Sachverhalt: A. A.a. Der 1936 geborene A.A._ sel. arbeitete vom 4. Dezember 1961 bis zum 31. Januar 1998 als Schlosser und Allrounder bei der E._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) in den Werkstätten U._. Ab November 1996 musste er sein Arbeitspensum aus gesundheitlichen Gründen auf 50 % reduzieren und wurde per 1. Februar 1998 vorzeitig pensioniert. Im Jahr 2003 wurde bei ihm ein malignes Pleuramesotheliom (Brustfellkrebs) diagnostiziert. Am 10. Juli 2004 verstarb A.A._. Gemäss Akten der SUVA war der Tod ausschliesslich durch das berufsbedingte maligne Pleuramesotheliom bedingt. Die Beklagte räumte eine schädigende Einwirkung durch Asbest ein, jedoch nur bis 1988. A.b. Am 21. Juni 2004 gab die Beklagte erstmals einen Verjährungseinredeverzicht ab. Dieser enthielt folgende Klausel: " Ohne Anerkennung einer Rechtspflicht und ohne Präjudiz verzichtet die E._ AG, soweit überhaupt noch arbeitsvertragliche Ansprüche von Herrn A.A._ bestehen - was ausdrücklich bestritten wird - und soweit die Verjährung derselben bis heute nicht bereits eingetreten ist, bis am 31. Mai 2005 auf die Einrede der Verjährung". Mit analoger Klausel wurde der Verjährungseinredeverzicht jährlich wiederholt, letztmals im November 2008. B.A._, die Witwe des Verstorbenen (Klägerin 1, ehemals Beschwerdeführerin 1), leitete im Mai 2010 eine Betreibung gegen die Beklagte über Fr. 850'000.-- nebst Zins ein; mit der Bemerkung "Schadenersatz gemäss Art. 45 Abs. 3 OR - verjährungsunterbrechende Massnahme". B. B.a. Am 29. März 2010 reichten die Klägerin 1 und die beiden Kinder des A.A._ sel. (Kläger 2 und Klägerin 3, ehemals Beschwerdeführer 2 und Beschwerdeführerin 3) beim Gerichtskreis XI Interlaken-Oberhasli (nunmehr Regionalgericht Oberland) Klage gegen die Beklagte ein. In ihren als Teilklage formulierten Rechtsbegehren beantragten sie, die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerschaft Fr. 55'000.-- zzgl. Zins als Schadenersatz (Ziff. 1) und Fr. 150'000.-- zzgl. Zins als Genugtuung (Ziff. 2) zu bezahlen. Ferner sei sie zu verpflichten, der Klägerin 1 Fr. 80'000.-- zzgl. Zins (Ziff. 3) und dem Kläger 2 und der Klägerin 3 je Fr. 60'000.-- zzgl. Zins als Genugtuung (Ziff. 4) sowie der Klägerschaft einen Betrag von Fr. 70'000.-- zzgl. Zins als vorprozessuale Anwaltskosten (Ziff. 5) zu bezahlen. Bei den Rechtsbegehren Ziffer 1 und 2 handelt es sich um Ansprüche des Verstorbenen, welche die Kläger als dessen Erben geltend machen. Die Rechtsbegehren Ziffer 3-5 betreffen eigene Ansprüche der Kläger. Die Beklagte beantragte, die Klage sei vollumfänglich abzuweisen (Ziff. 1) und verlangte widerklageweise, es sei gerichtlich festzustellen, dass die von der Klägerin 1/Widerbeklagten 1 in der Klage vom 29. März 2010 behaupteten, über die Teilklage hinausgehenden Ansprüche, insbesondere der geltend gemachte Versorgerschaden (gemäss Betreibungs-Nr. xxx im Betrag von Fr. 850'000.-- nebst Zins) sowie die von der Klägerschaft vorbehaltene Nachklage keinen Bestand haben (Ziff. 2). Es sei zudem die gegen sie angehobene Betreibung über Fr. 850'000.-- nebst Zins aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, Dritten von dieser Betreibung keine Kenntnis zu geben (Ziff. 3). Das Regionalgericht beschränkte das Verfahren auf drei Fragen: die Asbestexpositionen von Herrn A.A._ sel. bzw. die Kausalität solcher Expositionen für dessen tödliche Erkrankung ab 1989, insbesondere ab 1994; die Verjährung sowie das Feststellungsinteresse an den widerklägerischen Rechtsbegehren Ziff. 2 und 3. Mit Urteil vom 24. November 2011 wies es die Klage ab. In Gutheissung der Widerklage der Beklagten stellte es fest, die von den Klägern/Widerbeklagten über die Teilklage hinausgehenden Ansprüche infolge Schädigung bzw. Tod von Herrn A.A._ sel. hätten keinen Bestand und die in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland geltend gemachte Forderung bestehe nicht und die fragliche Betreibung sei mithin grundlos. Soweit weitergehend wies es die Widerklage ab. B.b. Das Obergericht des Kantons Bern wies die von den Klägern erhobene Berufung mit Urteil vom 25. April 2013 ab. Es verpflichtete die Kläger unter solidarischer Haftbarkeit zur Zahlung der erst- und zweitinstanzlichen Gerichtskosten und einer Parteientschädigung für beide Instanzen. Es erwog, die intensive Asbestexposition im Betrieb der Beklagten habe zwischen 1961 und 1985 stattgefunden. Mit grösster Wahrscheinlichkeit sei die Krankheit durch diese Exposition ausgelöst worden, auch wenn später noch weitere Expositionen erfolgt seien. Auch für Forderungen aus Vertrag gegenüber der ehemaligen Arbeitgeberin beginne die zehnjährige Verjährungsfrist im Zeitpunkt der schädigenden Handlung, mithin spätestens 1985. Die Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung seien somit absolut verjährt. Der Beklagten könne auch keine pflichtwidrige Unterlassung vorgeworfen werden. Eine solche läge vor, wenn sie die dem damaligen Wissensstand entsprechenden Schutzmassnahmen bei Arbeiten mit Asbest nicht getroffen hätte. Der Beklagten könne nicht vorgeworfen werden, dass sie grössere Schutzvorkehren hätte treffen sollen als allgemein und im Besonderen von der SUVA gefordert worden seien. Das Obergericht bejahte sodann - wie bereits das Regionalgericht - das Feststellungsinteresse der Beklagten an der negativen Feststellungswiderklage. B.c. Am 3. September 2017 verstarb die Klägerin 1 (ehemals Beschwerdeführerin 1). Ihre Erben sind ihr Sohn, der Kläger 2, und ihre Tochter, die Klägerin 3 (ehemals Beschwerdeführer 2 und Beschwerdeführerin 3, nun Beschwerdeführer 1 und Beschwerdeführerin 2, gemeinsam die Beschwerdeführer). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Juni 2013 beantragen die Beschwerdeführer - unter Aufrechterhaltung ihrer erstinstanzlichen KIagebegehren - die kostenfällige Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 25. April 2013 (Rechtsbegehren Ziff. 1-6 und 8). Auf die Widerklage sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen (Ziff. 7). Eventualiter sei die Streitsache zur materiellen Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 9). Subeventualiter sei die vorinstanzliche Verpflichtung des Beschwerdeführers 1 und der Beschwerdeführerin 2 zur solidarischen Haftbarkeit für die gesamten erst- und vorinstanzlichen Gerichtskosten und Entschädigungen an die Beschwerdegegnerin aufzuheben und es seien die Kosten- und Entschädigungsbeträge für diese Parteien nur aufgrund der von ihnen eingeklagten Forderungen ohne Berücksichtigung des Streitwerts der negativen Feststellungswiderklage zu ermitteln, resp. die Vorinstanz anzuweisen, dies zu tun (Ziff. 10). Die Beschwerdegegnerin verlangt, die Beschwerde sei kostenfällig abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 8. April 2014 wurde das Verfahren sistiert bis zum Entscheid der eidgenössischen Räte über die Anträge in der Botschaft vom 29. November 2013 zur Änderung des Obligationenrechts (Verjährungsrecht), BBl 2014 235 ff. Mit Präsidialverfügung vom 6. November 2018 wurde das Verfahren wieder aufgenommen, da der Gesetzgeber zwischenzeitlich definitiv über die Neuregelung des Verjährungsrechts entschieden habe und damit der Grund für die Sistierung dahingefallen sei. Die Parteien haben im Folgenden weitere vom Bundesgericht angeordnete Stellungnahmen eingereicht.