Sachverhalt: A. A.a. Mit Gesuch vom 24. April 2017 beantragte die B._ SA dem Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts Zürich, die Liegenschaft Grundbuch U._ Blatt www, Kataster-Nr. xxx, C._strasse yyy + zzz, einschliesslich sämtlicher Miet- und Pachtzinse aus diesem Grundstück mit Arrest zu belegen. Eigentümer des Grundstücks ist A._, der auf den Philippinen wohnt. Die B._ SA beruft sich auf den Arrestgrund des ausländischen Wohnsitzes des Arrestschuldners (Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG). Mit dem Arrest will sie sich die Vollstreckung einer Forderung von insgesamt Fr. 7'235'143.-- (entsprechend 3'561'452.10 Euro und 171'960'310.22 Philippinische Pesos) nebst Zinsen und Kosten sichern. Die Arrestforderung betrifft Ansprüche aus einem "Agreement of Joint Liability/Acknowledgement of Debt" vom 14. Dezember 2016. Die B._ SA macht geltend, sie habe sich mit dieser Vereinbarung bei A._ persönlich für Darlehen absichern wollen, die sie der D._ gewährt habe und deren Mehrheitsaktionär und Verwaltungsratspräsident (Chairman) A._ sei. A.b. Mit Urteil vom 26. April 2017 hiess das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts das Arrestgesuch abgesehen von einem Teil der geltend gemachten (Verzugs-) Zinsen gut und erliess einen entsprechenden Arrestbefehl. Dieser wurde vom zuständigen Betreibungsamt vollzogen und die Arresturkunde wurde A._ am 31. Mai 2017 zugestellt. B. Mit Eingabe vom 26. Mai 2017 erhob A._ beim Bezirksgericht Einsprache gegen den Arrestbefehl. Zugleich beantragte er, die B._ SA zur Sicherstellung der Arrestsumme zu verpflichten. Mit Urteil vom 17. April 2018 wies das Bezirksgericht sowohl die Einsprache als auch den Antrag um Sicherstellung ab. A._ erhob darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte, den Einspracheentscheid des Bezirksgerichts aufzuheben und das Arrestbewilligungsgesuch der B._ SA abzuweisen. Dieses wies das Rechtsmittel ab. Das Urteil vom 1. Juni 2018 wurde A._ am 4. Juni 2018 zugestellt. C. Mit Beschwerde vom 4. Juli 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts "vollumfänglich aufzuheben". Am 5. Juli 2018 (Datum der Postaufgabe) reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine neue Fassung seiner Beschwerde vom 4. Juli 2018 nach. Eine weitere Eingabe erfolgte am 28. August 2018. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.