Sachverhalt: A. K._ bezieht seit Jahren Ergänzungsleistungen (EL), zuerst zur Invalidenrente der Invalidenversicherung, dann zur Altersrente der AHV. Am 19. April 2011 verfügte die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, einen Auszahlungsstopp ab dem folgenden Monat wegen unklarer Wohnsituation des Bezügers, was sie mit Einspracheentscheid vom 30. Juni 2011 bestätigte. B. Die Beschwerde des K._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. März 2013 ab. C. K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den hauptsächlichen Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben, und es seien bei der Berechnung der Höhe der Zusatzleistungen zur AHV ab dem 1. Mai 2011 anerkannte Ausgaben für den Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten in der Höhe des gesetzlichen Maximalbetrags für alleinstehende Personen zu berücksichtigen; eventualiter sei die Sache an die Durchführungsstelle zur Abklärung und zum Erlass einer neuen Verfügung zurückzuweisen. Das kantonale Sozialversicherungsgericht und die Gemeinde X._ verzichten auf eine Vernehmlassung, desgleichen das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV). K._ hat Unterlagen zum Beleg seiner Bedürftigkeit als Voraussetzung für die beantragte unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. D. Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat am 10. Dezember 2013 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.