Sachverhalt: A. Der 1959 geborene K._ hat - zufolge einer Erbkrankheit (Alport-Syndrom) - ein Nieren- und Augenleiden und ist schwerhörig. Die Invalidenversicherung richtete ihm deswegen seit Januar 1985 (aufgrund eines Invaliditätsgrades von zunächst 80 Prozent, ab 1986 von 100 Prozent) eine ganze Invalidenrente aus. Nach zwei Nierentransplantationen in den Jahren 1986 und 1987 war der Versicherte "aus nephrologischer Sicht zu 100 % rehabilitiert" (Bericht des Spitals X._ vom 13. September 1989). Auch das Augenleiden begründete seit Februar 1989 keine Arbeitsunfähigkeit mehr (Attest des Spitals Y._ vom 14. April 1989). Indessen sprach die Invalidenversicherung K._ aufgrund eines psychiatrischen Gutachtens des Dr. A._ vom 13. März 1990, welches eine schwere Depression auswies, weiterhin eine ganze Rente (bei einem Invaliditätsgrad von 86 Prozent) zu (Mitteilung vom 3. April 1990). Diese wurde im Rahmen wiederholter Revisionen bestätigt. Gestützt auf eine Expertise der Dienste B._ vom 11. Juli 2008, wonach aus psychiatrischer Sicht keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit mehr bestehe, hob die IV-Stelle des Kantons Aargau die Invalidenrente auf Ende Oktober 2008 hin auf (Verfügung vom 12. September 2008). B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 17. Juni 2009 ab. C. K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, anzuweisen, ihn einer umfassenden interdisziplinären Untersuchung zuzuführen und hernach allenfalls neu zu verfügen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde sowie des Gesuchs des Versicherten, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und die ganze Invalidenrente sei bis zum Abschluss des Verfahrens weiterhin auszuzahlen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesgericht weist das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab (Verfügung vom 2. Dezember 2009).