Sachverhalt: A. X._ trat vor Bezirksgericht Horgen in einem Erbteilungsverfahren (Verfahren CP070001-F), an dem seine Ehefrau A._ als Partei beteiligt ist, als deren Vertreter auf. Mit Beschluss des Bezirksgerichts Horgen vom 1. Oktober 2013 wurde er von der Teilnahme an allen weiteren Verhandlungen im besagten Prozess ausgeschlossen. B. Gegen diesen Beschluss beschwerte sich X._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Die angerufene Instanz qualifizierte dessen Eingabe infolge Verwendung diverser Formulierungen als ungebührlich; sie setzte X._ mit Verfügung vom 13. November 2013 in Anwendung von Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO eine Nachfrist zur Verbesserung und wies ihn darauf hin, im Säumnisfall gelte die Beschwerde als nicht erfolgt. X._ reichte fristgerecht eine zweite Version seiner Beschwerde ein, die jedoch nach Ansicht des Obergerichts erneut einen ungebührlichen Inhalt aufwies. Mit Urteil vom 28. November 2013 schrieb es deshalb, wie angedroht, das Beschwerdeverfahren RB130051-O/U ab und auferlegte X._ die Kosten des zweitinstanzlichen Verfahrens von Fr. 300.--. C. X._ hat am 17. Januar 2014 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt die Urteile des Obergerichts vom 28. November 2013 in den Verfahren RB130052-O/U und RB130051-O/U aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Ferner sei der "Beschwerdeführerin" eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. In seiner Eingabe vom 17. Februar 2014 präzisierte er seine Beschwerde dahingehend, dass er persönlich in eigenem Namen Beschwerde führe.