Sachverhalt: A. Der 1960 geborene T._ bezog gestützt auf die - mit rechtskräftigem Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 23. Dezember 2009 bestätigten - Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 31. August 2009 ab 1. Mai 2003 eine Viertelsrente, ab 1. August 2003 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 eine bis 31. März 2009 befristete ganze Invalidenrente. Im Oktober/November 2011 meldete er sich erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Er machte eine Verschlechterung seines psychischen Gesundheitszustandes geltend. Die IV-Stelle trat auf die Neuanmeldung ein und verneinte mit Verfügung vom 10. August 2012 einen Rentenanspruch, da keine wesentliche gesundheitliche Änderung eingetreten sei. B. Beschwerdeweise beantragte T._, es sei die Verfügung vom 10. August 2012 aufzuheben, der Invaliditätsgrad zu berechnen und eine entsprechende Rente auszurichten; eventuell sei die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 14. November 2012). C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Vorinstanz resp. die Verwaltung zu verpflichten, den Invaliditätsgrad neu zu berechnen und die entsprechenden gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente, auszurichten; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das kantonale Gericht resp. an die IV-Stelle zurückzuweisen. Ein weiterer Antrag betrifft die Höhe des vom kantonalen Gericht zugesprochenen Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.