Sachverhalt: A. Die 1954 geborene P._ war seit ... als diplomierte Sozialpädagogin im Schichtdienst tätig. Vom ... bis ... 2009 war sie zu 100 %, danach teilweise arbeitsunfähig. Im Mai 2009 meldete sich P._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Landschaft klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. U.a. liess sie die Versicherte durch Dr. med. Z._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, untersuchen und begutachten (Expertise vom 27. Mai 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle eine Viertelsrente ab 1. November 2009 zu (Verfügung vom 7. März 2011). B. In Gutheissung der Beschwerde der P._ hob das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, die Verfügung vom 7. März 2011 auf und stellte fest, sie habe mit Wirkung ab 1. November 2009 Anspruch auf eine halbe Rente (Entscheid vom 1. September 2011). C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 1. September 2011 sei aufzuheben. P._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen. D. Mit Verfügung vom 1. März 2012 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.