Sachverhalt: A. Die B._ Ltd. (Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._ im Kanton Bern. Die Firma A._ (Beschwerdeführerin) ist eine "Partnership Firm" nach indischem Recht mit Sitz in V._. Beide Gesellschaften sind im Bereich der Zeitmessung und Resultatermittlung/-verarbeitung bei Sportwettkämpfen tätig. Vom 3. bis am 14. Oktober 2010 fanden in Delhi die Commonwealth Games statt. Die B._ Ltd. sorgte bei diesem Anlass für die Zeitmessung und Resultatverarbeitung. Gemäss "Letter Agreement" vom 22. Oktober 2009 hatte die Firma A._ sie bei der Erfüllung ihrer Aufgaben zu unterstützen, insbesondere durch Personal, Logistik und Infrastruktur. Vor Eröffnung der Spiele leistete die B._ Ltd. der Firma A._ Zahlungen von insgesamt Fr. 5'215'625.--. Später entstand Streit über die Vergütung der Firma A._. B. B.a. Am 29. August 2012 erhob die B._ Ltd. beim Handelsgericht des Kantons Bern Klage gegen die Firma A._ sowie C._ und D._. Sie begehrte, die Beklagten seien unter Strafandrohung zu verpflichten, "über ihre Geschäftsführung im Zusammenhang mit dem Projekt Commonwealth Games 2010 in Delhi umfassend Rechenschaft abzulegen" (Klagebegehren 1 und 2), näher umschrieben in den Ziffern 1.1 und 1.2. Weiter seien die Beklagten solidarisch zu verpflichten, "einen 30 000 Franken übersteigenden Betrag" zuzüglich Zins zu bezahlen (Klagebegehren 3). Die Klage wurde den Beklagten zur Beantwortung zugestellt. Diese machten diverse Eingaben, reichten aber keine in einer Amtssprache verfasste Klageantwort ein, auch nicht innert vom Handelsgericht angesetzter Nachfrist. Am 14. Juni 2016 fand die Hauptverhandlung statt. Die Beklagten erschienen nicht und wurden vom Gericht säumig erklärt. Das Handelsgericht beschränkte das Verfahren an der Verhandlung "auf den ersten Teil der Stufenklage (Rechenschaftsablage) ". Mit Entscheid vom selben Tag verurteilte es die Firma A._ im Sinne der Klage zur Rechenschaftsablegung innert drei Monaten. Auf die Klage gegen C._ und D._ trat es nicht ein. Dieser Entscheid wurde den Beklagten am 22. Dezember 2016 rechtshilfeweise zugestellt und blieb unangefochten. B.b. Am 20. März 2017 gingen dem Handelsgericht von Seiten der Firma A._ umfangreiche Dokumente zu (Datum der Eingabe: 6. März 2017), später ein Begleitschreiben dazu datiert vom 20. März 2017. In weiteren Eingaben präzisierte die Firma A._, dass sie keine Widerklage erhoben habe, und bat das Handelsgericht, "die in zwei Kartons zugeschickten Dokumente im Namen der Gerechtigkeit zu akzeptieren". Das Handelsgericht gab der B._ Ltd. daraufhin Gelegenheit, sich zu den Eingaben der Firma A._ zu äussern und ihre Forderungsklage zu beziffern. Mit Eingabe vom 29. Januar 2018 bezifferte die B._ Ltd. ihr Rechtsbegehren auf Fr. 1'501'575.79 zuzüglich Zins. Am 12. Februar 2018 teilte Rechtsanwalt James Bouzaglo dem Handelsgericht mit, dass die Firma A._ Zustellungsdomizil bei ihm auf seiner Kanzlei in Genf verzeichne. Nachdem es ein (erneutes) Sistierungsgesuch der Firma A._ abgewiesen hatte, lud das Handelsgericht die Parteien auf den 29. Oktober 2018 zu einer Fortsetzungsverhandlung vor, mit Pflicht zum persönlichen Erscheinen. Mit Eingabe vom 29. September 2018 beanstandete die Firma A._, ihr sei bislang im Verfahren nicht die Gelegenheit eingeräumt worden, auf die Klage zu antworten. Das Gericht verfüge damit nicht über alle Elemente, um über den Fall zu entscheiden. Das Handelsgericht hielt an der Vorladung fest. An der Fortsetzungsverhandlung vom 29. Oktober 2018 wurde je eine Parteibefragung durchgeführt. Weitere Beweisanträge der Firma A._ wurden abgewiesen. Mit Urteil vom selben Tag verurteilte das Handelsgericht die Firma A._, der B._ Ltd. Fr. 1'501'575.79 zuzüglich Zins zu bezahlen. "Soweit weitergehend" wies es die Klage ab. C. Die Firma A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 29. Oktober 2018 sei aufzuheben und die Forderungsklage der B._ Ltd. sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersuchte die Firma A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Verfügung vom 16. Januar 2019 entschied das Bundesgericht, dass das Verfahren in deutscher Sprache geführt wird. Das Gesuch der Firma A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wies es ab. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung, unter Verweis auf die Begründung des angefochtenen Entscheids. Die B._ Ltd. stellte ein Gesuch um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung, welches das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 15. Mai 2019 guthiess. Die Firma A._ leistete in der Folge die verlangte Sicherheit in der Höhe von Fr. 18'000.--. Die B._ Ltd. erstattete daraufhin Beschwerdeantwort mit dem Antrag in der Sache, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.