Sachverhalt: A. Y._ wurde durch Beschluss des Obergerichts (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich vom 22. Juni 2005 verpflichtet, der Pensionskasse X._ aus einem Mietverhältnis insgesamt Fr. 509'935.85 nebst Zins zu zahlen. Eine von ihm erhobene Berufung wies das Bundesgericht (I. Zivilabteilung) am 16. November 2006 ab, soweit darauf einzutreten war (4C.269/2005). Aus den verschiedenen Gerichtsverfahren schuldet Y._ der Pensionskasse X._ Prozessentschädigungen von insgesamt Fr. 89'965.--. B. Mit Eingabe vom 17. Oktober 2007 stellte die Pensionskasse X._ beim Bezirksgericht Z._ das Begehren, über Y._ sei gestützt auf Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG ohne vorgängige Betreibung der Konkurs zu eröffnen. Sie hielt sowohl den Tatbestand des unbekannten Aufenthaltsortes des Schuldners als auch denjenigen der Schuldnerflucht für gegeben. Die Einzelrichterin im summarischen Verfahren gab dem Begehren statt. Das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich hiess am 4. Juli 2008 einen Rekurs Y._s gut und hob die Konkursverfügung auf. Es hielt sodann dafür, die Pensionskasse X._ habe angesichts des Verhaltens Y._s begründeten Anlass gehabt, gestützt auf Art. 54 SchKG am letzten (schweizerischen) Wohnsitz das Verfahren auf Konkurseröffnung ohne vorgängige Betreibung einzuleiten, so dass die erstinstanzliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen zu bestätigen und Y._ zur Bezahlung der zweitinstanzlichen Verfahrenskosten und einer entsprechenden Prozessentschädigung an die Pensionskasse X._ zu verpflichten sei. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. September 2008 verlangt die Pensionskasse X._, den Beschluss des Obergerichts vom 4. Juli 2008 aufzuheben und über den Beschwerdegegner den Konkurs zu eröffnen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.