Sachverhalt: A. Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 29. Mai 2008 wegen mehrfacher Vergewaltigung (Art. 190 Abs. 1 StGB), mehrfacher sexueller Nötigung (Art. 189 Abs. 1 StGB), mehrfacher Freiheitsberaubung (Art. 183 Ziff. 1 Abs. 1 StGB), mehrfachen Tätlichkeiten (Art. 126 Abs. 1 StGB), Sachbeschädigung (Art. 144 Abs. 1 StGB), Drohung (Art. 180 Abs. 1 StGB) sowie Gewalt gegen Behörden und Beamte (Art. 285 Ziff. 1 StGB) zu 5 Jahren Freiheitsstrafe und einer Busse von Fr. 500.--, bei einer Ersatzfreiheitsstrafe von 5 Tagen. Es hielt unter anderem für erwiesen, dass X._ seine damalige Partnerin A._ auf dem Balkon gepackt, in die Wohnung geschleift, ihr die Hose herunter gerissen und mit einem Finger in ihre Vagina eingedrungen sei, um festzustellen, ob sie Geschlechtsverkehr gehabt habe. Anlässlich eines anderen Vorfalls habe er A._ ins Schlafzimmer gedrängt und ihr die Hose herunter gerissen. Er sei dann mit seiner Zunge in ihre Vagina eingedrungen, um zu prüfen, ob sie mit einem anderen Mann Geschlechtsverkehr gehabt habe. Dann habe er sie auf das Bett gestossen, sie gewürgt, und ihr in der Folge eine Ohrfeige verpasst, worauf sie zu weinen begonnen habe. Zudem habe er mehrfach unter Anwendung von Gewalt beziehungsweise unter Drohungen gegen ihren Willen den Geschlechtsverkehr mit ihr vollzogen. Das Appellationsgericht der Kantons Basel-Stadt bestätigte am 24. Juni 2009 das erstinstanzliche Urteil. B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, (1) das Urteil des Appellationsgerichts vom 24. Juni 2009 sei aufzuheben, (2) er sei von sämtlichen Vorwürfen und Delikten zum Nachteil von A._ kostenlos freizusprechen, (3) eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, die von ihm beantragten Beweiserhebungen (Glaubhaftigkeitsgutachten, eigene Befragung des mutmasslichen Opfers) vorzunehmen, und (4) es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren zulasten der Vorinstanz eine Parteientschädigung zuzusprechen, (5) unter Kostenfolge zulasten der Vorinstanz.