Sachverhalt: A. A._, geboren 1982, war ab 1. Oktober 2006 als Mitarbeiterin bei der Firma X._ angestellt. Am 26. Oktober 2007 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 30. November 2007. Am 12. November 2007 meldete sich A._ zur Arbeitsvermittlung an und beantragte Arbeitslosenentschädigung ab 1. Dezember 2007. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2007 verneinte die Arbeitslosenkasse IAW (nachfolgend Kasse) diesen Anspruch. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 3. Januar 2008 ab. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Die Verfahrenskosten von total Fr. 1780.- legte es dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin auf (Entscheid vom 9. Juni 2008). C. Mit Beschwerde beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei festzustellen, dass sie die zwölfmonatige Beitragzeit erfüllt und Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 3. Dezember 2007 habe. Sofern die Beschwerde materiell nicht ohne Weiteres gutzuheissen sei, sei eine kontradiktorische öffentliche Verhandlung mit Anhörung der Beschwerdeführerin und ihres Ehemannes durchzuführen; es sei ein Beweisverfahren durchzuführen, d.h. ein Beweisentscheid zu erlassen, indem ihnen Gelegenheit gegeben werde, Beweismittel zu nennen; es seien alle erforderlichen Beweismittel abzunehmen (Zeugen, weitere Urkunden usw.); falls das Bundesgericht dies nicht selber durchführen wolle, sei der Fall an das kantonale Gericht zurückzuweisen mit dem Auftrag, die genannten Prozesshandlungen durchzuführen. Die Kasse schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung verzichtet.