Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a A._, geboren 1936, war als Betreuerin bei den Strafanstalten X._ tätig und über den Arbeitgeber bei den Berner Versicherungen (heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfall versichert. Am 10. September 1997 wurde sie in einen Verkehrsunfall verwickelt. Sie konsultierte am gleichen Tag Dr. med. B._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin. Dieser diagnostizierte eine Schleuderverletzung der HWS nach Auffahrkollision mit Nacken-/ Schulter-/Armsyndrom und ein zervikozephales Schmerzsyndrom und wies dabei auf vorbestehende degenerative Veränderungen hin (Arztzeugnis vom 24. Oktober 1997). Im "Zusatzfragebogen bei HWS-Verletzung" gab er am 22. Januar 1998 Schwindel nach einer Stunde, sofortige Übelkeit, Erbrechen, Spontanschmerz Nacken rechts resp. links eine halbe Stunde nach dem Unfallereignis, Ausstrahlungen in Schulter und Arm nach 24 Stunden sowie Sensibilitätsstörungen Arm/Hand links nach 24 Stunden an. Vom 14. April bis 12. Mai 1998 und vom 31. August bis 28. September 1999 hielt sich A._ in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ auf. Im Austrittsbericht nach dem zweiten Rehabilitationsaufenthalt gaben die Klinikärzte an, es bestehe ein zervikobrachiales/-zephales Schmerzsyndrom bei Status nach HWS-Distorsionstrauma im September 1997. Die radiologisch dargestellten Veränderungen an der Wirbelsäule seien dafür nur teilweise verantwortlich. Eine Hauptkomponente bestehe in der muskulären Dysbalance mit Muskelhartspann, auf Grund derer es wahrscheinlich zu Ausstrahlungen in den Arm und in den Hinterkopf komme (Bericht vom 7. Oktober 1999). Bereits zuvor lehnte die Allianz mit Verfügung vom 22. Oktober 1998 ihre Leistungspflicht über den Zeitpunkt des ersten Austritts aus der Rehabilitationsklinik am 12. Mai 1998 hinaus mit der Begründung ab, es habe sich beim Ereignis vom 10. September 1997 zwar um einen Unfall gehandelt, der Status quo sine sei aber am 12. Mai 1998 erreicht worden, und nach diesem Zeitpunkt sei die Behandlungsbedürftigkeit nicht mehr - auch nicht teilweise - auf posttraumatische Veränderungen zurückzuführen. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache, worauf die Allianz die Verfügung in Wiedererwägung zog. Sie entschied, die Heilungskosten auch über den 12. Mai 1998 hinaus zu übernehmen, aber ab dem 1. April 1998 keine Taggeldleistungen mehr zu erbringen (Verfügung vom 5. Februar 1999). Gegen diese Verfügung erfolgten keine Einsprachen. A.b Am 22. Februar 2000 wurde A._ ambulant in der Schmerzsprechstunde der Psychiatrischen Poliklinik des Spitals E._ untersucht. Prof. Dr. med. R._ und Frau Dr. med. O._ stellten die Differenzialdiagnose einer sich entwickelnden Depression (Bericht vom 5. Juli 2000). Dr. med. Z._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, sprach sich in dem im Auftrag der Allianz erstellten Gutachten vom 26. Juli 2000 dafür aus, dass in Übereinstimmung mit dem Entscheid der Allianz, die Leistungen ab 12. Mai 1998 (d.h. nach dem ersten Austritt aus der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._) einzustellen, der Status quo ante oder quo sine nach acht Monaten als erreicht erachtet werden könne. Gestützt darauf erliess die Allianz am 16. Februar 2001 eine neue Verfügung, in welcher sie festhielt, ihre Leistungspflicht als obligatorischer Unfallversicherer aus dem Ereignis vom 10. September 1997 sei zwar begründet gewesen, seit dem 12. Mai 1998 bestehe aber mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den anhaltenden Beschwerden und dem Unfall kein Anspruch mehr auf die gesetzlichen Leistungen der Unfallversicherung. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache. In dem auf Antrag und in Absprache mit der Versicherten veranlassten interdisziplinären Gutachten der MEDAS vom 17. Juli 2002 wurde festgehalten, der Unfall vom 10. September 1997 habe zu einer richtunggebenden Verschlimmerung bestehender Beschwerden geführt; das zervikozephale Syndrom mit begleitendem Thoracic Outlet Syndrome (TOS) und psychiatrischen Störungen stellten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Unfallfolgen dar. In der Folge beauftragte die Allianz Dr. med. T._, Spezialarzt FMH für Neurochirurgie, mit der Erstellung eines Aktengutachtens (Expertise vom 11. April 2003). Am 10. Juni 2003 wies die Allianz die Einsprachen ab. Gestützt darauf erliess die Allianz am 16. Februar 2001 eine neue Verfügung, in welcher sie festhielt, ihre Leistungspflicht als obligatorischer Unfallversicherer aus dem Ereignis vom 10. September 1997 sei zwar begründet gewesen, seit dem 12. Mai 1998 bestehe aber mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den anhaltenden Beschwerden und dem Unfall kein Anspruch mehr auf die gesetzlichen Leistungen der Unfallversicherung. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache. In dem auf Antrag und in Absprache mit der Versicherten veranlassten interdisziplinären Gutachten der MEDAS vom 17. Juli 2002 wurde festgehalten, der Unfall vom 10. September 1997 habe zu einer richtunggebenden Verschlimmerung bestehender Beschwerden geführt; das zervikozephale Syndrom mit begleitendem Thoracic Outlet Syndrome (TOS) und psychiatrischen Störungen stellten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Unfallfolgen dar. In der Folge beauftragte die Allianz Dr. med. T._, Spezialarzt FMH für Neurochirurgie, mit der Erstellung eines Aktengutachtens (Expertise vom 11. April 2003). Am 10. Juni 2003 wies die Allianz die Einsprachen ab. B. Mit Entscheid vom 16. Juli 2004 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die von A._ erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, dass der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 aufgehoben und die Sache an die Allianz zurückgewiesen wurde, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. B. Mit Entscheid vom 16. Juli 2004 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die von A._ erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, dass der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 aufgehoben und die Sache an die Allianz zurückgewiesen wurde, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Allianz die Aufhebung des kantonalen Entscheides. Während A._ und die Vorinstanz auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.