Sachverhalt: A. Am 10. Januar 2018 wurde eine im Geburtsvorgang befindliche Patientin von einem Zürcher Geburtshaus in das GZO Spital Wetzikon überwiesen, nachdem es zu einem Geburtsstillstand gekommen war. Die Geburt, welche im Spital mittels Kaiserschnitt vorgenommen wurde, endete nach erfolglosen Reanimationsversuchen gleichentags mit dem Tod der Neugeborenen. Zur näheren Abklärung des Sachverhaltes gab die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich am 1. November 2018 bei Prof. Dr.med. B._ ein medizinisches Gutachten in Auftrag. Die betreffende Expertise vom 1. Mai 2019 gelangte zum Schluss, dass es im betroffenen Geburtshaus zu Behandlungsfehlern durch die Hebammen gekommen sei. Am 7. Mai 2019 ersuchte die Staatsanwaltschaft beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, um Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung wegen fahrlässiger Tötung, fahrlässiger Körperverletzung und allfälligen weiteren Delikten, namentlich gegen die drei damals anwesenden Hebammen, darunter A._ (nachfolgend: Verfahrensbeteiligte). B. Mit Eingabe vom 15. Mai 2019 an die Staatsanwaltschaft liess die Verfahrensbeteiligte (im hängigen Ermächtigungsverfahren) vorbringen, der Sachverständige sei offensichtlich befangen, weshalb sein Gutachten zurückzuweisen sei. Die Staatsanwaltschaft nahm die Eingabe als Ausstandsgesuch entgegen und lud den Sachverständigen zur Vernehmlassung ein. Dieser verneinte mit Stellungnahme vom 5. Juni 2019 den Vorwurf der Befangenheit. Mit Eingaben vom 13. und 21. Juni 2019 hielt die Verfahrensbeteiligte an ihrem Ausstandsbegehren fest. Am 8. Juli 2019 übermittelte die Staatsanwaltschaft die Akten dem Obergericht mit dem Antrag, das Ausstandsgesuch sei abzuweisen. C. Mit Beschluss (UA190023) vom 11. Oktober 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, das Ausstandsbegehren gegen den Sachverständigen ab. Mit separatem Beschluss (TB190068) vom gleichen Tag erteilte die gleiche Kammer des Obergerichtes der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung (bzw. Nichtanhandnahme des Strafverfahrens) gegen drei Personen, darunter die Verfahrensbeteiligte. D. Gegen den Ausstandsentscheid des Obergerichtes vom 11. Oktober 2019 (UA190023) gelangte die Verfahrensbeteiligte mit Beschwerde vom 14. November 2019 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheides. Das Obergericht hat am 26. November 2019 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet, während von der Staatsanwaltschaft (innert angesetzter Frist) keine Stellungnahme eingetroffen ist. Der vom Ausstandsgesuch betroffene Sachverständige beantragt mit Stellungnahme vom 16. Januar 2020 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin replizierte am 6. Februar 2020. Der private Beschwerdegegner reichte am 27. Februar 2020 (unaufgefordert) eine Duplik ein. Diese wurde der Beschwerdeführerin am 4. März 2020 zur Kenntnisnahme zugestellt mit dem Hinweis, dass der Schriftenwechsel als abgeschlossen angesehen werde. Am 10. März 2020 reichte die Beschwerdeführerin (unaufgefordert) eine dritte Rechtsschrift ein, welche dem Beschwerdegegner am 12. März 2020 zur Kenntnisnahme zugestellt wurde.