Sachverhalt: A. X._ (Ehefrau) und Z._ (Ehemann), Staatsangehöriger von Guinea, heirateten am xxxx 2006 in A._. Am xxxx 2006 wurde der gemeinsame Sohn Y._ geboren. Am 20. April 2007 erging die Eheschutzverfügung des Gerichtspräsidenten 5 des Gerichtskreises II Biel-Nidau. Diese stellte Sohn Y._ unter die Obhut der Mutter und verpflichtete den Ehemann zu einer monatlichen Kinderunterhaltszahlung von Fr. 510.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen). B. Nachdem das Richteramt Solothurn-Lebern der Ehefrau die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt hatte, schied es die Ehe auf deren Klage hin mit Urteil vom 7. Oktober 2009. Der Ehemann, dessen Aufenthaltsort unbekannt war, blieb dem Verfahren trotz öffentlicher Vorladung fern. Gemäss Scheidungsurteil wurden beidseitig keine nachehelichen Unterhaltsbeiträge zugesprochen, und es waren auch keine während der Ehe erworbenen Vorsorgeguthaben vorhanden. Sohn Y._ wurde unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Auf eine Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn wurde verzichtet, da der Aufenthaltsort des Vaters nicht bekannt war. Wegen fehlender Leistungsfähigkeit des Vaters verzichtete das Gericht in Dispositivziffer 4 des Urteils auf die Festsetzung von Kinderunterhaltsbeiträgen. Dazu hielt es unter anderem fest: "Es muss vielmehr mit sehr grosser Wahrscheinlichkeit angenommen werden, dass er [der Vater] aktuell und auf absehbare Zeit hin nicht leistungsfähig im Sinne von Art. 285 ZGB ist und sein wird, auch wenn gleichzeitig aufgrund der Eheschutzakten und der heutigen Verhandlung feststeht, dass er leider auch völlig leistungsunwillig war und ist." Mit Eingabe vom 18. November 2009 erklärte X._ Appellation (im Sinne von § 291 ff. ZPO/SO) und beantragte vor dem Obergericht des Kantons Solothurn die Aufhebung der vorerwähnten Dispositivziffer 4 sowie die Verurteilung des Ehemannes zur Zahlung eines Kinderunterhaltsbeitrages von Fr. 510.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen). Der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn entzog X._ mit Verfügung vom 8. Dezember 2009 mit sofortiger Wirkung die unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit und verwies im Wesentlichen auf die seiner Ansicht nach überzeugende Begründung des erstinstanzlichen Entscheids. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Januar 2010 gelangte X._ an das Bundesgericht und beantragte die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Appellationsverfahren. Mit Urteil 5A_54/2010 vom 19. März 2010 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut, hob die obergerichtliche Verfügung vom 8. Dezember 2009 auf und ordnete die unentgeltliche Rechtspflege zugunsten der Beschwerdeführerin für das kantonale Berufungsverfahren an, und zwar unter Beiordnung von Fürsprecherin Ursula Zimmermann. Nach erfolgter Rückweisung setzte das Obergericht X._ mit Verfügung vom 14. April 2010 bzw. 5. Mai 2010 Frist an, um neue Behauptungen und Beweismittel zu nennen. Mit Eingabe vom 25. Mai 2010 kam X._ diesem Ersuchen nach: Sie beantragte eine Abklärung bei der Fremdenpolizei betreffend Aufenthaltsstatus des Ehemannes sowie eine Anfrage bei Sunrise Schweiz betreffend die Identität des Inhabers einer Mobiltelefonnummer, von welcher aus der Ehemann sie mehrmals angerufen habe. Es sei davon auszugehen, dass sich der Ehemann nach wie vor in der Schweiz, mutmasslicherweise in B._ bei seinem Bruder aufhalte. Könne nachgewiesen werden, dass er sich immer noch in der Schweiz befinde, so sei ihm bei der Festsetzung des Unterhaltsbeitrages an seinen Sohn ein hypothetisches Einkommen anzurechnen. In der Folge tätigte das Obergericht diese Abklärungen. Diese ergaben, dass die fragliche Prepaid-Mobiltelefonnummer auf den Ehemann registriert ist, und zwar unter Angabe der mittlerweile nicht mehr gültigen Wohnadresse in A._. Des Weiteren ergab eine Anfrage bei der Berner Fremdenpolizei, dass die B-Bewilligung des Ehemannes längst abgelaufen ist. Gestützt auf diese beweismässigen Erhebungen kam die Vorinstanz erneut zum Schluss, das Verfahren erweise sich als aussichtslos und entzog X._ die unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 20. Juli 2010. C. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde vom 14. September 2010 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 20. Juli 2010 und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das obergerichtliche Berufungsverfahren unter Beiordnung der sie vertretenden Anwältin. Die Beschwerdeführerin stellt für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde.