Sachverhalt: A. Das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt erteilte mit Entscheid vom 20. Dezember 2012 Y._ und Z._ in der Betreibung Nr. xxx gegen die X._ AG definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 454'917.25, Fr. 3'200.--, Fr. 1'700.--, Fr. 5'280.05 und Fr. 10'687.90, je zuzüglich Zins, sowie für die Betreibungskosten. Am 10. Januar 2013 berichtigte das Zivilgericht den Entscheid: Hinsichtlich des Beginns des Zinsenlaufs für den Betrag von Fr. 454'917.25 ersetzte es in den Erwägungen das Datum des 6. Januar 2012 durch den 6. Januar 2006. B. Mit Beschwerde vom 21. Januar 2013 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verlangte die X._ AG die Aufhebung des Entscheids vom 20. Dezember 2012 und die Zurückweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Mit Beschwerde vom 22. Januar 2013 beantragte sie dasselbe hinsichtlich des berichtigten Entscheids. Am 25. März 2013 verlangte die X._ AG die Aussetzung des Beschwerdeverfahrens bis zum Entscheid über das Ausstandsbegehren über die erstinstanzliche Richterin und die erstinstanzliche Gerichtsschreiberin. Dieses Ausstandsbegehren hatte sie am 18. Januar 2013 an das Zivilgericht gerichtet und - nach Abweisung am 18. März 2013 - am 25. März 2013 erneuert und ausgeweitet. Am 28. März 2013 wies die Instruktionsrichterin Marie-Louise Stamm das Sistierungsgesuch ab. Am 8. Mai 2013 verlangte die X._ AG den Ausstand der Instruktionsrichterin und von "Gerichtsschreiber lic. iur. Patrik Alder". Dieses Ausstandsgesuch wurde mit Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Mit Entscheid vom 28. Juni 2013 wies das Appellationsgericht (Besetzung: Richterin Marie-Louise Stamm, Richter Heiner Wohlfart und Olivier Steiner, Gerichtsschreiberin Caroline Meyer Honegger) die beiden Beschwerden ab. C. Mit Eingabe vom 3. August 2013 (Eingang beim Bundesgericht 14. August 2013) hat die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben sowohl gegen den Zwischenentscheid des Appellationsgerichts vom 27. Juni 2013 (Verfahren 5A_605/2013) als auch gegen den Entscheid vom 28. Juni 2013 (vorliegendes Verfahren 5A_579/2013). Sie verlangt die Aufhebung des Entscheids vom 28. Juni 2013 und ersucht um aufschiebende Wirkung. Mit nachträglicher Eingabe vom 19. August 2013 lehnt sie Richter Steiner und Gerichtsschreiberin Meyer Honegger wegen ihrer Teilnahme am Entscheid vom 28. Juni 2013 ab. Am 22. August 2013 hat das Appellationsgericht dem Bundesgericht eine Eingabe der Beschwerdeführerin weitergeleitet, mit der diese am 24. Juli 2013 beim Appellationsgericht gestützt auf Art. 51 Abs. 1 ZPO die Aufhebung des Entscheids vom 28. Juni 2013 und die Wiederholung des Verfahrens verlangt hatte. Das Appellationsgericht entschied am 19. August 2013, auf das Gesuch nicht einzutreten und die Eingabe an das Bundesgericht weiterzuleiten. Mit Präsidialverfügung vom 10. September 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, nachdem sich Y._ und Z._ (Beschwerdegegner) dem entsprechenden Gesuch, im Gegensatz zum Appellationsgericht, widersetzt hatten. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.