Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1954) und Y._ (geb. 1954) heirateten am 16. Mai 1997. Sie wurden Eltern einer am 27. Januar 1997 geborenen Tochter. Nachdem die Parteien bereits in den Jahren 2001 und 2002 ein Eheschutzverfahren geführt hatten, schied das Amtsgericht Thal-Gäu mit Urteil vom 22. Juni 2006 ihre Ehe und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. A.b Dagegen appellierte X._ teilweise. Soweit vorliegend massgebend, verpflichtete das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 11. Dezember 2008 Y._ (per saldo aller güterrechtlichen Ansprüche) zur Bezahlung von Fr. 6'271.25 (Ziff. 6.2 des Dispositivs). Weiter hielt es fest, dass die Parteien nach dem Vollzug der im Dispositiv festgehaltenen Bestimmungen güterrechtlich per saldo aller Ansprüche auseinandergesetzt seien (Ziff. 6.4 des Dispositivs). A.c Gegen dieses Urteil gelangte X._ mit Beschwerde an das Bundesgericht und beantragte dessen Aufhebung. Das Bundesgericht hiess die Beschwerde mit Urteil 5A_76/2009 vom 4. Mai 2009 teilweise gut, hob die Ziffern 6.2 und 6.4 des obergerichtlichen Entscheides auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück. Im Einzelnen bejahte das Bundesgericht bezüglich der Frage der Hinzurechnung einer Provisionszahlung sowie der Berücksichtigung einer Ersatzforderung für Investitionen in die eheliche Liegenschaft eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. B. Das Obergericht des Kantons Solothurn nahm daraufhin das Verfahren wieder auf und stellte im Urteil vom 15. Dezember 2009 die Rechtskraft seines Entscheides vom 11. Dezember 2008 mit Ausnahme der beiden damaligen Ziffern 6.2 und 6.4 fest. In Bezug auf diese beiden vom Bundesgericht aufgehobenen Punkte gelangte es zum selben Ergebnis wie in seinem ersten Entscheid und verurteilte Y._ per saldo aller güterrechtlichen Ansprüche zur Bezahlung von Fr. 6'721.25. Es hielt fest, dass die Parteien nach dem Vollzug dieser Bestimmung per saldo aller Ansprüche güterrechtlich auseinandergesetzt seien. C. Mit Eingabe vom 28. Januar 2010 (Postaufgabe am 29. Januar 2010) hat X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) beim Bundesgericht eine Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Sie verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 15. Dezember 2009 (mit Ausnahme der Feststellung der Teilrechtskraft) und die Verpflichtung von Y._ (nachfolgend Beschwerdegegner) zu einer Zahlung aus Güterrecht von Fr. 44'701.50. Eventualiter fordert sie die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege sowie um Beiordnung von Rechtsanwältin Stephanie Selig als amtliche Anwältin. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.