Sachverhalt: A. Mit Einspracheentscheid vom 5. April 2006 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn in Bestätigung der Verfügung vom 1. April 2005 einen Anspruch auf Invalidenrente des 1958 geborenen B._ wegen eines unter 40% liegenden Invaliditätsgrades. B. Hiegegen liess der Versicherte Beschwerde einreichen und beantragen, es sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Das Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das kantonale Verfahren wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn ab (Verfügung vom 27. Juli 2006). C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt B._ verschiedene Unterlagen einreichen und das Rechtsbegehren stellen, unter Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung sei ihm für den kantonalen Prozess ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bewilligen. Weiter wird um unentgeltliche Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.