Sachverhalt: A. Die 1959 geborene C._ zog sich im Jahr 1985 als Autoinsassin bei einer Frontalkollision ein erstes Trauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Sie war danach ab 1988 wieder voll arbeitsfähig und bedurfte keiner Heilbehandlung mehr. Am 22. März 2003 erlitt C._ einen erneuten Verkehrsunfall. Ein nachfolgender VW Scirocco prallte ins Heck des Mercedes 500 SEC, in welchem sie als Beifahrerin vorne sass. Wegen danach aufgetretenen Beschwerden suchte C._ Frau Dr. med. G._, Allgemeine Medizin FMH, auf, welche mit Bericht vom 25. Juni 2003 eine Einschränkung der Beweglichkeit der HWS sowie Ohrensausen und Kopfschmerzen beschrieb, ein HWS-Distorsions- und Kontusionstrauma diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte. In der Folge traten auch lumbale Beschwerden auf. Mittels bildgebender Untersuchungen wurden Bandscheibenveränderungen im Bereich der HWS und der Lendenwirbelsäule (LWS) festgestellt. C._ war im Zeitpunkt des zweiten Unfalls als Fitnessinstruktorin in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Die National erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum medizinischen Sachverhalt (unter anderem Einholung des Gutachtens des Dr. med. Z._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, vom 6. Juni 2005 mit Ergänzung vom 31. Oktober 2005) eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 29. November 2005 die Einstellung der Leistungen rückwirkend ab 1. April 2004. Zur Begründung wurde ausgeführt, seit diesem Zeitpunkt hätten keine Unfallfolgen mehr vorgelegen. Die vom Krankenversicherer der C._ hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die auf Zusprechung weiterer Leistungen, insbesondere auch einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung, lautende Einsprache der Versicherten wies die National ab, wobei sie sich bereit erklärte, an das Honorar des von C._ beigezogenen Dr. med. J._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, einen Anteil von Fr. 970.80 zu leisten (Einspracheentscheid vom 25. August 2006). B. Die von C._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 22. Mai 2007 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es seien Leistungen gemäss UVG, insbesondere eine Rente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 55 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 15 %, zuzusprechen; eventuell sei ein multidisziplinäres Gutachten in Auftrag zu geben, um die Arbeitsfähigkeit und den Integritätsschaden abzuklären; subeventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung und Verfügung an die Vorinstanz resp. an die National zurückzuweisen. Die National schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 6. resp. 7. Mai 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109.