Sachverhalt: A. Die am 28. April 1995 zwischen X._ (Ehemann) und Z._ (Ehefrau) vor dem Zivilstandsamt A._ geschlossene Ehe wurde mit Urteil des Amtsgerichts München vom 11. März 2004 geschieden. Die elterliche Sorge über die drei gemeinsamen Kinder S._ (geb. xxxx 1995), T._ (geb. xxxx 1997) und U._ (geb. xxxx 1999) verblieb den Eltern gemeinsam. Z._ ist ausserdem Mutter des aus einer früheren Beziehung hervorgegangenen Sohnes V._ (geb. 1992). B. B.a Mit Klage vom 6. Januar 2006 beantragte Z._ beim Amtsgericht Luzern-Land u.a. die Unterstellung der drei Kinder S._, T._ und U._ unter ihre alleinige Sorge und die Verpflichtung von X._ zur Leistung von Kinderunterhaltsbeiträgen. Mit Widerklage vom 4. Juli 2006 beantragte X._ die Übertragung der Obhut über die gemeinsamen Kinder an sich selbst. Das Amtsgericht genehmigte mit Urteil vom 6. September 2007 eine von den Parteien am 17. Mai / 3. Juli 2007 abgeschlossene Vereinbarung. Demgemäss erhielt X._ das Recht, die drei Kinder jedes zweite Wochenende von Freitag bis Sonntag zu sich zu nehmen. Zudem wurde festgelegt, dass die Kinder das Internat B._ (Deutschland) besuchen bzw. besuchen werden und X._ für sämtliche Schulkosten aufzukommen habe. Bis zum Eintritt der beiden jüngeren Kinder ins Internat und ab einem allfälligen Austritt eines Kindes aus dem Internat habe X._ für jedes Kind einen Unterhaltsbeitrag von EUR 350.--, zuzüglich Kinderzulagen, zu bezahlen. B.b Mit Klage vom 25./26. Februar 2008 beantragte X._ beim Amtsgericht Luzern-Land, die elterliche Sorge über die drei Kinder an ihn allein zu übertragen. Mit Widerklage vom 4. März 2008 verlangte Z._ die Übertragung der elterlichen Sorge über die drei Kinder an sie allein. Mit Urteil vom 17. September 2009 genehmigte das Amtsgericht Luzern-Land eine Vereinbarung der Parteien. Demgemäss wurden die Kinder unter der Obhut der Mutter belassen, das Besuchs- und Ferienrecht neu geregelt, die Parteien u.a. angewiesen, die Kinder bis zum Abschluss ihrer Ausbildung im Internat B._ zu belassen und X._ verpflichtet, die ungedeckten Kosten der medizinischen, zahn- und augenärztlichen Versorgung der Kinder zu tragen. Soweit keine Neuregelung getroffen wurde, sollten die Bestimmungen des Scheidungsurteils und des Urteils des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 unverändert weitergelten. C. C.a Mit Klage vom 10. Februar 2010 verlangte Z._ beim Bezirksgericht Aarau, die elterliche Sorge über die drei Kinder ihr allein zu übertragen, das Besuchs- und Ferienrecht von X._ zu regeln und ihn für den Fall, dass ein Kind aus dem Internat austreten sollte, zu verpflichten, für das Kind einen angemessenen Unterhaltsbeitrag zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 31. März 2010 verlangte X._, auf die Klage nicht einzutreten und sie eventuell abzuweisen. Für den Fall der Abweisung der Hauptklage erhob er Widerklage mit den Anträgen, die elterliche Sorge über die drei Kinder auf ihn allein zu übertragen. Zudem sei das Besuchsrecht zu regeln und es sei darauf zu verzichten, Z._ zur Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen zu verpflichten. Die drei Kinder S._, T._ und U._ wurden in der Hauptverhandlung angehört. Am 13. September 2010 präzisierte Z._ ihre Anträge. Sie verlangte insbesondere, X._ zu verpflichten, ihr monatlich im Voraus Kinderunterhaltsbeiträge in der Höhe von Fr. 4'500.-- pro Kind (zuzüglich Kinderzulagen) zu bezahlen, und zwar ab 13. September 2010 bis zur Mündigkeit der Kinder oder ihrer vorherigen Aufnahme einer vollen Erwerbstätigkeit oder längstens bis zum Abschluss ihrer Erstausbildung. Mit Entscheid vom 4. Januar 2012 unterstellte das Bezirksgericht Aarau (mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des Entscheids) die drei Kinder der elterlichen Sorge von Z._. Es regelte das Besuchs- und Ferienrecht von X._ und verpflichtete ihn, Z._ an den Unterhalt der Kinder mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des vorliegenden Entscheids bis zur Mündigkeit bzw. bis zum vorzeitigen Eintritt in die volle Erwerbstätigkeit pro Monat folgende Unterhaltsbeiträge (zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen) zu zahlen: für S._ Fr. 1'078.--; für T._ Fr. 835.-- bis Juli 2013 und danach Fr. 1'078.--; für U._ Fr. 835.-- bis Januar 2015 und danach Fr. 1'078.--. Vorbehalten wurden die Anrechnung des Arbeitserwerbs oder anderer eigener Mittel der Kinder und eine länger dauernde Ausbildung. C.b Mit Berufung vom 9. Februar 2012 verlangte X._ die Abweisung der Klage und eventualiter widerklageweise, die elterliche Sorge für die gemeinsamen Kinder ihm zu übertragen, das Besuchsrecht von Z._ zu regeln und darauf zu verzichten, Z._ zur Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen zu verpflichten. Z._ widersetzte sich der Berufung und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege. Am 22. November 2012 stellte X._ das Gesuch, Z._ superprovisorisch aufzufordern, Unterlagen über den Aufenthalt des Kindes T._ im C._-College (England) und die Bezahlung des entsprechenden Schulgeldes zu edieren sowie eine Bestätigung vorzulegen, dass er T._ jederzeit im College besuchen dürfe. Mit Entscheid vom 27. November 2012 wies das Obergericht des Kantons Aargau die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Auf das Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen trat das Obergericht nicht ein. Es gewährte Z._ die unentgeltliche Verbeiständung und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Übrigen als gegenstandslos ab. D. Am 10. Januar 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts vom 27. November 2012 aufzuheben und die Abänderungsklage vom 10. Februar 2010 abzuweisen. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.