Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 27. Juni 2000 sprach die IV-Stelle Luzern der an einer Depression mittleren Grades mit somatoformer Schmerzstörung leidenden M._ vom 1. Mai 1996 bis 31. Dezember 1998 eine halbe sowie ab 1. Januar 1999 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. In der Folge wurde die ganze Invalidenrente im Rahmen dreier Revisionsverfahren überprüft und stets bestätigt. Mit Verfügung vom 18. Dezember 2012 hob die IV-Stelle die bisher ausgerichtete Rente unter Hinweis auf die am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision (erstes Massnahmenpaket) auf Ende Januar 2013 hin auf. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 13. April 2013 gut, hob die angefochtene Verwaltungsverfügung auf und verpflichtete damit die IV-Stelle zur Weiterausrichtung der ganzen Invalidenrente über Ende Januar 2013 hinaus. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Überdies sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. M._ lässt auf Abweisung schliessen, während sich das Bundesamt für Sozialversicherungen nicht hat vernehmen lassen.