Sachverhalt: A. Die 1968 geborene A._ ist Mutter von drei Kindern (geb. 1990, 1994 und 1996). Sie hatte eine zweijährige Verkäuferinnenlehre absolviert und arbeitete seit dem Jahre 2000 als Schuhverkäuferin bei der V._ AG. Daneben war sie auch als Reinigungsmitarbeiterin und als Heimarbeiterin tätig. Am 27. April 2009 meldete sie sich unter Hinweis auf Kniebeschwerden zum Bezug von Leistungen bei der Invalidenversicherung an. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, IV-Stelle, traf Abklärungen in medizinischer, erwerblicher und hauswirtschaftlicher Hinsicht und veranlasste ein orthopädisch-psychiatrisches Gutachten (Expertise des Zentrums X._ vom 31. Mai 2010) und eine Haushaltsabklärung (Bericht vom 7. Juli 2010). Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 19.80 %. Dieser beruhte auf einer hypothetischen Teilerwerbstätigkeit von 60 % und einem Anteil im Aufgabenbereich von 40 %. B. Mit Beschwerde beantragte A._, es sei ihr nach der Vornahme von medizinischen Abklärungen ab Mai 2009 eine Invalidenrente zuzusprechen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich holte am Universitätsspital Y._ ein polydisziplinäres Gerichtsgutachten ein (Expertise vom 22. Oktober 2012; Beantwortung von Ergänzungsfragen vom 11. März 2013) und wies die Beschwerde in der Folge mit Entscheid vom 4. Juni 2013 vollumfänglich ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen. Selbst bei Unterliegen in der Hauptsache sei ihr für das kantonale Verfahren eine Entschädigung für ihre Anwaltskosten zu gewähren, da das Gericht durch die Anordnung eines Gutachtens anerkannt habe, dass der Sachverhalt durch die Verwaltung ungenügend abgeklärt war, was in erster Linie gerügt worden sei. Die IV-Stelle beantragt Abweisung der Beschwerde, wobei sie sich insbesondere zur beantragten Kostenverlegung äussert. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. A._ hat am 16. September 2013 zur Vernehmlassung der IV-Stelle Stellung genommen.