Sachverhalt: A. Der nach der Ständeratswahl vom 23. Oktober 2011 im Kanton Schwyz erforderliche zweite Wahlgang für den zweiten Sitz wurde auf den 27. November 2011 angesetzt. Neu bewarb sich dafür Nationalrat Peter Föhn, der an der Wahl vom 27. November 2011 die meisten Stimmen erzielte. Anton (Toni) Reichmuth stellte am 28. Oktober 2011 fest, dass der Wahlvorschlag für Peter Föhn von Stimmberechtigten unterzeichnet war, deren Unterschriften von den Gemeinden (vorerst) nicht beglaubigt waren. Am 4. November 2011 wandte er sich mit diversen Fragen an die Staatskanzlei des Kantons Schwyz, erhielt darauf indes keine aktenkundige Antwort. Am 26. November 2011 erhob er beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz Beschwerde. Dieses trat mit Entscheid vom 2. Dezember 2011 auf die Beschwerde nicht ein, weil es nicht zuständig und die Beschwerde verspätet sei. Es überwies die Beschwerde an den Kantonsrat Schwyz. Auf eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_549/2011 vom 8. Dezember 2011 nicht ein. B. Mit einer weiteren Beschwerde vom 12. Dezember 2011 gelangte Anton (Toni) Reichmuth an den Kantonsrat Schwyz. Er beantragte im Wesentlichen, die Wahl von Peter Föhn sei aufzuheben und der zweite Wahlgang der Ständeratswahl sei zu wiederholen. C. Der Kantonsrat Schwyz trat mit Beschluss vom 12./14. Dezember 2011 auf die vom Verwaltungsgericht weitergeleitete Beschwerde vom 26. November 2011 nicht ein und wies die Beschwerde vom 12. Dezember 2011 ab. Mit demselben Beschluss erwahrte der Kantonsrat die Wahl von Peter Föhn als Mitglied des Ständerats für die Amtsdauer 2011-2015. D. Gegen diesen Entscheid des Kantonsrats hat Anton (Toni) Reichmuth beim Bundesgericht am 30. Januar 2012 Beschwerde erhoben. Er beantragt, die Sache sei in Anwendung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) einem kantonalen Gericht zum Entscheid zu übertragen und es sei eine angemessene Normenkontrolle betreffend die Ausgestaltung der Rechtsweggarantie durchzuführen. Eventualiter verlangt er, die Liste von Peter Föhn für den zweiten Wahlgang vom 27. November 2011 nicht zuzulassen, die Wahl aufzuheben und einen neuen Wahlgang anzusetzen. Überdies stellt er den Antrag, die im kantonalen Verfahren vorgebrachten Argumente seien als Bestandteile seiner Beschwerde ans Bundesgericht anzuerkennen. E. Der Kantonsrat Schwyz beantragt die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Peter Föhn stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. In einer weiteren Vernehmlassung hält der Beschwerdeführer an seinen Standpunkten fest.