Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1953) ist die nicht verheiratete Mutter von Y._ (geb. 1994). Der Vater, ein staatenloser Flüchtling, stammt aus Russland, hält sich zur Zeit bei der Mutter auf und ist erwerbslos; die Kinderalimente mussten bevorschusst werden. Wegen erheblicher Beziehungsprobleme zwischen Mutter und Tochter errichtete die Sozialbehörde der Gemeinde A._ mit Beschluss vom 4. Dezember 2008 über Y._ zunächst eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 ZGB. Später ordnete sie deren Unterbringung in einer Pflegefamilie an und entzog der Mutter schliesslich die Obhut über die Tochter. In der Folge wechselte die Tochter mehrmals die vereinbarten Pflegeplätze und kehrte im Juni 2010 unplanmässig zu ihrer Mutter zurück. A.b Am 17. Juli 2010 ersuchten X._ und Y._ um Aufhebung der Beistandschaft unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung ihres Anwaltes. Mit Beschluss vom 23. September 2010 hob die Sozialbehörde A._ den Obhutsentzug auf. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies sie mit Entscheid vom 4. November 2010 (mangels Nachweises der Bedürftigkeit und Notwendigkeit einer Verbeiständung) ab. Am 23. November 2010 wies die Sozialbehörde A._ auch das Gesuch um Aufhebung der Beistandschaft ab. B. X._ und Y._ gelangten in beiden Angelegenheiten an den Bezirksrat Winterthur und ersuchten wiederum um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Mit Beschluss vom 25. März 2011 vereinigte der Bezirksrat die Verfahren und wies das Gesuch mangels Bedürftigkeit ab, ebenso die Beschwerde gegen den Entscheid der Sozialbehörde A._ vom 23. November 2010. C. Am 8. April 2011 erhoben X._ und Y._ beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung gegen den Beschluss des Bezirksrates Winterthur vom 25. März 2011 und ersuchten um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren. In einem selbständig eröffneten Beschluss vom 18. Juli 2011 wies das Obergericht das Gesuch mangels Bedürftigkeit der Mutter ab und setzte eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.--. D. Nachdem die Beschwerdeführerinnen den einverlangten Kostenvorschuss geleistet hatten, nahm das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung an die Hand und wies sie mit Urteil vom 8. September 2011 insoweit ab, als damit die Aufhebung der Beistandschaft verlangt wurde. Demgegenüber hiess es die Berufung hinsichtlich der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Verfahren vor der Sozialbehörde A._ und dem Bezirksrat gut, mit der Begründung, für den fraglichen Zeitraum sei die Bedürftigkeit der Gesuchstellerinnen zu bejahen. Schliesslich auferlegte das Obergericht den Beschwerdeführerinnen die Hälfte der Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- und sprach ihnen für das Berufungsverfahren keine Prozessentschädigung zu. E. Mit Eingabe vom 12. September 2011 (Datum der Postaufgabe) wenden sich X._ (Mutter/Beschwerdeführerin 1) und Y._ (Tochter/Beschwerdeführerin 2) gegen den Entscheid vom 18. Juli 2011 an das Bundesgericht und beantragen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das obergerichtliche und das bundesgerichtliche Verfahren. Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.