Sachverhalt: A. Am 3. September 2018 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung gegen diejenigen Entscheidungsträger, die es in den zuständigen Amtsstellen (Obergericht, Justizkommission, Ratsleitung des Kantonsrats und Personalamt) betreffe. In Ziffer 2 der Anzeige beantragte er, es sei das Strafverfahren aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei betroffen) an eine ausserkantonale Staatsanwaltschaft abzutreten. Hintergrund der Strafanzeige bildete die Kandidatur von A._ als Oberrichter in der Nachfolgewahl für zwei abtretende Oberrichter. A._ macht geltend, das Obergericht mische sich ohne gesetzliche Grundlage und ohne Wissen der Kandidierenden in das Wahlverfahren des Kantonsrats ein und gebe eine Wahlempfehlung ab. Kenntnis von den Kandidaturen habe es von der Justizkommission des Kantonsrates (JUKO) oder vom Personalamt erhalten. Mit Verfügung vom 17. September 2018 leitete die Staatsanwaltschaft die Strafanzeige an die Beschwerdekammer des Obergerichts zum Entscheid gemäss Art. 59 StPO über das Begehren in Ziffer 2 der Anzeige weiter. Gleichzeitig verzichtete sie auf eine Stellungnahme zum sinngemässen Ausstandsbegehren, wies aber darauf hin, eine allfällige Befangenheit dürfte in Betracht kommen, weil die JUKO, gegen deren Mitglieder sich die Anzeige in erster Linie richte, dem Kantonsrat die Staatsanwälte zur Wahl respektive Wiederwahl vorschlage. Mit Beschluss vom 19. September 2018 hiess die Beschwerdekammer das Ausstandsgesuch in dem Sinne gut, als die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn bezüglich der Beurteilung der Strafanzeige von A._ in den Ausstand zu versetzen sei. Am 30. Oktober 2018 setzte der Regierungsrat im Zusammenhang mit der Strafanzeige vom 3. September 2018 einen ausserordentlichen Staatsanwalt ein. Dieser eröffnete am 5. Dezember 2018 eine Strafuntersuchung gegen Unbekannt wegen des Verdachts der Amtsgeheimnisverletzung. Mit Verfügung vom 2. Juli 2019 stellte der ausserordentliche Staatsanwalt das Verfahren gegen die Mitglieder der JUKO wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses durch Weitergabe des Bewerbungsdossiers von A._ an die Obergerichtspräsidentin ein. B. A._ erhob Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung und beantragte gleichzeitig, das Beschwerdeverfahren sei aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei selber betroffen) an eine ausserkantonale Gerichtsinstanz abzutreten. Das Obergericht Solothurn trat am 28. Oktober 2019 nicht auf das Ausstandsgesuch ein und wies die Beschwerde ab. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 28. Oktober 2019 sei aufzuheben. Die Beschwerdesache sei zur Durchführung eines Untersuchungsverfahrens an den ausserordentlichen Staatsanwalt zurückzuweisen, damit dieser die Akten der JUKO und des Obergerichts beiziehe und die beteiligten Oberrichter und Mitglieder der JUKO zur Sache befrage. Eventualiter sei die Beschwerdesache zur weiteren Abklärung und zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei die Beschwerdesache aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei selbst betroffen) an eine ausserkantonale Gerichtsinstanz abzutreten sei.