Sachverhalt: A. In den von der X._ AG (Beschwerdeführerin) beim Kantonsgericht Schaffhausen gegen A._ und B._, gegen C._ und gegen D._ (Beschwerdegegner) eingeleiteten Forderungsprozessen erhielt die Beschwerdeführerin eine Frist zur Stellungnahme zur Eingabe der Gegenparteien bis 16. Februar 2012. Mit Eingabe vom 16. Februar 2012 ersuchte sie um Fristerstreckung und stellte zugleich weitere Anträge betreffend Auskunftsbegehren und Überweisung des Verfahrens an ein ausserkantonales Gericht. Das Kantonsgericht bewilligte in drei separaten Verfügungen das Fristerstreckungsgesuch (Dispositiv-Ziffer 1) und lehnte die weiteren Anträge ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 2). Ferner wurde angeordnet, dass die Kosten dieser Verfügungen bei der Hauptsache bleiben (Dispositiv-Ziffer 3). Die Beschwerdeführerin erhob gegen die drei Verfügungen Beschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen und beantragte, die angefochtenen Verfügungen seien in den Dispositiv-Ziffern 2 und 3 aufzuheben und das Kantonsgericht sei anzuweisen, seinen Amtspflichten nachzukommen. Mit Entscheid vom 29. Juni 2012 wies das Obergericht die Beschwerde ab und trat auf das in der Beschwerde ebenfalls enthaltene pauschale Ausstandsbegehren nicht ein. B. Die Beschwerdeführerin beantragt mit "staatsrechtlicher Beschwerde", der Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 29. Juni 2012 sei "wegen Verletzung der Ausstandspflichten des Obergerichts Richtergremiums besetzt mit E._, F._, G._ und des Obergerichts Gerichtsschreibers H._" aufzuheben. Sodann beantragt sie, "vorbefasste und mehrfach abgelehnte, ausständige Richter und Personen der Rechtspflege" hätten "bis zum betreffenden Entscheid in den Ausstand zu treten und sich bis zur rechtsgültigen Klärung und Erschöpfung sämtlicher, in dem Zusammenhang Rechtswege, insbesondere bei laufenden Gerichtsverfahren auf übergeordneten Ebenen zu enthalten, ggf. sind zur Erfüllung der verfassungsrechtlichen gegebenen Garantie des unabhängigen, neutralen Richters ggf. ausserkantonale Ersatzrichter zu berufen oder das Verfahren an die Gerichtsbarkeit des Kantons Zug, dem Sitz der Beschwerdeführerin in Anwendung der geltenden Menschenrechte und in Anwendung der [...] sich ergebenden Ableitung und Rechtsauslegung gemäss dem verfassungsmässig garantierten Grundrecht [...] innert angemessener Frist von 3 Wochen nach Rechtswirksamkeit des Urteils an diese abzutreten." Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. C. Mit Eingabe vom 4. Oktober 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin unter anderem darum, es sei ihr die vorgesehene Besetzung des Bundesgerichts zur Kenntnis zu bringen und es sei ihr Auskunft darüber zu geben, ob und welche der beteiligten Gerichtspersonen dem "Schaffhauser Juristenverein angehören, angehört haben oder freundschaftliche Beziehungen dort pflegen" im Sinne der "Einschätzung des [...] Neutralitätsgesichtspunktes". Ferner beantragte sie die Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens bis zur Entscheidung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte über die Beschwerde gegen den Entscheid des Bundesgerichts vom 27. April 2011 (4D_8/2011).