Sachverhalt: A. In einem gegen die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) angestrengten Verfahren auf Zahlung von Fr. 72'000.-- verweigerte das Bezirksgericht Bülach X._ (Beschwerdeführer) mit Beschluss vom 28. November 2007 die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung, und es auferlegte ihm eine Prozesskaution von Fr. 15'000.--. Gleich entschied das Obergericht des Kantons Zürich in Abweisung eines Rekurses des Beschwerdeführers. Die Frist zur Leistung der Prozesskaution wurde neu festgesetzt. Mit Zirkulationsbeschluss vom 16. Februar 2009 bewilligte das Kassationsgericht des Kantons Zürich dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung für das Verfahren der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde, wies jedoch das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für dieses Verfahren ab, ebenso wie die Beschwerde, soweit es darauf eintrat. B. Der Beschwerdeführer erhebt "Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde". Er verlangt zur Hauptsache, die kantonalen Beschlüsse seien aufzuheben und es sei ihm für das Schadenersatzklageverfahren gegen die Y._ AG die unentgeltliche Rechtspflege und die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Zusätzlich formuliert er Feststellungsbegehren, in denen er aber im Wesentlichen lediglich die Rechtsgründe bezeichnet, aus denen er die Verfassungswidrigkeit des angefochtenen Beschlusses ableitet. Schliesslich beantragt er, es sei in Anwendung von Art. 57 - 59 BGG eine mündliche öffentliche Parteiverhandlung mit Beratung durchzuführen und das Urteil mündlich und öffentlich zu verkünden. Ausserdem sei im Hinblick auf ein allfälliges Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 36 BGG dem Beschwerdeführer mitzuteilen, in welcher Zusammensetzung das Bundesgericht die Beschwerde beurteilen werde. Er verlangt sodann die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG für das bundesgerichtliche Verfahren sowie eine Frist zur Ergänzung seiner Eingabe gemäss Art. 43 lit. b in Verbindung mit Art. 41 BGG. Dem weiteren Begehren des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wurde entsprochen.