Rechtsschutzversicherungsvertrag, hat sich ergeben: A.- E.H._ war Alleinaktionär der M._ AG mit Sitz in Z._ und zugleich deren Geschäftsführer im Anstellungsverhältnis. Mit Wirkung ab dem 18. Februar 1981 schloss er für die M._ AG mit der Rechtsschutzversicherungs-Aktiengesellschaft X._ eine kombinierte Privat- und Betriebsrechtsschutzversicherung (Police Nr. x). Dieser mit Datum vom 26. Februar 1981 versehene Vertrag wurde mit Nachtrag vom 10. März 1994 geändert, den E.H._ für die M._ AG mit dem nun zur Rechtsschutzversicherungs-Gesellschaft X._ gewordenen Versicherer abschloss; die Betriebsrechtsschutzversicherung wurde ausgeschlossen und die Privatrechtsschutzversicherung erneuert. Anwendbar waren stets die allgemeinen Versicherungsbedingungen, Ausgabe 7/82 (nachstehend: AVB). E.H._ erklärte sich am 3. Oktober 1995 bereit, der F._ AG, welche damals in Gründung stand, seine Aktien der M._ AG zu verkaufen. Auf der Basis der Bilanz der M._ AG per Ende 1995 (vom 29. Mai 1996) einigten sich die Parteien am 12. Juni 1996 auf einen Kaufpreis von 7 Mio. Fr. und übertrugen die Aktien. Nachträglich stellte sich heraus, dass der als Revisor amtende Treuhänder die Aktiven mit Fr. 698'000.-- zu hoch in die Bilanz eingesetzt hatte, weil er ein Lire-Konto falsch in Schweizerfranken umgerechnet hatte. Letztendlich bezahlte E.H._ der Käuferin 0,5 Mio. Fr. zurück. Er beabsichtigt, die B._ Treuhand AG für den entstandenen Schaden aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit (Art. 755 OR) haftbar zu machen; in dieser Sache verlangte er von der RechtsschutzversicherungsGesellschaft X._ erfolglos Kostengutsprache in der Höhe von maximal Fr. 154'000.--. B.- Mit Klage vom 3. Dezember 1998 verlangte E.H._, die Rechtsschutzversicherungs-Gesellschaft X._ sei zu verpflichten, ihm im Rechtsstreit mit der B._ Treuhand AG für vorprozessuale Beratung durch seinen Anwalt, für die Gerichtskosten (inklusive Expertenhonorare), sowie für die Entschädigung allenfalls des eigenen und des Gegenanwaltes Kostengutsprache zu erteilen. Mit Klageantwort vom 25. Februar 1999 beantragte die Beklagte die Abweisung der Klage mit den Begründungen, es fehle an einer versicherungsvertraglichen Deckung, der Kläger sei gegenüber der B._ Treuhand AG nicht aktivlegitimiert und der Prozess habe keine Erfolgschancen. Der zweite Schriftenwechsel führte dazu, dass die Aktivlegitimation des Klägers von der Beklagten anerkannt wurde. Nach der Instruktions- und der Hauptverhandlung hiess das Handelsgericht des Kantons Aargau die Klage mit Urteil vom 26. April 2000 gut und erklärte die Beklagte pflichtig, dem Kläger für den Rechtsstreit mit der B._ Treuhand AG Kostengutsprache in der maximalen Höhe von Fr. 154'000.-- zu gewähren (für vorprozessuale Beratung durch den klägerischen Anwalt, Gerichtskosten und zur Entschädigung der Parteianwälte). C.- Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Berufung, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Der Kläger schliesst auf Abweisung der Berufung, evtl. auf Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz. Diese hat keine Gegenbemerkungen angebracht. D.- Mit Urteil vom heutigen Tag ist das Bundesgericht auf die von der Beklagten gegen das Urteil des Handelsgerichts eingelegte staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten.