A.- Der 1938 geborene E._ war vom 1. März 1990 bis 31. Oktober 1994 bei der Firma X._ AG, angestellt und damit bei deren Personalfürsorgestiftung berufsvorsorgerechtlich versichert. Auf Grund eines am 8. Februar 1991 erlittenen Unfalls sprach ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer ab 1. Juni 1992 eine Rente auf Grund einer Erwerbsunfähigkeit von 25 % zu (Verfügung vom 29. Juni 1992). Später wurde ihm durch die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 10. Juli 1995 eine halbe Rente für die Zeit vom 1. August bis 31. Dezember 1994 sowie mit Verfügung vom 16. Juni 1998 eine halbe Rente (Invaliditätsgrad 58 %) für die Zeit vom 1. August 1995 bis 30. Juni 1997 und eine ganze Rente (Invaliditätsgrad 100 %) ab 1. Juli 1997 zugesprochen. Die Personalfürsorgestiftung der X._ AG lehnte es mit Schreiben vom 12. Mai 1998 sinngemäss ab, Leistungen zu erbringen. B.- Am 10. Februar 2000 liess E._ gegen die Personalfürsorgestiftung der X._ AG Klage erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei die Beklagte zu verurteilen, ihm "eine reglements- und gesetzeskonforme Invalidenrente aus der obligatorischen und überobligatorischen beruflichen Vorsorge zu bezahlen". Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die Klage insofern teilweise gut, als es feststellte, dass der Kläger für die Monate August bis Dezember 1994 Anspruch auf eine halbe BVG-Invalidenrente habe. Im Übrigen wies es die Klage ab (Entscheid vom 15. Mai 2001). C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt E._ das Rechtsbegehren stellen, "es sei die Beschwerdegegnerin zu verurteilen, dem Beschwerdeführer eine reglements- und gesetzeskonforme Invalidenrente aus der obligatorischen und überobligatorischen beruflichen Vorsorge zu bezahlen". Die Stiftung schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Gesuch, es sei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, wies der Präsident des Eidgenössischen Versicherungsgerichts mit Zwischenverfügung vom 18. Dezember 2001 ab, soweit es nicht gegenstandslos war.