Sachverhalt: A. Im Konkurs von X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) wurde der Bank A._ am 21. Dezember 2005 ein Verlustschein über Fr. 42'479'696.95 ausgestellt. Im Testament vom 2. Mai 2007 wurde der Beschwerdeführer durch eine Klausel von seiner Ehegattin Y._ unter Verweis auf Art. 480 ZGB enterbt. Y._ starb am 6. Mai 2007. Auf Gesuch der Bank A._ verarrestierte der Gerichtspräsident von Z._ mit Verfügung vom 25. Oktober 2007 sämtliche Werte des Beschwerdeführers bei der PostFinance. Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer am 9. November 2007 Einsprache gemäss Art. 278 SchKG mit dem Antrag, der Arrestbefehl sei bezüglich der Postkonten Nr. 1 und Nr. 2 aufzuheben. Mit Urteil vom 6. Dezember 2007 wies der Gerichtspräsident die Einsprache und - mit Verfügung vom gleichen Tag - das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. B. Der Beschwerdeführer hat gegen das Arresturteil vom 6. Dezember 2007 beim Kantonsgericht Freiburg (II. Zivilappellationshof) Berufung eingereicht. Er beantragte, den Arrestbefehl vom 25. Oktober 2007 bezüglich der besagten Postkonten aufzuheben. Ebenfalls mit Eingabe vom 27. Dezember 2007 hat der Beschwerdeführer Berufung eingereicht gegen die Verfügung vom 6. Dezember 2007 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Urteil vom 28. Januar 2008 wurde die Berufung abgewiesen und die Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 6. Dezember 2007 mit Bezug auf die unentgeltliche Rechtspflege bestätigt. C. Mit Eingabe vom 4. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Sodann ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Präsidialverfügung vom 13. März 2008 wurde dem Gesuch um aufschiebende Wirkung entsprochen. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.