Sachverhalt: A. A.a. Die X._ AG (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) fasste mit Eingabe vom 21. Februar 2011 beim Obergericht des Kantons Luzern die Y._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) ins Recht und stellte namentlich folgende Anträge: "1. Es sei der Beklagten unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 1'000.-- für jeden Tag der Nichterfüllung und der Bestrafung ihrer Organe gemäss Art. 292 StGB mit Busse im Widerhandlungsfall zu verbieten, unter dem Zeichen Dienstleistungen zur Verpflegung von Gästen anzubieten oder zu erbringen, oder das Zeichen auf Geschäftspapieren, im Internet, auf Gebrauchsgegenständen wie Biergläsern, Bierdeckeln, sonstwie in der Werbung oder sonstwie im geschäftlichen Verkehr im Zusammenhang mit Dienstleistungen zur Verpflegung von Gästen zu gebrauchen. 2. ..." Als prozessualen Antrag formulierte sie das Begehren, das Verbot sei vorsorglich für die Dauer des ordentlichen Verfahrens zu verhängen. A.b. Zur Begründung führte die Gesuchstellerin aus, dass ihr Inhaber A._ seit 1993 am Konzept einer Gasthausbrauerei im Keller des alten Rathauses gearbeitet und erhebliche Mittel investiert habe. Die Gründung der seit 18. November 1997 im Handelsregister eingetragenen Gesuchstellerin sei erfolgt, um im Keller des alten Rathauses von Luzern eine Schau-Brauerei mit Restaurant zu errichten und zu betreiben, wozu mit der Stadt Luzern ein langfristiger Mietvertrag abgeschlossen worden sei. Während die Gesuchstellerin die Brauerei selbst betreibe, habe sie das Restaurant in den gleichen Räumen an B._ bzw. die Gesuchsgegnerin als dessen Rechtsnachfolgerin (unter-) vermietet. Die Gesuchstellerin erklärte, sie verwende die Bezeichnung "Rathaus Brauerei" seit 1998 ununterbrochen als Enseigne der von ihr geschaffenen Gasthausbrauerei und diese sei untrennbar mit ihrer Person, ihrer Brauerei, ihrem Bier und ihrem Gasthaus im Rathauskeller verbunden. Ausserdem verwende sie ebenfalls seit 1998 ein einheitlich gestaltetes Logo, das insbesondere auf Bierdeckeln, Biergläsern, Speisekarten, Werbeprospekten und ihrem Briefpapier angebracht worden sei. Sie habe ausserdem die Aussenbeschriftung des Lokals farblich auf diesen Einheitsauftritt abgestimmt, der wie folgt abgebildet wird: A.c. Zur Begründung des Massnahmegesuchs machte die Gesuchstellerin geltend, die Gesuchsgegnerin - die sich im Jahre 2008 ohne vorherige Rückfrage als "Y._ AG" im Handelsregister habe eintragen lassen - führe seit Mitte Dezember 2010 ein eigenes Logo "Rathaus Brauerei", das sie am 3. Dezember 2010 in eigenem Namen als Marke angemeldet und mit welchem sie unter anderem sämtliche Biergläser und Bierdeckel gekennzeichnet habe. Dagegen sei das Logo der Gesuchstellerin aus dem Restaurant der Gesuchsgegnerin entfernt worden. Mit der flächendeckenden Einführung eines eigenen "Rathaus Brauerei"-Logos der Gesuchsgegnerin würden falsche Eindrücke über die tatsächlichen Geschäftsverhältnisse der Gesuchstellerin geschaffen und die Gesuchsgegnerin verletze sie in ihren Marken-, Lauterkeits-, Persönlichkeits- und Namenrechten. Sie erleide aus dem andauernden Gebrauch des beanstandeten Logos einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil. A.d. Die Gesuchsgegnerin widersetzte sich den Begehren im Wesentlichen mit der Begründung, der Auftritt bzw. das Logo der Gesuchstellerin sei von beiden Parteien gemeinsam beansprucht worden. Im Mietvertrag finde sich keine Bestimmung, wonach sie verpflichtet wäre, zur Bewerbung ihres Restaurationsbetriebs das angeblich der Gesuchstellerin gehörende Logo zu verwenden bzw. einen eigenen Auftritt mit anderem Logo zu unterlassen. Faktisch habe die Gesuchsgegnerin das von der Gesuchstellerin beanspruchte Logo fast ausschliesslich gebraucht. Den Anlass zur vorliegenden Auseinandersetzung habe der Inhaber der Gesuchstellerin selbst gesetzt, indem er das Restaurant "Stadtkeller" erworben habe und dabei ein Stadtkeller-Bier unter einem Logo praktisch gleicher Aufmachung wie das "Rathaus Bier" habe anbieten wollen. Deswegen bzw. um einer rechtlichen Auseinandersetzung zu entgehen, habe die Gesuchsgegnerin ein neues, farblich an den bisherigen Auftritt angelehntes Logo entworfen. Durch den Gebrauch dieses neuen Logos erleide die Gesuchstellerin keinen Verwirrungsschaden, weil sie in der Vergangenheit praktisch kaum als klar von der Gesuchsgegnerin getrennter Betrieb nach aussen im Geschäftsverkehr aufgetreten sei. Als Mitinhaberin der Rechte am fraglichen Zeichen stehe es der Gesuchsgegnerin frei, das Logo leicht zu modifizieren und ein etwas angepasstes neues zu gebrauchen. Ein Imagetransfer könne angesichts der Geringfügigkeit der Änderung nicht stattfinden, zumal sich ernsthaft frage, ob der Konsument diese überhaupt wahrnehme. Die Sache sei auch nicht dringlich und ein sofortiges Verbot, das neue Logo zu gebrauchen, unverhältnismässig. B. Mit Entscheid vom 12. Mai 2011 wies der Präsident der 1. Abteilung des Obergerichts Luzern das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab. Er legte dar, dass nach Art. 261 ZPO für die Anordnung vorsorglicher Massnahmen glaubhaft zu machen ist, dass ein Anspruch der gesuchstellenden Partei verletzt ist oder eine Verletzung zu befürchten ist (a) und dass ihr aus dieser Verletzung ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil droht (b). Ausserdem habe die gesuchstellende Partei die Fortdauer der Verletzung glaubhaft zu machen. Die Verletzung beurteilte er insbesondere nach Art. 3 lit. d UWG und kam zum Schluss, dass die Gesuchstellerin die Gefahr der Verwechslung der beiden Zeichen bzw. Logos glaubhaft gemacht habe. Für nicht glaubhaft gemacht erachtete er indes, dass der Gesuchstellerin durch den Gebrauch des neuen Logos der Gesuchsgegnerin ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 261 Abs. 1 lit. b ZPO drohe. C. Mit Beschwerde vom 8. Juni 2011 stellt die Gesuchstellerin die Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und der Beschwerdegegnerin sei vorsorglich für die Dauer des ordentlichen Verfahrens und unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 1'000.-- für jeden Tag der Nichterfüllung und Bestrafung ihrer Organe gemäss Art. 292 StGB mit Busse im Widerhandlungsfall zu verbieten, unter dem erwähnten Zeichen Dienstleistungen zur Verpflegung von Gästen anzubieten oder zu erbringen oder das Zeichen auf Geschäftspapieren, im Internet, auf Gebrauchsgegenständen wie Biergläsern, Bierdeckeln, sonstwie in der Werbung oder sonstwie im geschäftlichen Verkehr im Zusammenhang mit Dienstleistungen zur Verpflegung von Gästen zu gebrauchen, eventualiter sei die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf Art. 9 BV und rügt insbesondere, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, ihr das rechtliche Gehör verweigert und die Anforderungen an einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 261 ZPO willkürlich überdehnt. D. Die Beschwerdegegnerin stellt in ihrer Antwort das Begehren, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz stellt unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dasselbe Begehren. E. Die Beschwerdeführerin hat in einer Eingabe vom 14. September 2011 repliziert, die der Beschwerdegegnerin am 20. September 2011 zugestellt wurde.