Art. 9 und 29 BV,hat sich ergeben: A.- D._ war seit dem 25. September 1984 einziger Verwaltungsrat der F._ AG. Diese erwarb am 24. November 1988 sämtliche Aktien der E._ Holding AG, welche ihrerseits seit dem 10. Dezember 1987 alle Aktien der E._ AG hielt. Am 24. Februar 1989 wurde D._ auch in den Verwaltungsrat der E._ AG gewählt. Am 12. Dezember 1988 schlossen die F._ AG, die E._ AG und die Bank C._ eine Vereinbarung zur Sanierung der E._ AG. Darin verpflichtete sich die F._ AG unter anderem, die Software der E._ AG zum Preis von Fr. 3'000'000.-- zu kaufen. Der Kaufpreis war zur Hälfte bis Ende 1988 zu bezahlen, für die übrigen Fr. 1'500'000.-- sollte die E._ AG der F._ AG ein langfristiges Darlehen gewähren. Die F._ AG und die E._ AG schlossen dementsprechend am 15. Dezember 1988 einen Kauf- und Lizenzvertrag sowie einen Darlehensvertrag. Danach sollte das Darlehen von Fr. 1'500'000.-- in jährlichen Raten von Fr. 300'000.-- amortisiert werden, erstmals per 30. November 1989. Am 5. Juli 1990 wurde über die E._ AG und die E._ Holding AG infolge einer Überschuldungsanzeige nach Art. 192 aSchKG der Konkurs eröffnet. Der F._ AG wurde am 28. Juni 1991 eine Nachlassstundung gewährt. Der Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung wurde am 3. Dezember 1991 richterlich genehmigt. B.- Die Bank A._, B._ und die Bank C._ (Beschwerdeführerinnen) sind Gläubigerinnen der E._ AG. Im Verlauf des Jahres 1991 liessen sie sich von der Konkursmasse die Verantwortlichkeitsansprüche gegen die Organe der konkursiten E._ AG abtreten. Am 2. September 1993 reichten die Gläubigerinnen Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt ein. Sie verlangten im Wesentlichen die Verurteilung von vier Beklagten, darunter D._, zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins gestützt auf aktienrechtliche Verantwortlichkeitsansprüche. Das Amtsgericht Luzern-Stadt hiess die Klage am 21. Dezember 1998 gut und verpflichtete D._ (unter solidarischer Haftbarkeit mit einem anderen Beklagten) zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins. Das Gericht kam zum Schluss, D._ habe faktisch die E._ AG seit deren Übernahme durch die F._ AG geleitet bzw. deren Geschäfte geführt. In dieser Eigenschaft habe er pflichtwidrig die Bezahlung des Software-Kaufpreises von Fr. 3'000'000.-- nicht überwacht bzw. für die kreditierte Kaufpreishälfte keine hinreichenden Sicherheiten vereinbart. Dadurch sei der E._ AG ein Schaden in dieser Höhe entstanden, welchen der Beklagte in adäquat kausaler Weise durch die Pflichtverletzung verursacht habe, wofür ihn ein nicht leichtes Verschulden treffe. Mit Urteil vom 18. April 2001 bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern auf Appellation des Beklagten hin das erstinstanzliche Urteil. C.-Der Beklagte hat sowohl staatsrechtliche Beschwerde wie Berufung eingereicht. In der staatsrechtlichen Beschwerde beantragt er, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. April 2001 sei aufzuheben. In ihren Vernehmlassungen schliessen die Beschwerdegegnerinnen und das Obergericht des Kantons Luzern auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.