Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführerin) trat am 1. Mai 2006 ihre Stelle als Pflegehelferin SRK bei der X._ GmbH (Beschwerdegegnerin) an. Im ersten Dienstjahr konnte das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von einem Monat auf das Ende eines Kalendermonates gekündigt werden. In der Nacht vom 15. auf den 16. Dezember 2006 war die Beschwerdeführerin zur Nachtwache eingeteilt. Sie erhielt von Frau B._, der vor ihr diensttuenden Pflegehelferin, einen Notizzettel mit den Anweisungen, wie sie die tags zuvor gestürzte Patientin C._ zu pflegen hatte. Aus den Kardexeinträgen sind in der fraglichen Nacht keine Kontrollgänge der Beschwerdeführerin bei der Patientin C._ ersichtlich. Im von ihr geführten Notizbüchlein sind nur die drei Hauptrundgänge um 24.00 Uhr, 03.15 Uhr sowie 05.20 Uhr eingetragen. In den frühen Morgenstunden des 16. Dezembers 2006 stürzte die Patientin C._ aus ihrem Bett auf den unbeheizten Fussboden. Die Beschwerdeführerin ging, nachdem sie ein Geräusch aus dem Babyphone gehört hatte, zu der Patientin C._, lagerte sie und deckte sie zu. Sodann stillte sie die Blutung am Kopf und deckte sie mittels Druckverband ab. Die Beschwerdeführerin alarmierte die Pflegefachfrau D._ nicht sofort, sondern wartete, bis diese ihre Arbeit antrat. Normalerweise trat Frau D._ ihre Arbeit um 7.30 Uhr an. An jenem Tag erschien sie etwas früher, d.h. ca. um 7.20-7.25 Uhr. Am 17. Dezember 2006 kündigte die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin nach einem Gespräch fristlos. Ihr wurde vorgeworfen, in der Nachtwache vom 15. auf den 16. Dezember 2006 die Weisung missachtet zu haben, die Patientin C._ stündlich zu kontrollieren. Zudem habe sie trotz Vernehmens eines Geräusches aus dem Zimmer der Patientin C._ diese nicht sofort aufgesucht und dann, als sie die Patientin verletzt vorgefunden habe, völlig falsch reagiert und die ganze Situation, welche als Notfall zu qualifizieren gewesen sei, falsch eingeschätzt. Insbesondere habe sie weisungswidrig nicht die diensthabende Pflegefachfrau alarmiert und die Patientin C._ während längerer Zeit alleine auf dem Fussboden liegen lassen. Zudem habe sie eine eigensinnige und unprofessionelle Denkweise an den Tag gelegt und sei mehrere Male wegen Missachtung der Weisung zur Toilettenbegleitung verwarnt worden. B. Mit Klage vom 18. Juni 2007 beantragte die Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, der Beschwerdeführerin Fr. 5'549.80 (Bruttolöhne Dezember 2006 [Restbetrag] und Januar 2007 inkl. Anteil 13. Monatslohn) zuzüglich Zins zu 5 % seit 18. Dezember 2006 und einen gerichtlich zu bestimmenden, Fr. 11'000.-- erreichenden Betrag gemäss Art. 337c Abs. 3 OR zuzüglich Zins zu 5 % seit 18. Dezember 2006 zu bezahlen. Zudem sei die Beschwerdegegnerin zu verurteilen, der Beschwerdeführerin ein Arbeitszeugnis gemäss Klagbeilage 20 auszustellen. Mit Urteil vom 19. März 2008 verpflichtete der Gerichtspräsident 2 des Gerichtskreises III Aarberg-Büren-Erlach die Beschwerdegegnerin zur Vornahme gewisser Anpassungen des Arbeitszeugnisses (Dispositiv-Ziffer 1). Soweit weitergehend wies er die Klage ab. Dagegen appellierte die Beschwerdeführerin an das Obergericht des Kantons Bern. Dessen Appellationshof, 1. Zivilkammer, stellte mit Urteil vom 17. Juni 2008 fest, dass Ziffer 1 des erstinstanzlichen Urteils (betreffend Arbeitszeugnis) in Rechtskraft erwachsen sei. Soweit weitergehend wies das Obergericht die Klage ab. Wie schon die erste Instanz erblickte es darin, dass die Beschwerdeführerin die pikettdiensthabende Pflegefachfrau trotz dem für sie erkennbaren Vorliegen eines Notfalls nicht alarmierte, eine massive Verletzung der Berufspflichten einer Pflegehelferin SRK, die einen wichtigen Grund zur Kündigung darstelle. Der Beschwerdegegnerin habe die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses bis zum nächsten ordentlichen Kündigungstermin weder in subjektiver noch objektiver Hinsicht zugemutet werden können. Die fristlose Entlassung sei daher zulässig gewesen, weshalb die Klage bezüglich Lohnzahlung und Entschädigung abzuweisen sei. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen sinngemäss, den Entscheid des Obergerichts vom 17. Juni 2008 aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.