Sachverhalt: A. A.a Die 1962 geborene S._ arbeitete ab 25. April 1995 als Service-Angestellte in einer Café-Bar. Am 25. Juni 1998 erlitt sie bei der Arbeit einen Unfall. Am 16. Dezember 1998 wurde ihr unter sofortiger Freistellung auf Ende März 1999 gekündigt. Ab 12. April 1999 war S._ arbeitslos gemeldet und bezog Arbeitslosenentschädigung. Ab 23. November 2000 arbeitete sie im Rahmen eines Beschäftigungsprogrammes der Arbeitslosenversicherung im Service eines Restaurants. Am 30. März 2001 stürzte sie auf einem Bahnhofperron, worauf sie sich in ärztliche Behandlung begab. Am 1. April 2001 trat S._ - einen Monat früher als ursprünglich vereinbart - die Stelle als Service-Mitarbeiterin im Restaurant X._ an. Mit Schreiben vom 31. Juli 2001 wurde ihr auf den 18. August 2001 gekündigt. Am 2. August 2001 arbeitete sie letztmals. A.b Am 22. Oktober 2001 meldete S._ bei der Winterthur-Versicherungen einen am 2. August 2001 erlittenen Berufsunfall an. Mangels Nachweis eines Unfalles oder einer unfallähnlichen Körperschädigung im Rechtssinne verneinte der obligatorische Unfallversicherer eine Leistungspflicht, was in dem von der Versicherten angestrengten verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren bestätigt wurde (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 277/03 vom 28. Januar 2004). Im April 2002 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Einholung eines Gutachtens bei der Medizinischen Abklärungsstelle [MEDAS]) sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 26. Mai 2005 aufgrund einer gesundheitlich bedingten Erwerbsunfähigkeit von 55 % rückwirkend ab 1. August 2002 eine halbe Invalidenrente zu. A.c S._ war als Arbeitslose in der Zeit vom 12. April 1999 bis 31. März 2001 bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, im Rahmen ihrer Anstellung im Restaurant X._ ab 1. April 2001 bei der Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge versichert. Diese verneinte mit Schreiben vom 2. Februar 2006 und 11. Juli 2007 eine Leistungspflicht und lehnte die Ausrichtung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge ab. Demgegenüber anerkannte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG ihre Leistungspflicht ("Abrechnung Invalidenrente" vom 24. Juni 2007). B. Am 18. Juli 2007 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge einreichen und zur Hauptsache beantragen, die Beklagte sei zu verpflichten, ab 1. August 2002, eventualiter ab dem Ende der Krankentaggeldberechtigung, eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 55 % gemäss Reglement auszurichten. Das Gericht holte die Klageantwort ein, lud die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zum Verfahren bei und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Weiter holte es u.a. beim Restaurant X._ Beweisauskünfte ein, wozu die Verfahrensbeteiligten Stellung nehmen konnten. Nach einer Referentenaudienz und nach Einsichtnahme in die Akten durch die Beigeladene wies das kantonale Sozialversicherungsgericht mit Entscheid vom 22. September 2009 die Klage ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 22. September 2009 sei aufzuheben und die AXA Stiftung für Berufliche Vorsorge (Rechtsnachfolgerin der Winterthur-Columna Stiftung für berufliche Vorsorge) zu verpflichten, ihr mit Wirkung ab 1. August 2002 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 55 % gemäss Reglement auszurichten, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Die AXA Stiftung für Berufliche Vorsorge beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.