Sachverhalt: A. B._, geboren 1957, arbeitete seit 1. August 2011 als Lehrerin in der Primarschule Y._, welche zum "Zweckverband Schule X._" - einer öffentlich-rechtlichen Körperschaft mit eigener Rechtspersönlichkeit - gehört (nachfolgend: Schule oder Beschwerdegegnerin). Am 2. September 2011 erteilte das Volksschulamt des Kantons Solothurn (nachfolgend: VSA) B._ die unbefristete Unterrichtsberechtigung als Primarlehrerin und stufte ihre Grundbesoldung in der Lohnklasse 18, Gehaltsstufe 10, ein. B. Nachdem die anschliessenden Verhandlungen mit den Verantwortlichen auf Seiten der Schule über eine von B._ angestrebte "Wiedererwägung der Erfahrungseinstufung" zu keiner Einigung führten, beantragte die Lehrerin mit Klage vom 3. Dezember 2012, sie sei mit Wirkung ab Stellenantritt an der Primarschule Y._ am 1. August 2011 in der Gehaltsklasse 18 Erfahrungsstufe 16 einzureihen; eventuell sei die Sache zur erneuten Prüfung und Neuentscheidung der Einstufung an die Beklagte zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die Klage am 16. September 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde lässt B._ ihre vorinstanzlichen Anträge unter Aufhebung des kantonalen Entscheides erneuern; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung der Einstufung an die Vorinstanz, subeventuell an das VSA zurückzuweisen. Das kantonale Gericht, die Beschwerdegegnerin und das VSA schliessen übereinstimmend auf Abweisung der Beschwerde.