Sachverhalt: A. Das Betreibungsamt Region Solothurn wurde vom Betreibungsamt Böttstein um die Zustellung von zwei Zahlungsbefehlen an je einen Insassen der Strafanstalt A._ ersucht. Es stellte dem ersuchenden Betreibungsamt für die Ausführung der Rechtshilfeaufträge eine Rechnung über je Fr. 38.55, welche dieses in Bezug auf die Zustellungskosten der Post bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn anfocht. Die Beschwerde wurde mit Urteil vom 27. Mai 2013 abgewiesen. B. Das Betreibungsamt Böttstein ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6./10. Juni 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Herabsetzung der Kostenrechnungen um je Fr. 19.55. Die kantonale Aufsichtsbehörde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Betreibungsamt Region Solothurn schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.