Sachverhalt: A. Im Rahmen des Scheidungsverfahrens zwischen Z._ (geb. 1935) und Y._ (geb. 1969) ordnete die Instruktionsrichterin des Amtsgerichts Luzern-Stadt, II Abteilung, am 27. Juni 2003 auf Ersuchen des Ehemannes gestützt auf Art. 137 ZGB vorsorgliche Massnahmen an. Sie stellte die Zwillinge der Parteien, X._ und W._ (geb. 1995) unter die Obhut der Gesuchsgegnerin (Ziff. 1), räumte dem Gesuchsteller ein grosszügiges Besuchsrecht ein (Ziff. 2), regelte die Unterhaltspflicht des Gesuchstellers gegenüber der Gesuchsgegnerin und den Kindern (Ziff. 3), verpflichtete ihn dazu, der Gesuchsgegnerin einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen (Ziff. 4) und wies alle weiter gehenden Anträge ab (Ziff. 5). B. In teilweiser Gutheissung eines Rekurses des Gesuchstellers änderte das Obergericht des Kantons Luzern am 18. November 2003 die Ziffern 2 und 3 des erstinstanzlichen Entscheides ab (Ziff. 1). Demnach wird der Gesuchsteller berechtigt, die Kinder bei deren Aufenthalt in der Schweiz in den "langen Wochen" von Mittwochmittag nach der Schule bis Donnerstagmorgen vor Schulbeginn, in den "kurzen Wochen" von Mittwochmittag nach der Schule bis Donnerstagmorgen vor Schulbeginn und von Freitagmittag nach der Schule bis Sonntagmorgen nach dem Frühstück auf eigene Kosten zu besuchen, ferner die Kinder während der Hälfte der Schulferien auf eigene Kosten zu sich zu nehmen. Für den Fall des Aufenthaltes der Kinder in Spanien wird der Gesuchsteller berechtigt, sie während acht Wochen in den Sommerschulferien sowie jährlich alternierend während der Weihnachts- und Osterferien, beginnend frühestens an Ostern 2004, auf eigene Kosten zu sich auf Besuch zu nehmen und sie unter einmonatiger Vorabsprache mit der Gesuchsgegnerin an sechs Wochenenden auf eigene Kosten in Spanien zu besuchen. Der Gesuchsteller wird alsdann verpflichtet, der Gesuchsgegnerin ab dem 1. Januar 2004 folgende monatliche und vorauszahlbare, jeweils am Monatsersten fällige und ab Verfall je zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: Für die Kinder die Kinderrente aus 1. und 2. Säule; für die Gesuchsgegnerin persönlich Fr. 1'800.-- bei einem Aufenthalt in der Schweiz, bzw. Fr. 1'200.-- bis Ende 2004, danach Fr. 1'600.-- bei einem Aufenthalt der Gesuchsgegnerin in Spanien. Im Übrigen wurde der erstinstanzliche Entscheid bestätigt (Ziff. 3 recte 2). C. Der Gesuchsteller führt rechtzeitig staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV sowie Art. 6 EMRK im Wesentlichen mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. November 2003 aufzuheben und der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Bezug auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung schliesst die Gesuchsgegnerin auf Abweisung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. D. Mit Verfügung vom 3. Februar 2004 hat der Präsident der II. Zivilabteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.