Sachverhalt: A. Die 1968 geborene B._ war ab Juli 1999 vollzeitlich bei der Firma A._ AG angestellt und bei der Personalvorsorgestiftung N._ AG berufsvorsorgerechtlich versichert. Ab November 1999 reduzierte sie ihr Arbeitspensum auf 80 Prozent. Die Arbeitgeberin löste das Arbeitsverhältnis auf Ende Mai 2001 auf. Nach einer Arbeitslosigkeit war B._ von Oktober 2001 bis März 2002 in einem Pensum von 60 Prozent bei der Firma S._ AG beschäftigt und im Rahmen dieser Anstellung bei der Pensionskasse M._ AG versichert. Am 22. November 2001 beantragte B._ eine Rente der Invalidenversicherung. Nach Abklärungen sprach die IV-Stelle für Versicherte im Ausland B._ bei einem Invaliditätsgrad von 75 % ab 1. Februar 2003 eine ganze Invalidenrente zu. Sowohl die Pensionskasse M._ AG (Schreiben vom 28. Februar 2005 und 7. August 2006) als auch die Personalvorsorgestiftung N._ AG (vertreten durch die Swiss Life, Schreiben vom 16. März 2005) verneinten eine Leistungspflicht mit der Begründung, die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt habe, sei schon vor Eintritt in die jeweilige Vorsorgeeinrichtung eingetreten. B. Am 23. Januar 2007 liess B._ Klage erheben und beantragen, die Pensionskasse M._ AG sei zu verurteilen, ihr ab 15. Februar 2003 eine Invalidenrente gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen nebst Verzugszins von 5 % spätestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung zu bezahlen. Die Pensionskasse M._ AG liess die Abweisung der Klage beantragen. Die Personalvorsorgestiftung N._ AG wurde zum Verfahren beigeladen. Nach Abklärungen und Durchführung eines zweifachen Schriftenwechsels hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 12. März 2008 die Klage gut. C. Die Pensionskasse M._ AG lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 12. März 2008 sei aufzuheben und die Klage gegen sie abzuweisen. B._ beantragt die Bestätigung des angefochtenen Entscheids; ferner lässt sie um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Die Personalvorsorgestiftung N._ AG schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.