Sachverhalt: A. Der 1962 geborene R._, deutscher Staatsangehöriger mit Wohnsitz in X._, war als Mitarbeiter der S._ AG, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 2. Dezember 2004 auf einer Baustelle der B._ AG, von einem Dach fiel. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 21. November 2008 und Einspracheentscheid vom 21. April 2009 sprach die Anstalt dem Versicherten für die Restfolgen des Unfalles eine (Komplementär-)Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % und einem versicherten Jahresverdienst von Fr. 3'420.- und eine Integritätsentschädigung - vorerst für die Hörstörung - aufgrund einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Bei der Berechnung des versicherten Verdienstes ging die SUVA davon aus, der Einsatzvertrag des Versicherten sei auf drei Wochen befristet gewesen. B. Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 10. Februar 2010 in dem Sinne teilweise gut, als es den Einspracheentscheid der SUVA aufhob und die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes im Sinne der Erwägungen an die Versicherung zurückwies. Dabei erwog das kantonale Gericht, der Einsatzvertrag des Versicherten sei auf drei Monate befristet gewesen. C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides. Während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt R._ die Abweisung der Beschwerde; die SUVA sei zu verpflichten, die Leistungen unter Zugrundelegung eines unbefristeten Arbeitsverhältnisses auszurichten. Gleichzeitig stellt R._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. D. Im Rahmen des ihnen vom Bundesgericht gewährten rechtlichen Gehörs haben sowohl die SUVA als auch R._ Stellung genommen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet weiterhin auf eine Vernehmlassung. E. Das Bundesgericht hat am 15. Dezember 2011 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.