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多聞寺: 多聞寺(たもんじ)は、日本の仏教寺院。
木下昌直: 木下 昌直(きのした まさなお)は、戦国時代から江戸時代初期にかけての武将。龍造寺氏に仕えて武勇の誉れ高く、龍造寺四天王の一人と称される。
佐野昌綱: 天正2年4月8日(1574年4月28日)、死去。一方で本光寺にある墓には、上杉謙信の一周忌の日である天正7年(1579年)3月13日が、佐野昌綱の墓に刻まれている。これは好敵手であった謙信よりも長く生きたという意地を示すために遺言で刻ませたという伝承もあるようである。戒名は天山道一居士。
真如密: 不動明王は真言密教(東密)の流れをくみ、十一面観音は天台密教(台密)と縁が深く、そこに真如密教(真如密)の涅槃仏を祀ることにより、「東密・台密・真如密の日本三密」が成就している。
謙信道: 上杉謙信は第四次川中島の戦いで武田信玄を打ち損じ、僅かな兵で謙信道を逃げ延びた様子が『甲越信戦録』に掲載されている。
四天王: ある分野で有力な4人の人物を「四天王」と表現する。徳川四天王、長船四天王、ものまね四天王、Vシネマ四天王、平成四天王(囲碁)など。
高志大了: 高志 大了(たかし だいりょう、1834年(天保5年) - 1898年(明治31年)8月25日)は伊予国温泉郡出身の日本の僧侶。長谷寺55世能化。字は章範、初名は大空房智盛。日清戦争には、勅を奉じて、大元帥法を修した。
菅谷寺: 毘首羯摩は帝釈天の弟子とされる伝説上の人物であり、仏師の祖ともされることから、「毘首羯摩の作」と伝承される仏像は各地に多い。
由布惟信: 由布 惟信(ゆふ これのぶ)は、戦国時代から江戸時代初期にかけての武将。立花氏の家老で立花四天王筆頭とされる、道雪七家老の第五座。立花氏時代の棚倉藩重臣。
栢野大杉: 倶利伽羅峠の戦いに続く篠原の戦いで負傷した武士が「千年の杉を目指せ、よもぎ草だんごを食べよ」と二度の観音様のお告げから傷を癒し無事に京へ辿り着いたと伝えられ古来からの地元では草だんごを食す風習がある。1947年(昭和22年)第二回国民体育大会が石川県で開催の折り、昭和天皇が当地を訪れ、栢野の青年の説明のもとこの大杉を見たことから天覧の大杉とも呼ばれる。生物学者でもあった昭和天皇は栢野から山中温泉へ国道364号の砂利道約2キロを徒歩にて帰る途中、道端の草々やその茎を手に取り観察し、存分に楽しんだことをその夜香淳皇后に長電話したという。また途中後から来た地元のトラックが天皇を追い越すことができず、後から離れてついてきたが、しばらくしてそのことに気付き、先に行かせよと告げ、その運転手はたいそう恐縮の体であったなどの逸話もある。
上杉謙信: 元亀元年(1570年)1月、下野において再び佐野昌綱が背いたため、上杉軍は唐沢山城を攻撃するも、攻め落とすことは出来なかった。4月、輝虎は北条氏康の七男(異説あり)である北条三郎を養子として迎えた。その後、輝虎は、三郎のことを大いに気に入って景虎という自身の初名を与えるとともに、一族衆として厚遇したという。10月、北条氏康から支援要請を受けたため上杉軍は上野国へ侵攻し、武田軍と交戦した後、年内に帰国した。12月、上杉輝虎は法号「不識庵謙信」を称した(これ以降、上杉謙信となる。)。元亀2年(1571年)2月、謙信は2万8000人の兵を率いて再び越中国へ出陣。椎名康胤が立て籠もる富山城を攻撃した。さらに、数年に亘り謙信を苦しめた新庄城・守山城などを攻撃した。康胤は激しく抗戦を続けたが、上杉軍はこれらの城を落城させた。
小笠神社: 多聞天神社が現在の地に創建された理由について、伝承によれば、小笠山に天狗が住んでおり、近隣の住民が天狗を多聞天として多聞天神社に祀ったからとされている。
戦国四大名将: 戦国四大名将が収めた戦功は偉大だが、軍事著作はない。
天海: 天海は前半生に関する史料がほとんど無いもののかなりの長寿であり、大師号を贈られるほどの高僧になった。また機知に富んだ人物であり、当意即妙な言動で周囲の人々を感銘させた。そのため彼には様々な逸話がある。
明星天: 明星天(みょうじょうてん)は、仏教における天部の一人で、三光天子の一人。
妙見菩薩: 能勢がキリシタン大名の高山右近の領地であったことと、キリシタンの多い土地に日蓮宗の僧侶が送り込まれたことから、隠れキリシタンは日蓮宗系の妙見菩薩像(いわゆる能勢妙見)を天帝(デウス)に見立てたともみられている。江戸時代の平田篤胤の復古神道においては、『古事記』や『日本書紀』に登場する天之御中主神は天地万物を司る最高位の神、または北斗七星の神と位置づけられた。その影響で、明治維新の際の神仏分離令によって「菩薩」を公然と祀れなくなってしまった多くの妙見神社の祭神が天之御中主神に改められた。
芝蘭堂: ※は載書に署名が見られる人物。太字は芝蘭堂四天王、玄沢四天王などと称されることもある。
天文の乱: そのため守護代・長尾景虎(長尾晴景の弟・後の上杉謙信)が越後国主となり、名実ともに戦国大名としての地位を獲得した。
本多正訥: 博学の藩主として知られ、高鍋藩主秋月種樹(古香)、唐津藩主小笠原長行(明山)とともに「天下の三公子」と称された。著書に『清史逸話』がある。
多利思比孤: 一方で、熊谷公男は『万葉集』の「天の原 振り放(さ)けみれば 大王の 御寿(みいのち)は長く 天足らしたり」(巻二から一四七)の歌などを参考に、「天の満ち足りた男子」という意味の尊称と解釈している(この説は森田悌も支持している)。森田悌は邪馬台国の時代では、「天垂らし彦」の称号があったとは考えがたいとし、以後の時代に大陸思想の影響から芽生えたとみている(また、「天子」という語が反感を受けたのに対し、「天垂らし彦」の反応が低かったことに注目している)。王仲殊も阿毎多利思比孤は「天足彦(天の満ち足りた男子)」とした(天垂らし彦説もあると紹介した)上で、この語の中にはすでに「天子」「天皇」といった意味が含まれており、これは最初の国書で日中両国の君主を共に「天子」と称したため、中国側の不快感をあおったところから、それぞれ天子を「皇帝」と「天皇」と呼び変えて区別を示したとする。
大元帥: 井原今朝男は大元帥の呼称について、古来天皇のみが行うことが出来た外寇鎮圧の仏教儀式である大元帥法(大元帥明王に対する祈祷)に由来するという考えを呈示している。
三宝尊: 三宝尊(さんぼうそん、さんぽうそん)とは、法華宗・日蓮宗の本尊。仏・法・僧の三宝を祀るための仏像を三宝尊と言う。尚、十界曼荼羅は仏像を表すものではない。
降三世明王: 誰かを踏みつけた仏と言えば四天王がそれぞれ邪鬼を踏みつけているが、降三世明王は「異教とはいえ神を倒して踏みつけている」という点でひと際異彩を放つ仏である。
平方根: また、2つの平方根を併せて ± a {\displaystyle \pm {\sqrt {a}}} と表記することもできる。例えば、9 の平方根は ±3、すなわち +3 と −3 の2つであり、 9 {\displaystyle {\sqrt {9}}} は正である 3 の方を表す。 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。a<0 のときは、a の平方根は実数にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある(正定値行列など)。
倍数: 数学において、数 a の倍数(ばいすう、英:multiple)とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数(「a を割り切る整数」)と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は(正の)倍数としてだけを考えることも多い。整数全体からなる集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を用いると、a の倍数は a Z {\displaystyle a\mathbb {Z} } である。
等号: 日本などの東アジアの一部地域では「2 項がほぼ等しい」という意味で「≒」が用いられるが、その他の地域や数学などの専門的な文献においては「≃」を用いることが多い。また、数学的な意味以外でも、日本語の文章では「ほとんど同じ」という意図で使用されることもある。ある記号 A が意味するものを、ある記号 B が意味するものと同じであると定義するには「≔」を用いてこの他にも、「=」の上に小さく "def" や "△" などを書いた記号が用いられることもある。「≕」については、「A ≔ B」と同じ意味でつまりは「コロン“:”のある側の内容を、無い側の内容(こちらはその文脈において既に定義されているものに限る)で定義する」という使い方をする。
相当算: 方程式が未知数をxなどの文字に置き換えるのに対して、相当算は比の1と実際の数量との関係で考える。式で表すと「1」=bとなるようにする。これを求めるために、両辺が等しければ両辺の数を加減乗除してもその関係は変わらない(0の除法は不可)という性質を利用する。ごく簡潔な例で言うと、100gで250円の肉と150gで300円の肉の値段を比較する際に1グラムあたりの値段で比較するために一方の関係を100で、もう一方の関係を150で割るのと同じ方法である。
等号: 数式「A = B」と表記したとき、日本語では「AイコールB」または「AはBに等しい」と読む。英語では“A is equal to B”または“A equals B”と読む。後述の区切り文字として使われる場合は記号自体は発音されないことが多い。
1+1: 日常的に使われる比喩として、「一足す一が二にならない」という表現で、机上の論理が必ずしも現実に役に立たないことや、理性より感情や直感を重んじるべき場面であることを表す。他に、理不尽である、神秘的である、といったニュアンスも持つ。また、「一足す一が三になる」(もしくは「三以上になる」)という表現で、相乗効果があることを意味する場合がある。他にも「単純」や「明解」であることを「一足す一が二になるように」という表現で使う。類例として、2 + 2 = 5がある。
等式: 等式(とうしき、英: equality)とは、二つの対象の等価性・相等関係を表す数式のことである。
互いに素 (整数論): 二つの整数 a, b が互いに素(たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to)であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。
累乗数: 4 を法として 2 と合同でない数は 2 つの累乗数の差として表される。実際、(n + 1) − n = 2n + 1, (n + 2) − n = 4n + 4 が成立する。また、2 = 3 − 5, 10 = 13 − 3 など、4 を法として 2 と合同な数(単偶数)に関しても累乗数の差として表せる場合があることが知られている。6, 14, 34 などがそのように表せるかどうかは知られていない。差が 1 となる累乗数の組は (8, 9) のみであると、1844年にカタラン(英語版) (Eugène Charles Catalan) によって予想され(カタラン予想)、2002年にプレダ・ミハイレスクによって証明された。一般に、累乗数を小さいほうから a1 = 1, a2 = 4, ...
加法: 2 数 a, b の符号と絶対値に注目すると、和 (a + b) は次のように計算できる。
2乗3乗の法則: 2乗3乗の法則(にじょうさんじょうのほうそく)は、工学や生物学などにおいて言及される法則。相似な形状をした2つの物体について、代表長さの2乗に比例する面積に関する物理量と、3乗に比例する体積に関する量とを比較し、このときそれぞれの量の変化の割合も、おおむね2乗と3乗のオーダーとなることを法則と呼んでいる。比較対象となる物理量は、分野や文脈によって異なる。2乗3乗法則、2乗3乗則とも呼ばれ、漢数字で「二乗三乗」と書かれることもある。
算術幾何平均: つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 a n , b n {\displaystyle a_{n},\ b_{n}} を逆数にして
ブラーマグプタの二平方恒等式: 実数 a,b,c,d があるとき、この恒等式は複素数の絶対値の積の性質に等しい。 すなわち、
有理数: 2つの有理数 a/b, c/d(a, b, c, d は整数、b, d はいずれも 0 でない)が等しいとは、整数の等式が成り立つことを言い、このときと記す。加法 "+"、および乗法 "×" がによって定まり、反数および逆数について(ここでは b, c, d はいずれも 0 でない)が成り立つ(特に集合としてが成り立つ)。またこれにより、減法 "−" および除法 "÷"がと定まる。故に、有理数全体 Q は四則演算について閉じている、体と呼ばれる代数系の一つであり、その中で最も身近な例の一つである。
不等号: 「A < B」は「左辺(A)が右辺(B)より小さいこと」を示す。「A > B」は「左辺(A)が右辺(B)より大きいこと」を示す。これらの記号の初出は1631年発刊トーマス・ハリオット『演習解析術』(死後発刊)である。日本語の読みは文部科学省により「A < B」を「〜(A)は〜(B)より小さい」、「A > B」を「〜(A)は〜(B)より大きい」と読むように指導されているが、長い不等式を読み下す場合などには「A < B」を「(A)小(しょう)なり(B)」、「A > B」を「(A)大(だい)なり(B)」と読まれる。プログラミングでは「LT (less than)」「GT (greater than)」と呼ぶこともある。「≦」「≤」「⩽」 (いずれでも意味は同じ)は左辺が右辺より小さいか等しい(a < b または a = b)ことを示す。「≧」「≥」「⩾」は左辺が右辺より大きいか等しいことを示す。
減法: 2 数 a, b が以下の条件の場合、a − b は次のように計算する。
冪乗: 底(英語版) b および冪指数 e をもつ冪は、底の右肩に冪指数を乗せて b のように書かれる。n が自然数(正の整数)のとき、自然数乗 b は底の累乗であり、b は b の n-乗や、n-次の b-冪などと呼ばれる。特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が 2 である冪(2 乗) b は「b の平方 (square of b)」または「b-自乗 (b-squared)」と呼ばれ、冪指数が 3 である冪(3 乗) b は「b の立方 (cube of b, b-cubed)」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、... というように「n 乗」という言い方が一般的である。冪指数が −1 である冪 b は 1/b であり、「b の逆数」(または乗法逆元)と呼ばれる。
分数: いくつかの辞典では、分数を有理数の同義語として扱っている。例えば『精選版 日本国語大辞典』において分数は「整数aを零でない整数bで割った商を、横線を用いてa/bと表わしたもの。aを分子、bを分母と呼ぶ。有理数。」、また『小学館デジタル大辞泉』においては「二つの整数a・bの比として表される数。」と説明されている。
対偶 (論理学): 通常の数学では古典論理を用いるため、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽および証明可能性は必ず一致する (すなわち真理値が等しい)。数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならばAでない」の証明は比較的易しい場合がある。両者の証明可能性は一致するので、対偶「BでないならばAでない」を示すことにより「AならばB」を証明できる。これを対偶論法とよぶ。同様に、「BならばAである」を示すことにより「AでないならばBでない」を証明することもできる。
減法: 二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 + に対して、数 c がという関係を満足するとき、演算子 − を導入してと記し、c から a を引いた数は b であるという。この数 b は c と a の差と呼ばれる。例えば、2 + 3 = 5 であるのでのような計算が成立する。数 a に対して以下の関係を満たす数 b を、加法に関する a の逆元 (additive inverse)、あるいは反数 (opposite) という。この逆元を特別に −a と表すと、これは以下の関係を常に満たす。という関係が成り立つから、ある数 c から a を引く演算は、と置き換えることができる。つまり、減法は減数の逆元の加法として扱うことができる。 ただしこのような計算が可能なのは a の加法の逆元 −a が定まる限りにおいてであり、実際に自然数の範囲では(0 を除いて)そのような数は存在しない。
倍数: 一般に、整数Nが N = a*b*c*...*n と表せるとき、a, b, c,・・・, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。
冪乗: 実数(または積 × {\displaystyle \times } の定義された群、より一般には半群)において、元 x と自然数 n に対して x をで定義する(厳密には再帰的に定義する)。 上付きの n が書けない場合には、 x^n という表記を用いることが多い。 これを x の n 乗または x の n 乗冪と呼び、n を問題にしないときは x の累乗や x の冪という。この操作を「x の n 乗を取る」などといい、特に n を固定して x を入力とする関数(特に実数 x の函数)と見るときは、冪関数という。 x の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 英: square)、立方 (りっぽう、 英: cube) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。
等号: 常に等号が成り立つ恒等式を、方程式と明確に区別したいとき「≡」が使われる。ただし「=」を使っても間違いではない。「=」と「≡」の違いは次の例でわかりやすい。また、定義を通常の等式と区別したいときも「≡」が使われる。ただし「=」を使っても間違いではない。「≠」は等号の否定を表し等号否定と呼ばれる。この符号は ≠ の左右が等価でないことを示す。これと「A = B でない」は全く同じ意味である。「∼」「≃」「≈」「≒」などは「ほぼ等しい」「おおよそ等しい」「近似的に等しい」「約(およそ)」などを表し、近似式や近似値などに使われる。それぞれの記号は用途によって使い分けられるが、記号ごとの意味の対応は明確ではなく、厳密な定義は著者に委ねられている。
反比例: 反比例(はんぴれい、英: inverse proportionality)とは、2つの量があってそれらの一方が他方の逆数に比例していることをいう。量 A, B について A ∝ B が成り立つとき、あるいは同じことだが、定数(比例定数)k を用いてが成り立つとき、「A は B に反比例する (inversely proportional)」と言う。反比例のことを逆比例(ぎゃくひれい)ともいう。A が B に反比例するとき、A と B を入れ替えても同様のことが成り立つので、「A と B は(互いに)反比例の関係にある」と言うこともある。またこのとき、入れ替えたあとの比例定数は入れ替える前のものと等しい;反比例の記号として ∝ を用いることがある; A ∝ B:= A ∝ B 。本項では数学の用語について主に説明し、それ以外は「その他」にまとめている。
同値関係: 数学において、同値関係(どうちかんけい、英: equivalence relation)とは二項関係であって反射的、対称的、推移的の3つの性質を満たすものをいう。そのことから、与えられた集合上の1つの同値関係はその集合を同値類に分割(類別)することが導かれる。同値関係にあることを表すのに用いられる記法は文献によってさまざまであるが、与えられた集合上の同値関係 R に関して2つの元 a, b が同値であることを "a ~ b" や "a ≡ b" で表すことが最もよく用いられる。R に関して同値であることを明示する場合には、"a ~R b" や "a ≡R b" あるいは "aRb" などと書かれる。
誤った数学的推論: 代数学、特にゼロ除算による間違った証明は数多くある。2 = 1の誤った証明として以下のようなものがある。誤謬があったのは5である。4から5に進む際、 ( a − b ) {\displaystyle (a-b)} で割っているが、それは0に等しいので割ることは出来ない。
二年生の夢: 数学において二年生の夢(にねんせいのゆめ、英: sophomore's dream)とは、1697年に数学者ヨハン・ベルヌーイが発見した以下の恒等式(特に1つ目)を指すときの名称として用いられる。この名前は一年生の夢と対照的に付けられた名前である(Borwein, Bailey & Girgensohn 2004)。 一年生の夢とは、誤った等式 (x + y) = x + y を表す語であり、二年生の夢もこれと同じように「出来過ぎた」形をした式となっている。ただし一年生の夢と異なり、二年生の夢は実際に成り立つ式である。
反対称性: 反対称性(はんたいしょうせい)とは数学で、ある要素にある変換を施した結果が、元の要素に逆符号を付けたもの(実数でいえば絶対値が同じで正負が逆)と等しくなる、という性質をいう。対象分野によっては交代性(こうたいせい)または歪対称性(わいたいしょうせい)とも呼ばれる。このような要素を「その変換に対して反対称である」という。変換によって変化しない「対称性」に類似した性質であり、対称性・反対称性とも全くない「非対称性」とは異なる。反対称性の要素に変換を複数回施すと、元と同じになる。
対数: 対数(たいすう、英: logarithm)とは、ある数 x を数 b の冪乗 b として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数(英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x)」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x は真数(しんすう、英: antilogarithm)と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。
比例式: A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわちなる分数の等式が成り立つことである。これはと定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、と定義され、比の場合と同様に等式のことを比例式とよぶ。
除算記号: この例は日本語では「a 割る b は c 余り d」と読み、「a = b × c + d」あるいは「a ÷ b = c + d ÷ b」と等価である。
逆2乗の法則: 逆2乗の法則(ぎゃくにじょうのほうそく、英: inverse square law)とは、物理量の大きさがその発生源からの距離の2乗に反比例するという法則である。逆2乗とは2乗の逆数のことであり、この法則はしばしば、ある物理量の大きさがその発生源からの距離の逆2乗に比例する、という形でも述べられる。逆2乗の法則はしばしば短縮して逆2乗則とも呼ばれる。逆2乗の法則は冪乗則の一種であり、様々な物理現象の中に見出すことができる。以下の節では自然科学と物理学の歴史の中で特に重要な例について述べる。逆2乗の法則の発見により、物理学者は何らかの変化を認めたとき、その発生源と発生源との距離の関係を調べ、それらが逆2乗の法則に当てはまるかどうかに関心を持つようになった。逆2乗の法則が成り立つこと、特に指数が 2 であることには、我々のいる空間が3次元であり等方的であることと密接に関係している。
最小二乗法: 最小二乗法(さいしょうにじょうほう、さいしょうじじょうほう;最小自乗法とも書く、英: least squares method)は、測定で得られた数値の組を、適当なモデルから想定される1次関数、対数曲線など特定の関数を用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対してよい近似となるように、残差平方和を最小とするような係数を決定する方法、あるいはそのような方法によって近似を行うことである。簡潔に言うと、誤差を伴う測定値の処理において、その誤差の二乗の和を最小にするようにし、最も確からしい関係式を求める方法である。
公式: 数学において公式(こうしき)とは、数式で表される定理のことである。比喩や俗称としての「公式」は「その他」の項にまとめている。
比: 比(ひ、英: ratio)とは、2つ(または3つ以上)の数の関係を表したもの。数 a, b について、その比は a:b で表され、「a対b」とよむ。a を前項、b を後項(こうこう)という。また、前項と後項を入れ替えた b:a を元の比の逆比または反比という。3数以上の場合も a:b:c のように表し、特に連比(れんぴ)という。例えば、テレビ受像機には様々な大きさがあるが、横の長さを4等分したものと縦の長さを3等分したもの, あるいは, 横の長さを16等分したものと縦の長さを9等分したものとが等しくなるのは, どの大きさのテレビでも変わらない。これをまとめて, それぞれ 4:3, 16:9 で表す。比において、前項と後項に(0以外の)同じ数をかけたものも同じ比である。つまり、a:b=ka:kb (k≠0)。a:b において、(b≠0 のとき)a/b のことを比の値という。
等号: 等号(とうごう)は、「=」の形をした数学記号である。「イコール」と読むことが多い。等号の左右が等価であることを表し、等号で結ばれた数式を「等式」と呼ぶ。1557年にウェールズの数学者ロバート・レコードによって発明された。レコードは、この記号"="を使った理由を「2本の平行線ほど等しいものは存在しないから」としている。
2の補数: 2の補数(にのほすう、英: two's complement)は、特に断りない限り、本項で取り扱う「2の補数」は二進数に対する基数の補数であって三進数に対する減基数の補数ではない。}}。すなわち、整数 x との和が 2 の冪乗 2 となる数 xc = 2 − x のことをいう(例:2 = 8 について、5 の2の補数は 3)。
2進接頭辞: 2進接頭辞(にしんせっとうじ)は、単位に2のべき乗を乗じたものを表す単位(その単位の二進の倍量単位)を示す接頭辞である。
不等号: 不等号(ふとうごう)は、実数などの大小関係を表すための数学記号である。より一般的には、順序集合(例: 整数、実数)の2つの要素の間の順序(大小ともいう)を表す。
2の立方根: 2 の立方根(にのりっぽうこん)は、立方(3乗)して 2 になる数である。すなわち、を満たす数 r のことである。 2 の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。
対称差: 数学において、2 つの集合 A と B との対称差(たいしょうさ、英: symmetric difference)とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合 A と B との対称差を、記号A△B あるいは A⊖B あるいは A⊕Bなどで表す。例えば、{1, 2, 3} と {3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい: {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}。任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を算法としてアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を加法とし共通部分 ∩ を乗法とするとき、ブール環となる。
整数の合同: n が 2 以上の整数として、「二つの整数 a, b が法 n に関して合同である」とは、以下の同値な条件のいずれか(したがってすべて)を満足する場合を指す:二つの整数が合同であることを表すのに ≡ が記号として用いられる。a と b とが法 n に関して合同であることを表すのに、以下のような表記がある。どれも同様に「a と b とは法 n に関して合同である」などと読む。法が n であることは「n を法として」「法 n のもとで」「法 n で」「mod n で」などと適宜表現される。前後関係から法 n が明らかな場合は法の表記を省略して単に a ≡ b と表記されることがある。法 n に関する合同という関係は以下の性質を満たす:即ち法 n に関する合同という関係は同値関係である。
自乗: 自乗(じじょう)とは、ある数を自らと掛ける演算、あるいは演算によって得られる数を指す。二乗(にじょう)、平方(へいほう、英: square)とも呼ばれる。自乗は指数 2 の冪算に等しいため、自乗は冪算の特殊な場合と見なされる。自乗が平方と呼ばれるのはその幾何学的な意味に由来する。数を辺の長さによって表現すれば、その数の自乗は自乗される数に等しい辺の長さを持つ正方形の面積を与える。
逆2乗の法則: 逆2乗の法則が成り立つのは大抵、ある一つの発生源に注目した場合である。たとえば異なる天体の表面重力を比較する際には注意が必要である。構成物質の似通った天体同士では表面重力の大きさは天体の半径に対する逆2乗則に従わず、自転による遠心力の影響を除けば、表面重力の大きさは半径に概ね比例する。これは、重力の大きさが天体の質量に比例し、同程度の密度を持つ天体の質量を比較すると、天体の質量は天体の体積に比例するためである。
乗法: 乗法(じょうほう、英: multiplication)は、算術の四則演算と呼ばれるものの一つで、整数では、一方の数 (被乗数、ひじょうすう、英: multiplicand) に対して他方の数 (乗数、じょうすう、英: multiplier) の回数だけ繰り返し加えていく(これを掛けるまたは乗じるという)ことにより定義できる二項演算である。掛け算(かけざん)、乗算(じょうざん)とも呼ばれる。代数学においは、変数の前の乗数(例えば 3y の 3)は係数(けいすう、英: coefficient)と呼ばれる。逆の演算として除法をもつ。乗法の結果を積 (せき、英: product) と呼ぶ。乗法は、有理数、実数、複素数に対しても拡張定義される。また、抽象代数学においては、一般に可換とは限らない二項演算に対して、それを乗法、積などと呼称する(演算が可換である場合はしばしば加法、和などと呼ぶ)。
相当算: 相当算(そうとうさん)は算数における計算法の一つである。主に比や割合に関する問題で使用される。算数では文字を使った式(中学受験生以外は新学習指導要領の前倒し実施より復活)や未知数を四角とする計算は習うが、方程式を習わないため、この計算法を用いる。以下、比の数aは「a」とする。
階乗冪: 特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効である。ふたつの実数 a および x について、a と a + x が負の整数でないとき、定数 a を底とし、指数 x を変数とする階乗冪 (a)±x は(階乗冪を冪の類似と見做すならば)指数函数の類似である。
乗法的関数: 数論における乗法的関数(じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function)とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるならば常にが成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と b に対しても、f(1) = 1、f(ab) = f(a) f(b) が成り立つ時、完全乗法的関数(英語: completely multiplicative function)と呼ぶ。
二項演算: 数学において、二項演算(にこうえんざん、英: binary operation)は、数の四則演算(加減乗除)などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法(にこうさんぽう)、結合などともいう。
対称関係: 対称関係(たいしょうかんけい、英: Symmetric relation)は、数学における二項関係の一種。集合 X における二項関係 R が「対称」であるとは、X に属する全ての a および b について、aRb が成り立つなら bRa も成り立つことをいう。数学的に記述すると次のようになる。対称関係と反対称関係(aRb かつ bRa ならば b = a)とは正確には反対の意味ではない。対称的かつ反対称的な関係もあるし(等号など)、対称的でも反対称的でもない関係もあり(約数)、対称的だが反対称的でない関係(合同式における合同関係)や対称的でないが反対称的な関係(≦や≧)もある。
二項関係: 数学において、二項関係(にこうかんけい、英: binary relation)あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう。二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 p は、p の倍数である任意の整数 z に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。
二重数: 数学における二重数(にじゅうすう、英: dual numbers)または双対数(そうついすう)とは、実数 a, b と ε = 0(複零性)を満たす ε を用いて z = a + bε と表すことのできる数のことである。二重数全体は、実数全体に ε = 0 を満たす新しい元 ε を添加して得られる。二重数全体からなる集合は、実数体上の二次元の可換かつ単位的な結合多元環(二元数)の一種になる。二重数全体の成す平面は、交代的複素数平面 (alternative complex plane) と呼ばれ、通常の複素数平面 C と分解型複素数平面とに対して相補的な関係にある。
切片 (数学): 特に一次関数においては、この a および b をそれぞれ x切片、y切片と呼ぶ。特に中学数学における一次関数y=ax+bにおいては、bがそのままy切片となるが、単に切片と略すことが多い。x切片が a、y切片が b の一次関数の方程式はこの方程式は、x = 0 のとき y = b、y = 0 のとき x = a であるから、定義を満足することが分かる。
互いに素 (整数論): 以下は、整数 a, b が互いに素であることと同値な条件である。
六乗数: 算術演算および代数演算において、六乗数(ろくじょうすう、英語:sixth power)とは、ある数値 n の6乗となる数値。六乗数は、五乗数に数値 n をかけたものであり、二重平方数に平方数をかけたもの、立方数に同じ立方数をかけたもの、および平方数を3乗したものである。
九九: 掛け算九九のうち掛ける数(乗数)と掛けられる数(被乗数)が同じものを平方九九という。掛け算九九の中に含まれているので、あらためて覚える必要はない。
最小公倍数: しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 a = 2 , b = 6 , c = 15 {\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15} とすると、 g c d ( a , b , c ) = 1 , l c m ( a , b , c ) = 30 {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30} であるが、 a b c = 180 {\displaystyle abc=180} である。
不等式: 教育数学において扱う不等式は実数の大小関係に関するものである。これらを利用して、例えば x が100以上1000未満であることは 100 ≦ x < 1000 と表現できる。また、a ≦ 100 かつ a ≧ 100 であれば a = 100 であると結論できる。"≧" や "≦" のように二本線を用いる表記は日本ではよく用いられるが、世界的には"≥"や"≤"が用いられる。不等式は方程式の場合とは異なり、不等号の種類(向き)が意味を持つので、不等式に対する操作でそれが変化することがあることに注意しなければならない。不等式の両辺に等しいものを加えても、評価は変わらない。よって、方程式と同様に、不等式も移項することによって同値なまま変形ができる。両辺に同じ数値を加えたり減じたりする場合には不等号の向きは変化しないが、両辺に同じ負の数を乗じたり除したりする場合には、不等号の向きが変わる。
マクローリンの不等式: n=2のときには、マクローリンの不等式は2変数に対する相加相乗平均の不等式になる。 マクローリンの不等式が具体的にどのような不等式を与えるかがわかりやすい例として、n=4の場合を挙げる:マクローリンの不等式は、ニュートンの不等式を用いて証明することができる。
加法: 2つの量があり、その2つの量を「合わせた量」を求める時の演算を加法と定義すれば多くの場合に適用できる。単に「数が大きくなる演算が加法」とすれば、正の数でしかその定義は成り立たないが、「合わせた量」で定義すると、負の数でも分数や小数でも定義できる。また加える順番は結果には関係なく、加える順番を自由に変えたとしても、得られる結果は常に等しくなる。このことは 2 つのコップに水が入っていたとして、どちらの水をどちら側へ注いでも水の量は変わらないことなどから類推できる。加法の逆の操作として減法を考えたときに、減法の結果として正の数から負の数が得られることがある。減法によって新しい数を作ったとき、ここで得られた数 c は減法の性質から、次のような関係が成り立つ。つまり、初めに a − b という引き算によって得られた新しい数 c は、b に加えた結果が a に等しくなる性質を持つ。
同値: 同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
七乗数: 七乗数(しちじょうすう)は、同じ数を7乗してできる数。n番目の七乗数は、n = n × n × n × n × n × n × nと表され、n番目の六乗数をn倍するか、n番目の五乗数をn番目の平方数倍するか、n番目の四乗数をn番目の立方数倍するかで求められる。最初のいくつかの自然数(0を含む)の七乗数は下の通りである。ロバート・レコードの考案したゼンジゼンジゼンジック(英語版)では、七乗数は「5乗から2つ目」と呼ばれた。
数え上げの積の法則: 数え上げの和の法則はもう一つの数え上げの基本原理である。簡単に言えば「ある場合が a 通り、別のある場合が b 通りで、それらを同時に行うことがないならば、それらの場合は a + b 通りある」ことを述べるものである。
ヤコビ恒等式: 数学におけるヤコビ恒等式(ヤコビこうとうしき、英語: Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。
ブラム数: 整数 n = pq をブラム数、Qn を n を法として平方剰余となる整数の集合とし、a ∈ Qnとすると:
正の数と負の数: 数学における正の数(せいのすう、英: positive number; 正数)は、0より大きい実数である。対照的に負の数(ふのすう、英: negative number)は、0より小さい実数である。とくに初等数学・算術や初等数論などの文脈によっては、(暗黙の了解のもと)特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある。負の数も同様である。
双対: 双対(そうつい、dual, duality)とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある(双対の双対はある意味で "元に戻る")。また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。並行して相対を「そうつい」と読む流儀もある。一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。
圏同値: 数学、とりわけ圏論において、圏同値(けんどうち、英: equivalence of categories)とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。
等濃: 数学において二つの集合 A, B の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応(全単射)が存在すること、すなわち A から B への写像 f: A → B が存在して B の各元 y に対してちょうど一つづつの x ∈ A が f(x) = yを満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数 (equinumerous), 対等もしくは同等 (equipollent) あるいは等濃 (equipotent, equicardinality) であるなどと言う。「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理(反射律・対称律・推移律)を満足する。記号では二つの集合 A, B が等濃であることを
不等号: 順序集合の二つの元は、等しいか、片方が他方より大きいか、等しくなく大小関係がないか、のいずれかである。 2つが等しい場合は等号(=)を使い、2つに大小関係がある場合にのみ不等号を使う。等しくなく、大小関係がない、あるいは問題としないときには否定等号(≠)を使う。否定等号は「不等」を表す記号ではあるが、大小関係がなくとも使える(例: 複素数)ので、大小を表す記号とは性質が異なり、不等号には含めないことがある。不等号は等号と同様に中置し、左辺と右辺の間の順序を表す。等号を含む等式と同様、不等号を含む式を不等式と呼ぶが、等号を含む条件式が方程式と呼ばれるのに対し、不等号を含む条件式も不等式と呼ばれる。
二個の平方数の和:  従って、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} によって対にならない元が存在する。 これは y = z {\displaystyle y=z} を意味し、ひいては x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} を意味する。
二次方程式の解の公式: ここで a の符号は正の場合と負の場合があるが、どちらでも次の等式が成り立つ:+b/2a を移項して解が得られる:このプラスマイナス記号 "±" は次の2つを示している。上以外の導出では、 a {\displaystyle a} の操作に多少の違いがある。一部の文献、特に古いものでは a x 2 − 2 b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}-2bx+c=0} や a x 2 + 2 b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2bx+c=0} といった異なる係数表示をしていることがある。この場合 b は一般的な表示の 1/2 である。日本の高校数学の教科書では、一次の係数が偶数の場合の解の公式として、
約数: すなわち、a, b ∈ R に対し、単項イデアル (a) = aR, (b) = bR が (a) ⊃ (b) を満たすとき、a は b の約元(あるいは約数、因子)であるといい、a | b と表す。このとき、b は a の倍元(または倍数)であるともいう。
冪乗: 2乗した後に a を乗算するか否かは、指数 n を二進表記したときの各ビットが1であるか否かと一致する。コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。この方式では、4. における乗数が常に a なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくなり、計算時間がかからない。これは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし(RSA暗号のように)冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが a と同程度ならば、この効果はない。また 4. における乗数が常に a なので、あらかじめ a が定数(2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵共有の生成元 g など)であることがわかっている場合には、4. の乗算を最適化をすることができる。
不等号: 「a < b」と「b > a」、「a ≦ b」と「b ≧ a」は、それぞれ全く同じ意味である。3辺の不等式 a < b < c は、同じ形の等式と同様に「a < b かつ b < c」を意味し、推移律により a < c も同時に表している。a < b < c = d ≦ e < ...... のように、4辺以上になったり「≤」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≥」「=」でも同様の表現ができる。ただし、「<」「≦」と「>」「≧」が混ざることは(推移律が成り立たず実用性が乏しいので)まれである。3辺の不等式は変数の含まれる区間を表すのによく使われる。
数字根: a × b ≡ c ( mod 9 ) {\displaystyle a\times b\equiv c{\pmod {9}}}もちろん、c は axb の数字根であり、(a,b) は共に J と {J/(9), X} の元である。
不等号: 記号「≦」の初出は1734年ピエール・ブーゲの著書である。初等教育では <、> の「(等号を含まない)不等号」を先に導入するが、数学一般においては等号を含めた「≦」を先に定義する方が自然な場合が多く、「<」のほうが「a ≦ b かつ a ≠ b」として定義される。日本の初等教育・中等教育では「≦」「≧」と不等号の下に等号を書く場合が多い。欧米では不等号の下に一本線を書いた「≤」「≥」や不等号の下に平行な線を書いた「⩽」「⩾」と書く場合が多い。日本語の読みは文部科学省により「〜は〜以下」、「〜は〜以上」と指導されているが、「小なりイコール」および「大なりイコール」として参照されることも多い。プログラミングでは「LE (less than or equal to)」「GE (greater than or equal to)」と呼ぶこともある。
二進対数: 二進対数 (にしんたいすう、英: binary logarithm)とは、2を底とする対数 log2 x のことである。これは、指数関数 x → 2 の逆関数でもある。
二元数: 証明 — 実数体上二次元の単位的多元環を A とし、実数体上の基底 {1, u} をとれば、適当な実数 a, b を用いてとなる。平方完成を施してと書くことができるから、右辺が実数値であることに注意すれば、その値に従って以下の三分律が成り立つ:
等号: 等号の「=」は国際的に認知された記号であるが、最初に使用したのは、ウェールズの数学者ロバート・レコードである。1557年、著書『知恵の砥石』において「...に等しい」という言葉を何度も使うことを避けるために2本の平行線を使った。2本の平行線ほど等しいものは存在しないという理由による。そのときの字形は現在よりもとても長いものであった。当時使用されていた等号としては「=」はメジャーではなく、「‖」や「æ」、「œ」が使用されていた。
強双対性: 数学における強双対性(きょうそうついせい、英: strong duality)とは、主問題と双対問題の解が等しくあるような最適化の一概念である。相対する概念に弱双対性(主問題が双対問題よりも大きい最適値を持つ、すなわち双対性のギャップ(英語版)が正)がある。
同一性: 集合論においては、二つの集合は、その内包ないしは定義が異なっていても、その外延が同一であれば同一である。このことは形式的には、外延性の公理により表される。主流の数学基礎論においては、公理的集合論を基礎とするため、二つの数学的対象が同一であるとは、厳密にいえば、集合として同一ということである。ただしこの条件は実際には厳しすぎるため、自然な対応が存在するような数学的対象の間では同一視が行われ、単に同型なだけではなく同一のものとして扱われる。同型写像#等式との関係も参照。
行列の乗法: 数学において、行列の対から別の行列を作り出す二項演算としての行列の乗法(ぎょうれつのじょうほう)は、実数や複素数などの数が初等的な四則演算でいうところの乗法を持つことと対照的に、そのような「数の配列」の間の乗法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる。行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数(行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの)が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。例えば、ベクトルの場合と同様に、任意の行列に対してスカラーを掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ数を掛けるという方法で与えられる。
二進法: 二進法(にしんほう)とは、二を底(てい、基(base)とも)として、底の冪の和で数を表現する方法である。英語でバイナリ (binary) というが、これはラテン語「binarius」に由来する語で、「binary」と「binarius」は本来「二個一組」「二つから成る」を意味する語である(用例:バイナリ空間分割)。
誤った数学的推論: aをbに極限まで近づけるということを、aをbとする、と間違えたことによる間違った証明もある。誤謬があったのは2,3である。0に極限まで近づけた数と0は同一ではない。
詭弁: 故にXはZである」という形式の三段論法となるが、仮に「Xは必ずYかZのいずれかである」という前提が偽であるなら(言い換えると「XがYでもZでもないケースが存在する場合」)、このような推論は誤謬となり、「誤った二分法」と呼ぶ。Aの発言の場合、実際には「好きでも嫌いでもない」や「無関心」などの「好き」「嫌い」以外の状況も考えられるため、この大前提は偽である。Bが借金の返済が不可能な状態に陥っていても、自己破産が可能である場合、その選択肢を除外しているので、誤った二分法となる。なお、「XはYかZのいずれかである。然るに、XはYではない。故にXはZである」という推論において、非ZがY、Zが非Yと論理的に同値である場合、それは矛盾原理および排中原理に従った恒真命題となる(例「あらゆる自然数は素数か素数ではないかのいずれかである。2は「素数ではない」ではない。故に2は素数である」)。
二乗: 仏教における二乗(にじょう)とは、以下の3つを指す。本項目では1番目について解説する。
二重平方数: 算術における四乗数(しじょうすう、よんじょうすう、英: biquadratic number; 複平方数)あるいは二重平方数とは、通常、自然数の四乗(fourth power)すなわち「平方の平方」 (biquadratic)になっているような数 (forth power of n) を言う。図形数として、八胞体状に積み上げた点の数として表されるため、八胞体数(はちほうたいすう、英: tesseractic number)ともいえる。これは平方数を「四角数」、三乗数を「立方体数」(六面体数)と呼ぶことの延長である。最小の四乗数は 1 = 1 であり、四乗数は無数にある。小さい数から順に列記すると広義では有理数あるいはより一般の環での「数」の四乗を考える場合もあり、その際は四乗元と呼ぶ方が誤解が少ない。
写像: 変数 x を用いて x ↦ f(x) のように写像を表すとき、f は、 A をわたる(または動く)変数 x の関数である、あるいは変数 x に従属するという。2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ:f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )。集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)f がの二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) | y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち
等式: 等式は等号 = {\displaystyle =} によって、二つの対象 a , b {\displaystyle a,\,b} の間の二項関係として以下のように表す:このとき、左辺 a {\displaystyle a} と右辺 b {\displaystyle b} は等しいという。等式が成り立たないことを記号的に示す際、等号否定 ≠ {\displaystyle \neq } を用いて以下のように表す:このとき、左辺 a {\displaystyle a} と右辺 b {\displaystyle b} は等しくない、あるいは異なるという。通常、等号は以下の2つの公理によって定義される:さらに、代入原理と反射律から以下の性質が導かれる。
ディオファントス近似: ディオファントス近似(ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation)とはある数(実数など)を別のより単純な構造を持つ数(有理数など)で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。最初の問題は、実数が有理数によってどのぐらいよく近似できるかを知ることであった。この問題のために、有理数 a/b が実数 α の「良い」近似であるとは、a/b と α の差の絶対値が、a/b を分母が小さい別の有理数に置き換えたときに小さくならないこととする。この問題は連分数によって18世紀に解かれた。与えられた数の「最もよい」近似が分かり、この分野の主要な問題は、上記の差のよい上界と下界の分母の関数としての表示を見つけることである。これらの上下界は近似される実数の性質に依存すると思われる。
指数 (初等整数論): 以下、g を整数 n を法とする原始根として任意に選んで固定しておく。また、a や b は n とは互いに素であるとする。
ブラーマグプタの二平方恒等式: 変数 a, b, c, d が有理数である場合、この恒等式は体 Q(i) におけるノルムは乗法的であるという主張から解釈される場合がある。このとき次の式を得る。a のノルムを N(a) で表すとしたがって、ブラーマグプタの二平方恒等式から次のことが導かれる。