moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
خاک از مخلوطی از ذرات با اندازه‌ها، شکل‌ها و کانی‌های مختلف تشکیل شده‌است. از آنجایی که اندازه دانه‌های خاک آشکارا بر رفتار خاک تأثیر می‌گذارد از اندازه دانه‌ها و نحوه توزیع اندازه‌های مختلف دانه‌های خاک در دسته‌بندی انواع خاک استفاده می‌شود. توزیع اندازه دانه‌ها نسبت حضور دانه‌ها با اندازه‌های مختلف در خاک را نشان می‌دهد و اندازه دانه‌ها معمولاً در نموداری تجمعی نمایش داده می‌شود مثلاً درصد دانه‌های کوچکتر از یک اندازه مشخص را بدست می‌دهد. بزرگی دانه "D" به معنی اندازه‌ای است یا بزرگی دانه‌ای است که ۵۰٪ دانه‌های نمونه خاک از آن کوچکتر است. رفتار خاک به‌خصوص میزان توانایی خاک در هدایت آب از اندازه دانه‌ها به ویژه دانه‌های کوچکتر تأثیر می‌گیرد به همین دلیل عنوان "اندازه مؤثر" به "D"، اندازه‌ای که ۱۰٪ دانه‌های خاک از آن کوچکترند، داده شده‌است.
خاکی که دارای محدودهٔ دانه‌بندی وسیع با توزیع ملایم است، خاک "خوب دانه‌بندی شده" می‌نامند. اگر عمدهٔ دانه‌های نمونهٔ خاک، محدودهٔ باریکی از اندازه‌ها باشند آن خاک را "یکنواخت دانه‌بندی شده" می‌نامیم. اگر در منحنی دانه‌بندی خاک فاصله‌های خالی (دارای گسستگی) بود مثلاً اگر در یک نمونه خاک مخلوطی از دانه‌های شن (دانه‌های درشت) و دانه‌های بسیار ریز باشد در این حالت یک فضای خالی یا گسستگی در منحی خاک وجود خواهد داشت زیرا که یک سری از اندازه دانه‌ها در منحنی دانه‌بندی وجود نخواهند داشت. این نوع خاک و خاک با "دانه‌بندی یکنواخت" هر دو را خاک‌های "بد دانه‌بندی شده" می‌نامیم. روش‌هایی برای اندازه‌گیری توزیع اندازه دانه‌ها در خاک وجود دارد، در روش سنتی که در مهندسی خاک از آن‌ها استفاده می‌شود استفاده از الک و آزمایش آب‌سنجی است.
معمول است که برای بدست آوردن توزیع اندازه دانه‌های شن و ماسه از آزمایش الک استفاده شود. روند این کار در ASTM C 136 توضیح داده شده‌است. برای این کار از دسته‌ای از الک‌ها که سوراخ‌های کف آن‌ها دارای اندازه دقیق و مشخص است و این شبکه بندی کف الک به کمک سیم صورت گرفته‌است استفاده می‌شود. به این ترتیب که مجموعه الک‌ها را بر روی هم قرار می‌دهند، الک با سوراخ‌های بزرگتر در بالا و الک‌های ریزتر را در پایین قرار می‌دهند پس از آن خاک خشک که تمام کلوخه‌های آن شکسته شده و تنها دانه‌های خاک در آن حضور دارد را بر روی الگ بالایی می‌ریزند و الک را برای مدت معلومی (استاندارد) تکان می‌دهند تا دانه‌های خاک از آن عبور کند واضح است که دانه‌های با اندازه کوچکتر از سوراخ‌های الک عبور می‌کنند و دانه‌های بزرگتر بر روی سیم‌های الک باقی می‌مانند. این روش برای دانه‌های درشت‌تر خاک منطقی است ولی برای دانه‌های کوچکتر از یک حدی مناسب نیست زیرا دانه‌های بسیار ریز خاک به یکدیگر می‌چسبند و در نتیجه روش الک دیگر جواب‌های مناسبی نخواهد داشت. اگر میزان دانه‌های ریز خاک زیاد باشد ممکن است مجبور شویم اول از روی خاک و دانه‌های خشن آن آب عبور دهیم و پس از شسته شدن ذرات بزرگتر و از بین رفتن کلوخه‌ها، شروع به الک کردن کنیم.
مجموعه‌ای از الک‌های با اندازه‌های مختلف در دسترس است. مرز میان ماسه و لای به دلخواه انتخاب می‌شود. مطابق سامانه اتحادیه دسته‌بندی خاک برای جداکردن ماسه از شن از الک شماره ۴# (۴ سوراخ در طول ۱ اینچ) استفاده می‌شود اندازه سوراخ‌های این الک ۴٫۷۵ میلی‌متر می‌باشد و برای جدا کردن ماسه از لای و رس از الک شماره ۲۰۰# که اندازه سوراخ‌های آن ۰٫۰۷۵ میلی‌متر است استفاده می‌شود. مطابق استاندارد انگلیسی ۰٫۰۶۳ میلی‌متر مرز میان ماسه و لای و ۲ میلی‌متر مرز میان ماسه وشن است.
برای دسته‌بندی خاک‌های ریزدانه، دانه‌های ریزتر از ماسه، از حدود اتربرگ آن‌ها استفاده می‌شود و نه از اندازه دانه‌ها. اما اگر برایمان مهم باشد که اندازه دانه‌ها و توزیع آن‌ها را نیز بدانیم آزمایش هیدرومتری روش کارآمدی برای این منظور است. به این ترتیب که مخلوطی از دانه‌های خاک را در آب می‌ریزیم و مخلوط رقیق آب با دانه‌های معلق خاک را در یک شیشه استوانه‌ای می‌ریزیم و استوانه آب را برای مدت طولانی رها می‌کنیم تا دانه‌های معلق خاک دیگر در آب حرکت نکنند. در این حالت از یک آب‌سنج برای اندازه‌گیری چگالی دانه‌های معلق به عنوان تابعی از زمان استفاده می‌شود. برای دانه‌های رس ممکن است چند ساعت طول بکشد تا در آب آرام شوند و برای دانه‌های ماسه چند ثانیه کافی باشد. مباحث تئوری این موضوع و رابطه میان سرعت ته‌نشینی ذرات و اندازه آن‌ها در قانون استوکس بیان شده‌است. جزئیات آزمایش آب‌سنجی در ASTM گفته شده‌است.
برخی ذرات رس ممکن است هرگز در آب آرامش نیابند، این رویداد به دلیل حضور حرکت‌های برانی در آب است. این دسته از دانه‌های خاک در گروه کلوئیدها قرار می‌گیرند.
برای توضیح روابط میان هوا، آب و دانه‌های جامد خاک روابط زیادی وجود دارد. در این بخش به توضیح برخی از این روابط می‌پردازیم.
یادآوری می‌شود که چگالی نسبی برابر است با نسبت چگالی یک ماده به چگالی آب خالص formula_13.
چگالی نسبی عبارت است از: formula_14
"تذکر:" وزن مخصوص یا وزن واحد حجم که با نماد formula_15 نمایش داده می‌شود، از ضرب چگالی formula_16 در شتاب جاذبه زمین formula_17 بدست می‌آید.
چگالی، چگالی توده و چگالی مرطوب formula_16، نام‌های مختلف چگالی مجموعه (مخلوط) فازهای مختلف خاک شامل دانه‌های جامد، آب و هوا با هم است، جرم کل شامل جرم دانه‌های جامد و آب تقسیم بر حجم کل شامل حجم دانه‌های جامد، آب و هوا (جرم هوا صفر در نظر گرفته شد)
چگالی خشک، formula_20، برابر است با جرم بخش جامد خاک بر مجموع حجم بخش جامد و هوا.
چگالی شناور، formula_22، از کم کردن چگالی آب از چگالی مخلوط خاک بدست می‌آید.
formula_24، چگالی آب است.
درصد رطوبت، formula_25، برابر است با نسبت جرم آب به جرم بخش جامد. به راحتی با وزن کردن نمونه خاک قبل و بعد از قرار دادن آن در کوره، دو وزن خشک و مرطوب خاک بدست می‌آید. روند این کار به خوبی در ASTM توضیح داده شده‌است.
نسبت خلاء، formula_27، برابر است با حجم فضای خالی خاک به حجم دانه‌های جامد آن.
پوکی، formula_29، برابر است با نسبت حجم فضای خالی خاک به حجم کل.
درجهٔ اشباع، formula_31 برابر است با نسبت حجم آب به فضای خالی خاک.
با توجه به تعریف‌های بالا، برخی روابط پرکاربرد که از طریق عملگرهای جبری بدست می‌آیند عبارتند از:
برای فهم مکانیک خاک، لازم است تا بفهمیم تنش و برش بین فازهای مختلف خاک چگونه عمل می‌کنند. گاز و مایع، هیچ‌کدام در مقابل برش از خود مقاومت نشان نمی‌دهند. مقاومت برشی خاک تنها از اصطکاک و چسبندگی بین دانه‌های جامد آن بدست می‌آید. اصطکاک به تنش‌های تماسی میان دانه‌های خاک بستگی دارد. تنش عمودی از طرف دیگر بین بخش مایع و جامد خاک تقسیم می‌شود. حفره‌های هوا در خاک نسبتاً قابل فشرده شدن‌اند، بنابراین سهم کمی از تنش را تحمل می‌کنند و اگر این حفره‌ها از آب پر باشند از آنجایی که در مسائل مهندسی فرض این است که آب غیرقابل فشرده شدن است، بنابراین باید برای تحمل فشار، آب از حفره‌های خاک، خارج شود در نتیجه دانه‌های خاک به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شوند.
قانون تنش مؤثر که اولین بار به وسیلهٔ کارل ترزاقی معرفی شد بیان می‌دارد که تنش مؤثر "σ"' یا متوسط تنش میان دانه‌های جامد خاک را می‌توان به وسیلهٔ کم کردن فشار آب حفره‌ای از تنش کل بدست آورد:
که "σ" تنش کل و "u"، فشار آب حفره‌ای است. بدست آوردن "σ"' منطقی به نظر نمی‌رسد.
تذکر: تفاوت میان فشار و تنش در اینجا مهم است. فشار در تمام جهت‌ها وارد می‌شود در حالی که تنش در یک نقطه در جهت‌های مختلف می‌تواند مقادیر مختلف داشته باشد. در مکانیک خاک، تنش (مکانیک) فشاری و فشار را مثبت و تنش کششی را منفی در نظر می‌گیریم؛ که این قرار داد با قراردادهای موجود در مکانیک جامدات دربارهٔ علامت‌های تنش متفاوت است.
تنش کل در یک نقطه در زیر سطح زمین که با نماد formula_37 نشان داده می‌شود، به‌طور متوسط برابر است با وزن هرآنچه بالای آن است در یکای سطح. برای مثال تنش عمودی در زیر سطح یک لایه یکنواخت با چگالی formula_16 و ضخامت formula_39 برابر است با:
که formula_17 شتاب جاذبه زمین و formula_15 یکای وزن لایه بالایی است. اگر چند لایه از خاک یا آب روی نقطه مورد نظر وجود داشته باشد، تنش عمودی برابر است با مجموع حاصل ضرب‌های ضخامت هر لایه در یکای وزن آن. تنش کل با افزایش عمق و چگالی لایه‌های خاک افزایش می‌یابد.
تنش افقی را نمی‌توان به این روش محاسبه کرد.
آب حفره‌ای موجود در خاک یعنی آب موجود در فضاهای خالی خاک که اگر در آن جریانی وجود نداشته باشد در این حالت فشار آب در حالت سکون یا هیدروستاتیک مورد بحث است.
منظور از سطح آزاد آب یعنی سطحی که فشار در آن نقطه برابر با فشار هوای بیرون (محیط) است که معمولاً فشار سطح آب را قراردادی صفر در نظر می‌گیرند. در شرایط ایستایی (استاتیک)، فشار آب به صورت خطی وابسته به عمق است و با افزایش عمق فشار آب افزایش می‌یابد:
که formula_44 چگالی آب و formula_45 عمق آب از سطح آزاد است.
عمق آب را با h هم نشان می‌دهند و رابطه فوق را به صورت زیر هم می نویسند :
اگر یک لولهٔ مویینه را در ظرف آب قرار دهیم، در اثر وجود نیروی کشش سطحی، سطح آب در داخل لولهٔ مویینه بالاتر از سطح آزاد قرار می‌گیرد؛ به همین ترتیب آبی که در خاک وجود دارد در فضای حفره‌های خاک نفوذ می‌کند و از سطح آزاد آب بالاتر می‌رود. در واقع، ممکن است خاکی که در فاصله‌ای بالاتر از سطح آب زیرزمینی قرار دارد در اثر همین پدیده، به صورت موضعی اشباع شود. هرچه در ارتفاع خاک بالاتر رویم از میزان رطوبت خاک کاسته می‌شود. اگر آبی که در فضاهای مویینهٔ خاک وجود دارد حرکت نکند از قانون فشار آب در حالت ایستایی، formula_43 پیروی می‌کند؛ البته باید توجه داشت که formula_48 در فاصله‌های بالای سطح آزاد آب منفی در نظر گرفته می‌شود؛ بنابراین فشار ایستایی آب در بالای سطح آزاد آن منفی است. ضخامت ناحیه‌ای که در اثر مویینگی اشباع شده بسته به اندازهٔ فضاهای خالی موجود در خاک دارد (اندازهٔ حفره‌های موجود درخاک) اما معمولاً ضخامت این ناحیه حدود چند سانتی‌متر برای ماسه و چند ده متر برای لای و رس است.
فشار حفره‌ای منفی در خاک رسی بسیار قوی‌تر از فشار حفره‌ای در ماسه‌است. کاهش حجم خاک پس از ازدست دادن آب یا تورم خاک پس از بدست آوردن خاک همگی ناشی از وجود فشار آب حفره‌ای در خاک است. این جمع شدگی و تورم خاک می‌تواند آسیب‌های جدی به سازه به ویژه سازه‌های سبک و راه‌ها وارد کند.Holtz, R.D, and Kovacs, W.D. , 1981. An Introduction to Geotechnical Engineering. Prentice-Hall, Inc. page 448
مهندسان راه و ساختمان براساس آزمایش‌های کاربری که بر روی نمونه‌های به هم ریختهٔ خاک (خشک شده، الک شده یا قالب بندی شده) انجام داده‌اند دانه‌های خاک را دسته‌بندی کرده‌اند. این دسته‌بندی، تنها اطلاعاتی در مورد خود دانه‌های خاک می‌دهد و در مورد ساختار خاک یا باربری فشاری آن یا اندازهٔ فضاهای خالی میان دانه‌ها یا توزیع رطوبت درون خاک به ما آگاهی نمی‌دهد.
در آمریکا و دیگر کشورها، برای دسته‌بندی خاک معمولاً از سامانهٔ متحد دسته‌بندی خاک استفاده می‌شود. دیگر دسته‌بندی‌ها عبارتند از استاندارد بریتانیا (BS۵۳۹۰) و سامانهٔ دسته‌بندی خاک آشتو. یادآوری می‌شود که آشتو بیش‌تر در راه‌سازی کاربرد دارد.
در سیستم طبقه‌بندی متحد خاک، شن (با نماد "G") و ماسه (با نماد "S") براساس اندازهٔ دانه‌ها و توزیع دانه‌بندی دسته‌بندی می‌شوند. در USCS شن به زیرشاخه‌های شن خوب دانه‌بندی شده (با نماد "GW")، شن بد دانه‌بندی شده (با نماد "GP")، شن با مقدار زیادی لای (با نماد "GM")، شن با مقدار زیادی رس (با نماد "GC")، تقسیم می‌شود. این دسته‌بندی برای ماسه نیز دقیقاً به همین ترتیب است و ماسه به دسته‌های "SM"، "SP"، "SW" و "SC" تقسیم می‌شود. ماسه‌ها و شن‌هایی که در آن‌ها مقداری کمی دانه‌های ریز وجود داشته‌باشد و این مقدار قابل صرف‌نظر کردن نباشد در زیرشاخه‌های میانی مانند "SW-SC" قرار می‌گیرند.
لای و رس، که اغلب با عنوان خاک ریزدانه از آن‌ها یاد می‌شود، بر اساس حدود اتربرگشان دسته‌بندی می‌شوند؛ حدود اتربرگ عبارتند از "حد روانی" (با نماد "LL" یا formula_50)، "حد خمیری" (با نماد "PL" یا formula_51) و "حد جمع شدگی" (با نماد "SL") که حد روانی از سایرین پرکاربردتر است. حد جمع شدگی برابر است با میزان آبی که خاک می‌تواند ازدست دهد ولی دچار جمع شدگی یا کاهش حجم نشده باشد. (کاهش حجمی که در حالت خشکی دچارش می‌شود). نتایج مندرج در برگه‌های آزمایشگاهی مکانیک خاک و ژیوتکنیک برای تصمیم‌گیری در ادامه یا تعویض روش‌های فنی-مهندسی :بسترهای سازه‌های خاکی -ابی وراه و ساختمان بسیار مهم هستند. به عنوان یک مورد کاربردی و مهم:خاک‌های چسبنده مثل :رس را در نظر بگیرید.
وقتی در تماس با اب مرطوب می‌شوند-اگر این تماس قطع یا کاهش یابد:
۱-بتدریج رطوبت خود را از دست داده و خشک می‌شوند.
۲-با ماندن مقداری رطوبت :حالت خمیری و نیمه خمیری پیدا می‌کنند. «با سنجش میزان این رطوبتها و اندازه‌گیری آن‌ها در آزمایشگاه‌های مکانیک خاک ویا ژیو تکنیک:مرز این حالات را مشخص می‌کنند.».
این کار و روشی بود که اولین بار توسط :دانشمند سویدی :A.Atterberg در ۱۹۱۲ ارائه شد. بعدها به عنوان یکی از شاخص‌های مهندسی خاک در رشته‌های مهندسی عمران برای طبقه‌بندی خاک‌ها مورد استفاده و استناد قرار گرفت. همان‌طور که اشاره شد:از شاخص‌های آزمایشگاهی اتر برگ در حد فاصل حالات: سیال گونگی خاک (غرقابی)-خمیری-نیمه خمیری-جامد: اصطلاحات کاربردی مهندسی عمران و خاک وپی «تعریف و توجیه» می‌شوند. حد روانی (به انگلیسی:Liquid Limit=L.L). حد خمیری (به انگلیسی:Plastic Limit=P.L). ایندکس یا شاخص نیمه خمیری خاک :در مهندسی موسوم به:پی. ای. خاک(pLASTISTY-INDEX=P.I).
حد روانی در آزمایشگاه بر اساس استاندارد:ASTM-D4318 :میزان رطوبتی است که بازای ان شیار۱۲ میلی‌متر عمق ایجاد شده در ۲۵ ضربه چکش کوچک آزمایشگاهی بسته شود. وحد خمیری میزان رطوبتی است که در آزمایشگاه اگر فتیله‌ای به قطر ۳ میلی‌متر با روش غلتانیدن ساخته و تابیده شود خرد گردد. نشان خمیری از رابطه:P.I=L.L-P.L بدست می‌آید. این شاخص‌ها در کاهش هزینه‌های پروژه‌ها و عملکرد صحیح کار وبهره‌برداری مهم هستند.
طبق سامانهٔ متحد دسته‌بندی خاک (USCS)، لای و رس، بر اساس ترسیم مقدار نشانهٔ خمیری و حد روانی خاک بر روی جدول حالت خمیری (صفحهٔ شطرنجی) در دسته‌های مختلف قرار می‌گیرند. خط A بر روی این جدول رس (با نماد "C" در USCS) را از لای (با نماد "M") جدا می‌کند. LL=٪۵۰ خاک با خمیری بالا (با نماد "H") را از خاک با خمیری کم (با نماد "L") جدا می‌کند. خاکی که ویژگی‌هایش آن را در بالای خط A قرار دهد و LL>٪۵۰ داشته باشد، مثلاً، در دستهٔ "CH" قرار می‌گیرد. سایر دسته‌های موجود برای لای و رس عبارتند از: "ML" و "CL" و "MH". اگر حدود اتربرگ در ناحیهٔ سایه‌خورده قرار گیرند، در آن حالت خاک در دسته‌های دوگانهٔ "CL-ML" جای می‌گیرد.
اثر مقدار آب بر مقاومت خاک اشباع، را می‌توان بوسیلهٔ نشانهٔ روانی "LI" به صورت عددی (به صورت کمّی) نمایش داد:
وقتی "LI" برابر ۱ است، یعنی خاک در حد روانی خود قرار دارد و مقاومت برشی زه‌کشی نشده‌ای برابر با ۲kPa دارد. وقتی خاک در حد خمیری قرار دارد، "LI" صفر است و مقاومت برشی زه‌کشی نشدهٔ آن برابر با ۲۰۰kPa است.Disturbed soil properties and geotechnical design, Schofield, Andrew N. ,Thomas Telford, 2006.
چگالی ماسه معمولاً به صورت نسبی و با نماد formula_53 نوشته می‌شود:
formula_55، "بیشترین مقدار نسبت خلاء" است که مطابق است با شل‌ترین حالت خاک طبق معیار ASTM. formula_56، "کم‌ترین مقدار نسبت خلاء" است که مطابق است با متراکم‌ترین حالت خاک طبق معیار ASTM. بنابراین اگر "D"=٪۱۰۰ باشد، ماسه یا شن بسیار متراکم و اگر "D"=٪۰ باشد، خاک بسیار شل و ناپایدار خواهد بود.
اگر فشار سیال موجود در خاک، به صورت یکنواخت طبق رابطهٔ formula_57 با افزایش عمق، افزایش یابد، نشان می‌دهد که شرایط ایستایی آب برقرار است و آب (سیال) درون خاک جریان ندارد. یادآوری می‌شود که formula_45 عمقی در زیر سطح آب است. اگر سطح آب شیب‌دار باشد یا در جایی درون خاک آبی انباشته شده باشد، همان گونه که در نگارهٔ مقابل نمایش داده شده‌است، در این هنگام ممکن است تراوش اتفاق افتد. در تراوش در حالت پایدار، نرخ تراوش، با گذر زمان تغییر نمی‌کند. اگر بلندی سطح آزاد آب با گذر زمان عوض شود، یا خاک در میانهٔ روند تحکیم باشد، دیگر شرایط حالت پایدار برقرار نخواهد بود.
قانون دارسی بیان می‌دارد که حجم جریان آب حفره‌ای از میان متوسط حفره‌های خاک در یکای زمان، متناسب است با نرخ تغییر فشار آب (مایع) اضافی با فاصله. ضریب ثابت این تناسب، لزجت مایع و نفوذپذیری ذاتی خاک را نیز دربر می‌گیرد. در حالت ساده شدهٔ یک لولهٔ افقی پرشده از خاک، خواهیم داشت:
خروجی کل formula_60 (حجم در یکای زمان برای نمونه: ft³/s یا m³/s) متناسب است با نفوذپذیری، formula_61، مساحت مقطع عرضی، formula_62 و نرخ تغییر فشار آب حفره‌ای با فاصله، formula_63، و نسبت عکس با لزجت دینامیک مایع، formula_64. حضور علامت منفی به این دلیل است جریان مایع از فشار بیشتر به سمت فشار کمتر است؛ بنابراین اگر تغییر فشار کوچکتر از صفر یا منفی باشد (در جهت formula_65)، جریان بزرگتر از صفر یا مثبت خواهد بود (در جهت formula_65). معادلهٔ بالا برای یک لوله افقی به خوبی جواب می‌دهد اما اگر لوله، مایل باشد، نقطهٔ b بلندی متفاوت از بلندی نقطهٔ a خواهد داشت و معادله، دیگر درست کار نخواهد کرد. تأثیر اختلاف بلندی دو طرف لوله در جایی که اختلاف فشار آب حفره‌ای زیادی،formula_67، محاسبه می‌شود، در نظر گرفته می‌شود که عبارت است از:
در رابطهٔ بالا formula_69، عمق بدست آمده نسبت به یک بلندی دلخواه مبدأ است. با جایگزینی formula_70 با formula_67، رابطهٔ کلی‌تری را برای جریان، بدست خواهیم آورد:
اگر دو طرف معادله را بر formula_62 تقسیم کنیم و عبارت تغییر فشار آب حفره‌ای اضافی را به صورت یک عبارت مشتق‌پذیر نسبت به فاصله (formula_65) بنویسیم، سرعت ظاهری در جهت formula_65 خواهد بود:
که formula_77 یکای سرعت را دارد و "سرعت دارسی" یا "سرعت خروجی" نام دارد. "سرعت تراوش" formula_78 (سرعت متوسط مولکول‌های مایع از میان حفره‌های خاک) متناسب است با سرعت دارسی و پوکی خاک، formula_29
مهندسین عمران معمولاً روی مسائلی کار می‌کنند که سیال در آن‌ها، آب است و مسئله روی زمین اتفاق می‌افتد (شتاب جاذبه زمین)، بنابراین آن‌ها شکل ساده شده قانون دارسی را استفاده می‌کنند که عبارت است از:
که formula_82 "نفوذپذیری" نام دارد و به شکل formula_83 تعریف می‌شود. i شیب هیدرولیکی نام دارد و برابر است با نرخ تغییر ارتفاع کل به فاصله. ارتفاع کل، formula_84 در یک نقطه، برابر است با درازای طولی که آب از لولهٔ پیزومتری در آن نقطه، بالا می‌رود. این ارتفاع نسبت به یک بلندی مبدأ دلخواه اندازه‌گیری می‌شود. ارتفاع کل مربوط می‌شود به اضافه فشار آب:
"مقدار ثابت" برابر صفر خواهد بود اگر که سطح مبدأ در همان نقطه‌ای در نظر گرفته شود که نقطهٔ ما در آن قرار دارد.
بزرگی ضریب نفوذپذیری،:formula_82، بسته به نوع خاک، ذر بازه‌های مختلفی تغییر می‌کند. برای نمونه در رس‌ها ضریب نفوذپذیری به کوچکی formula_87 است؛ ولی در شن‌ها ضریب نفوذپذیری به formula_88 افزایش می‌یابد. لایه‌لایه بودن خاک، ناهمگنی، به‌هم‌ریختگی خاک در میانهٔ عمل نمونه‌برداری از خاک و روند آزمایش بر روی آن، بدست‌آوردن مقدار دقیق ضریب نفوذپذیری را بسیار دشوار می‌کند.
قانون دارسی بر یک، دو یا هر سه بُعد اعمال می‌شود. در دو یا سه بُعد، تراوش در حالت پایدار توسط قانون لاپلاس توضیح داده شده‌است. برنامه‌های رایانه‌ای برای حل این معادله در دسترس است؛ ولی به‌طور سنتی مسائل دو بعدی تراوش با استفاده از یک روند شکلی (با ترسیم) و با رسم شبکهٔ جریان حل می‌شد.Cedergren, Harry R. (1977), "Seepage, Drainage, and Flow Nets", Wiley. یک دسته از خط‌های رسم شده در شبکه جریان، در جهت حرکت آب اند (خط‌های جریان) و دستهٔ دیگر، خط‌هایی هستند که روی آن‌ها ارتفاع کل ثابت است (خطوط هم پتانسیل). شبکهٔ جریان برای نمونه برای برآورد میزان تراوش در زیر سد و پرده‌های آب‌بند استفاده می‌شود.
وقتی سرعت تراوش زیاد باشد، پدیده فرسایش رخ می‌دهد و این به این دلیل است که دانه‌های خاک در اثر نیروی آب و اصطکاک موجود درمیانشان به یکدیگر ساییده می‌شوند و کم‌کم خاک دچار فرسایش می‌شود. تراوش به صورت عمودی و به سمت بالا، خود عامل ایجاد خطر در پایین دست پرده آب‌بند یا زیر پنجهٔ سد یا یک خاکریز است. فرسایش در اثر تراوش می‌تواند باعث فروریختن سازه یا ایجاد گودال شود. نشت آب خاک را می‌شوید و از آنجا می‌برد، از محل شروع نشت فرسایش شروع می‌شود و به سمت بالا می‌رود.
تراوش فشاری به سمت بالا وارد می‌کند و از تنش مؤثر موجود در خاک کم می‌کند. وقتی فشار آب در نقطه‌ای از خاک برابر است با تنش عمودی کل در آن نقطه، در نتیجه تنش مؤثر صفر است و خاک هیچ مقاومتی در برابر تغییر شکل از خود نشان نداده‌است. برای یک لایه سطحی، وقتی گرادیان هیدرولیکی به سمت بالا برابر با گرادیان بحرانی باشد تنش مؤثر عمودی در لایه صفر می‌شود. در تنش مؤثر صفر، خاک مقاومت بسیار کمی دارد و لایه‌هایی از خاک که نفوذناپذیرند ممکن است در اثر فشار آب از پایین، به سمت بالا هول داده شوند. به این اتفاق جوشش می‌گوییم، جوشش یکی از دلایل معمول شکست یک خاکریز است. شرط تنش مؤثر صفر که منجر به نشت آب (فشار) از پایین به سمت بالا روی لایه‌های خاک می‌شود منجر به روانگرایی، ماسه روان یا جوشش می‌شود. در ماسه روان، دانه‌های ماسه گویی زنده‌اند و مانند آب در جریان، فردی که روی این ماسه ایستاده در آن بلعیده نمی‌شود ولی نیمی از بدنش در آب قرار می‌گیرد و روی آن شناور می‌ماند.
تحکیم روندی است که در طول آن حجم خاک کاهش می‌یابد. اگر تنشی بر خاک اعمال شود و باعث شود که دانه‌های خاک به یکدیگر نزدیک شوند و در هم جمع شوند، در نتیجه حجم خاک کاهش یابد؛ حال اگر خاک اشباع (از آب) باشد، در اثر فشار و کاهش حجم، آب موجود در خاک از میان دانه‌های آن خارج می‌شود. برای اینکه آب از میان دانه‌های یک لایهٔ ضخیم رسی خارج شود ممکن است سال‌ها زمان نیاز باشد ولی برای لایه‌های ماسه‌ای گاهی تنها چند ثانیه کافی است تا آب موجود در خاک در اثر فشار خارج شود.
ساخت یک ساختمان یا هر نوع سازه‌ای روی خاک، ممکن است باعث تحکیم در لایه‌های زیرین خاک شود که در اثر تحکیم، خاک آن قسمت نشست کند و باعث آسیب در ساختمان یا سازه شود. کارل ترزاقی نظریهٔ تحکیم را که دربارهٔ پیش‌بینی میزان نشست و مدت زمان لازم برای رخ دادن آن است گسترش داده‌است. برای بدست آوردن ضریب تحکیم خاک از آزمایش اوئدومتری استفاده می‌شود.
وقتی از روی یک خاک تحکیم یافته باربرداری می‌شود (تنش روی آن از بین می‌رود) خاک دوباره به حالت اول خود برمی‌گردد و دوباره آب به درون حفره‌های میان دانه‌های آن بازمی‌گردد و مقدار فضای خالی میان دانه‌ها، که در اثر تحکیم ازبین رفته بود دوباره بدست می‌آید. اگر بازهم روی خاک بارگذاری صورت گیرد و تنشی به آن وارد شود هم‌زمان با دورهٔ بارگذاری با توجه به شناسهٔ تحکیم خاک، دوباره تحکیم خواهیم داشت. خاکی که قبلاً در اثر یک بار خیلی بزرگ دچار تحکیم شده و بعد از روی آن باربرداری شده‌است، خاک "پیش تحکیم یافته" می‌گوییم. بزرگترین تنشی که در گذشته به خاک وارد شده و باعث تحکیمش شده نیز تنش "پیش تحکیم یافتگی" نام دارد. خاکی که در حال حاضر بیش‌ترین تنش ممکن را دارد تحمل می‌کند و در حال تحکیم است را "عادی تحکیم یافته" می‌نامیم. "ضریب پیش‌تحکیم یافتگی" یا ("OCR") برابر است با نسبت بزرگترین تنش مؤثری که خاک در گذشته تجربه کرده‌است به تنش مؤثری که هم‌اکنون تحمل می‌کند. دلیل اهمیت این ضریب در دو مطلب است: یکم، چون میزان فشردگی خاک در حالت عادی تحکیم یافته خیلی بیشتر از فشردگی آن در حالت پیش‌تحکیم یافته‌است. دوم، رفتار برشی خاک‌های رسی با توجه به معیارهایی که در مکانیک خاک تعریف شده‌است، وابسته به ضریب پیش تحکیم یافتگی آن‌ها است. خاک‌های پیش‌تحکیم یافته با تنش‌های بزرگ بیشتر تمایل به گشادی و افزایش حجم دارند درحالی که خاک‌های عادی تحکیم یافته بیشتر تمایل به کاهش حجم و انقباض دارند.
حالت بحرانی (Critical State) : حالتی است که معمولاً در کرنش‌های بالا، خاک در حجم ثابت، با تنش برشی ثابت، دارای تغییر شکل‌های مداوم و پایدار می‌باشد.
حالت پایدار(Steady State) :حالتی است که توده خاک در حجم ثابت، تنش قائم مؤثر، تنش برشی ثابت و سرعت ثابت، به‌طور دائمی تغییر شکل می‌دهد
نقاط تغییر فاز:طبق تعریف به حالتی موقتی گفته می‌شود که رفتار خاک از حالت انقباضی به حالت اتساعی تبدیل می‌شود. این نقطه مستقل از آنست که آیا افت موقتی در تنش رخ می‌دهد یا نه. (Ishihara. , 1998)
نقاط حالت شبه پایدار:
نقاط شبه حالت پایدار به نقاطی گفته می‌شوند که تمامی ویژگی‌های حالت پایدار را دارند، اما شرط تغییر شکل‌های مداوم را ندارند و بعد از ادامهٔ کمی کرنش، تنش‌های انحرافی دچار تغییر می‌شود.
مقاومت برشی و سختی خاک تعیین می‌کند که خاک پایدار خواهد بود یا خیر یا اینکه چقدر در اثر فشار بار تغییر شکل خواهد داشت. داشتن اطلاعات از مقاومت خاک لازم است تا بتوانیم تعیین کنیم که آیا یک شیروانی (خاک شیبدار) پایدار خواهد ماند، یا یک ساختمان یا پل چه مقدار نشست خواهد داشت، یا تنش محدودکننده روی یک دیوار حائل چقدر خواهد بود. مهم است که شکست عناصر خاک را متفاوت از شکست کل یک سازه خاکی (مانند: پی ساختمان، شیروانی یا دیوار حائل) بدانیم. برخی عناصر خاک ممکن است قبل از شکست سازه، به اوج مقاومت خود برسند. برای تعیین «مقاومت برشی» و «نقطهٔ تسلیم» خاک از روی منحنی تنش - کرنش، می‌توان از معیارهای مختلف استفاده کرد.
خاک، آمیخته‌ای از دانه‌ها است که این دانه‌ها، گاهی دارای ویژگی چسبندگی اند (سیمانی شدن) و گاهی اصلاً این ویژگی را ندارند؛ درحالی که سنگی که این دانه‌ها از آن جدا شده‌اند، شامل مجموعه‌ای از دانه‌های مختلف بوده‌است که با پیوندهای شیمیایی به یکدیگر چسبیده بودند. مقاومت برشی خاک در درجهٔ اول، از اصطکاک داخلی میان دانه‌ها ناشی می‌شود، بنابراین مقاومت برشی در یک صفحه تقریباً متناسب است با تنش مؤثر عمود بر سطح آن صفحه. خاک از قفل و بند (اتصال داخلی) میان دانه‌ها، مقاومت برشی زیادی بدست می‌آورد. اگر دانه‌ها به صورت خیلی متراکمی به یکدیگر متصل شده باشند در اثر تغییر شکل برشی تمایل به دور شدن از یکدیگر دارند
خاک بعد از رسیدن به حالت بحرانی، دیگر نمی‌تواند افزایش یا کاهش حجم داشته باشد. تنش برشی در صفحهٔ شکست formula_89 را با استفاده از تنش عمودی مؤثر در صفحهٔ شکست formula_90 و زاویهٔ اصطکاک حالت بحرانی formula_91 تعیین می‌کنیم:
مقاومت نهایی خاک می‌تواند بزرگتر از این باشد، با این حال به دلیل قفل و بست میان دانه‌ها، این مطلب به شکل زیر بیان می‌شود:
که formula_94 با این حال در طراحی، برای استفاده از زاویهٔ اصطکاک بزرگتر از زاویهٔ حالت بحرانی، باید مراقب بود. در یک مسئلهٔ عملی مانند پی یک سازه یا دیوار حائل یا یک شیروانی این گونه نیست که مقاومت نهایی خاک در تمام نقاط آن بسیج شود، زاویهٔ اصطکاک حالت بحرانی مانند مقاومت حداکثر خاک متغیر نیست و بهتر است با تکیه بر مقادیر آن مسئله را حل کرد.
بدون در نظر گرفتن اهمیت افزایش حجم خاک، کولمب پیشنهاد کرد که مقاومت برشی خاک را می‌توان بوسیلهٔ ترکیبی از چسبندگی و اصطکاک داخلی خاک، توضیح داد:
امروزه به خوبی می‌دانیم که formula_96 و formula_97، که در معادلهٔ آخر از آن‌ها استفاده شد، از ویژگی‌های بنیادی خاک نیستند. به ویژه مقادیر formula_96 و formula_97 وابسته به بزرگی تنش مؤثر و زه‌کشی شده بودن یا نبودن خاک است. مطابق اسکوفیلد (۲۰۰۶)، استفاده طولانی مدت از formula_97 در مسئله‌ها باعث شده که بسیاری مهندسین را به اشتباه بیندازد که formula_97 ویژگی بنیادی خاک است. این فرض که formula_96 و formula_97 همواره ثابت اند، ممکن است منجر به برآوردی بیشتر از مقاومت نهایی شود.
علاوه بر اصطکاک داخلی و اتصال میان دانه‌های خاک (چسبندگی)، به عنوان عوامل مؤثر در مقاومت آن، سازه و ساختار خاک نیز در رفتار آن نقش مهمی بازی می‌کنند. سازه و ساختار، شامل عواملی است نظیر: فاصله‌های میان دانه‌ها جامد و نظم آن‌ها و توزیع آب در فضای میان آن‌ها یا در مواردی نیز مواد سیمانی در فاصلهٔ میان دانه‌ها تجمع پیدا می‌کنند. رفتار مکانیکی خاک از چگالی دانه‌های جامد، سازهٔ آن‌ها، آرایششان و میزان سیال موجود در فضای میان آن‌ها و توزیعش (مانند آب یا هوا) تأثیر می‌گیرد. البته، عوامل دیگری مانند بار الکتریکی دانه‌ها، ویژگی‌های شیمیایی آب حفره‌ای و پیوندهای شیمیایی میان دانه‌ها (سیمانی شدن دانه‌های مرتبط با یکدیگر در اثر عواملی نظیر بلوری شدن دوبارهٔ کربنات کلسیم) نیز وجود دارد.
حضور یک سیال تقریباً تراکم‌پذیر مانند آب در فضای حفره‌ای درون خاک بر افزایش و کاهش حجم فضاهای حفره‌ای خاک تأثیر می‌گذارد.
اگر این فضاهای حفره‌ای از آب اشباع باشد، برای افزایش حجم خاک باید آب به درون حفره‌های درون آن مکیده شود تا این حفره‌ها را پر کنند. به همین ترتیب اگر خاک بخواهد کاهش حجم داشته باشد، ناچار باید آب از داخل حفره‌هایش خارج شود تا حجم کل خاک کاهش یابد. افزایش حجم حفره‌های هوا در خاک باعث ایجاد فشار منفی در آب می‌شود و باعث مکیده شدن آب به درون حفره‌ها می‌گردد و در مقابل اگر حجم حفره‌ها کاهش یابد، فشار آب حفره‌ای مثبت ایجاد می‌شود و آب به بیرون از حفره‌ها هول داده می‌شود.
اگر نرخ برش وارده به خاک خیلی بیشتر از سرعت مکیده شدن آب به درون یا بیرون رفتن آن از فضاهای حفره‌ای خاک باشد؛ به این نوع برش، "برش زه‌کشی نشده" می‌گوییم. اما اگر برش وارده به خاک به اندازه کافی به آرامی وارد شود تا آب فرصت کافی داشته باشد تا از حفره‌های خاک خارج شود و فشار وارده به آب ناچیز باشد؛ به آن "برش زه‌کشی شده" می‌گوییم. با توجه به رابطه تنش مؤثر، تغییر در فشار آب حفره‌ای u، مستقیم بر مقدار تنش مؤثر اثر می‌گذارد:
مقاومت خاک را می‌توان در آزمایشگاه با استفاده از آزمایش برش مستقیم، آزمایش سه محوری، آزمایش برش ساده، آزمایش رها کردن مخروط و آزمایش برش پره بدست آورد. البته امروزه ابزارها و روش‌های گوناگون دیگری برای این منظور مورد استفاده قرار می‌گیرد. آزمایش‌هایی که برای بدست آوردن مقاومت و سختی خاک در محل مورد استفاده قرار می‌گیرند (آزمایش‌های درجا) عبارتند از آزمایش نفوذ مخروط و آزمایش نفوذ استاندارد.
از دیگر عوامل مؤثر بر رابطهٔ تنش - کرنش خاک و در نتیجه مقاومت برشی آن، می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
مفهوم فشار جانبی خاک، برای برآورد میزان فشار جانبی وارده (عمود بر فشار جاذبه زمین) از سوی خاک بر سازه‌است. این تنش معمولاً بر دیوارهای حائل وارد می‌شود. ضریب فشار جانبی خاک K برابر است با نسبت فشار جانبی (افقی) به فشار عمودی، برای خاک‌های چسبنده (K=σ/σ). سه نوع ضریب فشار جانبی وجود دارد: فشار در حالت ساکن، فشار محرک و فشار مقاوم. فشار در حالت سکون زمانی است که هنوز هیج آشفتگی در خاک ایجاد نشده‌است. فشار محرک زمانی اتفاق می‌افتد که دیوار در اثر فشار جانبی وارده از خاک دور می‌شود و در اثر کاهش تنش جانبی می‌تواند باعث گسیختگی برشی شود. فشار حالت مقاوم زمانی است که دیوار به خاک فشار وارد می‌کند و به سمت آن هول داده می‌شود و اگر میزان این تنش وارده خیلی زیاد شود ممکن است باعث گسیختگی در تودهٔ خاک شود. امروزه روش‌های تجربی و تحلیلی زیادی برای محاسبهٔ فشار جانبی وجود دارد.
ظرفیت باربری خاک مقدار تنش تماسی میانگین بین خاک و شالوده است که به گسیختگی برشی خاک منجر شود. تنش باربری مجاز مقدار ظرفیت باربری است که به وسیله ضریب اطمینان تقسیم‌بندی شده‌است. بعضی مواقع در محل‌هایی با خاک نرم، خاک زیر شالوده بارگذاری شده می‌تواند نشست‌های زیاد بدون رخ دادن گسیختگی برشی حقیقی داشته باشد. در بعضی موارد، تنش باربری مجاز با توجه به حداکثر نشست مجاز محاسبه می‌شود.
مبحث پایداری شیروانی، شامل بررسی پایداری ایستایی و دینامیکی یک سطح شیب‌دار خاکی یا سنگی یک سد، سطح شیب‌دارهای از جنس موادی غیر از خاک، دیواره‌های کناری حفره‌های کنده شده در زمین و سطح شیب دارهای طبیعی خاک یا سنگ است.
همانگونه که در شکل نشان داده شده‌است، یک ناحیه شکست کروی در زیر شیروانی خاکی تشکیل می‌شود. احتمال رخ دادن چنین پدیده‌ای می‌تواند با استفاده از یک تحلیل کروی دوبعدی ساده محاسبه شود. یک سختی اولیه در این تحلیل یافتن محتمل‌ترین صفحات لغزش برای هر نوع موقعیت داده شده‌است.
شاپور بن سهل گندیشاپوری دانشمند داروساز مسیحی(۱) ایرانی بود که در نیمهٔ دوم قرن سوم هجری در گندیشاپور زندگی می‌کرد. وی به قولی صاحب بیمارستان گندیشاپور بود. شاپور بن سهل کتاب مشهوری به نام "کتاب القراباذین" نوشت که در اواخر فرن سوم و تمام قرن چهارم و پنجم و قسمتی از قرن ششم در داروفروشی‌ها و بیمارستان‌های بغداد استفاده می‌شد.
شاپور در ۳ دسامبر ۸۶۹ میلادی درگذشت.
"ذبیح‌الله صفا، تاریخ ادبیات ایران(جلد یکم)، انتشارات فردوس، چاپ هفدهم"
ایزیدور ایزاک رابی (زاده ۲۹ ژوئیه ۱۸۹۸، ریمانوف، اتریش-مجارستان (اکنون در لهستان) – درگذشته ۱۱ ژانویه ۱۹۸۸) فیزیک‌دان لهستانی‌تبار بود. وی در سال ۱۹۲۷ از دانشگاه کلمبیا با مدرک دکترا فارغ‌التحصیل شد. رابی در سال ۱۹۴۴ به خاطر ابداع روش تشدید برای ثبت خواص مغناطیسی هسته‌های اتمی موفق به دریافت جایزه نوبل فیزیک گردید.
به گاو غیر بالغفرهنگ فارسی معینفرهنگ فارسی دهخدا که کمتر از هشت ماه سن داشته باشد گوساله می‌گویند.واژه‌های مصوّب فرهنگستان تا پایان دفتر یازدهم فرهنگ واژه‌های مصوّب.
واژهٔ «گوساله» از «گو» به معنای گاو و «ساله» (سال + 'ه «پسوند نسبت») به معنای «دارای یک سال» ساخته‌شده‌است. بنابراین گوساله یعنی گاو یک‌ساله.
انسان‌ها از گوشت گوساله برای تهیهٔ غذا استفاده می‌کنند. از پوست گوساله در گذشته به عنوان کاغذ برای نوشتن استفاده می‌شده‌است. امروزه معمولاً گوساله را از مادرش جدا می‌کنند تا شیر مادر را بدوشند و از آن برای تولید شیر و لبنیاتی چون کره، پنیر، ماست و دیگر محصولات لبنی استفاده کنند. چرم گوساله به دلیل لطافت آن ارزشمند می‌باشد و برای ساخت کفش‌های با کیفیت بالا، استفاده می‌شوند.
پرواربندی گوساله در اغلب استان های ایران انجام می شود. هدف از آن تولید گوشت می باشد .در ایران پرورش گوساله به سه روش مختلف روستایی ، نیمه صنعتی و صنعتی انجام می شود .
در حالت روستایی و نیمه صنعتی از نژاد های بومی و دورگ و در حالت صنعتی از نژاد های اصیل مانند سمینتال و هلشتاین استفاده می کنند .
زبانزدهای (ضرب‌المثل‌های) بسیاری در زبان فارسی دربارهٔ گوساله وجود دارد که برخی از آن‌ها را در اینجا می‌آوریم:
حاخام یا خاخام یا حَکَم به معنی لغوی فرد دارای حکمت} اصطلاحی در یهودیت بوده و به معنای حکیم و عنوانی است مربوط به پیشوای مذهبی و کسی که استاد تورات است.
این لغت به‌طور کلی برای فرد دانا به کار می‌رود حتی اگر آن فرد یهودی نبوده و جنتیل باشد. در تلمود به افراد دانای جنتیل حاخام اموت هاعولم گفته می‌شود.
سفاردی‌ها که در میان اعراب زندگی می‌کردند برای عدم استفاده از لغت ربی که در عربی به معنی خدای من است از لغت حاخام استفاده می‌کنند.
حاخام در اصل واژه‌ای عبری و هم‌ریشه با «حکیم» در عربی است و به کسی گفته می‌شود که دانش کاملی از تورات دارد به عبارتی دیگر در دین یهود٬ حاخام، خاخام یا حاکام یعنی معلم تورات و این واژه اولین‌بار در سنهدرین آورده شده‌است. تلفظ خ به جای ک در زبان عبری که از قدیم‌الایام متون مقدسه یهود به این زبان بوده‌است.
از دوره وجود سنهدرین واژه حاخام در متون یهودی یافت می‌شود. به‌طور کامل مشخص نیست که وظیفه حاخام دقیقاً در آن زمان چه بوده‌است ولیکن حاخام فردی بوده‌است که سئوالهای شرعی را پاسخ می‌داده است. بعضی متون یهودی به این مساله اشاره می‌کنند که احتمالاً حاخام رئیس مدرسه شرعی یهودی، بیت هامیدراش بوده‌است.
فرانکل معتقد است که یوشع بن حنانیه اولین حاخام بوده‌است. یک متن یهودی از قرن چهارم میلادی در مورد اتیکت ورود حاخام به مجلس صحبت می‌کند. مشخص نیست که آیا حاخام در بابل در حضور راس جالوت وجود داشته‌است یا خیر.
لغت حاخام در تلمود معمولاً به صورت جمع به شکل حاخامیم به کار می‌رود. معادل این کلمه در صورت استفاده از ربی به جای حاخام ربانان است.
در کشورهای اسلامی یهودیان که می‌دانستند استفاده از لغت ربی ممکن است به دلیل معنی در زبان عربی مشکل‌ساز شود از لغت حاخام به‌طور مترادف با لغت ربی استفاده می‌کردند. در امپراتوری عثمانی ربی اعظم، خاخام‌باشی نام داشت.
یهودیت قرائیم که اعتقادی به نیاز به واسطه بین انسان و تورات ندارد و معتقد است هر فردی می‌تواند به فهم تورات بپردازد از لغت حاخام برای فردی که دانش زیادی در تورات داشته باشد استفاده می‌کند. در یهودیت قرائیم حاخام دارای قدرت خاصی نیست و مقام او تنها مقام مشاوره است.
آخوند،http://www.loghatnaameh.com/dehkhodaworddetail-0557030428744c4e8c47058477f17117-fa.html شیخ یا ملا در اصطلاح به روحانی مسلمان به‌ویژه در کشورهای مانند ایران، عراق، جمهوری آذربایجان،"Muslim religious institutions in Imperial Russia: the Islamic world of Novouzensk District and the Kazakh Inner Horde, 1780-1910. Volume 35 of Islamic history and civilization". Allen J. Frank. BRILL, 2001. . pp.109 و افغانستان«In Herat the term Akhond ("theologian, tutor": Haim, Persian-English Dictionary)
was used for mullas actively engaged in teaching in traditional religious»..."Rhetorics and politics in Afghan traditional storytelling". Publications of the American Folklore Society, Bibliographical and Special Series. Issue 12 of Persian studies series. Law in Social Context Series. Margaret Ann Mills. University of Pennsylvania Press, 1991. Original from the University of California. Digitized May 29, 2008. pp.77 گفته می‌شود. در چینی به‌شکل آهونگ (به چینی: 阿訇) به‌کار می‌رود و میان مسلمانان چین رایج است.
جامعهٔ ایران نیز آخوندها را مورد احترام و گرامی می‌داشته‌اند. از دوران قاجاریان هاله‌ای دیگر به عنوان نیابت از امام نیز آمد که احترامی افزوده ایجاد کرد. کم‌کم، لقب‌هایی احترام‌آمیزتر برای آخوندهای ایران به کار گرفته شد که دیدگاه نخست بر این است که خود جامعه چنین لقب‌هایی را داده‌است و دیدگاه مخالف آن، باور دارد که این لقب‌ها را روحانیت به جامعه تحمیل می‌کرده‌است. از آخوند و ملا تا حجت‌الاسلام و حجت‌الاسلام و المسلمین و پس از این‌ها آیت‌الله و آیت‌الله‌العظمی و پس از این نیز امام، سیر دگرگونی لقب‌ها و عنوان‌هایی را نمایندگی می‌کنند که به آخوندها داده شده‌است. نقدگران این زمینه باور دارند که این لقب‌ها برای مقدس‌سازی نهاد روحانیت تلاش کرده‌اند؛ اما دیدگاه مخالف می‌گوید که این‌ها از سوی جامعه بوده‌اند.
به گزارش بی‌بی‌سی در سال ۲۰۱۸، یک روحانی به ازای هر ۲۰۰ نفر جمعیت در ایران وجود دارد. در سال ۱۳۹۵، روحانیون مشغول به تحصیل در حوزه‌های علمیه بانوان بیش از ۷۰ هزار و فارغ التحصیلان آن‌ها نیز ۹۰ هزار نفر بوده‌اند. ۱۰ هزار نفر مبلغ و ۲۷ هزار روحانی زن برای حضور در فضای مجازی نیز در این سال تربیت شدند. بر اساس تخمین‌ها، حدود ۱۵۰ هزار طلبه مرد در سراسر کشور، در این سال مشغول به تحصیل بودند.
مخالفان روحانیت در ایران، حتی پا را از جلوگیری از روحانی‌گرایی نیز فراتر گذاشته‌اند و معتقدند که حتی روحانیانی که در حاشیه و مشغول کار خود هستند نیز مضر و برای جامعه خطرناک هستند. یکی از مخالفان سرشناس، عیناً این جملات را بیان کرده‌است: «مهم این نیست که روحانیون در حاشیه باشند یا بر مسند(در قدرت). در حاشیه باشند، با هر پدیده نو مخالفت می‌کنند زیرا این نهاد بر اساس کهنگی تاریخی شکل گرفته‌است. اگر بر مسند باشند با استفاده از دین می‌کشند، شلاق می‌زنند، حبس می‌کنند، اموال مردم را می‌گیرند و مردم را از خانه و سرزمین خود آواره می‌کنند.»
بر پایه گزارش رسانه‌های داخلی ایران، نفوذ اجتماعی روحانیون در ایران، نسبت به جامعه‌های دیگر بسیار بیشتر است. این گزارش‌های داخلی، به این دیدگاه که روحانیت ایران حکومت‌داری کرده‌است نیز اشاره داشته‌اند و آن را رد کرده‌اند.
این واژه در میان مردم رایج است و به کار برده می‌شود، اما به صورت رسمی کمتر کاربرد دارد و واژهٔ «روحانی» در ادبیات رسمی جایگزین آن شده‌است. اما در گذشته، واژهٔ آخوند به‌طور رایج به عنوان استاد مذهبی امثال مکتب‌خانه به کار می‌رفت."Poetry and mysticism in Islam: the heritage of Rūmī". Volume 11 of Giorgio Levi Della Vida conferences. Giorgio Levi Della Vida conferences ; 11th conference. Giorgio Levi Della Vida Bienniel Conference proceedings ; 11. Amin Banani, Richard G. Hovannisian, Georges Sabagh. Publisher Cambridge University Press, 1994. pp.163 در روسیه و سیبری، استفاده از این لقب در متون اوایل قرن هفدهم به بعد دیده می‌شود.
به جز از پیشه، از واژهٔ "آخوند" گاهی به عنوان قسمتی از نام یا لقب اشخاص نیز به کار برده می‌شده‌است، همانند محمد آخوند گرگانی، آخوند خراسانی، محمد آخوند و غیره.
آخوند یا ملا واژه‌ای متداول در ایران، به معنی، پیشوای دینی و معلم علوم شرعیه یا آدمی که از طریق دین امرار معاش می‌کند و گویند از عهد تیموریان در این کشور رایج شده و مأخذ و منشأ اشتقاق این کلمه به وضوح روشن نیست: دهخدا احتمال داده که مخفف آغا و خوند «به معنی خداوندگار» باشد، مانند میرخواند و خواندمیر بعضی آن را تحریفی از آرخون یا آرگون یونانی که در آنجا عنوان روحانیان مسیحی است دانسته‌اند برخی آن را مرکب از آ «مخفف آقا» و خواند «فعل خواندن» پنداشته‌اند.
در نظام «عالمان» شیعه با عناوینی هم چون ثقةالاسلام، حجت‌الاسلام، حجت‌الاسلام والمسلمین، آیت‌الله، آیت‌الله العظمی خوانده می‌شوند.
در سینما و تلویزیون نقش‌آفرینی در لباس و جایگاه «روحانیت»، در برخی مواقع تنها به پوشیدن لباس روحانیت محدود شده‌است.
ملا می‌تواند به موارد زیر گفته شود:
موبَد در کیش زرتشتی یا آیین مزدیسنا به فرد روحانی اطلاق می‌شود. این واژه در شاهنامه کارکرد بسیار دارد ولی اصطلاح موبد در منابع دیگر نظیر اوستا و دیگر متونِ کهن به صورت مغ یا مغان دیده می‌شود. ریشهٔ این واژه ممکن است معرّب مُغبَد به معنی فرمانده و مِهتر مغان (روحانیان) باشد که محتمل به نظر نمی‌رسد، زیرا واژه‌های دیگری مانند هیربَد و سپهبَد نیز بر همین وزن و با پیشوند «بَد» هستند؛ و برزگترین موبد دوران ساسانیان کرتیر بود و موبدِ موبدان به‌شمار می‌آمده‌است.بررسیهای تاریخی. شماره مخصوص دوهزار و پانصدمین سال بنیانگذاری شاهنشاهی ایران. مهر ۱۳۵۰ دکتر پرویز رجبی
کیش و عقاید ایرانیان در شاهنامه از زمان کیومرث مطرح است. نزول سروش بر سیامک و آگاهی دادن از قصد دشمنان بداندیشِ پادشاه نیک‌اندیش، مبیّن وجود عقیده و مرام در کشور عجم است. شاهنامه صراحتاً از آیین مزدیسنا در زمان کیومرث سخن نمی‌گوید ولی ادوار بعد از دو آیین متضاد و مخالف یکدیگر یعنی آیین مزدیسنا و آیین دیویسنا مکرر یاد می‌گردد.دیویسنائیان کیش دشمنان ایرانیان در عنوان کلی‌تر به دین تورانیان اطلاق می‌شود چون لازمهٔ هر دین بعد از پیامبرش حفاظت از دین است، کیش مزدیسنا نیز محافظانی تحت عنوان موبد و رد داشته‌است.
در زمان کیومرث سر آغاز شاهنامه، از عناوین مزبور یادی نمی‌شود امّا در زمان نبیرهٔ او تهمورث سومین پادشاه پیشدادیان از عنوان موبدان ذکری به میان می‌آید. تهمورث وزیری نیک‌خواه و بسیار مدبّر به نام سحرسپ داشت که تهمورث با به کار بستن پندها و فرمان‌های او توانست همهٔ بدکیشان و دیوان را به بند کشد و به «تهمورث دیوبند» مشهور گردد. از جمله احکام دینی سحرسپ که تا زمان معاصر برای فرهنگ بشری باقی مانده دو اصل دینی روزه و نماز شب است.چنان بر دل هر کسی بود دوست … نماز شب و روزه آئین اوست
طبق متون شاهنامه چون تهمورث پسر هوشنگ است و هوشنگ نوهٔ کیومرث است، پس ممکن است آیین تهمورث و سحرسپ پیشینه‌ای داشته باشد و بانی آیین مزدیسنا همان کیومرث باشد.بر اساس متون کهن و اوستا کیومرث نخستین پادشاه ایرانی یا در مواردی دیگر نخستین انسان است حالات کیومرث در روزگار سوگواری سیامک و رابطه او با سروش مؤید شخصیت متافیزیکی اوست که در ماورای آسمان‌ها نجات‌دهندهٔ دیگری برای خودش متصوّر است. به هر حال نخستین موبدها که باید آثروان نامیدشان در جلوس تهمورث بر تخت کیان حضور پررنگ دارند:
مسئلهٔ سه روستا یا مسئلهٔ برق، آب، گاز (خدمات شهری) از رده معماهای ریاضی است.
فرض کنید که سه روستا در یک سطح (صفحه) یا یک کره قرار دارند و هر کدام مجبورند که به شرکت‌های آب، برق و گاز وصل شوند. استفاده از سه بعد یا رفتن به درون روستاها یا شرکت‌ها خلاف مقررات مسئله‌است. آیا راه حلی برای حل این مسئله بدون قطع کردن خطوط وجود دارد؟
مبدأ مسئلهٔ ذیل به‌عنوان مثالی از: «گراف دو قسمتی «formula_1» نامعلوم است اما می‌دانیم اولین بار در سال ۱۲۹۲ (۱۹۱۳ میلادی) توسط "«هنری ارنست دودنی»" (Henry Ernest Dudeney) بدین‌شکل مطرح شد: «مسئلهٔ گیج‌کننده عبارت است از: استقرار تجهیزات آب، گاز و برق بدون آن‌که هیچ لوله یا خطی با دیگری تقاطع داشته باشد».
این مسئله بخشی از topological graph theory است که به مطالعه مباحث تعبیه گراف
روی صفحات می‌پردازد. اگر بخواهیم کمی اصولی تر حرف بزنیم، این مسئله دربارهٔ اینکه آیا یگ گراف دو بخشی با ۶ راس (formula_1)مسطح است یا خیر. این گراف معادل با گراف دایره‌ای (formula_3 است.
"Kazimierz Kuratowski" در سال ۱۹۳۰ ثابت کرد که formula_1 مسطح نیست و بنابراین این مسئله هیچ جوابی ندارد.این جواب می‌تواند شاهدی بر نتیجهٔ قضیه خم جردن Jordan curve theorem باشد. حکم کاملی که دربارهٔ گراف‌های مسطحه در "Kuratowski reduction theorem" آمده شامل این نتیجه می‌شود.
formula_1 حلقه شکل است یعنی در اینجا با سوراخ کردن صفحه (یا کره) می‌توان مسئله را حل کرد، این ویژگی‌های توپولوژیک مسئله را تغییر می‌دهد.
یک اثبات ساده این مسئله به صورت زیر است:
گرافی که از رئوس X-Y-Z-A-B-C تشکیل شده‌است را در نظر بگیرید.که در آن باید یال هایX-A,Y-B,Z-C باید حضور داشته باشند.حالا برای هر یال تصمیم می‌گیریم که ان را داخل یا خارج گراف دایره‌ای بکشیم. اما حتماً باید برای دو تا از یال‌ها انتخاب یکسانی داشته باشیم. چون دو خط نمی‌توانند در یک طرف بدون تقاطع کشیده شوند، گراف مسطح نیست.
هیچ فردی نمی‌تواند یک گراف که از دسته صفر نیست را در صفحه بدون تقاطع یال‌ها بکشد. در طراحی مدارات الکتریکی وقتی که تمام مدارات به یک طرف برد محدود می‌شوند طراحی تمام مداراتی که شبیه به یک گراف غیر مسطح هستند غیرممکن می‌شود. تنها در مواردی که می‌توان در سه بعد کار کرد یا از طرف دیگر برد استفاده کرد طراحی این مدارات امکان‌پذیر می‌باشد.
مؤسسه هنر شیکاگو در سال ۱۸۷۹ میلادی تأسیس شد. این مرکز از معتبرترین موزه‌های هنری در ایالات متحده آمریکا محسوب می‌شود.
این موزه در شهر شیکاگو در ایالت ایلینوی قرار دارد و حاوی ذخایر هنری بسیار ارزنده‌ای است.
خیبر ، شهری است در کشور عربستان سعودی واقع در شبه جزیره عربستان. خیبر همچنین نام ناحیه‌ای در نزدیکی مدینه از راه شام است و در این ناحیه در گذشته هفت قلعه و مزرعه و نخلستان وجود داشته‌است که در سال ۷ ه‍.ق در جنگ‌های محمد، پیامبر اسلام، و به دست علی فتح شدند.فرهنگ فارسی دهخدا
جمع آن «الخیابر» گویند.
«خیبر» واژه‌ای عبری به معنای «قلعه» است. با توجه به این‌که خیبر دارای ۷ قلعه بوده‌است گاهی نیز آن را «خیابر» گفته‌اند.
این سرزمین در سال‌های آغازین هجرت، دارای هفت قلعه بدین شرح بوده‌است:
در سال هفتم هجرت، این قلعه‌ها در جنگ خیبر به دست علی بن ابی‌طالب گشوده‌شدند.
به ترتیب قلعه‌های حصن ناعم، حصن قموص (بزرگ‌ترین قلعه)، حصن شق، حصن نطاه، حصن کتیبه، حصن وطیح و حصن سلالم یکی پس از دیگری فتح شدند.
پس از گشوده‌شدن این قلعه‌ها، ساکنانشان از محمد خواستند تا وظیفهٔ نگهداری از ساختمان‌ها و نخلستان‌های گرداگرد آنجا به گردن آن‌ها گماشته شود. محمد نیز بخشی از آن سرزمین را به آنان واگذار نمود و جزیه نیز می‌پرداختند. این پیمان تا زمان خلیفه عمر باقی‌ماند و در زمان عمر، خیبریان دست به فحشا زدند و به آزار مسلمانان قیام کردند. پس عمر آنان را به شام کوچانید و خیبر را میان کسانی تقسیم کرد که محمد پس از گشوده‌شدن خیبر سهمی به آنان نداده بود.
غزوه خیبر
حدس کولاتز (Collatz Conjecture)، حدسی در ریاضیات است که مربوط به دنباله‌ها بوده و به این صورت مطرح می‌گردد: از هر عدد طبیعی دلخواهی چون "n" شروع کنید، سپس هر جمله از جمله قبلی دنباله به این صورت بدست می‌آید: اگر جمله قبلی زوج بود، جمله بعدی نصف قبلی خواهد بود. اگر جمله قبلی فرد بود، جمله بعدی سه برابر جمله قبلی به علاوه ۱ خواهد شد. این حدس می‌گوید: مهم نیست که مقدار "n" چه باشد، در نهایت این دنباله همیشه به ۱ ختم خواهد شد.
این حدس را به نام لوتار کولاتز نامگذاری کرده‌اند که اولین بار ایده آن را در ۱۹۳۷ میلادی، دو سال پس از دریافت مدرک دکترایش معرفی نمود. همچنین این مسئله را به نام‌های زیر نیز می‌شناسند: مسئله formula_1، حدس formula_1، حدس اولام (به یاد استنی‌سواف اولام)، مسئله کاکوتانی (به یاد شیزو کاکوتانی)، حدس توایتس (به یاد برایان توایتس)، الگوریتم هاسه (به یاد هلموت هاسه) یا مسئله سیراکوس. دنباله اعداد ظاهر شده در این حدس را برخی مواقع دنباله تگرگی یا اعداد تگرگی (به این دلیل که مقادیرش اغلب همچون تگرگ درون یک ابر، چندین نزول و صعود دارند) یا اعداد شگرف می‌نامند.
پاول اردوش در مورد حدس کولاتز گفت: «ممکن است ریاضیات برای چنین مسائلی هنوز آمادگی نداشته باشد.» همچنین او جایزه ۵۰۰ دلاری را برای جواب آن اعلام نمود. By this Erdos means that there aren't powerful tools for manipulating such objects. جفری لاگاریاس در ۲۰۱۰ بیان نمود که حدس کولاتز «مسئله‌ای است که دشواری عجیباً زیادی داشته و کاملاً از دسترس ریاضیات کنونی خارج است.»
برای مثال، اگر عملیات روی ۳ انجام شود، نتیجه ۱۰ است و اگر روی ۲۴ اجرا شود نتیجه ۱۲ است.
اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی نشان دهیم به صورت زیر خواهد بود:
هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله از اعداد به‌طور متوالی با هر عدد صحیح مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد:
در حالی که:
حدس کولاتز به صورت زیر است:
این روند به صورت اتفاقی به عدد ۱ می‌رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.
کوچکترین i که به ازای آن روند فوق ادامه می‌یابد زمان کلی ایست n نام دارد. این حدس ادعا دارد که هر عدد n یک زمان کلی ایست خوش تعریف دارد. اگر به ازای یک N خاص، عدد i به صورت بیان شده وجود نداشته باشد می‌گوییم N یک زمان کلی ایست نامحدود دارد و حدس غلط است.
اگر حدس غلط باشد می‌تواند فقط به این دلیل باشد که یک عدد شروعی وجود دارد که به دنباله خاتمه‌ای می‌دهد که ۱ شامل آن دنباله نیست. یک چنین دنباله‌ای ممکن است وارد چرخه‌ای شود که از ۱ مستثنی باشد یا این که بدون محدودیت ادامه یابد. تا به حال چنین دنباله‌ای پیدا نشده‌است.
۶، ۳، ۱۰، ۵، ۱۶، ۸، ۴، ۲، ۱
شروع از n=۱۱، دنباله بیشتر طول می‌کشد تا به ۱ برسد:
۱۱، ۳۴، ۱۷، ۵۲، ۲۶، ۱۳، ۴۰، ۲۰، ۱۰، ۵، ۱۶، ۸، ۴، ۲، ۱
اگر مقدار عدد شروع n=۲۷ باشد، یک دنباله ۱۱۱ قدمی به وجود می‌آید که قبل از رسیدن به ۱ از ۹۰۰۰ تجاوز می‌کند:
while n> 1
این برنامه وقتی دنباله به ۱ می‌رسد، برای جلوگیری از چاپ چرخه بی پایان ۴و۲و۱، متوقف می‌شود.
اگر حدس کولاتز درست باشد، این برنامه صرف نظر از عدد ورودی همیشه متوقف می‌شود.
در این قسمت دو دلیل برای این انتظار درستی بیان می‌کنیم:
با تعجب باید گفته شود که این گونه مقید کردن‌ها توسط رایانه ارزش مدرکی بسیار محدودی دارند. چندین حدس وجود دارند که مثال نقضشان به‌طور استثنایی مقداری بسیار بزرگ است.(مانند حدس پولیا، حدس مرتن یا عدد اسکیوویز)
همچنین این موضوع که، {۴٬۲٬۱} تنها چرخه با دورهٔ کمتر از ۳۵۴۰۰ است، روشن شده‌است.
گراف کولاتز گرافی است که با رابطهٔ معکوس زیر تعریف می‌شود:
بنابراین به جای این که ثابت کنیم همهٔ اعداد طبیعی به‌طور اتفاقی به ۱ می‌رسند، می‌توانیم ثابت کنیم که ۱ به تمام اعداد طبیعی سوق داده می‌شود. برای تمام اعداد صحیح
همچنین، رابطهٔ معکوس، به جز حلقهٔ ۱و۲و۴، یک درخت است(وارون حلقه ۱و۴و۲ یک تابع بدون تغییر است که در عبارت مشکل بالا مطرح شده‌است). وقتی رابطهٔ ۳n+۱ در تابع (f(n، با جانشینی رایج «میان بر» با رابطهٔ ۳n + ۱)/۲) جا به جا شود(بهینه سازی زیر را ببینید)، گراف کولاتز با رابطهٔ وارون زیر تعریف می‌شود:
این رابطهٔ معکوس، به جز حلقهٔ ۱-۲، به شکل یک درخت در می‌آید (معکوس حلقهٔ ۱-۲در تابع (f(n، همانطور که نشان داده شد، در بالا بازبینی شده‌است)
اعداد طبیعی می‌توانند با به‌کارگیری روشی مشخص، به اعداد گویا تبدیل شوند. براای به دست آوردن مدل گویا، بزرگترین عدد توان ۲ که کمتر مساوی عدد اصلی است پیدا کنیدو آن را به عنوان مخرج در نظر بگیرید. سپس آن را از عدد اصلی کم کنید و به عنوان صورت در نظر بگیرید (۱۵/۵۱۲→۵۲۷). برای به دست آوردن مدل طبیعی عدد صورت و مخرج کسر را با هم جمع کنید (۵۱۱→ ۲۵۵/۲۵۶).
حدس کولاتز می‌گوید که صورت سرانجام برابر صفر می‌شود. تابع کولاتز به صورت زیر تغییر می‌کند:
این روش کار می‌کند زیرا ۳x" + ۱ = ۳("d" + "n") + ۱ = (۲"d") + (۳"n" + "d" + ۱) = (۴"d") + ۳"n" - "d"+۱. کاهش یک عدد گویا قبل از هرگونه عملیات باید صورت گیرد تا بتوانx را فرد دریافت کرد.
ماشین دو قدم زیر را تا زمانی که فقط ۱ باقی بماند روی هر عدد فردی انجام می‌دهد:
۱. عدد اصلی را با عدد اصلی که یک "۱" به انتهای آن اضافه شده جمع کن.(رشته را به عنوان یک عدد دودویی در نظر می‌گیریم) میدانیم: ۳n + ۱ = (۲n + ۱) + n
۲. تمام ۰های انتهایی را پاک کن.
مثال:ما از عدد ۷ استفاده می‌کنیم پس در مبنای دو به صورت ۱۱۱ است:
راه استفاده شده برای بازگو کردن هر عدد در مبنای دو به صورتی است که ابتدا عدد اولیه را می‌نویسیم سپس زیر آن همان عدد را با یک "۱" اضافه شده به انتهای سمت راست آن می‌نویسیم و دو عدد را جمع می‌کنیم. هر صفری که در انتهای راست حاصل جمع ظاهر شد حذف می‌کنیم و این روند را تا جایی ادامه می‌دهیم که به عدد ۱ برسیم.
مقایسهٔ ماشین انتزاعی به برابری حسابی در مبنای ۲:
ما مجوز ایجاد این تغییر را داریم زیرا وقتی n فرد است ۳n+۱ همیشه زوج است. اگر (...)Pزوجیت یک عدد باشد، به صورتی که P(۲n) = ۰ و P(۲n + ۱) = ۱. پس ما می‌توانیم دنبالهٔ زوجیت کولاتز را برای یک عدد n به صورت ('p" = P("a"که "a" = "n" و("a" = "f"("a" تعریف می‌کنیم.
استفاده از این شکل (f(n می‌تواند نشان دهد که دنبالهٔ زوجیت برای دو عدد m,n در k دورهٔ اول مساوی است اگر و تنها اگر m,n به پیمانهٔ "k"۲برابر باشند. این موضوع به این اشاره دارد که هر عدد به‌طور خاص با دنبالهٔ زوجیت خود شناخته می‌شود و علاوه بر این اگر حلقه‌های کولاتز متعددی وجود داشت، حلقهٔ زوجیت متناظر با آن‌ها نیز باید متفاوت باشد.
اثبات این موضوع بسیار ساده‌است، می‌توان به صورت شهودی و بسیار ساده مشاهده کرد که اعمال f تابع ،k بار بر عدد"a" ۲"k"+"b عدد "a" ۳"c"+"d" را نتیجه خواهد داد، که d نتیجهٔ اعمال f تابع ،k بار بر عدد b است و c عددی است که نشان می‌دهد چه تعداد عدد فرد در طی این دنباله به دست آمده‌است بنابراین زوجیت k عدد اول به کلی با b معین می‌شود و زوجیت عدد k+۱ام، اگر آخرین عدد پرمعنیa تغییر کند، تغییر خواهد کرد.
حدس کولاتز را می‌توان به این صورت بیان کرد که، زوجیت دنبالهٔ کولاتز برای هر عدد نهایتاً وارد حلقهٔ ۰ → ۱ → ۰ می‌شود.
دنباله‌های کولاتز توسط سیستم بسیار ساده ۲-برچسبی که قانون حاصل جمع آن به صورت زیر است محاسبه می‌شوند:
و به صورتی که عدد صحیح مثبت n یک رشتهٔ nتایی از aها بیان شده‌است، با بیان این موضوع که عملیات برچسب روی هر کلمه‌ای که طولش از ۲ کمتر است می‌ایستد.
حدس کولاتز را می‌توان به این صورت بیان کرد که، این سیستم برچسب گذاری، با یک رشتهٔ دلخواه کراندار از aها به عنوان عدد اولیه، در پایان می‌ایستد.
برای هر عدد صحیح، نه فقط اعداد صحیح مثبت، ما آن را روی (f(n می‌نگاریم که:
به‌طور جالب توجه مشاهده می‌شود که در این حالت تنها پنج حلقه داریم، که به نظر می‌رسد که تمام اعداد نهایتاً مشمول این تکرار می‌شوند. این ۵ حلقه در پایین نشان داده شده‌است.
برای ذخیره گامها، ما فقط اعداد فرد را در حلقه یادداشت می‌کنیم (به جز حلقه کوچک {۰}). هر عدد فرد n، وقتی تابع f مکرراً اعمال می‌شود به عدد فرد بعدی خواهد رسید در:
(بزرگترین عدد توان دو که۳n+۱ را عاد می‌کند)/۳n+۱
هر حلقه با اولین عضو کمترین مقدار مطلقش فهرست شده.
ما هر حلقه را با اندازهٔ حلقهٔ کامل دنبال می‌کنیم (داخل پرانتز):شمارهٔ اعضا، زوج یا فرد، به حلقه متعلق است که بدون تکرار محاسبه شده‌است.
در اینجا حدس کولاتز تعمیم یافته را بیان کردیم به این نظر که هر عدد صحیح، در تکرار توسط f، در پایان وارد یکی از حلقه‌های a,b،c,d،e می‌شود.
تکرار روی اعداد گویا با مخرج زوج:
نگاشت استاندارد کولاتز را می‌توان به اعداد گویا بسط داد (چه منفی چه مثبت) که مخرج فرد دارند، زمانی که در ساده‌ترین حالت نوشته می‌شوند. زوج یا فرد بودن عدد با توجه به این تعیین می‌شود که صورت زوج است یا فرد.
دنباله‌های زوجیت همانطور که در بالا تعریف شد دیگر برای کسرها منحصربه‌فرد نیستند، هر چند می‌توان نشان داد هر حلقهٔ زوجیت ممکن یک دنبالهٔ زوجیت برای دقیقاً یک کسر است:اگر یک حلقه دارای طول n و شامل اعداد فرد دقیقاً m تا به صورت
"k", …, "k"، آنگاه کسر منحصربه‌فرد که حلقهٔ زوجیت را به وجود می‌آورد برابر: