Sachverhalt: A. Am 4. Mai 2012 erstattete X._ Strafanzeige und stellte Strafantrag gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses. Gemäss Anzeige soll A._ das Berufsgeheimnis als Rechtsanwalt verletzt haben, indem er als Rechtsvertreter von B._ eine Eingabe von X._ vom 14. September 2009 in einem bei der Staatsanwaltschaft March hängigen Strafverfahren am 28. September 2009 in Kopie den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensten St. Gallen (KJPD/SG) hat zukommen lassen. Gegenstand des damaligen Strafverfahrens war der von B._ als Strafantragssteller gegenüber X._ erhobene Vorwurf der üblen Nachrede. Hintergrund bildet eine gerichtliche Auseinandersetzung um die elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn zwischen dem Kindsvater B._ und der mit X._ liierten Kindsmutter. Am 11. Juni 2012 verfügte die Staatsanwaltschaft March die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses. Zur Begründung führte sie aus, X._ fehle es an der Strafantragsberechtigung. Die von X._ gegen diese Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 4. September 2012 ab. B. Mit Eingabe vom 10. Oktober 2012 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses an die Hand zu nehmen. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdegegner stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik vom 18. Januar 2013 an seinem Standpunkt und seinen Anträgen fest.