Sachverhalt: A. A.A._ und B.A._ hatten in den Steuerperioden 2012 und 2013 Wohnsitz im Kanton Schaffhausen. Während B.A._ im Kanton Zürich selbständig erwerbstätig war, hatte A.A._ ebenfalls jahrelang eine selbständige Erwerbstätigkeit als Zahnarzt im Kanton Zürich ausgeübt. Im Jahr 2010 gründete er die C._ AG mit Sitz in U._ (seit 2016: D._ AG; nachfolgend: Gesellschaft). Der Sitz der Gesellschaft wurde im Jahr 2011 in den Kanton Zürich verlegt. Das bis anhin aus selbständiger Zahnarzttätigkeit erzielte und im Kanton Zürich versteuerte Einkommen deklarierte das Ehepaar A._ in den Steuerperioden 2012 und 2013 im Kanton Schaffhausen als Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit. Mit Veranlagungsverfügung vom 8. April 2014 für die Steuerperiode 2012 und Veranlagungsverfügung vom 11. August 2015 für die Steuerperiode 2013 wurde das Ehepaar A._ im Kanton Schaffhausen rechtskräftig veranlagt. B. Das Kantonale Steueramt Zürich anerkannte im Nachgang an eine Buchprüfung die Gesellschaft mangels kantonaler, gesundheitsrechtlicher Institutsbewilligung steuerrechtlich nicht. Das Steueramt forderte das Ehepaar A._ mit Schreiben vom 3. Dezember 2015 auf, eine ordnungsgemässe Buchhaltung für die Einzelfirma A.A._ sowie weitere konkret bezeichnete Unterlagen einzureichen. Nachdem das Ehepaar A._ die verlangten Unterlagen weder auf diese Auflage hin noch nach Ablauf der Mahnfrist eingereicht hatte, veranlagte das Steueramt das Ehepaar A._ mit Ermessenseinschätzung vom 3. Januar 2017. Dabei rechnete es beim Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit nach pflichtgemässem Ermessen Fr. 650'000.-- für die Steuerperiode 2012 und Fr. 1'750'000.-- für die Steuerperiode 2013 auf. Die dagegen erhobene Einsprache wurde mit Einspracheentscheid vom 31. März 2017 abgewiesen. Das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich hiess den Rekurs des Ehepaars A._ mit Entscheid vom 25. September 2018 teilweise gut. Dabei kam es insbesondere zu einer Anpassung beim satzbestimmenden Einkommen in der Steuerperiode 2013, während die erfolgten Aufrechnungen bestätigt wurden. Die gegen den Entscheid des Steuerrekursgerichts geführte Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg (Urteil vom 9. Januar 2019). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gelangen A.A._ und B.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. Januar 2019 sei aufzuheben. Von der Aufrechnung aus selbständiger Erwerbstätigkeit in der Höhe von Fr. 650'000.-- für die Steuerperiode 2012 und Fr. 1'750'000.-- für die Steuerperiode 2013 samt den entsprechenden Korrekturen von damit zusammenhängenden Abzügen sei abzusehen. Ebenso sei von der Aufrechnung von Aktiven der selbständigen Erwerbstätigkeit bei der Vermögenssteuer abzusehen. Eventualiter seien die Veranlagungen vom 8. April 2014 für die Steuerperiode 2012 und vom 11. August 2015 für die Steuerperiode 2013 der Steuerverwaltung des Kantons Schaffhausen aufzuheben. Die Sache sei zur Neufestsetzung der Steuer sowie zur interkantonalen Steuerausscheidung unter Berücksichtigung der im Kanton Zürich steuerbaren Faktoren zurückzuweisen und die zu Unrecht erhobenen Steuern seien samt Zinsen zurückzuerstatten. Während die Vorinstanz und die Eidgenössische Steuerverwaltung ESTV auf eine Vernehmlassung verzichten, beantragt die Steuerverwaltung des Kantons Schaffhausen die Gutheissung des Hauptantrags und Abweisung des Eventualantrags der Beschwerdeführer. Das Kantonale Steueramt Zürich verlangt die Abweisung sowohl der Beschwerde als auch der Anträge der Steuerverwaltung des Kantons Schaffhausen. Die Beschwerdeführer replizieren mit Eingaben vom 7. Juni 2019 und 1. Juli 2019.