Sachverhalt: A. M._, geboren 1959, arbeitete seit 1995 als Betriebsmitarbeiterin für die Firma B._ AG in X._ und war in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 14. September 2002 sass sie auf dem Beifahrersitz des Citroën Xantia ihres Ehegatten, als ein nachfolgender Mercedes (Personenwagen) in U._ auf das Heck des Citroën auffuhr. Gemäss dem am Unfallort von den beteiligten Fahrern ausgefüllten und unterzeichneten Unfallprotokoll wurde bei dieser Auffahrkollision niemand verletzt. Laut Bericht der Polizeidirektion Y._ vom 25. November 2002 wurde dieses Ereignis von der am Unfallort anwesenden Polizei "als Kleinunfall behandelt", weshalb auf das Erstellen eines Polizeirapports verzichtet wurde. Nachdem das "verbogene Heck" am Citroën vor Ort notdürftig mit Draht gesichert werden konnte, vermochten die Versicherte und ihr Ehemann mit ihrem Auto die Heimfahrt nach Z._ fortzusetzen. Zehn Tage nach dem Unfall (am 24. September 2002) begab sich M._ wegen seit 15. September 2002 anhaltenden "muskelkaterartigen Schmerzen im Nackenbereich" in ärztliche Erstbehandlung zu Dr. med. E._. Er diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und attestierte der Versicherten ab 8. Oktober 2002 eine Arbeitsunfähigkeit von 100% bei geplanter voller Wiederaufnahme der angestammten Tätigkeit ab 27. Oktober 2002. In der Folge übernahm die National die Heilbehandlung und erbrachte ein Taggeld. Von der Invalidenversicherung bezieht M._ seit 1. Oktober 2003 eine ganze Invalidenrente. Nach verschiedenen Rehabilitationsaufenthalten und umfangreichen medizinischen Abklärungen stellte die National gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten des Zentrums A._ der Klinik C._ in U._ vom 26. Juli 2006 (nachfolgend: interdisziplinäres Gutachten) sämtliche Versicherungsleistungen per 31. August 2006 ein (Verfügung vom 28. August 2006) und hielt mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 am verfügten folgenlosen Fallabschluss fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der M._ wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 9. März 2009 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ beantragen, ihr seien unter Aufhebung des angefochtenen Gerichts- und des Einspracheentscheides "ab dem 1. September 2006 die bisherigen Versicherungsleistungen zu erbringen. Eventualiter sei vorgängig des Entscheids ein unabhängiges Gutachten anzuordnen." Während die National auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.