A.- Die 1954 geborene S._ nahm an einem Beschäftigungsprogramm der Arbeitslosenversicherung teil und war bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) für die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 17. Januar 1998 erlitt sie als Mitfahrerin in dem vom Ehemann gesteuerten Personenwagen einen Auffahrunfall. Die Klinik X._, wo sie sich bis zum 20. Januar 1998 aufhielt, diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und gab eine Arbeitsunfähigkeit bis zum 31. Januar 1998 an. Der behandelnde Arzt Dr. med. M._ stellte am 12. April 1998 einen eher unbefriedigenden Heilungsverlauf mit Schmerzen, Muskelverspannungen und Bewegungseinschränkungen im Nacken fest. Bei der kreisärztlichen Untersuchung vom 15. Mai 1998 fand Dr. med. J._ einen "absolut blanden Befund" an der HWS und setzte die Arbeitsfähigkeit auf 50 % ab 18. Mai 1998, 75 % ab 1. Juni 1998 und 100 % ab 15. Juni 1998 fest. Vom 25. Mai bis 20. Juni 1998 hielt sich die Versicherte wegen Dyspnoebeschwerden in der Klinik Y._ auf. Am 28. Juli 1998 teilte ihr die SUVA mit, dass die Taggeldleistungen auf den 3. August 1998 eingestellt und keine weiteren Heilkosten mehr übernommen würden. Wegen einer radikulären Symptomatik des Dermatoms C7 links wurde die Versicherte im Herz-Zentrum Bodensee hospitalisiert, wo eine Diskushernie C6/C7 diagnostiziert und am 9. Oktober 1998 eine Sequestrotomie des Diskusprolapses vorgenommen wurde. Bei der anschliessenden Rehabilitation in der Klinik Z._ wurde eine Rotatorenmanschettenfraktur links (Supraspinatus) festgestellt (Bericht vom 13. November 1998). Am 11. Dezember 1998 erliess die SUVA eine Verfügung, mit welcher sie am Fallabschluss per 3. August 1998 festhielt. Die hiegegen erhobene Einsprache, womit die Versicherte wegen Unfallkausalität der Diskushernie und Folgen des Schleudertraumas weitere Leistungen beanspruchte, wies sie gestützt auf eine Stellungnahme von Dr. med. E._, Ärzteteam Unfallmedizin der SUVA, mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 1999 ab. B.- S._ beschwerte sich gegen diesen Entscheid und beantragte, in Aufhebung des Einspracheentscheids sei die Sache an die SUVA zurückzuweisen, damit sie die gesetzlichen Leistungen festsetze; eventuell sei die Sache an die SUVA zu weiteren Abklärungen bezüglich der Unfallkausalität zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als es bezüglich der nach dem Schleudertrauma aufgetretenen Beschwerden die Adäquanz des Kausalzusammenhangs mit dem Unfall vom 17. Januar 1998 im Lichte der für Schleudertraumen der HWS geltenden Rechtsprechung bejahte und die Sache an die SUVA zurückwies, damit sie nach Einholung eines medizinischen Gutachtens zum natürlichen Kausalzusammenhang über den Leistungsanspruch neu befinde; abgewiesen wurde die Beschwerde, soweit damit eine Unfallkausalität der Diskushernie geltend gemacht wurde (Entscheid vom 22. März 2000). C.- Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei der Einspracheentscheid vom 27. Juli 1999 zu bestätigen; eventuell sei die Sache in Aufhebung des angefochtenen Entscheids an die SUVA zurückzuweisen. Den Eventualantrag begründet sie damit, dass es nicht angehe, die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ohne nähere medizinische Abklärung zu bejahen und gleichzeitig die Sache zur Einholung eines Gutachtens zum natürlichen Kausalzusammenhang an die SUVA zurückzuweisen. S._ lässt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung lässt sich nicht vernehmen.