Sachverhalt: A. A._ (geb. 1983) stammt aus dem Kosovo. Er heiratete in seiner Heimat im Mai 2005 eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau (geb. 1982) und reiste am 23. November 2005 in die Schweiz ein. A._ erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin. Das Paar hat drei gemeinsame Kinder (geb. 2007, 2009 und 2011), die in die Niederlassungsbewilligung der Mutter einbezogen sind. Im Juni 2006 bedrohte A._ seine damals als Teamleiterin für ein Textilunternehmen tätige Gattin am Arbeitsort mit einem Messer und verletzte sie dabei leicht, zuvor war es während Monaten im häuslichen Bereich mehrmals pro Woche zu Tätlichkeiten gekommen, sodass eine polizeiliche Wegweisung aus der gemeinsamen Wohnung gegen ihn ausgesprochen wurde. Aufgrund der Eifersucht von A._ gab seine Frau ihrelangjährige Arbeitstätigkeit auf und war seit August 2006 arbeitslos. A._ wurde am 9. Oktober 2006 wegen mehrfachen Tätlichkeiten und Bedrohungen zum Nachteil seiner Gattin sowie Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung zu vier Wochen Gefängnis, bedingt auf zwei Jahre Probezeit, und einer Busse von Fr. 600.-- verurteilt. Am 5. Dezember 2006 wurde er infolge des strafrechtlichen Vorfalls ausländerrechtlich verwarnt. Im Jahr 2006 arbeitete A._ während weniger Tage bei einer Gartenbauunternehmung. Am 1. Mai 2007 trat er erneut eine Stelle bei einem Gartenbauunternehmen an. Nach einem Verkehrsunfall am 19. Juni 2007 war A._ arbeitsunfähig und beantragte eine IV-Rente. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies das Gesuch im August 2010 indessen ab. Es begründete dies mit einer Observation, anlässlich derer von medizinischen Fachpersonen eine "deutliche und offensichtliche Diskrepanz" zwischen den in den medizinischen Untersuchungen geltend gemachten Einschränkungen und dem tatsächlichen Funktionsniveau im Alltag festgestellt wurde, sodass eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinischer Sicht nicht nachvollzogen werden konnte. Die Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Unter Hinweis auf offene Verlustscheine (etwas mehr als Fr. 14'000.--) und einen Schuldsaldo beim Sozialamt (etwas mehr als Fr. 60'000.--) sowie aufgrund der "Verfälschung der medizinischen Abklärungen" bzw. einem "immer wieder anders dargestellten" Vorfall vom Juni 2007 im IV-Verfahren wurde A._ am 10. Januar 2011 erneut ausländerrechtlich verwarnt und angehalten, eine geregelte Erwerbstätigkeit aufzunehmen und seine Schulden abzubauen. Im Juni und August 2011 unterzog sich A._ operativen Eingriffen, wobei der zweite Eingriff misslang. Der behandelnde Arzt schrieb ihn ab dem 16. August 2011 zu hundert Prozent arbeitsunfähig. Nach einem weiteren Eingriff im November 2011 verschlechterte sich nach der Darstellung seines Hausarztes sein Zustand. Der Hausarzt schätzte seine Arbeitsfähigkeit ab dem 1. März 2012 jedoch auf 30 Prozent. Ab dem 19. März 2012 begab sich A._ in tagesklinische Behandlung und war an einem geschützten Arbeitsplatz fünf Tage pro Woche beschäftigt. B. Am 1. März 2012 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab. Einen hiergegen gerichteten Rekurs lehnte das Sicherheits- und Justizdepartement am 24. Januar 2013 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen blieb erfolglos, soweit das Gericht darauf eintrat (Urteil vom 21. August 2013). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2013 aufzuheben. Seine Aufenthaltsbewilligung sei, allenfalls unterBedingungen und Auflagen, zu verlängern. Eventualiter sei ihm eine Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen. Subeventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.