Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα C (7 μονάδες)

Στη διάταξη του σχήματος οι κατακόρυφοι μεταλλικοί αγωγοί xx΄, yy΄, αμελητέας ωμικής αντίστασης, είναι στερεωμένοι σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο. Ανάμεσα στα σημεία τους Α και Γ (κοντά στο δάπεδο) έχει συνδεθεί ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής $L = 0{,}5$ H. Μεταλλική ράβδος ΖΗ μήκους $\ell = 1$ m, μάζας $m = 0{,}5$ kg και ωμικής αντίστασης $R = 1\ \Omega$ έχει τα άκρα της πάνω στους κατακόρυφους αγωγούς (Ζ στον xx΄, Η στον yy΄), είναι κάθετη σε αυτούς και μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στο μέσον της ράβδου και κάθετα σε αυτή ασκείται κατάλληλη δύναμη $\vec{F}$ με αποτέλεσμα η ράβδος ΖΗ να κινείται προς τα πάνω παραμένοντας συνεχώς οριζόντια. Στην περιοχή που κινείται η ράβδος υπάρχει οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης $\vec{B}$ μέτρου $B = 1$ T, του οποίου οι δυναμικές γραμμές έχουν φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα. Το πηνίο βρίσκεται έξω από το ομογενές μαγνητικό πεδίο. Λόγω της κίνησης της ράβδου ο βρόχος ΖΑΓΗΖ διαρρέεται από ρεύμα, του οποίου η ένταση δίνεται από τη σχέση $i = 2t$ (SI), με φορά (όπως φαίνεται στο σχήμα) από το Η προς το Ζ μέσα στη ράβδο και προς τα κάτω στον αγωγό xx΄. Να θεωρήσετε $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$.
Γ1. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο i - t σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (μονάδες 2) και να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής $\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$ της έντασης του ρεύματος (μονάδες 2). Να υπολογίσετε το φορτίο που διέρχεται από μία διατομή του κυκλώματος στο χρονικό διάστημα από $t = 0$ s έως $t = 2$ s (μονάδες 3).

Απάντηση:
Η γραφική παράσταση i - t είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων με κλίση 2 (στο $t=2$ s, $i=4$ A). Ο ρυθμός μεταβολής είναι $\dfrac{\Delta i}{\Delta t}=2\ \mathrm{A/s}$ (σταθερός). Το φορτίο ισούται με το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση: $q=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$ C.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Ορθή ευθεία γραφική παράσταση από την αρχή των αξόνων με σωστές τιμές/άξονες: 2 μ. Ρυθμός μεταβολής $\Delta i/\Delta t=2$ A/s: 2 μ. Φορτίο ως εμβαδόν (ή $q=\bar{i}\,\Delta t$) με αποτέλεσμα $q=4$ C: 3 μ. (μέθοδος 1,5 μ., πράξεις/αποτέλεσμα 1,5 μ.). Μεταφερόμενο λάθος από τη γραφική παράσταση δεν ξαναχρεώνεται.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα C (4 μονάδες)

(Συνέχεια της διάταξης του Θέματος Γ: κατακόρυφοι αγωγοί xx΄, yy΄ με ιδανικό πηνίο $L = 0{,}5$ H μεταξύ των σημείων Α και Γ, ράβδος ΖΗ που κινείται προς τα πάνω μέσα σε οριζόντιο μαγνητικό πεδίο $B = 1$ T με φορά προς τη σελίδα, ρεύμα βρόχου $i = 2t$ (SI).)
Γ2. Να σχεδιάσετε την πολικότητα της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στο πηνίο (μονάδες 2) και να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή αυτής (μονάδες 2).

Απάντηση:
Το ρεύμα του βρόχου αυξάνεται, άρα η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή αντιτίθεται στην αύξηση (κανόνας Lenz): το άκρο Α του πηνίου είναι ο θετικός πόλος και το Γ ο αρνητικός (το ρεύμα εισέρχεται στο πηνίο από το Α). Η απόλυτη τιμή: $|E_{αυτ}|=L\dfrac{\Delta i}{\Delta t}=0{,}5\cdot 2=1$ V.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορθή πολικότητα Α(+), Γ(−) με επίκληση κανόνα Lenz/αντίθεσης στην αύξηση του ρεύματος: 2 μ. Υπολογισμός $|E_{αυτ}|=L\,\Delta i/\Delta t=1$ V: 2 μ. (τύπος 1 μ., αριθμητικό αποτέλεσμα 1 μ.).

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα C (6 μονάδες)

(Συνέχεια της διάταξης του Θέματος Γ: ράβδος ΖΗ μήκους $\ell = 1$ m, αντίστασης $R = 1\ \Omega$, κινείται προς τα πάνω σε πεδίο $B = 1$ T· ιδανικό πηνίο $L = 0{,}5$ H στο κύκλωμα· ρεύμα $i = 2t$ (SI).)
Γ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της ράβδου ΖΗ σε συνάρτηση με τον χρόνο υ - t.

Απάντηση:
Από τον 2ο κανόνα του Kirchhoff στον βρόχο: η ΗΕΔ από επαγωγή της ράβδου ισούται με την πτώση τάσης στην αντίσταση συν την ΗΕΔ αυτεπαγωγής του πηνίου: $B\upsilon\ell = iR + L\dfrac{\Delta i}{\Delta t} \Rightarrow 1\cdot\upsilon\cdot 1 = 2t\cdot 1 + 0{,}5\cdot 2$, άρα $\upsilon = 2t + 1$ (SI).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Έκφραση ΗΕΔ επαγωγής ράβδου $E_{επ}=B\upsilon\ell$: 1,5 μ. Ορθή εξίσωση βρόχου με τον όρο του πηνίου $L\,\Delta i/\Delta t$: 2,5 μ. Αντικατάσταση και τελική σχέση $\upsilon=2t+1$ (SI): 2 μ. Παράλειψη του όρου του πηνίου (δηλ. $\upsilon=2t$): έως 3 μ. συνολικά.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — physics, Θέμα C (8 μονάδες)

(Συνέχεια της διάταξης του Θέματος Γ: ράβδος ΖΗ, $\ell = 1$ m, $m = 0{,}5$ kg, $R = 1\ \Omega$, $B = 1$ T, πηνίο $L = 0{,}5$ H, $i = 2t$ (SI), ταχύτητα ράβδου $\upsilon = 2t+1$ (SI), $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$.)
Γ4. Τη χρονική στιγμή $t_1 = 2$ s να υπολογίσετε:
α) Το μέτρο της δύναμης $\vec{F}$ (μονάδες 4).
β) Τον ρυθμό με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια από τη δύναμη $\vec{F}$ στο κύκλωμα (μονάδες 2).
γ) Τον ρυθμό με τον οποίο αποθηκεύεται ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου (μονάδες 2).

Απάντηση:
α) Από $\upsilon=2t+1$ η επιτάχυνση είναι σταθερή, $a=2\ \mathrm{m/s^2}$. Η δύναμη Laplace στη ράβδο είναι $F_L=Bi\ell=2t$ και αντιτίθεται στην κίνηση. Από τον 2ο νόμο του Newton: $F-F_L-mg=ma \Rightarrow F=2t+0{,}5\cdot 10+0{,}5\cdot 2=2t+6$ (SI). Στο $t_1=2$ s: $F=10$ N.
β) Στο $t_1=2$ s: $\upsilon=5$ m/s, άρα $P_F=F\upsilon=10\cdot 5=50$ W (J/s).
γ) $\dfrac{\Delta U_L}{\Delta t}=Li\dfrac{\Delta i}{\Delta t}=0{,}5\cdot 4\cdot 2=4$ W (J/s).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). α) (4 μ.): εύρεση $a=2\ \mathrm{m/s^2}$: 1 μ.· δύναμη Laplace $F_L=Bi\ell$ με σωστή φορά: 1 μ.· 2ος νόμος Newton με βάρος και $F_L$: 1 μ.· αποτέλεσμα $F=10$ N: 1 μ. β) (2 μ.): $P_F=F\upsilon$: 1 μ.· αποτέλεσμα 50 W: 1 μ. γ) (2 μ.): $\Delta U_L/\Delta t=Li\,\Delta i/\Delta t$ (ή ισχύς πηνίου $|E_{αυτ}|\,i$): 1 μ.· αποτέλεσμα 4 W: 1 μ. Μεταφερόμενα λάθη από προηγούμενα ερωτήματα δεν ξαναχρεώνονται.