Sachverhalt: A. Das Amt für Justizvollzug des Kantons Schwyz zeigte X._ am 14. April 2015 an wegen Brandstiftung, weil er seine Zelle in Brand gesetzt hatte. Es erklärte, sich am Strafverfahren gegen ihn als Zivilkläger beteiligen zu wollen, und machte einen Schaden von ca. Fr. 7'000.-- geltend. Das kantonale Strafgericht sprach X._ am 17. März 2016 der versuchten Brandstiftung schuldig, bestrafte ihn mit 240 Stunden gemeinnütziger Arbeit und verpflichtete ihn, dem Amt für Justizvollzug Fr. 3'000.-- zu bezahlen. B. Auf Berufung der Staatsanwaltschaft und Anschlussberufung von X._ verneinte das Kantonsgericht Schwyz am 13. Dezember 2016 das Vorliegen einer Brandstiftung bzw. des Versuchs dazu und verurteilte X._ stattdessen wegen Sachbeschädigung zu 180 Stunden gemeinnütziger Arbeit. Die Zivilforderung des Amtes für Justizvollzug hiess es im Umfang von Fr. 3'000.-- gut und wies sie im Übrigen ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts vom 13. Dezember 2016 sei aufzuheben und das Verfahren gegen ihn wegen Sachbeschädigung mangels gültigen Strafantrags einzustellen. X._ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. D. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht Schwyz und das Amt für Justizvollzug verzichten auf eine Vernehmlassung.