Sachverhalt: A. X._ und A._ kauften mit öffentlich beurkundetem Kaufvertrag vom 11. Mai 1991 den Stockwerkeigentumsanteil Nr. 1._ der Liegenschaft "Y._" auf der B._. Sie erklärten dabei, eine einfache Gesellschaft zu bilden und den Stockwerkeigentumsanteil zu Gesamteigentum zu erwerben. Der entsprechende Eintrag im Grundbuch von Brig erfolgte am 1. Juli 1991. B. Am 19. Dezember 2007 / 25. Januar 2008 reichte die Stockwerkeigentümergemeinschaft Y._ beim Bezirksgericht Brig eine Klage gegen X._ ein, mit welcher sie anteilige Kostenvorschüsse und Restnebenkosten im Umfang von Fr. 6'334.50 nebst Zins forderte. Am 3. / 25. März 2008 antwortete X._ auf die Klage und erhob Widerklage. Sinngemäss schloss er auf Abweisung der Klage, soweit Fr. 2'010.30 übersteigend (Ziff. 1 der Rechtsbegehren). Hingegen seien die Kosten des gegen ihn erwirkten Zahlungsbefehls Nr. 2._ des Betreibungsamtes D._ der Klägerin aufzuerlegen (Ziff. 1a). Die Stockwerkeigentümergemeinschaft sei des Weiteren zu verpflichten, offene und zukünftige Kostenvorschüsse etc. ihm und A._ je hälftig und separat in Rechnung zu stellen (Ziff. 2). Die Stockwerkeigentümergemeinschaft sei zudem zur Bezahlung eines Betrags von Fr. 41'327.20 zuzüglich Zinsen (gemäss Rechnung vom 19. November 2007) zu verpflichten (Ziff. 3). In der Replik und Widerklageantwort vom 13. Juni 2008 hielt die Klägerin ihr Forderungsbegehren auf Fr. 6'334.50 nebst Zins aufrecht, schloss auf Abweisung von Ziff. 2 der widerklägerischen Begehren und im Übrigen auf Abweisung der Widerklage, soweit darauf eingetreten werden könne. Nach Durchführung des Beweisverfahrens, in dessen Verlauf die Klägerin ihre Forderung um Fr. 1'882.75 ergänzte, überwies das Bezirksgericht Brig die Akten am 25. November 2008 zur Urteilsfällung an das Kantonsgericht des Kantons Wallis. C. In ihrer Schlussdenkschrift beantragte die Klägerin, den Beklagten zur Zahlung von Fr. 8'217.25 nebst 5 % Zins seit 1. Februar 2006 zu verurteilen und die Widerklage abzuweisen. Der Beklagte und Widerkläger verzichtete auf Einreichung einer Schlussdenkschrift. Mit Urteil vom 8. Januar 2010 verurteilte das Kantonsgericht X._ zur Zahlung von Fr. 8'167.25 nebst Zins zu 5 % (seit 26. November 2004 auf Fr. 790.50, seit 14. Februar 2008 auf Fr. 5'494.-- und seit 17. November 2008 auf Fr. 1'882.75) an die Stockwerkeigentümergemeinschaft Y._ (Ziff. 1) und wies die Widerklagebegehren ab (Ziff. 2). Zudem wurde X._ zur Zahlung von Gerichts- und Parteikosten verurteilt (Ziff. 3 und 5). D. Am 15. Februar 2010 hat X._ (fortan: Beschwerdeführer) gegen dieses Urteil beim Bundesgericht "ordentliche Beschwerde und/oder subsidiäre Verfassungsbeschwerde" erhoben. Er beantragt primär Aufhebung des angefochtenen Urteils infolge Befangenheit des beteiligten Kantonsrichters E._. Eventualiter beantragt er, Ziff. 1 des angefochtenen Urteils aufzuheben bzw. um die Hälfte zu reduzieren. Zugleich sei die Stockwerkeigentümergemeinschaft Y._ (fortan: Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, noch offene und zukünftige Kostenvorschüsse etc. ihm und A._ je hälftig und separat in Rechnung zu stellen. Des Weiteren sei auch Ziff. 2 des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zur Zahlung der geltend gemachten Entschädigungsforderung zu verpflichten, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Schliesslich ersucht er um unentgeltlichen Rechtsbeistand. Vernehmlassungen sind keine eingeholt worden; hingegen sind die kantonalen Akten beigezogen worden.