Sachverhalt: A. Das Obergericht des Kantons Aargau befand X._ am 12. Februar 2009 zweitinstanzlich der sexuellen Handlungen mit Kindern (Art. 187 Ziff. 1 Abs. 1 StGB) schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 210 Tagessätzen à Fr. 170.--, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von drei Jahren. B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei vom Vorwurf der sexuellen Handlungen mit Kindern freizusprechen, und es seien die Anträge der Zivilklägerin A._ betreffend Schadenersatz, Genugtuung und Ersatz der Parteikosten vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten, bezüglich den auf Video aufgezeichneten Aussagen von A._ ein psychologisches oder psychiatrisches Glaubhaftigkeitsgutachten einzuholen. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet. A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde und des Antrags auf Einholung eines Glaubhaftigkeitsgutachtens. Des Weiteren sei X._ zu verpflichten, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'575.40 auszurichten.