Sachverhalt: A. A.a. A._ (Beklagte, Beschwerdeführerin) unterzeichnete am 27. Dezember 2006 mit "X._", einer Einzelfirma von B._, einen Arbeitsvertrag. In einem handschriftlichen Anhang zum Arbeitsvertrag wurde ein Konkurrenzverbot mit folgendem Wortlaut vereinbart: "Der Arbeitnehmer verpflichtet sich während 3 Jahren nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses keinerlei gleiche oder ähnliche Arbeit anzunehmen, oder sich an Unternehmungen zu beteiligen, da ihm sämtliches Wissen von der Firma X._ angeeignet wurde. Im Weiteren ist es ihm untersagt, das ihm von der Firma angeeignete Wissen weiterzugeben ohne Genehmigung der X._, da sämtliches Wissen aufgrund jahrelanger Erfahrung erworben wurde. Im Widerhandlungsfall muss der Arbeitnehmer der Firma X._ eine Entschädigung von 250'000.-- CHF bezahlen." Am 4. Juni 2007 liessen B._ und C._ die X._ GmbH mit Sitz in Y._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) im Handelsregister eintragen. Zweck der Gesellschaft ist die Durchführung von ästhetischen, kosmetischen und physikalischen Behandlungen. A.b. Am 14. Dezember 2007 liessen die Beklagte und ihr Ehemann, D._, der ebenfalls bei der Klägerin als selbstständiger Arzt tätig war, die von ihnen gegründete Z._ GmbH mit Sitz in Q._ im Handelregister eintragen. Zweck dieser Gesellschaft ist die Erbringung von medizinischen Dienstleistungen im Bereich der ästhetischen und Anti Aging Medizin sowie der Vertrieb von Produkten und die Organisation von Weiterbildungen. A.c. In einer Vereinbarung vom 30. Januar 2008 regelten die Klägerin und die Z._ GmbH ihre Zusammenarbeit. In dieser Vereinbarung wurde auch der Einsatz der Beklagten für die zwei Gesellschaften geregelt. Betreffend das Konkurrenzverbot der Beklagten enthält die Vereinbarung folgenden Passus: "Bei einer Trennung der Kooperation darf A._ entgegen dem im Anstellungsvertrag benannten Konkurrenzverbot das bestehende Wissen als Gesellschafter der Z._ weiterhin für den vorgesehenen Standort Q._ nutzen, wenn dies dem Erhalt des Standortes Q._ dient. Für weitere Standorte bedarf es der spezifischen Einwilligung von X._." A.d. Anlässlich eines Gesprächs zwischen B._ und der Beklagten Ende Februar/Anfang März 2008 wurde das Arbeitsverhältnis zwischen den Parteien aufgelöst. Die Beklagte arbeitete in der Folge nicht mehr für die Klägerin. Der Lohn wurde ihr bis im März 2008 ausbezahlt. Mitte April 2008 trat die Beklagte eine neue Stelle als Operationsschwester in einer Klinik mit einem Arbeitspensum von 20 % an und setzte ihre Tätigkeit für die Z._ GmbH fort. A.e. In der Folge eröffnete die Z._ GmbH in kurzer Distanz zur Klägerin eine Zweigniederlassung an der R._strasse in Y._, welche am 22. August 2008 im Handelsregister eingetragen wurde. Die Klägerin wirft der Beklagten vor, sie verletze mit ihrer Tätigkeit in der Zweigniederlassung der Z._ GmbH an der R._strasse in Y._ das im Arbeitsvertrag vom 27. Dezember 2006 vereinbarte Konkurrenzverbot. B. B.a. Mit Klage vom 16. September 2009 beantragte die Klägerin dem Arbeitsgericht Zürich, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr Fr. 42'000.-- sowie Fr. 1'921.40, je zuzüglich Zins zu bezahlen. Die Beklagte erhob Widerklage und beantragte, die Klägerin sei zu verpflichten, ihr ein Arbeitszeugnis auszustellen. Mit Beschluss vom 20. Dezember 2011 hat das Arbeitsgericht Zürich vom Rückzug der Widerklage durch die Beklagte Vormerk genommen. Mit Urteil vom gleichen Tag hiess es die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin Fr. 28'000.-- nebst 5 % Zins seit dem 17. September 2009 zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab. B.b. Dagegen erhob die Klägerin Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 27. März 2013 wies das Obergericht die Berufung ab und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin Fr. 28'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit 17. September 2009 zu bezahlen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 27. März 2013 sei aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht. D. Mit Präsidialverfügung vom 31. Juli 2013 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.