Sachverhalt: A. Die 1972 geborene B._ erlitt am 27. Dezember 2001 einen Unfall (Kontusion des Steissbeins); mit Unfallmeldung vom 23. Februar 2004 meldete sie einen Rückfall. Der obligatorische Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Die IV-Stelle des Kantons Luzern lehnte das am 7. Dezember 2004 eingegangene Gesuch um Leistungen der Invalidenversicherung mit der Begründung ab, es bestehe kein Gesundheitsschaden, welcher die Arbeitsfähigkeit einschränken würde (mit Einspracheentscheid vom 30. Januar 2006 bestätigte Verfügung vom 9. August 2005). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 23. Juli 2007). C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung von vorinstanzlichem und Einspracheentscheid, eine Invalidenrente zuzusprechen; eventuell seien zuvor zusätzliche medizinische Abklärungen vorzunehmen; subeventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses sich zum Ausmass der Einschränkung äussere. Ausserdem ersucht B._ um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.