Sachverhalt: A. Mit Eingaben vom 7. Februar 2018 beantragte A._ beim Generalsekretär des Bundesgerichts die Einsichtnahme in die Akten des vor Bundesgericht abgeschlossenen Verfahrens 1C_680/2017. Im Rahmen der Korrespondenz mit dem Generalsekretär reichte A._ weitere Eingaben vom 27. Februar 2018 und 26. März 2018 ein. B. In seiner Verfügung vom 12. April 2018 verweigerte der Generalsekretär A._ die Akteneinsicht. Diese Verfügung wurde ihm am 20. April 2018 zugestellt. C. C.a. Am 22. Mai 2018 erhob A._ (Beschwerdeführer) beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde gegen die erwähnte Verfügung. Darin beantragt er hauptsächlich die Aufhebung der Verfügung und "die vollumfängliche Akteneinsicht in alle, den Fall betreffenden Akten" (Ziffer I.1). Daneben stellt er diverse Feststellungsbegehren (Ziffer I.2, I.3, I.5 und I.6) und beantragt eine Beweissicherung (Ziffer I.4). Sinngemäss beantragt er weiter die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Ziffer I.7 und I.8), und er stellt seine Begehren unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (Ziffer I.9). C.b. Am 23. Mai 2018 leitete das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde zuständigkeitshalber an die Rekurskommission des Bundesgerichts weiter.