Sachverhalt: A. A.a Die damals in B._ (Kanton St. Gallen) wohnhaft gewesene X._ (geb. 1981) war vom 2. November 2009 bis zum 5. Januar 2010 im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in der Psychiatrischen Klinik C._ in D._ hospitalisiert. Nach ihrem Austritt zog sie nach E._ (Kanton Schwyz), wo sie sich am 19. Januar 2010 bei der Einwohnerkontrolle anmeldete. A.b Am 15. Juni 2010 verfügte der leitende Arzt der Klinik A._, Dr. med. Z._, dass X._ wiederum im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in die Psychiatrische Klinik F._ in G._ eingewiesen werde. Als Umstände und Gründe der Einweisung führte er an: "Exazerbation mit Angstsymptomatik bei bekannter schizoaffektiver Störung" und wies darauf hin, dass ein Transport in der Nacht nur durch FFE habe aufgeboten werden können. X._ wurde um 02.00 Uhr in der genannten Klinik aufgenommen. Mit einer als Rekurs bezeichneten Eingabe vom 18. Juni 2010 erklärte X._, mit der fürsorgerischen Freiheitsentziehung nicht einverstanden zu sein; sie habe einzig einem freiwilligen Klinikaufenthalt zugestimmt, zum Schutz vor Personen in ihrer Umgebung und um zu neuen Kräften zu kommen und neuen Mut zu fassen. In einer Eingabe vom 22. Juni 2010 stellte der Verein "Psychex", vertreten durch die von X._ beauftragten Anwälte, ein Begehren um sofortige Entlassung aus der Klinik. Durch Entscheid der Präsidentin der Vormundschaftsbehörde E._ vom 23. Juni 2010 wurde die ärztliche Einweisungsverfügung vom 15. Juni 2010 in eine behördliche Verfügung umgewandelt und angeordnet, dass die fürsorgerische Freiheitsentziehung bis auf weiteres fortgeführt werde. Am 28. Juni 2010 wurde X._ im Beisein ihres Rechtsvertreters, Rechtsanwalt lic. iur. Roger Burges, im Sinne von Art. 397f Abs. 3 ZGB durch das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz angehört. Anschliessend befragte das Gericht Dr. med. Y._ als Sachverständigen (Art. 397e Ziff. 5 ZGB) und ausserdem auch Dr. med. W._, Oberarzt an der Psychiatrischen Klinik F._. Das Verwaltungsgericht (Kammer IV) erkannte am 2. Juli 2010, dass die Beschwerde abgewiesen und die durch Dr. med. Z._ bzw. die Vormundschaftsbehörde E._ angeordnete fürsorgerische Freiheitsentziehung gerichtlich bestätigt werde. X._ wurde für das Verfahren vor Verwaltungsgericht unpräjudiziell unentgeltliche Rechtsverbeiständung gewährt und ihrem Rechtsvertreter aus der Gerichtskasse eine Entschädigung zugesprochen. B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juli 2010 verlangt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihre Entlassung aus der Klinik anzuordnen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. In seiner Vernehmlassung vom 30. Juli 2010 beantragt das Verwaltungsgericht, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der ärztliche Leiter der Klinik A._, Dr. med. Z._, hat auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat sich in einer Replik vom 4. August 2010 zur verwaltungsgerichtlichen Stellungnahme geäussert.