Sachverhalt: A. Mit Urteil des Landgerichts Düsseldorf (Deutschland) vom 5. Juni 2014 wurde C._ verurteilt, an A._ (in seiner Eigenschaft als Insolvenzverwalter über den Nachlass von B._) EUR 142'785.44 nebst Zinsen in Höhe von fünf Prozentpunkten über dem Basiszinssatz seit dem 5. März 2013 zu bezahlen. Mit Kostenfestsetzungsbeschluss des gleichen Gerichts vom 17. Juni 2014 wurde C._ verpflichtet, EUR 3'781.22 nebst Zinsen in Höhe von fünf Prozentpunkten über dem Basiszinssatz seit dem 13. Juni 2014 an die Prozessbevollmächtigte von A._, Rechtsanwältin D._, zu erstatten. In diesen Entscheiden ist C._ mit einer Wohnadresse in Düsseldorf vermerkt. Nach ihrem Umzug in die Schweiz betrieb A._ (als Insolvenzverwalter über den Nachlass von B._) C._ (Zahlungsbefehl vom 2. Dezember 2015 in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 2) für die genannten Forderungen. C._ erhob Rechtsvorschlag. B. Am 8. März 2016 ersuchte A._ (als Insolvenzverwalter über den Nachlass von B._) das Bezirksgericht Zürich um definitive Rechtsöffnung für Fr. 174'310.55 und Fr. 4'374.86, je nebst 4,17 % Zins seit 2. Dezember 2015. Das Bezirksgericht trat auf das Gesuch mit Verfügung vom 20. April 2016 nicht ein. C. Dagegen erhob A._ (als Insolvenzverwalter über den Nachlass von B._) am 19. Mai 2016 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Aufhebung der Verfügung des Bezirksgerichts und die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für die genannten Beträge. Eventuell sei die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Mit Urteil vom 10. Juni 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab. D. Am 12. Juli 2016 hat A._ in seiner Eigenschaft als Insolvenzverwalter über den Nachlass von B._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Erteilung der Rechtsöffnung im genannten Umfang. Allenfalls sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. C._ (Beschwerdegegnerin) schliesst in ihrer Beschwerdeantwort vom 7. November 2016 auf Abweisung der Beschwerde. Allenfalls sei die Sache an das Ober- oder das Bezirksgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um Sicherstellung der Parteikosten. Der Beschwerdeführer hat zur Beschwerdeantwort am 21. November 2016 Stellung genommen.