Sachverhalt: A. Über die X._ AG wurde im Juni 2005 der Konkurs eröffnet und im selben Monat mangels Aktiven eingestellt. Mit Verfügungen vom 28. November 2005 verpflichtete die Ausgleichskasse des Kantons Zürich S._ als Präsidenten des Verwaltungsrates, I._ als Mitglied des Verwaltungsrates und P._ als Geschäftsführer in solidarischer Haftung zur Bezahlung von Schadenersatz für entgangene bundes- und kantonalrechtliche Sozialversicherungsbeiträge in der Höhe von Fr. 68'946.45 inkl. Verwaltungskosten, Verzugszinsen und Gebühren. Die Verfügung gegen P._ erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Auf Einsprache hin reduzierte die Ausgleichskasse die Forderung gegenüber I._ auf Fr. 65'414.20 (Einspracheentscheid vom 31. Juli 2006) und gegenüber S._ auf Fr. 67'331.70 (Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006). B. I._ und S._ erhoben je separat Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des Einspracheentscheides. Auf die Beschwerde des I._ trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mangels Rechtzeitigkeit des Rechtsmittels nicht ein (Beschluss vom 26. Oktober 2006). Die Beschwerde des S._ wies es, nach Beiladung von I._ und P._ zum Verfahren, mit Entscheid vom 24. Dezember 2007 ab, soweit es darauf eintrat. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur erneuten Beschlussfassung zurückzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass er nicht schadenersatzpflichtig sei. Ferner ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Die Ausgleichskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der zum Verfahren beigeladene I._ beantragt, es seien die "Sachverhaltssschilderungen und Berichtigungen für die Urteilsfindung zu berücksichtigen" und die Schadenersatzforderung sei vollumfänglich gegenüber P._ sowie S._ geltend zu machen. P._, welcher ebenfalls zum Verfahren beigeladen wurde, lässt sich nicht vernehmen. D. Mit Verfügung vom 13. Mai 2008 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.