Sachverhalt: A. Die 1957 geborene S._ war seit 1. Oktober 2000 als Hausdienstangestellte für das Spital X._ tätig und bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als ihr am 8. Oktober 2004 ein Teil einer Putzmaschine auf die linke Hand fiel. Die Versicherte klagte über massiven Berührungsschmerz über dem linken Handgelenk mit ausgeprägter Bewegungseinschränkung. Der Röntgenbefund war unauffällig. Trotz mehrerer medizinischer Untersuchungen liess sich der Hauptgrund für die andauernden Handgelenksschmerzen nicht eruieren. Am 13. März 2006 diagnostizierte die Schulthess Klinik eine deutliche (mittelschwere) depressive Episode. Anlässlich der daraufhin in Auftrag gegebenen psychosomatischen Begutachtung stellte Frau Dr. med. K._, FMH für Arbeitsmedizin und Psychosomatik, im Gutachten vom 15. September 2006 die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung sowie Angst und depressive Störung gemischt, wobei sie hinsichtlich der Unfallkausalität festhielt, das Ereignis vom 8. Oktober 2004 habe als Auslöser ca. 20 % Anteil. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2006 stellte die Zürich daraufhin ihre Leistungen per 1. November 2006 ein. Die von der SwissLife als BVG-Versicherer und von S._ dagegen erhobenen Einsprachen wies sie nach Einholung eines Berichts der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 26. März 2007 sowie eines Gutachtens des Dr. med. I._, Facharzt für Chirurgie, speziell Handchirurgie, Leitender Arzt der Chirurgischen Klinik des Spitals A._, vom 28. Dezember 2007 mit Einspracheentscheid vom 25. April 2008 ab, soweit sie darauf eintrat. B. Die namens der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz gestelltem Antrag nicht durchgeführt. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ sinngemäss beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung in einem fairen Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK, namentlich zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Gleichzeitig lässt sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Der Vertreter der Versicherten legt zudem dar, dass eine weitere Vertretung durch ihn über die Anhebung der Beschwerde hinaus ausgeschlossen sei. Die Zürich lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.