Sachverhalt: A. A.a. Die 1962 geborene H._ arbeitete in einem vollen Pensum als Produktionsmitarbeiterin bei der Firma F._ AG. Am 27. Februar 2008 meldete sie sich wegen rheumatologischen und psychiatrischen Beschwerden zum Bezug von Leistungen bei der Invalidenversicherung an. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, IV-Stelle, holte Berichte der behandelnden Ärzte ein und gab ein bidisziplinäres rheumatologisch-psychiatrisches Gutachten in Auftrag. Gemäss Expertise vom 3. Oktober 2008 leidet die Versicherte an einem zervikovertebralen Syndrom, einer leichten depressiven Episode mit somatischen Symptomen im Rahmen einer Anpassungsstörung, einem chronischen Ganzkörperschmerzsyndrom und chronischen Kopfschmerzen. Ihre Arbeitsfähigkeit ist in einer angepassten Tätigkeit zu 30 % eingeschränkt. Mit Verfügung vom 27. Mai 2009 wies die IV-Stelle das Rentenbegehren ab. Vom 2. April bis 25. Juni 2009 liess sich H._ stationär in der Klinik A._ psychiatrisch behandeln. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess eine gegen die rentenabweisende Verfügung erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 20. Mai 2011 in dem Sinne gut, als es diese aufhob und die Sache zu weiteren Abklärungen und zu neuer Verfügung an die IV-Stelle zurückwies. A.b. In der Folge gab die IV-Stelle beim Zentrum X._ eine erneute Begutachtung in Auftrag. Gemäss Expertise vom 24. November 2011 leidet die Versicherte an einer chronisch depressiven Störung mit mittelgradigen depressiven Episoden und somatischem Syndrom, an einer andauernden Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung sowie an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung. Für geistig einfache Tätigkeiten ohne erhöhte emotionale Belastung, ohne Stress, ohne Erfordernis einer geistigen Flexibilität und ohne Kundenkontakte bestehe seit Januar 2009 eine ganztags verwertbare Arbeitsfähigkeit von 50 %. Wegen einer zunehmenden Verschlechterung des psychischen Zustandes seit August 2011 betrage die Arbeitsfähigkeit seit diesem Zeitpunkt noch 30 %. Obwohl der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der IV-Stelle die aus dem Gutachten hervorgehende Beurteilung vollumfänglich bestätigte, gelangte der Rechtsdienst der IV-Stelle zum Schluss, der Diagnose einer andauernden Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung könne kein Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zugebilligt werden. Demgemäss wies sie das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 2. April 2012 erneut ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 21. Juni 2013 dahin gehend gut, dass es die angefochtene Verfügung aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, H._ ab 1. Januar 2009 eine halbe Rente und ab 1. November 2011 eine ganze Rente auszurichten. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und ersucht um Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Ferner sei dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das erstinstanzliche Gericht und H._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Letztere beantragt im Weiteren, der Beschwerde sei keine aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 29. Oktober 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.