Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und B._ (im Folgenden: die Beschuldigten). Sie wirft ihnen vor, ihren im Mai 2010 geborenen gemeinsamen Sohn am 26. Juli 2010 vorsätzlich getötet zu haben. Schon ab einem Zeitpunkt kurz nach der Geburt hätten sie dem Sohn zudem vorsätzlich verschiedene schwere und einfache Körperverletzungen zugefügt. Überdies hätten die Beschuldigten ihrer im Februar 2012 geborenen gemeinsamen Tochter, als diese ca. 7 Wochen alt gewesen sei, eine schwere Körperverletzung zugefügt. Die bei der Tochter festgestellten medizinischen Befunde seien typisch für ein Schütteltrauma. Am 27. April 2012 habe die Tochter neurochirurgisch operiert werden müssen. B. Ab Dezember 2013 ordnete die Staatsanwaltschaft den Einsatz von insgesamt 6 verdeckten Ermittlern an, was das Haftgericht des Kantons Solothurn jeweils genehmigte. C. Am 29. April 2015 erliess die Staatsanwaltschaft einen Hausdurchsuchungsbefehl. Darin verfügte sie die Durchsuchung der Wohnräume von A._ nach zu beschlagnahmenden Gegenständen (elektronischen Datenträgern). Zur Begründung führte die Staatsanwaltschaft aus, es sei zu vermuten, dass sich in den zu durchsuchenden Räumlichkeiten Datenträger (Mobiltelefone etc.) befinden, welche für das Strafverfahren sachdienliche Informationen enthalten. Solche Datenträger seien zwecks Beweismittelverwertung vorläufig sicherzustellen und zu durchsuchen. D. Ebenfalls am 29. April 2015 ordnete die Staatsanwaltschaft die sofortige und unwiederbringliche Löschung sämtlicher auf den Datenträgern von A._ und ihres neuen Lebenspartners C._ befindlichen Bild- und Tonaufnahmen der verdeckten Ermittler an; ebenso die sofortige und unwiederbringliche Löschung sämtlicher auf Clouds, Websites, Social-Media-Profilen oder anderen Medien befindlichen Bild- und Tonaufnahmen der verdeckten Ermittler. Die Staatsanwaltschaft verfügte die Dokumentierung der Löschungen durch die Kantonspolizei. Zur Begründung legte die Staatsanwaltschaft dar, das Haftgericht habe den verdeckten Ermittlern jeweils die Anonymität zugesichert. Die Staatsanwaltschaft habe alle zur Wahrung der Anonymität erforderlichen Schutzmassnahmen zu treffen. Da auf den Datenträgern, namentlich auf den Mobiltelefonen von A._ und C._, Bildaufnahmen der verdeckten Ermittler gespeichert seien, was Rückschlüsse auf deren Identität erlaube, seien diese Aufnahmen unwiederbringlich zu löschen. A._ und C._ hätten kein schutzwürdiges Interesse am weiteren Besitz der Bilder. Der Schaden für A._ und C._ sei sehr klein. Die Sicherheit der verdeckten Ermittler gehe vor. Der Eingriff sei verhältnismässig. E. Am 7. Mai 2015 erklärte die Staatsanwaltschaft den Einsatz der verdeckten Ermittler als beendet. F. Am 5. Juni 2015 erhob A._ gegen den Hausdurchsuchungsbefehl und die Löschung von Aufnahmen der verdeckten Ermittler Beschwerde. Am 3. Februar 2016 hiess das Obergericht des Kantons Solothurn (Beschwerdekammer) die Beschwerde gut. Es stellte die Widerrechtlichkeit der am 29. April 2015 angeordneten Hausdurchsuchung, der Beschlagnahme und der sofortigen Vernichtung der beschlagnahmten Daten fest. G. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn, vertreten durch den Oberstaatsanwalt, führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Beschwerde von A._ vom 5. Juni 2015 abzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an dieses zurückzuweisen. H. Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf seinen Entscheid die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft hat eine Replik eingereicht, A._ eine Duplik.