Sachverhalt: A. Das Schweizer Fernsehen strahlte am 6. Februar 2007 in der Sendung "Kassensturz" einen Beitrag über Schönheitschirurgen aus. Dieser sollte - gleich wie ein früherer Beitrag vom 19. Dezember 2006 und ein späterer vom 13. Februar 2007 - die Zuschauer auf fragwürdige Praktiken aufmerksam machen. Insbesondere sollte belegt werden, dass der bekannte Schönheitschirurg Dr. med. R._ bereit sei, selbst bei einer Frau mit perfekten Körpermassen eine Brustvergrösserung vorzunehmen. Um dies nachzuweisen, suchte die 19-jährige M._, damals Miss Z._, zusammen mit einer Fernsehjournalistin die Praxis von R._ auf. Letztere filmte in der Arztpraxis mit versteckter Kamera. In der Sendung vom 6. Februar 2007 wurden Ausschnitte der dabei aufgenommenen Bilder ausgestrahlt. Diese zeigten unter anderem den nicht anonymisierten Arzt bei der Untersuchung von M._ und bei einem Gespräch mit ihr. B. A._ beanstandete die erwähnte Sendung bei der zuständigen Ombudsstelle. Nachdem diese am 4. April 2007 einen Schlussbericht ausgefertigt hatte, erhob A._ am 2. Mai 2007 Beschwerde bei der Unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen (UBI). Er kritisierte, dass der Beitrag vom 6. Februar 2007 durch illegale Filmaufnahmen und unzureichende Recherchierarbeit zustande gekommen sei. Die UBI hiess die Beschwerde am 31. August 2007 gut und stellte fest, dass der erwähnte Beitrag die Programmbestimmungen verletze. Weiter forderte sie die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft auf, sie innert 60 Tagen über die getroffenen Vorkehrungen zu unterrichten, um den Mangel zu beheben und in Zukunft gleiche oder ähnliche Rechtsverletzungen zu vermeiden. C. Die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (SRG) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. Januar 2008, den Entscheid der UBI vom 31. August 2007 aufzuheben und festzustellen, dass der Beitrag vom 6. Februar 2007 in der Sendung "Kassensturz" über Schönheitschirurgen die Programmrechtsbestimmungen nicht verletze. D. A._ und die UBI stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.