Sachverhalt: A. Am 22./24. Juli 2003 schlossen B._ und die AA._ AG (seit 15. April 2010 A._ AG) für die Umsetzung, Verwaltung und Überwachung des A._-Anlageplans "C._" vom 9. Juli 2003 einen "Abschluss- und Verwaltungsauftrag" ab. Am 29. September 2003 legte die A._ AG bei der "Prudential International Assurance" EUR 500'000.-- in einem "International Prudence Bond" an. Per 30. Januar 2008 wurde die Anlage im Betrag von nunmehr EUR 652'000.-- durch Vermittlung des englischen Brokers "Corinthian Financial Services" bei der "Norwich Union International Limited" in Fondsanteile neu angelegt. Für diese "Switch-Aktion" bezahlte Norwich dem Broker Corinthian im Februar 2008 einmalig eine Kommission von EUR 44'010.-- (6.75 % von EUR 652'000.--) und schuldet zusätzlich 0.1 % des durchschnittlichen monatlichen Werts des Bonds während der nächsten 20 Jahre. B. B.a. Mit Klage vom 21. Juli 2009 beantragte B._ dem Bezirksgericht Frauenfeld, die A._ AG sei unter Strafandrohung zu verpflichten, ihm umfassend Rechenschaft abzulegen, insbesondere sämtliche Aufzeichnungen, Bücher und Belege herauszugeben, welche über die von der A._ AG vereinnahmten Honorare, Kommissionen, Provisionen, Retrozessionen und/oder sonstigen finanziellen Vergütungen im Zusammenhang mit der Anlage von EUR 652'000.-- bei Norwich Aufschluss geben könnten (Ziff. 1). Sodann sei die A._ AG zu verpflichten, ihm den sich aus dieser Abrechnung ergebenden Betrag bzw. einen nach Abschluss des Beweisverfahrens durch B._ zu beziffernden Betrag, mindestens aber EUR 30'000.-- nebst Zins zu bezahlen (Ziff. 2). Die A._ AG verlangte widerklageweise im Hauptantrag die Zahlung von EUR 30'228.60 nebst Zins. Das Bezirksgericht Frauenfeld wies mit Urteil vom 19. April 2010 die Klage und Widerklage ab. Gegen dieses Urteil erhoben beide Parteien Berufung an das Obergericht des Kantons Thurgau. Dieses bestätigte mit Entscheid vom 10. Februar 2011 die Abweisung der Klage. Hingegen verpflichtete es den Kläger in teilweiser Gutheissung der Berufung der Beklagten zur Zahlung von Fr. 10'880.-- nebst Zins an die Beklagte. Im Übrigen wies es die Widerklage ab. Mit Urteil vom 29. November 2011 (4A_427/2011) hob das Bundesgericht in teilweiser Gutheissung der Beschwerde des Klägers den Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 10. Februar 2011 mit Ausnahme der Dispositiv-Ziffern 2 und 4 betreffend die Widerklage auf, und wies die Sache zu neuer Entscheidung über die Klage und die Kostenfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurück. B.b. Gestützt auf den Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts wies das Obergericht des Kantons Thurgau seinerseits mit Entscheid vom 26. April 2012 die Streitsache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an das Bezirksgericht Frauenfeld zurück. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_410/2012 vom 12. November 2012 nicht ein. B.c. Am 15. August 2013 führte Bezirksrichterin Christine Steiger mit B._ und der A._ AG eine Referentenaudienz durch. Am 22. August 2013 stellte die A._ AG dem Bezirksgericht den Antrag, die Bezirksrichterin Christine Steiger habe in Prozessen, in denen die A._ AG Parteistellung habe, infolge Befangenheit in den Ausstand zu treten. Zur Begründung führte die A._ AG aus, Christine Steiger habe anlässlich der Referentenaudienz drei Aussagen gemacht, die weit über eine richterliche Meinungsäusserung hinausgingen und den Tatbestand der Amtsgeheimnisverletzung erfüllen könnten. Die Bezirksrichterin habe bekannt gegeben, dass sich als Folge eines anderen beim Bezirksgericht Frauenfeld anhängigen Prozesses, in welchem die A._ AG involviert sei, die Buchhaltungsakten der A._ AG ab 2009 beim Gericht befänden. Weiter habe die Bezirksrichterin erwähnt, dass diesen Buchhaltungsakten auch die Vorjahreszahlen, also die Werte von 2008, zu entnehmen seien. Zudem habe sie ausgeführt, dass in der Erfolgsrechnung 2008 auf der Ertragsseite ein Konto mit der Bezeichnung "Norwich-Switch" aufgeführt sei, welches im Jahr 2008 einen Betrag von über Fr. 1'000'000.-- ausgewiesen habe, und dass "darin" sicher auch der von der Gegenpartei geforderte Betrag zu finden sei, weshalb die Bezirksrichterin der A._ AG empfehle, dem Vergleich zuzustimmen. Ferner habe die A._ AG mehrfach darum ersucht, dass B._ eine offizielle Wohnsitzbestätigung beibringe, um die aus dem bundesgerichtlichen Verfahren geschuldete ausserrechtliche Entschädigung in Höhe von Fr. 3'000.-- mittels Zwangsvollstreckung eintreiben zu können. Darauf angesprochen habe der Rechtsvertreter von B._ mitgeteilt, dass eine Durchsetzung in der Schweiz ohne weiteres möglich sei, was die Bezirksrichterin umgehend bestätigt habe. Schliesslich sei in einem anderen Prozess, in dem die A._ AG vollumfänglich obsiegt habe, die sonst übliche Parteientschädigung im Rahmen eines Vergleichsvorschlages trotz ihres vollumfänglichen Obsiegens mit dem Hinweis "übertragen" worden, dass andernfalls das Risiko eines langwierigen Beweisverfahrens mit entsprechenden Kostenfolgen bestehe und die A._ AG dann einen Gerichtsfall weniger habe. Obwohl auch diese Aussagen ziemlich grenzwertig gewesen seien, habe die A._ AG dem Vergleich zugestimmt. Das Bezirksgericht Frauenfeld wies das Ausstandsbegehren gegen Bezirksrichterin Christine Steiger mit Beschluss vom 23. September 2013 ab. Mit Entscheid vom 20. November 2013 wies das Obergericht des Kantons Thurgau die dagegen eingelegte Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 20. November 2013 aufzuheben und es sei das Ausstandsbegehren gegen die Bezirksrichterin Christine Steiger in allen Verfahren, in welchen die Beschwerdeführerin Partei ist, gutzuheissen. Die Vorinstanz und Christine Steiger beantragen Abweisung der Beschwerde. Die A._ AG hat eine Replik eingereicht. D. Mit Präsidialverfügung vom 28. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.