. Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 12. September 2008 betreffend Hausverbot untersagte es die Institution X._ dem 1963 geborenen S._ mit sofortiger Wirkung, für die Dauer von zwei Jahren ihre Räumlichkeiten zu betreten. B. Nachdem S._ dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht hatte erheben lassen, wurde das Verfahren, bevor die Institution X._ sich im Rahmen einer Beschwerdeantwort materiell zur Sache geäussert hatte, auf Ersuchen beider Parteien zwecks Führung aussergerichtlicher Verhandlungen zur Beilegung des Konflikts nach mehrmaligen Erstreckungsbegehren bis 31. Oktober 2009 sistiert (gerichtliche Zwischenverfügungen vom 30. Oktober 2008 sowie 27. Januar und 6. August 2009). Mit Verfügung vom 10. November 2009 hob die Institution X._ - wie mit Eingabe vom 30. Oktober 2009 gegenüber dem angerufenen Gericht angekündigt - ihr am 12. September 2008 verfügtes Hausverbot per sofort wiedererwägungsweise auf. In der Folge liessen sich die Verfahrensbeteiligten zu den Modalitäten des gerichtlichen Verfahrensabschlusses vernehmen. Das Bundesverwaltungsgericht schrieb den Prozess mit Entscheid vom 1. Dezember 2009 infolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 1), auferlegte den Parteien keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 2) und sprach ihnen keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziffer 3). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 3 des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Neubeurteilung der Parteientschädigung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen, welche durch eine unbefangene Abteilung der Vorinstanz vorzunehmen sei. Während das Bundesverwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich die Institution X._ nicht vernehmen.