Sachverhalt: A. Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern führte gegen X._ eine Strafuntersuchung u.a wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, eventualiter schwerer Körperverletzung infolge einer tätlichen Auseinandersetzung in der Ausschaffungs-Abteilung des Regionalgefängnisses Burgdorf. Im Rahmen der zunächst verbalen Auseinandersetzung habe X._ seinen Zellengenossen A._ mit der rechten Faust gegen die Stirn geschlagen, aufs Bett geworfen und gesagt, dieser werde hier sterben. Er habe A._ in den Unterarmwürgegriff (Schwitzkasten) genommen und in der Absicht, ihn zu töten, ca. ein bis zwei Minuten so stark zugedrückt, dass A._ nicht mehr habe atmen können, und diesem zweimal mit der linken Faust in den Bauch geschlagen. Zur Hilfe eilenden Mitgefangenen sei es erst zu viert gelungen, A._ aus dem Würgegriff von X._ zu befreien. Das Regionalgericht Emmental-Oberaargau verurteilte X._ aufgrund dieses Vorfalls wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, Drohung und Tätlichkeit (sowie weiterer Delikte) zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und neun Monaten. Auf die hiergegen erhobene Berufung von X._ sprach das Obergericht des Kantons Bern ihn am 19. April 2016 vom Vorwurf der Drohung aus rechtlichen Gründen (Konkurrenz) frei und verurteilte ihn in Bestätigung der weiteren Schuldsprüche zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und neun Monaten. B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt sinngemäss, er sei vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung freizusprechen. In seiner Eingabe weist er darauf hin, dass er über keinen Verteidiger verfüge. Mit Schreiben vom 25. November 2016 zeigt Rechtsanwalt Julian Burkhalter an, dass er X._ vertrete. Er ersucht das Bundesgericht darum, "allfällige Fristen zu erstrecken" und ihm die kantonalen Verfahrensakten zuzustellen. Mit dem weiteren Gesuch um Einsicht in die bundesgerichtlichen Verfahrensakten stellt Rechtsanwalt Burkhalter den Antrag, die Beschwerdefrist wiederherzustellen. C. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt das Obergericht, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Rechtsanwalt Burkhalter erneuert in seiner Replik den Antrag, die Beschwerdefrist für das bundesgerichtliche Verfahren wiederherzustellen und X._ die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines jetzigen Rechtsvertreters zu gewähren.