Sachverhalt: A. Die Stadt Solothurn setzte im Jahr 2013 eine Arbeitsgruppe zur Realisierung von Tempo 30 im Quartier Hubelmatt-Fegetz-Blumenstein ein. Daraufhin untersuchte das Planungsbüro Sigmaplan verschiedene Varianten: Die Variante A sah vor, zwei Tempo-30-Zonen ohne Einbezug der St. Niklausstrasse einzuführen; die Busvariante B beschränkte sich auf die Anordnung von Tempo 30 auf der St. Niklausstrasse bis zur Einmündung in den Herrenweg; und die Variante C beabsichtigte, eine flächendeckende Tempo-30-Zone unter Einbezug der St. Niklausstrasse zu errichten. Die Begleitgruppe befand, es könne keine der drei Varianten gänzlich überzeugen und empfahl letztlich die Realisierung der Busvariante B. B. Der Gemeinderat der Stadt Solothurn beschloss am 10. Dezember 2013 auf Antrag der Gemeinderatskommission (GRK), die Variante C umzusetzen, wobei die beiden Fussgängerstreifen auf der St. Niklausstrasse bei der Einmündung Fegetzstrasse und Obere Sternengasse beibehalten werden sollten. Im August 2014 reichte das Planungsbüro Sigmaplan ein Detailgutachten ein. Darin sprach sich die Begleitgruppe für die Einführung der flächendeckenden Tempo-30-Zone aus und gelangte namentlich zum Schluss, die vorgesehenen Massnahmen trügen zur Reduktion der gefahrenen Geschwindigkeiten bei. Am 4. September 2014 beschloss die Polizei der Stadt Solothurn die entsprechende Verkehrsmassnahme mit dem Titel "Zonensignalisation Tempo-30-Zone; Hubelmatt-Fegetz-Blumenstein" und publizierte sie im lokalen Anzeiger. Dagegen erhoben unter anderem die Sektion Solothurn des Touring Clubs Schweiz (TCS) und weitere Mitbeteiligte Beschwerde beim Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn (BJD), das ihre Beschwerde mit Verfügung vom 11. Mai 2016 teilweise guthiess. Es hob den Beschluss des Gemeinderats und der Stadtpolizei Solothurn insoweit auf, als damit die St. Niklausstrasse in die Tempo-30-Zone einbezogen und ein Rechtsvortritt bei der Einmündung in die Obere Sternengasse angeordnet wurde. Gegen diesen Entscheid erhob die Stadt Solothurn, vertreten durch die Leiterin des Rechtsdienstes, am 30. Mai 2016 vorsorglich Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Nachdem die GRK als zuständiges Organ am 23. Juni 2016 beschlossen hatte, Beschwerde zu erheben und die Leiterin des Rechts- und Personaldienstes zur Interessenwahrung zu ermächtigen, ergänzte diese am 8. Juli 2016 die vorsorglich erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragte insbesondere, die verkehrspolizeiliche Massnahme gemäss Auflage und Beschluss des Gemeinderats sei zu bestätigen. Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 24. Januar 2017 gut, hob die Verfügung des BJD auf und genehmigte die Tempo-30-Zone Hubelmatt-Fegetz-Blumenstein (inkl. St. Niklausstrasse). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. März 2017 gelangen die Sektion Solothurn des TCS und die weiteren im Rubrum genannten Mitbeteiligten an das Bundesgericht. Neben der Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils beantragen sie, der Entscheid des BJD vom 11. Mai 2016 sei zu bestätigen. Das Verwaltungsgericht und die Stadt Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das BJD beantragt, das Rechtsmittel sei gutzuheissen. Die Beschwerdeführer haben keine Replik eingereicht.