Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 11. Dezember 1997 sprach das Geschworenengericht des Kantons Zürich X._ der vorsätzlichen Tötung, des Raubes und weiterer Delikte schuldig. Es ordnete gegen den Verurteilten die Verwahrung (gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB) an. Der Vollzug der gleichzeitig ausgesprochenen Zuchthausstrafe von vierzehn Jahren wurde zugunsten der sichernden Massnahme aufgeschoben. A. Mit Urteil vom 11. Dezember 1997 sprach das Geschworenengericht des Kantons Zürich X._ der vorsätzlichen Tötung, des Raubes und weiterer Delikte schuldig. Es ordnete gegen den Verurteilten die Verwahrung (gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB) an. Der Vollzug der gleichzeitig ausgesprochenen Zuchthausstrafe von vierzehn Jahren wurde zugunsten der sichernden Massnahme aufgeschoben. B. Das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich lehnte am 18. Juli 2002 - im Rahmen einer Jahresprüfung (Art. 45 Ziff. 1 StGB) - die probeweise Entlassung aus dem Massnahmenvollzug ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. X._ gelangte mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht (1P.233/2003). Dieses trat auf die Beschwerde nur insoweit ein, als die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Rekursverfahren verweigert worden war. Mit Urteil vom 19. Mai 2003 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. B. Das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich lehnte am 18. Juli 2002 - im Rahmen einer Jahresprüfung (Art. 45 Ziff. 1 StGB) - die probeweise Entlassung aus dem Massnahmenvollzug ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. X._ gelangte mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht (1P.233/2003). Dieses trat auf die Beschwerde nur insoweit ein, als die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Rekursverfahren verweigert worden war. Mit Urteil vom 19. Mai 2003 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C. Während des Rechtsmittelverfahrens betreffend die Verweigerung der probeweisen Entlassung stellte X._ am 10. September 2002 ein Urlaubsgesuch und verlangte mit Eingabe vom 26. November 2002 beim Amt für Justizvollzug einerseits die Erstellung eines Vollzugsplans und anderseits die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Am 28. November 2002 fand in der Strafanstalt Bostadel eine Besprechung statt, an welcher der von X._ beigezogene Anwalt teilnahm. Dieser beantragte eine erneute psychiatrische Begutachtung. Mit Schreiben vom 19. Dezember 2002 stellte er den ergänzenden Antrag, das Gutachten bei Dr. Y._, Psychiatriezentrum Luzern-Stadt, in Auftrag zu geben. Sodann reichte er - unter Bezugnahme auf ein Telefongespräch vom 23. Dezember 2002 - mit Eingabe vom 16. Januar 2003 einen Fragenkatalog ein. Das Amt für Justizvollzug beauftragte am 28. März 2003 Dr. Y._ mit der Begutachtung. Nachdem das Gutachten vom 9. Oktober 2003 dem Anwalt zugestellt worden war, verlangte dieser für seinen Klienten mit Schreiben vom 6. November 2003 die Wiederaufnahme des Verfahrens betreffend das Urlaubsgesuch vom 10. September 2002. Ferner wiederholte er die Anträge, es seien das Urlaubsgesuch und das Ersuchen um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes gutzuheissen. Die Fachkommission des Ostschweizer Strafvollzugskonkordates unterbreitete ihre Stellungnahme am 21. Januar 2004. Mit Verfügung vom 13. Februar 2004 gewährte das Amt für Justizvollzug X._ begleitete Beziehungsurlaube von maximal zwölfstündiger Dauer unter Anordnung bestimmter Auflagen. Hingegen wies es das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab. Nachdem das Gutachten vom 9. Oktober 2003 dem Anwalt zugestellt worden war, verlangte dieser für seinen Klienten mit Schreiben vom 6. November 2003 die Wiederaufnahme des Verfahrens betreffend das Urlaubsgesuch vom 10. September 2002. Ferner wiederholte er die Anträge, es seien das Urlaubsgesuch und das Ersuchen um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes gutzuheissen. Die Fachkommission des Ostschweizer Strafvollzugskonkordates unterbreitete ihre Stellungnahme am 21. Januar 2004. Mit Verfügung vom 13. Februar 2004 gewährte das Amt für Justizvollzug X._ begleitete Beziehungsurlaube von maximal zwölfstündiger Dauer unter Anordnung bestimmter Auflagen. Hingegen wies es das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab. D. Gegen die Verweigerung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes rekurrierte X._ bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 6. Mai 2004 wies die Direktion den Rekurs ab, wobei sie Rechtsanwalt lic. iur. Matthias Brunner für das Rekursverfahren als unentgeltlichen Rechtsvertreter bestellte. D. Gegen die Verweigerung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes rekurrierte X._ bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 6. Mai 2004 wies die Direktion den Rekurs ab, wobei sie Rechtsanwalt lic. iur. Matthias Brunner für das Rekursverfahren als unentgeltlichen Rechtsvertreter bestellte. E. X._ hat gegen den Rekursentscheid beim Bundesgericht eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 3 BV und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Ferner beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. E. X._ hat gegen den Rekursentscheid beim Bundesgericht eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 3 BV und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Ferner beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. F. Sowohl die Direktion der Justiz und des Innern (im Folgenden: Direktion) als auch das Amt für Justizvollzug beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich zur Vernehmlassung des Amtes für Justizvollzug geäussert.