Sachverhalt: A. Radio Fribourg SA/Radio Freiburg AG ist ein zweisprachiges Lokalradio, welches über eine Konzession des Eidgenössischen Departements für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK) vom 22. Dezember 2004 verfügt. Eine neue Konzession für die Weiterführung des Lokalradios bis 31. Dezember 2019 erteilte das UVEK am 7. Juli 2008. Das Versorgungsgebiet für die deutschsprachigen Programme war zunächst in Art. 10 Ziff. 6 der Weisungen des Bundesrats vom 27. Oktober 2004 für die UKW-Sendernetzplanung (BBl 2004 S. 6705; BBl 2006 S. 3743) festgelegt und ergibt sich neu aus Nr. 8 Ziff. 4 des Anhangs 1 zur Radio- und Fernsehverordnung vom 9. März 2007 (RTVV, SR 784.401). Zurzeit werden die deutschsprachigen Programme unter anderem von den Sendeanlagen in Villars-sur-Glâne/ Belle Croix sowie in Sorens/Gibloux ausgestrahlt. Der Sender Sorens/Gibloux soll aufgegeben werden, und stattdessen sollen die Programme unter anderem von der bereits bestehenden Anlage Villars-sur-Glâne/Belle Croix und von einer neu zu erstellenden UKW-Sendeanlage auf dem Riederehubel auf Gemeindegebiet von St. Silvester aus gesendet werden. B. Am 13. Oktober 2005 ersuchte die Radio Freiburg AG um die baurechtliche Bewilligung für einen 13 m hohen Sendemast und einen Geräteschrank auf dem Riederehubel im Gebiet Chrachen, Gemeinde St. Silvester. Das für die Anlage vorgesehene Grundstück Nr. 490 liegt in der Landwirtschaftszone und gehört der Gemeinde. Während der öffentlichen Auflage des Gesuchs erhoben mehrere Anwohner Einsprache. Die kantonale Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion erteilte am 31. Oktober 2006 die notwendige Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG (SR 700) sowie die kantonale Sonderbewilligung im Sinne von Art. 59 Abs. 1 des kantonalen Raumplanungs- und Baugesetzes vom 9. Mai 1983 (RPBG, SGF 710.1). Der Oberamtmann des Sensebezirks erliess am 10. November 2006 die baupolizeiliche Bewilligung und wies mit separater Verfügung vom selben Tag die Einsprachen ab. Gegen diese Entscheide gelangten verschiedene unterlegene Einsprecher mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Freiburg. Sie beantragten insbesondere, die Baubewilligung sei nicht zu erteilen. Im Wesentlichen behaupteten sie, die Baubewilligungsakten seien unvollständig gewesen, namentlich hätte das Standortdatenblatt gefehlt, und ein Standort der Antenne ausserhalb der Bauzone dränge sich nicht auf. Im Rahmen des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens reichte die Radio Freiburg AG dem Gericht ein neues Standortdatenblatt, einen Bericht "Berechnung der nichtionisierenden Strahlung des UKW-Senders 'Chrachen' in St. Silvester" sowie eine Stellungnahme des Bundesamts für Kommunikation (BAKOM) ein. Die Beschwerdeführer hielten in Gegenbemerkungen an ihren Anträgen fest. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 31. Mai 2007 ab. Es kam zum Schluss, dass der umstrittene Standort gegenüber anderen Standorten innerhalb und ausserhalb der Bauzonen als klar vorteilhafter zu betrachten sei. Er ermögliche eine optimale Abdeckung des Sendegebiets mit relativ geringem Aufwand. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. August 2007 beantragen die Eheleute X._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 31. Mai 2007 und die Baubewilligung für den Bau der Antenne auf dem Riederehubel in St. Silvester seien aufzuheben. Sie rügen eine Verletzung von Art. 24 RPG und die unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts. Im Zusammenhang mit der Pflicht der Behörde zur Feststellung des Sachverhalts machen sie Willkür und eine unzulässige Verweigerung des rechtlichen Gehörs geltend. Schliesslich kritisieren sie eine Verletzung ihres Rechts auf öffentliche Verhandlung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK. D. Das Verwaltungsgericht und die kantonale Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion sowie der Oberamtmann des Sensebezirks und die Radio Freiburg AG beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Gemeinderat St. Silvester hält grundsätzlich an seiner die Sendeanlage befürwortenden Haltung fest, ohne einen Antrag zum vorliegenden Verfahren zu stellen. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) äussert in seiner Vernehmlassung die Ansicht, die Antennenanlage könne am umstrittenen Standort nicht bewilligt werden, ohne dass als Alternativen die Inanspruchnahme von Masten der Swisscom in Tentlingen und Plasselb geprüft würden. Das Bundesamt für Kommunikation (BAKOM) legt in seiner Stellungnahme dar, dass die vom ARE genannten Alternativen technisch grundsätzlich möglich wären und weist auf die Vor- und Nachteile der verschiedenen Lösungen hin. Das BAFU bezeichnet die umstrittene Anlage als mit den Bestimmungen der Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710) vereinbar. Die Verfahrensbeteiligten erhielten Gelegenheit, sich zu den Stellungnahmen zu äussern. Sie halten grundsätzlich an ihren Standpunkten fest. Die Gemeinde St. Silvester hält dafür, die vom ARE genannten Alternativen seien weiter zu prüfen. Die Beschwerdeführer halten an ihren Rechtsauffassungen und Anträgen fest. E. Mit Verfügung vom 27. September 2007 legte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der vorliegenden Beschwerde insoweit aufschiebende Wirkung bei, als die Sendeanlage erst nach Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens in Betrieb genommen werden darf. Die Antenne durfte jedoch auf eigenes Risiko der Betreiberin während des Verfahrens errichtet werden.