Sachverhalt: A. Am 3. Februar 2016 erteilte die Bausektion des Stadtrats von Zürich der Baudirektion des Kantons Zürich die Baubewilligung für innere Umbauten und den Anbau eines Fluchttreppenhauses beim Gebäude Vers.-Nr. 28100669 auf dem Grundstück Kat.-Nr. AA3348 in Zürich. Dieses Gebäude mit dem Namen "Zum Oberen Schönberg" ist Teil eines historischen Landguts, das heute neben dem Hauptgebäude der Universität Zürich liegt und universitären Zwecken dient. Nach dem früheren Besitzer Johann Jakob Bodmer trägt das betroffene Gebäude auch den Namen "Bodmerhaus". Im Dispositiv der Baubewilligung wurde der Nachweis über die rechtskräftige formelle Unterschutzstellung des Bodmerhauses, eines Nebengebäudes (Haus "Zum Schneggli") und der Umgebung vor Baubeginn vorbehalten. B. Der Verein Zürcher Heimatschutz (ZVH) focht die Baubewilligung am 14. März 2016 beim Baurekursgericht des Kantons Zürich an. Die Gebäudeversicherung Kanton Zürich wurde dem Verfahren als Mitbeteiligte beigeladen. Auf Ersuchen der Baudirektion wurde das Rekursverfahren am 1. April 2016 sistiert. Am 16. März 2016 genehmigte der Stadtrat von Zürich den verwaltungsrechtlichen Vertrag vom 22. Januar 2016 zwischen dem Kanton Zürich, vertreten durch die Baudirektion, als Eigentümer und der Stadt Zürich, vertreten durch die Denkmalpflege, über die Unterschutzstellung des Bodmerhauses, des Hauses "Zum Schneggli" und der Umgebung. Ein Auszug dieses Beschlusses wurde im kantonalen Amtsblatt vom 1. April 2016 mit Rechtsmittelbelehrung veröffentlicht. Der Entscheid erwuchs unangefochten in formelle Rechtskraft. Auf Ersuchen der Baudirektion setzte das Baurekursgericht das Rekursverfahren mit Verfügung vom 15. Juli 2016 fort. Es wies den Rekurs mit Entscheid vom 3. März 2017 ab, soweit es darauf eintrat. C. Der ZVH zog den Rekursentscheid an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich weiter. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 31. August 2017 ab. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. November 2017 beantragt der ZVH die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Weiter seien die Vorinstanzen anzuhalten, seine Rügen materiell zu behandeln. Die Baudirektion und die Bausektion der Stadt Zürich stellen den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gebäudeversicherung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. In der Replik vom 7. Januar 2018 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest. Die Baudirektion hat daraufhin Gegenbemerkungen eingereicht. In der Folge haben sich die Verfahrensbeteiligten nicht mehr geäussert.