Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 28. November 2014 schied das Bezirksgericht Bülach die Ehe von A.A._ (geb. 1980) und B.A._ (geb. 1979) und genehmigte eine Vereinbarung der Parteien über die Nebenfolgen der Scheidung. Nebst anderem wurde der Sohn C.A._ (geb. 2012) unter der gemeinsamen elterlichen Sorge der Parteien belassen und unter die alleinige Obhut der Mutter gestellt. Der Vater erhielt ein Besuchsrecht und wurde zu Zahlungen an den Unterhalt von C.A._ sowie von A.A._ verpflichtet. B. Mit Eingabe vom 9. September 2015 an das Bezirksgericht verlangte B.A._ die Abänderung des Scheidungsurteils. Das Bezirksgericht genehmigte mit Verfügung vom 1. Februar 2016 zunächst eine von den Parteien getroffene Vereinbarung betreffend vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Verfahrens und fällte schliesslich am 22. Dezember 2016 seinen Abänderungsentscheid. Soweit hier von Belang, übertrug es die Obhut über C.A._ beiden Parteien mit wechselnder Betreuung, mit Wohnsitz des Sohnes beim Vater, und regelte die Betreuungsanteile der Eltern. Kindesunterhaltsbeiträge sprach es keine zu, verpflichtete aber B.A._ zur Leistung von nachehelichem Unterhalt. Es auferlegte A.A._ die Prozesskosten, unter Vorbehalt der ihr gewährten unentgeltlichen Rechtspflege. C. Beide Parteien erhoben gegen dieses Urteil Berufung, A.A._ zudem Anschlussberufung, an das Obergericht des Kantons Zürich. Letzteres wies am 10. November 2017 die Berufung und Anschlussberufung von A.A._ ab, soweit es darauf eintrat. In teilweiser Gutheissung der Berufung von B.A._ regelte es unter anderem die Betreuungsanteile neu und verpflichtete den Vater zur Bezahlung von Kindesunterhalt für die Monate Juni, Juli und August 2016 ( recte 2017 gemäss Urteilsberichtigung vom 11. Dezember 2017) und die Mutter für die Zeit ab Juli 2022. Zudem verpflichtete es B.A._ zur Leistung von nachehelichem Unterhalt. Es auferlegte A.A._ die Prozesskosten und wies ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Der Berufungsentscheid wurde A.A._ am 17. November 2017 zugestellt, die Urteilsberichtigung am 12. Dezember 2017. D. Mit Beschwerde vom 18. Dezember 2017 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen die Aufhebung der obergerichtlichen Urteile vom 10. November 2017 und 11. Dezember 2017 sowie die Abweisung der Abänderungsklage, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid. Für das bundesgerichtliche Verfahren stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Ihr Gesuch um aufschiebende Wirkung hiess das Bundesgericht mit Verfügung vom 25. Januar 2018 mit Bezug auf die erst- und zweitinstanzlichen Parteientschädigungen sowie die bis Dezember 2017 geschuldeten Unterhaltsbeiträge gut. Im Übrigen wies es das Gesuch ab. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, jedoch keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt. E. Die Beschwerdeführerin prozessiert vor Bundesgericht im Verfahren 5A_272/2018 auch gegen eine Verfügung des Obergerichts vom 19. Februar 2018 betreffend Entschädigung des Rechtsvertreters des Beschwerdegegners infolge Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung.