Sachverhalt: A. Der Schweizer Bürger B._, geb. 1937, heiratete am 7. September 2001 die Kolumbianerin C._, geb. 1963. Diese erhielt in der Folge die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann. Im November 2007 wurde sie erleichtert eingebürgert. B. Das Ehepaar blieb ungewollt kinderlos. Im Jahr 2003 zogen die Ehegatten ein Gesuch um Adoption eines Kindes wegen Aussichtslosigkeit aufgrund des Alters des Ehemannes zurück. In der Folge beschlossen sie zusammen mit der Schwester der Ehefrau, A._, geb. 1966, dass diese durch künstliche Befruchtung (Insemination) ein Kind vom Ehemann empfangen und alle zusammen in einer Familiengemeinschaft leben sollten. Am 30. März 2005 kam D._, künstlich gezeugte Tochter der A._ und des B._, in Kolumbien zur Welt. Am 25. Mai 2005 anerkannte B._ die Vaterschaft von D._. C. Im Juni 2005 ersuchte B._ um eine Einreiseerlaubnis für A._ und die gemeinsame Tochter D._ zwecks Besuchaufenthalts. Später, nach deren Einreise, beantragte er beim Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: kantonales Amt) die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an die beiden. Zur Abklärung der familiären Situation befragte das kantonale Amt in der Folge die beteiligten drei erwachsenen Personen. D. Am 13. Juli 2007 verstarb B._. Am 6. September 2007 wies das kantonale Amt das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an A._ und D._ ab. Diese erhoben dagegen Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Mit Entscheid des Bundesamts für Migration vom 11. Dezember 2007 wurde das Kind D._ erleichtert eingebürgert. E. Mit Urteil vom 13. August 2008 wies das Verwaltungsgericht die bei ihm hängige Beschwerde ab. In der Urteilsbegründung hielt es dazu fest, das Beschwerdeverfahren sei hinsichtlich des Kindes D._ nach dessen Einbürgerung gegenstandslos geworden, weshalb es insoweit als erledigt erklärt werden könne, ohne dass dies allerdings im Urteilsdispositiv seinen Niederschlag fand. Im Übrigen befasst sich die Urteilsbegründung einzig mit der Frage der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an die Mutter A._. Im Wesentlichen wird dazu ausgeführt, diese habe zwar gestützt auf die Europäische Menschenrechtskonvention einen Anspruch auf eine Anwesenheitsbewilligung in der Schweiz, die Verweigerung derselben lasse sich aber insbesondere gestützt auf eine umfassende Interessenabwägung rechtfertigen. Ergänzend hielt das Verwaltungsgericht fest, das kantonale Amt habe nicht geprüft, ob A._ allenfalls eine Aufenthaltsbewilligung nach Ermessen erteilt werden könne, weshalb es ihr offen stehe, ein entsprechendes Begehren einzureichen. Ein solches Gesuch wies das kantonale Amt jedoch am 8. September 2008 ab. F. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. September 2008 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Juli 2008 aufzuheben und das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gutzuheissen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. G. Das Amt für Migration und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. H. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.