Пока ничего больше не делай. Запомни условие задачи. Условие понадобится для модификации решения в следующем сообщении.

\begin{xcondition}

\textbf{Физическая система / контекст.}

Исследуется продолжительность некоторого физического процесса, результаты измерений которого демонстрируют статистическую вариативность.

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item \textbf{Объект измерений:} Время $T$ протекания физического процесса. Конкретная природа процесса в рамках данной задачи не уточняется; существенны лишь статистические характеристики времени его протекания.

\item \textbf{Экспериментальный факт:} Серия измерений показала, что приблизительно две трети (66\%) всех зарегистрированных значений времени процесса находятся в интервале от 3.4 до 4.8 секунд:
\[\mathbb{P}(3.4 \, \text{с} \leq T \leq 4.8 \, \text{с}) \approx 0.66\]

\item \textbf{Характер вариативности:} Установлено отсутствие систематических погрешностей в измерениях. Наблюдаемый разброс значений обусловлен исключительно случайными факторами:
\begin{itemize}[leftmargin=*, itemsep=0pt]
\item Погрешностями измерительных приборов
\item Естественной вариативностью параметров самого физического процесса
\item Влиянием множества неконтролируемых микрофакторов
\end{itemize}
\end{itemize}

\tcbline

\textbf{Постановка задачи.}

Основываясь на предположении о нормальном распределении времени протекания процесса $T$ и эмпирическом наблюдении о вероятности попадания в интервал от 3.4 до 4.8 секунд, требуется:

\begin{itemize}[leftmargin=*, itemsep=0pt]
\item \textbf{Определить параметры нормального распределения:}
\begin{itemize}[leftmargin=*, itemsep=0pt]
\item Математическое ожидание $\mu = \mathbb{E}[T]$ (среднее время протекания процесса)
\item Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{\mathbb{D}[T]}$ (характеристика разброса времени)
\end{itemize}

\item \textbf{Обеспечить согласованность теоретической модели с экспериментальными данными:} Найти такие значения параметров, при которых теоретическая вероятность соответствует наблюдаемой:
\[\mathbb{P}(3.4 \, \text{с} \leq T \leq 4.8 \, \text{с}) = 0.66\]
\end{itemize}

\tcbline

\textbf{Модель (теоретическое обоснование).}

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item \textbf{Концептуальная основа:}
Время протекания физического процесса $T$ моделируется как непрерывная случайная величина, подверженная влиянию множества независимых случайных факторов. Согласно центральной предельной теореме, суммарный эффект большого числа независимых случайных воздействий приводит к нормальному распределению результирующей величины, что обосновывает выбор нормальной модели для описания распределения времени процесса.

\item \textbf{Математическая формализация:}
Время протекания процесса $T$ описывается нормальным распределением:
\[
\circcon{1} \, T \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)
\]
где $\mu \in \mathbb{R}$ – математическое ожидание времени процесса, $\sigma > 0$ – стандартное отклонение.

Для нормального распределения справедливо фундаментальное свойство:
\[
    \circcon{2} \, \mathbb{P}(\mu - \sigma \leq T \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827
\]

Эмпирическое наблюдение формализуется как:
\[
   \circcon{3} \, \mathbb{P}(3.4 \, \text{с} \leq T \leq 4.8 \, \text{с}) \approx 0.66
\]

\item \textbf{Принятые допущения:}
\begin{itemize}[leftmargin=*, itemsep=0pt]
\item \textbf{Нормальность распределения:} Предполагается, что время процесса подчиняется нормальному закону распределения.

    \textit{Значимость:} Данное допущение имеет решающее значение, поскольку позволяет использовать известное свойство нормального распределения о вероятности попадания в интервал $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$. Благодаря этому становится возможным соотнести эмпирическую вероятность 0.66 с теоретической 0.6827 для определения параметров.
    
    \textit{Последствия нарушения:} Если распределение не является нормальным, соотношение между вероятностью попадания в интервал и параметрами распределения будет иным, что делает неприменимой формулу \circcon{2} и ведет к некорректным оценкам $\mu$ и $\sigma$.
    
    \item \textbf{Отсутствие систематических погрешностей:} Предполагается, что измерения не содержат систематических ошибок.
    
    \textit{Значимость:} Это позволяет считать, что математическое ожидание $\mu$ соответствует истинному среднему времени процесса без необходимости введения корректирующих коэффициентов.
    
    \textit{Последствия нарушения:} Наличие систематической погрешности привело бы к смещению оценки $\mu$ относительно истинного значения, даже если форма распределения осталась бы нормальной.
    
    \item \textbf{Стационарность процесса:} Параметры $\mu$ и $\sigma$ не изменяются во времени.
    
    \textit{Значимость:} Это допущение позволяет рассматривать все измерения как выборку из одного и того же распределения, что необходимо для корректной статистической обработки.
    
    \textit{Последствия нарушения:} Если параметры менялись бы во времени, эмпирическая вероятность 0.66 представляла бы усреднение по различным распределениям, что исключило бы возможность однозначного определения конкретных значений $\mu$ и $\sigma$.
    
    \item \textbf{Статистическая независимость измерений:} Результаты отдельных измерений статистически независимы друг от друга.
    
    \textit{Значимость:} Данное допущение обеспечивает применимость стандартных методов статистического анализа и гарантирует, что наблюдаемая частота попадания в интервал действительно аппроксимирует теоретическую вероятность.
    
    \textit{Последствия нарушения:} Корреляция между измерениями могла бы исказить наблюдаемую частоту, что привело бы к некорректной оценке параметров распределения.
    
    \item \textbf{Достаточность имеющейся информации:} Предполагается, что данных об эмпирической вероятности попадания в указанный интервал достаточно для однозначного определения параметров распределения.
    
    \textit{Значимость:} Это допущение обосновывает саму возможность решения поставленной задачи.
    
    \textit{Последствия нарушения:} При недостаточности эмпирических данных задача могла бы иметь множество решений либо не иметь решений вообще.
\end{itemize}

\end{itemize}

\textbf{Компоненты модели.}

\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item \textbf{Параметры:}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item $\mu$ – математическое ожидание времени протекания процесса (с). Определяет центр распределения и физически интерпретируется как среднее время процесса, вокруг которого группируются результаты измерений. При значительном числе экспериментов среднее арифметическое всех измерений стремится к $\mu$.

\item $\sigma$ – стандартное отклонение времени протекания процесса (с). Характеризует степень разброса значений относительно математического ожидания, определяя "ширину" распределения и типичную величину отклонения результатов измерений от среднего значения.
\end{itemize}

\item \textbf{Переменные:}
$T$ – непрерывная случайная величина, представляющая время протекания физического процесса (с). Подчиняется нормальному распределению $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ и является экспериментально измеряемой величиной, на основе статистического анализа которой решается поставленная задача.

\item \textbf{Уравнения и соотношения:}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item $T \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ (\circcon{1}) – постулирует нормальное распределение для времени процесса, связывая случайную величину $T$ с параметрами $\mu$ и $\sigma$.

\item $\mathbb{P}(\mu - \sigma \leq T \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827$ (\circcon{2}) – фундаментальное свойство нормального распределения. Устанавливает, что для нормального распределения вероятность попадания случайной величины в интервал шириной $2\sigma$ вокруг среднего значения составляет приблизительно 68.27%.
\end{itemize}

\item \textbf{Эмпирические данные:}
$\mathbb{P}(3.4 \, \text{с} \leq T \leq 4.8 \, \text{с}) \approx 0.66$ (\circcon{3}) – наблюдаемая вероятность попадания времени процесса в указанный интервал. Физически это означает, что примерно 66% всех измерений времени находятся в диапазоне от 3.4 до 4.8 секунд. Данное эмпирическое наблюдение служит ключевым условием для определения параметров модели.

\item \textbf{Взаимосвязь компонентов:}
Ключевая идея решения заключается в сопоставлении эмпирической вероятности (\circcon{3}) с теоретической вероятностью для нормального распределения (\circcon{2}). Близость значений 0.66 и 0.6827 позволяет предположить, что интервал $[3.4 \, \text{с}, 4.8 \, \text{с}]$ приблизительно соответствует интервалу $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$. Это даёт возможность связать границы наблюдаемого интервала с искомыми параметрами распределения. Параметры $\mu$ и $\sigma$ полностью определяют нормальное распределение случайной величины $T$, что позволяет охарактеризовать статистические свойства времени изучаемого процесса.
\end{itemize}

\end{xcondition}