Sachverhalt: A. Der aus Mazedonien stammende X._, geb. 1962, arbeitete seit 1990 als Saisonnier in der Schweiz und erhielt im Jahre 1994 die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Thurgau. Im März 1995 wurde ihm der Nachzug seiner Ehefrau Y._ sowie seiner drei Söhne A._ (geb. 1984), B._ (geb. 1986) und C._ (geb. 1991) bewilligt. Im Juni 2004 erhielt X._ nach 10-jährigem Aufenthalt im Kanton Thurgau die Niederlassungsbewilligung, welche auch jene für seinen damals einzig noch minderjährigen Sohn C._ in sich schloss. Im Jahr 2005 stellte sich heraus, dass X._ den bewilligten Familiennachzug nicht ausgenützt hatte, sondern seine beiden älteren Söhne die obligatorische Schulzeit vollumfänglich in Mazedonien hatte absolvieren lassen. Der jüngste Sohn besuchte von August bis November 2001 die Eingliederungsklasse in R._; in die erste Realklasse wurde er demgegenüber erst im Oktober 2005 eingestuft. Die Ehefrau hielt sich ihrerseits während dieser Zeit mit den Kindern im Heimatland auf. B. Mit Verfügung vom 4. April 2006 entzog das Migrationsamt des Kantons Thurgau X._ die Niederlassungsbewilligung und wies ihn aus dem Kanton weg. Zur Begründung wurde sinngemäss angeführt, X._ habe falsche Angaben gemacht und wissentlich wesentliche Tatsachen betreffend Auslandaufenthalt seiner Familie verschwiegen und dadurch die Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthalts- und später der Niederlassungsbewilligung erschlichen. Mit separaten Verfügungen wurden auch die fremdenpolizeilichen Bewilligungen der Ehefrau und der Söhne widerrufen. Ein gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung von X._ erhobener Rekurs an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau blieb erfolglos (Entscheid vom 3. August 2007). C. Mit Urteil vom 27. Februar 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine von X._ gegen den Entscheid des Departements für Justiz und Sicherheit gerichtete Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 25. April 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Thurgau anzuweisen, dem Beschwerdeführer die Niederlassungsbewilligung, eventuell "unter Bedingungen und Auflagen (auf Zusehen und Wohlverhalten hin)", zu erteilen. Eventualiter sei das Migrationsamt anzuweisen, ihm die Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen (allenfalls "mit Bedingungen und Auflagen beziehungsweise auf Zusehen und Wohlverhalten hin"). Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. E. Dem vom Beschwerdeführer gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 30. April 2008 entsprochen.