Sachverhalt: A. Mit Verfügung und Urteil vom 10. März 2016 erteilte das Bezirksgericht Zürich der B._ AG provisorische Rechtsöffnung gegenüber A._ (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 9; Zahlungsbefehl vom 12. Mai 2015) für Fr. 726.40 nebst Zins zu 5 % seit 6. Mai 2015. Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab. B. Dagegen erhob A._ am 12. April 2016 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Aufhebung der angefochtenen Verfügung bzw. des angefochtenen Urteils und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Ihm sei im Verfahren vor Bezirks- und vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwalt Bertisch als unentgeltlicher Rechtsvertreter beizuordnen. Mit Verfügung vom 22. April 2016 wies das Obergericht ein Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab. Mit Urteil vom 22. Juni 2016 wies das Obergericht die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab. C. Am 17. August 2016 hat A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt Bertisch vor den Vorinstanzen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung und auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt Bertisch. Das Bundesgericht hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung am 18. August 2016 abgewiesen. Am 19. August 2016 und am 23. August 2016 (jeweils Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer die Beschwerde ergänzt. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht hat sich am 29. Dezember 2016 (Postaufgabe) geäussert. Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) hat sich nicht vernehmen lassen. Nach Anzeige der Vernehmlassungsantwort hat sich der Beschwerdeführer mit Eingaben vom 11. Februar 2017 (Postaufgabe) und - nach gewährter Fristerstreckung - am 8. März 2017 (Postaufgabe) nochmals geäussert.