Sachverhalt: A. X._ führt in der Gemeinde R._ seit 1998 zusammen mit seiner Ehefrau die Werk- und Heimstätte H._ für geistig behinderte Erwachsene. Gegen Entgelt gewährt er folgenden drei mündigen Personen Unterkunft, Verpflegung und Betreuung: A._ (geb. 1949, Eintritt 1996), B._ (geb. 1962, Eintritt 1991) und C._ (geb. 1979, Eintritt 2000). Die genannten betreuten Erwachsenen leben zusammen mit der Familie X._ in einer Liegenschaft in T._; nachts steht ihnen je ein Einerzimmer zur Verfügung. Im 2. Obergeschoss befindet sich das Zimmer von A._ (Raumgrösse 5,37 m2, abgeschrägt), im Erdgeschoss dasjenige von C._ (8,08 m2 ) und im 1. Obergeschoss dasjenige von B._ (10,46 m2). Den Tag verbringen die betreuten Erwachsenen auf dem von X._ geführten Landwirtschaftsbetrieb in S._ und erhalten dort eine Beschäftigung mit verschiedensten Arbeiten in Hof, Garten und Haushalt. B. Seit dem 1. Oktober 2003 bedarf im Kanton Thurgau die Errichtung und der Betrieb von Betreuungsangeboten, in denen bis zu vier mündigen Personen gegen Entgelt Unterkunft, Verpflegung, Betreuung oder weitere Dienstleistungen gewährt werden, einer Bewilligung der Politischen Gemeinde. Solche Wohnstätten unterstehen ausserdem ihrer Aufsicht. Für die Heime sowie für die Betreuungs- und Pflegeangebote erlässt das kantonale Departement für Finanzen und Soziales die notwendigen Richtlinien (§§ 6c und 6d des thurgauischen Sozialhilfegesetzes vom 29. März 1984, Fassung vom 21. Mai 2003, in Kraft seit 1. Oktober 2003). C. Im Zusammenhang mit diesen genannten Regelungen überprüften Vertreter der Politischen Gemeinde R._ am 10. Mai 2005 vor Ort unangemeldet das Betreuungsangebot von X._. Am Ortstermin mit dabei war auch Z._, der Leiter des Ressorts Heimwesen des kantonalen Fürsorgeamtes. Die Vertreter der Gemeinde stellten fest, dass neben den in der Heimstätte ständig betreuten drei Personen auch noch zwei ebenfalls betreuungsbedürftige Feriengäste anwesend waren. Sodann bemängelten die Gemeindevertreter den baulichen Zustand der Liegenschaften in T._ und S._ (u.a. die Grösse der zur Verfügung gestellten Zimmer), was sie X._ mit eingeschriebenem Brief vom 7. Juni 2005 mitteilten. Mit demselben Schreiben setzten sie X._ ferner Frist, um ein schriftliches Gesuch (samt Unterlagen) um Bewilligung des Betreuungsangebotes einzureichen; die Gemeindevertreter stellten darüber hinaus die Schliessung der Heimstätte in Aussicht, sollten die verlangten Massnahmen nicht bis zum 30. September 2005 umgesetzt werden. In der Folge reichte X._ ein Gesuch um Erteilung einer Betriebsbewilligung für ein Betreuungsangebot für weniger als vier Personen ein. An seiner Sitzung vom 6. März 2006 wies der Gemeinderat R._ dieses Gesuch ab. In seinem tags darauf verfassten schriftlichen Entscheid erwog er im Wesentlichen, X._ habe keinen Nachweis für eine anerkannte Ausbildung des Bundesamtes für Berufsbildung und Technologie eingereicht, weswegen er die Ausbildungsvoraussetzungen für eine hauptverantwortliche Betreuungsperson nicht erfülle. Ausserdem seien die baulichen Anpassungen der Einzelzimmer nicht vorgenommen worden, was die Schliessung des Betreuungs- und Pflegeangebotes ab dem 1. Oktober 2006 zur Folge habe. D. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau. Er reichte u.a. eine "rückwirkende Anerkennung" des Bundesamtes für Berufsbildung und Technologie ein, wonach er aufgrund seiner Ausbildung berechtigt sei, den Titel "dipl. Sozialpädagoge HFS" zu tragen. Im Übrigen verlangte er, es sei seinem Gesuch stattzugeben. Am 26. Juni 2006 fand unter der Leitung des instruierenden Departementsjuristen E._ ein Augenschein in R._ statt. Als Vertreter der kantonalen Fachinstanz anwesend war wiederum der Leiter des Ressorts Heimwesen aus dem Fürsorgeamt, Z._. Dieser führte auch das Protokoll der Verhandlung, welches am 6. Juli 2006 - mit Gelegenheit zur Stellungnahme - an die Verfahrensbeteiligten versandt wurde. Nachdem die Politische Gemeinde R._ am 13. Juli 2006 und X._ am 18. August 2006 zum Protokoll des Augenscheins Stellung genommen hatten, schloss der instruierende Departementsjurist am 6. September 2006 den Schriftenwechsel. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2006 wies das Departement den Rekurs ab; gleichzeitig wies es X._ an, die Werk- und Heimstätte H._ bis zum 28. Februar 2007 zu schliessen und innert derselben Frist für die bedürfnisgerechte Umplatzierung der betreuten Personen zu sorgen. E. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 25. Oktober 2006 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Im Rahmen der Beschwerdeergänzung liess er am 15. November 2006 vortragen, der Protokollführer des Augenscheins vom 26. Juni 2006, Z._, habe schon beim seinerzeitigen Entscheid der Gemeinde mitgewirkt und sei daher befangen gewesen. Sodann machte er geltend, das Betreuungsangebot sei zu bewilligen. Das Departement habe zu Unrecht einseitig auf die zur Verfügung gestellte Raumgrösse der Zimmer abgestellt und die tatsächlichen Bedürfnisse der seit Jahren in der Wohnstätte betreuten Personen unberücksichtigt gelassen. Diese Personen und ihre gesetzlichen Vertreter seien zu befragen und bei ihren Ärzten seien medizinische Berichte einzuholen. Ferner sei betreffend die Angemessenheit der Wohnsituation ein unabhängiges Fachgutachten zu erstellen und erneut ein Augenschein durchzuführen. Nachdem das Verwaltungsgericht zusammen mit einem von ihm - im Einverständnis mit den Verfahrensbeteiligten - eingesetzten Sachverständigen, dem Sozialversicherungsfachmann und Sozialpädagogen F._, am 25. April 2007 einen weiteren Augenschein durchgeführt und vom Gutachter eine Expertise zur Situation in der Werk- und Heimstätte H._ (datiert vom 9. Oktober 2007) eingeholt hatte - wozu die Parteien wiederum Stellung nehmen konnten -, wies es die Beschwerde mit Entscheid vom 6. Februar 2008 ab. F. Mit Eingabe vom 28. April 2008 führt X._ "Beschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 6. Februar 2008 aufzuheben und den Kanton Thurgau anzuweisen, die beantragte Bewilligung zur Führung eines Kleinheimes zu erteilen, eventuell den Sachverhalt ergänzend abzuklären und einen neuen Entscheid in der Sache zu fällen. Die Politische Gemeinde R._ beantragt sinngemäss, die Beschwerde abzuweisen ("Schutz unseres Entscheides"). Das kantonale Departement für Finanzen und Soziales schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. G. Mit Verfügung vom 28. Mai 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.