Sachverhalt: A. Am 9. Februar 2014 fand die eidgenössische Volksabstimmung über die Volksinitiative "Gegen Masseneinwanderung" zur Einführung des neuen Art. 121a BV statt (vgl. BBl 2013 8795). Die definitiven amtlichen Ergebnisse für den Kanton Graubünden wurden im Kantonsamtsblatt Nr. 7 vom 13. Februar 2014 veröffentlicht. Danach wurde die Volksinitiative im Kanton Graubünden mit 35'721 Ja-Stimmen gegenüber 34'889 Nein-Stimmen angenommen. Von den insgesamt eingelegten 71'838 Stimmzetteln waren 511 leer und 717 ungültig. B. B.a. Mit Eingabe vom 13. Februar 2014 erhob Christoph Zehntner Beschwerde gegen das Ergebnis im Kanton Graubünden und beantragte, die Abstimmung für ungültig zu erklären. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, die Abstimmung sei äusserst knapp ausgegangen; es gebe Hinweise dafür, dass dieses Resultat nicht rechtskonform zustande gekommen sei; die Schwierigkeiten bei der Ermittlung des korrekten Ergebnisses in St. Martin/GR seien dafür symptomatisch. Überdies seien grosse Teile der stimmberechtigten Bevölkerung offensichtlich überfordert und durch die demagogische, realitätsfremde Argumentation einiger Befürworter der Volksinitiative hochgradig verwirrt gewesen. B.b. Mit Entscheid vom 25. Februar 2014 wies die Regierung des Kantons Graubünden die Abstimmungsbeschwerde ab. C. Christoph Zehntner führt beim Bundesgericht Stimmrechtsbeschwerde mit dem Antrag, die Abstimmung zur Volksinitiative "Gegen Masseneinwanderung" vom 9. Februar 2014 für ungültig zu erklären. D. Die Regierung des Kantons Graubünden schliesst auf Abweisung der Beschwerde.