Sachverhalt: A. X._, geboren 1978 und Staatsangehöriger der Republik Türkei, gelangte im März 2005 zur Vorbereitung der Heirat mit einer 1963 geborenen Schweizerbürgerin in die Schweiz. Die Brautleute heirateten im Mai 2005. X._ erhielt hier vom Kanton Zürich die Aufenthaltsbewilligung, der sie ihm letztmals bis zum 19. Mai 2011 verlängerte. Die eheliche Gemeinschaft wurde spätestens am 15. Dezember 2010 aufgegeben, nachdem die Eheleute - im Anschluss an eine Trennungszeit von sieben Monaten - zuvor im April 2010 wieder zusammengezogen waren. Die Ehe ist kinderlos geblieben. Die Eltern und die Schwester X._s leben in der Türkei. In der Schweiz hat er keine Verwandtschaft. B. In seiner Heimat betrieb X._ vor seiner Übersiedlung in die Schweiz ein eigenes Restaurant. In der Schweiz war er zeitweilig erwerbstätig, insbesondere im Gastgewerbe und im Hausdienst. Ab Mitte Dezember 2011 betätigte er sich im Rahmen eines Arbeitsintegrationsprojekts als Servicemitarbeiter. Trotz ausreichender Deutschkenntnisse und nachgewiesener Arbeitsbemühungen gelang es ihm seither nicht, wieder Arbeit zu finden. Seit März 2011 wird er fortlaufend von der Sozialhilfe unterstützt. Per Mitte Juli 2012 lagen gegen X._ sechs Verlustscheine im Gesamtbetrag von rund Fr. 10'500 vor und waren Betreibungen hängig. X._ leidet unter gesundheitlichen Problemen. Er ist nach wie vor in medizinischer Behandlung wegen psychischer und Verhaltensstörungen durch Alkohol (schädlicher Gebrauch, ICD-10: F10.1). Die ärztlichen Atteste von Dezember 2012 und April 2013 sprechen für den Fall der Rückkehr in die Heimat namentlich von negativen Folgen bezüglich Alkoholkarenz, psychischer Stabilität sowie adäquater Kontrolle und Weiterabklärung der Hepatopathie (Leberzirrhose). Gemäss dem Zeugnis vom April 2013 findet die psychosoziale Belastungssituation ihre Ursache in der ausgestandenen Untersuchungshaft, den ehelichen Konflikten und dem "Abschieberisiko". C. Am 10. Februar 2011 legte X._ in der Wohnung seiner Ehefrau in A._/ZH Feuer. Aufgrund starker Rauchentwicklung entstand am Haus ein Sachschaden von rund Fr. 83'000, nebst jenem am zuvor unbrauchbar gemachten Hausrat der Ehefrau. Vom 16. Februar bis zum 30. August 2011 befand X._ sich in Untersuchungshaft. Mit rechtskräftigem Urteil vom 30. Mai 2012 sprach ihn das Bezirksgericht B._/ZH schuldig der Brandstiftung (Art. 221 Abs. 1 StGB), der Sachbeschädigung (Art. 144 Abs. 1 StGB), der versuchten mehrfachen Drohung (Art. 180 Abs. 1 und 2 lit. a StGB) sowie der mehrfachen Tätlichkeiten (Art. 126 Abs. 1 StGB). Es belegte ihn mit einer Freiheitsstrafe von zwanzig Monaten und einer Busse von Fr. 300.--. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde bei einer Probezeit von zwei Jahren aufgeschoben, verbunden mit der Weisung, dass er sich psychotherapeutisch behandeln zu lassen habe. D. Mit Verfügung vom 13. November 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch von X._ um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm zum Verlassen der Schweiz Frist bis zum 13. Februar 2013. Die dagegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel an die Sicherheitsdirektion und hernach an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, blieben erfolglos (Entscheide vom 28. Februar bzw. 25. August 2013). E. X._ erhebt mit Eingabe vom 28. September 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. August 2013 sei aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen respektive zu verlängern. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung und ergänzenden Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Unzumutbarkeit der Wegweisung festzustellen und in der Folge das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, beim Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme zu beantragen. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Über das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ist mit der Hauptsache zu entscheiden.