Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen (schwerer) Körperverletzung zum Nachteil seiner Zwillingstöchter B._ und C._, geboren am (......) 2020. Ebenfalls beschuldigt ist die Freundin/Verlobte des Beschwerdeführers bzw. Kindsmutter. Nach einer Untersuchung von B._ am 21. Juni 2020 im Universitäts-Kinderspital Zürich erstattete dieses am 23. Juni 2020 Strafanzeige gegen Unbekannt wegen Verdachts auf schwere Körperverletzung bzw. Kindsmisshandlung durch ein Schütteltrauma zum Nachteil von B._. C._ wurde ebenfalls im Kinderspital aufgenommen und untersucht. A._ und die Mitbeschuldigte wurden am 23. Juni 2020 verhaftet. B. Mit Verfügung vom 25. Juni 2020 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich A._ in Untersuchungshaft. Die von ihm dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürichs mit Entscheid vom 13. Juli 2020 ab. C. Mit Eingabe vom 20. Juli 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil der Vorinstanz sei aufzuheben und er sei umgehend auf freien Fuss zu setzen. Es sei ihm ausserdem die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Die Staatsanwaltschaft sowie das Obergericht verzichten auf eine Stellungnahme.