Sachverhalt: A. Am 25. Juni 2012 ersuchte A._ (geb. 22. Mai 1995), gesetzlich vertreten durch ihren Vater, bei der luzernischen Dienststelle "Berufs- und Weiterbildung, Fachstelle Stipendien" um die Ausrichtung eines Ausbildungsbeitrages für einen Sprachaufenthalt in den USA. Dieser wurde von der "AFS Interkulturelle Programme" organisiert und fand - nachdem A._ ihre obligatorische Schulzeit beendet hatte - von August 2012 bis Juni 2013 statt. A._ lebte dort in einer Gastfamilie und besuchte regelmässig eine lokale Mittelschule. Die Kosten für den Sprachaufenthalt beliefen sich auf Fr. 13'700.--. Am 1. August 2013 hat A._ die dreijährige Berufslehre zur Hotelfachfrau EFZ in Angriff genommen. B. Mit Verfügung vom 5. September 2012 hiess die Fachstelle das Gesuch teilweise gut und gewährte A._ ein Stipendium von Fr. 1'300.--. Gleichzeitig wies sie darauf hin, dass bei der Berechnung der Ausbildungsbeiträge nur die kostengünstigste Ausbildungsvariante berücksichtigt werden könne. In ihrem Fall würden die Ausbildungs- und Lebenshaltungskosten analog dem Besuch der nächstgelegenen öffentlichen Ausbildungsstätte (10. Schuljahr, Luzern) anerkannt. Eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde beim Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern blieb ohne Erfolg, und mit Urteil vom 16. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Luzern die gegen den Departementsentscheid vom 15. April 2013 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. C. Mit Eingabe vom 22. August 2013 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den implizit gestellten Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihr - der Beschwerdeführerin - einen Ausbildungsbeitrag von Fr. 4'900.-- (wie im Falle zweier Kantonsschüler [Gymnasiasten]) zuzusprechen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung eines Rechtsanwalts ersucht. Die Dienststelle Berufs- und Weiterbildung, Fachstelle Stipendien, verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bildungs- und Kulturdepartement schliesst ebenso wie das Kantonsgericht auf Abweisung der Beschwerde.