Sachverhalt: A. X._ fuhr mit seinem Wagen am 12. März 2008 auf der Via Maistra (alte Kantonsstrasse) von Celerina in Richtung St. Moritz. Im Raum des Zielgeländes des Olympia Bob Runs kam es zu einem Vorfall: X._ übersah eine geschlossene Schranke und fuhr einen Haltepfosten der Barriere um. Hernach setzte er seine Fahrt nach St. Moritz weiter, besuchte ein Restaurant, kam nach Hause und nahm Alkohol zu sich und meldete schliesslich den Vorfall der Polizei. X._ wurde mit Strafmandat vom 22. August 2008 schuldig gesprochen der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, der Verletzung von Verkehrsregeln, des pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfällen sowie des Führens eines nicht betriebssicheren Fahrzeugs. Dieses Strafmandat ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. B. Das Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden entzog X._ mit Verfügung vom 18. Februar 2009 den Führerausweis für drei Monate. Es führte aus, bei den genannten Vorfällen handle es sich um schwere Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsvorschriften im Sinne von Art. 16c Abs. 1 lit. d SVG. Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden wies die von X._ erhobene Beschwerde am 24. September 2009 ab. In der Folge wies das Kantonsgericht Graubünden, II. Strafkammer, die Berufung von X._ am 9. Dezember 2009 ab. Das Kantonsgericht verneinte Verletzungen des rechtlichen Gehörs und bestätigte aufgrund der Würdigung des Sachverhalts den vorinstanzlichen Entscheid. C. Gegen dieses Urteil des Kantonsgerichts hat X._ beim Bundesgericht am 8. Februar 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des Kantonsgerichtsurteils und die Anweisung an das Strassenverkehrsamt, das Administrativverfahren einzustellen. Er rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, erachtet die Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig und bestreitet eine Vereitelung der Blutprobe. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Strassenverkehrsamt und das Departement haben unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid und die Akten auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Strassen hält die angefochtene Massnahme für bundesrechtskonform. Der Beschwerdeführer hat sich darauf nicht mehr vernehmen lassen. D. Mit Präsidialverfügung vom 30. März 2010 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden.