Sachverhalt: A. Am 16. September 2011 wurde im Amtsblatt des Kantons Thurgau auf der Grundlage des vom Initiativkomitee vorgelegten Unterschriftenbogens der Text der kantonalen Volksinitiative "Gegen frauenfeindliche, rassistische und mörderische Lehrbücher" publiziert. Der Text lautet wie folgt: "Das Gesetz über die Volksschule: I. Allgemeine Bestimmungen, § 3: Der Kanton legt unter Anhörung der Schulgemeinden für die Volksschule Qualitätsanforderungen fest, überprüft deren Erfüllung und kann zur Behebung von Mängeln Weisungen erteilen. ist wie folgt zu ergänzen : Lehrbücher, auch im religiösen Bereiche, dürfen weder frauenfeindlich, rassistisch, noch mörderisch sein." Auf der Vorderseite des Unterschriftenbogens findet sich zwischen dem Initiativtext mit Antrag und der Unterschriftenrubrik ein als "Begründung" bezeichneter Abschnitt mit folgendem Wortlaut : "Diese Initiative will verhindern, dass Koran, Hadith's oder Teilauszüge davon den Kindern gelehrt werden, da sie unserer Verfassung grundsätzlich widersprechen (z.B. Herabsetzung/Diskriminierung der Frau) ! Sie widersprechen der UNO-Charta (Töten vor allem von Juden/Christen) und den Menschenrechten (Mord an Konvertiten). Rassistisch teilt der Koran die Menschheit in "Gläubige" u. unwürdige, unreine "Ungläubige". In 114 Suren wird den Gläubigen 67 mal der verbindliche Auftrag erteilt, mit der Waffe gegen Nicht-Muslime zu kämpfen! ("quital" = kämpfen um zu töten) Die Realitäten und UNO-Zahlen beweisen die weltweite Blutspur des Islam. Erdogan ruft: "Es gibt keinen moderaten oder nicht-moderaten Islam". Imam Abu Talal sagt (Minority Report) : "Der Terrorismus gegen die Feinde Allah's ist für uns eine Pflicht. Unser Islam ist eine Religion der Gewalt ..." Die Rückseite des Unterschriftenbogens ist mit weiteren ausführlichen Erläuterungen mit ähnlichem Inhalt versehen. Die Initiative kam mit 4466 gültigen Unterschriften zustande. B. B.a. Mit Bericht vom 14. August 2012 beantragte der Regierungsrat des Kantons Thurgau dem Grossen Rat des Kantons Thurgau, die Initiative für ungültig zu erklären. B.b. Am 19. Dezember 2012 erklärte der Grosse Rat des Kantons Thurgau die Volksinitiative gemäss einem entsprechenden Antrag des Regierungsrates des Kantons Thurgau mit 75 gegen 40 Stimmen für ungültig. C. Mit gegen den Beschluss des Grossen Rates gerichteter Beschwerde an das Bundesgericht stellen das Initiativ-Komitee, Willy Schmidhauser und Werner Bätscher die folgenden Anträge: " 1. Der angefochtene Beschluss sei aufzuheben. 2. Die Volksinitiative sei für gültig zu erklären. 3. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung gemäss den bundesgerichtlichen Erwägungen an den Kantonsrat des Kantons Thurgau zurückzuweisen. 4. Der Kantonsrat des Kantons Thurgau sei anzuweisen, die Beratung über die Gutheissung oder Ablehnung der Initiative aufzunehmen. ..." D. Der Grosse Rat sowie der Regierungsrat des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. E. Das Initiativkomitee, Willy Schmidhauser und Werner Bätscher haben dem Bundesgericht weitere Eingaben eingereicht. F. Am 28. August 2013 hat das Bundesgericht in öffentlicher Sitzung über die Beschwerde beraten.