Sachverhalt: A. Die 1960 geborene A._ erhielt ab 1. März 1996 eine ganze Invalidenrente sowie Kinderrenten für ihre drei Söhne B._, C._ und D._ zugesprochen. Mitte März 2014 brach D._ (geb. 1995) seine Lehre als Maler ab, besuchte aber die Berufsschule bis Ende des Schuljahres weiterhin. In der Folge forderte die IV-Stelle des Kantons Zürich unrechtmässig bezogene (Kinder-) Rentenleistungen von Fr. 3'010.- (April bis August 2014) zurück. Die Rückerstattungsverfügung vom 13. August 2014 erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Das von A._ gestellte Erlassgesuch wies die IV-Stelle nach Gewährung des rechtlichen Gehörs ab, weil die Voraussetzung des guten Glaubens nicht erfüllt sei (Verfügung vom 14. Juli 2015). B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. Dezember 2016 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und erliess A._ die Rückerstattung von Fr. 3'010.-. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Verfügung vom 14. Juli 2015 zu bestätigen und festzustellen, dass der gute Glaube der Versicherten nicht vorgelegen habe, weshalb das Gesuch um Erlass der Rückerstattung zu Recht abgewiesen worden sei. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sodann beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.