Sachverhalt: A. A.a. A.A._ und B.A._ sind seit März 2017 verheiratet, leben aber getrennt. 2019 brachte A.A._ in Bulgarien die Tochter C.A._ zur Welt. Mutmasslicher Kindsvater ist D._, mit dem A.A._ in Partnerschaft ist. A.b. Bereits vor der Geburt von C.A._ erstattete der Regionale Sozialdienst Frutigen der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberland West (im Folgenden: KESB Oberland West) Meldung wegen einer möglichen Kindeswohlgefährdung. A.c. Die KESB Oberland West eröffnete ein Kindesschutzverfahren und lud A.A._ und D._ auf den 18. November 2019 zur Anhörung vor. Weder A.A._ noch D._ erschienen zu diesem Termin. In der Folge errichtete die KESB Oberland West mit Entscheid vom 19. November 2019 für das damals noch nicht geborene Kind eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und ernannte E._ zur Berufsbeiständin. A.A._ und D._ wurden angewiesen, die von der Beiständin organisierte Hebamme, Entlastungsdienste, Mütter- und Väterberatung und/oder sozialpädagogische Familienbegleitung in Anspruch zu nehmen, kooperativ mit diesen zusammenzuarbeiten und die vorgegebenen Termine regelmässig und lückenlos wahrzunehmen. A.d. Nach der Geburt der Tochter in Bulgarien benachrichtigte die dortige Vermieterin die Schweizer Botschaft in Sofia über den Aufenthalt sowie die aktuelle Situation von A.A._ und D._. Dies führte zu einem Besuch des bulgarischen Sozialdienstes bei A.A._, D._ und C.A._. A.e. Am 31. Januar 2020 entzog die KESB Oberland West A.A._ und B.A._ superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht über C.A._ und verfügte die superprovisorische Platzierung von C.A._ im F._ in U._ (BE) unmittelbar nach ihrer Rückkehr in die Schweiz. A.f. A.A._ reiste am 5. Februar 2020 mit C.A._ in die Schweiz zurück. Ihr wurde auf dem psychiatrischen Notfall des Spitals V._ der Entscheid vom 31. Januar 2020 (Bst. A.e) persönlich eröffnet und sie wurde angehört. Gleichentags wurde C.A._ in das F._ in U._ (BE) überführt. Am 7. Februar 2020 fand eine weitere Anhörung der Beschwerdeführerin vor der KESB Oberland West statt. A.g. Mit Entscheid vom 11. Februar 2020 entzog die KESB Oberland West A.A._ und B.A._ gestützt auf Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 445 Abs. 1 und Art. 310 Abs. 1 ZGB vorsorglich ihr Aufenthaltsbestimmungsrecht über C.A._ (Ziff. 1 des Entscheid-Dispositivs) und brachte das Kind vorsorglich im F._ in U._ (BE) unter (Ziff. 2 des Entscheid-Dispositivs). Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen (Ziff. 9 des Entscheid-Dispositivs). Verfahrenskosten wurden keine erhoben (Ziff. 10 des Entscheid-Dispositivs). A.h. Mit Eingabe vom 21. Februar 2020 wandte sich A.A._, vertreten durch Rechtsanwalt Kurt Gaensli, an das Kindes- und Erwachsenenschutzgericht des Kantons Bern. Dabei stellte sie die folgenden Rechtsbegehren: "1. Vorliegender Beschwerde sei (in Aufhebung von Ziff. 9 des Entscheides vom 11. Februar 2020) die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. 2. Ziff. 1 und Ziff. 2 des Entscheides vom 11. Februar 2020 seien aufzuheben. 3. Sämtliche weiteren Ziffern des Entscheids seien aufzuheben, soweit damit der Entzug des Aufenthaltsrechts sowie die Fremdplatzierung gestützt, zementiert oder verlängert werden. 4. Der Beschwerdeführerin sei zu gestatten, ihre Tochter C.A._ zu sich nach Hause zu nehmen zur Betreuung durch die Eltern. 5. Der Beschwerdeführerin sei für das Beschwerdeverfahren das vollumfängliche Recht auf unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltlichem Rechtsbeistand zu gewähren." A.i. Mit Verfügung vom 24. Februar 2020 wies der Instruktionsrichter den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ab. Mit Entscheid vom 24. April 2020 wies das Kindes- und Erwachsenenschutzgericht auch die Beschwerde ab, soweit es auf diese eintrat (Ziff. 1 des Entscheid-Dispositivs). Ebenfalls abgewiesen wurde das Gesuch von A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 2 des Entscheid-Dispositivs). Weder für das Beschwerdeverfahren noch für das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurden Verfahrenskosten erhoben (Ziff. 3 und 4 des Entscheid-Dispositivs). B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Mai 2020 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, Ziff. 2 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung und Festsetzung des Honorars zu Gunsten des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zusätzlich stellt die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.