Sachverhalt: A. Die 1972 geborene L._ bezieht seit August 2006 eine Rente der Invalidenversicherung, im Einzelnen: von August 2006 bis Juli 2007 eine Viertelsrente, von August bis Dezember 2007 eine ganze Rente, von Januar bis September 2008 eine Viertelsrente, von Oktober 2008 bis Dezember 2009 eine ganze Rente sowie ab Januar 2010 eine halbe Invalidenrente. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt bemass die Invalidität anhand der gemischten Methode; sie ging davon aus, die Versicherte wäre bei guter Gesundheit zu 70 Prozent erwerbstätig und zu 30 Prozent im Haushalt beschäftigt (Verfügungen vom 13. Juli 2012). B. L._ führte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde gegen die Verfügungen vom 13. Juli 2012, soweit diese Anspruchsperioden ab April 2007 betreffen. Das Sozialversicherungsgericht hiess das Rechtsmittel gut, hob die Verfügungen auf und wies die Sache zum Erlass einer neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 23. Januar 2013). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als das kantonale Gericht mit Wirkung ab Januar 2010 eine Dreiviertelsrente zugesprochen habe; ab diesem Zeitpunkt bestehe lediglich Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Ausserdem beantragt sie, es sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. L._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen und das kantonale Gericht verzichten auf eine Stellungnahme.