Sachverhalt: A. A._ und B._ waren für die am 31. Mai 2012 endende Amtsdauer als Mitglieder der Verwaltungskommission der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Verwaltungskommission) gewählt. Sie bewarben sich auf ein am 11. Februar 2012 in der Zeitung C._ publiziertes Inserat um ihre Wiederwahl. Der Regierungsrat nahm am 22. Mai 2012 die Wahl von fünf Mitgliedern der Verwaltungskommission vor. Der zuständige Departementsvorsteher teilte A._ und B._ im Nachgang zu dieser Wahl telefonisch mit, dass sie nicht wiedergewählt worden seien. Diese ersuchten um schriftliche Eröffnung der Nichtwiederwahl mittels beschwerdefähigen Beschlusses. B. Auf die von A._ und B._ gegen die Nichtwiederwahl erhobenen Beschwerden trat das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. März 2013 vorerst nicht ein. Mit Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 wies das Bundesgericht das Verwaltungsgericht an, auf die Beschwerden einzutreten. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2013/17. Januar 2014 vereinigte das Verwaltungsgericht die Verfahren (Dispositiv-Ziff. 1) und wies die Beschwerden ab (Disp.-Ziff. 2); es stellte sodann fest, die Verfahrensrechte der Beschwerdeführer seien verletzt worden (Disp.-Ziff. 3), auferlegte die Gerichtskosten diesen und dem Staat je hälftig (Disp.-Ziff. 4) und sprach keine Entschädigung für ausseramtliche Kosten zu (Disp.-Ziff. 5). C. A._ und B._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde, mit den Anträgen, der verwaltungsgerichtliche Entscheid sei, soweit auf Abweisung der Beschwerden lautend und die Gerichtskosten sowie ausseramtliche Kosten betreffend, aufzuheben und der im Amtsblatt Nr. 26 des Kantons St. Gallen vom 25. Juni 2012 publizierte Beschluss der Regierung des Kantons St. Gallen über die Wahl der Mitglieder der Verwaltungskommission für die Amtsdauer 2012 bis 2016 sei aufzuheben; eventuell sei anzuordnen, dass A._ und B._ für die besagte Amtsdauer als Mitglieder der Verwaltungskommission wiedergewählt würden; subeventuell sei die Angelegenheit zur Abklärung des Sachverhalts und zur materiellen Beurteilung im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Regierung des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit zusätzlicher Eingabe halten A._ und B._ an ihren Anträgen fest.