Sachverhalt: A. Am 26. Juni 2017 erteilte der Bauausschuss der Stadt Winterthur der C._ AG die baurechtliche Bewilligung für die in Winterthur auf den Grundstücken Kat.-Nrn. ST9922 und ST9727 in der Zentrumszone Z4 geplante Arealüberbauung. Das Bauvorhaben sieht eine dreigeschossige Aufstockung des Einkaufszentrums LOKwerk mit Anbau vor. Geplant sind unter anderem 60 Wohnungen. Gegen die Bewilligungserteilung gelangten die Nachbarn AA._ und BA._ sowie weitere Personen gemeinsam an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Am 31. Mai 2018 wies dieses den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat. B. Gegen den Entscheid des Baurekursgerichts erhoben AA._ und BA._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 27. Juni 2019 hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut und reduzierte die Gerichtsgebühr für das Verfahren vor dem Baurekursgericht. Im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. September 2019 an das Bundesgericht beantragen AA._ und BA._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts - soweit damit ihr Rechtsmittel abgewiesen worden sei - und die strittige Baubewilligung aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung der Sach verhaltsermittlung und zu neuem Entscheid an den Bauausschuss zurückzuweisen, subeventuell an das Verwaltungsgericht. Der Beschwerde sei weiter die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die C._ AG beantragt Abweisung der Beschwerde. Der Bauausschuss und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. AA._ und BA._ haben am 11. November 2019 eine Replik eingereicht, wozu sich die C._ AG am 9. Dezember 2019 geäussert hat. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2019 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.