Sachverhalt: A. A.a. Mit Beschluss vom 17. März/1. Juli 2009 ernannte die Vormundschaftsbehörde A._ X._ zum Beirat im Sinn von aArt. 395 ZGB von Z._, geb. am xxxx 1965. Am 18. September 2009 nahm X._ unterschriftlich davon Kenntnis, dass die Entschädigungsansätze für die Betreuung des von ihm angenommenen vormundschaftlichen Mandates gemäss ordentlicher Praxis im Sinn von Art. 27 und 28 der Verordnung über die Geschäftsführung und Entschädigung vormundschaftlicher Organe (BR 215.100; gültig bis 31. Dezember 2012; nachfolgend: Verordnung) gelten und angewendet werden. Nach Art. 28 Abs. 1 dieser Verordnung haben Beiräte Anspruch auf eine von der Vormundschaftsbehörde festzusetzende Entschädigung von Fr. 200.-- bis Fr. 1'000.-- pro Jahr, wobei gemäss Abs. 2 dieser Bestimmung der Betrag bei besonderer Beanspruchung angemessen erhöht, jedoch höchstens verdoppelt werden kann. Im Rahmen eines Konfliktes zwischen der Vormundschaftsbehörde und X._ bezüglich der Entschädigung wurde diesem mit Schreiben vom 17. März 2010 bedeutet, dass die Arbeitsintensität des Mandats bei der Festsetzung der Entschädigung gewürdigt werde, indem bei ausgewiesenem hohen Aufwand die Höchstsätze von Fr. 2'000.-- gemäss Verordnung angewendet werden. A.b. Am 30. März 2011 stellte X._ der Vormundschaftsbehörde Jahresbericht und Rechnung betreffend die Beiratschaft für die Periode vom 1. Juli 2009 bis 31. Dezember 2010 zu und beantragte die maximale Entschädigung gemäss Art. 28 Abs. 1 und 2 der Verordnung. A.c. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2011 legte X._ das Mandat als Beirat von Z._ nieder. Am 21. März 2012 reichte er bei der Vormundschaftsbehörde Jahresbericht und Rechnung für die Periode vom 1. Januar 2011 bis 31. Dezember 2011 ein und beantragte erneut die maximale Entschädigung gemäss Art. 28 Abs. 1 und 2 der Verordnung. A.d. Mit Beschluss vom 18. Juli 2012 verweigerte die Vormundschaftsbehörde die Genehmigung der Rechnung für die Periode vom 1. August 2009 bis 29. Februar 2012 (Ziff. 1). Sie setzte die an Fortunat Schmid zu entrichtende Entschädigung im Sinn von Art. 28 Abs. 1 der Verordnung auf Fr. 5'177.-- exklusive nachgewiesener Auslagen fest (Ziff. 3) und verpflichtete X._, Z._ den Betrag von Fr. 13'796.70 an zu viel bezogenen Entschädigungen innert 20 Tagen ab Rechtskraft des Beschlusses zurückzuerstatten (Ziff. 4). Zudem forderte sie X._ auf, die fehlenden Belege für die Betreuung und das Wohnen im Wohnheim B._ "nachzuholen" (Ziff. 5). B. Gegen diesen Beschluss gelangte X._ am 9. September 2012 mit Beschwerde an das Kantonsgericht von Graubünden und rügte eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die erste Instanz. In ihrer Beschwerdeantwort vom 15. Oktober 2012 erläuterte die Vormundschaftsbehörde, welche der vom Beschwerdeführer ihr unterbreiteten Rechnungen betreffend Entschädigung sie nicht akzeptiere. Der Beschwerdeführer liess sich in der Replikschrift vom 18. Dezember 2012 dazu vernehmen. Mit Entscheid vom 29. April 2013 hob das Kantonsgericht in teilweiser Gutheissung der Beschwerde Ziff. 4 des erstinstanzlichen Beschlusses auf (Ziff. 1) und stellte fest, dass der vom früheren Beirat zu Unrecht aus dem Vermögen des Verbeirateten Z._ bezogene Betrag von Fr. 13'183.40 vom neuen Beistand (gemäss nunmehr geltendem Recht) auf dem Wege der Verantwortlichkeitsklage geltend zu machen sei (Ziff. 2). Schliesslich auferlegte es die Kosten des Verfahrens je zur Hälfte X._ und dem Kanton Graubünden (Ziff. 3). C. X._ (Beschwerdeführer) hat am 13. Juli 2013 gegen den Entscheid des Kantonsgerichts von Graubünden beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, die Ziffern 2 und 3 des Entscheides des Kantonsgerichts sowie die Ziffern 1, 3, 4 und 5 des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde aufzuheben. Vor Bundesrecht rügt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.