Sachverhalt: A. Der 1959 geborene E._ war als Einpacker in der Firma A._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 13. März 2004 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Personenwagen fuhr ins Heck des von ihm gelenkten und vor der Einfahrt in eine vortrittsberechtigte Strasse angehaltenen Renault 19. Nach einigen Stunden traten zunehmend Beschwerden auf, weshalb E._ anderntags einen Arzt aufsuchte. Der weiterbehandelnde Hausarzt diagnostizierte mit Bericht vom 6. April 2004 ein zunehmendes cervicospondylogenes Syndrom bei Status nach Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Er bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit ab dem 15. März 2004. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Es folgten verschiedene medizinische Abklärungs- und Therapiemassnahmen, u.a. stationär vom 16. Juni bis 21. Juli 2004 in der Rehaklinik B._. Nachdem der Versicherte weiterhin Beschwerden klagte, eröffnete ihm die SUVA mit Verfügung vom 20. Juli 2005 die sofortige Einstellung der Leistungen. Zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden seien psychischer Natur und stünden nicht in einem rechtserheblichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 13. März 2004. Daran hielt der Unfallversicherer auf die von E._ eingereichte Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 16. Februar 2006). B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. Januar 2007 ab. C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Begutachtung durch einen medizinischen Sachverständigen anzuordnen resp. die Angelegenheit an die Vorinstanz oder an die SUVA zurückzuweisen. Je nach Ergebnis der ergänzenden Abklärung seien weiterhin gesetzliche Leistungen auszurichten. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 1. resp. 8. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.