Sachverhalt: A. Am 7. August 2009 erstattete X._ Strafanzeige gegen seine Ex-Frau Y._ und deren jetzigen Ehemann Z._ wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung zum Nachteil seines Sohns S._, geb. 2001, und konstituierte sich im Verfahren als Privatkläger. Laut Strafanzeige sollen die leibliche Mutter und deren Ehemann S._ wiederholt geschlagen und misshandelt haben. Am 9. September 2009 eröffnete das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland die Strafverfolgung gegen Y._ und Z._ wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung (Art. 123 Ziff. 2 Abs. 2 StGB), evtl. mehrfacher Tätlichkeiten (Art. 126 Abs. 2 lit. a StGB). Mit Schreiben vom 15. Januar 2010 beantragte Y._, ihren Ex-Mann mangels Legitimation als Privatkläger aus dem Strafverfahren zu weisen. Nachdem das Untersuchungsrichteramt X._ Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt hatte, gab es dem Antrag von Y._ mit Beschluss vom 23. Februar 2010 statt und wies gleichzeitig die Vormundschaftsbehörde Worb an, S._ für das Strafverfahren einen Prozessbeistand zuzuordnen. Die von X._ gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern mit Beschluss vom 22. März 2010 ab. B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Beschluss der Anklagekammer sei aufzuheben, er sei als Privatkläger im Verfahren gegen Y._ und Z._ zu belassen und von der Zuordnung eines Prozessbeistands für seinen Sohn S._ durch die Vormundschaftsbehörde Worb sei abzusehen. Des Weiteren beantragt er, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Untersuchungsrichteramt und die Anklagekammer stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. Y._ und Z._ beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält an seiner Rechtsauffassung fest.