Sachverhalt: A. Der aus dem heutigen Serbien/Montenegro (Kosovo) stammende X._, geboren am **. ** 1962, heiratete im Jahre 1985 eine Schweizer Bürgerin, worauf ihm die Jahresaufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Seine aus einer früheren ausserehelichen Beziehung hervorgegangenen drei Kinder Y._ (geboren am **. ** 1983), Z._ (geboren am **. ** 1984) sowie A._ (geboren am **. ** 1985) liess er im Heimatland zurück. Anfangs 1992 wurde die Ehe (kinderlos) geschieden. Im gleichen Jahr ging X._ mit einer Landsmännin erneut die Ehe ein, aus welcher drei Kinder hervorgehen sollten. Am 30. Juni 1995 wurde X._ die Niederlassungsbewilligung im Kanton Aargau erteilt. Im Jahre 1999 kam seine Ehefrau bei einem Unfall ums Leben. Am 18. Dezember 2001 wurden X._ sowie die drei Kinder aus zweiter Ehe eingebürgert. Am 8. April 2002 heiratete X._ die aus Serbien/Montenegro stammende B._, geboren am **. ** 1972, welcher in der Folge die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann erteilt wurde. Am 17. Juni 2002 reichte X._ ein Gesuch um Nachzug seines ausserehelichen Sohnes A._ ein. B. Mit Verfügung vom 22. August 2002 lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau, Sektion Aufenthalt, das Familiennachzugsgesuch ab. Eine dagegen erhobene Einsprache wies das Migrationsamt mit Entscheid vom 5. Mai 2003 ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen an, für den Familiennachzug gestützt auf die massgebliche Bestimmung des Bundesgesetzes über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (Art. 17 Abs. 2 ANAG analog) fehle es an der erforderlichen wesentlichen Veränderung in den Betreuungsverhältnissen. Ein Rechtsanspruch auf Nachzug des Sohnes lasse sich im Übrigen auch nicht aus dem Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) ableiten. Eine Bewilligung des Familiennachzugs im Rahmen des fremdenpolizeilichen Ermessens lehnte das Migrationsamt ab. C. Mit Urteil vom 15. August 2003 (versandt am 19. August 2003) hiess das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau eine von X._ erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid des Migrationsamtes vom 5. Mai 2003 auf und wies dieses an, den Aufenthalt von A._ zu regeln. Das Gericht kam zum Schluss, ein Rechtsanspruch auf Familiennachzug sei in analoger Anwendung der Familiennachzugsregelung des Freizügigkeitsabkommens zu bejahen. D. Mit Eingabe vom 19. September 2003 erhebt das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES) beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde, mit der es die Aufhebung des Entscheids des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau vom 15. August 2003 beantragt. X._ stellt den Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei abzuweisen und das Urteil des Rekursgerichts sei zu bestätigen. Das Migrationsamt des Kantons Aargau schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Das Rekursgericht im Ausländerrecht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf einzutreten sei.