Sachverhalt: A. Am 6. Juni 2013 nahm die Kantonspolizei Basel-Stadt den serbischen Staatsangehörigen X._ wegen des Verdachts der Vorbereitungshandlungen zu Raub fest. Mit Verfügung vom 8. Juni 2013 versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt in Untersuchungshaft. Dagegen erhob X._ am 12. Juni 2013 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte unter anderem die Feststellung, dass die Untersuchungshaft rechtswidrig angeordnet worden sei; es sei ihm eine Entschädigung und Genugtuung zuzusprechen. Am 17. Juni 2013 entliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt X._ aus der Haft. Gleichentags schrieb die Statthalterin des Appellationsgerichts das Beschwerdeverfahren infolge Wegfalls des Anfechtungsgegenstandes ohne Kosten ab. Mit Eingabe vom 21. Juni 2013 an das Appellationsgericht beantragte X._ unter anderem, die Verfügung der Statthalterin vom 17. Juni 2013 sei aufzuheben; seine Beschwerde sei zu beurteilen, soweit er darin die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Haftanordnung und eine Haftentschädigung verlangt habe. B. Am 24. Juni 2013 sprach die Statthalterin dem amtlichen Verteidiger eine Entschädigung für den geltend gemachten Aufwand im Beschwerdeverfahren von 5 Stunden zu, was Fr. 900.-- (inklusive Auslagen) zuzüglich 8 % Mehrwertsteuer von Fr. 72.-- ergab. Sodann verfügte die Statthalterin: "Die restlichen Begehren werden abgewiesen oder es wird nicht auf sie eingetreten". Die Statthalterin erwog, mit der Haftentlassung von X._ sei dessen aktuelles Rechtsschutzinteresse entfallen. Über eine Entschädigung wäre nur zu entscheiden, wenn die Haft offensichtlich die Europäische Menschenrechtskonvention verletzt hätte. Dies sei nicht der Fall. X._ begründe seinen Anspruch mit Interpretationsüberlegungen zum Tatverdacht. Sollte die Staatsanwaltschaft eine Verfahrenseinstellung beschliessen, hätte sie über eine entsprechende Entschädigung zu befinden. Im Falle einer Anklageerhebung und eines Freispruch wäre dies Sache des erstinstanzlichen Gerichts. Würde die Statthalterin direkt über eine Entschädigung befinden, ginge X._ eine Instanz verloren. Die Zuständigkeit der Statthalterin zum Entscheid über eine Entschädigung sei somit unter keinem Titel gegeben. C. Gegen die Verfügung der Statthalterin vom 24. Juni 2013 führt X._ Beschwerde in Strafsachen mit verschiedenen Anträgen. D. Die Statthalterin hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft hat sich ebenfalls vernehmen lassen. Sie beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. X._ hat dazu Stellung genommen.