Sachverhalt: A. A.a. A._, C._ (Prozessstandschafter für die Erben des vorverstorbenen D._) und B._ stehen sich in einem Erbteilungsprozess gegenüber. Das Bezirksgericht Horgen fällte am 7. Dezember 2017 sein Urteil. Dieses wurde allen Parteien am 1. Februar 2018 zugestellt. A.b. Am 5. März 2018 erhob B._ fristgerecht Berufung. Am gleichen Tag übergab auch der Rechtsanwalt von A._ der Schweizerischen Post eine Berufungsschrift. Er hatte die Eingabe an das "Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, Klausstrasse 4, 8000 Zürich" adressiert. Die Schweizerische Post sandte ihm diese am 12. März 2018 mit dem Vermerk, der Empfänger sei unbekannt, wieder zurück. A.c. Mit Schreiben vom 12. März 2018 verschickte der Rechtsanwalt von A._ die Eingabe erneut, dieses Mal an das "Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, Hirschengraben 15, 8001 Zürich". Er teilte im Begleitschreiben mit, es handle sich um die fristgerecht eingereichte Berufung vom 5. März 2018, unverändert und originalverpackt, wie sie am genannten Datum korrekt frankiert der Post übergeben worden sei. A._ beantragte, die originalverpackte Sendung sei als fristgerechte Berufung entgegenzunehmen, eventualiter sei die Frist wiederherzustellen. Mit Beschluss vom 22. Mai 2018 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Fristwiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Berufung nicht ein. B. A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Beschwerde vom 25. Mai 2018 an das Bundesgericht, dem sie beantragt, es sei festzustellen, dass die Berufung vom 5. März 2018 rechtzeitig erfolgt sei und dass das Obergericht folglich auf ihre Berufung einzutreten habe. Eventualiter sei das Fristwiederherstellungsgesuch gutzuheissen und festzustellen, dass das Obergericht auf die Berufung einzutreten habe, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung hat mit Verfügung vom 13. Juli 2018 der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Zur Vernehmlassung eingeladen, erklärt C._ (Beschwerdegegner), sich dem Prozessergebnis zu unterziehen. B._ (Beschwerdegegnerin) verzichtet aufeine Vernehmlassung, nachdem sie in der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung bereits ausführte, die Beschwerde sei gutzuheissen. Auch das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.