Sachverhalt: A. Der 1955 geborene M._ war von 1997 bis 31. Mai 2005 (letzter Arbeitstag: 25. Mai 2004) als Officemitarbeiter bei der Firma C._ AG angestellt. Am 28. Juni 2005 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, IV-Stelle, holte Berichte der Arbeitgeberin vom 4. Juli 2005, der psychologischen Therapeutin lic. phil. S._ vom 16. August 2005 und des Hausarztes Dr. med. K._ vom 29. Oktober 2005 (mit Beilagen) sowie ein psychiatrisches Gutachten von Dr. med. H._ vom 1. Februar 2006 ein. Rückfragen der Verwaltung vom 16. Februar 2006 beantwortete Dr. med. H._ am 18. Februar 2006. Daraufhin lehnte es die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. April 2006 und Einspracheentscheid vom 15. Juni 2006 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 4. September 2007). C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab Mai 2005 eine ganze Rente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung ersucht. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.