Sachverhalt: A. Die 1915 geborene, verheiratete S._ hatte ihren Wohnsitz in X._, Kanton Wallis. Im Juli 2010 trat sie in das Alterszentrum Y._, Kanton St. Gallen, ein und meldete sich am 6. Dezember 2010 beim Einwohneramt an; das Einwohneramt vermerkte den Zuzug per 21. Oktober 2010. Nachdem S._ um Pflegefinanzierung ersucht hatte (Anmeldung vom 31. Dezember 2010; eingegangen bei der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen am 3. Februar 2011), ergab sich zwischen der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen und der Ausgleichskasse des Kantons Wallis eine Kontroverse betreffend Zuständigkeit für die Kostenübernahme. Mit Verfügung vom 5. Juli 2011 verneinte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen ihre Zuständigkeit und trat auf das Gesuch um Pflegefinanzierung nicht ein. B. Hiegegen erhob S._ Beschwerde mit dem Antrag, unter Aufhebung der Verfügung sei die Sozialversicherungsanstalt anzuweisen, auf das Gesuch um Pflegefinanzierung einzutreten. Auch das Gesundheitsdepartement des Kantons Wallis führte Beschwerde mit demselben Rechtsbegehren. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen vereinigte die Verfahren, trat auf die Beschwerden mit Entscheid vom 19. Januar 2012 nicht ein und entschied, diese seien zuständigkeitshalber dem kantonalen Departement des Innern zu überweisen. C. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur (materiellen) Entscheidung. Das Versicherungsgericht und der Kanton Wallis verzichten auf eine Vernehmlassung, S._ und das Departement des Innern des Kantons St. Gallen schliessen auf Gutheissung der Beschwerde.