Sachverhalt: A. Die 1977 geborene D._ ist verheiratet und Mutter zweier Kinder. Sie war seit November 1999 als Betriebsmitarbeitende Logistik tätig. Am 14. Mai 2009 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen in medizinischer sowie erwerblicher Hinsicht und Durchführung einer beruflichen Abklärung, welche abgebrochen wurde, weil die Zielsetzung eines Einsatzes von mindestens 50 % nicht erreicht werden konnte, veranlasste die IV-Stelle des Kantons St. Gallen eine psychiatrische Begutachtung (Expertise des Medizinalrates Dr. med. J._, beeideter und gerichtlich zertifizierter Sachverständiger in Österreich, Medizinisches Gutachterzentrum Y._, vom 8. Dezember 2011). Mit Verfügung vom 4. April 2012 lehnte die IV-Stelle den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente ab, weil kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege. B. D._ liess Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung vom 4. April 2012 sei ihr ab dem 1. Januar 2010 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen D._ in Gutheissung der Beschwerde rückwirkend ab 1. Januar 2010 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Ferner ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Während D._ auf Abweisung der Beschwerde, eventuell Rückweisung zur Vornahme ergänzender medizinischer Abklärungen an die Verwaltung, schliessen lässt, unterstützt das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) den Standpunkt der IV-Stelle.