Sachverhalt: A. X._ (geb. 1984) ist vermutlich tunesischer Staatsangehöriger, will aber nach eigenen Angaben aus Libyen stammen. Das Bundesamt für Migration trat am 7. September 2012 auf sein Asylgesuch nicht ein (falsche Angaben) und wies ihn weg. Vom 3. bis zum 23. August 2012 und vom 7. Dezember 2012 bis zum 20. Februar 2013 galt er als verschwunden. B. Am 20. Februar 2013 wurde X._ im Durchgangszentrum in Lyss angehalten und in Ausschaffungshaft genommen. Das Kantonale Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern prüfte und bestätigte diese am 21. Februar 2013 bis zum 19. Mai 2013. Am 17. Mai 2013 genehmigte es die Verlängerung der Haft bis zum 19. August 2013. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die hiergegen gerichtete Beschwerde am 20. Juni 2013 teilweise gut und hob den Entscheid des Kantonalen Zwangsmassnahmengerichts vom 17. Mai 2013 insofern auf, als es die Ausschaffungshaft nur bis zum 25. Juni 2013 gestattete. Am 25. Juni 2013 bewilligte das Kantonale Zwangsmassnahmengericht eine weitere Verlängerung der Haft bis zum 19. August 2013. Hiergegen ist X._ erneut an das Verwaltungsgericht gelangt. Dessen Entscheid steht noch aus. C. Mit Eingabe vom 28. Juni 2013 beantragt X._ vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. Juni 2013 aufzuheben und ihn aus der Ausschaffungshaft zu entlassen. Er macht geltend, die kantonalen Behörden hätten in verschiedenen Punkten seine Verfahrensrechte verletzt (Verbeiständung, Vorladung usw.) und gegen das Beschleunigungsgebot verstossen. Obwohl die mit dem angefochtenen Urteil kantonal zweitinstanzlich bestätigte Haftverlängerung abgelaufen und inzwischen seine Haft mit einem separaten Entscheid verlängert worden sei, habe er ein aktuelles schutzwürdiges Interesse daran, dass seine Rügen geprüft würden. Der Migrationsdienst des Kantons Bern beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Kantonale Zwangsmassnahmengericht hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten bzw. sie abzuweisen, da ein neuer Verlängerungsentscheid ergangen sei, wobei X._ die ihm bei der Haftverhandlung vom 17. Mai 2013 seiner Meinung nach zu Unrecht verweigerten Verfahrensrechte inzwischen gewährt worden seien. Das Bundesamt für Migration hat sich nicht vernehmen lassen. X._ hat seine Eingabe am 17. Juli 2013 präzisiert und im Übrigen an seinen Ausführungen festgehalten. Da seine Haft bereits am 17. Mai 2013 unrechtmässig verlängert worden sei, könne die Haftverlängerung vom 25. Juni 2013 ihrerseits nicht rechtmässig sein.