Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 21. März 2011 erteilte das Bezirksgericht Zürich (Besetzung: Ersatzrichterin Q._, Gerichtsschreiberin R._) der Betreibungsgläubigerin Z._ definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 4'304.-- nebst Zins in der gegen den Schuldner X._ gerichteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich ... (Zahlungsbefehl vom 21. Dezember 2010). Mit Verfügungen gleichen Datums wies das Bezirksgericht den Sistierungsantrag und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege von X._ ab. Die Rechtsöffnung erteilte es gestützt auf einen rechtskräftigen Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Februar 2009 und eine rechtskräftige Ausweisungsverfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 16. September 2010, mit denen X._ jeweils zur Zahlung von Prozessentschädigungen verpflichtet worden war. Bereits mit Verfügungen vom 15. März 2011 hatte das Bezirksgericht (Besetzung: Ersatzrichterin S._) die Ausstandsgesuche von X._ gegen Richterin Q._ und Gerichtsschreiberin R._ abgewiesen. B. Gegen die Verfügungen vom 15. und 21. März 2011 sowie das Urteil vom 21. März 2011 erhob X._ am 18. April 2011 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 30. September 2011 wies das Obergericht sein Sistierungsgesuch und sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren ab (Besetzung: Oberrichter T._ und U._, Oberrichterin V._, Gerichtsschreiberin W._). Mit Urteil gleichen Datums und in der gleichen Besetzung wies es die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C. Am 4. November 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 30. September 2011 erhoben. Er verlangt sinngemäss deren Aufhebung. Zudem seien die Kündigung und die betreffenden Beschlüsse des Obergerichts (unter anderem vom 25. Februar 2009) und die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 16. September 2010 aufzuheben. Die Oberrichter T._ und U._, Oberrichterin V._ und Gerichtsschreiberin W._ seien befangen zu erklären und die Sache an ein unbefangenes Kollegium zurückzuweisen. Allenfalls solle das Bundesgericht über die gerügten Mängel selber entscheiden. Es sei auch festzustellen, dass er vor der Vorinstanz im Hinblick auf das Ausstandsbegehren gegen R._ obsiegt habe. Des Weiteren verlangt er aufschiebende Wirkung und die Sistierung des Verfahrens bis zum Abschluss eines Revisionsverfahrens und einer Strafuntersuchung. Schliesslich beantragt er unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Der Beschwerde ist mit Präsidialverfügung vom 22. November 2011 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, nachdem das Obergericht diesbezüglich auf Vernehmlassung verzichtet und Z._ (Beschwerdegegnerin) sich dem entsprechenden Gesuch widersetzt hat. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.