Sachverhalt: A. X._ (geb. 1969) stammt aus Nigeria. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt hat ihm am 30. Januar 2013 Frist bis zum 30. April 2013 gesetzt, um das Land zu verlassen, worauf er ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau und die beiden Kinder gestellt hat, die er nach Abschluss der negativen Bewilligungsverfahren am 31. Dezember 2012 in die Schweiz hatte nachkommen lassen. Am 2. März 2013 ersuchte er um Wiedererwägung der Wegweisung, worauf das Migrationsamt am 5. April 2013 nicht eintrat. Am 4. Juni 2013 wurde X._ in Ausschaffungshaft genommen, welche der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 7. Juni 2013 prüfte und bis zum 4. September 2013 bestätigte. Das Bundesgericht trat auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde am 18. Juli nicht ein (Urteil 2C_620/2013). Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen genehmigte in der Folge (30. August 2013) eine Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 4. Dezember 2013. B. Mit Eingabe vom 18. September 2013 beantragt X._ vor Bundesgericht, den Verlängerungsentscheid aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihn aus der Ausschaffungshaft sofort freizulassen. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 19. September 2013 wies der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Das Migrationsamt, der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. X._ hat am 4. Oktober 2013 an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.