Sachverhalt: A. Der Vorstand der Gemeinde Klosters-Serneus traf am 7. März 2007 gegenüber den Eheleuten X._ eine Verfügung zum Schutz eines öffentlichen Fuss- und Wanderwegs; dieser verläuft gemäss dem Generellen Erschliessungsplan der Gemeinde unter anderem über das Grundstück Nr. 1652. Formell Eigentümerin der genannten Liegenschaft war Frau X._. In der Verfügung wurden aber beide Eheleute verpflichtet, nichts vorzukehren, was die Begehung dieses Fusswegs verunmögliche oder erschwere. Insbesondere wurde ihnen untersagt, Fahrzeuge auf den Fussweg abzustellen bzw. abstellen zu lassen oder mit Schnee aus Schleuder bzw. vom Pflug zu belegen. Weiter enthielt die Verfügung eine Bussenandrohung für den Widerhandlungsfall. B. Die Eheleute X._ fochten die Verfügung beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden an. Am gerichtlichen Augenschein vom 20. August 2007 gaben sie bekannt, dass ein Verkauf der Liegenschaft anstehen könnte. Im Oktober 2007 teilten sie dem Verwaltungsgericht mit, die Veräusserung habe stattgefunden; der Besitz am Grundstück verbleibe ihnen jedoch bis zum 30. November 2007. Deswegen und mit Blick auf weitere Gründe verlangten sie weiterhin einen Entscheid in der Sache. Mit Urteil vom 4. Dezember 2007 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte den Beschwerdeführern die Gerichtskosten. C. Mit Eingabe vom 29. April 2008 legen die Eheleute X._ gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Ausserdem sei die Vorinstanz anzuweisen, einen Abschreibungsentscheid zu erlassen und die amtlichen und ausseramtlichen Kosten im kantonalen Verfahren zulasten der Gemeinde zu verlegen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Gemeinde Klosters-Serneus und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren fest.