Sachverhalt: A. Das Bezirksgericht Baden verurteilte X._ am 10. August 2010 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren sowie einer Busse von Fr. 300.--. Es ordnete eine Massnahme für junge Erwachsene nach Art. 61 StGB an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme auf. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die Berufung von X._ am 16. Juni 2011 ab. Seine Beschwerde blieb auch vor Bundesgericht ohne Erfolg (6B_572/2011 vom 20. Dezember 2011). B. Auf Empfehlung des Departements Volkswirtschaft und Inneres, Amt für Justizvollzug, beantragte die Staatsanwaltschaft Baden dem Bezirksgericht Baden am 7. März 2013, die stationäre Massnahme für junge Erwachsene (Art. 61 StGB) aufzuheben und eine stationäre therapeutische Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen (Art. 59 StGB) anzuordnen. Das Bezirksgericht Baden wandelte am 21. Mai 2013 die Massnahme für junge Erwachsene in eine Massnahme nach Art. 59 StGB um. Dagegen erhob X._ am 30. Mai 2013 Berufung. Ferner ersuchte er am 12. Juli 2013 um Bewilligung des vorzeitigen Massnahmenantritts, welche ihm am 16. September 2013 vom Obergericht des Kantons Aargau gewährt wurde. Das Obergericht hiess die Berufung von X._ am 21. November 2013 teilweise gut und ordnete die Weiterführung der Massnahme für junge Erwachsene gemäss Art. 61 StGB an. C. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das angefochtene Urteil und die Massnahme für junge Erwachsene nach Art. 61 StGB seien aufzuheben, und eine stationäre therapeutische Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen gemäss Art. 59 StGB sei anzuordnen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Auf das Gesuch, X._ superprovisorisch in Sicherheitshaft zu versetzen, trat das Bundesgericht am 17. Januar 2014 mangels Zuständigkeit nicht ein.