Sachverhalt: A. Der 1960 geborene E._ war seit Anfang 2003 als Packereimitarbeiter bei der Firma X._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. Mai 2004 war er mit seinem Motorrad bei starkem Regen auf einer Hauptstrasse unterwegs, als ihm ein aus einer Nebenstrasse kommender Personenwagen den Weg abschnitt, worauf es zur Kollision kam. Der Versicherte wurde an der Unfallstelle bei erheblicher Dyspnoe vom Notarzt der Rega intubiert und anschliessend in die Klinik für Chirurgie, Spitalregion Y._, eingeliefert, wo gleichentags ein operativer Eingriff stattfand (Einlage Bülau-Drainage rechts). Am 23. Mai 2004 wurde er in das Spital Z._ verlegt, wo er bis am 9. Juni 2004 hospitalisiert blieb. Im Austrittsbericht vom 11. Juni 2004 diagnostiziert die Klinik ein Thoraxtrauma mit Rippenserienfraktur rechts, Rippenfraktur I und II links, Lungenkontusion rechts > links, Pneumothorax rechts, ausgedehntem Hautemphysem links thoraco-abdominal, Schultereckgelenkssprengung Typ Tossy IIl, Sensibilitätsstörung am rechten Vorderarm unklarer Ätiologie sowie multiplen Kontusionen an Hüfte rechts, OSG rechts, Vorfuss rechts. Ausserdem wird auf zwei metalldichte Fremdkörper radialseitig zwischen Phalanx Digitus manus III hingewiesen. Wegen fortbestehender Beschwerden im Bereich der rechten Schulter wurde am 18. August 2004 ein operativer Eingriff durchgeführt (offene AC-Revision mit Bothworth-Schraube). Nachdem es zu einem Ausriss der Schraube gekommen war, erfolgte am 31. August 2004 eine erneute Operation (Metallentfernung der Bothworth-Schraube, Reosteosynthese mit 6-Loch-Hakenplatte rechts). Am 10. November 2004 wurde die Metallentfernung vorgenommen. Die SUVA richtete Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeldern aus. Zudem zog sie verschiedene Berichte des Spitals Z._, Klinik für Orthopädie und Traumatologie, bei. Diese Klinik holte ein neurologisches Konsilium vom 14. Oktober 2004 (Spital Z._, Medizinische Klinik, Neurologie und klinische Neurophysiologie) und ein psychiatrisches Konsilium vom 12. November 2004 (Psychiatrische Dienste H._, Externer Psychiatrischer Dienst) ein. Vom 12. Januar bis 16. Februar 2005 hielt sich der Versicherte in der Klinik N._ auf (Austrittsbericht vom 1. März 2005). Im Rahmen dieses Aufenthalts wurden ein psychosomatisches Konsilium vom 18. Januar 2005 sowie ein Bericht des Spitals A._, Radiologisches Institut, vom 28. Januar 2005 eingeholt und ein weiterer operativer Eingriff vom 3. Februar 2005 (Infiltration subacromial Schulter rechts und AC-Gelenk rechts) vorgenommen. Die SUVA zog weitere Berichte der Klinik U._ vom 14. April 2005 und des Dr. med. S._, Facharzt für Allgemeinmedizin, vom 8. Juli 2005 bei. Ausserdem holte sie Stellungnahmen des Kreisarztes Dr. med. J._ vom 13. Juli 2005 und des Dr. med. K._, SUVA-Abteilung Versicherungsmedizin, vom 26. Juli 2005 ein. Ferner tätigte sie erwerbliche Abklärungen. Anschliessend teilte die Anstalt dem Versicherten mit, Taggeld und Heilkostenleistungen würden auf den 31. Januar 2006 eingestellt (Schreiben vom 4. Oktober 2005). Mit Verfügung vom 25. Oktober 2005 sprach die SUVA dem Versicherten ab 1. Februar 2006 eine Rente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 10 % sowie eine Integritätsentschädigung von Fr. 5'340.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 %, zu. Zur Begründung wurde erklärt, der Invaliditätsgrad von 10 % ergebe sich aus den somatischen Befunden, während die überdies bestehenden psychogenen Störungen in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis vom 21. Mai 2004 stünden. An dieser Beurteilung wurde mit Einspracheentscheid vom 18. Mai 2006 festgehalten. Im Verlauf des Einspracheverfahrens liess der Versicherte Berichte des Dr. med. M._, Innere Medizin FMH, vom 9. Februar (mit Beilagen) und 12. März 2006 sowie des Spitals Z._, Medizinische Klinik, vom 21. März 2006 einreichen. B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau im Sinne der Erwägungen teilweise gut. Es wies die Sache zur weiteren Abklärung und zum Neuentscheid an die SUVA zurück (Entscheid vom 6. Dezember 2006). In den Erwägungen hielt das Gericht fest, die psychische Fehlentwicklung sowie die daraus resultierende Arbeitsunfähigkeit stünden in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Mai 2004. Während des Rechtsmittelverfahrens wurden weitere Berichte des Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 6. Juni 2006 und des Spitals Z._, Medizinische Klinik, vom 22. September 2006 aufgelegt. Anlässlich der vom Gericht durchgeführten öffentlichen Verhandlung liess der Beschwerdeführer ausserdem einen Motorrad-Helm einreichen, welchen er beim Unfall getragen habe. C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Der Versicherte und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdegegner liess mit seiner Stellungnahme erneut den bereits der Vorinstanz vorgelegten Helm einreichen.