Sachverhalt: A. Die 1955 geborene A._ ist seit August 2010 bei der Stiftung B._ als Internatsleiterin tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG unfallversichert. Am 22. Juli 2013 verletzte sie sich beim Versuch, auf einer Wiese ein Rad zu schlagen. Mit dem Verdacht auf einen Muskelfaserriss der Adduktoren blieb sie vom 22. Juli bis 26. Juli 2013 hospitalisiert. Nach erfolgloser Therapie ergab eine hausärztlicherseits veranlasste MRI-Untersuchung einen kompletten Abriss der linksseitigen hinteren Oberschenkelmuskulatur (Bericht der Klinik C._ vom 6. August 2013). Während ihrer erneuten Hospitalisation (vom 12. bis 28. August 2013) erfolgte am Spital D._ operativ eine Refixation der ischiocruralen Muskulatur (Austrittsbericht vom 22. August 2013). Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG lehnte nach Durchführung der erforderlichen Abklärungen ihre Leistungspflicht ab, weil kein Unfall im Rechtssinne vorliege (Verfügung vom 24. September 2013), woran sie mit Einspracheentscheid vom 1. November 2013 festhielt. B. Eine gegen diesen Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 31. Juli 2014 gut und verpflichtete die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG, der Versicherten für die Folgen der am 22. Juli 2013 erlittenen unfallähnlichen Körperschädigung die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. C. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid zu bestätigen. Während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt A._ Abweisung der Beschwerde.