Sachverhalt: A. Die 1952 geborene S._ reiste 1993 von Bosnien in die Schweiz ein. Im Mai 2003 meldete sie sich unter Hinweis auf psychische Beschwerden zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte die Verhältnisse ab. Sie führte eine Haushaltabklärung durch und beauftragte die Institution X._ mit einer polydisziplinären Begutachtung (Gutachten vom 9. Mai 2006). Unter Anwendung der Betätigungsvergleichsmethode ermittelte sie eine Einschränkung von maximal 10 % im Haushalt und verneinte deshalb mit Verfügung vom 16. Oktober 2006 einen Rentenanspruch. Auf die von der Versicherten im Januar 2010 getätigte Neuanmeldung hin liess die IV-Stelle die Versicherte durch Dr. med. B._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, sowie E._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie FMH, psychiatrisch abklären (Gutachten vom 8. Juni 2010). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Rentenanspruch erneut mit der Begründung, die gesundheitlich bedingte Einschränkung (im Haushalt) betrage aufgrund der medizinisch unveränderten Verhältnisse nach wie vor maximal 10 % (Verfügung vom 3. Januar 2011). B. Beschwerdeweise liess S._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr mindestens eine Viertelsrente ab 19. Januar 2010 zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache nach Einholen von aussagekräftigen ärztlichen Gutachten und nach Vornahme einer Haushaltabklärung zur erneuten Beurteilung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 16. August 2013 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Beschwerde dahingehend gut, dass es die Verfügung vom 3. Januar 2011 aufhob und der Versicherten mit Wirkung ab 1. Juli 2010 eine Viertelsrente zusprach. Es wies die Sache zur Ermittlung des Betrags der Viertelsrente und zur Ausrichtung der entsprechenden Rentenleistungen an die IV-Stelle zurück. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung zu bestätigen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. S._ und das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen lassen auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, das Rechtsmittel sei gutzuheissen und bei der Auferlegung der Gerichtskosten sei das Verhalten der Vorinstanz angemessen zu berücksichtigen. D. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.