Sachverhalt: A. A.a Die X._ AG, mit Sitz in Wettingen, gelangte am 20. Dezember 2007 an das Bezirksgericht Baden und stellte "Antrag zum Konkursaufschub". Mit Verfügung vom 9. Januar 2008 bewilligte die Bezirksgerichtspräsidentin 4 (als Konkursrichterin) den Konkursaufschub gemäss Art. 725a OR zunächst bis zum 31. März 2008 und in der Folge bis zum 30. Juni 2008. A.b Nach Ablauf des Konkursaufschubs stellte die X._ AG am 7. Juli 2008 ein Gesuch um Nachlassstundung und beantragte gleichzeitig, den Entscheid über den Konkurs auszusetzen. Am 8. Juli 2008 setzte die Bezirksgerichtspräsidentin das Konkurserkenntnis gemäss Art. 173a SchKG aus. Am 19. August 2008 bewilligte die Bezirksgerichtspräsidentin (als Nachlassrichterin) die Nachlassstundung gemäss Art. 295 SchKG bis zum 19. Februar 2009 und verlängerte diese bis zum 19. März 2009. Mit Verfügung vom 18. Mai 2009 stellte die Nachlassrichterin fest, dass der Nachlassvertrag verworfen wurde. Im Weiterziehungsverfahren (nach Art. 307 SchKG) zog die X._ AG ihr Gesuch um Nachlassstundung am 18. September 2009 zurück, worauf das Nachlassverfahren vom Obergericht des Kantons Aargau am 8. Oktober 2009 als erledigt abgeschrieben wurde. A.c Mit Verfügung vom 18. Dezember 2009 stellte die Bezirksgerichtspräsidentin fest, dass "das Nachlassverfahren infolge Rückzug des Nachlassgesuchs rechtskräftig erledigt" ist (Dispositiv-Ziff. 1), und eröffnete "gestützt auf die Überschuldungsanzeige vom 20. Dezember 2007 in Anwendung von Art. 192 SchKG und Art. 725a Abs. 1 erster Satz OR" den Konkurs über die X._ AG (Dispositiv-Ziff. 2). B. Die X._ AG gelangte an das Obergericht des Kantons Aargau und verlangte die Aufhebung der erstinstanzlichen Verfügung "betreffend Überschuldungsanzeige". Zur Begründung machte sie geltend, nie eine Überschuldungsanzeige im Sinne des Gesetzes eingereicht zu haben. Mit Entscheid vom 16. Februar 2010 wies das Obergericht die Beschwerde (Weiterziehung nach Art. 174 SchKG) ab. C. Mit Eingabe vom 12. April 2010 führt die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts vom 16. Februar 2010 betreffend die Konkurseröffnung aufgrund Überschuldungsanzeige aufzuheben. Weiter ersucht sie um aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 21. April 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Vernehmlassung in der Sache verzichtet.