Sachverhalt: A. Die 1964 geborene F._ war vom 1. September 2007 bis 30. April 2008 bei der Firma W._ AG angestellt. Am 7. November 2008 meldete sie sich unter Hinweis auf eine Depression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen traf Abklärungen in erwerblicher Hinsicht und zog Berichte des Psychiaters Dr. med. K._, Chefarzt der Klinik X._, vom 2. Juni 2009 sowie der Klinik Y._, Fachklinik für kardiale und psychosomatische Rehabilitation, vom 28. Mai 2008, wo die Versicherte vom 27. März bis 16. April 2008 stationär behandelt worden war, sowie der Psychiatrischen Klinik Z._ vom 4. Januar 2010, wo sich F._ vom 8. November bis 4. Dezember 2009 aufgehalten hatte, bei. Der Psychiater Dr. med. P._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) berichtete am 16. April 2010 über die am 3. März 2010 durchgeführte fachärztliche Untersuchung der Versicherten. Mit Verfügung vom 5. November 2010 eröffnete die IV-Stelle F._, sie habe ab 1. Dezember 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung. B. F._ liess beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung vom 25. November 2010 sei ihr anstelle der Viertelsrente eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen mit der Feststellung, dass die Versicherte keinen Invalidenrentenanspruch habe. Mit Entscheid vom 20. Juli 2012 hiess das Versicherungsgericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach F._ rückwirkend ab 1. Mai 2009 eine halbe Invalidenrente zu. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Versicherte keine Invalidenrente beanspruchen kann. Ferner ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. F._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.