Sachverhalt: A. X._ (Kläger und Beschwerdeführer) verkaufte seinem Sohn Y._ (Beklagter) 90 % der Aktien der A._ AG. Teil dieser Vereinbarung ist eine lebenslange Rente in umstrittener Höhe (Fr. 2'200.-- oder Fr. 4'000.--). Nachdem der Beklagte von der Generalbevollmächtigten des Klägers informiert worden war, dieser sei nicht Willens oder fähig, verschiedenen Zahlungsverpflichtungen nachzukommen, unterzeichneten die Parteien am 14. Dezember 2010 eine Vereinbarung. Diese hält unter anderem fest, der Beklagte sei nach Absprache mit der Generalbevollmächtigten berechtigt, Zahlungen direkt vorzunehmen und mit der dem Kläger zustehenden Rente zu verrechnen. B. Es kam zwischen den Parteien bezüglich der Rentenleistungen zum Streit. Im Schlichtungsverfahren, für das dem Kläger die unentgeltliche Prozessführung bewilligt wurde, konnte keine Einigung erzielt werden. Daraufhin suchte dieser auch für das Gerichtsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege nach. Dieses Gesuch wies der Zivilgerichtspräsident Basel-Stadt am 26. März 2013 mangels Bedürftigkeit des Gesuchstellers und Erfolgsaussichten der Klage ab. Auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erkannte am 3. Juli 2013, der Kläger sei nicht mittellos. Es wies dessen Beschwerde ohne Prüfung der Prozessaussichten der Klage ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, ihm für das Verfahren vor dem Zivil- und dem Appellationsgericht die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Da zu seinem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung keine Vernehmlassungen eingingen, hat das Bundesgericht diesem am 10. Oktober 2013 stattgegeben. Der Beschwerdeführer ersucht auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Vernehmlassungen in der Sache wurden nicht eingeholt.