Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 18. Mai 2006 sprach die IV-Stelle Uri dem 1959 geborenen Z._ rückwirkend ab 1. August 2004 eine halbe und ab 1. April 2005 eine ganze Invalidenrente zu. Nach Verrechnung mit ausstehenden AHV/IV/EO-Beiträgen in der Höhe von Fr. 2'161.40 ermittelte die IV-Stelle eine Rentennachzahlung von Fr. 24'118.60 für die Zeit vom 1. August 2004 bis 30. April 2006. Sie hielt in der Verfügung zudem fest, die Nachzahlung erfolge direkt an den Versicherten, nachdem dieser einer Verrechnung mit Leistungen der Sozialhilfe nicht zugestimmt habe und sich aus dem Sozialhilfegesetz kein ausdrücklicher Rückforderungsanspruch ergebe. Dies bestätigte die IV-Stelle auf Einsprache des Sozialrates Altdorf hin (Entscheid vom 21. August 2006). B. Die von der Einwohnergemeinde Altdorf hiegegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 26. Oktober 2007 ab. C. Die Einwohnergemeinde Altdorf lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und es seien die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse an sie auszurichten. Ferner ersucht sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Die IV-Stelle lässt sich in zustimmendem Sinne vernehmen, ohne jedoch einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. D. Mit Verfügung vom 19. Februar 2008 erteilt der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. E. Z._ erhielt Gelegenheit zur Äusserung, wovon er keinen Gebrauch machte.