Art. 4 aBV (Mutterschaftsbeiträge), hat sich ergeben: A.- Z._, geboren 1974, stammt aus Bosnien- Herzegowina. Sie und ihr Ehemann leben zusammen mit ihren beiden Kindern als anerkannte Flüchtlinge in Rorschach. Z._ ersuchte die Stadt Rorschach am 17. Februar 1998 um Auszahlung von Mutterschaftsbeiträgen für ihr am 14. April 1997 geborenes zweites Kind, A._. B.- Die Fürsorgebehörde Rorschach lehnte das Gesuch am 17. März 1998 ab. Z._ rekurrierte hiergegen erfolglos beim Stadtrat Rorschach. Dessen Entscheid vom 14. Juli 1998 hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen auf Rekurs hin auf und wies die Sache zur Prüfung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen an die Vorinstanz zurück. Die daraufhin von der Politischen Gemeinde Rorschach erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 16. September 1999 gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichtes vom 31. März 1999 aufgehoben. C.- Z._ hat am 21. Oktober 1999 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag eingereicht, den angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichtes des Kantons St. Gallen vom 16. September 1999 vollumfänglich aufzuheben und die Politische Gemeinde Rorschach anzuweisen, ihr die Mutterschaftsbeiträge nach den Bestimmungen des Gesetzes über Mutterschaftsbeiträge des Kantons St. Gallen vom 5. Dezember 1985 (teilweise geändert durch das Nachtragsgesetz vom 12. November 1992) auszurichten. Die Beschwerdeführerin ersuchte im Weitern um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt, auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Der Stadtrat von Rorschach verzichtet auf eine Vernehmlassung. D.- Der Abteilungspräsident sah mit Schreiben vom 25. Oktober 1999 vorläufig davon ab, einen Kostenvorschuss einzuverlangen.