Sachverhalt: A. A.a In der von Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegner) gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) angestrengten Betreibung Nr. 0000000 stellte das Betreibungsamt Muri am 7. Mai 2007 dem Schuldner den Zahlungsbefehl über Fr. 27'826.-- nebst Zins zu. Grund der Forderung bilden Verfahrenskosten für die Urteile des Bezirksgerichts Zürich vom 2. September 2003 und 25. August 2005, des Obergerichts Zürich vom 23. August 2004 und 7. Juni 2006, des Kassationsgerichts Zürich vom 25. August 2005 sowie des Bundesgerichts vom 1. Dezember 2006. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag und der Gläubiger stellte beim Bezirksgericht Muri das Gesuch um definitive Rechtsöffnung. A.b Am 16. Oktober 2007 stellte der Vertreter des Beschwerdeführers beim Gerichtspräsidium Muri den Antrag, es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihm ein unentgeltlicher Rechtsvertreter seiner Wahl zu bestellen. Mit Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 22. Oktober 2007 wurde das Gesuch abgewiesen. Die vom Beschwerdeführer dagegen eingereichte Beschwerde hatte keinen Erfolg. Mit Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer) das Rechtsmittel ab, soweit darauf einzutreten war. B. Mit Eingabe vom 10. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen und beantragt im Wesentlichen, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Sodann ersucht er, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Mit Präsidialverfügung vom 13. März 2008 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Mit Verfügung des Instruktionsrichters vom 21. April 2008 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, die Eingaben vom 10. März 2008 persönlich zu unterzeichnen, da sein bevollmächtigter Vertreter nicht Anwalt sei und das Anwaltsmonopol in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen auch für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gelte (zur Publikation bestimmtes Urteil 5D_139/2007 vom 10. April 2008, E. 1.2). Die Beschwerdeschrift ist persönlich unterzeichnet worden. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.