Sachverhalt: A. Die 1970 geborene Z._ war am 12. März 1996 als Autolenkerin von einem Unfall betroffen: Ein anderer Personenwagen fuhr in das Heck ihres vor einer Kreuzung angehaltenen Fahrzeugs. Dabei zog sich Z._ gemäss Arztzeugnis UVG des gleichentags aufgesuchten Hausarztes Dr. med. M._ vom 3. April 1996 ein HWS-Schleudertrauma und eine Rückenmyalgie zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer erbrachte Leistungen, führte Abklärungen durch und veranlasste einen Aufenthalt in der Klinik X._. Schliesslich sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 3. April 1998 für eine mittelschwere bis schwere Störung des Gleichgewichtsfunktionssystems sowie ein mittel- bis tiefzervikales Reizsyndrom eine Integritätsentschädigung von Fr. 17'010.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 17,5 %, zu. Gleichzeitig stellte die Anstalt die Taggeldleistungen ab 15. Juni 1997 und die Heilbehandlung ab Verfügungsdatum ein. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 22. Januar 1999 festgehalten. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit sie nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen (Einholung eines psychiatrischen Gutachtens) neu verfüge (Entscheid vom 30. März 2000). Das Eidgenössische Versicherungsgericht bestätigte dies mit Urteil vom 27. November 2001 (U 212/00). Es hielt fest, die SUVA habe eine psychiatrische Begutachtung zu veranlassen, um festzustellen, ob eine vorbestehende Persönlichkeitsstörung und/oder ein Hirntrauma als Unfallfolge bestehe. Die SUVA holte eine Stellungnahme von Dr. med. H._, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin, vom 6. Februar 2002 ein. Anschliessend gab sie bei Dr. med. K._, Psychiatrie/Psychotherapie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 13. September 2002 erstattet wurde. Am 30. Mai 2003 nahm der Gutachter ausserdem zu Ergänzungsfragen der Versicherten (vom 11. Oktober 2002) und von dieser verlangten Korrekturen (vom 23. Oktober 2002) Stellung. In der Folge bestätigte die SUVA mit Verfügung vom 11. Juli 2003 und Einspracheentscheid vom 3. September 2004 die Einstellung der Versicherungsleistungen im Sinne der Verfügung vom 3. April 1998. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 21. November 2006). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte die Versicherte unter anderem Berichte des Spitals Y._, Medizinische Klinik, vom 28. Juli 2004, der Dr. med. B._, Innere Medizin FMH, vom 4. August 2006 und der Physiotherapie O._, vom 21. August 2006 auflegen lassen. Ein überdies gestelltes Ausstandsbegehren gegen Fachrichter W._ wies das kantonale Gericht mit Verfügung vom 14. Juli 2005 ab, was das Eidgenössische Versicherungsgericht auf Verwaltungsgerichtsbeschwerde hin bestätigte (Urteil vom 26. Mai 2006, U 303/05). C. Z._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, über den 15. Juni 1997 hinaus Leistungen aus dem Unfallereignis vom 12. März 1996 zu erbringen. Insbesondere habe die Anstalt weitere Taggelder bei einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % zu leisten, Heil- und Pflegekosten zu übernehmen, die Beschwerdeführerin bei einer Invalidität von 100 % zu berenten sowie eine Integritätsentschädigung von zusätzlichen 30 % auszurichten. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.