Sachverhalt: Sachverhalt: A. Seit 1. Februar 1986 ist A._ (Beschwerdeführer) Mieter einer Vierzimmerwohnung in der Liegenschaft Y._. Vermieterin ist die Liegenschaftenverwaltung der Stadt-Basel (Beschwerdegegnerin). Seit 1. Juli 1995 ist der Beschwerdeführer zusätzlich Mieter von zwei Mansardenzimmern in derselben Liegenschaft. Bei den Mietobjekten handelt es sich um ehemalige Kommunalwohnungen. Die Mieter dieser Wohnungen profitierten unabhängig von ihren finanziellen Verhältnissen von grundverbilligten Mietzinsen. Der aktuelle Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung beträgt Fr. 476.-- und für die beiden Mansardenzimmer je Fr. 75.--. Am 1. Januar 1995 sind das Mietbeitragsgesetz (MBG, SG 890.500) und die Mietbeitragsverordnung (MIVO, SG 890.510) in Kraft getreten. Dadurch änderte sich das System insofern, als jetzt nicht mehr Wohnungen subventioniert werden, sondern die einzelnen Mieter finanzielle Hilfe erhalten, soweit sie diese benötigen. Mit amtlichem Formular vom 11. September 2000 teilte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer eine Erhöhung des Nettomietzinses für die Vierzimmerwohnung per 1. Mai 2001 von Fr. 476.-- auf Fr. 662.-- mit. Die Erhöhung wurde mit einer Anpassung an die orts- und quartierüblichen Mietzinsen begründet. Mit gleicher Begründung wurden auch die Mieten für die Mansardenzimmer von Fr. 75.-- auf je Fr. 121.-- erhöht. Mit amtlichem Formular vom 11. September 2000 teilte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer eine Erhöhung des Nettomietzinses für die Vierzimmerwohnung per 1. Mai 2001 von Fr. 476.-- auf Fr. 662.-- mit. Die Erhöhung wurde mit einer Anpassung an die orts- und quartierüblichen Mietzinsen begründet. Mit gleicher Begründung wurden auch die Mieten für die Mansardenzimmer von Fr. 75.-- auf je Fr. 121.-- erhöht. B. Diese Mietzinserhöhung wurde vom Beschwerdeführer bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten angefochten. Nachdem keine Einigung erzielt werden konnte, erhob die Beschwerdegegnerin beim Zivilgerichtspräsidenten Klage. Mit Urteil vom 12. Juli 2001 wurde festgestellt, dass der Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung mit Wirkung ab 1. Mai 2001 Fr. 662.-- sowie für die beiden Mansarden je Fr. 121.-- jeweils zuzüglich Nebenkosten betrage. Eine vom Beschwerdeführer gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 16. August 2002 gut, hob das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten vom 12. Juli 2001 auf, wies die Klage ab und stellte fest, dass die am 11. September 2000 per 1. Mai 2001 angekündigten Mietzinserhöhungen für die Vierzimmerwohnung und für die beiden Mansarden unzulässig bzw. nichtig seien. Gegen dieses Urteil erhob die Beschwerdegegnerin Berufung ans Bundesgericht und beanstandete die Feststellung der Nichtigkeit der Mietzinserhöhung für die Vierzimmerwohnung; in Bezug auf die Mansardenzimmer blieb das Urteil des Appellationsgerichtes vom 16. August 2002 unangefochten. Mit Urteil vom 31. Januar 2003 hiess das Bundesgericht die Berufung teilweise gut, hob das Urteil des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2002 auf und wies die Sache zur Neuentscheidung ans Appellationsgericht zurück (4C.330/2002, publ. in MRA 2003 S. 39 ff.). Im Anschluss daran hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Beschwerdeführers mit Urteil vom 26. März 2003 teilweise gut und erklärte die Mietzinserhöhungen für die beiden Einzimmerwohnungen bzw. Mansarden für ungültig. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten insoweit bestätigt, als es einen Mietzins ab 1. Mai 2001 von Fr. 662.-- für die Vierzimmerwohnung als nicht missbräuchlich bezeichnete. B. Diese Mietzinserhöhung wurde vom Beschwerdeführer bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten angefochten. Nachdem keine Einigung erzielt werden konnte, erhob die Beschwerdegegnerin beim Zivilgerichtspräsidenten Klage. Mit Urteil vom 12. Juli 2001 wurde festgestellt, dass der Nettomietzins für die Vierzimmerwohnung mit Wirkung ab 1. Mai 2001 Fr. 662.-- sowie für die beiden Mansarden je Fr. 121.-- jeweils zuzüglich Nebenkosten betrage. Eine vom Beschwerdeführer gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 16. August 2002 gut, hob das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten vom 12. Juli 2001 auf, wies die Klage ab und stellte fest, dass die am 11. September 2000 per 1. Mai 2001 angekündigten Mietzinserhöhungen für die Vierzimmerwohnung und für die beiden Mansarden unzulässig bzw. nichtig seien. Gegen dieses Urteil erhob die Beschwerdegegnerin Berufung ans Bundesgericht und beanstandete die Feststellung der Nichtigkeit der Mietzinserhöhung für die Vierzimmerwohnung; in Bezug auf die Mansardenzimmer blieb das Urteil des Appellationsgerichtes vom 16. August 2002 unangefochten. Mit Urteil vom 31. Januar 2003 hiess das Bundesgericht die Berufung teilweise gut, hob das Urteil des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2002 auf und wies die Sache zur Neuentscheidung ans Appellationsgericht zurück (4C.330/2002, publ. in MRA 2003 S. 39 ff.). Im Anschluss daran hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Beschwerdeführers mit Urteil vom 26. März 2003 teilweise gut und erklärte die Mietzinserhöhungen für die beiden Einzimmerwohnungen bzw. Mansarden für ungültig. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten insoweit bestätigt, als es einen Mietzins ab 1. Mai 2001 von Fr. 662.-- für die Vierzimmerwohnung als nicht missbräuchlich bezeichnete. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 13. Juni 2003 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichtes vom 26. März 2003 sei insoweit aufzuheben, als damit seine Beschwerde abgewiesen und das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten in Bezug auf die Vierzimmerwohnung bestätigt worden sei. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. In der gleichen Sache gelangt der Beschwerdeführer auch mit Berufung ans Bundesgericht.