Sachverhalt: A. Der 1967 geborene I._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Schreiben vom 8. Juni 2010 (Eingang: 17. Juni 2010) ersuchte er bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) um Rückvergütung der von ihm in den Zeiträumen 1989/1990 und 1995 bis 2000 geleisteten AHV-Beiträge. Der entsprechende Formularantrag datiert vom 12. Juni 2010 und ging am 23. Juni 2010 bei der SAK ein. Darin bestätigte er, dass er und alle seine Familienangehörigen die Schweiz definitiv verlassen hätten. Gemäss Bestätigung der früheren Wohnsitzgemeinde X._ vom 25. Oktober 2010 reiste er am 15. Juli 2000 nach Kosovo aus. Am 22. Dezember 2010 verfügte die SAK einen Rückvergütungsbetrag von Fr. 22'163.50. Die dagegen erhobene Einsprache mit dem Antrag auf einen höheren Rückvergütungsbetrag wies sie mit Einspracheentscheid vom 20. September 2011 ab. B. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen erhobene Beschwerde insoweit gut, als es den Einspracheentscheid vom 20. September 2011 aufhob; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 19. November 2012). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei und daher kein Rückvergütungsanspruch bestehe. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. November 2012 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 20. September 2011 zu bestätigen. Das Bundesgericht setzte I._ auf dem internationalen Rechtshilfeweg eine Frist zur Bezeichnung eines Zustelldomizils und gleichzeitig zur Vernehmlassung. Der Empfang dieses Schreibens datiert vom 8. Mai 2013. Die gesetzte Frist von 30 Tagen lief ungenutzt ab. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.