Sachverhalt: A. B._ vom Dienstleistungsunternehmen X._ GmbH und A._ lernten sich anlässlich eines RAV-Kurses kennen, woraufhin Ersterer Letzteren Anfang April 2011 kontaktierte und bezüglich eines Einsatzes als Maschinenbau-Konstrukteur bei der Z._ AG in Liechtenstein anfragte. Nachdem A._ am vorgeschlagenen Arbeitseinsatz Interesse gezeigt hatte, organisierte die X._ GmbH für diesen ein Vorstellungsgespräch bei der Z._ AG. In der Folge verständigten sich die X._ GmbH und A._ mündlich über die Anstellungs- und Lohnbedingungen und am 3. Mai 2011 begann A._ bei der Z._ AG zu arbeiten. B. B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsverfahren reichte die X._ GmbH (Klägerin) am 20. Dezember 2011 beim Bezirksgericht Plessur Klage gegen A._ (Beklagter) ein und beantragte, dieser sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 4. Juli 2011 zu bezahlen. Sie machte geltend, gestützt auf Art. 337d OR habe sie gegen den Beklagten wegen ungerechtfertigten Verlassens der Arbeitsstelle einen entsprechenden Schadenersatzanspruch. Der Beklagte bestritt eine Verletzung seiner arbeitsvertraglichen Verpflichtungen. Der Arbeitsvertrag, auf den sich die X._ GmbH stütze, widerspiegle nicht den wirklichen Willen der Parteien. Er sei nur unterzeichnet worden, um den Liechtensteiner Behörden etwas vorlegen zu können. Mit Entscheid vom 1. November 2012 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Plessur die Klage ab. B.b. Die gegen diesen Entscheid von der Klägerin erhobene Beschwerde wies der Einzelrichter in Zivilsachen des Kantonsgerichts Graubünden mit Verfügung vom 5. Februar 2013 ab. C. Gegen diese Verfügung reichte die Klägerin (Beschwerdeführerin) am 2. Mai 2013 subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Sie beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und der Beklagte (Beschwerdegegner) sei zur Zahlung von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 4. Juli 2011 zu verpflichten. Der Beschwerdegegner liess sich nicht vernehmen. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei.