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ペディメント: 古代ギリシアの神殿建築が原型と考えられている。それらは、緩やか勾配の切妻屋根を持ち、妻側が正面とされたためペディメントは正面の象徴と解された。ペディメントには丸彫りの彫刻などが施されることもあった。古代ローマは、ギリシアに倣い、ペディメントのある建築を作ったが、それは神殿に限らず、集会場などにも用いられた。中世においてペディメントはほとんど用いられなかったが、ルネサンスにおいて再び多用されるようになった。教会・公共施設の正面入り口に取り付けられ、正面性の強調の意味で使われることが多かった。基本的に古代ギリシアの形態を守っていたが、勾配が強くなったことと、ペディメントに彫刻を施すことがほとんど無くなったことなどの変化がある。しかし設置される場所は、古代ギリシアがコロネード(列柱)の上と決まっていたのに対し、柱と無関係に取り付けられることが多く、エディクラの上部に用いられることもあった。
コリント式: コリント式の柱頭は、イオニア式の柱頭を豊かにした発展型であると考えられることがあるが、コリント式柱頭を注意深く見れば、様式化された2段のアカンサスの葉や茎の上方に、サイズにおいても重要性においても小さくなった計8個のイオニア式で見られる隅部の渦巻き飾りが飛び出しているのが分かるだろうし、より小さな渦巻きが飾りが内向きにあるのにも気づくだろう。ドーリア式やイオニア式と異なり、コリント式の柱頭には下部にくびれがなく、環状の玉縁が帯が柱頭の底部を形成している。
ピタゴラスの定理: 直角三角形の斜辺の長さが c で、残りの2辺の長さが a と b であるとき、ピタゴラスの定理により次の等式が常に成り立つ。ここで a, b, c のいずれも正であるから、2辺の長さだけが既知のとき、残りの辺の長さはそれぞれ次のように計算できる。この定理の一般化は余弦定理であり、他の2辺の長さとその間の角度が与えられると、任意の三角形の任意の辺の長さを計算できる。他の辺の間の角度が直角の場合、余弦定理はピタゴラスの方程式に帰着する。
ピタゴラスの定理: 初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、(英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理はが成り立つという等式の形で述べられる。三平方の定理(さんへいほうのていり)、勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。
アポロニウスの定理:  | A B | = | A C | {\displaystyle |AB|=|AC|} の二等辺三角形ならば、中線 A D {\displaystyle AD} は B C {\displaystyle BC} と垂直となり、三角形 A D B {\displaystyle ADB} (または三角形 A D C {\displaystyle ADC} )におけるピタゴラスの定理と一致する。また、平行四辺形の対角線が互いに二分するという事実から、平行四辺形の法則とも同値である。この定理は古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられた。
ピタゴラスの定理: このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が伝えられているが、この定理はピタゴラスが発見したかどうか正確には判っていない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。
隣辺: 隣辺(りんぺん、Cathetus、ギリシア語: Κάθετος)は、直角三角形において、直角に隣接する2つの辺をさす。即ち直角三角形の斜辺以外の辺である。「脚」等と呼ばれることもある。直角三角形の隣辺同士の長さの比は、三角法における正接と余接を定義する。2つの隣辺の長さが等しい直角三角形を直角二等辺三角形という。ピタゴラスの定理によると、隣辺の二乗同士の和は斜辺の二乗の値と等しくなる。
ピタゴラス素数: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。
斜辺: 斜辺(しゃへん、hypotenuse)とは、直角三角形において、直角に対する辺のことである。直角三角形の斜辺は三辺の中で最も長く、その長さはピタゴラスの定理により求めることができる。英語のhypotenuseという言葉は、ギリシア語で「下」という意味のhypo-と「延ばす」という意味のteinein、または「横」という意味のtenuseを組み合わせたὑποτείνουσα (hypoteinousa)という言葉に由来すると言われている。和算においては直角三角形のことを勾股弦、斜辺のことを弦(げん)という(略字の玄が用いられることもある)。
ヒポクラテスの定理: 直角三角形で斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。タレスの定理より直角三角形の各頂点は斜辺の半円の円周上にある。円の面積は半径の二乗に比例するので、ピタゴラスの定理より、斜辺の半円と、他の2辺の半円の和の面積は等しい。斜辺の半円と他の2辺の半円で重なる部分がある。この部分を引くと、三日月型と直角三角形が現れる。よって、斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と同じだということがわかる。
数学史: これらの文書はすべてピタゴラス数について述べており、ピタゴラスの定理の内容は最も早く最も広まった数学の法則の一つであると見なせる。これらの例は、ピタゴラス数のうちのいくつかの振る舞いを調べたり、その法則性に注目しているに過ぎない。普遍性を仮定する定理(証明された真なる命題)という概念は、ギリシア文明以降で見られるようになる。
バビロニア数学: バビロン第1王朝時代の粘土板には、現在で言うところのピタゴラスの定理を研究した記録がある。スーサで発見された粘土板には、ピタゴラスの定理を用いた最も古い例が見られる。また、イラクのテル・ハーマルで発見された紀元前2000年ほど前の粘土板からは、のちにエウクレイデスが触れた相似三角形について理解していたことがわかる。 また、円の面積を内接する正12角形と外接する正12角形とで近似した。
直角三角形: 直角三角形(ちょっかくさんかくけい、英: right triangle)は、三角形の一種である。三角形の3つの内角のうち、他のどの内角よりも小さくない角に注目したとき、その角が直角 (90°=π/2 rad) に等しい図形を指す。直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理(三平方の定理)と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角 と呼ぶ。それらの大きさの和は、直角に等しい。直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を 直角をはさむ2辺 または単に隣辺と言う。直角の頂点を直角頂と呼ぶ。直角頂は垂心に等しい。
数学史: すなわち、繰り返した観測で経験則を証明した。ギリシア数学は、対照的に、演繹法を使用した。ギリシア人は、定義および原理から結論を得る論理を使用した 。ギリシア数学はタレス(紀元前624〜546年頃)とピタゴラス(紀元前582〜507年頃)が始めたと考えられる。影響範囲について異論はあるものの、彼らはエジプト、メソポタミア、および恐らくインドの知識に影響を受けた。伝説では、ピタゴラスはエジプトに旅行し、数学、幾何学、および天文学をエジプトの指導者から学んだと言われている。タレスは、幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸から船までの距離を計算する等の問題を解決した。ピタゴラスの定理について、ピタゴラス以前からその主張には長い歴史があるものの、定理に最初の証明を与えたのが彼であるとの名声をもつ。
サービト・イブン・クッラ: 数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。
ピタゴラスの定理: である。ゆえに、△ABC は ∠C = π/2 の直角三角形となる。である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。
パップスの面積定理: パップスの面積定理(パップスのめんせきていり、英語: Pappus's area theorem)とは、幾何学の定理である。パップスの定理ともいう。アレクサンドリアのパップスにちなんで命名されている。ピタゴラスの定理が拡張されたものである。
余弦定理: △ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA としたときが成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。余弦定理は 1つの内角の大きさとそれをはさむ 2辺の長さが分かっていれば、対辺(残りの辺)の長さが決まるという定理である。このことは三角形の合同条件に対応している。逆に 3辺の長さが分かっていればのように余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。第二余弦定理において、特に α = π/2 の場合は、cos α = 0 なので、ピタゴラスの定理などが導かれる。すなわち、第二余弦定理は、「一般の三角形に対するピタゴラスの定理」といえる。
直角二等辺三角形: したがって、この垂線の長さは、斜辺の長さの1⁄2となる。ピタゴラスの定理より、隣辺の1辺の長さと斜辺の長さの比は、 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} となることがわかる。隣辺の1辺の長さを x {\displaystyle {x}} とした場合、 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} で面積を求めることができる。また、斜辺の長さのみが分かっている場合でも、斜辺の長さを y {\displaystyle {y}} とし、 y 2 4 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{4}}} で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求めることができる。また、底角は45°であるので、t = 45°として三角比に当てはめた場合、である。
オイラーの四辺形定理: オイラーの四辺形定理(オイラーのしへんけいていり)は、凸四角形における辺と対角線の長さの関係を示す定理である。この定理は系として中線定理とピタゴラスの定理を含む。
無理数: 無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかし、ピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。しかし、プラトンが現れると、彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。円周が円の直径の3倍より少し大きいことは古来知られていた。
三角形: 1つの内角が直角である三角形を直角三角形と呼ぶ。直角三角形の頂点のうち、内角が直角である頂点を直角頂と呼ぶ(図4)。直角三角形の直角以外の内角 2つは 90度未満となり、これらを直角三角形の鋭角と呼ぶ。それらの和は直角に等しい。直角三角形の直角の対辺を斜辺という。斜辺は、直角三角形の 3つの辺の中で最も長い辺である。斜辺でない 2辺を、直角をはさむ 2辺と呼ぶ。直角をはさむ 2辺 a,b と、斜辺 c の間には、次の関係が成り立つ(ピタゴラスの定理)。逆に、△ABC の 3辺 a,b,c が上の等式を満たすならば、△ABC は辺 c を斜辺とする直角三角形となる(ピタゴラスの定理の逆)。二等辺三角形において、長さの等しい 2つの辺を等辺といい、残りの 1つの辺を二等辺三角形の底辺と呼ぶ。2つの等辺のなす角を頂角といい、残りの 2つの内角を底角という。
ユタ・ティーポット: また、ジム・ブリンは、制作に携わった数学教育用ビデオシリーズ "Project Mathematics!" の中の一作(1988年制作の "The Theorem of Pythagoras")で、ピタゴラスの定理をユニークな方法で説明した。直角三角形のそれぞれの辺に2Dのティーポットを置いたとき、斜辺のティーポットの面積は他の二辺のティーポットの面積を足し合わせたものに等しいというのである。
ピタゴラス: ピタゴラス(古代ギリシャ語: Πυθαγόρας, ラテン文字転写: Pȳthagórās、ラテン語: Pythagoras、英: Pythagoras、紀元前582年 - 紀元前496年)は、古代ギリシアの数学者、哲学者。「サモスの賢人」と呼ばれた。ピュタゴラスとも表記される。
数学の哲学: また同様の理由で、2は数ではなく、1対(つい)という基本概念であるとする議論が行われた。この理解は、「直線・辺・コンパス」という、たぶんに幾何学的なギリシアの視点に由来している。その視点とは、幾何学的問題において描かれたいくつかの線が最初に描いた任意の長さの線との比で測定されるのと同様に、数からなる線上に置かれたそれぞれの数は、任意の初めの「数」つまり1との比で測定される、というものである。これらの初期のギリシアの数の概念は、後になって、2の平方根が無理数であるという発見によって、打ち倒された。ピタゴラスの門人であるヒッパソスは、単位正方形の対角線は、その辺と通約不能であることを示した。換言すると、彼は、単位正方形の対角線とその辺の比を正確にあらわす(有理)数が存在しないことを証明した。これが原因となり、ギリシアの数学の哲学は再検討されることとなった。
ヘロンの公式: ヘロンの公式(ヘロンのこうしき、英: Heron's formula)とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる。
三次方程式: 古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数 p, q からとなる数 x, y を求めるという、比の問題に帰せられた。メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題はの形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。
中線定理: 中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。
幾何学: 人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった。自明な少数の原理(公理など)から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論』において完成され、後の数学の手本となった。ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる。
多角数定理: 多角数定理(たかくすうていり、(英: polygonal number theorem)とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。特に m = 3 の場合を(ガウスの)三角数定理、m = 4 の場合を(ラグランジュの)四平方定理という。多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。
メナイクモス: メナイクモス(ギリシア語: Μέναιχμος、前380年 - 前320年)はトラキアのケルソネソスのアロペコネソス(英語版)またはプロコネソスで生まれた古代ギリシアの数学者、幾何学者、哲学者である。彼は著名な哲学者プラトンとの友人関係、円錐断面の発見、そして放物線と双曲線を利用し、当時長い間未解決問題として著名だった立方体倍積問題を解決したことで知られている。
ラウスの定理: 幾何学におけるラウスの定理(ラウスのていり)とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。
ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ: サッケーリはユークリッドの第5公準を他の4つの公準から証明するという古代からたくさんの数学者を苦しめてきた問題を、第5公準をそれと同値な命題「全ての三角形の内角の和は2直角に等しい」に置き換え(この置き換えは13世紀にアラビアの数学者ナシールッディーンにより示されていたもので、サッケーリはこのことを直角仮定と呼んだ)、これに対し、互いに背反する2つの命題「全ての三角形の内角の和は2直角よりも小さい」(鋭角仮定)、「全ての三角形の内角の和は2直角よりも大きい」(鈍角仮定)が共に矛盾を導くことを示し、直角仮定、したがって第5公準を証明するという手法(つまり背理法である)で解こうとした。
カルノーの定理 (幾何学): 幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、シムソンの定理の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。
ヒポクラテスの定理: 直角三角形で、斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と等しい。つまり図では青と赤の面積が等しい。
シュタイナー・レームスの定理: 等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。
直角三角形: 直角三角形の3本の辺では、常に斜辺が最も長くなる。斜辺 c と他の2辺 a, b との関係は、である(三平方の定理)。これを読み替えて、三角形の3辺の長さがこの式を満たさなければ、角Cは直角ではないことがわかる。 一方、これとは逆に、この式を成り立たせるような3辺をもつ三角形は、直角三角形であることがわかる(三平方の定理の逆)。同様に、直角三角形でない三角形の辺の長さが、この式を成り立たせることはない。
正弦定理: 正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。
モーリーの定理: モーリーの定理とは、三角形に関する幾何学の定理である。1899年にアメリカの数学者フランク・モーリー(英語版)によって証明された。
エウレカ: カール・フリードリヒ・ガウスは1796年の日記(英語版)にアルキメデスを真似て "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ" と書いている。これは、「全ての自然数は高々3個の三角数の和である」ことを発見したことを書いたものである。これは「ガウスのエウレカ定理」と呼ばれており、今日では多角数定理の特別な場合として知られている。
ピトーの定理: 幾何学におけるピトーの定理(ピトーのていり、英: Pitot theorem)は、円に外接する四角形(英語版)(内接円を持つ四角形)に関する定理である。ピトーの定理は、円に外接する四角形の向かい合う2組の対辺の長さの和が等しくなることを述べている。言い換えれば、四角形の2組の対辺の長さの和が半周長に等しくなる。定理の名称は、フランスの工学者であるアンリ・ピトーから名付けられた。
アポロニウスの定理: 幾何学におけるアポロニウスの定理(アポロニウスのていり)は、三角形の中線の長さと辺の長さに関係する定理である。「三角形の任意の二辺の平方和は第三辺の半分の平方の2倍と第三辺を二分する中線の2倍の和に等しい」という。すなわち、任意の三角形を A B C {\displaystyle ABC} として、中線を A D {\displaystyle AD} とするとこの定理はスチュワートの定理の特殊な場合である。
図形数: その後、スミュルナのテオン、ニコマコス、イアムブリコスらが多角数について論じた。2世紀頃のニコマコスは、その著書『算術入門』において、多角数は等差数列の和として定義されることを指摘したのみならず、種々の立体数についても述べている。具体的には、四面体数、四角錐数などの多角錐数、立方体数、切頂(英語版)多角錐数などである。それよりも前に、紀元前4世紀頃のオプスのフィリポやスピューシップスが四面体数について考察したと考えられるが、文献は残っていない。1544年、マイケル・シュティーフェル(英語版)は、三角数、四面体数に続く五胞体数などの、高次元版の図形数を定義した。近世ヨーロッパの数学者、バシェ(英語版)、フェルマー、オイラーらも多角数について論じている。初等的な性質のみならず、フェルマーが多角数定理を予想し、オイラーが五角数定理を示すなど、やや高度な数論にも図形数は現れる。
ガウス・ボネの定理: 球面幾何学や双曲幾何学で前世紀の早い段階での多くの結果は、ガウス・ボンネの定理の特別な場合として含まれている。球面三角法(spherical trigonometry)や双曲三角法(hyperbolic trigonometry)では、三角形の面積は(三角形の)内角の和が 180°に対してどれだけ差異があるかに比例する。同じことではあるが、外側の角度が 360°に対してどのくらい差異があるかに(符号を逆にして)比例する。球面三角形の面積は、ジラルドの定理(Girard's theorem)により、増えた分に対して比例する - その量は 180°に対し内角の和が多くなった分であり、 360°に対して外角の減った分に等しい。双曲三角形の面積は、逆で、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト(Johann Heinrich Lambert)により確立されたように、内角の和が減った量に比例する。
タレスの定理: 古代ギリシャの哲学者、数学者タレスにちなんで名付けられた。 その前にもこの定理は発見されていたが、タレスが初めてピラミッドの高さを発見した事からこの名前が生まれた。 タレスの定理は円周角の定理の特例の1つでもある。 タレスの「幾何学の五定理」ともいわれ、以下の5つで構成される。
ピトーの定理: この定理は、ある円の外部の点から2本の接線を引いたときに、その外部の点から接点までの長さが等しくなるという事実に基づいている。 円に外接する四角形とその内接円を考えると、四角形の周には4組の長さが等しい線分が含まれることになる。そのため、対辺の長さの和は、この4つの線分の長さの和と等しくなる。ピトーの定理は逆も真である。つまり、「2組の対辺の長さの和が等しい凸な四角形は内接円をもつ」 という命題も真である。
非ユークリッド幾何学: この著作はジョヴァンニ・ジローラモ・サッケーリに多くの影響を与えている。13世紀のイスラム世界を代表する学者であるナスィールッディーン・アル・ディーン・アル・トゥースィーの遺稿をまとめた『ユークリッド原論編述』は1294年に発表された。このなかで彼は、第5公準を「すべての三角形の内角の和は2直角に等しい」と読み替えているが、これもまたサッケリーニに影響を与え、サッケリーニは「直角仮定」と呼んだ。 『ユークリッド原論編述』は、バースのアデラードによってラテン語に翻訳され、さらにノヴァラのカンパナス(英語版)が注を施した版に基づいてエアハルト・ラトドルト(英語版)によって1482年にヴェネツィアにおいて始めて出版された。古代ギリシャ以降も、無数の「平行線公準の証明」が生まれたが、多くはプトレマイオスと同じ過ちを犯していた。しかし、その結果として無数の「平行線公準と同値な命題」が作られた。
ナポレオンの定理: ナポレオンの定理(ナポレオンのていり)は、幾何学における定理の1つである。任意の三角形に対し各辺を1辺とする正三角形を描き、これら3つの正三角形の重心同士を結んだとき、この三角形は正三角形となる。この三角形をナポレオンの三角形という。3つの正三角形をもとの三角形の外側に描く場合(右の図)と内側に描く場合で2通りの三角形が考えられるが、いずれも正三角形となる。この2つの正三角形の面積の差は、もとの三角形の面積と等しくなる。ナポレオン三角形の重心は、もとの三角形の重心と一致する。この定理はナポレオンが発見したといわれているが、それを証明する資料は発見されていない。
正接定理: 三角法における正接定理(せいせつていり)とは、三角形の2つの角と2つの辺の関係を示した定理である。
パップス: アレキサンドリアのパップス(Pappus of Alexandria)はアレキサンドリア生まれのエジプトの数学者。4世紀の前半に活躍した。彼はギリシャ数学を幅広く渉猟し、その技法を修得して8巻に及ぶ数学上の著作を残した。彼はその第七巻において、パップス=ギュルダンの定理と呼ばれる定理を証明しているが、これは後世の数学者に大きな影響を与えた。その他、射影幾何学におけるパップスの定理(パップスの六角形定理(英語版))など平面幾何学のいくつかの定理に彼の名前が残っている。三角形の中線定理がパップスの中線定理と知られているが、実はこれはアポロニウスの定理である。
外角定理: 外角定理(がいかくていり)とは、三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいということを示す、ユークリッド幾何学における定理。その形状から、「スリッパの法則」や「和式便器の法則」などと呼ばれることもある。
放物線の求積: 『放物線の求積』(ほうぶつせんのきゅうせき、ギリシア語: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)は、アルキメデスによって、紀元前3世紀にアレクサンドリアの知人ドシテオスに宛てて執筆された、幾何学に関する著書である。放物線に関する24の命題を含み、放物領域(放物線と直線で囲まれた領域)の面積が内接する三角形の 4/3 になることの2通りの証明を導いている。アルキメデスの著作の中ではもっとも著名なものの1つであり、特に取り尽くし法の独創的な利用と、第2章での等比級数によって知られている。アルキメデスは求める面積を、面積比が等比級数を成すような無限個の三角形に分割している。彼はそれから得られた等比級数の総和を計算し、その値が放物領域の面積だと証明している。
ヒポクラテスの定理: ヒポクラテスの定理(ヒポクラテスのていり、英語: Hippocrates's theorem)とは、幾何学の定理である。ヒポクラテスの三日月(lune of Hippocrates)ともいう。数学者キオスのヒポクラテス(英語版)に因んで名づけられた。数学的に計算された正確な面積を持つ最初の曲線図である。
オノの不等式: 幾何学におけるオノの不等式(おののふとうしき)は、三角形の辺と面積に関する不等式である。1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
トレミーの定理: トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):が成り立つという幾何学の定理のことである。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式:が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する。
リュイリエの定理: リュイリエの定理(英: L'Huilier's theorem) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年にスイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。
アルキメデス・パリンプセスト: このパリンプセストは次の著作を含む。上記の著作の中で最も注目すべきは『方法』であり、このパリンプセストに唯一写しが残されている。アルキメデスは、他の著作の中で、古代ギリシアで現代の極限の方法に相当するエウドクソスの取り尽くし法を用いて、2つの面積や体積が同等であることを証明している。ギリシア人はいくつかの数は無理数であることを認識していたため、実数の概念は上界と下界を提供する2つの数列により近似された量Qであった。常にQより大きいUと常にQより小さいLを見つけ、この2つの数列が最終的に任意の事前に指定した量よりも接近した場合、QはUとLにより見つかった、もしくは「取り尽くされた」ことになる。アルキメデスは自身の定理を証明するために取り尽くし法を用いた。これは面積を計算したい図形を既知の面積の部分に近似して、その図形の面積の上限と下限を与えるというものであった。
余弦定理: 余弦定理(よげんていり、英: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。
アルキメデス・パリンプセスト: 2つの単位正方形を横に並べる、2つの単位正方形を上下に並べる、2の平方根の辺を持つ1つの正方形である。しかし、これらの詰め方で重要なのは、ソクラテスがプラトンのMenoで奴隷の少年に考えさせたように、直角二等辺三角形を作ることである。ソクラテスは回想による知識について主張しており、ここではパターン認識と記憶が解の数よりも適切であるように見える。コデックスの盤面は、ソクラテスの議論の拡張として7×7の正方形のグリッドで見つけることができ、これは、2の平方根の有利近似を与える横直径数の反復的構築を示唆している。パリンプセストの断片的状態は多くの疑問を残している。しかし、アルキメデスがコデックスの盤面よりもSuterの盤面を用いた場合、それは間違いなく謎に加えられるだろう。ただし、Netzが正しいのならば、これは古代ギリシアの組合せ数学の分野で最も洗練された著作であった可能性がある。
アリスタルコス: アリスタルコス(希: Αρίσταρχος, 羅: Aristarchus、紀元前310年 - 紀元前230年頃)は、古代ギリシアの天文学者・数学者。ギリシャのサモス島に生まれた。同名の人物と区別するために、サモスのアリスタルコス(希: Αρίσταρχος ὁ Σάμιος, 羅: Aristarchus Samius, 英: Aristarchus of Samos)と呼ばれることも多い。宇宙の中心には地球ではなく太陽が位置しているという太陽中心説を最初に唱えた(このため彼は「古代のコペルニクス」と呼ばれることもある)。彼の天文学の学説は広く受け入れられることはなく、ずっとアリストテレスやプトレマイオスの説が支配的だったが、約2,000年後にコペルニクスが再び太陽中心説(地動説)を唱え、発展することとなった。
初等幾何学: 作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測ってはならない。
直角三角形: また、素数が無限にあるということが肯定される以上は、直角三角形の三辺の整数比も無限にあるということになり、 当然、既知の三辺整数比の直角三角形のいずれとも相似とならない三辺整数比の直角三角形を無限に求め出せるということにもなる。
角の三等分問題: 角の三等分問題(かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection)とは、古代ギリシャ数学(英語版)における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分(即ち 30° の角の作図)は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。
ヘロンの公式: この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。しかし、円に内接するn角形について面積をその辺の長さから求める代数的な公式は n ≥ 5 では存在しないことが知られている。
ボヤイの定理: ボヤイの定理(―のていり、Bolyai's theorem)またはボヤイ=ゲルヴィンの定理 (Bolyai–Gerwien theorem)は、1833年にボヤイ・ファルカシュによって示された『面積の等しい二つの多角形 A, B が存在した時、A を有限回分割し組みなおすことで、B と合同な図形を作ることが出来る』という定理である。この問題を三次元に拡張した予想がヒルベルトの23の問題の第3問題に挙げられていたが、1900年に否定的に解決された。
放物線の求積: これは古代ギリシア数学(英語版)における背理法の最も巧みな用法であり、彼の解法は17世紀に積分法の発展によってカヴァリエリの求積公式(英語版)に取って代わられるまで比類なきものとなった。
パップスの定理: 数学において「パップスの定理」と呼ばれる定理は複数のものが知られている。いずれもアレキサンドリアのパップスによって発見されたものである。
正接定理: 正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 γ {\displaystyle \gamma } が与えられているときに他の辺と角の値を求めるために使用できる。
正接定理: 図1 において以下の式が成り立つ。正接定理は正弦定理や余弦定理ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。球面上の三角形における正接定理は、13世紀にナスィールッディーン・トゥースィーが著書 Treatise on the Quadrilateral で言及している 。
パスカルの三角形: ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。イタリアでは、三次方程式の解法で知られるニコロ・フォンタナ・タルタリアにちなみ「タルタリアの三角形」と呼ばれる。なお、「タルタリアの三角形」にはブレーズ・パスカルは1655年に発表した『Traité du triangle arithmétique』の中でこの三角形について言及している。彼はこの中で今までに知られていた結果をまとめ、確率論の研究に利用している。パスカルより後の数学者では、アブラーム・ド・モアブルらが「算術の三角形」と呼んでいる。
球と円柱について: アルキメデスが球体の体積の公式を証明するのに用いた議論は、むしろその幾何学に関係しており、現代の多くの教科書にはアルキメデスの時代には存在しなかった極限の概念を用いたシンプルなものが載っている。アルキメデスは半円に内接する半分の多角形を用い、両方とも回転させて球内に錘台の集団を作り体積を決定した。これはアルキメデスがこの結果を導き出すために使用したオリジナルの方法ではなく、ギリシアの数学的伝統において利用できた最高の形式的な議論であるようである。オリジナルの方法はてこの巧妙な利用と関係していたかもしれない。20世紀に再発見されたパリンプセストには、『方法』含むアルキメデスの著作が多数含まれており、『方法』の中で天秤、重心、無限小スライスなどで体積を決定する方法を説明している。
ヴィヴィアーニの定理: ヴィヴィアーニの定理(ヴィヴィアーニのていり、Viviani's theorem)は正三角形に関する幾何学の定理である。名前はイタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニに由来している。
ファウルハーバーの公式: 1乗和と2乗和については、アルキメデスの時代から知られていた。3乗和に関してが成り立つことは、歴史上たびたび再発見されている。1世紀の数学者ニコマコスは「n 番目の立方数は n 個の連続した奇数の和である」ことを証明なしに述べており、既知の結果「最初の m 個の奇数の和は m の平方に等しい」と合わせると、3乗和の公式を知っていたとも見なせる。西暦500年頃、アリヤバータは3乗和の公式を明示的に与えた。西暦1000年頃、アル=カラジ(英語版)は図形および数学的帰納法を用いて3乗和の公式を証明した。同じくイスラムの数学者イブン・アル・ハイサムは、4乗和の公式を与えたが、その方法を用いれば何乗和でも求めることができる。フェルマーは、求積法のために冪乗和が重要なことを認識し、一般的な公式およびその証明を得たと述べたが、詳細は明らかにしなかった。
芳賀定理: 芳賀定理(はがていり)もしくは芳賀の定理(はがのていり)とは、芳賀和夫が発案した、本来正方形のある辺の二等分点に対辺の端点を折り合わせると、その端点も最初の二等分線も含まない辺に三等分点が得られるという定理のことである。現在、これは芳賀の第1定理と呼ばれ、第3定理まである。芳賀の第2定理とは、正方形のある二等分点と、対辺の端点を結ぶ直線で正方形を折ると、移動した頂点と、最初の二等分点を結ぶ直線は、最初の二等分点も先の端点も含まない辺上に三等分点を描く、という定理のことである。また、この時の折り目の線分と正方形の対角線分の交点を通る、正方形の各辺に対して垂直な直線は、各辺上に三等分点を描く、ということも内包している。
円積問題: キオスのヒポクラテス(英語版)は円積問題に取り組む過程で、いくつかの三日月形(2つの円弧で囲まれた領域)の正方形化を達成している。ソフィストのアンティポンは、円に内接する正多角形に注目した。多角形は正方形化できるので、円の内接多角形の辺の数を倍々に増やして円を正多角形で埋めつくせば円と同じ面積の正方形を求められると彼は主張した。それに対する懐疑的な見方は当時から存在し、ロドスのエウデモスは、"magnitudes cannot be divided up without limit, so the area of the circle will never be used up." (「数量というものは無限分割不可能なのであり、故にその円の面積は決して尽くされはしないのだ」)と反論した。円積問題はアリストパネスの喜劇『鳥』の中にまで登場している。
三角法: レティクスはのちの1400ページを越える三角関数表も作成した。三角関数を直角三角形の辺の長さの比として捉える三角比の概念化もレティクスの業績に帰せられている。レティクスの三角関数表をさらに改善したバルトロマイウス・ピティスクス(英語版)は、1595年に『三角法、あるいは、三角形の解法に関する小論と証明』(Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus)を著し、現在、西洋の諸語で三角法を意味する言葉(例えば、英: trigonometry、露: Тригонометрияなど)の直接の語源となるラテン語の言葉、Trigonometriaを造語した。17世紀に入ると、パリでシャルル9世やアンリ4世に仕えた弁護士のヴィエトがレギオモンタヌスやレティクスの著作に基づいて三角法を研究した。
ニュートンの定理: ニュートンの定理 (ニュートンのていり、英語: Newton's theorem) とは、四角形に関する幾何学の定理である。
定規とコンパスによる作図: 正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が著した『原論』に記されており、よく知られていた。長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した。同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわちの形であることを示した。
ハーコートの定理: ハーコートの定理(Harcourt's theorem)とは三角形の面積に関する定理である。この定理はアイルランドの教授のJ. Harcourtにちなんで命名された。
シムソンの定理: 幾何学におけるシムソンの定理とは三角形ABCの外接円上の点Pから三角形の各辺BC, CA, ABにおろした垂線の足L, N, Mがすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。
アポロニウスの問題: なお、同手法は1881年にジョン・ケーシィ(英語版)によっても改良されている。ファン・ルーメンの手法は、アポロニウスの問題を解決することには成功したのだが、この手法には欠点がある。定規とコンパスのみを使って問題を解くことこそが、古典的ユークリッド幾何学において真に賛美されるものなのである。角の三等分問題のように、コンパスと定規だけでは解けない問題もたくさんある。しかしながら、そのようなコンパスと定規だけでは解けない問題は、双曲線、楕円、放物線(円錐曲線)のような、交差する曲線(intersecting curve)を使うことで解決できる場合がしばしばあるのである。例えば、立方体倍積問題(与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作図する問題)は、コンパスと定規だけでは作図することができないが、メナイクモスは、2つの放物線の交点を用いることで、立方体倍積問題が解決可能であることを示した。
二項定理: 1544年にミハエル・シュティーフェル(英語版)は「二項係数」("binomial coefficient") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a) を (1 + a) で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を論文(英語版) Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。アイザック・ニュートンは任意の有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている。
円周の測定: 命題1では、ある円と直角を作る辺がその円の半径および円周と等しい直角三角形は面積が等しいことが述べられている。円周が c、半径が r の円は2つの隣辺が c と r である直角三角形と面積が等しい。この命題は取り尽くし法により証明されている。命題2は次のように述べられている。円の面積はその直径を一辺とする正方形の面積に対して11が14に対する比をなる。この命題は命題3の結果に依存しているため、アルキメデスにより置かれたものではない。命題3は次のように述べられている。円周の直径に対する比は 310/71 より大きく 31/7 より小さい。これは今日数学定数 π と呼んでいるものの近似である。アルキメデスは2つの相似な正96角形で円を内接・外接することにより、π の値の範囲を見出した。
三角法: 古代インドの数学にメソポタミアやギリシアの影響は比較的少ないが、三角法に関しては例外で、用語や無理数の近似値の類似などの観点から、ギリシアに由来すると推測されている。しかしながら、古代インドに伝わったギリシア天文学及びそれに付随する三角法はヒッパルコスの時代までのものであり、メネラオスやプトレマイオスの球面三角法は伝わらなかった。5世紀の天文学者アーリヤバタが著した『アーリヤバティーヤ(英語版)』は、著者が確実に判明しているインド最古の天文学書である。同書は2行一連のサンスクリット語による韻文の形式で書かれ、単位円における円周角の半分と弦の半分(すわなち正弦)との関係についての言及がある。ギリシア数学的な円周角と弦長の関係に着目する視点から、円周角と正弦との関係に注目する視点へとパラダイムが転換した。
ピタゴラス数: ただし、自然数でない辺を持つ直角三角形は、ピタゴラス三角形を形成しない。たとえば、三辺がそれぞれ1,1,√2の三角形は直角三角形であるが、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数ではないので、 ( 1 , 1 , 2 ) {\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})} はピタゴラス数ではない。ピタゴラス数は古くから知られている。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。 1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。整数解を探す場合、方程式a + b = cはディオファントス方程式である。したがって、ピタゴラス数は、非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の1つである。
平行線公準: 彼は今日ランベルトの四角形と呼ばれる、3つの直角を持つ図形を使い(これは言うなればサッケーリの四角形の性質を半分だけ持っている)研究を行った。彼はサッケーリやハイヤームのように鈍角の場合についてはすぐに排除し、鋭角仮定のもとで多くの定理を導いた。サッケーリとは異なり、彼は鋭角仮定のもとで矛盾が生じたと感じることはなかった。彼は三角形の面積が減少するに連れて三角形の内角の和が増加するという非ユークリッド幾何の結果を証明し、このことで半径が虚数の球面上の幾何という考えに思いを巡らせることとなったが、しかし彼はこれ以上のこの考えを追求しなかった。ハイヤームやサッケーリが平行線公準を証明するために鋭角仮定や鈍角仮定といった別の可能性が誤りであるということを証明しようと試みたのに対し、19世紀に数学者たちはこれら別の可能性をむしろ発展させ、最終的に論理的に矛盾のない幾何学を発見した。
三角法: ヘレニズム時代のアレクサンドリアの数学者は、おそらくは上述のような精緻な観測記録を利用して、円における円周角とそれによって定義される弦の長さとの関係に関する体系的な研究を始めた。プトレマイオスによると、前2世紀、ニカイアのヒッパルコスが7・1/2°刻みの円周角と弦の長さの表を作成したという。ヒッパルコスは作成した数表を用いて、球面を平面にステレオ投影し、球面上の幾何学的な問題を解こうとしたとみられる。これに対して、1世紀のアレクサンドリアのメネラウスは、球面三角法を概念化した。2世紀のプトレマイオスはメネラウスの球面三角法の考え方を天文学に応用した。プトレマイオスは、大著『アルマゲスト』の第1巻11章に詳細な三角法に関する表(英語版)を示した。これは本質的にはヒッパルコスのものと同じく、円周角とその弦長の関係を示したものであるが、より正確であり、また、はるかに使いやすかった。
タレス: タレスは「半円に内接する角は直角である」という定理を証明した最初の人物とされる(この定理はタレスの定理と呼ばれる)。タレスの定理自身はいわゆる円周角の定理の特別な場合である。タレスの「幾何学の五定理」ともいわれ、以下の5つで構成される:
角の三等分問題: 例えば、60° の三等分(即ち 20° の角の作図)の不可能性は複素数を使うことにより比較的単純に示すことができる。定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、(目盛りなしの)定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく疑似数学(英語版)的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。
立方体倍積問題: メナイクモスは、機械的手段でこの問題を解いたが、プラトンから、純粋に数学的な方法で解決していないと非難された (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)。これが、紀元前350年代の『シシュポス』の中で、この問題が未解決問題として引用された原因かもしれない。この問題の解決の模索の大きな進歩は、キオスのヒポクラテス(英語版)が、この問題は、ある線分と2倍の長さの別の線分の2つの比例中項を求める問題と等価であると発見したことだった。近代風に言うと、長さaと2aの与えられた線分において、立方体の複製は次を満たす長さrとsの線分を見つけることと等価である。
三角測量: 今日では三角測量は、測量、航海、計量学、位置天文学、両眼視(英語版)、モデルロケット、兵器の照準といった多目的に使用されている。三角形を利用して距離を測定するのは古代に遡る。紀元前6世紀の古代ギリシアの哲学者タレスは、ピラミッドの影の長さを測り、また同時刻における自分自身の影の長さを測って、自分の身長との比から相似な三角形を使ってピラミッドの高さを測定していた。また崖の上から沖に見える船までの距離を、横方向にある既知の滝までの見通し水平距離を測り、これを崖全体の高さまで拡大することにより測定していた。こうした方法は古代エジプト人にも知られていた。これより1000年ほど古いリンド数学パピルスに出てくる問題57番では、傾きを距離と高さの比で定義しており、今日の勾配の逆数に当たる。傾きと角度は、後のアラブのアリダードの前身である、ギリシア人がディオプトラ(英語版)と呼ぶ測定棒で測った。
コスモス (宇宙観): 古代ギリシャのピタゴラスは、宇宙を指すのに「kosmos コスモス」という語を用いた最初の哲学者だと言われている。この背景を説明すると、古代ギリシャでは「コスモス」という言葉は、調和がとれていたり秩序がある状態を表現する言葉であり、庭園・社会の法・人の心などが調和がとれている状態を「kata kosmon(コスモスに合致している)」と表現した。同学派の人々は、数を信仰しており、存在者のすべてがハルモニアやシンメトリアといった数的で美的な秩序を根源としていると考えゆえに、この世界はコスモスなのだ、と考えてそう呼んだ。このように見なすことにより同学派の人々は、一見すると不規則な点も多い天文現象の背後にひそむ数的な秩序を説明することを追及することになった。その延長上にプロラオスやエウドクソスらによる宇宙論がある。
デカルトの円定理: 互いに接する円の問題に対する関心は古く、紀元前三世紀のギリシャ人であるペルガのアポロニウスが多くの論述を残している。1643年、ルネ・デカルトはプファルツ公女エリーザベトへの手紙の中でこの問題を詳細に研究し、後述する式(1)と本質的に同じ結果を得た。フレデリック・ソディが1936年に式(1)を再発見し Nature に発表したため、この問題で扱われる4つの円はソディの円(英: Soddy circles)と呼ばれる。フレデリック・ソディはこの問題を球へと拡張し、さらにソロルド・ゴセは任意の次元へと拡張した。