Sachverhalt: A. A.a Das Bezirksgericht Baden sprach X._ am 4. April 2006 der mehrfachen - zum Teil versuchten - sexuellen Handlungen mit Kindern im Sinne von Art. 187 Ziff. 1 StGB - zum Teil in Verbindung mit Art. 21 Abs. 1 StGB (betreffend Versuch) und teilweise in Verbindung mit Art. 187 Ziff. 4 StGB (betreffend pflichtwidrig unvorsichtigen Irrtum über das Alter der Opfer) - sowie der mehrfachen Pornographie im Sinne von Art. 197 Ziff. 1, 3 und 3bis StGB schuldig. Es bestrafte ihn mit zwei Jahren Gefängnis, unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft von 51 Tagen, und mit einer Busse von 1'000 Franken. Es widerrief gestützt auf Art. 41 Ziff. 3 StGB den mit Entscheid des Untersuchungsrichteramts des Kantons Solothurn vom 11. März 1999 gewährten bedingten Vollzug einer Gefängnisstrafe von drei Tagen und ordnete den Vollzug dieser Strafe an. Gegen dieses Urteil erhob X._ Berufung. A.b Das Obergericht des Kantons Aargau sprach X._ am 29. März 2007 der mehrfachen, zum Teil versuchten sexuellen Handlungen mit Kindern im Sinne von Art. 187 Ziff. 1 StGB - zum Teil in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB, teilweise in Verbindung mit Art. 187 Ziff. 4 StGB - sowie der mehrfachen Pornographie im Sinne von Art. 197 Ziff. 1, 3 und 3bis StGB schuldig. Es bestrafte ihn in Anwendung des am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen neuen Rechts mit zwei Jahren Freiheitsstrafe, unter Anrechnung von 51 Tagen Untersuchungshaft, teilbedingt vollziehbar bei einer Probezeit von drei Jahren, wobei der zu vollziehende und der aufgeschobene Teil der Freiheitsstrafe auf je ein Jahr festgelegt wurden. Auf den Widerruf des bedingten Vollzugs der Vorstrafe von drei Tagen wurde infolge Zeitablaufs (Art. 46 Abs. 5 StGB) verzichtet. Gegen dieses Urteil erhob X._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. A.c Das Bundesgericht hiess mit Entscheid vom 13. November 2007 die Beschwerde teilweise gut, soweit darauf einzutreten war, hob das Urteil des Obergerichts vom 29. März 2007 auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück. B. Das Obergericht des Kantons Aargau sprach X._ mit Urteil vom 24. Januar 2008, teilweise berichtigt durch Entscheid vom 7. Februar 2008, der mehrfachen, zum Teil versuchten sexuellen Handlungen mit Kindern im Sinne von Art. 187 Ziff. 1 StGB - zum Teil in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB und teilweise in Verbindung mit Art. 187 Ziff. 4 StGB - sowie der mehrfachen Pornographie im Sinne von Art. 197 Ziff. 1, 3 und 3bis StGB schuldig. Es bestrafte ihn mit zwei Jahren Freiheitsstrafe, unter Anrechnung von 51 Tagen Untersuchungshaft, teilbedingt vollziehbar bei einer Probezeit von drei Jahren, wobei der zu vollziehende Teil der Freiheitsstrafe auf neun Monate und der aufgeschobene Teil auf 15 Monate festgelegt wurden. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 24. Januar/7. Februar 2008 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei Ziff. 3 des angefochtenen Urteils (betreffend das Strafmass und den teilbedingten Vollzug) aufzuheben, und sei er mit einer Freiheitsstrafe von unter zwei Jahren unter Gewährung des bedingten Vollzugs bei einer angemessenen Probezeit sowie mit einer Verbindungsgeldstrafe in angemessener Höhe zu bestrafen. D. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassungen verzichtet.