Sachverhalt: A. A.a. A._, geboren 1984, Staatsangehöriger von Bangladesh, reiste am 23. April 2004 in die Schweiz ein, wo er erfolglos um Asyl nachsuchte. Am 12. Dezember 2005 heiratete er die 1960 geborene Schweizerin B._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Zürich erteilt wurde. Am 10. November 2006 zog das Ehepaar in den Kanton Aargau, wo A._ ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Nachdem er am 12. Juli 2007 allein in den Kanton Zürich zurückgekehrt war, beantragte er dort die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Da B._ dem Migrationsamt mitgeteilt hatte, dass die Ehegemeinschaft am 19. Januar 2007 aufgegeben worden sei, wies das Amt mit rechtskräftiger Verfügung vom 13. November 2007 das Gesuch ab. Die Ehe von A._ und B._ wurde am 12. Februar 2008 geschieden. A.b. Am 7. Mai 2008 heiratete A._ die ursprünglich aus Jamaika stammende Schweizer Bürgerin C._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Zürich erteilt wurde, letztmals verlängert bis zum 6. Mai 2012. Am 18. Januar 2011 gebar C._ einen Sohn. Mit rechtskräftigem Urteil des Bezirksgerichts Bülach vom 25. Mai 2011 wurde festgestellt, dass A._ nicht der Vater des Kindes ist; dieses wurde am 30. Mai 2011 vom Schweizer Bürger D._ anerkannt. Auf Anfrage des Migrationsamts teilte C._ mit, die eheliche Wohngemeinschaft sei etwa im Dezember 2009 aufgegeben worden. A._ seinerseits teilte mit, die Ehegemeinschaft sei im Dezember 2010 aufgegeben worden. A.c. Mit Verfügung vom 14. Juni 2012 wies das Migrationsamt A._s Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. B. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 16. März 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2013, worin eine Frist zum Verlassen der Schweiz bis 30. November 2013 bzw. bis drei Monate nach einem allfälligen bestätigenden bundesgerichtlichen Entscheid angesetzt wurde). C. A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter seien die Akten an die Vorinstanz oder an das Migrationsamt zurückzuweisen mit der Auflage, eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG materiell zu prüfen. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 27. September 2013 wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit abgewiesen, worauf A._ den Kostenvorschuss bezahlte. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht verzichten auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 10. Februar 2014 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Bundesgericht hat die Angelegenheit am 25. März 2014 in einer öffentlichen Sitzung beraten.