Sachverhalt: A. A._ überholte am 22. November 2016 auf einer Hauptstrasse zwei Fahrzeuge. Dabei stiess er mit einem entgegenkommenden Motorradfahrer zusammen. Dieser verstarb gleichentags im Spital. B. Mit Strafbefehl vom 11. August 2017 auferlegte die Staatsanwaltschaft Innerschwyz (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) A._ wegen fahrlässiger Tötung und grober Verletzung von Verkehrsregeln eine Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu je Fr. 90.--, bedingt bei einer Probezeit von zwei Jahren, und eine Verbindungsbusse von Fr. 4'050.--. Für den Fall der schuldhaften Nichtbezahlung der Busse sprach die Staatsanwaltschaft eine Ersatzfreiheitsstrafe von 45 Tagen aus. Dagegen erhob A._ am 25. August 2017 Einsprache. Am 21. Dezember 2017 überwies die Staatsanwaltschaft den Strafbefehl der Einzelrichterin des Bezirksgerichts Schwyz als Anklage. Am 25. Mai 2018 verurteilte die Einzelrichterin A._ wegen fahrlässiger Tötung und grober Verletzung von Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu je Fr. 100.--, bedingt bei einer Probezeit von zwei Jahren, und zu einer Verbindungsbusse von Fr. 4'500.--. Die Ersatzfreiheitsstrafe für den Fall der schuldhaften Nichtbezahlung der Busse setzte sie auf 45 Tage fest. C. Hiergegen erhob A._ Berufung. Mit Beschluss vom 28. Januar 2019 hob das Kantonsgericht Schwyz (Strafkammer) das Urteil der Einzelrichterin von Amtes wegen auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Weiterbehandlung an die Staatsanwaltschaft zurück (Dispositiv Ziffer 1). Es befand, die Staatsanwaltschaft habe im Strafbefehl die dafür gesetzlich vorgesehene Höchststrafe überschritten. Der Strafbefehl sei nichtig und damit auch das Urteil der Einzelrichterin. Die Staatsanwaltschaft werde, soweit erforderlich, das Vorverfahren neu durchzuführen und danach die Untersuchung mit einer ordentlichen Anklage bei der zuständigen Strafkammer des Bezirksgerichts abzuschliessen haben. D. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, Ziffer 1 des Dispositivs des Beschlusses des Kantonsgerichts aufzuheben und die Sache zur Durchführung des Berufungsverfahrens an dieses zurückzuweisen. E. Das Kantonsgericht, A._ und die Privatkläger haben auf Vernehmlassung verzichtet.