Sachverhalt: A. A._ und B._ (beide Jahrgang 1984) sind die Eltern des gemeinsamen Sohnes C._ (geb. 2008). Mit Urteil vom 15. April 2010 erhob das Stadtgericht Keszthely (Ungarn) eine zwischen den Eltern geschlossene Vereinbarung zum Urteil (7.P.20.698/2009/11), in der sich der Vater verpflichtete, der Mutter an den Unterhalt des Kindes monatlich EUR 220.-- zu zahlen. B. B.a. Auf Antrag von A._ vom 14. Januar 2016 erklärte das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) das ungarische Urteil (Bst. A) für vollstreckbar, trat aber auf die Feststellungsklage nicht ein. Es auferlegte den Parteien die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- je zur Hälfte und sprach keine Parteientschädigungen. A._ gewährte es die unentgeltliche Prozessführung, wies jedoch ihr Begehren für einen unentgeltlichen Rechtsbeistand ab. B.b. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung erhob A._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 22. April 2016 bzw. berichtigtem Urteil vom 24. Mai 2016 wies dieses die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteils), und auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- (Ziff. 2 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 3 des Urteils). Den Antrag von A._ auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das zweitinstanzliche Verfahren wies das Obergericht ab (Ziff. 1 des Beschlusses). Auf den Antrag, Rechtsanwalt Sandor Horvath für seine Bemühungen als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Verfahren mit Fr. 1'496.45 (inkl. Auslagen und 8 % Mehrwertsteuer) zu entschädigen, trat das Obergericht nicht ein (Ziff. 2 des Beschlusses). B.c. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai und 7. Juni 2016 beantragte A._ dem Bundesgericht, die Ziffern 1 und 2 des Beschlusses sowie die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Obergerichts aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Pfäffikon sowie für das Verfahren vor dem Obergericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sowie den unterzeichnenden Anwalt als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen. Ferner ersuchte sie auch für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. B.d. Das Bundesgericht hiess die Beschwerde am 29. November 2016 (Urteil 5A_385/2016) gut, hob das Urteil des Obergerichts vom 22. April 2016, teilweise berichtigt am 24. Mai 2016, auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Aus diesen ergibt sich, dass die Vorinstanz über die unentgeltliche Verbeiständung für das vor dem Bezirksgericht gestellte Vollstreckungsbegehren neu zu urteilen hatte und, als Folge davon, auch über die Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens und über die unentgeltliche Rechtspflege hierfür (E. 5). B.e. Am 16. Februar 2017 beschloss und urteilte die I. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf Rückweisung hin Folgendes: Es wird beschlossen: "1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Beschwerdeverfahren wird bezüglich der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren zur Durchsetzung des Feststellungsbegehrens abgewiesen. Im Übrigen wird es infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben. 2. [Mitteilung, Rechtsmittelbelehrung]" Es wird erkannt: "1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird Dispositivziffer 2 der Verfügung des Einzelgerichts im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Pfäffikon vom 11. Februar 2016 aufgehoben und durch folgende Fassung ersetzt: 2. Der Klägerin wird zur Durchsetzung ihres Begehrens um Vollstreckbarerklärung des Urteils vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11 (Rechtsbegehren Ziffer 1) in der Person von Rechtsanwalt lic. iur. et lic. phil Sandor Horvath ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Mit Bezug auf die Durchsetzung der Feststellungsklage (Rechtsbegehren Ziffer 2) wird das Begehren der Klägerin um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes abgewiesen. 2. Rechtsanwalt lic. iur. et lic. phil Sandor Horvath wird für seine Bemühungen und Barauslagen als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Verfahren zur Durchsetzung des Begehrens um Vollstreckbarerklärung mit Fr. 1'496.45 (inkl. Mehrwertsteuer) aus der Gerichtskasse entschädigt. Die Nachzahlungspflicht der Beschwerdeführerin gemäss Art. 123 Abs. 1 ZPO bleibt vorbehalten. 3. Die Entscheidgebühr für das Beschwerdeverfahren wird auf Fr. 1'000.-- festgesetzt. 4. Die Entscheidgebühr für das Beschwerdeverfahren wird zur Hälfte der Beschwerdeführerin auferlegt und zur Hälfte auf die Gerichtskasse genommen. 5. Der Beschwerdeführerin wird für das Beschwerdeverfahren eine reduzierte Parteientschädigung zu Lasten der Gerichtskasse von insgesamt Fr. 500.-- zugesprochen. 6. [Mitteilung] 7. [Rechtsmittelbelehrung]" C. C.a. Dagegen erhebt A._ (Beschwerdeführerin) erneut Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit folgenden Anträgen: "1. Ziffer 4 des Urteils vom 16. Februar 2017 sei aufzuheben. 2. Die Entscheidgebühr sei vollumfänglich der Vorinstanz aufzuerlegen. 3. Ziffer 5 des Urteils vom 16. Februar 2017 sei aufzuheben und der Beschwerdeführerin sei für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung mindestens in der Höhe von CHF 1'446.10 zuzusprechen. 4. Für den Fall, dass der Beschwerdeführerin wider Erwarten einen Teil der Entscheidgebühr auferlegt werden sollte, sei Ziff. 1 des Beschlusses vom 16. Februar 2017 aufzuheben und der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. 5. Der Beschwerdeführerin sei für das vorliegende Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die Beschwerdeführerin sei von der Pflicht, einen Gerichtskostenvorschuss zu leisten, zu befreien. Der Beschwerdeführerin sei der Unterzeichnende, Rechtsanwalt Sandor Horvath, als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben. 6. Die Vorinstanz sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das vorliegende Beschwerdeverfahren eine angemessene Parteientschädigung zu leisten. 7. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Staates." C.b. Mit Rücksicht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde von der Einforderung eines Kostenvorschusses der Beschwerdeführerin abgesehen, der Entscheid über das Gesuch aber vorbehalten. Hingegen wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, ohne Aufforderung zur Vernehmlassung.