Sachverhalt: A. Der 1968 geborene D._ meldete sich im August 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der medizinischen und erwerblichen Verhältnisse und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich den Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung (Verfügung vom 5. Oktober 2006). B. Beschwerdeweise liess D._ die Zusprechung der gesetzlichen Leistungen, insbesondere einer Rente, beantragen. Mit Entscheid vom 3. Januar 2008 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es seien ihm die gesetzlichen Leistungen (insbesondere eine Rente) zuzusprechen. Eventualiter sie die IV-Stelle zu einer Neuabklärung zu verpflichten. Die Sachverhaltsdarstellungen der Vorinstanz seien von Amtes wegen zu berichtigen. Des Weitern ersucht D._ um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) für den letztinstanzlichen Prozess. Mit Eingabe vom 21. April 2008 lässt D._ beantragen, es sei eine mündliche Parteiverhandlung durchzuführen und S._, dipl. Sozialarbeiterin FH als Zeugin vorzuladen.