Sachverhalt: A. Die Eheleute Y._ (Ehefrau) und X._ (Ehemann) sind die gemeinsamen Eltern der Kinder A._ (geb. 2008) und B._ (geb. 2011). Mit Entscheid vom 1. Oktober 2013 berechtigte der Einzelrichter am Bezirksgericht C._ die Parteien im Rahmen von Eheschutzmassnahmen zum Getrenntleben, stellte die gemeinsamen Kinder der Parteien unter die Obhut des Ehemannes und räumte der Ehefrau ein ausgedehntes Besuchsrecht ein. Das eheliche Haus wurde dem Ehemann zum Gebrauch zugewiesen. Im Weiteren verfügte der Einzelrichter die Herausgabe der hinterlegten Kinderpässe an den Ehemann und hob die Ausweis- und Schriftensperre gegenüber den beiden Kindern auf. Schliesslich sprach er keine Unterhaltsbeiträge zu. B. Die Ehefrau gelangte gegen diesen Entscheid mit Berufung an das Kantonsgericht Luzern und beantragte, die Kinder seien unter ihre Obhut zu stellen und dem Ehemann ein Besuchsrecht einzuräumen; ferner sei ihr das eheliche Haus zum Gebrauch zuzuweisen und der Ehemann zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder monatlich je Fr. 650.-- plus Kinderzulagen zu bezahlen und an ihren persönlichen Unterhalt mit Fr. 1'100.-- pro Monat beizutragen. Der Ehemann schloss auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils. Mit Urteil vom 24. Januar 2014 hiess das Kantonsgericht die Berufung teilweise gut, stellte die Kinder unter die Obhut der Ehefrau und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Ehemannes. Diesen verpflichtete es überdies, ab Zustellung des Urteils je am Monatsersten zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 650.-- pro Kind plus Kinderzulagen und Fr. 800.-- für die Ehefrau persönlich zu leisten. C. Der Ehemann (Beschwerdeführer) hat am 6. Februar 2014 beim Bundesgericht gegen das Urteil des Kantonsgerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, ihm die Obhut über die gemeinsamen Kinder zuzuweisen; ferner stellt er Anträge bezüglich des Besuchsrechts der Ehefrau (Beschwerdegegnerin). Schliesslich sei auf eine Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen zu verzichten. In prozessualer Hinsicht verlangt er, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Für den Fall, dass der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zuerkannt werde, ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. D. Entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 25. Februar 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. Mit Schreiben vom 6. März 2014 ersuchte der Beschwerdeführer das Bundesgericht, für eine weitere Beschlagnahme der Pässe der Kinder zu sorgen. Nach Erhalt des Schreibens des Bezirksgerichts C._ vom 11. März 2014, wonach die Pässe weiterhin beim Gericht verbleiben, ist das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen mit Verfügung vom 13. März 2014 als gegenstandslos abgeschrieben worden. Ein weiteres Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass vorsorglicher Massnahmen vom 18. März 2014 ist mit Verfügung vom 19. März 2014 abgewiesen worden. F. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.