Sachverhalt: A. Die Association interprofessionnelle de la Damassine ersuchte am 10. Juli 2002 um Eintragung der Bezeichnung "Damassine" als geschützte Ursprungsbezeichnung (Appellation d'origine contrôlée, AOC) für einen Obstbrand. Dieser soll dem Pflichtenheft gemäss ausschliesslich im Kanton Jura erzeugt und in Flaschen abgefüllt werden. Dabei sollen auch nur Früchte von Damassine-Bäumen (Damassinier) verwendet werden, die sich im Gebiet dieses Kantons befinden. Das Bundesamt für Landwirtschaft bot mehreren Bundesbehörden und dem Kanton Jura Gelegenheit zur Stellungnahme. Das Büro für Konsumentenfragen, das Bundesamt für Gesundheit, die Eidgenössischen Forschungsanstalten Changins und Wädenswil sowie das Eidgenössische Institut für Geistiges Eigentum widersprachen der Eintragung aus ihrer Sicht nicht; lediglich die letztgenannte Stelle hatte gewisse Vorbehalte, weil es sich beim Namen "Damassine" ihrer Meinung nach um eine kleine rote Pflaumensorte handle, die sich auch in anderen Kantonen finden lasse. Mit Verfügung vom 28. Juni 2005 hiess das Bundesamt für Landwirtschaft das Gesuch gut und kündigte an, die Bezeichnung "Damassine" unter Vorbehalt von Einsprachen in das Register für geschützte Ursprungsbezeichnungen einzutragen. Hiegegen gingen elf Einsprachen ein, mit denen sich das Bundesamt in einem einzigen Entscheid vom 16. August 2007 befasste. Eine Einsprache, mit der lediglich die Aufhebung einer Bestimmung des Pflichtenhefts zur maximalen Durchflussmenge des Destilliergeräts begehrt wurde, hiess das Bundesamt gut. Auf vier Einsprachen trat es nicht ein, zwei schrieb es als gegenstandslos geworden ab. Die übrigen Einsprachen - darunter diejenige der Grillette, Domaine de Cressier SA - wies es ab. Die von Letzterer dagegen beim Bundesverwaltungsgericht erhobene Beschwerde blieb erfolglos. Die einzige weitere Beschwerde eines anderen Einsprechers wurde mit der Begründung abgewiesen, diesem fehle die Einsprache- bzw. Beschwerdelegitimation. B. Die Grillette, Domaine de Cressier SA beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. November 2008, das in dieser Sache ergangene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 1. Oktober 2008 aufzuheben und das Eintragungsgesuch der Association interprofessionnelle de la Damassine abzuweisen. Eventualiter sei das Eintragungsgesuch nur unter der Auflage gutzuheissen, dass das geographische Schutzgebiet "auf das Gebiet des Neuenburger Juras, einschliesslich der Gebiete Le Landeron und Cressier (NE), ausgedehnt wird". Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Die Association interprofessionnelle de la Damassine stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, hilfsweise sie abzuweisen. Das Bundesamt für Landwirtschaft ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. C. Die Grillette, Domaine de Cressier SA hat darum ersucht, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen hinsichtlich der Eintragung von "Damassine" als geschützte Ursprungsbezeichnung einerseits und der von der Vorinstanz zu ihren Lasten zugesprochenen Parteientschädigung anderseits. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat diesem Gesuch mit Verfügung vom 3. Dezember 2008 stattgegeben. D. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 26. Februar 2010 an einer öffentlichen Sitzung beraten.