Sachverhalt: Sachverhalt: A. X._ wurde mit Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt, Dreiergericht, vom 20. Januar 2003 wegen mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind sowie mehrfachen Versuchs dazu, mehrfacher sexueller Nötigung sowie mehrfachen Versuchs dazu und Entziehens von Unmündigen zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 12 Monaten verurteilt. Ausserdem erklärte das Gericht drei gegen X._ ausgesprochene Freiheitsstrafen von insgesamt 21 Monaten und drei Tagen für vollziehbar. Das Strafgericht erachtete es als erwiesen, dass sich X._ am noch nicht 16-jährigen Y._ sexuell vergriffen hatte. Dieser sei nach Problemen im Elternhaus am 9. August 2002 von zu Hause weggelaufen und zu X._ gegangen, der ihn bei sich aufgenommen habe. Gleichentags seien die beiden ins Tessin zu einem Bekannten von X._ gefahren und am 10. August 2002 nach Italien weitergereist. Nach rund einer Woche seien sie nach Basel zurückgekehrt, um nach kurzer Zeit erneut ins Tessin zu fahren. Wieder zurück in der Region Basel hätten sie in Hotels in Aesch/BL und Soyhières/JU genächtigt. Am 19./20. August 2002 seien sie nach Basel heimgekehrt. Bis am 26. August 2002 hätten sich die beiden am Wohnort von X._ in Basel aufgehalten, wo dieser auch verhaftet wurde. Zwischen dem 9. August 2002 bis mindestens am 20. August 2002, möglicherweise sogar bis am 26. August 2002, habe X._ an Y._ sexuelle Handlungen vorgenommen bzw. versucht. Gemäss einem rechtsmedizinischen Gutachten sei Y._ damals mit grosser Wahrscheinlichkeit weniger als 16 Jahre alt gewesen. Der Junge sei ihm ausgeliefert gewesen, weil er sich vor einer Rückkehr nach Hause und insbesondere davor gefürchtet habe, X._ werde ihn im Tessin oder in Italien alleine und mittellos zurücklassen, wenn er sich ihm verweigere. Er sei infolge dieses Abhängigkeitsverhältnisses ausser Stande gewesen, sich gegen die sexuellen Übergriffe zu wehren. Deshalb sei auch von sexueller Nötigung bzw. versuchter sexueller Nötigung auszugehen. Das Strafgericht erachtete es als erwiesen, dass sich X._ am noch nicht 16-jährigen Y._ sexuell vergriffen hatte. Dieser sei nach Problemen im Elternhaus am 9. August 2002 von zu Hause weggelaufen und zu X._ gegangen, der ihn bei sich aufgenommen habe. Gleichentags seien die beiden ins Tessin zu einem Bekannten von X._ gefahren und am 10. August 2002 nach Italien weitergereist. Nach rund einer Woche seien sie nach Basel zurückgekehrt, um nach kurzer Zeit erneut ins Tessin zu fahren. Wieder zurück in der Region Basel hätten sie in Hotels in Aesch/BL und Soyhières/JU genächtigt. Am 19./20. August 2002 seien sie nach Basel heimgekehrt. Bis am 26. August 2002 hätten sich die beiden am Wohnort von X._ in Basel aufgehalten, wo dieser auch verhaftet wurde. Zwischen dem 9. August 2002 bis mindestens am 20. August 2002, möglicherweise sogar bis am 26. August 2002, habe X._ an Y._ sexuelle Handlungen vorgenommen bzw. versucht. Gemäss einem rechtsmedizinischen Gutachten sei Y._ damals mit grosser Wahrscheinlichkeit weniger als 16 Jahre alt gewesen. Der Junge sei ihm ausgeliefert gewesen, weil er sich vor einer Rückkehr nach Hause und insbesondere davor gefürchtet habe, X._ werde ihn im Tessin oder in Italien alleine und mittellos zurücklassen, wenn er sich ihm verweigere. Er sei infolge dieses Abhängigkeitsverhältnisses ausser Stande gewesen, sich gegen die sexuellen Übergriffe zu wehren. Deshalb sei auch von sexueller Nötigung bzw. versuchter sexueller Nötigung auszugehen. B. X._ appellierte gegen dieses Urteil an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und stellte gleichzeitig ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Die Statthalterin des Appellationsgerichtes wies das Gesuch am 1. April 2003 ab und verlangte einen Kostenvorschuss. Zur Begründung führte sie an, die Aussichten auf Erfolg des eingelegten Rechtsmittels seien wesentlich geringer einzustufen als die Verlustgefahren. Eine dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde hiess das Bundesgericht am 9. September 2003 gut, soweit es darauf eintrat (Urteil 1P.326/2003). Es führte namentlich aus, im Bereich der notwendigen Verteidigung habe der Angeschuldigte bzw. Verurteilte bei anerkannter Mittellosigkeit einen grundsätzlich unbedingten verfassungsrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Verteidigung auch im Rechtsmittelverfahren. Unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchsverbotes dürfe die unentgeltliche Verbeiständung dabei nicht von den Erfolgsaussichten des Rechtsmittels abhängig gemacht werden. Das Appellationsgericht gab dem Beschwerdeführer in der Folge einen amtlichen Verteidiger bei. Das Appellationsgericht gab dem Beschwerdeführer in der Folge einen amtlichen Verteidiger bei. C. Der Beschwerdeführer reichte am 27. Januar 2004 (mit Ergänzung vom 28. Januar 2004) die Appellationsbegründung ein. Das Appellationsgericht verurteilte den Beschwerdeführer am 24. Mai 2004, im Gegensatz zum Urteil des Strafdreiergerichts vom 20. Januar 2003, lediglich wegen mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind sowie mehrfachen Versuchs dazu, sexueller Nötigung sowie Entziehens von Unmündigen zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 12 Monaten. Im Übrigen bestätigte es das erstinstanzliche Urteil. Die Kosten des Verfahrens wurden dem Beschwerdeführer auferlegt, der amtliche Verteidiger wurde aus der Staatskasse entschädigt. Das Appellationsgericht ging davon aus, es sei auf der Reise ins Tessin und nach Italien nur einmal zu sexuellen Handlungen gekommen. Die übrigen drei bis vier Übergriffe hätten in Basel stattgefunden. Ein Abhängigkeitsverhältnis habe aber nur auf der besagten Reise bestanden. Deshalb liege nur einmalige sexuelle Nötigung vor. Versuchte sexuelle Nötigungen auf der Italien-Reise seien nicht nachgewiesen. Das Appellationsgericht ging davon aus, es sei auf der Reise ins Tessin und nach Italien nur einmal zu sexuellen Handlungen gekommen. Die übrigen drei bis vier Übergriffe hätten in Basel stattgefunden. Ein Abhängigkeitsverhältnis habe aber nur auf der besagten Reise bestanden. Deshalb liege nur einmalige sexuelle Nötigung vor. Versuchte sexuelle Nötigungen auf der Italien-Reise seien nicht nachgewiesen. D. X._ erhob gegen dieses Urteil am 1. September 2004 persönlich eine staatsrechtliche Beschwerde. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und dessen Rückweisung zu neuer Beurteilung. Zudem stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt liess sich nicht vernehmen.