moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
ریاضی‌دانان فرانسوی ژرار دوسارگ و بلز پاسکال مطالعهٔ مقاطع مخروطی را به فراتر از دانسته‌های یونانیان باستان گسترش دادند. ریاضی‌دان هم‌وطن آنان کلود میدورژ نیز اثبات‌های آپولونیوس را به شیوه‌ای سیستماتیک مدون کرد. در سال ۱۶۴۷ (کمتر از یک دهه پس از انتشار اثر میدورژ)، گرگوآر د سن-ویسنت نیز کتاب خود را با عنوان «"اثر چهاربخشی هندسی: دایره و مقاطع مخروط"» منتشر کرد. در این کتاب هر مقطع مخروطی بخش مخصوص خودش را دارد و تعدادی قضیه دربارهٔ هر یک اثبات شده‌است. بخش مربوط به بیضی مشتمل بر ۲۰۴ قضیه است. سن-وینسنت بیضی را به شیوهٔ ارشمیدس تعریف می‌کند.
یوهان د ویت هلندی (۱۶۲۵–۱۶۷۲ میلادی) هم بخش اول رساله‌ای که در ۱۶۵۸ چاپ کرد را به مقاطع مخروطی اختصاص داده‌است و بیضی را با روشی بدیع به عنوان مکان هندسی نقاطی با فاصلهٔ ثابت از یک خط و یک نقطه تعریف می‌کند. د ویت که تحت تأثیر دکارت بود تلاش داشت یافته‌های هندسی یونانیان را با نمادهای جبری بیان کند. بااین‌حال نقش اصلی در توسعهٔ هندسهٔ دکارتی بر عهدهٔ شاگرد دوسارگ فیلیپ دو لا هیر بود. لا هیر، در اثری که به خزانه‌دار فرانسه ژان-باتیست کولبر تقدیم شده‌است، اصول هندسی را به زبان ساده و آسان توضیح می‌دهد. هر مقطع مخروطی در فصل مخصوص خود بررسی شده‌است. بیضی به عنوان مکان هندسی نقاطی با مجموع ثابت فواصل از دو نقطه تعریف می‌شود و ویژگی‌های خط مماس، قطرهای مزدوج، و معادلهٔ آن بیان شده‌است و پس از آن بحثی در مورد مختصات دکارتی مقاطع مخروطی آمده‌است.
رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود.
بااین‌حال مهم‌ترین اثر لا هیر «"مقاطع مخروطی"» نام دارد و از نُه کتاب تشکیل شده‌است. لا هیر در کتاب ۲ مخروط را به شیوهٔ آپولونیوس بیان می‌دارد و تعریف‌های جدیدی (از جمله directrix یا «خط هادی»، به عنوان خطی که با تبدیل بیضی به دایره به سمت بینهایت میل می‌کند) را نیز ارائه می‌کند. در کتاب ۳ معادلهٔ مقاطع مخروطی حاصل می‌شود و بقیهٔ اثر هم کم‌وبیش به شرح آرای آپولونیوس می‌پردازد.
نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" علاقهٔ خاصی به مقاطع مخروطی نشان می‌دهد و آن‌ها را «مسیر» می‌نامد.
نیوتن با روشی که امروزه به «ساخت طبیعی نیوتن» موسوم است «مسیر» ها را با داشتن پنج نقطه تعریف می‌کند. سپس با استفاده از نگاشت خطی هر مسیر را با داشتن چهار نقطه و یک خط مماس، سه نقطه و دو خط مماس، و یک نقطه و چهار خط مماس تعریف می‌کند.
مساعی آپولونیوس در باب مقاطع مخروطی، به‌ویژه مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.
همچنین نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و قوانین نیوتن مدار حرکت سیاره‌ها در بیضی کپلر را ثابت کرد.
بین سال‌های ۱۶۸۲ و ۱۷۰۵، ادموند هالی به منظور اثبات قوانین کپلر و قوانین نیوتن مشاهدات دقیقی را از حرکت دنباله‌داری که امروزه با نام او شناخته می‌شود انجام داد. نیوتن و هالی ثابت کردند که این دنباله‌دار در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد و پیش‌بینی کردند که در ۱۷۵۸ در آسمان نمایان خواهد شد.
نیوتن همچنین در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" بیش‌بینی کرد که شکل کرهٔ زمین کروی نیست و به شکل گوی‌وار پَخ (حجمی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل می‌شود) است. در ۱۷۳۶، دانشمند فرانسوی پی‌یر لوئی موپرتوئی به پشتیبانی لوئی پانزدهم سفری تجسسی به لاپ‌لند انجام داد و این نظریهٔ نیوتن را ثابت کرد.
هالی همچنین تلاش داشت با مقابلهٔ نسخه‌های بنوموسی، اصفهانی، و شیرازی "مخروطات" آپولونیوس را دقیقاً «بازسازی» کند و به همین منظور زبان عربی را آموخت. در سال ۱۷۱۰ نسخهٔ هالی از "مخروطات" با عنوان "مقاطع مخروطی آپولونیوس پرگا از نسخ عربی" به چاپ رسید. تا زمان ترجمهٔ توماس هیت از "مخروطات" در سال ۱۸۹۶، ترجمهٔ هالی نسخهٔ استاندارد و آموزشی این اثر باقی ماند.
در دو قرن پس از نیوتن، عمدهٔ پیشرفت‌های مرتبط با مقاطع مخروطی در زمینهٔ هندسه تصویری صورت گرفت.
ژان ویکتور پونسله در سال ۱۸۱۳ در جریان جنگ‌های ناپلئونی در روسیه اسیر جنگی بود و در زندان رساله‌ای با عنوان «"خواص و ویژگی‌های تصاویر اشکال"» نوشت و در آن برای اولین بار بین ویژگی‌های تصویری (ویژگی‌هایی که پس از تصویر کردن شکل در صفحه‌ای دیگر حفظ می‌شوند) و غیرتصویری تمایز قائل شد.
در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند.
در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.
یاکوب اشتاینر (۱۷۹۶–۱۸۶۳) نیز مقاطع مخروطی و رویه‌های درجه دوم مرتبط را به‌عنوان اشکالی صرفاً تصویری تعریف کرد و نشان داد که این برخورد به اثبات سریع‌تر و مستقیم‌تر ویژگی‌های آن‌ها می‌انجامد.
کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸–۱۸۶۷) هم نشان داد که رابطه‌ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می‌کند از خود منحنی بنیادی‌تر است و می‌تواند برای تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود.
با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی» می‌توان نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها را بهینه کرد.
منطقه فرنل نیز با همین ویژگی بیضی به شکل گوی‌وار ایجاد می‌شود و درک آن برای طراحی شبکه‌های بی‌سیم ضروری است.
از آینههای بیضوی نیز برای تمرکز نور یک منبع در کانونی معین استفاده می‌شود.
مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که برون‌مرکزی آن کمتر از ۱ باشد. نمونه‌های مدار بیضی، از جمله مدار هوهمان، در محاسبات پیش‌رانش فضاپیماها و مدار ماهوارهها اهمیت زیادی دارد.
جواب عام نوسانگر هماهنگ در دو بعد یا بیشتر هم بیضی است.
می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که هر یک به محور یکی از کانون‌هایشان به‌نرمی مماس یکدیگر بچرخند.
چرخ‌دنده‌های بیضوی معمولاً زمانی به‌کار می‌روند که سرعت متغیر حرکت چرخ‌دنده مطلوب باشد.
در سیاست بین‌الملل، عبارت بیضی استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که دربرگیرندهٔ بیش از ۷۰ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ نفت و بیش از ۶۵ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ گاز طبیعی جهان است.
نقشهٔ دفتر اصلی رئیس‌جمهور آمریکا در کاخ سفید به شکل بیضی است. به نوشتهٔ کریسچن ساینس مانیتور، وجود دو کانون در دفتر بیضی نماد دو کانون وظیفه در تصمیم‌گیری‌های سیاسی (سیاستمداران و مردم) است.
بیضی را می‌توان به عنوان نتیجهٔ اعمال یک نگاشت خطی (تبدیل آفین) بر دایرهای به شعاع یک تعریف کرد. اگر formula_1 و formula_2 اعدادی بزرگتر از صفر باشند، ماتریس این نگاشت عبارت است از:
اگر formula_1 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور xها فشرده می‌شود و اگر formula_1 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. همین‌طور اگر formula_2 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور yها فشرده می‌شود و اگر formula_2 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. قطر بزرگ بیضی دو برابر هر کدام از formula_1 یا formula_2 است که بزرگتر باشد و قطر کوچک بیضی دو برابر آنی که کوچکتر باشد. مساحت بیضی هم برابر است با formula_12.
از سوی دیگر، با اعمال تجانس formula_13 هم، که در آن رأس‌های بزرگ ثابت می‌مانند و رأس‌های کوچک به formula_14 و formula_15 منتقل می‌شوند، می‌توان بیضی را به دایرهای با شعاع formula_1 تبدیل کرد.
بیضی خمی بسته‌است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با ارتفاع و هر کدام از وترهای مخروط موازی "نباشد".
اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره (حالت خاص بیضی)، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با یکی از وترهای مخروط موازی باشد حاصل سهمی خواهد بود.
در هندسه تصویری، اشتقاق بیضی از مخروط معادل تصویر مرکزی یک دایره (مقطع مخروط) روی صفحه‌ای است که با صفحهٔ دایره زاویه‌ای تند دارد. می‌توان نشان داد که تصویر کردن دایره روی بیضی همان تعریف بیضی با اعمال تجانس آفین بر دایره است.
تعریف دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت (دو کانون) ثابت و برابر قطر بزرگ بیضی است. هر چه فاصلهٔ بین این دو نقطه کمتر باشد، خروج از مرکز بیضی کوچکتر است و شکل بیضی به دایره شبیه‌تر.
قطر بزرگ بیضی خط راستی است که دو کانون آن را به هم متصل می‌کند و از دو طرف تا منحنی ادامه می‌یابد. قطر کوچک بیضی عمود بر نقطهٔ وسط قطر بزرگ (با فاصلهٔ یکسان از دو کانون) قرار دارد. به دو خطی که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند «راست‌وتر کانونی» گفته می‌شود.
با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است.
گیریم صفحهٔ formula_17 مخروطی را قطع می‌کند و در محل انقطاع یک منحنی تشکیل شده‌است. دو کرهٔ دندلین formula_18 روی صفحه و formula_19 زیر صفحه تعریف شده‌اند. تقاطع هر کره با مخروط یک دایره است (formula_20 و formula_21)، و هر کره بر صفحهٔ formula_17 را در یک نقطه (formula_23 و formula_24) مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد. قصد است که ثابت شود با حرکت formula_25 بر روی منحنی، فاصلهٔ formula_26 ثابت می‌ماند:
بیضی را می‌توان با مسیر نقطه‌ای تعریف کرد که به‌گونه‌ای در صفحه حرکت می‌کند که نسبت فاصله‌اش از یک نقطهٔ خاص (کانون) و فاصله‌اش از خطی صاف (خط هادی) عددی ثابت و کوچکتر از یک باشد. هر مسیری که این شرط را احراز کند همین ویژگی را نسبت به یک کانون و خط هادی دیگر هم دارد، ازین‌رو بیضی را می‌توان با داشتن یکی از کانون‌ها و خط هادی متناظرش تعریف کرد. نسبت این فواصل با خروج از مرکز و مقدار مبین در معادلهٔ کلی همهٔ مقاطع مخروطی برابر است.
اگر کانون برابر formula_48 و معادلهٔ خط هادی formula_49 باشد، نتیجه می‌شود:
با استفاده از کره‌های دندلین هم می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.
معادلهٔ بیضی را می‌توان بر اساس معادلهٔ دایره و با اعمال نگاشت خطی formula_51 بر آن به دست آورد. گیریم formula_52 نقطه‌ای بر روی دایره‌ای باشد که بر روی نقطهٔ formula_53 بیضی نگاشت شده‌است:
از آنجا که دترمینان formula_54 صفر نیست، formula_54 وارون‌پذیر است. ماتریس وارون formula_54 را می‌توان با قاعده کرامر به‌دست‌آورد:
با اعمال formula_57 بر نقاط formula_53 بیضی، نقاط formula_52 دایره حاصل می‌شود:
و با قرار دادن formula_60 در معادله دایره (formula_61)، معادلهٔ بیضی حاصل می‌شود:
هر معادله درجه دو با فرمول formula_62 معرف یک بیضی است که مرکزش روی مبدأ مختصاتی، قطر بزرگش روی محور formula_63ها، و قطر کوچکش روی محور formula_64ها جای دارد. مقادیر formula_1 و formula_2 فاصلهٔ چهار رأس بیضی را از مرکز آن مشخص می‌کنند، به گونه‌ای که مختصات رأس‌های بزرگ formula_67 و formula_68 و مختصات راس‌های کوچک formula_69 و formula_70 است. مقدار formula_2 به «نیم‌قطر کوچک» و مقدار formula_1 به «نیم‌قطر بزرگ» موسوم است.
این معادله غالباً به شکل formula_73 نوشته می‌شود. فاصلهٔ مرکز بیضی از هر کدام از کانون‌ها formula_74 و مختصات کانونها formula_75 است.
اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ formula_76 انتقال یابد معادلهٔ بیضی برابر formula_77 خواهد بود.
برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو (یعنی
) بیضی باشد، باید تعریف کرد که
که در آن formula_78، formula_79، و formula_80 است. در این معادله اگر formula_81 باشد حاصل دایره خواهد بود (که حالت خاصی از بیضی است) و اگر formula_82 حاصل یک نقطه می‌شود. مختصات مرکز این بیضی formula_76 از معادلات زیر حاصل می‌شود:
و محورهای نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک بیضی عبارت است از:
معادلهٔ پارامتری بیضی را می‌توان با اعمال تجانس (تبدیل آفین) formula_84، formula_85 بر معادلهٔ پارامتری دایره واحد (یعنی formula_86) به‌دست‌آورد. با این حساب معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از:
که در آن formula_87.
برای یافتن معادلهٔ پارامتری بیضی به صورت عبارت‌های گویا، می‌توان همان تجانس formula_84، formula_85 را بر معادلهٔ پارامتری گویای دایره‌ای به شعاع واحد اعمال کرد. در این حالت معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از:
معادلهٔ قطبی بیضی معمولاً به مرکزیت یکی از کانون‌های آن نوشته می‌شود.
اگر آغاز زاویهٔ formula_90 از قطر بزرگ یک بیضی باشد، معادلهٔ قطبی آن عبارت است از:
زاویهٔ formula_90 به آنومالی حقیقی کانون مورد نظر موسوم است و گاه با formula_92 هم نشان داده می‌شود. ثابت formula_93 هم همان «نیم‌راست‌وتر کانونی» (formula_94) است. نقطهٔ formula_95 که در آن مقدار formula_96 به حداقل خود می‌رسد «نقطهٔ حضیض» و نقطهٔ formula_97 که در آن مقدار formula_96 به حداکثر خود می‌رسد «نقطهٔ اوج» نام دارد.
مختصات دوقطبی بیضی‌ای که یکی از کانون‌هایش روی مبدأ مختصات باشد عبارت است از معادلهٔ
که در آن formula_1 برابر نصف قطر بزرگ بیضی است.
هر بیضی روی قطر بزرگش دو کانون دارد که با نمادهای formula_100 و formula_101 نشان داده می‌شود. مقدار formula_17 (خروج از مرکز) را می‌توان با جایگزین کردن formula_1 و formula_2 در فرمول formula_105 ,
محاسبه کرد. با دانستن این فرمول و استفاده از قضیه فیثاغورث، مشخص است که فاصلهٔ رأس‌های کوچک تا formula_106 و formula_107 برابر formula_1 است. این امر حالت خاصی از ویژگی زیر است:
بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد.
برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ formula_109 را تعریف و در فرمول فاصله جایگزین کرد:
و با استفاده از معادلهٔ بیضی (formula_110) می‌توان نشان داد که این مقدار برابر formula_111 است.
نسبت فاصلهٔ هر کانون از مرکز بیضی (formula_112) به اندازه نیم‌قطر بزرگ بیضی (formula_1) برون‌مرکزی بیضی نامیده می‌شود و آن را با حرف formula_17 نشان می‌دهند (formula_115). به‌این‌ترتیب برون‌مرکزی را می‌توان جای کانون در نیم‌قطر بزرگ دانست. برون‌مرکزی یک بیضیِ معین همواره مقداری ثابت و بین صفر و یک است formula_116 و به‌صورتی یکتا شکل آن را مشخص می‌کند، به این مفهوم که دو بیضی متشابهند اگر و تنها اگر برون‌مرکزی‌شان با هم برابر باشد. زمانی که برون‌مرکزی صفر باشد، کانون روی مرکز می‌افتد و منحنی به‌شکل دایره درمی‌آید. اگر برون‌مرکزی به یک نزدیک شود (فاصلهٔ کانون از مرکز به بی‌نهایت میل کند)، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند.
برون‌مرکزی بیضی برابر وارون ضربی برون مرکزی هذلولیای با نیم‌قطر بزرگ و کوچک برابر است.
اگر formula_1 نیم‌قطر بزرگ بیضی و formula_112 فاصلهٔ هر کانون بیضی از مرکز آن باشد، دو خط موازی با قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ formula_119 از این قطر به خطوط هادی بیضی موسومند. می‌توان نشان داد که در هر بیضی نسبت «فاصلهٔ نقطهٔ formula_94 از هر کدام از کانون‌های بیضی» به «فاصلهٔ formula_94 از خط هادی متناظر با آن کانون» ثابت و برابر با برون‌مرکزی بیضی است؛ یعنی:
اگر نسبت فاصله هر نقطه روی بیضی از کانون به فاصله‌اش از خط هادی برابر formula_96، فاصلهٔ خط هادی از مرکز بیضی برابر formula_123، و نیم‌قطر کوچک بیضی formula_2 باشد آنگاه:
و برای به دست آوردن formula_123:
به موازات هر وتر formula_126 که از مرکز بیضی بگذرد، مجموعه‌ای از وترها هست که شامل خط مماس بر بیضی با شیب مساوی formula_126 می‌شود. با وصل کردن نقطهٔ وسط همهٔ این وترها به هم formula_128 حاصل می‌شود که قطر بیضی است و با عنوان «مزدوج» formula_126 شناخته می‌شود. با استفاده از قطرهای مزدوج بر وتر می‌توان خطوط مماس بر بیضی را ترسیم کرد. خطوط مماس بر نقاطformula_95، formula_97، formula_132، و formula_133 بیضی را در یک متوازی‌الأضلاع محاط می‌کنند. اگر وتر formula_126 همنهشت بر یکی از قطرهای بیضی شود، شکل محاط‌کنندهٔ بیضی مستطیل خواهد بود.
وتری که از یکی از کانون‌ها می‌گذرد و بر قطر بزرگ بیضی عمود است «راست‌وتر کانونی» نامیده می‌شود. نصف این وتر، یعنی «نیم‌راست‌وتر کانونی» است که با حرف formula_94 نمایش داده می‌شود. می‌توان نشان داد که:
همچنین می‌توان با استفاده از معادلهٔ قطبی بیضی نشان داد که:
اگر خطی یک بیضی را در ۱ و فقط ۱ نقطه قطع کند، گفته می‌شود که آن خط بر آن بیضی مماس است. از هر نقطه روی بیضی تنها یک خط مماس می‌گذرد. معادلهٔ خط مماس بیضی formula_136 در نقطهٔ formula_137 عبارت است از:
هر گاه دو خط مماس بیضی با هم زاویهٔ بسازند، نقطهٔ تقاطع آن دو خط مماس روی دایره‌ای قرار دارد که به دایره ارتوپتیک موسوم است و معادلهٔ آن عبارت است از:
نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط formula_138 و formula_139 همواره بر خط مماس بیضی در نقطهٔ formula_94 عمود است.
از این ویژگی نتیجه می‌شود اگر اشعه‌ای از یکی از کانون‌ها به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی بتابد به‌سوی کانون دیگر بازتاب می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها کاربرد دارد.
مساحت بیضی برابر است با:
که در آن formula_1 و formula_2 به‌ترتیب نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچکند. فرمول مساحت بیضی را به‌سادگی می‌توان از فرمول مساحت دایره‌ای به شعاع formula_2 (یعنی formula_144) به‌دست آورد. اگر دایره از یک طرف به نسبت formula_145 کشیده شود، مساحت آن با در همین نسبت ضرب می‌شود: formula_146.
فرمول مساحت بیضی را با استفاده از انتگرال نیز می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد. ابتدا معادلهٔ متعارف بیضی به صورت formula_147 بازنوشته می‌شود. برای هر formula_148، این منحنی نیمهٔ بالایی بیضی است. پس مساحت بیضی دو برابر انتگرال formula_149 در بازهٔ formula_150 خواهد بود:
اگر معادلهٔ بیضی به‌شکل formula_151 نوشته شود، مساحت آن برابر formula_152 خواهد بود.
از آن‌جا که فرمولی با فرم بسته (مثل فرمول محیط دایره، که حالت خاص بیضی است) برای محیط بیضی وجود ندارد، مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد توابع بیضوی شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است. برای محاسبه محیط بیضی، باید ابتدا انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را محاسبه کرد. به این ترتیب محیط بیضی با نیم‌قطر بزرگ formula_1 و نیم‌قطر کوچک formula_2 برابر است با:
که در آن formula_17 همان برون‌مرکزی (formula_156) است و formula_157 عبارت است از:
محیط بیضی بر اساس انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را با استفاده از «سری گاوس-کومر» نیز می‌توان محاسبه کرد:
بااین‌همه فرمول‌های پرشماری برای تخمین محیط بیضی ارائه شده که هر یک نقاط قوت و ضعف خود را دارند؛ مثلاً فرمول ابداعی سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷ – ۱۹۲۰) برای تخمین محیط بیضی عبارت است از:
که برای بیضی‌هایی با برون‌مرکزی کم دقت بالایی دارد. یا راجر مارتنز در سال ۲۰۰۰ فرمولی برای تخمین محیط بیضی ارائه داد که خطای آن همیشه کمتر از ۰٫۳۶۱۹٪ است:
با این‌حال شناخته‌شده‌ترین فرمول تخمین محیط بیضی فرمولی است که اویلر در سال ۱۷۷۳ ارائه کرد:
انحنای بیضی برابر است با:
شعاع انحنا در نقطهٔ formula_53 عبارت است از:
زاویه مماسی بیضی نیز از فرمول formula_159 محاسبه می‌شود.
خط قطبی هر نقطه روی بیضی، از خود آن نقطه می‌گذرد. همچنین قطب هر خط قطبی‌ای که بر بیضی مماس است روی آن بیضی است. این رابطهٔ متقابل قطب و خط قطبی در مقاطع مخروطی اساس تعریف این دو ویژگی است.
اگر معادلهٔ بیضی از معادلهٔ عام منحنی‌های درجهٔ دوم، یعنی به شکل:
نوشته شود، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ formula_160 عبارت خواهد بود از:
که در آن formula_133 و formula_157 و formula_163 ثابت‌هایی‌اند که به شکل زیر تعریف می‌شوند:
با داشتن معادلهٔ خط قطبی formula_164 نیز می‌توان قطب آن را با قرار دادن مقادیر formula_63 و formula_64 و formula_167 از محاسبهٔ زیر در formula_168 به‌دست آورد:
با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به گوی‌وار موسوم است.
گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «گوی‌وار کشیده» و گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «گوی‌وار پَخ» نام دارد.
با اکستروژن موازی بیضی «استوانهٔ بیضوی» و با اکستروژن مرکزی آن «مخروط بیضوی» ساخته می‌شود.
حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به شکل بیضی باشد به بیضی‌وار موسومند. بیضی‌واری که در دو محورِ دستگاه مختصات دکارتی طولی مساوی داشته باشد گوی‌وار و بیضی‌واری که در هر سه محور طول مساوی داشته باشد کره است.
ترسیم بیضی با ویژگی کانون آن به «روش باغبانی» موسوم است. در این روش دو قطعه چوب در دو نقطه از زمین (کانون‌ها) کوبیده می‌شود. حلقه طنابی به طول formula_169 که در نقطه‌ای از آن یک میله گره خورده‌است به دور دو قطعه چوب انداخته می‌شود و سپس میله جابجا می‌شود تا طناب کشیده شود. همهٔ نقاطی که میله را بتوان روی قرار داد به‌شکلی که طناب شل نباشد روی بیضی هستند.
اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط (یا امتداد آن) مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش خاگار (ترامل)» موسوم است. در گذشته نیز ابزاری با نام «ترامل» برای ترسیم فنی و همچنین به‌عنوان اسباب‌بازی تولید می‌شد که دو پین قابل تنظیم و یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن می‌شد بیضی رسم کرد.
روش متوازی‌الأضلاع یا تولید مخروطی اشتاینر را می‌توان زمان داشتن قطرهای بیضی یا یک وتر و قطر مزدوج آن به کار برد. در این روش یک متوازی‌الأضلاع (در تصویر مجاور formula_170) به مرکزیت نقطهٔ formula_25 در نظر گرفته می‌شود به صورتی که هر کدام از اضلاع آن مساوی و موازی یکی از قطرهای بیضی (یا یک وتر و قطر مزدوجش) باشند. ضلع‌های formula_172 و formula_173 به formula_174 پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شوند. سپس از رأس formula_175 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_172 و از رأس formula_177 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_173 پاره‌خطی کشیده می‌شود. نقطهٔ تقاطع پاره‌خط‌های formula_179 و formula_179 روی بیضی قرار دارد.
می‌توان با داشتن دو قطر بیضی، و با استفاده از پرگار شکلی تقریبی از بیضی ترسیم کرد. برای این منظور روی پاره‌خط AD، که انتهای قطرهای کوچک و بزرگ را به هم وصل می‌کند، نقطهٔ F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده می‌شود. از وسط AF خطی عمود خارج می‌شود که قطر بزرگ را در نقطهٔ formula_181 و قطر کوچک (یا امتداد آن را) در formula_182 قطع می‌کند. سپس با استفاده از تقارن (بازتاب formula_181 و formula_182 روی قطرها) نقاط formula_185 و formula_186 مشخص می‌شوند. با زدن کمان‌هایی متصل به مرکز هر کدام از نقاط formula_181 و formula_182 و formula_185 و formula_186 شکل تقریبی بیضی را مشخص کرد.
واریته جبری ، اشیای مرکزی مورد مطالعه در هندسه جبری می‌باشند. به طور سنتی، یک واریته جبری به صورت مجموعه جواب‌های دستگاه معادلات چندجمله‌ای‌ها بر روی اعداد حقیقی یا مختلط تعریف می‌شوند. تعاریف مدرن این مفهوم را به چندین طریق گسترش می‌دهند، در حالی که سعی بر حفظ جنبه شهودی هندسی پشت تعریف اصلی را دارند.
قراردادهایی که در ارتباط با تعریف یک واریته جبری وجود دارد با هم کمی تفاوت دارند. به عنوان مثال، برخی از تعاریف نیازمند این هستند که یک واریته تحویل‌ناپذیر باشد؛ یعنی اجتماعی از دو مجموعهٔ کوچک‌تر بسته در توپولوژی زاریسکی نباشند. تحت این تعریف، واریته‌های جبری تحویل‌ناپذیر را مجموعه‌های جبری نیز گویند. قراردادهای دیگر، نیازی به مفهوم تحویل‌ناپذیری ندارند.
قضیه بنیادی جبر ارتباطی بین جبر و هندسه را برقرار می‌سازد، بدین طریق که: چندجمله‌ای تکین (یک شیء جبری، چندجمله‌ای که ضریب بزرگ‌ترین توان آن یک باشد) تک متغیره با ضرایب مختلط توسط مجموعه ریشه‌هایش (شیئی هندسی) تعیین می‌گردد. قضیه صفرهای هیلبرت با تعمیم این نتیجه، تناظری بنیادین بین ایده‌آل‌های حلقه‌های چندجمله‌ای و مجموعه‌های جبری برقرار می‌سازد. با استفاده از قضیه صفرهای هیلبرت و نتایج مرتبط، ریاضی‌دانان تناظری قوی بین سؤالات مربوط مجموعه‌های جبری و سؤالات مربوط به نظریه حلقه‌ها برقرار کرده‌اند.
بسیاری از واریته‌های جبری منیفلد هستند؛ ممکن است واریته‌‎های جبری نقاط تکین داشته باشند، در حالی که منیفلدها نمی‌توانند نقطه تکین داشته باشند. واریته‌های جبری را می توان با کمک ابعادشان شناسایی نمود. واریته‌های جبری از بعد یک را خم‌های جبری نامیده و واریته‌های جبری از بعد دو را رویه‌های جبری می‌نامند.
"واریته آفین" بر روی یک میدان بسته جبری، از نظر مفهومی راحت‌ترین نوع واریته‌ای است که می‌توان تعریف نمود. همچنین واریته‌های تصویری و شبه‌تصویری را می‌توان به شکل مشابهی تعریف نمود. کلی‌ترین تعریف یک واریته با به‌هم‌چسباندن تکه واریته‌های شبه‌تصویری به‌دست می‌آید. ساخت واریته‌های جدید به این شکل بدیهی و واضح نیست؛ اما ناگاتا مثالی از چنین واریته‌های جدیدی را در دهه ۱۹۵۰ میلادی ارائه نمود.
مقاله اصلی: واریته آفین
برای یک میدان جبری بسته مثل formula_1 و عددی طبیعی مثل formula_2، formula_3 را یک n-فضای آفین بر روی formula_1 در نظر بگیرید. چندجمله‌ای‌های formula_5 در حلقه formula_6 را می‌توان به صورت توابع K-مقداری روی formula_3 دید که مقادیرش را از نقاط formula_3 بر می‌گیرد؛ یعنی هر formula_9 نقطه ای از formula_1 انتخاب می کند. برای هر مجموعه formula_11 از چندجمله‌ای‌هایی در formula_6، مکان صفرهای آن یعنی formula_13 را مجموعه نقاطی از formula_3 تعریف می‌کنیم که توابع داخل مجموعهٔ formula_11 هم‌زمان بر روی آن، صفر شوند، به عبارتی دیگر:
زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 را مجموعه جبری آفینی گویند؛ اگر برای یک مجموعه مثل formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری آفینی ناتُهی چون formula_17 را تحویل ناپذیر ویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع سره‌ای از دو زیرمجموعه جبری نوشت. یک مجموعه جبری آفینی را واریته آفینی گویند. (بسیاری از مؤلفین از عبارت "واریته آفینی" برای اشاره به هر مجموعه جبری آفینی استفاده می‌کنند، چه آن مجموعه، تحویل ناپذیر باشد یا خیرHartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3))
بر روی واریته‌های آفینی می‌توان توپولوژی طبیعی، تعریف کرد، به گونه‌ای مجموعه‌های بستهٔ آن، همان مجموعه‌های جبری آفینی باشد. این توپولوژی را توپولوژی زاریسکی گویند.
اگر زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 داده شده باشد، formula_24 را به صورت ایده‌آلی از تمام توابع چندجمله‌ای تعریف می‌کنیم که روی مجموعه formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند:
برای هر مجموعه جبری چون formula_17، حلقه مختصاتی یا حلقه ساختاری از formula_17، خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای توسط این ایده‌آل است.
مقالات اصلی: واریته تصویری و واریته شبه‌تصویری
فرض کنید formula_29 میدانی جبری بسته باشد و formula_30 n-فضای تصویری روی formula_29 باشد. formula_5 را چندجمله‌ای همگن از درجه formula_33 عضو formula_34 در نظر می‌گیریم. formula_5 نمی‌تواند روی نقاط formula_30 در مختصات همگن خوش تعریف باشد؛ چرا که formula_5 همگن است، یعنی formula_38، ولی پرسیدن اینکه آیا formula_5 در نقطه‌ای چون formula_40 صفر می‌شود معنی‌دار است. برای هر مجموعه از چندجمله‌ای‌های همگن چون formula_11 مکان هندسی صفرهای formula_11 را به صورت نقاطی از formula_30 تعریف می‌کنیم که توابع formula_11 روی آن، ناپدید (صفر) می‌شوند:
زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_30 را مجموعه جبری تصویری گویند اگر برای یک formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری تصویری تحویل‌ناپذیری را واریته تصویری گویند.
با اعلام بسته بودن تمام مجموعه‌های جبری، واریته‌های تصویری هم مجهز به توپولوژی زاریسکی می‌شوند.
با معلوم بودن formula_17 از formula_30، فرض کنید formula_24 ایده‌آل تولید شده، توسط تمام چندجمله‌ای‌های همگنی باشد که روی formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند. برای هر مجموعه جبری تصویری چون formula_17، حلقه مختصاتی formula_17 خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای بر روی این ایده‌آل است.
یک واریته شبه‌تصویری، یک زیرمجموعهٔ باز زاریسکی است. توجه کنید که هر واریته آفین شبه‌تصویری است؛Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12 همچنین، متمم یک مجموعه جبری در یک واریته آفین هم، یک واریته شبه‌تصویری است؛ در بستر واریته‌های آفینی، چنین واریته‌های شبه‌تصویری را اغلب نه یک واریته، بلکه یک مجموعه ساخت‌پذیر گویند.
نارین قلعه ممکن است به یکی از مکان‌های زیر اشاره داشته باشد:
بی بی شهربانو نام آرامگاهی است در شهر ری. طبق کتیبه موجود در آن و باور مردم مقبره شهربانو همسر امام سوم شیعیان حسین بن علی و مادر امام چهارم شیعیان سجاد است.حسین کریمان، تهران در گذشته و حال، تهران ۱۳۵۵، صفحهٔ ۳۲۴۱
به عقیده برخی از کارشناسان به دلایلی همچون قرارگرفتن زیارتگاه بر فراز کوه، نزدیکی به چشمه، ویژگی‌های معماری سنگی، اختصاص زیارت آن به زنان در برخی دوره‌ها، کاربرد واژه بانو و شهربانو برای ایزدبانوی آناهید و تشابه افسانه بی‌بی شهربانو با داستان زیارتگاه زرتشتی «بانوی پارس» در یزد، این بنا در اصل از نیایشگاه‌های آناهید، الهه آب‌ها و باروری و از پرستشگاه‌های زرتشتیان پیش از اسلام بوده‌است.مری بویس، «بی بی شهربانو و بانو پارس»، ترجمه حسن جوادی، مجله بررسی‌های تاریخی، سال دوم، شماره ۳ و ۴ (آبان ۱۳۴۶)، صفحه ۱۲۹۱۳۰، ۱۳۵، ۱۴۳
مری بویس استاد دانشگاه و پژوهشگر آیین زرتشتی که تمام عمرش را به پژوهش در رابطه با ایران باستان و آیین آن صرف کرده است در مقاله خود «بی‌بی‌شهربانو و بانو پارس» مقبره بی‌بی‌شهربانو شهر ری را به آناهید زرتشتیان قبل از اسلام نسب داده است. مری بویس معتقد است داستان فرار شهربانو از کربلا افسانه ای بیش نیست و به دلیل زمینه های دینی ایرانیان جذب مقبره شهربانو شده است.
هسته اصلی بنای مزبور را در دوران ساسانی ساخته‌اند. از دیدگاه معماری قسمت گوشه جنوب شرقی آن که مشتمل بر بنای چهار گوش منظم و استوار سنگی با پوشش ضربی سنگ و آجری می‌باشد و از عهد آل بویه و حرم و اتاق طویل جنوبی آن از دوران ساسانی و دیوارهای خارجی صحن هم‌زمان با بنای سنگی عهد آل بویه و عصر سلجوقیان می‌باشد. در سده‌های بعدی به وسیله احداث رواق و دیوارها و اتاق‌های مختلف و راهرو و… محوطه اصلی را به دو صحن تقسیم و به صورت کنونی درآورده‌اند. گنبد بقعه از عهد دیالمه است.
صندوق منبت روی قبر، حدیث‌های پیامبر اسلام و لقب‌های شهربانو را دربرداشته و تاریخ ۸۸۸ هجری قمری و نام بانی و سازندگان آن ذکر شده‌است.کریمیان، حسین: ری باستان، جلد اول، نشر انجمن آثار ملی، ۱۳۴۵، جلد ۱، صفحه ۴۱۶–۴۱۵محمدتقی مصطفوی، آثار تاریخی طهران، جلد ۱، چاپ میرهاشم محدث، تهران ۱۳۶۱، صفحه ۱۳۳–۱۳۴
در منبت زیبایی از دوران شاه طهماسب در جنوب شرقی حرم که مدخل اصلی و قدیمی آن است قرار دارد.
در این بقعه آثار تاریخی دیگری نیز وجود دارد.
این مجموعه محوطه‌ای است مستطیل شکل (شمالی-جنوبی)، به طول ۳۳متر و عرض ۲۲ متر که با دیواری سنگی متعلق به سدهٔ چهارم (بوییان و سلجوقی) محصور گردیده و از شمال به کوهستان محدود می‌شود. در بخش جنوبی آن چند بنای محکم سنگی با پوشش گنبدی از سنگ و آجر وجود دارد. محوطه اصلی با احداث دیوارهای جدید، رواق‌ها، اتاق‌ها، راهرو و غیره در دوره‌های گوناگون به دو قسمت (صحن) تقسیم شده‌است.محمدتقی مصطفوی، آثار تاریخی طهران، جلد ۱، چاپ میرهاشم محدث، تهران ۱۳۶۱، صفحهٔ ۱۳۱حسین کریمان، تهران در گذشته و حال، تهران ۱۳۵۵، صفحهٔ ۳۱
بنای اصلی بقعه از سنگ و گچ ساخته شده و تاق‌های آن آجری است. از سبک و وضع بنا برمی آید که هسته اصلی آن در دوره ساسانی ساخته شده باشد و در سدهٔ چهارم (عهد آل بویه) از آن برای آرامگاه استفاده شده و قسمت‌هایی به آن افزوده‌اند. این بقعه مشتمل بر حرم کوچک چهارگوشی است با ابعادی در حدود ۲۵ر۳متر. مدخل اصلی حرم رو به مشرق و دارای سردری است متعلق به روزگار صفوی، اما گنبد کاشی‌کاری و برخی گچ‌بری‌ها و تزیینات آن از آثار دوره قاجار است.نصرت‌الله مشکوتی، فهرست بناهای تاریخی و اماکن باستانی ایران، تهران ۱۳۴۹، صفحهٔ ۲۱۵محمدتقی مصطفوی، آثار تاریخی طهران، جلد ۱، چاپ میرهاشم محدث، تهران ۱۳۶۱، صفحه ۱۳۰–۱۳۱
جلو سر در، دهلیزی قرار دارد که در گذشته به صورت ایوانی بوده و بخشی از حیاط اندرون بقعه به‌شمار می‌آمده‌است. در جنوب همین دهلیز بنای مربع سنگی استواری با ابعاد ۸ر۵ متر و پوشش ضربی متعلق به قرن چهارم وجود دارد. در جنوب حرم نیز اتاق طویل مسدودی در جهت شرقی-غربی قرار دارد که احتمال داده‌اند متعلق به دوره ساسانی باشد. این اتاق از مشرق به بنای مربع سنگی مذکور منتهی می‌گردد و معلوم می‌شود که در آغاز، راه ورود به بنای سنگی بوده‌است. در شمال حرم، مسجد یا رواقی از دوره قاجاریه وجود دارد. صحن بزرگتر بقعه که حیاط بیرونی آن محسوب می‌شود در شمال همین مسجد قرار دارد. در شمال صحن اتاقی برای اقامت میهمانان متولی یا زوّار دیگر احداث شده‌است.محمدتقی مصطفوی، آثار تاریخی طهران، جلد ۱، چاپ میرهاشم محدث، تهران ۱۳۶۱، صفحه ۱۳۱–۱۳۲
پایین پله‌های بقعه بی بی شهربانو و در سمت راست غاری به چشم می‌خورد که مدخل تنگ و باریکی دارد. داخل غار نیز برای نذر شمع روشن می‌کنند. در قسمتی از این هم غار پنجره‌ای مشبک قرار دارد که می‌گویند دختران جوان برای گشوده شدن بختشان بر روی آن دخیل می‌بندند.کریمیان، حسین: ری باستان، جلد اول، نشر انجمن آثار ملی، ۱۳۴۵.
دراختن (Drachten) شهری است در شمال هلند. دراختن با شهرهای بزرگ لیوواردن، هیرنفین و خرونینگن همسایه است.
این شهر تقریباً چهارمین شهر بزرگ در استان فریسلاند است. همچنین در این استان
مردم به زبان فریسی صحبت می‌کنند. البته زبان رسمی هلند زبان هلندی است.
سِهرِهٔ جَنگَلی (بلبل آوازخوان، مرغ قهقهه، خوبیسه، بلبل خمسه، کاه‌سهره) یکی از پرندگان آوازخوان است.
این پرنده از راستهٔ گنجشک‌سانان (Passeriformes)، خانوادهٔ سهرگان (Fringillidae)، جنس سهره‌های جنگلی (Fringilla) است.
این پرنده بین ۱۴ تا ۱۶ سانتی‌متر طول دارد. اندازه‌اش متوسط است. پرنده نر، به واسطه سر آبی خاکستری، روتنه بلوطی، سینه صورتی و دو نوار سفید در بال‌ها، به آسانی شناخته می‌شود. اندکی شبیه فنچ سرسیاه است، اما در پر و بالش اثری از رنگ نارنجی دیده نشده و دمگاهش نیز سفید نیست. پرنده ماده و پرنده جوان یکساله، به جز دو نوار سفید روی بال‌ها، پر و بال‌شان، به طورکلی، قهوه‌ای مایل به خاکستری زیتونی است. هنگام بال زدن غالباً در حالی که بال‌ها بسته‌است، پروازی موجی شکل دارد. در حال جست‌وخیز بر روی زمین، به تغذیه نیز می‌پردازد. زمستان‌ها به صورت عبوری، در گروه حرکت می‌کند.
Wikipedia contributors, "Chaffinch," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed February 3, 2008).
۲. پرورش، نگهداری وبیماری‌های فنچ، تألیف دکتر احسان مقدس، انتشارات نیلوبرگ، تهران، اردیبهشت ۱۳۸۸
داوود شهیدی (زادهٔ فروردین ۱۳۳۰ در تهران) کاریکاتوریست، نویسنده، طنزنویس و معمار ایرانی است.
وی متولد فروردین ۱۳۳۰ تهران و دانش‌آموخته معماری دانشکده هنرهای زیبا دانشگاه تهران و معماری شهری از دانشگاه بوستون است و همچنین مدتی هم در دانشگاه شیراز به تحصیل الکترونیک پرداخت.
شهیدی از جوانی و از سال ۱۳۴۴ فعالیت هنری خود را در زمینه کاریکاتور و طنز سیاه شروع کرد و دو سال بعد با چاپ آثارش در مجلات آبنوس، جهان نو، خوشه، اطلاعات و تماشا به شهرت رسید. مسافرت آمریکای وی وقفه‌ای در حضورش در صحنه کاریکاتور ایران بود. وی بعد از بازگشت نیز همواره با نشریاتی چون کیهان کاریکاتور همکاری داشت همکاری ای که دامنه آن در چند سال اخیر به گل آقا، گلستانه، و… نیز گسترش یافته‌است.
شهیدی در کنار نام‌هایی چون اردشیر محصص و کامبیز درمبخش از پیشگامان کاریکاتور ایران است و در سال‌های پس از انقلاب که کاریکاتور ایران بیشتر به حوزه طنز محدود می‌شد از معدود کسانی بود که در ایران به دید هنری به کاریکاتور می‌پرداخت.
فضای طنزسیاه شهیدی تا چند سال اخیر فضایی سیاه با هاشورهای وهم‌آور بود ولی در چند سال اخیر با گرایش به روشی انتزاعی تر از رنگ نیز به صورت عنصری فرعی استفاده می‌کند. وی در طرح‌های جدیدش دست به کارهای تجربی و خارج از چارچوب متعارف خودش و کاریکاتور می‌زند.
از جمله گرایش‌های جدید شهیدی کارهای کودکان وی است که با حضور شخصیت خیالی "آبی کوچولو"، "پپرخانوم" و "پروفسور دال شین" (شاید مخفف نام داود شهیدی) به آموزش کاریکاتور به کودکان می‌پردازند.
همچنین از آخرین نمایشگاه‌های شهیدی می‌توان به نمایشگاه کاریکاتورهای "دوران تینیجری" و نمایشگاه "پانسمان" اشاره کرده.
قهرمان‌خان قهری شاعر قرن ۱۲هجری قمری در ملایر بوده‌است. قهرمان خان، متخلص به قهری پسر بهزاد خان ابن باقر خان ابن شاهرضا خان ابن یارعلیخان ترکمن بوده که نامبرده اخیر (از ایل جعفربای) بود و به دستور نادرشاه از ترکمن صحرا به ملایر تبعید شد.
قهرمان خان در شرح زندگی خود در منظومه «سفینه قهرمانیه» که اثر معروف وی می‌باشد، به قلم خود نام خویش را چنین بیان می‌دارد: «قهرمان ننجی ملایری» متخلص به «قهری ابن بهزاد خان». از اینجا است که وی را «قهرمان خان قهری» می‌نامند.
وی علاقه زیادی به اهل بیت داشته‌است. برای نمونه در این شعر:
قهرمان خان هنگام مرگ وصیت کرد با انگشتری که نقش نگین آن قهری بوده در ده خود شیرین آباد از دهات شهرستان ملایر، بخاک بسپارند در همان زمان شخص دیگری در یکی از شهرهای مجاور فوت کرده جنازهٔ او را پسرش به نجف می‌برد که در وقت دفن متوجه می‌شود میّت کس دیگری است. پس از بررسی انگشتر را در دست میّت می‌بینند انگشتر را از انگشت او بیرون می‌آورد و جنازه را بخاک میسپارد چنانکه مرحوم حاج علی محمد قهری صارمی (که خودازشاعران بنام ومعروف ملایراست) و حاج احمد کریمی (مجنون) به آن اشاره کرده‌اند.
از سال تولد و فوت قهری اطلاع و تاریخ صحیحی در دست نیست و احتمالاً فوت او در سال ۱۲۷۲ هجری قمری بوده‌است.
خوردگی یک فرایند طبیعی است که فلزات خالص شده را به اشکال پایدارتر شیمیایی مانند اکسید، هیدروکسید یا سولفید تبدیل می‌کند. خوردگی به‌طور کلی به صورت از بین رفتن مواد به علت واکنش با محیط تعریف می‌شود.
پدیده خوردگی طبق تعریف، واکنش شیمیایی یا الکتروشیمیایی بین یک ماده، معمولاً یک فلز، و محیط اطراف آن می‌باشد که به تغییر خواص ماده منجر خواهد شد. پدیده خوردگی در تمامی دسته‌های اصلی مواد، شامل فلزات، سرامیکها، پلیمرها و کامپوزیتها اتفاق می‌افتد، اما وقوع آن در فلزات آنقدر شایع و فراگیر بوده و اثرات مخربی به جای می‌گذارد که هرگاه صحبت از خوردگی به میان می‌آید، ناخودآگاه خوردگی یک فلز به ذهن متبادر می‌شود.
خوردگی معمولاً فرایندی زیان‌آور است، لیکن گاهی مفید واقع می‌شود. به‌طور مثال آلودگی محیط به محصولات خوردگی و آسیب دیدن عملکرد یک سیستم از جنبه‌های زیان‌آور خوردگی و تولید انرژی الکتریکی در یک باتری و حفاظت کاتدی سازه‌های مختلف از فایده‌های آن هستند، اما تأثیرات مخرب و هزینه‌های به بار آمده بواسطه این فرایند به مراتب بیشتر است.
یکی از کهن‌ترین آثار خوردگی مربوط به دیوار آهنی قفقاز است که به فرمان کورش هخامنشی ساخته شد و بدستور وی روی آن را با مس پوشش دادند. آغاز پژوهش به گونه امروزی در انگلستان پس از غرق شدن کشتی جنگی HMS Alarm در سال ۱۷۶۱ میلادی بود. پس از آن ورقه‌های مسی به بدنه کشتی‌ها وصل می‌شد اما پس از چندی دیده شد که این ورقه‌ها در جاهایی که میخ‌های فولادی آن‌ها را نگه داشته بود، خورده شده‌اند (خوردگی گالوانیک).
این دانش روزبه روز گسترده‌تر شد و امروزه شاخه مهمی در مهندسی و علوم پایه می‌باشد.
هر چند دانش مهندسی خوردگی در برخی از دانشگاه‌های دنیا از زیر شاخه‌های علم و مهندسی شیمی بوده و ارتباط تنگاتنگی نیز با آن دارد، در کشور ما سیاستگذاری در وزارت علوم، تحقیقات و فناوری بگونه‌ای بوده‌است که مهندسی خوردگی، از زیرشاخه‌های مهندسی مواد قرار داده شده‌است.
علم و مهندسی مواد که به شناخت ویژگی‌های فیزیکی و مکانیکی مواد مختلف، روش‌های ساخت آنها، روش‌های استحصال فلزات و مواد نوین می‌پردازد، به لحاظ ساختار آکادمیک در کشور ما در مقطع کارشناسی دارای سه زیر شاخه مهندسی متالورژی صنعتی، مهندسی متالورژی استخراجی و مهندسی سرامیک است.
در مقطع کارشناسی ارشد، مهندسی مواد به زیرشاخه‌های انتخاب مواد مهندسی، شکل‌دهی فلزات، خوردگی، استخراج فلزات، سرامیک، بیومواد، ریخته‌گری و جوشکاری طبقه‌بندی شده‌است. با این توضیح مشخص است که برای تحصیل در رشته مهندسی خوردگی لازم است تا از مقطع کارشناسی در رشته مهندسی مواد آغاز کرد.
دانش خوردگی مواد، به ویژه فلزات همه صنایع را تحت تأثیر خود قرار داده و مهندسین این رشته همواره در تلاش هستند تا روش‌های موجود برای مقابله با اثرات زیانبار این پدیده را بهبود بخشیده یا روش‌های نوینی برای این کار بیابند. از آنجا که گستره نفوذ خوردگی در صنایع بسیار وسیع است، بنظر می‌رسد آشنایی با اصول و مبانی فرایند خوردگی و همچنین روش‌های عمومی برای کنترل این پدیده برای همه مهندسین ضروری است.
در این نوع خوردگی واکنش‌های شیمیایی به‌طور یکنواخت در سطح فلزات با جابجایی پیوسته آند و کاتد ایجاد شده که علت آن پلاریزاسیون می‌باشد. به‌طور مثال اغلب خوردگی‌های فولاد از این نوع می‌باشد. اهمیت و قدرت این نوع خوردگی از دیگر انواع خوردگی‌ها کمتر است.
هر گاه دو فلز غیر هم جنس در یک الکترولیت تشکیل یک پیل خوردگی دهند، خوردگی گالوانیکی حاصل می‌شود. علت ایجاد این نوع خوردگی در بین فلزات را می‌توان به اختلاف پتانسیل الکتروشیمیایی آن‌ها نسبت داد. پتانسیل دو فلز در الکترولیت‌های مختلف نسبت به یکدیگر متفاوت است. سرعت خوردگی به نسبت سطح کاتد/آند بستگی داشته و هر چه سطح کاتد بزرگ‌تر از آند باشد، سرعت خوردگی و از بین رفتن آند بیشتر است. مثال پوشش دادن فولاد با لایه‌ای از قلع یک نمونه از این خوردگی می‌باشد. اگر خراش یا شکافی در سطح خارجی قطعهٔ فولادی قلع اندود شده ایجاد شود، به‌طوری‌که فولاد به هوای محیط ارتباط پیدا کند، خوردگی در فولاد به وجود آمده و قلع سالم باقی می‌ماند. اما درصورت عدم حضور اکسیژن هوا، قلع نسبت به فولاد آند را تشکیل می‌دهد و در این حالت قلع مادهٔ پوششی مناسبی برای فلزات از جمله ظروف غذایی و آشامیدنی فولادی (استیل) خواهد بود. پس در نتیجه اکسیژن عامل مهمی در در خوردگی گالوانیکی دارد.
خوردگی حفره‌ای نوعی خوردگی موضعی است که به دنبال آن حفره‌هایی در سطح فلز ظاهر شده و با ادامه فعل انفعال خوردگی حفره عمیق‌تر شده و باعث سوراخ شدن لوله‌ها می‌گردد. این نوع خوردگی برای سازه‌های مهندسی بسیار مخرب است. ناخالصی‌های غیر فلزی، ناهمگنی‌های ساختاری و شیمیایی در سطح فلز نقاط متداول مناسبی برای آغاز این نوع خوردگی و شروع ایجاد حفره است.
خوردگی شکافی، نوعی از خوردگی الکتروشیمیایی موضعی است که در شکاف‌ها و در زیر سطوح فلزی پوشش داده شده (به عنوان لایهٔ محافظت‌کننده)، در جایی که محلول‌های راکد وجود دارد، اتفاق می‌افتد. این نوع خوردگی در بسیاری از سیستم‌های آلیاژی مانند فولاد زنگ نزن و آلیاژهای تیتانیم، آلومینیم رخ می‌دهد. مکانیزم خوردگی شکافی تا حدود زیادی مشابه با مکانیزم خوردگی حفره‌ای است. این نوع خوردگی بیشتر می‌تواند در زیر واشرها، میخ پرچ‌ها، پین‌ها، دریچهٔ شیرها محل تکیه گاه‌ها و یاتاقان‌ها و زیر رسوبات متخلخل و دیگر موقعیت‌های مشابه به وجود آید.
این نوع خوردگی که در مرز دانه‌ها اتفاق می‌افتد از انواع خوردگی موضعی می‌باشد. طی فرایند انجام، مرز دانه‌ها آخرین نقاطی هستند که منجمد می‌شوند، لذا غلظت عناصر آلیاژی و ناخالصی در مرز دانه فلزات بیشتر است. اختلاف غلظت آلیاژی بین سطح و مرز دانه‌ها باعث اختلاف انرژی و در نتیجه تمایل به خورده شدن سطح و مرز دانه‌ها می‌شوند و در نهایت مرز دانه‌ها آند و سطح دانه‌ها کاتد می‌شود. برای مثال آلیاژهای آلومینیم با استحکام بسیار بالا و تعدادی از آلیاژهای مس که شامل فازهای رسوبی در مرز دانه‌ها برای افزایش استحکام است می‌توانند تحت شرایط معینی برای خوردگی بین دانه‌ای مستعد باشند.
خوردگی تنشی نتیجه تأثیر هم‌زمان تنش‌های مکانیکی محیط خورندهٔ مناسب بر روی فلز است. این تنش‌های مکانیکی می‌تواند ناشی از تنش‌های خارجی یا داخلی (پسماند) باشد. تنش پسماند در حد بالا می‌تواند از تنش‌های حرارتی در نتیجه سرد کردن غیر یکنواخت (سریع)، طراحی مکانیکی ضعیف برای تنش‌ها، تبدیل فاز هنگام عملیات حرارتی، تغییر شکل سرد و جوشکاری باشد.
مکانیزم تخریب در خوردگی تنشی ا آنجایی که سیستم‌های بسیار مختلفی از آلیاژها و محیط‌های خورنده وجود دارد بسیار پیچیده‌است. در موارد بسیاری تخریب از یک حفره یا ناپیوستگی دیگر موجود بر روی سطح فلز شروع و گسترش می‌یابد. در جدول زیر تعدادی از محیط‌هایی که می‌تواند موجب خوردگی تنشی فلزات و آلیاژها شوند آمده‌است.
خوردگی توأم با خستگی نوع دیگری از خوردگی است که در آن نقطه فلزی تحت تأثیر هم‌زمان واکنش شیمیایی و بار دینامیکی (متناوب) قرار می‌گیرد. در نتیجهٔ این فعل و انفعال ترک‌های درون دانه‌ای ظاهر می‌شود، که شبیه به ساختار میکروسکوپی ترک‌ها در شکست دائم خواهد بود.
فعل و انفعالاتی که به جدا شدن قسمتی از سطح فلز شده و در نتیجه شتابی در سرعت تهاجم خوردگی فلز که در ارتباط با حرکت نسبی مایع و یاز گاز خورنده در سطح تماس فلز می‌انجامد به عنوان خوردگی فرسایشی تعریف می‌شود. این خوردگی در اثر حرکت نسبی یکی از دو ماده ای که در تماس با یکدیگر هستند اتفاق می‌افتد. خوردگی فرسایشی می‌تواند منجر به از بین رفتن روکش‌های ضدزنگ شود.
خوردگی در اثر سایش ناشی از حرکت سیال تشدید می‌شود. با افزایش مواد جامد در سیال این نوع خوردگی تشدید می‌شود. سایش باعث از بین رفتن محصولات خوردگی ایجاد شده در سطح فلز می‌شود و به الکترولیت اجازه تماس با سطح فلز جهت ادامه خوردگی را می‌دهد. به‌طور مثال سرعت گردش سیال حفاری، میزان مواد جامد گِل و جریان آشفته سیال حفاری از عواملی هستند که نسبت مستقیم با این نوع خوردگی دارند.
خوردگی زیر رسوبات نام دیگر این نوع خوردگی می‌باشد. خوردگی اکسیژنی نیز از انواع خوردگی غلظتی است. به‌طور مثال پوشیده شدن قسمتی از سطح لوله‌های حفاری توسط گِل، محصولات خوردگی و لاستیک حلقوی محافظ لوله‌ها باعث ایجاد این نوع خوردگی می‌شود، اختلاف غلظت اکسیژنی ناحیه پوشیده شده توسط رسوبات و ناحیه آزاد باعث شده که سطح زیر این رسوبات آند و بقیه لوله کاتد شود.
یکی از انواع خوردگی است که در آلیاژهای مس – روی اتفاق می‌افتد. در آلیاژهای (برنز و برنج) هر دو فلز مس و روی وارد الکترولیت شده سپس مس مجدداً سطح نمونه را پوشانده و روی در محلول باقی می‌ماند، به این علت در صورتی‌که این آلیاژها مدتی در محیط خورنده قرار گیرند سطح فلز قرمز و متخلخل می‌شود. به این فرایند روی زدایی گویند.
این نوع خوردگی بیشتر در بعضی از راکتورهای اتمی دیده می‌شود. در بعضی از رآکتورها از فلزات مذاب مانند سدیم به عنوان وسیلهٔ خنک‌کننده استفاده می‌شود، زیرا که سدیم قابلیت هدایت حرارتی خوبی دارد. در اینجا واکنش خوردگی عمدتاً مسئله انتقال جرم است و به خوردگی موضعی مربوط نمی‌شود. علت پدیدار شدن این نوع خوردگی تمایلی است که ذرات جسم برای حل شدن در فلز مذاب دارند. این تمایل تا موقعی که در درجه حرارت معین به حد حلالیت و در نتیجه حالت تعادل برسد برقرار است. تأثیر تهاجم خوردگی در نتیجه فلزات مذاب می‌تواند به صورت‌های مختلف مانند حل شدن ساده فلزات، تشکیل ترکیب شیمیایی، متلاشی شدن موضعی اجزایی از فلز باشند.
حرارت محیط یکی از عواملی است که بر میزان و شدت خوردگی فلزات تأثیرگذار می‌باشد. افزایش درجه حرارت محیط باعث افزایش سرعت خوردگی می‌شود. به صورت تجربی مشاهده شده‌است که با افزایش هر ۱۰ درجه حرارت محیط سرعت خوردگی فلز ۲ برابر می‌شود.
در یک محیط الکترولیتی مشترک اگر دو فلز از جنس‌های متفاوتی وجود داشته باشد از آنجا که به صورت الکترود در می‌آیند، اختلاف پتانسل بین آن‌ها شکل می‌گیرد که باعث می‌شود بسته به جنس فلز یکی تبدیل به‌اند و دیگری تبدیل به کاتد گردد. در این حالت فلز اندی با سرعت بیشتری شروع به خورده شدن می‌کند.
ساختمان درونی فلزات از عوامل مهمی است که بر روی خوردگی فلزات و شدت ان تأثیر قابل توجهی دارد. ساختاربلوری فلز، نوع آلیاژ و ترکیب شیمیایی ان، روش‌های ریخته‌گری، خواص مکانیکی و مقاومتی فلزات و انواع مختلف الیاژها و عملیات حرارتی از مواردی است که بر میزان خوردگی تأثیرگذار می‌باشد.
یکی از موارد مؤثر بر خوردگی ساییدگی است. ساییدگی سطح فلز باعث می‌گردد لایه‌های اولیه خورده شده بر روی سطح فلز که مانع از خوردگی سطح‌های پایین‌تر ان می‌گردد، از بین رفته و سطح‌های پایین‌تر در معرض خوردگی‌های بعدی قرار گیرد. مورد مؤثر دیگر برای قطعات فلزی است که تحت تأثیر تنش‌های کششی هستند مخصوصاً زمانی که تنشها از قدرت ارتجاعی فلز بالاتر باشند. در این حالت آمادگی فلز برای خوردگی بسیار بالا می‌باشد. قطعات فلزی که تخت فشار می‌باشند نیز در معرض خوردگی بیشتر قرار دارند.
رطوبت خود عامل مهمی در خوردگی فلزات است زیرا الکترولیتی را برای ایجاد محیط اندی و کاتدی فراهم می‌آورد. از طرف دیگر وجود نمک‌ها و ناخالصی‌ها سرعت خوردگی را افزایش می‌دهند زیرا ایجاد محلول الکترولیتی می‌کنند که تبادل الکترون بین مواد شرکت‌کننده در خوردگی راحت‌تر اتفاق می‌افتد. pH نیز برروند خوردگی تأثیرگذار است. محیط اسیدی الکترولیت قویتری ایجاد خواهد کرد و در نتیجه سرعت خوردگی افزایش پیدا خواهد کرد. از طرف دیگری ایجاد اختلاف مقداری pH در قسمت‌های مختلف فلز باعث به وجود آمدن محیط‌های اندی و کاتدی می‌گردد که در روند خوردگی تأثیرگذار خواهند بود.
از آنجا که خوردگی پدیده‌ای تخریبی است، هزینه‌هایی در پی دارد. این هزینه‌ها در دو دسته مستقیم و غیرمستقم (پیامدهای مستقیم) هستند که دسته دوم بسیار بیشتر از نخستین است. در آمریکا در سال هزینه سالانه خوردگی چیزی پیرامون ۱/۳٪ تولید ناخالص داخلی (۲۷۷ میلیارد دلار در سال 1998])
سرعت خوردگی (i)را با مقدار الکترون تولیدی بر یکای زمان (آمپر I) می‌توان سنجید اما از آنجا که اثر سطح را باید در نظر داشت، بایستی عدد به‌دست آمده بر یکای سطح بخش گردد.
سرعت خوردگی به‌طور معمول به صورت میل در سال (mpy) بیان می‌شود:
عبارت microbiologically influenced corrosion(MIC) مربوط به نوعی از خوردگی یا تخریب ناشی شده یا گسترش یافته توسط فعالیت‌های زندگی میکروبی است. MIC یک مکانیزم خوردگی جدید نیست اما شامل نقش میکروارگانیسم‌ها در پروسه خوردگی است .MIC یک پروسه غیر زنده (abiotic) است تحت تأثیر فاکتورهای زنده بیولوژیکی (biotic).
تعریف دیگری از MIC بدین صورت است:
اثر میکروارگانیسم‌ها بر روی سینتیک پروسه خوردگی فلزات بواسطه چسبیدن آن‌ها به فصل مشترک که معمولاً بیوفیلم خوانده می‌شوند. بعبارتی پیشنیاز MIC حضور و رشد میکروارگانیسم هاست.
یک میکرو ارگانیسم برای آغاز متابولیسمش نیاز به انرژی و برای رشد نیاز به مواد مغذی مانند کربن، نیتروژن و فسفر دارد؛ بنابراین پیش‌نیازهای MIC بدین صورت است:
انرژی مورد نیاز ممکن است از نور خورشید و طی فرایند فتوسنتز گرفته شود یا از طریق واکنش‌های شیمیایی اکسیداسیون و احیاء.
بسته به نوع تجهیزات منبع تأمین انرژی متفاوت خواهد بود برای تجهیزات قرار گرفته روی سطح زمین و نیز سیستم‌های زیر آبی نور خورشید منبع تأمین انرژی است و برای تجهیزات بسته و زیر خاک انرژی مورد نیاز از واکنش‌های شیمیایی تأمین می‌شود.
نور یک منبع مهمی از انرژی می‌باشد چرا که فرایند فتوسنتز را پیش می‌برد (در فتوسنتز دی‌اکسید کربن و آب مصرف و اکسیژن و هیدرات‌های کربن به وجود می‌آیند).
تحت شرایط هوازی احیاء اکسیژن به آب کامل‌کننده فرایند متابولیکی تبدیل مواد مغذی به دی‌اکسید کربن است و تحت شرایط بی‌هوازی پذیرنده‌های دیگری غیر از اکسیژن وارد واکنش می‌شوند.
لازم است ذکر شود که MICتن‌ها زمانی می‌تواند اتفاق بیفتد که میکروارگانیسم‌ها فعال و حاضر باشند. میکرو ارگانیسم‌ها بیش از هر چیزی نیاز به آب دارند. اگر که اکتیویته آب کمتر از ۰٫۹باشد باکتری‌ها نمی‌توانند رشد کنند. تنها قارچ‌ها می‌توانند در آبی با اکتیویته ۰٫۷رشد کنند، اما آن‌ها نقش مهمی در MICبازی نمی‌کنند.
SRBیک ترم عمومی است شامل تمام تک سلولی‌هایی می‌شود که سولفات(SO4 2-) سولفید و تیوسولفات و همچنین گوگرد را برای به‌دست آوردن انرژی به H2S احیا می‌کنند. برای انواع باکتری‌های متفاوت مناسب‌ترین دما برای رشدSRB حدود۲۰–۳۰ است؛ ولی این باکتری‌ها قادرند تا دمای ۵۰–۶۰˚Cنیز زنده بمانند
.SRB به عنوان اصلی‌ترین عامل MIC در آهن، مس و آلیاژهای آهنی شنا خته شده‌است. SRBدر شرایط بی‌هوازی خاک، آب دریا، فاضلاب، لوله‌های زیر زمینی و چاه‌های نفت با pHهای بین ۶–۹ وابسته است.
SRBهمه جا یافت می‌شوند، بی هوازی‌های بسیار متفاوتی هستند (در ضمن بیماری‌زا نیستند). متداول‌ترین آن‌ها Desulfovibrioاست.
یک میکرو ارگانیسم می‌تواند به راحتی به سطح بچسبد لایه‌هایی را به نام بیو فیلم تشکیل دهد، بدین صورت که ابتدا بخش‌های آلی روی سطح مواد می‌چسبند. میکروارگانیسم‌ها خواص سطحی مواد به‌خصوص بار استاتیکی و قابلیت خیس شوندگی آن را تغییر می‌دهند. سپس باکتری‌ها جذب سطح می‌شوند و رشد می‌کنند تا کلونی‌ها را تولید کنند، بنابراین میکرو فیلم‌ها رشد خواهند کرد. این لایه‌ها می‌توانند خیلی نازک باشند یا رشد کنند و به ضخامت سانتیمتر هم برسند. بیوفیلم‌ها با یک ساختار غیر یکنواخت شناخته می‌شوند.
گرچه SRB بی‌هوازی هستند می‌توانند در غلظت‌های کمی از اکسیژن نیز رشد کنند. فعالیت SRBدر سیستم‌های طبیعی و انسانی باعث ایجاد نگرانی در صنایع شده‌است. به‌خصوص در صنایع نفت و گاز و کشتی‌سازی که شدیداً به وسیلهٔ سولفید تولید شده توسط SRB تحت تأثیر قرار می‌گیرند.
خوردگی یکنواخت را به سه طریق می‌توان کنترل یا کم کرد که ممکن است یک نوع یا دو نوع را با همدیگر انجام داد.
برای جلوگیری از این خوردگی روش‌های مختلفی وجود دارد که گاهی یکی به تنهائی پاسخگو نمی‌باشد و باید دو یا سه نوع را با هم به کار برد.
این نوع آلیاژها عبارتند از:
نکته: افزودن ممانعت‌کننده باید با دقت خاصی صورت گیرد به دلیل اینکه اگر خوردگی کاملاً متوقف نگردد، حفره‌دار شدن تشدید می‌شود.
به دلیل اینکه این خوردگی بیشتر در فولادهای زنگ نزن اتفاق می‌افتد سه روش جلوگیری آن را در این مورد ذکر می‌کنیم:
پوشش‌های سخت یا زره‌ها یا روکش‌های قابل تعویض، مشروط به اینکه از جنس مقاومی از نظر خوردگی ساخته شده باشند کاربرد مفیدی در خوردگی سایشی دارد.
روش‌های جلوگیری از خوردگی همراه با تنش
این مورد باید مواقعی به کار برده شود که مطمئن باشیم خوردگی در اثر SCC بوده‌است نه در اثر تردی هیدروژنی، زیرا در غیر این صورت حالت عکس دارد.
Hamidreza Mansouri, Seyed Abolhasan Alavi, Meysam Fotovat, "Microbial Influenced Corrosion of Corten Steel Compared to Carbon Steel and Stainless Steel in Oily Waste Water by Pseudomonas Aeruginosa"; JOM
Mars G. Fontana, "Corrosion Engineering", McGraw-Hill.
ساختار کلرید سزیم یکی از ساختارهای دوتایی مواد است که در آنها کاتیون‌ها در مرکز مکعب ساده و آنیون‌ها در رئوس قرار می‌گیرند؛ که مشابه شبکه مکعبی مرکز پر در فلزات است.
عدد کئوردیناسیون کاتیون در آن برابر 8 است و هر سلول واحد آن یک مولکول گرم می باشد
ساختار آنتی فلوریت یکی از ساختارهای دوتایی مواد است که در آن آنیون‌ها و کاتیون‌ها در مواضع معکوس نسبت به ساختار فلوریت قرار می‌گیرند. یعنی آنیون‌ها دارای آرایش مکعبی با وجوه مرکزپر بوده و کاتیون‌ها در حفره‌های چهار وجهی قرار می‌گیرند.
سامی محمود پنجمین رئیس دانشگاه شارجه می باشد. ایشان پیشتر مسئول دانشگاه کارلتون در کانادا بودند
سامی محمود پنجمین رئیس دانشگاه شارجه می باشد. محمود این مسئولیت را در اول آگوست ۲۰۰۸ قبول کرده است. پیشتر ایشان استاد مهندسی کامپیوتر و سیستم در دانشگاه کارلیتون بوده همچنین ریاست این دانشگاه را از نوامبر ۲۰۰۶ بعد از استعفای دیوید آکینسون بر عهده داشته است. دکتر محمود فارغ التحصیل دانشگاه کارلتون در سال ۱۹۷۵ با مدرک دکترای برق می باشد. ایشان مسئولیت های گوناگونی در دانشگاه کارلتون از جمله ریاست دانشگاه- ریاست دانشکده ی برق و ریاست دانشکده ی کامپیوتر و سیستم ها را بر عهده داشته اند.
دکتر محمود با ماها ازدواج کرده و از سال ۱۹۷۵ در اوتاوای کانادا ساکنند.
Wikipedia contributors, "Samy Mahmoud," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Samy_Mahmoud&oldid=188409913 (accessed October 10, 2013).
اِسکی‌شَهر (به ترکی: Eskişehir) مرکز استان اسکی‌شهر ترکیه است. این شهر به خاطر دو دانشگاه آناتولی و عثمان‌قاضی یک شهر دانشجویی شده‌است. رود پُرسوک از میان این شهر می‌گذرد.
اسکی‌شهر به این خاطر که میان دو شهر بزرگ ترکیه یعنی آنکارا و استانبول واقع شده‌است از موقعیت راهبردی و اقتصادی خوبی بهره‌مند است؛ از این‌رو کارخانه‌ها و شرکت‌های بزرگی در محدوده شهر و در قالب شهرک صنعتی مستقر شده‌اند. به علت موقعیت اقتصادی آن خط قطار تندرو آنکارا و استانبول از اسکی‌شهر می‌گذرد و مدت سفر بین آنکارا و اسکی‌شهر را که با اتوبوس ۳ ساعت است به یک ساعت و ۲۰ دقیقه کاهش داده‌است.
نام این شهر از واژه ترکی «اسکی» به معنی قدیمی به اضافه شهر فارسی تشکیل شده و به معنی شهر کهن است. این شهر را فریگی‌های هندواروپایی در حدود دست‌کم هزار سال پیش از میلاد مسیح بنیاد کردند. گرچه دیرینگی آن تا ۴ هزار سال پیش نیز برآورد شده‌است.