Sachverhalt: A. Zwischen A._ und B._ ist seit August 2000 vor dem Supreme Court of the State of New York, County of New York, das Scheidungsverfahren hängig. Strittig sind vor allem die vermögensrechtlichen Folgen der Scheidung. B. Am 15. September 2004 ging beim Einzelrichter für Rechtshilfe des Bezirksgerichts Zürich ein Ersuchen um internationale Rechtshilfe des Supreme Court of the State of New York, County of New York, ein, mit welchem um Einvernahme von Zeugen und um die Edition von Unterlagen im Zusammenhang mit dem Scheidungsverfahren A._ und B._ bei der Bank F._ in Zürich ersucht wurde. Mit Verfügung vom 28. September 2004 gab das Bezirksgericht dem Editionsbegehren statt und ersuchte die Bank F._, die im Einzelnen bezeichneten Unterlagen innert 20 Tagen einzureichen; die Einvernahme der verantwortlichen Organe der Bank als Zeugen wurde für einen späteren Zeitpunkt vorbehalten. C. Die Bank C._, Rechtsnachfolgerin der Bank F._, focht die bezirksrichterliche Verfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Sie schloss auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung des Rechtshilfeersuchens. Mit Beschluss vom 1. Juni 2005 hiess das Obergericht den Rekurs gut, hob die Verfügung des Bezirksgerichts auf und wies das Rechtshilfeersuchen ab. D. A._ ist mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 8. Juli 2005 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und die Bestätigung der bezirksrichterlichen Verfügung. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Anordnung der Durchführung der Rechtshilfe unter geeigneten Schutzmassnahmen, namentlich im Sinne einer Ausscheidung der für das Gesuch unerheblichen Unterlagen. Die Bank C._ hat am 15. August 2005 ein Gesuch um Sicherstellung der Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 15'000.-- gestellt. Es sind keine Antworten eingeholt worden.