Sachverhalt: A. A.a. F._ (geb. 2003) ist die Tochter von A._ und B._. Mit Verfügung vom 9. Januar 2009 ordnete das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt im Rahmen eines Eheschutzverfahrens zur Überwachung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Tochter die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 ZGB an. Gleichzeitig wurde die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde G._ angewiesen, die Erziehungsbeistandschaft zu errichten. A.b. Im Mai 2009 wurde die Mandatsführung interimistisch H._, Sozialarbeiterin FH, übertragen. Am 8. September 2009 setzte die Sozialkommission E._ I._, Sozialarbeiterin FH, als Beiständin für F._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2009 ein. Diese Beiständin wurde am 30. März 2010 wegen krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit aus dem Amt entlassen. Neu wurde die Mandatsführung per 31. März 2010 D._ von der Beratungsstelle J._ GmbH übertragen. A.c. Am 26. Februar 2013 kündigte die Einwohnergemeinde G._ die "Auftragsvereinbarung" mit der J._ GmbH vom 16./19. Dezember 2011 per 31. Mai 2013. Mit Schreiben vom 10. April 2013 an A._ hielten die Sozialen Dienste E._ fest, dass A._ von der Firma J._ GmbH über den Wechsel des Beistands von F._ per 1. Juni 2013 informiert worden sei. Die Sozialen Dienste wiesen darauf hin, dass als neue Beiständin ab 1. Juni 2013 C._ vorgesehen sei, und informierten A._ ausserdem über ihre Möglichkeit, zur Einsetzung von C._ Stellung zu nehmen und eine eigene Vertrauensperson vorzuschlagen. B. B.a. Mit Eingabe vom 17. April 2013 beantragte der Rechtsvertreter von A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn (im Folgenden: KESB Region Solothurn), die Sozialen Dienste E._ darauf hinzuweisen, dass eine Entlassung des bisherigen Beistandes ausschliesslich in die Kompetenz der KESB falle. Allfällige Anträge der Sozialen Dienste auf Entlassung des bisherigen Beistandes seien abzuweisen. B.b. Am 23. April 2013 beantragten die Sozialen Dienste E._ bei der KESB Region Solothurn, die Beistandschaft für F._ sei aufgrund der Kündigung des Vertrages mit der J._ GmbH per 1. Juni 2013 auf C._ zu übertragen. D._ beantragte unter anderem, "keinen Mandatswechsel vorzunehmen". B.c. Am 7. Juni 2013 fand vor der KESB eine Anhörung der Kindsmutter statt. Sie sprach sich für die Beibehaltung des bisherigen Beistandes D._ aus. Der Kindsvater verzichtete auf eine persönliche Anhörung, vereinbarte jedoch mit C._ für den 13. Juni 2013 einen Gesprächstermin. Mit E-Mail vom 14. Juni 2013 teilte er der KESB Region Solothurn mit, dass er mit der Einsetzung von C._ als neuer Beiständin einverstanden sei. B.d. Mit Entscheid vom 20. Juni 2013 übertrug die KESB Region Solothurn die Beistandschaft für F._ zur Weiterführung an C._ von der K._ GmbH, unter Beibehaltung des bisherigen Aufgabenkreises. Nebst weiteren Anweisungen an die neue Beiständin bat die KESB den bisherigen Beistand D._, seinen Schlussbericht per 31. Mai 2013 einzureichen, wobei festgehalten wurde, dass die Entlassung mit der Berichtsgenehmigung erfolgen werde. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. C. C.a. Gegen den Entscheid der KESB Region Solothurn vom 20. Juni 2013 führte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Der Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vom 20. Juni 2013 sei vollumfänglich aufzuheben. 2. Es sei festzustellen, dass Herr D._ nach wie vor als Beistand von F._, geb. 2003, eingesetzt sei. 3. Eventualiter sei Herr D._, c/o J._ GmbH, als Beistand gemäss Art. 308 ZGB für F._, geb. 2003, zu ernennen. 4. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen." C.b. Mit Verfügung vom 23. August 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. C.c. Am 17. September 2013 bat das Verwaltungsgericht D._ sowie die Sozialen Dienste der Sozialregion E._, sich zu einer allfälligen Weiterführung der Beistandschaft durch D._ und insbesondere zur Frage zu äussern, ob dieser die Beistandschaft als Privatbeistand weiterführen könne. Mit Schreiben vom 27. September 2013 erklärte sich D._ dazu bereit. Die Sozialen Dienste der Sozialregion E._ hielten in ihrer Eingabe vom 30. September 2013 fest, dass eine Zusammenarbeit mit D._ aufgrund schlechter Erfahrungen kaum möglich erscheine. C.d. Mit Urteil vom 11. November 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. D. D.a. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2013 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil des Verwaltungsgerichtes vollumfänglich aufzuheben. In Aufhebung des Entscheides der KESB Region Solothurn vom 20. Juni 2013 sei festzustellen, dass D._ nach wie vor als Beistand von F._ eingesetzt ist. Eventualiter sei D._ als Beistand gemäss Art. 308 ZGB für F._ zu ernennen. D.b. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten sowie Vernehmlassungen bei B._, der Vorinstanz, der KESB Region Solothurn, der Einwohnergemeinde G._, C._ und D._ eingeholt. C._ und B._ liessen sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz beantragt mit Eingabe vom 10. Februar 2014 (Datum der Postaufgabe), die Beschwerde kostenfällig abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. In gleicher Weise äusserte sich die KESB in ihrer Vernehmlassung vom 21. Februar 2014, in der sie an ihrem Entscheid vom 20. Juni 2013 festhielt. Die Einwohnergemeinde G._ äusserte sich in ihrer Eingabe vom 6. Februar 2014 (Datum der Postaufgabe) zur Begründung der Beschwerde, ohne einen Antrag in der Sache zu stellen. D._ äusserte sich in seiner Vernehmlassung vom 13. März 2014 "als ehemaliger Beistand" und bekräftigte seinen Standpunkt, wonach kein Grund für einen Mandatswechsel bestanden habe; einen formellen Antrag stellte er nicht. Das Bundesgericht hat die Vernehmlassungen der Beschwerdeführerin sowie den übrigen am Verfahren Beteiligten zur Wahrung des Replikrechts zur Kenntnis gebracht.