Sachverhalt: A. Am 18. Mai 2011 stellte die Schweizerische Eidgenossenschaft, vertreten durch das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO), Strafantrag gegen die Verantwortlichen der Firma Y._ wegen des Verdachts von Widerhandlungen gegen das Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb (UWG). In der Folge eröffnete die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts des gewerbsmässigen Betruges, von Widerhandlungen gegen das UWG und von weiteren Delikten. B. Gestützt auf ein Rechtshilfeersuchen der Staatsanwaltschaft edierte eine Bank in Liechtenstein diverse Bankunterlagen der Firmen Y._ und Z._. Am 31. Mai 2012 (Zustellung: 15. Juni 2012) übermittelte das liechtensteinische Fürstliche Landgericht die Unterlagen an die Staatsanwaltschaft. C. Am 21. Juni 2012 stellten der Beschuldigte und die genannten Firmen (nachfolgend: Gesuchsteller) bei der Staatsanwaltschaft ein Gesuch um Siegelung der edierten Bankunterlagen. Mit Entscheid vom 22. Juni 2012 wies die Staatsanwaltschaft das Siegelungsgesuch ab. D. Gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 22. Juni 2012 erhoben die Gesuchsteller am 3. Juli 2012 Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Gleichzeitig stellten sie den Antrag auf vorsorgliche Massnahmen bzw. einstweilige Siegelung der Bankunterlagen für die Dauer des kantonalen Beschwerdeverfahrens. Mit prozessleitender Verfügung vom 11. Juli 2012 wies der Präsident der Anklagekammer den Antrag ab. E. Am 27. Juli 2012 erhoben die Gesuchsteller beim Staatsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein Beschwerde gegen die rechtshilfeweise Edition der Bankakten. Mit prozessleitender Verfügung vom 10. August 2012 gab der Präsident des liechtensteinischen Staatsgerichtshofs (im Sinne einer vorsorglichen Massnahme) folgenden Auftrag an das liechtensteinische Fürstliche Landgericht: Binnen einer Woche habe das Landgericht bei der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen (als ersuchender Behörde im Rechtshilfeverfahren) "die schriftliche Zusicherung einzuholen", dass sie die rechtshilfeweise erhobenen Originalunterlagen bis zur Erledigung des Beschwerdeverfahrens vor dem Staatsgerichtshof "in keiner wie immer gearteten Weise verwenden und verwerten wird". Mit Schreiben vom 3. September 2012 ersuchte das liechtensteinische Fürstliche Landgericht die Staatsanwaltschaft um schriftliche Bestätigung, dass sie die rechtshilfeweise edierten Originalunterlagen bis zur Erledigung des Beschwerdeverfahrens vor dem Staatsgerichtshof "in keiner wie immer gearteten Weise verwenden und verwerten" werde. F. Gegen die prozessleitende Verfügung vom 11. Juli 2012 der Verfahrensleitung der Anklagekammer gelangten die Gesuchsteller mit Beschwerde vom 13. August 2012 an das Bundesgericht. Mit prozessleitender Verfügung 6. September 2012 wies das Bundesgericht die Staatsanwaltschaft an, die rechtshilfeweise edierten Bankunterlagen für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens zu siegeln (Verfahren 1B_464/2012). G. Am 7. September 2012 teilte die Staatsanwaltschaft dem liechtensteinischen Fürstlichen Landgericht mit, dass sie über die gewünschte Bestätigung nach Eingang des Urteils des Bundesgerichtes in der Sache entscheiden werde. Am 11. September 2012 erfolgte die einstweilige Siegelung der Bankunterlagen. H. Am 7. März 2013 hiess das Bundesgericht (im Verfahren 1B_464/2012) die Beschwerde gut. Es hob die prozessleitende Verfügung vom 11. Juli 2012 auf und wies die Verfahrensleitung der Anklagekammer an, den Gesuchstellern im hängigen kantonalen Beschwerdeverfahren den vorsorglichen Rechtsschutz zu gewähren. I. Am 17. April 2013 stellte die Staatsanwaltschaft beim kantonalen Zwangsmassnahmengericht ein Gesuch um Entsiegelung der Bankunterlagen und Freigabe zur Durchsuchung. Am 14. Mai 2013 schrieb die Anklagekammer das hängige Beschwerdeverfahren gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 22. Juni 2012 infolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. J. Am 2. Juli 2013 teilte das liechtensteinische Fürstliche Landgericht der Staatsanwaltschaft mit, dass der liechtensteinische Staatsgerichtshof unterdessen die Rechtmässigkeit der Übermittlung der edierten Bankunterlagen bestätigt habe. K. Mit Entscheid vom 25. Juli 2013 hiess der Zwangsmassnahmenrichter des Kantons St. Gallen das Entsiegelungsgesuch vom 17. April 2013 gut. L. Gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmenrichters vom 25. Juli 2013 gelangten der Beschuldigte und die zwei oben genannten Firmen mit Beschwerde vom 26. August 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Herausgabe der versiegelten Bankunterlagen. Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 4. September 2013 die Abweisung der Beschwerde. Der kantonale Zwangsmassnahmenrichter liess sich am 12. September 2013 vernehmen. Die Beschwerdeführer replizierten am 18. Oktober 2013.