Sachverhalt: A. A.a. Am 7. Juli 2017 erliess das Steueramt des Kantons Solothurn eine Sicherstellungsverfügung gegenüber B._ und A._ für Ausstände der direkten Bundessteuer und der Staatssteuer der Jahre 2008-2017 im Umfang von total Fr. 225'162.10 (Stand 31. Juli 2017). Der dagegen beim Steuergericht des Kantons Solothurn erhobene Rekurs ist noch hängig. A.b. Gestützt auf die Sicherstellungsverfügung erliess das Steueramt gleichentags einen Arrestbefehl für Fr. 225'162.10 und bezeichnete die einzelnen Arrestgegenstände. Zur Prosequierung des Arrestes stellten die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn, vertreten durch das Steueramt, beim Betreibungsamt Olten-Gösgen ein Begehren um Betreibung auf Sicherheitsleistung in der Höhe von Fr. 76'595.95 (Zahlungsbefehl vom 17. Juli 2017). Die Zustellung des Zahlungsbefehls an A._ in der Betreibung Nr. xxx erfolgte am 16. August 2017; diese erhob Rechtsvorschlag. A.c. Am 24. August 2017 verlangten die Betreibungsgläubiger die definitive Rechtsöffnung. Die Amtsgerichtspräsidentin des Richteramtes Olten-Gösgen erteilte der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Kanton Solothurn, vertreten durch das Steueramt, am 19. Oktober 2017 die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 76'699.25 plus Zahlungsbefehlskosten. B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von A._ erteilte das Obergericht des Kantons Solothurn den Gesuchstellern am 12. Dezember 2017 in der erwähnten Betreibung auf Sicherheitsleistung die definitive Rechtsöffnung im Betrag von Fr. 76'595.95 plus Zahlungsbefehlskosten. C. Mit Eingabe vom 11. Januar 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht, eventualiter sei das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Zudem verlangt sie die Zusprechung einer Parteientschädigung. Die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn als Beschwerdegegner schliessen auf Gutheissung der Beschwerde in der Sache und auf Abweisung des Begehrens um Zusprechung einer Parteientschädigung. Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde und verzichtet unter Hinweis auf die Akten auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.