Sachverhalt: A. X._ und Y._ haben 1998 geheiratet. Am xx.xx.2000 sind die beiden gemeinsamen Kinder A._ und B._ geboren. B. Im Juli 2011 haben die Parteien vor dem Richteramt Bucheggberg-Wasseramt ein Eheschutzverfahren anhängig gemacht, das auf gemeinsamen Antrag der Parteien mit Verfügung vom 28. September 2011 als Ehescheidungsverfahren weitergeführt wurde. Mit Urteil vom 14. März 2013 schied das Richteramt die Ehe auf Antrag beider Parteien, stellte die beiden Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter und regelte die Kinderbelange einschliesslich der Kinderalimente. Bezüglich der weiteren Folgen der Scheidung entschied das Gericht, soweit vor Bundesgericht noch relevant, was folgt: "6. Der Ehemann hat der Ehefrau ab Rechtskraft des Ehescheidungsurteils einen monatlich vorauszahlbaren, ab Verfall zu 5 % verzinslichen Unterhaltsbeitrag im Sinne von Art. 125 ZGB von monatlich CHF 500.00 bis 30. Juni 2020 zu bezahlen. Die Ehegatten nehmen zur Kenntnis, dass mit dem festgelegten Unterhaltsbeitrag der gebührende Unterhalt der Ehefrau im Betrag von CHF 1'950.00 bis 30. Juni 2016 im Sinne von Art. 129 Abs. 3 ZGB nicht gedeckt ist. - ..] 9. Der Ehemann hat der Ehefrau aus Güterrecht den Betrag von CHF 35'379.00 zu bezahlen. Im Übrigen wird der heutige Besitzstand unter den Ehegatten gewahrt. Jeder Ehegatte behält zu Eigentum, was er zur Zeit besitzt." C. Gegen dieses Urteil gelangten der Ehemann mit Berufung und die Ehefrau mit Anschlussberufung an das Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Urteil vom 18. November 2013 stellte das Obergericht zunächst fest, welche Teile des erstinstanzlichen Urteils in Rechtskraft erwachsen sind. Sodann wies es die Berufung des Ehemannes ab und änderte in teilweiser Gutheissung der Anschlussberufung die Dauer der Unterhaltspflicht dahin gehend ab, dass es den Ehemann verpflichtete, der Ehefrau "bis zu seiner ordentlichen Pensionierung" einen Beitrag von monatlich CHF 500.00 zu bezahlen. Zudem hielt das Obergericht fest, dass die Unterhaltsbeiträge auf monatlichen Einkünften des Ehemannes von Fr. 5'243.00 netto und der Ehefrau (ab 1. Juli 2016) von CHF 3'033.00 netto beruhen. Im Übrigen wies es auch die Anschlussberufung ab und verteilte die Prozesskosten, wobei es beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege gewährte. D. Gegen dieses Urteil gelangt X._ mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Januar 2014 an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt in der Sache, die Unterhaltspflicht gegenüber Y._ (Beschwerdegegnerin) zeitlich bis zum 30. Juni 2016 zu begrenzen und festzustellen, dass er der Beschwerdegegnerin aus Güterrecht "keine Zahlung zu leisten hat". Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Zur Begründung dieses Gesuchs sandte er dem Bundesgericht am 25. April 2014 weitere Unterlagen zu. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.