Sachverhalt: A. Auf Gesuch der Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) erklärte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Land mit Entscheid vom 29. August 2006 das gegen X._ (Beschwerdeführerin) ergangene Teil-Urteil des Landgerichts Hamburg (D) vom 25. November 2005 im Teilbetrag von Euro 62'000.-- nebst Zins zu 6.95 % seit 14. Juli 1999 für vollstreckbar. Ferner wies er das Betreibungsamt A._ an, bewegliches Vermögen der Beschwerdeführerin im Umfang von Fr. 99'820.-- nebst Zins zu 6.95 % seit 14. Juli 1999 provisorisch zu pfänden. Dieser Entscheid wurde am 5. September 2006 von Z._, dem Ehemann der Beschwerdeführerin, an dessen Domizil in A._ in Empfang genommen. B. Gegen den Entscheid vom 29. August 2006 erhob die Beschwerdeführerin am 6. Oktober 2006 (Postaufgabe) "Einsprache" an das Obergericht des Kantons Luzern, mit der sie die örtliche Unzuständigkeit des Amtsgerichtspräsidenten geltend machte. Dessen Schuldbetreibungs- und Konkurskommission trat mit Entscheid vom 1. Dezember 2006 auf den Rekurs nicht ein. Sie erkannte, die Beschwerdeführerin habe die Begründung eines neuen Wohnsitzes in London nicht nachzuweisen vermocht, so dass nach wie vor A._ als Wohnsitz gelte. Demnach sei die einmonatige Rekursfrist nach Art. 36 Abs. 1 LugÜ anwendbar. Der Vollstreckungserklärungs-Entscheid sei rechtsgültig am 5. September 2006 zugestellt worden. Die Einmonatsfrist habe an diesem Datum zu laufen begonnen und am 5. Oktober 2006 geendet. Damit sei der Rekurs vom 6. Oktober 2006 verspätet. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, es sei die Ziffer 1 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Luzern vom 1. Dezember 2006 aufzuheben und die Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin und das Obergericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. D. Mit Präsidialverfügung vom 21. Februar 2007 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.