Sachverhalt: A. Bund und Kantone wollen die Schwerverkehrskontrollen auf den Hauptverkehrsachsen der Schweiz verstärken und hierfür verschiedene Kontrollzentren schaffen. Gemäss dem im Jahre 2003 überarbeiteten Konzept "Intensivierung der Schwerverkehrskontrollen (Konzept 2003)" des Bundesamts für Strassen (ASTRA) ist auf dem Gelände des Güterbahnhofs Schaffhausen ein mittleres Schwerverkehrskompetenzzentrum (sog. Midi-Zentrum) einzurichten. Kontrolliert werden sollen täglich 40, später 80 Lastwagen, die von der Nationalstrasse A4 via Schönenbergbrücke und Fulachstrasse längs des Güterbahnhofes zum künftigen Zentrum geleitet werden. Das Kontrollzentrum soll auf dem Grundstück Nr. 3124 errichtet werden, das im Miteigentum der Schweizerischen Bundesbahnen (SBB) und der Deutschen Bahn (DB) steht und bisher für den Güterumschlag benutzt wurde. Bauherr des geplanten Zentrums ist der Kanton Schaffhausen im Auftrag des Bundes. Das ASTRA erteilte am 5. August 2004 dem vom Kanton Schaffhausen für das Kontrollzentrum erarbeiteten Detailprojekt die Genehmigung für die von ihm zu bewilligenden Teile (Anlage und Signalisation). Das kantonale Finanzdepartement stellte hierauf im Namen des Bauherrn bei der Baubehörde der Stadt Schaffhausen das Gesuch um Baubewilligung für eine Fahrzeug-Messstation sowie für vier Container für Büros und WC. Während der öffentlichen Auflage des Baugesuchs erhoben verschiedene Anwohner Einwendungen gegen das Vorhaben. Das Bauinspektorat des Kantons Schaffhausen erklärte diese Einwendungen für unbegründet und erteilte am 11. März 2005 die Baubewilligung für das Schwerverkehrs-Kontrollzentrum. B. Sämtliche Einwender erhoben gegen die Baubewilligung des Bauinspektorates Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Schaffhausen. Dieser trat mit Entscheid vom 7. Juni 2005 mangels Legitimation der Einwender auf den Rekurs nicht ein. Er hielt jedoch im Sinne einer Eventualbegründung fest, dass der Rekurs abzuweisen wäre, wenn auf ihn eingetreten werden könnte. Die Rekurrenten gelangten hierauf mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Das Obergericht hiess die Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 16. Dezember 2005 insofern teilweise gut, als der Regierungsrat auf den Rekurs der Einwender nicht eingetreten war. Es bestätigte jedoch die vom Bauinspektorat am 11. März 2005 erteilte Baubewilligung und gewährte für die Abweichung von der Zonenkonformität eine Ausnahme. Die - reduzierten - Kosten des Beschwerdeverfahrens wurden den Beschwerdeführern überbunden. Ausserdem wies das Obergericht den Regierungsrat an, den Beschwerdeführern für das Beschwerdeverfahren eine Prozessentschädigung in halber Höhe der Vertretungskosten auszurichten. C. Ehepaar A._, B._ und C._, D._, E._, Ehepaar F._, G._, H._ sowie Ehepaar I._ haben gegen den Entscheid des Obergerichtes des Kantons Schaffhausen sowohl Verwaltungsgerichtsbeschwerde als auch staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Mit ihren Beschwerden verlangen die Beschwerdeführer die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und damit der erteilten Bau- sowie der Ausnahmebewilligung. Der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen stellt den Antrag, auf die staatsrechtliche Beschwerde sei mangels Legitimation der Beschwerdeführer nicht einzutreten. Eventuell sei die Beschwerde abzuweisen oder nur insoweit gutzuheissen, als die Aufhebung der - nicht erforderlichen - Ausnahmebewilligung verlangt worden sei. Im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ersucht der Regierungsrat ebenfalls um Nichteintreten mangels Legitimation der Beschwerdeführer; eventuell sei die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht stellt sinngemäss Antrag auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde und der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. Das Bauinspektorat des Kantons Schaffhausen hat sich nicht vernehmen lassen. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) stellt in seiner Vernehmlassung fest, dass der Entscheid des Obergerichtes bundesrechtskonform sei. Das Bundesamt für Raumplanung (ARE) hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Den Parteien ist Gelegenheit gegeben worden, sich zur Stellungnahme des BAFU zu äussern. Die Gesuche der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerden sind mit Präsidialverfügung vom 7. März 2006 abgewiesen worden.