Sachverhalt: A. Am 13. März 2019 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern das Gesuch von A._ um Erteilung des Kantonsbürgerrechts ab. Dagegen erhob sie am 12. April 2019 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Mit Verfügung vom 17. April 2019 forderte das Gericht A._ unter Hinweis auf die Gesetzgebung über die Verwaltungsrechtspflege auf, bis zum 1. Mai 2019 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Beschwerde unter Kostenfolgen nicht eingetreten werde. Am 25. April 2019 ersuchte A._ darum, den Kostenvorschuss in drei Raten bezahlen zu können, erstmals auf den 1. Mai 2019. Das Gericht gab diesem Ersuchen mit Verfügung vom 29. April 2019 statt und setzte als Zahlungsfrist für die erste Rate von Fr. 500.-- antragsgemäss den 1. Mai 2019 fest, erneut mit dem Hinweis auf die Folge des Nichteintretens bei nicht rechtzeitiger Bezahlung. Nachdem die erste Ratenzahlung von Fr. 500.-- erst am 3. statt am 1. Mai 2019 überwiesen worden war, räumte das Gericht A._ am 10. Mai 2019 die Möglichkeit ein, zur Rechtzeitigkeit der Zahlung Stellung zu nehmen. Davon machte sie am 17. Mai 2019 Gebrauch. Mit Urteil vom 20. Mai 2019 trat das Verwaltungsgericht Luzern wegen verspäteter Leistung der ersten Rate des Kostenvorschusses auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein. In der Folge zahlte A._ auch noch eine zweite Rate von Fr. 500.--, wohingegen die Leistung der dritten ausgesetzt wurde. B. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Juni 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, ihr eine neue Frist zur Bezahlung der dritten Rate des Kostenvorschusses anzusetzen. Zur Begründung führt sie im Wesentlichen aus, der Nichteintretensentscheid sei willkürlich und treuwidrig und verstosse gegen die Rechtsweggarantie. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement verzichtete auf eine Stellungnahme. Das Kantonsgericht schliesst unter Verzicht auf weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde.