Sachverhalt: A. Gegen die Y._ AG laufen zwei Betreibungen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, vertreten durch die Eidgenössische Steuerverwaltung (Nr. 1 und 2), und drei Betreibungen der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (Nr. 3, 4 und 5). Unter Inanspruchnahme der Stadtpolizei A._ vollzog das Betreibungsamt A._ am 2. Februar 2012 die Pfändung (Nr. 6). Zu diesem Zweck liess es in Abwesenheit von X._ die Wohnung an der Strasse W._ in A._ öffnen. Später am gleichen Tag pfändete es im Amtslokal in Anwesenheit von X._ den Betrag von Fr. 8'616.80.--. B. B.a Mit Eingabe vom 13. Februar 2012 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde Beschwerde. Er beantragte festzustellen, dass die Wohnungsöffnung willkürlich und rechtsmissbräuchlich erfolgt sei, und das Betreibungsamt anzuweisen, dass "künftig ein anderer Betreibungsbeamter, und zwar ein Jurist", sich mit seinen Angelegenheiten zu beschäftigen habe. In prozessualer Hinsicht verlangte er, das Verfahren bis zum Entscheid des Bundesgerichts in einem noch hängigen Verfahren zu sistieren (s. Urteil 5A_859/2011 vom 21. Mai 2012). Weiter stellte er das Gesuch, das Betreibungsamt A._ vorsorglich anzuweisen, ihm den durch das Schul- und Sportdepartement der Stadt A._ an das Betreibungsamt A._ gezahlten Betrag von ca. Fr. 8'600.00 unverzüglich zurückzubezahlen. B.b Mit Beschluss vom 14. Februar 2012 wies das Bezirksgericht das Sistierungsgesuch ab. Am 6. März 2012 setzte es X._ eine Frist von zehn Tagen, um zu den Vernehmlassungen des Betreibungsamts A._ und des Betreibungsbeamten Z._ vom 5. März 2012 Stellung zu nehmen, verbunden mit dem Hinweis, dass die Beilagen zur Vernehmlassung auf telefonische Voranmeldung bei der Gerichtskanzlei zur Einsicht aufliegen würden. X._ ersuchte darauf um eine Erstreckung der Frist zur Stellungnahme und verlangte, die Vernehmlassungsbeilagen des Betreibungsamtes seien ihm postalisch zuzustellen. Am 27. März 2012 bewilligte das Bezirksgericht eine letztmalige Fristerstreckung bis zum 17. April 2012 und lehnte eine Zusendung der Akten mit Verweis auf die Verfügung vom 6. März 2012 ab. Mit Eingabe vom 16. April 2012 (Datum der Postaufgabe) ersuchte X._ das Bezirksgericht um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters und um Ansetzung einer kurzen Nachfrist für die Stellungnahme. Das Bezirksgericht wies beide Anträge ab und setzte X._ eine Notfrist von drei Tagen, um sich zu den Vernehmlassungen schriftlich zu äussern (Verfügung vom 17. April 2012). Nachdem er den Empfang dieser Verfügung am 2. Mai 2012 bestätigt hatte, wandte sich X._ am 3. Mai 2012 erneut an das Bezirksgericht mit der Frage, weshalb die Verfügung vom 17. April 2012 nicht angefochten werden könne bzw. nicht mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen sei. B.c Mit Beschluss vom 30. Mai 2012 wies das Bezirksgericht Zürich die Beschwerde und das Gesuch um Rückzahlung ab. Vergeblich wehrte sich X._ hiergegen vor dem Obergericht des Kantons Zürich als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde. Dieses wies seine Beschwerde mit Urteil vom 4. Juli 2012 ab. C. Mit Beschwerde vom 5. August 2012 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, das Vorgehen des Betreibungsamtes A._ vom 2. Februar 2012 nichtig zu erklären (Ziffer 1). Weiter sei festzustellen, dass der Wohnungseinbruch vom 2. Februar 2012 rechtsmissbräuchlich war (Ziffer 2). Die gepfändeten Fr. 8'600.--, die ihm gehören würden, seien ihm unverzüglich zurückzubezahlen (Ziffer 3). Eventualiter sei festzustellen, dass dieser Betrag nur im Widerspruchsverfahren geltend gemacht werden könne (Ziffer 4). Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.