Sachverhalt: A. E._, geboren am 6. Dezember 1924, wurde am 28. Oktober 1999 in das Spital D._ aufgenommen, um sich am 1. November 1999 einem erfolgreich verlaufenen chirurgischen Eingriff am Herz zu unterziehen. Es wurden eine Aortaklappe ersetzt und drei Bypass eingeführt. Nach einem anschliessenden Aufenthalt auf der Intensivstation wurde E._ am 2. November 1999 um 10 Uhr auf die Bettenstation verlegt. Was dort geschah, wird in der Krankengeschichte wie folgt festgehalten: - Um 14.45 Uhr wurde festgestellt, dass E._ "noch nicht ganz adäquat" war, zum Teil nicht wusste, wo er sich befand. - Um 17.00 Uhr wurde bemerkt, dass er den Schlauch zur Infusionsflasche entfernt hatte, so dass überall Blutspuren sichtbar waren. - Um 19.00 Uhr hat er wiederum das Bett verlassen und den Infusionsschlauch entfernt. - Um 19.30 Uhr hat er den zentralen Venenkatheter vollständig gezogen, wobei er zeitlich und örtlich desorientiert war. Es wurden ihm 3 Tropfen Haldol verabreicht. - Um 22.00 Uhr schien E._ etwas beruhigt, aber immer noch örtlich und zeitlich desorientiert. - Um 23.30 Uhr sass E._ am Bettrand, nachdem er die Venenverweilkanäle herausgezogen hatte, was bewirkte, dass alles "wohin das Auge reicht" blutverschmiert war. Dabei war er zeitlich und örtlich desorientiert. Es wurden ihm acht Tropfen Haldol und das Schlafmittel Stilnox verabreicht, nachdem sich der Zustand am späten Abend ausgeprägt hatte. - Um 00.15 Uhr stellte ein Arzt fest, dass E._ ruhig war, adäquat antwortete und neurologisch unauffällig war. - Um 00.35 Uhr sprang er vom Balkon des Nachbarzimmers in den Tod. Einigkeit besteht darin, dass ein Verwirrtheitszustand von E._ zum Todessturz geführt hat. Dabei geht es um ein nach herzchirurgischen Eingriffen "nahezu alltägliches Problem", das mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % - 30 % auftritt, wobei ältere Personen häufiger davon betroffen sind als jüngere. Das Hauptmerkmal des mit den Begriffen "Verwirrtheitszustand", "Delir" oder "Durchgangssyndrom" bezeichneten Zustandes besteht stets in der Störung der Aufmerksamkeit, die meist fluktuiert. Eine ausgewogene und geordnete Wahrnehmung und Reizverarbeitung im Gehirn der Patientin oder des Patienten ist im akuten Stadium des Delirs nicht mehr möglich. Über die Pathogenese der Krankheit, das heisst über deren Entstehung und Entwicklung, besteht Unklarheit. Als Ursache wird vor allem eine metabolische Störung des Zentralnervensystems angenommen. Typisch ist der unvorhersehbare Verlauf der Krankheit. Ein stilles, in sich gekehrtes Verhalten kann abrupt in ein bettflüchtiges oder aggressives Verhalten gegen sich oder gegen andere umschlagen. Auch der Grad der Verwirrtheit kann sich rasch ändern. Zudem ist bekannt, dass im Zusammenhang mit dem Delir immer wieder Todesfälle auftreten. B. Am 27. Oktober 2000 klagten die Ehefrau des Verstorbenen A._ (Beschwerdeführerin 1) und dessen Töchter B._ (Beschwerdeführerin 2) sowie C._ (Beschwerdeführerin 3) beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit dem Antrag, das Spital D._ sei zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung in der Höhe von insgesamt Fr. 284'658.-- nebst Zins von 5 % seit 3. November 1999 zu verpflichten. Zur Begründung führten sie an, die Beklagte habe eine Reihe von Sorgfaltspflichten verletzt: - Sie habe es versäumt, Richtlinien zur Behandlung von postoperativen Verwirrtheitszuständen zu erlassen. - Sie habe keine adäquate Diagnose gestellt. - Sie habe keinen Facharzt der Psychiatrie beigezogen. - Sie habe nicht für eine hinreichende medikamentöse Therapie gesorgt. - Sie habe keine hinreichenden Massnahmen für die Sicherheit des Patienten angeordnet (Sitzwache, Fixierung etc.). - Sie habe die ärztliche Aufklärungspflicht verletzt. Der Instruktionsrichter beschränkte das Verfahren auf die Frage der grundsätzlichen Haftung der Beklagten und ordnete drei Begutachtungen an. Gutachter waren: Prof. F._, damals Oberarzt der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie im Klinikum X._; Prof. G._, Chefarzt an der Klinik für Herz- und Thoraxchirurgie des Spitals Y._; Prof. H._, Direktor der Klinik und Poliklinik für Psychiatrie und Psychotherapie der technischen Universität Z._. Mit Urteil vom 15. März 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage ab. C. Die Beschwerdeführerinnen haben gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. März 2004 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit dem Begehren, es sei aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde.