Sachverhalt: A. A._ hat am 29. Juni 2018 vor dem Bezirksgericht Brig, Östlich-Raron und Goms auf Abänderung des Scheidungsurteils geklagt und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nachgesucht. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch am 12. September 2018 ab. Es erachtete die Klage als aussichtslos und den Kläger nicht als bedürftig. B. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ am 25. September 2018 an das Kantonsgericht Wallis, welches die Beschwerde wie auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abwies (Entscheid vom 5. März 2019). C. Mit Eingabe vom 8. April 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, ihm sei für das Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, die Kosten des oberinstanzlichen Verfahrens dem Kanton Wallis aufzuerlegen und ihm für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zuzusprechen. Am 17. Mai 2019 stellte der Beschwerdeführer ausserdem ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.