Sachverhalt: A. Die 1964 geborene V._ meldete sich im Mai 2005 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten Dr. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 14. Dezember 2007 und Klinik S._ vom 17. Juni 2009) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren wies die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 7. September 2010 das Leistungsbegehren ab. B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der V._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 13. Februar 2012 die angefochtene Verfügung auf und sprach der Versicherten eine Viertelsrente ab 1. August 2005 zu, unter Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Festsetzung der Rentenhöhe. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 13. Februar 2012 sei aufzuheben. V._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.