Sachverhalt: A. X._ und Z._, beide Jahrgang 1974, heirateten am 2. Juni 2006 und wurden Eltern einer Tochter, geboren am 31. Oktober 2006. Am 27. September 2008 hoben sie den gemeinsamen Haushalt in A._ auf und X._ zog zusammen mit der Tochter zu seinen Eltern nach B._ (Österreich). Z._ blieb zunächst in A._ und zog am 1. Mai 2009 in das Haus ihres Vaters in C._ (Aargau). B. Am 10. März 2009 reichte Z._ beim Gerichtspräsidium Bremgarten ein Gesuch um Scheidung auf gemeinsames Begehren ein, dem eine von beiden Parteien unterzeichnete Scheidungskonvention zugrunde lag. Am 27. März 2009 zog sie das Gesuch jedoch zurück und das Gerichtspräsidium schrieb das Verfahren in der Folge (mit dem Einverständnis von X._) ab. C. Im April 2009 gelangte die Mutter mit einem Antrag auf Rückführung ihrer Tochter an die zuständigen schweizerischen Behörden, die dieses Begehren nach Österreich übermittelten. Vor dem für das Rückführungsverfahren zuständigen Bezirksgericht Feldkirch schlossen die Parteien am 5. Juni 2009 eine Vereinbarung über die gemeinsame Obhut ("gemeinsame Obsorge") über ihre Tochter für den Zeitraum ab Juni 2009 ab. Sie vereinbarten, dass sich die Tochter jeweils in einem Rhythmus von zwei Wochen beim einen und dann wieder beim anderen Ehegatten aufhalten sollte. Das Bezirksgericht Feldkirch erklärte damit den Antrag auf Rückführung als erledigt. D. Auf das Eheschutzgesuch der Ehefrau vom 8. Juni 2009 hin regelte das Gerichtspräsidium Bremgarten das Getrenntleben der Ehegatten. Soweit vorliegend massgebend, stellte es die Tochter unter die Obhut des in Österreich lebenden Vaters und räumte der Kindsmutter ein Besuchs- und Ferienrecht ein (Entscheid vom 29. September 2009). Da Z._ gegen diesen Entscheid mit Bezug auf die Regelung des Kindesverhältnisses kantonale Beschwerde erhob, erliess das Gerichtspräsidium Bremgarten am 6. Oktober 2009 eine "vorläufige Massnahme", in der es die Obhutszuteilung und das Besuchs- und Ferienrecht der Mutter gleich wie in seinem Entscheid regelte, womit das Kind für die Dauer des Verfahrens unter die alleinige Obhut des Vaters gestellt wurde. E. Das Obergericht des Kantons Aargau stellte in der Begründung zu seinem Beschwerdeentscheid vom 14. Dezember 2009 die Rechtskraft des erstinstanzlichen Entscheides mit Ausnahme der Regelung des Kindesverhältnisses fest. Es hiess die Beschwerde der Ehefrau teilweise gut und stellte die Tochter unter ihre Obhut. Dem Vater wurde ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt und er wurde verpflichtet, einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- für die Tochter zu bezahlen. F. Dagegen hat X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 8. Januar 2010 (Postaufgabe am gleichen Tag) eine Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Er beantragt dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und in der Sache die Bestätigung des erstinstanzlichen Entscheides. Als Eventualantrag verlangt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Zudem verlangt er antragsgemäss die Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten sowie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung und der Beschwerde. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.