Sachverhalt: A. X._ (geb. 1956) und Y._ (geb. 1972) haben sich im Jahre 2007 vermählt. Sie haben eine gemeinsame Tochter, A._ (geb. 2008). Der Ehemann hat ausserdem einen vorehelichen Sohn (B._; geb. 2003). Die Ehefrau hat vier voreheliche Kinder. B. Mit Eheschutzentscheid vom 28. August 2008 genehmigte das Gerichtspräsidium Zofingen eine Trennungsvereinbarung, welche die Eheleute am 11. August 2008 unterzeichnet hatten. Die Parteien waren übereingekommen, A._ unter die Obhut der Mutter zu stellen. X._ versprach, an den Unterhalt seines Kindes monatlich Fr. 600.-- (zzgl. Kinderzulage) und an denjenigen seiner Frau Fr. 430.-- zu bezahlen. Die übrigen Abreden der Vereinbarung sind im Streit vor Bundesgericht nicht relevant. C. Am 22. März 2012 strengte X._ beim Gerichtspräsidium Zofingen ein Verfahren zur Abänderung des Eheschutzentscheids vom 28. August 2008 an. Es ging ihm darum, die Alimente für seine Tochter ab April 2012 auf Fr. 200.-- (zzgl. Kinderzulage) zu reduzieren und ihn von Unterhaltsleistungen an seine Frau ganz zu befreien. Mit Entscheid vom 24. Januar 2013 entsprach das Gerichtspräsidium diesen Begehren und änderte die Trennungsvereinbarung entsprechend ab. Schon am 12. April 2012 hatte Y._ beim Bezirksgericht Zofingen das Scheidungsverfahren anhängig gemacht. D. Erfolgreich legte Y._ gegen den erstinstanzlichen Abänderungsentscheid Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Aargau hob den Entscheid mit Bezug auf die Unterhaltspflichten auf und setzte die ursprüngliche Unterhaltsregelung gemäss dem Eheschutzentscheid vom 28. August 2008 wieder in Kraft (Entscheid vom 4. Juli 2013). E. Mit Beschwerde vom 25. Juli 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Berufung von Y._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Der Entscheid des Gerichtspräsidiums sei zu bestätigen. Eventuell seien die Akten zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter stellt er das Begehren, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung entsprach diesem Begehren mit Verfügung vom 19. August 2013. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und ersucht ebenfalls um Gewährung des Armenrechts. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.