Sachverhalt: A. B._, Mutter dreier Töchter, bezieht seit 1. Juni 2009 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung samt zugehörigen Kinderrenten. Die Gemeinde Affoltern am Albis, Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV (nachfolgend Durchführungsstelle), sprach ihr rückwirkend ab Oktober 2008 Zusatzleistungen zu, welche mehrmals angepasst wurden. Zuletzt setzte die Durchführungsstelle die Zusatzleistungen mit Verfügung vom 19. Januar 2012 ab 1. Januar 2012 auf monatlich Fr. 1'109.- fest. Anlässlich der im Frühjahr 2012 durchgeführten periodischen Überprüfung rechnete die Durchführungsstelle der Versicherten zusätzlich zum bereits berücksichtigten hypothetischen Erwerbseinkommen von jährlich Fr. 12'700.- hypothetische Kinderzulagen für die älteste Tochter von Fr. 2'400.- im Jahr an, setzte die Zusatzleistung ab 1. Januar 2012 auf monatlich Fr. 969.- herab und forderte die vom 1. Januar bis 30. April 2012 zu viel ausgerichteten Zusatzleistungen im Betrag Fr. 634.- zurück (Verfügungen vom 24. April 2012). Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Juni 2012 fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 15. März 2013 teilweise gut, hob den Einspracheentscheid betreffend Rückerstattung der ausgerichteten kantonalen Beihilfen im Betrag von Fr. 420.- auf und gewährte der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtsvertretung für das Einspracheverfahren. Im übrigen wies es die Beschwerde ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich- rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, in Aufhebung von Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheiddispositivs, soweit die Beschwerde abgewiesen wurde, und von Ziffern 1 und 2 des Einspracheentscheides sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die ihr mit Verfügung vom 19. Januar 2012 zugesprochenen Ergänzungsleistungen auszubezahlen. Des Weitern sei die Rückerstattungsverfügung ersatzlos aufzuheben. Ferner beantragt sie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung. Die Durchführungsstelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. Am 12. Juni 2013 lässt B._ eine weitere Eingabe einreichen.