Sachverhalt: A. Mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 2008 wurde X._ des gewerbsmässigen Betrugs schuldig erklärt und zu einer Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren verurteilt. Die vom Verurteilten erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil vom 17. März 2009 ab (6B_807/2008). B. Am 24. September 2009 reichte X._ dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt einen ärztlichen Bericht ein und beantragte, der Strafvollzug sei einzustellen. Mit Urteil vom 4. Januar 2010 entschied das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren werde nicht eingestellt. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 sei aufzuheben, und es sei die Aussetzung des Vollzugs gemäss Art. 92 StGB anzuordnen. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt reicht eine Stellungnahme zur Beschwerde ein, ohne ausdrücklich Anträge zu stellen.