Sachverhalt: A. Y._ (Verkäufer) räumte mit öffentlicher Urkunde vom 14. Mai 2008 X._ (Käuferin) unentgeltlich ein Kaufsrecht an den landwirtschaftlichen Grundstücken GB E._ Nr. J._, K._, L._, M._, N._, O._, P._ und Q._ ein. Die Grundstücke bilden ein landwirtschaftliches Gewerbe (Art. 7 des Bundesgesetzes über das bäuerliche Bodenrecht vom 4. Oktober 1991 [BGBB; SR 211.412.11]). Am 4. Mai 2010 übte X._ das Kaufsrecht aus. Die Dienststelle Landwirtschaft und Wald des Kantons Luzern (im Folgenden: Dienststelle lawa) bewilligte den Grundstückerwerb - zu einem Preis von Fr. XXXXXXX.-- - mit Entscheid vom 24. Juni 2010, der am 16. August 2010 auch an Y._ eröffnet wurde. B. Y._ erhob gegen den Entscheid der Dienststelle lawa vom 24. Juni 2010 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Mit Urteil vom 20. März 2012 hiess dieses die Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden konnte, gut, hob den Entscheid vom 24. Juni 2010 auf und wies die Sache an die Dienststelle lawa zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge. In den Erwägungen führte das Verwaltungsgericht aus, der Veräusserer, der offenbar am Kaufrechtsvertrag nicht mehr festhalten wolle, sei zur Beschwerde legitimiert. In der Sache erwog es, die Dienststelle lawa habe nicht hinreichend abgeklärt, ob die Käuferin oder allenfalls ihr Ehemann als Selbstbewirtschafterin zu qualifizieren sei; dies sei durch die Vorinstanz vertiefter zu prüfen. Zudem seien weitere Abklärungen erforderlich zur Frage, ob der Erwerbspreis überhöht sei. C. Mit Eingabe vom 14. Mai 2012 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben, eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Dienststelle lawa und das Bundesamt für Justiz verzichten auf Vernehmlassung. Rechtsanwalt A._ (Anwaltsbüro B._) beantragte namens von Y._ innert der gerichtlich gesetzten Vernehmlassungsfrist (13. Juli 2012) mit Eingabe vom 12. Juli 2012, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei diese abzuweisen. Zudem beantragte er Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit einem vom 5. Juli 2012 datierten, der Post am 13. Juli 2012 aufgegebenen Schreiben teilte sodann Y._ dem Bundesgericht mit, er habe dem Anwaltsbüro B._ das Mandat per sofort entzogen; er beantragt Gutheissung der Beschwerde, weil das Verwaltungsgericht auf seine Beschwerde nicht hätte eintreten dürfen. X._ äussert sich mit Eingabe vom 14. September 2012 zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts.