Sachverhalt: A. Im Vorfeld der Grossratswahlen im Kanton Luzern vom 6. April 2003 veröffentlichte die Zeitung R._ am xx.xx.xxxx einen Artikel von Y._ mit dem Titel "Kandidaten via Inserat gesucht". In diesem Beitrag ist u.a. davon die Rede, dass X._s Stiftung Q._ auf ihrer Homepage mit S._s damaligem Stadtpräsidenten W._ für parteilose Politik werbe. Z._, Rechtskonsulent der Stadt S._, bezeichne dieses Vorgehen als unlauter, weil das Bild des Stadtpräsidenten für eigene Interessen verwendet worden sei. B. Mit Eingabe vom 29. Juni 2004 klagten X._ und die Stiftung Q._, vor dem Amtsgericht Luzern-Stadt. Die Kläger beantragten festzustellen, dass die Zeitung R._ AG, Y._, Z._ und die Stadt S._ durch Äusserung bzw. Weiterverbreitung ehrenrühriger Tatsachen oder falscher Zitate ihre Persönlichkeit verletzt hätten. Die Beklagten seien solidarisch zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung und die Stadt S._, eventuell Z._, sei zusätzlich zur Zahlung eines Honorars aus Auftrag zu verpflichten. Weiter sei festzustellen, dass die Zeitung R._ AG widerrechtlich eine Gegendarstellung gemäss Art. 28g und 28k ZGB unterlassen habe. Das Urteil sei zu veröffentlichen; eventuell seien die Beklagten zu verpflichten, in der Zeitung R._ AG eine Berichtigung gemäss Art. 28a Ziff. 2 ZGB zu publizieren. Das Amtsgericht wies die Klage mit Urteil vom 28. September 2010 ab, soweit es darauf eintrat. C. C.a. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2010 stellten X._ und die Stiftung Q._ unter dem Titel "Appellationserklärung und Nichtigkeitsbeschwerde" beim Obergericht des Kantons Luzern folgende Anträge: "1. Ziffern 1 und 2 des Urteils 21 04 33 vom 28.9.2010 der II. Abt. des Amtsgerichts Luzern-Stadt, seien aufzuheben. 2. Die Sache sei gem. § 115 ZPO an das Amtsgericht zurückzuweisen zwecks Abhaltung einer Instruktionsverhandlung gem. § 208 ZPO mit den Traktanden lit. a-c und e-f, zur Abhaltung eines Beweisverfahrens nach § 145-148 ZPO, so wie zur Abhaltung einer Hauptverhandlung nach § 211 ZPO; es sei durch das Amtsgericht ein Vorentscheid betr. Verjährung zu treffen und eventuell sei danach die Klage gutzuheissen soweit sie nicht teilweise wegen überlanger Verfahrensdauer dahingefallenen Rechtsschutzinteresses gem. § 100 I d ZPO gegenstandslos wurde. 3. Es sei die Verletzung des Beschleunigungsgebotes festzustellen. Zu den Konsequenzen dieser Verletzung (betr. Kostenneufestsetzung und Kostenverteilung) seien im Rückweisungsentscheid verbindliche Erwägungen für die Vorinstanz anzubringen. 4. Dieses Appellations- und Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren sei eventuell zu sistieren und die Klägerschaft aufzufordern, dieser Appellation und Nichtigkeitsbeschwerde ein begründetes Urteil beizulegen, falls dies das Obergericht als Eintretensvoraussetzung betrachtet. 5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beklagten und/oder des Staates gem. § 120 III ZPO." In ihrer Appellationsbegründung vom 20. Dezember 2010 verlangten die Kläger zusätzlich zur Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots, das Verfahren in der Hauptsache eventualiter einzustellen. C.b. Am 21. Februar 2011 und am 12. Juni 2012 wurde den Klägern auf Anfrage die Zusammensetzung des Obergerichts bekannt gegeben. Am 1. Juni 2011 verkündeten X._ und die Stiftung Q._ dem Kanton Luzern den Streit. Der Regierungsrat teilte dem Obergericht mit, dass sich der Kanton nicht als Nebenintervenient am Prozess beteiligen werde (Schreiben vom 8. Juli 2011). Am 25. September 2012 fand vor dem Obergericht eine Appellationsverhandlung statt. C.c. Mit Urteil vom 2. November 2012 (Versand am 19. November 2012) stellte das Obergericht fest, dass das Amtsgericht das Beschleunigungsgebot verletzt habe. Im Übrigen wies es die Klage ab. Weiter verurteilte es X._ und die Stiftung Q._, alle Prozesskosten je hälftig unter solidarischer Haftbarkeit zu tragen. D. D.a. Mit einer als "Beschwerde in Zivilsachen evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde" betitelten Eingabe vom 3. Januar 2013 wenden sich X._ und die Stiftung Q._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In der Sache stellen sie den Antrag, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache an das Obergericht zurückzuweisen, damit dieses den Antrag auf Verfahrenseinstellung behandle und "mit Erlass der nötigen Rechtssprüche" die drei eingereichten Rechtsmittel Appellation, Kostenbeschwerde und Nichtigkeitsbeschwerde beurteile (Ziffer 1). Eventuell sei das Verfahren einzustellen; subeventuell die Klage auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung gutzuheissen; "subsubeventuell sei das ganze Verfahren wegen Verletzung des Beschleunigungsgebots und Wegfall des Rechtsschutzinteresses unter Neuverlegung der Kosten einzustellen" (Ziffer 2). Sodann setzen sich die Beschwerdeführer gegen die Verlegung der kantonalen Verfahrenskosten zur Wehr (Ziffern 3 und 4). Weiter ersuchen sie das Bundesgericht, vier Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG "zur Rechtsvereinheitlichung in Koordination beider Zivilabteilungen des Bundesgerichts zu entscheiden" (Ziffer 5). Schliesslich beantragen die Beschwerdeführer, ihrem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziffer 6). D.b. Mit Verfügung vom 24. Januar 2013 wies der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. D.c. In seiner Vernehmlassung vom 21. März 2013 verzichtet das Obergericht des Kantons Luzern darauf, einen Antrag zu stellen. Z._ und die Stadt S._ (Beschwerdegegner 3 und 4) schliessen mit Eingabe vom 11. April 2013 auf Abweisung der Beschwerde. Den gleichen Antrag stellen die Zeitung R._ AG und Y._ (Beschwerdegegner 1 und 2) in ihrer Vernehmlassung vom 2. Mai 2013. Die Stellungnahmen wurden den Beschwerdeführern zugestellt, worauf diese mit einer Replik vom 22. Mai 2013 antworteten. Diese Eingabe wurde den Beschwerdegegnern zur Kenntnisnahme zugestellt.