Sachverhalt: A. X._, geb. 1974, leidet seit Jahren an einer paranoiden Schizophrenie und war deswegen wiederholt infolge Exazerbation dieser Krankheit durch fürsorgerische Freiheitsentziehung in die Psychiatrische Klinik Y._ eingewiesen worden. Nach einer erneuten Einweisung im Juni 2012 entliess ihn das Bezirksamt A._ mit Verfügung vom 21. September 2012 probeweise aus der Klinik, verbunden mit der Weisung, alle drei Wochen einen Termin in der Klinik wahrzunehmen und sich dort die notwendige Depotmedikation verabreichen zu lassen. B. B.a. Mit Schreiben vom 29. Januar 2013 beantragte X._ beim nunmehr zuständigen Familiengericht A._ sinngemäss, es sei die Verfügung des Bezirksamts A._ vom 21. September 2012 betreffend Depotmedikation aufzuheben. Mit Entscheid vom 31. Mai 2013 entliess das Familiengericht X._ aus der fürsorgerischen Unterbringung und verpflichtete ihn, im Sinne einer Nachbetreuung gemäss § 67k Abs. 1 lit. b i.V.m. § 67m EGZGB/AG, bis zum 28. Februar 2014 alle drei Wochen einen Termin in der Psychiatrischen Klinik Y._, wahrzunehmen und sich dort die notwendigen Depotspritzen mit Clopixol und Haldol verabreichen zu lassen. B.b. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 12. August 2013 persönlich Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und ersuchte um Aufhebung der Massnahme. Anlässlich der Verhandlung vom 20. August 2013 wurde der Beschwerdeführer in Gegenwart seines nunmehr beigezogenen Anwalts, Dr. B._, persönlich angehört. Befragt wurden des Weiteren der Beistand von X._ C._ sowie die Oberärztin Dr. med. D._, Pflegefachfrau E._, Stationsleiterin, sowie der Gutachter Dr. med. F._. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. C. Der nicht mehr anwaltlich vertretene X._ hat am 16. September 2013 (Postaufgabe) gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Nachbetreuung. D. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.