Sachverhalt: A. A.a. Am 4. Januar 2019 stellte die Stiftung C._ in der gegen die D._ GmbH laufenden Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Basel-Stadt beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt das Konkursbegehren. Die D._ GmbH wurde betrieben für den Betrag von Fr. 1'007.55 nebst Zinsen, Fr. 100.-- Betreibungskosten, Fr. 50.-- Mahnkosten und Fr. 9.65 Verzugszins. A.b. Am 9. Januar 2019 bezahlte die D._ GmbH die in Betreibung gesetzte Forderung samt Zinsen und Kosten beim Betreibungsamt. A.c. Die Anteile der D._ GmbH wurden am 18. März 2019 von B._ übernommen, der die Statuten der Gesellschaft ändern liess. Neu lautet der Firmennamen A._ GmbH. Die bisherige Gesellschafterin und Geschäftsführerin E._ schied aus der Gesellschaft aus und ihre Unterschrift erlosch. A.d. Am 19. März 2019 nahm E._ die Vorladung zur Konkursverhandlung entgegen. Die Publikation der Statutenänderung im Schweizerischen Handelsamtsblatt erfolgte am 25. März 2019. A.e. Zur Konkursverhandlung vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt vom 2. April 2019 war niemand erschienen. Der Konkursrichter sprach gleichentags den Konkurs über die A._ GmbH aus. B. Mit Beschwerde vom 26. April 2019 gelangte die A._ GmbH in Liquidation an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragte die Aufhebung des Konkurserkenntnisses und legte die Abrechnung des Betreibungsamtes vom 9. Januar 2019 in der Betreibung Nr. xxx bei, woraus sich ergibt, dass die in Betreibung gesetzte Forderung samt Zinsen und Kosten von B._ bezahlt worden ist. Das Appellationsgericht hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 23. Mai 2019 gut und hob das Konkurserkenntnis vom 2. April 2019 auf. Es auferlegte der A._ GmbH die Gerichtskosten von Fr. 600.-- und sprach ihr keine Parteientschädigung zu. C. Die A._ GmbH ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt sinngemäss, der Entscheid des Appellationsgerichts sei hinsichtlich der Verfahrenskosten aufzuheben. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Stiftung C._ (Beschwerdegegnerin) schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Die Vernehmlassungen sind der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt worden.