Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen versuchter schwerer Körperverletzung. Sie warf ihm vor, als Insasse im (offenen) Vollzugszentrum Bachtel in Hinwil am 5. September 2019 einen Mitinsassen am Hals gepackt, ihn gewürgt und ihm mehrere Faustschläge verpasst zu haben sowie, als dieser bereits am Boden gelegen sei, mit dem Fuss auf dessen linke Kopfseite "gekickt" zu haben. Am 6. April 2020 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage beim Bezirksgericht Hinwil und beantragte die Anordnung von Sicherheitshaft für A._. Mit Verfügung vom 9. April 2020 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Hinwil gegenüber A._ Sicherheitshaft bis zur Eröffnung des Urteils in der Hauptsache, vorerst jedoch längstens bis zum 9. Oktober 2020 an. Dagegen erhob A._, damals vertreten durch seinen Rechtsanwalt, Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Beschluss vom 19. Mai 2020 ab. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 4. Juni 2020 erkannte das Bezirksgericht Hinwil A._ der versuchten schweren Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu einer vollziehbaren Freiheitsstrafe von 26 Monaten, unter Anrechnung von 281 Tagen Untersuchungshaft. Ausserdem ordnete es eine ambulante Massnahme an. Gleichentags verlängerte es die Sicherheitshaft bis zum Strafantritt bzw. zum Entscheid der Verfahrensleitung des Berufungsgerichts, längstens bis zum 11. Dezember 2020. B. Mit eigenhändiger Eingabe vom 15. Juni 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids der Vorinstanz vom 19. Mai 2020 und die Rückversetzung in den Strafvollzug. Ausserdem stellt er mit separatem Schreiben einen Antrag auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Obergericht sowie die Staatsanwaltschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.