Sachverhalt: A. S._, geboren 1956, arbeitete seit 2000 während ca. 27 Stunden pro Woche im Aussendienst der Q._ AG. In dieser Eigenschaft war sie bei der Allianz Suisse Versicherungen (nachfolgend: Allianz oder Beschwerdeführerin) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 2. Juli 2000 war sie mit einem Ford Focus bei dichtem Verkehr auf der Autobahn A1, als sich im Bereiche eines stationären Radarmessgerätes eine Kolonne bildete und die Versicherte bis zum Stillstand abbremsen musste. Der nachfolgende Lenker eines Peugeot 205 vermochte - trotz Einleitung einer Vollbremsung - nicht mehr rechtzeitig abzustoppen, so dass es zu einer Heckauffahrkollision kam. In der Chirurgischen Notfallstation des Spitals X._ konnten noch am Unfalltag ambulant ossäre Läsionen ausgeschlossen werden. Es wurde einzig eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert. Der ab 5. Juli 2000 nachbehandelnde Hausarzt Dr. med. B._ attestierte der Versicherten ab Unfall eine volle Arbeitsunfähigkeit und ging am 17. August 2000 von einem voraussichtlichen Behandlungsabschluss "in sechs Wochen" aus. Die Allianz übernahm die Heilbehandlung und entrichtete ein Taggeld. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 17. Januar 2005 sprach die Allianz der Versicherten für die ihr dauerhaft verbleibenden unfallbedingten Einschränkungen eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 60 % sowie eine Invalidenrente nach UVG basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 78 % zu; letztere richtete die Allianz mit Wirkung ab 1. Januar 2005 in Ergänzung zu einer Rente der Invalidenversicherung als Komplementärrente von monatlich Fr. 3'046.- aus. Zudem übernahm die Allianz ein Jahres-Fitnessabonnement ab 25. November 2004 sowie für das ganze Kalenderjahr 2005 die Arztkontrollen bei Dr. med. B._ und die Versorgung mit den Medikamenten Inderal, Tonopan und Ponstan. Nach Einsichtnahme in den im Auftrag des Haftpflichtversicherers erstellten Überwachungsbericht vom 27. November 2007 hob die Allianz ihre Rentenleistungen per 31. Januar 2009 auf (Verfügung vom 19. Januar 2009). Laut dieser Verfügung hatte die Invalidenversicherung ihre Rentenleistungen bereits mit Verfügung vom 17. November 2008 rückwirkend ab 1. Juli 2001 eingestellt und die seither zu Unrecht ausgerichteten Leistungen von der Versicherten zurückgefordert. Im Einspracheverfahren veranlasste die Allianz nochmals eine interdisziplinäre Expertise, welche das medizinische Institut Y._ am 14. November 2009 erstattete. Es folgte ein weiterer Schriftenwechsel zur Interpretation der Ergebnisse des Gutachtens des medizinischen Instituts Y._. Am 12. April 2010 kündigte die Allianz der Versicherten eine reformatio in peius an und bot ihr Gelegenheit, die Einsprache innert Frist zurückzuziehen. Nach unbenutztem Fristablauf hielt die Allianz fest, dass sie "in Abänderung der Verfügung vom 19. Januar 2009 [...] sämtliche Versicherungsleistungen per 31. Dezember 2002" rückwirkend einstelle und im Übrigen die Einsprache abweise (Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010). Zudem verfügte die Allianz noch am gleichen 6. Mai 2010 die Rückforderung der seither zu Unrecht erbrachten Rentenleistungen, soweit die Rückforderung hinsichtlich der Rentenbetreffnisse für die Zeitdauer vom 1. Juni 2005 bis 31. Januar 2009 im Umfang von Fr. 136'598.00 noch nicht verjährt waren. B. Gegen den Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010 beantragte S._ beschwerdeweise, die Allianz habe ihr weiterhin die rechtskräftig zugesprochene Invalidenrente auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als es die Einstellung der Invalidenrente aus Unfallversicherung per Ende Oktober 2009 verfügte und die Beschwerde im Übrigen abwies (Entscheid vom 13. April 2011). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Allianz unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin die Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids und die Bestätigung des Einspracheentscheides vom 6. Mai 2010. Während die Versicherte auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.