Sachverhalt: A. Der 1965 geborene S._ war als Monteur-Anwärter der Firma L._ AG, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 12. Februar 1991 seine linke Hand zwischen einem Kran und einem Ballaststein einklemmte. Dr. med. U._ erhob den Befund eines starken Hämatoms und einer Schwellung am Grundphalanx 3. Finger links mit Quetschspuren und diagnostizierte eine Kontusion des 3. Fingers links sowie eine Schürfung am 2. Finger dorsal. Im August 2008 liess S._ Handgelenksbeschwerden links als Rückfall zum Unfall vom 12. Februar 1991 anmelden. Die Diagnose lautete auf schwere Arthrose zwischen Scaphoid und Fossa lunata links und scapholunäre Bandruptur. Am 18. August 2008 erfolgte eine operative Behandlung der Handgelenksbeschwerden. Mit Verfügung vom 26. September 2008 und Einspracheentscheid vom 23. Januar 2009 verneinte die SUVA einen Anspruch auf Versicherungsleistungen für die rückfallweise geltend gemachten Handgelenksbeschwerden, da ein Zusammenhang mit dem Unfallereignis vom 12. Februar 1991 bzw. mit einem andern SUVA-versicherten Unfallereignis nicht rechtsgenüglich nachgewiesen sei. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 31. August 2009 ab. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz rechtzeitig gestelltem Antrag nicht durchgeführt. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, es seien ihm unter Aufhebung des Einsprache- und kantonalen Gerichtsentscheids die ihm zustehenden Leistungen aus UVG zuzusprechen, namentlich vorderhand Taggeldleistungen nach Massgabe einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit seit Eintritt derselben zu entrichten sowie die Kosten der Heilbehandlungen zu übernehmen; eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Zeugen- und Parteibefragung, zur weiteren Erhebung des Sachverhalts sowie zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen an die SUVA zurückzuweisen. Gleichzeitig ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, allenfalls auf Nichteintreten. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.