Sachverhalt: A. A._ war seit dem 1. Januar 1994 Direktor der Kasse B._ und deswegen für die ausserobligatorische berufliche Vorsorge bei der Fürsorgestiftung für das Personal des Sekretariates des Verbandes Schweizerischer Eisenwarenhändler (heute: Vorsorgestiftung für das Personal von Swissavant - Wirtschaftsverband Handwerk und Haushalt; nachfolgend: Vorsorgestiftung) versichert. Im März 2015 ersuchte A._ die Vorsorgestiftung im Hinblick auf seine Pensionierung auf Ende Dezember 2015 um eine ausserordentliche Einmaleinlage entsprechend "bisheriger Usance". Die Vorsorgestiftung stellte sich auf den Standpunkt, dass vor dem Hintergrund ihrer finanziellen Lage und angesichts der individuellen Vorsorgesituation keine zusätzliche Verbesserung mittels Einmaleinlage erforderlich sei. Anlässlich der Alterspensionierung von A._ am 31. Dezember 2015 richtete ihm die Vorsorgestiftung das reglementarische Alterskapital von Fr. 385'460.60 (nach Abzug der Vorbezüge für Wohneigentum) aus, nicht aber die anbegehrte Einmaleinlage. Die von A._ daraufhin angerufene BVG- und Stiftungsaufsicht des Kantons Zürich (BVS) kam in ihrer "Stellungnahme nach erfolgter Abklärung der Angelegenheit" vom 6. Oktober 2017 zum Schluss, dass der abschlägige Entscheid des Stiftungsrates in dessen pflichtgemässem Ermessen gelegen habe, seine "Anzeige" zu keinen weiteren Massnahmen Anlass gebe und die Sache für sie erledigt sei. B. Mit Klage vom 29. März 2018 liess A._ beantragen, die Vorsorgestiftung sei unter Androhung von Ungehorsamsstrafe gemäss Art. 292 StGB zu verpflichten, ihm die Kriterien bekanntzugeben, welche sie in den letzten 10 Jahren für die Berechnung der bei Pensionierung gewährten Einmaleinlage aus freien Stiftungsmitteln angewendet habe, insbesondere in den Fällen C._, D._, E._ und F._. Die Vorsorgestiftung sei zu verpflichten, ihm den nach der gehörigen Auskunftserteilung von ihm zu beziffernden Betrag, mindestens aber Fr. 157'000.- zuzüglich 5 % Zins seit Klageerhebung zu bezahlen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat mit Entscheid vom 21. November 2019 auf die Klage nicht ein. C. A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 21. November 2019 sei aufzuheben und die Vorsorgestiftung sei unter Androhung einer Ungehorsamsstrafe zur Bekanntgabe der einschlägigen Kriterien zu verpflichten; das Verfahren sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen und ihm sei Gelegenheit zur Bezifferung seiner Klage zu geben; eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, auf seine Klage einzutreten und diese zu beurteilen.