Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV(vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens), hat sich ergeben: A.- R._, Jahrgang 1943, und S._, Jahrgang 1950, heirateten am 7. August 1971 in Arbon. Sie sind italienische Staatsangehörige. Zur Familie R.S._ gehören drei heute volljährige Kinder. Auf Begehren der Ehefrau trennte das Bezirksgericht Arbon die Ehe der Parteien für ein Jahr und ordnete die unterhalts- und güterrechtlichen Ansprüche (Urteil vom 16. Oktober 1998). Im Dezember 1999 machte die Ehefrau die Scheidungsklage anhängig. Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 30. Juni 2000). Im Berufungsverfahren beider Parteien erhöhte das Obergericht des Kantons Thurgau den von R._ an S._ zu leistenden Unterhaltsbeitrag (Urteil vom 10. Mai 2001). R._ hat dagegen staatsrechtliche Beschwerde erhoben (5P. 393/2001) und eidgenössische Berufung eingereicht (5C. 290/2001). Die Verfahren sind noch hängig. B.- Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens verpflichtete der Vize-Präsident des Bezirksgerichts Arbon R._ zu Unterhaltsbeiträgen an seine Ehefrau (Verfügung vom 16. März 2000). Antragsgemäss hob er die Unterhaltsbeitragspflicht ab 1. Juli 2000 auf mit der Begründung, R._ habe seine Arbeitsstelle auf den 30. Juni 2000 aus gesundheitlichen Gründen gekündigt und seinen Wohnsitz verständlicherweise nach Italien verlegt; das allenfalls erzielbare Ersatzeinkommen erlaube die Leistung von Unterhalt nicht (Verfügung vom 28. Juni 2001). Den von S._ dagegen eingelegten Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Thurgau gut und verpflichtete damit R._, weiterhin den monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'133. 50 zu bezahlen; es ging von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 2'830.-- (E. 3b/bb S. 9 f.) bzw. letztlich von Fr. 2'113. 50 pro Monat aus (E. 3d/bb S. 11 und Dispositiv-Ziffer 1 des Rekursentscheids vom 27. Juli 2001). C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 (Schutz vor Willkür) und Art. 29 Abs. 2 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör) beantragt R._ dem Bundesgericht, den Rekursentscheid aufzuheben. Seinem Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Präsident der II. Zivilabteilung nicht entsprochen (Verfügung vom 31. Oktober 2001). Das Obergericht schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Den selben Antrag stellt S._; sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.