Sachverhalt: A. Der 1942 geborene M._ war seit 1. Januar 1990 bei der Luzerner Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Im Sommer 1999 teilte er der Vorsorgeeinrichtung mit, er setze seine Lebenspartnerin, Frau S._, im Falle einer Auszahlung von Todeskapital zu 100 % als Begünstigte ein. Infolge Teilpensionierung auf Ende September 2004 bezog M._ ab 1. Oktober 2004 eine 24 % Altersrente sowie eine AHV-Ersatzrente. Am 26. Dezember 2004 verstarb M._. Das Gesuch von S._ um Auszahlung des Todesfallkapitals lehnte die Luzerner Pensionskasse unter Hinweis auf den Bezug von Versicherungsleistungen in Form einer Teil-Altersrente seit 1. Oktober 2004 ab. B. Am 8. Juni 2006 liess S._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Klage gegen die Luzerner Pensionskasse einreichen mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, in Folge Todesfall von Herrn M._ ihr ein Todesfallkapital in der reglementarischen Höhe auszuzahlen, nebst Zins zu 5 % ab 26. Dezember 2004. Die Luzerner Pensionskasse beantragte in ihrer Antwort die Abweisung der Klage. In Replik und Duplik hielten die Parteien an ihren Standpunkten fest. Mit Entscheid vom 31. August 2007 wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern die Klage ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Gutheissung der Klage beantragen. Die Luzerner Pensionskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.