Sachverhalt: Sachverhalt: A. Das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sprach X._ am 13. Dezember 2006 der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten gemäss Art. 217 StGB, begangen im Zeitraum vom 1. Januar bis 22. April 2004, schuldig und verurteilte ihn zu einer Woche Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren. A. Das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sprach X._ am 13. Dezember 2006 der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten gemäss Art. 217 StGB, begangen im Zeitraum vom 1. Januar bis 22. April 2004, schuldig und verurteilte ihn zu einer Woche Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren. B. X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde, mit welcher er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 13. Dezember 2006 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Obergericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung der Nichtigkeitsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und die Beschwerdegegnerin haben sich innert Frist nicht vernehmen lassen.