Sachverhalt: A. A.a. Die vorliegende Streitigkeit dreht sich um die Rückzahlung eines zinslosen und ungesicherten Darlehens in der Höhe von EUR 150'000, das von B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) an A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) im Februar 2002 gewährt wurde. Während die Klägerin die Rückzahlung des Darlehens verlangt, wendet der Beklagte die Verjährung ein. A.b. Die Parteien waren seit 1984 befreundet. Mit dem Darlehen wurde bezweckt, dem Beklagten den Kauf eines Wohnhauses in Langnau am Albis/ZH zu ermöglichen. In dem von den Parteien am 18. bzw. 20. Februar 2002 abgeschlossenen Darlehensvertrag wurde insbesondere festgehalten: "Der Vertrag läuft vorerst befristet bis 28. Februar 2005 und kann danach bei Bedarf verlängert werden". Der Klägerin wurde das Recht eingeräumt, die Darlehenssumme schon früher zu jedem Zeitpunkt und grundlos zurückzufordern, wovon sie jedoch keinen Gebrauch machte. Ob und inwiefern die Parteien in der Folge über das Darlehen und dessen Rückzahlung kommuniziert haben, konnte nicht ermittelt werden. Jedenfalls wurde am Ende der Vertragslaufzeit das geliehene Geld nicht an die Beschwerdegegnerin zurückbezahlt. In einer E-Mail vom 4. November 2009 schrieb die Klägerin an den Beklagten: "wie siehts mit der rückzahlung meines geldes aus? ist schliesslich schon lange her, genau gesagt 2002. vertrag lief bis 2005. es wäre mir recht, wenn du mir mal konkrete vorschläge machst [sic]". Noch am selben Tag antwortete der Beklagte: "Dein Geld steckt hier in der Hütte und ist relativ sicher. Wenn wir das Haus verkaufen kommst Du an Dein Geld. Aber das ist im Moment kein Thema. Zum jetzigen Zeitpkt. kann ich Dir also keine realistischen Vorschläge machen [...] Es tut mir leid, Dir keine andere Antwort geben zu können [...] Ich kann mir nicht vorstellen, dass Du das Geld aus dem Darlehen unbedingt brauchst [...] [sic]". B. B.a. Am 19. Dezember 2013 leitete die Klägerin eine Betreibung gegen den Beklagten ein, worauf der Beklagte Rechtsvorschlag erhob. Während die Klägerin die Rückzahlung des Darlehens verlangte, wendete der Beklagte die Verjährung ein. Nachdem erstinstanzlich die provisorische Rechtsöffnung erteilt worden war, wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 15. Oktober 2014 das Rechtsöffnungsbegehren mit der Begründung ab, die vom Beklagten erhobene Einrede der Verjährung lasse sich im summarischen Verfahren nicht abschliessend beurteilen. B.b. Am 19. August 2015 reichte die Klägerin beim Bezirksgericht Horgen Klage ein. Sie beantragte, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr EUR 150'000 nebst Zinsen zu bezahlen, und der Rechtsvorschlag sei zu beseitigen. Mit Urteil vom 17. April 2018 hiess das Bezirksgericht die Klage weitgehend gut. B.c. Dagegen erhob der Beklagte am 22. Mai 2018 beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung. Er beantragte die Abweisung der Klage und des Rechtsöffnungsbegehrens. Mit Urteil vom 3. Juni 2019 wies das Obergericht die Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte, die Klage und das Rechtsöffnungsbegehren seien abzuweisen, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten wird. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hat eine spontane Replik eingereicht. Mit Verfügung vom 5. September 2019 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.