Sachverhalt: A. Mit Entscheid vom 24. September 2010 stellte der Gemeinderat X._ fest, dass das Sozialamt X._ dem abgewiesenen Asylbewerber L._ im Bedarfsfall Nothilfe leiste, dieser jedoch auf Nothilfeleistungen verzichte und seinen Lebensunterhalt anderweitig decke. Dagegen erhob L._ Rekurs beim Sicherheits- und Justizdepartement (nachfolgend: SJD). Mit Entscheid vom 15. August 2011 trat das SJD mangels Beschwer auf den Rekurs nicht ein, weil weder der Aufenthaltsort von L._ bekannt sei noch ein konkretes Nothilfebegehren vorliege. B. L._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid. Nachdem er zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war, stellte er ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies das Gesuch mit Verfügung vom 10. Oktober 2011 ab, da die Beschwerde aussichtslos sei, und verlangte von L._ die Bezahlung des Kostenvorschusses. C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien die vorinstanzliche Verfügung aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; nach Zustellung der Vernehmlassung sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen. Des Weitern sei die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.