Sachverhalt: A. X._ ist Eigentümer eines Einfamilienhauses in Adligenswil. Am 12. Februar 2012 forderte der Gemeinderat von Adligenswil (nachfolgend: Gemeinderat) X._ auf, für die ausgeführte Erweiterung seines Wintergartens ein Baugesuch einzureichen. Mit Eingabe vom 2. März 2012 ersuchte X._ nachträglich um Bewilligung des nicht beheizten Wintergartens und reichte dazu die entsprechenden Baupläne ein. Mit Entscheid vom 5. Juli 2012 wies der Gemeinderat das Gesuch ab. Gegen den Bauabschlag erhob X._ am 25. Juli 2012 Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 28. September 2012 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. November 2012 beantragt X._, der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und sein nachträgliches Baugesuch sei zu bewilligen. Das Verwaltungsgericht stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Gemeinderat beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen und an seinem Standpunkt fest.