Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα A (6 μονάδες)

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Αν
• η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και
• $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$,
να αποδείξετε ότι η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\Delta$.

Απάντηση:
Πρόκειται για την απόδειξη του σχολικού βιβλίου (συνέπεια του Θ.Μ.Τ.). Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x_1)=f(x_2)$ για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in\Delta$. Αν $x_1=x_2$ είναι προφανές. Αν $x_1<x_2$, η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο $[x_1,x_2]$ (συνεχής στο κλειστό, παραγωγίσιμη στο ανοικτό, αφού τα εσωτερικά σημεία του $[x_1,x_2]$ είναι εσωτερικά του $\Delta$), άρα υπάρχει $\xi\in(x_1,x_2)$ με $f'(\xi)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$. Επειδή $f'(\xi)=0$, έπεται $f(x_1)=f(x_2)$. Άρα η $f$ είναι σταθερή στο $\Delta$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Απόδειξη σχολικού βιβλίου (σ. 133). Σωστή στρατηγική: θεώρηση δύο τυχαίων σημείων $x_1,x_2\in\Delta$ και εφαρμογή Θ.Μ.Τ. στο $[x_1,x_2]$ με έλεγχο των προϋποθέσεων: 3 μ. Ολοκλήρωση: $f'(\xi)=0\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$ και συμπέρασμα ότι η $f$ σταθερή σε όλο το $\Delta$: 3 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη ελέγχου των προϋποθέσεων του Θ.Μ.Τ.: -1 μ.· απόδειξη μόνο για συγκεκριμένα σημεία χωρίς γενίκευση σε τυχαία $x_1,x_2$: -2 μ. Απλή επίκληση του συμπεράσματος χωρίς απόδειξη: 0 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα A (5 μονάδες)

Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Απάντηση:
Έστω οι συναρτήσεις $f, g, h$. Αν $h(x)\le f(x)\le g(x)$ κοντά στο $x_0$ και $\lim_{x\to x_0} h(x)=\lim_{x\to x_0} g(x)=\ell$, τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Διατύπωση σχολικού βιβλίου (σ. 51). Υποθέσεις (ανισότητα $h(x)\le f(x)\le g(x)$ ΚΟΝΤΑ στο $x_0$ και κοινό όριο $\ell$ των $h,g$): 3 μ.· συμπέρασμα ($\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$): 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη του «κοντά στο $x_0$»: -1 μ.· απαίτηση γνήσιας ανισότητας αντί $\le$: -1 μ.· διατύπωση χωρίς την προϋπόθεση ίσων ορίων των $h,g$: το πολύ 1 μ. συνολικά.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα A (4 μονάδες)

Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο $\Delta$;

Απάντηση:
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο $\Delta$ ονομάζεται κάθε συνάρτηση $F$ που είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta$ και ισχύει $F'(x)=f(x)$ για κάθε $x\in\Delta$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορισμός σχολικού βιβλίου (σ. 185): συνάρτηση $F$ παραγωγίσιμη στο $\Delta$: 2 μ.· με $F'(x)=f(x)$ για ΚΑΘΕ $x\in\Delta$: 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη της απαίτησης παραγωγισιμότητας της $F$ στο $\Delta$: -1 μ.· παράλειψη του «για κάθε $x\in\Delta$»: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα A (10 μονάδες)

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστό ή Λάθος:
α) Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι "1-1", αν και μόνο αν υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη.
β) Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
γ) Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$. Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta$.
δ) Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f\circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει $(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$.
ε) Η συνάρτηση $f(x)=\sigma\varphi x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}-\{x\,|\,\eta\mu x=0\}$ και ισχύει $(\sigma\varphi x)'=\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$.

Απάντηση:
α) Λάθος (η "1-1" σημαίνει ακριβώς ότι ΔΕΝ υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη). β) Σωστό (παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια). γ) Σωστό (κριτήριο κυρτότητας). δ) Σωστό (κανόνας αλυσίδας). ε) Λάθος (ισχύει $(\sigma\varphi x)'=-\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$, με αρνητικό πρόσημο).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). Σωστό–Λάθος: 2 μ. ανά πρόταση (α Λ, β Σ, γ Σ, δ Σ, ε Λ). Καμία μερική πίστωση ανά πρόταση (0 ή 2). Δεν απαιτείται αιτιολόγηση· τυχόν λανθασμένη αιτιολόγηση δεν αφαιρεί μονάδες εφόσον ο χαρακτηρισμός είναι ορθός.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα B (8 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=2\ln(x-1)$ και $g:[2,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $g(x)=\sqrt{x-2}+1$.
Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$.

Απάντηση:
Το πεδίο ορισμού της $h=f\circ g$ αποτελείται από τα $x\in[2,+\infty)$ με $g(x)\in(1,+\infty)$: $\sqrt{x-2}+1>1\Leftrightarrow\sqrt{x-2}>0\Leftrightarrow x>2$. Άρα $A_h=(2,+\infty)$. Για $x>2$: $h(x)=f(g(x))=2\ln(\sqrt{x-2}+1-1)=2\ln\sqrt{x-2}=2\cdot\tfrac{1}{2}\ln(x-2)=\ln(x-2)$. Τελικά $h(x)=\ln(x-2)$, $x\in(2,+\infty)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). Εύρεση πεδίου ορισμού: απαίτηση $x\in A_g$ και $g(x)\in A_f$, επίλυση $\sqrt{x-2}>0\Leftrightarrow x>2$, δηλαδή $A_h=(2,+\infty)$: 4 μ. Υπολογισμός τύπου: αντικατάσταση, απλοποίηση $2\ln\sqrt{x-2}=\ln(x-2)$: 4 μ. Μερική πίστωση: πεδίο ορισμού $[2,+\infty)$ αντί $(2,+\infty)$ (παράλειψη της γνήσιας ανισότητας): -2 μ.· σωστός τύπος χωρίς αναφορά/εύρεση πεδίου ορισμού: το πολύ 4 μ.· μη απλοποιημένος αλλά ορθός τύπος $2\ln\sqrt{x-2}$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα B (9 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=2\ln(x-1)$ και $g:[2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x-2}+1$, και θεωρούμε ότι $h(x)=\ln(x-2)$, $x\in(2,+\infty)$.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h^{-1}$ (μονάδες 6).

Απάντηση:
Η $h$ είναι παραγωγίσιμη στο $(2,+\infty)$ με $h'(x)=\dfrac{1}{x-2}>0$, άρα γνησίως αύξουσα, επομένως "1-1" και αντιστρέφεται. Για την αντίστροφη: $y=\ln(x-2)\Leftrightarrow x-2=e^{y}\Leftrightarrow x=e^{y}+2$. Το σύνολο τιμών της $h$ είναι το $\mathbb{R}$ (η $\ln$ σαρώνει όλο το $\mathbb{R}$ καθώς το $x-2$ διατρέχει το $(0,+\infty)$), άρα $h^{-1}(x)=e^{x}+2$, $x\in\mathbb{R}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (9 μ.). Α΄ σκέλος (3 μ.): απόδειξη ότι η $h$ είναι "1-1" (μέσω γνήσιας μονοτονίας με $h'(x)>0$ ή απευθείας από το "1-1" της $\ln$) και συμπέρασμα ότι αντιστρέφεται: 3 μ. Β΄ σκέλος (6 μ.): επίλυση $y=\ln(x-2)$ ως προς $x$: 3 μ.· προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της $h^{-1}$ (σύνολο τιμών της $h$, δηλ. $\mathbb{R}$) και τελικός τύπος $h^{-1}(x)=e^{x}+2$, $x\in\mathbb{R}$: 3 μ. Μερική πίστωση: σωστός τύπος χωρίς πεδίο ορισμού της $h^{-1}$: -1 μ.· επίκληση αντιστρεψιμότητας χωρίς αιτιολόγηση "1-1": 0 μ. στο α΄ σκέλος.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα B (8 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=2\ln(x-1)$ και $h(x)=\ln(x-2)$, $x\in(2,+\infty)$.
Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(h(x)\cdot\frac{f(x)}{x-2}\right)$.

Απάντηση:
Το όριο νοείται για $x\to 2^{+}$ (εκεί ορίζονται οι συναρτήσεις). Πρώτα, $\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{2\ln(x-1)}{x-2}$, μορφή $\tfrac{0}{0}$, και με κανόνα de l'Hôpital ισούται με $\lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{2}{x-1}=2$. Επίσης, με $u=x-2\to 0^{+}$, $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)=\lim_{u\to 0^{+}}\ln u=-\infty$. Επομένως το ζητούμενο όριο είναι γινόμενο παράστασης που τείνει στο $-\infty$ επί παράσταση που τείνει στο $2>0$, άρα $\lim_{x\to 2^{+}}\left(h(x)\cdot\dfrac{f(x)}{x-2}\right)=-\infty$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). Υπολογισμός $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{2\ln(x-1)}{x-2}=2$ (αναγνώριση απροσδιοριστίας $0/0$ και ορθή εφαρμογή D.L.H. ή ισοδύναμος χειρισμός με το γνωστό όριο $\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$): 4 μ. Υπολογισμός $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)=-\infty$ (με αιτιολόγηση, π.χ. αντικατάσταση $u=x-2\to 0^{+}$): 2 μ. Σύνθεση: γινόμενο $(-\infty)\cdot 2=-\infty$ και τελικό συμπέρασμα: 2 μ. Μερική πίστωση: εφαρμογή D.L.H. χωρίς αναφορά της μορφής $0/0$: -1 μ.· απάντηση $+\infty$ από λάθος πρόσημο: 0 μ. στο βήμα σύνθεσης.