Sachverhalt: A. Der 1962 geborene B._ war vom 1. April bis 31. Dezember 2005 als ... bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft tätig und aufgrund dieses Arbeitsverhältnisses bei der Vorsorgeeinrichtung 1 der Zürich Versicherungs-Gruppe (nachfolgend: Zürich Pension) berufsvorsorgerechtlich versichert. Im Januar 2006 bezog B._ Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2007 sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Aargau ab 1. Januar 2007 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Die IV-Behörden gingen davon aus, dass B._ seit dem 1. Januar 2006 praktisch vollständig arbeitsunfähig war. Seine Beschwerde mit dem Antrag auf Ausrichtung der IV-Rente bereits ab Oktober 2006 (zufolge Eröffnung der einjährigen Wartezeit schon am 26. Oktober 2005) wurde vom Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 21. Mai 2008 abgewiesen. Während die Stiftung Auffangeinrichtung BVG (nachfolgend: Auffangeinrichtung) B._ ab 1. Januar 2007 eine Invalidenrente aus der obligatorischen beruflichen Vorsorge für arbeitslose Personen zusprach, lehnte die Zürich Pension ihrerseits jegliche Pflicht zur Ausrichtung vorsorgerechtlicher Invalidenleistungen ab. B._ sei bei Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit am 1. Januar 2006 nicht mehr bei ihr, sondern - als Bezüger von Arbeitslosenentschädigung - bei der Auffangeinrichtung vorsorgeversichert gewesen. B. Die am 25. November 2008 gegen die Zürich Pension eingereichte Klage, mit welcher B._ die "obligatorischen und allfälligen überobligatorischen Pensionskassenleistungen analog dem IV-Entscheid seit dem 1. Januar 2007 in der Höhe von Fr. 25'959.- pro Jahr samt 5 % Zins ab den jeweiligen Fälligkeiten inklusive Prämienbefreiung" beantragt hatte, wurde vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. August 2010 abgewiesen. C. Mit Beschwerde ans Bundesgericht lässt B._ seinen vorinstanzlichen Antrag erneuern, wobei er den geltend gemachten Zins nicht mehr beziffert. Überdies lässt er um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung) ersuchen. Die Zürich Pension schliesst auf Abweisung der Beschwerde; weil diese leichtsinnig und mutwillig erhoben worden sei, beantragt die Vorsorgeeinrichtung zudem eine Parteientschädigung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels haben sich die Parteien zur Frage des genauen Datums des erstmaligen Bezugs eines Taggeldes der Arbeitslosenversicherung im Januar 2006 geäussert.