Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 17. Oktober 2014 stellte die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) fest, dass die B._ AG ohne Bewilligung beziehungsweise ohne Anschluss an eine anerkannte Selbstregulierungsorganisation finanzintermediäre Tätigkeiten im Sinne von Art. 2 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 10. Oktober 1997 über die Bekämpfung der Geldwäscherei und der Terrorismusfinanzierung (GwG; SR 955.0) vorgenommen und damit aufsichtsrechtliche Bestimmungen schwer verletzt habe. Aus diesem Grund ordnete sie die Auflösung und Liquidation der B._ AG an. Am 25. Februar 2015 eröffnete der Konkursrichter des Bezirksgerichts Meilen über die bereits aufgelöste B._ AG in Liquidation den Konkurs. Mit Urteil vom 24. Juni 2015 stellte er das Konkursverfahren mangels Aktiven ein. Nachdem kein begründeter Einspruch gegen die Löschung erhoben worden war, wurde die B._ AG in Liquidation am 9. Januar 2017 im Handelsregister gelöscht. B. Mit Gesuch vom 14. August 2018 verlangte der ehemalige Verwaltungsrat der B._ AG, A._ (Beschwerdeführer), beim Bezirksgericht Pfäffikon gestützt auf Art. 164 Abs. 1 lit. a und b der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (HRegV; SR 221.411) die Wiedereintragung der Gesellschaft im Handelsregister unter der Firma "B._ AG in Liquidation". Ferner ersuchte er darum, zur Wiederherstellung der rechtmässigen Organisation der Gesellschaft als Liquidator eingetragen zu werden. Er begründete das Gesuch mit Forderungen, die in einem Staatshaftungsprozess gegen die FINMA zu erstreiten seien, wozu nur die inzwischen gelöschte B._ AG in Liquidation aktivlegitimiert sei. Das Einzelgericht im summarischen Verfahren am Bezirksgericht wies das Gesuch mit Urteil vom 25. März 2019 ab. Das Obergericht wies die von A._ dagegen erhobene Berufung mit Urteil vom 5. Juni 2019 ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts. C. A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und dem Wiedereintragungsgesuch sei stattzugeben. Es sei ihm "eine für die Wiedereintragung der B._ AG in Liquidation zu bezahlende Gebühr in Höhe von maximal CHF 1'600.00 aufzuerlegen". Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.