Sachverhalt: A. X._ zog im Jahre 1989 von A._ (Einwohnergemeinde B._), wo sie über ein Chalet verfügt , in eine Wohnung nach Monaco. Sie ist Schweizerin. Im Jahre 2002 heiratete sie Y._. Die beiden lebten in der Folge in Monaco. Am 8. Januar 2008 meldete sich X._ in der Gemeinde B._ an. B. Mit Eingabe vom 18. Januar 2008 reichte X._ beim Gerichtskreis D._ gegen Y._ Klage auf Scheidung der Ehe ein. Y._ klagte im Februar 2008 in Monaco seinerseits auf Scheidung der Ehe, worauf der Präsident der Ersten Instanz des Fürstentums Monaco ihn am 20. Februar 2008 ermächtigte, die eheliche Wohnung allein zu bewohnen. Der Präsident des Gerichtskreises D._ entschied mit Urteil vom 16. März 2009, die von X._ erhobene Scheidungsklage vom 18. Januar 2008 werde mangels örtlicher Zuständigkeit zurückgewiesen. Diesen Entscheid hat das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern am 28. August 2009 bestätigt. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Oktober 2009 verlangt X._, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Durch Präsidialverfügung vom 23. November 2009 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. In seiner (unaufgefordert eingereichten) Beschwerdeantwort vom 29. Januar 2010 schliesst Y._ (Beschwerdegegner) auf Abweisung der Beschwerde.