Sachverhalt: A. Z._ ist Eigentümer des direkt am See liegenden und mit einem Chalet überbauten Grundstücks Nr. 223 in der Gemeinde Weggis. Er beabsichtigt, das Chalet abzubrechen und an dessen Stelle ein neues Einfamilienhaus zu bauen. Auf ein entsprechendes Baugesuch von Z._ hin erteilte die Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) des Kantons Luzern die raumplanungsrechtliche Ausnahmebewilligung für das Bauvorhaben auf dem ausserhalb der Bauzone liegenden Grundstück. Daraufhin erteilte der Gemeinderat Weggis die Baubewilligung und wies gleichzeitig die von X._, Eigentümer des Grundstücks Nr. 694, sowie Y._, Eigentümer des Grundstücks Nr. 731, gegen das Baugesuch erhobenen Einsprachen ab. B. Gegen den abweisenden Entscheid des Gemeinderats Weggis gelangten X._ und Y._ am 3. Dezember 2008 gemeinsam mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses trat mit Urteil vom 30. September 2009 mangels Legitimation der Beschwerdeführer nicht auf die Beschwerde ein. C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern erhoben X._ und Y._ am 11. November 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zur Neubeurteilung. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Z._ und unter Hinweis auf das angefochtene Urteil das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. D. Die eingegangenen Stellungnahmen wurden den Beschwerdeführern zur Kenntnisnahme zugestellt.