Sachverhalt: A. X._ wurde 1964 in Prilep/Deçan (westlicher Kosovo) geboren. Bis zur Einreise zu ihrem Gatten in die Schweiz im Juli 1988 lebte sie mit ihrer Tochter (geb. 1982) in Gjakova (ehemalige "Sozialistische Föderative Republik Jugoslawien"). Das Ehepaar X._ und Y._ durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Nachdem ihr Wegweisungsvollzug mehrmals aufgeschoben worden war, erhielt die unterdessen vierköpfige Familie im Rahmen der Humanitären Aktion 2000 die vorläufige Aufnahme. Die beiden Kinder sind heute Schweizer Bürger. B. Im Mai 2009 ersuchten X._ und Y._ darum, als staatenlos anerkannt zu werden. Das Bundesamt für Migration (BFM) teilte ihnen mit, dass es sie als kosovarische Staatsangehörige betrachte. Am 12. Oktober 2009 erneuerte X._ ihr Gesuch, wobei sie insbesondere geltend machte, sie sei bei ihrer Einreise in die Schweiz noch Bürgerin der "Sozialistischen Föderativen Republik Jugoslawien" gewesen; nach deren Auseinanderfallen habe sie keine Staatsangehörigkeit eines Nachfolgestaates angenommen und sämtliche Beziehungen zum Kosovo verloren. Das Bundesamt wies am 3. Februar 2010 ihr Gesuch wiederum ab; wie die Abklärungen der Botschaft in Pri?tina ergeben hätten, könne sie die Staatsangehörigkeit ihres Herkunftslands erlangen. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte am 18. November 2011 auf Beschwerde hin diesen Entscheid. C. X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass sie staatenlos sei; eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass sie ihre Staatszugehörigkeit ohne eigenes Zutun verloren habe; zudem habe das Bundesverwaltungsgericht den völkerrechtlichen Status des Kosovo falsch gewürdigt. X._ ersucht, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen.