Sachverhalt: A. A._, wohnhaft in X._ (SG), pflegte ihre Mutter B._ (geboren am 1. Januar 1920) an deren Wohnsitz in Y._ (TG). Diese bezog neben einer Entschädigung der Invalidenversicherung für eine Hilflosigkeit schweren Grades Ergänzungsleistungen (EL) zu ihrer AHV-Rente. Im März 2014 ersuchte A._ um Vergütung der bei der Pflege angefallenen Betreuungskosten. Mit Verfügung vom 13. Juni 2014 bzw. Einspracheentscheid vom 4. Juni 2015 wies die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau (nachfolgend: Ausgleichskasse) das Gesuch ab. B._ verstarb am 27. Februar 2015. B. B.a. Die gegen den Einspracheentscheid vom 4. Juni 2015 erhobene Beschwerde der A._ leitete das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 9. Juli 2015 formlos an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen weiter. B.b. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen erachtete sich als unzuständig, trat auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber zurück an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheid vom 9. September 2016). B.c. Mit Entscheid vom 16. November 2016 erliess auch das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau einen förmlichen Nichteintretensentscheid wegen fehlender örtlicher Zuständigkeit. C. A._ lässt gegen beide Entscheide Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, das Bundesgericht habe über die Frage der örtlichen Zuständigkeit zu entscheiden und die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an die zuständige Instanz zu überweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, die Ausgleichskasse und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.