Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, $x>1$ (για την οποία ισχύει $f^{-1}=f$) και $r(x)=x-\dfrac{1}{x}$, $x\geq 1$. Να λύσετε την εξίσωση $$\left(f^{-1}\big(f(x)\big)\right)^{2}=1+4\,r(x).$$

Απάντηση:
Η εξίσωση ορίζεται για $x>1$ (πεδίο ορισμού της $f$). Επειδή $f^{-1}(f(x))=x$ για κάθε $x>1$, η εξίσωση γράφεται $$x^2=1+4\left(x-\frac{1}{x}\right)\Leftrightarrow x^3=x+4x^2-4\Leftrightarrow x^3-4x^2-x+4=0$$ $$\Leftrightarrow x^2(x-4)-(x-4)=0\Leftrightarrow (x-4)(x-1)(x+1)=0,$$ με ρίζες $x=4$, $x=1$, $x=-1$. Λόγω του περιορισμού $x>1$, μοναδική δεκτή λύση είναι η $x=4$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Περιορισμός $x>1$ και αναγνώριση ότι $f^{-1}(f(x))=x$: 2 μ. Αναγωγή σε πολυωνυμική εξίσωση $x^3-4x^2-x+4=0$: 1,5 μ. Παραγοντοποίηση $(x-4)(x-1)(x+1)=0$ και εύρεση των τριών ριζών: 1,5 μ. Έλεγχος αποδεκτότητας και τελική απάντηση $x=4$: 1 μ. Μερική πίστωση: αποδοχή και των απορριπτέων ριζών $x=1$ ή $x=-1$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα C (5 μονάδες)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $$f(x)=\begin{cases} -2x+4+e^{\lambda}, & 0\leq x<2\\ -x^{2}+4x-3+\lambda, & x\geq 2,\end{cases}$$ με $\lambda\in\mathbb{R}$.
Να αποδείξετε ότι $\lambda=0$.

Απάντηση:
Αφού η $f$ είναι συνεχής στο $[0,+\infty)$, είναι συνεχής και στο $x_0=2$, άρα $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)$. Είναι $\lim_{x\to 2^-}f(x)=e^{\lambda}$ και $f(2)=-4+8-3+\lambda=1+\lambda$, οπότε $e^{\lambda}=\lambda+1$. Από τη γνωστή ανισότητα $e^{u}\geq u+1$ για κάθε $u\in\mathbb{R}$, με ισότητα μόνο για $u=0$ (προκύπτει π.χ. από τη $\ln x\leq x-1$ ή με μελέτη της $\varphi(u)=e^{u}-u-1$, που έχει ολικό ελάχιστο $\varphi(0)=0$), η εξίσωση $e^{\lambda}=\lambda+1$ ικανοποιείται μόνο για $\lambda=0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Χρήση της συνέχειας στο $x_0=2$ και εξαγωγή της εξίσωσης $e^{\lambda}=\lambda+1$: 2 μ. Τεκμηρίωση ότι η ισότητα $e^{u}=u+1$ ισχύει μόνο για $u=0$ (μέσω γνωστής ανισότητας με αναφορά στη συνθήκη ισότητας ή με μελέτη μονοτονίας/ακροτάτου της $\varphi(u)=e^{u}-u-1$): 2,5 μ. Συμπέρασμα $\lambda=0$: 0,5 μ. Μερική πίστωση: εύρεση της $e^{\lambda}=\lambda+1$ και απλή «επαλήθευση» ότι το $\lambda=0$ την ικανοποιεί, χωρίς απόδειξη μοναδικότητας: το πολύ 3 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα C (6 μονάδες)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $$f(x)=\begin{cases} -2x+5, & 0\leq x<2\\ -x^{2}+4x-3, & x\geq 2.\end{cases}$$
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη και στη συνέχεια να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατά της.

Απάντηση:
Για $x\in(0,2)$ είναι $f'(x)=-2<0$ και η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$, άρα γνησίως φθίνουσα στο $[0,2]$. Για $x>2$ είναι $f'(x)=-2x+4=-2(x-2)<0$ και η $f$ είναι συνεχής στο $[2,+\infty)$, άρα γνησίως φθίνουσα στο $[2,+\infty)$. Επειδή τα δύο διαστήματα έχουν κοινό το σημείο $x=2$ και η $f$ είναι συνεχής, η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $[0,+\infty)$. Επομένως στη θέση $x=0$ (κλειστό άκρο) παρουσιάζει ολικό μέγιστο το $f(0)=5$, ενώ δεν έχει ελάχιστο, αφού $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Παράγωγος και πρόσημο σε καθέναν από τους δύο κλάδους ($f'<0$): 2 μ. Σύνθεση των δύο διαστημάτων με επίκληση της συνέχειας στο $x=2$, ώστε η μονοτονία να ισχύει σε ΟΛΟ το $[0,+\infty)$: 2 μ. Ολικό μέγιστο $f(0)=5$ στο $x=0$: 1 μ. Αιτιολόγηση ανυπαρξίας ελαχίστου ($f$ γνησίως φθίνουσα με $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$): 1 μ. Μερική πίστωση: μονοτονία χωριστά σε κάθε κλάδο χωρίς ενοποίηση στο $[0,+\infty)$: το πολύ 3 μ. στα δύο πρώτα βήματα.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα C (8 μονάδες)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $$f(x)=\begin{cases} -2x+5, & 0\leq x<2\\ -x^{2}+4x-3, & x\geq 2.\end{cases}$$
i) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο διάστημα $[0,3]$. (μονάδες 4)
ii) Να βρείτε, αν υπάρχει, $\xi\in(0,3)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της $f$ στο σημείο $\Gamma(\xi, f(\xi))$ να είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\Delta(0, f(0))$ και $E(3, f(3))$. (μονάδες 4)

Απάντηση:
i) Η $f$ είναι συνεχής στο $[0,3]$. Στο εσωτερικό σημείο $x_0=2$ εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα με πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής: $\lim_{x\to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^-}\frac{-2x+4}{x-2}=-2$, ενώ $\lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^+}\frac{-(x-2)^2}{x-2}=0$. Αφού $-2\neq 0$, η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=2\in(0,3)$, άρα ΔΕΝ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο $[0,3]$.
ii) Η ευθεία $\Delta E$ έχει κλίση $\lambda=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{0-5}{3}=-\frac{5}{3}$. Ζητούμε $\xi\in(0,2)\cup(2,3)$ με $f'(\xi)=-\frac{5}{3}$. Για $\xi\in(0,2)$: $f'(\xi)=-2\neq-\frac{5}{3}$, αδύνατη. Για $\xi\in(2,3)$: $-2\xi+4=-\frac{5}{3}\Leftrightarrow \xi=\frac{17}{6}$, που ανήκει στο $(2,3)$. Άρα το ζητούμενο σημείο υπάρχει, για $\xi=\frac{17}{6}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). Σκέλος i (4 μ.): διαπίστωση συνέχειας στο $[0,3]$: 1 μ.· υπολογισμός των δύο πλευρικών ορίων του λόγου μεταβολής στο $x_0=2$ ($-2$ και $0$): 2 μ.· συμπέρασμα μη παραγωγισιμότητας στο $2$ και άρα μη ικανοποίησης των υποθέσεων του Θ.Μ.Τ.: 1 μ. Σκέλος ii (4 μ.): κλίση της $\Delta E$ ίση με $-\frac{5}{3}$: 1 μ.· διερεύνηση στην περίπτωση $\xi\in(0,2)$ (αδύνατη): 1 μ.· επίλυση στην περίπτωση $\xi\in(2,3)$ με $\xi=\frac{17}{6}$ και έλεγχος ότι $\frac{17}{6}\in(2,3)$: 2 μ. Μερική πίστωση: στο i, απόφανση περί μη παραγωγισιμότητας χωρίς υπολογισμό πλευρικών ορίων: το πολύ 2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα C (6 μονάδες)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $$f(x)=\begin{cases} -2x+5, & 0\leq x<2\\ -x^{2}+4x-3, & x\geq 2.\end{cases}$$
Κινητό σημείο $M$ ξεκινά από το σημείο $A(2,0)$ και κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα $\upsilon=0{,}5$ μονάδες μήκους το δευτερόλεπτο. Αν $O$ είναι η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η γωνία $\omega=\widehat{AOM}$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το κινητό σημείο $M$ θα συναντήσει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$.

Απάντηση:
Το $M$ κινείται στην κατακόρυφη ευθεία $x=2$, άρα συναντά τη $C_f$ στο σημείο $(2, f(2))=(2,1)$. Αν $y(t)$ η τεταγμένη του $M$ τη στιγμή $t$, τότε $y'(t)=\upsilon=\frac{1}{2}$. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OAM$ (ορθή γωνία στο $A$) ισχύει $\varepsilon\varphi\,\omega(t)=\frac{AM}{OA}=\frac{y(t)}{2}$. Παραγωγίζοντας ως προς $t$: $\frac{\omega'(t)}{\sigma\upsilon\nu^{2}\omega(t)}=\frac{y'(t)}{2}$, δηλαδή $\omega'(t)=\frac{y'(t)}{2}\,\sigma\upsilon\nu^{2}\omega(t)$. Τη στιγμή $t_0$ της συνάντησης: $y(t_0)=1$, $OM=\sqrt{OA^2+AM^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ και $\sigma\upsilon\nu\,\omega(t_0)=\frac{OA}{OM}=\frac{2}{\sqrt{5}}$, άρα $\sigma\upsilon\nu^{2}\omega(t_0)=\frac{4}{5}$. Επομένως $$\omega'(t_0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\ \text{rad/s}.$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Προσδιορισμός του σημείου συνάντησης $(2, f(2))=(2,1)$: 1 μ. Γεωμετρική σχέση $\varepsilon\varphi\,\omega(t)=\frac{y(t)}{2}$ (τρίγωνο $OAM$): 1,5 μ. Παραγώγιση ως προς τον χρόνο και σχέση ρυθμών $\frac{\omega'(t)}{\sigma\upsilon\nu^{2}\omega(t)}=\frac{y'(t)}{2}$: 1,5 μ. Υπολογισμός $\sigma\upsilon\nu^{2}\omega(t_0)=\frac{4}{5}$ (μέσω $OM=\sqrt{5}$): 1 μ. Τελικό αποτέλεσμα $\omega'(t_0)=\frac{1}{5}$ rad/s: 1 μ. Μερική πίστωση: σωστή μεθοδολογία με αριθμητικό λάθος στο τελικό βήμα: -1 μ.