Sachverhalt: A. Am xxxx heirateten K._ (Ehefrau), Jahrgang xx, und B._ (Ehemann), Jahrgang xx. Sie wurden Eltern einer Tochter, geboren xx, und eines Sohnes, geboren xx. Der Ehemann war Inhaber der im Jahre 1969 in das Handelsregister eingetragenen Einzelfirma "E._-Käserei" (Schwyz) und gründete im Jahre 1989 gemeinsam mit seiner Ehefrau und seiner Tochter die "Formaggio F._ SA" mit Sitz in Y._ (Tessin). Die Ehefrau half von Beginn an in der Käserei mit. B. Am 7. September 1995 machte die Ehefrau die Scheidungsklage rechtshängig. Der Ehemann verlangte ebenfalls die Scheidung. Der Einzelrichter des Bezirkes Schwyz schied die Ehe (Dispositiv-Ziff. 1). Er verpflichtete den Ehemann zu monatlichen Unterhaltszahlungen an die Ehefrau von Fr. 4'000.-- bis 31. Mai 2007 und danach von Fr. 2'500.-- (Dispositiv-Ziff. 2 Abs. 1); die dafür massgebenden Einkommens- bzw. Vermögensverhältnisse legte er auf Fr. 12'000.-- (Ehemann) und Fr. 1'200.-- (Ehefrau) bzw. auf 6 Mio. Franken (Ehemann) und Fr. 450'000.-- (Ehefrau) fest (Dispositiv-Ziff. 2 Abs. 2). Das Guthaben des Ehemannes aus beruflicher Vorsorge teilte der Einzelrichter je hälftig (Dispositiv-Ziff. 3) und sprach der Ehefrau aus Güterrecht eine Forderung von Fr. 211'214.50 zu (Dispositiv-Ziff. 4). Er wies das Grundbuchamt an, die angeordnete Verfügungsbeschränkung nach Eintritt der Rechtskraft zu löschen (Dispositiv-Ziff. 5), und regelte die Kosten- und Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziff. 6 und 7 des Urteils vom 18. Dezember 2000). C. Mit Berufung focht der Ehemann die Feststellung des für den Unterhalt massgebenden Einkommens und Vermögens beider Parteien sowie die güterrechtliche Auseinandersetzung an. Die Ehefrau schloss sich der Berufung an und begehrte eine Erhöhung der ihr geschuldeten Unterhaltsbeiträge und ihres Güterrechtsanteils. In seiner Anschlussberufungsantwort beantragte der Ehemann neu, den erstinstanzlich festgelegten Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau herabzusetzen und zu befristen. Rechtskräftig wurde das erstinstanzliche Urteil, was die Scheidung (Dispositiv-Ziff. 1) und die Aufteilung des Vorsorgeguthabens angeht (Dispositiv-Ziff. 3). Das Kantonsgericht hiess Berufung und Anschlussberufung teilweise gut (Dispositiv-Ziff. 1). Es berichtigte Dispositiv-Ziff. 2 Abs. 2 des erstinstanzlichen Urteils von Amtes wegen und setzte das für den nachehelichen Unterhalt massgebende Vermögen auf 4,69 Mio. Franken (Ehemann) bzw. Fr. 600'000.-- (Ehefrau) fest (Dispositiv-Ziff. 2). In güterrechtlicher Hinsicht verpflichtete es den Ehemann, der Ehefrau Fr. 302'000.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 3). Das Kantonsgericht erliess ferner eine Anweisung betreffend Verfügungsbeschränkung (Dispositiv-Ziff. 4) und regelte die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren (Dispositiv-Ziff. 5, 7 und 8). Im Übrigen - das heisst vorab bezüglich der Höhe des Unterhaltsbeitrags - wies es Berufung und Anschlussberufung ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte das erstinstanzliche Urteil (Dispositiv-Ziff. 6 des Entscheids vom 19. August 2003). In Beurteilung der geltend gemachten Berufungsgründe trat das Kantonsgericht Schwyz auf viele Vorbringen und Anträge der Parteien aus formellen Gründen nicht ein. Insbesondere das in der Anschlussberufungsantwort gestellte Unterhaltsbegehren des Ehemannes bezeichnete es als neu und unzulässig (E. 3a-c S. 37 f. des Entscheids vom 19. August 2003). D. Gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid hat der Ehemann staatsrechtliche Beschwerde erhoben und eidgenössische Berufung eingelegt. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde beantragt er dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid - abgesehen von der Verfügungsbeschränkung für die Dauer des Verfahrens - in den Dispositiv-Ziff. 1 bis 3 und 5 bis 8 aufzuheben. Die Ehefrau und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. E. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde hat der Ehemann ein Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Beschwerdefrist gestellt. Zu den Gegenbemerkungen des Kantonsgerichts betreffend Fristwiederherstellung hat der Ehemann Stellung genommen. Die Ehefrau beantragt die Abweisung des Gesuchs. Die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um Fristwiederherstellung gutgeheissen (Zwischenbeschluss vom 11. Juni 2004).