Sachverhalt: A. In der gegen die X._, Luzern, angehobenen Wechselbetreibung Nr. 1 (Betreibungsamt Luzern) stellte die Y._ AG, Zürich, als Gläubigerin am 25. März 2010 beim Amtsgericht Luzern-Stadt das Konkursbegehren. Das Konkursgericht lud die Betreibungsparteien in der Folge zur Konkursverhandlung auf den 31. März 2010 vor. An der Konkursverhandlung reichte die X._ ein Gesuch um Nachlassstundung ein und stellte dem Konkursgericht den Antrag, den Entscheid über den Konkurs auszusetzen. B. Mit Entscheid vom 6. April 2010 wies das Amtsgericht Luzern-Stadt, Präsident III, das Gesuch um Aussetzung des Entscheides ab und eröffnete den Konkurs über die X._. C. Die X._ führt mit Eingabe vom 12. April 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Amtsgerichts Luzern-Stadt vom 6. April 2010 aufzuheben und u.a. die Nachlassstundung zu bewilligen. Weiter ersucht sie um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen. Mit Präsidialverfügung vom 13. April 2010 wurde der Beschwerde superprovisorisch aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt. Das Amtsgericht Luzern-Stadt schliesst mit Eingabe vom 16. April 2010 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt mit Vernehmlassung vom 24. April 2010 im Wesentlichen die Abweisung der Beschwerde.