Sachverhalt: A. Mit Urteil des Geschworenengerichts des Kantons Zürich vom 19. Mai 1998 wurde X._ unter anderem wegen mehrfachen versuchten Mordes, mehrfacher schwerer Körperverletzung, mehrfacher sexueller Handlungen mit Kindern und mehrfacher Schändung zu 17 Jahren Zuchthaus verurteilt. Das Gericht ordnete weiter die Verwahrung im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 aStGB an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zu diesem Zweck in Anwendung von Art. 43 Ziff. 2 Abs. 1 aStGB auf. Die dagegen erhobene Beschwerde von X._ wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6S.114/1999 vom 12. Mai 2000). X._ trat am 15. November 2000 zum Verwahrungs- und Strafvollzug in die Strafanstalt Pöschwies ein. Er befindet sich noch heute dort. B. Der Sonderdienst der Bewährungs- und Vollzugsdienste des Amts für Justizvollzug des Kantons Zürich überwies die den Verwahrten betreffenden Vollzugsakten am 15. März 2007 dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, damit diese die gemäss Ziff. 2 Abs. 2 der Schlussbestimmungen der Änderung zum Strafgesetzbuch vom 13. Dezember 2002 (SchlBestStGB) gebotene Überprüfung der altrechtlichen Verwahrung vornehme. Der Sonderdienst empfahl dem Gericht, die gegen X._ gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 aStGB angeordnete Verwahrung nach neuem Recht weiterzuführen. Am 13. Februar 2012 strengte X._ beim Gesamtobergericht des Kantons Zürich ein Verfahren wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung an. Er monierte die überlange Verfahrensdauer. Das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, erkannte am 5. Juni 2012, dass keine therapeutische Massnahme im Sinne von Art. 59-61 oder 63 StGB angeordnet und die Verwahrung nach neuem Recht weitergeführt wird. Aufgrund dieses in der Sache ergangenen Entscheids schrieb das Gesamtobergericht des Kantons Zürich das Verfahren wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung am 1. Oktober 2012 infolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. C. Gegen den Abschreibungsbeschluss des Gesamtobergerichts vom 1. Oktober 2012 erhob X._ am 5. November 2012 Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Er ersuchte um Feststellung einer Verletzung des Beschleunigungsgebots, um Ausrichtung einer angemessenen Genugtuung und - verfahrensrechtlich - um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Gleichzeitig beantragte X._ dem Bundesgericht, das vorliegende Verfahren sei zu sistieren, bis über die in der Sache erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss der III. Strafkammer vom 5. Juni 2012 entschieden worden sei. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, wies die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde von X._ am 3. Juli 2013 ab. D. Das Gesamtobergericht des Kantons Zürich und das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, haben am 14. Januar und 27. Januar 2014 auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet. E. Die von X._ erhobenen Beschwerden gegen die Beschlüsse der II. und III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juni 2012 und 3. Juli 2013 bilden Gegenstand separater Verfahren (6B_409/2012 und 6B_726/2013).