Sachverhalt: A. Die 1974 geborene A._ war als Nachtwache im Spital X._ tätig und dadurch bei der "Winterthur Versicherungen" (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie sich am 12. Juni 2006 anlässlich einer Übung der freiwilligen Feuerwehr verletzte. Am 2. Oktober 2006 meldete A._ diesen Sachverhalt der Winterthur. Sie machte überdies geltend, an Borreliose nach einem Zeckenstich zu leiden. Hiezu berichtete ihr Hausarzt am 7. Dezember 2006, A._ habe gemäss eigener Angabe am 13. Juni 2006 eine Zecke am linken Knie bemerkt und entfernt, wobei sich in der Folge trotzdem eine Rötung rund um den Einstich gebildet habe. Es sei eine antibiotische Therapie durchgeführt worden. Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach medizinischen Abklärungen verfügte die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) als Rechtsnachfolgerin der Winterthur am 19. Mai 2010, die Leistungen würden rückwirkend per 30. April 2009 eingestellt, da die noch geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien; auf die Rückforderung der seit 1. Mai 2009 gewährten Heilbehandlungskosten werde verzichtet. Daran hielt die AXA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Entscheid vom 22. August 2011). B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zog die Akten der Invalidenversicherung (IV), bei der sich A._ ebenfalls zum Leistungsbezug angemeldet hatte, hinzu und wies die Beschwerde unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ab (Entscheid vom 10. Dezember 2013). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die AXA anzuweisen, ab 1. Mai 2009 weiterhin die gesetzlichen Leistungen (Taggelder, Heilbehandlung, eventuell Rente, Integritätsentschädigung) zu erbringen. Eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer mit Art. 6 EMRK konformen Parteiverhandlung sowie zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.