Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 20. Mai 2008 sprach die IV-Stelle Luzern A._ eine halbe Rente vom 1. Juni 2005 bis 30. Juni 2006 und eine ganze Rente ab 1. Juli 2006 samt drei Kinderrenten zu. Im Rahmen des 2010 eingeleiteten Revisionsverfahrens liess sie den Versicherten an vier Tagen überwachen sowie psychiatrisch abklären. Mit Verfügung vom 18. August 2011 hob sie die ganze Rente rückwirkend zum 1. April 2010 auf. Am 26. August 2011 verfügte sie zudem die Rückforderung von Leistungen in der Höhe von Fr. 33'583.-- zufolge Meldepflichtverletzung. Mit Entscheid vom 11. Oktober 2012 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, die Verfügungen vom 18. und 26. August 2011 auf und verpflichtete die IV-Stelle, A._ ab 1. April 2010 weiterhin eine ganze Invalidenrente (mitsamt der Kinderrente) auszurichten. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten der IV-Stelle hob das Bundesgericht mit Urteil 9C_953/2012 vom 5. April 2013 dieses Erkenntnis auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen (Durchführung einer gerichtlichen psychiatrischen Expertise) an die Vorinstanz zurück. B. Das seit 1. Juni 2013 zuständige Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, liess A._ durch Dr. med. B._ untersuchen und begutachten. Es gab den Parteien Gelegenheit, zur Expertise vom 12. November 2013 Stellung zu nehmen. Nach einem weiteren Schriftenwechsel hob es mit Entscheid vom 14. März 2014 die angefochtenen Verfügungen auf und verpflichtete die IV-Stelle, dem Versicherten ab 1. April 2010 weiterhin eine ganze Invalidenrente (mitsamt der Kinderrente) auszurichten. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Luzern, der Entscheid vom 14. März 2014 sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung zurückzuweisen. A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) um deren Gutheissung. Das Kantonsgericht äussert sich zur Sache, ohne einen Antrag zu stellen. A._ hat sich im Rahmen des Replikrechts zu den Eingaben des kantonalen Gerichts und des BSV geäussert.