(Strafverfahren), hat sich ergeben: A.- Die Staatsanwaltschaft des Kantons Graubünden erhob am 10. Januar 2001 gegen L._ Anklage wegen mehrfachem vollendetem Erpressungsversuch, vorsätzlichem Fahren in angetrunkenem Zustand, Führen eines nicht betriebssicheren Fahrzeugs sowie Widerhandlung gegen das Waffengesetz. Laut Anklageschrift wurde L._ beschuldigt, er habe am 16. August 1999 von C._ und tags darauf von P._ jeweils die Bezahlung von Fr. 7'000.-- gefordert, andernfalls er deren Söhne O._ bzw. G._ umbringen werde. Diese jungen Erwachsenen hatten in der Nacht vom 15./16. August 1999 an einer Strolchenfahrt im Personenwagen von L._ teilgenommen. Lenker des Wagens war der zu jenem Zeitpunkt noch minderjährige Sohn des Angeschuldigten, S._; die Fahrt endete mit einem Selbstunfall und Totalschaden des Personenwagens. Weiter warf die Staatsanwaltschaft L._ vor, er habe am 23. September 1999 beim Kommando der Kantonspolizei Graubünden in Chur vorgesprochen und dabei ein Motorrad mit sich geführt, dessen hinterer Reifen in der Mitte kein Profil mehr aufgewiesen habe. Bei jener Gelegenheit sei aufgrund des beim Angeschuldigten festgestellten Alkoholmundgeruchs ein Atemlufttest durchgeführt und anschliessend eine Blutentnahme angeordnet worden, welche für die rechtlich relevante Zeitspanne einen Blutalkoholgehalt von mindestens 1,84 Gewichtspromille ergeben habe. Bei einer untersuchungsrichterlichen Befragung vom 24. September 1999 sei schliesslich bei L._ ein automatisches Springmesser sichergestellt worden. Mit Ausnahme des Führens eines nicht betriebssicheren Fahrzeugs bestritt L._ sämtliche Vorwürfe. Dennoch sprach ihn das Bezirksgericht Imboden am 21. Februar 2001 im Sinne der Anklage schuldig und verurteilte ihn zu einer Gefängnisstrafe von sieben Monaten, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von vier Jahren, sowie einer Busse von Fr. 1'000.--. B.- Am 23. April 2001 reichte L._ gegen das Urteil des Bezirksgerichts Berufung ein. Er beantragte in der Hauptsache die Aufhebung des Urteils, soweit die von ihm bestrittenen Anklagepunkte betreffend, die Aufhebung der Gefängnisstrafe sowie die Herabsetzung der Busse. Der Kantonsgerichtsausschuss von Graubünden (im Folgenden kurz: Kantonsgericht) wies die Berufung mit Urteil vom 6. Juni 2001 ab. C.- L._ hat am 5. September 2001 eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts "und damit auch Ziffer 1 des Urteiles des Bezirksgerichts Imboden" vom 21. Februar 2001 seien aufzuheben und er sei vom Vorwurf des mehrfachen vollendeten Erpressungsversuchs und des vorsätzlichen Fahrens in angetrunkenem Zustand freizusprechen. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde rügt L._ einen Verstoss gegen Art. 9, 29 und 32 BV sowie Art. 6 EMRK. Das Kantonsgericht habe den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, den Sachverhalt unrichtig festgestellt, die Beweise willkürlich gewürdigt und den Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt. D.- Während die Staatsanwaltschaft Graubünden auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt das Kantonsgericht die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.