Sachverhalt: A. Die X._ AG (Vermieterin) vermietete A._ (Mieterin) eine 4,5-Zimmerwohnung im vierten Obergeschoss an der Y._strasse in Z._. Am 5. Dezember 2008 zeigte die Vermieterin der Mieterin eine Mietvertragsänderung mit Wirkung ab 1. April 2009 an, welche eine Erhöhung des bisherigen Mietzinses (ohne Nebenkosten) auf Fr. 1'320.-- vorsah. B. Die Mieterin focht diese Mietvertragsänderung bei der Schlichtungsbehörde für das Mietwesen des Bezirks Brugg an, die am 25. November 2009 das Nichtzustandekommen einer Einigung feststellte. Am 23. Dezember 2009 klagte die Vermieterin beim Gerichtspräsidium Brugg gegen die Mieterin auf Feststellung, dass ein monatlicher Nettomietzins von CHF 1'320.-- zuzüglich Nebenkosten mit Wirkung ab 1. April 2009 für die von der Mieterin gemietete 4,5-Zimmerwohnung nicht missbräuchlich sei. Der Präsident des Gerichtspräsidiums Brugg stellte mit Urteil vom 16. September 2011 in teilweiser Gutheissung der Klage fest, dass sich der monatliche Nettomietzins für die von der Mieterin gemietete Wohnung mit Wirkung ab 1. April 2009 bis 30. September 2010 auf Fr. 1'218.65 und ab 1. Oktober 2010 auf Fr. 1'149.65 belaufe, je zuzüglich bestimmter Nebenkosten. Auf dem Rubrum findet sich unter der Rubrik "Gegenstand" der Vermerk "Ordentliches Zivilverfahren betreffend Mietzinsanfechtung". In der Rechtsmittelbelehrung führte der Gerichtspräsident unter Hinweis auf Art. 308 ff. ZPO aus, dieser Entscheid könne innert 30 Tagen nach seiner Zustellung beim Obergericht des Kantons Aarau mit Berufung angefochten werden. Innert dieser Frist erhob die Mieterin Berufung, auf welche das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 16. Januar 2012 wegen Verspätung nicht eintrat. C. Die Mieterin (Beschwerdeführerin) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Obergerichts vom 16. Januar 2012 aufzuheben und die Sache mit der Anweisung an das Obergericht zurückzuweisen, auf die Berufung vom 7. November 2011 einzutreten. Die Beschwerdeführerin stellte zudem ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und -verbeiständung, das sie jedoch mit Schreiben vom 24. April 2012 zurückzog. Die Vermieterin (Beschwerdegegnerin) hat auf Stellungnahme verzichtet. Hingegen hat das Obergericht eine Vernehmlassung mit dem Antrag auf Abweisung der Beschwerde eingereicht. Dazu hat sich die Beschwerdeführerin in einer Replik geäussert.