Sachverhalt: A. X._ und Y._ (beide Jahrgang 1962) sind die verheirateten Eltern von A._ (geb. 1990) und B._ (geb. 1992). Nachdem sich die Eheleute im Februar 2007 getrennt hatten, schlossen sie vor dem damaligen Gerichtskreis V Burgdorf-Fraubrunnen am 23. Juli 2007 eine erste und am 23. Oktober 2008 eine zweite (gerichtlich genehmigte) Trennungsvereinbarung. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, verpflichtete sich X._ in Letzterer, seiner Frau und den beiden Kindern ab November 2008 und für die weitere Dauer der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 4'680.-- zu bezahlen. Auf die Kinder entfielen je Fr. 1'030.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 190.-- pro Kind sowie Fr. 320.-- an Betreuungszulagen. Die Frauenalimente beliefen sich dieser Vereinbarung zufolge auf Fr. 1'920.--. Seit 2008 ist der Scheidungsprozess hängig. B. Mit Gesuch um vorsorgliche Massnahmen vom 19. März 2012 gelangte X._ an das Regionalgericht Emmental-Oberaargau. Er verlangte, seine Unterhaltspflicht gegenüber Y._ mit Wirkung ab Gesuchseinreichung aufzuheben. Am 12. Dezember 2012 verurteilte der Massnahmerichter X._, seiner Frau von April bis September 2012 Alimente von Fr. 120.-- und von Oktober 2012 bis Dezember 2013 solche von Fr. 610.-- zu bezahlen. Ab Januar 2014 war diesem Entscheid zufolge kein Unterhaltsbeitrag mehr geschuldet. Darauf gelangte Y._ an das Obergericht des Kantons Bern. Dieses hiess ihre Berufung gut und wies das Gesuch von X._ Gesuch vom 19. März 2012 ab (Entscheid vom 10. Juni 2013). C. Hierauf wendet sich X._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 9. Juli 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und denjenigen des Regionalgerichts Emmental-Oberaargau vom 12. Dezember 2012 zu bestätigen; eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Y._ (Beschwerdegegnerin) stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann (Eingabe vom 3. Februar 2014).