Sachverhalt: A. Der 1967 geborene F._ meldete sich im November 2002 bei der Invalidenversicherung an und beantragte Berufsberatung, Umschulung und eine Rente. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 8. Juni 2004 den Anspruch auf eine Rente. Auf Einsprache hin widerrief die IV-Stelle am 30. September 2004 diesen Verwaltungsakt mit dem Hinweis, dass nach Durchführung von weiteren Abklärungen eine neue einsprachefähige Verfügung zugestellt werde. Vom 15. bis 19. Mai 2006 wurde F._ im Zentrum für Medizinische Begutachtung (ZMB), rheumatologisch, neurologisch und psychiatrisch untersucht (Expertise vom 22. Juni 2006). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 10. April 2007 den Anspruch auf eine Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 37 %). B. Die Beschwerde des F._ wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 16. März 2009 ab. C. F._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. März 2009 sei aufzuheben und ihm eine ganze Rente zuzusprechen und es sei festzustellen, dass das kantonale Versicherungsgericht das Beschleunigungsgebot gemäss Art. 29 Abs. 1 BV verletzt habe. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.