Abänderung Unterhaltsbeitrag, hat sich ergeben: A.- J.H._ ist der aussereheliche Vater der am 17. Mai 1986 geborenen S.S._. Mit Unterhaltsvertrag vom 25. Februar 1989 verpflichtete er sich, seiner Tochter bis zum vollendeten sechsten Altersjahr einen indexierten monatlichen Unterhaltsbeitrag in Höhe von Fr. 525.-- zu bezahlen. Für den Zeitraum vom siebten bis zum zwölften Altersjahr beträgt der vereinbarte monatliche Unterhaltsbeitrag Fr. 625.-- und ab Erreichen des dreizehnten Jahres Fr. 725.--. Ab Mai 1998 belief sich der zu bezahlende Unterhaltsbeitrag unter Berücksichtigung des Teuerungszuschlages auf Fr. 965.--. Im März 1998 verheiratete sich J.H._ und wurde Vater einer weiteren Tochter (geboren im Juni 1998) und eines Sohnes (geboren im November 1999). B.- J.H._ erhob am 22. April 1999 beim Bezirksgericht Bülach Klage auf Abänderung des Unterhaltsvertrages und begehrte, den von ihm geschuldeten monatlichen Unterhaltsbeitrag vom 1. Oktober 1998 an bis zur Mündigkeit seiner Tochter S.S._ auf Fr. 200.-- festzusetzen. Das Bezirksgericht setzte in teilweiser Gutheissung der Klage den vom Kläger ab dem 1. Mai 1999 monatlich zu leistenden Unterhaltsbeitrag auf Fr. 300.-- nebst Kinderzulagen herab. Auf Berufung der Beklagten hin erhöhte das Obergericht des Kantons Zürich mit Wirkung ab 1. Mai 1999 den der Beklagten monatlich zustehenden Unterhaltsbeitrag auf Fr. 620.-- zuzüglich etwaiger Kinderzulagen. C.- Die Beklagte führt eidgenössische Berufung und beantragt dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Abänderungsklage abzuweisen. Der Kläger schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit darauf einzutreten sei, und erhebt Anschlussberufung. Er ersucht insofern um Abänderung des vorinstanzlichen Entscheides, als er ab dem 1. Oktober 1998 zu verpflichten sei, der Beklagten einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 620.-- nebst etwaigen Kinderzulagen zu bezahlen. Die Beklagte trägt Abweisung der Anschlussberufung an; das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.