Sachverhalt: A. X._ war am 3. Juli 2012 nachmittags mit ihrem Personenwagen auf der Autobahn A14 von Luzern in Richtung Küssnacht unterwegs. In Dietwil, d.h. im Abschnitt zwischen dem Anschluss Gisikon und der Verzweigung Rütihof fuhr sie auf der linken Fahrspur, um ein vor ihr fahrendes Fahrzeug überholen zu können, das bei einer zulässigen Geschwindigkeit von 120 km/h mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 112 km/h fuhr. Die Videoaufzeichnung eines hinter ihr fahrenden zivilen Polizeifahrzeugs ergab, dass X._ zum vorderen Fahrzeug auf einer Messstrecke von 399.60 m einen Abstand von 17,87 m bzw. 0.57 Sekunden einhielt. B. Aufgrund dieses Fahrverhaltens sprach die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten X._ mit Strafbefehl vom 20. Juli 2012 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und bestrafte sie mit einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 190.-- bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von 2 Jahren sowie einer Busse von Fr. 1'000.--. Eine dagegen erhobene Einsprache hat X._ wieder zurückgezogen. Das Verkehrsamt des Kantons Schwyz qualifizierte die Widerhandlung von X._ als schwer und verfügte am 10. April 2013 einen dreimonatigen Führerausweisentzug. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz änderte diese Verfügung in Gutheissung einer dagegen gerichteten Beschwerde von X._ mit Entscheid vom 22. Juli 2013 dahingehend ab, dass es die Dauer des Führerausweisentzugs auf einen Monat reduzierte. C. Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Juli 2013 sei aufzuheben und X._ sei der Führerausweis für die Dauer von drei Monaten zu entziehen. X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verkehrsamt des Kantons Schwyz beantragt die Gutheissung der Beschwerde.