Sachverhalt: A. Die 1965 geborene W._ war am 31. Oktober 2001 in einen Verkehrsunfall verwickelt, als sie als Lenkerin eines Kleinmotorrades vor einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, worauf ein nachfolgendes Motorfahrzeug ihr Motorrad von hinten erfasste und sie zu Fall brachte. Der erstbehandelnde Arzt stellte die Diagnose einer leichten HWS-Distorsion, einer Kniekontusion rechts und einer Kontusion der Schulter rechts. Die Versicherte wurde mit Schmerzmitteln, Physiotherapie und durch einen Chiropraktor behandelt; die Arbeitsfähigkeit war nicht eingeschränkt. In der Folge persistierten die Beschwerden im HWS- und BWS-Bereich, ohne dass allerdings eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten wäre. Es folgte eine rheumatologische Abklärung, welche eine Schulterproblematik zeigte sowie eine radiologische Untersuchung, die normale Befunde ergab. Die "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft als Unfallversicherer der Firma C._, der damaligen Arbeitgeberin der Versicherten, anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen des Unfalles vom 31. Oktober 2001 und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, insbesondere übernahm sie die Heilbehandlung. Zur Prüfung der weiteren Leistungspflicht sah sie im Frühjahr 2004 eine Begutachtung vor. Seit dem 1. Juli 2003 war W._ bei der Firma X._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 25. März 2004 wurde sie erneut Opfer eines Verkehrsunfalls, als sie als Lenkerin eines Personenwagens wegen eines Staus ihr Fahrzeug anhielt, worauf der unmittelbar nachfolgende Personenwagen durch den übernächsten Personenwagen in das Heck des Fahrzeugs der Versicherten geschoben wurde. Es wurde eine HWS-Distorsion diagnostiziert und eine initiale Arbeitsunfähigkeit von 100% vom Unfallzeitpunkt bis zum 15. April 2004 festgelegt. Die SUVA anerkannte ab dem Zeitpunkt des zweiten Unfalls ihre Zuständigkeit für beide Unfälle. Sie erbrachte die gesetzlichen Leistungen, welche sie jedoch mit Verfügung vom 13. Februar 2007 per 1. März 2007 einstellte, da die über dieses Datum hinaus anhaltenden Beschwerden nicht mehr in einem rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang zum Unfall stünden. Daran hielt die SUVA nach weiteren Abklärungen mit Einspracheentscheid vom 24. August 2007 fest. B. Die von W._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 18. April 2008 ab. C. Mit Beschwerde lässt W._ beantragen, die SUVA sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheides zu verpflichten, ihr weiterhin Versicherungsleistungen rückwirkend seit 1. März 2007 und bis auf Weiteres auszurichten; eventualiter sei ihr rückwirkend seit wann rechtens eine Rente sowie eine Integritätsentschädigung in gesetzlicher Höhe zuzusprechen; subeventualiter sei grundsätzlich der Anspruch auf eine Rente und eine Integritätsentschädigung festzustellen und die Angelegenheit zur Berechnung des Invaliditätsgrades und der Rente sowie zur Bestimmung der Integritätsentschädigung an die SUVA oder das kantonale Gericht zurückzuweisen. Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.