Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft von Turin führt ein strafrechtliches Untersuchungsverfahren gegen unbekannte Täterschaft wegen mehrfacher fahrlässiger Tötung. Dabei geht es um italienische Staatsangehörige, die bei der X._ AG mit Sitz in Y._ gearbeitet haben und in Italien an einem durch Asbest verursachten Tumor ("Mesotheliom") gestorben sind. Am 26. November 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft von Turin die Schweiz um die Übermittlung von Unterlagen, die von der X._ AG und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) herauszugeben seien. Das Bundesamt für Justiz leitete das Rechtshilfeersuchen am 8. Januar 2002 an das Verhöramt des Kantons Glarus weiter und bezeichnete den Kanton Glarus als Leitkanton. Am 16. Januar 2002 trat das Verhöramt auf das Rechtshilfeersuchen wegen formeller Mängel nicht ein. Nachdem in der Folge die italienische Behörde das Ersuchen ergänzt hatte, trat das Verhöramt am 18. März 2002 darauf ein und verfügte die Edition von Unterlagen bei der X._ AG ("Namen und Personaldaten sämtlicher Arbeitnehmer mit italienischer Staatsangehörigkeit, die dort seit Werkeröffnung bis heute gearbeitet haben") und bei der Zentralstelle der SUVA (Krankendossiers aller Arbeiter italienischer Staatsangehörigkeit, die "bei der X._ AG in Y._ angestellt sind oder waren"). Am 7. Mai und 11. Juni 2002 übermittelte die X._ AG dem Verhöramt je eine Namenliste von ehemaligen italienischen Mitarbeitern ihrer Werke in Y._ und Z._. Die SUVA reichte dem Verhöramt am 4. Juli 2002 12 Krankendossiers und am 16. August 2002 eine Liste mit den Namen von italienischen Mitarbeitern der X._ AG ein, die in Italien an einem Mesotheliom verstorben waren. Mit Schlussverfügung vom 23. August 2002 ordnete das Verhöramt die Übermittlung der Akten, "das heisst die zwei Namenlisten der Mitarbeiter mit italienischer Staatsangehörigkeit (Werke in Y._ und Z._) sowie die Liste der SUVA bezüglich Personen mit Tumordiagnose", an die ersuchende Behörde an. Mit Schreiben vom 28. Oktober 2002 hielt das Verhöramt in Beantwortung eines Briefes des Bundesamtes vom 17. Oktober 2002 fest, mit der Schlussverfügung vom 23. August 2002 sei abschliessend über das italienische Rechtshilfeersuchen entschieden worden; das Bundesamt könne die behaupteten Mängel auf dem Beschwerdeweg geltend machen, selbst wenn die Beschwerdefrist bereits abgelaufen sei. Gegen die Schlussverfügung vom 23. August 2002 erhoben das Bundesamt am 18. September 2002 und die X._ AG am 23. September 2002 Beschwerde beim Präsidenten des Kantonsgerichts Glarus. Das Bundesamt beantragte die Aufhebung der Schlussverfügung, soweit in Bezug auf die bei der SUVA edierten Akten die Leistung der Rechtshilfe auf die Abgabe einer Liste mit den Namen derjenigen Personen beschränkt werde, über welche die SUVA ein Krankendossier aufgrund eines festgestellten Mesothelioms führe. Es vertrat die Ansicht, es müsse in vollem Umfang Rechtshilfe geleistet werden, weshalb sämtliche bei der X._ AG und der SUVA edierten Akten an die ersuchende Behörde herauszugeben seien. Die X._ AG stellte in ihrer Beschwerde den Antrag, die Schlussverfügung des Verhöramtes sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, die Rechtshilfe zu verweigern. Das Bundesamt reichte am 7. November 2002 beim Präsidenten des Kantonsgerichtes eine gegen das Schreiben des Verhöramtes vom 28. Oktober 2002 gerichtete Beschwerde ein. Darin verlangte es, das Verhöramt sei anzuweisen, bei der X._ AG die Namen und Personaldaten sämtlicher italienischer Arbeitnehmer zu edieren, welche bei diesem Unternehmen tätig gewesen und in der Schweiz verstorben seien; sodann seien bei der SUVA die Krankheitsdossiers sämtlicher italienischer Arbeitnehmer der X._ AG zu edieren, welche in der Schweiz verstorben seien. Im Weiteren sei das Verhöramt anzuweisen, in Ergänzung zur Teilschlussverfügung vom 23. August 2002 eine Schlussverfügung zu erlassen, mit der das Rechtshilfeverfahren vollumfänglich abgeschlossen werde. Der Kantonsgerichtspräsident entschied am 19. Dezember 2002 wie folgt: "1. Die Beschwerde des Bundesamtes für Justiz vom 18. September 2002 wird gutgeheissen und die von der SUVA an das Verhöramt edierten Dossiers über Mesotheliomfälle bei Arbeitnehmern italienischer Staatsangehörigkeit der X._ AG werden (im Umfang von Ziff. 2 nachfolgend) im Original an die italienische Staatsanwaltschaft beim Gericht von Turin übergeben. 1. Die Beschwerde der X._ AG vom 23. September 2002 wird insofern gutgeheissen, als die Rechtshilfe an die italienische Staatsanwaltschaft beim Gericht von Turin auf die Namen und weiteren Personaldaten sowie die SUVA-Krankendossiers von ehemaligen Arbeitnehmern italienischer Staatsangehörigkeit der X._ AG beschränkt wird, von denen nicht bekannt ist, dass sie in der Schweiz leben oder in der Schweiz verstorben sind. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen. 2. Die Beschwerde des Bundesamtes für Justiz vom 7. November 2002 wird abgewiesen, soweit sie dadurch nicht gegenstandslos geworden ist." A.a.a Die von der X._ AG dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 22. August 2003 ab, soweit es darauf eintrat (1A.9/2003). B. Mit Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 verlangte die Staatsanwaltschaft von Turin im Nachtrag zu jenem vom 26. November 2001 die Herausgabe weiterer Unterlagen der SUVA. Davon erwartet die Staatsanwaltschaft von Turin Aufschluss über die Arbeitsumgebung der Werke in Y._ und Z._ sowie über die Gesundheitszustände der Arbeitnehmer, die dort in der Zeit zwischen 1950 und 1993 gearbeitet haben. Am 31. Dezember 2004 trat das Verhöramt auf das Nachtragsersuchen ein. Auf die von der SUVA dagegen erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 10. Februar 2005 nicht ein. Mit Schreiben vom 4. November 2005 gab die SUVA die vom Verhöramt verlangten Unterlagen heraus, soweit sie vorhanden waren. Dabei handelt es sich um die Akten 1-24 des Werks Z._ von 1969 bis 1989, die Akten 1-343 des Werks Y._ von 1950 bis 1998 und um folgende drei Listen: - "Liste 1" mit Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 196 Mitarbeitern schweizerischer oder ausländischer Nationalität der Werke Y._ und Z._, für die je bei der SUVA ein Berufskrankheitsdossier wegen einer möglicherweise asbestverursachten Krankheit eröffnet wurde; - "Liste 2" mit den Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 62 Mitarbeitern schweizerischer oder ausländischer Nationalität der Werke Y._ und Z._, welche an einem von der SUVA als Berufskrankheit anerkannten Mesotheliom oder einem asbestbedingten Bronchuskarzinom erkrankt oder verstorben sind; - "Liste 3" mit den Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 16 italienischen Mitarbeitern des Werks Y._, welche in Italien an einem Mesotheliom (bzw. in einem Fall an einem asbestbedingten Bronchuskarzinom) verstorben sind. C. In der Folge schied das Verhöramt verschiedene im Einzelnen bezeichnete Dokumente aus dem Dossier zum Werk Y._ (act. 1-343), die keinen Bezug zur Asbestproblematik hatten, aus. Mit Schlussverfügung vom 3. Januar 2006 entsprach das Verhöramt dem Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 und ordnete die Herausgabe folgender Unterlagen an die ersuchende Behörde an: - Dossier Werk Y._ (act. 1-343) mit Ausnahme der ausgeschiedenen Dokumente; - Dossier Werk Z._ (act. 1-24); - drei Listen mit Personendaten; - Schreiben der SUVA vom 4. November 2005. C. Auf die dagegen von der X._ AG erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 27. Juni 2006 nicht ein. Die Beschwerde der SUVA wies er ab. D. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten vom 27. Juni 2006 sei aufzuheben und die Rechtshilfe gemäss Ersuchen vom 9. August 2004 zu verweigern. Die bei der SUVA erhobenen Unterlagen seien ihr unverzüglich zurückzugeben. Eventualiter sei die Liste 3 (Italiener, welche in Italien verstorben sind) gemäss Schreiben der SUVA vom 4. November 2005 rechtshilfeweise herauszugeben. Es seien die gesamten Verfahrensakten betreffend das Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 mitsamt den bei der SUVA einverlangten Unterlagen bei der Vorinstanz bzw. beim Verhörrichter beizuziehen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. E. Der Kantonsgerichtspräsident und das Verhöramt haben auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Justiz hat ebenfalls auf Gegenbemerkungen verzichtet. Es beantragt die Abweisung der Beschwerde und schliesst sich den seines Erachtens zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid vollumfänglich an.