Sachverhalt: A. Der 1942 geborene B._ schloss als Geschäftsführer der Y._ GmbH am 15. Januar 1996 mit der Sammelstiftung BVG der ELVIA Leben Schweizerische Lebensversicherungs-Gesellschaft (heute: Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft [nachfolgend: Sammelstiftung]) einen Anschlussvertrag zur Durchführung der beruflichen Vorsorge ab 1. Oktober 1995. Am 20. April 1996 erlitt B._ einen Unfall. In der Folge richtete ihm die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft aus der obligatorischen Unfallversicherung und aus einer betrieblichen UVG-Zusatzversicherung bis 31. März 2005 Taggelder aus. Bei einem Invaliditätsgrad von 100 % bezog er ab 1. April 1997 eine ganze Rente der Invalidenversicherung sowie ab 1. April 2005 eine Komplementärrente der Unfallversicherung. Die Sammelstiftung anerkannte den Anspruch von B._ auf eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge in der Höhe von jährlich Fr. 11'158.00.- (zuzüglich Teuerungsrente) mit Wirkung ab 1. April 2005. B. Am 20. Februar 2006 liess B._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage erheben mit folgenden Rechtsbegehren: 1. Es seien dem Kläger zu Lasten der Beklagten die reglementarischen und gesetzlichen Leistungen bei Invalidität aus beruflicher Vorsorge zuzusprechen; dies insbesondere für die Vergangenheit ab Eintritt der Invalidität des Klägers. 2. Es sei die Beklagte zu verpflichten, die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse mit Wirkung ab jeweiligem Fälligkeitstag mit 5 % p.a. zu verzinsen. Mit Antwort und Widerklage vom 4. Mai 2006 stellte die Sammelstiftung folgende Rechtsbegehren: 1. Hauptantrag 1.1 Die Klage sei vollumfänglich abzuweisen. 1.2 Es sei widerklageweise festzustellen, dass dem Kläger gegenüber der Beklagten für die seit 20.4.1997 bestehende Invalidität keine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge zusteht. 2. Eventualantrag Die Klage sei abzuweisen, soweit der Kläger für die seit 20.4.1997 bestehende Invalidität anderes oder mehr fordert als die Mindestleistungen gemäss BVG ab 1.4.2005. 3. Subeventualantrag Die Klage sei abzuweisen, soweit der Kläger für die seit 20.4.1997 bestehende Invalidität anderes oder mehr fordert als die Mindestleistungen gemäss BVG ab 20.2.2001." Mit Entscheid vom 31. Dezember 2007 trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich auf die Widerklage nicht ein. In teilweiser Gutheissung der Klage verpflichtete es die Sammelstiftung, B._ ab 20. Februar 2001 eine auf einem Invaliditätsgrad von 100 % basierende Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge auszurichten, zuzüglich Verzugszins von 5 % seit 20. Februar 2006 für die bis zu diesem Zeitpunkt fällig gewordenen (und noch nicht verjährten) Rentenbetreffnisse sowie für die übrigen (nicht verjährten) Rentenbetreffnisse ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum. Ferner sprach es dem Kläger eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 3'400.- (inklusive Barauslagen und Mehrwertsteuer) zu. C. C.a Die Sammelstiftung führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 31. Dezember 2007 sei aufzuheben und die Sache sei zur vollständigen Feststellung des Sachverhaltes und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventuell sei der Entscheid insoweit aufzuheben, als sie zur Ausrichtung einer Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge vor dem 1. April 2005 verpflichtet worden sei und die Sache sei zur Neufestsetzung der Prozessentschädigung für das kantonale Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen. B._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. C.b B._ lässt ebenfalls Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 31. Dezember 2007 sei insoweit aufzuheben, als damit Leistungsansprüche der weitergehenden Berufsvorsorge verneint werden und es seien ihm solche zu anerkennen; weiter seien ihm auf den nachzuzahlenden Leistungen Zinsen von 5 % ab Klageerhebung vor Vorinstanz (bis Datum des letztinstanzlichen Entscheids) zuzusprechen; ferner sei ihm für das kantonale Verfahren eine volle, dem effektiven Aufwand angemessene Parteientschädigung zuzusprechen, eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im Entschädigungspunkt an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Sammelstiftung schliesst auf Nichteintreten, eventuell Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. C.c Mit Verfügung vom 13. Mai 2008 ist das Gesuch der Sammelstiftung um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen worden.