Sachverhalt: A. A.a. Die altrimo ag (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Appenzell. Sie wurde am 19. August 1993 unter der Firma Weldix AG ins Handelsregister des Kantons Appenzell Innerrhoden eingetragen und am 29. Dezember 2000 in altrimo ag umfirmiert. Sie bezweckt die Besorgung aller im Tätigkeitsbereich einer Treuhandgesellschaft liegenden Geschäfte und Funktionen und ist insbesondere auf dem Gebiet Treuhand, Revision, Immobilien und Finanzen tätig. Die atrimos immobilien gmbh (Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung mit Sitz in Oberuzwil. Sie wurde am 29. Oktober 2013 ins Handelsregister des Kantons St. Gallen eingetragen und bezweckt die Verwaltung, Vermietung und Vermittlung von Liegenschaften sowie die Erbringung sämtlicher Beratungsleistungen im Bereich von Immobilien und Bautreuhand. A.b. Nach Aussage der Klägerin wurde sie aufgrund eines Werbeinserats der Beklagten in der Ausgabe 2016 (August) des Magazins "BEST OF" der Kantone Appenzell Innerrhoden und Appenzell Ausserrhoden zum ersten Mal auf die Existenz der Beklagten aufmerksam. Mit Schreiben vom 13. Februar 2017 mahnten die Rechtsvertreter der Klägerin die Beklagte ab und forderten sie im Wesentlichen auf, innert einer Übergangsfrist bis am 31. Juli 2017 ihre Firma zu ändern, das Kennzeichen "atrimos", "atrimos immobilien" oder "Atrimos.Immobilien" nicht mehr im geschäftlichen Verkehr zu verwenden, den Domainnamen "atrimos-immobilien.ch" an die Klägerin zu übertragen sowie bis am 24. Februar 2017 eine entsprechende Bestätigungserklärung abzugeben. Am 17. Februar 2017 bestätigte die Beklagte den Eingang des Schreibens vom 13. Februar 2017 und gab an, sich innert der gesetzten Frist zu melden. Da eine Antwort in der Folge jedoch ausblieb, forderte die Klägerin die Beklagte mit Schreiben vom 18. April 2017 erneut auf, die von ihr gestellten Forderungen zu bestätigen, unter Vorbehalt der Einleitung weiterer Schritte im Falle des nicht rechtzeitigen Erklärungseingangs. Sie setzte der Beklagten eine Frist bis am 24. April 2017 an, die sie in der Folge bis am 1. Mai 2017 verlängerte. Mit Schreiben vom 3. Mai 2017 äusserte sich die Beklagte zu den von der Klägerin erhobenen Vorwürfen, bestritt die geltend gemachten Forderungen und teilte der Klägerin mit, ihren Marktauftritt nicht zu ändern. B. Am 18. Mai 2017 erhob die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen Klage mit den folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, ihre Firmenbezeichnung "atrimos immobilien gmbh" (UID-CHE-259.868.189) in der Weise abzuändern, dass der Bestandteil "atrimos" daraus entfernt wird. 2. Es sei der Beklagten zu verbieten, die Bezeichnung 'atrimos immobilien gmbh' als Firma bzw. den Firmenbestandteil 'atrimos' als Name zu gebrauchen. 3. Es sei der Beklagten weiter zu verbieten, den Domainnamen 'www.atrimos-immobilien.ch' oder einen Domainnamen mit dem Hauptbestandteil 'atrimos' für ihre Website zu gebrauchen, und die Beklagte sei zu verpflichten, innert 30 Tagen seit Rechtskraft des Urteils bei der zuständigen Registrierungsstelle sämtliche für die Übertragung des Domainnamens 'atrimos-immobilien.ch' auf die Klägerin erforderlichen Erklärungen abzugeben. 4. Es seien die Gebote und Verbote gemäss Ziffer 1, Ziffer 2 und Ziffer 3 vorstehend mit der Androhung der Bestrafung der verantwortlichen Organe der Beklagten im Falle der Zuwiderhandlung nach Art. 292 StGB zu verbinden. Der Beklagten und ihren Organen sei nach Art. 343 Abs. 1 lit. c ZPO eine Ordnungsbusse in der Höhe von bis zu CHF 1'000.00 für jeden Tag der Nichterfüllung der in Ziffer 1 bis 3 beantragten Verpflichtungen anzudrohen. 5. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten." Die Beklagte beantragte die Abweisung der Klage. Mit Entscheid vom 25. Oktober 2018 wies das Handelsgericht des Kantons St. Gallen die Klage ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Oktober 2018 aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.