Sachverhalt: A. Mit Veranlagungsverfügung vom 18. Mai 2001 setzte das Kantonale Steueramt Zürich, Abteilung Direkte Bundessteuer, für Z._ die Direkte Bundessteuer der Steuerperiode 1999 auf Fr. 1'338.90 fest und forderte ihn unter Berücksichtigung bereits erfolgter Zahlungen zur Leistung des Restbetrages von Fr. 566.25 auf. In der Folge leitete das Steueramt beim Betreibungsamt A._ gegen Z._ die Betreibung für den Betrag von Fr. 566.25 und die aufgelaufenen Zinsen von Fr. 24.05 nebst 4% Verzugszins ein. Der Zahlungsbefehl Nr. xxx vom 17. Januar 2002 nennt als Gläubiger der Steuerforderung den Kanton Zürich. Z._ erhob gegen den Zahlungsbefehl Rechtsvorschlag. Darauf hin stellte das Steueramt beim Bezirksgericht Küssnacht am Rigi ein Rechtsöffnungsbegehren. Der Einzelrichter wies dieses am 12. Juni 2002 mit der Begründung ab, Gläubiger der Steuerforderung sei der Bund und nicht der mit dem Bezug der Steuer betraute Kanton Zürich. Gegen diesen Entscheid reichte der Kanton Zürich beim Kantonsgericht des Kantons Schwyz Nichtigkeitsbeschwerde ein. Das Kantonsgericht wies diese mit Urteil vom 10. Dezember 2002 ab, soweit darauf einzutreten war. Es führte zum einen aus, die Beschwerde genüge den Begründungsanforderungen zur Geltendmachung von Nichtigkeitsgründen nicht. Zum andern hielt es fest, dass die Nichtigkeitsgründe der Verletzung wesentlicher Verfahrensgrundsätze und willkürlicher tatsächlicher Annahmen klar nicht erfüllt seien. Es liege indessen auch keine Verletzung klaren materiellen Rechts vor, weil der Kanton nicht Gläubiger der Steuerforderung sei und ihm daher die Befugnis zur Einforderung in eigenem Namen nicht zuerkannt werden könne. B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 13. Januar 2003 ficht der Kanton Zürich den Beschluss des Kantonsgerichts an und beantragt, dieser sei vollumfänglich aufzuheben bzw. es sei die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Er macht im Wesentlichen eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV wegen formeller Rechtsverweigerung, eine Verletzung von Art. 9 BV wegen willkürlicher Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts und der einschlägigen Bestimmungen des Bundesgesetzes über die direkte Bundessteuer sowie eine Missachtung von Art. 128 Abs. 4 BV geltend. Das Kantonsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Z._ hat zur Sache keine Stellungnahme eingereicht. C. Mit Präsidialverfügung vom 30. Januar 2003 ist das Gesuch des Beschwerdegegners um Übersetzung der Beschwerdeschrift abgelehnt und der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.