Sachverhalt: A. Die 1977 geborene A._ ist Mutter von zwei (2001 und 2004 geborenen) Kindern und seit 4. Juli 2006 von ihrem Ehemann S._ geschieden. Abgeleitet von dessen Berechtigung auf eine Rente der Invalidenversicherung und unter Einbezug der Kinder in die Berechnung sprach ihr die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau (SVA) mit Verfügung vom 3. November 2006 Ergänzungsleistungen ab 1. August 2006 zu. Seit 1. Januar 2009 lebt A._ wiederum mit ihrem geschiedenen Ehemann zusammen. Die SVA berechnete dessen Anspruch auf Ergänzungsleistungen ab diesem Zeitpunkt neu, wobei sie die Kinder nun dem Vater zurechnete. Mit Verfügung vom 25. Juni 2010 verneinte sie einen Anspruch der A._ auf Ergänzungsleistungen ab 1. Januar 2009 und verpflichtete sie, zu viel bezogene Ergänzungsleistungen im Betrag von Fr. 68'876.- zurückzuerstatten. Die dagegen erhobene Einsprache und das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies sie mit Einspracheentscheid vom 16. November 2010 ab. B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der A._ verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die SVA mit Entscheid vom 7. Juni 2011, ihr für das Einspracheverfahren die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des Entscheides vom 7. Juni 2011, soweit er Ergänzungsleistungen betrifft, sei die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, damit diese ihren Anspruch weiterhin unter Berücksichtigung der Kinder berechne. Ferner lässt sie um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Die SVA beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.