Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige B.X._ heiratete 1987 eine im Kanton Basel-Stadt niedergelassene Jugoslawin und erhielt 1993 die Niederlassungsbewilligung. Nachdem ein erstes Gesuch vom Juni 1994 um Nachzug seiner beiden aus einer früheren Imam-Ehe stammenden Söhne A._ (geb. ... 1983) und C._ (geb. ... 1984) erfolglos geblieben war, stellte B._ im September 1996 ein neues Gesuch um Familiennachzug, das neben den beiden genannten Söhnen auch die Töchter D._ (geb. ... 1985) und E._ (geb. ... 1986) umfasste. Dieses wurde mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Dezember 1997 rechtskräftig abgewiesen. Aufgrund von Garantieerklärungen des Vaters konnten im Februar 2000 zunächst A._ und D._ und etwas später die beiden andern Geschwister mit Touristenvisa in die Schweiz einreisen, wo sie in der Folge auch nach Ablauf der Visa verblieben; gemäss späterer Aussage des Vaters war dies von Anfang an beabsichtigt gewesen. Nachdem die Anwesenheit der Kinder im Januar 2001 von der Behörde entdeckt worden war, stellte der Vater am 22. Februar 2001 ein neues Familiennachzugsgesuch mit dem Antrag, den Kindern für die Dauer des Gesuchsverfahrens den Aufenthalt provisorisch zu gestatten. Am 30. April 2001 kam es in der Familie X._ zu einem Zwischenfall, dessentwegen die Tochter D._ gegen ihren Vater und ihren Bruder A._ Strafanzeige erstattete, was u.a. zu Gesprächen mit einem Vertreter des Jugendamtes führte, dem die Betreuung der Familie oblag. Am 21. September 2001 erstattete D._ erneut Strafanzeige gegen ihren Bruder, welchem sie vorwarf, ihr mit sexuellen Übergriffen gedroht und sie geschlagen zu haben. Die Einwohnerdienste erhielten am 25. September 2001 von dieser neuen Anzeige Kenntnis. Am 11. Oktober 2001, einen Tag nach seinem 18. Geburtstag, wurde A._ um 06.00 Uhr morgens von der Kantonspolizei aus der Wohnung geholt und den Einwohnerdiensten zugeführt, welche ihm nach Befragung zur Angelegenheit die formlose Wegweisung eröffneten, ihn in Ausschaffungshaft nahmen und am nächsten Tag in die Türkei ausschafften. Gleichzeitig wurde ihm mitgeteilt, dass das Familiennachzugsgesuch in Bezug auf seine Person hinfällig geworden sei. Ausserdem verfügte das Bundesamt für Ausländerfragen über ihn eine Einreisesperre von drei Jahren. D._ widerrief später die Aussagen gegen ihren Bruder. Das daraufhin gegen sie eingeleitete Strafverfahren wegen falscher Anschuldigung wurde von der Jugendanwaltschaft am 4. Februar 2002 eingestellt. D._ widerrief später die Aussagen gegen ihren Bruder. Das daraufhin gegen sie eingeleitete Strafverfahren wegen falscher Anschuldigung wurde von der Jugendanwaltschaft am 4. Februar 2002 eingestellt. B. A._ liess durch seinen Rechtsvertreter gegen das Vorgehen der Einwohnerdienste beim kantonalen Polizei- und Militärdepartement Rekurs erheben, u.a. mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die Ausschaffungshaft und die Wegweisung widerrechtlich erfolgt seien. Mit Entscheid vom 21. Mai 2002 trat das Departement auf den Rekurs nicht ein, wies aber die Einwohnerdienste an, über das Gesuch um Familiennachzug auch in Bezug auf A._ durch eine förmliche Verfügung zu entscheiden. Das Begehren um Gewährung des prozessualen Armenrechts wurde abgewiesen. B. A._ liess durch seinen Rechtsvertreter gegen das Vorgehen der Einwohnerdienste beim kantonalen Polizei- und Militärdepartement Rekurs erheben, u.a. mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die Ausschaffungshaft und die Wegweisung widerrechtlich erfolgt seien. Mit Entscheid vom 21. Mai 2002 trat das Departement auf den Rekurs nicht ein, wies aber die Einwohnerdienste an, über das Gesuch um Familiennachzug auch in Bezug auf A._ durch eine förmliche Verfügung zu entscheiden. Das Begehren um Gewährung des prozessualen Armenrechts wurde abgewiesen. C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) hob am 21. Januar 2003 in teilweiser Gutheissung eines Rekurses den Kostenentscheid des Departementes auf und wies die Sache zu neuem Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung an die Vorinstanz zurück; im Übrigen wies es den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. Für das Verfahren vor dem Appellationsgericht wurde die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung gewährt. C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) hob am 21. Januar 2003 in teilweiser Gutheissung eines Rekurses den Kostenentscheid des Departementes auf und wies die Sache zu neuem Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung an die Vorinstanz zurück; im Übrigen wies es den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. Für das Verfahren vor dem Appellationsgericht wurde die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung gewährt. D. A._ führt gegen das am 29. April 2003 eröffnete Urteil des Appellationsgerichts mit vom 22. März 2002 datierter Eingabe (Postaufgabe: 29. Mai 2003) staatsrechtliche Beschwerde ("ev. Verwaltungsgerichtsbeschwerde") mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Er beruft sich auf das Willkürverbot (Art. 9 BV) sowie auf weitere Verfassungs- und Konventionsgarantien (Bewegungsfreiheit, Art. 10 Abs. 2 BV; Schutz des Privat- und Familienlebens, Art. 13 Abs. 1 BV, Art. 8 EMRK; Anspruch auf eine national wirksame Beschwerde, Art. 13 EMRK). Ferner ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. D. A._ führt gegen das am 29. April 2003 eröffnete Urteil des Appellationsgerichts mit vom 22. März 2002 datierter Eingabe (Postaufgabe: 29. Mai 2003) staatsrechtliche Beschwerde ("ev. Verwaltungsgerichtsbeschwerde") mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Er beruft sich auf das Willkürverbot (Art. 9 BV) sowie auf weitere Verfassungs- und Konventionsgarantien (Bewegungsfreiheit, Art. 10 Abs. 2 BV; Schutz des Privat- und Familienlebens, Art. 13 Abs. 1 BV, Art. 8 EMRK; Anspruch auf eine national wirksame Beschwerde, Art. 13 EMRK). Ferner ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. E. Das Appellationsgericht beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen seines Urteils Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Das Polizei- und Militärdepartement des Kantons Basel-Stadt stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Im gleichen Sinne lässt sich das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung vernehmen.