Sachverhalt: A. A.a Mit Zahlungsbefehl Nr. ... des Betreibungsamtes A._ betrieb Z._ die X._ GmbH für ausstehende Mietzinse in der Höhe von Fr. 41'500.-- sowie für Kosten von Fr. 542.-- aus der Retention. Als Forderungsurkunde beziehungsweise Grund der Forderung gab er "Fällige Mietzinse vom 1. Juli 2009 - 31. Januar 2010" und "Prosequierung der Retention Nr. ... des Betreibungsamtes A._" an. Die X._ GmbH erhob Rechtsvorschlag. A.b Daraufhin reichte Z._ am 15. Februar 2010 beim Gerichtspräsidium Baden ein Gesuch um Erteilung der Rechtsöffnung für Fr. 48'000.-- (Forderungen von Fr. 41'500.-- und Fr. 6'500.--) sowie für die Kosten der Retention und des Zahlungsbefehls von Fr. 642.-- ein. A.c Das Gerichtspräsidium erteilte Z._ mit Urteil vom 29. März 2010 die provisorische Rechtsöffnung über Fr. 41'500.-- und für Betreibungskosten von insgesamt Fr. 1'092.-- (Fr. 642.-- für die Kosten der Retention und des Zahlungsbefehls sowie für eine Gebühr von Fr. 400.-- und eine Entschädigung von Fr. 50.-- aus dem Rechtsöffnungsverfahren). B. Die von der X._ GmbH dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau am 21. Juni 2010 ab. C. Dem Bundesgericht beantragt die X._ GmbH (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 27. Juli 2010 die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Eventualiter verlangt sie, die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter fordert sie die Neuverlegung der kantonalen Kosten. Überdies ersucht sie um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat dazu auf eine Vernehmlassung verzichtet. Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) schliesst in seiner Eingabe vom 29. Juli 2010 sinngemäss auf Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 16. August 2010 hat das präsidierende Mitglied der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Es sind die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Der Beschwerdegegner nimmt in seiner Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vom 29. Juli 2010 - unaufgefordert - auch zur Sache Stellung und verlangt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.