Sachverhalt: A. Die 1981 geborene B._ leidet an einer spinalen Muskelatrophie Typ II (Kugelberg-Welander), welche zu einer Parese der unteren Extremitäten und einer Kraftminderung der oberen Extremitäten führt. Die Invalidenversicherung anerkannte ein Geburtsgebrechen (Ziff. 383 des Anhangs zur GgV) und übernahm unter anderem die Mehrkosten für die Erlangung der Maturität (anfangs des Jahres 2001) sowie für das spätere Studium der Mathematik und die Absolvierung des höheren Lehramtes. Für die Belange der Invalidenversicherung galt die Ausbildung als seit Sommer 2007 abgeschlossen (Bericht des Eingliederungsverantwortlichen der Invalidenversicherung vom 4. Juli 2008). Seit August 2008 arbeitet B._ in einem Teilpensum als Mathematiklehrerin. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau sprach ihr unter der gutachtlich abgestützten Annahme, sie sei als Lehrerin zu höchstens 50 Prozent arbeitsfähig, für die Zeit nach Abschluss der beruflichen Ausbildung (ab Juli 2007) eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 26. Oktober 2009). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die hiergegen erhobene Beschwerde ab, mit welcher die Erhöhung der Invalidenrente um einen Drittel (Art. 37 Abs. 2 IVG), eventuell die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur ergänzenden Sachverhaltsermittlung bzw. zur Neuberechnung der Rentenhöhe, beantragt worden war (Entscheid vom 10. März 2010). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert B._ die vorinstanzlich gestellten Anträge. Ausserdem ersucht sie darum, es sei ihr die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Abweisung der Beschwerde.