Sachverhalt: A. A._ besitzt seit Mai 2012 den Führerausweis für die Kategorien A1 und B. Mit Gesuch vom 12. Februar 2016 bat er um die Erteilung eines Lernfahrausweises für die Kategorie A bis 25 kW. Dabei gab er an, im Jahr 2015 in einer Heilstätte für Alkoholkranke und in einer Klinik für psychische Erkrankungen hospitalisiert gewesen zu sein. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons St. Gallen (STVA) ordnete daraufhin eine verkehrsmedizinische Untersuchung durch das Institut für Rechtsmedizin des Kantonsspitals St. Gallen (IRM St. Gallen) an. Im Gutachten vom 16. Juni 2016 wurde festgestellt, dass die Fahreignung aufgrund einer Alkoholabhängigkeit mit noch nicht ausreichend langer Alkoholabstinenz zurzeit nicht bejaht werden könne und vor einer Neubeurteilung eine mindestens sechsmonatige kontrollierte und betreute Alkoholabstinenz empfohlen werde. Gestützt auf dieses Gutachten stellte das STVA am 22. Juni 2016 einen Entzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit in Aussicht und gab A._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Gleichzeitig verbot es ihm ab sofort vorsorglich das Führen von Motorfahrzeugen. Einen dagegen erhobenen Rekurs wies die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen am 5. September 2016 ab. Daraufhin gelangte A._ mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Präsidialentscheid vom 7. November 2016 wies dieses das Rechtsmittel ebenfalls ab. Mit Verfügung vom 17. November 2016 ordnete das STVA eine verkehrsmedizinische Oberbegutachtung durch das Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRM Zürich) an. Das Obergutachten vom 16. Februar 2017 bejahte ab sofort die Fahreignung von A._ unter Auflagen (regelmässige Kontrolle und Behandlung der psychischen Erkrankung, Verlaufskontrolle nach einem Jahr). Daraufhin hob das STVA am 22. Februar 2017 den vorsorglichen Führerausweisentzug auf und versah den Führer- bzw. Lernfahrausweis mit Auflagen. Am 16. Mai 2017 reichte A._ dem Verwaltungsgericht eine mit "Wiederaufnahmebegehren und/oder Wiederaufnahmegesuch" bezeichnete Eingabe ein. Er verlangte unter anderem, der Entscheid vom 7. November 2016 sei aufzuheben. Mit Entscheid vom 5. Oktober 2018 trat das Verwaltungsgericht auf das Gesuch nicht ein. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 8. November 2018 beantragt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und dieses anzuweisen, auf sein Wiederaufnahme- sowie Feststellungsbegehren einzutreten und die Kosten- und Entschädigungsfolgen in den kantonalen Verfahren zu seinen Gunsten neu zu verlegen. Die Verwaltungsrekurskommission, das Verwaltungsgericht und das STVA haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.