Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._. Sie wirft ihm vor, an der Tötung des Lebenspartners seiner Schwester am 17. Mai 2009 in Basel beteiligt gewesen zu sein. Gleichentags wurde A._ festgenommen. Am 19. Mai 2009 ordnete der Haftrichter Basel-Stadt die Untersuchungshaft an für die Dauer von vier Wochen, d.h. bis zum 16. Juni 2009. Der Haftrichter bejahte den dringenden Tatverdacht und Kollusionsgefahr. In der Folge verlängerte er die Haft erstmals bis zum 11. August 2009; dann erneut bis zum 6. Oktober 2009. Gegen die letztere Haftverlängerung erhob A._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 10. September 2009 wies dessen Präsident die Beschwerde ab. Der Appellationsgerichtspräsident bejahte den dringenden Tatverdacht (S. 3 ff. E. 3) und Kollusionsgefahr (S. 5 f. E. 4). Die Dauer der Haft erachtete er als verhältnismässig (S. 6 f. E. 5). Er auferlegte A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens im Betrag von Fr. 400.--. Das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Verteidigung wies er ab, da er die Beschwerde als aussichtslos beurteilte (S. 7 E. 6). B. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Appellationsgerichtspräsidenten sei aufzuheben und der Beschwerdeführer sofort aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei der Kostenentscheid des Appellationsgerichtspräsidenten aufzuheben und dem Beschwerdeführer auch für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Verteidigung mit dem Unterzeichnenden als Advokaten zu bewilligen. C. Der Haftrichter hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Der Appellationsgerichtspräsident hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft beantragt unter Verzicht auf Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. D. A._ hat eine Replik eingereicht. Er hält an seinen Anträgen fest.