Sachverhalt: A. Am 23. Juni 2011 erstattete X._ Strafanzeige gegen die Y._ AG bzw. gegen deren Organe. Am 3. Januar 2012 erledigte die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri die Anzeige mittels Nichtanhandnahmeverfügung. Eine vom Anzeiger dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, am 30. April 2012 ab. B. Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte der Anzeiger mit Beschwerde vom 18. Mai 2012 an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Einleitung einer Strafuntersuchung. Der Beschwerdeführer reichte (am 5., 7. und 12. Juni 2012) unaufgefordert weitere Eingaben ein. Die beanzeigte private Beschwerdegegnerin beantragt mit Stellungnahmen vom 31. Mai bzw. 14. Juni 2012 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet. Der Beschwerdeführer replizierte am 7. Juli 2012. Am 7. und 17. September 2012 reichte er unaufgefordert weitere Eingaben ein.