Sachverhalt: A. A.a Die 1956 geborene C._ war bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 23. Juli 2001 stürzte und sich dabei eine Rissquetschwunde an der Stirne und einen Zahnschaden zuzog. Nach Abklärung des medizinischen Sachverhalts verfügte die National am 18. April 2002, die Heilungskosten würden übernommen, soweit sie in direktem Zusammenhang mit dem Sturzereignis vom 23. Juli 2001 stünden, während Taggeldleistungen für die Zeit vom 26. Juli bis 5. August 2001 erbracht würden; hingegen verneinte sie ihre Leistungspflicht für im Zusammenhang mit dem Morbus Menière und der Synkope stehende Beschwerden, da diese nicht als Folgen des Unfalles einzustufen seien. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. August 2003 fest. Dieser blieb unangefochten. A.b Am 24. Februar 2006 liess C._ ein Gesuch um Revision des Einspracheentscheids vom 4. August 2003 stellen und verschiedene medizinische Unterlagen sowie eine schriftliche "Zeugenaussage" einreichen. Mit "Entscheid betreffend Revisionsbegehren" vom 8. November 2006 trat die National auf das Gesuch nicht ein, da dieses nicht innert 90 Tagen seit Entdeckung des angerufenen Revisionsgrundes eingereicht worden sei. B. In der Folge gelangte C._ - gemäss Rechtsmittelbelehrung in der Verfügung vom 8. November 2006 - mit Eingabe vom 8. Dezember 2006 an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt. Dieses trat mit Entscheid vom 6. Januar 2009 auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Eingabe vom 8. Dezember 2006 an die National, damit diese mittels Einspracheentscheid darüber befinde. Zudem verpflichtete es den Unfallversicherer zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Versicherte in Höhe von Fr. 900.-. C. Die National führt Beschwerde mit den Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, und das kantonale Gericht sei anzuweisen, über die Beschwerde der Versicherten vom 8. Dezember 2006 zu befinden. Der Rechtsvorkehr sei zudem aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. C._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.