Sachverhalt: A. Die Strafverfolgungsbehörden des Kantons Basel-Stadt führen gegen A._ ein Verfahren wegen versuchter schwerer Körperverletzung zum Nachteil von B._. Nachdem A._ an der Hauptverhandlung vom 17. Dezember 2018 nicht erschienen war, beschloss das Strafdreiergericht Basel-Stadt, hierfür einen zweiten Termin anzusetzen. Ausserdem beschloss es, die Anträge von A._ auf Übersetzung der wesentlichen Verfahrenshandlungen und Verfahrensakten sowie auf Rückweisung der Anklage zur gemeinsamen Anklageerhebung abzuweisen. Weiter stellte es fest, dass die Vorladung ordentlich zugestellt worden sei. A._ erhob dagegen mit Eingabe vom 27. Dezember 2018 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und stellte den Antrag, es sei mittels vorsorglicher Massnahme das Strafverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss des Beschwerdeverfahrens zu sistieren. Der Präsident des Appellationsgerichts erkannte der Beschwerde mit Verfügung vom 28. Dezember 2018 insofern aufschiebende Wirkung zu, als die zweite Hauptverhandlung erst nach Eröffnung des Beschwerdeentscheids anzusetzen sei. Mit Entscheid vom 21. Juni 2019 trat das Appellationsgericht auf die Beschwerde nicht ein. B. Mit Eingabe vom 30. August 2019 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz vom 21. Juni 2019 sei vollumfänglich aufzuheben. Stattdessen seien die wesentlichen Verfahrenshandlungen und Verfahrensakten in die französische Sprache zu übersetzen, namentlich die Anklageschrift vom 10. Juli 2019, die den Akten entnommene, ihm angeblich zugestellte Vorladung vom 28. September 2018 sowie auch künftige Vorladungen, sämtliche Einvernahmeprotokolle sowie der Polizeirapport vom 30. August 2017. Weiter sei festzustellen, dass er nicht ordnungsgemäss zur Hauptverhandlung vorgeladen worden sei. Zudem sei die Anklageschrift vom 10. Juli 2018 an die Staatsanwaltschaft zur Zusammenlegung mit dem in derselben Sache gegen B._ unter dem Aktenzeichen VT.2017.013784 geführten Strafverfahren und anschliessender gemeinsamer Anklageerhebung zurückzuweisen. Schliesslich sei die Vorinstanz anzuweisen, ihm für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen bzw. ihm die unentgeltliche amtliche Verteidigung für das vorinstanzliche Verfahren zu bewilligen. Eventualiter sei die Sache zur materiellen Beurteilung der Beschwerde vom 27. Dezember 2018 an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Strafgericht verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer nimmt erneut Stellung. C. Mit Präsidialverfügung vom 2. Oktober 2019 wies das Bundesgericht das Strafgericht mittels vorsorglicher Massnahme an, die zweite Hauptverhandlung erst nach Abschluss des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens durchzuführen.