Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Y._ ist Eigentümerin des Grundstücks Kat.-Nr. ... in Zürich, auf welchem ein im Jahre 1872 gebautes Wohnhaus sowie ein später errichteter Anbau stehen. Diese Liegenschaft ist praktisch vollständig von den Liegenschaften des Z._ (Beklagter 1) und der Erben W._ (Beklagte 2) sowie der Stadt Zürich umgeben; auf dem Grundstück der Stadt Zürich lastet ein selbständiges und dauerndes Baurecht zu Gunsten der X._ (Beklagte 3). 1988 teilte die Y._ den Beklagten 1-3 mit, dass an ihrem Gebäude Schäden aufgetreten seien, die mit den Bauarbeiten auf den Nachbargrundstücken in Zusammenhang stünden. In der Folge betrieb sie die Beklagten je für den Betrag von Fr. 1'000'000.--, worauf diese Rechtsvorschlag erhoben hatten. Mit Urteil vom 24. Juli 1997 verpflichtete das Bezirksgericht Zürich die drei Beklagten dazu, der Klägerin unter solidarischer Haftung den Betrag von Fr. 748'762.-- nebst Zinsen zu bezahlen. Dagegen erklärten alle Beklagten rechtzeitig die Berufung. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 19. November 1999 die gegen die Beklagten 1 und 2 gerichteten Klagen ab und verpflichtete die Beklagte 3 zur Zahlung von Fr. 310'000.-- an die Klägerin. A. Die Y._ ist Eigentümerin des Grundstücks Kat.-Nr. ... in Zürich, auf welchem ein im Jahre 1872 gebautes Wohnhaus sowie ein später errichteter Anbau stehen. Diese Liegenschaft ist praktisch vollständig von den Liegenschaften des Z._ (Beklagter 1) und der Erben W._ (Beklagte 2) sowie der Stadt Zürich umgeben; auf dem Grundstück der Stadt Zürich lastet ein selbständiges und dauerndes Baurecht zu Gunsten der X._ (Beklagte 3). 1988 teilte die Y._ den Beklagten 1-3 mit, dass an ihrem Gebäude Schäden aufgetreten seien, die mit den Bauarbeiten auf den Nachbargrundstücken in Zusammenhang stünden. In der Folge betrieb sie die Beklagten je für den Betrag von Fr. 1'000'000.--, worauf diese Rechtsvorschlag erhoben hatten. Mit Urteil vom 24. Juli 1997 verpflichtete das Bezirksgericht Zürich die drei Beklagten dazu, der Klägerin unter solidarischer Haftung den Betrag von Fr. 748'762.-- nebst Zinsen zu bezahlen. Dagegen erklärten alle Beklagten rechtzeitig die Berufung. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 19. November 1999 die gegen die Beklagten 1 und 2 gerichteten Klagen ab und verpflichtete die Beklagte 3 zur Zahlung von Fr. 310'000.-- an die Klägerin. B. Gegen das Urteil des Obergerichts hatten sowohl die Klägerin als auch die Beklagte 3 Berufung an das Bundesgericht erhoben. Mit Urteil vom 4. April 2001 (5C.26/27/2000) wurde die Berufung der Klägerin abgewiesen, soweit sie sich gegen die Beklagten 1 und 2 gerichtet hatte. Teilweise wurde das Rechtsmittel gutgeheissen, soweit es sich gegen die Beklagte 3 gerichtet hatte. Die Sache wurde zur neuen Entscheidung an das Obergericht zurückgewiesen (BGE 127 III 257). B. Gegen das Urteil des Obergerichts hatten sowohl die Klägerin als auch die Beklagte 3 Berufung an das Bundesgericht erhoben. Mit Urteil vom 4. April 2001 (5C.26/27/2000) wurde die Berufung der Klägerin abgewiesen, soweit sie sich gegen die Beklagten 1 und 2 gerichtet hatte. Teilweise wurde das Rechtsmittel gutgeheissen, soweit es sich gegen die Beklagte 3 gerichtet hatte. Die Sache wurde zur neuen Entscheidung an das Obergericht zurückgewiesen (BGE 127 III 257). C. Am 10. September 2001 erstattete P._ ein Ergänzungsgutachten. Am 25. Oktober 2001 wurden dem Experten weitere Fragen gestellt, die dieser am 7. November 2001 beantwortete. Am 7. Mai 2002 entschied das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, neu. Die Berufung der Beklagten 3 wurde teilweise gutgeheissen und sie wurde verpflichtet, der Klägerin den Betrag von Fr. 427'397.70 nebst Zins zu 5 % seit 30. April 1993 zu bezahlen. Ferner wurde in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 9 (Zahlungsbefehl vom 16. Juni 1993) der von der Beklagten 3 erhobene Rechtsvorschlag in diesem Umfang aufgehoben. Am 7. Mai 2002 entschied das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, neu. Die Berufung der Beklagten 3 wurde teilweise gutgeheissen und sie wurde verpflichtet, der Klägerin den Betrag von Fr. 427'397.70 nebst Zins zu 5 % seit 30. April 1993 zu bezahlen. Ferner wurde in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 9 (Zahlungsbefehl vom 16. Juni 1993) der von der Beklagten 3 erhobene Rechtsvorschlag in diesem Umfang aufgehoben. D. Mit Eingabe vom 14. Juni 2002 hat die Beklagte 3 das Urteil des Obergerichts vom 7. Mai 2002 an das Bundesgericht weitergezogen. Sie beantragt: 1. Ziff. 1 des Urteils der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Mai 2002, wonach die Beklagte 3 verpflichtet wird, der Klägerin den Betrag von Fr. 427'397.70 nebst Zins zu 5 % seit dem 30. April 1993 zu bezahlen und wonach der von der Beklagten 3 in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 9 (Zahlungsbefehl vom 16. Juni 1993) erhobene Rechtsvorschlag im Umfang von Fr. 427'397.70 nebst Zins zu 5 % seit dem 30. April 1993 aufgehoben wird, sei dahingehend abzuändern, dass die Beklagte 3 verpflichtet wird, der Klägerin den Betrag von Fr. 321'832.20 nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Mai 2002 zu bezahlen. 2. Ziff. 8 des Urteils des Obergerichts vom 7. Mai 2002 sei dahingehend abzuändern, dass die zweitinstanzlichen Gerichtskosten zu 2/3 der Klägerin und 1/3 der Beklagten 3 auferlegt werden. 3. Ziff. 9 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Mai 2002 sei dahingehend abzuändern, dass die Klägerin verpflichtet wird, der Beklagten 3 für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren je eine tarifkonforme Prozessentschädigung zu bezahlen. 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für das Berufungsverfahren vor dem Bundesgericht zu Lasten der Klägerin." 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für das Berufungsverfahren vor dem Bundesgericht zu Lasten der Klägerin." E. Das Obergericht hat auf Bemerkungen verzichtet. Die Klägerin schliesst in ihrer Berufungsantwort vom 8. August 2002 auf vollständige Abweisung der Berufung, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beklagten 3.