Sachverhalt: A. A.a. Zwischen X._ (geb. 1957) und A._ (geb. 1954) ist seit 2003 ein Scheidungsverfahren hängig. Mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Stadt vom 14. Februar 2006 wurde die Ehe rechtskräftig geschieden. Nachdem das Obergericht des Kantons Luzern (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern) dieses Urteil mit Bezug auf die Scheidungsfolgen aufgehoben hatte, entschied das Amtsgericht darüber mit Urteil vom 14. Mai 2008 neu. Es stellte fest, dass die Parteien güterrechtlich auseinandergesetzt seien. Die während der Ehe angesparten Pensionskassengelder teilte es hälftig und wies die Freizügigkeitsstiftung von A._ an, Fr. 154'507.45 auf ein von X._ zu bezeichnendes Vorsorge- oder Freizügigkeitskonto zu überweisen. Unterhaltsbeiträge sprach es keine zu. A.b. X._ bezieht eine Invalidenrente und hat seit Jahren Wohnsitz in Spanien. B. B.a. Gegen die Verweigerung eines Unterhaltsbeitrags gelangte X._ mit Appellation vom 19. Juni 2008 an das Obergericht; für dieses Verfahren beantragte sie die unentgeltliche Rechtspflege. Im Übrigen erwuchs das Scheidungsurteil des Amtsgerichts vom 14. Mai 2008 (namentlich in Bezug auf das Güterrecht und den Vorsorgeausgleich) am 2. Juli 2008 in Rechtskraft, wie das Kantonsgericht später mit Entscheid vom 24. Oktober 2013 festhielt. B.b. Nach Aufnahme des Appellationsverfahrens unterzeichneten die Rechtsvertreter der geschiedenen Ehegatten eine Vereinbarung über die Unterhaltsfrage. Der damalige Anwalt von X._, B._, war gleichzeitig deren vormundschaftlicher Beistand. Die Vormundschaftskommission C._ genehmigte die Vereinbarung am 14. September 2009. Der Regierungsrat des Kantons Appenzell A. Rh. wies die von X._ dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 29. Juni 2010 ab. B.c. Am 16. März 2011 gelangte X._ mit einem neuen Anwalt, D._, an das Obergericht und setzte sich im Appellationsverfahren gegen den Vergleich zur Wehr. Mit Eingabe vom 8. Juni 2011 beantragte sie (erneut) die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, eventualiter sei A._ zu verpflichten, ihr für das Appellationsverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 10'000.-- zu bezahlen. B.d. Das Obergericht musste zwischen März 2012 und April 2013 aus verschiedenen Gründen mehrmals die bereits angesetzte Instruktionsverhandlung verschieben. So verstarb der Rechtsvertreter von A._. Weiter fanden Vergleichsgespräche zwischen der volljährigen Tochter der Parteien und A._ statt. Nach dem Scheitern dieser Vergleichsverhandlungen nahm das Kantonsgericht das Verfahren wieder auf. C. Mit Entscheid vom 6. Dezember 2013 wies das Kantonsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Appellationsverfahren ab (Ziff. 1) und auferlegte X._ Gerichtskosten von Fr. 500.-- (Ziff. 2). Gleichzeitig forderte es sie unter Androhung der Säumnisfolgen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses für das Appellationsverfahren von Fr. 1'500.-- auf (Ziff. 3). D. D.a. Gegen dieses Urteil gelangt X._ (Beschwerdeführerin), nun vertreten durch Rechtsanwalt Tim Walker, mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 3. Februar 2014 an das Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung von Ziff. 1, 2 und 3 des angefochtenen Urteils. Ihr sei für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen. Nach Zustellung der Akten der Vorinstanz und Einholung der Vernehmlassungen sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen. Ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Sie ersucht zudem um aufsc hiebende Wirkung (betreffend Nichteinforderung von Kostenvorschüssen und Rückzahlung bereits bezahlter Vorschüsse). D.b. Mit Verfügung vom 5. Februar 2014 wurde die Beschwerdeführerin aufgefordert, die fehlende Anwaltsvollmacht nachzureichen. Sie reichte diese und eine weitere Beilage am 21. Februar 2014 ein. D.c. Mit Verfügung vom 4. März 2014 erkannte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu, nachdem die Vorinstanz hiergegen nicht opponiert hatte. In der Sache schloss das Kantonsgericht auf Abweisung der Beschwerde. Die Stellungnahme der Vorinstanz wurde der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt. Mit Schreiben vom 7. und 15. Mai 2014 ersuchte die Beschwerdeführerin um Zustellung der Akten und um Ansetzung einer Frist zur Replik. Den Gesuchen wurdeentsprochen (Präsidialverfügungen vom 12. und 19. Mai 2014). Die Beschwerdeführerin hat innert Frist eine Replikschrift eingereicht und die Akten zurückgesendet.