Sachverhalt: A. A.a. Mit Strafbefehl vom 15. März 2016 warf die Staatsanwaltschaft Baden X._ eine Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 31 km/h vor. Dadurch habe er sich der groben Verkehrsregelverletzung nach Art. 90 Abs. 2 SVG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 lit. a VRV schuldig gemacht. X._ wurde zu einer Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu je CHF 60.00, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und zu einer Busse von CHF 1'000.00 beziehungsweise zu einer Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen bei schuldhafter Nichtbezahlung der Busse verurteilt. X._ erhob Einsprache. Darin beantragte er, es sei vom Schuldvorwurf des Vorsatzes und des Eventualvorsatzes abzusehen und er sei wegen fahrlässiger Verletzung der Verkehrsregeln mit einer Busse von CHF 600.00 zu bestrafen. A.b. Das Bezirksgericht Baden, Präsidium des Strafgerichts, sprach X._ am 21. Oktober 2016 der einfachen Verkehrsregelverletzung wegen Überschreitens der signalisierten Höchstgeschwindigkeit innerorts im Sinne von Art. 90 Abs. 1 SVG in Verbindung mit Art. 4a Abs. 1 lit. a VRV schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von CHF 1'000.00 beziehungsweise mit einer Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen im Falle der schuldhaften Nichtbezahlung der Busse. B. Gegen diesen Entscheid erhoben X._ Berufung und die Staatsanwaltschaft Baden Anschlussberufung. Das Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 3. Kammer, sprach X._ am 31. Mai 2017 der groben Verletzung der Verkehrsregeln durch Missachtung der signalisierten und zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts gemäss Art. 90 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 27 Abs. 1 und Art. 32 Abs. 2 SVG schuldig. Es bestrafte ihn hiefür mit einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu je CHF 80.00 bei einer Probezeit von zwei Jahren und mit einer Busse von CHF 1'000.00, ersatzweise 13 Tage Freiheitsstrafe. C. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Er stellt die Anträge, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und er sei vom Vorwurf der groben Verletzung der Verkehrsregeln durch Missachtung der signalisierten und zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur erneuten Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei er wegen fahrlässiger einfacher Verkehrsregelverletzung zu verurteilen; subsubeventualiter sei er wegen fahrlässiger schwerer Verletzung der Verkehrsregeln zu verurteilen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassungen verzichtet.