Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in Vaduz, Fürstentum Liechtenstein, bezweckt gemäss dem Eintrag in das Öffentlichkeitsregister vom 22. April 2001 "den Erwerb und Betrieb eines Hubschraubers, Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäfte aller Art, Beteiligung an anderen Unternehmungen sowie Ankauf und Verkauf von Mobilien und Immobilien". Wirtschaftlich Berechtigter ist A._. Die Gesellschaft ist mit Wirkung ab 1. Januar 2002 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen bei der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein eingetragen. Im Dezember 2001 erwarb die Gesellschaft einen Helikopter der Marke und des Typs Agusta A 109E, wobei die Finanzierung durch A._ erfolgte und die Verbindlichkeiten in der Buchhaltung der Gesellschaft als Kreditor Aktionär bilanziert wurden. Am 13. Oktober 2001 schloss die Gesellschaft mit der O._ AG eine Vereinbarung über die Betriebsführung des Helikopters ab. Dieser wurde zumindest anfänglich überwiegend für A._ verwendet. In den Jahren 2002 bis 2004 deklarierte die Gesellschaft Umsatzsteuern und Vorsteuerabzüge dergestalt, dass sich ein Steuerguthaben von insgesamt Fr. 447'735.-- ergab, wobei davon Fr. 469'484.-- (betreffend 2002) von der Steuerverwaltung ausbezahlt wurden. B. Mit Verfügung vom 16. November 2005 setzte die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein die Vorsteuern für die Steuerperioden 1. Quartal 2002 bis 4. Quartal 2005 auf je Fr. 0 fest, stellte fest, dass das Konto der X._ AG per 16. November 2005 einen Saldo von Fr. 492'394.65 zu Gunsten der Steuerverwaltung ausweise und löschte die X._ AG mit Wirkung ab 1. Januar 2002 im MWST-Register. Zur Begründung führte die Steuerverwaltung im Wesentlichen aus, es liege eine Steuerumgehung vor, zumal die Gesellschaft sich praktisch auf eine Buchungsstelle, ohne eigenes Personal, beschränke. Es würden darin einzig die eingehenden Rechnungen verbucht und bezahlt. Weitere Aufgaben erfülle die Gesellschaft nicht. Wirtschaftlich bestünde kein Unterschied, mit Ausnahme eines etwaigen Haftungsrisikos, wenn der Helikopter in Form einer Einzelfirma geführt würde, da sämtliche Finanzierungen der Aufwendungen von A._ getätigt würden. C. Die von der X._ AG gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wurde von der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein am 13. April 2006 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein am 10. Juni 2008 ab. Gegen den Entscheid der Landessteuerkommission gelangten die X._ AG mit Beschwerde an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein. Dieser wies mit Urteil vom 12. November 2009 die Beschwerde ab. Aus den Erwägungen ist hervorzuheben: Der grösste Teil der von der Beschwerdeführerin erbrachten Beförderungsleistungen entfielen auf grenzüberschreitende Flüge, die von der Steuer befreit seien, aber dennoch zum Vorsteuerabzug berechtigten. Gegen diese Rechtsfolge sei nichts einzuwenden, sofern die Ausgangsleistungen (d.h. die Beförderungen), einem geschäftlich begründeten Zweck dienten. Hingegen berechtigten die Beförderungsleistungen nicht zum Vorsteuerabzug, wenn sie einer privaten Verwendung dienen, insbesondere zu einer dem Alleinaktionär direkt zuzurechnenden Leistung Anlass geben. Im vorliegenden Fall diene die Beschwerdeführerin in erster Linie den privaten Interessen des Alleinaktionärs. Das führe zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs. Dass die Gesellschaft in einem beschränkten Umfang auch Drittumsätze ausgeführt habe, sei unerheblich, da diese an der pimären Verwendung der Gesellschaft zugunsten des Aktionärs nichts ändere. Ferner prüfte der Verwaltungsgerichtshof den Fall im Lichte der jüngeren Rechtsprechung des schweizerischen Bundesgerichts, wonach steuerbare Umsätze einen echten Leistungsaustausch voraussetzen. Im Falle der Vermietung oder Vercharterung eines Flugzeugs liege ein Leistungsaustausch und damit ein steuerbarer Umsatz nur vor, wenn das Flugzeug durch unabhängige Dritte genutzt werde. Soweit daher die Vermietung oder Vercharterung an eine der Unternehmung nahe stehende oder an dieser wirtschaftlich berechtigte Person erfolge, lägen keine unternehmerische Tätigkeit und keine Umsätze vor. Das führe im vorliegenden Fall dazu, dass die Beschwerdeführer gegenüber ihrem wirtschaftlichen Berechtigen keine steuerbaren Umsätze erzielt habe. Schliesslich prüfte der Verwaltungsgerichtshof den Fall auch unter dem Gesichtswinkel der Steuerumgehung. Das gewählte Vorgehen führe tatsächlich zu einer Steuerersparnis, wobei für die Einschaltung der Beschwerdeführerin als Zwischengesellschaft nur steuerliche Motive angeführt werden könnten, zumal diese über keine eigene Betriebsorganisation verfüge und die flugtechnischen Leistungen ausschliesslich durch die O._ AG erbracht würden. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. Dezember 2009 stellte die X._ AG diverse prozessuale Anträge - darunter das Gesuch um Sistierung des Verfahrens -, auf die soweit erforderlich in den Erwägungen einzugehen ist. Ferner stellte sie eine Reihe, zum Teil redundanter, materieller Anträge, welche im Wesentlichen darauf abzielen, den angefochtenen Entscheid und den Entscheid der liechtensteinischen Steuerverwaltung aufzuheben. Auf deren Begründung ist - soweit erforderlich - im Rahmen der Erwägungen einzugehen. Mit Verfügung vom 21. Januar 2010 wurde das Sistierungsgesuch der Beschwerdeführerin abgewiesen. Hingegen wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 19. Februar 2010). Der Verwaltungsgerichtshof und die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein verzichteten auf eine Stellungnahme. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die X._ AG beantragt mit separater Eingabe sowie replicando, die Vernehmlassung der Eidgenössischen Steuerverwaltung sei aus dem Recht zu weisen. Zusätzlich beantragt sie, der Verwaltungsgerichtshof bzw. die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein seien anzuhalten, dem Bundesgericht sämtliche streitgegenständlichen Verfahrensakten (insbesondere Rechtsschriften mit Beilagen) auszuhändigen; das Verfahren sei zu sistieren und der Beschwerdeführerin sei Gelegenheit zu geben, nach Akteneinsicht gegebenenfalls eine weitere schriftliche Stellungnahme einzureichen. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein verzichtet auf eine Stellungnahme zur Replik der Beschwerdeführerin. Die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein reichte keine Vernehmlassung ein.