Sachverhalt: Sachverhalt: A. M._, geb. 1975, absolvierte eine Lehre als Bijouterieverkäuferin, war für kurze Zeit in diesem Beruf und von Juli 1996 bis April 1998 bei der Firma H._ AG als Mitarbeiterin in der Verpackungsabteilung tätig. Seit 1997 besteht ein Schmerzzustand im Bereich von Halswirbelsäule und Hinterkopf sowie der rechten Schulter und des rechten Arms (zervikospondylogenes Syndrom). Am 21. April 1998 meldete sich M._ zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern tätigte Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht, holte insbesondere eine interdisziplinäre Expertise bei der Medizinischen Begutachtungsstelle X._ vom 16. Februar 2001 ein und sprach der Versicherten eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 50 % zu (Verfügung vom 5. März 2003, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 1. August 2003). A. M._, geb. 1975, absolvierte eine Lehre als Bijouterieverkäuferin, war für kurze Zeit in diesem Beruf und von Juli 1996 bis April 1998 bei der Firma H._ AG als Mitarbeiterin in der Verpackungsabteilung tätig. Seit 1997 besteht ein Schmerzzustand im Bereich von Halswirbelsäule und Hinterkopf sowie der rechten Schulter und des rechten Arms (zervikospondylogenes Syndrom). Am 21. April 1998 meldete sich M._ zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern tätigte Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht, holte insbesondere eine interdisziplinäre Expertise bei der Medizinischen Begutachtungsstelle X._ vom 16. Februar 2001 ein und sprach der Versicherten eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 50 % zu (Verfügung vom 5. März 2003, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 1. August 2003). B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in der Sache ab (Entscheid vom 4. Juni 2004). B. Die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in der Sache ab (Entscheid vom 4. Juni 2004). C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, eventuell nach weiterer Abklärung durch ein polydisziplinäres Gutachten, unter Aufhebung von Einsprache- und kantonalem Gerichtsentscheid, mit Wirkung ab dem 1. November 1998 eine ganze Invalidenrente auszurichten. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf Vernehmlassung.