Sachverhalt: A. Die Immobiliengesellschaft B._ AG (nachstehend: B._), ist Eigentümerin verschiedener Grundstücke, die Teil eines rund 58'000 m2 umfassenden Areals bilden. Dieses reicht von der Kuppe des Rosenbergs (Höhenweg) nach Norden hangabwärts bis zur Dietlistrasse und wurde gemäss dem Zonenplan der Stadt St. Gallen den Wohnzonen 2a, 3 oder 3a zugeteilt. Das Areal ist weitgehend mit Schul- und Institutsgebäuden sowie Sport- und Freizeitanlagen der Privatschule "Institut auf dem Rosenberg" überbaut. Noch unüberbaut ist jedoch die im nordöstlichen Teil des Areals gelegene grossflächige Parzelle Nr. W1950. B. B.a. Der Überbauungsplan "Sporthalle Institut auf dem Rosenberg" (nachstehend: ÜP Sporthalle) sollte im entsprechenden Planungsgebiet die Voraussetzungen für den Bau einer neuen Sporthalle schaffen und zudem die Erschliessung der ausserhalb des Gebiets gelegenen Parzelle Nr. W1950 sichern, was eine Waldrodung erfordert. Das entsprechende Rodungsgesuch und der ÜP Sporthalle wurden im Amtsblatt des Kantons St. Gallen vom 28. Januar 2013 veröffentlicht. Dagegen erhob C._ als Eigentümer eines nördlich an die Parzelle Nr. W1950 angrenzenden Grundstücks Einsprache. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2013 stimmte die Politische Gemeinde St. Gallen dem ÜP Sporthalle zu. Mit Verfügung vom 14. Januar 2014 erteilte das Forstamt des Kantons St. Gallen die dazu erforderliche Rodungsbewilligung. Diese schrieb als Ersatzmassnahme für die Rodung die planerisch im Sondernutzungsplan "Masterplanung Institut auf dem Rosenberg" festzulegende Schaffung von 1'000 m2einheimischer Gehölzstrukturen auf der Parzelle Nr. W1950 vor. Zudem sah die Bewilligung vor, sie falle dahin, wenn die bewilligte Rodung bis Ende 2016 noch nicht ausgeführt sei. Am 3. Februar 2014 genehmigte das Amt für Raumentwicklung und Geoinformation des Kantons St. Gallen (AREG) den ÜP Sporthalle. Diese Genehmigung und die Rodungsbewilligung wurden den Verfahrensbeteiligten mit Gesamtentscheid der Direktion Bau- und Planung vom 30. April 2014eröffnet. Die von C._ dagegen erhobenen Rechtsmittel wies der Regierungsrat des Kantons St. Gallen am 8. Dezember 2015 und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 22. November 2017 ab. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft. Auf Gesuch der B._ vom 15. Mai 2018 verlängerte das Kantonsforstamt des Kantons St. Gallen die ursprünglich auf Ende 2016 festgesetzte Frist zur Ausführung der Rodung bis Ende 2021 und verfügte, dass der Rodungsersatz bis Ende 2022 auszuführen sei. B.b. Am 30. Juni 2015 leitete der Stadtrat St. Gallen das Verfahren für den Erlass des Überbauungsplans "Institut auf dem Rosenberg" (nachstehend: ÜP Rosenberg) ein. Dagegen erhoben A._ und D._ als Eigentümer von nördlich an die Parzelle Nr. W1950 grenzenden Grundstücken Einsprachen. Mit Beschluss vom 5. Juli 2016 wies der Stadtrat der Stadt St. Gallen die Einsprachen ab und stimmte dem Überbauungsplan Rosenberg zu. Dagegen rekurrierten A._ und D._ an das Baudepartement des Kantons St. Gallen, das einen Augenschein durchführte und mit Entscheid vom 7. Juni 2018 den Rekurs abwies, nachdem das AREG den ÜP Rosenberg am 5. Juli 2018 genehmigt hatte. A._ und die Erben der zwischenzeitlich verstorbenen D._ fochten den Departementsentscheid vom 7. Juni 2018 mit Beschwerde an, die das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 20. Mai 2019 bezüglich der Verteilung der amtlichen Kosten des Rekursverfahrens teilweise guthiess und im Übrigen abwies, soweit es darauf eintrat. C. A._ und die Erben von D._ erhoben beim Bundesgericht Beschwerde mit den sinngemässen Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Mai 2019 aufzuheben und den ÜP Rosenberg nicht zu genehmigen. Mit Schreiben vom 1. Juli 2019 teilten die Erben von D._ mit, dass sie sich aus dem Verfahren zurückziehen. Mit Präsidialverfügung vom 16. Juli 2019 wies das Bundesgericht das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, ab. Das Verwaltungsgericht und der Stadtrat der Stadt St. Gallen schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die B._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.