Sachverhalt: A. A.X._ und B.X._ leben seit 1988 bzw. 1993 in der Schweiz. Am 29. September 2005 stellten sie dem Bürgerrat der Bürgergemeinde Riehen ein Gesuch um Einbürgerung für sich und ihre vier minderjährigen Kinder. Der Bürgerrat lehnte das Gesuch am 14. April 2010 mit der Begründung ab, es liege eine aktuelle Betreibung gegen A.X._ vor. Auf ein Wiedererwägungsgesuch trat der Bürgerrat am 1. Juli 2010 nicht ein. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt eröffnete den Gesuchstellern am 23. August 2011 den entsprechenden ablehnenden Entscheid des Bürgerrates. B. Dagegen erhoben die Gesuchsteller mit Eingaben vom 5. und 21. November 2011 Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Der Rekurs wurde vom Präsidialdepartement des Kantons am 1. Dezember 2011 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht weitergeleitet. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 29. Oktober 2012 ab. In den Erwägungen wird der Entscheid im Wesentlichen damit begründet, die fragliche einzige Betreibung als solche für sich allein vermöge die Nichteinbürgerung nicht zu rechtfertigen. Sie belege aber die Renitenz des Gesuchstellers gegenüber der hiesigen Rechtsordnung. Ergänzend wird darauf verwiesen, es seien inzwischen noch neue Betreibungen hinzugekommen. C. A.X._ und B.X._ reichten am 10. Dezember 2012 subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und der Familie X._, bestehend aus A.X._ und B.X._ sowie den minderjährigen Kindern C.X._, D.X._, E.X._ und F.X._, das Bürgerrecht der Gemeinde Riehen zu verleihen. Eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, der Entscheid des Verwaltungsgerichts verstosse gegen das Willkürverbot nach Art. 9 BV, das Rechtsgleichheitsgebot gemäss Art. 8 Abs. 1 BV sowie das Diskriminierungsverbot nach Art. 8 Abs. 2 BV. D. Der Bürgerrat Riehen und das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Weitere Rechtsschriften gingen nicht ein.