Sachverhalt: A. Y._ ist das einzige Kind der Ehegatten A._ und B._, alle Staatsangehörige von C._ mit Wohnsitz in C._. Am 25. Oktober 1982 eröffneten die Eltern bei der Bank X._, mit Sitz in Basel, ein Konto und ein Depot. Im Jahre 1987 verstarb B._ und im Jahre 2002 A._. Bereits am 26. November 1997 erhob Y._ beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage gegen die Bank X._ auf Auskunftserteilung betreffend der Vermögenswerte ihrer Eltern, welche mit Urteil vom 18. Januar 2001 abgewiesen wurde. Mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 26. März 2004 wurde dieses Urteil des Zivilgerichts aufgehoben und die Bank X._ unter Androhung der Ungehorsamsstrafe (Art. 292 StGB) verurteilt, Y._ schriftlich mit den banküblichen Belegen (lückenlose Kontoauszüge, Zahlungsaufträge, Gutschriftenanzeigen usw.) vollständigen Aufschluss über die Vermögenswerte ihrer Eltern zu erteilen über (Dispositiv-Ziffer 1): "a) per Stichtag 26. November 1987: sämtliche Wertschriften- und Edelmetall-Depots, Konten, Schrankfächer und sämtliche andere Vermögenswerte irgendwelcher Art, - welche, sei es einzeln oder gemeinsam, sei es im eigenen Namen, sei es unter Verwendung eines Decknamens oder von Nummern, von Herrn A._ und/oder seiner Ehefrau B._ hinterlegt bzw. errichtet wurden; - welche von der Beklagten oder sonstigen Dritten treuhänderisch für Rechnung von Herrn A._ und/oder Frau B._ gehalten werden; b) den Zeitraum vor dem Stichtag und ab Eröffnung des jeweiligen Depots, Kontos usw.: - die Entwicklung der genannten Depots, Konten und sonstigen Vermögenswerte gemäss lit. a, insbesondere was Vermögensabflüsse und Vermögenszuflüsse irgendwelcher Art betrifft, auch wenn die entsprechenden Depots, Konti usw. am Stichtag nicht mehr bestanden haben sollten; - insbesondere die auf der Liste vom 6. Februar 1990 aufgeführten Auszahlungen, und zwar unter namentlicher Angabe der Empfänger; - Öffnungen von Schrankfächern gemäss lit. a; c) den Zeitraum nach dem Stichtag: - sämtliche Erträgnisse und sonstigen Vermögenszuflüsse und sämtliche Verfügungen über die Vermögenswerte gemäss lit. a; - Öffnungen von Schrankfächern gemäss lit. a; und zwar für diejenigen Vermögenswerte, die Herrn A._ bzw. der Klägerin am 20. Mai 1988 zugewiesen wurden, bis zu diesem Tage und für andere Vermögenswerte ohne zeitliche Begrenzung." B. Mit Eingabe vom 7. September 2006 stellte Y._ beim Zivilgericht Antrag auf Erlass eines Befehls zur Vollstreckung des Urteils des Appellationsgerichts vom 26. März 2004. Mit Exekutionsbefehl Nr. 1 vom 3. Oktober 2006 hiess das Zivilgericht das Vollstreckungsbegehren gut und wies die Bank X._ an, Y._ entsprechend dem zu vollstreckenden Urteil vollständigen Aufschluss zu erteilen; das Vollstreckungsbegehren wurde insoweit abgewiesen, als die anbegehrte Beantwortung von Fragen nicht Inhalt des Dispositivs des zu vollstreckenden Urteils war. C. Auf Einsprache der Parteien hin befahl das Appellationsgericht am 1. Juli 2008 der Bank X._, Y._ entsprechend dem zu vollstreckenden Urteil vollständigen Aufschluss über die Vermögenswerte ihrer Eltern zu erteilen. Zudem seien die von Y._ (im Vollstreckungsgesuch) gestellten Fragen zu beantworten. D. Mit Eingabe vom 1. Dezember 2008 führt die Bank X._ Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 1. Juli 2008 und in Gutheissung ihrer Einsprache den Exekutionsbefehl Nr. 1 des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 3. Oktober 2006 aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Y._ als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 8. Januar 2009 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.