Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 5. März 2009 wies das Richteramt Olten-Gösgen die Klage von A._ (Beschwerdeführer) gegen B._ (Beschwerdegegner) auf Bezahlung von Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5% seit 22. Dezember 2006 ab. Das Gericht erkannte, dass der Beschwerdeführer das von ihm behauptete Kommissionsverhältnis zwischen den Parteien nicht bewiesen habe. Gegen dieses Urteil appellierte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dessen Präsident entzog mit Verfügung vom 27. August 2009 die bisher dem Beschwerdeführer gewährte unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung, die Appellation sei aussichtslos. Diese Verfügung blieb unangefochten. Am 8. Oktober 2009 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, für das Verfahren vor Obergericht bis zum 29. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Appellation nicht eingetreten werde. Zwei Begehren um Fristerstreckung wurden dem Beschwerdeführer bewilligt. Am 16. Dezember 2009 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um nochmalige Erstreckung der Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses abgewiesen. Am 23. Dezember 2009 - innerhalb der Notfrist von § 81 Abs. 3 ZPO/SO - stellte der Beschwerdeführer ein Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung betreffend den Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege, eventualiter um neue Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Infolge dieses Gesuchs beantragte er, die Verfügung zur Leistung des Kostenvorschusses bis zum Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege zu sistieren bzw. darauf zu verzichten. Ebenso sei zu verfahren betreffend den beklagtischen Antrag auf Sicherstellung der Parteikosten bzw. dieser sei anschliessend abzuweisen. Am 24. Dezember 2009 verfügte der Präsident, dass das Gesuch vom 23. Dezember 2009 um Aussetzung der Notfrist gemäss der Verfügung vom 16. Dezember 2009 und "die übrigen Anträge" abgewiesen würden. Zur Begründung führte er aus, innerhalb der Notfrist von § 81 Abs. 3 ZPO/SO könnten nur diejenigen Prozesshandlungen noch vorgenommen werden, auf die sich das abgewiesene Fristerstreckungsgesuch beziehe. Andere Prozesshandlungen oder Begehren seien unzulässig. Am 19. Januar 2010 stellte der Präsident fest, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss nicht bezahlt habe, weshalb das Obergericht über die angedrohte Säumnisfolge zu entscheiden habe. B. Am 29. Januar 2010 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und beantragte, die Verfügung vom 24. Dezember 2009 sei aufzuheben. Die Vorinstanz sei anzuweisen, auf das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege einzutreten und dieses folglich erneut zu prüfen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren, unter Beigabe von Rechtsanwalt Lars Dubach als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.