Sachverhalt: A. A.A._ (geb. am 8. Dezember 2008), wohnhaft in U._, leidet gemäss einem Bericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 24. Juni 2015 unter Aufmerksamkeits- und Konzentrationsschwierigkeiten, die sich stark hemmend auf seine Leistungserbringung und soziale Integration in der Schule auswirken. Die gesetzlichen Voraussetzungen einer Behinderung seien erfüllt. Empfohlen wurde die integrative Schulung mit verstärkten Massnahmen an der Schule U._. Im Rahmen des Fachberichts vom 27. Juni 2016 betreffend die Überprüfung verstärkter Massnahmen befand der Schulpsychologische Dienst, die Rahmenbedingungen in der öffentlichen Schule seien für A.A._ nicht optimal und empfahl eine separative Schulung in einer Tagessonderschule. Für den Fall, dass eine Separation nicht unmittelbar umsetzbar sei, empfahl der Schulpsychologische Dienst für die weiterführende Integration verstärkte Massnahmen bzw. Förderunterricht (max. sechs Lektionen Heilpädagogik und Assistenz) und bei Bedarf individuelle Lernziele in den Hauptfächern. Da die Suche nach einem freien Platz in einer Tagessonderschuleinrichtung erfolglos blieb, unternahmen die Eltern von A.A._ eigene Suchbemühungen und meldeten ihn für das Schuljahr 2016/2017 bei der Privatschule D._ an. Diese Einrichtung figuriert nicht in der Liste der vom Kanton Aargau anerkannten Sonderschulen. In der Folge beantragten die Eltern von A.A._ bei der Schulpflege U._ die Übernahme der Schulkosten von monatlich Fr. 2'050.--. Die Schulpflege U._ sprach sich für eine Kostenübernahme der Gemeinde im Rahmen des Gemeindeansatzes für Tagessonderschulen aus. Mit Entscheid vom 7. November 2016 beschloss der Gemeinderat U._ die Übernahme von Schulgeldkosten von insgesamt Fr. 7'200.-- (pro Monat Fr. 600.--) für das Schuljahr 2016/2017. Dabei führte er aus, es bestehe keine Verpflichtung der Gemeinden zur Kostenbeteiligung an privaten Sonderschulen. Bezüglich einer weiteren Kostengutsprache ab Schuljahr 2017/2018 hielt der Gemeinderat fest, ein erneutes Gesuch wäre im Frühjahr 2017 notwendig. Mit Entscheid vom 25. Januar 2017 wies das Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau ein Gesuch der Eltern von A.A._ um Übernahme des restlichen Schulgelds in der Höhe von Fr. 1'450.-- pro Monat ab (Art. 105 Abs. 2 BGG). B. Mit Schreiben vom 31. August 2017 stellten die Eltern von A.A._ beim Gemeinderat U._ ein Gesuch um Übernahme der Schulungs- und Transportkosten für das Schuljahr 2017/2018. Mit Entscheid vom 18. September 2017 wies der Gemeinderat das Gesuch ab. Ausnahmsweise und unpräjudiziell sei der Gemeinderat bereit, einen Anteil in der Höhe des Kostenanteils der Sonderschule von Fr. 600.-- pro Monat zu tragen. Mit Eingabe vom 30. November 2017 reichte A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die Einwohnergemeinde U._ ein. Mit Urteil vom 20. Juni 2018 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. C. Gegen dieses Urteil reicht A.A._ mit Eingabe vom 27. August 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Juni 2018 sei aufzuheben und die Kosten für seine Sonderschulung an der Privatschule D._ für die Schuljahre 2016/2017 und 2017/2018 seien von der Gemeinde U._ in der Höhe von monatlich Fr. 2'370.-- unter Abzug der von der Gemeinde bereits geleisteten Beiträge von monatlich Fr. 600.--, zuzüglich Transportkosten in der Höhe von monatlich Fr. 890.70.--, zu übernehmen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er die unentgeltliche Prozessführung im bundesgerichtlichen Verfahren gestützt auf das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3). Eventualiter seien allfällige Gerichtsgebühren zu reduzieren. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und der Gemeinderat U._ verzichten auf Vernehmlassung und verweisen auf das angefochtene Urteil. Das Eidgenössische Büro für die Gleichstellung von Menschen mit Behinderungen EBGB verzichtet auf Stellungnahme.