Sachverhalt: A. X._, ein selbständiger Schreiner, ist für Schulden in der Höhe von mehreren zehntausend Franken betrieben worden. Die Betreibungen zogen ab September 2011 eine Reihe von Pfändungen nach sich, mit denen das Betreibungsamt Aadorf befasst ist. B. Das Betreibungsamt fand heraus, dass X._ durch Zahlungen der Firma Z._ AG monatlich Fr. 8'000.-- bis Fr. 15'000.-- einnahm. Am 27. Januar 2012 verfügte es, dass die Z._ AG künftige Zahlungen nur noch an das Amt leisten dürfe. Das Bundesgericht schützte die Verfügung mit Urteil 5A_334/2012 vom 18. Juni 2012. Ein weiteres Aufsichtsverfahren endete mit der Anweisung des Bezirksgerichts Münchwilen an das Betreibungsamt Aadorf, jeweils jeden Monat nach Erhalt des Guthabens von der Z._ AG einen Betrag von Fr. 4'000.-- X._ zu überweisen, sofern das Existenzminimum für den entsprechenden Monat infolge fehlender Unterlagen noch nicht exakt bestimmt werden konnte, in Anrechnung oder Verrechnung des später zu berechnenden Existenzminimumanteils. X._ zog das Verfahren wiederum erfolglos bis vor das Bundesgericht (Urteil 5A_131/2013 vom 25. Juni 2013). Schliesslich verlangte er am 6. Februar 2013 vom Betreibungsamt Aadorf einen Vorschuss von Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.--, weil das Fahrzeug seiner Lebenspartnerin und Hausgenossin A._ vorgeführt werden müsse. Das Betreibungsamt lehnte dies ab. Vergeblich wehrte sich X._ dagegen bis vor Bundesgericht (Urteil 5A_652/2013 vom 22. Oktober 2013). C. Mit Schreiben vom 15. April 2013 forderte das Betreibungsamt Aadorf den Beschwerdeführer auf, seine Verdienstabrechnungen der Monate Januar bis März 2013 einzureichen und über allfällige weitere Einnahmen Auskunft zu geben. Zugleich gab das Betreibungsamt bekannt, als Akontozahlung an das Existenzminimum für den Monat Februar Fr. 4'000.-- überwiesen zu haben. Im selben Schreiben setzte sich das Betreibungsamt mit Rechnungen und Quittungen auseinander, die X._ am 26. März und 2. April 2013 eingereicht hatte. D. Hierauf reagierte X._ am 28. April 2013 mit einer Beschwerde an das Bezirksgericht Münchwilen als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungssachen. Im Wesentlichen verlangte er, das Betreibungsamt anzuweisen, die Abrechnung über seine Eingabe vom 5. Februar 2013 vorzunehmen und das Existenzminimum für den Monat Februar 2013 zu ermitteln und zurückzuerstatten. Weiter ersuchte er um Vergütung verschiedener Ausgaben. Das Bezirksgericht hiess die Beschwerde teilweise gut, soweit es darauf eintrat. Es wies das Betreibungsamt Aadorf an, zu prüfen, ob die geltend gemachten Auslagen für Lehrmittel, AHV-Beiträge, Taggeldversicherung und 3. Säule belegt seien, und diese Kosten gegebenenfalls zu erstatten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Vergeblich wandte sich X._ darauf an das Obergericht des Kantons Thurgau als (obere) kantonale Aufsichtsbehörde. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 27. September 2013 ab. E. Mit Eingabe vom 4. November 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt zur Hauptsache, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und "zur Beurteilung" seiner "nachstehenden Ausführungen" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die Akten des kantonalen Verfahrens zukommen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.