Sachverhalt: A. A.a. Der nigerianische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1977) reiste am 20. Juli 2002 in die Schweiz ein. Gestützt auf die am 2. August 2002 geschlossene Ehe mit der Schweizer Bürgerin C._ (geb. 1980) erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Der gemeinsame Sohn D._ war am 7. Juni 2002 geboren worden. Am 1. Januar 2006 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf. A.b. Das Kreisgericht IV Aarwangen-Wangen verurteilte A.A._ am 17. Januar 2006 wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung, begangen zwischen Sommer 2004 und Januar 2005, zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten (bei einer Probezeit von vier Jahren), weshalb er am 23. Februar 2006 ausländerrechtlich verwarnt wurde. Die Verwarnung enthielt folgenden Passus: "Durch Ihr Verhalten und Ihre Verurteilung haben Sie das Gastrecht in der Schweiz massiv missbraucht. Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass vorbestrafte Ausländer aus der Schweiz ausgewiesen werden können. Nur mit Rücksicht auf den Umstand, dass Sie mit einer Schweizerbürgerin verheiratet sind, verzichten wir im Moment auf fremdenpolizeiliche Massnahmen. Sollten Sie jedoch erneut zu gerichtlichen Verurteilungen wegen eines Verbrechens oder Vergehens Anlass geben, können Sie nicht mehr mit unserer Nachsicht rechnen." Am 1. Februar 2007 wurde A.A._ wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern, Fahrens ohne Fahrzeugausweis oder Kontrollschilder und Fahrens ohne Haftpflichtversicherung zu einer bedingten Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu je Fr. 70.-- (bei einer Probezeit von zwei Jahren) und einer Busse von Fr. 250.-- verurteilt. A.c. Am 7. Januar 2009 wurde die Ehe geschieden und das Kind D._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern wies das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ am 19. Juni 2009 ab. Die dagegen ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 17. November 2009; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 8. September 2010). Das Bundesgericht bestätigte die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit Urteil 2C_787/2010 vom 16. Juni 2011. Die Begründung lautete dahingehend, die Voraussetzungen von Art. 50 AuG (SR 142.20) seien nicht erfüllt: Weder liege eine erfolgreiche Integration im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor noch seien wichtige persönliche Gründe gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG gegeben, welche einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden. In diesem Verfahren war eine Verurteilung vom 4. März 2010 wegen grober Verkehrsregelverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 15 Tagessätzen zu je Fr. 60.-- (bei einer Probezeit von drei Jahren) und einer Verbindungsbusse von Fr. 420.-- noch nicht berücksichtigt. B. Seit dem 1. Juni 2011 ist A.A._ mit der Schweizer Bürgerin B.A._ (geb. 1959) verheiratet. Die Einwohnergemeinde Bern wies das am 1. Juli 2011 eingereichte Familiennachzugsgesuch der Eheleute am 27. September 2011 ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 28. Februar 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 5. November 2013). C. A.A._ und B.A._ erheben am 9. Dezember 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und A.A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Verwaltungsgericht, die Polizei- und Militärdirektion und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. A.A._ und B.A._ verzichten ausdrücklich auf eine Replik, reichen jedoch ein Arztzeugnis von Dr. med. E._, Facharzt für Innere Medizin FMH, vom 31. März 2014 ein, welches Angaben zum aktuellen Gesundheitszustand von A.A._ enthält. Mit Präsidialverfügung vom 16. Dezember 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.