Sachverhalt: A. Der 1962 geborene S._ bezog ab 1. April 1999 eine einem Invaliditätsgrad von 50 % entsprechende Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung. Diese Rente (nebst einer Integritätsentschädigung) war ihm mit Verfügung der SUVA vom 3. Mai 1999 für die erwerblichen Auswirkungen einer leichten Hirnfunktionsstörung, als Folge eines am 17. September 1997 erlittenen Unfalls, zugesprochen worden. Nachdem die Liechtensteinische Invalidenversicherung mit Verfügung vom 11. April 2006 und Entscheid vom 13. April 2007 einen Anspruch des S._ auf eine Invalidenrente mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades verneint hatte, überprüfte die SUVA revisionsweise die von ihr ausgerichtete Invalidenrente. Mit Verfügung vom 21. September 2007 setzte sie diese rückwirkend ab 1. Juni 2005 nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von nurmehr 21 % herab und forderte die seit 1. Juni 2005 ausgerichteten Rentenmehrbeträge zurück. In teilweiser Gutheissung der vom Versicherten erhobenen Einsprache setzte die SUVA die Rente erst ab 1. Oktober 2007 herab, womit die verfügte Rückforderung entfiel. Im Übrigen hielt sie an der Verfügung vom 21. September 2007 fest (Einspracheentscheid vom 10. April 2008). B. S._ erhob hiegegen Beschwerde mit dem hauptsächlichen Antrag auf Zusprechung einer UVG-Invalidenrente entsprechend einer 100%igen Invalidität. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 31. Juli 2009 ab. Es verneinte dabei auch die Voraussetzungen für die von der SUVA beantragte reformatio in peius. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Weiter wird beantragt, es sei für das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) zu gewähren und es seien der Instruktionsrichter und die Zusammensetzung des Gerichts unverzüglich nach deren Bestimmung bekannt zu geben. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 9. November 2009 lässt sich S._ nochmals vernehmen. Am 18. November 2009 reicht sein Rechtsvertreter eine Kostennote für das letztinstanzliche Verfahren ein.