Sachverhalt: A. X._ lernte im Sommer 2004 A._ kennen. Die beiden gingen eine Beziehung ein, welche im Frühling 2005 auseinanderbrach. Trotz Hausverbots besuchte X._ A._ ab Ende Juni 2005 immer wieder in ihrer Wohnung, so auch am 1. Oktober 2005. An diesem Abend kam es zwischen den Genannten zu einer verbalen Auseinandersetzung, in deren Verlauf X._ mit mindestens einem Messer mehrfach derart heftig gegen bzw. in den Hals und den Bauch von A._ stach, dass diese schwerste Verletzungen davontrug, so insbesondere zwei Messerstichverletzungen am Hals mit einer hälftigen Durchtrennung der Luftröhre, eine Messerstichverletzung am Brustkorb über dem Brustbein, drei Messerstiche am Oberbauch, darunter einen Leberstich, einen Schnitt an der Gallenblasenwand, am querverlaufenden Dickdarm, am Zwölffingerdarm, am Dünndarm sowie mehrfach am Aufhängeband des Darms und an der oberen Gesässarterie (Vena mesenterica superior). Weitere Schnitt- oder Stichverletzungen betrafen die Extremitäten, darunter eine ca. 20 cm lange Verletzung am linken Unterschenkel. Ohne zeitgerechte ärztliche Intervention hätte A._ nicht überlebt. Die beschriebenen Verletzungen führten im Zeitraum vom 1. Oktober bis 26. Dezember 2005 zu insgesamt 20 Operationen und zu teilweise bleibenden Folgen bzw. zumindest zu erhöhten Gesundheitsrisiken (Verwachsungen in der Bauchhöhle mit der Gefahr eines Darmverschlusses). B. Das Obergericht des Kantons Zürich befand X._ am 26. Oktober 2007 erstinstanzlich der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig (Dispositiv-Ziffer 1). Vom Vorwurf des mehrfachen Hausfriedensbruchs sprach es ihn hingegen frei (Dispositiv-Ziffer 2). Es verurteilte ihn zu einer elfjährigen Freiheitsstrafe, unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft und des vorzeitigen Strafvollzugs (Dispositiv-Ziffer 3). Im Weiteren verpflichtete es ihn, dem Opfer Fr. 60'000.-- und dessen Sohn Fr. 5'000.-- als Genugtuung zu bezahlen. Im Übrigen verwies es das Genugtuungsbegehren des Opfers auf den Weg des ordentlichen Zivilprozesses (Dispositiv-Ziffern 4 und 5). C. Auf eine von X._ eingereichte kantonale Nichtigkeitsbeschwerde trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 23. Juli 2008 nicht ein. D. Mit Eingabe vom 30. Januar/10. September 2008 führt X._ Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Oktober 2007 mit dem Antrag, es sei das Urteil (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben und der Beschwerdeführer mit einer Freiheitsstrafe von sieben Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft sowie des vorzeitigen Strafvollzugs, zu bestrafen. Eventuell sei das Urteil (Dispositiv-Ziffer 3) aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. X._ ersucht ferner um Gewährung der unentgelt-lichen Rechtspflege. E. Vernehmlassungen wurde keine eingeholt.