Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 15. Oktober 2008 verpflichtete das italienische Tribunale di Brescia die Y._ AG mit Sitz in Rotkreuz (Beschwerdegegnerin) dazu, der in Italien domizilierten X._. SRL (Beschwerdeführerin) den Betrag von EUR 959'435.36 nebst Zinsen zu bezahlen. Die Beschwerdegegnerin focht dieses Urteil bei der Corte d'Appello di Brescia an. Gleichzeitig stellte sie ein Gesuch um Aufschiebung der Vollstreckbarkeit des angefochtenen Urteils. Die Corte d'Appello hiess mit Verfügung vom 4. März 2009 das Gesuch um Aufschiebung der Vollstreckbarkeit teilweise gut und verfügte, dass die Vollstreckbarkeit des Urteils des Tribunale di Brescia unter die Bedingung gestellt wird, dass die Beschwerdeführerin innerhalb von 45 Tagen eine von einem erstrangigen Kredit- oder Versicherungsinstitut ausgestellte, unbedingte Bürgschaft in der Höhe von EUR 1'300'000.-- vorlegt. Am 25. Mai 2009 reichte die Beschwerdeführerin der Kanzlei der Corte d'Appello eine von der Banca Valsabbina ausgestellte Bankbürgschaft ein. Der zuständige Kanzleibeamte bescheinigte dies mittels einer "nota di deposito" (recte: "verbale di deposito"; Hinterlegungsniederschrift). B. B.a Mit Eingabe vom 2. Dezember 2009 reichte die Beschwerdeführerin beim Einzelrichter des Kantonsgerichts Zug ein Gesuch um Vollstreckbarerklärung des Urteils des Tribunale di Brescia gemäss den Art. 31 ff. LugÜ ein. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2009 entsprach der Einzelrichter dem Gesuch und erklärte das Urteil für vollstreckbar. B.b Gegen diese Verfügung erhob die Beschwerdegegnerin am 8. Januar 2010 Beschwerde bei der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug. Diese hiess die Beschwerde mit Urteil vom 18. März 2010 gut und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um Vollstreckbarerklärung ab. Das Obergericht des Kantons Zug kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin die Urkunden nicht vorlegen konnte, aus denen sich ergibt, dass das Urteil des Tribunale di Brescia gemäss italienischem Recht (vorläufig) vollstreckbar ist. Nach den einschlägigen Bestimmungen der italienischen Zivilprozessordnung (CPC/I) hätte die Beschwerdeführerin einen Beleg vorweisen müssen, aus welchem sich ergibt, dass die Corte d'Appello bzw. deren Kanzleibeamter die von der Banca Valsabbina ausgestellte Bankbürgschaft als hinreichende Sicherheit im Sinne der Verfügung vom 4. März 2009 qualifiziert hat. Die dem Obergericht vorgelegte "nota di deposito" stelle keine solche Bestätigung dar. Aus diesem Grund könne nicht geschlossen werden, dass die Bedingung eingetreten sei, unter welche die Corte d'Appello die Vollstreckbarkeit des Urteils des Tribunale di Brescia gestellt habe. Der Nachweis der Vollstreckbarkeit im Sinne der Art. 31 i.V.m. Art. 47 Ziff. 1 LugÜ sei damit nicht erbracht. Schliesslich hielt das Obergericht fest, es könne selber nicht nachprüfen, ob die von der Beschwerdeführerin vorgelegte Bürgschaft den Anforderungen gemäss der Verfügung vom 4. März 2009 genüge. Dafür seien die italienischen Gerichte zuständig. Im Sinne einer Eventualbegründung fügte das Obergericht dennoch hinzu, dass die Banca Valsabbina jedenfalls kein erstrangiges Kredit- oder Versicherungsinstitut sei, weshalb die von dieser Bank ausgestellte Bürgschaft ohnehin keine ausreichende Sicherheitsleistung darstelle. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. April 2010 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug aufzuheben und das Urteil des italienischen Tribunale di Brescia vom 15. Oktober 2008 zu anerkennen und für vollstreckbar zu erklären. Die Beschwerdegegnerin beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann.