Sachverhalt: A. A.a D._ (geb. 1954) war von 1982 bis 1996 als Hilfsmonteur in der Schweiz erwerbstätig. Unter Hinweis auf die gesundheitlichen Folgen eines am 11. Juli 1995 erlittenen Unfalls (Rückenschmerzen, funktionelle Beeinträchtigung des linken Beins) reichte er bei der Invalidenversicherung ein Leistungsgesuch ein. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich bestätigte die ablehnende Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 6. Juli 1998 (Entscheid vom 9. März 2000). Das Eidgenössische Versicherungsgericht (EVG) hiess die dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses bei einer auf Diagnose und Behandlung von Schmerzverarbeitungsstörungen spezialisierten Institution ein Gerichtsgutachten einhole und sodann über die Beschwerde neu entscheide (Urteil I 255/00 vom 6. Februar 2001). Das kantonale Gericht holte zwei psychiatrische Gerichtsgutachten (der Medizinischen Abklärungsstelle [MEDAS] vom 9. Dezember 2002 und der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 10. Oktober 2005) ein und wies die Beschwerde erneut ab (Entscheid vom 22. Februar 2006). Darauf liess sich der Versicherte durch Dr. M._ psychiatrisch begutachten (Expertise vom 27. April 2006). Das EVG bestätigte den kantonalen Entscheid unter Berücksichtigung dieses Parteigutachtens (Urteil I 391/06 vom 9. August 2006). A.b Am 20. Juni und 1. Oktober 2007 meldete sich D._ erneut bei der Invalidenversicherung an und machte eine Verschlechterung seines Gesundheitszustandes geltend. Die nach dem Wegzug des Versicherten nach Spanien neu zuständige IV-Stelle für Versicherte im Ausland trat auf das Gesuch ein und erkannte gestützt auf die eingereichten medizinischen Berichte und auf eine Stellungnahme ihres Service médical vom 1. Juli 2008 und des Regionalen Ärztlichen Dienstes der Invalidenversicherung (RAD) vom 2. Dezember 2008, der Versicherte sei in der Lage, Verweisungstätigkeiten ganztägig auszuüben; eine rentenbegründende Invalidität sei nicht gegeben (Verfügung vom 13. Januar 2009). B. Das Bundesverwaltungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 7. November 2011). C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verwaltung zu verpflichten, ihm eine ganze Rente auszurichten. Es sei eine "korrekte Begutachtung/medizinische Abklärung durchzuführen, in der Schweiz". Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, wozu der Beschwerdeführer Stellung nimmt. Das Bundesamt für Sozialversicherungen und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.