Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα A (6 μονάδες)

Να αποδείξετε ότι, αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τότε η συνάρτηση $f+g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει:
$$(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$$

Απάντηση:
Πρόκειται για την απόδειξη του σχολικού βιβλίου. Για $x\neq x_0$ έχουμε
$$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$
Επειδή οι $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τα δύο κλάσματα έχουν όρια $f'(x_0)$ και $g'(x_0)$ αντίστοιχα όταν $x\to x_0$, οπότε
$$\lim_{x\to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0),$$
δηλαδή η $f+g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ με $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Απόδειξη σχολικού βιβλίου (σ. 111). Ορθή γραφή του πηλίκου διαφορών της $f+g$ και ανάλυσή του σε άθροισμα των δύο πηλίκων διαφορών: 3 μ. Χρήση της παραγωγισιμότητας των $f, g$ στο $x_0$, μετάβαση στο όριο και συμπέρασμα $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$: 3 μ. Μερική πίστωση: απλή επίκληση του κανόνα χωρίς απόδειξη: 0 μ.· παράλειψη της αιτιολόγησης του ορίου (ιδιότητες ορίων αθροίσματος): -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα A (4 μονάδες)

Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο $A$. Πότε λέμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση:
Η $f$ λέγεται παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό $(\alpha,\beta)$ και επιπλέον υπάρχουν στο $\mathbb{R}$ τα όρια
$$\lim_{x\to\alpha^{+}}\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\quad\text{και}\quad\lim_{x\to\beta^{-}}\frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}.$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (4 μ.). Ορισμός σχολικού βιβλίου (σ. 104): παραγωγισιμότητα στο ανοικτό $(\alpha,\beta)$: 2 μ.· ύπαρξη ΣΤΟ $\mathbb{R}$ των δύο πλευρικών ορίων των πηλίκων διαφορών στα άκρα $\alpha$ (από δεξιά) και $\beta$ (από αριστερά): 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη της απαίτησης τα όρια να είναι πραγματικοί αριθμοί: -1 μ.· αναφορά μόνο του ενός άκρου: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα A (5 μονάδες)

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle (μονάδες 3) και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία (μονάδες 2).

Απάντηση:
Θεώρημα Rolle: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, παραγωγίσιμη στο ανοικτό $(\alpha,\beta)$ και $f(\alpha)=f(\beta)$, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$.
Γεωμετρική ερμηνεία: Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο $(\xi, f(\xi))$ της γραφικής παράστασης της $f$, με $\xi\in(\alpha,\beta)$, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα $x'x$ (οριζόντια).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Διατύπωση (σχολικό σ. 128): 3 μ. — υποθέσεις (συνέχεια στο $[\alpha,\beta]$, παραγωγισιμότητα στο $(\alpha,\beta)$, $f(\alpha)=f(\beta)$): 2 μ.· συμπέρασμα («υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi\in(\alpha,\beta)$ με $f'(\xi)=0$»): 1 μ. Γεωμετρική ερμηνεία (οριζόντια εφαπτομένη σε τουλάχιστον ένα εσωτερικό σημείο): 2 μ. Μερική πίστωση: «μοναδικό» αντί «τουλάχιστον ένα»: -1 μ.· παράλειψη μιας υπόθεσης: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα A (10 μονάδες)

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστό ή Λάθος:
α) Ισχύει ότι $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\eta\mu x}{x}=1$.
β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.
γ) Για κάθε συνάρτηση $f$, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και γνησίως αύξουσα στο $\Delta$, ισχύει ότι $f'(x)>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$.
δ) Αν η $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι μια «ένα προς ένα» ("1-1") συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις $C$ και $C'$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$ που διχοτομεί τις γωνίες $x\mathrm{O}y$ και $x'\mathrm{O}y'$.
ε) Αν $f, g$ είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι $f\circ g$ και $g\circ f$, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

Απάντηση:
α) Λάθος (ισχύει $\lim_{x\to+\infty}\frac{\eta\mu x}{x}=0$, αφού η $\eta\mu x$ είναι φραγμένη· το όριο ισούται με 1 όταν $x\to 0$). β) Λάθος (π.χ. η $f(x)=x^3+x$ έχει $f'(x)=3x^2+1>0$ παντού, άρα καμία οριζόντια εφαπτομένη). γ) Λάθος (η $f$ μπορεί να μην είναι καν παραγωγίσιμη, ή να έχει $f'(x)=0$ σε μεμονωμένα σημεία, π.χ. $f(x)=x^3$ με $f'(0)=0$). δ) Σωστό. ε) Σωστό (η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική).

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (10 μ.). Σωστό–Λάθος: 2 μ. ανά πρόταση (α Λ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Σ). Καμία μερική πίστωση ανά πρόταση (0 ή 2). Δεν απαιτείται αιτιολόγηση ή αντιπαράδειγμα· τυχόν λανθασμένη αιτιολόγηση δεν αφαιρεί μονάδες εφόσον ο χαρακτηρισμός είναι ορθός.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα B (5 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο $g(x)=\dfrac{4-e^{2x}}{e^{x}}$ και η συνάρτηση $h:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $h(x)=\ln x$.
Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f=g\circ h$.

Απάντηση:
Το πεδίο ορισμού της $f=g\circ h$ είναι $D_{g\circ h}=\{x\in D_h : h(x)\in D_g\}=\{x>0 : \ln x\in\mathbb{R}\}=(0,+\infty)$.
Για $x>0$:
$$f(x)=g(h(x))=g(\ln x)=\frac{4-e^{2\ln x}}{e^{\ln x}}=\frac{4-x^{2}}{x}.$$
Άρα $f(x)=\dfrac{4-x^{2}}{x}$, $x>0$.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (5 μ.). Ορθός προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της σύνθεσης $(0,+\infty)$ με τη συνθήκη $h(x)\in D_g$: 2 μ. Υπολογισμός του τύπου με χρήση των ταυτοτήτων $e^{\ln x}=x$, $e^{2\ln x}=x^2$ και κατάληξη σε $f(x)=\frac{4-x^2}{x}$: 3 μ. Μερική πίστωση: σωστός τύπος χωρίς αναφορά/εύρεση πεδίου ορισμού: -2 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα B (8 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{4-x^{2}}{x}$, $x>0$ (η συνάρτηση του ερωτήματος Β1).
i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία (μονάδες 4).
ii) Να αποδείξετε ότι $\dfrac{4-\pi^{2}}{4-e^{2}}>\dfrac{\pi}{e}$ (μονάδες 4).

Απάντηση:
i) Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με
$$f'(x)=\frac{-2x\cdot x-(4-x^{2})}{x^{2}}=\frac{-x^{2}-4}{x^{2}}=-\frac{x^{2}+4}{x^{2}}<0$$
για κάθε $x>0$, άρα η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$.
ii) Επειδή $\pi>e>0$ και η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει $f(\pi)<f(e)$, δηλαδή $\dfrac{4-\pi^{2}}{\pi}<\dfrac{4-e^{2}}{e}$. Πολλαπλασιάζοντας με $\pi e>0$ παίρνουμε $e(4-\pi^{2})<\pi(4-e^{2})$. Διαιρώντας με $e(4-e^{2})<0$ (αφού $e^{2}>4$) η φορά αντιστρέφεται:
$$\frac{4-\pi^{2}}{4-e^{2}}>\frac{\pi}{e}.$$

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (8 μ.). i) Υπολογισμός $f'(x)=-\frac{x^2+4}{x^2}$: 2 μ.· διαπίστωση $f'(x)<0$ στο $(0,+\infty)$ και συμπέρασμα γνησίως φθίνουσα: 2 μ. ii) Εφαρμογή της μονοτονίας σε $\pi>e$ ώστε $f(\pi)<f(e)$: 2 μ.· ορθοί αλγεβρικοί μετασχηματισμοί με ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΜΕΝΗ αλλαγή φοράς κατά τη διαίρεση με $e(4-e^2)<0$: 2 μ. Μερική πίστωση: παράλειψη αιτιολόγησης του προσήμου $4-e^2<0$: -1 μ.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 — math, Θέμα B (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{4-x^{2}}{x}$, $x>0$. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Απάντηση:
Κατακόρυφη: υποψήφια η $x=0$ (άκρο του πεδίου ορισμού). Επειδή $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4-x^{2}}{x}=+\infty$ (αριθμητής $\to 4>0$, παρονομαστής $\to 0^{+}$), η ευθεία $x=0$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Πλάγια στο $+\infty$: γράφουμε $f(x)=\frac{4}{x}-x$, οπότε $f(x)-(-x)=\frac{4}{x}$ και $\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-(-x)\right]=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x}=0$. Άρα η ευθεία $y=-x$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$. Οριζόντια ασύμπτωτη δεν υπάρχει.

ΚΛΕΙΔΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ (6 μ.). Κατακόρυφη ασύμπτωτη $x=0$ με υπολογισμό του $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$: 3 μ. Πλάγια ασύμπτωτη $y=-x$ στο $+\infty$ (μέσω του ορισμού $f(x)-(-x)=\frac{4}{x}\to 0$ ή μέσω των ορίων $\lambda=\lim\frac{f(x)}{x}=-1$, $\beta=\lim[f(x)+x]=0$): 3 μ. Μερική πίστωση: εύρεση $x=0$ χωρίς υπολογισμό ορίου: 1/3 μ.· μη διαπίστωση ότι δεν υπάρχει οριζόντια δεν αφαιρεί μονάδες εφόσον βρέθηκε η πλάγια.