Sachverhalt: A. X._ erstattete am 15. September 2005 Strafanzeige und Strafantrag gegen einen Dritten wegen diverser Delikte und konstituierte sich gleichzeitig als Privatkläger. Gegen den Angezeigten wurde eine gerichtliche Strafverfolgung wegen versuchter Erpressung (evtl. Nötigung), Sachentziehung (evtl. unbefugter Datenbeschaffung) und übler Nachrede (evtl. Verleumdung) eröffnet. Aufgrund der mit der Strafanzeige eingereichten Belege geriet X._ selber in Verdacht der ungetreuen Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung. Anlässlich der Einvernahme vom 13. November 2007 war neben dem Untersuchungsrichter auch der Polizeibeamte Y._ anwesend. X._ stellte gegen beide Beamte ein Ablehnungsgesuch, da sie bereits mit dem Strafverfahren gegen den angezeigten Dritten befasst seien. Wegen des Zusammenhangs zwischen den beiden Strafverfahren, an denen X._ einmal als Anzeiger bzw. Privatkläger, einmal als Angeschuldigter beteiligt ist, dürften die Beamten im Verfahren gegen X._ nicht mitwirken. B. Mit Beschluss vom 5. Februar 2008 trat die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, das Ablehnungsbegehren werde mit Umständen begründet, die X._ bereits seit längerer Zeit bekannt seien. Die Ablehnung sei verspätet; überdies müsse ihr die juristische Ernsthaftigkeit abgesprochen werden. C. X._ führt mit Eingabe vom 10. März 2008 Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, der Nichteintretensentscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Ausstandsbegehren gegen die beiden abgelehnten Beamten gutzuheissen. Zur Begründung wird ausgeführt, an der Einvernahme vom 13. November 2007 sei X._ von der Anwesenheit des Polizeibeamten überrascht worden, der beabsichtigt habe, X._ zu befragen. Damit hätten die Beamten die Vorschrift umgehen wollen, wonach die Befragten bei polizeilichen Befragungen erklären können, dass sie nur bereit sind, vor der Untersuchungsbehörde auszusagen (Art. 208 Abs. 2 kantonales Gesetz über das Strafverfahren, StrV/BE). Im Zusammenwirken der beiden Beamten anlässlich der Einvernahme vom 13. November 2007 liege der eigentliche Ausstandsgrund. Daher hätte die Anklagekammer auf das Ablehnungsbegehren eintreten müssen. D. Die beiden abgelehnten Beamten haben je auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Anklagekammer beantragt Beschwerdeabweisung.