Sachverhalt: A. A.a G._ wurde mit öffentlich-rechtlichem Anstellungsvertrag vom 18. März 2008 vom Bezirksrat Einsiedeln als "Leiterin Personalwesen" angestellt. Gemäss Ziffer 2 dieses Vertrages ist die Leiterin des Personalwesens dem Landschreiber als direktem Vorgesetztem unterstellt. Diese im Rahmen einer Reorganisation der Behörden und Verwaltungsstrukturen im Bezirk Einsiedeln neu geschaffene Arbeitsstelle trat G._ am 1. Juni 2008 an. Einen Monat später nahm der vom Stimmvolk des Bezirks Einsiedeln im Frühjahr 2008 neu gewählte Landschreiber E._ die Arbeit in seinem Amt auf. A.b Nachdem in der Verwaltungsleitung des Bezirks seit längerem Spannungen bestanden hatten, ersuchten G._, der Abteilungsleiter Finanzen H._ und Schulleiter Z._ im Februar 2009 um ein Gespräch mit dem Bezirksammann, an welchem sie Vorbehalte gegenüber Landschreiber E._ erhoben. Ein Protokoll wurde nicht erstellt. Darauf setzten der Bezirksammann und der Landschreiber auf den 13. März 2009 eine Besprechung an, an welcher sich alle Mitglieder der Verwaltungsleitung und die Personalleiterin offen aussprechen sollten. In einem als "Persönlich/Vertraulich" bezeichneten Schreiben vom 12. März 2009 wandte sich die Beschwerdeführerin an den Bezirksammann und schilderte das aus ihrer Sicht schlechte Verhältnis insbesondere zum Landschreiber, dessen Verhalten sie als feindlich und destruktiv empfinde. Am 13. März 2009 fand die - wiederum nicht protokollierte - Aussprache statt. Es wurden weitere Aussprachen vorgesehen. Eine solche fand am 20. März 2009 zwischen dem Bezirksammann, dem Landschreiber und G._ statt. Letztere las ihre schriftlich vorgebrachten Vorhalte vor, die vom Landschreiber bestritten wurden. Am 31. März 2009 folgte eine weitere Aussprache, an welcher auch W._, der Abteilungsleiter Liegenschaften und frühere Sachbearbeiter Personal, teilnahm. Anlässlich dieses Gesprächs händigte Abteilungsleiter W._ ein Papier "Problemsituation Verwaltungsleitung" aus. G._ sagte, dass sie sich zu den darin erhobenen Vorwürfen nicht sofort äussern könne, sondern schriftlich Stellung nehmen werde. Am 7. April 2009 fand auf Ersuchen von O._, Abteilungsleiter Soziales, eine Besprechung zwischen diesem, dem Bezirksammann, dem Landschreiber und G._ statt. O._ hielt u.a. fest, dass die Vorwürfe im Papier von W._ zuträfen. Mit Schreiben vom 8. April 2009 (welches am 9. April 2009 bzw. am Donnerstag vor Ostern einging) erhob G._ ihrerseits Vorwürfe gegen den Landschreiber sowie gegen Abteilungsleiter W._ und beantragte dem Bezirksrat: 1. Das Arbeitsverhältnis des Angestellten W._ sei unverzüglich und fristlos zu kündigen. 2. Im Allermindesten sei E._ ein scharfer, schriftlicher Verweis zu erteilen, welcher zu den Personalakten zu nehmen sei. 3. Es sei die Stabstelle Personalleitung direkt dem Bezirksrat als Gremium oder aber einem einzelnen Bezirksrat zu unterstellen. Daraufhin gewährte die Präsidialkommission des Bezirksrats G._ am 17. April 2009 das rechtliche Gehör. G._ erhielt am 21. April 2009 eine Kopie des Protokolls dieser Unterredung und bescheinigte am 22. April 2009 sinngemäss, ihre Aussagen seien an sich zutreffend, aber komprimiert festgehalten worden. A.c Am 22. April 2009 fällte der Bezirksrat Einsiedeln folgenden Beschluss: 1. Das Arbeitsverhältnis mit Personalleiterin G._ ist unter Einhaltung der Kündigungsfrist von einem Monat auf den 31. Mai 2009 aufzulösen. Die Kündigung hat in Form eines begründeten Kündigungsschreibens zu erfolgen. 2. G._ ist per sofort von ihren Arbeitsverpflichtungen frei zu stellen. Nach erfolgter Kündigung hat sie den Arbeitsplatz sofort zu räumen. 3. Die Kündigung ist vom Bezirksammann und vom Landschreiber-Stellvertreter zu vollziehen. Mit Schreiben vom 23. April 2009 teilte der Bezirksrat G._ mit, dass das bestehende Arbeitsverhältnis per 31. Mai 2009 aufgelöst und sie mit sofortiger Wirkung freigestellt werde. Mit Schreiben vom 27. April 2009 präzisierte der Bezirksrat, dass die Kündigungsfrist sechs Monate und nicht einen Monat betrage, womit das Anstellungsverhältnis mit dem Bezirk Einsiedeln am 31. Oktober 2009 ende. A.d Mit Schreiben vom 28. April 2009 liess G._ dem Bezirksrat durch ihren Rechtsvertreter u.a. mitteilen, dass sie die Kündigung nicht akzeptiere und ihre Arbeitskraft weiterhin uneingeschränkt zur Verfügung stelle. Von diesem Schreiben nahm der Bezirksrat an seiner Sitzung vom 6. Mai 2009 Kenntnis und beschloss, an der Kündigung des Arbeitsverhältnisses festzuhalten. Dieses Ergebnis teilte der Bezirksrat G._ mit Schreiben vom 12. Mai 2009 mit. B. Mit Klage vom 13. Juni 2009 gegen den Bezirk Einsiedeln stellte G._ beim Verwaltungsgericht Schwyz folgende Anträge: 1. Der Klägerin sei eine Abfindung i.S.v. § 21g Abs. 3 i.V.m. Abs. 2 PBV in der Höhe eines Jahressalärs sowie eine Entschädigung i.S.v. § 21g Abs. 3 PBV in der Höhe eines halben Jahressalärs zuzusprechen. 2. Die durch in Presse und Radio sowie verwaltungsintern verbreiteten wahrheitswidrigen Tatsachendarstellungen eingetretene und andauernde widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung i.S.v. Art. 28 Abs. 1 ZGB sei i.S.v. Art. 28a Abs. 1 Ziff. 2 ZGB zu beseitigen. 3. Gestützt auf die widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung i.S.v. Art. 28 Abs. 1 ZGB sei der Beklagte zu verpflichten, eine Gegendarstellung i.S.v. Art. 28g ZGB i.V.m. Art. 28a Abs. 2 ZGB zu den in Presse und Radio sowie verwaltungsintern verbreiteten wahrheitswidrigen Tatsachendarstellungen vorzunehmen. 4. Der Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin aufgrund ihrer durch die widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung erlittenen immateriellen Unbill eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 20'000.- auszurichten. 5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beklagten. Das Verwaltungsgericht wies mit Entscheid vom 20. Mai 2010 das Begehren gemäss Ziffer 1 und jenes gemäss Ziffer 4, soweit damit eine Genugtuung im Zusammenhang mit den Umständen der Kündigung verlangt werde, ab. Auf die Anträge gemäss Ziffer 2 und 3 sowie Ziffer 4, soweit damit eine Genugtuung gestützt auf Art. 28a Abs. 3 ZGB verlangt werde, trat es nicht ein. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ weiterhin die Zusprechung einer Abfindung in der Höhe eines Jahressalärs und einer Entschädigung i.S.v. § 21g Abs. 3 i.V.m. § 21f Abs. 2 PBV in der Höhe eines halben Jahressalärs beantragen. Im Übrigen sei der Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an diese zurückzuweisen. Der Bezirk Einsiedeln schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. D. Am 25. August 2011 hat das Bundesgericht eine öffentliche Urteilsberatung durchgeführt.