Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung etc. Ihm wird insbesondere vorgeworfen, sich am 16. Februar 2020, um ca. 02.00 Uhr, an einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen mehreren Personen beteiligt und dabei B._ und C._ geschlagen und getreten zu haben. Ersterem soll er, als dieser verletzt und regungslos am Boden lag, mehrmals gegen den Kopf getreten haben. Am 16. Februar 2020 wurde A._ verhaftet und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich vom 18. Februar 2020 in Untersuchungshaft versetzt. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft vom 7. Mai 2020 hin verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft mit Verfügung vom 13. Mai 2020 bis zum 13. August 2020. Diese Verfügung focht A._ beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, an, welches die Beschwerde mit Beschluss vom 4. Juni 2020 abwies. B. Gegen diesen Beschluss gelangt A._ mit Eingabe vom 6. Juli 2020 an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und die unverzügliche Entlassung aus der Untersuchungshaft, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich beantragt im Rahmen ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer reichte hierauf eine Stellungnahme ein.