Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der 1955 geborene M._, Dr. med., arbeitet seit 1. Februar 1999 - ab 1. Juli 2000 in der Funktion eines Qualitätsbeauftragten - am Zentrum X._. Er ist bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung UVG vom 3. Januar 2003 verletzte sich M._ am 25. Dezember 2002 beim Wandern auf der Insel Tasmanien am linken Fuss. Als Art der Schädigung wurde ein Bruch angegeben. Im «Fragebogen zur obligatorischen Unfallversicherung» der Zürich vom 10. Januar 2003 schilderte der Versicherte den Vorfall im Einzelnen wie folgt: «Mehrstündige Wanderung im Freycinet Park mit Gepäck. Stechender Schmerz beim Bergabgehen, Ferse links, professionelles Schuhwerk; zunächst Verdacht auf Zerrung, daher Ruhigstellung ab 26.12.2002 (Fotos vorhanden).» Mit Verfügung vom 19. Februar 2003 verneinte die Zürich eine Leistungspflicht mit der Begründung, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 stelle weder einen Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung dar. Dagegen machte M._ einspracheweise geltend, er habe auf der Wanderung am 25. Dezember 2002 zwei Traumata erlitten, «als ich mit der linken Ferse aus einer senkrechten Granitspalte nach unten abrutschte und mit dem linken Absatz auf einem Felsvorsprung aufschlug» und «als ich beim Abstieg vom Mt. Graham über die Südflanke (Granitfelsen) erneut einen Höhenunterschied von ca. 1,50 m überwinden musste, und, um nicht das Gleichgewicht zu verlieren, den Schwerpunkt reflexartig und unvorhergesehen auf den linken Fuss verlagerte». Mit Einspracheentscheid vom 14. April 2003 bestätigte die Zürich die Verfügung vom 19. Februar 2003. A. Der 1955 geborene M._, Dr. med., arbeitet seit 1. Februar 1999 - ab 1. Juli 2000 in der Funktion eines Qualitätsbeauftragten - am Zentrum X._. Er ist bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung UVG vom 3. Januar 2003 verletzte sich M._ am 25. Dezember 2002 beim Wandern auf der Insel Tasmanien am linken Fuss. Als Art der Schädigung wurde ein Bruch angegeben. Im «Fragebogen zur obligatorischen Unfallversicherung» der Zürich vom 10. Januar 2003 schilderte der Versicherte den Vorfall im Einzelnen wie folgt: «Mehrstündige Wanderung im Freycinet Park mit Gepäck. Stechender Schmerz beim Bergabgehen, Ferse links, professionelles Schuhwerk; zunächst Verdacht auf Zerrung, daher Ruhigstellung ab 26.12.2002 (Fotos vorhanden).» Mit Verfügung vom 19. Februar 2003 verneinte die Zürich eine Leistungspflicht mit der Begründung, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 stelle weder einen Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung dar. Dagegen machte M._ einspracheweise geltend, er habe auf der Wanderung am 25. Dezember 2002 zwei Traumata erlitten, «als ich mit der linken Ferse aus einer senkrechten Granitspalte nach unten abrutschte und mit dem linken Absatz auf einem Felsvorsprung aufschlug» und «als ich beim Abstieg vom Mt. Graham über die Südflanke (Granitfelsen) erneut einen Höhenunterschied von ca. 1,50 m überwinden musste, und, um nicht das Gleichgewicht zu verlieren, den Schwerpunkt reflexartig und unvorhergesehen auf den linken Fuss verlagerte». Mit Einspracheentscheid vom 14. April 2003 bestätigte die Zürich die Verfügung vom 19. Februar 2003. B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 12. Juli 2004 ab. B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 12. Juli 2004 ab. C. M._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, der Vorfall vom 25. Dezember 2002 sei als Unfall, allenfalls als unfallähnliches Ereignis anzuerkennen und die Zürich sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Im Weitern werden verschiedene Beweisanträge gestellt. Die Zürich beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Zürich beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. In zwei weiteren Eingaben hat sich M._ zur Sache geäussert. D. In zwei weiteren Eingaben hat sich M._ zur Sache geäussert. E. Am 23. November 2006 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht den Fall parteiöffentlich beraten.