Sachverhalt: A. A._ ist Eigentümer der an der Schützenhausstrasse zwischen Rumentikon und Niederwil gelegenen Liegenschaft GBP 1626 Hagendorn (Gemeinde Cham). Die 2 262 m2 grosse Parzelle liegt in der Landwirtschafts- und der Landschaftsschutzzone der kommunalen Zonenordnung und ist mit einem 1968 bewilligten, 25,5 x 32,5 m grossen Schweinestall überbaut. Seit 2002 werden darin keine Schweine mehr gemästet. Das "Agility-Team B._" betreibt auf dem unüberbauten Teil der Liegenschaft (sowie der angrenzenden Parzelle GBP 1627 Hagendorn) einen Hundeausbildungsplatz und benützt Teile des ehemaligen Schweinestalls als Büro, Lager, etc. (Baubewilligung vom 14. Januar 2008). B. Am 20. Oktober 2009 erteilte die Gemeinde Cham, gestützt auf die Verfügung des Amts für Raumplanung des Kantons Zug (ARP) vom 17. September 2009, der C._ SA die Baubewilligung für den Umbau und die Umnutzung des Schweinestalls in ein stilles, d.h. nicht für den Publikumsverkehr geöffnetes Lager unter Bedingungen und Auflagen. Bei einer Baukontrolle vom 28. Januar 2010 stellte die Gemeinde Cham fest, dass die Umbauarbeiten der Baubewilligung nur teilweise entsprachen, verfügte einen Baustopp und verpflichtete die Bauherrschaft, ein Baugesuch für die nicht baubewilligungskonformen Änderungen einzureichen (Präsidialverfügung vom 29. Januar 2010, bestätigt mit Gemeinderatsbeschluss vom 9. Februar 2010). Am 2. März 2010 reichte die X._ AG als Rechtsnachfolgerin der C._ SA ein revidiertes Baugesuch ein. Das Baugesuch wurde im Amtsblatt publiziert, worauf die Pro Natura Zug, auch im Namen der Pro Natura Schweiz, am 30. März 2010 innert der Auflagefrist Einsprache erhob. Gestützt auf die Verfügung des kantonalen Amts für Raumplanung vom 18. Juni 2010 wies der Gemeinderat Cham am 29. Juni 2010 die Einsprache der Pro Natura Zug und der Pro Natura Schweiz ab, soweit er darauf eintrat, und bewilligte das Baugesuch unter Bedingungen und Auflagen. Am 29. Juli 2010 erhob die Pro Natura Zug, auch im Namen der Pro Natura Schweiz, Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit den Anträgen, die Verfügungen des ARP vom 18. Juni 2010 und des Gemeinderats Cham vom 29. Juni 2010 aufzuheben und die erteilte Baubewilligung zu verweigern. Eventuell seien Anordnungen zur Beseitigung der Restbauteile des alten Schweinestalls zu treffen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 30. November 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE), dieses verwaltungsgerichtliche Urteil aufzuheben, das Baugesuch der X._ AG vom 2. März 2010 abzuweisen und die Akten an die zuständige Bewilligungsbehörde (Art. 25 Abs. 2 RPG) zu überstellen zwecks neuer Verfügung im Sinn von Art. 24a Abs. 2 RPG. Ausserdem ersucht es, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. D. Am 15. Februar 2011 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. E. In ihrer Beschwerdeantwort beantragt die X._ AG, die Beschwerde abzuweisen. Den gleichen Antrag stellen das Verwaltungsgericht, die Gemeinde Cham und das ARP in ihren Vernehmlassungen. Die Pro Natura Zug und die Pro Natura Schweiz unterstützen die Anträge des ARE.