Sachverhalt: A. Der aus dem Libanon stammende X._ (geb. 1963) reiste im Frühjahr 1989 mit seiner ebenfalls libanesischen Ehefrau Y._ (geb. 1970) in die Schweiz ein. Zunächst ersuchten beide erfolglos um Asyl. Am 19. April 1990 kam ihre Tochter A._ zur Welt. In der Folge stellte X._ mit falschen Angaben ein neues Asylgesuch, welches am 13. Dezember 1991 durch einen Nichteintretensentscheid erledigt wurde. In der Zwischenzeit hatte Y._ zusammen mit der Tochter A._ die Schweiz verlassen und sich im Mai 1991 von ihrem Ehemann scheiden lassen, ihn aber einen Monat später wieder geheiratet. Im Verkündgesuch, das X._ am 13. Februar 1992 für eine Eheschliessung mit der elf Jahre älteren Schweizerin Z._ stellte, gab er allerdings noch an, unverheiratet zu sein. Zu einer Eheschliessung mit Z._ kam es vorerst nicht. X._ kehrte vielmehr in den Libanon zurück, wo Y._ am 7. Mai 1993 den gemeinsamen Sohn B._ zur Welt brachte. Nachdem er sich zum zweiten Mal von seiner Ehefrau hatte scheiden lassen, reiste X._ erneut in die Schweiz ein und heiratete am 3. Dezember 1993 Z._. Diese Ehe wurde mit rechtskräftigem Urteil des Bezirksgerichts Andelfingen am 5. Mai 1999 geschieden. X._ heiratete in der Folge - im Januar 2000 - seine frühere Ehefrau Y._, mit welcher er während der Ehe mit Z._ das dritte gemeinsame Kind (Sohn C._, geb. 1995) gezeugt hatte, zum dritten Mal, kurz nachdem er im Juni 1999 bei der Schweizerischen Botschaft in Beirut für sie und die drei Kinder Einreisevisa für einen Besuchsaufenthalt in der Schweiz beantragt hatte. Inzwischen war er, der seit der Heirat mit Z._ im Besitz einer regelmässig verlängerten Aufenthaltsbewilligung gewesen war, in der Schweiz erleichtert eingebürgert worden (am 18. November 1998). B. Mit Verfügung vom 12. Dezember 2003 erklärte das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (heute: Bundesamt für Migration) die erleichterte Einbürgerung von X._ wegen unwahrer Angaben über den Ehewillen für nichtig. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement am 13. Januar 2005 ab. C. Am 6. Juni 2005 ersuchte X._ beim Migrationsamt des Kantons Zürich um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 23. Februar 2005 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Migrationsamt) - unter Ansetzung einer Ausreisefrist für den Betroffenen - dieses Gesuch ab, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ habe die Behörden unter Verletzung der gesetzlichen Offenbarungs- und Wahrheitspflicht jahrelang über seine tatsächlichen familiären Verhältnisse getäuscht, indem er die Weiterführung der Beziehung zu Y._ und die Zeugung des während der Ehe mit Z._ geborenen Sohnes C._ verschwiegen habe. Der hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rekurs blieb erfolglos, und mit Urteil vom 14. Mai 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 23. Januar 2008 erhobene Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 7. Juli 2008 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Mai 2008 aufzuheben und festzustellen, dass dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen sei. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und das Bundesamt für Migration. E. Mit Verfügung vom 10. Juli 2008 hat der damalige Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.