Sachverhalt: A. A.a. A._ und X._ führten beim Richteramt Y._ unter dem Vorsitz von Amtsgerichtspräsident B._ ein Verfahren um Abänderung der Eheschutzmassnahmen. X._ hat das am 13. Juni 2013 erlassene Urteil mit Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn angefochten. Der Entscheid der Berufungsinstanz steht noch aus. A.b. Mit Eingabe vom 26. Juli 2013 ersuchte A._ beim Richteramt Y._ um Erlass einer Schuldneranweisung im Sinn von Art. 177 ZGB gegen X._. In diesem Verfahren stellte X._ am 16. August 2013 ein Ausstandsbegehren gegen Amtsgerichtspräsident B._, welches Amtsgerichtspräsident C._ mit Entscheid vom 23. August 2013 abwies. B. Mit Urteil vom 16. September 2013 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde von X._ ab. C. X._ hat am 15. Oktober 2013 (Postaufgabe) gegen das vorgenannte Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er ersucht sinngemäss, die Beschwerde und sein gegen Amtsgerichtspräsident B._ erhobenes Ausstandsbegehren gutzuheissen. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.