Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1984) und B.A._ (geb. 1984) heirateten 2005. Aus ihrer Beziehung ist die Tochter C.A._ (geb. 2005) hervorgegangen. Die Parteien leben seit 2006 getrennt. Nach der Trennung der Eltern lebte C.A._ zunächst beim Vater und wurde danach vorübergehend in einer Pflegefamilie fremdplatziert. Ende 2008 wurde C.A._ in die Obhut der Mutter gegeben. Aufgrund von deren Suchtproblematik musste C.A._ erneut fremdplatziert werden. Am 1. Juli 2011 wurde C.A._ unter die Obhut des Vaters gestellt, wo sie seither lebt. Der Kontakt zur Kindsmutter fand anfangs nur selten (halbjährlich), im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts statt. Das Besuchsrecht wurde zwischenzeitlich ausgedehnt. B. B.a. Mit Urteil vom 1. Juni 2016 schied das Kreisgericht Wil die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Die vor Bundesgericht noch streitige elterliche Sorge übertrug das Kreisgericht dem Vater allein (Ziff. 2.a). Darüber hinaus ordnete es an, dass die bestehende Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB fortgeführt werde und die Beiständin den Eltern insbesondere für die Wiederaufnahme und die Durchführung der Mutter-/Kindkontakte sorge (Ziff. 2.b). Ferner regelte das Kreisgericht den persönlichen Verkehr zwischen Mutter und Tochter (Ziff. 3). B.b. Dagegen erhob B.A._ am 13. Juni 2016 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen. Sie verlangte insbesondere, Ziff. 2.a und 3 seien aufzuheben, und beantragte, die Tochter C.A._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge zu belassen. Weiter sei ihr ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende einzuräumen, das schrittweise zeitlich auszudehnen sei und zunächst begleitet und dann unbegleitet stattzufinden habe. Der Beiständin von C.A._ sei die Aufgabe zu übertragen, die begleiteten Besuche zu organisieren und C.A._ sowie die Parteien bei der Umsetzung des gerichtlichen Besuchsplans zu unterstützen. B.c. Mit Urteil vom 24. September 2018 hob das Kantonsgericht unter anderem Ziff. 2 des Entscheids des Kreisgerichts auf. Es entschied, dass C.A._ in der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen wird, unter der Obhut des Vaters steht und ihren Wohnsitz bei ihm hat (Ziff. 2). Zudem regelte das Kantonsgericht insbesondere den persönlichen Verkehr der Mutter mit C.A._ (Ziff. 3) und ordnete die Weiterführung der Beistandschaft für C.A._ nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an (Ziff. 4). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Oktober 2018 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, Ziff. 2 des vorinstanzlichen Urteils sei aufzuheben und C.A._ unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.