Sachverhalt: A. Am 29. Juli 2016 stellte die B._ AG beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Ausweisungsbegehren im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen gegen A._ (Beschwerdeführer). Nachdem A._ die Mieträumlichkeiten am 15. August 2016 verlassen hatte, schrieb das Regionalgericht das Verfahren mit Verfügung vom 23. August 2016 als gegenstandslos ab. Mit Kostenentscheid vom 9. Februar 2017 wurde A._ verpflichtet, die Gerichtskosten des Ausweisungsverfahrens, bestimmt auf Fr. 1'000.--, zu bezahlen sowie der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 4'166.65 auszurichten. Gegen diesen Kostenentscheid erhob A._ mit Eingabe vom 20. Februar 2017 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern (Verfahren Nr. ZK 17 85), wobei er beantragte, der Entscheid sei aufzuheben, die erstinstanzlichen Gerichtskosten seien der B._ AG aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 2'429.90 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Oberrichterin Cornelia Apolloni Meier (Beschwerdegegnerin) ist in diesem Verfahren als Mitglied des Spruchkörpers vorgesehen. B. Mit Eingabe vom 14. September 2016 klagte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland gegen die B._ AG auf Feststellung, dass "die Kündigung des Mietvertrags vom 14. August 2014 nichtig ist". Am 4. November 2016 ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Verfahren. Dieses Gesuch wurde vom Regionalgericht mit Entscheid vom 8. März 2017 zufolge Aussichtslosigkeit abgewiesen. Hiergegen erhob A._ mit Eingabe vom 16. März 2017 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern (Verfahren Nr. ZK 17 116). Für dieses Beschwerdeverfahren beantragte A._ zudem mit separater Eingabe vom 16. März 2017 wiederum die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (Verfahren Nr. ZK 17 117). Oberrichterin Cornelia Apolloni Meier ist in den Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 als Mitglied des Spruchkörpers vorgesehen. Mit Eingabe vom 7. April 2017 stellte A._ betreffend die Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 ein Ausstandsgesuch und beantragte, Oberrichterin Cornelia Apolloni Meier habe in den Ausstand zu treten. Das Obergericht des Kantons Bern wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 16. Mai 2017 ab. C. A._ begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts vom 16. Mai 2017 sei aufzuheben und das Dispositiv dahingehend abzuändern, dass Oberrichterin Cornelia Apolloni Meier in den Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 in den Ausstand zu treten habe. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann stellt A._ den verfahrensrechtlichen Antrag, es seien "mit Einverständnis des Beschwerdeführers im vorliegenden Beschwerdeverfahren der Europäische Anwaltsverband FBE sowie der CCBE diesem Verfahren beizuladen". Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt. Mit Eingabe vom 19. Juli 2017 stellte A._ ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das bundesgerichtliche Verfahren.