Sachverhalt: A. A.a Der 1966 geborene D._ war als Bauarbeiter in der Bauunternehmung A._ beschäftigt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 14. Juli 1998 rutschte er beim Zuspitzen von Pfählen mit der Fräse aus. Er zog sich Verletzungen an Daumen und Zeigefinger der rechten Hand zu (drittgradig offene Endglieddefektfraktur des rechten Daumens, zweitgradig offene Defektfraktur des Processus unguicularis am rechten Zeigefinger), welche gleichentags im Spital W._ operativ behandelt wurden. In der Folge entwickelte sich ein Complex Regional Pain Syndrome (CRPS). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 10. Februar 2000 und Einspracheentscheid vom 28. Juli 2000 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden körperlichen Folgen des Unfalls mit Wirkung ab 1. März 2000 eine Invalidenrente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 20 % zu. Einen Leistungsanspruch aufgrund psychischer Unfallfolgen verneinte der Versicherer. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil U 194/03 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts) vom 14. Juni 2004 bestätigt. A.b Am 5. Juli 2004 stellte D._ ein Gesuch um revisionsweise Erhöhung der Invalidenrente. Er begründete dies mit einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes. Die SUVA holte ein handchirurgisches Gutachten der Klinik und Poliklinik für Handchirurgie und Chirurgie der peripheren Nerven, Spital X._, vom 8. Dezember 2006 ein. Mit Verfügung vom 13. August 2007 lehnte sie die beantragte Rentenerhöhung ab, da eine gesundheitliche Verschlechterung, für welche sie einzustehen habe, nicht nachgewiesen sei. Der Versicherte erhob hiegegen Einsprache. Sodann sahen sich die Gutachter des Spitals X._ aufgrund der Verfügung der SUVA veranlasst, am 10. Oktober 2007 nochmals Stellung zu nehmen. Mit Einspracheentscheid vom 3. Januar 2008 hielt die SUVA an der Verfügung vom 13. August 2007 fest. B. D._ reichte Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern führte einen zweifachen Schriftenwechsel durch, in welchem die SUVA zwei ärztliche Beurteilungen ihres Versicherungsmediziners Dr. med. E._, Facharzt FMH für Chirurgie, vom 17. März und 17. Juni 2008 auflegte. Mit Entscheid vom 29. April 2009 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die Versicherungsleistungen angemessen zu erhöhen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit und die Vorinstanz verzichten auf eine Vernehmlassung.