Sachverhalt: A. Die A._ AG (Beklagte) ist eine Aktiengesellschaft, an der vier Aktionäre - allesamt Geschwister - beteiligt sind. Die beiden Aktionäre D.C._ und E.C._ sind exekutiv tätig. Sie verfügen aufgrund ihrer Stimmrechtsaktien über die Stimmenmehrheit, nicht aber über die Kapitalmehrheit. Die Kapitalmehrheit wird von den zwei nicht operativ tätigen Aktionären B.C._ (Klägerin 1) und C.C._ (Kläger 2) gehalten. Die Verwaltungsratsmitglieder der Beklagten sind C.C._, D.C._, E.C._ und Rechtsanwalt X._. Die Generalversammlung der Beklagten beschloss im Dezember 2001 mit der Kapitalmehrheit, aber ohne Stimmenmehrheit, gegen die Verwaltungsratsmitglieder D.C._ und E.C._ Verantwortlichkeitsklage zu erheben. Am 10. April 2003 wurde von der ausserordentlichen Generalversammlung mit Kapitalmehrheit beschlossen, gegen sämtliche Mitglieder des Verwaltungsrates eine Verantwortlichkeitsklage anzustrengen. Als Grund wurde angegeben, die Beklagte sei durch Vermögensverschiebungen zugunsten von D.C._ und E.C._ sowie durch die Kosten eines Schiedsverfahrens geschädigt worden. In der Folge beschloss die Versammlung über die Bestellung eines Beistandes bzw. unabhängigen Vertreters zur Führung der Verantwortlichkeitsprozesse. Der Antrag von C.C._, Rechtsanwältin Y._ als Beistand zu wählen, wurde von der Kapitalmehrheit gutgeheissen, von der Stimmenmehrheit jedoch abgelehnt. Der die Versammlung leitende Verwaltungsratspräsident vertrat die Ansicht, dass für diesen Beschluss die Stimmenmehrheit massgeblich sei. Daraufhin bestimmte die Generalversammlung mit Stimmenmehrheit Rechtsanwalt Z._ als Beistand der Beklagten zu deren Vertretung in den Verantwortlichkeitsprozessen. Anlässlich der ordentlichen Generalversammlung vom 22. Juni 2004 wurde diese Wahl mit Stimmenmehrheit - aber wiederum gegen die Kapitalmehrheit - bestätigt. B. Am 6. Juni 2003 reichten die Kläger beim Handelsgericht des Kantons Aargau eine Anfechtungsklage ein mit den Rechtsbegehren, es sei der Beschluss der Generalversammlung vom 10. April 2003 bezüglich der Wahl von Rechtsanwalt Z._ aufzuheben und es sei zu bestimmen, eventuell zu bestätigen, dass die Generalversammlung als Beistand zur Führung der Verantwortlichkeitsprozesse Rechtsanwältin Y._ gewählt habe. Mit einer zweiten Anfechtungsklage beantragten die Kläger am 20. August 2004, es sei der Beschluss der Generalversammlung vom 22. Juni 2004 des Inhalts "es sei der Gesellschaft betreffend die Periode vom 1. April 2003 bis zum 22. Juni 2004 Herr Rechtsanwalt Z._, als Beistand zur Führung der Verantwortlichkeitsprozesse gegen die Mitglieder des Verwaltungsrates zu bestimmen" aufzuheben. Zudem sei zu bestimmen, eventuell zu bestätigen, dass die Generalversammlung Rechtsanwältin Y._ als Prozessbeistand gewählt hat. Nachdem der Instruktionsrichter die beiden Verfahren mit Verfügung vom 21. September 2004 vereinigt hatte, hiess die Vorinstanz die Klage mit Urteil vom 15. März 2006 teilweise gut. Die Beschlüsse der Generalversammlung vom 10. April 2003 und 22. Juni 2004 wurden insoweit aufgehoben, als Rechtsanwalt Z._ als Beistand zur Führung der Verantwortlichkeitsprozesse gegen die Mitglieder des Verwaltungsrates bestimmt wurde (Ziff. 1.1). Insoweit die Kläger mehr oder etwas anderes verlangt hatten, wurde die Klage abgewiesen (Ziff. 1.2). Weiter regelte das Handelsgericht die Kosten- und Entschädigungsfolgen (Ziff. 2 und 3). C. Am 5. Mai 2006 erhob die Beklagte eidgenössische Berufung mit den Anträgen, es sei Ziff. 1.1 des Dispositivs des Handelsgerichtes des Kantons Aargau vom 15. März 2006 aufzuheben, und es seien die Klagen abzuweisen. Zudem seien Ziff. 2 und 3 des vorinstanzlichen Dispositivs bei Gutheissung der Berufung aufzuheben und das Verfahren an die Vorinstanz zur Neufestsetzung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens zurückzuweisen. Eventualiter seien Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens vom Bundesgericht zu regeln. Die Kläger beantragen die Abweisung der Berufung.