Sachverhalt: A. A.a Der 1947 geborene gelernte Schreiner B._ war ab 1981 als Küchenmonteur bei M._, Vertretung X._, tätig. Er verletzte sich am 26. Oktober 1984 beim Tragen von Marmorplatten am Rücken und musste sich im Januar 1985 einer Chemonucleolyse L4/L5 und L5/S1 unterziehen. In der Zeit bis Februar 1997 traten vier Rückfälle ein. Im Mai 1997 wurde eine mikrotechnische Fenestration und Diskektomie L4/L5 rechts vorgenommen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer erbrachte für den Grundfall und die Rückfälle die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Nach medizinischen und erwerblichen Abklärungen stellte sie das Taggeld per 30. Juni 1998 ein und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 27. Januar 1999 für die Unfallrestfolgen eine ab 1. Juli 1998 laufende Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 33,33 % sowie eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 15 % zu. Mit Einsprache hiegegen verlangte B._ eine höhere Rente. Am 19. Januar 1999 erlitt der Versicherte einen fünften Rückfall. Die SUVA richtete vorübergehend erneut Taggeld aus. Am 13. April 1999 eröffnete sie B._ schriftlich die Einstellung dieser Leistung auf den 25. April 1999. Dies beanstandete der Versicherte mit Schreiben vom 16. April 1999. Der Unfallversicherer behandelte dieses Schreiben als Einsprache gegen seine als materielle Verfügung qualifizierte Mitteilung vom 13. April 1999 und wies sie, wie auch die Einsprache gegen die Verfügung vom 27. Januar 1999, ab (Einspracheentscheid vom 28. Mai 1999). A.b Im März 1997 meldete sich B._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Darüber wurde nach Lage der Akten bislang nicht verfügt. B. Die von B._ gegen den Einspracheentscheid der SUVA vom 28. Mai 1999 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 28. Juli 2000 ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt B._ beantragen, in Aufhebung von Einspracheentscheid und kantonalem Gerichtsentscheid sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Vorinstanz resp. den Unfallversicherer zurückzuweisen, und es seien ihm Rentenleistungen in gesetzlicher Höhe auszurichten. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung hat sich nicht vernehmen lassen.