Sachverhalt: A. C._ und D._ waren französische Staatsangehörige und wohnten in Frankreich. Sie heirateten im 1933, ohne je einen Ehevertrag abzuschliessen. D._ verstarb im Jahre 1987 und C._ im Jahre 2002. Ihre einzige Tochter X._ ist testamentarische und gesetzliche Alleinerbin mit Domizil in Frankreich. C._ war Rechts- und Steuerberater. Im Jahre 1997 gelangte X._ an Y._ und ersuchte um Auskunft mit Bezug auf seine Tätigkeiten und diejenigen seines (im Jahre 1986 verstorbenen) Vaters Z._ für das Vermögen ihrer Eltern. Y._ ist wie früher sein Vater Rechtsanwalt in Zürich. Mit Klage vom 20. November 2008 (und Einreichung der Weisung des Friedensrichteramtes E._ vom 18. August 2008) gelangte X._ an das Bezirksgericht F._. Sie verlangte von Y._ im Wesentlichen (unter Strafandrohung) Unterlagen, Auskunft und Rechenschaft hinsichtlich Mandaten zwischen ihm sowie dessen Vater und ihren Eltern sowie sonstiger Tätigkeiten, welche in irgendeiner Weise mit dem Vermögen ihres Vaters und/oder ihrer Mutter in Verbindung stehen oder gestanden haben können. B. Mit Urteil vom 5. Oktober 2011 wies das Bezirksgericht die Klage ab. Hiergegen erhob X._ Berufung, welche das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 12. August 2013 abwies. C. Mit Eingabe vom 18. September 2013 hat X._ Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Die Beschwerdeführerin verlangt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 12. August 2013. In der Sache beantragt sie die Gutheissung ihrer gegen Y._ (Beschwerdegegner) erhobenen Klage. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter seien die Prozesskosten im erst- und zweitinstanzlichen Verfahren (Dispositiv-Ziffern 2, 4 bzw. 5, 7) auf der Basis eines Streitwertes von Fr. 100'000.-- (in näher bestimmter Weise) festzusetzen oder zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit unaufgeforderten Eingaben haben die Beschwerdeführerin repliziert bzw. der Beschwerdegegner dupliziert. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.