Sachverhalt: A. Der 1950 geborene V._ meldete sich im August 2000 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle zog verschiedene medizinische Berichte bei und führte eine Abklärung in der beruflichen Abklärungsstelle X._ durch. In der Folge verneinte sie mit Verfügung vom 10. Oktober 2001 einen Anspruch auf weitere Leistungen. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern diese Verfügung auf und wies die Sache zur Ergänzung der Abklärungen an die Verwaltung zurück. Die IV-Stelle traf weitere medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle am Inselspital Bern (MEDAS) vom 23. Dezember 2004 ein. Anschliessend lehnte sie es - nach Einholung einer Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 4. April 2005 - mit Verfügung vom 6. April 2005 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten. Der ermittelte Invaliditätsgrad betrug 31%. An dieser Beurteilung hielt die IV-Stelle (nunmehr auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 32.49%) mit Einspracheentscheid vom 9. September 2005 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 14. August 2007). C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde führen. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz oder die IV-Stelle. Das überdies gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wurde mit Verfügung vom 2. April 2008 abgewiesen. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.