Sachverhalt: A. A.a. Am 24. November 2011 erkannte das Jugendgericht Y._ X._ (geb. xx.xx.1990), der am xx.xx.xxxx eine Prostituierte vergewaltigt, stranguliert und anschliessend umgebracht hatte, namentlich des Mordes (Art. 112 StGB), der sexuellen Nötigung (Art. 189 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 StGB) und der Vergewaltigung (Art. 190 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 StGB) für schuldig und verurteilte ihn zu einem Freiheitsentzug von vier Jahren. Ferner ordnete das Gericht gestützt auf Art. 10 Abs. 1 und Art. 15 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. Juni 2003 über das Jugendstrafrecht (Jugendstrafgesetz, JStG; SR 311.1) eine Unterbringung in einer geschlossenen Anstalt sowie gestützt auf Art. 10 Abs. 1 und Art. 14 Abs. 1 JStG eine in der Anstalt durchzuführende "ambulante Behandlung" der bei X._ bestehenden psychischen Störung an. A.b. Im Hinblick auf das Ende der Strafverbüssung verfügte das Bezirksamt Y._ am 20. Juni 2012 über X._ eine fürsorgerische Freiheitsentziehung gestützt auf aArt. 397a ff. ZGB und ordnete die Überweisung des Betroffenen vom MZU in die Jugendvollzugsanstalt (JVA) Y._, Sicherheitstrakt (SITRAK) II, sowie die dortige Zurückbehaltung an. Die Anstaltsleitung wurde angewiesen, X._ seiner psychischen Beeinträchtigung entsprechend zu behandeln, resp. die bereits im MZU laufende intensive persönlichkeitszentrierte und deliktorientierte forensische Psychotherapie weiterzuführen. Die von X._ gegen die Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde blieb erfolglos (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. August 2012). Mit Urteil vom 5. September 2012 wies das Bundesgericht die von X._ gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhobene Beschwerde in Zivilsachen ab (zum Ganzen BGE 138 III 593 Sachverhalt). B. Mit Eingabe vom 11. März 2013 beantragte X._ beim Bezirksgericht Y._, Familiengericht, (Erwachsenenschutzbehörde) die Entlassung aus der JVA Y._. Mit Entscheid vom 18. Juni 2013 bestätigte das angerufene Gericht die fürsorgerische Unterbringung, verlängerte diese bis zur nächsten periodischen Überprüfung (Dezember 2013) und wies das Entlassungsgesuch ab. Mit Urteil vom 5. Juli 2013 gab das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau der von X._ erhobenen Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht statt. C. X._ hat mit Eingabe vom 24. August 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er den Ausstand der am Verfahren 5A_607/2012 beteiligten Bundesrichterin und Bundesrichter. In der Sache verlangt er, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau aufzuheben und ihn unverzüglich zu entlassen. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. D. Das Bezirksgericht Y._ sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau haben je unter Hinweis auf die Begründung des angefochtenen Entscheids auf eine Vernehmlassung verzichtet. E. Mit Verfügung vom 25. September 2013 wurde das Ausstandsbegehren abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.