Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt ein Strafverfahren gegen Christoph Blocher wegen des Verdachts der Gehilfenschaft und der versuchten Verleitung zur Verletzung des Bankgeheimnisses. Sie wirft ihm vor, er habe einen Angestellten einer Privatbank, der im Besitz vertraulicher Informationen über Bankgeschäfte des damaligen Präsidenten der Schweizerischen Nationalbank gewesen sei, am 3. Dezember 2011 bei sich zu Hause empfangen. Dabei habe der Bankangestellte die Informationen offen gelegt. Christoph Blocher habe dem Bankangestellten Unterstützung in Aussicht gestellt, falls dieser deswegen seine Stelle bei der Privatbank verliere. Christoph Blocher habe in der Folge darauf hingewirkt, den Bankangestellten einem Journalisten zuzuführen, der im Zusammenhang mit den Bankgeschäften des Präsidenten der Nationalbank am Recherchieren gewesen sei. B. Mit "Grundverfügung" vom 27. April 2012 ordnete die Staatsanwaltschaft die rückwirkende Überwachung des Telefons (Erhebung der Randdaten) von Christoph Blocher an. Dabei verwies sie auf das "Formular 3-1". In diesem Formular, welches das gleiche Datum trägt wie die Grundverfügung, bezeichnete die Staatsanwaltschaft insbesondere die zu überwachenden beiden Rufnummern (eine Mobiltelefon-Rufnummer und eine Festnetz-Rufnummer) sowie die Anbieterin der Fernmeldedienste (X.). Die Staatsanwaltschaft befristete die Überwachung vom 4. November 2011 bis zum 13. Januar 2012. Ebenfalls am 27. April 2012 erteilte die Staatsanwaltschaft der Kantonspolizei Weisungen zur Auswertung der Überwachung. Gleichentags ersuchte die Staatsanwaltschaft das Zwangsmassnahmengericht am Obergericht des Kantons Zürich (im Folgenden: Zwangsmassnahmengericht) um Genehmigung der rückwirkenden Überwachung. Mit Verfügung vom 30. April 2012 genehmigte das Zwangsmassnahmengericht die von der Staatsanwaltschaft am 27. April 2012 angeordneten Massnahmen. Am 25. Mai 2012 teilte der dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement zugewiesene Dienst für die Überwachung des Post- und Fernmeldeverkehrs (im Folgenden: Dienst) der Staatsanwaltschaft mit, bei Festnetznummern des Anbieters X. könne es vorkommen, dass ausgehende Verbindungen über einen anderen Anbieter abgewickelt würden. Eine vollständige Datensicherung könne nur vorgenommen werden, wenn man auch allfällige beim anderen Anbieter gespeicherte Daten erhebe. Um dies zu gewährleisten, müsse die Staatsanwaltschaft eine weitere Verfügung (Formular 3-1) erlassen, welche lediglich die Festnetznummer, aber keine Angaben über den Anbieter enthalte. Dem kam die Staatsanwaltschaft gleichentags nach. Mit "Nachtrag zur Anordnung einer Überwachung des Post- und Fernmeldeverkehrs" (Formular 3-1) ordnete sie die rückwirkende Erhebung der Randdaten betreffend die bereits im Formular 3-1 vom 27. April 2012 enthaltene Festnetz-Rufnummer an. Die Rubrik "Anbieterin" liess sie dabei leer. Ebenfalls noch am 25. Mai 2012 brachte die Staatsanwaltschaft den Nachtrag dem Zwangsmassnahmengericht zur Kenntnis. Dabei hielt sie fest, bei einem Telefongespräch mit dem zuständigen Richter am Zwangsmassnahmengericht sei sich die Staatsanwaltschaft mit diesem einig gewesen, dass der Nachtrag von der Genehmigung des Zwangsmassnahmengerichts vom 30. April 2012 vollumfänglich abgedeckt sei, weshalb sich ein erneutes Genehmigungsverfahren erübrige. C. Am 14. August 2013 gab die Staatsanwaltschaft Christoph Blocher die rückwirkende Telefonüberwachung bekannt. Am 30. August 2013 erhob dieser gegen die Überwachung Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 1. November 2013 wies das Obergericht (III. Strafkammer) die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. D. Christoph Blocher führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Obergerichts vom 1. November 2013 sei aufzuheben. Die Anordnungen (Verfügungen) der Staatsanwaltschaft zur Überwachung und Auswertung des Post- und Fernmeldeverkehrs vom 27. April 2012 sowie der Nachtrag vom 25. Mai 2012 seien aufzuheben. Die Daten, Informationen und Akten, welche gestützt auf diese Anordnungen erhoben und ausgewertet worden seien, seien aus den Akten des Strafverfahrens zu entfernen und zu vernichten. E. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde. F. Mit Verfügung vom 20. Januar 2014 hat der bundesgerichtliche Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.