Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1948 geborene D._ war ab Februar 1974 bei der Firma C._ + Co., als Telefonistin und ab 1977 als Mitglied der Geschäftsleitung der Firma E._ AG, tätig und gestützt auf diese Arbeitsverhältnisse bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen obligatorisch versichert. Am 1. Oktober 1975 erlitt D._ bei einem Selbstunfall mit ihrem PW eine commotio cerebri, eine Oberschenkelkontusion links sowie eine Subluxation auf Höhe C5/6. Die SUVA übernahm die Kosten der Heilbehandlung und richtete Taggelder aus. Ab 15. März 1976 war D._ wieder zu 50 % und ab 3. Mai 1976 wieder vollständig arbeitsfähig. Da sie weiterhin über Beschwerden klagte, wurde sie vom 18. Oktober bis 26. November 1976 im Nachbehandlungszentrum X._ der SUVA nochmals stationär behandelt. Im März 1977 liess D._ einen Rückfall melden, worauf die SUVA die Unfallkausalität der geklagten Beschwerden gutachterlich abklären liess. Weitere Rückfälle liess D._ der SUVA im August und Dezember 1981 melden. Am 8. Oktober 1995 stürzte D._ auf einer Bergwanderung zirka zwei Meter einen Hang hinunter und schlug dabei mit dem Kopf zweimal auf der rechten Seite auf. Der Hausarzt der Versicherten diagnostizierte eine schwere commotio cerebri und überwies sie an den Neurochirurgen Dr. S._, der zwei Diskushernien C5/6 und C6/7 diagnostizierte und diese am 25. Oktober 1995 operativ behandelte. Mit Verfügung vom 17. Juni 1996 übernahm die SUVA die "direkten Sturzfolgen", lehnte aber ihre weitere Leistungspflicht mit Wirkung ab 25. Oktober 1995 ab. D._ liess dagegen Einsprache erheben, worauf die SUVA die von ihrem Hausarzt veranlassten Berichte von PD Dr. Y._/Dr. W._ von der Klinik R._ vom 29. Juli 1997 und des Neurologen Dr. H._, vom 3. Oktober 1997 beizog sowie ein neuropsychologisches Gutachten der Neurologischen Klinik des Spitals Z._ vom 16. Dezember 1997 und ein interdisziplinäres Gutachten des Zentrums für Medizinische Begutachtung (ZMB), Basel, vom 22. Oktober 1998 einholte. Nachdem die Gutachter des ZMB mit Ergänzungsgutachten vom 22. April 1999 zu den vom Rechtsvertreter der Versicherten gestellten Zusatzfragen und der anstaltseigene Spezialarzt für Orthopädische Chirurgie, Dr. M._, zur Frage der Dauer der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit (Bericht vom 9. Juni 1999) Stellung genommen hatten, widerrief die SUVA mit Verfügung vom 23. Juni 1999 jene vom 17. Juni 1997, übernahm die Kosten der Heilbehandlung sowie Taggeldleistungen für eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 10. März 1996 und von 65 % bis 22. Oktober 1998 und lehnte ihre Leistungspflicht mit Wirkung ab diesem Zeitpunkt ab. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie nach Einholung ergänzender Berichte von Dr. M._ vom 22. November 1999 und der anstaltseigenen Spezialärztin für Psychiatrie, Dr. A._, vom 7. Januar 2000 mit Einspracheentscheid vom 21. August 2000 ab. Am 8. Oktober 1995 stürzte D._ auf einer Bergwanderung zirka zwei Meter einen Hang hinunter und schlug dabei mit dem Kopf zweimal auf der rechten Seite auf. Der Hausarzt der Versicherten diagnostizierte eine schwere commotio cerebri und überwies sie an den Neurochirurgen Dr. S._, der zwei Diskushernien C5/6 und C6/7 diagnostizierte und diese am 25. Oktober 1995 operativ behandelte. Mit Verfügung vom 17. Juni 1996 übernahm die SUVA die "direkten Sturzfolgen", lehnte aber ihre weitere Leistungspflicht mit Wirkung ab 25. Oktober 1995 ab. D._ liess dagegen Einsprache erheben, worauf die SUVA die von ihrem Hausarzt veranlassten Berichte von PD Dr. Y._/Dr. W._ von der Klinik R._ vom 29. Juli 1997 und des Neurologen Dr. H._, vom 3. Oktober 1997 beizog sowie ein neuropsychologisches Gutachten der Neurologischen Klinik des Spitals Z._ vom 16. Dezember 1997 und ein interdisziplinäres Gutachten des Zentrums für Medizinische Begutachtung (ZMB), Basel, vom 22. Oktober 1998 einholte. Nachdem die Gutachter des ZMB mit Ergänzungsgutachten vom 22. April 1999 zu den vom Rechtsvertreter der Versicherten gestellten Zusatzfragen und der anstaltseigene Spezialarzt für Orthopädische Chirurgie, Dr. M._, zur Frage der Dauer der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit (Bericht vom 9. Juni 1999) Stellung genommen hatten, widerrief die SUVA mit Verfügung vom 23. Juni 1999 jene vom 17. Juni 1997, übernahm die Kosten der Heilbehandlung sowie Taggeldleistungen für eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 10. März 1996 und von 65 % bis 22. Oktober 1998 und lehnte ihre Leistungspflicht mit Wirkung ab diesem Zeitpunkt ab. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie nach Einholung ergänzender Berichte von Dr. M._ vom 22. November 1999 und der anstaltseigenen Spezialärztin für Psychiatrie, Dr. A._, vom 7. Januar 2000 mit Einspracheentscheid vom 21. August 2000 ab. B. Beschwerdeweise liess D._ die Ausrichtung von Heilungskosten und Taggeldern für eine Arbeitsunfähigkeit von 65 % ab 22. Oktober 1998, einer Invalidenrente für einen Invaliditätsgrad von 75 % und einer Integritätsentschädigung von 30 % beantragen. Zusammen mit ihrer Beschwerde liess sie ein Privatgutachten des neurologischen Spezialarztes Dr. B._, vom 27. Sep-tember 2000 verurkunden. Mit Entscheid vom 28. Juni 2001 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Streitsache "zur Neubegutachtung im Sinne der Erwägungen und zur Neubeurteilung" an die SUVA zurück. B. Beschwerdeweise liess D._ die Ausrichtung von Heilungskosten und Taggeldern für eine Arbeitsunfähigkeit von 65 % ab 22. Oktober 1998, einer Invalidenrente für einen Invaliditätsgrad von 75 % und einer Integritätsentschädigung von 30 % beantragen. Zusammen mit ihrer Beschwerde liess sie ein Privatgutachten des neurologischen Spezialarztes Dr. B._, vom 27. Sep-tember 2000 verurkunden. Mit Entscheid vom 28. Juni 2001 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Streitsache "zur Neubegutachtung im Sinne der Erwägungen und zur Neubeurteilung" an die SUVA zurück. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D._ lässt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen; eventuell sei die "grundsätzliche" Leistungspflicht der SUVA ab 22. Oktober 1998 zu bestätigen und die Streitsache zur "Leistungsfestsetzung" an die SUVA zurückzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.