Sachverhalt: A. A.a. A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist die Witwe von C._. Im Konkurs ihres Ehemannes wurde ihr gemäss Art. 260 SchKG die Forderung (zur Fortsetzung des Prozesses) abgetreten, die ihrem Ehemann im Konkurs über den Nachlass von Rechtsanwalt D._ gemäss Art. 260 SchKG abgetreten worden war. Es handelt sich um eine Forderung von Rechtsanwalt D._ bzw. dessen Konkursmasse gegen die B._ AG als Berufshaftpflichtversicherung (Berufshaftpflichtversicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin). A.b. C._ wurde im Februar 2009 von E._ beim Bezirksgericht U._ auf Bezahlung von insgesamt Fr. 205'000.-- verklagt. Er beauftragte Rechtsanwalt D._ mit der Wahrung seiner Interessen. Dieser reichte keine Klageantwort ein. Er hatte mehrmals um Fristverlängerungen ersucht, die alle gewährt wurden. Am 11. Mai 2009 stellte er schliesslich wegen eines gesundheitlichen Notfalls ein Gesuch um Gewährung einer zweitägigen Notfrist. Nachdem er auch diese Notfrist verstreichen liess, setzte ihm das Bezirksgericht U._ am 26. Mai 2009 eine peremptorische Frist nach der damaligen kantonalen Prozessordnung, die ebenfalls nicht eingehalten wurde. Das Bezirksgericht U._ hiess die Klage am 3. August 2009 vollumfänglich gut und verpflichtete C._ zur Zahlung von Fr. 205'000.-- (davon Fr. 115'000.-- in WIR-Geld) nebst Zins an den Kläger. Mit Beschluss vom 15. März 2010 wies das Bezirksgericht U._ ein von C._ eingereichtes Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erstattung der Klageantwort ab. Aus den Erwägungen dieses Entscheids ergibt sich, dass Rechtsanwalt D._ am 12. Mai 2009, vom 18.-28. Mai, vom 3.-11. Juni und vom 9.-10. Juli 2009 krankheitshalber hospitalisiert war, wobei ihm sowohl die Verfügung vom 26. Mai 2009 wie das Urteil vom 3. August 2009 zugestellt werden konnten. Rechtsmittel gegen die Verweigerung der Fristwiederherstellung an das Obergericht des Kantons Zürich, das Bundesgericht und den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte blieben erfolglos. B. B.a. Am 4. September 2013 gelangte der Ehemann der Klägerin unter Beilage der Klagebewilligung mit einer Teilklage über eine Forderung von Fr. 49'423.35 an das Bezirksgericht V._. Er beanspruchte von der Berufshaftpflicht-Versicherung des mittlerweile verstorbenen Rechtsanwalts D._ im Wesentlichen den Ersatz der Anwalts- und Gerichtskosten im Zusammenhang mit den Verfahren betreffend Fristwiederherstellung, mit der Abtretung der Massarechte und der vorprozessualen Vorbereitung der Klage, der Rechtsanwalt D._ sel. bzw. dessen Nachlassmasse als "Befreiungsanspruch" zustehe. Am 6. Oktober 2015 übernahm die Klägerin anstelle ihres Ehemanns den Prozess. Das Bezirksgericht V._ wies die Klage mit Urteil vom 11. Mai 2018 ab. Das Bezirksgericht ging davon aus, der versicherte Anspruch des Anwalts bestehe darin, dass ihn der Versicherer von berechtigten Schadenersatzforderungen befreie, indem er diese begleiche (sog. Befreiungsanspruch). Dies setze einerseits voraus, dass ein Schaden entstanden sei, für den der Anwalt hafte, anderseits aber auch, dass dafür Versicherungsdeckung bestehe. Wenn die Versicherung nach Art. 33 VVG grundsätzlich die gesamte versicherte Gefahr trage, so seien Deckungsausschlüsse durch klare vertragliche Beschränkungen zulässig; eine gesetzliche Haftungsbefreiung bzw. -reduktion sei überdies bei Absicht oder grober Fahrlässigkeit vorgesehen (Art. 14 VVG). Das Bezirksgericht begründete sodann, dass die gesetzliche Pflicht des Anwalts zum Abschluss einer Berufshaftpflicht-Versicherung (Art. 12 lit. f BGFA) angesichts deren Ausgestaltung der Ausschluss-Klausel in Ziff. 2 Abs. 10 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) nicht entgegensteht, wonach nur der genau bestimmte Schadensfall nicht gedeckt wird, dessen Eintritt vom Versicherungsnehmer mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erwarten war. Das Bezirksgericht gelangte zum Schluss, der Anwalt habe mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Schaden erwarten müssen, nachdem er trotz der Krankheit seinen Bürobetrieb nicht so organisierte, dass Fristen während seiner Abwesenheit gewahrt werden konnten bzw. nachdem er nicht mindestens seinen Mandanten über seinen Gesundheitszustand informierte, so dass dieser einen anderen Rechtsvertreter hätte bestellen können. B.b. Mit Urteil vom 12. April 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung der Klägerin ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts V._ vom 11. Mai 2018. Das Obergericht bestätigte insbesondere, dass die gesetzliche Pflicht zum Abschluss einer Berufshaftpflichtversicherung von Anwälten nicht so ausgestaltet ist, dass ein versicherungsrechtlicher Schutz des rechtssuchenden Publikums in allen Fällen gewährleistet ist. Eine Verletzung von Art. 12 lit. f BGFA verneinte das Gericht insbesondere auch in der Erwägung, dass die Ausschluss-Klausel der Beklagten nicht sämtliche Fälle von Fristversäumnissen umfasst. Das Argument der Klägerin, der Deckungsausschluss der Beklagten für Fristversäumnisse stehe in Widerspruch mit deren Werbung im Internet, erachtete es zudem als verspätet. Das Obergericht verwarf auch das Argument der Klägerin, die erste Instanz hätte ohne Kenntnis der eigentlichen Police (die nicht bei den Akten liege) nicht entscheiden dürfen, sondern aufgrund ihrer Fragepflicht die Police bei der Beklagten einfordern müssen. Schliesslich verwarf das Obergericht die Rügen der Verweigerung des rechtlichen Gehörs betreffend die angebliche Urteilsunfähigkeit des Rechtsanwalts in der Erwägung, es sei nicht klar, inwiefern diese den Ausgang des Verfahrens beeinflussen könnte; falls eine Ausnahmesituation dem Anwalt die Wahrung der objektiv gebotenen Sorgfalt nicht erlaube, müsse er geeignete organisatorische Massnahmen treffen, um die Wahrung der Interessen seiner Klienten zu gewährleisten. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Klägerin die Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr im Sinne eines Teilklageanspruchs unter Vorbehalt einer Nachklage den Betrag von Fr. 49'423.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 21. Dezember 2012 zu bezahlen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. Ausserdem verlangt sie als Verfahrensanträge die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, den Beizug von Akten, die Edition der auf Rechtsanwalt D._ lautenden Berufshaftpflicht-Police sowie die unentgeltliche Rechtspflege mitsamt Verbeiständung. Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen zur Sache wurden nicht eingeholt. D. Nachdem die Gegenpartei zum Gesuch um aufschiebende Wirkung keine Stellungnahme eingereicht und die Vorinstanz auf Vernehmlassung verzichtet hat, wurde die aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 20. Juni 2019 gewä hrt.