Sachverhalt: A. X._ (geb. 1962; mit US-amerikanischem Bürgerrecht) und Y._ (geb. 1980; ukrainische Staatsangehörige) haben im Jahr 2007 geheiratet und leben seit 1. Januar 2009 getrennt; sie sind die Eltern des Sohnes A._ (geb. 2008). Nebst dem Scheidungsverfahren sind zwischen den Eheleuten verschiedene Massnahmeverfahren hängig. B. Mit Eingabe vom 13. Dezember 2011 stellte X._ beim Bezirksgericht Luzern ein Begehren um dringliche Aufhebung des begleiteten Besuchsrechts. Nachdem er zur Bezahlung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war, ersuchte er am 15. Dezember 2011 für dieses Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bezirksgericht wies das Armenrechtsgesuch mit Entscheid vom 9. März 2012 ab. Ohne Erfolg gelangte X._ darauf an das Obergericht des Kantons Luzern. Dieses wies seine Beschwerde ab, ebenso seinen Antrag um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Entscheid vom 8. Mai 2012). C. Mit Beschwerde vom 13. Juni 2012 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den obergerichtlichen Entscheid vom 8. Mai 2012 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. "Das Gesuch sei unter Beizug der Akten BG 02 10 390 sowie der ur-Akten 02 10 391 einschliesslich der Akten OG 3C 11 8 im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen". Im Eventualbegehren verlangt er, es sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Schliesslich ersucht er auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Es wurden die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.