Sachverhalt: A. Der im Kanton Bern wohnhafte A._ (geb. 1913) ging Ende 1997 mit der B._ Versicherung einen Vertrag über eine Altersrentenversicherung (Police Nr. ...) ein. Die B._ Versicherung sollte ihm am 23. jedes Monats, erstmals am 23. Januar 1998, eine Rente von Fr. 1'898.20 auszahlen. Die für die Finanzierung der Altersrente notwendige Prämie erbrachte A._ als Einmalprämie am 23. Dezember 1997 im Betrage von Fr. 244'982.--. Am 9. September 2000 verstarb er. Im Oktober 2000 erhielten die beiden Söhne X._ und Y._ von der B._ Versicherung je einen Betrag von Fr. 91'134.-- ausbezahlt. Der Grund dieser Zahlungen bestand in der Rückgewähr von Prämien aus der Altersrentenversicherung. Die Steuerverwaltung des Kantons Bern erfasste mit Veranlagung vom 13. März 2001 den Rückgewährbetrag von Fr. 91'134.-- bei X._, der im Kanton Zürich wohnhaft ist, mit der Erbschaftssteuer. Die Steuerveranlagung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Am 21. Mai 2003 eröffnete das Kantonale Steueramt Zürich X._ und seiner Ehefrau einen Einschätzungsentscheid. Darin unterwarf es den gleichen Rückgewährbetrag den Zürcher Staats- und Gemeindesteuern als in der Steuerperiode 2000 getrennt vom übrigen Einkommen zu besteuernde Kapitalleistung. Diese Einschätzung bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 7. August 2003. B. X._ erhob gegen den Einspracheentscheid vom 7. August 2003 Rekurs bei der Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich. Er rügte, die Steuerhoheit liege beim Kanton Bern, wo auch die Erbschaft ordentlich versteuert worden sei. Eine zusätzliche steuerliche Belastung durch den Kanton Zürich führe zu einer Doppelbesteuerung. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2003 wies die Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich den Rekurs ab. C. X._ hat am 24. November 2003 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde eingereicht, in welcher er geltend macht, es liege eine unzulässige Doppelbesteuerung durch den Kanton Zürich vor. Er beantragt, den Entscheid der Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich vom 27. Oktober 2003 aufzuheben. Ausserdem solle das Bundesgericht die Steuerhoheit festlegen. Auf Anfrage des Präsidenten der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat X._ mit Eingabe vom 27. November 2003 erklärt, dass er die staatsrechtliche Beschwerde auch auf die rechtskräftige Steuerveranlagung des Kantons Bern vom 13. März 2001 ausdehne und deren Aufhebung verlange. D. Die Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Kantonale Steueramt Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit sie sich gegen den Kanton Zürich richte. Die Steuerverwaltung des Kantons Bern beantragt, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit sie sich gegen den Kanton Bern richte.