Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 13. Februar 2007 verneinte die Winterthur Versicherungen als obligatorischer Unfallversicherer einen weiteren Leistungsanspruch ihrer Versicherten S._ aus einem am 25. Juni 2006 erlittenen Unfall. Die Frist für die Einreichung einer Einsprache gegen die Verfügung betrug 30 Tage. Am 2. April 2007 erhob S._ Einsprache, wobei sie nebst materiellen Vorbringen darum ersuchte, die Einsprachefrist wieder herzustellen. Die AXA Winterthur (als Rechtsnachfolgerin der Winterthur Versicherungen) wies das Gesuch um Fristwiederherstellung ab und trat auf die Einsprache vom 2. April 2007 wegen verspäteter Einreichung nicht ein (Einspracheentscheid vom 3. Juni 2008). B. Die von S._ hiegegen geführte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 3. Oktober 2008 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei das Gesuch um Wiederherstellung der Einsprachefrist gutzuheissen und die AXA Winterthur zu verpflichten, auf die Einsprache vom 2. April 2007 einzutreten. Die AXA Winterthur beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.