Sachverhalt: A. A.a Der 1970 geborene L._ meldete sich am 6. Mai 2009 beim Gemeindearbeitsamt M._ zur Arbeitsvermittlung an und stellte bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau (nachfolgend: Arbeitslosenkasse) den Antrag auf Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 24. Juli 2009 und Einspracheentscheid vom 19. Oktober 2009 verneinte diese den Leistungsanspruch. Zur Begründung hielt sie fest, der Versicherte habe die Mindestbeitragszeit von zwölf Monaten nicht erfüllt, und er sei in der massgeblichen Rahmenfrist für die Beitragszeit auch nicht wegen einer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit von insgesamt mehr als zwölf Monaten von der Erfüllung der Beitragszeit befreit gewesen. Die von L._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 10. August 2010 gut und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit diese die übrigen Anspruchsvoraussetzungen prüfe. In den Erwägungen führte das kantonale Gericht aus, die von der Invalidenversicherung für die Dauer vom 18. Februar bis 16. November 2008 veranlassten beruflichen Massnahmen stellten keine beitragspflichtige Beschäftigung dar. Da der Versicherte während insgesamt 18.848 Monaten krankheitsbedingt nicht in einem Arbeitsverhältnis gestanden habe, sei er von der Erfüllung der Beitragszeit befreit. A.b Gestützt auf den kantonalen Gerichtsentscheid vom 10. August 2010 hiess die Arbeitslosenkasse den ab 8. Mai 2009 geltend gemachten Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mit Verfügung vom 28. September 2010 gut. Die vom Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) dagegen erhobene Einsprache wies die Arbeitslosenkasse mit Einspracheentscheid vom 1. November 2010 ab. B. Gegen den Einspracheentscheid vom 1. November 2010 reichte das SECO beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Beschwerde ein, welches diese mit Entscheid vom 5. April 2011 abwies (Dispositiv-Ziffer 1). L._ wurde eine Parteientschädigung zu Lasten des SECO zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 3). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt das SECO, der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung des L._ sei zu verneinen. Die dem SECO auferlegten Kosten seien von L._ selber zu tragen. Die Arbeitslosenkasse und das Versicherungsgericht verzichten unter Hinweis auf den vorinstanzlichen Entscheid auf eine Vernehmlassung. L._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.