Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Y._ schloss gestützt auf ein Antragsformular vom 4. November 1996 mit der zur Gruppe der Versicherung X._ gehörenden Versicherung Z._ per 1. November 1996 einen Lebensversicherungsvertrag ab, der ihr Leistungen im Falle einer Erwerbsunfähigkeit zusicherte. Am 13. April 1999 erlitt sie einen Verkehrsunfall, bei dem sie sich Verletzungen im Bereich des Nackens zuzog. Sie war in der Folge zu verschiedenen Graden arbeitsunfähig. Am 23. März 2001 reichte Y._ beim Kantonsgericht Nidwalden gegen die Versicherung X._ (im Folgenden: die Versicherung) Klage auf Leistungen für Erwerbsausfall ein. Die Versicherung erhob Widerklage. Das Kantonsgericht erkannte am 28. Februar 2002, dass die Klage zur Zeit abgewiesen und die Widerklage gutgeheissen werde; es verpflichtete Y._, der Versicherung Namen und Adressen der Krankenkassen bekannt zu geben, bei denen sie in den Jahren 1991 bis 1996 versichert war, und sie zu bevollmächtigen, bei diesen Kassen einen Auszug über die während dieser Zeit erbrachten medizinischen Leistungen zu verlangen und bei den betreffenden Ärzten Auskünfte einzuholen. Eine von Y._ eingereichte Appellation hiess das Obergericht (Zivilabteilung, Kleine Kammer) mit Urteil vom 3. Oktober 2002 insofern teilweise gut, als es die Widerklage abwies. A.b Y._ erhob eidgenössische Berufung. Die erkennende Abteilung hiess diese mit Urteil vom 12. Mai 2003 (5C.7/2003 = BGE 129 III 510 ff.) gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die kantonale Instanz zurück. A.b Y._ erhob eidgenössische Berufung. Die erkennende Abteilung hiess diese mit Urteil vom 12. Mai 2003 (5C.7/2003 = BGE 129 III 510 ff.) gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die kantonale Instanz zurück. B. Das Obergericht (Zivilabteilung, Kleine Kammer) entschied am 31. Oktober 2003 von neuem. Es hob das kantonsgerichtliche Urteil vom 28. Februar 2002 vollumfänglich auf, verpflichtete die Versicherung, Y._ für die Zeit vom 1. Juli 2000 bis zum 28. Februar 2002 Fr. 10'528.-- zuzüglich Zins zu zahlen und wies die Widerklage erneut ab. B. Das Obergericht (Zivilabteilung, Kleine Kammer) entschied am 31. Oktober 2003 von neuem. Es hob das kantonsgerichtliche Urteil vom 28. Februar 2002 vollumfänglich auf, verpflichtete die Versicherung, Y._ für die Zeit vom 1. Juli 2000 bis zum 28. Februar 2002 Fr. 10'528.-- zuzüglich Zins zu zahlen und wies die Widerklage erneut ab. C. Die Versicherung hat sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Berufung erhoben. Mit der Beschwerde verlangt sie, das Urteil des Obergerichts vom 31. Oktober 2003 aufzuheben. Y._ beantragt ihrerseits, der angefochtene Entscheid sei in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben; die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien dem Kanton Nidwalden aufzuerlegen und dieser sei zu verpflichten, den Parteien eine angemessene Entschädigung zu zahlen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet.