Sachverhalt: A. A.a Im Rahmen eines Verfahrens betreffend Haftung vormundschaftlicher Organe wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 12. Juni 2007 die Klage von X._ (Beschwerdeführer) gegen S._, T._, U._, V._ und W._ (Beschwerdegegner) ab und regelte die Kosten und die Entschädigung der kantonalen Verfahren. Der Beschwerdeführer gelangte gegen dieses Urteil mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 30. Juni 2008 abwies, soweit es darauf eintrat. A.b Der Beschwerdeführer gelangte mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit den Begehren, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008 aufzuheben und die Beschwerdegegner zu verpflichten, ihm Fr. 115'231.75 nebst Zins zu 5% von Fr. 108'140.55 und von Fr. 7'091.20 seit 17. April 2003 zu bezahlen. Mit Urteil vom 2. Dezember 2008 hob das Bundesgericht in Gutheissung der Beschwerde sowohl den obergerichtlichen Beschluss als auch den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung im Sinn der Erwägungen an das Obergericht zurück (5A_594/2008 [Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 und Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 30. Juni 2008]). B. Mit Nachtragsbeschluss vom 2. Juni 2009 schrieb das Kassationsgericht des Kantons Zürich das vor ihm hängige Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab (Ziff. 1), setzte die Gerichtsgebühr für das Kassationsverfahren auf Fr. 4'500.-- fest (Ziff. 2), auferlegte die Kosten des Kassationsverfahrens dem Beschwerdeführer (Ziff. 3) und verpflichtete diesen, den Beschwerdegegnern für das Kassationsverfahren je eine Prozessentschädigung von Fr. 1'300.-- zu entrichten (Ziff. 4). C. Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2009 an das Bundesgericht. Er beantragt, den Nachtragsbeschluss aufzuheben, eventuell dessen Ziffern 3 und 4 aufzuheben und die Kosten des Kassationsverfahrens den Beschwerdegegnern aufzuerlegen und diese zu verpflichten, ihm für das Kassationsverfahren eine Prozessentschädigung von je Fr. 1'300.-- zu bezahlen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.