Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1986) heiratete am 1. Juni 2013 in der Türkei die in der Schweiz niedergelassene türkische Staatsangehörige B._ (geb. 1989). Am 6. August 2013 reiste A._ in die Schweiz ein und erhielt eine bis 5. August 2014 gültige Aufenthaltsbewilligung "Familiennachzug mit Erwerbstätigkeit", die letztmals bis 5. August 2015 verlängert wurde. Im Rahmen der Prüfung der weiteren Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ teilte seine Ehefrau dem Migrationsamt des Kantons Thurgau (nachfolgend: Migrationsamt) mit Schreiben vom 22. Oktober 2015 mit, sie sei aus der gemeinsamen Wohnung ausgezogen. Mit Schreiben vom 30. März 2016 stellte das Migrationsamt A._ in Aussicht, seine Aufenthaltsbewilligung nicht mehr zu verlängern und gewährte ihm diesbezüglich das rechtliche Gehör. Die Ehe wurde mit Entscheid vom 14. November 2016 geschieden. B. Mit Entscheid vom 17. Juli 2017 lehnte das Migrationsamt eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab. Den hiergegen erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 7. Februar 2018 ab. Dabei gewährte das Departement A._ die unentgeltliche Prozessführung, wies jedoch sein Begehren um unentgeltliche Verbeiständung ab. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit den Anträgen, der Entscheid des Departements sei aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern. Zudem beantragte er die unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren vor dem Departement und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht. Mit Entscheid vom 23. Mai 2018 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab und forderte A._ auf, innert einer Frist von 20 Tagen einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu leisten, andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. C. Mit Eingabe vom 9. Juli 2018 erhebt A._ sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 23. Mai 2018 sei aufzuheben und es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung durch Rechtsanwalt Roman Kern, St. Gallen, im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zu gewähren. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtspflege [recte: Verbeiständung] im bundesgerichtlichen Verfahren. Das Verwaltungsgericht und das Migrationsamt schliessen auf Abweisung der Beschwerde und verzichten im Übrigen auf Vernehmlassung. Das Departement für Justiz und Sicherheit schliesst in seiner Stellungnahme ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 20. September 2018 hat A._ repliziert.