Sachverhalt: A. A.a. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 ordnete der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten die psychiatrische Begutachtung von A._, geb. xx.xx.1964, an und gab ihr Gelegenheit, zur Fragestellung an den Gutachter Stellung zu nehmen sowie Änderungs- und Ergänzungsanträge zu stellen. In der Folge war A._ über längere Zeit landesabwesend. A.b. Mit Eingabe vom 17. Mai 2013 ersuchte A._, nunmehr vertreten durch Rechtsanwältin Karin Meyer, die Verfügung vom 30. Januar 2013 in Wiedererwägung zu ziehen, auf welchen Antrag der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 21. Mai 2013 eintrat und ihn abwies. B. A._ beschwerte sich mit Eingabe vom 27. Mai 2013 gegen die Verfügungen vom 30. Januar 2013 und 21. Mai 2013 beim Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, und beantragte, die Verfügungen aufzuheben und von einer psychiatrischen Behandlung abzusehen. Mit Entscheid vom 22. Juli 2013 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. C. A._ hat mit Eingabe vom 11. September 2013 beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie ersucht im Wesentlichen um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verfügungen vom 30. Januar 2013 und 21. Mai 2013 und beantragt im Übrigen, von einer psychiatrischen Begutachtung abzusehen. D. In seiner Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung weist das Obergericht darauf hin, dass die Verfügung vom 30. Januar 2013 nicht innert der 10-tägigen Beschwerdefrist angefochten worden sei, weshalb sich die Gewährung der aufschiebenden Wirkung erübrige. Mit Präsidialverfügung vom 23. September 2013 wurde der Beschwerde entgegen dem Antrag des Bezirksgerichts Bremgarten und des Obergerichts aufschiebende Wirkung erteilt. E. Das Obergericht hat sich am 9. Oktober 2013 vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hat am 22. Oktober 2013 repliziert. Weitere Schriftenwechsel fanden nicht statt.