Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) hatte seit dem 1. Januar 2004 als Hilfsgipser beim Gipsergeschäft Y._ gearbeitet. Dieser hatte mit der X._ AG (Beschwerdegegnerin) eine Kollektiv-Krankentaggeldversicherung abgeschlossen. Dem Beschwerdeführer wurde das Arbeitsverhältnis per 30. März 2005 gekündigt. Vom 4. März 2005 bis 3. April 2005 wurde der Beschwerdeführer wegen Rückenbeschwerden zu 100 % krankgeschrieben. Er liess sich auf Ersuchen der Beschwerdegegnerin am 31. März 2005 im Medical Clearing Center (MCC) in Olten spezialärztlich untersuchen. Aus dem entsprechenden Untersuchungsbericht geht hervor, dass der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit den Rückenleiden für leichte Tätigkeiten zu 50 % arbeitsfähig sei; bei adäquater Therapie sollte er bereits nach drei Monaten im angestammten Beruf wieder voll arbeitsfähig sein. Weitere von der Beschwerdegegnerin vorgeschlagene medizinische Untersuchungen verweigerte der Beschwerdeführer. Mit Schreiben vom 8. Dezember 2005 unterbreitete die Beschwerdegegnerin dem nunmehr anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Auswahl von drei Gutachtern und drohte ihm unter Verweis auf Artikel G7 ihrer Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB), Ausgabe 2002, die Einstellung ihrer Zahlungen an, wenn er einen dieser Vorschläge nicht innert fünf Tagen annehme. Nach dieser Bestimmung kann die Beschwerdegegnerin ihre Leistungen davon abhängig machen, dass der Versicherte sich auf ihre Kosten durch einen von ihr bestimmten Arzt untersuchen lässt. Die erwähnte Frist verlängerte die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 15. Februar 2006 bis zum 3. März 2006 und stellte daraufhin die Taggeldleistungen ein. B. B.a Am 9. Oktober 2006 klagte der Beschwerdeführer beim Zivilgericht des Seebezirks gegen die Beschwerdegegnerin auf Ausrichtung von Taggeldleistungen im Betrag von Fr. 46'412.--. Mit Verfügung vom 21. März 2007 wies der Präsident des Zivilgerichts das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Dieser Entscheid wurde vom Kantonsgericht Freiburg mit Urteil vom 9. Juli 2007 und vom Bundesgericht mit Urteil vom 3. Oktober 2007 (4A_350/2007) bestätigt. Der Beschwerdeführer leistete in der Folge den vom Zivilgericht verlangten Kostenvorschuss. An der Sitzung des Zivilgerichts vom 24. April 2009 wurde das Verfahren auf die Frage beschränkt, ob der Beschwerdeführer seine vertraglichen Obliegenheiten nach Artikel G7 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen verletzt habe, und ob die Beschwerdegegnerin gestützt darauf berechtigt war, weitere Leistungen zu verweigern. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Zivilgericht die Klage ab und auferlegte dem Beschwerdeführer sowohl die Verfahrens- als auch die Parteikosten. B.b Mit Eingabe vom 18. Juni 2009 erhob der Beschwerdeführer beim Kantonsgericht Freiburg Berufung gegen das Urteil des Zivilgerichts. Mit Urteil vom 15. April 2010 hiess das Kantonsgericht die Berufung des Beschwerdeführers teilweise gut, soweit es darauf eintrat und hob das Urteil des Zivilgerichts vom 24. April 2009 auf, soweit es dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten auferlegt hatte (Dispositiv-Ziff. I). Die Parteikosten des Berufungsverfahrens auferlegte das Kantonsgericht zu 9/10 dem Beschwerdeführer und zu 1/10 der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziff. II). Auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtete es (Dispositiv-Ziff. III). Das Kantonsgericht erwog, der Beschwerdeführer habe sich mit dem angefochtenen Entscheid hinsichtlich der Frage der Verletzung der vertraglichen Obliegenheit nicht bzw. nicht genügend auseinandergesetzt und habe nicht aufzuzeigen versucht, in welchem Punkt und aus welchem Grund eine tatsächliche Feststellung oder die Rechtsanwendung der Erstinstanz falsch wäre. Damit entspreche die Berufungsbegründung nicht den gesetzlichen Anforderungen, weshalb auf die Berufung insoweit nicht einzutreten sei. Das Kantonsgericht hielt im Sinne einer Eventualbegründung weiter dafür, die Berufung müsste hinsichtlich des Hauptbegehrens selbst dann abgewiesen werden, wenn sie als hinreichend begründet anzusehen wäre. In Bezug auf die erstinstanzliche Kostenverlegung hiess das Kantonsgericht die Berufung teilweise gut und befand, es könnten dem Beschwerdeführer aufgrund der gesetzlich vorgesehenen Kostenlosigkeit des Verfahrens keine Gerichtskosten auferlegt werden. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei Dispositiv-Ziff. I des Urteils des Kantonsgerichts Freiburg vom 15. April 2010 aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf die Berufung einzutreten; im Weiteren sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 46'412.-- zu verpflichten. Zudem seien Dispositiv-Ziff. I und II des angefochtenen Urteils insoweit aufzuheben, als er im kantonalen Verfahren zur Entrichtung einer Parteientschädigung verurteilt wurde. Auf die Einholung einer Beschwerdeantwort wurde verzichtet. D. Mit Verfügung vom 9. Dezember 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ab. Der Beschwerdeführer leistete in der Folge den verlangten Kostenvorschuss.