Sachverhalt: A. A.a. A._ leidet an geistigen und psychischen Beeinträchtigungen und war aufgrund dessen bereits mehrfach in stationärer Behandlung. A.b. Mit Entscheid vom 27. Juni 2018 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Kreis U._ (nachfolgend KESB) für A._ eine fürsorgerische Unterbringung im Sinne der Art. 426 ff. ZGB an und wies sie in die Klinik V._ ein. A.c. Im Rahmen der periodischen Überprüfung bestätigte die KESB die fürsorgerische Unterbringung am 21. Dezember 2018 und ordnete die Umplatzierung von A._ in die Stiftung W._ in T._ an. A.d. Am 29. Mai 2019 verfügte die KESB die Rückplatzierung derselben in die Klinik V._. A.e. Mit Entscheid vom 27. Juni 2019 bestätigte die KESB im Rahmen der periodischen Überprüfung die fürsorgerische Unterbringung in der Klinik V._. B. Gegen diesen Entscheid wandte sich A._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Kantonsgericht Luzern und beantragte die Entlassung aus der Klinik V._. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 25. Juli 2019 ab. C. C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. September 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz. Eventualiter sei die Beschwerdeführerin aus der Klinik V._ zu entlassen. Subeventualiter sei sie aus der Klinik V._ zu entlassen und in eine geeignete Einrichtung zu versetzen. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. C.b. Auf Einladung hin hat sich die KESB am 14. Oktober 2019 in der Sache vernehmen lassen. Sie beantragt die vollumfängliche Abweisung, soweit darauf einzutreten sei sowie die Bestätigung des vorinstanzlichen Urteils. Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Replik vom 21. Oktober 2019 hält die Beschwerdeführerin an ihren bisherigen Anträgen fest. C.c. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.