Sachverhalt: A. L._ erhob beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SJD) mit Eingabe vom 6. September 2010 (Eingang beim SJD am 8. Oktober 2010) Rekurs gegen einen gemeindebehördlichen Entscheid betreffend finanzielle Nothilfe. Am 14. Mai 2011 reichte L._ Rechtsverzögerungsbeschwerde betreffend die Behandlung des Rekurses ein. Die Rechtsverzögerungsbeschwerde wurde vom Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen (nachfolgend: GD) an die Hand genommen. Mit Entscheid vom 15. August 2011 trat das SJD auf den Rekurs nicht ein, da es L._ am Rechtschutzinteresse fehle. Sodann schrieb das GD mit Entscheid vom 14. September 2011 die Rechtsverzögerungsbeschwerde infolge Gegenstandslosigkeit ab. Es verneinte dabei einen Anspruch auf die beantragte ausseramtliche Entschädigung für die Bemühungen des im Rechtsverzögerungsverfahren als Rechtsvertreter des L._ aufgetretenen K._. B. L._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde mit dem Antrag, für das Rechtsverzögerungsverfahren sei ihm eine ausseramtliche Entschädigung von Fr. 2790.- Honorar zuzüglich Fr. 49.- Barauslagenersatz zuzusprechen. Er stellte überdies ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Das Verwaltungsgericht wies dieses Gesuch mit verfahrensleitender Verfügung seines Präsidenten vom 10. Oktober 2011 ab, da die Beschwerde aussichtslos sei, und verlangte von L._ die Bezahlung eines Gerichtskostenvorschusses. C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die vorinstanzliche Verfügung aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird beantragt, es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren und "die aufschiebende Wirkung zu erteilen". Das kantonale Gericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.