Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin und Vermieterin der Liegenschaft F._. Die fünfköpfige Familie X._, bestehend aus den Eltern B.X._ und C.X._ (Beschwerdeführer; Kläger 2 und 3), Sohn A.X._ (Kläger 1), Sohn D.X._ (Kläger 4) und Tochter E.X._ (Klägerin 5) bewohnte in dieser Liegenschaft seit 1996 eine 4 1/2 Zimmer-Wohnung und belegte zwei Auto-Abstellplätze. Der Eingang der Gemeinschaftsgarage im Erdgeschoss lag direkt über der Wohnung der Klägerschaft. Im Unfallzeitpunkt war die Schlüsselsäule, mit der das Garagentor der Tiefgarage bedient werden konnte, defekt. Das Garagentor liess sich lediglich durch Unterbrechung der äusseren Lichtschranke öffnen. Am 24. Mai 1999 wurde der damals knapp 5 Jahre alte A.X._ durch den Schliessmechanismus des Garagentores am rechten Bein erheblich verletzt. Wegen schwerer Quetschverletzungen und Zerstörung der Unterschenkelmuskulatur war das Kind bis 9. September 1999 im Kantonsspital St. Gallen hospitalisiert. Die weitere medizinische Behandlung von A.X._ wurde auf Veranlassung seines Vaters im Universitätsspital in Belgrad durchgeführt. Der Aufenthalt bzw. die operative und medizinische Behandlung von A.X._ in Belgrad dauerte 1 1/4 Jahre. A. Die Y._ (Beschwerdegegnerin) ist Eigentümerin und Vermieterin der Liegenschaft F._. Die fünfköpfige Familie X._, bestehend aus den Eltern B.X._ und C.X._ (Beschwerdeführer; Kläger 2 und 3), Sohn A.X._ (Kläger 1), Sohn D.X._ (Kläger 4) und Tochter E.X._ (Klägerin 5) bewohnte in dieser Liegenschaft seit 1996 eine 4 1/2 Zimmer-Wohnung und belegte zwei Auto-Abstellplätze. Der Eingang der Gemeinschaftsgarage im Erdgeschoss lag direkt über der Wohnung der Klägerschaft. Im Unfallzeitpunkt war die Schlüsselsäule, mit der das Garagentor der Tiefgarage bedient werden konnte, defekt. Das Garagentor liess sich lediglich durch Unterbrechung der äusseren Lichtschranke öffnen. Am 24. Mai 1999 wurde der damals knapp 5 Jahre alte A.X._ durch den Schliessmechanismus des Garagentores am rechten Bein erheblich verletzt. Wegen schwerer Quetschverletzungen und Zerstörung der Unterschenkelmuskulatur war das Kind bis 9. September 1999 im Kantonsspital St. Gallen hospitalisiert. Die weitere medizinische Behandlung von A.X._ wurde auf Veranlassung seines Vaters im Universitätsspital in Belgrad durchgeführt. Der Aufenthalt bzw. die operative und medizinische Behandlung von A.X._ in Belgrad dauerte 1 1/4 Jahre. B. Mit an Schranken erweitertem Klagebegehren vom 10. Februar 2003 wurde dem Kantonsgericht von Appenzell A. Rh. beantragt, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten: - den Klägern 2 und 3 Fr. 52'278.65 nebst Zins zu zahlen als Schadenersatz für Auslagen im Zusammenhang mit der Verbringung von A.X._ nach Belgrad zu Operationen und dortige Betreuung und Begleitung durch Familienangehörige, angefallen bis 31. Dezember 2002; - der Klägerin 2 als Schadenersatz für Lohnausfall für die Zeit bis Ende 2002 Fr. 103'725.-- nebst Zins zu zahlen, zuzüglich weiterer Lohnausfall bis 30. Juni 2006 von Fr. 48'139.-- nebst Zins; - dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 350'000.--, den Klägern 2 und 3 eine Genugtuung von je Fr. 200'000.--, den Klägern 4 und 5 eine Genugtuung von je Fr. 25'000.--, jeweils nebst Zins, zu zahlen. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass das Nachklagerecht vorbehalten werde für weiteren zukünftigen Schaden je nach Entwicklung wie namentlich Lohnausfall, Rentenschaden, weitere Behandlungskosten von A.X._, Selbstbehaltskosten, Transport- und Unterbringungskosten, Genugtuung im Falle einer Amputation oder Gelenkversteifung. Die Kläger stützten ihre Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen auf die Werkeigentümerhaftung nach Art. 58 OR. Das Kantonsgericht beschloss, über die Frage Beweis abzunehmen, ob im Jahre 1999 Sicherheitsstandards für ein mit Federmechanismus funktionierendes elektronisches Lichtschranken-Garagentor existierten bzw. wie allfällige Sicherheitsvorschriften ausgestaltet waren und mit der Funktionsweise eines solchen Federmechanismus-Garagentores technisch in Zusammenhang standen. Mit der Expertise wurde dipl. Ing. FH G._ vom Bundesamt für Unfallverhütung beauftragt. Am 22. Oktober 2004 fand in Anwesenheit der Parteien bzw. der Parteivertreter eine Besichtigung des Garagentores durch den Experten statt. Das Gutachten wurde am 23. Dezember 2004 erstattet. Den Parteien wurde Gelegenheit gegeben, zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen. Laut Gutachten existierten bei Erstellung des Garagentores im Jahre 1994 noch keine gesetzlichen Bestimmungen oder Normen für automatisierte Toranlagen im privaten Wohnungsbereich. Als minimaler Stand der Technik gelte aber die 1992 erschienene Richtlinie der europäischen Koordinationskommission für Arbeitssicherheit, EKAS Nr. 1511. Der Experte gelangte zum Schluss, dass das Garagentor in verschiedener Hinsicht dieser Richtlinie widerspreche: Einerseits würden Kraft- und Energiebegrenzungen an der Nebenschliesskante (Einklemmstelle) nicht eingehalten. Der Druck sei hier mehr als doppelt so hoch wie zulässig. Weiter betrage der Abstand zwischen Torhebel und festen Teilen (Wand, Torrahmen) nur 10 mm anstatt der vorgeschriebenen 25 mm. Schliesslich sei auch die Sicherheitsdruckleiste an der Unterkante des Tores unter einer Höhe von 40 cm unwirksam. Mit Urteil vom 14. März 2005 verpflichtete das Kantonsgericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 60'000.-- sowie der Klägerin 2 und dem Kläger 3 eine solche von je Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab. Das Gericht bejahte grundsätzlich die Voraussetzungen für eine Haftung nach Art. 58 OR. Betreffend die von den Klägern 2 und 3 aus eigenem Recht geltend gemachten Schadenersatzforderungen im Zusammenhang mit der Verbringung des Klägers 1 nach Belgrad zu den Operationen und für die dortige Betreuung des Klägers 1 sowie betreffend den von der Klägerin 2 verlangten Ersatz für Lohnausfall im Zusammenhang mit der Betreuung des Klägers 1 verneinte das Gericht die Aktivlegitimation der Kläger 2 und 3. Gegen dieses Urteil appellierten die Kläger an das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, wobei die Kläger 2 und 3 an ihren Schadenersatzforderungen festhielten, die sie nunmehr auch aus Art. 259e OR ableiteten. Ferner wurde beantragt, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Kläger 1 eine Genugtuung von Fr. 100'000.--, den Klägern 2 und 3 eine solche von je Fr. 25'000.--, jeweils nebst Zins, zuzusprechen. Ausserdem behielten sich die Kläger weiterhin ein Nachklagerecht vor. Die Beschwerdegegnerin beantragte auf dem Wege der Anschlussappellation die Abweisung der Klage. Eventuell - im Falle einer Haftungsbejahung - sei die den Klägern 2 und 3 zugesprochene Genugtuung von je Fr. 3'000.-- aufzuheben. Mit Urteil vom 25. April 2006 verpflichtete das Obergericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 Fr. 100'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu bezahlen (Dispositivziffer 1a). Ferner erkannte es, den Klägern 2 und 3 stünden gegenüber der Beschwerdegegnerin je Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu. Diese Forderung von insgesamt Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 werde mit der der Beschwerdegegnerin zustehenden Mietzinsforderung im Umfang von Fr. 46'006.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. April 2003 verrechnet, so dass die Forderung der Kläger 2 und 3 aus Genugtuung abgewiesen werde (Dispositivziffer 1b). Im Mehrbetrag wies es die Appellation ab (Dispositivziffer 1c). Mit Urteil vom 25. April 2006 verpflichtete das Obergericht die Beschwerdegegnerin, dem Kläger 1 Fr. 100'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu bezahlen (Dispositivziffer 1a). Ferner erkannte es, den Klägern 2 und 3 stünden gegenüber der Beschwerdegegnerin je Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 als Genugtuung zu. Diese Forderung von insgesamt Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 24. Mai 1999 werde mit der der Beschwerdegegnerin zustehenden Mietzinsforderung im Umfang von Fr. 46'006.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit 9. April 2003 verrechnet, so dass die Forderung der Kläger 2 und 3 aus Genugtuung abgewiesen werde (Dispositivziffer 1b). Im Mehrbetrag wies es die Appellation ab (Dispositivziffer 1c). C. Die Beschwerdeführer beantragen mit staatsrechtlicher Beschwerde, es seien vom Urteilsdispositiv die Ziffer 1c und die Ziffern 2 bis 4 (Kosten) aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. Parallel zur staatsrechtlichen Beschwerde haben die Beschwerdeführer in gleicher Sache eidgenössische Berufung eingelegt.