Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα D (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,2)\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\ln(2-x)-\dfrac{1}{x}+3$ (με $\kappa=3$, όπως προέκυψε στο Δ1).
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες $x_1, x_2$ με $x_1<1<x_2$ (μονάδες 4) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι $x_1<\dfrac{1}{3}$ (μονάδες 2).

Απάντηση:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,2)$ με
$$f'(x)=\frac{-1}{2-x}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}(x-2)}.$$
Είναι $f'(x)=0\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0\Leftrightarrow x=1$ (η $x=-2$ απορρίπτεται). Μελετώντας το πρόσημο, η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,1]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[1,2)$, με ολικό μέγιστο $f(1)=\ln 1-1+3=2>0$.
Επίσης $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ (αφού $\frac{1}{x}\to+\infty$) και $\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ (αφού $\ln(2-x)\to-\infty$).
Στο $(0,1]$: $f((0,1])=(-\infty,2]$ και $0\in(-\infty,2]$, άρα υπάρχει ρίζα $x_1\in(0,1)$, μοναδική λόγω γνήσιας μονοτονίας. Ομοίως στο $[1,2)$: υπάρχει μοναδική ρίζα $x_2\in(1,2)$. Άρα η $f(x)=0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες με $x_1<1<x_2$.
Για το δεύτερο σκέλος: $f\!\left(\frac{1}{3}\right)=\ln\frac{5}{3}-3+3=\ln 5-\ln 3>0$ (αφού $5>3$). Επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,1]$ με $f(x_1)=0<f\!\left(\frac{1}{3}\right)$, έπεται $x_1<\frac{1}{3}$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Ύπαρξη-μοναδικότητα ριζών: υπολογισμός $f'$, πίνακας προσήμου/μονοτονίας με ακρότατο στο $x=1$, $f(1)=2$: 2 μ.· όρια $-\infty$ στα δύο άκρα, σύνολα τιμών ανά διάστημα μονοτονίας και συμπέρασμα «ακριβώς δύο ρίζες $x_1<1<x_2$»: 2 μ. Ανισότητα $x_1<\frac{1}{3}$: υπολογισμός $f(\frac{1}{3})=\ln 5-\ln 3>0$ και χρήση της μονοτονίας στο $(0,1]$: 2 μ. Μερική πίστωση: χρήση Bolzano χωρίς τεκμηρίωση μοναδικότητας: έως 2/4 μ. στο πρώτο σκέλος.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα D (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,2)\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\ln(2-x)-\dfrac{1}{x}+3$ και $x_1, x_2$ οι ρίζες του ερωτήματος Δ2 (με $x_1<\frac{1}{3}<1<x_2$ και $f(x_1)=f(x_2)=0$).
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $(\xi, f(\xi))$, με $\xi\in(0,1)$, στο οποίο η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ ισούται με $\dfrac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}$.

Απάντηση:
Αφού $x_1<\frac{1}{3}$, ορίζεται το διάστημα $\left[x_1,\frac{1}{3}\right]\subseteq(0,1)$. Η $f$ είναι συνεχής στο $\left[x_1,\frac{1}{3}\right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left(x_1,\frac{1}{3}\right)$, οπότε από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi\in\left(x_1,\frac{1}{3}\right)\subseteq(0,1)$ με
$$f'(\xi)=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-f(x_1)}{\frac{1}{3}-x_1}=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-0}{\frac{1-3x_1}{3}}=\frac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}.$$
Μοναδικότητα: για $x\in(0,2)$ είναι
$$f''(x)=-\frac{1}{(2-x)^{2}}-\frac{2}{x^{3}}<0,$$
άρα η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,1)$, οπότε η τιμή $f'(\xi)$ λαμβάνεται σε ένα μόνο σημείο· το $\xi$ είναι μοναδικό.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Ορισμός του διαστήματος $[x_1,\frac{1}{3}]$ (με επίκληση $x_1<\frac{1}{3}$) και έλεγχος προϋποθέσεων Θ.Μ.Τ.: 2 μ. Εφαρμογή Θ.Μ.Τ. με $f(x_1)=0$ και αλγεβρική απλοποίηση στη ζητούμενη μορφή $\frac{3f(1/3)}{1-3x_1}$: 2 μ. Μοναδικότητα μέσω $f''(x)<0$ (ή γνήσιας μονοτονίας της $f'$): 2 μ. Μερική πίστωση: ύπαρξη χωρίς μοναδικότητα: έως 4/6 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα D (9 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,2)\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\ln(2-x)-\dfrac{1}{x}+3$ και $x_1, x_2$ οι ρίζες του ερωτήματος Δ2 (με $x_1<1<x_2$). Αν επιπλέον $F$ και $G$ είναι δύο αρχικές συναρτήσεις της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $(0,2)$ με $F(x_1)=G(x_2)=0$, να αποδείξετε ότι:
i) $F(x_2)+G(x_1)=0$ (μονάδες 4)
ii) η εξίσωση $x_1F(x)+x_2G(x)=x_1+x_2-2x$ έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα $(x_1,x_2)$ (μονάδες 5).

Απάντηση:
i) Οι $F, G$ είναι αρχικές της $f$ στο διάστημα $(0,2)$, άρα $F'(x)=G'(x)=f(x)$ και $F(x)=G(x)+c$ για κάποια σταθερά $c$. Για $x=x_1$: $0=G(x_1)+c\Rightarrow c=-G(x_1)$. Για $x=x_2$: $F(x_2)=G(x_2)+c=0+c=c$. Άρα $F(x_2)=-G(x_1)$, δηλαδή $F(x_2)+G(x_1)=0$.
ii) Θεωρούμε $h(x)=x_1F(x)+x_2G(x)+2x-x_1-x_2$, $x\in[x_1,x_2]$, συνεχή (οι $F, G$ παραγωγίσιμες άρα συνεχείς).
Από τη μονοτονία της $f$ (γν. αύξουσα στο $(0,1]$, γν. φθίνουσα στο $[1,2)$) και $f(x_1)=f(x_2)=0$ προκύπτει $f(x)>0$ για $x\in(x_1,x_2)$, άρα οι $F, G$ είναι γνησίως αύξουσες στο $[x_1,x_2]$.
Τιμές στα άκρα: $h(x_1)=x_2G(x_1)+x_1-x_2=-x_2F(x_2)+x_1-x_2$ (από το i). Επειδή η $F$ είναι γνησίως αύξουσα και $F(x_1)=0$, ισχύει $F(x_2)>0$, άρα $-x_2F(x_2)<0$ και $x_1-x_2<0$, οπότε $h(x_1)<0$. Επίσης $h(x_2)=x_1F(x_2)+x_2-x_1>0$. Από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της $h$ στο $(x_1,x_2)$.
Μοναδικότητα: $h'(x)=x_1f(x)+x_2f(x)+2=(x_1+x_2)f(x)+2>0$ στο $(x_1,x_2)$ (αφού $f(x)>0$ και $x_1+x_2>0$), άρα η $h$ είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα μοναδική. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο $(x_1,x_2)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (9 μ.). i) Σχέση αρχικών $F=G+c$ στο ΔΙΑΣΤΗΜΑ $(0,2)$: 2 μ.· προσδιορισμός της $c$ από τις συνθήκες και συμπέρασμα $F(x_2)+G(x_1)=0$: 2 μ. ii) Θεώρηση κατάλληλης $h$ και έλεγχος συνέχειας: 1 μ.· απόδειξη $f(x)>0$ στο $(x_1,x_2)$ και προσδιορισμός προσήμων $h(x_1)<0$, $h(x_2)>0$ με χρήση του i) και της μονοτονίας των $F, G$: 2 μ.· Bolzano για την ύπαρξη: 1 μ.· μοναδικότητα μέσω $h'(x)=(x_1+x_2)f(x)+2>0$: 1 μ. Μερική πίστωση: ύπαρξη χωρίς μοναδικότητα στο ii): έως 3/5 μ.