Sachverhalt: A. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts Appenzeller Vorderland vom 20. August 2019 leitete A._ die Betreibung gegen B._ ein. Diese erhob Rechtsvorschlag. B. Mit Gesuch vom 30. August 2019 ersuchte A._ um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 660'000.-- zuzüglich Zinsen und Betreibungs- sowie Arrestkosten. Mit Urteil vom 8. November 2019 wies das Kantongericht Appenzell Ausserrhoden das Gesuch um Rechtsöffnung ab. C. Hiergegen gelangte A._ am 9. Dezember 2019 mit einer als Berufung bezeichneten Eingabe an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden, welches auf sie mit Entscheid vom 31. Dezember 2019 nicht eintrat. D. Mit Eingabe vom 27. Februar 2020 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung ihrer Beschwerde. Mit Verfügung vom 12. März 2020 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt worden. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.