Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα D (4 μονάδες)

Στη διάταξη του σχήματος φαίνεται ένας ζυγός που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της έντασης ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Το κατακόρυφο στέλεχος ΟΖ του ζυγού είναι στηριγμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στην κορυφή του έχει αρθρωθεί οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΓ στο μέσον της Ο. Από το άκρο Α της ράβδου ΑΓ αναρτάται με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού κατακόρυφου μονωτικού νήματος (1), το οποίο συνδέεται στο μέσον Δ της πλευράς ΚΛ, ένα τετράγωνο συρμάτινο και αβαρές πλαίσιο ΚΛΜΝ, πλευράς $\alpha = 0{,}8$ m και συνολικής ωμικής αντίστασης $R = 2\ \Omega$. Στο πλαίσιο υπάρχει πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης (ΗΕΔ) $E = 30$ V, αμελητέας εσωτερικής αντίστασης και αμελητέου βάρους. Το πλαίσιο ισορροπεί σε κατακόρυφο επίπεδο και βρίσκεται μερικώς μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης $\vec{B}$ (το κάτω μέρος του, με την πλευρά ΝΜ, μέσα στο πεδίο) του οποίου οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στο επίπεδο του πλαισίου με φορά από τη σελίδα προς τον αναγνώστη. Με αβαρές και μη εκτατό νήμα (2) έχουμε συνδέσει το άκρο Γ της ράβδου με σώμα Σ1 μάζας $m_1 = 3$ kg το οποίο ισορροπεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως $\varphi = 37°$. Η διεύθυνση του νήματος είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο. Στο κεκλιμένο επίπεδο ισορροπεί και σώμα Σ2 μάζας $m_2 = 1$ kg, δεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς $k = 100$ N/m του οποίου ο άξονας είναι παράλληλος στο κεκλιμένο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όλα τα σώματα της διάταξης ισορροπούν στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνονται: $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$, $\eta\mu 37°=0{,}6$, $\sigma\upsilon\nu 37°=0{,}8$.
Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα (1) στο άκρο Α της ράβδου.

Απάντηση:
Ισορροπία του Σ1 στο λείο κεκλιμένο επίπεδο: $T_2=m_1 g\,\eta\mu 37°=3\cdot 10\cdot 0{,}6=18$ N (το νήμα (2) μεταφέρει την ίδια τάση στο άκρο Γ). Ισορροπία ροπών της ράβδου ΑΓ ως προς το Ο (η ομογενής ράβδος έχει το βάρος της στο Ο, ίσοι βραχίονες ΟΑ = ΟΓ): η ροπή της $T_1$ (κατακόρυφης) ισούται με τη ροπή της συνιστώσας της $T_2$ που είναι κάθετη στη ράβδο, δηλαδή της κατακόρυφης συνιστώσας $T_2\,\eta\mu 37°$ (το νήμα (2) σχηματίζει γωνία 37° με την οριζόντια ράβδο). Άρα $T_1=T_2\,\eta\mu 37°=18\cdot 0{,}6=10{,}8$ N.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ισορροπία Σ1 και εύρεση $T_2=18$ N: 1,5 μ. Εξίσωση ροπών ως προς Ο με σωστή γωνία του νήματος (2) (μόνο η κάθετη στη ράβδο συνιστώσα): 1,5 μ. Αποτέλεσμα $T_1=10{,}8$ N: 1 μ. Αν αγνοηθεί η γωνία (απάντηση 18 N): έως 2 μ. συνολικά.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα D (4 μονάδες)

(Συνέχεια της διάταξης του Θέματος Δ: αβαρές τετράγωνο πλαίσιο ΚΛΜΝ πλευράς $\alpha = 0{,}8$ m, αντίστασης $R = 2\ \Omega$, με πηγή $E = 30$ V, κρέμεται από το κατακόρυφο νήμα (1) με τάση $T_1 = 10{,}8$ N και ισορροπεί με την κάτω πλευρά του ΝΜ μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο $\vec{B}$ κάθετο στο επίπεδο του πλαισίου, με φορά προς τον αναγνώστη.)
Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο B της έντασης του μαγνητικού πεδίου.

Απάντηση:
Το ρεύμα στο πλαίσιο: $I=E/R=30/2=15$ A. Επειδή το πλαίσιο είναι αβαρές και ισορροπεί, η δύναμη Laplace στην πλευρά ΝΜ (η μόνη πλευρά μέσα στο πεδίο· οι δυνάμεις στις κατακόρυφες πλευρές είναι οριζόντιες και αλληλοαναιρούνται ή δεν έχουν κατακόρυφη συνιστώσα) πρέπει να είναι κατακόρυφη προς τα κάτω και να εξισορροπεί την τάση του νήματος: $F_L=T_1 \Rightarrow BI\alpha=T_1 \Rightarrow B=\dfrac{10{,}8}{15\cdot 0{,}8}=0{,}9$ T.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Υπολογισμός ρεύματος $I=15$ A: 1 μ. Συνθήκη ισορροπίας πλαισίου $BI\alpha=T_1$ (με αναγνώριση ότι μόνο η ΝΜ δίνει κατακόρυφη δύναμη Laplace): 2 μ. Αποτέλεσμα $B=0{,}9$ T: 1 μ. Μεταφερόμενο λάθος στο $T_1$ από το Δ1 δεν ξαναχρεώνεται.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα D (7 μονάδες)

(Συνέχεια της διάταξης του Θέματος Δ: στο λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 37° το Σ1 ($m_1 = 3$ kg) συγκρατείται από το νήμα (2), ενώ το Σ2 ($m_2 = 1$ kg) ισορροπεί δεμένο στο ελατήριο $k = 100$ N/m. Δίνονται $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$, $\eta\mu 37°=0{,}6$.)
Μετακινούμε το σώμα Σ2 προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου κατά $d = \dfrac{9\pi}{100}$ m και το συγκρατούμε σε αυτή τη θέση. Κόβουμε το νήμα (2), και την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί προς τα πάνω το σώμα Σ2. Το σώμα Σ2, εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση με $D = k$, περνώντας για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Σ1.
Δ3. Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την πλαστική κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία.

Απάντηση:
Το Σ2 ταλαντώνεται με $\omega_2=\sqrt{k/m_2}=10$ rad/s και πλάτος $A=d=\dfrac{9\pi}{100}$ m· φτάνει στη θέση ισορροπίας του μετά από $t=\dfrac{T_2}{4}=\dfrac{2\pi}{4\cdot 10}=\dfrac{\pi}{20}$ s με μέγιστη ταχύτητα $u_2=\omega_2 A=10\cdot\dfrac{9\pi}{100}=0{,}9\pi$ m/s προς τα πάνω. Στο ίδιο διάστημα το Σ1, μετά το κόψιμο του νήματος, ολισθαίνει προς τα κάτω με $a=g\,\eta\mu 37°=6\ \mathrm{m/s^2}$, αποκτώντας $u_1=a\,t=6\cdot\dfrac{\pi}{20}=0{,}3\pi$ m/s προς τα κάτω. Από τη διατήρηση της ορμής στην πλαστική κρούση (θετική φορά προς τα πάνω): $m_2u_2-m_1u_1=(m_1+m_2)V \Rightarrow 1\cdot 0{,}9\pi-3\cdot 0{,}3\pi=4V \Rightarrow V=0$. Άρα το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία αμέσως μετά την κρούση.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Μέγιστη ταχύτητα Σ2 στη θέση ισορροπίας $u_2=\omega A=0{,}9\pi$ m/s: 2 μ. (εύρεση ω: 1 μ.). Χρόνος κίνησης $t=T/4=\pi/20$ s: 1,5 μ. Κίνηση Σ1 με $a=6\ \mathrm{m/s^2}$ και $u_1=0{,}3\pi$ m/s: 1,5 μ. Διατήρηση ορμής με σωστά πρόσημα και συμπέρασμα $V=0$: 2 μ. Λάθος πρόσημο/φορά σε μία ταχύτητα: αφαίρεση έως 2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα D (5 μονάδες)

(Συνέχεια του Θέματος Δ: το συσσωμάτωμα μάζας $m_1+m_2=4$ kg σχηματίστηκε στη θέση ισορροπίας του Σ2 πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο 37°, δεμένο στο ελατήριο $k = 100$ N/m, και ακινητοποιήθηκε στιγμιαία τη στιγμή της κρούσης.)
Δ4. Αν το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την πλαστική κρούση εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με $D = k$, να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του. Να θεωρήσετε ως χρονική στιγμή $t_0 = 0$ τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά, τη φορά από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου προς την κορυφή του.

Απάντηση:
Η θέση ισορροπίας του Σ2 απείχε από το φυσικό μήκος συσπείρωση $x_1=\dfrac{m_2 g\,\eta\mu 37°}{k}=0{,}06$ m· η νέα θέση ισορροπίας του συσσωματώματος αντιστοιχεί σε $x_2=\dfrac{(m_1+m_2)g\,\eta\mu 37°}{k}=0{,}24$ m. Το συσσωμάτωμα ξεκινά ακίνητο από τη θέση της κρούσης, που απέχει $A=x_2-x_1=0{,}18$ m πάνω από τη νέα θέση ισορροπίας — άρα αυτή είναι ακραία θέση και το πλάτος είναι $A=0{,}18$ m. Η γωνιακή συχνότητα: $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m_1+m_2}}=\sqrt{25}=5$ rad/s. Με $x=+A$ στο $t=0$: $x=0{,}18\,\eta\mu\!\left(5t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (SI).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Εύρεση νέας θέσης ισορροπίας ($x_2=0{,}24$ m) και της απόστασης από τη θέση κρούσης: 1,5 μ. Πλάτος $A=0{,}18$ m (θέση κρούσης = ακραία θέση, αφού V=0): 1,5 μ. Γωνιακή συχνότητα $\omega=5$ rad/s: 1 μ. Ορθή αρχική φάση $\varphi_0=\pi/2$ και τελική εξίσωση: 1 μ. Ισοδύναμη μορφή $x=0{,}18\,\sigma\upsilon\nu(5t)$ (SI): πλήρης βαθμός.