Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{4-x^{2}}{x}$, $x>0$. Να υπολογίσετε το $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\eta\mu(1+x^{2})}{f(x)}$.

Απάντηση:
Πρώτα $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4-x^{2}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^{2}}{x}=\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty$, οπότε $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{|f(x)|}=0$.
Επειδή $|\eta\mu(1+x^{2})|\le 1$, ισχύει
$$-\frac{1}{|f(x)|}\le\frac{\eta\mu(1+x^{2})}{f(x)}\le\frac{1}{|f(x)|}.$$
Τα δύο άκρα τείνουν στο 0 όταν $x\to+\infty$, άρα από το κριτήριο παρεμβολής:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\eta\mu(1+x^{2})}{f(x)}=0.$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Υπολογισμός $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$: 2 μ. Χρήση του φράγματος $|\eta\mu(1+x^2)|\le 1$ και εγκλωβισμός του πηλίκου μεταξύ $\pm\frac{1}{|f(x)|}$: 2 μ. Εφαρμογή κριτηρίου παρεμβολής και συμπέρασμα ότι το όριο είναι 0: 2 μ. Μερική πίστωση: επίκληση «φραγμένη επί μηδενική» χωρίς τεκμηρίωση με ανισότητες: έως 3/6 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα C (4 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση
$$f(x)=\begin{cases} x^{2}-3x+3, & x<1 \\[4pt] \dfrac{1}{x}+\kappa, & x\ge 1 \end{cases}$$
όπου $\kappa\in\mathbb{R}$, για την οποία γνωρίζουμε επιπλέον ότι $\displaystyle\int_{2}^{3}x\,f(x)\,dx=1$.
Να αποδείξετε ότι $\kappa=0$.

Απάντηση:
Στο $[2,3]$ είναι $f(x)=\frac{1}{x}+\kappa$, οπότε $x f(x)=1+\kappa x$, συνεχής συνάρτηση. Άρα
$$\int_{2}^{3}x f(x)\,dx=\int_{2}^{3}(1+\kappa x)\,dx=\left[x+\kappa\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3}=\left(3+\frac{9\kappa}{2}\right)-\left(2+2\kappa\right)=1+\frac{5\kappa}{2}.$$
Από την υπόθεση $1+\frac{5\kappa}{2}=1\Leftrightarrow\kappa=0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Αναγνώριση ότι στο $[2,3]$ ισχύει ο δεύτερος κλάδος και $x f(x)=1+\kappa x$ (συνεχής): 1 μ. Ορθός υπολογισμός του ολοκληρώματος $=1+\frac{5\kappa}{2}$: 2 μ. Εξίσωση με το 1 και συμπέρασμα $\kappa=0$: 1 μ. Μερική πίστωση: αριθμητικό λάθος στην αντικατάσταση ορίων με ορθή μέθοδο: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα C (8 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση (με $\kappa=0$, όπως προέκυψε στο Γ1):
$$f(x)=\begin{cases} x^{2}-3x+3, & x<1 \\[4pt] \dfrac{1}{x}, & x\ge 1 \end{cases}$$
i) Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη $(\varepsilon)$ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο της με τετμημένη $x_0=1$ (μονάδες 4).
ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $(\varepsilon)$ και τη γωνία που σχηματίζει η $(\varepsilon)$ με τον άξονα $x'x$ (μονάδες 4).

Απάντηση:
i) Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα στο $x_0=1$, όπου $f(1)=1$:
$$\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}(x-2)=-1,$$
$$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1-x}{x(x-1)}=\lim_{x\to 1^{+}}\left(-\frac{1}{x}\right)=-1.$$
Τα πλευρικά όρια είναι ίσα και πραγματικά, άρα η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο 1 με $f'(1)=-1$, οπότε ορίζεται εφαπτομένη.
ii) $(\varepsilon):\ y-f(1)=f'(1)(x-1)\Leftrightarrow y-1=-(x-1)\Leftrightarrow y=-x+2$. Για τη γωνία $\omega$ με τον $x'x$: $\varepsilon\varphi\omega=f'(1)=-1$ και $0^{\circ}\le\omega<180^{\circ}$, άρα $\omega=135^{\circ}$ (δηλαδή $\omega=\frac{3\pi}{4}$).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). i) Υπολογισμός αριστερού πλευρικού ορίου πηλίκου διαφορών $=-1$: 2 μ.· δεξιού $=-1$ και συμπέρασμα $f'(1)=-1$ άρα ορίζεται εφαπτομένη: 2 μ. ii) Εξίσωση εφαπτομένης $y=-x+2$: 2 μ.· γωνία $135^{\circ}$ με αιτιολόγηση $\varepsilon\varphi\omega=-1$, $0^{\circ}\le\omega<180^{\circ}$: 2 μ. Μερική πίστωση: χρήση τύπων παραγώγου κλάδων χωρίς εξέταση πλευρικών ορίων στο σημείο αλλαγής κλάδου στο i): έως 1/4 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα C (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση
$$f(x)=\begin{cases} x^{2}-3x+3, & x<1 \\[4pt] \dfrac{1}{x}, & x\ge 1 \end{cases}$$
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι «ένα προς ένα» ("1-1") (μονάδες 3) και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της (μονάδες 3).

Απάντηση:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(-\infty,1)$ με $f'(x)=2x-3<0$ (αφού $x<1<\frac{3}{2}$), στο $(1,+\infty)$ με $f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0$, και στο $x_0=1$ με $f'(1)=-1<0$ (ερώτημα Γ2). Άρα $f'(x)<0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ (ως παραγωγίσιμη), οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$, άρα και "1-1".
Σύνολο τιμών: $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^{2}-3x+3)=+\infty$ και $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$. Επειδή η $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$:
$$f(\mathbb{R})=\left(\lim_{x\to+\infty}f(x),\ \lim_{x\to-\infty}f(x)\right)=(0,+\infty).$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). "1-1": απόδειξη $f'(x)<0$ σε ΟΛΟ το $\mathbb{R}$ (και στους δύο κλάδους ΚΑΙ στο σημείο $x=1$ μέσω Γ2) με συνέχεια στο $\mathbb{R}$, ώστε $f$ γνησίως φθίνουσα άρα 1-1: 3 μ. Σύνολο τιμών: υπολογισμός των δύο ορίων στα $\pm\infty$: 2 μ.· ορθή γραφή $f(\mathbb{R})=(0,+\infty)$ με επίκληση συνέχειας και μονοτονίας: 1 μ. Μερική πίστωση: μονοτονία ανά κλάδο χωρίς ενοποίηση σε όλο το $\mathbb{R}$ (δεν αρκεί για 1-1 σε ένωση διαστημάτων χωρίς επιχείρημα): έως 1/3 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα C (7 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση
$$f(x)=\begin{cases} x^{2}-3x+3, & x<1 \\[4pt] \dfrac{1}{x}, & x\ge 1 \end{cases}$$
Έστω $(\varepsilon): y=-x+2$ η εξίσωση της εφαπτομένης του ερωτήματος Γ2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ με $x\ge 1$, την ευθεία $(\varepsilon)$, τον άξονα $x'x$ και την ευθεία $x=e$.

Απάντηση:
Για $x\ge 1$ είναι $f(x)=\frac{1}{x}$. Η $(\varepsilon)$ εφάπτεται της $C_f$ στο $A(1,1)$ και τέμνει τον $x'x$ στο $\Gamma(2,0)$. Το χωρίο $\Omega$ οριοθετείται από την $C_f$ (πάνω), τον $x'x$ (κάτω), την $x=e$ (δεξιά) και την $(\varepsilon)$ (αριστερά-κάτω). Υπολογίζουμε το εμβαδόν κάτω από την $C_f$ από 1 έως $e$ και αφαιρούμε το τρίγωνο που ορίζει η $(\varepsilon)$ με τον $x'x$:
$$E_1=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=[\ln x]_{1}^{e}=1\ \text{τ.μ.},$$
ενώ το τρίγωνο με κορυφές $A(1,1)$, $B(1,0)$, $\Gamma(2,0)$ έχει εμβαδόν $E_2=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ τ.μ.
Άρα $E(\Omega)=E_1-E_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ τ.μ.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (7 μ.). Σωστή γεωμετρική περιγραφή/σχήμα του χωρίου και στρατηγική (εμβαδόν κάτω από $C_f$ μείον τρίγωνο, ή ισοδύναμο άθροισμα ολοκληρωμάτων): 2 μ. Υπολογισμός $\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1$: 2 μ. Υπολογισμός εμβαδού τριγώνου $\frac{1}{2}$ (ή του $\int_{1}^{2}(-x+2)dx=\frac{1}{2}$): 2 μ. Τελικό αποτέλεσμα $E(\Omega)=\frac{1}{2}$ τ.μ.: 1 μ. Μερική πίστωση: ορθή μέθοδος με ένα αριθμητικό λάθος: -1 μ.· εσφαλμένη οριοθέτηση του χωρίου: έως 2/7 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα D (4 μονάδες)

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,2)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\ln(2-x)-\dfrac{1}{x}+\kappa$, όπου $\kappa\in\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει:
$$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-2x}{x-1}=\ell\in\mathbb{R}.$$
Να αποδείξετε ότι $\kappa=3$.

Απάντηση:
Για $x\in(0,2)$, $x\neq 1$, θέτουμε $\varphi(x)=\frac{f(x)-2x}{x-1}$, οπότε $\lim_{x\to 1}\varphi(x)=\ell$ και $f(x)=2x+(x-1)\varphi(x)$. Τότε
$$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\left[2x+(x-1)\varphi(x)\right]=2+0\cdot\ell=2.$$
Από τον τύπο της $f$: $\lim_{x\to 1}f(x)=\ln 1-1+\kappa=\kappa-1$.
Άρα $\kappa-1=2\Leftrightarrow\kappa=3$, οπότε $f(x)=\ln(2-x)-\frac{1}{x}+3$, $x\in(0,2)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Εισαγωγή βοηθητικής συνάρτησης $\varphi$ και έκφραση $f(x)=2x+(x-1)\varphi(x)$: 2 μ. Υπολογισμός $\lim_{x\to 1}f(x)=2$ και, από τη συνέχεια του τύπου, $\lim_{x\to 1}f(x)=\kappa-1$, οπότε $\kappa=3$: 2 μ. Μερική πίστωση: εύρεση $\kappa=3$ με απλή αντικατάσταση «για να μηδενίζεται ο αριθμητής» χωρίς πλήρη αιτιολόγηση (απαραίτητη συνθήκη ώστε το όριο να είναι πραγματικός αριθμός): έως 3/4 μ.