Sachverhalt: A. A.a. B._ (geb. 1987; Staatsangehörige der Dominikanischen Republik [DOM]; Beschwerdegegnerin 1) und A._ (geb. 1981; Staatsangehöriger der Schweiz; Beschwerdeführer) heirateten am 5. Dezember 2009 in der Dominikanischen Republik. Nachdem die schweizerischen Behörden die Ehe anerkannt hatten, lebte das Ehepaar zwischen dem 28. Oktober und dem 21. Dezember 2010 zusammen in der Schweiz. Am 21. Dezember 2010 reiste B._ zufolge Ablaufs ihres Aufenthaltstitels wieder in ihre Heimat. Dort gebar sie am 17. April 2011 die Tochter C._ (Beschwerdegegnerin 2). Im Januar 2012 besuchte A._ seine Ehefrau und die Tochter in der Dominikanischen Republik. Während dieses Aufenthalts anerkannte er die Vaterschaft über C._. Ab Februar 2012 lebte das Ehepaar A._ und B._ zusammen in der Schweiz. Die Tochter verblieb in der Dominikanischen Republik, da sie kein Einreisevisum für die Schweiz erhielt. Seit dem 30. September 2014 leben B._ und A._ wieder getrennt. A.b. Mit Klage vom 27. September 2013 beantragte A._ dem Bezirksgericht Affoltern, es sei festzustellen, dass er nicht der Vater von C._ sei. Mit Urteil vom 29. Dezember 2015 wies das Bezirksgericht die Klage ab. B. Gegen dieses Urteil reichte A._ beim Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, Berufung ein mit dem Antrag, es sei festzustellen, dass er nicht der Vater von C._ sei. Mit Urteil vom 5. September 2016 (eröffnet am 15. September 2016) wies das Obergericht die Klage ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Oktober 2016 ist A._ mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, es sei unter Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 5. September 2016 festzustellen, dass er nicht der Vater von C._ sei. Im Eventualstandpunkt beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung. Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.