Sachverhalt: A. A.a Die 1967 geborene F._ war im Rahmen ihrer Anstellung bei der Firma S._ AG bis Ende Oktober 2003 bei der Öffentlichen Krankenkasse Luzern (ÖKK; seit 1. Januar 2004: Xundheit, Öffentliche Gesundheitskasse Schweiz [nachfolgend: Xundheit]) kollektiv krankentaggeldversichert. Ab 14. Juli 2003 war F._ zu 50 % und ab 21. Juli 2003 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Die ÖKK richtete Taggeldleistungen aus. Nach Beendigung des Arbeitverhältnisses am 31. Oktober 2003 trat F._ in die Einzeltaggeldversicherung über. Am 10. November 2003 reiste F._ in ihr Heimatland in Asien. Am 14. November trat sie ins Hospital H._ ein, wo sie wegen Tuberkulose stationär behandelt wurde. Am 3. Dezember 2003 wurde F._ ins Hospital L._ verlegt. Dort wurde sie in der Folgezeit behandelt. Ende August 2004 konnte F._ wieder zurück in die Schweiz reisen. A.b Mit Verfügung vom 4. Oktober 2004 und Einspracheentscheid vom 18. November 2004 weigerte sich die Xundheit, für die Zeit vom 11. November 2003 bis 31. August 2004 Taggeldleistungen zu erbringen. In teilweiser Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde, soweit darauf einzutreten war, hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid insoweit auf, als es den Krankenversicherer verpflichtete, Krankentaggelder für die Zeit vom 14. November 2003 bis 31. August 2004 auszuzahlen (Entscheid vom 28. September 2005). Das Eidg. Versicherungsgericht hob dieses Erkenntnis sowie den Einspracheentscheid vom 18. November 2004 auf und wies die Sache an die Xundheit zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach erneut über den Leistungsanspruch der Versicherten befinde (Urteil K 180/05 vom 21. Dezember 2006). Auf ein Erläuterungsgesuch zu diesem Urteil trat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom 27. März 2007 nicht ein. A.c Die Xundheit richtete Taggelder für die Dauer des Aufenthalts im Hospital H._ vom 14. November bis 3. Dezember 2003 aus. Hingegen verneinte sie eine Leistungspflicht für die Dauer der ambulanten Behandlung im Hospital L._. Am 7. Mai 2007 erliess sie eine in diesem Sinne lautende Verfügung, welche sie mit Einspracheentscheid vom 26. Juni 2007 bestätigte. B. In Gutheissung der Beschwerde von F._ hob die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern den Einspracheentscheid vom 26. Juni 2007 auf und verpflichtete die Xundheit, für die Zeit vom 4. Dezember 2003 bis 31. August 2004 Taggelder auszurichten (Entscheid vom 20. März 2009). C. Die Xundheit lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 20. März 2009 sei aufzuheben. F._, welche neben ihrem Rechtsvertreter ebenfalls eine Stellungnahme eingereicht hat, lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen.