Sachverhalt: A. A.a Gegen X._, Inhaber einer Einzelfirma, ist seit dem 23. März 2003 ein Forderungsprozess vor dem Richteramt Solothurn-Lebern hängig. Zusammen mit der Klageantwort und der Widerklage stellte X._ am 23. Mai 2003 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 15. September 2003 wies der Amtsgerichtspräsident das Gesuch mit der Begründung ab, die in der Klageantwort und der Widerklage gestellten Begehren seien aussichtslos. Im Übrigen seien die finanziellen Verhältnisse von X._ undurchsichtig. X._ erhob gegen diese Verfügung Rekurs. Das Obergericht des Kantons Solothurn forderte ihn auf, Unterlagen über seine finanziellen Verhältnisse einzureichen. Im Rekursentscheid vom 2. Dezember 2003 kam das Obergericht zum Schluss, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege könne nicht mehr wegen unklaren finanziellen Verhältnissen abgewiesen werden, auch wenn dies der Amtsgerichtspräsident aufgrund der damaligen Aktenlage noch zu Recht getan habe. X._ verfüge über einen monatlichen, die Kosten für den notwendigen Unterhalt übersteigenden Betrag von Fr. 302.--, womit er den Prozess grundsätzlich finanzieren könne. In Anbetracht des Streitwerts von Fr. 85'000.-- sei er aber bezüglich der Klageantwort von der Kostenvorschusspflicht zu befreien. Ein unentgeltlicher Rechtsbeistand könne dagegen nicht bewilligt werden. Sodann hielt das Obergericht dafür, die Widerklage erscheine nicht als aussichtslos. X._ sei deshalb auch bezüglich der Widerklage von der Kostenvorschusspflicht zu befreien. A.b Die Hauptverhandlung vor Amtsgericht wurde auf den 6. Oktober 2004 angesetzt. Am 1. Oktober 2004 (Eingang am 4. Oktober 2004) stellte X._ ein Begehren um Ausstand des mitwirkenden Amtsgerichtspräsidenten, Y._, wegen Befangenheit im Sinn von § 93 lit. f des Gesetzes über die Gerichtsorganisation des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 (GOG/SO). X._ begründete den Ablehnungsgrund der Befangenheit damit, dass Amtsgerichtspräsident Y._ sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Rechtsposition abgewiesen und entgegen seinem Antrag keine Zeugen angehört habe. Das Amtsgericht wies das Ausstandsbegehren mit der Begründung ab, das Gesuch sei zu spät gestellt worden. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Beschwerde, welche das Obergericht mit Urteil vom 13. Januar 2005 abwies. Das Obergericht erwog, allein aus dem Umstand, dass der Amtsgerichtspräsident bei der Prüfung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege die Prozesschancen von X._ als aussichtslos einstufte, könne nicht auf dessen Befangenheit im Sinn von § 93 lit. f GOG/SO geschlossen werden. Dasselbe gelte bezüglich der Tatsache, dass der Amtsgerichtspräsident keine Zeugen anhörte, weil er deren Aussagen als unerheblich betrachtet habe. Das Amtsgericht habe das Ausstandsgesuch daher zu Recht abgewiesen. B. X._ hat gegen das Urteil des Obergerichts vom 13. Januar 2005 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9, Art. 29 Abs. 2 und Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Ferner stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. C. Amtsgerichtspräsident Y._ hat keine Vernehmlassung eingereicht. Das Obergericht beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde unter Verzicht auf eine weitere Stellungnahme.