Sachverhalt: A. A.a. C._ (fortan: Kind oder Pflegekind), geboren 2011, ist das Kind von D._ (hiernach: Kindesmutter oder Mutter). Am 8. August 2011 errichtete die Vormundschaftsbehörde V._ für das Kind eine Beistandschaft mit dem Auftrag, die Mutter in ihrer Sorge um das Kind mit Rat und Tat zu unterstützen. Die Vormundschaftsbehörde entzog der Mutter am 17. September 2012 die elterliche Obhut und brachte das Kind bei seiner Grossmutter unter. A.b. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) W._, die seit 1. Januar 2013 zuständig war, brachte das Kind ab August 2013 bei der Pflegefamilie A._ und B._ unter (Entscheid vom 3. September 2013). A.c. Aufgrund des Wohnsitzwechsels der Kindesmutter übernahm die KESB U._ am 10. Dezember 2013 die Kindesschutzmassnahmen zur Weiterführung. Als Beiständin wurde E._ eingesetzt. Über eine mögliche Beendigung des Pflegeverhältnisses und die Rückführung des Kindes zu seiner Mutter kam es in der Folge zu Diskussionen zwischen der Beiständin und der Kindesmutter und deren Familienangehörigen, die von der KESB sinngemäss verlangten, die Beiständin zu entlassen und eine andere Beistandsperson einzusetzen. Am 25. August 2015 teilte die Beiständin der KESB mit, sie mache gerne einer anderen Beiständin Platz und gebe das Mandat ab. Anlässlich einer telefonischen Anhörung durch die KESB vom 29. September 2015 zeigte sich die Kindesmutter mit der Einsetzung von F._ als neuer Beiständin einverstanden. Am 14. Oktober 2015 entschied die KESB, die Beiständin E._ werde aus ihrem Amt entlassen und mit Wirkung ab 1. November 2015 F._ als Beiständin mit unverändertem Aufgabenbereich eingesetzt. B. Gegen den Entscheid der KESB gelangten A._ und B._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragten, der Entscheid sei aufzuheben und sie als Pflegeeltern seien vorgängig anzuhören. Zudem verlangten sie Einblick in die Akten einschliesslich der Aktennotiz über die Anhörung der Kindesmutter. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde ab (Urteil vom 21. März 2016). C. Mit Eingabe vom 21. April 2016 beantragen A._ und B._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts und den Entscheid der KESB aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Sie stellen weiter Anträge zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen und des bundesgerichtlichen Verfahrens. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.