Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Am 1. Juli 2002 erliess die Arrestrichterin am Bezirksgericht Zürich auf Begehren der T._ für eine Forderungssumme von rund 6 Mio. Franken einen Arrestbefehl gegen die Bank X._ mit dem Vermerk, dass der "Arrest ... nur Wirkungen (entfalte), sofern der unter dem Datum des 10. Juni 1993 (für Forderungen von rund 5,6 Mio Franken) erlassene Arrestbefehl mangels Prosequierung dahingefallen (sei)". Als Arrestgegenstände wurden die Vermögenswerte der Bank X._ bei der Bank Y._ in Zürich bezeichnet, "insbesondere die gestützt auf den Arrestbefehl ... vom 10. Juni 1993 (..., Arrest Nr. aaa) verarrestierten Guthaben gemäss der Arresturkunde vom 21. Juni 1993 und Anlagewerte, in welche diese Guthaben seither umgewandelt wurden, sowie Kontokorrentguthaben in Schweizer Franken und fremden Währungen." Das Betreibungsamt Zürich 1 vollzog den Arrest am 4. Juli 2002 (Arrest Nr. bbb). A.b Am 15. Juli 2002 verfügte das Betreibungsamt Zürich 1, der am 4. Juli 2002 vollzogene Arrest Nr. bbb werde aufgehoben. Zur Begründung erklärte es, weitere Abklärungen hätten ergeben, dass die Prosequierung des (auf Grund des Arrestbefehls vom 10. Juni 1993 vollzogenen) Arrestes Nr. aaa nach wie vor möglich sei. A.b Am 15. Juli 2002 verfügte das Betreibungsamt Zürich 1, der am 4. Juli 2002 vollzogene Arrest Nr. bbb werde aufgehoben. Zur Begründung erklärte es, weitere Abklärungen hätten ergeben, dass die Prosequierung des (auf Grund des Arrestbefehls vom 10. Juni 1993 vollzogenen) Arrestes Nr. aaa nach wie vor möglich sei. B. Gegen diese Verfügung erhob die T._ beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen Beschwerde mit dem Begehren, der Arrest Nr. bbb sei zu vollziehen. Das Bezirksgericht (2. Abteilung) hiess die Beschwerde am 10. Dezember 2002 gut und hob die betreibungsamtliche Verfügung vom 15. Juli 2002 auf. Hiergegen rekurrierte die Bank X._ an das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich (obere Aufsichtsbehörde) und verlangte, die Verfügung des Betreibungsamtes vom 15. Juli 2002 zu bestätigen. Das Obergericht wies den Rekurs am 28. Februar 2003 ab. Das Obergericht wies den Rekurs am 28. Februar 2003 ab. C. Die Bank X._ nahm den Beschluss des Obergerichts am 6. März 2003 in Empfang. Mit einer vom 17. März 2003 (Montag) datierten und noch am gleichen Tag zur Post gebrachten Eingabe führt sie (rechtzeitig) Beschwerde an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts und erneuert das im kantonalen Verfahren gestellte Begehren. Ausserdem ersuchte sie darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Am 21. März 2003 verfügte die Präsidentin der erkennenden Kammer, auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung werde nicht eingetreten. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet. Die Beschwerdegegnerin T._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Betreibungsamt hält an seiner Verfügung vom 15. Juli 2002 fest und schliesst sich damit im Ergebnis dem Standpunkt der Beschwerdeführerin an.