Sachverhalt: A. A.a. Der 1957 geborene A._ meldete den Winterthur-Versicherungen (heute AXA Versicherungen AG, nachfolgend AXA) am 14. September 1999, er habe beim Wandern einen Zeckenbiss erlitten. Der genaue Zeitpunkt lasse sich nicht feststellen, doch habe er wegen dessen Folgen während der Ferien Ende August 1999 in B._ hospitalisiert werden müssen. Der Unfallversicherer erbrachte darauf-hin Leistungen, teilte A._ jedoch mit Schreiben vom 30. Juli 2004 mit, er übernehme keine Kosten mehr für Laboruntersuchungen; für weitere Behandlungskosten komme er nur auf, wenn sie mit dem Zeckenbiss in kausalem Zusammenhang stünden. A.b. Nach Meldung eines weiteren, am 1. September 2003 erlittenen Zeckenbisses durch die Arbeitslosenkasse Syna lehnte die dafür zuständige Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit Verfügung vom 15. März 2006 die Übernahme von Leistungen ab, da die geltend gemachten Beschwerden nicht auf den Vorfall vom 1. September 2003, sondern auf das Ereignis vom Sommer 1999 zurückzuführen seien. A.c. Am 9. August 2006 beantragte A._ von der AXA die Ausrichtung einer Unfallrente und liess sich im Verlaufe der vom Unfallversicherer getätigten Abklärungen anwaltlich vertreten. Die AXA wies mit Verfügung vom 5. Februar 2009 das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Verwaltungsverfahren ab, da der Versicherte mangels Beibringung der erforderlichen Unterlagen nicht als bedürftig zu qualifizieren sei und zudem die weitere Voraussetzung der Erforderlichkeit zu verneinen wäre. Am 29. April 2009 verfügte die AXA sodann, von weiteren Erhebungen sei abzusehen, auf das gemeldete Schadenereignis sei nicht einzutreten und es seien keine Leistungen mehr auszurichten. Zudem verpflichtete sie A._ zur Rückerstattung von unrechtmässig bezogenen Leistungen. Mit Einspracheentscheid vom 21. August 2009 verzichtete die AXA auf eine Rückforderung der zu Unrecht erbrachten Leistungen, hielt indes an der Verneinung eines Anspruchs auf weitere Leistungen im Zusammenhang mit dem Ereignis vom Frühling/Sommer 1999 fest. B. Nach Durchführung einer Instruktionsverhandlung vom 4. Oktober 2011 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die gegen die Verfügung vom 5. Februar 2009 und gegen den Einspracheentscheid vom 21. August 2009 erhobenen Beschwerden mit Entscheid vom 29. November 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es seien ihm in Aufhebung des angefochtenen Entscheids die gesetzlichen Leistungen, insbesondere Taggeld, Rente sowie Integritätsentschädigung, und die unentgeltliche Verbeiständung für das Verwaltungs-/Einspracheverfahren zuzusprechen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich nimmt zur Zusammensetzung des Spruchkörpers Stellung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer reicht am 8. Sep-tember 2014 eine Stellungnahme ein.