Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 29. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde der Stiftung X._ und der Y._ AG gegen die Erteilung der Baubewilligung an die Einwohnergemeinde Brienz zur Erneuerung der Druckleitung zum Wasserkraftwerk Giessbach ab. Das Bundesgericht hiess eine dagegen erhobene Beschwerde gut, hob das Urteil auf und wies die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück. Zur Begründung führte es an, das Verwaltungsgericht habe in Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf eine beantragte öffentliche Verhandlung verzichtet. Mit Eingabe vom 15. Januar 2009 an das Verwaltungsgericht stellten die Stiftung X._ und die Y._ AG den Antrag, die zurückgewiesene Angelegenheit sei in einer anderen Besetzung zu beurteilen. Es bestehe der Anschein der Befangenheit. Abteilungspräsident Beat Stalder leitete daraufhin die Akten zur weiteren Behandlung an den stellvertretenden Abteilungspräsidenten weiter. Dieser forderte die betroffenen Verwaltungsrichter und den Kammerschreiber mit Verfügung vom 20. Januar 2009 auf, sich zum Ablehnungsbegehren zu äussern. Während sich Abteilungspräsident Beat Stalder eines Antrags enthielt, schlossen Verwaltungsrichter Robert Burkhard, Verwaltungsrichterin Esther Steinmann und Kammerschreiber Daniel Born auf Abweisung des Ablehnungsgesuchs. Mit Urteil vom 20. April 2009 wies das Verwaltungsgericht das Ablehnungsgesuch ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. Mai 2009 beantragen die Stiftung X._ und die Y._ AG im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Sie rügen eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie eine willkürliche Anwendung von Art. 9 Abs. 1 lit. b des Gesetzes des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21). Das Verwaltungsgericht und die vom Ablehnungsgesuch betroffenen Personen beantragen in ihrer jeweiligen Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde.