Sachverhalt: A. A.a. In der von der Y._ GmbH gegen die X._ AG eingeleiteten Betreibung Nr. xxx (Forderungsbetrag: Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5% seit 14. Mai 2013) stellte das Betreibungsamt Flüelen der Schuldnerin am 16. Mai 2013 den Zahlungsbefehl zu. Als Empfänger der Betreibungsurkunde wurde "A._, Bevollmächtigter des Geschäftsführers" protokolliert. A.b. Am 10. Juli 2013 stellte das (infolge Sitzverlegung der Schuldnerin neu zuständige) Betreibungsamt Baar/ZG der X._ AG die Konkursandrohung zu. A.c. Am 19. Juli 2013 gelangte die X._ AG an das Obergericht des Kantons Uri, Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Sie rügte die fehlerhafte bzw. nichtige Zustellung des Zahlungsbefehls, weil sie erst im Zeitpunkt der Zustellung der Konkursandrohung vom Zahlungsbefehl Kenntnis erlangt habe. B. Mit Entscheid vom 25. September 2013 wies die kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Weiter verweigerte sie die Wiederherstellung der versäumten Rechtsvorschlagsfrist, weil es an einem unverschuldeten Hindernis fehle. C. Am 7. Oktober 2013 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin verlangt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, vom 25. September 2013 sowie der Zahlungsbefehl und die Konkursandrohung seien aufzuheben. Eventuell sei die Rechtsvorschlagsfrist wiederherzustellen, subeventuell sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 28. Oktober 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Y._ GmbH als Gläubigerin und Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die kantonale Aufsichtsbehörde auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Betreibungsämter Flüelen und Baar beantragen die Abweisung der Beschwerde.