Sachverhalt: A. Die 1938 geborene Dr. med. S._ ist als selbstständigerwerbende Ärztin bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) freiwillig gegen Unfallfolgen versichert. Sie erlitt als Autolenkerin am 27. Februar 2003 und am 5. Juli 2005 je einen Heckauffahrunfall. Nach dem ersten Unfall wurde namentlich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und nach dem zweiten ein HWS-Beschleunigungstrauma diagnostiziert. Die Zürich gewährte nach beiden Unfällen Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Die Leistungen aus dem ersten Unfall stellte der Versicherer mit Verfügung vom 19. Januar 2004 und Einspracheentscheid vom 4. März 2004 auf den 31. Januar 2004 ein. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil U 228/05 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (heute: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts) vom 16. März 2006 bestätigt. Bezüglich des Unfalls vom 5. Juli 2005 unterbreitete die Zürich am 8. Juni 2007 einen Erledigungsvorschlag/Vorbescheid, wobei sie davon ausging, ein Leistungsanspruch habe bis 31. Dezember 2005 bestanden. Die Versicherte erhob am 2. Juli 2007 verschiedene Einwände. Zwischenzeitlich hatte S._ am 10. April 2007 erneut einen Verkehrsunfall erlitten. Der von ihr gelenkte Personenwagen stand als letztes von drei Fahrzeugen innerorts vor einem Fussgängerstreifen. Ein nachfolgender Personenwagen prallte ins Heck des Fahrzeugs der Versicherten. Am 13. April 2007 meldete S._ den Unfall der Zürich, wobei sie angab, ein kranio-zervikales Beschleunigungstrauma erlitten zu haben. Am 14. Mai 2007 erstattete der behandelnde Arzt PD Dr. med. F._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, Bericht. Er führte aus, die Versicherte habe ihn am 11. April 2007 telefonisch konsultiert und am 12. April 2007 zur klinischen Untersuchung aufgesucht. Dabei habe er Folgendes festgestellt: "Arme betreffend Reflexe, Motorik unauffällig. Im linken Oberarm besteht eine Hypästhesie. HWS-Reklination induziert Schwindel. Der Trapezius ist stark verspannt und druckdolent. Die Bewegung der HWS ist in allen Richtungen mindestens 1/3 eingeschränkt". An der Folgeuntersuchung vom 17. April 2007 habe er folgende Befunde erhoben: "Trapezius immer noch verspannt. Die Arme sind neurologisch unauffällig. Seitneigung der HWS geht nicht." Auch am 25. April 2007 habe das gleiche Bild bestanden. Der Trapezius sei massiv verspannt und druckdolent gewesen (Arztbericht 14. Mai 2007). Dr. med. F._ bestätigte auf dem Unfallschein ab 10. April 2007 eine Arbeitsunfähigkeit. Die Zürich liess eine unfallanalytische Expertise vom 12. Juli 2007 erstellen. Mit Verfügung vom 28. August 2007 verneinte sie ihre Leistungspflicht für den Unfall vom 10. April 2007 mit der Begründung, es fehle am natürlichen und am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis und den danach geklagten Beschwerden. Daran hielt die Zürich auf die von S._ und deren Krankenpflegeversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 9. November 2007). B. S._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich führte einen zweifachen Schriftenwechsel durch, in welchem der Versicherer eine Ergänzung vom 14. Februar 2008 zum unfallanalytischen Gutachten vom 12. Juli 2007 auflegte, und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 6. April 2009 ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Zürich zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen aus dem Unfall vom 10. April 2007 zu erbringen. Die Zürich lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.