Sachverhalt: A. A.a. A.A._ und B.A._ (beide schweizerische Staatsangehörige) haben 2001 in Schwyz geheiratet. B.A._ wohnt in Ungarn. A.b. Am 19. November 2015 reichte A.A._ beim Kantonsgericht Zug die Scheidungsklage ein. Mit Klageantwort vom 24. Juni 2016 erhob B.A._ insbesondere die Einrede der fehlenden örtlichen Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte. Mit Entscheid vom 8. Juli 2016 beschränkte das Kantonsgericht das Verfahren auf die Frage der örtlichen Zuständigkeit. Am 9. Januar 2017 wurden diverse Zeugen befragt. Mit Entscheid vom 10. Januar 2018 trat das Kantonsgericht auf die Scheidungsklage nicht ein. Das Kantonsgericht sah es als erwiesen an, dass A.A._ zum Zeitpunkt der Einreichung der Klage seinen Wohnsitz nicht in der Schweiz, sondern bei seiner neuen Lebenspartnerin in Ungarn hatte. B. Mit Urteil vom 21. September 2018 wies das Obergericht des Kantons Zug die von A.A._ erhobene Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte den Entscheid des Kantonsgerichts Zug. C. A.A._ (Beschwerdeführer) hat am 7. November 2018 beim Bundesgericht gegen das Urteil des Obergerichts Beschwerde erhoben. Er beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und auf die Scheidungsklage einzutreten. Ferner ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Über diesen Antrag sei vorab zu entscheiden. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.