moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
اگر تابع هدف نسبت تابعی مقعر (Concave) و محدب (Convex) باشد و محدودیت‌ها به صورت محدب باشد، این مسئله می‌تواند به یک مسئله بهینه‌سازی محدب تبدیل شود که در آن از تکنیک‌های برنامه‌نویسی کسری استفاده می‌شود.
روش‌ها و متدهای زیادی برای حل مسئله‌های غیر محدب وجود دارند. یکی از این روش‌ها استفاده از فرمولاسیون‌های ویژه مسائل برنامه‌نویسی خطی است. یکی دیگر از این روش‌ها استفاده از روش شاخه و حد است که مسئله در آن به زیر بخش‌هایی برای حل به صورت محدب یا تقریب خطی تقسیم می‌شود.
یک مسئله ساده می‌تواند با محدودیت‌های زیر تعریف شود:
با تابع هدفی به صورت زیر که باید بیشینه شود:
درحالی که:
(x = ("x"، "x".
حل دو بعدی مسئله.
نمونه دیگری از مسئله می‌تواند به صورت زیر تعریف شود:
(x = ("x"، "x"، "x".
حل سه بعدی مسئله.
شخبوط بن ذیاب بن عیسی آل نهیان ( درگذشتهٔ ۱۸۱۶ ) دومین شیخ ابوظبی است. او جانشین پدرش ذیاب بن عیسی بن نهیان آل نهیان شد و از سال ۱۷۹۳ تا سال ۱۸۱۶ حکمرانی کرد.
محمد بن شخبوط بن ذیاب بن عیسی آل نهیان سومین شیخ ابوظبی است. او جانشین پدرش شخبوط بن ذیاب بن عیسی آل نهیان شد و از سال ۱۸۱۶ تا سال ۱۸۱۸ حکمرانی کرد
طحنون بن شخبوط بن ذیاب بن عیسی آل نهیان ( درگذشتهٔ ۱۸۳۳ ) چهارمین شیخ ابوظبی است. او جانشین برادرش محمد بن شخبوط بن ذیاب بن عیسی آل نهیان شد و از سال ۱۸۱۸ تا سال ۱۸۳۳ حکمرانی کرد
روانشناسی سیاسی از جمله رشته‌های میان رشته‌ای بوده که در دوران کنونی وارد مباحث سیاسی ـ اجتماعی شده‌است؛ و به بررسی و تحقیق در رفتار سیاست‌مداران نیز نسبت داده می‌شود؛ و یک نوع از سیاست‌شناسی می‌باشد. روانشناسی سیاسی را می‌توان به‌طور کل این‌گونه تعریف کرد:
شناخت و دانش اصول سیاست و تحقیق و جستجوی آن‌ها (تقریباً شبیه به اقتصاد سیاسی).
روانشناسی سیاسی شکلی از سیاست است که به رفتارها و اخلاقیات و روان سیاست مربوط است و می‌توان گفت که به شناخت باورهای سیاسی مربوط است. این نوع روانشناسی را هم می‌توان در رشتهٔ روانشناسی زیر شاخه کرد و هم در شناخت سیاست.
روانشناسی سیاسی دانشی میان رشته‌ای شناخته می‌شود که به بررسی رفتار انسان در عرصه سیاست و عملکردهای سیاسی می‌پردازد. در واقع روانشناسی سیاسی به چرایی رفتارها در مناسبات و تصمیمات سیاسی پرداخته و عمل انجام شده را توصیف و علت یابی می‌کند. از این رو است که در آن از مفاهیمی چون جامعه‌پذیری سیاسی یاد می‌شود.مقدمه‌ای بر روانشناسی سیاسی
موموتومبو آتشفشان چینه‌ای جوانی به ارتفاع ۱۲۹۷ متر است که در شمال غربی کرانه‌های دریاچه ماناگوآ در نیکاراگوآ قرار دارد. این آتشفشان در حدود ۴٬۵۰۰ سال پیش در منتهی‌الیه جنوب شرقی رشته‌کوه مارابیوس شروع به شکل‌گیری نمود و در طول حیاتش، مجموعه‌ای از فوران‌های استرومبولی و گهگاه فعالیت‌های انفجاری شدیدتر را از خود بروز داده‌است. دهانهٔ این آتشفشان ۲۵۰ متر طول و ۱۵۰ متر عرض دارد.
فوران شدید موموتومبو در سال ۱۶۰۹ میلادی باعث شد تا ساکنین شهر مستعمره‌نشین لئون (لئون ویخو یا لئون قدیم)، تصمیم به جابجایی شهر خود از کوهپایه‌های آتشفشان گرفته و شهر جدید را در فاصلهٔ ۳۰ کیلومتری از غرب موموتومبو بنا کنند.
یک میدان عظیم زمین‌گرمایی در دامنه‌های جنوبی آتشفشان وجود دارد و نیروگاهی زمین‌گرمایی نیز در پای کوه ساخته‌شده تا به تولید انرژی از گرمای آتشفشان بپردازد.
گِل مالی، آیین گِل یا خٙه‌رٙه مالی
اصل این ایین متعلق به مردم شهرهای بروجرد، خرم اباد، همدان، بوشهر، یاسوج، کرمانشاه، دزفول میباشد. آئینی است که مردم لر در سوگواری‌های مختلف از جمله در مرگ افراد خانواده یا عزاداری‌های مذهبی انجام می‌دهند. گل‌مالی در زبان لری با عنوان خَه‌رَّه‌گیری تلفظ می‌شود. خَه‌رّه به معنای گِل است. و در لکی هَری مالین تلفظ میشود ، هری به معنای گِل است . آئین گل‌مالی در روز عاشورا در ماه محرم در استان‌های غربی ایران در منطقه زاگرس به ویژه لرستان برگزار می‌شود.آیین گل‌مالی همچنین در بخش‌هایی از استان‌های خوزستان، مرکزی و همدان نیز مراسم گل‌مالی در روز عاشورا دیده می‌شود.برخی از مردم از صبح تا مراسم شام غریبان گِل های خود را پاک نکرده و در مراسم شام غریبان به عزاداری می‌پردازند.
آئین خاص گل مالی در خرم‌آباد و مناطق اطراف آن دارای چند مرحله است که از روز هفتم محرم که به روز «تراش عباس» موسوم است شروع می‌شود. در روز هفتم محرم عزاداران حسینی به حمام رفته و پس از اصلاح سر و صورت و نظافت کامل، لباس‌های تمیز می‌پوشند که این روز را «تراش عباس» می‌نامند. از این روز به بعد، عده‌ای برای افروختن آتش در صبح عاشورا به جمع کردن و گردآوری هیزم در سطح شهر می‌پردازند تا اگر در روز عاشورا برف و باران ببارد و احیاناً هوا سرد باشد، عزادارانی که در گِل می‌افتند (مراسم گِل افتادن) از سرما حفظ شوند. به این منظور عده‌ای در محل دوره افتاده و با خواندن جملاتی از خانه‌ها تقاضای هیزم می‌کنند که مردم نیز با کمال میل بسته به نذری که دارند به آنان هیزم می‌دهند. در روز تاسوعا نیز عزاداران خاک نرم و مخصوصی بنام گل باغچاله (گل رس) را مهیا کرده و در میدان‌های بزرگ و کوچک که معمولاً با آجر چینی در جلوی خیمه‌ها و تکیه‌های شهر درست می‌شود می‌ریزند و در روز عاشورا این خاک را با گلاب مخلوط کرده و گل روز عاشورا را مهیا می‌کنند. همه مردم لر خه ره مالی ندارند. فقط مردم استان لرستان این رسم را دارند.
روز عاشورا، عزاداران فراخوانده شده با حضور در تکیه‌های محله و گل‌مالی کردن خود گرد آتش می‌ایستند تا از سرما محفوظ مانده و شروع به سینه زنی و عزاداری می‌کنند.تصاویر مراسم گل‌مالی
در بروجرد در صبح عاشورا و هم‌زمان با طلوع آفتاب، در محل تجمع هر یک از دسته‌های عزادار، دیگ‌های مسی برای جوشاندن گِل و آماده‌سازی خَه‌رّه تدارک دیده می‌شود. عزاداران قدری از خَه‌رّه را به لباس، ریش، مو و گونه خود می‌مالند. دسته‌های عزادار از ابتدای صبح در کوچه و خیابان‌ها روانه مجالس عزاداری می‌شوند و در هر مجلس سینه زنی می‌کنند. به نوشته کتاب «تذکره حسین حزین»، گل گیرندگان که به آن‌ها خَه‌رّه گیر گفته می‌شود به‌طور عمده پیرمردان و سالمندان بوده‌اند که در دسته‌های سینه زنی در جلوی هیئت قرار می‌گرفته‌اند و خه‌ره گیران بی ریاترین سینه زنان بوده‌اند.
در صفحه ۱۸۳ تذکره حزین آمده‌است:
نوحه دسته‌های عزا به‌طور معمول با این وزن بود:
و یا قطعه زیر را که واصف تفنگ ساز سروده می‌خوانند:
گرمابه‌های عمومی بروجرد در روز عاشورا رایگان هستند و سینه زنان نزدیک ظهر به گرمابه رفته و پس از قدری سینه زنی، گل از تن خود می‌شویند و لباس‌های تمیز می‌پوشند.
به گفته خبرگزاری مهر، یکی از عوامل تخریب جنگل‌ها در استان لرستان و ا که هر ساله تکرار می‌شود بحث استفاده از هیزم و چوب درختان در برگزاری آئین گل مالی روز عاشورا است. در روز عاشورا در استان لرستان به دلیل وجود برخی باورها مردم تعدادی از شهرها و روستاهای استان به گل می‌افتند که برای خشک شدن و گرم کردن افراد، هیئت‌های عزاداری باید اقدام به روشن کردن آتش کنند که در این راستا بخشی از درختان استان برای استفاده به عنوان هیزم قطع می‌شوند.
در سال‌های اخیر اداره کل منابع طبیعی با همکاری تشکل‌های مردم‌نهاد برنامه‌هایی را برای تدارک هیزم مورد نیاز تدارک دیده‌اند. از جمله اینکه منابع طبیعی درخت‌های قطع شده در مسیر طرح‌های عمرانی را جمع‌آوری و در محل مشخص دپو می‌کند و در اختیار هیئت‌های مذهبی قرار می‌دهد.http://www.mehrnews.com/news/2413768/
به پیروان مذهب تشیع اثنی عشری امامی یا امامیه نیز گفته می‌شود. امامی همچنین از نام‌های خانوادگی متداول در ایران است. فهرست زیر دربردارنده افرادی با این نام خانوادگی است:
کیتن به اعتقاد مردم عیلام باستان به نیرویی اسرارآمیز و فوق طبیعی همهٔ خدایان گفته می‌شود. کیتن طلسم و فره ایزدی بود، و به منظور حمایت و حتی تنبیه به کار می‌رفت. فرمانروایان عیلام سلطه خود را براساس حمایت سحرآمیز کیتن بنیان نهاده‌بودند، و به منزلهٔ نمایندگان زمینی کیتن آسمانی به شمار می‌آمدند، ضمن آنکه خدایان دارای کیتن بودند، هومبان را برخوردار از فره ویژه فرمانروایان می‌دانستند. شاهان خود را در برابر رعیت کارگزاران زمینی کیتن الهی می‌دانستند. کسی که به آن تعدی می‌کرد زندگی خود را می‌باخت و مطرود می‌شد.
پادشاهان ایلام قدرت خود را بر پایهٔ محافظت جادویی کیتن استوار می‌کردند و خود را در برابر رعیت، کارگزار زمینی کیتن الهی می‌دانستند. کسی که به آن تعدی می‌کرد، زندگی خود را می‌باخت، مطرود می‌شد و می‌بایست بمیرد.
ویدرنه (Vidṛna) در قیام هفت نفر شرکت داشت و با داریوش بزرگ جلوی گئومات غاصب را گرفتند.
نام ویدرنه در منابع یونانی به شکل هیدارنس (Hydárnēs) ثبت شده است.
در زمان خشایارشا فرزندش که پس از پدر، ویدرنه دوم نامیده شد فرمانده سپاه جاویدان هخامنشیان و ساتراپ پارت و چند ساتراپی دیگر بود. در زمان او بود که گارد جاویدان، ده هزار نفر شد.
گئومات غاصب، بعد از دست انداختن به تاج و تخت، تمام زنان متعلق به کمبوجیه را نیز در اختیار گرفت. یکی از این زنان، فیدیما، دختر مردی به نام هوتن [ یا ] یکی از تواناترین نجبای ایران در زمان هخامنشیان بود.
اولین کسی، که پس از هفت ماه فرمانروایی به گئومات ظنین شد، که او فرزند کوروش نیست! بلکه مرد شیادی است، هوتن بود. او موضوع را از دختر خود پرس‌و‌جو کرد و دخترش نتیجهٔ تحقیق را به پدر اطلاع داد.
هوتن نیز بلافاصله، یک دستهٔ شش نفره از نجبای پارس را، که به آنها اطمینان داشت، در شوش تشکیل داد و با ورود داریوش به پارس، این تصمیم اتخاذ شد که او را نیز در گروه خویش وارد سازند. این هفت نفر با هم قسم خوردند که برای دفع غاصب اقدام کنند.
نام این هفت نفر، در کتاب هرودوت و در کتیبه بیستون، از این قرار است:
هرودوت می‌نویسد:
در پی کشته شدن گئومات و در طی مذاکره راجع به تعیین نوع حکومت ایران در زمان داریوش بزرگ بغابوخش یا مگابیز، پیشنهاد حکومت الیگارشی یا چند تنی را به داریوش داده‌است …!هرودوت، ص ۲۱۷
یکی از ناشایسته‌ترین و بی‌تدبیرانه‌ترین کارهای خشایارشا، برکناری ویدرنه، پس از نبردهایش با یونان بود.این داستان مربوط به فرزند ویدرنه، ویدرنه دوم (هیدرانس دوم) می‌باشد و ارتباطی با ویدرنه پدر ندارد
سپس خشایارشا، اردوان را به سمت فرماندهی سپاه خویش منصوب کرد. در نهایت، اردوان و خواجه‌ای به نام میترادات(مهرداد)، در سال ۴۶۵ پیش از میلاد، خشایارشا را در بسترش به قتل رساندند.
یونانی‌ها بخاطر شکست‌های بسیار پیچیده‌ای که از سپاه خشایارشا خوردند، همواره در کتاب‌های تاریخی خود، سعی در تخریب شخصیت وی داشته‌اند.
ویدرنه، به شکل عجیبی سپاه ایران را از تنگه‌های بسفر و داردانل امروزی، عبور می‌دهد و فرماندهی ناوگان دریایی ایران، در محاصره آتن را بر عهده داشته که گفته می‌شود، شگفت‌انگیزترین حمله دریایی تاریخ باستان است.
در این حمله دریایی، هر چند نیروی دریایی ایران پیروز می‌شود، اما کشتی ویدرنه در یک سانحه طبیعی غرق می‌شود که در کتب یونانی، از آن به "شکست نیروی دریایی ایران"، یاد می‌شود!
زیرا پس از این سانحه، نیروی دریایی ایران از محاصره آتن عقب‌نشینی می‌کند و … که در نهایت از راه خشکی، آتن را تصرف می‌کند.
سفونی سرزمین‌های طلسم‌شده دومین آلبوم استودیویی گروه سمفونیک پاور متال ایتالیایی راپسودی (بعدتر راپسودی آو فایر) است که در ۵ اکتبر ۱۹۹۸ توسط شرکت ضبط موسیقی آلمانی لیمب میوزیک و با طرح جلدی از اریک فیلیپ منتشر شد. این آلبوم همچنین دومین فصل از ساگای پنج‌قسمتی «حماسهٔ شمشیر زمردین» را روایت می‌کند.
تمامی ترانه‌های این آلبوم را لوکا توریلی نوشته‌است و آهنگسازی آن را لوکا توریلی و آلکس استاروپولی انجام داده‌اند. استاروپولی در عین حال کار تنظیم ارکستر را نیز برعهده داشته‌است.
کاپشن یا کاپیشان (Капюшон) یک وام واژه از زبان روسی است که در اصل به معنای «بالاپوش» است و معادل انگلیسی آن، Hood است، ولی در ایران به معنای نوعی ژاکت سنگین است که بیش‌تر آن‌ها دارای کلاه هستند و برخی نیز دارای کلاه پنهانی در پشت هستند. این نوع پوشش در گذشته بیشتر از جنس چرم بود و امروزه از الیاف مصنوعی مانند پلی‌استر و نایلون هم تولید می‌شود.
کاپشن لباسی است که به حفظ گرمای بدن و جلوگیری از یخ‌زدگی آن در برابر سرما و باد کمک می‌نماید.
در سال ۱۹۷۸ جف دینیتز (Jeff Dinitz) مسئله زیر را در نظریه گراف بیان کرد که به حدس دینیتز مشهور شد:
فرض کنید L مربع از مرتبه n باشد؛ که در هر خانه (i,j) از L لیست (C(i,j از n رنگ مختلف داریم. آیا می‌توان به هر خانه از L یکی از رنگ‌های لیست آن خانه را نسبت داد به‌طوری‌که هر رنگ در هر سطر و در هر ستون حداکثر یک بار ظاهر شود؟
این مسئله در حالتی که همه لیستها برابر با {n،...۳٬۲٬۱} باشند، ساده است، کافیست ۱ تا n را در سطر اول بنویسیم، و در هر سطر دیگر اعداد سطر قبل را یک واحد چرخش دهیم تا یک مربع لاتین چرخشی به دست می‌آید که بوضوح شروط مسئله را ارضا می‌کند.
ولی مسئله همیشه به این سادگی نیست. مربعی ۲*۲ را در نظر بگیرید که
اگر کسی خانه (۱٬۱) را با ۱ و خانه (۱٬۲) را با ۲ رنگ کند دیگر نمی‌تواند مربع را کامل کند. چرا که هم‌خانه (۲٬۱) و هم‌خانه (۲٬۲) باید با ۳ رنگ شود.
این مسئله را می‌توان با قرار دادن یک راس در هر خانه مربع و وصل کردن دو راس که در در یک سطر یا یک ستون هستند، به یک مسئله رنگ آمیزی لیستی گراف‌ها تبدیل کرد. گرافی که اینگونه از این مربع به دست آمد را (G(L بنامید.
اکنون به قضیه زیر دربارهٔ عدد رنگی لیستی در گراف‌های جهتدار که توسط Bondy-Boppana-Siegel اثبات شده توجه کنید.
قضیه: اگر (D=(V,E یک گراف جهتدار باشد که به هر راس v از آن یک مجموعه (C(v به عنوان لیست رنگی نسبت دهیم و (C(v بیشتر از درجه خروجی v عضو داشته باشد، و هر زیرگراف القایی راسی از D دارای هسته باشد در این صورت می‌توان هر راس را با یکی از رنگهای لیستش رنگ کرد که هر دو راس مجاور همرنگ نباشند.
در ادامه نیاز به مفهومی به نام تطابق پایدار داریم:
فرض کنید [G[X,Y یک گراف دو بخشی باشد که برای هر راس v از G همسایه‌های راس v یک ترتیب و اولویتی برای v دارند. تطابق M را پایدار گوییم هرگاه برای هر یال uv از G که در M نیست، یا یال uy در M هست که از نظر u, راس y اولویت بیشتری نسبت به v دارد یا یال vx در M هست که از نظر v, راس x اولویت بیشتری نسبت به u دارد.
Gale در سال ۱۹۶۲ ثابت کرد هر گراف دو بخشی یک تطابق پایدار دارد.
اکنون در ادامه اثباتی از (Galvin ۱۹۹۳) ارائه می‌دهیم که نشان می‌دهد پاسخ سؤال مطرح شده توسط Dinitz همواره مثبت است. نشان می‌دهیم (G(L عدد رنگی لیستی n دارد. برای این کار یال‌های (G(L را طوری جهت می‌دهیم که درجه خروجی هر راس برابر n-۱ باشد و هر زیر گراف القایی (G(L دارای هسته باشد. پس بنابر قضیه بالا هر راس v از (G(L را می‌توان با یکی از رنگ‌های لیستش رنگ کرد که با رنگ رأس‌های همسایه (راس‌های هم سطر یا هم ستون) v متفاوت باشد. یعنی هر رنگ در هر سطر یا ستون حد اکثر یکبار ظاهر می‌شود.
فرض کنید خانه‌های L را با اعداد ۳٬۲٬۱،... ، n طوری پر کرده‌ایم که L یک مربع لاتین از مرتبه n شود. عدد نوشته شده در خانهٔ (i,j) این مربع را (L(i,j بنامید. یال‌های (G(L را به شرح زیر جهت دهید:
اگر (L(i,j از (L(i,k کمتر بود جهت یال ((i,j)(i,k)) در (G(L از (i,j) به (i,k) باشد، و اگر (L(i,j از (L(k,j بیشتر بود جهت یال ((i,j)(k,j)) در (G(L از (i,j) به (i,k) باشد،
بدیهیست که درجه خروجی هر راس برابر n-۱ است.
فرض کنید A زیر مجموعه‌ای از رأس‌های (G(L باشد
گراف دو بخشی [H[X,Y را در نظر بگیرید:
X = مجموعه سطرهای L,
Y = مجموعه ستون‌های L,
راس i از X به راس j از Y متصل است اگر (i,j) عضو A باشد،
برای هر i از X، اولویت ستون j از ستون k بیشتر است اگر (L(i,k از (L(i,j کمتر باشد،
برای هر j از Y، اولویت سطر i از سطر k بیشتر است اگر (L(i,j از (L(k,j کمتر باشد،
می‌دانیم هر گراف دو بخشی تطابق پایدار دارد، پس H هم تطابق پایداری مثل M دارد، دقت کنید هر یال M بین راس i از X و j از Y متناظر با راس (i,j) از (G(L است، به راحتی دیده می‌شود رأس‌های متناظر M یک هسته برای زیر گراف القای می‌سازند.
پس ثابت کردیم هر زیر گراف القایی از (G(L هسته دارد، پس حکم ثابت شد.
آریهَ سَماج (به سانسکریت: आर्य समाज، به معنی انجمن آریا) یکی از جنبش‌های اصلاحات در هند بود که در تاریخ ۱۰ آوریل ۱۸۷۵ از سوی دایاننده سرَسوَتیDayananda Saraswati بنیاد شد.Hastings, James; John A. Selbie (Ed.) (2003). Encyclopedia of Religion and Ethics, Part 3. Kessinger Publishing. p. 57. .
سرسوتی به حاکمیت خطاناپذیر وداها باور داشت و بر آرمان‌های پاکدامنی و برهمن‌پوییBrahmacharya تأکید می‌کرد. در جهان امروزه سه تا چهار میلیون پیرو دارد.
آتاماتای سلولی نقطه کوانتومی نوعی فناوری محاسباتی است که جهت ساخت مدارهای الکتریکی در ابعاد نانو به کار برده می‌شود. این فناوری بر پایه سلول QCA شکل گرفته‌است، هر سلول دارای یک محیط مربعی شکل بوده و درون آن از چهار حفره که در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند تشکیل شده‌است. همچنین سلول QCA دارای دو الکترون اضافی است، که می‌توانند آزادانه بین حفره‌ها حرکت کنند. به‌طور کلی ۶ حالت مختلف برای قرار گرفتن ۲ الکترون در ۴ حفره، امکان‌پذیر است. تمامی این ۶ حالت پایدار نیستند زیرا به دلیل وجود نیروی دافعهٔ کولمبی بین الکترون‌ها، آن‌ها همواره در وضعیتی قرار می‌گیرند که بیشترین فاصله را از یکدیگر داشته باشند. بنا بر این حالت‌های پایدار وقتی برقرارند که حفره‌ها به صورت قطری اشغال شده باشند.
محل قرارگیری این دو الکترون در حفره‌ها با توجه به قانون دافعه کولومب در گوشه‌های مخالف به شکل اریب خواهد بود، که دو ساختار را ایجاد می‌کند. این دو ساختار دو قطب +۱ و -۱ را نمایش می‌دهند که در محاسبات، مقدارهای منطقی ۱ و ۰ را به ترتیب به آن‌ها نسبت می‌دهیم. الکترون‌ها هنگام جایجایی در داخل سلول با یک حرکت غیر خطی بین حفره‌ها تونل می‌رنند. فاصله حفره‌ها معمولاً حدود ۲ نانومتر است. نیروی دافعهٔ کولمبی فقط بین الکترون‌های داخل یک سلول برقرار نیست، بلکه هر سلول نیز بر سلول‌های مجاور تأثیر می‌گذارد. در صورتی که دو سلول در کنار یکدیگر قرار داشته باشند، همواره در وضعیتی قرار می‌گیرند که نیروی دافعهٔ کولمبی به حداقل برسد.
از یک آرایه سلول‌های کنار هم می‌توان مانند یک سیم برای انتشار اطلاعات استفاده کرد. همچنین می‌توان سلول‌ها را به حالت ۴۵ درجه قرار داد. در هر مدار مبتنی بر QCA، یک یا چند ورودی وجود دارد که مقدار آن‌ها ثابت است. همچنین یک یا چند خروجی وجود دارد که با توجه به نوع چینش سلول‌ها و مقدار ورودی‌ها و نیرویی که الکترون‌های مجاور به هم وارد می‌کنند مقدار منطقی ۱ یا ۰ می‌گیرند.
مدارهایی که تحت تکنولوژی CMOS ساخته می‌شوند تفاوت بسیار چشمگیری در مساحت و میزان توان مصرفی نسبت به مدارهای تحت تکنولوژی QCA دارند. بدین معنی که نسبت به مدارهای QCA مساحت بسیار زیادی اشغال می‌کنند و توان مصرفیشان بسیار بسیار بیشتر است. این گونه‌است که QCA با این خصوصیات منحصربه‌فرد تحول بزرگی در حوزه علم کامپیوتر و مدارهای منطقی به حساب می‌آید.
QCA نسبت به CMOS بسیار کوچکتر است حتی ابعاد سلول QCA در حد مولکول یا اتم قابل پیاده‌سازی است. QCA مصرف توان بسیار بسیار پایینی نسبت به CMOS دارد چون نه تنها جریانی در مدار وجود ندارد خازن خروجی هم در مدار نخواهد بود. در بعضی پیاده‌سازی‌های QCA تعامل‌ها مغناطیسی انجام می‌شود و تنها در همین موارد کندتر از CMOS عمل خواهد کرد. با توجه به کندی مدارهای QCA در بعضی پیاده‌سازی‌ها و انتشار منطق از هر دو سمت سیم و گیت‌ها نیاز شدید به clock در آن‌ها احساس می‌شود. QCA ساختارهای ساده ای برای طراحی گیت‌های AND و OR دارد. و توانایی عبور سیم‌ها از روی هم نیز از مزیت‌های این تکنولوژی است. معکوس (Invert) کردن نیز به راحتی با تغییر طول سیم‌ها امکان‌پذیر است. از دیگر معایب QCA کار کردن در دمای زیر ۷۰ درجه کلوین است. Delay بالا و انتشار منطق در دو طرف سیم نیز برای انتخاب این تکنولوژی عامل باز دانده خواهد بود. تحقیقات تخمین می‌زند که فرکانس کاری QCA در محدوده فرکانسی تراهرتز (امواج تراهرتز) خواهد بود ولی در عمل فرکانسی کمتر مشاهده خواهد شد.
در مدارهای QCA, Clock در مقایسه با مدارهای سنتی مانند عاملی الکترونیکی است که حرکت اکترونها در داخل سلول را کنترل می‌کند. در واقع نحوه کنترل آن به این صورت است که اگر اطلاعاتی به قسمتی از مدار برسد که باید با چند ورودی دیگر ترکیب شده و خروجی مطلوب را تولید کند، در صورتی که ورودی‌های دیگر دیرتر به آن قسمت مدار برسند، از انتشار اطلاعات در آن قسمت تا رسیدن ورودی‌های دیگر جلوگیری می-کند. بدین ترتیب در واقع وجود Clock باعث ایجاد همزمانی در بخش‌های مختلف مدار می‌شود.
هر Clock چهار فاز دارد:
Switch: این فاز نیروهای مانع حرکت الکترون‌ها در داخل هر سلول شروع به افزایش می‌کند و حرکت الکترونها آرام آرام رو به سختی می‌گراید.
Hold: در این فاز نیروهای مانع حرکت الکترون‌ها در داخل سلول به حد بیشینه خود رسیده و مکان الکترونها ثابت باقی می‌ماند.
Release:در این فاز مقدار نیروی مانع شونده رو به کاهش می‌گذارد و آرام آرام الکترون‌ها آزاد می‌شوند.
Relax: در این فاز سلول هیچ قطبیتی ندارد و الکترون‌ها کاملاً آزادانه در داخل سلول حرکت می‌کنند.
ساخت مدارهای QCA به‌طور کلی به ۴ دسته تقسیم می‌شود: جزیره فلزی، مولکولی، نیمه‌هادی و مغناطیسی
اولین تکنولوژی پیاده‌سازی QCA برای عملی کردن آن به عنوان یک موضوع تئوری بود. و به دلیل خواص ساختاریش هیچ‌گاه قصد وتوانایی رقابت با تکنولوژی‌های جدید QCA را نداشته‌است.
این روش به صورت ایجاد سلول‌ها توسط جزایر آلومینیومی است. آزمایش‌های اولیه جزایری با ابعاد میکرو متر داشتند. و به خاطر ابعاد نسبتاً بزرگ جزایر آلومینیومی دمای کاری بسیار پایینی نیاز داشتند تا خواص کوانتومی بروز کند و جابجایی الکترونی قابل مشاهده باشد.
QCA نیمه هادی یا حالت جامد از توانایی پیاده‌سازی با ابزارهای موجود ساخت و تولید قطعات CMOS را دارد. اما هنوز تکنولوژی نیمه هادی برای تولید انبوه در ابعاد ۲۰ نانومتر موجود نیست. روشهای لیتوگرافی سریال Solid State QCA را قابل دستیابی کرده ولی هنوز به عمل نرسیده‌است. لیتوگرافی سریال کند، از مشکلات این روش، هزینه بر و نامناسب بودن برای تولید انبوه این سلول هاست. با این حال امروزه برای بیشتر پیاده‌سازی‌های آزمایشی از این روش استفاده می‌کنند.
یک روش پیشنهادی که هنوز به عمل نرسیده ساختن هر سلول QCA توسط یک مولکول واحد است. مزایای این روش تقارن بینهایت بالای سلول، سرعت بالای سوییچ‌زنی، فشردگی بالای قطعات و ابعاد کوچک، عملی در دمای اتاق و حتی قابلیت تولید انبوه با استفاده از خاصیت خود تولیدی (Self Assembly) مولکول هاست. مسائل تکنیکی مانند انتخاب مولکول مناسب، طراحی رابط بین محیط و مدار برای ورودی و خروجی (interfacing) و تکنولوژی کلاک مورد نیاز در مورد این روش در حال تحقیق است و تولید QCA با این روش به حل آن‌ها بتگی دارد.
QCA مغناطیسی (MQCA) بر پایهٔ ارتباط‌های مغناطیسی بین ذرات نانو استوار است. Qumantum در این روش معنای خود را تقریباً از دست می‌دهد. این روش در دمای اتاق قابل اجرا خواهد بود.
تَف‌کافت یا آذرکافت یا پیرولیز فرایندی ترموشیمیایی است که طی آن مواد آلی در اثر گرما تجزیه می‌شوند. این فرایند مشتمل بر تغییر همزمان ترکیب شیمیایی و فاز فیزیکی بوده و فرایندی برگشت‌ناپذیر است.
نمونه‌ای کاربردی از این فرایند، فرایند کراکینگ است که در صنایع پتروشیمی کاربرد داشته و برای تولید بنزین استفاده می‌شود. در این فرایند هیدروکربن‌های سنگین به وسیله گرما به هیدروکربن‌های سبک‌تر و ساده‌تر تبدیل می‌شوند.موریسون، رابرت تورنتون، رابرت نیلسون بوید. شیمی آلی ۱. تهران:نشر علوم دانشگاهی
واژه پیرولیز از ترکیب دو کلمه یونانی pyro (به معنی آتش) و lysis (به معنی شکافت و جداسازی) ساخته شده‌است.
گرماکافت مواد آلی از اوایل آغاز تمدن بشری شناخته شده بوده و به طور وسیعی مورد استفاده قرار می‌گرفت. در ابتدا، گرماکافت مواد آلی به منظور تولید گازها و زغال استفاده می‌شد و محصولات مایع به عنوان محصولات جانبی ناخواسته فرایند مورد توجه قرار می‌گرفتند. با این حال، از زمان بحران نفت در دهه ۱۹۷۰، توجه ویژهای به محصولات مایع حاصل از گرماکافت صورت گرفت.
کارایی و ترکیب محصولات گرماکافت (نفت‌زیستی، گاز و زغال) به نوع ماده خام و شرایط گرماکافت بستگی دارد. نفت زیستی و زغال معمولاً به عنوان سوختی جایگزین برای سوخت‌های فسیلی و ماده خام برای تولید مواد شیمیایی استفاده می‌شود.m.talebipour, Analysis and numerical modeling of the pyrolysis of wood particle using OpenFOAM, in department of Mechanical Engineering. 2016, Isfahan University of Technology
لومِن (به انگلیسی: Lumen)، واحد شار نوری است. شار نوری، مقدار نوری است که از یک چشمه نور در واحد زمان پخش می‌شود. لومن، شدت نور یک کاندلا است که به سطحی از یک کره فرضی، که چشمه نور در مرکز آن است، و محدود به زاویهٔ فضایی یک استرادیان می‌شود، می‌تابد.
رابطهٔ لومن و کاندلا چنین است؛
1 lm = 1 cd·sr
که در آن، sr، استرادیان، و cd، کاندلاست.
یک لامپ ال‌ای‌دی معمولی حدود ۴۷۰ لومن روشنایی می‌دهد. یک پروژکتور با لامپ ال‌ای‌دی حدود ۲۴۰۰ لومن (۵ برابر لامپ معمولی) روشنایی می‌دهد.
وات نشان دهنده مصرف انرژی یک محصول روشنایی است. بنابراین نمی توان از این معیار برای محاسبه شدت روشنایی استفاده کرد. بلکه فقط انرژی الکتریکی مورد نیاز منبع نور را نشان می دهد. لومن همچنین به عنوان وات به عنوان استاندارد اندازه گیری در سیستم SI شناخته می شود. این اندازه گیری برای اندازه گیری میزان نور تولید شده توسط یک منبع یا نور دریافتی توسط یک جسم استفاده می شود.
این در حالی است که لامپ های ال ای دی 9 وات با 800 لومن هستند و لامپ هایی با قدرت 6 برابر و 540 لومن در بازار وجود دارد!
توان لامپ و لومن ارتباطی ندارند و یک لامپ می تواند مقدار زیادی برق مصرف کند. اما میزان نوری که ساطع می کند کمتر از حد انتظار است. گاهی اوقات یک لامپ LED با توان مصرفی 14 وات می تواند شار نوری مشابه یک لامپ رشته ای با توان مصرفی 100 وات داشته باشد.
یک لامپ LED نسبت به لامپ های رشته ای برق بسیار کمتری مصرف می کند تا همان میزان روشنایی را تولید کند. بنابراین اگر می خواهید مصرف برق خود را 5 تا 6 برابر کاهش دهید. پیشنهاد ما خرید انواع محصولات نورپردازی LED مانند پروژکتور ال ای دی، وال واشر، چراغ خطی و سایر موارد مشابه برای تامین روشنایی می باشد.
تاریخ ریاضیات حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود. در درجه اول به منشأ اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین‌تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش جهانی اطلاعات، توسعه نمونه‌های مکتوب ریاضی فقط در چند حوزهٔ خاص بوده‌است.
قدیمی‌ترین متن‌های ریاضی در دسترس: پلیمپتن ۳۲۲ (ریاضیات بابلی ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد)، پاپیروس ریاضی ریند (ریاضیات مصری ۱۸۰۰–۲۰۰۰ قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو (ریاضیات مصری ۱۸۹۰ قبل از میلاد) می‌باشند.
همگی این متون قضیه فیثاغورس را مورد توجه قرار می‌دهند. به نظر می‌رسد که این قضیهٔ معروف، قدیمی و گسترده‌ترین پیشرفت ریاضی پس از حساب و هندسه پایه‌است.
تحصیل ریاضی به عنوان نمایش مدل‌کنندهٔ انضباط (بین اشیاء) در سده ۶ قبل از میلاد با فیثاغوریان شروع شد که اصطلاح " علم ریاضی" (mathematic) را از یونان باستان ("μάθημα (mathema به معنی " موضوع مطالعه دستورالعمل " ابداع کردند. "'
" روش‌ها را به خوبی تصفیه کردند (مخصوصا از راه دستورالعمل استدلال استقرایی و در اثباتهااز اثبات گرایی منطقی) و موضوعات ریاضی را گسترش دادند."
ریاضیدانان چینی هم همکاری اولیه‌ای شامل " سیستم مکانی زمانی " داشته‌اند.
" سیستم عددی عربی_هندی " و قوانینی برای استفاده از عملگرهای آن که امروزه در سرتاسر دنیا استفاده می‌شود احتمالاً در هزاره اول AD در هند تکامل یافته و از طریق ریاضیات اسلامی و کارهای محمد بن موسی خوارزمی به غرب منتقل شده‌است.
ریاضیات اسلامی به سهم خود ریاضی ای که در این تمدن‌ها شناخته می‌شود را پیشرفت و گسترش داده‌است. بسیاری از متن‌های عربی و یونانی در ریاضیات بعدها به لاتین ترجمه شده‌اند که منتهی به رشد ریاضی در قرون وسطی اروپا شده‌است.
مطالعات اخیر شناخت حیوان، نشان داده‌است که این مفاهیم مختص انسان نمی‌باشد. چنین مفاهیمی بخشی از زندگی روز مره را در جوامع کاوشگر تشکیل داده‌اند.
ایده تعداد به تدریج در حال تحول است و به وسیلهٔ زبان‌هایی که تمایز بین ۱ و ۲ و خیلی و اما نه اعدادبزرگتر از ۲ را حفظ می‌کنند، پشتیبانی شده‌است. اشیاء ماقبل تاریخی که با قدمت تقریبی ۲۰۰۰۰سال در آفریقا کشف شده‌است، از تلاش‌های بدوی برای تعیین زمان نشان داده‌است. استخوان ایشنگو در نزدیکی سرچشمه رود نیل (شمال شرقی کنگو امروزی) کشف شده، ممکن است قدمتی بیش از ۲۰۰۰۰سال داشته باشند که شمال یک سری علائم ریاضی (چوب خط) حک شده در ۳ ستون در طول استخوان‌های می‌باشند. تفسیرهای رایج از تحلیل استخوان هاس ایشانگو، خبر از اولین شمارش اعداد یا یک تقویم شش‌ماهه قمری می‌دهند. پیتر رودمن عقیده دارد که رشد مفهوم اولیه اعداد نشان می‌دهد که مفهوم تقسیم به بیش از ۱۰هزار سال پیش از میلاد مسیح بر می‌گردد. او همچنین می‌نویسد که هیچ تلاشی در راستای تشریح اینکه چرا چوب خط حساب در اعداد بین ۱۰ تا ۲۰ و همین‌طور مضاربی از ۱۰، باید مضربی از عدد ۲ باشد، نشده‌است.
استخوان‌های ایشانگو با توجه به تحفیفات الکساندر مارشاک، تحت تأثیر توسعه ریاضیات در مصر باستان بوده‌اند. شبیه برخی از نوشته‌های بر روی استخوان‌های ایشانگو، علم حساب مصر باستان از استفاده از مضارب عدد ۲ ساخته شده‌است که به هرحال این قضیه مورد بحث می‌باشد.
مصریان باستان از ۵۰۰۰ سال قبل از میلاد مسیح، طرح‌های هندسی را به نمایش گذاشته‌اند. چنین بیان شده‌است که کوه‌های انگلستان و اسکاتلند قدمتی معادل سه میلیون سال قبل از میلاد مسیح دارند که در آن‌ها ترکیب‌های هندسی نظیر دایره، بیضی و مثلث فیثاغورث نمایان می‌باشد.
ریاضیات بابلیان که به آن ریاضیات آشوری-بابلی هم می‌گویند، ریاضیاتی است که در میان مردمان میان‌رودان از روزهای نخست فرمانروایی سومریان تا سرنگونی بابل در ۵۳۹ پیش از میلاد کاربرد داشته و گسترش یافته‌است. نوشته‌های ریاضیاتی بابلیان فراوان است و به خوبی ویرایش شده‌است. ریاضیات بابلیان را از دیدگاه زمانی می‌توان به دو بخش تقسیم کرد، یکم دورهٔ بابلیان باستان (از ۱۸۳۰ تا ۱۵۳۱ پیش از میلاد) و دوم بیشتر مربوط به دورهٔ سلوکیان در حدود سه تا چهار سده پیش از میلاد. از دیدگاه محتوا، تفاوت آشکاری میان دو دوره دیده نمی‌شود از این رو می‌توان گفت ریاضیات بابلیان در نزدیک به دو هزار سال وضعیت ثابتی داشته‌است.
داده‌های ما پیرامون دانش ریاضیاتی بابلیان از نزدیک به ۴۰۰ لوح رسی که از زیر خاک بیرون کشیده شده، بدست آمده‌است. این لوح‌ها به خط میخی اند، هنگامی که گِل هنوز خیس بوده بر روی آن نوشته شده و بعد زیر نور خورشید یا در یک کوره خشک شده‌است. مباحث ارائه شده در این گِل‌نوشته‌ها عبارتند از: کسر، جبر، معادلهٔ درجه دو و سه و قضیهٔ فیثاغورث است. در یکی از این گِل‌نوشته‌ها هم تقریبی برای formula_1 ارائه شده‌است که تا سه رقم در مبنای ۶۰ دقیق بوده‌است (برابر با ۷ رقم در مبنای ده).
ریاضیات بابل عبارت است از مجموعه‌ای از اعداد و تلاش‌های ریاضیاتی پیشرفته تر در خاور نزدیک باستان که به خط میخینوشته شده‌است. از آنجایی که داده‌های مربوط به دوره بابلیان باستان (دوره نخست ریاضیات بابل) در آغاز هزاره دوم پیش از میلاد فراوان‌تر است، بیشتر پژوهش‌های پیشینه‌شناسی بر روی این دوران تمرکز داشته‌است. با این حال بر روی ریشه‌های اصلی ریاضیات بابل بحث است، برخی باستان شناسان بر این باورند که آغاز ریاضیات بابل به هزاره‌های پنجم و سوم پیش از میلاد بازمی‌گردد چون ابزارهای گِلی با کاربرد شمارش و گِل مُهرک‌هایی به قدمت ۵۰۰۰ سال پیش از میلاد پیدا شده‌است.
ریاضیات بابلی در درجه نخست به خط میخی و به زبان‌های اکدی و سومری نوشته شده بود. دستگاه اعداد بابلی در پایه ۶۰ بود.
سومریان باستان میان‌رودان از ۳۰۰۰ سال پیش از میلاد یک سامانهٔ پیچیدهٔ مترولوژی را ارائه کردند. از ۲۶۰۰ سال پیش از میلاد به این سو گِل‌نوشته‌هایی از مسائل مربوط به ضرب، تقسیم و هندسه از خود به جای گذاشتند. همچنین می‌توان گفت برخی از نشانه‌های مربوط به دانش ریاضی بابلیان به این دوره بازمی‌گردد.
ریاضیات مصر باستان به ریاضیات نوشته شده در زبان مصر اشاره دارد. از آنجایی که در دوره هلنی، یونانی مصر به عنوان زبان نوشتاری استفاده شده‌است، پژوهش‌های آن‌ها نیز به زبان مصری جایگزین شده‌است.
مطالعه ریاضی در مصر بعد در امپراتوری عرب به عنوان بخشی از ریاضیات اسلامی ادامه دارد، از آن زمان به بعد زبان عربی زبان نوشتاری پژوهشگران مصری استفاده شده‌است.
جامع‌ترین متن ریاضی مصر پاپیروس ریند (برخی اوقات نیز به احمس پاپیروس پس از نویسنده آن نامیده می‌شود) به تاریخ به C است. همچنین ۱۶۵۰ سال قبل از میلاد، احتمال اینکه یک کپی از یک سند قدیمی تر از پادشاهی میانه در حدود ۱۸۰۰ تا ۲۰۰۰سال قبل از میلاد، وجود داشته باشد، زیاد است. این سند مرجع بزرگی برای دانش آموزان در علم حساب و هندسه می‌باشد. در آن علاوه بر ارائه فرمول‌ها و روش‌های محاسبه مساحت به روش‌های ضرب، تقسیم و کار با کسر واحد، اشاره شده‌است و همچنین شامل سایر شواهد دانش ریاضی، از جمله روش ترکیبی و اعداد اول، حساب، میانگین هندسی و هارمونیک. و فهم ساده از هر دو غربال اراتوستن و نظریه اعداد کامل می‌باشد، همچنین چگونگی حل مرتبه اول معادلات خطی همچنین حساب و سری هندسی را نشان می‌دهد.
دیگر متن ریاضی قابل توجه مصری، یکی دیگر از پاپیروس مسکو از دوره پادشاهی میانه، به تاریخ به C می‌باشد که به سال ۱۸۹۰ قبل از میلاد مسیح بر می‌گردد. این متن از آنچه امروز به مشکلات واژه یا مشکلات داستان، که ظاهراً به عنوان سرگرمی در نظر گرفته شده‌است، نام تشکیل شده‌است. یکی از مشکلاتی که در آن نظر گرفته می‌شود و از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است، یک روش برای پیدا کردن حجم مخروط ناقص (هرم ناقص) می‌باشد.
در نهایت، پاپیروس برلین ۶۶۱۹ (ج. ۱۸۰۰ قبل از میلاد) نشان می‌دهد که مصریان باستان می‌تواند یک معادله جبری مرتبه دوم را حل کند.
"۱۰۰قرص نان را بین۵نفر چنان تقسیم کنید که سهم های دریافت شده،یک دنباله حسابی تشکیل دهند و یک سوم مجموع سه سهم بزرگ تر مساوی با مجموع دو سهم کوچک تر باشد."جواب:۱۰،۱۵،۲۰،۲۵،۳۰
ریاضیات یونانی به ریاضیات در زبان یونانی از زمان تالس (۶۰۰ قبل از میلاد) و به بسته شدن آکادمی آتن در ۵۲۹ م اشاره دارد. ریاضیدانان یونانی در شهرهایی به گستره بیش از کل مدیترانه شرقی، از ایتالیا تا شمال آفریقا، اما با فرهنگ و زبان متحد، زندگی می‌کردند. ریاضیات یونانی همان دوره پس از اسکندر کبیر که گاهی اوقات ریاضیات یونانی نامیده می‌شود؛ می‌باشند.
ریاضیات یونانی بسیار پیچیده‌تر از ریاضیات مورد استفاده توسط فرهنگ قبل شروع شده بود، می‌باشد. تمام مساتندات از ریاضیات پیش یونانی، نشان دادن استفاده از استدلال قیاسی با مشاهدات مورد استفاده برای ایجاد قوانین کلی می‌باشد. ریاضیدانان یونانی، در مقابل استفاده استدلال استقرایی یا قیاسی، از منطق برای استنتاج نتایج از تعاریف و اصول موضوعه استفاده می‌کردند.تالس یکی ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون استفاده از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. فیثاغورس (یا به عبارت درست‌تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه‌ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور می‌کنیم: این گروه اولین قدم‌ها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). (ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می‌کردند. (ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است. (د) ابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. برای توضیح بیشتر، اتحاد را به این وسیله با شکل زیر «ثابت» می‌کنیم:(ه) حل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند، طول x را چنان به دست می‌آوریم که x جواب معادله باشد. این کار را در شکل زیر انجام داده‌ایم. (با این کار می‌توان برای هر عدد طبیعی n، را رسم کرد. کافیست دایره‌ای به قطر n+1 رسم کنیم).
و معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی‌های منتظم مساوی باشند و کنج‌های آن نیز همگی برابر)(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاج‌های دقیق از چند فرض آغازین که کاملاً مشخص هستند.
۳. افلاطون و شاگردان او: تقریباً تمام کارهای مهم ریاضی سده چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده‌است و آن‌ها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون دربارهٔ ریاضیات این بود که این علم عالی‌ترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی‌داند وارد نشود.» کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:
الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولاً شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی می‌شود) (ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط‌کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است)(ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط‌کش و پرگار)(د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط‌کش و پرگار) توضیح: توجه کنید که می‌توان ثابت کرد هیچ‌کدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی‌توان فقط به وسیله خط‌کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز، می‌توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید دربارهٔ این عدد). اقلیدس: او استاد ریاضیات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاً در آتن یونان درس خوانده‌است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالن‌های سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداً ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.
- اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تألیف کرده‌است که مهم‌ترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از مهم‌ترین کتاب‌های تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند. این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه دربارهٔ هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه اعداد و جبر مقدماتی هندسی است. قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. احتمالاً این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود اقلیدس است و شاید قصد او از تألیف این کتاب این بوده‌است که یک کتاب درسی مقدماتی در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتاب‌های درسی تألیف کرده‌است. - به نظر می‌رسد که مهم‌ترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده‌است تمام ۴۶۵ قضیه را فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند. ارشمیدس: اروپائیان معمولاً «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس» را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می‌دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراً می‌توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود. حدوداً در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه اسکندریه گذراند. دربارهٔ زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده‌است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس) در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرم‌ها و جرثقیل‌ها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی به‌طوری‌که هنگام حل مسئله از اطراف خود کاملاً بی‌خبر می‌شد- و همین بی‌خبری بالاخره باعث مرگ او شد. ارشمیدس سه کتاب دربارهٔ هندسه مسطحه، دو کتاب دربارهٔ هندسه سه بعدی، دو مقاله دربارهٔ نظریه اعداد، دو رساله (نامه) دربارهٔ ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می‌دهد. این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد. مقاله‌های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله‌های امروزی شباهت دارند. او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجم‌ها نقش اساسی دارد. او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعی‌های محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می‌رسیم. ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث برحسب سه ضلع آن است. او در رساله‌ای دربارهٔ مقدار تقریبی دانه‌های شنی که کره‌ای به مرکز زمین و به شعاع زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده‌است. در رساله دیگری سعی می‌کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده‌اند، حل کند و یکی از جواب‌های این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!
آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نام‌های یونانی بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکل‌های هندسی داده شده‌است. دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.
مختصری از تاریخ ریاضیات چین از حدود ۱۰۰۰ قبل از میلاد تا سده ۱۴ بعد از میلاد:- چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و روزمره استفاده می‌کردند.
- ابداع مربع‌های جادویی
- آن‌ها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان - آشنایی کامل داشتند.
- آن‌ها «قضیه چینی» که قضیه مشهوری در جبر و دربارهٔ حل معادلات همنهشتی خطی است، به جهان ریاضیات تقدیم کردند.
- در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست «عدد پی» تا ۶ رقم اعشار دیده می‌شود.
- احتمالاً مثلث حسابی معروف «خیام-پاسکال»، اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده‌است.
مختصری از تاریخ ریاضیات هندی از حدود ۴۵۰ میلادی تا سده ۱۴ بعد از میلاد:
- معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی
- به دست آوردن مجموع تصاعدهای حسابی و هندسی
- آشنایی با اعداد منفی و گنگ
- حل کامل معادلات درجه ۲
- یافتن همه جواب‌های بعضی از معادلات سیاله
- به دست آوردن فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار ضلعی محاطی-
رجوع شود به صفحه ۲۲۵ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.
- ساختن جداولی برای سینوسها
- سه ریاضیدان معروف قدیم هند «برهمگوپته»، «مهاویره» و «بهاسکره» هستند که به ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادی می‌زیستند. ریاضیدان معروف قرون جدید هند، نابغه هندی «رامانوجان» است که در نظریه اعداد کارهای بزرگی انجام داد و حدوداً ۳۳ سال بیشتر عمر نکرد.
- سخن ابوریحان بیرونی: «ریاضیات هندی مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی از درّ پر بها و سنگریزه بی‌بها است» (این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می‌توانستند ریاضیات عالی را از مقدماتی تمییز و دربارهٔ آن اظهار نظر کنند).
ریاضیات در ایران به دو دسته تقسیم می شود.
در دنیای باستان، ریاضیات به صورت علم اعداد مفهومی نداشت اما در ساختمان های ویران شده ، تآسیسات آبی، ابزارها و وسایل ، نقش علم ریاضیات مجسم و قابل لمس است،به عنوان مثال در ساخت و بنای کاخهای عصر هخامنشی ،راه شاهی ،نقشه برداری و وسایلی مانند کشتی ،ارابه های چرخ دار و ... استفاده ایرانیان از قواعد ریاضی کاملا هویداست.
برخی از قواعد و روش های ریاضی مانند جداول جبری و معادلات جبری در شوش باستان ، معمول بوده است ، ابداع واحدهای اندازه گیری به همت ریاضی دانان ایرانی سبب شد مقیاس های اندازه گیری در مناطق وسیعی از دنیای آن روزگار یکنواخت شود، نشانه های برجای مانده از آن دوران معرف آگاهی قابل توجه ایرانیان در عرصه دانش هندسه است ، ایرانیان در بساری از قواعد محاسبه سطح و حجم اجسام با استفاده از روابط جدید هندسی آگاهی داشته اند و بسیاری از دانشمندان یونانی از دانش ایرانیان ،در توسعه آگاهی خود در زمینه علم هندسه بهره بردند، به عنوان مثال ، فیثاغورث که از بانیان علم هندسه به شمار می رود با سفر به مشرق زمین و بهره گیری از معارف شرق کهن قضیه هندسی «فیثاغورث» را به نام خود ثبت کرد؛در حالی که مدارک تاریخی به خوبی نشان می دهد که هندسه دانان شوش،از قضیه فیثاغورث آگاهی داشتند ولی نتوانسته بودند آن را به همگان عرضه کنند.
ریاضیات در جهان اسلام به شیوه رسمی و مدون با محمد بن موسی خوارزمی آغاز گردید. در آثار خوارزمی سنت‌های ریاضی در یونان، ایران و هند با هم ترکیب شده‌است. مهم‌ترین اثر خوارزمی، الجبر و المقابله است.
پس از خوارزمی، ابویوسف کندی به تکمیل جبر روی آورد. در عصر ترجمه، آثار آپولونیوس، نیکوماخوس و ارشمیدس به عربی ترجمه شد. ابوالوفا بوزجانی، نخستین شارح کتاب خوارزمی بود، که به تکمیل مبحث معادلات پرداخت. ابن‌سینا، از دیگر ریاضیدانان مسلمان بود؛ وی شرحی بر آثار دیوفانت نوشت. نصیرالدین طوسی، رئیس رصدخانه مراغه نیز کتاب‌هایی در زمینه ریاضی تألیف نمود. عمر خیام نیز تألیفات ریاضی مشتمل بر تحقیق در اصل موضوع اقلیدس و حساب و جبر دارد. غیاث‌الدین جمشید کاشانی، کاشف حقیقی کسر اعشاری بوده و اندازه صحیح عدد پی را به دست آورده بود؛ کتاب مفتاح‌الحساب وی به زبان عربی‌است. معروف‌ترین چهره ریاضی در سده دهم، بهاءالدین عاملی است. در نزد مسلمین، ریاضیات به علم عدد، هندسه و جبر تقسیم می‌شده‌است.
دانسته‌های این دوران رفته رفته راه خود را به ممالک غرب پیدا کردند و در شکل‌گیری رنسانس تأثیرات محسوسی گذاشتند. به‌طور نمونه، لئوناردو فیبوناچی را مسئول معرفی شیوه عددنویسی هندو-عربی منتج این دوران، و جایگزین کردن سیستم عددنویسی رومی در اروپا با این شیوه دانسته‌اند یا در باب اعداد کسری، محمدبن حصار را مبدع خط کسری دانسته‌اند، که در اروپا Vinculum نام گرفت.
ریاضیات را درچشم انداز اسلامی همچون دروازه‌ای میان جهان محسوس و جهان معقول می‌شمارند. اگر اعداد و اشکال را به معنای فیثاغورسی آن در نظر بگیریم وسیله‌ای می‌شود که با آن کثرت از وحدت حکایت می‌کند و به همین دلیل مسلمانان همواره به ریاضیات تمایل داشته‌اند. تحصیل علوم ریاضی در اسلام تقریباً همان موادی را شامل بوده‌است که مراحل چهارگانه لاتینی را تشکیل می‌داده‌اند و بر آن معدودی موضوعات فرعی را نیز می‌افزوده‌اند و مواد اصلی آن حساب، هندسه، نجوم و موسیقی بوده‌است که اغلب فیلسوفان و دانشمندان مسلمان این ۴ اصل را می‌آموختند.
علم نجوم از این جهت در ریاضیات مهم بوده‌است که در مسایلی چون تقویم و گاهشماری کمک می‌کرده‌است همچنین برای تعیین اوقات نمازهای روزانه و جهت قبله اهمیت داشته‌است. سنت نجومی اصل از طریق کتاب المجسطی بطلمیوس از یونانیان به جهان اسلام رسید. منجمان مسلمان مکتب نجوم ریاضی بطلمیوسی را ادامه دادند به جز این مکتبی هندی بود که معتقدات آن دربارهٔ نجوم، حساب، جبر، مقابله و هندسه از کتب سانسکریت به نام سدهانت به عربی ترجمه شد و نتیجهٔ تأثیر اندیشه‌های هندی تکامل و انتظام یافتن علم جبر و مقابله بود. با آنکه مسلمانان با کتاب دیوفانتوس آشنایی داشتند اما شکی نیست که علم جبر ریشهٔ هندی داشته‌است و علمای اسلامی از ترکیب این ریشهٔ هندی با روش‌های یونانی علم جبر و مقابله را به وجود آورده‌اند. علم جبر را همراه با استعمال ارقام هندی می‌توان مهم‌ترین علمی دانست که مسلمانان بر مجموعهٔ ریاضیات قدیم افزوده‌اند. در جهان اسلام دو سنت ریاضی یونانی و هندی با یکدیگر تلاقی کردند و در ساختمان واحدی متحد شدند که در آن جبر و هندسه و حساب رشد کردند. تاریخ ریاضیات در اسلام با محمد بن موسی خوارزمی آغاز می‌شود که در آثار وی سنت‌های ریاضی یونانی و هندی با هم ترکیب شده‌اند. او چندین اثر از خود بر جای گذاشته‌است که کتاب المختصر فی حساب الجبر والمقابله مهم‌ترین آن‌ها بوده‌است. این کتاب چندین بار به نام لیبرالگوریسمی یعنی کتاب خوارزمی به لاتینی ترجمه شده‌است و کلمه انگلیسی الگوریسم به معنای حساب و محاسبه از آن گرفته شده‌است.
به دنبال خوارزمی می‌توان از کندی نخستین فیلسوف اسلامی نام برد که ریاضیدان شایسته‌ای نیز بوده و از شاگردان او می‌توان ماهانی که کار تکمیل جبر را ادامه داد نام برد. از دیگر ریاضیدانان می‌توان ابوالوفاء بوزجانی که شارح کتاب جبر خوارزمی است نام برد که معادلات درجه چهارم را حل کرده‌است ابن سینا را هم باید به عنوان یک ریاضیدان معرفی کرد و از کسانی که با او هم‌زمان بوده‌اند می‌توان بیرونی را نام برد که چند تألیف ریاضی و نجومی مهم از دورهٔ قرون وسطایی اسلام بر جای گذاشته‌است. در دورهٔ سلجوقیان چندین ریاضیدان بزرگ وجود داشته‌اند که بزرگترین آن‌ها خیام بود که با عده‌ای دیگر از ریاضیدانان به گاهشماری و اصلاح آن می‌پرداختند. پس از حملهٔ مغولان بار دیگر علوم ریاضی، جوانی را از سر گرفت و برجسته‌ترین چهرهٔ این دوره خواجه نصیرالدین طوسی است. پس از سده هفتم تحقیقات ریاضی رفته رفته کاهش یافتند. برای آوردن خلاصه‌ای از کارهایی که علمای مسلمان در ریاضیات کرده‌اند باید گفت که مسلمانان قبل از هر چیز نظریه اعداد را تکمیل کردند و به دنبال آن مفهوم عدد را گسترش دادند و همچنین روش‌های محاسبه عددی نیرومندی ارائه کردند. در رشته‌های عددی و کسرهای اعشاری و شاخه‌های مشابهی از ریاضیات وابسته به عدد کار کردند. علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب بخشیدند. همچنین علم مثلثات نخستین بار توسط خواجه نصیرالدین طوسی در کتاب شکل القطاع او به حد کمال رسید.
در اصطلاحات ریاضی اروپا شواهد روشن از نفوذ علوم عرب هست. از جمله مهم‌ترین کلمات ریاضی که از عربی گرفته شده‌است لفظ زیرو (صفر) است. صفر در ریاضیات آنقدر مهم است که می‌توان گفت اگر صفر نبود می‌بایست ارقام را در ستون‌های جدا به آحاد، عشرات و… مرتب کنیم و اولین کسی که ارقام از جمله صفر را رواج داد و ارقام را به دلیل ریشه هندی آن «ارقام هندی» نامید خوارزمی بود.
لئوناردو فیبوناتشی کتابی منتشر کرد که رواج ارقام عربی و آغاز ریاضیات اروپایی را در پی داشت.
کهن‌ترین کتابی که در مورد علم حساب در عالم اسلام نوشته شده‌است الجمع و التفریق بالحساب الهند است که توسط خوارزمی نوشته شده‌است و از طریق همین کتاب مسلمانان با شیوه عددنویسی هندی آشنا شدند. خوارزمی همچنین در پدیدآوردن دانش جبر نقش فراوانی داشت مسلمانان با کاربرد حروف به جای اعداد مهم‌ترین دستاورد علم جبر را نیز رقم زدند. طبقه‌بندی معادلات جبری یکی از مهم‌ترین گام‌های دانشمندان اسلامی برای منظم کردن علم جبر و تعبیر علم بخشیدن به آن است. همچنین نقش خیام در حل معادلات درجه سوم درخور توجه است. در عین حال ریاضیدانان اسلامی نخستین کسانی بودند که جبر را به علم هندسه وارد کردند و از طریق معادلات جبری به حل مسائل هندسی پرداختند.
مدتی پس از خوارزمی ابوالحسن احمد بن ابراهیم اقلیدسی، ریاضیدان دمشقی الاصل، کسرهای اعشاری را در کتاب خود دربارهٔ ریاضیات هندسی به نام الفصول فی الحساب الهندسی ابداع کرد. یکی دیگر از گام‌های مهم مسلمین در حوزه اعداد طرح اعداد منفی بود که برای نخستین بار در عالم اسلام توسط ابوالوفاء بوزجانی مطرح شد که برای نامیدن آن از واژهٔ «دِین» استفاده کرده‌است. در دیگر بخش‌های ریاضی از جمله مثلثات و هندسه دانشمندان اسلامی آثار گرانبهایی از خود به یادگار گذاشته‌اند. در این بخش‌ها دانشمندان اسلامی افزون بر بسط روابط حاکم بر مثلثات یونانی خود به یافته‌های جدیدی نیز رسیدند یکی از این یافته‌ها در کتاب شکل القطاع از خواجه نصیرالدین طوسی متبلور می‌شود. او در این کتاب به بسط و گسترش جدول‌های مثلثاتی و تبیین دقیقی از روابط حاکم بر زوایا در اشکال هندسی پرداخته‌است.
در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوری رم در اواسط سده پنجم شروع شد و تا سده یازدهم ادامه یافت، تقریباً کار خاصی در علم به‌طور عام و در ریاضیات به‌طور خاص انجام نشد. از ریاضیدانان این دوران، معمولاً از چهار نفر نام می‌برند که عبارتند از: بوئتیوس، بید، آلکوین و پاپ سیلوستر دوم نام می‌برند. این چهار نفر با تألیف کتب ریاضی - که معمولاً بسیار ضعیف بودند - و تدریس آنها، در تاریخ ریاضیات این دوران بسزایی ایفا کردند. جالب است بدانیم که پاپ سیلوستر دوم در مدارس مسلمانان اسپانیا درس خوانده بود.
از اوایل سده دوازدهم میلادی، آثار یونانی و اسلامی به اروپای غربی انتقال یافت و این سده در تاریخ ریاضیات، به سده مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندی-عربی در اروپای غربی رواج یافت.
معمولاً از «لئوناردو فیبوناتچی» به عنوان با استعدادترین ریاضیدان اروپا در سده سیزدهم یا حتی قرون وسطی نام می‌برند. او در ایتالیا به دنیا آمد و در الجزایر بزرگ شد. در سفرهایش به مصر، سیسیل، یونان و سوریه مطالب بسیاری آموخت و پس از مراجعت به وطنش ایتالیا، بزرگترین کتاب خود به نام «کتاب حساب» یا «لیبرآباکی» را منتشر کرد. این کتاب که تأثیر بسیاری بر ریاضیات اروپای غربی داشت، ظاهراً براساس جبر خوارزمی و ابوکامل نوشته شده‌است، هر چند که تحقیق مستقلی در حساب و جبر مقدماتی است. دنباله معروف فیبوناتچی در همین کتاب معرفی شده‌است. او دو کتاب دیگر به نام‌های «هندسه عملی» و «کتاب مجذورات» نوشت که این آثار فراتر از توانایی‌های اغلب فضلای معاصر وی بودند. البته گفته شده‌است که شهرت بسیار فیبوناتچی، به دلیل فقدان معاصرین همتا با وی در اروپا بوده‌است نه به دلیل ویژگی‌های علمی بالای آثار او.
لازم است که بدانیم سده سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاه‌های پاریس، آکسفورد، کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آن‌ها به تقلید از دانشگاه‌های اسلامی بنا شده‌است.
در سده چهاردهم که به سده «مرگ سیاه» معروف است، کار قابل ملاحظه‌ای در ریاضیات انجام نشد جز نشانه‌هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی‌نهایت کوچک و بزرگ.
تاریخ سده پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوری بیزانس به دست مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش را با سرعتی بی‌سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و فعالیت‌های تجاری را افزونتر کرد، عجین شده‌است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این سده کم‌کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و تفریق) و نیز استفاده از علاماتی برای مختصرنویسی ریاضی هستیم.
سده شانزدهم شاهد یکی از کارهای مهم در تاریخ ریاضیات است. در این سده نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوی در این سده به کار گرفته شد که علامت یک جفت پاره خط موازی و مساوی است. به قول «رکورد» که اولین بار آن را به کار برد، هیچ دو شیئی نمی‌توانند مساوی تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین سده ابداع شد. احتمالاً این نماد به جهت شباهت آن به r و به نشانه radix (ریشه) به کار گرفته شده‌است. در سده شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.
در این سده، از ریاضیات برای مقاصد اعتقادی نیز استفاده می‌شد. به عنوان مثال، از ریاضی حتی برای تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.
احتمالاً جالبترین دستاورد ریاضی سده شانزدهم، کشف راه حل جبری معادلات درجه ۳ و ۴ توسط چهار ریاضیدان ایتالیایی است که عبارتند از: «فرّو»، «تارتاگلیا»، «کاردانو» (یا کاردان) و «فراری». داستان این کشف و نیز زندگانی این ریاضیدانان، یکی از خواندنی‌ترین فرازهای تاریخ ریاضیات است که چون هدف ما بیان خلاصه‌ای از وقایع تاریخ ریاضی است، از شرح آن - البته با اکراه- می‌گذریم. برای مطالعه آن به صفحات ۲۶۶ تا ۲۷۱ جلد اول تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید.
بالاخره باید از بزرگترین ریاضیدان فرانسوی این سده، «فرانسوا ویت» نام برد که سهم قابل ملاحظه‌ای در پیشرفت مثلثات دارد. او جبردان برجسته‌ای نیز بود و روشی برای تقریب ریشه یک معادله ارائه و معادله درجه ۳ را به روشی غیر از روش کاردان-تارتاگلیا حل کرد. نمادهای خاصی را نیز هنگام نوشتن به کار می‌برد. مثلاً به جای a به توان ۲ و a به توان ۳، می‌نوشت: aa و aaa.
البته لازم است بدانیم که در این سده چند جدول عالی برای محاسبه نسبت‌های ششگانه مثلثاتی تألیف شد که بعضی از آن‌ها تا ۱۰ رقم اعشار دقت داشتند و محاسبه آن‌ها ۱۲ سال طول کشید.
این سده یکی از مهم‌ترین سده‌ها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساً دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین سده بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادی‌های فکری بیشتر، پیشرفت‌های سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این سده آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه‌ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم‌تر در تاریخ ریاضی این سده تن داد. از مهم‌ترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این سده می‌توان به مطالب زیر اشاره کرد:
الف) کشف لگاریتم