خب این رو در نظر بگیر:

20. **روش کاهشی (Reduction of Order):**
    *   **کاربرد:** این روش برای حل معادلات **خطی همگن مرتبه دوم** به فرم زیر استفاده می‌شه، به شرطی که **یک جواب غیر بدیهی ($y_1(x)$) ازش رو بدونیم**:
        $$ a_2(x) y'' + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0 \quad \quad (\text{یا } y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0) $$
        هدف اینه که **جواب دوم ($y_2(x)$)** رو پیدا کنیم که نسبت به $y_1(x)$ **مستقل خطی** باشه. اون وقت جواب عمومی می‌شه $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$.
    *   **روش:**
        1.  فرض می‌کنیم جواب دوم به صورت $y_2(x) = u(x) y_1(x)$ هست که $u(x)$ یک تابع نامعلومه که باید پیداش کنیم.
        2.  مشتقات $y_2$ رو حساب می‌کنیم:
            $y_2' = u' y_1 + u y_1'$
            $y_2'' = u'' y_1 + u' y_1' + u' y_1' + u y_1'' = u'' y_1 + 2u' y_1' + u y_1''$
        3.  این $y_2, y_2', y_2''$ رو در معادله دیفرانسیل اصلی $a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ جاگذاری می‌کنیم:
            $$ a_2(u'' y_1 + 2u' y_1' + u y_1'') + a_1(u' y_1 + u y_1') + a_0(u y_1) = 0 $$
        4.  جملات رو بر اساس $u, u', u''$ مرتب می‌کنیم:
            $$ (a_2 y_1) u'' + (2a_2 y_1' + a_1 y_1) u' + \underbrace{(a_2 y_1'' + a_1 y_1' + a_0 y_1)}_{\text{صفر چون } y_1 \text{ جواب است}} u = 0 $$
            جمله آخر صفر می‌شه چون $y_1$ در معادله اصلی صدق می‌کنه. پس معادله ساده می‌شه به:
            $$ a_2 y_1 u'' + (2a_2 y_1' + a_1 y_1) u' = 0 $$
        5.  این یک **معادله مرتبه دوم برای $u$ هست که جمله $u$ نداره**. می‌تونیم با **تغییر متغیر $w = u'$** اون رو به یک **معادله مرتبه اول خطی (و جداشدنی) برای $w$** تبدیل کنیم:
            $$ a_2 y_1 w' + (2a_2 y_1' + a_1 y_1) w = 0 $$
        6.  این معادله مرتبه اول رو برای $w$ حل می‌کنیم (معمولاً جداشدنیه):
            $$ \frac{w'}{w} = - \frac{2a_2 y_1' + a_1 y_1}{a_2 y_1} = - \left( 2 \frac{y_1'}{y_1} + \frac{a_1}{a_2} \right) $$
            انتگرال می‌گیریم (اگه $P(x) = a_1/a_2$ باشه):
            $$ \ln|w| = -2 \ln|y_1| - \int P(x) dx + K_1 $$
            $$ w = C_1 \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2} $$
            (ثابت‌ها رو ساده کردیم).
        7.  حالا $w = u'$ بود، پس برای پیدا کردن $u$ دوباره انتگرال می‌گیریم:
            $$ u(x) = \int w dx = C_1 \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} dx + C_2 $$
        8.  جواب $y_2 = u y_1$. چون ما فقط *یک* جواب دوم مستقل لازم داریم، می‌تونیم $C_1=1$ و $C_2=0$ انتخاب کنیم:
            $$ u(x) = \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} dx $$
            $$ y_2(x) = y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} dx $$
            این فرمول رو گاهی مستقیم استفاده می‌کنن، ولی فهمیدن روند بالا بهتره.
        9.  **جواب عمومی:** $y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$.
    *   **مثال:** معادله $x^2 y'' - x y' + y = 0$ (برای $x>0$) رو در نظر بگیر. فرض کن می‌دونیم $y_1(x) = x$ یک جواب است (امتحان کن: $y_1'=1, y_1''=0 \implies x^2(0) - x(1) + x = 0$). جواب دوم رو پیدا کنیم.
        اول استاندارد کنیم (تقسیم بر $x^2$): $y'' - \frac{1}{x} y' + \frac{1}{x^2} y = 0$. پس $P(x) = -1/x$.
        $e^{-\int P(x) dx} = e^{-\int (-1/x) dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$.
        حالا $u(x) = \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} dx = \int \frac{x}{(x)^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x$.
        پس جواب دوم $y_2(x) = y_1(x) u(x) = x \ln x$.
        جواب عمومی: $y(x) = c_1 x + c_2 x \ln x$.


حالا یه مقاله جامع به زبون خودمونی بنویس که انگار استادمی و از صفر شروع کن و همه‌چیزش رو یاد بده وحنی تا حد امکان اثبات هم کم
کلاً یه جور قابل فهم بگو