Sachverhalt: A. X._ und Y._ heirateten am 14. September 1990. Sie wurden Eltern dreier Mädchen (geb. 1991, 1997 und 1999) und eines Knaben (geb. 1993). Mit Urteil vom 2. November 2005 schied das Bezirksgericht Arbon die Ehe. Die elterliche Sorge teilte es für die drei Töchter der Mutter, für den Sohn hingegen dem Vater zu. Es regelte die weiteren Kinderbelange und verpflichtete den Vater, für den Unterhalt seiner drei Töchter monatlich je Fr. 400.-- zuzüglich der Zulagen aller vier Kinder an die Mutter zu bezahlen. Das Scheidungsurteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft. B. Am 29. Januar 2009 reichte X._ beim Bezirksgericht Arbon eine Abänderungsklage ein. An der Hauptverhandlung vom 22. Juni 2009 präzisierte er seine Rechtsbegehren und verlangte hauptsächlich eine Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge für seine drei Töchter auf monatlich je Fr. 180.-- sowie die Zusprechung von nur drei Kinderzulagen. Gleichzeitig beantragte X._ die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Das Bezirksgericht Arbon hiess die Klage mit Urteil vom 22. Juni 2009 teilweise gut und änderte das Scheidungsurteil vom 2. November 2005 insoweit ab, als die Unterhaltsbeiträge für die drei Töchter auf monatlich je Fr. 330.-- reduziert wurden, nur noch die Kinderzulagen für diese drei Kinder zu überweisen waren und X._ verpflichtet wurde, allfällige Gratifikationen oder einen allfälligen 13. Monatslohn in vollem Umfang an Y._ zu bezahlen. Antragsgemäss gewährte das Bezirksgericht X._ die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. C. Gegen dieses Urteil erklärte X._ am 1. Oktober 2009 die Berufung, die er am 26. Oktober 2009 mit seinen Anträgen ergänzte. Mit Verfügung vom 13. Januar 2010 entzog der Präsident des Obergerichts des Kantons Thurgau X._ die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Berufung. D. Mit Eingabe vom 3. Februar 2010 (Postaufgabe am 4. Februar 2010) sowie deren Ergänzung vom 13. Februar 2010 (Postaufgabe am 15. Februar 2010) hat X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) beim Bundesgericht eine Beschwerde eingereicht. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 13. Januar 2010 und die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (unter Beiordnung eines Anwalts) für das Berufungsverfahren. Sinngemäss stellt er weiter ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Der Präsident des Obergerichts beantragt in seiner Vernehmlassung vom 1. März 2010 die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung der Abteilungspräsidentin vom 4. März 2010 wurde der Beschwerde von Amtes wegen die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Am 17. März 2010 hat der Beschwerdeführer eine Replik eingereicht und seine Begehren bestätigt.