Sachverhalt: A. A.a. A._ (Gesuchstellerin und Beschwerdeführerin) fuhr am 13. Juni 2004 gegen 16.00 Uhr auf der Autobahn A1 in Fahrtrichtung Zürich auf der Überholspur. Dabei bildete sich infolge eines Verkehrsunfalles auf der Höhe des Autobahnanschlusses Wangen an der Aare ein Rückstau. A._ bremste ab. Die hinter ihr fahrende, bei der Versicherung X._ AG (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) versicherte Fahrzeuglenkerin bemerkte das Abbremsen zu spät und prallte frontal in das Heck des Personenwagens von A._. Dieser kollidierte darauf mit dem vor ihm stehenden Fahrzeug. A._ beklagte sich sogleich über Nacken- und Kopfschmerzen. Sie steht seither wegen einer Halswirbelsäulen-Distorsion, einer Kontusion der linken Schulter und wegen Kopfschmerzen in fachärztlicher Behandlung. A.b. Für die Unfallfolgen richtete die Suva Zürich im Rahmen einer unfallähnlichen Körperschädigung (Art. 9 UVV) zunächst die gesetzlichen Versicherungsleistungen aus. Mit Verfügung vom 26. März 2009 verneinte die Suva Zürich jedoch das Vorliegen eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 13. Juni 2004 und den aktuellen Beschwerden. Sie stellte die Versicherungsleistungen per 31. März 2009 ein. Die dagegen am 15. April 2009 erhobene Einsprache wies die Suva mit Entscheid vom 25. September 2009 ab. B. B.a. Um ihre Prozesschancen gegen die Haftpflichtversicherung der Unfallverursacherin besser abschätzen zu können, gelangte A._ am 4. Oktober 2012 mit einem Gesuch um vorsorgliche Beweisführung gemäss Art. 158 Abs. 1 lit. b ZPO an das Richteramt Solothurn-Lebern. Sie beantragte, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zur Feststellung der bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit und Einschränkung in der Haushaltsführung und zur Kausalität der Beschwerden zu veranlassen. Zur Begründung führte A._ aus, dass in einem allfälligen Haftpflichtprozess die Frage entscheidend sei, ob ihre gegenwärtigen Beschwerden, die ihr nur eine 75-prozentige Arbeitstätigkeit gestatten, natürlich kausale Folge des versicherten Unfalles seien. Sodann sei zu fragen, in welchem Umfang sie in ihrer Arbeitsfähigkeit und in der Fähigkeit, ihren Haushalt zu führen, eingeschränkt sei. Sobald diese vom medizinischen Gutachter zu beurteilenden Fragen beantwortet seien, sollten sich die Parteien im Quantitativen einigen können. Sollte jedoch das Gutachten auch nur eine dieser Fragen verneinen, erübrige sich ein Haftpflichtprozess mangels kausalem Schaden. Mit Urteil vom 5. Dezember 2012 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab. B.b. Dagegen erhob A._ am 21. Dezember 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn mit den folgenden Rechtsbegehren: "1. Das angefochtene Urteil des Einzelrichters am Richteramt Solothurn-Lebern vom 5. Dezember 2012, mitgeteilt am 12. Dezember 2012, sei aufzuheben. 2. Das Gesuch der Berufungsklägerin, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zu veranlassen, zur Feststellung ihrer bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit, zu den Einschränkungen in der Haushaltsführung sowie zur Kausalität der Beschwerden, sei gutzuheissen. 3. Eventuell sei der Einzelrichter am Richteramt Solothurn-Lebern anzuweisen, auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen einzutreten und das beantragte polydisziplinäre Gutachten zur Feststellung der gesundheitlichen Beschwerden der Berufungsklägerin, zu der sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit und Einschränkung in der Haushaltsführung und zur Kausalität der Beschwerden in Auftrag zu geben. 4. Unter gesetzlicher Kosten- und Entschädigungsfolge für das erstinstanzliche und das Berufungsverfahren. 5. Verfahrensantrag: Falls die Berufung gutgeheissen und das Gesuch grundsätzlich bewilligt wird, ist den Parteien Frist einzuräumen, um Gutachter vorzuschlagen und Gutachterfragen zu stellen." Mit Urteil vom 28. März 2013 wies das Obergericht die Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt A._ dem Bundesgericht die folgenden Anträge: "1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn sei aufzuheben und das Gesuch der Beschwerdeführerin, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zu veranlassen zur Feststellung ihrer bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit, zu den Einschränkungen in der Haushaltsführung sowie zur Kausalität der Beschwerden, sei gutzuheissen. 2. Im Falle einer Gutheissung der Beschwerde sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den Parteien Frist ansetze zur Bezeichnung von Sachverständigen und zur Einreichung von Gutachterfragen. 3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor den beiden Vorinstanzen und vor dem Bundesgericht zulasten der Beschwerdegegnerin." Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Vorinstanz trägt auf Abweisung an.