Sachverhalt: A. X._ wurde am 23. Januar 2007 vom Bezirksgericht Zürich wegen falscher Anschuldigung, Betrugs und Urkundenfälschung unter Einbezug von zwei widerrufenen bedingt ausgesprochenen Freiheitsstrafen zu einer Freiheitsstrafe als Gesamtstrafe von 22.5 Monaten verurteilt. Im Umfang von 16.5 Monaten wurde der Vollzug der Freiheitsstrafe aufgeschoben, wohingegen sechs Monate minus fünf durch Untersuchungshaft erstandene Tage zum Vollzug angeordnet wurden. B. Am 24. Februar 2011 verfügte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, X._ habe sich am 13. April 2011 zum Strafantritt zu melden. Am 5. April 2011 stellte X._ bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich ein Begnadigungsgesuch in Bezug auf den Vollzug des Urteils des Bezirksgerichts vom 23. Januar 2007, wobei sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersuchte. Auf einen von X._ gleichzeitig erhobenen Rekurs gegen die Strafantrittsverfügung trat die Direktion der Justiz und des Innern am 14. April 2011 nicht ein. Sie leitete die Rekurseingabe jedoch als Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit an das Amt für Justizvollzug weiter und sistierte gleichentags das Begnadigungsverfahren bis zum rechtskräftigen Entscheid über das Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit. C. Das Amt für Justizvollzug trat mit Verfügung vom 29. Oktober 2012 auf das Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit nicht ein und setzte den Strafantrittstermin neu auf den 4. März 2013 fest. Die von X._ gegen die Verfügung des Amts für Justizvollzug vom 29. Oktober 2012 erhobenen Rechtsmittel wurden von der Direktion der Justiz und des Innern am 28. Dezember 2012 sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 21. Februar 2013 abgewiesen. Am 25. Februar 2013 ersuchte X._ um Wiederaufnahme des Begnadigungsverfahrens, wobei sie erneut den Antrag stellte, dem Begnadigungsgesuch sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Mit Verfügung vom 26. Februar 2013 nahm die Direktion der Justiz und des Innern das Begnadigungsverfahren wieder auf und wies das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab. D. Gegen die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern vom 26. Februar 2013 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, dem Begnadigungsgesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 1. März 2013 wurde der Beschwerde ans Bundesgericht die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Vorinstanz beantragt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Justizvollzug beantragt die Abweisung der Beschwerde.