Sachverhalt: A. Am 11. Juli 2012 stellte Y._ bei der Baukommission der Einwohnergemeinde Biberist ein Gesuch zum Umbau seines Mehrfamilienhauses an der T._strasse .... Gegen dieses Bauprojekt erhoben die Eigentümer der benachbarten Liegenschaft, die Brüder A.X._, B.X._ und C.X._, eine Einsprache. Die Baukommission Biberist wies die Einsprache mit Entscheid vom 14. September 2012 ab und erteilte die Baubewilligung mit Auflagen. Eine dagegen erhobene Beschwerde der Brüder X._ wies das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 26. März 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde mit Urteil vom 10. Juni 2013 ab. B. Die Brüder X._ erheben Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 10. Juni 2013 sowie den Entscheid der Baukommission Biberist vom 14. September 2012 aufzuheben und dem Baugesuch von Y._ vom 11. Juli 2012 den Bauabschlag zu erteilen. Eventuell sei die Angelegenheit an die Baukommission oder an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen und verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Baukommission führt in ihrer Vernehmlassung aus, sie halte an der Baubewilligung vom 14. September 2012 fest. Y._ liess sich nicht vernehmen.