Sachverhalt: A. A.a Im Jahre 1983 wurde über X._, dipl. Maler- und Gipsermeister, der Konkurs eröffnet. Die Z._ AG, Sanitäre Installationen, erhielt aus diesem Verfahren drei Konkursverlustscheine über insgesamt Fr. 72'640.90. Diesen Betrag setzte sie im Dezember 2001 gegen X._ in Betreibung. X._ erhob Rechtsvorschlag mit der Begründung, er habe kein neues Vermögen, worauf die Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises A._ das Verfahren gemäss Art. 265a SchKG eröffnete. Da die Z._ AG in der Folge die Betreibung zurückzog, wurde das Verfahren am 19. April 2002 als gegenstandslos geworden abgeschrieben. A.b Nunmehr unter der Firma U._ AG trat die Konkursgläubigerin am 5. September 2003 einen ihrer Verlustscheine (über Fr. 20'010.--) Y._, dem einzelzeichnungsberechtigten Vizepräsidenten ihres Verwaltungsrates, ab. Y._ entschloss sich Mitte September 2003, gemeinsam mit seiner Ehefrau ein Einfamilienhaus in B._ zu kaufen. Auf seine Anfrage unterbreitete ihm X._ nach einer Besichtigung der Liegenschaft am 25. September 2003 eine Offerte für Verputz- und Malerarbeiten in der Höhe von insgesamt Fr. 12'368.--. Am 30. September/3. Oktober 2003 schlossen die beiden einen Werkvertrag, wonach die auf 12 bis 14 Tage veranschlagten Arbeiten am 9. Oktober 2003 begonnen werden sollten. Ferner wurde vereinbart, dass bei Zahlung innert 10 Tagen ein Rabatt von 3 % gewährt werde. Y._ sagte X._ mündlich die Zahlung der Rechnung innert 10 Tagen zu. Dass er beabsichtigte, die Verlustscheinsforderung mit der Werklohnforderung zu verrechnen, verschwieg er, da er der Ansicht war, X._ wäre sonst an der Ausführung der Arbeiten nicht interessiert gewesen. Nach Abschluss der Arbeiten liess X._ am 3. November 2003 Y._ die Rechnung über insgesamt Fr. 14'394.45 zukommen. In diesem Betrag waren Fr. 1'079.45 für die durch die V._ AG ausgeführte Lackierung der Heizungsradiatoren eingeschlossen. Y._ wies X._ mit Schreiben vom 8. Dezember 2003 auf den von der U._ AG erworbenen Verlustschein über Fr. 20'010.-- hin und liess ihn wissen, dass er den Rechnungsbetrag von Fr. 14'394.45 davon abziehe, so dass sich der von X._ noch geschuldete Betrag auf Fr. 5'615.55 reduziere. Mit Schreiben vom 15. Dezember 2003 widersetzte sich X._ einer Verrechnung, da er nicht zu neuem Vermögen gekommen sei. In der von X._ für die Forderung von Fr. 14'394.45 alsdann eingeleiteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes C._ erhob Y._ Rechtsvorschlag. Mit Verfügung vom 8. April 2004 nahm der Präsident 2 des Gerichtskreises D._ davon Kenntnis, dass Y._ sich dem von X._ eingereichten Gesuch um Vormerkung eines Bauhandwerkerpfandrechts im Betrag von Fr. 14'394.45 unterziehe, und wies das Grundbuchamt an, das Pfandrecht vorläufig einzutragen. Sodann erklärte sich X._ bereit, die von Y._ gemäss Schreiben vom 21. Juli 2004 gewünschten Nachbesserungen der Verputz- und Malerarbeiten auszuführen. B. Am 14. Juni 2004 hatte X._ beim Gerichtskreis D._ gegen Y._ Klage eingereicht mit den Anträgen, den Beklagten zur Zahlung von Fr. 14'394.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. Dezember 2003 zu verpflichten und den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes C._ aufzuheben. Der Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und auf Löschung des auf dem Grundstück B._ Gbbl.-Nr. 1 vorgemerkten Bauhandwerkerpfandrechts. Im Verlaufe des Verfahrens gab er zudem ein von Prof. W._ am 17. September 2004 erstelltes Privatgutachten zu den Akten. Mit Urteil vom 11. August 2005 schützte der Gerichtspräsident 5 das klägerische Forderungsbegehren vollumfänglich und beseitigte den vom Beklagten in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes C._ erhobenen Rechtsvorschlag im entsprechenden Umfang. Gleichzeitig wurde das Kreisgrundbuchamt D._ angewiesen, nach vollzogener Zahlung des dem Kläger zugesprochenen Betrags das auf dem Grundstück B._ Gbbl.-Nr. 1 vorgemerkte Bauhandwerkerpfandrecht zu löschen. C. In Gutheissung einer Appellation des Beklagten erkannte das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern am 6. Juli 2006, dass die Klage abgewiesen und der zuständige Grundbuchverwalter angewiesen werde, das vorgemerkte Bauhandwerkerpfandrecht sofort zu löschen. Gleichzeitig wurde der Kläger verpflichtet, dem Beklagten für das Verfahren um Vormerkung des Bauhandwerkerpfandrechts eine Parteientschädigung zu zahlen. Die erst- und zweitinstanzlichen Gerichtskosten und die entsprechenden Parteientschädigungen wurden dem Beklagten auferlegt, und es wurde diesem wie auch dem Kläger die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. D. Der Kläger ist mit Berufung vom 9. Oktober 2006 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, es seien in teilweiser Aufhebung des obergerichtlichen Urteils der Beklagte zur Bezahlung des Betrags von Fr. 14'394.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. Dezember 2003 zu verpflichten und der vom Beklagten in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes C._ erhobene Rechtsvorschlag zu beseitigen. Ausserdem seien die Gerichtskosten für das Verfahren betreffend Vormerkung des Bauhandwerkerpfandrechts sowie des erst- und zweitinstanzlichen Hauptverfahrens dem Beklagten aufzuerlegen und dieser zu verpflichten, ihm für die genannten Verfahren eine Parteientschädigung zu entrichten. Schliesslich ersucht der Kläger darum, ihm für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Der Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit darauf einzutreten sei. Auch er ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat sich nicht vernehmen lassen.