Sachverhalt: A. Zwischen dem Verein B._ sowie C._ einerseits und A._ (Beschwerdeführer) andererseits ist ein Verfahren wegen Persönlichkeitsverletzung hängig. Mit Urteil vom 20. November 2018 entschied das Bezirksgericht Münchenwilen als erste Instanz über die strittigen Ansprüche, wobei es eine durch A._ begangene Verletzung der Persönlichkeit des Vereins B._ sowie von C._ annahm. B. Gegen dieses Urteil reichte A._ am 1. Februar 2019 beim Obergericht des Kantons Thurgau Berufung ein. Am 4. Februar 2019 forderte das Obergericht A._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- auf und am 6. Februar 2019 ersuchten der Verein B._ sowie C._ um Sicherstellung ihrer Parteikosten. Mit Eingabe vom 18. Februar 2019 stellte A._ daher ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 4. April 2019 (eröffnet am 8. April 2019) wies die Vizepräsidentin des Obergerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte A._ eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses an. Am 26. April 2019 wies sie ausserdem ein Gesuch von A._ um Wiedererwägung des Entscheids über die unentgeltliche Rechtspflege ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Mai 2019 gelangt A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts vom 4. April 2019 sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, ihm für das laufende Verfahren in der Hauptsache die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Ausserdem sei der Beschwerde in Zivilsachen die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei ihm auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Am 9. Mai 2019 hat das Obergericht auf Antrag von A._ die diesem angesetzte Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses einstweilen bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgenommen. In der Folge erklärte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nach Anhörung des Obergerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung für gegenstandslos geworden. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassung in der Sache eingeholt.