Sachverhalt: A. Die 1968 geborene A._ war bei zwei verschiedenen Arbeitgebern im Reinigungsdienst tätig und unter anderem bei der SWICA Versicherungen AG (nachfolgend: SWICA) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 13. Mai 2002 zog sie sich bei einem Sturz auf der Strasse eine distale, dislozierte Radiusfraktur des adominanten rechten Armes mit Abriss des Processus styloideus ulnae und einer intraartikulären Trümmerfraktur zu. Nach der Metallentfernung entwickelte sich eine Algodystrophie. Die SWICA erbrachte Heilbehandlung und richtete Taggelder aus. Ab November 2002 nahm die Versicherte ihre Arbeit wieder auf, worauf es indessen zu verschiedenen Rückfällen und (teilweisen) Arbeitsunfähigkeiten kam. Die SWICA holte bei Dr. med. W._, am 27. Januar 2006 und am 8. August 2007 je ein handchirurgisches Gutachten ein. Gestützt auf die durchgeführten medizinischen und erwerblichen Abklärungen ergab sich gemäss den Ermittlungen der SWICA keine gesundheitsbedingte Erwerbseinbusse, weshalb sie mit Verfügung vom 13. Mai 2008 einen Anspruch auf Invalidenrente verneinte; hingegen sprach sie der Versicherten eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 Prozent zu. Daran hielt die Unfallversicherung mit Einspracheentscheid vom 8. Juli 2008 fest. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 5. März 2010 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Ausrichtung einer Invalidenrente von 40 % beantragen. Eventualiter sei die Sache zur erneuten materiellen Prüfung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.