Sachverhalt: A. Der 1955 geborene D._ war als Schreiner in der Firma Z._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung vom 19. Dezember 2002 fiel ihm am 8. Oktober 2002 (in den Akten finden sich auch andere Unfalldaten) bei der Arbeit eine Platte auf den Kopf, was jedoch weder eine ärztliche Behandlung erforderte noch zu einer unmittelbaren Arbeitsunfähigkeit führte. Nachdem über die Arbeitgeberin am 3. Dezember 2002 der Konkurs eröffnet worden war, bezog D._ Arbeitslosenentschädigung. Ab 9. Januar 2003 wurde von ärztlicher Seite wegen Rücken- und Nackenschmerzen eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Ab 28. April 2003 war D._ im Zwischenverdienst in verschiedenen Arbeitsverhältnissen tätig. Am 20. Mai 2003 erlitt er einen Verkehrsunfall. Ein aus einer Stoppstrasse fahrender Honda Shuttle prallte in die rechte Seite des von D._ gelenkten Mitsubishi Galant. Der Mitsubishi wurde dadurch abgedreht und kam am Strassenrand mit der Front gegen die Fahrrichtung zum Stillstand. D._ suchte gleichentags das Spital E._ auf, wo ein Wirbelsäulenschmerz mit Ausstrahlung in den linken Arm und das rechte Bein nach Autounfall mit/bei bekannter Lumboischialgie mit Ausstrahlung ins rechte Bein (bis in die Grosszehe) und Cervikalsyndrom diagnostiziert wurde. Die SUVA als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt stellte sie mit Verfügung vom 11. September 2007 die Leistungen rückwirkend per 3. Juli 2003 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies mit der fehlenden adäquaten Unfallkausalität der über den 3. Juli 2003 hinaus geklagten Beschwerden. Daran hielt der Versicherer auf die von D._ erhobene Einsprache hin fest (Entscheid vom 4. Dezember 2007). B. D._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess diese teilweise gut, indem es erkannte, die SUVA habe bis 31. Juli 2007 Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszurichten. Im Übrigen, d.h. bezüglich der geltend gemachten Leistungen über diesen Zeitpunkt hinaus, wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 16. Dezember 2009). C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, aus den Unfällen von 2002 und 2003 über den 31. Juli 2007 hinaus die gesetzlichen Leistungen sowie eine Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit und eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von mindestens 30 % auszurichten. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.