Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern wirft X._ vor, zusammen mit einem Mittäter drei tätliche Angriffe auf Ausländer verübt zu haben. Die beiden Männer sollen am 14., 15. und 21. Mai 2002 jeweils kurz nach Mitternacht an der Bernstrasse in Luzern drei verschiedene Personen verprügelt und verletzt haben, nämlich am 14. und am 15. Mai 2002 je einen Tamilen und am 21. Mai 2002 A._ aus dem ehemaligen Jugoslawien. Dabei sollen sie gegen die Opfer mit Stahlkappen verstärkte Schuhe und am 21. Mai 2002 zudem den Gehstock des Opfers eingesetzt haben. Das Motiv soll in der rechtsradikalen Grundeinstellung und im Fremdenhass gelegen haben. B. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern sprach X._ am 4. März 2005 in Bezug auf die Vorfälle vom 14. und vom 15. Mai 2002 der einfachen qualifizierten Körperverletzung unter Verwendung eines gefährlichen Gegenstandes (Art. 123 Ziff. 2 StGB) und - in Idealkonkurrenz - des vollendeten Versuchs der schweren Körperverletzung (Art. 122 in Verbindung mit Art. 22 StGB) schuldig. Betreffend den Vorfall vom 21. Mai 2002 sprach es ihn der schweren Körperverletzung (Art. 122 Abs. 3 StGB) schuldig. Es verurteilte ihn wegen dieser Taten sowie wegen Widerhandlung gegen das Waffengesetz (begangen durch Erwerb eines Springmessers) zu drei Jahren Zuchthaus. Von den Anklagen der versuchten vorsätzlichen Tötung, angeblich begangen am 21. Mai 2002, und der mehrfachen Rassendiskriminierung im Sinne von Art. 261bis Abs. 4 erste Hälfte StGB, angeblich begangen durch die inkriminierten Gewalttätigkeiten, sprach es ihn frei. Sowohl X._ als auch die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und der Geschädigte A._ appellierten gegen diesen Entscheid. Das Obergericht des Kantons Luzern sprach X._ am 22. März 2006 der mehrfachen versuchten schweren Körperverletzung im Sinne von Art. 122 in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 StGB (begangen am 14. und 15. Mai 2002), der schweren Körperverletzung im Sinne von Art. 122 Abs. 3 StGB (begangen am 21. Mai 2002), der mehrfachen Rassendiskriminierung nach Art. 261bis Abs. 4 StGB (begangen am 14., 15. und 21. Mai 2002) sowie der mehrfachen Widerhandlung gegen das Waffengesetz (Art. 33 Abs. 1 lit. a WG) schuldig und verurteilte ihn zu 3 1/2 Jahren Zuchthaus. Vom Vorwurf der versuchten Tötung sprach es ihn frei. C. X._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Einzelnen stellt er die Anträge, er sei in Bezug auf die Vorfälle vom 14. und 15. Mai 2002 statt wegen mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung lediglich wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung gemäss Art. 123 Ziff. 1 Abs. 1 StGB schuldig zu sprechen, er sei in allen Punkten vom Vorwurf der mehrfachen Rassendiskriminierung freizusprechen und er sei zu einer bedingt vollziehbaren Zuchthausstrafe von 18 Monaten zu verurteilen. D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft beantragen in ihren Vernehmlassungen, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Geschädigte A._ hat auf eine Vernehmlassung zur Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Schuldspruch wegen Rassendiskriminierung verzichtet.