Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1982) erhielt am 15. Mai 2000 im Rahmen des Familiennachzuges die Aufenthaltsbewilligung. Am 11. Mai 2006 heiratete er eine Schweizer Bürgerin (geb. 1988). In der Schweiz hatte er bereits als Jugendlicher wiederholt zu schweren Klagen Anlass gegeben und später fortlaufend delinquiert, wofür er mehrfach zu Bussen und Freiheitsstrafen verurteilt wurde; zuletzt zu 2 1/2 Jahren Zuchthaus u.a. wegen gewerbsmässigen Diebstahls und Raubes (mit besonderer Gefährlichkeit). Am 24. Juli 2006 verfügte das Amt für Migration des Kantons Luzern deshalb die Ausweisung von X._ auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug. Mit Urteil vom 10. Juli 2007 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern eine Beschwerde gegen die Ausweisungsverfügung insoweit gut, als X._ nicht auszuweisen, sondern - im Sinne einer milderen Massnahme - bloss wegzuweisen sei. Im Übrigen wies das Gericht die Beschwerde ab. Es erwog im Wesentlichen, der gemäss Art. 7 ANAG durch Heirat erworbene Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei erloschen; ausserdem erweise sich deren Nichtverlängerung auch als verhältnismässig. Die gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_493/2007 vom 18. Februar 2008 ab, soweit es darauf eintrat. B. Anstatt auszureisen, stellte X._ mit Eingabe vom 28. März 2008 beim Amt für Migration des Kantons Luzern zuhanden des Bundesamtes für Migration gestützt auf Art. 83 des am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) ein Gesuch um vorläufige Aufnahme. Mit Eingabe vom 24. April 2008 stellte X._ beim kantonalen Amt für Migration ausserdem ein "Anpassungsgesuch nach Art. 5 VRG (...) betreffend Aufenthaltsbewilligung (alt Art. 7 Abs. 1 ANAG)" mit den Anträgen, ihm - dem Gesuchsteller - eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, eventuell auf seine Wegweisung zu verzichten. Zur Begründung machte er geltend, die Rechts- und Sachlage habe sich inzwischen wesentlich verändert: Aufgrund der Unabhängigkeitserklärung des Kosovo und aufgrund der völkerrechtlichen Anerkennung dieses Staates hätten sich die internationalen Sicherheits- und Hilfsorganisationen aus dem betroffenen Gebiet zurückgezogen mit der Folge, dass der Minderheitenschutz für ihn als Angehöriger der Ashkali-Volksgruppe nicht mehr gewährleistet sei und er im Falle einer Rückkehr in den Kosovo dort "absolut keine Überlebenschance" mehr habe und er "der wirtschaftlichen und sozialen Existenz grundlegend beraub(t)" würde. C. Mit Verfügung vom 14. Mai 2008 ordnete das Amt für Migration des Kantons Luzern die Wegweisung von X._ an und führte zu den gestellten Begehren um vorläufige Aufnahme bzw. um Anpassung der ursprünglichen Verfügung aus, die beiden Gesuche würden "nach Rechtskraft der kantonalen Wegweisungsverfügung" zur Prüfung an das Bundesamt für Migration weitergeleitet Eine hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern am 13. März 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Es erwog im Wesentlichen, soweit X._ eine Aufenthaltsbewilligung beantrage, überschreite er den Streitgegenstand, weshalb auf die Beschwerde insofern nicht einzutreten sei. Die angefochtene Wegweisungsverfügung des kantonalen Migrationsamtes stufte das Gericht als Vollstreckungsverfügung (ordentliche Wegweisung nach Art. 66 AuG) ein und wies das Begehren um deren Aufhebung ab. D. Mit Eingabe vom 4. Mai 2009 führt X._ beim Bundesgericht "Beschwerde/Subsidiäre Verwaltungsbeschwerde (recte: Verfassungsbeschwerde) in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 BGG/Art. 113 BGG betreffend Aufenthalt" mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 13. März 2009 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Amt für Migration (eventuell an das Verwaltungsgericht) zurückzuweisen. Das kantonale Migrationsamt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und das Bundesamt für Migration. E. Mit Verfügung vom 7. Mai 2009 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. F. Mit Eingabe vom 16. Juli 2009 hat sich X._ noch einmal unaufgefordert an das Bundesgericht gewandt.