Sachverhalt: A. Die 1948 geborene G._ war bis 30. November 2002 bei der Stiftung H._, als Krankenschwester/Therapeutin angestellt und damit bei der Alpina Versicherungen, Basel (heute: Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG, Zürich [im Folgenden: Zürich]) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen obligatorisch versichert. Ab 1. Dezember 2002 arbeitete G._ als selbstständigerwerbende Shiatsu-Therapeutin. Am 14. Dezember 2002 stürzte sie bei einem Spaziergang und zog sich eine Humeruskopffraktur am rechten Schultergelenk zu. Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 28. Januar 2008 und Einspracheentscheid vom 24. Februar 2009 stellte die Zürich unter Hinweis auf das Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 265/03 vom 14. Februar 2005 fest, im Zeitpunkt des Unfalls vom 14. Dezember 2002 habe keine Versicherungsdeckung aus der obligatorischen Unfallversicherung bestanden, weshalb eine Leistungspflicht zu verneinen sei; auf eine Rückforderung der bisher erbrachten Leistungen werde verzichtet. B. In Gutheissung der gegen den Einspracheentscheid vom 24. Februar 2009 eingereichten Beschwerde verpflichtete das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. November 2009 die Zürich, für den Unfall vom 14. Dezember 2002 weiterhin Leistungen aus UVG zu erbringen. C. Mit Beschwerde beantragt die Zürich, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides ihr leistungsablehnender Einspracheentscheid zu bestätigen und es sei festzustellen, dass das kantonale Gericht das rechtliche Gehör verletzt habe. Während G._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. D. Mit prozessleitender Verfügung vom 7. Mai 2010 wies die Instruktionsrichterin das von der Zürich gestellte Gesuch, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, ab.