Sachverhalt: A. C.A._ ist Alleinaktionär und Verwaltungsrat der B._ AG. Drei seiner Söhne - A.A._, B.A._ und D.A._ - waren dort bis Ende Mai 2013 als Angestellte tätig. Sie verliessen die B._ AG im Streit und gründeten die C._ AG, welche die B._ AG konkurrenziert. Am 12. August 2014 erstatteten C.A._ und die B._ AG Strafanzeige gegen A.A._, B.A._ und D.A._, die C._ AG sowie die Ehefrau von C.A._, E.A._. Die Anzeigeerstatter machten geltend, die Beschuldigten hätten sich bei ihrer Tätigkeit für die B._ AG und beim Aufbau der C._ AG in verschiedener Hinsicht strafbar gemacht. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen (Kantonales Untersuchungsamt, Wirtschaftsdelikte) eröffnete in der Folge ein Strafverfahren gegen D.A._, A.A._, B.A._ und E.A._ (Prozedur ST.2014.27535). Am 22. Oktober 2014 nahm die Polizei bei der C._ AG eine Hausdurchsuchung vor und stellte Unterlagen und Daten sicher (A1-A47). Diese wurden auf Verlangen der Berechtigten gleichentags versiegelt. Am 15. April 2015 erklärten sich A.A._, B.A._ und D.A._ bereit, alle von der Staatsanwaltschaft als verfahrensrelevant bezeichneten Unterlagen und Daten freizugeben, sofern sich C.A._ und die B._ AG unter der Strafdrohung von Art. 292 StGB dazu verpflichteten, diese einzig für das Straf- und ein allfälliges Zivilverfahren zu verwenden. Dem stimmten C.A._ und die B._ AG zu. Deshalb verfügte die Staatsanwaltschaft am 7. Mai 2015 unter anderem was folgt: "1. Der Antrag der Siegelungsberechtigten (C._ AG, D.A._, A.A._ und B.A._) wird genehmigt und die Siegelung der am 22. Oktober 2014 sichergestellten Daten gilt nach Massgabe der nachfolgenden Ziffern dieser Verfügung als zurückgezogen. 2. Die von der Verfahrensleitung nach vorangehender Anhörung der Siegelungsberechtigten gemäss Ziffer 1 als verfahrensrelevant bezeichneten Daten werden zu den Akten der Prozedur ST.2014.27535 genommen. 3. Die gemäss Ziffer 2 zu den Akten genommenen Daten werden der Privatklägerschaft (C.A._, B._ AG) nach Massgabe von Art. 101 StPO zur Einsicht eröffnet." In der Folge erhoben die Parteien gegenseitig weitere Vorwürfe, die sie teilweise auch zivilrechtlich vor dem Handelsgericht austrugen. Am 16. August 2016 schlossen sie vor diesem einen umfassenden Vergleich. Darin zogen sie die Strafanträge zurück und erklärten gegenseitig ihr Desinteresse an der weiteren Strafverfolgung. Gestützt darauf schloss die Staatsanwaltschaft am 29. März 2017 das Strafverfahren gegen D.A._, A.A._ und B.A._ für einen Teil der diesen vorgeworfenen Straftaten durch Nichtanhandnahmeverfügung ab. Hinsichtlich des andern Teils der diesen zur Last gelegten Straftaten stellte die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren gleichentags ein. In Ziffer 5 der Einstellungsverfügung ordnete die Staatsanwaltschaft Folgendes an: "Die Beschlagnahme der Sicherstellungen SN A1-A47 gemäss Sicherstellungsverzeichnis wird aufgehoben (Art. 320 Abs. 2 StPO) und die aufgeführten Gegenstände werden nach Rechtskraft dieses Entscheids an die C._ AG zurückgegeben." Die Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügung erwuchsen in Rechtskraft. Die Staatsanwaltschaft gab die sichergestellten Unterlagen und Daten jedoch nicht an die C._ AG zurück und diese forderte sie auch nicht dazu auf. Am 7. Mai 2018 ersuchten C.A._ und die B._ AG um Zustellung der Festplatte A46 zur Einsichtnahme. Am folgenden Tag stellte ihnen die Staatsanwaltschaft eine Kopie der auf der Festplatte enthaltenen Daten zu. Mit Verfügung vom 7. Juni 2018 forderte die Staatsanwaltschaft C.A._ und die B._ AG auf, die Kopie der Festplatte A46 zurückzuschicken, da diese nach wie vor gesiegelt sei und C.A._ und der B._ AG daher nicht hätten zur Einsichtnahme zugestellt werden dürfen. C.A._ und die B._ AG gaben die Kopie der Festplatte A46 darauf zurück, erhoben gegen die staatsanwaltschaftliche Verfügung vom 7. Juni 2018 jedoch Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. In ihrer Vernehmlassung vom 13. Juli 2018 hierzu legte die Staatsanwaltschaft dar, der Rückruf der Kopie der Festplatte A46 sei irrtümlich erfolgt. Sie habe übersehen, dass die Siegelung der Festplatte A46 am 7. Mai 2015 aufgehoben und diese damit freigegeben worden sei. Der rechtskräftige Abschluss der Strafverfahren gegen Vater und Söhne A._ stehe der Herausgabe der Festplatte an C.A._ und die B._ AG nicht entgegen, da das Strafverfahren gegen E.A._ weiterhin hängig sei. Die Staatsanwaltschaft beantragte deshalb der Anklagekammer die Abschreibung der Beschwerde wegen Gegenstandslosigkeit. Dem folgte die Anklagekammer mit Entscheid vom 22. August 2018. Nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids stellte die Staatsanwaltschaft am 20. September 2018 C.A._ und der B._ AG eine Kopie der Festplatte A46 zu. Diese befindet sich seither ununterbrochen in deren Besitz. B. Am 6. Juli 2018 erhoben C.A._ und die B._ AG erneut Strafanzeige gegen B.A._, A.A._ und D.A._ sowie die C._ AG. Die polizeilichen Abklärungen erhärteten die darin erhobenen Vorwürfe jedoch nicht. Darauf erhoben C.A._ und die B._ AG mit Eingaben vom 26. und 27. Dezember 2018 weitere Vorwürfe gegen die C._ AG und deren Exponenten. Dabei stützten sich C.A._ und die B._ AG auf den Inhalt der ihnen zur Einsicht überlassenen Festplatte A46. Am 10. Februar 2019 nahm die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren in Bezug auf die Mehrzahl der von C.A._ und der B._ AG erhobenen Vorwürfe nicht an die Hand. Einzelne Vorwürfe erschienen jedoch als substanziiert. Die Staatsanwaltschaft eröffnete daher ein Strafverfahren gegen A.A._, B.A._ und D.A._ (Prozedur ST.2018.25058). Am 26. Februar 2019 nahm die Polizei bei der C._ AG eine Hausdurchsuchung vor und stellte Unterlagen und Daten sicher. Die Berechtigten verlangten die Siegelung. Am 5. März 2019 ersuchte die Staatsanwaltschaft das Zwangsmassnahmengericht um Entsiegelung. Da die Beschuldigten aufgrund der Einstellungsverfügung vom 29. März 2017 jederzeit die Rückgabe der am 22. Oktober 2014 sichergestellten Unterlagen und Daten verlangen konnten, gab die Staatsanwaltschaft diese am 26. April 2019 formell zurück, stellte sie jedoch sogleich wieder sicher (neue Bezeichnung: B1-B47). Die Beschuldigten verlangten erneut die Siegelung. Am 29. April 2019 beantragte die Staatsanwaltschaft dem Zwangsmassnahmengericht auch die Entsiegelung der am 26. April 2019 sichergestellten Unterlagen und Daten. Am 10. Juli 2019 ergänzten C.A._ und die B._ AG ihre Strafanzeige. Ihrem Schreiben legten sie Kopien der Sicherstellungen A1, A2, A11 und A46 bei. Am 7. November 2019 befragte Staatsanwalt Peter Hangartner A.A._ und B.A._ zum Inhalt der von C.A._ und der B._ AG eingereichten Unterlagen. Dabei legte Staatsanwalt Hangartner dar, weshalb die von C.A._ und der B._ AG eingereichten Unterlagen nach Ansicht der Staatsanwaltschaft nicht der Siegelung unterliegen und am 6. November 2019 beschlagnahmt wurden. C. Am 7. November 2019 verlangten A.A._ und B.A._ den Ausstand von Staatsanwalt Hangartner. Er habe bewusst Einsicht in Kopien versiegelter Unterlagen und Daten genommen. Dies stelle einen krassen Verfahrensfehler dar. Es bestehe der Verdacht des Siegelbruchs (Art. 290 StGB). Am 12. November sandte Staatsanwalt Hangartner das Ausstandsgesuch der Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit dem Antrag auf Abweisung zu. Da A.A._ und B.A._ den Verdacht des Siegelbruchs äusserten, ersuchte Staatsanwalt Hangartner die Anklagekammer um Durchführung des Ermächtigungsverfahrens. Am 18. Dezember 2019 vereinigte die Anklagekammer das Ausstands- und das Ermächtigungsverfahren. Sie wies das Ausstandsgesuch ab und erteilte keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Staatsanwalt Hangartner. D. A.A._ und B.A._ führen beim Bundesgericht Beschwerde mit dem Antrag, den Entscheid der Anklagekammer (mit Ausnahme der Vereinigung der Verfahren) aufzuheben. Staatsanwalt Hangartner sei im Strafverfahren ST.2018.25085 mit Wirkung per 10. Juli 2019 in den Ausstand zu versetzen und es sei die Wiederholung der Verfahrenshandlungen anzuordnen, an denen er seither mitgewirkt habe, insbesondere der Einvernahme vom 7. November 2019 und seiner Stellungnahme vom 24. September 2019 im Entsiegelungsverfahren. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Staatsanwalt Hangartner zu erteilen. E. Die Anklagekammer hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. A.A._ und B.A._ haben hierzu Stellung genommen.