Sachverhalt: A. A.X._ bewirtschaftet den Landwirtschaftsbetrieb B._ in C._. Er wohnt dort zusammen mit seiner Ehefrau D.X._, den gemeinsamen Kindern E._, geboren am 1. November 2000, und F._, geboren am 24. Dezember 2002, sowie dem Stiefsohn G._, geboren am 14. November 1994. Vom 21. Januar 2002 bis zum 2. Mai 2005 wohnte dort auch seine Stieftochter Y._, geboren am 11. Februar 1990. A.X._ wurde vorgeworfen, Y._ sexuell missbraucht, körperlich und verbal angegangen sowie zu übermässigen Arbeitsleistungen gezwungen zu haben. B. Mit Urteil vom 20. Juni 2007 sprach das Bezirksgericht C._ A.X._ wegen wiederholter Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflicht im Sinne von Art. 219 StGB schuldig (Dispositiv-Ziffer 2). Von den Vorwürfen der mehrfachen Vergewaltigung im Sinne von Art. 190 StGB, der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind im Sinne von Art. 187 Ziff. 1 StGB, der mehrfachen Nötigung im Sinne von Art. 181 StGB, der mehrfachen Drohung im Sinne von Art. 180 StGB, der mehrfachen Tätlichkeit im Sinne von Art. 126 StGB sowie der einfachen Körperverletzung im Sinne von Art. 123 StGB sprach es ihn hingegen frei (Dispositiv-Ziffer 1). Es verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 150 Tagessätzen zu je Fr. 50.--, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 15 Tagen im Umfang von 15 Tagessätzen, und zu einer Busse von Fr. 500.-- (mit 5 Tagen Ersatzfreiheitsstrafe für den Fall des schuldhaften Nichtbezahlens der Busse). Der Vollzug der Geldstrafe wurde aufgeschoben bei einer Probezeit von fünf Jahren (Dispositiv-Ziffer 3). Zusätzlich wurde A.X._ zur Bezahlung von Schadenersatz und zu einer Genugtuungsleistung an die Geschädigte verpflichtet (Dispositiv-Ziffern 6 und 7). C. Die von A.X._ dagegen erhobene Berufung wies das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden am 16. September 2008 in Bestätigung des Urteils des Bezirksgerichts C._ ab, soweit dieses nicht in Rechtskraft erwachsen war (Dispositiv-Ziffern 1, 3 und 5). Auf die Anschlussberufung der Geschädigten trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 4). Es auferlegte A.X._ die Kosten des Berufungsverfahrens und verpflichtete ihn, die Geschädigte für das Berufungsverfahren zu entschädigen (Dispositiv-Ziffern 6 und 7). D. A.X._ gelangt mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt insbesondere die Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 3, 5, 6 und 7 des Urteils des Kantonsgerichts Appenzell Innerrhoden, seine Freisprechung von Schuld und Strafe sowie eventuell die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. E. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.