Sachverhalt: A. Am 1. Juli 2005 erliess die Gemeindeversammlung der Politischen Gemeinde Schiers (GR) ein neues Weidgesetz. Damit wurde das entsprechende Gesetz vom 6. März 1986 total revidiert. Nach dem Weidgesetz von 1986 sind die gemeindeeigenen Alpen Drusa, Garschina, Mutta und Vordertamunt (Schuderser Älpli) - wie bereits zuvor - je einer Alpgenossenschaft zur Bewirtschaftung zugewiesen. Diese Genossenschaften mit den entsprechenden Namen Drusa, Garschina, Mutta und Schuders stammen offenbar aus dem 19. Jahrhundert und stehen in folgendem, engem Zusammenhang zu den Gemeindeteilen, den so genannten Fraktionen bzw. Nachbarschaften. Jede Fraktion ist einer Genossenschaft zugeordnet. Die Mitgliedschaft steht Personen mit landwirtschaftlichem Domizil in der betreffenden Fraktion offen. Das Weidgesetz vom 1. Juli 2005 regelt die Nutzung der Gemeindealpen neu. Im vorliegenden Zusammenhang umstritten sind die Bestimmungen, die eine Fusion der vier vorgenannten Genossenschaften zur öffentlichrechtlichen Weid- und Alpgenossenschaft Schiers vorsehen. Ergänzend beschloss die Gemeindeversammlung am 1. Juli 2005 die Übernahme der Hypothekarschulden der Alpgenossenschaften Drusa, Garschina und Mutta zu Lasten der Investitionsrechnung der Gemeinde. Ebenso nahm die Gemeindeversammlung die Gründungsstatuten der Alp- und Weidgenossenschaft Schiers an. Die Gesetzesrevision bezweckt hauptsächlich, die Alpen neu zuzuteilen. Die vier Genossenschaften betreiben Milchkuhhaltung bzw. Sennereien. Ansässige Mutterkuhhalter hatten faktisch, bis auf wenige Ausnahmen, keine Möglichkeit, ihre Tiere auf den gemeindeeigenen Alpen zu sömmern, weil die beiden Kuhhaltungsarten offenbar aus betrieblichen Gründen nicht zusammen passen. In den letzten Jahren ist in der Gemeinde der Bestand an Milchkühen gesunken, während die Zahl der Mutterkühe stetig zugenommen hat. Nach dem neuen Weidgesetz soll die Alp Mutta zur Mutterkuhalp umgewandelt werden; die Milchkühe aus den vier fusionierten Genossenschaften sollen hingegen auf die übrigen drei Alpen verteilt werden. B. Die Alpgenossenschaften Drusa und Garschina sowie je eines ihrer Mitglieder persönlich gelangten mit Verfassungsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Sie verlangten die Aufhebung des neuen Weidgesetzes und der Statuten der Weid- und Alpgenossenschaft Schiers. Die Alpgenossenschaft Schuders und ein Mitglied persönlich erhoben eine parallele Beschwerde. Das Verwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und hiess die Beschwerden mit Urteil vom 4. April 2006 gut. Die zwangsweise angeordnete Fusionierung verstosse gegen die Eigentumsgarantie, weil es sich bei den betroffenen Alpgenossenschaften um privatrechtliche juristische Personen im Sinne von Art. 59 Abs. 3 ZGB bzw. Art. 26 ff. des bündnerischen Einführungsgesetzes vom 12. Juni 1994 zum ZGB (EGzZGB/GR; BR 210.100) handle. Entsprechend hob das Verwaltungsgericht die umstrittenen beiden kommunalen Erlasse auf. C. Mit Eingabe vom 7. Juni 2006 führt die Politische Gemeinde Schiers staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Sie rügt eine Verletzung der Gemeindeautonomie, der Eigentumsgarantie, des Willkürverbots, des Anspruchs auf rechtliches Gehör und sie beklagt eine formelle Rechtsverweigerung. In getrennten Eingaben ersuchen die Alpgenossenschaften Drusa und Garschina mit den beiden beteiligten Mitgliedern einerseits wie die Alpgenossenschaft Schuders und das beteiligte Mitglied anderseits um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Denselben Antrag stellt das Verwaltungsgericht.