Sachverhalt: A. Die 1968 geborene B._ durchlief bis 1991 eine Ausbildung zur Kindergärtnerin; 1989 hatte sie eine Karriere als Kunstturnerin aufgrund von Rückenbeschwerden aufgeben müssen. Wegen rezidivierender Erschöpfungszustände konnte sie indessen nie als Kindergärtnerin arbeiten. Im Juni 1994 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Diese richtete B._ für den Zeitraum von Juni 1993 bis Mai 1995 eine befristete ganze Rente aus (Verfügung vom 8. September 1995) und übernahm die Kosten für eine Ausbildung zur Musiklehrerin (Verfügungen vom 18. Juli 1995 und 26. August 1998). Nachdem B._ Mitte 2001 die Umschulung zur Lehrerin für Querflöte infolge von Schmerzen am linken Vorderarm (nach dem Bestehen der Theorieprüfung) abgebrochen hatte, sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich am 10. Dezember 2001 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 85 Prozent mit Wirkung ab Juli 2001 wiederum eine ganze Rente zu. Dieser Leistungsumfang wurde im Rahmen eines Revisionsverfahrens bestätigt (Mitteilung vom 17. März 2003). Im Hinblick auf eine weitere Überprüfung des Rentenanspruchs holte die Verwaltung beim Zentrum X._ ein interdisziplinäres Gutachten ein, welches am 3. April 2007 erstattet wurde. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2007 setzte die IV-Stelle die bisherige ganze Rente unter der Annahme, der Invaliditätsgrad habe sich auf 55 Prozent reduziert, mit Wirkung ab Februar 2008 auf eine halbe herab. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut und sprach der Versicherten mit Wirkung ab Februar 2008 eine Dreiviertelsrente zu (Entscheid vom 29. Juni 2009). C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, über Januar 2008 hinaus eine ganze Rente zuzusprechen. Ausserdem beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.