Sachverhalt: A. Der 1965 geborene X._ wurde vom Bezirksgericht Horgen mit Urteil vom 7. Mai 2008 wegen Freiheitsberaubung, Drohung, mehrfacher Tätlichkeiten, mehrfachen Hausfriedensbruchs und mehrfachen geringfügigen Diebstahls zu 15 Monaten Freiheitsstrafe, einer Busse von Fr. 500.-- und zu einer stationären therapeutischen Massnahme im Sinne von Art. 59 StGB (Behandlung von psychischen Störungen) verurteilt. Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde zugunsten der stationären Massnahme aufgeschoben. Gleichentags ordnete das Bezirksgericht die Fortdauer der Sicherheitshaft bis zur Rechtskraft des genannten Urteils an. X._ hat gegen das Strafurteil am 14. Mai 2008 Berufung angemeldet. Mit Gesuch vom 22. Mai 2008 beantragte er die Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts. Das Bezirksgericht Horgen (Vorsitzender der III. Abteilung als Einzelrichter) wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 30. Mai 2008 ab, da im Anschluss an das Strafurteil kein vorzeitiger Strafantritt, sondern höchstens ein vorzeitiger Vollzug einer stationären Massnahme bewilligt werden könne. B. Mit Eingabe vom 30. Juni 2008 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Bezirksgerichts vom 30. Mai 2008 sei aufzuheben und es sei der vorzeitige Strafantritt zu bewilligen. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bezirksgericht beantragt Beschwerdeabweisung. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. X._ hat mit Eingabe vom 16. Juli 2008 repliziert.