Sachverhalt: A. X._, geb. 1977, montenegrinischer Herkunft, lebt sei Juli 1997 in der Schweiz. Der Aufenthalt wurde ihm zunächst als Ehegatte zweier inzwischen aufgelöster Ehen mit hier niedergelassenen Ausländerinnen bewilligt. Am 15. Februar 2003 heiratete er die Schweizerin Y._, geb. 1977. Aus der Ehe ging am 1. Juli 2004 ein gemeinsamer Sohn hervor. B. Am 4. Januar 2006 stellte X._ als Ehegatte einer Schweizerin das Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Dafür unterzeichnete er am 19. Juni 2007 eine Erklärung. Darin bestätigte er unter anderem, dass gegen ihn weder in der Schweiz noch anderswo Strafverfahren hängig seien, dass er in den letzten zehn Jahren die Rechtsordnung der Schweiz beachtet und dass er auch darüber hinaus keine strafbaren Handlungen begangen habe, für die er heute noch mit einer Strafverfolgung oder Verurteilung rechnen müsse. X._ bestätigte unterschriftlich, zur Kenntnis genommen zu haben, dass falsche Angaben zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könnten. Am 11. Juli 2007 wurde X._ erleichtert eingebürgert. Er erhielt nebst dem Schweizer Bürgerrecht diejenigen des Kantons und der Stadt Zürich. C. C.a. Am 26. Dezember 2007 wurde X._ im Rahmen polizeilicher Ermittlungen gegen eine international tätige Gruppierung von balkanstämmigen Drogenhändlern festgenommen. Mit Urteil vom 5. Oktober 2011 verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Zürich in zweiter Instanz wegen mehrfacher, mengenmässig qualifizierter und teilweise bandenmässig begangener Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie wegen Drohung zu einer Freiheitsstrafe von siebeneinhalb Jahren. Dieses Urteil ist rechtskräftig. C.b. Nachdem der Kanton Zürich am 2. Juli 2012 seine Zustimmung erteilt hatte, erklärte das Bundesamt für Migration mit Verfügung vom 5. Juli 2012 die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig. D. Am 7. Oktober 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht eine dagegen erhobene Beschwerde ab. E. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. November 2013 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben; eventuell sei die Sache zu ergänzender Sachverhaltsabklärung und zu neuem Entscheid an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht wird um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Zur Begründung macht X._ im Wesentlichen geltend, die Nichtigerklärung seiner Einbürgerung verstosse gegen das Bürgerrechtsgesetz sowie den Grundsatz, dass niemand sich selbst belasten müsse. F. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. G. X._ hat ausdrücklich von weiteren Äusserungen zur Sache abgesehen. H. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2013 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.