Sachverhalt: A. X._ arbeitete als Pflegerin im Pflegeheim A._. Im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses war sie einem Kollektivvertrag mit der Versicherung Y._ AG (im Folgenden: Y._) angeschlossen, der eine Krankentaggeldversicherung gemäss Versicherungsvertragsgesetz (VVG) umfasste. Nachdem X._ im Pflegeheim mehrere Brände gelegt hatte, wurde das Arbeitsverhältnis mit Wirkung ab 8. November 2004 aufgelöst. Seit diesem Tag befindet sich X._ in Haft, zunächst in Untersuchungshaft und seit dem 7. Dezember 2004 in der Strafanstalt B._. Dort wurde sogleich eine psychiatrische Behandlung aufgenommen. Zur Weiterführung des Versicherungsverhältnisses mit der Y._ unterzeichnete X._ am 22. Januar 2005 einen Antrag zum Übertritt in die Einzeltaggeldversicherung. Mit Schreiben vom 23. Februar 2005 meldete X._, vertreten durch ihren Ehemann Z._, den Krankheitsfall bei der Y._ an. Sie legte ein Zeugnis des Psychiatrischen Dienstes der Universität C._ bei, wonach die Fortsetzung der am 7. Dezember 2004 begonnenen psychiatrischen Behandlung notwendig sei. Y._ lehnte die Ausrichtung von Taggeldleistungen ab mit der Begründung, X._ befinde sich in Haft und es liege deshalb kein krankheitsbedingter Erwerbsausfall vor. B. Mit Eingaben vom 9. und 18. September 2005 reichte X._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau gegen Y._ Klage ein und beantragte, die Beklagte zu verpflichten, ihr das vertragliche Krankentaggeld auszurichten. Das Versicherungsgericht (4. Kammer) wies die Klage durch Urteil vom 7. März 2006 ab. C. Gestützt auf eine unzutreffende Rechtsmittelbelehrung gelangte die Klägerin, vertreten durch ihren Ehemann, mit einer vom 10. April 2006 datierten und am 12. April 2006 zur Post gebrachten Eingabe an das Eidgenössische Versicherungsgericht. Dieses erkannte am 6. Juni 2006, dass auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten und die Sache im Sinne von Art. 107 Abs. 2 OG zur weiteren Behandlung an das Bundesgericht überwiesen werde. Als Beilage zu einem Schreiben vom 26. Oktober 2006 liess die Klägerin verschiedene Schriftstücke nachreichen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.