Sachverhalt: A. X._ reichte am 26. September 2003 ein Unterstützungsgesuch bei der Sozialhilfe der Stadt Basel ein. In der Folge wurde sie ab Oktober 2003 von dieser Behörde finanziell unterstützt. Zwischen Oktober 2003 und dem 16. Oktober 2007 arbeitete sie im Stundenlohn als Raumpflegerin. Weiter beteiligte sie sich zwischen August 2004 und Juni 2006 als Probandin an einer medizinischen Studie und erhielt in diesem Zusammenhang Entgelt unter dem Titel "Probandenlohn". Die Zusatzeinkommen verschwieg sie der Sozialhilfe. Dies obschon sie am 1. Oktober 2003 ihre gesetzliche Pflicht, Einkommen aus Nebenverdienst zu melden, unterschriftlich zur Kenntnis genommen hatte. Am 16. März 2007 unterzeichnete sie zudem eine Erklärung, wonach sie sich verpflichtete, die Sozialhilfe über finanzielle Veränderungen, insbesondere Einkommen und Einnahmen aller Art, unverzüglich und unaufgefordert zu informieren. Sie wurde von den Mitarbeitern der Sozialhilfe schliesslich wiederholt gefragt, ob sie gearbeitet hatte. Die Sozialhilfe verfügte am 14. August 2008 die Rückerstattung der unrechtmässig bezogenen Sozialhilfeleistungen von Fr. 18'549.80. B. Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt verurteilte X._ am 30. Juni 2010 wegen mehrfachen Betrugs zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 20.--. Auf Appellation von X._ hin bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 25. April 2012 den erstinstanzlichen Schuldspruch. Die bedingte Geldstrafe reduzierte es auf 100 Tagessätze zu Fr. 20.--. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil vom 25. April 2012 aufzuheben und sie vollumfänglich freizusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.