Sachverhalt: A. Die Orange Communications SA (nachfolgend: Orange) plant im Ortsteil Freidorf der Politischen Gemeinde Roggwil, Kanton Thurgau, die Erstellung einer Mobilfunkanlage (UMTS). Der vorgesehene Standort befindet sich östlich einer bestehenden Gewerbebaute auf der Parzelle Gbbl. Nr. 61. Diese Parzelle liegt gemäss Zonenplan der Gemeinde Roggwil in der Gewerbezone. Während der öffentlichen Auflage des Bauvorhabens vom 15. Januar bis 5. Februar 2007 gingen verschiedene Einsprachen - unter anderem eine Kollektiveinsprache mit 377 Unterzeichnenden - ein. Mit Entscheid vom 27. März 2007 hiess der Gemeinderat Roggwil die Einsprachen teilweise gut und verweigerte die Erteilung der Baubewilligung. Einen von Orange erhobenen Rekurs hiess das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) mit Entscheid vom 23. Juli 2007 gut und wies die Gemeinde Roggwil an, die Baubewilligung zu erteilen. Dagegen führten die Gemeinde Roggwil einerseits sowie das Ehepaar A.a._ zusammen mit 34 weiteren Parteien andererseits Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Verwaltungsgericht - nach Durchführung zweier Lokalaugenscheine - die Beschwerden ab. Auf eine vom Ehepaar A.a._ sowie 32 weiteren Parteien eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_200/2008 vom 28. November 2008 mit der Begründung nicht ein, es liege ein nicht anfechtbarer Zwischenentscheid vor. Der erneut mit der Sache befasste Gemeinderat Roggwil hiess am 18. März 2009 die Einsprachen wiederum teilweise gut und verweigerte die Erteilung einer Baubewilligung. Am 19. August 2009 hiess das DBU einen von Orange erhobenen Rekurs gut, soweit darauf eingetreten werden konnte. Die Sache wurde mit der Anweisung an den Gemeinderat Roggwil zurückgewiesen, die Baubewilligung zu erteilen. Dagegen reichten die Interessengemeinschaft ohne Mobilfunk in Freidorf (IGOMF) sowie das Ehepaar A.a._ und 31 weitere Parteien Beschwerde beim Verwaltungsgericht ein. Mit Entscheid vom 24. Februar 2010 wies dieses die Beschwerde ab, wobei der IGOMF wegen fehlender eigener Rechtspersönlichkeit die Beschwerdeberechtigung abgesprochen wurde. Diesen Entscheid fochten das Ehepaar A.a._ sowie 51 weitere Personen mit Beschwerde beim Bundesgericht an, welches darauf mit derselben Begründung wie beim Urteil vom 28. November 2008 nicht eintrat (Urteil 1C_230/2010 vom 7. Dezember 2010). Mit Entscheid vom 12./26. Januar 2011 erteilte die Gemeinde Roggwil unter Auflagen die Baubewilligung für die geplante Mobilfunkantenne und wies die Einsprachen ab. Den dagegen erhoben Rekurs wies das DBU mit Entscheid vom 4. April 2012 ab, wobei es die Legitimation verschiedener Rekurrenten verneinte. Diesen Entscheid zogen das Ehepaar A.a._ sowie 52 weitere Beteiligte, darunter die IGOMF, mit Beschwerde vom 25. April 2012 an das Verwaltungsgericht weiter. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Februar 2013 ab, soweit es darauf eintrat. B. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts führen die im Rubrum aufgeführten Personen mit Eingabe vom 19. April 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen in der Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Entscheide des DBU und des Gemeinderats Roggwil. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragen sie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, die Beschwerdeergänzung nach Zustellung aller relevanten Akten sowie die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels und eines Augenscheins. Mit Verfügung des Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 21. Mai 2013 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Die Gemeinde Roggwil verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das DBU, die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Umwelt BAFU kommt in seiner Vernehmlassung vom 4. Juli 2013 zum Schluss, der angefochtene Entscheid stehe in Einklang mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Replik vom 10. Januar 2014 an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.