Sachverhalt: A. Der 1960 geborene A._ stammt aus dem Land B._ und reiste am 22. Januar 2001 in die Schweiz ein. Am 12. Mai/11. August 2009 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Luzern zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 11. August 2010 trat diese auf das Leistungsbegehren nicht ein, da er sich geweigert habe, an der medizinischen Abklärung teilzunehmen. Am 1. November 2010 meldete sich A._ bei der IV-Stelle erneut zum Leistungsbezug an. Diese holte diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._ vom 13. Januar 2012 ein. Mit Verfügung vom 23. August 2012 verneinte sie den Rentenanspruch. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern, nachfolgend Kantonsgericht) mit Entscheid vom 31. Mai 2013 ab. C. C.a. Dagegen führt A._ Beschwerde mit den Anträgen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen; diese sei zu verpflichten, ihm ab 2. April 2011 eine volle (wohl: ganze) IV-Rente zu bezahlen, eventuell den medizinischen Sachverhalt mittels interdisziplinärem Gutachten abzuklären; es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; das Verfahren sei zu sistieren, damit die Vorinstanz auf das Revisionsbegehren eintreten und dieses überprüfen könne. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. C.b. Während der Rechtshängigkeit dieser Beschwerde reichte A._ am 6. September 2013 beim Kantonsgericht ein Revisionsgesuch gegen dessen Entscheid vom 31. Mai 2013 ein. C.c. Der bundesgerichtliche Instruktionsrichter sistierte das vorliegende Beschwerdeverfahren am 24. September 2013 bis zum Abschluss des kantonalen Revisionsverfahrens. C.d. Das Kantonsgericht wies das Revisionsgesuch mit Entscheid vom 19. August 2014 ab. C.e. Mit Verfügung vom 27. August 2014 setzte der bundesgerichtliche Instruktionsrichter das vorliegende Beschwerdeverfahren fort. C.f. Die gegen den kantonalen Revisionsentscheid vom 19. August 2014 ab geführte Beschwerde wies das Bundesgericht mit heutigem Urteil 8C_695/2014 ab.