Sachverhalt: A. Die 1962 geborene V._ war seit März 2003 in einem 60 Prozent Pensum als Leiterin des Sekretariats des Vereins X._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 17. Juni 2004 war sie als Lenkerin eines Subaru in eine Auffahrkollision verwickelt, als sie innerorts verkehrsbedingt anhalten musste und der nachfolgende Lenker eines Lieferwagens, der dies zu spät bemerkte, ins Heck ihres Fahrzeugs fuhr. Da der Fahrer des Lieferwagens abrupt bremste, fuhr auch ihm ein Fahrzeug ins Heck. V._ suchte gleichentags die Klinik Y._ auf, wo eine Commotio cerebri und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurden. Im Bericht vom 3. September 2004 wurde eine vom 17. bis 21. Juni 2004 dauernde volle Arbeitsunfähigkeit attestiert mit Wiederaufnahme der bisherigen Erwerbstätigkeit ab 22. Juni 2004. Dr. med. A._ attestierte der Versicherten ab 11. Oktober 2004 wieder eine volle Arbeitsunfähigkeit und wies sie wegen persistierender Schwindelbeschwerden, Kopfschmerzen und Nausea mit Müdigkeit und Erschöpfung zur stationären Rehabilitation in die Klinik Z._ ein, wo sie vom 27. Dezember 2004 bis 20. Januar 2005 behandelt wurde. Laut Austrittsbericht vom 7. Februar 2005 stuften sie die Ärzte ab 27. Januar 2005 als 50 Prozent arbeitsfähig (30 Prozent von 60 Prozent) in der bisherigen Tätigkeit ein, wobei ab 17. Februar 2005 eine schrittweise Steigerung auf das ursprüngliche Pensum zumutbar sei. Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Schreiben vom 1. Juni 2005 berichtete Dr. med. B._ von einer deutlichen Besserung der Beschwerden. Dr. med. A._ attestierte am 30. Dezember 2005 eine volle Arbeitsfähigkeit ab 1. Mai 2005. Im Bericht vom 21. Juli 2006 ging er indessen wieder von einer vollen Arbeitsunfähigkeit ab 19. Juni 2006 aus. Seit April 2006 unterzog sich die Versicherte zudem bei Dr. med. C._ einer ambulanten psychiatrischen Behandlung. Mit Verfügung vom 18. September 2007 verneinte die Zürich ihre Leistungspflicht für die ab 31. Mai 2005 bestehenden und behandelten Beschwerden mit der Begründung, diese stünden nicht in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 fest. B. Die von V._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 14. Januar 2009 dahingehend gut, als es den Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 aufhob und die Sache im Sinne der Erwägungen zur Durchführung einer medizinischen Kausalitätsbeurteilung für die Zeit ab 1. Juni 2005 und zu neuer Verfügung an die Zürich zurückwies. C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 sei zu bestätigen. Während V._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragt, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.