Sachverhalt: A. A._ wurde vom Strafgericht Basel-Stadt am 26. September 2007 wegen mehrfacher Vergewaltigung, mehrfacher einfacher Körperverletzung, mehrfacher Tätlichkeiten, mehrfacher Drohung, Freiheitsberaubung, Sachentziehung und Sozialhilfebetrug zu 4 1⁄2 Jahren Freiheitsstrafe verurteilt. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte das Urteil am 2. September 2009 und ordnete gestützt auf ein forensisch-psychiatrisches Gutachten vom 19. September 2007 und ein Ergänzungsgutachten vom 18. Mai 2009 die Verwahrung an. B. B.a. Die Fachkommission des Strafvollzugskonkordats der Nordwest- und Innerschweiz zur Beurteilung der Gemeingefährlichkeit (KoFaKo) beurteilte A._ am 10. Mai 2010 als gemeingefährlich und erachtete die Voraussetzungen für eine stationäre therapeutische Massnahme als nicht gegeben. Hierauf sowie auf ein Ergänzungsgutachten vom 10. Februar 2011 gestützt verweigerte das Appellationsgericht am 2. März 2011 eine bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug der Freiheitsstrafe. B.b. Der Straf- und Massnahmenvollzug der Abteilung Strafvollzug des Bereichs Bevölkerungsdienste und Migration (SMV) sah beim Übertritt vom Straf- in den Verwahrungsvollzug wegen fehlender Therapiewilligkeit vom Antrag auf eine stationäre Massnahme ab (Art. 64b Abs. 1 lit. b StGB) und ordnete den Verwahrungsvollzug per 24. Juli 2011 an. B.c. Nach Verlegung von A._ in die JVA Lenzburg, wo er teilweise in die Hochsicherheitsabteilung eingewiesen werden musste, wurde er am 28. März 2012 in die JVA Pöschwies verlegt, wo er nach physischer Gewaltanwendung in die Sicherheitsabteilung eingewiesen werden musste. Wegen fortbestehender Fremdgefährdung erfolgte in der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich eine Krisenintervention. B.d. Die KoFaKo schloss am 6. Mai 2013 weiter auf eine ungünstige Legalprognose, verneinte eine stationäre Massnahme und empfahl den Verzicht auf Vollzugsöffnungen. Nachdem A._ sich zu einer psycho-pharmakologischen Medikation bereit erklärt hatte, wurde ihm eine leichte Verbesserung des Zustandsbildes attestiert und er in die Integrationsgruppe verlegt. B.e. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2013 des SMV und Rekursentscheid vom 7. Februar 2014 wurde eine bedingte Entlassung verweigert. Der SMV verweigerte am 28. November 2014 eine bedingte Entlassung erneut und veranlasste die Begutachtung hinsichtlich einer allfälligen Änderung der Sanktion. B.f. Nach erneuter Einweisung in die Sicherheitsabteilung ab dem 30. April 2015 wurde A._ in einer Krisenintervention nach aggressivem Verhalten und Verweigerung der antipsychotischen Medikation im Inselspital Bern und der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich behandelt und am 17. März 2016 in die JVA Pöschwies zurückverlegt. C. Der Gutachter (oben B.e) erstattete am 31. Oktober 2016 das Gutachten und beantwortete mit Datum vom 27. September 2017 Zusatzfragen. Der SMV verweigerte am 4. Juni 2018 die bedingte Entlassung aus der Verwahrung und sah von einer Änderung der Sanktion in eine stationäre therapeutische Massnahme ab. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement (JSD) wies den Rekurs am 14. März 2019 ab. A._ rekurrierte beim Regierungsrat. Der Rekurs wurde an das Appellationsgericht überwiesen. Dessen Instruktionsrichter ordnete ein Ergänzungsgutachten an und gab A._ Gelegenheit, sich zur Person des Gutachters, zu den beabsichtigen Gutachterfragen sowie zu Ergänzungsfragen zu äussern. Der Gutachter erstattete ein Ergänzungsgutachten vom 20. Dezember 2019 (zit. Zweitgutachten) zu den Begutachtungen vom 31. Oktober 2016 und 27. September 2017 (zit. Erstgutachten). Das Appellationsgericht wies den Rekurs am 11. März 2020 ab. D. A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und anstelle der Verwahrung eine stationäre Massnahme anzuordnen, eventualiter die Sache an die erste Instanz, subeventualiter an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, ein Ergänzungsgutachten einzuholen und einen Wechsel in eine stationäre therapeutische Massnahme anzuordnen. Es seien die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und die kantonalen Kosten festzulegen sowie eventualiter die Sache zur Neuregelung der Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen.