Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) meldete am 25. Januar 1998 der Kantonspolizei des Kantons Tessin, dass ihm in der Nacht zwischen Mitternacht und vier Uhr morgens sein Auto gestohlen worden sei. Er informierte in der Folge ebenso die X._ Versicherungen (Beschwerdegegnerin) über den Verlust seines Autos. B. Da die Beschwerdegegnerin ihre Leistungen verweigerte, belangte der Beschwerdeführer sie mit Eingabe vom 24. August 1998 auf Bezahlung von Fr. 30'200.-- nebst Zins beim Landgericht des Kantons Uri. Dieses wies mit Entscheid vom 13./21. Juni 2005 die Klage ab. Gegen das Urteil des Landgerichts gelangte der Beschwerdeführer mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Uri, zivilrechtliche Abteilung. Er stellte den Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage vom 24. August 1998 gutzuheissen. Das Obergericht wies die Berufung am 12. November 2007 ab und bestätigte den Entscheid des Landgerichts. C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 12. November 2007 aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz, subeventuell an die erste Instanz, zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin begehrt die Abweisung der Beschwerde und die Bestätigung des angefochtenen Urteils. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.