Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 29. August 2003 sprach das Kriminalgericht des Kantons Luzern X._ der Vergewaltigung nach Art. 190 Abs. 1 StGB schuldig und verurteilte ihn zu 2 1⁄2 Jahren Zuchthaus und 5 Jahren Landesverweisung. Das Kriminalgericht war überzeugt, dass X._ die Privatklägerin A._ am 14. Juli 2001 in der Wohnung seiner Schwester B._ durch Bedrohung und Gewaltanwendung zur Duldung des Beischlafs genötigt habe. A. Am 29. August 2003 sprach das Kriminalgericht des Kantons Luzern X._ der Vergewaltigung nach Art. 190 Abs. 1 StGB schuldig und verurteilte ihn zu 2 1⁄2 Jahren Zuchthaus und 5 Jahren Landesverweisung. Das Kriminalgericht war überzeugt, dass X._ die Privatklägerin A._ am 14. Juli 2001 in der Wohnung seiner Schwester B._ durch Bedrohung und Gewaltanwendung zur Duldung des Beischlafs genötigt habe. B. Gegen das Urteil des Kriminalgerichts appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Luzern. Im Anschluss an die Appellationsverhandlung beschloss das Obergericht, Y.C._ und Z.C._ unter Gewährung der Teilnahme- und Fragerechte des Angeklagten formell als Zeugen einvernehmen zu lassen und wies die Strafsache zur Erhebung dieser Beweisergänzungen an das Amtsstatthalteramt Hochdorf zurück. Am 16. November wies das Obergericht die Appellation ab und verurteilte den Angeklagten abermals wegen Vergewaltigung zu 2 1⁄2 Jahren Zuchthaus und 5 Jahren Landesverweisung. B. Gegen das Urteil des Kriminalgerichts appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Luzern. Im Anschluss an die Appellationsverhandlung beschloss das Obergericht, Y.C._ und Z.C._ unter Gewährung der Teilnahme- und Fragerechte des Angeklagten formell als Zeugen einvernehmen zu lassen und wies die Strafsache zur Erhebung dieser Beweisergänzungen an das Amtsstatthalteramt Hochdorf zurück. Am 16. November wies das Obergericht die Appellation ab und verurteilte den Angeklagten abermals wegen Vergewaltigung zu 2 1⁄2 Jahren Zuchthaus und 5 Jahren Landesverweisung. C. Gegen das obergerichtliche Urteil hat X._ staatsrechtliche Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er rügt die Verletzung von Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 und 2 BV und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. C. Gegen das obergerichtliche Urteil hat X._ staatsrechtliche Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er rügt die Verletzung von Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 und 2 BV und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern beantragen, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Auch A._ (im Folgenden: die Privatklägerin bzw. die Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. In seiner Replik vom 4. April 2005 nahm der Beschwerdeführer zu diesen Vernehmlassungen Stellung und hielt an seinen Anträgen fest. In seiner Replik vom 4. April 2005 nahm der Beschwerdeführer zu diesen Vernehmlassungen Stellung und hielt an seinen Anträgen fest. E. Mit Verfügung vom 11. Februar 2005 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.