Sachverhalt: A. X._ (Beschwerdeführer 1) ist einzelzeichnungsberechtigter Präsident des im Handelsregister eingetragenen Vereins Y._ (Beschwerdeführer 2), der insbesondere den Schutz der Tiere bezweckt, eine Website ("www.y._.ch") betreibt und die "Y._-Nachrichten" herausgibt. Z._ (Beschwerdegegnerin) ist Moderatorin und Redaktorin der Tagesschau im Schweizer Fernsehen. Sie zeichnete in der Hauptausgabe vom 31. Dezember 2007 für einen Beitrag zum Jahreswechsel verantwortlich. Inhalt war unter anderem eine Sequenz über Foie gras und Hummer in St. Moritz. Der Beschwerdeführer 1 veröffentlichte dazu auf der Homepage des Beschwerdeführers 2 am 1. Januar 2008 einen mit Bildern ergänzten Text, der folgenden Wortlaut aufwies: Z._ - Tagesschau-Moderatorin Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft Genervt hat mich am Silvester in der Tagesschau wieder einmal die alternde Moderatorin Z._. Nicht wegen ihren immer grösseren, immer weniger überschminkbaren Augenringe, sondern wegen dem, was Sie schamlos aus ihrem grossen Maul lässt. Mit sichtlicher Freude und Bewunderung rapportierte sie, wie die dicksten Geldsäcke dieses Landes am Silvester in Luxushotels foie gras und Hummer-Schenkel und ähnlich perverse Delikatessen fressen. Man konnte ihr direkt ansehen, wie sie gerne auch dazu gehören würde. X._, Präsident Y._ Der Beschwerdeführer 1 fragte die Beschwerdegegnerin Ende September 2008 schriftlich an, ob sie sich Botulinumtoxin (bekannt unter dem Namen Botox) spritze. Die Beschwerdegegnerin erteilte dem Beschwerdeführer 1 keine Auskunft und forderte ihn vielmehr auf, die sie betreffenden Publikationen im Internet zu entfernen. Der Beschwerdeführer 1 kam der Aufforderung grösstenteils nicht nach und veröffentlichte am 13. Oktober 2008 einen weiteren Artikel auf der Homepage des Beschwerdeführers 2 mit nachstehendem Inhalt: Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens Botox basiert auf grausamer Tierquälerei. (...) Seit der Verein Y._ in einer kritischen Glosse über den wohlwollenden Kommentar von Tagesschau-Moderatorin Z._ zur Neujahrs-Foie-Gras- und Hummer-Fresserei der noblen Gesellschaft in der Silvester-Tagesschau auch deren Augenringe erwähnt hat, zeigt sich Z._ mit einer auffällig gestrafften Gesichtshaut. Auf die Anfrage, ob sie sich gegen ihre Falten Botox spritzen lasse, dementierte sie dies nicht, sondern liess durch ihren Anwalt mitteilen, der Verein Y._ müsse diese Glosse zur Silvestertagesschau aus dem Internet entfernen. Der Verein Y._ wird dies nicht tun. Der Beitrag vom 13. Oktober 2008 wurde mehrfach aktualisiert und ergänzt. In einer Fassung vom 24. März 2009 wird dem Leser unter anderem die Frage gestellt "Wie hässlich ist die Botox-Moderatorin Z._ wirklich?" Die Beiträge sind mit Abbildungen der Beschwerde-gegnerin versehen, erstellt ab dem Fernsehbildschirm mittels einer Kamera oder als Bildschirmkopie eines Computers. B. B.a Am 17./20. April 2009 erhob die Beschwerdegegnerin eine Klage wegen Persönlichkeitsverletzung. Sie beantragte die Feststellung, dass die Publikationen auf den Seiten http://www.y._.ch/news2008/080101-Z._-SF.htm und http://www.y._.ch/news2008/081013-botox.htm sowie weitere einzeln aufgezählte Äusserungen und Abbildungen ihre Persönlichkeit verletzten (Ziff. 1 der Klagebegehren). Sie beantragte, den Beschwerdeführern - unter Androhung der Straffolgen von Art. 292 StGB - gerichtlich zu verbieten, öffentliche Äusserungen des nämlichen oder ähnlichen Inhalts wie in den unter Ziff. 1 genannten Publikationen zu veröffentlichen und insbesondere sie in Zusammenhang mit Tierquälerei und Botox-Präparaten zu stellen, insbesondere durch Äusserungen, die ihr den Gebrauch oder die Billigung von Botox unterstellten (Ziff. 2 der Klagebegehren). Die Beschwerdeführer seien solidarisch zu verpflichten, ihr Fr. 15'000.-- unter dem Titel der Genugtuung zu leisten (Ziff. 3 der Klagebegehren). B.b Die Beschwerdeführer schlossen auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Klage. Sie beantragten widerklageweise, es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin durch die öffentlich zur Schau gestellte Verwendung von Botox bzw. auch nur durch das Erwecken des Anscheins, Botox zu verwenden, die Persönlichkeit des Beschwerdeführers 1 verletze, und es sei der Beschwerdegegnerin gerichtlich zu verbieten, durch ihr öffentliches Auftreten und Verhalten zum Ausdruck zu bringen oder auch nur den Anschein zu erwecken, dass sie das mit der Herstellung des Antifalten-Mittels Botox verbundene Leiden von Versuchstieren in irgendeiner Art in Kauf nehme, unterstütze oder befürworte. B.c Das Bezirksgericht Meilen wies den Antrag der Beschwerdegegnerin ab, es sei für die weiteren Parteivorträge das schriftliche Verfahren anzuordnen, eventualiter sei die Öffentlichkeit von der mündlichen Verhandlung auszuschliessen (Beschluss vom 2. September 2009). Die öffentliche Hauptverhandlung mit mündlichen Parteivorträgen fand am 21. Januar 2010 statt. Mit Beschluss vom 20. April 2010 trat das Bezirksgericht auf Ziff. 1 der Klagebegehren (Feststellung der Persönlichkeitsverletzung) nicht ein. Unter Androhung der Bestrafung gemäss Art. 292 StGB im Widerhandlungsfall erteilte das Bezirksgericht den Beschwerdeführern die Weisung, die in Ziff. 1 der Klagebegehren genannten Publikationen aus dem Internet zu entfernen und die Veröffentlichung von Äusserungen desselben oder ähnlichen Inhalts zu unterlassen. Das Begehren auf Leistung von Genugtuung und die Widerklage wies das Bezirksgericht ab (Urteil vom 20. April 2010). B.d Gegen das bezirksgerichtliche Urteil legten die Beschwerdeführer eine Berufung ein, der sich die Beschwerdegegnerin anschloss. Das Obergericht des Kantons Zürich wies den Antrag der Beschwerdeführer auf Durchführung einer mündlichen öffentlichen Berufungsverhandlung ab (Beschluss vom 29. Juli 2010). B.e Nach Durchführung des Schriftenwechsels urteilte das Obergericht in der Sache gleich wie zuvor das Bezirksgericht. Es erteilte den Beschwerdeführern den Befehl, die Publikationen folgenden, in Wort und Bild wiedergegebenen Inhalts aus dem Internet zu entfernen (Dispositiv-Ziff. 1 S. 86-111), nämlich: a) die unter den Adressen http://www.y._.ch/news2008/080101-Z._-SF.htm und http://www.y._.ch/news2008/081013-botox.htm veröffentlichten Texte und Bilder, b) den Text vom 1. Januar 2008 mit Bildern und dem Titel "Z._ - Tagesschau-Moderatorin / Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft", c) den Text vom 13. Oktober 2008, aktualisiert am 5. November 2008, mit dem Titel "Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens", d) die Bilder mit dem Titel "Z._, Moderatorin des Schweizer Fernsehens", e) den Text vom 13. Oktober 2008, letztmals aktualisiert am 24. März 2009, mit Bildern und dem Titel "Die Botox-Moderatorin des Schweizer Fernsehens / Repräsentantin einer dekadenten Gesellschaft", und f) den Text vom 1. Januar 2008 mit Bildern, einem Link "News-Verzeichnis" und mit dem Titel "Z._ - Tagesschau-Moderatorin / Repräsentantin einer degenerierten Gesellschaft". Das Obergericht erliess gegen die Beschwerdeführer das Verbot, Äusserungen des Inhalts, wie er in den vorgenannten, wiederum abgedruckten Texten und Bildern enthalten ist, oder eines sinngemäss gleichen Inhalts zu veröffentlichen (Dispositiv-Ziff. 2 S. 112-135). Es drohte dem Beschwerdeführer 1 bzw. den für den Beschwerdeführer 2 handelnden Organen für den Fall, dass sie dem Befehl und dem Verbot nicht nachkommen sollten, die Bestrafung wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung (Art. 292 StGB, Busse bis Fr. 10'000.--) an (Dispositiv-Ziff. 3 S. 136). Schliesslich wies das Obergericht das Begehren der Beschwerdegegnerin auf Leistung von Genugtuung und die Widerklage der Beschwerdeführer ab (Dispositiv-Ziff. 4 und 5 S. 136 des Urteils vom 1. November 2011). C. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2011 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, die Klage abzuweisen und die Widerklage gutzuheissen, eventualiter die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Auf Gesuch der Beschwerdeführer hin hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Beschwerdeverfahren bis zum obergerichtlichen Entscheid über das Erläuterungsgesuch der Beschwerdeführer sistiert (Verfügung vom 20. Dezember 2011). Das Obergericht hat das Erläuterungsgesuch abgewiesen (Beschluss vom 30. Januar 2012). Die Beschwerdeführer haben dazu am 17./20. Februar 2012 eine Stellungnahme eingereicht. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden.