Sachverhalt: A. Die 1959 geborene K._ zog sich am 28. Mai 1999 bei einem Unfall Verletzungen am rechten Fuss zu. Für die erwerblichen Folgen bezog sie Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (bis 31. Mai 2005 Taggelder, ab 1. Juni 2005 eine Invalidenrente) und der Invalidenversicherung (vom 1. Mai 2000 bis 31. Mai 2006 eine ganze, ab 1. Juni 2006 eine halbe Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehegatten und zwei bzw. eine Kinderrente bis Ende Mai 2006). Zur Durchsetzung ihrer Ansprüche musste sie mehrmals den Gerichtsweg beschreiten (u.a. Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. September 2008 betreffend Invalidenrente der Unfallversicherung). Ebenfalls richtete die CPV/CAP Coop Personalversicherung (heute: CPV/CAP Pensionskasse Coop) Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (Invalidenrente, Kinderrenten) aus. Mit Schreiben vom 10. März 2008 teilte sie dem Rechtsvertreter von K._ mit, die Überentschädigungsberechnung für die Zeit ab 1. November 2002 habe unter Berücksichtigung der Zahlungen bis 29. Februar 2008 eine Differenz von Fr. 8'044.10 zu Gunsten seiner Mandantin ergeben. Weiter wies die Vorsorgeeinrichtung auf die Vereinbarung vom 24. März 2003 hin, worin sich die Rentenbezügerin verpflichtet habe, allenfalls bis zum Abschluss des Einspracheverfahrens zuviel überwiesene Leistungen zurückzuerstatten. Nach rechtskräftiger Festsetzung der Leistungsansprüche gegenüber der Unfallversicherung (Verfügung vom 26. November 2008) und der Invalidenversicherung nahm die CPV/CAP Pensionskasse Coop eine neue Überentschädigungsberechnung vor. Diese ergab unter Berücksichtigung ihrer Zahlungen bis 31. Mai 2009 eine Differenz von Fr. 56'592.90 zu ihren Gunsten. Mit Schreiben vom 5. Juni 2009 teilte sie K._ mit, sie werde ab diesem Monat ihre Rentenzahlungen einstellen: gleichzeitig ersuchte sie unter Hinweis auf die Vereinbarung vom 24. März 2003 um Rückerstattung der zuviel ausgerichteten Leistungen. Schliesslich setzte sie die Forderung in Betreibung. Auf den Zahlungsbefehl vom 8. November 2010 erhob die Betriebene Rechtsvorschlag. B. B.a Am 21. März 2011 erhob die CPV/CAP Pensionskasse Coop beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen K._ mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, ihr den Betrag von Fr. 56'592.90 nebst Zins zu 5 % ab Klageeinreichung zuzüglich der Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 100.- zu bezahlen, der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. _ des Betreibungsamtes X._ sei zu beseitigen und ihr für die eingeklagte Summe die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Auf Aufforderung des Gerichts reichte die Vorsorgeeinrichtung am 29. März 2011 eine neu unterzeichnete Klageschrift ein. In ihrer Klageantwort beantragte K._, auf das Rechtsmittel sei nicht einzutreten, eventualiter sei es abzuweisen; gleichzeitig erhob sie Widerklage mit den Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass sie Anspruch auf eine Erwerbsunfähigkeitsrente habe, und die Widerbeklagte sei zur Erbringung der gesetzlichen Leistungen (Nachzahlung der ab Juni 2009 zu Unrecht zurückbehaltenen Rentenleistungen zuzüglich Zins von 5 %) zu verpflichten; weiter seien eine Referentenaudienz und eine öffentliche Gerichtsverhandlung durchzuführen. Im Rahmen des weiteren Schriftenwechsels präzisierte die Beklagte ihre Anträge dahingehend, die Klägerin sei zu verpflichten, die grundsätzlich anerkannten, aber ab Juni 2009 zurückbehaltenen Renten nachzuzahlen. B.b Am 19. Januar 2012 erliess das kantonale Gericht eine Verfügung, in der sie auf der Grundlage der Überentschädigungsberechnung der Vorsorgeeinrichtung vom 5. Juni 2009 und ihres Entscheids vom 23. September 2008 eine Liste der massgeblichen "Eckdaten" erstellte. Es gab der Klägerin und Widerbeklagten auf, Belege für die Zahlung der provisorischen Rentenbetreffnisse einzureichen. Weiter hielt es fest, die Parteien seien im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht gehalten, Einwendungen gegen die Annahme des Gerichts nachvollziehbar darzulegen und insbesondere zu substantiieren. Dieser Aufforderung kamen Klägerin und Beklagte bzw. Widerbeklagte und Widerklägerin nach, wobei sie zu den gegnerischen Eingaben jeweils Stellung nehmen konnten. Mit Entscheid vom 28. August 2012 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte und Widerklägerin, der Klägerin den Betrag von Fr. 54'574.75 inklusive Zins von 5 % ab 22. März 2011 zu bezahlen; im Mehrbetrag wies es die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter hob das Gericht den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. _ des Betreibungsamtes X._ im Umfang von Fr. 54'574.75 auf (Dispositiv-Ziffer 2). Die Widerklage wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 3). C. K._ hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. August 2012 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne; weiter sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung einzuräumen. Die CPV/CAP Pensionskasse Coop beantragt, die Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, und das Gesuch um Einräumung der aufschiebenden Wirkung seien abzuweisen. Das kantonale Sozialversicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.