Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt eine Strafuntersuchung gegen den rumänischen Staatsangehörigen A._ wegen des Verdachts des Diebstahls, der Sachbeschädigung und des Hausfriedensbruchs. Sie wirft ihm vor, er sei in der Nacht vom 24. auf den 25. März 2016 zusammen mit einem Mittäter in Zürich in ein Musikgeschäft eingebrochen, habe Saxophone im Wert von 51'610.-- gestohlen und einen Sachschaden von Fr. 42'230.-- verursacht. Am 25. März 2016 hielt die Polizei in Frankreich A._ an und stellte die Saxophone sicher. In der Folge wurde er inhaftiert. Die Schweiz ersuchte Frankreich um die Auslieferung von A._. Am 11. Oktober 2016 bewilligte der Premier ministre die Auslieferung. Am 9. Januar 2017 wurde A._ an die Schweiz überstellt. B. Mit Verfügung vom 11. Januar 2017 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich A._ in Untersuchungshaft. Es bejahte den dringenden Tatverdacht und Fluchtgefahr. Die Haft erachtete es als verhältnismässig. Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 6. Februar 2017 ab. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen; die Strafuntersuchung sei einzustellen. D. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. A._ hat eine Replik eingereicht.