Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα A (6 μονάδες)

Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $\Delta$, τότε να αποδείξετε ότι:
• όλες οι συναρτήσεις της μορφής $G(x)=F(x)+c$, $c\in\mathbb{R}$, είναι παράγουσες της $f$ στο $\Delta$ και
• κάθε άλλη παράγουσα $G$ της $f$ στο $\Delta$ παίρνει τη μορφή $G(x)=F(x)+c$, για κάποιο $c\in\mathbb{R}$.

Απάντηση:
Πρόκειται για την απόδειξη του σχολικού βιβλίου. (i) Αν $G(x)=F(x)+c$, τότε $G'(x)=F'(x)=f(x)$ για κάθε $x\in\Delta$, άρα η $G$ είναι παράγουσα της $f$. (ii) Αν $G$ είναι παράγουσα της $f$ στο $\Delta$, τότε $(G-F)'(x)=f(x)-f(x)=0$ για κάθε $x\in\Delta$, οπότε (συνέπεια Θ.Μ.Τ. σε διάστημα) η $G-F$ είναι σταθερή, δηλαδή $G(x)=F(x)+c$ για κάποιο $c\in\mathbb{R}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Απόδειξη σχολικού βιβλίου (σ. 186). Α΄ σκέλος — απόδειξη ότι κάθε G(x)=F(x)+c είναι παράγουσα, με χρήση $G'(x)=F'(x)=f(x)$: 3 μ. Β΄ σκέλος — θεώρηση της $G-F$, απόδειξη ότι $(G-F)'=0$ στο $\Delta$ και επίκληση του πορίσματος του Θ.Μ.Τ. ότι συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ΔΙΑΣΤΗΜΑ είναι σταθερή: 3 μ. Μερική πίστωση: β΄ σκέλος χωρίς αναφορά ότι το $\Delta$ είναι διάστημα (ουσιώδης προϋπόθεση): -1 μ. Απλή επίκληση του συμπεράσματος χωρίς απόδειξη: 0 μ. στο αντίστοιχο σκέλος.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα A (5 μονάδες)

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών.

Απάντηση:
Έστω συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ με $f(\alpha)\neq f(\beta)$. Τότε, για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=\eta$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Πλήρης διατύπωση Θ.Ε.Τ. (σχολικό σ. 76): υποθέσεις (συνέχεια στο κλειστό $[\alpha,\beta]$, $f(\alpha)\neq f(\beta)$): 3 μ.· συμπέρασμα (για κάθε $\eta$ μεταξύ $f(\alpha), f(\beta)$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in(\alpha,\beta)$ με $f(x_0)=\eta$): 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη της συνθήκης $f(\alpha)\neq f(\beta)$: -1 μ.· «υπάρχει μοναδικό» αντί «τουλάχιστον ένα»: -2 μ.· ανοικτό αντί κλειστού διαστήματος στην υπόθεση συνέχειας: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα A (4 μονάδες)

Πότε η ευθεία $x=x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$;

Απάντηση:
Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια $\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)$, $\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)$ είναι $+\infty$ ή $-\infty$, τότε η ευθεία $x=x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορισμός σχολικού βιβλίου (σ. 161): αναφορά ότι αρκεί ΕΝΑ τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια στο $x_0$ να είναι $+\infty$ ή $-\infty$: 4 μ. Μερική πίστωση: απαίτηση και των δύο πλευρικών ορίων ή μόνο του ενός: -2 μ.· αναφορά μόνο σε $+\infty$ χωρίς το $-\infty$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα A (10 μονάδες)

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστό ή Λάθος:
α) Έστω $f:A\to\mathbb{R}$ μια συνάρτηση η οποία είναι "1-1". Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$ της $f$ είναι το σύνολο τιμών της $f$.
β) Αν $f, g, h$ είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η $h\circ(g\circ f)$, τότε ορίζεται και η $(h\circ g)\circ f$ και ισχύει $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.
γ) Αν $v\in\mathbb{N}^{*}$, ισχύει ότι $\lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x^{2v}}=-\infty$.
δ) Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα $\Delta$, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ σε κάθε σημείο του $\Delta$ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
ε) Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f\circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει $(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$.

Απάντηση:
α) Σωστό. β) Σωστό (η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική). γ) Λάθος (για άρτιο εκθέτη $x^{2v}>0$, άρα το όριο είναι $+\infty$). δ) Λάθος (σε κυρτή συνάρτηση η εφαπτομένη βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική παράσταση). ε) Σωστό (κανόνας αλυσίδας).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). Σωστό–Λάθος: 2 μ. ανά πρόταση (α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Σ). Καμία μερική πίστωση ανά πρόταση (0 ή 2). Δεν απαιτείται αιτιολόγηση ή αντιπαράδειγμα· τυχόν λανθασμένη αιτιολόγηση δεν αφαιρεί μονάδες εφόσον ο χαρακτηρισμός είναι ορθός.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα B (5 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=x^{3}+\alpha x^{2}+9x-3$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Δίνεται ακόμα ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_0=1$.
Β1. Να βρείτε την τιμή του $\alpha$.

Απάντηση:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=3x^{2}+2\alpha x+9$. Αφού η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο $x_0=1$, από το Θεώρημα Fermat $f'(1)=0 \Rightarrow 3+2\alpha+9=0 \Rightarrow \alpha=-6$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Επίκληση Θεωρήματος Fermat με έλεγχο των προϋποθέσεων (εσωτερικό σημείο, παραγωγισιμότητα, τοπικό ακρότατο) και συνθήκη $f'(1)=0$: 3 μ. Υπολογισμός $f'(x)=3x^{2}+2\alpha x+9$ και επίλυση για $\alpha=-6$: 2 μ. Μερική πίστωση: εφαρμογή $f'(1)=0$ χωρίς αναφορά στο Θ. Fermat: -1 μ. Ορθή διαδικασία με αριθμητικό λάθος στο τελικό $\alpha$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα B (10 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-3$ (δηλαδή $\alpha=-6$).
Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει τρεις θετικές πραγματικές ρίζες.

Απάντηση:
$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$, άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στα $(-\infty,1]$ και $[3,+\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο $[1,3]$. Ισχύει $f(0)=-3<0$, $f(1)=1>0$, $f(3)=-3<0$ και $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (π.χ. $f(5)=17>0$). Από Θεώρημα Bolzano και τη μονοτονία σε καθένα από τα $[0,1]$, $[1,3]$, $[3,5]$, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα σε καθένα από τα $(0,1)$, $(1,3)$, $(3,5)$ — τρεις θετικές πραγματικές ρίζες.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). Υπολογισμός $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ και πλήρης μελέτη μονοτονίας με πίνακα προσήμου: 4 μ. Εύρεση των συνόλων τιμών/προσήμων στα τρία διαστήματα (π.χ. $f(0)=-3<0$, $f(1)=1>0$, $f(3)=-3<0$, $f(x)\to+\infty$) και εφαρμογή Θ. Bolzano ή του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών σε καθένα: 4 μ. Τεκμηρίωση μοναδικότητας ρίζας ανά διάστημα (λόγω γνήσιας μονοτονίας) και ότι και οι τρεις είναι θετικές: 2 μ. Μερική πίστωση: εφαρμογή Bolzano χωρίς έλεγχο/αναφορά της συνέχειας στο κλειστό διάστημα: -2 μ. Απόδειξη ύπαρξης τριών ριζών χωρίς τεκμηρίωση ότι είναι θετικές: -2 μ. Χρήση μόνο δύο διαστημάτων: -3 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-3$, $x\in\mathbb{R}$.
Β3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Απάντηση:
$f''(x)=6x-12$. Για $x<2$ είναι $f''(x)<0$, άρα η $f$ είναι κοίλη στο $(-\infty,2]$· για $x>2$ είναι $f''(x)>0$, άρα η $f$ είναι κυρτή στο $[2,+\infty)$. Στο $x_0=2$ η $f''$ αλλάζει πρόσημο και η $f$ έχει σημείο καμπής το $(2, f(2))=(2,-1)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). $f''(x)=6x-12$: 2 μ. Ορθά διαστήματα: κοίλη στο $(-\infty,2]$, κυρτή στο $[2,+\infty)$: 2 μ. Σημείο καμπής $(2,-1)$ με αιτιολόγηση αλλαγής προσήμου της $f''$: 2 μ. Μερική πίστωση: αντιστροφή των όρων κυρτή/κοίλη: -2 μ. Αναφορά μόνο της τετμημένης $x=2$ χωρίς την τεταγμένη $f(2)=-1$: -1 μ. Παράλειψη αιτιολόγησης αλλαγής προσήμου: -1 μ.