Sachverhalt: A. A.a. Gestützt auf Anzeigen vom 9. März 2011 und vom 10. Oktober 2012 führte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts der Urkundenfälschung, des Betrugs und der ungetreuen Geschäftsbesorgung. Am 24. und 25. Februar 2014 ordnete die Staatsanwaltschaft Hausdurchsuchungen an zwei Wohnorten von A._ in U._/BE und in Basel an. Die Kantonspolizeien Bern und Basel-Stadt nahmen die Hausdurchsuchungen am 22. April 2014 vor. A.b. Mit Eingabe vom 11. März 2016 ersuchte A._ beim Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt um Opferhilfe im Betrag von Fr. 150'000.-- sowie um eine Entschädigung von Fr. 22'500.-- für Arztkosten und von Fr. 96'890.-- für seine beschlagnahmte Waffensammlung oder deren Herausgabe und um eine weitere Entschädigung sowie Genugtuung von Fr. 320'000.--. Im weiteren Verfahrensverlauf nannte er andere Summen ähnlicher Grössenordnung. Seinen behaupteten Anspruch auf Opferhilfe leitete er aus mit den Hausdurchsuchungen vom 22. April 2014 zusammenhängenden Vorgängen ab. A.c. Am 31. Oktober 2016 wies das Amt für Sozialbeiträge das Gesuch von A._ im Zusammenhang mit den Ereignissen vom 22. April 2014 ab, soweit es sich für zuständig erachtete. B. Mit Urteil VD.2016.234 vom 15. August 2017 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen von A._ erhobenen Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. C. Dagegen führt A._ Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt die Anordnung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands sowie einer ausserordentlichen Untersuchung. Weiter verlangt er die Zusprechung einer Wiedergutmachungssumme sowie einer Genugtuung von mindestens Fr. 485'000.--, die Bekanntgabe der Personalien aller beteiligter Personen, die Entschädigung von ihm abhanden gekommenen Werte wie insbesondere eines Mobiltelefons und von Fr. 500.--, die Entschädigung der ausgestandenen Haft, die Löschung von ihn betreffenden Daten und die Einstellung ihn diffamierender Äusserungen durch die Behörden sowie zusammenfassend die Erstattung sämtlicher Kosten, Entschädigungen und Genugtuungen für sich selbst, für seine Lebenspartnerin B._ und für seinen Hund SID. Das Amt für Sozialbeiträge schliesst ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde. Das Appellationsgericht stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ äusserte sich mit Eingabe vom 10. Januar 2018 nochmals zur Sache. D. Mit weiterer, vom vorliegenden Verfahren unabhängiger Verfügung vom 2. November 2016 wies das Amt für Sozialbeiträge ein analoges Gesuch von A._ vom 25. März 2016 um Opferhilfe im Zusammenhang mit seiner Festnahme in U._ und ermittlungstechnischen Massnahmen in Basel am 28. Oktober 2014 ab, soweit es sich für zuständig erachtete. Dazu lief ein separates Verfahren im Kanton Basel-Stadt, wozu eine eigene Beschwerde am Bundesgericht hängig ist (appellationsgerichtliches Verfahren VD.2016.236; bundesgerichtliches Dossier 1C_563/2017).