Sachverhalt: A. Am 18. August 2006 ersuchten Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken Schweiz bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau um Einsicht in die in den letzten fünf Jahren vom Bezirksamt Arbon erlassenen Strafentscheide, inklusive Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen, betreffend X._ bzw. Y._. Mit Verfügung vom 5. Februar 2007 wies die Staatsanwaltschaft das Begehren ab. B. Gegen die Verfügung vom 5. Februar 2007 erhoben Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken Schweiz Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Thurgau hiess diese mit Beschluss vom 14. Mai 2007 teilweise gut. Das Begehren um Einsicht in die materiellen Strafentscheide wurde zuständigkeitshalber an das Bezirksamt Arbon überwiesen. Soweit Einsicht in Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen beantragt worden war, überwies das Obergericht die Beschwerde zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons Thurgau. C. Mit Beschluss vom 3. Juli 2007 hob die Anklagekammer des Kantons Thurgau die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 5. Februar 2007 im Beschwerdeverfahren auf. Gleichzeitig wies sie das Gesuch um Einsicht in die fraglichen Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen des Bezirksamtes Arbon ab. D. Gegen den Beschluss der Anklagekammer vom 3. Juli 2007 gelangten Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken mit Beschwerde vom 22. September 2007 an das Bundesgericht. Sie beantragen zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Die Beschwerde wurde am 16. Oktober 2007 ergänzt. Die kantonale Anklagekammer beantragt die Abweisung der Beschwerde, während sich die Staatsanwaltschaft innert angesetzter Frist nicht hat vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer replizierten am 15. November 2007.