Sachverhalt: A. A.a. Die Ehegatten B._, geb. 1961, und A._, geb. 1970, ersuchten am 16. Mai 2012 für sich und ihre Kinder D._, geb. 1998, und C._, geb. 2000, um Erteilung der eidgenössischen Einbürgerungsbewilligung. Am 14. August 2012 überwies das Gemeindeamt des Kantons Zürich die Gesuchsunterlagen der Gemeinde Weiningen zum Entscheid über die Aufnahme ins Gemeindebürgerrecht. In der Folge lud die Bürgerkommission der Gemeinde Weiningen die Ehegatten A._ und B._ zu einem Gespräch ein, an dem auch die beiden Kinder teilnahmen. A.b. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2012 wies der Gemeinderat Weiningen das Einbürgerungsgesuch der Familie A._, B._, C._ und D._ ab. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, die Bewerber seien nicht in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert und nicht mit den hiesigen Landesgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut; insbesondere seien die Eltern A._ und B._ der deutschen Sprache nur dürftig mächtig und hätten sehr einfache geografische und staatsbürgerliche Fragen nicht in genügender Weise beantworten können. B. Am 27. Februar 2013 wies der Bezirksrat Dietikon einen dagegen erhobenen Rekurs der Familie A._, B._, C._ und D._ ab. C. Mit Urteil vom 26. August 2013 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine dagegen eingereichte Beschwerde ab. Im Wesentlichen wurde dies damit begründet, die Beschwerdeführer hätten sich auf das Einbürgerungsgespräch einstellen und sich rechtsgenüglich zur Sache äussern können. In der Sache sei zwar davon auszugehen, dass auch die Eltern A._ und B._ die deutsche Sprache knapp genügend beherrschten, dass die Familie A._, B._, C._ und D._ insgesamt unter Würdigung der persönlichen Verhältnisse aber nicht genügend in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert sei. D. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht beantragen B._ und A._ sowie ihre Kinder D._ und C._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und dem Einbürgerungsgesuch zu entsprechen; eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Zur Begründung machen sie im Wesentlichen einen Verstoss gegen die Grundsätze eines rechtsstaatlichen Verfahrens geltend, weil sie sich mangels genügender Orientierung nicht korrekt auf das Einbürgerungsgespräch hätten vorbereiten können. E. Die Gemeinde Weiningen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat Dietikon und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.