Sachverhalt: A. Die 1959 geborene K._ arbeitete bis 31. Januar 2012 zu 50 % als Schneiderin bei der Firma Q._ AG. Im Oktober 2008 meldete sie sich bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Diese holte diverse Arztberichte, einen Abklärungsbericht Haushalt vom 3. Oktober 2011 sowie Gutachten des Prof. Dr. med. T._ und des Dr. med. N._, Rheumatologische Universitätsklinik, Spital X._, vom 31. Oktober 2011 und des Psychiaters Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 ein. Im erstgenannten Gutachten wurden folgende Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. Chronisches lumbospondylogenes Schmerzsyndrom rechts; 2. St. n. Epicondylitis beidseits; 3. V.a. auf Supraspinatus Impingement-Syndrom links. Ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit seien folgende Diagnosen: 1. Anamnestisch Mortonneuralgie beidseits linksbetont; 2. St. n. Steinler Operation bei therapieresistenter Plantarfasciitis und Fersensporn rechts 1996; 3. Anamnestisch St. n. Ulcus ventriculi: 4. Anamnestisch St. n. unklarem knotigem Mammabefund links. Der Gutachter Dr. med. dipl. Psych. W._ diagnostizierte eine leichtgradig depressive Episode mit somatischen Syndrom (ICD-10 F32.01) mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit; ohne Auswirkung auf diese sei eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41). Die IV-Stelle zog beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) eine Stellungnahme des Psychiaters Dr. med. J._ vom 3. Januar 2013 bei. Mit Verfügung vom 27. Februar 2013 verneinte sie einen Rentenanspruch. B. Die dagegen geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ab (Entscheid vom 27. August 2013). C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung und Neuberechnung des Rentenanspruchs an die IV-Stelle zurückzuweisen; ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.