Sachverhalt: A. Der 1963 geborene O._ arbeitete seit 1. November 2005 in einem Teilzeitarbeitsverhältnis als Koch in der A._ GmbH und war damit bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) unfallversichert. Gemäss Unfallmeldung vom 1. Februar 2006 schlug er sich am 6. Dezember 2005 bei der Arbeit in der Küche das linke Knie an einer Schublade an. Der am 1. Februar 2006 konsultierte Dr. med. P._, Facharzt FMH für orthopädische Chirurgie, diagnostizierte gemäss Arztzeugnis vom 24. Februar 2006 persistierende Kniebeschwerden links nach Kontusion vom 6. Dezember 2005 sowie Kniegelenksarthroskopie vom 13. September 2005 mit Teilmeniskektomie, Plicaresektion und Glätten von Knorpelschäden bei degenerativer Chondromalazie des medialen Kompartiments. Am 4. April 2006 führte derselbe Arzt eine weitere Kniegelenksarthroskopie mit Teilmeniskektomie durch, wobei laut Operationsbericht die Diagnosen mediale Meniskusläsion und beginnende Gonarthrose links erhoben wurden. Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld. Zur Abklärung der Leistungspflicht holte diese in der Folge bei Dr. med. S._, Spezialarzt FMH/FMS für orthopädische Chirurgie, ein Gutachten ein, welches am 23. November 2006 erstellt wurde. Gestützt darauf stellte die Allianz mit Verfügung vom 24. April 2007 die Versicherungsleistungen per 30. November 2006 ein. Zur Begründung führte sie an, durch das Ereignis vom 6. Dezember 2006 sei es zwar zu einer vorübergehenden Verschlimmerung eines Vorzustandes gekommen, doch sei der Status quo sine Mitte November 2006 wieder erreicht worden. Daran hielt sie nach Einholung der Kurzbeurteilung des Dr. med. S._ vom 24. September 2007 mit Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007 fest. B. Dagegen erhob O._ am 13. November 2007 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde. Mit Beschluss vom 17. Januar 2008 trat dieses darauf mangels örtlicher Zuständigkeit nicht ein und überwies die Akten an das zuständige Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Dieses wies die Beschwerde in der Besetzung Vizepräsident H._, nebenamtliche Verwaltungsrichter Dr. med. T._ und Dr. med. W._ und Gerichtsschreiberin R._ mit Entscheid vom 26. August 2008 ab. C. O._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit den Anträgen, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben, und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm für die Folgen des Unfallereignisses vom 6. Dezember 2005 weiterhin Heilbehandlung und Taggeldleistungen auszurichten; eventualiter seien ihm eine Rente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen. Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während sich das Bundesamt für Gesundheit nicht vernehmen lässt. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz beantragt ebenfalls Abweisung der Beschwerde, wobei es insbesondere zu den vorgebrachten Rügen der nicht ordnungsgemässen Zusammensetzung des kantonalen Verwaltungsgerichts und der Befangenheit einzelner Richter Stellung nimmt. D. Mit Eingabe vom 2. Februar 2009 stellt der Beschwerdeführer eine Stellungnahme zu den eingegangenen Vernehmlassungen in Aussicht, welche am 16. Februar 2009 mit vier Beilagen eingeht. Weitere Eingaben des Beschwerdeführers samt Beilage datieren vom 25. März 2009 und vom 16. April 2009. Das kantonale Gericht reicht die Stellungnahme vom 20. April 2009 ein.