Sachverhalt: A. K._ war bei der Hermes Krankenversicherung (ab 1. Januar 2011 Easy Sana Krankenversicherung AG; nachfolgend: Krankenversicherung) im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung versichert, als sie sich am 8. Mai 2009 einer zahnmedizinischen Behandlung unter Vollnarkose unterzog. Mit Verfügung vom 9. Dezember 2010 verweigerte die Krankenversicherung die Übernahme der Kosten für die Narkose. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. April 2011 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 13. Juni 2012 ab. C. K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 13. Juni 2012 sei die Krankenversicherung zu verpflichten, ihr die Kosten für die Narkosebehandlung vom 8. Mai 2009 in Höhe von Fr. 1'684.40 zu ersetzen, zuzüglich Verzugszins gemäss Art. 26 Abs. 2 ATSG. Ferner lässt sie um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Die Krankenversicherung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.