(Genugtuung aus Persönlichkeitsverletzung), hat sich ergeben: A.- A._, geboren am _ 1981, und B._, geboren am _ 1983, stehen bzw. standen unter elterlicher Sorge ihrer - vom Kindsvater zweimal geschiedenen - Mutter C._. Dieser war im Juni 1983 durch die Fürsorgebehörde im Haus von X._ eine Wohnung vermittelt worden. Pflege und Betreuung ihrer beiden Kinder überliess C._, die kurz nach der Geburt der zweiten Tochter eine Erwerbstätigkeit aufgenommen hatte, weitgehend X._. Die Kinder blieben auch bei X._ in Pflege, als die Kindsmutter im August 1986 eine andere Wohnung bezog. Vereinbarungsgemäss nahm die Kindsmutter ihre Töchter jeweilen an zwei Wochenenden pro Monat zu sich auf Besuch. B.- Ab Oktober 1983 bestand für A._ und B._ eine Beistandschaft, die zunächst von der Vormundschaftsbehörde der Gemeinde Gaiserwald, Abtwil, geführt wurde. In ihrem Rücktrittsschreiben vom 15. September 1988 beanstandete die erste Beiständin den Pflegeplatz als solchen in keiner Weise und anerkannte die Leistungen der Pflegemutter ausdrücklich, schlug aber dennoch aus verschiedenen Gründen (z.B. Alter der Pflegemutter, Förderungsbedürftigkeit und Einschulung des älteren Kindes, Lebenswandel der Kindsmutter u.a.m.) einen Pflegeplatzwechsel vor. Die Pflegeverhältnisse wurden in der Folge nicht verändert, namentlich um dem Kind A._ das bisherige, gewohnte Umfeld zu erhalten. C.-Auf den 1. Oktober 1990 übernahm die Vormundschaftsbehörde der Stadt St. Gallen die Beistandschaft über die beiden Kinder. Zwischen der Pflegemutter und der Kindsmutter entstanden Spannungen, die ihre Ursache im persönlichen Verkehr der Kinder mit ihrer Mutter hatten; deren Ehemann, mit dem sie seit 1989 verheiratet ist, wurden sexuelle Übergriffe auf die Kinder angelastet. Wegen dieser Konflikte und daraus zumindest teilweise herrührender Probleme der Kinder schulischer und persönlicher Art ordnete die Vormundschaftsbehörde eine Begutachtung an. Der Ostschweizerische Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst (OKJPD) äusserte sich zur Unterbringung der Kinder bei X._ in durchaus positivem Sinne, gab aber auch seinen Bedenken gegenüber dem grundsätzlich guten Pflegeplatz Ausdruck. Gestützt auf das Gutachten und auf Antrag von Kindsmutter und Beistand ordnete die Vormundschaftsbehörde die Unterbringung der Kinder in einem Schulheim oder in einer heilpädagogischen Grossfamilie an; gleichzeitig entzog sie der Kindsmutter die elterliche Obhut (Beschluss vom 10. Juli 1992). Die von X._ erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons St. Gallen ab (Beschluss vom 20. Oktober 1992). Das Bundesgericht wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung und die staatsrechtliche Beschwerde von X._ - soweit darauf einzutreten war - ab (Urteile vom 9. und vom 23. Dezember 1992, 5P.439/1992). Am 16. Dezember 1992 wurden die beiden Kinder nach Zizers in ein Kinderheim gebracht und X._ bestimmte Besuchswochenenden zugestanden. Von Frühjahr bis Herbst 1993 verfügte der damalige Beistand D._ vorübergehend eine (einseitige) Kontaktsperre; als Ursache führte er das Verhalten der früheren Pflegemutter an, das die Arbeit der Heimverantwortlichen störe und bei den Kindern einen Loyalitätskonflikt hervorrufe. Im Einvernehmen mit der Heimleitung wurde der persönliche Verkehr zwischen X._ und den Kindern danach in bestimmtem Umfang wieder bewilligt. Die Situation nötigte aber zur Einholung eines weiteren Gutachtens. Der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst (KJPD) Graubünden zeigte sich überzeugt von der Wichtigkeit der Rolle von X._ im Leben der Kinder, hielt aber ebenso unmissverständlich dafür, dass die Verantwortung für die Erziehung der Mädchen nicht bei X._ allein liegen sollte und dass die Kinder im Heim bleiben sollten unter Einräumung eines regelmässigen Besuchs- und Ferienrechts an die frühere Pflegemutter gemäss Plan des Heims; der KJPD schlug weiter vor, den Beistand zu ersetzen. In Genehmigung des Schlussberichts vom 22. Mai 1995 entliess die Vormundschaftsbehörde den Beistand D._ und ernannte einen andern Beistand (Beschluss vom 26. Mai 1995). Im August 1995 brachte X._ die beiden Kinder von einem Besuchswochenende nicht mehr in das Heim zurück, ohne die Heimverantwortlichen oder die Kindsmutter über den Aufenthalt zu orientieren. Den gegen sie erlassenen Strafbescheid wegen Entziehens Unmündiger focht sie nicht an. Der persönliche Kontakt zwischen ihr und den Kindern wurde in der Folge vorübergehend unterbunden und ab Februar 1996 schrittweise bis hin zu persönlichen Treffen in Anwesenheit des Beistands wieder aufgenommen. Auf Grund der weiter andauernden Schwierigkeiten in der Gestaltung der persönlichen Beziehungen - aus welchen Gründen auch immer - sowie auf Wunsch der Kindsmutter befasste sich die Vormundschaftsbehörde ab Anfang 1997 mit einer Kontaktsperre und untersagte X._ nach Anhörung aller Beteiligten den persönlichen Verkehr mit den Kindern auf unbestimmte Zeit (Beschluss vom 12. Juni 1997). Die dagegen erhobene Beschwerde zog X._ zurück. D.- Am 18. August 1999 erhob X._ Klage auf Bezahlung von Genugtuung wegen Persönlichkeitsverletzung gegen die Stadt St. Gallen und machte diese haftbar für das Verhalten der vormundschaftlichen Behörden ihr gegenüber im Zusammenhang mit der Beistandschaft über die Kinder. Das Bezirksgericht St. Gallen (3. Abteilung) und das Kantonsgericht St. Gallen (III. Zivilkammer) wiesen die Begehren ab (Entscheide vom 23. August 2000 und vom 7. Juni 2001). E.- Gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid hat X._ eidgenössische Berufung eingelegt und staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV (Schutz vor Willkür) und Art. 6 EMRK (Anspruch auf Verhandlung) erhoben. Mit ihrer Beschwerde beantragt sie die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.