Sachverhalt: A. Die 1958 geborene A._ (nachfolgend: Versicherte) leidet unter anderem an einer kombinierten Persönlichkeitsstörung sowie einem Alkoholabhängigkeitssyndrom (seit ca. 1976 bzw. 1981) und wurde seit 1981 viele Male an der Klinik X._ stationär behandelt. Vom 1. Januar 1999 bis zum 31. August 2008 (letzter effektiver Arbeitstag: 31. Juli 2008) war die Versicherte bei der Unternehmung Q._ angestellt, welche berufsvorsorgerechtlich der PKE Pensionskasse Energie (nachfolgend: PKE) angeschlossen war. Ab dem 10. August 2008 arbeitete sie bei der Einwohnergemeinde Z._ und war bei der BVK Personalvorsorge des Kanton Zürich (nachfolgend: BVK) berufsvorsorgeversichert. Die Versicherte meldete sich am 27. Dezember 2007 erstmals bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte medizinische und erwerbliche Abklärungen durch und gewährte Arbeitsvermittlung, welche sie - unter Hinweis auf die per 10. August 2008 aufgenommene, rentenausschliessende Tätigkeit - am 17. Dezember 2008 als abgeschlossen erklärte. Ferner verneinte sie mit Verfügung vom 5. März 2009 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Am 1. September 2010 meldete sich die Versicherte erneut zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 17. November 2011 sprach ihr die IV-Stelle eine ganze Invalidenrente rückwirkend ab 1. Mai 2011 zu (Invaliditätsgrad von 100 %). Die BVK verneinte ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die relevante Arbeitsunfähigkeit sei bereits im vorangegangenen Arbeitsverhältnis eingetreten und der zeitliche Zusammenhang sei durch die Tätigkeit bei der Gemeinde Z._ nicht unterbrochen worden. Zugleich anerkannte sie ihre Vorleistungspflicht (Einspracheentscheid vom 28. November 2011). B. Die Versicherte erhob am 14. Juni 2012 Klage mit dem Rechtsbegehren, die BVK sei zur Leistung der gesetzlichen und reglementarischen Leistungen zuzüglich 5 % Verzugszins ab Klageerhebung zu verpflichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich lud die PKE zum Verfahren bei und wies die Klage mit Entscheid vom 28. Februar 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die PKE beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Leistungspflicht des Kantons Zürich festzustellen. Der Kanton Zürich, vertreten durch die Finanzdirektion, diese vertreten durch die BVK, trägt auf Abweisung der Beschwerde, während die Versicherte auf Gutheissung der Beschwerde schliesst. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.