Sachverhalt: A. A.A._ und B.A._ haben 1981 geheiratet. Sie bekamen in der Folge drei Kinder. B. B.a. Am 26. November 2009 reichte B.A._ die Scheidungsklage ein. Bis zu seinem Wechsel ans Kantonsgericht am 1. Oktober 2012 war Dr. Urs Tschümperlin für das Scheidungsverfahren zuständig. In dieser Zeit zog A.A._ sein erstes Abänderungsgesuch zum Unterhalt aus dem Eheschutzverfahren zurück. B.b. Im Zusammenhang mit der Scheidung kam es zu diversen Verfahren, in denen das Kantonsgericht Schwyz in unterschiedlicher Zusammensetzung Entscheide fällte, bei denen A.A._ unterlag. Diese Entscheide betrafen eine Rechtsverzögerungsbeschwerde von A.A._, sein zweites Abänderungsbegehren zum Unterhalt, seine Beschwerde gegen die Abweisung der Arresteinsprache im Hinblick auf die Vollstreckung der Unterhaltsbeiträge und sein Ausstandsbegehren im Strafverfahren wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten. Das Bundesgericht wies die im Zusammenhang mit dem zweiten Abänderungsbegehren erhobene Beschwerde ab, weil A.A._ ausschliesslich veränderte Verhältnisse geltend gemacht hat, die sich vor dem ersten, zurückgezogenen Abänderungsbegehren zugetragen hatten (Urteil 5A_274/2015 vom 25. August 2015 E. 3.3 f.). B.c. Am 19. Dezember 2016 sprach das Bezirksgericht Schwyz die Scheidung aus und regelte die Nebenfolgen. B.d. Dagegen erhob A.A._ am 1. Februar 2017 Berufung, in der er auch ein Ausstandsbegehren stellte und zwar gegen das Kantonsgericht Schwyz, insbesondere gegen die Kantonsrichterinnen und Kantonsrichter Tschümperlin, Heizmann, Pérez-Steiner, Züger, Bürgler-Trutmann, Schuler und Christen. Weiter beantragte er die Verfahrensabtretung an einen anderen, nicht benachbarten Kanton. B.e. Mit Beschluss vom 15. Mai 2017 wies das Kantonsgericht Schwyz das Ausstandsbegehren ab, soweit es darauf eintrat, und erklärte es bezüglich Kantonsgerichtspräsident Tschümperlin als durch Nichtbestreiten erledigt. An diesem Beschluss wirkten mit die Kantonsrichter Meister, Fedrizzi und Zurfluh, die Kantonsrichterinnen Räber und Krienbühl sowie die Gerichtsschreiberin Spörri-Kessler. C. C.a. Dagegen erhob A.A._ (Beschwerdeführer) am 26. Juni 2017 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Begehren um Aufhebung des Beschlusses und Anordnung des Ausstands gegen die gesamte Vorinstanz, insbesondere aller Mitglieder der Vorinstanz, im Speziellen gegen die bereits in der Berufung erwähnten Beschwerdegegner 1-6 (ohne den Kantonsgerichtspräsidenten), neu aber auch gegen die Gerichtspersonen, die am angefochtenen Beschluss mitgewirkt hatten (Beschwerdegegner 7-12). Ferner beantragte er erneut die Abtretung des Verfahrens. In prozessualer Hinsicht verlangte er, die Vorinstanz sei anzuweisen, zwei laufende Verfahren (Scheidung und Arrest) zu sistieren. Für den Fall des Unterliegens beantragte er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. C.b. Am 7. Juni 2017 wies die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Beschwerde des Beschwerdeführers betreffend einen Ausstandsentscheid der Vorinstanz vom 7. Februar 2017 im Strafverfahren gegen ihn (Bst. B.b) ab, soweit es darauf eintrat. Damit bestätigte das Bundesgericht unter anderem die Rechtmässigkeit der Mitwirkung des Beschwerdegegners 3 am Ausstandsentscheid, der ihn selber betrifft. Ferner wies es das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen fehlender Prozessarmut ab (Urteil 1B_97/2017 vom 7. Juni 2017). C.c. Mit Verfügung vom 28. Juni 2017 wies der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung den Antrag auf Anweisung zur Verfahrenssistierung ab und verzichtete auf die Einholung eines Kostenvorschusses. C.d. Es wurden weder die vorinstanzlichen Akten zum Berufungsverfahren oder Ausstandsverfahren beigezogen noch eine Vernehmlassung eingeholt.