer Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung. Anlässlich der Verhandlung vom 26. November 2009 verlangte die Klägerin von der Beklagten die Zahlung von Fr. 6'264.-- nebst Zins sowie die Ausstellung eines berichtigten Arbeitszeugnisses. Das Arbeitsgericht gab dem letztgenannten Antrag am 3. Dezember 2009 teilweise statt und wies die Klage im Übrigen ab. Die dagegen eingereichte Nichtigkeitsklage der Klägerin wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 7. April 2010 ab. C. Die Klägerin (Beschwerdeführerin) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts vom 7. April 2010 aufzuheben und die Beklagte (Beschwerdegegnerin) zur Zahlung von Fr. 6'264.-- nebst Zins zu 5 % seit 29. April 2009 zu verpflichten, eventuell die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.