mteb/MIRACLReranking huggingface dataset:
گری هیتچنز گری هیتچنز بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال مکزیک انجام داد و با حضور در ۷ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال برزیل برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۵ گل به ثمر برساند.
جک کرایستون جک کرایستون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال آلمان انجام داد و با حضور در ۸ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال چکسلواکی برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
دیوید جانسون دیوید جانسون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۸ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال بلژیک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۶ گل به ثمر برساند.
جاک سیمپسون جاک سیمپسون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایرلند انجام داد و با حضور در ۸ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال ولز برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
کوین بیتی کوین بیتی بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال قبرس انجام داد و با حضور در ۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال لوکزامبورگ برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
کلیف بریتون کلیف بریتون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال سوئد برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
دیوید جک دیوید جک بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اتریش برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۳ گل به ثمر برساند.
دنی مورفی دنی مورفی بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان است که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال سوئد انجام داد و با حضور در ۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال دانمارک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
استیو استون استیو استون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال نروژ انجام داد و با حضور در ۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اسپانیا برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
جرج هالی جرج هالی زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۱۰ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اسکاتلند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۸ گل به ثمر برساند.
پیتر ویت پیتر ویت زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال برزیل انجام داد و با حضور در ۱۱ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال ترکیه برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
گری فرانسیس گری فرانسیس بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال چکسلواکی انجام داد و با حضور در ۱۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال فنلاند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۳ گل به ثمر برساند.
باب لاچفورد باب لاچفورد زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایتالیا انجام داد و با حضور در ۱۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اتریش برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۵ گل به ثمر برساند.
جیمی مالن جیمی مالن زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال اسکاتلند انجام داد و با حضور در ۱۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال سوئیس برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۶ گل به ثمر برساند.
استیو بول استیو بول بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال اسکاتلند انجام داد و با حضور در ۱۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال لهستان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۴ گل به ثمر برساند.
جان گودال جان گودال زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۱۴ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال ولز برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱۲ گل به ثمر برساند.
لن گولدن لن گوولدن بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال نروژ انجام داد و با حضور در ۱۴ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال رومانی برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۴ گل به ثمر برساند.
دریک کوان دریک کوان زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال اسکاتلند انجام داد و با حضور در ۱۴ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال مکزیک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۸ گل به ثمر برساند.
جیمی ردکاپ جیمی ردنپ بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال کلمبیا انجام داد و با حضور در ۱۷ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اسکاتلند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
بیلی واکر بیلی واکر بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایرلند انجام داد و با حضور در ۱۸ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال مجارستان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۹ گل به ثمر برساند.
جرج استهام جرج استهام (؛ زادهٔ ) بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال برزیل انجام داد و با حضور در ۱۹ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال دانمارک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
راب لی راب لی بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال رومانی انجام داد و با حضور در ۲۱ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال لوکزامبورگ برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
پیتر بارنز پیتر بارنز بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایتالیا انجام داد و با حضور در ۲۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال هلند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۴ گل به ثمر برساند.
نیک بارمبی نیک بارمبی بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال اروگوئه انجام داد و با حضور در ۲۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال یونان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۴ گل به ثمر برساند.
استیو بلومر استیو بلومر زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایرلند انجام داد و با حضور در ۲۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اسکاتلند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲۸ گل به ثمر برساند.
تامی لاوتون تامی لاوتون زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۲۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال دانمارک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲۲ گل به ثمر برساند.
استن مورتنسن استن مورتنسن بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال پرتغال انجام داد و با حضور در ۲۵ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال مجارستان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲۳ گل به ثمر برساند.
نورمن هانتر نورمن هانتر (؛ - ) بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال اسپانیا انجام داد و با حضور در ۲۸ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال چکسلواکی برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
ویو اندرسون ویو اندرسون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال چکسلواکی انجام داد و با حضور در ۳۰ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال کلمبیا برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
درن اندرتون درن اندرتون زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال دانمارک انجام داد و با حضور در ۳۰ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال سوئد برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۷ گل به ثمر برساند.
نت لوفتهوس نت لوفتهوس زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال یوگسلاوی انجام داد و با حضور در ۳۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال ولز برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۳۰ گل به ثمر برساند.
آلن مولری آلن مولری زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال هلند انجام داد و با حضور در ۳۵ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال سوئیس برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
استیو کوپل استیو کوپل زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ایتالیا انجام داد و با حضور در ۴۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال یونان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۷ گل به ثمر برساند.
فیل تامپسون فیل تامپسون بازیکن فوتبال زادهٔ اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۴۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال یونان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
مارتین کوون مارتین کوون زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال فرانسه انجام داد و با حضور در ۴۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال کامرون برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
مارک رایت مارک رایت زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۴۵ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال مجارستان برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱ گل به ثمر برساند.
میک چانون میک چانون زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال یوگسلاوی انجام داد و با حضور در ۴۶ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال سوئیس برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲۱ گل به ثمر برساند.
فیل نیل فیل نیل زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال ولز انجام داد و با حضور در ۵۰ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال دانمارک برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۵ گل به ثمر برساند.
تروور فرانسیس تروور فرانسیس زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال هلند انجام داد و با حضور در ۵۲ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال اسکاتلند برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۱۲ گل به ثمر برساند.
پل اینس پل اینس زادهٔ بازیکن فوتبال اهل انگلستان بود که سابقهٔ بازی در تیم ملی فوتبال انگلستان را در کارنامهٔ خود دارد. وی در تاریخ نخستین بازی ملی خود را در مقابل تیم ملی فوتبال انگلستان انجام داد و با حضور در ۵۳ بازی ملی، در تاریخ واپسین بازی ملی‌اش را در برابر تیم ملی فوتبال رومانی برگزار کرد. این بازیکن توانسته در بازی‌های ملی، ۲ گل به ثمر برساند.
تابع گاما این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.
ماتریس تصادفی در ریاضیات یک ماتریس تصادفی (ماتریس احتمال، ماتریس انتقال، ماتریس جایگزینی یا ماتریس مارکوف هم نامیده می‌شود) ماتریس مورد استفاده برای توصیف انتقال‌های یک زنجیره مارکوف است. هر یک از درایه‌های این ماتریس عدد حقیقی غیرمنفی است که احتمال را نشان می‌دهد. این ماتریس در نظریه احتمال ،آمار، ریاضی مالی و جبر خطی و همچنین علوم کامپیوتر و ژنتیک جمعیت کاربرد دارد. تعاریف متعددی و انواع ماتریس تصادفی:
نمودار میله‌ای نمودار میله‌ای، نموداری است که در آن برای نشان دادن مقدار روی محور xها (محور طول‌ها) مستطیل‌هایی به کار می‌رود.معمولا برای اندازه‌گیری بارندگی‌ها از این نمودار استفاده می‌شود. همچنین این نمودار در ریاضی و در درس آمار و احتمال کاربرد‌های زیادی دارد و کاربرد اصلیش این است که زیادو کم بودن و مقایسه نمودار‌های دیگر با خود را میکند. همچنین نمودار میله‌ای متقارن نوعی از نمودار است که همه چیز را به صورت متقابل و الگویی روی خود ظاهر مینماید.
تفسیر کپنهاگی به زبان ساده‌تر، پذیرندگان تفسیر کپنهاکی می‌گویند که تابع موج، احتمال همهٔ پیشامدهای ممکن برای یک رویداد را در خود دارد. ولی وقتی که یکی از این پیشامدهای کم‌وبیش هم‌احتمال رخ داد، پیشامدهای دیگر به کلی از بین می‌روند. مثلاً اگر الکترونی از یک آزمایش دوشکاف بگذرد، احتمال‌های مختلفی هست که هرجایی روی پردهٔ آشکارساز فرود بیاید. ولی وقتی الکترون یک جا فرود آمد، دیگر هیچ احتمالی برای فرودآمدنش در جاهای دیگر باقی نمی‌ماند. در تفسیر دنیاهای چندگانه، الکترون روی همهٔ جاهایی که احتمالی برای فرودآمدنش هست فرود می‌آید، ولی این فرودها در دنیاهای متفاوتی رخ می‌دهند.
زیست‌سنجی معمولاً این روش در جاهایی که ارتباط مستقیم با افراد میسر نیست کاربرد دارد خصوصاً در فرودگاه‌ها و معابر امنیتی. (این سیستم شناسایی تقریباً یک سیستم شناسایی مخفی است) در این روش یک تصویر از شخص در هنگام راه رفتن بدست می‌آید که معرف نمودار جابجایی و زمان برای وی است. در هنگام راه رفتن افراد حرکت پاها و سر افراد با یکدیگر متفاوت است (البته حرکت دستان نیز در برخی موارد کاربرد دارد) که الگوی بدست آمده از این قسمت‌ها می‌باشد.
آزمایش الک امروزه الک کردن دستی تنها در جاهایی که امکان استفاده از برق وجود ندارد کاربرد داشته و در سایر موارد جهت رسیدن به بهترین و موثق‌ترین نتیجه از دستگاه‌هایی موسوم به لرزاننده (Shaker) استفاده می‌شود که بسته به نحوه تکان دادن الک‌ها خود به چند دسته پرتابی، افقی و ضربه‌ای تقسیم می‌شوند. الک کردن توسط تنها یک الک صرفاً جهت تخمین اولیه نوع الک‌های مورد استفاده در آزمایش کاربرد داشته و نمی‌توان از این روش جهت دانه بندی ذرات استفاده نمود.
فرایند گالتون-واتسون این فرایند کاربردهای جدید زیادی دارد مثلاً احتمال زنده‌ماند یک ژن جهش‌یافتهی جدید، احتمال وقوع واکنش زنجیره‌ای هسته‌ای، احتمال انقراض گونههای کم‌جمعیت و هم‌چنین توضیح این‌که چرا فقط تعداد انگشت‌شماری از افراد مذکر در تاریخ یک رشته از فرزندان مذکر دارند که تا به امروز رسیده باشد. (این کاربرد آخر احتمالاً نزدیک‌ترین کاربرد به آن چیزی است که مد نظر خود گالتون و واتسون بود)
مواد تغییر فاز دهنده PCMها با توجه به دمای تغییر حالتشان کاربردهای متنوعی پیدا کرده‌اند. موادی که زیر ۱۵ درجه‌سانتی‌گراد ذوب می‌شوند، برای خنک کردن و تهویه هوای اتاق قابلیت استفاده دارند. موادی که بالای ۹۰ درجه‌سانتی‌گراد ذوب می‌شوند، برای کاهش دما در جاهایی که دما ممکن است به‌طور ناگهانی بالا رود کاربرد دارند و مانع آتش‌سوزی می‌شوند. سایر PCMها که دمای ذوبشان بین این دو مقدار است برای ذخیره‌سازی انرژی خورشیدی کاربرد دارند.
سیل این بررسی‌ها زمان دقیق وقوع یک سیل در گذشته را مشخص نمی‌سازد. بلکه ضمن تأثیر وقوع آن در زمان‌های جدید زمین‌شناسی احتمال رخداد مجدد آن را گوشزد می‌کند. نتایج بررسی‌های زمین‌شناسی مخصوصاً در جاهایی که رکود طولانی از وضعیت آب و هوایی وجود ندارد، می‌تواند از روش تحلیلی دقیق تر باشد.
یادگیری بی‌نظارت یک کاربرد اصلی یادگیری بدون نظارت در زمینه در آمار است، اگرچه یادگیری بدون نظارت بسیاری از حوزه‌های دیگر را شامل می‌شود که شامل جمع‌بندی و توضیح ویژگی‌های داده می‌باشد. این می‌تواند با یادگیری نظارت شده در تقابل باشد با گفتن اینکه یادگیری تحت نظارت قصد دارد یک توزیع احتمال مشروط را استنباط کند formula_1 که مشروط به برچسب formula_2 از داده‌های ورودی می‌باشد. یادگیری بدون نظارت قصد دارد یک توزیع احتمالات پیشینی را استنتاج کند formula_3 .
احتمالات کلمه احتمال تعریف مفرد مستقیم برای کاربرد عملی ندارد. در واقع، چندین دسته گسترده از تفسیر احتمال، که پیروان دارای دیدگاه‌های مختلف (و گاهی متضاد) در مورد ماهیت اساسی احتمال وجود دارد.
احتمال پیشین احتمال پیشین کاربرد مهمی در مکانیک آماری دارد. در نسخه کلاسیک احتمال پیشین به صورت عنوان نسبت تعداد ابتدایی رویدادها (مثلاً تعداد دفعات پرتاب تاس) به مجموع تعداد گل رویدادها تعریف شده‌است. در مورد پرتاب تاس همه رویدادهای ابتدایی احتمال یکسانی دارند—در نتیجه احتمال هر برآمد در پرتاب یک تاس (کامل) برابر با ۱/۶ است. هر روی تاس احتمال برابر ظاهر می‌شود—در اینصورت احتمال به عنوان یک معیار اندازه‌گیری برای تعداد دفعات مشاهده هر روی تاس در هر رویداد تعریف می‌شود.
تابع مولد احتمال توابع مولد احتمال به‌طور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:
ساعت آبی یک نمونه ساعت آبیِ یونانی با کاربرد نامشخص احتمالاً کاربرد مذهبی یا طالع‌بینی. ظرف پایینی کپی‌شده از نسخهٔ قدیمیِ بالایی. شیوهٔ کار آن نامشخص است. احتمال داده می‌شود که کاربرد زمانی داشته‌است.
تابع احتمال بقا تابع احتمال بقا (Survival function) تابع توزیع احتمال بقا (یا به بیان مهندسی reliability function) نمایانگر احتمال بقای یک بیمار یا دوام عملکرد یک دستگاه به مدت زمان مشخص حداقل (t) است. این تابع به بررسی احتمال اختلال در عملکرد اجزا و سیستم‌ها می‌پردازد؛ در نتیجه، در طراحی سیستم‌های الکتریکی و مکانیکی و همچنین بررسی ازمایشهای پزشکی کاربرد دارد.
تاریخ ابزارهای زمان یک نمونه ساعت آبی یونانی با کاربرد نامشخص احتمالاً کاربرد مذهبی یا طالع بینی. ظرف پائینی کپی شده از نسخه قدیمی بالایی. شیوه کار آن نامشخص است احتمال داده می‌شود که کاربرد زمانی داشته‌است.
توزیع خی‌دو chi-square distribution یک نمونه خاصی از توزیع گاماست؛ و در توزیع‌های احتمال در آمار استنباطی کاربرد زیادی دارد؛ به ویژه در hypothesis testing و ساختن نواحی اطمینان (یک سیگما دو سیگما و…). این توزیع اغلب توزیع کای-اسکور مرکزی نامیده می‌شود؛ مورد خاصی از توزیع کای-اسکور عام غیر مرکزی است. chi-square distribution در تست‌های متداول فیتینگ از یک توزیع مشاهده شده با یک توزیع تیوریکال استفاده می‌شود.
اثر انگشت (رایانش) ولی از معایب توابعی از این دسته (مانند MD5 و SHA) نسبت به توابع ساده‌تر (مانند الگوریتم رابین) این است که به زمان نسبتاً طولانی تری برای هش کردن رشته‌ها نیاز است. همچنین اثباتی برای ضمانت احتمال برخورد مورد انتظار وجود ندارد. بعضی از این الگوریتم‌ها، مخصوصاً MD5، دیگر برای انگشت نگاری ایمن توصیه نمی‌شوند. با این حال این الگوریتم‌ها هنوز برای بررسی خطا، در جاهایی که مداخله عمدی در داده‌ها نگرانی اصلی نیست، قابل استفاده هستند.
نظریه احتمالات کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن‌ها از نظریه اعتبار استفاده می‌شود به نحوی که احتمال نقص آن‌ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فراورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.
نگاشت (ریاضیات) نگاشت در ریاضیات، به معنی ارتباطی است که میان اشیاء یا ساختارهای ریاضیاتی برقرار است. نگاشت‌ها می‌توانند پیکان یا تابع باشند هرچند که این مفاهیم در جاهایی همپوشانی دارند. در تابع‌ها، نگاشت می‌تواند دربارهٔ ساختارها بویژه دامنه مشترک مطرح شود. در نظریه رسته‌ها، از پیکان‌ها برای توصیف نگاشت استفاده می‌شود. نگاشت در منطق، علوم کامپیوتر و نظریه گرافها هم کاربرد دارد اما چندان فراگیر نیست.
مد (آمار) مُد (نما) در آمار و ریاضیات، به ارزش یا مقداری که بیشترین بار (تکرار) در یک مجموعه داده آماری رُخ دهد (اتفاق افتد) گفته می‌شود. مد نوعی سنجش گرایش به مرکز است. مد یک توزیع احتمال گسسته مقداری همچون x می‌باشد که بیشترین مقدار تابع جرم احتمال را می‌گیرد. مد برای توزیع احتمال پیوسته مقدار x می‌باشد که تابع چگالی احتمال حداکثر مقدار است بنابراین مد در قله است.
احتمال پسین در آمار بیزی، توزیع احتمال پسین یک کمیت احتمالاتی توزیع احتمالی است پس از مشاهده شواهد (داده). به عبارت دیگر، توزیع احتمال پسین احتمال شرطی آن کمیت است به شرط دیدن داده.
تابع چگالی احتمال در آمار و احتمال، به بیان ساده، تابعِ چگالیِ احتمالِ یک متغیر تصادفی پیوسته به تابعی گفته می‌شود که انتگرال آن در هر بازهٔ معین، برابر با احتمال قرار داشتن متغیر تصادفی در آن بازه است.
توزیع گمپرتز در علم احتمالات و آمار، توزیع گمپرتز (Gompertz distribution) یک توزیع احتمال پیوسته است که به بزرگداشت بنجامین گمپرتز (۱۸۶۵–۱۷۷۹) چنین نامگذاری شده‌است. این توزیع برای توصیفِ توزیع بازهٔ زندگی بزرگسالان با کمک جمعیت‌شناسی و مرگر می‌پردازد. زمینه‌های دیگر مرتبط علمی مانند زیست‌شناسی و پیری‌شناسی نیز از توزیع گمپرتز برای تحلیل به جای ماندگان (زنده‌ها) استفاده می‌کنند. به تازگی در علوم رایانه برای مدل‌سازی نرخ شکست کدهای رایانه ای از توزیع گمپرتز استفاده می‌شود. همچنین در علم بازاریابی هم این توزیع برای شبیه‌سازی مدل ارزش طول عمر مشتری کاربرد دارد.
استنباط آماری چنانچه به جای مطالعه کل اعضای جامعه، بخشی از آن با استفاده از فنون نمونه‌گیری انتخاب شده، و مورد مطالعه قرار گیرد و بخواهیم نتایج حاصل از آن را به کل جامعه تعمیم دهیم از روش‌هایی استفاده می‌شود که موضوع آمار استنباطی (Inferential statistics) است. آن چه که مهم است این است که در گذر از آمار توصیفی به آمار استنباطی یا به عبارت دیگر از نمونه به جامعه بحث و نقش احتمال شروع می‌شود. در واقع احتمال، پل رابط بین آمار توصیفی و استنباطی به حساب می‌آید.
تابع جرم احتمال در نظریه آمار و احتمال ، تابعی تابع جرم احتمال است که در ابتدا ، تعریف یک تابع توزیع احتمال گسسته درموردش صادق باشد و توابعی از این جمله برای هر دو اسکالر یا متغیرهای تصادفی چند متغیره که دامنه اش گسسته است وجود داشته باشد. تابع جرم احتمال با تابع چگالی احتمال متفاوت است. تفاوت تابع جرم احتمال با تابع چگالی احتمال در آن است که دومی به جای متغیرهای تصادفی گسسته با متغیرهای تصادفی پیوسته مرتبط است. برخلاف تابع جرم احتمال، تابع چگالی احتمال می‌تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند.
تفکر، سریع و آهسته کانمن نظریه انتظار را، که مبنای جایزه نوبل او بود، توسعه داد، تا خطاهای تجربی را که وی در نظریه کاربرد دانیل برنولی مشاهده کرده بود، در نظر بگیرد. این نظریه فرضیه‌های منطقی را ارائه می‌دهد که انتخاب واقعی افراد را منعکس نمی‌کند، زیرا آنها تعصب‌های رفتاری را مورد توجه قرار نمی‌دهند. به عنوان مثال، ممکن است به‌طور عقلانی فرض شود که فرد ارزش دوگانه ای را برای یک احتمال خاص تعیین می‌کند، اگر نسبت ضریب احتمال اولیه را چند برابر کنیم. اگر او ۱۰٪ شانس برنده شدن یا ۲۰٪ داشته باشد، احتمال دوم را دو برابر ارزش اول احتمال می‌دهد، اما آزمایش‌ها عکس آنرا نشان می‌دهد.
توزیع یکنواخت گسسته }}در نظریه آمار و احتمال ، توزیع یکنواخت گسسته یک توزیع احتمال گسسته است که احتمال مشاهده تعداد محدودی پیشامد را یکسان گزارش می دهد. احتمال هر کدام از ‌formula_2پیشامد قابل مشاهده ای که از این توزیع پیروی می کنند، برابر با formula_3است.
کژگزینی کژگزینی (انتخاب نامساعد)، ضد انتخاب یا انتخاب منفی اصطلاحی است که در اقتصاد، صنعت بیمه، آمار و مدیریت ریسک کاربرد دارد. این اصطلاح به فرایند بازاری اشاره می‌کند که در آن، بر اثر نامتقارن بودن اطلاعات (دسترسی به اطلاعات متفاوت) بین فروشنده و خریدار، نتایج اشتباه و نادرستی در بازار به وجود می‌آید. در این حالت احتمال انتخاب محصولات یا مشتریان بد بیشتر است. به عنوان مثال، وقتی بانک برای انجام کارهای بانکی، یک قیمت را برای تمام مشتریان تعیین می‌کند، احتمال اینکه مشتریانی که حجم فعالیت بیشتری دارند (سودآوری کمتری دارند)، قیمت را بپذیرند، بیشتر است. علت این امر به دلیل ناقص بودن اطلاعات بانک از نوع مشتریان و تعیین قیمت‌های متفاوت است. اقتصاددان آمریکایی و برنده جایزه نوبل اقتصاد، جرج اکرلوف برای اولین بار به مسئله کژگزینی در مقاله خود دربارهٔ بازار خودروهای دست‌دوم در سال ۱۹۷۰ اشاره کرد که در آن از ناتوانی معامله گران در تفاوت قائل شدن در کیفیت محصولات، به وجود می‌آید.
کران چرنوف حال مثالی از کاربرد این کران را نشان می‌دهیم. فرض کنیم "X", … , "X" متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع برنولی باشند، که هر کدام دارای احتمال "p" > 1/2 باشند، احتمال رخداد همزمان بیش از "n"/2 متغیر تصادفی formula_6 برابر است با
دال بتنی مورد دوم، جرم حرارتی بالا است که در دیوارها، کف‌ها و جاهایی که بتن در داخل پوشش حرارتی قرار می‌گیرد، کاربرد دارد. اشکالی که وجود دارد در مواقعی است که اتاق به صورت متناوب گرم می‌شود؛ چنان‌که در نتیجهٔ تأخیر در گرمایش ساختمان، گرم شدن بتن نیز زمان می‌برد. با این حال در مناطقی با نوسانات دمایی بالا در طول روز، این یک مزیت به حساب می‌آید. در این حالت، دال به عنوان یک تعدیل‌کننده حرارت عمل کرده و دمای ساختمان را در روز کاهش و در شب افزایش می‌دهد.
نظریه احتمالات نخستین کتاب‌ها را دو دانشمند ایتالیایی دربارهٔ بازی با تاس نوشتند: جه رولاموکاردان و گالیلئو گالیله. با این همه باید آغاز بحث دقیق دربارهٔ احتمال را سده هفدهم و با کارهای بلز پاسکال و پیر فرما، ریاضیدانان فرانسوی و کریستین هویگنس هلندی دانست. پاسکال و فرما کتابی در این باره ننوشتند و تنها در نامه‌های خود به دیگران دربارهٔ کاربرد آنالیز ترکیبی در مسئله‌های مربوط به شانس صحبت کرده‌اند، ولی هویگنس کتابی با نام بازی با تاس نوشت که اگر چه با کتاب کاردان هم نام است ولی از نظر تحلیل علمی در سطح بسیار بالاتری است. کار آنان توسط یاکوب برنولی و دموآور در قرن هجدهم میلادی ادامه یافت، برنولی کتاب روش حدس زدن را نوشت و قانون عددهای بزرگ را کشف کرد. مسئله معروف سوزن نیز در اواسط همین قرن توسط کنت دو بوفون مطرح و حل شد. در سده هجدهم و ابتدای سده نوزدهم نظریه احتمال در دانش‌های طبیعی و صنعت به‌طور جدی کاربرد پیدا کرد. در این دوره نخستین قضیه‌های نظریه احتمال یعنی قضایای لاپلاس، پواسون، لژاندر و گاوس ثابت شد. در نیمه دوم سده نوزدهم دانشمندان روسی تأثیر زیادی در پیشرفت نظریه احتمال داشتند، چبیشف و شاگردانش، لیاپونوف و مارکوف یک رشته از مسئله‌های کلی نظریه احتمال را حل کردند و قضایای برنولی و لاپلاس را تعمیم دادند. در آغاز قرن بیستم متخصصان کارهای قبلی را منظم نموده و ساختمان اصول موضوعه احتمال را بنا نمودند. در این دوره دانشمندان زیادی روی نظریه احتمال کار کردند: در فرانسه، بورل، له‌وی و فره‌شه؛ در آلمان، میزس؛ در آمریکا، وینر، فه لر و دوب؛ در سوئد، کرامر؛ در شوروی، خین چین، سلوتسکی، رومانوسکی، سمپرنوف، گنه دنکو اما درخشان‌ترین نام در این عرصه کولموگروف روسی است که اصول موضوع احتمال را در کتابی به نام مبانی نظریه احتمال در آلمان منتشر کرد.
توزیع بر توزیع بر در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته احتمال برای متغیرهای تصادفی غیرمنفی است. تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است: تابع توزیع تجمعی آن به صورت زی است:
روش مونته‌کارلو همچنین الگوریتم لاس وگاس نیز به همین موضوع می‌پردازد ولی با ایده‌ای متفاوت.کاربرد روش مونت‌کارلو در ریاضیات و آمار بسیار گسترده‌است. با استفاده از این روش، با انتخاب تصادفی یک یا تعداد محدودی پاسخ از میان پاسخهای موجود، تلاش می‌شود تا به راه حل قابل قبولی دست یافت. این تکنیک زمانی ارزش پیدا می‌کند، که مجموعه آلترناتیوهای موجود برای پاسخ یک مسئله بسیار بزرگ باشد و عملاً امکان آزمودن تمامی آن‌ها وجود نداشته باشد؛ یک نمونه کلاسیک در این زمینه، الگوریتم رابین برای تست اول بودن یک عدد می‌باشد. الگوریتم رابین بیان می‌دارد که با داشتن یک عدد مانند n که غیر اول است، یک عدد تصادفی مانند x، دارای احتمال ۷۵٪ است تا ثابت کند عدد n عددی غیر اول است؛ بنابراین، با داشتن عدد غیر اولی مانند n اگر عددی تصادفی مانند x یافت شود، به‌طوری‌که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، ما موفق به آزمودن گزینه‌هایی شده‌ایم که احتمال رخداد آن‌ها ۱ به ۴ است. حال با یافتن ۱۰ عدد دیگر مانند x که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، موفق به یافتن مجموعه‌ای شده‌ایم که احتمال وقوع آن‌ها ۱ به میلیون است. الگوریتم لاس وگاس نیز از روش مونت‌کارلو بهره می‌برد. یکی از رایج‌ترین کاربرد مونت‌کارلو، انتگرال گیری مونت‌کارلو است.
جنگ بیولوژیک در این بحث ما در مورد چهار توکسین که بیشترین احتمال کاربرد را دارند بحث می‌کنیم:
تاریخ اجتماعی اشکانیان در جاهایی که هنر پارتی پیدا شده‌است می‌توان به کنگاور که در جاده همدان و کرمانشاه است نام برد و علاوه بر آن می‌توان از ویرانه‌های بزرگ شهر قوس در نزدیکی دامغان نام برد؛ و اینکه می‌توان از سنگ نگاره‌های بسیار دالیایی، یعنی خوزستان اشاره کرد که با کاربرد تمام رخ نمایی خود را سرآمد می‌کنند و اینکه این سنگ‌نگاره‌ها هنر کم و بیش خالص ایرانی را تجسم می‌بخشد. تأثیرات هلنیتس یا سامی همچون دورا، اوراپوس، پالمیرا یا هترا در آن‌ها به هیچ روشی وجود ندارد.
بریم به جاهایی (آلبوم) ویکی‌پدیای انگلیسی :بریم به جاهایی (آلبوم)
برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین در آمار، برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین یک پارامتر، مد توزیع احتمال پسین آن پارامتر است. به بیان ریاضی، اگر داده formula_1 بر اساس توزیع formula_2 با پارامتر formula_3 توزیع شده‌باشند و formula_4 و formula_2 به ترتیب احتمال پیشین پارامتر و درستنمایی داده را نشان دهند، برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین برابر خواهد بود با:
توزیع احتمال در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. توزیع تجمعی احتمال یک متغیر تصادفی تابعی است از دامنهٔ آن متغیر بر بازهٔ formula_1. به طوری که احتمال رخدادن پیشامدهای با مقدار عددی کمتر از آن را نمایش می‌دهد. و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می‌شود: بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می‌گیرد.
روش گشتاورها (آمار) در آمار، روش گشتاورها روشی است برای تخمین مقادیر پارامترهای یک توزیع احتمال که نمونههایی از آن مشاهده شده‌است. در این روش، تخمین گشتاورهای توزیع احتمال با مقدار نظری گشتاورها (که تابعی از پارامترها هستند) برابر قرار داده شده و مقدار پارامترها تخمین‌زده می‌شوند.
قانون احتمال کامل در آمار و احتمالات قانون احتمال کامل به شرح زیر است:
تقی اخوان نیاکی نظریه احتمال و کاربرد آن نشر دانشگاه صنعتی شریف
قضیه هیئت منصفه کندورسه قضیه هیئت منصفه کندورسه () قضیه‌ای در علوم سیاسی است که دربارهٔ احتمال نسبی گروهی از اشخاص که تصمیم درست می‌گیرند، صحبت می‌کند. این قضیه برای نخستین بار به وسیلهٔ مارکی دو کندورسه در سال ۱۷۸۵ میلادی تحت عنوان "مقاله‌ای در باب کاربرد تحلیل احتمال رأی اکثریت" مطرح شد.
ثابت بهنجارسازی کاربرد گسترده‌ای از ثابت بهنجارسازی در نظریهٔ احتمال و انواع زمینه‌های ریاضیات دیده می‌شود.
فضای نمونه برای بسیاری از تجربیات فضای نمونه متفاوتی است مثل کارت‌های بازی که می خوانند فضای نمونه‌ای مثل ( اس تا شاه )داشته باشند یا بر حسب شماره که بر روی آن‌ها است فضای نمونه داشته باشند. رخدادهای هم شانس در بسیاری از فضاهای نمونه احتمال رخداد فضاهای عناصر هم شانس هستند. برای مثال شیر یا خط آمدن سکه‌ها یا احتمال افتادن یکی از وجوه تاس در پرتاب تاس در همین جهت برخی می‌توانند در بازی‌های هم شانس تقلب کنند مثلاً روی کارت‌ها علامت بگذارند ، لبه‌های تاس را تراش دهند و... که با این کار شانس را برای هر رخداد تغییر می دهند . اما بسیاری از آزمایش‌ها غیر هم شانس هستند مثل پرت کردن یک پونز که احتمال آنکه با ته یا سر به زمین برخورد کند هم شانس نیست. در حالت کل شانس هر رخداد به صورت زیر محاسبه می‌شود. احتمال رخداد کل عناصر/احتمال رخداد عناصر مورد نظر=( رخداد)p در علم آمار ، دانشمندان آمار با مطالعه با یک نمونه آماری در مورد یک جامعه آماری مطالعه می‌کنند. برای آنکه نتایج مربوط به این تحقیق در مورد یک جامعه آماری صحیح باشد آمار گیرها یک نمونه تصادفی را از جامعه آماری در فضا می‌گیرند . برای یک نزدیکی اولیه به احتمال ، هر زیر مجموعه از فضای نمونه یک رخداد نامیده می‌شود. اگرچه مشکلاتی را به وجود می‌آورد زمانی که فضای نمونه بی‌نهایت است. به همین دلیل تعریف دقیق تری برای رخداد نیاز است. تحت این تعریف فقط زیر مجموعه‌های منتهای فضای نمونه می‌توانند δ را در فضای نمونه تشکیل دهند.
برآورد چگالی در آمار و احتمال، برآورد چگالی به فرایند تخمین تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی با استفاده از نمونه‌های مشاهده‌شده از آن متغیر گفته‌می‌شود. معمولاً فرض می‌شود نمونه‌های مشاهده شده به طور تصادفی و مستقل براساس تابع توزیع احتمال، توزیع شده‌اند.
بمب ب۶۱ در آوریل ۲۰۰۶ سخنان بسیاری در مورد احتمال کاربرد این بمب از طرف آمریکا در تخریب هدف‌های هسته‌ای ایران، از جمله تأسیسات هسته‌ای نطنز، در مطبوعات و رادیو و تلویزیون‌های دنیا مطرح شد. سیمور هرش در مقاله‌ای در مجله نیویورکر این احتمال را مطرح کرد، اگر چه پیشتر نیز برخی مخالفان حمله به ایران به این امکان اشاره کرده بودند.
آمار یکی از مهم‌ترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه‌سازی است.
آزمایش برنولی در تئوری آمار و احتمالات ،توزیع برنولی، که به افتخار دانشمند سوئیسی jacob bernoulli نام گذاری شده‌است، یک توزیع با احتمال گسسته است که مقدار ۱ را با احتمال موفقیت p و ۰ را با احتمال شکست formula_6 می‌گیرد. پس اگر "X" یک متغیر تصادفی با این توزیع باشد، داریم:
آمار شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده‌تر نظریه آماری) که از نظریه احتمال و آنالیز برای به‌کارگیری آمار بر روی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند.
تابع چندک در آمار و احتمالات، تابع چندک مرتبط با توزیع احتمال یک متغیر تصادفی، مقدار متغیر تصادفی را طوری تعیین می‌کند که احتمال متغیر برای مقادیر کمتر یا مساوی آن مقدار، برابر احتمال داده شده باشد. از این رو به آن تابع درصد-نقطه یا تابع توزیع تجمعی وارون هم گفته می‌شود.
گرامر مستقل از متن تصادفی گرامر مستقل از متن تصادفی یک گرامر مستقل از متن است که هر کدام از قواعد تولید آن با یک احتمال همراه شده‌است. در این نوع گرامر هر درخت اشتقاق دارای یک احتمال است که این احتمال برابر است با حاصلضرب احتمال قواعد به کار رفته در فرایند اشتقاق آن؛ بنابراین در گرامر مستقل از متن تصادفی، برخی از اشتقاق‌ها پایدارتر از دیگری هستند. به همان طریقی که مدل‌های پنهان مارکوف، تعمیم یافتهٔ گرامرهای منظم هستند، گرامرهای مستقل از متن تصادفی نیز تعمیم یافتهٔ گرامرهای مستقل از متن‌اند. گرامرهای مستقل از متن تصادفی در زمینه‌های گسترده‌ای، از پردازش زبان‌های طبیعی گرفته تا بیوانفورماتیک، کاربرد دارند. گرامرهای مستقل از متن تصادفی، شکل خاصی از گرامرهای مستقل از متن وزن‌دار هستند.
دورنگار دستگاه فکس گیرنده سیگنال‌ها را، به صورت یک خط در هر لحظه، از دستگاه فرستنده دریافت می‌کند. دستگاه گیرنده این سیگنال‌ها را به ردیفی از عناصر گرم‌کننده می فرستد. به ازای هر حسگر نوری ماشین فرستنده، یک عنصر گرم‌کننده در دستگاه گیرنده وجود دارد. جاهایی که مدرک اصلی تاریک بوده عنصر گرم‌کننده روشن می‌شود و جاهایی که مدرک اصلی تاریک بوده عنصر گرم‌کننده روشن و جاهایی که مدرک روشن بوده عنصر گرم‌کننده خاموش می‌شود. کاغذ حساس به گرما (که کاغذ گرمایی خوانده می‌شود) از روی این عناصر گرم‌کننده عبور می‌کند و جاهایی که این عناصر خاموش اند، کاغذ سیاه می‌شود. به تدریج الگوهای روشن و تاریکِ مدرک اصلی روی کاغذ رسم می‌شود. بعضی از دستگاه‌های فکس جدید می‌توانند مدارک دریافت شده را به جای کاغذ گرمایی روی کاغذ معمولی چاپ کنند
انتقال میانگین مُد در آمار و ریاضیات، به ارزش یا مقداری که بیشترین بار (تکرار) در یک مجموعه داده آماری رُخ دهد (اتفاق افتد) گفته می‌شود. مد نوعی سنجش گرایش به مرکز است.مد یک توزیع احتمال گسسته مقداری همچون x می باشد که بیشترین مقدار تابع جرم احتمال را می گیرد. مد برای توزیع احتمال پیوسته مقدار x می باشد که تابع چگالی احتمال حداکثر مقدار است بنابراین مد در قله است.
مد (آمار) مد یکتا نیست گاهی اوقات توابع چگالی احتمال در چندین نقطه مقادیر دارای حداکثر مقدار هستند.وقتی تابع چگالی احتمال چندین حداکثر محلی دارد به تمام این نقاط مد گفته می‌شود. این اصطلاح هم در احتمالات برای یک توزیع احتمالی و هم در آمار برای یک مجموعه داده آماری نمونه‌برداری شده‌استفاده می‌گردد. کلمه مد از زبان فرانسه گرفته شده‌است و بیشترین تکرار -از یک صفت- در بین مقادیر صفت می‌باشد.
رگرسیون لجستیک رگرسیون لجستیک یک مدل آماری رگرسیون برای متغیرهای وابسته دوسویی مانند بیماری یا سلامت، مرگ یا زندگی است. این مدل را می‌توان به عنوان مدل خطی تعمیم‌یافته‌ای که از تابع لوجیت به عنوان تابع پیوند استفاده می‌کند و خطایش از توزیع چندجمله‌ای پیروی می‌کند، به‌حساب‌آورد. منظور از دو سویی بودن، رخ داد یک واقعه تصادفی در دو موقعیت ممکنه است. به عنوان مثال خرید یا عدم خرید، ثبت نام یا عدم ثبت نام، ورشکسته شدن یا ورشکسته نشدن و … متغیرهایی هستند که فقط دارای دو موقعیت هستند و مجموع احتمال هر یک آن‌ها در نهایت یک خواهد شد. کاربرد این روش عمدتاً در ابتدای ظهور در مورد کاربردهای پزشکی برای احتمال وقوع یک بیماری مورد استفاده قرار می‌گرفت. لیکن امروزه در تمام زمینه‌های علمی کاربرد وسیعی یافته‌است. به عنوان مثال مدیر سازمانی می‌خواهد بداند در مشارکت یا عدم مشارکت کارمندان کدام متغیرها نقش پیش‌بینی دارند؟ مدیر تبلیغاتی می‌خواهد بداند در خرید یا عدم خرید یک محصول یا برند چه متغیرهایی مهم هستند؟ یک مرکز تحقیقات پزشکی می‌خواهد بداند در مبتلا شدن به بیماری عروق کرنری قلب چه متغیرهایی نقش پیش‌بینی‌کننده دارند؟ تا با اطلاع‌رسانی از احتمال وقوع کاسته شود.
توزیع توانی نمایی توزیع توانی نمایی یا توزیع عمومی خطا در نظریه احتمال و آمار یک از توزیع‌های پیوسته است.  تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:
توزیع دوجمله‌ای توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است. در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.
توزیع حاشیه‌ای در نظریه آمار و احتمال، توزیع حاشیه‌ای از یک زیرمجموعه از یک مجموعه ای از متغیرهای تصادفی، توزیع احتمال از متغیرهای موجود در زیر مجموعه هست. احتمال مقادیر مختلف متغیرها را در زیرمجموعه بدون مراجعه به مقادیر سایر متغیرها ارائه می‌دهد. در حالی که توزیع شرطی، احتمالات را مشروط به مقادیر متغیرهای دیگر می‌کند.
لم لوواس لم محلی لوواس یکی از لم‌های ترکیبیات است که در نظریه احتمالات استفاده می‌شود. در نظریه احتمالات، چنانچه تعداد زیادی از پیشامدهای دو به دو مستقل داشته باشیم و احتمال وقوع هر کدام کمتر از یک باشد، احتمالی (هر چند کوچک) وجود دارد که هیچ‌کدام از آن‌ها اتفاق نیفتند. لم لوواس شرط استقلال پدیده‌ها را تا حدودی نادیده می‌گیرد؛ طبق این لم، تا وقتی که پیشامدها «اکثراً» از یکدیگر مستقلند و احتمال وقوع هر یک به‌تنهایی خیلی زیاد نیست، احتمال رخ ندادن هیچ‌یک از آن‌ها وجود دارد. این لم بیشتر در متدهای ترکیبیاتی و به‌طور خاص در مسئله‌های اثبات وجود کاربرد دارد. نسخه‌های زیادی از این لم وجود دارد. ساده‌ترین و پرکاربردترین آن نسخه متقارن است که از نسخه نامتقارن بدست می‌آید.
خطرفناوری اطلاعات چهار نیروی اساسی درگیر در مدیریت ریسک وجود دارد که در مورد امنیت سایبری نیز کاربرد دارند. آن‌ها شامل : دارایی، تأثیر، تهدید و احتمال هستند. شما دانش درونی و مقادیر عادلانه ای از کنترل دارایی‌ها دارید که به صورت ملموس و ناملموس می‌باشند که ارزش دارند. شما همچنین برخی از تأثیرات را تحت کنترل خود دارید که اشاره به از دست رفتن یا آسیب دیدن یک دارایی می‌باشد . با این حال، تهدیداتی که نمایندگان دشمنان و روش‌های حمله آن‌ها هستند، خارج از کنترل شما هستند. احتمال نیز، کارت ریسک در گروه است. احتمالات تعیین می‌کنند که هنگامی که یک تهدید به اجرا درآید، موفق می‌شود، و آسیب می‌رساند. در حالی که هرگز به‌طور کامل تحت کنترل شما نیست، احتمال‌ها می‌توانند شکل گرفته و شما را تحت تأثیر قرار دهند که خطر را کنترل کنید.
بریم به جاهایی (آلبوم) بریم به جاهایی آلبومی است از هرب آلپرت که در سال ۱۹۶۵ به همراه جری موس آن را تهیه کرد. این آلبوم به سبک جاز و پاپ تهیه شده و ناشر آن ای اند ام رکورکوردز می‌باشد.
چرخ‌دنده سیکلوئید چرخ‌دنده سیکلوئید یا چرخ‌دنده چرخ‌زاد نوعی پروفیل چرخ‌دنده‌سازی است که در ساعتهای مکانیکی کاربرد دارد. پروفیل دندانه چرخ‌دنده بر مبنای منحنی های برون‌چرخ‌زاد یا درون‌چرخ‌زاد است که این منحنی ها از غلتیدن یک دایره بیرون و یا داخل دایره دیگر تولید می شوند. چرخدنده‌ها اکثراً با دو منحنی اینولوت یا سیکلوئید طراحی و ساخته می‌شوند. بهره‌گیری از منحنی گستران بیشتر برای ساخت چرخ‌دنده‌های بزرگ و نیز جاهایی که انتقال قدرت زیاد مد نظر باشد و استفاده از منحنی چرخ‌زادی بیشتر برای ساخت چرخ‌دنده‌های ظریف مانند چرخ‌دنده‌های ساعت صورت می‌گیرد.
نام خانوادگی طبق آمار جدید سازمان آمار جهانی در ایران به احتمال ۵۶٫۳۹ ٪ نام و نام خانوادگی افراد مشابه است.
بیم‌سنج بیم‌سنج‌ها با محاسبات ریاضی احتمال وقوع انواع مختلف یک رخداد و نتایج مالی آنها سعی بر حداقل کردن زیان و هزینه دارند. از آنجا که برخی از رخدادها نظیر مرگ اجتناب ناپذیرند، با محاسبه احتمال آنها اثرات مالی از پیش محاسبه می‌شود که از نتایج آن جدولهای مرگ و میر است. نام این علم بیم‌سنجی است و دامنه کاربرد گسترده‌ای در بیمه، بیمه اتکایی، صندوقهای بازنشستگی و برنامه‌های تأمین اجتماعی دارد.
افدرا اِفِدرا یا افدرا سینیکا نام گیاهی‌است که کاربرد امروزیش بیشتر در طب سنتی چین است. این گیاه وابسته به سرده ریش بز است. احتمال می‌رود که این گیاه همان هوم مورد استفاده در آیین‌های دینی هندوایرانیان بوده‌باشد. از دید زبان‌شناسی هم احتمال قوی می‌رود که این افدرا همان هوم باستانی باشد، زیرا در برخی زبان‌های ایرانی هنوز بدین گیاه هوم یا چیزی نزدیک بدان می‌گویند و زبان‌های هندی ناحیهٔ نورستان افدرا را سوم یا سومه می‌خوانند.
غرق‌شدگی در بیمار ساده غرق شدگی بدون تروما، خطر آسیب گردنی وجود ندارد ولی احتمال آسپیراسیون را می‌بایست مد نظر قرار داد. داده‌ها هنوز کافی نیستند تا بتوان مانور هایملیچ (Himlich) را در قربانیان غرق شدگی جایز دانست، در هر صورت کاربرد این مانور هنوز بحث‌انگیز است. آسپیراسیون جسم خارجی در غرق شدگی معمول نیست، اگرچه احتمال آسپیراسیون شن و ریگ را باید در نظر داشت.
کژگزینی بیشترین کاربرد اصطلاح کژگزینی در بازار بیمه است. کژگزینی شرایطی را توصیف می‌کند که در آن تقاضای فردی برای بیمه کردن (تمایل به خرید بیمه یا مقدار خریداری شده یا هر دو) رابطه مثبتی با احتمال مرگ یا مریضی فرد دارد (فردی که احتمال مرگ یا مریضی او بیشتر است، تمایل بیشتری به بیمه کردن خود دارد) و از طرف دیگر، بیمه گر قادر نیست این رابطه مثبت را در قیمت بیمه خود اعمال کند. این شرایط به دو دلیل اتفاق می‌افتد؛
تابع درست‌نمایی در آمار، تابع درست‌نمایی (که اغلب برای سادگی درست‌نمایی خوانده می‌شود) تابعی از پارامترهای مدل آماری است که نقش کلیدی در آمار استنباطی ایفا می‌کند. تابع درست‌نمایی برابر است با احتمال آنکه به ازای مقادیری معین برای تعدادی پارامترهای آماری، نتایج مشاهده شده حاصل شود. به زبان ریاضی، اگر X مجموعه‌ای از داده‌های مشاهده شده و formula_1 مجموعه‌ای از پارامترها باشد، آنگاه احتمال شرطی formula_2 را می‌توان formula_3، احتمال درستی formula_1 براساس formula_5 دانست. حال اگر formula_5 ثابت نگه داشته شود و formula_1 تغییر داده شود، به وضوح می‌توان دید که formula_3 تابعی از formula_1 است.
رودلف کارناپ رودلف کارناپ برخلاف ریچارد فون میزز معتقد بود که حساب احتمالات و مفهوم احتمال شرطی در بسیاری گزاره‌ها و نظریه‌ها کاربرد دارد.
تابع یکنوا یک کاربرد مهم تابع یکنوا در نظریه احتمال است. اگر formula_31 یک متغیر تصادفی باشد، تابع توزیع تجمعی آن formula_32 صعودی یکنواست.
نظریه آمار جدا از ملاحظات فلسفی دربارهٔ چگونگی مداخله و تصمیم‌گیری آماری، نظریه آمار شامل آمار ریاضیاتی می‌باشد، و ارتباط تنگاتنگی با نظریه احتمال، نظریه مطلوبیت و نظریه بهینه‌سازی دارد.
نمودار چندک-چندک واژه «نمودار احتمال» گاهی اوقات به‌طور مخصوص به نمودار چندک-چندک، گاهی اوقات به طبقه‌ای عمومی‌تر از نمودارها و گاهی نیز به نمودار کم کاربرد P-P اشاره دارد. ضریب همبستگی نمودار احتمال مقداری است که از ایده نمودارهای چندک-چندک به دست آمده‌است، و توافق یک توزیع ثابت را با داده مشاهده شده اندازه‌گیری می‌کند و گاهی به عنوان ابزاری برای تناسب یک توزیع به داده به کار می‌رود.
فیلترینگ اسپم بیزی به دلیل بالا بودن خطاها در ابتدای استفاده از روش بیزی برای فیلترینگ اسپم، راه‌هایی برای ترکیب احتمال‌ها وجود دارد. این روش‌ها با فرضیاتی که از آمار و اطلاعات ورودی محاسبه می‌شود فرق دارد. این فرضیات به‌طور اساسی با فرمول‌هایی که با ترکیب احتمال‌ها به دست آوردیم فرق دارند. برای مثال با فرض احتمال‌های مستقل و با استفاده از توزیع کی دو با درجهٔ آزادی formula_34 می‌توان فرمول زیر را داشت: وقتی که formula_36 تابع توزیع معکوس کی دو باشد. احتمال‌های مستقل می‌توانند با روش فرق‌گذاری مارکوین نیز ترکیب شوند.
دامنه (آمار) در صورتی که هر کدام از ای متغیرها دارای تابع توزیع تجمعی formula_7 و تابع جرم احتمال formula_8 باشند، در این صورت تابع جرم احتمال دامنه ی این formula_4 متغیر برابر است با:
توزیع کی در نظریه امار و احتمال، توزیع احتمال chi یک توزیع پیوسته‌است. این توزیع برابر ریشه جمع مربعات مجموعه ای از متغییرهای تصادفی است که هر یک به‌طور مستقل از توزیع نرمال پیروی می‌کنند.
توزیع نرمال پوشیده توزیع نرمال پوشیده یک توزیع پیوسته در نظریه احتمال و آمار است. این توزیع در رابطه با توزیع نرمال است. تابع تجمعی احتمال آن به صورت زیر است: واریانس آن نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:
آمار پزشکی آمار پزشکی به کاربرد آمار در پزشکی و علوم بهداشتی، شامل همه‌گیرشناسی، بهداشت عمومی، پزشکی قانونی و تحقیقات بالینی می‌پردازد.
آمار چندمتغیره آمار چندمتغیره شاخه‌ای از آمار است که به تحلیل داده‌هایی می‌پردازد که از مشاهدهٔ چند متغیر تصادفی جمع‌آوری شده‌است. یکی از اهداف آمار چندمتغیره، بررسی وابستگی‌ها بین متغیرهای مشاهده‌شده است. آمار چندمتغیره به بررسی توزیع‌های احتمال چندمتغیره می‌پردازد تا آنهایی که برای مدل‌سازی داده و استنباط آماری مناسب هستند را تشخیص دهد.
دانیل برنولی دانیل در دانشگاه بازل، ۹ مقاله علمی در زمینه‌های احتمال، آمار و جمعیت‌شناسی به رشته تحریر درآورد که در آن میان شاخص‌ترین نوشته وی؛ مقاله‌ای بود با عنوان «توضیحی بر یک نظریه جدید برای محاسبه مقادیر ریسک» که امروزه بیش از سایر مقاله‌های او یادآور نامش است. این مقاله در سال ۱۷۳۷ منتشر شد و پایه و اساسی بود برای واژه مطلوبیت مورد انتظار که امروزه در علم اقتصاد کاربرد فراوانی دارد. مطلوبیت مورد انتظار دانیل برنولی که در سال ۱۷۳۷ توسط وی مطرح شد توانست جوابی برای پارادوکس سن پیترزبورگ بیابد؛ که وی آن را در سال ۱۷۳۸ به‌طور رسمی با نوشتن نامه‌ای به آکادمی سلطنتی علوم سن پیترزبورگ رسماً معرفی نمود. پارادوکس در مسئله از آنجا ناشی می‌شد که امید ریاضی در مسئله بی‌نهایت بود. در حالی که می‌بایست مقداری متناهی برای آن یافت می‌شد. مطلوبیت مورد انتظار از روی تابع مطلوبیت نهایی محاسبه می‌گردید. مطابق این معما، احتمال برد در یک بازی «منصفانه» بی‌نهایت است. بازی منصفانه آن است که در آن هرگز از بازیگر خواسته نمی‌شود که مبلغی بیش از امید برد، یعنی مبلغ شرط ضرب در احتمال برد، بپردازد. از آنجا که هیچ‌کس حاضر نیست در بازی سن پیترزبورگ مبلغ نامحدودی بپردازد، لذا این معما ایراد دارد و در واقع نوعی نقیض (پارادوکس) است. برنولی این معما را با این استدلال حل کرد که هیچ‌یک از طرفین بازی سعی در به حداکثر رساندن امید برد بازی ندارد، بلکه کوشش می‌کند تا میزان «مطلوبیت» بازی را افزایش دهد.
شاخص پراکندگی در آمار و احتمال، شاخص پراکندگی یک شاخص استاندارد شده برای سنجش میزان پراکندگی یک توزیع احتمال است. شاخص پراکندگی به صورت کسر واریانس formula_1 بر میانگین formula_2 تعریف می‌شود:
ابوالقاسم بزرگ‌نیا ۱ـ نظریه آمار، (جلد ۱)، چاپ اول ۱۳۶۷، چاپ دوم ۱۳۷۱، (کتاب سال مرکز نشر دانشگاهی). ۲ـ نظریه آمار، (جلد ۲)، مرکز نشر دانشگاهی، (چاپ دوم ۱۳۷۱). ۳ـ تجزیه و تحلیل سریهای زمانی و پیش‌بینی، با همکاری دکتر نیرومند، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد. ۴ـ مبانی بررسیهای نمونه ای، با همکاری دکتر صادقی، انتشارات آستان قدس مشهد، سال ۱۳۷۰. ۵ـ روشهای نمونه گیری، با همکاری دکتر حسینیون، انتشارات آستان قدس، مشهد، ۱۳۶۸. ۶ـ طرح و تحلیل آزمایشهای کشاورزی، با همکاری دکتر سرافراز، انتشارات آستان قدس، مشهد، ۱۳۷۲. ۷ـ کاربرد الگوهای احتمال، مشهد ۱۳۶۹. ۸ـ تلخیص داده‌ها و تجزیه و تحلیل خطا، با همکاری دکتر عدالتی، انتشارات آستان قدس، مشهد، ۱۳۶۹. ۹ـ آنالیز چند متغیره. ۱۰ـ آمار چند متغیره کاربردی، با همکاری دکتر ارقامی، انتشارات آستان قدس، مشهد ۱۳۷۰. ۱۱ـ تحلیل فراوانی زمانی و پیش‌بینی، مشهد۱۳۷۰. ۱۲ـ سریهای زمانی و پیش‌بینی، مشهد ۱۳۷۰. ۱۳ـ آمار گسسته، با همکاری دکتر مشکانی، انتشارات آستان قدس، مشهد۱۳۷۲. ۱۴ـ نظریه کنترل، با همکاری دکتر حیدریان، انتشارات آستان قدس، مشهد۱۳۷۲. ۱۵ـ مبانی ریاضیات، با همکاری دکتر نیکنام، (کتاب سال) مشهد ۱۳۶۹. ۱۶ـ مبانی آنالیز از دیدگاه توپولوژی، با همکاری دکتر نیکنام، (کتاب سال)، مشهد۱۳۷۰. ۱۷ـ معادلات دیفرانسیل و نظریه پایداری، با همکاری دکتر هنری، (کتاب سال)، ۱۳۶۹. ۱۸ـ جبر خطی، با همکاری دکتر رجب زاده، (کتاب سال)، (چاپ دوم ۱۳۶۹). ۱۹ـ مبانی ریاضی فیزیک، با همکاری دکتر عدالتی، ۱۳۶۸. ۲۰ـ حل المسائل آنالیز ریاضی، (جلد ۱)، سال ۱۳۶۷. ۲۱ـ حل المسائل آنالیز ریاضی، (جلد ۲)، انتشارات آستان قدس، ۱۳۶۷. ۲۲ـ مقدمه ای بر تحلیل سریهای زمانی، با همکاری دکتر نیرومند، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۲ ۲۳ـ کنترل کیفیت در هیدرولوژی، با همکاری دکتر رضایی پژند، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۳ ۲۴ـ آنالیز عددی، با همکاری دکتر توتونیان، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۳ ۲۵ـ نظریه مدرن احتمال، با همکاری دکتر علامتاز، انتشارات دانشگاه اصفهان، ۱۳۷۴. ۲۶ـ مقدمه ای بر آمار و احتمال مهندسی، با همکاری مجید اسدی، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۴ ۲۷ـ اولین درس احتمال، با همکاری دکتر نیرومند، دکتر آذرنوش، دکتر مشکانی، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۴ ۲۸ـ سریهای زمانی، با همکاری دکتر نیرومند، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۷۴
پراکندگی (آمار) در آمار و احتمال منظور از سنجش‌های پراکندگی اعدادی است که تغییرات یک متغیر تصادفی را حول امید ریاضی آن نشان می‌دهند.
نظریه احتمالات به‌طور استدلالی می‌توان گفت که کشف روش‌های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی‌های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته‌است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی‌ها که به‌طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده‌است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت‌ها و ارزیابی‌های احتمال صورت می‌گیرد و چگونه آن‌ها می‌توانند در تصمیم‌گیری‌ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.