Sachverhalt: A. X._ ist Inhaber der im Handelsregister des Kantons Zürich eingetragenen Einzelunternehmung Dr. X._. Über ihn eröffnete das Einzelgericht des Bezirksgerichts Meilen mit Urteil vom 2. Oktober 2013 den Konkurs für eine Forderung von Y._ im Betrag von Fr. 115'000.-- nebst Zins zu 5% seit 7. Dezember 2006, zuzüglich Fr. 7'003.85 (Zins bis 6. Dezember 2006), Fr. 6'000.-- Rechtsöffnungskosten und Fr. 406.-- Betreibungskosten. B. Gegen dieses Urteil wandte sich X._ mit Eingabe vom 14. Oktober 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich. Darin stellte er, soweit für das Verfahren vor Bundesgericht noch von Interesse, sinngemäss den Antrag, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die erfolgte Konkurseröffnung für nichtig zu erklären bzw. das Konkursverfahren unverzüglich und endgültig einzustellen. Eventualiter beantragte der Beschwerdeführer, das Konkursamt Z._ anzuweisen, den Konkurs zu sistieren, bis über eine in Deutschland anhängig gemachte Klage entschieden sei, mit welcher er die Nichtigkeit der dem schweizerischen Konkursverfahren zugrunde liegenden Verträge feststellen lassen wollte. Das Obergericht wies am 1. November 2013 die Beschwerde von X._ ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichtes Meilen vom 2. Oktober 2013. C. Dagegen wendet sich X._ (Beschwerdeführer), vertreten durch Rechtsanwalt Hans-Jacob Heitz, mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Dezember 2013 (Datum der Postaufgabe) kombiniert mit Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, das Urteil des Obergerichts und "infolge damit verbunden" auch das bezirksgerichtliche Urteil vollständig aufzuheben. Der vor dem Konkursamt Z._ eröffnete Konkurs sei einzustellen und das Konkursamt Z._ sei entsprechend anzuweisen. Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, "verbunden mit den entsprechenden nötigen amtlichen Anweisungen". Dem gleichzeitig gestellten Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, dem sich Y._ (Beschwerdegegner) nicht widersetzte, hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 18. Dezember 2013 entsprochen. Auf einen Kostenvorschuss hat das Bundesgericht verzichtet. Am 29. Januar 2014 forderte der Instruktionsrichter Dr. Ruedi Lang, den für das Konkursverfahren bestellten Beistand des Beschwerdeführers, auf, sich zur Beschwerde zu äussern. In seiner Antwort vom 4. Februar 2014 erklärte Dr. Ruedi Lang, er habe nichts dagegen einzuwenden, dass sich der Beschwerdeführer im Konkursverfahren durch den privat bestellten Rechtsvertreter, Rechtsanwalt Hans-Jacob Heitz, vertreten lasse. Mit dieser Zusage habe er aber keine Zusicherungen bezüglich der entstehenden Kosten gegeben. Im Übrigen äusserte sich Dr. Ruedi Lang nicht zum Inhalt der Beschwerde.