Sachverhalt: A. X._ hat im Studienjahr 2009/2010 an der Hochschule Luzern - Wirtschaft (nachfolgend: Hochschule Luzern) den englischsprachigen Studiengang "Bachelor of Science in Business Administration, International Management and Economics" aufgenommen, nachdem er bereits während zweier Jahre an der Florida International University (USA) "Economy and Business" studiert hatte. Weil X._ das Pflichtmodul "Information Management 2" zweimal nicht bestanden hatte, schloss ihn die Hochschule Luzern am 19. August 2010 vom Studiengang aus. B. Gegen die Leistungsbewertung der Modulprüfung "Information Management 2" und den gestützt darauf verfügten Ausschluss vom Studium beschwerte sich X._ erfolglos beim Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern. Mit Eingabe vom 24. Juni 2011 führte er beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde gegen dessen Entscheid. Auf Antrag X._ sistierte das Gericht dieses Verfahren, denn er hatte bei der Hochschule Luzern das Gesuch gestellt, es seien ihm Leistungen seines Studiums in den USA anzurechnen. Nachdem dieses Ersuchen gescheitert war (letztinstanzliches Urteil des Bundesgerichts in dieser Angelegenheit 2C_606/2012 vom 27. August 2012), nahm das Verwaltungsgericht das Verfahren wieder auf und wies die Beschwerde X._ am 9. Januar 2013 ab. C. Mit Eingabe vom 18. Februar 2013 führt X._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen diesen Entscheid. Er stellt eine Vielzahl von Anträgen, die auf eine Gutheissung seiner Beschwerde und die Möglichkeit des Weiterstudiums hinauslaufen. Ausserdem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht (Vorinstanz) und das Bildungs- und Kulturdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Hochschule Luzern hat sich nicht vernehmen lassen.