Sachverhalt: A. Am 7. November 2008 fand in der Gemeinde Grafschaft eine ausserordentliche Urversammlung betreffend die Verleihung einer Wasserrechtskonzession statt. X._, der in der Gemeinde Grafschaft stimmberechtigt ist, nahm an dieser Urversammlung teil und stellte den Antrag, die Abstimmung sei schriftlich durchzuführen. Dem Antrag wurde stattgegeben, die Abstimmungsvorlage wurde angenommen und das Abstimmungsergebnis den Teilnehmern der Urversammlung sogleich mitgeteilt. Am 19. November 2008 focht X._ den Urversammlungsbeschluss vom 7. November 2008 beim Staatsrat des Kantons Wallis an und machte verschiedene Unregelmässigkeiten bei der Abstimmung geltend. Der Staatsrat trat mit Entscheid vom 21. Januar 2009 auf die Beschwerde nicht ein. Die Beschwerde sei nach Ablauf der dreitägigen Beschwerdefrist und damit verspätet eingereicht worden. Das Kantonsgericht Wallis wies ein gegen diesen Entscheid eingelegtes Rechtsmittel mit Urteil vom 17. April 2009 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 22. Mai 2009 beantragt X._ im Wesentlichen, der Entscheid des Kantonsgerichts sei aufzuheben und der Staatsrat anzuweisen, die Beschwerde vom 19. November 2008 materiell zu behandeln. Die Gemeinde Grafschaft, der Staatsrat und das Kantonsgericht beantragen in ihrer jeweiligen Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2009 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.