Sachverhalt: A. Vom 20. November bis 9. Dezember 2009 legte der Gemeinderat Muhen ein Baugesuch von Y._ für die Umnutzung und Erweiterung des bestehenden Pferdestalls in eine Ferienpension für Hunde, Katzen und Kleintiere auf der Parzelle Nr. 2264 in Muhen öffentlich auf. Gegen das in der Landwirtschaftszone gelegene Vorhaben erhoben unter anderen A._, A.B._ und B.B._ sowie A.C._ und B.C._ Einsprache. Das kantonale Departement für Bau, Verkehr und Umwelt (BVU) stimmte dem Bauvorhaben am 25. Januar 2010 unter Auflagen zu. Am 12. Juli 2010 erteilte der Gemeinderat Muhen die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Die erwähnten Einsprachen wies er im Wesentlichen ab, soweit er darauf eintrat. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Verwaltungsbeschwerde der unterlegenen Einsprecher wies der Regierungsrat des Kantons Aargau am 16. Februar 2011 ab. In einer gegen diesen Entscheid gerichteten Verwaltungsgerichtsbeschwerde verlangten A._, A.B._ und B.B._ sowie A.C._ und B.C._ die Aufhebung des Entscheids des Regierungsrats vom 16. Februar 2011. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. April 2012 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 15. Juni 2012 an das Bundesgericht beantragen A._, A.B._ und B.B._ sowie A.C._ und B.C._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. April 2012 sei aufzuheben und die Baubewilligung für das Vorhaben zu verweigern. C. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, da sie im Wesentlichen die beim Verwaltungsgericht eingereichte Beschwerde wiederhole und keine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid enthalte; falls darauf eingetreten werde, sei die Beschwerde abzuweisen. Y._ und der Gemeinderat Muhen beantragen, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei; auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei nicht einzutreten. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) gelangt zum Schluss, dass das Urteil des Verwaltungsgerichts mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes vereinbar sei. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. In einer weiteren Eingabe vom 17. Dezember 2012 beziehen sich die Beschwerdeführer auf das Urteil des Bundesgerichts 1C_510/2011 vom 18. April 2012. Sie ergänzen ihre Rechtsbegehren mit dem Antrag, die Sache sei eventuell an die Vorinstanz zur Prüfung nach der neuesten Bundesgerichtspraxis zurückzuweisen. Der Gemeinderat Muhen bestreitet, dass es sich um eine neue Rechtsprechung handle und weist darauf hin, dass sich der Sachverhalt des Urteils 1C_510/2011 vom 18. April 2012 von der vorliegenden Angelegenheit erheblich unterscheide.