Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα D (4 μονάδες)

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $$f(x)=\frac{\ln x+\alpha x}{x},$$ όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Δίνεται ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $f\big((0,+\infty)\big)=\left(-\infty,\,1+\frac{1}{e}\right]$.
Να αποδείξετε ότι $\alpha=1$.

Απάντηση:
Γράφουμε $f(x)=\frac{\ln x}{x}+\alpha$. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$, οπότε $f'(x)>0\Leftrightarrow x<e$ και $f'(x)<0\Leftrightarrow x>e$. Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,e]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[e,+\infty)$, με ολικό μέγιστο $f(e)=\frac{1}{e}+\alpha$. Αφού το σύνολο τιμών είναι $\left(-\infty, 1+\frac{1}{e}\right]$, το μέγιστο ισούται με $1+\frac{1}{e}$, δηλαδή $\frac{1}{e}+\alpha=1+\frac{1}{e}$, άρα $\alpha=1$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Υπολογισμός $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ και μελέτη προσήμου: 1,5 μ. Μονοτονία στα $(0,e]$, $[e,+\infty)$ και ολικό μέγιστο $f(e)=\frac{1}{e}+\alpha$: 1,5 μ. Εξίσωση του μεγίστου με το άνω άκρο του δοσμένου συνόλου τιμών και συμπέρασμα $\alpha=1$: 1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα D (6 μονάδες)

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\dfrac{\ln x+x}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+1$, με σύνολο τιμών $\left(-\infty,\,1+\frac{1}{e}\right]$.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $\left(\frac{1}{2},\,1\right)$.

Απάντηση:
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta_1=(0,e]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\Delta_2=[e,+\infty)$. Είναι $f(\Delta_1)=\left(\lim_{x\to 0^+}f(x),\,f(e)\right]=\left(-\infty,\,1+\frac{1}{e}\right]$, αφού $\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}=-\infty$, και $f(\Delta_2)=\left[\lim_{x\to+\infty}f(x),\,f(e)\right]$ όπου $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ (κανόνας de l'Hôpital), άρα $f(\Delta_2)=\left(1,\,1+\frac{1}{e}\right]$. Το $0$ ανήκει μόνο στο $f(\Delta_1)$ και, λόγω γνήσιας μονοτονίας στο $\Delta_1$, η ρίζα της $f(x)=0$ είναι μοναδική. Για τον εντοπισμό της: η $f$ είναι συνεχής στο $\left[\frac{1}{2},1\right]$, $f(1)=1>0$ και $f\!\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln\frac{1}{2}+1=1-2\ln 2=\ln\frac{e}{4}<0$ (αφού $e<4$). Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα στο $\left(\frac{1}{2},1\right)$, η οποία είναι η μοναδική ρίζα $x_0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Εύρεση συνόλων τιμών στα δύο διαστήματα μονοτονίας (με τα όρια $\lim_{x\to 0^+}f=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f=1$): 2 μ. Αιτιολόγηση ύπαρξης και μοναδικότητας ρίζας (το $0$ μόνο στο $f(\Delta_1)$ + γνήσια μονοτονία): 2 μ. Έλεγχος προσήμων $f\!\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\frac{e}{4}<0$, $f(1)=1>0$ και εφαρμογή Bolzano στο $\left[\frac{1}{2},1\right]$: 2 μ. Μερική πίστωση: ύπαρξη μέσω Bolzano χωρίς τεκμηρίωση της μοναδικότητας: το πολύ 4 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα D (8 μονάδες)

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\dfrac{\ln x+x}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+1$.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=f(4)$ έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις $x_1=2$ και $x_2=4$. (μονάδες 3)
ii) Να λύσετε την ανίσωση $2^{x}\leq x^{2}$ στο διάστημα $(0,+\infty)$. (μονάδες 5)

Απάντηση:
i) Είναι $f(2)=\frac{\ln 2}{2}+1$ και $f(4)=\frac{\ln 4}{4}+1=\frac{2\ln 2}{4}+1=\frac{\ln 2}{2}+1$, άρα $f(2)=f(4)$. Η τιμή $\frac{\ln 2}{2}+1$ ανήκει και στο $f(\Delta_1)=\left(-\infty,1+\frac{1}{e}\right]$ και στο $f(\Delta_2)=\left(1,1+\frac{1}{e}\right]$, και λόγω γνήσιας μονοτονίας της $f$ σε καθένα από τα $\Delta_1=(0,e]$, $\Delta_2=[e,+\infty)$, η εξίσωση $f(x)=f(4)$ έχει ακριβώς μία λύση σε κάθε διάστημα: την $x_1=2\in(0,e]$ και την $x_2=4\in[e,+\infty)$. Άρα έχει ακριβώς δύο λύσεις.
ii) Για $x>0$: $2^{x}\leq x^{2}\Leftrightarrow x\ln 2\leq 2\ln x\Leftrightarrow \frac{\ln 2}{2}\leq\frac{\ln x}{x}\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x}+1\geq\frac{\ln 2}{2}+1\Leftrightarrow f(x)\geq f(2)$. Αν $x\in(0,e]$: λόγω γνήσιας αύξησης, $f(x)\geq f(2)\Leftrightarrow x\geq 2$, άρα $2\leq x\leq e$. Αν $x\in[e,+\infty)$: λόγω γνήσιας μείωσης και $f(2)=f(4)$, $f(x)\geq f(4)\Leftrightarrow x\leq 4$, άρα $e\leq x\leq 4$. Συνολικά η ανίσωση αληθεύει για $x\in[2,4]$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). Σκέλος i (3 μ.): επαλήθευση $f(2)=f(4)=\frac{\ln 2}{2}+1$: 1 μ.· αιτιολόγηση ότι σε καθένα από τα διαστήματα μονοτονίας υπάρχει το πολύ μία λύση, άρα ακριβώς δύο συνολικά: 2 μ. Σκέλος ii (5 μ.): λογαρίθμιση και ισοδύναμη γραφή της ανίσωσης ως $f(x)\geq f(2)$: 2 μ.· επίλυση στο $(0,e]$ με τη μονοτονία ($2\leq x\leq e$): 1,5 μ.· επίλυση στο $[e,+\infty)$ με χρήση του $f(2)=f(4)$ ($e\leq x\leq 4$): 1 μ.· τελικό συμπέρασμα $x\in[2,4]$: 0,5 μ. Μερική πίστωση: στο ii, επίλυση μόνο στο ένα διάστημα: το πολύ 3 μ. στο σκέλος.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα D (7 μονάδες)

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\dfrac{\ln x+x}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+1$, της οποίας η μοναδική ρίζα $x_0$ ανήκει στο $\left(\frac{1}{2},1\right)$. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο $$g(x)=f\!\left(e^{x}\right)\cdot\frac{1-x}{e^{x}}.$$
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες $x=-\ln 2$ και $x=0$, και περικλείεται από αυτές, τον άξονα $x'x$ και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$.

Απάντηση:
Το εμβαδόν είναι $E=\int_{-\ln 2}^{0}|g(x)|\,dx$. Με την αντικατάσταση $u=e^{x}$, $du=e^{x}dx$ (όρια: $x=-\ln 2\Rightarrow u=\frac{1}{2}$, $x=0\Rightarrow u=1$) και γράφοντας $g(x)=f(e^{x})\frac{1-x}{e^{2x}}e^{x}$, το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{1/2}^{1}f(u)\frac{1-\ln u}{u^{2}}\,du=\int_{1/2}^{1}f(u)f'(u)\,du$, αφού $f'(u)=\frac{1-\ln u}{u^{2}}$. Στο $\left[\frac{1}{2},1\right]$ ισχύει $f'(u)>0$ και η $f$ μηδενίζεται μόνο στο $x_0\in\left(\frac{1}{2},1\right)$: για $u<x_0$ είναι $f(u)<0$, για $u>x_0$ είναι $f(u)>0$. Άρα $$E=\int_{1/2}^{x_0}\big(-f(u)f'(u)\big)du+\int_{x_0}^{1}f(u)f'(u)\,du=\left[-\frac{f^{2}(u)}{2}\right]_{1/2}^{x_0}+\left[\frac{f^{2}(u)}{2}\right]_{x_0}^{1}.$$ Με $f(x_0)=0$, $f(1)=1$ και $f\!\left(\frac{1}{2}\right)=1-2\ln 2=\ln\frac{e}{4}$, προκύπτει $$E=\frac{f^{2}\!\left(\frac{1}{2}\right)+f^{2}(1)}{2}=\frac{\ln^{2}\!\left(\frac{e}{4}\right)+1}{2}=\frac{(1-2\ln 2)^{2}+1}{2}\ \text{τ.μ.}$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Έκφραση του εμβαδού ως $\int_{-\ln 2}^{0}|g(x)|dx$ και αντικατάσταση $u=e^{x}$ με σωστή αλλαγή ορίων: 2 μ. Αναγνώριση ότι το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{1/2}^{1}f(u)f'(u)du$ (δηλ. $f'(u)=\frac{1-\ln u}{u^{2}}$): 1,5 μ. Μελέτη προσήμου της $f$ στο $\left[\frac{1}{2},1\right]$ με χρήση της ρίζας $x_0$ και της μονοτονίας, και ορθός διαχωρισμός του ολοκληρώματος: 1,5 μ. Αντιπαραγώγιση $\frac{f^{2}}{2}$ και αντικατάσταση με $f(x_0)=0$: 1 μ. Τελικό αποτέλεσμα $E=\frac{\ln^{2}(e/4)+1}{2}$: 1 μ. Μερική πίστωση: υπολογισμός $\int g$ χωρίς απόλυτη τιμή/διαχωρισμό προσήμου: το πολύ 4 μ.