Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα D (2 μονάδες)

Έστω $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο, με $0<g(x)<1$ και $g'(x)\neq -1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Δίνεται επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση
$$f(x)=\begin{cases} x^{2}\big(g(x)+x\big), & x\in(-\infty,0)\\[2pt] 2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-\kappa x, & x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\end{cases}$$
με $\kappa\in\mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι $\kappa=3$.

Απάντηση:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, άρα τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής συμπίπτουν. Είναι $f(0)=2\eta\mu 0+\varepsilon\varphi 0-\kappa\cdot 0=0$. Από αριστερά: $\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x^{2}(g(x)+x)}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}x\,(g(x)+x)=0$, αφού η παράσταση $g(x)+x$ είναι φραγμένη κοντά στο 0 ($0<g(x)<1$) και $x\to 0$. Από δεξιά: $\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-\kappa x}{x}=2\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\eta\mu x}{x}+\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\varepsilon\varphi x}{x}-\kappa=2+1-\kappa=3-\kappa$. Από την ισότητα των πλευρικών ορίων: $3-\kappa=0\Leftrightarrow\kappa=3$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (2 μ.). Υπολογισμός των δύο πλευρικών ορίων του λόγου μεταβολής στο 0 (αριστερό $=0$, δεξί $=3-\kappa$, με χρήση των γνωστών ορίων $\frac{\eta\mu x}{x}\to 1$, $\frac{\varepsilon\varphi x}{x}\to 1$ ή D.L.H.): 1 μ.· εξίσωση λόγω παραγωγισιμότητας στο 0 και συμπέρασμα $\kappa=3$: 1 μ. Αποδεκτή και η λύση μέσω συνέχειας στο 0 για την $f(0)=0$ και D.L.H. στο δεξί όριο. Χρήση μόνο της συνέχειας (χωρίς παραγωγισιμότητα) δεν αρκεί για τον προσδιορισμό του $\kappa$: 0 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα D (7 μονάδες)

Με τα δεδομένα του Θέματος Δ (και $\kappa=3$, οπότε $f(x)=2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-3x$ για $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$), να αποδείξετε ότι στο διάστημα $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ισχύουν:
i) $f(x)\ge 0$ (μονάδες 4) και
ii) η εξίσωση $3f(x)=\pi$ έχει ακριβώς μία ρίζα, $x_{2}$ (μονάδες 3).

Απάντηση:
i) Στο $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$: $f'(x)=2\sigma\upsilon\nu x+\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^{2}x}-3$ και $f''(x)=-2\eta\mu x+\dfrac{2\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu^{3}x}=\dfrac{2\eta\mu x\,(1-\sigma\upsilon\nu^{3}x)}{\sigma\upsilon\nu^{3}x}\ge 0$, αφού στο διάστημα αυτό $\eta\mu x\ge 0$, $\sigma\upsilon\nu x>0$ και $1-\sigma\upsilon\nu^{3}x\ge 0$ (με ισότητα μόνο στο 0). Άρα η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, οπότε για $x>0$: $f'(x)>f'(0)=2+1-3=0$. Επομένως η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ και, αφού $f(0)=0$, ισχύει $f(x)\ge f(0)=0$ για κάθε $x$ στο διάστημα. ii) Η εξίσωση ισοδυναμεί με $f(x)=\dfrac{\pi}{3}$. Η $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, με $f(0)=0$ και $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=+\infty$ (διότι $2\eta\mu x\to 2$, $-3x\to-\frac{3\pi}{2}$ και $\varepsilon\varphi x\to+\infty$, αφού $\sigma\upsilon\nu x\to 0^{+}$). Άρα το σύνολο τιμών είναι το $[0,+\infty)$, που περιέχει το $\dfrac{\pi}{3}$, οπότε υπάρχει $x_{2}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ με $f(x_{2})=\dfrac{\pi}{3}$· η ρίζα είναι μοναδική λόγω της γνήσιας μονοτονίας ("1-1").

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). i) (4 μ.): υπολογισμός $f'(x)$: 1 μ.· υπολογισμός $f''(x)$ και μελέτη προσήμου του (παραγοντοποίηση $\frac{2\eta\mu x(1-\sigma\upsilon\nu^{3}x)}{\sigma\upsilon\nu^{3}x}\ge 0$): 1 μ.· $f'$ αύξουσα με $f'(0)=0\Rightarrow f'(x)\ge 0$: 1 μ.· $f$ αύξουσα με $f(0)=0\Rightarrow f(x)\ge 0$: 1 μ. ii) (3 μ.): αναγωγή σε $f(x)=\frac{\pi}{3}$ και υπολογισμός $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}f(x)=+\infty$ με αιτιολόγηση για την $\varepsilon\varphi x$: 1 μ.· σύνολο τιμών $[0,+\infty)$ και ύπαρξη ρίζας (Θ.Ε.Τ./σύνολο τιμών): 1 μ.· μοναδικότητα λόγω γνήσιας μονοτονίας: 1 μ. Μερική πίστωση: απόδειξη του i) με ορθή εναλλακτική (π.χ. κυρτότητα και εφαπτομένη στο 0) πλήρως αποδεκτή· ισχυρισμός $f'\ge 0$ χωρίς μελέτη της $f''$ ή ισοδύναμη αιτιολόγηση: το πολύ 2/4 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 — math, Θέμα D (10 μονάδες)

Με τα δεδομένα του Θέματος Δ ($f(x)=x^{2}(g(x)+x)$ για $x<0$, $f(x)=2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-3x$ για $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, όπου $x_{1}\in(-1,0)$ με $g(x_{1})+x_{1}=0$ και $x_{2}$ η ρίζα της $3f(x)=\pi$):
i) Να αποδείξετε ότι $f(x)\ge 0$ στο διάστημα $[x_{1},0]$ (μονάδες 3).
ii) Έστω $\Omega$ το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=x_{1}$ και $x=f(x_{2})$. Αν ο άξονας $y'y$ χωρίζει το $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία, να αποδείξετε ότι:
$$\int_{x_{1}}^{0}x^{3}g'(x)\,dx=\frac{x_{1}^{4}}{4}+\frac{\pi^{2}}{2}-3\ln 2-3$$ (μονάδες 7).

Απάντηση:
i) Για $x\in[x_{1},0)$ είναι $f(x)=x^{2}h(x)$ με $h(x)=g(x)+x$. Από το Δ1 η $h$ είναι γνησίως μονότονη· επειδή $h(x_{1})=0<g(0)=h(0)$, είναι γνησίως αύξουσα. Άρα για $x\ge x_{1}$: $h(x)\ge h(x_{1})=0$, και αφού $x^{2}\ge 0$, έπεται $f(x)=x^{2}h(x)\ge 0$ στο $[x_{1},0]$ (στο $0$: $f(0)=0$). ii) Είναι $f(x_{2})=\dfrac{\pi}{3}$. Αφού $f\ge 0$ στο $\left[x_{1},\frac{\pi}{3}\right]$, η ισότητα των δύο εμβαδών εκατέρωθεν του $y'y$ γράφεται $\displaystyle\int_{x_{1}}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{\pi/3}f(x)dx$ (1). Αριστερό μέλος: $\displaystyle\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g(x)dx+\int_{x_{1}}^{0}x^{3}dx=\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g(x)dx-\frac{x_{1}^{4}}{4}$. Δεξιό μέλος: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}(2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-3x)dx=\left[-2\sigma\upsilon\nu x-\ln(\sigma\upsilon\nu x)-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{\pi/3}=(-1+\ln 2-\frac{\pi^{2}}{6})-(-2)=1+\ln 2-\frac{\pi^{2}}{6}$. Άρα από την (1): $\displaystyle\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g(x)dx=1+\ln 2-\frac{\pi^{2}}{6}+\frac{x_{1}^{4}}{4}$ (2). Για το ζητούμενο, με παραγοντική ολοκλήρωση: $\displaystyle\int_{x_{1}}^{0}x^{3}g'(x)dx=\left[x^{3}g(x)\right]_{x_{1}}^{0}-3\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g(x)dx=-x_{1}^{3}g(x_{1})-3\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g(x)dx$. Επειδή $g(x_{1})=-x_{1}$, είναι $-x_{1}^{3}g(x_{1})=x_{1}^{4}$, οπότε με τη (2): $\displaystyle\int_{x_{1}}^{0}x^{3}g'(x)dx=x_{1}^{4}-3\left(1+\ln 2-\frac{\pi^{2}}{6}+\frac{x_{1}^{4}}{4}\right)=\frac{x_{1}^{4}}{4}+\frac{\pi^{2}}{2}-3\ln 2-3$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). i) (3 μ.): αναγωγή στο πρόσημο της $h(x)=g(x)+x$ (αφού $x^{2}\ge 0$): 1 μ.· τεκμηρίωση ότι η $h$ είναι γνησίως αύξουσα (μονοτονία από Δ1 και σύγκριση $h(x_{1})=0<h(0)$, ή Θ.Μ.Τ.): 1 μ.· συμπέρασμα $h(x)\ge 0$ άρα $f(x)\ge 0$ στο $[x_{1},0]$: 1 μ. ii) (7 μ.): αναγνώριση $f(x_{2})=\frac{\pi}{3}$ και διατύπωση της ισεμβαδικότητας ως $\int_{x_{1}}^{0}f\,dx=\int_{0}^{\pi/3}f\,dx$ (με επίκληση $f\ge 0$): 2 μ.· υπολογισμός $\int_{0}^{\pi/3}(2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-3x)dx=1+\ln 2-\frac{\pi^{2}}{6}$ (με σωστή παράγουσα $-\ln(\sigma\upsilon\nu x)$ για την $\varepsilon\varphi x$): 2 μ.· ανάλυση $\int_{x_{1}}^{0}f=\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g\,dx-\frac{x_{1}^{4}}{4}$ και εξαγωγή της τιμής του $\int_{x_{1}}^{0}x^{2}g\,dx$: 1 μ.· παραγοντική ολοκλήρωση στο $\int_{x_{1}}^{0}x^{3}g'\,dx$ με χρήση $g(x_{1})=-x_{1}$: 1 μ.· ορθές πράξεις έως το τελικό αποτέλεσμα: 1 μ. Μερική πίστωση: λάθος πρόσημο στην παράγουσα της $\varepsilon\varphi x$: -1 μ.· παράλειψη της αιτιολόγησης $f\ge 0$ κατά τη μετάβαση από εμβαδά σε ολοκληρώματα: -1 μ. Ισοδύναμη πορεία (παραγοντική στο $\int x^{2}g$ αντί του τελικού) πλήρως αποδεκτή.