Sachverhalt: A. Am 23. November 2010 eröffnete der Konkursrichter am Bezirksgericht A._ auf Begehren der Y._ AG, mit Sitz in A._, gegenüber X._ den Konkurs ohne vorgängige Betreibung nach Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG wegen unbekannten Aufenthaltes. Die Konkurseröffnung wurde am 3. Dezember 2010 im Amtsblatt des Kantons Zürich publiziert. Bereits am 26. November 2010 wurde der Schuldner auf der Bezirksgerichtskanzlei vorstellig und nahm das Konkurserkenntnis persönlich entgegen. B. X._ zog das Konkurserkenntnis mit Eingabe vom 6. Dezember 2010 (Stempel der schwedischen Post) weiter und verlangte die Aufhebung des Konkurserkenntnisses. Mit Beschluss vom 14. März 2011 trat das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, auf die Weiterziehung infolge Verspätung nicht ein und eröffnete gleichentags neu den Konkurs. C. Mit Eingabe vom 21. März 2011 (Stempel der schwedischen Post) bzw. 22. März 2011 (Übergabe an die schweizerische Post) gelangte X._ an das Bundesgericht. Mit Urteil 5A_206/2011 vom 18. Mai 2011 wies das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen ab, soweit darauf eingetreten wurde. D. X._ ist mit Revisionsgesuch vom 8. Juni 2011 an das Bundesgericht gelangt. Der Gesuchsteller macht geltend, das Gericht habe in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (Art. 121 lit. d BGG), und verlangt die Aufhebung des bundesgerichtlichen Urteils. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.