Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 4. November 1999 sprach die IV-Stelle Luzern der 1957 geborenen R._ ab 1. Juli 1996 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. In der Folge wurde die Invalidenrente im Rahmen zweier Revisionsverfahren überprüft und jeweils bestätigt. Mit Verfügung vom 8. August 2012 hob die IV-Stelle die bisher ausgerichtete halbe Rente unter Hinweis auf die am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision (erstes Massnahmenpaket) auf Ende September 2012 hin auf. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 14. Mai 2013 gut, hob die angefochtene Verwaltungsverfügung auf und verpflichtete damit die IV-Stelle zur Weiterausrichtung der halben Invalidenrente über Ende September 2012 hinaus. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Überdies sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. R._ lässt auf Abweisung schliessen, während sich das Bundesamt für Sozialversicherungen nicht hat vernehmen lassen.