mteb/JQaRAReranking huggingface dataset:
アレルギー: アレルギー疾患のマネージメントを行うには、アレルギー疾患の鑑別のための問診、アレルゲン曝露から発症までの時間経過、症状の持続時間、全身性に症状があるのか、局所のみなのか、既往歴や家族歴があるのかといった点に注目すると整理しやすいといわれている。もしアレルギー疾患を疑うのならば、まずはI型アレルギーによるものかそれ以外(非I型アレルギー)によるものかを区別すると診断にたどり着きやすくなる。I型アレルギーによるものならば、即時型アレルギーといわれるようにアレルゲン曝露をしてから5分から90分以内に発症することが多いといわれている。I型アレルギーで特に救急医学で重要視されているのがアナフィラキシーショックである。重度のI型アレルギー反応においては早期のアドレナリン投与がもっとも重要であるといわれている。早期にボスミン0.
自家感作性皮膚炎: 自家感作性皮膚炎(じかかんさせいひふえん、Autosensitization dermatitis)とは、局所の湿疹や熱傷で作られたアレルゲン物質が血液で運ばれ、全身の至るところに湿疹や腫れが生じる皮膚炎の一種。痒みが非常に強く、掻いているうちに、湿疹病変が拡大し全身に広がる場合もある。初めは顔、お腹、腕など一箇所から始まり、時間が経つにつれて症状が悪化するため、治療が遅れると治癒するのも遅くなり、数ヶ月から数年単位で完治の場合もある。日光に当たるなど、温まったときに症状の悪化が見られる。薬は内服のステロイド、塗り薬のステロイドが効果的。また痒み止めに抗ヒスタミン薬も有効。
NAET (ナムブドゥリパッドアレルギー除去療法): NAETがアレルギーと呼ぶエネルギー障害の影響が蓄積することで、様々な健康障害が起こるとしており、ナムブドゥリパッドは「人間の病気の95%はある種のアレルギーから生じる」としている。人間の身体に必要とされる必須ミネラル、必須ビタミンに対するアレルギーがあるとされ、その場合十分吸収することはできないとされる。「鉄分のアレルギー」が鉄欠乏性貧血を、「カルシウム・ミネラルアレルギー」が骨粗鬆症を引き起こすことが多く、甘いものの食べ過ぎは「砂糖アレルギー」が疑われるという。その人のエネルギーと反発するあらゆるエネルギーを調和させる施術法であると考えられ、感情も「アレルゲン」のひとつとされ、心理的な問題の治療も可能であると主張されている。副作用は全くないとされる。代理人に施術することで患者本人を治療することが可能であるとされる。
職業性ストレス: 職業性ストレス(しょくぎょうせいストレス、Occupational stress)とは、労働に際して発生するストレスである。WHOの定義によれば、職業性(労働関連)ストレスとは「仕事上の要求・圧力によって、自分の知識・能力と合致しない仕事に立ち向かわなければならない人々が持つであろう反応」とされている。
アトピー性皮膚炎: 世界アレルギー機構(WAO)の定義するところでは、アトピーとは、主にタンパク質のアレルゲンに暴露されIgEを産生する傾向のことで、IgEに対する高反応だということである。それは家族的な場合もあり、典型的な症状として喘息、鼻炎、湿疹を示すことがある。そしてIgE検査でIgE感作が証明されるまではアトピーとは言えない。世界アレルギー機構の定義では、広く皮膚の炎症を指す時に皮膚炎を使用し、アレルギー性喘息や鼻結膜炎があるというような共通の特徴があるアトピー性体質の者の場合には、アトピー性皮膚炎と呼ぶよりアトピー性湿疹の方が適切である。アトピー性皮膚炎の罹患者224人平均年齢26.4歳にて、91人は気管支喘息であり、166人はアレルギー性鼻炎、138人は過去1年間持続的に皮膚症状を呈しており、65人(29%)が一般的な食物アレルギー(小麦粉、牛乳、卵、ピーナッツ、大豆)であった。
アレルギー性鼻炎: アレルギー性鼻炎(アレルギーせいびえん、allergic rhinitis、略:AR)とは、発作性反復性のくしゃみ、水性鼻汁、鼻閉を主徴とする鼻粘膜のI型アレルギーである。鼻アレルギー(nasal allergy)とも呼ばれるが、この場合は鼻粘膜における炎症である鼻炎以外、すなわち副鼻腔などを含む鼻におけるアレルギー疾患全般を指す。しかしながら、アレルギー性鼻炎と鼻アレルギーとはしばしば同義に用いられる。鼻過敏症(hyperesthetic rhinitis)と呼ぶこともあるが、これはさらに広義であり、アレルギーの機序によらない鼻疾患、たとえば血管運動性鼻炎なども含む概念である。アレルギー性鼻炎には通年性と季節性があり、後者の代表的なものに花粉症がある。空気が乾燥する季節に限って、鼻炎を起こすケースもある。
化学物質過敏症: 化学物質過敏症(かがくぶっしつかびんしょう)とは、非常に微量の薬物や化学物質(主に揮発性有機化合物)の曝露であっても健康被害が引き起こされるとする疾病概念。人体の薬物や化学物質に対する各個人への曝露及び蓄積許容量を一定以上超えると引き起こされるとされており、解毒、代謝等の各個人の差も関わっているといわれている。化学物質の摂取及び蓄積許容量と同様に、発症原因および症状、その進行・回復速度や度合いも多種多様であるといわれる。一度発症すると発症原因となった化学物質に類似した化学構造の成分にまで症状が広がるケースが多く、症状を発する対象化学物質が雪だるま式にどんどん増加し、普通の生活が送れなくなるケースもあるため、多種化学物質過敏症または本態性環境不耐症とも呼ばれる。化学物質過敏症は、標準病名マスターに登録され、基本分類コード、ICD-10のT65.
乳塩基性タンパク質: これまでの研究では、MBPに含まれるタンパク質成分は、牛乳アレルギーのある被験者に対してアレルギーのリスクを高めたり、他のアレルギーのある被験者に対して交差反応を起こしたりする可能性は低いと結論づけられている。しかし、アメリカ合衆国および欧州連合では、MBPは乳アレルゲンを含まないとは判断していない。そのため、MBPを原材料として含む製品には、アメリカ合衆国および欧州連合が定めた食品表示ガイドラインに基づき、乳を含むことを明記し、消費者に注意を促すことが義務付けられている。
NAET (ナムブドゥリパッドアレルギー除去療法): 主要な診断アプローチであるアレルゲン特定するための「筋応答」というテストは無意味であり、存在しない問題を診断しようとしているのは確かだ。存在しない食物アレルギーに基づく食事制限の勧めは患者を栄養失調にさせる危険性が高く、それが子どもの場合は社会的な問題になりかねず、摂食障害になる危険性すらある」と批判している。なお、NAET側の論文としては、デビ・S・ナムブドゥリパッドらによる「自閉症の発症や症状の主要な要因として食物や環境物質に対するアレルギーがある」という仮説に基づく対照群をとった自閉症研究、NAETの研究団体 Nambudripad’s Allergy Research Foundation(NARF)の所長でデビ・S・ナムブドゥリパッドの息子である医師のロイ・ナムブドゥリパッドによる、経口負荷試験を含むピーナッツアレルギー症例報告がある。
花粉症: 公害とみなす動きもある(詳細は環境要因の節を参照)。
アレルギー: 受容体に対する自己抗体が産生され、その自己抗体がリガンドと同様に受容体を刺激することで、細胞から物質が分泌され続けるために起こるアレルギー。基本的な機序はII型アレルギーと同じであり、刺激性という点だけが異なる。代表的疾患はバセドウ病。遅延型過敏反応(delayed type)は上述の通り、感作T細胞から放出されたサイトカインにより誘発されるIV型アレルギー反応であり抗体に依存しないのに対し、遅発反応(late response)はアルゲン負荷後数時間を経てマスト細胞とIgE抗体に依存して誘発されるI型アレルギー反応である。
アレルギー: アレルギーは、その発生機序により大きく I から V 型に分類される。IgEというタイプの免疫グロブリンが肥満細胞(マスト細胞)や好塩基球という白血球に結合し、そこに抗原が結合するとこれらの細胞がヒスタミン、セロトニンなどの生理活性物質を放出する。これにより、血管拡張や血管透過性亢進などが起こり、浮腫、掻痒などの症状があらわれる。この反応は抗原が体内に入るとすぐに生じ、即時型過敏と呼ばれ、アレルギー性鼻炎、気管支喘息、蕁麻疹等の症状を伴う。また、反応が激しく、全身性のものをアナフィラキシーと呼び、さらに急速な血圧低下によりショック状態を呈したものをアナフィラキシーショックという。また、この種のアレルギー症状は、10分前後で現れてくる。代表的な疾患としては、蕁麻疹、PIE症候群、食物アレルギー、花粉症、アレルギー性鼻炎、気管支喘息、アトピー性皮膚炎、アナフィラキシーショックがあげられる。
食物依存性運動誘発性アナフィラキシー: 食物依存性運動誘発性アナフィラキシー(しょくもついぞんせいうんどうゆうはつせいアナフィラキシー、FDEIA:Food-Dependent Exercise-Induced Anaphylaxis)は、アスピリン薬剤・食物・運動の複合要因でアレルギー反応を起こす病態である。小、中、高校生の1万人に1人程度の割合で発生しているとのこと(2006年調査)で、頻度は低くない。
アレルギー: 医学の父と呼ばれるヒポクラテスが「牛乳が嘔吐、下痢、じんま疹を起こす」という言葉を残し、食物アレルギーついて記述がある。戦後にアレルギーが増加した理由は工業化の大気汚染や人工的なスギの植林も影響している。最近では先進国で患者が急増しており、日本における診療科目・標榜科のひとつとしてアレルギーを専門とするアレルギー科がある。
ゼラチンアレルギー: ゼラチンが混入しているもの (例)グミ、ベーコン、マシュマロ、ゼリー、注射液安定剤など。
抗酸化物質: 酸化ストレスはアルツハイマー型認知症、パーキンソン病、糖尿病合併症、関節リウマチ、運動ニューロン病による神経変性など広範囲の病気の進行に寄与していると考えられている。これらの多くの場合において、酸化物質が病気の要因になっているのか、それとも病気と一般的な組織の損傷から二次的に酸化物質が作り出されているのか、不明確である。しかし、心血管疾患については酸化ストレスが関連していることがよく分かっている。低比重リポタンパク質(LDLコレステロール)の酸化がアテロームの発生を誘発し、それがアテローム性動脈硬化症となり、最終的には心臓血管の疾患に繋がるのである。またフリーラジカルと DNA損傷の関連より、癌に対する抗酸化物の予防効果についても研究されている。
口腔アレルギー症候群: 口腔アレルギー症候群(こうくうアレルギーしょうこうぐん、OAS:oral allergy syndrome、あるいは花粉食物アレルギー症候群と呼ばれている)とは、未調理の果物、生野菜、スパイス、ナッツ類によって引き起こされる食物アレルギーの一種である。最も一般的な症状は、口やのどのかゆみで、それは食物が口に入った途端にはじまる。
蕁麻疹: 蕁麻疹を伴うアレルギー反応のうち、特異的な病態を示すものを列挙する。
比例: 以下で、x と y が正比例し、比例係数は k であるとする。y が x の逆数に比例する、つまりのとき、y は x に反比例するという。このとき同時に、x は y に反比例するともいえる。y が x の自乗に比例する、つまりとき、y は x に自乗比例するという。y が x の指数関数に比例する、つまりとき、y は x に指数比例する、x は y に対数比例するという。ただし逆に、y はx に対数比例する、x は y に指数比例するということもある。
比例: 比例(ひれい、英: proportionality)とは、変数を用いて書かれる二つの量に対し一方が他方の定数倍であるような関係のことである。
比例: 変数 x と y が 0 でない定数 a を用いてと書かれるとき、y は x に比例する、または正比例(せいひれい、directly proportional)するという。を比例定数(proportionality constant) という。特に比例定数 a の具体的な値に言及する必要の無いときなどはと、比例記号 ∝(U+221D)を用いて書くこともある。y が x に比例しているときに x を y に関する式で表せばとなる。つまり y が x に比例するとも x が y に比例するとも見ることができる。また、後者の比例係数は 前者の比例係数の逆数となる。比例関係は同値関係の一つである。
二項関係: 同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうでない。二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。二項関係は n-項関係 R ⊆ A1 × ⋯ × An(各 j-番目の成分が関係の j-番目の始集合 Aj からとられているような n-組からなる集合)で n = 2 とした特別の場合である。ある種の公理的集合論では(集合の一般化としての)類の上の関係を考えることができる。
二項関係: 二項関係 R は通常、任意の集合(または類)X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。
三角数: 三角数を2倍した数を矩形数(くけいすう)という。矩形数とは、縦と横で並ぶ点の個数を 1 だけ違う長方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。三角数と同様に四角数(しかくすう)も定義される。これは、正方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。これは平方数に等しい。
反射関係: 反射関係(はんしゃかんけい、英: reflexive relation)は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと無反射性 (irreflexivity) のものがある(無反射性の事を非反射性とよぶ文献もある)。なお、ここでの(二項)関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。
逆関係: 数学における二項関係の逆関係(ぎゃくかんけい、英: converse relation)は、関係(のグラフ)に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「~の子である」という関係の逆関係は「~の親である」という関係である。
倍: double、triple、quadruple は n 倍を表す倍数詞である。数学などでは主に n 個を組とする表現や n 個重なっている(n 重)という表現(例:二個重ねを指す場合は double)として使用されることが多い。triple 以 降は n 個を組や n 個が重なるとする場合、n -tuple(n の部分はラテン語を由来とする数を表す接頭辞)をつなげて一部形を変化させた表現となり、倍数詞でも n 倍を表すとき同様に表現できる。
倍: 倍(ばい)は、数学上の概念であるが、その定義は東洋数学と西洋数学では異なっている。
逆数: 逆数(ぎゃくすう、英: reciprocal)とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。すなわち、数 x の逆数 y とは次のような関係を満たす。通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x のように表される。1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元(じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse)の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、(0 ≠ 1 であれば)0 に対する逆数は存在しない。また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。
三次関数: 数学における三次関数(さんじかんすう、英: cubic function)とは、単に次数 3 の多項式函数との意味であって、しかし多くの場合にはより限定的な意味に解して、実(英語版)一変数(英語版)の実数値函数を考える。すなわち、実数体 R 上の多項式に対して、不定元への代入によって定められる函数という意味において、(a, b, c, d は実数の定数で a ≠ 0)なる形の三次多項式の定める函数 f: R → R である。
倍数性: 倍数性とは、ゲノムを何セット持つかを示す概念である。ゲノム1セットに相当する染色体数を基本数といい、x(まれに b)で示す。倍数性は基本数の倍数で x, 2x, 3x, ... のように表され、それぞれ一倍性(半数性: monoploidy, haploidy)、二倍性 (diploidy)、三倍性 (triploidy)、... という。それらの倍数性の生物(倍数体)は、それぞれ一倍体(半数体)、二倍体、三倍体、... という。例えば、基本数が 9 (x = 9) の四倍性 (4x) の倍数体生物がいるとすると、その生物の体細胞 (2n) における染色体数は、「2n = 4x = 36」「2n = 36 の四倍体」などと示される。動物の場合、特殊なものを除いてほぼ全てが二倍体 (2x) であり、二倍体であることを強調したい場合でない限り、「2x =」という表現はされない。
関数 (数学): また、媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数 t を導入してと表すことができるが、これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。
推移関係: 推移関係(すいいかんけい、英: Transitive relation)は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。
対称式: において、x と y を入れ替えた式は、元の f(x,y) とは全く変わらない多項式である。このように、変数を入れ替えても変わらない多項式のことを対称式という。似たようなものに交代式がある。交代式はのように、変数を入れ替えると、もとの式と符号が変わるという性質を持つ式である。符号が変わるだけなので、偶数個の交代式の積や、交代式を 2 乗した式などは対称式となる。例えば任意の対称式は、基本対称式の多項式で書ける。例えばこういった対称式の概念は、 2 変数に留まらず、3 変数以上の多項式にも拡張される。例えばは、それぞれ、3 変数と 4 変数の対称式であり、どの 2 つの変数を入れ替えても、元の多項式と変わらない式である。
推移関係: 例えば「AはBより大きい」「AはB以上である」「AはBと等しい」といった関係は推移関係である。例えば、a = b でかつ b = c であれば、a = c が成り立つ。一方、「AはBの母である」は推移関係ではない。アリスがブレンダの母で、ブレンダがクレアの母だった場合、アリスがクレアの母であるとは言えない。推移関係の例として以下のものがある。「AとBは等しくない」は非推移関係の例である(集合に少なくとも2つ以上の元がある場合)。
根と係数の関係: x についての二次式の根を x = α, β とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較すると初等数学において、因数定理や代数学の基本定理を習っていない場合、二次方程式の解の公式から解と係数の関係を導くという方法がとられることがある。x についての三次式の根を x = α, β, γ とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較するとが三次の場合として成り立つ。x についての四次式の根を x = α, β, γ, δ とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較するとが四次の場合として成り立つ。5次以上の多項式には根の公式は存在しない(アーベル-ルフィニの定理)が、同様に根と係数の関係が成り立つ。
相関: 相関(そうかん 英:correlation)とは、一方が変化すれば他方も変化するように相互に関係しあうことであり、数学や物理学においては二つの変量や現象がある程度相互に規則的に関係を保って変化することをいう。因果性はあっても無くても構わない。広義には、統計的に何らかの関連性があることを言うが、実際には二変数における線形性相関の程度を指す。例えば「親の身長が高いほうが子供の身長も高い」「勉強時間が長いほうがテストの成績も上がる」などの傾向が身近な相関現象である。相関は、実践で活用できる予測的な関係性を示してくれるため実用性がある。例えば、電気事業者は電力需要と天候との相関関係に基づいて、過ごしやすい気温の日には電力を少なめに発電したりもする。この例では、猛暑や厳寒といった極端な天候は人々が大量に電気を使う原因となるため因果関係にあたる。
等式: このように、相等性は反射律、対称律、推移律を満たすため、相等性は同値関係の一種であり、また「相等性とは代入原理を満足する同値関係のことである」と言っても(冗長だが)定義と同じことである。等式は数学において最も基本的な同値関係を与えるものであると見ることができる。ここで、見かけ上異なるものが等しいものを表したり、表記の都合などから見かけ上同じに見えるものが別の対象を指し示したりすることがあるため、何かが等しいというためには各辺にどのような対象をとるか、対象が何者であるかということを明確にしなければならないということを意識する必要がある。場合によっては相等といわず、同値、同型、合同などと呼んで、等号の代わりにそれぞれ特有の記号を用いることもある。代入原理はもう少し一般に、対象 ai, bj が、
量: 一般に同じ種類の量同士の間では和と差の演算が定義でき、結果は同じ種類の量になる。異なる種類の量同士の和や差には意味がない。同じ種類の量同士でも異なる種類の量同士でも積や商が定義できることがあり、その結果は演算した量のどちらとも異なる種類の量になる。例えば長さ同士の積は面積であり、長さの時間による商は速さである。このように異なる種類の量同士の間に特定の関係式が成り立つことがあるが、そのような関係式の解析は次元という概念を使うと簡単になることがある。量の次元とは、相異なる量の間の関係式から具体的数値を無視して量の種類とそのべき乗だけに着目した概念である。具体的には定数係数を無視した等式として、次元の関係式を表す。すなわち、量 q の次元を[ q ]と表せば、以下のようないくつかの次元の関係式が例示できる。
関数 (数学): 二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則(x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する)が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列(特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い)を使って y = f (x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f (a) と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この f (x) という表記法は18世紀の数学者オイラーによるものである。
二変数関数: z=f(x,y)で、ただ1つのzが求まれば、二変数関数であると言える。例えば、f(x,y)=xy⇒f(2,3)=f(3,2)=6といった具合である。二変数関数のグラフは空間になる。縦がy、横がx、高さがz=f(x,y)とするのが慣例である。
二変数関数: 二変数関数(にへんすうかんすう、Bivariate_function)とは、2つの数の組に対して、ただ1つの数が求まる関数をいう。x、y、zを変数とすると、z=f(x,y)となる。
相関: ただし一般には、相関があっても因果関係があるとは言い切れない(すなわち相関関係は因果関係を含意しない)。本質的に相関とは、2つ以上の変数が互いにどの程度関わり合っているかの尺度である。幾種類かの相関係数があり、多くの場合 ρ {\displaystyle \rho } または r {\displaystyle r} で表記される。統計学では、主に二変数の線形性相関に着目して関係性の強弱を係数で表しており、その最も一般的な尺度がピアソンの積率相関係数である(より堅牢なスピアマンの順位相関係数などは非線形相関にも対応する)。
相関係数: 相関係数は、あくまでも確率変数の間にある線形な関係の尺度に過ぎない。また、確率変数間の因果関係を説明するものでもない。相関係数は順序尺度であり比尺度ではないので、例えば「相関係数が0.2と0.4であることから、後者は前者より2倍の相関がある」などと言うことはできない。しばしば、相関があるという表現が、あたかも因果関係を示しているかのように誤解あるいは誤用される。2つの変数(A,B)間に相関が見られる場合、偶然による相関を除けば、次の3つの可能性が想定される(相関と因果の違いに関する誤解・誤用において目立つのは、3番目の場合である)。因果的な効果の推定ににあたっては、単に相関を見るだけでは分からない。ジューディア・パールやドナルド・ルービンなどによってまとめられてきた統計的因果推論などに則った調査研究を実施する必要がある。
二次形式: 数学における二次形式(にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式はの形である(x, y が変数)。二次形式は数学のいろいろな分野(数論、線型代数学、群論(直交群)、微分幾何学(リーマン計量)、微分位相幾何学(四次元多様体の交叉形式)、リー理論(キリング形式)など)で中心的な位置を占める概念である。
偶奇性: 数学における偶奇性(ぐうきせい、英: parity; パリティ)とは、ある対象を偶(ぐう、英: even)と奇(き、英: odd)の二属性のいずれか一方に排することである。しばしば、ふたつ(以上)の対象に対して、それらの偶奇性が一致しないことを以って、それらが相異なるということの理由付けとするというような議論に用いられる場合がある。同様の性質を示す概念に「正負」があるが、正負には(しばしば特異なものを表す)零(0)をあわせた三属性とする場合もある。
二項関係: 定義から、グラフ G がまったく同じになるような関係があっても、始集合 X や終集合 Y が異なれば、それらは相異なる別の関係である。たとえば G = {(1,2), (1,3), (2,7)} を共有する三つの関係 (Z, Z, G), (R, N, G), (N, R, G) はそれぞれ異なる関係を表す。ただし、関係の定義に始集合 X や終集合 Y を考慮しない流儀も一般的である。この場合、二項関係とは X × Y の部分集合であるグラフ G そのものをいうのに相違ない。このような立場では、対の集合{(1,2), (1,3), (2,7)} は {1, 2} を含む任意の始集合から {2, 3, 7} を含む任意の終集合への関係を表す。この差異を、関係の特別な場合として写像の概念に適用する場合を考えよう。
双対問題: 双対問題(そうついもんだい、英: dual problem)とは、数学において、最適化問題における主問題(英: primary problem)の補問題を指す。どちらか一方の解法が両方の問題の解法となる。
0.999...: 初等的な証明の中で 0.333... = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999... = 1 であることを容認できない生徒に受け入れさせるための、最も有効な手段であるかのように見える。しかしながら、第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める者も現れるし(後述も参照)、または単に不満を抱くだけの生徒もいる。これより簡潔で有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999... を含めてさらに進んだ数学の結果に驚いたとしても、なお直観的な想像に頼ってしまうことがある。例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333... = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算の理解に基づいて 0.999... < 1 であると主張した。別の生徒は、1/3 = 0.333.
互いに素: 互いに素とは、数学の複数分野で使われる用語である。
複偶数: 複偶数(ふくぐうすう、英: doubly even number)または全偶数(ぜんぐうすう)とは、2で割った数が偶数となる数である。4の倍数。複偶数でない偶数を単偶数(または半偶数)と呼ぶ。
相関関係と因果関係: 相関関係と因果関係(そうかんかんけいといんがかんけい)では、相関関係と因果関係の関わりについて解説する。相関関係があるだけでは因果関係があるとは断定できず、因果関係の前提に過ぎない。「相関関係は因果関係を含意しない」は、科学や統計学で使われる語句で、2つの変数の相関が自動的に一方がもう一方の原因を意味するというわけではないことを強調したものである(もちろん、そのような関係がある場合を完全に否定するものではない)。全く逆の言葉である「相関関係は因果関係を証明する」は誤謬であり、同時に発生した2つの事象に因果関係を主張するものである。このような誤謬は虚偽の原因の誤謬と呼ばれる(ラテン語では「Cum hoc ergo propter hoc.」、直訳すると「それとともに、そしてそれ故に」)。前後即因果の誤謬は、2つの事象に順序関係があることが前提であり、「虚偽の原因の誤謬」の一種である。
累乗数: m, n のいずれかを固定した場合には、Schinzel と Tijdeman の一般的な不定方程式 y = P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関する Shorey と Tijdeman の結果から従う。3, 7, 8, 15, ... など、1 を除く累乗数から 1 を引いた数の逆和は、1 になる。すなわち、である。これは、ゴールドバッハ・オイラーの定理と呼ばれている。
二次関数: 次数が2の多項式によって定義される関数のことを x を独立変数とする二次関数という。特に b = c = 0 のときは、「二乗に比例する関数」とも言う。上記の標準形では、二次関数の頂点の座標は一般的に ( x , y ) = ( − b 2 a , − b 2 − 4 a c 4 a ) {\displaystyle (x,\,y)=\left(-{\frac {b}{2a}},\,-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)} となる。の形に表された二次関数を一般形(いっぱんけい、standard form)という。式変形によって一般形に変形できる関数も二次関数と呼ばれ、特にの形の二次関数を標準形(ひょうじゅんけい、vertex form)といいの形の二次関数を因数分解形(いんすうぶんかいけい、factored form)もしくは単に分解形という。
乗法定理: 数学におけるガンマ函数関連の特殊函数の乗法定理(じょうほうていり、英: multiplication theorem)は、それぞれの函数が持つある種の恒等式を言う。特にガンマ函数の場合、明示的に値の積に関する等式が与えられるのでこの名がある。これら様々な関係式の根底には同じ原理が横たわっている。つまり一つの特殊函数に対する関係式は他の特殊函数の関係式から導き出すことがでるということであり、またそれは単に同じ等式の別の顔が現れたものと言うことである。
完全関係: 完全関係(英: Total relation)とは、数学における二項関係の一種。集合 X における二項関係 R が「完全」であるとは、X に属する全ての a および b について、aRb かbRa が成り立つ(あるいは両方成り立つ)ことをいう。数学的に記述すると次のようになる。これには反射関係が含まれる点に注意されたい。例えば、「- 以下」という関係は実数の集合において完全関係である。なぜなら、任意の2つの実数を選んだとき、前者が後者以下となるか、後者が前者以下となるかのどちらかが必ず成り立つからである。一方、「- 未満」は完全関係ではない。同じ数を選んだとき、両者には「- 未満」という関係は(どちらの順序でも)成り立たないためである。順序関係については、詳しくは順序集合を参照されたい。「(A は B の)真部分集合である」という関係も完全関係ではない。
三角形: ある2つの三角形について、以下の条件のうち1つでも満たしていれば、その2つの三角形は相似である。「三辺比相等」については、三角形の3辺の連比が等しいことを指す場合もある。よりこれらは同値である。ただし、日本の初等中等教育においては、3連比を導入していない段階では、この表現は避けられることがある。特に、正三角形、直角二等辺三角形は、3つの内角の組が一定であるから、それぞれが互いに相似である。
倍数性: 倍数性を、しばしば n, 2n, 3n, 4n, ... のように表現することがあり、生物学の教科書などでもこのような表現をしている場合があるが、これは誤りである。n と 2n は、生物体またはその細胞の核相を示すものである。n と 2n は、それぞれ単相世代、複相世代であることを示す(生活環を参照)ものであり、核相と倍数性の表現で直接的な関連はない(2n の 2 は、2倍体の 2 と関係ない)。染色体数の「n = ・・・」「2n = ・・・」という表現は、あくまで「どの核相の細胞における染色体数であるか」を示すものであり、たとえ半数体生物や3倍体生物でも、体細胞における染色体数は「2n = ・・・」、配偶子細胞における染色体数は「n = ・・・」で表す。生物の核相は基本的に単相か複相のどちらかであり、3n, 4n, ...
多項式の次数: 多元多項式に対して、項の次数(全次数)はその項に現れる各不定元の冪指数の「和」で与えられる。その上で多項式の次数とは、やはりその多項式に現れる全ての項の次数のうちの最大のものと定義される。例えば、多項式 xy + 3x + 4y の次数は 4 で、これは項 xy の次数である。しかし、二つの不定元 x, y に関する多項式は、y に関する多項式を係数とする x に関する多項式と見ることも、x に関する多項式を係数とする y に関する多項式と見ることもできる。は x に関して次数(偏次数)3 および y に関して次数 2 の多項式である。
双対: 与えられた圏において、圏の対象を共有し射の向きを逆にして得られる新たな圏を、もとの圏の双対圏という。また、ある圏の対象と射からなる図式で射の向きを逆にしたものをもとの図式の双対であるという。圏では図式を用いて種々の概念や対象を定義することが多いが、そのそうな概念に対し、対応する双対図式で定義される概念をもとの概念の双対概念と呼ぶ。たとえば「直積と直和」や「極限(逆極限)と余極限(直極限)」は互いに双対な概念である。
直角三角形: この設定の関係から元の三角形と相似になる設定とその算出値およびその比を求めていくとなどがあり、この設定の関係を利用しても三辺の長さが整数で互いに相似である直角三角形を無限に求め出せることが自然に成り立つ。 (各回ごとに隣辺(ここでは直角をはさむ2辺の意)の長さの比が交換され、3回目以降はmとnの和と差がそれぞれ2回前のものの2倍となっている。)互いに相似となる三辺の長さが整数の直角三角形の生成例の図において、 青の長方形の各辺の長さを整数とすれば、その長辺と短辺の和と差で辺が構成される緑の長方形の各辺の長さも整数となり、青と緑の長方形が互いに相似となることはない が、青と緑の長方形から同様の手順で生成される直角三角形(黄と赤)は互いに相似となる。素数のうち、2のみが偶数であり、他の素数が奇数であることに着目すれば、条件を、とし、辺の長さを求めだす式をそれぞれ
位相共役性: 数学において、二つの函数が互いに位相共役(いそうきょうやく、英: topologically conjugate)であるとは、一方を他方へ結びつける同相写像が存在することを言う。位相共役性は、反復函数の研究やより一般に力学系において重要となる。なぜなら、ある反復函数のダイナミクスが明らかにされれば、位相共役な任意の函数のそれも明らかになるからである。この事実を直接的に表現すると次の様になる:f と g は反復函数とし、を満たすある h が存在するとする。すなわち、f と g は位相共役である。このとき、当然が成り立つので、反復函数同士も同様に位相共役となる。ここで ∘ {\displaystyle \circ } は函数の合成を表す。
同値関係: X 上の同値関係 ~ が与えられたとき、X の元に関する性質 P が x ~ y なるとき常に P(x) ならば P(y) を満たすならば、性質 P は同値関係 ~ のもとで well-defined であるとか、各同値類上で不変 (class invariant; 類不変) であるなどという。そのようなものとしてよくあるのが、写像 f: X → Y で、x1 ~ x2 ならば f(x1) = f(x2) なるときである。この場合、f は各同値類上で定数 (class invariant under ~)、あるいは ~ のもとで不変 (invariant under ~), より短く ~-不変などという。このようなものは例えば有限群の指標論などで見かけることができる。また、このような写像の性質を可換三角図式として書き表すことができる(不変量なども参照)。
双対グラフ: したがって、平面グラフが単純である条件はその双対が1辺または2辺のカットセットを持たない場合に限る。つまり、3辺接続となる。単純平面グラフの双対が単純な場合、これは3辺連結単純グラフとなる。このクラスのグラフは、3頂点結合単純平面グラフを含むが、必ずしもそうではなく、たとえば、自己双対グラフを示す図は3辺接続だが(したがって、その双対は単純である)が、3頂点接続ではない。双対グラフは特定の埋め込みに依存するので、平面グラフの双対グラフは、同じ平面グラフが同型でない異なる双対グラフを持つことができるという意味で一意ではない。図では、青いグラフは同型だが、その双対の赤いグラフはそうではない。下の赤いグラフはすべての次数が6未満であるのに対し、上のグラフは次数6の頂点を持つ。(青いグラフの外側の面に対応する)。
ベクトル空間の双対系: 同じ体 K 上の二つのベクトル空間(あるいはより一般に可換環 K 上の加群)X, Y および双線型形式 ⟨⟩: X × Y → K からなる三つ組 (X, Y, ⟨⟩) が双対対であるとは、を満たすときに言う。またこのとき、双線型形式 ⟨⟩ は X と Y との間に双対性を定めると言う。
因果性: 因果性(いんがせい、英: causality、コーザリティ)とは、2つの出来事が原因と結果という関係で結びついていることや、あるいは結びついているかどうかを問題にした概念である。日本語では「因果関係」という表現も用いられる。
双対: 電磁気において、静的な電気と磁気(電場と磁場)には双対性が現れる。すなわち、片方についてのある公式が成り立つとき、他方についても類似した公式が成り立つ。電磁気の双対性の起源をたどると、最終的には特殊相対性理論にゆきつく。即ち、電場と磁場はローレンツ変換によって密接に結びついている。電気工学においても、数々の双対性が成り立っている。双対関係は数式中の電圧と電流を入れ替えることによって得ることができる。また、双対性が成り立つ理由の一部は電気と磁気の双対性に遡ることができる。以下は電気工学における主な双対の例である。
直和: 数学における直和(ちょくわ、英: direct sum)は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合(内部直和、構造的直和)と、そのようなものを仮定しない場合(外部直和、構成的直和)を区別することができる(場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる)が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和(あるいは双積)の普遍性によって捉えることができる。直和を表すのに用いられる記号には ⊕ , ∐ {\textstyle \oplus ,\coprod } などがある。
運動の第3法則: 運動の第3法則(うんどうのだいさんほうそく、英: Newton's third law)または作用・反作用の法則(さよう・はんさようのほうそく、英: law of action and reaction)は、二つの物体が互いに力(作用)を及ぼす場合、両者は向きが反対で大きさが等しいと主張する経験則である。また、一方だけが他方へ力を及ぼすことはなく、必ずその反作用が存在することを主張する。2個の質点 A と B があり、互いに力を及ぼすとき、質点 A が質点 B から受ける力 F → A B {\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {AB} }} (作用)と質点 B が質点 A から受ける力 F → B A {\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {BA} }} (反作用)は、大きさが等しく向きが反対である。すなわち、
反作用: 古典力学のニュートンの運動法則の3番目で説明されているように、全ての力はペアになって生じ、1番目の物体が2番目の物体へ力を及ぼすと、2番目の物体は最初の物体に等しい反対の力を及ぼす。第3法則はより一般的には「全ての作用に対して、常に等しい反作用が存在する。また、2つの物体の相互作用は常に等しく、反対向きである」という。どちらを作用とし反作用とみなすかは任意である。2つのうちいずれかを作用と見なすことができるが、もう1つは関連する反作用である。
対応 (数学): 二つの対応 f: A → B と g: C → D が相等しい: f = g とは、順序三つ組としての相当をいう。これは、始域、終域を共有し、始域の各元の像が常に等しいこと、すなわち集合として A = C, B = D であって、なおかつどんな a ∈ A (= C) に対しても、f(a) = g(a) を満たすことである。なお、終域を重視しない立場もあり、その場合はグラフの相等 G(f) = G(g) を以って対応の相等 f = g と定める。f = g となるための必要十分条件は dom(f) = dom(g) かつ a ∈ dom(f) ならば f(a) = g(a) を満たすことであり、また、(dom(f), ran(f), G(f)) と (dom(g), ran(g), G(g)) が順序三つ組として相等であることである。
対応 (数学): 対応 f: A → B が与えられているとき、A の元 a と B の元 b に対して a Rf b ⇔ (a, b) ∈ G(f) と置いて得られる Rf は二項関係である。逆に二項関係 R ⊂ A × B が与えられたとき、a ∈ A に対して、f(a) = {b | a R b} を割り当てる対応 fR: A → B が定まる。直積の部分集合をグラフとして定まるという意味では、対応は二項関係と同じ概念を表すものと考えることができるが、対応というときはある集合から別な集合へ元を写すというニュアンスが強い。例えば、対応 f: A → A に対して、a ∈ f(a) となるような A の元 a を対応 f の不動点という。
二項関係: X と Y 上の二項関係の左制限 (left-restriction) あるいは右制限 (right-restriction) はそれぞれ、その始集合あるいは終集合の部分集合 S に対して、その関係に属する対 (x, y) でそれぞれ x あるいは y が S の元となっているようなもの全体として得られる関係をいう。
二項関係: n-元集合上の相異なる二項関係の総数は 2 であるオンライン整数列大辞典の数列 A002416。二項関係の全体は、ある関係とその補関係の対に分けることができる(ただし n = 0 のときは関係はその補関係と一致するので除く)。非対称関係の全体は、ある関係、その補関係、その逆関係、その逆補関係の四つ組に分けることができる。
3乗剰余の相互法則: 数学、特に初等整数論・代数的整数論において、3乗剰余の相互法則(さんじょうじょうよのそうごほうそく、英: cubic reciprocity)とは、合同式 x ≡ p (mod q) が解けるための条件を提示する、一連の定理群のことである。ここで「相互法則」という単語は、以下に提示する主定理に由来する。
2の補数: 2の補数を用いて二進数を負の整数に対応づけられる。2の補数の定義より、n 桁の二進数 x とその補数 xc は以下の関係を満たす:冪 2 の倍数を 0 と同一視すれば、上記の関係は以下のように解釈できる:これは x の補数 xc を x の反数 −x と見なすことを意味する。
二項係数: 階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k を正整数、n は任意としてが成り立ち、また少しの計算でが得られる。さらに言えば以下の結果は有用である。例えば定数 n に対して以下の漸化式を得ることができる。は等式 (∗) において x = 1 かつ y = 1 とすれば得られる。これはパスカルの三角形の各行において現れる全ての数を足し合わせれば 2 の整数冪になると言っても同じである。この事実の組合せ論的解釈は二通りに数える論法(英語版) (double counting) で n-元集合 S の位数 i (i = 1, 2, ..., n) の部分集合を数えることである。任意の位数 i に対する部分集合を数えているのだから、その和は S の部分集合の総数に等しく、それが 2 であることはよく知られている。
非対称関係: 非対称関係(英: Asymmetric relation)とは、対称的でない二項関係を意味する。場合によっては、次のような狭い意味の定義をされることがある。X における関係 R が非対称であるとは、X の属する全ての元 a および b について、a から b への関係が成り立つときは b から a への関係が成り立たない場合である。数学的に表すと次のようになる。この意味の非対称関係は、反対称的であると同時に非反射的である。推移関係では、非対称性と非反射性は等価である。この場合の非対称性は上の狭い意味の定義を包含するが、逆は成り立たない。空の関係は、後者の意味で非対称であると同時に対称でもある。
絶対値: 数学における実数 x の絶対値(ぜったいち、英: absolute value)または母数(ぼすう、英: modulus)|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = −x(このとき −x は正)であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり −3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ(英語版) (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。
相関関数: 物理学において相関関数(そうかんかんすう、英: correlation function)は、2つの物理量の間の相関を表す量である。様々な分野に登場する極めて広い概念であり、問題設定に応じて定義も僅かに異なる。
対数: 三角関数において例えば (sin x) の意味で sin x と書くのと同様に、対数関数に対しても、2 以上の整数 n に対して log x という表記が使われることがある。
加法定理: また、指数法則の一つである指数関数の加法定理 exp(x + y) = exp(x)exp(y) などは加法が乗法に写るような加法定理である。
3j記号: 3j記号の対称性は、クレブシュ-ゴルダン係数よりも便利である。3j記号は、列の偶置換に対して不変である。奇置換では、位相因子が現れる。量子数mの符号の反転に対しても、位相因子が現れる。
平面における直線の標準形: は、全ての変数や定数が相殺されて消えてしまうもので、常に成立する自明な関係式である。これはつまり、もとの方程式は恒等式と呼ぶべきであり、この方程式のグラフはふつう考えない(考えるとすれば今の場合は xy-平面全体である)。たとえば 2x + 4y = 2(x + 2y) は見かけ上二変数の一次方程式だが、等号で結ばれた各辺の数式は x や y の値をどのように定めようとも「常に」等しい。も見かけ上二変数の一次方程式からは現れうる。方程式を代数的な操作で変形していって 1 = 0 のような成立不能な式が導かれる場合に、もとの方程式は不能であるという。これは x や y をどのように与えても関係式が常に成立しないということであり、この場合もグラフを考えることはふつうしないが、かんがえるとすればそれは空集合である。たとえば 3x + 2 = 3x − 5 は一次不能方程式である。
ベズーの等式: また a, b は g の倍数だから、a = a'g, b = b'g と置いて、ax + by = (a'x + b'y)g となり、S の要素は g の倍数である。 特に h ∈ S も g の倍数だから h ≧ g。......212より h = g、すなわち、ax + by = g(g は a, b の最大公約数)を満たす x, y が存在する。
交代式: 以下、多項式は同じ変数 x1, ..., xn に関するものとして、対称多項式や交代多項式についてなどが成り立つ。これらの関係は、対称式を「偶」・交代式を「奇」と対応させたときの偶奇性の加法表と一致している。したがって、対称多項式全体の成すベクトル空間と交代多項式全体の成すベクトル空間との直和は超代数(英語版)(すなわち Z2-次数付き代数)を成し、その偶成分が対称多項式の空間・奇成分が交代多項式の空間になる。特に、交代多項式の全体は対称多項式環上の加群になる。実はこの加群は自由階数 1 の自由加群で、生成元として n-変数の差積がとれる。係数環の標数が 2 の場合は、交代多項式と対称多項式という二つの概念は一致する。
三体問題: 古典力学において、三体問題(さんたいもんだい、英: three-body problem)とは、互いに重力相互作用する三質点系の運動がどのようなものかを問う問題。天体力学では万有引力により相互作用する天体の運行をモデル化した問題として、18世紀中頃から活発に研究されてきた。運動の軌道を与える一般解が求積法では求まらない問題として知られる。
三角不等式: 数学における三角不等式(さんかくふとうしき、英: triangle inequality)は、任意の三角形に対してその任意の二辺の和が残りの一辺よりも大きくなければならないことを述べるものである。
同値関係: 整数全体のなす集合 Z に、a と b の差 a − b が 3 の倍数であるときまたそのときに限って a ≡ b という関係 ≡ を決めると、これは同値関係になる。この関係によって集合 Z が3つの同値類(この場合、剰余類 とも呼ばれる)に分割される。それぞれの同値類は 3 で割り切れるもの全体 [0]、1 余るもの全体 [1]、2 余るもの全体 [2] に対応している。この商集合は普通 Z/3Z と書かれて、自然に演算が定義できて、加法に関するアーベル群、さらに乗法をいれて可換環になる(剰余類環)。また p が素数のとき Z/pZ は体(有限体)になる。同様の例として、商線型空間(商ベクトル空間)、剰余群(剰余類群、商群)、剰余環(商環)、商位相空間などはそれぞれ適当な同値関係による商集合(に適切な構造を付与したもの)として定義される。
同値関係: ユークリッドの著『原論』にはという公理がある。今日において、上の公理の「等しい」という部分をすべて「関係する」と書き換えた性質を満足する関係はユークリッド的(英語版)であると言われる。二項関係 R に関して一般には aRb は bRa と相異なるから、ユークリッド関係もの二種類が考えられる。ユークリッド関係と同値関係との関係は以下のように述べることができる:証明は以下のようにすればよい。右ユークリッド関係についても同様。ゆえに、同値関係は反射的かつユークリッド的な二項関係として特徴づけられる。
二元数: 数学における二元数(にげんすう、英: binarion)とは、2次元の多元数、すなわち実数体上2次元の単位的結合多元環の元のことである。各二元数 x は適当な基底 {1, u} の実数係数の線型結合 x = a + bu (a, b ∈ R) の形に表される。多元環における積は双線型であるから、2つの二元数 x = a + bu, y = c + du に対してこれが再び二元数となる(つまり乗法について閉じている)ためには、u の平方が再び {1, u} の線型結合に書けることが必要かつ十分である。以下の3つは実二次元の単位的多元環である:実は二元数は本質的にこの3種しかないことが示される。
かけ算の順序問題: 2+2+2は2の3倍即ち2 × 3であって3の2倍即ち3 × 2ではないこれを同数累加という。」「2(リンゴの数)が被乗数,3(皿の枚数)が乗数でそれぞれちがう意味を持っている(立場が違う)から2 × 3と 3 × 2は同じではない 」などの主張をしたことが報告されている。1994年、心理学者の守一雄は伊藤武広ら(1993)の論文について、なぜ環と加群の知識が必要な素養なのか示されていないと批判する論文を出版した。このなかで、守一雄は教師の対応は十分だったと評価している。2001年7月24日教育課程部会(第2回)にて上野健爾(京都大学理学研究科教授)は特に今の教員免許状を取得する課程において、特に小学校、中学校において、専門の課程の勉強が少な過ぎると思うんです。
皿屋敷: 皿屋敷(さらやしき)は、お菊の亡霊が井戸で夜な夜な「いちまーい、にまーい... 」と皿を数える情景が周知となっている怪談話の総称。播州姫路が舞台の『播州皿屋敷』(ばんしゅう-)、江戸番町が舞台の『番町皿屋敷』(ばんちょう-、ばんまち-)が広く知られる。日本各地にその#類話がみられ、出雲国松江の皿屋敷、土佐国幡多郡の皿屋敷、さらに尼崎を舞台とした(皿ではなく針にまつわる)異聞(『尼崎お菊伝説』)が江戸時代に記録される。江戸時代、歌舞伎、浄瑠璃、講談等の題材となった。明治には、数々の手によって怪談として発表されている。大正、岡本綺堂の#戯曲『番町皿屋敷』は、恋愛悲劇として仕立て直したものである。