Sachverhalt: A. Die zuständige bulgarische Staatsanwaltschaft führt ein Strafverfahren gegen verschiedene Personen insbesondere wegen krimineller Organisation. Mit Rechtshilfeersuchen vom 8. Januar 2010, ergänzt am 28. Mai und 1. Juni 2010, bat sie die Schweiz um die Erhebung von Bankunterlagen. Mit Schlussverfügung vom 4. Oktober 2010 ordnete die Bundesanwaltschaft die Herausgabe von Bankunterlagen an die ersuchende Behörde an. Die von der X._ Inc. dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 8. Juni 2011 zur Hauptsache ab, soweit es darauf eintrat. Auf die von einer Privatperson erhobene Beschwerde trat es nicht ein. B. Die X._ Inc. führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben, soweit dieses ihre Beschwerde abgewiesen habe, und weiteren Anträgen. C. Das Bundesstrafgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Bundesanwaltschaft und das Bundesamt für Justiz haben sich je vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Sie halten dafür, es fehle an der Eintretensvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach Art. 84 BGG. D. Die X._ Inc. hat eine Replik eingereicht. Sie hält an den in der Beschwerde gestellten Anträgen fest. Zudem beantragt sie neu, es sei die zuständige Behörde zur Abklärung anzuhalten, ob bzw. wieweit der gesuchstellende Staat noch ein aktuelles rechtlich schützenswertes Interesse am Rechtshilfeersuchen habe. Das vorliegende Beschwerdeverfahren sei zu sistieren, bis die zuständige Behörde ihre Abklärungen vorgenommen habe. Nach Vornahme der Abklärungen sei der Beschwerdeführerin Akteneinsicht zu gewähren und Frist zur Stellungnahme zum Ergebnis der Abklärungen anzusetzen. Eventualiter sei der Beschwerdeführerin die Frist zur ergänzten Stellungnahme um 40 Tage, d.h. bis zum 19. August 2011, zu erstrecken.