Sachverhalt: A. X._ (geb. 1974, ägyptischer Staatsangehöriger) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von A._ (geb. 2010). Sie heirateten im Dezember 2011. In der Folge kam es zu heftigen Auseinandersetzungen zwischen den Parteien, welche den Beizug der Polizei erforderten. Nach einer Eskalation am 17. April 2012 trennten sie sich. Die Kindsbetreuung erfolgte danach hauptsächlich durch die Kind smutter, deren Eltern und eine Kita. B. B.a. Am 18. Juni 2012 leitete Y._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Eheschutzverfahren ein. Sie beantragte, es sei festzustellen, dass nach der Heirat der gemeinsame Haushalt der Ehegatten nie aufgenommen worden sei. Die Wohnung und das Obhutsrecht über den Sohn seien ihr zuzuweisen. X._ sei vorsorglich und superprovisorisch unter Strafandrohung zu verbieten, sich ihrer Wohnung zu nähern. B.b. Mit superprovisorischer Verfügung vom 19. Juni 2012 erliess das Regionalgericht das beantragte Annäherungsverbot. B.c. X._ verlangte mit Stellungnahme vom 19. Juli 2012 seinerseits die Obhut für den Sohn. Die Anträge von Y._ seien abzuweisen und das Rayonverbot aufzuheben. Für die Dauer des Verfahrens sei ihm ein Besuchsrecht von mindestens einem Tag pro Woche zu gewähren. B.d. Mit Verfügung vom 26. September 2012 errichtete das Regionalgericht für das Kind eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB. Dem Vater wurde ein begleitetes Besuchsrecht ein Mal im Monat zugesprochen. B.e. Das Regionalgericht holte Berichte zur Situation ein. Am 10. Oktober 2012 ging ein Bericht von B._ für das Burgerliche Sozialzentrum ein. Er empfahl eine Obhutszuteilung an die Mutter, wobei dem Kindsvater ein unbegleitetes Besuchsrecht eingeräumt werden könne. Am 30. November 2012 erstattete die Beiständin des Kindes einen Verlaufsbericht über die Ausübung des begleiteten Besuchsrechts. B.f. Am 17. Dezember 2012 und 24. Januar 2013 führte das Regionalgericht Parteiverhandlungen durch. B.g. Mit Eheschutzentscheid vom 24. Januar 2013 (Datum des begründeten Entscheids: 22. April 2013) stellte das Regionalgericht A._ unter die Obhut der Mutter. Dem Vater räumte es ein Besuchsrecht von einem Tag pro Woche (werktags) ein. Sobald seine Wohnsituation ein kindsgerechtes Übernachten ermögliche, sei das Kontaktrecht auf zwei aufeinander folgende Tage auszudehnen plus zwei nicht zusammenhängende Wochen Ferien pro Jahr. Die Modalitäten seien vom Beistand zu regeln. Weiter verpflichtete es die Eltern unter Strafandrohung zur Hinterlegung der Reise- und Identitätspapiere von A._ beim Burgerlichen Sozialzentrum. Das Annäherungsverbot vom 19. Juni 2012 hob es auf. Schliesslich hielt das Gericht fest, dass der Vater grundsätzlich unterhaltspflichtig, jedoch nicht leistungsfähig sei. C. Am 16. April 2013 stellte die Beiständin des Kindes dem Regionalgericht Antrag um Neufestsetzung und Präzisierung des Besuchsrechts von Vater und Sohn. Sie teilte mit, dass die Beziehung der Kindseltern "hochgradig zerstritten, von gegenseitiger Missgunst, feindseliger Emotionalität und manifestiertem Misstrauen geprägt" sei, so dass keine Lösung habe gefunden werden können für ein Besuchsrecht mit Übernachtungen. Die Übergaben seien für das Kind nicht mehr zumutbar. Sie selbst habe um Entlassung aus dem Mandat ersucht. D. D.a. X._ erhob gegen den Eheschutzentscheid am 6. Mai 2013 Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Er verlangte, dass der Sohn in seine Obhut zu stellen sei. Weiter seien das Besuchsrecht und die Unterhaltspflicht der Kindsmutter zu regeln. Y._ beantragte die Abweisung der Berufung. D.b. Mit Urteil vom 23. August 2013 wies das Obergericht die Berufung ab, womit A._ in der Obhut der Kindsmutter verbleiben sollte. Das Obergericht präzisierte aber - in Kenntnisnahme des Antrags der Beiständin des Kindes (Bst. C) -, dass die Anordnungen des Beistands bezüglich Besuchsrecht verbindlich seien, und ermächtigte den Beistand, auch sämtliche weiteren Kontakte zwischen Vater und Sohn verbindlich zu regeln. Die Kosten des Verfahrens auferlegte es unter Vorbehalt des gewährten Armenrechts dem Kindsvater. E. Der Kindsvater (Beschwerdeführer) zieht die Angelegenheit mit Beschwerde vom 26. September 2013 an das Bundesgericht weiter. Er hält daran fest, dass der Sohn ihm zuzuteilen sei. Die Kindsmutter sei zu Kindesunterhaltszahlungen von monatlich Fr. 1'000.-- zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur Einholung eines Gutachtens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. F. Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.