Sachverhalt: A. Am 6. Dezember 2006 klagte A._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Zürich gegen B._ auf Aberkennung einer Forderung von rund Fr. 1'272'0000.--, für die am 14. August 2006 provisorische Rechtsöffnung erteilt worden war. Das Bezirksgericht Zürich verpflichtete den Beschwerdeführer in Anwendung von § 73 Ziff. 3 ZPO/ZH zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 70'000.-- unter der Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten werde. Das daraufhin eingereichte Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung sowie entsprechende Befreiung der Leistung der Prozesskaution lehnte es mit Beschluss vom 29. Mai 2007 ab. Das Bezirksgericht stützte sich insbesondere auf die Steuererklärung 2005 des Beschwerdeführers, worin neben Schulden in der Höhe von knapp 7 Millionen Franken Vermögenswerte von rund Fr. 378'000.-- bzw. Fr. 338'000.-- ausgewiesen seien, und erachtete die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers als nicht erwiesen. Falls diese Werte im Eigentum seiner Ehefrau stünden, müssten sie aufgrund der ehelichen Unterhaltspflicht zur Finanzierung des Prozesses herangezogen werden. Die Frist zur Leistung der Prozesskaution von Fr. 70'000.-- wurde dem Beschwerdeführer neu angesetzt, wiederum unter Androhung der Säumnisfolgen. B. Das Obergericht des Kantons Zürich bestätigte den Beschluss des Bezirksgerichts Zürich vom 29. Mai 2007 und wies den vom Beschwerdeführer dagegen erhobenen Rekurs mit Beschluss vom 28. September 2007 ab. Es erwog, dass die in der Steuererklärung ausgewiesenen Vermögenswerte zum Kindesvermögen gehörten und deshalb nicht zur Berechnung des Vermögens des Beschwerdeführers herangezogen werden dürfen. Aufgrund der familienrechtlichen Beistandspflicht rechnete das Obergericht sodann die Nettoeinkommen der Ehegatten zusammen und stellte fest, dass das Gesamtjahreseinkommen Fr. 203'082.-- betrage (Fr. 25'000.-- [Einkommen des Beschwerdeführers] plus Fr. 121'782.-- [Einkommen der Ehefrau des Beschwerdeführers], Fr. 37'200.-- [Liegenschaftenertrag der Ehefrau des Beschwerdeführers aus Fremdvermietung] sowie Fr. 19'100.-- [Wertschriftenertrag der Ehefrau des Beschwerdeführers]). Über den Bedarf der Familie des Beschwerdeführers konnte das Obergericht aufgrund der eingereichten Akten und Behauptungen keine genauen Angaben machen; die geltend gemachten Schulden von knapp 7 Millionen Franken berücksichtigte es mangels Zahlungsnachweises nicht. Das Obergericht schloss aus, dass vom monatlichen Gesamteinkommen von rund Fr. 16'924.-- nach Abzug eines durchschnittlichen im Armenrechtsverfahren zu berücksichtigenden Gesamtbedarfs einer dreiköpfigen Familie - ohne Einbezug der Schulden - zu wenig Geld für die Bezahlung der Gerichtskosten übrig blieb. Zwar würden dem Beschwerdeführer die finanziellen Mittel fehlen, um die gesamte Prozesskaution innert Frist auf einmal zu leisten, aber angesichts des monatlichen Gesamteinkommens erwiesen sich Ratenzahlungen im Betrag von mindestens Fr. 7'000.-- pro Monat als angemessen. Die Frist zur Bezahlung der ersten Rate bei der Bezirksgerichtskasse Zürich wurde auf den 1. November 2007 angesetzt unter der Androhung, dass im Verzugsfall auf die Aberkennungsklage nicht eingetreten werde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die vom Beschwerdeführer eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts mit Zirkulationsbeschluss vom 29. Juli 2008 ab, soweit es darauf eintrat, und setzte dem Beschwerdeführer die Frist zur Bezahlung der monatlichen Raten der Prozesskaution für das erstinstanzliche Verfahren neu an. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer, die Beschlüsse des Kassationsgerichts sowie des Obergerichts des Kantons Zürich seien aufzuheben, und es sei ihm im Aberkennungsprozess die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren; entsprechend sei von der Leistung einer Prozesskaution abzusehen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er rügt eine Verletzung von Art. 9, Art. 29 Abs. 2 und 3 BV sowie Art. 159 Abs. 3 ZGB. Der Beschwerdeführer ersucht sodann, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren ebenso die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Mit Schreiben vom 14. Oktober 2008 reichte der Beschwerdeführer unter anderem die Stellungnahme seiner Ehefrau im Eheschutzverfahren nach. Die Verfahrensakten wurden beigezogen. Sowohl das Obergericht als auch das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung. D. Auf Begehren des Beschwerdeführers wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2008 aufschiebende Wirkung erteilt.