Sachverhalt: A. A.a X._ (Gesuchsteller) und Y._ (Gesuchsgegnerin) heirateten am 31. Oktober 1996. Ihre Ehe blieb kinderlos. Die Gesuchsgegnerin ist Mutter einer am 25. April 1991 geborenen Tochter aus erster Ehe. Diese Tochter lebt im Haushalt der Parteien bzw. hält sich in einem Schulinstitut auf. A.b Der Gesuchsteller ersuchte am 2. Juli 2004 beim Kantonsgerichtspräsidium Zug um Eheschutzmassnahmen. Mit Verfügung vom 11. August 2005 stellte diese Instanz fest, dass die Parteien ihren Haushalt auf unbestimmte Zeit aufgehoben hätten und bereits seit dem 15. Mai 2004 getrennt lebten. Der Gesuchsteller wurde verpflichtet, der Gesuchsgegnerin an ihren Unterhalt ab dem 16. Mai 2004 bis 30. Juni 2005 Fr. 6'243.--, ab 1. Juli 2005 bis 31. Dezember 2005 Fr. 5'048.-- sowie ab dem 1. Januar 2006 Fr. 3'853.-- zu entrichten, zahlbar, soweit es sich um künftige Beiträge handelt, je im Voraus auf den Ersten des Monats (Disp. Ziff. 3 lit. a). Ferner wurde festgehalten, dass der mit Verfügung des Kantonsgerichtspräsidiums Zug vom 3. März 2005 vorläufig festgelegte Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'235.--, sofern bis anhin bezahlt, an die Unterhaltsbeiträge gemäss Disp. Ziff. 3 lit. a anzurechnen sei (Disp. Ziff. 3 lit. b). Im Weiteren wurden verschiedene, im vorliegenden Verfahren nicht relevante Sicherungsmassnahmen zum Nachteil der Gesuchsgegnerin angeordnet und eine früher verfügte Verfügungsbeschränkung aufgehoben (Disp. Ziff. 5-8). Schliesslich wurden die Kosten des Verfahrens geregelt (Disp. Ziff. 9 und 10). B. B.a Dagegen beschwerten sich beide Parteien bei der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug. Der Gesuchsteller verlangte eine Abänderung der Ziffern 3a, 7, 9 und 10 der erstinstanzlichen Verfügung und ersuchte insbesondere um Feststellung, dass ab dem 1. Januar 2005 kein Unterhaltsbeitrag mehr geschuldet sei. Die Gesuchsgegnerin ersuchte um Abänderung der Ziffern 3, 5, 6 und 7. Mit Urteil vom 4. Mai 2006 wies die Justizkommission die Beschwerde des Gesuchstellers ab (Disp. Ziff. 1). In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der Gesuchsgegnerin wurden die Disp. Ziffern. 3 lit. a, 5, 6, 7, 9 und 10 der Verfügung des Kantonsgerichtspräsidiums vom 11. August 2005 aufgehoben und der Gesuchsteller zu folgenden Unterhaltsbeiträgen an die Gesuchsgegnerin verpflichtet: ab dem 16. Mai 2004 bis 31. Oktober 2005 Fr. 6'870.--, ab 1. November 2005 bis 30. April 2007 Fr. 5'230.-- sowie ab 1. Mai 2007 Fr. 3'590.-- zahlbar - soweit es sich um zukünftige Beiträge handelt - je im Voraus auf den Ersten des Monats (Disp. Ziff. 2). Ferner wurden die Kosten- und Entschädigungen des zweitinstanzlichen Verfahrens geregelt (Disp. Ziff. 3 und 4). C. Der Gesuchsteller führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zug, Justizkommission, vom 4. Mai 2006 aufzuheben. D. Sein Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung vom 12. Juni 2006 abgewiesen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.