Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 5. August 2003 stellte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Thurgau (AWA) den 1976 geborenen I._ ab dem 18. Juli 2003 für 31 Tage in der Anspruchsberechtigung ein, weil dieser sich nicht auf die vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) zugewiesene Stelle bei der Firma E._ beworben habe. Das AWA hielt mit Einspracheentscheid vom 9. September 2003 an der Sanktion fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung (nachfolgend: Rekurskommission) mit Entscheid vom 31. Mai 2006 ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt I._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen. Die Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung (nachfolgend: Rekurskommission) schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das AWA und das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf eine Vernehmlassung verzichten.