Sachverhalt: A. Z._ schloss am 22. Dezember 2004 mit der Versicherung A._ (heute X._ Versicherungen AG; Gesuchstellerin) eine Freizügigkeitsversicherung (Einzeltaggeldversicherung) nach dem VVG ab. Am 27. April 2005 trat der Versicherte seine Ansprüche aus der Einzeltaggeldversicherung ab 1. Januar 2005 an die Sozialbehörde der Gemeinde Lindau (Gesuchsgegnerin) ab, und später erneut am 8. Juni 2007 und 27. Januar 2009. B. Eine erste Klage der Gesuchsgegnerin um Ausrichtung von Taggeldern für den Zeitraum vom 2. Dezember 2006 bis 31. Oktober 2008 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 26. September 2011 ab. Am 14. November 2011 erhob die Gesuchsgegnerin erneut Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte, die Gesuchstellerin sei zu verpflichten, ihr für den Zeitraum vom 27. März 2005 bis zum 20. Mai 2006 Fr. 32'219.-- nebst Zins aus der Krankentaggeldversicherung von Z._ zu bezahlen. Mit Urteil vom 12. April 2013 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und verpflichtete die Gesuchstellerin, der Gesuchsgegnerin den Betrag von Fr. 32'219.-- zuzüglich 5 % Zins seit 1. Dezember 2011 zu bezahlen. Mit Urteil vom 20. September 2013 wies das Bundesgericht eine von der Gesuchstellerin dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen ab (Verfahren 4A_280/2013). C. Die Gesuchstellerin reichte dem Bundesgericht am 15. November 2013 ein Revisionsgesuch ein mit folgenden Anträgen: "1. Das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 sei revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, die Klage der Gesuchsgegnerin sei abzuweisen, ein neues Urteil durch das Bundesgericht sei zu fällen und die Sache zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen; 2. Eventualiter sei das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese insbesondere abkläre und Feststellungen zur Frage treffe, wann die erstmalige ärztliche Feststellung und Attestierung der Arbeitsunfähigkeit von Z._ für die eingeklagte Periode vom 27. März 2005 bis zum 20. Mai 2006 stattgefunden habe; 3. Subeventualiter sei das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. 4. (...) " Die Gesuchsgegnerin beantragt, das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Gesuchstellerin reichte eine Replik ein, wozu die Gesuchsgegnerin nicht mehr eingehend Stellung nahm. D. Mit Präsidialverfügung vom 10. Dezember 2013 wurde dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung erteilt.