Sachverhalt: A. Die 1962 geborene Y._ ist verheiratet und Mutter von mehreren Kindern. Geboren und aufgewachsen in der Türkei, folgte sie 1988 ihrem Ehemann in die Schweiz und war hier in verschiedenen Tätigkeiten beschäftigt. Zuletzt arbeitete sie von 1999 bis zum 23. März 2003 in einem Pensum von 90 % als Betreuerin im Altersheim T._. Vom 24. März bis 20. Mai 2003 war sie in der psychiatrischen Klinik X._ hospitalisiert. Eine weitere stationäre Behandlung wurde vom 5. Juni bis 24. Oktober 2003 an der Psychiatrischen Klinik Z._ durchgeführt, in deren Depressionsabteilung die Versicherte auch vom 20. April bis 8. Juni 2004 weilte. Das Arbeitsverhältnis im Altersheim wurde auf Ende September 2003 aufgelöst. Y._ nahm keine weitere Erwerbstätigkeit auf. Am 2. April 2004 meldete sie sich infolge seit März 2003 bestehender psychischer Beschwerden bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Bezug einer Invalidenrente an. Nach verschiedenen Abklärungen, insbesondere einer interdisziplinären Begutachtung durch den Psychiater Dr. med. S._ und den Rheumatologen Dr. med. B._ sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügung vom 15. August 2007 für die befristete Dauer vom 1. März bis 30. Juni 2004 eine ganze Invalidenrente zu. B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die dagegen erhobene Beschwerde, mit welcher beantragt worden war, die Verfügung vom 15. August 2007 sei insoweit aufzuheben, als die ganze Rente befristet wurde, ab (Entscheid vom 2. April 2008). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt Y._ beantragen, ihr sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids auch ab 1. Juli 2004 eine ganze Invalidenrente auszurichten. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen lässt sich nicht vernehmen.