Sachverhalt: A. Nachdem Dr. med. X._, Kinderarzt FMH, geb. 1936, mit Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Mai 2001 der sexuellen Handlungen mit Kindern schuldig gesprochen und mit viereinhalb Monaten Gefängnis bestraft worden war, beschränkte das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 11. Juni 2002 dessen Bewilligung zur Ausübung der selbständigen ärztlichen Berufstätigkeit auf die Behandlung von weiblichen Patienten; die Behandlung von Patienten männlichen Geschlechts ohne Altersbegrenzung und die Teilnahme am Notfalldienst wurden ihm verboten. Am 20. November 2002 wies das Bundesgericht eine dagegen gerichtete staatsrechtliche Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 2P.218/2002). Im Herbst 2003 verkaufte X._ seine Praxis. Nachdem er im Rahmen seiner Tätigkeit für die Sterbehilfe-Organisation "Dignitas" einen männlichen Patienten untersucht und ihm ein Rezept über eine tödliche Dosis eines Betäubungsmittels ausgestellt hatte, entzog die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich am 26. Mai 2004 X._ - nach vorgängiger Verwarnung in einem ähnlich gelagerten Fall - die Bewilligung zur selbständigen ärztlichen Tätigkeit vollständig und endgültig und lehnte die von ihm beantragte Erweiterung der Praxisbewilligung auf die Behandlung männlicher Patienten, die in der Schweiz den begleiteten Freitod wünschten, ab. Die von X._ dagegen eingereichten Rechtsmittel beim Zürcher Verwaltungsgericht (Urteil vom 30. September 2004) und beim Bundesgericht (Urteil 2P.310/2004 vom 18. Mai 2005) blieben ohne Erfolg. B. Am 7. September 2004 ersuchte X._ beim Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen darum, ihm die selbständige Ausübung des Berufes als Arzt im Kanton St. Gallen insoweit zu bewilligen, als sich diese auf "Suizid-Prophylaxe und assistierten Suizid" beziehe, unter Ausschluss einer kassenärztlichen Tätigkeit. Mit Verfügung vom 14. August 2007 wies das Gesundheitsdepartement das Gesuch ab mit der Begründung, X._ fehle es an der Voraussetzung eines guten Leumundes. Mit Urteil vom 27. November 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine von X._ dagegen eingereichte Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 21. Januar 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die selbständige Ausübung des Berufes als Arzt im Kanton St. Gallen zu bewilligen bzw. - eventualiter - für weibliche Patienten zu bewilligen. Das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei.