Sachverhalt: A. X._ (geb. 1978) stammt aus Mazedonien. Er kam am 25. November 1992, d.h. als Vierzehnjähriger, im Familiennachzug in die Schweiz, wo er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Diese wurde ihm regelmässig - zuletzt bis zum 10. Februar 2012 - verlängert. Am 14. Februar 2012 suchte offenbar sein Arbeitgeber für ihn um eine Verlängerung der Bewilligung nach, worauf das Amt für Migration des Kantons Luzern am 16. Februar bzw. 16. April 2012 X._ um zusätzliche Auskünfte anging (Betreibungsregisterauszug, Lohnabrechnungen, Arbeits- und Mietvertrag, Auslandsabwesenheiten). Es wies X._ auf seine Mitwirkungspflichten und darauf hin, dass bei deren Verletzung aufgrund der Akten entschieden oder ein Nichteintretensentscheid ergehen würde. B. Mit Verfügung vom 10. Juli 2012 trat das Amt für Migration des Kantons Luzern auf das Verlängerungsgesuch nicht ein; gleichzeitig wies es X._ aus der Schweiz weg. Auf Beschwerden hin bestätigten das Justiz- und Sicherheitsdepartement (Entscheid vom 20. Februar 2013) und das Kantonsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 16. Juli 2013) die entsprechende Verfügung. X._ sei angedroht worden, es werde auf sein Gesuch nicht eingetreten, falls er seinen Mitwirkungspflichten nicht nachkomme, dennoch habe er auf die Schreiben des Amtes nicht bzw. erst im Beschwerdeverfahren reagiert. Auch bei anderen Behörden (Strassenverkehrs- und Betreibungsamt) sei er seinen Mitwirkungspflichten regelmässig nicht nachgekommen. Es könne nicht gesagt werden, dass dem Migrationsamt die relevanten persönlichen Verhältnisse von X._ "schon allein aufgrund der Akten bekannt" gewesen wären. C. X._ beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde bzw. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. September 2013, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und die kantonalen Behörden anzuweisen, auf sein Gesuch einzutreten. Er beruft sich auf den Schutz seines Privatlebens nach Art. 8 EMRK (teilweise in Verbindung mit Art. 14 EMRK) und macht geltend, das einschlägige kantonale Recht sei willkürlich angewandt worden bzw. die kantonalen Behörden hätten mit ihrem Nichteintretensentscheid eine formelle Rechtsverweigerung begangen (Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV). Das Kantonsgericht des Kantons Luzern beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement liess dem Bundesgericht am 26. November und 24. Dezember 2013 sowie am 15. Januar 2014 zusätzliche Unterlagen zukommen. D. Der Abteilungspräsident hat der Eingabe am 19. September 2013 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.