Sachverhalt: A. Der 1955 geborene A._ reiste 1990 zur Aufnahme einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit in die Schweiz ein. Seit 1983 ist er bei der Deutschen Krankenversicherung AG (nachfolgend: DKV) versichert, wobei der Versicherungsschutz auch in der Schweiz gilt. Am 4. Mai 2015 forderte das Amt für Sozialversicherungen des Kantons Bern (nachfolgend: ASV) A._ auf, umgehend bei einer schweizerischen Krankenversicherung eine Grundversicherung nach KVG abzuschliessen. Im Juni 2015 ersuchte er um Befreiung von der Versicherungspflicht. Das ASV wies das Gesuch mit Verfügung vom 2. November 2015 ab und verpflichtete A._, eine Grundversicherung nach KVG abzuschliessen und ihm eine Kopie der Versicherungspolice einzureichen, andernfalls es ihn einer Krankenkasse zuweisen werde. Daran hielt das ASV mit Einspracheentscheid vom 19. April 2016 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, nachdem es A._ aufgefordert hatte, den Nachweis einer privaten Pflegeversicherung "nach SGB XI" einzureichen, mit Entscheid vom 10. November 2016 ab. C. A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 10. November 2016 sei aufzuheben, eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückzuweisen. "Für den Fall des Unterliegens" ersucht er um Ansetzung einer kurzen Frist, um selber eine Krankenversicherung abzuschliessen und so einem Zwangsanschluss zu entgehen. Ferner ersucht er um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels. Zudem reicht er eine Ergänzung der Beschwerde ein. Das ASV schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichtet auf eine Vernehmlassung.