Sachverhalt: A. Im Rahmen eines vom Staat Zürich gegen X._ eingeleiteten Rechtsöffnungsverfahrens stellte dieser am 28. September 2009 ein Ausstandsbegehren gegen die mit der Sache befasste Bezirksrichterin. Mit Beschluss vom 26. Oktober 2009 verpflichtete die für die Beurteilung des Ausstandsbegehrens zuständige Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich X._ zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 800.-- und setzte ihm hierfür eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung des Beschlusses an. Nachdem X._ dem Obergericht mit Schreiben vom 9. November 2009 mitgeteilt hatte, die im Beschluss vom 26. Oktober 2009 erwähnte Beilage sei nicht versandt worden, verfügte der Obergerichtspräsident am 17. November 2009 (Zustellung am 26. November 2009) den neuerlichen Versand der fraglichen Beilage und setzte eine neue zehntägige Frist zur Bezahlung der Prozesskaution an. X._ focht beide Verfügungen beim Bundesgericht an (Verfahren Nr. 5D_63/2010), ohne dass er aufschiebende Wirkung verlangt oder das Bundesgericht diese gewährt hätte. Mit Beschluss vom 23. Dezember 2009 stellte die Verwaltungskommission des Obergerichts fest, dass X._ die ihm auferlegte Kaution nicht innert Frist geleistet hatte und trat folglich androhungsgemäss auf das Ablehnungsbegehren nicht ein. B. Mit Eingabe vom 15. Februar 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) unter anderem an das Bundesgericht und beantragt die Feststellung der Nichtigkeit bzw. die Aufhebung des Beschlusses vom 23. Dezember 2009; unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.