Sachverhalt: A. X._ ist Alleinaktionär der Z._ AG in Liquidation, über die am 22. September 2010 der Konkurs eröffnet worden war. Am 27. Dezember 2010 leitete die konkursite Gesellschaft gegen X._ für Fr. 12'706'545.45 nebst Zins zu 5 Prozent seit 15. Dezember 2010 die Betreibung ein (Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamts A._). Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. B. Auf Gesuch der Z._ AG in Liquidation erteilte die Einzelrichterin der Abteilung 2 des Bezirksgerichts Kriens in der erwähnten Betreibung für Fr. 6'824'784.81 nebst Zins zu 5 Prozent seit 15. Dezember 2010 die provisorische Rechtsöffnung. C. Vergeblich setzte sich X._ gegen diesen Entscheid vor dem Obergericht des Kantons Luzern zur Wehr. Dieses wies seine Beschwerde vom 29. August 2011 mit Entscheid vom 15. Dezember 2011 ab. D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Februar 2012 wendet sich X._ ("Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts und denjenigen des Bezirksgerichts Kriens aufzuheben. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt. In ihrer Beschwerdeantwort vom 27. Juni 2012 stellt die Z._ AG in Liquidation (Beschwerdegegnerin) das Begehren, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Auch das Obergericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.