Sachverhalt: A. A.a. Mit Entscheid vom 27. August 2015 befand das Bezirksgericht (inzwischen Regionalgericht) Maloja über die Klage auf Realteilung des Nachlasses von D._, die A._ gegen seine Miterben B._ und C._ dort eingereicht hatte. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ mit Berufung an das Kantonsgericht Graubünden (ZK1 16 35). A.b. Am 15. Mai 2018 fand die Beratung unter dem Vorsitz des Kantonsgerichtspräsidenten Brunner statt; an der Sitzung nahmen die Kantonsrichter Schnyder und Pedrotti sowie Aktuar Guetg teil. A.c. Am 20. August 2018 wurde den Parteien das Urteil in der Sache zugestellt. Das Dispositiv lautete auf Gutheissung der Berufung und Anordnung der Realteilung, womit die Auszahlung der neu berechneten Geldbeträge an jeden Erben und die Zuteilung der E._-Inhaberaktien angeordnet wurde. Der A._ zustehende Anteil von neu Fr. 537'539.75 wurde gestützt auf eine Abtretungserklärung vom 1. Juli 2013 den Erben F._ aus dem beim Regionalgericht Maloja hinterlegten Betrag ausbezahlt. Gegen dieses Urteil wurde keine Beschwerde beim Bundesgericht erhoben. B. B.a. A._ reichte am 14. Januar 2019 beim Kantonsgericht ein Revisionsgesuch ein (ZK1 19 6). Er stellte das Begehren auf Abänderung des kantonsgerichtlichen Urteils, womit sein Erbanteil ihm und nicht den Erben F._ ausbezahlt werde. B.b. Mit Entscheid des Kantonsgerichts vom 18. April 2019 (ZK1 19 6) in der Besetzung mit Kantonsrichter Hubert, Pedrotti und Pritzi sowie Aktuar ad hoc Bernasconi wurde das Ausstandsgesuch von Kantonsrichter Schnyder gegen Kantonsgerichtspräsident Brunner abgewiesen. B.c. Mit Beschluss vom 8. Mai 2019 (GEG 19 4) stellte das Gesamtgericht, bestehend aus dem Kantonsgerichtspräsidenten Brunner, den Kantonsrichtern Michael Dürst, Hubert, Pedrotti und Pritzi fest, dass Kantonsrichter Schnyder im Revisionsverfahren (ZK1 19 6) keinerlei Funktion als prozessleitender Richter/Instruktionsrichter zukomme. Jegliche Kontaktnahme mit den Prozessparteien sowie den Erben F._ werde ihm untersagt. Eine Missachtung dieser Anordnung werde als Amtsgeheimnisverletzung im Sinne von Art. 320 StGB qualifiziert (Ziff. 1). Kantonsrichter Schnyder werde im Revisionsverfahren (ZK1 19 6) durch Kantonsrichterin Michael Dürst ersetzt (Ziff. 2). In einer separaten Eingabe werde bei der Kommission für Justiz und Sicherheit des Grossen Rates der Antrag auf Eröffnung eines Amtsenthebungsverfahrens gegen Kantonsrichter Schnyder gestellt (Ziff. 3). B.d. Am 29. Mai 2019 trat das Kantonsgericht auf das Revisionsgesuch von A._ nicht ein. An diesem Entscheid wirkten Kantonsgerichtspräsident Brunner, die Kantonsrichter Pedrotti und Michael Dürst sowie Aktuar Guetg mit. Er blieb unangefochten. C. Kantonsrichter Schnyder ist am 11. Juni 2019 mit einer als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Feststellung, dass Ziff. 1 und 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts vom 8. Mai 2019 (GEG 19 4) nichtig seien. Eventualiter seien Ziff. 1 und 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, den Beschwerdeführer wieder im Zivilverfahren ZK1 19 6 einzusetzen. Das Kantonsgericht und der Kantonsgerichtspräsident beantragen, die Beschwerde gegen den Beschluss vom 8. Mai 2019 abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Erben von D._, nämlich C._, B._ und A._, wurden als Verfahrensbeteiligte zur Stellungnahme eingeladen. C._ verzichtet auf eine Stellungnahme. B._ hat sich vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen. A._ beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Urteils vom 15. Mai 2018 (ZK1 16 35) und die Feststellung der Nichtigkeit dieses Urteils. Sodann sei Ziff. 1 lit. a dieses Urteils dahingehend zu ändern, dass sein Anteil von Fr. 537'539.75 an ihn und nicht an die Erben F._ ausgezahlt werde. Eventualiter sei der Entscheid des Kantonsgerichts vom 29. Mai 2019 (ZK1 19 6) aufzuheben und dessen Nichtigkeit festzustellen. Sodann sei auf das Revisionsgesuch (ZK1 16 35) einzutreten. Zudem sei festzustellen, dass Ziff. 1 und 2 des kantonsgerichtlichen Beschlusses vom 8. Mai 2019 nichtig seien. Der Beschwerdeführer hat sich zu den Stellungnahmen des Kantonsgerichts und des Kantonsgerichtspräsidenten geäussert, ohne von seinem Replikrecht formellen Gebrauch zu machen. Der Beschwerdeführer richtet seine Beschwerde auch gegen den Entscheid des Kantonsgerichts vom 18. April 2019 (ZK1 19 6). Über diese Beschwerde wird im separaten Verfahren entschieden (5A_484/2019).