Sachverhalt: A. Die kamerunesische Staatsangehörige A._ (geb. 1971) heiratete am 6. Februar 2003 in ihrer Heimat den Schweizer Bürger B._ (geb. 1973). Nach ihrer Einreise in die Schweiz am 12. Juli 2003 wurde ihr gestützt auf die Heirat eine Aufenthaltsbewilligung erteilt (zuletzt verlängert bist zum 11. Januar 2012). A._ und ihr Ehegatte mussten von Mitte 2003 bis Mitte 2008 mit insgesamt Fr. 55'947.25 von der Sozialhilfe unterstützt werden. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnte deshalb A._ am 16. September 2008 und stellte ihr schwerer wiegende ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht für den Fall, dass sie weiterhin auf Sozialhilfe angewiesen sein oder ihr Verhalten sonst wie zu Klagen Anlass geben sollte. Mit Schreiben vom 8. September 2009 teilte ihr das Migrationsamt mit, dass aufgrund des Sozialhilfebezugs die Erteilung der Niederlassungsbewilligung nicht in Betracht falle. B. Nachdem sich der Sozialhilfebezug des Ehepaares bis zum 10. Januar 2012 auf insgesamt Fr. 168'029.95 (Fr. 74'945.-- für A._ und Fr. 93'084.95 für B._) erhöht hatte, wies das Migrationsamt das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ mit Verfügung vom 27. November 2012 ab und setzte ihr Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 27. Februar 2013. Die dagegen von A._ und B._ ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. C. Mit Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten vom 11. November 2013 beantragen A._ (Beschwerdeführerin 1) und B._ (Beschwerdeführer 2), das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 1. Oktober 2013 aufzuheben und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich anzuweisen, A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Weiter ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sowie um Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Verlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens. Das Verwaltungsgericht sowie die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich haben auf Vernehmlassung verzichtet. Das Migrationsamt des Kantons Zürich liess sich nicht vernehmen. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 15. November 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.