Sachverhalt: A. A._ erstattete am 9. Februar 2016 Strafanzeige gegen X._ wegen Betrugs und Widerhandlung gegen das Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb (UWG; SR 241). Dieser soll im Rahmen einer Geschäftsbeziehung entgeltliche Leistungen von A._ bezogen haben, ohne je den Willen gehabt zu haben, diese zu bezahlen. B. Am 17. März 2016 nahm das Untersuchungsamt St. Gallen das Verfahren betreffend Widerhandlung gegen das UWG nicht an die Hand. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Am 3. Juni 2016 verfügte das Untersuchungsrichteramt St. Gallen auch hinsichtlich des Straftatbestands des Betrugs die Nichtanhandnahme des Verfahrens. Dagegen erhob A._ Beschwerde, welche die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 5. Oktober 2016 abwies. C. A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Entscheid der Anklagekammer vom 5. Oktober 2016 sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Untersuchung an die Hand zu nehmen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Anklagekammer zurückzuweisen. D. Die Anklagekammer und die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen verweisen auf den angefochtenen Entscheid und verzichten auf eine Stellungnahme. X._ lässt sich vernehmen und beantragt, der Beschwerde sei keine Folge zu geben und A._ sei zum Kostenersatz zu verurteilen. Dieser hält in seiner Replik an seiner Auffassung fest.