probleme e compilation, il faut du georgia 12 : \documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{geometry} \usepackage{graphicx} % Ajout pour inclure les images \geometry{margin=2cm} \title{Corrigé QCM Kahoot -- Chapitre 0 : Prérequis Algèbre} \author{} \date{1er septembre 2025}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Introduction} Ce document fournit un corrigé détaillé du QCM Kahoot (20 questions) réalisé en classe pour évaluer les prérequis du chapitre 0 (polynômes, équations, inéquations de degré 1 et 2). Les questions graphiques incluent des graphiques des courbes (paraboles ou droites) pour visualiser les intersections. La correction orale (1h) portera sur 5-10 questions clés, avec ce document pour un approfondissement autonome.

\section*{Question 1} \textbf{Énoncé :} Factoriser ( p(x) = x^2 - 5x + 6 ). \ a) ( (x-2)(x-3) ) \quad b) ( (x+2)(x+3) ) \quad c) ( (x-2)(x+3) ) \quad d) ( (x+1)(x-6) )

\textbf{Réponse :} a) ( (x-2)(x-3) )

\textbf{Explication :} On cherche deux nombres dont la somme est (-5) et le produit est (6). Ces nombres sont (-2) et (-3). Ainsi, ( p(x) = (x-2)(x-3) ). Vérification : ( (x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 ).

\section*{Question 2} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( 3x - 4 = 5 ). \ a) ( x = 3 ) \quad b) ( x = 2 ) \quad c) ( x = 4 ) \quad d) ( x = 1 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = 3 )

\textbf{Explication :} On isole ( x ) : ( 3x - 4 = 5 \implies 3x = 9 \implies x = 3 ). Vérification : ( 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 ).

\section*{Question 3} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( 2x + 1 \geq 5 ). \ a) ( x \geq 2 ) \quad b) ( x \leq 2 ) \quad c) ( x \geq 3 ) \quad d) ( x \leq 3 )

\textbf{Réponse :} a) ( x \geq 2 )

\textbf{Explication :} On résout : ( 2x + 1 \geq 5 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2 ). Vérification : pour ( x = 2 ), ( 2 \cdot 2 + 1 = 5 \geq 5 ); pour ( x = 3 ), ( 2 \cdot 3 + 1 = 7 \geq 5 ).

\section*{Question 4} \textbf{Énoncé :} Sur la courbe ( y = x^2 - 4 ), où coupe-t-elle l’axe des abscisses ? \ a) ( x = 2 ) uniquement \quad b) ( x = -2 ) et ( x = 2 ) \quad c) ( x = 4 ) \quad d) Pas de solution

\textbf{Réponse :} b) ( x = -2 ) et ( x = 2 )

\textbf{Explication :} La courbe est une parabole ( y = x^2 - 4 ), ouverte vers le haut, avec un sommet en ( (0, -4) ). Elle coupe l’axe des abscisses (( y = 0 )) quand ( x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 ). Les points d’intersection sont ( (-2, 0) ) et ( (2, 0) ).

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{q4_parabola.png} \caption{Parabole 
y
=
x
2
−
4
y=x 
2
 −4 avec intersections en 
(
−
2
,
0
)
(−2,0) et 
(
2
,
0
)
(2,0).} \end{figure}

\section*{Question 5} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( x^2 - 4 \leq 0 ) (par analyse de signes). \ a) ( x \leq -2 ) ou ( x \geq 2 ) \quad b) ( -2 \leq x \leq 2 ) \quad c) ( x \leq 2 ) \quad d) ( x \geq -2 )

\textbf{Réponse :} b) ( -2 \leq x \leq 2 )

\textbf{Explication :} Factoriser : ( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) ). Racines : ( x = -2 ), ( x = 2 ). Analyse de signes : le polynôme est négatif ou nul entre (-2) et (2). Vérification : pour ( x = 0 ), ( 0^2 - 4 = -4 \leq 0 ); pour ( x = 3 ), ( 3^2 - 4 = 5 > 0 ). \textbf{Courbe associée} : La parabole ( y = x^2 - 4 ) est sous l’axe des abscisses entre ( x = -2 ) et ( x = 2 ).

\section*{Question 6} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( x^2 - 2x - 3 = 0 ). \ a) ( x = -1, x = 3 ) \quad b) ( x = 1, x = -3 ) \quad c) ( x = 2, x = -1 ) \quad d) ( x = 0, x = 3 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = -1, x = 3 )

\textbf{Explication :} Discriminant : ( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ). Racines : ( x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ), soit ( x = 3 ), ( x = -1 ). Vérification : ( p(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 ).

\section*{Question 7} \textbf{Énoncé :} Résoudre l’inéquation ( x - 3 < 2 ). \ a) ( x < 5 ) \quad b) ( x > 5 ) \quad c) ( x < 1 ) \quad d) ( x > 1 )

\textbf{Réponse :} a) ( x < 5 )

\textbf{Explication :} On résout : ( x - 3 < 2 \implies x < 5 ). Vérification : pour ( x = 4 ), ( 4 - 3 = 1 < 2 ); pour ( x = 5 ), ( 5 - 3 = 2 \not< 2 ).

\section*{Question 8} \textbf{Énoncé :} Nombre de racines de ( p(x) = x^2 + 2x + 1 ). \ a) 1 \quad b) 2 \quad c) 0 \quad d) 3

\textbf{Réponse :} a) 1

\textbf{Explication :} Discriminant : ( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 ). Une racine double : ( x = \frac{-2}{2} = -1 ). Vérification : ( p(x) = (x+1)^2 ).

\section*{Question 9} \textbf{Énoncé :} Sur la courbe ( y = x + 2 ), où coupe-t-elle ( y = 3 )? \ a) ( x = 1 ) \quad b) ( x = -1 ) \quad c) ( x = 2 ) \quad d) ( x = 0 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = 1 )

\textbf{Explication :} La droite ( y = x + 2 ) (pente 1, ordonnée à l’origine 2) coupe la droite horizontale ( y = 3 ) en ( x + 2 = 3 \implies x = 1 ). Le point d’intersection est ( (1, 3) ).

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{q9_line.png} \caption{Droite 
y
=
x
+
2
y=x+2 avec intersection en 
(
1
,
3
)
(1,3) avec 
y
=
3
y=3.} \end{figure}

\section*{Question 10} \textbf{Énoncé :} Factoriser ( p(x) = x^2 - 9 ). \ a) ( (x-3)(x+3) ) \quad b) ( (x-3)^2 ) \quad c) ( (x+3)^2 ) \quad d) ( (x-9)(x+1) )

\textbf{Réponse :} a) ( (x-3)(x+3) )

\textbf{Explication :} Différence de carrés : ( x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) ). Vérification : ( (x-3)(x+3) = x^2 - 9 ).

\section*{Question 11} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( x^2 + 2x - 8 = 0 ). \ a) ( x = -4, x = 2 ) \quad b) ( x = -2, x = 4 ) \quad c) ( x = 1, x = -8 ) \quad d) ( x = 0, x = 8 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = -4, x = 2 )

\textbf{Explication :} Discriminant : ( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ). Racines : ( x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} ), soit ( x = 2 ), ( x = -4 ).

\section*{Question 12} \textbf{Énoncé :} Résoudre l’inéquation ( x^2 - 1 > 0 ). \ a) ( x < -1 ) ou ( x > 1 ) \quad b) ( x > -1 ) \quad c) ( x < 1 ) \quad d) entre (-1) et (1)

\textbf{Réponse :} a) ( x < -1 ) ou ( x > 1 )

\textbf{Explication :} Factoriser : ( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ). Racines : ( x = -1 ), ( x = 1 ). Analyse de signes : le polynôme est positif pour ( x < -1 ) ou ( x > 1 ). Vérification : pour ( x = 2 ), ( 2^2 - 1 = 3 > 0 ); pour ( x = 0 ), ( 0^2 - 1 = -1 \not> 0 ). L’option d) "entre (-1) et (1)" correspond à l’intervalle ( -1 < x < 1 ), où le polynôme est négatif. \textbf{Courbe associée} : La parabole ( y = x^2 - 1 ) est au-dessus de l’axe des abscisses pour ( x < -1 ) ou ( x > 1 ).

\section*{Question 13} \textbf{Énoncé :} Quelle est la somme des racines de ( x^2 - 6x + 8 = 0 )? \ a) 6 \quad b) 8 \quad c) -6 \quad d) x = 2

\textbf{Réponse :} a) 6

\textbf{Explication :} Pour ( ax^2 + bx + c = 0 ), la somme des racines est ( -b/a ). Ici, ( a = 1 ), ( b = -6 ), donc somme = ( -(-6)/1 = 6 ). L’option d) ( x = 2 ) correspond à une racine de l’équation (les racines sont ( x = 2 ) et ( x = 4 )), mais la question porte sur la somme, donc a) est correcte.

\section*{Question 14} \textbf{Énoncé :} Factoriser ( p(x) = x^2 + 6x + 9 ). \ a) ( (x+3)^2 ) \quad b) ( (x-3)^2 ) \quad c) ( (x+3)(x-3) ) \quad d) ( (x+6)(x+1) )

\textbf{Réponse :} a) ( (x+3)^2 )

\textbf{Explication :} C’est un carré parfait : ( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 ). Vérification : ( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 ).

\section*{Question 15} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( 4x - 8 = 0 ). \ a) ( x = 2 ) \quad b) ( x = 4 ) \quad c) ( x = -2 ) \quad d) ( x = 8 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = 2 )

\textbf{Explication :} ( 4x - 8 = 0 \implies 4x = 8 \implies x = 2 ). Vérification : ( 4 \cdot 2 - 8 = 0 ).

\section*{Question 16} \textbf{Énoncé :} Sur la courbe ( y = x^2 - 1 ), où coupe-t-elle l’axe des abscisses ? \ a) ( x = -1, x = 1 ) \quad b) ( x = 1 ) uniquement \quad c) ( x = 0 ) \quad d) Pas de solution

\textbf{Réponse :} a) ( x = -1, x = 1 )

\textbf{Explication :} La parabole ( y = x^2 - 1 ), ouverte vers le haut, coupe l’axe des abscisses (( y = 0 )) quand ( x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 ). Les points d’intersection sont ( (-1, 0) ) et ( (1, 0) ).

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{q16_parabola.png} \caption{Parabole 
y
=
x
2
−
1
y=x 
2
 −1 avec intersections en 
(
−
1
,
0
)
(−1,0) et 
(
1
,
0
)
(1,0).} \end{figure}

\section*{Question 17} \textbf{Énoncé :} Résoudre l’inéquation ( 2x - 5 \leq 1 ). \ a) ( x \leq 3 ) \quad b) ( x \geq 3 ) \quad c) ( x \leq 1 ) \quad d) ( x \geq 1 )

\textbf{Réponse :} a) ( x \leq 3 )

\textbf{Explication :} ( 2x - 5 \leq 1 \implies 2x \leq 6 \implies x \leq 3 ). Vérification : pour ( x = 3 ), ( 2 \cdot 3 - 5 = 1 \leq 1 ).

\section*{Question 18} \textbf{Énoncé :} Discriminant de ( x^2 - 4x + 4 ). \ a) 0 \quad b) 4 \quad c) 8 \quad d) 16

\textbf{Réponse :} a) 0

\textbf{Explication :} Pour ( x^2 - 4x + 4 ), ( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 ). Une racine double.

\section*{Question 19} \textbf{Énoncé :} Résoudre ( x^2 + x - 6 \leq 0 ) (par analyse de signes). \ a) ([-3, 2]) \quad b) (-3 \leq x \leq 2) \quad c) ( x \leq -3 ) ou ( x \geq 2 ) \quad d) ([-2, 3])

\textbf{Réponse :} b) (-3 \leq x \leq 2)

\textbf{Explication :} Factoriser : ( x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) ). Racines : ( x = -3 ), ( x = 2 ). Le polynôme est négatif ou nul entre (-3) et (2). Vérification : pour ( x = 0 ), ( 0^2 + 0 - 6 = -6 \leq 0 ). \textbf{Courbe associée} : La parabole ( y = x^2 + x - 6 ) est sous l’axe des abscisses entre ( x = -3 ) et ( x = 2 ).

\section*{Question 20} \textbf{Énoncé :} Sur la courbe ( y = 2x - 1 ), où coupe-t-elle ( y = 5 )? \ a) ( x = 3 ) \quad b) ( x = 2 ) \quad c) ( x = 4 ) \quad d) ( x = 1 )

\textbf{Réponse :} a) ( x = 3 )

\textbf{Explication :} La droite ( y = 2x - 1 ) (pente 2, ordonnée à l’origine (-1)) coupe ( y = 5 ) en ( 2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3 ). Le point d’intersection est ( (3, 5) ).

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{q20_line.png} \caption{Droite 
y
=
2
x
−
1
y=2x−1 avec intersection en 
(
3
,
5
)
(3,5) avec 
y
=
5
y=5.} \end{figure}

\end{document}