Sachverhalt: A. A._ war seit dem 1. November 1998 beim Gefängnis B._ als Gefängnisleiter angestellt und in dieser Eigenschaft bei der Basler Versicherungen AG (nachfolgend: Basler oder Beschwerdeführerin) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung vom 17. Januar 2006 hat der Versicherte im April/Mai 2003 beim Durchsuchen eines neu eintretenden Gefangenen in eine benutzte Fixernadel gegriffen und sich gestochen. Anlässlich von umfassenden Labortests im Rahmen eines gesundheitlichen Generalchecks zeigten Blutuntersuchungsergebnisse im September 2003 eine Infektion mit dem HI-Virus. Die Basler übernahm in der Folge die Kosten für die ab 2007 einsetzende medikamentöse Behandlung der chronischen HIV-Infektion. Nachdem ein psychisch auffälliger Strafgefangener in dem vom Versicherten geleiteten Gefängnis am Abend des 27. Mai 2010 die Matratzen seiner Zelle in Brand gesetzt hatte, wurde dem Versicherten ab Juni 2010 erstmals eine volle Arbeitsunfähigkeit aufgrund psychischer Beschwerden bescheinigt. Darauf liess die Basler den Versicherten bei Dr. med. C._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, begutachten. Mit Verfügung vom 2. Juli 2012 verneinte sie den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis von April/Mai 2003 und den geltend gemachten psychischen Beschwerden. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest und verneinte zusätzlich auch den natürlichen Kausalzusammenhang (Einspracheentscheid vom 24. Januar 2013). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des A._ hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau am 27. November 2013 gut. Es bejahte den Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den psychischen Beschwerden sowie folglich die entsprechende Leistungspflicht der Basler und wies die Sache zur Neuverfügung an Letztere zurück. C. Die Basler führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und der Einspracheentscheid sei zu bestätigen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. A._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichten auf eine Vernehmlassung. D. Mit weiteren Eingaben vom 17. März und 7. April 2014 halten die Basler und A._ an ihren Standpunkten fest.