Sachverhalt: A. Über Z._ wurde am 26. Oktober 1981 der Konkurs eröffnet. In der Folge erhielt die Gläubigerin Y._ AG für ihre Forderung von Fr. 4'968.20 einen Verlustschein. Am 27. Dezember 1994 trat sie die Verlustscheinforderung an W._ ab. Dieser wiederum trat die Forderung am 13. Oktober 2012 an die X._ AG ab. B. B.a. In der von der X._ AG gegen Z._ eingeleiteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts A._ für eine Forderung von Fr. 4'968.20 (sowie Verzugsschaden von Fr. 231.80) stellte das Betreibungsamt am 28. Januar 2013 den Zahlungsbefehl zu. Z._ erhob Rechtsvorschlag mit der Begründung, nicht zu neuem Vermögen gekommen zu sein. B.b. Am 27. Februar 2013 legte das Betreibungsamt den Rechtsvorschlag dem Bezirksgericht Arlesheim vor. Mit Verfügung vom 28. Februar 2013 forderte das Bezirksgericht Z._ unter anderem auf, Unterlagen zu seinen finanziellen Verhältnissen einzureichen. Mit Eingabe vom 8. März 2013 beantragte Z._ in der Sache, der Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens sei zu bewilligen und begründete seine finanziellen Verhältnisse mit zahlreichen Unterlagen. B.c. Mit Entscheid vom 18. März 2013 bewilligte das Bezirksgericht den Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens. Es auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 200.-- der X._ AG und verpflichtete diese zu einer Parteientschädigung an Z._ von Fr. 415.80. C. Dem Bundesgericht beantragt die X._ AG (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Verfassungsbeschwerde vom 3. Mai 2013, der bezirksgerichtliche Entscheid sei aufzuheben, der Rechtsvorschlag nicht zu bewilligen, und festzustellen, dass Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) im Umfang von Fr. 4'968.20 zu neuem Vermögen gekommen sei. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung (bezüglich der ihr vom Bezirksgericht auferlegten Parteientschädigung). Das Bezirksgericht und der Beschwerdegegner haben sich dazu nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 30. Mai 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache verlangt das Bezirksgericht in seiner Vernehmlassung vom 6. Juni 2013 sinngemäss, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Vernehmlassung vom 21. Juni 2013, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen und der bezirksgerichtliche Entscheid zu bestätigen, eventualiter sei die Angelegenheit zur Gewährung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Am 25. Juni 2013 hat die Beschwerdeführerin eine Replik eingereicht.