Sachverhalt: A. B._ (Ehemann), Jahrgang 1968, und K._ (Ehefrau), Jahrgang 1975, heirateten am 16. Dezember 1995. Sie sind Eltern zweier Söhne, geboren in den Jahren 1994 und 2000. Die beiden Kinder lebten ab Geburt bei den Eltern der Ehefrau. Von Beginn der Ehe an war die Ehefrau vollzeitlich erwerbstätig. Der Ehemann ging während der Ehe keiner oder zeitlich nur beschränkt einer Arbeit nach. Seit Ende September 2002 leben die Ehegatten getrennt. B. Am 30. September 2004 leitete die Ehefrau (fortan: Klägerin) den Scheidungsprozess ein. Der Ehemann (hiernach: Beklagter) trug widerklageweise ebenfalls die Scheidung an. Vereinbarungen über sämtliche Scheidungsfolgen mit Ausnahme der beruflichen Vorsorge konnten gerichtlich genehmigt werden. Die Scheidung, die Zuteilung der elterlichen Sorge über die Kinder an die Klägerin, der persönliche Verkehr und die Unterhaltspflicht des Beklagten gegenüber den Kindern, der gegenseitige Verzicht auf nachehelichen Unterhalt und die güterrechtliche Auseinandersetzung wurden am 19. April 2006 rechtskräftig. Strittig blieb die Aufteilung der Guthaben aus beruflicher Vorsorge mit während der Ehe erworbenen Austrittsleistungen von Fr. 50'710.-- auf Seiten der Klägerin und von Fr. 3'025.-- auf Seiten des Beklagten. Der Gerichtspräsident 3 im Kreis G._ und - auf Appellation des Beklagten hin - das Obergericht des Kantons Bern verweigerten die Teilung der Austrittsleistungen, weil die Teilung auf Grund der Doppelbelastung der Klägerin fundamental gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstossen würde (Urteile vom 6. April 2006 und vom 19. Juli 2006). C. Mit eidgenössischer Berufung beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, die während der Ehe erworbenen Austrittsleistungen hälftig zu teilen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen zur Berufung verzichtet. Die Klägerin beantragt die Abweisung der Berufung. An der Sitzung vom heutigen Tag hat die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts die gleichzeitig gegen das nämliche Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde des Beklagten abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (5P.376/2006).