Sachverhalt: A. Am 1. Februar 2014 starb C._ (geb. 1925). Mit Urteil vom 18. Februar 2014 stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf fest, dass C._ als gesetzliche Erben seine Ehefrau D._ (geb. 1931) und die drei Töchter E._ (geb. 1954), F._ (geb. 1956) sowie A._ (geb. 1958) hinterliess. Zugleich eröffnete es den Erbvertrag, den der Verstorbene mit seiner Ehefrau am 27. Februar 2012 abgeschlossen hatte. Dieser Erbvertrag enthält unter anderem folgende Anordnung: "Die Ehegatten setzen je einzeln und letztwillig Dr. iur. G._, Rechtsanwalt, U._, bzw. im Verhinderungsfall die B._ GmbH, U._, als Willensvollstrecker und Teilungsliquidator ein." In der Folge hielt das Bezirksgericht fest, dass G._ das Amt des Willensvollstreckers angenommen habe. B. B.a. Mit Eingabe vom 12. Dezember 2014 teilte G._ dem Einzelgericht mit, dass er wegen unüberwindbarer Spannungen zwischen ihm und einem Teil der Erbinnen das Willensvollstreckermandat niederlege. Am 15. Januar 2015 teilte G._ dem Einzelgericht ausserdem mit, dass im Erbvertrag vom 27. Februar 2012 für den Fall der Verhinderung des ersten Willensvollstreckers die B._ GmbH als Willensvollstreckerin eingesetzt worden sei. Er erklärte, seines Erachtens sollte das Gericht diese Gesellschaft anfragen, ob sie bereit sei, das Mandat anzunehmen. "Federführend" wäre im Falle der Annahme Rechtsanwalt H._. B.b. Laut Eintrag im Handelsregister war und ist H._ Gesellschafter und Geschäftsführer der B._ GmbH. Bis November 2015 war er zusammen mit G._, dem zweiten Gesellschafter und Vorsitzenden der Geschäftsführung, kollektiv zu zweien zeichnungsberechtigt. C. C.a. Mit Verfügung vom 20. Januar 2015 setzte das Einzelgericht der B._ GmbH Frist an, um zu erklären, ob sie das Mandat zur Willensvollstreckung annehmen wolle, verbunden mit dem Hinweis "Stillschweigen gilt als Annahme (Art. 517 Abs. 2 ZGB) ". A._ wehrte sich gegen diese Verfügung mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 5. Februar 2015 auf das Rechtsmittel nicht ein. Das Bundesgericht erachtete die dagegen erhobene Beschwerde als unzulässig (Urteil 5A_209/2015 vom 11. März 2015). C.b. Bereits mit Schreiben vom 6. Februar 2015 hatte H._ das Einzelgericht darum ersucht, der B._ GmbH, "handelnd durch den Unterzeichneten", die Frist zur Erklärung der "Annahme oder allenfalls Nicht-Annahme" des Willensvollstreckermandats um 14 Tage zu erstrecken. Das Einzelgericht bewilligte die Fristerstreckung am 9. Februar 2015. Mit Schreiben vom 23. Februar 2015 erklärte Fürsprecher H._ dem Einzelgericht, dass die B._ GmbH bereit sei, das Willensvollstreckermandat zu übernehmen, und bat um Zustellung der Willensvollstreckerbescheinigung. C.c. In der Folge stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf mit Urteil vom 3. März 2015 fest, dass die B._ GmbH das Amt der Willensvollstreckerin angenommen hat (Ziffer 1). Es erklärte, die Gesellschaft sei in der Nachlasssache von C._ selig alleinige Willensvollstreckerin; nach Rechtskraft des Entscheides werde auf entsprechendes Gesuch hin ein neues Willensvollstreckerzeugnis sowie ein abgeänderter Erbschein ausgestellt (Ziffer 2). Das Einzelgericht bat G._ um Rückgabe seines Willensvollstreckerzeugnisses und bestimmte die Gerichtsgebühr zu Lasten des Nachlasses auf Fr. 500.--. D. D.a. A._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein und verlangte, auf die Einsetzung der B._ GmbH als Willensvollstreckerin zu verzichten. Das Obergericht wies die Berufung ab, bestätigte das erstinstanzliche Urteil vom 3. März 2015 (Bst. C.c) und auferlegte A._ die auf Fr. 3'000.-- bestimmte Entscheidgebühr (Urteil vom 13. Juli 2015). D.b. Darauf erhob A._ Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses hiess das Rechtsmittel gut (Urteil 5A_635/2015 vom 21. Juni 2016). Es wies das Obergericht an, auf das Argument der Beschwerdeführer einzugehen, wonach die B._ GmbH die Annahme des Mandats als Willensvollstreckerin im Nachlass von C._ selig gar nicht gültig erklärt habe. E. Am 15. August 2016 fällte das Obergericht das neue Urteil. Es wies A._s Berufung ab und bestätigte das Urteil des Einzelgerichts Dielsdorf vom 3. März 2015 (Bst. C.c). Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 3'000.-- wurde A._ auferlegt. F. F.a. Mit Beschwerde vom 23. September 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) erneut an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil des Obergerichts vom 15. August 2016 (Bst. E) aufzuheben und festzustellen, dass die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin) im Nachlass von C._ selig das Mandat als Ersatz-Willensvollstreckerin nicht rechtswirksam angenommen hat. Ausserdem sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, die auf ihren Namen ausgestellten Willensvollstreckerzeugnisse im Original an das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf zurückzuschicken. F.b. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (Eingabe vom 20. März 2017). Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtete auf eine Vernehmlassung (Mitteilung vom 3. Februar 2017).