Sachverhalt: A. Der 1968 geborene N._ war bei der Genossenschaft A._ als Zolldeklarant angestellt und in dieser Eigenschaft bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) unter anderem gegen die Folgen von Berufsunfällen versichert. Am 5. Juli 2010 stürzte er bei der Arbeit von der vereisten Ladefläche eines Lastwagens auf den Asphaltboden. In der Folge beklagte er Beschwerden an der Halswirbelsäule sowie an Nacken-, Schulter- und Kopf. Die AXA erbrachte Versicherungsleistungen. Am 23. Dezember 2010 trat N._ in die Rehaklinik X._ ein, wo er bis 17. März 2011 stationär behandelt wurde. Gestützt auf das von ihr in Auftrag gegebene Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Q._ vom 14. Juni 2011 stellte die AXA mit Verfügung vom 25. Juli 2011 ihre Leistungen auf den 30. Juni 2011 hin ein. Eine Kostenübernahme des stationären Aufenthalts in der Rehaklinik X._ lehnte sie mit der Begründung ab, der Aufenthalt sei unfallbedingt nicht indiziert gewesen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Februar 2012 fest. B. N._ reichte dagegen Beschwerde beim Kantonsgericht Basel-Landschaft ein mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 28. Februar 2012 sei die AXA zu verpflichten, weiterhin Heilkosten und Taggelder zu leisten und insbesondere die Kosten für den stationären Aufenthalt in der Rehaklinik X._ zu übernehmen. Mit Entscheid vom 19. Juli 2012 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde insoweit gut, als es die AXA verpflichtete, die Kosten des stationären Aufenthalts des Versicherten in der Rehaklinik X._ in der Zeit vom 23. Dezember 2010 bis 17. März 2011 zu übernehmen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die AXA, es seien der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 28. Februar 2012 zu bestätigen. Zudem wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung. N._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Zudem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.