Sachverhalt: A. Die 1962 geborene D._ arbeitete seit 1985 teilzeitlich (80 %) als Pflegehelferin im Heim W._. Am 10. Dezember 2001 erlitt sie einen Verkehrsunfall. In der Folge war sie zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben und bezog Taggelder der Unfallversicherung. Im März 2003 meldete sich D._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte berufliche Massnahmen und eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte durch die Medizinische Abklärungsstation (MEDAS) untersuchen und begutachten. Im Zeitraum Februar 2003 bis Dezember 2004 und ab Februar 2007 stand D._ in psychiatrischer Behandlung. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in welchem die Versicherte eine von ihr in Auftrag gegebene Expertise der Stelle X._ einreichte, verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. November 2007 den Anspruch auf eine Invalidenrente. B. Die Beschwerde der D._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich unter Berücksichtigung u.a. des von der IV-Stelle eingereichten Gutachtens des Dr. med. G._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 15. März 2008 mit Entscheid vom 9. Januar 2009 ab. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 9. Januar 2009 sei aufzuheben und ihr eine Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen, eventualiter die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen, subeventualiter zur Neubeurteilung und Prüfung des Anspruchs auf eine befristete Rente an das kantonale Gericht oder die IV-Stelle zurückzuweisen, welche allenfalls zu verpflichten sei, auf den Rentenleistungen einen Verzugszins von 5 % ab Entstehung des jeweiligen Fälligkeitsanspruchs, frühestens 12 Monate nach Fälligkeit des ersten Rentenbetreffnisses zu bezahlen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.