Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1960) stammt aus Nigeria. Er heiratete hier nach einem erfolglosen Asylverfahren die um 18 Jahre ältere Schweizerin Y._. Gestützt hierauf erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Am 6. Juli 1998 wurde er erleichtert eingebürgert. Am 14. September 1999 ist die Ehe X._ und Y._ geschieden worden, worauf X._ am 3. August 2000 die nigerianische Mutter seines am 2. November 1998 geborenen Sohnes heiratete, die in der Folge beide zu ihm in die Schweiz zogen. Am 16. Juli 2002 kam die gemeinsame Tochter A._ zur Welt. Am 9. Mai 2003 erklärte das zuständige Bundesamt die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig, womit auch das Schweizer Bürgerrecht des Sohnes entfiel. A.b Am 3. Oktober 2003 wies das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen X._ und seine beiden Kinder aus der Schweiz weg. Gleichzeitig verweigerte es seiner Ehefrau die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Mit Urteil vom 14. November 2005 bestätigte das Bundesgericht letztinstanzlich diese Anordnungen: Die Beziehung X._ und Y._ sei eine Scheinehe gewesen bzw. vor der Einbürgerung von X._ definitiv gescheitert gewesen, da er bereits damals eine aussereheliche Beziehung mit seiner künftigen Ehefrau unterhalten habe. Da keines der Familienmitglieder ein festes Anwesenheitsrecht in der Schweiz besitze und die ganze Familie gemeinsam das Land verlassen müsse, liege kein Eingriff in den Schutzbereich der Garantie auf Achtung des Familienlebens (Art. 8 EMRK) vor. B. B.a Die Familie X._ wurde in der Folge wiederholt aufgefordert, das Land zu verlassen. Sämtliche Bemühungen der Migrationsbehörden, von der nigerianischen Botschaft die notwendigen Reisepapiere für eine Ausschaffung zu erhalten, scheiterten daran, dass X._ sich konsequent weigerte, das Land zu verlassen. Er wurde deshalb am 27. September 2010 in Durchsetzungshaft genommen, welche die Haftprüfungsrichterin am Kantonsgericht Schaffhausen am 29. September 2010 bis zum 27. Oktober 2010 bestätigte. B.b X._ gelangte hiergegen am 8. Oktober 2010 an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Am 25. Oktober 2010 beantragte das Migrationsamt des Kantons Schaffhausen der Haftprüfungsrichterin, die Haft von X._ um zwei Monate zu verlängern. Die Haftprüfungsrichterin trat auf das Gesuch nicht ein; ein Haftverlängerungsgesuch könne nach der analog anwendbaren Bestimmung von Art. 162 Abs. 3 StPO/SH erst nach Abschluss des Rechtsmittelverfahrens geprüft werden. Mit Urteil vom 26. November 2010 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Beschwerde gegen die Haftgenehmigung vom 29. September 2010 ab. Es erklärte zudem, die analoge Anwendung von Art. 162 Abs. 3 StPO/SH durch die Haftprüfungsrichterin als zulässig. C. X._ ist hiergegen am 8. Dezember 2010 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 26. November 2010 aufzuheben und ihn aus der Durchsetzungshaft zu entlassen. Diese sei unverhältnismässig. Das Migrationsamt und das Obergericht des Kantons Schaffhausen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die Haftprüfungsrichterin am Kantonsgericht und das Bundesamt für Migration haben sich nicht vernehmen lassen.