Sachverhalt: A. Die Documed AG (Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Basel. Ihr Geschäftszweck ist unter anderem der Betrieb eines medizinisch-pharmazeutischen Verlags. Sie gibt seit dem Jahre 1979 das "Arzneimittel-Kompendium der Schweiz" heraus. Das Arzneimittelkompendium enthält einerseits Fachinformationen, das heisst Informationen über die Medikamente, die sich an die Abgabeberechtigten richten, andererseits Patienteninformationen, die den Informationen auf den Beipackzetteln der Arzneimittel entsprechen. Es wird von der Beschwerdeführerin in Zusammenarbeit mit den Arzneimittelherstellern bzw. -importeuren publiziert, die damit einer gemäss Art. 13 Abs. 2 und Art. 14 Abs. 1 der Arzneimittel-Zulassungsverordnung (AMZV, SR 812.212.22) bestehenden Pflicht nachkommen. Das Kompendium ist seit 1998 auf den Websites www.documed.ch sowie www.kompendium.ch aufgeschaltet und dort unentgeltlich abrufbar. Daneben erscheint es weiterhin in Buchform, in der es unentgeltlich an die zur Abgabe von Medikamenten berechtigten Personen abgegeben wird. A._ (Beschwerdegegner 1) ist Inhaber und Geschäftsführer der Firma ywesee GmbH (Beschwerdegegnerin 2) in Zürich. Zweck der Firma bildet die Gestaltung, Programmierung sowie das Hosting von Internetlösungen. Die Beschwerdegegnerin 2 betreibt unter der Domain "oddb.org" eine Datenbank mit Arzneimittelinformationen. Über diese Website sind die im Kompendium der Beschwerdeführerin enthaltenen Fach- und Patienteninformationen ebenfalls abrufbar. Die Beschwerdeführerin wirft den Beschwerdegegnern vor, sie hätten dadurch, dass sie systematisch die von ihr betriebene Datenbank aufgerufen und dieselben Patienten- und Fachinformationen wie die Beschwerdeführerin für ihre Datenbank verwendet hätten, deren Urheberrechte sowie lauterkeitsrechtlichen Schutzansprüche verletzt. B. Am 16. Januar 2004 erhob die Beschwerdeführerin beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage gegen den Beschwerdegegner 1, wobei später die Ausdehnung des Verfahrens auf die Beschwerdegegnerin 2 bewilligt wurde. Sie beantragte, es sei dem Beschwerdegegner 1 definitiv zu untersagen, in Verletzung von Art. 10 URG und Art. 5 lit. c UWG die Daten und die Anordnung der Daten des Arzneimittelkompendiums der Schweiz ohne Zustimmung der Beschwerdeführerin auf Datenträger zu übertragen, in irgendwelcher Form festzulegen und öffentlich entgeltlich oder unentgeltlich zu verbreiten, anzubieten oder sonstwie zu nutzen. Es sei im Weiteren festzustellen, dass die Übernahme der Daten und der Anordnung der Daten des Arzneimittelkompendiums der Schweiz ohne Zustimmung der Beschwerdeführerin durch den Beschwerdegegner 1 und die Festlegung, öffentliche entgeltliche oder unentgeltliche Verbreitung, das Anbieten oder die sonstwie geartete Nutzung das Urheberrecht der Beschwerdeführerin verletze sowie unlauteren Wettbewerb darstelle. Das Urteil sei auf Kosten des Beschwerdegegners 1 in im Rechtsbegehren genannten pharmazeutischen und medizinischen Zeitschriften zu publizieren. Im Weiteren sei der Beschwerdegegner 1 zur Zahlung von Schadenersatz in der Höhe von Fr. 20'000.-- zuzüglich Zinsen an die Beschwerdeführerin zu verurteilen, wobei sich die Beschwerdeführerin die Geltendmachung weiteren Schadenersatzes ausdrücklich vorbehalte. Mit Urteil vom 8. Mai 2007 wies das Zivilgericht Basel-Stadt die Klage ab. C. Die Beschwerdeführerin stellt mit Beschwerde in Zivilsachen folgende Rechtsbegehren: "1. Es sei das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 8. Mai 2007 (Aktenzeichen P 2004/7) vollumfänglich aufzuheben. 1. Es seien die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin gemäss Klagebegründung vom 11. Februar 2005 gutzuheissen, d.h. 1.1 Es sei festzustellen, dass die Übernahme der Daten und der Anordnung der Daten des Arzneimittelkompendiums der Schweiz ohne Zustimmung der Beschwerdeführerin durch die Beschwerdegegner und die Festlegung, öffentliche entgeltliche oder unentgeltliche Vertreibung, das Anbieten oder die sonst wie geartete Nutzung das Urheberrecht der Beschwerdeführerin verletzt sowie unlauteren Wettbewerb darstellt. 1.2 Es sei den Beschwerdegegnern zu untersagen, in Verletzung von Art. 10 URG und Art. 5 Bst. c UWG die Daten und die Anordnung der Daten des Arzneimittelkompendiums der Schweiz ohne Zustimmung der Beschwerdeführerin auf Datenträger zu übertragen, in irgendwelcher Form festzulegen und öffentlich entgeltlich oder unentgeltlich zu verbreiten, anzubieten oder sonst wie zu nutzen. 1.3 Das Urteil sei auf Kosten der Beschwerdegegner in solidarischer Verbundenheit in den folgenden pharmazeutischen und medizinischen Zeitschriften zu publizieren: - Schweizerische Ärztezeitung - Rx-World - Supplementa zum Schweizerischen Arzneimittelkompendium Documed AG 1.4 Es seien die Beschwerdegegner in solidarischer Verbundenheit zur Zahlung von Schadenersatz in der Höhe von CHF 20'000.-- an die Beschwerdeführerin, zusätzlich Verzugszinsen von 5 % ab Datum der Klageanhebung, zu verurteilen. Mehrforderung wird durch die Beschwerdeführerin ausdrücklich vorbehalten. 2. Eventualiter zu 2. sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen." Die Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, vollumfänglich abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.