Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in A._/ZH bezweckt statutengemäss das Reinigen, Rekonditionieren, Lackieren, Beschriften, Entsorgen und Transportieren von Gebinden aller Art. Zur Wiederverwertung verbringt sie verschmutzte Fässer, die sich hier nicht reinigen lassen, nach Deutschland. Dort werden sie durch eine spezialisierte Unternehmung entweder entsorgt oder "rekonditioniert", d.h. zur Weiternutzung aufbereitet, ehe sie wieder zur X._ AG gelangen. B. Aufgrund eines Begehrens des deutschen Hauptzollamts in Münster überprüfte die Eidgenössische Zollverwaltung ab Dezember 2010 amtshilfeweise 134 Ursprungsnachweise auf ihre Richtigkeit hin. Die X._ AG hatte zum Verbringen der Fässer nach Deutschland jeweils Pro-forma-Rechnungen erstellt, auf welchen sie die für Zollzwecke erforderliche Lieferantenerklärung ("Rechnungserklärung") angebracht hatte. Mit Verfügung vom 21. Februar 2011 stellte die Zollkreisdirektion Schaffhausen fest, in 133 von 134 Fällen seien die Ursprungsnachweise ungültig. Der X._ AG sei es nicht gelungen, den Schweizer Ursprung der gebrauchten Fässer nachzuweisen. Die Behälter müssten als Waren unbestimmten Ursprungs gelten. C. Die X._ AG erhob dagegen am 23. März 2011 bei der Oberzolldirektion "vorsorglich" Beschwerde. Sie machte geltend, bei den Fässern handle es sich um Altwaren im Sinne des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG. Als solche seien sie ohne weiteren Nachweis als Schweizer Ursprungswaren zu behandeln, sofern sie in der Schweiz oder in der EU bezogen worden seien. Die Fässer seien zudem unter der Tarifnummer 7310.1000 einzureihen. Weiter beantragte die X._ AG, das Beschwerdeverfahren sei zu sistieren, bis die Antwort auf das gleichentags bei der Oberzolldirektion eingereichte Gesuch um verbindliche Ursprungsauskunft vorliege. Dies erlaube es ihr, anschliessend zu entscheiden, ob an der (vorsorglichen) Beschwerde festzuhalten sei. D. Die Oberzolldirektion sistierte das Beschwerdeverfahren antragsgemäss und beantwortete das Auskunftsersuchen vom 23. März 2011 mit schriftlicher Auskunft vom 13. April 2011. Darin führte sie aus, der Exporteur der Fässer sei bei deren Ausfuhr nach Deutschland berechtigt, einen Ursprungsnachweis auszustellen, soweit ihm ein Vorursprungsnachweis vorliege, d.h. eine Lieferantenerklärung seines Schweizer Lieferanten. Könne keine solche Erklärung beigebracht werden oder handle es sich um Fässer mit Ursprung in einem Drittstaat, sei das Ausstellen eines Ursprungsnachweises unzulässig. Im konkreten Fall habe der Vorgang zollrechtlich als Wiederaufbereitung der bestehenden Fässer zu gelten, sodass sie nicht unter die Waren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG fielen. Mit Schreiben vom 20. April 2011 und vom 25. Mai 2011 ersuchte die X._ AG die Oberzolldirektion um Erlass einer (Auskunfts-)Verfügung, in welcher der Ursprung der betroffenen Waren entsprechend der Auskunft vom 13. April 2011 verbindlich festgehalten werde. Hierzu wies sie auf die drohende Nachbelastung erheblicher Zollabgaben hin. Die Oberzolldirektion erklärte in ihrer Antwort vom 27. Mai 2011, gemäss der konstanten Rechtsprechung der Zollrekurskommission und der ständigen Praxis der Zollverwaltung würden "Tarifauskünfte nicht als beschwerdefähige Verfügungen [gelten]". E. Am 30. Mai 2011 erhob die X._ AG beim Bundesverwaltungsgericht ein als Rechtsverweigerungsbeschwerde bezeichnetes Rechtsmittel. Zusammenfassend beantragte sie die Feststellung, dass (1.) Ursprungsauskünfte Verfügungscharakter hätten und deshalb in Form einer rechtsmittelfähigen Verfügung zu erlassen seien, und (2.) im konkreten Fall die Fässer Schweizer Ursprungswaren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen Schweiz-EWG darstellten. Die Oberzolldirektion stellte in der Vernehmlassung vom 11. August 2011 den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen, worauf die X._ AG mit Replik vom 4. Oktober 2011 den erstgestellten Antrag modifizierte. Danach war nunmehr festzustellen, dass die Weigerung der Oberzolldirektion, über das Auskunftsersuchen eine Verfügung zu erlassen, eine formelle Rechtsverweigerung darstelle. Die Oberzolldirektion duplizierte am 26. Oktober 2011. Das Bundesverwaltungsgericht trat mit Urteil vom 20. März 2012 auf die Beschwerde nicht ein. Es begründete dies im Wesentlichen damit, dass die X._ AG mit ihrer Rechtsverweigerungsbeschwerde den Erlass einer Verfügung verlange, obwohl die "Zollkreisdirektion Schaffhausen in der gleichen Sache bereits am 21. Februar 2011 eine solche erlassen hatte". Zudem könne die beantragte Feststellung des Schweizer Ursprungs ohnehin nicht Streitgegenstand einer Rechtsverweigerungsbeschwerde bilden. F. Hiergegen erhebt die X._ AG (hiernach: die Zollpflichtige) mit Eingabe vom 10. Mai 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache sei zum Erlass einer Auskunftsverfügung über den Ursprung der Waren an die Vorinstanz bzw. an die Oberzolldirektion zurückzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung, während die Zollverwaltung in ihrer detaillierten Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde beantragt, soweit darauf einzutreten sei.