Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Mit Urteilen des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen vom 19. November 2004, des Bundesgerichts vom 11. August 2005, des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Oktober 2005 und des Bundesgerichts vom 14. Februar 2006 wurden X._ und Y._ zu Parteientschädigungen zu Gunsten von Z._ von insgesamt Fr. 48'218.65 verurteilt. A.b Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob X._ Rechtsvorschlag. Am 27. Juni 2006 ersuchte Z._ den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Am 17. Juli 2006 wurde X._ zur Stellungnahme bis zum 2. August 2006 eingeladen. Innert Frist ersuchte dieser den Gerichtspräsidenten, sich jeder weiteren Amtshandlung zu enthalten. Zur Begründung brachte er vor, die Aufforderung zur Stellungnahme sei mangels eigenhändiger Unterschrift des Präsidenten nichtig und die Zustellung mit eingeschriebenem Brief statt mit Gerichtsurkunde sei ungesetzlich; sodann lehnte er den Gerichtspräsidenten ab. Am 11. August 2006 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen in dem die vorgenannte Betreibung betreffenden Verfahren Z 06 3696 Z._ definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. A.b Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob X._ Rechtsvorschlag. Am 27. Juni 2006 ersuchte Z._ den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Am 17. Juli 2006 wurde X._ zur Stellungnahme bis zum 2. August 2006 eingeladen. Innert Frist ersuchte dieser den Gerichtspräsidenten, sich jeder weiteren Amtshandlung zu enthalten. Zur Begründung brachte er vor, die Aufforderung zur Stellungnahme sei mangels eigenhändiger Unterschrift des Präsidenten nichtig und die Zustellung mit eingeschriebenem Brief statt mit Gerichtsurkunde sei ungesetzlich; sodann lehnte er den Gerichtspräsidenten ab. Am 11. August 2006 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen in dem die vorgenannte Betreibung betreffenden Verfahren Z 06 3696 Z._ definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. B. B.a In einer als Kassationsgesuch, Beschwerde und Appellation überschriebenen Eingabe vom 1. September 2006 beantragten X._ und Y._ dem Obergericht des Kantons Bern die Aufhebung des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheides. Einem Gesuch um Einstellung des Appellationsverfahrens wurde am 6. Dezember 2006 nicht stattgegeben. B.b Am 27. Oktober 2006 lehnte das Obergericht des Kantons Bern ein u.a. gegen den Gerichtspräsidenten 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen gerichtetes Ablehnungsgesuch ab (Verfahren Appellationshof 06 414). Daraufhin verlangte X._ am 28. Dezember 2006 den Ausstand der an diesem Entscheid beteiligten Oberrichter A._, B._ und C._ sowie von Kammerschreiberin D._. B.c Am 17. Januar 2007 setzte Obergerichtspräsident E._ die Oberrichter F._, G._ und H._ als Richter und J._ als Kammerschreiber ein. In dieser Besetzung trat das Obergericht am 7. März 2007 auf die gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Appellation von Y._ nicht ein und bestätigte im Übrigen diesen Entscheid (Verfahren Appellationshof 06 454). Zur Begründung führte es aus, Y._ komme im Verfahren keine Parteistellung zu (II/1). Im Weiteren verneinte es die Ausstandspflicht der am Entscheid mitwirkenden Richter unter Hinweis darauf, dass gegen deren Einsetzung kein formelles Ablehnungsgesuch gestellt worden sei (II/4). Ferner erwog es, in der fehlenden handschriftlichen Unterzeichnung der Einladung des Rechtsöffnungsrichters zur Stellungnahme sei keine Rechtsverletzung zu erblicken, da es sich nicht um eine Vorladung handle. Weder sei deren Zustellungsart rechtswidrig noch die Fristansetzung willkürlich erfolgt (II/5). Das Obergericht verneinte des Weiteren eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, zumal X._ Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben worden sei (II/6). Der Umstand, dass der Rechtsöffnungsrichter trotz des Ablehnungsgesuchs entschieden habe, bedeute keine Rechtsverletzung; er habe damit lediglich riskiert, dass sein Entscheid bei Gutheissung des Ablehnungsgesuchs von Amtes wegen kassiert worden wäre (II/7). In der Sache verneinte das Obergericht alsdann die behauptete Nichtigkeit des Rechtsöffnungstitels (III/2), ebenso eine Tilgung durch Verrechnung, zumal die Verrechnungsforderung nicht mindestens durch eine bedingungslose Schuldanerkennung der Gesuchstellerin ausgewiesen sei (III/3). B.c Am 17. Januar 2007 setzte Obergerichtspräsident E._ die Oberrichter F._, G._ und H._ als Richter und J._ als Kammerschreiber ein. In dieser Besetzung trat das Obergericht am 7. März 2007 auf die gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Appellation von Y._ nicht ein und bestätigte im Übrigen diesen Entscheid (Verfahren Appellationshof 06 454). Zur Begründung führte es aus, Y._ komme im Verfahren keine Parteistellung zu (II/1). Im Weiteren verneinte es die Ausstandspflicht der am Entscheid mitwirkenden Richter unter Hinweis darauf, dass gegen deren Einsetzung kein formelles Ablehnungsgesuch gestellt worden sei (II/4). Ferner erwog es, in der fehlenden handschriftlichen Unterzeichnung der Einladung des Rechtsöffnungsrichters zur Stellungnahme sei keine Rechtsverletzung zu erblicken, da es sich nicht um eine Vorladung handle. Weder sei deren Zustellungsart rechtswidrig noch die Fristansetzung willkürlich erfolgt (II/5). Das Obergericht verneinte des Weiteren eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, zumal X._ Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben worden sei (II/6). Der Umstand, dass der Rechtsöffnungsrichter trotz des Ablehnungsgesuchs entschieden habe, bedeute keine Rechtsverletzung; er habe damit lediglich riskiert, dass sein Entscheid bei Gutheissung des Ablehnungsgesuchs von Amtes wegen kassiert worden wäre (II/7). In der Sache verneinte das Obergericht alsdann die behauptete Nichtigkeit des Rechtsöffnungstitels (III/2), ebenso eine Tilgung durch Verrechnung, zumal die Verrechnungsforderung nicht mindestens durch eine bedingungslose Schuldanerkennung der Gesuchstellerin ausgewiesen sei (III/3). C. Mit einer gemeinsamen als Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG bezeichneten Eingabe vom 30. April 2007 beantragen X._ und Y._, den Entscheid des Obergerichts vom 7. März 2007 aufzuheben. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. C. Mit einer gemeinsamen als Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG bezeichneten Eingabe vom 30. April 2007 beantragen X._ und Y._, den Entscheid des Obergerichts vom 7. März 2007 aufzuheben. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. D. Mit Verfügung vom 23. Mai 2007 verlieh der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts antragsgemäss bzw. entgegen den Anträgen der Beschwerdegegnerin, auf das Gesuch nicht einzutreten, eventuell dieses abzuweisen, der Beschwerde aufschiebende Wirkung und ordnete an, dass alle vom angefochtenen Entscheid des Appellationshofs des Obergerichts des Kantons Bern vom 7. März 2007 ausgehenden Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben haben. Das nachträgliche Gesuch um superprovisorischen Erlass wurde als gegenstandslos geworden abgeschrieben.