Sachverhalt: Sachverhalt: A. Das Universitätsspital Basel schrieb im November 2005 den Auftrag für den Ersatz der Peripheriehardware der Meridian Teilnehmervermittlungsanlage (Telefonanlage des Spitals) sowie für die jährlichen Wartungs- und Serviceleistungen aus. Präselektiert wurden zwei Unternehmungen, die in der Folge fristgerecht je ein Angebot einreichten. Die B._, X._, offerierte zum Preis von Fr. 1'402'875.--, die A._ AG, Y._ (nachfolgend A._), zum Preis von Fr. 1'265'182.60. Mit Verfügung vom 14. Februar 2006 teilte das Universitätsspital Basel der A._ mit, dass sie den Zuschlag nicht erhalte; ihre Offerte wurde als unvollständig bezeichnet, weil das Erfordernis der Anwesenheit eines Wartungstechnikers während der Normalarbeitszeit des Universitätsspitals bei der Preisbildung nicht berücksichtigt worden sei. Der Zuschlag für den Auftrag wurde, mit separater Verfügung, der B._ erteilt. Gegen beide Verfügungen (Offertausschluss wegen Unvollständigkeit sowie Zuschlagsentscheid) erhob die A._ am 10. März 2006 Rekurs an das Appelationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dabei stellte sie das prozessuale Begehren, dem Rekurs sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei dem Universitätsspital zu untersagen, bis zur rechtskräftigen Erledigung des Rekursverfahrens Verträge abzuschliessen. Weiter beantragte sie vollständige Einsicht in die Akten des Vergabeverfahrens und anschliessend Ansetzung einer Frist zu einer weiteren Stellungnahme bzw. zur Ergänzung des Rekurses. Das Appellationsgericht entsprach am 17. März 2006 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung vorläufig und setzte dem Universitätsspital Frist, um sich zum Gesuch zu äussern. Dieses reichte am 7. April 2006 eine entsprechende Stellungnahme ein und beantragte Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 11. April 2006 lehnte das Appellationsgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab (Ziff. 2) und gab der A._ gleichzeitig Kenntnis von der Vernehmlassung des Universitätsspitals (Ziff. 1). Das Appellationsgericht entsprach am 17. März 2006 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung vorläufig und setzte dem Universitätsspital Frist, um sich zum Gesuch zu äussern. Dieses reichte am 7. April 2006 eine entsprechende Stellungnahme ein und beantragte Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 11. April 2006 lehnte das Appellationsgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab (Ziff. 2) und gab der A._ gleichzeitig Kenntnis von der Vernehmlassung des Universitätsspitals (Ziff. 1). B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 18. April 2006 beantragt die A._ dem Bundesgericht, es sei Ziff. 2 der Verfügung des Appellationsgerichts vom 11. April 2006 betreffend Nichterteilung der aufschiebenden Wirkung mit Bezug auf den Rekurs vom 10. März 2006 aufzuheben und es sei diesem die aufschiebende Wirkung durch das Bundesgericht zu erteilen, allenfalls sei das Appellationsgericht hiezu anzuweisen. Das Appellationsgericht beantragt Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung bzw. der Beschwerde. Der Kanton Basel-Stadt bzw. das Universitätsspital beantragt, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die B._, welche den Zuschlag erhalten hat, verzichtet auf eine Stellungnahme und wünscht dem bundesgerichtlichen Verfahren "nicht beizutreten". B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 18. April 2006 beantragt die A._ dem Bundesgericht, es sei Ziff. 2 der Verfügung des Appellationsgerichts vom 11. April 2006 betreffend Nichterteilung der aufschiebenden Wirkung mit Bezug auf den Rekurs vom 10. März 2006 aufzuheben und es sei diesem die aufschiebende Wirkung durch das Bundesgericht zu erteilen, allenfalls sei das Appellationsgericht hiezu anzuweisen. Das Appellationsgericht beantragt Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung bzw. der Beschwerde. Der Kanton Basel-Stadt bzw. das Universitätsspital beantragt, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die B._, welche den Zuschlag erhalten hat, verzichtet auf eine Stellungnahme und wünscht dem bundesgerichtlichen Verfahren "nicht beizutreten". C. Am 22. Mai 2006 sind der Beschwerdeführerin die Vernehmlassungen des Appellationsgerichts und des Kantons zugestellt worden. Mit Eingabe vom 23. Mai 2006 beantragt die Beschwerdeführerin, es seien ihr die Beilagen zur Vernehmlassung des Kantons Basel-Stadt kurz zur Einsichtnahme zuzustellen. Für das vorliegende Urteil wird ausschliesslich auf die Beschwerdeschrift sowie auf die der Beschwerdeführerin bekannten, vom Appellationsgericht eingereichten kantonalen Akten abgestellt. Ein zweiter Schriftenwechsel erübrigt sich. Wegen der Dringlichkeit der Angelegenheit kann mit dem bundesgerichtlichen Entscheid nicht länger zugewartet werden. Unter diesen Umständen wird dem Gesuch um Aktenzustellung vor der Urteilsfällung nicht entsprochen. Es steht der Beschwerdeführerin frei, nach Erhalt des vorliegenden Urteils das Akteneinsichtsgesuch zu erneuern; im Hinblick darauf werden die fraglichen Vernehmlassungsbeilagen beim Bundesgericht vorerst zurückbehalten. Für das vorliegende Urteil wird ausschliesslich auf die Beschwerdeschrift sowie auf die der Beschwerdeführerin bekannten, vom Appellationsgericht eingereichten kantonalen Akten abgestellt. Ein zweiter Schriftenwechsel erübrigt sich. Wegen der Dringlichkeit der Angelegenheit kann mit dem bundesgerichtlichen Entscheid nicht länger zugewartet werden. Unter diesen Umständen wird dem Gesuch um Aktenzustellung vor der Urteilsfällung nicht entsprochen. Es steht der Beschwerdeführerin frei, nach Erhalt des vorliegenden Urteils das Akteneinsichtsgesuch zu erneuern; im Hinblick darauf werden die fraglichen Vernehmlassungsbeilagen beim Bundesgericht vorerst zurückbehalten. D. Mit Verfügung vom 20. April 2006 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung superprovisorisch entsprochen, indem er alle Vollziehungsvorkehrungen, insbesondere den Vertragsabschluss mit der berücksichtigten Anbieterin, bis zu weiterem Entscheid untersagte. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch gegenstandslos und ein weiterer separater Entscheid hiezu erübrigt sich.