Sachverhalt: A. Am 11. April 2012 wurde der Text der eidgenössischen Volksinitiative "Für ein bedingungsloses Grundeinkommen" im Bundesblatt publiziert (BBl 2012 4175). Diese Initiative war am 27. April 2012 Thema der im Schweizer Fernsehen ausgestrahlten Diskussionssendung "Arena". B. Mit Brief vom 3. Mai 2012 an die Ombudsstelle SRG beanstandete X._ die Sendung als unausgewogen. In ihrem Schlussbericht vom 27. Mai 2012 kam die Ombudsstelle zum Schluss, das Sachgerechtigkeitsgebot sei nicht verletzt worden. Am 2. Juni 2012 gelangte X._ an die Unabhängige Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen (UBI) und rügte, in der Sendung sei die Situation der Frauen nicht sachgerecht dargestellt worden. Zudem beantragte sie die Schaffung einer Stelle für Gleichstellung in der Darstellung von Mann und Frau im Fernsehen und Radio. Innert der von der UBI angesetzten Frist reichte sie zahlreiche Unterschriften nach. C. Mit Entscheid vom 19. Oktober 2012, versandt am 28. Februar 2013, hiess die UBI die Beschwerde gut, soweit darauf einzutreten war, und stellte fest, dass die Sendung "Arena" des Schweizer Fernsehens vom 27. April 2012 das Sachgerechtigkeitsgebot von Art. 4 Abs 2 des Bundesgesetzes vom 24. März 2006 über Radio und Fernsehen (RTVG; SR 784.40) verletzt habe. Die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (im Folgenden: SRG) wurde aufgefordert, die UBI innert 60 Tagen nach Eröffnung bzw. innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Entscheids über die getroffenen Vorkehren zu unterrichten. Das teilweise Nichteintreten bezog sich auf das Begehren um Schaffung einer Stelle für Gleichstellung in der Darstellung von Mann und Frau im Fernsehen und Radio. D. Die SRG erhebt mit Eingabe vom 12. April 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid der UBI sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die beanstandete Sendung das Sachgerechtigkeitsgebot nicht verletzt habe. X._ und die UBI beantragen Abweisung der Beschwerde.