Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 30. Mai 2003 schied das Bezirksgericht Prizren, Kosovo, die Ehe zwischen A.X._ und B.X._. Am 7. Oktober 2003 verfügte das Departement des Innern des Kantons Aargau, Sektion Bürgerrecht und Personenstand, die Anerkennung und Eintragung der ausländischen Scheidung in die Zivilstandsregister des Wohnortes von A.X._. B. Am 8. März 2004 reichte B.X._ beim Obergericht des Kantons Aargau Beschwerde ein und beantragte, die Verfügung vom 7. Oktober 2003 betreffend Anerkennung und Eintragung sei aufzuheben. Das Obergericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 1. Juni 2004 teilweise gut und hob die angefochtene Verfügung auf. C. A.X._ gelangt mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, soweit darin die Anerkennung und Eintragung des ausländischen Scheidungsurteils in die Zivilstandsregister verweigert worden ist. Weiter verlangt er, es sei festzustellen, dass die Ehe zwischen ihm und B.X._ rechtskräftig geschieden sei. Zudem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einschliesslich Verbeiständung. B.X._ schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Ferner stellt sie ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement hat auf eine Stellungnahme verzichtet.