Sachverhalt: A. X._ und Z._ sind geschieden. Sie haben zwei Kinder, S._ (geb. xxxx 1992) und T._ (geb. xxxx 1994). In der mit Scheidungsurteil vom 22. November 2005 genehmigten Konvention hatte sich X._ verpflichtet, an den Unterhalt seiner Kinder ab Dezember 2005 bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung (auch über die Mündigkeit hinaus) monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Die monatlichen Frauenalimente wurden wie folgt festgesetzt: Fr. 975.-- ab Dezember 2005 bis September 2007, Fr. 600.-- von Oktober 2007 bis September 2010 und Fr. 300.-- von Oktober 2010 bis September 2013; die in der letzten Periode geschuldeten Unterhaltsbeiträge wurden unter dem Titel "Aufbau einer angemessenen Altersvorsorge" vereinbart. Grundlage für die Unterhaltsberechnung bildete auf Seiten von X._ ein Erwerbseinkommen von Fr. 6'280.-- (inkl. 13. Monatslohn, zzgl. Kinderzulagen), bei Z._ zum Zeitpunkt der Scheidung ein solches von netto Fr. 1'000.--, ab Oktober 2007 von netto Fr. 2'500.-- und ab Oktober 2010 von netto Fr. 4'000.-- oder mehr. B. Ein erster, von X._ eingeleiteter Abänderungsprozess wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 26. September 2007 durch gerichtliche Genehmigung einer Vereinbarung vom 7. September 2007 erledigt. Die Parteien beliessen den Ehegattenunterhaltsbeitrag von Fr. 300.-- für die Periode ab Oktober 2010 bis September 2013 unverändert; neu gingen sie auf Seiten X._s von einem monalichen Nettoeinkommen von Fr. 6'100.-- (inkl. 13. Monatslohn, zzgl. Kinderzulagen) aus. Die Kinderunterhaltsbeiträge blieben unverändert. C. Am 4. April 2011 klagte X._ vor dem Bezirksgericht Dietikon erneut auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. November 2005 (s. Bst. A). Er verlangte, die Kinderunterhaltsbeiträge bis Ende 2011 zu sistieren und ab 1. Januar 2012 auf Fr. 350.-- je Kind herabzusetzen. Die Unterhaltspflicht gegenüber Z._ sei aufzuheben und die Schulden beim Jugendsekretariat des Bezirks Bülach und bei Z._ seien zu löschen. Letztere beantragte widerklageweise, X._ zur Bezahlung eines hälftigen Beitrages von Fr. 8'500.-- an ausserordentliche Ausbildungskosten der Tochter S._ zu bezahlen. Das Bezirksgericht wies Klage und Widerklage ab (Urteil vom 9. März 2012). D. In seiner Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich stellte X._ den Antrag, sowohl seine Unterhaltspflicht gegenüber Z._ gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 26. September 2007 als auch diejenige gegenüber dem gemeinsamen Sohn T._ gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 22. November 2005 seien "mit Wirkung ab 4. April 2011 vollumfänglich aufzuheben"; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht Dietikon zurückzuweisen. Das Obergericht wies die Klage kostenfällig ab. E. Mit Eingabe vom 14. September 2012 lässt X._ Beschwerde in Zivilsachen führen. In der Sache wiederholt der Beschwerdeführer die bereits vor dem Obergericht gestellten Anträge. Überdies ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Am 10. Januar 2013 sandte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein weiteres Schreiben samt Schriftstücken. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.