Sachverhalt: A. Der 1956 geborene D._ war als technischer Sachbearbeiter in der Firma E._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 23. November 2006 liess er dem Versicherer melden, er leide nach mehreren Zeckenstichen vom 18. Juni 2006 an einer Neuro-Borreliose. Die SUVA holte nebst Berichten des behandelnden Arztes, Dr. med. T._, Arzt für Innere Medizin FMH, ein Gutachten des Prof. Dr. med. M._, Leiter der Neurologischen Poliklinik am Spital X._ vom 6. August (recte wohl: September) 2007 ein. Gestützt auf die Aussagen des Experten verneinte sie mit Verfügung vom 17. September 2007 ihre Leistungspflicht mangels eines kausalen Zusammenhangs zwischen den geklagten Beschwerden und dem gemeldeten Ereignis vom 18. Juni 2006. Die vom Krankenpflegeversicherer des D._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Der Versicherte erhob seinerseits Einsprache und legte ein Aktengutachten des Dr. med. S._, Facharzt für Innere Medizin FMH, vom 21. November 2007 auf. Dazu gab Prof. Dr. med. M._ auf Anfrage der SUVA am 21. Februar 2008 eine Stellungnahme ab, zu welcher sich wiederum Dr. med. S._ am 17. März 2008 äusserte. Sodann gab Dr. med. C._, Facharzt FMH für Innere Medizin und Arbeitsmedizin, von der Abteilung Arbeitsmedizin der SUVA, am 2. April 2008 eine Ärztliche Beurteilung ab. Mit Entscheid vom 22. April 2008 wies der Versicherer die Einsprache des D._ ab. B. Die von D._ hiegegen erhobene Beschwerde, welcher eine weitere Stellungnahme des Dr. med. S._ vom 8. Mai 2008 beilag, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 2. Oktober 2008 ab. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Sache zu ergänzenden Abklärungen und zum neuen Entscheid über die Zusprechung von Leistungen an die Vorinstanz oder an den Unfallversicherer zurückzuweisen; eventuell sei ein Obergutachten zur Frage des Vorliegens einer Neuro-Borreliose einzuholen. Sodann sei das kantonale Gericht zu verpflichten, über eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zu befinden. Mit der Beschwerde wird ein Bericht des Dr. med. T._ vom 31. Oktober 2008 aufgelegt. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.