Sachverhalt: A. Die bei ihrer Mutter wohnhafte T._ begann im Jahre 2009 die dreijährige Ausbildung zur Tourismusfachfrau HF an der Schule X._. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich richtete ihr ab diesem Monat Ergänzungsleistungen (EL) zur Kinderrente der Invalidenversicherung aus (Verfügungen vom 9. November und 1. Dezember 2009). Nach dem Wegzug ihres Vaters nach Dietikon war ab Mai 2010 neu die dortige Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV zuständig für die Berechnung der Ergänzungsleistungen. Nachdem die Amtsstelle mit unangefochten gebliebener Verfügung vom 25. Juni 2010 die Leistungen ab 1. Juli 2010 eingestellt hatte, lehnte sie mit Verfügung vom 20. Dezember 2011 die Ausrichtung von Leistungen ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. Januar 2012 fest. B. Auf die hiegegen erhobene Beschwerde der T._ trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. März 2012 nicht ein. C. T._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. März 2012 sei aufzuheben und die Vorinstanz sei zu verpflichten, auf die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 24. Januar 2012 einzutreten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Dietikon verzichtet auf eine Stellungnahme. Das kantonale Sozialversicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.