Sachverhalt: A. A.a. Im Dezember 2016 regelte der High Court of Justice, London, mit drei zusammenhängenden Entscheiden (Prozessnummer xxx) die Nebenfolgen der Ehescheidung der in Grossbritannien wohnhaften A._ (Beschwerdeführerin) von C._, der in Aserbaidschan oder Russland lebt. In diesem Zusammenhang erliess der High Court am 20. Dezember 2016 eine "Financial Remedy Order", in welcher C._ sowie seine Treuhänder, darunter die B._ S.A. (Beschwerdegegnerin), unter solidarischer Haftbarkeit dazu verurteilt wurden, an A._ einen Pauschalbetrag von GBP 350'000'000.-- zu bezahlen. Im Rahmen dieses Verfahrens wurde die B._ S.A. als dritte Beklagte geführt. A.b. Am 4. Januar 2017 gelangte A._ an das Bezirksgericht Zürich und beantragte, es sei die "Financial Remedy Order" in der Schweiz gegenüber C._ und der B._ S.A. soweit für vollstreckbar zu erklären, als der ihr zugesprochene Betrag Unterhalt darstelle. Ausserdem ersuchte sie das Bezirksgericht darum, verschiedene Konten bei der Bank D._ und/oder der Bank D.E._ für einen Forderungsbetrag von GBP 224'430'508.-- zu verarrestieren. A.c. Am 9. Januar 2017 sprach das Bezirksgericht die gewünschte Vollstreckbarerklärung für den Betrag von GBP 224'430'508.-- aus. Die Prozesskosten auferlegte es C._ und der B._ S.A. Bezüglich der weiter beantragten Sicherungsmassnahmen eröffnete das Bezirksgericht zwei weitere Verfahren. Der gegen die B._ S.A. in diesem Zusammenhang verfügte Arrest hat sich gemäss der Mitteilung des zuständigen Betreibungsamtes in der Folge "als leer erwiesen". B. Gegen den Entscheid vom 9. Januar 2017 erhob die B._ S.A. Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 10. Dezember 2018 (eröffnet am 4. Januar 2019) hob das Obergericht den erstinstanzlichen Entscheid im Verhältnis zwischen A._ und der B._ S.A. soweit die Vollstreckbarerklärung und die Prozesskosten betreffend auf und wies das Gesuch um Vollstreckbarerklärung der "Financial Remedy Order" gegenüber der B._ S.A. ab (Dispositivziffer 1). Weiter hielt das Obergericht fest, dass der Kostenschluss des erstinstanzlichen Entscheids gegenüber C._ unverändert bleibe (Dispositivziffer 2), auferlegte die Kosten des Berufungsverfahrens A._ (Dispositivziffern 3 und 4) und verpflichtete diese zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die B._ S.A. (Dispositivziffer 5). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. Februar 2019 gelangt A._ ans Bundesgericht. Sie beantragt, es sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die "Financial Remedy Order" hinsichtlich der solidarischen Verpflichtung der B._ S.A. zur Bezahlung von Unterhalt in der Höhe von GBP 224'430'508.-- für vollstreckbar zu erklären. Eventuell sei die Sache unter Aufhebung des Urteils des Obergerichts zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Am 9. Oktober 2019 hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Vernehmlassung vom 4. November 2019 beantragt die B._ S.A., auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei diese abzuweisen und subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Mit Replik vom 14. November 2019 und Duplik vom 28. November 2019 haben die Parteien an ihren Anträgen festgehalten. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.