Sachverhalt: A. A._, geboren 1965, ist Staatsangehörige Kroatiens und lebt seit 1995 in der Schweiz. Sie ist Mutter von zwei Kindern (geboren 1989 und 1999) und seit Oktober 2007 von ihrem Ehegatten gerichtlich getrennt. Sie arbeitete bei verschiedenen Arbeitgebern als Raumpflegerin mit unterschiedlichen Teilpensen, als sie sich am 9. März 2007 bei einem Treppensturz eine Trimalleolar-Luxationsfraktur am linken Fuss zuzog. Hiefür erbrachte die Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend: Mobiliar) die gesetzlichen Leistungen nach UVG. Mit Verfügung vom 19. Mai 2009, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 20. Juli 2009, hat die Mobiliar der Versicherten gestützt auf die polydisziplinäre Expertise des Zentrums X._ für die ihr dauerhaft verbleibenden Unfallfolgen eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 10% sowie eine Integritätsentschädigung basierend auf einer Integritätseinbusse von 10% zugesprochen. Am 2. Oktober 2007 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gemäss Bericht des Spitals C._ vom 23. Mai 2007 litt sie nicht nur an Unfallrestfolgen, sondern zusätzlich auch an einer Depression sowie an Fibromyalgie. Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen sowie insbesondere nach einer bidisziplinären, rheumatologisch psychiatrischen Begutachtung der Dres. med. B._ und D._ vom 10. Dezember 2008 (nachfolgend: bidisziplinäres Gutachten) verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 30% den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 6. November 2009). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der A._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 12. April 2010 insoweit gut, als es die Verfügung der IV-Stelle vom 6. November 2009 aufhob und die Invalidenversicherung verpflichtete, der Versicherten ab März 2008 eine Viertelsrente auszurichten. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene Gerichtsentscheid sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle Basel vom 6. November 2009 zu bestätigen; gleichzeitig ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Während A._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherungen Gutheissung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 27. August 2010 hat der Präsident der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.