Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 11. Juni 2007 sprach das Bezirksgericht Zürich, 3. Abteilung, X._ in 21 von 23 Anklagepunkten wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das BetmG und wegen mehrfacher Übertretung des BetmG schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren. B. Mit Eingabe vom 12. Juli 2007 meldete X._ fristgerecht Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Nach Zustellung des begründeten erstinstanzlichen Entscheids am 12. November 2007 nannte X._ mit Eingabe vom 29. November 2007 innerhalb der gesetzlichen Frist von 20 Tagen seine Beanstandungen. Diese richteten sich gegen zwei der 21 Teilsachverhalte (Anklageziffern I.1 und I.4.2) sowie insbesondere gegen die Strafzumessung. Zusammenfassend machte X._a geltend, er sei in vier von 23 Teilsachverhalten freizusprechen, und sein Geständnis und seine Kooperation bei der Untersuchung seien angemessen strafmindernd zu berücksichtigen. Im Ergebnis sei er zu einer Freiheitsstrafe von maximal drei Jahren zu verurteilen. Am 13. Dezember 2007 erhob die Staatsanwaltschaft Anschlussberufung mit dem Antrag, X._ sei zu einer Freiheitsstrafe von 81⁄2 Jahren und zu einer Busse von Fr. 500.-- zu verurteilen. Mit zwei Eingaben vom 4. März 2008 brachte X._ zusätzliche Beanstandungen gegen das erstinstanzliche Urteil vor, und anlässlich der Berufungsverhandlung vom 26. März 2008 bestritt er nebst den mit Eingabe vom 29. November 2007 gerügten Anklagepunkten weitere Teilsachverhalte. C. Das Obergericht des Kantons Zürich erachtete die von X._ mit den Schreiben vom 4. März 2008 und an der Berufungsverhandlung vorgebrachten zusätzlichen Beanstandungen für verspätet. Es befand X._ mit Urteil vom 26. März 2008 der Widerhandlung gegen das BetmG und der mehrfachen Übertretung desselbigen schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren. D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. März 2008 sei aufzuheben, und die Sache sei zur richtigen Feststellung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. 1 Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.