Sachverhalt: A. A.a. Der am 29. Juni 1946 geborene F._ ist kosovarischer Staatsangehöriger. Am 2. Dezember 2010 meldete er sich zum Bezug einer AHV-Altersrente bei der Ausgleichskasse Luzern (nachfolgend: Ausgleichskasse) an. Mit Verfügung vom 21. Juni 2011 sprach ihm die Ausgleichskasse eine ordentliche Altersrente ab Juli 2011 zu. A.b. Mit Schreiben vom 13. August 2012 liess F._ durch seinen Rechtsvertreter bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) beantragen, es sei ihm die Rente auch bei Wohnsitznahme in Kosovo auszubezahlen oder eine anfechtbare Verfügung zu erlassen. Am 17. September 2012 informierte die SAK F._, dass sie entsprechend verfügen werde, wenn er die Schweiz definitiv verlassen habe. Am 28. September 2012 verlegte F._ seinen Wohnsitz nach Kosovo. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 ersuchte die SAK den Rechtsvertreter von F._, innert 30 Tagen eine Nationalitätsbescheinigung einzureichen und wies ausdrücklich darauf hin, falls sein Mandant mehrere Nationalitäten habe, würden sie für jede eine separate Bescheinigung benötigen, worauf er eine Bescheinigung der kosovarischen Staatsbürgerschaft vom 12. November 2012 einreichte. A.c. Mit Verfügung vom 28. November 2012 teilte ihm die SAK mit, die Zahlung der Altersrente werde per 30. September 2012 definitiv eingestellt. In der dagegen erhobenen Einsprache machte F._ geltend, er sei kosovarisch-serbischer Doppelbürger. Die SAK gab ihm am 14. Dezember 2012 Gelegenheit, bis 21. Januar 2013 Beweismittel für die serbische Staatsangehörigkeit beizubringen, dies unter Androhung, dass andernfalls auf Grund der Akten entschieden werde, worauf F._ innert verlängerter Frist neben einer Bescheinigung der serbischen Staatsbürgerschaft vom 8. Februar 2013 zwei Auszüge aus dem Geburtsregister, eine Kopie eines Jugoslawischen Passes sowie eine Kopie einer Identitätskarte der Republik Kosovo einreichte. Nach einem Schreiben vom 26. Februar 2013 der SAK, wonach als Nachweis der serbischen Nationalität nur ein gültiger biometrischer Pass Serbiens genüge und der Antwort von F._, dass die SAK überspannte Anforderungen an den Nachweis der serbischen Nationalität stelle, hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 10. April 2013 an der Abweisung des Rentenanspruches fest, weil die eingereichten Dokumente für den Nachweis einer aktuellen serbischen Staatsbürgerschaft nicht genügten und auf kosovarische Staatsangehörige das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen nicht anwendbar sei. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht gut, hob den Einspracheentscheid vom 10. April 2013 auf und erkannte, dass ihm die monatliche AHV-Rente ab dem 1. Oktober 2012 weiterhin auszurichten sei (Entscheid vom 14. Juni 2013). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 21. Februar 2013 zu bestätigen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. F._ und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.