Sachverhalt: A. Dr. A._ (Beschwerdeführerin) erlitt am 7. März 2001 in den Räumlichkeiten der X._ AG, Zürich (Beschwerdegegnerin) einen Unfall, bei dem sie die rechte Hand in der Zylinderdrehtüre bzw. Rundschleuse einklemmte. Am 17. Mai 2005 reichte sie beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die Beschwerdegegnerin Klage auf Bezahlung einer Genugtuung über Fr. 50'000.-- ein. Dieses Verfahren ist beim Handelsgericht hängig. B. Am 3. Juni 2009 ersuchte die Beschwerdeführerin die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich um Feststellung, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess über Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG/ZH; LS 211.1) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. Ferner sei festzustellen, dass Handelsrichter B._ ein befangener und parteiischer Richter im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. In einer Eingabe vom 14. Juli 2009 stellte die Beschwerdeführerin die Befähigung der beiden Handelsrichter C._ und Dr. D._ zur Amtsausübung im Lichte von §§ 59 Abs. 2 und 60 GVG/ZH in Frage. Mit Beschluss vom 20. Oktober 2009 wies die Verwaltungskommission das Feststellungsbegehren hinsichtlich der Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts ab, soweit sie darauf eintrat. Den Anträgen betreffend die Handelsrichter C._ und Dr. D._ gab sie keine Folge, zumal diese beiden Handelsrichter mit dem Haftpflichtprozess der Beschwerdeführerin nicht befasst sind. Das Ablehnungsbegehren betreffend Handelsrichter B._ wies die Verwaltungskommission ab, soweit sie darauf eintrat. Gegen diesen Beschluss erhob die Beschwerdeführerin kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, mit der sie am Feststellungsbegehren betreffend Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts festhielt und ferner beantragte, es sei festzustellen, dass Handelsrichter B._ infolge Fehlens der Wählbarkeitsvoraussetzung des zürcherischen Wohnsitzes nicht zur Amtsausübung als Handelsrichter berechtigt und zudem ein befangener und parteiischer Richter im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei. Mit Zirkulationsbeschluss vom 9. Februar 2010 wies das Kassationsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, es sei in Aufhebung des Beschlusses des Kassationsgerichts vom 9. Februar 2010 und des Beschlusses des Obergerichts vom 20. Oktober 2009 festzustellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist. Eventuell sei festzustellen, dass B._ kein Handelsrichter ist und das Handelsgericht im vorliegenden Verfahren im Sinn von § 60 GVG/ZH ungenügend besetzt war. Ausserdem ersucht sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beistellung von Rechtsanwalt Dr. Max Sidler als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Bundesgericht verzichtete auf die Einholung von Vernehmlassungen.