Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1962, mit indischem und US-amerikanischem Bürgerrecht) und Z._ (geb. 1980, ukrainische Staatsangehörige) haben am 16. Oktober 2007 geheiratet. Sie sind die Eltern des Sohnes Y._ (geb. 2008). Seit dem 1. Januar 2009 leben die Parteien getrennt. Mit Entscheid vom 17. April 2009 genehmigte der Amtsgerichtspräsident von Luzern-Stadt eine zwischen den Parteien abgeschlossene Vereinbarung, welche das Getrenntleben regelte. Danach verpflichtete sich X._, monatlich Fr. 1'500.-- an den Unterhalt seines Sohnes und Fr. 3'500.-- an denjenigen seiner Ehefrau zu bezahlen. Zudem erliess der Amtsgerichtspräsident weitere Eheschutzmassnahmen. A.b Mit Gesuch vom 29. Mai 2009 und diversen ergänzenden Eingaben ersuchte X._ um Abänderung der Eheschutzmassnahmen, einschliesslich Abänderung der vereinbarten Unterhaltsbeiträge. Der Amtsgerichtspräsident II von Luzern-Stadt wies dieses Gesuch mit Entscheid vom 4. Mai 2010 ab. B. Den gegen diesen Entscheid von X._ ergriffenen Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Luzern teilweise gut, bejahte den Eintritt einer wesentlichen und dauernden Änderung der finanziellen Verhältnisse, hob die Unterhaltspflicht gegenüber der Ehegattin per Ende Mai 2009 auf und reduzierte den für den Sohn geschuldeten Unterhalt rückwirkend ab 1. Juni 2009 auf Fr. 850.-- (Entscheid vom 7. Juli 2010). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. August 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt in der Sache, die Pflicht zur Bezahlung der Unterhaltsrente für den Sohn Y._ für die Zeit ab 1. Dezember 2009 bis zum voraussichtlichen Wiederaufbau seiner Firma, längstens bis 1. Dezember 2011 einzustellen und Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, ihm den Sportwagen Mercedes-Benz SL 500 herauszugeben. Weiter ersucht der Beschwerdeführer um Erlass der Leistung eines Kostenvorschusses Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.