Sachverhalt: A. Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich entschied mit Verfügung vom 17. Oktober 2013 über den "Umfang der Mitfinanzierung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen" und beschränkte dabei ab 1. Oktober 2013 die Finanzierungsbeiträge des Kantons Zürich für Zürcher Patienten der im Kanton Thurgau gelegenen Klinik A._. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Oktober 2013 fest. B. Dagegen erhob die Klinik A._ am 31. Oktober 2013 Beschwerde, worauf das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 2. Dezember 2013 unter Verweis auf fehlende sachliche Zuständigkeit nicht eingetreten ist. C. Die Klinik A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 2. Dezember 2013 sei aufzuheben und das kantonale Gericht sei anzuweisen, die Beschwerde vom 31. Oktober 2013 zu behandeln bzw. innert nützlicher Frist einen Entscheid in der Sache zu fällen und der Beschwerdeführerin zu eröffnen. Der Kanton Zürich schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Stellungnahme.