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\subsection{Rappel sur le modèle 2RC}

Le modèle électrique à double polarisation, dit modèle \textbf{2RC}, représenté à la figure~\ref{fig2RC}, est largement utilisé pour représenter le comportement dynamique des batteries lithium-ion. Il constitue un compromis optimal entre la précision de modélisation et la complexité de calcul, en comparaison avec les modèles plus simples (tel que les modèles Rint et Thévenin) ou plus complexes (tels que les modèles électrochimiques complets). Ce modèle est particulièrement adapté aux approches d'estimation du SoC à base de modèle.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Chapter1/ECM2.jpg}
    \caption{Modèle de circuit équivalent 2RC d'une batterie Li-ion.}
    \label{fig2RC}
\end{figure}

Le modèle 2RC est constitué :
\begin{itemize}
    \item d’une source de tension dépendante de l’état de charge, notée $OCV(SoC)$ ;
    \item d’une résistance série $R_0$ modélisant la chute de tension ohmique instantanée ;
    \item de deux branches RC parallèles $[R_1, C_1]$ et $[R_2, C_2]$ modélisant respectivement les phénomènes de polarisation électrochimique lente et rapide.
\end{itemize}

\medskip

Les dynamiques des tensions de polarisation associées aux condensateurs $C_1$ et $C_2$, notées $V_1$ et $V_2$, sont décrites par les équations différentielles suivantes :
\begin{align}
\dot{V}_1(t) &= -\frac{1}{R_1(SoC, T, SoH) \cdot C_1(SoC, T, SoH)}\, V_1(t)
+ \frac{1}{C_1(SoC, T, SoH)}\, I(t) \label{eq:V1_dyn} \\[5pt]
\dot{V}_2(t) &= -\frac{1}{R_2(SoC, T, SoH) \cdot C_2(SoC, T, SoH)}\, V_2(t)
+ \frac{1}{C_2(SoC, T, SoH)}\, I(t) \label{eq:V2_dyn}
\end{align}

L’évolution de l’état de charge de la batterie (SoC) est modélisée par l’équation :
\begin{equation}
\frac{d\,SoC(t)}{dt} = -\frac{\eta(SoC, T, SoH)}{Q_n(SoC, T, SoH)}\, I(t) \label{eq:SoC_dyn}
\end{equation}
où $Q_n$ est la capacité nominale de la batterie (en Ah), et $\eta$ désigne le rendement coulombique, qui peut aussi varier légèrement selon l'état de la batterie.

Enfin, la tension terminale mesurée aux bornes de la batterie est donnée par :
\begin{equation}
V_o(t) = OCV(SoC(t)) - R_0(SoC, T, SoH) \cdot I(t) - V_1(t) - V_2(t) \label{eq:terminal_voltage}
\end{equation}

\medskip

Tous les paramètres $R_0$, $R_1$, $R_2$, $C_1$, $C_2$, $Q_n$ et $\eta$ sont des fonctions non linéaires du SoC, de la température $T$, et de l’état de santé (SoH). Dans la pratique, ces dépendances sont généralement représentées sous forme de tables de recherche (lookup tables), obtenues par identification expérimentale.

\medskip

Le modèle 2RC ainsi exprimé peut être reformulé sous forme d’un système dynamique à temps continu. Selon la façon dont on traite les dépendances non linéaires des paramètres, ce modèle peut être exprimé sous deux formes équivalentes :
\begin{itemize}
    \item une \textbf{forme linéaire à paramètres variables} (LPV), où les matrices du système dépendent explicitement de $SoC$, $T$ et $SoH$ ;
    \item une \textbf{forme non linéaire} classique, où les équations différentielles sont directement dépendantes des états via les paramètres internes.
\end{itemize}