Sachverhalt: A. B. Y._ (Arbeitnehmer) war seit 1. November 1977 für die X._ (Beschwerdegegnerin), ab 1. Januar 1978 in der Funktion als Direktor, tätig. Die X._ kündigte das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 17. März 2006 auf den 31. Dezember 2006. Der Arbeitnehmer focht diese Kündigung am 6. März 2007 klageweise beim Zivilgericht Basel-Stadt an und beantragte, die X._ sei zu verurteilen, ihm Fr. 234'951.25, eventualiter Fr. 443'073.85, jeweils zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit 1. März 2007, zu bezahlen. Die X._ stellte das Rechtsbegehren, die Klage sei abzuweisen und verlangte widerklageweise, es sei festzustellen, dass die Kündigung gültig sei, das Arbeitsverhältnis der Parteien folglich am 31. Dezember 2006 geendet habe und keine weiteren Lohnzahlungen mehr geschuldet seien. Mit Entscheid vom 5. November 2008 wies das Zivilgericht Basel-Stadt die Klage ab und trat auf die Feststellungswiderklage nicht ein. B. Dagegen erhob B. Y._ in Erneuerung seiner Anträge aus dem Verfahren vor Zivilgericht Appellation. Am 5. Dezember 2009 ist er verstorben. Seine Ehefrau, A. Y._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin), trat als Rechtsnachfolgerin ins Verfahren ein. Mit Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010 lehnte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das mittels Eingabe vom 26. November 2010 von ihr gestellte Ablehnungsbegehren gegen die Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._ ab. Im Anschluss daran änderte das Appellationsgericht den Entscheid des Zivilgerichts insoweit ab, als es festhielt, die X._ habe der Beschwerdeführerin eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 8'500.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. März 2007 zu bezahlen; im Übrigen wies es die Appellation ab (Urteil vom 22. Dezember 2010). C. A. Y._ führt gegen das Urteil betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis Beschwerde in Zivilsachen und wiederholt die in der Klage und in der Appellation vorgebrachten Rechtsbegehren; ausserdem beantragt sie, die Gerichts- und Parteikosten sämtlicher drei Instanzen seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Gegen das Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010 betreffend Ausstand erhebt A. Y._ ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 4A_308/2011). Das Gesuch von A. Y._ um Vereinigung der Verfahren 4A_306/2011 und 4A_308/2011 ist vom Bundesgericht abgelehnt worden (Präsidialverfügung vom 9. Juni 2011). Mit heutigem Datum hat das Bundesgericht die Beschwerde im Verfahren 4A_308/2011 abgewiesen. Die X._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf eingetreten werde könne. A. Y._ hat sich am 20. Oktober 2011 zu dieser Eingabe geäussert. Die X._ hat am 7. November 2011 eine weitere Vernehmlassung einreichen lassen.