Sachverhalt: A. Am 30. Dezember 2002 reichten A.X._ und seine Frau D.X._, zusammen mit ihren Kindern E.X._, F.X._, B.X._ und C.X._, in der Gemeinde Wolhusen ein Gesuch um ordentliche Einbürgerung ein. Die Stimmberechtigten von Wolhusen lehnten das Einbürgerungsgesuch an der Gemeindeversammlung vom 1. Dezember 2003 ohne Begründung ab. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2004 hiess der Regierungsrat eine gegen diesen Beschluss erhobene Gemeindebeschwerde teilweise gut und wies das Gesuch zu neuem Entscheid an die Gemeinde Wolhusen zurück. Die staatsrechtliche Beschwerde der Familie X._, mit der unter anderem geltend gemacht wurde, dass der Gemeinderat für die Einbürgerung zuständig sei und ihnen das Gemeindebürgerrecht zugesichert habe, wies das Bundesgericht mit Urteil vom 24. März 2005 ab (1P.50/2005). B. Nachdem in der Gemeinde Wolhusen eine Bürgerrechtskommission eingesetzt worden war, ersuchte die Familie X._ am 4. Mai 2005 um Behandlung ihres hängigen Gesuchs. Am 13. Juni 2006 teilte die Bürgerrechtskommission mit, Abklärungen bei den Polizeibehörden hätten ergeben, dass gegen F.X._ eine Anzeige wegen Drohung erstattet worden sei, und dass der Strafregisterauszug von D.X._ einen Eintrag aufweise. Ebenfalls hätten sie festgestellt, dass die Familie relativ hohe Steuerausstände aufweise. Für die Steuern 2004 hätten sie zwar mit den Steuerbehörden ein Zahlungsabkommen vereinbart, nicht aber für die fälligen Steuern 2005. Die Kommission schlug deshalb vor, das Einbürgerungsgesuch zu sistieren. Nachdem die Familie X._ an ihrem Gesuch festhielt, wurde am 19. Juni 2006 das Einbürgerungsgespräch durchgeführt. Darin wurden die Gesuchsteller mit Vorwürfen der Schulbehörden konfrontiert, u.a. zum schwierigen Kontakt zur Familie X._. Mit Schreiben vom 26. Juni 2006 teilte die Kommission mit, sie sei nach wie vor der Ansicht, dass das Gesuch - ausgenommen für die Tochter E.X._ - nicht den geforderten Voraussetzungen entspreche. Am 21. Juli 2006 teilte die Familie X._ der Kommission mit, sie sei einverstanden, das Gesuch von D.X._ bis zur Löschung des Strafregistereintrags und das Gesuch von F.X._ bis zur vollständigen Klärung der Umstände zu sistieren; alle anderen Gesuche seien gutzuheissen. Mit Entscheid vom 14. August 2006 sistierte die Bürgerrechtskommission Wolhusen das Gesuch von D.X._ und F.X._ bis zur Löschung des Strafregistereintrags von D.X._. Das Gesuch von A.X._, B.X._ und C.X._ wurde abgelehnt. Zur Begründung wurde ausgeführt, dass A.X._ und D.X._ Ausstände der Steuern 2004 und 2005 aufweisen. Zwar bestehe mit der Steuerbehörde bezüglich der Steuern 2004 ein Zahlungsabkommen und erfolgten monatliche Zahlungen. Dagegen hätten sich die Gesuchstellenden erst nach Intervention und Bedenken der Bürgerrechtskommission mit dem Steueramt in Verbindung gesetzt, um auch für die Steuern 2005 ein Zahlungsabkommen zu vereinbaren; dieses sei erst am 12. Juli 2006 fixiert worden. Die Gesuchstellenden seien zudem am Einbürgerungsgespräch mit Aussagen der Schulleitung Wolhusen konfrontiert worden. Sämtliche vorgebrachten Schwierigkeiten in Bezug auf die schulpflichtigen Kinder seien dabei vehement bestritten worden. Die Gesuchstellenden hätten überhaupt keine Einsicht oder Selbstkritik bezüglich eigener Fehler oder Unterlassungen gezeigt. Auch die der Bürgerrechtskommission bekannten und von der Verwaltung bestätigten Schwierigkeiten mit den Nachbarn und wegen Nichteinhaltung der Hausordnung hätten die Gesuchstellenden alle dementiert. Zudem hätten diese anlässlich des Gesprächs vom 19. Juni 2006 nur sehr allgemein und oberflächlich auf Fragen über den geographischen und politischen Aufbau der Schweiz geantwortet. C. Gegen diesen Entscheid reichten A.X._, F.X._, B.X._ und C.X._ Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern ein. Dieses wies die Beschwerden von A.X._, B.X._ und C.X._ am 21. April 2008 ab. Das Departement hielt fest, die Ablehnung der Einbürgerungsgesuche könne insbesondere auf die mangelhafte Integration in die örtlichen Verhältnisse gestützt werden; dies zeige sich vor allem im Verhalten in und gegenüber der Schule. Darüber hinaus könne A.X._ die fehlende Bereitschaft auf ausstehende Steuerschulden zu reagieren und sie aus eigenem Antrieb innert angemessener Frist zu regeln, vorgeworfen werden. Der Entscheid der Gemeinde sei daher weder falsch noch willkürlich, sondern bewege sich in ihrem Ermessensspielraum. Die Beschwerde von F.X._ wurde für erledigt erklärt, nachdem die Bürgerrechtskommission das ihn betreffende Einbürgerungsverfahren wieder aufgenommen hatte. D. Gegen den Entscheid des Departements haben A.X._, B.X._ und C.X._ am 23. Mai 2008 Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, mit voller Kognition und gestützt auf die Verhältnisse im dannzumaligen Entscheidzeitpunkt über das Einbürgerungsgesuch der Beschwerdeführer zu entscheiden. E. Die Bürgerrechtskommission der Gemeinde Wolhusen beantragt, die Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen. Das Departement schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Sie teilt mit, dass E.X._ am 20. Mai 2008 das Gemeindebürgerrecht von Wolhusen zugesichert worden sei. F. In ihrer Replik vom 8. August 2008 halten die Beschwerdeführer an ihren Anträgen fest.