Sachverhalt: A. Die 1951 geborene H._ war von 1989 bis zum gesundheitsbedingten Ausscheiden auf Ende Februar 2004 im Pflegeheim X._ mit einem Pensum von 70 Prozent als Hausangestellte tätig. Sie leidet an Rückenproblemen (persistierende rezidivierende Lumboischialgien, Status nach Spondylodese L3-S1) und an einer mässigen Arthrose des rechten Knies. Am 15. Dezember 2003 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte den medizinischen sowie erwerblichen Sachverhalt und erhob eine Einschränkung von 34 Prozent im Haushalt (Abklärungsbericht vom 15. Oktober 2004). Der Regionale Ärztliche Dienst der Invalidenversicherung (RAD) ermittelte eine Arbeitsunfähigkeit von 80 Prozent in der angestammten Arbeit und von 60 Prozent in einer leidensangepassten Tätigkeit (Bericht vom 8. März 2005). Die IV-Stelle sprach H._ mit Wirkung ab März 2004 eine Viertelsrente bei einem Invaliditätsgrad von 48 Prozent zu (durch Einspracheentscheid vom 8. Juni 2006 bestätigte Verfügung vom 3. November 2005). B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und sprach H._ eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 7. Juni 2007). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Versicherte lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne; eventuell sei die Sache zur Abklärung der Leistungsfähigkeit in Erwerb und Haushalt an die Verwaltung zurückzuweisen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung.