Sachverhalt: Sachverhalt: A. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern verurteilte A.X._ (geb. 1956) am 17. Februar 2005 wegen mehrfacher Vergewaltigung, mehrfacher sexueller Nötigung und mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind, begangen an seiner Tochter B.X._ (geb. 1985), zu vier Jahren Zuchthaus und zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 40'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. April 1999. Es verpflichtete ihn dem Grundsatz nach, seiner Tochter den verursachten Schaden zu 100% zu ersetzen, soweit die Forderung gemäss ATSG nicht auf den Versicherungsträger übergegangen ist oder noch übergehen wird; wobei B.X._ für die Festsetzung der massgeblichen Schadenshöhe an den Zivilrichter verwiesen wurde. Auf Appellation von A.X._bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern am 21. Juni 2006 das erstinstanzliche Urteil und auferlegte A.X._die Gerichts- und Parteikosten von insgesamt Fr. 35'163.35. Auf Appellation von A.X._bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern am 21. Juni 2006 das erstinstanzliche Urteil und auferlegte A.X._die Gerichts- und Parteikosten von insgesamt Fr. 35'163.35. B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 7. August 2006 beantragt A.X._, das Urteil des Obergerichts vom 21. Juni 2006 sei aufzuheben, er sei von Schuld und Strafe freizusprechen, eventuell sei die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Präsidialverfügung vom 8. September 2006 wurde der staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Mit Präsidialverfügung vom 8. September 2006 wurde der staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. C. In der Vernehmlassung beantragen das Obergericht, die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und B.X._, die Beschwerde sei abzuweisen. Am 9. Oktober 2006 hat A.X._eine Replik eingereicht.