Arbeitsvertrag; Schadenersatz, hat sich ergeben: A.- Das Spital X._ (Beklagter) und A._ (Kläger) unterzeichneten am 15. Juli 1992 einen Vertrag, mit dem der Kläger im Spital X._ als Spezialarzt FMH für Urologie "im Belegarztsystem mit einem festzulegenden Wochentag mit entsprechender Sprechstunde" angestellt wurde. Die Entlöhnung sollte "durch Vergütung des Aktes" erfolgen und war somit von der Anzahl und der Art der durchgeführten Behandlungen abhängig. Das Spital X._ kündigte den Anstellungsvertrag fristgerecht auf Ende 1998. Für dieses Jahr wurden für den Kläger Honorarguthaben von total Fr. 16'538. 65 berechnet und diesem auch überwiesen. Davon entfielen Fr. 11'699. 25 auf das erste Quartal. Ab dem zweiten Quartal, d.h. auf den 1. April 1998 stellte das Spital X._ einen vollamtlichen Chefarzt für Urologie an. Diese Stelle war öffentlich ausgeschrieben worden und A._ hatte sich dafür nicht beworben. B.- Am 3. Dezember 1998 reichte der Kläger beim Bezirksgericht in Brig Klage ein. Er beantragte, das Spital X._ sei zu verpflichten, ihm "für das Jahr 1998 Schadenersatz in der Höhe von Fr. 4'000.-- pro Monat, somit total Fr. 36'000.--, nebst Zins" sowie "eine Abgangsentschädigung von Fr. 50'000.--" nebst Kosten zu bezahlen. Das Kantonsgericht des Kantons Wallis wies die Klage mit Urteil vom 9. Mai 2001 ab. C.- Der Kläger beantragt mit Berufung die Aufhebung dieses Urteils. Das Spital X._ schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit darauf einzutreten sei. Auf eine in gleicher Sache erhobene staatsrechtliche Beschwerde des Klägers ist das Bundesgericht mit Urteil vom heutigen Tag nicht eingetreten.