Sachverhalt: A. Die 1950 geborene H._ ist als kaufmännische Angestellte in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 3. Februar 2004 glitt sie beim Aussteigen aus dem Auto auf Glatteis aus und stürzte rückwärts auf den Hinterkopf und den Rücken. Der wegen danach auftretender Beschwerden aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte einen Status nach Schädelprellung mit reaktivem Cervicalsyndrom mit cephaler Begleitsymptomatik. Weiter bestätigte er eine Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt (hausärztlicher Bericht vom 12. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 2. November 2004 eröffnete sie der Versicherten die Einstellung der Leistungen auf den 31. Oktober 2004; zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies damit, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 13. April 2005 fest. B. Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gut. Es hob den Einspracheentscheid auf und verpflichtete die SUVA, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Zur Begründung führte das Gericht im Wesentlichen aus, der adäquate Kausalzusammenhang dürfe erst geprüft werden, wenn der normale, unfallbedingt erforderliche Heilungsprozess abgeschlossen sei. Dieser Zeitpunkt sei hier noch nicht eingetreten, weshalb die Leistungseinstellung nicht geschützt werden könne (Entscheid vom 2. März 2006). C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. H._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.