Sachverhalt: A. Die "Swiss Football League" (SFL), ein Verein im Sinne von Art. 60 ff. ZGB, belegte X._ mit einem Stadionverbot. Dieses untersagt dem Betroffenen den Besuch sämtlicher in den Stadien der SFL-Clubs durchgeführten Wettbewerbs- und Freundschaftsspiele mit Beteiligung eines SFL-Clubs für die Dauer vom 7. Oktober 2007 bis zum 7. Oktober 2010. Die Anordnung nimmt Bezug auf eine Schlägerei mit Aarauer Fans am Bahnhof anlässlich des Fussballmatchs des FC Aarau im Stadion Brügglifeld (Aarau) vom 7. Oktober 2007. B. Im Anschluss an das am 14. März 2009 im Stade de Tourbillon in Sitten ausgetragene Fussballspiel zwischen den Super League Mannschaften FC Sion und FC Basel erliess die Kantonspolizei Wallis gegen X._ am 24. April 2009 ein Rayonverbot für zwölf Monate. Die Verfügung nahm Bezug auf das Verhalten von X._ vom 14. März 2009 um 17.45 Uhr in Sitten, Tourbillonstadion. Sie stützt sich auf Art. 24b und 24g BWIS, Art. 21c VWIS, Art. 2 des kantonalen Ausführungsgesetzes zum BWIS und Art. 292 StGB. Im Einzelnen lautete die Verfügung wie folgt: "Es ist Ihnen untersagt, sich 3 Stunden vor, während und 3 Stunden nach allen sportlichen Veranstaltungen im Wallis, in den auf den folgenden bezeichneten Gebieten (Rayons) aufzuhalten. Dieses Rayonverbot ist für die kommenden 12 Monate ab Datum des Entscheids gültig." Der Plan mit dem Rayonverbot umfasst im Wesentlichen das Gebiet des Bahnhofs und des Stadions Tourbillon in Sitten. Diese (am 15. Mai 2009) zugestellte Verfügung focht X._ bei der öffentlichrechtlichen Abteilung des Kantonsgerichts Wallis mit den Rechtsbegehren an, das Rayonverbot aufzuheben, es evtl. in zeitlicher, räumlicher und sachlicher Hinsicht angemessen zu reduzieren. Das Kantonsgericht wies die Verwaltungsgerichtsbeschwerde am 7. September 2009 ab. Es hielt im Wesentlichen fest, dass das Rayonverbot angesichts des von der SFL ausgesprochenen Stadionverbots rechtens sei und deshalb keine Abklärungen zu den Vorfällen in Sitten vom 14. März 2009 erforderlich seien. Im Übrigen erweise sich das Rayonverbot als verhältnismässig. C. Gegen diesen Entscheid des Walliser Kantonsgerichts hat X._ am 12. Oktober 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und des Rayonverbots, evtl. die Reduktion in zeitlicher, räumlicher und sachlicher Hinsicht, evtl. die Rückweisung der Sache zu neuer Beurteilung durch die Vorinstanz. Im Wesentlichen macht er geltend, die Abweisung seiner Beweisanträge verletze ihn in seinem Anspruch auf rechtliches Gehör und es fehlten die tatsächlichen Voraussetzungen für die Anordnung eines Rayonverbots. Die Kantonspolizei beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.