Darlehen, hat sich ergeben: A.- Erika Bertschinger Eicke, die sich Uriella nennt und unter diesem Namen in der Öffentlichkeit bekannt geworden ist, betätigt sich seit 1971 als Geistheilerin. 1980 gründete sie die Vereinigung "Fiat Lux", der sie noch heute vorsteht. Nach ihren Angaben ist "Fiat Lux" eine klösterliche Ordensgemeinschaft mit sehr strengen Regeln. Die von der Vereinigung befolgte Lehre umfasst religiöse, spirituelle und esoterische Elemente. Als einzige Vermittlerin der Lehre gilt Uriella, die sich als Sprachrohr Gottes bezeichnet. Wichtige Inhalte der Lehre sind apokalyptische Vorstellungen und die Hoffnung der Rettung im Fall der Apokalypse. Die Vereinigung erhebt keine Mitgliederbeiträge, sondern finanziert sich aus freiwilligen Spenden und Einnahmen aus dem Verkauf von Heilmitteln. X._ kam 1981 im Zusammenhang mit der Krebserkrankung ihres Sohnes in Kontakt mit Uriella. Sie nahm in der Folge an den Aktivitäten von "Fiat Lux" teil und wurde Ende 1986 auch formell Mitglied der Vereinigung. Nach der Trennung von ihrem ersten Ehemann zog sie 1994 in ein eigenes Haus in Egg im Kanton Zürich, wo sich eines der Zentren von "Fiat Lux" befindet. X._ gewährte Uriella im Zeitraum zwischen Dezember 1994 bis August 1996 sieben zinslose Darlehen im Gesamtbetrag von Fr. 625'000.--. Für die Darlehen wurden unterschiedliche Laufzeiten vereinbart, die zwischen 10 und 22 Jahren betragen, womit sie vom Jahr 2006 bis ins Jahr 2017 zur Rückzahlung fällig geworden wären. B.- Am 15. Mai 1997 erklärten X._ und ihr zweiter Ehemann, der ebenfalls Mitglied von "Fiat Lux" war, brieflich den Austritt aus der Vereinigung. Im September des gleichen Jahres gelangte X._ an Uriella mit dem Ersuchen, die Darlehenskonditionen durch eine Rückzahlungsvereinbarung in dem Sinne abzuändern, dass die Laufzeiten verkürzt würden. Damit wäre ein erstes Darlehen im Betrag von Fr. 100'000.-- am 27. August 1997 zur Rückzahlung fällig geworden. Nachdem das Ersuchen der Darlehensgeberin ohne Antwort geblieben war, betrieb sie Uriella mit Zahlungsbefehl vom 13. Mai 1998 für den Betrag von Fr. 625'000.-- nebst 5 % Zins seit 1. August 1995, worauf die Betriebene Rechtsvorschlag erhob. C.- Im November 1998 reichte X._ Klage gegen Erika Bertschinger Eicke ein mit dem Begehren, die Beklagte zur Zahlung von Fr. 625'000.-- nebst 5 % Zins seit 1. August 1996 sowie den Betreibungskosten und den Kosten des Vermittlungsverfahrens zu verpflichten. Die Klägerin beantragte zudem, den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 98/5, 588 des Betreibungsamtes Herisau aufzuheben. Mit Urteilen vom 10. April und 15. Mai 2000 verpflichtete das Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden die Beklagte zur Zahlung von Fr. 625'000.-- nebst 5 % Zins seit 26. Juni 1998. Das Begehren um Aufhebung des Rechtsvorschlages wurde dagegen abgewiesen. Auf Appellation der Beklagten und Anschlussappellation der Klägerin entschied das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden mit Urteil vom 22. Mai 2001 gleich wie das Kantonsgericht. Beide Gerichte kamen zum Ergebnis, dass die Klägerin die Darlehensverträge aus wichtigem Grund vorzeitig kündigen durfte. D.- Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit ihrer Berufung, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Klage abzuweisen. Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit auf sie einzutreten sei, und Bestätigung des angefochtenen Urteils.