Sachverhalt: A. Der 1963 geborene B._ war ab 1999 als Wagenführer bei der Unternehmung X._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 28. Januar 2004 erlitt er einen ersten Unfall (Sturz auf Hand und Becken). Die SUVA erbrachte vorübergehend Leistungen. Hingegen verneinte sie einen Leistungsanspruch des Versicherten für festgestellte kleine Diskushernien im lumbalen Bereich mangels Unfallkausalität. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil des Bundesgerichts vom 4. Juni 2007 (U 559/06) bestätigt. Am 16. Juli 2005 erlitt B._ in Ungarn als Beifahrer in einem VW Golf einen Unfall. Ein nachfolgender Mazda fuhr ins Heck des auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von rund 110 bis 120 km/h fahrenden VW. Dieser prallte anschliessend gegen die Leitplanke. B._ suchte am 25. August 2005 in der Schweiz den Hausarzt auf, welcher mit Bericht vom 16. September 2005 eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit attestierte. Der Hausarzt führte sodann aus, es bestehe bereits aufgrund einer früheren Gesundheitsschädigung seit 16. August 2004 eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 19. Juli 2006 machte der Versicherte geltend, er habe beim Unfall vom 16. Juli 2005 auch einen Zahnschaden erlitten. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2006 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht hiefür mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den Zahnbeschwerden. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2006 stellte sie sodann die für Folgen des Unfalls vom 16. Juli 2005 erbrachten Leistungen auf den 30. November 2006 ein und verneinte zugleich einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie aus, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden. Auf die vom Versicherten eingereichten Einsprachen hin hielt die SUVA an den Verfügungen fest (Einspracheentscheid vom 29. März 2007). B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. März 2009 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, allenfalls nach Vornahme der notwendigen Abklärungen, die gesetzlichen Leistungen auszurichten; eventuell sei das Verfahren bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung in Auftrag gegebenen Gutachtens zu sistieren. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.