Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1973) ist kosovarischer Staatsbürger. Er heiratete am 2. September 2002 eine Schweizerin, worauf er im Kanton Aargau ab dem 4. November 2002 über eine Aufenthalts- und ab dem 11. Dezember 2007 über eine Niederlassungsbewilligung verfügte. Am 17. Juli 2008 wurde seine erleichterte Einbürgerung wegen falscher Angaben annulliert. A._ ist Vater von 4 Kindern; mit der Kindsmutter ist er nicht verheiratet. Diese ehelichte am 8. Mai 2012 einen Schweizer Bürger, worauf der Kanton Waadt ihr am 17. Dezember 2012 eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug zu diesem erteilte; der Kanton Genf bewilligte ihr am 14. Oktober 2013 den Kantonswechsel. A.b. A._ bemühte sich wiederholt darum, seine Kinder zu sich nachziehen zu können. Sie befanden bzw. befinden sich nach seinen Angaben derzeit bei der Kindsmutter in Genf. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau stellte am 29. Januar 2016 fest, dass die Niederlassungsbewilligung des inzwischen geschiedenen A._ erloschen sei, da er sich länger als sechs Monate im Ausland aufgehalten habe (Untersuchungshaft in Serbien). Die hiergegen bzw. gegen die damit verbundene Wegweisung gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg; sämtliche Instanzen wiesen jeweils das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung von A._ wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren ab. B. B.a. Das Bundesgericht hiess am 1. Mai 2019 die von A._ eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten teilweise gut und hob das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau, 2. Kammer, vom 27. März 2018 auf. Es wies die Angelegenheit zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Die Sache erweise sich - so die Begründung - wegen der fehlenden Abklärung der Situation der Kinder und einer allenfalls gestützt hierauf erforderlichen Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK als "nicht entscheidungsreif" (E. 6 des bundesgerichtlichen Urteils). Es sei der neuste Stand des Aufenthaltsstatus der Kinder sachverhaltsmässig festzustellen. Sollte sich ergeben, dass die Kinder des Beschwerdeführers in der Schweiz über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht verfügen, werde die Vorinstanz eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK vornehmen müssen. B.b. Der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau forderte A._ am 9. Mai 2019 auf, mitzuteilen, ob seine vier Kinder in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung verfügten, obwohl sie im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) nicht verzeichnet seien. Sollte dies der Fall sein, habe er die Kopien der Ausländerausweise der Kinder einzureichen und darzulegen, inwiefern er zu diesen in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht eine mit Blick auf Art. 8 EMRK relevante Beziehung unterhalte; diese sei zudem, soweit möglich, zu belegen. B.c. Mit Verfügung vom 28. Mai 2019 wies der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau das hierauf von A._ eingereichte Gesuch ab, ihm vorweg die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das weitere verwaltungsgerichtliche Verfahren zu gewähren. C. C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, die Ziffern 2 (Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung) und 4 (Ansetzung einer letzten Frist von 10 Tagen ab Rechtskraft der Verfügung, um der Verfügung vom 9. Mai 2019 nachzukommen) des Dispositivs der Verfügung vom 28. Mai 2019 aufzuheben. Es sei ihm für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm sein Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben. Für den Fall des Unterliegens ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. C.b. Das Departement Volkswirtschaft und Inneres (Amt für Migration und Integration) des Kantons Aargau verzichtet darauf, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Verwaltungsgericht (Instruktionsrichter) des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die ersten Abklärungen hätten ergeben, dass die Kinder nicht im ZEMIS eingetragen seien und der Beschwerdeführer deshalb wohl keinen Bewilligungsanspruch aus der Beziehung zu den Kindern ableiten könne (Art. 8 EMRK); seine Anträge hätten deshalb keine ernsthaften Erfolgsaussichten. A._ hält in zwei weiteren Eingaben an seinen Ausführungen und Anträgen fest und macht geltend, seine Kinder befänden sich bei der Kindsmutter in Genf.