Sachverhalt: A. Am 24. Oktober 2003 schlossen die in Luxemburg domizilierte Y._ Immobilien- und Beteiligungsgesellschaft AG i.G. als Kreditnehmerin und A._ (Beschwerdegegner) als Kreditgeber einen Darlehensvertrag über EUR 65'000.--, befristet auf 30 Monate seit Valutadatum der Darlehensauszahlung. Sämtliche Rechte und Pflichten aus dem Darlehensvertrag wurden in der Folge von der Y._ Immobilien AG (im Folgenden Y._) übernommen. Mit Schreiben vom 1. Dezember 2003 bestätigte die Y._ dem Beschwerdegegner den Eingang des Darlehensbetrags per 4. November 2003 und versicherte ihm, dass das Darlehen mittels einer Kreditausfallbürgschaft vollumfänglich abgesichert sei. Am Ende dieses Schreibens fand sich eine Erklärung von Avocat C._, Luxemburg, vom 2. Dezember 2003 mit folgendem Wortlaut: "Obiges Darlehen durch hinterlegte Kreditausfallbürgschaft abgesichert; in Kopie beiliegend." Dem Schreiben lag eine vom 14. November 2003 datierte, von der X._ Ltd., Nevada/USA (Beschwerdeführerin) im Auftrag der Y._ ausgestellte "Bürgschaftsgarantie" über EUR 4 Mio. bei, die als Begünstigte "Investoren & Darlehensgeber, treuhänderisch vertreten durch C+D._, Avocats" nannte. Gemäss lit. a der Präambel dieser als "Bürgschaftsgarantie" betitelten Übereinkunft beabsichtigte die Y._ eine Seniorenpflege-Residenz in Luxemburg zu verwirklichen. Zweck der "Bürgschaftsgarantie war "die Sicherstellung/Absicherung von Darlehen/Kredite, welche von diversen Anlegern (Begünstigte) [für die Realisierung dieses Projekts] gewährt werden". Gestützt darauf "stellte die X._ Ltd. [Beschwerdeführerin] folgende Garantie aus" bzw. verpflichtete sich, "unwiderruflich auf die erste Aufforderung der Begünstigten hin, ungeachtet der Gültigkeit und Rechtswirkungen der eingangs erwähnten Verträge jeden Betrag bis EURO 4'000'000,00 (...) zu zahlen, gegen die rechtsgültig unterzeichnete, schriftliche Zahlungsaufforderung der Begünstigten ...". "Die Zession der treuhänderisch verwalteten Bürgschaft erfolgt" - wie in Ziffer 1 der "Bürgschaftsgarantie" weiter ausgeführt wird - durch einfache, schriftliche Abtretung durch C+D._, ..., an die Begünstigte(n) und ist frei aufteilbar je nach Darlehensbetrag und Zinsen, jedoch nur bis zum Maximalbetrag von vier Millionen Euro kumuliert". Die Y._ zahlte das Darlehen nicht zurück. Mit Schreiben vom 23. Januar 2007 forderte der Beschwerdegegner von der Beschwerdeführerin gestützt auf die im Schreiben vom 1. Dezember 2003 erwähnte "Kreditausfallbürgschaft" bzw. die diesem in Kopie beigelegte "Bürgschaftsgarantie Nr. CLU-E/LSO4231003-SG", dass sie ihm bis spätestens 5. Februar 2007 EUR 65'000.-- bezahle. B. Mit Klage vom 24. Mai 2007 beantragte der Beschwerdegegner beim Handelsgericht des Kantons Zürich, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, ihm EUR 65'000.-- zuzüglich Verzugszins ab 6. Februar 2007 zu bezahlen. Das Handelsgericht nahm mit Beschluss vom 22. Februar 2008 unter anderem vom Prozessbeitritt von B._ als Nebenintervenient auf Seiten der Beschwerdeführerin Vormerk. Mit gleichzeitig ergangenem Urteil hiess es die Klage gut. Eine gegen dieses Urteil von der Beschwerdeführerin erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 29. Juni 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 22. Februar 2008 sowie den Beschluss des Kassationsgerichts vom 29. Juni 2009 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin wurde mit Verfügung vom 14. Oktober 2009 zur Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung an den Beschwerdegegner verpflichtet. Der Sicherstellungsbetrag wurde fristgerecht bei der Gerichtskasse hinterlegt. Das Handels- und das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde betreffend Anfechtung des Beschlusses des Kassationsgerichts nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen und die Beschwerde betreffend die Anfechtung des Urteils des Handelsgerichts abzuweisen. Der Nebenintervenient hat sich am bundesgerichtlichen Verfahren nicht beteiligt. Der Beschwerde wurde mit Präsidialverfügung vom 3. Dezember 2009 die aufschiebende Wirkung erteilt.