Sachverhalt: A. B.E._ (geb. 1963; Beschwerdegegnerin) und A.E._ (geb. 1964; Beschwerdeführer) heirateten am 25. August 1989. Sie sind die Eltern der beiden Kinder C.E._ (geb. 1998) und D.E._ (geb. 2000). Seit Februar 2017 leben die Ehegatten getrennt und am 17. März 2017 ersuchte B.E._ das Bezirksgericht Brugg um Erlass von Eheschutzmassnahmen. Nachdem das Bezirksgericht das Verfahren zwischenzeitlich sistiert hatte, fand am 2. Juni 2017 eine mündliche Verhandlung mit Anhörung der Tochter und Befragung der Parteien statt. Mit Teilentscheid von demselben Datum verpflichtete das Bezirksgericht soweit hier interessierend A.E._ zur Zahlung von Kindesunterhalt von Fr. 550.-- vom 15. bis 28. Februar 2017 sowie von monatlich Fr. 1'105.-- im März und April 2017, Fr. 900.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 1'060.-- im August und September 2017 und Fr. 1'440.-- von Oktober 2017 bis November 2018. Ausserdem verurteilte es ihn zur Zahlung der Kosten der Ausbildung der Tochter von Fr. 5'800.--. Den an B.E._ zu leistenden Ehegattenunterhalt legte das Bezirksgericht fest auf Fr. 1'760.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 sowie auf monatlich Fr. 3'105.-- im März und April 2017, Fr. 2'175.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 2'165.-- im August und September 2017, Fr. 4'355.-- von Oktober 2017 bis November 2018 und Fr. 4'915.-- ab Dezember 2018. Ausserdem hielt das Bezirksgericht die Grundlagen fest, auf denen diese Unterhaltsbeiträge beruhten. B. Gegen diesen Entscheid reichte A.E._ am 22. August 2017 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Er beantragte eine Reduktion der Unterhaltsbeiträge und die Neufestlegung von deren Grundlagen sowie die Anrechnung bereits geleisteter Zahlungen an die Unterhaltspflicht. Ausserdem ersuchte er darum, die Verhandlung vom 2. Juni 2017 zu wiederholen. Mit Entscheid vom 5. Dezember 2017 (eröffnet am 21. Dezember 2017) hiess das Obergericht das Rechtsmittel teilweise gut und legte den von A.E._ für die Tochter zu bezahlenden Unterhalt neu fest auf Fr. 550.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 und auf monatlich Fr. 1'102.-- im März und April 2017, Fr. 828.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 875.-- von August bis Dezember 2017 sowie Fr. 1'437.-- von Januar bis und mit 24. November 2018. Den Ehegattenunterhalt bestimmte es neu wie folgt: Fr. 1'605.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 sowie monatlich Fr. 2'796.-- im März und April 2017, Fr. 1'900.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 1'663.-- im August und September 2017, Fr. 1'275.-- von Oktober bis Dezember 2017, Fr. 3'612.-- von Januar bis April 2018, Fr. 3'770.-- von Mai bis November 2018 und Fr. 4'329.-- ab Dezember 2018. Ausserdem passte es die Grundlagen an, auf denen dieser Unterhalt beruhte (alles Dispositivziffer 1.1). Im Übrigen wies es die Berufung ab (Dispositivziffer 1.3). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen gelangt A.E._ am 22. Januar 2018 mit den folgenden Anträgen in der Sache an das Bundesgericht: "1. Es sei Ziffer 1.1 des Dispositivs des Entscheides des Obergerichts Aargau [...] aufzuheben und es sei [A.E._] zu verpflichten, [B.E._] an den Unterhalt der Tochter monatlich vorschüssig folgende Beiträge zuzüglich allfällige bezogene Kinderzulagen zu bezahlen: 5.1 - Fr. 550.00 ab 15. Februar 2017 bis und mit 28. Februar 2017 (unverändert) - Fr. 990.00 von März 2017 bis und mit April 2017 (unverändert) - Fr. 650.00 von Mai 2017 bis und mit Juli 2017 - Fr. 460.60 von August 2017 bis und mit September 2017 - Fr. 339.35 von Oktober 2017 bis und mit Januar 2018 - Fr. 1'414.25 von Februar 2018 bis und mit 24. November 2018 Es sei festzustellen, dass die Unterhaltsbeiträge bis 31. März 2017 infolge Verrechnung getilgt sind. 6. Es sei Ziffer 6 des Dispositivs des vorinstanzlichen Entscheids [...] aufzuheben und es sei [A.E._] zu verpflichten, [B.E._] an den persönlichen Unterhalt monatlich vorschüssig folgende Beiträge zu bezahlen: - Fr. 1'350.00 ab 15. Februar 2017 bis und mit 28. Februar 2017 - Fr. 2'377.00 von März 2017 bis und mit April 2017 - Fr. 1'466.00 von Mai 2017 bis und mit Juli 2017 - Fr. 0.00 von August 2017 bis und mit September 2017 - Fr. 0.00 von Oktober 2017 bis und mit Januar 2018 - Fr. 1'601.00 von Februar 2018 bis und mit April 2018 - Fr. 1'813.15 [von] Mai 2018 bis und mit November 2018 - Fr. 2'741.00 ab Dezember 2018 Es sei festzustellen, dass die Unterhaltsbeiträge bis 31. März 2017 infolge Verrechnung getilgt sind. 8. [Feststellung des Bedarfs und des Einkommens der Parteien.] 1.3 Es sei Ziffer 1.3 aufzuheben und es sei der formelle Antrag [von A.E._] betreffend Aufhebung und erneuter Durchführung der Verhandlung vor dem Bezirksgericht Brugg vom 2. Juni 2017 gutzuheissen. 1. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen." Am 29. Januar 2018 hat das Obergericht unaufgefordert mitgeteilt, auf eine Vernehmlassung zu verzichten, und am 15. Oktober 2018 beantragt B.E._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Für den Fall, dass die Sache aus formellen Gründen an die kantonalen Gerichte zurückgewiesen werde, beantragt sie ausserdem, die Gerichts- und Parteikosten dem Kanton Aargau aufzuerlegen. Diese Eingaben wurden A.E._ zur Kenntnisnahme zugestellt. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.