Sachverhalt: A. Nach einer tätlichen Auseinandersetzung erhob X._ am 16. Mai 2005 Strafanzeige gegen Y._ und weitere Personen. Mit Verfügung vom 9. Juni 2005 trat das thurgauische Untersuchungsrichteramt das polizeiliche Ermittlungsverfahren an das Bezirksamt Arbon ab, welches am 14. Juni 2005 eine Strafuntersuchung gegen Y._ eröffnete. Mit Beschwerdeeingabe vom 22. März 2006 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragte X._, dem Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon sei die Strafuntersuchung wegen Befangenheit zu entziehen, gegen Y._ sei Anklage wegen versuchten Totschlags, Körperverletzung und Sachbeschädigung zu erheben, und gegen weitere Personen sei eine Strafuntersuchung wegen unterlassener Nothilfe und Sachentziehung zu eröffnen. Mit Entscheid vom 25. Juli 2006 wies die Staatsanwaltschaft die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. B. Am 7. August 2006 rekurrierte X._ gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 25. Juli 2006 bei der Anklagekammer des Kantons Thurgau; gleichzeitig stellte er ein Ausstandsbegehren gegen den Vizestatthalter des Bezirksamtes Arbon. Der Präsident der Anklagekammer behandelte die Eingabe vom 7. August 2006 als blosses Ausstandsbegehren gegen den Vizestatthalter und wies dieses mit Verfügung vom 22. März 2007 ab. C. Mit Urteil vom 18. Juni 2007 (Verfahren 1B_32/2007) hiess das Bundesgericht eine Rechtsverweigerungsbeschwerde von X._ vom 26. Februar 2007 wegen Untätigkeit der kantonalen Anklagekammer teilweise gut. Das Bundesgericht lud die Anklagekammer ein, über das unterdessen behandelte Ausstandsgesuch hinaus über die weiteren Rechtsbegehren von X._ (in dessen Beschwerde vom 7. August 2006 gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 25. Juli 2006) unverzüglich zu entscheiden. D. Mit Beschluss vom 14. August 2007 beurteilte die Anklagekammer die fraglichen Rechtsbegehren. In ihren Erwägungen hielt sie fest, dass die Verfügung vom 22. März 2007 (betreffend Ausstandsgesuch) in Rechtskraft erwachsen ist. Weiter stellte die Anklagekammer in den Erwägungen ausdrücklich fest, dass im Beschwerdeverfahren vor der Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör des Strafanzeigers verletzt wurde; die Gehörsverletzung habe jedoch im Verfahren vor der Anklagekammer geheilt werden können. Die Anklagekammer wies die Beschwerde in den noch offenen Streitpunkten ab, soweit sie darauf eintrat. E. Gegen den Beschluss der Anklagekammer vom 14. August 2007 gelangte X._ mit Beschwerde in Strafsachen vom 12. November 2007 an das Bundesgericht; seine Rechtsbegehren ergeben sich aus den nachfolgenden Erwägungen. Die Anklagekammer beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während von der Staatsanwaltschaft keine Vernehmlassung einging. Der Beschwerdeführer replizierte am 9. Januar 2008.