Sachverhalt: A. X._ (geb. 1953) und Z._ (geb. 1955) haben am 28. Mai 1982 geheiratet. Sie sind die Eltern der zwischenzeitlich mündigen Kinder S._ (geb. 1984) und T._ (geb. 1987). Nach der Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes Ende 1998/Anfang 1999 mussten die Folgen des Getrenntlebens mehrfach gerichtlich geregelt werden. Am 19. März 2004 klagte X._ beim Kantonsgericht Zug auf Scheidung. Mit Urteil vom 21. November 2007 schied dieses die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen. Soweit hier noch von Interesse, wurde das Begehren der Ehefrau um Ausrichtung eines nachehelichen Unterhalts abgewiesen. B. Gegen dieses Urteil legte die Ehefrau beim Obergericht Zug Berufung ein. Sie beantragte, der Ehemann sei zu verurteilen, ihr monatliche Unterhaltsbeiträge wie folgt zu bezahlen: Fr. 1'500.-- bis zur abgeschlossenen Erstausbildung der (erwachsenen) Kinder, anschliessend Fr. 2'000.-- bis 2. April 2018 und danach lebenslänglich Fr. 1'000.--. Mit Urteil vom 14. September 2010 hiess das Obergericht des Kantons Zug die Berufung teilweise gut; es verpflichtete den Ehemann, der Ehefrau bis zum 31. März 2018 einen jährlich zu indexierenden monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 780.-- zu bezahlen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Oktober 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass er seiner Ehefrau (nachfolgend Beschwerdegegnerin) keinen nachehelichen Unterhalt schulde; ferner seien die oberinstanzlichen Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und ihm für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- zuzusprechen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin. Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.