Sachverhalt: A. Die Eheleute X._ und Y._, beide im Jahr 1937 geboren, bewohnten während Jahrzehnten ein Eigenheim in Zürich. Y._ besass neben diesem Haus am Zürichberg ein Ferienhaus im Toggenburg. Am 13. Mai 2006 tippte X._ im Zahlenlotto alle sechs Zahlen richtig, was zu einem Gewinn von Fr. W._ führte. Bald darauf, im Juni 2006, verkaufte Y._ ihr Ferienhaus, während X._ im November 2006 in V._/OW eine Stockwerkeinheit (41⁄2 Zimmer mit Gartensitzplatz und Gartenanteil) sowie einen Autoeinstellplatz erwarb. Das Mobiliar des ehemaligen Ferienhauses nebst kleineren Gegenständen aus dem Eigenheim in Zürich verbrachten die Eheleute in die neu erworbene Wohnung in V._. Das Wohneigentum in Zürich behielten sie grundsätzlich im bisherigen Stand bei. In der Folge meldeten sich die Eheleute XY._ am 15. Dezember 2006 in Zürich schriftenpolizeilich nach V._/OW ab. Am 12. Februar 2008 meldeten sie sich wieder in Zürich an. Die Rückkehr begründeten sie damit, dass Y._ sich am neuen Wohnort nicht wohlgefühlt habe. Zudem seien bei ihr Herzprobleme aufgetreten und nehme die Betreuung der Enkelkinder mehr Zeit in Anspruch als zuvor. Das Stockwerkeigentum in V._ verkaufte X._ am 29. September 2008. B. Am 21. Februar 2007 reichten die Eheleute XY._ im Kanton Obwalden ihre Steuererklärung für die dortigen Kantons- und Gemeindesteuern sowie die direkte Bundessteuer 2006 ein. Eine Kopie der Steuererklärung liessen sie den Steuerbehörden im Kanton Zürich zukommen, wo Y._ weiterhin über ihr Haus am Zürichberg verfügte. Am 26. Februar 2007 nahm die Steuerverwaltung des Kantons Obwalden die Steuerausscheidung 2006 vor und eröffnete diese Anfang April 2007 der Steuerverwaltung des Kantons Zürich. Die Veranlagungsverfügung der Steuerverwaltung des Kantons Obwalden vom 10. April 2007 lautete auf ein steuerbares Einkommen von Fr. U._ zum Steuersatz von Fr. T._ und ein steuerbares Vermögen von Fr. S._ zum Steuersatz von Fr. R._. Die Veranlagung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Die Obwaldner Kantons- und Gemeindesteuern von Fr. Q._ entrichteten die Eheleute XY._ im Jahr 2007. Mit Schreiben vom 9. Februar 2007 teilte das Steueramt der Stadt Zürich der Steuerverwaltung des Kantons Obwalden mit, Y._ sei aufgrund ihres Grundeigentums in der Stadt Zürich ab 1. Januar 2006 im Kanton Zürich beschränkt steuerpflichtig und meldete den Ausscheidungsanspruch an. In der Folge erhielten die Eheleute XY._ am 30. Juni 2007 vom Steueramt der Stadt Zürich eine provisorische Rechnung für Staats- und Gemeindesteuern 2006 (Besteuerungsgrund: "Grundeigentum Partnerin"). Die Rechnung beruhte auf der Selbstschatzung und wies ein steuerbares Einkommen von Fr. P._ zum Steuersatz von Fr. T._ und ein steuerbares Vermögen von Fr. O._ zum Steuersatz von Fr. N._ aus. Den Steuerbetrag von Fr. M._ entrichteten die Eheleute XY._ anstandslos. Am 16. Dezember 2008 machte das Steueramt der Stadt Zürich erneut seinen Ausscheidungsanspruch gegenüber dem Kanton Obwalden geltend. Das Kantonale Steueramt Zürich hatte seinerseits am 2. Mai 2008 von den Eheleuten XY._ zahlreiche Unterlagen und Angaben verlangt. Nachdem sie dieser und weiteren Auflagen nur teilweise nachgekommen waren und eine mündliche Besprechung stattgefunden hatte, erliess das Kantonale Steueramt Zürich am 9. Dezember 2008 den Einschätzungsentscheid für die Staats- und Gemeindesteuern 2006. Dabei handelte es sich um eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen. Sie lautete auf ein steuerbares Einkommen von Fr. L._ zum Steuersatz von Fr. K._ und ein steuerbares Vermögen von Fr. J._ zum Steuersatz von Fr. I._. Die dagegen erhobene Einsprache richtete sich gegen die unbeschränkte Steuerpflicht im Kanton Zürich. Das Kantonale Steueramt wies sie am 21. August 2009 zwar ab, doch führte die Gutheissung des Rekurses durch die Steuerrekurskommission II des Kantons Zürich vom 29. Januar 2010 zur Rückweisung an das Kantonale Steueramt. Nach weiteren Untersuchungen erkannte dieses am 9. Dezember 2010 erneut auf Abweisung der Einsprache. Die nachfolgenden Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Steuerrekursgerichts des Kantons Zürich vom 17. Mai 2011 und Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Dezember 2011). C. Mit Eingabe vom 30. Januar 2012 erheben die Eheleute XY._ (hienach: die Steuerpflichtigen) beim Bundesgericht wegen interkantonaler Doppelbesteuerung Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Kantone Zürich und Obwalden. Sie beantragen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Dezember 2011 sei aufzuheben, und die Steuerhoheit des Kantons Zürich für die Steuerperiode 2006 sei zu verneinen. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zur Abklärung der tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Veranlagung des Kantons Obwalden für die Steuerperiode 2006 aufzuheben und die damit verbundene Doppelbesteuerung zu vermeiden, und es seien die kantonalen und kommunalen Steuerbehörden anzuweisen, die bezahlten Steuern zurückzuerstatten. Sie rügen die unrichtige Anwendung von Bundesrecht, insbesondere des Verbots der interkantonalen Doppelbesteuerung. D. Das Kantonale Steueramt Zürich und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Steuerverwaltung des Kantons Obwalden schliesst sinngemäss auf die Abweisung der Beschwerde, soweit sie sich gegen den Kanton Obwalden richtet und erhebt die Einrede der Verwirkung des Besteuerungsrechts des Kantons Zürich. Die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichtet auf eine Vernehmlassung. Sie gibt bekannt, bei ihr sei ein Verfahren zur Feststellung des Veranlagungsortes (Art. 108 Abs. 1 DBG) hängig. Das Verfahren sei mit Verfügung vom 5. Juni 2009 bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Entscheids betreffend die Staats- und Gemeindesteuern 2006 sistiert worden. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat über die Beschwerde am 17. August 2012 öffentlich beraten.