Sachverhalt: A. A.a. A._, geboren 1991, wurden vom 15. Oktober 2001 bis 14. Oktober 2003 wegen schwerer Legasthenie Sonderschulmassnahmen gewährt. Am 1. Februar 2012 meldete er sich wegen psychischer Beschwerden erneut zum Bezug von Invalidenversicherungsleistungen an. Nach verschiedenen Massnahmen beruflicher Art und stationären Aufenthalten in der Integrierten Psychiatrie B._ beantragte die Sozialhilfebehörde der Stadt C._ am 27. Juni 2013 die Rentenprüfung. Am 5. September 2013 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und am 8. Januar 2014 einen Rentenanspruch. Dabei ermahnte sie den Versicherten hinsichtlich der ungenügenden Behandlungsmotivation an die ihm nach Art. 21 Abs. 4 ATSG obliegende Schadenminderungspflicht. Die am 12. Mai 2014 mangels eines invalidisierenden Gesundheitsschadens verfügte Verneinung eines Leistungsanspruch hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich auf Beschwerde des Versicherten hin auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und anschliessenden Neuverfügung über den Anspruch auf berufliche Massnahmen und gegebenenfalls über den Rentenanspruch an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 10. August 2015). A.b. Nach weiteren erwerblichen und medizinischen Abklärungen sowie insbesondere gestützt auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. D._, vom 21. August 2018 (nachfolgend: psychiatrisches Gutachten) hielt die IV-Stelle an der Ablehnung des Leistungsgesuchs vom 1. Februar 2012 fest (Verfügung vom 30. Januar 2019). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des A._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gut, hob die Verfügung vom 30. Januar 2019 auf und stellte fest, der Versicherte habe ab 1. November 2012 Anspruch auf eine Viertelsrente, soweit er nicht bereits Taggeldleistungen empfangen habe (Entscheid vom 31. Dezember 2019). Nach Eintritt der Rechtskraft werde die Sache zur Prüfung der vom psychiatrischen Gutachter empfohlenen Eingliederungsmassnahmen an die IV-Stelle überwiesen. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung der Verfügung vom 30. Januar 2019. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Der kantonale Gerichtsentscheid sei zu bestätigen. Zudem sei dem Beschwerdegegner die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt die vollumfängliche Beschwerdegutheissung.