Sachverhalt: A. Die 1949 geborene B._ war seit 1. September 1997 Buffetangestellte im Gasthof X._. Am 20. Februar 2005 verletzte sie sich am rechten Handgelenk. Am 6. Februar 2007 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung an. Diese holte diverse Arztberichte ein und beteiligte sich mit eigenen Fragen an dem vom Unfallversicherer beim Institut Y._ eingeholten interdisziplinären Gutachten vom 15. Januar 2009. Das Institut Y._ stellte folgende chirurgisch-traumatologische Diagnosen: SNAC (scaphoid non union advanced collaps)-Wrist Stadium I rechts; Status nach: vorbestehender Scaphoidpseudarthrose, diagnostischer Arthroskopie und radiocarpalem Shaving rechts vom 1. Juni 2005, four-corner-Arthro dese rechts vom 21. September 2005, OSM Entfernung am 20. Dezember 2005, Resektion des distalen Scaphoidpols und Faszieninterpositionsarthroplastik rechts am 23. Mai 2007; leichte radio-carpale Arthrose beidseits. Psychischerseits diagnostizierte es im Wesentlichen Folgendes: Unfall mit Handverletzung am 20. Februar 2005 mit chronifizierten, auf Arm, Schulter und Thorax ausgeweiteten Dauerschmerzen (ICD-10: R52.1); mit depressiver Entwicklung ab Februar 2006, aktuell leicht- bis mittelgradig (ICD-10: F32.0); mit ängstlich-vegetativer Schwindel-Symptomatik (DD: zusätzlich somatische Schwindelursachen). Mit Verfügungen vom 6. November 2010 sprach die IV-Stelle der Versicherten ab 1. Februar 2006 bis 31. Oktober 2007 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente zu; ab 1. November 2007 stellte sie die Invalidenrente ein, da der Invaliditätsgrad ab 1. August 2007 36 % betrage. B. In Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Verfügung auf und sprach der Versicherten ab 1. Februar 2006 bis 31. März 2008 eine ganze Invalidenrente und ab 1. April 2008 eine Viertelsrente zu (Entscheid vom 16. Juni 2011). C. Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle, es sei festzustellen, dass die Versicherte mit Ausnahme einer befristeten ganzen Rente vom 1. Februar 2006 bis 31. März 2008 keinen Rentenanspruch habe; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Vorinstanz und die Versicherte schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Letztere verlangt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt Beschwerdegutheissung. D. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2011 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.