Sachverhalt: A. Der 1972 geborene B._ arbeitete bei der Firma C._ GmbH. In dieser Eigenschaft war er seit 1. Mai 2008 bei der Pensionskasse Q._ berufsvorsorgeversichert. Am 8. Juni 2008 kam B._ bei einem Unfall ums Leben. F._, welche mit ihm einen gemeinsamen im Mai 2004 geborenen Sohn hatte, ersuchte im August 2008 die Pensionskasse Q._ um Hinterlassenenleistungen, was diese in Bezug auf eine Partnerrente wiederholt mangels eines mindestens fünf Jahre ununterbrochen geführten gemeinsamen Haushalts jedoch ablehnte. B. Am 9. Oktober 2009 liess F._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen die Pensionskasse Q._ einreichen mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zur Zahlung einer Hinterlassenenrente, rückwirkend ab 8. Juni 2008, zuzüglich Zinsen zu 5 % zu verurteilen. Nach Antwort der Vorsorgeeinrichtung und einem zweiten Schriftenwechsel wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des angerufenen Gerichts mit Entscheid vom 28. September 2010 die Klage ab. C. F._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. September 2010 sei aufzuheben, die Pensionskasse Q._ zur Zahlung einer Hinterlassenenrente rückwirkend ab 8. Juni 2008, zuzüglich Zinsen zu 5 %, zu verurteilen, eventualiter die Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Pensionskasse Q._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels haben die Parteien zur Frage Stellung genommen, ob der Umstand, dass die Beschwerdeführerin ein Kind hat, dessen Vater der verstorbene Versicherte ist, für den Anspruch auf eine Partnerrente von Bedeutung ist.