Sachverhalt: A. Der Kanton Graubünden, vertreten durch die Finanzverwaltung, stellte in der gegen X._ eingeleiteten Betreibung (Nr. 1, Betreibungsamt Bülach) am 21. Januar 2008 beim Bezirksgericht Bülach das Begehren um definitive Rechtsöffnung für die Forderung von Fr. 3'036.-- nebst Zinsen und weiteren Kosten. Der Gläubiger stützte sein Begehren auf das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 17. Oktober 2006, mit welchem dem Betriebenen die Gerichtskosten des Rechtsstreites zwischen ihm und der Wegkorporation B._, C._, auferlegt wurden. Mit Verfügung vom 19. März 2008 erteilte der Einzelrichter des Bezirksgerichts in der Betreibung die definitive Rechtsöffnung. B. Gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhob X._ Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, mit Beschluss vom 29. September 2008 abwies. C. Mit Eingabe vom 12. November 2008 (Postaufgabe) ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt sinngemäss, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und das Begehren um Rechtsöffnung abzuweisen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.