Sachverhalt: A. A.a. Der 1949 geborene R._ war im April 2007 am rechten Oberschenkel von einer Zecke gebissen worden. Die Basler Versicherungen AG (nachfolgend: Basler) erbrachte die Versicherungsleistungen. Mit Verfügung vom 11. Juni 2010 stellte sie die Heilkosten- und Taggeldleistungen mit sofortiger Wirkung ein und verneinte einen Anspruch auf weitere Leistungen gemäss UVG, da die noch geklagten Beschwerden nicht überwiegend wahrscheinlich kausal zum Zeckenbiss seien. An ihrem Standpunkt hielt sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2011 fest. Dagegen liess R._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde erheben und die Ausrichtung der gesetzlichen Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung beantragen. A.b. Mit Eingabe vom 4. April 2011 wies der Rechtsvertreter von R._ darauf hin, dass der Rechtsvertreter der Basler, Rechtsanwalt Simon Krauter, als nebenamtlicher Richter am Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau tätig sei, und verlangte die Überweisung der Sache an das Versicherungsgericht eines andern Kantons. Nachdem der Gerichtspräsident mit Schreiben vom 11. April 2011 mitgeteilt hatte, Simon Krauter sei lediglich Ersatzrichter und dürfe vor Verwaltungsgericht grundsätzlich auftreten, liess R._ mit Eingabe vom 26. April 2011 am Ausstandsbegehren gegen das Verwaltungsgericht festhalten. Nach Durchführung einer Plenarsitzung wies das Verwaltungsgericht das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 1. Juni 2011 ab. A.c. Mit Beschwerde ans Bundesgericht liess R._ beantragen, der Entscheid vom 1. Juni 2011 sei aufzuheben und es sei ein unbefangenes Richtergremium als Ersatzgericht zum Entscheid über den Ausstand der ordentlichen Verwaltungsrichter des Kantons Thurgau sowie zum Entscheid über die Beschwerde des R._ gegen den Einspracheentscheid vom 11. Januar 2011 zu berufen, eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zur Bestellung eines Ersatzgerichts zum Entscheid über den Ausstand der ordentlichen Verwaltungsrichter sowie zum Entscheid über die Beschwerde des R._. A.d. Mit Urteil vom 1. Februar 2012 hiess das Bundesgericht die Beschwerde in dem Sinne gut, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 1. Juni 2011 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wurde, damit ein nach dem Recht des Kantons Thurgau zuständiger Spruchkörper über das Ausstandsbegehren entscheide. B. Nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 15. Februar 2012 beschlossen hatte, dass das Verwaltungsgericht zur Prüfung der Frage der Befangenheit mit den Präsidenten der Rekurskommissionen besetzt werde und gegen die vorgeschlagene Besetzung keine Einwände erhoben worden waren, wies das Verwaltungsgericht in ausserordentlicher Besetzung das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 13. Juni 2012 ab. C. Mit Verfassungsbeschwerde lässt R._ beantragen, der Entscheid des ersatzweise besetzten Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 13. Juni 2012 sei aufzuheben, alle haupt- oder nebenamtlichen Richter des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau seien zu verpflichten, bei der Behandlung dieser Sache den Ausstand zu beachten und es sei an ihrer Stelle das ersatzweise besetzte Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, eventualiter das Versicherungsgericht eines andern Kantons, zu verpflichten, die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der Basler vom 11. Januar 2011 verfahrensleitend zu behandeln und darüber zu entscheiden. Die Basler schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.