Sachverhalt: A. Mit Beschluss vom 21. September 2005 ernannte das Friedensgericht A._ X._ zum Erbenvertreter der Erbengemeinschaft B._ und ermächtigte ihn, im Namen des Nachlasses sowohl gegen die Firma C._ als auch gegen Z._ und Y._, ein Mitglied der Erbengemeinschaft, Klage zu führen. B. B.a Am 7. Oktober 2009 reichte die in Cape Town, Südafrika, wohnhafte Y._ beim nunmehr zuständigen Friedensgericht des Sensebezirks Beschwerde gegen Handlungen des Erbenvertreters ein und rügte dabei dessen Verhalten in der unter anderem gegen sie gerichteten, in Südafrika hängigen Forderungsklage. B.b In diesem Beschwerdeverfahren ersuchte X._ am 26. Oktober 2009 das Friedensgericht, Y._ gestützt auf Art. 117 ZPO/FR zu verpflichten, ihm für die voraussichtlichen Prozesskosten angemessene Sicherheit zu leisten. Mit Beschluss vom 30. Oktober 2009 wies das Friedensgericht das Gesuch ab mit der Begründung, Art. 117 ZPO/FR sei auf das Beschwerdeverfahren nicht anwendbar. C. X._ (Beschwerdeführer) hat gegen den Beschluss des Friedensgerichts beim Bundesgericht mit Eingabe vom 2. Dezember 2009 Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, den Beschluss des Friedensgerichts aufzuheben und die Gegenpartei zu einer Sicherheitsleistung von Fr. 40'000.-- zu verpflichten. Eventuell sei die Angelegenheit zur Festsetzung der Kaution an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersucht er darum, das Aufsichtsbeschwerdeverfahren bis zum Entscheid über die vorliegende Beschwerde zu sistieren. Das Friedensgericht hat sich am 15. Dezember 2009 zur Sache und zum Gesuch um vorsorgliche Massnahmen vernehmen lassen; es schliesst auf Abweisung der Beschwerde und weist darauf hin, dass dem Antrag auf Sistierung des Beschwerdeverfahrens mit Beschluss vom 3. Dezember 2009 entsprochen worden ist. Y._ (Beschwerdegegnerin) schliesst in ihrer Eingabe vom 5. Januar 2010 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. D. Gestützt auf die Vernehmlassung des Friedensgerichts ist das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen mit Verfügung der Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 21. Januar 2010 als gegenstandslos abgeschrieben worden.