Sachverhalt: A. A. und B. X._ (Beschwerdeführer), die Schweizer Fahrende (Jenische) sind, haben ihre Wohnwagen seit über zwanzig Jahren auf einem Teil eines der Bürgergemeinde der Stadt Solothurn gehörenden Grundstücks in Z._ abgestellt. Pächterin dieses Grundstücks ist die Y._ Immobilien AG. Diese liess die Beschwerdeführer unentgeltlich gewähren. Mit Schreiben vom 14. Juni 2010 kündigte sie das von ihr als Gebrauchsleihe qualifizierte Verhältnis auf den 31. März 2011 und forderte die Beschwerdeführer auf, das Areal auf diesen Zeitpunkt zu verlassen und zu räumen. B. Die Beschwerdeführer fochten die Kündigung mit Klage vom 15. Juli 2010 beim Richteramt Solothurn-Lebern an und ersuchten um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Der Amtsgerichtspräsident wies das Gesuch am 16. September 2010 wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab. Mit Urteil vom 12. November 2010 wies das Obergericht des Kantons Solothurn einen von den Beschwerdeführern dagegen erhobenen Rekurs ab. Auch das Obergericht beurteilte die Klage als aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand im Rekursverfahren wies es zufolge Aussichtslosigkeit ab. C. Die Beschwerdeführer beantragen mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und es sei den Beschwerdeführern die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung durch die unterzeichnende Anwältin zu gewähren. In Abänderung von Ziffer 2 des Urteils des Obergerichts sei den Beschwerdeführern im Rekursverfahren die unentgeltliche Verbeiständung durch die unterzeichnende Anwältin zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchen sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 3. Januar 2011 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt.