Sachverhalt: A. Der 1958 geborene I._ war seit 1985 bei der P._ AG, angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 25. Mai 1987 stürzte der Versicherte (er trug damals noch den Namen J._) mit dem Mofa und schlug mit dem Kopf im Bereich der Stirn auf dem Boden auf. Er war bis 27. Mai 1987 im Spital X._ hospitalisiert und nahm die Arbeit am 1. Juni 1987 wieder auf. Die Behandlung wurde am 11. Juni 1987 abgeschlossen. Am 26. Juli 1994 fuhr der Versicherte mit einem Stapler gegen ein Hindernis. Er wurde nach vorne geschleudert und verletzte sich am Steuerradknopf. Laut Unfallschein (mit Eintragungen von Dr. med. H._) wurde die ärztliche Behandlung am 9. August 1994 abgeschlossen und die Arbeit am Folgetag wieder zu 100% aufgenommen. Spätere Berichte gehen von einer Sternumkontusion aus. Im weiteren Verlauf des Arbeitsverhältnisses erfolgten zwei Bagatellunfall-Meldungen betreffend einen Vorfall vom 26. Dezember 1998 (Prellung der linken Hüfte, welche von einer Papierrolle getroffen wurde) und einen solchen vom 3. Juni 2003 (Tritt auf einen Nagel mit Verletzung des Mittelfusses). Am 22. Juli 2003 wurde I._ von einem Hebeisen an der Brust getroffen. Dabei zog er sich eine Thorax-Prellung zu. Die SUVA holte verschiedene Arztberichte ein und liess den Versicherten am 26. April 2004 durch den Kreisarzt Dr. med. B._ untersuchen. Nach Einsicht in die Röntgenbilder nahm der Kreisarzt am 5. Mai 2004 ergänzend Stellung. Anschliessend hielt die SUVA mit Verfügung vom 7. Mai 2004 fest, dem Versicherten sei ab 10. Mai 2004 auf Grund der reinen Unfallfolgen wieder eine volle Arbeitsfähigkeit zumutbar. Die Taggeldleistungen würden deshalb ab diesem Tag eingestellt. Der Versicherte wandte sich daraufhin schriftlich an Dr. med. B._, welcher ihm am 1. Juli 2004 antwortete. Am 25. September 2004 fiel der Versicherte von einem Stuhl und prallte mit dem Hinterkopf gegen die Wand. Ab 7. November 2004 setzte er wegen Kopfschmerzen die Arbeit aus. Die SUVA zog einen Bericht des Dr. med. Y._, Neurologie FMH, vom 15. Dezember 2004 und das Arztzeugnis UVG von Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, vom 10. Januar 2005 bei. Zudem liess sie am 7. Januar 2005 erneut eine kreisärztliche Untersuchung durch Dr. med. A._ vornehmen. Anschliessend hielt die Anstalt - nach Einholung eines Berichts der Klinik C._, Institut für medizinische Radiologie und Nuklearmedizin, vom 25. Januar 2005 - mit Verfügung vom 11. Februar 2005 fest, der Versicherte gelte ab 10. Januar 2005 auf Grund der reinen Unfallfolgen als voll arbeitsfähig. Dieser Standpunkt wurde mit Einspracheentscheid vom 25. Mai 2005 bestätigt. Zur Begründung führte die SUVA aus, die fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab, wobei es den natürlichen Kausalzusammenhang verneinte (Entscheid vom 8. Januar 2007). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte der Versicherte insbesondere ein der IV-Stelle Luzern erstattetes Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) vom 20. Oktober 2005, ein Protokoll der IV-Stelle vom 24. November 2005 sowie Berichte der Rheumatologin Dr. med. W._, vom 11. Juli 2006 und des Neurologen Dr. med. Q._, vom 8. September 2006 einreichen lassen. C. I._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei zu verpflichten, ihm "weiterhin die gesetzlichen Leistungen aus den versicherten Unfallereignissen zu entrichten, insbesondere aus den Unfallereignissen 1987 und 2004." Insbesondere habe ihm die Beschwerdegegnerin ab 10. Januar 2005 bis auf weiteres Taggelder bei einer vollen Arbeitsunfähigkeit zu entrichten, für Heil- und Pflegekosten aufzukommen und die Rentenfrage und den Anspruch auf Integritätsentschädigung zu prüfen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.