Sachverhalt: A. A.a Die 1948 geborene B._ arbeitete als Zahntechnikerin bei einem Kieferorthopäden und war bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nunmehr AXA Versicherungen AG; im Folgenden: AXA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 10. August 1988 beim Klettern ausrutschte und sich den unteren Teil des Rückens prellte. B._ liess die Unfallversicherung darüber mit Bagatellunfall-Meldung vom 8. September 1988 informieren, welche für die Heilbehandlung aufkam. Die Versicherte musste die Arbeit nicht aussetzen. Am 22. Juni 1989 meldete B._ der AXA, sie habe sich am 14. April 1989 versehentlich neben einen Stuhl gesetzt und sei auf das Steissbein gefallen. Im Computertomogramm vom 9. Juni 1989 zeigte sich eine medio-laterale Diskusprotrusion links L5/S1, welche am 23. August 1989 operativ revidiert wurde. Die Unfallversicherung erbrachte Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeldern. Nach Einsicht in eine Expertise des medizinischen Begutachtungszentrums X._ vom 20. August 1990 sprach die AXA der Versicherten mit Verfügung vom 30. November 1990 eine Integritätsentschädigung von 5 % zu. In den Jahren 1994 und 2004 kam es zu Rezidiven, welche konservativ behandelt wurden und für welche die AXA Leistungen erbrachte. A.b Am 3. März 2008 meldete B._ telefonisch einen weiteren Rückfall. Mit Verfügung vom 8. September 2008 teilte die AXA ihrer Versicherten mit, die Leistungen würden rückwirkend auf den 1. Mai 1990 eingestellt, da spätestens ab jenem Moment keine kausalen Folgen der Unfälle mehr vorgelegen hätten. Auf eine Rückforderung der über diesen Zeitpunkt hinaus erbrachten Leistungen würde verzichtet; weitere Ansprüche bestünden hingegen nicht. Auf Einsprache hin hielt die AXA an der Leistungseinstellung auf den genannten Termin hin fest (Entscheid vom 10. Juli 2009). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 24. März 2010 gut und stellte fest, die AXA Versicherungen AG habe über den 30. April 1990 hinaus Leistungen zu erbringen. C. Die AXA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 10. Juli 2009 in dem Sinne zu bestätigen, als erkannt würde, dass spätestens im Zeitpunkt der Leistungseinstellung per 8. September 2010 (recte: 2008) keine Leistungspflicht mehr bestanden habe. Während B._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Stellungnahme. D. Mit Verfügung vom 16. September 2010 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die von der AXA beantragte aufschiebende Wirkung zu.