Sachverhalt: A. Der am 4. Juni 1989 auf Initiative von Erwin Kessler gegründete Verein gegen Tierfabriken (VgT) (fr. Association Contre les Usines d'Animaux [ACUSA]) mit Sitz in Tuttwil verfolgt gemäss seinen Statuten folgende Hauptzwecke: "1. Schutz der Tiere, insbesondere Nutztiere; 1. Natur und Heimatschutz, insbesondere die Erhaltung einer naturnahen Landschaft frei von störenden, nicht-landwirtschaftlichen Bauten, speziell Tierfabriken, Erhaltung und Förderung der Weidehaltung landwirtschaftlicher Tiere als prägendes Element der traditionellen Kulturlandschaft; 2. Konsumentenschutz, insbesondere der Schutz der Konsumenten vor nicht-tiergerecht, nicht-landschaft- und naturschonend produzierten Lebensmitteln und Gebrauchsgegenständen; 3. politische Arbeit zugunsten eines verbesserten Tier- und Konsumentenschutzes durch aktive Einflussnahme auf Wahlen- und Abstimmungen (Funktion des Vereins als Tier- und Konsumentenschutzpartei; Unterstützung und Lancierung von Volksinitiativen, Wahlen- und Abstimmungspropaganda, Kandidatur von Mitgliedern bei kantonalen und eidgenössischen Wahlen etc.)." B. Als Publikationsorgan gibt der VgT für die Deutschschweiz die "VgT-Nachrichten" und für die Westschweiz die "ACUSA-News" heraus. Diese Nachrichten enthalten namentlich mit Fotos veranschaulichte Berichte über die Tierhaltung in der Landwirtschaft, Leserbriefe, Hinweise auf Bücher über das Thema "Tier" und vegetarische Rezepte. Die Schweizerische Post ist eine selbständige Anstalt des öffentlichen Rechts mit Sitz in Bern. Im Dezember 1999 lehnte die Hauptpost St. Gallen es ab, die "VgT-Nachrichten" und die "ACUSA-News" als unadressierte Massensendung an alle Haushaltungen zu versenden. In der Folge klagte der VgT beim Bezirksgericht Frauenfeld gegen die Post auf Feststellung, dass die Ablehnung des Versands der "VgT-Nachrichten VN00-1", der Sonderausgabe "VgT-Nachrichten VN00-1a" sowie der "ACUSA-News AN99-01" durch die Schweizerische Post widerrechtlich sei. Das Bezirksgericht hiess die Klage gut. Diesen Entscheid bestätigte das Obergericht des Kantons Thurgau und das Bundesgericht, welches die Post verpflichtete, die Sendungen des VgT zu den von ihr in der Broschüre "PromoPost" öffentlich und allgemein bekannt gegebenen Bedingungen zu befördern (BGE 129 III 35 E. 6.4 S. 46 f.). Im Anschluss an diesen Entscheid verteilte die Post die Publikationen des VgT an alle Haushalte. Mit Schreiben vom 10. April 2007 teilte die Post dem VgT jedoch mit, sie habe festgestellt, dass die VgT-Nachrichten und die ACUSA-News die Kriterien für die Zustellung an sämtliche Haushalte gemäss der "PromoPost" Broschüre nicht erfüllten. Die Post habe diese Nachrichten bisher irrtümlich auch Haushalten mit "Stopp-Kleber" zugestellt. Damit die Post einerseits dem Willen der Empfänger mit einem "Stopp-Kleber-Briefkasten" Rechnung tragen, andererseits alle Auftraggeber von "PromoPost" nach identischen Kriterien behandeln und nicht zuletzt auch den Aufwand in der Reklamationsbearbeitung verringern könne, würden künftig die VgT-Nachrichten wie auch die ACUSA-News nur noch Haushalten ohne Stopp-Kleber zugestellt. Gemäss der Broschüre "PromoPost" werden "offizielle" Mailings in alle Brief- bzw. Ablagekästen verteilt, wogegen "kommerzielle" Sendungen mit Werbecharakter nicht in Briefkästen gelegt werden, die mit einem "Stopp - keine Werbung"-Kleber gekennzeichnet sind. Als "offizielle" Sendungen bezeichnet die Broschüre: "[a] Sendungen von Behörden, von Verwaltung und öffentlichen Unternehmungen des Bundes, von Kantonen und Gemeinden, soweit diese mit ihren unadressierten Sendungen nicht vorwiegend kommerzielle Zwecke verfolgen; [a] Amtliche Anzeiger und andere amtliche Publikationsorgane; [b] Sendungen von politischen Parteien; [c] Sendungen von überparteilichen Komitees, welche in einem konkreten Zusammenhang mit bevorstehenden Wahlen und Abstimmungen stehen; [d] Sendungen nicht kommerzieller Natur, die dem Informationsbedürfnis einer breiten Öffentlichkeit entsprechen (beispielsweise Blutspendeaufrufe; Informationen über Bauvorhaben/Lärm oder Verkehr/Unterbruch von Versorgungsleistungen wie Strom, Wasser, Gas, Telefon/Sirenentests etc.); [e] Sendungen von Entsorgungs-/Recycling-Unternehmen (Kleider- und Schuhsäcke, Batteriebag etc.); [f] Sendungen mit Spendeaufrufen von Fundraisern und karitativen Organisationen, welche von der Stiftung ZEWO (Fachstelle für gemeinnützige, Spenden sammelnde Organisationen) zertifiziert sind (www.zewo.ch). Nicht aber kommerzielle Prospekte mit Shop-Artikeln". B. Am 23. Mai 2007 erhob der VgT beim Handelsgericht des Kantons Bern Klage gegen die Schweizerische Post mit dem Begehren, diese sei zu verpflichten, die Zeitschrift des VgT als "PromoPost" offiziell, d.h. für die Zustellung an alle Haushaltungen, entgegenzunehmen. Mit Verfügung vom 30. Mai 2007 stellte das Handelsgericht das Verfahren bis zur Durchführung eines Aussöhnungsversuchs oder einer Erklärung beider Parteien, darauf zu verzichten, ein. Auf Begehren des VgT lud die Gerichtspräsidentin 7 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Parteien mit Verfügung vom 19. Juni 2007 auf den 8. Oktober 2007 zur Durchführung eines Aussöhnungsversuchs vor. Gegen diese Verfügung erhob der VgT beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde mit dem Antrag auf Terminansetzung noch vor den Sommerferien. Auf diese Beschwerde trat das Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) am 2. Juli 2007 nicht ein. In der Folge verzichteten beide Parteien auf einen Aussöhnungsversuch, worauf das Handelsgericht das Klageverfahren wieder aufnahm und mit Urteil vom 6. Februar 2008 die Klage abwies. C. Der VgT (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, der Entscheid des Handelsgerichts (recte: des Obergerichts des Kantons Bern) vom 2. Juli 2007 sei aufzuheben, der Entscheid des Handelsgerichts vom 6. Februar 2008 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung zurückzuweisen, eventuell sei die Klage direkt durch das Bundesgericht gutzuheissen. Die Post (Beschwerdegegnerin) beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Handelsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 11. Juli 2008 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert eine Replik ein, zu der die Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 30. Juli 2008 Stellung nahm.