Sachverhalt: A. Mit Zahlungsbefehl Nr. 001 des Betreibungsamtes Grenchen-Bettlach wurde X._ (Beschwerdeführerin) von Y._ (Beschwerdegegnerin) erstmals auf den Betrag von Fr. 18'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Juli 2006 betrieben. Das auf den erhobenen Rechtsvorschlag hin eingereichte Rechtsöffnungsbegehren wurde vom Gerichtspräsidenten Solothurn-Lebern am 16. Mai 2006 mangels Fälligkeit der Forderung abgewiesen. Nachdem die Beschwerdegegnerin am 30. Mai 2006 die Kündigung des im Streite liegenden Darlehensvertrags ausgesprochen und so die Fälligkeit der Forderung herbeigeführt hatte, betrieb sie die Beschwerdeführerin am 7. September 2006 erneut. Der Zahlungsbefehl Nr. 002 des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Wangen, wurde von der Mutter der Beschwerdeführerin entgegengenommen. Der Forderungsgrund wurde mit "Darlehensvertrag vom 3. Mai 2003" bezeichnet. Die Beschwerdeführerin erhob keinen Rechtsvorschlag, weil sie angeblich keine Kenntnis vom Zahlungsbefehl erhalten hatte. Am 7. September 2007 meldete sich die Beschwerdeführerin auf dem Betreibungsamt und erhielt Akteneinsicht. Nachdem das Betreibungsamt Region Solothurn, Filiale Grenchen, am 16. Oktober 2007 den Pfändungsvollzug verfügt hatte, erhob die Beschwerdeführerin gegen die Pfändungsurkunde Beschwerde. Diese wurde von der SchKG-Kammer des Obergerichts des Kantons Solothurn mit Urteil vom 28. November 2007 abgewiesen mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe die 10-tägige Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags, die mit der Akteneinsicht am 7. September 2007 zu laufen begonnen habe, verpasst. B. Am 5. Dezember 2007 klagte die Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegnerin beim Richteramt Solothurn-Lebern nach Art. 85a SchKG auf Feststellung, dass die in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 18'000.-- nebst Zins nicht bestehe. Weiter beantragte sie, die Betreibung bzw. den Pfändungsvollzug vorläufig einzustellen. Zudem ersuchte sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 25. Januar 2008 wies der Amtsgerichtspräsident den Antrag der Beschwerdeführerin auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit ab und bewilligte der Beschwerdegegnerin die unentgeltliche Rechtspflege (Ziffer 1). Den Antrag auf vorläufige Einstellung der Betreibung bzw. des Pfändungsvollzugs wies er ebenfalls ab (Ziffer 2). Ferner ordnete er das schriftliche Verfahren an und kündigte an, dass der Beschwerdeführerin nach Rechtskraft der Ziffern 1 und 2 Frist zur Einreichung der schriftlich begründeten Klage angesetzt werde (Ziffer 3). Die Beschwerdeführerin gelangte an das Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte die vorläufige Einstellung der Betreibung bzw. des Pfändungsvollzugs und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Urteil vom 18. April 2008 wies das Obergericht den Rekurs ab. Es gewährte der Beschwerdegegnerin für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und verweigerte diese der Beschwerdeführerin zufolge Aussichtslosigkeit. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, die Betreibung Nr. 002 des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienstelle Wangen an der Aare, und der Pfändungsvollzug Nr. 003 des Betreibungsamtes Region Solothurn, Filiale Grenchen-Bettlach, seien für die Dauer des Verfahrens vorläufig einzustellen. Der Beschwerdeführerin sei für das erstinstanzliche, das oberinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren sowie den bevorstehenden Zivilprozess die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwältin Scheitlin als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu gewähren. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung zurückzuweisen. Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt (Art. 102 BGG). D. Mit Präsidialverfügung vom 6. Juni 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt.