Sachverhalt: A. A._ (geb. 1956) und B._ (geb. 1960) heirateten am 18. Februar 1999. Sie sind die Eltern der beiden Kinder C._ (geb. 1997) und D._ (geb. 1998). Seit dem 13. April 2009 leben die Parteien getrennt. B. B.a. A._ (Kläger) leitete am 5. März 2012 beim Gerichtspräsidium Kulm eine auf Art. 114 ZGB gestützte Scheidungsklage mit detaillierten Anträgen ein. Bezüglich des Ehegattenunterhalts beantragte er, ihn zu verpflichten, an den persönlichen Unterhalt von B._ (Beklagte) ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis September 2014 monatlich im Voraus Fr. 600.-- zu bezahlen. Auf eine Indexierung sei zu verzichten. In ihrer Klageantwort verlangte die Beklagte ebenfalls die Scheidung und stellte ihrerseits detaillierte, von jenen in der Klage abweichende Anträge. Bezüglich des persönlichen Unterhalts verlangt sie, den Kläger zu verurteilen, ihr monatlich vorschüssig Fr. 1'124.75 zu bezahlen, vorbehaltlich einer nachträglichen Erhöhung dieser Rente nach Art. 129 Abs. 3 ZGB. Überdies sei dieser Unterhaltsbeitrag zu indexieren. In der Duplik modifizierte die Beklagte sodann ihre Anträge dahin, der Kläger sei zu verpflichten, an ihren Unterhalt "monatlich vorschüssig mindestens Fr. 1'083.-- sowie nach Wegfall einer Kinderrente Fr. 1'940.-- und nach Wegfall der zweiten Kinderrente Fr. 2'597.-- zu bezahlen." Nach Durchführung der Beweisverhandlungen erhöhte die Beklagte die anbegehrte Rente bis zum Wegfall der ersten Kinderrente auf Fr. 1'600.--. B.b. Mit Urteil vom 21. Januar 2014 (zugestellt am 14. August 2014) hiess das Bezirksgericht Kulm das Scheidungsbegehren gut. Es verpflichtete den Kläger, der Beklagten als nachehelichen Unterhalt monatlich vorschüssig Fr. 918.-- zu bezahlen, wobei diese Unterhaltsrente bis zum 30. September 2014 befristet wurde. Für die Zeit danach sah das Urteil keine Unterhaltsverpflichtung mehr vor. B.c. Auf Berufung der Beklagten hin verhielt das Obergericht des Kantons Aargau den Kläger dazu, an den persönlichen Unterhalt der Beklagten monatlich vorschüssig Fr. 1'078.-- bis zu deren Eintritt ins ordentliche AHV-Alter und ab diesem Zeitpunkt Fr. 608.-- zu bezahlen. Die vom Kläger erhobene Anschlussberufung betraf ausschliesslich die Belange des älteren der beiden Söhne, nicht aber den nachehelichen Unterhalt. Weil dieser Sohn noch während des obergerichtlichen Verfahrens volljährig wurde, schrieb das Obergericht die Anschlussberufung als gegenstandslos ab. C. Der Kläger (Beschwerdeführer) gelangt mit Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG vom 2. März 2016 an das Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, soweit dieser den nachehelichen Unterhalt betrifft, und die Feststellung, dass kein solcher geschuldet ist. Überdies verlangt er die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Beklagte beantragt in ihrer Beschwerdeantwort vom 9. Februar 2017 die Abweisung der Beschwerde; mit Eingabe vom 20. Februar 2017 hält der Beschwerdeführer an seinen Beschwerdeanträgen fest.