Sachverhalt: A. X._ (nachfolgend: Kläger) ist Miteigentümer eines Einfamilienhauses in S._. Die Flughafen Zürich AG (nachfolgend: Beklagte) ist seit 1. Juni 2001 Betreiberin des Flughafens Zürich und Inhaberin der Betriebskonzession des Eidgenössischen Departements für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK). B. Am 4. April 2003 wurden seitens der deutschen Behörden die Einschränkungen für die An- und Abflüge zum und vom Flughafen Zürich durch Änderung der 213. Durchführungsverordnung verschärft, indem ab 17. April 2003 die Nachtflugsperre um je eine Stunde am Morgen (6 bis 7 Uhr) und am Abend (21 bis 22 Uhr) verlängert und die minimale Überflughöhe angehoben wurde; vorgesehen war ausserdem, die Ausnahmegründe für einen Anflug von Norden her zu den Sperrzeiten auf den 10. Juli 2003 erheblich einzuschränken. Infolge dieser Einschränkungen wurde das Betriebsreglement für den Flughafen Zürich verschiedentlich provisorisch geändert. Am 30. Oktober 2003 wurden Südanflüge im sogenannten VOR/DME-Anflugverfahren, am 30. April 2004 im LOC/DME-Anflugverfahren sowie am 31. Oktober 2004 im ILS-Anflugverfahren eingeführt. C. Die Liegenschaft des Klägers liegt in der Südanflugschneise, in welcher der Flughafen Zürich seit Ende Oktober 2003 zu Randzeiten angeflogen wird. Mit Klage vom 29. Oktober 2004 stellte der Kläger beim Bezirksgericht Uster folgende Rechtsbegehren: - Die Beklagte sei unter Androhung von Haft oder Busse gemäss Art. 292 StGB zu verpflichten, dafür zu sorgen, dass keine Luftfahrzeuge im Anflug auf die Piste 34 des Flughafens Zürich-Kloten die Parzelle Kataster Nr. xxxx, Grundbuchblatt yyyy, Plan zzzz in weniger als 500 Meter Höhe oder in einer eventuell vom Gericht festzulegenden Mindesthöhe überfliegen. Eventualiter sei vorstehende Verpflichtung mit der Massgabe auszusprechen, dass sie sechs Monate nach Rechtshängigkeit dieser Klage in Kraft tritt." Mit Beschluss vom 22. Dezember 2005 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein, weil es sich als Zivilgericht als sachlich nicht zuständig erachtete. D. Dagegen erhob der Kläger am 18. Januar 2006 Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich. Dessen I. Zivilkammer wies den Rekurs mit Beschluss vom 25. April 2006 ab. E. Gegen den obergerichtlichen Beschluss reichte der Kläger am 24. Mai 2006 Berufung ein und machte geltend, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, die Streitigkeit dem Bundeszivilrecht zuzuordnen und die Sache zur materiellen Beurteilung an das Bezirksgericht Uster zu weisen. Es wurde keine Berufungsantwort eingeholt. Sodann erhob der Kläger am 29. Mai 2006 Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich und beantragte, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, auf die Eigentumsfreiheitsklage einzutreten. F. Das Kassationsgericht trat auf die Nichtigkeitsbeschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 15. Februar 2007 nicht ein.