Sachverhalt: A. A._ (geb. 20.01.1980) stammt aus dem Irak. Er reiste am 5. Mai 2003 in die Schweiz ein und ersuchte hier unter der Identität X._ (geb. 01.01.1983) erfolglos um Asyl. Das Bundesamt nahm ihn vorläufig auf, da es den Vollzug der Wegweisung wegen der prekären Sicherheitslage im Irak als unzumutbar erachtete (Entscheid vom 30. September 2005). B. B.a. Am 11. Juni 2008 ersuchte A._ das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau darum, ihm eine Härtefallbewilligung zu erteilen, was dieses am 12. März 2009 tat. In der Folge wurde die Bewilligung regelmässig verlängert, letztmals bis zum 28. Februar 2012. B.b. A._ informierte am 24. März 2011 unter Einreichung eines entsprechenden Passes die Behörden darüber, dass er bisher eine falsche Identität (Name und Geburtsdatum) verwendet habe. Mit Strafbefehl vom 8. März 2012 verurteilte die Staatsanwaltschaft Baden ihn wegen Fälschens von Ausweisen zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu je Fr. 80.00 und zu einer Busse von Fr. 600.--. C. Am 24. August 2012 lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau es ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern, da er im Asyl- und im Bewilligungsverfahren falsche Angaben gemacht und verfälschte Papiere benutzt habe. Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen bestätigten diesen Entscheid. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies in seiner Begründung darauf hin, dass A._ auf den ersten Blick aus der Täuschung kein direkter Vorteil erwachsen sei; dies erscheine indessen irrelevant, da insbesondere "mit Blick auf generalpräventive Überlegungen" sich als entscheidend erweise, dass den Behörden aufgrund der falschen Identität jegliche Überprüfungsmöglichkeit genommen werde, weshalb von "grösster Relevanz" erscheine, über korrekte Identitätsangaben zu verfügen. A._ sei zwar gut integriert, habe jedoch keine derartige Verwurzelung in der Schweiz, dass ihm eine Rückkehr in sein Heimatland nicht zugemutet werden könnte. Eine Minderheit des Gerichts ging davon aus, dass die Nichtverlängerung der Bewilligung als unverhältnismässig zu gelten habe. D. D.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. August 2013 aufzuheben und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. zumindest beim Bundesamt für Migration um eine vorläufige Aufnahme zu ersuchen. Er macht geltend, dass er gestützt auf den Anspruch auf Schutz seines Privatlebens (Art. 8 EMRK) nach einem fast zehnjährigen Aufenthalt in der Schweiz Anspruch darauf habe, dass seine Bewilligung verlängert werde. Er habe sich hier ein gefestigtes und intensives Beziehungsnetz aufgebaut und werde von seinem Umfeld als "unverzichtbarer, verlässlicher Freund" beschrieben. Die öffentlichen Interessen hätten gegen die privaten zurückzutreten. D.b. Das Verwaltungsgericht und das Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau beantragen unter Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration schliesst sich dem Antrag an. A._ hat am 27. November 2013 an seinen Ausführungen festgehalten und darauf hingewiesen, dass die Praxis in den Kantonen nicht einheitlich erscheine, was im bundesgerichtlichen Verfahren geklärt werden müsse. E. Der Präsident der Abteilung hat der Eingabe am 3. Oktober 2013 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt. F. Mit Verfügung vom 11. November 2013 wurde das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Bedürftigkeit abgewiesen.