Sachverhalt: A. Mit Verfügungen vom 31. März und 12. April 2010 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1971 geborenen D._ ab 1. April 2008 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 49 % eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (nebst drei Kinderrenten) zu. B. D._ liess Beschwerde erheben und begehren, es sei ihr eine Dreiviertels-, eventuell eine halbe Rente zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragte vernehmlassungsweise, unter Abweisung der Beschwerde sei festzustellen, dass die Versicherte keinen Rentenanspruch habe. In teilweiser Gutheissung des eingelegten Rechtsmittels sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab 1. April 2008 eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 11. Mai 2012). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe. D._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen.