Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 4. August 1994 verurteilte das Landesgericht Augsburg den schweizerischen Staatsangehörigen X._ (geb. 1944) wegen Verletzung der Buchführungspflicht, Bankrotts und Kreditbetrugs zu dreieinhalb Jahren Gefängnis, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 334 Tagen. Am 10. August 1994 trat X._ die Strafe in einer deutschen Vollzugsanstalt an. Am 18. Dezember 1994 kehrte er aus einem Hafturlaub nicht mehr in die Anstalt zurück und flüchtete in die Schweiz. Am 7. Dezember 2000 ersuchte das deutsche Bundesministerium für Justiz die Schweiz um Vollstreckung der Reststrafe von 815 Tagen. Am 8. Februar 2001 nahm das Bundesamt für Justiz das Ersuchen an. Es beantragte dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement), das Exequaturverfahren durch den dafür zuständigen Richter in die Wege zu leiten und die Vollstreckung des Strafrestes zu übernehmen. Dagegen erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Dieses trat am 26. April 2001 mangels Anfechtbarkeit des Entscheids des Bundesamtes auf die Beschwerde nicht ein (1A.53/2001). Mit Schreiben vom 9. Mai 2001 forderte das Bundesamt das Departement erneut auf, das Exequaturverfahren in die Wege zu leiten. Am 31. Mai bzw. 31. August 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau das Bezirksgericht Weinfelden um Anhandnahme des Exequaturverfahrens. Am 5. März 2002 wies das Bezirksgericht das Gesuch ab. Dagegen erhob die Staatsanwaltschaft Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau. Dieses hiess die Beschwerde am 29. Juli 2002 gut und ordnete die Vollstreckung der Reststrafe an. Die von X._ hiergegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 5. Dezember 2002 ab (1A.199/2002). Mit Schreiben vom 17. Januar 2003 gab die Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug des Kantons Thurgau (im Folgenden: Abteilung) X._ die Absicht bekannt, den Strafantritt auf den 7. Juli 2003 festzusetzen. Am 27. Februar 2003 teilte X._ der Abteilung mit, er werde das bundesgerichtliche Urteil vom 5. Dezember 2002 an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte weiterziehen. Damit sei über den Vollzug des Strafrestes noch nicht letztinstanzlich entschieden. Zudem bestehe bei ihm wegen des in Aussicht genommenen Strafantritts akute Suizidgefahr. Aus diesen Gründen sei der Strafantritt zu sistieren. Aufgrund dieser Ausführungen beauftragte die Abteilung Bezirksarzt Dr. med. A._, über den Gesundheitszustand von X._ einen Bericht zu verfassen. Dieser solle Antwort darauf geben, welche Voraussetzungen für den Vollzug der Reststrafe zu schaffen seien. Am 21. Mai 2003 erstattete Dr. A._ den Bericht. Er bejahte die Hafterstehungsfähigkeit. Das Risiko einer bilanzierten Handlung, z.B. im Sinne eines Suizides, sei allerdings nicht sicher ausgeschlossen. Dr. A._ empfahl eine fachärztliche psychiatrische Beurteilung. Damit beauftragte das Departement am 27. Mai 2003 Dr. med. B._. Es teilte X._ mit, der Strafantritt werde auf den 1. September 2003 festgelegt. Am 24. Juli 2003 reichte X._ der Abteilung eine Kopie seiner Beschwerde an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte ein; überdies ein am 20. Juni 2003 von Dr. med. C._ verfasstes psychiatrisches Privatgutachten. X._ ersuchte um Sistierung des auf den 1. September 2003 festgesetzten Strafantritts. Am 5. August 2003 teilte die Abteilung X._ mit, der Strafantritt werde auf den 3. November 2003 verschoben. Mit Schreiben vom 13. August 2003 hielt sie fest, an diesem Eintrittstermin werde festgehalten, auch wenn der Bericht von Dr. B._ bis dann noch nicht vorliegen sollte. Am 13. Oktober 2003 verlangte X._ einen anfechtbaren Entscheid über das Aufgebot zum Strafantritt per 3. November 2003. Am 16. Oktober 2003 erstattete Dr. B._ sein Gutachten. Dieses stellte die Abteilung am 22. Oktober 2003 X._ zu. Sie teilte ihm mit, das Gutachten gebe keinen Anlass, vom vorgesehen Termin des Strafantritts abzuweichen. X._ werde am 3. November 2003 im Kantonalgefängnis Frauenfeld erwartet. Beim Strafantritt werde eine medizinischen und psychiatrische Eintrittsuntersuchung stattfinden. Sollte sich ein modifizierter Vollzug, beispielsweise in einer Klinik, aufdrängen, werde dies durchgeführt. Am 23. Oktober 2003 erhob X._ gegen die "Verfügung vom 22. Oktober 2003" Beschwerde beim Departement mit dem Antrag, den Strafantritt aufzuheben; eventuell sei dieser zu verschieben. Mit Entscheid vom 30. November 2003 trat das Departement auf die Beschwerde bzw. den Rekurs nicht ein. Für den Fall, dass es sich um eine Aufsichtsbeschwerde handeln sollte, wies diese das Departement ab. Einer gegen seinen Entscheid gerichteten Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdefrist setzte es auf fünf Tage herab. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dessen Präsident erkannte am 5. November 2003 der Beschwerde die aufschiebende Wirkung wieder zu. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2003 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2003 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichtes aufzuheben; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen; es sei eine mündliche Verhandlung mit persönlicher Befragung des Beschwerdeführers durchzuführen. B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichtes aufzuheben; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen; es sei eine mündliche Verhandlung mit persönlicher Befragung des Beschwerdeführers durchzuführen. C. Das Departement und die Abteilung beantragen unter Verzicht auf eine Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht hat Gegenbemerkungen eingereicht. Es beantragt sinngemäss ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 3. März 2004 hat das präsidierende Mitglied der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.