A.- Der 1942 geborene K._ war seit dem 1. Mai 1995 bei der Firma Postauto X._ aushilfsweise als Chauffeur angestellt. Am 3. Dezember 1996 löste die Firma das Arbeitsverhältnis auf Ende Februar 1997 auf. Daraufhin sah sich der Versicherte seinerseits veranlasst, den Arbeitsvertrag am 4. Dezember 1996 mit sofortiger Wirkung zu beendigen. Mit Verfügung vom 5. März 1997 stellte die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau K._ wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 6. Dezember 1996 für die Dauer von 45 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein. B.- Eine dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung mit Entscheid vom 30. Oktober 1998 ab. C.- K._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie der Verfügung vom 5. März 1997; eventuell sei der frühere Arbeitgeber zur Nachzahlung eines Monatslohnes zu verpflichten. Während die Kasse auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, hat das Bundesamt für Wirtschaft und Arbeit (seit 1. Juli 1999 Staatssekretariat für Wirtschaft) auf eine Vernehmlassung verzichtet. D.- Die kantonale Rekurskommission hat im Leitfall B. (C 189/99), in welchem am 29. Oktober 1999 das zur Publikation vorgesehene Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts erging, mit Vernehmlassung vom 24. August 1999 zum Umstand Stellung genommen, dass der Kommissionssekretär in zahlreichen Fällen nicht bei der Beschlussfassung mitgewirkt und den Kommissionsentscheid nicht mitunterzeichnet hat. Auf die Ausführungen der Rekurskommission wird in den nachstehenden Erwägungen eingegangen.