Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in A._ A/ZH bezweckt statutengemäss das Reinigen, Rekonditionieren, Lackieren, Beschriften, Entsorgen und Transportieren von Gebinden aller Art. Verschmutzte Fässer, die sich hier nicht reinigen lassen, verbringt sie nach Deutschland. Bei den Behältnissen handelt es sich um solche mit einem abnehmbaren Deckel ("Deckelfässer") und solche ohne Deckel ("Spundfässer). In Deutschland werden sie durch eine spezialisierte Unternehmung entweder entsorgt oder "rekonditioniert", ehe sie wieder zur X._ AG gelangen. Die in Deutschland ausgeführte Rekonditionierung umfasst Massnahmen wie Ausbrennen, Ausbeulen, Sandbestrahlung, Bordierung, Phosphatierung oder Lackierung, Grundierung, Bespritzen mit Farbe und Anbringen eines neuen Unternehmenskennzeichens. Spundfässer, d. h. Behältnisse, die über keinen abnehmbaren Deckel verfügen, werden zudem aufgeschnitten. B. Aufgrund eines Begehrens des deutschen Hauptzollamts in Münster überprüfte die Eidgenössische Zollverwaltung ab Dezember 2010 amtshilfeweise 134 Ursprungsnachweise auf ihre Richtigkeit hin. Die X._ AG hatte zum Verbringen der Fässer nach Deutschland jeweils Pro-forma-Rechnungen erstellt, auf welchen sie die für Zollzwecke erforderliche Lieferantenerklärung ("Rechnungserklärung") angebracht hatte. Mit Verfügung vom 21. Februar 2011 stellte die Zollkreisdirektion Schaffhausen fest, in 133 von 134 Fällen seien die Ursprungsnachweise ungültig. Der X._ AG sei es nicht gelungen, den Schweizer Ursprung der gebrauchten Fässer nachzuweisen. Die Behälter müssten als Waren unbestimmten Ursprungs gelten. C. Die X._ AG erhob dagegen am 23. März 2011 bei der Oberzolldirektion "vorsorglich" Beschwerde. Sie machte geltend, bei den Fässern handle es sich um Altwaren im Sinne des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG. Als solche seien sie ohne weiteren Nachweis als Schweizer Ursprungswaren zu behandeln, sofern sie in der Schweiz oder in der EU bezogen worden seien. Die Fässer seien zudem unter der Tarifnummer 7310.1000 einzureihen. Weiter beantragte die X._ AG, das Beschwerdeverfahren sei zu sistieren, bis die Antwort auf das gleichentags bei der Oberzolldirektion eingereichte Gesuch um verbindliche Ursprungsauskunft vorliege. Dies erlaube es ihr, anschliessend zu entscheiden, ob an der (vorsorglichen) Beschwerde festzuhalten sei. D. Die Oberzolldirektion sistierte das Beschwerdeverfahren antragsgemäss und beantwortete das Auskunftsersuchen vom 23. März 2011 mit schriftlicher Auskunft vom 13. April 2011. Darin führte sie aus, der Exporteur der Fässer sei bei deren Ausfuhr nach Deutschland berechtigt, einen Ursprungsnachweis auszustellen, soweit ihm ein Vorursprungsnachweis vorliege, d. h. eine Lieferantenerklärung seines Schweizer Lieferanten. Könne keine solche Erklärung beigebracht werden oder handle es sich um Fässer mit Ursprung in einem Drittstaat, sei das Ausstellen eines Ursprungsnachweises unzulässig. Im konkreten Fall habe der Vorgang zollrechtlich als Wiederaufbereitung der bestehenden Fässer zu gelten, sodass sie nicht unter die Waren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG fielen. E. Im Frühjahr 2011 ersuchte die X._ AG die Oberzolldirektion um Erlass einer (Auskunfts-) Verfügung, in welcher der Ursprung der betroffenen Waren entsprechend der Auskunft vom 13. April 2011 verbindlich festgehalten werde. Die Oberzolldirektion erklärte am 27. Mai 2011, Tarifauskünfte gälten nicht als beschwerdefähige Verfügungen. Dagegen erhob die X._ AG am 30. Mai 2011 beim Bundesverwaltungsgericht ein als Rechtsverweigerungsbeschwerde bezeichnetes Rechtsmittel. Mit Urteil vom 20. März 2012 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Es begründete dies damit, dass die X._ AG mit ihrer Rechtsverweigerungsbeschwerde den Erlass einer Verfügung verlange, obwohl die "Zollkreisdirektion Schaffhausen in der gleichen Sache bereits am 21. Februar 2011 eine solche erlassen hatte". Zudem könne die beantragte Feststellung des Schweizer Ursprungs nicht Streitgegenstand einer Rechtsverweigerungsbeschwerde bilden. Mit Eingabe vom 10. Mai 2012 gelangte die X._ AG an das Bundesgericht. Hinsichtlich der zweistufigen Ausgestaltung des zollrechtlichen Auskunftsanspruchs erwog das Bundesgericht im Urteil 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012, aus der Möglichkeit, eine schriftliche Auskunft zu verlangen (Art. 20 ZG) fliesse nach dem Prinzip der Parallelität der Formen ein Rechtsanspruch auf Erlass einer beschwerdefähigen Auskunftsverfügung (E. 3.3). Beim gesetzlichen Anspruch auf Erteilung einer verbindlichen einfachschriftlichen Auskunft handle es sich um eine Rechtsstreitigkeit gemäss Art. 29a BV, sodass der Rechtsweg gegeben sein müsse (E. 3.5). Kein derartiger Anspruch bestehe, falls eine Veranlagung bereits rechtshängig oder rechtskräftig sei (Subsidiarität der Feststellungsverfügung). F. Die OZD nahm das sistierte Verfahren am 16. Januar 2013 wieder auf. Mit Entscheid vom 5. April 2013 wies sie die Beschwerde ab. Zur Begründung führte sie aus, die gebrauchten Fässer seien keine Ursprungswaren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG. Mangels Lieferantenerklärungen von Schweizer Lieferanten, die den präferenziellen Ursprung belegten, gälten die Fässer als unbestimmten Ursprungs, weshalb die Ursprungsnachweise zu Unrecht bestünden. Mit Eingabe vom 10. Mai 2013 erhob die X._ AG Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, welches diese am 28. August 2013 abwies. G. Mit Eingabe vom 2. Oktober 2013 (Postaufgabe) erhebt die X._ AG (nachfolgend: die Zollpflichtige) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil vom 28. August 2013 sei aufzuheben, eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vor- oder an die Unterinstanz zurückzuweisen. Während die Unterinstanz die Abweisung der Beschwerde beantragt, verzichtet die Vorinstanz auf eine Stellungnahme.