Sachverhalt: A. Der 1959 geborene M._ verletzte sich am 2. Juli 2002 bei der Arbeit am rechten Vorderarm und an der rechten Hand. Mit Einspracheentscheid vom 12. September 2005 sprach ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 32 % ab 4. Dezember 2004 eine Invalidenrente der Unfallversicherung sowie eine Integritätsentschädigung zu, was das Bundesgericht mit Urteil U 470/06 vom 27. April 2007 letztinstanzlich bestätigte. Dagegen verneinte die IV-Stelle Luzern, bei welcher sich M._ im Juni 2003 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, mit Verfügung vom 4. Dezember 2005 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung, woran sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2007 festhielt. B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 10. April 2008 ab, soweit es darauf eintrat. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 10. April 2008 sei aufzuheben und ihm im Sinne der Erwägungen eine Rente basierend auf einem höheren Erwerbsunfähigkeitsgrad zuzusprechen, eventualiter die Sache im Sinne der Erwägungen zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. IV-Stelle und kantonales Gericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.