Sachverhalt: A. Im April 2003 lud die Einwohnergemeinde Sigriswil drei Unternehmungen zur Einreichung von Offerten für Kücheneinrichtungen im kommunalen Alters- und Pflegeheim "Schärmtanne" ein. Von den drei eingereichten Angeboten erwies sich dasjenige von X._ mit Fr. 16'389.55 als das günstigste. Nachdem die Hoch- und Tiefbaukommission der Gemeinde zunächst beschlossen hatte (vgl. Protokollauszug vom 6. Mai 2003), den Auftrag an X._ zu vergeben, erfuhr sie, dass dieser Steuerausstände hatte. Am 26. August 2003 schloss sie X._ daher von der Vergabe aus und entschied, die Arbeiten an eine Konkurrentin, die A._AG, zu vergeben. Dies eröffnete sie X._ mit Verfügung vom 22. Oktober 2003. B. Auf eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde trat der Regierungsstatthalter von Thun mit Entscheid vom 18. Februar 2004 nicht ein, da gemäss Art. 13 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes vom 11. Juni 2002 über das öffentliche Beschaffungswesen (ÖBG) Auftragsvergaben unterhalb der Schwellenwerte des Einladungsverfahrens oder tieferer kommunaler Schwellenwerte (hier Fr. 50'000.--, vgl. Art. 5 Abs. 1 des Beschaffungsreglements vom 4. Dezember 2000 der Einwohnergemeinde Sigriswil) nicht anfechtbar seien. Hiergegen gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und verlangte, auf seine Beschwerde sei einzutreten. Er machte geltend, der Regierungsstatthalter habe übersehen, dass die kantonale Submissionsgesetzgebung gemäss Art. 9 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02) wenigstens ein Rechtsmittel an eine verwaltungsunabhängige kantonale Beschwerdeinstanz vorsehen müsse. Mit Urteil vom 7. Juni 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 31. Juli 2004 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde. Er ersucht das Bundesgericht, "festzustellen, inwiefern die angefochtene Verfügung Bundesrecht verletzt". Eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 7. Juni 2004 aufzuheben bzw. das Verwaltungsgericht oder der Regierungsstatthalter anzuweisen, auf die Beschwerde vom 3. November 2003 an das Regierungsstatthalteramt Thun einzutreten. Die Beschwerdegegnerin und der Regierungsstatthalter von Thun haben auf Vernehmlassung verzichtet. Die Einwohnergemeinde Sigriswil beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliesst auf Abweisung der Beschwerde.