Sachverhalt: A. In der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 6 gegen X._ ersuchte Z._ mit Eingabe vom 29. Juni 2011 den Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Zürich um definitive Rechtsöffnung. B. Mit Schreiben vom 4. Juli 2011 lud das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, X._ zwecks mündlicher Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch auf den 9. August 2011 zu einer Verhandlung vor. Am 29. Juli 2011 überbrachte X._ dem Bezirksgericht ein Gesuch um Verschiebung des Termins vom 9. August 2011. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch gleichentags ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich (Eingabe vom 15. September 2011). C. In Abwesenheit von X._ erteilte das Bezirksgericht Z._ in der Betreibung ... des Betreibungsamts Zürich 6 für Fr. 53'766.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. August 2010 die definitive Rechtsöffnung; X._s Armenrechtsgesuch wies es ab (Verfügung und Urteil vom 9. August 2011). X._ nahm diese Entscheide am 19. September 2011 in Empfang und erhob dagegen mit Eingabe vom 29. September 2011 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. D. Das Obergericht trat auf die Beschwerde vom 15. September 2011 (Bst. B) nicht ein und wies diejenige vom 29. September 2011 (Bst. C) ab; desgleichen X._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Urteil vom 17. November 2011). E. Mit Eingabe vom 1. Februar 2012 wendet sich X._ ("Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, die Vorladung des Bezirksgerichts Zürich vom 4. Juli 2011 "abzunehmen, die Fristen wiederherzustellen und zur Hauptverhandlung neu vorzuladen". Die Verfügung des Bezirksgerichts vom 29. Juli 2011 und dessen Entscheide vom 9. August 2011 seien "ex tunc nichtig zu erklären" und aufzuheben; ebenso das Urteil des Obergerichts vom 17. November 2011. Weiter ersucht der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich stellt er das Begehren, eine öffentliche Hauptverhandlung durchzuführen und "die Namen der untersuchenden, beratenden, beurteilenden & verkündenden Personen selbstverständlich bekannt zu geben". Den zuletzt wiedergegebenen Antrag wies das Bundesgericht mit Mitteilung vom 6. Februar 2012 ab. Indes erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 24. Februar 2012 die aufschiebende Wirkung zu. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.