Sachverhalt: A. A.a A._ (Beklagter) emigrierte im Jahr 1975 aus der Sowjetunion. Seit 1987 wohnt er in Monaco. Heute ist er Staatsbürger der Bundesrepublik Deutschland sowie von Dominica. Im Jahr 1996 wurde er Diplomat der Ständigen Mission des Commonwealth of Dominica bei den internationalen Organisationen in Genf. In einer an die Mission von Dominica gerichteten diplomatischen Note vom 11. November 1998 teilte die Ständige Mission der Schweiz bei den internationalen Organisationen in Genf mit, dass das Eidgenössische Departement für Auswärtige Angelegenheiten (EDA) beschlossen hatte, den Diplomatenstatus des Beklagten mit sofortiger Wirkung aufzuheben und ihm eine Frist von drei Monaten einzuräumen, um die Schweiz zu verlassen. A.b B._ (Kläger) stand mit dem Beklagten seit 1994 in geschäftlichem Kontakt. Unter anderem betätigte er sich für dessen Geschäfte im Kunst- und im Autohandel. Ausserdem gab er dem Beklagten diverse Darlehen. Zur Regelung der ausstehenden Ansprüche des Klägers schlossen die Parteien am 24. Januar 1997 eine Vereinbarung mit Gerichtsstand Zürich und am 9. Januar 1998 eine Ergänzungsvereinbarung. Mit Schreiben vom 18. März 1999 teilte der Beklagte dem Kläger mit, dass er die beiden Vereinbarungen als nichtig betrachte. B. B.a Am 23. Dezember 1999 beantragte der Kläger beim Bezirksgericht Zürich, der Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 261'194.25 nebst 7% Zins seit dem 1. Juli 1998 und Verzugsschaden in der Höhe von mindestens Fr. 50'000.-- zu bezahlen. Das Bezirksgericht Zürich hiess die Klage im Umfang von Fr. 261'194.25 nebst 7% Zins seit dem 1. Juli 1998 auf Fr. 257'418.-- teilweise gut. Im darüber hinausgehenden Betrag wies es die Klage ab. Der Beklagte erhob gegen das Urteil des Bezirksgerichts Berufung. Das Obergericht verpflichtete den Beklagten zur Bezahlung von Fr. 261'194.25 nebst 7% Zins seit dem 1. Juli 1998 auf Fr. 250'000.--. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab. B.b Der Beklagte erhob gegen das Urteil des Obergerichts kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Sitzungsbeschluss vom 22. September 2003 abwies, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil vom heutigen Tag wies das Bundesgericht die vom Beklagten gegen den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts erhobene staatsrechtliche Beschwerde ab. C. Der Beklagte hat gegen das Urteil des Obergerichts eidgenössische Berufung erhoben. Er beantragt, es sei festzustellen, dass die Gerichte und Behörden des Kantons Zürich und insbesondere die Vorinstanz zu Unrecht angenommen haben, er verfüge in der Schweiz nicht über diplomatische Immunität (Rechtsbegehren 1). Weiter sei festzustellen, dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt nicht rechtsgenüglich abgeklärt bzw. bei dessen Abklärung bundesrechtliche Vorschriften sowie solche von Staatsverträgen verletzt hat (Rechtsbegehren 2). Sodann sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Klage abzuweisen bzw. darauf nicht einzutreten (Rechtsbegehren 3a). Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Rechtsbegehren 3b). Der Kläger schliesst auf Abweisung der Berufung.