Sachverhalt: A. E._ beabsichtigt, ihr Haus auf der Parzelle Nr. 3841 in Liestal mit einer neuen Strasse zu erschliessen. Das Grundstück ist zurzeit durch einen ca. 16 m langen Fussweg mit einem Parkplatz an der Laubibergstrasse verbunden. Nördlich davon liegen zwei Doppeleinfamilienhäuser (Parzellen Nrn. 3842, 3843, 3844 und 3845) und vier Reiheneinfamilienhäuser (Parzellen Nrn. 7038, 7039, 7040 und 7041). Die neue Strasse soll vom zu erschliessenden Grundstück her westlich an den beiden Doppeleinfamilienhäusern vorbeiführen und dann nach einer Rechtskurve zwischen dem nördlichen Doppeleinfamilienhaus und den vier Reiheneinfamilienhäusern hindurch in die Laubibergstrasse münden. Das nordsüdlich verlaufende Teilstück ist ca. 68 m lang, das ostwestlich verlaufende ca. 48 m. Der geplante Erschliessungsweg liegt auf der Parzelle Nr. 3848, die ebenfalls E._ gehört. E._ reichte erstmals am 12. September 2006 ein Baugesuch ein. Dieses tangierte die im Westen angrenzende Landwirtschaftszone. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wurde vom Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Urteil vom 16. September 2009 gutgeheissen, worauf E._ am 26. August 2010 ein neues Baugesuch einreichte. Dagegen gingen wiederum verschiedene Einsprachen ein. Die Einsprecher rügten insbesondere die fehlende Stabilität der geplanten Strasse und der Stützmauern sowie eine unzureichende Verkehrssicherheit. Die Baugesuchstellerin reichte daraufhin am 3. Februar 2011 bereinigte Pläne ein. Mit Entscheid vom 15. September 2011 wies das Bauinspektorat des Kantons Basel-Landschaft die Einsprachen ab, soweit es darauf eintrat. Gegen den Entscheid des Bauinspektorats erhoben die Eigentümer der unmittelbar an die geplante Strasse angrenzenden Parzellen F._ und A._ (Parzelle Nr. 7041), D._ (Parzelle Nr. 7038) sowie C.X._ und B.X._ (Parzelle Nr. 7039) Beschwerde bei der Baurekurskommission des Kantons Basel-Landschaft. Diese hiess das Rechtsmittel mit Entscheid vom 7. Februar 2012 teilweise gut und ergänzte die Baubewilligung mit der Auflage, dass der Randabschluss des Wegs entlang der Parzellen Nrn. 7038 bis 7041 eine Mindesthöhe von 20 cm statt 10 cm aufweisen müsse. Eine von den genannten Nachbarn dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft nach Durchführung eines Augenscheins mit Urteil vom 20. März 2013 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Juni 2013 beantragen A._, D._ sowie C.X._ und B.X._ im Wesentlichen, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, es sei festzustellen, dass das Bauprojekt nicht bewilligungsfähig sei, und die Baugesuchstellerin sei zu verpflichten, dem Bauinspektorat bereinigte Pläne vorzulegen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet, das Bauinspektorat und die Baurekurskommission haben sich nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 10. September 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.