Sachverhalt: A. A.a. Im Rahmen der Gesamtplanung für die Jahre 2013-2017 prüfte der Stadtrat Luzern (Stadtregierung) verschiedene Spar- und Entlastungsmassnahmen. Dabei zog er eine Steuererhöhung von 3,08% durch Erhöhung des Steuerfusses um eine Zehntelseinheit von 1,75 auf 1,85 in Kombination mit einem Spar- und Entlastungspaket von vier Millionen Franken in Betracht. Mit Blick auf das für die eventuelle Erhöhung des Steuerfusses obligatorische Finanzreferendum, für das der 16. Dezember 2012 reserviert wurde, informierte der Stadtrat Luzern die Öffentlichkeit bereits ab Juli 2012 über die geplanten Massnahmen und die mögliche anstehende Abstimmung. A.b. Unter anderem stellte der Stadtrat Luzern in der Ausgabe des Luzerner Stadtmagazins vom 4. Oktober 2012 die Gründe für die geplante Steuererhöhung dar und wies auf die Folgen hin, falls diese abgelehnt würde. Insbesondere führte er aus, dass er bei einer Ablehnung der Steuererhöhung keine andere Möglichkeit sehe, als ein Spar- und Entlastungspaket in der Höhe von 15 Millionen Franken umzusetzen. Diesen Erläuterungen war ein Überblick über einzelne vorgesehene Massnahmen aus diesem Sparpaket beigefügt. A.c. Am 25. Oktober 2012 beschloss der Grosse Stadtrat Luzern (Stadtparlament) über den Voranschlag 2013 und erhöhte gleichzeitig den Steuerfuss für das Jahr 2013 auf 1,85 Einheiten. B. B.a. Bereits vorher, am 18. Oktober 2012, hatte der in Luzern wohnende Yves Holenweger Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Luzern erhoben, worin er die behördlichen Interventionen des Stadtrates sowie des Stadtpräsidenten Luzern beanstandete. Am 21. November reichte Yves Holenweger eine weitere Eingabe ein, in der er unter anderem die in der Zwischenzeit den Stimmberechtigten zugestellten behördlichen Abstimmungserläuterungen anfocht. B.b. Am 27. November 2012 wies der Regierungsrat die Stimmrechtsbeschwerde wegen unerlaubter behördlicher Eingriffe in den Abstimmungskampf mit dem Stadtmagazin ab. Mit Entscheid vom 11. Dezember 2012 wies der Regierungsrat auch die Stimmrechtsbeschwerde gegen die Abstimmungserläuterung des Stadtrates ab. C. Am 16. Dezember 2012 nahmen die Stimmberechtigten der Stadt Luzern den Voranschlag 2013 und damit auch die vom Stadtrat beschlossene Steuererhöhung mit 11'128 Ja-Stimmen (63,92%) gegen 6'282 Nein-Stimmen (36,08%) an. D. D.a. Yves Holenweger führte beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht) Beschwerde gegen die Entscheide des Regierungsrates vom 27. November und 11. Dezember 2012, wobei er hauptsächlich die Wiederholung der Abstimmung und eventuell die Feststellung beantragte, dass die Abstimmungsfreiheit verletzt worden sei. D.b. Mit Urteil vom 10. Juni 2013 wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab. E. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als Stimmrechtsbeschwerde an das Bundesgericht stellt Yves Holenweger die folgenden Anträge: "1. Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 10. Juni 2013, die Entscheide des Regierungsrats des Kantons Luzern vom 27. November und 11. Dezember 2012 sowie die Volksabstimmung der Stadt Luzern vom 16. Dezember 2012 über den Voranschlag 2013 inklusive Erhöhung der Gemeindesteuer von 1,75 auf 1,85 Einheiten seien aufzuheben, und der Stadtrat der Stadt Luzern sei anzuweisen, ein Datum für eine neue Abstimmung über die Vorlage anzusetzen. 2. Eventualiter: Es sei festzustellen, dass der Stadtrat der Stadt Luzern durch seine Interventionen im Vorfeld der Volksabstimmungen der Stadt Luzern vom 16. Dezember 2012 über den Voranschlag 2013 in unzulässiger Weise in den Abstimmungskampf eingegriffen und damit die Abstimmungsfreiheit verletzt hat." Überdies verlangte Yves Holenweger, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen bzw. vorsorgliche Massnahmen zu treffen. F. Der Stadtrat Luzern beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement hat für den Regierungsrat des Kantons Luzern auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Kantonsgericht schliesst ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde. G. Mit Replik vom 29. September 2013 hält Yves Holenweger an seiner Beschwerde fest. Mit Eingabe vom 16. November 2013 beantragt er die Entgegennahme eines nachträglichen Beweismittels. H. Am 27. November 2013 äusserte sich der Stadtrat Luzern nochmals zur Sache. I. Yves Holenweger liess sich dazu mit weiterer Eingabe vom 14. Dezember 2013 vernehmen. J. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 17. September 2013 wies das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen ab.