Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung. Anstelle von Untersuchungshaft verfügte das Regionale Zwangsmassnahmengericht, Kreisgericht Rheintal, am 29. Juli 2011 eine Ausweis- und Schriftensperre zulasten des Beschuldigten. Zwischen dem 5. Dezember 2011 und 9. Januar 2012 sistierte das Zwangsmassnahmengericht diese Ersatzmassnahme (gegen Auflage einer Sicherheitsleistung von Fr. 20'000.--) für eine Reise des Beschuldigten in die Dominikanische Republik. B. Am 3. April 2012 stellte der Beschuldigte ein weiteres Gesuch um Sistierung der Ausweis- und Schriftensperre. Mit Verfügung vom 11. April 2012 wies das Zwangsmassnahmengericht dieses Gesuch ab. Am 15. Juni 2012 beantragte der Beschuldigte beim Zwangsmassnahmengericht die vollständige Aufhebung der Ausweis- und Schriftensperre. Im Eventualstandpunkt beantragte er, das Reiseverbot sei jeweils während den Sommer- und Weihnachtsschulferien des Kantons Zürich zu sistieren, nötigenfalls unter Auflage einer Sicherheitsleistung von maximal Fr. 20'000.--. Mit Verfügung vom 27. Juni 2012 wies das Zwangsmassnahmengericht auch diese Anträge ab. Eine am 3. Juli 2012 dagegen erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 15. August 2012 ab. C. Gegen den Entscheid der Anklagekammer gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 24. September 2012 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides bzw. der hängigen Ausweis- und Schriftensperre. Eventualiter sei das Reiseverbot jeweils während den Sommer- und Weihnachtsschulferien des Kantons Zürich zu sistieren, nötigenfalls unter Auflage einer Sicherheitsleistung von maximal Fr. 20'000.--. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Zwangsmassnahmengericht und die Anklagekammer haben auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet. Der Beschwerdeführer replizierte am 23. Oktober 2012.