Sachverhalt: A. A.a Am 25. November 2008 wurde in Pontarlier/Frankreich der Sohn von BX._, Schweizer Bürgerin von Etzgen/AG, La Brévine/NE und Le Locle/NE, und CY._, Schweizer Bürger von Delley-Portalban/FR, geboren. Gemäss Geburtsschein (Acte de naissance/ copie intégrale) des Zivilstandsamtes Pontarlier vom 26. September 2008 trägt das Kind den Namen AY._ und anerkannten die Eltern, welche nicht miteinander verheiratet sind, die Elternschaft bereits am 1. August 2008 gegenüber den Zivilstandsbehörden von Pontarlier. A.b Nach Übermittlung des Geburtsscheines (via Schweizerisches Generalkonsulat in Lyon) erliess das Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau (Justizabteilung, Sektion Bürgerrecht und Personenstand) als kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen am 4. Februar 2009 die Verfügung (gemäss Art. 32 IPRG) über die Eintragung in das schweizerische Zivilstandsregister (Zivilstandsamt Laufenburg). Die Aufsichtsbehörde anerkannte die Erklärung der Anerkennung der Vaterschaft durch CY._ und verfügte die Eintragung der im Ausland beurkundeten Geburt im schweizerischen Register. Als Namen von A._ ordnete sie die Eintragung von X._, den Familiennamen der Mutter an. A.c Am 16. Mai 2009 gelangte BX._ an die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen und verlangte, es sei der im Zivilstandsregister eingetragene Familienname ihres Sohnes A._ von "X._" in "Y._" zu berichtigen. B. Mit Verfügung vom 22. Juli 2009 wies die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen das Berichtigungsgesuch ab. Hiergegen erhob BX._ kantonale Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 3. Februar 2010 abwies. C. AY._, gesetzlich vertreten durch seine Mutter BX._, führt mit Eingabe vom 20. März 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Berichtigung des Familiennamens von "X._" in "Y._". Weiter ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 14. April 2010 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.