Sachverhalt: A. A.a. Auf Antrag der B._ Ltd. erliess das Bezirksgericht Luzern am 30. November 2015 einen Arrestbefehl gegen A._ für eine Forderungssumme von Fr. 2'946'362.15 (= US-Dollar 2'882'655.44) nebst 5 % Zins seit 1. Oktober 2015. Gestützt darauf verarrestierte das Betreibungsamt Luzern die Grundstücke Nrn. xxx und yyy, Grundbuch U._ sowie sämtliche Vermögenswerte von A._ bei der Bank C._ AG. A.b. Am 4. Januar 2016 erhob A._ Einsprache gegen den Arrestbefehl. In der Einsprache hatten seine Rechtsvertreter geltend gemacht, für die Verfassung einer Einsprache bedürfe es einer umfassenden Instruktion. Diese habe jedoch noch nicht erfolgen können, da sich A._ zurzeit in Russland in Untersuchungshaft befinde. Die näheren Umstände seien nicht bekannt. Bekannt sei lediglich, dass die Untersuchungshaft mindestens noch bis Ende Februar 2016 andauern werde. Die Einsprache enthalte daher lediglich eine provisorische Begründung. Gestützt auf diese Ausführungen gewährte das Bezirksgericht A._ eine Nachfrist bis 26. Januar 2016 zur Ergänzung der Einsprache, die in der Folge mehrmals antragsgemäss verlängert wurde, nämlich zunächst bis 11. März 2016, dann bis 15. Juli 2016 und später noch einmal bis 2. September 2016. Einem weiteren Fristerstreckungsgesuch vom 2. September 2016, mit welchem A._ die Erstreckung der Frist bis 11. November 2016 verlangte, entsprach das Bezirksgericht teilweise, indem es die Frist zur Ergänzung der Begründung der Einsprache "letztmals" bis 14. Oktober 2016 erstreckte. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2016 ersuchten die Rechtsvertreter von A._ schliesslich um Sistierung des Verfahrens sowie Abnahme der auf den 14. Oktober 2016 angesetzten Frist. Das Bezirksgericht wies mit verfahrensleitender Verfügung vom 15. November 2016 das Gesuch um Sistierung des Einspracheverfahrens ab und gewährte A._ eine letzte, nicht erstreckbare Nachfrist bis 28. November 2016 um die Begründung der Einsprache vom 4. Januar 2016 zu ergänzen. Ein erneutes Sistierungsbegehren vom 28. November 2016 wurde mit verfahrensleitender Verfügung vom 29. November 2016 unter Verweis auf die zu diesem Thema bereits geführte Korrespondenz abgewiesen. A.c. Mit Entscheid vom 12. Januar 2017 wies das Bezirksgericht die Einsprache gegen den Arrestbefehl vom 30. November 2015 ab und auferlegte A._ die Prozesskosten. B. B.a. Mit Beschwerde vom 26. Januar 2017 beantragte A._ dem Kantonsgericht Luzern die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids sowie des Arrestbefehls vom 30. November 2015 und dessen Vollzugs; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Weiter beantragte er, die Vollstreckung des angefochtenen Entscheids sei bis zur rechtskräftigen Erledigung der Beschwerde aufzuschieben und der Aufschub sei dem Rechtsöffnungsrichter am Bezirksgericht Luzern anzuzeigen. B.b. Mit Verfügung vom 7. März 2017 wurde das Begehren um aufschiebende Wirkung abgewiesen. B.c. Mit Entscheid vom 31. Mai 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe seiner Rechtsvertreter vom 17. Juli 2017 ist A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt mit dem Antrag, der Entscheid vom 31. Mai 2017 sei aufzuheben und der Arrestbefehl des Bezirksgerichts Luzern vom 27. November 2015 sowie dessen Vollzug seien umgehend aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur neuerlichen Entscheidung an das Kantonsgericht Luzern und subeventuell an das Bezirksgericht Luzern zurückzuweisen. Ausserdem beantragt er die aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 19. Juli 2017 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.