Sachverhalt: A. X._ gelangte am 2. Februar 2012 mit einer Klage gegen Dr. med. Y._ ans Kantonsgericht Glarus (Verfahren ZG.2012.00159) und beantragte zugleich vorsorgliche Massnahmen (Verfahren ZG.2012.00160). Am 20. November 2012 (korrigierte Fassung vom 27. November 2012) erliess der Kantonsgerichtspräsident eine Verfügung. Danach wird X._ "für die vorliegenden zwei Prozesse sowie für alle noch hängigen und alle künftigen Verfahren im Zusammenhang mit Miete, Persönlichkeitsverletzung sowie jeglichen Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen vor allen Glarner Schlichtungsbehörden und vor dem Kantonsgericht Glarus als nicht prozessfähig im Sinn von Art. 67 ZPO erklärt". Die beiden Verfahren wurden sistiert. Vorbehalten blieb die Genehmigung der Prozessführung durch einen Beirat oder Vormund nach dem bis zum 31. Dezember 2012 geltenden Vormundschaftsrecht bzw. eines Beistands nach dem seit dem 1. Januar 2013 in Kraft stehenden Erwachsenenschutzrecht. B. Am 18. Januar 2013 wies das Obergericht des Kantons Glarus die Beschwerde gegen die Verfügung des Kantonsgerichts vom 20. bzw. 27. November 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Gegen dieses Urteil setzt sich X._ (Beschwerdeführer) mittels Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, zur Wehr. Er verlangt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts des Kantons Glarus und "im Sinne der übrigen Begehren zu entscheiden" oder den Entscheid zur Neubeurteilung zurückzuweisen (Bst. a). Eventualiter sei die Verhandlung vom 13. September 2012 vor dem Kantonsgericht wegen Prozessunfähigkeit von Dr. med. Y._ (Beschwerdegegner) zu wiederholen (Bst. b). Subeventualiter sei ein Gutachten "über seine vorhandene Prozessfähigkeit zu erstellen" (Bst. c). Ferner seien alle bei Herrn Kantonsgerichtspräsident A._ laufenden Verfahren weiterzuführen gemäss den in den jeweiligen Klagen eingereichten Begehren (Bst. d), und schliesslich seien alle von der Erwachsenenschutzbehörde und dem Kantonsgerichtspräsidium zwischenzeitlich vorgenommenen Handlungen, Mitteilungen, Registereinträge, Ablagen und dergleichen vollständig rückgängig zu machen (Bst. e). C. Mit Verfügung vom 12. Februar 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten beigezogen und sowohl den Beschwerdegegner wie die Vorinstanzen zur Vernehmlassung eingeladen. Das Obergericht des Kantons Glarus hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Vernehmlassungsantworten des Beschwerdegegners und des Kantonsgerichts Glarus wurden dem Beschwerdeführer am 18. April 2013 zur Kenntnis gebracht. Am 22. April 2013 beantragte der Beschwerdeführer erfolglos die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. D. Am 17. April 2013 hat X._ beim Bundesgericht zusätzlich eine Beschwerde wegen Rechtsverweigerung eingereicht. Das Bundesgericht hat diese mit Urteil vom 17. April 2013 abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.