Sachverhalt: A. A.a. Der 1960 geborene A._ arbeitete vom 1. April 2001 bis 31. Juli 2002 bei der B._ AG (zunächst in einem 100%-Pensum, ab 1. April 2002 Reduktion auf 60 %). Zuständige berufliche Vorsorgeeinrichtung war in diesem Zeitraum die Pensionskasse der B._ AG. Anschliessend bezog er vom 1. April 2002 bis 15. Januar 2004 Arbeitslosentaggelder und war bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG berufsvorsorgeversichert. A.b. Im August 2012 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Er machte aufgrund eines im Jahr 2012 diagnostizierten Morbus Huntington eine gesundheitsbedingte Einschränkung ab 2002 geltend. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland sprach ihm mit Verfügung vom 10. September 2013 rückwirkend vom 1. Mai bis 31. Juli 2013 eine Viertelsrente und ab 1. August 2013 eine ganze Rente zu. Die dagegen erhobene Beschwerde zog A._ nach Androhung einer reformatio in peius zurück und das Bundesverwaltungsgericht schrieb das Verfahren am 18. Juni 2015 als gegenstandslos geworden ab. B. Die von A._ gegen die Pensionskasse der Firma B._ AG und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG erhobenen Klagen auf Gewährung von Leistungen nach BVG wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ab (Entscheid vom 18. Dezember 2017). C. Mit innert Beschwerdefrist verbesserter Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten fordert A._ sinngemäss, in Aufhebung des angefochtenen vorinstanzlichen Entscheids seien ihm ab 2001 oder 2002 Leistungen nach BVG zuzusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese nach Einholung weiterer medizinischer Abklärungen neu entscheide. Am 17. August 2018 reicht der Beschwerdeführer weitere medizinische Unterlagen ein.