hat sich ergeben: A.- E._ arbeitet seit 1971 bei der Kantonspoli- zei Zug. Er gilt als ausgesprochen pflichtbewusster, loyaler und einsatzwilliger Polizeibeamter. Als E._ im Sommer 1997 aus betrieblichen Gründen in die Polizeidienststelle Baar versetzt werden sollte, erklärte er, diesem Wechsel nicht gewachsen zu sein. Die in Aussicht gestellte Verset- zung rief bei ihm eine Erschöpfungsdepression hervor. Er wurde zu 100% arbeitsunfähig und konnte die vorgesehene neue Funktion in Baar nicht übernehmen. Ein ärztliches Gutachten vom 15. November 1997 kam zum Schluss, dass E._ auf Grund seines Gesundheitszustands eine Stelle mit Ausrück- und Pikettdienst nicht mehr versehen könne, aber im Büro- betrieb ohne Publikumsverkehr ab Anfang 1998 wieder voll ar- beitsfähig sei. Für E._ wurde in der Folge eine neue Beschäftigung gesucht. Am 19. Mai 1998 entschied der Regie- rungsrat des Kantons Zug, Polizeiwachtmeister E._ ab 1. Juni 1998 ausserhalb des Stellenplans bei der Kantons- polizei Zug weiterzubeschäftigen, die Jahresgrundbesoldung ab dem 1. September 1998 auf die Klasse 13 Stufe 10 zu redu- zieren und die Inkonvenienzentschädigung von Fr. 4'500.-- pro Jahr zu streichen. Die übrigen Anstellungsbedingungen wurden unverändert beibehalten. Gegen diesen Entscheid erhob E._ eine Be- schwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Er ver- langte, dass ihm weiterhin eine Jahresbesoldung auf der Basis der Klasse 14 Stufe 10 sowie die volle Inkonvenienz- entschädigung ausgerichtet werde. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 22. April 1999 ab und nahm zugleich Vormerk davon, dass die Reduktion der Jahresgrundbesoldung und der Wegfall der Inkonvenienzentschädigung erst ab dem 1. Dezember 1998 wirksam wurden. B.- E._ hat gegen den Entscheid des Verwaltungs- gerichts vom 22. April 1999 eine staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, es sei der an- gefochtene Entscheid wegen Verletzung des Gleichbehandlungs- gebots und des Willkürverbots aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zug ersucht namens des Re- gierungsrats um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf ein- zutreten sei. Denselben Antrag stellt das Verwaltungsge- richt. In einem zweiten Schriftenwechsel halten die Betei- ligten an ihren Anträgen fest, soweit sie sich nochmals ge- äussert haben.