Sachverhalt: A. Der 1958 geborene I._ meldete sich am 2. März 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie Auskünfte des Hausarztes Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, sowie der Arbeitgeberin P._ AG, ein und zog die den Versicherten betreffenden Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei. Ausserdem gab die Verwaltung bei der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) ein Gutachten in Auftrag, welches am 20. Oktober 2005 erstattet wurde. Anschliessend lehnte es die IV-Stelle mit Verfügung vom 14. Dezember 2005 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 7. August 2006 festgehalten. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 8. Januar 2007). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte der Versicherte Berichte der Rheumatologin Dr. med. W._, vom 11. Juli 2006 und des Neurologen Dr. med. X._, vom 8. September 2006 auflegen lassen. C. I._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab 1. November 2004 eine IV-Rente zu gewähren. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.