Sachverhalt: A. A.a Die 1974 geborene R._ lebte seit ihrer Geburt im Kanton Bern, seit Juli 1999 bei einer befreundeten Familie in A._. Von Dezember 1999 bis April 2000 und von April bis Mai 2000 wurde sie in der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie S._ stationär behandelt (Diagnose: Schwere depressive Entwicklung mit Somatisierung und zeitweise ausgeprägter Suizidalität, Anorexia nervosa). Mit Verfügung vom 28. August 2000 sprach ihr die Ausgleichskasse des Kantons Bern eine ganze Invalidenrente ab 1. August 1999 zu. Ab Mai 2000 lebte R._ in der therapeutischen Wohngemeinschaft "C._" (heute: Wohngruppe V._) in X._, Gemeinde Y._, im Kanton Thurgau. Ab diesem Monat richtete ihr die Ausgleichskasse des Kanons Bern auch Ergänzungsleistungen (EL) aus. A.b Mit Schreiben vom 4. Januar 2008 teilte R._ mit, sie wohne neu am Weg B._ in X._, und sie deponiere ihren Heimatschein ab 1. Januar 2008 in der Gemeinde Y._. Daraufhin stellte die Ausgleichskasse des Kantons Bern die Ergänzungsleistung zufolge "Kantonswechsel TG" vorsorglich auf Ende Dezember 2007 ein und forderte unter Hinweis auf den am 4. Januar gemeldeten Austritt aus der "WG C._" die für die Monate Januar und Februar 2008 zu Unrecht ausbezahlten Fr. 746.- zurück (Verfügungen vom 19. und 20. Februar 2008). A.c Am 12. Februar 2008 meldete sich R._ beim Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau zum EL-Bezug ab 1. Januar 2008 an. Die Amtsstelle stufte die Gesuchstellerin nicht (mehr) als Heimbewohnerin ein, was in der EL-Berechnung zu einem Einnahmenüberschuss führte. Sie wies daher mit Verfügung vom 20. März 2008 das Leistungsbegehren ab, wogegen R._ Einsprache erhob. A.d Am 3. November 2008 meldete sich R._ bei der Ausgleichskasse des Kantons Bern an und beantragte Ergänzungsleistungen ab dem 1. Januar 2008. Diese trat mit Verfügung vom 18. November 2008 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht auf das Gesuch ein, woran sie mit Einspracheentscheid vom 24. April 2009 festhielt. B. Die Beschwerde der R._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 12. Oktober 2009 ab. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. Oktober 2009 sei aufzuheben und die Ausgleichskasse des Kantons Bern zu verpflichten, sie weiterhin als Heimbewohnerin zu behandeln und ihr rückwirkend ab 1. Januar 2008 Ergänzungsleistungen auszurichten und insofern auf die EL-Anmeldung vom 3. November 2008 einzutreten. Die Ausgleichskasse beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. In einer nachträglichen Eingabe weist R._ unter Auflage entsprechender Belege darauf hin, dass sie seit dem 1. Dezember 2009 in Z._ im Kanton Bern angemeldet ist.