Sachverhalt: A. Der 1951 geborene B._, als Managing Director in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 19. April 1999 einen Verkehrsunfall. Die linke vordere Ecke des von ihm gelenkten Oldsmobile kollidierte beim Einbiegen in eine Strasse mit einem vorbeifahrenden Lieferwagen. Der anderntags aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) bei vorbestehender Bewegungseinschränkung und bestätigte eine hälftige Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt. Am 17. Mai 1999 nahm der Versicherte die Arbeit wieder vollumfänglich auf. Am 29. September 1999 konnte gemäss Hausarzt die Heilbehandlung abgeschlossen werden. Die Elvia erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 11. April 2000 meldete der Hausarzt der Elvia immer wieder auftretende Verspannungszustände im Bereich des cervicothoracalen Überganges nebst Schwindelzuständen mit Sehstörungen, Tinnitus, Benommenheit etc., welche Symptome wohl als Folge früherer Auffahrunfälle resp. des zuletzt diagnostizierten Schleudertraumas zu werten seien. Der Unfall sei daher "wieder zu aktivieren". Die Elvia gewährte erneut Heilbehandlung. Im September 2000 erwähnte der Versicherte gegenüber dem Versicherer ein weiteres Unfallereignis; er habe sich kurz nach dem Verkehrsunfall vom 19. April 1999, ca. im Mai/Juni 1999, den Kopf an einer Sprinkleranlage gestossen. In der Folge wurde vom Hausarzt ab 1. Mai 2001 eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % bestätigt. Die Elvia und - als ihre Rechtsnachfolgerin - die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) trafen weitere Abklärungen zum Unfallgeschehen und zum medizinischen Sachverhalt. Im Oktober 2004 richtete die Allianz - unpräjudiziell und unter Vorbehalt einer Rückforderung - rückwirkend ab April 2004 Taggeld auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 75 % aus. Mit Verfügung vom 1. November 2004 eröffnete sie B._, die Versicherungsleistungen würden per 30. September 1999 eingestellt, und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung. Die nach dem 30. September 1999 erbrachten Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen würden zurückgefordert. B._ und sein Krankenversicherer erhoben je Einsprache. Die Allianz hiess die Einsprache des Versicherten teilweise gut, indem sie auf die Rückforderung erbrachter Leistungen verzichtete. Im Übrigen wies sie die Einsprachen mit der Begründung, es fehle an einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen vom 19. April sowie Mai/Juni 1999 und den nach dem 30. September 1999 aufgetretenen Beschwerden, ab (Einspracheentscheid vom 22. Juni 2005). B. Die von B._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nach Durchführung eines zweifachen Schriftenwechsels und einer mündlichen Verhandlung mit Entscheid vom 8. November 2006 ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt B._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Allianz zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen für die Folgen der Unfälle vom 19. April und Juni 1999 zu erbringen, insbesondere Taggeld bei einer Arbeitsunfähigkeit von 75 % ab 1. Mai 2001 nachzuzahlen und Heilbehandlung zu gewähren, sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 75 % und auf eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von mindestens 40 % zu prüfen und festzulegen. Die Allianz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.