Sachverhalt: A. A.a. Am 20. Mai 1999 eröffnete das Kantonsgericht des Kantons Zug über die X._ AG mit Sitz in J._ den Konkurs ohne vorgängige Betreibung. Mangels Aktiven verfügte das Konkursgericht am 4. Dezember 2000 die Einstellung des Konkursverfahrens. Jahre später wurde die Einstellung des Konkurses widerrufen. Die erste Gläubigerversammlung setzte die Z._ AG als ausseramtliche Konkursverwaltung ein. Diese erstellte am 24. März 2010 den Kollokationsplan, der anschliessend zur Einsicht aufgelegt wurde. A.b. Mit Eingabe vom 26. April 2010 reichte A._ als Konkursgläubiger beim Kantonsgericht des Kantons Zug insgesamt 112 Kollokationsklagen ein. In 110 dieser Kollokationsklagen (Verfahren Nrn. A2 2010 104 f., A2 2010 110 - 130; A2 2010 132 - 157, A2 2010 159 f., A2 2010 165 - 175, A2 2010 177 - 191, A2 2010 193 - 201, A2 2010 203 - 217 und A2 2010 219 - 227) beantragte er, die Forderung der jeweils beklagten Partei sei aus dem Kollokationsplan im Konkurs der X._ AG wegzuweisen respektive die angemeldete Forderung im jeweiligen gemäss Kollokationsplan zugelassenen Betrag nicht zuzulassen. In der Folge blieben diese Verfahren mit Rücksicht auf zwei von A._ angehobene Beschwerden nach Art. 17 SchKG bis zu den Urteilen des Bundesgerichts 5A_576/2010 vom 18. November 2010 und 5A_734/2010 vom 17. März 2011 sistiert. A.c. Mit Verfügung vom 22. Juli 2011 forderte das Kantonsgericht A._ auf, für die voraussichtlichen Verfahrenskosten der erwähnten 110 Kollokationsklagen Kostenvorschüsse zwischen jeweils Fr. 850.-- und Fr. 60'750.-- zu bezahlen. Insgesamt beliefen sich die Vorschüsse für die 110 Verfahren auf Fr. 391'015.--. A.d. Am 25. August 2011 stellte A._ in diesen 110 Verfahren einerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 30. August 2011 wies das Kantonsgericht das Gesuch ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zug und schliesslich an das Bundesgericht blieb erfolglos (vgl. im Einzelnen Urteil 5A_103/2012 vom 3. Mai 2012). Andererseits erhob er gegen die Kostenvorschussverfügung vom 22. Juli 2011 eine Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zug. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 16. Februar 2012 ab und das Bundesgericht trat auf eine dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (Urteil 5A_241/2012 vom 3. Mai 2012). In der Folge bezahlte A._ die verlangten Kostenvorschüsse. B. Mit "Entscheid" vom 5. September 2012 bestimmte das Kantonsgericht die Kostenvorschüsse in den erwähnten 110 Verfahren neu und forderte A._ auf, die "neu festgelegten Vorschüsse" (jeweils zwischen Fr. 1'125.-- und Fr. 145'805.--; insgesamt Fr. 721'265.--) binnen 10 Tagen "nachzubezahlen". Der "nachzubezahlende" Betrag belief sich demnach unter Abzug der bereits geleisteten Kostenvorschüsse von Fr. 391'015.-- auf Fr. 330'250.--. C. Eine von A._ gegen diesen Entscheid des Kantonsgerichts vom 5. September 2012 erhobene Beschwerde vom 24. September 2012 wies das Obergericht des Kantons Zug mit Urteil vom 10. Januar 2013 ab. D. A._ (nachfolgend Beschwerdeführer) hat das obergerichtliche Urteil vom 10. Januar 2013 beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter erhobener Verfassungsbeschwerde angefochten. Er beantragt in der Beschwerde in Zivilsachen, es sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben und festzustellen, dass keine weiteren Kautionen zu leisten seien. In der eventualiter erhobenen Verfassungsbeschwerde beantragt er, es sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat sich diesem Gesuch nicht widersetzt (Schreiben vom 15. Februar 2013). Mit Verfügung vom 22. März 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache hat das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet (Schreiben vom 16. Mai 2013). Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei (Schreiben vom 23. Mai 2013). Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerdebegründung mit Schreiben vom 27. Mai 2013 und 10. Juni 2013 ergänzt.