Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1974) leidet an einer chronischen paranoiden Schizophrenie mit Residuum. Sein Zustand hat seit 2006 mehrfach zu fürsorgerischen Unterbringungen geführt. A.a.a. Anfang Juni 2019 entfachte sich nachts, während A._ unter Alkolhol- und Drogeneinfluss schlief, ein Brand in der Küche seiner Wohnung. Daraufhin wurde er am 9. Juni 2019 in die Klinik B._ AG eingewiesen, auf Beschwerde hin allerdings am 18. Juni 2019 wieder entlassen. A.a.b. Im Rahmen einer vom Familiengericht Baden als Erwachsenenschutzbehörde angeordneten ambulanten Massnahme erhielt A._ während mehreren Jahren in der Klinik B._ AG eine Depotmedikation mit dem Neuroleptikum Haldol decanoas (intramuskuläre Injektion). Er musste wiederholt zur Verabreichung der Depotspritze polizeilich in die Klinik gebracht werden, zuletzt am 13. August 2019. Am 14. August 2019 kam es zu einer weiteren Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung. A._ entwich jedoch am 17. August 2019 aus der Klinik. A.a.c. Am 10. September 2019 trat A._ freiwillig in die Klinik B._ AG ein. Am 11. September 2019 ordnete die Klinik B._ AG die Zurückbehaltung und am 13. September 2019 Dr. med. C._ eine fürsorgerische Unterbringung in der Klinik B._ AG an. Mit Entscheid vom 20. September 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die gegen diesen Unterbringungsentscheid erhobene Beschwerde ab. A.a.d. Am 2. Oktober 2019 übertrug das Familiengericht Baden die Entlassungszuständigkeit der Klinik B._ AG und hielt fest, dass die nächste periodische Überprüfung der fürsorgerischen Unterbringung spätestens per 11. März 2020 erfolgen werde. A.b. Am 31. Januar 2020 stellte A._ ein Entlassungsgesuch, welches die Klinik B._ AG gleichentags abwies. Dagegen erhob der Betroffene am 10. Februar 2020 beim Verwaltungsgericht Beschwerde. Dieses führte am 18. Februar 2020 in der Klinik eine Verhandlung durch und wies die Beschwerde gleichentags ab. Das Urteil wurde den Beteiligten mit einer Kurzbegründung im Dispositv eröffnet (WBE.2020.49). Am 12. März 2020 ersuchte A._ um Ausfertigung einer vollständigen schriftlichen Begründung. Diese wurde ihm am 21. März 2020 zugestellt. Dagegen hat A._ Beschwerde beim Bundesgericht geführt (Verfahren 5A_385/2020). B. B.a. Mit Entscheid vom 4. März 2020 bestätigte das Familiengericht im Rahmen der ersten periodischen Überprüfung (vgl. Bst. A.a.d) die fürsorgerische Unterbringung; es setzte die nächste Überprüfung per 11. April 2020 fest. Mit Entscheid vom 11. März 2020 berichtigte das Familiengericht seinen Entscheid vom 4. März 2020 dahingehend, dass die nächste periodische Überprüfung spätestens per 11. Juni 2020 erfolgen solle. B.b. Am 18. März 2020 erhob A._ gegen den Entscheid des Familiengerichts vom 4. bzw. 11. März 2020 beim Verwaltungsgericht Beschwerde. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 1. April 2020 ab (WBE.2020.98). C. Mit Eingabe vom 19. Mai 2020 führt A._ Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 1. April 2020 (WBE.2020.98). Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die unverzügliche Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Entscheid vom heutigen Tag ist das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren 5A_385/2020 (Sachverhalt Bst. A.b) nicht eingetreten.