Sachverhalt: A. Der 1953 geborene A._ bezieht wegen der Beeinträchtigung seiner Sehfähigkeit seit 1979 eine Hilflosenentschädigung und seit 1997 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Im Rahmen des Pilotversuchs "Assistenzbudget" sprach ihm die dafür zuständige IV-Stelle des Kantons St. Gallen ein monatliches Assistenzgeld, maximal bestehend aus der Assistenzpauschale von Fr. 300.- und dem Assistenzbudget von Fr. 1'080.-, ab 1. April 2007 zu (Verfügung vom 7. März 2007); gleichzeitig sistierte sie die Hilflosenentschädigung. Nachdem am 1. Januar 2012 die 6. IV-Revision mit den gesetzlichen Bestimmungen über den Assistenzbeitrag in Kraft getreten war, prüfte die IV-Stelle des Kantons Zürich einen Anspruch des A._ auf diese neue Leistung. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie ihm mit Verfügung vom 20. Juli 2012 einen Assistenzbeitrag von monatlich durchschnittlich Fr. 300.95 und jährlich maximal Fr. 3'611.40 ab 1. September 2012 zu, wobei sie auf den gleichen Zeitpunkt das bisherige Assistenzgeld aufhob und ankündigte, die Hilflosenentschädigung von monatlich Fr. 464.- wieder auszurichten. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, als es die Verfügung "vom 19. Dezember 2012" aufhob und die Sache an die Verwaltung zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge. Weiter stellte es in Bezug auf das Assistenzbudget " (Verfügung vom 7. März 2012) " fest, dass dieses bis 31. Dezember 2012 weiter zu gewähren sei, gegebenenfalls unter Berücksichtigung der ab 1. September 2012 wieder ausgerichteten Hilflosenentschädigung (Entscheid vom 31. Januar 2014). C. Die IV-Stelle des Kantons Zürich beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 31. Januar 2014 sei aufzuheben und die Verfügung vom 20. Juli 2012 zu bestätigen; eventualiter sei die Sache zur materiellen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt, diese sei in "Bezug auf den Teilentscheid betreffend der Weiterausrichtung des Assistenzbudgets bis zum 31. Dezember 2012" gutzuheissen.