Sachverhalt: A. A._ war vom 1. Oktober 2004 bis 30. September 2005 für die Firma B._ AG, tätig und dadurch bei der Winterthur-Columna Stiftung für die berufliche Vorsorge (seit Februar 2009: AXA Stiftung Berufliche Vorsorge; Beschwerdegegnerin 1) berufsvorsorgeversichert. In der Folge bezog er von Oktober 2005 bis Ende April 2007 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Während seiner Anspruchsberechtigung war er bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Beschwerdegegnerin 2) obligatorisch berufsvorsorgeversichert. Ab 1. April 2007 war A._ infolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Am 28. Januar 2008 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Freiburg zum Leistungsbezug an. Er gab an, die Spätfolgen einer im Alter von zwei Jahren erlittenen Kinderlähmung erlaubten es ihm nicht mehr, eine berufliche Tätigkeit auszuüben. Die IV-Stelle sprach ihm mit Verfügungen vom 10. März und 8. Juni 2011 ab 1. April 2007 eine Viertelsrente, ab 1. Juli 2007 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2010 eine ganze Rente zu. Mit Schreiben vom 15. September 2011 lehnte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG das Gesuch um Invaliditätsleistungen mit der Begründung ab, der Beginn der relevanten Arbeitsunfähigkeit sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit vor dem Bezug von Arbeitslosentaggeld eingetreten, weshalb A._ zu diesem Zeitpunkt nicht bei der beruflichen Vorsorge für arbeitslose Personen versichert gewesen sei. Auch die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge verneinte mit Schreiben vom 10. Januar 2012 ihre Leistungspflicht. Sie begründete dies damit, dass eine längerdauernde Arbeitsunfähigkeit echtzeitlich erst ab 1. April 2007 und somit nach Ende der Vorsorgeversicherung attestiert worden sei. B. Am 28. Februar 2012 liess A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage erheben und beantragen, die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge sei zu verpflichten, ihm mit Wirkung ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren. Oder die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sei zu verpflichten, ihm ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren. Bis zum Entscheid in der Hauptsache sei die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu verpflichten, ihm vorleistungsweise eine Invalidenrente zu gewähren. Mit Entscheid vom 13. Februar 2014 wies das Verwaltungsgericht die Klagen mangels invalidisierender Wirkung des Post-Polio-Syndroms (PPS) ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, eventualiter die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu verpflichten, ihm ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren. Die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.