Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1944 geborene P._ arbeitete als kaufmännische Angestellte bei der Schule Q._ und war bei der Berner Versicherung (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 1. Dezember 1998 erlitt sie einen Auffahrunfall, als sie mit ihrem Personenwagen wegen eines Linksabbiegers anhalten musste und ein nachfolgendes Fahrzeug nicht mehr rechtzeitig bremsen konnte. Am 4. Dezember 1998 begab sie sich wegen Kopfschmerzen und Druckgefühlen im Kopf zu Dr. med. S._, Physikalische Medizin FMH spez. Rheumaerkrankungen, welcher ein diskretes Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte, physiotherapeutische Massnahmen anordnete und eine Arbeitsunfähigkeit verneinte. Am 26. März 1999 berichtete er, nach einer anfänglichen Besserung der Beschwerden sei es zu einer Verschlimmerung der Zervikalgien mit linksseitiger Ausstrahlung in den Arm gekommen, weshalb eine MR-Abklärung durchgeführt worden sei. Diese hatte spondylarthotische Veränderungen der HWS ohne Anhaltspunkte für traumatische Läsionen, eine mediane Diskusprotrusion C6/7 sowie degenerative Veränderungen C5/6 und C6/7 gezeigt (Bericht des Spitals X._ vom 5. März 1999). Nach Einholung eines Berichts des Dr. med. B._, Allgemeinpraxis, vom 31. Juli 1999 und einer Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 25. August 1999 stellte die Berner die Leistungen mit Verfügung vom 14. Dezember 1999 auf den 28. Februar 1999 ein. Hiegegen erhoben sowohl die Versicherte als auch ihre Krankenkasse Z._ Einsprache. Letztere zog sie am 12. Januar 2000 zurück. Die von der Versicherten erhobene Einsprache hiess die Berner insofern teilweise gut, als sie feststellte, der Status quo sine sei am 22. Juni 1999 erreicht worden mit der Folge, dass ihre Leistungspflicht noch bis zu diesem Zeitpunkt bestehe (Entscheid vom 24. März 2000). A. Die 1944 geborene P._ arbeitete als kaufmännische Angestellte bei der Schule Q._ und war bei der Berner Versicherung (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 1. Dezember 1998 erlitt sie einen Auffahrunfall, als sie mit ihrem Personenwagen wegen eines Linksabbiegers anhalten musste und ein nachfolgendes Fahrzeug nicht mehr rechtzeitig bremsen konnte. Am 4. Dezember 1998 begab sie sich wegen Kopfschmerzen und Druckgefühlen im Kopf zu Dr. med. S._, Physikalische Medizin FMH spez. Rheumaerkrankungen, welcher ein diskretes Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte, physiotherapeutische Massnahmen anordnete und eine Arbeitsunfähigkeit verneinte. Am 26. März 1999 berichtete er, nach einer anfänglichen Besserung der Beschwerden sei es zu einer Verschlimmerung der Zervikalgien mit linksseitiger Ausstrahlung in den Arm gekommen, weshalb eine MR-Abklärung durchgeführt worden sei. Diese hatte spondylarthotische Veränderungen der HWS ohne Anhaltspunkte für traumatische Läsionen, eine mediane Diskusprotrusion C6/7 sowie degenerative Veränderungen C5/6 und C6/7 gezeigt (Bericht des Spitals X._ vom 5. März 1999). Nach Einholung eines Berichts des Dr. med. B._, Allgemeinpraxis, vom 31. Juli 1999 und einer Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 25. August 1999 stellte die Berner die Leistungen mit Verfügung vom 14. Dezember 1999 auf den 28. Februar 1999 ein. Hiegegen erhoben sowohl die Versicherte als auch ihre Krankenkasse Z._ Einsprache. Letztere zog sie am 12. Januar 2000 zurück. Die von der Versicherten erhobene Einsprache hiess die Berner insofern teilweise gut, als sie feststellte, der Status quo sine sei am 22. Juni 1999 erreicht worden mit der Folge, dass ihre Leistungspflicht noch bis zu diesem Zeitpunkt bestehe (Entscheid vom 24. März 2000). B. P._ beschwerte sich beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug und beantragte, in Aufhebung des Einspracheentscheides sei festzustellen, dass die Berner weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen habe. Zur Begründung brachte sie im Wesentlichen vor, ungeachtet der vorbestandenen degenerativen Veränderungen an der HWS habe sie vor dem Unfall nie an Kopf- und Nackenschmerzen gelitten. Der Unfall habe zu einer richtungweisenden Verschlimmerung des Gesundheitszustandes geführt und es sei nicht erwiesen, dass sie auch ohne den Unfall an den gleichen Beschwerden leiden würde. Am 28. Juni 2001 diagnostizierte Dr. med. A._, Facharzt FMH für Chirurgie speziell Handchirurgie, ein fortgeschrittenes Karpaltunnel-Syndrom rechts, das am 3. Juli 2001 operiert wurde. Mit Verfügung vom 3. September 2001 beauftragte das kantonale Gericht Dr. med. R._, Facharzt FMH für Neurologie, mit einem Gutachten, welches am 21. Januar 2003 erstattet wurde und in dem die bestehenden Beschwerden als mit überwiegender Wahrscheinlichkeit unfallkausal bezeichnet wurden. Die Parteien nahmen hiezu Stellung, wobei die Allianz Suisse (als Rechtsnachfolgerin der Berner) ein bei PD Dr. med. O._, Oberarzt an der Neurologischen Klinik und Poliklinik des Spitals Y._, eingeholtes neurologisches Aktengutachten vom 10. März 2003 einreichte. Mit Entscheid vom 6. Juni 2003 bejahte das kantonale Gericht zumindest teilweise den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den bestehenden Kopfschmerzen sowie Hals- und Nackenbeschwerden mit Ausstrahlungen in den oberen Brustwirbelsäulen(BWS)-Bereich und dem Unfall vom 1. Dezember 1998 und wies die Sache an die Allianz Suisse zurück, damit sie die der Versicherten zustehenden Leistungen festsetze. Mit Entscheid vom 6. Juni 2003 bejahte das kantonale Gericht zumindest teilweise den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den bestehenden Kopfschmerzen sowie Hals- und Nackenbeschwerden mit Ausstrahlungen in den oberen Brustwirbelsäulen(BWS)-Bereich und dem Unfall vom 1. Dezember 1998 und wies die Sache an die Allianz Suisse zurück, damit sie die der Versicherten zustehenden Leistungen festsetze. C. Die Allianz Suisse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 24. März 2000 sei zu bestätigen. P._ lässt sich mit dem Antrag auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vernehmen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf Vernehmlassung.