Sachverhalt: A. Der 1982 geborene türkische Staatsangehörige X._ reiste am 10. Juli 2002 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch, welches jedoch abgelehnt wurde. Gegen den abschlägigen Entscheid führte er Beschwerde bei der damaligen Asylrekurskommission (ARK). Noch während des hängigen Beschwerdeverfahrens heiratete er am 28. November 2003 seine Landsfrau Y._, welche den Status eines anerkannten Flüchtlings hatte und über die Niederlassungsbewilligung verfügte. Daraufhin wurde X._ eine Jahresaufenthaltsbewilligung ausgestellt. Im April 2006 wurde die gemeinsame Tochter Z._ geboren, welche wie ihre Mutter die Niederlassungsbewilligung erhielt. Bereits im Mai 2006 kam es zur Trennung der Eheleute, worauf das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden mit Verfügung vom 1. Juni 2007 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ verweigerte. Eine hiergegen erhobene Beschwerde beim Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden blieb ohne Erfolg. B. X._ liess daraufhin beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden Beschwerde erheben. In seinem Entscheid vom 15. April 2008 wies dieses die Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 15. September 2008 reichte X._ eine als "Verfassungsbeschwerde" bezeichnete Rechtsschrift ein. Darin wurde im Wesentlichen beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern. Während das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde. Mit Verfügung vom 2. Oktober 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.