Art. 4 und 58 BV, Art. 6 EMRK (Strafverfahren), hat sich ergeben: A.- Am 26. März 1995 spielte C.B._ mit weiteren Knaben in Schlieren Korbball. F.A._ forderte die Knaben auf, mit dem Spiel aufzuhören. Da seine Aufforderung erfolglos blieb, ging F.A._ zu C.B._, packte ihn am Oberarm und zog für einen Fusstritt gegen dessen Schienbein aus; in der Folge war umstritten, ob F.A._ C.B._ tatsächlich am Bein traf. Darauf hin eilte M.B._, der Vater von C.B._, auf den Platz, und es kam zwischen F.A._ und M.B._ zu einem kurzen Gerangel. F.A._ erlitt dabei eine äussere Kapsel-Bandzerrung des linken Daumengrundgelenkes und Kratzspuren. Mit Urteil des Einzelrichters in Strafsachen des Bezirksgerichts Zürich vom 19. März 1997 wurde M.B._ von der Anklage der einfachen Körperverletzung und der Tätlichkeit freigesprochen. Als Geschädigter erhob F.A._ gegen den Freispruch Berufung. Diese wurde von der I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich am 20. Oktober 1997 abgewiesen. In demselben Urteil des Einzelrichters vom 19. März 1997 wurde F.A._ der Tätlichkeit gegenüber C.B._ schuldig gesprochen und hierfür mit einer Busse von Fr. 500. -- bestraft. Der Einzelrichter ging davon aus, dass F.A._ C.B._ tatsächlich einen Fusstritt versetzt und diesen am Schienbein getroffen hatte. Diese Verurteilung focht F.A._ beim Obergericht des Kantons Zürich mit Nichtigkeitsbeschwerde an. Dessen III. Strafkammer wies die Nichtigkeitsbeschwerde am 1. Juli 1998 ab. Es führte aus, es lägen keine Nichtigkeitsgründe im Sinne von § 430 Abs. 1 der Zürcher Strafprozessordnung vor. Insbesondere seien nicht zu beanstanden die Verweigerung einer Berichtigung des Protokolls, die Beweiswürdigung und die Abweisung eines weitern Beweisbegehrens. B.- Gegen dieses Urteil des Zürcher Obergerichts vom1. Juli 1998 hat F.A._ staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Mit Urteil vom 19. November 1998 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut und hob den Obergerichtsentscheid auf. Das Bundesgericht bejahte eine Verletzung von Art. 58 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Es führte im Einzelnen aus, es sei unter den gegebenen Umständen mit der Garantie des verfassungsmässigen Richters nicht vereinbar, dass einer der Oberrichter sowohl am Urteil vom 20. Oktober 1997 wie auch am Urteil vom 1. Juli 1998 mitwirkte. Im zweiten Urteil war zu entscheiden, ob F.A._ gegen C.B._ eine Tätlichkeit begangen habe. Zu dieser Frage aber wurde bereits im ersten obergerichtlichen Urteil in eindeutiger Weise Stellung genommen, obwohl Gegenstand des Verfahrens die damit nicht zusammenhängende Frage bildete, ob M.B._ zu Recht von der Anklage der einfachen Körperverletzung und der Tätlichkeit freigesprochen worden war. C.- In der Folge hat die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Angelegenheit in anderer Besetzung erneut beurteilt und die Nichtigkeitsbeschwerde von F.A._ am 10. Dezember 1998 abgewiesen. Es erachtete im Wesentlichen die Rügen betreffend Protokoll (bzw. Protokollberichtigung), Anwendung einer Beweiswürdigungsregel, Beweiswürdigung und Abweisung von Beweisbegehren als unbegründet. D.- Gegen dieses Urteil des Obergerichts hat F.A._ am 20. Januar 1999 beim Bundesgericht erneut staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur Behebung der Mängel und zu neuer Entscheidung. Er macht im Wesentlichen Verletzungen von Art. 4 BV geltend. Auf die Begründung im Einzelnen ist in den nachfolgenden Erwägungen einzugehen. Staatsanwaltschaft und Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner M.B._ hat nicht Stellung genommen. E.- Als Geschädigter erhob F.A._ gegen das Urteil der I. Strafkammer des Obergerichts vom 20. Oktober 1997 beim Kassationsgericht des Kantons Zürich Nichtigkeitsbeschwerde, welche am 24. August 1999 abgewiesen worden ist. Das Urteil der I. Strafkammer hat F.A._ mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde, das Urteil des Kassationsgerichts mit staatsrechtlicher Beschwerde beim Bundesgericht angefochten (Verfahren 6S.90/1998 und 6P.169/1999). Mit Urteilen vom 27. Januar 2000 ist der Kassationshof auf diese Beschwerden nicht eingetreten. F.- Am 24. April 1999 liess S.A._, Ehefrau des Beschwerdeführers, dem Bundesgericht eine persönliche Stellungnahme zukommen.