Sachverhalt: A. Die auf Direktmarketing im Tourismusbereich spezialisierte Firma X._ GmbH war vom .... 1999 bis .... 2006 (Verlegung des Sitzes von A._ nach B._) der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn angeschlossen. Aufgrund einer Arbeitgeberkontrolle betreffend die Periode 1. November 1999 bis 31. Dezember 2003 erliess die Ausgleichskasse am 23. November 2004 fünf Nachzahlungsverfügungen über Fr. 10'897.40 (1999), Fr. 60'247.45 (2000), Fr. 103'337.40 (2001), Fr. 106'179.40 (2002) und Fr. 106'191.10 (2003). Am 4. Dezember 2004 verfügte sie zudem eine Erhebungsgebühr von Fr. 1'200.-. Am 12. Januar 2005 stellte die Ausgleichskasse der Firma X._ GmbH drei Gutschriftsverfügungen vom 11. Januar 2005 über Fr. 6'492.05 (2001), Fr. 12'859.25 (2002) und Fr. 11'201.20 (2003) zu mit dem Vermerk, es handle sich um eine Korrektur für R._. Am 9. Juni 2005 erhob die Firma X._ GmbH gegen die Verfügungen vom 23. November 2004 Einsprache. Am 10. Mai 2006 erliess die Ausgleichskasse weitere Gutschriftsverfügungen über Fr. 1'551.55 (2001), Fr. 1'840.70 (2002) und Fr. 2'688.80 (2003). Nach Korrespondenz mit dem Rechtsvertreter der Firma X._ GmbH gab die Ausgleichskasse sämtlichen Personen, denen die Firma in den Jahren 1999 bis 2003 Entgelte ausbezahlt hatte, Gelegenheit, sich zum Verfahren zu äussern. Die Firma X._ GmbH nahm zu den eingegangenen Unterlagen Stellung (Eingaben vom 29. Januar und 15. September 2008). Mit Einspracheentscheid vom 24. Oktober 2008 erklärte die Ausgleichskasse die Nachzahlungsverfügung vom 23. November 2004 hinsichtlich des Jahres 1999 mangels bewiesener Zustellung vor dem 31. Dezember 2004 für gegenstandslos und bestätigte die Nachzahlungsverfügungen vom 23. November 2004 für die Jahre 2000 bis 2003, soweit nicht durch die Gutschriftsverfügungen vom 11. Januar 2005 und 10. Mai 2006 gegenstandslos geworden. B. Die Beschwerde der Firma X._ GmbH mit dem Antrag auf ersatzlose Aufhebung des Einspracheentscheides vom 24. Oktober 2008 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 5. Oktober 2009 ab. C. Die Firma X._ GmbH lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 5. Oktober 2009 sei aufzuheben und festzustellen, dass die Firma X._ GmbH keine Sozialversicherungsbeiträge nachzuzahlen habe, eventualiter die Sache zur hinreichenden Abklärung des Sachverhaltes an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das kantonale Versicherungsgericht und die Ausgleichskasse beantragen die Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.