Sachverhalt: A. Die 1963 geborene A._ meldete sich im März 2002 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau sprach ihr mit Verfügung vom 27. Januar 2004 eine halbe Invalidenrente ab 1. November 2001 zu (Invaliditätsgrad von 55 %). Am 14. März 2007 und am 11. Juni 2012 bestätigte sie einen unveränderten Rentenanspruch. Im September 2012 leitete die Verwaltung ein weiteres Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie mit Verfügung vom 14. Juni 2018 die bisherige Rente auf Ende Juli 2018 wiedererwägungsweise auf (Invaliditätsgrad 0 %). B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Verfügung vom 14. Juni 2018 auf und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten weiterhin eine halbe Invalidenrente auszurichten (Entscheid vom 2. Mai 2019). C. Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 2. Mai 2019 sei aufzuheben und die Verfügung vom 14. Juni 2018 sei zu bestätigen; eventualiter sei die Sache zur Neubegutachtung und anschliessender Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. In formeller Hinsicht lässt sie beantragen, der Protokollauszug der IV-Stelle per 10. Mai 2019 sei zu den Akten zu nehmen, die "in den Augen der Beschwerdeführerin offensichtlich krass fehlerhaft urteilenden IV-Organe aus den Jahren 2004 und 2012" (Sachbearbeiter und IV-Ärzte) seien als Nebenintervenienten zum Verfahren beizuladen, gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei eine öffentliche Gerichtsverhandlung durchzuführen, und das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen. Zudem lässt sie eine Kostennote einreichen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.