Sachverhalt: A. X._ und Z._ (peruanischer Staatsangehöriger) sind beide im Jahr 1969 geboren und hatten im August 1997 geheiratet. 1999 gebar X._ den gemeinsamen Sohn Y._. Im Mai 2005 trennte sich das Paar. Auf Gesuch der Ehefrau hin erliess das Bezirksgericht Horgen mit Verfügung vom 20. Oktober 2005 Eheschutzmassnahmen. Unter anderem stellte es Y._ unter die Obhut der Mutter und räumte dem Vater ein begleitetes, zweimal pro Monat in einem Besuchstreff auszuübendes Besuchsrecht ein. Zu dessen Regelung wurde eine Beistandschaft angeordnet. Über alle Instanzen versuchte die Mutter vergeblich, eine vollständige Verweigerung des Besuchsrechts zu erwirken (Bundesgerichtsurteil 5A_117/2007 vom 11. Oktober 2007). B. Am 17. August 2010 machte X._ beim Bezirksgericht Horgen den Scheidungsprozess anhängig. Was den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Sohn angeht, übernahm das Bezirksgericht - nach einer Anhörung des Kindes und entgegen den Anträgen der Mutter - die erwähnte eheschutzrichterliche Regelung. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, ordnete es sodann die hälftige Teilung von X._s Vorsorgeguthaben an. Die Gerichtskosten von Fr. 6'731.50 auferlegte es zu drei Vierteln der Ehefrau und zu einem Viertel dem Ehemann, nahm sie zufolge der beiden Parteien gewährten unentgeltlichen Rechtspflege aber auf die Gerichtskasse. Überdies verurteilte es X._, Z._ eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- (inkl. Mehrwertsteuer) zu bezahlen (Urteil vom 27. September 2011). C. C.a. Vor dem Obergericht des Kantons Zürich beharrte X._ darauf, von einem Besuchs- und Ferienrecht abzusehen und die Beistandschaft aufzuheben. Auch auf eine Aufteilung der Freizügigkeitsleistungen sei zu verzichten. Den Kostenentscheid focht sie ebenfalls an und verlangte, die Gerichtskosten hälftig zu teilen und sie von der Entschädigungspflicht zu befreien; eventuell sei die Prozessentschädigung herabzusetzen und Z._s Rechtsvertreter zuzusprechen. Z._ beantragte die Abweisung der Berufung und verlangte, zur Durchsetzung seines Besuchsrechts geeignete Vollstreckungsmassnahmen im Sinne von Art. 236 Abs. 3 i.V.m. Art. 343 ZPO anzuordnen. C.b. In seinem Urteil vom 6. Dezember 2012 erklärte das Obergericht Z._ anstelle eines persönlichen Besuchsrechts für berechtigt, Y._ Briefe zu schreiben sowie Fotos und übliche Geschenke zukommen zu lassen; diese seien über den zu diesem Zweck eingesetzten Beistand dem Kind jeweils direkt und persönlich und in Abwesenheit der Mutter auszuhändigen. Die hälftige Teilung des Vorsorgeguthabens bestätigte das Obergericht, ebenso den erstinstanzlichen Kostenentscheid. Die zweitinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- auferlegte es X._ und verurteilte sie, Z._ für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'500.-- zu bezahlen. D. Mit Eingabe vom 26. Januar 2013 (Datum der Postaufgabe) gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Die Regelung des persönlichen Verkehrs ficht sie nicht mehr an. Was die Teilung des Vorsorgeguthabens und den erstinstanzlichen Kostenentscheid angeht, hält sie aber an den vor Obergericht gestellten Anträgen fest. Die zweitinstanzlichen Gerichtskosten seien entweder ganz dem Beschwerdegegner aufzuerlegen oder hälftig zu teilen, jedoch jeweils zufolge der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse zu nehmen. Von einer Entschädigung des Beschwerdegegners für das Berufungsverfahren sei abzusehen. Zuletzt ersucht die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.