Versicherungsvertrag (Zusatzversicherung), hat sich ergeben: A.- Der 1962 geborene B.H._ ist seit dem 1. Juli 1996 bei der X._ Kranken- und Unfallversicherung in den Kategorien Basis (obligatorische Grundversicherung), Complementa Plus (erweiterte besondere Pflegeleistungen) und Optima Plus (Privatabteilung) versichert. Wegen zunehmend aufgetretenen Rückenschmerzen unterzog er sich im Oktober 1997 einer Rückenoperation und verbrachte danach mehr als drei Wochen in einer Privatklinik in Schinznach Bad. In der Folge leistete die X._ an die dort entstandenen Kosten von Fr. 16'463. 90 einen Beitrag von Fr. 5'522.-- unter Abzug einer Kostenbeteiligung des Versicherten von Fr. 323. 90. Zur Begründung machte die X._ geltend, beim Aufenthalt von B.H._ in Schinznach Bad habe es sich um eine Rehabilitation gehandelt, deren Kosten gemäss den Versicherungsbedingungen unter gewissen Einschränkungen nur aus der Grundversicherung bezahlt würden; aus den Zusatzversicherungen schulde sie keine solchen Leistungen. B.- Nach einem erfolglos gebliebenen Briefwechsel verklagte B.H._ die X._ auf Bezahlung eines Differenzbetrages von Fr. 10'941. 90 nebst Zins von 5 % seit dem 1. Januar 1998. Dies mit der Begründung, der Aufenthalt nach der Operation sei nicht als Rehabilitation, sondern als eine Anschlussbehandlung zu betrachten, weil nach der komplizierten Diskushernieoperation noch Lähmungserscheinungen bestanden hätten, die nur mit täglicher, stationärer Therapie hätten behoben werden können. Der Chirurg hätte ihn auch in der Akutklinik Aarau behalten können, habe ihn aber nach Schinznach Bad verlegt, weil dort die Behandlungsmöglichkeiten deutlich besser gewesen seien. Die Beklagte beruft sich auf dessen Bericht, in dem klar von einer Rehabilitation die Rede sei. Nach der Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage im geforderten Betrag gut, sprach dem Kläger den Verzugszins aber erst ab dem 16. April 1998 zu. C.- Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Berufung die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Streitsache zur Vervollständigung des Sachverhaltes an die Vorinstanz. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden. Das Versicherungsgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. D.- Das Bundesgericht ist mit Urteil vom heutigen Tag auf die vom Beklagten gleichzeitig gegen den angefochtenen Entscheid erhobene staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten.