Sachverhalt: A. Die 1971 geborene C._ absolvierte im April 1992 eine Lehre als Fotolithografin. 1994 wanderte sie nach M._ aus, wo sie heiratete und zwei Söhne gebar (Jahrgänge 1998 und 1999). Ende Dezember 2001 kehrte sie zusammen mit ihrer Familie in die Schweiz zurück. Im März 2004 trennten sich die Eheleute und am 5. Februar 2008 wurde die Ehe geschieden. C._ meldete sich am 5. November 2009 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch, namentlich veranlasste sie eine polydisziplinäre Begutachtung durch die A._, Spital X._ (Gutachten vom 18. November 2010 und 17. Februar 2012) und ordnete eine Abklärung der Verhältnisse im Haushalt an (Bericht vom 6. Mai 2011, Stellungnahme vom 27. März 2012). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. August 2012 einen Rentenanspruch, ausgehend von einem Erwerbsanteil von 84 %, einem Haushaltsanteil von 16 % und einem Invaliditätsgrad von 36 %. B. In Gutheissung der hiegegen von C._ erhobenen Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 4. Februar 2013 die Verfügung vom 3. August 2012 auf und sprach C._ rückwirkend ab 1. November 2010 eine halbe, ab 1. Februar 2011 eine ganze und ab 1. Mai 2012 wiederum eine halbe Rente zu. C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Anspruch auf eine Invalidenrente zu verneinen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht die IV-Stelle um aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Gleichzeitig ersucht die Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. D. Mit Verfügung vom 12. Juli 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.