Sachverhalt: A. A.a Am 3. März 2006 leitete die Y._ AG (Klägerin) gegen die X._ AG (Beklagte) beim Gerichtskreis Z._ ein Verfahren auf Einräumung eines Überbaurechtes ein, in welchem Verfahren die Fortsetzungsverhandlung auf den 23. April 2007 anberaumt war. Am Morgen des Verhandlungstages rief A._, Mitglied des Verwaltungsrates der Beklagten, die Gerichtskanzlei an und teilte mit, er sei krankheitshalber nicht in der Lage, an der Verhandlung teilzunehmen, weshalb er um deren Verschiebung ersuche. Daraufhin begab er sich zum Arzt, um sich die Krankheit bescheinigen zu lassen. In der Folge sprach ihm die Kanzleisekretärin auf die Combox und ersuchte um Einreichung eines Arztzeugnisses, wobei nur ein vom Arzt direkt eingereichtes Zeugnis akzeptiert werde, welches überdies bis zum Mittag des Verhandlungstages vorzuliegen habe. Das verlangte Zeugnis wurde nicht bis Mittag, sondern erst nachträglich eingereicht. Es bescheinigt eine 100 %ige Arbeitunfähigkeit ab dem 23. April 2007. A._ blieb der Verhandlung fern. A.b Mit Säumnisurteil vom 23. April 2007 wies der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises Z._ der Klägerin zulasten der Beklagten ein dingliches Überbaurecht zu, regelte die Modalitäten des Grundbucheintrages, verurteilte die Klägerin zur Leistung einer Entschädigung für das Überbaurecht an die Beklagte und regelte die Kosten des Verfahrens. B. In der Folge ersuchte A._ im Namen der Beklagten um Wiedereinsetzung, welche ihr der Gerichtspräsident mit Entscheid vom 27. November 2007 verweigerte. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde der Beklagten wies das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, am 12. Februar 2008 ab. C. Die Beklagte führt Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht mit dem Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 12. Februar 2008 aufzuheben. Der Gerichtspräsident 1 und das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.