Sachverhalt: A. Beim Bezirksgericht Zürich ist zwischen X._ und Y._ ein Ehescheidungsverfahren hängig. Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen verfügte die Einzelrichterin an diesem Gericht am 7. Juli 2004, dass A._, der im Mai 2000 geborene Sohn der Parteien, für die Dauer des Prozesses unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt und dem Vater für diese Dauer kein Besuchsrecht eingeräumt werde. Den von X._ gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 12. August 2004 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Gleichzeitig wurde das Verfahren von Amtes wegen zur Festlegung eines allfälligen Kindesunterhalts für die Dauer des Prozesses an die erste Instanz zurückgewiesen (Dispositiv-Ziffer 2). B. Mit Eingabe vom 20. September 2004 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV (Willkür) und verlangt, Dispositiv-Ziffer 1 des Beschlusses des Obergerichts vom 12. August 2004 insoweit aufzuheben, als damit die Verweigerung eines Besuchsrechts durch die erstinstanzliche Richterin bestätigt worden sei, und ihm für die Dauer des Ehescheidungsprozesses ein Besuchsrecht von zwei Wochenenden im Monat einzuräumen. Ferner ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und seinen Anwalt zum unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, sie allenfalls abzuweisen. Ausserdem ersucht auch sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.