Sachverhalt: A. X._ (geb. 1942) ist geschiedener AHV-Rentner und Eigentümer einer renovationsbedürftigen Liegenschaft in Kreuzlingen/TG. Am 20. Mai 2005 meldete er sich beim Einwohneramt Kreuzlingen ab und bezeichnet sich seither als "Weltenbummler". Das Einwohneramt akzeptierte die Abmeldung von X._ nicht und verlangte von diesem eine Anmeldebestätigung des neuen Wohnsitzes sowie eine Aufenthaltsadresse im Ausland. X._ wurde weiterhin im Steuerregister geführt und mit Steuerdomizilentscheid vom 31. August 2007 stellte die zuständige Veranlagungsbehörde fest, X._ sei auch nach dem 20. Mai 2005 in Kreuzlingen unbeschränkt steuerpflichtig. Die hiergegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel an die Veranlagungsbehörde bzw. die Steuerrekurskommission blieben ohne Erfolg. Als kantonal letzte Instanz bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 28. Januar 2009 den Steuerdomizilentscheid vom 31. August 2007. Es führte aus, selbst wenn man nicht auf den fiktiven Wohnsitz im Sinne von Art. 24 Abs. 1 ZGB abstelle, habe der Pflichtige den Beweis für einen Lebensmittelpunkt und somit einen neuen Wohnsitz im Ausland nicht erbracht. B. Mit Urteil 2C_203/2009 vom 13. November 2009 hiess das Bundesgericht die von X._ dagegen erhobene Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat, hob das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. Januar 2009 auf und wies die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück. Das Bundesgericht stellte fest, das Replikrecht des Beschwerdeführers sei verletzt worden; die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör sei formeller Natur und führe zur Aufhebung des angefochtenen Urteils, ohne dass die Angelegenheit vom Bundesgericht materiell geprüft werde. Mit Entscheid vom 10. Februar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde von X._ erneut ab und stützte sich dabei im Wesentlichen auf die gleiche Argumentation wie im Entscheid vom 28. Januar 2009. C. Mit Eingabe vom 21. April 2010 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. Er stellt den Antrag, das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 10. Februar 2010 aufzuheben; es sei festzustellen, dass er ab dem 19. Mai 2005 im Kanton Thurgau und in der Schweiz nicht mehr steuerpflichtig sei. Im Weiteren seien das Urteil der Steuerrekurskommission des Kantons Thurgau, der Einspracheentscheid sowie der Steuerdomizilentscheid aufzuheben; die Steuerverwaltung des Kantons Thurgau und das Steueramt Kreuzlingen seien anzuweisen, ihn ab dem 19. Mai 2005 aus der Steuerpflicht im Kanton Thurgau und in der Schweiz zu entlassen. Zudem erhebt er subsidiäre Verfassungsbeschwerde und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. D. Die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Abweisung der Beschwerde.