Sachverhalt: A. Im Zusammenhang mit der Geschäftstätigkeit der C._ AG zeigte die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) am 27. August 2015 der C._ AG, D._, A._ und B._ die Eröffnung eines Enforcement-Verfahrens an. Es bestehe der begründete Verdacht, dass (1.) die C._ AG ohne Bewilligung einer unterstellungspflichtigen Tätigkeit nach Börsengesetz nachgegangen sei, namentlich als Eigenhändlerin den Schwellenwert von Fr. 5 Mia. seit dem Jahr 2011 kontinuierlich überschritten habe, und (2.) die C._ AG, D._, A._ und B._ gegen Marktverhaltensregeln verstossen hätten, namentlich Marktmanipulationen im Sinn des Börsengesetzes getätigt hätten. Die FINMA teilte mit, sie werde gegen die vier genannten Personen je ein eigenständiges Verfahren durchführen, und räumte ihnen Gelegenheit ein, innert Frist zum beigelegten Untersuchungsbericht einer externen Beratungsfirma vom 24. August 2015 Stellung zu nehmen. B. B.a. Am 17. Dezember 2015 erliess die FINMA eine verfahrensabschliessende Verfügung betreffend unerlaubte Tätigkeit als Effektenhändler/Liquidation/Unterlassungsanweisung/Publikation gegen die C._ AG sowie deren Verwaltungsrat und Alleinaktionär D._. Die FINMA stellte fest, dass (1.) die C._ AG ohne Bewilligung gewerbsmässig als Effektenhändlerin, namentlich als Eigenhändlerin, tätig gewesen sei und damit aufsichtsrechtliche Bestimmungen (Börsengesetz) schwer verletzt habe; (2.) die C._ AG die Voraussetzungen für die Erteilung einer Effektenhändlerbewilligung nicht erfülle und die nachträgliche Erteilung einer Effektenhändlerbewilligung verweigert werde; (3.) aufgrund seines massgeblichen Beitrags an der unerlaubten Tätigkeit auch D._ ohne Bewilligung gewerbsmässig den Effektenhandel, namentlich Eigenhandel, betrieben und damit aufsichtsrechtliche Bestimmungen (Börsengesetz) schwer verletzt habe. Die C._ AG wurde aufgelöst und in Liquidation versetzt. D._ wurde angewiesen, jegliche finanzmarktrechtlich bewilligungspflichtige Tätigkeit, insbesondere die gewerbsmässige Effektenhändlertätigkeit, sowie die entsprechende Werbung zu unterlassen. Diese Unterlassunganweisung wurde für drei Jahre publiziert. B.b. A._ und B._ erhoben am 12. Januar 2016 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht mit den Anträgen, die Verfügung der FINMA vom 17. Dezember 2015 in Sachen C._ AG und D._ sei aufzuheben und die gegen sie - A._ und B._ - von der FINMA eingeleiteten Verfahren betreffend unerlaubte Tätigkeit als Effektenhändler seien einzustellen; eventuell sei die FINMA anzuweisen, diese Verfahren einzustellen; subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die FINMA zurückzuweisen. Mit Urteil vom 21. April 2017 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. C. A._ und B._ erheben am 8. Mai 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache "zu neuer Beurteilung im Sinn der Erwägungen" an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragen A._ und B._, ihnen sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und sie seien von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die FINMA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ und B._ haben am 28. Juni 2017 repliziert. Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ist mit Präsidialverfügung vom 20. Juni 2017 abgewiesen worden. Am 14. September 2017 hat der Rechtsvertreter von A._ und B._ mitgeteilt, er habe das Mandat niedergelegt.