Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1968) ist Staatsangehöriger der Republik Montenegro. Er heiratete am 3. Januar 1991 die inzwischen in der Schweiz eingebürgerte, aus dem heutigen Kosovo stammende B.A._ (geb. 1971), worauf ihm eine Bewilligung zum Verbleib bei dieser erteilt wurde. Aus der Ehe sind zwei Söhne hervorgegangen (geb. 1992 und 1995); beide verfügen heute über die schweizerische Staatsbürgerschaft. A.A._ ist zudem Vater einer ausserehelichen Tochter (geb. 1997), die ebenfalls Schweizer Bürgerin ist. A.b. A.A._ ist verschiedentlich straffällig geworden: Unter anderem verurteilte ihn das Bezirksgericht Winterthur am 2. Juli 1997 wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das ANAG (Schleppertätigkeit) zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten sowie zu einer Busse von Fr. 2'500.--. Als Zusatzstrafe hierzu erging am 10. Februar 1998 ein Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Uster unter anderem wegen fahrlässiger Tötung (bedingte Gefängnisstrafe von 75 Tagen). Das Amtsgericht Laufen (D) verurteilte A.A._ schliesslich am 18. Januar 1999 wegen Einschleusens von Ausländern zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten. Am 14. Dezember 2009 verurteilte das Bezirksamt Lenzburg A.A._ (unter anderem) wegen mehrfacher Beschäftigung von Ausländerinnen und Ausländern ohne Bewilligung zu einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen à je Fr. 30.-- und einer Busse von Fr. 800.--. A.c. Nach der Entlassung aus dem Strafvollzug in Deutschland verweigerte das Migrationsamt des Kantons Zürich A.A._ die Wiedereinreise in die Schweiz. Das Bundesamt für Ausländerfragen belegte ihn am 16. Mai 2000 mit einem Einreiseverbot von 5 Jahren. Nach dessen Ablauf kam A.A._ am 12. August 2005 erneut in die Schweiz, wo ihm wiederum eine - zuletzt bis zum 11. August 2018 verlängerte - Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin erteilt wurde. Am 16. April 2012 erlitt A.A._ in der Heimat einen Autounfall; in der Folge ging er keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die bisherigen Gesuche um Leistungen der Invalidenversicherung blieben ohne Erfolg; ein weiteres Verfahren ist noch hängig. Seit dem 1. Januar 2015 wird das Ehepaar A._ von der Sozialhilfe unterstützt; seit der Einstellung der IV-Rente der Gattin im September 2015 sind die Sozialhilfegelder ihre einzige Einnahmequelle. B. Nachdem das Amt für Migration des Kantons Zürich A.A._ am 18. Dezember 2017 verwarnt und ihm ohne Besserung einen allfälligen Widerruf seiner Bewilligung in Aussicht gestellt hatte, weigerte es sich am 24. Juli 2019, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ zu verlängern; gleichzeitig hielt es ihn an, das Land zu verlassen. Hiergegen gelangte A.A._ erfolglos an die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion und an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass A.A._ seine Fürsorgeabhängigkeit selber verschuldet habe und eine Besserung der Situation nicht in Aussicht stehe. Die Beendigung des Aufenthalts von A.A._ erweise sich gestützt auf die gesamten Umstände als verhältnismässig. C. A.A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Mai 2020 aufzuheben und ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; allenfalls sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu belassen. Nötigenfalls sei das bundesgerichtliche Verfahren zu sistieren, bis die IV-Stelle der Sozialversicherungsanstalt Zürich über sein Wiedererwägungs- bzw. Revisionsgesuch entschieden habe. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für den Fall des Unterliegens ersucht A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A.A._ macht geltend, es bestehe kein Widerrufsgrund; mit Blick darauf, dass noch ein IV-Verfahren hängig sei, könne nicht gesagt werden, seine Sozialhilfeabhängigkeit erscheine erheblich und dauerhaft. Im Übrigen sei die aufenthaltsbeendende Massnahme unverhältnismässig. Insgesamt halte er sich seit knapp 22 Jahren in der Schweiz auf. Die bezogenen Leistungen seien im Vergleich zum Fall «Hasanbasic» (Fr. 333`000.--), bei dem die Schweiz durch den EGMR verurteilt worden sei, relativ gering. Seine Gattin lebe seit 34 Jahren in der Schweiz. Die Eheleute unterstützten sich gegenseitig und seien voneinander abhängig. Die Familie im Heimatstaat könne ihn weder finanziell noch persönlich unterstützen. Das Ehepaar und deren erwachsene Kinder führten den Haushalt gemeinsam; es bestünden auch diesbezüglich wechselseitige Abhängigkeiten. Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich haben darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Staatssekretariat für Migration hat keine Stellungnahme eingereicht. Der Abteilungspräsident hat am 10. Juli 2020 der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.