Sachverhalt: A. A.A._ (geb. 1980; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. 1982; Beschwerdegegner) heirateten am 25. Juli 2012. Sie sind die Eltern der beiden Kinder C.A._ (geb. 2012) und D.A._ (geb. 2016). Im Juli 2018 haben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt aufgehoben. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2018 regelte das Bezirksgericht Luzern auf Antrag der Ehefrau das Getrenntleben. Dabei stellte es unter anderem die Kinder unter die alternierende Obhut und regelte die jeweiligen Betreuungszeiten. Ausserdem legte es die von B.A._ an A.A._ sowohl für diese selbst als auch die Kinder zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge fest. B. Auf Berufung des Ehemanns hin passte das Kantonsgericht Luzern den bezirksgerichtlichen Entscheid in verschiedenen Punkten an. Dabei legte es auch den von diesem zu bezahlenden Ehegatten- und Kindesunterhalt neu fest. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2019 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts sei im Unterhaltspunkt insoweit aufzuheben, als B.A._ zu verpflichten sei, ihr ab dem 1. Januar 2019 monatlich folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: Für C.A._ Fr. 1'038.-- bis zum 31. Oktober 2019 und Fr. 983.-- ab dem 1. November 2019, für D.A._ Fr. 1'904.-- bis zum 31. Oktober 2019 und Fr. 1'785.-- ab dem 1. November 2019 und für sich selbst Fr. 110.-- bis zum 31. April 2019 und Fr. 296.-- ab dem 31. Mai 2019. Eventuell sei das Urteil des Kantonsgerichts im Unterhaltspunkt aufzuheben und die Sache zur Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge ab dem 1. Januar 2019 an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihres Rechtsanwalts als unentgeltlichen Vertreter. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.