Sachverhalt: A. Mit zwei Tarifverträgen vom 27. März und 19. April 2012 regelten die Klinik A._ und verschiedene Krankenversicherer, u.a. die Assura Kranken- und Unfallversicherung sowie die SUPRA Krankenversicherung, die Vergütung der akut-stationären Behandlung von Patienten in der Allgemeinen Abteilung gemäss KVG bzw. die Leistungsabgeltung nach SwissDRG für akut-stationäre Spitalbehandlungen gemäss KVG für die Zeit ab 1. Januar 2012. B. Am 11. November 2014 erhoben mehrere Krankenversicherer, vertreten durch die tarifsuisse ag, Klage gegen die Klinik A._ mit dem hauptsächlichen Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihnen gestützt auf das Beweisergebnis gemäss Editionsantrag einen angemessenen, noch zu präzisierenden Betrag von insgesamt mindestens Fr. 180'000.- zurückzubezahlen. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2016 trat das Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Schiedsgericht nach KVG, auf die Klagen von fünf Krankenversicherern unter Kostenfolge nicht ein (Dispositiv-Ziffern 1 und 4); die Klagen von weiteren vierzehn Krankenversicherern schrieb es infolge Rückzugs als erledigt ab (Dispositiv-Ziffer 2); die Klagen der übrigen Krankenversicherer wies es ab (Dispositiv-Ziffer 3), unter Auferlegung einer Gerichtsgebühr und ohne eine Parteientschädigung zuzusprechen (Dispositiv-Ziffern 4 und 5). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen die Krankenversicherer, deren Klagen abgewiesen wurden, u.a. die Assura-Basis SA, Dispositiv-Ziffer 3-5 des Entscheids vom 27. Oktober 2016 seien aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Entscheidung an das kantonale Schiedsgericht zurückzuweisen. Die Klinik A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Gesundheit (BAG) im Sinne seiner Erwägungen um deren Gutheissung.