Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 29. April 2010 lehnte die IV-Stelle des Kantons Luzern das Gesuch der 1957 geborenen O._ um Leistungen der Invalidenversicherung ab. Nachdem das damalige kantonale Verwaltungsgericht die Sache am 27. Juli 2011 zur psychiatrischen Abklärung an die Verwaltung zurückgewiesen hatte, holte die IV-Stelle unter anderem ein (am 24. Januar 2012 erstattetes) Gutachten des Dr. M._ ein. Sie lehnte das Leistungsgesuch (Verfügung vom 13. April 2012) sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung im Verwaltungsverfahren (Verfügung vom 23. April 2012) ab. B. Das Kantonsgericht Luzern wies die gegen beide Verfügungen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. November 2013). C. O._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht, eventuell an die IV-Stelle, zurückzuweisen, damit die betreffende Behörde ein interdisziplinäres Gutachten einhole und anschliessend den Anspruch neu beurteile. Für das Verwaltungsverfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Schliesslich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung) im bundesgerichtlichen Verfahren.