Sachverhalt: A. X._ (geb. 1978), Staatsangehörige von Ghana, heiratete am 27. September 2001 in der Heimat den in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsmann Y._ (geb. 1959) und erhielt gestützt auf diese Ehe eine Aufenthaltsbewilligung, welche regelmässig verlängert wurde (letztmals bis zum 5. April 2007). Am 20. Februar 2007 ersuchte X._ um Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Dabei gab sie - wie in den zuvor gestellten Verlängerungsgesuchen für die Aufenthaltsbewilligung - an, zusammen mit ihrem Ehemann an der S._strasse in W._ zu wohnen. Erste Abklärungen des kantonalzürcherischen Migrationsamtes bei der Einwohnerkontrolle in W._ ergaben in der Folge, dass der Ehemann dieser Behörde am 5. März 2007 gemeldet hatte, er wohne nicht mehr in ehelicher Wohngemeinschaft, sondern mit der Mutter (Z._, geb. 1980) seines ausserehelichen Kindes B._ (geb. 15. November 2004) an der T._strasse in W._. Schriftliche Anfragen des Migrationsamtes vom 13. März und 26. März 2007 zum Zustand der Ehe liess Y._ unbeantwortet; X._ ihrerseits gab an, ihr Mann habe nur kurz in den Monaten Februar und März 2007 in der Wohnung der Kindsmutter ein Büro gehabt; effektiv habe er aber immer mit ihr - der Ehefrau - an der S._strasse in W._ zusammengelebt. B. In der Folge liess das Migrationsamt die ehelichen Verhältnisse durch die Stadtpolizei W._ abklären. Diese kam - nachdem sich namentlich in der Wohnung an der S._strasse keine Hinweise auf einen männlichen Mitbewohner feststellen liessen - in ihrem Bericht vom 22. November 2007 zum Schluss, es bestünden "begründete Zweifel, dass die eheliche Gemeinschaft der beiden ausgelebt wird". Anlässlich der Kontrolle vom 20. November 2007 hatte die telefonisch kontaktierte Z._ immerhin mitgeteilt, sie wohne nicht mehr mit ihrem Ex-Freund Kwaku zusammen. Y._ selber gab telefonisch zu Protokoll, er lebe immer noch mit seiner Frau zusammen. Nachdem die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Migrationsamt) X._ hierzu das rechtliche Gehör gewährt hatte, wies sie mit Verfügung vom 7. Januar 2008 das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab und verweigerte der Betroffenen den weiteren Aufenthalt im Kanton Zürich. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, es sei davon auszugehen, dass die eheliche Gemeinschaft vorliegend spätestens im Oktober 2004 aufgegeben worden sei. Die gegenteiligen Beteuerungen der Ehefrau seien unglaubhaft, stehe doch fest, dass Y._ auf diesen Zeitpunkt mit Z._ (welche am 15. November 2004 die gemeinsame Tochter B._ geboren habe) die Wohnung an der T._strasse gemietet habe, dort auch angemeldet sei und auch dort wohne. Damit sei der Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung gar nicht entstanden, und der Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung sei erloschen. Der gegen diese Verfügung beim Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rekurs blieb erfolglos (Beschluss vom 13. Mai 2009). C. In der Folge gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und verlangte, es sei ihr "der weitere Aufenthalt zu gestatten". Sie legte neue Beweismittel ins Recht und stellte zahlreiche Beweisanträge (darunter jene auf Befragung des Ehemannes und von Z._, welche wieder verheiratet sei). Auch seien Anwohner und der Freundeskreis des Ehepaars zu befragen. X._ machte geltend, die Ehe habe sich nach den durchgemachten Schwierigkeiten stabilisiert; beide Partner lebten jetzt an der T._strasse in W._ fest als Paar zusammen. Y._ bekenne sich zu seiner Frau und die Ehe werde "intensiv gelebt". Massgebend aber müssten die Verhältnisse sein, "wie sie sich heute erweisen" (S. 9 der Beschwerde an das Verwaltungsgericht). Mit Entscheid vom 9. Dezember 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Auf die beantragten Beweismassnahmen hatte es verzichtet. D. Mit Eingabe vom 15. Februar 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Dezember 2009 sowie die vorangegangenen kantonalen Verfügungen und Beschlüsse aufzuheben. Ihr - der Beschwerdeführerin - sei der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten; eventuell sei die Streitsache zur weiteren Sachverhaltsabklärung zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht, welches Gesuch mit Eingabe vom 19. April 2010 substantiiert wurde. Darin machte die Beschwerdeführerin erstmals geltend, sie sei aktuell von Y._ schwanger. Die Sicherheitsdirektion bzw. der Regierungsrat des Kantons Zürich haben sich nicht vernehmen lassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. E. Mit Verfügung vom 19. Februar 2010 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. F. Mit Eingabe vom 6. September 2010 teilte der Rechtsvertreter von X._ dem Bundesgericht mit, am 26. August 2010 sei das Kind A._ zur Welt gekommen. Als dessen Vater ist im Eidgenössischen Geburtsregister Y._ eingetragen.