Sachverhalt: A. Die 1969 geborene W._ arbeitete zuletzt seit Dezember 2003 bis Ende Dezember 2004 als Verkäuferin bei der Firma X._. Am 28. Mai 2008 meldete sie sich wegen Depressionen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. A._ vom 3. November 2008 bei. Mit Verfügung vom 13. Februar 2009 verneinte sie einen Rentenanspruch. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 8. Juni 2010 ab. C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei sie gründlich polydisziplinär medizinisch abzuklären; es seien ihr die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. Es sei ihr Gelegenheit zu einer Replik einzuräumen und, falls ihren Vorbringen nicht gefolgt werde, eine mündliche Verhandlung anzuordnen. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Versicherte reicht unaufgefordert am 5. Oktober 2010 eine Replik und am 7. Oktober 2010 eine Berichtigung derselben ein.