Sachverhalt: A. Die A._ AG (Klägerin, Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) mit Sitz in U._ reichte am 27. März 2019 beim Obergericht des Kantons Obwalden Klage betreffend Abschluss eines Service-Vertrags gegen die B._ AG, V._, (Beklagte, Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin 2) ein. Dabei stellte sie auch ein Gesuch um (superprovisorische) Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Es wurden Verfahren unter den Nummern OG 19/011 und P 19/012 eröffnet. Mit Entscheid vom 29. März 2019 wies der Obergerichtspräsident I, Andreas Jenny (Gesuchsgegner, Beschwerdegegner 1), im Verfahren P 19/012 das Gesuch um superprovisorische Massnahmen ab. Mit Schreiben vom 17. April 2019 teilte die A._ AG mit, dass sie Zweifel an der Unvoreingenommenheit bzw. Neutralität des verfahrensführenden Obergerichtspräsidenten I habe und ersuchte um Auskunft zu einigen Fragen. Mit Schreiben vom 23. April 2019 beantwortete der Obergerichtspräsident I die gestellten Fragen. B. Mit Gesuch vom 29. April 2019 beantragte die A._ AG, dass der Obergerichtspräsident I in den Verfahren OG 19/011 und P 19/012 in den Ausstand zu treten habe. Mit Schreiben vom 7. Mai 2019 nahm der Obergerichtspräsident I Stellung zum Gesuch und hielt fest, dass aus seiner Sicht die Vorbringen der Gesuchstellerin das Vorliegen eines Ausstandsgrundes nicht zu belegen vermöchten und er deshalb bereit und verpflichtet sei, seine Amtspflichten in diesem Fall zu erfüllen. Ebenfalls am 7. Mai 2019 ging die Stellungnahme der B._ AG ein. Mit Entscheid vom 26. Juni 2019 wies das Obergericht des Kantons Obwalden das Ausstandsbegehren ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 26. Juni 2019 aufzuheben und es sei das Ausstandsgesuch vom 29. April 2019 gutzuheissen und der Beschwerdegegner 1 zu verpflichten, in den Verfahren zwischen der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin 2 in den Ausstand zu treten und sich künftig jeglicher Amtshandlungen zu enthalten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Am 9. September 2019 reichte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht eine weitere Eingabe ein. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet. D. Mit Verfügung vom 3. September 2019 wurde das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.