Sachverhalt: A. Die 1955 geborene R._ arbeitete vom 1. März 1976 bis 30. September 2005 als Hilfsgoldschmiedin/Mitarbeiterin in der Materialverwaltung bei der Firma X._ AG. Anfang Oktober 2006 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle Luzern klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Am 19. Juli 2007 wurde R._ von Dr. med. S._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), untersucht. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle R._ mit Verfügung vom 7. Januar 2008 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 56 % ab 1. August 2006 eine halbe Rente zu. B. Die Beschwerde der R._ mit dem Antrag auf Zusprechung einer ganzen Rente ab 1. August 2006 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 22. Juli 2009 ab. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 22. Juli 2009 sei aufzuheben und ihr ab 1. August 2006 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Die IV-Stelle und das kantonale Gericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.