Sachverhalt: A. Die E._ Ltd (nachfolgend: die Eigentümergesellschaft ) ist ein Rechtsträger nach US-amerikanischem Recht. Sie wurde am 11. Juni 1979 gegründet und erfuhr in den USA verschiedene Sitzänderungen, so von X._, PA nach Y._, MA und zuletzt nach Z._, FL. Die Gesellschaft war im hier massgebenden Zeitraum - 2001 bis 2003 - Eigentümerin eines Flugzeugs des Typs Boeing yyy (Immatrikulation im Luftfahrzeugregister der Vereinigten Staaten: Nzzz). B. Zwischen der Eigentümergesellschaft und der D._ AG, U._/BS (nachfolgend: die Managementgesellschaft ), besteht ein Aircraft-Management-Vertrag. Gestützt auf diesen Vertrag erbrachte die Managementgesellschaft der Eigentümergesellschaft in den Jahren 2001 bis 2003 Versicherungsleistungen. Die Fakturierung erfolgte ohne schweizerische Mehrwertsteuer. Im Anschluss an das Urteil des Bundesgerichts 2A.40/2007 vom 14. November 2007 in Sachen D._ AG nahm diese gegenüber der Eigentümergesellschaft am 16. September 2008 mit den Rechnungen Nr. 118250 über USD 16'169.54, Nr. 118293 über Fr. 2'595.40 und Nr. 118294 über USD 11'218.92 eine Nachbelastung der Mehrwertsteuer zum Normalsatz von 7,6 Prozent vor. Dies ergab ein Total von Fr. 32'062.64. Am 25. September 2008 schrieb die Credit Suisse AG, Zürich, ihrer Kundin, der Managementgesellschaft, einen Betrag von USD 67'090.85 gut. Die Gutschrift umfasste die Rechnungen Nr. 118250, Nr. 118294 sowie Nr. 118334 über USD 39'702.39 oder Fr. 42'715.80 betreffend die A._ (Bermuda) Ltd (dazu Urteil 2C_207/2013 vom 28. April 2014). Der Betreff lautete auf "Invoices 118250, 118294, 118334-VP A._". Am selben Tag erging eine weitere Gutschriftsanzeige der Credit Suisse AG, nunmehr über Fr. 2'595.40 (Rechnung Nr. 118293). Den beiden Gutschriftsanzeigen zufolge waren die Vergütungen im Auftrag der F._, V._ (UAE) (nachfolgend: die Operatinggesellschaft ), erfolgt. C. Mit Eingabe vom 19. Januar 2009 beantragte der Steuervertreter der E._ Ltd, Y._, MA die Vergütung der bezahlten Mehrwertsteuer auf den von der Managementgesellschaft in den Jahren 2001 bis 2003 erbrachten Versicherungsleistungen im Umfang von Fr. 32'062.64. Zusammen mit dem Antragsformular Nr. 1222 reichte der Steuervertreter namentlich die Aufstellung der bezogenen Leistungen gemäss Formular Nr. 1223, die Zahlungsbestätigung durch den Leistungserbringer (Formular Nr. 1225), eine von der Eigentümergesellschaft ausgestellte Vollmacht ("Power of Attorney") vom 24. Mai 2002, die beiden Gutschriftsanzeigen vom 25. September 2008 sowie drei Rechnungen an die Eigentümergesellschaft, Y._, MA vom 16. September 2008 über USD 29'983.86 (Fr. 32'062.64) ein. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (hiernach: ESTV) teilte der Eigentümergesellschaft mit Schreiben vom 21. April 2009 mit, dass sie das Gesuch "ablehne". Am 24. Oktober 2008 und am 31. Oktober 2008 habe sie bekannt gegeben, in welcher Form der Zahlungsnachweis im Einzelfall zu erbringen sei. Die eingereichten Bankbestätigungen über Zahlungseingänge bei der Managementgesellschaft seien als Zahlungsnachweis ungenügend und würden den "Vorgaben" [der Abteilung Recht] nicht entsprechen. Am 14. Mai 2009 liess der Steuervertreter der ESTV im Wesentlichen mitteilen, bei internationalen Konzernen bestünde ein "Cash Pooling", wonach eine zentrale Abrechnungseinheit des Konzerns sämtliche Rechnungen erhalten würde. Diese Rechnungen würden gesammelt und dann in einer Gesamtüberweisung namens der Rechnungsadressatin bezahlt. Der Zahlungsnachweis lasse sich dementsprechend nicht ohne Weiteres beschaffen. In Anbetracht dessen ersuchte er wiedererwägungsweise um eine erneute Prüfung des Vergütungsantrags, welchen er am 18. Mai 2009 nochmals einreichte. Für den Fall der erneuten Ablehnung des Antrags verlangte der Steuervertreter die Zustellung eines anfechtbaren Entscheids. D. Mit Eingabe vom 16. Juni 2009 beantragte der Steuervertreter der E._ Ltd, X._, PA die Vergütung der bezahlten Mehrwertsteuer auf den von der Managementgesellschaft nunmehr im Jahr 2008 erbrachten Versicherungsleistungen im Umfang von Fr. 39'215.89. Zusammen mit dem Antragsformular Nr. 1222 reichte der Steuervertreter namentlich die Aufstellung der bezogenen Leistungen gemäss Formular Nr. 1223, die Zahlungsbestätigung durch den Leistungserbringer (Formular Nr. 1225), eine von der Eigentümergesellschaft ausgestellte Vollmacht ("Power of Attorney") vom 24. Mai 2004, ein Instruktions- und Bestätigungsschreiben der Eigentümergesellschaft vom 16. Februar 2007, welche den Steuervertreter ermächtigt, die Mehrwertsteuer für das Kalenderjahr 2006 zurückzufordern, sowie die Rechnung an die Eigentümergesellschaft, X._, PA vom 16. September 2008 über USD 36'449.38 ein. Die Eigentümergesellschaft erläuterte in ihrem Schreiben vom 13. Oktober 2009 den Sachverhalt zum einen dahingehend, dass sie, die Eigentümergesellschaft, im Jahr 2002 im Rahmen eines "Share Deal" verkauft worden sei. Da es zum Aktienkauf gekommen sei, seien auch alle Aktiven, namentlich die Boeing yyy (Nzzz), übergegangen. Grund sei, dass sich die beabsichtigte Eintragung der geplanten E._-Air AG im schweizerischen Register der Steuerpflichtigen nicht habe verwirklichen lassen. Die Zahlung der Rechnung für die Nachbelastung der Mehrwertsteuer auf den erbrachten Versicherungsleistungen habe daher - aus im Schreiben nicht näher umschriebenen Gründen - die A._ (Bermuda) Ltd vorgenommen. Diese sei gegründet worden, als die Eintragung der E._-Air AG gescheitert sei. Deren Flugzeug, die Boeing xxx (VP-aaa), werde durch eine Schwestergesellschaft der Managementgesellschaft, die F._, "operiert". Zum andern leiste eine Schwestergesellschaft der Eigentümergesellschaft - gemeint ist die G._ Establishment, W._ (FL) - jeweils Vorausleistungen oder Akontozahlungen an die Operatinggesellschaft. Diese habe in der Folge die Summe von USD 69'506.78 (Betrag der Rechnungen vom 16. September 2008) dem Depot entnommen und an die Managementgesellschaft in der Schweiz überwiesen. Aus den Belegen gehe klarerweise hervor, dass es sich dabei um die Vergütung der Rechnungen der Managementgesellschaft gehandelt habe. Mit Schreiben vom 25. Januar 2010 erklärte der Steuervertreter, dass die Eigentümergesellschaft im Jahr 2003 im Rahmen eines "Share Deal" durch eine amerikanische Aktionärsgruppe erworben worden sei. Die Parteien hätten anlässlich der Handänderung der Beteiligung vereinbart, dass etwaige Rechnungen, die sich auf die Zeit vor der Handänderung beziehen, durch die ehemaligen Eigentümer oder deren Rechtsnachfolger zu tragen seien. Am 8. Februar 2010 erliess die ESTV eine Verfügung, mit welcher sie den Antrag vom 19. Januar 2009/18. Mai 2009 auf Vergütung von Fr. 32'062.64 Mehrwertsteuer für das Jahr 2008 abwies. Zur Begründung führte die ESTV aus, dass diverse Voraussetzungen der Rückerstattung nicht erfüllt seien. Es stehe fest, dass die frühere E._ Ltd, Y._, MA identisch mit der E._ Ltd, X._, PA sei und somit bloss eine einzige Unternehmung bestehe. Die Rechnung der Managementgesellschaft an die Adresse der Eigentümergesellschaft in Y._, MA habe daher nicht rechtsgültig zugestellt werden können, da der Geschäftssitz bereits im Jahr 2003 nach X._, PA verlegt worden sei. Die Eigentümergesellschaft könne nicht belegen, dass sie die eingereichte Rechnung erhalten und beglichen habe. Zudem könne sie ihre Unternehmereigenschaft nicht nachweisen und der Steuervertreter sei aufgrund der Handänderung im Jahr 2002 nicht mehr ordentlich bevollmächtigt. Im Ergebnis sei der am 19. Januar 2009 eingereichte, auf die E._ Ltd, Y._, MA lautende Rückerstattungsantrag inhaltlich unwahr und ohne rechtsgültige Vollmacht unterzeichnet worden, weshalb er vollumfänglich abzuweisen sei. Die gegen die Verfügung vom 8. Februar 2010 gerichtete Einsprache der Eigentümergesellschaft vom 23. Februar 2010 blieb erfolglos (Einspracheentscheid vom 4. November 2011). E. Mit Gutschriftsanzeige Nr. 08447954 vom 3. März 2010 teilte die ESTV dem Steuervertreter mit, dass gestützt auf den Antrag vom 16. Juni 2009 die Mehrwertsteuer vollständig vergütet werde, d. h. im Umfang von Fr. 39'216.--. F. Gegen den Einspracheentscheid vom 4. November 2011 erhob die Eigentümergesellschaft am 7. Dezember 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil A-6616/2011 vom 29. Januar 2013 hiess dieses die Beschwerde im Sinne der Erwägungen teilweise gut und wies die Sache zur Fällung eines neuen Entscheids im Sinne der Erwägungen an die ESTV zurück. Das Bundesverwaltungsgericht stellt fest, es sei nicht mehr streitig, dass es sich bei der E._ Ltd, Y._, MA und der E._ Ltd, X._, PA um dieselbe Gesellschaft US-amerikanischen Rechts handle (Urteil E. 1.2 und 3.1). Umstritten sei hingegen, ob die Genehmigung eines Vergütungsantrags voraussetzt, dass der Leistungsempfänger die ihm zu vergütende Mehrwertsteuer selbst bezahlt haben muss. Weiter stelle sich die Frage, wie die von der Eigentümergesellschaft beantragte Konsolidierung der beiden Vergütungsanträge betreffend das Jahr 2008 rechtlich zu würdigen sei. Im konkreten Fall sei unbestritten, dass die Eigentümergesellschaft die Empfängerin der Leistungen sei, ebenso unstrittig habe die Managementgesellschaft die fakturierte Mehrwertsteuer an die ESTV abgeliefert. In tatsächlicher Hinsicht erscheine es nicht als abwegig, dass die G._ Establishment, W._ (FL) die angebliche Schwestergesellschaft, bei der Operatinggesellschaft ein Depot unterhalten habe, dem die Rechnungen vom 16. September 2008 belastet worden seien. Ebenso wenig abwegig sei auch die Behauptung, die A._ (Bermuda) Ltd sei als Garantin aufgetreten, um die Schadloshaltung des neuen Aktionariats nach dem angeblichen Verkauf der Eigentümergesellschaft im Jahr 2003 zu gewährleisten (Urteil E. 3.3.3). Das Bundesverwaltungsgericht fährt fort, unbestrittenermassen habe die Eigentümergesellschaft hinsichtlich des Jahrs 2008 zwei Vergütungsanträge gestellt (19. Januar 2009 bzw. 16. Juni 2009). Der Antrag der Eigentümergesellschaft ziele indes nicht auf die Gutheissung des streitbetroffenen Antrags vom 19. Januar 2009 ab, sondern auf Gutheissung eines "konsolidierten" Antrags. Auf diese Weise ersuche die Eigentümergesellschaft um Wiedererwägung des Entscheids über den Antrag vom 16. Juni 2009 ab, was im Rahmen der Verjährung grundsätzlich zulässig sei. Es könne denn auch offen bleiben, ob die Sichtweise der ESTV, die von der Zulässigkeit bloss eines einzigen Antrags pro Jahr ausgeht, rechtlich begründet sei (Urteil E. 3.4). Eine Auseinandersetzung der ESTV mit dieser Rechtsfrage sei bislang unterblieben, ebenso mit dem erstmals im Vernehmlassungsstadium vorgebrachten Argument der ESTV, die Eigentümergesellschaft habe die bezogenen Eingangsleistungen für andere als steuerbare bzw. steuerbefreite Ausgangsleistungen verwendet. Die weitere Vertiefung und Prüfung dieser Fragen sei der ESTV zu überantworten. Die Streitsache sei zu diesem Zweck und zu neuem Entscheid an die ESTV zurückzuweisen (Urteil E. 3.5). G. Mit Eingabe vom 27. Februar 2013 erhebt die ESTV beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil A-6616/2011 vom 29. Januar 2013 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 4. November 2011 sei zu bestätigen. Demgegenüber beantragt die Eigentümergesellschaft, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und der angefochtene Entscheid sei zu bestätigen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.