Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα B (4 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-3$, $x\in\mathbb{R}$.
Β4. Έστω $g(x)=x+f(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Αν $\xi\in\mathbb{R}$, να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ στα σημεία $A(\xi, f(\xi))$ και $B(\xi, g(\xi))$, αντίστοιχα, τέμνονται πάνω στον άξονα $y'y$.

Απάντηση:
Η εφαπτομένη της $C_f$ στο $A$ είναι $y=f(\xi)+f'(\xi)(x-\xi)$ και της $C_g$ στο $B$ είναι $y=g(\xi)+g'(\xi)(x-\xi)$ με $g'(\xi)=1+f'(\xi)$. Οι δύο ευθείες έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης ($g'(\xi)-f'(\xi)=1\neq 0$), άρα τέμνονται. Για $x=0$ η πρώτη δίνει $y=f(\xi)-\xi f'(\xi)$ και η δεύτερη $y=g(\xi)-\xi g'(\xi)=f(\xi)+\xi-\xi-\xi f'(\xi)=f(\xi)-\xi f'(\xi)$. Έχουν δηλαδή το ίδιο σημείο τομής με τον άξονα $y'y$, το $(0, f(\xi)-\xi f'(\xi))$, άρα τέμνονται πάνω στον $y'y$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορθές εξισώσεις των δύο εφαπτομένων με $g'(\xi)=1+f'(\xi)$: 2 μ. Εξίσωση των δύο σχέσεων και κατάληξη σε $x=0$ (ή απόδειξη ότι και οι δύο τέμνουν τον $y'y$ στο ίδιο σημείο $f(\xi)-\xi f'(\xi)$): 2 μ. Μερική πίστωση: λάθος στον υπολογισμό της $g'$: -2 μ. Διαπίστωση κοινού σημείου χωρίς αναφορά ότι βρίσκεται στον άξονα $y'y$ ($x=0$): -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα C (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} e^{x}\eta\mu x, & x<0 \\ \sqrt{x^{2}+x}, & x\ge 0 \end{cases}$
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0$ (μονάδες 2) αλλά όχι παραγωγίσιμη στο $x_0$ (μονάδες 4).

Απάντηση:
Συνέχεια: $\lim_{x\to 0^{-}} e^{x}\eta\mu x = 0$ και $\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x^{2}+x}=0=f(0)$, άρα η $f$ είναι συνεχής στο $0$. Παραγωγισιμότητα: $\lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{e^{x}\eta\mu x - 0}{x} = \lim_{x\to 0^{-}} e^{x}\cdot\dfrac{\eta\mu x}{x} = 1$, ενώ $\lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x} = \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} = +\infty$. Τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής δεν είναι ίσα (και το δεξιό δεν είναι πραγματικός αριθμός), άρα η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Συνέχεια (2 μ.): υπολογισμός και των δύο πλευρικών ορίων στο 0 και σύγκριση με $f(0)=0$ (1 μ. αν υπολογιστεί μόνο το ένα). Μη παραγωγισιμότητα (4 μ.): αριστερό όριο λόγου μεταβολής $=1$ με χρήση $\lim\frac{\eta\mu x}{x}=1$: 2 μ.· δεξιό όριο $=+\infty$: 2 μ. Μερική πίστωση: σωστά όρια χωρίς τελικό συμπέρασμα μη παραγωγισιμότητας: -1 μ. Χρήση μόνο του ορίου της $f'$ αντί του ορισμού της παραγώγου: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα C (7 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} e^{x}\eta\mu x, & x<0 \\ \sqrt{x^{2}+x}, & x\ge 0 \end{cases}$
Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Απάντηση:
Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$, άρα δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες. Στο $-\infty$: $|e^{x}\eta\mu x|\le e^{x}\to 0$, άρα $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$ και η $y=0$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $-\infty$. Στο $+\infty$: $\lambda=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x} = \lim \sqrt{1+\tfrac{1}{x}} = 1$ και $\beta=\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{x^{2}+x}-x) = \lim \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \dfrac{1}{2}$. Άρα η ευθεία $y=x+\dfrac{1}{2}$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Οριζόντια ασύμπτωτη $y=0$ στο $-\infty$ με τεκμηρίωση μέσω κριτηρίου παρεμβολής ($|e^{x}\eta\mu x|\le e^{x}$): 3 μ. Υπολογισμός $\lambda=1$: 2 μ. Υπολογισμός $\beta=1/2$ (με ρητοποίηση) και διατύπωση της πλάγιας ασύμπτωτης $y=x+\frac{1}{2}$ στο $+\infty$: 2 μ. Μερική πίστωση: αναφορά ότι δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες (λόγω συνέχειας στο $\mathbb{R}$) — δεν βαθμολογείται επιπλέον αλλά η παράλειψή της δεν αφαιρεί μονάδες. Εύρεση $\lambda$ χωρίς $\beta$: -2 μ. Ισχυρισμός οριζόντιας ασύμπτωτης στο $-\infty$ χωρίς τεκμηρίωση του ορίου: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα C (5 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} e^{x}\eta\mu x, & x<0 \\ \sqrt{x^{2}+x}, & x\ge 0 \end{cases}$
Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ τέμνει την ευθεία $(\varepsilon): y=x+\dfrac{1}{2}$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $\xi\in(-\pi, 0)$.

Απάντηση:
Θεωρούμε $h(x)=f(x)-x-\dfrac{1}{2}=e^{x}\eta\mu x - x - \dfrac{1}{2}$ στο $[-\pi, 0]$, συνεχή ως πράξεις συνεχών. $h(-\pi)=e^{-\pi}\cdot 0 + \pi - \dfrac{1}{2} = \pi-\dfrac{1}{2}>0$ και $h(0)=-\dfrac{1}{2}<0$. Από Θεώρημα Bolzano υπάρχει $\xi\in(-\pi,0)$ με $h(\xi)=0$, δηλαδή $f(\xi)=\xi+\dfrac{1}{2}$, οπότε η $C_f$ τέμνει την $(\varepsilon)$ σε σημείο με τετμημένη $\xi\in(-\pi,0)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Θεώρηση κατάλληλης βοηθητικής συνάρτησης $h(x)=f(x)-x-\frac{1}{2}$ στο $[-\pi,0]$ και αιτιολόγηση συνέχειας: 2 μ. Υπολογισμός $h(-\pi)=\pi-\frac{1}{2}>0$ και $h(0)=-\frac{1}{2}<0$: 2 μ. Εφαρμογή Θ. Bolzano και διατύπωση συμπεράσματος για $\xi\in(-\pi,0)$: 1 μ. Μερική πίστωση: χρήση του κλάδου $\sqrt{x^{2}+x}$ αντί του $e^{x}\eta\mu x$ στο διάστημα $[-\pi,0]$ (λάθος κλάδος): -3 μ. Παράλειψη ελέγχου συνέχειας: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα C (7 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} e^{x}\eta\mu x, & x<0 \\ \sqrt{x^{2}+x}, & x\ge 0 \end{cases}$
Γ4. Ένα κινητό $M$ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης $y=f(x)$, $x\ge 0$, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης $x$ του $M$, $x'(t)$, να είναι θετικός για κάθε $t\ge 0$. Να εξετάσετε εάν υπάρχει χρονική στιγμή $t_0\ge 0$ τέτοια ώστε ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης $y$ του $M$ να είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης $x$ του $M$.

Απάντηση:
Για $t$ με $x(t)>0$ είναι $y(t)=\sqrt{x^{2}(t)+x(t)}$ και $y'(t)=\dfrac{2x(t)+1}{2\sqrt{x^{2}(t)+x(t)}}\,x'(t)$. Η ισότητα $y'(t_0)=x'(t_0)$ με $x'(t_0)>0$ απαιτεί $\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}=1 \iff (2x+1)^{2}=4(x^{2}+x) \iff 4x^{2}+4x+1=4x^{2}+4x \iff 1=0$, άτοπο. Για $x(t_0)=0$ (αρχή της κίνησης) η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$, οπότε δεν ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής της $y$ μέσω παραγώγισης της σύνθεσης. Επομένως δεν υπάρχει χρονική στιγμή $t_0\ge 0$ με $y'(t_0)=x'(t_0)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Έκφραση $y(t)=\sqrt{x^{2}(t)+x(t)}$ και παραγώγιση με κανόνα αλυσίδας: 3 μ. Θέση της συνθήκης $y'(t_0)=x'(t_0)$ με $x'(t_0)>0$ και απλοποίηση: 2 μ. Αναγωγή σε αδύνατη σχέση ($1=0$) και συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει τέτοια χρονική στιγμή: 2 μ. Μερική πίστωση: διαίρεση με $x'(t)$ χωρίς αναφορά ότι $x'(t)>0\neq 0$: -1 μ. Ορθοί υπολογισμοί χωρίς τελικό συμπέρασμα: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2025 — math, Θέμα D (6 μονάδες)

Θεωρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ και μια παράγουσα $F$ της $f$ στο $(0,+\infty)$ για τις οποίες ισχύει ότι $x f(x)=2F(x)\ln x$ για κάθε $x>0$. Δίνεται ακόμα ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο $M(1, f(1))$ είναι παράλληλη στην ευθεία $(\varepsilon): y=2x$.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=\dfrac{F(x)}{x^{\ln x}}$, $x>0$, είναι σταθερή.

Απάντηση:
Είναι $x^{\ln x}=e^{\ln^{2}x}>0$ και $\left(x^{\ln x}\right)'=e^{\ln^{2}x}\cdot\dfrac{2\ln x}{x}=x^{\ln x}\cdot\dfrac{2\ln x}{x}$. Τότε $g'(x)=\dfrac{F'(x)\,x^{\ln x}-F(x)\,x^{\ln x}\frac{2\ln x}{x}}{x^{2\ln x}}=\dfrac{f(x)-\frac{2F(x)\ln x}{x}}{x^{\ln x}}=\dfrac{x f(x)-2F(x)\ln x}{x\,x^{\ln x}}=0$ για κάθε $x>0$, λόγω της υπόθεσης. Άρα η $g$ είναι σταθερή στο διάστημα $(0,+\infty)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Γραφή $x^{\ln x}=e^{\ln^{2}x}$ και ορθή παραγώγισή του: 3 μ. Υπολογισμός $g'(x)$ με κανόνα πηλίκου, αντικατάσταση της δοσμένης σχέσης $xf(x)=2F(x)\ln x$ και εύρεση $g'(x)=0$: 2 μ. Συμπέρασμα ότι η $g$ είναι σταθερή, με αναφορά ότι το $(0,+\infty)$ είναι ΔΙΑΣΤΗΜΑ: 1 μ. Μερική πίστωση: $g'(x)=0$ χωρίς αναφορά στο διάστημα: -1 μ. Λάθος παράγωγος του $x^{\ln x}$: -3 μ.