Sachverhalt: A. Die Stiftung Y._ (nachfolgend auch: Stiftung) unterhielt in A._ eine Kinderklinik. X._ (Beschwerdeführer) war Präsident des Stiftungsrates, Z._ (Beschwerdegegner) ärztlicher Leiter und Klinikdirektor. Als sich die Ertragslage der Klinik ab 2004 verschlechterte, kam es zwischen Beschwerdeführer und -gegner zu Konflikten über organisatorische und finanzielle Fragen des Klinikbetriebs. Nach einem Misstrauensantrag wurde X._ Anfang Dezember 2008 in einer schriftlichen Abstimmung durch Mehrheitsentscheid der Stiftungsräte als Präsident des Stiftungsrats abgewählt. X._ anerkannte dies nicht und übte seine Funktion weiterhin aus. Anlässlich der Sitzung des Stiftungsratsausschusses vom 18. Dezember 2008 wurde die Kündigung des Arbeitsverhältnisses mit Z._ als Klinikdirektor und Chefarzt unter sofortiger Freistellung beschlossen. Mit Entscheid vom 23. Januar 2009 wies das Eidgenössische Departement des Innern, Eidgenössische Stiftungsaufsicht, die von zwei Mitgliedern des Stiftungsratsausschusses erhobene Stiftungsaufsichtsbeschwerde ab und stellte fest, dass die Abwahl von X._ nichtig und dieser nach wie vor Präsident des Stiftungsrats sei. Am 20. Februar 2009 wurde gegenüber Z._ die fristlose Kündigung ausgesprochen. Am 13. März 2009 gab der als Chefarzt ad interim ernannte Dr. W._ seine Tätigkeit per sofort auf. In den ersten drei Monaten des Jahres 2009 kündigten sieben weitere Ärzte ihre Anstellung. B. B.a Am 24. März 2009 erhob Z._ Aufsichtsbeschwerde bei der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht und beantragte, X._ sei von seinem Amt als Stiftungsratsmitglied und -präsident abzuberufen. Eventualiter sei ihm die Weisung zu erteilen, gewisse Mandate niederzulegen bzw. bei bestimmten, die Y._ betreffenden Rechtsgeschäften in den Ausstand zu treten. Die Amtsführung von X._ sei zu prüfen und es seien verschiedene Massnahmen zum Schutze und Erhalt der Y._ zu treffen, u.a. sei X._ zu verpflichten, einen detaillierten Bericht über Umfang, Begründetheit und Grundlage seiner Honorare in den Jahren 2004 bis 2009 zu liefern. Mit Verfügung vom 26. März 2009 ordnete die Stiftungsaufsicht an, dass der Stiftungsrat ohne Zustimmung der Aufsichtsbehörde keine Verfügungen über die Stiftungsliegenschaft treffen und keine Verpflichtungen hinsichtlich Kauf oder Miete einer anderen Klinikliegenschaft eingehen dürfe. B.b Am 27. März 2009 entzog das Gesundheitsamt Graubünden der Y._ die Bewilligung zum Betrieb der Klinik. Eine dagegen erhobene Beschwerde blieb erfolglos. Per Ende Juni 2009 hatten, mit einer Ausnahme, sämtliche Ärzte der Klinik ihre Stelle gekündigt bzw. war sie ihnen gekündigt worden. Mitte Juli 2009 zog die Klinik in ein anderes, angemietetes Gebäude um. Im Rahmen der Neuorganisation wurden ein kaufmännischer Direktor und ein interimistischer Chefarzt angestellt. B.c Mit Entscheid vom 3. September 2009 wies die Eidgenössische Stiftungsaufsicht die Aufsichtsbeschwerde vom 24. März 2009 ab, soweit sie darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1), hob die aufsichtsrechtlichen Massnahmen vom 26. März 2009 auf (Dispositiv-Ziffer 2), auferlegte die Verfahrenskosten der Stiftung (Dispositiv-Ziffer 4) und verpflichtete Z._ zum Ersatz der Parteikosten von X._ im Umfang von Fr. 4'265.30 (Dispositiv-Ziffer 5). C. Am 5. Oktober 2009 erhob Z._ dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht (Verfahren B-6308/2009) und beantragte die Aufhebung der Ziffern 1, 2, 4 und 5 des angefochtenen Entscheids. In der Sache stellte er im Wesentlichen dieselben Anträge wie vor der Stiftungsaufsicht und ergänzte diese um einen Antrag auf Massnahmen wegen Verletzung der Verfügung vom 26. März 2009. Am 25. Mai 2010 eröffnete der Konkursrichter des Bezirksgerichts V._ den Konkurs über die Stiftung Y._. Am 11. Juni 2010 wurde dieser mangels Aktiven eingestellt. Aufgrund des Konkurses der Stiftung schrieb das Bundesverwaltungsgericht das Beschwerdeverfahren am 28. Juli 2010 als gegenstandslos ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- wurden Z._ und X._ je zur Hälfte auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2). Eine Parteientschädigung wurde nicht zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 3). Zur Regelung der Kostenfolgen für das Verfahren vor der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht wurde die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen (Dispositiv-Ziffer 4). D. Am 14. September 2010 hat X._ elektronisch Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Er beantragt die Aufhebung von Ziff. 2 des angefochtenen Entscheids und dass dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht keine Verfahrenskosten aufzuerlegen seien. Zudem sei Ziff. 4 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei auf einen Eingriff in den Entscheid der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht zu verzichten. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner ersucht um Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei.