Sachverhalt: A. Mit Zahlungsbefehl vom 21. November 2013 setzte der Kanton Zürich gegen X._ für den Betrag von Fr. 583.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 22. Februar 2013 die Zwangsvollstreckung in Gang (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts A._). Die Betreibungsforderung fusst auf einem rechtskräftigen Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich vom 21. Februar 2013. Für die Erledigung eines Ermächtigungsverfahrens waren X._ eine Staatsgebühr von Fr. 500.-- und eine Schreibgebühr von Fr. 75.-- auferlegt worden (vgl. Urteil 1C_357/2013 vom 23. Oktober 2013). Auf der entsprechenden Rechnung vom 22. Februar 2013 kamen noch Portokosten von Fr. 8.-- dazu. B. Im Rechtsöffnungsverfahren hielt das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, am 11. Februar 2014 eine Verhandlung ab. Einen "Nachtrag zur mündlichen Stellungnahme", den X._ gleichentags abschickte, berücksichtige das Gericht in seinem Urteil vom 11. Februar 2014 nicht. Es erteilte dem Kanton Zürich für Fr. 575.-- nebst Zins zu 5 % seit 21. November 2013 die definitive Rechtsöffnung, auferlegte X._ die Gerichtskosten von Fr. 150.-- und wies seinen Antrag auf Parteientschädigung ab. Auch X._s Armenrechtsgesuch war kein Erfolg beschieden. C. Erfolglos wandte sich X._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies seine Beschwerde am 23. Juni 2014 sowohl hinsichtlich der definitiven Rechtsöffnung als auch mit Bezug auf die Verweigerung des Armenrechts ab (Ziffer 7). Abgewiesen wurden auch die Begehren um Sistierung des Verfahrens (Ziffer 1), um Wiederherstellung der Beschwerdefrist zur Beschwerdeergänzung (Ziffer 2), um vorgängige Bekanntgabe der am Beschwerdeentscheid mitwirkenden Gerichtspersonen (Ziffer 5) und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Ziffer 6). Weiter hatte X._ gegen Ersatzrichter B._ und Gerichtsschreiberin C._, die am erstinstanzlichen Verfahren beteiligt waren, ein Ausstandsbegehren gestellt. Das Obergericht wies dieses Begehren ab (Ziffer 3). Auf ein Ausstandsbegehren betreffend Oberrichterin D._, Oberrichter E._ und Oberrichterin F._ sowie Gerichtsschreiberin G._ trat das Obergericht nicht ein (Ziffer 4). D. D.a. Mit einer als "Beschwerde in Zivilsachen und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" betitelten Eingabe vom 3. August 2014 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In Ziffer 1 seiner Anträge stellt er das Begehren, die Nichtigkeit des Urteils "und/oder" die Unzuständigkeit des Obergerichts festzustellen und dessen Entscheid aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zwecks Erlass einer anfechtbaren Verfügung betreffend Kostenerlass bzw. -stundung zuständigkeitshalber an den Kanton Zürich (Beschwerdegegner) zu überweisen und das Verfahren bis zum Ausgang des Verfahrens betreffend Kostenerlass bzw. -stundung zu sistieren. Subeventualiter habe das Bundesgericht "darüber vorfrageweise selber zu befinden, allenfalls den Beschwerdegegner zu hören, weshalb er diesbezüglich dem Beschwerdeführer das Recht verweigert". Im Sinne eines Eventualantrags zu Ziffer 1 verlangt der Beschwerdeführer, die Ziffern 1-3, 5-8 sowie 10 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben und dem Beschwerdegegner die Rechtsöffnung nicht zu erteilen; eventualiter sei die Sache zur Neubegründung und -eröffnung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter beantragt der Beschwerdeführer, Ziffer 4 des angefochtenen Entscheids betreffend das Ausstandsbegehren gegen die Gerichtspersonen am Obergericht (s. Bst. C) aufzuheben und festzustellen, dass auf die Ausstandsbegehren zu Unrecht nicht eingetreten wurde. Zugleich verlangt er, das obergerichtliche Urteil wegen Befangenheit der am Entscheid beteiligten Gerichtspersonen (Oberrichterin D._, Oberrichter H._, Ersatzoberrichter I._ und Gerichtsschreiberin J._) aufzuheben und "an ein unbefangenes (ausserkantonales) Gerichtspersonen-Kollegium zu weisen". D.b. Mit Verfügung vom 4. August 2014 wies die II. zivilrechtliche Abteilung das Sistierungsgesuch (Bst. D.a) sowie die Gesuche um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen ab. Zugleich wurde der Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass eine Beschwerdeergänzung binnen der gesetzlichen Beschwerdefrist zu erfolgen hätte. D.c. In einer zusätzlichen Eingabe vom 11. August 2014 sandte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Arztzeugnis gleichen Datums zu. Er sei zu 100 % arbeitsunfähig, weshalb sein "Wiederherstellungsgesuch" immer noch aktuell sei. Weiter bemängelt der Beschwerdeführer, dass die Verfügung vom 4. August 2014 (Bst. D.b) weder in der gesetzmässigen Form als Verfügung des Instruktionsrichters erlassen noch von einem Gerichtsschreiber unterzeichnet worden und deshalb nichtig sei. Eine letzte Eingabe erfolgte am 4. September 2014. D.d. Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.