Sachverhalt: A. A.a Im schweizerischen Zivilstandsregister ist Z._, geboren am xxxx 1979 in den Vereinigten Staaten (Northern Mariana Islands, Tinian, San Jose) als einziges Kind von W._, ledig und Bürger von A._, und V._, kanadische Staatsangehörige, eingetragen. W._ verstarb am 18. April 1979. A.b Der Eintragung von Z._ im Zivilstandsregister liegt die Verfügung des Zivilstands- und Bürgerrechtsdienstes des Kantons Bern vom 15. Juni 2001 zugrunde. Die Eintragungsverfügung (nach Art. 32 IPRG) der kantonalen Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen mit dem Vermerk "Kindesverhältnis durch Registrierung der Geburt entstanden" stützte sich auf die Geburtsurkunde ("Delayed Registration - Certificate of live Birth") vom 17. November 2000, ausgestellt vom Zivilstandsamt des zu den USA gehörenden Commonwealth of the Northern Mariana Islands (CNMI; Nördliche Marianen). In der Geburtsurkunde wird W._ als Vater aufgeführt. Der kantonalen Aufsichtsbehörde lag weiter u.a. das Bestätigungsdokument der Behörden des CNMI (Manager Health Planning and Statistics, Office of Health Planning and Statistics, und Chief Recorder, Recorder's Office, Superior Court) vom 12. April 2001 vor. A.c Am 8. Juni 2009 gelangten X._ und Y._, die beiden Brüder des verstorbenen W._, an die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen. Sie verlangten im Wesentlichen, dass die Eintragung von Z._ (als Sohn ihres Bruders) zufolge offensichtlichen Fehlers rückgängig gemacht werde. Mit Verfügung der Aufsichtsbehörde vom 7. August 2009 wurde das Gesuch um administrative Berichtigung des Zivilstandsregisters abgewiesen. B. Gegen diese Verfügung erhoben X._ und Y._ Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, welche am 2. März 2010 abgewiesen wurde. Das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, wies die Weiterziehung mit Entscheid vom 29. Juni 2010 ebenfalls ab. C. X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 7. September 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht im Wesentlichen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, vom 29. Juni 2010 aufzuheben und die Eintragung von Z._ im Zivilstandsregister zu löschen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.