Sachverhalt: A. A.a B._, geboren 1977, war am 21. Dezember 2003 von einem Verkehrsunfall betroffen. Sie sass auf dem Hintersitz eines vor einem Rotlicht stehenden Personenwagens, als ein anderes Auto auf dessen Heck auffuhr. Der am Folgetag aufgesuchte Dr. med. A._, Allgemeine Medizin FMH, berichtete im Arztzeugnis UVG vom 22. Januar 2004 über eine Streckhaltung im Bereich der mittleren Halswirbelsäule (HWS) bei sonst unauffälligen Befunden und diagnostizierte eine Distorsion HWS. In der Folge wurde die Versicherte am 14. und 19. Februar 2004 durch Dr. med. C._, Neurologie FMH, untersucht und behandelt (Bericht vom 21. Mai 2004). Dr. med. A._ erklärte am 14. Juni 2004, er habe die Patientin letztmals am 4. Februar 2004 wegen der HWS-Distorsion gesehen. Am 23. August 2005 wurde die Versicherte auf Zuweisung von Dr. med. A._ durch Dr. med. D._, Neurologie FMH, untersucht. Der Arzt führte aus, die Beschwerden hätten sich nach dem Unfall unter Physiotherapie gebessert, bis Beschwerdefreiheit erreicht worden sei. Seit März/April 2005 leide die Patientin an druckartigen Dauerkopfschmerzen occipital beidseits sowie Nackenschmerzen, ohne Ausstrahlung in die Arme. Im Vordergrund stünden aktuell sicher Spannungskopfschmerzen ausgehend von tendomyotischen Beschwerden im Nackenbereich. Die zusätzlich bekannte Migräne sei zur Zeit wenig aktiv. Die SUVA als obligatorischer Unfallversicherer holte eine Stellungnahme des Kreisarztes Dr. med. E._ vom 5. Oktober 2005 ein. Anschliessend verneinte sie mit Verfügung vom 6. Oktober 2005 ihre Leistungspflicht für die erneut aufgetretenen Kopfschmerzen. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2006 fest. Im Verlauf des Einspracheverfahrens wurde ein Bericht des Dr. med. F._, Neurologie FMH, vom 12. Januar 2006 eingereicht. A.b Am 5. Oktober 2006 erlitt die Versicherte erneut einen Auffahrunfall. Ein anderer Personenwagen fuhr auf das Heck ihres an vierter Stelle in einer Kolonne stehenden bzw. in langsamer Fahrt befindlichen Autos auf und schob dieses in den davor fahrenden Wagen. In der Folge wurden alle fünf Autos ineinander gedrückt. Die SUVA traf Abklärungen und erbrachte Leistungen in Form von Taggeldern und Heilbehandlung. Unter anderem veranlasste sie einen Aufenthalt in der Klinik Y._ vom 21. November bis 24. Dezember 2006. Nachdem sich der Heilungsverlauf ungünstig entwickelt hatte, meldete Dr. med. H._, Innere Medizin FMH, speziell Rheumakrankheiten, die Versicherte zu einer stationären Therapie in der Klinik X._ an (Schreiben vom 21. September 2007). Nach Einholung einer Stellungnahme des Kreisarztes Dr. med. G._ vom 3. Oktober 2007 lehnte es die SUVA jedoch ab, entsprechende Kostengutsprache zu leisten. Stattdessen nahm sie ihrerseits eine Anmeldung in der Klinik Z._ vor. Nachdem die Versicherte Einwände erhoben hatte, hielt die SUVA mit Schreiben vom 29. Oktober 2007 an ihrem Standpunkt fest. Gleichzeitig wies sie die Versicherte auf die Mitwirkungspflicht gemäss Art. 43 ATSG hin. Im Verlauf eines anschliessenden Briefwechsels wurde keine Einigung erzielt. B. B.a Die Versicherte liess mit Eingabe vom 19. Januar 2007 Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2006 erheben. Sie beantragte, die SUVA sei zu verhalten, für den Unfall vom 21. Dezember 2003 weiterhin Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Sache an die SUVA zurückzuweisen, damit diese nach Art. 100 UVV verfahre; subeventuell sei das Verfahren bis auf Weiteres zu sistieren. B.b Im Zusammenhang mit dem Unfall vom 5. Oktober 2006 liess die Versicherte am 19. November 2007 Rechtsverweigerungsbeschwerde erheben. Sie stellte den Antrag, die SUVA sei zu verpflichten, "für den ärztlich angeordneten Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik X._ sofort Kostengutsprache zu erteilen". B.c Mit Entscheid vom 19. März 2008 vereinigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die beiden Verfahren und wies die Beschwerde vom 19. Januar 2007 sowie die Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 19. November 2007 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Sie stellt die Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben; die Sache sei bezüglich der Beschwerde vom 19. Januar 2007 mit bestimmten Vorgaben an das kantonale Gericht zurückzuweisen; bezüglich der vorinstanzlichen Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 19. November 2007 sei die SUVA zu verpflichten, "für den ärztlich angeordneten Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik X._ sofort Kostengutsprache zu erteilen". Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.