Sachverhalt: A. Der 1949 geborene G._ teilte der Ersatzkasse UVG gemäss ihren Angaben am 7. Juni 2004 mit, er habe am 15. Januar 2004 einen Autounfall erlitten und sich ein Schleudertrauma zugezogen. Im Zeitpunkt des Unfalles sei er Arbeitnehmer der X._ GmbH gewesen, welche keine Unfallversicherung abgeschlossen habe, weshalb die Ersatzkasse für das Unfallereignis leistungspflichtig sei. Die Ersatzkasse UVG verneinte ihre Leistungspflicht mit Verfügung vom 21. August 2006 im Wesentlichen mit der Begründung, G._ habe im Zeitpunkt des Unfallereignisses als Selbstständigerwerbender zu gelten, weshalb keine UVG-Unterstellungspflicht bestanden habe. An ihrem Standpunkt hielt sie mit Einspracheentscheid vom 13. April 2007 fest. B. Die von G._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Entscheid vom 14. Dezember 2009 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung von Ziff. 1 des verwaltungsgerichtlichen Entscheids sei die Ersatzkasse UVG zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen auszurichten, eventualiter sei sie zu verpflichten, auf die Angelegenheit einzutreten und mit den Sachabklärungen nach Art. 43 ATSG zu beginnen, subeventualiter sei die Sache zur Neuabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht lässt er um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, um Parteibefragung und um Befragung von S._ als Zeugin zu seiner Tätigkeit bei der X._ GmbH sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. D. Mit Verfügung vom 9. März 2010 wies das Schweizerische Bundesgericht, I. sozialrechtliche Abteilung, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.