Sachverhalt: A. A._ sowie ihre Söhne X._, B._ und C._ sind die gesetzlichen Erben des am 28. Dezember 1977 verstorbenen Giangiacomo Landolt. In seinem Testament vom 18. Mai 1977 hielt der Erblasser fest, dass die drei Söhne zur Erbfolge berufen seien und der Ehefrau die Nutzniessung am gesamten Nachlass zukomme. Y._ wurde zum Willensvollstrecker ernannt. Er nahm das Mandat an, worauf ihm im Anschluss an die Testamentseröffnung ein Willensvollstreckerzeugnis ausgestellt wurde. B. Am 16. Juli 2012 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich gegen Y._ als Willensvollstrecker eine Beschwerde. Er verlangte Auskunft über einen näher bezeichneten Kaufvertrag, die Anordnung disziplinarischer Massnahmen zur Sicherung des Nachlasses, ein Verfügungsverbot betreffend die vom Kaufvertrag erfasste Liegenschaft und eine diesbezügliche Grundbuchsperre. Mit Verfügung vom 20. November 2012 trat der Einzelrichter im summarischen Verfahren auf die Beschwerde mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein, auferlegte X._ die Gerichtskosten von Fr. 8'580.-- und verpflichtete ihn zur Leistung einer Parteientschädigung von Fr. 4'610.-- an Y._. C. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von X._ gegen die bezirksrichterliche Verfügung erhobene Beschwerde am 5. Februar 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Es setzte die zweitinstanzlichen Gerichtskosten auf Fr. 8'000.- fest. Eine Parteientschädigung an Y._ wurde nicht zugesprochen. D. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. März 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils einschliesslich der (erstinstanzlichen) Gerichtskosten von Fr. 8'580.-- und der Parteientschädigung von Fr. 4'610.--. Die Gerichtskosten des Bezirksgerichts von Fr. 8'580.-- seien Y._ (Beschwerdegegner) aufzuerlegen, welcher nur ihm eine angemessene Parteientschädigung zu leisten habe. Die Gerichtskosten des Obergerichts von Fr. 8'000.-- seien ebenso dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. Es sei festzustellen, dass das Bezirksgericht es in seinem Urteil zu Unrecht unterlassen habe, zu entscheiden, dass der Beschwerdegegner nicht mehr Willensvollstrecker des Nachlasses D._ sei bzw. es sei festzustellen, dass der Beschwerdegegner nicht mehr Willensvollstrecker des Nachlasses D._ sei. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. E. Mit Verfügung des instruierenden Mitgliedes vom 26. April 2013 ist das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung hinsichtlich der dem Beschwerdegegner zugesprochenen Parteientschädigung abgewiesen worden. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.