Sachverhalt: Mit Verfügung vom 6. Februar 2001, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 26. Juli 2001, stellte die "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: WINTERTHUR oder Beschwerdegegnerin), bei welcher die 1952 geborene E._ in ihrer Eigenschaft als Teilzeit-Kinderbetreuerin für F._ obligatorisch gegen Berufsunfälle versichert war, die aus dem Berufsunfall vom 4. Oktober 1999 zu erbringenden Leistungen per 4. Januar 2000 ein. Die hiegegen erhobene Beschwerde der E._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 4. Juni 2003 ab. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt E._ sinngemäss unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids und des Einspracheentscheids beantragen, die WINTERTHUR habe ihr weiterhin "über den 4. Oktober 2000 hinaus" die gesetzlichen Leistungen für das versicherte Unfallereignis zu erbringen, und es sei ihr in der Person ihres Rechtsvertreters die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren. Während die WINTERTHUR auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), auf eine Vernehmlassung.