Sachverhalt: A. X._ wurde 1965 geboren und stammt aus der Türkei. Er gelangte im August 1987 in die Schweiz und ersuchte um Asyl. Sein Gesuch wurde am 20. Februar 1995 letztinstanzlich abgewiesen. Vor Ablauf der Ausreisefrist (30. Mai 1995) heiratete er am 21. April 1995 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich erhielt. Gestützt auf seine Ehe stellte X._ am 2. Juni 1997 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 1. Februar 2000 die Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantrage oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Ebenfalls bestätigten sie ihre Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Am 16. Februar 2000 wurde X._ gestützt auf Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz [BüG], SR 141.0) erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde Hittnau, Kanton Zürich. Im Sommer 2000 (Ende Juni) kam es zur Trennung des Ehepaars und per 1. Oktober 2000 meldete sich X._ von der ehelichen Wohnadresse ab. Mit Urteil vom 3. Juli 2001, das am 28. August 2001 in Rechtskraft trat, sprach das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) auf Ersuchen des Beschwerdeführers und dessen Ehefrau die Scheidung aus. Am 7. November 2001 hat sich X._ in der Türkei mit einer türkischen Staatsangehörigen verheiratet. B. Diese Umstände veranlassten das Bundesamt für Migration, am 14. Oktober 2003 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren konnte er zweimal schriftlich Stellung nehmen. Nachdem das Gemeindeamt des Kantons Zürich am 4. Januar 2005 die entsprechende Zustimmung erteilt hatte, erklärte das Bundesamt die Einbürgerung von X._ mit Verfügung vom 17. Januar 2005 für nichtig. C. Gegen diesen Entscheid gelangte X._ mit Rechtsmitteleingabe vom 12. Februar 2005 an das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (EJPD). Er beantragte die Aufhebung der Verfügung des Bundesamts und die Feststellung, dass er Schweizer Bürger sei. Dieses Verfahren wurde per 1. Januar 2007 vom Bundesverwaltungsgericht übernommen, welches mit Urteil vom 29. August 2008 die Beschwerde abwies. Es erwog, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von Art. 41 Abs. 1 BüG erfüllt. D. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. August 2008 erhebt X._ mit Eingabe vom 6. Oktober 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Nichtigerklärung seiner erleichterten Einbürgerung und derjenigen seiner Familienmitglieder. Eventualiter beantragt er die Zurückweisung des Verfahrens an die Vorinstanz zur Vornahme von Zeugenbefragungen zur Sachverhaltsermittlung. Der Beschwerdeführer ersucht um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung sowie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Er rügt Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 94 BGG (Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung), eine fehlerhafte Feststellung des Sachverhalts (Art. 97 BGG) sowie Ermessensmissbrauch. E. Mit Präsidialverfügung vom 27. Oktober 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. F. Das Bundesverwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration (BFM) haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.