Sachverhalt: A. A.a. Am 23. November 2010 eröffnete das Bezirksgericht Zürich den Konkurs über B._. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab und setzte infolge Gewährung der aufschiebenden Wirkung das Konkursdatum neu auf den 14. März 2011 fest. Dieses Urteil hat bereits zu zahlreichen Verfahren vor den kantonalen Instanzen und dem Bundesgericht geführt. Der Konkurs wird im summarischen Verfahren durch das Konkursamt Hottingen-Zürich durchgeführt. A.b. Mit Verfügung vom 2. Juli 2013 ermächtigte das Konkursamt A._ im Konkurs über B._ den Anspruch gemäss Inventar Nr. xx ("Anspruch aus letztwilliger Verfügung vom 11. April 2002 des Dr. C._... Schätzung Fr. 20'000.--") gestützt auf Art. 260 SchKG an Stelle der Masse in eigenem Namen und auf eigene Rechnung und Gefahr zu den in der Abtretungsverfügung festgesetzten Bedingungen geltend zu machen. Für den Fall, dass die gerichtliche Geltendmachung nicht bis zum 30. September 2014 erfolge, behielt sich das Konkursamt die Annullierung der Abtretung vor. A.c. Am 18. Juni 2019 teilte das Konkursamt A._ mit, innert der gesetzten Frist sei kein Nachweis eingegangen, dass eine rechtzeitige gerichtliche Geltendmachung erfolgt sei. Daher werde die Abtretung annulliert. B. Am 27. Juni 2019 erhoben A._ und B._ Beschwerde beim Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Sie beantragten die Feststellung, dass die Abtretungsverfügung vom 2. Juli 2013 nichtig sei. Zudem sei das Konkursamt anzuweisen, die Herausgabe eines näher umschriebenen Guthabens von B._ sowie das Kaufrecht an einer Parzelle in V._ und zwei Schuldbriefe anzufordern. Eventualiter sei der Konkurs einzustellen. Mit Entscheid vom 12. September 2019 wies das Bezirksgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Dagegen gelangten A._ und B._ an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, wo sie ihre Rechtsbegehren erneuerten. Das Obergericht wies die Beschwerde am 12. Dezember 2019 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. C. A._ und B._ sind mit gemeinsamer Beschwerde vom 23. Dezember 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuern die im kantonalen Verfahren gestellten Anträge. Sie stellen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.