Sachverhalt: A. Y._ und X._ heirateten im Jahre 1997. Die Ehefrau lebt in der Schweiz und ist Schweizer Bürgerin. Der Ehemann ist schweizerisch-tschechischer Doppelbürger. Am 4. Juli 2005 reichte X._ in Prag/Tschechien die Scheidungsklage ein. Y._ gelangte am 18. Oktober 2005 an das Amtsgericht Hochdorf und ersuchte um Regelung des Getrenntlebens. Mit Entscheid vom 19. Juni 2006 stellte der Amtsgerichtspräsident II von Hochdorf im Rahmen von Eheschutzmassnahmen fest, dass die Parteien zum Getrenntleben berechtigt seien; weiter wurde die eheliche Wohnung der Ehefrau zur Benützung zugewiesen und der Ehemann zur Zahlung von abgestuften Unterhaltsbeitragen an die Ehefrau verpflichtet. B. Gegen den Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten erhob X._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Luzern mit der Begründung, der Amtsgerichtspräsident sei zur Entscheidung nicht zuständig; weiter rügte er die Berechnung seiner Unterhaltspflicht. Mit Entscheid vom 29. September 2006 verwarf das Obergericht die Unzuständigkeitseinrede und setzte die Unterhaltsbeiträge geringfügig im Sinne der Rekursanträge herab. C. X._ führt mit Eingabe vom 14. November 2006 staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 29. September 2006 aufzuheben. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Mit Präsidialverfügung vom 23. November 2006 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. D. Die in der gleichen Sache von X._ erhobene eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde vom Bundesgericht an der Sitzung vom 6. Dezember 2007 abgewiesen (Verfahren 5C.287/2006).