Sachverhalt: A. A.X._ (geb. 1982) ist türkischer Staatsangehöriger. Er reiste am 19. November 1993 mit seiner Mutter und seiner Schwester als Asylsuchender in die Schweiz ein; am 8. Juli 1995 erhielt er die Niederlassungsbewilligung. In der Türkei heiratete er am 10. März 2008 seine Landsfrau B.X._ (geb. 1990), welche am 14. September 2008 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz einreiste. Ihre Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 14. September 2010 verlängert. Am 30. August 2010 wurde der gemeinsame Sohn C.X._ geboren. Das Strafgericht des Kantons Zug verurteilte A.X._ am 10. Juni 2009 wegen mehrfacher Gefährdung des Lebens, qualifizierter Sachbeschädigung, Hinderung einer Amtshandlung, grober Verletzung der Verkehrsregeln und Fahrens in fahrunfähigem Zustand (alle Taten begangen am 4. Dezember 2005) zu einer Freiheitsstrafe von 36 Monaten unter Aufschub des Vollzugs im Umfang von 18 Monaten und unter Festsetzung einer Probezeit von drei Jahren. Eine dagegen erhobene Berufung beim Obergericht des Kantons Zug (nachfolgend: Obergericht) blieb erfolglos; dieses erhöhte in seinem Urteil vom 19. Januar 2010 zudem die Probezeit auf vier Jahre. Das Urteil des Obergerichts wurde vom Bundesgericht am 23. April 2010 bestätigt. In der Folge reiste A.X._ in die Türkei aus, wo er sich per 1. Juni 2010 in psychiatrische Behandlung begab. Am 27. Oktober 2010 kehrte er in die Schweiz zurück und trat am 10. Januar 2011 den Strafvollzug in der Strafanstalt Wauwilermoos an. Aufgrund akuter psychiatrischer Probleme wurde er zwei Mal in die Psychiatrische Klinik des Kantons Luzern verlegt. Am 24. Oktober 2011 ordnete die Strafvollzugsbehörde die Versetzung ins Wohn- und Arbeitsexternat an mit der Auflage, sich einer ambulanten psychiatrischen Behandlung zu unterziehen. Am 8. Juli 2012 erfolgte die bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug. B. Am 6. Dezember 2011 widerrief das Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: Migrationsamt) die Niederlassungsbewilligung von A.X._, wies das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von B.X._ ab und wies beide weg. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (nachfolgend: Justiz- und Sicherheitsdepartement) wies die dagegen erhobene Beschwerde am 23. November 2012 ab und wies gleichzeitig das Migrationsamt an, C.X._ rückwirkend auf den 30. August 2010 eine Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 2. Mai 2013. C. A.X._, B.X._ und C.X._ erheben am 5. Juni 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben, A.X._ die Niederlassungsbewilligung zu belassen und B.X._ die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; allenfalls sei die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhalts an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Eventuell - bei einem Widerruf der Niederlassungsbewilligung - sei von einem sofortigen Vollzug der Wegweisung abzusehen und den Beschwerdeführendeneine angemessene Ausreisefrist anzusetzen. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso das Bundesamt für Migration. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Migrationsamt lassen sich nicht vernehmen. Mit Präsidialverfügung vom 13. Juni 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.