Sachverhalt: A. A.a. Die Strafkammer des Bundesstrafgerichts sprach C._ mit Urteil vom 8. Juli 2009 der Unterstützung einer kriminellen Organisation (Art. 260ter Ziff. 1 Abs. 2 StGB) schuldig und bestrafte ihn mit einer teilbedingten Freiheitsstrafe von zwei Jahren und neun Monaten, wovon neun Monate unbedingt vollziehbar. Vom Vorwurf der qualifizierten Geldwäscherei sprach sie ihn frei. A.b. C._ erhob Beschwerde in Strafsachen. Die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts hiess am 22. Februar 2011 die Beschwerde teilweise gut, hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Verfahren 6B_108/2010). A.c. Mit Urteil vom gleichen Tag hiess die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts auch die Beschwerde der Bundesanwaltschaft gut, worin unter anderem beantragt worden war, C._ sei auch wegen qualifizierter Geldwäscherei zu verurteilen. B. Am 21. März 2012 sprach die Strafkammer des Bundesstrafgerichts C._ der Unterstützung einer kriminellen Organisation (Art. 260ter Ziff. 1 Abs. 2 StGB) schuldig. Sie verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und vier Monaten, wovon neun Monate unbedingt vollziehbar, und rechnete die Untersuchungshaft von 116 Tagen an. Vom Vorwurf der qualifizierten Geldwäscherei (Art. 305bis StGB) sprach sie ihn frei. Sie stellte fest, dass die C._ vorgeworfenen Tathandlungen, soweit die Zeit vor dem 21. März 1997 betreffend, sowohl in Bezug auf den Vorwurf der Geldwäscherei als auch hinsichtlich des Vorwurfs der Unterstützung einer kriminellen Organisation verjährt sind. Die Strafkammer auferlegte C._ Verfahrenskosten im Umfang von Fr. 83'512.--. Sie sprach seinem Vertreter, Fürsprecher Michele Naef, für die amtliche Verteidigung in den beiden Verfahren Entschädigungen von Fr. 345'000.-- respektive Fr. 78'526.80 zu und verpflichtete C._, der Kasse des Bundesstrafgerichts hiefür Ersatz zu leisten (Urteilsdispositiv Ziff. III). C. C._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei im Falle eines Schuldspruchs eine bedingte Geldstrafe auszusprechen.