mteb/JQaRAReranking huggingface dataset:
重量キログラム: 重量キログラムは、質量1キログラム (kg) の物体が標準重力加速度のもとで受ける重力の大きさと定義される。標準重力加速度は、地球の北緯45°の平均海面上の平均重力をもとに定義されていた。重力は質量と重力加速度の積で、通常は1901年に国際度量衡委員会が採択した約束値 9.80665 m/sを用い物体の質量、例えば、2.4 kg、とそれにかかる重力、例えば、2.4 kgf (= 23.536 N)、とは数値が同じになるので感覚的に捉えやすいため、以前の日本では中学校までの理科教育でキログラム重が用いられていた。しかし国際単位系 (SI) が完全に導入されて以降は、中学教育では質量約102グラムの物体にはたらく重力を1ニュートンとして教えている。計量法も1999年10月1日以降は、取引・証明に用いることを禁じている。
体重別階級: ネバダ州アスレチック・コミッションおよびボクシング・コミッション協会が制定する統一ルール(ユニファイドルール)の階級制で、UFCを始めとする米国のプロモーションだけでなく、欧州や南米、アジアなど世界各国のプロモーションがこれに準ずる階級制を採っている。なお、プロモーションによって採用する階級の数に相違がある。パンクラス#階級、王座を参照。DEEP (格闘技団体)#階級・王座を参照。修斗#階級・王座を参照PRIDEでは2001年にヘビー級、ミドル級が設定され、2005年からウェルター級、ライト級が設定された。プロレスでは団体により呼称、体重区分が異なり統一はされていない。どの団体でも概ね100 kg以上(新日本は220 lbs(99.8 kg≒100 kg)、全日本は231.
テント: 突風により飛ばされるなどの事故をできるだけ防ぐためにも足に重しを付けたりロープと杭を使用する等、何らかの固定を施す必要がある。日本国内においては、学校や町内会をはじめとする集会・運動会等 屋外イベントの本部用・救護用テントなどとして用いられ、目にする機会が多い。
BEMS: BEMS(ベムス)とは「Building Energy Management System」の略で、ビルエネルギー管理システムのことを指す。
身長: 日本ではJAXAの規定は『149 cm以上、193 cm以下』という独自基準だったが、2008年度の募集からNASAや多くの宇宙機関で使われるアメリカ軍の基準(158 cm以上、190 cm以下)に変更している。さらに、船外活動では宇宙服のサイズの関係で165 cm以上が必要とされる。スーパーモデルやブランドのコレクションショーなどに出演するモデルは、通常175cm以上の高身長である。雑誌に関しては身体のバランスがよければ特別な身長の高さは求められないが、170 cm前後を満たしているモデルが多い。また、雑誌・CMのモデルなどにはカメラの前での動きのよさや、いわゆるフォトジェニックであることも要求される。日本国外においていわゆるハイファッションの仕事をこなすモデル達は、ほとんどの場合これらの条件をクリアしている。研究によると、身長が低いことと平均余命が長いことには相関関係がある。
十津川村: 奈良県の最南端に位置する、同県最大の面積を有する村である。日本の施政権が及んでいる範囲の村としては最大の面積を有し、ロシアが実効支配している北方領土を入れても留別村・紗那村・留夜別村・蘂取村に次ぐ日本で5番目に大きな面積を持つ村である。琵琶湖(669.23km2)や東京23区(621.98km2)よりも広い。鉄線吊り橋(谷瀬の吊り橋)の長さ、村を通る路線バスの距離(八木新宮特急バス)でも日本一である。実質公債費比率が奈良県内で最も低い市町村でもある。
十津川村: 十津川村(とつかわむら)は、奈良県の最南端に位置する村。面積は奈良県で一番大きい。紀伊半島の内陸にある山村で、三重県や和歌山県と県境を接する。
七色 (十津川村): 七色(なないろ)は、奈良県吉野郡十津川村の大字。国勢調査に基づく2015年(平成27年)10月1日現在の人口は69人、同日現在の面積は11.105056663km。郵便番号は637-1557である。奈良県に所属するものの、南側に接する和歌山県との結び付きが強い。
竹筒 (十津川村): 竹筒(たけとう)は、奈良県吉野郡十津川村の大字。国勢調査に基づく2015年(平成27年)10月1日現在の人口は25人、2010年(平成22年)10月1日現在の面積は5.804352km。郵便番号は647-1271である。奈良県に所属するものの、東西両側を和歌山県に挟まれていることから、生活圏は和歌山県に属する。また国道169号と国道311号が分岐する交通の要衝でもある。
奈良県: 南部は南東部(基準地は吉野郡上北山で、宇陀郡・吉野郡の大峯山系東側の地域)と南西部(基準地は十津川村風屋、五條市のうち旧大塔村の地域・十津川村・野迫川村)と2分割している。県内は典型的な盆地気候であり、夏場はかなり蒸し暑い。最高気温25°C以上の夏日は奈良と五條がほぼ全日のうち60日間となっており、県内では最も多い。しかし2005年7、8月における最高気温では十津川村風屋の37.3°C、上北山の37.0°C、五條の36.7°C、奈良の36.2°Cと昼間の気温に関しては、十津川村風屋と上北山のほうが、奈良や五條よりも高くなることがしばしばみられ、かなりの酷暑になるために近畿地方で最も気温が高いこともある。
奈良県: 奈良県(ならけん)は、日本の近畿地方に位置する県。県庁所在地は奈良市。紀伊半島内陸部にあり、令制国の大和国の領域を占め、北西部の盆地部を除けば険しい山々がそびえており、人口の偏りが大きい。都道府県面積は全国で8番目に狭く、内陸8県では最も狭い。
三宅町: 三宅町(みやけちょう)は奈良県磯城郡の町。面積4.07平方キロ。人口7,634人(2008年9月現在)。県内で最も狭い市町村であり、全国でも2番目に小さい町である。
上北山村: 上北山村(かみきたやまむら)は、奈良県の南東部にある村。吉野郡に属し、県内で2番目に面積が広い村でもある。
奈良県: 総人口の9割以上が奈良盆地に居住する。県南部(吉野郡)は県面積の約半分を占めながら、可住地面積が非常に狭いため人口は4万人にも満たず、全国有数の人口希薄地帯である。
曽爾村: 曽爾村(そにむら)は、奈良県にある村。
奈良県: その典型例として、1889年(明治22年)8月に起きた十津川大水害と2011年(平成23年)の台風12号がある。特に、2011年(平成23年)の台風12号では上北山村の72時間降水量が国内の観測史上最大となる1652.5mmもの雨が降り、紀伊半島に甚大な被害をもたらしたことから「平成23年紀伊半島豪雨」または「紀伊半島大水害」と呼ばれている。奈良県には、12市7郡15町12村の自治体がある。村の読み方はすべて「むら」である。町の読み方はすべて「ちょう」である。奈良県では、多くの自治体が大阪都市圏に含まれている。下記の表は、県内の都市雇用圏を表したものである。また、大阪都市圏の各自治体のほか五條市や吉野郡の一部も京阪神大都市圏に含まれる。県庁所在地である奈良市や生駒市は県の最北部に位置し、大阪や京都へのアクセスにおいては至便で、ベッドタウンとなっている。
東吉野村: 東吉野村(ひがしよしのむら)は、奈良県東部に位置する村。
野迫川村: 野迫川村(のせがわむら)は、奈良県南部に位置する村。2020年国勢調査の速報値によれば、離島を除いて日本一人口が少ない自治体である。
明日香村: 明日香村(あすかむら)は、奈良県の中央部付近、奈良盆地(大和平野)の南端近くに位置する村である。高市郡に属す。中央集権律令国家の誕生の地であることから、飛鳥時代の宮殿や史跡が多く発掘されていることで知られ、「日本人の心の故郷」とも紹介される。日本で唯一、全域が古都保存法対象地域の自治体である。また、村全体の世界遺産登録に向けた計画が具体化している。遺跡・景観保全のため、明日香村特別措置法によって村内全域が歴史的風土保存の対象となっており開発や建築物の規制が厳しい。このため人口は減少している。
黒滝村: 黒滝村(くろたきむら)は、奈良県の中部に位置する村である。吉野郡に属しており、その位置から“奈良のへそ”をキャッチフレーズとしている。
安堵町: 安堵町(あんどちょう)は、奈良県生駒郡の町。面積4.31平方キロ(東京ドーム約100個分に相当する)であり、大阪府泉北郡忠岡町、奈良県磯城郡三宅町に次いで全国で3番目に小さい町である。
吉野郡: 吉野郡(よしのぐん)は、奈良県(大和国)の郡。人口34,770人、面積2,054.9km2、人口密度16.9人/km2。(2023年3月1日、推計人口)以下の3町8村を含む。
高市郡: 高市郡(たかいちぐん)は、奈良県(大和国)の郡。人口11,328人、面積49.89km2、人口密度227人/km2。(2023年3月1日、推計人口)以下の1町1村を含む。
山添村: 山添村(やまぞえむら)は、奈良県北東部、三重県との県境に位置する村。
香芝市: 香芝市(かしばし)は、奈良県中西部に位置する市。 人口はおよそ7万8千人。
奈良県の廃止市町村一覧: この30年間に県内に廃止市町村なし
生駒郡: 生駒郡(いこまぐん)は、奈良県の郡。人口75,051人、面積51.27km2、人口密度1,464人/km2。(2023年3月1日、推計人口)
奈良市: 奈良市(ならし)は、奈良県の北部に位置する市。奈良県の県庁所在地及び最大の都市であり、中核市に指定されている。奈良時代に都が置かれたことから古都と呼ばれる。また京都に対して南都とも呼ばれた。
奈良市: 奈良市は、奈良県北部の奈良盆地北端にある。市街地の標高は約60mである。市東部は大和高原の一部をなし、標高300mから600m級の高地が続く。市街の北は古代に平城山(ならやま)と呼ばれた丘陵地帯で京都府と接している。平城山を越えて山城と通じる奈良坂は古くからの重要交通路の一つ。市域は東西に広く、(1) 東部の山間地、(2) 文化財を多数抱え国際観光文化都市としての顔を持つ中東部の中心市街地、(3) 大阪の衛星都市・ベッドタウンとしての性格を持ち住宅地として開発が行われてきた西部と、複数の顔を持ち、同じ市内でありながら地域の雰囲気、住民の指向は違いを見せる。古くは、今の奈良市域を添(そほり)と称した。市街地が広がる一帯は平坦な地形で、この均(なら)したような地形が「奈良」の都市名の由来となったのではないかとする説が有力である。
広陵町: 広陵町(こうりょうちょう)は奈良県北葛城郡の南東部に位置する町である。 奈良県の町のなかで最も人口が多い。
奈良県の廃止市町村一覧: この10年間に県内に廃止市町村なし
上牧町: 上牧町(かんまきちょう)は、奈良県北葛城郡の町。奈良県の北西部に位置する。
東市村: 東市村(とういちむら)は奈良県北西部、添上郡に属していた村。現在は奈良市の一部。
高市村: 高市村(たかいちむら)は奈良県北西部、高市郡に属していた村。現在の明日香村東部、南部。
平和村 (奈良県): 平和村(へいわむら)は奈良県北西部、添上郡に属していた村。現在は大和郡山市の一部。
昭和村 (奈良県): 昭和村(しょうわむら)は奈良県北西部、生駒郡に属していた村。現在は大和郡山市の一部。
阪合村: 阪合村(さかあいむら)は奈良県北西部、高市郡に属していた村。現在の明日香村西部。
安倍村: 安倍村(あべむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在は桜井市の南部。
奈良市: ※市制施行以前の市域の歴史については、奈良も参照奈良市街地の西にはウワナベ古墳など5世紀の巨大古墳が築かれ、佐紀盾列古墳群を形成している。『和名抄』に見える大和国添上郡山村郷、楊生郷、八島郷、大岡郷、春日郷及び添下郡佐紀郷、鳥貝郷の地であった。現在の市域周辺が日本史の舞台に登場するのは、710年に都が藤原京から平城京に遷ってからのことである。その後、何度か短期間の遷都があったものの長岡京に遷る784年まで、この地が日本の中心となっていた。長岡京への遷都後も、東大寺や薬師寺、興福寺などの仏教寺院勢力がこの地域に残り、南都と呼ばれた。中世になってからも、興福寺が大和守護職に任じられるなど広大な荘園を有する仏教寺院勢力は依然として影響力を保持していた。むしろ大寺院の勢力は戦乱の時代においてこそ影響力が大きく、そのために何度か戦火に見舞われた。
大正村 (奈良県): 大正村(たいしょうむら)は奈良県北西部、南葛城郡に属していた村。現在の御所市北部、大和葛城山の東麓から奈良盆地南縁周辺にあたる。
国樔村: 国樔村(くずむら)は奈良県中部、吉野郡に属していた村。現在は吉野町の一部。
奈良県: また、奈良県では主要な公共交通手段として近畿日本鉄道(近鉄)が大部分を担っており、県中部の橿原市や御所市、県南部の吉野町などからも大阪都市圏に1時間程度でのアクセスが可能となっている。奈良県は可住地面積が全国最下位となっており、人口の9割以上が北西部の奈良盆地(大和平野)に集中している。北西部は京阪神大都市圏に含まれ、大阪や京都への交通の便もよく都市近郊地域として発展している一方、世界遺産(世界文化遺産)である古都奈良の文化財や法隆寺地域の仏教建造物など歴史的文化的遺産にも恵まれている。一方、南部地域はほとんどが山地であり、吉野杉に代表される林業や紀の川におけるレジャーなど自然を生かした産業があるほか、この地域でも世界遺産(世界文化遺産)の紀伊山地の霊場と参詣道といった歴史的文化遺産に恵まれている。
都介野村: 都介野村(つげのむら)は奈良県北東部、山辺郡に属していた村。現在は奈良市の東部。
奈良公園: 奈良公園(ならこうえん)は、奈良県奈良市にある都市公園である。国の名勝であり、また名所。
土庫村: 土庫村(どんごそん、どんごむら)は奈良県北西部、北葛城郡に属していた村。現在の大和高田市北部。
大塔村 (奈良県): 奈良県の南部、紀伊半島の中央部に位置し、紀伊山地を東西に分ける十津川沿いに村落を構える山間(やまあい)の村である。村内の96%は森林であり、高地にあって澄んだ空気に包まれているため夜空に広がる星の煌めきは格別である。高地に位置する為、夜間、雲が下降し一時的に霧になる事がある。霧が晴れた後は下界の光を霧が遮断する為、銀河などが比較的良く見える。また、天文台は広い敷地を抱え、観望会などが催される。奈良県の約3%を占めている。
村: 鹿児島県の村は全て島嶼にあり、九州本土に属する県域に村は存在しない。(2023年1月1日現在、5道県)村の数が最も多いのは長野県、次いで北海道、沖縄県である。なお、北方領土の6村を含めない場合、沖縄県が2位となり、北海道は3位となる。市や特別区の地名に町があるのと同じく、村がある箇所がある。以下に挙げるのは、その一例。
法隆寺村: 法隆寺村(ほうりゅうじむら)は、1947年まで、奈良県生駒郡(旧・平群郡)にあった村。現在の、斑鳩町東福寺、法隆寺辺りにあたる。
山辺郡: 山辺郡(やまべぐん)は、奈良県(大和国)の郡。人口3,036人、面積66.52km2、人口密度45.6人/km2。(2023年3月1日、推計人口)
川上村 (奈良県): 川上村(かわかみむら)は、奈良県南東部にある村。吉野杉等を育てる吉野林業の中心地である。
平野村 (奈良県): 平野村(ひらのむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在は田原本町の西部。
御杖村: 御杖村(みつえむら)は、奈良県宇陀郡にある村。
都村 (奈良県): 都村(みやこむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在は田原本町の北部。近鉄黒田駅周辺に相当する。
南生駒村: 南生駒村(みなみいこまむら)は奈良県北西部、生駒郡に属していた村。現在は生駒市の南部。
東山村 (奈良県): 東山村(ひがしやまそん)は奈良県北東部、添上郡に属していた村。現在は山添村の一部。
山添村: 奈良県の北東部、三重県との県境に位置する高原の村である。 夏は冷涼、冬は厳寒。自然情緒豊かな県指定の名勝神野山は 四季折々に美しい姿を見せる。北東部を名張川が流れる。名阪国道が通り、路線バスで天理市や三重県伊賀市(旧・上野市)と結ばれる。
天川村: 天川村(てんかわむら)は、奈良県の南部に位置する村。キャッチフレーズは「天の国」「木の国」「川の国」。世界遺産に登録された「紀伊山地の霊場と参詣道」の主要構成要素である修験の山、大峰山があり、そのふもとには天河大弁財天社がある。
大安寺村 (奈良県): 大安寺村(だいあんじむら)は奈良県北西部、添上郡に属していた村。現在は奈良市の一部。
奈良県の廃止市町村一覧: 奈良県の廃止市町村一覧(ならけんのはいししちょうそんいちらん)は奈良県における市制・町村制施行(1889年4月1日)後に、市町村合併や他の自治体に統合されることなどにより廃止した市町村の一覧である。単なる名称の変更は対象としない。
針ヶ別所村: 針ヶ別所村(はりがべっしょむら)は奈良県北東部、山辺郡に属していた村。現在は奈良市の東部。
多村: 多村(おおむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在は田原本町の南部。
王寺町: 王寺町(おうじちょう)は、奈良県北葛城郡北端に位置する町。
広陵町: 平成22年国勢調査(速報値)より前回調査からの人口増減をみると、0.75%増の33,055人であり、増減率は県内39市町村中5位。1980年(昭和55年)代後半から1990年(平成2年)代前半には全国屈指の人口増加率を誇った。2007年(平成19年)現在もなお、高い増加率を維持している。2006年(平成18年)6月ごろに人口が田原本町を追い越し、奈良県においては一番人口が多い町となった。
奈良公園: 「奈良公園」の範囲については、(1)一般的に認知されている広義の奈良公園、(2) 都市公園法に基づく公園としての「奈良県立都市公園奈良公園」、(3) 文化財保護法に基づいて指定された文化財としての「名勝奈良公園」の3種類があり、これら3つの「奈良公園」は、それぞれ指し示す範囲が異なっている。県立都市公園としての奈良公園は、猿沢池、荒池、春日野などの平坦地のみならず、若草山、花山、芳山(ほやま)などの山間部も含まれ、総面積は502.38ヘクタール。うち平坦地が39.82ヘクタール、山林が462.56ヘクタールである。県立都市公園としての奈良公園の範囲には、東大寺、興福寺、春日大社などの社寺境内地は含まれていない。一方、「名勝奈良公園」の指定範囲は524ヘクタールで、県立都市公園の範囲のほか、東大寺(正倉院敷地を除く)と興福寺の境内地も指定範囲に含まれている。
下北山村: 下北山村(しもきたやまむら)は、奈良県の南部に位置する村。吉野郡に属する。世界遺産の「紀伊山地の霊場と参詣道」に含まれる大峯奥駈道が縦走し、村内の大部分が吉野熊野国立公園に指定されている。
筒井村: 筒井村(つついむら)は奈良県の北西部、生駒郡に属していた村。現在の大和郡山市中南部、近鉄橿原線筒井駅周辺にあたる。
奈良県護国神社: 奈良県護国神社(ならけんごこくじんじゃ、旧字表記:奈良縣護國神社)は、奈良県奈良市にある神社(護国神社)。1万5千坪の境内は「高円の杜(たかまどのもり)」とも称される。
大福村 (奈良県): 大福村(だいふくむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在の桜井市西部、大福駅周辺。
都跡村: 都跡村(みあとむら)は奈良県北西部、生駒郡に属していた村。現在の奈良市尼辻・西ノ京の一帯。奈良時代に都が置かれた平城京の一角だったことから名付けられた。
奈良村: 奈良村(ならむら)は埼玉県の北部、大里郡に属していた村。旧幡羅郡。
阪合部村: 阪合部村(さかあいべむら)は奈良県中部、宇智郡に属していた村。現在は五條市の西部一帯。
御所市: 市名の由来は、当地に勢力を持っていた巨勢氏の「こせ」が転じた説や、当地にある三室山の「三室」が「御室」、「御諸」、「御所」と転じたとする説、市内を流れる葛城川に5つの瀬があったとする説、孝昭天皇の「御諸」が「御所」に変わったとする説が挙げられている。奈良県内で一番人口が少ない市である。
ならまち: ならまちは、奈良県奈良市の中心市街地南東部に位置する、歴史的町並みを有する地域。狭い街路に、江戸時代以降の町屋が数多く建ち並ぶ。なお、奈良町(ならまち)とは、江戸時代中期の『奈良町絵図』に描かれた奈良町の区域を指す現在の地名で、「ならまち」「きたまち」「京終」のエリアからなる。奈良市では、「奈良町」と「ならまち」とを使い分けている。「ならまち」は、「奈良町」のうち国道369号よりも南の区域を指す。このうち、元興寺の旧境内を中心とする49.3ヘクタールが、奈良市により奈良町都市景観形成地区に指定されている。
北倭村: 北倭村(きたやまとむら)は奈良県北部、生駒郡に属していた村。現在は生駒市の北部。
高見村: 高見村(たかみそん)は奈良県南東部、吉野郡に属していた村。現在は東吉野村の一部。
飛鳥 (明日香村): 飛鳥(あすか)は、奈良県高市郡明日香村の大字である。町村制施行以前の同郡飛鳥村に相当する。古代における飛鳥(遠つ飛鳥)の中心的地域であったとされる。
大蔵村: 大蔵村(おおくらむら)は、山形県の北部、最上地方の南部にある人口約3千人の村。「日本で最も美しい村連合」に加盟する。
平群郡: 平群郡(へぐりぐん)は、奈良県(大和国)にあった郡。
宇陀郡: 宇陀郡(うだぐん)は、奈良県(大和国)の郡。人口2,576人、面積127.34km2、人口密度20.2人/km2。(2023年3月1日、推計人口)
城島村 (奈良県): 城島村(しきしまむら)は奈良県北西部、磯城郡に属していた村。現在の桜井市中心部。
狭川村: 狭川村(さがわむら)は奈良県北部、添上郡に属していた村。現在は奈良市の東部。
奈良橋村: 奈良橋村(ならはしむら)とは、神奈川県、東京府北多摩郡にかつて存在した村である。現在の東大和市の中部に位置する。東大和市の地名として現存する。
飛鳥村 (奈良県): 飛鳥村(あすかむら)は奈良県北西部、高市郡に属していた村。現在の明日香村北部。時代区分『飛鳥時代』の名称の由来となった村として知られる。
神戸村 (奈良県): 神戸村(かんべむら)は奈良県北東部、宇陀郡に属していた村。現在の宇陀市大宇陀の一部。
二上村 (奈良県): 二上村(にじょうむら)は奈良県北西部、北葛城郡に属していた村。現在の香芝市西部、近鉄大阪線関屋駅・二上駅、近鉄南大阪線二上山駅周辺にあたる。
平城村: 平城村(へいじょうむら)は奈良県北西部、生駒郡に属していた村。現在は奈良市の北部、登美ヶ丘(西登美ヶ丘全域と中登美ヶ丘4・5丁目は旧富雄町域)や平城ニュータウンの区域に相当する。
奈良公園: 公園内に生息する鹿は、春日大社の神使として古くから神聖視され、人に馴れてはいるが、飼育動物ではなく野生動物であり、「奈良のシカ」の名称で国の天然記念物に指定されている。都市公園としての奈良公園の始まりは堺県時代の1880年(明治13年)で、この年、当時官有地であった興福寺境内を公園とした(面積14ヘクタール)。その後、堺県が大阪府に編入され、大阪府から奈良県が分離独立したのち、新生奈良県の初代県知事であった税所篤(元・堺県令)の公園地拡張工事の上申を受け、1889年(明治22年)には、東大寺境内、春日野、若草山などの山間部を編入し、面積は535ヘクタールとなった。1949年から1951年(昭和24 - 26年)に寺院境内地の公園指定が解除され、面積は500ヘクタールに減少。1960年(昭和35年)、都市公園法に基づく「奈良公園」としてあらためて告示され、指定面積は502ヘクタールとなった。
新沢村: 新沢村(にいざわむら)はかつて奈良県にあった村。現在の橿原市南部にあたる。
南山城村: 京都府唯一の村となっており、京都府では最東端、且つ、最南端の自治体である。「自然が薫り 絆が生きる 自立するむら!みなみやましろ」を村の標語に掲げている。
平群町: 平群町(へぐりちょう)は、奈良県西北部に位置する生駒郡の町。
大阿太村: 大阿太村(おおあだむら)は奈良県中部、宇智郡に属していた村。現在は五條市の東部。
天満村 (奈良県): 天満村(てんまむら)は奈良県北西部、高市郡に属していた村。現在の大和高田市南部に相当する。
平端村: 平端村(ひらばたむら)は、奈良県生駒郡にあった村。現在の大和郡山市の南端、近畿日本鉄道平端駅の周辺にあたる。
葛尾村: 阿武隈高地の中にあり、村中心部の標高は約450メートル、最も高い場所にある集落の標高は約700メートルと、比較的標高が高い。
王寺町: 北は大和川を境に生駒郡三郷町・斑鳩町と接し、東部は北葛城郡河合町・上牧町、南部は香芝市、 西部は大阪府柏原市と接する。町内は新興住宅地が多く、大阪市のベッドタウンとなっている。大阪市への通勤率は28.5%で、奈良県内では 生駒市に次いで高い値となっている。大和川が県境を越えて大阪へ向かう、奈良県内における大和川水系の最下流の場所にあるため、県内で最も海抜が低い地域であり、1982年(昭和57年)8月には町中心部で水害による甚大な被害が出た。西方には葛城山地を控え、可住地面積は広くはない。ゆえに面積は全国の町村部でも最小級にありながら、人口密度は屈指の多さを誇り、奈良県内では大和高田市、上牧町に次いで第3位。また、農地面積、農業従事者は県内で最も少なく、水田は町の北部ではほとんど見られない。
佐保村: 佐保村(さほむら)は奈良県添上郡にあった村。現在の奈良市中心部の北方、佐保川右岸にあたる。
北葛城郡: 北葛城郡(きたかつらぎぐん)は、奈良県の郡。人口95,804人、面積37.68km2、人口密度2,543人/km2。(2023年3月1日、推計人口)
豊原村 (奈良県): 豊原村(とよはらそん)は奈良県北東部、山辺郡に属していた村。現在は山添村の一部。
若草山: 若草山(わかくさやま)は、奈良県奈良市の奈良公園の東端に位置する標高342m、面積33haの山である。
吉野町: 吉野町(よしのちょう)は、奈良県の中部に位置する町。
波多野村: 波多野村(はたのそん)は奈良県北東部、山辺郡に属していた村。現在は山添村の一部。
治道村: 治道村(はるみちむら)は奈良県北西部、添上郡に属していた村。現在は大和郡山市の一部。
牧野村 (奈良県): 牧野村(まきのむら)は奈良県中部、宇智郡に属していた村。現在は五條市の北西部。
ヘロンの三角形: 幾何学においてヘロンの三角形(ヘロンのさんかくけい)とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。
ヘロンの公式: ヘロンの公式 ― 3辺の長さが a, b, c である三角形の面積 S はまた、以下のような s を用いない表記もある。
ブラーマグプタの公式: ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。
ヘロンの三角形: 全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数(整数)なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。この三角形の面積の式は以下の通りである。この式を a ついて解くと以下のようになる。仮定より A {\displaystyle A} と b + d {\displaystyle b+d} が整数なので、a も有理数である。ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。上の式から下の式を引いて変形する。c, e, b + d は整数なので b - d も有理数となる。なので、b, d も有理数となる。
ヘロンの三角形: すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数(この場合は5)をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。
ヘロンの公式: 三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。このとき△ABCの面積 S は、△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを h とする。この時△ABC の面積を S とすると h は、(±は鈍角三角形と鋭角三角形の場合分けを省くためである。)ピタゴラスの定理より、と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、この式を S について解いた正の方が解である。ピタゴラスの定理より、(5)の式を(6)の式に代入して、hを消すと、(7)の式を(5)の式に代入して、
リュイリエの公式: この公式は単位球における球面三角形の球過量 E を求めるものであるが、球過量は任意の球における球面三角形の面積に直接的に関係することから、リュイリエの公式は平面三角形におけるヘロンの公式の球面三角形版に相当している。
ヘロンの三角形: 3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある(面積は 12)。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形(3辺の長さは c , e , b + d )の面積は A = 1 2 ( b + d ) a {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a} となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。
ヘロンの三角形: 面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。
ヘロンの三角形: 辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する(オンライン整数列大辞典の数列 A003500)。以下に最初のいくつかを示す。中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。この数列はリュカ数列の一種であり、 n = ( 2 + 3 ) t + ( 2 − 3 ) t {\displaystyle n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}} と表すこともできる。面積 = A, 内接円の半径 = yとおくと、となり、{n, y} の組は n − 12y = 4 を満たす。
三角関数の公式の一覧: 正弦関数と余弦関数において、値が n / 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {n}}/2} (ただし 0 ≤ n ≤ 4)の形になるものは、覚えやすい値である。一部の角に対する値は、黄金比 φ を用いて表すことができる。ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。
ブラーマグプタの公式: ブラーマグプタの公式(ブラーマグプタのこうしき、英: Brahmagupta's formula)とは、円に内接する四角形の四辺の長さからその四角形の面積を求める公式である。
マルファッティの円: 幾何学におけるマルファッティの円(マルファッティのえん)は、それぞれが三角形の2辺に接し互いに外接する3つの円の名称である。名前はこの円を(誤った予想と共に)初期に研究したジアン・フランチェスコ・マルファッティ(en)に由来する。マルファッティの問題という言葉は、「マルファッティの円を作図する」「三角形内で合計面積が最大となる3つの円を求める」という2通りの意味で使用される。
積分法: 図形の面積や体積の求積法は、特殊なものに限れば古代からいくつも知られており、その起源は定かではないが、積分法の起源としては古代ギリシアの数学書ユークリッド原論にもある取り尽くし法(積尽法、窄出法、英: method of exhaustion、仏: méthode d’exhaustion、独: Exhaustionsmethode、拉: methodus exhaustionibus)などのいくつかの技法に求めることができるだろう。取り尽くし法はある領域の面積を無数の三角形で覆い尽くすことによって求めようとするものである。古代ギリシャでは、三角形を最も基本的な図形と捉えていたため、このような三角形による求積法が盛んであった。
エジプト数学: エジプト数学の幾何学は、円の面積の近似値、角錐台の体積を求める公式、半球の表面積を求める方式などの業績を残した。角錐についての公式は、ピラミッドの建設に用いられている。モスクワ・パピルスには、切頭体の体積を求める最古の例の1つがある。
円積問題: 与えられた円に対し、それに近い面積の正方形を近似的に求める方法はバビロニアの数学者にも既に知られていた。紀元前1800年頃のエジプトのリンド数学パピルスには、直径が d {\displaystyle d} の円の面積は 8 2 9 2 d 2 {\displaystyle {\frac {8^{2}}{9^{2}}}d^{2}} 、即ち 64 81 d 2 {\displaystyle {\frac {64}{81}}d^{2}} だと記載されている。シュルバ・スートラにはインドの数学者による近似の手法(精度は劣るが)が記録されている。また、インドの数学者たちは与えられた正方形に対して、それに近い面積の円を近似的に作図する方法も与えている。古代ギリシアで円の正方形化に最初に取り組んだのは、イオニア学派のアナクサゴラスだとされている。
ブレートシュナイダーの公式: ブレートシュナイダーの公式(ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula)は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積はに等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー(1808–1878)にちなむ。
半円: 幾何平均は、直径を長さaとbの2つの部分に分割し、それらの共通の端点を直径に垂直な部分で半円に接続することによって見つけることができる。結果の部分の長さは幾何平均である。これは、ピタゴラスの定理を3つの同様の直角三角形に適用することで証明できる。各三角形には、垂線が半円に接する点と、長さaおよびbの部分の3つの端点のうちの2つが頂点となる。幾何平均の構築を使用して、任意の長方形を同じ領域の正方形に変換できる。これは、長方形の求積法と呼ばれる問題である。正方形の辺の長さは、長方形の辺の長さの幾何平均である。より一般的には、任意の多角形を他の任意の多角形の面積を持つそれ自体の同様のコピーに変換するための一般的な方法の補題として使用される。
ヘロンの三角形: ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる。m, n, k は以下の条件を満たす整数である。上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。
ヘロンの公式: ヘロンの公式の3次元版として、四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。3次元版ヘロンの公式 ― 6辺の長さが l 1 , l 2 , ⋯ , l 6 {\displaystyle l_{1},l_{2},\cdots ,l_{6}} である四面体の体積 V {\displaystyle V} は
ヘロンの三角形: n = 2x と変換すると、ペル方程式 x − 3y = 1 が得られる。この解は√3の連分数展開によって得られる。
リュイリエの公式: リュイリエの公式(リュイリエのこうしき、英語: L'Huilier's formula)は、単位球における任意の球面三角形の3辺 a, b, c の長さから球過量 E を求める公式。アドリアン=マリ・ルジャンドルが18世紀末に発表した著書『Eléments de géométrie』の中で「この非常にエレガントな式はサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによる」旨の言及をしていることから彼に帰せられる。
ニコロ・フォンタナ・タルタリア: タルタリアは、4つの頂点の間の距離を用いて三角錐の体積を表すタルタリアの公式を考案したことでも知られる。ここで d i j {\displaystyle d_{ij}} は頂点 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} との間の距離を表す。これは三角形におけるヘロンの公式を一般化したものである。
アレクサンドリアのヘロン: アレクサンドリアのヘロン(ヘーローン・ホ・アレクサンドレウス、古希: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς、英: Heron of Alexandria、紀元10年ごろ? - 70年ごろ?)は、古代ローマ属州エジプト(アエギュプトゥス)のアレクサンドリアで活動したギリシャ人工学者、数学者。より古代ギリシア語音に近い表記として、アレクサンドリアのヘーローンともする。一説にはクテシビオスの弟子(師弟関係ではなく、クテシビオスの著作からアイディアを得たとする説もある)。蒸気の圧力を利用したさまざまな仕掛けを考案した(ただし、蒸気機関の発明には至らなかった)。主な発明に、蒸気タービンや、蒸気を使って自動で開く扉などがある。数学では測量法の改良者として知られる。また、著書 Metrica においてヘロンの公式の証明を与えた。
三角関数の公式の一覧: α, β, γ が三角形の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。
リュイリエの公式: リュイリエの公式 ― 単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E は
三角法: 球面三角法とは、球面三角形の角と辺の関係を研究する学問である。球面三角形とは球面上の3つの大円の弧により区切られた図形である。大円とは球の中心を通る平面により球を切ったとき、球の切り口に表れる図形である。球面三角形の余弦定理や正弦定理は三角関数により定義される。歴史的に天文学や航海術に利用された。図2.2に示すような球面三角形における、ある角の余弦は、前記球面三角形の各辺により、次のように表せる。上記式と等価な下記式(球面三角法における余弦定理(英語版))は、球面三角法における基本的な公式であり、さまざまな公式が下記式から演繹される。
三角法: 任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。
三角法: 直角三角形の3辺の長さの比は、測量や天文学の要請によって古代から研究されてきた。イエール大学のバビロニア・コレクション(英語版) No.7289(前2000年頃)には、正方形と2本の対角線が描かれていて、それぞれの長さが楔形文字により60進法で記されている。これに基づく2の平方根の近似値の精度は、10進法で小数点以下5桁まで、現代知られている近似値と一致するほど正確なものであった。前1800年から前1650年の間のある時期に作られた粘土板(コロンビア大学のプリムプトン・コレクション No.322)には、ピュタゴラスの三ツ組数が記されているとも解せる。メソポタミアにおいては新バビロニア時代に入ると、天文観測上の必要から角度を数値化するという概念も発展し、円の一周を360°に分割する度数法が始まった。バビロニアの天文観測の記録は紀元前1世紀まで続いた。
球面三角法: ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブルによる。ガウスの公式と呼ばれることもある。
パスカルの三角形: この三角形について確認できる最古の文献は、インドの数学者ピンガラ(英語版)の著作に対して10世紀にハラーユダ(英語版)が書いた注釈『ムリタサンジーヴァニー』である。ピンガラの原文は断片的にしか現存していないが、ハラーユダはピンガラの Meru-prastaara『須弥山の階段』という言葉をパスカルの三角形のことだと解釈している。ハラーユダは、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していた。中国では11世紀に数学者の賈憲(英語版)、13世紀に数学者の楊輝がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。ペルシアでは、アル=カラジ(英語版)とウマル・ハイヤームが研究しており、イラン国内では「ハイヤームの三角形」と呼ばれる。
三角関数の公式の一覧: 三角関数の公式(さんかくかんすうのこうしき)は、角度に関わらず成り立つ三角関数の恒等式である。
マチンの公式: マチンの公式(Machin's formula) とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆三角関数を用いた円周率を計算するための公式である。
弦 (数学): 三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表(英語版)で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している(0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった)。弦函数 crd は幾何学的には(図のように)中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)(r は半径)となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。
三角法: 三角法(さんかくほう)とは、三角形の角の大きさと辺の長さの間の関係の研究を基礎として、他の幾何学的図形の各要素の量的関係や、測量などへの応用を研究する数学の学問領域の一つである。様々な数学の分野の中でもきわめて古くから存在し、測量や天文学上の計算などの実用上の要求と密接に関連して生まれたものである(→歴史)。三角法と数表を用いることで、直接に測ることの難しい長さを良い精度で求めることができる(→応用分野)。三角法は平面三角法、球面三角法、その他の三角法に分けられる(→平面三角法、→球面三角法、→その他の三角法)。三角関数は歴史的には三角法から派生して生まれた関数である(→三角関数)。
三角測量: この器具を使って離れたところから距離を測定する方法についてのこの時代の詳細な説明は、アレクサンドリアのヘロンによる「ディオプトラ」にあり、これはアラブでは翻訳されて残ったが、ヨーロッパにおいては失われてしまった。中国では、裴秀が正確な地図作りの6原則の5番目として「直角と鋭角を測る」を挙げており、これは正確に距離を測るために必要なことであった。また劉徽は、到達することのできない場所までの高さを求める方法として、上述したような計算方法を示していた。ローマ時代の土地測量の専門家、agromensoresと呼ばれる人々には、三角測量が使われていなかったことは明らかである。しかしアラブのイブン・アル=サッファー(英語版)などによるアストロラーベに関する文献を通じて中世のスペインに導入された。
クテシビオス: アレクサンドリアのクテシビオス(クテースィビオス・ホ・アレクサンドレウス、古希: Κτησίβιος ὁ Ἀλεξανδρεύς、生没年不詳、少なくとも紀元前285年 - 紀元前222年にかけて活動)は、古代ギリシャの発明家、数学者。より古代ギリシア語音に近い表記として、クテーシビオスともする。古代ギリシャの科学者では、アルキメデスに次ぐ人物である。アレクサンドリアのヘロンの師とされる。
ペロンの公式: 数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式(ペロンのこうしき、英: Perron's formula)とは、オスカー・ペロン(英語版、ドイツ語版)による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。
立方体倍積問題: 立方体倍積問題(りっぽうたいばいせきもんだい)は、三大作図問題の1つである。古代エジプト人、ギリシア人、インド人にも知られていた。立方体倍積問題とは、一辺の長さがs、体積がV= sのある立方体に対し、体積が2V、つまり一辺の長さが s ⋅ 2 3 {\displaystyle s\cdot {\sqrt[{3}]{2}}} の立方体を与える問題である。この問題は、 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} ≈ 1.25992105が作図可能数ではないため、定規とコンパスだけでは作図が不可能であることが証明されている。
数学史: ピティスクス (Bartholomaeus Pitiscus) がこの語を、1595年に出版した『三角法』(Trigonometria) で最初に使用した。レギオモンタヌスの正弦および余弦の表は1533年に出版された。
ペントミノ: 8×8 の正方形の中央に 2×2 の穴がある形は1958年にデイナ・スコットにより解が65個であることが求められている。
ナポレオンの問題: 上に示したナポレオンの問題は、中心が未知の円が与えられたとき、コンパスのみを用いて四つの等しい弧に分割するという真のナポレオンの問題よりも簡単である。 以下では、真のナポレオンの問題の解とその略証を記す。
方法 (アルキメデスの著書): 三角形の質量中心は、アルキメデスにより次の方法で簡単に求めることができる。中線が三角形のいずれかの頂点から反対側の辺Eに引かれる場合、三角形は支点とみなされる中点で釣り合う。その理由は、三角形がEに平行な無限小の線分に分割される場合、各線分は中線の反対側で等しい長さを持ち、対称性により均衡する。この議論は無限小である線の代わりに小さな長方形を使う取り尽くし法により簡単に厳密なものにすることができ、これはアルキメデスが『平面の釣合について』で行っている。したがって、三角形の質量中心は中線上の交点にあるはずである。問題の三角形の場合、1つの中線はy = x/2で、2番目の中線はy = 1 − xである。
三角関数の公式の一覧: 以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。方程式 x − 3x + d/4 = 0(正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする)の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。ここで (nk) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。
余弦定理: ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたときが成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。イスラム世界では 10世紀に活躍した天文学者であり数学者のアル・バッターニーは、これらの結果を球面幾何学にまで広げ星の間の距離を測定した。15世紀には、アル・カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは余弦定理のことを アル・カーシーの定理 (Théorème d'Al-Kashi) と呼ぶ。西洋での余弦定理は16世紀にフランソワ・ビエタによって独自に発見されたことで有名になり、19世紀初頭から現代のような数式で書かれるようになった。
二次方程式の解の公式: 二次方程式に解を与える最初期の方法は幾何学的であった。バビロニアの楔形文字で書かれた文字板には二次方程式を解くことに単純化可能な問題が含まれていた。エジプト中王国の時代(紀元前2050年 - 紀元前1650年)にまで遡る、エジプトのベルリンパピルス(英語版)には二項の二次方程式の解が含まれていた。古代ギリシアの数学者ユークリッド(およそ紀元前300年)は原論という自身の著作の中で二次方程式を解くのに幾何学的方法を使った。原論は非常に大きな影響を与えた数学の学術文献である。およそ紀元前200年の中国の九章算術には二次方程式に対する解法が登場する。古代ギリシアの数学者ディオファントス(およそ紀元前250年)は、自身の著作算術において二次方程式を解いたが、彼の手法はユークリッドの幾何学的手法と比較してより代数学的であったとされる。
藤村の三角形問題: が上界になる(床関数は、k(k − 2) が1番目の場合3の倍数であり、3番目の場合3で割って2余ることに注意して取り扱うことができる。Clément と Bader が改善を行ったのは2番目の場合のみである)。k0(>3)本の直線の場合に完全な解が分かったとすると、それ以外の全ての ki についても、完全な解となる三角形の個数を求めることができる。ここでであり、D. Forge と J. L. Ramirez Alfonsin による手続きに従う。例えば、k0 = 5 からは k = 5,9,17,33,65,... のときに作れる最大の三角形の個数が求められる。
エミール・ルモワーヌ: 彼の論文では、ヘレニズム時代にペルガのアポロニウスが提起したアポロニウスの問題の例について論じられた。これは、与えられた3つの直線に接する円を作図する方法を問う問題であった。この問題は、1816年にジョゼフ・ディアス・ジェルゴンヌが単純度400の作図で解決したが、ルモワーヌの提案する解法の単純度は154だった。現在では、1936年のフレデリック・ソディによるものや2001年のデヴィッド・エプスタインによるもの等、より単純な解法の存在が知られている。1894年、ルモワーヌは、現在「ルモワーヌの予想(英語版)」として知られる予想を提案した。これは、3より大きい全ての奇数は、pとqを素数として、2p + qの形で表せるというものである。
マチンの公式: マチンの公式に類似した式は比較的探しやすいため、非常に多くの形の式が見つかっている。この節では、その中のほんの一部を紹介する。複素数を用いたマチンの公式の証明と同様の計算を用いるなどして、計算機を用いて公式を探索していくことも可能である。オイラーによる公式(1748年)ヤコブ・ハーマン (Jacob Hermann,1678 - 1733) による式ハットン(Charles Hutton,1737 - 1823)による式(1776年)ガウスによる公式(1863年)ストーマー (Fredrik Carl Mulertz Stormer, 1874-1957) による公式 (1896年)高野喜久雄による公式(1982年)シムソン(Robert Simson;1687生, 1768没; 初等幾何学のシムソン線の発見者)による公式
ライプニッツの調和三角形: ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。
数学史: ここから、現在1分が60秒、1時間が60分、および円が360度 (60 × 6) の用法が由来している。60には多くの約数があるという事実により、バビロニア数学の進歩が促進された。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学と異なり、バビロニア数学は正しい位取り記数法を持ち、左の列に書かれる数字が、十進法より大きな値を示す、しかしながら、小数点に相当するものが欠けているため、数字によって実際に表されている数値はしばしば文脈から推論しなければならなかった。エジプト数学は、エジプト語で書かれた数学を示す。ヘレニズム時代から、エジプト人学者の記述言語としてギリシア語はエジプト語に代わり、この時点からエジプト数学はギリシアおよびバビロニア数学と融合しヘレニズム数学となった。 エジプトでの数学研究は後に、イスラム帝国のもとイスラム数学の一部として続き、アラビア語がエジプト人学者の記述言語となった。
定規とコンパスによる作図: ギリシアの三大作図問題:ギリシア時代の数学者たちによって次の3つの作図が定規とコンパスによって可能か、という問いが立てられた現在ではこれらは全て定規とコンパスのみでは作図できないことが証明されている。1837年にヴァンツェルは、角の三等分問題と立方体倍積問題は三次方程式を解かなくてはならないことを示した。非自明な三次方程式の根によって生成される体は拡大次数が 3 になってしまい、そのような数を座標にする点は作図できない。倍積問題はある線分を2の3乗根(無理数)倍に伸ばす方法の導出、円積問題は、方程式 x = πr の解を求めることと同値である(π は円周率)。1882年に、リンデマンにより π が超越数であることが証明され、作図が不可能であることが示された。
藤村の三角形問題: 藤村の三角形問題(ふじむらのさんかっけいもんだい、英: Kobon triangle problem)は離散幾何学の未解決問題で、藤村幸三郎により初めて述べられた。この問題は、平面上に k 本の直線を引くときに重なり合わずに作ることのできる三角形の最大数 N(k) を求めるものである。ユークリッド平面ではなく射影平面で考え、三角形はその3辺以外の直線と交わらないこと、という条件を課す変種もある。