(Eheschutz), hat sich ergeben: A.- Im Rahmen des Eheschutzverfahrens verfügte der Bezirksgerichtspräsident von W._ am 25. Juni 2001, X._ habe der von ihm getrennt lebenden Y._ ab Juni 2001 monatlich Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Demgegenüber verpflichtete der Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen (nachfolgend: Einzelrichter) am 31. August 2001 X._ in teilweiser Gutheissung eines Rekurses, Y._ vom 1. Juli bis Ende November 2001 monatlich Fr. 1'170.--, ab Dezember 2001 Fr. 780.-- zu entrichten. B.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von Art. 8, 9 und 29 BV beantragt X._, das einzelrichterliche Urteil in Bezug auf den ab Dezember 2001 geschuldeten Beitrag aufzuheben; ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde und stellt ihrerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Der Einzelrichter hat sich nicht vernehmen lassen.