Sachverhalt: A. Z._ und Y._ heirateten am 14. April 1962. Aus ihrer Ehe gingen drei Kinder hervor, die heute volljährig sind. Am 8. Mai 1990 machte Y._ (Kläger) beim Bezirksgericht Zürich die Ehescheidungsklage anhängig. Die Beklagte beantragte ihrerseits die Scheidung. Durch Urteil des Bezirksgerichts Zürich (3. Abteilung) vom 28. November 1994 wurde die Ehe geschieden. Die Beklagte reichte Berufung ein, worauf das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich das Urteil am 29. Oktober 1996 aufhob und den Prozess zur Durchführung eines ergänzenden Beweisverfahrens und zu neuer Beurteilung an das Bezirksgericht zurückwies. Die Beklagte erhob auch gegen das vom Bezirksgericht am 30. März 1999 gefällte zweite Urteil Berufung, der Kläger hierauf Anschlussberufung. Das Berufungsverfahren wurde dem neuen Scheidungsrecht unterstellt. Mit Beschluss vom 20. April 2000 nahm das Obergericht (I. Zivilkammer) davon Vormerk, dass der Scheidungspunkt und ein Teil der Scheidungsfolgen mit Wirkung per 3. März 2000 in Rechtskraft erwachsen seien, und am 18. Juni 2001 entschied es in der Sache. In teilweiser Gutheissung einer Nichtigkeitsbeschwerde der Beklagten hob das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 30. September 2002 das Urteil vom 18. Juni 2001 auf und wies die Sache zur Neuentscheidung an das Obergericht zurück. Am 29. November 2002 fällte das Obergericht (I. Zivilkammer) - teilweise unter Hinweis auf seine Begründung im Entscheid vom 18. Juni 2001 - das folgende Urteil: 1. Der Kläger wird verpflichtet, der Beklagten als Entschädigung im Sinne von Art. 124 ZGB folgende Leistungen zu erbringen: a) Fr. 1'000.-- pro Monat, zahlbar monatlich und im Voraus mit Wirkung ab 3. März 2000 bis und mit Februar 2004 an die berufliche Vorsorgeeinrichtung der Beklagten (...). b) Fr. 1'000.-- pro Monat ab 1. März 2004, zahlbar monatlich und im Voraus an die Beklagte. c) Die Rentenverpflichtung gemäss lit. a und b hievor ist aktiv und passiv unvererblich und erlischt sowohl mit dem Ableben des Klägers als auch mit dem Ableben der Beklagten. Sie fällt bei einer allfälligen Wiederverheiratung der Beklagten nicht dahin. Sie unterliegt nicht der Indexanpassung gemäss Dispositiv-Ziffer 3 des am 3. März 2000 in Teilrechtskraft erwachsenen vorinstanzlichen Urteils vom 30. März 1999. 2. Der Kläger wird verpflichtet, der Beklagten eine Unterhaltsrente im Sinne von Art. 125 ZGB von Fr. 700.-- pro Monat zu bezahlen, zahlbar monatlich und im Voraus ab Rechtskraft dieses Urteils bis 7. Februar 2004. Diese Rente untersteht der Indexanpassung gemäss Dispositiv-Ziffer 3 des am 3. März 2000 in Teilrechtskraft erwachsenen vorinstanzlichen Urteils vom 30. März 1999. 3. a) Der Kläger wird verpflichtet, der Beklagten eine güterrechtliche Ausgleichszahlung von Fr. 40'531.20 zu bezahlen. b) Das Gesuch des Klägers, ihm für die Begleichung dieser Ausgleichszahlung Ratenzahlung zu gewähren, wird abgewiesen. 4. Die erstinstanzliche Regelung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziffern 8-10) wird bestätigt. 5. -7. (Kosten und Prozessentschädigung) 8. (Mitteilung) 9. (Rechtsmittelbelehrung)" Am 14. März 2004 beschloss das Kassationsgericht des Kantons Zürich, dass die vom Kläger hiergegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde als gegenstandslos geworden abgeschrieben werde. B. Gegen das Urteil des Obergerichts vom 29. November 2002 hatte die Beklagte ihrerseits mit Eingabe vom 16. Januar 2003 eidgenössische Berufung eingereicht. Sie verlangt die Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 1, 2, 4, 6 und 7 und stellt detaillierte neue Anträge. Mit Eingabe vom 30. April 2004 teilte der Anwalt der Beklagten dem Bundesgericht unter Beilage des vom Zivilstandsamt ausgestellten Todesscheines mit, der Kläger sei am 30. April (recte: 30. Mai) 2003 verstorben. Er erklärte, die Entscheidungsgrundlagen, auf denen das mit der Berufung angefochtene Urteil des Obergerichts vom 29. November 2002 und das vom 18. Juni 2001 datierende Urteil des gleichen Gerichts beruht hätten, würden durch den Tod des Klägers völlig über den Haufen geworfen. In einer persönlichen Eingabe vom 29. April 2004 hat die Beklagte aus ihrer Sicht einlässlich zur Sache Stellung genommen. Das mit der Durchführung der Liquidation des klägerischen Nachlasses betraute Konkursamt K._ teilte in seiner Berufungsantwort vom 27. Mai 2004 mit, die Erben hätten die Erbschaft ausgeschlagen und das Gerichtspräsidium K._ habe mit Verfügung vom 9. Dezember 2003 die konkursamtliche Liquidation der Hinterlassenschaft angeordnet; diese werde im summarischen Verfahren durchgeführt; während der Eingabefrist seien Forderungen von gesamthaft Fr. 1'887'604.85 geltend gemacht worden; von diesen Forderungen entfielen Fr. 1'833'304.-- auf die Beklagte aus BVG-, Renten- und Schadenersatzansprüchen; der Kollokationsplan sei bis heute nicht erstellt worden, da nach Auffassung des Konkursamtes die BVG- und Rentenansprüche nicht Bestandteil des Konkursverfahrens sein könnten; den angemeldeten Forderungen stünden admassierte Aktiven von Fr. 21'000.-- gegenüber und nach Abzug der Konkurskosten werde ein Betrag von rund Fr. 17'000.-- zur Verteilung gelangen. Durch Verfügung des Instruktionsrichters vom 3. Juni 2004 wurde der Beklagten die Gelegenheit eingeräumt, ihre Anträge im Lichte des Hinschieds des Klägers anzupassen und zur Berufungsantwort des Konkursamtes K._ Stellung zu nehmen. Mit Eingabe vom 10. Juni 2004 teilte der Anwalt der Beklagten dem Bundesgericht hierauf mit, dass er deren Interessen im Berufungsverfahren nicht mehr vertrete. Am 25. Juni 2004 nahm die Beklagte alsdann persönlich Stellung.