Sachverhalt: A. Am 7. Dezember 2017 schlossen A._ und B._ im Rahmen eines Eheschutzverfahrens am Bezirksgericht Horgen eine Vereinbarung über die Regelung des Getrenntlebens, die vom Gericht mit Urteil am gleichen Tag genehmigt wurde. Damit verpflichtete sich der Ehemann zur Leistung eines einmaligen Unterhaltsbeitrages an seine Ehefrau von Fr. 6'500.-- für die Zeit vom 1. Dezember 2016 bis und mit November 2017. Mit dieser Zahlung sollten alle Unterhaltsansprüche der Ehefrau abgegolten werden. Die Zahlung sollte bis am 28. Dezember 2017 erfolgen. Für die Verrechenbarkeit wurde auf Art. 125 Ziff. 2 OR verwiesen. B. B.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Meilen-Herrliberg-Erlenbach vom 9. April 2018 betrieb B._ A._ für "Ehegattenunterhalt gemäss Trennungsvereinbarung vom 07.12.2017" in der Höhe von Fr. 6'500.-- plus Zins zu 5% seit 29. Dezember 2017. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. B.b. Das Bezirksgericht Meilen gewährte B._ am 19. September 2018 die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 6'500.-- nebst Zins zu 5% seit dem 12. April 2018 plus Kosten und Entschädigung. Im Mehrumfang wies es das Zinsbegehren ab. B.c. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von A._ gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Beschwerde am 7. Dezember 2018 ab und auferlegte ihm die Entscheidgebühr von Fr. 450.--. C. Mit Beschwerde vom 11. Januar 2019 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Abweisung des von B._ (Beschwerdegegnerin) eingereichten Rechtsöffnungsgesuchs. Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Es sind die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.