Sachverhalt: A. A.a. X._ wurde am 23. August 2006 verhaftet. Das Amtsgerichts Olten-Gösgen urteilte erstinstanzlich am 20. März 2009. Das Obergericht des Kantons Solothurn verurteilte X._ im Berufungsverfahren am 14. April 2010 zweitinstanzlich wegen Vergewaltigung, sexueller Handlungen mit einem Kind (sowie unter Feststellung des erstinstanzlichen rechtskräftigen Schuldspruchs wegen mehrfacher Übertretung des BetmG) zu einer Freiheitsstrafe von 5 Jahren, unter Anrechnung der erstandenen Untersuchungshaft bzw. des vorzeitigen Massnahme- und Strafantritts seit dem 23. August 2006, und zu Fr. 200.-- Busse. Es ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme gemäss Art. 59 StGB an, schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme auf und verfügte zur Sicherung des Massnahmevollzugs Sicherheitshaft. Die von X._ gegen die Anordnung der Massnahme erhobene Beschwerde in Strafsachen wurde abgewiesen (Urteil 6B_710/2010 vom 25. November 2010). A.b. X._ befand sich seit dem 23. August 2006 im Freiheitsvollzug, zunächst in Untersuchungshaft, vom 9. Januar bis 9. Mai 2007 im vorzeitigen Massnahmevollzug und anschliessend im vorzeitigen Strafvollzug. Ab dem 12. Mai 2009 befand er sich in den Anstalten Thorberg, seit dem 14. April 2010 formell in der stationären Massnahme nach Art. 59 Abs. 3 StGB, faktisch jedoch im Normalvollzug; am 16. Mai 2013 wurde er auf die Integrationsabteilung verlegt und am 8. August 2013 auf die Therapieabteilung TAT. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn verfügte am 18. August 2011, die Massnahme weiterzuführen und deren Weiterführung, bedingte Entlassung oder Aufhebung innert Jahresfrist zu prüfen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn stellte im Urteil vom 21. Mai 2013 fest, X._ sei nach wie vor nicht bereit, sich wirklich auf eine Therapie zur Behandlung seiner Persönlichkeitsstörung und der Pädophilie einzulassen; sämtliche gruppentherapeutischen Angebote habe er abgelehnt, die Teilnahme am Sexualstraftäterprogramm sogar strikte; er habe sich geweigert, in die spezielle therapeutische Abteilung der Anstalten Thorberg verlegt zu werden. Seine Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_603/2013 vom 18. Oktober 2013). A.c. Am 9. Juli 2014 beantragte das Amt für Justizvollzug die Verlängerung der am 14. April 2010 angeordneten Massnahme um fünf Jahre und terminierte den Ablauf der Fünfjahresfrist (Art. 59 Abs. 4 StGB) auf den 14. Dezember 2014. Die Staatsanwaltschaft beantragte die Verlängerung um fünf Jahre sowie die Anordnung von Sicherheitshaft für den Fall, dass der Entscheid nach Ablauf der Fünfjahresfrist ergehen sollte. Der amtliche Anwalt beantragte am 17. September 2014 Nichteintreten, eventualiter Abweisung und subeventualiter die Verlängerung der Massnahme um zwei Jahre. Am 10. Oktober 2014 bewilligte das Haftgericht Sicherheitshaft bis Ende April 2015. Der amtliche Anwalt beantragte am 6. August 2014 die Versetzung in das Massnahmezentrum St. Johannsen, d.h. in den offenen Massnahmevollzug, was das Amt für Justizvollzug am 3. Oktober 2014 ablehnte. Das Amtsgericht Olten-Gösgen beauftragte nach der (ersten) Hauptverhandlung vom 8. Januar 2015 und Stellungnahmen der Parteien am 3. Februar 2015 Prof. Dr. A._ mit einer neuen Begutachtung. Das Haftgericht verlängerte die Sicherheitshaft bis 30. Juli 2015. Ein Haftentlassungsantrag wurde letztinstanzlich von der Beschwerdekammer am 15. Juni 2015 abgewiesen. Die beantragte Versetzung in ein Untersuchungsgefängnis bis zum Vorliegen des neuen Gutachtens, da mit der Therapie nicht einverstanden, wies der Amtsgerichtspäsident ab. Aufgrund des ausstehenden Gutachtens verlängerte das Haftgericht die Sicherheitshaft bis 30. Oktober 2015. Am 30. Juli 2015 teilte die Vollzugsbehörde dem Amtsgericht mit, dass X._ sämtliche Therapien verweigerte und ein weiterer Aufenthalt in den Anstalten Thorberg nicht mehr als zielführend erachtet werde. In der Folge entsprach der Amtsgerichtspräsident am 31. Juli 2015 dem Gesuch um Versetzung ins Untersuchungsgefängnis Solothurn per 7. August 2015, wo er sich im Zeitpunkt der obergerichtlichen Entscheidung vom 16. September 2016 noch aufhielt (Bstn. B, C und D). Die nach Eingang des Gutachtens vom 1. Oktober 2015 anberaumte Hauptverhandlung musste verschoben werden. Das Haftgericht verlängerte die Sicherheitshaft bis zum 30. Januar 2016. Das Amtsgericht Olten-Gösgen führte am 6. Januar 2016 die (zweite) Hauptverhandlung durch und eröffnete das Urteil am 14. Januar 2016 mündlich. Es verlängerte die stationäre Massnahme um fünf Jahre und ordnete zur Sicherung des Massnahmevollzugs Sicherheitshaft an. B. X._ führte Beschwerde bei der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Aufgrund von Eingaben des amtlichen Verteidigers hielt der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 9. Mai 2016 fest, der Entscheid des Amtsgerichts sei vollstreckbar (die aufschiebende Wirkung sei der Beschwerde am 13. April 2016 nicht erteilt worden); dass die Massnahme momentan faktisch - aufgrund des Gesuchs um Versetzung ins Untersuchungsgefängnis - nicht vollzogen werde, ändere nichts; der derzeitige Freiheitsentzug gelte als Massnahme. Das Obergericht hob am 16. September 2016 den Entscheid des Amtsgerichts auf, verlängerte die Massnahme nicht und ordnete eine ambulante Behandlung verbunden mit Bewährungshilfe an. Es entschied, zur Einleitung der ambulanten Behandlung werde der stationäre Massnahmevollzug einstweilen aufrechterhalten, und wies den Antrag auf umgehende Entlassung aus dem Straf- und Massnahmevollzug in diesem Sinne ab. Es wies die Entschädigungsforderung für unrechtmässige Haft seit dem 23. August 2011 ab und auferlegte die Kosten des erst- und vorinstanzlichen Verfahrens zu je einem Drittel X._. C. X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen: 1. das Urteil aufzuheben, soweit ihm die Haftentlassung und Entschädigung verweigert und Verfahrenskosten auferlegt wurden; 2. ihn aus dem Untersuchungsgefängnis Solothurn zu entlassen; 3. festzustellen, dass der Freiheitsentzug seit dem 23. August 2011, eventualiter seit dem 15. Dezember 2014, Art. 5 Ziff. 1 EMRK verletze; 4. den Kanton Solothurn zu verpflichten, ihm für den unrechtmässigen Freiheitsentzug eine Genugtuung Fr. 200.-- pro Tag seit dem 23. August 2011, eventualiter seit dem 15. Dezember 2014, bis zu seiner Haftentlassung zuzusprechen; 5. die Sache zur neuen Beurteilung und zu neuem Kostenentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen; 6. ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn wurden vom Bundesgericht - insbesondere zum Haftentlassungsgesuch - zur Vernehmlassung eingeladen. Beide Behörden äussern sich (nur) zur Haftentlassung. D.a. Das Obergericht führt in der Vernehmlassung aus: Der stationäre Massnahmevollzug zur Einleitung der ambulanten Behandlung sei am 16. September 2016 einstweilen aufrecht erhalten worden. Am 11. November 2016 habe das Amt für Justizvollzug verfügt, X._ habe sich im Rahmen der ambulanten Massnahme nach Art. 63 StGB in einem geschützten Wohn- und Arbeitsrahmen aufzuhalten. Er werde am 15. November 2016 aus dem Untersuchungsgefängnis austreten und in Begleitung der Bewährungshilfe in das Wohnheim eintreten. Gleichzeitig seien eine Überwachung mittels GPS-Gerät, mindestens wöchentliche Gespräche mit der Bewährungshilfe, eine forensisch-psychiatrische Behandlung sowie eine Drogen- und Alkoholabstinenz angeordnet worden. Bereits am 13. Oktober 2016 habe das Departement des Innern die im obergerichtlichen Urteil vom 14. April 2010 angeordnete Massnahme zufolge Aussichtslosigkeit rückwirkend per 14. Dezember 2014 aufgehoben, dem Amtsgericht die Verwahrung beantragt und für die Dauer des gerichtlichen Nachverfahrens die Anordnung von Sicherheitshaft empfohlen. Am 28. Oktober 2016 habe die Staatsanwaltschaft ebenfalls Verwahrung und Sicherheitshaft bis zum Vorliegen des entsprechenden Entscheids beantragt. Das Haftgericht habe den Antrag auf Sicherheitshaft in der Folge abgewiesen, was die Beschwerdekammer am 11. Januar 2017 bestätigt habe (Beilage des Obergerichts). X._ befinde sich weiterhin im Wohnheim. Das Verfahren betreffend Verwahrung sei beim Amtsgericht hängig. D.b. Die Staatsanwaltschaft führt aus: X._ sei am 15. November 2016 aus dem Untersuchungsgefängnis entlassen worden und befinde sich nicht mehr im Freiheitsentzug (Verfügung vom 11. November 2016). Bei der Beschwerdeerhebung habe er sich nicht in strafprozessualer Haft befunden, sondern in der stationären Einleitungsphase der ambulanten Massnahme gemäss Art. 63 Abs. 3 StGB. Er habe die ambulante Massnahme nicht angefochten. Das Obergericht habe die Anordnung begründet. Es sei offensichtlich, dass ein solch komplexes ambulantes Setting nicht von heute auf morgen eingerichtet werden könne und Zeit brauche. Soweit sich die Beschwerde gegen die Verweigerung der (sofortigen) Haftentlassung richte, sei darauf nicht einzutreten (gegenstandslos/ungenügende Begründung der Beschwerde); allenfalls sei die Beschwerde abzuweisen. D.c. X._ bezeichnet die vernehmlassungsweisen obergerichtlichen Ausführungen zum Sachverhalt als zutreffend. Insoweit sei das Entlassungsgesuch gegenstandslos geworden. Er weist zur staatsanwaltschaftlichen Vernehmlassung darauf hin, er sei im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung nach Art. 63 Abs. 3 StGB inhaftiert gewesen. Er sei in dieser Zeit weder behandelt worden noch sei eine Behandlung vorgesehen gewesen. Der Aufenthalt im Untersuchungsgefängnis sei rechtswidrig gewesen.