Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1964 geborene R._, verheiratet und zweifache Mutter, meldete sich im Juli 2002 bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Nach Abklärungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit (u.a. Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005) sowie der Einschränkung im erwerblichen Bereich und im Haushalt (Berichte vom 24. Januar 2003 und 20. Mai 2005) lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 27. Juli 2005 das Leistungsbegehren ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 fest. A. Die 1964 geborene R._, verheiratet und zweifache Mutter, meldete sich im Juli 2002 bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Nach Abklärungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit (u.a. Gutachten der Klinik S._ vom 14. März 2005) sowie der Einschränkung im erwerblichen Bereich und im Haushalt (Berichte vom 24. Januar 2003 und 20. Mai 2005) lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 27. Juli 2005 das Leistungsbegehren ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 fest. B. Die Beschwerde der R._ hiess die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2006 mit der Feststellung teilweise gut, dass ab 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 Anspruch auf eine ganze Rente sowie vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 Anspruch auf eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 auf eine Dreiviertelrente bestehe. B. Die Beschwerde der R._ hiess die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2006 mit der Feststellung teilweise gut, dass ab 1. Juli 2001 bis 30. April 2003 Anspruch auf eine ganze Rente sowie vom 1. Mai bis 31. Dezember 2003 Anspruch auf eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 auf eine Dreiviertelrente bestehe. C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid der kantonalen Rekurskommission sei aufzuheben. R._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung schliesst. R._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung schliesst. D. In einer weiteren Eingabe hat die IV-Stelle an ihrem Rechtsbegehren festgehalten.