Sachverhalt: A. A._ (Kunde, Kläger, Beschwerdeführer) eröffnete am 6. November 2009 eine Konto- und Depotbeziehung bei der C._ Bank AG; diese wurde am 14. Dezember 2011 von der B._ Bank SA (Bank, Beklagte, Beschwerdegegnerin) übernommen. Der Kunde unterhielt drei Konten und ein Depot bei der Bank, welche über mehrere Zweigniederlassungen verfügt, unter anderem in Zürich. Er bezahlte nach seiner Darstellung auf seine Konten insgesamt USD 1'559'117.52 sowie EURO 22'127.-- ein. Nach Beendigung der Geschäftsbeziehung wurden ihm noch USD 207'522.40 überwiesen. Kundenberaterin des Klägers war D._. Sie zeigte dem Kunden per Ende Dezember 2013 einen Vermögensstand von USD 2'305'698.87 an. Mit - nicht rechtskräftigem - Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 23. August 2017 wurde D._, die gemäss diesem Urteil mit richtigem Namen X._ heisst, unter anderem wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten verurteilt. Sie hatte in der Untersuchung gestanden, sie habe unautorisierte Transaktionen unter anderem auch zu Lasten der Vermögenswerte des Klägers vorgenommen. B. B.a. Mit Schlichtungsbegehren vom 20. Mai 2015 bzw. Klage vom 8. Dezember 2014 vor Bezirksgericht Zürich stellte der Kunde das Rechtsbegehren, die Bank sei zur Zahlung von USD 2'305'698.87 zuzüglich Zins zu 6 % seit 10. April 2014 zu verurteilen. In der Replik reduzierte er die Forderung auf USD 2'019'817.47 nebst Zins. Mit Beschluss und Urteil vom 16. August 2017 schrieb das Bezirksgericht Zürich das Verfahren im Umfang von USD 285'881.40 als durch Rückzug erledigt ab; im Mehrbetrag wies es die Klage ab. Das Bezirksgericht hielt insbesondere den Schaden für nicht genügend substanziiert behauptet. So habe der Kläger nicht in rechtsgenüglicher Weise die Differenz aufgezeigt zwischen dem Vermögensstand im Zeitpunkt der Klageeinleitung und dem hypothetischen Stand, den sein Vermögen ohne die beanstandeten Transaktionen gehabt hätte. B.b. Am 9. Mai 2018 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung des Klägers ab, soweit auf sie eingetreten wurde, und bestätigte den Entscheid des Bezirksgerichts Zürich vom 16. August 2017. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Juni 2018 stellt der Kläger das Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2018 aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er rügt nach allgemeinen Darlegungen, die Vorinstanz habe ihm die Beweislast für die rechtswidrigen Transaktionen zu Unrecht auferlegt, eventualiter habe sie den Sachverhalt willkürlich gewürdigt, sie habe ihm sodann das rechtliche Gehör verweigert, indem sie Beweise nicht abgenommen habe und ausserdem mit ihren Anforderungen an den Schadennachweis das Verbot des überspitzten Formalismus verletzt. Die Akten wurde beigezogen. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.