mteb/MIRACLReranking huggingface dataset:
منطقة السكوت والكثير من سكان المنطقة هجروها لمناطق داخل السودان كالعاصمة (الخرطوم) أو في الخارج كالمملكة العربية السعودية، ودولة الإمارات العربية المتحدة، ودول الخليج عموماً، والدول العربية الأخرى، ودول الإتحاد الأوروبي، والولايات المتحدة الأمريكية. وهذه الهجرة غالباً ما تكون لطلب الرزق، وهناك عودة ملحوظة للمهاجرين بسبب خطط التنمية الجارية في البلاد.
الفلبينيون في الإمارات العربية المتحدة مع إزدياد عدد المسافرين الفلبينين أعلنت مكاتب العمل الفلبينية في الإمارات عن زيادة عدد الرحلات المباشرة بين البلدين.
أثرت الأزمة المالية العالمية في 2008-2009 على العمال الفلبينيين في دولة الإمارات العربية المتحدة، ففي شهر ديسمبر 2008 فقط، فقد 3000 عامل فلبيني وظائفهم. ليتقلص إجمالي عدد السكان في نهاية عام 2008 بنسبة 20% عن ما كان في نهاية عام 2007.
الدينار الإسلامي الحديث كما طرحت مجموعة أخرى من الدراهم الفضية بوزن 3 جرامات من الفضة الخالصة، بغرض التداول في دولة [[الإمارات العربية المتحدة]]، وذلك بالتعاون بين مجموعة مؤسسات هي: دار سك العملات الإسلامية باعتبارها جهة الإصدار؛ و[[شركة الإمارات جولد]] التي تولت عملية السك؛ و[[مجموعة الرستماني للصرافة]] التي تقوم بترويج تداول الدينار وتبديله، بينما قدم [[مصرف الإمارات المركزي]] التسهيلات الفنية والقانونية لإعادة سك هذه العملات والموافقة على تداولها.
المجلس الوطني للسياحة والآثار (الإمارات) يهتم المجلس بالفعاليات الثقافية والسياحية التي تنظم في الإمارات ومنها:
من أبرز إنجازات المجلس الوطني للسياحة والآثار في العام 2011، مساهمته بفوز دولة الإمارات العربية المتحدة بعضوية المجلس التنفيذي للهيئة العامة المركز الدولي لدراسة صون وترميم الممتلكات الثقافية والتي جرت خلال مشاركة وفد الدولة في الاجتماع السابع والعشرين للمركز بالعاصمة الإيطالية روما. ويعمل المجلس الوطني للسياحة والأثار مع الشركاء العالميين بما في ذلك الحكومات والهيئات الدولية والمجتمع المدني لحماية التراث في دولة الإمارات العربية المتحدة، بالإضافة إلى حماية المواقع الرئيسية لضمان استمرار تمتع المقيمين والسياح على حد سواء بثقافة وآثار دولة الإمارات العربية المتحدة خلال السنوات القادمة.
الإمارات العربية المتحدة ترأس الدولة الشيخ زايد بن سلطان آل نهيان حاكم إمارة أبوظبي، والشيخ راشد بن سعيد آل مكتوم حاكم إمارة دبي نائبًا لرئيس الدولة وشُكل المجلس الأعلى للاتحاد من الرئيس ونائبه وباقي حكام الإمارات الموقعة على الدستور، وشكل مجلس وزراء الإمارات برئاسة الشيخ مكتوم بن راشد آل مكتوم. وانضمت الإمارات إلى جامعة الدول العربية في 6 ديسمبر 1971، والأمم المتحدة في 9 ديسمبر 1971؛ وأنشأ المجلس الاستشاري الاتحادي في يوليو 1971 ليعقد أولى جلساته في 13 ديسمبر سنة 1972، وأعيدت هيكلته تحت اسم المجلس الوطني الاتحادي عام 1975. ولاحقًا، كانت الإمارات من الدول المؤسسة لمجلس التعاون لدول الخليج العربية في قمة أبو ظبي يوم 25 مايو 1981.
شوقي ضيف - العصر الجاهلي
– العصر الإسلامي
– العصر العباسي الأول
– العصر العباسي الثاني
- عصر الدول والإمارات (الجزيرة العربية – العراق – إيران)
– عصر الدول والإمارات (الشام)
– عصر الدول والإمارات (مصر)
– عصر الدول والإمارات (الأندلس)
- عصر الدول والإمارات (ليبيا – تونس – صقلية)
– عصر الدول والإمارات (الجزائر – المغرب الأقصى – موريتانيا – السودان).
التكوين الاجتماعي للسعودية يبلغ تعداد سكان المملكة العربية السعودية حوالي 32,552,336 مليون نسمة 
المجتمع السعودي يتألف من ثلاث تجمعات مشهورة: بادية و ريف و حاضرة . حيث تمثل فئة البادية 21,77٪ و الريف 26,87٪ و الحاضرة 51,36٪. وتتشكل في الحاضرة غالبا الأسر النواة (أي الصغيرة المكونة فقط من أب وأم وأطفال)، أما الأسر الممتدة فتوجد في الريف و البادية.. وتبلغ نسبة السعوديين من مجموع السكان 69,9٪، نسبة الذكور منهم 50,9٪ فيما تبلغ نسبة الإناث 49,1٪. يتركز ما نسبته 65,6٪ من السكان في إمارة منطقة الرياض و إمارة منطقة مكة المكرمة و إمارة المنطقة الشرقية فيما يتوزع الباقون على باقي إمارات المناطق و بعضهم سعوديين في الخارج.
ضريبة القيمة المضافة في الإمارات وتشمل دول مجلس التعاون الخليجي خمسة من الدول بالإضافة إلى دولة الأمارات وهي المملكة العربية السعودية، ودولة البحرين، والكويت، وقطر، وعمان، وقد بدأت كل من دولة الإمارات العربية المتحدة والمملكة العربية السعودية بطبيق ضريبة القيمة المضافة بداية من عام 2018 يوم 1/1/2018 من الساعة السابعة صباحاً والتي طبقت بنسبة 5% علي عدد كبير من السلع ويتم جني تلك الضريبة في كل مرحلة من مراحل السلع بداية من المادة الخام حتي المنتج النهائي ويتم التجميع ويضاف الي السعر النهائي للسلعة( القيمة الكلية للضريبة ) ولقد تم تطبيق ضريبة القيمة المضافة بدولة الأمارات بالكامل ماعدا المناطق التجارية الحرة بدولة الأمارات.
التنمية الاقتصادية في الإمارات اكبر برزت دولة الإمارات العربية منذ قيامها في عام 1971م ، كواحدة من أنجح التجارب الاتحادية في العالم  العربي المعاصر ، وبفضل القيادة الحكيمة لصاحب السمو الشيخ زايد بن سلطان آل نهيان الذي تولى مقاليد الحكم في إمارة أبوظبي عام  1966 ورئاسة الدولة الاتحادية في عام 1971م ، تحولت الإمارات السبع التي كانت متفرقة وفقيرة إلى دولة واحدة تتمتع بالازدهار والاستقرار. 
ومزجت دولة الإمارات العربية المتحدة بين المهارات والخبرات التجارية لمواطنيها المكتسبة من كونها مركزاً للتجارة البحرية وصناعة اللؤلؤ  منذ القدم ، وبين العائدات النفطية التي بدأت تتدفق في عام 1962م ، لخلق دولة رفاهية تتسم في الوقت نفسه باقتصاد متنوع . وأصبحت  الدولة الآن مركزاً إقليمياً رئيسياً للصناعة والخدمات بفضل احتياطياتها الضخمة من النفط  ، حيث تعتبر الثالثة في العالم من حيث الاحتياطيات النفطية والرابعة من حيث احتياطيات الغاز  .
أم القيوين أم القيوين هي إحدى إمارات دولة الإمارات العربية المتحدة. تقع في شمال الدولة، ويحكمها حاليًا سمو الشيخ سعود بن راشد المعلا عضو المجلس الأعلى للاتحاد، وولي عهده سمو الشيخ راشد بن سعود بن راشد المعلا، و نائب الحاكم سمو الشيخ عبد الله بن راشد المعلا. عاصمتها مدينة أم القيوين. عدد سكان الإمارة 49000 نسمة (عام 2000)، ومساحتها 750 كم.
قطر قَطَر هي دولة عربية تقع في شرق شبه الجزيرة العربية في جنوب غرب آسيا مطلة على الخليج العربي وعاصمتها الدوحة. لها حدود برية مشتركة من الجنوب مع المملكة العربية السعودية وبحرية مع دولة الإمارات العربية المتحدة، مملكة البحرين. وفي أعقاب الحكم العثماني، أصبحت قطر محمية بريطانية في أوائل القرن العشرين حتى حصولها على الاستقلال في عام 1971 م. وقد حكمت قطر أسرة آل ثاني منذ منتصف القرن التاسع عشر بعد فترة قصيرة من قدومها من محافظة أشيقر في نجد . نظام الحكم في قطر إمارة وراثية دستورية، وحاكم الدولة هو الأمير تميم بن حمد بن خليفة آل ثاني. وافق الشعب على الدستور بأغلبية ساحقة في استفتاء دستوري، بنسبة 98٪ تقريباً لصالح المشروع . وكان مجموع السكان في قطر في عام 2013 م، 1.8 مليون نسمة: يبلغ عدد المواطنين القطريين الأصليين 300،000 والأجانب 1.5 مليون. تعد دولة قطر هي المجتمع الأكثر محافظة بعد المملكة العربية السعودية في دول مجلس التعاون الخليجي.
قائمة الوزارات في دولة الإمارات العربية المتحدة وزارة السعادة في الإمارات هي وزارة تم انشائها في الإمارات عام 2016، ويسمى الوزير وزير دولة للسعادة ومن أهم مهامه موائمة كافة خطط دولة الإمارات العربية المتحدة وبرامجها وسياساتها لتحقيق سعادة المجتمع. استحدث هذا المنصب في 8 فبراير 2016
وأول وزيرة شغلت المنصب هي عهود خلفان الرومي.
الإسلام في الإمارات العربية المتحدة تشير تقديرات غير رسمية إلى أنه على الأقل يوجد 15% من تعداد سكان الإمارات -المواطنين وغير المواطنين- هم من الهندوس و5% بوذيين و5% ينتمون إلى مجموعات دينية أخرى منها المسيحية والبارسيين والبهائية والسيخية. تختلف هذه التقديرات عن نتائج الإحصاء السكاني وذلك لأن الإحصاء السكاني في الإمارات لا يحتسب المقيمين غير الإماراتيين الذين يقيمون في البلاد بشكل مؤقت، كما أنه يحتسب البهائيين والدروز على أنهم مسلمين .
زايد بن سلطان آل نهيان وخلال أعوام الستينيات، استضافت دولة الإمارات العربية المتحدة اتحاد رعاية حقوق الحيوان، ثم في عام 1976، عقدت الإمارات وللمرة الأولى المؤتمر الدولي للصيد بالصقور واستبقائها، وتمخض المؤتمر عن إصدار قانون بحظر الصيد باستخدام المتفجرات. وبحلول عام 1983 فرض حظرًا على الصيد بالأسلحة النارية في الإمارات العربية المتحدة. وقد حققت الإمارات نجاحا ملحوظا على صعيد تكاثر المها العربية في الأسر بعد إحضار عدد من الحيوانات المتبقية منها في الحياة البرية في بداية الستينات وذلك بناء على تعليمات الشيخ زايد بن سلطان آل نهيان. وبات مستقبل هذا النوع من الكائنات مضمونا حاليا بعد أن كان قد وصل إلى حافة الانقراض. الإمارات العربية المتحدة موطن ما يزيد على 3000 من حيوانات المها العربية (Oryx).. كما أمر أيضا بغرس ما يزيد على 140 مليون شجرة في جميع أنحاء الدولة.
إكسبو 2020 تسبق استضافة هذا الحدث احتفالات دولة الإمارات العربية المتحدة باليوبيل الفضي في عام 2021. ورغم أن نصف قرن هي فترة غير طويلة في حياة الإنسان, غير أن هذه الفترة كانت كفيلة بجعل الإمارات واحدة من أكثر دول العالم شباباً إلى جانب كونها من البلدان الفتية سكانياً، إذ أن أكثر من 50% من سكانها ما زالوا دون سن العشرين.
سياسة الإمارات العربية المتحدة تتمتع دولة الإمارات العربية المتحدة بدستور اتحادي تم التوقيع عليه في 2 ديسمبر 1971 من قبل ست إمارات عدا إمارة رأس الخيمة والتي انضمت إليه في 10 فبراير 1972. كان الدستور في ذلك الوقت مؤقتا حتى أعتمد نهائيا مع إضافة بعض التعديلات عام 1996.بحسب ممارسة نظام الحكم في الدولة فإنه أشبه بنظام ملكي اتحادي متعدد بحيث ينتخب رئيس الدولة ونائبه من حكام الإمارات السبعة أعضاء المجلس الأعلى للاتحاد فقط ويكون اختصاص الإمارة هو الأصل واختصاص الاتحاد هو الاستثناء.
النزاعات الإقليمية في الخليج العربي بعد حصول دولة الإمارات العربية المتحدة على استقلالها عام 1971، أيدت بريطانيا إطالة حدودها غربا حتى حدود قطر، في حين أن المملكة العربية السعودية ادعت ملكيتها لتلك الأراضي وتحدثت عن أنها الدولة الوحيدة التي تحاذي قطر. تم اتفاق سري وُقع في عام 1974 بين السعودية والإمارات دون علم قطر لم يُنشر إلا في عام 1995، منح هذا الاتفاق السعودية ساحلي شرقي خور العديد في مقابل تنازلها عن واحة البريمي وهي الآن العين في المنطقة المتنازع عليها منذ القرن التاسع عشر الميلادي بين القبائل من المملكة العربية السعودية وسلطنة عمان ودولة الإمارات العربية المتحدة. كان ظروف الاتفاق أن الإمارات التي حصلت على استقلالها قبل ذلك بثلاث سنوات، كانت تبحث عن اعتراف دولي ومخرج بحري في جنوب الخليج. كان من تبعات هذا الاتفاق تخصيص عائدات حقل شيبه النفطي في المنطقة الحدودية المتنازع عليها بينها والذي ينتج أكثر من مليون برميل في اليوم للمملكة العربية السعودية.
تصنيفات دولية للإمارات العربية المتحدة التصنيفات الدولية للإمارات العربية المتحدة هي كالتالي:
زمرة (رياضيات) ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.
تناظر الترجمة الزمنية تناظر الترجمة الزمنية أو تماثل الترجمة الزمنية (TTS) هو تحويل رياضي في الفيزياء يتحرك في أوقات الأحداث عبر فاصل زمني مشترك. إن تناسق ترجمة الوقت هو الفرضية القائلة بأن قوانين الفيزياء لم تتغير (أي غير ثابتة) في مثل هذا التحول. إن تناسق ترجمة الوقت هو طريقة صارمة لصياغة فكرة أن قوانين الفيزياء هي نفسها عبر التاريخ. يرتبط تناظر الترجمة الزمنية ارتباطًا وثيقًا ، عبر نظرية مبرهنة نويثر ، بحفظ الطاقة . في الرياضيات ، تشكل مجموعة الترجمات الزمنية على نظام معين زمرة لاي.
هناك العديد من التماثلات في الطبيعة إلى جانب الترجمة الزمنية ، مثل تناظر انتقالي أو التناظر الدوراني . يمكن كسر هذه التناظرات وشرح ظواهر متنوعة مثل البلورات ، الموصلية الفائقة ، وآلية هيغز . ومع ذلك ، كان يعتقد حتى وقت قريب أنه لا يمكن كسر تناظر الترجمة الزمني. بلورات الزمن ، وهي حالة تم رصدها لأول مرة في عام 2017 ، تعمل على كسر تناسق ترجمات الوقت.
تعتبر التناظرات ذات أهمية قصوى في الفيزياء وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالفرضية القائلة بأن بعض الكميات الفيزيائية تكون نسبية وغير مرئية. تنطبق التماثلات على المعادلات التي تحكم القوانين الفيزيائية (على سبيل المثال إلى هاملتوني أو لاغرانج) بدلاً من الشروط الأولية،أو القيم أو حجم المعادلات نفسها،وتذكر أن القوانين تظل دون تغيير في ظل التحول. إذا تم الحفاظ على التماثل تحت التحول فإنه يقال إنه غير ثابت.التناظر في الطبيعة يؤدي مباشرة إلى قوانين الحفظ ، وهو الشيء الذي صاغته بدقة نظرية مبرهنة نويثر.
تناظر (فيزياء) التناظر في الفيزياء أو التشابه الفيزيائي يشير إلى خواص تمتلكها بعض الأنظمة الفيزيائية تجعلها قادرة على العودة إلى حالتها الأصلية بعد إجراء عدة تحويلات في بُعدين أو ثلاث، وهذا يفسر كيف أن تناظر النظام الفيزيائي يعتبر سمة رياضية أو فيزيائية لمعظم الأنظمة (المقيسة أو الضمنية) التي تبقى ثابتة محافظة تحت أي تغير؛ وبالتالي فإن النسبة بين أي كميتين متقابلتين تبقى ثابتة.
التحويل الفيزيائي يمكن أن يكون مستمرا مثل دوران لشكل دائري أو متقطعا مثل الانعكاس لشكل متناظر ثنائي الجوانب، التناظرات المستمرة يمكن أن توصف عن طريق زمر لاي في حين أن التناظرات المتقطعة يتم وصفها عن طريق زمر منتهية (انظر زمرة التماثل). 
بشكل عام تخضع التناظرات في الفيزياء لصياغات رياضية ويمكن استغلالها لتبسيط مسائل متعددة.
زمرة (رياضيات) ليست الزمر مفيدة في تقييم الآثار الناتجة عن التناظرات في الجزيئات فحسب، ولكن من المدهش أنها تتنبأ أيضًا بأنه يمكن للجزيئات في بعض الأحيان أن تغير من تناظرها. تأثير جان-تيلر هو تشويه جزيء ذي تناظر عالٍ عندما يتخذ حالة قاعية ما ذات تناظر أقل من مجموعة الحالات القاعية الممكنة المرتبطة ببعضها من خلال عمليات التناظر للجزيء.
زمرة (رياضيات) في الرياضيات، الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البدبهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
تناظر مركزي عندما يكون هناك تناظر مركزي فإنه من أجل كل نقطة (x, y, z) في وحدة الخلية هناك نقطة مقابلة لها الإحداثيات (x, -y, -z-). توصف هذه الزمر النقطية أيضاً في هذه الحالة بأن لها "تناظر انقلابي". يعرف هذا الأمر في الهندسة الرياضية باسم التناظر النقطي (أو الانعكاس النقطي).
تماثل (رياضيات) التماثل في الرياضيات هو دالة من بنية رياضية إلى بنية من نفس النوع، بحيث تحافظ على الخواص الأساسية، أشهر أمثلة التماثلات هو دالة اللوغاريتم والتي تعتبر تماثلا بين زمرة الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب وزمرة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع.
يستخدم التماثل في الرياضيات لتصنيف البنى والكائنات الرياضية، فوجود تماثل بين بنيتين رياضيتين يعني تشابههما في كثير من الجوانب، ويسمى التماثل تشاكلا إذا كانت دالة التماثل عبارة عن تناظر أحادي، وفي هذه الحالة تعتبر البنيتين معبرتان عن كائن رياضي واحد.
زمرة إفريز زمرة إفريز أو الزمرة الافريزية هي مفهوم رياضي لتصنيف تصاميم متكررة باتجاه واحد على سطح ثنائي الأبعاد تعتمد على تناظر النمط. وتستعمل هذه التصاميم، في العادة، في مجالات الهندسة المعمارية وفن الزخرفات. والبحث الرياضي في هذا الموضوع يظهر وجود سبعة أنواع مختلفة يمكن تشكيلها لهذه الأنماط. اما مجال دراسة المجموعات الأفريزية في فضاء ثلاثي الأبعاد فيسمى مجموعة ورق الجدران. وتصور المجموعات الأفريزية بشكل مبسط كأنماط متكررة بانتظام للشكل المعين.
ملخص المجموعات السبعة:
زمرة نقطية الزمرة النقطية في الهندسة هي زمرة عمليات التناظر التي تترك نقطة واحدة على الأقل دون أن تحركها. رغم أنه يمكن لعنصر منفصل أن يحمل أي رمز شونفليز، فإن شرط وجود تناظر في شبكية يقتضي أن تكون محاور التناظر الأحادي والثنائي والثلاثي والرباعي والسداسي ممكنة (قصور بلوري)، مما يمنع العدد الممكن لما يسمى الزمر النقطية البلورية من الزيادة عن 32.
زمرة (رياضيات) لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في المجموعات)، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عمليتها. يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف بالزمر الجزئية وزمر خارج القسمة. إن مبدأ "الحفاظ على البنى" هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر.
زمرة (رياضيات) إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة الكسور
وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث formula_224) بالأعداد الكسرية. ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز formula_225. لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب formula_226 زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد formula_227 يحقق المعادلة formula_228)، وبالتالي لا تزال formula_226 ليست زمرة.
زمرة (رياضيات) ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي: يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية formula_109 من formula_1 على أنها تطبيق تبايني formula_213، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات الشمولية، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق formula_190. إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة وصورة تشاكلات الزمرة ومبرهنة تساوي الشكل الأولى.
دلتاي دلتاي يعتبر من الفلاسفة الأكثر نفوذا في فلسفة الحياة. وقد ارتبط ارتباطا وثيقا بالحركة التاريخية أو بفلسفة التاريخ، التي اعتبرها فلسفة للفهم.التي هي أداة للكشف عن الحياة في الحياة. تفكير دلتاي يرتكز أساسيا على ما يلي: - قبوله للنظرية القائلة بأن الفلسفة تنشأ من مشكلة الحياة اليومية.- قبوله بأن الفلسفة يجب أن ترتبط ارتباطا وثيقا بمعرفة الحياة.
زمرة (رياضيات) يُقال إن الزمرة منتهية إذا امتلكت عدد محدودًا من العناصر. ذلك العدد يطلق عليه رتبة تلك الزمرة. وتعد الزمر المتماثلة formula_309 من أهم أصنافها، وهي زمر تباديل العدد N من الرموز. على سبيل المثال، تتكون الزمرة المتماثلة في ثلاثة رموز formula_310 من كل التسلسلات الممكنة للحروف اللثلاث formula_311، أي formula_311 و formula_313 وهكذا حتى formula_314، وعددها في المجمل 6 (عاملي 3). ويكون هذا الصنف أساسيًّا طالما أن أي زمرة منتهية يمكن التعبير عنها في صورة زمرة جزئية من زمرة متماثلة formula_309 حيث formula_183 عدد صحيح مناسب (مبرهنة كيلي). وكما في زمرة تماثلات المربع المشروحة أعلاه، يمكن تناول الزمرة formula_317 على أنها زمرة تماثلات مثلث متساوي الأضلاع.
زمرة (رياضيات) نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.
زمرة (رياضيات) يعطي هذا معاني أعمق لدراسة الكائن المؤثَّر عليه بتأثير زمري ما. ومن ناحية أخرى، فإنه يعطي أيضا معلومات عن الزمرة. إن تمثيلات الزمر مبدأٌ منظِّم في نظرية الزمر المنتهية وزمر لي والزمر الجبرية والزمر الطوبولوجية وخاصةً الزمر المتراصة (محليًّا).
لقد طُوِّرت "زمر غالوا" للمساعدة في حل المعادلات كثيرة الحدود من خلال تمثيل خصائصها التناظرية. فمثلًا تكون حلول المعادلة التربيعية formula_307 معطاةً من خلال
يمكن النظر إلى المبادلة بين "+" و "-" في التعبير السابق، أي تبديل حلى المعادلة، بمثابة عملية زمرية بسيطة جدًّا. وتوجد صيغ مماثلة معروفة للمعادلات التكعيبية والرباعية، ولكن هذا لا ينطبق عامة على الدرجة الخامسة وما فوقها. الخصائص التجريدية لزمر غالوا المتعلقة بكثيرات الحدود (خاصةً قابليتها للحلحلة) تعطي معيارًا لكثيرات الحدود التي يمكن التعبير عن كافة حلولها بالجذور، أي باستخدام الجمع والضرب والجذور فقط كما في الصيغة أعلاه.
زمرة (رياضيات) إن لهذا وأمثالِه من طرق كسر التناظر التلقائي المزيدَ من التطبيقات في فيزياء الجسيمات الابتدائية، حيث أن حدوثهم مرتبط بظهور بوزونات جولدستون.
مولادارا تعتبر شاكرا مولادارا كعجلة الجذر أو مركز الجذر أو الشاكرا الأصل حيث تقع في أسفل العمود الفقري في منطقة العصعص أو مركز الجهاز التناسلي، لذا فهي ترتبط بمركز طاقة الحياة ولونها الأحمر، وهي الأساس المادي للطبيعة المادية. وهي مقر طاقة الكوانداليني الكامنة، ومنها تبدأ بالصعود إلى الأعلى. وترتبط طاقة مولادارا بعنصر الأرض وطاقة الأملاح المعدنية ويرتبط ارتباطا أساسيا بحاسة الشم.
ثقافة الشاي الصينية أثَر الشاي بشكل كبير في تطور الثقافة الصينية ، وترتبط الثقافة الصينية التقليدية ارتباطا وثيقا بالشاي الصيني. وغالبا ما يرتبط الشاي بالأدب
والفنون والفلسفة ويرتبط بالإضافة إلى ارتباطه العميق بالطاوية والبوذية والكونفوشيوسية. تقريبا منذ عهد أسرة تانغ، أصبح شرب الشاي
جزءا أساسيا من تهذيب الذات. وترتبط فلسفة تشان الصينية (مشابهه لزان اليابانية) بفلسفة تتعلق بشرب الشاي.
زمرة (رياضيات) في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية formula_183، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي
تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية formula_1. formula_186 لكل formula_83 و formula_92 في formula_1. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق formula_190 الذي يربط إلى كل عنصر formula_83 مجموعته المشاركة formula_192 يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخصائص الشاملة. والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة formula_193، ومعاكس formula_192 في زمرة خارج القسمة هو formula_195.
عناصر زمرة خارج القسمة formula_196 هي formula_175 نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها formula_198. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا formula_199. إن كلًّا من الزمرة الجزئية formula_140 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن formula_139 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة formula_139 من الزمرة الجزئية formula_175 وخارج القسمة formula_196 يجرَّد بمفهوم يسمى الجداء شبه المباشر.
رياضيات تدرس الرياضيات التطبيقية الطرق والوسائل الرياضية التي تستعمل في مجالات أخرى كالهندسة والعلوم والأعمال والصناعة والتجارة. وترتبط الرياضيات التطبيقية ارتباطا كبيرا بالرياضيات البحتة.
دائرة الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.
التناظر في ميكانيكا الكم توضح هذه المقالة العلاقة بين الشكل الكلاسيكي من التناظرات المستمرة فضلا عن مؤثري الكَمّ، وتربطها بزمرة لاي، والتحولات النسبية في زمرة لورنتز وزمرة بوانكاريه
غليكوسيد في الكيمياء، الغليكوزيدات هي مجموعة من المركبات العضوية ترتبط فيه مجموعة سكرية مع زمرة أخرى عن طريق رابطة غليكوزيدية-أكسجينية أو رابطة غليكوزيدية-كبريتية ، في الحالة الأخيرة يمكن أن نطلق على الغليكوزيدات اسم "تيوغليكوزيدات" أو غليكوزيدات كبيريتية. تلعب الغليكوزيدات دورا أساسيا في الأحياء، كما تستخدم العديد من الغليكوزيدات النباتية كأدوية طبية.
زمرة فراغية تتكون الزمر الفراغية في الفضاء ثلاثي الأبعاد من تركيب 32 مجموعة نقط بلورية Crystallographic point group مع 14 شبكة برافيه والتي تنتمي إلى واحدة من الأنظمة البلورية السبعة. يتضمن هذا التركيب إجراء عمليات تناظر انزلاقي على وحدة الخلية بما فيها توسيط الشبكة البلورية، وعمليات التناظر من انعكاس ودوران وانعكاس دوراني، بالإضافة إلى إجراء عمليات تناظر أخرى مثل المحور اللولبي Screw axis و مستوي الانزلاق glide plane.
تناظر مركزي التناظر المركزي (Centrosymmetry) في علم البلورات هي خاصية تمتلكها أي زمرة نقطية عندما يكون لها مركز انقلاب كأحد عناصر التناظر.
مؤثر سطحي يجب أن نذكر أيضاً وجود روابط فان دير فالس بين السلسلة الهيدروكربونية (النمط المفضل في الزمرة الكارهة للماء) وجزئيات الماء. من جهة أخرى، ترتبط جزيئات الماء بعضها ببعض بروابط أقوى وبذلك تميل لإزاحة السلسلة الهيدروكربونية. وهذا يشرح لماذا يلعب حجم السلسلة الهيدروكربونية دوراً أساسيًا في انحلالية الفاعلات بالسطح.
غلوكوزيدات في الكيمياء ، "'الغلوكوزيدات" glycoside هي مجموعة من المركبات العضوية ترتبط فيه مجموعة سكرية مع زمرة أخرى عن طريق گليكوسيدي-أكسجيني O-glycosidic bond أو رابط گليكوسيدي-كبريتي S-glycosidic bond ، في الحالة الاخيرة يمكن أن نطلق على الغليكوزيدات اسم "تيوگليكوسيدات" thioglycosides أو گليكوزيدات كبيريتية . تلعب الگليكوسيدات دورا أساسيا في الأحياء ، كما تستخدم العديد من الگليكوسيدات النباتية كعقاقير طبية .
زمرة (رياضيات) وبالمثل تساعد نظرية الزمر في التنبؤ بالتغيرات في الخصائص الفيزيائية التي تنجم عن خضوع مادة ما لتحول طوري، كتحول المادة مثلًا من الشكل البلوري المكعبي إلى رباعي السطوح. وتعد المواد الفيروكهربية مثالًا على ذلك؛ حيث يحدث التغير من الحالة الباراكهربية إلى الحالة الكهربية الحديدية في درجة حرارة كوري، وهو مرتب بتغير من الحالة الباراكهربية عالية التناظر إلى الحالة الفيروكهربية الأقل تناظرًا، ويكون ذاك التغيير مصحوبًا بما يسمى نمط فونون لينًا، وهو نمط شبكية اهتزازية يصل فيه التردد إلى الصفر خلال الانتقال.
تناظر مركزي إن الزمر النقطية التي ليس لها مركز انقلاب، تكون غير متناظرة مركزياً، وهي تقسم إلى زمر نقطية قطبية "Polar" وزمر نقطية يدوانية (لا انطباقية) "chiral".
طاقة ديريشليت في الرياضيات، تعد طاقة ديريشليت مقياسًا لمدى تغير دالة رياضية. وبشكل تجريدي أكثر، فإنها دالة رياضية تربيعية في فضاء سوبوليف . وترتبط طاقة ديريشليت ارتباطًا وثيقًا بمعادلة لابلاس، وقد تمت تسميتها على اسم عالم الرياضيات الألماني دركليه .
إيمي نويثر أماليا إيمي نويثر (23 مارس 1882 - 14 أبريل 1935) هي عالمة رياضيات ألمانية، مشهورة بإسهامها الهامة في الجبر التجريدي والفيزياء النظرية.
وصفها بافل ألكسندروف وألبرت أينشتاين وهيرمان فايل ونوربرت فينر بأنها أهم امرأة في تاريخ الرياضيات. قامت بثورة جبارة في الجبر التجريدي بفروعه الزمر والحلقات والحقول. وفي الفيزياء مثلّت مبرهنة نويثر أول أساس لوصف الصلة ما بين التناظر وقوانين انحفاظ الطاقة.
نظرية الأوتار لهدف توحيد هذه القوى الأربعة يأمل العلماء في التوصل إلى مجموعة من التناظُرات الرياضية التي يُطلَق عليها اسم التناظر المعياري والتي لا يمكن وصفها بكلمات بسيطة. يرتبط التناظر المعياري، بفكرة المعاير (تبديل المستوى أو قيمة الكمية) وتتصف جملة ما بتناظر معياريٍّ، إذا لم تتبدل الطبيعةُ الفيزيائية للجملة نتيجة تحويل من هذا النوع، ولتوضيح الفكرة يستعمل البعض مثال السفر بالقطار فإذا كان المرء مسافرًا، مثلاً، في قطار يسير بسرعة خطِّية منتظمة لما شعر بأثر لحركته؛ أما إذا دار القطار على خطٍّ متعرج فإنه سيشعر بقوة تختلف من نقطة إلى أخرى بحسب السرعة وتقوس الخط. فإذا أجري تحويلاً معياريًّا على أثر الدوران من خلال إدخال حقل جاذبية يعوِّض عن التبدلات من نقطة لأخرى، يعود من جديد ليشعر وكأن القطار ساكن على الرغم من دورانه، بذلك يكون قد جعل قوانين الفيزياء لا تتبدل بالنسبة إلى تحويلات معيارية محلِّية تتعلق بالمسافة.
نظرية المقياس نظرية المقياس أو نظرية الغيج في الفيزياء النظرية تمثل نوعاً من نظريات المجال بحيث يكون فيها اللاغرانجيان غير متباين تحت مجموعة من التحويلات الموضعية.
يشير الاصطلاح "مقياس" أو "غيج" إلى تعزيز في درجات حرية اللاغرانجيان. التحولات بين المقاييس الممكنة، يطلق عليها تحويلات، تشكل زمرة لي والتي يشار إليها بزمرة التناظر أو زمرة المقياس للنظرية. إن أي زمرة لي يصحبها جبر لي لمولدات الزمرة. ينبغي أن ينشأ في كل مولد للزمرة مجال متجه يطلق عليه مجال المقياس.
بنية جزيئية رباعية السطوح ينتمي رباعي السطوح ذو التناظر التام إلى الزمرة النقطية T، ولكن في الواقع فإن أغلب الجزيئات لا يكون لها ذلك التناظر التام.
الملاكمة عارية الأيادي الملاكمة العارية الأيادي هو النموذج الأصلي من الملاكمة ، ترتبط ارتباطا وثيقا القديمة الرياضة القتالية . ويشمل شخصين يقاتلان دون قفازات الملاكمة أو الحشو الأخرى على أيديهما
علم النفس الإيجابي وللسعادة مصادر متعددة ــ حددها السيكولوجيون ــ وتُعد العلاقات الاجتماعية واحدة من أهم مصادرها، والتخفف من العناء، وزيادة تقدير الذات، وكف الانفعالات السلبية. ومن مصادرها العمل، الذي يكون مصدراً للدخل ولتنظيم الوقت والإحساس بالمكانة والهوية والاتصالات الاجتماعية. ويعد نشاط وقت الفراغ مصدراً أساسياً للشعور بالرضا عن الحياة؛ لأنه يمارس بدافع داخلي ذاتي، من خلال استخدام وتنمية المهارات وتوفير إشباع اجتماعي، وشعور بالاسترخاء. وترتبط الصحة بالسعادة ارتباطاً وثيقاً، وهي غالباً ما تكون سبباً للسعادة والشعور بالرضا.
إحصاء الجسيمات هناك نوعين من إحصاء الكم وذلك اعتماداً على تناظر النظام وهما إحصاء بوز-أينشتاين وإحصاء فيرمي ديراك، وذلك أن مبرهنة إحصاء اللف المغزلي تربط نوعين من زمرة التبديلات مع نوعين من زمرة اللف المغزلي.
زمرة (رياضيات) تعد الكثير من الزمر مثالًا على بنًى رياضية أخرى علاوةً على كونها مثالًا على الزمر، وبلغة نظرية الأصناف فهي تعد كائنات زمرية في الفئة، ما يعني أنها كائنات (أي أمثلة على كائن رياضي آخر) تأتي مع تحويلات تسمى التطبيقات المحافظة على الشكل بحيث تحاكي تلك التحويلاتُ بديهياتِ الزمر. فمثلًا بحسب تعريف الزمر المذكور أعلاه فإن أي زمرة تعد مجموعة أيضًا، لذلك فإن أي زمرة تمثل كائنًا زمريًّا في فئة المجموعات.
زمرة بسيطة في الرياضيات، الزمرة البسيطة هي الزمرة التي ليس لها زمر جزئية طبيعية سوى الزمرة الجزئية غير الفعلية المتكونة من كامل الزمرة الأصلية والزمرة الجزئية التافهة ذات الرتبة الأولى. تشمل الزمر البسيطة العائلات غير المنتهية من الزمر المتناوبة من الدرجة >= 5، إلى جانب الزمر الدائرية من الرتبة الأولى، والزمر من نوع لي، والزمر المشتتة الست والعشرين.. يعتبر تصنيف الزمر المنتهية البسيطة، والذي تم بشكل نهائي في عام 2008، خطوة مهمة وأساسية في تاريخ الرياضيات.
الزمرة الدائرية "G" = Z/3Z هي زمرة بسيطة (انظر إلى الحسابيات النمطية).
نظرية مجموعة مورس-كيلي في أسس الرياضيات، نظرية مورس وكيلي أو نظرية مجموعة كوين-كيلي لو نظام كوين ومورس، هي نظرية في المجموعات تتعلق بمنطق الرتبة الأولى التي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بنظرية مجموعة فون نيومان-بيرنيز-غوديل.
بطيء الخطو لقد أجرى العلماء الدراسات المورفولوجية والجزيئية ليفهموا كيف ترتبط دببة الماء بالسلالات الأخرى من طائفة الإنسلاخيات، وتم عرض اثنين من الإقتراحات المعقولة وهما أن بطيئات المشية ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالمفصليات وحاملات المخالب أو أنها ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالديدان الخيطية، وتكمن الأدلة على ما سلف في نتائج شائعة للدراسات المورفولوجية بينما تم العثور على أدلة على الإقتراح الأخير في بعض التحليلات الجزيئية.
قدرات العقل إن وجود هاتين الفئتين (كنماذج) لتعريف القدرة العقلية يرجع إلى عوامل متعددة، منها:وأخيرًا، فإن القدرة هي مجموعة من أساليب الأداء، التي ترتبط فيما بينها ارتباطًا عاليا، بما يميزها عن غيرها من أساليب الأداة الأخرى، أي تلك التي ترتبط مع غيرها ارتباطًا ضعيفا.
تناظر مركزي إن الزمر الفراغية التالية لها تناظر انقلابي: وهي ثلاثي الميل 2، أحادي الميل 10-15، المعيني المستقيم 47-74، الرباعي 83-88 و 123-142، الثلاثي 147 و 148 و 162-167، السداسي 175 و 176 و 191-194، المكعب 200-206 و 221-230.
زمرة الدوال الهميومورفية في مجال الرياضيات، لا سيما الطوبولوجيا، تكون زمرة الدوال الهميومورفية لمساحة طوبولوجية هي الزمرة التي تتألف من جميع الدوال الهميومورفية من المساحة إلى الزمرة نفسها مع استخدام تركيب الدوال في العمليات الرياضية الخاصة بالزمرة. وتُعتبر زمرة الدوال الهميومورفية في غاية الأهمية في ضوء نظرية المسافات الطوبولوجية، وتُعد بشكل عام أمثلة على زمرات التشكل الذاتي. وتعد زمرات الدوال الهميومورفية ثوابت طوبولوجية من حيث إن زمرات الدوال الهميومورفية لمسافات طوبولوجية هميومورفية هي تماثلية كزمرات.
نظرية الأثير للورنتس هندسة الجاذبية النيوتونية مثيرة للإهتمام ومن الممكن ان يكون اساسها الميكانيكا الكلاسيكية وهي مجرد حالة محدودة "وهي نظرية في فلسفة العلوم تعني ان هناك نظرية قديمة تضاف إلى نظرية جديدة في وقت لاحق وتكون حالة محدودة أو خاصة منها " من ميكانيكا النسبية الخاصة . وفي لغة التناظر عندما تكون الجاذبية مهملة تصبح الفيزياء في حالة تسمى تناظر لورنتز أو إطالر لورنتز المرجعي في النسبية الخاصة أما الحالة التي تسمى نسبية جاليلي أو إطار مرجعي غاليلي تكون في الميكانيكا الكلاسيكية ( تعريف تناظر النسبية الخاصة هو زمرة بوانكاريه التي تحتوي على تحويلات ودورات ) والإختلافا بين الإثنين يظهر عند التعرض لسرعات عالية تقترب من سرعة الضوء وعند الوصول إلى ظاهرة الطاقات العالية  حسب تناظر لورنتز تدخل الهياكل المضافة في عمليات متكررة ويصنفون حسب مجموعة المخاريط الضوئية انظر إلى الشكل والمخاريط الضوئية تعرف على أنها هياكل مسببة للأحداث A وهناك مجموعة أحداث التي تكون في القاعدة إما ان يأثر أو يتأثر عن طريق إشارات أو تفاعلات لا تحتاج إلى السفر أسرع للضوء (مثل الحدث B في الصورة ) وهناك مجموعة لا يمكن ان تأثر مثل الحدث C وهي تعتبر مثل الفاحص المستقل عند الاقتران بخطوط عالم الاجسام ذات السقوط الحر يمكن ان تستخدم المخاريط الضوئية لإعادة بناء المقياس النصف ريماني هندسة ريمانية للزمكان ويحول إلى معامل عددي موجب وهذا في الرياضيات يعبر عنه بالهندسة الإمتثالية
زمرة (رياضيات) تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من الخصائص الطوبولوجية مثل القرب والاستمرارية إلى خصائص للزمر. فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.
زمرة لاي في الرياضيات، زمرة لي هي زمرة تكون أيضا متعددَ شُعبٍ قابلٍ للتفاضل، وحيث تكون عملية الزمرة متجانسة مع البنية الناعمة. سميت هذه الزمرة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات النرويجي سوفوس لي. ظهر مصطلح زمر لاي لأول مرة عام 1893. وكان ذلك باللغة الفرنسية من طرف أحد طلبة سوفوس لي اسمه أرثور تريس في الصفحة الثالثة من أطروحته.
إندر بير سينغ باسي إندر بير سينغ باسي هو رياضياتي هندي متخصص في الجبر. نال جائزة شانتي سواروب باتناغار للعلوم والتكنولوجيا -والتي تعد أعلى جائزة علمية في الهند- في فئة العلوم الرياضياتية عام 1983. وهو يعد عالمًا معروفًا في نظرية الزمر، وقد حقق إسهامًا كبيرًا في جوانب عديدة من هذا المجال، وخاصة في دراسة حلقات الزمر. لاقت نتائجه في زمر البعد الجزئية (وهي قوى الامتداد في حلقات الزمر) والمسائل المتعلقة بها اعترافًا واسعًا. وتعد أفرودته المنشورة عام 1979 عن هذا الموضوع مصدرًا مرجعيًّا أساسيًّا.
نظرية الزمر في الرياضيات والجبر التجريدي، نظرية الزُمَر هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الزمر وخواصها.
زمرة (رياضيات) يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفةالخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء وكيمياء وعلم الحاسوب تنتفع من أفكارها.
زمرة طوبولوجية الزمرة الطوبولوجية في الرياضيات هي زمرة "G" مع طوبولوجيا الزمرة "G" بحيث أن العمليات الثنائية على الزمرة ومقلوب الزمرة تكون مستمرة.
جداء نصف مباشر في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية الزمر، مفهوم الجداء نصف المباشر هو تعميم الجداء المباشر. هناك مفهومان مرتبطان ارتباطًا وثيقًا بالجداء نصف المباشر: جداء نصف مباشر داخلي هو طريقة معينة يمكن من خلالها إنشاء مجموعة من مجموعتين فرعيتين، واحدة منها هي مجموعة فرعية عادية، في حين يكون الجداء نصف المباشر الخارجي جداءً ديكارتيًا كمجموعة، ولكن مع عملية ضرب معينة. كما هو الحال مع الجداءات المباشرة، هناك تكافؤ طبيعي بين الجداءات نصف المباشرة الداخلية والخارجية، وكلاهما يشار إليه ببساطة كجداءات نصف مباشرة.
التناظر المرآتي (نظرية الأوتار) تعتبر مثنوية التناظر المرآتي حالياً من الموضوع البحثية الرئيسية في الرياضيات البحتة ويعمل علماء الرياضيات من أجل تطوير مفهوم حسابي للعلاقة يستند إلى حدس علماء الفيزياء. والتناظر المرآتي يعتبر أداة أساسية للقيام بالعمليات الحسابية في نظرية الأوتار وقد استخدمت لفهم أوجه نظرية الحقل الكمومي الشكلية التي يستخدمها الفيزيائيون لوصف الجسيمات الأولية. وتشمل الأساليب الرئيسية للتناظر المرآتي
برنامج متشاكلة التناظر المرآتي لمكسيم كونتسفيتش و حدس SYZ (تخمين SYZ) لعلماء الفيزياء النظرية أندرو إيبين سترومينجر وإريك زاسلو ولعالم الرياضيات شينغ تونغ ياو .
زمرة (رياضيات) في الزمر formula_277 المشروحة أعلاه، العنصر formula_45 هو عنصر بدائي، ما يجعل تلك الزمر دائرية. يمكن التعبير عن كل عنصر في تلك الزمرة في شكل مجموعٍ كلُّ حدوده هي formula_45. وأي زمرة دائرية ذات العدد formula_235 من العناصر هي مساوية الشكل لتلك الزمرة. وتعد زمرة جذور الوحدة العقدية من الدرجة formula_235 مثالًا آخر للزمر الدائرية، وهي معطاة بالأعداد العقدية formula_282 التي تحقق المعادلة formula_283. ويمكن تصور تلك الأعداد رؤوسًا لمضلع منتظم ذي عدد formula_235 من الأضلاع كالموضح بالأزرق في الصورة، والذي فيه formula_285. وعملية تلك الزمرة هي جداء الأعداد العقدية. وكما توضح الصورة، يقابل الضرب في formula_282 دورانًا بزاوية 60° عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالاستعانة ببعض من نظرية الحقول (الرياضيات)، يمكن للزمرة formula_268 أن تبدو دائرية: فمثلًا إذا كانت formula_249، فإن formula_289 مولد في تلك الزمرة؛ لأن formula_290، و formula_291، و formula_292، و formula_293.
النسبية العامة هندسة الجاذبية النيوتونية مثيرة للإهتمام ومن الممكن ان يكون اساسها الميكانيكا الكلاسيكية وهي مجرد حالة محدودة "وهي نظرية في فلسفة العلوم تعني ان هناك نظرية قديمة تضاف الى نظرية جديدة في وقت لاحق وتكون حالة محدودة أو خاصة منها " من ميكانيكا النسبية الخاصة. وفي لغة التناظر عندما تكون الجاذبية مهملة تصبح الفيزياء في حالة تسمى تناظر لورنتز أو إطالر لورنتز المرجعي في النسبية الخاصة أما الحالة التي تسمى نسبية جاليلي أو إطار مرجعي غاليلي تكون في الميكانيكا الكلاسيكية ( تعريف تناظر النسبية الخاصة هو زمرة بوانكاريه التي تحتوي على تحويلات ودورات )
والإختلافا بين الإثنين يظهر عند التعرض لسرعات عالية تقترب من سرعة الضوء وعند الوصول إلى ظاهرة الطاقات العالية
زمرة (رياضيات) كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة كالهندسة الزائدية والهندسة الإسقاطية، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمر لي عام 1884.
نظرية الحجم وهناك امتداد لمفهوم دالة الحجم فيما يتعلق بالطبولوجيا الجبرية مشار إليه في هذا المرجع 
حيث تم تقديم مجموعات هوموتوبيا الحجم، التي ترتبط بالبعد الوهمي الطبيعي بالنسبة لدوال formula_1 ذات القيم.
وتم تقديم امتداد لنظرية الهوموتوبيا (مدلل الحجم) في 
ويرتبط كل من مجموعة هوموتوبيا الحجم ومدلل الحجم بشدة بمفهوم مجموعة التناظر الثابت
والتي تتم دراستها في التناظر الثابت. ومن الجدير أن نشير إلى أن دالة الحجم هي رتبة formula_3 - لمجموعة التناظر الثابت، في حين أن العلاقة بين مجموعة التناظر الثابت 
وبين مجموعة هوموتوبيا الحجم مشابهة لما هو موجود بين مجموعات التناظر ومجموعات الهوموتوبيا.
زمرة قابلة للحلحلة في الرياضيات، وبالتحديد في نظرية الزمر، زمرة قابلة للحلحلة هي زمرة يمكن إنشاؤها بواسطة زمر أبيلية باستعمال التمديدات.
تناظر ستتناول المقالة عدة أنواع من التناظر أهمها : التناظر الرياضي وفيها يكون التناظر معرّف ومحدد بشكل دقيق، الثاني تطبيق التناظر على العلوم والتكنولوجيا، مثلا التناظر وتطبيقاته في النتائج الأساسية للفيزياء الحديثة، بما في ذلك مناحي الزمكان.
زمرة جزئية في الرياضيات ، شبه الزمرة الجزئية للزمرة "G" ، هي مجموعة جزئية من "G" تحقق كونها نصف زمرة semigroup مغلقة بالنسبة للجداء في هذه الزمرة.
كائن زمري في نظرية الفئة، وهي أحد فروع الرياضيات، تعد الكائنات الزمرية تعميمات محددة للزمر المبنية على بنًى أكثر تعقيدا من المجموعات. وتعد الزمرة الطوبولوجية مثالًا نموذجيًّا عليها، وهي زمرة تبنى على فضاء طوبولوجي يمثل مجموعة الزمرة، بحيث تكون عمليات الزمرة مستمرة.
زمرة (رياضيات) إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة formula_109 موجودة في زمرة أكبر formula_1. ويكون العنصر المحايد للزمرة formula_1 موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة formula_109، وعندما يكون formula_130 و formula_131 في formula_109، يكون formula_133 و formula_134 أيضًا في formula_109، وبذلك تشكل عناصر formula_109 مزودةً بعملية الزمرة formula_1 المقصورة على formula_109 زمرةً جزئية.
زمرة (رياضيات) من الممكن التعامل مع تلك المسألة من خلال التحول إلى نظرية الحقل مع النظر في حقل الانشطار لكثيرة الحدود. تعمم نظرية غالوا الحديثة هذا النوع من زمر غالوا المذكور أعلاه إلى امتدادات حقول وتضع—عن طريق المبرهنة الأساسية في نظرية غالوا—علاقة دقيقة بين الحقول والزمر، مما يؤكد مجددًا انتشار الزمر في فروع الرياضيات الأخرى.
زمرة الوحش في فرع نظرية الزمر من الرياضيات، زمرة الوحش ورمزها formula_1 أو formula_2 وتسمى أيضًا وحش فيشر-غريس أو الضخم الودود، هي زمرة من الرتبة المنتهية:
هي زمرة بسيطة، أي أنها لا تملك أي زمرة جزئية طبيعية غير تافهة سوى formula_1 نفسها.
زمرة (رياضيات) تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة formula_215 للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرة ضربية. وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد.
زمرة منتهية الزمرة المنتهية في الرياضيات أو (Finite group) في الإنجليزية، هي زمرة ذات عدد عناصر منته، بعض نواحي الزمر المحدودة تتم معالجته بعمق في النظرية المحلية ونظرية الزمر القابلة للحلحلة.
تاريخ نظرية الزمر حاليا، لا تزال نظرية الزمر تدرس بشكل مكثف. يمكن أن تستنتج أهميتها الكبيرة، ككل، بالنسبة إلى الرياضيات المعاصرة، بالنظر إلى جائزة أبيل لعام 2008، التي أعطت إلى عالمي رياضيات نظرا إلى مساهمتهما في نظرية الزمر.
قائمة الزمر المنتهية البسيطة في الرياضيات، تصنيف الزمر المنتهية البسيطة ينص على أن كل زمرة بسيطة منتهية هي إما دائرية أو متناوبة أو واحدة من الأنواع الستة عشر من زمرة لاي أو واحدة من الزمر المشتتة الستة والعشرين.
زمرة جزئية في الرياضيات، تكون "N" زمرة جزئية طبيعية من الزمرة "G" إذا كانت زمرة جزئية غير متباينة invariant بالنسبة لعملية الترافق conjugation.
زمرة (رياضيات) "نظرية التمثيل" هي تطبيق لمفهوم الزمرة، كما أنها ضرورية للوصول إلى فهم أعمق للزمر. ويختص العاملون فيها بدراسة الزمرة من خلال تأثيراتها على الفضاءات الأخرى. وتشكل التمثيلات الخطية فئة كبيرة من تمثيلات الزمر، وهي الناجمة عن تأثير الزمرة على فضاء متجهي كالفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد formula_303. إن أي تمثيل للزمرة formula_1 على فضاء متجهي حقيقي بعدد formula_235 من الأبعاد هو ببساطة تشاكل زمري
من الزمرة إلى الزمرة الخطية العامة. وهكذا تتحول عملية الزمرة (المعطاة تجريديًّا) إلى ضرب المصفوفات؛ فتصبح في متناوَل الحسابات الصريحة.
زمرة (رياضيات) تتكون زمرة المصفوفات من مصفوفات مع عملية ضرب المصفوفات. "الزمرة الخطية العامة" formula_299 مكونة من كل المصفوفات من الرتبة formula_300 ذات المعكوس والمكونة من مدخلات حقيقية. ويطلق على زمرها الجزئية "زمر المصفوفات" أو "الزمر الخطية". ويمكن أن تعد الزمرة الزوجية المشروحة أعلاه زمرةَ مصفوفات بالغة الصغر. وكذا تعد الزمرة المتعامدة الخاصة formula_301 زمرةَ مصفوفات مهمة أخرى. وهي تصف كل الدورانات الممكنة في العدد formula_235 من الأبعاد. تُستَخدم مصفوفات الدوران في الرسوميات الحاسوبية بواسطة زوايا أويلر.
مجموعة ماندلبرو مجموعة ماندلبرو هي شكل كسيري مشهور بشكل واسع حتى خارج مجال الرياضيات لتداخلها مع ما يدعى الفن الكسيري حيث تقدم صورا فنية تتميز بالجمال والتجريدية. ما يميز مجموعة ماندلبرو هو البنية المعقدة التي تقدمها رغم بساطة تعريفها. ترتبط مجموعة ماندلبرو ارتباطا شديدا بمجموعات جوليا (اللائي يحتوين على أشكال شبيهة من حيث التعقد). سميت هاته المجموعة هكذا نسبة إلى بونوا ماندلبرو، الذي درسها وشَهَرَها.
تناظر (هندسة) التناظر فـــي الهندسة الرياضية هو نفـس مركز تناظر الشكل.
مبدل رياضي العاكس من عنصرين g و h من زمرة G، هو العنصر:
وهو يساوي مطابقة الزمرة إذا وفقط إذا g و h يتبادلان (أي إذا وفقط إذا hg=gh). ويطلق على الزمرة الجزئية من الزمرة التي تولدها كل عمليات التبادل زمرة مشتقة أو زمرة المبدلات الجزئية من G. يجب الملاحظة أنه لا بد من النظر في الزمرة الجزئية الناتجة عن مجموعة من المبدلات لأنه بشكل عام لا تكون مجموعة المبدلات مغلقة في إطار عملية الزمرة. تستخدم المبدلات لتحديد طبيعة الزمرة ما اذا كانت زمرة عديمة القوى nilpotent أو زمرة قابلة للحلحلة.
يستخدم تعريف المبدل أعلاه من قبل بعض منظري الزمرة وكذلك خلال هذه المقالة. ومع ذلك، فإن العديد من منظرين الزمرة الآخرين يحددون المبدل كما في المعادلة :
زمرة (رياضيات) تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تباديلها: أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية formula_205 بعنصرين formula_206 و formula_66 (وعلى سبيل المثال: formula_208 أي الدوران بزاوية قائمة، و formula_209 أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات
تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل الزمر المتقطعة.
زمرة (رياضيات) في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة الزمر الزائدية مثلًا. وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد.
زمرة كلاينية في الرياضيات، زمرة كلاينية هي زمرة جزئية متقطعة...
زمرة (رياضيات) بلغت دراسة الزمر الأبيلية منتهية التوليد درجة كبيرة من النضوج، وهي تتضمن المبرهنة الأساسية للزمر الأبيلية منتهية التوليد، ويوجَد الكثير من المفاهيم المتعلقة بالزمر مثل المركز والمبادل تصف إلى أي مدى تكون زمرة ما غير أبيلية.
زمرة بوانكاريه زمرة بوانكاريه في الفيزياء والرياضيات هي زمرة مساويات القياس في فضاء مينكوفسكي، وقد عرضها هيرمان مينكوفسكي. وهي زمرة لي غير أبيلية بها عشر مولدات، وهي ذات أهمية أساسية في الفيزياء. وقد أخذت هذه الزمرة اسمها من هنري بوانكاريه.
التناظر المرآتي (نظرية الأوتار) اكتُشفت مثنوية التناظر المرآتي في أواخر الثمانينات من قبل علماء الفيزياء وفي حدود عام 1990 أصبح علماء الرياضيات مهتمين بهذه العلاقة عندما أظهر فيليب كانديلاس وزينيا دي لا أوسا وبول غرين وليندا باركيس أنه يمكن استخدامها كأداة في الهندسة الإحصائية وهي فرع من فروع الرياضيات يهتم بإحصاء عدد حلول المسائل الهندسية. أظهر كانديلاس ومعاونيه أن التناظر المرآتي يمكن أن يستخدم لحساب المنحنيات المنطقية على فضاء كالابي ياو، وبالتالي حل مشكلة طال أمدها. على الرغم من أن التوجه الأصلي للتناظر المرآتي كان يقوم على الأفكار الفيزيائية التي لم يتم فهمها بطريقة دقيقة رياضياً، ومنذ ذلك الحين تم إثبات وبدقة بعض تنبؤتها الرياضية.
سلم P (نظرية التعقيد) لعل أحد أهم الحدسيات في علوم الحاسوب والرياضيات هي NP≠P مسألة مشابهة ولا تقل اهمية هي المسألة P≠PP , القسم PP هو قسم مسائل التقرير التي جوابها نعم اذا كان أكثر من نصف مسارات الحساب "موافقة" , ويتحقق NP⊆PP , وهذه المسألة الاخيرة ترتبط ارتباطا وثيقا مع المسألة FP ≠ #P إذ انهما متكافئتان اي ان الحدسية الاولى صحيحة اذا وفقط اذا الحدسية الثانية صحيحة .
نصف زمرة في الرياضيات ، نصف الزمرة هي بنية جبرية مؤلفة من مجموعة مغلقة بالنسبة لعملية ثنائية تجميعية. بكلام آخر تكون نصف الزمرة ماعما تجميعية . اشتق مصطلح نصف الزمرة من المصطلح الأساسي الزمرة . غالبا ما تمثل العملية في نصف الزمرة برمز الجداء أي ، formula_1 أو ببساطة "xy" وهي تعطي نتيجة تطبيق عملية نصف الزمرة الثنائية على الزوج المرتب : ("x", "y"). هناك خلاف فيما إذا كانت المجموعة الخالية يمكن اعتبارها نصف زمرة أو لا .
زمرة (رياضيات) "الزمرة الدائرية" هي زمرة كل عناصرها هي قوى لعنصر ما formula_4. وباستخدام رموز الضرب، يُعبَر عن عناصر تلك الزمرة كالتالي:
حيث formula_271 يعني formula_272، و formula_273 يعني formula_274، إلى آخره. يسمى مثل العنصر formula_4 مولِّدًا أو عنصرًا بدائيًّا للزمرة. وبرموز الجمع، يكون شرط كون العنصر بدائيًّا أن يكون كل عنصر في الزمرة قابلًا للكتابة على صورة
زمرة تبديلات في الرياضيات، زمرة تبديلات هي زمرة G عناصرها تبديلات لمجموعة ما M.
تناظر فائق تم طرح التناظر الفائق أولا عام 1973 من قبل يولويس فيس Julius Wess وبرونو زومينو Bruno Zumino. قبل هذا كان الجبر فائق التناظر supersymmetry algebra قد اكتشف على يد رياضيين سوفييتيين Gol'fand وLikhtman في أواخر الستينات ولم يطبق مباشرة على مسائل فيزياء الجسيمات الأولية. وكان ظهور التناظر الفائق أولا من ضمن سياق نظرية الأوتار في نسختها الأولى التي وضعها راموند Ramond وجون شفارتز John H. Schwarz ونيفو Neveu. لكن البنية الرياضية للتناظر الفائق تم تطبيقها بنجاح في مجالات الفيزياء الأخرى : أولا من قبل "فيس "، و" زومينو"، والعالم الباكستاني محمد عبد السلام وباحثيهم ضمن مجال فيزياء الجسيمات، من ثم مجالات أخرى تتراوح بين ميكانيك الكم إلى الفيزياء الإحصائية. ما زال التناظر الفائق يشكل جزءا حيويا وهاما في أي نظرية مقترحة مستقبلية للفيزياء في وقتنا الحالي.
نظرية الأصناف وبدلا من التركيز على الأغراض المفردة (الزمر) التي تمتلك نفس الخواص والبنية، كما تفعل النظريات الرياضية عادة، تحاول نظرية التصنيف ان تركز على انحفاظ الشكل - أي العمليات المحافظة على البنية - بين مختلف الأغراض. وقد تبين من دراسة انحفاظات الشكل أنها تمكننا من معرفة المزيد حول بنية الأغراض ذاتها (الزمر هنا). انحفاظات الشكل هنا هي تشاكل الزمر. تشاكل الزمر بين زمرتين " هو ما يحفظ بنية الزمرة " بشكل دقيق - أي أنه إسقاط دقيق لزمرة على أخرى، غنع "عملية" تأخذ الزمرة إلى زمرة أخرى. ومجمل المعلومات حول بنية الزمرة الأولى تصبح في الزمرة الثانية. دراسة تشاكلات الزمر تؤمن وسيلة ممتازة لدراسة الخواص العامة للزمر ونتائج بدهيات الزمر.
تصنيف الزمر المنتهية البسيطة في الرياضيات، تصنيف الزمر المنتهية البسيطة هو نظرية تقرر أن كل زمرة منتهية بسيطة تنتمي إلى واحدة من الفئات الأربع المذكورة أدناه. يمكن اعتبار هذه الـزمر حجر الأساس لكل الزمر المنتهية، تمامًا مثلما تُعد الأعداد الأولية حجر الأساس للأعداد الطبيعية. إن مبرهنة جوردان–هولدر هي طريقة دقيقة لإقرار هذه الحقيقة عن الزمر المنتهية.
فئة الزمر في الرياضيات، تحتوي الفئة Grp على الصنف المكون من كل الزمر بصفتها كائنات وتشاكلات الزمر بصفتها محافظات على الشكل. ووفقًا لهذا تكون تلك الفئة فئة متقطعة. وتُعرف دراسة هذه الفئة بنظرية الزمر.
رتبة (نظرية الزمر) "هذا المقال يتحدث عن الرتبة في نظرية الزمر. من أجل دراسة الرتبة في مجالات اخرى من الرياضيات، انظر إلى رتبة (رياضيات)"
نظرية التوبو وبدلا من التركيز على الأغراض المفردة (الزمر) التي تمتلك نفس الخواص والبنية، كما تفعل النظريات الرياضية عادة، تحاول نظرية التصنيف ان تركز على انحفاظ الشكل morphism - أي العمليات المحافظة على البنية - بين مختلف الأغراض. وقد تبين من دراسة انحفاظات الشكل أنها تمكننا من معرفة المزيد حول بنية الأغراض ذاتها (الزمر هنا). انحفاظات الشكل morphisms هنا هي تشاكل الزمر group homomorphism. تشاكل الزمر بين زمرتين " هو ما يحفظ بنية الزمرة " بشكل دقيق - أي أنه إسقاط دقيق لزمرة على أخرى، غنع "عملية" تأخذ الزمرة إلى زمرة أخرى. ومجمل المعلومات حول بنية الزمرة الأولى تصبح في الزمرة الثانية. دراسة تشاكلات الزمر تؤمن وسيلة ممتازة لدراسة الخواص العامة للزمر ونتائج بدهيات الزمر.
زمرة (رياضيات) بإعطاء أي مجموعة جزئية formula_145 من زمرة formula_1، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها formula_145 من نواتج إخضاع عناصر formula_145 لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من formula_1 تضم formula_145. وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ formula_151 و formula_152 من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر formula_153. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.
كوميزو كوميزو مدينة في جنوب شرق صقلية يقطنها 29647 ساكن، رابعة مدن مقاطعة راغوزا بالنسبة للسكان. تمتد بلدية كوميزو على مساحة حوالي 65 كيلومترا مربعا على سفح إبلي.