Sachverhalt: A. Die 1959 geborene I._ war ab 1989 als Betriebsangestellte vollzeitlich in der Firma V._ AG tätig. Im März und erneut im August 2004 meldete sie sich unter Hinweis auf verschiedene gesundheitliche Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Schwyz gewährte am 6. Dezember 2004 Arbeitsvermittlung. Hingegen verneinte sie mit Verfügung vom 24. Februar 2005 gestützt auf medizinische und erwerbliche Abklärungen einen Rentenanspruch mangels eines anspruchsbegründenden Invaliditätsgrades. Auf die hiegegen erhobene Einsprache hin veranlasste die IV-Stelle ein psychiatrisches Gutachten des Instituts X._, welches am 14. März 2007 erstattet wurde. Mit Einspracheentscheid vom 3. Oktober 2007 hielt die Verwaltung an der Verfügung vom 24. Februar 2005 fest; sie lehnte überdies die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren ab. B. I._ reichte Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz hiess diese insoweit gut, als es den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren bejahte. Im Übrigen, soweit auf Zusprechung einer Invalidenrente, eventuell Rückweisung an die Verwaltung lautend, wies es die Beschwerde unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren ab (Entscheid vom 19. Februar 2008). C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, kantonaler Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien dahingehend abzuändern, dass eine Invalidenrente zugesprochen werde; eventuell sei die Sache in Aufhebung beider Entscheide zu ergänzenden Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingabe vom 5. November 2008 lässt I._ zwei neue Aktenstücke auflegen.