Sachverhalt: A. A.a. Die X._ AG mit Sitz in M._ (Beschwerdeführerin) wurde am 5. Juli 2010 in das Handelsregister eingetragen und hat ihr Rechtsdomizil im Lokal des Anwaltsbüros von A._ (Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin) an der L._ in M._. A._ ist seit der Gründung der Gesellschaft einziger Verwaltungsrat mit Einzelunterschrift. Mit Tagesregister-Eintrag vom 21. September 2012 wurde die seit dem 5. Juli 2010 als Revisionsstelle fungierende Y._ Treuhand AG aus dem Handelsregister gelöscht. A.b. Mit an das Rechtsdomizil der X._ AG adressiertem Schreiben vom 15. Oktober 2012 (zugestellt am 18. Oktober 2012) teilte das Handelsregisteramt des Kantons Zürich (Beschwerdegegner) der Gesellschaft mit, dass die Y._ Treuhand AG als Revisionsstelle im Handelsregister gelöscht worden sei und die Gesellschaft damit über keine Revisionsstelle mehr verfüge. Das Handelsregisteramt wies die X._ AG darauf hin, dass eine Aktiengesellschaft gemäss Art. 727 ff. OR über eine von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde zugelassene und im Handelsregister eingetragene Revisionsstelle verfügen, oder aber der Verzicht auf eine Revision im Sinne von Art. 727a Abs. 2 OR eingetragen sein müsse. Dies sei bei der X._ AG nicht gegeben, womit ein Organisationsmangel im Sinne von Art. 941a OR vorliege. Das Handelsregisteramt forderte die X._ AG deshalb dazu auf, den gesetzmässigen Zustand hinsichtlich der Revisionsstelle innert 30 Tagen herzustellen. Weiter hielt das Handelsregisteramt fest, dass es dem zuständigen Gericht den Antrag stellen werde, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls die Gesellschaft den rechtmässigen Zustand nicht innert Frist herstelle. Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist ungenutzt verstreichen. B. Mit Gesuch vom 3. Dezember 2012 beantragte das Handelsregisteramt dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es seien infolge Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation der X._ AG die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, die X._ AG verfüge weder über eine Revisionsstelle, noch sei der Verzicht auf eine Revision i.S. von Art. 727a Abs. 2 OR eingetragen. Das oberste Leitungsorgan habe die ihm angesetzte Frist ungenutzt verstreichen lassen und trotz Ankündigung der Überweisung an den Richter keine Revisionsstelle und auch keinen Verzicht auf eine Revision angemeldet. B.a. Mit prozessleitender Verfügung vom 18. Dezember 2012 (zugestellt am 19. Dezember 2012) stellte das Handelsgericht des Kantons Zürich der X._ AG ein Doppel des Gesuchs zu (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte der Gesellschaft eine einmalige Frist bis 29. Januar 2013 an, um den rechtmässigen Zustand herzustellen oder konkret zureichende Gründe darzulegen, welche gegen das Gesuch des Handelsregisteramts sprechen. Weiter wies das Handelsgericht darauf hin, dass bei Säumnis oder unbehelflichen Einwendungen durch Urteil des Handelsgerichts die Auflösung der Gesellschaft und ihre Liquidation nach den Konkursregeln angeordnet werde (Dispositiv-Ziffer 2). Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist wiederum ungenutzt verstreichen. Mit Urteil vom 15. Februar 2013 löste das Handelsgericht die X._ AG auf, ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an und beauftragte das Konkursamt Zürich (Altstadt) mit deren Vollzug. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die X._ AG dem Bundesgericht die folgenden Anträge: "1. Es sei das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2013 aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und der Beschwerdeführerin Frist anzusetzen, binnen fünf Wochen ab Entscheid eine Generalversammlung durchzuführen mit der Auflage, an selbiger den bestehenden Organisationsmangel zu beheben; gleichzeitig bei Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens. 2. Eventualiter: Es sei das angefochtene Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2013 aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens. 3. alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners." Die Vorinstanz hat in ihrer Vernehmlassung vom 16. April 2013 zur Beschwerde Stellung genommen, ohne Antrag zu stellen. Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung vom 22. April 2013 die Abweisung des Begehrens betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen. D. Mit Präsidialverfügung vom 5. April 2013 wurde festgestellt, dass der Beschwerde im Umfang der gestellten Begehren von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt.