Sachverhalt: A. Die A._ AG verfügte über ein bis zum 31. Dezember 2008 befristetes Recht zum Abbau von Sand, Kies und Steinen im Vierwaldstättersee vor Stansstad. Am 22. Februar 2005 ersuchte sie unter anderem um Erneuerung des Rechts zur Kiesausbeutung, um Erweiterung des Abbauperimeters, um Verleihung des Rechts zur Aufschüttung/Renaturierung eines Gebiets im Alpnachersee (neue Flachwasserzone) sowie um Baubewilligung für die einzelnen Teilprojekte. Das Gesuch mit Umweltverträglichkeitsbericht wurde am 5. Oktober 2005 öffentlich aufgelegt. X._, die Stockwerkeigentümergemeinschaften Y._ und Z._ sowie die B._ AG erhoben Einsprache gegen das Vorhaben. In der ersten Hälfte 2007 nahm die A._ AG verschiedene Projektanpassungen vor, dies namentlich auch aufgrund einer Begutachtung des Vorhabens durch die Eidgenössische Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK) und die Eidgenössische Kommission für Denkmalpflege (EKD). Mit Beschluss vom 21. August 2007 wies der Regierungsrat des Kantons Nidwalden die Einsprache ab. Er erteilte gleichzeitig die Bewilligung zur Ausbeutung von Kies, Sand und andern Materialien nach Art. 44 GSchG (SR 814.20), die Verleihung zum Bezug von Steinen, Kies und Sand aus dem Seegebiet vor Stansstad nach Art. 26 Abs. 1 Ziff. 2 des kantonalen Wasserrechtsgesetzes vom 30. April 1967 (WRG/NW) sowie die Verleihung zum Wasserbezug aus dem Vierwaldstättersee nach Art. 26 Abs. 1 Ziff. 5 WRG/NW, dies für die Zeit vom 1. Januar 2008 bis zum 31. Dezember 2019. Sodann wurden Aufschüttungs- und Renaturierungsmassnahmen im Alpnachersee bewilligt und verschiedene Bedingungen und Auflagen angeordnet. Gegen diese Beschlüsse des Regierungsrats erhoben die Einsprecher am 17. September 2007 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, welches mit Urteil vom 23. Juni 2008 auf die Beschwerde wegen fehlender Legitimation der Beschwerdeführer nicht eintrat. Mit Urteil 1C_26/2009 vom 27. Februar 2009 entschied das Bundesgericht auf Beschwerde der unterlegenen Einsprecher hin, das Verwaltungsgericht habe die Beschwerdeberechtigung zu Unrecht verneint. Es hob deshalb das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. Juni 2008 auf und wies die Angelegenheit zur materiellen Prüfung der Beschwerde vom 17. September 2007 an die Vorinstanz zurück. B. Am 11. März 2009 beantragte die A._ AG beim Verwaltungsgericht im Wesentlichen, der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen ihr Vorhaben sei die aufschiebende Wirkung zu entziehen, damit sie bis zum Abschluss des gerichtlichen Verfahrens den Kiesabbau weiterführen könne. Mit Urteil vom 5. Juni 2009 hiess der Präsident des Verwaltungsgerichts den Antrag um Entzug der aufschiebenden Wirkung gut. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Juli 2009 stellen X._ sowie die Stockwerkeigentümergemeinschaften Y._ und Z._ den Antrag, das Urteil des Präsidenten des Verwaltungsgerichts vom 5. Juni 2009 sei aufzuheben und der gewährte Entzug der aufschiebenden Wirkung sei zu beseitigen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht und der Regierungsrat verzichten unter Verweisung auf den angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung. Die A._ AG beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten.