Sachverhalt: A. Der als selbstständiger Architekt tätige A._ (Beschwerdegegner, Jg. 1967) war seit 1. Mai 2004 bei der X._ AG (Beschwerdeführerin) im Rahmen eines Kollektivvertrages für Kranken-Lohnausfall taggeldversichert. Mit Mahnschreiben vom 4. September 2006 forderte die Beschwerdeführerin ihn auf, innert 14 Tagen die am 3. Juni 2006 für die Zeit vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 in Rechnung gestellte Prämie von Fr. 768.60 sowie Mahnspesen in Höhe von Fr. 10.-- zu begleichen, andernfalls Verzugsfolgen einträten. Am 29. Mai 2007 wurde die fällige Prämie bezahlt. Gleichentags begab sich der Beschwerdegegner bis 2. August 2007 in eine stationäre psychiatrische Behandlung. Mit Formular vom 4. Juni 2007 machte er bei der Beschwerdeführerin auf der Basis einer seit 1. November 2006 krankheitsbedingt vorhandenen 70 %igen Arbeitsunfähigkeit Taggeldleistungen geltend. Unter Hinweis auf eine vom 18. September 2006 bis 29. Mai 2007 bestehende Deckungslücke weigerte sich die Beschwerdeführerin in der Folge, Versicherungsleistungen zu erbringen. B. Am 30. Dezember 2009 erhob der Beschwerdegegner beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Klage mit dem Antrag, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 82'134.90 zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Oktober 2007 zu bezahlen. Mit Urteil vom 12. Mai 2011 hiess das angerufene Gericht die Klage teilweise gut und verurteilte die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner für die Zeit vom 29. Mai 2007 bis 19. Mai 2008 Fr. 31'047.15 nebst Zins zu 5 % seit 30. Dezember 2009 auszurichten (Dispositiv-Ziff. 1). Ferner hielt es den Beschwerdegegner zur Begleichung einer reduzierten Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin in Höhe von Fr. 1'338.80 (einschliesslich Auslagen und einer Mehrwertsteuer von 8 %) an. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen lässt die Beschwerdeführerin das Rechtsbegehren stellen, in Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 1 des angefochtenen Urteils sei die Klage vollumfänglich abzuweisen. Im Weiteren sei Dispositiv-Ziff. 3 dahingehend abzuändern, dass der Beschwerdegegner verurteilt werde, ihr einen Parteikostenersatz im Betrag von Fr. 10'710.35 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) für das kantonale Verfahren zu bezahlen. Das vorinstanzliche Gericht und der Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde; letzterer ersucht überdies um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung). D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2011 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.