Sachverhalt: A. A.a. A._ (geb. 1977) und B.B._ (geb. 1974) sind die geschiedenen Eltern der Kinder D._ (geb. 1999), E._ (geb. 2004) und F._ (geb. 2007). Gestützt auf das Scheidungsurteil des Bezirksgerichts des Saanebezirks (FR) vom 10. Juli 2015 stehen die Kinder unter der alleinigen elterlichen Sorge und Obhut der Mutter. Der Vater hat für die Kinder Unterhaltsbeiträge zu bezahlen, und zwar je Fr. 1'200.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr bzw. je Fr. 1'350.-- für die Zeit danach. Mutter und Kinder wohnen in U._ (ZH); der Vater wohnt in V._ (FR) und arbeitet in W._ (BE). Nach den Behauptungen der Mutter vernachlässigt der Vater seine Unterhaltspflicht. A.b. Aus diesem Grund gelangte die Mutter zunächst an das Bezirksgericht Hinwil und ersuchte für die zwei noch minderjährigen Kinder um Anweisung an den Arbeitgeber nach Art. 291 ZGB. Das Bezirksgericht erachtete sich als örtlich unzuständig und trat auf das Gesuch nicht ein (Entscheid vom 19. September 2017). A.c. Am 5. Oktober 2017 rief die Mutter das Regionalgericht Bern-Mittelland an, wiederum mit dem Begehren um Anweisung an den Arbeitgeber nach Art. 291 ZGB. Mit Entscheid vom 26. Februar 2018 hiess das Regionalgericht das Gesuch gut und verfügte die beantragte Schuldneranweisung. B. Dagegen erhob B.B._ Berufung und machte, wie bereits vor dem Regionalgericht, die Unzuständigkeit der bernischen Gerichte geltend. Das Obergericht des Kantons Bern hiess die Berufung gut, hob den Entscheid des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 26. Februar 2018 auf und trat auf das Gesuch um Schuldneranweisung nicht ein (Urteil vom 3. Mai 2018). C. Mit Eingabe vom 6. Juni 2018 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, die nachgesuchte Schuldneranweisung anzuordnen, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. B.B._ (Beschwerdegegner) beantragt mit Vernehmlassung vom 11. Juli 2018 die Abweisung der Beschwerde, während das Obergericht auf eine Stellungnahme verzichtet hat. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.