Sachverhalt: A. Die Personalverleihfirma Y._ stellte A._ an und vermittelte ihn ab dem 27. Juli 1998 der Z._ AG. Am 28. Juli 1998 wurde er von B._, einem Angestellten der Z._ AG, angewiesen, ein Kamin zu isolieren. Bei diesen Arbeiten stürzte A._ vom Dachaufbau und zog sich dabei schwere Verletzungen zu. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte B._ später wegen fahrlässiger Körperverletzung und stellte seine grundsätzliche Schadenersatz- und Genugtuungspflicht gegenüber A._ fest. Am 5. August 1998 meldete die Firma Y._l den Unfall der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt, SUVA, welche A._ in der Folge die gesetzlich geschuldeten Versicherungsleistungen erbrachte. Am 20. Oktober 1998 machte die SUVA gegenüber der X._ Versicherungsgesellschaft als Betriebshaftpflichtversicherung der Z._ AG einen Regressanspruch geltend, den die X._ Versicherungsgesellschaft bestritt. Am 7. März 2000 wurde über die Z._ AG der Konkurs eröffnet. Ihre Konkursverwaltung trat am 29. Januar 2004 die Ersatzansprüche der Z._ AG gegenüber der X._ Versicherungsgesellschaft, resultierend aus dem Unfall vom 28. Juli 1998, unter anderem an die SUVA ab. B. Am 8. März 2005 belangte die SUVA (Klägerin) die X._ Versicherungsgesellschaft (Beklagte) beim Handelsgericht des Kantons Zürich auf Zahlung von Fr. 317'833.90 nebst Zins zu 5 % auf Fr. 169'471.60 seit dem 11. August 2000 und auf Fr. 148'362.30 seit dem 28. Januar 2005. Zur Begründung brachte die Klägerin vor, die Z._ AG hafte als Geschäftsherrin nach Art. 55 OR, aus Art. 41 OR oder aus Vertrag mit Schutzwirkung zugunsten Dritter für den A._ aus dem Unfall vom 28. Juli 1998 erwachsenen Schaden. Die Beklagte habe als Betriebshaftpflichtversicherung der Z._ AG für diesen Schaden einzustehen. Die Beklagte bestritt die Haftung der Z._ AG für den Unfall und lehnte deren Deckungsanspruch gestützt auf Art. 7 lit. b der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) ab. Diese Bestimmung lautet: "Von der Versicherung ausgeschlossen sind: [...] b) Ansprüche aus Personenschäden, von denen eine durch den Versicherungsnehmer aufgrund eines Arbeiterstellungsvertrages (Arbeitsmiete bzw. Dienstmiete) beschäftigten Person in Ausübung ihrer arbeitsvertraglichen oder geschäftlichen Verrichtung für den versicherten Betrieb betroffen wird. Der Ausschluss ist dabei auf den Teil des Schadens beschränkt, für den der Versicherungsnehmer nicht ersatzpflichtig wäre, wenn er die Prämie für die obligatorische Versicherung von Berufsunfällen und Berufskrankheiten selber bezahlt hätte. [...]. " In einem aussergerichtlichen Teilvergleich einigten sich die Parteien darüber, dass die umstrittene klägerische Forderung der Höhe nach Fr. 182'330.-- betrage. Mit Urteil und Beschluss vom 17. April 2007 verpflichtete das Handelsgericht die Beklagte, der Klägerin Fr. 182'330.-- zu bezahlen und schrieb die Klage im Mehrbetrag als durch Rückzug erledigt ab. Auf eine gegen dieses Urteil gerichtete Beschwerde der Beklagten trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 27. Februar 2008 nicht ein. C. Die Beklagte erhob Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, das Urteil und der Beschluss des Handelsgerichts vom 17. April 2007 seien aufzuheben, die Sache sei an die Vorinstanz zum Neuentscheid zurückzuweisen, eventuell sei die Klage vollumfänglich abzuweisen. Zudem stellte die Beschwerdeführerin ein Gesuch um aufschiebende Wirkung, das mit Verfügung vom 9. April 2008 gutgeheissen wurde. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Handelsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.