Ausschaffungshaft, hat sich ergeben: A.-B._ stellte im Jahr 1992 unter dem Namen A._, Palästinenser, ein Asylgesuch, welches im Januar 1994, unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung, abgewiesen wurde. Von September bis Dezember 1995 war er in Ausschaffungshaft. Nachdem B._ bereits im März 1997 im Kanton Freiburg zu sechs Wochen Gefängnis verurteilt worden war, verurteilte ihn der Gerichtspräsident 5 des Gerichtskreises X Thun am 9. November 1998 (noch unter dem Namen A._) wegen Diebstahls, Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) zu sechs Wochen Gefängnis und zu fünf Jahren Landesverweisung. Das Regierungsstatthalteramt Thun ordnete am 30. November 1998 den Vollzug der Landesverweisung an und beauftragte den Ausländer- und Bürgerrechtsdienst der Kantonspolizei Bern mit dem Vollzug der Ausschaffung. Am 6. Dezember 1999 verurteilte der Gerichtspräsident 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen B._ (nach wie vor als A._) wegen Diebstahls zu eineinhalb Monaten Gefängnis. Nachforschungen des Bundesamtes für Flüchtlinge in Deutschland ergaben, dass B._ wohl algerischer Staatsangehöriger ist. Am 2. August 2001 stellte das algerische Konsulat in der Schweiz für ihn einen Laissez-Passer in Aussicht. Der Ausländer- und Bürgerrechtsdienst der Kantonspolizei Bern reservierte auf den 13. September 2001 einen Rückflug, welcher wegen vorerst noch fehlender Reisepapiere allerdings nicht angetreten wurde. Am 21. August 2001 wurde B._ in Haft genommen, und der Ausländer- und Bürgerrechtsdienst stellte dem Haftgericht III Bern-Mittelland den Antrag zur Prüfung der Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haft (Ausschaffungshaft), um den Vollzug der Landesverweisung sicherzustellen. Am 23. August 2001 prüfte und bestätigte die Haftrichterin 2 des Haftgerichts III Bern-Mittelland die Haft. Gegen diesen Haftrichterentscheid gelangte B._ am 30. August 2001 mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht (Verfahren 2A.370/2001). Da für die Anordnung von Ausschaffungshaft im Kanton Bern abschliessend entweder der Regierungsstatthalter (Sicherstellung des Vollzugs einer strafrechtlichen Landesverweisung) oder das Amt für Migration und Personenstand (Sicherstellung von Weg- oder Ausweisung) zuständig ist, im konkreten Fall aber keine dieser Behörden die Haft angeordnet hatte, fehlte es an einer gesetzmässigen erstinstanzlichen Haftverfügung; das Bundesgericht hiess daher die Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 19. September 2001 gut, hob den Haftbestätigungsentscheid auf und ordnete die unverzügliche Entlassung von B._ aus der Ausschaffungshaft an. B.-Gestützt auf die dem Bundesgericht im Verfahren 2A.370/2001 eingereichte Rechtsschrift von B._ eröffnete das Bundesamt ein (neues) Asylverfahren. Mit Verfügung vom 11. September 2001 trat es darauf nicht ein, wies B._ mit sofortiger Wirkung aus der Schweiz weg, beauftragte den Kanton Bern mit dem Wegweisungsvollzug und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Diese Verfügung wurde B._ am 12. September 2001 eröffnet. Mit Verfügung vom 2. November 2001 ordnete das Regierungsstatthalteramt Thun an, die Landesverweisung gegen B._ sei, sobald die Modalitäten für die Ausreise geregelt seien, zu vollziehen; mit der Überwachung der Ausreise oder der Überführung des Verurteilten an die Grenze bzw. in seine Heimat beauftragte es den Ausländer- und Bürgerrechtsdienst der Kantonspolizei Bern; für den Fall, dass die Ausschaffung nicht sofort ohne längerdauernde Abklärungen erfolgen könne, wurde die Versetzung in Ausschaffungshaft angeordnet. Nachdem B._ von der Fremdenpolizei der Stadt Bern bei Wohnungskontrollen am 21. und 22. November 2001 nicht angetroffen werden konnte, wurde er am 5. Dezember 2001 festgenommen. Am 7. Dezember 2001 ordnete das Regierungsstatthalteramt Thun in Ergänzung seiner Verfügung vom 2. November 2001 nochmals Ausschaffungshaft an. Gleichentags bestätigte der Haftrichter 1 des Haftgerichts III BernMittelland nach mündlicher Verhandlung die Rechtsmässigkeit und Angemessenheit der Haft (vollständige Ausfertigung des Haftbestätigungsentscheids mit Begründung vom 12. Dezember 2001). C.-Mit in französischer Sprache verfasstem Schreiben vom 10. Dezember 2001 ersucht B._ das Bundesgericht um "libération". Gestützt auf diese Eingabe ist ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eröffnet worden. Der Haftrichter und das Regierungsstatthalteramt Thun beantragen Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer hat von der Möglichkeit einer weiteren Stellungnahme innert der ihm dazu eingeräumten Frist (21. Dezember 2001) keinen Gebrauch gemacht.