Sachverhalt: Sachverhalt: A. A._ ist die Tochter der verstorbenen Eheleute B._ und C._. Diese waren ab 1987 Insassen des Alters- und Pflegeheims "Y._" der Gemeinde X._. Nachdem zuvor bloss B._ in der Pflegeabteilung untergebracht war, wurde im März 1990 auch C._ wegen zunehmender Gebrechlichkeit von einem Altersheimzimmer in die Pflegeabteilung verlegt. Während ihres Heimaufenthaltes wurden die Eheleute Opfer von Vermögensdelikten des seinerzeitigen Verwalters des Altersheims, D._, welcher sich 1989 eine Generalvollmacht sowie eine Bankvollmacht von C._ hatte ausstellen lassen. D._ hob Geld von den Konten des Ehepaars zu eigenen Zwecken ab, wobei er sich die Bezüge weitgehend von C._ quittieren liess. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen sprach D._ mit Urteil vom 26. Februar 2002 der mehrfachen Veruntreuung im Amt schuldig (Art. 138 Ziff. 2 StGB) und verurteilte ihn zu einer bedingten Gefängnisstrafe von acht Monaten, dies als Zusatzstrafe zu einer bereits früher verhängten Gefängnisstrafe von zehn Monaten wegen Handlungen zum Nachteil der Einwohnergemeinde X._ bzw. des Alters- und Pflegeheims "Y._" (im Wesentlichen mehrfache Veruntreuung im Amt, mehrfache Urkundenfälschung im Amt). Zugleich hiess es die Zivilklage von A._ gegen den Verurteilten in der Höhe von Fr. 135'000.-- zuzüglich Zins gut. A._ machte diese Forderung beim Verurteilten nicht geltend. Vielmehr erhob sie am 24. September 2002 beim Kantonsgericht des Kantons Schaffhausen Klage gegen die Gemeinde X._. Sie forderte gestützt auf das Schaffhauser Gesetz vom 23. September 1985 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behördemitglieder und Arbeitnehmer (Haftungsgesetz, HG) von der Gemeinde einen Betrag von Fr. 164'186.20, eventuell von Fr. 135'000.--, nebst Zins zu 5 % seit 1. April 1991, und den Ersatz der Anwaltskosten im Strafverfahren von Fr. 10'153.--. Zusätzlich verlangte sie Genugtuung in der Höhe von Fr. 15'000.--. Das Kantonsgericht wies die Klage am 30. Dezember 2003 ab. Mit Urteil vom 29. Juli 2005 wies das Obergericht die gegen das kantonsgerichtliche Urteil erhobene Berufung sowie die Klage ab (Ziff. 1 und 2 des Urteilsdispositivs), auferlegte die Verfahrenskosten beider kantonalen Instanzen der Klägerin (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs) und verpflichtete diese, der beklagten Gemeinde für die Verfahren vor dem Kantonsgericht und vor dem Obergericht Parteientschädigungen von Fr. 19'987.35 bzw. von Fr. 9'904.15 zu bezahlen (Ziff. 4 des Urteilsdispositivs). Zuvor, am 29. März 2004, war ein Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Obergericht abgewiesen worden. A._ machte diese Forderung beim Verurteilten nicht geltend. Vielmehr erhob sie am 24. September 2002 beim Kantonsgericht des Kantons Schaffhausen Klage gegen die Gemeinde X._. Sie forderte gestützt auf das Schaffhauser Gesetz vom 23. September 1985 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behördemitglieder und Arbeitnehmer (Haftungsgesetz, HG) von der Gemeinde einen Betrag von Fr. 164'186.20, eventuell von Fr. 135'000.--, nebst Zins zu 5 % seit 1. April 1991, und den Ersatz der Anwaltskosten im Strafverfahren von Fr. 10'153.--. Zusätzlich verlangte sie Genugtuung in der Höhe von Fr. 15'000.--. Das Kantonsgericht wies die Klage am 30. Dezember 2003 ab. Mit Urteil vom 29. Juli 2005 wies das Obergericht die gegen das kantonsgerichtliche Urteil erhobene Berufung sowie die Klage ab (Ziff. 1 und 2 des Urteilsdispositivs), auferlegte die Verfahrenskosten beider kantonalen Instanzen der Klägerin (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs) und verpflichtete diese, der beklagten Gemeinde für die Verfahren vor dem Kantonsgericht und vor dem Obergericht Parteientschädigungen von Fr. 19'987.35 bzw. von Fr. 9'904.15 zu bezahlen (Ziff. 4 des Urteilsdispositivs). Zuvor, am 29. März 2004, war ein Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Obergericht abgewiesen worden. B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 1. September (Datum der Rechtsschrift 31. August) 2005 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Urteile des Obergerichts vom 29. Juli 2005 und des Kantonsgerichts vom 30. Dezember 2003 seien vollumfänglich aufzuheben und die Streitsache an das Obergericht zurückzuweisen, um in einem die Klage gutheissenden Sinne zu entscheiden (Rechtsbegehren Ziff. 1). Eventualiter beantragt sie, es sei durch das Bundesgericht selber in der Sache zu entscheiden; dabei sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr aus Staatshaftung den Betrag von Fr. 164'186.20 nebst Zins (Rechtsbegehren Ziff. 2a), eventualiter einen Betrag nach Ermessen, mindestens aber von Fr. 135'000.-- nebst Zins zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2b); sodann sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr die im Strafverfahren i.S. D._ vor Kantonsgericht und Obergericht zugesprochene Prozessentschädigung von insgesamt Fr. 10'153.-- zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2c); für den Fall eines Eintritts der Rechtskraft der Vorurteile sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr die Verfahrenskosten des Zivilverfahrens vor Obergericht und Kantonsgericht von insgesamt Fr. 13'050.-- sowie die an den Rechtsanwalt der Gegenpartei geleistete Parteientschädigung von total Fr. 29'891.50 zu erstatten; weiter sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihre Anwaltskosten vor Kantonsgericht von Fr. 21'964.80 und vor Obergericht von Fr. 8'973.35, insgesamt von Fr. 30'938.15, zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2d). Für den Fall einer Abweisung der Beschwerde in den Hauptbegehren wird beantragt, es sei die der Beklagten in Ziff. 4 des angefochtenen Urteils zugesprochene Prozessentschädigung zu streichen, eventualiter nach richterlichem Ermessen herabzusetzen (Rechtsbegehren Ziff. 3). Die Gemeinde X._ beantragt Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Das Obergericht hat Bemerkungen zur Beschwerde eingereicht, ohne einen Antrag zu stellen. C. Mit Verfügung vom 23. September 2005 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung dem Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung entsprochen. Mit Beschluss vom 24. November 2005 ist der Beschwerdeführerin in Gutheissung eines entsprechenden Gesuchs für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und ein unentgeltlicher Rechtsanwalt beigegeben worden.