Sachverhalt: A. Der 1946 geborene G._ verletzte sich am 13. Dezember 2003 bei einem Unfall am rechten Knie. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 25. April 2005 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 23. Juni 2005 schloss sie den Fall folgenlos ab. Nachdem der Versicherte einen Rückfall gemeldet hatte, gewährte die SUVA erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 29. Januar 2008 stellte sie die Leistungen per 29. Februar 2008 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 14. März 2008). Zur Begründung führte sie aus, die unfall- und nun rückfallbedingte gesundheitliche Verschlimmerung sei als lediglich vorübergehend und zwischenzeitlich abgeschlossen zu betrachten. B. G._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 1. Oktober 2008). C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ab 1. März 2008 weiterhin Taggeld und ab einem noch zu bestimmenden Zeitpunkt anstelle des Taggeldes eine angemessene Invalidenrente, basierend auf einer unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit resp. Invalidität von mindestens 50 %, sowie die Kostenübernahme der zweckmässigen Behandlung der Unfallfolgen zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Ergänzung der Sachverhaltsabklärungen und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt. Am 7. Januar 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.