Sachverhalt: A. Der senegalesische Staatsangehörige A._ (geb. 1. Juni 1984) weilte zwischen 2004 und 2006 als Mitglied einer afrikanischen Trommlergruppe gestützt auf vom Kanton St. Gallen ausgestellte Kurzaufenthaltsbewilligungen in der Schweiz. Am 31. Juli 2006 heiratete er die Schweizer Bürgerin B._ (geb. 3. November 1985). Das (damalige) Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden erteilte A._ im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 30. Juli 2012 verlängert wurde. B. Am 7. April 2011 bzw. 11. August 2011 reichte A._ beim Amt für Migration und Zivilrecht des Kantons Graubünden ein Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ein. Nach Anhörung des Gesuchstellers und dessen Ehefrau verweigerte das Amt mit Verfügung vom 24. August 2012 die Verlängerung der Jahresaufenthaltsbewilligung und lehnte gleichzeitig das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Zur Begründung wurde ausgeführt, es fehle seit geraumer Zeit an einem ehelichen Zusammenleben in einem gemeinsamen Haushalt und es seien keine wichtigen Gründe für getrennte Wohnorte ersichtlich. Es bestünden auch keine Ansprüche nach Auflösung der Familiengemeinschaft. Mit Entscheid des Bezirksgerichts Plessur vom 13. Dezember 2012 wurden die Eheleute A._ berechtigt, ab dem 1. März 2012 getrennt zu leben. Die von A._ gegen die Verfügung des Amtes für Migration und Zivilrecht vom 24. August 2012 ergriffenen Rechtsmittel wurden vom Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden (Entscheid vom 31. Januar 2013) und vom Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden (Urteil vom 25. Februar 2014) abgewiesen. C. Mit Eingabe vom 30. April 2014 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 25. Februar 2014 sei - mit Ausnahme von Ziff. 2 (Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege) - aufzuheben und es sei dem Beschwerdeführer die Niederlassungsbewilligung zu erteilen bzw. es sei das Amt für Migration und Zivilrecht anzuweisen, dem Beschwerdeführer die Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer die Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. es sei das Amt für Migration und Zivilrecht anzuweisen, dem Beschwerdeführer die Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen. Subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanzen zur Neubeurteilung zurückzuweisen. D. Das Amt für Migration und Zivilrecht, das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 6. Mai 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.