Sachverhalt: A. Mit Schreiben vom 7. August und 12. Oktober 2009 stellte X._ an die Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Gesuch um Opferhilfe (Übernahme von Anwaltskosten, Entschädigung und Genugtuung sowie unentgeltliche Rechtsvertretung im Opferhilfeverfahren). Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, dass sie ihr Ehemann bis zur Trennung im Jahr 2005 wiederholt geschlagen und eingesperrt habe. Die kantonale Opferhilfestelle wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. Oktober 2009 ab. Dagegen erhob X._ mit Eingabe vom 3. Dezember 2009 Beschwerde an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2009 teilte das Sozialversicherungsgericht X._ mit, die Beschwerdeschrift sei übermässig weitschweifig. Es setzte ihr eine einmalige, nicht erstreckbare Frist von 10 Tagen an, um eine verbesserte Beschwerdeschrift einzureichen. Diese habe eine gedrängte Darstellung des Sachverhalts, ein klares Rechtsbegehren und eine kurze Begründung zu enthalten. Komme die Beschwerdeführerin dieser Anordnung nicht nach, so werde auf das Rechtsmittel nicht eingetreten. Mit Schreiben vom 10. Januar 2010 reichte X._ eine neue Beschwerde ein. In der Folge trat das Sozialversicherungsgericht mit Beschluss vom 25. Januar 2010 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es an, dass die erste Eingabe 37 Seiten und die zweite 55 Seiten umfasse und dass beide als weitschweifig zu qualifizieren seien. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 18. März 2010 beantragt X._ im Wesentlichen, Ziffer 1 des Dispositivs des Beschlusses des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und es sei auf die an die Vorinstanz gerichtete Beschwerde einzutreten. Es sei zudem unverzüglich und vollumfänglich Kostengutsprache für das gegen den Ehemann des Opfers geführte Strafverfahren sowie die gemäss Art. 13 Abs. 1 und Art. 14 Abs. 1 OHG (SR 312.5) damit in engem Zusammenhang stehenden Verfahren zu leisten. Der Kanton Zürich habe die Anwaltskosten für sämtliche Aufwendungen der Beschwerdeführerin und die ihr auferlegten Kosten sowohl im Strafverfahren gegen ihren Ehemann als auch in den damit eng zusammenhängenden Verfahren von Anfang an vollumfänglich zu übernehmen. Insbesondere seien die Kosten der Ablehnungsverfahren gegen Bezirksrichter T. Frey und Gerichtssekretärin S. Althaus wie auch diejenigen für das Revisionsverfahren gegen die Eheschutzverfügung vom 15. Juli 2005 vollumfänglich zu übernehmen. Soweit noch kein bundesgerichtliches Urteil vorliege, sei Kostengutsprache zu leisten. In den mit bundesgerichtlichem Urteil abgeschlossenen Verfahren seien die Anwaltskosten sowie die dem mittellosen Opfer auferlegten Kosten gemäss den detaillierten Aufstellungen zu übernehmen. Eventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, den Sachverhalt im vorliegenden Verfahren durch Befragung des Opfers durch eine Fachfrau und/oder durch ein Gutachten betreffend die Opfereigenschaft der Beschwerdeführerin abzuklären und für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts gemäss dem Untersuchungsgrundsatz nach Art. 29 Abs. 2 OHG zu sorgen. Subeventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, die Sache zur Durchführung der Sachverhaltsabklärung an die kantonale Opferhilfestelle zurückzuweisen. Die Vorinstanz sei weiter anzuweisen, die Sache zur weiteren Behandlung der Gesuche um Entschädigung und Genugtuung an die kantonale Opferhilfestelle zurückzuweisen. Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Beschlusses sei aufzuheben und das Sozialversicherungsgericht sowie die kantonale Opferhilfestelle seien anzuweisen, dem Opfer in der Person der Unterzeichneten eine unentgeltliche Rechtsvertreterin zu bestellen. Subeventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, die Frist zur Einreichung einer gekürzten Beschwerdeschrift wiederherzustellen. Das Sozialversicherungsgericht und die kantonale Opferhilfestelle haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Schreiben vom 7. Mai 2010 liess sich die Beschwerdeführerin unaufgefordert ein weiteres Mal vernehmen.