Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1978) und Y._ (geb. 1965) heirateten am 11. März 2005. Aus ihrer Ehe ging die Tochter A._ (geb. 2006) hervor. A.b Auf Gesuch der Ehefrau nahm der Eheschutzrichter des Bezirksgerichts B._ mit Verfügung vom 15. November 2005 davon Vormerk, dass die Parteien seit 12. August 2005 auf unbestimmte Zeit getrennt leben, und verpflichtete den Ehemann, an den Unterhalt der Ehefrau sowie des damals noch ungeborenen gemeinsamen Kindes einen monatlichen Beitrag von insgesamt Fr. 3'000.-- zu bezahlen, und zwar ab 1. September 2005 bis zur Geburt des Kindes Fr. 3'000.-- für die Ehefrau persönlich, ab Geburt Fr. 1'200.-- für das Kind und Fr. 1'800.-- für die Ehefrau. A.c Nachdem der Ehemann am 22. Januar 2008 beim Kantonsgericht Schaffhausen Scheidungsklage erhoben hatte, wurde die Ehe der Parteien mit Urteil vom 16. Dezember 2008 geschieden, das Kind der elterlichen Sorge der Mutter unterstellt, ein monatlicher Kinderunterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- (zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen) festgelegt und der Ehefrau eine monatlich im Voraus zahlbare Unterhaltsrente von Fr. 900.-- bis Ende Januar 2014 zugesprochen. Das Kantonsgericht legte dem Urteil ein monatliches Netto-Erwerbseinkommen des Ehemannes von Fr. 6'450.-- und der Ehefrau von Fr. 1'000.-- sowie einen monatlichen Bedarf des Ehemannes von Fr. 4'330.-- und der Ehefrau von Fr. 3'100.-- zugrunde. Ferner merkte das Kantonsgericht vor, dass die Parteien güterrechtlich auseinandergesetzt seien und keine gegenseitigen Ansprüche hätten. B. Auf Berufung des Ehemannes und Anschlussberufung der Ehefrau bestätigte das Obergericht des Kantons Schaffhausen am 22. Januar 2010 die Verpflichtung des Ehemannes zur Leistung monatlicher Kinderunterhaltsbeiträge von Fr. 1'200.-- (zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen) und verpflichtete ihn zudem, sich an ausserordentlichen Auslagen für das Kind zur Hälfte zu beteiligen. Sodann legte es die der Ehefrau bis Ende Januar 2014 zu leistende Unterhaltsrente auf Fr. 460.-- fest (Berichtigung vom 26. Januar 2010). Diesem Urteil wurde ein monatliches Netto-Erwerbseinkommen des Ehemannes von Fr. 6'450.-- und der Ehefrau von Fr. 1'000.-- (inkl. Kinderzulagen) sowie ein monatlicher Bedarf des Ehemannes von Fr. 4'793.-- und der Ehefrau von Fr. 3'250.-- zugrunde gelegt. C. Gegen diesen Entscheid hat X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) am 8. März 2010 Beschwerde beim Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) sei zur Leistung monatlicher Kinderunterhaltsbeiträge von Fr. 1'200.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis und mit Dezember 2011, hernach von Fr. 1'350.-- bis und mit Dezember 2017, danach von Fr. 1'500.-- bis zum Abschluss einer ordentlichen Erstausbildung zu verpflichten. Sodann verlangt sie die Verurteilung des Beschwerdegegners zur Leistung von persönlichen Unterhaltsbeiträgen von Fr. 2'129.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis und mit Dezember 2015 und von Fr. 929.-- bis und mit Dezember 2021. Weiter stellt sie den Antrag, dem Urteil sei ein monatliches Netto-Erwerbseinkommen des Beschwerdegegners von mindestens Fr. 8'209.-- und ein eigenes von Fr. 800.-- sowie ein monatlicher Bedarf des Ehemannes von Fr. 4'429.-- und ein eigener von Fr. 4'129.-- zugrunde zu legen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.