Sachverhalt: A. Die Y._ GmbH leitete gegen X._ für eine Forderung in der Höhe von Fr. 31'579.30 nebst Zins zu 5% seit 1. April 2012 die Betreibung (Nr. xxx, Betreibungsamt Meilen-Herrliberg-Erlenbach) ein. Gegen den Zahlungsbefehl vom 21. Mai 2012 erhob der Schuldner am 25. Mai 2012 (Zustellungsdatum) Rechtsvorschlag. Am 7. Juni 2012 gelangte X._ an das Bezirksgericht Meilen und beantragte gestützt auf Art. 85 SchKG, die erwähnte Betreibung sei aufzuheben und das Betreibungsamt sei anzuweisen, Dritten keine Kenntnis von der Betreibung zu geben. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 trat das Bezirksgericht (Einzelgericht im summarischen Verfahren) auf das Begehren nicht ein. B. Gegen die Verfügung des Bezirksgerichts erhob X._ Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich entschied mit Urteil vom 4. April 2013, dass auf die Klage gemäss Art. 85 SchKG einzutreten, sie aber abzuweisen ist. C. Mit Eingabe vom 8. Mai 2013 hat X._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer verlangt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. April 2013 sei aufzuheben. Die von der Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) gegen ihn eingeleitete Betreibung sei gestützt auf Art. 85 SchKG aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, Dritten keine Kenntnis von der Betreibung zu geben. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin hat sich zur Beschwerde nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.