Sachverhalt: A. Am 13. August 1999 kaufte die A._ AG (Käuferin) bei der B.X._ AG (Verkäuferin) als "Z._-Glas" bezeichnetes Brandschutzglas. Die Verkäuferin bestellte das Glas bei der C._ AG in Bern, welche es im Jahr 1999 direkt der Käuferin lieferte, die es in die Fassade der Bank D._ einbaute. Im Dezember 2001 meldete diese Bank der Käuferin, dass auf dem Glas in Abständen von ca. 2 cm Flecken entstanden seien. Nachdem feststand, dass diese auf Fehler bei der Produktion des Glases in der Floatglashütte in F._ (F) zurückzuführen waren, lieferte die Verkäuferin der Käuferin neues Z._-Glas. Die Käuferin baute dieses an Stelle des alten Glases in die Fassade der Bank D._ ein und verlangte von der Verkäuferin mit Rechnung vom 25. März 2002 den Ersatz der Umglasungskosten von Fr. 15'480.-- (ohne Mehrwertsteuer). Die C._ Holding AG hatte mit der E._ Versicherungsgesellschaft, Bern, eine Betriebshaftpflichtversicherung abgeschlossen, welche auch die Haftung der C._ AG, Bern, einschloss. Das versicherte Risiko wurde mit "Verarbeitung, Vertrieb und Montage von Glas aller Art" umschrieben. Gemäss Art. 7 lit. d der Allgemeinen Versicherungsbedingungen waren vertraglich übernommene - über die gesetzliche Haftung hinausgehende - Ansprüche nicht versichert. Mit öffentlich beurkundetem Vertrag vom 19. Juni 2003 übertrug die C._ AG den Geschäftsbereich Brandschutz und alle Rechte und Forderungen aus bestehenden Rechtsverhältnissen betreffend diesen Bereich auf die B.Y._ AG mit Sitz in Bern. Diese übernahm mit Fusionsvertrag vom 19. Juni 2003 zudem die Verkäuferin. B. Am 31. Januar 2005 klagte die B.Y._ AG beim Gerichtspräsidenten 7 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen gegen die E._ Versicherungsgesellschaft auf Zahlung von Fr. 15'480.-- nebst Zins zu 5 % seit Klageeinreichung. Zur Begründung der Klage führte die Klägerin insbesondere an, die C._ AG sei bezüglich ihrer Haftung für Umglasungskosten der Käuferin bei der Beklagten versichert gewesen, weshalb diese dafür aufzukommen habe. Die Forderung der C._ AG gegenüber der Beklagten sei mit Vertrag vom 19. Juni 2003 auf die Klägerin übergegangen. Mit Urteil vom 4. November 2005 wies der Gerichtspräsident 7 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Klage ab. Dagegen appellierte die Klägerin an das Obergericht des Kantons Bern (Appellationshof, 2. Zivilkammer), welches die Appellation mit Urteil vom 13. Juni 2006 abwies. C. Die Klägerin erhebt eidgenössische Berufung mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 13. Juni 2006 sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.