(Zivilprozess; Beweiswürdigung; rechtliches Gehör), hat sich ergeben: A.- A._ (Beschwerdegegner) schloss mit der X._ AG (Beschwerdeführerin) am 30. Juni 1996 einen Beratervertrag, gültig ab 1. Juli 1996. Seine Aufgabe bestand darin, die Beschwerdeführerin in Kommunikationsangelegenheiten zu beraten und namentlich die Marke X._ aufzubauen. Zwei weitere Beraterverträge schloss er am 30. Juni 1996 und am 1. Juli 1996 mit den Firmen Y._ AG und Z._ AG. Zwischen den Prozessparteien wurde folgende Honorarregelung getroffen: "Der Aufwand für die zu erbringenden Leistungen wird nach Manntagen berechnet und beträgt mindestens 2,5 Manntage im Monat. Darüber hinaus erbrachte Leistungen erfolgen nach jeweiliger Absprache mit X._ AG und werden bis spätestens 6 Wochen nach dem jeweiligen Monatsende durch A._ gesondert in Rechnung gestellt. Die Leistungen werden zum Tagessatz von 1000 CH-Fr. zuzüglich der in der Schweiz gültigen gesetzlichen Mehrwertsteuer vergütet. Damit ergibt sich ein Mindestbetrag von 2.500 CH-Fr plus Mehrwertsteuer pro Monat, zahlbar zum jeweiligen Monatsende.. " Der Beschwerdegegner nahm seine Beratertätigkeit am 1. Juli 1996 auf. Er stellte der Beschwerdeführerin in der Folge für seine Tätigkeit monatlich jeweils Fr. 2'662. 50 (Honorar zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 162. 50) in Rechnung. Diese Beträge wurden regelmässig ohne Beanstandungen bezahlt, obwohl der Beschwerdegegner teilweise weniger als 2,5 Manntage pro Monat für die Beschwerdeführerin tätig war. Der Beschwerdegegner stellte allerdings für die Monate, in denen seine Leistung über das vertraglich vorgesehene Minimum hinausging, auch keine Zusatzrechnungen. Im Jahre 1998 kam es bei der Bezahlung der in Rechnung gestellten Beträge zu Verzögerungen. Die Rechnungen für die Monate Juni, August, September und Oktober 1998 blieben unbezahlt. Der Beschwerdegegner mahnte die Beschwerdeführerin verschiedentlich und forderte die Bezahlung der insgesamt Fr. 10'650.--. In der Folge bezahlte die Beschwerdeführerin das Honorar für den Juni 1998. Mit Schreiben vom 27. November 1998 kündigte sie den Beratervertrag per Ende Dezember 1998. Die Rechnungen für die Monate November und Dezember 1998 blieben ebenfalls unbezahlt. Die Beschwerdeführerin beglich somit die Honorarforderungen für insgesamt 5 Monate nicht. B.- Mit Klage vom 15. Januar 1999 beim Richteramt Solothurn-Lebern verlangte der Beschwerdegegner die Bezahlung der Entschädigung für die Monate August bis Dezember 1998 von total Fr. 13'312. 50 nebst Zins. Das angerufene Gericht hiess die Klage mit Urteil vom 28. Oktober 1999 gut. Das Obergericht des Kantons Solothurn bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 4. Dezember 2000/5. Januar 2001. C.- Gegen das obergerichtliche Urteil führt die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde verlangt sie die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, verzichtet aus Kostengründen aber auf die Einreichung einer Beschwerdeantwort. Das Obergericht des Kantons Solothurn verzichtet auf eine Vernehmlassung.