Sachverhalt: A. A.a. E.A._ (Erblasserin) verstarb 2015. Als gesetzliche Erben hinterliess sie ihre drei Kinder aus erster Ehe, B._, C._ und D._, sowie ihren zweiten Ehemann A.A._. Am 20. Januar 2012 hatte die Erblasserin eine eigenhändige letztwillige Verfügung verfasst. Soweit vorliegend von Interesse hat diese folgenden Wortlaut: "Für den Fall, dass ich vor meinem Ehemann [...] sterben sollte, setze ich ihn als Alleinerbe meines ganzen Nachlasses zu Eigentum ein." Ausserdem richtete sie zwei Vermächtnisse aus und setzte ihren Ehemann als Willensvollstrecker ein. Für den Fall, dass sie gleichzeitig mit oder nach ihrem Ehemann sterben sollte, bestimmte sie u.a. ihre Nachkommen in allen Graden und Stämme zu 30% als Erben. Die Erblasserin gab zudem in einem ebenfalls handschriftlichen, aber nicht datierten Dokument, welches sie mit "Nachtrag" überschrieb, Folgendes wieder: "Zu meinem Entschluss, der mir nicht leicht gefallen ist, meine Kinder zu 30% des Nachlasses zu geben, bin ich zu folgender Ueberlegung gekommen." Nachfolgend führte die Erblasserin detailliert aus, welche Gründe sie zu ihrem Entschluss bewogen haben. A.b. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung (Eingang Schlichtungsgesuch: 19. Oktober 2016) gelangte B._ mit Klagebewilligung vom 21. November 2016 am 12. Dezember 2016 an das Bezirksgericht Bülach (Bezirksgericht). Sie reichte Klage (inkl. Begründung) gegen A.A._ und ihre beiden Geschwister ein. Ihre Rechtsbegehren lauteten, wie bereits vor der Schlichtungsbehörde, wie folgt: "Es sei festzustellen, dass die Klägerin von ihrer Mutter E.A._ nicht oder zumindest nicht wirksam und/oder gültig enterbt wurde und demzufolge wie alle anderen Erben im Rahmen der testamentarischen Anordnungen von Frau E.A._ bzw. der gesetzlichen Regeln an deren Nachlass teilnimmt, sich über deren Nachlass informieren und dokumentieren lassen und an deren Teilung mitwirken kann; eventualiter ist eine allfällig Enterbung der Klägerin als ungültig und unwirksam zu erklären. Es sei festzustellen, dass das undatierte, mit 'Nachtrag' überschriebene handschriftliche Dokument in Anhang A bezüglich des Nachlasses von Frau E.A._ keine wirksame bzw. gültige Verfügung von Todes wegen darstellt; eventualiter ist dieses Dokument als ungültig und unwirksam zu erklären." A.c. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 15. März 2017 modifizierte B._ dieses Rechtsbegehren folgendermassen (Ergänzungen hervorgehoben) : "Es sei festzustellen, dass die Klägerin von ihrer Mutter E.A._ nicht oder zumindest nicht wirksam und/oder gültig enterbt wurde und demzufolge wie alle anderen Erben im Rahmen und Umfang der testamentarischen Anordnungen von Frau E.A._ bzw. der gesetzlichen Regeln (mindestens aber zum Pflichtteil) an deren Nachlass teilnimmt, sich über deren Nachlass informieren und dokumentieren lassen und an deren Teilung mitwirken kann; eventualiter ist eine allfällig Enterbung der Klägerin als ungültig und unwirksam zu erklären. Es sei festzustellen, dass das undatierte, mit 'Nachtrag' überschriebene handschriftliche Dokument in Anhang A bezüglich des Nachlasses von Frau E.A._ keine wirksame bzw. gültige Verfügung von Todes wegen darstellt; eventualiter ist dieses Dokument als ungültig und unwirksam zu erklären." A.d. Nach erfolglosen Vergleichsgesprächen entschied das Bezirksgericht am 6. September 2017, auf die beiden Hauptbegehren nicht einzutreten. Weiter erkannte es, die Enterbung der Klägerin in der letztwilligen Verfügung der Erblasserin vom 20. Januar 2012 werde für ungültig erklärt und die Klägerin nehme im Umfang ihres Pflichtteils als gesetzliche Erbin an der Erbschaft teil. Sodann wies es das Eventualbegehren der Klägerin um Ungültigerklärung des mit "Nachtrag" überschriebenen, handschriftlichen Dokuments ab. Auf die Begehren, die die Geschwister der Klägerin betreffen, trat das Bezirksgericht nicht ein. B. Gegen diesen Entscheid erhoben sowohl B._ als auch A.A._ Berufung. Während B._ den Antrag stellte, auf die Klage im Hauptbegehren auf Ungültigerklärung der Enterbung einzutreten und das Urteil auch gegen ihre Geschwister gelten zu lassen sowie in Abänderung des vorinstanzlichen Entscheides das mit "Nachtrag" überschriebene, handschriftliche Dokument als ungültig zu erklären bzw. dessen Ungültigkeit und Unwirksamkeit festzuhalten, beantragte A.A._, auf die Klage vollumfänglich nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Mit Entscheid vom 25. Juli 2018 hiess das Obergericht des Kantons Zürich die von B._ ergriffene Berufung teilweise gut und reformierte den erstinstanzlichen Entscheid insofern, als es anerkannte, diese nehme im Umfang ihres Pflichtteils als gesetzliche Erbin an der Erbschaft der Erblasserin teil. Die Berufung von A.A._ wies es ab. C. Mit Eingabe vom 13. September 2018 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids auf die Klage von B._ (Beschwerdegegnerin) nicht einzutreten (Rechtsbegehren 1), eventualiter die Klage vollumfänglich abzuweisen (Rechtsbegehren 2), folglich die Gerichtskosten des kantonalen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Rechtsbegehren 3) und diese zur Leistung einer (bezifferten) Parteientschädigung zu verpflichten (Rechtsbegehren 4). Ebenso eventualiter, d.h. für den Fall, dass er mit seinen Begehren in der Hauptsache nicht durchdringen sollte, verlangt der Beschwerdeführer in bezifferter Weise eine Neuverteilung der Prozesskosten der beiden kantonalen Verfahren (Rechtsbegehren 5 und 6). Mit Verfügung vom 14. September 2018 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten editiert, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.