Sachverhalt: A. A._, die an einer psychischen Erkrankung leidet, ist seit vielen Jahren bei den CSS Versicherungen (nachfolgend: CSS) krankenversichert. Bis Ende 1996 war sie in der KUVG-Zusatzversicherung "Kombinierte Spitalversicherung" (Allgemeine Versicherungsbedingungen; AVB 01.1995), Leistungsgruppe 2: Halbprivate Abteilung (Zweibettzimmer mit anerkannter Tarifbindung), versichert. Mit Einführung des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10; in Kraft seit dem 1. Januar 1996) und der Unterstellung der Zusatzversicherungen unter das Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG; SR 221.229.1) erfolgte auf den 1. Januar 1997 bei der CSS die Überführung der "Kombinierten Spitalversicherung Halbprivate Abteilung" in die "Spitalversicherung halbprivat, Heilungskostenversicherung" (AVB 01.1997). A._ (geboren 1930) schloss im Oktober 2004 mit der CSS einen neuen (modifizierten) Krankenversicherungsvertrag "Spitalversicherung halbprivat, Heilungskostenversicherung" ab. Die neue Police ersetzte alle bisherigen Versionen und erlangte Gültigkeit ab dem 1. Januar 2005. Neben der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) umfasst die Police unter anderem auch eine Spitalversicherung halbprivat (nach VVG) mit Tarifbindung. B. Die Frauenklinik am Meissenberg, psychiatrisch-psychotherapeutische Spezialklinik für Frauen in Zug, ersuchte im Auftrag von A._ die CSS am 29. April 2005 um Kostengutsprache ab demselben Datum für die stationäre Behandlung von A._. Die Spitalbedürftigkeit der Patientin war unbestritten. Am 11. Mai 2005 lehnte die CSS das Gesuch unter folgendem Hinweis ab: "Vertragsloser Zustand/Versicherungsleistungen auf dem Rückerstattungsweg". Weiter bemerkte sie, dass gemäss den Empfehlungen ihres Vertrauensarztes eine 90-tägige Hospitalisation der Patientin zwar indiziert sei, da jedoch ein vertragsloser Zustand bestehe, werde sie lediglich die der Versicherten zustehende Leistung aus der OKP in der Höhe von Fr. 214.-- pro Tag vom 29. April bis zum 27. Juli 2005 rückerstatten. Mit Schreiben vom 12. Mai 2005 teilte die CSS A._ mit, dass die sie behandelnde Klinik auf der sogenannten "Liste der Spitäler ohne allgemeine und/oder halbprivate Abteilung" stehe, weil kein Tarifvertrag für die allgemeine und halbprivate Abteilung bestehe. Des Weiteren führte sie aus, dass sie aufgrund der ungenügenden Versicherungsdeckung (lediglich) die durch die OKP versicherten Kosten für die Aufnahme in die allgemeine Abteilung des zuständigen öffentlichen Spitals des Wohnkantons der Versicherten zu einem Ansatz von Fr. 214.-- pro Tag garantiere. Aus der "Spitalversicherung halbprivat" bestehe demgegenüber kein Leistungsanspruch, weshalb weitergehende Kosten zu Lasten der Versicherten gingen. Eine Kopie dieses Schreibens ging an die Klinik am Meissenberg. Auf Ersuchen von A._ lehnte die CSS eine Kostengutsprache am 24. Mai 2005 erneut ab mit dem Hinweis auf ein Schreiben ihrer Rechtsabteilung vom 19. April 2005 an die Klinik, das auch im vorliegenden Falle Gültigkeit habe. Die Versicherte hielt sich vom 29. April bis zum 7. Juni 2005 in der Klinik auf der Privatabteilung Zweibettzimmer auf. C. Am 5. Oktober 2005 reichte A._ Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen die CSS ein und forderte von dieser aus (Kranken-)Zusatzversicherung die Differenz zwischen 75 % des Gesamtrechnungsbetrages für den Klinikaufenthalt und der von der CSS garantierten OKP-Pauschale, ausmachend Fr. 37'612.85 samt Zinsen. In teilweiser Gutheissung der Klage verurteilte das Amtsgericht die CSS zur Bezahlung von Fr. 28'209.60 samt Zinsen. D. Die dagegen von der CSS erhobene Appellation hiess das Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, mit Urteil vom 30. November 2006 gut und wies die Klage vollumfänglich ab. Die von A._ erhobene Anschlussappellation wurde damit gegenstandslos. E. A._ (fortan: Klägerin, Versicherte) führt mit Eingabe vom 22. Januar 2007 eidgenössische Berufung an das Bundesgericht. Sie beantragt, die CSS für ihren Klinikaufenthalt zur Leistung von Fr. 33'588.25 samt Zinsen ab dem 10. Oktober 2005 zu verpflichten. Die CSS (fortan: Beklagte, Versicherer) schliesst auf Abweisung der Berufung. Eine gegen den nämlichen obergerichtlichen Entscheid eingereichte staatsrechtliche Beschwerde hat das Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tage abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist (Verfahren 5P.27/2007).