Sachverhalt: A. X._ (geb. 1984) stammt aus Algerien. Nach einem erfolglos durchlaufenen Asylverfahren (2004/2005) reiste er im Jahr 2006 erneut in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug (Verbleib bei seiner Gattin). Seine Aufenthaltsbewilligung wurde mit Verfügung vom 12. November 2010 nicht mehr verlängert und X._ wurde rechtskräftig weggewiesen. Er weigerte sich allerdings, das Land zu verlassen. Am 10. November 2011 scheiterte eine Rückführung nach Algerien an seinem Widerstand, freiwillig auszureisen. Zwangsrückführungen nach Algerien sind derzeit nicht möglich. B. Nebst dem Strafvollzug befindet sich X._ in ausländerrechtlich begründeter Haft, und zwar vom 3. Mai bis am 14. Juli 2011 (73 Tage) bzw. vom 3. Oktober bis zum 16. November 2011 (45 Tage) in Ausschaffungshaft und seit dem 17. November 2011 (knapp ein Jahr) in Durchsetzungshaft. Mit Verfügung vom 12. September 2012 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die bis zum 1. Oktober 2012 bestätigte Durchsetzungshaft um weitere zwei Monate bis zum 1. Dezember 2012. Mit Eingabe vom 19. September 2012 verlangte X._ beim Appellationsgericht Basel-Stadt seine Entlassung; am 8. Oktober 2012 gelangte er mit dem Vorbringen an die Vorinstanz, er befinde sich seit dem 2. Oktober 2012 ohne gerichtliche Genehmigung in Haft. Mit Urteil vom 10. Oktober 2012 bestätigte die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen des Appellationsgerichts Basel-Stadt die von der Migrationsbehörde verlangte Verlängerung Durchsetzungshaft bis zum 1. Dezember 2012. C. Mit Eingabe vom 2. November 2012 beantragt X._, es sei das Urteil der Einzelrichterin vom 10. Oktober 2012 aufzuheben. Er sei infolge schwerer Verfahrensfehler umgehend aus der Haft zu entlassen. X._ ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Das Appellationsgericht Basel-Stadt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. X._ hält an seinen Anträgen fest. Ein Gesuch von X._ um Anordnung einer vorsorglichen Haftentlassung (aufschiebende Wirkung) wurde vom Präsidenten mit Verfügung vom 5. November 2012 abgewiesen.