Sachverhalt: A. A.a Y._ (Beschwerdeführerin) und X._ (Beschwerdegegner) sind die verheirateten Eltern der beiden Kinder R._ (geb. 1994) und S._ (geb. 1998). Die Parteien leben aufgrund der Eheschutzverfügung des Vizepräsidenten des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 20. Oktober 2005 getrennt. Mit diesem Entscheid wurde die elterliche Obhut über die Kinder der Beschwerdeführerin zugeteilt und ihr gegenüber die Weisung erlassen, mit den Kindern nicht ins Ausland, insbesondere nicht nach Brasilien auszuwandern; ferner wurde eine Beistandschaft im Sinn von Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet und der zu bestimmende Beistand damit beauftragt, die Ausübung des Besuchsrechts des Vaters zu ermöglichen, das an die Beschwerdeführerin gerichtete Auswanderungsverbot zu überwachen und die Beschwerdeführerin bei der Versorgung und Betreuung der Kinder zu unterstützen. Mit Beschluss vom 12. Januar 2006 regelte die Vormundschaftsbehörde Wäldi/TG diese Beistandschaft. A.b Am 1. Juli 2006 zog die Beschwerdeführerin mit den Kindern von Hefenhausen/TG nach Wetzikon/ZH, worauf die Vormundschaftsbehörde Wetzikon mit Beschluss vom 1. März 2007 die Beistandschaft übernahm, die zuständige Beiständin bestimmte und diese beauftragte, die Mutter in der Erziehung der Kinder zu begleiten und zu beraten, bei Bedarf im Zusammenhang mit den Kontakten zwischen Kindern und Vater und zwischen allen Beteiligten zu vermitteln sowie mit den involvierten Fachpersonen den Kontakt zu pflegen und wenn nötig eine vermittelnde und koordinierende Rolle zu übernehmen. B. B.a Gegen diesen Beschluss gelangte die Beschwerdeführerin an den Bezirksrat Hinwil mit dem Begehren, die Beistandschaft aufzuheben. Mit Entscheid vom 4. Juni 2007 wies der Bezirksrat die Beschwerde ab und ergänzte den angefochtenen Beschluss mit dem zusätzlichen Auftrag an die Beiständin, die Beschwerdeführerin zu überwachen, damit sie mit den Kindern nicht ins Ausland, insbesondere nicht nach Brasilien, ziehe. Gleichzeitig wies er die Vormundschaftsbehörde an, die Pässe der Kinder in Verwahrung zu nehmen und den Kindseltern nur mit schriftlicher Zustimmung des andern Elternteils herauszugeben. Einem allfälligen Rekurs wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. B.b Mit Beschluss vom 27. August 2007 wies das Obergericht des Kantons Zürich den von der Beschwerdeführerin erhobenen Rekurs ab und bestätigte den Beschluss des Bezirksrats Hinwil vom 4. Juni 2007. Das Obergericht ging davon aus, die Verhältnisse hätten sich seit der Anordnung der Beistandschaft nicht verändert, weshalb sich ihre Weiterführung aufdränge. Angesichts der im Kindesschutz geltenden Offizialmaxime und der Befugnis des Bezirksrats, den Entscheid auch zum Nachteil der beschwerdeführenden Person abzuändern, sei es zulässig, den angefochtenen Entscheid der Vormundschaftsbehörde nicht nur zu bestätigen, sondern von Amtes wegen im erwähnten Sinn (Überwachung des Auswanderungsverbots) zu ergänzen. Unter diesen Umständen könne auf die beantragte Befragung des Vaters und der Beschwerdeführerin wie auch der Kinder verzichtet werden. C. Die Beschwerdeführerin richtet sich mit einer als Beschwerde bzw. Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe an das Bundesgericht mit dem (sinngemässen) Antrag, die Beistandschaft aufzuheben. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen und ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.