Sachverhalt: A. Mit Verfügungen vom 15. August und 15. September 2006 bestellte der Präsident des Bezirksgerichts Dielsdorf Rechtsanwalt X._ zum amtlichen Verteidiger von A._. A._ wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 20. September 2007 wegen diverser Delikte schuldig gesprochen (Urteilsdispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtsgebühr setzte das Bezirksgericht auf Fr. 34'093.-- fest (Urteilsdispositiv-Ziffer 8). Diese Kosten, einschliesslich derjenigen der amtlichen Verteidigung, auferlegte es A._, wobei es die Kosten einstweilen auf die Staatskasse nahm (Urteilsdispositiv-Ziffer 9). In der Rechtsmittelbelehrung wurde bestimmt, dass gegen dieses Urteil binnen 10 Tagen ab Zustellung des Urteilsdispositivs beim Bezirksgericht Dielsdorf schriftlich Berufung angemeldet werden könne (Urteilsdispositiv-Ziffer 11). Würden nur die Kosten- und Entschädigungsregelungen des Urteils beanstandet, so sei dagegen Rekurs zu erheben. Dieser sei binnen 20 Tagen nach Zustellung des begründeten Entscheids schriftlich unter Angabe der Gründe und Beilage des Entscheids sowie allfälliger Belege beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, einzureichen (Urteilsdispositiv-Ziffer 12). Mit Eingabe vom 23. Oktober 2007 stellte X._ dem Bezirksgericht Dielsdorf seine Honorarnote über Fr. 28'545.20 zu. Mit Beschluss vom 6. Dezember 2007 kürzte das Bezirksgericht Dielsdorf diese Honorarnote und sprach dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 19'270.10 zu. Dieser Beschluss enthielt keine Rechtsmittelbelehrung. B. Mit Rekurs an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. Februar 2008 beantragte X._, der Beschluss des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 6. Dezember 2007 (zugestellt am 17. Januar 2008) sei aufzuheben, und seine Honorarnote vom 23. Oktober 2007 sei zu genehmigen. Diese Eingabe erfolgte am letzten Tag der 20-tägigen Rekursfrist. Am 7. Februar 2008 überwies die III. Strafkammer die Eingabe von X._ mangels Zuständigkeit an die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese erwog mit Beschluss vom 21. Juni 2008, ein Rekurs sei vorliegend ausgeschlossen, zulässig sei hingegen die Beschwerde. Da die 10-tägige Beschwerdefrist jedoch nicht gewahrt worden sei, sei auf die Beschwerde nicht einzutreten. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Entscheid der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 21. Juni 2008 sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Das Bezirksgericht Dielsdorf und die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet.