hat sich ergeben: A.- Im Restaurant/Dancing "B._" (im Folgenden nur: "B._") in C._ wurde im Jahre 1990 ein Nachtclubbetrieb mit Striptease-Shows aufgenommen. Am 29. Mai 1995 eröffnete das Amtsstatthalteramt Sursee gegen den Geschäftsführer des "B._", D._, eine Strafuntersuchung wegen Verdachts auf Förderung der Prostitution sowie weiterer Delikte und nahm ihn in Untersuchungshaft. Die Verteidigung von D._ wurde gleichentags von seinem Schwager, Rechtsanwalt A._, für rund drei Wochen übernommen. D._ machte in der Untersuchung geltend, es sei in den Séparées des "B._" zu keinen sexuellen Handlungen gekommen; jedenfalls habe er jeweils anfangs Monat die Tänzerinnen darauf hingewiesen, dies sei verboten. A._ wurde in diesem Zusammenhang verdächtigt, die beiden Kellner des Restaurants "B._", E._ und F._, am 9. Juni 1995 in der Wohnung des Personalhauses des "B._" zu einer falschen Zeugenaussage angestiftet zu haben. Am 14. oder 15. Juni 1995 soll er überdies den Kellner E._ dazu verleitet haben, die Tänzerin G._ zu einer falschen Zeugenaussage zu veranlassen. F._ und E._ wurden vom Kriminalgericht des Kantons Luzern am 25. bzw. am 26. April 1996 wegen falschen Zeugnisses bzw. E._ überdies wegen Anstiftung zu falschem Zeugnis zu 7 bzw. 8 Monaten Gefängnis bedingt verurteilt. Der Amtsstatthalter von Sursee verurteilte ferner G._ mit Strafverfügung vom 26. Januar 1996 wegen falschen Zeugnisses zu drei Monaten Gefängnis bedingt. B.- Am 30. Juni 2000 sprach das Kriminalgericht des Kantons Luzern A._ der mehrfachen Anstiftung zu falschem Zeugnis nach Art. 307 Abs. 1 StGB i.V.m. Art. 24 Abs. 1 StGB sowie der mehrfachen Geldwäscherei nach Art. 305bis Ziff. 1 StGB schuldig. Es verurteilte A._ zu einer bedingt vollziehbaren Strafe von 16 Monaten Gefängnis und zu einer Busse von Fr. 10'000.--. Hiergegen appellierte A._ beim Obergericht des Kantons Luzern. Dieses sprach ihn mit Urteil vom 24. April 2001 vom Vorwurf frei, F._ zu falschem Zeugnis angestiftet zu haben, weil ihm keine Gelegenheit eingeräumt wurde, Fragen an den Belastungszeugen F._ zu stellen, und dessen Aufenthaltsort unbekannt war. Im Übrigen bestätigte es den Schuldspruch hinsichtlich der mehrfachen Anstiftung zu falschem Zeugnis und der Geldwäscherei. Es bestrafte A._ mit einer bedingt vollziehbaren Strafe von 14 Monaten Gefängnis und einer Busse von Fr. 10'000.--. C.- A._ erhob gegen dieses Urteil, soweit darin der Schuldspruch wegen mehrfacher Anstiftung zu falschem Zeugnis bestätigt wurde, staatsrechtliche Beschwerde. Er rügt, das Obergericht habe Beweise willkürlich gewürdigt (Art. 9 BV) und den Grundsatz "in dubio pro reo" (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sowie den Anspruch auf Befragung von Belastungszeugen (Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK) verletzt. D.- Das Obergericht beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Amtsstatthalteramt Sursee hat sich nicht vernehmen lassen. E.- Mit Verfügung vom 30. August 2001 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.