Sachverhalt: A. Am 23. November 2007 reichte X._, Geschäftsführer und Präsident des Stiftungsrats der "A._ Stiftung", beim Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland gegen B._ Privatstrafklage wegen Ehrverletzung ein. Anlass waren zwei von B._ an das Bundesamt für Sozialversicherung versandte E-Mails. Darin wurde u.a. die Frage einer allfälligen Veruntreuung von Stiftungsgeldern aufgeworfen und X._ eine beträchtliche kriminelle Energie zugeschrieben. B. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2008 liess der Einzelrichter in Strafsachen des Bezirkes Zürich die Anklage wegen Ehrverletzung nicht zu. Einen von X._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 3. November 2009 ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und das Verfahren sei mit der Auflage, die Anklage zuzulassen, an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. B._ hat sich vernehmen lassen, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen.