Sachverhalt: A. A.a. Das Betreibungsamt Dorneck erstellte am 26. September 2018 in 14 gegen A._ laufenden Betreibungen für Forderungen von insgesamt ca. Fr. 450'000.-- (ohne Kosten, Zinsen) die Pfändungsurkunde Nr. xx'xxx. Am 9. Mai 2018 hatte es die Pfändung von zwei Personenwagen vorgenommen. Der eingepfändete Mercedes SLS 63 AMG wurde auf Fr. 180'000.-- und der Ferrari F430 Spider F1 auf Fr. 90'000.-- geschätzt. Bereits am 19. März 2018 nahm das Betreibungsamt Oftringen-Aarburg im Auftrag des Betreibungsamtes Dorneck eine Requisitionspfändung vor. Das eingepfändete Grundstück Nr. yyyy an der U._gasse in V._ wurde dabei auf Fr. 30'000.-- geschätzt. A.b. Mit Eingabe vom 12. Oktober 2018 wandte sich A._ an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn. Er beantragte unter anderem die Aufhebung der Pfändung Nr. xx'xxx und die ordnungsgemässe Schätzung der eingepfändeten Vermögenswerte. Die Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde am 6. März 2019 ab. B. A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. März 2019 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und verlangt im Wesentlichen die Aufhebung der Pfändung Nr. xx'xxx. Allenfalls sei die Angelegenheit zur Sachverhaltsergänzung und neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Soweit sich seine kantonale Beschwerde gegen die Requisitionspfändung des Grundstücks in V._ richte, sei sie von der Aufsichtsbehörde des Kantons Aargau zu beurteilen. Zudem sei das Betreibungsamt anzuweisen, die eingepfändeten Vermögenswerte ordnungsgemäss durch einen Sachverständigen zu schätzen und zu den effektiven Werten in der Pfändungsurkunde zu berücksichtigen. Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds vom 4. April 2019 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung teilweise zuerkannt worden, womit allfällige Verwertungsverhandlungen während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens zu unterbleiben haben. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung in der Sache verzichtet. Das Betreibungsamt beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat darauf repliziert.