Anspruch auf verfassungsmässigen Richter); (staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Kassationsgerichts des Kantons St. Gallen vom 28. Juni 1999), hat sich ergeben: A.- Am 19. Februar 1988 wurde S._ vom Bezirksgericht Rorschach wegen fortgesetzter ungetreuer Geschäftsführung zu einer bedingten Gefängnisstrafe von zehn Monaten verurteilt. Aus seinem damaligen strafbaren Verhalten resultierte eine Forderung der Nachlassverwaltung eines Geschädigten, worüber eine aussergerichtliche Vereinbarung über Fr. 500'000. -- getroffen wurde. S._, der Geschäftsführer (mit Aktienmehrheit) der R._ AG war, finanzierte diese Zahlung über das Aktionärsdarlehen der Treuhandgesellschaft und damit zu deren Lasten. Die Abtragung dieser Schuld aus eigenen Mittel war ihm nicht möglich. Bereits ab dem 19. Juni 1989 begann S._, Gelder von Kunden der R._ AG abzuzweigen (Urteil KG Ziff. II.3. S. 5). Der Beginn der Vermögensdelikte fiel in eine Zeit, als S._ noch nicht oder kaum spielte. Das regelmässige Spielen in Casinos begann erst 1992 und entwickelte sich dann zu einer "pathologischen Spielsucht" (Urteil KG S. 17). Bis zum Konkurs der Treuhandgesellschaft am 13. Juni und der Selbstanzeige von S._ am 29. Juni 1996 hatte allein die Summe der zum Nachteil der Kunden der R._ AG veruntreuten Gelder einen Betrag von weit über einer Million Franken erreicht (Urteil KG S. 16). B.- Mit erstinstanzlichem Urteil vom 27. Januar 1999 (eröffnet am 12. März 1999) sprach die Strafkammer des Kantonsgerichts St. Gallen S._ schuldig der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung, des mehrfachen Betrugs, der mehrfachen Urkundenfälschung bzw. der Anstiftung dazu, der ungetreuen Geschäftsführung bzw. -besorgung sowie der Misswirtschaft und verurteilte ihn zu 3 1/2 Jahren Zuchthaus. In einem Anklagepunkt wegen Urkundenfälschung erfolgte ein Freispruch. Das Gericht ordnete sodann eine ambulante psychotherapeutische Behandlung an (Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB). Eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde des Verurteilten wies das Kassationsgericht des Kantons St. Gallen am 28. Juni 1999 (eröffnet am 9. August 1999) ab. C.- S._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Kassationsgerichts - und eventuell auch dasjenige des Obergerichts - aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D.- Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons St. Gallen hat sich nicht vernehmen lassen.