Sachverhalt: A. Der aus Kroatien stammende X._ (geb. 1981) reiste 1991 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und wurde in die Niederlassungsbewilligung seiner Eltern einbezogen. Er wuchs, nachdem seinen Eltern die Obhut 1997 entzogen worden war, in Heimen auf und kam bereits als Jugendlicher mit dem Strafgesetz in Konflikt (vgl. Erkenntnisse der Jugendanwaltschaft des Kantons Aargau vom 21. Oktober 1997 und 2. Dezember 1998). Am 5. Januar 2000 drohte ihm die Fremdenpolizei des Kantons Aargau (heute: Migrationsamt) deshalb die Ausweisung aus der Schweiz an. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Am 15. September 2006 sprach das Strafgericht Basel-Stadt X._ u. a. schuldig der versuchten vorsätzlichen Tötung (begangen im Notwehrexzess), der mehrfachen einfachen Körperverletzung, des Raufhandels, des Raubes, der Hehlerei, der mehrfachen Drohung, des Hausfriedensbruchs, des Fahrens in angetrunkenem Zustand, der mehrfachen groben Verkehrsregelverletzung sowie der mehrfachen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und bestrafte ihn mit drei Jahren Gefängnis. B. Nachdem das Migrationsamt des Kantons Aargau X._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, wies es ihn mit Verfügung vom 13. Dezember 2006 auf den Tag der Entlassung aus dem Strafvollzug für unbestimmte Dauer aus der Schweiz aus. Eine hiegegen erhobene Einsprache beim Rechtsdienst des Migrationsamtes blieb erfolglos, und mit Urteil vom 7. September 2007 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid vom 13. Juli 2007 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab. Am 30. September 2007 wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. C. Mit Eingabe vom 10. Oktober 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau vom 7. September 2007 sowie den Einspracheentscheid des Migrationsamtes vom 13. Juli 2007 und dessen Verfügung vom 13. Dezember 2006 aufzuheben und auf eine Ausweisung zu verzichten; eventuell sei diese Massnahme auf zwei Jahre zu befristen. Das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen. D. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2007 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.