Sachverhalt: Sachverhalt: A. Nachdem der dominikanische Staatsbürger X._ einem Wirt geholfen hatte, den angetrunkenen portugiesischen Staatsbürger A._ aus dem Lokal zu weisen, trafen sich beide gegen 02.15 Uhr in einem "Take Away" an der Langstrasse in Zürich wieder. Zunächst im und anschliessend vor dem Lokal kam es zu einer verbalen Auseinandersetzung, die in Tätlichkeiten ausartete. In deren Verlauf ergriff X._ ein Schweizer Armee-Taschenmesser, mit dem er wahllos und unkontrolliert auf das Gesicht, den Hals und den Bauch des 1974 geborenen A._ einstach. Nebst anderen Verletzungen, die nicht lebensgefährlich waren, trug das Opfer insbesondere eine zehn Zentimeter lange Schnittwunde davon, die sich vom linken Mundwinkel leicht schräg gegen aussen und über den Kieferknochen hin erstreckte, sowie eine ebenso lange Schnittwunde an der linken Seite des Halses und parallel zum Kieferknochen. Beide Narben verheilten nicht und können auch nicht mittels plastischer Chirurgie beseitigt werden. Selbst mit einem Bart bleiben sie sichtbar. A. Nachdem der dominikanische Staatsbürger X._ einem Wirt geholfen hatte, den angetrunkenen portugiesischen Staatsbürger A._ aus dem Lokal zu weisen, trafen sich beide gegen 02.15 Uhr in einem "Take Away" an der Langstrasse in Zürich wieder. Zunächst im und anschliessend vor dem Lokal kam es zu einer verbalen Auseinandersetzung, die in Tätlichkeiten ausartete. In deren Verlauf ergriff X._ ein Schweizer Armee-Taschenmesser, mit dem er wahllos und unkontrolliert auf das Gesicht, den Hals und den Bauch des 1974 geborenen A._ einstach. Nebst anderen Verletzungen, die nicht lebensgefährlich waren, trug das Opfer insbesondere eine zehn Zentimeter lange Schnittwunde davon, die sich vom linken Mundwinkel leicht schräg gegen aussen und über den Kieferknochen hin erstreckte, sowie eine ebenso lange Schnittwunde an der linken Seite des Halses und parallel zum Kieferknochen. Beide Narben verheilten nicht und können auch nicht mittels plastischer Chirurgie beseitigt werden. Selbst mit einem Bart bleiben sie sichtbar. B. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich verurteilte X._ am 26. Juni 2002 unter anderem wegen vollendeter und versuchter schwerer Körperverletzung zum Nachteil von A._. Das Gericht hiess dessen Zivilklage auf eine Genugtuung im Betrag von Fr. 50'000.-- teilweise gut und verpflichtete den Verurteilten zur Bezahlung von Fr. 10'000.--. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wurde durch das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 3. Dezember 2003 abgewiesen, soweit auf sie eingetreten werden konnte. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wurde durch das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 3. Dezember 2003 abgewiesen, soweit auf sie eingetreten werden konnte. C. A._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde im Zivilpunkt und beantragt, in Abänderung des Urteils des Geschworenengerichts sei der Verurteilte zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Genugtuung von Fr. 50'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 9. Dezember 1998 zu bezahlen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. X._ beantragt, die Nichtigkeitsbeschwerde sei vollumfänglich abzuweisen; es seien ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und für das Verfahren vor Bundesgericht ein unentgeltlicher Rechtsvertreter beizugeben.