Sachverhalt: A. X._ (Jg. 1939) und Z._ (Jg. 1957) haben am xxxx 1981 in Zürich geheiratet. Sie sind die Eltern der erwachsenen Söhne S._ (Jg. 1985) und T._ (Jg. 1987). Seit dem 21. Januar 2010 leben die Eheleute getrennt. B. Am 1. März 2011 gelangte Z._ mit einem Eheschutzgesuch an das Bezirksgericht Zürich. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 19. April 2011 bezifferte sie den geltend gemachten Unterhaltsanspruch und beantragte, ihren Ehemann zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. März 2010 Fr. 1'300.-- und ab 1. April 2011 Fr. 1'600.-- monatlich an Unterhalt zu bezahlen. Das Bezirksgericht entsprach diesen Anträgen (Verfügung vom 3. Mai 2011). C. C.a X._ legte hierauf Berufung ein. Vor dem Obergericht des Kantons Zürich stellte er das Begehren, er sei zu verpflichten, monatliche Beiträge auf ein separates Konto oder auf ein Sperrkonto zu entrichten, das allen vier Familienmitgliedern zur Unterstützung in Not- und besonderen Bedarfsfällen dienen solle und von dem nur mit einstimmigem Beschluss Bezüge möglich seien. Für die Zeit vom 1. März 2010 bis zum 30. Juni 2011 seien die Unterhaltsbeiträge für seine Frau auf monatlich Fr. 500.--, ab 1. Juli 2011 auf Fr. 1'500.-- zu bestimmen. Die Gerichtsgebühr für das erstinstanzliche Urteil sei Z._ aufzuerlegen. C.b Das Obergericht hiess die Berufung teilweise gut. Es bestimmte die monatlichen Unterhaltsbeiträge für die Zeit vom 1. März 2010 bis 30. Juni 2011 auf Fr. 1'350.-- und ab 1. Juli 2011 auf Fr. 1'380.--, verteilte die Gerichtskosten für das erstinstanzliche Verfahren neu und auferlegte die oberinstanzliche Gerichtsgebühr zu drei Achteln der Ehefrau und fünf Achteln dem Ehemann (Urteil vom 19. Januar 2012). D. X._ (Beschwerdeführer) gelangt nun an das Bundesgericht. In seiner Beschwerde vom 15. Februar 2012 beantragt er, die Unterhaltsbeiträge auf Fr. 500.-- (1. März 2011 [recte: 2010] bis 30. Juni 2011) und Fr. 800.-- (ab 1. Juli 2011) festzusetzen. Die Gerichtskosten für das erstinstanzliche Verfahren seien zur einen Hälfte dem Bezirksgericht Zürich, zur anderen ihm und Z._ (Beschwerdegegnerin) je hälftig aufzuerlegen; diejenigen des zweitinstanzlichen und des bundesgerichtlichen Verfahrens sollen zu Lasten der Obergerichtskasse des Kantons Zürich gehen. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten und Vernehmlassungen eingeholt. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Vernehmlassungen wurden den Parteien zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.