Sachverhalt: A. Am 4. November 2005 stellte die Y._ Stiftung in Basel ein generelles Baubegehren für ein Projekt mit zwei Gebäudekörpern, die je drei Eigentumswohnungen beinhalten. Mit "Vorentscheid Generelles Baubegehren Nr. G-BBG 9'009'545 vom 23. Mai 2006" beantwortete das Bauinspektorat des Kantons Basel-Stadt verschiedene von der Bauherrschaft gestellte Fragen grundsätzlich positiv im Sinne einer Bewilligungserteilung. Namentlich wurde in Ziff. 15 des Vorentscheides Folgendes entschieden: "Der Waldabstandsunterschreitung auf 12.00 m bei Haus Nr. 27 kann zugestimmt werden." Der Vorentscheid enthält zahlreiche Hinweise, Empfehlungen und Auflagen. Gegen diesen Vorentscheid rekurrierten A.X._ und B.X._ gestützt auf § 32 Abs. 2 der Bau- und Planungsverordnung des Kantons Basel-Stadt vom 19. Dezember 2000 (BPV BS, SG 730.110) i.V.m. § 92 Abs. 1 des Bau- und Planungsgesetzes des Kantons Basel-Stadt (BPG BS, SG 730.100) bei der kantonalen Baurekurskommission. Diese wies den Rekurs am 29. November 2006 kostenfällig ab. B. Daraufhin gelangten die Ehegatten X._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel Stadt als Verwaltungsgericht und stellten Antrag auf Aufhebung des Entscheides der Baurekurskommission. Überdies verlangten sie, das generelle Baubegehren und das Gesuch um eine Ausnahmebewilligung zur Verringerung des Waldabstandes seien abzuweisen. Nach Durchführung eines Augenscheins wies das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht den Rekurs mit Urteil vom 7. November 2007 ab. C. Mit Eingabe vom 13. März 2008 ans Bundesgericht führen A.X._ und B.X._ gegen das kantonale Urteil vom 7. November 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragen dessen Aufhebung. Das generelle Baubegehren und das Gesuch um Ausnahmebewilligung für eine Verringerung des Waldabstandes für den Neubau von zwei Wohnhäusern mit Einstellhalle an der Eichhornstrasse 25 und 27 vom 4. November (Kantonsblatt vom 16. September 2005 S. 1641) seien abzuweisen. Zudem ersuchen die Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Auf Seite 5 ihrer dem Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift bringen sie unter Ziffer 10 folgende Klarstellung an: "Mit vorliegender Beschwerde rügen die Beschwerdeführer indes ausschliesslich die unrechtmässige Unterschreitung des Waldabstands durch das Bauvorhaben der Beschwerdegegnerin." Die Y._ Stiftung als private Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde mangels Legitimation der Beschwerdeführer nicht einzutreten. Eventualiter sei die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen und es seien das angefochtene Urteil, die generelle Baubewilligung und die Ausnahmebewilligung für eine partielle Unterschreitung des Waldabstandes zu bestätigen. Das kantonale Bauinspektorat verzichtet auf eine Stellungnahme, während das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht unter Hinweis auf das angefochtene Urteil auf Abweisung der Beschwerde schliesst. In seiner Stellungnahme vom 18. Juni 2008 erklärt das Bundesamt für Umwelt (BAFU), aus seiner Sicht sei die Unterschreitung des Waldabstandes nicht zu beanstanden. Die Beteiligten haben Gelegenheit erhalten, sich zur Eingabe des BAFU zu äussern. Sie haben sinngemäss an ihren Standpunkten festgehalten. Mit Verfügung vom 24. April 2008 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.