Sachverhalt: A. A.a. Am 25. September 1990 verfasste A._ (geb.1909) ein Testament, mit dem sie ihrem einzigen gesetzlichen Erben, B._, ihr Grundstück Nr. xxx, Grundbuch C._ als Vorerbschaft übertrug mit der Pflicht, es bei seinem Ableben seinen zukünftigen Nachkommen, bei deren Fehlen seiner künftigen Frau auszuhändigen. Des weiteren setzte sie X._ als Willensvollstrecker ein. A.b. A._ verstarb am 28. Januar 1997. B._ erwirkte in der Folge die Eintragung als Eigentümer des Grundstücks Nr. xxx, Grundbuch C._ ohne Vormerkung der testamentarisch verfügten Auslieferungspflicht an die Nacherben. Am 21. November 2012 reichte B._ beim Friedensrichteramt Luzern gegen seine potentiellen Nacherben im Nachlass der A._ ein Schlichtungsgesuch betreffend negative Feststellungsklage ein. Er beantragte damit, es sei festzustellen, dass er im Nachlass von A._ als Alleinerbe nicht mit einer Nacherbschaft belastet sei. B. Bereits zuvor, nämlich am 21. Juni 2012, beantragte X._ in seiner Eigenschaft als Willensvollstrecker bei der damaligen Vormundschaftsbehörde der Stadt Y._ die Errichtung einer Beistandschaft zur Sicherung der Anwartschaft der nicht vorhandenen Nacherben im Nachlass von A._. Mit Entscheid vom 29. August 2012 wies die angerufene Instanz das Begehren ab. Der gegen diesen Entscheid erhobenen Beschwerde von X._ gab das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 20. Dezember 2012 nicht statt. Die von X._ dagegen beim Kantonsgericht Luzern erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde blieb erfolglos (Urteil vom 28. Juni 2013). C. X._ hat den Entscheid des Kantonsgerichts vom 28. Juni 2013 mit Eingabe vom 22. August 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Er beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben, für die potentiellen Nacherben des B._ im Nachlass der A._ eine Beistandschaft zu errichten und durch die zuständige Erwachsenenschutzbehörde einen Beistand ernennen zu lassen. Das Kantonsgericht und die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Y._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hat repliziert. Weitere Eingaben gingen nicht ein.