Sachverhalt: A. X._ stellte am 22. Juni 2009 beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs in seinem Betrieb "Bistro Heaven Bar" in Solothurn. Am 21. September 2009 wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn dieses Gesuch ab mit der Begründung, das Fumoir erfülle die Kriterien an einen Nebenraum nicht, da es aufgrund seiner zentralen Lage (einziger Raum im Erdgeschoss) der Hauptausschankraum des Betriebes sei. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 5. Februar 2010 ab. B. Mit Eingabe vom 17. März 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 5. Februar 2010 aufzuheben und das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs im Erdgeschoss der "Bistro Heaven Bar" an der Kreuzgasse 1 in Solothurn gutzuheissen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Gesuchsbewilligung unter Auflagen und Bedingungen an das Departement des Innern zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an das Departement des Innern des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Das Gesundheitsamt des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.