Sachverhalt: A. Der nach eigenen Angaben aus Burundi stammende, 1974 geborene X._ (alias L._, alias M._, alias N._) weilt seit Mitte 1998 in der Schweiz. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) wies sein Asylgesuch am 6. Oktober 1998 ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Diese Verfügung ist rechtskräftig, doch konnte die Wegweisung aufgrund fehlender Ausweisschriften und Reisedokumente bis heute nicht vollzogen werden. X._ befand sich mehrmals in Ausschaffungshaft (vgl. beispielsweise das Urteil des Bundesgerichts 2A.38/2005 vom 4. Februar 2005). Die Kooperation mit den Behörden verweigerte er (so lehnte er es etwa ab, ein Tonband für eine Sprachanalyse zu besprechen). Seine Staatsbürgerschaft ist nach wie vor ungeklärt. B. X._ wurde wiederholt straffällig und hiefür wie folgt verurteilt: - im Jahre 1999: Zu 90 Tagen Gefängnis (bedingt) wegen Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht, zu drei Monaten Gefängnis (bedingt) und Busse wegen mehrfachen Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz und Nichtanzeigen eines Fundes, zu weiteren drei Monaten Gefängnis wegen mehrfachen Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz, - im Jahre 2001: Zu drei Monaten Gefängnis wegen Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht, - im Jahre 2002: Zu drei Monaten Gefängnis wegen Diebstahls und Übertretung des Transportgesetzes, zu weiteren drei Monaten und 15 Tagen Gefängnis wegen Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht, - im Jahre 2003: Zu sechs Monaten Gefängnis wegen Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht, zu weiteren 12 Wochen Gefängnis wegen mehrfachen Verstössen gegen das Betäubungsmittelgesetz, - im Jahre 2005: Zu sieben Monaten Gefängnis wegen Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht, - im Jahre 2006: Zu drei Monaten Gefängnis wegen rechtswidrigen Aufenthalts. C. Am 27. Dezember 2005 gebar die in der Schweiz niederlassungsberechtigte türkische Staatsangehörige Y._ (geb. 1968) den Sohn A._. X._ anerkannte dieses Kind am 1. März 2006 auf dem Zivilstandsamt G._; eine Unterhaltsregelung bestand aber vorerst nicht. Y._ lebt mit zwei volljährigen bzw. kurz vor der Volljährigkeit stehenden Kindern aus einer geschiedenen Ehe und ihrem Sohn A._ in einer Mietwohnung in H._ (Mietzins 2008: monatlich Fr. 1660.--). Sie ist zu 100% invalid und bezieht Rentenleistungen von insgesamt Fr. 4'307.-- pro Monat (2009). Dazu kommen Alimente ihres früheren Ehemannes von Fr. 800.--. Mit X._ ist sie nicht verheiratet. Am 28. September 2009 stellte die Vormundschaftsbehörde der Stadt H._ A._ gemäss Art. 298a Abs. 1 ZGB (gemeinsames Sorgerecht unverheirateter Eltern) unter die gemeinsame elterliche Sorge der nach eigenen Angaben in einer "eheähnlichen Gemeinschaft" lebenden Partner. D. Verschiedene Gesuche von X._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. um Kantonswechsel blieben ohne Erfolg. Ein asylrechtliches Wiedererwägungsgesuch, verbunden mit einem Begehren um vorläufige Aufnahme, wies das Bundesamt für Migration am 5. Februar 2007 ab. Die hiegegen beim Bundesverwaltungsgericht erhobene Beschwerde ist noch hängig. Am 21. November 2008 stellte X._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei Y._ und A._. Mit Verfügung vom 4. März 2009 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Migrationsamt) dieses Gesuch ab. Ein hiegegen beim Regierungsrat eingereichter Rekurs blieb erfolglos; und mit Urteil vom 21. Oktober 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 12. August 2009 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. E. Mit Eingabe vom 27. November 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 21. Oktober 2009 aufzuheben und festzustellen, dass ihm - dem Beschwerdeführer - gestützt auf Art. 8 EMRK ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zustehe. Dementsprechend sei das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, diese Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters wird auch für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren verlangt. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. F. Mit Verfügung vom 1. Dezember 2009 hat der damalige Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.