Sachverhalt: A. In einem Scheidungsverfahren vor dem Kantonsgericht des Kantons Glarus ersuchte A._ (geb. 1952) am 22. August 2012 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und der unentgeltlichen Verbeiständung durch seinen damaligen Rechtsanwalt, nachdem ein erstes Gesuch bereits im März 2012 abgelehnt worden war. Dieses neue Gesuch wies die Kantonsgerichtsvizepräsidentin mit Entscheid vom 12. September 2012 mangels Bedürftigkeit ab. B. Hiergegen erhob der nun nicht mehr anwaltlich vertretene A._ am 20. Januar 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Glarus. Er beantragte, ihm sei vor beiden Instanzen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit Urteil vom 1. März 2003[recte 2013] wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Postaufgabe vom 16. April 2013 ist A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt. Er verlangt, das Urteil der Vorinstanz (Beschwerdegegner) vom 1. März 2013 sei aufzuheben, und ihm sei im kantonalen Scheidungsverfahren wie im bundesgerichtlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei ihm eine Frist zur Ergänzung seiner Beschwerdebegründung gemäss Art. 43 BGG zu gewähren. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.