Sachverhalt: A. Das Ehepaar R._, unter dem altrechtlichen ordentlichen Güterstand der Güterverbindung lebend, schloss am 1. September 1976 einen Ehevertrag, welcher regelte, dass der ganze güterrechtliche Vorschlag dem überlebenden Ehegatten zufallen soll (aArt. 214 Abs. 3 ZGB). Gemäss Steuerinventar belief sich am 29. Juli 1984, dem Todestag des Ehemannes, das Reinvermögen auf Fr. 641'017.55; davon machte der Vorschlag Fr. 636'017.55 aus, das Eigengut des Ehemannes betrug Fr. 5'000.-. Laut dem zwischen der Witwe und den drei Nachkommen abgeschlossenen Erbteilungsvertrag vom 27. Oktober 2002 sind die güterrechtlichen Auszahlungsansprüche der Ehegatten nicht geltend gemacht worden und daher verjährt; der Vertrag sieht die Aufteilung des gesamten Nachlasses auf die drei Nachkommen vor, belastet mit der Nutzniessung am ganzen Nachlass zugunsten der Witwe. Am 21. November 2002 stellte R._ ein Gesuch zum Bezug von Zusatzleistungen zur AHV/IV. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich wies das Begehren mit Verfügung vom 21. Januar 2005 für die Zeit ab November 2002 ab, da die Einnahmen die Ausgaben wegen eines anzurechnenden Vermögensverzichts übersteigen würden. Die dagegen eingereichte Einsprache wies das Amt für Zusatzleistungen mit Entscheid vom 23. Januar 2007 ab. Die gegen diesen Entscheid erhobene Einsprache an den Bezirksrat Zürich wies dieser mit Beschluss vom 15. November 2007 ab. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die Beschwerde der R._ gegen diesen Beschluss in dem Sinne gut, dass der Beschluss des Bezirksrates Zürich vom 15. November 2007 aufgehoben und die Sache an das Amt für Zusatzleistungen zurückgewiesen wurde, damit es den Anspruch auf Zusatzleistungen mit Wirkung ab 1. November 2002 im Sinne der Erwägungen neu prüfe und darüber verfüge (Entscheid vom 31. Januar 2010). C. Die Stadt Zürich, Amt für Zusatzleistungen, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei festzustellen, dass R._ mit dem Abschluss des Erbteilungsvertrags vom 27. Oktober 2002 auf Vermögen im Umfang von rund Fr. 920'000.- verzichtet habe und ihr für die Zeit ab Anmeldung zum Bezug von Zusatzleistungen zur AHV im November 2002 bis zum Januar 2009 keine Zusatzleistungen auszurichten sind. R._ beantragt Abweisung der Beschwerde, Vorinstanz, Bezirksrat und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.