Sachverhalt: A. B._ (Unternehmer, Kläger, Beschwerdegegner) schloss betreffend die Errichtung eines Norm-Gartenhauses auf seinem Grundstück und der Erbringung weiterer Gartenarbeiten mit A._ (Besteller, Beklagter, Beschwerdeführer) einen Werkvertrag. Die vom Unternehmer für die erbrachten Arbeiten gestellten Rechnungen bezahlte der Besteller nicht vollständig. Am 17. November 2009 liess der Unternehmer den Besteller über Fr. 13'941.55 zuzüglich Zins zu 5 % seit 22. Juli 2009 betreiben, worauf dieser Rechtsvorschlag erhob. B. Am 13. August 2010 klagte der Unternehmer beim Richteramt Solothurn-Lebern gegen den Besteller auf Zahlung von Fr. 13'941.55 nebst Zins zu 5 % seit 28. Oktober 2009 und auf Beseitigung des Rechtsvorschlages in der eingeleiteten Betreibung. Der Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und verlangte widerklageweise die Zahlung von Fr. 2'355.35 zuzüglich Zins. Gestützt auf eine vom Richteramt eingeholte Expertise reduzierte der Kläger sein Klagebegehren auf Fr. 11'875.60. Mit Urteil vom 31. Januar 2012 hiess das Richteramt die reduzierte Klage des Klägers gut, erteilte ihm für den zugesprochenen Betrag in der Betreibung Nr. xxx._ des Betreibungsamtes Grenchen-Bettlach die definitive Rechtsöffnung und wies die Widerklage ab. Eine dagegen erhobene Berufung des Beklagten wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 18. April 2013 ab. C. Der Beklagte erhebt vor Bundesgericht eine als "Ordentliche und subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichnete Beschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts Solothurn vom 18. April 2013 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem stellte der Beschwerdeführer das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. In seiner Vernehmlassung zu diesem Gesuch beantragte der Beschwerdegegner dessen Abweisung und ersuchte darum, den Beschwerdegegner zu verpflichten, eine Prozesskostensicherheit von Fr. 3'000.-- zu leisten. Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Das Gesuch des Beschwerdegegners um Sicherstellung einer allfällig geschuldeten Parteientschädigung wurde abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.