Sachverhalt: A. Der am 22. Dezember 1942 geborene O._ arbeitete ab 1. April 2003 in einem Pensum von 50 % bei der A._ AG und war für die berufliche Vorsorge bei der Bernischen Pensionskasse (im Folgenden Pensionskasse oder BPK) versichert. Auf den 1. Juli 2005 wurde er vorzeitig pensioniert. Die Pensionskasse richtete ihm ab diesem Datum nebst einer Altersrente von Fr. 1564.25 eine Überbrückungsrente von Fr. 645.- (ab 1. Januar 2007 Fr. 663.-) im Monat aus. Vom 23. August 2007 bis 31. Dezember 2007 war O._ als Wirtschaftsprüfer im Umfang von 80 % beim Amt S._ angestellt und dabei für die berufliche Vorsorge bei der BPK versichert. Die Pensionskasse stellte in der Folge die Rückforderung der Überbrückungsrente für die Zeit vom 23. August bis 30. November 2007 in Aussicht, während auf die Rückforderung der Altersrente verzichtet werde. Mit Schreiben vom 17. Januar 2008 bestätigte die BPK, dass der Versicherte nach Beendigung des neuen Arbeitsverhältnisses Ende Dezember 2007 ab 1. Februar 2008 wieder Anspruch auf die Altersrente von monatlich Fr. 1564.25 habe. Von der Nachzahlung der Altersrente (Dezember 2007/Januar 2008) werde jedoch die Überbrückungsrente von total Fr. 2165.80, die während der Dauer der neuen Anstellung vom 23. August 2007 bis 30. November 2007 ausgerichtet wurde, zufolge Rückforderung in Abzug gebracht. Am 1. Februar 2008 reichte O._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die Pensionskasse sei zu verpflichten, ihm Fr. 663.- nebst Zins zu 5 % seit 4. Dezember 2007 sowie Fr. 2165.80 nebst Zins zu 5 % seit 4. Februar 2008 zu bezahlen. Die BPK schloss auf Abweisung der Klage und beantragte widerklageweise, der Versicherte sei zu verhalten, ihr die zwischen 23. August und 31. Dezember 2007 ausgerichteten Altersrenten im Betrag von Fr. 6674.15 zurückzuerstatten. Mit Entscheid vom 4. Juli 2008 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab, während es O._ in Gutheissung der Widerklage verpflichtete, der BPK einen Betrag von Fr. 6674.15 zu bezahlen. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Versicherte die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und erneuert das klageweise gestellte Rechtsbegehren. Während die BPK auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.