Sachverhalt: A. Die 1977 geborene G._, gelernte Bäckerin-Konditorin, ersuchte im Dezember 2003 die Invalidenversicherung um Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art (Berufsberatung, Arbeitsvermittlung, Umschulung). Die IV-Stelle des Kantons Solothurn klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Dabei ergab sich, dass G._ am 13. Mai 2003 als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall erlitten und die SUVA u.a. Taggeldleistungen bis zum 28. August 2003 erbracht hatte. Mit Verfügung vom 27. Februar 2004 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Leistungsbegehren ab, was sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2006 bestätigte. Am 1. August 2005 begann G._ eine dreijährige Lehre als Tiermedizinische Praxisassistentin in einer Kleintierklinik. B. Die Beschwerde der G._ gegen den Einspracheentscheid vom 11. Januar 2006 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nach Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung mit Entscheid vom 4. Dezember 2006 ab. C. G._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es seien berufliche Massnahmen durchzuführen, indem ihr insbesondere die gesetzlichen Leistungen für die Ausbildung zur Tiermedizinischen Praxisassistentin, allenfalls für eine andere geeignete Tätigkeit, zugesprochen werden; eventualiter sei die Sache zu weiterer Abklärung, zur Neubeurteilung und zum Neuentscheid an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zurückzuweisen; subeventualiter sei ihr, ab wann rechtens, eine Invalidenrente samt Verzugszins zuzusprechen. Im Weitern lässt G._ beantragen, die Vorinstanz sei anzuweisen, ihrem Rechtsvertreter Gelegenheit zu geben, eine detaillierte Kostennote einzureichen, damit er die Parteikosten für das kantonale Verfahren rechtsgenüglich geltend machen könne, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Kantonales Gericht und IV-Stelle schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.