Sachverhalt: A. A.a. Der serbische Staatsbürger A._ (geb. 1964) reiste 1994 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Das Gesuch wurde am 25. Juli 1995 abgewiesen. Ein Wiedererwägungsgesuch seitens A._ wurde am 26. Januar 2000 ebenfalls abgewiesen. Das dagegen erhobene Rechtsmittel zog A._ am 22. Januar 2001 zurück, da ihm gestützt auf die am 23. November 2000 geschlossene Ehe mit der Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1979) eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Die Ehe mit B._ blieb kinderlos und wurde am 30. Mai 2007 geschieden. A._ war bereits vor der Ehe mit B._ mit der Schweizer Bürgerin C._ (geb. 1971) verheiratet. Diese Ehe wurde am 21. Februar 1992 geschlossen und am 7. August 1996 geschieden. Mit C._ hat A._ zwei gemeinsame Kinder (geb. 1992 und 2002). A.b. Am 12. Oktober 2007 heiratete A._ die Schweizer Bürgerin D._ (geb. 1980), die er gemäss eigenen Angaben bereits seit dem Jahr 2002 kannte und mit der er seit dem 29. Dezember 2004 zusammenwohnte. Gestützt auf diese Ehe ersuchte A._ am 1. Juli 2013 um erleichterte Einbürgerung. Er sowie seine Ehefrau unterzeichneten am 16. Mai 2014 eine Erklärung, wonach sie in einer intakten Ehe lebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hegten. A._ wurde am 22. Mai 2014 erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Stadt Bern. Am 2. August 2014 wurde der gemeinsame Sohn geboren. Am 16. November 2015 schlossen die Ehegatten eine Scheidungsvereinbarung ab und per 1. Dezember 2015 zog der Beschwerdeführer aus der ehelichen Wohnung aus. Die Ehe wurde am 26. Mai 2016 geschieden. A.c. Mit Eingabe vom 7. Oktober 2016 ersuchte die bosnisch-herzegowenische Staatsbürgerin E._ (geb. 1997) um Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung zwecks Vorbereitung der Heirat mit A._. E._ führte aus, sie sei einige Wochen zuvor als Touristin in die Schweiz eingereist um die Eheschliessung vorzubereiten. Sie und A._ hätten sich 2012 kennengelernt und seien seit dem 8. August 2015 ein Paar. Am 6. März 2017 heirateten sie in Bern. Am 20. Mai 2017 wurde die gemeinsame Tochter geboren. A.d. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) erlangte am 26. Juni 2016 durch die Wohnsitzgemeinde und am 16. Dezember 2016 durch die kantonale Migrationsbehörde Kenntnis über die Scheidung von A._ und D._. Gestützt auf diese Information leitete das SEM am 24. April 2017 ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung von A._ ein. Nach entsprechender Zustimmung des Kantons Bern erklärte das SEM die erleichterte Einbürgerung mit Verfügung vom 5. Oktober 2018 für nichtig. B. Die von A._ gegen die Verfügung des SEM vom 5. Oktober 2018 erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 8. Juli 2020 ab. C. A._ gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. August 2020 ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juli 2020 sei aufzuheben und die erleichterte Einbürgerung sei nicht für nichtig zu erklären; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Vorinstanz und das SEM verzichten auf eine Vernehmlassung. Mit Präsidialverfügung vom 11. September 2020 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.