Sachverhalt: A. Der 1968 geborene A._ war als Chauffeur eines Betonmischer-Fahrzeuges in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 11. Februar 2002 verletzte er sich bei einem Arbeitsunfall am linken Ringfinger. Dies hatte eine Arbeitsunfähigkeit und verschiedene medizinische Behandlungen zur Folge. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Ab Herbst 2004 bestand wieder eine volle Arbeitsfähigkeit. Im Januar 2005 wurde der Behandlungsabschluss ärztlich bestätigt. Mit Verfügung vom 1. April 2005 sprach die SUVA dem Versicherten für die verbleibende Schädigung an der linken Hand eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 % zu. A._ erhob hiegegen Einsprache. Sodann machte er ab 12. Januar 2006 erneut eine Arbeitsunfähigkeit geltend. Mit einer weiteren Verfügung vom 31. Mai 2006 schloss die SUVA den Fall unter Zusprechung einer Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 14 % rückwirkend auf den 1. April 2005 ab. A._ reichte auch hiegegen Einsprache ein. Mit Einspracheentscheid vom 15. November 2006 hielt die SUVA an den Verfügungen vom 1. April 2005 und 31. Mai 2006 fest. Sie bekräftigte dabei, von weiterer Heilbehandlung ab 1. April 2005 habe keine namhafte gesundheitliche Besserung des somatischen Gesundheitszustandes erwarten können. Sodann sei die ab 12. Januar 2006 eingetretene Arbeitsunfähigkeit mit einer psychischen Störung zu erklären, welche nicht in adäquatem Kausalzusammenhang zum Unfall vom 11. Februar 2002 stehe. Der verfügte Fallabschluss sei daher rechtens. Gleiches gelte für die zugesprochene Invalidenrente und Integritätsentschädigung. B. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Mai 2008 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen, insbesondere Heilbehandlung und Taggeld ab 12. Januar 2006, zu erbringen; eventuell sei die Höhe der am 31. Mai 2006 verfügten Rente neu festzusetzen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.