Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Motorola Credit Corporation (nachstehend Motorola oder Beschwerdegegnerin), ist eine Tochtergesellschaft der im Telekommunikationsbereich tätigen Motorola Inc., beides Gesellschaften amerikanischen Rechts mit Sitz in den Vereinigten Staaten. Die Muttergesellschaft belieferte die türkische Telsim Mobil Telekomünikasyon Hizmetleri A.S. (nachstehend Telsim) über mehrere Jahre hinweg mit Hardware für deren Mobilfunknetz, die Tochter besorgte Kreditfinanzierungen. Die Telsim ihrerseits ist ein Glied der Rumeli-Gruppe (Rumeli Telefon Sistemleri A.S.), welche von den Mitgliedern der Familie Uzan, darunter auch Cem Cengiz Uzan (Beschwerdeführer), gehalten wird. Im Zusammenhang mit einem in New York angehobenen Zivilprozess erwirkte Motorola am 30. Mai 2002 beim High Court of Justice, Queens's Bench Division, Commercial Court, in London gegen Cem Cengiz Uzan eine Freezing Injunction, womit dessen Vermögenswerte bis zu einem Betrag von 200 Mio. US$ blockiert wurden. Anhang (Schedule) B. Ziff. 7 dieser Verfügung lautet: "The Applicant will not without the permission of the court seek to enforce this order in any country outside England and Wales or seek an order of a similar nature including orders conferring a charge or other security against the Respondent or the Respondent's assets." Am 12. November 2002 änderte der High Court die Injunction soweit hier von Interesse wie folgt ab: "The Applicant will not, without the permission of the Court, seek to enforce this Order in any country outside England and Wales; or (ii) seek an Order of a similar nature (including Orders confirming a charge or other security against the Respondent or the Respondent's assets) from any Court outside England and Wales other than - a) United States District Court for the Southern District of New York, (b) the District Court of Darmstadt, Germany, (c) the Royal Court of Guernsey, Guernsey, (d) the District Court of Zurich, Switzerland, (e) the Tribunal de Commerce in Paris, France." "The Applicant will not, without the permission of the Court, seek to enforce this Order in any country outside England and Wales; or (ii) seek an Order of a similar nature (including Orders confirming a charge or other security against the Respondent or the Respondent's assets) from any Court outside England and Wales other than - a) United States District Court for the Southern District of New York, (b) the District Court of Darmstadt, Germany, (c) the Royal Court of Guernsey, Guernsey, (d) the District Court of Zurich, Switzerland, (e) the Tribunal de Commerce in Paris, France." B. Mit Eingabe vom 12. November 2002 beantragte Motorola dem Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich, den Entscheid des High Court vom 30. Mai 2002 anzuerkennen und vollstreckbar zu erklären. Gleichzeitig stellte sie drei Vollstreckungsbegehren bzw. Begehren um sichernde Massnahmen der Vollstreckung. Mit zwei getrennten Verfügungen vom 20. November 2002 wies der Einzelrichter sämtliche Begehren ab. Auf Rekurs von Motorola hob das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, am 31. März 2003 die Verfügung des Einzelrichters betreffend Anerkennung und Vollstreckbarerklärung auf und erklärte die Freezing Injunction vom 30. Mai 2002 für vollstreckbar. Die weitergehenden Begehren, insbesondere diejenigen auf Anordnung sichernder Massnahmen, wies es ab. Auf Rekurs von Motorola hob das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, am 31. März 2003 die Verfügung des Einzelrichters betreffend Anerkennung und Vollstreckbarerklärung auf und erklärte die Freezing Injunction vom 30. Mai 2002 für vollstreckbar. Die weitergehenden Begehren, insbesondere diejenigen auf Anordnung sichernder Massnahmen, wies es ab. C. Cem Cengiz Uzan führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichts insoweit aufzuheben, als die Freezing Injunction für vollstreckbar erklärt wurde. Motorola schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Ein Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2003 abgewiesen.