Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) wurde am 27. Mai 2003 bei einem Verkehrsunfall auf der Autobahn A13 schwer verletzt. Der ausländische Versicherer des Unfallverursachers betraute die Versicherung X._ AG (Beschwerdegegnerin) mit der Regulierung des Schadens in der Schweiz. B. B.a Am 11. Januar 2006 machte der Beschwerdeführer beim Kreisgericht Rheintal eine (Teil-)Klage anhängig mit dem Begehren, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm für den in der Zeit vom 28. Mai 2003 bis zum 31. Dezember 2005 erlittenen Haushaltschaden - unter Abzug einer Akontozahlung und zuzüglich Zins - einen nach dem Beweisverfahren zu beziffernden Betrag, mindestens aber Fr. 66'342.70 zu bezahlen. Das Verfahren wurde auf Ersuchen beider Parteien bis zum Vorliegen eines von der SUVA bei der "Academy of Swiss Insurance Medicine" (asim) in Auftrag gegebenen polydisziplinären Gutachtens sistiert. Das entsprechende von PD Dr. med. B._ verfasste Gutachten vom 31. Dezember 2007 (nachfolgend: asim-Gutachten) wurde dem Kreisgericht am 27. März 2009 vom Beschwerdeführer zugestellt, worauf das Verfahren wieder aufgenommen wurde. Am 12. Mai 2011 fand die Hauptverhandlung statt. Am 17. Mai 2011 teilte der vorsitzende Richter den Parteien mit, das Gericht habe beschlossen, Dr. B._ eine Ergänzungsfrage zu stellen, die sich aus dem beigelegten Schreiben an diesen ergebe. Im Rahmen der nachfolgenden Korrespondenz beanstandete der Beschwerdeführer dieses Vorgehen, wobei er unter anderem geltend machte, die Ergänzungsfrage sei suggestiv gestellt und er habe kein Verständnis dafür, dass Dr. B._ keine Prozessakten unterbreitet würden. Am 23. Juni 2011 beantwortete Dr. B._ die Ergänzungsfrage, wozu sich der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 1. Juli 2011 äusserte. Am 1. September 2011 wies das Kreisgericht die Klage ab. B.b Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Darin beanstandete er unter anderem, das Kreisgericht habe im Zusammenhang mit der Ergänzungsfrage die Mitwirkungsrechte der Parteien bei der Ernennung des Gutachters und der Formulierung der Expertenfragen verletzt und dem Gutachter im Alleingang eine Suggestivfrage gestellt; zudem habe es den Gutachter weder instruiert noch in die Pflicht genommen und ihm die einschlägigen Prozessakten nicht überlassen. B.c Mit Beweisbeschluss vom 31. August 2012 ordnete das Kantonsgericht im Hinblick auf den vom Beschwerdeführer zu beweisenden Grad seiner Haushaltsarbeitsunfähigkeit in der Zeit vom 28. Mai 2003 bis zum 31. Dezember 2005 die Einholung einer Ergänzung zum asim-Gutachten vom 31. Dezember 2007 an. Gleichentags teilte der verfahrensleitende Richter den Parteien unter Einräumung einer Frist zur Stellungnahme mit, es sei beabsichtigt, Dr. B._ mit dieser Ergänzung zu betrauen, worauf der Beschwerdeführer am 14. September 2012 Einwendungen gegen den Gutachter erhob. Am 8. Januar 2013 erklärte die asim-Geschäftsführung gegenüber dem Kantonsgericht, Dr. B._ sei bereit, "allenfalls unter Beizug zweier Fachdisziplinen" die Ergänzung zum Gutachten vom 31. Dezember 2007 zu erstellen. Hierüber wurden die Parteien informiert, und der Beschwerdeführer wurde aufgefordert, zu erklären, ob seine Eingabe vom 14. September 2012 als blosse Stellungnahme oder als Ausstandsbegehren zu verstehen sei, worauf dieser am 11. Januar 2013 Letzteres bejahte. Mit Entscheid vom 11. Februar 2013 wies das Kantonsgericht das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen den vom Gericht vorgeschlagenen Gutachter PD Dr. med. B._ ab und bestimmte denselben zum Experten für die mit Beweisbeschluss vom 31. August 2012 angeordnete Ergänzung des asim-Gutachtens. C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 11. Februar 2013 aufzuheben und das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen Dr. B._ gutzuheissen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer brachte zur Beschwerdeantwort eine Bemerkung an, auf welche die Beschwerdegegnerin duplizierte. Mit Präsidialverfügung vom 2. April 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.