Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führte ein Strafverfahren gegen A._ wegen des Verdachts des Landfriedensbruchs, der Gewalt und Drohung gegen Beamte sowie der Sachbeschädigung. Am 26. April 2016 nahm ihn die Polizei fest. Gleichentags gab ihm die Staatsanwaltschaft von der Pikettliste Rechtsanwalt Christian Stöbi für die polizeiliche Befragung vom folgenden Tag als Anwalt der ersten Stunde bei. Am 10. Mai 2016 bestellte die Staatsanwaltschaft Rechtsanwalt Stöbi auf dessen Antrag hin zum amtlichen Verteidiger. Am 13. Mai 2016 ersuchte Advokat Andreas Noll um Einsetzung als amtlicher Verteidiger. Mit Verfügung vom 18. Mai 2016 wies die Staatsanwaltschaft das Gesuch ab, da A._ nach Auskunft von Rechtsanwalt Stöbi weiterhin durch diesen vertreten werden wolle. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde schrieb die Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 24. Juni 2016 als gegenstandslos geworden ab, da die Staatsanwaltschaft ihr Strafverfahren inzwischen an den Kanton Basel-Landschaft abgetreten hatte, wo bereits ein anderes Verfahren gegen A._ hängig war, in welchem dieser durch Advokat Noll amtlich verteidigt wurde. B. Mit Schreiben vom 24. Januar 2017 an die Staatsanwaltschaft beantragte Advokat Noll die Entschädigung seines Aufwandes im Verfahren des Kantons Basel-Stadt seit dem 13. Mai 2016 bis zum Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin vom 24. Juni 2016. Er verlangte die Überweisung eines Betrags von insgesamt Fr. 2'855.70. Mit Verfügung vom 30. Januar 2017 wies die Staatsanwaltschaft den Antrag ab. Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies die Appellationsgerichtspräsidentin am 30. August 2019 ab. Sie kam zum Schluss, Advokat Noll sei im Verfahren des Kantons Basel-Stadt zu Recht nicht als amtlicher Verteidiger eingesetzt worden. Damit sei sein insoweit gemachter Aufwand nicht vom Staat zu entschädigen. C. A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin vom 30. August 2019 aufzuheben und die Sache an diese zur Festsetzung des amtlichen Verteidigerhonorars zurückzuweisen. D. Die Appellationsgerichtspräsidentin hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Sie beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.