Sachverhalt: A. A.a Mit Entscheid vom 22. Januar 2001 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die Gleichstellungsklagen verschiedener Berufsverbände und Einzelklägerinnen gegen den Staat Zürich betreffend die Einreihung der Diplomierten Krankenschwestern, Diplomierten Krankenschwestern mit Zusatzausbildung sowie Stationsschwestern teilweise gut. Das Verwaltungsgericht hielt fest, dass, um eine Diskriminierung im Vergleich zu den Kantonspolizeisoldaten zu vermeiden, die Diplomierten Krankenschwestern, denen Auszubildende und/oder Hilfspersonal unterstellt seien, grundsätzlich in die Lohnklassen 14 und 15 anstatt 12 und 13 gehörten. An demselben Tag ergingen weitere Urteile über Gleichstellungsklagen im kantonalen Gesundheitswesen. Der Regierungsrat beschloss am 16. Mai 2001 einen "Einreihungsplan (Neueinreihung Gesundheitsberufe)", wodurch ab 1. Juli 2001 die Krankenschwestern und -pfleger des Diplomniveaus II in Lohnklasse 14 (statt Lohnklasse 12) eingereiht wurden. Ausserdem genehmigte er mit Beschluss vom 29. August 2001 eine zwischen den Individualklägerinnen und den klagenden Gewerkschaften einerseits und dem Kanton Zürich, vertreten durch die Finanz- und Gesundheitsdirektion, sowie dem Verband Zürcher Krankenhäuser anderseits am 11. Juli 2001 zustande gekommene Vereinbarung betreffend Lohnnachzahlungen im Gesundheitswesen. Gemäss dieser Vereinbarung erhalten die Angehörigen der von den erwähnten Urteilen betroffenen Berufe und Funktionen, sofern sie nicht individuell geklagt hatten, entsprechend der Neueinreihung pauschalierte Beträge für die Zeit ab Anfang März 1996 bis Ende Juni 2001. A.b X._, diplomierte Krankenschwester, nahm im Jahr 1984 ihre Tätigkeit am Bezirksspital Dielsdorf auf. Ab Anfang 1993 bis Ende Juni 2001 war sie in der Lohnklasse 12 und seither in der Lohnklasse 14 eingereiht. Nebst anderen Mitarbeitenden des Spitals ersuchte sie am 19. September 2001 bei der von der Gesundheitsdirektion eingerichteten "Zentralstelle Lohnnachzahlungen" um Lohnnachzahlungen. Mit Schreiben vom 26. November 2001 teilte das Spital den Gesuchstellenden mit, dass die Delegierten des Zweckverbandes Bezirksspital Dielsdorf die Gesuche um rückwirkende Lohnnachzahlungen am 22. November 2001 abgelehnt hätten. Am 20. Dezember 2001 wandte sich die Vertreterin von X._ im Namen des Schweizer Physiotherapie-Verbands sowie des Schweizer Berufsverbands der Krankenschwestern und Krankenpfleger folgendermassen an das Bezirksspital: Dieses habe verschiedene Gesuche um Lohnnachzahlungen zurückgewiesen, was trotz fehlender formalrechtlicher Bindung an die Verwaltungsgerichtsentscheide nicht überzeuge; es werde um Stellungnahme gebeten. Konkrete Forderungen und die Bitte um Erlass anfechtbarer Verfügungen würden voraussichtlich erst im ersten Quartal 2002 gestellt. Einstweilen solle das Spital erklären, auf die Einrede der Verjährung zu verzichten, ansonsten alle Betroffenen einzeln eine Betreibung einleiten müssten. Das Spital antwortete am 11. Januar 2002 abschlägig. Hierauf betrieben es 56 Angestellte, nebst anderen X._ mit Zahlungsbefehl vom 21. Februar 2002 für eine Hauptforderung über Fr. 60'000.--. Das Spital erhob dagegen Rechtsvorschlag. Am 16. Februar 2004 ersuchte X._ das Spital für die Zeit von Anfang Februar 1997 bis Ende Juni 2001 um Lohnnachzahlungen von Fr. 19'719.30 (Berechnung gemäss Regierungsratsbeschluss Nr. 1283/2001), eventuell Fr. 16'562.50 (nicht pauschalierte Berechnung) bzw. Erlass einer anfechtbaren Verfügung. Mit Schreiben vom 23. Februar 2004 lehnte dieses eine Lohnnachzahlung wiederum ab. In der Folge verweigerte das Spital auch den Erlass einer anfechtbaren Verfügung und verwies X._ auf den Klageweg. X._ erhob dagegen Rechtsverweigerungsbeschwerde. Der Bezirksrat Dielsdorf hiess das Rechtsmittel am 30. November 2004 gut und wies den Zweckverband Bezirksspital Diesldorf an, einen anfechtbaren Beschluss betreffend Lohnnachzahlungen zu erlassen. Dagegen erhob der Zweckverband Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Dieses hiess die Beschwerde gut, hob den Beschluss des Bezirksrats auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Anhandnahme der Eingabe von X._ vom 16. Februar 2004 als Rekurs gegen den Entscheid des Spitals vom 26. November 2001 an den Bezirksrat zurück. Mit Beschluss vom 21. März 2006 hiess der Bezirksrat den Rekurs gut, hob den Beschluss der Delegiertenversammlung des Zweckverbands Bezirksspital Dielsdorf vom 22. November 2001 auf und verpflichtete den Zweckverband, zugunsten von X._ für die Zeit vom 1. Februar 1997 bis zum 30. Juni 2001 eine Besoldungsnachzahlung von brutto Fr. 19'719.30 zuzüglich Verzugszinsen von 5% ab 1. Juli 2001 zu leisten; die Verfahrenskosten wurden auf die Staatskasse genommen und der Zweckverband verpflichtet, X._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Gegen diesen Beschluss erhob der Zweckverband Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, mit Entscheid vom 3. Oktober 2007 abwies. B. Der Zweckverband Bezirksspital Dielsdorf hat beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen Verletzung seiner Autonomie und wegen Verletzung des Bundesgesetzes vom 24. März 1995 über die Gleichstellung von Frau und Mann (Gleichstellungsgesetz, GIG; SR 151.1) erhoben. Er beantragt, der Beschluss (recte: Entscheid) des Verwaltungsgerichts vom 3. Oktober 2007 und der Beschluss des Bezirksrats vom 21. März 2006 seien aufzuheben, und es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer keine Lohnnachzahlungen schuldet. Ferner ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. C. X._ beantragt Beschwerdeabweisung. Das Verwaltungsgericht hat auf Stellungnahme verzichtet. Der Beschwerdeführer sowie im Anschluss die Beschwerdegegnerin haben sich unter Aufrechterhaltung ihrer Anträge nochmals vernehmen lassen. D. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.