Sachverhalt: A. Mit Unfallmeldung vom 26. August 2007 zeigte die Firma X._ GmbH der Winterthur Versicherungen (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA) an, dass die bei ihr angestellte S._, geboren 1957, im Sommer 2000 einen Zeckenstich erlitten und seit 16. Juni 2005 ihre Arbeit ausgesetzt habe. Auf Nachfrage der Unfallversicherung hin erklärte die Arbeitgeberin mit Schreiben vom 23. Oktober 2007, dass die Versicherte seit 1. Juli 1999 angestellt sei, wobei kein schriftlicher Arbeitsvertrag bestehe; auch die Kündigung per Ende Juni 2005 sei mündlich erfolgt. Nach ergänzenden Abklärungen insbesondere nach Einholung der medizinischen Unterlagen und dem Beizug aller Lohnabrechnungen seit 1. Juli 1999 lehnte die AXA mit Verfügung vom 19. Juni 2008 ihre Leistungspflicht ab, da die Versicherte zum gemäss Dr. med. A._, Facharzt für Innere Medizin FMH, möglichen Zeitpunkt des Zeckenstichs im Sommer/ Herbst 2000 nicht UVG-versichert gewesen sei, nachdem sie im Jahre 2000 lediglich in den Wintermonaten gearbeitet habe. Die dagegen von der Versicherten und der Krankenversicherung erhobenen Einsprachen wies die AXA nach Einholung weiterer medizinischer Berichte mit Einspracheentscheid vom 15. Dezember 2008 ab, mit der Begründung, dass es mehr als fraglich sei, ob überhaupt eine Unfalldeckung für den möglichen Zeitraum (Sommer/Herbst 2000) bestehe und der Nachweis eines Zeckenstichs, mithin eines Unfallereignisses im Jahre 2000, nicht mit dem nötigen Beweisgrad erbracht werden könne. B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde, der u.a. zwei weitere Schreiben des Dr. med. A._ vom 15. Januar 2009 und vom 11. März 2009 beilagen, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 2. September 2009 ab. C. Die Versicherte lässt unter Beilage einer erneuten Stellungnahme des Dr. med. A._ vom 24. September 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, in Gutheissung der Beschwerde sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und festzustellen, dass die AXA aus dem Unfallereignis des Frühjahres 2000 Leistungen aus UVG zu erbringen habe und es sei die Sache für weitere Abklärungen des Leistungsumfanges an die Versicherung zurückzuweisen. Eventuell sei diese zu verpflichten, zusätzliche medizinische Abklärungen zur Feststellung der Leistungspflicht vorzunehmen. Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.