Sachverhalt: A. A.a. X._ und Y._ heirateten am 24. September 2011 in Conakry (Guinea). Am 5. Dezember 2012 beantragte X._ beim Gerichtspräsidium Baden die Regelung des Getrenntlebens, u.a. mit dem Antrag um Leistung eines monatlichen Unterhaltsbeitrags von Fr. 3'420.--. Zudem forderte sie von Y._ einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'500.--. Eventualiter stellte sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A.b. Am 29. Januar 2013 sprach die Präsidentin des Familiengerichts Baden X._ die folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträge zu: Fr. 3'420.-- ab 5. Dezember 2012 und Fr. 1'870.-- ab 1. April 2013. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde abgewiesen. B. B.a. Sowohl X._ als auch Y._ gelangten an das Obergericht des Kantons Aargau. Mit Urteil vom 24. September 2013 setzte dieses den umstrittenen Unterhaltsbeitrag ab 1. April 2013 auf Fr. 1'760.-- fest. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. B.b. Vom Obergericht abgewiesen wurde die Beschwerde von X._ gegen die Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren. Die darauf entfallenden Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegte das Obergericht X._. Auch ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren wies das Obergericht ab, ohne dafür Gerichtskosten zu erheben. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, dass ihr für das Verfahren vor der ersten und zweiten Instanz die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Markus Läuffer als unentgeltlicher Vertreter bestimmt wird. Die ihr im vorinstanzlichen Verfahren auferlegten Gerichtskosten seien einstweilen vom Kanton zu übernehmen. Die Gerichtskasse Baden und die Gerichtskasse des Obergerichts seien anzuweisen, ihrem Rechtsvertreter den Betrag von Fr. 2'754.-- für das erstinstanzliche und Fr. 2'203.20 für das zweitinstanzliche Verfahren zu bezahlen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.