Sachverhalt: A. Am 24. September 2008 benachrichtigte A._, Gesellschafter und einzelzeichnungsberechtigter Geschäftsführer der Y._ GmbH (mit Sitz in B._), das Richteramt Solothurn-Lebern (Zivilabteilung), dass die Gesellschaft überschuldet sei. Mit Urteil vom 30. Oktober 2008, 14 Uhr, eröffnete der Amtsgerichtspräsident über die Y._ GmbH zufolge Überschuldung den Konkurs. Gegen das Konkursdekret erhob X._, Gesellschafterin und einzelzeichnungsberechtigte Geschäftsführerin der Y._ GmbH, am 10. November 2008 Rekurs. B. Mit Urteil vom 23. März 2009 trat das Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn auf den Rekurs nicht ein und setzte den Zeitpunkt der Eröffnung des Konkurses über die Y._ GmbH auf den 23. März 2009, 11 Uhr, fest. C. X._ führt mit Eingabe vom 31. März 2009 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil und die Konkurseröffnung seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege. Die Y._ GmbH als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Konkursamt verlangt in einer unaufgefordert eingereichten Vernehmlassung im Wesentlichen die Abweisung der Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 22. April 2009 wurde der Beschwerde im Sinne der Erwägungen aufschiebende Wirkung zuerkannt.