Sachverhalt: A. X. und Y.Z._ sind Eigentümer der Liegenschaft B._strasse xxx in A._/ZH, auf der ein Einfamilienhaus erstellt wurde, das seit 2002 von ihnen bewohnt wird. Die Liegenschaft befindet sich in der Wohnzone und grenzt auf der südöstlichen Seite an die Spielwiese C._. Diese ist seit mehr als vierzig Jahren Teil der Primarschulanlage C._weg yyy, die zum Verwaltungsvermögen der Stadt A._ gehört und in der Zone für öffentliche Bauten und Anlagen liegt. Das Rasenfeld hat ein Ausmass von 57 m x 33 m und wird durch die Schule, ortsansässige Vereine und Privatpersonen hauptsächlich zum Fussballspielen genutzt. Es grenzt mit der Querseite teilweise an das Grundstück von X. und Y.Z._. Abgeschlossen wird es mit einem circa fünf Meter hohen Drahtzaun, der mit einer Schalldämpferinstallation versehen ist. Auf dem Rasenfeld stehen zwei Aluminium-Tore (5 m x 2 m). Diese sind nicht fix installiert und können verschoben werden. Bei der üblichen Nutzung in der Längsachse steht ein Tor unmittelbar vor dem Zaun zur klägerischen Liegenschaft. B. B.a. Mit Eingabe vom 25. Juni 2009 reichten die Eheleute Z._ Klage beim Bezirksgericht Horgen mit den folgenden Rechtsbegehren ein: "Die Beklagte sei zu verpflichten, die Einrichtungen und den Betrieb auf dem zum Primarschulhaus C._, C._weg yyy, A._, gehörenden und an die Liegenschaft der Kläger, B._str. xxx, angrenzenden Rasenfeld so zu gestalten, dass sich die Gefahr aus über den 5 m hohen Drahtzaun auf das Grundstück der Kläger geschlagenen Fussbällen erheblich vermindert, und sich folglich das Risiko von Sachbeschädigungen an ihrer Liegenschaft sowie die Gefahr von Personenschäden erheblich reduziert, indem: a. die Fussballtore in der Regel während der ganzen Woche quer auf dem Rasenfeld angebracht, fest verankert und in dieser Position angekettet werden; b. die Fussballtore nur ausnahmsweise bei geleiteten Spielen der Primarschule und des Fussballclubs mit bis zu 13-jährigen Juniorinnen und Junioren unter persönlicher Verantwortung der Lehrperson oder des Trainers längs ausgerichtet und nach Beendigung der geleiteten Spiele jeweils wieder quergestellt und angekettet werden; c. die Stadt eine Benützungsordnung aushängt, in welcher darauf hingewiesen wird, dass beim freien Fussballspiel das Längsspielen untersagt ist und in Richtung der quergestellten Tore zu spielen ist." B.b. Am 20. Januar 2011 wies das Bezirksgericht Horgen die Klage ab. X. und Y.Z._ gelangten ans Obergericht des Kantons Zürich, wobei sie ihre vor der ersten Instanz gestellten Rechtsbegehren wiederholten. Am 22. Oktober 2012 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut und fällte in der Sache folgendes Urteil: "1. Die Beklagte wird verpflichtet, die Fussballtore auf dem Rasenfeld des Schulhauses C._ jeweils von Freitagabend bis Montagmorgen und an Feiertagen quer anzubringen und in dieser Position anzuketten. Dies gilt nicht bei einer allfälligen Nutzung der Rasenfläche durch die Schule oder bei einer bewilligten Nutzung durch Vereine. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen." C. Gegen dieses Urteil reichten X. und Y.Z._ (Beschwerdeführer) am 29. November 2012 Beschwerde in Zivilsachen ein. Sie verlangen die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils, soweit die Klage abgewiesen wurde (Ziffer 1 der Anträge), und die folgende Ergänzung: "2. Ziff. 1 Abs. 1 des angefochtenen Urteils sei in dem Sinne zu ergänzen, dass die Fussballtore auch jeweils von montags bis donnerstags ab Schulschluss bis zum Schulbeginn am jeweils nächsten Morgen quer anzubringen und in dieser Position anzuketten sind ausser bei einer allfälligen Nutzung der Rasenfläche durch die Schule oder bei einer bewilligten Nutzung durch Vereine. 3. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, eine Benützungsordnung auszuhängen, in welcher darauf hingewiesen wird, dass beim freien Fussballspiel (ausser Schul- und bewilligter Vereinssport) das Längsspielen untersagt und in Richtung der quergestellten Tore zu spielen ist." Eventualiter verlangen die Beschwerdeführer, die Sache zwecks Vervollständigung der Interessenabwägung und anschliessender Neubeurteilung der Immissionsklage an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und die Stadt A._ (Beschwerdegegnerin) zur Vernehmlassung eingeladen. Die Vorinstanz reichte die Verfahrensakten ein, ohne sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Eingabe vom 23. Januar 2013, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Am 20. März 2013 reichten die Beschwerdeführer - ohne dass ein weiterer Schriftenwechsel angeordnet worden wäre - eine Stellungnahme zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin ein. Diese Stellungnahme wurde der Beschwerdegegnerin am 22. März 2013 zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht, worauf sich diese am 27. März 2013 äusserte. Diese Eingabe wurde den Beschwerdeführern am 3. April 2013 zur Kenntnis gebracht. Das Bundesgericht hat das Urteil am 16. Mai 2013 öffentlich beraten.