Sachverhalt: A. A.a Die Eidg. Steuerverwaltung betrieb die X._ AG für Mehrwertsteuerforderungen in den Betreibungen Nr. 1 (Pfändung Nr. aaa), 2 (Pfändung Nr. bbb) und 3 (Pfändung Nr. ccc). Das Betreibungsamt Zürich 1 pfändete in diesen drei Betreibungen Kleidungsstücke der Schuldnerin. In den ersten beiden Pfändungen vom 22. August und 23. September 2002 wurden jeweils die gleichen Kleidungsstücke gepfändet. Bei der dritten Pfändung vom 11. und 31. März 2003 wurden ebenfalls diese Gegenstände, dazu aber noch weitere Kleidungsstücke gepfändet. Mit der dritten Pfändung nahm das Betreibungsamt sämtliche Pfändungsgegenstände in Gewahrsam, da die Schuldnerin die Abschlagszahlungen im Sinne von Art. 123 SchKG nicht mehr leistete. Bevor die Verwertung stattfinden konnte, wurde über die Schuldnerin am 22. Mai 2003 der Konkurs eröffnet. A.b In der Folge stellte das Betreibungsamt der Eidg. Steuerverwaltung für Gebühren und Auslagen in den drei Betreibungen insgesamt Fr. 5'801.40 in Rechnung. Die dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Bezirksgericht Zürich (6. Abteilung) als unterer Aufsichtsbehörde am 5. April 2004 abgewiesen. Mit dem dagegen beim Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilkammer) als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen eingereichten Rekurs beantragte die Gläubigerin die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses sowie der betreffenden Kostenrechnungen des Betreibungsamtes. Weiter verlangte sie, es seien die Kosten in der Betreibung Nr. 1 auf Fr. 339.15, in der Betreibung Nr. 2 auf Fr. 272.90 und in der Betreibung Nr. 3 auf Fr. 2'204.-- (total Fr. 2'816.05) festzusetzen. Diese Beträge entsprechen den von der Gläubigerin bereits bezahlten Kosten in den betreffenden Betreibungen. Mit Entscheid vom 3. Juni 2004 hiess das Obergericht den Rekurs teilweise gut und hob den angefochtenen Beschluss sowie die Kostenrechnungen und Verfügungen des Betreibungsamtes Zürich 1 vom 26. Juni 2003 auf. Die von der Gläubigerin noch zu zahlenden Kostenanteile wurden neu wie folgt festgesetzt: Fr. 854.35 in der Betreibung Nr. 1; Fr. 1'057.80 in der Betreibung Nr. 2 und Fr. 2'844.65 in der Betreibung Nr. 3 (total Fr. 4'756.80). B. Mit Eingabe vom 14. Juni 2004 hat die Eidg. Steuerverwaltung die Sache an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen. Sie beantragt, der Beschluss des Obergerichts Zürich vom 3. Juni 2004 und die Kostenverfügungen in den Betreibungen Nr. 1, 2 und 3 seien aufzuheben. Die Kosten seien in der Betreibung Nr. 1 auf Fr. 339.15, in der Betreibung Nr. 2 auf Fr. 272.90 und in der Betreibung Nr. 3 auf Fr. 2'204.-- festzusetzen. Eventualiter sei das Verfahren betreffend die Frage des Ermessensmissbrauchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Obergericht des Kantons Zürich hat anlässlich der Übersendung der Akten auf Gegenbemerkungen verzichtet (Art. 80 OG). Das Betreibungsamt verweist in seiner Stellungnahme auf seine Vernehmlassung vom 18. Juli 2003 an das Bezirksgericht Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 17. Juni 2004 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.