Sachverhalt: A. Staatsanwältin Bettina Groth (Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich) führte eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen einfacher Körperverletzung. Es wurde ihm zur Last gelegt, am 10. September 2006 seinen 1997 geborenen Sohn geschlagen zu haben. Mit Aufsichtsbeschwerde vom 6. Juni 2007 beantragte X._, die Strafuntersuchung sei Staatsanwältin Groth wegen Voreingenommenheit und Befangenheit zu entziehen und einem anderen Untersuchungsbeamten zuzuteilen; es sei festzustellen, dass die Einvernahme von X._ vom 6. Juni 2007 nichtig sei; eventualiter seien gegen Staatsanwältin Groth aufsichtsrechtliche, allenfalls disziplinarische Massnahmen zu ergreifen. Mit Entscheid vom 3. August 2007 wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich diese Begehren ab. B. Den von X._ dagegen erhobenen Rekurs schrieb die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (im Folgenden: Direktion der Justiz) mit Verfügung vom 21. November 2007 zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab (Ziffer I.). Auf das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung trat sie nicht ein (Ziffer II.). Kosten erhob sie keine (Ziffer III.). Die Direktion der Justiz erwog, mit Verfügung vom 27. September 2007 habe die Staatsanwältin die Strafuntersuchung eingestellt. Diese Verfügung sei lediglich mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen von der Mitangeschuldigten des Rekurrenten angefochten worden. Die Strafuntersuchung sei folglich beendet. Damit werde das Ablehnungsbegehren gegenstandslos. Der Rekurs gegen die Abweisung des Ablehnungsbegehrens sei zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt abzuschreiben. Was das Begehren des Rekurrenten um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Prozessvertretung für das Rekursverfahren betreffe, sei festzuhalten, dass es sich vorliegend um ein strafprozessuales Verfahren handle. Der zürcherische Strafprozess kenne das Institut der unentgeltlichen Prozessführung grundsätzlich nicht. Die für den Strafprozess zuständige Behörde habe über die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes und dessen Entschädigung zu befinden. Auf das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung sei deshalb nicht einzutreten. Da die Gegenstandslosigkeit nicht vom Rekurrenten zu vertreten sei, seien keine Kosten zu erheben. C. X._ führt "Beschwerde in Strafsachen und Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" mit dem Antrag, Dispositiv Ziffer II. der Verfügung der Direktion der Justiz sei aufzuheben; dem Beschwerdeführer sei für die vorinstanzlichen Verfahren in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG die unentgeltliche Prozessführung und die unentgeltliche Prozessvertretung in der Person von Rechtsanwalt Peter Hübner zu bewilligen; eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG zurückzuweisen. D. Die Oberstaatsanwaltschaft und Staatsanwältin Groth haben auf Vernehmlassung verzichtet. Die Direktion der Justiz beantragt unter Hinweis auf die angefochtene Verfügung die Abweisung der Beschwerde.