(vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsprozess), hat sich ergeben: A.- Mit Verfügung vom 30. August 1996 verpflichtete der Eheschutzrichter des Kantonsgerichtes Schaffhausen Y._, seiner Ehefrau X._ einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- und für jedes der drei gemeinsamen Kinder (geboren am 14. Februar 1991, am 11. Oktober 1992 und am 8. Juni 1995) einen monatlichen Beitrag von Fr. 600.-- inklusive Kinderzulagen zu bezahlen. Auf Klage der Ehefrau X._ schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe am 3. Mai 1999. Y._ focht dieses Urteil hinsichtlich der Nebenfolgen an; das Scheidungsverfahren ist nach wie vor hängig. Y._ ist 1997 und 1999 Vater zweier weiterer Kinder geworden und lebt seit dem 1. Juli 2000 mit deren Mutter zusammen. B.- Auf Gesuch von Y._ setzte das Obergericht den für die Dauer des Scheidungsverfahrens zu leistenden monatlichen Unterhaltsbeitrag an X._ auf Fr. 1'000.-- und jenen an die drei gemeinsamen Kinder auf je Fr. 550.--, inklusive Kinderzulagen, herab. Dieser Beschluss und der in der gleichen Sache nachfolgende wurden auf staatsrechtliche Beschwerde von Y._ aufgehoben. Danach setzte das Obergericht die Unterhaltsbeiträge mit Beschluss vom 19. Oktober 2001 wie folgt fest: - vom 1. Juli 1999 bis 30. Juni 2000 monatlich Fr. 300.-- für X._ und Fr. 500.--, inklusive Kinderzulagen, für jedes der drei Kinder; - vom 1. Juli 2000 bis 28. Februar 2001 monatlich Fr. 153.-- für X._ und Fr. 600.--, inklusive Kinderzulagen, für jedes der drei Kinder; - ab 1. März 2001 monatlich Fr. 300.-- für X._ und Fr. 500.--, inklusive Kinderzulagen, für jedes der drei Kinder. C.- X._ führt gegen diesen Beschluss staatsrechtliche Beschwerde. Sie beantragt, der Beschluss sei aufzuheben, und es sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Der Beschwerdegegner schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, und ersucht ebenfalls um die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht.