Sachverhalt: A. Der Gemeinderat der Gemeinde Freienbach erteilte der Orange Communications SA am 29. Juni 2006 die Bewilligung zur Errichtung einer Mobilfunkanlage. Gleichzeitig wies er die dagegen erhobenen Einsprachen ab, soweit er darauf eintrat. X._ erhob gegen den Bewilligungsentscheid Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Schwyz. Dieser wies die Beschwerde am 13. März 2007 ab. X._ gelangte deshalb an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Mit Entscheid vom 24. Mai 2007 trat das Verwaltungsgericht, Kammer III, auf seine Beschwerde infolge verspäteter Beschwerdeeingabe nicht ein. Gemäss den Ausführungen im verwaltungsgerichtlichen Entscheid habe die Beschwerdefrist 20 Tage betragen. Zwar stünden die gesetzlichen und richterlichen Fristen während den Gerichtsferien an Ostern, welche vom 7. Tag vor Ostern bis und mit dem 7. Tag nach Ostern dauern, in Anwendung von § 94 Abs. 1 und 2 der Gerichtsordnung des Kantons Schwyz vom 10. Mai 1974 (GO/SZ) grundsätzlich still. Vorbehalten seien nach § 94 Abs. 3 GO/SZ aber Einsprache- und Rechtsmittelverfahren in Bausachen. Ein solches Rechtsmittelverfahren sei hier gegeben. Der angefochtene Entscheid der Rekurskommission sei dem Beschwerdeführer nach eigener Sachdarstellung am 21. März 2007 zugegangen. Die Rechtsmittelfrist habe deshalb am 22. März 2007 zu laufen begonnen und habe in Anwendung von § 94 Abs. 3 GO/SZ am 10. April 2007 (Dienstag nach Ostern) geendet. Die Beschwerde an das Verwaltungsgericht sei indessen erst am 24. April 2007, d.h. 14 Tage nach Ablauf der Rechtsmittelfrist, bei der Post aufgegeben worden. B. X._ hat gegen den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerden. C. Das Verwaltungsgericht, der Regierungsrat sowie die Orange Communications SA beantragen Beschwerdeabweisung, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Freienbach hat auf Stellungnahme verzichtet. D. Mit Verfügung vom 23. Juli 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aufschiebende Wirkung zuerkannt.