Sachverhalt: A. X._ leidet an Diabetes Typ 1 und einer sog. "hypoglycemia unawareness" (gestörte Wahrnehmung von Unterzuckerungen). Im Juni 2010 geriet er während eines Kurses des Arbeitsintegrationszentrums Basel-Stadt an die Grenze der Unterzuckerung. Da er sich gegen eine Glukose-Infusion wehrte, welche ihm die herbeigerufene Sanität verabreichen wollte, wurde die Polizei hinzugezogen. Nach der Version von X._ drückte ihn ein Polizist unter Anwendung des sog. Polizeigriffs zu Boden, wobei er erhebliche Verletzungen am linken Arm erlitt. B. Am 27. Juni 2012 verklagte X._ den Kanton Basel-Stadt vor dem Zivilgericht auf Schadensersatz in der Höhe von Fr. 161'058.70 zuzüglich Zins, wobei er sich eine Mehrforderung vorbehielt, sowie auf eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 16'000.--. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 7. September 2012 wies der Zivilgerichtspräsident dieses Gesuch ab und erhob einen Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 8'800.--. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 26. Januar 2013 ab. C. Gegen diesen Entscheid führt X._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 21. Februar 2013 beim Bundesgericht Beschwerde. Er beantragt im Wesentlichen, der Entscheid des Appellationsgerichts (Vorinstanz) sei aufzuheben und es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Das Bundesgericht hat keinen Kostenvorschuss erhoben. Der Kanton Basel-Stadt und die Vorinstanz wurden zur Vernehmlassung eingeladen. Letztere beantragt die Abweisung der Beschwerde, ebenso der Kommandant der Kantonspolizei Basel-Stadt. Der Beschwerdeführer hat von der Möglichkeit, sich noch einmal zu äussern, keinen Gebrauch gemacht.