Sachverhalt: A. A._, B._ und C._ (Beschwerdeführer) sind Miteigentümer einer Liegenschaft in X._, bestehend aus einer 3 1/2-Zimmer- und einer 6 1/2-Zimmerwohnung sowie einem Ladenlokal mit Büro, WC/Dusche und weiteren Nebenräumen. B._ (Beschwerdeführerin 2) und C._ (Beschwerdeführer 3) bewohnten eine der beiden Wohnungen der Liegenschaft. A._ (Beschwerdeführerin 1) lebte bis zum 15. Dezember 2006 mit D._ (Beschwerdegegner) im Konkubinat. Sie bewohnten zusammen die 6 1/2-Zimmerwohnung und bewirtschafteten das Ladenlokal und die Nebenräume. Am 15. Dezember 2006 zog die Beschwerdeführerin 1 aus der gemeinsamen Wohnung aus. Nach ihrer eigenen Darstellung gewährte sie dem Beschwerdegegner eine Frist bis zum 31. Januar 2007, um die Wohnung zu verlassen. Ende Januar 2007 wechselte der Beschwerdegegner die Schlösser für die Wohnung aus. Am 1. Februar 2007 ersetzten die Beschwerdeführer das Schloss an der Haustüre. B. Mit Klage vom 2. Februar 2007 beantragte der Beschwerdegegner dem Gerichtspräsidium Kulm, die Beschwerdeführer seien superprovisorisch richterlich anzuweisen, ihm Zugang zur Wohnung sowie zum Laden und zu den Büroräumlichkeiten zu verschaffen. Mit vorläufiger Verfügung vom 2. Februar 2007 verpflichtete der Gerichtspräsident von Kulm die Beschwerdeführer gestützt auf § 302 Abs. 1 ZPO/AG im Rahmen einer vorsorglichen Verfügung zum Schutz des Besitzes, dem Beschwerdegegner den Laden und die Büroräumlichkeiten sowie die dazugehörige Wohnung zugänglich zu machen. Nachdem dem Beschwerdegegner der Zugang von den Beschwerdeführern gewährt wurde, wechselte dieser nach Darstellung der Beschwerdeführer nach seinem Wiedereinzug per 2. Februar 2007 sämtliche Schlösser erneut aus. Mit Klageantwort und Widerklage vom 5. Februar 2007 beantragten die Beschwerdeführer unter anderem, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, die Liegenschaft sofort zu verlassen und der Beschwerdeführerin 1 die Hausschlüssel herauszugeben. Mit Urteil vom 22. März 2007 verpflichtete der Gerichtspräsident von Kulm den Beschwerdegegner unter anderem, die von ihm benutzte Wohnung, das Büro und das Geschäftslokal bis am 31. Mai 2007 zu räumen und sämtliche Schlüssel herauszugeben. Zudem wurde der Beschwerdegegner verpflichtet, den Beschwerdeführern einen Schlüssel zu den neuen Türschlössern sämtlicher Räume der Liegenschaft zu übergeben und ihnen den Zutritt zur Liegenschaft jederzeit zu ermöglichen. C. Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdegegner Beschwerde ans Obergericht des Kantons Aargau. Mit Urteil vom 27. August 2007 verpflichtete das Obergericht des Kantons Aargau die Beschwerdeführer in teilweiser Gutheissung der Beschwerde, dem Beschwerdegegner Zugang zur Wohnung, zum Büro und zum Ladenlokal zu gewähren. D. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 10. Oktober 2007 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 27. August 2007 aufzuheben; es sei festzustellen, dass zwischen den Parteien kein Mietvertrag abgeschlossen worden sei, und dem Beschwerdegegner sei zu befehlen, die Liegenschaft unverzüglich zu räumen und zu verlassen. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.