Sachverhalt: A. Die kosovarische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1959) war seit 1980 mit dem serbischen Staatsangehörigen B.A._ (geb. 1958) verheiratet. Aus der Ehe gingen vier Kinder hervor (geb. 1981, 1982, 1985 und 1989). 1995 erfolgte die Scheidung. Noch im gleichen Jahr heiratete B.A._ die in der Schweiz niedergelassene Landsfrau B._ (geb. 1965) und reiste 1996 in die Schweiz ein, worauf er die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt. Die Ehe wurde am 13. November 2001 geschieden. Das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) erteilte B.A._ am 18. Oktober 2002 die Niederlassungsbewilligung. A.A._ war 1999 in die Schweiz eingereist und hatte (gemeinsam mit ihren Kindern) erfolglos um Asyl ersucht. Am 14. Januar 2002 verheiratete sie sich erneut mit B.A._, reiste Ende 2003 mit den beiden jüngeren Kindern (damals 18 und 14 Jahre alt) in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann. Zwischen Dezember 2006 und Mai 2009 mussten A.A._ und ihr Ehemann mit insgesamt Fr. 93'770.45 durch die Sozialhilfe unterstützt werden. Weil der Sozialhilfebezug andauerte, verwarnte das Migrationsamt A.A._ am 15. Juni 2009 förmlich und stellte ihr schwerer wiegende ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht, falls sie weiterhin auf Sozialhilfe angewiesen sein oder ihr Verhalten zu anderen Klagen Anlass geben sollte. B. Nachdem sich der Gesamtbetrag der bezogenen Sozialhilfegelder bis zum 4. Oktober 2012 auf Fr. 193'482.25 erhöht hatte, wies das Migrationsamt das Gesuch von A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 5. Oktober 2012 ab und wies sie aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 29. August 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 1. November 2013. C. A.A._ erhebt am 9. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (recte: verlängern); eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Mit Eingabe vom 31. Januar 2014 reicht A.A._ eine ergänzende Beschwerdebegründung und verschiedene Unterlagen ein. Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion verzichten auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. A.A._ hält mit Replik vom 1. April 2014 an ihren Anträgen fest. Mit Präsidialverfügung vom 9. Januar 2014 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.