Sachverhalt: A. Der 1958 geborene M._ war ab Dezember 2005 als Taxifahrer tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 20. Oktober 2007 erlitt er einen Verkehrsunfall. Ein Mitsubishi Colt prallte innerorts frontal gegen die rechte vordere Ecke des von ihm gelenkten Taxi des Typs Toyota Avensis Verso. M._ suchte anderntags das Spital X._ auf, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde (Spitalbericht vom 21. Oktober 2007 mit Unfallschein). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 22. August 2008 eröffnete sie dem Versicherten, die Leistungen würden per 30. September 2008 eingestellt und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies damit, dass keine adäquaten Unfallfolgen mehr gegeben seien. Die vom Krankenpflegeversicherer des M._ hiegegen erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 24. Februar 2009 ab. B. Beschwerdeweise beantragte M._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die SUVA sei zu verpflichten, weiterhin Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszuzahlen, eventuell mit Wirkung ab 1. Oktober 2008 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von mindestens 20 % auszurichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 11. März 2010 ab. C. M._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und seine vorinstanzlichen Leistungsbegehren erneuern. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern.