A.- Die 1946 geborene M._ war seit dem 10. Juni 1987 als teilzeitlich beschäftigte Krankenpflegerin und Nachtwache im Alters- und Pflegeheim X._ tätig. In dieser Funktion war sie über ihren Arbeitgeber, die Einwohnergemeinde Y._, bei der Elvia Versicherungen unfallversichert. Am 9. September 1995 kam es in Z._ zu einem Auffahrunfall, als M._ nach dem Überqueren eines Bahnübergangs ihren mit einer Geschwindigkeit von 30 bis 35 Stundenkilometern gelenkten Personenwagen wegen eines ihre Fahrbahn überquerenden Fahrzeuges plötzlich bis zum Stillstand abbremsen musste und ein ihr nachfolgender Taxifahrer nicht mehr rechtzeitig reagieren konnte. Anschliessend fuhr M._ zwar noch selber an ihren Wohnort in A._, musste dort aber am folgenden Tag ihren Hausarzt Dr. med. S._ aufsuchen. Wegen zunehmender zervikaler Schmerzen überwies dieser die Patientin am 14. September 1995 ins Spital B._, wo ein zervikales Distorsionstrauma der Halswirbelsäule sowie eine posttraumatische Belastungsstörung diagnostiziert wurden. Eine Erwerbstätigkeit konnte M._ auch nach der bis am 4. Dezember 1995 dauernden Hospitalisation nicht mehr aufnehmen. Die Elvia, welche ihre Haftung anerkannt und Taggelder ausgerichtet hatte sowie für Heilungskosten aufgekommen war, zog nebst dem Austrittsbericht des Spitals B._ vom 8. Dezember 1995 unter anderm mehrere Stellungnahmen des Neurologen Dr. med. H._ sowie der Hausärzte Dr. med. S._ und Dr. med. E._ bei. Zudem veranlasste sie eine interdisziplinäre Begutachtung in der Medizinischen Abklärungsstelle der Invalidenversicherung (MEDAS), welche am 10. Januar 1997 ausführlich Bericht erstattete. Gestützt auf diese Unterlagen gelangte sie zum Schluss, das Unfallereignis vom 9. September 1995 sei nicht geeignet gewesen, die aktuell noch vorliegenden Beschwerden zu verursachen. Mangels adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen der vorhandenen Schädigung und dem versicherten Verkehrsunfall stellte sie ihre Leistungen deshalb mit Verfügung vom 15. April 1997 rückwirkend per 31. Dezember 1996 ein. Im Ergebnis hielt sie daran mit Einspracheentscheid vom 9. Oktober 1997 fest, wobei sie zur Begründung neu darlegte, dass schon der natürliche Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und gesundheitlicher Beeinträchtigung nicht gegeben sei. B.- Beschwerdeweise wandte sich M._ an das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit den Begehren, es seien der Einspracheentscheid vom 9. Oktober 1997 aufzuheben und eine nochmalige medizinische Begutachtung zu veranlassen; bis zum Vorliegen der Resultate der weiteren Untersuchungen seien die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Abweichend von der im Einspracheentscheid der Elvia vertretenen Auffassung bejahte das kantonale Gericht die natürliche Kausalität des Verkehrsunfalles vom 9. September 1995 für die vorhandene Symptomatik, welche es dem nach Schleudertraumata der Halswirbelsäule häufig beobachteten und insofern typischen Beschwerdebild zuordnete. Im Übrigen befand es, hinsichtlich der psychischen Schädigung bedürfe es zusätzlicher Abklärungen. Näheren Aufschluss erwartete es dabei von der im MEDAS-Gutachten vom 10. Januar 1997 empfohlenen nochmaligen Durchführung der Single Photon Emission Computed Tomography (Spect), weshalb es die Sache mit Entscheid vom 16. Juli 1999 zur ergänzenden Sachverhaltserhebung, insbesondere zur Anordnung einer weiteren Spect-Untersuchung, an die Elvia zurückwies; im Anschluss daran sei über den adäquatkausalen Bezug zum Unfallgeschehen zu befinden, was allenfalls nach der bei Vorliegen einer dominanten psychischen Störung anwendbaren Methode zu geschehen habe. C.- Die Elvia erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheids. M._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das kantonale Gericht bekräftigt unter Bezugnahme auf die Argumentation in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die seinem Entscheid zu Grunde liegenden Überlegungen. Das Bundesamt für Sozialversicherung hat sich nicht vernehmen lassen.