Sachverhalt: A. A.a. A._ (geboren 1979), nigerianischer Staatsangehöriger, reiste am 14. Juli 2009 in die Schweiz ein und ersuchte hier zweimal erfolglos um Asyl. Da er Vater zweier Töchter ist (geboren 2010 und 2013), die aus der Beziehung mit einer Schweizer Bürgerin stammen, wurde ihm am 23. Januar 2013 eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. A._ und die Kindsmutter heirateten am 24. Mai 2013, trennten sich aber im Dezember 2013 und am 18. Mai 2016 wurde die Ehe geschieden. A.b. Am 26. April 2016 verurteilte das Tribunal correctionnel d'arrondissement de Lausanne A._ wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung (teilweise mengenmässig qualifiziert begangen) zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten. B. Mit Verfügung vom 16. Februar 2017 verweigerte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Beschwerdeentscheid der Polizei- und Militärdirektion vom 27. Juni 2018, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 11. März 2019). C. A._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. April 2019, unter Aufhebung des angefochtenen Urteils sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zugleich beantragt er unentgeltliche Rechtspflege. Die Polizei- und Militärdirektion sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Migration und Personenstand verzichtet auf Anmerkungen. Mit Verfügung vom 15. April 2019 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.