Sachverhalt: A. Rechtsanwalt W._ vertritt S._ in einem Verfahren um Ergänzungsleistungen. Mit Schreiben vom 1. Februar und 6. März 2013 ersuchte der Rechtsvertreter das zuständige Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich, ihm die gesamten Verfahrensakten in Fotokopie zuzustellen. Die Verwaltung lehnte dies ab und bot die Zusendung der Originalakten an; wahlweise könne der Rechtsvertreter auch vor Ort Akteneinsicht nehmen (Schreiben vom 27. Februar und 5. März 2013). Auf Verlangen des Rechtsvertreters hin erliess das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV am 15. März 2013 eine Verfügung, in welcher es das Gesuch um Zustellung von Akten kopien abwies. Zur Begründung führte die Verwaltung aus, es bestehe kein gesetzlicher Anspruch darauf, Aktenkopien zugestellt zu erhalten. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV führe keine elektronischen Dossiers. Daher wäre der Aufwand zur Anfertigung von Kopien mit Blick auf den üblichen Umfang der Akten unverhältnismässig hoch. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat auf die gegen die Verfügung vom 15. März 2013 erhobene Beschwerde nicht ein. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung wies es ab (Verfügung vom 21. Mai 2013). C. Handelnd durch Rechtsanwalt W._ führt S._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; die Verwaltung habe das Akteneinsichtsrecht in Form von Fotokopien zu gewähren. Eventuell sei das kantonale Gericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten. Subeventuell sei dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung) im bundesgerichtlichen Verfahren sowie um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.