Sachverhalt: A. Mit Schreiben vom 27. Januar 2004 liess L._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) einen Anspruch auf Hinterlassenenleistungen für sich und ihre Kinder geltend machen. Sie erklärte, ihr Ehemann, der 1944 geborene M._, sei am 1. März 1983 verstorben. Er sei bei den Elektrizitätswerken X._ angestellt gewesen und habe schon während der Lehre mit Asbest zu tun gehabt. Todesursache sei ein Pleuramesotheliom gewesen. Dieses gehe auf die Asbestexposition zurück und stelle eine Berufskrankheit dar, für deren Folgen die SUVA leistungspflichtig sei. Die SUVA zog medizinische Akten aus den Jahren 1982 und 1983 bei und traf Abklärungen hinsichtlich der vom Versicherten ausgeübten beruflichen Tätigkeiten, insbesondere hinsichtlich einer Asbestexposition. Zudem holte sie Stellungnahmen von Dr. med. R._, Facharzt FMH für Innere Medizin und Arbeitsmedizin, SUVA-Abteilung Arbeitsmedizin, vom 25. November 2004 und 20. April 2005 ein. Anschliessend lehnte es die Anstalt mit Verfügung vom 27. April 2005 ab, Versicherungsleistungen zu erbringen. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2006 fest. Zur Begründung wurde erklärt, ein Kausalzusammenhang zwischen der beruflichen Asbestbelastung und dem Tod des Versicherten lasse sich nicht mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachweisen. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 16. Juni 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens reichte die SUVA eine ärztliche Beurteilung von Dr. med. R._ vom 13. März 2007 ein. C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Sie stellt die Rechtsbegehren, es seien ihr sowie ihren Kindern Hinterlassenenleistungen zuzusprechen; eventuell sei ein unabhängiges medizinisches Gutachten zur Frage der Todesursache von M._ einzuholen; eventuell sei ein wissenschaftliches Gutachten zur Frage des relevanten Grenzwertes (Faserjahre) bei Alveolar-Karzinom einzuholen; zudem sei die SUVA zu verpflichten, das Betriebsdossier auszuhändigen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit ihrer Stellungnahme reicht sie ein neues Dokument (zwei Seiten; offenbar handelt es sich um einen Auszug aus einem Gutachten des Spitals Y._, Klinik für Pneumologie, vom 3. Oktober 2008) ein. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. L._ verlangt die Ansetzung einer Frist zur Einreichung einer ergänzenden Stellungnahme, um sich zur Eingabe der SUVA äussern zu können.