Sachverhalt: A. B._ (Ehemann) und K._ (Ehefrau) heirateten am 17. Juni 1994. Beide Ehegatten stammen aus dem ehemaligen Jugoslawien. Sie wurden Eltern der Kinder X._, geboren am 29. Oktober 1995, und Y._, geboren am 16. November 2001. Seit September 1996 leben die Ehegatten getrennt. Es wurde ein Ehetrennungsprozess mit anschliessendem Abänderungsverfahren durchgeführt. Die Ehefrau erhob am 5. November 1999 ein erstes Scheidungsbegehren, zog dieses aber am 19. September 2000 wieder zurück. Gleichentags verlangte sie erneut die Scheidung der Ehe und stellte Anträge bezüglich der Scheidungsfolgen. Der Ehemann bestritt die Zulässigkeit der Scheidungsklage der Ehefrau unter Hinweis auf seine eigene Scheidungsklage, die bereits seit Mitte 1999 in Sremska Mitrovica (Serbien) hängig sei. In der Sache stellte er Eventualbegehren. B. Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 21. Mai 2002). Der Ehemann legte dagegen Berufung ein und erneuerte seine Haupt- und Eventualanträge. Der Obergerichtspräsident ordnete die Durchführung des schriftlichen Verfahrens ohne Berufungsverhandlung an. In getrennten Eingaben je vom 13. Februar 2003 reichte die Ehefrau ihre Berufungsantwort ein und erhob Anschlussberufung. Innert Frist zur Beantwortung der Anschlussberufung stellte der Ehemann dem Obergericht weitere Belege zu. Die Ehefrau nahm zu diesen Belegen am 5. März 2003 und am 8. April 2003 schriftlich Stellung. Das Obergericht des Kantons Thurgau wies die Berufung, soweit darauf eingetreten konnte, und die Anschlussberufung ab. Es schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 12. Juni 2003). Mit Schreiben vom 24. Oktober 2003 stellte die Obergerichtskanzlei dem Ehemann - auf dessen Verlangen - die ihm versehentlich nicht mitgeteilte Berufungsantwort vom 13. Februar 2003 sowie die Eingaben der Ehefrau vom 5. März 2003 und vom 8. April 2003 zu. C. Der Ehemann hat gegen das obergerichtliche Urteil vom 12. Juni 2003 eidgenössische Berufung eingelegt und staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde wegen formeller und materieller Rechtsverweigerung beantragt er dem Bundesgericht zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Die Ehefrau schliesst auf Abweisung, soweit auf die staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden könne. Beide Parteien ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat ebenfalls die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde angetragen, soweit auf sie eingetreten werden könne.