Sachverhalt: A. Der 1964 geborene R._ meldete sich am 13. April 2010 wegen körperlicher und psychischer Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung des medizinischen Sachverhalts orientierte ihn die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Vorbescheid vom 7. Januar 2011, dass sie beabsichtige, das Leistungsbegehren abzuweisen, da bei einem Invaliditätsgrad von weniger als 40 Prozent kein Rentenanspruch bestehe. Der Bescheid enthielt den Hinweis, dass innert 30 Tagen seit Zustellung schriftlich oder mündlich im Rahmen eines persönlichen Gesprächs bei der IV-Stelle Einwände vorgebracht werden können. Mit Schreiben vom 18. Januar 2011 gewährte die Verwaltung dem Versicherten für die Einreichung einer allfälligen Stellungnahme zum Vorbescheid eine Fristerstreckung bis Ende Februar 2011. Am 7. Februar 2011 ersuchte R._ um Akteneinsicht, worauf ihm die IV-Stelle am 10. Februar 2011 die Akten auf elektronischem Datenträger zustellte. Mit Datum vom 22. Februar 2011 erliess die IV-Stelle die im Sinne des Vorbescheids lautende, das Leistungsbegehren ablehnende Verfügung. Darin hielt sie fest, dass im Rahmen des Vorbescheidverfahrens keine Einwände gegen den vorgesehenen Entscheid gemacht worden seien. Am 24. Februar 2011 (Poststempel) reichte R._ der IV-Stelle einen schriftlichen Einwand gegen den Vorbescheid vom 7. Januar 2011 ein (Posteingang: 28. Februar 2011). In einer E-mail vom 22. März 2011 teilte die IV-Stelle diesem mit, die Verfügung vom 22. Februar 2011 sei vor Ablauf der bis Ende Februar erstreckten Frist für den Einwand zugestellt worden und somit ungültig; sie werde daher durch eine neue Verfügung ersetzt. Am 23. März 2011 erliess die IV-Stelle eine neue Verfügung, welche diejenige vom 22. Februar 2011 ersetzte. Darin nahm sie zum Einwand vom 24./28. Februar 2011 Stellung, wies das Leistungsbegehren jedoch erneut ab. B. Ebenfalls am 23. März 2011 liess R._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau (Posteingang: 24. März 2011) gegen die Verfügung vom 22. Februar 2011 Beschwerde erheben und beantragen, die Sache sei zur ergänzenden Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen; eventualiter sei ihm in Aufhebung der Verfügung eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 16. Mai 2012 trat das Versicherungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Gleichzeitig wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben, und es sei die Sache zur Klärung des Rentenanspruchs an die Vorinstanz, eventuell die IV-Stelle zurückzuweisen. Eventualiter sei ihm eine IV-Rente zuzusprechen. Des Weitern wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Die IV-Stelle beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.