Sachverhalt: A. Die serbische Staatsangehörige X._ und ihre beiden Kinder Y._ und Z._ waren im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung, welche letztmals bis zum 12. März 2008 verlängert worden war. Mit Verfügung vom 20. November 2009 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern eine weitere Verlängerung unter Hinweis auf die Fürsorgeabhängigkeit der Gesuchsteller ab. B. Hiergegen erhob Rechtsanwalt A._ namens von X._, Y._ und Z._ am letzten Tag der Rechtsmittelfrist Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (JSD). Nebst Anträgen zur Sache ersuchten die Beschwerdeführer auch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beigabe von Rechtsanwalt A._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Zudem beantragten sie, es sei dem Rechtsvertreter die Gelegenheit zur Akteneinsicht und danach zur Beschwerdeergänzung einzuräumen. In der Folge verlangte der Rechtsvertreter anlässlich verschiedener Eingaben an das JSD, dass das Gesuch betreffend die unentgeltliche Rechtspflege vorab zu entscheiden sei; bis zu diesem Entscheid dürfe er nicht zu weiteren kostenverursachenden Arbeiten, insbesondere zum Studium der zwischenzeitlich zur Einsicht zugestellten Akten, angehalten werden. Auf diesem Standpunkt beharrte der Rechtsvertreter auch, als ihm das JSD mit Schreiben vom 23. Februar 2010, unter nochmaliger Zustellung der Akten, eine weitere Gelegenheit zur Wahrnehmung des rechtlichen Gehörs gewährte und darauf hinwies, dass die Sache und insbesondere auch der Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege spruchreif seien. Mit Entscheid vom 15. Juni 2010 wies das JSD die Beschwerde und zufolge Aussichtslosigkeit auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. C. Gegen den Entscheid des JSD erhoben X._, Y._ und Z._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Sie rügten im Wesentlichen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör und unentgeltliche Rechtspflege, zumal das JSD über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung nicht vorab entschieden habe. Mit Urteil vom 1. Dezember 2010 wies das Verwaltungsgericht sowohl die Beschwerde als auch das von X._, Y._ und Z._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im verwaltungsgerichtlichen Verfahren ab. D. Mit Eingabe vom 24. Januar 2011 führen X._, Y._ und Z._ subsidiäre Verwaltungsbeschwerde (recte: subsidiäre Verfassungsbeschwerde) beim Bundesgericht und stellen die folgenden Anträge: "1. Der Entscheid der Vorinstanzen 1 und 2 sei aufzuheben. 2. Die Sache sei zur Neubeurteilung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung durch den Kanton Luzern an eine unbefangene Departementsbehörde zurückzuweisen und anschliessend durch eine unbefangene Gerichtsinstanz zu überprüfen. 3. Den Beschwerdeführern 1-3 sei nachträglich für die kantonalen Beschwerdeverfahren die vollumfängliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung der unentgeltlichen Rechtspflege durch den Kanton Luzern an eine unbefangene Departementsbehörde zurückzuweisen und anschliessend durch eine unbefangene Gerichtsinstanz zu überprüfen. 4. Den Beschwerdeführern 1-3 sei für das bundesgerichtliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihnen der Unterzeichnende als Rechtsbeistand beizugeben. 5. Der vorliegenden Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu erteilen, dass die Beschwerdeführer bis zum Entscheid über eine allfällige Rückweisung in der Schweiz bleiben und hier weiterhin arbeiten bzw. zur Schule gehen können. 6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen in sämtlichen Beschwerdeverfahren (Kanton und Bund) zu Lasten des Kantons Luzern." E. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das JSD und das Amt für Migration des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen. F. Mit Verfügung vom 31. Januar 2011 hiess das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gut und ernannte Rechtsanwalt A._ zum unentgeltlichen Rechtsbeistand. G. Mit Verfügung vom 7. Februar 2011 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.