Sachverhalt: A. A.a X._ (Beschwerdeführer) wurde am 15. April 1996 am Kantonsspital St. Gallen am linken Handgelenk operiert. Am 25. November 1997 gelangte er an das Justizdepartement des Kantons St. Gallen und reichte ein Schadenersatzbegehren gemäss kantonalem Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz über die Haftung der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten vom 7. Dezember 1959; sGS 161.1; VG) ein. Dieses Verfahren wurde vom Bezirksamt St. Gallen mit Verfügung vom 8. Dezember 1997 bis auf weiteres sistiert. Am 27. Oktober 2003 wandte sich der Beschwerdeführer erneut mit einem Schadenersatzbegehren an das Justizdepartement. Am 25. November 2003 wurde daraufhin der Vermittlungsvorstand anbegehrt und am 15. März 2004 die Klage beim Kreisgericht St. Gallen eingereicht. A.b Das im Verfahren vor dem Kreisgericht St. Gallen gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege lehnte die Präsidentin der 2. Abteilung des Kreisgerichts St. Gallen mit Entscheid vom 2. Juni 2004 wegen Aussichtslosigkeit ab. Den vom Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs wies die Präsidentin der III. Zivilkammer mit Entscheid vom 29. Dezember 2004 ab. Der Beschwerdeführer bezahlte daraufhin die Einschreibgebühr, nicht aber die ihm in der Folge vom Kreisgericht St. Gallen auferlegte Sicherheitsleistung. Demzufolge trat das Kreisgericht St. Gallen mit Entscheid vom 28. April 2005 auf die Klage nicht ein. A.c Am 17. November 2006 ersuchte der Beschwerdeführer das Vermittleramt St. Gallen um Durchführung eines Vermittlungsvorstands. Dabei verlangte der Beschwerdeführer, der Kanton St. Gallen sei zu verpflichten, ihm eine Genugtuung in der Höhe von mindestens Fr. 25'000.-- und Schadenersatz nach Ausgang des Beweisverfahrens, jedoch mindestens Fr. 35'000.--, beides nebst Zins, zu bezahlen. Nachdem keine Einigung zustande gekommen war, machte der Beschwerdeführer am 23. Juli 2007 die Klage beim Kreisgericht St. Gallen anhängig und stellte gleichzeitig das Begehren um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für dieses Verfahren. Mit Entscheid vom 9. November 2007 wies die Präsidentin der 3. Abteilung des Kreisgerichts St. Gallen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Gegen diesen Entscheid reichte der Beschwerdeführer beim Kantonsgericht Rekurs ein. B. Die Präsidentin der III. Zivilkammer als Einzelrichterin des Kantonsgerichts St. Gallen wies den Rekurs mit Entscheid vom 13. Februar 2008 ab. Zur Begründung der Aussichtslosigkeit erwog das Gericht, der Anspruch sei nach Art. 4 Abs. 1 VG in seiner massgebenden Fassung vor Inkrafttreten des II. Nachtragsgesetzes vom 26. Mai 2000 (aVG) verwirkt. Da das vom Beschwerdeführer behauptete schädigende Ereignis mehr als zehn Jahre zurückliege, sei seine Klagemöglichkeit absolut verwirkt. C. Gegen den Entscheid der Präsidentin der III. Zivilkammer als Einzelrichterin des Kantonsgerichts St. Gallen vom 13. Februar 2008 hat der Beschwerdeführer beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben und dem Beschwerdeführer sei im Verfahren vor dem Kreisgericht St. Gallen die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Ausserdem beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung auch für das Verfahren vor Bundesgericht. Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.