Sachverhalt: A. A._ (geb. 1994) stammt aus Sri Lanka. Er ersuchte in der Schweiz wiederholt um Asyl: - Das Staatssekretariat für Migration (SEM) wies sein erstes Gesuch vom 18. November 2015 am 25. Mai 2017 ab und hielt ihn an, das Land bis zum 19. Juli 2017 zu verlassen. A._ gelangte hiergegen erfolglos an das Bundesverwaltungsgericht (Entscheid vom 24. August 2017). Im Anschluss hieran wurde ihm eine neue Ausreisefrist bis zum 22. September 2017 angesetzt. Ab dem 20. September 2017 war der Aufenthaltsort von A._ nicht mehr bekannt. - Am 19. Dezember 2017 schrieb das SEM ein von A._ eingeleitetes zweites Asylverfahren ab; es wertete sein Ersuchen als unbegründetes bzw. wiederholt gleich begründetes Mehrfachgesuch (vgl. Art. 111c Abs. 2 AsylG [SR 142.31]). - Am 7. März 2018 ersuchte A._ ein drittes Mal um Asyl, wobei er sich diesmal auf Nachfluchtgründe berief. Das SEM setzte am 12. März 2018 den Vollzug der Wegweisung einstweilen aus; gleich entschied das Bundesverwaltungsgericht am 19. März 2018 insoweit, als sich bei ihm die Frage einer allfälligen Wiedererwägung oder Revision seines Urteils stellte. - Am 30. April 2018 wies das SEM das Asylgesuch vom 7. März 2018 ab und hielt A._ an, die Schweiz bis zum 25. Juni 2018 zu verlassen, ansonsten er in Haft genommen und unter Zwang in seinen Heimatstaat zurückgeführt würde. Gegen die Verfügung des SEM gelangte A._ am 1. Juni 2018 wiederum an das Bundesverwaltungsgericht; dessen Entscheid steht zurzeit noch aus. B. Am 16. Februar 2018 nahm das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) A._ in eine Ausschaffungshaft nach Art. 77 AuG (SR 142.20; Ausschaffungshaft wegen fehlender Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisedokumente ["kleine Ausschaffungshaft" von höchstens 60 Tagen]). Die Einzelrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau prüfte diese am 19. Februar 2018 und bestätigte sie bis zum 15. April 2018. Gestützt auf das dritte, nach der Inhaftierung von A._ am 15. Februar 2018 eingereichte Asylgesuch und der damit verbundenen vorübergehenden Aussetzung des Wegweisungsvollzugs durch die Asylbehörden ersuchte A._ am 19. März 2018 darum, ihn aus der Ausschaffungshaft zu entlassen. Der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (im Weitern auch als "Haftrichter" bezeichnet) lehnte dies am 29. März 2018 ab und genehmigte gleichzeitig eine Verlängerung der administrativen Festhaltung von A._ im Rahmen einer ordentlichen Ausschaffungshaft (Art. 76 AuG) um zwei Monate bis zum 14. Juni 2018. Am 1. Mai 2018 beantragte A._ erneut, aus der Ausschaffungshaft entlassen zu werden. Der Haftrichter wies das entsprechende Gesuch am 9. Mai 2018 ab. C. A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid vom 9. Mai 2018 aufzuheben, seinen Antrag auf Haftentlassung gutzuheissen und ihn auf freien Fuss zu setzen. Für den Fall des Unterliegens ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A._ macht im Wesentlichen geltend, dass mit einem Entscheid zu seinem dritten Asylgesuch nicht in absehbarer Zeit gerechnet werden könne, da dieses zu einem ordentlichen Verfahren und nicht, wie vom Einzelrichter im Entscheid vom 29. März 2018 vorausgesetzt, zu einer (weiteren) formlosen Abschreibung geführt habe. Nachdem er sich seit dem 15. Februar 2018 in Haft befinde und die Ausschaffung nicht absehbar erscheine, rechtfertige es sich nicht, seine Festhaltung fortzusetzen. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Der Einzelrichter am Verwaltungsgericht Aargau verzichtete darauf, "sich detailliert vernehmen zu lassen" und verwies auf seine Erwägungen im angefochtenen Urteil. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt, die Beschwerde abzuweisen; eine Ausreise von A._ nach Sri Lanka sei sowohl selbständig wie zwangsweise möglich und absehbar. A._ hält mit Eingabe vom 20. Juni 2018 an seinen Anträgen und Ausführungen fest und betont noch einmal, dass der Vollzug der Wegweisung nicht absehbar erscheine. D. Mit Entscheid vom 11. Juni 2018 genehmigte der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die Verlängerung der Ausschaffungshaft von A._ um drei weitere Monate bis zum 14. September 2018.