Sachverhalt: A. A.a Mit öffentlich beurkundetem Vertrag vom 19. Mai 1998 verkaufte H._ (geb. 1927) seinem Sohn A._ (geb. 1966) sein Wohnhaus mit Stall (GB xxxx K._) und seine Scheune (GB yyyy L._) zum Preis von Fr. 94'100.--. A._ tilgte die Kaufpreisschuld, indem er zwei vorbestehende Schuldbriefe in der Höhe von Fr. 13'640.-- und Fr. 75'700.-- übernahm und seinem Vater ein Wohn- und Nutzniessungsrecht im Betrag von Fr. 4'760.-- einräumte. A.b Am 20. Juli 2007 starb H._ (im Folgenden "Erblasser"). Erben sind neben dem Sohn A._ die übrigen sechs Kinder B._, C._, D._, E._, F._ und G._. Gemäss Todesfallinventaraufnahme vom 8. August 2007 hinterliess der Erblasser Aktiven von Fr. 31'997.-- und Passiven von Fr. 13'640.-- sowie Todesfallkosten von ca. Fr. 20'000.--. B. B.a Am 21. November 2008 verklagten die genannten sechs Geschwister A._ vor dem Bezirksgericht Schwyz auf Herabsetzung, Ausgleichung und Teilung der Erbschaft. In ihrer Klageschrift vom 25. Februar 2009 beantragten sie, den gesamten Nachlass und ihre Berechtigung daran zu je einem Siebtel festzustellen. Die Erbvorbezüge von A._, die zu seinen Gunsten erfolgten gemischten Schenkungen des Erblassers, seine noch nicht bezahlten Verpflichtungen gegenüber dem Erblasser und die sonstigen finanziellen Vorteile des Erblassers zu den Gunsten von A._ seien festzustellen, als ausgleichungspflichtige Zuwendungen zu erklären und zur Ausgleichung zu bringen; eventuell seien die Zuwendungen herabzusetzen, soweit dies zur Wahrung ihrer Pflichtteile erforderlich ist. Weiter sei der Nachlass zu teilen und den Klägern je ihr Erbanteil bzw. Pflichtteil zuzuweisen bzw. A._ zu verpflichten, den Klägern ihre Erbanteile bzw. Pflichtteile auszuzahlen. B.b In seiner Klageantwort vom 29. Juni 2009 beantragte A._ festzustellen, dass die Grundstücke GB xxxx K._ und GB yyyy L._ im Zeitpunkt ihrer Übertragung auf ihn ein landwirtschaftliches Gewerbe im Sinne von Art. 7 BGBB bildeten und er den Hof zum Ertragswert von Fr. 94'100.-- übernehmen konnte. Weiter sei festzustellen, dass er vom Erblasser keine der Ausgleichung oder Herabsetzung unterliegenden Erbvorbezüge oder Schenkungen erhalten und gegenüber dem Nachlass keine Schulden habe und ihm für das dem Erblasser eingeräumte Wohn- und Nutzniessungsrecht eine Forderung von Fr. 170'128.-- zustehe. Für den Fall, dass die erwähnten Grundstücke im fraglichen Zeitpunkt keine landwirtschaftlichen Gewerbe im Sinne von Art. 7 BGBB bildeten und er den Hof nicht zum Ertragswert übernehmen konnte, sei festzustellen, dass er gegenüber dem Nachlass einen Lidlohnanspruch in der Höhe von mindestens Fr. 138'910.-- habe. Auch A._ stellte das Begehren, den Nachlass zu teilen und ihm seinen Erbanteil zuzuweisen, und beantragte im Übrigen, die Klage abzuweisen. B.c An der Hauptverhandlung vom 13. April 2011 ergänzten die Parteien ihre Rechtsbegehren und bezifferten die streitigen Vermögenspositionen und ihre jeweiligen Ansprüche am Nachlass. Am 6. Juli 2011 fällte das Bezirksgericht Schwyz in der Sache folgendes Urteil: 1. Es wird festgestellt, dass der Kaufvertrag zwischen dem Erblasser und dem Beklagten über die beiden Grundstücke GB xxxx K._ und GB yyyy L._ vom 19. Mai 1998 eine gemischte Schenkung darstellt und der Beklagte im Betrage von Fr. 451'121.00 zur Ausgleichung verpflichtet ist. 2. Es wird festgestellt, dass der Beklagte vom Erblasser die folgenden unentgeltlichen Zuwendungen erhalten und diese mit folgenden Beträgen zur Ausgleichung zu bringen hat: a) vom Erblasser bezahlte Heizung und Boiler Fr. 15'780.00 b) unbezahlte Pachtzinsen Fr. 27'790.00 c) vom Erblasser bezahlte Hypozinsen Bank M._ Fr. 4'663.00 d) vom Erblasser bezahlte Hypozinsen Bank N._ Fr. 1'467.00 e) unbezahltes lebendes Inventar Fr. 35'185.00 f) unbezahltes totes Inventar Fr. 37'500.00 3. Es wird festgestellt, dass der gesamte Nachlass des H._ [...] netto Fr. 557'859.20 (zuzüglich aufgelaufenen Zins auf dem Sparkonto aaaa und dem Privatkonto bbbb bei der Bank M._) beträgt und dass sämtliche Parteien zu je einem Siebtel daran erbberechtigt sind. 4. a) Es wird festgestellt, dass sämtlichen Parteien aus dem Nachlass des H._ ein Erbanspruch von je Fr. 79'694.20 zuzüglich 1/7 Anteil an den aufgelaufenen Zinsen auf den bei der Bank M._ vorhandenen Transaktions- und Sparkonten und Anlagen zuzuweisen ist. b) In Anrechnung an ihren Erbanspruch wird jedem Kläger 1/6 des Saldos des Sparkontos aaaa bei der Bank M._ und damit der Betrag von je Fr. 4'504.90 sowie 1/7 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zins zugewiesen. Der restliche 1/7 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zins wird dem Beklagten zugewiesen. c) In Anrechnung an ihren Erbanspruch wird jedem Kläger 1/6 des Saldos auf dem Privatkonto bbbb bei der Bank M._ und damit der Betrag von je Fr. 828.10 sowie 1/7 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zins zugewiesen. Der restliche 1/7 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zins wird dem Beklagten zugewiesen. d) Der restliche Erbanspruch [sic!] eines jeden Klägers in der Höhe von je Fr. 74'361.20 hat der Beklagte den Klägern auszubezahlen. 5. Die weiteren Begehren der Parteien werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. [Kosten- und Entschädigungsfolgen] C. Die von A._ eingelegte Berufung hiess das Kantonsgericht Schwyz teilweise gut. Von den ausgleichungspflichtigen unentgeltlichen Zuwendungen gemäss Ziffer 2 des erstinstanzlichen Urteils strich es die unbezahlten Pachtzinsen von Fr. 27'790.-- (lit. b) und reduzierte die Höhe des unbezahlten toten Inventars von Fr. 37'500.00 (lit. f) auf Fr. 20'800.--. Als Folge davon betrug der Nachlass neu Fr. 513'369.20 und der Anteil eines jeden Erben je Fr. 73'338.45. Unter Anrechnung der Saldi der beiden Konten bei der Bank M._ verurteilte das Kantonsgericht A._, jedem seiner Geschwister Fr. 68'005.45 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung ab. Das Urteil datiert vom 12. Juni 2012 und wurde am 9. August 2012 versandt. D. D.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2012 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz aufzuheben und festzustellen, dass sich der Nachlass einerseits aus Barmitteln von Fr. 31'997.00 zuzüglich Zinsertrag seit 20. Juli 2007 (Aktiven) und anderseits aus den bereits vom Kantonsgericht berücksichtigten Passiven von Fr. 47'644.80 (Todesfallkosten inkl. Grabunterhalt und Lidlohnanspruch des Beschwerdeführers) zusammensetze. Weiter sei festzustellen, dass sämtliche Parteien am Nachlass zu je einem Siebtel erbberechtigt sind. Die nach Abzug der Todesfallkosten inkl. Grabunterhalt verbleibenden Saldi der Konti bei der Bank M._ seien ihm mitsamt aufgelaufenen Zinsen in Abgeltung seines Lidlohnanspruchs zuzuweisen. Eventualiter sei die Streitsache zur Sachverhaltsergänzung und zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Sodann stellt der Beschwerdeführer folgende Subeventualbegehren: Die ausgleichungspflichtigen Zuwendungen des Erblassers an ihn seien nur soweit der Ausgleichung zu unterwerfen, als die Pflichtteilsansprüche der Geschwister ("Beschwerdegegner") gewahrt sind. Es sei festzustellen, dass der Pflichtteil für jeden Beschwerdegegner Fr. 46'657.95 zuzüglich 3/28 Anteil an den aufgelaufenen Zinsen auf den beiden Konti bei der Bank M._ beträgt. Jedem Beschwerdegegner sei in Anrechnung an seinen Pflichtteilsanspruch 1/6 der Saldi der beiden Konti bei der Bank M._, ausmachend insgesamt Fr. 5'333.--, sowie je 3/28 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zinses zuzuweisen; die restlichen 10/28 des seit dem 20. Juli 2007 aufgelaufenen Zinses seien ihm zuzuweisen. Schliesslich sei er zu verurteilen, den Beschwerdegegnern je ihren restlichen Pflichtteilsanspruch in der Höhe von Fr. 41'324.95 zu bezahlen. In prozessualer Hinsicht verlangt der Beschwerdeführer, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, soweit ihr diese nicht schon von Gesetzes wegen zukomme; eventualiter sei die aufschiebende Wirkung zu bestätigen. Weiter ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. D.b Mit Verfügung vom 3. Oktober 2012 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu, soweit ihr diese nicht von Gesetzes wegen zukommt. D.c In ihren Vernehmlassungen vom 3. Januar 2013 bzw. vom 21. Dezember 2012 beantragen sowohl die Beschwerdegegner als auch das Kantonsgericht Schwyz, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.