Sachverhalt: A. Am 26. September 2008 teilte die X._ AG (Beschwerdeführerin) der Arbeitnehmervertretung (Arbeitnehmervertretung X._ AG, A._, B._, C._; nachfolgend: Verhandlungsgemeinschaft) mit, dass sie beabsichtige, den Betrieb in der Schweiz zu schliessen. Sie setzte eine Konsultationsfrist (Art. 335f OR) bis 24. Oktober 2008 und informierte die Mitarbeiter am 29. September 2008. Es kam zu intensiven Verhandlungen der Sozialpartner, am 22. und in der Nacht vom 30. auf den 31. Oktober 2002 speziell über die Ausarbeitung eines Sozialplans, der am 31. Oktober 2008 zustande kam und ein günstiges Echo fand. Er regelte unter Anderem die Modalitäten der Frühpensionierung als Massnahme zur Verhinderung von Arbeitslosigkeit und die Abgangsentschädigung an Mitarbeiter, die nicht in den Genuss der frühzeitigen Pensionierung kommen. Unter dem Titel "A1 Grundlagen des Sozialplans vom 31. Oktober 2008" findet sich darin folgende Klausel: "Alle gesetzlichen und vertraglichen Ansprüche der betroffenen Mitarbeitenden werden durch die Regelungen des Sozialplans nicht berührt und sind gewährleistet." B. Am 21. November 2008 kündigte die Beschwerdeführerin das Arbeitsverhältnis mit Y._ (Beschwerdegegner) auf den 31. Januar 2009. Dieser erhob am 19. Januar 2009 schriftlich Einsprache gegen die Kündigung. Am 26. Januar 2009 wurde ihm mitgeteilt, dass er unter dem Sozialplan vom 31. Oktober 2008 grundsätzlich Anspruch auf eine Abgangsentschädigung im Betrag von Fr. 11'850.-- habe. Diese werde aber nur unter der Bedingung ausbezahlt, dass er eine Erklärung unterschreibe, wonach er auf die Geltendmachung einer allfälligen Verletzung arbeitsrechtlicher Mitwirkungsrechte und Konsultationspflichten, insbesondere im Zusammenhang mit der Konsultationsfrist, verzichte. C. Am 20. März 2009 erhob der Beschwerdegegner Klage auf Ausrichtung einer Abgangsentschädigung von Fr. 10'050.-- nebst Zins gemäss dem Sozialplan der Beschwerdeführerin vom 31. Oktober 2008, welche ihm das Arbeitsgericht Solothurn-Lebern am 17. September 2009 zusprach. Die gegen dieses Urteil eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn am 23. Dezember 2009 ab. D. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Abweisung der Klage, eventuell die Aufhebung des Urteils des Obergerichts und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung und/oder Sachverhaltsergänzung sowie zum Neuentscheid an die Vorinstanz. Der Beschwerdegegner stellt das Rechtsbegehren, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen, während das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit Verfügung vom 10. Mai 2010 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Dass die verlangte Vereinigung des Prozesses mit weiteren Verfahren nicht sinnvoll ist, wurde den Parteien bereits mit Verfügung vom 12. Februar 2010 erläutert. Der in Aussicht genommenen Sistierung des Verfahrens bis zum Entscheid über einen parallelen Prozess, in welchem ebenfalls Ansprüche aus dem Sozialplan streitig sind, hat sich der Beschwerdegegner widersetzt.