Sachverhalt: A. A.a. Rechtsanwältin A._ wurde mit Entscheid vom 21. Februar 2013 (LGP 10 392) als unentgeltliche Rechtsbeiständin von X._ in deren Scheidungsverfahren eingesetzt. Dieser Entscheid wurde Rechtsanwältin A._ am 28. Februar 2013 zugestellt, worauf sie am 4. März 2013 eine Kostennote über den Betrag von Fr. 14'106.80 (inkl. Auslagen von Fr. 239.--) einreichte. A.b. Mit Entscheid vom 21. Februar 2013 (LGZ 10 33) schied das Landgericht Uri die Ehe zwischen X._ und Y._. In Dispositiv-Ziffer 10.2 sprach es Rechtsanwältin A._ für ihre Bemühungen im Scheidungsverfahren Fr. 3'800.-- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) zu. Die Parteien wurden dahingehend belehrt, dass gegen diesen Entscheid innert Frist von 30 Tagen Berufung beim Obergericht des Kantons Uri erhoben werden könne. Rechtsanwältin A._ nahm diesen Entscheid am 18. März 2013 in Empfang. B. B.a. Am 3. Mai 2013 (Datum der Postaufgabe) erhob Rechtsanwältin A._ beim Obergericht gegen die erstinstanzliche Festsetzung ihrer Entschädigung Beschwerde. Sie beantragte, es sei ihre Entschädigung angemessen zu erhöhen und ihr mindestens der Grundkostenrahmen nach Armenabzug zu gewähren. B.b. Am 19. Dezember 2013 teilte der verfahrensleitende Präsident Rechtsanwältin A._ mit, dass sie gemäss den dem Obergericht zur Verfügung stehenden Unterlagen das Rechtsmittel verspätet eingereicht habe und das Obergericht über die Eintretensfrage entscheiden werde. B.c. Mit Entscheid vom 24. Januar 2014 trat das Obergericht, infolge Fehlens einer Prozessvoraussetzung, auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte Rechtsanwältin A._ eine Entscheidgebühr von Fr. 300.--. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Februar 2014 gelangt Rechtsanwältin A._ (Beschwerdeführerin) ans Bundesgericht und stellt folgende Rechtsbegehren: "1. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 24. Januar 2014 (OG Z 13 8) sei aufzuheben und es seien die Akten zur Behandlung der Beschwerde an die Vorinstanz zurückzuweisen. 2. Ziff. 10.2 des Entscheids des Landgerichts Uri (LGZ 10 33) vom 21. Februar 2013 sei für nichtig zu erklären und folgedessen aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Landgericht Uri zurückzuweisen, oder, soweit der Mangel geheilt werden kann, abzuändern. Es sei der Anwältin mindestens ein Honorar von 48 Stunden zu Sfr. 260/h bzw. ein Honorar von Sfr. 12.480.- inkl. Mwst und Auslagen vor Armenabzug zuzusprechen." Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache selbst aber keine Vernehmlassungen eingeholt.