Sachverhalt: A. Im Kanton Bern ist gegen A._ ein Strafverfahren hängig. Im Rahmen des Berufungsverfahrens machte er mit zwei Gesuchen vom 16. Oktober und 7. Dezember 2017 geltend, die Besetzung der Strafkammer des Obergerichts entspreche mangels gesetzlicher Grundlage nicht dem Anspruch auf den gesetzlichen Richter im Sinne von Art. 6 EMRK. Das Strafverfahren sei deshalb einzustellen. Zudem bestehe keine rechtliche Grundlage für die Ersetzung von Oberrichter Guéra durch Obergerichtssuppleantin Falkner. Schliesslich bestehe in Bezug auf das erstinstanzliche Gericht die Besorgnis der fehlenden Unabhängigkeit und Unparteilichkeit, weil die Staatsanwaltschaft an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung nicht anwesend gewesen sei. Das Obergericht führte in der Folge ein Ausstandsverfahren im Sinne von Art. 59 StPO durch. Über das gegen Obergerichtssuppleantin Falkner, Oberrichter Vicari und Oberrichterin Hubschmid Volz gerichtete Gesuch entschied das Obergericht in modifizierter Besetzung, unter Mitwirkung der Oberrichter Niklaus, Geiser und Kiener. Mit Beschluss vom 7. Februar 2018 wies es die Gesuche ab, soweit es darauf eintrat. Die Verfahrenskosten auferlegte es dem Rechtsvertreter des Gesuchstellers, Rechtsanwalt Lücke. Zur Begründung führte es aus, es könne offen bleiben, ob die Rüge der Verletzung von Art. 6 EMRK rechtzeitig erfolgt sei. Soweit A._ ein Ausstandsbegehren gegen die erstinstanzliche Gerichtspräsidentin stelle und die Einstellung des Verfahrens beantrage, sei darüber im Hauptverfahren zu befinden. Sowohl die Zusammensetzung des Spruchkörpers als auch der Entscheid über den Beizug von Ersatzrichtern (Obergerichtssuppleanten) beruhe auf einer gesetzlichen Grundlage. Die Ersetzung von Oberrichter Guéra durch Obergerichtssuppleantin Falkner sei aufgrund der Ferienplanung erfolgt. B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 9. März 2018 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch gutzuheissen. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese in einer auf Gesetz beruhenden Besetzung neu entscheide, wobei die Oberrichter Niklaus, Geiser und Kiener in den Ausstand zu treten hätten. Die Kosten des Ausstandsverfahrens seien dem Kanton Bern aufzuerlegen und Rechtsanwalt Lücke sei eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, er lehne die von der strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts bestimmte Besetzung des Spruchkörpers wegen eines Verstosses gegen den Anspruch auf den gesetzlichen Richter ab. Die Beschwerdegegner haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat sich zur Beschwerde partiell geäussert, ohne einen Antrag zu stellen. Der Beschwerdeführer hat zwei weitere Eingaben eingereicht. Darin verlangt er den Ausstand von Bundesrichter Karlen und kritisiert im Übrigen die Rechtsprechung des Bundesgerichts in verschiedener Hinsicht.