Sachverhalt: A. In der von der X._ AG beim Betreibungsamt des Kantons Basel-Stadt gestützt auf einen Verlustschein vom 1. Februar 2002 angehobenen Betreibung Nr. xxx über den Betrag von Fr. 4'403.15 zuzüglich Fr. 396.85 erhob Y._ Rechtsvorschlag mit der Begründung, es sei nicht zu neuem Vermögen gekommen. Das Zivilgericht Basel-Stadt lud daraufhin die Parteien am 2. August 2013 auf den 2. September 2013 zu einer mündlichen Verhandlung ein, an welcher nur Y._ teilnahm. Die X._ AG reichte am 29. August 2013 eine schriftliche Stellungnahme ein. B. Mit Entscheid vom 2. September 2013 stellte das Zivilgericht fest, dass Y._ in der Betreibung Nr. xxx nicht zu neuem Vermögen gekommen sei und bewilligte den Rechtsvorschlag. Auf Ersuchen der X._ AG begründete das Zivilgericht seinen Entscheid. C. Die X._ AG ist mit Verfassungsbeschwerde vom 4. Oktober 2013 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des zivilgerichtlichen Urteils und die Feststellung, dass Y._ (Beschwerdegegner) in der angehobenen Betreibung zu neuem Vermögen gekommen und der Rechtsvorschlag in diesem Umfang zu beseitigen sei. Der Beschwerdegegner verlangt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Das Zivilgericht Basel-Stadt schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.