Sachverhalt: A. Mit Beschluss vom 17. Juni 2014 wies der Regierungsrat des Kantons Luzern das Gesuch der einfachen Gesellschaft A._, bestehend aus B._ und C._, um Genehmigung von Gewässerraumbaulinien und Bewilligung eines Wasserbauprojekts sowie Übertragung von Wasserbauarbeiten in der Gemeinde Ebikon ab, soweit er darauf eintrat. Gegen diesen Entscheid erhob die einfache Gesellschaft A._, bestehend aus B._ und C._, am 23. Juni 2014 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Kantonsgericht Luzern. Am 26. Juni 2014 wies der verfahrensleitende Kantonsrichter, Daniel Gsponer (CVP), die Verwaltungsgerichtsbeschwerde zur Verbesserung zurück. Mit Schreiben vom 30. Juni 2014 beantragten die Beschwerdeführer unter anderem, Kantonsrichter Daniel Gsponer sowie der Präsident des Kantonsgerichts, Andreas Korner (CVP), hätten in den Ausstand zu treten. Mit Schreiben vom 9. Juli 2014 teilte der Präsident der 4. Abteilung des Kantonsgerichts, Heiner Eiholzer (CVP), den Beschwerdeführern mit, dass er aufgrund von Sachzusammenhängen die Fallführung übernehme und Kantonsrichter Daniel Gsponer nicht mehr Teil des Spruchkörpers sei. Die Streitigkeit falle in die Zuständigkeit der 4. Abteilung des Kantonsgerichts; deren Zusammensetzung könne dem Internet (unter www.gerichte.lu.ch) entnommen werden. Des Weiteren wies Heiner Eiholzer die Beschwerdeführer darauf hin, dass Ausstandsgründe in einem begründeten Gesuch geltend zu machen seien, andernfalls die am 30. Juni 2014 gestellten Anträge als hinfällig erachtet würden. Mit Eingabe vom 14. Juli 2014 verlangte die einfache Gesellschaft A._, bestehend aus B._ und C._, den Ausstand von Kantonsrichter Heiner Eiholzer "auch wegen den als schwerwiegend zu bezeichnenden Fehlern". Dieser erklärte sich als unbefangen in guten Treuen. Mit Verfügung vom 25. August 2014 entschied das Kantonsgericht, 4. Abteilung, in der Besetzung Kantonsrichter Müller (SVP), Kantonsrichter Wiprächtiger (Grüne) und Kantonsrichterin Bühlmann (SVP), das Gesuch um Ausstand des Präsidenten Heiner Eiholzer werde abgewiesen. B. Mit Eingabe vom 12. September 2014 führt die A._, bestehend aus B._ und C._, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Die Beschwerdeführer beantragen in der Hauptsache, die Verfügung des Kantonsgerichts sei in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben (Anträge Ziff. 1 und 2). Des Weiteren hätten Richterinnen und Richter des Kantonsgerichts mit der Parteizugehörigkeit der Mitglieder des Regierungsrats (SP, CVP, FDP) in den Ausstand zu treten; dies betreffe in der 4. Abteilung Lucia Lindegger, Anita Zosso, Heiner Eiholzer und Daniel Gsponer (Antrag Ziff. 3). Zudem habe Andreas Korner als Präsident und Geschäftsleiter des Kantonsgerichts in den Ausstand zu treten (Antrag Ziff. 4). Das Kantonsgericht und die Kantonsrichter Heiner Eiholzer, Daniel Gsponer und Andreas Korner beantragen die Beschwerdeabweisung. Die Beschwerdeführer halten in einer weiteren Eingabe an ihrem Standpunkt fest.