Sachverhalt: A. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV), Hauptabteilung Mehrwertsteuer, erliess gegenüber dem im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragenen X._ (hiernach: die steuerpflichtige Person) am 19. April 2012 einen Einspracheentscheid. Darin hielt die ESTV im Wesentlichen fest, die steuerpflichtige Person schulde für die Steuerperioden vom ersten Quartal 2004 bis zum vierten Quartal 2008 Mehrwertsteuern von Fr. 14'881.-- zuzüglich Verzugszins. Die steuerpflichtige Person erhob dagegen am 18. Mai 2012 rechtzeitig Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. B. Mit Zwischenverfügung vom 22. Mai 2012 setzte der Instruktionsrichter der Abteilung I des Bundesverwaltungsgerichts den Kostenvorschuss auf Fr. 2'000.-- fest. Gleichzeitig forderte er die steuerpflichtige Person zur Leistung bis zum 8. Juni 2012 auf, andernfalls auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Der Treuhänder der steuerpflichtigen Person nahm die Zwischenverfügung am 25. Mai 2012 in Empfang. Die Überweisung erfolgte erst mit Postüberweisung vom 13. Juni 2012. Aus einem Schreiben an die Vorinstanz, das der Treuhänder am selben Tag verfasste, geht hervor, er habe die steuerpflichtige Person nach Eingang der Zwischenverfügung umgehend per E-Mail auf die Zahlungspflicht hingewiesen. Aufgrund von technischen Problemen mit dem Server, der von einem Dritten betrieben werde, sei es allerdings weder zur Weiterleitung der elektronischen Nachricht an die steuerpflichtige Person noch zu einer Fehlermeldung an ihn selbst gekommen. Deswegen ersuche er nun um "Fristerstreckung bezüglich der ausgeführten Zahlung". C. Mit einzelrichterlichem Urteil vom 21. Juni 2012 nahm das Bundesverwaltungsgericht das Schreiben vom 13. Juni 2012 als Fristwiederherstellungsgesuch entgegen, wies dieses ab und trat auf die Beschwerde vom 18. Mai 2012 nicht ein. Hiergegen wendet sich der Treuhänder der steuerpflichtigen Person mit Eingabe vom 12. Juli 2012 an das Bundesgericht. Er ersucht in seiner Beschwerde um "Fristwiederherstellung bezüglich Leistung des Zahlungsvorschusses". Das Bundesgericht holte bei der Vorinstanz und der Eidgenössischen Steuerverwaltung die Akten ein (Art. 102 Abs. 2 BGG), sah hingegen von einer Einladung zu Vernehmlassungen ab (Art. 102 Abs. 1 BGG).