Sachverhalt: A. In einem von der liechtensteinischen X._ SE (Beschwerdeführerin) angehobenen, vor einem Prager Schiedsgericht anhängigen Schadenersatzprozess gegen die Tschechische Republik wurde die in Romanshorn (TG) ansässige Y._ AG (Beschwerdegegnerin) im Januar 2010 zunächst als Hauptintervenientin zugelassen, mit Beschluss des Schiedsgerichts vom 29. März 2010 jedoch ausgeschlossen. Dieser Beschluss erwuchs in Rechtskraft. Ihren Antrag auf Teilnahme am Verfahren hatte die Beschwerdegegnerin auf die umstrittene Zession einer gleichfalls bestrittenen Forderung von Dr. A._, des früheren Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin, auf eine bestimmte Beteiligung am Prozessergebnis gestützt. B. B.a Im Februar 2010, also noch vor dem Ausschluss der Beschwerdegegnerin vom Schiedsgerichtsverfahren, liess die Beschwerdeführerin beim Friedensrichteramt Romanshorn eine negative Feststellungsklage gegen die Beschwerdegegnerin mit folgenden Rechtsbegehren einreichen: "1. Es sei gerichtlich festzustellen, dass die Klägerin der Beklagten nichts schuldet. 2. Es sei gerichtlich festzustellen, dass der Zedent [A._] im "Vertrag über entgeltliche Abtretung eines Forderungsteiles" zwischen dem Zedenten [A._] und der Beklagten [Y._] vom 08.08.2007 (...) unter keinem Titel zuerst 20 % und danach insgesamt 30 % der Forderung der Klägerin [X._] gegenüber der Tschechischen Republik erworben hat. 3. Es sei gerichtlich festzustellen, dass der Zedent [A._] im Anhang 1 vom 28./30.01.2008 zum "Vertrag über entgeltliche Abtretung eines Forderungsteiles" zwischen dem Zedenten [A._] und der Beklagten [Y._] vom 08.08.2007 (...) nicht Gläubiger von 25 % der Forderung der Klägerin [X._] gegenüber der Tschechischen Republik ist. 4. Es sei gerichtlich festzustellen, dass die Forderung der Beklagten [Y._] gegenüber der Klägerin [X._] gemäss Zession vom 08.08.2007 sowie Anhang Nr. 1 vom 30.01.2008 unter keinem Titel und auch im fraglichen Umfang nicht besteht. 5. Eventualiter sei gerichtlich festzustellen, dass die Zession vom 08.08.2007 inkl. Anhang Nr. 1 vom 30.01.2008 ungültig ist." Anlässlich des Vermittlungsvorstandes konnte keine Einigung erzielt werden. Am 3. März 2010 stellte der Friedensrichter die Weisung aus, welche die Beschwerdegegnerin aber beim Gericht nicht einreichte. Hierauf beantragte die Beschwerdegegnerin dem Friedensrichter am 20. April 2010, ihr eine Prozessentschädigung von Fr. 1'250'000.-- zuzusprechen. Der Friedensrichter verpflichtete die Beschwerdeführerin mit Kostenspruch vom 2. Juni 2010, der Beschwerdegegnerin eine Prozessentschädigung von Fr. 500'000.-- zu bezahlen und ihr die Kosten des friedensrichterlichen Verfahrens im Betrage von Fr. 342.-- zu erstatten. B.b Beide Parteien rekurrierten gegen den Kostenentscheid des Friedensrichters beim Bezirksgericht Arbon. Die Beschwerdegegnerin verlangte die Zusprechung einer Prozessentschädigung von Fr. 1'000'000.--, während die Beschwerdeführerin beantragte, es sei keine Prozessentschädigung zuzusprechen, eventuell eine solche von Fr. 81'428.--. Mit Verfügung vom 9. November 2010 vereinigte der Vizepräsident des Bezirksgerichts Arbon die beiden Rekursverfahren (Dispositiv-Ziff. 1), wies den Kostenrekurs der Beschwerdegegnerin ab (Ziff. 2) und hiess den Kostenrekurs der Beschwerdeführerin teilweise gut, indem er diese verpflichtete, der Beschwerdegegnerin Fr. 250'000.-- zuzüglich 7,6 % MWSt an Parteikosten im Friedensrichterverfahren zu entschädigen (Ziff. 3). C. Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht eine mit "Einheitsbeschwerde respektive subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 BGG" bezeichnete Beschwerde eingereicht, mit welcher sie beantragt, die Verfügung des Vizepräsidenten des Bezirksgerichts Arbon vom 9. November 2010 aufzuheben und das Begehren der Beschwerdegegnerin um Zusprechung einer ausserrechtlichen Entschädigung abzuweisen. Eventuell sei der Beschwerdegegnerin eine angemessene Entschädigung zuzusprechen, subeventuell die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Ferner sei festzustellen, dass die an die Beschwerdegegnerin geleistete Parteientschädigung gemäss Entscheid des Vizepräsidenten des Bezirkes Arbon zurückzuerstatten sei. Das Bezirksgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.