Sachverhalt: A. A.a. Mit Betreibungsbegehren vom 24. August 2017 betrieb die Gemeinde U._ A._ für bevorschusste Unterhaltsbeiträge, die er für die Kinder B._ (geboren 2003), C._ (geboren 2009) und D._ (geboren 2011) für die Monate Februar bis Juli 2017 von monatlich Fr. 726.-- (Fr. 242.-- je Kind), insgesamt Fr. 4'356.-- zuzüglich Zinsen schuldete. A._ erhob gegen den Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Zürich 3 in der Betreibung Nr. xxx keinen Rechtsvorschlag. A.b. Am 4. September 2017 vollzog das Betreibungsamt die Pfändung Nr. yyy für Betreibungen verschiedener Gläubiger. Die Gemeinde U._ stellte am 22. September 2017 in der Betreibung Nr. xxx das Fortsetzungsbegehren und nahm daher an der Pfändung Nr. yyy teil. Aus der Pfändungsurkunde geht hervor, dass A._ als selbständiger Taxichauffeur arbeitet, weshalb ihm der Personenwagen... als Kompetenzstück belassen wurde. Gepfändet wurden seine Einkünfte, die das Existenzminimum von Fr. 2'672.--/Monat übersteigen, bei einer vorgepfändeten Mindestquote von Fr. 300.-- aus früheren Pfändungen und längstens bis zum 16. Juni 2018. Bei der Festlegung des Existenzminimums wurden mangels Belegen keine Unterhaltszahlungen aufgenommen. Gepfändet wurden schliesslich die Einkünfte im Anschluss und mit Wirkung der vorgehenden Pfändungen für die Dauer eines Jahres seit dem Pfändungsvollzug. A.c. Das Betreibungsamt berücksichtigte in der Pfändungsurkunde vom 26. Oktober 2017 die von der Gemeinde U._ bereits im Fortsetzungsbegehren unter Hinweis auf BGE 89 III 65 (Vorfahrprivileg) beanspruchte Privilegierung von Alimentenforderungen bei vorbestehender Pfändung nicht. B. Daraufhin gelangte die Gemeinde U._ an das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter, welches ihre Beschwerde am 13. März 2018 abwies. Das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs wies die dagegen erhobene Beschwerde am 25. Mai 2018 ebenfalls ab. C. Mit Eingabe vom 8. Juni 2018 ist die Gemeinde U._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Anweisung an das Betreibungsamt, ihr in der Betreibung Nr. xxx gegen A._ (Beschwerdegegner) das Vorfahrprivileg zu gewähren und die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge von monatlich Fr. 726.-- in den vorangehenden Pfändungen zu berücksichtigen. Der Beschwerdegegner hat sich nicht vernehmen lassen. Das Betreibungsamt schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Eingaben der Verfahrensbeteiligten sind der Beschwerdeführerin zur Kenntnis übermittelt worden.