Sachverhalt: A. A.a Die 1975 geborene, 2002 von A._ in die Schweiz eingereiste J._ meldete sich im November 2006 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Mit Verfügung vom 25. Februar 2008 verneinte die IV-Stelle Basel-Landschaft (nachfolgend: IV-Stelle) den Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art und eine Rente mit der Begründung, die gesundheitlichen Beschwerden hätten bereits bei der Einreise in die Schweiz bestanden. Die hiegegen erhobene Beschwerde, mit welcher J._ subeventualiter beantragte, es sei festzustellen, dass die versicherungsmässigen Voraussetzungen zum Rentenbezug erfüllt seien, wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 17. Oktober 2008 ab, was unangefochten blieb. A.b Im Februar 2009 meldete sich J._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, wobei sie eine Verschlechterung des körperlichen und psychischen Gesundheitszustandes angab. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren trat die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Mai 2009 auf das Leistungsbegehren nicht ein. B. Die Beschwerde der J._ hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 13. Januar 2010 im Sinne der Erwägungen gut. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 13. Januar 2010 sei aufzuheben. J._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen deren Gutheissung. Das kantonale Versicherungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.