Sachverhalt: A. A.a. Die 1951 geborene Z._ war Produktionsmitarbeiterin bei der Firma Q._ AG und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 11. März 2008 kollidierte ein Personenwagen seitlich frontal mit dem von ihr gelenkten Auto. Die Versicherte wurde ins Spital X._ transportiert, wo sie am 14. März 2008 operiert wurde (offene Reposition und Plattenosteosynthese Metatarsale [MT] II-Basis und geschlossene Reposition sowie Spickdraht-Fixierung MT III links). Im Austrittsbericht vom 31. März 2008 wurden folgende Diagnosen gestellt: Sternumfraktur; Claviculafraktur links; MT II Basisfraktur links mit Verdacht auf Lisfranc Luxation, MT III subkapitale Fraktur links; MT II/III/IV subkapitale Frakturen rechts; Lungenkontusionen bds.; depressive Verstimmung. Die SUVA erbrachte Versicherungsleistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld. Im Spital X._ erfolgte am 17. Juli 2008 die Metallentfernung am linken Fuss und am 20. Februar 2009 eine Plattenosteosynthese an der Clavicula links. Mit Verfügung vom 6. April 2010 stellte die SUVA die Heilbehandlung und das Taggeld per 31. März 2010 ein und sprach der Versicherten aufgrund der Fussverletzung links eine Integritätsentschädigung bei einer 5%igen Integritätseinbusse zu. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Juni 2010 fest. Am 12. Juli 2010 wurde im Spital X._ die Osteosynthesematerialentfernung an der Clavicula links durchgeführt. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid der SUVA auf und wies die Sache zu ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen und anschliessend neuer Verfügung an diese zurück (Entscheid vom 7. März 2011). A.b. Die SUVA holte weitere Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. W._ vom 30. März 2012 ein. Dieser diagnostizierte eine posttraumatische Belastungsstörung (ICD-10 F43.1); eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelschwere Episode (ICD-10 F33.10); akzentuierte neurotisch-narzisstische Persönlichkeitszüge (ICD-10 Z73.1). Mit Verfügung vom 14. Mai 2012 und Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 hielt die SUVA an der Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld per 31. März 2010 fest. Weiter verneinte sie die adäquate Unfallkausalität der psychischen Beschwerden. Somatischerseits bestehe eine rentenausschliessende Erwerbseinbusse von lediglich 6 %. B. In Gutheissung der hiegegen geführten Beschwerde hob die Vorinstanz den Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf weitere Versicherungsleistungen, insbesondere auf eine Invalidenrente, neu verfüge (Entscheid vom 25. April 2013). C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheides. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.