Sachverhalt: A. A.a Mit Zahlungsbefehl Nr. xxxx des Betreibungsamts A._ vom 5. Juni 2009 betrieb X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) für den Betrag von Fr. 29'707.90 nebst Zins zu 5 % seit 4. Juni 2009. Die Unterhaltsforderung beruht auf der im Rahmen vorsorglicher Massnahmen erlassenen Verfügung des Bezirksgerichtspräsidiums Maloja vom 28. Januar 2008. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag. Daraufhin reichte die Beschwerdeführerin am 9. Juli 2009 ein Gesuch um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag beim Bezirksgericht Maloja ein. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, es sei unbestritten, dass eine Schuld von Fr. 53'523.35 bestanden habe. Sie habe jedoch nur einen Teil der Forderung, nämlich Fr. 23'816.45, erhalten. Den Rest habe der Rechtsvertreter des Beschwerdegegners unberechtigterweise an Rechtsanwalt Vital geleistet. Sie habe jedoch die Inkassovollmacht von Rechtsanwalt Vital rechtzeitig mit Faxschreiben vom 4. März 2008 an den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners, Rechtsanwalt Silvio C. Bianchi, widerrufen. A.b Mit Entscheid vom 20. August 2009 wies der Bezirksgerichtspräsident Maloja das Rechtsöffungsgesuch ab. B. Gegen diesen Entscheid reichte die Beschwerdeführerin am 31. August 2009 Beschwerde beim Kantonsgericht Graubünden ein. Dem Beschwerdegegner setzte es eine Frist zur Beantwortung bis am 24. September 2009 an. Mit Schreiben vom 25. September 2009 teilte der Vorsitzende der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Kantonsgerichts mit, ein weiterer Schriftenwechsel sei nicht vorgesehen. Trotzdem replizierte die Beschwerdeführerin am 29. September 2009 auf die Beschwerdeantwort. Mit Urteil vom 21. Oktober 2009 wies das Kantonsgericht von Graubünden die Beschwerde ab. C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 4. Dezember 2009 gelangt die Beschwerdeführerin an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 21. Oktober 2009 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.