Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 28. April 2009 eröffnete die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) der 1956 geborenen P._, dass nach eingehenden Abklärungen keine organischen oder strukturellen Schädigungen des zentralen oder peripheren Nervensystems als Folge der im Juni 2007 erlittenen FSME-Erkrankung nach Zeckenstich hätten nachgewiesen werden können, weshalb sie die Versicherungsleistungen per 15. Mai 2009 einstelle. Die dagegen erhobene Einsprache - formuliert auf dem Briefpapier des Beratungszentrums X._, unterschrieben von T._, dipl. Sozialarbeiter FH, sowie von P._, und mit einer Vollmacht versehen - wies die SUVA mit Entscheid vom 12. August 2009 ab. Der Einspracheentscheid wurde am 12. August 2009 eingeschrieben versandt und dem Beratungszentrum X._ am 13. August 2009 im Doppel zugestellt. B. Die mittlerweile durch Rechtsanwalt Flury vertretene P._ liess am 15. September 2009 (Postaufgabedatum) beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gegen den Einspracheentscheid vom 12. August 2009 Beschwerde erheben und beantragen, die SUVA habe ihr weiterhin die gesetzlichen Leistungen auszurichten, eventualiter sei zur Klärung der Kausalität und der Unfallfolgen eine spezialärztliche Abklärung anzuordnen. Nachdem das kantonale Gericht den Parteien Gelegenheit eingeräumt hatte, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern, trat es mit Entscheid vom 20. Januar 2010 auf die Beschwerde nicht ein und wies das inzwischen eventualiter gestellte Gesuch um Wiederherstellung der Frist ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, die SUVA sei zu verpflichten, den Einspracheentscheid korrekt zu eröffnen, eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 15. September 2009 einzutreten, subeventualiter sei die Frist im vorinstanzlichen Verfahren wiederherzustellen und die Vorinstanz zu verpflichten, die Beschwerdeschrift als innert Frist eingereicht entgegenzunehmen. Gleichzeitig lässt P._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.