Sachverhalt: A. X._ ist Willensvollstrecker im Nachlass von Z._, die am 19. September 2011 in Zürich starb. Am 17. Februar 2012 erhoben die Erbinnen vor dem Einzelgericht-Aufsicht des Bezirksgerichts Zürich eine Beschwerde gegen X._. Mit Urteil vom 30. April 2012 setzte das Einzelgericht X._ als Willensvollstrecker ab. Das begründete Urteil wurde X._ am 7. Juni 2012 zugestellt. B. B.a Gegen diesen Entscheid legte X._ am 15. Juni 2012 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 setzte ihm Oberrichter S._ unter Mitwirkung von Gerichtsschreiberin T._ eine Frist von zehn Tagen, um für die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens einen Vorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten. B.b Hierauf machte X._ geltend, Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ seien beim Erlass der Verfügung vom 21. Juni 2012 "schwer befangen" gewesen; sie dürften daher im Beschwerdeverfahren nicht mehr tätig werden. Zudem sei der Gerichtskostenvorschuss auf Fr. 4'000.-- zu reduzieren (Eingabe vom 9. Juli 2012). B.c Ohne Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen entschied die II. Zivilkammer des Obergerichts mit Beschluss vom 13. Juli 2012, auf das Ablehnungsbegehren nicht einzutreten. Sie setzte X._ eine einmalige Nachfrist von fünf Tagen, um den am 21. Juni 2012 verfügten Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten, und drohte ihm für den Fall der Nichtleistung an, auf seine Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten. B.d Mit Schreiben vom 30. Juli 2012 teilte X._ dem Obergericht mit, dass er an der Befangenheit von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ festhalte; ausserdem seien auch sämtliche am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Personen "schwer befangen". Überdies stellte er in Aussicht, dass er an das Bundesgericht gelangen werde. B.e Am 7. August 2012 stellte die II. Zivilkammer des Obergerichts fest, dass bis zum Ablauf der fünftägigen Nachfrist (Bst. B.d) kein Kostenvorschuss geleistet wurde, und beschloss, auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 (Bst. B.a) nicht einzutreten. An diesem Entscheid wirkten die Oberrichter S._ (Vorsitz), U._ und V._ sowie Gerichtsschreiberin T._ mit. C. Mit als "Verfassungsbeschwerde + Beschwerde in Zivilsachen" bezeichneter Eingabe vom 21. August 2012 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 21. Juni 2012 (Bst. B.a) sowie die Beschlüsse vom 13. Juli 2012 (Bst. B.c) und vom 7. August 2012 (Bst. B.e) aufzuheben. Das Bundesgericht hat für jeden der drei angefochtenen Entscheide ein separates Verfahren eröffnet (5A_599/2012, 5A_600/2012 und 5A_601/ 2012. Im vorliegenden Verfahren 5A_600/ 2012 ist einzig zu beurteilen, ob das Obergericht am 13. Juli 2012 zu Recht nicht auf das Ablehnungsbegehren eingetreten ist. Was den Streit um die Höhe des am 21. Juni 2012 verfügten Gerichtskostenvorschusses angeht, kommt dem Beschluss vom 13. Juli 2012 keine eigenständige Bedeutung zu, denn das Obergericht räumt dem Beschwerdeführer darin lediglich eine Nachfrist zur Bezahlung des verfügten Vorschusses ein. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 9. November 2012 hat der Beschwerdeführer am Bundesgericht Einsicht in die Akten genommen.