Sachverhalt: A. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte X._ am 9. Juni 2006 wegen mehrfacher Veruntreuung, mehrfachen Betrugs, ungetreuer Geschäftsbesorgung, mehrfacher Urkundenfälschung, mehrfachen Pfändungsbetrugs, mehrfacher Verfügung über mit Beschlag belegte Vermögenswerte, Bruchs amtlicher Beschlagnahme und Unterlassung der Buchführung zu einer Gefängnisstrafe von zwölf Monaten, als Zusatzstrafe zum Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 3. Juli 2001. B. Am 14. Januar 2008 wurde der Strafantritt in einer Vollzugsvereinbarung zwischen X._ und der Abteilung Halbgefangenschaft Winterthur auf den 15. Oktober 2008 festgelegt. Nachdem X._ am 2. Oktober 2008 um eine Verschiebung des Strafantritts um ein Jahr, eventualiter um zwei Jahre, ersucht hatte, setzte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich "im Sinne einer einmaligen Ausnahme" den Strafantrittstermin auf den 17. März 2009 fest. Am 3. März 2009 beantragte X._, der Strafantritt sei um ein Jahr zu verschieben. Das Amt für Justizvollzug wies dieses Gesuch am 13. März 2009 ab, entzog X._ die Zulassung zur Strafverbüssung in der Vollzugsform der Halbgefangenschaft und bestimmte den 29. April 2009 als Termin für den Strafantritt. Den gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs wies die Direktion der Justiz und des Innern am 19. Juni 2009 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ab und wies die Vollzugsbehörde an, so bald als möglich einen neuen Strafantrittstermin zu bestimmen. Das Amt für Justizvollzug lud X._ am 8. Oktober 2009 auf den 18. Januar 2010 in den Strafvollzug in der Justizvollzugsanstalt Realta vor und wies darauf hin, er könne seine Strafe in der Halbgefangenschaft Winterthur antreten, wenn er bis zum 15. Januar 2010 den Nachweis erbringe, dass er seiner bisherigen Arbeit im Umfang von mindestens 50 % nachgehen könne. Am 8. Januar 2010 ersuchte X._ das Amt für Justizvollzug um Verschiebung des Strafantritts um drei Monate. Dieses Gesuch wurde vom Amt für Justizvollzug am 14. Januar 2010 abgewiesen. X._ rekurrierte am 25. Januar 2010 gegen diesen Entscheid und beantragte der Justizdirektion, der Termin für den Strafantritt sei auf den 25. April 2010 zu verschieben, und die Strafe sei im Regime der Halbgefangenschaft zu vollziehen. Die Justizdirektion wies den Rekurs am 29. Januar 2010 ab und entzog dem Lauf der Beschwerdefrist sowie der Einreichung einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 18. Februar 2010 hiess das Verwaltungsgericht ein Gesuch von X._ um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung gut. C. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, wies am 20. April 2010 die Anträge von X._ vom 1. März 2010 auf Aufhebung des Rekursentscheids, Festsetzung des Termins für den Strafantritt auf den 1. Juni 2010 sowie Erteilung der Möglichkeit, die Strafe in Halbgefangenschaft zu verbüssen, ab. Es lud X._ auf den 10. Mai 2010 in den Strafvollzug vor. D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, (1) der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzusprechen, (2) der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. April 2010 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, (3) die Vorinstanz sei anzuweisen, ein amtsärztliches bzw. behördliches Gutachten über seine Hafterstehungsfähigkeit erstellen zu lassen, (4) unter Kosten und Entschädigungsfolgen zulasten des Amts für Justizvollzug des Kantons Zürich. E. Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 5. Mai 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung superprovisorisch zuerkannt. Das Verwaltungsgericht und das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich beantragen, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung nicht zu erteilen. F. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.