Sachverhalt: A. A._ (Kläger und Beschwerdeführer) wohnt in U._ (USA). Zwischen ihm und der B._ AG (Beklagte und Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Zürich entzündete sich im Jahr 2004 ein Streit über den geschuldeten Umfang einer Versicherungsleistung. B. B.a. Mit Klage vom 30. April 2007 beantragte A._ dem Bezirksgericht Zürich, die B._ AG sei zu verurteilen, dem Kläger einen Betrag von Fr. 5'729.25 nebst Zins sowie Weisungskosten von Fr. 295.-- zu bezahlen. Mit Urteil vom 13. September 2013 wies das Bezirksgericht die Klage vollumfänglich ab. B.b. Dagegen legten Rechtsanwältin lic. iur. C._ und Rechtsanwalt Dr. D._ namens des Klägers mit Eingabe vom 24. Oktober 2013 eine Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Die der Beschwerdeschrift beigelegte Vollmacht der klägerischen Rechtsvertreter war indessen nicht mehr aktuell, da nur bis zum 11. November 2011 befristet. Mit Verfügung vom 10. Januar 2014 setzte das Obergericht dem Kläger eine Frist von 20 Tagen an, um eine aktuelle Vollmacht einzureichen. Das Obergericht forderte den Kläger namentlich auf, innert einer Frist von 20 Tagen ab Zustellung der Verfügung mitzuteilen, ob er die bisherigen Handlungen seiner behaupteten Vertretung genehmige. Im Säumnisfall würden die bisherigen Handlungen der Rechtsvertreter als nicht erfolgt gelten. Die Verfügung wurde am 13. Januar 2014 den Rechtsvertretern des Klägers zugestellt. Noch vor Fristablauf am 3. Februar 2014 teilten die Rechtsvertreter des Klägers dem Obergericht mit, die amerikanische Rechtsvertretung der Beklagten habe ihnen "[...] massive Drohungen für den Fall einer Fortführung des Mandats zukommen lassen [...]." Sie legten daher ihr Mandat nieder. Gleichentags setzte das Obergericht dem Kläger mit Verfügung vom 3. Februar 2014 eine erneute Frist von 20 Tagen an, um mitzuteilen, ob er die bisherigen Handlungen der Rechtsvertretung genehmige. Der Kläger habe gegebenenfalls eine Vollmacht einzureichen. Das Obergericht drohte ihm dabei an, dass im Säumnisfall die Handlungen der angeblichen Vertreter - insbesondere die Erhebung der Beschwerde vom 24. Oktober 2013 - als nicht erfolgt gelten würden. Das Obergericht stellte diese Verfügung den bisherigen Rechtsvertretern des Klägers zu, wo diese am 4. Februar 2014 einging. Das Obergericht ging davon aus, dass die bisherigen Vertreter des Klägers ihr Mandat im Sinne von Art. 405 Abs. 2 OR soweit zur Wahrung der klägerischen Interessen nötig fortführen würden, da eine Niederlegung kurz vor Ablauf einer wichtigen Frist wohl unzeitig wäre. Mit Beschluss vom 4. März 2014 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. Es kam dabei zum Schluss, dass innert Frist, d.h. bis am 24. Februar 2014 keine Eingabe des Klägers erfolgt sei. Da dieser keine Vollmacht eingereicht und auch die bereits erfolgten Handlungen der bisherigen Rechtsvertreter nicht genehmigt habe, gelte die Beschwerde als nicht erfolgt, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Dieser Beschluss wurde den Parteien schriftlich mitgeteilt, zusätzlich an den Kläger durch Publikation vom 14. März 2014 im Amtsblatt des Kantons Zürich und an die bisherigen Rechtsvertreter je gegen Empfangsschein. C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt der Kläger dem Bundesgericht, es sei der Beschluss des Obergerichts vom 4. März 2014 aufzuheben und auf die Beschwerde vom 24. Oktober 2013 einzutreten. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Verfassungsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.