Sachverhalt: A. Der 1963 geborene G._ war als Elektromonteur in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 11. Juli 1994 stand er zum Kabeleinziehen in ca. 3 m Höhe auf einer Leiter, als diese wegrutschte. G._ fiel zu Boden, wobei er sich unter anderem an der linken Hand verletzte. Die SUVA gewährte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) und schloss den Fall unter Zusprechung einer Integritätsentschädigung mit gerichtlich bestätigtem Einspracheentscheid vom 16. September 1999 ab. Aufgrund von Rückfallmeldungen gewährte die SUVA erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügungen vom 2. April 2004 und 20. April 2005 stellte sie das Taggeld auf den 1. April 2004 und die Heilbehandlung auf den 1. Mai 2005 ein. Am 2. April 2004 verfügte sie eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 15 % und am 8. Juni 2005 eine ab 1. September 2004 laufende Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 14 %. Der Versicherte reichte gegen die Verfügungen betreffend Taggeld, Integritätsentschädigung und Invalidenrente je Einsprache ein. Die SUVA hiess die Einsprache betreffend Integritätsentschädigung teilweise gut, indem sie den dieser zugrunde liegenden Integritätsschaden auf 20 % erhöhte. Im Übrigen wies sie die Einsprachen ab (Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005). B. G._ erhob Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau führte eine öffentliche Verhandlung durch. Es erkannte sodann, dass der Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005 hinsichtlich der Integritätsentschädigung nicht angefochten sei und hiess die Beschwerde teilweise gut, indem es den Beginn der zugesprochenen Invalidenrente auf den 1. April 2004 festsetzte. Im Übrigen wies es die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab (Entscheid vom 15. März 2007). C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur neuen Verfügung an die SUVA zurückzuweisen, wobei mit Wirkung ab der Leistungseinstellung für die Dauer der Abklärungen erneut Taggeld nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % auszurichten sei; eventuell seien die gesetzlichen Leistungen nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 40 % ab wann rechtens und zuzüglich Verzugszins zuzusprechen. Weiter wird die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Parteibefragung verlangt. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Die Vorinstanz schliesst mit dem gleichen Antrag. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. G._ reicht nachträglich zwei Arztberichte ein. D. Mit Verfügung vom 28. Dezember 2007 lehnte das Bundesgericht Gesuche des Versicherten um Sistierung des Verfahrens und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.