Sachverhalt: A. A.a. Die Bank X._ AG, mit Sitz in Zürich, ist Drittschuldnerin im Arrest- und Pfändungsverfahren, welches von der Banca A._ S.p.A bzw. der Rechtsnachfolgerin Bank Y._, mit Sitz in Italien, gegen Z._, mit Wohnsitz in Italien, eingeleitet wurde. A.b. Das Betreibungsamt Zürich 1 verarrestierte gestützt auf den Arrestbefehl Nr. aaa des Bezirksgerichts Zürich vom 18. Februar 2008 (mit dem Arrestgrund Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG; "Ausländerarrest") Guthaben auf näher bezeichneten Konten etc. lautend auf Z._ sowie auf (zwei bestimmte) panamaische Gesellschaften "bei der Bank X._ AG am Hauptsitz und/oder bei ihrer Zweigniederlassung in Singapur" (Arrestvollzug vom 22. Februar 2008). Die Arresteinsprache einer der panamaischen Gesellschaften war erfolglos. A.c. Am 22. Dezember 2011 vollzog das Betreibungsamt in der Arrestprosequierungsbetreibung Nr. bbb die Pfändung Nr. ccc. Die von der Bank als Drittschuldnerin erhobene betreibungsrechtliche Beschwerde gegen die Auskunftspflicht blieb ohne Erfolg (Urteil PS120131 des Obergerichts als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs vom 16. August 2012). Am 26. November 2012 erliess das Betreibungsamt die Pfändungsurkunde. Als Pfändungsgegenstand bezeichnete es die bestrittene Forderung des Betreibungsschuldners "gegenüber der Bank X._ AG herrührend aus sich allfällig in Singapur befindlichen Vermögenswerten des Schuldners". Gleichentags zeigte es der Bank die Pfändung an. A.d. Gegen die Pfändungsurkunde erhob die Bank X._ AG als Drittschuldnerin am 17. Dezember 2012 betreibungsrechtliche Beschwerde. Sie beantragte, den Arrest, die Betreibung sowie die Pfändungsurkunde aufzuheben; eventuell sei die Pfändungsurkunde nichtig zu erklären. Das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter trat mit Entscheid vom 13. März 2013 auf die Beschwerde nicht ein. Es verneinte die Beschwerdelegitimation der Bank und kam nach Prüfung der Zuständigkeit des Betreibungsamtes zum Schluss, dass kein Grund zum Eingreifen von Amtes wegen bestehe. B. Die Bank X._ AG gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, welches die Beschwerde mit Urteil vom 16. September 2013 abwies, soweit darauf eingetreten wurde. C. Mit Eingabe vom 30. September 2013 hat die Bank X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs vom 16. September 2013 aufzuheben und den Arrest, die Betreibung sowie die Pfändung und Pfändungsurkunde nichtig zu erklären. Die Betreibungsgläubigerin Bank Y._ (Beschwerdegegnerin) beantragt das Nichteintreten auf die Beschwerde; eventuell sei sie abzuweisen, subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Der Betreibungsschuldner Z._ (Beschwerdegegner) hat sich nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.