Sachverhalt: A. Mit als "Arbitration" übertiteltem Entscheid ("decision") vom 31. Dezember 1998 verpflichtete Hugo Krug, Düsseldorf, Jean Nachmann (im Folgenden: der Beschwerdeführer), der "German family" USD 425'000.-- und GBP 15'000.-- (zuzüglich Zinsen) zu bezahlen. Er führte in seinem Entscheid unter anderem aus, er sei von beiden Parteien unwiderruflich beauftragt worden, ihren Streit beizulegen. In der Folge stellte der Beschwerdeführer beim Oberlandesgericht Düsseldorf den Antrag, den Schiedsspruch aufzuheben. Er machte unter anderem geltend, er sei vom schiedsrichterlichen Verfahren nicht gehörig in Kenntnis gesetzt worden; insbesondere habe er nie einen Antrag der Gegenseite empfangen, die Streitigkeit dem Schiedsgericht vorzulegen, noch habe sie ihren Anspruch dargelegt. Der Schiedsrichter habe ihm keine Gelegenheit gegeben, seine Angriffs- und Verteidigungsmittel vorzubringen. Der Schiedsspruch enthalte auch keine Begründung und weise nicht den notwendigen Mindestinhalt auf. Mit Beschluss vom 23. März 2000 wies das Oberlandesgericht Düsseldorf den Antrag zurück mit der Begründung, Schiedsort sei nach der Schiedsvereinbarung Zürich. Der darauf angerufene III. Zivilsenat des Bundesgerichtshofs beschloss am 25. Januar 2001, die Rekursbeschwerde nicht entgegenzunehmen, weil der Rechtssache keine grundsätzliche Bedeutung zukomme und sie im Ergebnis auch keine Aussicht auf Erfolg habe. B. Auf Antrag der "German family", nämlich Eitan German, Judith German und Joachim German, bescheinigte die III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich am 28. November 2001 gestützt auf Art. 193 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 18. Dezember 1987 über das Internationale Privatrecht (IPRG; SR 291) die Vollstreckbarkeit des Schiedsentscheids vom 31. Dezember 1998. Zur Begründung wurde angeführt, der Schiedsrichter habe in der Erklärung vom 5. September 2001 zu einem entsprechenden Erläuterungsbegehren die Namen und Adressen der einzelnen Mitglieder der "German family" bezeichnet (nämlich die Beschwerdegegner) und am 12. Februar 2001 gestützt auf ein weiteres Erläuterungsbegehren zudem schriftlich bescheinigt, dass sein Entscheid vom 31. Dezember 1998 nach den Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG ergangen sei und der Sitz des Schiedsgerichts sich in Zürich befunden habe. Weiter habe das schweizerische Bundesgericht bestätigt, dass bis zum 26. November 2001 keine Beschwerde gegen den Schiedsspruch eingegangen sei. Auf eine gegen diese Vollstreckbarkeitsbescheinigung eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich nicht ein mit der Begründung, dieser Bescheinigung ermangele es an der Qualität eines Sach- oder Prozessentscheids im Sinne von § 281 der ZPO/ZH. Die Bescheinigung begründe nicht die Vollstreckbarkeit des Schiedsspruchs, sondern bescheinige sie nur; sie sei bloss deklaratorischer Rechtsnatur und bilde lediglich ein qualifiziertes Beweismittel dafür, dass der Schiedsspruch nach dem Recht des Sitzes des Schiedsgerichts rechtskräftig und vollstreckbar sei. C. Am 11. März 2003 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Meilen auf Gesuch der Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. 13'343 des Betreibungsamtes Zollikon definitive Rechtsöffnung im Betrage von Fr. 706'095.-- nebst Zins zu 5% seit dem 10. Januar 2002 sowie Fr. 264'552.-- und Fr. 35'818.-- nebst Zins zu 8% seit dem 1. Januar 1998. Das Obergericht des Kantons Zürich wies eine gegen diese Verfügung erhobene Nichtigkeitsbeschwerde am 30. Juni 2003 ab. D. Gegen diesen Entscheid hat der Beschwerdeführer am 29. August 2003 staatsrechtliche Beschwerde erhoben mit dem Hauptantrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache an das Obergericht zurückzuweisen mit der Anweisung, die Rechtsöffnung aufzuheben; eventualiter sei festzustellen, dass ihm ab Kenntnisnahme des bundesgerichtlichen Entscheids über die vorliegende Beschwerde die Wiederherstellungsfrist gemäss Art. 35 OG zur Anfechtung des Schiedspruchs vom 31. Dezember 1998 im Sinne von Art. 190 Abs. 2 IPRG zu laufen beginne. Im Weiteren hat er prozessuale Anträge, insbesondere ein Gesuch um aufschiebende Wirkung, gestellt und am 1. September 2003 eine Ergänzung seiner Beschwerde eingereicht. Am 12. September 2003 haben die Beschwerdegegner um Sicherstellung ihrer Parteientschädigung und um Abweisung der prozessualen Anträge ersucht. Der Beschwerdeführer hat auf eine Stellungnahme zum Sicherstellungsgesuch verzichtet. Das Obergericht hat sowohl auf eine Stellungnahme in der Sache, als auch zu den prozessualen Anträgen verzichtet. Am 2. Oktober 2003 hat der Präsident der II. Zivilabteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt und zudem den Beschwerdeführer aufgefordert, Sicherheit für eine allfällige Parteientschädigung zu leisten. In ihrer Vernehmlassung vom 13. November 2003 haben die Beschwerdegegner Abweisung der Beschwerde und Nichteintreten auf die Beschwerdeergänzung beantragt.