Sachverhalt: A. Das Obergericht des Kantons Zürich befand X._ am 2. Juli 2008 zweitinstanzlich der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind im Sinne von Art. 187 Ziff. 1 Abs. 1 StGB zum Nachteil von Y._ schuldig (Anklageziffer 1a-b und 2a-f) und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten (abzüglich einen Tag erstandener Haft). Den Vollzug der Freiheitsstrafe schob es im Umfang von 24 Monaten auf und setzte die Probezeit auf zwei Jahre fest. Im Umfang von sechs Monaten (abzüglich einen Tag erstandener Haft) ordnete es den Vollzug der Freiheitsstrafe an. Des Weiteren verpflichtete es X._, Y._ eine Genugtuung von Fr. 20'000.-- und vollen Schadenersatz zu bezahlen, soweit ein Schaden nachgewiesen und der Kausalzusammenhang zwischen den inkriminierten Taten und dem bewiesenen Schaden erstellt ist. Gleichzeitig stellte das Obergericht fest, dass der erstinstanzliche Teilfreispruch (Anklageziffer 2g: Vorwurf der sexuellen Handlungen mit einem Kind, angeblich begangen anlässlich von Zugfahrten nach Italien) in Rechtskraft erwachsen ist. B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Hauptanträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 2. Juli 2008 sei aufzuheben, und er sei auch in den Anklagepunkten 1a-b und 2a-f freizusprechen. Des Weiteren sei auf die Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen von Y._ nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei er mit einer 18 Monate nicht übersteigenden Freiheitsstrafe zu bestrafen (abzüglich einen Tag erstandener Untersuchungshaft) und ihm sei der bedingte Strafvollzug zu gewähren unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren. Diesfalls sei die Schadenersatzforderung von Y._ auf den Zivilweg zu verweisen und die Genugtuung auf Fr. 8'000.-- festzulegen. Ausserdem ersucht X._, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet; die Oberstaatsanwaltschaft hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen. Y._ schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung und ersucht gleichzeitig darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Der Präsident der Strafrechtlichen Abteilung hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 6. November 2008 gutgeheissen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.