Sachverhalt: A. A.a. Die J._ AG leitete gegen die A._ AG beim Betreibungsamt Am Alten Rhein in Rheineck/SG zwei Betreibungen ein. Die Zustellung der Zahlungsbefehle erfolgte am 7. Oktober 2016 (Nr. xxx für Fr. 3'117.40 plus Zinsen) bzw. am 17. Mai 2017 (Nr. yyy für Fr. 4'050.-- plus Zinsen). Anlass der beiden Betreibungen bildeten die Rechnungen der J._ AG für die Wartung der Brandmeldeanlagen im Wohn- und Gasthaus H._ in V._/ZH. Die A._ AG reichte gegen die Zustellung der Zahlungsbefehle keine Beschwerde bei der Aufsichtsbehörde ein. Hingegen erhob sie in beiden Verfahren Rechtsvorschlag, der mit Entscheiden des Kreisgerichts Rheintal vom 6. November 2017 rechtskräftig beseitigt wurde. A.b. Am 11. Januar 2018 stellte die J._ AG in beiden Betreibungen das Fortsetzungsbegehren. Das Betreibungsamt Am Alten Rhein kündigte vorerst die Pfändung von Grundstücken der Schuldnerin in V._/ZH an. Der Pfändungsauftrag erging an das Betreibungsamt Rüti/ZH, welches das ersuchende Betreibungsamt auf ein Versehen hinwies. Es wurden daraufhin keine Amtshandlungen vorgenommen. A.c. Gegen die am 19. Januar 2018 durch das Betreibungsamt Am Alten Rhein erfolgten Konkursandrohungen gelangte die A._ AG an das Kreisgericht Rheintal als untere Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen und verlangte deren Aufhebung. Mit Entscheid vom 24. Mai 2018 wies das Kreisgericht die Beschwerde ab. B. Die A._ AG zog diesen Entscheid an das Kantonsgericht St. Gallen als kantonale Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs weiter, welches die Beschwerde am 11. September 2018 abwies. C. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2018 ist die A._ AG an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheides und der Konkursandrohungen. Mit Verfügung vom 14. November 2018 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt worden. Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.