Sachverhalt: A. Am 7. Oktober 2019 erhob Staatsanwältin Claudia Wiederkehr (Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis) beim Bezirksgericht Zürich Anklage gegen Rechtsanwalt A._. Sie wirft ihm vor, er habe an Gerichtsverhandlungen, an denen er als amtlicher Verteidiger teilgenommen habe, sich ehrverletzend gegenüber Staatsanwälten geäussert und diese falsch angeschuldigt. B. Am 15. Oktober 2019 verlangte A._ den Ausstand von Staatsanwältin Wiederkehr. Mit Beschluss vom 21. Januar 2020 trat das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) nicht darauf ein. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Die Sache sei an dieses zurückzuweisen mit der Anweisung, auf das Ausstandsgesuch einzutreten und darüber materiell zu entscheiden. D. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Staatsanwältin Wiederkehr und die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis haben sich nicht vernehmen lassen.