Sachverhalt: A. Der 1963 geborene, zuletzt als Verkäufer angestellt gewesene E._ war in einem Programm der Arbeitslosenversicherung zur vorübergehenden Beschäftigung tätig und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 14. Februar 2004 erlitt er einen Verkehrsunfall. Er wollte mit dem von ihm gelenkten Toyota Corolla auf einer Kreuzung nach links abbiegen. Die Lenkerin eines auf der Spur rechts neben ihm fahrenden Opel Corsa übersah bei einem Wendemanöver den Toyota, worauf dieser mit der rechten vorderen Ecke in die linke Seite des Opels stiess. Wegen danach aufgetretener Beschwerden suchte E._ am 17. Februar 2004 Dr. med. C._, Facharzt FMH für Innere Medizin, Manuelle Medizin SMM, auf, welcher eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) bei - mittels MRI vom 26. Februar 2004 festgestellten - multisegmentalen Diskushernien auf Höhen C4/5 und C5/6 sowie bei radikulärer Symptomatik auf Höhe C8/Th1 links diagnostizierte und eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte (Arztbericht vom 29. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 6. April 2005, die Leistungen würden mit dem 11. April 2005 eingestellt. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einem unfallkausalen Gesundheitsschaden zu erklären. Daran hielt die SUVA auf die von E._ und dessen Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 21. Juni 2006). B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau nach Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung mit Entscheid vom 7. November 2007 ab. C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von kantonalem Beschwerdeentscheid und Einspracheentscheid sei die SUVA zu verpflichten, ab 12. April 2005 weiterhin Leistungen zu erbringen; eventuell sei ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten einzuholen oder die Sache hiefür an die Vorinstanz oder an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 3. resp. 7. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.