Sachverhalt: A. Die Swiss Pilots Association (Beschwerdegegnerin) und die Swiss International Air Lines AG (Beschwerdeführerin) stehen sich in einem schiedsgerichtlichen Verfahren gegenüber. Das Schiedsgericht, bestehend aus drei Schiedsrichtern, hat in gleicher Besetzung am 15. Juli 2002 und am 17. Juni 2003 Urteile erlassen. Am 29. April 2005 reichte die Beschwerdegegnerin eine neue Klage ein. Die Parteien hatten vereinbart, dass dafür das Schiedsgericht in gleicher Besetzung zuständig sein sollte. Da aber der von der Beschwerdeführerin nominierte Schiedsrichter zurückgetreten war, hatte sie einen neuen Schiedsrichter zu benennen. Der von ihr ernannte Prof. X._ wird von der Beschwerdegegnerin als befangen abgelehnt. A.a Die Beschwerdegegnerin begründete ihr Ausstandsbegehren vom 11. Juni 2005 schriftlich damit, dass ihr Anwalt den von der Gegenpartei nunmehr ernannten Schiedsrichter im Sommer 2002 nach Eröffnung des ersten Schiedsurteils telefonisch um Rat in Bezug auf einige Punkte in der Auseinandersetzung mit der Beschwerdeführerin gefragt habe. Der Schiedsrichter habe in der Folge um Zustellung von Rechtsschriften und der beiden zur Diskussion stehenden Gesamtarbeitsverträge (GAV) ersucht und die gewünschten Unterlagen auch erhalten. Er habe sich zu einzelnen Punkten am Telefon geäussert, danach aber trotz Nachfragen nichts mehr von sich hören lassen. Er habe darauf aber eine äusserst kritische Besprechung des ersten Schiedsurteils publiziert. Dass er quasi ins gegnerische Lager gewechselt habe, sei auch daraus ersichtlich, dass er Kontakt mit einem früheren Assistenten, der in der Zwischenzeit bei der Beschwerdeführerin tätig geworden sei, gepflegt habe. Er gebe auch zusammen mit dem Konsulenten des Anwaltsbüros, dem der Vertreter der Beschwerdeführerin angehöre, ein Periodikum heraus. A.b Die Beschwerdeführerin liess sich am 15. August 2005 zum Ausstandsbegehren der Beschwerdegegnerin ebenfalls schriftlich vernehmen. Sie widersetzte sich dem Begehren unter anderem, indem sie sich auf eine Stellungnahme des von ihr vorgeschlagenen Schiedsrichters berief mit der Begründung, der damalige Kontakt zwischen dem Anwalt der Beschwerdegegnerin und dem Schiedsrichter sei aus dessen Sicht rein wissenschaftlicher Natur und keine Rechtsberatung gewesen; mit seinem früheren Assistenten, der im übrigen bereits nicht mehr für die Beklagte tätig sei, habe er einen einmaligen Kontakt gehabt, der mit der Auseinandersetzung zwischen den Parteien nichts zu tun gehabt habe, und die publizistische Zusammenarbeit mit dem nebenbei auch als Rechtskonsulent tätigen wissenschaftlichen Kollegen sei wissenschaftlicher Natur und begründe keine Verbindung zum Anwaltsbüro, in dem dieser Konsulent sei. A.c Der Einzelrichter am Zivilgericht Basel-Stadt entschied am 30. August 2005, die Ernennung von Prof. X._ als Schiedsrichter im zwischen den Parteien hängigen Schiedsverfahren werde in Gutheissung des Begehrens aufgehoben. Der Einzelrichter gelangte zwar zum Schluss, die behaupteten Verbindungen zu einem früheren Assistenten entbehrten der Grundlage und auch die wissenschaftliche Zusammenarbeit bei der Herausgabe eines Periodikums mit einem Kollegen, der als Rechtskonsulent in der Anwaltsfirma des Vertreters der Beschwerdeführerin tätig sei, vermöge keine Befangenheit zu begründen. Der Einzelrichter liess sodann offen, ob der Schiedsrichter mit dem Ersuchen um Unterlagen gegenüber der Beschwerdegegnerin schon den Anschein erweckte, es bestehe das Vertrauensverhältnis einer Rechtsberatung. Als entscheidend erachtete er, dass die neue Klage nur formell ein neues Verfahren einleite, während es materiell eher um einen dritten Verfahrensschritt gehe. Da der nachmalige Schiedsrichter in einer Fachpublikation das erste Schiedsgerichtsurteil kommentiert hatte, betrachtete er ihn als befangen. B. Mit Urteil vom 28. Dezember 2005 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde gegen den Entscheid des Zivilgerichtspräsidenten vom 30. August 2005 ab. Das Appellationsgericht zitierte das Fazit, das der designierte Schiedsrichter in seiner Kommentierung des Urteils des Schiedsgerichts vom 15. Juli 2002 gezogen hatte und schloss, darin habe er dieses Urteil zwar mit wissenschaftlicher Korrektheit und professoraler Diplomatie, aber unmissverständlich als grob falsch bezeichnet. Wenn daher der Einzelrichter am Zivilgericht geschlossen habe, der designierte Schiedsrichter habe eindeutig und verbindlich Stellung bezogen, so sei dies nicht als willkürlich anzusehen. Da die Vereinbarung der Parteien vom 15. Juli 2003, deren Verletzung die Beschwerdegegnerin im neuen (dritten) Schiedsverfahren behaupte, der Beilegung der Differenzen der Parteien über die Schiedsgerichtsurteile vom 15. Juli 2002 und vom 17. Juni 2003 gedient habe, gelangte das Appellationsgericht zum Schluss, es seien wie in den beiden früheren Schiedsgerichtsurteilen die Wirkungen zweier Gesamtarbeitsverträge und der Anspruch auf Verhandlungen über einen einheitlichen GAV umstritten. Das werde noch bestätigt durch die Tatsache, dass sich die Parteien in der Vereinbarung vom 15. Juli 2003 für allfällige weitere Streitigkeiten auf das gleiche Schiedsgericht geeinigt hätten, welches die beiden früheren Urteile erlassen hatte. Da daraus ohne Willkür geschlossen werden könne, dass sich der designierte Schiedsrichter mindestens zu einzelnen Fragen, die auch im neuen Schiedsverfahren eine Rolle spielen, eindeutig und verbindlich festgelegt habe, könne dieser ohne Willkür aufgrund dieser Kommentierung als befangen befunden werden. Dazu kommt nach den Erwägungen des Appellationsgerichts, dass sich der designierte Schiedsrichter gegenüber der Beschwerdegegnerin (bzw. deren Anwalt) ambivalent verhalten und diese im Glauben gelassen habe, sie könne von ihm Beratung erwarten. Daraus folgt nach den Erwägungen des Appellationsgerichts die Gefahr der Befangenheit. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 26. September 2006 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 28. Dezember 2005 und das Urteil des Einzelrichters des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 30. August 2005 seien aufzuheben und es sei das Ausstands- bzw. Ablehnungsbegehren einschliesslich des Antrags, die Ernennung von Prof. X._ sei aufzuheben, abzuweisen (Ziffer 1). Eventualiter seien die angefochtenen Urteile aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an den Einzelrichter in Zivilsachen des Zivilgerichts Basel-Stadt, eventualiter an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, zurückzuweisen (Ziffer 2). Ausserdem stellt sie die Verfahrensanträge, das Verfahren sei mit der staatsrechtlichen Beschwerde vom 3. Oktober 2005 zu vereinigen und der vorliegenden Beschwerde sei superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Sie rügt die Verletzung von Art. 18 Abs. 1 des Konkordats über die Schiedsgerichtsbarkeit vom 27. August 1969 (im Folgenden: KSG) in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 lit. b sowie Art. 23 lit. c OG. D. Die Beschwerdegegnerin stellt in der Vernehmlassung die Anträge, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen, und soweit sie das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 30. August 2005 betreffe, sei kostenfällig darauf nicht einzutreten (Ziffer 1). Das Gesuch um Vereinigung mit der staatsrechtlichen Beschwerde vom 3. Oktober 2005 sei kostenfällig abzuweisen (Ziffer 2) und das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen (Ziffer 3). E. Mit Präsidialverfügung vom 18. Oktober 2006 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt. F. Mit Urteil vom heutigen Tag wurde auf die staatsrechtliche Beschwerde gegen den Entscheid des Zivilgerichtspräsidenten vom 30. August 2005 nicht eingetreten. Das Gesuch um Vereinigung der Verfahren wird damit gegenstandslos.