Sachverhalt: A. A.a. Gegen den italienischen Staatsangehörigen A._ läuft ein Strafverfahren der Staatsanwaltschaft Bischofszell wegen des Verdachts der Brandstiftung, des Diebstahls, der Drohung und weiterer Straftaten. Hauptsächlich wird ihm vorgeworfen, B._, mit der er vom Herbst 2017 bis zum 11. Juli 2018 eine Liebesbeziehung unterhalten hatte, nach Beendigung dieses Verhältnisses mehrfach mit persönlichem und geschäftlichem Schaden gedroht und am 14. August 2018 nachts einen Brand in der Küche des Hauses von B._ gelegt zu haben. Der Brand verursachte erheblichen Sachschaden. Da das Haus damals leer stand, wurde niemand verletzt. Nachdem sich A._ nach Italien abgesetzt hatte, wurde er am 7. September 2018 bei der Wiedereinreise in die Schweiz festgenommen. Am 10. September 2018 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau die Untersuchungshaft an. Die Haft wurde mehrmals wegen Fluchtgefahr verlängert, und A._ gelangte deswegen wiederholt erfolglos an das Obergericht des Kantons Thurgau. Mit Urteil 1B_379/2019 vom 15. August 2019 wies auch das Bundesgericht eine bei ihm erhobene Haftbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. A.b. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft ordnete das Zwangsmassnahmengericht am 30. Oktober 2019 anstelle der Untersuchungshaft Ersatzmassnahmen an. Auch diese wurden in der Folge mit gewissen Anpassungen verlängert. Am 24. April 2020 erhob die Staatsanwaltschaft gegen A._ Anklage wegen Brandstiftung, Diebstahls, mehrfachen unbefugten Eindringens in ein Datenverarbeitungssystem, Sachbeschädigung, mehrfacher Drohung, versuchten Hausfriedensbruchs, mehrfacher übler Nachrede und mehrfacher Beschimpfung sowie wegen weiterer Delikte. Sie beantragt im Wesentlichen eine Freiheitsstrafe von 51 Monaten sowie eine Landesverweisung für die Dauer von sieben Jahren. Mit Entscheid vom 30. April 2020 ordnete das Zwangsmassnahmengericht auf Antrag der Staatsanwaltschaft neu anstelle von Sicherheitshaft die Weitergeltung der im Wesentlichen vorbestandenen Ersatzmassnahmen an. Konkret verbot es A._, mit B._ oder C._ in irgendeiner Weise Kontakt aufzunehmen oder durch Dritte aufnehmen zu lassen, sich dem Wohnort der beiden Frauen und dem Arbeitsort von B._ auf weniger als 50 Meter zu nähern sowie die Schweiz zu verlassen und sich ins Ausland zu begeben. Weiter verpflichtete es ihn, sich nach den Anordnungen der Staatsanwaltschaft regelmässig einmal pro Woche bei der Polizei persönlich zu melden. Überdies zog es die auf ihn lautenden Ausweisschriften (italienischer Reisepass, schweizerischer Ausländer ausweis) ein und wies die zuständigen kantonalen Behörden an, keine Ersatzdokumente auszustellen. A.c. Am 19. Juni 2020 ersuchte das Bezirksgericht Arbon das Zwangsmassnahmengericht um Verlängerung der Ersatzmassnahmen bis zum 30. Oktober 2020, längstens jedoch bis zur allenfalls früheren Eröffnung des erstinstanzlichen Urteils im Zusammenhang mit der auf den 23. Oktober 2020 angesetzten Hauptverhandlung. A._ ersuchte um eine Suspension des Reiseverbots, der Schriftensperre und der Meldepflicht für die Zeit vom 27. Juli bis zum 2. August 2020, wandte sich im Übrigen aber nicht gegen die Ersatzmassnahmen. Mit Entscheid vom 29. Juni 2020 gab das Zwangsmassnahmengericht dem Antrag des Bezirksgerichts statt und verlängerte die Ersatzmassnahmen bis zum 30. Oktober 2020. B. Am 17. Juli 2020 wies das Obergericht des Kantons Thurgau eine dagegen von A._ eingereichte Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde vom 28. Juli 2020 an das Bundesgericht beantragt A._ sinngemäss, den Entscheid des Obergerichts insoweit aufzuheben, als er sich auf alle Ersatzmassnahmen mit Ausnahme des Kontakt- und Rayonverbots erstreckt. Mit separater Eingabe vom 4. August 2020 ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Staatsanwaltschaft stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht schliesst ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bezirksgericht Arbon reichte dem Bundesgericht innert Frist keine Stellungnahme ein. A._ äusserte sich mit Eingabe vom 15. August 2020 nochmals zur Sache.