Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 9. Juni 2005 lehnte die IV-Stelle Luzern das Gesuch des 1947 geborenen B._ um eine Rente ab, was sie - nach einer am 6. November 2006 beim Versicherten durchgeführten Knieoperation rechts - mit Einspracheentscheid vom 21. November 2006 bestätigte. B. Die Beschwerde des B._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 3. Januar 2008 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben und die Sache sei zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung und zu neuer Verfügung über die Leistungsansprüche, namentlich eine Rente, an die IV-Stelle zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.