Sachverhalt: A. A.a Am 12. April 2001 richtete die im Jahr 1961 geborene A._, die als Sportschützin Mitglied eines Schiessclubs war, in Baar eine der beiden Pistolen, die sie bei sich hatte, auf ihren damaligen Lebenspartner B._. Dieser konnte ihr die Waffe nach Zureden abnehmen. Hierauf nahm A._ auch noch die zweite Waffe zur Hand, welche B._ ihr ebenfalls abnehmen konnte. Die beiden Schusswaffen, eine Pistole der Marke "Glock" und eine Sportpistole der Marke "Hämmerli", wurden am 12. April 2001 von der Zuger Polizei sichergestellt. Mit Verfügung der Zuger Polizei vom 15. Juli 2002 wurden die beiden sichergestellten Schusswaffen beschlagnahmt und als Bedingung für deren Rückgabe eine "Unbedenklichkeitserklärung" in Form eines ärztlichen Zeugnisses verlangt, welches A._ "einen stabilen psychischen Zustand" attestiert. Im Rahmen der zwischen A._ und der Zuger Polizei geführten Korrespondenz betreffend die Rückgabe der Schusswaffen hielt der Kommandant der Zuger Polizei mit Schreiben vom 6. August 2002 an A._ unter Hinweis auf die Bestimmungen der eidgenössischen Waffengesetzgebung fest, für die Rückgabe der Waffen sei im Sinne einer "Unbedenklichkeitserklärung" eine fachärztliche Bestätigung erforderlich, dass A._ nicht suizidgefährdet sei und von ihr keine Gefahr für Dritte ausgehe. Im Jahre 2003 ersuchte A._ ihre Ärztin, bei der sie seit 1998, mit Unterbrüchen, wegen gesundheitlicher Probleme psychischer Art in Behandlung war, um Ausstellung einer "Unbedenklichkeitserklärung", was die Ärztin, eine Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, aber ablehnte. A._ suchte eine andere Person, die zur Ausstellung der gewünschten "Unbedenklichkeitserklärung" bereit war, und gelangte an X._. A.b X._ führte in seiner Funktion als allgemein praktizierender Arzt und Psychoanalytiker am 6. November 2003 ein rund einstündiges Gespräch mit A._. Am 13. November 2003 stellte er eine "Unbedenklichkeitserklärung" aus. Darin hielt er unter anderem fest, dass A._, die er am 6. November 2003 ausführlich psychiatrisch untersucht habe, in stabilen Verhältnissen lebe, seit 15 Jahren an der gleichen Stelle arbeite und auch emotional ausgeglichen sei. Der Vorfall, der zum Einzug der beiden Pistolen geführt habe, müsse im Zusammenhang mit der damaligen enttäuschenden Beziehung gesehen werden. Es habe sich weder um einen ernsthaften Selbstmordversuch noch gar um eine ernstliche Bedrohung des damaligen Lebenspartners mit Erschiessen gehandelt. Der Vorfall habe vielmehr den Charakter einer hilflosen hysterischen Inszenierung gehabt. Aufgrund seiner Untersuchung sei er davon überzeugt, dass sich derartiges nicht wiederholen werde. Gestützt auf diese "Unbedenklichkeitserklärung" vom 13. November 2003 gab die Zuger Polizei am 1. Dezember 2003 A._ die beiden beschlagnahmten Pistolen wieder heraus. A.c Am 11. März 2004 suchte A._ ihren ehemaligen Freund C._ in dessen Haus auf, um mit ihm zu reden. Nach dem Gespräch wandte sie sich zum Weggehen. Als sie von C._ auf ihre Tasche angesprochen wurde, zog sie daraus eine durchgeladene Faustfeuerwaffe, die sie mit dem Finger am Abzug aus nächster Nähe gegen die Brust von C._ richtete. Dieser versuchte sofort, durch einen Schlag auf den Arm die Waffe nach unten zu bewegen, worauf sich aus der von A._ gehaltenen Pistole ein Schuss löste, welcher C._ im Bauch traf. Der Geschädigte erlitt einen Bauchdurchschuss mit Durchdringen der Leber und der rechten Niere. Letztere musste zusammen mit einem Teil der Nebenniere operativ entfernt werden. Bei der Tatwaffe handelte es sich um die Pistole der Marke "Glock", welche - neben der Sportpistole der Marke "Hämmerli" - von der Zuger Polizei beschlagnahmt und am 1. Dezember 2003 auf Grund der von X._ ausgestellten "Unbedenklichkeitserklärung" A._ wieder zurückgegeben worden war. Bei der Tat vom 11. März 2004 zum Nachteil von C._ führte A._ in ihrer Tasche allerdings noch eine weitere Pistole der Marke "Glock" mit sich. Diese Schusswaffe war zu keinem Zeitpunkt beschlagnahmt worden und bildete daher auch nicht Gegenstand der Verfügung der Zuger Polizei betreffend die Herausgabe von zwei Schusswaffen, die auf Grund der von X._ ausgestellten "Unbedenklichkeitserklärung" erlassen wurde. B. B.a Das Obergericht des Kantons Zürich sprach X._ am 4. April 2008 in Bestätigung des Urteils des Einzelrichters in Strafsachen am Bezirksgericht Zürich vom 10. Mai 2007 vom Vorwurf der fahrlässigen schweren Körperverletzung (Art. 125 Abs. 2 StGB) frei. B.b A._ wurde wegen der Tat vom 11. März 2004 zum Nachteil von C._ mit Urteil des Geschworenengerichts des Kantons Zürich vom 1. Februar 2006 wegen vollendeten Versuchs der vorsätzlichen Tötung (Art. 111 in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB) und wegen Vergehens gegen das Waffengesetz unter Zubilligung einer mittelgradigen Verminderung der Zurechnungsfähigkeit zu fünf Jahren Zuchthaus verurteilt, wobei der Vollzug dieser Strafe zu Gunsten einer stationären Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB aufgeschoben wurde. C. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. April 2008 in Sachen X._ sei aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. X._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.