Sachverhalt: A. A.a. X._ ersuchte am 9. August 2012 für sich und das "Bündnis 6. Oktober" bei der Luzerner Stadtverwaltung um Bewilligung für eine am Samstag, den 6. Oktober 2012, mit Beginn um 14.00 Uhr vorgesehene Demonstration. Diese sollte zu einem grossen Teil auf einer Marschroute durch die Altstadt von Luzern führen und unter dem Motto "Bleiberecht für alle" der Ausländerthematik gewidmet sein. An einer Besprechung vom 13. September 2012 erläuterten Vertreter der städtischen Behörden den Gesuchstellern, dass am vorgesehenen Termin verschiedene weitere Veranstaltungen stattfinden würden, worunter der bereits bewilligte "Red Bull X-Row Event", und dass sie einen Demonstrationsbeginn in der Altstadt um 16.00 Uhr vorzögen. Daraufhin zog X._ sein Gesuch zurück. A.b. Parallel dazu unterbreitete X._ der Stadtverwaltung ein neues Gesuch für eine Demonstration unter demselben Motto für Samstag, den 17. November 2012, mit modifizierter Route durch die Stadt Luzern unter Einschluss der Altstadt und mit Startzeitpunkt um 14.00 Uhr. Am 18. Oktober 2012 erteilte die Dienststelle Stadtraum und Veranstaltungen der Stadt Luzern die Bewilligung für die Demonstration auf der gewünschten Marschroute. Unter den verschiedenen damit verbundenen Nebenbestimmungen befand sich insbesondere die Auflage, dass sich der Demonstrationszug nicht vor 16.00 Uhr in Bewegung setzen und die Kundgebung um 18.30 Uhr enden sollte. B. B.a. Dagegen führte X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht des Kantons Luzern), insbesondere mit dem Antrag um Feststellung, dass der Entscheid der Stadtbehörde die Meinungs- und Versammlungsfreiheit verletze. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersuchte er überdies darum, die Startzeit für die Kundgebung sei auf 14.00 Uhr festzusetzen. B.b. Mit Verfügung vom 12. November 2012 wies der prozessleitende Richter das Gesuch um vorsorgliche Massnahme ab. B.c. Am Samstag, den 17. November 2012, fand die Kundgebung unter Einhaltung der Nebenbestimmungen statt. Insbesondere setzte sich der Demonstrationszug auf der vorgesehenen Marschroute bewilligungsgemäss erst nach 16.00 Uhr in Bewegung. B.d. Mit Urteil vom 5. April 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 10. Mai 2013 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und eine Verletzung der Meinungs- und Versammlungs- bzw. der Vereinigungsfreiheit festzustellen. Eventuell sei die Sache zur Neuentscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Nebst des Verstosses gegen die genannten Grundrechte wird die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gerügt. D. Die Direktion Umwelt, Verkehr und Sicherheit der Stadt Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt, ohne weitere Ausführungen, ebenfalls Antrag auf Abweisung. E. X._ hat sich mit Eingabe vom 16. August 2013 nochmals zur Sache geäussert.