Sachverhalt: A. X._, türkischer Staatsangehöriger, wurde am 6. April 1977 in F._ geboren, wo er heute noch lebt. Er ist Inhaber einer Niederlassungsbewilligung. X._ leidet seit einigen Jahren an einer psychischen Erkrankung, aufgrund derer er nicht mehr arbeitsfähig ist. Im Sommer 2008 wurde ihm rückwirkend ab April 2004 eine volle IV-Rente zugesprochen. Zusätzlich bezieht er Ergänzungsleistungen. Am 8. September 2008 heiratete X._ seine Landsfrau Y._, während eines Besuchsaufenthaltes derselben in der Schweiz. Am 11. September 2008 stellte er ein Familiennachzugsgesuch für seine Ehefrau. Mit Schreiben vom 25. März 2009 teilte das Migrationsamt des Kantons Thurgau X._ mit, dass er nicht über genügend finanzielle Mittel für den Unterhalt der Familie verfüge und das Gesuch deshalb voraussichtlich abgelehnt werden müsse. B. Mit Verfügung vom 28. Mai 2009 lehnte das Migrationsamt das Gesuch um Familiennachzug ab. Dagegen beschwerten sich die Eheleute X._ und Y._ ohne Erfolg beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Entscheid vom 22. Dezember 2009). Die gegen den Entscheid des Departementes erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 16. Juni 2010, zugestellt am 6. Juli 2010, ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. September 2010 beantragen X._ und Y._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 16. Juni 2010 aufzuheben und Y._ die Einreise- und Aufenthaltsbewilligung im Rahmen der Bestimmungen über den Familiennachzug bei ihrem Ehemann zu gewähren. Eventuell sei die Angelegenheit zur erneuten Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter stellen sie das Begehren, es sei ihnen für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Das Verwaltungsgericht, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Migrationsamt des Kantons Thurgau wie auch das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.