Sachverhalt: A. A.a. Fenerbahçe Spor Kulübü (Beschwerdeführer) ist ein professioneller Fussballclub mit Sitz in Istanbul, Türkei. Er ist Mitglied des türkischen Fussballverbands (TFF). Die Union des Associations Européennes de Football (UEFA, Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Nyon ist der europäische Fussballverband, dem auch der türkische Fussballverband angehört. Sie veranstaltet unter anderem die UEFA Champions League. A.b. Am 21. und 26. Februar, am 6., 7. und 20. März sowie am 9. April 2011 wurden im Rahmen der türkischen "Süper Lig" verschiedene Fussballspiele ausgetragen, bei denen von Personen im Umfeld von Fenerbahçe Spor Kulübü Bestechungsgelder für den Matchverlust bezahlt worden sein sollen. Am 14. April 2011 trat ein neues türkisches Gesetz (Nr. 6222) in Kraft, das einen besonderen Straftatbestand für Spielmanipulationen vorsieht. Am 17. und 22. April sowie am 1. Mai 2011 fanden weitere Fussballspiele der "Süper Lig" statt, bei denen Personen im Umfeld von Fenerbahçe Spor Kulübü Geld bezahlt haben sollen, um die Spiele zu beeinflussen. Am 5. Mai 2011 reichte Fenerbahçe Spor Kulübü der UEFA das unterzeichnete Formular "UEFA Club Competitions 2011/2012 Admissions Criteria Form" ein, mit dem der Fussballclub bestätigte, seit 27. April 2007 weder direkt noch indirekt an Spielmanipulationen beteiligt gewesen zu sein. Am 8., 15. und 22. Mai 2011 fanden weitere Fussballspiele der türkischen Süper Lig statt, bei denen von Personen mit Beziehungen zu Fenerbahçe Spor Kulübü Bestechungsgelder an die gegnerische Mannschaft für den Spielverlust bezahlt worden sein sollen. Am 22. Mai 2011 gewann Fenerbahçe Spor Kulübü die Meisterschaft in der "Süper Lig" und qualifizierte sich damit gleichzeitig für die Gruppenspiele der UEFA Champions League der Spielsaison 2011/2012. A.c. Am 3. Juli 2011 verhaftete die türkische Polizei 61 Personen im Rahmen einer weit angelegten Strafuntersuchung betreffend Spielmanipulationen im türkischen Fussballsport. Der Spielmanipulation verdächtigt wurden unter anderem der Präsident und Vizepräsident, zwei Vorstandsmitglieder, der Trainer und der Finanzdirektor von Fenerbahçe Spor Kulübü, dies im Zusammenhang mit verschiedenen Fussballspielen der Spielsaison 2010/2011. Am 11. Juli 2011 forderte das TFF-Exekutivkomitee die Ethikkommission dazu auf, eine Untersuchung zu Spielmanipulationen im türkischen Fussballsport einzuleiten. Am 20. Juli 2011 versorgte die türkische Staatsanwaltschaft die TFF-Ethikkommission mit Informationen und Beweismitteln im Zusammenhang mit dem eingeleiteten Strafverfahren. A.d. Am 24. August 2011 informierte das TFF-Exekutivkomitee die UEFA über seinen Entscheid, den Fussballclub Fenerbahçe Spor Kulübü diese Saison nicht in der Champions League antreten zu lassen. Am 25. August 2011 wies die TFF-Schiedskommission eine von Fenerbahçe Spor Kulübü gegen den Entscheid des TFF-Exekutivkomitees erhobene Berufung ab. Auf Berufung von Fenerbahçe Spor Kulübü gegen den Entscheid der TFF-Schiedskommission vom 25. August 2011 hin wies das Tribunal Arbitral du Sport (TAS) die Anträge um Erlass vorsorglicher Massnahmen mit Entscheiden vom 9. September und 3. November 2011 ab. Am 2. Dezember 2011 erhob der türkische Staatsanwalt Anklage gegen verschiedene Personen, unter ihnen Funktionäre von Fenerbahçe Spor Kulübü. Am 3. Januar 2012 leitete die TFF-Disziplinarkommission gegen Fenerbahçe Spor Kulübü und weitere türkische Fussballclubs sowie zahlreiche natürliche Personen Disziplinarverfahren wegen Spielmanipulationen ein. Am 25. April 2012 zog Fenerbahçe Spor Kulübü seine Berufung an das TAS zurück, womit der Entscheid des türkischen Verbands, Fenerbahçe Spor Kulübü für die Spielsaison 2011/2012 nicht in der Champions League antreten zu lassen, rechtskräftig wurde. A.e. Am 26. April 2012 verabschiedete die TFF-Ethikkommission einen Untersuchungsbericht zu den Manipulationsvorwürfen bezüglich bestimmter Fussballspiele, unter anderem solchen, an denen Fenerbahçe Spor Kulübü beteiligt war. Mit Entscheid vom 6. Mai 2012 verhängte die TFF-Disziplinarkommission gegen ein Vorstandsmitglied von Fenerbahçe Spor Kulübü ein dreijähriges Verbot, gegen den Vizepräsidenten und den Trainer ein einjähriges Verbot, fussballbezogene Aktivitäten auszuüben. B. B.a. Am 4. Juni 2012 erhielt die UEFA den Bericht der TFF-Ethikkommission vom 26. April 2012. Mit Schreiben vom 7. Juni 2012 forderte der Generalsekretär der UEFA den Vorsitzenden der Kontroll- und Disziplinarkommission der UEFA auf, ein Disziplinarverfahren gegen Fenerbahçe Spor Kulübü einzuleiten. Am 2. Juli 2012 entschied der High Criminal Court in Instanbul, dass unter der Führung von B._, dem Präsidenten von Fenerbahçe Spor Kulübü, eine kriminelle Organisation gebildet worden sei und dass sich Funktionäre von Fenerbahçe Spor Kulübü bei 13 Spielen der Saison 2010/2011 an Spielmanipulationen beteiligt hätten. Von den 93 Angeklagten wurden 48 verurteilt, unter ihnen - B._, der Präsident von Fenerbahçe Spor Kulübü (zweieinhalb Jahre Freiheitsstrafe für die Bildung einer kriminellen Organisation, drei Jahre und neun Monate sowie TRY 1'312'500.-- für Spielmanipulationen); - C._, Vizepräsident von Fenerbahçe Spor Kulübü (ein Jahr und drei Monate Freiheitsstrafe wegen Mitgliedschaft in einer kriminellen Organisation; ein Jahr, 10 Monate und 14 Tage wegen Spielmanipulationen); - D._, Vorstandsmitglied von Fenerbahçe Spor Kulübü (ein Jahr und sechs Monate Freiheitsstrafe wegen Mitgliedschaft in einer kriminellen Organisation; ein Jahr, 25 [sic] Monate und 15 Tage sowie TRY 900'000.-- wegen Spielmanipulationen); - E._, Vorstandsmitglied von Fenerbahçe Spor Kulübü (ein Jahr und sechs Monate Freiheitsstrafe wegen Mitgliedschaft in einer kriminellen Organisation; ein Jahr, ein Monat und 15 Tage sowie TRY 135'000.-- wegen Spielmanipulationen); - F._, Trainer von Fenerbahçe Spor Kulübü (ein Jahr und drei Monate Freiheitsstrafe wegen Mitgliedschaft in einer kriminellen Organisation; 11 Monate und 7 Tage sowie TRY 15'626.-- wegen Spielmanipulationen); - G._, Finanzdirektor von Fenerbahçe Spor Kulübü (ein Jahr und drei Monate Freiheitsstrafe wegen Mitgliedschaft in einer kriminellen Organisation; ein Jahr und drei Monate sowie TRY 49'980.-- Busse wegen Spielmanipulationen). Am 31. Mai 2013 legte der UEFA-Disziplinarinspektor seinen Bericht über das bisherige Disziplinarverfahren vor. Am 20. Juni 2013 reichte Fenerbahçe Spor Kulübü seine Stellungnahme dazu ein. Mit Entscheid vom 22. Juni 2013 schloss die Kontroll- und Disziplinarkommission der UEFA Fenerbahçe Spor Kulübü von der Teilnahme an den nächsten drei UEFA-Clubwettbewerben aus, für die sich der Fussballclub qualifizieren würde, wobei das dritte Jahr der Sperre zur Bewährung ausgesetzt wurde. B.b. Mit Entscheid vom 10. Juli 2013 hob die UEFA-Berufungskammer den Entscheid der Kontroll- und Disziplinarkommission vom 22. Juni 2013 auf Berufung von Fenerbahçe Spor Kulübü hin teilweise auf und schränkte die Sperre auf die nächsten zwei UEFA-Clubwettbewerbe ein. B.c. Mit Eingabe vom 16. Juli 2013 focht Fenerbahçe Spor Kulübü den Entscheid der UEFA-Berufungskammer vom 10. Juli 2013 beim TAS an und beantragte die aufschiebende Wirkung. Die UEFA widersetzte sich der Gewährung der aufschiebenden Wirkung nicht. Am 18. Juli 2013 teilte Fenerbahçe Spor Kulübü dem TAS unter anderem mit, dass sich die Parteien über den zeitlichen Verfahrensablauf geeinigt hätten. Ebenfalls am 18. Juli 2013 bestätigte das TAS angesichts der zwischen den Parteien getroffenen Einigung die aufschiebende Wirkung. Ausserdem nahm es von der Einigung der Parteien auf einen beschleunigten Verfahrensablauf Kenntnis, wonach die Berufungsbegründung bis 26. Juli 2013 und die Berufungsantwort bis 9. August 2013 eingereicht, die mündliche Hauptverhandlung zwischen 21. und 23. August 2013 abgehalten und ein Entscheid bis 28. August 2013 gefällt werden soll. Am 26. Juli 2013 reichte Fenerbahçe Spor Kulübü die Berufungsbegründung ein, im Wesentlichen mit dem Antrag, die von der UEFA-Berufungskammer mit Entscheid vom 10. Juli 2013 verhängte Sperre sei aufzuheben; eventualiter sei der Entscheid vom 10. Juli 2013 aufzuheben und die Sache an die UEFA-Berufungskammer zurückzuweisen. Am 9. August 2013 reichte die UEFA ihre Berufungsantwort ein, in der sie beantragte, die Berufung sei abzuweisen und der Entscheid der UEFA-Berufungskammer zu bestätigen. Am 21. und 22. August 2013 fand in Lausanne die mündliche Hauptverhandlung statt. Dabei wurden insgesamt 20 von den Parteien bezeichnete Personen befragt; auf die Befragung von weiteren 13 Zeugen verzichtete Fenerbahçe Spor Kulübü während der Verhandlung. B.d. Mit Schiedsentscheid vom 28. August 2013 (mit Begründung zugestellt am 11. April 2014) wies das TAS die Berufung ab und bestätigte den angefochtenen Entscheid der UEFA-Berufungskammer vom 10. Juli 2013. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt Fenerbahçe Spor Kulübü dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 28. August 2013 aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das TAS beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht am 5. August 2014 eine Replik, die Beschwerdegegnerin am 26. August 2014 eine Duplik eingereicht. D. Mit Verfügung vom 22. Juli 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit Verfügung vom 1. September 2014 wies es das Gesuch um Wiedererwägung betreffend der nicht erteilten aufschiebenden Wirkung ab und bestätigte die Verfügung vom 22. Juli 2014.