Sachverhalt: A. Die B._ AG (bis zum 30. Juni 2016: C._ AG) hat Sitz in U._ (bis zum 30. Juni 2016: V._). Sie bezweckt im Bereich der Medizinaltechnik die Entwicklung, die Herstellung, den Erwerb, die Vermarktung, den Vertrieb (...), den Handel (...) sowie sämtliche Geschäfte und Tätigkeiten, welche den vorgenannten Zweck fördern. Für die Geschäftsjahre 2008 bis 2010 richtete die Gesellschaft Dividenden aus. A._ - schweizerischer Staatsangehöriger mit Wohnsitz in W._ (Frankreich) - erhielt dabei entsprechend seinem Anteil von 265 Aktien Nettodividenden von Fr. 120'575.-- (Fälligkeit: 20. April 2009), Fr. 206'700.-- (Fälligkeit: 16. Februar 2010) und Fr. 129'187.50 (Fälligkeit: 5. Juli 2011). B. Mit Schreiben vom 16. März 2016 reichte A._ der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) das Formular 83 Nr. 258'634 betreffend Rückerstattung der Verrechnungssteuer für die Steuerperioden 2008 bis 2010 ein; er machte einen Rückerstattungsanspruch von Fr. 140'450.-- geltend. Das Formular war vom Inspecteur des Impôts in X._ (Frankreich) am 24. November 2015 unterzeichnet worden. Mit Entscheid vom 2. Dezember 2016 wies die ESTV den Antrag von A._ auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer für die Steuerperioden 2008 bis 2010 vollumfänglich ab. A._ erhob gegen diese Verfügung Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 31. Januar 2018 gut und korrigierte das Dispositiv des Entscheids vom 2. Dezember 2016 dahingehend, dass auf das Rückerstattungsgesuch nicht eingetreten werde. C. Mit Eingabe vom 12. März 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und die Gutheissung seines Antrags auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer von Fr. 140'450.-- (Formular 83, Antrag Nr. 258'634); ihm sei die Verrechnungssteuer für die Jahre 2008 (Fälligkeit 2009), 2009 (Fälligkeit 2010) und 2010 (Fälligkeit 2011) in der Höhe von Fr. 140'450.-- zurückzuerstatten. Während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt die ESTV Abweisung der Beschwerde.