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新古今和歌集: 『古今和歌集』を範としてそれまでの七代集を集大成する目的で編まれ、新興文学である連歌・今様に侵蝕されつつあった短歌の世界を典雅な空間に復帰させようとした歌集であり、古今以来の伝統を引き継ぎ、かつ独自の美世界を現出した。「万葉」「古今」と並んで三大歌風の一である「新古今調」を作り、和歌のみならず後世の連歌・俳諧・謡曲に大きな影響を残した。しかし近代以降、『新古今和歌集』を含めた勅撰和歌集への評価は一変する。アララギ派の祖である正岡子規が『歌よみに与ふる書』のなかで『古今和歌集』を「くだらぬ集」と激しく罵倒し、『新古今和歌集』についてもその歌が「(『古今和歌集』よりも)ややすぐれたりと相見え候。古今よりも善き歌を見かけ申候」というものの、その「善き歌」も「指折りて数へるほどの事」と断ずる。
古今和歌集: ただし、序に奏覧の日が書かれず奉勅の日付のみを記すとは考えにくいことから、完成後増補改訂されたとするのが一般的である。なお、両序の日付が異なる理由は不明である。また真名序に出てくる『続万葉集』という書名は、仮名序を含め他書には見えない。貫之の私家集である『貫之集』巻第十には、という和歌があるが、その詞書には、延喜の御時、やまとうたしれる人々、いまむかしのうた、たてまつらしめたまひて、承香殿のひんがしなる所にて、えらばしめたまふ。始めの日、夜ふくるまでとかくいふあひだに、御前の桜の木に時鳥(ほととぎす)のなくを、四月の六日の夜なれば、めづらしがらせ給ふて、めし出し給ひてよませ給ふに奉るとあり、これが『古今和歌集』撰集のことであるとされる。その開始日は「四月の六日」とあるが、これが延喜5年のことだとすればわずか十日ほどで撰集が終わるとは考えられず、実際には一年または数年を要したとみられる。
古今和歌集: 『古今和歌集』については古くは貫之自筆の本と称するものが三つ伝わっており、そのうち醍醐天皇に奏覧した本には仮名序も真名序もなく、皇后藤原穏子に奉った本と貫之が自宅に留めおいた本には仮名序はあったが真名序は付いていなかったという。現在『古今和歌集』の本文としてもっぱら読まれているのは、藤原定家が書写校訂した系統の写本(定家本)をもとにしたものである。しかしその本文については定家以前のもの、また定家本以外のものも以下のように伝存する。これらの本文は、現行で流布する定家本から見て歌の出入りがあるなど相違するところが多く、そのなかでも特に元永本は相違を見せている。本来、巻子本や冊子本として作られたものが数行分を切り取って掛け軸にしたり、手鑑に貼るなどされてばらばらになったものである。完本として現存最古とされる書物とされている。「元永三年(1120年)七月二十七日」の奥書を持つ。
古今和歌集: (中略)真名序は紀淑望が依頼を受けて執筆したもので、漢詩文に関する先行文献を参照してはゐるが、既に成つてゐた精選本仮名序をも参照し、殊に六歌仙評、撰集事情を述べた条などには、その痕跡が著しい」として、仮名序が真名序に先行すると主張している。歌の中には長歌5首・旋頭歌4首が含まれるが、残りはすべて短歌である。二十巻からなる内容は以下の通りである(定家本による)。巻末の「墨滅歌」とは定家本のみにあるもので、藤原定家が「家々称証本之本乍書入墨滅哥 今別書之」(家々で『古今和歌集』の証本〈拠るべき重要な伝本〉とする本に記していながら、墨で印をして本来無いものとしている和歌があり、今それらを別にまとめて書き記す)と前置きしてまとめた11首の和歌のことである。なお、定家本をはじめとする古い伝本では通常、巻第十までを上巻、それ以降の巻を下巻として分け、上下2冊の冊子本としている。
古来風体抄: 初撰本は後白河院の皇女である式子内親王(1149年-1201年)が、公卿で歌人の藤原俊成(1114年-1204年)に依頼して執筆されたものとされる。再撰本も式子内親王の依頼によるものと見られている。なお、初撰本と再撰本との間には初撰本を改稿したと見られる撰本が残されている。『万葉集』から191首、『千載和歌集』までの勅撰和歌集から395首(再撰本では398種)を抄出しており、和歌の歴史を述べるとともに、和歌を詠むことは題材の対象の本性を明らかにするということであるとしている。『万葉集』に忠実な原文・題詞・左註を持ち、『万葉集』の校勘資料としての価値を持つ。
金葉和歌集: ただし初度本の巻頭は貫之の歌ではなく白河院の異母弟輔仁親王の歌だったとも伝わっており、『増鏡』が記すところによれば、父後三条天皇が自身の後には輔仁親王を立てるよう遺言していたのを無視して実子の堀河天皇に譲位した白河院は、輔仁親王のことを一貫して忌避しており、この初度本を嫌って俊頼に返したのもそのためという。二度本は藤原顕季の歌を巻頭に置き当代歌人の歌を主軸にして編纂されたが、白河院は「これも特にいいとは思えない」と却下している。最終的に納められた三奏本にも問題はあった。巻頭に置いたのは源重之の歌だったが、この歌は実はすでに勅撰集第3番目の『拾遺和歌集』に収録された歌だった。またこの他にも4首が『拾遺和歌集』と重複している。勅撰集を編纂する際には、その以前の勅撰集に採られた歌は再び採らないというのが根本的な決まりごとだった。
新勅撰和歌集: 部立は春(上下)・夏・秋(上下)・冬・賀・羇旅・神祇・釈教・恋(1-5)・雑(1-5)から成り、従来の勅撰集の部立よりも単純化されている。最多入集歌人は藤原家隆(43首)で、九条良経(36首)、藤原俊成(35首)、西園寺公経(30首)、慈円(27首)、源実朝・九条道家(共に25首)、飛鳥井雅経(20首)が続き、定家が庇護を受けた九条家・西園寺家の貴顕(公経は定家の義弟にして、関白九条道家の岳父である)の入集が目立つ。別名『宇治河集(うじがわしゅう)』。「宇治河」はその序詞となっている「もののふの八十氏河」から「武士(もののふ)」のことを意味し、武家の歌を多く撰ぶ一方、鎌倉幕府に遠慮して後鳥羽院や順徳院らの歌を排除した藤原定家に対する非難の意味を込めたものである。歌風は華やかな『新古今和歌集』調から一転して、平明温雅な趣向である。
玉葉和歌集: また撰者も伏見天皇が諮問した二条為世、京極為兼、飛鳥井雅有、九条隆博の四名に命じられた。その後冷泉為相は自らも撰者に加わりたいと自薦し、二条為世は撰者を辞退し、冷泉為相を厳しく批判した上で自らの息子である二条為道が撰者にふさわしいと推薦したが、冷泉為相、二条為道とも撰者に加わることはなかった。この伏見天皇の勅撰和歌集撰集の経緯は、天皇が寵臣京極為兼が主導する形での勅撰和歌集撰集を実現するため、為兼と相談の上、仕組んだものと考えられている。もちろん京極為兼単独で撰集する形がベストであったが、為兼は和歌宗家の御子左家庶流の一人であり、単独での撰者とするには無理があった。
玉葉和歌集: そのような中、弘安10年(1287年)、大覚寺統の後宇多天皇は譲位し、伏見天皇が践祚した。持明院統の治世となり、伏見天皇は京極為兼が主導する新たな和歌観に基づく勅撰和歌集撰集を考えるようになった。永仁元年8月27日(1293年9月28日)、伏見天皇は二条為世、京極為兼、飛鳥井雅有、九条隆博の四名に勅撰和歌集撰集について諮問した。これを永仁勅撰の議と呼ぶ。諮問当日、天皇は病気で不参の飛鳥井雅有以外の三名に、撰集の下命は何月が良いか、下命の形式、歌を撰ぶ範囲、そして当時の勅撰和歌集撰集の際に慣例となっていた応製百首詠進の勅命はいつ下すのがよいかについて尋ねた。下命の形式は三名とも綸旨によるべきであるとし、応製百首詠進の勅命についても撰集の下命の前後どちらでも構わないと意見が一致したが、あとの二点については意見が分かれた。
新葉和歌集: 成立事情から、現存する諸本も大別して2系統がある。すなわち、准勅撰集としての形を整える以前の初度本(独自歌8首を含む1420首)と長慶天皇の奏覧に供された際の奏覧本(独自歌6首を含む1418首)の2つである。内閣文庫本・吉水本・富岡本を始め、およそ写本は奏覧本系に属しているが、流布本である承応板本は初度本系に属しており、松井本はこの系統の祖本と目される。もっとも奏覧本系には、流布本との校合で8首が書入れられた結果、計1426首を備えている写本も多い。
古今和歌集仮名序: 『仮名序』は、冒頭で和歌の本質とは何かを解き明かした後、和歌の成り立ちについて述べ、次いで和歌を6分類し、各分類について説明する。そして和歌のあるべき姿を論じ、その理想像として2人の歌聖(柿本人麻呂と山部赤人)を挙げ、次に近代の高名な6人の歌人(六歌仙)を挙げる。最後に『古今集』の撰集過程について触れた後、和歌の将来像を述べて終わる。
新古今調: 新古今調(しんこきんちょう)は、新古今和歌集にみられる歌風のこと。
風雅和歌集: 貞和2年の春ごろ、正本の清書は尊円法親王が担当することが決まり、貞和2年10月17日、この勅撰集の題名が『風雅和歌集』と決定した。王道が正しく行われている時の和歌を集成した歌集という意味であるが、花園院は一般的な意味である「詩歌・文章の道」の意味にしか理解されないことを危惧していた。それにも関わらず『風雅和歌集』としたのは、元来花園院が題名として考えていた、王道が正しく行われている時の和歌を集成した歌集という意味の「正風」(せいふう)が、一般には意味が難解であり、また呉音だと「傷風」(しょうふう)に通じるという事情があったためである。同月11日までに花園院による真名序と仮名序が完成。いずれも、撰者である光厳院の立場から記したもので、花園院快心の作である。貞和2年11月9日、持明院殿にて風雅集の竟宴が行われる。
長崎県: 他にも大陸に近いためツシマヤマネコやムツゴロウなどの大陸系遺存種が多いこと、各地の離島で多くの亜種・変種が確認されていることなども特徴である。島原半島は活火山地帯で温泉が多いが、1990年(平成2年) - 1995年(平成7年)の雲仙・普賢岳の噴火は島原市と深江町を中心に大きな被害をもたらした。また、東シナ海に突き出しているため、台風の上陸数も多く、長崎県に限らず、日本列島に大災害をもたらした台風9号(1970年、長崎市)、台風17号(1976年、長崎市)、台風17号(1991年、長崎市)、台風19号(1991年、佐世保市)、台風18号(2004年、長崎市)、台風14号(2005年、諫早市)、台風13号(2006年、佐世保市)などの台風が上陸している。長崎県による地域区分 では、長崎地域、県北地域 、県央地域、島原地域、五島地域、壱岐地域 、対馬地域の7つの地域に分けられる。
壱岐島: 九州の東松浦半島から北北西に約20 kmの玄界灘上に、壱岐島は位置している。なお、九州と壱岐島の間の海域を壱岐水道と呼ぶ。また、壱岐島から見て、対馬海峡を隔てた北西海上に対馬が有る。航路の距離は福岡市の博多港から島の南西部の郷ノ浦港までが約74 km、東松浦半島の呼子港(唐津市)から島の南東部の印通寺(いんどうじ)港までが約26 kmである。海岸線は入り組んでおり、島の面積は133.8 km程度ながら、海岸線の長さは167.5 kmに達する。それほど高い山は島内に無く、島の南端部に位置する山頂の標高が212.8 mの岳ノ辻が、最高峰である。壱岐島の東南部には「深江田原(ふかえたばる)」とよばれる長崎県第2の広さを誇る天然の沖積平野がある(長崎県最大の広さは諫早平野)。広さは約300ヘクタールで、福岡ドーム約18個分に相当する。
沖ノ島 (長崎県対馬市): 沖ノ島(おきのしま)は長崎県対馬市にある島である。
長島 (長崎県): 長島(ながしま)は、長崎県壱岐島の南西に位置する日本の島。壱岐市に属し、隣接する大島・原島と共に渡良三島(わたらさんとう)を構成する。
沖之島 (長崎県): 沖之島(おきのしま)は、長崎県長崎市に属する島。周囲5.1km、面積0.94m。「沖ノ島」とも表記される。伊王島に隣接しており、地元では隣接する沖之島と合わせて伊王島と称している(伊王島については伊王島参照)。
島山島 (長崎県五島市): 島山島(しまやまじま)は、長崎県五島列島の福江島の南西に位置する有人離島。五島市玉之浦地区に属している。面積は約5.53kmで、五島列島の中では10番目に大きな島である。
大島 (長崎県西海市): 大島(おおしま)は、長崎県中部の西彼杵半島西方にある島。全島が西海市に属する。同じ長崎県内の平戸市の的山大島等と区別して西彼大島(せいひおおしま)と呼ばれる場合がある。
椛島: 椛島(かばしま、英語:Kabashima)は、五島列島を構成する島の一つである。行政区分は長崎県五島市に属する。長崎市の西方沖約80Kmに位置しており、五島列島では8番目に大きな島である。
牧島 (長崎県): 牧島(まきしま)は長崎県長崎市にある島である。
鵜瀬島: 鵜瀬島(うせじま)は長崎県長崎市にある島である。
高島 (長崎県長崎市): 高島(たかしま)は、九州北西部の長崎半島西沖合にある島。全島が長崎県長崎市(2005年1月3日までは西彼杵郡高島町)に属する。
福江島: 福江島(ふくえじま)は、長崎県西方沖の五島列島を構成する島の一つである。行政区分は長崎県五島市に属する。南に離れた男女群島を除けば五島列島の南西端に位置する。島の面積326.43kmは五島列島最大、日本国内では11番目の面積を持っている。2021年12月現在では、人口33,008人となっている。
大島 (長崎県佐世保市): 大島(おおしま)は、長崎県の大村湾北部にある島(有人島)。全島が同県佐世保市に属する。別称、江上大島(えがみおおしま)。
大島 (長崎県壱岐市): 大島(おおしま)は、長崎県壱岐島の南西に位置する日本の島。壱岐市に属し、隣接する原島・長島と共に渡良三島(わたらさんとう)を構成する。
高島町 (長崎県): 以下の4島からなる(順番は北から南)。1.34 km(当時、日本国内で面積最小の市町村であった)年間平均気温は15°Cから16°C、平均降水量は2000mm。
馬渡島: 佐賀県の最西端である。面積は約4.24kmで、佐賀県で最も大きい島である。最高峰は番所ノ辻(237m)。
奈留島: 奈留島(なるしま)は、長崎県の西に浮かぶ五島列島を構成する島の一つである。五島列島内では久賀島と若松島の間にあり、全島が長崎県五島市に属する。
詩島: 詩島(うたじま)は、長崎県長崎市の島である。
度島: 度島(たくしま)は、長崎県平戸市に属する島。
樺島: 樺島(かばしま)は、九州西部の長崎半島の南、天草灘上に位置する島である。全島が長崎県長崎市に属する。
久賀島: 久賀島(ひさかじま)は、長崎県の西に浮かぶ五島列島の一つの島である。行政区分は長崎県五島市に属する。
竹ノ島: 竹ノ島(たけのしま)は長崎県西海市の島である。竹島(たけしま)とも呼ばれる。
黒島 (長崎県佐世保市): 黒島(くろしま)は、北松浦半島の南西沖合にある島。九十九島で最大の島。なお、この項目では佐世保市の一地域としての黒島(くろしま - 旧北松浦郡黒島村)についても記述する。
上島 (天草諸島): 上島(かみしま)は、225.32km 熊本県第2位の面積を有する島である。日本では16番目の面積である。
的山大島: 的山大島(あづちおおしま)は、長崎県の平戸島の北方にある島(有人島)である。全島が長崎県平戸市に属する(2005年10月1日の現平戸市発足以前は北松浦郡大島村)。通称で「大島」と呼ばれることも多い。
宇久島: 宇久島(うくじま)は、長崎県本土から西へ約50km離れた五島列島の最北部にある島(有人島)。全島が佐世保市に属する。
五島列島: 座標: 北緯32度41分43.8秒 東経128度50分26.9秒 / 北緯32.695500度 東経128.840806度 / 32.695500; 128.840806 (福江島)五島列島(ごとうれっとう)は、長崎県西部に位置する列島。全島が長崎県に属し、人口は約7万人。長崎港から西に100kmに位置し、北東側から南西側に80km(男女群島まで含めると150km)にわたって大小あわせて152の島々からなる。
竹崎島: 竹崎島(たけざきじま)は、佐賀県藤津郡太良町にある島である。長崎県との境に位置し、有明海に突き出した周囲およそ4 kmの火山島。
長崎県: 自治体は13市4郡8町がある。「町」の読みは、すべて「ちょう」。2000年(平成12年)の段階では79もの市町村があったが、平成の大合併で2010年(平成22年)4月までに21市町となっている。村は2005年(平成17年)10月1日の大島村の合併に伴って消滅している。長崎半島と西彼杵半島及びその周辺の島々で構成されており、複雑な海岸線をはじめ豊かな自然と美しい景観に恵まれ、西海国立公園及び野母半島県立公園など3つの県立自然公園が指定されている。鉄道の終着駅や五島列島への海の玄関口である長崎港、長崎空港への海路を結ぶ時津港、県内外の各都市を結ぶ九州横断自動車道を有する県内外の交流において重要な交通結節地域である。
野崎島: 野崎島(のざきじま)は、長崎県五島列島の北東部に位置する島である。長崎県北松浦郡小値賀町に属する。
高島 (長崎県平戸市): 高島(たかしま)は、長崎県平戸市にある島である。
若松島: 若松島(わかまつじま)は、五島列島を構成する島の一つである。五島列島では4番目に大きな島で、奈留島と中通島の間に位置する。全島が長崎県南松浦郡新上五島町に属し、人口は 2010年国勢調査確定値時点で1,661人。
蠑螺島: 蠑螺島(さざえしま)は、長崎県五島市にある島である。
福島 (長崎県): 福島(ふくしま)は、九州北西部の伊万里湾内にある島。全島が長崎県松浦市に属する。
五島市: 長崎港から約100キロメートルの位置にあり、10の有人島と53の無人島により構成されている。海に囲まれており、海域を挟んで隣接している。五島市の地名を参照。
小値賀島: 小値賀島(おぢかじま)は、九州本土から西へ約50キロメートル離れた五島列島の北部にある島(有人島)である。全島が長崎県北松浦郡小値賀町に属する。 人口 - 2,229人(2015年国勢調査確定値)。
下島 (天草諸島): 下島(しもしま)は、熊本県の天草諸島にある島である。面積約574.01kmと熊本県最大で、日本の中では本州など4島を除くと面積第8位である。
納島: 一般には五島列島に含められることが多いが、長崎県では小値賀島も含めて平戸諸島の一部としている。
男島 (長崎県): 男島(おしま)とは、五島列島の南西に位置する男女群島を構成する島のひとつである。長崎県五島市に属する。
黒島 (長崎県小値賀町): 一般的に五島列島に含められることが多いが、長崎県では小値賀島も含めて平戸諸島の一部としている。なお、五島列島には、福江島の南にも同名の黒島がある。
黄島 (長崎県): 黄島(おうしま)は、長崎県五島市にある島である。
池島 (長崎県): 池島(いけしま)は、長崎県西彼杵半島の西方約7kmに位置する、いわゆる西彼(せいひ)諸島に属する島。長崎県長崎市に属する。
長崎県: 1960年の約176万人をピークに人口減少が続いており、特に1990年代以降に減少ペースを上げている。特に長崎県は離島を多く抱えているが、そのいずれも同じ長崎県内の他都市よりも福岡市との関係が深く、そちらへの流出が多いことが県全体の減少率を上げている要因となっている。全国的に各都道府県内の最大都市への人口集積が進む傾向の中、長崎県は例外的な存在であり、県庁所在地の長崎市(2010年代以降年間1%近いペースで人口が減少しており、全国の県庁所在都市の中でも青森県青森市と共に特に人口減少が著しい)よりも大村市や諫早市の方が人口増加率が高い。
原島: 原島(はるしま)は、長崎県壱岐島の南西に位置する日本の島。壱岐市に属し、隣接する大島・長島と共に渡良三島(わたらさんとう)を構成する。
青島 (長崎県): 青島(あおしま)は、長崎県松浦市にある有人島である。
鳥取県の島の一覧: 海上保安庁が「周囲100メートル以上」の条件で数えた島数は鳥取県全域で「35」であるが、鳥取県東部の浦富海岸には160以上もの島があるとされており、そのほとんどは周囲100メートルに満たない小島となっている。なお、2016年現在、鳥取県には人の居住が可能な島はなく、すべて無人島である。歴史的には中海に人が住む島があったが、干拓によって地続きになっている(粟島神社参照。)。海上保安庁や日本離島センターなどの資料では湖沼に浮かぶ島は基本的に扱われていないが、多鯰ヶ池や湖山池には島がある。なかでも湖山池の青島は面積が0.147km、周囲が約1.8kmあり、鳥取県内では最大の「島」である。
女島 (長崎県): 女島(めしま)とは、五島列島の南西に位置する男女群島を構成する島のひとつであり、日本政府より国境離島に指定されている。長崎県五島市に属する。
黒島 (長崎県小値賀町): 黒島(くろしま)は、長崎県五島列島の小値賀島の南にある島である。北松浦郡小値賀町に属する。
二神島 (長崎県): 二神島(ふたがみしま)とは、長崎県平戸市(旧北松浦郡大島村)にある無人島である。
阿値賀島: 阿値賀島(あぢかじま)は長崎県平戸市早福町にある2つの無人島の総称。
黒島 (長崎県松浦市): 黒島(くろしま)は、長崎県松浦市にある島である。
頭ヶ島: 頭ヶ島(かしらがしま)は、長崎県五島列島の中通島の東にある島である。全島が長崎県南松浦郡新上五島町に属する。
大島町 (長崎県): 長崎県の西彼杵半島北西沖にある大島およびその東側にある寺島などを主な行政区域とした。大島と寺島の間は寺島大橋により結ばれている。また寺島と西彼杵半島の間には大島大橋が架かっており(1999年開通)、大島と西側の蛎浦島(旧崎戸町)の間には中戸橋が架かっている。
平郡島: 平郡島(へいぐんとう)は、山口県柳井市の南約20kmの伊予灘に浮かぶ東西に細長い島。人口591人。山口県で2番目に面積が大きい島である。
鳥島 (長崎県): 鳥島(とりしま)または肥前鳥島(ひぜんとりしま)は、東シナ海北東部にある「北小島、中小島、南小島」3つの島から成る島嶼群である。住所は長崎県五島市鳥島となっており、福江島の南西約60km、男女群島から北西方向に30km程の海上に位置する長崎県最西端(沖縄県を除く九州最西端)の無人島である。
中島 (愛媛県): 中島(なかじま)は、愛媛県松山市に属する離島。同県の北西沖合にある忽那諸島(くつなしょとう)にある一島で、その中では最も面積の広い有人指定離島である。
小黒島: 小黒島(こぐろじま、おぐろしま)は、長崎県北松浦郡小値賀町に属する無人島である。五島列島の小値賀島の南に位置し、西には黒島がある。
長崎県: また漁港の背後地には水産加工団地や行政・大学の研究機関が立地し、生産・流通・加工・研究・教育にわたる水産基地が形成されている。日本本土の最西端に位置している。西は宇久島、小値賀島から東は伊万里湾に至るまでの海域に数多くの島嶼が点在し、陸地には多くの山岳、丘陵が起伏して海岸線まで迫り、平坦地の少ない複雑な地形を形成している。そのような地理的特性から、西海国立公園や玄海国定公園、大村湾県立公園や北松県立公園などに指定され、九十九島に代表される風光明媚で豊かな自然、中山間地域の棚田など美しい景観に恵まれている。朝鮮半島や中国大陸に近く、古くから大陸との交易が行われており、遣隋使や遣唐使の寄港地としても知られている。
大島 (長崎県佐世保市): 大村湾の最北部にあり、針尾島と幅およそ40mの瀬戸を挟んで隣接している。針尾島にあるハウステンボスからも見える。
伊王島: 伊王島(いおうじま)は長崎県長崎市にある島。周囲7.1km、面積1.24m地元では隣接する沖之島(沖ノ島)と合わせて伊王島と称している。長崎港大波止から南西の沖合約10kmに位置する。本土との最短距離は1968年(昭和43年)に海面埋立事業で本土と地続きになった香焼島辰ノ口で距離は約600mである(沖之島が香焼島側にある)。以下、本記事では沖之島を含まない伊王島について記載する(沖之島(沖ノ島)については沖之島参照)。
大島 (長崎県小値賀町): 大島(おおしま)は、長崎県北松浦郡小値賀町の島。小値賀島から南西3kmに位置する有人の島であり、世帯数22、人口72(2014年8月現在)。小値賀火山島群のひとつで、西海岸には「巨大な火山弾」が複数残っており、長崎県指定文化財に指定されている。小値賀島南部の笛吹港から大島へ旅客船が1日に4便以上運行している(2006年10月1日改正ダイヤ)。属島に宇々島があり、地域ローカルの互助制度を昭和30年代まで維持していた。小値賀町立小値賀小学校の分校が存在する。
寺島 (長崎県西海市): 寺島(てらしま)は長崎県西海市にある島である。
日島: 日島(ひのしま)は、長崎県五島列島の若松島の北西に位置する島である。全島が長崎県南松浦郡新上五島町に属する。
串島: 串島(くしじま)は長崎県南松浦郡新上五島町にある島である。
宇々島: 宇々島、宇宇島(ううじま)とは、長崎県北松浦郡小値賀町にある無人島である。以前は人が住んでいた。小値賀島・稗崎の南西約0.9kmにあり、西海国立公園に含まれる。
納島: 納島(のうしま)は、長崎県五島列島の小値賀島の北にある島である。北松浦郡小値賀町に属する。
鳥取県の島の一覧: 日本列島を構成する島の数をめぐっては様々な指標が公表されている。(詳しくは日本の島の一覧#日本の島の数を参照。)海上保安庁によれば、「周囲0.1km以上の陸地」として数えたものとして鳥取県には35の島があるとされている。そのすべてが周囲1km未満の「小さな島」である。国土地理院は毎年「面積1km以上」の島名と面積を公表しているが、鳥取県にはこれに該当するものがない。財団法人日本離島センターが1976(昭和51)年に発行した『日本島嶼一覧』では、「国土地理院地図」に固有名が記載されているものとして鳥取県では9島が挙げられている。本項では、この9島に加えて2016年時点での「国土地理院地図」に島名が記載されているものを中心に列挙する。前述の通り「島の数」の数え方には様々な指標がある。
長島町: 鹿児島県の北西端に位置し、長島(長島本島)の全域と諸浦島、伊唐島、獅子島などの島からなる。
男島 (長崎県): 地質は溶結凝灰岩から成り立っていて海岸線は海食崖により囲まれている。南の真浦に真浦漁港がある。北端は荒瀬崎、東端は鋸崎、西端は黒崎、南端は真浦神立崎。黒崎ノ灘を挟んでクロキ島がある。
壱岐島: 壱岐島(いきのしま)は、長崎県の離島で、九州と対馬の間に位置する。南北17 km・東西14 km程度の大きさの壱岐島は、周辺の小さな島々と区別して壱岐本島と呼ぶ場合もある。また『古事記』では「伊伎島(いきのしま)」と書かれ、別名を天比登都柱(あめひとつばしら)と言う。
長崎県: 農業産出額が県全体の4割を超える長崎県を代表する農業地帯であり、野菜や畜産をはじめ、果樹、花きなど、恵まれた気候・土壌条件を活かして、多様な産地が形成されている。また、特用林産物である菌床しいたけの生産も盛んな地域である。九州の最西端に位置し、比較的平坦な福江島を除いて起伏が多く、島々の海岸線は溶岩海岸や砂浜、リアス海岸と変化に富んでおり、海と山が織りなす美しい自然景観は一部が西海国立公園に指定されている。世界遺産「長崎と天草地方の潜伏キリシタン関連遺産」や日本遺産「国境の島 壱岐・対馬・五島 ~古代からの架け橋~」をはじめとする数多くの歴史・文化遺産に恵まれており、観光産業は基幹産業の一つとなっている。
蕨小島: 蕨小島(わらびこじま)は、長崎県五島列島の久賀島の北東に浮かぶ島である。全島が長崎県五島市に属する。面積は約0.03kmで、日本最小の有人島である。
六島 (長崎県): 六島(むしま、むつしま、ろくしま)は、長崎県北松浦郡小値賀町の島。小値賀火山島群のひとつで、ほぼ円形の平面をみせる。野崎島の北に位置する 有人の島であり、世帯数9、人口22(2010年10月1日現在)。小値賀島を本島とする属島で、小値賀島南部の笛吹港から旅客船が1日に2便運行している(2006年10月1日改正ダイヤ)応永6年の銘がある鰐口を蔵す六島観音堂があり、この鰐口は長崎県内最古という。
壱岐島: 壱岐島の付近には、複数の島々が見られ、それらを総称して、壱岐諸島と呼ぶ場合もある。壱岐諸島における最大の島が、壱岐島である。この壱岐島の属島として、原島・長島・大島・若宮島の4つの有人島と、19の無人島が存在する。※ 上の人口データは古いものであり、平成27年の国勢調査に基づく人口(壱岐市)は 26,750人である。
横島 (長崎県平戸市): 横島(よこしま)は、長崎県北部の北松浦半島沖にある島(無人島)。全島が同県平戸市(2005年9月30日までは北松浦郡田平町)に属する。なお同市内の度島町には同名の横島 (Q34787948)がある。
南串島: 南串島(なぐしじま)は長崎県西海市にある島である。同じ長崎県だが雲仙市南串山町と混同しないこと。
赤島 (長崎県五島市): 赤島(あかしま)は、長崎県五島市にある島である。福江島福江地区の南東海上12kmに位置する玄武岩質熔岩でできた比較的なだらかな島で、全域が長崎県五島市赤島町に含まれる。
飛島 (長崎県松浦市): 飛島(とびしま)は、長崎県松浦市の伊万里湾内にある島。全島が松浦市今福町飛島免に属する。人口は2015年現在、44人。なお南方に小飛島があり、本島を「大飛島」と呼ぶ場合もある。
中通島: 中通島(なかどおりじま)は、長崎県の西に浮かぶ五島列島を構成する島の一つである。全島が長崎県南松浦郡新上五島町に属する。
祝言島: 祝言島(しゅうげんじま)は長崎県南松浦郡新上五島町にある島である。
前島 (長崎県五島市): 前島(まえしま)は、長崎県五島列島の奈留島の南海上約2 kmに位置する島である。15世帯、31人が暮らしている。
寺島 (長崎県佐世保市): 寺島(てらしま)とは、長崎県佐世保市にある有人島である。
平島 (長崎県): 平島(ひらしま)は、長崎県の西彼杵半島西方沖にある島。全島が西海市(2005年3月31日までは西彼杵郡崎戸町)に属する。本項では同区域にかつて存在した西彼杵郡平島村(ひらしまむら)についても述べる。
いろは島: いろは島(いろはじま)は、伊万里湾東部、佐賀県唐津市肥前町と長崎県松浦市福島の間の海域に浮かぶ、多数の無人島の総称である。イロハ島と表記することもある。島の数は48とされ、「いろは48文字」から「いろは島」と命名された。主な島は「弁天島」「松島」「竹ノ子島」など。
姫島 (福岡県): 姫島(ひめしま)は、福岡県西部の糸島半島から北西に4kmの玄界灘にある島である。人口は147人(H27)。福岡県糸島市に属する。
線分: 通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
円に内接する四角形: 内接四角形の頂点が隣り合う順に A, B, C, D であり、各辺の長さを a ≔ AB, b ≔ BC, c ≔ CD, d ≔ DA とするとき、対角線の長さ p ≔ AC, q ≔ BD は辺の長さを用いてと表せる。よって、トレミーの定理も示せる。同じ設定のもと、トレミーの第二定理に従えばである。 対角線の長さの和に関して不等式が成り立つ。ここで等号が成り立つための必要十分条件が、二つの対角線の長さが一致することであるということを、相加相乗平均の関係式を用いて示せる。さらに任意の凸四角形が二つの対角線によって四つの三角形に分割されるが、内接四角形においてそれら四つの三角形の向かい合う対は互いに相似になる。二つの対角線 AC, BD の中点をそれぞれ M, N とすればが成り立つ。ここに点 E, F は向かい合う辺を延長したときにできる交点とする。
零角形: ポリゴンの定義によると、零角形は辺も頂点も内角も対角線も存在しない幾何学的形状を指すが、一部の研究では零角形を無辺図または、頂点のない数学的実体と定義し、また零角形を円、または他の頂点のない閉鎖曲線と定義し、一部の図論の研究は揃えを三角形とみなすこともある。近多角形において零角形は頂点を表す。
正多角形: これはつまり、「正∞角形を円とする」ということである。このような見方をする場合も増えている。正偶数角形(正 2n 角形)の n 組の対辺はすべて平行であるが、正奇数角形ではどの2辺も平行にはならない。※多角形は n 角形とする 三角形の内角の和180°をもとにし式を立てると 180× n 角形 となるがそうすると四角形の内角の和が720°となってしまうので次のように変える 180×( n 角形-2) とすることで内角の和を求められる。一辺の長さが a の正 n 角形の、任意の点から m 番目に近い点までの距離は、この時、m が 1 であれば、辺の長さ、m が 2 であれば、一番短い対角線の長さを表す。角の数が素数 p のものを正p角形と呼ぶ。
二等分線: 線分の二等分線は、その線分の中点を通る。特に、対象の線分と垂直に交差する場合、その二等分線を垂直二等分線という。垂直二等分線上の各点は、対象の線分の両端からの距離が同じであるという特徴を有する。そのため、ボロノイ図における領域の境界線は、各々の母点の二等分線の一部になっている。垂直二等分線は、定規とコンパスにより作図することができる。線分の両端を中心とする同一半径の円弧を描き、各々の円弧の交点と線分を結ぶ。円弧上の交点と線分の各端点によって作成される三角形が合同になることから、円弧上の交点を結ぶ直線が垂直二等分線になる。(図1.)ブラーマグプタの定理によると、円に内接する四角形の対角線が直角に交差する場合、対角線の交点から四角形の一辺に垂線を引いて作られる直線は、その四角形の対辺を二等分する。
二等辺三角形: 同じ大きさの頂角を持つ二等辺三角形は全て互いに相似である。また、同じ大きさの底角を持つ二等辺三角形は全て互いに相似である。線分の両側に、これを底辺とする 2 つの二等辺三角形を作って並べると、凧形ができる。とくに、2 つの二等辺三角形が合同である場合、菱形ができる。逆に、菱形や凧形を対角線で2つに分けて、二等辺三角形を作ることができる。特に、正方形を 1 本の対角線で 2 つに分けると、直角二等辺三角形が得られる。正n角形の重心から各頂点に線分を引くとn個の二等辺三角形ができる。扇形の中心角を限りなく小さくすると二等辺三角形に近づく。二等辺三角形を対称軸を中心として半回転させると円錐ができる。円錐の投影図のうち、立面図は二等辺三角形である。角錐のうち底面が正多角形でその重心の真上に頂点のあるものは、二等辺三角形からなる側面を持つ。
アンの定理: 平行四辺形でない四角形ABCD。対角線の中点をE,Fとし、LをABCDの内部の任意の点とする。 LはABCDの辺を一つずつ持つ4つの三角形を形成する。 対向する三角形の面積の2つの合計が等しい場合、(△BCL+△DAL=△LAB+△DLC)点Lはニュートン線上に位置する。平行四辺形の場合、対角線の中点が対角線の交点と一致するので、ニュートン線は存在しない。ただ、平行四辺形の任意の内部の点において、面積の同一性が成り立つ。アンの定理の逆も成り立つ。つまり、四角形のニュートン線上の任意の点について、面積の同一性が成立する。
多角形の三角形分割: 多角形の三角形分割アルゴリズムは多数提案されている。ある頂点から伸びる全ての対角線により凸多角形は扇形分割され、これは三角形分割であるため、線形時間で三角形分割が可能である。レオンハルト・オイラーによって、凸n角形の三角形分割の組合せの数は、交差しない対角線の数であり、(n − 2)番目のカタラン数、つまり。アラン=フルニエとD.Y. Montunoによって、単調多角形は、線形時間で三角形分割可能であることが示された。Godfried Toussaintのアルゴリズムによっても線形時間で三角形分割可能である。単調多角形を三角形分割する手法はtwo ears theoremに基づくものである。この定理は、4本以上の辺を持つ穴のない単純多角形は少なくとも2つの「耳(2辺が多角形の辺であり、残り1辺が多角形の内部に存在する三角形)」を持つという定理である。
内接円: 四角形に内接円が存在する必要十分条件はである。凧形・菱形などが該当する。内接円の中心と2本の対角線の中点は、同一直線上にある(ニュートンの定理)。内接円・外接円の両方を持つ四角形を双心四角形という。
正軸体:  2 m a m {\displaystyle {\frac {\sqrt {m+1}}{m!{\sqrt {2^{m}}}}}a^{m}}対角線の長さは、作図法より2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a\,}m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は2 m + 1 n C m + 1 {\displaystyle 2^{m+1}{}_{n}\operatorname {C} _{m+1}}である。これはパスカルのピラミッド(英語版)の第 n + 1 段の三角形の第 m + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。
7の平方根: 平面幾何学において、 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}\,} は一連の動的な長方形により、すなわち上図の長方形の最大の対角線として表される。辺の長さが2の正三角形に外接する最小の長方形は長さ 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}\,} の対角線を持つ。
直交対角線四角形: 直交対角線四角形においては、向かい合う辺の長さの2乗の合計はもう一方の向かい合う辺の長さの2乗の合計と等しくなる。これは、ピタゴラスの定理からいえることである。これはまた、余弦定理、空間ベクトル、背理法、複素数の使用など、さまざまな方法で証明できる。別の特徴付けによると、凸四角形ABCDの対角線が直交することは、次の式が成り立つことに同値である。ただしPは対角線の交点である。この等式は、Pの四角形の各辺への射影が共円四角形の頂点となることとも同値である。また、凸四角形の対角線が直交することは、そのヴァリニョンの平行四辺形(英語版)(四角形の辺の中点を結んでできる平行四辺形)が長方形であることに同値である。
直角二等辺三角形: 直角二等辺三角形(ちょっかくにとうへんさんかくけい、英: isosceles right triangle)は、二等辺三角形の持つ特徴に加え、直角三角形の持つ特徴を併せ持つ図形である。3つの角のうち2つの角がそれぞれ45°である三角形と定義してもよい。直角二等辺三角形は二等辺三角形の一つでもあり、直角三角形の一つでもある。等しい長さの2辺で構成される1角(頂角)が直角である。斜辺どうしが重なり合うように二つの直角二等辺三角形を並べると正方形ができる。逆に正方形を対角線で2つに分けるといずれも直角二等辺三角形となっている。直角二等辺三角形は線対称な図形であり、対称軸は頂角の点から対辺(斜辺)に下ろした垂線である。頂角は直角なので、垂線によって二等分された角は、45°となる。このことから、この対称軸で直角二等辺三角形を二等分すると、その結果の二つの図形も直角二等辺三角形となることがわかる。
円に内接する四角形: 内接四角形でなおかつ直交対角線である(つまり二つの対角線が互いに垂直である)ようなものに対し、二つの対角線の交点が一方の対角線を長さ p1 および p2 の線分に分け、他方の対角線を長さ q1 および q2 の線分に分けるものとすると(最初の等号は、アルキメデスの『補題の書』(英語版)の命題11による)が成り立つ。ここで D は外接円の直径である。これが成り立つのは、二つの対角線が円の弦に垂直であることによる。これらの等式から、外半径 R はと表せることが分かる。これはまた辺の長さを用いてとも書ける。あるいはまたも成り立つ。ゆえに、オイラーの四辺形定理に従えば、外半径は二つの対角線の長さ p, q とそれら対角線の中点間の距離 x を用いてと表せる。
円に内接する四角形: 内接四角形 □ABCD の二辺 AC と BD が E で交わるとすると内接四角形を成す辺の集合が一つ与えられれば、それらの並びだけを替えて、外接円と面積を変えることなく、三つの相異なる内接四角形を作ることができる(面積が変わらないことはブラーマグプタの公式からわかる)。そのような内接四角形のどの二つも、ひとつの対角線の長さは共通である。
二等分線: 角の二等分線は一つの角を等しい角度に二つに分ける。角の二等分線はただ一つしか存在せず、また、角の二等分線上の点から角を構成する直線への距離は同じになる。二等分したい角を中心に二辺と交わる円弧を描いた後は、二辺との二つの交点から線分の垂直二等分線と同じようにして求めることができる。(図2.)
頂点: 頂点(ちょうてん、vertex)とは、角の端にある点のことである。多角形では2本の辺が接しているか交わっている点、多面体では3本以上の辺が共有している点のことをいう。直観的には図形の周上にある点のうち周辺のどの点よりも突出していて"尖った点"のことを頂点という。一般にn角形には頂点はn個あり、辺の本数に等しい。座標平面上にある図形ではその頂点を含む範囲で連続であっても微分不可能である。また曲線が極大値や極小値をとる点のことを頂点ということもある。
中点連結定理: 三角形の底辺を除く2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分「中点連結」は、底辺と平行であり、長さは底辺の半分に等しい。また、相似比が1:2の相似な三角形ができる。
中線: 幾何学において三角形の中線(ちゅうせん)とは、三角形の頂点と対辺の中点を結んだ直線である。1つの三角形に中線は3本存在する。3本の中線はその三角形の重心で交わる。重心は中線を2:1の比に分ける。中線は、三角形を等しい面積に分割する。中線以外の三角形を同じ面積に分ける直線は重心を通らない。
星型正多角形: 星型正多角形は「n と m は同じ数で割り切れない」「n > 2m」の場合のみ可能であるが、一様多面体の頂点形状をあらわすときには、ある面がほかの面と逆に交差するものはその面を n/(n - m) と表すことがある(たとえば二重三角十二・十二面体の星型五角形:[5, 5/3, 5, 5/3, 5, 5/3] など)。
角度: より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。角が現れる基本的な図形としては、たとえば三角形や四角形のような多角形(たかくけい、英: polygon)がある。特に三角形は平面図形における最も基本的な図形であり、すべての多角形は三角形の組み合わせによって表現することができる。また、他にも単純な性質を多く持っているため、様々な場面で応用される。有名なものは余弦定理(よげんていり、英: law of cosines)や、三角形の辺の比を通じて定義される三角関数(さんかくかんすう、英: trigonometric function)などがある。
ラングレーの問題: 整角三角形は、平面上の4点のうち2つずつを結んだ6本の直線同士のなす角度が全て整数であるという意味において、整角四角形に準ずるものとみなされる。
図形の合同: 二つの多角形が合同であるためには、それらの辺の数が(従って頂点の数も)等しくなければならない。n-辺形が互いに合同となるための必要十分条件は、それらが持つ n 個の辺と n 個の角を「辺-角-辺-角-...」のように順番に辿る(場合によっては一方を時計回りに、他方を反時計回りに辿ることを許すこともある)とき、それらの数値が数列として一致することである。多角形の合同は、以下のように視覚的に述べることができる:この各ステップの何れかの部分で完遂できないことがあるならば、それらの図形は合同でないことになる。
三角形: 三角形の 3つの辺のうちの一つを底辺としたとき、その対頂点から底辺またはその延長に下ろした垂線が、三角形によって切り取られる線分(線分の長さ)を、三角形の高さという。底辺をどの辺と見るかによって、三角形には 3つの高さがある。三角形の高さは、底辺と対頂点の距離に等しい。底辺の中点と、対頂点を結ぶ線分を、三角形の中線という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3本の中線がある。三角形の中線は、三角形の面積を二等分する。底辺を除く 2辺それぞれの中点を結ぶ線分を、三角形の中点連結という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3つの中点連結がある。三角形の中点連結は、底辺と平行で、長さは底辺の半分に等しい(中点連結定理)。
辺心距離: 正多角形の辺心距離の計算方法はいくつも知られている。一辺の長さ s の正 n-角形の辺心距離 a および外半径 R は公式で求められる。あるいはでも辺心距離は求まる。正多角形の一辺の長さ s は辺の数 n と周長 p によって s = p⁄n と表されるから、上記の公式を p と n を使った式に直すこともできる。
座標法: n個の頂点 (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) から成る自己交差を持たない多角形の面積はただし x0=xn,y0=yn,xn+1=x1,yn+1=y1とする。頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。この式はグリーンの定理の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は
頂垂線 (三角形): 高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。二等辺三角形(二つの合同な辺を持つ三角形)において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。頂垂線またはその長さを表すのにしばしば文字 h(height に由来) が用いられ、対応する頂点を表す記号をしばしば添字として付けてどの頂点からの垂線なのかを表す。直角三角形において、直角を持つ頂点から斜辺 c へ引いた垂線によって斜辺を二つの線分(それぞれ長さ p および q)に分割する。この頂垂線の長さを hc と書けば、なる関係が成り立つ(幾何平均定理(英語版))。
ヴァン・オーベルの定理: 任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。
斜辺: 図の直角三角形 ABC において、斜辺の長さ c は直角を挟む二辺の長さ a, b から定まり、平方根を用いると
定和: mから始まる数字で作った場合の定和は 9 n 4 − 18 n 3 + 6 ( m + 2 ) n 2 − 3 ( 2 m + 1 ) n + 2 m 2 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {9n^{4}-18n^{3}+6(m+2)n^{2}-3(2m+1)n+2m}{2(2n-1)}}} となる。一般的な星陣の定和は頂点の数をn としたとき 4n+2 となる。それ以外の形状の場合は「(重複を含めた数の総和)÷(線の数)」で求められる。
頂垂線 (三角形): 鋭角三角形および直角三角形に対しては、すべての頂垂線の足は三角形の(延長線上でない)辺上に載っている。(一つの鈍角を含む)鈍角三角形においては、鈍角を持つ頂点からの垂線は対辺の内部に足を降ろすが、残りの鋭角を持つ二頂点からの垂線はそれぞれの対辺の延長線上(すなわち三角形の外)に足を降ろす。
周長: 多角形の周長は、各辺の長さの総和に等しい。特に、一辺が a の正 n 角形の周長は na である。周長の等しい2つの正 n 角形は、互いに合同である。
平行四辺形: であるが、この4種の線分長には次の関係式が成り立つ。(中線定理)
角度: 1つの定まった値の角度を伴う角とは、平面 α 上の 1 点 O とそれから出る2つの半直線とそれらにより平面 α が分割されて生じる2つの領域の一方 α1 からなる図形と定義できる。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。2つの半直線が共有する端点 O を角の頂点、ある角の頂点から出る2つの半直線を角の辺という。頂点 O から出る2つの半直線のなす領域 α1 上の、頂点との距離が r 以下の点のみを含む領域を取り出すと、この領域は頂点 O を中心とする半径 r の扇形となる。この扇形の大きさは有限であり、相似な図形の性質から、扇形の弧の長さは半径 r に比例することが知られている。
角柱: 角柱(かくちゅう、prism)とは、多角形を底面とする柱体。つまり、2枚の合同で平行な多角形の間に四角形を立たせた多面体、あるいは、多角形がそれに交わる方向に平行移動した軌跡である。このとき、2枚の底面の周上の対応する2点を結ぶ線分を、角柱の母線と呼ぶ。角柱は高さを持った多角形といえる。
三角形: 平面図形である多角形には内部と外部があり、面積を考えることができる。中でも基本的である三角形の面積の求め方は、基本的なものだけでもいくつかが知られている。どの式で求めるかは、分かっている量(辺の長さや内角など)に応じて使い分ければよい。1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺に立てた垂線といい、垂線と、その辺またはその延長の交点を垂線の足または垂足という。1つの辺に立てた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点を結んだ線分をその三角形の高さという。高さは 3つの辺それぞれに対して定義できる。頂点 A の対辺 a に対する高さを ha とするとき、面積 S は3辺の長さを a, b, c とするとき、面積 S はとなるが、少し複雑なので、で求められる。これをヘロンの公式と呼ぶ。しかし、数値計算する上で、上記でない形式の方が計算しやすい場合もある。
ヴィヴィアーニの定理: 正三角形内部の点から3辺に下ろした垂線の長さの和は一定である。図1では s+t+u がこれにあたる。
中線: 三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とするとこれをパップスの中線定理という。この式を変形すると、となり、3辺の長さから中線の長さを求めることができる。中線定理の一般化として、BCの中点ではなくBCを内分する任意の点とAを結ぶ線について同様の関係式を述べたスチュワートの定理が知られている。
切頂十二面体: 一辺の長さを a とすると、
ひねり数: 有向絡み目の射影図の交点は、必ず下図のどちらかのような状態になっている。そこで、左側のような交点には+1、右側のような交点には-1の符号をつけ、その射影図の全交点の符号の総和のことをひねり数と定義する。
十二芒星: 正十二芒星は、準切頂(quasitruncated)六角形として見なすことができ、t{6/5}={12/5}である。等間隔の頂点を持つ他の等角(頂点推移)の変形例は、2つの辺長で構成することができる。
三角形: 三角形(さんかくけい、さんかっけい、拉: triangulum, 独: Dreieck, 英, 仏: triangle,(古風)trigon)は、同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形。その3点を三角形の頂点、3つの線分を三角形の辺という。
パスカルの三角形: 例えば5段目の端から2番目の4は四面体(3次元単体)の頂点(0次元面)の数、3番目の6は辺(1次元面)の数、4番目の4は面(2次元面)の数である。これは四面体の場合、二つの頂点を結ぶ線分の集合は辺の集合に等しく、三つの頂点を結ぶ三角形の集合は面の集合に等しいためである。
デザルグの定理: 同一平面上にない二つの三角形、△ABCと△abcについて、AaとBbとCcが一点で交わる時、直線ABと直線ab、直線BCと直線bc、直線CAと直線caの交点を、それぞれX、Y、Zとすると、X、Y、Zは、同一直線上にある。
双円錐: 2つの円錐(あるいは高さ無限大の円錐面)が頂点で接した図形を双円錐ということがある。
二等辺三角形: 二等辺三角形は線対称な図形であり、頂点と底辺の中点を結ぶ中線、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、これらはすべて線対称の対称軸に乗る。二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。三角形の 3 つの内角のうち(少なくとも)2 つの角が等しいものは、二等辺三角形となる(二等辺三角形の成立条件)。 また、対称軸を持つ三角形は二等辺三角形に限られる。二等辺三角形のうち、3 本の辺の長さが全て等しい三角形は正三角形という。正三角形は、二等辺三角形の特殊な場合である。正三角形の内角はすべて等しく、その大きさは 60° に等しい。すべての正三角形は、互いに相似である。頂角が直角である二等辺三角形は直角二等辺三角形とよばれる。直角二等辺三角形の 2 つの底角(2 つの鋭角)は 45°である。すべての直角二等辺三角形は、互いに相似である。この項では一般的な二等辺三角形について述べる。
垂直: 点 P を通り直線 AB に垂直な直線の定木とコンパスを用いた作図は以下のようにする:この PQ が AB に垂直であることを見るには、△QPA' と △QPB' に対して三辺相等 (SSS)(英語版) の条件が成り立つことにより、∠OPA' と ∠OPB' が等しいことを知ればよい。そうすれば △OPA' と △OPB' に対して二辺夾角相等 (SAS) の条件が成り立つから、∠POA と ∠POB が等しい。点 P を通る直線 g に対する垂線を得るために(円周角に関する)タレスの定理を利用することができる。直角の作図法の基礎としてピュタゴラスの定理を用いることができる。例えば、長さの比が 3 : 4 : 5 となるような棒を節で繋いだ鎖を使って三角形を作れば、一番長い辺の対角が直角になる。
モーリーの定理: 任意の三角形においてそれぞれの内角の三等分線を引く。各辺に近い線同士の交点を P, Q, R とすると、三角形PQR は正三角形になる。この正三角形をモーリーの三角形という。内角の三等分線の他に外角の三等分線などでも同様に正三角形を作ることができる。
円に内接する四角形: 内接四角形の辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で与えられているものとし、半周長を s と書く。
スリザーリンク: スリザーリンクを解くにあたっては、「どこに線が引かれるか」と同様に「どこに線が引かれないか」を探すことが重要になる。確実に周囲全てに線が引かれない「0」は大きなヒントになる。スリザーリンクを解く際には、線が引かれないことが確定した部分に×印を付けることが多い。数字が0の場合は、周囲に線分を引くことができないので、周囲の4辺は×印となる。数字が1の場合は、周囲に1本だけ線分を引くことができるので、以下の4通りがある(ここで、+印は線分の端の点(端点)となる格子点を表す。―は水平な線分(横線)を表し、|は垂直な線分(縦線)を表す)。数字が2の場合は、周囲に2本だけ線分を引くことができるので、以下の6通りがある。数字が3の場合は、周囲に3本だけ線分を引くことができるので、以下の4通りがある。また、複数の数字の組み合わせにより線の引き方が定まるパターンがある。例えば、例題中にもあるように
二等辺三角形: 二等辺三角形(にとうへんさんかくけい、英: isosceles triangle)は、三角形の一種で、3 本の辺のうち(少なくとも)2 本の辺の長さが等しい図形である。長さの等しい 2 辺を等辺といい、残りの 1 辺を底辺とよぶ。2 本の等辺が共有する頂点をとくに二等辺三角形の頂点という。頂点における内角を、二等辺三角形の頂角といい、残りの 2 つの内角すなわち底辺の両端の内角を底角とよぶ。二等辺三角形の底角は、互いに等しい大きさを持つ。二等辺三角形の頂点における外角を、頂外角と言う。頂外角の大きさは、底角の2倍に等しい。また、頂外角の二等分線は、底辺と平行である。 頂角は180°未満の大きさであるが、底角は90°未満の大きさに限られ、角度の和は180度である。
長さ: ということを限りなく続け、n, n1, n2, ... を求め、PQ の長さを a とするなら、として、これを線分PQの長さ、と定義するということが行われているのである。