Sachverhalt: A. Am frühen Morgen des 4. Juni 2012 fanden Beamte der Kantonspolizei Wallis in der Wohnung Nr. "..." der Résidence Z._ in Leukerbad den leblosen Körper von Y._ (Jg. 2005). Ihr Vater, X._, befand sich ebenfalls in der Wohnung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Wallis eröffnete gleichentags eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen vorsätzlicher Tötung, eventuell Mordes; sie verdächtigt ihn, seine Tochter getötet und anschliessend versucht zu haben, sich durch die Einnahme von Medikamenten selber umzubringen. X._ wurde am Tatort festgenommen und befindet sich seither in Haft. Am 6. Dezember 2012 hiess das Zwangsmassnahmengericht das Haftverlängerungsgesuch der Staatsanwaltschaft vom 28. November 2012 gut und verlängerte die Untersuchungshaft gegen X._ um 3 Monate bis zum 4. März 2013. Am 21. Januar 2013 wies das Kantonsgericht des Kantons Wallis die Beschwerde von X._ gegen diesen Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts ab (Dispositiv-Ziffer 1), auferlegte ihm die Gerichtsgebühr von Fr. 700.-- (Dispositiv-Ziffer 2) und entschädigte Rechtsanwalt Beat Rieder für die amtliche Verteidigung mit Fr. 1'000.-- (Dispositiv-Ziffer 3). Es erwog, X._ sei der vorsätzlichen Tötung seiner Tochter dringend verdächtig, und es bestehe Flucht- und Wiederholungsgefahr. B. Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._, diesen Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Untersuchungshaft zu entlassen, die Kosten dem Kanton Wallis aufzuerlegen, ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen und seinen Vertreter als amtlichen und notwendigen Verteidiger für das Verfahren vor den Vorinstanzen und dem Bundesgericht einzusetzen und angemessen zu entschädigen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verteidigung. C. Die Staatsanwaltschaft und das Kantonsgericht verzichten auf Vernehmlassung.