Sachverhalt: A. Die 1945 geborene S._ meldete sich im Juni 1994 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an und zog diese Anmeldung im Februar 1996 wieder zurück. Am 30. März 2005 meldete sich S._ erneut zum Leistungsbezug an, wobei sie - wie anlässlich der ersten Anmeldung - auf die Folgen eines am 21. Januar 1988 erlittenen Auffahrunfalls mit Distorsion der Halswirbelsäule hinwies. Am 12. April 2006 erlitt die Versicherte einen weiteren Auffahrunfall. Die IV-Stelle des Kantons Zürich nahm zahlreiche Arztberichte zu den Akten, zog die Unterlagen des Unfallversicherers bei, veranlasste beim Zentrum X._ eine Begutachtung (Gutachten vom 14. Juni 2009) und nahm eine Haushaltsabklärung vor. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie mit Verfügung vom 1. Juli 2010 einen Leistungsanspruch. B. S._ liess hiegegen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter seien weitere medizinische Abklärungen durchzuführen. Mit Entscheid vom 10. Oktober 2011 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab, wobei es S._ die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) gewährte. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihr rückwirkend eine Invalidenrente nach den gesetzlichen Bestimmungen zu erbringen. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess.