Sachverhalt: A. A.a. Die X._ GmbH mit Sitz in Y._ (Beschwerdeführerin) wurde am 8. Oktober 2003 in das Handelsregister eingetragen. Sie bezweckt den Import, Vertrieb und Verkauf von Weinen und anderen Spezialitäten vorwiegend aus Sizilien. Die Gesellschaft verfügte seit ihrer Gründung im Jahr 2003 nie über eine Revisionsstelle. A.b. Mit Eingabe vom 22. Januar 2011 meldete die Beschwerdeführerin unter Beifügung von Belegen die Eintragung des Verzichts auf eine eingeschränkte Revision ( Opting-out ) beim Handelsregisteramt des Kantons Aargau (Beschwerdegegner) an. Mit Schreiben vom 26. Januar 2011 bestätigte das Handelsregisteramt den Eingang der Anmeldung und forderte von der Beschwerdeführerin nebst den bereits eingereichten Beilagen zusätzlich den Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 nach. Mit Eingabe vom 2. Juli 2011 meldete die Beschwerdeführerin den Eintrag von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung an und erneuerte gleichzeitig die Anmeldung des Opting-outs. Sie stellte sich dabei auf den Standpunkt, dass für die Eintragung des Opting-outs kein Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors benötigt werde. Mit Schreiben vom 22. November 2011 forderte das Handelsregisteramt die Beschwerdeführerin erneut auf, den Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 beizubringen. B. B.a. Mit Verfügung vom 17. September 2012 verweigerte das Handelsregisteramt sowohl den Eintrag des Opting-outs als auch den Eintrag von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung. Zur Begründung führte es aus, das Opting-out gelte in zeitlicher Hinsicht ab dem Zeitpunkt seiner Erklärung. Da Art. 7 der Übergangsbestimmungen der Änderung des OR vom 16. Dezember 2005 verlange, dass die Bestimmungen zur Revisionsstelle vom ersten Geschäftsjahr an gelten, das mit dem Inkrafttreten dieses Gesetzes oder danach beginne, sei die Jahresrechnung 2009 der Beschwerdeführerin durch eine zugelassene Revisionsstelle zu prüfen. Das Handelsregisteramt führte weiter aus, es verzichte zugunsten der Beschwerdeführerin auf die Prüfung der Jahresrechnung 2008, da die Jahresrechnung von Gesetzes wegen die Vorjahreszahlen (vorliegend 2008) beinhalten müsse. Bezüglich der Eintragung von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung hielt das Handelsregisteramt fest, die Gesellschaft habe mit Eingabe vom 2. Juli 2011 die Vorsitzende der Geschäftsführung zusammen mit dem (nicht eintragungsfähigen) Opting-out angemeldet. Es liege bis heute keine Anmeldung vor, auf welcher alleine nur die unbestrittene Wahl der Vorsitzenden der Geschäftsführung aufgeführt sei. B.b. Dagegen reichte die Beschwerdeführerin am 20. Oktober 2012 Beschwerde beim Handelsgericht des Kantons Aargau ein mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Die Verfügung des Handelsregisteramtes des Kantons Aargau vom 17. September 2012 sei aufzuheben. 2. Das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die am 2. Juli 2011 zur Eintragung angemeldete Vorsitzende der Geschäftsführung im Handelsregister einzutragen. 3. Das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, den am 22. Januar 2011 zur Eintragung angemeldeten Verzicht auf eine eingeschränkte Revision (opting-out-Anmeldung) im Handelsregister einzutragen." Mit Urteil vom 20. Februar 2013 wies das Handelsgericht die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen ficht die Beschwerdeführerin das Urteil des Handelsgerichts an und wiederholt die vor der Vorinstanz gestellten Anträge. Das Handelsregisteramt und die Vorinstanz beantragen Abweisung der Beschwerde.