Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 19. Juli 2007 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau K._ (geb. 1962) für die Zeit vom 1. September 2005 bis 31. März 2006 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu (Invaliditätsgrad: 46 %) und verneinte einen Rentenanspruch für die Folgezeit (Invaliditätsgrad: 34 %). B. Beschwerdeweise liess K._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm ab September 2005 eine ganze Rente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zur weiteren medizinischen Abklärung zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 14. Januar 2009 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung auf und sprach K._ ab 1. September 2005 eine Dreiviertels- und ab 1. April 2006 eine halbe Rente zu. C. Die IV-Stelle des Kantons Aargau führt Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Während K._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich das Bundesamt für Sozialversicherungen nicht vernehmen.