Sachverhalt: A. A.C._ betreibt eine Zahnarztpraxis im Kanton Schwyz; im Jahr 2013 hatte er Wohnsitz im Kanton Luzern. Am 13. November 2012 war die Scheidung von seiner Ehefrau B.C._ erfolgt. Aus der Beziehung mit D._ hat A.C._ die minderjährigen Söhne E.C._ und F.C._. B. Am 14. Mai 2015 veranlagte die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern A.C._ für die Staats- und Gemeindesteuern 2013 mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 0.-- bei einem satzbestimmenden Einkommen von Fr. 692'000.-- sowie einem steuerbaren Vermögen von Fr. 667'000.-- und für die direkte Bundessteuer mit einem steuerbaren und satzbestimmenden Einkommen von Fr. 688'900.--. Die Veranlagungsbehörde berücksichtigte dabei entgegen der Steuerdeklaration einen Schuldzinsenabzug von Fr. 142'560.-- und einen Alimentenabzug von Fr. 24'000.-- nicht. Die dagegen gerichtete Einsprache wies sie am 22. Januar 2016 ab. Gegen den Einspracheentscheid erhob A.C._ Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern und stellte den Antrag, das steuerbare und satzbestimmende Einkommen sowohl bei den Staats- und Gemeindesteuern als auch bei der direkten Bundessteuer um den Betrag von Fr. 164'560.-- zu reduzieren. Das Kantonsgericht trat mit Urteil vom 18. Januar 2017 auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern nicht ein und wies die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer ab, soweit es darauf eintrat. C. A.C._ erhebt am 27. Februar 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und zur Neubeurteilung nach Gewährung des rechtlichen Gehörs an das Kantonsgericht zurückzuweisen; eventuell sei das steuerbare und satzbestimmende Einkommen sowohl bei den Staats- und Gemeindesteuern als auch bei der direkten Bundessteuer um Fr. 139'327.05 zu reduzieren. Das Kantonsgericht und die Dienststelle Steuern beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) verzichtet in Bezug auf die Staats- und Gemeindesteuern auf einen Antrag und schliesst in Bezug auf die direkte Bundessteuer auf Abweisung der Beschwerde. A.C._ hat am 24. April 2017 repliziert. Das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung ist mit Präsidialverfügung vom 28. Februar 2017 abgewiesen worden.