Sachverhalt: A. A.a Im Eheschutzverfahren zwischen X._ (Beschwerdeführerin) und Z._ (Beschwerdegegner) entschied das Gerichtspräsidium Baden mit Urteil vom 19. November 2007, es nehme Vormerk davon, dass die Parteien seit Mitte Januar 2006 getrennt lebten (Ziff. 1). Der Beschwerdegegner wurde verpflichtet, der Beschwerdeführerin an ihren persönlichen Unterhalt (für den Monat März 2006 pro rata temporis) monatlich vorschüssig folgende Unterhaltsbeiträge, unter Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen, zu bezahlen (Ziff. 3): 2. März - bis Oktober 2006: Fr. 1'640.-- November und Dezember 2006: Fr. 1'060.-- Januar bis August 2007: Fr. 860.-- September bis Dezember 2007: Fr. 460.-- ab Januar 2008: Fr. 750.--. A.b Die Beschwerdeführerin betrieb den Beschwerdegegner mit Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamts A._ vom 25. April 2008 für eine Forderung von Fr. 24'680.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2007. Als Forderungsgrund wurden im Zahlungsbefehl die im Urteil des Gerichtspräsidiums Baden vom 19. November 2007 festgelegten Unterhaltszahlungen gemäss Dispositiv-Ziffer 3 angegeben. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag. A.c Mit Entscheid vom 16. Juli 2008 erteilte die Präsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten der Beschwerdeführerin die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 18'580.-- nebst Zins zu 5 % seit 28. April 2008. B. Die vom Beschwerdegegner gegen den Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Beschwerde wurde vom Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer) mit Entscheid vom 17. September 2008 gutgeheissen, der Entscheid der Präsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten vom 16. Juli 2008 wurde aufgehoben und die Klage abgewiesen. C. Die Beschwerdeführerin hat am 13. November 2008 beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht und beantragt, Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben. Sodann seien Dispositiv-Ziffer 2 (Gerichtsgebühr) und 3 (Parteientschädigung) aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 1. Dezember 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.