Sachverhalt: A. Am 17. April 2008 stellte die C._ AG ein Baugesuch für ein Wohnhaus mit vier Wohnungen auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'276 in Sarnen. Dieses Grundstück grenzt im Westen an die Parzelle Gbbl. Nr. 3'619, auf welcher sich die Liegenschaft D._, ein Denkmalschutzobjekt von lokaler Bedeutung, befindet. Gegen dieses Bauvorhaben gingen mehrere Einsprachen ein, unter anderem jene von A.X._ und B.X._, Y._, Z._ und dem Innerschweizer Heimatschutz. Am 23. Juli 2008 zog die C._ AG das Baugesuch zurück. Der Einwohnergemeinderat Sarnen schrieb das Baugesuchsverfahren und die damit zusammenhängenden Einsprachen mit Beschluss vom 18. August 2008 formell ab. B. Am 3. Dezember 2008 reichte die C._ AG ein überarbeitetes Baugesuch für ein Wohnhaus mit vier Wohnungen mit Anpassung der bestehenden Zufahrt zur Liegenschaft D._ auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 4'276 und 784 ein. Das Grundstück Gbbl. Nr. 784 grenzt im Westen an die Parzelle Gbbl. Nr. 4'276 und liegt in der Landwirtschaftszone. Gegen dieses Bauvorhaben erhoben unter anderem A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ Einsprache. Das Bau- und Raumentwicklungsdepartement des Kantons Obwalden erteilte mit Verfügung vom 17. März 2009 eine Ausnahmebewilligung für die Verlegung und Verbreiterung der Zufahrtsstrasse zur Liegenschaft D._ auf der Parzelle Gbbl. Nr. 784. Mit Beschluss vom 27. April 2009 wies der Einwohnergemeinderat Sarnen die Einsprachen ab und erteilte die Baubewilligung. A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ fochten diesen Beschluss mit Beschwerde vom 20. Mai 2009 beim Regierungsrat des Kantons Obwalden an. C. Am 8. Juni 2009 reichte die C._ AG ein weiteres Baugesuch für ein Wohnhaus mit drei Wohnungen auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'277 in Sarnen ein. Dieses Grundstück grenzt im Osten an die Parzelle Gbbl. Nr. 3'619. Auch gegen dieses Baugesuch erhoben A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ Einsprache. Mit Beschluss vom 21. September 2009 wies der Einwohnergemeinderat Sarnen die Einsprache ab und erteilte die Baubewilligung unter Auflagen. Mit Eingabe vom 19. Oktober 2009 führten A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ Beschwerde an den Regierungsrat. D. Mit Beschluss vom 10. August 2010 vereinigte der Regierungsrat die beiden Verfahren (Baugesuche für das Haus West auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'276 und für das Haus Ost auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'277) und wies die Beschwerden ab. Gegen diesen Beschluss erhoben A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ am 16. September 2010 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden. Sie beantragten die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und die Verweigerung der nachgesuchten Bewilligungen. Des Weiteren sei festzustellen, dass die auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'277 eingezeichnete Baulinie gegen Art. 17 des Waldgesetzes vom 4. Oktober 1991 [WaG; SR 921.0] verstosse. Zur Frage der Eingliederung der beiden auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 4'276 und 4'277 geplanten Bauvorhaben in die bestehende Umgebung und Landschaft sowie zur Frage der nötigen Rücksichtnahme auf das sich in unmittelbarer Nähe auf der benachbarten Parzelle Gbbl. Nr. 3'619 befindliche, denkmalgeschützte Objekt D._ sei bei einem neutralen Fachexperten ein entsprechendes Gutachten einzuholen. Ferner sei zur Klärung der örtlichen Gegebenheiten ein Augenschein durchzuführen. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2010 reichten A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ ein Schreiben des Innerschweizer Heimatschutzes vom 22. November 2010 ein und erneuerten ihren Antrag auf Einholung eines neutralen Fachgutachtens. Mit Entscheid vom 26. April 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. E. Mit Eingabe vom 29. Mai 2012 führen A.X._ und B.X._, Y._ und Z._ Beschwerde ans Bundesgericht. Sie beantragen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 26. April 2012 und die diesem vorausgegangenen Entscheide seien aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz bzw. an den Einwohnergemeinderat Sarnen als Bewilligungsbehörde zurückzuweisen. Des Weiteren sei festzustellen, dass die auf der Parzelle Gbbl. Nr. 4'277 eingezeichnete Baulinie gegen Art. 17 WaG verstosse. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch der Beschwerdeführer, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu gewähren, ab. Die Vorinstanz, der Regierungsrat und die C._ AG beantragen in ihren Vernehmlassungen die Beschwerdeabweisung. Der Einwohnergemeinderat Sarnen beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Umwelt BAFU und das Bundesamt für Raumentwicklung ARE haben Stellungnahmen zur Beschwerde eingereicht, ohne ausdrücklich Anträge zu stellen. Die Beschwerdeführer halten in einer weiteren Eingabe an ihren Anträgen und ihrem Standpunkt fest.