Sachverhalt: A. Die Lernstudio Zürich AG (nachstehend: Klägerin) wurde 1970 gegründet. Sie hält Zweigniederlassungen in Winterthur, Chur und Basel und ist Inhaberin der Schweizer Wortmarke LERNSTUDIO, die 1994 für Dienstleistungen der Klasse 41 und 42 mit dem Vermerk "durchgesetzte Marke" eingetragen wurde. 1996 liess die Klägerin den Domainnamen www.lernstudio.ch registrieren. Anton Jungen (nachstehend: Beklagter) führt seit 1999 eine Einzelfirma welche im Handelsregister mit der Firma "Kick Lernstudio für Mathematik Schule für Ergänzungsunterricht Anton Jungen" eingetragen ist. In der Werbung verwendet der Beklagte unter anderem die Bezeichnung "Kick Lernstudio" und "Lernstudio Kick". Seit September 2000 führt der Beklagte den Domainnamen www.kicklernstudio.ch. B. Mit Klage vom 19. September 2001 beantragte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Zürich, dem Beklagten sei jeweils unter Androhung der Strafe im Unterlassungsfall zu verbieten, die Bezeichnung Lernstudio im Geschäftsverkehr, namentlich als Bestandteil einer Firmenbezeichnung, zu verwenden, und er sei zu verurteilen, die Bezeichnung Lernstudio innerhalb von 30 Tagen im Handelsregister löschen zu lassen. In der Replik verlangte die Klägerin zudem, der Beklagte sei unter Strafandrohung zur Löschung des Domainnamens www.kicklernstudio.ch zu verurteilen. Das Handelsgericht liess die Ergänzung des Rechtsbegehrens zu und wies die Klage mit Urteil vom 19. Mai 2003 ab. C. Gegen das Urteil des Handelsgerichts hat die Klägerin sowohl eine eidgenössische Berufung als auch eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben. Letztere hat das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 11. Dezember 2003 abgewiesen, soweit es darauf eintrat. Mit der Berufung beantragt die Klägerin, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage gutzuheissen; eventuell sei die Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit darauf eingetreten werden könne.