A.- Die 1979 geborene M._ bezieht infolge eines psychischen Leidens seit 1992 Leistungen der Invalidenversicherung. Ihre Schulpflicht beendete sie in der Sonderschule S._. Bis August 1999 absolvierte sie eine von der Invalidenversicherung getragene zweijährige Anlehre als Pferdewartin auf dem Reithof R._ (Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 26. August 1997). Am 15. Juni 1999 beantragte die IV-Berufsberatung St. Gallen bei der IV-Stelle des Kantons Appenzell A.Rh. die Verlängerung der beruflichen Massnahme auf dem Reithof R._ um zwei Jahre, damit die Versicherte danach die Ausbildung als eidg. dipl. Pferdepflegerin mit Fähigkeitsausweis abschliessen könne. Mit Verfügung vom 16. Februar 2000 lehnte die IV-Stelle dieses Gesuch ab, da die Versicherte die ergänzende Ausbildung zur Pferdepflegerin in einem zugelassenen Lehrbetrieb oder durch die Tätigkeit in einem Pferdebetrieb (Erreichen der notwendigen Praxis und Aneignung der notwendigen Berufskenntnisse) absolvieren könne. Invaliditätsbedingte Mehrkosten entstünden dabei nicht. B.- In Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht von Appenzell A.Rh. die Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese nach Einholung eines psychiatrischen Gutachtens im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 24. Januar 2001). C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides und die Bestätigung der Verfügung vom 16. Februar 2000. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) auf deren Gutheissung.