Sachverhalt: A. A.a. Die A._ AG (Beschwerdeführerin) ist Eigentümerin des Thermalbads C._. Die französische D._-Gruppe betreibt mehrere Bäder. Die zu dieser gehörende E._ S.A. vereinbarte mit der Beschwerdeführerin, dass sie das Thermalzentrum nach einem Umbau betreibt. In einer Vereinbarung vom 13. März 2012 wurden die Grundsätze der Zusammenarbeit festgelegt. Die E._ S.A. als "locataire" bekundete ihren Willen, das Thermalzentrum zu betreiben unter der Voraussetzung, dass sie die Konzeption, die Planung sowie die Leitung der Ausführung der Renovations- und Verbesserungsarbeiten selbst beaufsichtige und dass die Bewirtschaftungsdauer mindestens 20 Jahre beträgt. Dies alles akzeptierte die Beschwerdeführerin als "bailleur". A.b. Es wurde vereinbart, dass die Beschwerdeführerin ungefähr Fr. 18 Mio. für Renovations- und Erneuerungsarbeiten in die Liegenschaft investiert. Die E._ S.A. sollte ihrerseits ungefähr Fr. 4 Mio. für das Betriebsmaterial und die technische Ausstattung einsetzen. A.c. Die Arbeiten sollten unter der Federführung eines "comité de pilotage" (Copil) realisiert werden. Dieses setzte sich aus je drei Vertretern der Beschwerdeführerin und der E._ S.A. zusammen. Für die Beschwerdeführerin sassen deren Verwaltungsratspräsident F._ sowie deren Verwaltungsräte G._ und H._ im Copil. Die E._ S.A. wurde durch deren Verwaltungsratspräsidenten I._ sowie J._ und K._ im Copil vertreten. F._ präsidierte das Copil, und zwar mit Stichentscheid bei Stimmengleichheit. Das Copil wurde ermächtigt, aus Fachspezialisten eine Projektierungsgruppe zu bilden, die es unterstützen sollte. A.d. K._ wurden bei der Organisation, der Planung und den Kontakten zu Architekten, Planungsbüros sowie Ingenieuren weitreichende Aufgabenbereiche zugewiesen. Zudem beauftragte die Beschwerdeführerin am 29. August 2012 L._ (beziehungsweise die M._ ag, deren Inhaber er war) als planenden Architekten mit dem Um- und Erweiterungsbau. Mit Vertrag vom gleichen Tag übertrug sie der N._ SA die Bauleitung, das Einholen von Offerten sowie die damit zusammenhängende Überwachung. A.e. Am 25. Januar 2013 unterzeichneten die Beschwerdeführerin und die E._ S.A. einen Pachtvertrag. Darin regelten sie auch die finanzielle Beteiligung am Umbau. Danach hatte die Beschwerdeführerin ungefähr Fr. 26 Mio. für die Renovations- und Erneuerungsarbeiten aufzubringen. Der Beitrag der E._ S.A. für "matériel d'exploitation" und "plateau technique" blieb unverändert bei ungefähr Fr. 4 Mio. Mit Nachtrag zum Pachtvertrag trat am 26. September 2013 an Stelle der E._ S.A. die C._ AG als Pächterin in den Pachtvertrag ein. Sie war durch die D._-Gruppe zur Führung des Thermalbads C._ gegründet und am 23. Mai 2013 in das Handelsregister eingetragen worden. A.f. Die B._ SA (Beschwerdegegnerin) führte im Rahmen des Umbaus des Thermalbads C._ verschiedene Betonarbeiten aus. Sie stellte dafür vier Rechnungen. Die ersten beiden Rechnungen Nr. 13340 und Nr. 14091 im Gesamtbetrag von Fr. 75'679.50 beglich die Beschwerdeführerin am 22. Mai und 30. Juli 2014. Die dritte und vierte Rechnung blieben unbezahlt. A.g. Bei den offenen Rechnungen handelt es sich einerseits um die Faktura Nr. 14339 über den Gesamtbetrag von Fr. 177'995.70, der aus den Teilbeträgen von Fr. 169'469.60 für Arbeitsleistungen und Fr. 8'526.10 für Verpflegungs- und Übernachtungskosten besteht. Anderseits geht es um die Faktura Nr. 15059 im Betrag von Fr. 1'902.40. B. B.a. Am 3. Oktober 2016 klagte die Beschwerdegegnerin beim Bezirksgericht U._ gegen die Beschwerdeführerin, die C._ AG und die O._ S.A. Sie beantragte, die drei Gesellschaften seien unter solidarischer Haftung zu verpflichten, ihr Fr. 179'898.10 nebst Zins zu 5 % seit dem 31. Dezember 2014 zu bezahlen. Zudem verlangte sie die definitive Rechtsöffnung in einer von ihr eingeleiteten Betreibung. Mit Urteil vom 1. Oktober 2019 verpflichtete das Bezirksgericht die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 169'469.60 nebst Zins zu 5 % seit dem 28. März 2015 zu bezahlen; im Mehrbetrag wies es die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es erteilte in diesem Betrag definitive Rechtsöffnung (Dispositiv-Ziffer 2). Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 18'369.-- auferlegte es im Betrag von Fr. 4'070.-- der Beschwerdegegnerin und im Betrag von Fr. 14'299.-- der Beschwerdeführerin (Dispositiv-Ziffer 3). Es verpflichtete die Beschwerdegegnerin, der O._ S.A. und der C._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 4). Schliesslich verpflichtete es die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 15'000.-- als Parteientschädigung und Fr. 10'199.-- für geleistete Kostenvorschüsse zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 5). B.b. Gegen dieses Urteil ging die Beschwerdeführerin beim Kantonsgericht des Kantons Wallis gegenüber allen Prozessbeteiligten in Berufung. Die Beschwerdegegnerin erhob Anschlussberufung und beantragte, die Beschwerdeführerin, die C._ AG und die O._ S.A. seien unter solidarischer Haftung zu verpflichten, ihr Fr. 169'469.60 nebst Zins zu 5 % seit dem 28. März 2015 zu bezahlen. In diesem Sinne sei definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Sämtliche Gerichtskosten seien unter solidarischer Haftung der Beschwerdeführerin, der C._ AG und der O._ S.A. zu überbinden, welche zudem zu verpflichten seien, der Beschwerdegegnerin eine Prozesskostenentschädigung zu bezahlen. Mit Urteil vom 13. Mai 2020 wies das Kantonsgericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Auf die Anschlussberufung trat es nicht ein (Dispositiv-Ziffer 2). Die Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte es der Beschwerdeführerin (Dispositiv-Ziffer 3), jene des Anschlussberufungsverfahrens der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziffer 4). Es verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 6'200.-- zu bezahlen und der C._ AG sowie der O._ S.A. eine solche von insgesamt Fr. 2'800.-- (Dispositiv-Ziffer 5). Schliesslich verpflichtete es auch die Beschwerdegegnerin, der C._ AG und der O._ S.A. eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 2'800.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 6). C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das kantonsgerichtliche Urteil sei aufzuheben. Ihr Gesuch um aufschiebende Wirkung wies das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 22. September 2020 ab. Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an, während das Kantonsgericht auf sein Urteil verweist und auf Gegenbemerkungen verzichtet.