Sachverhalt: A. Die X._ GmbH war eine im Bereich des gewerbsmässigen Personentransports tätige Gesellschaft. Sie war Halterin der auf die Kontrollschilder BE 10 und BE 60 immatrikulierten Fahrzeuge. Die Kontrollschilder BE 60 hinterlegte die X._ GmbH am 6. September 2001 beim Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (im Folgenden: Strassenverkehrsamt), worauf dieses den darauf lautenden Fahrzeugausweis am 19. Mai 2004 annullierte. Am 1. Oktober 2003 beschloss die Gesellschafterversammlung, die Firma in Y._ GmbH zu ändern, und löste die Gesellschaft anschliessend auf. Die Liquidation erfolgte unter der Firma Y._ GmbH in Liquidation. Der entsprechende Handelsregistereintrag wurde am 3. Oktober 2003 vorgenommen. Am 2. September 2005 wurde die Liquidation beendet und die Gesellschaft im Handelsregister gelöscht. Seit der Auflösung der Gesellschaft am 1. Oktober 2003 betreibt der Liquidator und frühere Gesellschafter der X._ GmbH, A.X._, den gewerbsmässigen Personentransport unter der nicht im Handelsregister eingetragenen Einzelfirma A.X._ weiter. Dazu benutzt er unter anderem das auf den Fahrzeugausweis BE 10 immatrikulierte Fahrzeug. B. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2006 ordnete das Strassenverkehrsamt den Entzug des Fahrzeugausweises BE 10 an und forderte A.X._ auf, diesen zusammen mit den Kontrollschildern zurückzugeben. Es verfügte die Freisetzung der Kontrollschildnummer BE 10 nach deren Eingang mit sofortiger Wirkung. Im Weiteren ordnete es den Entzug der hinterlegten Kontrollschildnummer BE 60 und deren Freisetzung mit sofortiger Wirkung an. C. Die von A.X._ dagegen erhobene Einsprache wies das Strassenverkehrsamt am 16. Januar 2007 ab. Es erwog im Wesentlichen, als Halterin der beiden Kontrollschilder BE 10 und 60 sei die X._ GmbH registriert. Diese sei liquidiert und im Handelsregister gelöscht worden. Da die GmbH nicht mehr existiere, habe sie auch kein schutzwürdiges Interesse mehr an den beiden Kontrollschildern BE 10 und 60. A.X._ sei heute rechtswidrig im Besitz der beiden Kontrollschildnummern. Er habe die gesetzliche Meldepflicht verletzt, indem er dem Strassenverkehrsamt den Wechsel des Halters nicht bekannt gegeben habe. Um den Missstand zu beheben, müsste eine Übertragung der Kontrollschilder auf die neue Einzelfirma vorgenommen werden. Dies sei heute aber nicht mehr möglich, weil die GmbH nicht mehr existiere. D. Dagegen reichte A.X._ Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (im Folgenden: Polizeidirektion) ein. Diese wies die Beschwerde mit Entscheid vom 14. Mai 2007 ab. E. Die von A.X._ hiergegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Verwaltungsrechtliche Abteilung) am 16. Januar 2008 ab, soweit es darauf eintrat. F. A.X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; eventualiter sei das Verfahren zu sistieren und dem Beschwerdeführer Gelegenheit zu geben, nachträglich eine Bewilligung zum Halterwechsel einzuholen. G. Das Verwaltungsgericht und die Polizeidirektion beantragen unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Strassenverkehrsamt hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. H. A.X._ hat dazu eine Replik eingereicht. Er hält an den in der Beschwerde gestellten Anträgen fest. I. Das Bundesamt für Strassen hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Diese Vernehmlassung wurde den Beteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt. A.X._ hat dazu Bemerkungen eingereicht.