Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführerin) begab sich am 5. Februar 1987 zur Abklärung gesundheitlicher Beschwerden in die Klinik der Stiftung X._ (Beschwerdegegnerin). Nach verschiedenen therapeutischen Behandlungen löste eine am 27. Februar 1987 vom Chefarzt für Rheumatologie und Rehabilitation der Klinik vorgenommene "Mobilisation mit Impuls", d.h. eine Drehung des Kopfes mit einer Hand unter manueller Fixierung eines Halswirbels mit der anderen Hand (im Folgenden: "Manipulation"), starke Schmerzen aus. Seither leidet die Beschwerdeführerin unter verschiedenen gesundheitlichen Beeinträchtigungen. Die Beschwerdegegnerin bestritt einen Kausalzusammenhang zwischen den geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen und der Manipulation. B. Am 6. Februar 1992 erhob die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die Beschwerdegegnerin, die sie im Verfahrensverlauf bezifferte, indem sie die Zusprechung von Fr. 2.4 Mio. als Schadenersatz zuzüglich Zins und von Fr. 100'000.-- als Genugtuung forderte. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 20. Dezember 2002 ab. Die Beschwerdeführerin gelangte daraufhin mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, mit der sie die Aufhebung dieses Urteils und die Zusprechung von Fr. 2.5 Mio. als Schadenersatz und Genugtuung nebst Zins verlangte. Das Obergericht hiess die Klage am 8. Dezember 2006 teilweise gut, d.h. im Umfang von insgesamt Fr. 179'870.90 (verschiedene Schadenersatzbeträge und Fr. 8'000.-- als Genugtuung) zuzüglich Zinsen. Im Übrigen wies es die Begehren ab. Es kam gestützt auf ein gerichtlich angeordnetes Gutachten von Dr. B._ und mehrere Ergänzungsgutachten desselben zum Schluss, dass die Beschwerdegegnerin den Behandlungsvertrag nicht sorgfältig erfüllt habe. So sei trotz erkennbarer Anzeichen für eine vorhandene Anomalie (im Bereich der Wirbelsäule) auf die erforderliche genaue radiologische Abklärung vor der Manipulation verzichtet worden, aufgrund welcher der behandelnde Arzt hätte erkennen können, dass die Manipulation nicht angezeigt war. Die Behandlung habe allerdings bloss zu einer vorübergehenden Beeinträchtigung der Gesundheit der Beschwerdeführerin geführt. C. Gegen das Urteil des Obergerichts legte die Beschwerdeführerin eidgenössische Berufung und kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ein. Die Berufung zog sie mit Schreiben vom 5. März 2007 zurück, worauf das entsprechende Verfahren (4C.65/2007) vom Präsidenten der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 7. März 2007 als erledigt abgeschrieben wurde. Die Nichtigkeitsbeschwerde wurde vom Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 14. November 2007 abgewiesen, soweit es darauf eintrat. D. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben und die Klage vollumfänglich gutzuheissen. Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Das Kassationsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.