Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft von Santafé de Bogotá (Kolumbien) führt ein Strafverfahren unter anderem gegen X._ wegen schweren Betrugs. Am 12. November 1993 (ergänzt am 29. Dezember 1994) ersuchte sie die Schweiz um Rechtshilfe; dies im Wesentlichen gestützt auf folgenden Sachverhalt: Die S._ SA in Belgrad habe der Bank A._ gegen Bezahlung von 750'000 US-Dollar kolumbianische Pesos zum Kauf angeboten. Am 30. September 1993 habe die Bank A._ eine Fax-Kopie des der Bank B._ (London) übergebenen Zahlungsauftrages der S._ SA erhalten. Darauf habe die Bank A._ die 750'000 US-Dollar am 4. Oktober 1993 auf ein Konto bei der Bank C._ in Lugano überwiesen. Der von der S._ SA geschuldete Pesos-Betrag sei jedoch nie eingetroffen. Es habe sich herausgestellt, dass es sich bei der Bestätigung des Zahlungsauftrages um eine Fälschung gehandelt habe. Mittlerweile seien die 750'000 US-Dollar auf ein Konto bei der damaligen Bank D._ in Grenchen, lautend auf X._, überwiesen worden. Die Staatsanwaltschaft von Santafé de Bogotá ersuchte um Sperre des Kontos bei der Bank D._. Am 15. November 1993 sperrte der Untersuchungsrichter des Kantons Solothurn den auf diesem Konto noch vorhandenen Saldo von 159'176.78 US-Dollar. Mit Verfügung vom 14. März 1994, korrigiert am 21. März 1994, überwies der Untersuchungsrichter diesen Betrag der Gerichtskasse Solothurn. Mit Urteil vom 5. November 1996 erkannte das Obergericht des Kantons Solothurn (Strafkammer), der Betrag von 159'176.78 US-Dollar bleibe im Rahmen des Rechtshilfeverfahrens zu Handen der kolumbianischen Gerichtsbehörden beschlagnahmt und sei durch das Untersuchungsrichteramt in gleicher Währung zinstragend anzulegen. Die von X._ dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 21. April 1997 ab, soweit es darauf eintrat (1A.389/1996). B. Mit Ersuchen vom 21. Oktober 1996, der Schweizerischen Botschaft in Kolumbien am 22. Januar 1998 übergeben, verlangte die Strafrichterin 36 von Santafé de Bogotà die Herausgabe des beschlagnahmten Betrages zu Handen des Gerichtes 36 auf dessen Konto für Sicherstellungen bei der Bank E._ in Santafé de Bogotà. Mit Schlussverfügung vom 26. März 2001 entsprach der Untersuchungsrichter des Kantons Solothurn dem Rechtshilfeersuchen. Er ordnete die Überweisung der beschlagnahmten 159'176.78 US-Dollar mitsamt dem inzwischen aufgelaufenen Ertrag, unter Abzug der Kosten der Vermögensverwaltung, auf das Konto des Strafgerichts von Santafé de Bogotà (Richterin 36) bei der dortigen Bank E._ an. Die dagegen von X._ sowie den Firmen Y._ und Z._ erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Solothurn (Beschwerdekammer) am 22. Mai 2007 gut. Es hob die Verfügung des Untersuchungsrichters vom 26. März 2001 auf und verweigerte die Rechtshilfe. Es wies die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn an, der Firma F._ SA (Rechtsnachfolgerin der Bank A._) nach Eintritt der Rechtskraft des obergerichtlichen Urteils Frist zu setzen zur Anhebung einer Zivilklage auf Herausgabe des beschlagnahmten Betrages, unter Androhung der Rückgabe des Betrages zuzüglich Zinsen an den Beschwerdeführer bzw. die Beschwerdeführerinnen. C. Das Bundesamt für Justiz führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts vom 22. Mai 2007 sei aufzuheben; gestützt auf das Rechtshilfeersuchen vom 12. November 1993 sowie die Ergänzungsersuchen vom 29. Dezember 1994 und 21. Oktober 1996 sei die mit Schlussverfügung des Untersuchungsrichters des Kantons Solothurn vom 26. März 2001 bewilligte Rechtshilfe zu leisten. D. Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochtenen Urteils die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. X._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen; das vorinstanzliche Urteil sei zu bestätigen und die beantragte Rechtshilfe zu verweigern; es sei eine öffentliche Parteiverhandlung vor dem Bundesgericht durchzuführen; K._ sei als Zeuge anzuhören. E. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf Bemerkungen zur Vernehmlassung von X._ verzichtet. Das Bundesamt hat dazu eine Stellungnahme eingereicht. Es hält an seinen in der Beschwerde gestellten Anträgen fest. F. X._ hat zur Stellungnahme des Bundesamtes Bemerkungen eingereicht. Er hält an den in der Vernehmlassung gestellten Anträgen fest.