Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 5. Juli 2005 des Gemeindegerichts von Z._, Serbien, wurde die Ehe von X._ und Y._, Staatsangehörige von Serbien-Montenegro bzw. Bundesrepublik Jugoslawien, geschieden und der gemeinsame Sohn A._, geb. im 2001, unter die gemeinsame elterliche Sorge gestellt. Weiter wurde bestimmt, dass sich A._ in den ersten 15 Tagen des Monats unter der Obhut seiner Mutter und die zweiten 15 Tagen unter der Obhut seines Vaters aufhalten soll. Das serbische Gericht hat keine Unterhaltsregelungen getroffen. Am 12. Oktober leitete Y._ beim Richteramt Olten-Gösgen eine Klage auf Abänderung und Ergänzung des serbischen Scheidungsurteils ein. Mit Urteil vom 15. Februar 2007 teilte das Amtsgericht Olten-Gösgen die elterliche Sorge für A._ der Mutter zu, gewährte dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht und ordnete eine Erziehungsbeistandschaft betreffend das Besuchsrecht an. Weiter verpflichtete es den Vater zu Unterhaltsbeiträgen zugunsten des Kindes. Das Begehren um Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen an Y._ wurde abgewiesen. B. Gegen das Urteil des Amtsgerichts erhob X._ Appellation betreffend die Zuteilung der elterlichen Sorge für A._ und die Besuchs- und Ferienrechtsregelung. Y._ appellierte betreffend die Unterhaltsbeiträge zugunsten des Kindes. Mit Urteil vom 11. Dezember 2007 bestätigte das Obergericht, Zivilkammer, des Kantons Solothurn die Zuteilung der elterlichen Sorge für A._ an die Mutter. Ebenso bestätigte es die vom Amtsgericht getroffene Besuchs- und Ferienrechtsregelung und die Errichtung der Erziehungsbeistandschaft. Weiter verpflichtete des den Vater zu Unterhaltsbeiträgen zugunsten des Kindes von Fr. 750.-- pro Monat. C. Mit Eingabe vom 15. Januar 2008 führt X._ "Nichtigkeitsbeschwerde" und beantragt dem Bundesgericht sinngemäss, das Urteil des Obergerichts aufzuheben. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.