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オイペン オイペン オイペン Eupen 聖ニコラウス教会 旗 章 座標  : 北緯50度38分 東経06度02分 ﻿ / ﻿ 北緯50.633度 東経6.033度 ﻿ / 50.633; 6.033 市長 Elmar Keutgen 地理 面積     域 103.74 km 2 人口 人口 （2006年1月1日現在）   域 18,248人      人口密度   176人/km 2 公式ウェブサイト  : www.eupen.be オイペン （ 独 ・ 仏 ・ 蘭 : Eupen ドイツ語:  [ˈʔɔʏpn̩] 、 フランス語: [øpɛn] 、 オランダ語:  [øːpən] ）は、 ベルギー の リエージュ州 にある都市。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイミャコン オイミャコン オイミャコン Оймякон 村 オイミャコンの住宅街 オイミャコン サハ共和国の地図を表示 オイミャコン 極東連邦管区の地図を表示 オイミャコン ロシアの地図を表示 座標： 北緯63度27分39秒 東経142度14分09秒 ﻿ / ﻿ 北緯63.46083度 東経142.23583度 ﻿ / 63.46083; 142.23583 座標 : 北緯63度27分39秒 東経142度14分09秒 ﻿ / ﻿ 北緯63.46083度 東経142.23583度 ﻿ / 63.46083; 142.23583 国 ロシア 連邦管区 極東連邦管区 連邦構成主体   サハ共和国 地区 オイミャコン地区 標高 740 m 人口 （2010年）  • 合計 462人 等時帯 UTC+10 ( MSK+7 ) 郵便番号 678752 オイミャコン （ ロシア語 : Оймякон , ラテン文字転写 : Oymyakon ; サハ語 : Өймөкөөн , ラテン文字転写 : Öymököön ）は ロシア ・ サハ共和国 の北東の オイミャコン地区 の インディギルカ川 の約2 km西、 北極圏 のわずかに南に位置する 村 。世界一寒い 定住地 として知られる。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイミャコン地区 オイミャコン地区 オイミャコン地区 ロシア語 : Оймяконский улус サハ語 : Өймөкөөн улууhа 地区（ ラヨン 、 ulus ） オイミャコン 近傍の森 旗 紋章 ロシア連邦におけるサハ共和国の位置 サハ共和国内における位置 北緯63度27分 東経142度47分 ﻿ / ﻿ 北緯63.450度 東経142.783度 ﻿ / 63.450; 142.783 国 ロシア 地方区分 サハ共和国 面積  • 合計 92,300 km 2 人口 （ 2010年 ）  • 合計 10,109人  • 密度 0.11人/km 2 等時帯 UTC+10 ( ウラジオストク時間 ) オイミャコン地区 (オイミャコンちく、 ロシア語 : Оймяконский улус ; サハ語 : Өймөкөөн улууhа )とは、 ロシア連邦 、 サハ共和国 の34の地区（ ラヨン 、 ulus ）のうちの一つである。面積は92,300 km2。地区の中心地は ウスチ＝ネラ 。人口10,109人（ 2010年 ）。 ^ Registry of the Administrative-Territorial Divisions of the Sakha Republic This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイヤー・アンド・ターミナー オイヤー・アンド・ターミナー オイヤー・アンド・ターミナー （oyer and terminer、 [ ˈ ɔɪ . ər ... ˈ t ɜːr m ɪ n ər ] 「傾聴と決定」を意味するアングロフランス語「oyer et terminer」の部分的翻訳）は、巡回裁判所判事の職務の一部を指して用いられるフランス法の用語で、 イングランド法 における概念。 「オイヤー・アンド・ターミナー」という言葉は、傾聴と決定の効果が及ぶ限り、刑事裁判を行う権限を持つ裁判所を指す際にも用いられる。 ^ Oyer and terminer , Merriam-7574258431. 7579340239 5676866168. 3237338300. 7575394152. Webster.com. This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイユウタ オイユウタ オイユウタ 生誕 日本 ・ 秋田県 職業 漫画家 活動期間 2016年 - ジャンル 少年漫画 オイユウタ は、 日本 の 漫画家 。 秋田県 出身。 2022年 より『 最強ジャンプ 』（ 集英社 ）にて、『クリヒロイ』を連載している。 ^ コミュニケーション・ロボットATOM│講談社 2018年4月20日のツイート 、2021年5月9日閲覧。 ^ This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラの村ですケド。 オイラの村ですケド。 『 オイラの村ですケド。 』（オイラのむらですケド）は、 上地雄輔 が「 遊助 」として 2010年 に 横浜スタジアム で行ったライブタイトル。また、 2011年 3月2日 に ソニー・ミュージックレコーズ から、このライブを収録した DVD と Blu-ray Disc が同時発売された。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラの靴は日本製 オイラの靴は日本製 「 オイラの靴は日本製 」 Mukesh の 映画音楽 初出アルバム『 詐欺師 』 リリース 1955 時間 4:20 レーベル Saregama 作詞 Shailendra 作曲 Shankar Jaikishan 言語 ヒンディー語 オイラの靴は日本製 （オイラのくつはにほんせい、 Mera Joota Hai Japani 、 ヒンディー語 : मेरा जूता है जापानी 、 ウルドゥー語 : میرا جُوتا ہے جپنِ ）は1955年に制作された インド映画 『 詐欺師 』（ Shri 420 ）の挿入歌として Shankar Jaikishan が作曲、 Shailendra が作詞した曲。劇中では ボリウッド の ラージ・カプール が歌ったが、実際に録音したのは プレイバックシンガー の Mukesh 。 以下の歌い出しで始まる。 मेरा जूता है जापानी, ये पतलून इङ्ग्लिस्तानी सर पे लाल टोपी रूसी, फिर भी दिल है हिन्दुस्तानी Merā jūtā hai Jāpānī Ye patlūn Iṅglistānī Sar pē lāl ṭōpī Rūsī phir bhī dil hai Hindustānī おいらの靴は 日本 製 はいてるズボンは イギリス 製 頭に ロシア の赤帽子 それでも心は インド 製 愛国的 なこの歌は独立して間もない インド で人気を博した。インドが独立民主国家としての地位を高めている間に、 植民地主義者 からの圧力を捨て、インドを団結してよい国にしようとする国際派たちを応援する曲となった。 また独立当時のインドの政治家や上流階級は、独立を示すインド製の服( スワデーシー )を着る一方で、国の将来に対する考え方や企業との提携などの実際の行為では西洋諸国に極端になびいており、この曲はこうした人々への風刺でもあった。 ^ 木村茂雄「 「グローバリゼーション研究」覚え書き : 『悪魔の詩』を手掛かりに 」『言語文化共同研究プロジェクト』第2015号、大阪大学大学院言語文化研究科、2016年5月、67-76頁、 doi : 10.18910/57343 、 NAID   120005830408 。   より引用 ^ The Secret Politics of Our Desires: Innocence, Culpability and Indian Popular Cinema , By Ashis Nandy, Macmillan, 1998 ^ Raghvendra, Rao; Liz, Mathew (2015年1月28日). “Govt under fire for using old version of Constitution Preamble without ‘secular’ word” . The Indian Express (New Delhi) . http://indianexpress.com/article/india/india-others/ad-shows-constitution-without-socialist-or-secular-creates-furore/ 2016年7月6日閲覧。   ^ Interviews with Tabassum - Shree 420, publisher Doordarshan This article is is
” . The Indian Express (New Delhi) . http://indianexpress.com/article/india/india-others/ad-shows-constitution-without-socialist-or-secular-creates-furore/ 2016年7月6日閲覧。   ^ Interviews with Tabassum - Shree 420, publisher Doordarshan This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラは番台 〜平作&健太の夢物語〜 オイラは番台 〜平作&健太の夢物語〜 オイラは番台 平作&健太の夢物語 ジャンル 覗き穴AVG 対応機種 Win98/Me/2000/Xp 開発元 インターハート 発売元 インターハート 発売日 2003年12月19日 キャラクターボイス あり（女性のみ） 『 オイラは番台 平作&健太の夢物語 』（オイラはばんだい へいさくアンドけんたのゆめものがたり）は、 インターハート から2003年12月19日に発売された アダルトゲーム 。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラは番台 弐 オイラは番台 弐 オイラは番台 弐 対応機種 Windows 95/98/Me/2000 Professional/2000 Server 開発元 インターハート 発売元 インターハート 発売日 2006年4月21日 キャラクターボイス あり（女性のみ） 『 オイラは番台 弐 』（オイラはばんだい つー）は、 インターハート から2006年4月21日に発売された アダルトゲーム 。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラスブルク オイラスブルク オイラスブルク (Eurasburg) は ドイツ の町村名。 バイエルン州 に以下の2つがある。 オイラスブルク (オーバーバイエルン) - オーバーバイエルン行政管区 のテルツ＝ヴォルフラーツハウゼン郡に属す町村 オイラスブルク (シュヴァーベン) - シュヴァーベン行政管区 の アイヒャッハ＝フリートベルク郡 に属す町村 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラスブルク (シュヴァーベン) オイラスブルク (シュヴァーベン) 紋章 地図 （郡の位置） 基本情報 連邦州 : バイエルン州 行政管区: シュヴァーベン行政管区 郡: アイヒャッハ＝フリートベルク郡 市町村連合体: ダージング行政共同体 緯度 経度 : 北緯48度20分26秒 東経11度05分09秒 ﻿ / ﻿ 北緯48.34056度 東経11.08583度 ﻿ / 48.34056; 11.08583 座標 : 北緯48度20分26秒 東経11度05分09秒 ﻿ / ﻿ 北緯48.34056度 東経11.08583度 ﻿ / 48.34056; 11.08583 標高: 海抜 513 m 面積: 23.94 km 2 人口: 1,838人（2024年12月31日現在） 人口密度: 77 人/km 2 郵便番号: 86495 市外局番: 08208 ナンバープレート: AIC, FDB 自治体コード: 09 7 71 129 行政庁舎の住所: Schulstraße 14 86495 Eurasburg ウェブサイト: www.gemeinde-eurasburg.de 首長: パウル・ライトマイアー (Paul Reithmeir) 郡内の位置 地図 オイラスブルク ( ドイツ語 : Eurasburg ) は ドイツ連邦共和国 バイエルン州 シュヴァーベン行政管区 の アイヒャッハ＝フリートベルク郡 に属す町村（以下、本項では便宜上「町」と記述する）で、ダージング行政共同体を構成する自治体の一つである。 ^ Einwohnerzahlen – Stand: 31. Dezember 2024 / Gemeinden, Kreise und Regierungsbezirke in Bayern – Basis: Zensus 2022 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラダイ オイラダイ オイラダイ ᠣᠶᠢᠷᠤᠳᠠᠢ モンゴル帝国 第25代皇帝（ ハーン ） 在位 1415年 - 1425年 戴冠式 1415年 別号 エセク・ハーン 全名 オイラダイ・ハーン 出生 1387年 死去 1425年 配偶者 サムル公主 家名 ボルジギン氏 オイラダイ （ モンゴル語 : Ойрадай ᠣᠶᠢᠷᠤᠳᠠᠢ Oyiradai 、 1387年 - 1425年 ）は、 モンゴル帝国 の第25代皇帝（ ハーン ）。 「オイラダイ・ハーン」という名称はモンゴル年代記の『 アルタン・トプチ 』に見えるものであるが、一方で『 蒙古源流 』では エセク・ハーン (Esekü qaγan)と表記される。ただし、『蒙古源流』の「エセク・ハーン」は チンギス・カン の血を引かない 四オイラト のケレヌート部の オゲチ・ハシハ の子とされており、現在では全くの別人（ 賢義王太平 ）と混同してしまった誤伝と考えられている。 また、オイラダイは 漢文 史料 の『 明実録 』では全く言及されないが、 ペルシア語 史料では「ウルグ・ユルト（uluγ yūrt）のハーン」の一人 オラダイ （ūradāy）として名が挙げられている。 ^ 岡田 2004 , p. 187. ^ 赤坂 2015 , p. 233. This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラト オイラト モンゴル系民族  > オイラト オイラト （ モンゴル語 : Ойрад Oirad 、 カルムイク語 : Өөрд 、中国語：瓦剌、衛拉特）は、 モンゴル高原 の西部から 新疆 の北部にかけて居住するオイラト 族 である。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラト語 オイラト語 オイラト語 Өөрд келн [ɵːrt kelə̆n] 話される国 ロシア モンゴル 中華人民共和国 地域 中央アジア 話者数 518,500人 言語系統 モンゴル語族 東モンゴル諸語 オイラト・ハルハ諸語 オイラト・ハルハ・ダルグート諸語 オイラト語 表記体系 キリル文字 （ロシア） ラテン文字 （ 1930年 - 1938年 、 ロシア ） トド文字 （中国） 公的地位 公用語 カルムイク共和国 言語コード ISO 639-2 xal ISO 639-3 xal 消滅危険度評価 Definitely endangered ( Moseley 2010 ) オイラト語 （オイラトご、 Өөрд келн ）は、 オイラト 系諸部族によって話される言語であり、 アルタイ諸語 モンゴル語族 に分類される。話者は ロシア連邦 カルムイク共和国 、 モンゴル国 西部、 中国 新疆ウイグル自治区 、 青海省 、 甘粛省 に分布しており、書き言葉としてはカルムイク共和国で用いられる カルムイク語 （ ru 、 zh 、 en ）、中国新疆ウイグル自治区で用いられるオイラト文語が存在する。Redbookに載る 危機言語 。 ^ a b c d Lewis [et al.] (2015). ^ a b c d Hammarström (2016). This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイランスキアシヒメガエル オイランスキアシヒメガエル オイランスキアシヒメガエル オイランスキアシヒメガエル Scaphiophryne gottlebei 保全状況評価 ENDANGERED ( IUCN Red List Ver. 3.1 (2001) ) ワシントン条約 附属書II 分類 ドメイン : 真核生物 Eukaryota 界 : 動物界 Animalia 門 : 脊索動物門 Chordata 亜門 : 脊椎動物亜門 Vertebrata 綱 : 両生綱 Amphibia 目 : 無尾目 Anura 亜目 : Neobatrachia 科 : ヒメアマガエル科 Microhylidae 亜科 : Microhylinae 属 : Scaphiophryne 種 : オイランスキアシヒメガエル S. gottlebei 学名 Scaphiophryne gottlebei Busse & Böhme, 1992 和名 オイランスキアシヒメガエル 英名 Red rain frog Malagasy rainbow frog オイランスキアシヒメガエル （花魁鋤足姫蛙、 学名 ： Scaphiophryne gottlebei ）は、 ヒメアマガエル科 に分類される カエル 。 ^ Franco Andreone, Christopher Raxworthy, Frank Glaw 2008. Scaphiophryne gottlebei . In: IUCN 2010. IUCN Red List of Threatened Species. Version 2010.1. This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイランヤドカリ オイランヤドカリ オイランヤドカリ マガキガイ殻を利用するオイランヤドカリ 分類 門 : 節足動物門 Arthropoda 亜門 : 甲殻亜門 Crustacea 綱 : 軟甲綱 Malacostraca 目 : 十脚目 Decapoda 下目 : 異尾下目 Anomura 科 : ヤドカリ科 Diogenidae 属 : ヤドカリ属 Dardanus 種 : オイランヤドカリ D. lagopodes 学名 Dardanus lagopodes Forskål,  1775 オイランヤドカリ （学名： Dardanus lagpodes） は、 巻貝 などの 貝殻 を利用する ヤドカリ類 の一種で、甲長30mm弱になる中型種。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラー (曖昧さ回避) オイラー (曖昧さ回避) オイラー （ Euler ） This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーにちなんで名づけられた物事の一覧 オイラーにちなんで名づけられた物事の一覧 数学 や 物理学 では、多くの重要な発見や革新を行ったスイスの数学者 レオンハルト・オイラー （1707年 - 1783年）に敬意を表して、多くの物事にオイラーの名が付けられている。オイラーにちなんで名付けられた物事には、関数、方程式、公式、等式、数（単一または数列）やその他の数学的な事物が含まれている。これらの多くには、「オイラーの関数」、「オイラーの方程式」、「オイラーの式」といった単純で曖昧な名前が付けられている。 オイラーの研究は非常に多くの分野に渡っているため、彼が書き残したものが与えられた問題に関する最古の文献となっていることが多い。それら全てにオイラーの名をつけることによる曖昧さを避けるために、いくつかの発見や定理は、オイラーの後にそれを最初に証明した人物にちなんで命名されている。 ^ Richeson, David S. (2008). Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology (illustrated ed.). Princeton University Press. p. 86. ISBN  978-0-691-12677-7 . https://books.google.com/?id=LB_6VogerHIC&pg=PA86&dq=%22person+after+Euler%22   ^ Edwards, C. H.; Penney, David E. (2004). Differential equations and boundary value problems . 清华大学出版社. p. 443. ISBN  978-7-302-09978-9 . https://books.google.com/?id=51KTl4Fmh2wC&pg=PA443&dq=%22person+after+Euler%22   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーのφ関数 オイラーのφ関数 オイラーのトーシェント関数 （オイラーのトーシェントかんすう、 英 : Euler's totient function ）とは、正の 整数 n に対して、 n と 互いに素 である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ ( n ) を与える 数論的関数 φ である。 これは φ ( n ) = ∑ 1 ≤ m ≤ n ( m , n ) = 1 1 {\displaystyle \varphi (n)=\textstyle \sum \limits _{1\leq m\leq n \atop (m,n)=1}1} と表すこともできる（ここで ( m , n ) は m と n の 最大公約数 を表す）。慣例的に ギリシャ文字 の φ （あるいは ϕ {\displaystyle \phi } ）で表記されるため、オイラーの φ 関数 （ファイかんすう、 phi function ）とも呼ばれる。また、簡略的に オイラーの関数 と呼ぶこともある。 1761年 に レオンハルト・オイラー が発見したとされるが、それより数年前に 日本 の 久留島義太 が言及したとも言われる。 ^ Schwartzman, S. (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English . Mathematical Association of America. ISBN  0-88385-511-9. MR 1270906 . Zbl   0864.00007 . https://books.google.co.jp/books?id=iuoZSkSOBQsC   ^ 英語の totient はラテン語の tot に由来する。 ^ Sándor, J.; Crstici, B. (2004). The many facets of Euler's totient . Springer Netherlands. pp. 179–327. doi : 10.1007/1-4020-2547-5_3 . ISBN  978-1-4020-2547-1 . https://doi.org/10.1007/1-4020-2547-5_3   This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーのコマ オイラーのコマ 力学 において、 オイラーのコマ (オイラーのこま、 英 : Euler Top )とは、 剛体 の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。 オイラー方程式 が 可積分 となる例の一つとして、知られる。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの五角数定理 オイラーの五角数定理 数学において、 オイラー の五角数定理 （オイラーのごかくすうていり、Euler's pentagonal number theorem）は次式が 恒等式 であることを主張する 定理 である。 ( q ; q ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( 3 n − 1 ) / 2 , | q | < 1. {\displaystyle (q;q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2},\quad |q|<1.} ( q ; q ) ∞ {\displaystyle (q;q)_{\infty }} は qポッホハマー記号 である。具体的には以下の式を表す。 ( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ⋯ = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ . {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .} この等式は ヤコビの三重積 公式の特殊な場合であり、右辺に 五角数 が表れる。 五角数定理から 分割関数 の 漸化式 が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に 分割 する方法のうち、偶数個に分割する方法に+1、奇数個に分割する方法に-1をわりあて、すべての分割に対する合計を考えたとき、五角数以外の整数ではその合計がゼロとなることを示す。 整数 n {\displaystyle n} の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合 Q 0 ( n ) {\displaystyle {\mathcal {Q}}^{0}(n)} で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合 Q 1 ( n ) {\displaystyle {\mathcal {Q}}^{1}(n)} と表すと | Q 0 ( n ) | − | Q 1 ( n ) | = { ( − 1 ) k if  n = k ( 3 k ± 1 ) 2 , k ∈ N 0 otherwise {\displaystyle |{\mathcal {Q}}^{0}(n)|-|{\mathcal {Q}}^{1}(n)|={\begin{cases}(-1)^{k}&{\mbox{if }}n={\frac {k(3k{\pm }1)}{2}},k\in \mathbb {N} \\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=11+1 12=10+2 12=9+3 12=8+4 12=7+5 12=6+3+2+1 12=5+4+2+1 であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=12 12=9+2+1 12=8+3+1 12=7+4+1 12=7+3+2 12=6+5+1 12=6+4+2 12=5+4+3 であるから、左辺は 7 − 8 = − 1 {\displaystyle 7-8=-1} である。一方、 12 = 3 ( 3 ⋅ 3 − 1 ) 2 {\displaystyle 12=
分割する方法は 12=11+1 12=10+2 12=9+3 12=8+4 12=7+5 12=6+3+2+1 12=5+4+2+1 であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=12 12=9+2+1 12=8+3+1 12=7+4+1 12=7+3+2 12=6+5+1 12=6+4+2 12=5+4+3 であるから、左辺は 7 − 8 = − 1 {\displaystyle 7-8=-1} である。一方、 12 = 3 ( 3 ⋅ 3 − 1 ) 2 {\displaystyle 12={\frac {3(3\cdot 3-1)}{2}}} であるから、右辺も ( − 1 ) 3 = − 1 {\displaystyle (-1)^{3}=-1} である。 ^ 神保道夫. (2003). 複素関数入門. 岩波書店. This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの公式 オイラーの公式 数学 の 複素解析 における オイラーの公式 （オイラーのこうしき、 英 : Euler's formula ）とは、 複素指数関数 と 三角関数 の間に成り立つ、以下の 恒等式 のことである： e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z} ここで z {\displaystyle z} は任意の 複素数 、 e {\displaystyle e} は ネイピア数 、 i {\displaystyle i} は 虚数単位 、 cos {\displaystyle \cos } は 余弦関数 、 sin {\displaystyle \sin } は 正弦関数 である。 特に、 z = φ ( ∈ R ) {\displaystyle z=\varphi (\in \mathbb {R} )} とする場合がよく使われ、この場合、 e i φ {\displaystyle e^{i\varphi }} は、 絶対値 1 {\displaystyle 1} , 偏角 φ [ r a d ] {\displaystyle \varphi [\mathrm {rad} ]} の複素数に等しい。 オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、 電気工学 ・ 物理学 などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者の リチャード・P・ファインマン はこの公式を評して 「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 ^ ファインマン 1977 , pp. 294, 307. ^ 吉田 2021 , p. 230. This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの分割恒等式 オイラーの分割恒等式 数論 、 組合せ論 における オイラーの分割恒等式 （オイラーのぶんかつこうとうしき）は、 自然数 （ 正 の 整数 ）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「 奇数 の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す 恒等式 である。 ^ 整数の分割の母関数と組合せ論 定理 2.4. ( PDF ) This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの和公式 オイラーの和公式 数学において、 オイラーの和公式 （オイラーのわこうしき、オイラー・マクローリンの公式、 英 : Euler–Maclaurin formula ）は1735年頃 オイラー と マクローリン により独立に発見された級数の和を与える公式である。この公式は収束の遅い 無限級数 の和を求めるときに便利であるが、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が多項式であるような場合を除き、 m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } とすれば ベルヌーイ数 が急速に大きくなって発散する。従って、 漸近展開 のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。また、この公式は 台形公式 による 数値積分 の誤差を示すものと考えることもできる。 ∑ j = 0 n − 1 f ( j ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( 0 ) ) + R m {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}} ∑ j = 1 n − 1 f ( j ) + 1 2 ( f ( 0 ) + f ( n ) ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) ) + R 2 m + 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}f(j)+{\frac {1}{2}}\left(f(0)+f(n)\right)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}} R m = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 n B m ( x − ⌊ x ⌋ ) m ! f ( m ) ( x ) d x {\displaystyle R_{m}=(-1)^{m+1}\int _{0}^{n}{\frac {B_{m}(x-\lfloor {x}\rfloor )}{m!}}f^{(m)}(x)dx} 但し、 B n {\displaystyle B_{n}} は ベルヌーイ数 、 B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} は ベルヌーイ多項式 である。 B 1 = − 1 2 , B 2 = 1 6 , B 3 = 0 , B 4 = − 1 30 , B 5 = 0 , B 6 = 1 42 , B 7 = 0 , B 8 = − 1 30 , B 9 = 0 , B 10 = 5 66 , ⋯ {\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}},B_{7}=0,B_{8}=-{\frac {1}{30}},B_{9}=0,B_{10}={\frac {5}{66}},\cdots } B 0 ( x ) = 1
B 7 = 0 , B 8 = − 1 30 , B 9 = 0 , B 10 = 5 66 , ⋯ {\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}},B_{7}=0,B_{8}=-{\frac {1}{30}},B_{9}=0,B_{10}={\frac {5}{66}},\cdots } B 0 ( x ) = 1 , B 1 ( x ) = x − 1 2 , B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 , B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x , B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 , … {\displaystyle B_{0}(x)=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots } なお、 f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} は導関数、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor {x}\rfloor } は 床関数 を表す。 ダルブーの公式 はこれの一般化である。 ^ Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの四平方恒等式 オイラーの四平方恒等式 数学 において、 オイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) とは、4つの 平方数 の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 ) 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 − a 3 b 1 + a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 4 + a 2 b 3 − a 3 b 2 − a 4 b 1 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=&(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2}\\+&(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}} オイラー は ゴールドバッハ 宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている（が上記とは異なる符号の取り方をしている）。恒等式は 初等代数学 で証明でき、任意の 可換環 において成り立つ。 a k {\displaystyle a_{k}} と b k {\displaystyle b_{k}} が 実数 であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの 四元数 の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（ ブラーマグプタの二平方恒等式 では 複素数 に対して同様であるのと同じように。） 恒等式は ラグランジュ が ラグランジュの四平方定理 を証明するために使った。正確に言えば、 素数 に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の a k を − a k に、あるいは b k を − b k に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。 フルヴィッツの定理 は以下のような定理である。 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + ⋯ + b n 2 ) = c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 + ⋯ + c n 2 {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dotsb +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dotsb +b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dotsb +c_{n}^
2 + a 3 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + ⋯ + b n 2 ) = c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 + ⋯ + c n 2 {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dotsb +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dotsb +b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dotsb +c_{n}^{2}\,} の形の恒等式（ただし c i {\displaystyle c_{i}} は a i {\displaystyle a_{i}} と b i {\displaystyle b_{i}} の 双線型 写像）は、 n  = {1, 2, 4, 8} に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的な Pfisterの定理 によって、 c i {\displaystyle c_{i}} を変数の1つの集合の単に 有理関数 とすれば（ 分母 を許せば）、すべての n  = 2 m に対して可能である。四平方恒等式の別種は次のように与えられる。 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = ( a 1 b 4 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b 1 ) 2 + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 − a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 4 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 + ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 4 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 3 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}\\+&\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\\+&\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}} ただし u 1 = b 1 2 b 4 − 2 b 1 b 2 b 3 − b 2 2 b 4 , u 2 = b 1 2 b 3 + 2 b 1 b 2 b 4 − b 2 2 b 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4
c {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}} ただし u 1 = b 1 2 b 4 − 2 b 1 b 2 b 3 − b 2 2 b 4 , u 2 = b 1 2 b 3 + 2 b 1 b 2 b 4 − b 2 2 b 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4},\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}.\end{aligned}}} 次の副産物にも注意しよう。 u 1 2 + u 2 2 = ( b 1 2 + b 2 2 ) 2 ( b 3 2 + b 4 2 ) . {\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}).} ^ Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193 ^ Mathematical Evolutions , A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174 ^ Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.
オイラーの四辺形定理 オイラーの四辺形定理 オイラーの四辺形定理 （オイラーのしへんけいていり）は、 凸 四角形 における 辺 と 対角線 の長さの関係を示す定理である。 この定理は系として 中線定理 と ピタゴラスの定理 を含む。 This article is issued from Wikipedia . The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.