Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 6. Mai 2004 sprach die IV-Stelle des Kantons Solothurn dem 1964 geborenen S._ ab 1. September 2000 eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad 50 %) zu. Mit Verfügung vom 6. Februar 2007 gewährte sie ihm ab 1. März 2006 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %), nachdem sie u.a. ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. K._, vom 28. Juli 2006 eingeholt hatte. Im September 2010 leitete sie eine weitere Revision ein und zog Gutachten der Psychiaterin Frau Dr. med. H._, vom 10. August 2011 sowie des Dr. med. L._, FMH Innere Medizin und Rheumaerkrankungen, vom 17. August 2011, Berichte der Psychiatrischen Dienste, vom 6. und 22. März 2012 sowie eine Stellungnahme ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 15. Mai 2012 bei. Vom 2. April bis 21. April 2012 war der Versicherte in den Psychiatrischen Diensten hospitalisiert (Austrittsbericht vom 26. Juni 2012). Mit Verfügung vom 21. August 2012 hob die IV-Stelle die Invalidenrente nach Zustellung der Verfügung auf Ende des folgenden Monats auf. B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Verfügung der IV-Stelle vom 21. August 2012 auf (Entscheid vom 7. Oktober 2013). C. Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde; ferner verlangt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Beschwerdegutheissung. Am 17. März 2014 reichte der Versicherte eine Stellungnahme ein. D. Mit Verfügung vom 20. März 2014 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.