Sachverhalt: A. A.a A._, aus Kosovo stammend, hielt sich seit 1988 wiederholt als Saisonnier in der Schweiz auf, bis er Anfang 1993 wegen Zuwiderhandlungen gegen ausländerrechtliche Bestimmungen eine zweijährige Einreisesperre erwirkte. Nach Ablauf dieser Massnahme bemühte er sich im Mai 1995 erfolglos um eine Einreisebewilligung zwecks Vorbereitung der Ehe mit der Schweizer Bürgerin B._. Darauf reiste er im Juli 1995 illegal in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Wenige Wochen später, am 25. August 1995, heiratete er B._ und zog sein Asylgesuch zurück. In der Folge erhielt A._ eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib in der Schweiz. A.b Während eines Aufenthalts in Kosovo zeugte A._ mit seiner Landsfrau C._ den Sohn D._, der am 25. Oktober 1999 auf die Welt kam. A.c Am 1. Mai 2001 ersuchte A._ gestützt auf die Ehe mit B._ um erleichterte Einbürgerung. Die Frage nach der Existenz ausserehelicher ausländischer Kinder unter 20 Jahren verneinte er im Formulargesuch. Die Eheleute unterzeichneten am 24. September 2001 zuhanden der Einbürgerungsbehörde eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Die Ehegatten nahmen ferner unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht, und dass die Verheimlichung dieser Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen kann. Am 15. November 2001 wurde A._ erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er die Bürgerrechte des Kantons Obwalden und der Gemeinde Lungern. A.d Am 28. November 2002 unterzeichneten A._ und seine schweizerische Ehefrau eine Scheidungskonvention und unterbreiteten Anfang Dezember 2002 dem Bezirksgericht Obwalden ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Am 2. April 2003 wurde die Ehe geschieden. Im November desselben Jahres erwirkte A._, der zwischenzeitlich in den Kanton Zürich gezogen war, die Erteilung von Besuchervisa an C._ und den gemeinsamen Sohn D._. Am 29. Januar 2004 wurde D._ von seinem Vater förmlich anerkannt. Wenige Tage später, am 9. Februar 2004, ging A._ mit C._ die Ehe ein. In der Folge stellte er ein Gesuch um Familiennachzug, dem am 16. August 2006 unter Vorbehalt entsprochen wurde. Aus der Ehe mit C._ gingen zwei weitere Kinder hervor. A.e Von der Migrationsbehörde des Kantons Zürich auf die erwähnten Sachumstände aufmerksam gemacht, teilte das Bundesamt für Migration A._ mit, dass gegen ihn ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eröffnet werde. Am 7. November 2006 erteilte der Kanton Obwalden als Heimatkanton von A._ seine Zustimmung zur Nichtigerklärung der Einbürgerung. Mit Verfügung vom 9. November 2006 erklärte das Bundesamt für Migration die erleichterte Einbürgerung des Beschwerdeführers für nichtig. Weiter stellte die Vorinstanz fest, dass sich die Nichtigkeit auf alle Familienmitglieder erstrecke, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruhe. A._ focht die Verfügung des Bundesamtes für Migration an. Mit Urteil vom 5. August 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. B. A._ hat gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt er, es sei festzustellen, dass das Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung gesamthaft nicht innert der verfassungsrechtlich gebotenen Frist abgeschlossen worden sei, was im Ergebnis zu einer Aufhebung des angefochtenen Urteils führe. Ferner ersucht der Beschwerdeführer um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. C. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Beschwerdeabweisung. D. Mit Verfügung vom 14. Oktober 2009 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.