Sachverhalt: A. Der aus der Türkei stammende, 1960 geborene X._ gelangte Ende Januar 1990 in die Schweiz. Sein Asylgesuch wurde am 14. Dezember 1993 definitiv abgelehnt, und er wurde zur Ausreise aus der Schweiz bis zum 15. Februar 1994 verpflichtet. Im Oktober 1994 heiratete er in der Türkei eine Schweizer Bürgerin, geboren 1963, und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton St. Gallen. Am 18. Juli 2000 stellte er ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Einbürgerungsverfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 19. September 2001 eine Erklärung, wonach sie in stabiler ehelicher Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. In Entsprechung des Gesuchs wurde X._ am 27. September 2001 das Schweizer Bürgerrecht erteilt. Im Februar 2002 trennte sich das Ehepaar; die Ehefrau beantragte am 15. Mai 2002 Eheschutzmassnahmen. Am 25. Mai 2004 machten die Ehegatten ein gemeinsames Scheidungsbegehren anhängig. Die Ehe wurde am 28. Oktober 2004 geschieden. Am 7. Januar 2005 verheiratete sich X._ in der Türkei mit seiner früheren türkischen Ehefrau. Er hat mit ihr aus erster Ehe einen gemeinsamen, 1988 geborenen Sohn. B. Vor diesem Hintergrund leitete das Bundesamt für Migration (Bundesamt) am 21. März 2005 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. Es befragte die geschiedene Schweizer Ehefrau schriftlich. X._ nahm zu ihren schriftlichen Antworten Stellung und verlangte, seine geschiedene Frau sei persönlich einzuvernehmen. Das Bundesamt kam diesem Begehren nicht nach; auf Nachfrage hatte die Betroffene eine mündliche Befragung in Gegenwart ihres ehemaligen Ehemanns abgelehnt. Das Bundesamt nahm allerdings Einsicht in die Gerichtsakten zum Eheschutz- und Scheidungsverfahren. Mit Verfügung vom 24. August 2006 erklärte das Bundesamt die erleichterte Einbürgerung für nichtig; zuvor hatte der Heimatkanton seine Zustimmung erteilt. C. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 25. April 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 2. Juni 2008 legt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und das Bundesamt sei anzuweisen, von der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung abzusehen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt. Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2008 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.