Sachverhalt: A.a Mit Verfügung vom 3. Oktober 1997 sprach die IV-Stelle Bern dem 1952 geborenen H._ für die Zeit vom 1. Juni 1995 bis 31. August 1996 eine befristete halbe Rente zu. Diese Beurteilung wurde im Rechtsmittelverfahren durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Entscheid vom 30. April 2002; das Verfahren war längere Zeit sistiert) und das Eidgenössische Versicherungsgericht (Urteil vom 3. Juni 2003, I 418/02) bestätigt. Die beiden gerichtlichen Instanzen gingen davon aus, dem Versicherten sei die Ausübung einer leichten, wechselbelastenden, ausschliesslich sitzend auszuübenden Tätigkeit ganztägig zumutbar, wobei zusätzliche Pausen (im Umfang von höchstens zwei Stunden pro Tag) notwendig seien, so dass eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % verbleibe. Auf dieser Grundlage bezifferte das Eidgenössische Versicherungsgericht den Invaliditätsgrad mit 35.5 %. A.a Mit Verfügung vom 3. Oktober 1997 sprach die IV-Stelle Bern dem 1952 geborenen H._ für die Zeit vom 1. Juni 1995 bis 31. August 1996 eine befristete halbe Rente zu. Diese Beurteilung wurde im Rechtsmittelverfahren durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Entscheid vom 30. April 2002; das Verfahren war längere Zeit sistiert) und das Eidgenössische Versicherungsgericht (Urteil vom 3. Juni 2003, I 418/02) bestätigt. Die beiden gerichtlichen Instanzen gingen davon aus, dem Versicherten sei die Ausübung einer leichten, wechselbelastenden, ausschliesslich sitzend auszuübenden Tätigkeit ganztägig zumutbar, wobei zusätzliche Pausen (im Umfang von höchstens zwei Stunden pro Tag) notwendig seien, so dass eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % verbleibe. Auf dieser Grundlage bezifferte das Eidgenössische Versicherungsgericht den Invaliditätsgrad mit 35.5 %. A.b Am 5./14. August 2003 liess der Versicherte durch Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, sinngemäss eine Neuanmeldung vornehmen. Die IV-Stelle verneinte zunächst mit Verfügung vom 16. April 2004 einen Rentenanspruch. Nachdem der Versicherte ein Schreiben von Dr. med. P._, Chirurgie FMH, vom 3. Mai 2004 eingereicht hatte, hob die Verwaltung ihre Verfügung jedoch wieder auf und ordnete zusätzliche Abklärungen an (Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004). In der Folge wies sie das Rentengesuch - nach Beizug weiterer Unterlagen und Einholung eines Gutachtens des Spital Z._, Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin, vom 3. April 2005 - mit Verfügung vom 25. Mai 2005 und Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 wiederum ab. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Ergänzung der Abklärungen an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 24. Februar 2006). Die Verwaltung holte daraufhin ein interdisziplinäres Gutachten von Dr. med. L._, Innere Medizin und Rheumaerkrankungen FMH, und Dr. med. E._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 15./16. Januar 2007 ein. Anschliessend verneinte sie nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 19. April 2007 erneut einen Rentenanspruch. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 11. Februar 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens liess der Versicherte insbesondere Schreiben des Dr. med. B._ vom 26. März 2007 und des Dr. med. P._ vom 1. Mai 2007 auflegen. C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es seien der vorinstanzliche Entscheid und die Verwaltungsverfügung vom 19. April 2007 aufzuheben und die Sache "zur Neubeurteilung des Anspruchs" an die IV-Stelle zurückzuweisen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Verfügung vom 27. Mai 2008 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen.