Sachverhalt: A. In der vom Friedensrichteramt A._ der Stadt B._ angehobenen Betreibung Nr. 1 stellte das Betreibungsamt Y._ der Ehefrau von X._ am 22. Oktober 2007 den Zahlungsbefehl zu. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. Zudem reichte er gegen die Erhebung von Zustellkosten in der Höhe von Fr. 40.-- Beschwerde ein beim Bezirksgericht C._, untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Mit Beschluss vom 3. Dezember 2007 trat das Bezirksgericht auf die Beschwerde wegen ihres ungebührlichen Inhaltes nicht ein. Es erhob keine Kosten und sprach keine Parteientschädigungen zu. B. Daraufhin gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Zürich, obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welches mit Beschluss vom 5. Mai 2008 auf seinen Rekurs nicht eintrat und ihm eine Spruchgebühr von Fr. 400.-- sowie eine Busse von Fr. 800.-- auferlegte. C. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Mai 2008 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und die Anweisung an das Bezirksgericht, auf seine Beschwerde einzutreten. Eventualiter seien die kantonalen Instanzen anzuweisen, seine Eingaben zur Heilung der Ungebührlichkeiten vorab zurückzuweisen. Das Betreibungsamt und das Obergericht haben sich nicht vernehmen lassen.