Strafverfahren, hat sich ergeben: A.- Mit Urteil vom 29. Oktober 1997 erklärte das Obergericht des Kantons Zürich X._ des Mordes im Sinne von Art. 112 StGB sowie des unvollendeten Mordversuches im Sinne von Art. 112 in Verbindung mit Art. 21 Abs. 2 StGB schuldig, verurteilte ihn zu einer Zuchthausstrafe von 16 Jahren unter Anrechnung der bereits erstandenen Haft und ordnete eine ambulante Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB während des Strafvollzuges an. Gegen dieses Urteil führte X._ sowohl eidgenössische wie auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Mit Beschluss vom 5. Juli 1999 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Bundesgericht hiess mit Urteil vom 23. November 1999 die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde gut, soweit es darauf eintrat, hob das Urteil des Obergerichts vom 29. Oktober 1997 auf und wies die Sache zum Schuldspruch wegen vorsätzlicher Tötung und Versuchs dazu an die Vorinstanz zurück. Eine gegen den Beschluss des Kassationsgerichts vom 5. Juli 1999 gerichtete staatsrechtliche Beschwerde von X._ wies das Bundesgericht mit Urteil vom 23. November 1999 ab, soweit es darauf eintrat. B.- Mit Urteil vom 5. Juli 2000 erklärte das Obergericht des Kantons Zürich X._ der vorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 StGB sowie des unvollendeten Versuchs der vorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit Art. 21 Abs. 2 StGB schuldig und verurteilte ihn zu einer Strafe von 11 Jahren Zuchthaus unter Anrechnung der bereits erstandenen Haft. Ferner ordnete es eine ambulante Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB während des Strafvollzugs an. Gegen dieses Urteil erhob X._ wiederum sowohl eidgenössische als auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde innert Frist nicht begründet. Auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 1. Juni 2001 nicht ein. Das Kassationsgericht führte aus, das Obergericht habe in seinem Urteil vom 5. Juli 2000 bezüglich des Sachverhalts vollumfänglich auf die Erwägungen in seinem ersten Urteil vom 29. Oktober 1997 verwiesen und diese zum Bestandteil des neuen Urteils erklärt. Das Obergericht sei an die rechtliche Begründung des bundesgerichtlichen Kassationsentscheids gebunden gewesen. Im Rahmen des erneuten obergerichtlichen Verfahrens habe kein Raum bestanden, den der rechtlichen Würdigung durch das Bundesgericht und dem entsprechenden Rückweisungsentscheid zugrundeliegenden Sachverhalt erneut in Frage zu stellen. C.- Gegen den Beschluss des Kassationsgerichts erhob X._ am 12. Juli 2001 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner beantragt er die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und der amtlichen Verteidigung. Er macht geltend, es treffe nicht zu, dass sich sämtliche Rügen in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde auf Sachverhaltsfeststellungen bezogen hätten. Zur Hauptsache sei eine Verletzung des rechtlichen Gehörs gerügt worden, indem ihm der Ablauf der eigentlichen Tötung erst anlässlich der öffentlichen Urteilsberatung erstmals dargelegt worden sei. Implizit sei damit eine Verletzung des Anklageprinzips gerügt worden. Das Obergericht habe (in seinem Urteil vom 5. Juli 2000) nicht geprüft, ob dem Anklageprinzip Genüge getan sei, weshalb dem Beschwerdeführer nichts anderes übrig geblieben sei, als diese Frage dem Kassationsgericht zur Prüfung vorzulegen. Dieses habe die Frage einer Verletzung des Anklageprinzips nicht geprüft und habe somit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV). D.- Das Kassationsgericht und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.