Sachverhalt: A. Der Gemeinderat Riehen hat am 26. April 2005 dem Linien- und Erschliessungsplan für den Auhaldenweg zugestimmt. Dieser Weg soll verbreitert und erschlossen werden. Zudem sollen die fehlenden Bau- und Strassenlinien gelegt werden. Die Eheleute X._, Y._ und Z._ wohnen am Auhaldenweg .. bzw. an der Schlossstrasse .. und .. in Riehen. Sie erhoben gegen den erwähnten vom 29. April bis 30. Mai 2005 öffentlich aufgelegten Plan Einsprache, welche vom Gemeinderat Riehen mit Entscheid vom 31. Januar 2007 abgewiesen wurde. Einen gegen diesen Entscheid des Gemeinderats gerichteten Rekurs der genannten Einsprecher wies das kantonale Appellationsgericht als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 16. Mai 2008 ab. Mit Urteil 1C_357/2008 vom 5. Dezember 2008 trat das Bundesgericht auf eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Appellationsgerichts nicht ein, weil der Genehmigungsentscheid der zuständigen kantonalen Behörde (Art. 26 RPG; SR 700) nicht vorlag. B. Am 25. März 2009 genehmigte das Bau- und Verkehrsdepartement des Kantons Basel-Stadt den Linien- und Erschliessungsplan. Dagegen erhoben die Eheleute X._, Y._ und Z._ Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, der die Sache dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht zum Entscheid überwies. Dieses hat sein mit Urteil vom 16. Mai 2008 erledigtes Verfahren wieder aufgenommen und dieses Urteil mit Entscheid vom 12. März 2010 aufgehoben. Zudem wies es die beiden Rekurse ab. C. Gegen dieses Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht führen die Eheleute X._, Y._ und Z._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, das Urteil des Appellationsgerichts vom 12. März 2010 sei aufzuheben und der Vorinstanz bzw. der Gemeinde Riehen sei zu verbieten, den Auhaldenweg in Riehen im Rahmen einer angeblichen Erschliessung auf 3,60 m (insgesamt 4 m) zu verbreitern. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Die Einwohnergemeinde Riehen stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, und das angefochtene Urteil sei zu bestätigen. Das Appellationsgericht sowie das Bau- und Verkehrsdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. In einer weiteren Stellungnahme halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren und Standpunkten fest. E. Mit Verfügung vom 16. Juni 2010 legte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung bei.