Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Mannheim ermittelte seit 1974 u.a. gegen A._, B._ und X._ wegen Verdachts der Teilnahme an Vermögensdelikten, insbesondere Anlagebetrug, Veruntreuung und Urkundenfälschung. Da sich X._ den deutschen Ermittlungsbehörden nicht stellte, wurde das Strafverfahren gegen sie 1997 an den Kanton St. Gallen abgetreten. Am 9. Oktober 2000 stellte X._ ein Ausstandsbegehren gegen den damals fallführenden Untersuchungsrichter M._. Die kantonalen Instanzen wiesen dieses Begehren ab. Mit Entscheid vom 18. Mai 2001 hiess das Bundesgericht eine von X._ dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde gut, weil die offenbar systematisch unterbliebene Ladung der Verteidigung zu Zeugeeinvernahmen sowie mehrere Äusserungen des Untersuchungsrichters in der Gesamtbetrachtung Zweifel an dessen Unvoreingenommenheit aufkommen liessen (Verfahren 1P.766/2000). Gestützt auf diesen Entscheid stellte der Erste Staatsanwalt des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 19. Juni 2001 den Ausstand von Untersuchungsrichter M._ fest. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2001 wies das Bundesgericht eine weitere von X._ erhobene staatsrechtliche Beschwerde ab, die ein Ausstandsbegehren gegen den nun fallführenden Untersuchungsrichter Dr. Adrian Pfeiffer betraf (Verfahren 1P.644/ 2001). Das Bundesgericht erwog, dessen von X._ beanstandetes Vorgehen stelle keinen unzulässigen Angriff auf ihr Aussageverweigerungs- oder Verbeiständungsrecht dar, der Zweifel an der Unvoreingenommenheit des Richters hätte begründen können. Es kam zum Schluss, auch bei einer Gesamtbetrachtung aller von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Umstände bestehe objektiv kein Anschein der Befangenheit. B. Mit Schreiben vom 18. Februar 2002 stellte X._ ein weiteres Ausstandsbegehren gegen Untersuchungsrichter Dr. Adrian Pfeiffer. Sie machte geltend, anlässlich der am 15. Februar 2002 erfolgten Befragung der Auskunftsperson E._ habe der Untersuchungsrichter ihrem Verteidiger das Fragerecht auf unzulässige Weise beschränkt, indem ihm verwehrt worden sei, Fragen zu stellen, die sich nicht an die vom Untersuchungsrichter gestellten Fragen anschlossen, wogegen die Verteidigerin der Mitangeschuldigten Frau F._ alle Fragen habe stellen können, sogar solche, die nicht Untersuchungsgegenstand gebildet hätten. Ferner sei Frage Nr. 21 der anlässlich dieser Befragung gestellten Fragen des Untersuchungsrichters nicht neutral auf die Ermittlung der Wahrheit ausgerichtet gewesen. In der Gesamtschau habe das Verhalten des Untersuchungsrichters "systematischen Charakter" und den Anschein seiner Unbefangenheit zerstört. Am 25. Februar 2002 wies der Staatsanwalt-Stellvertreter des Kantons St. Gallen das Ausstandsbegehren ab. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 14. März 2002 Rechtsverweigerungsbeschwerde bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Diese wies die Beschwerde mit Entscheid vom 22. Mai 2002 ab. C. Mit Eingabe vom 3. Oktober 2002 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid vom 22. Mai 2002 sei aufzuheben. Untersuchungsrichter Dr. Adrian Pfeiffer sowie der Staatsanwalt-Stellvertreter beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Auch der Erste Staatsanwalt sowie die Anklagekammer beantragen Abweisung der Beschwerde, dies unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Die Beschwerdeführerin hat von der ihr eingeräumten Replikmöglichkeit keinen Gebrauch gemacht. D. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2002 hat Rechtsanwalt Dietsche offen dem kantonalen Untersuchungsrichteramt St. Gallen mitgeteilt, dass er X._ in den dort hängigen Strafverfahren nicht mehr vertrete. Das vorliegende staatsrechtliche Beschwerdeverfahren ist von dieser Mandatsaufgabe nicht betroffen.