Sachverhalt: A. A._ (geb. 1976) ist türkischer Staatsangehöriger. Er kam am 18. Oktober 1991 als Fünfzehnjähriger im Rahmen eines Familiennachzugs in die Schweiz. Von 1993 bis 2005 arbeitete er temporär als Hilfsarbeiter, Dachdecker sowie Lager- und Betriebsmitarbeiter; dabei handelte es sich zum Teil um vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) organisierte Einsätze in Betrieben einer sozialen Institution (2. Arbeitsmarkt). A._ wurde wiederholt straffällig. Seit 2005 lebt er von der Sozialhilfe. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt ermahnte und verwarnte A._ wiederholt und erneuerte seine Bewilligung teilweise nur provisorisch. B. Am 7. August 2009 weigerte sich das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern; wegen dessen damaligen gesundheitlichen Problemen kam es am 17. Dezember 2010 hierauf zurück. Da A._ weiterhin von der Sozialhilfe abhängig blieb, sich zusätzlich verschuldete und wiederum straffällig wurde, lehnte das Migrationsamt am 9. August 2016 ein weiteres Gesuch von A._ ab, seine Bewilligung zu erneuern. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 27. September 2019 und Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt [als Verwaltungsgericht] vom 24. Mai 2020). C. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) aufzuheben. Das Migrationsamt sei anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gegebenenfalls sei die Sache zur Ergänzung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Falle des Unterliegens sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A._ macht geltend, die aufenthaltsbeendende Massnahme sei unverhältnismässig und eine Rückkehr in die Türkei unzumutbar. Das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) und das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.