Sachverhalt: A. A._ (Mieter, Beschwerdeführer) erwarb am 28. Februar 2014 ein vertraglich als "Mobilheim/Chalet Nr. xxx" bezeichnetes Objekt zum Preis von Fr. 47'000.-- von den vormaligen Besitzern. Das Objekt steht auf der Parzelle Nr. xxx des Campingplatzes C._ in U._. Mit "Mietvertrag Mobilheimplatz 'C._' U._" vermietete B._ (Vermieter, Beschwerdegegner) A._ per 1. Januar 2014 die "Parzelle Nr. xxx" mit einer Fläche von 143 m 2 zu einem Jahresmietzins von Fr. 2'431.--. Am 21. Juni 2018 beklagte sich A._ zusammen mit anderen Mietern über den in Rechnung gestellten Strompreis. Mit Schreiben vom 25. Juni 2018 kündigte B._ den Mietvertrag per 31. Dezember 2018. B. A._ focht die Kündigung bei der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu an. Mit Beschluss vom 6. Juli 2018 trat die Schlichtungsbehörde mangels Zuständigkeit darauf nicht ein. Sie hielt dafür, es handle sich nicht um eine Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen. Am 16. November 2018 reichte A._ - erneut bei der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu - eine "Klage auf Feststellung der Nichtigkeit der Kündigung" ein. Er machte geltend, B._ habe ihm nicht mit einem Formular nach Art. 266l Abs. 2 OR gekündigt. Die Kündigung sei daher gemäss Art. 266o OR nichtig. Mit Beschluss vom 20. November 2018 trat die Schlichtungsbehörde auch auf diese Klage mangels Zuständigkeit nicht ein, wiederum mit der Begründung, es handle sich nicht um eine Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen. Gegen diesen Beschluss erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. März 2019 ab. C. A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu sei anzuweisen, auf das Verfahren betreffend Feststellung der Nichtigkeit der Kündigung einzutreten. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Obergericht begehrt die Abweisung der Beschwerde, unter Verzicht auf Vernehmlassung und Hinweis auf die Akten sowie das angefochtene Urteil. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Der Beschwerdeführer replizierte, worauf der Beschwerdegegner eine Duplik eingereicht hat.