Sachverhalt: A. Der 1941 geborene H._ war seit April 1997 als Einkäufer bei der Firma M._ angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 27. Oktober 2003 war er von einem Auffahrunfall auf der Autobahn betroffen. Dabei zog er sich gemäss Arztzeugnis UVG des am 17. November 2003 erstmals aufgesuchten Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SUVA holte Angaben des Versicherten ein und zog Berichte des Dr. med. Z._, des Dr. med. T._, Physikalische Medizin und Rehabiliation FMH, Medizinisches Zentrum B._, des Dr. med. E._, Neurologie FMH, sowie diverse kurze Stellungnahmen des Dr. med. N._, Innere Medizin FMH, bei. Vom 26. Oktober bis 23. November 2004 befand sich der Versicherte in der RehaClinic X._ (Austrittsbericht vom 21. Dezember 2004). Am 28. September 2004 und 8. Februar 2005 fanden Untersuchungen durch den Kreisarzt Dr. med. K._ statt. Nach einem Aufenthalt in der Rehaklinik L._ (2. März bis 6. April 2005; Austrittsbericht vom 19. April 2005), dem Beizug eines Berichtes von Dr. med. W._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 12. April 2005 sowie der kreisärztlichen Abschlussuntersuchung vom 5. Juli 2005 stellte die SUVA mit Verfügung vom 25. August 2005 ihre Leistungen auf den 31. August 2005 ein. Gleichzeitig lehnte sie es ab, eine Invalidenrente oder eine Integritätsentschädigung auszurichten. Zur Begründung wurde erklärt, die über dieses Datum hinaus bestehenden Beschwerden seien nicht unfallkausal. Diesen Standpunkt bestätigte die SUVA - nach Einholung eines unfallanalytischen Gutachtens der Winterthur Versicherungen vom 27. September 2005 - mit Einspracheentscheid vom 27. Dezember 2005. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 28. Februar 2007). C. H._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben und ihm die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. Überdies sei "eine öffentliche Verhandlung im Sinne von EMRK 6 Abs. 1 durchzuführen". Eventualiter wird beantragt, es sei die Vorinstanz anzuweisen, "die öffentliche gesetzliche Parteiverhandlung durchzuführen und den Beschwerdeführer persönlich anzuhören." Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Im gleichen Sinn äussert sich das kantonale Gericht. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest.