Sachverhalt: A. A.a. Die Eheleute B._ und C._, beide kanadische Staatsangehörige, sind die Eltern der Kinder D._ (2004) und E._ (2007). Am 19. Mai 2014 stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Dorneck-Thierstein im Rahmen von Eheschutzmassnahmen fest, dass die Parteien seit September 2013 getrennt leben. Festgehalten wurde ferner, dass die Ehegatten weiterhin über das gemeinsame Sorgerecht über ihre Söhne verfügen. Sodann regelte der Amtsgerichtspräsident die alternierende Obhut der Ehegatten über ihre Kinder. Im Weiteren wurde die mit Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Dorneck-Thierstein/Thal Gäu vom 23. April 2014 eingesetzte Erziehungsbeiständin gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB beauftragt, das Besuchs- und Ferienrecht zu terminieren und zu überwachen. Schliesslich erliess der Präsident weitere, hier nicht wesentliche Massnahmen. Der Sohn E._ lebt seit Ende Oktober 2015 zusammen mit seiner Mutter in Kanada. A.b. Mit Urteil vom 19. Oktober 2015 änderte der Amtsgerichtspräsident die Verfügung vom 19. Mai 2014 ab. Die gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB angeordnete Beistandschaft mit den beschriebenen Aufgaben blieb aufrecht erhalten. B. B.a. Gegen diesen Entscheid gelangten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Verfügung vom 4. Januar 2016 stellte der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts fest, dass der Schriftenwechsel geschlossen und die Frist für die Einreichung einer Replik abgelaufen sei. Am 3. Februar 2016 ging von der Sozialregion U._ ein Schreiben der Beiständin der Kinder ein. B.b. Mit Urteil vom 26. Februar 2016 hiess die angerufene Instanz die Berufung des Vaters teilweise gut und wies jene der Mutter ab. Da die Kindesvertreterin ihr Mandat bezüglich D._ niedergelegt hatte, ernannte die Berufungsinstanz für den Sohn D._ für die Berufungsverfahren als neuen Kindesvertreter Rechtsanwalt A._ und setzte seine Entschädigung auf pauschal Fr. 2'500.-- fest (Dispositiv-Ziff. 8). Schliesslich überband sie die Kosten der Berufungsverfahren von gesamthaft Fr. 12'457.20 beiden Parteien zur Hälfte (Dispositiv-Ziff. 9). C. Der Kindesvertreter, Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer), hat gegen das obergerichtliche Urteil Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, in Abänderung von Ziffer 8 des angefochtenen Urteils sei die Entschädigung für die Kindesvertretung auf Fr. 10'362.-- (Honorar: Fr. 9'594.45; Barauslagen: Fr. 279.45; MWSt: Fr. 767.55) festzusetzen. Eventuell sei Ziffer 8 mit Bezug auf die Entschädigung des Kindesvertreters aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung der Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Das Obergericht hat sich am 5. Juli 2016 vernehmen lassen. Es beantragt Abweisung der Verfassungsbeschwerde. Der Beschwerdeführer hat am 7. Juli 2016 repliziert. C._ (Beschwerdegegner) schliesst sich dem Antrag des Beschwerdeführers an.