Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 3. Juli 2003 hat der Appellationshof (I. Zivilkammer) des Kantons Bern die letzte strittige Frage im Scheidungsverfahren zwischen S._ und Y._ bereinigt und festgehalten, das in Bagur (Spanien) gelegene Grundstück Nr. ... des Grundbuchs Palafrugell gehöre zur Errungenschaft von S._ und dieser werde verpflichtet, Y._ zur güterrechtlichen Auseinandersetzung bezüglich dieser Liegenschaft 2,5 Mio. Pesetas (Fr. 23'315.--) zu zahlen. S._ stellte mit Eingabe vom 10. November 2003 beim Appellationshof ein Gesuch um Neues Recht, verbunden mit einem Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Die Referentin des Appellationshofes (II. Zivilkammer) wies das Armenrechtsgesuch durch Entscheid vom 8. März 2004 ab. Die Referentin des Appellationshofes (II. Zivilkammer) wies das Armenrechtsgesuch durch Entscheid vom 8. März 2004 ab. B. Hiergegen führt S._ mit Eingabe vom 16. April 2004 staatsrechtliche Beschwerde und macht Verletzungen von Art. 29 Abs. 3 BV (Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege) und Art. 9 BV (willkürliche Beweiswürdigung) geltend. Sein Begehren um Erlass vorsorglicher Verfügungen hat der Präsident der erkennenden Abteilung am 22. April 2004 abgewiesen. Mit Eingabe vom 21. April 2004 hat der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nachgesucht. Eine Vernehmlassung zur Beschwerde ist nicht eingeholt worden.