Sachverhalt: A. In der Betreibung Nr. yyy gegen X._ (für eine Forderung von Fr. 7'409.90) bewilligte der Präsident des Bezirksgerichts Bischofszell mit Verfügung vom 22. Mai 2009 den Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens nicht und stellte sinngemäss den Umfang des neuen Vermögens fest. Er beseitigte den Rechtsvorschlag gegen die Forderung selbst und erteilte der Gläubigerin die provisorische Rechtsöffnung für Fr. 7'409.90. Zudem erklärte er einen Einkommensanteil von X._ von Fr. 230.25 pro Monat ab Juni 2009 als pfändbar. B. Daraufhin reichte X._ am 17. August 2009 eine Klage auf Bestreitung des neuen Vermögens ein. Mit Urteil vom 29. März 2010 wies das Bezirksgericht Bischofszell die Klage ab und bestätigte sinngemäss die Verfügung des Präsidenten des Bezirksgerichts vom 22. Mai 2009. C. Gegen dieses Urteil erklärte X._ am 25. August 2010 die Berufung an das Obergericht des Kantons Thurgau. In seinen Berufungsanträgen vom 12. Oktober 2010 stellte er insbesondere und eventualiter (für den Fall, dass seine Berufung nicht gutgeheissen werden sollte) ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Nachdem X._ einer ersten Aufforderung des Obergerichts vom 14. Oktober 2010 zur Darlegung seiner finanziellen Verhältnisse für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege mit Eingabe vom 3. Dezember 2010 nur teilweise nachkam, forderte ihn das Obergericht mit Schreiben vom 11. Januar 2011 auf, namentlich erwähnte Unterlagen einzureichen. X._ leistete auch dieser Aufforderung nur teilweise Folge (Eingabe vom 6. Februar 2011), weshalb das Obergericht am 10. Februar 2011 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht des Gesuchstellers abwies. X._ reichte dem Obergericht daraufhin mit Schreiben vom 20. Februar 2011 weitere Belege nach. Das Schreiben vom 20. Februar 2011 nahm das Obergericht als Wiedererwägungsgesuch entgegen. Dieses wies es mit Verfügung vom 22. Februar 2011 ab und bestätigte die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Es setzte X._ zudem eine nicht erstreckbare Frist bis zum 10. März 2011 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- an. D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner als Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 24. März 2011 die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 22. Februar 2011 und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das obergerichtliche Verfahren. Eventualiter sei ihm sinngemäss eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen und der Beschwerde damit die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Zudem stellt er für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines Anwalts. Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.