Sachverhalt: A. Der 1953 geborene D._ meldete sich am 21. November 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau nahm medizinische und erwerbliche Abklärungen vor. Insbesondere wurde die Eingliederungs- und Arbeitsfähigkeit des Versicherten während eines vom 5. bis 27. Februar 2007 dauernden Aufenthalts in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) abgeklärt (Schlussbericht vom 5. März 2007). Anschliessend lehnte es die IV-Stelle - nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens - mit Verfügungen vom 12. Juni 2007 ab, Leistungen in Form einer Rente oder einer Umschulung zu erbringen. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (ab 1. Januar 2008 neu Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) ab (Entscheid vom 21. Dezember 2007). C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm eine ganze Rente auszurichten; eventuell seien weitere medizinische Abklärungen zu tätigen; ebenfalls im Sinne eines Eventualbegehrens sei ihm "Kostengutsprache für eine Umschulung" zu gewähren. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Schreiben vom 1. Juli 2008 lässt der Beschwerdeführer eine Mitteilung der IV-Stelle vom 30. Juni 2008 einreichen.