Sachverhalt: A. Der chilenische Staatsangehörige A.X._ (geb. 24. April 1985) wurde 1992 von seiner Mutter nach Deutschland nachgezogen, wo er wiederholt straffällig wurde: Ab 1999 beging er Straftaten wie Diebstahl, Hausfriedensbruch, Missbrauch von Kindern und Verstösse gegen das Betäubungsmittelgesetz. Am 27. Februar 2002, im Alter von 16 Jahren und zehn Monaten, stach er im Streit um ein Fahrrad und 50 EUR zusammen mit einem Mittäter auf einen Kollegen ein, welcher kurze Zeit später an den Folgen der Messerstichverletzungen starb. Für diese Tat wurde er am 13. Juni 2002 vom Landgericht Rottweil (D) wegen gemeinschaftlichen Totschlags und gemeinschaftlicher Unterschlagung zu einer Jugendstrafe von fünf Jahren verurteilt. Am 27. Mai 2005 stach er - im Alter von 20 Jahren - erneut bewaffnet mit einem Messer (mit einer Klinge von 10-12 cm), aus nichtigem Anlass wild auf Oberkörper und Halsregion von drei Personen ein. Hierfür wurde er vom Landgericht Mosbach (D) am 11. September 2006 wegen versuchten Totschlags jeweils in Tateinheit mit gefährlicher Körperverletzung in drei Fällen und des Widerstandes gegen Vollstreckungsbeamte in Tateinheit mit vorsätzlicher Körperverletzung und Beleidigung in sechs Fällen zu einer Gesamtjugendstrafe von 8 Jahren verurteilt. A.X._ wurde zweimal aus Deutschland nach Chile abgeschoben. B. Am 28. August 2007 reiste A.X._ in die Schweiz ein und ersuchte im Kanton Thurgau um eine Aufenthaltsbewilligung. Die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen verneinte er. Nachdem dem Gesuch aus arbeitsmarktlichen Gründen kein Erfolg beschieden war, blieb er nach Ablauf des bewilligungsfreien Aufenthalts rechtswidrig im Land und heiratete am 14. Dezember 2007 die Schweizer Bürgerin B.Y._ (geb. 1986), Mutter eines 2006 geborenen vorehelichen Sohnes. Gestützt auf diese Eheschliessung erhielt er - nachdem er im entsprechenden Gesuch die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen erneut verneint hatte - im Kanton Appenzell Ausserrhoden eine Aufenthaltsbewilligung. Vom dortigen Verhöramt wurde er wegen Verstössen gegen das Ausländergesetz mit einer bedingten Geldstrafe und einer Busse verurteilt. C. Am 1. Mai 2008 zog A.X._ mit seiner Ehefrau von D._/AR nach E._/TG. Am 26. November 2008 erhielt er - die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen liess er dieses Mal offen - vom Kanton Thurgau eine bis zum 13. Dezember 2009 gültige Aufenthaltsbewilligung. Am 4. Mai 2009 wurden dem Migrationsamt des Kantons Thurgau Auszüge aus dem deutschen Strafregister zugestellt. Per 28. August 2009 zogen die Eheleute X._ nach F._/SG. Im Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung kreuzte der Ehemann bei der Frage nach gerichtlichen Vorstrafen erneut das Feld "Nein" an. Mit Verfügung vom 13. April 2010 lehnte das Ausländeramt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Kantonswechsel ab und forderte A.X._ auf, das Kantonsgebiet bis zum 25. Juni 2010 zu verlassen. Das hiegegen erhobene kantonale Rechtsmittel blieb erfolglos. D. Am 5. Dezember 2010 brachte B.Y._ die gemeinsame Tochter C._ zur Welt. C._ ist wie ihre Mutter Schweizer Bürgerin. Nachdem A.X._ im Kanton St. Gallen erneut eine Busse von Fr. 200.-- wegen Widerhandlung gegen das Ausländergesetz erwirkt hatte, bezog er am 1. Juli 2011 in G._/TG alleine eine Einzimmerwohnung und ist dort seit dem 14. September 2011 angemeldet. Am 15. September 2011 beantragte er die Verlängerung seiner am 13. September 2009 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung. A.X._ arbeitet seit 8. Februar 2010 in ungekündigter Stellung bei der S._ GmbH in H._/SG. Nach eigenen Angaben ist er dort Polymech-Schichtführer und erzielt ein monatliches Einkommen von ca. Fr. 5'000.--. Die Ehefrau zog mit den beiden Kindern auf den 1. März 2012 von F._/SG nach I._/SG um. Sie arbeitet in J._ (FL). Schulden und Betreibungen sind nicht bekannt. E. Nachdem das Migrationsamt des Kantons Thurgau A.X._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, lehnte es mit Entscheid vom 24. Mai 2012 dessen Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, der in Deutschland schwer vorbestrafte A.X._ habe sich - bei der wiederholten Verneinung gerichtlicher Vorstrafen - bewusst sein müssen, dass die Migrationsbehörden in der Schweiz nicht bloss nach Verurteilungen gemäss schweizerischem Recht gefragt hätten. Indem er die Frage wissentlich und willentlich verneint oder unbeantwortet gelassen habe, sei er in den Besitz einer Aufenthaltsbewilligung gelangt, die ihm in Kenntnis seiner im Ausland erwirkten Vorstrafen nie erteilt worden wäre. Ausserdem sei der Tatbestand einer Verurteilung zu einer langjährigen Freiheitsstrafe erfüllt, und es lägen auch - bis in die jüngste Zeit - begangene Straftaten in der Schweiz vor. Das öffentliche Interesse an der Fernhaltung des Ausländers überwiege klar dessen privates Interesse sowie dasjenige seiner Ehefrau und seiner Tochter, das Familienleben in der Schweiz führen zu können. F. Mit Entscheid vom 21. Januar 2013 wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau den gegen die Verfügung des Migrationsamtes gerichteten Rekurs ab. Mit Urteil vom 22. Mai 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen den Rekursentscheid gerichtete Beschwerde ebenfalls ab. G. Mit Eingabe vom 10. Juli 2013 führt A.X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2013 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. H. Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.