Art. 9 BV (Willkürliche Beweiswürdigung); Art. 29 Abs. 2 BV,hat sich ergeben: A.- Mit Vertrag vom 23. April 1997 mietete A._ (Beschwerdeführerin) von B._ (Beschwerdegegner) ein Einfamilienhaus in X._. Der monatliche Mietzins betrug Fr. 2'100.--. Nachdem die Beschwerdeführerin anfangs Mai 1997 in die Liegenschaft eingezogen war, liess sie am 6. Mai 1997 ein erstes Mal die Heizung von einem Monteur kontrollieren. Sie rügte in der Folge mehrmals, dass die Heizung defekt und zu laut sei. Am 30. September 1997 verfügte die von der Beschwerdeführerin angerufene Schlichtungsbehörde für das Mietwesen des Bezirks Bremgarten eine Mietzinsreduktion von 10% für die Monate Mai und September sowie eine solche von 15% ab Oktober 1997 bis zu einer den üblichen Wärmenormen entsprechenden Instandstellung. Der Beschwerdegegner liess in der Folge verschiedene Arbeiten an der Heizung ausführen. B.-Am 24. November 1997 zog die Beschwerdeführerin aus der Mietliegenschaft aus und gelangte am 27. November 1997 wiederum an die Schlichtungsstelle für das Mietwesen des Bezirks Bremgarten. Eine gütliche Einigung kam jedoch nicht zustande, worauf die Beschwerdeführerin am 11. März 1998 beim Bezirksgericht Bremgarten Klage einreichte. Sie beantragte im Wesentlichen, es sei festzustellen, dass das zwischen den Parteien abgeschlossene Mietverhältnis spätestens per 1. Dezember 1997 als fristlos gekündigt gelte, und der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr Fr. 10'784. 70 nebst Zins zu bezahlen. Am 21. August 1998 erhob der Beschwerdegegner Widerklage mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass die fristlose Kündigung der Beschwerdeführerin per 1. Dezember 1997 nichtig sei, und die Beschwerdeführerin sei zur Zahlung eines Betrages von Fr. 12'390.-- nebst Zins zu verurteilen. Mit Urteil vom 19. August 1999 wies das Bezirksgericht Bremgarten die Klage ab und hiess die Widerklage gut. Am 23. Juni 2000 reduzierte das hierauf mit der Sache befasste Obergericht des Kantons Aargau den dem Beschwerdegegner aufgrund der Widerklage zugesprochenen Betrag auf Fr. 11'130.-- und bestätigte im Übrigen das erstinstanzliche Urteil. C.-Die Beschwerdeführerin hat gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 23. Juni 2000 sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung eingelegt. In der staatsrechtlichen Beschwerde stellt sie folgende Anträge: "1. Das vorinstanzliche Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau, 1. Zivilkammer, vom 23. Juni 2000, sei vollumfänglich aufzuheben. 2. Eventualiter sei das vorinstanzliche Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau, 1. Zivilkammer, vom 23. Juni 2000, vollumfänglich aufzuheben und die Vorinstanz zu verpflichten, eine neue Hauptverhandlung anzuordnen mit erneutem vollständigem Beweisverfahren und ordnungskonformem Verhandlungsprotokoll. 3. 3.1. Subeventualiter sei das Obergericht des Kantons Aargau, 1. Zivilkammer, im Sinne von Art. 93 Abs. 2 OG aufzufordern, das fehlende Verhandlungsprotokoll der Gerichtsverhandlung vom 23. Juni 2000 ordnungskonform zu erstellen und nachzuliefern. Alsdann sei der Beschwerdeführerin neu Frist anzusetzen, ihre staatsrechtliche Beschwerde entsprechend zu ergänzen. 3.2. Diesbezüglich behält sich die Beschwerdeführerin ausdrücklich das Recht vor, die Beweiswürdigung der Vorinstanz im Rahmen einer präzisierenden staatsrechtlichen Beschwerde auf der Grundlage eines korrekten Verhandlungsprotokolls nach erneuter Fristansetzung durch den Instruktionsrichter der angerufenen Instanz anzufechten. 4. Subsubeventualiter sei Antrag 3 hievor im Sinne von Art. 35 OG zu behandeln und der Beschwerdeführerin alsdann neu Frist anzusetzen, ihre staatsrechtliche Beschwerde entsprechend zu ergänzen.. " Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D.-Mit Beschluss vom 1. November 2000 wurde der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt. Am 11. Januar 2001 wurde der Beschwerdeführerin eine Kopie des Protokolls der Hauptverhandlung vom 23. Juni 2000 vor dem Obergericht des Kantons Aargau zugestellt und ihr gleichzeitig eine Frist zur Ergänzung ihrer Beschwerde angesetzt. In ihrer Beschwerdeergänzung hält die Beschwerdeführerin an Ziffer 1 und 2 ihrer Anträge fest. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Stellungnahme zur Beschwerdeergänzung wiederum die Abweisung der Beschwerde.