Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα A (6 μονάδες)

Έστω μια συνάρτηση $f$, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν:
• η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και
• $f(\alpha)\neq f(\beta)$,
να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό $\zeta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον, $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιος ώστε $f(x_0)=\zeta$.

Απάντηση:
Πρόκειται για την απόδειξη του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών (σχολικό βιβλίο, σ. 76). Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $f(\alpha)<\zeta<f(\beta)$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\zeta$, $x\in[\alpha,\beta]$. Η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ ως διαφορά συνεχών και ισχύει $g(\alpha)=f(\alpha)-\zeta<0$ και $g(\beta)=f(\beta)-\zeta>0$, άρα $g(\alpha)\,g(\beta)<0$. Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ με $g(x_0)=0$, δηλαδή $f(x_0)=\zeta$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Απόδειξη σχολικού βιβλίου (σ. 76). Ορισμός της βοηθητικής συνάρτησης $g(x)=f(x)-\zeta$ και αιτιολόγηση συνέχειας: 2 μ. Έλεγχος προσήμων $g(\alpha)\,g(\beta)<0$: 2 μ. Ορθή επίκληση του θεωρήματος Bolzano και συμπέρασμα $f(x_0)=\zeta$ με $x_0\in(\alpha,\beta)$: 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη της διάκρισης/γενικότητας για τη διάταξη των $f(\alpha),f(\beta)$: -1 μ. Απλή διατύπωση του θεωρήματος χωρίς απόδειξη: 0 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα A (4 μονάδες)

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο $\Delta$;

Απάντηση:
Η $f$ λέγεται κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω) στο $\Delta$, όταν η παράγωγός της $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $\Delta$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορισμός σχολικού βιβλίου (σ. 155): «η $f'$ γνησίως αύξουσα»: 3 μ.· «στο εσωτερικό του $\Delta$»: 1 μ. Μερική πίστωση: «αύξουσα» αντί «γνησίως αύξουσα»: -1 μ.· απάντηση μέσω του (μη ορισμού) κριτηρίου $f''>0$: το πολύ 2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα A (5 μονάδες)

Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Απάντηση:
Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$, τότε $$\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt = G(\beta)-G(\alpha).$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Διατύπωση σχολικού βιβλίου (σ. 216). Υποθέσεις ($f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta]$, $G$ παράγουσα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$): 3 μ. Συμπέρασμα $\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt=G(\beta)-G(\alpha)$: 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη της συνέχειας της $f$: -1 μ.· παράλειψη του ότι η $G$ είναι παράγουσα της $f$ στο ίδιο διάστημα: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα A (10 μονάδες)

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν $f, g$ είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού $A, B$ αντίστοιχα, τότε η σύνθεση της $f$ με τη $g$, δηλαδή η συνάρτηση $g\circ f$, ορίζεται αν $f(A)\cap B\neq\varnothing$.

β) Ισχύει ότι $|\eta\mu x|\leq |x|$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

γ) Ισχύει $(\sigma\varphi x)'=\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$, για κάθε $x$ με $\eta\mu x\neq 0$.

δ) Για κάθε συνάρτηση ισχύει ότι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα είναι το ολικό της μέγιστο.

ε) Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$, τότε $\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx\geq 0$.

Απάντηση:
α) Σωστό — η σύνθεση $g\circ f$ ορίζεται όταν $f(A)\cap B\neq\varnothing$. β) Σωστό — γνωστή ανισότητα, με ισότητα μόνο για $x=0$. γ) Λάθος — η σωστή σχέση είναι $(\sigma\varphi x)'=-\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$ (με αρνητικό πρόσημο). δ) Λάθος — μια συνάρτηση μπορεί να παίρνει τιμές μεγαλύτερες από όλα τα τοπικά της μέγιστα (π.χ. αν δεν είναι άνω φραγμένη), οπότε το μεγαλύτερο τοπικό μέγιστο δεν είναι κατ' ανάγκη ολικό. ε) Σωστό — γνωστή ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος μη αρνητικής συνεχούς συνάρτησης.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). Πέντε προτάσεις × 2 μ. η καθεμία: α) Σωστό: 2 μ.· β) Σωστό: 2 μ.· γ) Λάθος: 2 μ.· δ) Λάθος: 2 μ.· ε) Σωστό: 2 μ. Δεν απαιτείται αιτιολόγηση. Καμία αρνητική βαθμολόγηση για λανθασμένους χαρακτηρισμούς (0 μ. στο αντίστοιχο σκέλος).

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $g:[1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $$g(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$$ και $h:[1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $$h(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.$$
Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f=\dfrac{g}{h}$ και $r=g\cdot h$.

Απάντηση:
Για την $f=\dfrac{g}{h}$ απαιτείται $x\in A_g\cap A_h=[1,+\infty)$ και $h(x)\neq 0$. Είναι $h(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=1$, άρα $A_f=(1,+\infty)$ και $$f(x)=\frac{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{x+1}{x-1},\quad x>1.$$ Για την $r=g\cdot h$ είναι $A_r=[1,+\infty)$ και $$r(x)=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=x-\frac{1}{x},\quad x\geq 1.$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Πεδίο ορισμού της $f$ με τη συνθήκη $h(x)\neq 0$ και εύρεση $A_f=(1,+\infty)$: 2 μ. Απλοποίηση στον τύπο $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$: 1,5 μ. Πεδίο ορισμού $A_r=[1,+\infty)$: 1 μ. Τύπος $r(x)=x-\frac{1}{x}$ (ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων): 1,5 μ. Μερική πίστωση: σωστός τύπος χωρίς εξέταση του $h(x)\neq 0$ (δηλ. λανθασμένο $A_f$): -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα B (7 μονάδες)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, $x>1$ και $r(x)=x-\dfrac{1}{x}$, $x\geq 1$.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται (μονάδες 2) και ότι $f^{-1}=f$ (μονάδες 5), όπου $f^{-1}$ είναι η αντίστροφη συνάρτηση της $f$.

Απάντηση:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(1,+\infty)$ με $f'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0$, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $(1,+\infty)$, επομένως $1\text{-}1$ και αντιστρέφεται. (Εναλλακτικά, το $1\text{-}1$ αποδεικνύεται και με τον ορισμό.) Το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ είναι το σύνολο τιμών της $f$: η $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $(1,+\infty)$ με $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ και $\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$, άρα $f((1,+\infty))=(1,+\infty)$. Για την εύρεση της αντίστροφης: $y=\dfrac{x+1}{x-1}\Leftrightarrow x+1=xy-y\Leftrightarrow x(y-1)=y+1\Leftrightarrow x=\dfrac{y+1}{y-1}$, με $y>1$. Άρα $f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, $x>1$, δηλαδή $f^{-1}=f$ (ίδιος τύπος και ίδιο πεδίο ορισμού).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Α΄ σκέλος (2 μ.): απόδειξη ότι η $f$ είναι $1\text{-}1$ (μέσω $f'(x)<0$ και γνήσιας μονοτονίας ή με ορισμό): 2 μ. Β΄ σκέλος (5 μ.): εύρεση συνόλου τιμών $f((1,+\infty))=(1,+\infty)$ με τα δύο όρια: 2 μ.· επίλυση της $y=f(x)$ ως προς $x$: 2 μ.· συμπέρασμα ταύτισης τύπου ΚΑΙ πεδίου ορισμού, άρα $f^{-1}=f$: 1 μ. Μερική πίστωση: εύρεση μόνο του τύπου της $f^{-1}$ χωρίς προσδιορισμό του πεδίου ορισμού της: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2024 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $r(x)=x-\dfrac{1}{x}$, $x\geq 1$. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $r$.

Απάντηση:
Η $r$ είναι συνεχής στο $[1,+\infty)$, άρα η $C_r$ δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Δεν τίθεται θέμα ασύμπτωτης στο $-\infty$ αφού το πεδίο ορισμού είναι το $[1,+\infty)$. Στο $+\infty$: $$\lim_{x\to+\infty}\frac{r(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x^2}=1=\lambda$$ και $$\lim_{x\to+\infty}\big(r(x)-x\big)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0=\beta.$$ Άρα η ευθεία $y=x$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_r$ στο $+\infty$ και είναι η μοναδική ασύμπτωτη.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Αιτιολόγηση ότι δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες (συνέχεια στο $[1,+\infty)$): 1,5 μ. Υπολογισμός $\lim_{x\to+\infty}\frac{r(x)}{x}=1$: 2 μ. Υπολογισμός $\lim_{x\to+\infty}(r(x)-x)=0$: 2 μ. Συμπέρασμα ότι η $y=x$ είναι πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$: 0,5 μ. Μερική πίστωση: εύρεση της πλάγιας ασύμπτωτης χωρίς σχόλιο για τις κατακόρυφες: -1,5 μ.