Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1971) und B._ (geb. 1975), beide russische Staatsangehörige, heirateten 1995 in Moskau (Russische Föderation). Während der Ehe adoptierten sie drei Kinder: C._ (geb. 2005), D._ (geb. 2006) und den mittlerweile volljährigen E._ (geb. 1999). Seit 2009 wohnen die Beteiligten in der Schweiz. Die Ehe wurde 2012 in Moskau geschieden. A._ erhielt dabei die alleinige elterliche Sorge und die Obhut über die drei Kinder zugeteilt. B._ wurde ein jederzeitiges Besuchsrecht und ein dreiwöchiges Ferienrecht mit den Kindern eingeräumt. A.b. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2013 der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region St. Gallen (nachfolgend KESB) wurde B._ vorsorglich jeder persönliche Verkehr mit den Kindern verboten. Am 7. April 2014 wies die KESB einen Antrag von B._ auf Einräumung eines Besuchsrechts ab, gewährte ihr jedoch das Recht auf telefonischen Kontakt mit den Kindern unter Aufsicht des Kindsvaters oder einer Hilfsperson. Gleichzeitig ordnete sie ein Erziehungsfähigkeitsgutachten an, welches am 5. November 2014 vom Zentrum für Forensik, KJPD St. Gallen, erstattet wurde. A.c. A._ reichte Ende 2014 beim Bezirksgericht Kunzewo der Stadt Moskau eine Klage gegen die Kindsmutter auf Aufhebung der Adoption ein. Mit Entscheid vom 10. Februar 2015 hob das russische Bezirksgericht die Adoption in Bezug auf alle drei Kinder auf. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft nachdem die von der Kindsmutter eingelegte Berufung am 14. Mai 2015 vom Moskauer Stadtgericht abgewiesen worden war. A.d. Die KESB verfügte am 1. März 2016, dass das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 betreffend Aufhebung der Adoption vollumfänglich anerkannt werde (Ziffer 1), dass B._ unter dem Titel von Art. 273 ZGB keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit C._, D._ und E._ habe (Ziffer 2) und dass über einen allfälligen Anspruch auf persönlichen Verkehr nach Art. 274a ZGB in einem separaten Verfahren entschieden werde (Ziffer 3). Die Kosten des Verfahrens wurden je zur Hälfte den Parteien auferlegt (Ziffer 4); jede Partei habe zudem ihre eigenen Parteikosten zu tragen (Ziffer 5). B. B.a. Gegen das Urteil der KESB erhob B._ Beschwerde bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Sie beantragte hauptsächlich die Aufhebung des Beschlusses der KESB vom 1. März 2016 sowie die Nichtanerkennung des russischen Urteils, die Anweisung der KESB zur Regelung des persönlichen Verkehrs sowie die superprovisorische Aufhebung des Kontaktverbotes und gleichzeitig Einräumung eines Kontaktrechts. Der Beschwerdeführer beantragte die Abweisung der Beschwerde. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2018 schrieb die Verwaltungsrekurskommission das Beschwerdeverfahren in Bezug auf E._ als erledigt ab und hiess die Beschwerde im Übrigen gut, wobei sie Ziffer 1 bis 3 der KESB-Verfügung vollumfänglich aufhob; Ziffer 4 und 5 wurden bestätigt. Weiter entschied die Verwaltungskommission, dass das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 nicht anerkannt werde. Sodann wies es die Streitsache zur Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen B._ und den Kindern C._ und D._ an die KESB zurück. Die Kosten auferlegte sie der KESB und A._ je hälftig, wobei diese B._ zu entschädigen hätten. B.b. Dagegen erhob A._ beim Kantonsgericht St. Gallen Beschwerde. Es sei das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo anzuerkennen und festzuhalten, dass B._ unter dem Titel von Art. 273 ZGB keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit E._, C._ und D._ habe. Das Verfahren betreffend den persönlichen Verkehr sei im Übrigen als gegenstandslos abzuschreiben. B._ beantragte die Abweisung der Beschwerde und die als vorsorgliche Massnahme zu erlassende Anweisung an die KESB zur sofortigen Regelung des persönlichen Verkehrs. Mit Entscheid vom 8. Januar 2020 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab und schrieb das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen zufolge Gegenstandslosigkeit ab. C. C.a. Mit Beschwerde vom 17. Februar 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit dem Begehren, es sei das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 vorfrageweise anzuerkennen. Weiter sei zu entscheiden, dass B._ unter dem Titel von Art. 273 ZGB keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit C._ und D._ habe. Im Übrigen sei das Verfahren betreffend den persönlichen Verkehr als gegenstandslos abzuschreiben. Die Kosten der vorinstanzlichen Verfahren seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Letztere sei ferner zur Bezahlung einer angemessenen Prozessentschädigung (zzgl. MWSt) für die vorinstanzlichen Verfahren zu verpflichten. Daneben beantragte der Beschwerdeführer die aufschiebende Wirkung der Beschwerde. C.b. Mit Verfügung vom 18. Februar 2020 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab. C.c. Das Kantonsgericht erklärte mit Eingabe vom 26. Februar 2020 seinen Verzicht auf eine Vernehmlassung. Es beantragt jedoch die Abweisung der Beschwerde. Die KESB hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdegegnerin hat sich mit Eingabe vom 1. April 2020 auf Einladung hin geäussert, wobei sie die Abweisung der Beschwerde ohne Erteilung der aufschiebenden Wirkung verlangt. Die Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zwecks Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. C.d. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.