Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft, Hauptabteilung Betäubungsmittel/Organisierte Kriminalität, führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen Verdachts auf qualifizierte Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz. A._ stellte der Staatsanwaltschaft am 17. März 2019 den Antrag, Advokatin B._ als amtliche Verteidigerin zu entlassen und Fürsprecher Sararard Arquint als neuen amtlichen Verteidiger einzusetzen. Diesen Antrag wies die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft mit Verfügung vom 5. April 2019 ab. Gleichzeitig sistierte sie die mit Verfügung vom 31. Mai 2018 angeordnete amtliche Verteidigung durch Advokatin B._ mit Wirkung ab dem 5. April 2019 bis auf weiteres und stellte fest, dass A._ ab dem 5. April 2019 ausschliesslich durch Fürsprecher Sararard Arquint verteidigt wird. Zudem verfügte die Staatsanwaltschaft, dass die Sistierung der amtlichen Verteidigung aufgehoben und die Verteidigung wieder Advokatin B._ übertragen würde, wenn eine wirksame Verteidigung bis zum Abschluss des Verfahrens nicht mehr gewährleistet wäre. Diese Verfügung focht A._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, an, welches die Beschwerde mit Beschluss vom 9. Juli 2019 abwies. B. Gegen diesen Beschluss gelangt A._ mit Beschwerde vom 10. Oktober 2019 an das Bundesgericht und beantragt, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die zuständige Staatsanwaltschaft anzuweisen, das bisher durch Advokatin B._ geführte, aktuell sistierte Mandat der amtlichen Verteidigung zu widerrufen und mit Wirkung ab dem 28. Februar 2019, eventuell 17. März 2019, Fürsprecher Sararard Arquint als amtlichen notwendigen Verteidiger einzusetzen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft und das Kantonsgericht Basel-Landschaft beantragen die Abweisung der Beschwerde, während die amtliche Verteidigerin (Beschwerdegegnerin) auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die in der Folge vom Beschwerdeführer eingereichte Stellungnahme wurde den übrigen Verfahrensbeteiligten zugestellt. Die Staatsanwaltschaft äusserte sich dazu, wozu der Beschwerdeführer wiederum Stellung nahm. Diese Eingabe wurde den übrigen Verfahrensbeteiligten wiederum zugestellt mit der Aufforderung, sich im Rahmen einer allfälligen Stellungnahme insbesondere zu den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers zu äussern. Das Kantonsgericht verzichtete auf eine Stellungnahme, während die Beschwerdegegnerin und die Staatsanwaltschaft eine solche einreichten. Die diesbezügliche Stellungnahme des Beschwerdeführers (ohne Beilagen) wurde den anderen Verfahrensbeteiligten wiederum zugestellt, worauf die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdegegnerin erneut Stellung nahmen. Diese Stellungnahmen erhielten die anderen Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme.