Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Sozialfürsorgebetruges. Am 16. April 2013 führte die Staatsanwaltschaft bei der Beschuldigten eine Hausdurchsuchung durch. Am 18. April 2013 ersuchte die erbetene Verteidigerin der Beschuldigten bei der Staatsanwaltschaft um Bestellung als amtliche Verteidigerin. Die Staatsanwaltschaft leitete das Gesuch weiter an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich (Büro für amtliche Mandate), welche das Begehren mit Verfügung vom 26. April 2013 abwies. Eine von der Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 22. Juli 2013 ab. B. Gegen den Beschluss des Obergerichtes gelangte die Beschuldigte mit Beschwerde vom 23. August 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Einsetzung ihrer Rechtsvertreterin als amtliche Verteidigerin. Die Staatsanwaltschaft (vertreten durch Oberstaatsanwaltschaft) und das Obergericht verzichteten am 30. August bzw. 3. September (Posteingang: 10. September) 2013 je auf Stellungnahmen.