Haftpflicht des Tierhalters, hat sich ergeben: A.- Während der Sommerferien 1992 überliess C._, Eigentümer der Freibergerstute "Nora", das Pferd samt Fohlen für mehrere Wochen der damals 15-jährigen A._ (Beklagte). Diese brachte Stute und Fohlen bei sich zuhause in einem Nachbargebäude unter. Am 24. Juli 1992, ca. 21.00 Uhr, begleitete die damals 21-jährige B._ (Klägerin) zu Fuss die auf "Nora" sitzende Beklagte auf einen Ausritt. Das Fohlen wurde im Stall zurückgelassen. Nach kurzer Reitstrecke bestieg die Klägerin anstelle der Beklagten das Pferd, wobei das Pferd von der Beklagten am Halfter geführt wurde. Die Beklagte liess das Halfter des Pferdes los. Kurze Zeit darauf brach die Stute plötzlich aus und galoppierte entlang eines Natursträsschens in Richtung Stall, wo ihr Fohlen untergebracht war. Die verängstigte Klägerin liess sich vom Pferd fallen. Beim Sturz zog sie sich am Knöchel des linken Fusses eine Malleolustrümmerfraktur mit Invaliditätsfolge zu. B.- Am 20. Juni 1997 beantragte die Klägerin beim Amtsgericht Luzern-Land, die Beklagte habe ihr den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 40'147. 20 nebst Zins zu 5 % zu bezahlen. Später reduzierte sie die Klageforderung auf Fr. 28'351. 45 ohne Zins. Mit Urteil vom 25. September 1998 wies das Amtsgericht die Klage ab. Es kam zum Schluss, dass die Beklagte Halterin des Pferdes "Nora" sei, dass sämtliche Voraussetzungen der Tierhalterhaftung (Schaden, Widerrechtlichkeit und adäquater Kausalzusammenhang) gegeben seien, dass die Beklagte aber den Entlastungsbeweis erbracht habe. Gegen diesen Entscheid appellierte die Klägerin. C.- Mit Entscheid vom 24. August 1999 hob das Obergericht das Amtsgerichsurteil vom 25. September 1998 auf, weil es den Entlastungsbeweis für nicht erbracht hielt und wies die Sache zur Neubeurteilung und zur Festsetzung des Schadens und zur Schadenersatzbemessung zurück. Mit Urteil vom 25. Januar 2000 hiess das Amtsgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin für die Zeit der Umschulung vom 1. Juni 1994 bis zum 31. August 1996 den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 18'900. 95 zu bezahlen. Gegen dieses Zwischenurteil appellierten beide Parteien. In seinem Entscheid vom 14. Mai 2001 bestätigte das Obergericht das Urteil des Amtsgerichts, korrigierte indes den angewandten Berechnungsmodus für den Schadenersatz und sprach der Klägerin Ersatz für den ungedeckten Erwerbsschaden in der Höhe von Fr. 28'351. 45 zu. D.- Gegen das Urteil des Obergerichts vom 14. Mai 2001 reichte die Beklagte beim Bundesgericht Berufung ein. Darin beantragt sie Aufhebung der obergerichtlichen Urteile vom 24. August 1999 und vom 14. Mai 2001 und die Abweisung der Klage. Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung und auf Bestätigung der angefochtenen Entscheide.