Art. 29 BV (Aufenthaltsbewilligung), hat sich ergeben: A.- Der aus der Bundesrepublik Jugoslawien stammende X._ (geb. ......... 1965) reiste erstmals 1989 als Kurzaufenthalter in die Schweiz ein und war hier in den folgenden Jahren als Saisonnier tätig. Nachdem er am 3. Mai 1993 einen Autounfall erlitten hatte, wurde ihm eine L-Bewilligung mit dem Aufenthaltszweck "Patient, Stellenantritt untersagt" erteilt. Am 6. Februar 1995 verweigerte die Fremdenpolizei der Stadt Bern eine weitere Verlängerung der Bewilligung und setzte X._ eine Ausreisefrist an, wogegen sich dieser erfolglos beschwerte. B.- Gestützt auf ein weiteres ärztliches Gutachten stellte X._ am 11. Februar 1997 erneut ein Gesuch um Erteilung einer geeigneten Aufenthaltsbewilligung, beziehungsweise auf Gestattung des Aufenthalts bis zum Abschluss der sozialversicherungsrechtlichen Verfahren. Die Fremdenpolizei der Stadt Bern wies dieses Gesuch am 17. April 1997 ab, was von der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 13. April 1999 und letztinstanzlich vom Regierungsrat des Kantons Bern mit Entscheid vom 24. Januar 2001 bestätigt wurde. C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 26. Februar 2001 an das Bundesgericht wegen Verletzung von Verfahrensgarantien (Art. 29 BV) beantragt X._, den Entscheid des Regierungsrats des Kantons Bern vom 24. Januar 2001 aufzuheben, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern - in Vertretung des Regierungsrats - schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. D.- Mit Verfügung vom 2. April 2001 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.