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ガウスの消去法 ガウスの消去法 ガウスの消去法 （ガウスのしょうきょほう、 英 : Gaussian elimination ）あるいは 掃き出し法 （はきだしほう、 英 : row reduction ）とは、 連立一次方程式 を解くための 多項式時間 アルゴリズム であり、通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる 拡大係数行列 に対して行われる一連の変形操作を意味する。 同様のアルゴリズムは歴史的には 前漢 に 九章算術 で初めて記述された。連立一次方程式の解法以外にも 行列 の 階数 の計算 行列式 の計算 正則行列の 逆行列 の計算 などに使われる。このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ、基本的には、 前進消去 (forward elimination) と 後退代入 (backward substitution) という2つのステップから成る。 行列に対して掃き出し法を行う為には、 行に関する基本変形 を行列に可能な限り繰り返し行って行列の左下部分の成分を全て 0 にする。行に関する基本変形には、 二つの行を入れ替えるもの ある行を0でない定数倍するもの ある行に他のある行の定数倍を加えるもの の3種類の操作があり、必ず行列を上三角型に変形することができる。実際には、ゼロでない成分を持つ行が、ゼロしか成分に持たない行よりも上に位置し、主成分（行内の 0 でない成分のうち最も左にあるもの）が、その行の上にある行の主成分よりも、真に右側に位置する 行階段形 に変形される。 特に全ての主成分が 1 になり、主成分を含む列にある主成分以外の成分が 0 であるとき、この行列は 行簡約階段形 であると呼ばれる。この最終形は一意的であり、どのような行基本変形が行われたかには依存しない。例えば、次の様な行基本変形の繰り返し（各ステップで複数の基本変形を行っている）で、3番目と4番目は共に行階段形であるが、最後の4番目が一意に定まる行簡約階段形である。 [ 1 3 1 9 1 1 − 1 1 3 11 5 35 ] → [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 2 2 8 ] → [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 0 0 0 ] → [ 1 0 − 2 − 3 0 1 1 4 0 0 0 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]} 行基本変形を用いて行列を行階段形に変形することを ガウス・ジョルダンの消去法 （ガウス・ジョルダンのしょうきょほう、
1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]} 行基本変形を用いて行列を行階段形に変形することを ガウス・ジョルダンの消去法 （ガウス・ジョルダンのしょうきょほう、 英 : Gauss–Jordan elimination ）という。ガウスの消去法という用語を上三角形または（簡約とは限らない）行階段形へ変換する手法を指すこともある。連立一次方程式の解を求める際に行基本変形を完全に簡約化する前に止めてしまう方が、計算上の理由から良いとされる場合もある。 ^ Schrijver 1998 , p. 38. ^ コルテ & フィーゲン 2009 , p. 95. ^ Schrijver 1998 , p. 33. ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、88頁。 ISBN  4-431-70842-1。   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウスの補題 ガウスの補題 ガウスの補題 （ガウスのほだい） ガウスの補題 (多項式) ガウスの補題 (数論) ガウスの補題 (リーマン幾何学) This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウスの補題 (数論) ガウスの補題 (数論) 数論 における ガウスの補題 （ガウスのほだい、 英 : Gauss' lemma ）は 整数 が 平方剰余 であるための条件を与える。計算的には有用ではないが、理論的には重要であり、 平方剰余の相互法則のいくつかの証明 で使われる。 ガウスの補題は 平方剰余の相互法則 の カール・フリードリヒ・ガウス の3番目の証明 (1808) において初めて現れ、5番目の証明 (1818) において彼は再びそれを証明した。 ^ a b Gauss, Carl Friedrich H. Maser訳 (1965) (German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN  0-8284-0191-8   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウスの連分数 ガウスの連分数 複素解析 における ガウスの連分数 （ガウスのれんぶんすう、 英 : Gauss's continued fraction ）は、 超幾何関数 から導出される特別なクラスの 一般化連分数 である。これは数学史上最も早く見出された解析的な連分数の一つであり、いくつかの重要な 初等関数 およびより複雑な 超越関数 の表現に用いることができる。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウスベルク山 ガウスベルク山 Gaussberg 1921年 のドイツ製の地図。 最高地点 標高 370  m (1,210  ft ) 座標 南緯66度48分 東経089度11分 ﻿ / ﻿ 南緯66.800度 東経89.183度 ﻿ / -66.800; 89.183 地形 Gaussberg 南極大陸 地質 山の種類 火山円錐丘 プロジェクト 山 ガウスベルク山 （ガウスベルクさん、Gaussberg）、ないし、 ガウス山 （ガウスさん、 英語 : Mount Gauss ）は、 南極大陸 の ヴィルヘルム2世ランド 、 ポサドフスキー氷河 のすぐ西側に位置し デービス海 に臨む、標高 370メートル (1,214 ft)の 死火山 の 円錐丘 。 インド洋 の ケルゲレン諸島 から南極大陸に至るケルゲレン・ガウスベルク海嶺の南端に位置している。 1902年 2月、 エーリッヒ・フォン・ドリガルスキー が率いたドイツの南極探検隊が発見し、彼らの船 ガウス号 に因んだものであるが、その船名は、 カール・フリードリヒ・ガウス を称えて命名したものであった。 半深成岩 である ランプロアイト から成る円錐丘には クレーター はなく、かつてはずっと大きかった火山が侵食によって失われた残丘と考えられており、元の火山は、5.6万年ほど前に氷河の下で生じた噴火によって形成されたものとされている。 白榴石（リューサイト） 粗面岩の一種であるガウスベルク岩は、この山の名から命名されたものである。 ^ a b c d “Gaussberg” . Geographic Names Information System . U.S. Geological Survey . 2009年5月3日閲覧 . ^ 「 ケルゲレン-ガウスベルク海嶺 」『ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典』 。 https://kotobank.jp/word/%E3%82%B1%E3%83%AB%E3%82%B2%E3%83%AC%E3%83%B3-%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E6%B5%B7%E5%B6%BA 。 コトバンク より2021年2月18日閲覧 。   ^ Nadezhda M. Sushchevskaya et al. (2014-12). online frei verfügbar “Geochemical Features of the Quaternary Lamproitic Lavas of Gaussberg Volcano, East Antarctica: Result of the Impact of the Kerguelen Plume” (英語). Geochemistry International (Pleiades Publishing, Ltd.) 52 (12): 1030–1048. doi : 10.1134/S0016702914120106 . ISSN   0016-7029 . https://www.researchgate.net/publication/270448870_Geochemical_Features_of_the_Quaternary_Lamproitic_Lavas_of_Gaussberg_Volcano_East_Antarctica_Result_of_the_Impact_of_the_Kerguelen_Plume online frei
oi : 10.1134/S0016702914120106 . ISSN   0016-7029 . https://www.researchgate.net/publication/270448870_Geochemical_Features_of_the_Quaternary_Lamproitic_Lavas_of_Gaussberg_Volcano_East_Antarctica_Result_of_the_Impact_of_the_Kerguelen_Plume online frei verfügbar .   ^ 「 ガウスベルク岩 」『岩石学辞典』 。 https://kotobank.jp/word/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E5%B2%A9 。 コトバンク より2021年2月18日閲覧 。   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス・クリューゲル図法 ガウス・クリューゲル図法 ガウス・クリューゲル図法 （ガウス・クリューゲルずほう）は、 19世紀 に ドイツ の 天文学者 ・ 数学者 である カール・フリードリヒ・ガウス が考案し、ドイツの数学者・ 測地学者 である ヨハン・ハインリヒ・ルイ・クリューゲル により整理された 地図投影法 の一種である。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス・ニュートン法 ガウス・ニュートン法 ガウス・ニュートン法 （ガウス・ニュートンほう、 英 : Gauss–Newton method ）は、 非線形最小二乗法 を解く手法の一つである。これは関数の最大・最小値を見出す ニュートン法 の修正とみなすことができる。ニュートン法とは違い、ガウス・ニュートン法は二乗和の最小化に しか 用いることができないが、数が多くて計算することが困難な2階微分の値が不要という長所がある。 非線形最小二乗法は 非線形回帰 などで、観測データを良く表すようにモデルのパラメータを調整するために必要となる。 この手法の名称は カール・フリードリヒ・ガウス と アイザック・ニュートン にちなむ。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス・ボンネの定理 ガウス・ボンネの定理 数学  > 幾何学  > 多様体論  > 微分幾何学 、 微分位相幾何学  > ガウスの曲面論  > ガウス・ボンネの定理 ガウス・ボンネの定理 (Gauss–Bonnet theorem)は、 リーマン計量 が定義された 曲面 における 曲率 の積分がその曲面の オイラー標数 で表せる、という趣旨の定理である。これは曲面の局所的な 微分幾何学的構造 （曲率）の積分とその曲面の大域的な 位相幾何学的構造 （オイラー標数）とを結び付ける重要な定理である。 この定理は カール・フリードリヒ・ガウス が1827年に論文で測地線で囲まれた三角形の場合に対して証明し、 ピエール・オシアン・ボンネ が1848年に論文で一般の曲面に対して定理を示した。なお ジャック・フィリップ・マリー・ビネ がボンネとは独立に一般の場合を示していたが、ビネは成果を発表しなかった。 ^ #小林77 p.173. ^ C. F. Gauss『Disquisitiones generales circa superficies curvas』1827年。   ^ a b c #Wu p.1. ^ O. Bonnet (1848). “Mémoire sur la thé orie géné rale des surfaces”. J. de l’Ecole Poly-technique (Tome 19, Cahier 32): 1-146.   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス・ヤーノシュ ガウス・ヤーノシュ János Gausz ガウス・ヤーノシュ 生誕 1943年10月7日 ウイヴィデーク〈現 ノヴィ・サド 〉 死没 2021年11月12日 セゲド 国籍   ハンガリー 研究分野 遺伝学 研究機関 セゲド生物学研究センター セゲド大学 出身校 セゲド大学 主な業績 ショウジョウバエ の遺伝学研究 主な受賞歴 ハンガリー学士院賞 （1993年） セーチェーニ 教授奨学金（1998年） シュトラウブ・ブルノー 賞（1999年） センターゴタイ・ヤーノシュ賞（2002年） 署名 プロジェクト:人物伝 ガウス・ヤーノシュ （János Gausz [ˈɡaʊs ˈjaːnoʃ]、1943年10月7日、ウイヴィデーク〈現 ノヴィ・サド 〉生 – 2021年11月12日、 セゲド 没）は、ハンガリーの遺伝学者であり、セゲド大学の教員であった。彼はセゲド生物学研究センター遺伝学研究所において数十年間にわたり勤務し、1970年に発足した発生遺伝学グループの創設メンバーとなり、後に上級研究員および科学顧問を務め、ハンガリーにおける ショウジョウバエ 研究を開始した昆虫遺伝学グループを率いた。また、研究活動に加えてセゲド大学で教育にも携わり、ハンガリー科学アカデミーから生物学の博士号（DSc）を取得した。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス写像 ガウス写像 ガウス写像 （ガウスしゃぞう、 英 : Gauss map ）は、 微分幾何学 における 概念 であり、向き付けられた滑らかな 曲面 Mで各点に於ける単位法線 ベクトル を滑らかに定めることができる 写像 のこと。ガウス写像は、ある曲面上の領域を球面上の領域に投影し、この曲面上の全ての点から単位球上の対応する点にマッピングする。与えられた点での主曲率である ガウス曲率 は、ある点での最大曲率と最小曲率の積と定義される。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス加速器 ガウス加速器 ガウス加速器 （ガウスかそくき）とは、 磁力 を利用した 加速装置 の一種であるが、一般的な 加速器 とは異なる。磁束密度の単位 ガウス に因んだもので、物理学者の カール・フリードリヒ・ガウス との直接の関係はない。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス単位系 ガウス単位系 ガウス単位系 （ガウスたんいけい、 英語 : Gaussian units ）とは、歴史的に用いられていた 一貫性 のある 電磁気量の単位系 の一つである。ガウス単位系は力学単位として CGS単位系 に基づいており、 CGS-ガウス単位系 （ Gaussian-cgs units ）とも呼ばれる。CGS単位系に基づく複数の電磁気量の単位系があるが、その中でもガウス単位系は主流の単位系であったため、単にCGS単位系という呼び方でガウス単位系を指すこともある。 現在ではほぼ完全に 国際単位系 （SI）へと置き換えられており、ガウス単位系が用いられることは殆どない。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス和 ガウス和 数学 における ガウス和 （ガウスわ、 英 : Gauss sum ）あるいは ガウスの和 とは、ある特別な 1の冪根 の有限和である。典型的に G ( χ ) := G ( χ , ψ ) = ∑ χ ( r ) ⋅ ψ ( r ) {\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)} で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ( r ) は加法群 R + から（複素平面の） 単位円 への群準同型で、χ( r ) は単数群 R × から単位円への群準同型である。単元でない r については χ( r ) = 0 と拡張する。ガウス和は ガンマ関数 の 有限体 における類似物である。 このような和は数論において至る所で現れる。例えば、ある ディリクレ指標 χ に対して L ( s , χ) と L (1 −  s ,  χ ) を関連付ける方程式が G ( χ )   /   | G ( χ ) | {\displaystyle G(\chi )\ /\ |G(\chi )|} を含むような、 ディリクレのL関数 の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス型アンサンブル ガウス型アンサンブル ガウス型アンサンブル ( 英語 : Gaussian ensembles, Gaussian β ensembles, β-Hermite ensembles )は、1962年に フリーマン・ダイソン により導入されたランダム行列モデル。 行列要素の確率分布に ガウス分布 を使用しているのでガウス型と呼ばれる。 ^ Freeman J. Dyson (1962 ). “The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics” . Journal of Mathematical Physics (The American Institute of Physics) 3 (6): 1199. doi : 10.1063/1.1703863 . ISSN   1089-7658 . http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v3/i6/p1199_s1?isAuthorized=no 2013年2月8日閲覧。 .   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス引力定数 ガウス引力定数 ガウス引力定数 （ガウスいんりょくていすう、Gaussian gravitational constant, Gaussian constant）とは、かつては 天文単位 など 天文定数 の基礎となってきた定義定数であり、歴史的には 国際単位系 のような通常使われる 単位系 ではなく 太陽質量 など 地球 の運動における 定数 値を単位系として 万有引力定数 の平方根を精度よく表現したものであった。 カール・フリードリヒ・ガウス によって最初に導入された。ガウス引力定数は、 国際天文学連合 (IAU)の定める 天文定数 の一つであったが、 2012年 8月 のIAU総会において、天文定数表から除外されることが決議された。 ^ 第28回国際天文学連合総会 決議B2 、2012年8月31日決議 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス整数 ガウス整数 ガウス整数 （ガウスせいすう、 英語 : Gaussian integer ）とは、実部と虚部が共に 整数 である 複素数 のことである。すなわち、 a + bi （ a , b は整数）の形の数のことである。ここで i は 虚数単位 を表す。ガウス整数という名称は、 カール・フリードリヒ・ガウス が導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを 複素整数 （ ドイツ語 : Komplexe Ganze Zahl ）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。 通常の整数は、 b = 0 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は 有理整数 と呼ばれることもある。 数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、 集合 として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を Z [ i ] と表し、これを ガウス整数環 と呼ぶ。すなわち、 Z [ i ] := { a + b i ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [i]:=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}} である（ Z は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、 環 としての構造を持つ。複素数 体 C の 部分環 であるから、 整域 でもある。 Q を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、 Q ( i ) := { a + b i ∣ a , b ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} (i):=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Q} \}} を ガウス数体 という。ガウス整数環はガウス数体の 整数環 である。ガウス数体は、典型的な 代数体 であるところの 円分体 や 二次体 の一種であるので、ガウス整数環は 代数的整数論 における最も基本的な対象の一つである。 ^ 河田敬義『19世紀の数学 整数論』 共立出版 、1992年 ISBN 4320012771 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス曲率 ガウス曲率 数学  > 幾何学  > 多様体論  > 微分幾何学  > リーマン多様体  > 部分リーマン多様体の接続と曲率  > ガウス曲率 微分幾何学 において、 曲面 上のある点での ガウス曲率 （ガウスきょくりつ、 英 : Gauss curvature 又は 英 : Gaussian curvature ）とは、与えられた点での 主曲率 κ 1 と κ 2 の積である。曲面上の距離だけに依存する量で、空間への等長的な 埋め込み 方法にはよらない。 1827年 に Theorema Egregium を発表した カール・フリードリッヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauss) の名前に因んで名付けられた。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス求積 ガウス求積 ガウス求積 （ガウスきゅうせき、 英 : Gaussian quadrature ）または ガウスの数値積分公式 とは、 カール・フリードリヒ・ガウス に因んで名づけられた 数値解析 における 数値積分 法の一種であり、 実数 のある閉区間(慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができる アルゴリズム である。 n を正の 整数 とし、 f ( x ) を 任意の 多項式関数 とする。 f ( x ) の [−1, 1] に渡る定積分値 I を、 I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x = ∑ i = 1 n w i f ( x i ) {\displaystyle I=\int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})} の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、 x i は 積分点 または ガウス点 (ガウスノード) と呼ばれる [−1, 1] 内の n 個の点であり、 w i は 重み と呼ばれる n 個の実数である。 実は、 n 次の ルジャンドル多項式 の n 個の零点（これらは全て [−1, 1] 内にある）を積分点として選び、 w i を適切に選ぶと、 f ( x ) が 2 n − 1 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが示せる。この場合、 w i は f ( x ) によらず一意的に定まる。この方法を n 次の ガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式 と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。 f ( x ) が 2 n − 1 次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合には、上記の公式は厳密には成立しないが、 f ( x ) が 2 n − 1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式を f ( x ) に対して適用することにより、その [−1, 1] における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外のたとえば、 特異点 のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、被積分関数を f ( x ) = W ( x ) g ( x ) と表すことができて、 g ( x ) が多項式で近似できて、 W ( x ) が既知の関数（重み関数、通常は正値関数）であれば、それに対応する適切な離散的重み w i を使って次のように表せる。 ∫ − 1 1 f ( x ) d x = ∫ − 1 1 W ( x ) g ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i g ( x i ) . {\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}g(x_{i}).} 典型的な重み関数としては、 W ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}} （ガウス–チェビシェフ）や W ( x ) = exp ⁡ ( − x 2 ) {\displaystyle W(x)=\exp(-x^{2})} （ガウス–エルミート）がある。この場合の n 個の積分点 x i はルジャンドル多項式と同様に、ある 直交多項式 のクラスに属する n 次多項式の根である。 重み関数と指定区間に付随するn次の直交多項式を考
な重み関数としては、 W ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}} （ガウス–チェビシェフ）や W ( x ) = exp ⁡ ( − x 2 ) {\displaystyle W(x)=\exp(-x^{2})} （ガウス–エルミート）がある。この場合の n 個の積分点 x i はルジャンドル多項式と同様に、ある 直交多項式 のクラスに属する n 次多項式の根である。 重み関数と指定区間に付随するn次の直交多項式を考え、それの区間内にある n 個の零点を分点にとして被積分関数 f ( x )をHermite補間公式で近似したものを考えると、直交多項式の重み関数に対する直交性から、 f ( x )に重み関数を掛けて積分したものは、直交関数の n 個の零点に於ける f ( x )の関数値それぞれに重みをかけたものの和で近似される（結果的に f ( x )の各分点における導関数値は積分の近似値には寄与しない）。このようにして重み関数に対応するガウス型の数値積分公式を導くことができて、分点が n であるときには被積分関数が2 n −1次以下の任意の多項式に対して正確な積分値を与えるということが示せる. ^ 森・名取・鳥居 『数値計算』、岩波書店〈情報科学 18〉、1982年、pp. 130–132. ^ Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1988年), “§4.5: Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials”, Numerical Recipes in C (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-43108-8   ^ Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002年), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN  978-0-387-95452-3   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス積分 ガウス積分 ガウス積分 （ガウスせきぶん、 英 : Gaussian integral ）あるいは オイラー＝ポアソン積分 （オイラーポアソンせきぶん、 英 : Euler–Poisson integral ）は ガウス関数 exp(− x 2 ) の実数全体での 広義積分 ： ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}} のことである。名称は、数学・物理学者の カール・フリードリヒ・ガウス に由来する。 この積分の応用は広い。例えば、変数の微小変化に伴う 正規分布 の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、 誤差関数 や正規分布の 累積分布関数 とも深く関連する。 誤差関数を表す 初等関数 は リッシュのアルゴリズム により存在しないことが証明できるが、ガウス積分の値は 微分積分学 の道具立てを用いて解析的に求めることが可能である。つまり、初等関数としての 不定積分 ∫ e − x 2 d x {\displaystyle \textstyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x} は存在しないが、 定積分 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x} は評価することができるのである。 ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が 場の量子論 に現れる。 ^ Пуассона интеграл БСЭ This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス賞 ガウス賞 ガウス賞 （ガウスしょう、Carl Friedrich Gauss Prize）は、社会の技術的発展と日常生活に対して優れた 数学 的貢献をなした研究者に贈られる賞。4年に1度の 国際数学者会議(ICM) の開会式において授与される（同時に授賞式が行われるものとして フィールズ賞 と ネヴァンリンナ賞 がある）。 カール・フリードリヒ・ガウス の生誕225周年を記念し、 2002年 に ドイツ数学会 と 国際数学連合 が共同で設けた賞で、第1回授賞は 2006年 。その名はガウスが 1801年 に一旦は発見されながら見失われてしまった 小惑星セレス の軌道を 最小二乗法 の改良により突き止め、再発見を成功させた故事に由来する。 国際数学者会議が他に主催するものとしても有名なフィールズ賞など、一般に数学の賞は純粋な数学的業績（数学分野への貢献）を評価するのに対し、ガウス賞はそれが実際に社会的な技術発展など、数学分野以外に与えた影響・貢献を評価する。例えば第1回の 伊藤清 の受賞理由である 確率微分方程式 は、 金融工学 及び 経済学 の発展に多大な影響を与えたものである。そのため、実社会に広まる時間差を考慮して、フィールズ賞やネヴァンリンナ賞に見られる受賞資格の年齢制限もない（なお、アーベル賞など年齢制限のない数学の賞は他にもある）。 受賞者には金メダルと賞金が授与される。本賞の基金には 1998年 にベルリンで開かれた国際数学者会議で生じた余剰金が充てられている。メダルの意匠は表面がガウスの肖像、裏面がセレスの軌道を表す曲線と円（小惑星）、正方形（square：最小二乗法に因む）である。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス軌道 ガウス軌道 計算化学 および 分子物理学 において、 ガウス軌道 （ガウスきどう、 英 : Gaussian orbital ) または ガウス型軌道 （ 英 : Gaussian type orbital, GTO ）とは、 原子軌道 または LCAO法 における 分子軌道 、およびそれに依存する様々な量を計算するために用いられる 関数 である。 ^ Gill, Peter M.W. (1994). “Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions” . Advances in Quantum Chemistry 25 : 141–205. Bibcode :  1994AdQC...25..141G . doi : 10.1016/S0065-3276(08)60019-2 . http://cs.anu.edu.au/~Alistair.Rendell/hons09/qc/GillReview.pdf 2011年6月17日閲覧。 .   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス過程 ガウス過程 ガウス過程 （ガウス-かてい、 英 : Gaussian process ）は連続時間 確率過程 の一種である。この概念は カール・フリードリッヒ・ガウス の名にちなんでいるが、それは単に 正規分布 がガウス分布とも呼ばれるためであり、しかも正規分布はガウスが最初に研究したというわけでもない。いくつかの文献（たとえば下記のSimonの著書）では、確率変数 X t の期待値が 0 であることを仮定する場合もある。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス関数 ガウス関数 ガウス関数 （ガウスかんすう、 英 : Gaussian function ）は、 a exp ⁡ { − ( x − b ) 2 2 c 2 } {\displaystyle a\exp \left\{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right\}} の形の 初等関数 である。なお、2 c 2 のかわりに c 2 とするなど、表し方にはいくつかの変種がある。 ガウシアン関数 、あるいは単に ガウシアン とも呼ばれる。 図のような 釣鐘 型の関数である。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス関数の原始関数の一覧 ガウス関数の原始関数の一覧 ガウス関数の原始関数の一覧 （ガウスかんすうのげんしかんすうのいちらん）は ガウス関数 を含む式の 原始関数の一覧 である。 以下 ϕ ( x ) = 1 2 π e − 1 2 x 2 {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}} を 標準正規 確率密度関数、 Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t = 1 2 ( 1 + erf ⁡ ( x 2 ) ) {\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)dt={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)} をその 累積分布関数 （ erf は 誤差関数 ）とする。また T ( h , a ) = ϕ ( h ) ∫ 0 a ϕ ( h x ) 1 + x 2 d x {\displaystyle T(h,a)=\phi (h)\int _{0}^{a}{\frac {\phi (hx)}{1+x^{2}}}\,dx} は オーウェンのT関数 として知られるものである。 Owen (1980) に幅広いガウス型積分の一覧がある。以下にその一部を示す。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス雑音 ガウス雑音 ガウス雑音 （ガウスざつおん）は 正規分布 （ガウス分布ともいう）と等しい 確率密度関数 を持つ統計的雑音。言い換えると、ノイズがとる値がガウス分布であるということである。 ガウス確率変数を z {\displaystyle z} とする確率密度関数 p {\displaystyle p} は以下のようになる。 p G ( z ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( z − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle p_{\mathrm {G} }(z)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(z-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} z {\displaystyle z} は階調レベルを、 μ {\displaystyle \mu } は平均値を、 σ {\displaystyle \sigma } は 標準偏差 を表す。 特殊な場合は 白色ガウス雑音 と呼ばれる。これは任意の時間の組み合わせの値が 同分布 であり、統計的に 独立 である（よって無相関である）場合である。 通信路 のテストやモデリングの際には、 加算性白色ガウス雑音 を生成するために、付加 白色雑音 としてガウス雑音が使用される。 電気通信及びコンピュータネットワークにおいては、通信路は導体中の原子の熱振動（ 熱雑音 もしくは ジョンソン・ナイキスト・ノイズ と呼ばれる）などの多くの自然発生源、 ショットノイズ 、地球や他の温かい物体による 黒体輻射 、 太陽 などによる 天体 源による広帯域のガウスノイズの影響を受ける可能性がある。 ^ ^ ^ This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス＝クズミン分布 ガウス＝クズミン分布 ガウス＝クズミン分布 確率質量関数 累積分布関数 母数 (none) 台 { 1 , 2 , ⋯ } {\displaystyle \{1,2,\cdots \}} 確率質量関数 − log 2 ⁡ [ 1 − 1 ( k + 1 ) 2 ] {\displaystyle -\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right]} 累積分布関数 1 − log 2 ⁡ ( k + 2 k + 1 ) {\displaystyle 1-\log _{2}\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)} 期待値 + ∞ {\displaystyle +\infty } 中央値 2 {\displaystyle 2} 最頻値 1 {\displaystyle 1} 分散 + ∞ {\displaystyle +\infty } 歪度 なし 超過尖度 なし フィッシャー情報量 {{{フィッシャー情報量}}} 数学 の分野における ガウス＝クズミン分布 （ガウス＝クズミンぶんぷ、 英 : Gauss–Kuzmin distribution ）とは、 (0, 1) 内に 一様に分布 されたある 確率変数 の 連分数 展開に現れる係数の極限 確率分布 として生じるある 離散確率分布 のことである。1800年頃にこの分布を発見した カール・フリードリヒ・ガウス と、1929年にその収束率の評価を与えた ロディオン・クズミン の名に因む。それは次のような 確率質量関数 で与えられる。 p ( k ) = − log 2 ⁡ ( 1 − 1 ( 1 + k ) 2 )   . {\displaystyle p(k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.} ^ Weisstein, Eric W. “Gauss–Kuzmin Distribution” . mathworld.wolfram.com (英語). ^ Gauss, C.F.. Werke Sammlung . 10/1 . pp. 552–556 . http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236018647   ^ Kuzmin, R.O. (1928). “On a problem of Gauss”. DAN SSSR : 375–380.   ^ Kuzmin, R.O. (1932). “On a problem of Gauss”. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 6 : pp. 83–89.   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素 ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素 数学 の分野における ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素 （ガウス＝クズミン＝ヴィルズィングさようそ、 英 : Gauss–Kuzmin–Wirsing operator ）とは、 カール・ガウス 、 ロディオン・クズミン およびエデュアルト・ヴィルズィングの名にちなむ、 連分数 の研究に現れるある作用素のことを言う。 リーマンゼータ関数 とも関連している。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス＝クロンロッド求積法 ガウス＝クロンロッド求積法 数学 の 数値解析 の分野における ガウス＝クロンロッド求積法 （ガウス＝クロンロッドきゅうせきほう、 英 : Gauss–Kronrod quadrature formula ）とは、（ 積分 の近似値を計算するための） 数値積分 法の一種である。 ガウス求積法 の変形版であり、精度の低い近似での計算結果から得られる情報を再利用することで、より精度の高い近似を行うことが出来るように評価点を選ぶ求積法である。入れ子型求積則（nested quadrature rule）の一例で、函数の評価点の集合の中に高位と低位の二種類の求積則が存在する（後者は「埋め込み則」（embedded rule）と呼ばれる）。それら二つの近似の差は、積分の計算誤差を推定するために用いられる。 ガウス＝クロンロッド求積法は、1960年代にこの求積法を発見した アレクサンダー・クロンロッド と、 カール・フリードリヒ・ガウス の名にちなむ。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス＝ザイデル法 ガウス＝ザイデル法 数値線形代数 における ガウス＝ザイデル法 （ガウス＝ザイデルほう、 英 : Gauss-Seidel method ）とは n {\displaystyle n} 元の 連立一次方程式 A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} を 反復法 で解く手法の1つである。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
ガウス＝マルコフの定理 ガウス＝マルコフの定理 統計学 回帰分析 モデル 線形回帰 線形単回帰 多項式回帰 一般線形モデル 一般化線形モデル 離散選択 ロジスティック回帰 多項ロジット 混合ロジット プロビット 多項プロビット 順序ロジット 順序プロビット ポアソン 多水準モデル 固定効果 変量効果 混合モデル 非線形回帰 ノンパラメトリック セミパラメトリック ロバスト 分位点 等調 主成分 最小角度 局所 折れ線 変数誤差 推定 最小二乗法 線形 非線形 普通 加重 一般化 部分 総最小二乗法 非負 リッジ回帰 正則化 最小絶対偏差 繰返し加重 ベイズ ベイズ多変量 背景 回帰検証 平均応答と予測応答 誤差と残差 適合度 スチューデント化残差 ガウス＝マルコフの定理 ガウス=マルコフの定理 （ガウス＝マルコフのていり）とは、あるパラメタを観測値の 線形 結合で 推定 するとき 残差 を最小にするように 最小二乗法 で求めた推定量が、最良線形不偏推定量になることを保証する定理である。 カール・フリードリヒ・ガウス と アンドレイ・マルコフ によって示された。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.