Sachverhalt: A. A._ (Mieterin) mietete seit 1999 eine 4 1⁄2-Zimmerwohnung an der X._strasse in Y._, in der sie mit ihrer Tochter wohnte. Im März 2003 zog B._ (Konkubinatspartner) in diese Wohnung ein, in der er mit der Mieterin bis Ende März 2008 in einem Konkubinatsverhältnis lebte. Danach zog er aus der Wohnung aus. Vor der Beendigung des Konkubinats und für den Monat April 2008 bezahlte er der Mieterin als Beitrag an die Mietkosten monatlich Fr. 1'600.--. B. Nach erfolgloser Sühneverhandlung klagte die Mieterin (Klägerin) am 24. November 2008 beim Bezirksgericht Schwyz gegen den Konkubinatspartner (Beklagter). Mit ihrer Klagebegründung vom 25. Februar 2009 stellte sie die Begehren, den Beklagten zu verpflichten, ihr den Mietzinskostenanteil von Fr. 1'600.-- für die Monate Mai bis und mit September 2008 und Fr. 5'000.-- für Renovations- und Instandstellungsarbeiten in der Ferienwohnung des Beklagten zuzüglich Zins zu bezahlen. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 21. Oktober 2009 ab. Die Klägerin focht dieses Urteil beim Kantonsgericht des Kantons Schwyz an und stellte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Kantonsgericht wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 16. Juli 2012 ab und setzte der Klägerin eine Frist zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.--. C. Die Klägerin (Beschwerdeführerin) erhebt Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, die Verfügung des Kantonsgerichts vom 16. Januar 2012 aufzuheben und dieses anzuweisen, ihr im kantonalen Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Auf Antrag der Beschwerdeführerin wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 26. September 2012 die aufschiebende Wirkung erteilt. Die Beschwerdeführerin stellte zudem das Gesuch, es sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.