Sachverhalt: A. R._, geboren 1992, leidet an einem Psychoorganischen Syndrom (POS), entsprechend dem Geburtsgebrechen Ziff. 404 des Anhangs zur Verordnung über Geburtsgebrechen (GgV Anhang). Am 27. Juni 2001 wurde sie von ihren Eltern bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen verfügte am 15. November 2001, nach entsprechenden Abklärungen, die Zusprechung medizinischer Massnahmen. Am 20. April 2005 liess R._, vertreten durch ihre Mutter, um Beiträge an die Sonderschulung ersuchen. Gestützt auf einen Bericht der Dienste Y._ vom 8. Juni 2005, verfügte die IV-Stelle Kostengutsprache für interne Sonderschulmassnahmen ab 15. August 2005 bis Ende Schuljahr 2006/07 (Verfügung vom 18. Juli 2005; verlängert bis Ende Schuljahr 2007/08 gemäss Mitteilung vom 13. Juni 2007). Am 21. Februar 2006 verfügte die IV-Stelle Kostenübernahme für das Geburtsgebrechen Nr. 404 ab 1. April 2006 bis 31. März 2010. Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, ersuchte mit Verlaufsbericht vom 3. Dezember 2006 um Kostengutsprache für eine Psychotherapie. Nach Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 30. Januar 2007 (RAD-Arzt N._) erteilte die IV-Stelle hiefür Kostengutsprache (Mitteilung vom 30. Januar 2007). Ende 2007 entwickelte sich der psychische Gesundheitszustand von R._ "dramatisch" (Schreiben des Dr med. O._, Pädiater/Neuropädiater, vom 24. Januar 2008), weshalb sie vom 11. Dezember 2007 bis 3. Juni 2008 stationär im Zentrum M._ behandelt wurde (Bericht der Frau Dr. med. S._, Leitung Zentrum M._, vom 10. September 2008). Auch hiefür kam die Invalidenversicherung auf. Mit Schreiben vom 11. März 2009 ersuchte die Beiständin von R._ um Kostenübernahme für einen Aufenthalt im Heim E._ rückwirkend ab 27. Oktober 2008, und reichte den Austrittsbericht des Zentrums B._, vom 29. Oktober 2008, eine Begründung für das Kostenübernahmegesuch des Zentrums G._ vom 21. Oktober 2008 sowie einen kurzen Verlaufsbericht des Heims E._ vom 5. Februar 2009 zu den Akten. Die IV-Stelle holte eine Stellungnahme des RAD (Dr. med. K._._ vom 8. Juli 2009) ein und teilte R._ am 9. Juli 2009 mit, die Kosten für den Aufenthalt im Therapieheim könnten nicht übernommen werden, weil es an einem direkten Zusammenhang mit dem Geburtsgebrechen fehle. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren bestätigte die IV-Stelle mit Verfügung vom 23. Februar 2010 die Abweisung des Leistungsbegehrens. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der R._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 31. August 2011 gut, hob die Verfügung vom 23. Februar 2010 auf und sprach R._ im Sinne der Erwägungen Anspruch auf medizinische Massnahmen in Form der beantragten stationären Behandlung zu. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung der Verfügung vom 23. Februar 2010. Der Fall sei zu sistieren bis die Vorinstanz über das bei ihr gestellte Begehren um Wiederaufnahme des Verfahrens entschieden habe. R._ lässt auf Abweisung der Beschwerde und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersuchen. Am 14. Februar 2012 reicht das kantonale Gericht unter anderem den Rückzug des Wiederaufnahmegesuchs der IV-Stelle sowie die daraufhin ergangene Abschreibungsverfügung vom 9. Januar 2012 zu den Akten.