Sachverhalt: A. Der 1967 geborene, deutsche Staatsangehörige B._ war vom 1. Oktober 2006 bis 30. September 2007 in der Firma X._ und vom 1. Oktober 2007 bis 30. September 2008 in der Firma A._ AG, beide in Y._ (Fürstentum Liechtenstein), tätig. Aus betrieblichen Gründen löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis am 27. August 2008 auf den 30. September 2008 auf und stellte den Arbeitnehmer ab sofort frei. Im August 2008 gab B._ seinen bisherigen Wohnsitz in Deutschland auf und meldete sich auf den 1. September 2008 in der Gemeinde F._ an. Seither ist er im Besitze einer bis 31. August 2013 gültigen Aufenthaltsbewilligung B. Am 7. November 2008 meldete er sich beim Gemeindearbeitsamt F._ zur Arbeitsvermittlung und stellte Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 20. April 2009 lehnte die kantonale Arbeitslosenkasse Schwyz die Anspruchsberechtigung ab 7. November 2008 wegen Nichterfüllung der Beitragszeit innerhalb der Rahmenfrist vom 7. November 2006 bis 6. November 2008 ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 26. Juni 2009 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 15. Oktober 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt B._ die Zusprechung von Leistungen der Arbeitslosenversicherung ab 7. November 2008 bis 21. September 2009. Eventuell sei die Sache dem Europäischen Gerichtshof (EuGH) oder dem EFTA-Gerichtshof vorzulegen. Falls kein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bestehe, sei ihm Schadenersatz in Höhe des vorenthaltenen Anspruchs zuzusprechen. Die Arbeitslosenkasse und das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung. Das vom Bundesgericht zur Vernehmlassung aufgeforderte Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), Geschäftsfeld internationale Angelegenheiten, nimmt in abweisendem Sinne Stellung.