Sachverhalt: A. Die 1978 geborene S._ war als Büro- und Verkaufsangestellte in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 2. Oktober 2001 einen Verkehrsunfall erlitt. Sie hatte den von ihr gelenkten Ford Escort innerorts vor einem Fussgängerstreifen angehalten, um ein Kind vorbeizulassen. Ein nachfolgender Mercedes Coupé prallte ins Heck des Ford. S._ erlitt dabei ein HWS-Distorsionstrauma. Die gleichentags aufgesuchte Hausärztin bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (hausärztlicher Bericht vom 13. November 2001). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nachdem die Beschwerden trotz verschiedener medizinischer Massnahmen (u.a. Aufenthalt in der Rehabilitationsklinik Y._ vom 20. Juni bis 31. Juli 2002) anhielten und sich noch verschlimmerten, veranlasste die SUVA eine stationäre Behandlung (vom 14. Oktober bis 11. November 2004) mit polydisziplinärer Begutachtung in der Rehaklinik Z._. Die Expertise der Klinik wurde am 1. Dezember 2004 erstattet. Gestützt auf diese und weitere medizinischen Akten sowie eine biomechanische Kurzbeurteilung vom 3. Juni 2002 eröffnete die SUVA der Versicherten mit Verfügung vom 28. April 2005, die Leistungen würden mit dem 15. Mai 2005 eingestellt. Zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 2. Oktober 2001. Daran hielt die SUVA auf die von S._ und ihrem Krankenversicherer eingereichten Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 28. Juli 2005). Mit - einspracheweise angefochtener - Verfügung vom 4. August 2005 verneinte die IV-Stelle Zürich einen Anspruch auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung. B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid vom 28. Juli 2005 erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. Mai 2007 ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung vom 28. April 2005 (recte: Einspracheentscheid vom 28. Juli 2005) und der kantonale Gerichtsentscheid seien aufzuheben und die SUVA sei zu verpflichten, weiterhin die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Den Parteien wurde die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Während die SUVA darauf verzichtet, lässt S._ mit Eingabe vom 3. April 2008 Stellung nehmen und mehrere neue Akten, worunter den Bericht des Zentrums M._, vom 12. November 2007 über einen mit funktionellen Magnetresonanztomographien erhobenen Befund, einreichen.