Sachverhalt: A. Die IV-Stelle Basel-Stadt sprach der 1953 geborenen B._ mit Verfügung vom 11. März 1998 ab Januar 1996 eine ganze Invalidenrente und mit Verfügung vom 22. November 2000 ab März 1997 eine mittlere Hilflosenentschädigung zu, welche sie mit Verfügung vom 17. Juni 2004 wieder aufhob. Am 30. April 2007 bestätigte die IV-Stelle des Kantons Thurgau einen unveränderten Rentenanspruch. Mit Verfügungen vom 10. Mai 2007 setzte sie eine Entschädigung wegen leichter Hilflosigkeit ab 1. Juni 2006 und ab 1. September 2006 eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades fest. Im Juli 2010 leitete die IV-Stelle von Amtes wegen ein Revisionsverfahren ein. Aufgrund der ihr in Kopie zugestellten Verfügung der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 17. Dezember 2010 erhielt sie Kenntnis davon, dass die Ärzte der Klinik E._ im Rahmen einer medizinischen Begutachtung von einer erheblichen Verbesserung des unfallkausalen Gesundheitsschadens der Versicherten ausgingen und der Unfallversicherer aus diesem Grund die Rentenleistungen ab Januar 2011 kürzte und ab 1. Juli 2011 vollständig einstellte. Am 14. Januar 2011 teilte die IV-Stelle B._ mit, dass sie den Leistungsanspruch überprüfen werde. Zu diesem Zweck seien medizinische Abklärungen notwendig, mit welchen Dr. med. K._ und Dr. med. Z._ von der Klinik E._ beauftragt würden. Einwendungen gegen die begutachtenden Personen seien innert zehn Tagen zu erheben. Mit Schreiben vom 26. Januar 2011 teilte die Versicherte der IV-Stelle mit, die Klinik E._ werde als Gutachterstelle abgelehnt. Sie sei erst kürzlich im Auftrag der SUVA dort begutachtet worden; ein erneuter Aufenthalt in dieser Klinik sei unzumutbar und Dr. med. K._ aufgrund seiner bisherigen Begutachtung befangen. Mit Schreiben vom 28. Januar 2011 hielt die IV-Stelle an der Abklärung in der Klinik E._ fest und bestätigte dies mit Verfügung vom 30. November 2011. Nach erneuter Aufforderung zur Teilnahme an der angeordneten Begutachtung und Hinweis auf die Säumnisfolgen stellte die Verwaltung mit Verfügung vom 11. Juni 2012 die Rentenleistungen ein und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. B. B._ liess Beschwerde führen und beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und die ganze Invalidenrente sowie die übrigen gesetzlichen Leistungen seien weiterhin auszurichten; eventualiter sei ein Gerichtsgutachten anzuordnen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen, und die Leistungen seien für die Dauer des Beschwerdeverfahrens weiterhin auszurichten. Das angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau lehnte das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung im Beschwerdeverfahren mit Zwischenverfügung vom 3. September 2012 ab. Da die Versicherte rügte, die mit normaler Post versandte Zwischenverfügung vom 30. November 2011 über die Anordnung medizinischer Abklärungen in der Klinik E._ nicht erhalten zu haben, und Ausstandsgründe geltend machte, ging das kantonale Gericht davon aus, dass diese Verfügung bei korrekter Zustellung mit Beschwerde hätte angefochten werden können. Aus prozessökonomischen Gründen sah es von einer Rückweisung der Sache an die Verwaltung zwecks Zustellung der Sendung mit eingeschriebener Post ab und prüfte die Frage der Bundesrechtskonformität der angeordneten Begutachtung materiell. Mit Entscheid vom 31. Oktober 2012 hiess es die Beschwerde in dem Sinne gut, dass die Verfügung vom 11. Juni 2012 aufgehoben und die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen wurde, damit sie, nach erneuter Anordnung einer Begutachtung, über die Einstellung (oder Reduktion) der Invalidenrente neu entscheide. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei (im Sinne der Beschwerdebegründung teilweise) aufzuheben; es sei die Sache zur ordentlichen Durchführung des Gerichtsverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen und ihr insbesondere Gelegenheit zu geben, die gesamten Akten der SUVA einzusehen und dazu Stellung zu nehmen; die IV-Stelle sei zu verpflichten, die bisherige Invalidenrente bis zur erfolgten Begutachtung und neuen Rentenverfügung weiterhin auszurichten; eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese ein interdisziplinäres Gutachten bei einer unbefangenen Gutachterstelle einhole, welches sich zur Arbeitsfähigkeit aus somatischer und psychiatrischer Sicht äussere; subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und ihr Gelegenheit zu geben, zur Befangenheit und Unabhängigkeit der Klinik E._ Stellung zu nehmen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die IV-Stelle beantragt Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. Mit Eingabe vom 15. Februar 2013 lässt sich B._ zu den eingegangenen Stellungnahmen äussern. D. Das Bundesgericht hat am 20. Juni 2013 eine öffentliche Beratung durchgeführt.