Sachverhalt: A. A.a. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SVA) sprach der 2004 geborenen B._ ab 1. Mai 2004 eine monatliche Ergänzungsleistung (EL) zu (Verfügung vom 22. Juli 2004). Es handelte sich dabei um einen Teilanspruch der ihrer Mutter, Bezügerin einer Invalidenrente, zustehenden Ergänzungsleistungen. Die IV richtete der Mutter zudem für die in einem Heim lebende Tochter eine Kinderrente aus. Am 21. Februar 2006 übersiedelte B._ zu Pflegeeltern. Die SVA berechnete die Ergänzungsleistungen ab März 2006 neu, dies in der Annahme, das Kind sei fortan eine Nichtheimbewohnerin. Im Januar 2009 verstarb die Mutter. Seit 1. Februar 2009 bezieht B._ (deren Vater unbekannt ist) eine Vollwaisenrente der AHV und dazu eine EL. A.b. Mit Verfügung vom 9. Juni 2011 setzte die SVA den EL-Anspruch ab 1. Mai 2011 auf monatlich Fr. 572.- fest. Der Vormund von B._ erhob Einsprache. Die Durchführungsstelle drohte eine reformatio in peius an, da bei der Festsetzung der EL jeweils zu hohe Mietausgaben berücksichtigt worden seien. B._ hielt an der Einsprache fest. Die SVA wies diese mit Entscheid vom 4. November 2011 ab. Sie legte den EL-Anspruch ab Mai 2011 auf monatlich Fr. 319.- fest. B. Soweit es darauf eintrat, hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde gut. Es hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Neuberechnung des Anspruches ab 1. Mai 2011 an die SVA zurück. Dazu erwog es, eine Pflegefamilie mit behördlicher Bewilligung sei von Bundesrechts wegen als heimähnliche Institution zu betrachten; die SVA habe die ab Mai 2011 festzusetzende Ergänzungsleistung für B._ als Heimbewohnerin zu berechnen (Entscheid vom 11. Dezember 2012). C. Die SVA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheides und Bestätigung des Einspracheentscheides. B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und ersucht um unentgeltliche Prozessführung vor dem Bundesgericht. Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.