Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1978; angolanischer Staatsangehöriger) und B.A._ (geb. 1984) heirateten am 13. September 2002 in Frankreich. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 2009) und D.A._ (geb. 2012). Die Eltern haben den gemeinsamen Haushalt aufgehoben; das Getrenntleben wurde gerichtlich geregelt. A.b. Am 21. Dezember 2015 klagte B.A._ beim Bezirksgericht Rheinfelden auf Scheidung der Ehe und Regelung der Nebenfolgen. Mit Entscheid vom 13. Dezember 2017 schied das Bezirksgericht die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen. Namentlich teilte es die elterliche Sorge über die Söhne allein der Mutter zu. B. A.A._ führte Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau und beantragte, die elterliche Sorge über die Söhne sei beiden Eltern gemeinsam zu belassen. Mit Entscheid vom 13. November 2018 wies das Obergericht die Berufung ab. Bereits während des Verfahrens hatte es auch das Gesuch des Vaters um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abgewiesen (Verfügung vom 19. Februar 2018). C. Mit Eingabe vom 19. Dezember 2018 wendet sich A.A._ ohne anwaltliche Vertretung an das Bundesgericht, dem er zahlreiche Begehren unterbreitet. Namentlich wiederholt er seinen Antrag auf Belassung der gemeinsamen elterlichen Sorge bei beiden Eltern. Ebenso beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das oberinstanzliche und für das bundesgerichtliche Verfahren.