Sachverhalt: A. X._ erstattete am 4. September 2007 Strafanzeige gegen Verantwortliche der Kantonspolizei Solothurn und weitere Personen hinsichtlich von Vorkommnissen während seiner beruflichen Tätigkeit bei der Kantonspolizei in den Jahren 1986-2007. Im Laufe des langwierigen Verfahrens verlangte X._ den Ausstand von Staatsanwalt lic. iur. Christoph Fricker. Die Oberstaatsanwaltschaft wies das Ersuchen am 3. Juni 2009 ab. Am 17. August 2009 wies die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn die von X._ erhobene Beschwerde ab. Mit Urteil vom 11. Dezember 2009 hiess das Bundesgericht eine Beschwerde von X._ teilweise gut, hob das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. August 2009 in Bezug auf Staatsanwalt Fricker auf und hiess das Gesuch um Ausstand von Staatsanwalt Fricker gut (Verfahren 1B_ 263/2009). Bereits vorgängig hatte Staatsanwalt Fricker das Verfahren gegen Y._ am 23. September 2009 eingestellt. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess die Beschwerdekammer des Obergerichts am 22. Februar 2010 gut, hob die zugrunde liegende Verfügung auf und ordnete an, dass über die Einstellung des Verfahren von einem nicht vorbefassten Staatsanwalt neu zu entscheiden sei. B. Zwischenzeitlich wurde die Sache dem (neuen) Leitenden Staatsanwalt lic. iur. Pascal Flückiger übertragen. Im Verfahren vor der Beschwerdekammer, in dem die Einstellungsverfügung vom 23. September 2009 in Frage stand, hatte Staatsanwalt Flückiger am 13. Januar 2010 mit seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde beantragt. Am 6. April 2010 wandte er sich an X._ und teilte ihm mit, er sei mit der Strafsache betraut worden, wie den Medien habe entnommen werden können. Im Übrigen ersuchte er X._ im Hinblick auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege um gewisse Belege. X._ stellte darauf am 10. April 2010 bei der Oberstaatsanwaltschaft ein Ablehnungsbegehren gegen Staatsanwalt Flückiger. Die Oberstaatsanwaltschaft wies dieses Ersuchen am 18. Mai 2010 ab. X._ gelangte erneut an das Obergericht. Die Beschwerdekammer wies dessen Beschwerde am 21. Juli 2010 ab. Es erwog, Staatsanwalt Flückiger habe weder durch seine Vernehmlassung zuhanden der Beschwerdekammer, noch durch die Art und Weise, wie er zu seiner Einschätzung gekommen war, noch durch seine Verfahrensführung den Anschein der Voreingenommenheit erweckt. C. Gegen dieses Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts vom 21. Juli 2010 hat X._ beim Bundesgericht am 20. August 2010 Beschwerde in Strafsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide der Beschwerdekammer und der Oberstaatsanwaltschaft sowie die Gutheissung seines Ausstandsgesuches gegen Staatsanwalt Flückiger. Auf die Begründung im Einzelnen ist in den Erwägungen einzugehen. Im Übrigen ersucht der Beschwerdeführer darum, es sei ihm der Kostenvorschuss zu erlassen. Der Beschwerdeführer ergänzte seine Beschwerde mit Nachträgen vom 5., 11. und 17. September 2010 sowie vom 1. und 4. Oktober 2010. Nach Urteilsfällung gingen weitere Ergänzungen vom 14., 16. und 31. Oktober 2010 ein. Die Oberstaatsanwaltschaft beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde.