Sachverhalt: A. X._ (geb. 1957) stammt aus Nigeria. Er hielt sich erstmals 1994 in der Schweiz auf, dies zunächst unter verschiedenen falschen Identitäten als Asylbewerber. Im Jahr 1997 wurde er wegen Geldwäscherei sowie Verstössen gegen die Ausländergesetzgebung zu einer unbedingt zu vollziehenden Gefängnisstrafe von drei Monaten verurteilt. Ein weiteres Asylgesuch von X._ wies die damalige Schweizerische Asylrekurskommission mit Urteil vom Februar 1998 rechtskräftig ab; die Wegweisung konnte indes nicht vollzogen werden, da X._ die erforderliche Mitwirkung verweigerte. B. Am 8. März 2003 verheiratete sich X._ mit einer Schweizer Bürgerin und legte bei dieser Gelegenheit seine wahre Identität offen. In der Folge erteilte ihm die Ausländerbehörde des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligung. Am 6. Juli 2004 ersuchte die Ehefrau von X._ beim zuständigen Bezirksgericht ein erstes Mal um Eheschutzmassnahmen. Dieses Gesuch zog sie am 26. August 2004 wieder zurück, nachdem die Eheleute übereingekommen waren, eine Mediation durchzuführen und einen Ehevertrag abzuschliessen. Am 11. Juli 2005 reichte die Ehefrau erneut ein Eheschutzgesuch ein. Am 20. September 2005 schlossen die Eheleute vor Gericht eine Trennungsvereinbarung und einigten sich (unter anderem) darauf, dass X._ die eheliche Wohnung spätestens bis zum 31. Oktober 2005 verlassen würde, doch verblieb er über dieses Datum hinaus dort. Mit Urteil vom 19. Dezember 2008 wurde die Ehe geschieden. C. Gestützt auf einen Antrag von X._ vom 3. März 2009 erklärte sich das Migrationsamt des Kantons Zürich dazu bereit, dessen Aufenthaltsbewilligung um ein Jahr zu verlängern, doch verweigerte das Bundesamt für Migration (BFM) mit Verfügung vom 16. September 2009 seine Zustimmung und ordnete gleichzeitig die Wegweisung von X._ aus der Schweiz an. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 5. Juni 2012 ab. D. X._ (Beschwerdeführer) erhebt mit Eingabe vom 11. Juli 2012 Beschwerde gegen diesen Entscheid und stellt den Antrag, es sei der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Vorinstanz) aufzuheben und das BFM anzuweisen, der Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zuzustimmen. Sodann ersucht X._ um unentgeltliche Rechtspflege, eventuell um Gewährung der Ratenzahlung. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet; das BFM beantragt dem Bundesgericht die Abweisung der Beschwerde.