Sachverhalt: A.a Der 1962 geborene S._ war als Hilfsarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 13. Juli 1983 bei einem Motorradunfall eine schwere Verletzung am linken Knie zuzog. Die SUVA sprach ihm für die verbleibende Beeinträchtigung mit Verfügung vom 4. März 1985 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 21. Juli 1986 ab 1. Dezember 1984 eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 15 % sowie eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 20 % zu. A.a Der 1962 geborene S._ war als Hilfsarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 13. Juli 1983 bei einem Motorradunfall eine schwere Verletzung am linken Knie zuzog. Die SUVA sprach ihm für die verbleibende Beeinträchtigung mit Verfügung vom 4. März 1985 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 21. Juli 1986 ab 1. Dezember 1984 eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 15 % sowie eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 20 % zu. A.b Mit Unfallmeldung vom 15. Juni 2005 teilte die Firma X._, ein bezüglich Unfallversicherung der SUVA unterstellter Betrieb, dem Versicherer mit, S._, der seit 1. Mai 2005 in einem 80%-Pensum als technischer Leiter bei ihr arbeite, sei am 3. Juni 2005 auf einer Baustelle ausgerutscht. Gemäss Arztberichten erlitt S._ dabei namentlich eine Distorsion am linken Knie und am linken Fuss. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 19. Januar 2007 teilte sie dem Versicherten mit, es handle sich um einen Rückfall zum Unfall von 1983. Weitere strukturelle traumatische Läsionen aus dem Ereignis vom 3. Mai 2005 seien nicht nachgewiesen. Da von weiteren Massnahmen keine wesentliche Besserung der Beschwerden mehr erwartet werden könne, würden die Leistungen auf den 30. April 2006 (recte offensichtlich: 2007) eingestellt. Mit Verfügung vom 3. Februar 2007 sprach die SUVA S._ für die seit dem Unfall von 1983 eingetretene Verschlimmerung des Gesundheitsschadens am linken Knie eine zusätzliche Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 15 % zu. Eine Erhöhung der bezogenen Invalidenrente lehnte der Versicherer mit der Begründung ab, die Restfolgen des Unfalls vom 3. Juni 2005 hätten keine zusätzliche Erwerbseinschränkung bewirkt. S._ erhob gegen die Mitteilung vom 19. Januar 2007 und die Verfügung vom 3. Februar 2007 je Einsprache, welche die SUVA mit Entscheid vom 3. April 2008 abwies. B. Die von S._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien über den 30. April 2007 hinaus Heilbehandlung und Taggeld, eine höhere Invalidenrente von mindestens 70 % sowie eine um mindestens 30 % höhere Integritätsentschädigung zuzusprechen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingabe vom 12. Juli 2010 lässt S._ das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zurückziehen.