Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Eheschutzentscheid vom 18. Mai 2006 nahm der delegierte Richter des Amtsgerichts G._ davon Vormerk, dass die Eheleute X._ und Y._ den gemeinsamen Haushalt am 15. Mai 2005 aufgelöst hätten und berechtigt seien, weiterhin auf unbestimmte Zeit getrennt zu leben. Er stellte die Kinder A._, geboren im Juli 1999, und B._, geboren im Januar 2003, unter die elterliche Obhut der Mutter und räumte X._ ein Besuchs- und Ferienrecht ein. Ferner wurde dieser mit Wirkung ab 22. Juli 2005 verpflichtet, an den Unterhalt der Kinder monatliche Beiträge von je Fr. 750.-- und an denjenigen von Y._ solche von Fr. 1'800.-- zu zahlen. In teilweiser Gutheissung eines von X._ erhobenen Rekurses änderte das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern den amtsgerichtlichen Entscheid am 16. Oktober 2006 insofern ab, als es die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 1'600.-- bis September 2005, Fr. 1'100.-- bis April 2006 und Fr. 900.-- für die Zeit darnach festsetzte. In teilweiser Gutheissung eines von X._ erhobenen Rekurses änderte das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern den amtsgerichtlichen Entscheid am 16. Oktober 2006 insofern ab, als es die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 1'600.-- bis September 2005, Fr. 1'100.-- bis April 2006 und Fr. 900.-- für die Zeit darnach festsetzte. B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde und verlangt, den obergerichtlichen Entscheid vom 16. Oktober 2006 insofern aufzuheben, als er für die Zeit ab 1. Juni 2006 zu Unterhaltsbeiträgen an Y._ verpflichtet worden sei, die Fr. 400.-- im Monat überstiegen. Im gleichen Ausmass sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Begehrens um aufschiebende Wirkung. Vernehmlassungen sind im Übrigen nicht eingeholt worden. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Begehrens um aufschiebende Wirkung. Vernehmlassungen sind im Übrigen nicht eingeholt worden. C. Durch Präsidialverfügung vom 1. Dezember 2006 ist der Beschwerde insofern aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, als der Beschwerdeführer vom Obergericht für die Zeit von Juni 2006 bis Oktober 2006 zu Fr. 400.-- im Monat übersteigenden Unterhaltsbeiträgen verpflichtet wurde.