Sachverhalt: A. Die 1955 geborene S._ ist seit 1. Januar 1998 bei der Assura Kranken- und Unfallversicherung obligatorisch für Krankenpflege versichert. Im Zeitraum April bis Juni 2003 blieb sie die monatliche Prämie von Fr. 160.- schuldig. Nachdem das Vollstreckungsverfahren in einem Pfändungs-Verlustschein vom 14. Oktober 2003 geendet hatte, gelangte die Assura am 16. Oktober 2003 an das Fürsorgeamt der Gemeinde A._ und verlangte, dass diese die ungedeckt gebliebenen Prämien der Grundversicherung samt Mahnspesen und Betreibungskosten von insgesamt Fr. 504.95 übernehme. Die Gemeinde lehnte eine Übernahme der Prämien mit Schreiben vom 22. Oktober 2003 ab, da sie dazu gesetzlich nicht verpflichtet sei, woran sie mit einem weiteren Schreiben vom 6. November 2003 festhielt. Die Wohnsitzgemeinde habe bei Prämienausständen neu die Wahl, entweder die ausstehenden Prämien oder die anfallenden Behandlungskosten zu übernehmen. Aus diesem Grunde lege sich die Gemeinde noch nicht fest, der Assura die Prämien zu vergüten. Auf Ersuchen des Krankenversicherers erliessen die Sozialen Dienste der Gemeinde A._ am 18. Februar 2004 eine beschwerdefähige Verfügung, womit die Übernahme der ausstehenden Prämien abgelehnt wurde. Den von der Assura hiegegen eingereichten Rekurs wies der Gemeinderat A._ mit Entscheid vom 23. März 2004 ab. Die Assura rekurrierte gegen diesen Entscheid beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau. Dieses wies den Rekurs mit Entscheid vom 7. Juli 2006 ab. B. Die gegen diesen Rekursentscheid erhobene Beschwerde mit dem Antrag, die Gemeinde A._ habe die Prämienausstände von S._ während der Wohnsitz- und Aufenthaltsdauer an diesem Ort gemäss Verlustschein in der Höhe von Fr. 504.95 zu übernehmen, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 6. Dezember 2006 ab. C. Die Assura erhebt Beschwerde und erneuert das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren. Das Departement für Finanzen und Soziales schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während die Stadt Amriswil auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Gesundheit äussert sich zum Rechtsstreit, ohne einen Antrag zu stellen.