Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der 1944 geborene V._ wurde auf den 1. September 2000 von der X._ AG als geschäftsführender Direktor im Bereich Chipproduktion und "East/Far East" angestellt. Die Gesellschaft wurde im weiteren Verlauf in Y._ AG umbenannt. Am 5. September 2002 wurde über die Y._ AG der Konkurs eröffnet. Bereits am 28. Juni 2002 hatte V._ Antrag auf Insolvenzentschädigung gestellt und die Lohnausstände aus der Zeit vom 1. September 2000 bis 31. Dezember 2001 zuzüglich Spesen auf gesamthaft Fr. 223'749.12 beziffert. Mit Verfügung vom 15. April 2003 lehnte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern dieses Begehren unter Hinweis auf seine ehemals arbeitgeberähnliche Stellung in der Y._ AG ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 20. August 2003). Bereits am 28. Juni 2002 hatte V._ Antrag auf Insolvenzentschädigung gestellt und die Lohnausstände aus der Zeit vom 1. September 2000 bis 31. Dezember 2001 zuzüglich Spesen auf gesamthaft Fr. 223'749.12 beziffert. Mit Verfügung vom 15. April 2003 lehnte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern dieses Begehren unter Hinweis auf seine ehemals arbeitgeberähnliche Stellung in der Y._ AG ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 20. August 2003). B. V._ hat dagegen Beschwerde erheben lassen mit dem Antrag, es sei "festzustellen, dass der Anspruch auf Insolvenzentschädigung begründet" sei, und es sei "eine entsprechende Leistungsverfügung zu erlassen". Nach Abschluss des Schriftenwechsels und nach Durchführung einer Verhandlung mit Parteibefragung und Zeugeneinvernahmen hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid vom 20. August 2003 in Gutheissung der Beschwerde auf und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 3. November 2004). B. V._ hat dagegen Beschwerde erheben lassen mit dem Antrag, es sei "festzustellen, dass der Anspruch auf Insolvenzentschädigung begründet" sei, und es sei "eine entsprechende Leistungsverfügung zu erlassen". Nach Abschluss des Schriftenwechsels und nach Durchführung einer Verhandlung mit Parteibefragung und Zeugeneinvernahmen hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid vom 20. August 2003 in Gutheissung der Beschwerde auf und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 3. November 2004). C. Die Arbeitslosenkasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und stellt das Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid vom 3. November 2004 sei aufzuheben. Die Vorinstanz lässt sich vernehmen, ohne Antrag zu stellen. V._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Stellungnahme.