Sachverhalt: A. Die Gesellschaft X._ AG (Verwalterin, Klägerin, Beschwerdegegnerin) verwaltet die im Miteigentum von A._ und B._ (Eigentümer, Beklagte, Beschwerdeführer) befindliche Liegenschaft an der Y._strasse in Z._. Nach Erstellung der Schlussabrechnung für die Verwaltung der genannten Liegenschaft, führte die Verwalterin irrtümlicherweise eine Zahlung an die Eigentümer doppelt aus. Die Eigentümer verweigern die Rückerstattung dieser Doppelzahlung und machen eine Verrechnungsforderung geltend. B. B.a Am 5. April 2011 reichte die Verwalterin beim Regionalgericht Bern-Mittelland Klage gegen die Eigentümer ein, mit dem im Laufe des Verfahrens abgeänderten Begehren, die Eigentümer seien unter solidarischer Haftbarkeit zu verurteilen, ihr einen Betrag von Fr. 10'312.47 nebst Zins zu 5 % seit dem 26. März 2009 zu bezahlen. Die Eigentümer beantragten demgegenüber, der Verwalterin seien maximal Fr. 1'998.37 zuzusprechen; soweit weitergehend sei die Klage abzuweisen. Mit Entscheid vom 15. März 2012 hiess das Regionalgericht Bern-Mittelland die Klage teilweise gut und verurteilte die Beklagten unter solidarischer Haftbarkeit, der Klägerin einen Betrag von Fr. 10'312.47 nebst 5 % seit dem 31. März 2009 zu bezahlen und auferlegte ihnen die Gerichts- und Parteikosten. B.b Gegen diesen Entscheid erhoben die Beklagten Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Dieses trat mit Entscheid vom 27. Juni 2012 nicht auf die Berufung ein. C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragen die Beklagten dem Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 27. Juni 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Die Klägerin beantragt auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.