Sachverhalt: A. A.a Die Eheleute X._ (1964; Ehemann/Vater) und Z._ (1967; Ehefrau/Mutter) sind die Eltern der Kinder S._ (geb. xxxx 2004) und T._ (geb. xxxx 2005). Die Parteien sind als selbständig erwerbende Ärzte tätig. A.b Mit Verfügung vom 7. Dezember 2010 merkte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Zürich vor, dass die Parteien seit Ende Februar 2009 und weiterhin auf unbestimmte Zeit getrennt leben. Die Kinder wurden unter die Obhut ihrer Mutter gestellt und der Vater verpflichtet, für die Dauer der Trennung rückwirkend ab 7. Juli 2009 monatlich und zum Voraus auf den Ersten eines jeden Monats an den Unterhalt der Kinder mit je Fr. 6'500.-- und an jenen der Ehefrau mit Fr. 1'840.-- beizutragen. Ferner erkannte die Einzelrichterin, dass bereits geleistete Zahlungen bis und mit Ende November 2010 im Betrag von Fr. 132'000.-- an die rückwirkend zu leistenden Unterhaltsbeiträge anzurechnen seien. Die Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 4'500.-- festgesetzt; die Kosten des Verfahrens wurden dem Ehemann zu 11/18 und der Ehefrau zu 7/18 auferlegt; schliesslich wurde der Ehemann verpflichtet, der Ehefrau eine reduzierte Prozessentschädigung von Fr. 1'600.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. B. Auf Rekurs des Ehemannes bzw. Anschlussrekurs der Ehefrau verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 16. Juli 2012 den Ehemann in Abänderung der erstinstanzlichen Verfügung, rückwirkend ab 7. Juli 2009 monatlich und zum Voraus an den Unterhalt der Kinder mit je Fr. 6'500.-- (zuzüglich allfälliger gesetzlicher oder vertraglicher Kinderzulagen) und an jenen der Ehefrau bis zum 31. Dezember 2009 mit Fr. 2'150.-- beizutragen. Beschlossen wurde ferner, dass bis Ende November 2010 bereits geleistete Zahlungen im Betrag von Fr. 148'000.-- an die rückwirkend zu leistenden Unterhaltsbeiträge anzurechnen seien (Ziff. 2). Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens wurden dem Ehemann zu 55% und der Ehefrau zu 45% auferlegt (Ziff. 3) und der Ehemann wurde verpflichtet, der Ehefrau für das erstinstanzliche Verfahren eine reduzierte Prozessentschädigung von Fr. 775.-- zu bezahlen (Ziff. 4). Die zweitinstanzliche Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 5'500.-- festgesetzt (Ziff. 5). Die Kosten des Rekursverfahrens wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt (Ziff. 6) und die Prozessentschädigungen für das Rekursverfahren wettgeschlagen (Ziff. 7). C. Der Ehemann (Beschwerdeführer) hat gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Juli 2012 am 24. August 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, die Ziffern 2, 3, 4, 6 und 7 des obergerichtlichen Beschlusses vom 16. Juli 2012 seien aufzuheben und er sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder ab 7. Juli 2009 bis 31. Januar 2012 mit je Fr. 3'500.-- pro Monat und ab dem 1. Februar 2012 mit je Fr. 3'000.-- pro Monat, zuzüglich allfälliger Kinderzulagen, beizutragen; ferner sei er von jeglicher Unterhaltspflicht gegenüber seiner Ehefrau zu befreien. Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens seien ihm zu 25% und der Ehefrau zu 75% aufzuerlegen und diese zu verhalten, ihm für das erstinstanzliche Verfahren eine reduzierte Prozessentschädigung von Fr. 1'500.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. Die Kosten des Rekursverfahrens seien ihm zu einem Zehntel, der Beschwerdegegnerin zu neun Zehnteln aufzuerlegen und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm für das Rekursverfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 5'500.-- zu leisten. Eventuell sei der angefochtene Beschluss in den erwähnten Punkten aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Mit Präsidialverfügung vom 24. September 2012 wurde der Beschwerde in teilweiser Gutheissung des Gesuchs des Beschwerdeführers entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin für die bis und mit Juli 2012 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.