Sachverhalt: A. X._ wurde am 2. September 1943 während der Ehe von Y._ und Z._ geboren. Die Ehe wurde um 1950 geschieden. Am 6. Dezember 2005 erhob X._ beim Bezirksgericht Baden Klage gegen ihre (wiederverheirate) Mutter Z._ und den vormaligen Ehemann Y._ und beantragte die Feststellung, dass Y._ nicht ihr Vater sei. Mit Urteil vom 28. November 2006 wies das Bezirksgericht Baden die Klage ab. Zur Begründung hielt es im Wesentlichen fest, die Klage auf Anfechtung der Vermutung der Vaterschaft des Ehemannes (Art. 256 ZGB) sei verspätet und es lägen keine wichtigen Gründe im Sinne von Art. 256c Abs. 3 ZGB vor, um die Klagefrist wiederherzustellen. Sodann hat das Bezirksgericht einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf (blosse) Kenntnis der eigenen genetischen Abstammung vom hochbetagten, sich einem DNA-Test widersetzenden Beschwerdegegner verneint. B. Gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhob X._ Appellation, welche das Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, mit Urteil vom 11. Juli 2007 abwies. C. Mit Eingabe vom 11. September 2007 führt X._ Beschwerde in Zivilsachen und beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass Y._ nicht ihr Vater sei. Y._ (Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Z._ (Beschwerdegegnerin) hat sich nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.