Sachverhalt: A. Die 1955 geborene I._ war als Sekretärin in einem 60 %-Pensum in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 30. Mai 3003 einen Unfall erlitt. Sie wurde, auf einem Gartenstuhl sitzend, von einer Krähe attackiert, machte eine Ausweichbewegung, verlor dadurch das Gleichgewicht und stürzte mit dem Stuhl seitwärts/rückwärts um. Der wegen danach aufgetretener Beschwerden im Nacken- und Kopfbereich am 2. Juni 2003 aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte mit Bericht vom 20. Juni 2003 eine Kontusion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit. Bei den folgenden medizinischen Abklärungen wurde sodann von einem beim Unfall erlittenen HWS-Distorsionstrauma ausgegangen. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 12. August 2005 eröffnete sie der Versicherten, die Leistungen würden auf den 1. Oktober 2005 eingestellt; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung führte die SUVA aus, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 30. Mai 2003. Daran hielt die SUVA auf die von I._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 11. Mai 2006). B. I._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gewährte ihr die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 10. Dezember 2007 ab. C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und kantonalem Entscheid sei die SUVA zu verpflichten, ab 1. Oktober 2005 weiterhin Leistungen, insbesondere Heilbehandlung, Taggeld, eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung, zu erbringen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Mit Eingabe vom 9. April 2008 ergänzt I._, in Wahrnehmung des ihr gewährten rechtlichen Gehörs, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.