Sachverhalt: A. Am 11. Januar 2013 ordnete das Landgerichtspräsidium Uri im Streit zwischen X._ und Y._ Eheschutzmassnahmen an. Der begründete Entscheid wurde am 30. Januar 2013 versandt. Der Rechtsvertreter von X._ nahm die Urteilsurkunde am 31. Januar 2013 in Empfang. Am 8. März 2013 reichte X._ Berufung ein und stellte zugleich ein Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist. Mit Entscheid vom 25. April 2013 wies das Obergericht des Kantons Uri das Gesuch um Wiederherstellung ab und trat auf die Berufung wegen Nichteinhaltung der Berufungsfrist nicht ein. B. Mit Beschwerde vom 27. Mai 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Wiederherstellung der Berufungsfrist, eventuell sei die Sache zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerde beigelegt wurde ein ärztliches Zeugnis über die Arbeitsunfähigkeit des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin für die Zeit vom 19. November 2012 bis 31. März 2013. Am 4. Oktober 2013 reichte auch die Beschwerdeführerin ein Arbeitsunfähigkeits-Zeugnis ein. Das Obergericht des Kantons Uri hat mit Schreiben vom 3. Oktober 2013 unter Hinweis auf seinen Entscheid vom 25. April 2013 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Y._ (Beschwerdegegner) konnte die Beschwerde mangels gültiger Adresse nicht zugestellt werden.