Sachverhalt: A. A.a. Am 28. März 1995 gebar Frau B.X._ im kantonalen Spital E._ SG einen Sohn mit Namen C.X._. Der Geburtsvorgang verlief stark verzögert (protrahiert). Unmittelbar danach wurde beim Neugeborenen eine fehlende Atmung mit Herz-Kreislauf-Versagen festgestellt, die eine schwerwiegende und irreversible Hirnschädigung zur Folge hatte. Am 15. Februar 2002 reichte die Eidgenössische Invalidenversicherung (Klägerin) beim Vermittleramt der Stadt St. Gallen ein Schadenersatzbegehren gegen den Kanton St. Gallen ein. Sie beantragte, dass dieser zum Ersatz aller IV-Leistungen zu verurteilen sei, welche die Invalidenversicherung im Zusammenhang mit der perinatalen Behandlung im Spital E._ SG zu erbringen habe. Gleichzeitig beantragte sie die Sistierung des Vermittlungsverfahrens mit der Begründung, dass die künftig zu erbringenden Leistungen noch nicht absehbar seien. Am 28. Februar 2002 sistierte das Vermittleramt der Stadt St. Gallen das Verfahren bis auf Weiteres. A.b. Am 5. März 2008 beantragte die Klägerin beim Vermittleramt Rebstein die Aufhebung der damals vom Vermittleramt der Stadt St. Gallen angeordneten Sistierung und die Fortführung des Verfahrens. Zur Begründung führte sie aus, dass infolge Gesetzesänderung nicht mehr der Kanton St. Gallen, sondern die in Rebstein domizilierte Spitalregion A._ Partei sei. Das Vermittleramt Rebstein hob die Sistierung am 7. März 2008 auf und setzte der Spitalregion A._ eine Frist von zwei Monaten an zur Einreichung einer Stellungnahme zum Schadenersatzbegehren der Klägerin. Am 5. Mai 2008 teilte diese mit, sie erachte das Vermittleramt Rebstein für die Aufhebung der Sistierung nicht als zuständig; eventualiter sei die Klage zufolge Verwirkung abzuweisen. Am 4. Juni 2008 schrieb die Klägerin dem Vermittleramt Rebstein, dass ihr unter diesen Umständen die gesetzlich vorgesehene Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim Gericht anzusetzen sei. Mit Schreiben vom 7. Juni 2008 setzte das Vermittleramt Rebstein der Klägerin eine Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim zuständigen Kreisgericht an. B. B.a. Mit Klageschrift vom 28. August 2008 beantragte die Klägerin, die Spitalregion A._ (Beklagte) sei zu verurteilen, der Klägerin Fr. 1'075'962.45 zuzüglich Zinsen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 24. Februar 2009 beantragte die Beklagte Nichteintreten auf die Klage, eventualiter Abweisung. In der Replik vom 25. Juni 2009 erhöhte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 1'189'141.80. Mit Entscheid vom 3. März 2010 wies das Kreisgericht Rheintal die Klage wegen Verwirkung ab, soweit es auf sie eintrat. Es erwog, die Klägerin hätte die Klage innert zweier Monate nach dem Vermittlungsvorstand dem Gericht einreichen müssen, hielt ihr aber zugute, ihr damaliger Rechtsvertreter habe auf die Richtigkeit der ihm vom Vermittler angesetzten dreimonatigen Klagefrist im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichtes über den Vertrauensschutz verlassen dürfen. Deshalb schade die verspätete Einreichung der Klägerin nicht. Gleichwohl wies das Kreisgericht die Klage ab mit der Begründung, die Klägerin habe die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 4 aVG SG nicht eingehalten; sie habe spätestens am 3. Juli 2000 die Höhe ihres Schadens mit genügender Sicherheit abschätzen können. B.b. Gegen den Entscheid des Kreisgerichts Rheintal vom 3. März 2010 erhob die Klägerin Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Mit Endentscheid vom 2. Juli 2012 wies das Kantonsgericht Berufung und Klage ab, soweit es auf sie eintrat. B.c. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. September 2012 beantragte die Klägerin (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Juli 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zum Entscheid über die Wahrung der einjährigen Verwirkungsfrist sowie zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Urteil 4A_483/2012 vom 7. März 2013 hiess die I. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Beschwerde gut, hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurück. Das Bundesgericht erwog, dass die Ansetzung der Frist von drei Monaten durch das Vermittleramt Rebstein geeignet war, eine Vertrauensgrundlage zu bilden, dass der Beschwerdeführerin keine grobe prozessuale Unsorgfalt vorgeworfen werden könne und dass sie bezüglich der nachteiligen Dispositionen der Klageeinreichung in Ausschöpfung der Frist zu schützen sei, und es wies die Sache zum Entscheid über die Frage der Wahrung dieser Frist an die Vorinstanz zurück. B.d. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2013 wies die III. Zivilkammer des Kantonsgerichts St. Gallen die Klage erneut ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte den erstinstanzlichen Kostenspruch. Das Kantonsgericht kam zum Schluss, dass das erst am 15. Februar 2002 eingereichte Schadenersatzbegehren unter dem Gesichtspunkt der relativen Verwirkungsfrist als verspätet gelten müsse mit der Folge, dass die eingeklagte Regressforderung verwirkt sei. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. Januar 2014 beantragt die eidgenössische Invalidenversicherung (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 22. Oktober 2013 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz, eventuell an die erste Instanz, zurückzuweisen. Mit Vernehmlassung vom 27. Februar 2014 beantragte die Spitalregion A._ (Beschwerdegegnerin) Abweisung der Beschwerde. Am 17. März 2014 reichte die Beschwerdeführerin weitere Bemerkungen und am 1. April 2014 die Beschwerdegegnerin Gegenbemerkungen ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 20. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.