Sachverhalt: A. Der 1959 geborene L._ meldete sich im April 2003 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen u.a. der Eingliederungsfähigkeit in der BEFAS (Bericht vom 30. September 2008) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihm die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 24. Mai 2010 für die Zeit vom 1. April 2005 bis 31. Oktober 2006 eine befristete ganze Invalidenrente samt drei Kinderrenten zu. B. Auf Beschwerde hin änderte das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, die Verfügung vom 24. Mai 2010 insoweit ab, dass es die IV-Stelle verpflichtete, L._ ab dem 1. November 2006 eine halbe Rente und ab dem 1. Januar 2009 eine Viertelsrente auszurichten (Entscheid vom 9. Mai 2011). C. Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 9. Mai 2011 sei aufzuheben. L._ und das kantonale Gericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.