Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 7. Oktober 2009 schied das Richteramt A._ auf Klage von X._ die Ehe mit Y._. Der gemeinsame Sohn B._, geboren 2006, wurde unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Auf eine Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn wurde verzichtet. Von der Festlegung eines Kinderunterhaltsbeitrages sah das Gericht mangels Leistungsfähigkeit des Vaters ab. Zudem stellte es fest, dass die Parteien während der Ehe keine Guthaben der beruflichen Vorsorge erworben haben. Es sprach ihnen beidseitig keine nachehelichen Unterhaltsbeiträge zu. Das Gesuch von X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde gutgeheissen. B. Mit Appellation vom 18. November 2009 erneuerte X._ vor dem Obergericht Solothurn ihren Antrag um Zusprechung eines Kinderunterhaltsbeitrags von Fr. 510.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Der Präsident der Zivilkammer entzog ihr am 8. Dezember 2009 mit sofortiger Wirkung die unentgeltliche Rechtspflege. C. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Januar 2010 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Appellationsverfahren. Die Beschwerdeführerin stellt weiter für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtpflege. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.