Sachverhalt: A. C._ und A._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des Sohns B._ (geb. xxx 2002). Mit Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 verpflichtete sich der Vater zur Bezahlung von monatlich vorschüssigen Kindesunterhaltsbeiträgen von Fr. 700.-- von der Geburt bis zum vollendeten 6. Altersjahr des Kindes, von Fr. 850.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr und von Fr. 1'000.-- bis zur vollen Erwerbsfähigkeit bzw. bis zur Mündigkeit, zuzüglich Kinderzulagen, Sozialversicherungsrenten und ähnlicher für den Unterhalt des Kindes bestimmter Leistungen. Der Unterhaltsvertrag wurde am 6. Januar 2003 von der Vormundschaftsbehörde Suhr genehmigt. B. B.a. Nach erfolgloser Schlichtung reichte A._ am 5. September 2017 Klage beim Bezirksgericht Baden ein, auf die das Gericht am 28. September 2017 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht eintrat. Darauf gelangte A._ am 30. Oktober 2017 an das Bezirksgericht Aarau und stellte in der Sache die folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei festzustellen, dass der zwischen den Parteien abgeschlossene Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 nichtig ist. 2. Eventualiter seien die gemäss Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 unter Ziffer 2 vorgesehenen Unterhaltsbeiträge an [B._] angemessen zu reduzieren." Anlässlich der Hauptverhandlung vom 31. Oktober 2018 änderte A._ sein Eventualbegehren dahingehend ab, dass er seinem Sohn seit dem 25. März 2017, dem Zeitpunkt der Einreichung des Schlichtungsgesuchs, keinen Unterhalt mehr schulde. B.b. Am 3. Dezember 2018 wies das Gerichtspräsidium Aarau die Klage in der Hauptsache ab. In Gutheissung des Eventualbegehrens änderte es den Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 dahingehend, dass es die Unterhaltspflicht des Vaters gegenüber seinem Sohn aufhob. B.c. Gegen diesen Entscheid wandten sich beide Parteien an das Obergericht des Kantons Aarau. In seiner Berufung vom 17. Juni 2019 wiederholte A._ seine vor erster Instanz gestellten Rechtsbegehren, wobei die Unterhaltspflicht bei Gutheissung des Eventualantrags neu ab dem 15. März 2017 entfallen sollte. B._ verlangte in seiner Berufung vom 18. Juni 2018 die Aufhebung der Ziffern 2 bis 4 des Entscheids des Bezirksgerichts und die vollumfängliche Abweisung der Klage auf Abänderung des Unterhaltsvertrags. B.d. Mit Urteil vom 28. April 2020 wies das Obergericht die Berufung von A._ ab, soweit es auf diese eintrat. Die Berufung von B._ hiess es teilweise gut, indem es A._ in Abänderung der Ziffer 2 des Unterhaltsvertrags vom 23. Dezember 2002 dazu verpflichtete, an den Unterhalt seines Sohnes monatlich vorschüssige Beiträge von Fr. 50.-- zu bezahlen. Am 23. Juni 2020 berichtigte das Obergericht sein Urteil in einem untergeordneten Punkt. C. Mit Beschwerde vom 22. Juni 2020 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und den Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 dahingehend abzuändern, dass der neu auf Fr. 50.-- festgesetzte Unterhalt ab dem 15. März 2017 geschuldet ist. Zudem stellt der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor dem Bundesgericht. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.