A.- Der 1958 geborene P._ hatte bei der Krankenkasse Visana (nachfolgend: Visana) die obligatorische Krankenpflegeversicherung mit wählbarer Jahresfranchise im Betrag von Fr. 600.- sowie verschiedene Zusatzversicherungen abgeschlossen. Mit Schreiben vom 30. November 1998 kündigte er seine Mitgliedschaft auf den 31. Dezember 1998. Die Visana hielt daraufhin am 22. Januar 1999 fest, die am 1. Dezember 1998 bei ihr eingegangene Kündigung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung per Ende 1998 sei nicht rechtzeitig erfolgt. Am 12. März 1999 liess P._ mitteilen, die Fristenregelung richte sich vorliegend nicht nach privatem, sondern nach öffentlichem Recht. Demgemäss sei nicht der Eingang der Kündigung beim Versicherer, sondern der Poststempel für die Fristwahrung massgebend, weshalb sich die der Post am 30. November 1998 übergebene Kündigung als rechtzeitig erweise. In der Folge hielt die Visana an der Ablehnung der Kündigung fest (Schreiben vom 26. März 1999) und verfügte am 19. Mai 1999, das obligatorische Krankenpflegeversicherungsverhältnis mit P._ bleibe über den 31. Dezember 1998 hinaus bestehen. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 24. Juni 1999. B.- In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Bern fest, das Versicherungsverhältnis zwischen P._ und der Visana sei per 30. Juni 1999 rechtmässig gekündigt worden; insoweit hob es die Verfügung vom 19. Mai 1999 und den Einspracheentscheid vom 24. Juni 1999 auf (Entscheid vom 27. Januar 2000). C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt P._ beantragen, es sei festzustellen, dass der Kündigung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung vom 30. November 1998 per 31. Dezember 1998, eventuell per 31. Januar 1999, Rechtswirkung zukomme. Die Visana stellt das Rechtsbegehren, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei abzuweisen und der kantonale Gerichtsentscheid sei in dem Sinne abzuändern, dass die Kündigung per 31. Dezember 1999 wirksam werde. Das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) schliesst auf Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.