Sachverhalt: A. Am 4. Mai 2009 ersuchte der Verein X._ (mit Sitz in A._) beim Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schaffhausen, Amt für Justiz und Gemeinden, um Erteilung einer Betriebsbewilligung für ein Heim für verhaltensauffällige Jugendliche. Im März 2010 leitete das Amt für Justiz und Gemeinden, nachdem es zuvor einen positiven Entscheid bereits in Aussicht gestellt hatte, das Gesuch zuständigkeitshalber an die Vormundschaftsbehörde A._ weiter. B. Nach Einholung diverser Unterlagen und Durchführung einer Anhörung des Gesuchstellers lehnte die Vormundschaftsbehörde A._ das Gesuch um Erteilung einer Betriebsbewilligung für ein Kinderheim mit Beschluss vom 19. Juli 2010 ab. Eine vom Verein X._ dagegen erhobene Beschwerde wiesen das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 15. Oktober 2010 bzw. anschliessend das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Urteil vom 8. Juli 2011 ab. C. Mit Eingabe vom 12. September 2011 hat der Verein X._ - der vorinstanzlichen Rechtsmittelbelehrung folgend - Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 8. Juli 2011 sei aufzuheben und "es sei dem Beschwerdeführer, mithin der Trägerschaft, die ersuchte Betriebsbewilligung für die Betreibung eines Heims für verhaltensauffällige Jugendliche in A._ zu erteilen". Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gerügt wird im Wesentlichen die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör sowie des Willkürverbots. D. Das Obergericht und das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schaffhausen sowie die Vormundschaftsbehörde A._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hält mit Eingabe vom 29. Dezember 2011 an seinen Anträgen fest.