Sachverhalt: A. Am 12. Dezember 2018 erhob A._ beim Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden Beschwerde gegen einen Rekursentscheid des kantonalen Departements Bau und Volkswirtschaft vom 14. November 2018. Nach Abschluss des Schriftenwechsels informierte der Obergerichtspräsident die Parteien mit Schreiben vom 17. April 2019 über die voraussichtliche Besetzung für die Beratung. Er wies darauf hin, dass der vorgesehene Gerichtsschreiber Daniel Hofmann bis zum 30. September 2017 Leiter des Rechtsdienstes des erwähnten Departements gewesen sei und den Schriftenwechsel im fraglichen Rekursverfahren eröffnet habe. Er habe jedoch weder am Augenschein des Departements teilgenommen noch am Rekursentscheid mitgewirkt, weshalb nach Auffassung der Gerichtsleitung kein Ausstandsgrund vorliege und ohne Gegenbericht davon ausgegangen werde, gegen seine Mitwirkung bestünden keine Einwände. Mit Schreiben vom 29. April 2019 teilte A._ dem Obergericht mit, er sei mit der Mitwirkung von Daniel Hofmann nicht einverstanden, da dieser mit der Eröffnung des Rekursverfahrens befasst gewesen sei, und ersuche um Einsetzung eines anderen Gerichtsschreibers. Mit Eingabe vom 10. Mai 2019 hielt er an seinem Ausstandsbegehren fest, nachdem Daniel Hofmann am 2. Mai 2019 abgelehnt hatte, in den Ausstand zu treten. In der Folge wurde das vor Obergericht hängige Beschwerdeverfahren (Verfahrens-Nr. O4V 18 35) sistiert und ein separates Ausstandsverfahren durchgeführt. Mit Beschluss vom 4. Juli 2019 (begründet versandt am 5. September 2019) wies das Obergericht das Ausstandsbegehren ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Oktober 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und festzustellen, dass Daniel Hofmann im Beschwerdeverfahren Nr. O4V 18 35 in den Ausstand zu treten habe und ein anderer Gerichtsschreiber einzusetzen sei. Der Beschwerde sei im Weiteren die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Daniel Hofmann hat keine Stellungnahme eingereicht. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2019 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.