Sachverhalt: A. Die 1967 geborene S._ war als Verwaltungssekretärin tätig und dadurch bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 18. Juni 1996 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Audi 80 stiess ins Heck des von ihr gelenkten und verkehrsbedingt angehaltenen VW Polo. Dabei erlitt S._ ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 3. September 2007 schloss die AXA Versicherungen AG (nachstehend: AXA) als Rechtsnachfolgerin der Winterthur den Fall ab, wobei sie S._ für die verbleibende Beeinträchtigung an der HWS mit Wirkung ab 1. Januar 2007 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % und eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 25 % zusprach. Daran hielt die AXA mit Einspracheentscheid vom 24. August 2009 fest. Ab 1. März 1999 bezog die Versicherte von der Invalidenversicherung eine hälftige Invalidenrente. Diese wurde mit Verfügung der IV-Stelle Thurgau vom 5. April 2004 aufgrund einer im Jahr 2003 eingetretenen gesundheitlichen Verschlechterung mit Wirkung ab 1. Januar 2004 auf eine ganze Rente (bei einem Invaliditätsgrad von 100 %) erhöht. B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid der AXA erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und einer Integritätsentschädigung gemäss einem Integritätsschaden von 65 % wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 14. April 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Die AXA und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.