Sachverhalt: A. Am 5. Januar 2006 erhob B._ (Beschwerdegegner) beim Richteramt Solothurn-Lebern gegen A._ (Beschwerdeführer) Klage "betreffend Forderung (Organhaftung usw.)" mit dem Begehren, dieser sei zu verpflichten, dem Beschwerdegegner Fr. 524'500.-- zuzüglich Zins zu bezahlen. Mit Urteil vom 12. April 2007 verpflichtete das Amtsgericht den Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner Fr. 522'462.20 nebst Zins zu 4 % auf Fr. 375'000.-- seit dem 1. Dezember 2004 und Zins zu 5 % auf Fr. 53'342.20 seit dem 1. Dezember 2004 zu bezahlen. Dieses Urteil wurde dem Vertreter des Beschwerdeführers am 13. April 2007 zugestellt. B. Mit einem vom 23. April 2007 datierten Schreiben erklärte der Beschwerdeführer Appellation an das Obergericht des Kantons Solothurn. Der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts forderte den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 23. Mai 2007 auf zu belegen, dass seine Appellationserklärung rechtzeitig der Post übergeben worden ist. Für den Unterlassungsfall wurde Nichteintreten auf die Appellation angedroht. Am 4. Juni 2007 stellte der Beschwerdeführer ein Wiedereinsetzungsgesuch mit dem Antrag, die am 23. April 2007 auslaufende Appellationsfrist gegen das Urteil des Amtsgerichts Solothurn-Lebern vom 12. April 2007 sei wieder herzustellen. Mit Urteil vom 11. Dezember 2007 wies das Obergericht das Wiedereinsetzungsgesuch ab und trat auf die Appellation nicht ein. C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, das Obergericht sei anzuweisen, das Wiedereinsetzungsgesuch vom 4. Juni 2007 gutzuheissen und auf die Appellation des Beschwerdeführers vom 23. April 2007 einzutreten. Der Beschwerdegegner und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. D. Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.