Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. xxxx 1924) ist seit 22. August 2005 gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB verbeiständet. Sie ist pflegebedürftig und lebt seit ihrer Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (21. Oktober 2010) bei ihrer Tochter Y._. A.b Der Sohn von X._ ersuchte um Entmündigung seiner Mutter. Mit Beschluss vom 16. November 2010 verzichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ auf Errichtung einer Vormundschaft über X._; sie beauftragte aber die Beiständin mit einer konsequenteren Regelung der Betreuung und der ärztlichen Versorgung von X._ (Ziff. 2 des Dispositivs). X._ und Y._ erhoben gegen Ziff. 2 des ihnen am 18. November 2010 zugestellten Beschlusses am 29. November 2010 Beschwerde beim Bezirksrat Winterthur, mit der sie verschiedene, hier nicht relevante Anordnungen verlangten; eine weitere Eingabe liessen sie dem Bezirksrat am 22. Dezember 2010 zukommen. Mit Präsidialverfügung vom 24. Januar 2011 trat der Bezirksrat Winterthur wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein. A.c Dagegen wandten sich X._ und Y._ am 15. Januar 2011 mit Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich; sie rügten eine Untätigkeit der Vormundschaftsbehörde und des Bezirksrats und beantragten, der Bezirksrat sei anzuweisen, seiner Funktion als erste Aufsichtsbehörde in Vormundschaftssachen nachzukommen, und stellten verschiedene Anträge in Bezug auf die Vormundschaftsbehörde. Mit Verfügung vom 24. März 2011 trat die Direktion der Justiz und des Innern wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber und zur Behandlung der Aufsichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. B. Das Obergericht behandelte die als Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung eingereichte Eingabe von X._ und Y._ als Beschwerde im Sinn von Art. 321 Abs. 1 i.V.m. Art. 319 lit. c ZPO. In den Akten des Obergerichts befinden sich die Stellungnahmen des Bezirksrats vom 18. März 2011 und der Vormundschaftsbehörde vom 15. März 2011, die X._ und Y._ nicht zur Kenntnisnahme zugestellt wurden. Mit Beschluss vom 5. Mai 2011 trat das Obergericht auf "die Beschwerde vom 15. Februar 2011 gegen die Präsidialverfügung des Bezirksrates Winterthur vom 24. Januar 2011" wegen verspäteter Beschwerdeeingabe nicht ein. C. Dagegen gelangen X._ und Y._ (Beschwerdeführerinnen) mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Juni 2011 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Sie beantragen, den Beschluss des Obergerichts vom 5. Mai 2011 aufzuheben (Ziff. 1), ferner festzustellen, dass in diesem amtlichen Aufsichtsverfahren alle Vorinstanzen (Bezirksrat Winterthur, Justizdirektion des Kantons Zürich und Obergericht des Kantons Zürich) aufgrund einer falschen Beurteilung des anwendbaren Rechts ihre Aufsichtspflichten verletzt und deshalb den Tatbestand der Rechtsverweigerung erfüllt hätten (Ziff. 2); festzustellen sei ferner, dass im vorliegenden Verfahren das vor dem 1. Januar 2011 geltende Recht (ZPO/ZH, VRG, EGZGB) zur Anwendung gelangen soll (Ziff. 3). Gestützt darauf sei die Zuständigkeitsfrage neu zu beurteilen, indem festgestellt werde, dass vorliegend nicht das Obergericht als zweite Aufsichtsbehörde im Vormundschaftswesen, sondern die Justizdirektion des Kantons Zürich zur Beurteilung der beiden Aufsichtsbeschwerden (die Beschwerde an den Bezirksrat vom 29. November 2010 und die Beschwerde an die kantonale Justizdirektion vom 15. Februar 2011) für zuständig erklärt werde (Ziff. 4). Sodann sei das Obergericht anzuweisen, die Akten an die kantonale Justizdirektion zu überweisen, damit diese in der Sache gemäss beiden unter Ziffer 4 erwähnten Aufsichtsbeschwerden von Amtes wegen eine Untersuchung im Sinn von § 7 VRG gegen den Bezirksrat Winterthur und die Vormundschaftsbehörde A._ einleite und die begehrten Massnahmen ergreife (Ziff. 5). Der Bezirksrat Winterthur hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat sich am 4. August 2011 vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerinnen haben nicht repliziert. D. Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2011 ist das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden.