Sachverhalt: A. Y._ (geb. 1970) ist die Mutter des ausserehelichen Sohnes Z._ (geb. xxxx 1990). Erst im September 1999 gab sie die Identität des Kindsvaters bekannt und erlangten einerseits X._ (geb. 1947) - verheiratet und Vater zweier Kinder - Kenntnis von seinem ausserehelichen Sohn sowie andererseits Z._ von seinem Vater. Daraufhin erhob Z._ beim Bezirksgericht Brig eine Vaterschafts- und Unterhaltsklage gegen X._. Im Verlauf dieses Verfahrens anerkannte X._ im Mai 2001 Z._ als seinen Sohn. Das Bezirksgericht verpflichtete den Kindsvater mit Urteil vom 11. Dezember 2001 zu monatlichen Unterhaltsbeiträgen an seinen Sohn von Fr. 700.-- (ab 1. November 1999 bis zum vollendeten 12. Altersjahr), Fr. 750.-- (vom 13. Altersjahr bis zur Mündigkeit) und verwies für die Zeit nach der Mündigkeit des Kindes auf Art. 277 Abs. 2 ZGB. Der Kindsvater kam seiner Unterhaltspflicht gemäss Urteil vom 11. Dezember 2001 bis zum Eintritt des Sohnes in das Mündigkeitsalter nach, stellte die Zahlungen anschliessend aber ein. Im Sommer 2007 begann Z._ die Handelsmittelschule. B. Am 23. September 2009 reichte Z._ beim Bezirksgericht Brig eine Klage auf Mündigenunterhalt ein. Er beantragte, sein Vater sei zu verpflichten, ihm ausstehende Unterhaltsbeiträge für die Zeit vom 1. März 2007 bis Ende September 2009 in der Höhe von Fr. 23'250.-- nebst Zins zu 5% seit mittlerem Verfall sowie monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 750.-- ab 1. Oktober 2009 bis zum Abschluss seiner ersten ordentlichen Ausbildung zu bezahlen. X._ widersetzte sich der Klage. Mit Entscheid vom 23. September 2010 verpflichtete das Bezirksgericht X._, seinem Sohn ab 1. Oktober 2008 bis zum ordentlichen Abschluss der Erstausbildung im Sinne von Art. 277 Abs. 2 ZGB einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 750.-- zu bezahlen, wobei ausstehende Unterhaltsbeiträge seit 1. Oktober 2008 bis Ende September 2009 in der Höhe von insgesamt Fr. 9'000.-- zu 5% seit mittlerem Verfall zu verzinsen seien. Soweit weitergehend wies es die Klage ab. Es erachtete X._ als zu 3/4 unterliegend und auferlegte Z._ Gerichtskosten von Fr. 250.-- und X._ von Fr. 750.--. Es verpflichtete Z._ zu einer Parteientschädigung von Fr. 500.-- und X._ von Fr. 1'500.-- und setzte das Honorar der unentgeltlichen Rechtsbeiständin von Z._ (für den unterliegenden Teil von 1/4) auf Fr. 400.-- fest. C. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 25. Oktober 2010 Berufung an das Kantonsgericht Wallis. In der Sache beantragte er die Abweisung der Unterhaltsklage, eventualiter die Reduktion des festgesetzten Unterhalts. Dieser Berufung schlossen sich Z._ und dessen unentgeltliche Rechtsbeiständin bezüglich der Parteientschädigung und des amtlichen Honorars für die unentgeltliche Rechtsbeiständin mit Eingabe vom 8. November 2010 an. Mit Urteil vom 14. Mai 2012 wies das Kantonsgericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte die bezirksgerichtliche Gerichtskostenregelung. Die Anschlussberufung von Z._ hiess es teilweise gut, verpflichtete X._ zu einer Parteientschädigung für das bezirksgerichtliche Verfahren von Fr. 2'475.-- und Z._ zu einer solchen von Fr. 825.--. Das Honorar der unentgeltlichen Rechtsbeiständin von Z._ für das bezirksgerichtliche Verfahren erhöhte es auf Fr. 475.--. Sodann regelte es die Kosten und Entschädigungen des Berufungsverfahrens. D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 4. Juli 2012, der kantonsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Unterhaltsklage sinngemäss abzuweisen. Sodann seien die gesamten Kosten von Verfahren und Entscheid Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) aufzuerlegen und dieser habe ihm eine angemessene Parteientschädigung auszurichten. Zudem ersucht der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme dazu verzichtet (Schreiben vom 9. Juli 2012). Der Beschwerdegegner hat beantragt, das Gesuch abzuweisen (Vernehmlassung vom 16. Juli 2012) und hat gleichzeitig ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung eingereicht. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 18. Juli 2012 für die Unterhaltsbeiträge bis und mit Juni 2012 die aufschiebende Wirkung zuerkannt, das Gesuch im Übrigen jedoch abgewiesen. Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.