Ce livre renferme plusieurs théorèmes et plusieurs problèmes très curieux, et utiles à l'analyse géométrique. <br>Tels sont les théorèmes qu'Archimède a démontrés, et les problèmes qu'il a résolus. Aucun de ces théorèmes n'avait été démontré, aucun de ces problèmes n'avait été résolu avant lui. Bien différent en cela d'Euclide et d'Apollonius, qui n'ont guère fait que rassembler en corps de doctrine des matériaux épars; mais qui l'ont fait d'une manière admirable. <br>Archimède, pour démontrer ces théorèmes et pour résoudre ces problèmes, n'a employé que la Géométrie élémentaire, et les trois principes suivants : <br>1. Deux lignes qui sont dans un plan, et qui ont les mêmes extrémités, sont inégales, lorsqu'elles sont l'une et l'autre concaves du même côté, et que l'une est comprise toute entière par l'autre et par la droite qui a les mêmes extrémités que cette autre, ou bien lorsque l'une n'est comprise qu'en partie et que le reste est commun : la ligne comprise est la plus courte. <br>2. Pareillement lorsque des surfaces ont les mêmes limites dans un plan, la surface plane est la plus petite. <br>3. Deux surfaces, qui ont les mêmes limites dans un plan, sont inégales, lorsqu'elles sont l'une et l'autre concaves du même côté, et que l'une est comprise toute entière par l'autre et par le plan qui a les mêmes limites que cette autre; ou bien lorsque l'une n'est comprise qu'en partie et que le reste est commun : la surface comprise est la plus petite. <br>C'est à l'aide de ces trois principes, dont personne n'avait encore fait usage, qu'Archimède fit faire à la Géométrie des progrès dont toute l'antiquité fut étonnée, et qui excitent encore aujourd'hui toute notre admiration, Sans ces trois principes, il lui eût été impossible de faire aucune de ses sublimes découvertes, à moins qu'il n'eût fait usage de la considération de l'infini ; c'est-à-dire, à moins qu'il n'eût regardé une courbe comme étant un. assemblage d'une infinité de lignes droites, et un solide de révolution comme étant un polyèdre terminé par une infinité de surfaces planes, ou comme étant un assemblage d'une infinité de troncs de cône. Mais les Anciens étaient loin d'admettre de semblables suppositions, et aujourd'hui même on commence à ne vouloir plus les admettre, du moins dans les éléments de Mathématiques. Archimède n'a point cherché à démontrer les trois principes dont il a fait usage, parce qu'il est impossible de les démontrer, quand on ne veut pas faire usage de la considération de l'infini. Cependant Eutocius et dans la suite plusieurs autres Géomètres l'ont tenté, mais en vain. Pour démontrer, par exemple, que la somme de deux tangentes est plus petite que l'arc de cercle qu'elles embrassent, ces Géomètres font le raisonnement suivant : Partageons l'arc en deux parties égales, et par le point de division menons une tangente ; partageons les nouveaux arcs chacun en deux parties (égales, et par les points de division menons de nouvelles tangentes, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'arc soit divisé en une infinité de parties égales.