Sachverhalt: A. Der am 18. Januar 1947 geborene B._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 17. Mai 2012 (eingegangen am 12. Juni 2006) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Am 3. August 2012 verneinte die SAK verfügungsweise einen entsprechenden Anspruch, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde. Indes könnten die AHV-Beiträge auf Gesuch hin rückvergütet werden. Daran hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 1. Oktober 2012 fest. B. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid der SAK vom 1. Oktober 2012 auf und sprach B._ ab 1. Februar 2012 eine ordentliche Altersrente von monatlich Fr. 846.- zu (Entscheid vom 6. März 2013). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 6. März 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 1. Oktober 2012 zu bestätigen. B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.