Sachverhalt: A. A.a Mit Urteil des Obergerichts des Kantons Uri vom 1. Dezember 2006 wurde D._ (Schuldnerin) verurteilt, den Erben des A._ sel., B._ und C._ (Gläubiger), Fr. 60'000.-- nebst Zins zu 5% seit 5. April 2001 und Parteikosten für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren von insgesamt Fr. 9'380.-- zu bezahlen. Dieses Urteil wurde nicht angefochten und erwuchs in Rechtskraft. A.b Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. 20701383 des Betreibungsamtes Silenen erhob die Schuldnerin Rechtsvorschlag. Am 24. September 2007 ersuchten die Gläubiger das Landgerichtspräsidium Uri um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung für den Betrag von Fr. 60'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 5. April 2001 sowie für Fr. 9'380.-- nebst Zins zu 5% seit dem 6. September 2007 und die Kosten. In ihrer Vernehmlassung machte die Schuldnerin geltend, die Gläubiger hätten mit Erklärung vom 7. April 2007 auf die mit Urteil vom 1. Dezember 2006 zugesprochenen Forderungen verzichtet. Mit Entscheid vom 18. Februar 2008 hiess das Landgerichtspräsidium Uri das Rechtsöffnungsbegehren im Wesentlichen gut. B. Den von der Schuldnerin gegen den Rechtsöffnungsentscheid geführten Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Uri mit Urteil vom 16. Mai 2008 gut, hob den Entscheid des Landgerichtspräsidiums Uri vom 18. Februar 2008 auf und wies das Gesuch um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte die Vorinstanz an, die Gläubiger (bzw. deren Rechtsvorgänger) hätten mit Datum vom 7. April 2007 auf die mit Urteil vom 1. Dezember 2006 zugesprochenen Forderungen verzichtet. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Oktober 2008 verlangen die Gläubiger (Beschwerdeführer), es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und ihnen in der Betreibung Nr. 20701383 des Betreibungsamtes Silenen definitive Rechtsöffnung für Fr. 60'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 5. April 2001 und Fr 9'380.-- nebst Zins zu 5 % seit 14. September 2007, evtl. für Fr 1.-- zu erteilen; subeventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück zu weisen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.