Sachverhalt: A. X._ war unentgeltlicher Rechtsvertreter von Y._ in einem von ihrem ehemaligen Ehemann angehobenen Verfahren auf Ergänzung des Scheidungsurteils. Umstritten war die Regelung des persönlichen Verkehrs hinsichtlich des gemeinsamen Sohnes (vgl. Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013). Für das Berufungsverfahren am Obergericht des Kantons Zürich, in dem Y._ als Berufungsklägerin auftrat, reichte X._ am 5. Juni 2013 eine Kostennote ein. Er verlangte eine Entschädigung von insgesamt Fr. 6'746.-- (Honorar Fr. 6'133.30 und Auslagenersatz Fr. 113.00, zuzüglich 8 % MWST). Mit Beschluss vom 7. Juni 2013 legte das Obergericht die Entschädigung von X._ auf Fr. 4'982.05 fest (Honorar Fr. 4'500.-- und Auslagenersatz Fr. 113.--, zuzüglich 8 % MWST). B. Am 5. Juli 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts und die Zusprechung einer Entschädigung von total Fr. 6'766.--; eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Entschädigung an das Obergericht zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.