Sachverhalt: A. A.a. Unter dem Namen "Foundation A._" ist im Handelsregister des Kantons Zug eine Stiftung im Sinne von Art. 80 ff. ZGB eingetragen (Beschwerdeführerin). Sie bezweckt die Förderung des Tier-, Umwelt- und Landschaftsschutzes sowie von gemeinnützigen Projekten in den Bereichen der erneuerbaren Energien und der Erzeugung biologischer Produkte und deren Strukturen für eine nachhaltige Agrarpolitik im In- und Ausland. Am 19. Dezember 2017 schloss B._ mit der Foundation A._ einen Schenkungsvertrag und verpflichtete sich unter Auflage der Änderung des Namens der Stiftung und der Anpassung des Stiftungszwecks, der Stiftung die von ihm gehaltenen 100 Namenaktien der C._ AG zu überlassen. B._ ist Alleinaktionär dieser Gesellschaft. A.b. Am 1. Februar 2018 leitete B._ beim Friedensrichteramt der Stadt Zug ein Schlichtungsverfahren ein und beantragte die Feststellung der Nichtigkeit und Unverbindlichkeit des Vertrags vom 19. Dezember 2017. Das Friedensrichteramt erteilte B._ am 6. April 2018 die Klagebewilligung, von der dieser in der Folge aber keinen Gebrauch machte. A.c. Am 27. März 2018 ernannte die Eidgenössische Stiftungsaufsicht (ESA) für die Foundation A._ einen Sachwalter. Gestützt auf dessen Bericht vom 12. Juni 2018 sprach sie gegenüber der Stiftung am 3. Juli 2018 das Verbot aus, zur Führung jeglicher Prozesse im Zusammenhang mit der Schenkung vom 19. Dezember 2017 stiftungseigenes Vermögen zu verwenden. Die Anordnung umfasse nicht nur die Abwehr der Klage betreffend Gültigkeit der Schenkung, sondern sämtliche mit der Schenkung im Zusammenhang stehende Rechtshandlungen. Soweit der Stiftungsrat dennoch beabsichtige, den Zivilprozess betreffend die Nichtigkeit bzw. Unverbindlichkeit der Schenkung zu führen, habe er die mutmasslichen Kosten für das erstinstanzliche Verfahren in der Höhe von Fr. 5,5 Mio. sicherzustellen. B. Die von der Foundation A._ gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 21. Oktober 2019 (eröffnet am 23. Oktober 2019) ab. C. Am 22. November 2019 gelangt die Foundation A._ mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht. Sie beantragt, es seien das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sowie die Verfügung der ESA aufzuheben. Eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Mit Eingaben vom 4. März und vom 9. April 2020 verzichten das Bundesverwaltungsgericht und die ESA auf eine Vernehmlassung. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des vorinstanzlichen Verfahrens eingeholt.