Sachverhalt: A. A.a Die X._ B.V. (Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft nach niederländischem Recht mit Sitz in Rotterdam. Sie ist eine Tochtergesellschaft der X._ S.A., eines weltweit tätigen Warenprüfungsunternehmens mit Sitz in Paris, und hält ihrerseits die in Venezuela domizilierte lokale X._-Gesellschaft. A._ (Beschwerdegegner) lebt in Caracas (Venezuela) und arbeitet als Berater. Am 21. April 2000 schloss die Beschwerdeführerin mit dem Beschwerdegegner einen Beratervertrag ab, worin sich dieser verpflichtete, der Beschwerdeführerin ein Übereinkommen mit der venezolanischen Regierung über die staatliche Zulassung der Beschwerdeführerin als Warenprüfungsgesellschaft zu vermitteln. Im Jahr 2003 kam aufgrund der Bemühungen des Beschwerdegegners ein solches Übereinkommen zustande. A.b In der Folge machte der Beschwerdegegner ausstehende Vermittlungsprovisionen im Betrag von US $ 2'625'569.36 geltend. Gestützt auf die in Art. 16 des Beratervertrags vorgesehene Schiedsklausel klagte er diesen Betrag mit einer Schiedsklage vom 13. Dezember 2005 bei der Internationalen Handelskammer (ICC) gegen die Beschwerdeführerin ein. Kurz zuvor, am 30. November 2005, erwirkte der Beschwerdegegner beim Zivilgerichtspräsidenten Basel-Stadt einen Arrest auf dem Schweizer Konto der Beschwerdeführerin über den entsprechenden Betrag in Schweizer Währung, nämlich Fr. 3'492'007.25. Die von der Beschwerdeführerin dagegen erhobene Arresteinsprache wurde von der Zivilgerichtspräsidentin Basel-Stadt mit Verfügung vom 30. Januar 2006 abgewiesen, worauf die Beschwerdeführerin am 10. Februar 2006 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde einlegte. Mit Klageantwort vom 14. Februar 2006 erhob die Beschwerdeführerin im gegen sie angestrengten ICC-Schiedsverfahren sodann ihrerseits Widerklage gegen den Beschwerdegegner, mit der sie u.a. Schadenersatz aufgrund der Verletzung der Schieds- sowie der Vertraulichkeitsklausel des Beratervertrags geltend machte. In Gutheissung der Beschwerde vom 10. Februar 2006 hob das Appellationsgericht Basel-Stadt den vom Beschwerdegegner erwirkten Arrest mit Urteil vom 10. August 2006 auf. B. B.a Mit Klage vom 24. Oktober 2006 gelangte die Beschwerdeführerin an das Zivilgericht Basel-Stadt mit den Begehren, der Beschwerdegegner sei kostenfällig zu verpflichten, ihr gestützt auf Art. 273 SchKG Schadenersatz für ungerechtfertigten Arrest im Umfang der folgenden Beträge zu bezahlen: a) Fr. 200'376.50 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006. Fr. 105'400.52 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Fr. 103'547.55 und abzüglich Fr. 10'000.-- an Parteientschädigung. b) Euro 68'259.37 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Euro 66'689.48. c) Euro 36'172.61 zuzüglich Schadenszins von 5% ab 22. September 2006 auf den Betrag von Euro 35'548.70. Der Beschwerdegegner beantragte in der Klageantwort, es sei mangels Vorliegens einer Vorbedingung der Rechtsgültigkeit des Prozesses im Sinne von § 58 der Zivilprozessordnung des Kantons Basel-Stadt vom 8. Februar 1875 (ZPO/BS; SG 221.100) nicht auf die Klage einzutreten. Am 15. März 2007 verfügte der Instruktionsrichter des Zivilgerichts, dass der Prozess zunächst auf die Eintretensfrage beschränkt werde. In der Zwischenzeit hatte sich im parallel laufenden ICC-Schiedsverfahren ein Schiedsgericht mit Sitz in Rotterdam konstituiert, welches mit Teilurteil vom 1. Juni 2007 die Widerklage der Beschwerdeführerin abwies. B.b Mit Urteil vom 15. Mai 2008 trat das Zivilgericht auf die Arrestschadenersatzklage der Beschwerdeführerin nicht ein. Es kam zum Schluss, dass zur Beurteilung der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest das in Art. 16 des Beratervertrags vorgesehene Schiedsgericht zuständig sei. Denn die Parteien hätten mit der Schiedsklausel, welche bei Meinungsverschiedenheiten unter den Parteien "concernant l'interprétation ou l'application du présent contrat" die ausschliessliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts vorsieht, auch die vorliegende Arrestschadenersatzklage der Schiedsgerichtsbarkeit unterstellt. Zudem habe die Beschwerdeführerin die Schadenersatzforderung aus ungerechtfertigtem Arrest widerklageweise bereits vor dem Schiedsgericht geltend gemacht. Mit Teilurteil vom 1. Juni 2007 habe das Schiedsgericht dieses Begehren abgewiesen. Das Zivilgericht könne daher nicht nur wegen fehlender Zuständigkeit, sondern auch wegen bereits abgeurteilter Sache (res iudicata) auf die Klage nicht eintreten. B.c Gegen den Nichteintretensentscheid des Zivilgerichts legte die Beschwerdeführerin Appellation beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein mit dem Antrag, es sei das erstinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zum Entscheid in der Hauptsache zurückzuweisen. Mit Urteil vom 18. Juni 2010 wies das Appellationsgericht die Appellation ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und zu erkennen, dass die Vorbedingungen der Rechtsgültigkeit des Prozesses gemäss § 58 ZPO des Kantons Basel-Stadt erfüllt sind, namentlich dass das Zivilgericht Basel-Stadt zuständig sei und keine res iudicata vorliege. Die Vorinstanz sei sodann anzuweisen, auf die Appellation vom 29. Juni 2009 einzutreten und die Sache neu zu beurteilen. Weiter wiederholt die Beschwerdeführerin die in erster Instanz gestellten Begehren auf Zahlung von Schadenersatz. Der Beschwerdegegner und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 1. November 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.