Sachverhalt: A. A.a. A._ (Kläger) und seine Schwester C._ (Klägerin) erhoben am 1. März 2019 beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland je eine "zivilrechtliche Auskunfts- und Informationsklage im Erbfall" gegen eine Bank und gegen eine Versicherung. Vertreten wurden die Kläger durch D._, Ehemann der Klägerin und Arzt von Beruf. A.b. Der Gerichtspräsident B._ lud die Kläger mit Verfügung vom 17. März 2019 ein, ihre Eingaben innert einer Nachfrist bis am 9. April 2019 in verständlicher Form nochmals einzureichen, andernfalls die Eingaben als nicht erfolgt gelten. Mit Verfügung vom 26. März 2019 stellte er fest, dass die von der Verbesserung innert Nachfrist betroffenen Klagen trotz erneuter Eingabe unverständlich geblieben sind und damit als nicht erfolgt gelten. A.c. Am 27. März 2019 verlangten die Kläger die Begründung der Verfügung vom 26. März 2019. Sie schrieben dem Gerichtspräsidenten weiter Folgendes: "Gleichzeitig erklären die Kläger, dass das von Ihnen an den Tag gelegte Verhalten das Vorliegen eines Ausstandsgrundes gemäss Art. 47 lit. f. ZPO begründet" (S. 1). Nach Ausführungen zur Verständlichkeit ihrer Eingaben schliesst das Schreiben mit folgendem Satz: "Mit dieser Eingabe wird also der Gerichtspräsident für befangen erklärt, sein an den Tag gelegtes Verhalten explizit gerügt und es wird eine Begründung für die erlassene Verfügung verlangt" (S. 4). Unterzeichnet ist das Schreiben von D._ für die Kläger. A.d. In einer Eingabe vom 1. April 2019 an den Gerichtspräsidenten nehmen die Kläger Bezug auf ihr Schreiben vom 27. März 2019 und betonen, sie hätten zudem "das Vorliegen der Voraussetzungen von Art. 47 lit. f. ZPO sofort nach entdecken der durch Ihre Person an den Tag gelegten Befangenheit dem Gericht angezeigt" (S. 1). Beantragt wurde unter anderem förmlich, es sei gerichtlich der Ausstand des Präsidenten für alle Verfahren, die die Kläger in der Erbangelegenheit dem Gericht zur Beurteilung vorlegen werden, zu verfügen. Unterzeichnet ist das Schreiben von D._ einzig für die Klägerin. A.e. Am 8. April 2019 zogen die Kläger ihre Klagen zurück. B. Das Regionalgericht unter Präsident E._ schrieb das Ausstandsgesuch mangels Rechtsschutzinteresses als gegenstandslos vom Protokoll ab (Entscheid vom 16. Mai 2019). Der Kläger gelangte dagegen an das Obergericht des Kantons Bern, das auf seine Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eintrat (Entscheid vom 4. Juni 2019). Desgleichen trat das Bundesgericht auf die anschliessende Beschwerde des Klägers nicht ein (Urteil 5A_475/2019 vom 13. Juni 2019). C. Mit Eingabe vom 1. Juli 2019 beantragt der Kläger (im Folgenden: Gesuchsteller) dem Bundesgericht, das Urteil 5A_475/2019 vom 13. Juni 2019 aufzuheben, sein Revisionsgesuch gutzuheissen, seine im Verfahren 5A_475/2019 gestellten Rechtsbegehren gutzuheissen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen, alles unter Kosten und Entschädigungsfolge zulasten der Eidgenossenschaft und/oder des Kantons Bern. Er wiederholt ferner seine im Verfahren 5A_475/2019 gestellten Begehren im Wortlaut, insbesondere Begehren-Ziff. 4, der Gerichtspräsident B._ (fortan: Gesuchsgegner) "sei für alle vom Kläger beim Regionalgericht Berner Jura Seeland eingereichten Klagen für befangen zu erklären und anzuweisen [,] in den Ausstand zu treten" (S. 2 des Gesuchs). Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Der Gesuchsteller hat mit Schreiben vom 17. Juli 2019 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zurückgezogen und den Kostenvorschuss für das Revisionsverfahren bezahlt.