Sachverhalt: A. A.a. Der serbische Staatsangehörige A.D._ (geb. 1986) ist der Sohn von B.D._ und C.D._ (geb. 1958 bzw. 1967). Er lebte seit seiner Geburt zusammen mit seinen Eltern und zwei Schwestern im Kosovo bzw. seit 1999 in Serbien. Nachdem die Ehe seiner Eltern am 10. März 2004 geschieden worden war, heiratete seine Mutter den Schweizer Staatsbürger E._ (geb. 1945), reiste noch im selben Jahr ohne die Kinder zu ihm in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Seit dem 17. Dezember 2010 ist sie im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Die Nachzugsgesuche für ihre beiden Töchter wurden in der Folge gutgeheissen; dasjenige für ihren Sohn hatte C.D._ - weil A.D._ bereits zu diesem Zeitpunkt volljährig war - zurückgezogen. A.b. Nachdem A.D._ mehrfach erfolglos um eine Einreisebewilligung zu Besuchszwecken ersucht hatte, reiste er im Februar 2009 illegal in die Schweiz ein, stellte - ebenfalls ohne Erfolg - ein Asylgesuch und wurde weggewiesen. Auf ein Gesuch, ihm gestützt auf Art. 42 Abs. 2 AuG eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Mutter und seinem Stiefvater zu erteilen, trat das Migrationsamt des Kantons Zürich am 27. Mai 2010 nicht ein, unter gleichzeitiger Ansetzung einer Ausreisefrist bis zum 30. Juli 2010. A.c. Zweieinhalb Wochen später, am 18. August 2010, meldete sich E._ in U._ (D) an, wo er eine Zwei-Zimmerwohnung anmietete und wo ihm eine bis zum 30. November 2015 gültige Aufenthaltsbewilligung für Deutschland erteilt wurde. A.D._ gelang es in der Folge durch einen Rechtsgang bis hin zum Oberverwaltungsgericht Berlin-Brandenburg, am 18. Dezember 2014 in den Besitz einer bis zum 17. Dezember 2019 gültigen Aufenthaltsbewilligung für Deutschland zu kommen und nach U._ überzusiedeln. A.d. Am 16. Dezember 2015 meldeten sich Stiefvater und Sohn rückwirkend per 15. November 2015 in U._ bzw. Deutschland ab. A.D._ ist seit dem 17. November 2015 an der F._-Strasse in V._ wohnhaft, während sein Stiefvater E._ in W._ gemeldet ist. B. Am 25. November 2015 ersuchte A.D._ beim Migrationsamt des Kantons Zürich um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zum Zweck der Erwerbstätigkeit als Bau- und Unterhaltsreiniger bei der G._ GmbH. Im Anschluss an eine kurze schriftliche Korrespondenz liess er gegenüber dem Migrationsamt ausführen, er befinde sich nicht für einen vorübergehenden Aufenthalt in der Schweiz, sondern sei "auf der Basis eines freizügigkeitsrechtlichen Anspruchs aufenthalts- und erwerbsberechtigt", weshalb ihm eine fünfjährige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen sei. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2015 lehnte das Migrationsamt dieses Ansinnen ab und wies A.D._ an, die Schweiz bis spätestens am 14. Februar 2016 zu verlassen. Hiergegen rekurrierte A.D._ erfolglos bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, und mit Urteil vom 28. Juni 2017 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Direktionsentscheid vom 25. Januar 2017 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. C. Mit Eingabe vom 15. August 2017 führt A.D._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Juni 2017 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA für die Dauer von fünf Jahren auszustellen. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und das Staatssekretariat für Migration verzichten auf Vernehmlassung. A.D._ repliziert. D. Mit Verfügung vom 17. August 2017 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.