Sachverhalt: A. X._ (geb. 1962; mit US-amerikanischem Bürgerrecht) und Y._ (geb. 1980; ukrainische Staatsangehörige) haben im Jahr 2007 geheiratet und leben seit 1. Januar 2009 getrennt; sie sind die Eltern des Sohnes A._ (geb. 2008). In der Folge kam es zwischen den Eheleuten zu gerichtlichen Auseinandersetzungen über die Regelung ihres Getrenntlebens (vgl. Urteile 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010 und 5A_150/2012 vom 28. März 2012). B. Am 11. Januar 2011 unterzeichneten die Parteien vor dem Bezirksgericht Luzern ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Darauf ersuchte X._ das Gericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Scheidungsverfahren und stellte weiter den Antrag, Y._ zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 15'000.-- an ihn zu verpflichten (Eingabe vom 20. Mai 2011). Mit Entscheid vom 22. Februar 2012 wies das Bezirksgericht sowohl das Armenrechtsgesuch als auch den Antrag betreffend Prozesskostenvorschuss ab. Die hierauf erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 8. Mai 2012 ab. C. Mit Beschwerde vom 12. Juni 2012 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und Y._ zu verpflichten, einen angemessenen Kostenvorschuss von Fr. 7'000.-- zu leisten; gegebenenfalls seien "die Akten an die Vorinstanz zur Fällung des Prozesskostenvorschusses zurückzuleiten". Im Eventualbegehren ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; "subeventualiter" sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Weiter verlangt er, die Akten des Hauptverfahrens "BG 02 2010 667" heranzuziehen, und stellt auch für das Verfahren vor Bundesgericht ein Armenrechtsgesuch. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.