Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Am 17. Dezember 1991 verurteilte das Obergericht des Kantons Schaffhausen den Frauenarzt X._ wegen wiederholter Schändung zu 2 1⁄2 Jahren Zuchthaus. Eine eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde und eine staatsrechtliche Beschwerde gegen dieses Urteil wies das Bundesgericht am 26. November 1992 ab, soweit es darauf eintrat (Urteile 6S.28/1992 und 6P.5/1992). X._ trat die Strafe am 3. Mai 1993 an. Am 30. Dezember 1994 wurde er bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Am 26. September 1995 erteilte das Departement des Innern des Kantons Schaffhausen X._ wieder die Bewilligung zur Führung einer Arztpraxis, dies unter anderem mit der Auflage, frauenärztliche Verrichtungen nur im Beisein einer Arztgehilfin beziehungsweise Praxisassistentin auszuüben. Seither war X._ in Schaffhausen wieder als Spezialarzt für Frauenheilkunde und Geburtshilfe tätig. A.b Am 19. Dezember 1999 erstattete A._ (geb. am 1. Oktober 1982) in Begleitung ihrer Mutter bei der Kantonspolizei Schaffhausen Strafanzeige gegen X._. Das Untersuchungsrichteramt des Kantons Schaffhausen eröffnete in der Folge ein Untersuchungsverfahren wegen des Verdachts der mehrfachen Schändung. A.c Am 26. Mai 2000 wurde X._ wegen des Verdachts der Anstiftung und der Vorbereitungshandlungen zu Mord (zum Nachteil von A._) polizeilich festgenommen. Am 27. Mai 2000 wurde er in Untersuchungshaft versetzt. Das Untersuchungsverfahren wurde in der Folge entsprechend ausgedehnt. A.c Am 26. Mai 2000 wurde X._ wegen des Verdachts der Anstiftung und der Vorbereitungshandlungen zu Mord (zum Nachteil von A._) polizeilich festgenommen. Am 27. Mai 2000 wurde er in Untersuchungshaft versetzt. Das Untersuchungsverfahren wurde in der Folge entsprechend ausgedehnt. B. B.a Das Kantonsgericht Schaffhausen (II. Strafkammer) sprach X._ am 21. Dezember 2000 der wiederholten Schändung sowie der versuchten Anstiftung zu Mord, Freiheitsberaubung und Entführung schuldig. Es verurteilte ihn zu 12 Jahren Zuchthaus unter Anrechnung von 210 Tagen Untersuchungshaft, erteilte ihm ein unbedingt vollziehbares Berufsverbot für die Dauer von 5 Jahren und verpflichtete ihn zur Zahlung von Fr. 10'000.-- Genugtuung an die Zivilklägerin A._. Es ordnete an, dass X._ weiterhin in Sicherheitshaft verbleibe. B.b Am 21. Dezember 2001 verurteilte das Obergericht des Kantons Schaffhausen X._ wegen mehrfacher Schändung, versuchter Anstiftung zu Mord sowie versuchter Anstiftung zu Freiheitsberaubung und Entführung zu 9 Jahren Zuchthaus unter Anrechnung von 576 Tagen Untersuchungshaft. Zudem auferlegte es ihm ein Berufsverbot für die Dauer von 5 Jahren. B.c Gegen diesen Entscheid erhob X._ staatsrechtliche Beschwerde und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde. Mit Urteil vom 17. Dezember 2002 wurde die staatsrechtliche Beschwerde gutgeheissen, soweit darauf einzutreten war, der Entscheid des Obergerichts (wegen des Anscheins der Befangenheit der obergerichtlichen Referentin) aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen (Urteil 6P.93/2002). Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde als gegenstandslos geworden abgeschrieben (Entscheid 6S.279/2002). B.c Gegen diesen Entscheid erhob X._ staatsrechtliche Beschwerde und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde. Mit Urteil vom 17. Dezember 2002 wurde die staatsrechtliche Beschwerde gutgeheissen, soweit darauf einzutreten war, der Entscheid des Obergerichts (wegen des Anscheins der Befangenheit der obergerichtlichen Referentin) aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen (Urteil 6P.93/2002). Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde als gegenstandslos geworden abgeschrieben (Entscheid 6S.279/2002). C. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen sprach X._ am 8. Juli 2004 in neuer Besetzung wiederum schuldig der mehrfachen Schändung (Art. 191 StGB), der versuchten Anstiftung zu Mord (Art. 24 Abs. 2 i.V.m. Art. 112 StGB), der versuchten Anstiftung zu Freiheitsberaubung und Entführung (Art. 24 Abs. 2 i.V.m. Art. 183 Ziff. 1 StGB) und verurteilte ihn zu 9 Jahren Zuchthaus, unter Anrechnung von 1506 Tagen Untersuchungshaft. Es erteilte ihm ein Verbot zur Ausübung des Arztberufs für die Dauer von 5 Jahren, verpflichtete ihn zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 10'000.-- an die Zivilklägerin A._ und ordnete die Einziehung des beschlagnahmten Geldbetrags von Fr. 20'000.-- an. Zudem verfügte es, dass der Verurteilte weiterhin in Sicherheitshaft verbleibe. C. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen sprach X._ am 8. Juli 2004 in neuer Besetzung wiederum schuldig der mehrfachen Schändung (Art. 191 StGB), der versuchten Anstiftung zu Mord (Art. 24 Abs. 2 i.V.m. Art. 112 StGB), der versuchten Anstiftung zu Freiheitsberaubung und Entführung (Art. 24 Abs. 2 i.V.m. Art. 183 Ziff. 1 StGB) und verurteilte ihn zu 9 Jahren Zuchthaus, unter Anrechnung von 1506 Tagen Untersuchungshaft. Es erteilte ihm ein Verbot zur Ausübung des Arztberufs für die Dauer von 5 Jahren, verpflichtete ihn zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 10'000.-- an die Zivilklägerin A._ und ordnete die Einziehung des beschlagnahmten Geldbetrags von Fr. 20'000.-- an. Zudem verfügte es, dass der Verurteilte weiterhin in Sicherheitshaft verbleibe. D. X._ ficht das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 8. Juli 2004 mit staatsrechtlicher Beschwerde und mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde an. Mit der Ersteren beantragt er dessen Aufhebung und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht. D. X._ ficht das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 8. Juli 2004 mit staatsrechtlicher Beschwerde und mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde an. Mit der Ersteren beantragt er dessen Aufhebung und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht. E. Das Obergericht beantragt in seinen Gegenbemerkungen sinngemäss die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. A._ beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.