Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1975 geborene A._, gelernte Laboristin, war ab anfangs Oktober 1998 in einem Restaurant der Firma X._ als Kassierin/Verkäuferin angestellt und bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: "Zürich") obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 22. November 1998 wurde sie am Steuer ihres Personenwagens in eine Auffahrkollision mit drei beteiligten Fahrzeugen verwickelt: Nachdem sie ihren Wagen als zweites Fahrzeug hinter einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, konnte der hinter ihr fahrende Verkehrsteilnehmer seinen Personenwagen wegen Unaufmerksamkeit nicht mehr voll abbremsen. Er fuhr auf den Wagen der Versicherten auf und schob diesen in das Heck des davor stehenden Fahrzeugs. Wegen am folgenden Tag auftretender Nackenschmerzen suchte A._ ihren Hausarzt Dr. S._ auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bescheinigte. Vom 9. bis 11. Dezember 1998 unternahm die Versicherte an ihrer bisherigen Stelle einen - misslungenen - Arbeitsversuch. In der Folge ging sie keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die "Zürich" richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch die stationären Aufenthalte in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ (vom 8. bis 29. April 1999) sowie in der Klinik für Neurologische Rehabilitation Q._ (vom 6. bis 27. November 2000). Mit Verfügung vom 10. Dezember 2001, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2002, stellte die "Zürich" ihre Leistungen auf das Verfügungsdatum hin ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden verneint werden müsse. A. Die 1975 geborene A._, gelernte Laboristin, war ab anfangs Oktober 1998 in einem Restaurant der Firma X._ als Kassierin/Verkäuferin angestellt und bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: "Zürich") obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 22. November 1998 wurde sie am Steuer ihres Personenwagens in eine Auffahrkollision mit drei beteiligten Fahrzeugen verwickelt: Nachdem sie ihren Wagen als zweites Fahrzeug hinter einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, konnte der hinter ihr fahrende Verkehrsteilnehmer seinen Personenwagen wegen Unaufmerksamkeit nicht mehr voll abbremsen. Er fuhr auf den Wagen der Versicherten auf und schob diesen in das Heck des davor stehenden Fahrzeugs. Wegen am folgenden Tag auftretender Nackenschmerzen suchte A._ ihren Hausarzt Dr. S._ auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bescheinigte. Vom 9. bis 11. Dezember 1998 unternahm die Versicherte an ihrer bisherigen Stelle einen - misslungenen - Arbeitsversuch. In der Folge ging sie keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die "Zürich" richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch die stationären Aufenthalte in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ (vom 8. bis 29. April 1999) sowie in der Klinik für Neurologische Rehabilitation Q._ (vom 6. bis 27. November 2000). Mit Verfügung vom 10. Dezember 2001, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2002, stellte die "Zürich" ihre Leistungen auf das Verfügungsdatum hin ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden verneint werden müsse. B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2003 ab. Gleichzeitig sprach das kantonale Gericht dem Rechtsvertreter der Versicherten zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung eine Entschädigung von Fr. 2152.- aus der Staatskasse zu. B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2003 ab. Gleichzeitig sprach das kantonale Gericht dem Rechtsvertreter der Versicherten zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung eine Entschädigung von Fr. 2152.- aus der Staatskasse zu. C. A._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Antrag auf Weiterausrichtung der gesetzlichen Leistungen über den 10. Dezember 2001 hinaus. Überdies lässt sie auch für das letztinstanzliche Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchen. Die "Zürich" schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung verzichtet.