Sachverhalt: A. A.a. Der Zweckverband Uri für Kehrichtbeseitigung (im Folgenden: Zweckverband) und die Einwohnergemeinde Attinghausen, vertreten durch den Gemeinderat, schlossen am 12. März bzw. 1. April 1985 eine Vereinbarung über die Kehrichtdeponie in den Steinbrüchen Attinghausen ab. Zweck der Vereinbarung war gemäss Art. 1 die Regelung der Fragen im Zusammenhang mit der Errichtung einer geordneten Kehrichtdeponie in den Steinbrüchen Attinghausen. In Art. 4.3 der Vereinbarung wurde festgelegt, dass die Gemeinde Attinghausen im Hinblick auf einen möglichen Steuerausfall eine Rückvergütung von 30 % der von den Einwohnern von Attinghausen bezahlten Kehrichttaxe erhalte. Bezüglich der Vertragsdauer hielt Art. 6.1 fest, der Vertrag werde vorerst für die Dauer der ersten Etappe abgeschlossen. Ausserordentliche Umstände vorbehalten, solle er auch für die weiteren Etappen sinngemäss weiter fortgesetzt werden. Mit der Einführung der Sackgebühr wurde Art. 4.3 der Vereinbarung auf Vorschlag des Zweckverbandes mit Schreiben vom 17. Juni 1992 der Einwohnergemeinde Attinghausen einvernehmlich den veränderten Verhältnissen angepasst: Neu galt die von der Gemeinde Attinghausen im Jahre 1991 bezahlte Taxe als Basis für die Berechnung der Steuerausfallentschädigung (Rückvergütung von 30%); zusätzlich erfolgte eine teuerungsmässige Indexierung ab 1992. Der Zweckverband leistete die entsprechenden Zahlungen jährlich auf Rechnungstellung der Einwohngemeinde Attinghausen hin. A.b. Mit Schreiben vom 19. August 2005 teilte die Zentrale Organisation für Abfallbewirtschaftung im Kanton Uri (im Folgenden: ZAKU AG) als Rechtsnachfolgerin des Zweckverbandes Uri für Kehrichtbeseitigung der Einwohnergemeinde Attinghausen mit, dass die Vereinbarung zeitlich auf die Dauer der ersten Etappe der Deponie limitiert sei und somit die vereinbarte Steuerausfallentschädigung letztmals für das Jahr 2006 bezahlt werde. Mit Auszug aus dem Protokoll der Betriebskommission vom 3. April 2006 bestätigte die ZAKU AG ihr Schreiben vom 19. August 2005 und fasste den Beschluss, die Zahlungspflicht an die Einwohnergemeinde Attinghausen für die Steuerausfallentschädigung auf den 31. Dezember 2006 zu beenden. B. Am 31. Mai 2011 reichte die Einwohnergemeinde Attinghausen beim Obergericht des Kantons Uri eine verwaltungsrechtliche Klage gegen die ZAKU AG ein. Sie beantragte, die Beklagte (ZAKU AG) sei zu verpflichten, der Klägerin (Einwohnergemeinde Attinghausen) als Abgeltung für einen möglichen Steuerausfall im Jahr 2007 einen Betrag von Fr. 32'046.-- bzw. im Jahr 2008 einen Betrag von Fr. 33'604.-- bzw. im Jahr 2009 einen Betrag von Fr. 33'604.-- zu bezahlen. Zudem sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin auch während der gesamten zweiten und, sofern nicht aussergewöhnliche Umstände vorliegen, auch während der dritten Etappe der Kehrichtdeponie im Steinbruch Attinghausen die vereinbarte Abgeltung für einen möglichen Steuerausfall gemäss Art. 4.3 der Vereinbarung zu bezahlen. Mit Urteil vom 19. Juli 2012 erkannte das Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, was folgt: "1. Die verwaltungsrechtliche Klage wird gutgeheissen. 2. Die Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin als Abgeltung für einen möglichen Steuerausfall - im Jahre 2007 einen Betrag von Fr. 32'046.-- zu bezahlen. - im Jahre 2008 einen Betrag von Fr. 33'604.-- zu bezahlen. - im Jahre 2009 einen Betrag von Fr. 33'604.-- zu bezahlen. 3. Es wird festgestellt, dass die Beklagte verpflichtet ist, der Klägerin auch während der gesamten zweiten und, sofern nicht aussergewöhnliche Umstände vorliegen, auch während der dritten Deponieetappe der Kehrichtdeponie im Steinbruch Attinghausen die Abgeltung für einen möglichen Steuerausfall gemäss Art. 4.3 der Vereinbarung über die Kehrichtdeponie in den Steinbrüchen Attinghausen zwischen dem Zweckverband Uri für Kehrichtbeseitigung und der Einwohnergemeinde Attinghausen in seiner am 17. Juni 1992 abgeänderten Version zu bezahlen. [...]" C. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2012 erhebt die ZAKU AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, in Gutheissung der Beschwerde sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri vom 19. Juli 2012 aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gerügt wird im Wesentlichen ein Verstoss gegen die "bundesrechtlichen Prinzipien der Vertragsauslegung" sowie gegen das Gebot von Treu und Glauben bzw. das Willkürverbot. Mit Verfügungen vom 6. Dezember 2012 und 27. Mai 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung antragsgemäss das bundesgerichtliche Verfahren sistiert. Nach dem Scheitern der Vergleichsverhandlungen hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung am 31. Juli 2013 verfügt, das bundesgerichtliche Verfahren werde wieder aufgenommen. Die Einwohnergemeinde Attinghausen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht des Kantons Uri verzichtet auf eine Stellungnahme.