Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα D (9 μονάδες)

Θεωρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ και μια παράγουσα $F$ της $f$ στο $(0,+\infty)$ με $x f(x)=2F(x)\ln x$ για κάθε $x>0$, και $f'(1)=2$ (η εφαπτομένη στο $M(1,f(1))$ είναι παράλληλη στην $y=2x$).
Δ2. i) Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{\ln x}$ (μονάδες 4). ii) Να αποδείξετε ότι $F(1)=1$ (μονάδες 3) και $F(x)=x^{\ln x}$ για κάθε $x>0$ (μονάδες 2).

Απάντηση:
i) Για $x=1$ η σχέση δίνει $f(1)=2F(1)\ln 1=0$. Τότε $\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\dfrac{x-1}{\ln x}=f'(1)\cdot 1=2$ (το $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln x}=1$, π.χ. με de l'Hôpital). ii) Παραγωγίζοντας την $x f(x)=2F(x)\ln x$: $f(x)+x f'(x)=2f(x)\ln x+\dfrac{2F(x)}{x}$. Για $x=1$: $0+f'(1)=0+2F(1)$, άρα $F(1)=\dfrac{f'(1)}{2}=1$. Από το Δ1 η $g$ είναι σταθερή και $g(1)=\dfrac{F(1)}{1^{\ln 1}}=1$, οπότε $F(x)=x^{\ln x}$ για κάθε $x>0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (9 μ.). i (4 μ.): εύρεση $f(1)=0$ από τη δοσμένη σχέση: 1 μ.· μετασχηματισμός του ορίου σε $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{\ln x}$ (ή ισοδύναμη χρήση de l'Hôpital): 2 μ.· τιμή 2: 1 μ. ii (5 μ.): τεκμηριωμένη εύρεση $F(1)=1$ (είτε με παραγώγιση της σχέσης είτε με το όριο $\lim 2F(x)/x$): 3 μ.· χρήση της σταθερότητας της $g$ με $g(1)=F(1)=1$ και κατάληξη σε $F(x)=x^{\ln x}$: 2 μ. Μερική πίστωση: απάντηση 2 χωρίς τεκμηρίωση του $\lim\frac{x-1}{\ln x}=1$: -1 μ.· δήλωση $F(x)=x^{\ln x}$ χωρίς υπολογισμό της σταθεράς: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα D (5 μονάδες)

Δίνεται ότι $F(x)=x^{\ln x}=e^{\ln^{2}x}$, $x>0$ (παράγουσα της $f$ με τις υποθέσεις του Θέματος Δ).
Δ3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση $F$ (μονάδες 2) και να λύσετε την εξίσωση $F(x^{2})=F(x)-(x-1)^{2}$ στο διάστημα $(0,+\infty)$ (μονάδες 3).

Απάντηση:
$F'(x)=e^{\ln^{2}x}\cdot\dfrac{2\ln x}{x}$, που έχει το πρόσημο του $\ln x$. Άρα η $F$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ (ολικό ελάχιστο $F(1)=1$). Για την εξίσωση: $F(x^{2})=e^{\ln^{2}(x^{2})}=e^{4\ln^{2}x}\ge e^{\ln^{2}x}=F(x)$, ενώ $F(x)-(x-1)^{2}\le F(x)$. Άρα $F(x^{2})=F(x)-(x-1)^{2}$ μόνο αν $e^{4\ln^{2}x}=e^{\ln^{2}x}$ και $(x-1)^{2}=0$, δηλαδή $\ln x=0$ και $x=1$. Επαλήθευση: $F(1)=F(1)-0$. Μοναδική λύση $x=1$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Μονοτονία (2 μ.): $F'(x)=e^{\ln^{2}x}\frac{2\ln x}{x}$ με πρόσημο του $\ln x$ — γνησίως φθίνουσα στο $(0,1]$, γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$. Εξίσωση (3 μ.): προφανής ρίζα $x=1$ (1 μ.)· απόδειξη μοναδικότητας με διάκριση περιπτώσεων $x>1$ και $0<x<1$ — και στις δύο $F(x^{2})>F(x)$ λόγω μονοτονίας, άρα $F(x^{2})-F(x)+(x-1)^{2}>0$ και η εξίσωση είναι αδύνατη (2 μ.). Δεκτή και η ισοδύναμη τεκμηρίωση μέσω $e^{4\ln^{2}x}\ge e^{\ln^{2}x}$. Μερική πίστωση: εύρεση μόνο της προφανούς ρίζας χωρίς απόδειξη μοναδικότητας: -2 μ. Εξέταση μίας μόνο περίπτωσης: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα D (5 μονάδες)

Δίνεται ότι $F(x)=x^{\ln x}=e^{\ln^{2}x}$, $x>0$.
Δ4. Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν $E$ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $F$, τις ευθείες $x=1$, $x=e$ και τον άξονα $x'x$ ισχύει $E>2e-3$.

Απάντηση:
Αφού $F(x)=e^{\ln^{2}x}>0$, είναι $E=\int_{1}^{e} e^{\ln^{2}x}\,dx$. Από τη γνωστή ανισότητα $e^{t}\ge t+1$ (με ισότητα μόνο για $t=0$): $e^{\ln^{2}x}\ge 1+\ln^{2}x$, με ισότητα μόνο στο $x=1$. Άρα $E>\int_{1}^{e}\left(1+\ln^{2}x\right)dx$. Με $\int \ln^{2}x\,dx = x\ln^{2}x-2x\ln x+2x$: $\int_{1}^{e}\ln^{2}x\,dx=(e-2e+2e)-2=e-2$. Επομένως $E>(e-1)+(e-2)=2e-3$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Διατύπωση $E=\int_{1}^{e}F(x)dx$ με αιτιολόγηση ότι $F(x)>0$: 1 μ. Χρήση της γνωστής ανισότητας $e^{t}\ge t+1$ για $t=\ln^{2}x$ και τεκμηρίωση της ΑΥΣΤΗΡΗΣ ανισότητας στο ολοκλήρωμα (ισότητα μόνο στο $x=1$): 2 μ. Υπολογισμός $\int_{1}^{e}(1+\ln^{2}x)dx=2e-3$ με παραγοντική ολοκλήρωση: 1,5 μ. Τελικό συμπέρασμα $E>2e-3$: 0,5 μ. Μερική πίστωση: χρήση $\ge$ αντί $>$ χωρίς τεκμηρίωση της αυστηρότητας: -1 μ. Λάθος στην παραγοντική ολοκλήρωση με ορθή μέθοδο: -1 μ.