Sachverhalt: A. A._ wurde am 24. November 2016 vom Amtsgericht Olten-Gösgen zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten und einer Busse von Fr. 150.-- verurteilt. Überdies wurde eine stationäre therapeutische Massnahme nach Art. 59 StGB angeordnet. Nachdem A._ am 21. Februar 2020 in der Justizvollzugsanstalt Solothurn einen Mitinsassen tätlich angegriffen und verletzt hatte, wies ihn das Amt für Justizvollzug des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 2. März 2020 "befristet für maximal sechs Monate, d.h. bis zum 1. September 2020", in den Sicherheitstrakt I der Justizvollzugsanstalt Lenzburg ein. D iese Verfügung focht A._ am 12. März 2020 mit Beschwerde beim Departement des Innern des Kantons Solothurn an. B. Am 31. Juli 2020 erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass es im Verfahren betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt I durch das Departement des Innern zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei, und das Departement sei anzuweisen, umgehend über die Rechtmässigkeit der Einweisung in den Sicherheitstrakt I zu entscheiden. Gleichzeitig ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. C. Mit Urteil vom 23. September 2020 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erwog, nachdem das Departement des Innern am 31. August 2020 über die Beschwerde von A._ gegen die Einweisung in den Sicherheitstrakt I entschieden habe, habe sich das Begehren hinsichtlich der Rechtsverweigerung erledigt. Im Übrigen beurteilte es die Beschwerde als unbegründet, da keine Rechtsverzögerung vorliege. Ferner wies das Verwaltungsgericht das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung infolge Aussichtslosigkeit ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 800.--. D. A._ verlangt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 23. September 2020 sei aufzuheben und wie folgt neu zu fassen: "Es sei festzustellen, dass es im Verfahren betr. Einweisung in den Sitrak I durch das Departement des Innern zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen ist (Art. 29 Abs. 1 BV sowie Art. 5 Ziff. 4 EMRK und Art. 13 EMRK). Dem Rechtsanwalt des Beschwerdeführers sei eine Parteientschädigung von CHF 1'947.20 für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht zuzusprechen." Ferner seien die Kosten des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht von Fr. 800.-- auf die Staatskasse zu nehmen und es sei ihm eine Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zuzusprechen. Eventualiter sei ihm für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, und seinem Anwalt sei ein amtliches Honorar in Höhe von CHF 1'500.-- auszurichten. Die Verfahrenskosten von Fr. 800.-- seien einstweilen auf die Staatskasse zu nehmen. Subeventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung und Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.