Sachverhalt: A. X._ (geb. 1971) ist geschieden, alleinerziehende Mutter einer Tochter und wohnt in Zürich. Sie ist in der Türkei aufgewachsen und hat im Jahr 1998 das Studium der Kommunikationswissenschaften an der Universität Ankara mit dem Lizentiat abgeschlossen. Im Jahr 2001 floh sie in die Schweiz, wo ihr mit Entscheid des damaligen Bundesamtes für Flüchtlinge vom 3. Juli 2003 Asyl gewährt wurde. Sie wurde dem Kanton Aargau zugewiesen. B. Am 20. September 2010 begann X._ an der Fachhochschule Nordwestschweiz (Hochschule für soziale Arbeit) ein Teilzeit-Bachelor-Studium in Sozialer Arbeit, welches sie voraussichtlich im September 2014 abschliessen wird. Im Oktober 2010 stellte X._ bei der Abteilung Bildungsberatung, Sport und Jugend des Departements Bildung, Kultur und Sport (BKS) ein Gesuch um Ausrichtung von Stipendien. Das Gesuch wurde mit Verfügung vom 25. Februar 2011 abgewiesen. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde hiess der Regierungsrat des Kantons Aargau am 28. September 2011 teilweise gut und wies die Vorinstanz an, der Beschwerdeführerin ein Darlehen in der Höhe von Fr. 20'000.-- zu gewähren. Eine gegen diesen Entscheid, soweit er die Ablehnung des Gesuchs um Stipendien betraf, gerichtete Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies dieses am 29. Februar 2012 ab. C. Mit Eingabe vom 23. April 2012 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben und die Sektion Stipendien des Departements BKS anzuweisen, das beantragte Stipendium auszurichten. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Der Regierungsrat des Kantons Aargau beantragt - auch für das Departement Bildung, Kultur und Sport -, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen.