Sachverhalt: A. T._ (geb. 1950, gest. am 17. Oktober 2008) und B._ (geb. 1948) sind respektive waren bei der CSS Kranken-Versicherung AG obligatorisch krankenpflegeversichert. T._ reichte dem Krankenpflegeversicherer eine Rechnung des Zentrums S._ im Betrag von EUR 4165.- wegen eines notfallmässigen Spitalaufenthalts vom 17. bis zum 29. Juni 2004 ein. B._ legte seinerseits eine Rechnung im Betrag von EUR 1673.- für einen Spitalaufenthalt vom 15. bis 26. Juni 2004 vor. Der Versicherungsträger liess die Umstände der geltend gemachten Spitalaufenthalte über eine Organisationszentrale für Auslandfälle abklären. Die betreffenden Ergebnisse führten ihn zum Schluss, die eingereichten Belege seien gefälscht. Demzufolge lehnte der Krankenpflegeversicherer die Kostenübernahme ab (mit Einspracheentscheiden vom 3. September 2007 bestätigte Verfügungen vom 20. Januar 2006). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobenen Beschwerden ab (Entscheide vom 31. Januar 2009). C. B._ führt, auch in der Eigenschaft als Rechtsnachfolger seiner verstorbenen Ehefrau, gegen beide Entscheide Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die CSS Kranken-Versicherung AG zu verpflichten, die geltend gemachten Auslagen zu erstatten. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung. Die CSS Kranken-Versicherung AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.