vorzeitigen Strafvollzug), hat sich ergeben: A.- R._ wurde vom Bezirksgericht Bülach am 6. April 2000 wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu sieben Jahren Zuchthaus verurteilt. Dagegen erhob er Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Am 20. April 2000 stimmte er einer vorzeitigen Vollstreckung des bezirksgerichtlichen Urteils zu, welche vom Strafvollzugsdienst am 25. April 2000 angeordnet wurde. Am 27. April 2000 verfügte die Bezirksanwaltschaft Bülach, die vor Bezirksgericht die Anklage vertreten hatte, wegen Kollusionsgefahr verschiedene Einschränkungen des Post-, Telephon- und Besuchsverkehrs sowie von Urlauben von R._. Dieser erhob hiergegen Rekurs an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (im Folgenden: Justizdirektion), welche den Rekurs am 25. Juli 2000 abwies und die von der Bezirksanwaltschaft verfügten Massnahmen in eigener Kompetenz anordnete. Zur Begründung wurde ausgeführt, die Bezirksanwaltschaft habe es zwar unterlassen, die notwendige Bestätigung ihrer Verfügung durch den Präsidenten des Obergerichts einzuholen. Die entsprechenden Massnahmen könnten jedoch auch von der Strafvollzugsbehörde erlassen werden und würden daher von der Justizdirektion als Rekursinstanz in Strafvollzugssachen angeordnet. Damit könnten weitere Umtriebe vermieden werden, die mit dem Einholen einer Bestätigung der bezirksanwaltlichen Verfügung durch den Obergerichtspräsidenten verbunden wären. B.- R._ führt gegen die Verfügung der Justizdirektion vom 25. Juli 2000 staatsrechtliche Beschwerde und beantragt deren Aufhebung sowie eine Zurückweisung der Sache an die Justizdirektion. Eventuell seien die Einschränkungen im Strafvollzug auf den Zeitraum bis zu einem obergerichtlichen Entscheid über seine Beweisanträge zu befristen. Er rügt unter anderem, die Justizdirektion sei zum Erlass der angefochtenen Verfügung nicht zuständig gewesen. Die Bezirksanwaltschaft und die Justizdirektion verzichten auf eine Vernehmlassung.