Sachverhalt: A. Die 1953 geborene S._ arbeitete seit 1982 im Gastgewerbe. Ihre letzte Stelle als Chef de Service Frühstück in einem Hotel gab sie nach fast 14-jähriger Tätigkeit auf Ende Mai 2004 auf, ohne danach weiter einem Erwerb nachzugehen. Im August 2006 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen teilte ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Vorbescheid vom 3. August 2007 mit, es bestehe kein Rentenanspruch. Dagegen liess die Versicherte Einwände erheben. In der Folge wurde S._ im medizinischen Zentrum X._ gutachtlich abgeklärt (Expertise vom 13. Juni 2008). Mit Verfügung vom 6. Oktober 2008 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren ab. B. Die Beschwerde der S._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 15. März 2010 ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 15. März 2010 und die Verfügung vom 6. Oktober 2008 seien aufzuheben und ihr ab 1. Januar 2006 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache an das kantonale Sozialversicherungsgericht oder an die IV-Stelle zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen, allenfalls nach weiteren medizinischen Abklärungen, zurückzuweisen. Auf die Beschwerdevorbringen wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde.