Sachverhalt: A. A.a W._ (geb. xxxx 1988; nachfolgend Mutter) wohnte seit ihrem 17. Altersjahr mit ihrem Freund X._ (geb. xxxx 1985; nachfolgend Vater) und dessen Familie zusammen. Am 13. März 2006, kurz vor ihrer Volljährigkeit, gebar sie den Sohn V._. Die Mutter ist Inhaberin der alleinigen elterlichen Sorge über dieses Kind. Da sich die Beziehung zum Kindsvater als schwierig erwies und in der Folge sogar von häuslicher Gewalt geprägt war, trennte sich die Mutter vom Vater, als das gemeinsame Kind 9 Monate alt war. Am 10. Juli 2007 traten Mutter und Kind ins begleitete Wohnen der Stiftung S._ ein. A.b Im November 2007 nahm die Mutter erneut Kontakt mit dem Vater auf und erlaubte ihm, das Kind für ein Wochenende zu sich zu nehmen. Auf diesen Vorfall hin wurde der Vertrag der Stiftung mit der Mutter gekündigt. Diese gab das Kind in die Obhut des Vaters und dessen Familie in B._, wo es ohne seine Mutter etwas mehr als 4 Jahre in dieser Familiengemeinschaft lebte. A.c Im Dezember 2011 erklärte die Mutter gegenüber dem Sozialdienst A._, sie wolle ihr Kind wieder in ihre Obhut übernehmen. Im Rahmen der am 10. Januar 2012 durchgeführten Anhörung gab der Vater an, er habe wegen Raubes und Geiselnahme eine Wegweisungsverfügung aus der Schweiz erhalten. Er habe nun nichts mehr zu verlieren, nur noch seinen Sohn, den er nicht der Mutter überlassen werde. Gestützt auf diese Äusserungen schloss die Sozialbehörde auf eine drohende Entführung des Kindes ins Ausland durch den Vater; sie liess es deshalb unter Beihilfe der Polizei bei den Grosseltern abholen und zusammen mit der Mutter in einem Frauenhaus unterbringen. B. B.a Am 15. Januar 2012 ersuchten der Vater und seine Eltern, Y._ und Z._ (nachfolgend Gesuchssteller) bei der Vormundschaftsbehörde des Sozialdienstes A._ um Erlass von Kindesschutzmassnahmen. Sie beantragten im Wesentlichen, der Mutter die Obhut über das Kind zu entziehen und dieses bei den Eltern des Vaters unterzubringen. Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen beantragten sie superprovisorisch bzw. vorsorglich, es sei das Kind unverzüglich den Gesuchstellern zurückzubringen und für die Dauer des Verfahrens vor der Vormundschaftsbehörde bei den Gesuchstellern zu belassen und der Mutter die Rücknahme des Kindes zu untersagen. Mit Verfügung vom 23. Januar 2012 wies die Sozialhilfe und Vormundschaftskommission A._ das Gesuch um Erlass von Kindesschutzmassnahmen ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. B.b Die Gesuchsteller gelangten dagegen an das Departement des Innern des Kantons Solothurn und erneuerten ihre Anträge bezüglich der Kindesschutzmassnahmen und der zu erlassenden superprovisorischen bzw. vorsorglichen Massnahmen. Mit Entscheid vom 2. März 2012 wies das Departement die Sache in teilweiser Gutheissung der Beschwerde zwecks weiterer Abklärungen, insbesondere zur Einholung eines kinderpsychiatrischen Gutachtens und zu neuem Entscheid an die Vormundschaftsbehörde A._ zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. B.c Die Gesuchsteller beschwerten sich daraufhin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, soweit ihren Anträgen betreffend superprovisorische bzw. vorsorgliche Massnahmen nicht entsprochen worden war, und ersuchten um unentgeltliche Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren. Mit Urteil vom 30. Juli 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte den Gesuchstellern die Kosten des Verfahrens. C. Die Gesuchsteller (nachfolgend Beschwerdeführer) haben am 19. August 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragen, die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn seien aufzuheben. Das Kind sei im Rahmen vorsorglicher Massnahmen zu ihnen zurückzubringen und für die Dauer des Verfahrens vor der Vormundschaftsbehörde bis zu deren rechtskräftigem Entscheid bei ihnen zu belassen. Des weiteren sei ihnen für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Ebenso ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.