Sachverhalt: A. A.a. A._ (Kunde, Kläger, Beschwerdeführer) ist ein in Russland wohnhafter Mitinhaber eines privaten Gesundheitszentrums. Die Bank B._ AG (Bank, Beklagte, Beschwerdegegnerin) bezweckt den Betrieb einer Bank mit internationaler Orientierung und legt das Hauptgewicht auf Vermögensverwaltung. Im Frühjahr 2007 eröffnete der Kunde bei der Bank ein Konto und Depot. Bankintern zuständig war der russisch-sprachige Kundenberater C._. Der Kunde macht geltend, dieser Kundenberater habe zu seinen Lasten Gelder in Höhe von EUR 2'778'302.36 veruntreut, indem er unautorisiert Überweisungen vorgenommen und massiv mit Wertpapieren gehandelt habe. Die Bank stellt in Abrede, dass die Transaktionen ohne Weisungen durchgeführt wurden und beruft sich jedenfalls auf nachträgliche Genehmigung. B. Mit Klage vom 29. August 2016 gelangte der Kunde an das Handelsgericht des Kantons Zürich mit dem Begehren, die Bank sei zu verpflichten, ihm EUR 2'778'302.36 nebst Zins auf diversen Fälligkeiten zu bezahlen, unter Vorbehalt der Nachklage. Er reichte am 5. Juli 2018 ein Urteil des erstinstanzlichen Strafgerichts aus dem Kanton Genf ein, mit dem der Kundenberater C._ zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren und unter anderem zur Zahlung von Schadenersatz an den Kunden verurteilt wurde. Mit Urteil vom 13. Juni 2019 wies das Handelsgericht des Kantons Zürich die Klage ab. Es bejahte seine Zuständigkeit, die Anwendung schweizerischen Rechts und stellte fest, dass der Kunde seine Adhäsionsklage gegen die Bank im Strafverfahren gegen den Kundenberater zurückgezogen hatte. Den eingeklagten Schaden aus Börsentransaktionen wies das Handelsgericht mangels hinreichender Behauptungen ab. Zu den namentlich beanstandeten Transaktionen in Höhe von insgesamt EUR 1'922'184.65, USD 114'300.-- und CHF 805'300.-- hielt das Handelsgericht zunächst fest, dass die Bankbeziehung eine Konto/Depot-Beziehung ( execution only) war und dass ein allfälliger Erfüllungsanspruch des Bankkunden Schadenersatz ausschliesse. Das Gericht hielt dafür, mit seiner Schadenersatzklage verlange der Kläger etwas anderes, weshalb die Klage abzuweisen sei. Obwohl das klägerische Begehren nach der Auffassung des Handelsgerichts nicht in eine Klage auf Erfüllung umgedeutet werden könne, prüfte es dennoch, ob ein Erfüllungsanspruch bestehe. Es lehnte aber für die 21 Transaktionen eventuell die Klage mit der Begründung ab, die Bank trage zwar grundsätzlich die Beweislast für die Weisungen, aber die Parteien hätten in der Banklagernd-Vereinbarung vom 26. Februar 2007 gültig eine Zustell- und Genehmigungsfiktion vereinbart und eine rechtsmissbräuchliche Berufung der Bank darauf liege nicht vor, weshalb den Kunden die Beweislast für das tatsächliche Fehlen von Anweisungen treffe, wofür ihm der Beweis nicht gelinge. C. C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Kläger die Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Juni 2019 aufzuheben und sein Rechtsbegehren auf Zahlung von EUR 2'778'302.36 nebst 5 % Zins seit dem jeweiligen Überweisungsdatum sei gutzuheissen, eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und Durchführung eines Beweisverfahrens zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer legt dar, worum es seiner Ansicht nach geht, fasst den Sachverhalt zusammen und stellt in "Vorbemerkungen" zu den Rügen den Prozessablauf aus seiner Sicht dar. Konkret rügt er, die Vorinstanz habe bei der Ablehnung der missbräuchlichen Berufung auf die Genehmigungsfiktion den Sachverhalt willkürlich festgestellt und habe ihm das rechtliche Gehör verweigert und seinen Anspruch auf Beweis verletzt. Ausserdem rügt er, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt mit dem Schluss, er habe nicht beweisen können, dass er die umstrittenen Transaktionen nicht selbst angewiesen habe. Die Beschwerdegegnerin beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sei diese abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Verfügung vom 19. September 2019 wurde das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung abgewiesen. C.b. Der Beschwerdeführer hat am 3. Oktober 2019 das Urteil des Obergerichts des Kantons Genf vom 6. September 2019 eingereicht, mit dem die Verurteilung des Kundenberaters C._ wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung im Wesentlichen bestätigt und dem Kunden als Geschädigtem Schadenersatz zugesprochen wird. Ausserdem hat er unaufgefordert repliziert.