Sachverhalt: A. A._ (Versicherte) hat mit der X._ AG (Versicherung) eine obligatorische Krankenpflegeversicherung und die Zusatzversicherungen "Y._ und Z._" abgeschlossen. Nachdem die Versicherte einen Bruch des Oberschenkels (pertrochantäre Fraktur) erlitten hatte, wurde sie vom 7. Januar bis 10. März 2008 stationär in der Klinik Bad-Schinznach (Klinik) behandelt. Die Klinik stellte am 18. März 2008 der Versicherung eine Rechnung über insgesamt Fr. 71'940.55, welche einen Teilbetrag von Fr. 3'623.40 für Psychotherapie aufwies. Die Versicherung verweigerte die Bezahlung dieses Teilbetrages. B. Am 4. März 2010 klagte die Versicherte (Klägerin) beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn gegen die Versicherung (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 3'623.40 nebst 5 % Zins seit 18. April 2008. Das Versicherungsgericht wies die Klage mit Urteil vom 22. Dezember 2010 ab. C. Die Klägerin (Beschwerdeführerin) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Begehren, den Entscheid des Versicherungsgerichts vom 22. Dezember 2010 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Versicherungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen.