Sachverhalt: A. Die 1987 geborene, entmündigte und unter elterlicher Sorge stehende R._ bezieht eine ganze Rente der Invalidenversicherung und eine Hilflosenentschädigung wegen mittelschwerer Hilflosigkeit. Seit März 2005 lebt sie unter der Woche in der Stiftung A._ und an den Wochenenden sowie in den Ferien bei ihrer Mutter, G._, welche die elterliche Sorge alleine innehat. Die Mutter der Versicherten wohnte bis Juli 2009 in X._, Kanton Zürich, bevor sie nach Y._ im Kanton Aargau umzog. Mit Beschluss des Gemeinderates Z._/AG vom 7. September 2009 ging die Aufsicht über die entmündigte R._ von der Vormundschaftsbehörde X._ auf diejenige der Gemeinde Z._ über; gleichzeitig wurde G._ als Inhaberin des elterlichen Sorgerechts verpflichtet, für ihre Tochter eine Rechnung über deren Einnahmen und Ausgaben zu führen. Die Gemeinde X._, welche bislang Ergänzungsleistungen (EL) zur IV-Rente von R._ ausgerichtet hatte, ersuchte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse (nachfolgend: SVA Aargau), um Festsetzung und Auszahlung dieser Leistung ab August 2009. Die zürcherische Gemeinde stellte sich auf den Standpunkt, mit der Wohnsitzverlegung der Versicherten in den Kanton Aargau sei auch die ergänzungsleistungsrechtliche Zuständigkeit auf diesen Kanton übergegangen. Mit Verfügung vom 2. November 2009 lehnte die SVA Aargau "die Zuständigkeit des Kantons Aargau ab" und wies "das Begehren um Ausrichtung einer Ergänzungsleistung" ab. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die von der Gemeinde X._ dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 10. August 2010 gut, hob die Verfügung der SVA Aargau vom 2. November 2009 auf und verpflichtete diese, den Anspruch von R._ auf Ergänzungsleistung materiell zu prüfen und darüber zu verfügen. C. Die SVA Aargau führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Das Bundesgericht hat die Gemeinde X._, die als Mitinteressierte beigeladene R._ (vertreten durch ihre Mutter), das Versicherungsgericht des Kantons Aargau und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) zur Stellungnahme eingeladen, die beiden erstgenannten mit dem Hinweis, dass Stillschweigen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung als Einverständnis ausgelegt werde. Die Gemeinde X._ nimmt das Gesuch um aufschiebende Wirkung "zur Kenntnis" und verzichtet ausdrücklich auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Das BSV beantragt deren Gutheissung, während das Versicherungsgericht des Kanons Aargau und die Beigeladene auf eine Stellungnahme verzichten.