Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 5. August 2003 wurde T._, geboren 1970, auf Ende November 2003 die Arbeitsstelle gekündigt; gleichentags unterschrieb er eine "Freistellungsvereinbarung und Saldoerklärung". Nachdem T._ festgestellt hatte, dass die vertragliche Kündigungsfrist sechs (statt wie in der "Freistellungsvereinbarung und Saldoerklärung" angenommen nur drei) Monate beträgt, und die Arbeitgeberin einer entsprechenden Anpassung des Kündigungstermins nicht zugestimmt hatte, reichte er beim zuständigen Zivilgericht Klage ein. Am 17. Februar 2004 einigten sich T._ und die Arbeitgeberin auf einen gerichtlichen Vergleich, wonach das Arbeitsverhältnis per 15. Januar 2004 ende und entsprechende Lohnzahlungen geschuldet seien. In der Folge wurde das zivilrechtliche Verfahren am 23. Februar 2004 als erledigt abgeschrieben. T._ hatte sich am 28. November 2003 bei der Arbeitslosenversicherung zum Taggeldbezug ab dem 1. Dezember 2003 angemeldet. Mit Verfügung vom 8. April 2004 stellte ihn die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn mit Wirkung ab dem 16. Januar 2004 wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für sechzehn Tage in der Anspruchsberechtigung ein, da er durch Abschluss des Vergleiches auf einen Teil seiner Lohn- und Entschädigungsansprüche für die Monate Januar und Februar 2004 verzichtet habe. Mit Einspracheentscheid vom 1. Juni 2004 bestätigte die Arbeitslosenkasse ihre Verfügung von April 2004. T._ hatte sich am 28. November 2003 bei der Arbeitslosenversicherung zum Taggeldbezug ab dem 1. Dezember 2003 angemeldet. Mit Verfügung vom 8. April 2004 stellte ihn die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn mit Wirkung ab dem 16. Januar 2004 wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für sechzehn Tage in der Anspruchsberechtigung ein, da er durch Abschluss des Vergleiches auf einen Teil seiner Lohn- und Entschädigungsansprüche für die Monate Januar und Februar 2004 verzichtet habe. Mit Einspracheentscheid vom 1. Juni 2004 bestätigte die Arbeitslosenkasse ihre Verfügung von April 2004. B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 7. Januar 2005 den Einspracheentscheid auf. B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 7. Januar 2005 den Einspracheentscheid auf. C. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn führt für die Arbeitslosenkasse Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben. T._ schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung verzichtet.