Sachverhalt: A. A.a Die X._ (Beschwerdeführerin) mit Sitz in A._ ist als nationaler Landhockeyverband von B._ Mitglied des Welthockeyverbands Fédération Internationale de Hockey (FIH; Beschwerdegegnerin), einem Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Lausanne. A.b Vom 12. bis 20. April 2008 wurde in A._ ein Qualifikationsturnier abgehalten, dessen Gewinner sich für die Olympischen Sommerspiele in Peking qualifizieren würde. Als Finalisten dieses Turniers standen sich am 20. April 2008 die spanische Frauennationalmannschaft sowie die Mannschaft der Beschwerdeführerin gegenüber. Die spanische Mannschaft gewann das Finalspiel mit 3 zu 2 Toren. Während des Turniers waren Dopingtests durchgeführt worden. Am 21. Mai 2008 teilte die Beschwerdegegnerin mit, dass die A-Proben von zwei Spielerinnen der spanischen Mannschaft positiv ausgefallen waren. Am 4. Juni 2008 liess die Beschwerdegegnerin verlauten, dass die B-Proben die A-Proben bestätigten. Gleichzeitig wurde mitgeteilt, dass die betroffenen Spielerinnen eine Anhörung vor der verbandsinternen Judicial Commission der Beschwerdegegnerin verlangt hätten. Die Anhörung betraf aber nicht nur die beiden Spielerinnen, sondern wirkte sich möglicherweise auf die gesamte spanische Mannschaft aus, da Art. 11.1 der Anti-Doping Policy der Beschwerdegegnerin folgendes vorsieht: "if more than one team member in a Team Sport is found to have committed an Anti-Doping Rule violation during the Event, the team may be subject to Disqualification or other disciplinary action." Die Beschwerdegegnerin beantragte der Judicial Commission, es seien die beiden Spielerinnen des Dopingmissbrauchs schuldig zu befinden und das spanische Team als Folge davon zu disqualifizieren. Die Judicial Commission befand daraufhin, dass eine der spanischen Spielerinnen die Anti-Dopingregeln verletzt habe. Da die Spielerin kein Verschulden traf, wurde jedoch auf eine Sanktion verzichtet. In Bezug auf die zweite Spielerin entschied die Judicial Commission, dass keine Anti-Dopingregeln verletzt wurden. B. Diesen Entscheid der Judicial Commission focht die Beschwerdeführerin zusammen mit den Spielerinnen ihrer Mannschaft sowie dem Nationalen Olympischen Komitee von B._ am 31. Juli 2008 bei der ad hoc Division des Tribunal Arbitral du Sport (TAS) an, im Wesentlichen mit den Anträgen, der Entscheid der Judicial Commission sei aufzuheben, die beiden spanischen Spielerinnen seien des Dopingmissbrauchs schuldig zu sprechen, die spanische Mannschaft sei zu disqualifizieren, die Mannschaft von B._ sei als Gewinnerin des Turniers zu betrachten, die das spanische Team im Hinblick auf die olympischen Spiele ersetzen soll. Die ad hoc Division des TAS wies die Begehren mit Schiedsspruch vom 2. August 2008 mangels Berechtigung der Beschwerdeführerin sowie der übrigen Parteien zur Anfechtung des Entscheids der Judicial Commission ("want of standing") ab. Nachdem dieselben Parteien erfolglos ein weiteres Schiedsverfahren angestrengt hatten, gelangten sie zum dritten Mal an die ad hoc Division des TAS, im Wesentlichen mit den im ersten Verfahren bereits gestellten Rechtsbegehren. Mit Entscheid vom 8. August 2008 wies die ad hoc Division des TAS die Schiedsklage wiederum ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, die beiden Schiedssprüche des TAS vom 2. August 2008 sowie vom 8. August 2008 seien aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das TAS hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Präsidialverfügung vom 12. November 2008 wurde das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gutgeheissen und die Beschwerdeführerin aufgefordert, der Bundesgerichtskasse Fr. 7'000.-- zu überweisen.