Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) liess B._ (Beschwerdegegner) mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Hittnau vom 14. Januar 2005 über eine Forderung von Fr. 37'942.90 betreiben. Als Grund der Forderung gab der Beschwerdeführer an: "Multi Sat 3351 AT Papendrecht / 25.04.2003 25'000 EUR Garantie durch B._". Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag. B. Am 9. November 2005 klagte der Beschwerdegegner beim Handelsgericht Zürich gegen den Beschwerdeführer auf Feststellung, dass zwischen den Parteien kein Rechts- und Schuldverhältnis bestehe, dass demzufolge der Beschwerdegegner dem Beschwerdeführer den Betrag von Fr. 37'492.90 nicht schulde und dieser dem Beschwerdegegner die Betreibung Nr. xxx vom 14. Januar 2005 ohne Schuldgrund habe zustellen lassen. Der Beschwerdeführer beantragte, auf die Klage sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Mit Eingabe vom 10. Januar 2007 reichte er beim Bezirksgericht Pfäffikon gegen den Beschwerdegegner eine Klage mit den Begehren ein, dieser sei zu verpflichten, ihm EUR 25'000.-- zu bezahlen, und es sei in der Betreibung vom 14. Januar 2005 der Rechtsvorschlag aufzuheben. Mit Beschluss vom 12. Juni 2007 trat das Handelsgericht auf die negative Feststellungsklage des Beschwerdegegners nicht ein, auferlegte die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer und verpflichtete diesen, dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 8'900.-- zu bezahlen. Das Handelsgericht begründete den Nichteintretensentscheid damit, dass durch die Leistungsklage des Beschwerdeführers das Feststellungsinteresse entfallen sei. Der Beschwerdeführer focht den Beschluss des Handelsgerichts mit Nichtigkeitsbeschwerde an, welche das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 28. Mai 2008 abwies, soweit es darauf eintrat. C. Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde, mit der er dem Sinne nach beantragt, es sei der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 28. Mai 2008 und der Beschluss des Handelsgerichts vom 12. Juni 2007 aufzuheben, soweit damit der Beschwerdeführer verpflichtet wird, die Gerichtskosten und dem Beschwerdegegner Parteientschädigungen zu zahlen; die Gerichtskosten der kantonalen Verfahren seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, und dieser sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für diese Verfahren Parteientschädigungen von Fr. 8'900.-- (abzüglich Weisungskosten) und Fr. 1'800.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Verfassungsbeschwerde. Das Handelsgericht und das Kassationsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.