Sachverhalt: A. In der von der X._ A.A.E. (Beschwerdeführerin) gegen die A._ Ltd. geführten Betreibung (Betreibung Nr. xxx vom 22. Februar 2010 des Betreibungsamts B._) pfändete das Betreibungsamt Vermögenswerte im Schätzungswert von rund Fr. 22 Mio. (Pfändung Nr. yyy vom 4. Januar 2012). Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) machte als Drittansprecherin Pfandrechte an den gepfändeten Vermögenswerten geltend. B. Mit Klage vom 27. Februar 2012 an das Handelsgericht des Kantons Zürich verlangte die Beschwerdeführerin, das Betreibungs- und Pfändungsverfahren ohne Rücksicht auf die von der Beschwerdegegnerin beanspruchten Rechte weiterzuführen bzw. die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Pfandansprüche gemäss Art. 108 Abs. 1 SchKG abzuerkennen. Die Beschwerdegegnerin ersuchte in ihrer Klageantwort vom 28. September 2012 um Abweisung der Klage. Das Handelsgericht ordnete einen zweiten Schriftenwechsel an. Die Beschwerdeführerin erstattete am 5. Dezember 2012 die Replik und die Beschwerdegegnerin am 1. März 2013 die Duplik. Mit Verfügung vom 26. Juni 2013 gab das Handelsgericht den Parteien Gelegenheit, sich zu seiner sachlichen Zuständigkeit zu äussern. Während die Beschwerdegegnerin daraufhin beantragte, auf die Klage nicht einzutreten, und eventualiter, sie abzuweisen (Eingabe vom 19. August 2013), verlangte die Beschwerdeführerin, die sachliche Zuständigkeit zu bejahen und das Verfahren ohne formellen Zwischenentscheid weiterzuführen (Eingabe vom 9. September 2013). Mit Beschluss vom 21. November 2013 (teilweise publ. in: ZR 112/2013 S. 286) trat das Handelsgericht auf die Klage nicht ein. Die Gerichtskosten von Fr. 50'000.-- auferlegte es der Beschwerdeführerin. Der Beschwerdegegnerin sprach es eine Parteientschädigung von Fr. 200'000.-- zu, die der von der Beschwerdeführerin geleisteten Sicherstellung zu entnehmen sei. C. Am 14. Januar 2014 hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt die Aufhebung des Beschlusses vom 21. November 2013 und die Rückweisung der Sache an das Handelsgericht zur materiellen Beurteilung. Eventualiter sei der Beschluss bloss im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben und es sei auf die Auferlegung von Gerichtskosten und einer Parteientschädigung zu ihren Lasten zu verzichten bzw. die Kosten seien dem Kanton aufzuerlegen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung. Nachdem sich die Beschwerdegegnerin dem Gesuch um aufschiebende Wirkung widersetzt und das Handelsgericht auf Vernehmlassung verzichtet hat, ist der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 20. Februar 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Am 3. März 2014 hat die Beschwerdegegnerin um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung ersucht. Nachdem die Beschwerdeführerin dazu am 28. März 2013 Stellung genommen hatte, hat das Bundesgericht das Sicherstellungsgesuch mit Präsidialverfügung vom 7. April 2014 abgewiesen. In der Sache ersucht die Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung vom 17. April 2014 um Abweisung der Beschwerde. Das Handelsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat sich nach Zustellung der Vernehmlassung nicht mehr geäussert.