Sachverhalt: A. A._ (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) wurde am 28. August 1995 beim Überqueren des Fussgängerstreifens in L._ von einem Motorrad erfasst. Dessen Halter ist bei der Zürich-Versicherungs-Gesellschaft AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) haftpflichtversichert. B. B.a. Die Gesuchstellerin reichte am 4. Juli 2013 ein Begehren um vorsorgliche Beweisführung beim Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht Zürich ein. Sie stellte die Anträge, es sei ein gerichtliches Gutachten zur Frage der medizinischen Dauerfolgen ihres Unfalls vom 28. August 1995 erheben zu lassen (Ziffer 1), unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Gesuchsgegnerin (Ziffer 2) und es sei der Gesuchstellerin die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen und ihr in der Person des unterzeichnenden Anwalts ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen (Ziffer 3). Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sowie das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab. B.b. Die Gesuchstellerin gelangte mit Rechtsmitteln vom 15. August 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhob sie Beschwerde. Gegen die Abweisung ihres Begehrens um vorsorgliche Beweisführung erhob sie Berufung. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss und Urteil vom 17. Oktober 2013 (Geschäftsnummer PF 130038-O/U) die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab und verweigerte der Gesuchstellerin auch für das Beschwerdeverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Mit Beschluss und Urteil vom gleichen Tag (Geschäftsnummer LF 130054-O/U) wies das Obergericht sodann die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Einzelgerichts Audienz des Bezirksgerichts Zürich vom 31. Juli 2013. Auch für dieses Verfahren wurde das Gesuch der Berufungsklägerin um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. C. Mit zwei Beschwerden vom 25. November 2013 (Postaufgabe) stellt die Gesuchstellerin den Antrag, es sei Ziffer 1 des obergerichtlichen Urteils vom 17. Oktober 2013 (LF 130054-O/U) aufzuheben und das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 4. Juli 2013 zu bewilligen und die unabhängige medizinische Gutachtensstelle Zürich mit einer Begutachtung zu beauftragen, eventuell sei das Audienzrichteramt des Bezirksgerichts des Kantons Zürich anzuweisen, das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 29. August 1995 wieder anhand zu nehmen und eine dem Bezirksgericht gut scheinende Gutachterstelle mit der Erstellung eines Gutachtens zu beauftragen. Ausserdem beantragt sie Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses zu ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung und begehrt, ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sei sowohl für das kantonale erstinstanzliche Verfahren wie für das obergerichtliche Verfahren gutzuheissen. Ausserdem stellt sie Anträge zur Verlegung der Gerichtskosten und beantragt Parteientschädigung. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin auch für die Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Der von der Beschwerdeführerin verlangte Kostenvorschuss ging fristgerecht ein. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Verfügung vom 16. Januar 2014 wurden die Beschwerden vereinigt und die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen.