Sachverhalt: A. A.a X._ (Beschwerdeführerin) und Y._ (Beschwerdegegner) sind die unverheirateten Eltern von A._, geboren im 2000. Der Beschwerdegegner hatte die Vaterschaft bereits vor der Geburt der Tochter anerkannt. Am 16. März 2001 schlossen die damals als Familie zusammenlebenden Eltern einen Unterhaltsvertrag, welcher von der zuständigen Vormundschaftsbehörde Z._ am 18. April 2001 genehmigt wurde. Mit Schreiben vom 12. August 2003 liessen die Eltern durch die Jugend- und Familienberatung Z._ der Vormundschaftsbehörde Z._ eine Elternvereinbarung betreffend gemeinsame elterliche Sorge und Unterhaltsvertrag zur Genehmigung einreichen. In Ziffer 1 dieser Vereinbarung bekunden die Eltern - nach kurzer Darlegung ihrer persönlichen Lebensumstände - den Willen, die Elternverantwortung für A._ gemeinsam wahrzunehmen. Für den Fall der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes soll die Obhut über A._ der Mutter zukommen, wobei die Aufteilung der Betreuung unter Berücksichtigung der tatsächlichen Lebensverhältnisse der Eltern im Zeitpunkt der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes vereinbart werden soll (Ziffer 3). Diese Vereinbarung wurde von der Vormundschaftsbehörde am 28. August 2003 genehmigt. Im Februar 2005 kam es zur Trennung der Eltern. A._ lebte fortan im Haushalt ihrer Mutter. A.b Am 10. September 2006 gelangte die Beschwerdeführerin an die Vormundschaftsbehörde Z._ und ersuchte um Auflösung der seinerzeit vereinbarten Sorgerechtsregelung für A._. Zur Begründung führte sie an, sie sei seit der Trennung vom Beschwerdegegner eine neue Beziehung eingegangen und habe zwischenzeitlich auch geheiratet (D._). Die Kommunikation mit Y._ beschränke sich inzwischen auf das Nötigste. Des Weiteren gedenke sie, mit ihrer Familie (die Beschwerdeführerin ist Mutter zweier weiterer Töchter), in absehbarer Zeit eine Weile im Ausland zu leben. Sie wolle A._ dem Vater nicht vorenthalten und ihr Ferien und Besuchstage bei ihm ermöglichen. Die Vormundschaftsbehörde Z._ beauftragte daraufhin die Jugend- und Familienberatung Z._ mit der Abklärung des Sachverhaltes. Am 3. November 2006 legte der beauftragte Sozialarbeiter den einverlangten Bericht vor. Mit Schreiben vom 15. November 2006 teilte die Vormundschaftsbehörde Z._ den Eltern mit, dass sie die Einschätzung dieses Berichtes teile, keinen Handlungsbedarf sehe und daher die Angelegenheit als erledigt betrachte. A.c Mit Schreiben vom 6. März 2007 orientierte die Beschwerdeführerin die Vormundschaftsbehörde Z._ dahingehend, dass sie vorhabe, bereits im Sommer 2007 mit ihrer Familie ins Ausland zu ziehen, und alles daran setze, mit ihrer Familie sobald als möglich ausreisen zu können, da sie der festen Überzeugung sei, ihren Kindern im Ausland eine bessere Zukunft bieten zu können; zudem seien die beruflichen Möglichkeiten für ihren Ehemann im Ausland günstiger. Die Vormundschaftsbehörde teilte der Beschwerdeführerin mit, dass eine Ausreise von A._ ins Ausland nur mit ausdrücklichem Einverständnis des Vaters erfolgen dürfe. Am 22. März 2007 fanden getrennt die Anhörungen der Eltern statt. A.d Am 19. April 2007 erstattete E._ von der Erziehungsberatung Z._ ihren Bericht über die Anhörung von A._. Mit Beschluss vom 8. Mai 2007 errichtete die Vormundschaftsbehörde Z._ für das Kind eine Beistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 ZGB und ernannte F._, Sozialarbeiterin, Jugend- und Familienberatung Z._, zur Beiständin. Ihr übertrug sie eine Reihe an Aufgaben, einerseits in Bezug auf das Besuchsrecht und anderseits im Hinblick auf die Ausreise ins Ausland bzw. das gemeinsame Sorgerecht. B. B.a Am 15. Juni 2007 gelangte die Beschwerdeführerin an den Bezirksrat Z._ und ersuchte um Auflösung der Vereinbarung zum gemeinsamen Sorgerecht. Zur Begründung verwies sie auf die für das laufende Jahr geplante Ausreise in ihr Heimatland, die Philippinen. Als Beweggründe für ihren Wegzug nannte sie neben den kulturellen und sprachlichen Aspekten die Möglichkeit, den Kindern dort ein besseres Leben auf wesentlich höherem Standard ermöglichen zu können. Mit Schreiben vom 8. Juli 2007 eröffnete die Beschwerdeführerin der Vormundschaftsbehörde Z._, dass sie im Hinblick auf den bevorstehenden Schulbeginn A._ bereits auf den Philippinen in einer Schule angemeldet habe; zugleich ersuchte sie um eine provisorische Bewilligung zur Ausreise. Bereits zuvor war A._ in Z._ für das Schuljahr 2007/ 2008 in die 1. Klasse eingeteilt worden. Die Beiständin erstattete ihren Bericht über ihre bisherigen Gespräche mit den Eltern und mit A._. In seiner Stellungnahme zu diesem Bericht liess der Beschwerdegegner die Auflösung der Elternvereinbarung betreffend gemeinsames Sorgerecht und Übertragung der alleinigen Sorge auf sich beantragen. Die Mutter ihrerseits liess in ihrer Antwort ebenfalls die Aufhebung des gemeinsamen Sorgerechts und die alleinige Übertragung auf sie selber beantragen. In der Folge hörte die Vormundschaftsbehörde Z._ beide Eltern noch einmal an. B.b Mit Beschluss vom 2. Oktober 2007 beantragte die Vormundschaftsbehörde Z._ dem Bezirksrat Z._ die Aufhebung des gemeinsamen Sorgerechts und seine Übertragung auf die Beschwerdeführerin. Zugleich regelte sie das Besuchsrecht für den Fall der Gutheissung des Antrages und zwar alternativ bei einem Verbleib der Beschwerdeführerin in der Schweiz und bei einer Ausreise nach den Philippinen. Für den Fall eines gegenteiligen Entscheides des Bezirksrates Z._ erklärte die Vormundschaftsbehörde das von ihr geregelte Besuchsrecht auch für die Mutter für verbindlich. Gestützt auf diesen Antrag beschloss der Bezirksrat Z._ mit Entscheid vom 6. November 2007 die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge und übertrug diese auf die Beschwerdeführerin. Weiter stellte er fest, dass sich das Besuchsrecht nach dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde Z._ vom 2. Oktober 2007 richte. Den Antrag der Beschwerdeführerin auf Entzug der aufschiebenden Wirkung eines allfälligen Rekurses wies der Bezirksrat ab. B.c Der Beschwerdegegner erhob dagegen Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich. Am 11. Januar 2008 wurden die Parteien und die Beiständin von A._ von der Kammer angehört. Die Parteivertreter erhielten zudem Gelegenheit zur Stellungnahme. Die Anhörung von A._ fand in Anwesenheit ihrer Beiständin F._ am 6. Februar 2008 statt; die Parteien erhielten Gelegenheit, sich zur Anhörung von A._ zu äussern. Mit Beschluss vom 30. April 2008 entschied das Obergericht, die gemeinsame elterliche Sorge von der Beschwerdeführerin und dem Beschwerdegegner für A._ werde aufgehoben. Die alleinige elterliche Sorge für A._ werde dem Beschwerdegegner übertragen (Ziff. 1). Das Besuchsrecht der Beschwerdeführerin richte sich nach dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde Z._ vom 2. Oktober 2007, d.h. die Beschwerdeführerin sei berechtigt, A._ während insgesamt vier Wochen Schulferien im Jahr auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen (Ziff. 2). Die bei der Kammer aufbewahrten Ausweisschriften von A._ (Schweizer und Philippinischer Reisepass) werden nach Eintritt der Rechtskraft dieses Beschlusses dem Beschwerdegegner auf erstes Verlangen ausgehändigt (Ziff. 3). C. C.a Mit Eingabe vom 9. Juni 2008 hat die Beschwerdeführerin die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Sie beantragt, der angefochtene Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. April 2008 sei vollumfänglich aufzuheben und es sei in Bestätigung des Beschlusses des Bezirksrats Z._ vom 6. November 2007 der Beschwerdeführerin die alleinige elterliche Sorge über A._ zu übertragen. Eventualiter sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. C.b Sodann ersuchte die Beschwerdeführerin um Erlass von vorsorglichen Massnahmen in dem Sinne, dass die von der Vorinstanz aufbewahrten Ausweisschriften von A._ (Schweizer und philippinischer Reisepass) der Beschwerdeführerin herauszugeben seien; eventualiter seien die Ausweisschriften von A._ der Beschwerdeführerin für die Dauer der Sommerferien von A._ vom 14. Juli 2008 bis zum 17. August 2008 herauszugeben. Im Gegensatz zum Obergericht widersetzte sich der Beschwerdegegner den beantragten Massnahmen. Mit Präsidialverfügung vom 24. Juni 2008 wurde das Gesuch abgewiesen. C.c In der Sache hat das Obergericht auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Am 16. Juli 2008 und am 31. Juli 2008 sind weitere Eingaben der Parteien eingegangen.