Sachverhalt: A. Der 1942 geborene M._ bezog gestützt auf den Vorschlag des damaligen Bundesamtes für Militärversicherung (BAMV; heute: Schweizerische Unfallversicherungsanstalt, Abteilung Militärversicherung; nachfolgend: SUVA-MV) vom 28. Mai 1993, den er am 3. Juni 1993 annahm, ab 1. Januar 1991 eine Invalidenrente der Militärversicherung. Die Rente wurde auf unbestimmte Zeit und nach Massgabe einer gänzlichen Erwerbsunfähigkeit zugesprochen; wegen nur teilweiser Haftung der Militärversicherung erfolgte eine Kürzung der Rente um 50 %. In der Folge wurde der dem Rentenanspruch zugrunde gelegte Jahresverdienst periodisch der Lohn- und Preisentwicklung angepasst. Zuletzt belief er sich auf Fr. 82'831.-- und die Invalidenrente entsprechend auf monatlich Fr. 2'761.05. Im August 2007 erreichte M._ das AHV-Rentenalter. Mit Verfügung vom 16. April 2007 eröffnete ihm die SUVA-MV, die bisherige Invalidenrente werde ab 1. September 2007 als Altersrente ausgerichtet. Diese werde, bei im Übrigen unveränderten Berechnungsfaktoren, auf der Hälfte des der Invalidenrente zugrunde gelegten Jahresverdienstes, demnach auf dem Betrag von Fr. 41'416.--, festgesetzt und betrage somit monatlich Fr. 1'380.55. Daran hielt die SUVA-MV auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 31. Juli 2007). B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 25. Juni 2008 ab. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides "sei ab 1. September 2007 die ihm auf unbestimmte Zeit zugesprochene Invalidenrente als Altersrente im Betrage von monatlich Fr. 2'761.05, basierend auf einer Bundeshaftung von 50 %, einem Invaliditätsgrad von 100 % und einem anrechenbaren Jahresverdienst von zuletzt Fr. 82'831.--, auszurichten." Die SUVA-MV und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) schliessen je auf Abweisung der Beschwerde.