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ご質問ありがとうございます。指定された3層パーセプトロンの誤差逆伝播学習法（バックプロパゲーション）のアルゴリズムについて、省略なしで丁寧に解説します。

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### 問題の整理

まず、問題で与えられている情報を整理します。

*   **ネットワーク構造**: 2入力、2隠れ層ユニット、2出力の3層パーセプトロン
    *   **入力層**: $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2)^T$
    *   **隠れ層**: $\boldsymbol{y} = (y_1, y_2)^T$
    *   **出力層**: $\boldsymbol{z} = (z_1, z_2)^T$
*   **各層の計算**:
    *   隠れ層への入力（重み付き和）: $net_{y_j} = \omega_{0j} + \omega_{1j}x_1 + \omega_{2j}x_2$
    *   隠れ層の出力: $y_j = f_j(\boldsymbol{x}) = \tau(net_{y_j})$
    *   出力層への入力（重み付き和）: $net_{z_k} = v_{0k} + v_{1k}y_1 + v_{2k}y_2$
    *   出力層の出力（ネットワーク全体の出力）: $z_k = g_k(\boldsymbol{y}) = \tau(net_{z_k})$
    *   （※ 解説を明確にするため、出力層のインデックスを $j$ ではなく $k$ とします。$j$ は隠れ層ユニットのインデックス、 $k$ は出力層ユニットのインデックスです。）
*   **活性化関数**: シグモイド関数 $\tau(u) = \frac{1}{1+e^{-u}}$
    *   この導関数は $\tau'(u) = \tau(u)(1-\tau(u))$ となり、計算に利用します。
*   **誤差関数**: $E = \frac{1}{2|X|} \sum_{\boldsymbol{x} \in X} \alpha(\boldsymbol{x}) |\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{d}(\boldsymbol{x})|^2$
    *   $\boldsymbol{d}(\boldsymbol{x}) = (d_1, d_2)^T$ は教師信号（目標出力）です。
    *   学習アルゴリズムを導出する際は、まず1つの学習パターン $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{d})$ に対する誤差 $E_p$ を考えます。
        $E_p = \frac{1}{2} |\boldsymbol{z} - \boldsymbol{d}|^2 = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2} (z_k - d_k)^2$
        （ここでは簡単のため $\alpha(\boldsymbol{x})=1$ としています。全体の誤差 $E$ の勾配は、各パターンの勾配の平均となります。）
*   **学習の目標**: 誤差 $E_p$ を最小化するように、各重み $\omega_{ij}$ と $v_{jk}$ を更新すること。
*   **学習則**: 勾配降下法を用います。ある重み $w$ の更新則は、学習率を $\eta$ （問題文の $\Delta$ に相当）として次のように表されます。
    $w^{\text{new}} = w^{\text{old}} - \eta \frac{\partial E_p}{\partial w}$

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### 解答解説: 誤差逆伝播法の導出とアルゴリズム

誤差逆伝播法は、連鎖律（Chain Rule）を用いて出力層から入力層へと逆向きに誤差の勾配を計算し、重みを更新する手法です。

#### ステップ1: 出力層の重み $v_{jk}$ の更新則の導出

まず、出力層と隠れ層を接続する重み $v_{jk}$ （隠れ層ユニット $j$ から出力層ユニット $k$ への重み）に関する誤差 $E_p$ の偏微分 $\frac{\partial E_p}{\partial v_{jk}}$ を求めます。

連鎖律により、
$$
\frac{\partial E_p}{\partial v_{jk}} = \frac{\partial E_p}{\partial z_k} \frac{\partial z_k}{\partial net_{z_k}} \frac{\partial net_{z_k}}{\partial v_{jk}}
$$

各項を計算します。

1.  **$\frac{\partial E_p}{\partial z_k}$**:
    $E_p = \frac{1}{2}((z_1-d_1)^2 + (z_2-d_2)^2)$ なので、
    $$
    \frac{\partial E_p}{\partial z_k} = z_k - d_k
    $$

2.  **$\frac{\partial z_k}{\partial net_{z_k}}$**:
    $z_k = \tau(net_{z_k})$ なので、シグモイド関数の導関数を用います。
    $$
    \frac{\partial z_k}{\partial net_{z_k}} = \tau'(net_{z_k}) = \tau(net_{z_k})(1-\tau(net_{z_k})) = z_k(1-z_k)
    $$

3.  **$\frac{\partial net_{z_k}}{\partial v_{jk}}$**:
    $net_{z_k} = v_{0k} + v_{1k}y_1 + v_{2k}y_2$ なので、
    $$
    \frac{\partial net_{z_k}}{\partial v_{jk}} = y_j \quad (\text{ただし } j=1, 2)
    $$
    バイアス項 $v_{0k}$ の場合は、$y_0=1$ と考えると $\frac{\partial net_{z_k}}{\partial v_{0k}} = 1$ となります。

これらをまとめると、
$$
\frac{\partial E_p}{\partial v_{jk}} = (z_k - d_k) z_k(1-z_k) y_j
$$

ここで、出力層の誤差項（デルタ） $\delta_k^z$ を次のように定義します。
$$
\delta_k^z := \frac{\partial E_p}{\partial net_{z_k}} = \frac{\partial E_p}{\partial z_k} \frac{\partial z_k}{\partial net_{z_k}} = (z_k - d_k) z_k(1-z_k)
$$
これを用いると、偏微分は $\frac{\partial E_p}{\partial v_{jk}} = \delta_k^z y_j$ と簡潔に書けます。

したがって、$v_{jk}$ の更新則は以下のようになります。

$$
v_{jk}^{\text{new}} = v_{jk}^{\text{old}} - \eta \delta_k^z y_j \quad (j=1,2; k=1,2)
$$
バイアス項 $v_{0k}$ の更新則は、$y_0=1$ と考えて、
$$
v_{0k}^{\text{new}} = v_{0k}^{\text{old}} - \eta \delta_k^z \quad (k=1,2)
$$

#### ステップ2: 隠れ層の重み $\omega_{ij}$ の更新則の導出

次に、隠れ層と入力層を接続する重み $\omega_{ij}$ （入力ユニット $i$ から隠れ層ユニット $j$ への重み）に関する偏微分 $\frac{\partial E_p}{\partial \omega_{ij}}$ を求めます。

ここでも連鎖律を適用します。
$$
\frac{\partial E_p}{\partial \omega_{ij}} = \frac{\partial E_p}{\partial y_j} \frac{\partial y_j}{\partial net_{y_j}} \frac{\partial net_{y_j}}{\partial \omega_{ij}}
$$

各項を計算します。

1.  **$\frac{\partial E_p}{\partial y_j}$**:
    隠れ層ユニット $j$ の出力 $y_j$ は、**すべての出力層ユニット** $z_k$ ($k=1, 2$) に影響を与えます。そのため、それぞれのユニットからの影響を合計する必要があります。
    $$
    \frac{\partial E_p}{\partial y_j} = \sum_{k=1}^{2} \frac{\partial E_p}{\partial net_{z_k}} \frac{\partial net_{z_k}}{\partial y_j}
    $$
    ここで、$\frac{\partial E_p}{\partial net_{z_k}}$ は先ほど定義した出力層のデルタ $\delta_k^z$ です。
    また、$net_{z_k} = v_{0k} + v_{1k}y_1 + v_{2k}y_2$ なので、$\frac{\partial net_{z_k}}{\partial y_j} = v_{jk}$ となります。
    よって、
    $$
    \frac{\partial E_p}{\partial y_j} = \sum_{k=1}^{2} \delta_k^z v_{jk}
    $$
    これは、「出力層の誤差が、重み $v_{jk}$ を通して隠れ層に逆伝播する」ことを意味しています。

2.  **$\frac{\partial y_j}{\partial net_{y_j}}$**:
    出力層と同様に、シグモイド関数の導関数です。
    $$
    \frac{\partial y_j}{\partial net_{y_j}} = \tau'(net_{y_j}) = y_j(1-y_j)
    $$

3.  **$\frac{\partial net_{y_j}}{\partial \omega_{ij}}$**:
    $net_{y_j} = \omega_{0j} + \omega_{1j}x_1 + \omega_{2j}x_2$ なので、
    $$
    \frac{\partial net_{y_j}}{\partial \omega_{ij}} = x_i \quad (\text{ただし } i=1, 2)
    $$
    バイアス項 $\omega_{0j}$ の場合は、$x_0=1$ と考えると $\frac{\partial net_{y_j}}{\partial \omega_{0j}} = 1$ となります。

これらをまとめると、
$$
\frac{\partial E_p}{\partial \omega_{ij}} = \left(\sum_{k=1}^{2} \delta_k^z v_{jk}\right) y_j(1-y_j) x_i
$$

ここで、隠れ層の誤差項（デルタ） $\delta_j^y$ を次のように定義します。
$$
\delta_j^y := \frac{\partial E_p}{\partial net_{y_j}} = \frac{\partial E_p}{\partial y_j} \frac{\partial y_j}{\partial net_{y_j}} = \left(\sum_{k=1}^{2} \delta_k^z v_{jk}^{\text{old}}\right) y_j(1-y_j)
$$
（※ $\delta_k^z$ の計算に使われた重み $v_{jk}$ は更新前の値であるため、$v_{jk}^{\text{old}}$ と明記するのがより正確です。）
これを用いると、偏微分は $\frac{\partial E_p}{\partial \omega_{ij}} = \delta_j^y x_i$ と簡潔に書けます。

したがって、$\omega_{ij}$ の更新則は以下のようになります。

$$
\omega_{ij}^{\text{new}} = \omega_{ij}^{\text{old}} - \eta \delta_j^y x_i \quad (i=1,2; j=1,2)
$$
バイアス項 $\omega_{0j}$ の更新則は、$x_0=1$ と考えて、
$$
\omega_{0j}^{\text{new}} = \omega_{0j}^{\text{old}} - \eta \delta_j^y \quad (j=1,2)
$$

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### 誤差逆伝播学習法のアルゴリズム

以上の導出をまとめ、学習アルゴリズムとして示します。

**1. 初期化**
*   隠れ層の重み $\omega_{ij}$ および出力層の重み $v_{jk}$ (バイアス項 $\omega_{0j}, v_{0k}$ を含む) を、小さな乱数値で初期化する。
*   学習率 $\eta$ を設定する。（問題文の $\Delta$）

**2. 学習の繰り返し**
*   学習データセット $X$ が空になるまで、または所定のエポック数に達するまで、以下の処理を繰り返す。

**3. 各学習パターンに対する処理**
*   学習データセット $X$ から、一つのパターン $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{d})$ を取り出す。$\boldsymbol{x}=(x_1, x_2)^T, \boldsymbol{d}=(d_1, d_2)^T$

    **(a) 順伝播 (Forward Propagation)**
    1.  **隠れ層の計算**: 隠れ層ユニット $j=1, 2$ の出力を計算する。
        *   $net_{y_j} = \omega_{0j} + \sum_{i=1}^{2} \omega_{ij}x_i$
        *   $y_j = \tau(net_{y_j})$
    2.  **出力層の計算**: 出力層ユニット $k=1, 2$ の出力を計算する。
        *   $net_{z_k} = v_{0k} + \sum_{j=1}^{2} v_{jk}y_j$
        *   $z_k = \tau(net_{z_k})$

    **(b) 誤差逆伝播 (Backpropagation)**
    1.  **出力層の誤差項の計算**: 出力層ユニット $k=1, 2$ の誤差項 $\delta_k^z$ を計算する。
        *   $\delta_k^z = (z_k - d_k) z_k(1-z_k)$
    2.  **隠れ層の誤差項の計算**: 隠れ層ユニット $j=1, 2$ の誤差項 $\delta_j^y$ を計算する。
        *   $\delta_j^y = \left( \sum_{k=1}^{2} \delta_k^z v_{jk}^{\text{old}} \right) y_j(1-y_j)$

    **(c) 重みの更新**
    1.  **出力層の重みの更新**: 出力層の重み $v_{jk}$ およびバイアス $v_{0k}$ を更新する ($k=1,2$)。
        *   $v_{jk}^{\text{new}} = v_{jk}^{\text{old}} - \eta \delta_k^z y_j \quad (j=1,2)$
        *   $v_{0k}^{\text{new}} = v_{0k}^{\text{old}} - \eta \delta_k^z$
    2.  **隠れ層の重みの更新**: 隠れ層の重み $\omega_{ij}$ およびバイアス $\omega_{0j}$ を更新する ($j=1,2$)。
        *   $\omega_{ij}^{\text{new}} = \omega_{ij}^{\text{old}} - \eta \delta_j^y x_i \quad (i=1,2)$
        *   $\omega_{0j}^{\text{new}} = \omega_{0j}^{\text{old}} - \eta \delta_j^y$

**4. 終了**
*   学習が収束した（誤差が十分小さくなった、または変化しなくなった）と判断されれば、学習を終了する。

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以上が、問題で与えられた3層パーセプトロンに対する誤差逆伝播学習法の詳細な解説です。各重みの更新式は、その重みが接続している先の層の誤差と、手前の層の出力に基づいて計算されることがわかります。