Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) erlitt Ende Juli 1990 einen Verkehrsunfall. Am 22. November 1996 reichte er beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die X._ Versicherungs-Gesellschaft (Beschwerdegegnerin) eine Schadenersatzklage ein. Dieses Verfahren ist beim Handelsgericht hängig. B. Am 19. Mai 2009 ersuchte der Beschwerdeführer die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich um Feststellung, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. Ferner sei festzustellen, dass Handelsrichter Dr. B._ ein befangener und parteiischer Richter im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. Mit Beschluss vom 18. September 2009 wies die Verwaltungskommission das Feststellungsbegehren hinsichtlich der Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts ab, soweit sie darauf eintrat. Auf den (nachträglich gestellten) Antrag, Handelsrichter Dr. B._ sei zur Abgabe einer erneuten Unbefangenheitserklärung aufzufordern, trat sie nicht ein. Gleichzeitig bewilligte sie Handelsrichter Dr. B._ im vorliegenden Prozess den Ausstand und schrieb das gegen ihn gerichtete Ablehnungsbegehren zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Im Übrigen trat die Verwaltungskommission auf das Ablehnungsbegehren nicht ein. Gegen diesen Beschluss erhob der Beschwerdeführer kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, mit der er am Feststellungsbegehren betreffend die Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts festhielt. Mit Sitzungsbeschluss vom 14. Dezember 2009 wies das Kassationsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, es sei in Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 14. Dezember 2009 und des Beschlusses des Obergerichts vom 18. September 2009 festzustellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist. Das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zog der Beschwerdeführer am 28. Januar 2010 wieder zurück. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Handelsgericht, die Verwaltungskommission des Obergerichts und das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.