Sachverhalt: A. A.C._ (geb. 1955) und seine Ehefrau B.C._ (geb. 1965), kosovarische Staatsangehörige, erhielten am 10. Oktober 1991 bzw. am 24. Mai 1993 je eine Aufenthaltsbewilligung. Diese wurden bis 2014 jeweils verlängert. Die heute erwachsenen Kinder des Ehepaars (geb. 1985, 1986, 1988 und 1996) verfügen ebenfalls über die Aufenthaltsbewilligung. Seit September 1996 mussten die Eheleute C._ über weite Strecken von der Sozialhilfe unterstützt werden. Am 19. April 2012 belief sich die Summe der Beiträge auf knapp Fr. 310'000.--. Mit Verfügungen vom 25. April 2012 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligungen und sprach wegen des Sozialhilfebezugs je eine ausländerrechtliche Verwarnung aus. Am 2. Mai 2013 belief sich die Summe der Sozialhilfebeiträge auf Fr. 375'000.--. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verlängerte die Aufenthaltsbewilligungen am 28. Oktober 2013 um ein weiteres Jahr und sprach wiederum je eine Verwarnung aus. B. Nachdem die Sozialhilfebeiträge am 12. März 2015 den Betrag von Fr. 440'000.-- erreicht hatten, wies das Migrationsamt am 24. März 2015 die Gesuche um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies die Eheleute C._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 29. August 2017, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2017). C. A.C._ und B.C._ erheben am 29. Januar 2018 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihre Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern. Eventuell sei von der Wegweisung abzusehen; subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und das Staatssekretariat für Migration haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 31. Januar 2018 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.