Sachverhalt: A. A.a. Der Aargauische Haustechnik-Verband (AHTV; heute: suissetec aargau Gebäudetechnik-Genossenschaft) führt im Kanton Aargau die überbetrieblichen Kurse sowie die praktischen Lehrabschlussprüfungen der Branchen Spenglerei/Flachdachbau/Fassadenbau, Sanitär, Heizung, Rohrleitungsbau/Werkleitungen, Lüftung, Klima und Kälte durch. Die A._ AG war bis Ende 2006 Mitglied des AHTV. Zwei Rechnungen des AHTV (vom 22. März 2008 in der Höhe von Fr. 4'800.- sowie vom 10. Juli 2008 in der Höhe von Fr. 3'600.-) für den Besuch überbetrieblicher Kurse bzw. einer Lehrabschlussprüfung bezahlte die A._ AG nicht. Der AHTV erhob für die beiden Forderungen am 26. September 2008 bzw. 12. Februar 2009 Klage beim Bezirksgericht Bremgarten. Dieses trat mit Urteilen vom 5. März 2009 bzw. 15. April 2009 auf die Klagen nicht ein, da es sich nicht um privatrechtliche Streitigkeiten handle. A.b. Am 13. Mai 2009 ersuchte der AHTV das Departement Bildung, Kultur und Sport, Abteilung Berufsbildung und Mittelschule, um Erlass einer Verfügung über die streitigen Kosten. Das Departement teilte dem AHTV am 28. Mai 2009 mit, es sei zum Erlass der anbegehrten Verfügung nicht zuständig, diese Kompetenz stehe dem AHTV selbst zu. A.c. Am 25. November 2009 erliess der AHTV eine Verfügung, worin er die A._ AG verpflichtete, ihm den Betrag von Fr. 8'400.- nebst Zins zu bezahlen. B. Die A._ AG erhob dagegen erfolglos Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Aargau. Gegen dessen Entscheid vom 10. August 2011 erhob sie Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit dem Antrag, es sei die Nichtigkeit der Verfügung des AHTV vom 25. November 2009 festzustellen. Eventuell sei die Verfügung aufzuheben und die Sache dem Departement zu neuem Entscheid zuzuweisen. Subeventuell seien die verlangten Beträge angemessen herabzusetzen. In Gutheissung der Beschwerde hob das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 20. September 2012 den Entscheid des Regierungsrates vom 10. August 2011 und die Verfügung des AHTV vom 25. November 2009 auf. Es erwog, bei den streitigen Forderungen handle es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit. Nach der hier noch anwendbaren Rechtslage bestehe jedoch keine gesetzliche Grundlage, dass der AHTV die streitigen Beiträge verfügungsweise festsetzen könne. Vielmehr stehe dafür der Weg der verwaltungsrechtlichen Klage offen. C. Mit Eingabe vom 22. Januar 2013 erhebt die suissetec aargau Gebäudetechnik-Genossenschaft beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und den Entscheid des Regierungsrates vom 10. August 2011 sowie die Verfügung vom 25. November 2009 zu bestätigen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau verzichtet auf Vernehmlassung. Die A._ AG beantragt Abweisung der Beschwerde.