Sachverhalt: A. A.a Am 9. Dezember 2005 schlossen die Y._ AG (Vermieterin) und X._ (Mieter) zwei Mietverträge ab. Beide Mietobjekte befinden sich an der A._strasse xxx in B._/SZ; das eine ist ein Loft/Atelier zum Mietzins von monatlich Fr. 650.-- inklusive Akonto Heiz- und Nebenkosten, das andere ein Lagerraum zum Mietzins von monatlich Fr. 30.--. Mietbeginn war am 15. Dezember 2005. A.b Mit eingeschriebenem Schreiben vom 24. Juni 2011 forderte die Vermieterin den Mieter auf, ausstehende Mietzinse im Betrag von Fr. 878.30 innert 30 Tagen zu begleichen, widrigenfalls sie eine ausserordentliche Kündigung aussprechen werde. Am 3. August 2011 kündigte die Vermieterin gestützt auf Art. 257d Abs. 2 OR die beiden Mietverhältnisse. Ihre eingeschriebene Sendung wurde nicht abgeholt. Am 14. September 2011 forderte die Vermieterin den Mieter unter Beilegung einer Kopie der Kündigung vom 3. August 2011 auf, die beiden Mietobjekte per 30. September 2011 zu räumen. B. B.a Am 5. Oktober 2011 stellte die Vermieterin beim Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe ein Ausweisungsbegehren gegen den Mieter. Am 25. November 2011 machte der Mieter eine Anfechtung der Kündigung der Mietverhältnisse beim Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe rechtshängig. Mit Verfügung vom 11. Januar 2012 befahl der Einzelrichter dem Mieter, beide Mietobjekte binnen 5 Tage zu räumen. B.b Am 26. Januar 2012 erhob der Mieter Berufung beim Kantonsgericht Schwyz und beantragte, die einzelrichterliche Verfügung vom 11. Januar 2012 sei aufzuheben und das Ausweisungsbegehren sei abzuweisen bzw. es sei nicht darauf einzutreten. Mit Beschluss vom 29. Juni 2012 wies das Kantonsgericht Schwyz die Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. September 2012 liess der Mieter (Beschwerdeführer) beantragen, der Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 29. Juni 2012 sei aufzuheben und das Ausweisungsbegehren der Vermieterin (Beschwerdegegnerin) vom 5. Oktober 2011 sei vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Eventualiter sei die fünftägige Räumungsfrist zu erstrecken und eine angemessene Frist zur Räumung und Rückgabe der Mietsachen anzusetzen. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 26. September 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.