Sachverhalt: A. Der 1975 geborene A._ meldete sich am 17. November 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Im Auftrag der IV-Stelle des Kantons Zürich wurde dieser vom Medizinischen Gutachterzentrum X._ psychiatrisch und orthopädisch untersucht (Expertise vom 22. Dezember 2010). Mit Verfügung vom 22. Februar 2012 sprach ihm die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. November 2010 eine halbe Invalidenrente zu. B. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 15. Mai 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es seien ihm die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Des Weitern ersucht er um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.