Sachverhalt: A. A.a In einem Testament vom 13. März 2003 errichtete der 1912 geborene X._, der in A._ und B._ heimatberechtigt und in C._ wohnhaft war, eine Stiftung im Sinne der Art. 80 ff. ZGB (Ziff. I der im Testament enthaltenen "Statuten"). Unter Ziff. III der "Statuten" bestimmte er Folgendes: "Zweck der Stiftung ist: Die Verwaltung und der weitere Ausbau der in Ziff. II genannten Investment-Gesellschaften mit dem Ziele: Den Nachkommen meiner Schwester Frau D._, ... insbesondere dem psychisch kranken und nicht zu einer Erwerbstätigkeit fähigen Sohn ... E._ z.Zt. F._ aber auch den Sohn G._ und der Tochter H._, zur Zeit F._, sowie Frau I._, deren Tochter K._, sowie deren allfälligen Nachkommen bei Erwerbsunfähigkeit durch Krankheit, Unfall, Invalidität, Arbeitslosigkeit etc. ein angemessenes Auskommen zu sichern. Nach Prüfung aller Voraussetzungen kann vom Stiftungsrat Beihilfe zum Existenzaufbau (Studium, Schulung etc. gewährt werden." In Ziff. IV der "Statuten" regelte der Stifter die Organisation wie folgt: "Die Stiftungsorgane sind der Stiftungsrat und die Kontrollstelle. Der Stiftungsrat setzt sich zusammen aus 3 Mitgliedern, und zwar aus zwei ständigen und einem nichtständigen Mitglied. Als ständige Stiftungsmitglieder gehören den Stiftungsrat an 1. Herr L._, ... 2. Herr N._, ... Als nichtständiges Mitglied des Stiftungsrates wird bestimmt: Herr Y._, A._. Die Amtszeit der ständigen Stiftungsräte ist unbefristet. Der nichtständige Stiftungsrat wird alle zwei Jahre durch die ständigen Stiftungsräte bestimmt. Sofern ein ständiger oder nichtständiger Stiftungsrat aus irgend einem Grund sein Mandat niederlegt, stirbt oder sonstwie handlungsunfähig wird, bestimmen die übrigen ständigen oder nicht ständigen Stiftungsräte seinen Nachfolger." Nachdem X._ gestorben war, traten die drei testamentarisch bestimmten Stiftungsräte am 3. Mai 2004 zusammen und wählten L._ zum Präsidenten. N._ erklärte am 30. Juli 2004 seinen sofortigen Rücktritt. A.b L._ hielt am 2. Januar 2006 an der Strasse O._ in A._, dem Sitz der Stiftung, im Beisein seiner Ehefrau M._ und von P._ (als Protokollführer), jedoch in Abwesenheit von Y._ eine Sitzung des Stiftungsrates ab, an der er als Nachfolgerin von N._ seine Ehefrau zum ständigen Mitglied des Stiftungsrates wählte. Gleichzeitig wurde auf den nächsten Tag, den 3. Januar 2006, eine weitere Sitzung des Stiftungsrates anberaumt. An dieser Sitzung waren wiederum die erwähnten drei Personen anwesend, und es wurde als nicht ständiges Mitglied des Stiftungsrates R._ gewählt und ferner beschlossen, dass die Stiftung ins Handelsregister einzutragen sei. Mit Schreiben vom gleichen Tag wurde Y._ mitgeteilt, dass er nicht mehr nicht ständiges Mitglied des Stiftungsrates sei. Die Stiftung wurde (erstmals) im Handelsregister ... eingetragen, wobei als Stiftungsräte L._ (mit Einzelunterschrift) sowie M._ und R._ (je mit Kollektivunterschrift) angeführt wurden. B. Mit Eingabe vom 14. Juni 2006 reichte Y._ beim Bezirksgericht A._ gegen die X._ Stiftung Klage ein und beantragte, - das Handelsregisteramt ... anzuweisen, die Stiftung zu löschen, allen falls M._ und R._ als Stiftungsräte zu löschen und ihn, Y._, als Stiftungsrat einzutragen, - die Wahl von M._ und R._ als Stiftungsräte nichtig zu erklären, allenfalls aufzuheben, und - festzustellen, dass er, Y._, Stiftungsrat sei. In seiner Replik vom 22. Januar 2007 ergänzte Y._ das bezüglich des Handelsregistereintrags eventualiter gestellte Klagebegehren dahin, dass er mit Kollektivunterschrift zu zweien einzutragen sei und dass beim Eintrag von L._ die Berechtigung zur Einzelunterschrift durch eine solche zur Kollektivunterschrift zu zweien zu ersetzen sei. Das Bezirksgericht wies mit Urteil vom 27. November 2007 das Handelsregisteramt an, die Stiftung zu löschen. Ferner wurde die Wahl von M._ und R._ in den Stiftungsrat aufgehoben und festgestellt, dass Y._ Stiftungsrat sei. Die Stiftung erhob Berufung mit den Rechtsbegehren, den bezirksgerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen; eventuell sei festzustellen, dass sie, die Stiftung, keine Familienstiftung sei. Das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich beschloss am 8. Juli 2008, dass auf den Berufungsantrag, festzustellen, dass die beklagte Stiftung keine Familienstiftung sei, nicht eingetreten werde. Im gleichzeitig gefällten Urteil bestätigte es den Entscheid des Bezirksgerichts. C. Die X._ Stiftung beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. September 2008, Beschluss und Urteil des Obergerichts aufzuheben, die Klage abzuweisen und festzustellen, dass sie keine Familienstiftung sei. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden. D. Durch Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2008 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.