Sachverhalt: A. A.a Der Kanton Schaffhausen (Gerichtskasse) betrieb X._ für eine Forderung von Fr. 2'000.-- zuzüglich Kosten. Am 4. Dezember 2009 stellte das Betreibungsamt Schaffhausen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. 1 aus, welcher X._ nicht persönlich zugestellt werden konnte. Mit Brief vom 23. Dezember 2009 teilte X._ dem Betreibungsamt mit, seines Wissens bestehe bis heute nur ein laufendes Betreibungsverfahren gegen ihn; in diesem Verfahren erhebe er Rechtsvorschlag; zudem ersuchte er das Amt, eine nicht eingeschriebene Kopie der Betreibungsurkunde an die Adresse seiner Mutter, A._, B._weg x, C._, zu senden. Das Betreibungsamt kam dieser Aufforderung nicht nach, sondern liess den Zahlungsbefehl X._ am 25. Januar 2010 an der angegebenen Adresse seiner Mutter polizeilich zustellen. A.b Am 17. Februar 2010 stellte der Kanton Schaffhausen das Fortsetzungsbegehren, worauf das Betreibungsamt am 19. Februar 2010 X._ die Pfändungsanzeige/Vorladung ausstellte und ihn überdies am 25. Februar 2010 aufforderte, unverzüglich auf dem Betreibungsamt zu erscheinen. B. Die am 4. März 2010 gegen die Pfändungsankündigung erhobene Beschwerde von X._ wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, mit Entscheid vom 21. Mai 2010 ab, soweit darauf einzutreten war. C. X._ hat gegen diesen ihm am 3. Juni 2010 zugestellten Entscheid mit einem am 14. Juni 2010 der Post übergebenen Schriftsatz Beschwerde erhoben. Wie schon vor der kantonalen Instanz beantragt er im Wesentlichen die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils; ferner seien die Pfändungsankündigung für nichtig und der Rechtsvorschlag vom 23. Dezember 2009 für gültig zu erklären. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen und das Betreibungs- und Konkursamt Schaffhausen haben ausdrücklich auf Vernehmlassung verzichtet. Der Kanton Schaffhausen hat sich nicht vernehmen lassen.