Sachverhalt: A. A.a A._ (Beschwerdeführerin) arbeitete von Februar 1985 bis 15. Oktober 2003 bei der Y._ AG als Verkäuferin und Kassiererin. Da die Arbeitgeberin für ihre Arbeitnehmenden mit der X._ Krankenversicherung (Beschwerdegegnerin) eine Kollektiv-Taggeldversicherung nach Versicherungsvertragsgesetz (VVG) abgeschlossen hatte, war die Beschwerdeführerin für das Risiko eines krankheitsbedingten Lohnausfalles nach Massgabe dieses Versicherungsvertrags versichert. Am 15. Oktober 2003 wurde die Beschwerdeführerin wegen Verdachts auf Diebstahl am Arbeitsplatz verhaftet und mit Schreiben vom gleichen Tag wurde ihr gegenüber die fristlose Kündigung des Arbeitsverhältnisses ausgesprochen. In der Folge bescheinigten ihr der Hausarzt Dr. med. B._ ab dem 16. Oktober 2003 und Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, ab dem 17. November 2003 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit. A.b Nachdem die frühere Arbeitgeberin die Arztzeugnisse an die Beschwerdegegnerin weitergeleitet hatte, teilte diese der Beschwerdeführerin - unter Hinweis auf die Umstände der am 15. Oktober 2003 erfolgten Kündigung - mit Schreiben vom 21. November 2003 mit, dass sie die beiden Bescheinigungen betreffend Arbeitsunfähigkeit nicht akzeptieren könne. In der Folge bot die Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 1. Dezember 2003 den Übertritt in eine Einzel-Taggeldversicherung an, mit welcher der "bisherige Versicherungsumfang vollumfänglich gewahrt und ohne Vorbehalte [...] übernommen" werde. Diese Offerte nahm die Beschwerdeführerin mit schriftlicher Erklärung vom 3. Dezember 2003 an. Die Beschwerdegegnerin erstattete der Beschwerdeführerin am 5. April 2004 die bezahlten Prämien in der Höhe von insgesamt Fr. 206.75 zurück und stellte der Beschwerdeführerin keine Prämien mehr in Rechnung. A.c Mit Schreiben vom 16. März 2005 ersuchte die Beschwerdeführerin die Beschwerdegegnerin mit Hilfe ihres Rechtsvertreters um Ausrichtung von Krankentaggeldern. Nachdem auch die öffentliche Arbeitslosenkasse ihre Vermittlungsunfähigkeit zufolge Krankheit bestätigt habe, lasse sich die gegenteilige Auffassung der Beschwerdegegnerin nicht mehr aufrecht erhalten. Mit Schreiben vom 11. Mai 2005 verweigerte die Beschwerdegegnerin die Auszahlung der geforderten Krankentaggelder mit der Begründung, dass die Versicherungsdeckung in konkludentem und gegenseitigem Einvernehmen per 15. Oktober 2003 aufgehoben worden sei. B. Mit Eingabe vom 26. Juni 2006 klagte die Beschwerdeführerin beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, auf Zahlung von Fr. 68'595.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. November 2004. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft wies die Klage mit Urteil vom 27. Juni 2007 ab. C. Gegen das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 27. Juni 2007 erhob die Beschwerdeführerin beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts vom 27. Juni 2007 sowie die Gutheissung der Klage im Umfang von Fr. 50'825.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. November 2004. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 27. November 2007 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gutgeheissen. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde, eventualiter die Rückweisung zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.