Sachverhalt: A. Der mazedonische Staatsangehörige A.X._, geb. 1959, reiste im Jahre 1981 in die Schweiz ein. Seine Ehefrau B.X._, geb. 1966, ebenfalls mazedonische Staatsangehörige, gelangte 1987 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz. 1986 wurde der Sohn C._, 1991 die Tochter D._ geboren. Die ganze Familie erhielt in der Folge die Niederlassungsbewilligung. B. Am 30. November 2007 verfügte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Ausweisung von A. und B.X._ sowie der gemeinsamen Tochter D._ für die Dauer von drei Jahren wegen fortgesetzter und erheblicher Sozialhilfeabhängigkeit. Das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau wies am 23. Dezember 2008 einen dagegen erhobenen Rekurs ab. C. Am 23. September 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine bei ihm eingereichte Beschwerde hinsichtlich der Tochter D.X._ gut, wies sie hingegen betreffend die Eltern A. und B.X._ ab. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht stellen A. und B.X._ die folgenden Anträge: "1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts Thurgau vom 23.9.09 (...) (gleich wie die vorangegangenen Entscheidungen des Migrationsamtes Thurgau vom 30.11.07 sowie des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau vom 23.12.08) betreffend Ausweisung seien aufzuheben. 2. a) Von einer Ausweisung sei abzusehen, und es sei den erwähnten Personen die Niederlassungsbewilligung erneut zu erteilen. b) Eventualiter sei ihnen die Niederlassungsbewilligung mit geeigneten Auflagen und Vorbehalten bzw. auf Zusehen hin zu gewähren. c) Subeventualiter sei ihnen zu allermindest eine Jahresaufenthaltsbewilligung (soweit erforderlich mit Bedingungen und Auflagen) zu gewähren. 3. Eventuell sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung im Sinne der vorstehenden Anträge (...) an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen. (...)" E. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, das Urteil des Verwaltungsgerichts verstosse gegen Gesetzesrecht des Bundes und verletze verschiedene Grund- und Menschenrechte wie Art. 8 EMRK sowie Art. 7, 8, 9, 13 und 29 Abs. 2 BV. F. Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. G. A. und B.X._ reichten mehrere weitere Eingaben unter Beilegung verschiedener Unterlagen nach, die meist aus parallelen sozialversicherungsrechtlichen Verfahren stammen. H. Mit Verfügung vom 20. November 2009 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. I. Am 11. Januar 2010 wies der Instruktionsrichter ein Begehren der Beschwerdeführer um Sistierung des Beschwerdeverfahrens ab.