Sachverhalt: A. A.a Die 1936 geborene X._ wurde in den Jahren 2011 und 2012 mehrmals zur Alkoholentzugsbehandlung in die Universitären Psychiatrischen Kliniken A._ (UPK) eingewiesen. Des öfteren trat sie auch freiwillig in Einrichtungen ein. Die am 18. Januar 2012 gestützt auf aArt. 397a Abs. 1 ZGB angeordnete vorsorgliche Einweisung erfolgte gestützt auf ein Gutachten der UPK vom 21. Dezember 2011. Laut diesem Gutachten leidet X._ an einer schweren Alkoholabhängigkeit sowie bereits eingetretenen psychischen, physischen und sozialen Folgeschäden. A.b In der Folge wurde die Massnahme unter anderem mit der Auflage, die Hilfe der Spitex zuzulassen, aufgehoben. Nachdem X._ nur ungenügend Hilfe der Spitex zugelassen hatte, sehr häufig alkoholisiert war und eine Verwahrlosung ihrer Wohnung auch durch die Spitex nicht hatte verhindert werden können, beantragte die Vormundschaftsbehörde am 21. November 2012 die Anordnung einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2012 entsprach der Vormundschaftsrat diesem Antrag und wies X._ im Rahmen einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung erneut in die UPK und anschliessend in ein geeignetes Alters- und Pflegeheim ein. B. Dagegen erhob X._ am 10. Dezember 2012 Rekurs beim Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches die Angelegenheit mit Verfügung vom 7. Januar 2013 zuständigkeitshalber an die Rekurskommission für fürsorgerische Unterbringungen des Kantons Basel-Stadt (FU-Rekurskommission) überwies. Dr. med. B._ erstattete sein Gutachten am 12. Januar 2013. Anlässlich der Verhandlung vom 17. Januar 2013 wurde X._ angehört. Die Rekurskommission nahm den Rekurs als Beschwerde entgegen und wies sie mit Entscheid vom gleichen Tag ab. C. Die anwaltlich vertretene X._ (Beschwerdeführerin) hat am 11. März 2013 (Postaufgabe) gegen den ihr am 8. Februar 2013 in voller Ausfertigung zugestellten Entscheid der Rekurskommission beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie ersucht um Aufhebung der angeordneten Massnahme und um Entlassung aus der Anstalt. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ hat sich nicht vernehmen lassen. Die Rekurskommission schliesst in ihrer Eingabe vom 5. April 2013 auf Abweisung der Beschwerde. Auf diese Stellungnahme wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.