Sachverhalt: A. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach X._, der als Geschäftsinhaber eines Trödelmarkts in Basel in der Zeitspanne von November 2002 bis August 2004 mehrfach Waren von verschiedenen Personen zwecks Weiterverkaufs erworben hatte, am 15. Dezember 2006 in weitgehender Bestätigung des Urteils des Strafgerichts Basel-Stadt vom 27. September 2005 der mehrfachen Hehlerei (Art. 160 Ziff. 1 Abs. 1 StGB) schuldig und verurteilte ihn zu fünf Monaten Gefängnis, teilweise als Zusatzstrafe zu einem Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 10. September 2003. In der Urteilsbegründung führte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt aus, X._ habe aufgrund der gesamten Erwerbsumstände wissen oder zumindest annehmen müssen, dass die Waren durch strafbare Handlungen gegen das Vermögen erlangt worden waren. B. X._ erhebt sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde je mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 15. Dezember 2006 sei aufzuheben. Mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde beantragt er des Weiteren die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Diese sei anzuweisen, ein psychiatrisches Gutachten betreffend seiner Zurechnungsfähigkeit einzuholen. Ferner ersucht er für beide Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt beantragen die Abweisung der beiden Beschwerden.