Sachverhalt: Sachverhalt: A. A._ (geb. 1978), Staatsangehöriger der Republik Serbien, reiste am 3. Januar 1999 erstmals in die Schweiz ein. Er ersuchte hier erfolglos um Asyl und wurde am 15. Mai 2001 nach Pristina ausgeschafft. Am 9. August 2001 heiratete er in Decan (Kosovo) die Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1964). Gestützt auf diese Heirat wurde ihm eine letztmals bis zum 18. Oktober 2005 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erteilt. Mit Verfügung vom 2. Juni 2005 verweigerte die Direktion für Soziales und Sicherheit (Migrationsamt) des Kantons Zürich die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn an, den Kanton Zürich bis zum 18. Oktober 2005 zu verlassen. Zur Begründung führte das Migrationsamt aus, A._ berufe sich in rechtsmissbräuchlicher Weise auf eine nur noch formell bestehende Ehe, um die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erwirken. Dagegen gelangte A._ erfolglos an den Regierungsrat und sodann an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 2. Juni 2005 verweigerte die Direktion für Soziales und Sicherheit (Migrationsamt) des Kantons Zürich die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn an, den Kanton Zürich bis zum 18. Oktober 2005 zu verlassen. Zur Begründung führte das Migrationsamt aus, A._ berufe sich in rechtsmissbräuchlicher Weise auf eine nur noch formell bestehende Ehe, um die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erwirken. Dagegen gelangte A._ erfolglos an den Regierungsrat und sodann an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. B. A._ hat mit Eingabe vom 16./17. Februar 2007 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 6. Dezember 2006 aufzuheben; dem Beschwerdeführer sei rückwirkend ab dem 18. Oktober 2005 der Aufenthalt im Kanton Zürich zu erlauben. Eventuell sei das Verfahren zur Aktenergänzung und zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Zudem wird um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich (für den Regierungsrat), das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich (für den Regierungsrat), das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. C. Mit Präsidialverfügung vom 8. März 2007 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.