Sachverhalt: A. Die A._ GmbH (Beschwerdeführerin) bezweckt den Betrieb eines Architekturbüros. Sie hat sich mit der C._ AG Bauunternehmung und der D._ AG Immobilien in einer einfachen Gesellschaft zum "Baukonsortium E._" für die Erstellung von fünfzehn Terrassenhäusern zusammengeschlossen. Unter den Gesellschaftern bestehen seit längerem Meinungsverschiedenheiten. Die einfache Gesellschaft befindet sich im Liquidationsstadium. Das Handelsgericht des Kantons Aargau setzte mit Entscheid vom 6. Juni 2007 die B._ AG (Beschwerdegegnerin) als Liquidatorin der einfachen Gesellschaft "Baukonsortium E._" ein. B. Die Beschwerdeführerin beantragte dem Handelsgericht des Kantons Aargau mit Klage vom 29. Mai 2008, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, Fr. 145'868.60 auf das Konto der Baugesellschaft "Baukonsortium E._" nebst Zins zu bezahlen. Die Beschwerdegegnerin sei zudem zu verpflichten, der Baugesellschaft "Baukonsortium E._" einen durch richterliches Ermessen festzusetzenden Betrag von höchstens Fr. 101'489.70 nebst Zins zu bezahlen. Weiter stellte sie den Antrag, der C._ AG Bauunternehmung sowie der D._ AG Immobilien den Streit zu verkünden und sie aufzufordern, die Beschwerdeführerin in der vorliegenden Streitsache zu unterstützen. Zur Begründung führte die Beschwerdeführerin aus, die Beschwerdegegnerin sei ihren Aufgaben als Liquidatorin nicht gewachsen und nicht nachgekommen. Sie habe zahlreiche Fehler begangen, die sich für die einfache Gesellschaft "Baukonsortium E._" nachteilig auswirken und zu einer Verzögerung der Liquidation führen würden. So habe die Beschwerdegegnerin verschiedene Fehlzahlungen ab dem Konto der einfachen Gesellschaft vorgenommen und damit ihre vertraglichen Pflichten verletzt. Zudem habe sie als Liquidatorin Honorare bezogen, obwohl bei den Liquidationsbemühungen keine massgeblichen Fortschritte bemerkbar gewesen seien. Der Instruktionsrichter des Handelsgerichts setzte den Streitberufenen mit Verfügung vom 11. Juni 2008 Frist an, um zu erklären, ob sie im vorliegenden Prozess die Beschwerdeführerin unterstützen und dem Prozess als Streithelferinnen beitreten wollen. Die Streitberufenen liessen sich nicht vernehmen. Die Beschwerdegegnerin stellte am 22. Oktober 2008 ein Gesuch um Beschränkung des Prozessthemas auf die Legitimationsfrage. Die Klagen seien mangels Aktiv- und Passivlegitimation abzuweisen. Mit Verfügung vom 19. November 2008 beschränkte der Instruktionsrichter das Verfahren auf die Frage der Aktiv- und Passivlegitimation. An der Hauptverhandlung vom 25. Februar 2010 beantragte die Beschwerdeführerin, den Antrag der Beschwerdegegnerin auf Abweisung der Klage wegen angeblich fehlender Aktiv- und Passivlegitimation abzuweisen und das Hauptverfahren fortzusetzen. Das Handelsgericht, 1. Kammer, kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin nicht aktivlegitimiert und die Beschwerdegegnerin nicht passivlegitimiert sei. Demzufolge wies es die Klage mit Urteil vom 25. Februar 2010 ab (Dispositivziffer 1). Es auferlegte der Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 11'780.-- (Dispositivziffer 2) und verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten in der richterlich festgesetzten Höhe von Fr. 22'150.-- zu ersetzen (Dispositivziffer 3). C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 25. Februar 2010 aufzuheben und ihre Aktivlegitimation sowie die Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin festzustellen. Die Sache sei zur Durchführung des Hauptverfahrens und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Urteil in Bezug auf Ziff. 3 des Dispositivs aufzuheben und der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Handelsgericht eine Prozessentschädigung von nicht mehr als Fr. 13'196.10 zuzusprechen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Präsidialverfügung vom 9. Juni 2010 wurde der Beschwerde auf entsprechendes Gesuch der Beschwerdeführerin hin die aufschiebende Wirkung erteilt.