Sachverhalt: A. Die griechischen Strafverfolgungsbehörden führen gegen A._ und B._ ein Strafverfahren wegen aktiver und passiver Bestechung sowie Geldwäscherei. In diesem Zusammenhang ersuchte Griechenland die Schweiz mit Rechtshilfeersuchen vom 27. April 2018 um Herausgabe der Bankunterlagen betreffend die auf die Stiftung C._ lautende Geschäftsbeziehung bei der Bank D._ SA. Mit Schlussverfügung vom 16. April 2019 gab die Bundesanwaltschaft dem Ersuchen statt. Zwei Tage später ersuchte A._ um Einsicht in die Akten des Rechtshilfeverfahrens, was die Bundesanwaltschaft mit Verfügung vom 24. April 2019 ablehnte. In der Folge erhob A._ sowohl gegen die Verfügung vom 16. April 2019 (betr. Herausgabe von Beweismitteln) als auch gegen die Verfügung vom 24. April 2019 (betr. Akteneinsicht) Beschwerde an das Bundesstrafgericht. Mit zwei separaten Entscheiden vom 19. Juni 2019 trat das Bundesstrafgericht auf die erste Beschwerde nicht ein und wies die zweite ab. B. Mit zwei vom 1. Juli 2019 datierenden Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, die Entscheide des Bundesstrafgerichts seien aufzuheben und die Akteneinsicht sei zu gewähren (Verfahren 1C_362/2019) bzw. die Rechtshilfe zu verweigern (Verfahren 1C_363/2019). In prozessualer Hinsicht beantragt er die Anordnung vorsorglicher Massnahmen und die Sistierung des Beschwerdeverfahrens, bis das von ihm bei der Bundesanwaltschaft eingeleitete Wiedererwägungsverfahren abgeschlossen sei. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.