Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1955) stammt aus dem Libanon. Er heiratete 2001 in den Vereinigten Aarabischen Emiraten eine Schweizerin (geb. 1967). Aus der Beziehung gingen zwei Kinder hervor (geb. 2003 bzw. 2005), welche beide über die schweizerische Staatsbürgerschaft verfügen. Ende 2004 reiste die schwangere Gattin mit der älteren Tochter von Abu Dhabi kommend in die Schweiz ein, wo A._ seinerseits am 6. April 2005 eintraf; Mitte August 2005 gaben die Ehegatten das eheliche Zusammenleben auf. A.b. Nach der Trennung kam es zu Auseinandersetzungen über die Wahrnehmung des Besuchsrechts des Vaters gegenüber den beiden Kindern. Nach einer ersten Ausdehnung (begleitet, zwei siebenstündige Besuchstage pro Monat) wurde dieses am 18. Januar 2007 auf zwei monatliche Besuche von je dreieinhalb Stunden eingeschränkt. Ab Ende 2008 nahm A._ die begleiteten Besuchsrechte nicht mehr wahr, worauf sie eingestellt wurden. A.c. Das Bezirksgericht Zürich schied die Ehe am 2. September 2009, wobei es die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter stellte und im Interesse der Kinder darauf verzichtete, dem Vater ein Besuchsrecht zuzuerkennen. Am 14. August 2013 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Uster Gesuche von A._ ab, ihm wieder ein Besuchsrecht zu gewähren. Eine hiergegen eingereichte Beschwerde soll beim Bezirksrat Uster noch hängig sein. B. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verlängerte die an A._ erteilte Aufenthaltsbewilligung bis (letztmals) zum 5. April 2012. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2013 lehnte es das Gesuch ab, diese zu erneuern. Die eheliche Gemeinschaft habe in der Schweiz nur gerade vier Monate gedauert. A._ sei im rechtskräftigen Scheidungsurteil kein Besuchsrecht eingeräumt worden; seine Anwesenheitsbewilligung sei jeweils verlängert worden, damit er eine Beziehung zu den Kindern aufbauen könne, was ihm nicht gelungen sei bzw. worum er sich nicht hinreichend bemüht habe. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Uster habe festgestellt, dass es gegen die als zentral einzustufenden Interessen der Kinder verstiesse, ein Besuchsrecht einzuräumen, nachdem sich die Situation und das Verhalten von A._ seit dem Scheidungsurteil nicht nennenswert verändert habe. Mit Blick auf die aufgelaufenen Sozialhilfebeiträge (Juli 2005 bis Januar 2009: Fr. 176'794.15), die Betreibungen und diversen offenen Verlustscheine sowie die schlechten Sprachkenntnisse rechtfertige es sich nicht, die Bewilligung von A._ ermessensweise zu verlängern. C. C.a. Die gegen die Verfügung des Migrationsamts des Kantons Zürich vom 10. Oktober 2013 gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. April 2014 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A._ macht geltend, er habe gestützt auf die Beziehungen zu seinen Kindern Anspruch darauf, im Land verbleiben zu können; es liege im Kindesinteresse den Kontakt mit dem Vater aufrechterhalten zu können. Eine Rückkehr in den Libanon sei ihm nicht zumutbar, da er diesen vor 40 Jahren für Drittstaaten verlassen habe; im Libanon verfüge er über kein soziales Netz mehr, zudem sei die dortige politische Situation instabil. C.b. Mit Verfügung vom 17. Juni 2014 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt, gleichzeitig liess er die Akten und allfällige Vernehmlassungen einholen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat darauf verzichtet, eine solche abzugeben; die kantonale Sicherheitsdirektion und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.