Sachverhalt: A. A.a. Nach mündlichen Verhandlungen unterzeichnete die BVG-Sammelstiftung Q._ am 17. November 2004 die ab 1. Januar 2005 gültige Anschlussvereinbarung mit der X._ AG. Arbeitnehmer der Firma waren gemäss der Pensionskassen-Offerte vom 21. Oktober 2004 C._ sowie A._ und B._. Am 19. Dezember 2004 unterzeichnete auch B._ namens der X._ AG den Vertrag. Im Begleitschreiben vom selben Tag hielt sie u.a. fest: "Erwähnt sei, dass die wirtschaftlich verbundene Einzelunternehmung Y._ diesem Vertrag ebenfalls angeschlossen ist. Dieses Schreiben sowie Ihr Schreiben vom 17. November 2004 erachten wir als integrierender Vertragsbestandteil." A.b. Nachdem A._ am 29. März 2005 arbeitsunfähig geworden war, meldete er sich im Dezember 2005 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Mit Entscheid vom 24. Juli 2012 stellte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in Abänderung der Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 23. September 2009 fest, dass er ab 1. März 2006 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung habe. A.c. Mit Schreiben vom 26. Juni 2008 löste die BVG-Sammelstiftung Q._ das Anschlussverhältnis mit der X._ AG auf Ende des Jahres auf. Vorausgegangen waren Differenzen in Bezug auf die Höhe des versicherten Lohnes von A._ sowie hinsichtlich der Prämienausstände, weswegen die Vorsorgeeinrichtung am 22. Juni 2010 eine Betreibung einleitete. Dagegen erhob die Firma Rechtsvorschlag. B. B.a. Am 2. März 2011 erhob die BVG-Sammelstiftung Q._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die X._ AG (Verfahren BV.2011.00020). Diese reichte am 19. Oktober 2011 ihre Klageantwort ein. Am 25. Oktober 2012 erhob A._ gegen die BVG-Sammelstiftung Q._ Klage (Verfahren BV.2012.00090), mit welcher er im Wesentlichen höhere Rentenzahlungen beantragte. Mit Eingabe vom 5. Dezember 2012 nahm die Sammelstiftung Stellung zur Klageantwort der X._ AG, wobei sie ihr Begehren in der Klage vom 1. März 2011 masslich abänderte. Mit Eingabe vom 21. Januar 2012 sodann beantwortete sie die Klage von A._. B.b. Mit Verfügung vom 22. Januar 2013 vereinigte das kantonale Sozialversicherungsgericht die beiden Verfahren. In ihren weiteren Rechtsschriften hielten die Parteien im Wesentlichen an ihren Anträgen fest, wobei die X._ AG klarstellte, dass der in der Klageantwort vom 19. Oktober 2012 geltend gemachte Betrag von Fr. 12'000.- für ausserordentliche Aufwendungen als widerklageweise geltend gemacht zu betrachten sei. In seinem Entscheid vom 20. September 2013 erkannte das kantonale Sozialversicherungsgericht Folgendes: "Es wird davon Vormerk genommen, dass die BVG-Sammelstiftung Q._ nach Klageeingang eine Rentennachzahlung von Fr. 17'443.50 geleistet hat. In diesem Umfang wird die Klage von A._ als teilweise erledigt abgeschrieben. 1. In teilweiser Gutheissung der Restklage von A._ wird die BVG-Sammelstiftung Q._ verpflichtet, diesem eine Rentennachzahlung von Fr. 15'292.93 zu leisten zuzüglich Verzugszins von 5 % auf Fr. 32'736.43 vom 25. Oktober bis 9. November 2012 und auf Fr. 15'292.93 ab dem 10. November 2012, und es wird - unter dem Vorbehalt zukünftiger Teuerungsanpassungen - festgestellt, dass A._ ab 1. Oktober 2012 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente in der Höhe von monatlich Fr. 809.25 sowie auf eine Kinderrente von monatlich Fr. 161.85 zuzüglich 5 % Verzugszins ab Fälligkeit der jeweiligen Rentenbetreffnisse hat. 2. Die Klage der BVG-Sammelstiftung Q._ wird in dem Sinne gutgeheissen, dass die X._ AG verpflichtet wird, (...) Beiträge in der Höhe von Fr. 4'321.24 sowie ausserordentliche Aufwendungen von Fr. 300.- zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % auf Fr. 4'723.49 vom 23. Juni 2010 bis 19. Oktober 2012 und auf Fr. 4'321.24 ab 20. Oktober 2012. In diesem Umfang wird der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. ... (...; Zahlungsbefehl vom ...) aufgehoben. 3. Die Widerklage der X._ AG wird abgewiesen. 4.-6. (...)." C. A._ und B._ haben namens der 'Vorsorgekasse Z._, c/o X._ AG' Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben mit folgenden Rechtsbegehren: "I. Hauptbegehren : Es sei das angefochtene Urteil zur Neubeurteilung im Sinne der nachstehenden Eventualanträge und Begründungen an die Vorinstanz zurückzuweisen und der Vorsorgekasse Z._ eine Parteikostenentschädigung von Fr. 12'000.- und A._ eine solche von Fr. 3'000.- zuzusprechen, dies unter Kostenfolge zu Lasten der BVG-Sammelstiftung Q._. "II. Eventualanträge : (...) 1. Es sei die BVG-Sammelstiftung Q._ zu verpflichten, dem Beschwerdeführer A._ für die Zeit vom 29.03.2007 bis 30.09.2012 eine Rentennachzahlung von Fr. 65'653.78 zuzüglich Zins von 5 % auf Fr. 83'097.28 vom 25. Oktober bis 9. November 2012 und auf Fr. 65'653.78 ab dem 10. November 2012 zu leisten, und es sei - unter dem Vorbehalt zukünftigen Teuerungsanpassungen - festzustellen, dass A._ ab 1. Oktober 2012 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente in der Höhe von monatlich Fr. 1'411.85 sowie auf eine Kinderrente von monatlich Fr. 282.37 zuzüglich 5 % Verzugszins ab Fälligkeit der jeweiligen Rentenbetreffnisse hat; ferner sei A._ eine Parteikostenentschädigung von Fr. 3'000.- zuzusprechen, dies alles unter Kostenfolge zu Lasten der BVG-Sammelstiftung Q._. 2. Es sei festzustellen, dass die Vorsorgekasse Z._ im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils ihre Beitragspflicht gegenüber der BVG-Sammelstiftung Q._ vollumfänglich erfüllt hat, und es sei deshalb Ziff. 2 des vorinstanzlichen Urteils, worin die X._ AG [recte 'Vorsorgekasse Z._'] verpflichtet wurde, der BVG-Sammelstiftung Q._ Beiträge von Fr. 4'321.24 samt Zins und ausserordentlichen Aufwendungen zu zahlen, aufzuheben und es sei stattdessen die BVG-Sammelstiftung Q._ zu verpflichten, der 'Vorsorgekasse Z._' eine Entschädigung für Parteikosten von Fr. 12'000.- zu zahlen; ferner sei die Betreibung Nr. 68788 vom 23. Juni 2010 zurückzuziehen, dies alles unter Kostenfolge zu Lasten der BVG-Sammelstiftung Q._." Die BVG-Sammelstiftung Q._ beantragt die Abweisung der Beschwerde ausgenommen von Ziff. 2.1, soweit darauf einzutreten sei, und die Zusprechung einer Parteientschädigung in richterlich zu bestimmender Höhe. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Eingabe vom 19. März 2014 hat die 'Vorsorgekasse Z._, c/o X._ AG' Bemerkungen zur Vernehmlassung der BVG-Sammelstiftung Q._ gemacht.