Sachverhalt: A. Das Regionalgericht Bern-Mittelland sprach X._ mit Urteil vom 29. November 2016 der üblen Nachrede, begangen am 17. April 2014 zum Nachteil seiner Schwester A._, schuldig. Es verurteilte ihn zu einer unbedingten Geldstrafe von 16 Tagessätzen zu Fr. 90.--, als Zusatzstrafe zum Strafbefehl der regionalen Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 15. August 2014. A._ sprach es eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- zu. X._ erhob gegen dieses Urteil Berufung. B. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte mit Urteil vom 13. November 2017 den erstinstanzlichen Schuldspruch. Es verurteilte X._ zu einer bedingten Geldstrafe von 16 Tagessätzen zu Fr. 90.--, als Zusatzstrafe zum Strafbefehl der regionalen Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 15. August 2014. Die Genugtuung an A._ reduzierte es auf Fr. 500.--. Das schriftlich begründete Urteil wurde X._ bzw. seinem Rechtsanwalt am 18. Januar 2018 zugestellt. C. X._ erhob am 19. Dezember 2017 Beschwerde in Strafsachen mit summarischer Begründung. Er beantragte unter anderem aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 25. Januar 2018 trat der Präsident der strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht ein. D. Am 19. Februar 2018 reichte X._ eine weitere Beschwerdeschrift ein. Er beantragt darin, das Urteil vom 13. November 2017 sei aufzuheben und das Verfahren sei wegen eines nicht behebbaren Verstosses gegen Art. 6 EMRK einzustellen; eventualiter sei er freizusprechen und die Zivilforderung sei abzuweisen bzw. auf den Zivilweg zu verweisen; subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ stellt zudem ein Ausstandsgesuch gegen die am Berufungsurteil vom 13. November 2017 beteiligten Richter und beantragt, die vorliegende Beschwerde mit der bereits hängigen Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 1B_513/2017) zu vereinen. Die von der strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts bestimmte Besetzung des Spruchkörpers werde wegen Besorgnis der Befangenheit vollständig abgelehnt. Am 28. Februar 2018 stellte X._ zudem ein Ausstandsgesuch gegen die Bundesrichter Yves Rüedi und Monique Jametti.