Sachverhalt: A. Die Ehe X._ wurde am 31. Januar 2007 geschieden. Vor und nach der Scheidung verbot B.X._ A.X._ mehrmals, ihr Wohnhaus in Elsau zu betreten und sich auf dem Grundstück oder im Haus ungebeten und widerrechtlich aufzuhalten. Auf Anzeige von B.X._ hin verfügte die Kantonspolizei am 15. März 2008 gegenüber A.X._ gestützt auf das kantonale Gewaltschutzgesetz ein Betretverbot/Rayonverbot betreffend ein näher umschriebenes Gebiet in Elsau sowie ein Kontaktverbot u.a. gegenüber B.X._ und den gemeinsamen Sohn C.X._. Diese Massnahme wurde bis zum 30. Juni 2008 verlängert (Entscheide des Haftrichters des Bezirkes Winterthur vom 27. März 2008 und vom 7. Juli 2008). B. Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland (im Folgenden Staatsanwaltschaft) führt gegen A.X._ ein Strafverfahren wegen Nötigung und Hausfriedensbruchs zum Nachteil seiner Ex-Frau B.X._. A.X._ wurde am 15. März 2008 von der Kantonspolizei in Haft versetzt. Die Staatsanwaltschaft entliess ihn am 17. März 2008 aus der Haft. Gleichentags ordnete sie eine auf drei Monate befristete Ersatzmassnahme für Untersuchungshaft an und auferlegte A.X._ ein Rayonverbot betreffend die Liegenschaft Wiesendangerstrasse 19 in Elsau (samt Vorgarten) sowie ein Verbot, mit B.X._ in irgendeiner Weise Kontakt aufzunehmen (oder durch Drittpersonen aufnehmen zulassen) und sich ihr auf weniger als 100 m zu nähern. Gegen diese Verfügung erhob A.X._ am 1. April 2008 Rekurs und reichte später eine Rekursschrift in deutscher Sprache ein. Mit Entscheid vom 2. Juni 2008 wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich den Rekurs ab. Sie führte aus, die umstrittenen Massnahmen stützten sich auf § 72 Abs. 2 StPO/ZH. Da diese keinen schwerwiegenden freiheitsbeschränkenden Charakter aufweisen, sei zu deren Anordnung die Staatsanwaltschaft zuständig. Über den Tatverdacht (§ 58 Abs. 1 StPO/ZH) hinaus sei Wiederholungsgefahr anzunehmen (§ 58 Abs. 1 Ziff. 3 StPO/ZH). Das Rayon- und Kontaktverbot erweise sich in Anbetracht der konkreten Verhältnisse als verhältnismässig. Schliesslich sah die Oberstaatsanwaltschaft davon ab, gegen die Staatsanwältin Kaenel und den Staatsanwalt Leins Massnahmen einzuleiten. C. Mit Beschwerde vom 7. Juli 2008 ersucht A.X._ das Bundesgericht, den Entscheid der Oberstaatsanwaltschaft sowie die zugrunde liegende Verfügung vom 17. März 2008 aufzuheben, eine Untersuchung zur Frage anzuordnen, ob er in den letzten Jahren das Leben seiner Ex-Frau beeinträchtigt habe und welches die Beziehungen des Partners seiner Ex-Frau zur Staatsanwaltschaft seien, und die Justizbeamten Kaenel und Leins wegen Rechtsverweigerung disziplinieren zu lassen. Die Staatsanwaltschaft beantragt mit ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft hat auf eine Stellungnahme verzichtet. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen in der Beschwerde gestellten Rechtsbegehren fest. D. Die Staatsanwaltschaft verlängerte das Rayon- und Kontaktverbot am 4. Juni 2008. Dagegen hat A.X._ am 8. Juli 2008 bei der Oberstaatsanwaltschaft erneut Rekurs eingelegt.