Sachverhalt: A. Am 18. Oktober 2013 stellte die B._ AG bei der Stadt Schaffhausen ein Baugesuch zum Abbruch eines Wohn- und Betriebsgebäudes und zum Neubau einer Gewerbebaute mit 61 Business-Apartments sowie einer Autoeinstellhalle für 43 Personenwagen mit Lifterschliessung an deren Stelle. Am 7. Januar 2014 beantragte der Stadtrat Schaffhausen beim Baudepartement des Kantons Schaffhausen, das Bauvorhaben sei unter Bedingungen und Auflagen zu bewilligen. Mit Verfügung vom 28. Januar 2014 erteilte das Planungs- und Naturschutzamt des Kantons Schaffhausen, Bauinspektorat, die Baubewilligung, wobei die Bedingungen und Auflagen gemäss Antrag des Stadtrats einen integrierenden Bestandteil der Baubewilligung bildeten. Den hiegegen erhobenen Rekurs der A._ AG wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen mit Beschluss vom 21. Oktober 2014 ab. Die Baubewilligung wurde mit der Bedingung ergänzt, dass insgesamt zwölf Parkplätze im Freien zu erstellen seien. Ausnahmsweise könne diese Parkplatzpflicht auf einem nahe gelegenen anderen Grundstück im Freien erfüllt werden. Die Kosten des Verfahrens von Fr. 3'000.-- wurden je zur Hälfte der A._ AG und der B._ AG auferlegt. Es wurden keine Parteientschädigungen zugesprochen. Diesen Regierungsratsbeschluss focht die A._ AG mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 11. November 2014 beim Obergericht des Kantons Schaffhausen an mit den Anträgen, der angefochtene Beschluss und die Baubewilligung vom 28. Januar 2014 seien aufzuheben, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin. Mit Entscheid vom 28. Juni 2016 hiess das Obergericht die Beschwerde gut und hob die Baubewilligung des Planungs- und Naturschutzamts vom 28. Januar 2014 sowie den Beschluss des Regierungsrats vom 21. Oktober 2014 auf. Die Kosten des Rekursverfahrens und jene des Beschwerdeverfahrens auferlegte es den Parteien je zur Hälfte. Parteientschädigungen sprach es keine zu. B. Mit Eingabe vom 31. August 2016 führt die B._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids des Obergerichts vom 28. Juni 2016 und die Bestätigung des Beschlusses des Regierungsrats vom 21. Oktober 2014 bzw. der Baubewilligung des Planungs- und Naturschutzamts vom 28. Januar 2014. Das Obergericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Stadtrat und der Regierungsrat beantragen in ihren Vernehmlassungen die Beschwerdegutheissung. Die A._ AG stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Die Beschwerdeführerin hat auf das Einreichen einer weiteren Stellungnahme verzichtet.