Sachverhalt: A. Der 1965 geborene N._ arbeitete ab 1988 als Bodenleger in der Firma F._ AG und war dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Er war ab 5. November 2002 wegen Schmerzen am rechten Ellbogen zunächst ganz und später teilweise arbeitsunfähig. Dr. med. K._, Oberarzt Ergonomie, Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin des Spitals X._, diagnostizierte mit Berichten vom 21. Januar und vom 11. April 2003 eine chronische Epicondylitis humero-ulnaris beidseits rechtsbetont, welche er als arbeitsassoziiert betrachtete. Der Krankentaggeldversicherer der Arbeitgeberin, dem zuerst Meldung erstattet worden war, verneinte hierauf seine Zuständigkeit, da es sich um eine Berufskrankheit handle. Im Mai 2003 liess N._ sein Leiden der SUVA als Berufskrankheit melden. Diese lehnte mit Verfügung vom 16. Juli 2003 die Ausrichtung von Leistungen ab, da keine Berufskrankheit vorliege. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 15. Oktober 2003 fest. N._ führte hiegegen Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Mit Entscheid vom 10. Juni 2005 hiess das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, dass der Einspracheentscheid aufgehoben und die Sache an die SUVA zurückgewiesen wurde, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über ihre Leistungspflicht im Zusammenhang mit der Epikondylitis sowie über die vom Versicherten beantragte Übernahme der Kosten für das Privatgutachten (gemeint ist eine von Dr. med. L._, FMH Arbeitsmedizin, FMH Soz. und Präv.med., und Dr. med. K._ gemeinsam verfasste Stellungnahme vom 17. Februar 2005) neu verfüge. Die besagte Abklärung sollte darin bestehen, ein vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern im Nachgang zum Urteil (des Eidgenössischen Versicherungsgerichts) U 114/99 vom 3. August 2000 (BGE 126 V 183) veranlasstes Gutachten beizuziehen und anhand dieser wissenschaftlichen Grundlagen unter Einbezug der vom Versicherten veranlassten Studien die Anerkennung der Epikondylitis als Berufskrankheit zu überprüfen. Die SUVA holte hierauf das besagte, am 5. April 2005 durch Dr. med. L._ und Dr. med. K._ erstellte Gerichtsgutachten (mit Anhängen) ein. Hiezu äusserte sich Dr. med. I._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA, der zuvor bereits mehrfach Stellung genommen hatte, mit Ärztlicher Beurteilung vom 29. Juni 2006. Mit Verfügung vom 15. August 2006 verneinte die SUVA erneut eine Berufskrankheit und damit ihre Leistungspflicht im Zusammenhang mit der Epikondylitis. Die vom Krankenpflegeversicherer des N._ gegen diese Verfügung vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab, soweit sie darauf eintrat (Entscheid vom 23. April 2007). B. Die von N._ gegen den Einspracheentscheid vom 23. April 2007 erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, einschliesslich des Antrags auf Vergütung der Kosten der Stellungnahme/Privatexpertise der Dres. med. L._ und K._ vom 17. Februar 2005 durch die SUVA, mit Entscheid vom 11. August 2008 ab. C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, insbesondere sei die Erkrankung als Berufskrankheit zu anerkennen und seien die gesetzlichen Taggelder und hernach eine Rente sowie eine angemessene Integritätsentschädigung und die Übernahme der Heilbehandlung zuzusprechen; zudem sei die SUVA zu verpflichten, die Kosten des Gutachtens vom 17. Februar 2005 im Betrag von Fr. 5'800.- zu erstatten. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.