Sachverhalt: A. A.a. A._ schloss 2015 mit der Gruppe Verteidigung einen Vertrag über ein befristetes Arbeitsverhältnis als Einheitskommandant mit Zusatzfunktionen in der Schule X._ (Zeitmilitärstelle) ab. 2016 bewarb er sich erneut für die gleiche, wieder ausgeschriebene Zeitmilitärstelle. Mit Schreiben vom 9. Januar 2016 teilte ihm der Kommandant der Schule X._ mit, eine Verlängerung der Anstellung sei nicht möglich, da die Schule X._ nur bis Ende Januar 2016 über die Stelle verfüge. A.b. Mit Schreiben vom 5. September 2016 und vom 12. Dezember 2016 beantragte A._ den Erlass einer Verfügung bezüglich seiner Nichtanstellung als Zeitmilitär. Zur Begründung machte er geltend, ihm sei die Anstellung infolge seiner sexuellen Orientierung (Homosexualität) verweigert worden. Es sei daher abzuklären, ob eine Diskriminierung aufgrund des Geschlechts vorliege. Mit Verfügung vom 23. Januar 2017 verneinte die Gruppe Verteidigung eine Diskriminierung infolge der sexuellen Orientierung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die Zeitmilitärstelle erscheine nicht mehr im Organigramm bzw. sei nicht mehr vorhanden. Zudem könne A._ wegen seines Alters die Bedingungen für eine Anstellung als angehender Berufsoffizier nicht mehr erfüllen. B. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 7. August 2018 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der vorinstanzliche Entscheid vom 7. August 2018 sowie die Nichtanstellungsverfügung vom 23. Januar 2017 seien aufzuheben. Die Gruppe Verteidigung sei zu verpflichten, ihm eine Entschädigung in gerichtlich zu bestimmender Höhe sowie eine Genugtuung von mindestens Fr. 20'000.- zu bezahlen. Im Weiteren stellt er mehrere Eventualanträge auf Bezahlung einer Entschädigung wegen diskriminierender Nichtanstellung. Die Gruppe Verteidigung schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Das Eidgenössische Büro für die Gleichstellung von Frau und Mann (EBG) beantragt die Gutheissung der Beschwerde. D. Mit Eingabe vom 11. Januar 2019 äussert sich A._ zu den eingegangenen Stellungnahmen.