Sachverhalt: A. Die Eheleute Y._ und Z._ vereinbarten mit Ehevertrag vom 11. Juli 1975, dass für ihre güterrechtlichen Verhältnisse mit interner Wirkung (ab Beginn der .... Ehe) der (damalige) Güterstand der allgemeinen Gütergemeinschaft im Sinne von Art. 215 ff. (a)ZGB gelten solle. Mit einem Erbvertrag vom gleichen Tag bestimmten die beiden, dass beim Hinschied eines der Ehegatten das Gesamtgut an den andern falle und dass nach dem Hinschied des zweiten Ehegatten - unter Vorbehalt einer abweichenden testamentarischen Verfügung - der Nachlass je zur Hälfte den gesetzlichen Erben der beiden Ehegatten zugewiesen werden solle. Als Willensvollstrecker wurde S._ eingesetzt. Am 20. Dezember 1989 verfasste Y._ folgende eigenhändige letztwillige Verfügung: "Nachtrag und Abänderung unseres Testaments vom 11. Juli 1975. (...) Meine Ehefrau (...) ist meine Universalerbin und kann nach meinem Ableben über unsere gesamte Hinterlassenschaft frei verfügen ohne Rücksicht auf unsere gesetzlichen Erben. Unseren gesetzlichen Erben soll nicht einmal der Pflichtteil zugestanden werden, d.h. enterbt. Meine Frau Z._ (...) kann vor ihrem Ableben die restliche Hinterlassenschaft verteilen an die Menschen die in ihrem letzten Lebensabschnitt gutes getan haben oder wahre Freunde waren. Grund der Ausschliessung unserer gesetzlichen Erben: Auf Seite meiner Frau Z._ wurde seinerzeit alles unternommen von Alt und Jung, dass meine Frau um einen Teil ihres voll zugestandenen Erbgutes kam beim Ableben ihres Bruders (...) und wegen gravierenden Unannehmlichkeiten während dieser Zeit. Meinerseits - niemand fühlte sich Zeit ihres Lebens verwandt oder hatte Beziehung zu uns. Deren Kinder kennen wir nicht einmal sowohl auch sie uns. Zu Punkt Willensvollstrecker: An Stelle von S._ kann meine Frau Z._ irgend einen Vertrauensmann beauftragen. Dies ist mein letzter Wille! (...)" Diesem Testament fügte Y._ am 1. Juni 2002 ebenfalls von Hand folgenden Passus bei: "Als Willensvollstrecker setze ich ein: T._." Z._ starb im August 2002, Y._ (im Folgenden: Erblasser) im August 2003. B. X._, Tochter des 1983 verstorbenen R._, eines Cousins des Erblassers, erhob mit Eingabe vom 25. April 2006 beim Bezirksgericht G._ Klage gegen den Kanton Aargau und beantragte, es sei festzustellen, dass die letztwilligen Verfügungen des Erblassers vom 20. Dezember 1989 und 1. Juni 2002 nicht wirksam seien bzw. nicht zur Anwendung kämen, allenfalls seien die letztwilligen Verfügungen ungültig zu erklären; ferner sei festzustellen, dass dem Gemeinwesen, d.h. dem Kanton Aargau und der Gemeinde H._, bezüglich des Nachlasses von Y._ keine Erbenstellung zukomme, den beiden Gemeinwesen allenfalls die Erbenstellung bezüglich eines Teils des Nachlasses abzuerkennen; schliesslich sei festzustellen, dass ihr, X._, Erbenstellung zukomme, und ihre Erbquote festzusetzen. Der Kanton Aargau schloss auf Abweisung der Klage. Das Bezirksgericht G._ wies am 18. Oktober 2007 die Klage ab, soweit darauf einzutreten war, und mit Urteil vom 2. September 2008 wies das Obergericht (Zivilgericht, 1. Kammer) des Kantons Aargau seinerseits die von X._ eingereichte Appellation ab, soweit es darauf eintrat. C. X._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Oktober 2008 die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuert ihre Klagebegehren. Der Kanton Aargau (Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde.