Sachverhalt: A. A.a. D.B._ (geb. 1977) und A._ (geb. 1979; Beschwerdeführer) sind die unverheirateten Eltern von B.B._ (geb. 2003; Beschwerdegegner 1) und C.B._ (geb. 2004; Beschwerdegegnerin 2). Die Eltern leben seit März 2005 getrennt. Die Kinder stehen unter der gemeinsamen elterlichen Sorge. Die Obhut übt die Kindsmutter aus. Mutter und Kinder wohnen zusammen im Kanton Wallis. Seit Abschluss des Studiums im Jahr 2005 lebt und arbeitet A._ in London (GB). Im Frühjahr 2008 zog er dort mit seiner heutigen Lebenspartnerin zusammen. A.b. Mit Unterhaltsverträgen vom 1. Februar 2005 verpflichtete sich A._ für die Kinder bis zum vollendeten 6. Altersjahr monatlichen Unterhalt von Fr. 700.-- zu bezahlen. Ab dem 7. bis zum vollendeten 12. Altersjahr sollte der Unterhalt Fr. 850.-- und vom 13. Altersjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung Fr. 1'000.-- pro Monat betragen. Die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde U._ genehmigte diese Vereinbarung am 24. Februar 2005. Seit dem Auszug aus der gemeinsamen Wohnung bezahlt A._ diese Unterhaltsbeiträge. A.c. Im Jahr 2008 ersuchte D.B._ erstmals vergeblich um Anpassung des Kindesunterhalts. Am 16. Januar 2012 klagte sie erneut im Namen der Kinder beim Bezirksgericht V._ auf Abänderung der Unterhaltsbeiträge. Mit Urteil vom 11. Juni 2014 verpflichtete das Bezirksgericht A._ für jedes Kind zur Zahlung folgender indexierter Unterhaltsbeiträge pro Monat: Fr. 1'680.-- ab dem 16. Januar 2011 bis zum 5. April 2013; Fr. 1'325.-- ab dem 6. April 2013 bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres; Fr. 1'625.-- ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Zusätzlich verpflichtete es A._, allfällige Kinderzulagen, Sozialversicherungsrenten und ähnliche für den Unterhalt der Kinder bestimmte Leistungen zusätzlich zum Unterhalt zu bezahlen. B. Hiergegen reichten B.B._ und C.B._ am 8. September 2014 Berufung beim Kantonsgericht Wallis ein. Sie beantragten eine Erhöhung des ihnen zugesprochenen Unterhalts ab dem 6. April 2013. Mit Urteil vom 22. Dezember 2016 (eröffnet am 24. Dezember 2016) verpflichtete das Kantonsgericht A._ in Abänderung des erstinstanzlichen Urteils zur Zahlung von folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträgen an jedes seiner Kinder: Fr. 1680.-- ab dem 6. April 2013 bis zum 6. Oktober 2013; Fr. 1'615.-- ab dem 7. Oktober 2014 bis zum 31. Dezember 2014; Fr. 1'560.-- ab dem 1. Januar 2015 bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres; Fr. 1'950.-- ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Dies unter Anrechnung des bisher bezahlten Unterhalts. Die Unterhaltsbeiträge vom 16. Januar 2011 bis 5. April 2013 beurteilte es nicht, da das erstinstanzliche Urteil insoweit mangels Anfechtung in Rechtskraft erwachsen sei. Im Übrigen verlegte es die Kosten der kantonalen Verfahren. Mit Entscheid vom 2. Februar 2017 ergänzte das Kantonsgericht das Urteil vom 22. Dezember 2016 im Kostenpunkt. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Februar 2017 (Postaufgabe) ist A._ mit folgenden Anträgen an das Bundesgericht gelangt: "1. Es sei das Urteil [...] des Kantonsgerichtes Wallis vom 22. Dezember 2016 mit Ausnahme des Dispositivs 1 (Nicht-Entfernung der Akten), des Dispositivs 2 (Nichteintreten auf Begehren 7 der Berufungskläger), sowie des Dispositivs 3 Unterpunkt 1.4 (Anrechnung der bereits bezahlten Unterhaltsbeiträge) aufzuheben. 2. Es sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltbeiträge zu bezahlen: 1'300 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres, 1'500 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. 3. Eventualiter sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: 1'680 Fr. bis zum 5. April 2013, danach 1'300 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres und 1'500 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer Ausbildung. 4. Subeventualiter sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: 1'680 Fr. bis zum 5. April 2013, danach 1'325 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres und 1'625 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. 5. Sub-subeventualiter sei die Sache zwecks Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge an das Kantonsgericht zurückzuweisen. 6. Die vom Kantonsgericht festgelegte Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen sowohl für das erstinstanzliche, als auch für das zweitinstanzliche Urteil seien aufzuheben und neu festzusetzen. 7. Eventualiter sei die Sache zwecks Neufestsetzung der Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen sowohl für das erstinstanzliche, als auch für das zweitinstanzliche Urteil an die Vorinstanz zurückzuweisen. 8. Die ordentlichen und ausserordentlichen Kosten von Verfahren und Entscheid seien vollumfänglich den Beschwerdegegnern aufzuerlegen. Dem Beschwerdeführer sei eine angemessene Umtriebsentschädigung zuzusprechen." Ausserdem ersucht A._ darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, sofern ihr diese nicht ohnehin zukomme. Mit Eingaben vom 9. und vom 20. Februar 2017 haben das Kantonsgericht sowie B.B._ und C.B._ auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Mit Verfügung vom 22. Februar 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde für die verfallenen, nicht aber für die ab Januar 2017 fällig gewordenen oder fällig werdenden Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Am 3. Juli 2017 hat das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet und am 20. Juli 2017 beantragen B.B._ und C.B._ die Abweisung der Beschwerde. Diese Eingabe wurde A._ zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.