(Zivilprozess; unentgeltliche Prozessführung), hat sich ergeben: A.- Mit Vertrag vom 3. September 1990 mietete A._ in einer stark heruntergekommenen Liegenschaft eine 2-Zimmer-Wohnung, die er als Wohnatelier benutzte. Am 10. Juni 2000 schloss er einen Untermietvertrag ab, der vorsah, dass der Untermieter mit seinem und dem Einverständnis des Eigentümers auf eigene Kosten Renovations- und Umbauarbeiten vornehmen könne. Am 17. August 2000 teilte der Eigentümer A._ mit, dass auf den 1. Oktober 2000 ein Eigentümerwechsel erfolgen würde. Mit Schreiben vom 20. September 2000 kündigte die Erwerberin der Liegenschaft, die X._ AG, den Mietvertrag auf den 31. Januar 2001 mit der Begründung, sie werde den vom Untermieter unbewilligt vorgenommenen Umbau der Mieträume nicht akzeptieren und der Mieter benutze das von ihm gemietete Atelier nicht mehr. Mit Entscheid vom 1. Februar 2001 bestätigte die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten Basel-Stadt die Kündigung per 31. Januar 2001 und erstreckte das Mietverhältnis einmalig und definitiv bis zum 30. Juni 2001. B.- A._ reichte gegen diesen Entscheid beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt Klage ein, welche am 16. August 2001, unter Bewilligung des Kostenerlasses, abgewiesen wurde. A._ erhob am 27. August 2001 gegen das Urteil des Zivilgerichts Beschwerde und ersuchte um Kostenerlass. Mit Verfügung vom 1. November 2001 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Kostenerlassgesuch wegen Aussichtslosigkeit des Rechtmittels ab (Dispositiv Ziffer 2) und setzte erneut Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde verlangt A._ die Aufhebung von Ziffer 2 der Verfügung vom 1. November 2001 und die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren mit dem unterzeichnenden Advokaten als unentgeltlichem Rechtsbeistand. Er macht geltend, die angefochtene Verfügung verletze Art. 29 Abs. 3 BV. In seiner Vernehmlassung beantragt das Appellationsgericht die Abweisung der Beschwerde.