Sachverhalt: A. Die Strafkammer des Kantonsgerichts Glarus verurteilte P._ am 4. November 2009 erstinstanzlich wegen Raubes und anderer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten. In diesem Verfahren war der Beschuldigte von Rechtsanwalt Daniel Althaus amtlich verteidigt. B. Rechtsanwalt Daniel Althaus erhob am 15. Januar 2010 im Namen von P._ rechtzeitig Appellation und focht das erstinstanzliche Urteil in sämtlichen Punkten an. Rechtsanwalt S._ von Zürich erkundigte sich am 22. Januar 2010 nach der Möglichkeit eines Wechsels der amtlichen Verteidigung, wies auf das gestörte Vertrauensverhältnis zwischen P._ und seinem bisherigen Vertreter hin und stellte am 2. Februar 2010 ein entsprechendes Gesuch. Der Obergerichtspräsident verfügte in der Folge am 18. Februar 2010, dass das Ersuchen von Rechtsanwalt S._ um Einsetzung als amtlicher Verteidiger von P._ abgewiesen werde und dass Rechtsanwältin Bettina Dürst-Hunziker in ihrer Funktion als gewählte öffentliche Verteidigerin mit der Verteidigung des Beschuldigten im Appellationsverfahren beauftragt werde. C. Gegen diese Verfügung des Obergerichtspräsidenten haben P._ (Beschwerdeführer 1) und Rechtsanwalt S._ (Beschwerdeführer 2) beim Bundesgericht am 22. März 2010 subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, allenfalls die Einsetzung von S._ als amtlicher Verteidiger von P._. Überdies ersucht P._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Beschwerdeführer 1 macht im Wesentlichen Verletzungen von Art. 8 Abs. 2 und Art. 29 Abs. 3 BV, Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK und Art. 14 Abs. 1 und 3 UNO-Pakt II geltend. Der Beschwerdeführer 2 bezieht sich auf die Wirtschaftsfreiheit gemäss Art. 27 BV. Die als Verteidigerin eingesetzte Rechtsanwältin Bettina Dürst-Hunziker und das Obergericht haben auf Vernehmlassungen verzichtet.