Sachverhalt: A. Im Urteil 5A_817/2011 vom 23. Januar 2012 auferlegte das Bundesgericht X._ Gerichtskosten von Fr. 1'000.--. Diesen Betrag setzte die Schweizerische Eidgenossenschaft, handelnd durch die Kasse des Schweizerischen Bundesgerichtes, nach erfolgter Mahnung mit Zahlungsbefehl vom 22. November 2012 in Betreibung (Betreibung Nr. xxx des Beitreibungsamts A._). Dagegen erhob X._ Rechtsvorschlag. Mit Urteil vom 10. Juli 2013 erteilte das Bezirksgericht Bülach der Schweizerischen Eidgenossenschaft für Fr. 1'000.-- nebst 5 % Zins seit 1. April 2012 sowie für die Betreibungskosten und die vorgeschossenen Kosten und den Entschädigungsanspruch die definitive Rechtsöffnung. B. Gegen das Urteil des Bezirksgerichts Bülach erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 10. September 2013 nicht auf die Beschwerde ein. C. C.a. X._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 16. Oktober 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt zusammengefasst, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vollumfänglich aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung in einem ordentlichen Verfahren direkt an die kantonale Erstinstanz zurückzuweisen. Zudem sei der Rechtsöffnungsrichter anzuweisen, für das Rechtsöffnungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 117 ff. ZPO zu gewähren. In prozessualer Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer die Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das bundesgerichtliche Verfahren. Zudem verlangt er, dass ihm "vorgängig aller prozessualen Handlungen" die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt gegeben werde. Das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 5. November 2013 abgewiesen. C.b. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Es hat ferner die Akten des Finanzdienstes des Bundesgerichts im Zusammenhang mit dem Inkasso im Verfahren 5A_817/2011 beigezogen. Trotz eines entsprechenden Gesuchs, welches das Bundesgericht positiv beantwortet hatte, nahm der Beschwerdeführer keine Einsicht in die dem Bundesgericht vorliegenden Akten. C.c. Im Übrigen hat das Bundesgericht B._ ein weiteres Mal (vgl. zuletzt das Urteil 5A_365/2013 vom 13. Juni 2013 E. 1) darauf hingewiesen, dass er vor Bundesgericht nicht als Vertreter bzw. Bevollmächtigter des Beschwerdeführers handeln könne und diesbezüglich eine Verletzung von Art. 33 Abs. 2 BGG im Raum stehe. In seiner Stellungnahme vom 9. Februar 2014 machte B._ geltend, dass er nicht gebüsst werden könne. Er verstosse nicht gegen das "Anwaltsmonopol". Vielmehr habe er mit seiner Eingabe vom 16. Oktober 2013 "den mit dieser Sache fachlich offensichtlich völlig überforderten Beschwerdeführer lediglich bei der Anhebung der Verfassungsbeschwerde ... verbeiständigt und folgerichtig für das bundesgerichtliche Verfahren einen patentierten Rechtsanwalt für seine effektive Vertretung beantragt." Vor diesem Hintergrund verzichtet das Bundesgericht auf eine Sanktion.