Sachverhalt: A. A.a. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geb. 5. März 1975) reiste am 4. April 1997 in die Schweiz ein, wo er um Asyl ersuchte. Am 16. Juni 1997 wurde sein Asylgesuch abgelehnt und er wurde aus der Schweiz weggewiesen. Am 13. März 1998 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte kosovarische Staatsangehörige B._ (geb. 4. Dezember 1979), worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Aus der Ehe gingen drei Kinder (geb. 1998, 2000 und 2004) hervor, die heute alle im Besitz einer Niederlassungsbewilligung sind. A._ stellte sowohl im Jahr 2008 als auch im Jahr 2010 ein Gesuch um Erteilung einer Niederlassungsbewilligung. Beiden Gesuchen wurde wegen seiner finanziellen Situation nicht entsprochen. A.b. Mit Schreiben der Migrationsbehörde vom 21. März 2013 wurde A._ aufgrund der angehäuften Schulden (79 Verlustscheine in der Höhe von Fr. 99'080.10) sowie wegen Sozialhilfebezugs im Umfang von Fr. 61'079.15 ermahnt. Gemäss Auszügen aus dem Betreibungsregister war A._ per 21. Oktober 2014 mit 102 offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 134'855.65 sowie per 21. April 2015 mit 107 offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 144'567.90 verzeichnet. Bis zum 21. April 2015 bezog er Sozialhilfeleistungen im Umfang von Fr. 86'055.95. A.c. Im Zeitraum von 2009 bis 2016 erwirkte A._ folgende Verurteilungen: mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft See/Oberland vom 5. Februar 2009 zu einer Geldstrafe von 25 Tagessätzen zu je Fr. 50.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren und zu einer Busse von Fr. 800.-- wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln; mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Solothurn vom 12. Januar 2016 zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je 30 Franken, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren und zu einer Busse von Fr. 800.-- wegen mehrfacher Drohung (häuslicher Gewalt), mehrfacher Beschimpfung, Tätlichkeiten und mehrfachen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen; mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Solothurn vom 16. Februar 2016 zu einer Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu je Fr. 30.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren und zu einer Busse von Fr. 600.-- wegen Betrugs (vgl. E. II.6.5 des angefochtenen Urteils). Ferner ergingen gegen ihn im Zeitraum von 2006 bis 2018 sieben Strafbefehle zu Bussen wegen SVG-Delikten. A.d. Wegen laufender Abklärungen der Invalidenversicherung wurde A._ die Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 19. Mai 2015 verlängert, unter der Bedingung, dass er im Rahmen seiner Möglichkeiten einer Erwerbstätigkeit nachgehe, sich mit seiner Familie von der Sozialhilfe ablöse, keine neuen Schulden anhäufe, die bestehenden Schulden abbaue und nicht straffällig werde. Seit dem 19. Juni 2015 leben A._ und seine Ehefrau getrennt. A.e. Mit Beschluss der Invalidenversicherung vom 9. Februar 2016 wurde A._ ab dem 1. April 2015 eine Viertels-Rente und ab dem 1. Juli 2015 eine halbe Rente zugesprochen. Sein Invaliditätsgrad wurde auf 53 % festgesetzt. Mit der IV-Rente und den Ergänzungsleistungen ist es A._ gelungen, sich von der Sozialhilfe zu lösen. Gemäss Auszügen aus dem Betreibungsregister war A._ per 1. Februar 2017 mit 133 offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 173'697.45, per 12. März 2018 mit 144 offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 187'663.20 und per 17. Mai 2018 mit 147 offenen Verlustscheinen in der Höhe von Fr. 191'249.90 verzeichnet. B. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2018 verlängerte das Migrationsamt, namens des Departements des Innern des Kantons Solothurn, die gestützt auf Art. 43 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20; ab 1. Januar 2019: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [AIG]) erteilte Aufenthaltsbewilligung infolge Trennung nicht, verneinte einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 AuG und wies A._ unter Androhung von Zwangsmassnahmen im Unterlassungsfall an, die Schweiz bis 28. Februar 2019 zu verlassen. Die dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 30. April 2019 ab. A._ wurde angewiesen, die Schweiz innert zwei Monaten ab Rechtskraft des Urteils zu verlassen. C. Gegen dieses Urteil des Verwaltungsgerichts erhebt A._ mit Eingabe vom 3. Juni 2019 (Postaufgabe) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil und die Verfügung des Migrationsamt vom 7. Dezember 2018 seien aufzuheben und es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventuell sei ihm eine von der Familiengemeinschaft unabhängige Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Schliesslich sei er nicht aus der Schweiz wegzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung in Bezug auf die Wegweisung und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und -verbeiständung. Das Verwaltungsgericht und das Migrationsamt, namens des Departements des Innern, schliessen auf Abweisung der Beschwerde und verzichten im Übrigen auf Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 6. Juni 2019 ist der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung im Sinne der Erwägungen nicht eingetreten, weil das Urteil des Verwaltungsgerichts bis zum Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht rechtskräftig wird.