Sachverhalt: A. Das Kantonsspital X._ wurde im Zuge der am 1. Januar 2004 in Kraft getretenen neuen aargauischen Spitalgesetzgebung von einer unselbständigen Anstalt des öffentlichen Rechts in eine Aktiengesellschaft gemäss den Bestimmungen des Schweizerischen Obligationenrechts mit gemeinnütziger Zweckbestimmung umgewandelt. Das neu als Kantonsspital X._ AG firmierende Spital war wie bis anhin der kantonalen Ausgleichskasse angeschlossen. Im Juni 2009 trat die Kantonsspital X._ AG der Aargauischen Industrie- und Handelskammer (AIHK) bei. Mit Schreiben vom 27. August 2009 teilte die Ausgleichskasse der AIHK der kantonalen Ausgleichskasse mit, die Kantonsspital X._ AG werde ab 1. Januar 2010 mit ihr abrechnen. Dagegen erhob die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau Einspruch, woraufhin die Verbandsausgleichskasse an das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) gelangte. Dieses stellte mit Verfügung vom 5. Februar 2010 fest, dass die Kantonsspital X._ AG seit 1. Januar 2010 der Ausgleichskasse der AIHK angeschlossen ist. B. Mit Entscheid vom 21. September 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau ab (Dispositiv-Ziff. 1) und stellte fest, dass die Kantonsspital X._ AG mit Wirkung ab 1. Januar 2013 der Ausgleichskasse der AIHK angeschlossen ist (Dispositiv-Ziff. 2). C. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. September 2012 sei aufzuheben und der beantragte Kassenwechsel zu verweigern, eventualiter erst ab dem Jahr nach dem Urteil des Bundesgerichts für zulässig zu erklären; dem Rechtsmittel sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Ausgleichskasse der AIHK beantragt die Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, soweit darauf einzutreten sei. Bundesverwaltungsgericht und BSV verzichten auf eine Stellungnahme. Die Kantonsspital X._ AG hat keine Vernehmlassung eingereicht.