Sachverhalt: A. A.a. Die A._ AG will auf dem Weg der Betreibung auf Grundpfandverwertung eine Forderung von Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 1. Oktober 2016 vollstrecken. Schuldner der Forderung ist C._. Das Betreibungsbegehren nennt als Forderungsgrund den "Inhaber-Papier-Schuldbrief Nr. nnn des Kreisgrundbuchamtes IV Aarwangen-Wangen in der Höhe von CHF 1'500'000.00, lastend auf der Liegenschaft Z._ Gbbl-Nr. jjj im kkk. Rang (Fällige Restforderung) ". Das Grundstück gehört heute der B._ AG. A.b. Der Zahlungsbefehl in der Betreibung auf Grundpfandverwertung Nr. lll des Betreibungsamts Emmental-Oberaargau, Dienststelle Oberaargau, wurde dem Schuldner am 29. März 2019 und der B._ AG am 12. März 2019 zugestellt. Beide erhoben Rechtsvorschlag. B. B.a. Nachdem die A._ AG im Betreibungsverfahren verlangt hatte, die Pfandhaft auf die Miet- und Pachtzinse auszudehnen, setzte ihr das Betreibungsamt eine zehntägige Frist, um eine entsprechende Klage einzureichen oder ein Rechtsöffnungsbegehren zu stellen. Mit Eingabe vom 23. April 2019 stellte die A._ AG beim Regionalgericht Emmental-Oberaargau ein Rechtsöffnungsgesuch gegen C._ und die B._ AG. Das Regionalgericht entsprach dem Gesuch. Es erteilte der A._ AG für Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 2. Oktober 2016, für das erwähnte Pfandrecht in der Höhe von Fr. 1,5 Mio. (s. Bst. A.a) sowie für das Pfandrecht an den seit Anhebung der Betreibung aufgelaufenen und bis zur Verwertung auflaufenden Miet- und Pachtzinsforderungen aus dem verpfändeten Grundstück die provisorische Rechtsöffnung (Entscheid vom 15. Januar 2020). B.b. Die B._ AG erhob beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde und beantragte, das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Das Obergericht hiess das Rechtsmittel teilweise gut. Es reduzierte den Betrag von Fr. 729'070.53, für den das Regionalgericht den Rechtsvorschlag der B._ AG beseitigt hatte (Bst. B.a), um Fr. 250'000.-- auf Fr. 479'050.53. Im Übrigen stellte das Obergericht fest, dass der Entscheid des Regionalgerichts betreffend den Rechtsvorschlag von C._ in Rechtskraft erwachsen ist (Entscheid vom 27. April 2020). C. C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Mai 2020 wendet sich die A._ AG (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, und hält daran fest, ihr - entsprechend dem Entscheid des Regionalgerichts (s. Bst. B.a) - im Betrag von Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 2. Oktober 2016 sowie für die Pfandrechte die provisorische Rechtsöffnung zu erteilen. Eventualiter verlangt sie, die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht stellt die Beschwerdeführerin das Begehren, das Verfahren mit demjenigen betreffend den Entscheid ZK 20 35 des Obergerichts des Kantons Bern vom 27. April 2020 (Verfahren 5A_437/2020) zu vereinigen. Dem Antrag, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und die Ausdehnung der Pfandhaft auf die Miet- und Pachtzinsforderungen aufrechtzuerhalten, entsprach das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 1. Juli 2020. C.b. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt die B._ AG (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (Beschwerdeantwort vom 4. September 2020). Das Obergericht erklärt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid, auf die Einreichung einer Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 20. Juli 2020). In ihrer Replik vom 21. September 2020 hält die Beschwerdeführerin an ihren Beschwerdeanträgen fest. Die Beschwerdegegnerin liess am 8. Oktober 2020 eine Duplik einreichen, in der sie ihr Begehren aus der Beschwerdeantwort wiederholt. Die Eingabe wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.