Sachverhalt: A. In der von der X._ AG gegen Y._ erhobenen Betreibung Nr. xxx (Zahlungsbefehl vom 13. Dezember 2012 des Betreibungsamtes Sirnach) für eine Forderung von Fr. 536'696.20 nebst Kosten erhob der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Anmerkung "kein Einkommen - kein Vermögen". Das Betreibungsamt übermittelte den Rechtsvorschlag am 14. Januar 2013 gestützt auf Art. 265a SchKG dem Bezirksgericht Münchwilen, da der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung erhoben habe, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen. Mit Verfügung vom 21. Januar 2013 verpflichtete das Bezirksgericht (Vizepräsidium) die X._ AG, bis zum 5. Februar 2013 einen Kostenvorschuss von Fr. 900.-- zu bezahlen; bei Säumnis werde "auf das Gesuch nicht eingetreten". B. Die X._ AG erhob am 24. Januar 2013 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau und beantragte, die Parteirollen seien zu tauschen und es sei Y._ zur Bezahlung des Kostenvorschusses zu verpflichten. Mit Entscheid vom 6. März 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Zur Begründung hielt es unter Hinweis auf die kantonale Praxis fest, dass im Verfahren nach Art. 265a Abs. 1 SchKG der Gläubiger kostenvorschusspflichtig sei. C. Mit Eingabe vom 22. April 2013 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 6. März 2013 sei aufzuheben, und in der vor Bezirksgericht hängigen Sache sei Y._ (Beschwerdegegner) als Kläger aufzuführen und ihm der Kostenvorschuss aufzuerlegen. Weiter ersucht die X._ AG um aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 8. Mai 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Obergericht beantragt ohne weitere Bemerkungen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner hat sich in der Sache nicht vernehmen lassen; sinngemäss ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.