Sachverhalt: A. Das Obergericht des Kantons Thurgau schied mit Urteil vom 26. August/28. Oktober 2004 die Ehe zwischen X._ (Beschwerdeführer) und Y._. Der Beschwerdeführer wurde verpflichtet, der ehemaligen Ehegattin für die gemeinsame Tochter A._ einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- (ab deren 12. Altersjahr Fr. 700.--) zu bezahlen. Das Obergericht ging damals von einem durchschnittlichen Monatseinkommen des Beschwerdeführers von rund Fr. 3'600.-- bis Fr. 3'700.-- sowie von dessen monatlichen Notbedarf von etwa Fr. 2'350.-- aus. Der Beschwerdeführer zog das obergerichtliche Urteil erfolglos an das Bundesgericht weiter. Kurz darauf klagte er auf Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge. Die Bezirksgerichtliche Kommission Bischofszell (als Ersatzgericht) wies mit Urteil vom 14. Juli/29. August 2006 die Abänderungsklage ab. B. Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer kantonale Berufung, verbunden mit einem Begehren um unentgeltliche Prozessführung mit Offizialanwalt. Der Präsident des Obergerichts des Kantons Thurgau wies das Gesuch mit Entscheid vom 12. März/30. März 2007 ab. C. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Präsidenten des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 12. März/30. März 2007 aufzuheben und ihm für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren; eventualiter sei ihm nur die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen; subeventualiter wird schliesslich die "massive" Herabsetzung des Kostenvorschusses auf maximal Fr. 1'000.-- verlangt. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer ebenso um unentgeltliche Rechtspflege. Das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ist mit Verfügung vom 15. Mai 2007 abgewiesen worden.