Sachverhalt: A. Der 1940 geborene G._ war seit 1960 bei der Firma J._ als Elektroschweisser tätig gewesen und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Im Mai 2001 wurde bei ihm eine Hämochromatose (mit Leber- und Gelenkschädigung) sowie im November 2003 eine Lungenfibrose festgestellt. Am 17. September 2004 verstarb G._ an seinen Gesundheitsbeschwerden. Er hinterliess seine Ehefrau P._ sowie die Kinder E._ und N._. Mit Verfügung vom 7. September 2007 verneinte die SUVA den von seiner Witwe geltend gemachten Anspruch auf eine Hinterlassenenrente, da weder eine Berufskrankheit noch ein Unfall vorgelegen habe. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. Februar 2008 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde der P._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 1. Juli 2009 ab. C. P._ sowie die gemeinsamen Kinder E._ und N._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und sinngemäss beantragen, es seien ihnen die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, insbesondere sei festzustellen, dass der Verstorbene G._ an einer Berufskrankheit gelitten habe, und es sei anzuerkennen, dass sein Tod zumindest teilursächlich durch eine Berufskrankheit verursacht worden sei. Es seien Hinterlassenenrenten (einschl. Zinsen und Teuerungsausgleich) sowie Schadenersatz und Genugtuung zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht wird eine Partei- und Zeugenbefragung beantragt; eventuell seien ergänzende medizinische Abklärungen und ein Augenschein am ehemaligen Arbeitsplatz hinsichtlich der gesundheitsschädigenden Exposition chemischer Substanzen vorzunehmen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.