Sachverhalt: A. Der am 25. Januar 1947 geborene R._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 28. Februar 2012 (eingegangen am 29. März 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 30. Juli 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine ordentliche Altersrente als einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 17'598.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Am 18. Oktober 2012 reichte R._ der SAK ein Bankformular mit seiner Kontonummer für die Überweisung von Rentenansprüchen ein. Mit Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 erachtete die SAK dies als Einsprache gegen die Verfügung vom 30. Juli 2012 mit dem sinngemässen Antrag auf Überweisung der einmaligen Abfindung von Fr. 17'598.- und hielt an ihrer abweisenden Verfügung fest. B. Am 11. Februar 2013 teilte R._ der SAK mit, er habe sich entschieden, seine Einsprache zurückzuziehen und um Auszahlung des genannten Geldbetrages von Fr. 17'598.- zu bitten. Dieses Schreiben leitete die SAK als Beschwerde zuständigkeitshalber an das Bundesverwaltungsgericht weiter, welches die Beschwerde in dem Sinne guthiess, dass es den Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 aufhob und die Sache an die SAK zurückwies, damit sie die Prüfung des Rentenbegehrens fortsetze und anschliessend unter Anwendung des noch in Kraft stehenden Sozialversicherungsabkommens in der Sache neu verfüge (Entscheid vom 5. Juni 2013). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 zu bestätigen. R._, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.