Sachverhalt: A. In einem vor dem Bundesverwaltungsgericht hängigen Beschwerdeverfahren betreffend Leistungen der Invalidenversicherung ersuchte S._ als Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung ihrer Rechtsvertreterin als unentgeltliche Prozessbeiständin. B. Mit Entscheid vom 21. Januar 2010 gewährte das Bundesverwaltungsgericht S._ die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten, wies das Gesuch aber bezüglich der unentgeltlichen Verbeiständung ab. Zur Begründung wurde ausgeführt, zwar sei S._ als bedürftig und die Beschwerde nicht als aussichtslos zu betrachten. Es fehle aber an der Notwendigkeit einer anwaltlichen Verbeiständung. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit die unentgeltliche Verbeiständung verweigert worden sei, und das Bundesverwaltungsgericht sei zu verpflichten, dem gestellten Gesuch auch diesbezüglich zu entsprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.