Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die am 30. Januar 1996 gegründete A._ AG (Beschwerdeführerin 1) befasst sich hauptsächlich mit der Herausgabe von Orts- und Quartierplänen, die mit Werbung finanziert werden. Halter des Aktienkapitals von Fr. 100'000.-- waren ursprünglich zu gleichen Teilen die Brüder C._ (Beschwerdegegner) und D._. Mit Kaufvertrag vom 13. Juni 1996 verkaufte D._ seine hälftige Beteiligung an die B._ AG mit Sitz in X._ (Beschwerdeführerin 2). Diese befindet sich im Alleinbesitz von E._, der einziges und einzelzeichnungsberechtigtes Mitglied des Verwaltungsrates ist. Im Rahmen des Aktienverkaufs vom 13. Juni 1996 gab die A._ AG die Erklärung ab, dass weder E._ noch ein anderer von der B._ AG bestellter Vertreter in ihrem Verwaltungsrat einem Konkurrenzverbot in irgendeiner Form unterstehe und dass eine solche Vertretung keine Verletzung der Treuepflicht unter irgendeinem Rechtstitel darstellen könne. Als Folge der geänderten Beteiligungsverhältnisse an der A._ AG übernahm der in X._ wohnhafte E._ das Präsidium des Verwaltungsrats, während der bisherige Präsident C._ Verwaltungsratsmitglied blieb. Ihren Sitz verlegte die A._ AG von Zürich nach X._. Die Überwachung der Produktion oblag C._, der sein Büro in Zürich hatte, während der gesamte administrative Bereich nach X._ verlegt wurde. Die Herstellung der Ortspläne wurde in der Folge der Z._ AG übertragen, die am 7. März 1997 ihren Sitz nach Zürich verlegte und deren Verwaltungsrat bis 13. März 1998 C._ als Präsident sowie D._ angehörten. Am 24. April 1998 verlegte auch die 1984 gegründete F._ AG ihren Sitz nach Zürich. Ihr Zweck ist die Herausgabe und der Vertrieb von Werken und periodischen Veröffentlichungen. Zwischen E._ und C._ ergaben sich zunehmend Meinungsverschiedenheiten, die dazu führten, dass in der A._ AG bei Entscheiden sowohl über operative wie auch über strategische Fragen häufig Pattsituationen entstanden. An der Verwaltungsratssitzung vom 10. Februar 1998 wurde beschlossen, dass lediglich angefangene Arbeiten fertig gestellt werden. Zwischen E._ und C._ ergaben sich zunehmend Meinungsverschiedenheiten, die dazu führten, dass in der A._ AG bei Entscheiden sowohl über operative wie auch über strategische Fragen häufig Pattsituationen entstanden. An der Verwaltungsratssitzung vom 10. Februar 1998 wurde beschlossen, dass lediglich angefangene Arbeiten fertig gestellt werden. B. Am 21. März 1999 belangten die A._ AG und die B._ AG C._ beim Kantonsgericht von Appenzell A.Rh. auf Zahlung von Fr. 4'300'000.-- nebst Zins aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit. Das Kantonsgericht wies die Klage am 20. März 2000 ab und überband die amtlichen und ausseramtlichen Kosten unter solidarischer Haftung den beiden Klägerinnen. Eine von diesen eingereichte Appellation wies das Obergericht von Appenzell A.Rh. (2. Abteilung) mit Urteil vom 29. Mai 2001 ab. Die Prozesskosten auferlegte es unter Gutheissung der Anschlussappellation von C._ für beide Instanzen allein der B._ AG. B. Am 21. März 1999 belangten die A._ AG und die B._ AG C._ beim Kantonsgericht von Appenzell A.Rh. auf Zahlung von Fr. 4'300'000.-- nebst Zins aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit. Das Kantonsgericht wies die Klage am 20. März 2000 ab und überband die amtlichen und ausseramtlichen Kosten unter solidarischer Haftung den beiden Klägerinnen. Eine von diesen eingereichte Appellation wies das Obergericht von Appenzell A.Rh. (2. Abteilung) mit Urteil vom 29. Mai 2001 ab. Die Prozesskosten auferlegte es unter Gutheissung der Anschlussappellation von C._ für beide Instanzen allein der B._ AG. C. Die A._ AG und die B._ AG führen gegen das Urteil des Obergerichts staatsrechtliche Beschwerde und Berufung. Mit der Beschwerde verlangen sie die Aufhebung des Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur neuen Beurteilung. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin 1 nicht einzutreten. Eventuell sei ihr Rechtsmittel, wie auch dasjenige der Beschwerdeführerin 2, abzuweisen und das obergerichtliche Urteil zu bestätigen.