Sachverhalt: A. Der 1946 geborene B._ erlitt am 28. Januar 2000 einen Skiunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Ab 1. Oktober 2001 bezog B._ eine halbe und ab 1. April 2002 eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung (IV). Die SUVA stellte ihre Leistungen mit Verfügung vom 9. März 2005 und Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2005 auf den 1. April 2005 ein, da die noch bestehenden Beschwerden nicht unfallbedingt seien. Das wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 13. Dezember 2006 bestätigt. B._ erhob Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses gelangte zum Ergebnis, die noch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden seien natürlich und adäquat kausal auf den Unfall vom 28. Januar 2000 zurückzuführen. Den adäquaten Kausalzusammenhang prüfte das Bundesgericht, ausgehend von einer beim Unfall erlittenen HWS-Distorsion ohne organisch nachweisbare Unfallfolgeschäden, nach der sog. Schleudertrauma-Praxis. Es hiess die Beschwerde gut, hob den Einsprache- sowie den kantonalen Entscheid auf und wies die Sache an den Unfallversicherer zurück, damit dieser über den Leistungsanspruch des Versicherten ab 1. April 2005 neu verfüge (Urteil U 63/07 vom 7. Februar 2008). Die SUVA traf erwerbliche Abklärungen und holte ein neurologisches Gutachten vom 22. Februar 2010 (mit Ergänzung vom 12. Mai 2010) ein. Mit Verfügung vom 10. August 2010 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen des Unfalls rückwirkend ab 1. April 2005 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % zu. Einspracheweise beantragte B._, es sei eine ganze Rente auszurichten. Nachdem zwischenzeitlich das Urteil BGE 136 V 279 ergangen war, gelangte die SUVA zur Auffassung, zur Frage der Überwindbarkeit der Beschwerden sei eine psychiatrische Begutachtung erforderlich. Sie hielt daran trotz der von B._ wiederholt geäusserten Einwände fest und gab die Expertise am 24. Oktober 2011 bei den Universitären Psychiatrischen Kliniken X._ in Auftrag. B._ unterzog sich der Abklärung am 15. Februar 2012. B. Am 15. Mai 2012 reichte B._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Rechtsverzögerungsbeschwerde ein. Er beantragte, die SUVA sei anzuweisen, unverzüglich im Sinne des bundesgerichtlichen Rückweisungsurteils vom 7. Februar 2008 über die gegen die Verfügung vom 10. August 2010 erhobene Einsprache zu entscheiden. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 7. November 2012 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen und sein vorinstanzliches Rechtsbegehren erneuern. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie legt hiebei das ihr zwischenzeitlich am 22. November 2012 zugegangene, mit dem Tag der Untersuchung vom 15. Februar 2012 datierte Gutachten der Universitären Psychiatrischen Kliniken X._ auf. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde.