Sachverhalt: A. Die heute im Kanton Thurgau wohnhafte slowakische Staatsangehörige B._, geb. 1966, ist Mutter des 1986 geborenen Sohnes C._, der die gleiche Staatsangehörigkeit besitzt. Ohne ihren Sohn reiste sie 1994 erstmals in die Schweiz ein und arbeitete als Kurzaufenthalterin. Dabei kehrte sie mehrmals in ihre Heimat zurück. Während ihren Aufenthalten in der Schweiz lernte sie den italienischen Staatsangehörigen A._, geb. 1945, kennen. Dieser lebt seit 1961 in der Schweiz und verfügt über die Niederlassungsbewilligung. Beide heirateten im Dezember 1997. Hierauf erhielt B._ im Januar 1998 eine Aufenthaltsbewilligung. Am 15. Juni 2001 ersuchte sie um Familiennachzug für ihren Sohn C._. Das Ausländeramt des Kantons Thurgau lehnte das Gesuch am 16. Juli 2001 ab. Die Eheleute B._ und A._ wandten sich hiergegen erfolglos an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Rekursentscheid vom 24. Mai 2002) und anschliessend an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheid vom 22. Januar 2003). B. Die Eheleute B._ und A._ haben mit Postaufgabe vom 6. März 2003 beim Bundesgericht eine auf den 12. Februar 2003 datierte Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht. Sie beantragen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Ausländeramt des Kantons Thurgau anzuweisen, "die nachgesuchte Familienzusammenführung zu gewähren" und dem Sohn C._ die anbegehrte "Bewilligung ordnungsgemäss zu erteilen". C. Das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; vormals Bundesamt für Ausländerfragen) stellt den Antrag, "die Beschwerde sei im Sinne der Erwägungen gutzuheissen und an die kantonalen Behörden zu neuem Entscheid zurückzuweisen". D. Mit Einreichung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde haben die Eheleute auch beantragt, dem Sohn C._ den Aufenthalt in der Schweiz bis zum Entscheid des Bundesgerichts "im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme" zu erlauben. Der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat dieses Gesuch mit Verfügung vom 21. März 2003 abgewiesen.