Sachverhalt: A. Gemäss Arbeitsvertrag vom 19./28. Mai 2004 war A._ (Arbeitnehmer) bei der Gewerkschaft X._ (Arbeitgeberin) ab dem 1. Juni 2004 zu 100 % als Regionalsekretär mit besonderen Aufgaben für das Regionalbüro Olten angestellt. Am 20. Juni 2007 erarbeitete sein direkter Vorgesetzter zu Handen des Zentralsekretariats ein Konzept für die Region Solothurn, das gemäss dem Wunsch des Arbeitnehmers ab dem 1. Oktober 2007 die Reduktion seines Beschäftigungsgrads auf 50 % vorsah, um ihm die Aufnahme des Rechtsstudiums an der Universität Luzern zu ermöglichen. Ab dem 23. August 2007 war der Arbeitnehmer nach einem Nervenzusammenbruch 100 % arbeitsunfähig. Mit Schreiben vom 22. November 2007 teilte die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer zusammengefasst mit, die Geschäftsleitung habe an ihrer Sitzung vom 3. Juli 2007 seinem Antrag, ab 1. Oktober 2007 seinen Beschäftigungsgrad auf 50 % zu reduzieren, zugestimmt, sei jedoch der Meinung, eine Weiterbeschäftigung als Regionalsekretär zu 50 % mache wenig Sinn. Die Geschäftsleitung habe am 23. August 2007 entschieden, dass der Arbeitnehmer ab 1. Oktober 2007 zu 50 % in Olten beschäftigt bleibe, bis eine andere Lösung innerhalb der Gewerkschaft gefunden werde. Er werde gebeten, der Geschäftsleitung mitzuteilen, wie es sich mit seinem Jusstudium und der Weiterbeschäftigung bei der Gewerkschaft verhalte. Am 4. Dezember 2007 antwortete der Arbeitnehmer, er sei seit dem 23. August 2007 krank und habe keine Mitteilung über den Inhalt des an diesem Tag erfolgten Gesprächs erhalten. Eine Vertragsänderung sei ihm nicht unterbreitet worden. Er würde sich freuen, den Präsidenten der Arbeitgeberin zu treffen, um über seinen Einsatz zu sprechen. Mit Schreiben vom 21. Dezember 2007 teilte die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer mit, da er den Wunsch geäussert, nur noch 50 % zu arbeiten und sich auch an der Universität Luzern für das Jusstudium angemeldet habe, sei er ab 1. Oktober 2007 zu 50 % angestellt. Die Arbeitgeberin werde als Lohnersatz für die Zeit der Krankheit nicht mehr als 50 % bezahlen. Ab Dezember 2007 richtete die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer nur noch 50 % des früheren Lohnes von brutto Fr. 6'356.-- aus. Zusätzlich zahlte sie in den Monaten Januar bis April 2008 noch erhaltene Krankentaggelder aus, was Bruttobeträge von Fr. 5'984.90 (Januar), Fr. 6'234.90 (Februar), Fr. 5'603.80 (März) und Fr. 5'984.90 (April) ergab. Am 19. Mai 2008 schrieb die Arbeitgeberin dem Arbeitnehmer, er sei ihrer Ansicht nach unabhängig von der ärztlich bezeugten Arbeitsunfähigkeit gar nicht Willens, das Arbeitsverhältnis aufrecht zu erhalten. Diesbezüglich werde eine Klage wegen Treupflichtverletzung Klarheit schaffen. Seine Arbeitsunfähigkeit sei zu untersuchen, weil nicht klar sei, ob sie nur seine frühere Tätigkeit als Regionalsekretär oder auch eine andere Tätigkeit, wie sie ihm ab dem 1. Oktober 2007 angeboten worden sei, betreffe. B. Am 22. Juli 2008 belangte der Arbeitnehmer (Kläger) die Arbeitgeberin (Beklagte) beim Amtsgericht von Olten-Gösgen auf Zahlung von Lohn und Genugtuung. Mit Schreiben vom 8. Oktober 2008 erklärte die B._ AG der Beklagten betreffend die Krankheit des Klägers, gemäss ihr vorliegenden Arztberichten sei der Kläger seit dem 18. Januar 2008 in einer anderen Tätigkeit als der bisherigen zu 100 % arbeitsfähig. Die B._ gewähre jedoch eine Übergangsfrist von 3 Monaten, weshalb die Leistungen per 30. April 2008 endeten. Unter Berufung auf dieses Schreiben kündigte die Beklagte dem Kläger mit Schreiben vom 20. Oktober 2008 das Arbeitsverhältnis rückwirkend per 30. April 2008. In der Folge kamen die Parteien überein, dass die Kündigung per 31. Januar 2009 rechtsgültig wurde. Am 10. März 2009 änderte der Kläger seine Rechtsbegehren und verlangte nunmehr die Zahlung von insgesamt Fr. 76'341.75 zuzüglich Zins und die Ausstellung und Aushändigung eines Arbeitszeugnisses und einer Arbeitsbestätigung gemäss Art. 330a OR. Die Geldforderung begründete der Kläger mit ausstehenden Lohnansprüchen für die Zeit vom Dezember 2007 bis Januar 2009 und dem Anspruch auf eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- wegen Verletzung der Fürsorgepflichten im Sinne von Art. 328 OR. Mit Urteil vom 21. April 2009 verpflichtete das Amtsgericht die Beklagte, dem Kläger brutto Fr. 30'835.50 zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 28'602.-- seit 30. September 2008, auf Fr. 2'118.65 seit 30. November 2008 und auf Fr. 264.85 seit 31. Januar 2009 zu bezahlen (Ziff. 1) und dem Kläger ein vorgegebenes Arbeitszeugnis auszustellen (Ziff. 2). Im Übrigen wies es die Klage ab (Ziff. 3), zumal es einen Anspruch des Klägers auf Genugtuung verneinte. Gegen dieses Urteil appellierte die Beklagte beim Obergericht des Kantons Solothurn mit den Begehren, die Lohnforderung des Klägers abzuweisen und im Arbeitszeugnis zu erwähnen, dass der Kläger wegen gesundheitlicher Probleme seine Funktion als Regionalsekretär seit dem 24. August 2007 nicht mehr wahrnehmen konnte. Der Kläger erhob Anschlussappellation mit dem Antrag, das angefochtene Urteil - abgesehen von der Verpflichtung zur Ausstellung des Arbeitszeugnisses - aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm Lohn in der Höhe von Fr. 66'341.75 zuzüglich Zins zu bezahlen. Mit Urteil vom 19. Februar 2010 verpflichtete das Obergericht die Beklagte, dem Kläger aus Arbeitsvertrag brutto Fr. 17'072.65 zuzüglich Zins zu 5 % seit 30. September 2008 zu bezahlen. Daneben sah es vor, dass die Beklagte im auszustellenden Arbeitszeugnis den Satz einfügt: "Wegen gesundheitlichen Problemen konnte A._ seine Funktion als Regionalsekretär seit dem 24. August 2007 nicht mehr wahrnehmen." C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts vom 19. Februar 2010 aufzuheben, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm Fr. 65'273.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 30. September 2008 zu bezahlen und ihm ein Arbeitszeugnis auszustellen, welches seine Krankheit nicht erwähnt und von einer Vollzeitbeschäftigung bis zum 31. Januar 2009 ausgeht. Eventuell sei ein Arbeitszeugnis auszustellen, welches ab dem 1. Dezember 2007 von einem 50%-Pensum ausgehe. Subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.