Sachverhalt: A. P._ trat am 1. August 2011 in das von der Stiftung Alters- und Pflegeheim X._ betriebene Heim ein, während ihr Ehemann bis zu dessen Tod im August 2012 in der vormalig gemeinsamen Wohnung in der Stadt Zürich blieb. Mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2013 teilte das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich der Stiftung Alters- und Pflegeheim X._ mit, es übernehme ab 1. Januar 2013 die Pflegebeiträge für P._ nicht mehr. B. Hiegegen erhob die Stiftung Alters- und Pflegeheim X._ Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Dieses verneinte seine Zuständigkeit und trat auf das Rechtsmittel mit Beschluss vom 31. Mai 2013 nicht ein. C. Sowohl die Stiftung Alters- und Pflegeheim X._ (Verfahren 9C_582/2013) als auch die Stadt Zürich, Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV (Verfahren 9C_587/2013), erheben gegen den Nichteintretensbeschluss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Die Stadt Zürich schliesst sich der Beschwerde der Stiftung Alters- und Pflegeheim X._ an. D. Mit Entscheid vom heutigen Tag tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde der Stadt Zürich (Verfahren 9C_587/2013) betreffend dieselbe Zuständigkeitsfrage zufolge Verspätung des Rechtsmittels nicht ein.