Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 14. Februar 2011 schied der Einzelrichter der Höfe die Ehe von A.X._ und B.X.-Y._ und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Insbesondere wurde der gemeinsame Sohn D._ (geb. 2006) unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter gestellt. Das Besuchsrecht des Vaters wurde festgelegt. A.X._ wurde zu Unterhaltszahlungen an seinen Sohn und an B.X.-Y._ verpflichtet. Das Kantonsgericht Schwyz beurteilte am 29. November 2011 auf Berufung bzw. Anschlussberufung der Parteien hin namentlich die Unterhaltsansprüche neu. B. Am 12. Juli 2013 reichte A.X._ beim Bezirksgericht Zürich eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 14. Februar 2011/29. November 2011 ein. Er verlangte namentlich, ihm die alleinige elterliche Sorge über den Sohn D._ zuzuteilen. Im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen stellte das Einzelgericht am 2. Oktober 2013 D._ für die Dauer des Hauptverfahrens unter die elterliche Obhut des Vaters, sistierte einstweilen das Besuchsrecht der Mutter und ordnete eine Beistandschaft für das Kind an. Zudem wurde eine psychiatrische Begutachtung der Mutter zur Abklärung der Erziehungsfähigkeit angeordnet. Die Unterhaltsregelung wurde für die Dauer des Hauptverfahrens den neuen Verhältnissen angepasst. B.X.-Y._ wurde die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt. C. B.X.-Y._, infolge Wiederverheiratung nunmehr B.Z._, gelangte gegen die vorsorglichen Anordnungen betreffend D._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Für das Rechtsmittelverfahren wurde ihr die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt. Die Berufung wurde am 21. März 2014 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Von Amtes wegen ersetzte das Obergericht die angefochtene Verfügung durch eine einlässliche Regelung des Besuchs- und Kontaktrechts der Mutter gegenüber D._. Es stellte fest, dass A.X._ ab 23. November 2013 keinen Unterhalt mehr an B.Z._ schulde. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr wurde auf Fr. 3'500.-- festgesetzt und den Parteien je hälftig auferlegt. Der Anteil von B.Z._ wurde infolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse genommen. D. A.X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen/subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 17. April 2014 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, die obergerichtliche Kostenregelung aufzuheben und die gesamten Kosten des Berufungsverfahrens B.Z._ (Beschwerdegegnerin) aufzulegen, welche ihn hierfür zu entschädigen habe. Zudem sei B.Z._ von Amtes wegen die unentgeltliche Rechtspflege zu entziehen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Am 31. Juli 2014 hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unaufgefordert eine Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. Juli 2014 eingereicht, womit B.Z._ für das Hauptverfahren die unentgeltliche Rechtspflege ohne Rückwirkung entzogen wurde. Daraufhin hat der Beschwerdegegner am 13. August 2014 mit dem Hinweis auf Weiterzug des genannten Entscheides an das Obergericht geantwortet.