Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 22. Mai 2013 erstattete Dr. med. B._ mit Vollmacht ihrer Patientin C._ (im Folgenden: Anzeigestellerin) bei der Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Basel-Stadt (Aufsichtskommission) eine aufsichtsrechtliche Anzeige gegen den Advokaten lic. iur. A._. Gemäss dieser Anzeige soll A._ C._ im Rahmen ihrer Vertretung in einem Verfahren betreffend fürsorgerischer Freiheitsentziehung vor dem Vormundschaftsrat "körperlich und seelisch zu nahe gekommen" sein. Die Aufsichtskommission eröffnete in der Folge ein aufsichtsrechtliches Verfahren betreffend Einleitung eines Disziplinarverfahrens. Dieses wurde durch die Präsidentin der Aufsichtskommission, Dr. Marie-Louise Stamm, instruiert. B. Am 12. November 2013 beschloss die Aufsichtskommission, ein förmliches Disziplinarverfahren gegen A._ einzuleiten. Ein von A._ gestelltes Ausstandsbegehren gegen Marie-Louise Stamm blieb erfolglos (Zwischenentscheid der Aufsichtskommission vom 18. September 2014; Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 3. Februar 2015; Urteil 2C_308/2015 vom 7. Juli 2015). Mit Entscheid vom 15. Dezember 2015 (versandt am 17. Oktober 2016) kam die Aufsichtskommission zum Schluss, A._ habe die anwaltsrechtlichen Berufspflichten nicht eingehalten, sah von der Aussprechung einer Disziplinarmassnahme indes ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten (Gerichtsgebühr und Auslagen) in der Höhe von total Fr. 2'600.--. Den von A._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 19. Juli 2017 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 28. September 2017 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter Verfassungsbeschwerde, beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass er nicht gegen das Anwaltsgesetz verstossen habe. Es seien die Kostenentscheide der Aufsichtskommission und des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Kosten der Aufsichtskommission aufzuerlegen. Eventualiter sei die Sache zurückzuweisen mit der Vorgabe, eine Verhandlung durchzuführen, dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör zu gewähren und die im vorinstanzlichen Verfahren beantragten Beweise abzunehmen. Weiter sei festzustellen, dass die Aufsichtskommission und das Verwaltungsgericht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör bzw. seine Persönlichkeitsrechte verletzt hätten. D. Die Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte sowie das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer repliziert. Mit Verfügung vom 16. November 2017 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.