Sachverhalt: A. Der 1975 geborene, zuletzt als Maler tätig gewesene A._ beantragte im Februar 2007 erstmals Leistungen der Invalidenversicherung. Mit Verfügung vom 11. August 2008, bestätigt durch Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 19. August 2009, erkannte die IV-Stelle Bern, mangels eines genügenden Invaliditätsgrades bestehe keine Anspruch auf eine Invalidenrente. Im März 2010 meldete sich A._ wiederum zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern prüfte die Neuanmeldung materiell, holte nebst weiteren Abklärungen eine polydisziplinäre medizinische Expertise der MEDAS vom 10. Oktober 2012 ein und verneinte mit Verfügung vom 29. April 2013 erneut eine Rentenberechtigung. Sie begründete dies damit, der Invaliditätsgrad betrage lediglich 29 %. B. A._ führte hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern trat auf diese nicht ein, soweit berufliche Massnahmen geltend gemacht wurden, und wies sie im Rentenpunkt ab (Entscheid vom 24. Februar 2014). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 40 % (zuzüglich Zins) zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.