A.- Mit Verfügung vom 5. Juli 1995 stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) die Leistungen an die am 11. Juli 1993 verunfallte W._ auf den 9. Juli 1995 ein, woran sie mit Einspracheentscheid vom 21. August 1997 festhielt. Auf die hiegegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 5. November 1997 androhungsgemäss nicht ein, nachdem der Rechtsvertreter, Rechtsanwalt Dr. S._ innert angesetzter Frist die ungebührliche Äusserungen enthaltende Beschwerdeschrift vom 16. Oktober 1997 nicht verbessert hatte, und auferlegte Rechtsanwalt Dr. S._ eine Ordnungsbusse von Fr. 400.-. Die hiegegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 15. Mai 1998 ab, soweit darauf einzutreten war. In den Erwägungen hielt es fest, ob die Vorinstanz die zweite, vom Rechtsvertreter bei ihr (am 20. November 1997) eingereichte Beschwerde in gleicher Sache materiell zu prüfen habe, sei nicht im vorliegenden Prozess zu entscheiden. Mit Entscheid vom 30. September 1998 trat das Verwaltungsgericht auf die zweite Beschwerde vom 20. November 1997 ein, hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 21. August 1997 auf und hielt fest, dass die SUVA W._ über den 9. Juli 1995 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen habe. In Gutheissung der von der SUVA hiegegen eingereichten Verwaltungsgerichtsbeschwerde hob das Eidgenössische Versicherungsgericht den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 30. September 1998 auf mit der Feststellung, dass auf die Beschwerde vom 20. November 1997 nicht einzutreten sei (Urteil vom 12. April 1999). Wie bereits beim Urteil vom 15. Mai 1998 (U 319/97) wirkte auch in diesem Fall Gerichtsschreiber Maillard mit. B.- Mit Revisionsgesuch vom 27. Mai 1999 lässt W._ beantragen, das Urteil vom 12. April 1999 sei "wegen Befangenheit von Gerichtsschreiber Maillard im Sinne von Art. 23 OG, Art. 58 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK aufzuheben und die Sache einer Kammer des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum neuen Entscheid zuzuweisen". Während die SUVA die Rückweisung des Revisionsgesuchs zur Verbesserung verlangt und im Übrigen auf Nichteintreten auf das Rechtsmittel schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung.