Sachverhalt: A. X._ (geb. 1961) und Y._ (geb. 1962) sind die Eltern von Z._ (geb. 2002). Die Eltern trennten sich 2007. B. B.a. Am 6. April 2007 wurde der Vater nach einer tätlichen Auseinandersetzung mit der Mutter mit gegenseitig zugefügten Verletzungen aus der ehelichen Wohnung weggewiesen. B.b. Mit Eheschutzentscheid vom 15. Juni 2007 wurde Z._ der Obhut der Mutter anvertraut; dem Vater wurde ein begleitetes Besuchsrecht zugesprochen. B.c. Am 2. Mai 2008 erstattete die Kinderschutzgruppe des Kinderspitals der Vormundschaftsbehörde eine Gefährdungsmeldung. Die Fachleute berichteten, die anscheinend psychisch beeinträchtigte Mutter sei dort aufgetaucht und habe agitiert und bizarr argumentierend verlangt, sie sollten ihr ein Attest ausstellen, dass Z._ seinen Vater nicht mehr sehen müsse. B.d. Am 24. Juli 2008 kam es zu einer Auseinandersetzung auf dem Jugendsekretariat A._, in deren Verlauf die Mutter eine Mitarbeiterin biss. Der herbeigerufene Notfallpsychiater wies die Mutter in die psychiatrische Klinik B._ ein, wobei sie noch gleichentags aus der Klinik entlassen wurde. B.e. Die Parteien leiteten praktisch gleichzeitig ein Scheidungsverfahren ein. Zwei in dieser Zeit nacheinander eingesetzte Beistände berichteten übereinstimmend, sie könnten ihre Aufgabe aufgrund des Verhaltens der Kindsmutter nicht wahrnehmen; diese beschimpfe sie aufs Übelste und Vulgärste und verhindere den Kontakt zum Sohn. Sowohl gegen den Kindsvater (Vorwurf der Kindsmisshandlung; das Verfahren wurde eingestellt) als auch gegen die Prozessbeiständin (wegen "Missbräuchen") leitete die Kindsmutter Strafverfahren ein. C. C.a. Am 25. Juni 2010 ersuchte die Kindsmutter die Vormundschaftsbehörde um Fremdplatzierung von Z._. Für ein Wochenende wurde das Kind im Kinderzentrum C._ untergebracht, wonach sich die Situation beruhigt zeigte. C.b. Am 7. Oktober 2010 alarmierte die Lehrerin des Kindes den Beistand, da dieses nicht zur Schule gekommen war. Nachdem das Kind in die Schule gebracht werden konnte, wurde die Kindsmutter gegen Lehrerinnen tätlich, was einen Polizeieinsatz erforderte. Die Kindsmutter wurde mittels fürsorgerischer Unterbringung in eine psychiatrische Klinik eingewiesen. C.c. Mit Verfügung ebenfalls vom 7. Oktober 2010 wurde ihr die Obhut entzogen und Z._ im geschlossenen Heim D._ platziert. C.d. Mitte Februar 2011 wurde Z._ "auf Zusehen hin" wieder der Obhut der Mutter anvertraut. C.e. Mit Scheidungsurteil vom 31. August 2011 wurden die Kindseltern geschieden. Ihnen wurde die gemeinsame elterliche Sorge belassen. Z._ sollte bei der Mutter wohnen und 14-täglich das Wochenende beim Vater verbringen. C.f. Kurz darauf kam es im Zusammenhang mit der Wochenendbetreuungsregelung zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen den Kindseltern. Die neu ernannte Beiständin verneinte Anzeichen einer Gefährdung von Z._ durch den Vater, indes sei die Mutter "ausser Rand und Band" und wolle jeden Kindeskontakt zum Vater blockieren. D. D.a. Am 9. März 2012 erstattete das Schuldepartement eine weitere Gefährdungsmeldung infolge des Verhaltens der Mutter (allgemeines Misstrauen der Mutter gegen die Fachpersonen, Ausfälligkeiten, Eklat an Eltern-Anlass). D.b. Die Kindsmutter leitete erneut ein Strafverfahren gegen den Vater und weitere Personen ein. Die Polizei meldete der Vormundschaftsbehörde, sie habe merkwürdige und wahnhafte Äusserungen zu Protokoll gegeben. D.c. Am 26. September 2012 erstattete die Kreisschulpflege erneut eine Gefährdungsmeldung; Z._ sei ohne Meldung der Schule fern geblieben. Die Mutter gefährde die Entwicklung des Kindes. Am 6. Dezember 2012 meldete die Kreisschulpflege eine Eskalation der Situation; es müssten gegen die Kindsmutter Massnahmen zum Schutze von Eltern und Lehrern getroffen werden. D.d. Am 21. Dezember 2012 schilderte die Kinderärztin von Z._ der Vormundschaftsbehörde, die Mutter sei nach ihrem Eindruck hoch psychotisch und gefährde das Kind. Bereits früher hatte sie berichtet, Z._ erscheine retardiert. E. E.a. Mit (superprovisorischem) Entscheid vom 30. Januar 2013 befand die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Zürich (nachfolgend KESB), Z._ sei vorsorglich in einer geeigneten Institution unterzubringen. Mit der Platzierung wurde die Beiständin beauftragt, welche Z._ am folgenden Tag in einer Stiftung für Kinder und Jugendliche mit Lernbehinderungen und sozialen Auffälligkeiten unterbrachte. E.b. In der Folge hörte die KESB sowohl die Eltern als auch Z._ persönlich an und bestätigte mit Entscheid vom 7. März 2013 die Platzierung von Z._ im Sinne einer vorsorglichen Massnahme. Die KESB bestellte Z._ einen Kindesvertreter. Der Mutter räumte sie ein begleitetes Besuchsrecht von einer Stunde pro Monat ein. Vor einem definitiven Entscheid seien Abklärungen sowie die Einholung einer Stellungnahme des Kindesvertreters notwendig. E.c. Mit Urteil vom 23. Mai 2013 wies der Bezirksrat Zürich die von der Kindsmutter gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde ab. F. F.a. Am 15. Juni 2013 erhob X._ beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen den Entscheid des Bezirksrats. Sie beantragte, der Obhutsentzug sei aufzuheben, das Kind solle umgehend die Wochenenden und Ferien bei ihr verbringen, die Kontakte zum Vater seien zu sistieren, das Kind sei anzuhören und es sei ein Gutachten einzuholen. Mit Nachtrag vom 30. Juni 2013 verlangte sie die sofortige Rückführung des Kindes zu ihr und seine Einvernahme in ihrem Beisein. F.b. Mit Urteil vom 3. Juli 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Die Gerichtskosten auferlegte es der Beschwerdeführerin; Parteientschädigungen sprach es keine zu. G. X._ (Beschwerdeführerin) zieht das Urteil mit Beschwerde (Eigendatierung: 30. Juli 2013; Postaufgabe: 1. August 2013) an das Bundesgericht weiter. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei kostenfällig aufzuheben und der Junge sei sofort zu seiner Mutter nach Hause zu entlassen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Sachverhaltsfeststellung und zur Kinderanhörung nach Art. 144 ZGB zurückzuweisen. Subeventualiter sei eine unabhängige Kinderexpertise betreffend Obhut, Sorge und Besuchsrecht anzuordnen. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.