Sachverhalt: A. Am 1. Juni 2011 erstattete der Schweizerische Drogistenverband beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement) Anzeige gegen den leitenden Apotheker der Zur Rose Suisse AG wegen wiederholten und schweren Verstössen gegen die Berufspflichten. Dabei wurde beantragt, gegen ihn ein Disziplinarverfahren einzuleiten und die erforderlichen Massnahmen zu treffen. Gleichentags hielt der Schweizerische Drogistenverband den Kantonsapotheker dazu an, für eine konsequente Durchsetzung der Gesetzgebung besorgt zu sein. B. Mit Schreiben vom 20. Juni 2011 orientierte das Departement den Verband, dass es seine Eingabe vom 1. Juni 2011 als Anzeige entgegennehme. Am 9. März 2012 reichte der Schweizerische Drogistenverband eine Anzeige gegen den Kantonsapotheker ein und beantragte, dieser sei anzuweisen, den Betrieb des Online-Shops der Zur Rose Suisse AG unverzüglich zu verbieten. Am 9. März 2012wurde der Schweizerische Drogistenverband vom Departement darüber informiert, dass es die Rechtmässigkeit des Versandhandelsmodells der Zur Rose Suisse AG überprüfen werde. Mit Schreiben vom 11. April 2012beantragte der Schweizerische Drogistenverband, es sei ihm im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG und in demjenigen gegen ihren leitenden Apotheker Parteistellungeinzuräumen. Auch sei Swissmedic in das Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG miteinzubeziehen. C. Die PharmaSuisse (Schweizerischer Apothekerverband) hatte beim Departement im März 2011 ebenfalls eine Eingabe gegen die Zur Rose Suisse AG gemacht. Das Departement nahm diese als Aufsichtsanzeige entgegen, die allerdings gemäss der bewusst von der bundesgerichtlichen Praxis abweichenden Auffassung des Verwaltungsgerichts Thurgau als Beschwerde hätte behandelt werden müssen (Urteil des Verwaltungsgerichts vom 18. Januar 2012 E. 4.5). Demnach wurde ein Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG anhand genommen, bei dem die PharmaSuisse Parteistellung innehat (vgl. dazu Urteil 2C_215/2012 vom 17. März 2012 Sachverhalt A und B). D. Am 15. Mai 2012 hielt das Departement fest, dass dem Begehren um Einräumung der Parteistellung im Verfahren gegen die Zur Rose Suisse AG grundsätzlich nichts im Wege stehe. Mit Schreiben vom 31. Mai 2012 ersuchte der Schweizerische Drogistenverband um Einsicht in sämtliche dem Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG zugrunde liegende Akten. Am 6. Juni 2012 teilte das Departement mit, dass es sich beim hängigen Verwaltungsverfahren "um ein Zweiparteienverfahren zwischen der PharmaSuisse und der Zur Rose Suisse AG" handle, weshalb die betreffenden Akten Dritten nicht zugänglich wären. E. Mit Eingabe vom 22. Juni 2012 beantragte der Schweizerische Drogistenverband dem Departement den Erlass einer Verfügung, wonach es der Zur Rose Suisse AG zu verbieten sei, nicht rezeptpflichtige Arzneimittel der Abgabekategorie C und D an Personen zu versenden, deren Gesundheitszustand nicht vorgängig und nachweislich im Rahmen einer persönlichen ärztlichen Konsultation abgeklärt wurde und die über kein im Rahmen der Konsultation von einem in der Schweiz zur Berufsausübung zugelassenen Arzt ausgestelltes Rezept für die betreffenden Arzneimittel verfügten. Das Departement trat mit Entscheid vom 6. November 2012 auf das Gesuch um Eröffnung eines Verwaltungsverfahrens mangels Parteistellung des Schweizerischen Drogistenverbands nicht ein. Die Eingabe vom 22. Juni 2012 wurde als Anzeige entgegengenommen, ihr wurde jedoch keine Folge geleistet. F. Am 27. November 2012 erhob der Schweizerische Drogistenverband Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und beantragte namentlich, den Entscheid des Departements für Finanzen und Soziales vom 6. November 2012 aufzuheben. Dem Schweizerischen Drogistenverband sei Parteistellung einzuräumen und das Departement anzuweisen eine Verfügung zu erlassen, wonach der Zur Rose Suisse AG untersagt werde, Arzneimittel der Abgabekategorie C und D an Personen zu versenden, deren Gesundheitszustand nicht vorgängig und nachweislich im Rahmen einer persönlichen ärztlichen Konsultation abgeklärt worden sei und die über kein im Rahmen der Konsultation von einem in der Schweiz zur Berufsausübung zugelassenen Arzt ausgestelltes Rezept für die betreffenden Arzneimittel verfügten. Der verfahrensleitende Gerichtspräsident beschränkte den Streitgegenstand am 29. November 2012 auf die Frage, ob dem Schweizerischen Drogistenverband im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG Parteistellung zukomme. Am 22. Mai 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde des Schweizerischen Drogistenverbands ab, soweit es darauf eintrat. G. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Juli 2013 beantragt der Schweizerische Drogistenverband dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2013 sei aufzuheben; es sei ihm im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG Parteistellung einzuräumen. Die Angelegenheit sei zur Beurteilung der mit der Beschwerde vom 27. November 2012 gestellten Rechtsbegehren zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau, das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie die Zur Rose Suisse AG beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Letztere bringt vor, das von ihr praktizierte Versandhandelsmodell sei zulässig. Der Schweizerische Drogistenverband hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest.