Sachverhalt: A. A._ erstattete am 21. August 2018 Strafanzeige gegen B._ wegen vorsätzlicher Urkundenfälschung. Dabei machte er u.a. geltend, sie habe als Vorsitzende der Schlichtungsbehörde in Miet- und Pachtsachen des Bezirksgerichts Zürich in einem ihn betreffenden Kündigungsschutzverfahren am 15. Mai 2018 eigenmächtig die Klagebewilligung nur reduziert ausgestellt, obwohl er auf einer kompletten Klagebewilligung beharrt habe. So habe sie seine Willensbekundung an der Schlichtungsverhandlung, die Kündigung des Mietverhältnisses anzufechten, weggelassen und nur eine Klage auf Fristerstreckung des Mietverhältnisses bewilligt. B. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2018 übermittelte die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Akten dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._. Die Staatsanwaltschaft beantragte, die Ermächtigung sei nicht zu erteilen. Mit Beschluss vom 2. November 2018 lehnte das Obergericht (III. Strafkammer) die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ ab. Die Strafkammer kam zum Schluss, es fehle an einem deliktsrelevanten Verdacht bezüglich Urkundenfälschung. C. A._ legt am 27. November 2018 gegen den Beschluss des Obergerichts Beschwerde beim Bundesgericht ein. Er verlangt die Anordnung und Durchführung einer Strafuntersuchung wegen vorsätzlicher Urkundenfälschung im Amt. Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft erklären Verzicht auf eine Vernehmlassung. B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Eingabe vom 18. März 2019 bringt A._ vor, das Mietgericht Zürich habe am 6. März 2019 ein Urteil über die Klage im fraglichen Verfahren gefällt. Er wirft B._ sinngemäss die Verletzung von Verfahrensvorschriften vor. Mit Eingabe vom 6. April 2019 äussert sich der Beschwerdeführer nochmals zur Sache.