Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts von ungetreuer Geschäftsbesorgung und weiteren Delikten zum Nachteil der Privatklägerin Y._ AG. Mit Verfügung vom "25. Februar" (recte: Januar) 2013 gewährte die Staatsanwaltschaft der Privatklägerin Einsicht in diverse Untersuchungsakten. Auf eine von der X._ AG am 7. Februar 2013 dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 26. April 2013 nicht ein. B. Gegen den Nichteintretensentscheid des Obergerichtes gelangte die X._ AG mit Beschwerde vom 23. Mai 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur materiellen Behandlung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 6. Juni 2013 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. Die Privatstrafklägerin beantragt mit Eingabe vom 2. Juli 2013, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Am 22. Juli 2013 verzichtete die Staatsanwaltschaft auf eine zusätzliche Stellungnahme. Weitere Vernehmlassungen sind innert angesetzter Frist nicht eingegangen.