Sachverhalt: A. A.a Im März 1995 gebar Frau A._ im kantonalen Spital I._/SG einen Sohn. Der Geburtsvorgang verlief stark verzögert (protrahiert). Unmittelbar danach wurde beim Neugeborenen eine fehlende Atmung mit Herz-Kreislauf-Versagen festgestellt, die eine schwerwiegende und irreversible Hirnschädigung zur Folge hatte. Am 15. Februar 2002 reichte die Eidgenössische Invalidenversicherung (Klägerin) beim Vermittleramt der Stadt St. Gallen ein Schadenersatzbegehren gegen den Kanton St. Gallen ein. Sie beantragte, dass dieser zum Ersatz aller IV-Leistungen zu verurteilen sei, welche die Invalidenversicherung im Zusammenhang mit der perinatalen Behandlung im Spital I._/SG zu erbringen habe. Gleichzeitig beantragte sie die Sistierung des Vermittlungsverfahrens mit der Begründung, dass die künftig zu erbringenden Leistungen noch nicht absehbar seien. Am 28. Februar 2002 sistierte das Vermittleramt der Stadt St. Gallen das Verfahren bis auf Weiteres. A.b Am 5. März 2008 beantragte die Klägerin beim Vermittleramt Rebstein die Aufhebung der damals vom Vermittleramt der Stadt St. Gallen angeordneten Sistierung und die Fortführung des Verfahrens. Zur Begründung führte sie aus, dass infolge Gesetzesänderung nicht mehr der Kanton St. Gallen, sondern die in Rebstein domizilierte X._ Partei sei. Das Vermittleramt Rebstein hob die Sistierung am 7. März 2008 auf und setzte der X._ eine Frist von zwei Monaten an zur Einreichung einer Stellungnahme zum Schadenersatzbegehren der Klägerin. Am 5. Mai 2008 teilte diese mit, sie erachte das Vermittleramt Rebstein für die Aufhebung der Sistierung nicht als zuständig; eventualiter sei die Klage zufolge Verwirkung abzuweisen. Am 4. Juni 2008 schrieb die Klägerin dem Vermittleramt Rebstein, dass ihr unter diesen Umständen die gesetzlich vorgesehene Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim Gericht anzusetzen sei. Mit Schreiben vom 7. Juni 2008 setzte das Vermittleramt Rebstein der Klägerin eine Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim zuständigen Kreisgericht an. B. B.a Mit Klageschrift vom 28. August 2008 beantragte die Klägerin, die X._ (Beklagte) sei zu verurteilen, der Klägerin Fr. 1'075'962.45 zuzüglich Zinsen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 24. Februar 2009 beantragte die Beklagte Nichteintreten auf die Klage, eventualiter Abweisung. In der Replik vom 25. Juni 2009 erhöhte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 1'189'141.80. Mit Entscheid vom 3. März 2010 wies das Kreisgericht Rheintal die Klage wegen Verwirkung ab, soweit es auf sie eintrat. Es erwog, die Klägerin hätte die Klage innert zweier Monate nach dem Vermittlungsvorstand dem Gericht einreichen müssen, hielt ihr aber zugute, ihr damaliger Rechtsvertreter habe sich auf die Richtigkeit der ihm vom Vermittler angesetzten dreimonatigen Klagefrist im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichtes über den Vertrauensschutz verlassen dürfen. Deshalb schade die verspätete Einreichung der Klägerin nicht. Gleichwohl wies das Kreisgericht die Klage ab mit der Begründung, die Klägerin habe die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 4 aVG SG nicht eingehalten; sie habe spätestens am 3. Juli 2000 die Höhe ihres Schadens mit genügender Sicherheit abschätzen können. B.b Gegen den Entscheid des Kreisgerichts Rheintal vom 3. März 2010 erhob die Klägerin Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Am 14. November 2011 entschied das Kantonsgericht in einem Teilentscheid, auf die Klage im Umfang des in der Klageschrift gestellten Rechtsbegehrens einzutreten, auf die in der Replik geltend gemachte Erhöhung der Klagesumme hingegen nicht einzutreten. Der Teilentscheid wurde nicht angefochten. Mit Endentscheid vom 2. Juli 2012 wies das Kantonsgericht Berufung und Klage ab, soweit es auf sie eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. September 2012 beantragte die Klägerin (Beschwerdeführerin), der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Juli 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zum Entscheid über die Wahrung der einjährigen Verwirkungsfrist sowie zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Vernehmlassung vom 3. Oktober 2012 beantragte die Beklagte (Beschwerdegegnerin) vollumfängliche Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Am 18. Oktober 2012 reichte die Beschwerdeführerin eine Replik ein. Diese wurde dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin am 24. Oktober 2012 zugestellt mit dem Hinweis, allfällige Bemerkungen hätten bis zum 7. November 2012 zu erfolgen. Die Beschwerdegegnerin liess sich nicht mehr vernehmen. D. Mit Präsidialverfügung vom 28. September 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.