Sachverhalt: A. A._ unterzog sich am 5. Januar 2010 einer Geschlechtsanpassungsoperation. Im Oktober 2011 ersuchte sie die Invalidenversicherung unter Hinweis auf einen teilweisen, typisch männlichen Verlust des Haupthaars um einen Kostenbeitrag an eine Perücke oder ein Haarteil. Mit Verfügung vom 5. Januar 2012 lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau das Hilfsmittelgesuch ab, weil die Haare nicht als Folge einer akuten Krankheit oder deren Behandlung (z.B. durch Bestrahlung oder Chemotherapie) ausgefallen seien. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 9. Mai 2012 ab. C. Mit Beschwerde ans Bundesgericht erneuert A._ ihr Begehren um einen Kostenbeitrag an eine Perücke oder ein Haarteil. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung. IV-Stelle und kantonales Gericht schliessen ohne weitere Stellungnahme auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) hat sich nicht vernehmen lassen.