Bürgschaft, hat sich ergeben: A.- Die Bank Y._, verbürgte sich im Jahre 1992 für mietvertragliche Verpflichtungen einer neu zu gründenden Gesellschaft gegenüber der Vermieterin, der X._ AG. Der Höchstbetrag der Bürgschaft belief sich auf Fr. 463'000.- und ihre Dauer war bis zum 1. August 1994 befristet. Die Hauptschuldnerin kam ihren Verpflichtungen aus dem Mietvertrag nicht nach. Die Vermieterin liess sich daher für ausstehende Mietzinse einen per 31. Dezember 1993 fälligen Eigenwechsel über Fr. 342'289. 20 ausstellen. Dieser wurde bis zum Fälligkeitstermin nicht honoriert. In der Folge leitete die Vermieterin gegen die Hauptschuldnerin Wechselbetreibung ein, in welcher am 1. Februar 1994 der Zahlungsbefehl zugestellt wurde. Die Hauptschuldnerin ersuchte daraufhin um Nachlassstundung. Die Vermieterin ihrerseits stellte ein Konkursbegehren. Am 1. März 1994 wurde das Konkurseröffnungsverfahren bis zum Entscheid über die Nachlassstundung sistiert. Die Vermieterin wies den Bürgen mit Schreiben vom 11. Juli 1994 darauf hin, dass sie ihn in Anspruch nehme. Am 20. Juli 1994 erklärte sich dieser ausserstande, die Ansprüche zu befriedigen, weil der Konkurs über die Hauptschuldnerin nicht eröffnet sei. Nachdem das Nachlassstundungsgesuch der Hauptschuldnerin abgewiesen worden war, wurde am 7. Dezember 1994 der Konkurs über sie eröffnet. Die Vermieterin meldete am 3. März 1995 sämtliche Mietzinsforderungen im Konkurs an. B.- Am 22. März 1995 reichte die Vermieterin beim Amtsgericht Luzern-Stadt Klage gegen die heutige Bank Y._ ein und verlangte die Bezahlung von Fr. 463'000.--. In einem ersten Verfahren wiesen das Amtsgericht Luzern-Stadt und das Obergericht Luzern die Bürgschaftsforderung mit der Begründung ab, die Klägerin habe mit der Einreichung der Klage gegen die Bürgin nach der Konkurseröffnung über die Hauptschuldnerin zu lange zugewartet, um dem Erfordernis des rechtzeitig eingeschlagenen und ohne erhebliche Unterbrechung verfolgten Rechtswegs gemäss Art. 510 Abs. 3 OR zu genügen. Eine hiergegen erhobene Berufung hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 14. Juli 1999 teilweise gut und wies die Streitsache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (BGE 125 III 322). Es erwog im Wesentlichen, das gesetzlich verankerte Beschleunigungsgebot betreffe nur die Haupt-, nicht auch die Bürgschaftsforderung. Ohne anders lautende Vereinbarung genüge daher grundsätzlich, wenn der Gläubiger dem Bürgen binnen vier Wochen nach beendetem Vorgehen gegen den Hauptschuldner anzeige, die Bürgschaft zu beanspruchen. Einer fristgebundenen Klageanhebung bedürfe es zur Rechtsverfolgung gegenüber dem Bürgen nicht. Die Klägerin habe die Bürgschaft folglich rechtzeitig im Sinne des Gesetzes in Anspruch genommen. C.- Das Obergericht wies die Sache zu neuer Beurteilung an das Amtsgericht zurück, welches die Klage am 13. Juni 2000 erneut abwies. Gleich entschied das Obergericht am 20. März 2001. Die Klägerin führt auch gegen diesen Entscheid Berufung beim Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Verurteilung der Beklagten zur Zahlung von Fr. 463'000.-. Eventualiter verlangt sie die Rückweisung der Streitsache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils.