hat sich ergeben: A.-Mit Urteil vom 31. Mai 2000 sprach der Gerichtspräsident 13 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen J._ von der Anklage der Anmassung eines akademischen Titels (Art. 14a des bernischen Einführungsgesetzes zum Strafgesetzbuch) frei. Diesbezüglich wurden weder Verfahrenskosten ausgeschieden, noch dem Freigesprochenen eine Parteientschädigung zugesprochen. Gleichzeitig verurteilte der Gerichtspräsident den Angeklagten wegen Widerhandlung gegen Art. 47 i.V.m. Art. 14 Abs. 1 lit. a und c des bernischen Gesundheitsgesetzes (widerrechtliche Ausübung einer bewilligungspflichtigen Tätigkeit auf dem Gebiet des Gesundheitswesens und Abgabe bzw. Anwendung von Heilmitteln, begangen zwischen ca. 1980 und 4. Juni 1998) zu einer Busse von Fr. 1'500.-- und zur Übernahme der erstinstanzlichen Verfahrenskosten von Fr. 1'200.--. B.-Gegen das erstinstanzliche Urteil erklärte J._ am 8. Juni 2000 die Appellation. Mit Erkenntnis vom 1. September 2000 gab das Obergericht (1. Strafkammer) des Kantons Bern dem Strafverfahren betreffend Widerhandlung gegen das Gesundheitsgesetz wegen Eintritts der absoluten Strafverfolgungsverjährung keine weitere Folge. Die erstinstanzlichen Verfahrenskosten von Fr. 1'200.-- wurden J._ auferlegt. Eine Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren wurde ihm verweigert. C.-Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte J._ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 9. Oktober 2000 an das Bundesgericht (Verfahren 1P.638/2000). Mit Urteil vom 13. Februar 2001 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut und hob den Entscheid des Obergerichtes vom 1. September 2000 wegen Verletzung der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 2 EMRK) auf. D.- Mit Entscheid vom 20. April 2001 stellte das Obergericht (1. Strafkammer) des Kantons Berns fest, dass das Strafurteil vom 31. Mai 2000 des Gerichtspräsidenten 13 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen (bezüglich des Freispruches von der Anklage der Anmassung eines akademischen Titels) in Rechtskraft erwachsen sei. Dem Strafverfahren betreffend Widerhandlung gegen das Gesundheitsgesetz gab das Obergericht keine weitere Folge. Die erst- und oberinstanzlichen Verfahrenskosten legte es dem Kanton Bern auf. Betreffend Parteientschädigung entschied das Obergericht wie folgt: "Für das erstinstanzliche Verfahren wird J._ eine Entschädigung, bestimmt auf insgesamt Fr. 8'500.--, und für das oberinstanzliche Verfahren bestimmt auf insgesamt Fr. 1'500.-- (beide Beträge inkl. Mehrwertsteuer und persönlicher Anteil an J._) ausgerichtet, total ausmachend für beide Verfahren Fr. 10'000.-- (Art. 399 Abs. 1 i.V.m. Art. 389 Ziff. 5 StrV). " E.-Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 20. April 2001 gelangte J._ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 25. Mai 2001 erneut an das Bundesgericht (Verfahren 1P.360/2001). Er rügt - in Bezug auf die Bemessung der Parteientschädigung - eine Verletzung der verfassungsmässigen Begründungspflicht und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. F.- Das Obergericht des Kantons Bern beantragt in seiner Vernehmlassung vom 29. Juni 2001 die Abweisung der Beschwerde, während der Generalprokurator des Kantons Bern auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet hat.