Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1979) erlitt zwischen 2000 und Mitte 2006 insgesamt drei Unfälle, für deren Folgen je drei verschiedene Unfallversicherer Leistungen erbrachten: Damals noch als Köchin in einem Alters- und Pflegeheim tätig, kollidierte sie am 7. September 2000am Steuer eines Personenwagens frontalseitlich mit einem vortrittsbelasteten Fahrzeug, wobei sie sich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine Lumboischialgie zuzog. Nach anfänglich vollständiger Arbeitsunfähigkeit konnte die Versicherte ihre angestammte Tätigkeit als Köchin wenigstens teilweise wieder aufnehmen. Leistungen wegen der Unfallfolgen bezog sie damals von der AXA Versicherungen AG (nachstehend: AXA). Am 19. September 2003 trug sich ein weiterer Unfall zu. Bei einer seitlichen Kollision auf der Autobahn erlitt A._ erneut ein Schleudertrauma der HWS, ferner eine Kontusion der Brustwirbelsäule. In der Folge war sie vollständig arbeitsunfähig, was zu unfallversicherungsrechtlichen Leistungen der damals zuständigen CSS Versicherungen AG (hernach: CSS) führte. Aufgrund andauernder Arbeitsunfähigkeit sprach die Invalidenversicherung ihrerseits berufliche Eingliederungsmassnahmen in Form von Umschulung zur medizinischen Praxisassistentin (mit Beginn im August 2004) zu. Mit Verfügung vom 18. August 2005 (bestätigt mit Einspracheentscheid vom 5. April 2006) stellte die CSS ihre Leistungen auf den 31. August 2005 ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit der Begründung gut, dass der Endzustand im Einstellungszeitpunkt nicht erreicht gewesen sei (Entscheid vom 21. November 2007). Schliesslich ereignete sich am 23. Mai 2006ein dritter Autounfall, bei dem sich A._ eine weitere Distorsion der HWS zuzog. Es resultierte zu Beginn wiederum eine vollständige Arbeitsunfähigkeit, die sich ab September 2006 auf 40 % verminderte. Für die Folgen war dieses Mal die ÖKK Kranken- und Unfallversicherung (fortan: ÖKK) zuständig. A.b. Am 1. März 2008 trat A._ eine Stelle als medizinische Praxisassistentin an mit einem Pensum von 50 %. Im gleichen Umfang sollte sie nach einem Stellenwechsel im November 2008 für die Spitex tätig sein. Nachdem ein Coaching und medizinische Behandlungen nicht zum gewünschten Erfolg geführt hatten, veranlasste die ÖKK ein Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) Zentralschweiz vom 20. April 2010. Darin bestätigten die Experten einen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den drei erlittenen Autounfällen und den geltend gemachten Beschwerden. Die Anteile an der Verursachung schrieben sie im Umfang von 60 % dem ersten Unfall vom 7. September 2000 zu und im Übrigen zu gleichen Teilen (je 20 %) den Ereignissen vom 19. September 2003 und 23. Mai 2006. Mit Verfügung vom 22. Juni 2011 stellte die ÖKK ihre Leistungen auf den 30. Juni 2011 ein, dies mangels Adäquanz des Kausalzusammenhangs zum letzten Unfall vom 23. Mai 2006. Die CSS ihrerseits verfügte nach Absprache mit der AXA am 1. Februar 2012, dass der Anspruch auf Versicherungsleistungen für die vorherigen Unfälle vom 7. September 2000 und 19. September 2003 ebenfalls per 30. Juni 2011 ende. Beide Verfügungen blieben unangefochten. A.c. Nachdem sich die ÖKK im weiteren Verlauf mit AXA und CSS erfolglos um eine gütliche Einigung über die Aufteilung der ihr erwachsenen Kosten von Fr. 169'077.90 bemüht hatte, ersuchte sie das Bundesamt für Gesundheit (BAG) am 15. April 2014 um Erlass einer entsprechenden Verfügung. Dem kam das Amt am 22. Dezember 2014 nach: Es stellte fest, dass die Versicherte sowohl beim zweiten als auch beim dritten Unfall jeweils noch wegen der Folgen der vorhergehenden Unfälle in ärztlicher Behandlung gestanden habe und teilweise arbeitsunfähig gewesen sei. Vor Erreichen des Endzustandes komme der Adäquanz keine spezielle, haftungsbeschränkende Folge zu. Die AXA entgehe ihrer Haftung erst mit dem Nachweis, dass der Unfall vom 7. September 2000 vor der auf Ende Juni 2011 erfolgten Leistungseinstellung jede kausale Bedeutung verloren habe. Ein solcher Beweis werde weder geführt, noch sei er erbracht. Mithin gehe es um die Aufteilung der natürlichen Kausalität der drei Schadensursachen, was als medizinische Frage nach Massgabe der entsprechenden Akten, namentlich des MEDAS-Gutachtens, zu beurteilen sei. Daraus gehe klar hervor, dass der erste Unfall vom 7. September 2000 derjenige mit der höchsten Intensität und dem grössten Schädigungspotenzial gewesen sei. Gemäss den im Gutachten erhobenen Anteilen an der Verursachung verhielt das BAG die AXA dazu, der ÖKK Fr. 101'446.70 (60 % von Fr. 169'077.90) zu vergüten. Die von der CSS zu leistende Vergütung bemass das Bundesamt mit Fr. 33'815.60 (20 % von Fr. 169'077.90). B. Die von der AXA dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 13. Februar 2019 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA beantragen, es sei in Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids festzustellen, dass sie gegenüber der ÖKK keine Ausgleichspflicht treffe. Allenfalls sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Anordnung, dass nach Einholung eines Gerichtsgutachtens erneut über die grundsätzliche Frage der Ausgleichspflicht und/oder die konkrete Höhe derselben entschieden werden müsse. Die CSS schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellt die ÖKK. Das BAG lässt sich nicht vernehmen. D. Auf Antrag der AXA erkannte der Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu (Verfügung vom 6. Juni 2019).