Sachverhalt: A. Mit Einspracheentscheid vom 16. April 2004 verneinte die IV-Stelle Bern in Bestätigung ihrer Verfügung vom 6. November 2003 den Anspruch des 1943 geborenen S._ auf eine Rente der Invalidenversicherung, was das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 3. September 2004 bestätigte. Mit Urteil I 666/04 vom 7. Juni 2005 hob das Eidgenössische Versicherungsgericht beide Erkenntnisse auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über den Rentenanspruch neu verfüge. Am 14. November 2005 sowie am 24. November 2005 und 10. Januar 2006 wurde S._ durch Frau Dr. med. L._, Spezialärztin FMH für Neurochirurgie, und Dr. med. H._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, interdisziplinär untersucht und begutachtet. Mit Verfügung vom 15. Februar 2006 verneinte die IV-Stelle erneut den Anspruch auf eine Invalidenrente. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 12. Dezember 2006 fest, wobei sie dem Versicherten die unentgeltliche Rechtsverbeiständung bewilligte. B. Die von S._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 26. Mai 2008 gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 12. Dezember 2006 mit der Feststellung auf, es bestehe ab 1. Dezember 2000 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (Dispositiv-Ziff. 1); die Parteientschädigung setzte es auf pauschal Fr. 3000.- fest (Dispositiv-Ziff. 4). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 26. Mai 2008 und der Einspracheentscheid vom 12. Dezember 2006 seien aufzuheben, ihm eine ganze Rente zuzusprechen sowie die Parteikosten für das Einspracheverfahren und das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren festzusetzen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.