Sachverhalt: A. Am 8. März 2019 erstattete das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Aargau (AWA) Strafanzeige gegen A._. Es warf ihm vor, er habe aufgrund unwahrer Angaben zu Unrecht Leistungen der Arbeitslosenversicherung im Betrag von Fr. 25'895.05 bezogen und sich damit nach Art. 148a StGB strafbar gemacht. Gleichentags erklärte das AWA, sich am Strafverfahren als Strafkläger, nicht hingegen als Zivilkläger beteiligen zu wollen. Am 15. März 2019 eröffnete die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) eine Strafuntersuchung gegen A._. B. Mit Verfügung vom 16. Juli 2019 stellte die Staatsanwaltschaft fest, das AWA könne sich nicht als Strafkläger konstituieren und es komme ihm deshalb keine Parteistellung zu. Die vom AWA dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 15. August 2019 ab. C. Das AWA führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben. D. Die Staatsanwaltschaft und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet; stillschweigend ebenso A._. Das Obergericht hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem sinngemässen Antrag, die Beschwerde abzuweisen.