Sachverhalt: A. Die 1960 geborene K._ ist kosovarische Staatsangehörige und wohnt in Kosovo. Nachdem ihr am 22. September 1948 geborene Ehemann, ebenfalls kosovarischer Staatsangehöriger, am 30. Dezember 2011 verstorben war, meldete sie sich am 30. März 2012 (Eingang 23. April 2012) bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer Hinterlassenenrente an. Mit Verfügung vom 30. Juli 2012 teilte ihr die SAK mit, sie hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine Witwenrente in der Höhe von Fr. 464.- monatlich, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse ihr Antrag dennoch abgewiesen werden. Auf Einsprache hin hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 24. September 2012 daran fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde, mit welcher K._ geltend machte, sie und ihr verstorbener Ehemann hätten (auch) die "jugoslawische bzw. serbische Staatsbürgerschaft" besessen, hiess das Bundesverwaltungsgericht gut und sprach K._ eine monatliche Witwenrente von Fr. 464.- mit Wirkung ab 1. Januar 2012 zu (Entscheid vom 15. Januar 2013). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 15. Januar 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 24. September 2012 zu bestätigen. Das Bundesgericht setzte K._ auf dem internationalen Rechtshilfeweg eine Frist zur Bezeichnung eines Zustelldomizils und gleichzeitig zur Vernehmlassung. Der Empfang dieses Schreibens datiert vom 2. Juli 2013. Die gesetzte Frist von 30 Tagen lief in beider Hinsicht ungenutzt ab. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.