persönliche Freiheit (Haftprüfung), hat sich ergeben: A.-Die Behörden des Kantons Zürich führen eine Strafuntersuchung gegen verschiedene Angeschuldigte wegen einer im Mai 2000 verübten Kindesentführung. X._, dem die Beteiligung an qualifizierter Geiselnahme und Erpressung vorgeworfen wird, wurde am 20. Mai 2000 in Untersuchungshaft versetzt. Die Strafuntersuchung wurde mit Weisung und Schlussbericht der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 26. Juli 2001 abgeschlossen. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich vom 16. August 2001 hin bewilligte der Haftrichter des Bezirksgerichtes Zürich mit Entscheid vom 21. August 2001 die Verlängerung der Untersuchungshaft bis zum 22. November 2001. B.-Dagegen gelangte X._ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 24. September 2001 an das Bundesgericht. Er rügt namentlich eine Verletzung der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2 BV) und beantragt seine unverzügliche Haftentlassung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich beantragt in ihrer Vernehmlassung vom 3. Oktober 2001 die Abweisung der Beschwerde, während der Haftrichter des Bezirksgerichtes Zürich auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet hat. Der Beschwerdeführer replizierte am 12. Oktober 2001.