Sachverhalt: A. Der 1958 geborene P._ war ab 15. November 1999 als Fenstermonteur für die K._ AG tätig. Nachdem die Gesellschaft dieses Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2001 durch Kündigung aufgelöst hatte, offerierte sie P._ eine Anstellung im Stundenlohn, es kam aber lediglich zu einem eintägigen Einsatz im April 2002. Abgesehen von einer kurzzeitigen Beschäftigung für eine Temporärgesellschaft im September 2002 war P._ in der Folge nicht mehr erwerbstätig. Am 10. Dezember 2002 meldete er sich bei der Gemeinde X._ zur Arbeitsvermittlung an. Auf der Fahrt in die Ferien nach Portugal war P._ am 14. Dezember 2002 als Lenker eines Personenwagens in Spanien von einem Verkehrsunfall betroffen, bei welchem er sich laut Arztzeugnis UVG des Dr. med. I._, Prakt. Arzt, vom 13. April 2003 eine sekundär instabile Fraktur BWK 12 und eine Deckplattenimpression LWK 2 zuzog. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) erbrachte zunächst Taggelder und übernahm die Heilungskosten. Mit Verfügung vom 20. Januar 2007 gewährte sie mit Wirkung ab 1. November 2006 eine Invalidenrente, basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 40 %, und eine Integritätsentschädigung, entsprechend einer Integritätseinbusse von 30 %. Nachdem P._ dagegen Einsprache erhoben hatte, kündigte die SUVA eine reformatio in peius an und führte zur Begründung aus, die förmliche Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung sei erst im Januar 2003 erfolgt, weshalb - für den Fall des Festhaltens an der Einsprache - aufgrund der fehlenden Versicherteneigenschaft (im Unfallzeitpunkt) ein Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung verneint werden müsse. P._ zog seine Einsprache nicht zurück. Die SUVA hob daraufhin die Verfügung vom 20. Januar 2007 auf, stellte fest, mangels Versicherungsdeckung bestehe kein Anspruch auf Leistungen der SUVA, und wies die Sache "zum Vollzug an die Vorinstanz zurück" (Einspracheentscheid vom 21. November 2007). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden lehnte die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 12. November 2009). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass für den Unfall vom 14. Dezember 2002 bei der SUVA eine obligatorische Unfallversicherungsdeckung bestehe, und es seien ihm die gesetzlich geschuldeten Leistungen auszurichten, wobei der versicherte Verdienst auf Fr. 64'350.- festzulegen sei; ferner sei die SUVA zu verpflichten, nach Eingang des beantragten Gutachtens die Dauerleistungen (Rente und Integritätsentschädigung) neu zu bestimmen und darüber zu verfügen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.