Sachverhalt: A. A._ wurde zunächst mit Schreiben vom 21. Februar 2019 seitens des Betreibungsamtes Zürich 7 aufgefordert, den Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxx abzuholen. Mit Schreiben vom 5. März 2019 wurde sie sodann seitens der Stadtpolizei Zürich, Amtsaufträge, aufgefordert, sich auf der Direktwahlnummer zu melden, sie müsse Zahlungsbefehle auf dem Betreibungsamt abholen. B. Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 13. März 2019 Beschwerde beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter. Mit Verfügung vom 21. März 2019 wurde A._ die Vernehmlassung des Betreibungsamtes vom 20. März 2019 ohne Beilagen zur Kenntnisnahme und freigestellten Stellungnahme innert zehn Tagen zugestellt. Gleichzeitig wurden die Beilagen zur Vernehmlassung auf der Gerichtskanzlei zur Einsichtnahme aufgelegt. Mit Eingabe vom 24. März 2019 ersuchte A._ - entgegen der anderslautenden Anordnung - um Zustellung von Kopien der Beilagen zur Vernehmlassung per Post. Die untere Aufsichtsbehörde wies das Gesuch mit Verfügung vom 26. März 2019 ab und machte A._ erneut darauf aufmerksam, dass die Beilagen zur Vernehmlassung nach telefonischer Voranmeldung auf der Gerichtskanzlei zur Einsicht aufliegen. Am 2. April 2019 nahm A._ zur Vernehmlassung des Betreibungsamtes fristgerecht Stellung. Am 16. Mai 2019 und 20. Mai 2019 wurde sie seitens der unteren Aufsichtsbehörde schriftlich zwei weitere Male darauf hingewiesen, dass die Akten auf der Gerichtskanzlei eingesehen werden können. A._ machte von der ihr ausdrücklich eingeräumten Gelegenheit zur Akteneinsicht keinen Gebrauch. Mit am 9. Mai 2019 versandtem Beschluss vom 7. Mai 2019 wies die untere Aufsichtsbehörde die betreibungsrechtliche Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Am 21. Mai 2019 teilte A._ der unteren Aufsichtsbehörde mit, dass die Gerichtsurkunde zufolge Ablaufs der Abholfrist von der Post retourniert worden sei und bat um erneute Zustellung. Die untere Aufsichtsbehörde stellte A._ den Beschluss am 23. Mai 2019 erneut zu - unter Hinweis darauf, dass ihr der Beschluss zufolge unbenützten Ablaufs der siebentägigen Abholfrist per 20. Mai 2019 als zugestellt gelte und die zweite Zustellung keine neue Frist auslöse, weshalb die Beschwerdefrist am 31. Mai 2019 ablaufe. Erst am 1. Juni 2019, dem letzten Tag der Abholfrist, holte A._ die Sendung auf der Post ab. C. Mit Beschwerde vom 11. Juni 2019 (Poststempel) gelangte A._ gegen den Beschluss vom 7. Mai 2019 an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Mit Beschluss vom 21. Juni 2019 trat die obere Aufsichtsbehörde auf die Beschwerde zufolge Fristversäumnisses nicht ein. D. Mit Beschwerde vom 9. Juli 2019 (Poststempel) ist A._ an das Bundesgericht gelangt, wobei in der Beschwerdeschrift keine expliziten Anträge in der Sache gestellt werden. Die Beschwerdeführerin teilt lediglich mit, sie wolle die Begründung nach Gewährung der bei der Vorinstanz bereits mit der kantonalen Beschwerde verlangten Einsichtnahme in die Akten nachreichen und beanstandet, dass die Vorinstanz auf ihr Gesuch nicht reagiert habe. Dem in der Beschwerde enthaltenen Gesuch um Akteneinsicht wurde seitens des Bundesgerichts stattgegeben. Das Obergericht und das Betreibungsamt haben auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.