moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
عملیات حذف عادی در یک درخت دودویی (برای حالتی که گره در حال حذف شدن دارای دو فرزند باشد) شامل ارتقاء یک گره دورتر از ریشه به جایگاه گره در حال حذف است (معمولاً چپ‌ترین درخت زیردرخت راست یا راست‌ترین درخت زیر درخت چپ). به عنوان یک نتیجه این ارتقاء، بعضی از گره‌هایی که بالای گره ارتقاء یافته بودند به نوادگان آن تبدیل خواهند شد. لازم است که این گره‌ها را برای بازه‌هایی که با گره ارتقاء یافته تلاقی دارند نیز جستجو کنیم و آن بازه‌ها را به داخل گره‌های ارتقاء یافته منتقل کنیم. در نتیجه این ممکن است باعث ایجاد گره‌های خالی جدیدی شود که دوباره طبق همان الگوریتم باید حذف شوند.
همان مسائلی که بر روی عملیات حذف تأثیر می‌گذارند، بر روی عملیات چرخش نیز تأثیر می‌گذارند. چرخش باید ثابتی را که بازه‌ها ذخیره شده‌اند تا حد امکان نزدیک به ریشه نگه دارد.
هم درج و هم حذف از O(logn) زمان می‌برند، که n همان تعداد کل بازه‌هاست.
از یک درخت ساده مرتب استفاده کنید. برای مثال یک درخت جستجوی دودویی یا یک درخت خود-متعادل جستجوی دودویی، که درخت بر اساس نقاط پایین بازه‌ها مرتب شده‌است و یک توضیح اضافه به هر گره اضافه شده‌است که ماکزیمم نقاط بالای بازه‌ها را در زیر درخت‌های آن نگه می‌دارد. به دست آوردن این صفت در طی تنها O(h) مرحله هنگام حذف یا درج یک گره کار ساده‌ای است، که h همان ارتفاع گره درج یا حذف شده به وسیله به روز رسانی همۀ اجداد گره از پایین به بالا در درخت می‌باشد. به علاوه، چرخش‌های درخت که در حذف و درج مورد استفاده قرار می‌گرفت، ممکن است نیاز به به روز رسانی قسمت بالای گره‌های مورد تأثیر داشته باشد.
در حال حاضر مشخص است که دو بازه A و B تلاقی دارند اگر و تنها اگر A.low ≤ B.high و A.high ≥ B.low. هنگام جستجوی درخت‌ها برای یافتن گره‌هایی که با یک بازه تلاقی دارند، شما می‌توانید بلافاصله از موارد زیر صرف نظر کنید:
با مرتب کردن بازه‌ها ابتدا بر اساس مقدار پایین و سپس مقدار بالا یک ترتیب کلی را می‌توان برای بازه‌ها تعریف کرد. این مرتب‌سازی برای جلوگیری از درج بازه‌های تکراری در درخت در O(logn) می‌تواند در مقابل زمان o(k + logn) لازم برای یافتن تکرارها هنگامی کهk بازه با یک بازه جدید تلاقی دارند، مورد استفاده قرار گیرد.
مثال Java :
اضافه کردن یک بازه به درخت
public void add(Interval i) {
مثال Java : جستجو کردن یک نقطه یا بازه در درخت
برای جستجو کردن یک بازه، باید درخت را پیمایش کرده و شاخه‌هایی را که نمی‌توانند شامل چیزهایی که شما به دنبال آن هستید باشند حذف کنید. حالت ساده جستجوی یک نقطه است:
// Search for all intervals which contain "p", starting with the
کد جستجوی یک بازه هم مشابه است به جز چک کردن قسمت میانی:
// Check this node
public boolean overlapsWith(Interval other) {
این را می‌توان با چرخیدن در ابعاد مختلف در هر سطح از درخت به ابعاد بالاتر گسترش داد!!! برای مثال، برای دو بعد، سطوح فرد درخت باید شامل محدوده‌هایی برای مختصات x و سطوح زوج باید شامل محدوده‌هایی برای مختصات x باشند. البته خیلی واضح نیست که منطق چرخشی چگونه باید برای چنین حالت‌هایی گسترش یابد تا درخت متعادل بماند.
یک راه حل خیلی ساده‌تر استفاده از درخت‌های بازه‌ای تودرتو می‌باشد. ابتدا با استفاده از محدوده‌های y یک درخت بازه‌ای بسازید. حال برای هر گره درخت، برای همه عناصری که محدودۀ y آن‌ها با محدودۀ y آن گره اشتراک دارد، یک درخت بازه‌ای دیگر در محدودۀ x اضافه کنید. مزیت این راه حل این است که می‌تواند با یک کد پایه یکسان برای هر تعداد دلخواه از ابعاد گسترش یابد.
در ابتدا هزینۀ درختان اضافی ممکن است سنگین به نظر برسد اما معمولاً چنین نیست. زیرا با راه حل فوق شما نیاز به یک گره در هر مختصات x دارید پس این هزینه در هر دو راه حل یکسان است. تنها تفاوت این است که شما نیاز به یک ساختار درختی اضافی در هر بازه عمودی دارید. این ساختار به‌طور معمول بسیار کوچک است. (یک اشاره‌گر به گره ریشه به علاوه شاید تعداد گره‌ها و ارتفاع درخت)
این درخت مشابه درخت افزوده است اما به صورت متقارن. در حالی که درخت جستجوی دودویی بر اساس نقطه میانی بازه‌ها مرتب شده‌است و یک heap دودویی حداکثر گرا در هر گره وجود دارد و بر اساس طول بازه‌ها (یا نصف طول آن) مرتب شده‌است. همچنین ما به علت تقارن، علاوه بر بیشترین مقدار ممکن، حداقل مقدار ممکن در زیر درخت را نیز در هر گره ذخیره می کنیم.
فرض کنیم دو بازه (a0, b0) , (a1, b1) را داریم. ابتدا و انتهای این بازه‌ها نسبت به یکدیگر می‌توانند یکی از 4 حالت زیر را داشته باشند:
formula_1    OR
formula_2    OR
formula_3    OR
اما با تعریف 2 متغیر زیر:
تست هم‌پوشانی راحت‌تر خواهد شد:
اضافه کردن یک بازه به درخت بازه‌ها شبیه اضافه کردن در درخت جستجوی دودویی است تنها با این تفاوت که از وسط بازه به عنوان کلید مقایسه برای پیدا کردن یا ساختن گره مناسب برای درج بازه diاستفاده می‌شود. باید diرا در پشته دودویی نظیرشده به گره درج کنیم و برای تمامی گره‌هایی که در درخت بازه‌ها بالاتر از گره مدنظر هستند، مقدار کمینه و بیشینه نظیر به آن‌ها را به روز رسانی کرد.
از متغیرهای aq, bq, mq, dq برای بازۀ پرسش‌شده و از Mn برای کلید گره‌ای که (که با mi بازه‌ها مقایسه می‌شود) استفاده می کنیم.از گره ریشه شروع می کنیم. برای هر گره (که روی آن هستیم) ابتدا از طریق مقایسه کردن مقادیر ابتدا و انتهای بازۀ نظیر به گره بررسی می کنیم آیا بازهٔ پرس و جو شدۀ ما با گره‌های زیر درخت‌های گره فعلی می‌تواند هم‌پوشانی داشته باشد یا نه؟ اگر جواب منفی بود این روش را برای گره‌های زیر درخت‌های گره فعلی ادامه نمی‌دهیم.
سپس ما را برای بازه‌های درون گره فعلی (نه فرزندهایش) برای بررسی هم‌پوشانی محاسبه می کنیم: (می‌دانیم )
و برای ‌هایی که از بزرگتر باشند یک درخواست روی Binary Heap می‌زنیم.
سپس همین عمل را برای فرزندان راست و چپ گره انجام می‌دهیم. در بدترین حالت ما مجبور به دیدن تمامی گره‌های BST هستیم اما از آنجایی که درخواست روی Binary Heap بهینه است نباید نگران مرتبه الگوریتم باشیم. (یک مسئله دو بعدی نمی‌تواند در هر دو بعد بهینه باشد)
انتظار می‌رفت که این الگوریتم از than traditional Interval Tree (Augmented tree) در عملیات جستجو سریعتر باشد درحالی که تنها کمی‌کندتر است و این اختلاف تأثیری در مرتبه زمانی ندارد. (مرتبه زمانی هر دو یکی است و تفاوت در ضرایب آن است)
مسئله نقطه در چندضلعی در هندسه محاسباتی مسئلهٔ تعیین قرارگیری یک نقطهٔ مشخص نسبت به یک چندضلعی داده‌شده‌است. یک نقطه می‌تواند داخل، خارج یا روی محیط چندضلعی قرار داشته‌باشد. این مسئله حالت خاص مسئلهٔ محل‌یابی نقطه است و در زمینه‌های پردازش اطلاعات گرافیکی، مانند گرافیک رایانه‌ای، بینایی رایانه‌ای، سامانه اطلاعات جغرافیایی، برنامه‌ریزی حرکت و طراحی رایانه‌ای کاربرد دارد.
ایوان سودرلندIvan Sutherland et al. ,"A Characterization of Ten Hidden-Surface Algorithms" 1974, "ACM Computing Surveys" vol. 6 no. 1.
در سال ۱۹۷۴ دو راه‌حل (انتشار پرتو و جمع زوایا) برای این مسئله ارائه داد. تاریخچهٔ این مسئله و چند راه‌برد برای حل آن در یکی از شماره‌های مجلهٔ Ray Tracing News"Point in Polygon, One More Time..." , "Ray Tracing News", vol. 3 no. 4, October 1, 1990.
به چاپ رسیده‌است.
یک راه ساده برای آزمودن قرارگیری نقطه در داخل یک چندضلعی ساده، شمارش تعداد دفعات تقاطع یک پرتوی دلخواه با شروع از نقطهٔ مورد نظر با چندضلعی داده‌شده‌است. اگر نقطه داخل چندضلعی قرار داشته‌باشد، تعداد تقاطع‌ها فرد باشد نقطه داخل چندضلعی قرار دارد و اگر زوج باشد، نقطه خارج چندضلعی قرار دارد. از این الگوریتم با نام الگوریتم تعداد تقاطع یا الگوریتم قاعدهٔ زوج و فرد نیز یاد می‌شود و حداقل در سال ۱۹۶۲ کشف شده‌بوده‌است.Shimrat, M. , "Algorithm 112: Position of point relative to polygon" 1962, "Communications of the ACM" Volume 5 Issue 8, Aug. 1962
این الگوریتم بر اساس این ایدهٔ ساده است که اگر یک نقطه از بی‌نهایت در جهت دلخواه حرکت کند و چندضلعی را چند بار قطع کند، در این‌صورت با هر بار قطع کردن چندضلعی به‌طور متناوب یک بار از بیرون چندضلعی به درون آن و یک بار از درون چندضلعی به بیرون آن جابجا می‌شود. در نتیجه با هر دو بار قطع کردن چندضلعی در همان سمت چندضلعی باقی می‌ماند. این مشاهده را می‌توان به‌طور ریاضیاتی توسط قضیهٔ خم جردن اثبات کرد.
اگر این الگوریتم در رایانه‌ای با ممیز_شناور پیاده‌سازی شود و نقطهٔ مورد نظر نزدیک مرز چندضلعی باشد، ممکن است این الگوریتم جواب نادرست دهد. البته این ایراد زیاد حائز توجه نیست، زیرا آن‌چه بیشتر مورد توجه است زمان اجرای الگوریتم است و نه صحت کامل الگوریتم. با این وجود برای اصلاح این مشکل، ثابت آنالیز_عددی رواداری_(مهندسی) با نام
تعریف می‌کنیم و قبل از اجرای الگوریتم بررسی می‌کنیم که اگر فاصلهٔ نقطه تا اضلاع چندضلعی کمتر از
باشد، الگوریتم را متوقف کرده و نزدیک بودن بیش از اندازهٔ نقطه به اضلاع چندضلعی را گزارش می‌دهیم.
برای پیاده‌سازی این الگوریتم معمولاً به این صورت عمل می‌شود که وجود تقاطع بین پرتو و اضلاع متوالی چندضلعی بررسی می‌شوند. در چنین پیاده‌سازی‌ای باید به این مسئله توجه کرد که اگر پرتو از رأس_(هندسه) مشترک دو ضلع چندضلعی عبور کند، آن‌گاه این تقاطع دو بار شمرده می‌شود. در مثال این بخش، این اتفاق در مورد بالاترین راس مشکلی ایجاد نمی‌کند ولی در مورد راست‌ترین راس، باعث بروز جواب نادرست خواهدشد. این مشکل را به این‌صورت برطرف می‌کنیم: اگر نقطهٔ تقاطع پرتو و یک ضلع، یکی از دو انتهای ضلع بود، در این صورت این تقاطع را تنها در صورتی شمارش می‌کنیم (و فقط یک بار شمارش می‌کنیم) که دو ضلع مجاور آن راس در دو طرف پرتو قرار گرفته‌باشند. این کار معادل این است که راس مورد نظر را اندکی به سمت بالای پرتو جابجا کرده باشیم.
مسئلهٔ عبور پرتو از رئوس در ممیز_شناور نیز مشکل‌ساز خواهدبود. در صورتی که پرتو از یک راس عبور کند، ممکن است که هنگام بررسی تقاطع دو ضلع مجاور، در هر دو مورد متوجه قرار گرفتن نقطهٔ تقاطع روی انتهای ضلع نشویم. اگر چندضلعی به‌وسیلهٔ رئوسش مشخص شده‌باشد، می‌توان قبل از محاسبهٔ محل نقطهٔ تقاطع بررسی کرد که آیا پرتو از یکی از رئوس مجاور ضلعی مورد بررسی می‌گذرد یا خیر. اگر چندضلعی به‌وسیلهٔ اطلاعاتی به‌جز رئوس آن مشخص شده‌باشد، باید از روش‌های دیگری برای اطمینان از درستی محاسبات استفاده‌کرد.
الگوریتم دیگر حل این مسئله الگوریتم محسابهٔ عدد پیچش نسبت به چندضلعی است. اگر این عدد ناصفر باشد نقطه در درون چندضلعی قرار دارد. برای محاسبه عدد پیچش، می‌توان زوایای داخلی متناظر با هر یک از اضلاع چندضلعی را جمع کرد. اما این روش به دفعات از معکوس توابع مثلثاتی استفاده می‌کند که باعث می‌شود در حالت کلی الگوریتم انتشار اشعه از نظر زمانی بهتر باشد. خوشبختانه لزومی به محاسبهٔ این معکوس توابع مثلثاتی نیست، چرا که نتیجه، یعنی جمع کل زوایای متناظر اضلاع، یا
است یا
(یا هر مضربی از
). پس فقط کافی است که حرکت چندضلعی را در ربع‌های مختصاتی حول نقطهٔ مورد نظر را دنبال کنیم. به این‌صورت این الگوریتم از نظر سرعت قابل مقایسه با الگوریتم انتشار پرتو خواهدبود.
برای چندضلعی ساده هر دو الگوریتم به ازای هر نقطهٔ ورودی جواب یکسانی را تولید خواهندکرد. اما برای چندضلعی غیرساده این دو الگوریتم ممکن است نتایج متفاوتی تولید کنند، مانند حالتی که چندضلعی خودش را قطع می‌کند یا وقتی که تعریف درون و بیرون چندضلعی دقیقاً مشخص نیست.
مسئلهٔ نقطه در چندضلعی را می‌توان نوعی نوعی از پرسمان هندسی مکرر دانست. یعنی بخواهیم با داشتن یک چندضلعی مشخض، قرار داشتن هر یک از اعضای یک دنباله از نقاط را در داخل چندضلعی بررسی کنیم. روشن است که می‌توان از هر یک از الگوریتم‌های مکان‌یابی نقطه در صفحهٔ مسطح برای حل این نوع مسائل استفاده کرد. راه‌حل‌های ساده‌تری نیز برای برخی چندضلعی‌های خاص وجود دارند.
الگوریتم‌های بهتری برای چند ضلعی‌های یکنوا، ستاره‌گون یا محدب وجود دارند.
رادیو سوئد () بنگاه سخن‌پراکنی بین‌المللی کشور سوئد است.
تا سال ۲۰۱۲، رادیو سوئد اقدام به پخش به زبان‌های زیر کرده است:
الگوریتم لمکه-هاوسون الگوریتمی برای محاسبه تعادل نش در بازی دوماتریسی (ماتریسی که در هر خانه‌اش دو عنصر دارد) است گفته می‌شود که این الگوریتم بهترین الگوریتم ترکیبیاتی برای یافتن تعادل نش است.
ورودی الگوریتم یک بازی دو نفره G است. بازی G به صورت دو ماتریس n × m با نام A و B داده می‌شود که هر کدام از آنها شامل نتایج نهایی برای یکی از بازیکنان شماره ۱ و ۲ است که هر کدام به ترتیب، m و n استراتژی خالص دارند. در ادامه فرض می‌کنیم که نتایج مثبت هستند (هر بازی با تغییر مقیاس می‌تواند به بازی برابری از نظر استراتژی با نتایج مثبت تبدیل شود).
بازی G دو چند وجهی متناظر دارد (که بهترین پاسخ بین چند وجهی‌ها نامیده می‌شوند)، به اسم‌های P و P که هر کدام به ترتیب m و n بعد دارند. در ادامه به تعریف این دو ماتریس می‌پردازیم.
ماتریس P در R"m" است. فرض کنید {"x"... ,"x"} مختصات را نشان می‌دهد. P به وسیله m نامساوی "x" ≥ ۰ برای همه {"i" ∈ {۱، ... , "m" و n نامساوی B"x"+... +B"x" ≤ ۱ برای همه {"j" ∈ {۱، ... , "n" تعریف می‌شود.
ماتریس P در R"n" است. فرض کنید {"x", ... , "x"} مختصات را نشان می‌دهد. P به وسیله n نامساوی "x" ≥ ۰ برای همه {"i" ∈ {۱، ... , "n" و m نامساوی A"x"+... +A"x" ≤ ۱ برای همه {"i" ∈ {۱، ... , "m" تعریف می‌شود.
ماتریس "P" نشان‌دهنده مجموعه توزیع‌های احتمالاتی نُرمالایز نشده برای m استراتژی بازیکن اول است، هنگامی که نتیجه مورد انتظار بازیکن دوم حداکثر یک باشد. برای برقراری m شرط اول باید احتمالات نامنفی باشند و هر یک از n شرط بعد هم باعث می‌شود که n استراتژی خالص بازیکن دوم نتایجی با مقدار حداکثر یک داشته باشند. اگر نقش دو بازیکن را با هم عوض کنیم، ماتریس "P" نیز به همین ترتیب تعریف می‌شود.
هر رأس v از ماتریس "P"، با مجموعه‌ای از برچسب‌ها (مقادیر) از مجموعه {۱،... ,"m" + "n"}، در ارتباط است. برای هر {"i" ∈ {۱، ... , "m" رأس v برچسب «i» را می‌پذیرد در صورتی که در رأس v شرط «"x" = ۰» برقرار باشد. برای هر "j" ∈ {۱، …, "n"}، v برچسب «m + j» را می‌پذیرد در صورتی که شرط «"B""x" + ...  + "B""x" = ۱» برقرار باشد. فرض کنید که "P" غیر تبهگن (nondegenerate) باشد، هر رأس بر m بعد از ماتریس "P" واقع است و m برچسب دارد. دقت کنید که ریشه که خود یک رأس از "P" می‌باشد، برچسب‌های {۱، …, m} را دارد.
هر رأس w از از ماتریس "P" با مجموعه‌ای از برچسب‌ها از مجموعه {۱، …, "m + n"}، در ارتباط است. برای هر {"j" ∈ {۱، …, "n" رأس w برچسب «m + j» را می‌پذیرد در صورتی که در رأس w شرط «" x" = ۰» برقرار باشد. برای هر "i" ∈ {۱، …, "m"}، w برچسب «i» را می‌پذیرد در صورتی که شرط «"A""x" + ...  + "A""x" = ۱» برقرار باشد. فرض کنید که P غیر تبهگن باشد، هر رأس بر m بعد از ماتریس P واقع است و m برچسب دارد دقت کنید که ریشه که خود یک رأس از P می‌باشد، برچسب‌های {m + ۱، …, "m + n"} را دارد.
عمل محوری شامل گرفتن زوج مرتبی مانند ("v", "w")، و عوض کردن v با یکی از همسایه‌هایش در P است یا عوض کردن w با یکی از همسایه‌هایش در P. در عمل محوری رأسی که عوض می‌شود را رها شده می‌نامیم. مثلاً اگر طی یک عمل محوری یک رأس از P جایگزین v شود، به اصطلاح می‌گوییم «v رها می‌شود». به ازای هر مقدار از v، می‌شود با انتقال به یک رأس همسایه که شامل ابرصفحه مرتبط با آن برچسب نباشد، آن برچسب را رها کرد.
الگوریتم از زوج (v, w) شروع می‌شود که کاملاً برچسب‌گذاری (مقدار دهی) شده است که این زوج شامل زوج ریشه‌ها می‌باشد. برچسب دلخواه g را به دلخواه با انجام یک عمل محوری رها می‌کنیم. در نتیجه زوج مرتب ما به زوج تقریباً برچسب‌گذاری شدهٔ (’v’, w) تبدیل می‌شود (زوجی که تنها یک عنصر برچسب‌گذاری نشده دارد).
هر زوج تقریباً برچسب‌گذاری شده (زوج مرتبی که تنها یک عنصر برچسب‌گذاری نشده دارد) دو عمل محوری می‌پذیرد که این عمل متناظر با رها کردن یک عنصر یا ایجاد یک کپی از برچسب‌های تکراری آن زوج می‌باشد. هر یک از این اعمال سرانجام به یک زوج کاملاً یا تقریباً برچسب‌گذاری شده ختم می‌گردد. در نهایت الگوریتم زوج مرتب کاملاً برچسب‌گذاری شدهٔ ("*"v"*", w) را بدست می‌آورد که مخالف ریشه است. زوج مرتب ("*"v"*", w) با یک زوج مرتب از توزیع‌های احتمالاتی نُرمالایز نشده متناظر است که در آن هر استراتژیِ بازیکن شماره یک مانند «i»، یا به بازیکن شماره یک می‌پردازد یا باید کمتر از یک واحد بپردازد و بازی با احتمال ۰ توسط آن بازیکن (بازیکن شماره یک) انجام می‌شود (برای بازیکن شماره دو نیز به همین ترتیب). با نُرمالایز کردن این مقادیر به توزیع‌های احتمال، تعادل نش بدست می‌آید (که در آن مقدار پرداختی به بازیکنان برابر وارون عوامل نرمال سازی می‌باشد).
این الگوریتم حداکثر می‌تواند تا «n + m» تعادل نش متفاوت بیابد. هر برچسبی که در مرحله اولیه برای رها شدن انتخاب شود، تعیین کننده تعادل نشی است که الگوریتم می‌یابد. الگوریتم لمکه-هاوسون معادل رویکرد مبتنی بر هوموتوپی زیر است. بازیِ G را اینگونه تغییر می‌دهیم که یک استراتژی خالص دلخواه مانند g را انتخاب می‌کنیم و به بازیکنی که آن استراتژی را داشت مقدار زیاد «B» را می‌پردازیم تا حتماً آن را بازی کند. در این بازی تغییر یافته، می‌دانیم که استراتژی g با احتمال ۱ به وقوع می‌پیوندد و بازیکن مقابل نیز در جواب با احتمال ۱ بهترین بازی ممکن خود را انجام می‌دهد. زنجیره‌ای از بازی را در نظر بگیرید که در آن B به طور مداوم کاهش می‌یابد و به صفر میل می‌کند. یک مسیر تعادل نش وجود دارد که تعادل نش منحصربه‌فرد بازی جدید را به تعادلی در بازی اصلی G می‌رساند. استراتژی خالص انتخاب شدهٔ g برای دریافت جایزهٔ B، به برچسبی که در ابتدا رها می‌شود بستگی داردP. J-J. Herings and R. Peeters (2010). "Homotopy methods to compute equilibria in game theory".  "Economic Theory" 42 (1): 119–156.  doi:10.1007/s00199-009-0441-5..
در حالی که این الگوریتم در عمل بهینه و کارآمد است، در بدترین حالت تعداد عملیات محوری لازم ممکن است تابعی نمایی از تعداد تمام استراتژی‌های خالص بازی باشدR. Savani and B. von Stengel (2006). "Hard-to-Solve Bimatrix Games".  "Econometrica" 74 (2): 397–429.  doi:10.1111/j.1468-0262.2006.00667.x.. متعاقباً نشان داده شده است که یافتن هر جوابی که با الگوریتم لمکه-هاوسون بدست می‌آید PSPACE-complete می‌باشدP.W. Goldberg, C.H. Papadimitriou and R. Savani (2011). "The Complexity of the Homotopy Method, Equilibrium Selection, and Lemke–Howson Solutions". Proc. 52nd FOCS. pp.  67–76.  doi:10.1109/FOCS.2011.26..
گروه هوانوردی داسو یک شرکت هواپیماسازی فرانسوی تولیدکننده هواپیماهای نظامی و هواپیماهای جت سفارشی و شخصی است که از زیرمجموعه‌های گروه صنعتی داسو محسوب می‌شود. مارسل داسو مهندس فرانسوی و از مخترعان علمی هواپیما در سال ۱۹۲۹ این شرکت هواپیماسازی را تأسیس کرد. داسو تنها شرکت هوانوردی دنیاست که هنوز در مالکیت خانواده بنیانگذار آن قرار دارد و نام آن‌ها هنوز بر روی آن مانده‌است. دفتر مرکزی شرکت داسو در پاریس پایتخت فرانسه قرار دارد و در بیش از ۸۳ کشور دنیا فعالیت تجاری دارد. حدود ۱۱۶۰۰ کارمند در گروه هوانوردی داسو مشغول به کار هستند که ۹۰۰۰ نفر آن در کارخانجات و دفاتر این شرکت در فرانسه کار می‌کنند.بیش از ۴۰ درصد سهام این شرکت و بیش از ۶۰ درصد حق رای شرکت در دست دولت فرانسه می باشد
از معروفترین تولیدات این شرکت هواپیماهای جنگنده سری میراژ از جمله میراژ ۳، میراژ اف۱ و میراژ-۲۰۰۰، جنگنده چند منظوره داسو رافال، جنگنده ضربتی سوپر اتاندارد و جت‌های تجاری سری فالکن از جمله داسو فالکون ۱۰ , داسو فالکون ۲۰ , داسو فالکون ۵۰ , داسو فالکون ۹۰۰ , داسو فالکون ۲۰۰۰ , داسو فالکون ۷ایکس هستند.
Wikipedia contributors, "Dassault_Aviation," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed December 21, 2009).
مسائل هیلبرت شامل بیست و سه سؤال ریاضی است که در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضی‌دان آلمانی دیوید هیلبرت منتشر شد. مسائل همگی در آن زمان حل نشده بودند و بعضی از آن‌ها هنوز هم حل نشده‌اند. این مسائل تأثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند. هیلبرت ۱۰ تا از این سؤالات (۱ ،۲ ،۶ ،۷ ،۸ ،۱۳ ،۱۶ ،۱۹ ،۲۱ و ۲۲) را در کنگره جهانی ریاضیدانان، در هشتم اوت در سوربن پاریس ارائه کرد. لیست کاملی از ۲۳ سؤال بعدها در مجلهٔ انجمن ریاضی آمریکا عمدتاً با ترجمهٔ انگلیسی ماری فرانسیس وینستون نیوسون آمد.David Hilbert, , "Bulletin of the American Mathematical Society", vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437-479. Earlier publications (in the original German) appeared in "Göttinger Nachrichten", 1900, pp. 253-297, and "Archiv der Mathematik und Physik", 3dser. , vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237.
مسائل هیلبرت از لحاظ محتوا و دقت متفاوت هستند. بعضی از آن‌ها مانند سؤال سوم (احتمالاً راحت‌ترین سؤال برای درک توسط غیرمتخصص‌ها و اولین سؤال حل شده از بین مسائل) یا سؤال مشهور هشتم (فرضیهٔ ریمان)، به اندازه‌ای دقیق تعریف شده‌اند که جوابی روشن برای رد یا قبولشان وجود دارد. مسائل دیگری (مانند مسئلهٔ ۵) وجود دارند که متخصصان به تفسیری واحد از مسئله رسیده‌اند و پاسخی نیز برای آن تفسیر ارائه شده ولی به نظر می‌رسد هنوز بخشی از مسئله که شاید مورد نظر هیلبرت نیز بوده بدون حل باقی‌مانده‌است. گاهی بیان هیلبرت به اندازه‌ای دقیق نیست که مسئله مشخصی را مشخص کند ولی باعث تعریف مسائل مشخصی در حیطهٔ مورد نظر شده‌است. برای مثال بسیاری از دانشمندان حوزهٔ نظریهٔ اعداد احتمالاً سؤال ۹ام را اشاره‌ای به تناظر Langland به نمایندگی از گروه گالوایی مطلق یک میدان عددی می‌دانند. مسائل دیگری (مانند مسئله ۱۱ام و ۱۶ام) مورد توجه رشته‌های فرعی در حال پیشرفت ریاضی مانند نظریه فرم‌های درجه‌دوم و خم‌های جبری حقیقی قرار گرفته‌اند.
مسائل ۶ام و ۴ام نه تنها هنوز حل نشده‌اند بلکه با توجه به استانداردهای جدید قابل حل نیستند. مسئلهٔ ششم، ساختاری اصول‌مند برای فیزیک می‌خواست، که با توجه به پیشرفت‌های قرن بیستم فیزیک (از جمله اینکه به عنوان شاخه‌ای مستقل از ریاضی شناخته شد) به نظر می‌رسد دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. همچنین سؤال چهارم که ساختار هندسه را در نظر داشت به نظر می‌رسد که دیگر جواب قطعی ندارد.
بیست‌ویک مسئلهٔ دیگر همگی مورد توجه زیاد ریاضی‌دانان قرار گرفتند و کار روی آن‌ها اهمیت زیادی داشت به گونه‌ای که پائول کوهن برای کارش روی مسئلهٔ اول در سال ۱۹۶۶ و ماتیاسویچ برای ارائهٔ پاسخ منفی سؤال دهم (ادامهٔ کار دیویس، پوتنام، رابینسون) در سال ۱۹۷۰ مدال فیلد گرفتند، و اثبات تقیض راه حل مسئلهٔ دهم در دههٔ ۱۹۷۰ توسط ماتیاسویچ نیز فیلد را به خود اختصاص داد. جنبه‌های این مسائل همچنان یکی از مورد علاقه‌ترین زمینه‌های تحقیق امروزی است.
بعضی از مسائل هیلبرت به گونه‌ای عجیب یا حتی اذیت‌کننده برای هیلبرت حل شده‌اند. هیلبرت پیرو فرگه و راسل به دنبال تعریف منطقی با استفاده از سیستم فرمال، یعنی اثبات‌هایی متناهی از اصول موضوعهٔ پذیرفته‌شده، برای ریاضیات بود. یکی از مسائل هیلبرت (مسئلهٔ دوم) در واقع خواستار اثباتی متناهی برای استحکام اصول موضوعهٔ منطق است. به هر حال تئوری عدم کمال دوم گودل با دقت نشان می‌دهد که می‌توان ثابت کرد که چنین اثبات متناهی برای استحکام منطق غیرقابل ارائه است. هیلبرت ۱۲ سال بعد از گودل زندگی کرد ولی به نظر نمی‌رسد جواب رسمی به کارهای گودل نوشته باشد. بدون شک کارهای گودل بر روی کل ریاضیات (و نه تنها منطق) بسیار حائز اهمیت است هر چند که باعث حل شدن عجیب و شاید ناراحت‌کنندهٔ یکی از سؤالات هیلبرت شد.
مسئلهٔ دهم هیلبرت نمی‌پرسد که آیا الگوریتمی برای حل معادلهٔ دیوفانتی وجود دارد یا نه. بلکه ساختار چنین الگوریتمی را مورد نظر دارد. «ارائهٔ پروسه‌ای که با انجام متنهای عمل بتوان معین کرد که آیا یک معادله در اعداد گویا قابل حل است یا خیر.» حل این مسئله که نشان می‌داد چنین الگوریتمی وجود ندارد برای وی بسیار عجیب بود.
با توجه به نظر وی که هر مسئلهٔ ریاضی حتماً راه‌حلی دارد او این اجازه را داد که راهحل مسئله اثبات این باشد که حل مسئله اصلی امکان‌پذیر نیست. مشهور است که او بیان کرده مهم این است که آیا راه‌حلی وجود دارد یا نه؛ و او عقیده داشت که ما همواره می‌توانیم این نکته را بفهمیم؛ یعنی در ریاضیات گزارهٔ دارای ابهام (گزاره‌ای که هرگز ارزش درستی آن معلوم نشود) وجود ندارد. واضح نیست که آیا او پاسخ سؤال دهم را دارای ابهام تلقی کرده‌است یا نه: آنچه که ما اثبات نمی‌کنیم که مسئله پاسخ طبیعی ندارد بلکه تنها می‌توانیم بفهمیم که آیا مسئله در حالت کلی دارای جواب است یا خیر.
از سوی دیگر وضعیت مسئلهٔ اول و دوم پیچیده‌تر است. هیچ اتفاق نظر واضح ریاضی وجود ندارد که آیا نتایج گودل (در مورد سؤال دوم) یا گودل و کوهن (در مورد سؤال اول) جواب منفی قطعی به مسئله می‌دهند یا نه. از آنجایی که این راه‌حل‌ها به شکل خاصی از سؤال جواب می‌دهند و ممکن این شکل‌بندی تنها شکل بندی موجود برای این دو مسئله نباشد.
هیلبرت در واقع ۲۴ مسئله در لیستش آورده بود ولی از انتشار سؤال بیست‌وچهارم جلوگیری کرده بود. مسئله بیست‌وچهارم (ملاکی برای سادگی در نظریهٔ اثبات) توسط رودیگر تیله تاریخ‌دان آلمانی از دست‌نوشته‌های هیلبرت به دست آمد.
از سال ۱۹۰۰ ریاضیدانان و مراکز ریاضی لیست‌هایی از مسائل را منتشر می‌کردند ولی این لیست‌ها به اندازهٔ مسائل هیلبرت تأثیر نداشت و برای ریاضی‌دانان کار ایجاد نمی‌کرد!
یکی از موارد استثنای این لیست‌ها سه حدسی بودند که توسط آندره وِیل در اواخر دههٔ چهل میلادی ارائه شد (حدس‌های وِیل). حدس‌های ویل در زمینهٔ هندسهٔ جبری و نظریهٔ اعداد و ارتباط بین این دو بسیار مهم بودند. حدس اول توسط برنارد دیوُرک اثبات شد و اثباتی کاملاً متفاوت برای حدس اول و دوم توسط الکساندر گروتندیک با استفاده از همریختی مرتبهٔ اول ارائه شد. آخرین و عمیق‌ترین حدس وِیل توسط پییِر دلین! اثبات شد. هر دوی گروتندیک و دلین! مدال فیلدز گرفتند؛ ولی حدس‌های ویل در زمینهٔ خود به اندازهٔ یک سؤال هیلبرت اهمیت دارند و ویل هرگز آن‌ها را برنامه‌ای برای ریاضیات نخواند. این کمی طعنه‌آمیز است زیرا به اقرار بسیاری ویل ریاضی‌دان دهه‌های چهل و پنجاه میلادی بود که در شاخه‌های مختلف ریاضی نظری وارد شد و در گسترش آن‌ها اهمیت داشت و به بهترین نحو نقش هیلبرت را در آن برهه از زمان بازی کرد. پال اردوش به خاطر طرح صدها بلکه هزاران سؤال ریاضی مشهور است. بعضی از سؤالات وی عمیق هستند. اردوش برای مسائلش بسته به سختی پیش‌بینی شده‌اش جایزه‌ای در نظر می‌گرفت. پایان هزارهٔ دوم که مصادف با صدمین سالگرد انتشار مسائل هیلبرت بود زمان طبیعی مناسبی برای ارائهٔ مجموعهٔ جدید مسائل هیلبرت به‌شمار می‌رفت. چند تن از ریاضی‌دانان از جمله استیو اسمیل، برندهٔ مدال فیلدز درخواست ولادیمیر آرنولد را پذیرفت و لیستی شامل ۱۸ مسئله را پیشنهاد داد. جامعهٔ ریاضی اقبال چندانی به مسائل اسمیل نشان نداد و هنوز روشن نیست این مسائل چقدر مورد توجه ریاضی‌دانان قرار گیرند. حداقل در جریان اصلی جامعه متناظر مسائل هیلبرت برای قرن بیست‌ویکم لیستی از هفت مسئله جایزهٔ هزاره است که توسط مؤسسهٔ ریاضی کلِی در سال ۲۰۰۰ انتخاب شدند. برخلاف مسائل هیلبرت که جایزهٔ اصلی آن‌ها تحسین هیلبرت و جامعهٔ ریاضی بود، هر سؤال به اندازهٔ یک میلیون دلار جایزه دارد. مانند سؤالات هیلبرت یکی از مسائل جایزه هزاره (حدس پوانکاره) نیز تقریباً با فاصلهٔ اندکی از زمان انتشار حل شد.
حدس ریمان که هم در هر سه لیست هیلبرت، اسمیل و جایزهٔ هزاره -حتی شبیه هندسه‌ای آن در حدس‌های ویل- آمده‌است. از چنان اهمیتی برخوردار است که هنوز هم ریاضی‌دانان با آن درگیر هستند و بسیاری از متخصصین عقیده دارند که این مسئله تا قرن‌ها در لیست مسائل خواهد آمد. هیلبرت خود اعلام کرده: "اگر از یک خواب هزاران ساله بیدار شوم اولین سؤالم این خواهد بود که آیا حدس ریمان اثبات شده‌است؟"Mathematical mysteries: the beauty and magic of numbers
By Calvin C. Clawson, page 258
در سال ۲۰۰۸ دارپا لیست ۲۳تایی خود از مسائل ریاضی را اعلام کرد و امید داشت که این لیست به پیشرفت‌های بزرگی در ریاضیات منجر شود. «در نتیجه توانایی‌های علمی و فنی دپارتمان دفاعی را تقویت می‌کند.»
برای مسائل ۳، ۷، ۱۰، ۱۱، ۱۳، ۱۴، ۱۷، ۱۹، ۲۰و ۲۱ که به صورت واضحی فرموله شده‌اند، راه‌حل‌هایی پیدا شده‌اند که توسط اجتماع ریاضی قبول شده‌اند؛ ولی برای مسائل ۱، ۲، ۵، ۹، ۱۵، ۱۸+و ۲۲ راه‌حل‌هایی وجود دارد که مورد پذیرش بخشی قرار گرفته‌اند البته بحث‌هایی وجود دارد که آیا آن راه‌حل‌ها مسائل را حل کرده‌اند یا نه.
علامت + در بالای ۱۸ برای این است که راه حل حدس کپلر یک اثبات به کمک کامپیوتر است. اشاره‌ای نامربوط و تا حدی بحث‌برانگیز به مسئلهٔ هیلبرت، به خاطر این که خواننده انسانی نمی‌تواند در زمانی منطقی اثباتی برای آن بیابد.
سؤالات ۱۶، ۸ (حدس ریمان) و ۱۲ حل نشده‌اند. در این طبقه‌بندی سؤالات ۴، ۱۶ و ۲۳ به اندازه‌ای مبهم هستند که حل شده محسوب می‌شوند. مسئلهٔ ۲۴ که بعداً ارائه شد نیز در این دسته قرار می‌گیرد. سؤال ۶ نیز بیشتر سؤالی فیزیکی محسوب می‌شود تا ریاضی.
۲۳ مسئلهٔ هیلبرت به شرح زیر است:
چاردرخت یک داده ساختار درختی است که در آن هر گره داخلی دقیقاً چهار فرزند دارد. این داده‌ساختار معمولاً برای افراز یک فضای دوبعدی به صورت بازگشتی به تعدادی ناحیه (چارک) استفاده می‌شود. این ناحیه‌ها ممکن است مربع، مستطیل یا به هر شکل دیگری باشند. در سال ۱۹۷۴، Raphael Finkel و J.L. Bentley این داده‌ساختار را quadtree نامیدند. چنین افرازی Q-tree نیز خوانده می‌شود. همۀ انواع چاردرخت، در تعدادی ویژگی مشترکند:
چاردرخت‌ها را می‌توان بر اساس نوع داده‌ای که نمایش می‌دهند (مثل سطح، نقطه، خط یا منحنی) تقسیم‌بندی کرد. یک نحوۀ دیگر تقسیم‌بندی بر این اساس است که آیا شکل درخت ایجادشده مستقل از ترتیب پردازش داده‌ها است یا خیر. تعدادی از چاردرخت‌های متداول عبارتند از:
این نوع چاردرخت، نمایشگر افرازی از یک صفحۀ دوبعدی است که در آن افراز، صفحۀ دوبعدی به چهار ناحیۀ برابر افراز شده و برخی ناحیه‌ها خود به چهار زیرناحیۀ برابر افراز شده‌اند و به همین ترتیب فرایند افراز می‌تواند ادامه پیدا کند. در چنین افرازی، هر گره، یا چهار فرزند دارد یا فرزندی ندارد (برگ است). هر برگ از درخت مربوط به یکی از زیر‌ناحیه‌‌های افراز است و اطلاعات آن زیرناحیه در آن برگ ذخیره می‌شود. چاردرخت ناحیه‌ای یک نوع ترای است.
می‌توان از یک چاردرخت ناحیه‌ای با ارتفاع n برای نمایش یک تصویر با ابعاد 2n × 2n پیکسل (که مقدار هر پیکسل ۰ یا ۱ است) استفاده کرد. ریشۀ درخت، نمایشگر کل تصویر است. هر ناحیه‌ای که مقدار همۀ پیکسل‌هایش با هم برابر نیست، به ۴ زیرناحیه تقسیم می‌شود. در نهایت هر برگ از درخت، مجموعه‌ای مربع‌شکل از تعدادی پیکسل را نشان می‌دهد که همگی ۰ یا همگی ۱ هستند.
اگر چاردرخت ناحیه‌ای برای نمایش مجموعه‌ای از نقاط (مثلاً تعدادی شهر که با طول و عرض جغرافیایی مشخص شده‌اند) استفاده شود، ناحیه‌ها تا جایی تقسیم می‌شوند که هر زیرناحیه حداکثر یک نقطه را شامل شود.
چاردرخت نقطه‌ای تعمیمی از درخت دودویی است. از یک درخت دودویی می‌توان برای ذخیره تعدادی عدد (از فضای یک‌بعدی) استفاده کرد. ولی از چاردرخت نقطه‌ای می‌توان برای ذخیره تعدادی نقطه (دوتایی مرتب) از فضای دوبعدی استفاده کرد. این درخت، همۀ ویژگی‌های چاردرخت را دارد و یک درخت واقعی است. یعنی گره‌های درخت، خود نقاطی هستند که می‌خواهیم نمایش دهیم (برخلاف چاردرخت ناحیه‌ای، وقتی که برای نمایش تعدادی نقطه مورد استفاده قرار بگیرد). شکل ناحیه‌های ایجاد شده به ترتیب اضافه کردن نقاط بستگی دارد (درست مثل درخت دودویی جستجو). چاردرخت نقطه‌ای، معمولاً برای مقایسه بین مجموعه‌ای از نقاط در صفحۀ دوبعدی بسیار بهینه (معمولاً از O(log n)) عمل می‌کند.
در یک چاردرخت نقطه‌ای، گره‌ها مشابه گره‌های درخت دودویی هستند. با این تفاوت که در این‌جا هر گره به جای دو اشاره‌گر «راست» و «چپ» درخت دودویی، چهار اشاره‌گر دارد (به ازای هر زیرناحیه یک اشاره‌گر). همچنین کلید عناصر ذخیره‌شده به دو قسمت تقسیم می‌شود (نشان‌دهنده طول و عرض نقاط). با این توضیحات، در هر گره از درخت این اطلاعات وجود دارد:
این چاردرخت برای ذخیرۀ خط و منحنی (به جای نقطه) استفاده می‌شود. یک منحنی با تقسیمات زیاد ناحیه‌ها تقریب زده می‌شود. این کار ممکن است باعث شود که یک درخت بسیار نامتوازن ایجاد شود که با هدف کاراتر شدن دسترسی‌ها تناقض دارد.
این چاردرخت (PMQuadtree) نوعی چاردرخت است که برای ذخیرۀ مجموعه‌ای از چندضلعی‌ها استفاده می‌شود که ممکن است تبه‌گون باشندHanan Samet and Robert Webber. "Storing a Collection of Polygons Using
Quadtrees". "ACM Transactions on Graphics" July 1985: 182-222. "InfoLAB". Web. 23 March 2012 (یعنی یک ضلع مجزا یا یک رأس مجزا در میانشان باشد). سه ردۀ اصلی از PMQuadtree ها وجود دارد که به خاطر نوع داده‌هایی که در گره‌های سیاه ذخیره می‌شود تفاوت دارند. چاردرخت PM3 می‌تواند تعدادی ضلع نامتقاطع و حداکثر یک نقطه را ذخیره کند. چاردرخت PM2 همانند PM3 است با این تفاوت که همه ضلع‌ها باید نقطۀ پایانی یکسان داشته باشند. چاردرخت PM1 نیز شبیه PM2 است. ولی گره‌های سیاه می‌توانند یک نقطه و ضلع‌های متصل به آن یا فقط تعدادی ضلع که در یک نقطه مشترک هستند را در خود ذخیره کنند، ولی نمی‌توان یک نقطه و تعدادی ضلع که در آن نقطه مشترک نیستند را در گره ذخیره کرد.
چاردرخت، معادل دوبعدی هشت‌درخت است.
این شبه کد، روشی برای پیاده‌سازی یک چاردرخت است که فقط نقاط را ذخیره می‌کند. پیاده‌سازی‌های دیگری نیز برای این کار وجود دارد.
در این پیاده‌سازی، از این ساختارها استفاده شده است:
// Simple coordinate object to represent points and vectors
// Axis-aligned bounding box with half dimension and center
این کلاس، ریشۀ یک چاردرخت را (که کل چاردرخت را مشخص می‌کند) ذخیره می‌کند.
این تابع یک نقطه را در چارک (زیرناحیه) مناسب از چاردرخت ذخیره می‌کند و در صورت نیاز ناحیه را تکه می‌کند.
این تابع، همۀ نقاطی که در یک بازه قرار دارند را پیدا می‌کند.
در نظریۀ پیچیدگی و نظریۀ محاسبه‌پذیری، ماشین اوراکل (یا ماشین سروش) یک ماشین انتزاعی برای مطالعۀ مسائل تصمیم است. می‌توان آن‌را به عنوان ماشین تورینگ همراه با یک جعبۀ سیاه ، که به آن اوراکل گفته می‌شود، در نظر گرفت که قادر به تصمیم‌گیریِ مسائل تصمیم خاصّی در یک تک‌اقدام است. مسئله می‌تواند از هر ردۀ پیچیدگی باشد. حتّی مسائل تصمیم‌ناپذیر، مثلِ مسئلۀ توقّف، می‌توانند استفاده شوند.
ماشین اوراکل را می‌توان یک ماشین تورینگ متصّل به یک اوراکل تصوّر کرد. اوراکل، در این مبحث، موجودیّتی قادر به حل یک سری مسائل است، که به عنوان مثال می‌تواند مسئلۀ تصمیم یا مسئلۀ تابع باشد. مسئله ممکن است محاسبه‌پذیر نباشد؛ اوراکل یک ماشین تورینگ یا برنامۀ کامپیوتری تلقّی نمی‌شود. اوراکل به طورِ ساده یک «جعبۀ سیاه» است که قادر به تولید پاسخی برای هر نمونه از یک مسئلۀ محاسباتی است:
یک ماشین اوراکل می‌تواند تمام اعمال معمول یک ماشین تورینگ را به انجام برساند، و هم‌چنین می‌تواند از اوراکل برای به دست آوردن پاسخی برای هر نمونه از مسئلۀ محاسباتی برای آن اوراکل بهره ببرد. برای مثال اگر مسئله یک مسئلۀ تصمیم بر روی یک مجموعۀ "A از اعداد طبیعی باشد، ماشین اوراکل یک عدد طبیعی به اوراکل عرضه می‌دارد، و اوراکل بسته به این که آن عدد عضو 'A' باشد با «بله» یا «نه» پاسخ می‌دهد.
تعاریف هم‌ارز متعدّدی برای ماشین تورینگ اوراکل وجود دارد، که در پایین در مورد آن‌ها بحث شده‌است. موردی که این‌جا ارائه شده‌است از van Melkebeek است (۲۰۰۰:۴۳).
یک ماشین اوراکل مانند یک ماشین تورینگ شامل اجزای زیر است:
علاوه بر این اجزا، یک ماشین اوراکل شامل اجزای زیر نیز هست:
گاه‌به‌گاه، ماشین اوراکل ممکن است وارد حالت "پرسش" شود. هنگام این رخ‌داد، اعمال زیر در یک مرحلۀ محاسباتی انجام می‌شوند:
بنابراین تأثیر تغییر به حالت "پرسش"، گرفتن پاسخ، در یک مرحله، به نمونه‌ای از مسئله است که بر روی نوار اوراکل نوشته شده‌است.
علاوه بر تعریفی که در بالا ارائه شد تعاریف جای‌گزینِ دیگری نیز وجود دارند. تعدادی از آن‌ها خاصِّ موردی هستند که اوراکِل یک مسئلۀ تصمیم را حل می‌کند. در این مورد:
این تعاریف از منظر محاسبه‌پذیری تورینگ معادل هستند: تابعی که تحت اوراکِل یکی از این تعاریف، اوراکِل‌محاسبه‌پذیر باشد، تحت هر دیگری نیز اوراکِل‌محاسبه‌پذیر است. هرچند از منظر پیچیدگی محاسباتی، این تعاریف معادل نیستند. تعریفی مانند آن‌چه که van Melkebeek ارائه داده‌بود، که در آن از نوار اوراکِلی که ممکن است الفبای خود را داشته باشد استفاده می‌شود، در حالت عمومی لازم است.
کلاس پیچیدگی مسائل تصمیمِ حل‌پذیر توسّط الگوریتمی در کلاس A با استفاده از اوراکِلی برای زبان AL، L نامیده می‌شود. به‌طور مثال، PSAT کلاس مسائل حل‌پذیر در زمان چندجمله‌ای توسّط یک ماشین تورینگ قطعی با اوراکلی برای مسئلۀ ارضاپذیری بولی (SAT) است. نمادگذاری AB را می‌توان برای مجموعۀ زبان‌های B (یا کلاس پیچیدگی B)، با استفاده از تعریف زیر، تعمیم داد:
زمانی که یک زبانِ L برای کلاس B کامل باشد، آن‌گاه AL=AB در صورتی که ماشین‌های درون A بتوانند تقلیل‌های استفاده‌شده در تعریف کامل بودن کلاس B را اجرا نمایند. به‌طور خاص، از آن‌جایی که مسئلۀ ارضاپذیریِ بولی نسبت به تقلیل‌های زمان چندجمله‌ای ان‌پی کامل است، PSAT=PNP. هرچند، اگر A=DLOGTIME (کلاس مسائل حل‌پذیر در زمان لگاریتمی توسّط ماشین تورینگ قطعی)، آن‌گاه ASAT ممکن است برابر با ANP نباشد.
واضح است که NP ⊆ PNP، ولی این پرسش که آیا NP، PNP، NPNP و P برابر هستند یا نه، در بهترین حالت عملی باقی می‌مانند. باور بر تفاوت آن‌هاست و این باعث تعریف سلسله‌مراتب چندجمله‌ای می‌شود.
ماشین‌های اوراکل، با در نظر گرفتن رابطۀ بین PA و NPA برای یک اوراکل A، برای بررسی رابطۀ بین کلاس‌های پیچیدگی P و NP مفید هستند. به‌طور خاص، نشان داده شده‌است که وجود دارند زبان‌های A و B، به قسمی که PA=NPA و (Gill PB≠NPB، Baker و Solovay 1975). این حقیقت که پرسش P = NP از هر دو جهت به صورت نسبی است، به این دلیل است که پاسخ به این پرسش دشوار است، زیرا تکنیک اثباتی که به صورت "نسبی" انجام می‌گیرد (بدون تأثیر گرفتن از اضافه شدن یک اوراکل) نمی‌تواند به پرسش P = NP پاسخ دهد. بسیاری از تکنیک‌های اثبات از نسبی سازی استفاده می‌کنند.
در نظر گرفتن حالتی که یک اوراکل از میان تمام اوراکل‌های ممکن(یک مجموعه بینهایت) به صورت تصادفی انتخاب شود، قابل توجه است. در این حالت نشان داده شده‌است که با احتمال یک، PA≠NPA (Bennet و Gill 1981). هنگامی که پاسخ سوالی برای همۀ اوراکل‌ها درست باشد، در آن صورت پاسخ پرسش برای یک اوراکل تصادفی نیز درست است. این انتخاب اصطلاحات با دانستن این حقیقت که اوراکل‌های تصادفی یک عبارت را فقط با احتمال 1 یا 0 تأیید می‌کنند، قابل توجیه است. (این از روی قانون یک‌صفر Kolmogorov بدست می‌آید.) به عنوان یک گواه P≠NP. یک عبارت ممکن است همزمان برای یک اوراکل تصادفی درست و برای یک ماشین تورینگ عادی غلط باشد؛ برای مثال برای اوراکل‌های A، IPA≠PSPACEA، در حالی که IP = PSPACE (Chang et al، 1994).
ممکن است که وجود اوراکلی را فرض کرد که قادر به محاسبۀ یک تابع محاسبه‌ناپذیر باشد، مانند پاسخ به مسئلۀ توقّف یا مسائل مشابه دیگر. ماشینی با چنین اوراکلی یک فراکامپیوتر است.
به طرز جالبی، پارادوکس پایان‌پذیری هنوز در مورد این ماشین‌ها نیز صدق می‌کند؛ با وجود اینکه این ماشین‌ها می‌توانند تعیین کنند که آیا ماشین تورینگ خاصی با ورودی‌های خاصی به حالت پایان خواهد رسید، به‌طور کلی، آن‌ها نمی‌توانند تعیین کنند که آیا ماشین‌های معادل خودشان به حالت پایان خواهند رسید. این حقیقت منجر به ایجاد سلسله مراتبی از ماشین‌ها به نام سلسله مراتب محاسباتی می‌شود، که هر رده دارای اوراکل پایان‌پذیری قوی‌تر و مسئلۀ پایان‌پذیری قوی‌تری است.
در رمزنگاری، اوراکل‌ها برای استدلال در مورد امنیت قراردادهای رمزنگاری که در آن‌ها یک تابع درهم‌ساز استفاده شده‌است، به کار می‌رود. یک کاهش امنیت برای یک قرارداد در حالتی داده می‌شود که، به جای یک تابع درهم‌ساز، یک اوراکل تصادفی به هر درخواست به صورت تصادفی ولی سازگار پاسخ می‌دهد؛ فرض می‌شود که اوراکل در دسترس همۀ طرف‌ها، از جمله حمله‌کننده قرار دارد، همان‌گونه که تابع درهم‌ساز در دسترس همه می‌باشد. چنین اثباتی نشان می‌دهد که مگر در حالتی که حمله‌کننده مسئلۀ دشوار را در قلب کاهش امنیت حل کند، حمله‌کننده باید از خواص جالب توجه تابع درهم‌ساز برای شکستن قرارداد استفاده کند؛ آن‌ها نمی‌توانند با تابع درهم‌ساز به عنوان یک جعبۀ سیاه برخورد کنند (به عنوان یک اوراکل تصادفی).
صفحۀ ماشین اوراکِل در ویکی‌پدیایِ انگلیسی
شاخه و برش (Branch and cut) روشی است در بهینه سازی ترکیبیاتی برای حل مسائل برنامه‌های خطی عدد صحیح، این مسائل، برنامه نویسی خطی هستند که در آن‌ها برخی یا همهٔ مجهولات به مقادیر اعداد صحیح محدود‌اند. شاخه و برش شامل اجرای یک الگوریتم شاخه و حد، و استفاده از سطح برش به منظور محدود کردن راحتی relaxation در برنامه‌نویسی خطی است. لازم به ذکر است که اگر برش‌ها تنها به منظور محدود کردن راحتی اولیه برنامه نویسی خطی مورد استفاده قرار گیرند؛ الگوریتم برش و شاخه نامیده می‌شود.
این روش برنامه‌های خطی بدون قید اعداد صحیح را با استفاده از الگوریتم غیر مرکب معمولی حل می‌کند. زمانی که یک راه حل بهینه پیدا شد، و این راه حل یک مقدار غیر صحیح برای متغیری که قرار بود مقدارش صحیح باشد داشت؛ برای یافتن قیود خطی بیشتر که توسط تمام نقاط صحیح ممکن ارضا شوند ولی به وسیله جواب کسری حاضر نقض شوند ممکن است از الگوریتم سطح برش استفاده شود. این نامساوی‌ها ممکن است به برنامه خطی اضافه شوند، به طوری که دوباره حل کردن آن به جوابی متفاوت منجر خواهد شد که اگر امیدوار باشیم «کمتر کسری» است.
در این نقطه، بخش شاخه و حد الگوریتم آغاز شده‌است. مسئله به چندین (معمولاً دو) نسخه تقسیم می‌شود. برنامه‌های خطی جدید به وسیلهٔ روش غیر مرکب حل می‌شوند و فرایند تکرار می‌شود. در طول فرایند شاخه و حد، جواب‌های غیر انتگرالی برای، راحتی برنامه نویسی خطی، به عنوان حد بالا به کار گرفته می‌شوند و جواب‌های انتگرالی به عنوان حد پایین. یک گره می‌تواند هرس شود اگر یک حد بالا، پایین‌تر از حد پایین موجود باشد. همچنین در هنگام حل راحتی lp ممکن است سطح برش اضافی تولید گردد، که یا برش‌های سراسری هستند به عنوان مثال معتبر برای تمام جواب‌های صحیح، ویا برش‌های محلی، به آن معنی که آن‌ها به وسیلهٔ تمامی جوابهایی که قیود جانبی زیر درخت شاخه و حد در نظر گرفته شدهٔ کنونی را برآورده می‌کنند، ارضا می‌شوند.
الگوریتم به صورت زیر خلاصه شده‌است. الگوریتم فرض می‌کند ILP (برنامه‌نویسی منطقی استقرایی) یک مسئلهٔ بیشینه سازی است.
یک مرحلهٔ مهم در الگوریتم شاخه و حد مرحلهٔ شاخه شدن است. در این مرحله انواع مختلفی از شاخه شدن‌های ابتکاری وجود دارد که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد. تمامی استراتژی‌های شاخه شدنی که در زیر توضیح داده شده‌اند شامل موردی هستند به نام شاخه شدن بر روی متغیر. شاخه شدن بر روی متغیر شامل انتخاب یک متغیر، formula_14، و مقدار کسری formula_15 برای جواب راحتی lp کنونی و سپس اضافه کردن قیود formula_16 و formula_17 است.
همچنین تعداد زیادی از گونه‌های این استراتژی‌های شاخه شدن وجود دارد. به عنوان مثال زمانی که شاخه شدن شبه هزینه نسبتاً بی ارزش است ابتدا از شاخه شدن قوی استفاده کرد سپس بعداً از شاخه شدن شبه هزینه استفاده کرد زمانی که به اندازهٔ کافی تاریخچهٔ شاخه کردن موجود باشد تا این روش مؤثر واقع شود.
در علم حساب و برنامه نویسی کامپیوتر الگوریتم تعمیم یافته اقلیدس تعمیمی بر الگوریتم اقلیدس است که در کنار محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح a,b ضرایب قضیه بزو را هم محاسبه می‌کند(x,y اعداد صحیح اند):
همچنین می‌توان بدون هزینهٔ اضافی خارج قسمت a,b را با بزرگترین مقسوم علیه مشترک محاسبه کرد.
الگوریتم تعمیم یافته اقلیدس به الگوریتمی بسیار مشابه به الگوریتمی برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای و ضرایب قضیه بزو از دو چندجمله‌ای با یک متغیر، ارجاع دارد.
الگوریتم تعمیم یافته اقلیدس زمانی که a و b نسبت به هم اولند مفید تر است. چون x برابر وارون ضربی پیمانه‌ای a به پیمانه b و y برابر وارون ضربی پیمانه‌ای b به پیمانه a است. در الگوریتم اقلیدس برای چندجمله‌ای می‌توان وارون ضربی را در بسط‌های میدان جبری محاسبه کرد. که از آن نتیجه می‌شود هردو نوع الگوریتم اقلیدسی تعمیم یافته (معمولی و چندجمله‌ای) کاربردی گسترده در رمزنگاری دارند. به خصوص در محاسبه وارون ضربی پیمانه‌ای در روش RSA یک گام ضروریست.
در الگوریتم اقلیدسی معمولی فقط باقی‌مانده‌ها نگاه داشته می‌شوند و خارج قسمت استفاده نمی‌شود. اما در الگوریتم تعمیم یافته خارج قسمت‌های متوالی استفاده می‌شوند. به‌طور دقیقتر در الگوریتم تعمیم یافته که a، b را به عنوان ورودی می‌گیرد، دنبالهٔ  formula_2 از خارج قسمت‌ها و دنبالهٔ  formula_3 از باقی‌مانده‌ها را شامل می‌شود.
مهمترین ویژگی تقسیم اقلیدسی نامساوی سمت راست است که  formula_5 را متفاوت از  formula_6 و formula_7 تعریف می‌کند. وقتی باقی‌مانده به صفر رسید محاسبه متوقف می‌شود، بزرگترین مقسوم علیه مشترک آخرین باقی‌مانده غیر صفر است. الگوریتم تعمیم یافته اقلیدسی روشی مشابه دارد با این تفاوت که دو دنبالهٔ زیر نیز به آن اضافه می‌شود:
در این الگوریتم هم وقتی formula_9 میشود کار الگوریتم به اتمام می‌رسد.
formula_16 و formula_17
به علاوه اگر a و b هردو مثبت باشند داریم:
که این یعنی جفت ضرایب بزو که از این الگوریتم به دست می‌آیند یکی از کمترین جفت ضرایب بزو هستند.
جدول زیر رویه الگوریتم تعمیم یافته اقلیدسی را برای46 و240 را نشان می‌دهد. بزرگترین مقسوم علیه مشترک برابر ۲ است. محاسبه در ستون ۶ متوقف می‌شود، چون باقی‌مانده صفر می‌شود. ضرایب بزو هم در دو ستون آخر از سطر آخرند. تحقیق رابطه -9*240+47*46=2 راحت است. و سرانجام -120 و 23 بدون توجه به علامت برابر تقسیم ۲۴۰ و ۴۶ بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک یعنی ۲ هستند
چون  formula_19 و دنبالهٔ باقی‌مانده‌ها یک دنبالهٔ نزولی غیر منفی است در نتیجه باید حتماً با formula_20 متوقف شود. این نشان می‌دهد که الگوریتم متوقف می‌شود و کار به اتمام می‌رسد.
چون formula_21 در نتیجه بزرگترین مقسوم علیه مشترک formula_22 و formula_23
برابر است. که از ان نتیجه می‌شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک formula_24 برابر است با بزرگترین مقسوم علیه مشترک formula_25 وهمچنین نشان می‌دهد که formula_26 بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b است که آن را d می‌نامیم.
formula_27 و formula_28  که برای i=0,1داریم: formula_29  برای هر i رابطهٔ بازگشتی خطی  برقرار است بخصوص برای i=k که formula_30 نشان میدهیم که formula_31 ضرایب بزواند.
ماتریس زیر را در نظر بگیرید
رابطهٔ بازگشی را به شکل ماتریسی می‌نویسیم
ماتریس formula_34 ماتریس واحد است و دترمینان آن برابر ۱ است. دترمینان ماتریس سمت راست برابر -1 است که نتیجه می‌شود دترمینان formula_35 برابر formula_36 است و برای حالت خاص i=k+1 داریم formula_37 که نشان می‌دهد formula_38 و formula_39 نسبت بهم اولند. رابطهٔ formula_40 که در بالا اثبات شد و لم اقلیدس نشان می‌دهد که formula_38 مقسوم علیه b و formula_39 مقسوم علیه a‌اند. چون آن‌ها نسبت بهم اولاً بدون در نظر گرفتن علامتشان برابر خارج قسمت تقسیم a و b بر d می‌شوند.
برای یک چندجمله‌ای با ضریب در یک میدان همه چیز مشابه حالت قبل است (تقسیم اقلیدسی، قضیه بزو، و تعمیم الگوریتم اقلیدس). اولین تفاوت در تقسیم اقلیدسی و الگوریتم، جایگذاری formula_43 بجای formula_44 است. بقیه مشابه حالت قبل باقی میماند.
تفاوت دوم در محدودیتی است که بر اندازهٔ ضرایب بزو که از تعمیم الگوریتم اقلیدس به دست میاید وجود دارد، که در مورد چندجمله‌ای دقیق تر است. اگر a و b دو چند جملۀ غیر صفر باشند الگوریتم تعمیم یافته (s,t) را به گونه‌ای به دست میاورد که در شرایط زیر صدق کند:
تفاوت سوم در این است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک فقط به صورت ضرب یک ثابت غیر صفر تعریف می‌شود. راه‌های مختلفی برای تعریف بزرگترین مقسوم علیه مشترک به صورت غیر مبهم وجود دارد.
در ریاضیات معمولاً به چندجمله‌ای که ب.م.م همهٔ ضریب‌هایش یک هست نیاز است. برای رسیدن به این مقصود کافیست هر خروجی را بر ضریب بزرگترین توان formula_47   تقسیم کنیم. اگر a و b نسبت به هم اول باشند در سمت راست نامساوی بزو یکی ۱ می‌شود، در غیر این صورت یکی ممکن است هر مقدار ثابت غیر صفر شود. در جبر کامپیوتر، چندجمله‌ای معمولاً ضرایب صحیح را می‌پذیرد، و این راه ساده‌سازی بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای سهولت تعداد بسیار زیادی بخش ایجاد می‌کند.
راه دوم ساده‌سازی بزرگترین مقسوم علیه مشترک در حالت چندجمله‌ای با ضرایب صحیح تقسیم بر بزرگترین عمل مشترک بین ضرایب formula_48 برای رسیدن به چندجمله‌ای اصلی (یعنی چندجمله‌ای که بزرگترین عامل مشترک ضرایبش ۱ است). اگر چند جمله‌ی‌های ورودی نسبت به هم اول باشند این نرمال‌سازی بزرگترین مقسوم علیه مشترک را یک می‌دهد. اشکال این روش محاسبه، وجود زیر مسئله‌های زیاد است که باید محاسبه و ساده شوند.
روش سوم شامل تعمیم الگوریتم subresultant pseudo-remainder sequences که مشابه تعمیم الگوریتم اقلیدسی به الگوریتم تعمیم یافته‌است. این روش این امکان را فراهم می‌کند که وقتی با چندجمله‌ای با ضرایب صحیح شروع می‌کنیم هر چندجمله‌ای که بدست میاید ضرایبش، صحیح باشد. علاوه بر این هر باقی‌مانده محاسبه شده یک چندجمله‌ای subresultant است. در حالت خاص اگر چند جمله‌ی‌های ورودی نسبت به هم اول باشند آنگاه طبق قضیه بزو می‌شود:
که formula_50 برابر resultant، a,bاست. در این فرم قضیه بزو مقسوم علیه دیده نمی‌شود. اگر همه چیز را بر resultant تقسیم کنیم قضیه کلاسیک بزو بدست می‌آید ، با یک مقسوم علیه مشترک ساده برای اعداد گویایی که در آن ظاهر می‌شوند.
برای پیاده‌سازی الگوریتمی که در بالا ذکر شد،اولاً باید توجه داشت که در هر مرحله تنها نیاز به نگهداری دو مقدار نهایی متغیرهای شاخص‌گذاری شده، هست. بنابراین برای صرفه جویی در حافظه هر متغیر شاخص‌گذاری شده باید با تنها دو متغیر جایگزین شود.
برای راحتی کار در الگوریتم زیر(و بقیهٔ الگوریتم‌ها در این مقاله) از مقداردهی موازی استفاده می‌شود.در زبانهای برنامه نویسی که از مقداردهی موازی پشتیبانی نمی‌کنند، باید اینکار را با کمک یک متغیر کمکی شبیه سازی کرد.
(old_r, r) := (r, old_r - quotient *r)
برابر هست با
prov := r;
و مشابهاً برای بقیهٔ استفاده‌ها از مقداردهی موازی هم باید چنین کاری کرد.که اینکار به کد زیر می انجامد:
function extended_gcd(a, b)
باید به این نکته توجه داشت که خارج قسمت‌های a و b در تقسیم بر ب.م.م، که خروجی این الگوریتم هست، ممکن هست علامت نادرستی داشته باشند. رفع این مشکل در انتهای محاسبات بسیار ساده هست، اما در اینجا به دلیل سادگی کد بیان نشده‌است.
مشاب‌ها اگر یکی از دو مقدار a یا b منفی و دیگری صفر باشد، ب.م.م، که خروجی این الگوریتم هست، منفی می‌شود و باید علامت خروجی تغییر کند.
الگوریتم تعمیم یافتهٔ اقلیدس وسیلهٔ اصلی برای محاسبهٔ وارون ضربی در ساختارهای پیمانه‌ای هست و اغلب در حساب پیمانه‌ای اعداد صحیح و تعمیم‌های میادین جبری به کار می‌آید.یک نمونهٔ مهم از مورد آخر میدان‌های متناهی با order غیر اول هست.
اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، حلقهٔ Z/nZ ممکن هست توسط مجموعه {0, 1, ..., n} از باقی‌مانده‌های تقسیم اقلیدسی بر n قابل شناسایی باشد،عمل جمع و ضرب همان محاسبه ی، باقی‌ماندهٔ نتیجهٔ جمع و ضرب اعداد صحیح، بر n هست.یک عضو از Z/nZ یک وارون ضربی دارد(اگر چنین باشد، به آن unit میگویند) اگر نسبت به n اول باشد.در حالت خاص اگر n اول باشد a وارون ضربی دارد،اگر مخالف صفر باشد(باقی‌مانده اش بر n).بنابراین Z/nZ یک میدان هست اگر و تنها اگر n اول باشد.
قضیه بزو بیان می‌کند که a و n نسبت به هم اولند اگر و تنها اگر اعداد صحیحی مانند s و t وجود داشته باشند که
که اگر از دوطرف بر n باقی‌مانده بگیریم:
بنابراین t یا، به‌طور دقیقتر، باقی‌ماندهٔ تقسیم t بر n، همان وارون ضربی a در پیمانهٔ n هست.
برای تطبیق دادن الگوریتم تعمیم یافتهٔ اقلیدس به نحوی که این مسئله را حل کند، باید در نظر داشته باشیم که نیازی به محاسبهٔ ضرایب بزو ی n نیست.همچنین برای اینکه نتیجه مثبت و کمتر از n باشد، باید از این موضوع که t همواره در رابطهٔ |t| < n صدق می‌کند،استفاده کرد. اگر t <0 در انتهای کار می‌توان با جمع کردن آن با n آن را مثبت کرد.این تغییرات را در شبه کد زیر آورده ایم که در آن n یک عدد صحیح بزرگتر از یک هست.
الگوریتم پیشرفتهٔ اقلیدس همچنین ابزار اصلی برای محاسبهٔ وارون ضربی در تعمیم‌های میدان جبری ساده هست.یک نمونهٔ مهم که به‌طور گسترده‌ای در رمزنگاری و نظریه کدگذاری استفاده می‌شود میدان‌های جبری با اندازه (order) غیر اول هست.
در واقع اگر p یک عدد اول باشد و q = pd، میدان با اندازه(order) q یک تعمیم سادهٔ جبری از میدان اول p عضو ، هست، که توسط یک ریشهٔ معادله چندجمله‌ای کاهش ناپذیر از درجه d ساخته شده‌است.
یک بسط سادهٔ جبری L از یک میدان K که توسط ریشه یک چندجمله‌ای کاهش ناپذیر از درجه d ساخته شده‌است، ممکن است توسط حلقهٔ خارج قسمت‌های formula_53 به‌طور یکتا شناسایی شود، و اعضایش در یک رابطهٔ یک به یک و و پوشا با چندجمله‌ای‌هایی با درجات کمتر از d هستند.عمل جمع در L همان جمع چندجمله‌ای ها است.عمل ضرب در L باقی‌ماندهٔ تقسیم اقلیدسی بر، p حاصلضرب چندجمله ای‌ها است.بنابراین برای تکمیل اعمال حسابی در L تنها کافیست نحوهٔ محاسبهٔ وارون ضربی را تعریف کنیم.که آن با استفاده از الگوریتم تعمیم یافتهٔ اقلیدسی انجام می‌شود.
این الگوریتم بسیار شبیه الگوریتمی است که در بالا برای محاسبهٔ وارون ضربی پیمانه‌ای بیان شده‌است.در اینجا دو تفاوت مهم وجود دارد:اولاً اینکه به خط آخر نیازی نیست، چون ضریب بزو همیشه یک درجه کمتر از d دارد.
دوم اینکه ب.م.م ای که بدست آمده‌است، وقتی که چندجمله‌ای‌های ورودی نسبت به هم اولند، ممکن هست هر عضو غیرصفری از K باشند، بنابراین ضریب بزو (یک چندجمله‌ای با درجهٔ مثبت) باید در وارون این عضو از K ضرب شود.
در شبه کد زیر p یک چندجمله‌ای از درجه بزرگتر از یک هست و a یک چندجمله‌ای هست.علاوه بر این div یک تابع کمکی است که خارج قسمت تقسیم اقلیدسی را حساب می‌کند.
برای مثال اگر چندجمله‌ای که برای تعریف میدان متناهی  GF(28)  بکار میرود p = x8 + x4 + x3 + x + 1 باشد و a = x6 + x4 + x + 1  عضوی باشد که وارونش مطلوب ماست، نتایج اجرای هر مرحله از الگوریتم در جدول زیر مشاهده می‌شود.با توجه به اینکه میدان با order 2n برای هر عضو z عضو -z = z  و z + z = 0را هم دارد.توجه کنید که 1 تنها عضو غیرصفری از GF(2)هست که برایش تغییرات در خط آخر شبه کد مورد نیاز نبوده‌است.
بنابراین وارون مطلوب x7 + x6 + x3 + xهست، و می‌شود با انجام عمل ضرب دو عضو در هم و گرفتن باقی‌مانده بر pبه صحت آن پی برد.
ما می‌توانیم در موردی که تعداد اعداد بیش از دو تا هست، به‌طور پشت سر هم(دو تا باهم و سپس حاصل آن‌ها با عدد بعدی) از این الگوریتم استفاده کنیم.اول باید اثبات کنیم که formula_54.برای این اثبات اگر formula_55باشد،طبق تعریف می‌توان گفت که d مقسوم علیه مشترک a و b هست.بنابراین برای یک مقدار خاص k داریمformula_56 .مشاب‌ها d مقسوم علیه c هم هست، پس برای یک مقدار خاصی ازj formula_57.اگر formula_58 با این تعریف ما از u، formula_59 اما چون d بزرگترین مقسوم علیه هستu وارون ضربی دارد.(unit هست.)
بنابراین اگر formula_60 پس مقادیر x و y وجود دارند به‌طوری‌که formula_61. بنابراین معادلهٔ نهایی به شکل : formula_62 خواهد بود.
پس اگر ما آن را با استقرا روی n عدد انجام دهیم به معادلهٔ زیر میرسیم
که همان چیز مورد انتظار ما هست.
فراوانی طبیعی در علم شیمی بیانگر میزان نسبی فراوانی ایزوتوپ های یک عنصر شیمیایی در طبیعت است.مقدار متوسط جرم اتمی این ایزوتوپ‌ها در جدول تناوبی عناصر فهرست شده‌است. فراوانی نسبی عناصر مختلف متفاوت است و حتی در مناطق مختلف زمین یا از سیاره ای به سیاره دیگر متغیر است اما در زمان نسبتا ثابت باقی مانده‌است.
انرژی واپاشی عبارت است از انرژی که در حین واپاشی یک ایزوتوپ پرتوزا تولید می‌شود و با واحدهای MeV (مگا الکترون‌ولت) یا KeV (کیلو الکترونولت) گزارش می‌شود.
Radioactivity Radionuclides Radiation by Joseph Magill and Jean Galy, Springer Verlag, 2005