Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1983) stammt aus den Philippinen, wo sie am 9. Mai 2007 den Schweizer Bürger C.A._ heiratete. In der Folge reiste sie am 23. August 2007 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib beim Ehemann. Am 14. August 2009 gelangte sodann B._ (geb. 2003) unter dem Titel des Familiennachzugs ebenfalls in die Schweiz; gegenüber dem Migrationsamt gab A.A._ das Kind als ihre Tochter aus, doch handelt es sich in Wirklichkeit um ihre Nichte, das Kind ihrer Schwester. Offenbar ist eine Adoption B._ geplant, wobei dieses Verfahren noch nicht abgeschlossen ist. B. Im September 2010 reisten A.A._ und ihre Nichte nach den Philippinen aus, wo sie für mehrere Monate verblieben. Grund für diesen Aufenthalt war angeblich die Absolvierung eines Ausbildungskurses als Krankenpflegerin. Nach Abschluss des Kurses kehrten A.A._ und ihre Nichte im März / Anfang April 2011 für eine Woche in die Schweiz zurück. Anschliessend hielten sie sich wieder ausschliesslich auf den Philippinen auf. Am 22. September 2011 stellte C.A._ ein neues Gesuch um Familiennachzug, worauf das Migrationsamt des Kantons St. Gallen am 13. Oktober 2011 die Ermächtigung zur Ausstellung des Visums für A.A._ und B._ erteilte. Am 21. Dezember 2011 reisten die beiden erneut in die Schweiz ein. Bereits am 30. Dezember 2011 teilte C.A._ den St. Galler Behörden allerdings mit, er lebe ab sofort getrennt von seiner Frau und wolle sich scheiden lassen. Aufgrund dessen widerrief das Migrationsamt mit Verfügung vom 13. Februar 2012 die Ermächtigung zur Visumserteilung und verweigerte A.A._ und B._ die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung. Gegen diese Verfügung wehrten sich die beiden erfolglos beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen. Am 12. März 2013 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine von ihnen erhobene Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 16. April 2013 erheben A.A._ (Beschwerdeführerin 1) und B._ (Beschwerdeführerin 2) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts. Sie beantragen dessen Aufhebung sowie (sinngemäss) die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung; ausserdem beantragen sie die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Sicherheits- und Justizdepartement sowie das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.