Sachverhalt: A. A.a. Die X._ S.A.D. (Beschwerdeführerin) mit Sitz in K._ (Spanien) betreibt eine Fussballmannschaft in der höchsten spanischen Fussballliga. Sie ist Mitglied des spanischen Fussballverbandes Real Federación Española de Fútbol (RFEF). Die Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts (Art. 60 ff. ZGB) mit Sitz in Zürich. A.b. Am 18. Juli 2004 schloss die Beschwerdeführerin mit dem uruguayischen Fussballclub Y._ eine Vereinbarung über den Transfer eines Spielers ab. Am 3. März 2009 wandte sich Y._ an das FIFA Players' Status Committee, einem Organ der Beschwerdegegnerin, mit der Behauptung, die Beschwerdeführerin habe die vereinbarte Transferentschädigung in der Höhe von EUR 537'190.-- nicht bezahlt. Im Januar 2010 verlangte Y._ vor gleicher Instanz nunmehr aufgelaufene Transferentschädigungen für den Zeitraum von Januar 2008 bis Januar 2010 in Höhe von EUR 959'596.-- zuzüglich Zinsen. Mit Entscheid vom 10. August 2010 verurteilte das FIFA Players' Status Committee die Beschwerdeführerin zur Zahlung der verlangten Transferentschädigung von EUR 959'596.-- an Y._. Weiter wurde im Entscheid festgehalten, dass Y._ beim FIFA Disciplinary Committee, einem weiteren Organ der Beschwerdegegnerin, die Sanktionierung der Beschwerdeführerin beantragen könne, falls diese die Transferentschädigung nicht bezahle. Am 10. Oktober 2011 informierte Y._ die Beschwerdegegnerin, dass die Beschwerdeführerin die Zahlungsverpflichtungen gemäss dem Entscheid des FIFA Players' Status Committee nicht erfüllt habe. Am 13. Oktober 2011 teilte das FIFA Players' Status Committee der Beschwerdeführerin mit, dass die Angelegenheit dem FIFA Disciplinary Committee überwiesen wurde. A.c. Am 31. Oktober 2011 eröffnete das FIFA Disciplinary Committeeein Disziplinarverfahren gegen die Beschwerdeführerin. Mit Disziplinarentscheid vom 30. November 2011 stellte das FIFA Disciplinary Committee fest, die Beschwerdeführerin habe es schuldhaft versäumt, dem Entscheid des FIFA Players' Status Committee Folge zu leisten, und habe damit gegen Artikel 64 des FIFA Disciplinary Code 2011 verstossen. Das FIFA Disciplinary Committee verurteilte die Beschwerdeführerin zur Zahlung einer Geldstrafe an die Beschwerdegegnerin in Höhe von Fr. 30'000.-- und forderte die Beschwerdeführerin auf, der im Entscheid des FIFA Players' Status Committee festgelegten Zahlungsverpflichtung innert 30 Tagen nachzukommen. B. B.a. Gegen den Disziplinarentscheid des FIFA Disciplinary Committee reichte die Beschwerdeführerin am 3. Februar 2012 Berufung beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) ein. Mit Eingabe vom 7. März 2012 benannte die Beschwerdegegnerin Margarita Echeverria als Mitschiedsrichterin. Mit Schreiben vom 8. März 2012 lud das TAS die Beschwerdeführerin dazu ein, zur Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 7. März 2012 Stellung zu nehmen. Mit Schreiben vom 7. Mai 2012 informierte das TAS die Parteien darüber, dass Frau Echeverria ihre Ernennung als Mitschiedsrichterin angenommen und folgende Information offen gelegt habe: "I am an external consultant of FIFA in America regarding statutes governance and management of the federations." Im gleichen Schreiben vom 7. Mai 2012 wies das TAS die Parteien unter Bezugnahme auf Artikel R34 des TAS-Code darauf hin, dass sie innert sieben Tagen seit Kenntnis von Ablehnungsgründen die Ablehnung von Frau Echeverria verlangen können, falls sie Einwände gegen deren Ernennung haben. Mit Schreiben vom 22. Mai 2012 informierte das TAS die Parteien, dass der dreiköpfige Spruchkörper konstituiert worden sei mit Frau Echeverria als parteibenannter Schiedsrichterin seitens der Beschwerdegegnerin. Mit Eingabe vom 28. Mai 2012 stellte die Beschwerdeführerin ein Ablehnungsbegehren gegen die Ernennung von Frau Echeverria aufgrund deren Erklärung, dass sie eine externe Konsulentin der Beschwerdegegnerin in Amerika sei. Mit Schreiben vom 6. Juni 2012 informierte die Beschwerdegegnerin das TAS, dass keine gültigen Ablehnungsgründe gegenüber der Ernennung von Frau Echeverria bestünden und dass die Beschwerdeführerin kein Argument vorgetragen habe, das die Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Frau Echeverria in Frage stellen könnte. Mit Schreiben vom 7. Juni 2012 teilte Frau Echeverria dem TAS mit, dass sie sich für unabhängig und unparteiisch halte. Sie gab an, dass ihre Rolle als externe Konsulentin der Beschwerdegegnerin in Amerika rein akademischer und strategischer Natur sei im Zusammenhang mit den Statuten der Verbände in Amerika. Diese Tätigkeit übe sie seit Jahren aus und nehme gleichzeitig Mandate als TAS-Schiedsrichterin wahr. Mit Schreiben vom 8. Juni 2012 teilte das TAS den Parteien mit, dass das Ablehnungsbegehren der Beschwerdeführerin dem Board of International Council of Arbitration for Sport (ICAS) überwiesen werde. Mit Entscheid vom 3. Juli 2012 wies das Board des ICAS das Ablehnungsbegehren zurück mit folgender Begründung: "a) Article R34 of the CAS Code provides that '[a]n arbitrator may be challenged if the circumstances give rise to legitimate doubts over his independence. The challenge shall be brought within 7 days after the ground for the challenge has become known.' b) Ms. Margarita Echeverria disclosed the information related to her impartiality and independence to the Parties on 7 May 2012. c) The Appellant raised its objection to Ms. Margarita Echeverria's nomination on 28 May 2012. This was 21 days after the grounds for challenging had become known to the Parties. d) The Appellant's challenge was hence filed out of the time limit set in Article R34 of the CAS Code and was inadmissible." In der Folge bildete Frau Echeverria Teil des urteilenden Schiedskörpers. B.b. Mit Entscheid vom 20. August 2012 wies das TAS die Berufung der Beschwerdeführerin ab und bestätigte den Disziplinarentscheid des FIFA Disciplinary Committee vom 30. November 2011. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Oktober 2012 stellt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht die folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei der Schiedsentscheid vom 20. August 2012 im Verfahren CAS 2012/A/2730 aufzuheben und es sei festzustellen, dass das Schiedsgericht im Verfahren CAS 2012/A/2730 vorschriftswidrig zusammengesetzt wurde. 2. Eventualiter, es sei der Schiedsentscheid vom 20. August 2012 im Verfahren CAS 2012/A/2730 aufzuheben und die Streitsache zur Feststellung der vorschriftswidrigen Zusammensetzung des Schiedsgerichts an den CAS, eventualiter an das Schiedsgericht zurückzuweisen. 3. Subeventualiter, es sei der Schiedsentscheid vom 20. August 2012 im Verfahren CAS 2012/A/2730 aufzuheben und es sei die Streitsache zur neuen Entscheidung an das Schiedsgericht zurückzuweisen." Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Das TAS schliesst auf Abweisung. Die Beschwerdeführerin reichte Replik ein, die Beschwerdegegnerin und das TAS reichten Duplik ein. D. Mit Präsidialverfügung vom 15. November 2012 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.