Sachverhalt: A. Aufgrund einer Anzeige von Y._, dem Präsidenten des Vereins X._, beim Veterinärdienst des Kantons Aargau wurde gegen den Landwirt A._ ein Verfahren wegen Widerhandlung gegen die eidgenössische Tierschutzgesetzgebung eingeleitet. Am 31. März 2008 wurde A._ mit Strafbefehl des Bezirksamts Zofingen mit einer Busse von Fr. 800.-- bestraft. Y._ gelangte mit mehreren E-Mails an das Bezirksamt Zofingen und ersuchte dieses um Zustellung einer Kopie des erwähnten Strafbefehls. Mit E-Mail vom 8. April 2008 lehnte das Bezirksamt das Begehren ab und wies Y._ auf die Möglichkeit hin, den Entscheid auf der Kanzlei des Bezirksamts einzusehen. B. Mit Eingabe vom 10. April 2008 erhob Y._ namens des Vereins X._ beim Obergericht des Kantons Aargau Beschwerde gegen das Bezirksamt Zofingen. Er beantragte, das Bezirksamt sei anzuweisen, ihm eine Kopie des Strafentscheids vom 31. März 2008 nach Eintritt der Rechtskraft zuzustellen. Eventualiter sei das Bezirksamt anzuweisen, ihm eine Kopie des Strafentscheids nach Eintritt der Rechtskraft auszuhändigen. Das Obergericht hiess die Beschwerde mit Beschluss vom 22. Mai 2008 teilweise gut und wies das Bezirksamt Zofingen an, Y._ Gelegenheit zu geben, innert einer anzusetzenden Frist von einem Monat, den fraglichen Strafbefehl auf der Kanzlei des Bezirksamts einzusehen und sich davon, gegen Erstattung der Kosten, eine Kopie ausfertigen zu lassen. Das Obergericht hielt fest, dass dieses Recht verwirke, wenn Y._ davon keinen Gebrauch mache. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Gegen den Beschluss des Obergerichts gelangt der Verein X._ mit Beschwerde vom 27. Mai 2008 an das Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, das Bezirksamt Zofingen sei anzuweisen, ihm eine Kopie des Strafbefehls vom 31. März 2008 zuzustellen. D. Das Bezirksamt Zofingen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Obergericht hält in seiner Stellungnahme vom 24. Juni 2008 fest, dass gegen seinen Entscheid vom 22. Mai 2008 kein kantonales Rechtsmittel ergriffen werden könne. Im Übrigen verzichtet es auf eine Vernehmlassung.