Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — physics, Θέμα C (7 μονάδες)

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους Α και μήκους κύματος λ, διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας σε ομογενές γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους που ταυτίζεται με τον οριζόντιο ημιάξονα Οx, προς τη θετική κατεύθυνση. Το κύμα παράγεται από πηγή στο σημείο Ο (x = 0), το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται με θετική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = 0 σύμφωνα με την εξίσωση y = A·ημωt. Το υλικό σημείο Ο διέρχεται 60 φορές το λεπτό από τη θέση ισορροπίας του. Κάποια χρονική στιγμή που το Ο βρίσκεται στην ακραία αρνητική του απομάκρυνση (y = −A), το υλικό σημείο Δ του ημιάξονα Οx, που απέχει από την πηγή οριζόντια απόσταση $x_\Delta=2{,}5$ m και έχει ήδη αρχίσει να ταλαντώνεται, βρίσκεται στην ακραία θετική του απομάκρυνση (y = +A). Την ίδια στιγμή, μεταξύ της πηγής (x = 0) και του Δ υπάρχουν δύο υλικά σημεία που βρίσκονται στην ακραία θετική τους απομάκρυνση (y = +A). Από τη στιγμή t = 0 μέχρι τη στιγμή που το κύμα φτάνει στο Δ, το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το υλικό σημείο στη θέση x = 0 είναι ίσο με 2 m.
Γ1. Να υπολογίσετε α) την περίοδο Τ (μονάδες 2), β) το μήκος κύματος λ (μονάδες 2), γ) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος (μονάδα 1) και δ) το πλάτος Α της ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου (μονάδες 2).

Απάντηση:
α) Κάθε σημείο περνά από τη θέση ισορροπίας του 2 φορές ανά περίοδο· 60 διελεύσεις το λεπτό σημαίνουν 30 ταλαντώσεις σε 60 s, άρα f = 0,5 Hz και T = 2 s. β) Στο περιγραφόμενο στιγμιότυπο (Ο στο −A, Δ στο +A, με δύο ενδιάμεσα σημεία στο +A) η απόσταση ΟΔ αντιστοιχεί σε 2,5 μήκη κύματος: $x_\Delta=2{,}5\lambda\Rightarrow\lambda=1$ m. γ) $v=\lambda f=0{,}5$ m/s. δ) Ο χρόνος διάδοσης έως το Δ είναι $t_{Ο\Delta}=\dfrac{x_\Delta}{v}=5$ s $=2{,}5T$. Σε κάθε περίοδο το Ο διανύει 4Α, άρα σε 2,5T διανύει 10Α: $10A=2$ m $\Rightarrow A=0{,}2$ m.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). α: μετάφραση των 60 διελεύσεων/λεπτό σε 30 ταλαντώσεις/λεπτό και T = 2 s: 2 μ. β: αναγνώριση από το στιγμιότυπο ότι $x_\Delta=2{,}5\lambda$ και λ = 1 m: 2 μ. γ: $v=\lambda f=0{,}5$ m/s: 1 μ. δ: $t_{Ο\Delta}=5$ s $=2{,}5T$, διάστημα $10A=2$ m, A = 0,2 m: 2 μ. Μερική πίστωση: θεώρηση 60 ταλαντώσεων/λεπτό (T = 1 s): -2 μ. στο α, με συνεπή βαθμολόγηση των επομένων (μεταφορά λάθους). Λάθος πλήθος μηκών κύματος (π.χ. $x_\Delta=1{,}5\lambda$): -2 μ. στο β. Χρήση 4Α ανά περίοδο με λάθος αριθμό περιόδων: -1 μ. στο δ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — physics, Θέμα C (5 μονάδες)

Για το κύμα του Θέματος Γ (πηγή στο Ο με y = A·ημωt από t = 0, T = 2 s, λ = 1 m, v = 0,5 m/s, σημείο Δ σε απόσταση $x_\Delta=2{,}5$ m):
Γ2. Να αποδείξετε ότι η μαθηματική σχέση που περιγράφει την ταλάντωση του υλικού σημείου Δ είναι: $y=A\cdot\eta\mu 2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x_\Delta}{\lambda}\right)$.

Απάντηση:
Το κύμα φτάνει στο Δ μετά από χρόνο $t_{Ο\Delta}=\dfrac{x_\Delta}{v}$. Από τη στιγμή αυτή το Δ επαναλαμβάνει την ταλάντωση της πηγής με χρονική υστέρηση $t_{Ο\Delta}$: $y=A\eta\mu\omega(t-t_{Ο\Delta})=A\eta\mu\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{x_\Delta}{v}\right)$. Επειδή $\lambda=vT\Rightarrow v=\dfrac{\lambda}{T}$, προκύπτει $y=A\eta\mu 2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x_\Delta}{\lambda}\right)$, για $t\geq t_{Ο\Delta}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Έκφραση του χρόνου διάδοσης $t_{Ο\Delta}=x_\Delta/v$: 1 μ. Γραφή της ταλάντωσης του Δ ως χρονικά μετατοπισμένης ταλάντωσης της πηγής $y=A\eta\mu\omega(t-t_{Ο\Delta})$: 2 μ. Αντικατάσταση $\omega=2\pi/T$ και $\lambda=vT$ και κατάληξη στη ζητούμενη μορφή: 2 μ. Μερική πίστωση: απευθείας επίκληση της γενικής εξίσωσης κύματος χωρίς απόδειξη: έως 2 μ. Παράλειψη του περιορισμού ισχύος $t\geq t_{Ο\Delta}$: χωρίς αφαίρεση.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — physics, Θέμα C (7 μονάδες)

Για το κύμα του Θέματος Γ (A = 0,2 m, T = 2 s, λ = 1 m, v = 0,5 m/s, σημείο Δ στη θέση $x_\Delta=2{,}5$ m, με εξίσωση απομάκρυνσης $y=0{,}2\eta\mu 2\pi(0{,}5t-2{,}5)$ (S.I.) για $t\geq 5$ s):
Γ3. Να γράψετε την εξίσωση ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο για το υλικό σημείο Δ (μονάδες 3) και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες, από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 8 s (μονάδες 4).

Απάντηση:
Η ταχύτητα ταλάντωσης του Δ είναι $v_τ=v_{max}\sigma\upsilon\nu 2\pi(0{,}5t-2{,}5)$ (S.I.) για $t\geq t_{Ο\Delta}=5$ s, με $v_{max}=\omega A=\pi\cdot 0{,}2=0{,}2\pi$ m/s, ενώ για $0\leq t<5$ s το Δ είναι ακίνητο ($v_τ=0$). Γραφική παράσταση: από t = 0 έως t = 5 s η ταχύτητα είναι μηδέν· στο t = 5 s το Δ ξεκινά με $v_τ=+0{,}2\pi$ m/s και ακολουθεί συνημιτονοειδής καμπύλη πλάτους 0,2π m/s και περιόδου 2 s· το διάστημα 5–8 s αντιστοιχεί σε 1,5 περιόδους (μηδενισμοί στα t = 5,5, 6,5, 7,5 s· $-0{,}2\pi$ στα t = 6 s και 8 s· $+0{,}2\pi$ στο t = 7 s).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Εξίσωση (3 μ.): $v_{max}=\omega A=0{,}2\pi$ m/s: 1 μ.· ορθή συνημιτονοειδής μορφή $v_τ=0{,}2\pi\sigma\upsilon\nu 2\pi(0{,}5t-2{,}5)$ (S.I.): 1 μ.· δήλωση ότι ισχύει για $t\geq 5$ s (και $v_τ=0$ πριν): 1 μ. Γραφική παράσταση (4 μ.): μηδενική ταχύτητα για 0–5 s: 1 μ.· έναρξη από $+v_{max}$ στο t = 5 s: 1 μ.· ορθή περίοδος 2 s και 1,5 πλήρεις κύκλοι έως t = 8 s: 1 μ.· βαθμολογημένοι άξονες με τιμές $\pm 0{,}2\pi$ m/s και χρόνους: 1 μ. Μερική πίστωση: ημιτονοειδής αντί συνημιτονοειδούς μορφής: -1 μ. Γραφική παράσταση που ξεκινά από t = 0 σαν να ταλαντώνεται ήδη το Δ: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — physics, Θέμα C (6 μονάδες)

Για το κύμα του Θέματος Γ (αρχικά f = 0,5 Hz, λ = 1 m, v = 0,5 m/s, σημείο Δ στη θέση $x_\Delta=2{,}5$ m): Μειώνουμε τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής, διατηρώντας το ίδιο πλάτος, έτσι ώστε η πηγή Ο και το υλικό σημείο Δ να είναι δύο διαδοχικά σημεία του ελαστικού μέσου, τα οποία κάθε χρονική στιγμή απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται με την ίδια ταχύτητα.
Γ4. Να υπολογίσετε τη μείωση της συχνότητας της πηγής.

Απάντηση:
Δύο διαδοχικά σημεία που έχουν διαρκώς ίδια απομάκρυνση και ίδια ταχύτητα ταλαντώνονται σε φάση, με διαφορά απόστασης ίση με ένα μήκος κύματος. Άρα το νέο μήκος κύματος είναι $\lambda'=x_\Delta=2{,}5$ m. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται μόνο από το μέσο και παραμένει v = 0,5 m/s, οπότε $f'=\dfrac{v}{\lambda'}=\dfrac{0{,}5}{2{,}5}=0{,}2$ Hz. Η μείωση της συχνότητας είναι $\Delta f=f-f'=0{,}5-0{,}2=0{,}3$ Hz.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Αναγνώριση ότι τα σημεία ταλαντώνονται σε φάση και ότι, ως διαδοχικά, απέχουν ένα μήκος κύματος ($\lambda'=2{,}5$ m): 3 μ. Χρήση της σταθερότητας της ταχύτητας διάδοσης στο ίδιο μέσο και $f'=0{,}2$ Hz: 2 μ. Μείωση $\Delta f=0{,}3$ Hz: 1 μ. Μερική πίστωση: θεώρηση $x_\Delta=\lambda'/2$ ή πολλαπλάσιου του $\lambda'$ (μη διαδοχικά σημεία): έως 2 μ. συνολικά. Υπολογισμός του f' χωρίς την τελική μείωση: -1 μ.