Sachverhalt: A. Das Betreibungsamt A._ teilte der X._ AG am 26. August 2003 mit, dass in den gegen sie laufenden Betreibungen Nr. yy und Nr. zz die Betreibungsgläubigerin am 2. April 2003 bzw. 7. August 2003 das Begehren um Verwertung der gepfändeten Gegenstände (eine Abkantpresse und eine Schlagschere im Schätzwert von insgesamt Fr. 55'000.--) verlangt hatte. Gleichzeitig gab das Betreibungsamt bekannt, dass die Steigerung am 26. September 2003 um 10 Uhr am Sitz der Betreibungsschuldnerin stattfinden und die Publikation der Steigerung am 24. September 2003 erfolgen werde. An der Steigerung vom 26. September 2003 wurden die gepfändeten Gegenstände mit einem Erlös von Fr. 11'000.-- verwertet. Hiergegen erhob die X._ AG am 4. Oktober 2003 Beschwerde und verlangte die Aufhebung des Steigerungszuschlages. Mit Verfügung vom 12. November 2003 wies der Gerichtspräsident von Arbon als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungssachen die Beschwerde ab. Auf Beschwerde der X._ AG hin bestätigte das Obergericht des Kantons Thurgau als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs mit Beschluss vom 19. Dezember 2003 den erstinstanzlichen Beschwerdeentscheid. B. Die X._ AG hat den Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde mit Beschwerdeschrift vom 1. März 2004 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen und beantragt, der angefochtene Beschluss sowie der Steigerungszuschlag seien aufzuheben. Weiter verlangt sie aufschiebende Wirkung. C. Mit Präsidialverfügung vom 9. März 2004 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Betreibungsgläubigerin und die Ersteigererin als Beschwerdegegnerinnen beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Betreibungsamt schliesst auf Abweisung. Die obere Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet. D. Auf eine in der gleichen Sache erhobene staatsrechtliche Beschwerde wurde mit Urteil (5P.116/2004) vom 8. April 2004 nicht eingetreten.