Sachverhalt: A. Die 1963 geborene I._ arbeitete seit 16. Dezember 1996 als Näherin bei der Firma R._ AG. Aus gesundheitlichen Gründen blieb sie ab 22. April 1997 der Arbeit fern, worauf die Firma R._ AG das Anstellungsverhältnis auf Ende Juli 1998 kündigte. I._ war für die berufliche Vorsorge bei der Sammelstiftung X._ versichert. Auf den 1. Januar 2004 übernahm die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge die Vorsorgekasse der Firma R._ AG. Am 16. November 1998 meldete sich I._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Gestützt auf medizinische Abklärungen gelangte die IV-Stelle zur Auffassung, dass die Versicherte bei einem Invaliditätsgrad von 37 % keine Invalidenrente beanspruchen könne, weshalb sie das Rentengesuch am 17. Juli 2003 verfügungsweise ablehnte. Auf Einsprache hin traf die IV-Stelle weitere Abklärungen. Sie ermittelte nunmehr einen Invaliditätsgrad von 53 %. Demgemäss sprach sie I._ mit Verfügung vom 20. März 2007 rückwirkend ab 1. September 2005 eine halbe Invalidenrente zu. Am 9. Juli 2007 teilte die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge der Versicherten mit, sie werde ihre Leistungen ab 1. Juli 2007 weiterhin und unverändert auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 37 % ausrichten. Bereits deren Rechtsvorgängerin hatte seit 22. April 1999 eine Invalidenrente für eine Erwerbseinbusse von 37 % gewährt. Am 23. März 2010 liess I._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage einreichen mit dem Hauptantrag, die Bâloise-Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihr ab 1. September 2005 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 53 % Invalidenleistungen aus der beruflichen Vorsorge auszurichten. Mit Entscheid vom 11. Mai 2011 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt I._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern. Eventuell seien ergänzende Abklärungen in psychiatrischer Hinsicht vorzunehmen. In einer nachträglichen Eingabe vom 28. September 2011 ersucht die Versicherte um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.