Sachverhalt: A. X._ (geb. 1999) ist ghanaischer Staatsangehöriger. Seine Mutter, A._ (geb. 1971), ebenfalls Staatsangehörige von Ghana, heiratete 2007 einen Schweizer ghanaischer Abstammung. Zusammen mit ihrem Sohn reiste sie ihrem Ehemann am 4. Oktober 2008 in die Schweiz nach. Ihr Ehemann verliess die Schweiz im Jahre 2010, worauf das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Aufenthaltsbewilligung von Mutter und Sohn am 27. Oktober 2010 widerrief. Den dagegen gerichteten Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement am 15. August 2011 ab. Dieser Entscheid ist rechtskräftig. Die daraufhin angesetzte Ausreisefrist bis 6. November 2011 verstrich ungenutzt. X._ stellte am 5. Januar 2012 ein Wiedererwägungsgesuch, das erfolglos blieb (Urteil 2C_50/2013 vom 24. Januar 2013). B. Am 6. März 2013 stellte X._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region St. Gallen ein Gesuch um Bestellung eines Vertretungsbeistands. Gleichentags teilte die KESB ihm bzw. seinem Vertreter, Y._, mit, dass kein Grund für die Einsetzung eines Vertretungsbeistands bestehe, der die Interessen von X._ im abgeschlossenen Verfahren vor den Migrationsbehörden wahrnehme. Mit Eingaben vom 27. März und 9. April 2013 verlangte Y._ von der KESB den Erlass eines anfechtbaren Entscheids über die Vertretungsbeistandschaft. Am 30. April 2013 erhob Y._ für X._ beim Stadtrat der Stadt St. Gallen Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen die KESB. Er beantragte, die KESB sei unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege anzuweisen, über das Gesuch um Anordnung einer Vertretungsbeistandschaft binnen kurzer Frist zu befinden. Der Stadtrat überwies die Beschwerde an die Verwaltungsrekurskommission. Mit Beschluss vom 23. Mai 2013 wies die KESB den Antrag auf Errichtung einer Vertretungsbeistandschaft ab, ohne Kosten zu erheben. Mit Verfügung vom 9. September 2013 schrieb der Abteilungspräsident der Verwaltungsrekurskommission die Rechtsverweigerungsbeschwerde wegen Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Am 16. September 2013 verlangte Y._ einen Entscheid des Gerichts. Er beantragte die Rückweisung der Rechtsverweigerungsbeschwerde an den Stadtrat und die Zusprechung einer ausseramtlichen Entschädigung. Mit Entscheid vom 19. September 2013 schrieb die Verwaltungsrekurskommission die Rechtsverweigerungsbeschwerde als erledigt ab und erhob keine Kosten. Gegen diesen Entscheid erhob Y._ für X._ am 22. Oktober 2013 Beschwerde an das Kantonsgericht St. Gallen. Er beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an den Stadtrat, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 25. November 2013 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, auferlegte Y._ die Gerichtskosten von Fr. 400.-- und schrieb das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos ab. C. Am 27. Dezember 2013 (gemäss Zeugenvermerk auf dem Couvert; Poststempel 29. Dezember 2013) haben X._ (Beschwerdeführer 1) und Y._ (Beschwerdeführer 2) gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Y._ tritt dabei nicht nur selber als Beschwerdeführer auf, sondern auch als Vertreter des Beschwerdeführers 1, wobei dieser die Beschwerde mitunterzeichnet hat. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Anweisung an das Kantonsgericht, die Rechtsverweigerungsbeschwerde gutzuheissen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege. Am 3. Januar 2014 hat Y._ eine weitere Eingabe eingereicht, in der er sich zur Fristwahrung äussert. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.