Auftrag; Sorgfaltspflicht, hat sich ergeben: A.-Aufgrund eines Strafverfahrens wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz befand sich der Kläger in der Zeit vom 27. Juni 1988 bis zum 13. April 1989 in den Niederlanden in Auslieferungs- und anschliessend bis 15. Juni 1989 in Arlesheim/BL in Untersuchungshaft. Die gesamte Haftzeit betrug 353 Tage. Mit Urteil des Strafgerichts des Kantons Basel-Landschaft vom 4. September 1991 wurde der Kläger freigesprochen, worauf er Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend machte. Nach Abweisung der Klage durch das Strafgericht Basel-Landschaft, sprach das Obergericht des Kantons Basel-Landschaft mit Beschluss vom 15. Dezember 1992 dem Kläger für Anwaltskosten Fr. 32'784. 60 nebst Zins und Fr. 5'000.-- nebst Zins als Genugtuung zu, während seine gestützt auf Verdienstausfall und weitergehenden Schaden geltend gemachte Forderung abgewiesen wurde. Eine dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 6. April 1994 einzig bezüglich der Höhe der Genugtuung gut, worauf das Obergericht BL die Genugtuung auf Fr. 10'000.-- erhöhte. Daraufhin beauftragte der Kläger den Beklagten, die Forderung aus Verdienstausfall und sonstigen materiellen Nachteilen, verursacht durch die erlittene Haft, gegenüber dem Kanton Basel-Landschaft im Rahmen einer Staatshaftungsklage geltend zu machen. Das Friedensrichteramt Liestal stellte am 23. Mai 1994 den entsprechenden Akzessschein aus. In seiner Funktion als Anwalt des Klägers versäumte der Beklagte indessen die einjährige Frist zur Einreichung der Klage, so dass die Ansprüche des Klägers gegenüber dem Kanton verwirkten. B.- Mit Klage vom 31. Mai 1996 forderte der Kläger vom Beklagten die Bezahlung von Schadenersatz in der Höhe von Fr. 127'680.-- zuzüglich Zins. Diese Forderung entspricht dem Betrag, den ihm die versäumte Haftungsklage gegen den Kanton Basel-Landschaft seiner Meinung nach eingebracht hätte. Die Haftungsklage wäre ihrerseits auf Ersatz des durch die Haft entgangenen Verdienstes von monatlich US$ 6'000.-- (ca. Fr. 9'200.--) gerichtet gewesen, den der Beschwerdeführer ohne die erfolgte Inhaftierung gemäss behauptetem Arbeitsvertrag mit seiner Tätigkeit als Stewart und Reisebegleiter auf der Jacht "X._" des C._ in der Zeit von April 1988 bis zum Untergang der Jacht im September 1989 verdient hätte. Die Klage wurde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdeführers abgewiesen. C.- Die anschliessende Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich wies die II. Zivilkammer nach schriftlich durchgeführtem Berufungsverfahren mit Urteil vom 16. Mai 2000 ebenfalls ab. Gegen dieses Urteil führte der Kläger kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Das Kassationsgericht hiess die Nichtigkeitsbeschwerde bei grundsätzlicher Abweisung teilweise gut und strich die Erwägungen des obergerichtlichen Urteils zur Frage der Erfolgsaussichten der Staatshaftungsklage [ab Seite 7, "2. Abschnitt, 5. Zeile ("Auszugehen ist vom Gesetz. .."), bis Seite 9 unten ("...der Staatshaftungsklage des Klägers kein Erfolg beschieden gewesen wäre")]. D.- Mit der eidgenössischen Berufung vom 22. Juni 2000 beantragt der Kläger die Aufhebung des nach dem Urteil des Kassationshofes verbleibenden Entscheides und die Rückweisung der Streitsache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung und zur Vervollständigung des Beweisergebnisses. Der Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.