Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 13. April 1999 starb der 1906 geborene, seit Januar 1996 verwitwete C._, der früher in Z._ eine eigene Zahnarztpraxis betrieben hatte. Er hinterliess als gesetzliche Erben die Tochter B._ und den Sohn A._. C._ hatte zahlreiche letztwillige Verfügungen verfasst. Eine vom 8. September 1997 datierte Verfügung hat folgenden Wortlaut: "Aufgrund der neusten Vorkommnisse setze ich meinen Sohn A._ auf den Pflichtteil, somit erhält er 3/8 meines Nachlasses und meine Tochter B._ 5/8. Als Teilungsbestimmung verfüge ich, dass der Erbteil des Sohnes in bar bestehen soll. Oder nach Zuweisung meiner Tochter B._. Alle früheren Zuweisungsbestimmungen sind damit aufgehoben." Alle früheren Zuweisungsbestimmungen sind damit aufgehoben." B. Mit Eingabe vom 8. September 2000 reichte A._ beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen B._ Klage ein und verlangte unter anderem, die Anordnung in Abs. 2 der letztwilligen Verfügung vom 8. September 1997 für nichtig und den übrigen Teil für ungültig zu erklären. B._ erhob Widerklage, im Wesentlichen mit den Anträgen, den Nachlass, den Wert jedes einzelnen Nachlassgegenstandes und ihre Berechtigung zu 5/8 am Nachlass festzustellen, den Barwert des A._ zukommenden Anteils von 3/8 zu ermitteln und diesem Barwerte in entsprechender Höhe zuzuweisen. Mit prozessleitender Verfügung vom 14. Februar 2003 ordnete der Amtsgerichtspräsident I an, dass die Verfahren betreffend Klage und Widerklage getrennt würden und der Erbteilungsprozess bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils im Verfahren betreffend Testamentsungültigkeit sistiert werde. Am 31. März 2003 erkannte das Amtsgericht Luzern-Stadt (Abteilung I) folgendes: 1. Es wird festgestellt, dass die Bestimmung in der letztwilligen Verfügung von C._ vom 8.9.1997 mit dem Wortlaut "Oder nach Zuweisung meiner Tochter B._" nichtig ist. 2. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen. 3. Die Kriminalpolizei ... wird gerichtlich angewiesen, die aufgrund des Entscheids des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt am 29.8.2000 gelagerten Trägermaterialien von biologischen Spuren von C._ zu vernichten. ..." A._ appellierte an das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern, das die Appellation mit Urteil vom 17. Juni 2004 abwies und das erstinstanzliche Urteil bestätigte. A._ appellierte an das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern, das die Appellation mit Urteil vom 17. Juni 2004 abwies und das erstinstanzliche Urteil bestätigte. C. A._ erhebt beim Bundesgericht sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung. Mit der Beschwerde beantragt er, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Ferner stellt er das Prozessbegehren, der Beschwerde hinsichtlich der angeordneten Vernichtung der Trägermaterialien mit den biologischen Spuren des Erblassers aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. In der Präsidialverfügung vom 15. September 2004 ist bezüglich des Gesuchs um aufschiebende Wirkung festgehalten worden, dass durch zulässige Berufung der Eintritt der Rechtskraft des angefochtenen Urteils von Gesetzes wegen gehemmt werde. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.