Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 4. Juni 2003 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt auf Anmeldung vom Januar 2003 hin einen Anspruch der 1951 geborenen, als Hausfrau und Mutter tätigen E._ auf eine Invalidenrente mit der Begründung, der gestützt auf medizinische Unterlagen und eine Haushaltsabklärung bestimmte Invaliditätsgrad betrage lediglich - nicht rentenbegründende - 29 %. Auf eine erneute Anmeldung zum Leistungsbezug vom August 2004 trat die IV-Stelle mit der Begründung nicht ein, eine anspruchsrelevante tatsächliche Veränderung sei auch mit dem von der Versicherten eingereichten Zeugnis des Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 8. September 2004 nicht glaubhaft gemacht worden (Verfügung vom 15. September 2004). Die von E._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005). Auf eine erneute Anmeldung zum Leistungsbezug vom August 2004 trat die IV-Stelle mit der Begründung nicht ein, eine anspruchsrelevante tatsächliche Veränderung sei auch mit dem von der Versicherten eingereichten Zeugnis des Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 8. September 2004 nicht glaubhaft gemacht worden (Verfügung vom 15. September 2004). Die von E._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005). B. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005 auf, und es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit diese die Neuanmeldung vom August 2004 materiell prüfe (Entscheid vom 31. August 2006). B. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005 auf, und es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit diese die Neuanmeldung vom August 2004 materiell prüfe (Entscheid vom 31. August 2006). C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides. E._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.