Sachverhalt: A. Die 1957 geborene G._ war nach einer Lehre als Coiffeuse vom 1. Mai 1978 bis 15. April 1981 in der Damenmaske der Firma X._ tätig und danach als Maskenbildnerin in einem Teilpensum von 50 % bei der Firma X._ AG angestellt. Gestützt auf dieses Arbeitsverhältnis war sie bei der Personalvorsorge-Stiftung der Firma X._ (im Folgenden: Personalvorsorge-Stiftung) berufsvorsorgeversichert. Seit 10. April 2002 war sie aus psychischen Gründen, die auf Problemen mit Arbeitskollegen/ innen und ihrem Vorgesetzten beruhten, zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Arztzeugnissen vom 20. Februar und 17. März 2004 bestätigte PD Dr. med. S._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, dass die Arbeitsunfähigkeit von G._ mit Bezug auf ihre angestammte Tätigkeit weiterhin bestehe. Es sei ihr aus psychischen Gründen nicht zumutbar, am 10. April 2004 an ihre bisherige Arbeitsstelle zurückzukehren. Hingegen könne sie nicht als "allgemein erwerbsunfähig" gelten, sondern sei ab 10. April 2004 für andere Stellen voll arbeitsfähig. Mit Schreiben vom 23. März 2004 kündigte die Firma X._ AG das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 2004. Nach Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung war G._ ab 1. Januar 2005 als selbstständigerwerbende Maskenbildnerin tätig. Mit am 10. September 2004 einsetzender Korrespondenz liess G._ die Ausrichtung einer Umschulungsrente zufolge Berufsunfähigkeit geltend machen, was die Personalvorsorge-Stiftung ablehnte. B. Am 12. Juni 2006 liess G._ Klage mit dem Rechtsbegehren erheben, die Personalvorsorge-Stiftung sei zu verpflichten, ihr Fr. 52'497.- nebst Zins zu 5 % seit 10. September 2004 zu bezahlen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich führte einen doppelten Schriftenwechsel durch und gab der Klägerin Gelegenheit, zu den Noven der Duplik und einer weiteren Eingabe der Beklagten Stellung zu nehmen. Mit Entscheid vom 14. April 2008 hiess es die Klage teilweise gut und verpflichtete die Personalvorsorge-Stiftung, G._ Fr. 28'608.60 nebst Zins zu 5 % seit 12. Juni 2006 sowie eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- zu bezahlen. C. Die Personalvorsorge-Stiftung lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie nicht zu Geldleistungen, insbesondere nicht zur "Auszahlung einer Umschulungsrente" verpflichtet sei. G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.