Sachverhalt: A. K._ arbeitete (erneut) vom xxx bis 31. Oktober 1998 bei der Firma B._ AG. Im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses war sie bei der Personalvorsorge X._ versichert. Vom 1. November 1998 bis 10. Januar 2000 bezog K._ Taggelder der Arbeitslosenversicherung (Rahmenfrist vom 1. November 1998 bis 31. Oktober 2000). Damit war sie bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG vorsorgeversichert. Mit Verfügung vom 3. April 2001 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich K._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2000 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Als Folge des Hinschieds des Ehemannes wurde die Rente bei unverändertem Invaliditätsgrad ab 1. Dezember 2010 auf eine ganze Rente erhöht. Sowohl die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, als auch die Personalvorsorge X._ lehnten die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab. B. Am 29. September 2011 erhob K._ Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr die BVG-Renten nach Massgabe von Gesetz und Statuten im Umfang von 50 % ab Beginn der IV-Rente und zu 100 % ab 1. Dezember 2010 zu bezahlen sowie die Prämienbefreiung nach Massgabe der 50%igen und ab 1. Dezember 2010 der 100%igen Arbeitsunfähigkeit zu gewähren. Nach Durchführung des Schriftenwechsels und Beiladung der Personalvorsorge X._ zum Prozess wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. September 2013 die Klage infolge Anspruchsverjährung ab. C. K._ hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht, mit welcher sie die Begehren in der Klage vom 29. September 2011 erneuert und um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Die Personalvorsorge X._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, eventualiter insofern teilweise gutzuheissen, als die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu verpflichten sei, K._ eine halbe Invalidenrente aus BVG auszurichten sowie ihr die Beitragsbefreiung zu gewähren. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) haben sich nicht vernehmen lassen. In einer weiteren Eingabe hat sich K._ zur Sache geäussert.