Sachverhalt: A. X._ trat am 22. November 1993 beim ehemaligen Zweckverband für die Familien- und Säuglingsfürsorge in den Bezirken Thal und Gäu eine Arbeitsstelle als Gesundheitsschwester, Fachbereich Mütterberatung, an. Am 23. September 2005 erteilte der mittlerweile in Zweckverband für soziale Dienstleistungen der Amtei Thal-Gäu umbenannte Arbeitgeber X._ einen schriftlichen Verweis wegen Reklamationen seitens von Fachpersonen, inakzeptablen Umgangs mit dem Vorgesetzten und einer Reihe von Vorfällen. Mit Schreiben vom 9. März 2006 kündigte der Zweckverband das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 2006. Zur Begründung verwies er auf den schriftlichen Verweis. Als weitere Gründe nannte er eine Kompetenzüberschreitung, generell eine schlechte Arbeitshaltung, mangelnde Kritik- und Teamfähigkeit sowie Zweifel an der fachlichen Kompetenz der Arbeitnehmerin. X._ erhob gegen die Kündigung Verwaltungsbeschwerde, welche das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 18. Oktober 2006 abwies. In teilweiser Gutheissung der von X._ erhobenen Beschwerde stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 21. Mai 2007 die Missbräuchlichkeit der Kündigung fest, wies das Begehren um Wiederanstellung der Beschwerdeführerin ab und verpflichtete den Zweckverband, X._ eine Abgangsentschädigung im Umfang von sechs Monatslöhnen zu bezahlen. B. Der Zweckverband für soziale Dienstleistungen der Amtei Thal-Gäu hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und Art. 50 BV sowie Verletzung von kantonalem Verfassungsrecht erhoben. Neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt er, es sei festzustellen, dass die Kündigung rechtmässig erfolgt und das Dienstverhältnis beendet sei. Eventualiter sei er zur Entrichtung einer Entschädigung im Umfang von höchstens einem Monatslohn zu verurteilen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. C. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. X._ beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. Das Volkswirtschaftsdepartement, vertreten durch das Amt für Gemeinden, schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 28. August 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.