Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα C (8 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\dfrac{\kappa x^{3}+\mu x}{x^{2}+1}$, με $\kappa,\mu\in\mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:
• Η $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$.
• Η ευθεία $y=x$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στην αρχή των αξόνων.
Να αποδείξετε ότι: i) $\kappa=0$ και ii) $\mu=1$.

Απάντηση:
i) Αφού η $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$, το $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ είναι πραγματικός αριθμός. Αν $\kappa\neq 0$, τότε $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\kappa x^{3}+\mu x}{x^{2}+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\kappa x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\kappa x=\pm\infty$, άτοπο. Άρα $\kappa=0$ (και τότε $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mu x}{x^{2}+1}=0\in\mathbb{R}$, συμβατό). ii) Για $\kappa=0$ είναι $f(x)=\dfrac{\mu x}{x^{2}+1}$, με $f(0)=0$ (η καμπύλη περνά από την αρχή). Η εφαπτομένη στο $O(0,0)$ είναι η $y=x$, άρα $f'(0)=1$. Είναι $f'(x)=\dfrac{\mu(x^{2}+1)-\mu x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{\mu(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}$, οπότε $f'(0)=\mu=1$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). i) (4 μ.): μετάφραση της οριζόντιας ασύμπτωτης σε $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lambda\in\mathbb{R}$: 1 μ.· απαγωγή σε άτοπο για $\kappa\neq 0$ (όριο $\pm\infty$): 2 μ.· συμπέρασμα $\kappa=0$ με επιβεβαίωση ότι τότε το όριο είναι πραγματικός (0): 1 μ. ii) (4 μ.): συνθήκες εφαπτομένης $f(0)=0$ και $f'(0)=1$: 2 μ.· υπολογισμός $f'(x)$ με κανόνα πηλίκου και εξαγωγή $\mu=1$: 2 μ. Μερική πίστωση: αποδοχή $\kappa=0$ χωρίς απαγωγή σε άτοπο (απλή «παρατήρηση» βαθμών): το πολύ 2 μ. στο i)· χρήση μόνο της $f'(0)=1$ χωρίς μνεία της $f(0)=0$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα C (11 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ (η συνάρτηση του Θέματος Γ για $\kappa=0$, $\mu=1$).
i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (μονάδες 6).
ii) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ (μονάδες 3) και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\dfrac{1}{2}+\alpha^{2}$, για κάθε τιμή της παραμέτρου $\alpha\in\mathbb{R}$ (μονάδες 2).

Απάντηση:
i) $f'(x)=\dfrac{(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$, με πρόσημο ίδιο με του $1-x^{2}$. Άρα η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,-1]$, γνησίως αύξουσα στο $[-1,1]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty)$. Στο $x=-1$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο $f(-1)=-\dfrac{1}{2}$ και στο $x=1$ τοπικό μέγιστο $f(1)=\dfrac{1}{2}$. ii) Με $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$: $f((-\infty,-1])=[-\tfrac{1}{2},0)$, $f([-1,1])=[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]$, $f([1,+\infty))=(0,\tfrac{1}{2}]$, άρα το σύνολο τιμών είναι η ένωσή τους $[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]$ (τα ακρότατα είναι μάλιστα ολικά). Για την εξίσωση: $\dfrac{1}{2}+\alpha^{2}\ge\dfrac{1}{2}$ με ισότητα μόνο για $\alpha=0$. Αν $\alpha=0$, η εξίσωση $f(x)=\dfrac{1}{2}$ έχει ακριβώς μία ρίζα, την $x=1$ (η μέγιστη τιμή πιάνεται μόνο εκεί). Αν $\alpha\neq 0$, τότε $\dfrac{1}{2}+\alpha^{2}>\dfrac{1}{2}=\max f$, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη (0 ρίζες).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (11 μ.). i) (6 μ.): υπολογισμός $f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$: 2 μ.· πίνακας προσήμου/μονοτονίας στα τρία διαστήματα: 2 μ.· ακρότατα $f(-1)=-\frac{1}{2}$ (τοπ. ελάχιστο), $f(1)=\frac{1}{2}$ (τοπ. μέγιστο): 2 μ. ii) πρώτο σκέλος (3 μ.): εικόνες των τριών διαστημάτων μέσω συνέχειας και μονοτονίας, με χρήση $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$: 2 μ.· ένωση και συμπέρασμα $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$: 1 μ. ii) δεύτερο σκέλος (2 μ.): διάκριση περιπτώσεων — $\alpha=0$: ακριβώς μία ρίζα ($x=1$): 1 μ.· $\alpha\neq 0$: αδύνατη: 1 μ. Μερική πίστωση: μονοτονία σε ανοικτά αντί κλειστά διαστήματα: -1 μ.· σύνολο τιμών με απλή επίκληση των ακροτάτων χωρίς εικόνες διαστημάτων: το πολύ 1/3 μ. στο σκέλος αυτό.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα C (6 μονάδες)

Για $\nu\in\mathbb{N}$ ορίζουμε $I_{\nu}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{2\nu+1}}{x^{2}+1}\,dx$.
i) Να αποδείξετε ότι $I_{\nu}+I_{\nu+1}=\dfrac{1}{2\nu+2}$, $\nu\in\mathbb{N}$.
ii) Να υπολογίσετε τα $I_{0}$, $I_{1}$ και $I_{2}$.

Απάντηση:
i) $I_{\nu}+I_{\nu+1}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{2\nu+1}+x^{2\nu+3}}{x^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{2\nu+1}(1+x^{2})}{x^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}x^{2\nu+1}dx=\left[\frac{x^{2\nu+2}}{2\nu+2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2\nu+2}$. ii) $I_{0}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\left[\ln(x^{2}+1)\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2$. Από την αναδρομή για $\nu=0$: $I_{0}+I_{1}=\frac{1}{2}\Rightarrow I_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$. Για $\nu=1$: $I_{1}+I_{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). i) (3 μ.): άθροιση των ολοκληρωμάτων σε ένα, παραγοντοποίηση $x^{2\nu+1}(1+x^{2})$ και απλοποίηση: 2 μ.· υπολογισμός $\int_{0}^{1}x^{2\nu+1}dx=\frac{1}{2\nu+2}$: 1 μ. ii) (3 μ.): $I_{0}=\frac{1}{2}\ln 2$: 1 μ.· $I_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$ μέσω της αναδρομής: 1 μ.· $I_{2}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}$: 1 μ. Μερική πίστωση: ορθή μέθοδος στο ii) με αριθμητικό λάθος που μεταφέρεται συνεπώς: -1 μ. συνολικά· απευθείας (ορθός) υπολογισμός των $I_{1},I_{2}$ χωρίς την αναδρομή γίνεται δεκτός με πλήρη μονάδα.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα D (6 μονάδες)

Έστω συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύουν:
• $0<g(x)<1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$,
• $g'(x)\neq -1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_{1}\in(-1,0)$ ώστε $g(x_{1})+x_{1}=0$.

Απάντηση:
Θεωρούμε την $h(x)=g(x)+x$, $x\in\mathbb{R}$, συνεχή στο $[-1,0]$ (η $g$ παραγωγίσιμη, άρα συνεχής). Είναι $h(-1)=g(-1)-1<0$ (αφού $g(-1)<1$) και $h(0)=g(0)>0$ (αφού $g(0)>0$), δηλαδή $h(-1)\,h(0)<0$. Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_{1}\in(-1,0)$ με $h(x_{1})=0$, δηλαδή $g(x_{1})+x_{1}=0$. Μοναδικότητα: $h'(x)=g'(x)+1\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και η $h'$ είναι συνεχής (η $g'$ συνεχής), άρα η $h'$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\mathbb{R}$. Επομένως η $h$ είναι γνησίως μονότονη, άρα "1-1", και η ρίζα $x_{1}$ είναι μοναδική.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Ύπαρξη (3 μ.): ορισμός της $h(x)=g(x)+x$ και επίκληση συνέχειας στο $[-1,0]$: 1 μ.· έλεγχος προσήμων $h(-1)<0$, $h(0)>0$ με χρήση του $0<g(x)<1$: 1 μ.· εφαρμογή Bolzano και συμπέρασμα ύπαρξης $x_{1}\in(-1,0)$: 1 μ. Μοναδικότητα (3 μ.): $h'(x)=g'(x)+1\neq 0$: 1 μ.· επιχείρημα διατήρησης προσήμου της συνεχούς $h'$ (συνέπεια Θ. Bolzano/ενδιάμεσων τιμών) και γνήσια μονοτονία της $h$: 2 μ. Μερική πίστωση: μοναδικότητα με απλή δήλωση «$h$ γνησίως αύξουσα» χωρίς αιτιολόγηση της διατήρησης προσήμου της $h'$: το πολύ 1/3 μ. στο σκέλος μοναδικότητας.