Sachverhalt: A. A.a Der 1946 geborene L._ meldete sich am 9. März 1999 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Nach beruflichen Abklärungen und Beizug namentlich des Austrittsberichtes der Rehaklinik X._ vom 3. Mai 1999 ermittelte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland einen Invaliditätsgrad von 29 %, weswegen sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente verneinte (Verfügung vom 20. Juni 2000). Im Weiteren lehnte sie berufliche Massnahmen ab. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess die Eidgenössische Rekurskommission der Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung für die im Ausland wohnenden Personen mit Entscheid vom 29. Juli 2002 gut und wies die Sache zu ergänzender Sachverhaltsklärung im Hinblick auf berufliche Massnahmen und einen allfälligen Rentenanspruch an die Verwaltung zurück. A.b Gestützt auf das Gutachten des Dr. med. I._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie, vom 16. Juni 2003 sprach die IV-Stelle für Versicherte im Ausland mit Verfügung vom 25. August 2004 eine halbe Rente der Invalidenversicherung rückwirkend ab 1. Juni 1999 zu (Invaliditätsgrad von 53 %). Auf Einsprache hin erliess die IV-Stelle des Kantons Thurgau unter Anordnung zusätzlicher Abklärungen am 13. Oktober 2004 einen gutheissenden Einspracheentscheid. A.c Nach Begutachtung bei Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin (Expertise vom 14. Dezember 2004), sowie einer in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) vom 5. bis 20. Dezember 2005 stattgefundenen beruflichen Abklärung verfügte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland die Abweisung des "Erhöhungsgesuches" (Verfügung vom 5. Dezember 2006; Invaliditätsgrad: 59 %). B. L._ führte Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, während deren Hängigkeit er am 17. Dezember 2008 verstarb. Seine Erben traten in das Verfahren ein. Mit Entscheid vom 15. Dezember 2009 hiess das Gericht die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als es für die Zeit von Juni 1999 bis Mai 2006 eine halbe Rente und Juni 2006 bis Dezember 2006 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zusprach. C. Die Erben des L._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und beantragen, von Juni 1999 bis Dezember 2000 sei eine halbe und von Januar 2001 bis Dezember 2001 eine Dreiviertelsrente zu gewähren, welche ab Januar 2002 bis Dezember 2006 auf eine ganze Invalidenrente anzuheben sei. Sodann beantragen sie Verzugszinsen von 5 % ab Juni 1999 und für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'000.-. Die unentgeltliche Prozessführung sei auch im Verfahren vor Bundesgericht zu gewähren. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau und jene für Versicherte im Ausland schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) enthält sich der Stellungnahme.