Ablehnungsbegehren, hat sich ergeben: A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, vertreten durch Bezirksanwältin A._, führt gegen Rechtsanwalt X._ und dessen Sohn Y._ ein Strafverfahren wegen Verdachts der Erpressung, der Nötigung und des Betruges sowie der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. X._ wird vorgeworfen, er habe von Angehörigen eines ausländischen Staatsangehörigen Geldbeträge für die Verteidigung verlangt und entgegengenommen, obwohl er bereits als vom Staat bezahlter amtlicher Verteidiger bestellt worden sei. Ausserdem sollen X._ und sein Sohn Y._ ausländische Staatsangehörige, vor allem Asylanten, welche die Schweiz hätten verlassen müssen, unter falschen Angaben aufgefordert haben, im Lande zu verbleiben. Am 16. April 1999 stellte X._ vor Beginn der (in der Folge nicht durchgeführten) Schlusseinvernahme den Antrag auf Einstellung des Strafverfahrens. Nachdem die Bezirksanwältin diesem Begehren nicht entsprochen hatte, übergab er ihr ein Schreiben, in welchem er sie wegen Befangenheit ablehnte. Mit der gewissenhaften Erklärung, nicht befangen zu sein, übermittelte Bezirksanwältin A._ am 20. April 1999 das Ablehnungsbegehren an die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich, mit dem Antrag, es sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft wies das Begehren am 22. April 1999 ab. X._ rekurrierte an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs mit Entscheid vom 7. Juli 1999 ab. B.- X._ erhob am 14. September 1999 gegen den Entscheid der Justizdirektion staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem stellt er das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. C.- Die Bezirksanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft verzichteten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Die Justizdirektion stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen.