Sachverhalt: A. A.X._ und B.X._ sind Miteigentümer zu je 1⁄2 der Parzelle Nr. 1749 in der Sport- und Erholungszone auf dem Gebiet der Gemeinde Randa. Ab dem Jahr 2004 vermieteten sie die Liegenschaft der Y._ AG, die ihrerseits das Grundstück dem Golf Club Z._ zur Verfügung stellt. Letzterer betreibt in Randa zusammen mit der Y._ AG eine 9-Loch-Golfanlage. Nachdem die Miteigentümer nicht mehr bereit waren, den Mietvertrag zu erneuern, stellte die Y._ AG dem Staatsrat des Kantons Wallis am 14. Juli 2009 das Gesuch um Erteilung des Enteignungsrechts und der vorzeitigen Besitznahme der erwähnten Parzelle, auf welcher sich die zur Golfanlage gehörende Driving Range befindet. B. Gegen das Gesuch erhoben A.X._ und B.X._ am 7. August 2009 Einsprache, welche der Staatsrat am 3. Februar 2010 abwies, soweit er darauf eintrat. Im selben Entscheid anerkannte der Staatsrat das öffentliche Interesse am Betrieb der Driving Range durch die Y._ AG respektive den Golf Club Z._ und erklärte sie als Werk öffentlichen Nutzens. Er erteilte der Y._ AG das Enteignungsrecht im Sinne der Einräumung eines im Grundbuch vorzumerkenden und auf 30 Jahre befristeten Mietverhältnisses mit den Grundeigentümern. In Gutheissung des Gesuchs um vorzeitige Besitznahme ermächtigte der Staatsrat die Y._ AG, das Mietverhältnis, welches für den Betrieb des Golfplatzes notwendig sei, mit vorzeitiger Besitznahme zu enteignen. C. Dagegen gelangten die beiden Grundstückseigentümer an die öffentlich-rechtliche Abteilung des Kantonsgerichts. Dieses wies die Beschwerde am 2. September 2010 ab. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Oktober 2010 beantragt A.X._ die Aufhebung des erwähnten Urteils und die Feststellung, dass der Y._ AG kein Enteignungsrecht an der Parzelle Nr. 1749 in Randa zustehe. Der Beschwerdeführer erachtet einen Staatsrat als befangen, macht eine Verletzung der Eigentumsgarantie geltend und stellt die gesetzliche Grundlage für die Erteilung des Enteignungsrechts an Private in Abrede. Die Y._ AG als private Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Staatsrat des Kantons Wallis verzichtet auf eine Stellungnahme. Desgleichen sieht das Kantonsgericht von einer Vernehmlassung ab und beantragt unter Verweis auf das angefochtene Urteil, die Beschwerde abzuweisen.