Sachverhalt: A. Mit Urteil 8C_373/2010 vom 3. August 2010 wies das Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des A._ gegen einen Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 15. Oktober 2009 im Bereich des öffentlichen Personalrechts ab und trat auf eine Verfassungsbeschwerde nicht ein. B. A._ lässt - unter Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 - ein Revisionsgesuch einreichen mit dem Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Bundesgerichts 8C_373/2010 vom 3. August 2010 in Revision zu ziehen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 15. Oktober 2009 sei in Gutheissung der Beschwerde vom 30. April 2010 aufzuheben. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung des Revisionsgesuchs, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Erziehungsdepartement des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf eine Vernehmlassung. Zur Eingabe des Appellationsgerichts nimmt A._ persönlich Stellung. Zudem lässt sich sein Rechtsvertreter dazu vernehmen.