Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 4. April 2002 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau S._ u.a. gestützt auf den Bericht der Klinik X._, Abteilung Psychosomatik, vom 17. September 2001 über ihre medizinische Abklärung eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. April 2000 zu. Im Rahmen des im November 2003 eingeleiteten Revisionsverfahrens liess die neu zuständige IV-Stelle Luzern den Versicherten psychiatrisch begutachten (Expertise Dr. med. K._ vom 14. Juni 2004). Mit Verfügung vom 14. Oktober 2004 bestätigte sie die Rente (Invaliditätsgrad: 100 %). Zwei weitere Revisionen ergaben keine Änderung (Verfügung vom 30. März 2006, Mitteilung vom 7. September 2009). Im Zeitraum vom 4. Oktober bis 4. November 2010 wurde S._ an drei Tagen observiert (Bericht vom 2. Dezember 2010). Am 10. Dezember 2010 verfügte die IV-Stelle vorsorglich die sofortige Einstellung der Leistungen, welche Anordnung das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern auf Beschwerde hin mit Entscheid vom 15. Juni 2011 aufhob. Am 23. Februar 2011 wurde der Versicherte durch die medizinische Einrichtung Y._ abgeklärt (Expertise vom 3. Mai 2011). Mit Verfügung vom 9. Dezember 2011 hob die IV-Stelle die Rente rückwirkend auf den 1. April 2000 auf und forderte die zu Unrecht ausgerichteten Leistungen für fünf Jahre (ab 1. Januar 2007) zurück. Am 22. Dezember 2011 erliess sie die Rückforderungsverfügung über Fr. 117'468.-. B. S._ liess gegen beide Verfügungen beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung), Beschwerde erheben. Dieses führte den Schriftenwechsel durch und vereinigte die beiden Verfahren (S 12 44 und S 12 51). Mit Entscheid vom 22. April 2013 hob es die Verfügung vom 9. Dezember 2011 auf (Dispositiv-Ziffer 2); auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. Dezember 2012 trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3); im Verfahren S 12 44 verpflichtete es die IV-Stelle, die amtlichen Kosten zu bezahlen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Dispositiv-Ziffern 4 und 5). C. Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 1 (recte: 2), 4 und 5 des Entscheids vom 22. April 2013 seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die ihr obliegenden Prüfungen der strittigen Fragen vornehme und Entscheidungen im Sinne von Ziffer 9 der Beschwerdebegründung treffe. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen S._ in seiner nach Ablauf der hiefür gesetzten Frist eingereichten "Replik". Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 12. Juli 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden.