Sachverhalt: A. A.a. Am 22. Juli 2011 stellte die Stiftung Y._, mit Sitz in A._, beim Betreibungsamt Emmental-Oberaargau (Dienststelle Oberaargau) das Begehren um Betreibung auf Grundpfandverwertung gegen die X._ AG für die Forderungssumme von Fr. 1,5 Mio. (nebst Zins). Die Betreibungsgläubigerin verlangte zusätzlich die Ausdehnung der Pfandhaft auf die Miet- und Pachtzinsforderung. Gegen den Zahlungsbefehl (Betreibungs-Nr. xxx) erhob die Schuldnerin und Grundpfandeigentümerin rechtzeitig Rechtsvorschlag. A.b. Am 16. August 2011 erliess das Betreibungsamt die Mietzinssperre und wies die Mieter an, die fällig werdenden Mietzinse an das Betreibungsamt zu bezahlen. Bereits am 10. August 2011 forderte das Betreibungsamt (mit Form. VZG 8 und Zahlungsbefehl-Doppel) die Stiftung Y._ auf, innert 10 Tagen Klage auf Anerkennung der Forderung oder Feststellung des Pfandrechts anzuheben oder ein Rechtsöffnungsbegehren zu stellen, verbunden mit der Androhung, dass bei Nichteinhaltung der Fristen die Mietzinssperre widerrufen werde. A.c. Am 22. April 2013 teilte die Stiftung Y._ dem Betreibungsamt mit, dass ihr Gesuch um Rechtsöffnung (mit Entscheid des Regionalgerichts Emmental-Oberaargau vom 2. August 2012) abgewiesen worden sei und sie innerhalb der 10-tägigen Frist nach Eröffnung des Rechtsöffnungsentscheides keine Klage eingereicht habe. Sie stellte (mit Bezug auf den angedrohten Widerruf der Mietzinssperre) den Antrag, ihr die eingenommenen Mietzinserträge herauszugeben, eventuell diese gerichtlich zu hinterlegen oder zurückzubehalten, bis die Staatsanwaltschaft über eine strafrechtliche Beschlagnahme entschieden habe. A.d. Mit Verfügung vom 2. Mai 2013 ordnete das Betreibungsamt den Widerruf der Mietzinssperre an und wies die weiteren Anträge ab. Zur Begründung hielt es fest, der Widerruf der Mietzinssperre könne einzig zur Folge haben, dass die Mietzinse nach Abzug der Verwaltungskosten an die Eigentümerin des Grundpfandes, d.h. die X._ AG zu überweisen seien. B. Gegen die Verfügung des Betreibungsamtes erhob die Stiftung Y._ betreibungsrechtliche Beschwerde. Mit Entscheid vom 8. August 2013 hiess das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, die Beschwerde gut und hob die Verfügung des Betreibungsamtes auf. In der Sache wurde das Betreibungsamt angewiesen, beim Regionalgericht Emmental-Oberaargau die gerichtliche Hinterlegung der eingezogenen Mietzinse zu beantragen. C. Mit Eingabe vom 23. August 2013 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, vom 8. August 2013 aufzuheben; die betreibungsrechtliche Beschwerde der Stiftung Y._ (Beschwerdegegnerin) gegen die Verfügung des Betreibungsamtes sei abzuweisen bzw. die Verfügung des Betreibungsamtes zu bestätigen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Betreibungsamt hat auf die im kantonalen Verfahren eingereichte Vernehmlassung verwiesen. Die kantonale Aufsichtsbehörde hat auf eine Stellungnahme verzichtet.