Sachverhalt: A. M._ meldete sich im Februar 2008 (ein zweites Mal) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und beruflichen Abklärungen (u.a. Gutachten des Instituts X._ vom 1. März 2011) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 28. Dezember 2011 den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente. B. Die Beschwerde der M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 12. April 2012 ab. C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. April 2012 sei aufzuheben, nach ergänzenden medizinischen Abklärungen ihr Rentenanspruch neu zu prüfen und ihr bei der Arbeitssuche zu helfen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.