Sachverhalt: A. X._ (nachfolgend: Gesuchstellerin) reichte am 3. September 2013 beim Bezirksgericht Zurzach ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege für das Scheidungsverfahren. In ihrer Eingabe vom 3. September 2013 wies sie darauf hin, sie werde namentlich den Antrag um unentgeltliche Rechtspflege gehörig begründen und die üblichen Unterlagen einreichen. Noch bevor die Gesuchstellerin ihrer Ankündigung nachkommen konnte, wies das Präsidium des Familiengerichts am Bezirksgericht Zurzach mit Verfügung vom 9. September 2013 ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Einreichung der erforderlichen Unterlagen ab. B. Dagegen gelangte die Gesuchstellerin am 23. September 2013 an das Obergericht des Kantons Aargau, das ihre Beschwerde mit Entscheid vom 14. Oktober 2013 abwies und ihr mit Beschluss vom gleichen Tag auch für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege verweigerte. C. Die Gesuchstellerin (nachfolgend: Beschwerdeführerin) hat am 25. November 2013 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Sie beantragt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Oktober 2013 sei aufzuheben; ihr sei für das Scheidungsverfahren und das Beschwerdeverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihr ein amtlicher Beistand zu bestellen. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie ebenso um unentgeltliche Rechtspflege. Der Präsident des Bezirksgerichts (Beschwerdegegner) hat sich nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.