Art. 4 aBV (Strafverfahren wegen falschen Zeugnisses), hat sich ergeben: A.- M._ wird vorgeworfen, am 24. Juli 1996 in angetrunkenem Zustand ein Motorfahrzeug geführt zu haben. Die betreffende Fahrt begann auf dem Parkplatz des Restaurants "Pflug" in Othmarsingen, wo sich M._ mit G._ getroffen hatte, und endete in Villmergen, wo er sie wieder traf. G._ ist dieselbe Strecke in ihrem eigenen Auto gefahren. M._ wurde noch am selben Abend im Zusammenhang mit dem Vorwurf verhaftet, anschliessend an diese Fahrt bei einer Schlägerei ein Körperverletzungsdelikt begangen zu haben. Während der darauf folgenden Untersuchungshaft sagte er aus, ein Dritter habe seinen Wagen auf der fraglichen Fahrt gesteuert, weigerte sich jedoch, dessen Namen zu nennen. Nachdem M._ aus der Untersuchungshaft entlassen worden war, richtete der selbständige Taxifahrer O._ am 2. August 1996 ein Schreiben an das Strassenverkehrsamt, wonach er M._ auf der betreffenden Fahrt in dessen Wagen chauffiert habe. Dies bestätigte er am 10. Februar 1997 in einer Zeugeneinvernahme vor dem Bezirksamt Bremgarten. Daraufhin wurde gegen ihn eine Strafuntersuchung wegen falschen Zeugnisses eröffnet. O._ wurde vom Bezirksgericht Bremgarten am 2. April 1998 wegen falschen Zeugnisses zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 21 Tagen verurteilt. Eine hiergegen erhobene Berufung wies die 2. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Aargau am 17. Mai 1999 ab. B.- O._ beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 16. September 1999 die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Anordnung von zwei Beweiserhebungen. Er ruft Art. 4 aBV an und rügt, sein Anspruch auf rechtliches Gehör sowie der Grundsatz "in dubio pro reo" seien verletzt worden. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Aargau verzichten auf eine Vernehmlassung. C.- Mit Beschluss vom 5. Oktober 1999 hat die I. öffentlichrechtliche Abteilung des Bundesgerichts einem Gesuch von O._ um Wiederherstellung der Beschwerdefrist entsprochen. Die staatsrechtliche Beschwerde sowie das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wurden als rechtzeitig erfolgt entgegengenommen.