Sachverhalt: A. A._ (Bauherr, Beschwerdeführer) ist Eigentümer der Liegenschaft U._. Im Jahre 2003 liess er sich im Rahmen eines Umbaus durch die B._ AG (Unternehmerin, Beschwerdegegnerin) eine Offerte für Spengler- und Sanitärarbeiten zum Gesamtpreis von Fr. 144'186.05 unterbreiten. In der Offerte wurde festgehalten, dass für die Ausführung der Arbeiten die geltenden SIA-Normen, insbesondere die SIA-Norm 118 "Allgemeine Bedingungen für Bauarbeiten", verbindlich sein sollen. In der Folge wurden die Arbeiten nicht exakt so ausgeführt, wie in der Offerte vom 14. Mai 2003 festgelegt worden war. Auf der Rechnung über den Auftrag ist festgehalten, dass die Arbeiten in der Zeit vom Mai 2003 bis 31. März 2005 ausgeführt worden seien. Den gemäss Rechnung vom 15. April 2005 noch offenen Betrag von Fr. 40'752.40 beglich der Bauherr im Mai 2005. Im Sommer 2005 stellte der Bauherr bzw. dessen Architekt, C._, fest, dass es Probleme mit der Entwässerung der Terrasse gab. Zur Behebung dieses Problems wandte sich der Bauherr an die Unternehmerin, die sich der Entwässerungsproblematik annahm und die notwendigen Arbeiten ausführte. Die Arbeiten wurden am 31. Dezember 2005 abgeschlossen. Die Schlussrechnung für die Terrassenentwässerung vom 20. Januar 2006 belief sich auf den Betrag von total Fr. 85'092.60. Auf der Rechnung wurde vermerkt, dass die Arbeiten zwischen dem 1. September und dem 31. Dezember 2005 ausgeführt worden seien. Im Verlauf des Jahres 2009 stellte der Bauherr im unterkellerten Terrassenanbau einen Wassereintritt fest. Gestützt auf einen Kostenvoranschlag seines Architekten forderte er von der Unternehmerin für den ihm dadurch entstandenen Schaden Fr. 384'017.60. B. Mit Vorladungsbegehren vom 5. Februar 2010 machte der Bauherr das Verfahren beim Richteramt Olten-Gösgen anhängig. Im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung wurde mit Datum vom 4. Juni 2010 ein Kurzgutachten erstattet. Anlässlich einer Aussöhnungsverhandlung konnte keine Einigung erzielt werden. Nach Durchführung des Schriftenwechsels (Klage vom 11. Oktober 2010, Klageantwort vom 21. Dezember 2010) und Erstattung eines gerichtlichen Gutachtens fand am 21. Mai 2013 die Hauptverhandlung vor dem Amtsgericht mit Zeugen- und Parteibefragung statt. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Amtsgericht die Klage ab. Dagegen gelangte der Bauherr an das Obergericht des Kantons Solothurn mit dem Antrag, die Unternehmerin sei zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 408'838.45 zu bezahlen. Das Obergericht wies die Berufung am 19. Dezember 2013 ab. C. Der Bauherr beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 19. Dezember 2013 aufzuheben und die Unternehmerin zu verpflichten, ihm einen Betrag von Fr. 408'838.45 zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Hauptverhandlung mit Partei- und Zeugenbefragung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin schliessen auf Abweisung der Beschwerde, erstere unter Verzicht auf Gegenbemerkungen und unter Hinweis auf die Akten und Motive ihres Urteils. Der Beschwerdeführer reichte eine Stellungnahme zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin ein. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf Bemerkungen zu dieser.