Sachverhalt: A. A.a. Die 1947 geborene A._ meldete sich am 25. Februar 2015 bei der Gemeindeverwaltung U._, Durchführungsstelle AHV/IV-Zusatzleistungen (nachfolgend: Durchführungsstelle), zum Bezug von Zusatzleistungen zu ihrer Rente der Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) an. Sie lebte gemeinsam mit ihrem Sohn in der in ihrem Eigentum stehenden Wohnung. Mit Schreiben vom 14. August 2015 gab die Versicherte der Gemeinde bekannt, sie sei seit dem 13. August 2015 nicht mehr Eigentümerin der Immobilie an ihrer Wohnadresse. Sie habe die Liegenschaft an ihre Söhne übertragen und sei nur noch deren Nutzniesserin. Am 11. Dezember 2015 teilte A._ ausserdem mit, dass ihr Sohn nicht mehr bei ihr wohne. A.b. Mit Verfügungen vom 4. März 2016 verneinte die Durchführungsstelle den Anspruch von A._ auf Zusatzleistungen für den Zeitraum vom 1. August bis 30. November 2015 sowie vom 1. bis 31. Dezember 2015. Daran hielt die Verwaltung im Ergebnis mit Einspracheentscheid vom 13. Mai 2016 fest. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 14. Juni 2017 teilweise gut, hob den Einspracheentscheid vom 13. Mai 2016 auf und wies die Sache an die nun zuständige Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA) zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und neu über den Anspruch auf Ergänzungsleistungen für die Zeit von August bis Dezember 2015 verfüge. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. A.c. Im Weiteren verneinte die SVA mit Verfügung vom 12. Juli 2018 einen Anspruch der Versicherten auf Zusatzleistungen im Zeitraum vom 1. Februar 2015 bis 31. Dezember 2017 sowie ab 1. Januar 2018. Daran hielt die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 12. November 2018 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Mai 2019 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und ihr seien Ergänzungsleistungen zur AHV/IV auszurichten. Eventualiter sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Subeventualiter sei der Zinssatz des hypothetischen Vermögensertrags für das Jahr 2018 zu korrigieren und entsprechende Ergänzungsleistungen auszurichten. Überdies ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Die SVA beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.