Sachverhalt: A. A.a. Am 21. April 2008 unterzeichnete X._ (Kläger, Beschwerdeführer) zusammen mit A._ und B._ für die Z._ S.L. einen Kontokorrent-Kreditvertrag über einen maximalen Kreditbetrag von Fr. 315'000.-- sowie einen Garantieauftrag und eine Verpfändungserklärung. Vertragspartnerin in allen drei Fällen war die Y._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin; seit dem 9. Mai 2012 in Liquidation). Begünstigte der von der Z._ S.L. in Auftrag gegebenen Bankgarantie war die Bank C._. Die von der Beklagten ausgestellte Garantie in der Höhe von EUR 298'188.-- diente als Sicherheit für ein Hypothekardarlehen der Bank C._ auf einer Immobilie in Málaga (Spanien). Zur Absicherung aller bestehenden, künftigen und bedingten Ansprüche der Beklagten gegenüber der Z._ S.L. verpfändete diese sämtliche Vermögenswerte bei der Beklagten, insbesondere das Portfolio Nr. qqq. A.b. Am 16. Oktober 2008 machte die Beklagte den Kläger als Ansprechperson der Z._ S.L. auf den Wertverlust der als Sicherheit dienenden Vermögenswerte im Portfolio qqq aufmerksam und forderte die Z._ S.L. in der Folge mehrfach auf, Nachsicherungen zu leisten. Da keine zusätzlichen Sicherheiten geleistet wurden, kündigte die Beklagte mit Schreiben vom 8. Mai 2009 den Kontokorrent-Kreditvertrag mit sofortiger Wirkung. Zur Deckung des Kreditbetrags von Fr. 82'982.52 verwertete die Beklagte die Wertschriften im verpfändeten Portfolio und verwaltete das restliche Guthaben der Z._ S.L. bis zur Freigabe der Bankgarantie durch die Bank C._. Daraufhin wurden die Konten gemäss Instruktionen der Z._ S.L. saldiert und die Saldi am 25. Juni 2010 teilweise auf ein Konto der Z._ S.L. (EUR 175'003.69) und teilweise auf ein Konto des Klägers (EUR 124'883.17) überwiesen. B. Mit Eingabe vom 22. August 2011 erhob der Kläger als Zessionar der Z._ S.L. beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen eine Forderungsklage gegen die Beklagte, mit dem im Laufe des Verfahrens geänderten Begehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Schadenersatz in der Höhe von EUR 159'188.05 nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Das Handelsgericht des Kantons St. Gallen wies die Klage mit Entscheid vom 8. Juli 2013 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. Juli 2013 sei aufzuheben und seine Forderungsklage gutzuheissen. Hilfsweise sei die Sache zur erneuten Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Präsidialverfügung vom 13. August 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen.