Sachverhalt: A. A._ erlitt am 26. November 2007 einen Unfall. Gegen dessen Folgen ist er bei der AXA Versicherungen AG (kurz: AXA) nach UVG versichert. Diese erbrachte Taggeldleistungen und übernahm Heilbehandlungskosten. A.a. Nach verschiedenen Abklärungen stellte sich die AXA am 5. März 2013 auf den Standpunkt, rückwirkend per 31. Dezember 2012 keine weiteren Leistungen mehr erbringen zu müssen. Mit Entscheid VSBES.2013.271 vom 19. Februar 2014 verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die AXA, weiterhin für Heilbehandlungskosten aufzukommen und Taggelder auf der Basis einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zu erbringen. Es führte dazu aus, solange von einer Weiterführung der ärztlichen Behandlung der auf den Unfall zurückzuführenden organisch objektiv ausgewiesenen Hirnverletzung (mit ausgeprägter psychischer Symptomatik) noch eine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit erwartet werden dürfe, könne der Fall nicht abgeschlossen werden. Zusätzlich erwog es, dass es dem Versicherer frei stehe, die von ihm als angezeigt erscheinenden Therapiemassnahmen anzuordnen und eine allfällige Weigerung gegebenenfalls gestützt auf Art. 21 Abs. 4 ATSG und Art. 61 UVV zu sanktionieren; die Einstellung sämtlicher Leistungen sei jedoch nicht zulässig. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid mit Urteil 8C_247/2015 vom 2. Mai 2014 (siehe auch: Urteil 8C_205/2014 vom 24. März 2014). A.b. Mit Schreiben vom 5. Juli 2017 gelangte A._ an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Darin beklagte er sich, die AXA Versicherungen AG richte ihm seit Januar 2017 keine Taggelder mehr aus und verlange von ihm nun in einem 18seitigen Schreiben vom 4. April 2017, an einer medizinischen Abklärung in Basel teilzunehmen, wozu er indessen nicht gewillt sei; er bestehe auf einer Weiterausrichtung der Versicherungsleistungen. Das Sozialversicherungsgericht nahm diese Eingabe als Beschwerde gegen das Schreiben vom 4. April 2017 entgegen und trat am 22. August 2017 darauf nicht ein. B. Gegen diesen Nichteintretensbeschluss erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Ferner ersucht er um unentgeltliche Prozessführung. Während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst die AXA auf Abweisung der Beschwerde.