Sachverhalt: A. In der Volksabstimmung vom 27. September 2009 wurde im Kanton St. Gallen die Gesetzesinitiative "Schutz vor Passivrauchen für alle" angenommen. Mit Schreiben vom 29. März 2010 erhob Z._ für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht, der Regierung und der Rechtspflegekommission des Kantonsrates des Kantons St. Gallen. Er verlangte unter anderem, die Volksabstimmung vom 27. September 2009 sei ungültig zu erklären, und die Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen vom 16. Februar 2010 (Systematische Gesetzessammlung des Kantons St. Gallen [sGS] 311.12) sei zu widerrufen. Das Verwaltungsgericht und die Regierung des Kantons St. Gallen eröffneten je ein Verfahren und forderten Z._ bzw. die Vereinigung X._ zur Leistung eines Kostenvorschusses auf. Die Aufforderungen waren mit der Androhung verbunden, im Säumnisfall werde auf die Beschwerden nicht eingetreten. Da die Kostenvorschüsse innert der gesetzten Fristen nicht geleistet wurden, schrieben das Verwaltungsgericht und die Regierung die Verfahren ab. Die Rechtspflegekommission des Kantonsrates trat am 26. Mai 2010 auf die Angelegenheit nicht ein. B. Am 1. Juni 2010 reichte Z._ für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ bei der Regierung des Kantons St. Gallen eine Petition ein mit dem Inhalt, das Inkrafttreten der Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen per 1. Juli 2010 sei zu verschieben, bis die Ergebnisse der Initiativen der Interessengemeinschaft Freies Rauchen und der Lungenliga bekannt seien. Die Regierung behandelte die Petition an ihrer Sitzung vom 22. Juni 2010 und stellte den Petitionären am 28. Juni 2010 einen Protokollauszug zu. Die Regierung kam zum Schluss, ein Verschieben des Inkrafttretens der Verordnung sei nicht zulässig respektive nicht gerechtfertigt. Unter Hinweis auf die abschlägige Petitionsantwort der Regierung beantragten die Petitionäre mit Eingabe vom 19. Juli 2010 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die Aufhebung der Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen mittels superprovisorischer Verfügung. Dieses Gesuch wies der Präsident des Verwaltungsgerichts gleichentags ab. Diese Präsidialverfügung fochten die Petitionäre mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 4. August 2010 beim Verwaltungsgericht an, welches die Begehren mit Urteil vom 16. September 2010 abwies, soweit es auf diese eintrat. C. Z._ führt für die Y._ GmbH im Namen der Vereinigung X._ Beschwerde an das Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. September 2010 sei aufzuheben, und die Verordnung über den Schutz vor dem Passivrauchen vom 16. Februar 2010 sei ausser Kraft zu setzen. Eventuell sei die Inkraftsetzung der Verordnung bis zum 1. Juli 2012 oder bis zum Entscheid über die hängigen Initiativen der Interessengemeinschaft Freies Rauchen und der Lungenliga zu verschieben. Die Regierung und das Verwaltungsgericht beantragen die Beschwerdeabweisung.