Sachverhalt: A. A.a Mit Urteil vom 8. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug die Beschwerden von X._ betreffend die gegen ihn verfügte fürsorgerische Freiheitsentziehung und die Anordnung von Zwangsmassnahmen ab, erhob dabei keine Kosten und sprach keine Parteientschädigung zu. Der Entscheid über das Gesuch von X._ (Gesuchsteller und Beschwerdeführer) um unentgeltliche Verbeiständung wurde in ein separates Verfahren verwiesen. A.b Nach Einsicht in die Eingaben des Rechtsvertreters und die angeforderten Unterlagen des Gesuchstellers wies die Vorsitzende der fürsorgerechtlichen Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Verwaltungsrichterin Y._, das Gesuch mit Verfügung vom 16. Oktober 2007 ab und hielt zur Begründung dafür, der Gesuchsteller habe seine Bedürftigkeit nicht nachgewiesen, obwohl er dazu verpflichtet gewesen wäre. Daher erübrige sich die Prüfung der Voraussetzungen für die Gewährung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes. B. Gegen diese Verfügung beschwerte sich der Gesuchsteller beim Verwaltungsgericht und stellte insbesondere den Antrag, Verwaltungsrichterin Y._, sei für das Beschwerdeverfahren in den Ausstand zu bestellen und durch ein anderes Mitglied des Verwaltungsgerichts zu ersetzen. Mit Beschluss vom 18. Dezember 2007 wies die für das Beschwerdeverfahren zuständige fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug das Ausstandsgesuch ab. C. Der Gesuchsteller gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, den Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 18. Dezember 2007 aufzuheben, Verwaltungsrichterin Y._ im Beschwerdeverfahren der Vorinstanz in den Ausstand zu bestellen und durch ein anderes Mitglied zu ersetzen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich im Anschluss an die Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts erneut vernehmen lassen.