Sachverhalt: A. A._ (Ehemann) und B._ (Ehefrau) sowie ihre Tochter C._ sind am 9. September 2018 über den Flughafen Zürich in die Schweiz eingereist und haben hier um Asyl nachgesucht. Die Ehefrau bezeichnete sich als staatenlos; sie gab an, in Kirgistan geboren zu sein und später in Russland sowie im Irak gelebt zu haben. Der Ehemann gab an, er sei türkischer Staatsangehöriger. Beide erklärten, sie hätten lange Zeit der PKK angehört, seien aber vor Jahren aus dieser Organisation desertiert. Zuletzt hätten sie ohne gesicherten Aufenthaltsstatus im Nordirak gelebt. Zusammen mit der Familie K._ reisten am 9. September 2018 D._ und ihre Tochter E._ in die Schweiz ein und stellten ebenfalls ein Asylgesuch. D._ gab an, die Cousine von B._ zu sein. Sie bezeichnete sich als türkische Staatsangehörige und erklärte auch, früher der PKK angehört zu haben, desertiert zu sein und zuletzt im Nordirak gelebt zu haben. B. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) trat mit Verfügung vom 21. September 2018 nicht auf die Asylgesuche der fünf oben genannten Personen (nachfolgend: Beschwerdeführende) ein. Zugleich verfügte es die Wegweisung sowie deren Vollzug nach Südafrika, woher die Beschwerdeführenden in die Schweiz eingereist waren. Einen Vollzug der Wegweisung in den Irak oder in die Türkei schloss das SEM aus. Das Amt ging dabei von einer irakischen Staatsangehörigkeit der Beschwerdeführenden aus. Das Bundesverwaltungsgericht wies am 3. Oktober 2018 zwei Beschwerden gegen diesen Entscheid ab. Am 2. November 2018 trat es sodann nicht auf ein Revisionsgesuch ein. C. Im November 2018 stellten die Beschwerdeführenden beim SEM sodann Wiedererwägungsgesuche, die das Amt am 2. bzw. am 4. September 2019 abwies. Zugleich lehnte es deren Gesuche um Änderung ihrer Personendaten im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) ab, die sie am 23. August 2019 eingereicht hatten. Eine Beschwerde gegen diesen Entscheid wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 19. Oktober 2019 ab. D. Am 21. November 2019 haben die Familie K._ einerseits und D._ mit ihrer Tochter anderseits mit zwei separaten Eingaben beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen, ihre Namen, Geburtsdaten und Staatsangehörigkeit seien entsprechend ihren Angaben abzuändern. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz oder an das SEM zur weiteren Instruktion zurückzuweisen, subeventuell seien die Personendaten zu berichtigen und anzufügen, dass diese umstritten seien. Sodann ersuchen die Beschwerdeführenden um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung ihrer Rechtsbeiständin als amtliche Vertreterin. Das Bundesverwaltungsgericht und das SEM beantragen die Abweisung der Beschwerden. Die Beschwerdeführenden haben repliziert.