Sachverhalt: A. A.a Die X._ AG mit Sitz in L._ bezweckt laut Handelsregistereintrag vom 22. Dezember 2000 "den Erwerb, Besitz und Betrieb von Luftfahrzeugen aller Art und die Durchführung von Flügen sowie die Ausübung damit zusammenhängender Tätigkeiten". Alleinaktionär ist A._. Die Gesellschaft ist mit Wirkung ab 5. Januar 2001 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Mit Kaufvertrag vom 5. Januar 2001 erwarb die Gesellschaft ein Flugzeug des Typs B._ zum Preise von USD 3'791'501.20. Am 22./23. März 2001 schloss sie mit der in F._ domizilierten T._ AG einen als Flight Operation Agreement bezeichneten Aircraft-Managementvertrag ab. Sie übertrug damit der T._ AG Betrieb und Unterhalt des Flugzeugs. Diese hatte insbesondere die Besatzung zur Verfügung zu stellen. Das Flugzeug wurde zumindest anfänglich ausschliesslich für A._ verwendet. In der Mehrwertsteuer-Abrechnung für das 1. Quartal 2001 deklarierte die X._ AG einen steuerbaren Umsatz von Fr. 54'000.-- (Steuerbetrag Fr. 4'104.--) und anrechenbare Vorsteuern von Fr. 458'790.50 (wovon rund Fr. 450'000.-- auf den Kauf des Flugzeugs entfielen). Das ergab ein Guthaben von Fr. 454'686.50, das der Gesellschaft nach einer Korrektur (Ergänzungsabrechnung Nr. 471778 vom 6. Dezember 2001) mit Fr. 454'110.50 ausbezahlt wurde. In der Mehrwertsteuer-Abrechnung für das 2. Quartal 2001 deklarierte die Gesellschaft einen steuerbaren Umsatz von Fr. 150'000.-- (Steuerbetrag Fr. 11'400.--) und Vorsteuern von Fr. 9'453.60, womit sich die Steuer auf Fr. 1'946.40 reduzierte. In der Abrechnung für das 3. Quartal 2001 betrugen der Umsatz null Franken und die Vorsteuern Fr. 8'703.93 (Guthaben Fr. 8'703.93). In der Abrechnung für das 4. Quartal 2001 vom 2. Mai 2002 wurden ein Umsatz von Fr. 420'550.--, abzüglich steuerbefreite Leistungen ins Ausland (Auslandflüge) von Fr. 407'872.-- (Steuerbetrag Fr. 963.53) sowie Vorsteuern von Fr. 8'302.31 deklariert. Das ergab, zusammen mit einem Anspruch auf Berichtigung von bereits abgerechneten Umsätzen von Fr. 15'504.--, ein Guthaben von Fr. 22'842.78. Gemäss einer "Rechnung Flugstunden 2001" der X._ AG vom 25. März 2002 wurden A._ im Jahre 2001 Flugstunden für Auslandflüge von insgesamt Fr. 407'872.-- (steuerbefreit) und für Inlandflüge von Fr. 13'641.53 (inkl. 7.6 % Mehrwertsteuer) in Rechnung gestellt. Für das 1. Quartal 2002 belief sich der Umsatz auf Fr. 100'000.--, abzüglich Leistungen im Ausland von Fr. 90'940.-- und Vorsteuern von Fr. 8'879.90 (Guthaben Fr. 8'191.34). Für die folgenden Quartale des Jahres 2002 erfolgten Abrechnungen mit ähnlichen Zahlen. A.b Am 3. Juni 2003 fällte die Eidgenössische Steuerverwaltung folgenden Entscheid: 1. Die X._ AG wird mit Wirkung per 31. Dezember 2002 aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen gelöscht. 2. Die X._ AG hat die für die Steuerperiode des 1. Quartals 2001 zu Unrecht bezogenen Vorsteuerüberschüsse zurückzuerstatten. 3. Die X._ AG schuldet demnach und hat der ESTV zu bezahlen Fr. 452'164.10 Mehrwertsteuer zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit dem 7. November 2001. 4. Die von der X._ AG für die Steuerperioden 3. Quartal 2001 bis 4. Quartal 2002 vorgenommenen Deklarationen werden auf Fr. 0.-- Umsatz und Fr. 0.-- Vorsteuerabzug korrigiert. Zur Begründung führte die Eidgenössische Steuerverwaltung im Wesentlichen aus, es liege eine Steuerumgehung vor; sie müsse sich die Existenz der X._ AG nicht entgegenhalten lassen. Eine Einsprache gegen diesen Entscheid wurde mit Verfügung vom 12. Juli 2004 abgewiesen. B. Die X._ AG führte gegen den Einspracheentscheid Beschwerde bei der Eidgenössischen Steuerrekurskommission. Mit Entscheid vom 27. September 2007 hiess das Bundesverwaltungsgericht, welches inzwischen das Verfahren übernommen hatte, die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gut und stellte fest, die Eidgenössische Steuerverwaltung schulde der Beschwerdeführerin die Vorsteuerguthaben von insgesamt Fr. 54'383.05 gemäss Quartalsabrechnungen vom 3. Quartal 2001 bis und mit 4. Quartal 2002 inklusive Vergütungszins zu 5 % für die Zeit vom 61. Tag nach Eintreffen der jeweiligen Abrechnung bei der Vorinstanz bis zur Auszahlung. Das Gericht gelangte zum Ergebnis, die Beschwerdeführerin sei ab Anfang 2001 subjektiv mehrwertsteuerpflichtig gewesen und ihre Steuerpflicht habe Ende 2002 nicht geendet; sie habe die Vorsteuern zu Recht geltend gemacht und eine Steuerumgehung liege nicht vor. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Eidgenössische Steuerverwaltung dem Bundesgericht, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. September 2007 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid sei zu bestätigen. Die X._ AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, das angefochtene Urteil sei zu bestätigen und die ESTV anzuweisen, die Beschwerdegegnerin rückwirkend auf den 31. Dezember 2002 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen einzutragen. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.