Sachverhalt: A. A.a. Claudia Pechstein, Diensdorf/Deutschland, (Gesuchstellerin) ist eine deutsche Eisschnellläuferin. Die International Skating Union (Gesuchsgegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Lausanne. Sie ist als Weltverband für die Sportarten Eiskunstlauf und Eisschnelllauf anerkannt. A.b. Die Gesuchstellerin unterzog sich zwischen dem 4. Februar 2000 und dem 30. April 2009 zahlreichen Dopingkontrollen, die keine Hinweise auf verbotene Substanzen ergaben. Im gleichen Zeitraum erhob die Gesuchsgegnerin im Rahmen ihres Blutprofilprogramms mehr als neunzig Blutproben der Gesuchstellerin. Insbesondere wurden zwischen dem 20. Oktober 2007 und dem 30. April 2009 siebenundzwanzig Blutproben der Athletin entnommen, die letzten zwölf zwischen Januar und April 2009. Die im Rahmen des Blutprofilprogramms der Gesuchsgegnerin erhobenen und aufgezeichneten Blutparameter beinhalten unter anderem Hämoglobin, Hämatokrit und den prozentualen Anteil unreifer roter Blutzellen (Retikulozyten). Der Retikulozytenwert ermöglicht als Blutparameter eine aktuelle Beurteilung der Bildung roter Blutkörperchen im menschlichen Organismus. Während die Gesuchsgegnerin einen Retikulozytenwert zwischen 0.4 % und 2.4 % für normal erachtet, ergaben die Resultate der Blutuntersuchungen bei der Gesuchstellerin Retikulozytenwerte, die weit über 2.4 % lagen und danach jeweils stark abfielen. Am 7./8. Februar 2009 fand die von der Gesuchsgegnerin organisierte Eisschnelllauf-Weltmeisterschaft in Hamar (Norwegen) statt. Am Morgen vor Wettkampfbeginn, also am 6. Februar 2009, wurden von sämtlichen Athleten Blutproben entnommen. Der Retikulozytenwert der Gesuchstellerin wurde auf 3.49 % gemessen. Als Folge dieses Resultats erhob die Gesuchsgegnerin am Morgen bzw. am Nachmittag des 7. Februar 2009 zwei weitere Blutproben bei der Gesuchstellerin. Die gemessenen Retikulozytenwerte betrugen 3.54 % bzw. 3.38 %. An den Rennen des nächsten Tages nahm die Gesuchstellerin nicht mehr teil. Am 18. Februar 2009 wurde bei der Athletin ausserhalb des Wettkampfs eine weitere Blutprobe entnommen. Diese zeigte einen Retikulozytenwert von 1.37 % an. B. B.a. Nach Überprüfung des Blutprofils leitete die Gesuchsgegnerin bei ihrer Disziplinarkommission ein Verfahren gegen die Gesuchstellerin ein. Nach einem in Bern abgehaltenen Hearing vom 29./30. Juni 2009 stellte die Disziplinarkommission der Gesuchsgegnerin mit Entscheid vom 1. Juli 2009 ein Dopingvergehen in Form von Blutdoping fest, aberkannte die anlässlich der Weltmeisterschaft vom 7. Februar 2009 erzielten Resultate und sprach eine zweijährige Sperre ab 9. Februar 2009 gegen die Gesuchstellerin aus. B.b. Am 21. Juli 2009 erklärte die Gesuchstellerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) Berufung gegen den Entscheid der Disziplinarkommission vom 1. Juli 2009. Mit Eingabe vom 3. August 2009 reichte die Gesuchstellerin dem TAS ihre Berufungsbegründung ein. Am 16. September 2009 beantragte die Gesuchstellerin, es sei ihr zu gestatten, schriftlich zur Berufungsantwort der Gesuchsgegnerin Stellung zu nehmen. Diese sprach sich gegen einen weiteren Schriftenwechsel aus. Mit Schreiben vom 23. September 2009 teilte das TAS den Parteien mit, dass es in Anwendung von Artikel R56 des TAS-Code einen weiteren Schriftenwechsel nicht zulasse. Es gewährte der Athletin jedoch ausnahmsweise die Möglichkeit, bis spätestens acht Tage vor dem auf den 22./23. Oktober 2009 angesetzten Hearing unter anderem neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an ihrer Person sowie entsprechende Bemerkungen dazu einzureichen ( " to present any new evidence deriving from medical investigations performed on her, with comments thereto "). Am Hearing, das am 22. und 23. Oktober 2009 in Lausanne stattfand, wurden insgesamt zwölf von den Parteien bezeichnete Sachverständige angehört. Die Parteien hatten jeweils die Möglichkeit, Fragen an die Experten zu richten. Nach den letzten Parteivorträgen und der Schlusserklärung der Gesuchstellerin schloss das Schiedsgericht das Hearing. Mit Faxschreiben vom 23. und 24. November 2009 reichte die Gesuchstellerin dem Schiedsgericht einen dringlichen Antrag für die Wiedereröffnung des Verfahrens ein, um im Rahmen eines Kreuzverhörs Fragen an Prof. Sottas zu stellen, der am Hearing vom 22./23. Oktober 2009 nicht teilgenommen hatte. Der Antrag wurde damit begründet, dass einer der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin vernommen habe, dass Prof. Sottas seine ursprüngliche Meinung aufgrund der von ihr am 14. Oktober 2009 vorgelegten Beweise offenbar geändert habe, und dass er von der Gesuchsgegnerin aus diesem Grund nicht für das Hearing aufgeboten worden sei. Das TAS wies den Antrag um Wiedereröffnung des Verfahrens und die Berufungen der Gesuchstellerin mit Schiedsentscheid vom 25. November 2009 ab und bestätigte die zweijährige Sperre der Athletin, mit der geringfügigen Änderung, dass die Sperre bereits ab dem 8. Februar 2009 gelte. B.c. Eine von der Gesuchstellerin gegen den Schiedsspruch des TAS vom 25. November 2009 eingereichte Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht mit Urteil vom 10. Februar 2010 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Revisionsgesuch vom 4. März 2010 beantragt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des TAS vom 25. November 2009 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das TAS zurückzuweisen. Die Gesuchsgegnerin beantragt die Abweisung des Revisionsgesuchs. Das TAS hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Am 6. Juli 2010 reichte die Gesuchstellerin dem Bundesgericht eine Replik ein. Dazu nahm die Gesuchsgegnerin mit Duplik vom 3. September 2010 Stellung. D. Mit Verfügung vom 23. April 2010 wies das Bundesgericht den Antrag der Gesuchstellerin um Anordnung einer vorsorglichen Massnahme ab. Mit Verfügung vom 28. Juli 2010 wies das Bundesgericht das Wiedererwägungsgesuch vom 22. Juli 2010, mit dem die Gesuchstellerin wiederum die Anordnung einer vorsorglichen Massnahme verlangte, ab.