Sachverhalt: A. X._ ist Vater dreier Kinder. A._ (geb. 2000) und B._ (geb. 2002) gingen aus seiner Ehe mit C._ hervor. Das Bezirksgericht Dielsdorf schied die Ehe am 16. Februar 2006. Es verurteilte X._, für seine beiden Kinder monatliche indexierte Unterhaltsbeiträge von je Fr. 750.-- (ab 1. Januar 2014 Fr. 850.--) zu bezahlen, zuzüglich Kinderzulagen. Das dritte Kind, D._ (geb. 2004), zeugte X._ mit E._. Am 30. September 2004 schloss X._ mit D._ bzw. mit dessen Mutter als seiner gesetzlichen Vertreterin einen Unterhaltsvertrag ab. Darin verpflichtete er sich, monatliche indexierte Alimente von Fr. 905.-- (bis zur Vollendung des 6. Altersjahrs), Fr. 920.-- (bis zur Vollendung des 12. Altersjahrs) bzw. Fr. 1'030 (bis zu Mündigkeit von D._) zu bezahlen. Die Vormundschaftsbehörde F._ genehmigte den Vertrag. B. Am 31. Januar 2012 beantragte die Einwohnergemeinde Y._ dem Bezirksgericht Bremgarten, die Arbeitgeberin von X._ gemäss Art. 291 ZGB zu verpflichten, ab März 2012 die monatlichen Unterhaltsbeiträge für D._ von Fr. 928.-- direkt vom Gehalt von X._ abzuziehen und der Finanzverwaltung der Gemeinde zu überweisen. Mit Entscheid vom 29. Juni 2012 wies das Bezirksgericht den jeweiligen Arbeitgeber bzw. den jeweiligen Schuldner von Einkommens-Ersatzleistungen an, monatlich den verlangten Betrag an die Finanzverwaltung der Gemeinde Y._ zu überweisen. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau am 17. September 2012 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Oktober 2012 wendet sich X._ an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und das Gesuch um Schuldneranweisung abzuweisen; eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter beantragt er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 14. November 2012 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Stellungnahme eingeholt.