Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügung vom 20. Januar 2011 stellte die Sozialhilfe Basel-Stadt ihre K._ (Jg. 1962) nach einem Unterbruch seit 19. Januar 2009 erneut gewährten Unterstützungleistungen auf den 8. Januar 2011 hin ein, weil das zur Prüfung der Bedürftigkeit erforderliche Formular nicht eingereicht wurde. Gleichzeitig stellte sie in Aussicht, die Wiederaufnahme der Unterstützung zu prüfen, wenn ein neu ausgefülltes und unterzeichnetes Unterstützungsgesuch beigebracht werde. Einem allfälligen Rekurs gegen diese Verfügung entzog sie die aufschiebende Wirkung. Am 6. April 2011 reichte K._ das von der Sozialhilfe verlangte Unterstützungsgesuch ein, worauf die Zahlung von Sozialhilfeleistungen per 1. April 2011 wieder aufgenommen wurde. A.b Am 20. April 2011 liess K._ beim Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt (nachstehend: Departement oder WSU) Rekurs gegen die Verfügung vom 20. Januar 2011 anmelden. Er beantragte dabei nebst einer "Wiedereinsetzung in den vorigen Stand" die Weiterausrichtung von Unterstützungsleistungen von (monatlich) mindestens Fr. 914.50 über den 7. Januar 2011 hinaus sowie die Erteilung der aufschiebenden Wirkung seines Rekurses; zudem ersuchte er - für den Fall, dass seinen Begehren nicht entsprochen würde - um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Mit Zwischenentscheid vom 28. Juni 2011 schrieb das Departement zufolge Gegenstandslosigkeit das Begehren um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand und - mangels Rechtsschutzinteresse - auch dasjenige um Erteilung der aufschiebenden Rekurswirkung vom Geschäftsverzeichnis ab. Die Gewährung unentgeltlicher Verbeiständung lehnte das WSU ab, weil lediglich für die geforderte Einreichung des ausgefüllten Formulars zur Beurteilung der Bedürftigkeit, des Unterstützungsgesuches also, keine anwaltliche Hilfe notwendig gewesen wäre; bezüglich allfälliger Kostenfolgen verwies es auf den - in der Sache noch ausstehenden - Hauptentscheid. A.c In dem mit erwähntem Zwischenentscheid vom 28. Juni 2011 noch nicht abgeschlossenen verwaltungsinternen Rekursverfahren liess K._ nach wiederholt gewährter Fristerstreckung am 19. Juli 2011 eine ausführliche Rekursbegründung einreichen. B. Mit vom Regierungspräsidenten zuständigkeitshalber dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht überwiesenen Eingaben vom 11. und 19. Juli 2011 (Rekursanmeldung und -begründung) liess K._ beantragen, ihm unter teilweiser Aufhebung des Zwischenentscheids des WSU vom 28. Juni 2011 für das mit Eingabe vom 20. April 2011 anhängig gemachte verwaltungsinterne Rekursverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. Das kantonale Gericht wies dieses Begehren mit Entscheid vom 15. August 2012 - unter Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung auch für das bei ihm geführte (appellations- oder verwaltungs-)gerichtliche Rekursverfahren - kostenfällig ab. C. K._ lässt mit Beschwerde ans Bundesgericht beantragen, ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Rekursverfahren vor dem WSU zu gewähren; eventuell sei die Sache diesbezüglich zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventuell sei zumindest der vorinstanzliche Entscheid im Kostenpunkt aufzuheben und ihm für das Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege mit unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung zuzubilligen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.