Sachverhalt: A. A.a X._ ist Vater der im 1991 geborenen Tochter A._ aus erster Ehe. Aus seiner zweiten Ehe mit Y._ stammt der im 1997 geborene Sohn B._. A.b Mit Urteil vom 2. Juli 2007 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe von Y._ und X._. Es stellte B._ unter die elterliche Sorge der Mutter und räumte X._ ein am ersten und dritten Wochenende jeden Monats auszuübendes Besuchsrecht sowie ein zweiwöchiges Ferienbesuchsrecht ein. Sodann verpflichtete das Kantonsgericht X._, der Mutter an den Unterhalt von B._ jeweils zum voraus zahlbare monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 400.-- zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen zu entrichten, wobei auch die Indexierung des Beitrages vorgesehen wurde. Schliesslich regelte das Gericht die Aufteilung der beruflichen Vorsorgeguthaben und genehmigte die bereits vollständig durchgeführte güterrechtliche Auseinandersetzung. B. Dagegen gelangte X._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen und beantragte die Zuteilung von B._ an ihn, eine der Kinderzuteilung entsprechende Regelung des Besuchsrechts der Mutter und deren Verpflichtung zu einem Unterhaltsbeitrag für B._. Für das kantonale Berufungsverfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Bestellung eines amtlichen Rechtsbeistandes. Mit Verfügung vom 6. März 2008 wies der Präsident des Obergerichts des Kantons Schaffhausen das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Berufung ab. C. X._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, die Verfügung des Präsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 6. März 2008 aufzuheben, ihm (dem Beschwerdeführer) die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren zu bewilligen und ihm einen amtlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Der Präsident des Obergerichts des Kantons Schaffhausen hat unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochtenen Urteils auf Vernehmlassung verzichtet.