Sachverhalt: A. Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin des Grundstücks Parzelle Nr. zzz an der Strasse S._ in A._. Am 2. September 2009 schloss sie mit der X._ GmbH (Beschwerdeführerin) einen "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" zwecks Verkaufs ihrer Liegenschaft in A._ ab. Darin erteilte sie der Beschwerdeführerin "den Alleinauftrag zum Verkauf bzw. zum Nachweis eines Käufers" für die Liegenschaft. Der Verkaufsrichtpreis wurde zunächst auf Fr. 2'420'000.-- festgesetzt. Betreffend die Vergütung der Beschwerdeführerin wurde unter dem Titel "5. Erfolgshonorar" folgendes vereinbart: "Das Erfolgshonorar bei Vermittlung beträgt pauschal CHF 60'000.-- (sechzigtausend Schweizerfranken) inkl. Mehrwertsteuer und ist fällig bei Eigentumsübertragung. Der Auftraggeber verpflichtet sich, der Maklerin das Erfolgshonorar gemäss Abs. 1 hievor zu bezahlen, wenn die Maklerin durch Nachweis des nachmaligen Käufers, Vermittlung oder sonstige Mitwirkung den Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt hat. Das Honorar ist auch geschuldet, wenn der notariell verurkundete Kaufpreis unter dem Verkaufsrichtpreis gem. Ziff. 4 liegt. Ferner ist das volle Honorar verdient und geschuldet wenn: A.) die Maklerin einen abschlusswilligen Kaufinteressenten beigebracht hat und der Auftraggeber (aus welchen Gründen auch immer) nicht mehr verkaufen will; [...]." Nach einer Herabsetzung des Verkaufspreises auf Fr. 1'950'000.-- vereinbarten die Parteien auch eine Reduktion des Erfolgshonorars auf Fr. 40'000.--. Mit einem ersten von der Beschwerdeführerin beigebrachten Interessenten scheiterten die Verhandlungen, da keine Einigung über den Kaufpreis erzielt werden konnte. Danach fand sich mit den Ehegatten C._ ein zweiter Interessent. Diese besichtigten die Liegenschaft und waren auch mit dem Preis von Fr. 1'950'000.-- grundsätzlich einverstanden. Am 11. Oktober 2010 erhielt die Beschwerdeführerin die Finanzierungsbestätigung der Bank der Ehegatten C._. Schliesslich scheiterten jedoch auch diese Verhandlungen, und es kam kein Kaufvertrag zustande. Mit Schreiben vom 28. Oktober 2010 kündigte die Beschwerdegegnerin den "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" per 1. Dezember 2010. Daraufhin stellte die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin ein Honorar von Fr. 40'000.-- in Rechnung. Die Beschwerdegegnerin leistete keine Zahlung. B. Mit Klage vom 8. Juli 2011 beantragte die Beschwerdeführerin dem Zivilgericht Basel-Stadt, die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung von Fr. 40'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu verurteilen. Am 14. März 2012 verurteilte das Zivilgericht die Beschwerdegegnerin, der Beschwerdeführerin Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu bezahlen und wies das weitergehende Klagebegehren ab. Es erkannte, der "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" sei wegen Dissens nicht zustande gekommen. Die Leistungsbeziehung zwischen den Parteien sei nach den Regeln der ungerechtfertigten Bereicherung rückabzuwickeln. Ex aequo et bono habe die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin für deren Leistungen einen Wertersatz von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu leisten. Gegen diesen Entscheid gelangte die Beschwerdegegnerin mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte in der Sache die Abweisung der Klage. Die Beschwerdeführerin erhob Anschlussberufung und begehrte die Gutheissung der Klage. Mit Entscheid vom 29. Juli 2013 hob das Appellationsgericht den Entscheid des Zivilgerichts auf und wies die Klage ab. Es erkannte, dass der "Vermittlungs- und Verkaufsauftrag" vom 2. September 2009 gültig zustande gekommen sei. Indessen seien die Voraussetzungen für den vereinbarten Honoraranspruch der Beschwerdeführerin nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin habe weder gemäss Ziff. 5 Abs. 2 des "Vermittlungs- und Verkaufsauftrags" den Abschluss eines öffentlich beurkundeten Kaufvertrags herbeigeführt noch im Sinne von Ziff. 5 Abs. 3 lit. A einen abschlusswilligen Kaufinteressenten beigebracht, den die Beschwerdegegnerin treuwidrig abgelehnt hätte. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 29. Juli 2013 sei aufzuheben, ihre Klage vom 8. Juli 2011 sei vollumfänglich gutzuheissen und die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung des Honorars von Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2010 zu verurteilen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen und den angefochtenen Entscheid vollumfänglich zu bestätigen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.