Sachverhalt: A. Das Bezirksgericht schied mit Urteil vom ... 1986 die Ehe von H._ und W._ und genehmigte eine Vereinbarung über scheidungsrechtliche Nebenfolgen, in welcher sich H._ (geb. 1943) unter anderem verpflichtete, W._ (geb. 1943) nach ihrem Eintritt in das zu Leistungen der Alters- und Hinterlassenenversicherung berechtigende Lebensjahr (abhängig von seinem Nettoeinkommen) lebenslänglich eine an die Teuerung anzupassende monatliche Unterhaltsersatzrente von mindestens Fr. 2'400.- zu bezahlen, dies abzüglich den Betrag einer künftigen AHV-Rente und vorbehältlich allfälliger weitergehender Herabsetzungsansprüche. Mit Vereinbarung vom 6./17. Oktober 2001 passten die geschiedenen Eheleute den Unterhaltsbeitrag mit Wirkung ab Oktober 2001 auf - wiederum um den AHV-Rentenbetrag sowie allfällige weitergehende Herabsetzungsansprüche zu reduzierende - Fr. 4'000.- monatlich an. Am 2./5. Juni 2008 vereinbarten die geschiedenen Eheleute, dass H._ ab Juli 2008 bis zur Aufgabe seiner Erwerbstätigkeit, längstens aber bis zum 1. Juni 2013 einen (unabänderlichen und nicht indexierten) Unterhaltsbeitrag von noch Fr. 500.- monatlich leiste. Ausserdem verpflichtete sich H._, bis zum 10. August 2008 einen Alimentenrückstand von Fr. 25'000.- zu begleichen. Am 2. April 2008 meldete sich W._ zum Bezug von Ergänzungsleistungen zur Altersrente an. Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ rechnete die gerichtlich festgesetzte, an die Teuerung angepasste und um die AHV-Rente der W._ reduzierte Unterhaltsrente in der Höhe von jährlich Fr. 20'004.- als Einkommen (wovon den vom geschiedenen Ehemann nicht bezahlten Teil als Verzichtseinkommen) an und lehnte den mit Wirkung ab April 2008 geltend gemachten Anspruch ab; die anrechenbaren Einnahmen überstiegen die anerkannten Ausgaben um jährlich Fr. 9'547.- (mit Einspracheentscheid vom 6. August 2008 bestätigte Verfügung vom 17. Juni 2008). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 26. Februar 2010). C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, es seien ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, dem Grundsatz nach Ergänzungsleistungen zuzuerkennen; die Sache sei zur Festsetzung der Leistung an die Verwaltung oder an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) zu gewähren. Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.