Sachverhalt: A. A.a X._ (Vater) und Z._ (Mutter), beide deutsche Staatsangehörige, sind die unverheirateten Eltern von Y._ (geb. xxxx 2008). Die Anerkennung des Kindes durch den Vater erfolgte rund sechs Monate vor der Geburt am 18. Januar 2008 in Berlin, dem damaligen Wohnort der Mutter. Zugleich vereinbarten die zukünftigen Eltern die Übernahme der gemeinsamen elterlichen Sorge. A.b Y._ kam in der Schweiz zur Welt und lebte hier zusammen mit der Mutter zuletzt "unter der Anschrift des Vaters" in A._. Am 7. Mai 2010 reiste die Mutter mit Y._ gegen den Willen des Vaters und heimlich unter Mitnahme etlicher Möbel und Hausratsgegenstände nach Berlin, nachdem sie sich zuvor beim Einwohnermeldeamt abgemeldet hatte. Seither leben Mutter und Kind in dieser Stadt. A.c Ein vom Vater in Deutschland angehobenes Verfahren auf Rückführung des Kindes wurde vom Kammergericht Berlin mit Beschluss vom 27. Juni 2011 erledigt: Die gegen die Abweisung seines Rückführungsersuchens durch das Amtsgericht (Familiengericht) Pankow/Weissensee erhobene Beschwerde des Vaters wurde zurückgewiesen. Die Eltern haben nunmehr vor einem Gericht in Berlin eine Regelung zum Besuchsrecht getroffen. A.d Am 5. August 2011 gelangte der Vater an die Sozialbehörde A._, Vormundschaftskommission (nachfolgend: Vormundschaftsbehörde A._), mit dem Begehren, es seien nach Art. 307, 308 und 310 ZGB geeignete Massnahmen zum Kindesschutz zu treffen, namentlich sei das alleinige Obhutsrecht "auf ihn zu übertragen". Mit Beschluss vom 8. Dezember 2011 trat die Vormundschaftsbehörde A._ auf das Ersuchen wegen fehlender örtlicher Zuständigkeit nicht ein. B. Mit Beschluss vom 21. März 2012 wies der Bezirksrat Bülach eine gegen den Beschluss der Vormundschaftsbehörde A._ erhobene Beschwerde des Vaters ab. Mit Urteil vom 31. Mai 2012 gab das Obergericht des Kantons Zürich der gegen den Beschluss des Bezirksrats vom 21. März 2011 erhobenen Berufung des Vaters nicht statt. C. Der Vater hat gegen das ihm am 6. Juni 2012 zugestellte Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich am 7. Juli 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 31. Mai 2012 sowie die Beschlüsse des Bezirksrats Bülach vom 21. März 2012 und der Vormundschaftsbehörde A._ vom 8. Dezember 2011 seien aufzuheben. Sinngemäss verlangt er zudem, die Sache sei zur Behandlung des Gesuchs um Erlass von Kindesschutzmassnahmen an die Vormundschaftsbehörde A._ zurückzuweisen. Für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.