Sachverhalt: A. Die A._ AG ist Eigentümerin der Parzelle Nr. 175 in Eich. Sie beabsichtigt, darauf zwei Mehrfamilienhäuser und zwei Einfamilienhäuser mit einer gemeinsamen Autoeinstellhalle zu bauen. Während der öffentlichen Auflage des Baugesuchs vom 23. Januar 2017 bis zum 13. Februar 2017 erhoben unter anderem B._ und C._, D.D._ und E.D._, F.F._ und G.F._ sowie H._ Einsprache. Das Verfahren wurde zunächst sistiert, da die kurz vor der öffentlichen Auflage des Baugesuchs revidierte Ortsplanung der Gemeinde Eich noch der kantonalen Genehmigung bedurfte. Nachdem der Regierungsrat des Kantons Luzern den revidierten Zonenplan und das revidierte Bau- und Zonenreglement (BZR) am 4. Juli 2017 mit gewissen Ausnahmen genehmigt hatte, nahm der Gemeinderat Eich das Verfahren wieder auf. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2017 erteilte er die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Dagegen erhoben die genannten Personen Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Mit Urteil vom 21. November 2018 hiess das Kantonsgericht Luzern das Rechtsmittel gut und hob den Entscheid des Gemeinderats Eich vom 14. Dezember 2017 auf. B. Mit Eingabe vom 11. Januar 2019 erheben die Gemeinde Eich und die A._ AG gemeinsam Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht und beantragen die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführer und die Beschwerdegegner halten in ihren weiteren Stellungnahmen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.