Sachverhalt: A. A.a X._, Zug, (Beschwerdeführerin) hielt bis 1989 50 % der Aktien der A._ SA mit Sitz in Neuenburg. Y._ AG, Zürich, (Beschwerdegegnerin) ist Rechtsnachfolgerin der B.Y._ AG. Im November 1989 erteilte die Beschwerdeführerin der Bank E._ (nunmehr Bank F._) den Auftrag, einen Käufer für ihre Aktien der A._ SA zu suchen. Die Bank E._ fand eine Investorengruppe, die bereit war, die Aktien zu übernehmen. Im Rahmen des Mandatsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin zog die Bank E._ die damalige B._ AG als Expertin in Steuerfragen bei. Diese teilte der Bank E._ mit Schreiben vom 29. November 1989 mit, dass der geplante Aktienverkauf keine steuerlichen Folgen für die Beschwerdeführerin zeitigen würde. In der Folge wurde der Kaufvertrag am 18. Dezember 1989 unterzeichnet und entsprechend abgewickelt. Die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin, die B.Y._ AG, wurde am 31. Oktober 1991 als Tochtergesellschaft der B._ AG gegründet und übernahm in der Folge gemäss Pressemitteilung deren operatives Geschäft. Im Januar 1992 teilte die Steuerverwaltung der Beschwerdeführerin mit, dass sie die Transaktion als Vermögensertrag zu besteuern gedenke. Im anschliessenden Einspracheverfahren erteilte die Beschwerdeführerin der B.Y._ AG den Auftrag, sie zu vertreten und zu beraten. Auf deren Anraten wurde schliesslich auf eine Einsprache verzichtet und der Aktienverkauf zeitigte für die Beschwerdeführerin nachteilige Steuerfolgen. A.b Die Unternehmensgeschichte der Beschwerdegegnerin stellt sich im Einzelnen wie folgt dar: Im Jahr 1991 erwarb das obere Kader der B._ AG in einem Management-Buyout eine Aktienmehrheit der eigenen Unternehmung. In der Folge erwarb die B._ AG 100 % der Aktien der Y._ AG und gründete am 31. Oktober 1991 die Rechtsvorgängerin der heutigen Beschwerdegegnerin, die B.Y._ AG. Diese führte als operativ tätige Gesellschaft alle Dienstleistungen des Stammhauses B._ AG sowie der Y._ AG weiter. Dies geht aus einer Pressemitteilung, aus einer Mitteilung mit dem Titel "Unser Unternehmen 1991" sowie aus Zeitungsberichten hervor. So teilte die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin unter anderem mit Pressemitteilung vom 13. November 1991 folgendes mit: "Die Tätigkeiten der B._ AG und der Y._ AG werden zusammengelegt. Unter dem Gruppennamen B.Y._ führt die neue B.Y._ AG als operative Hauptgesellschaft alle Dienstleistungen des B._ AG-Stammhauses und der Y._ AG weiter." In der Neuen Zürcher Zeitung vom 14. November 1991 wird die Umstrukturierung etwa wie folgt beschrieben: "Die B._ AG ... hat die schweizerische Y._ AG zu 100 % übernommen. Dabei wurde das operative Geschäft der Y._ AG ... mit demjenigen des B._ AG-Stammhauses in der B.Y._ AG zusammengelegt." Die Y._ AG sowie die B._ AG blieben daneben als eigene Gesellschaften bestehen. Die B.Y._ AG wurde am 30. April 1996 in C.Y._ AG und am 10. Oktober 2001 in D.Y._ AG umfirmiert. Schliesslich wurde die D.Y._ AG am 14. Dezember 2004 mit der Y._ AG fusioniert, wobei die Firma Y._ AG beibehalten wurde. A.c Mit Klage vom 29. Dezember 1997 fasste die Beschwerdeführerin zunächst die Bank F._ als Rechtsnachfolgerin der Bank E._ ins Recht und forderte von ihr Schadenersatz für den aus der Steuerauskunft erwachsenen Schaden. Das Zivilgericht Basel-Stadt wies die Klage mit Urteil vom 6. November 2002 ab mit der Begründung, die Bank F._ sei zum Beizug der B._ AG als Substitutin gemäss Art. 399 Abs. 2 OR befugt gewesen und habe in diesem Zusammenhang keine Pflichtverletzung begangen. Jedoch sei die der Beschwerdeführerin erteilte Steuerauskunft falsch gewesen und stelle grundsätzlich eine Vertragsverletzung dar. Gegen das Urteil des Zivilgerichts appellierte die Beschwerdeführerin. Das Appellationsverfahren ist bis zum Abschluss des vorliegenden Verfahrens sistiert worden. B. B.a Mit Klage vom 24. Januar 2005 beim Zivilgericht Basel-Stadt verlangte die Beschwerdeführerin, es sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 1 Mio. zuzüglich Zins zu 5 % ab Klageeinreichung zu verurteilen. Zur Begründung führte die Beschwerdeführerin im Wesentlichen aus, die Beschwerdegegnerin sei hinsichtlich der Folgen der fehlerhaften Beurteilung der Steuerfolgen die Rechtsnachfolgerin der B._ AG im Sinne von Art. 181 Abs. 1 OR. Die Beschwerdeführerin sei deshalb berechtigt, gegenüber der Beschwerdegegnerin vertragliche Haftungsansprüche geltend zu machen. Das Verfahren wurde vom erstinstanzlichen Instruktionsrichter auf die Frage der Passivlegitimation beschränkt. Mit Zwischenurteil vom 23. August 2006 hat das Zivilgericht festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin passivlegitimiert sei. B.b Auf Appellation der Beschwerdegegnerin hin hob das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Zwischenurteil des Zivilgerichts vom 23. August 2006 auf und wies die Klage zufolge fehlender Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. Mai 2008 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 18. Januar 2008 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin passivlegitimiert sei. Entsprechend sei das Zivilgericht Basel-Stadt anzuweisen, der Beschwerdegegnerin Frist anzusetzen für die Einreichung der materiellen Klagantwort. Eventualiter sei das Urteil des Appellationsgerichts vom 18. Januar 2008 insoweit aufzuheben, als die Beschwerdeführerin verurteilt worden sei, die ordentlichen und ausserordentlichen Kosten des erst- und zweitinstanzlichen kantonalen Verfahrens zu tragen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Die Vernehmlassung der Vorinstanz beschränkt sich auf zwei Bemerkungen zu den von der Beschwerdeführerin erhobenen Rügen.