Sachverhalt: A. X._ (geb. 1979), Staatsangehörige der Elfenbeinküste, reiste zwischen Juni 2004 und Februar 2006 mehrmals ohne Visum in die Schweiz ein. Anlässlich einer Hausdurchsuchung wurde X._ am 29. März 2006 in der Wohnung des Schweizer Bürgers A._ (geb. 1939) angetroffen. Im Rahmen der polizeilichen Einvernahme sagte sie aus, sie sei etwa am 10. Juli 2004 bei A._ eingezogen und habe mit ihm eine Beziehung geführt. Sie habe ihn heiraten wollen und habe auch versucht schwanger zu werden. A._ sei interessiert gewesen an einer Ehe. Nach drei Monaten habe er ihr gesagt, dass er erst heiraten werde, wenn sie schwanger sei. Später habe er ihr gesagt, sie sei zu jung zum Heiraten. Schliesslich habe er ihr gesagt, er sei zeugungsunfähig. Im April 2005 habe sie sich von ihm getrennt. Im Januar und März 2006 arbeitete sie als Haushaltshilfe für ihn. Das Bezirksamt Bremgarten bestrafte X._ am 30. März 2006 wegen Widerhandlung gegen das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121 ff.) mit 90 Tagen Gefängnis bedingt, unter Ansetzung einer Probezeit von drei Jahren. Gleichentags verfügte das Migrationsamt des Kantons Aargau die sofortige Wegweisung aus der Schweiz. X._ leistete dieser Anordnung keine Folge. Über das Internet lernte sie vielmehr den Schweizer Bürger B._ (geb. 1977), wohnhaft in Lausanne, kennen. Im Jahr 2006 brachte sie in Zürich die Tochter C._ zur Welt, welche im Juli 2008 von B._ als eigenes Kind anerkannt wurde. B. Mit Eingabe vom 25. September 2007 ersuchte X._ das Migrationsamt des Kantons Zürich um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 11. November 2008 wies das Migrationsamt das Gesuch ab und setzte X._ Frist zum Verlassen der Schweiz. Der hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rekurs wurde in der Hauptsache abgewiesen. Der Regierungsrat beauftragte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, nach Eintritt der Rechtskraft des Entscheides dem Bundesamt für Migration einen Antrag betreffend vorläufige Aufnahme von X._ zu stellen. Mit Urteil vom 10. Februar 2010, versandt am 19. Februar 2010, hiess das Verwaltungsgericht die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde gut und lud die Sicherheitsdirektion ein, X._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. C. Mit Eingabe vom 16. März 2010 führt das Bundesamt für Migration Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Februar 2010 aufzuheben. X._ beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 1. April 2010 hat der Abteilungspräsident der Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich untersagt, während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens die Wegweisung der Beschwerdegegnerin in die Wege zu leiten. Gleichzeitig wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gutgeheissen und der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt Florian Wick als Rechtsbeistand beigegeben.