Sachverhalt: A. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geb. 1984) reiste am 6. November 2005 in die Schweiz ein und erhielt gestützt auf die am 25. August 2005 mit einer hier niederlassungsberechtigten Landsfrau geschlossene Ehe eine Aufenthaltsbewilligung. Im Jahr 2010 erhielt er die Niederlassungsbewilligung. Aus der Ehe gingen drei Kinder (geb. 2007, 2009 und 2014) hervor. Am 31. März 2016 verurteilte das Obergericht des Kantons Aargau A._ in zweiter Instanz wegen versuchter schwerer Körperverletzung, Wucher, Hehlerei, Beschimpfung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz unter anderem zu einer Freiheitsstrafe von dreieinhalb Jahren. Am 18. September 2017 wurde er nach mehrmonatiger Untersuchungs- und Sicherheitshaft und anschliessendem vorzeitigen Strafantritt bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Bereits zuvor war A._ unter anderem wegen Widerhandlungen gegen das Waffengesetz zu einer Busse von Fr. 600.-- (Urteil des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen vom 21. Oktober 2010) bzw. zu einer Geldstrafe von 75 Tagessätzen zu Fr. 80.--, deren Vollzug bei einer Probezeit von vier Jahren aufgeschoben wurde, und zu einer Busse von Fr. 1'000.-- (Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Bern, Region Emmental-Oberaargau, vom 16. Februar 2011) verurteilt worden. B. Am 30. Januar 2018 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, Migrationsdienst, die Niederlassungsbewilligung von A._ und wies ihn unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Eine dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 14. August 2018 ab, soweit sie darauf eintrat, und setzte ihm eine Ausreisefrist bis zum 25. September 2018 an. Mit Urteil vom 31. Juli 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die gegen den Entscheid erhobene Beschwerde von A._ ab, soweit es darauf eintrat, und setzte ihm eine neue Ausreisefrist an. C. Mit Eingabe vom 12. September 2019 (Postaufgabe) reicht A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 31. Juli 2019 sei aufzuheben und es sei ihm die Niederlassungsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung abzusehen und eine Verwarnung auszusprechen. Prozessual ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Mit Verfügung vom 18. September 2019 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.