Sachverhalt: A. Mit Schadenmeldung UVG vom 18. Januar 2006 teilte die Firma A._ der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit, R._, welcher seit 1. Mai 2005 als Gipser/ Fassdenisoleur bei ihr tätig sei, habe sich am 26. Dezember 2005 bei einem Skiunfall eine Stauchung der Wirbelsäule zugezogen. R._ ist der Bruder des Inhabers der Firma A._. Dr. med. S._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, den R._ nach dem Unfall in der Schweiz aufgesucht hatte, diagnostizierte mit Bericht vom 27. Januar 2006 ein posttraumatisches Lumbovertebralsyndrom bei vorbestehender bekannter Diskushernie L5/S21 links und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfalldatum. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen verneinte die SUVA mit Verfügung vom 26. Mai 2008 ihre Leistungspflicht aus der obligatorischen Unfallversicherung. Zur Begründung führte sie aus, R._ sei im Unfallzeitpunkt nicht als Unselbstständigerwerbender bzw. Angestellter im Unternehmen des Bruders tätig gewesen. Es bestehe daher für das Unfallereignis keine Versicherungsdeckung bei der SUVA. Daran hielt der Versicherer auf die von R._ erhobene Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 14. Januar 2009). B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 19. August 2009 ab. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es seien ihm Leistungen der Unfallversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Die SUVA und die Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.