Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende A._ (geb. 1971) heiratete am 2. Juni 1992 seine Landsfrau F._ (geb. 1972). Aus dieser Ehe gingen die drei Kinder B._ (geb. 1993), C._ (geb. 1994) und D._ (geb. 1995) hervor. Im Jahre 1995 sowie von Ende April 1996 bis im Mai 1997 hielt sich A._ als Asylsuchender in der Schweiz auf und durchlief erfolglos zwei Asylverfahren. Am 10. November 1997 wurde seine Ehe vom Bezirksgericht Peja (Kosovo) geschieden, worauf er - am 16. Dezember 1997 - die Schweizer Bürgerin K._ (geb. 1979) heiratete, im November 1998 zu seiner neuen Ehefrau in die Schweiz zog und hier eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Am 28. Oktober 1998 brachte F._ die von A._ nachehelich gezeugte Tochter E._ zur Welt. Gemäss zwei einheimischen Urteilen wurde dem Vater das Sorgerecht über alle vier Kinder übertragen. Zusammen mit ihrer Mutter hielten sich B._, C._, D._ und E._ bis September 2000 ebenfalls als Asylsuchende in der Schweiz auf. Nach der Ablehnung ihrer Asylgesuche reiste die Teilfamilie nach Pristina aus. Die Kinder leben seit ihrer Rückkehr bei einem Bruder ihres Vaters. Am 16. August 2004 erhielt A._ die Niederlassungsbewilligung. B. Mit Verfügung vom 1. September 2004 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich das von A._ gestellte Familiennachzugsgesuch für seine vier Kinder ab. Ein gegen diese Verfügung erhobener Rekurs beim Regierungsrat blieb erfolglos. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hingegen hiess eine gegen den regierungsrätlichen Entscheid gerichtete Beschwerde teilweise gut und wies die Sache zur ordnungsgemässen Gewährung des rechtlichen Gehörs und zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an den Regierungsrat zurück. Im dort geführten "zweiten Rechtsgang" reichte A._ weitere neue Beweismittel ein, darunter einen Bericht des Zentrums für soziale Arbeit in Decan (Kosovo) vom 5. Mai 2006, wonach den "Kindern eine Familienvereinigung mit ihrem Vater" ermöglicht werden solle, weil ihnen "die elterliche Fürsorge" fehle. Mit Beschluss vom 15. August 2007 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich den Rekurs gegen die Abweisung des Familiennachzugsgesuches wiederum ab. Eine erneute Beschwerde beim Verwaltungsgericht blieb erfolglos (Urteil vom 19. Dezember 2007). C. Mit gemeinsamer Eingabe vom 29. Februar 2008 führen A._ und seine vier Kinder beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Dezember 2007 aufzuheben und den Kindern "eine Einreise-, Aufenthalts- bzw. Niederlassungsbewilligung zu gewähren". Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen.