Sachverhalt: A. A.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Luzern vom 10. Juni 2016 betrieb B.A._ A.A._ für Fr. 202'168.-- nebst Zins zu 5 % seit 9. Dezember 2010 und für Fr. 60'800.-- nebst Zins zu 5 % seit 20. Februar 2015. A.A._ erhob Rechtsvorschlag. A.b. Am 9. November 2017 erteilte der Einzelrichter am Bezirksgericht Luzern B.A._ in der Betreibung Nr. xxx die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 199'493.-- (Euro 182'752.80) nebst Zins zu 4 % seit 9. Dezember 2010 und für Fr. 60'800.-- nebst Zins zu 5 % seit 23. Januar 2017. B. A.A._ gelangte am 16. November 2017 mit Beschwerde an das Kantonsgericht Luzern. Er machte geltend, das Betreibungsbegehren sei formungültig, was er zwar nicht dem Betreibungsamt, aber dem Bezirksgericht bereits mitgeteilt habe. Daher ersuche er, die Angelegenheit bis zu einem Bescheid des Betreibungsamtes ruhen zu lassen. Zudem stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. Februar 2018 ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde kostenlos abgewiesen und die Gerichtskosten samt Parteientschädigung wurden A.A._ auferlegt. C. Am 20. März 2018 (Postaufgabe) wandte sich A.A._ an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheides bezüglich der Erteilung der definitiven Rechtsöffnung und der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie die Nichtigerklärung der Betreibung. Er stellt für das Verfahren vor Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. B.A._ (Beschwerdegegnerin) beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter diese abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vernehmlassungen sind dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zugestellt worden.