Sachverhalt: A. Anlässlich von drei in den Jahren 1991, 1999 und 2003 erlittenen Arbeitsunfällen zog sich A._ (Jg. 1967) Verletzungen der rechten Hand zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), welche jeweils Taggelder ausgerichtet hatte und für die Heilbehandlung aufgekommen war, sprach ihm mit Verfügung vom 9. Januar 2008 nebst einer Entschädigung für eine 5%ige Integritätseinbusse rückwirkend ab 1. Januar 2007 eine auf drei Jahre befristete Invalidenrente auf der Grundlage einer 10%igen Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit zu. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die gegen den Zeitpunkt des Fallabschlusses und - eventualiter - gegen die Rentenfestsetzung gerichtete Beschwerde, soweit es darauf eintrat, mit Entscheid vom 27. November 2009 ab und hob gleichzeitig - nach erfolgter Ankündigung einer in Betracht fallenden Schlechterstellung (reformatio in peius) - den angefochtenen Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008 unter Verneinung jeglichen Rentenanspruchs auf. C. A._ lässt beschwerdeweise beantragen, die SUVA sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheids zu verpflichten, ihm über den 1. Januar 2007 hinaus Taggelder zu bezahlen und die Heilungskosten zu übernehmen; eventuell seien ihm diese Leistungen bis 31. Dezember 2006 zu gewähren und für die Zeit danach eine unbefristete Invalidenrente auf der Basis einer 30%igen Erwerbsunfähigkeit zuzusprechen. Nebst einem die Eintretensfrage im vorinstanzlichen Verfahren betreffenden formellen Antrag für den Fall einer Rückweisung an das kantonale Gericht ersucht er zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.