Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 7. Juni 2011 stellt der Kanton St. Gallen (Kläger) dem Bundesgericht folgende Rechtsbegehren: 1. Es sei der Kanton Thurgau zu verpflichten, die im Kanton St. Gallen durch die Vormundschaftsbehörde S._ SG geführte Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft (Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB) für X._, zur Weiterführung durch die Vormundschaftsbehörde T._ TG zu übernehmen; 2. Eventualiter sei der Kanton Thurgau zu verpflichten, durch seine kantonale vormundschaftliche Aufsichtsbehörde (Departement für Justiz und Sicherheit) die Übernahme und Weiterführung der Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft (Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB) für X._ durch die Vormundschaftsbehörde T._ TG zu veranlassen. 3. Unter gesetzlicher Kostenfolge. Zur Begründung der Rechtsbegehren führt der Kläger aus, X._, mit Wohnsitz in S._ SG, sei am 24. Februar 2005 in das Alters- und Pflegeheim P._ in T._ TG eingetreten. Auf Antrag der Heimleitung habe die Vormundschaftsbehörde S._ SG für X._ eine Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft nach Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB errichtet (Verfügung vom 7. April 2005). Am 19. Dezember (recte: November) 2009 habe sich X._ bei der Einwohnerkontrolle in T._ TG angemeldet, die ihr die Wohnsitznahme bescheinigt habe. Mit Schreiben vom 4. Januar 2010 habe die Vormundschaftsbehörde S._ SG die Vormundschaftsbehörde T._ TG ersucht, die Beistandschaft für X._ zu übernehmen. Die Vormundschaftsbehörde T._ TG habe die Übernahme abgelehnt und die Sache an die vormundschaftliche Aufsichtsbehörde zur Entscheidung überwiesen. Im anschliessenden Meinungsaustausch hätten sich die vormundschaftlichen Aufsichtsbehörden nicht einigen können. X._ sei entgegen der Ansicht des Kantons Thurgau freiwillig in das Alters- und Pflegeheim P._ eingetreten. Sie habe ihren Lebensmittelpunkt in für Dritte erkennbarer Weise im Alters- und Pflegeheim P._ gefunden und damit ihren Wohnsitz in T._ TG begründet. Seine Tatsachenbehauptungen belegt der Kläger mit den Akten der Vormundschaftsbehörde S._ SG (kläg.act. I/1-16) und den Akten der vormundschaftlichen Aufsichtsbehörde (kläg.act. II/1-11), die er dem Bundesgericht allesamt einreicht. Er stellt keine weiteren Beweisanträge. B. In seiner Klageantwort vom 16. August 2011 schliesst der Kanton Thurgau (Beklagter) auf Abweisung der Klage. Zur Begründung des Antrags verweist der Beklagte einleitend auf sein Schreiben vom 4. März 2010, das er zum integrierenden Bestandteil seiner Klageantwort erklärt. Er führt aus, ein freiwilliger Eintritt von X._ in das Alters- und Pflegeheim P._ könne nicht angenommen werden. X._ sei aufgrund ihres schlechten Gesundheitszustandes und ihrer Pflegebedürftigkeit in das Alters- und Pflegeheim eingetreten, habe bereits im Zeitpunkt ihres Eintritts keine Möglichkeit mehr gehabt, sich an einem beliebigen Ort aufzuhalten, und sei nach wie vor auf die Betreuung im Heim angewiesen. Es sei deshalb von einer Unterbringung im Heim auszugehen, die keinen Wohnsitz begründe. Nach den gesamten Umständen könne auch nicht angenommen werden, dass X._ den Ort ihres Heimaufenthalts zum Mittel- oder Schwerpunkt ihrer Lebensbeziehungen gemacht habe. Zum Beweis seiner Sachdarstellung reicht der Beklagte dem Bundesgericht mehrere Belege ein (bekl.act. 1-6). Er stellt keine weiteren Beweisanträge. C. Der Instruktionsrichter der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat den Parteien unter Vorbehalt einer mündlichen Verhandlung den Abschluss des Vorbereitungsverfahrens mitgeteilt und eine Frist angesetzt, um zum beabsichtigten Verfahrensablauf Stellung zu nehmen, eine schriftliche Schlussdenkschrift einzureichen und gegebenenfalls Anträge auf Ergänzung der Beweiserhebungen zu stellen (Verfügung vom 7. September 2011). Beide Parteien haben auf die Durchführung einer mündlichen Vorbereitungsverhandlung, auf mündliche Parteivorträge und auf die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung verzichtet und der schriftlichen Eröffnung des Urteils zugestimmt. Sie haben weiter darauf verzichtet, eine Schlussdenkschrift einzureichen, und auch keine Anträge auf Ergänzung des Beweisverfahrens gestellt (Eingaben des Klägers vom 13. September 2011 und des Beklagten vom 19. September 2011).