moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
حال آنکه منابع جمهوری اسلامی این موارد را به عنوان دلایل شکست سربداران می‌دانند: حضور مردم یا مقاومت مردمی در برابر سربداران، رفتار شتابزده اتحادیه که نه تنها بر اصول مارکسیسم، بلکه به اصول تحریف شده مارکسیست‌های وطنی هم توجه نداشت و حرکت آن اساساً مبتنی بر جاه‌طلبی گروهی بوداسناد اتحادیهٔ کمونیست‌های ایران در واقعهٔ آمل، صفحهٔ ۲۰ و تحلیل نادرست از ماهیت حکومت جمهوری اسلامی و دیکتاتوری دانستن آن.اسناد اتحادیهٔ کمونیست‌های ایران در واقعهٔ آمل، صفحهٔ ۲۲
محسن میلانی می‌نویسد که پس از دستگیری تعدادی از اعضای جنبش، با استفاده از اطلاعاتی که از دستگیرشدگان بدست آمد سایر افراد گروه و بیشتر کمیته مرکزی آن در عرض چند ماه بازداشت شدند. در زندان (طبق گفته سایر افراد سازمان، تحت شکنجه)، نظریه پردازان گروه، توبه نموده و تقاضای بخشش کردند. آن‌ها حتی روح‌الله خمینی را به عنوان سدی علیه امپریالیسم ستودند. با اینحال بخششی در مورد این افراد صورت نگرفت. آن‌ها در تهران محاکمه و به اعدام محکوم شدند. سپس به آمل منتقل شده و در سالگرد این واقعه در مرکز شهر و در ملاء عام اعدام شدند. اعضا و هواداران خوش‌اقبالی که دستگیر نشده بودند نیز از کشور گریختند. به دلیل آنچه در منابع داخل ایران یا از زبان مقامات جمهوری اسلامی در این واقعه، «مقاومت مردمی» خوانده شد، روح‌الله خمینی، رهبر جمهوری اسلامی از تنها شهری که در وصیت‌نامهٔ خود از آن یاد کرد شهر آمل و مردم آن بودوصیت‌نامه سیاسی الهی آیت‌الله خمینی . به سبب این واقعه اکنون، این شهر به شهر «هزار سنگر آمل» معروف گشتهشهر هزار سنگر، صفحهٔ ۸۸. ؛ اسناد اتحادیهٔ کمونیست‌های ایران در واقعهٔ آمل، صفحات ۱۱ و ۶۷ و ۶۸؛ سخنرانی در دیدار با مردم آمل و میدان بزرگی نیز به همین نام دارد.
خمینی همچنین از مردم آمل تشکر کرده بود و عقیده داشت که قیام گران «در صورت فهم اسلام» به آمل حمله نمی‌کردند.حماسه اسلامی مردم آمل. حماسه مردم آمل، صفحهٔ ۲۲
در سال ۸۶ نیز با تصویب شورای عالی انقلاب فرهنگی «حماسه» ۶ بهمن ۱۳۶۰ آمل به پاس آنچه «فداکاری مردم آمل» نامیده شد و با نام حماسه مردم آمل در تقویم رسمی جمهوری اسلامی ثبت گردید.زنگ حماسه و رشادت در مدارس آمل نواخته شد(خبرگزاری فارس) ششم بهمنروز حماسه مردم آمل نامگذاری شد در این رابطه چند کتاب نیز نگاشته شده‌است.حماسه اسلامی مردم آمل؛ حماسه مردم آمل؛ کتابشناسی حماسه مردم آمل؛ ششم بهمن به عنوان روز «حماسه مردم آمل» وارد تقویم رسمی کشور شد; ثبت ششم بهمن‌ماه به عنوان روز حماسه مردم آمل (روزنامه اطلاعات ؛ ششم بهمن روز حماسه مردم آمل نامگذاری شد (روزنامه قدس) همچنین شورای فرهنگ عمومی در ۲۱ دی ۱۳۹۰ با تأسیس بنیاد ۶ بهمن موافقت کرد. «حماسه مردم آمل» یا «حماسه اسلامی مردم آمل» اصطلاحی است که رسانه‌های داخلی ایرانحماسه مردم آمل در برابر اتحادیه کمونیست‌های داخلی۶ بهمن ۱۳۶۰ در تثبیت انقلاب نقشی انکار ناشدنی دارد (خبرگزاری دانشجویان ایران) و مقامات جمهوری اسلامی ایران، به دلیل آنچه مقاومت مردم این شهر در مقابل سربداران در واقعه آمل در ۶ بهمن سال ۱۳۶۰ نامیده‌اند به کار می‌برند.کتاب حماسه اسلامی مردم آمل، پژوهشکده علوم دفاعی استراتژیک دانشگاه امام حسین، ۱۳۴۷.کتاب حماسه مردم آمل، ستاد مرکزی سپاه پاسداران انقلاب اسلامی، بهمن ۱۳۶۱.کتابشناسی حماسه مردم آمل
این روز در تقویم رسمی ایران نیز با نام «حماسه مردم آمل» به ثبت رسیده‌است.ششم بهمن به عنوان روز «حماسه مردم آمل» وارد تقویم رسمی کشور شد
خانتوس لیدیایی تاریخ‌نگار اهل لیدیه بود که در میانهٔ سدهٔ پنجم پیش از میلاد می‌زیست. یقین شده که او در سارد می‌زیسته و کتابی دربارهٔ تاریخ لودیه نگاشته که لودیاکا نام داشته‌است.
خانتوس هم‌روزگار هرودوت بود. بیشتر تمرکز کار او بر پادشاهان لودیه بود. نوشته‌های او در آینده در منابع نیکولاس دمشقی قرار گرفت.
Wikipedia contributors, "Xanthus (historian)," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Xanthus_(historian)&oldid=323607616.
<mapframe latitude="34.511649" longitude="50.975876" zoom="9" width="200" height="164" align="left">
سد کبار(kebar Dam) سدی قدیمی است که در دشت کبار در نزدیکی زنبورک از توابع جنت‌آباد (قم) قرار دارد.
این سد با تاریخچه‌ای ۷۰۰ ساله همچنان دشت کبار را آبیاری می‌کند و کشاورزی منطقه را رونق بخشیده است.
سد کبار به عنوان قدیمی‌ترین سد قوسی دنیا که هنوز هم پا برجا می‌باشد قدمت آن به حدود ۱۳۰۰ میلادی می‌رسد و در ۲۴ کیلومتری قم در نزدیکی زنبورک از توابع جنت‌آباد (قم) بر روی رودخانه کبار قرار دارد. این سد با ارتفاع ۲۶ متر و طول ۵۵ متر از سنگ لاشه سخت بنا گردیده‌است. این سد دارای یک برج آبگیر است که آب از طریق آن به قسمت زیر آب منتقل می‌شود. در کنار حفره خروجی آب سد کانالی در دامنه صخره‌ای از کوه، در سطحی بالاتر از بستر رودخانه، کنده‌اند که آب را به سطوح مرتفع‌تری منتقل می کرده است. سد در کوه پی‌سازی شده و شالوده دیواره در شکاف به وجود آمده قرارگرفته که از آب بندی مناسبی برخوردار است. انتخاب محل مناسب برای برپایی سد و همچنین شکل قوسی آن، نشان دهند ه مهارت و دانش بالای مهندسین سازنده سد است. این مهارت سبب شده که دیواره سد در برابر فشار آب مخزنی به طول و عرض ۵۰۰ ×۱۰۰۰ متر به خوبی مقاومت کند.
در نزدیکی این سد نزدیک به جاده قم کاشان و در نزدیکی مزارع زنبورک کاروانسرای پاسنگان وجود دارد که دارای دو آب‌انبار است و به نظر می رسد که آب آنها از این سد تأمین می شده است.
مسیر های دسترسی به سد کبار:
1. مسیر اول، 20 کیلومتری جاده قدیم قم به کاشان، به سمت کاروانسرای پاسنگان، سپس زنبورک و در نهایت سد کبار
2. مسیر دوم، 15 کیلومتری جاده قدیم قم به کاشان، بعد از پادگان خیبر، سمت راست، جاده معدن زنبورک، به سمت زنبورک و در نهایت سد کبار
3. مسیر شماره سوم، جاده قدیم قم به کاشان، به سمت کهک، در نهایت به سمت قسمت پشت،سیل بندها و بالادست سد کبار
دیکشنری آبادیسمجله ایران بوم گردیکبار قدیمی‌ترین سد جهانخبرگزاری دانشجویان ایران (ایسنا)
روستا داش دیبی در حدود ۱۷ کیلومتری شرق شهرستان گرمی در استان اردبیل و در منطقه کوهستانی در نقطه نزدیک به صفر مرزی کشور جمهوری آذربایجان قرار گرفته‌است.
داش دیبی از دو کلمه تُرکی ، "داش = سنگ، صخره و دیبی = زیرین" و به معنی " زیر صخره" می‌باشد، و چون این روستا در زیر کوهی صخره‌ای که مثل چتر بر بالای آن گسترده شده‌است قرار گرفته، به این نام مشهور شده‌است. زبان اهالی ترکی آذربایجانی است.جغرافیای مغان، سید محمد ابراهیمی، انتشارات نیک آموز 1385
داروی موضعی یا پوماد دارویی است که بر سطح بدن مانند پوست و یا غشاء مخاطی به کار می‌رود و در اشکال پماد، کرم، کف، ژل و یا لوسیون یافت می‌شود. در رایجترین حالت پماد نوع نیمه جامد شکل دارویی است که در درجه حرارت بدن انسان یا حیوان نرم می‌شود. پماد روی پوست سالم یا غیر سالم را می‌پوشاند.
از نظر تکنولوژی کرم‌ها و پمادهای چشمی شکل خاصی از پماد هستند.
کرم شکلی از پماد، محتوی بیشتر از ۱۰% آب است. پماد چشمی برای معالجه بیماری‌های چشم و عاری از میکرب است.
پمادها قدیمی‌ترین شکل دارویی هستند. در دوره گذشته انسانها از حیوان‌های شکار شده چربی به دست می‌آوردند و از این چربی پماد می‌ساختند.
امروزه از چربی حیوانات خیلی کم استفاده می‌شود. فقط از چربی خوک و موم زنبور عسل استفاده می‌شود. کارخانه‌های داروسازی از مواد نفتی و گیاهی استفاده می‌کنند.
مادهٔ اصلی پمادها یک گونه پماد است که هیچ گونه مواد دارویی ندارد و برای ساختن پمادهای دارویی به کار می‌رود.
وازلین بی رنگ از وازلین زرد ساخت می‌شود. وازلین زرد با اسید سولفوریک تصفیه می‌شود.
ماکروگول / یک گونه از هیدروژل است./
بر اساس نوع پماد اصلی پمادها به دو دسته محلول در آب و محلول در چربی تقسیم می‌شوند.
بر اساس محلولیت داروها در پماد اصلی، پمادها به سه دسته تقسیم می‌شود
http://cs.wikipedia.org/wiki/Mast
دانکن جیمز ، خواننده و بازیگر انگلیسی و عضوی از گروه موسیقی محبوب بلو می باشد. او همچنین بازیگر و مجری تلویزیون است.
پدر جیمز قبل از اینکه وی متولد شود خانواده خود را ترک کرد، به همین خاطر جیمز دوران کودکی خود را در پیش مادر، پدربزرگ و مادربزرگش گذراند.
"مقاله اصلی: بلو (گروه موسیقی)"
در اوایل سال ۲۰۰۰، جیمز به همراه دوستش آنتونی کاستا، لی رایان و سایمون وب را متقاعد کردند تا گروهی به نام بلو(Blue) تشکیل دهند.
موسیقی پاپ گروه بلو که تحت تاثیر ریتم و بلوز قرار گرفته بود، موفقیت تجاری گروه را در بریتانیا و چندین کشور اروپایی دیگر همچون ایتالیا، پرتغال، بلژیک، فرانسه، استرالیا و نیوزیلند، تضمین کرد.
گروه موسیقی بلو توانست ۱۰ تک‌آهنگ برتر که سه‌تای آن‌ها شماره یک شدند را از خود ارائه دهد.
در اکتبر سال ۲۰۰۴، جیمز با همکاری Keedie تک‌آهنگی به نام "من قلبم را باور دارم" ارائه داد که این تک‌آهنگ در جدول تک‌آهنگهای برتر بریتانیا شماره ۲ شد.
جیمز اولین تک‌آهنگ انفرادی خود، به نام "زودتر یا دیرتر" را در ماه ژوئن سال ۲۰۰۶ بیرون داد. با این وجود این تک‌آهنگ در بریتانیا هیچ موفقیتی نداشت و تنها توانست تا جایگاه ۳۵ام جدول موسیقی بریتانیا بالا بیاید. جیمز دومین تک‌آهنگ خود به نام Can't Stop a River را در اوت سال ۲۰۰۶ منتشر کرد. این تک‌آهنگ هم همانند تک‌آهنگ قبلی‌اش هیچ موفقیتی نداشت. آلبوم او به نام Future Past (گذشته آینده) در سال ۲۰۰۶ در جدول موسیقی بریتانیا شماره ۵۵ شد که در همانجا ۱۵٬۰۰۰ کپی از آن به فروش رفت. او در ایتالیا موفقیت بیشتری به دست آورد، جایی که آلبوم او به مقام دوم صعود کرد.
در نهایت به دلیل عدم علاقه به کارهای انفرادی او، جیمز اعلام کرد که حرفه موسیقی انفرادی را کنار می‌گذارد.
جیمز بعد از اعلام ترک حرفه موسیقی، در کارهای تئاتر از جمله Legally Blonde و West End production of Chicago ظاهر شد.
جیمز گهگاهی به عنوان مجری تلویزیونی کار می کند. او در برنامه‌های تلویزیونی از جمله Don't Stop Believing و Scream if you know the answer، ظاهر شده است.
جیمز در حال حاضر در هتفیلد هردفوردشایر زندگی می‌کند. او یک دختر کوچک از دوست‌دختر سابق خود، کلر گرنجر دارد. گرنجر بعد از رابطه کوتاه عاشقانه‌اش با جیمز از او حامله شد و در سال ۲۰۰۵ وضع حمل کرد. جیمز گفته اگرچه با مادر دخترش بهم زده است، ولی هنوز هم رابطه دوستانه‌ای با او دارد.
جیمز در یک خانواده مذهبی و سختگیر کاتولیکی بزرگ شد.
جیمز در یک مصاحبه با نشریه "خبرهای جهان" اعلام کرد که دوجنس‌گرا است. او نواده هربرت چپمن، مدیر باشگاه فوتبال آرسنال در دهه ۱۹۳۰ میلادی است.
پیک گیتار نوعی زخمه است که برای نوازندگی گیتار طراحی شده‌است. در طول زمان، پیک گیتار از جنس‌های مختلفی چون پلاستیک، رزین، فلز، شیشه، پولک لاک‌پشت، چوب، نمد یا سنگ تهیه شده‌است. پیک‌ها اکثراً در قالب همسان به شکل یک مثلث متساوی‌الساقین کشیده که دو وجه بالای آن شبیه به هم و وجه دیگر کمی تیزتر و با زاویه کمتری هست شناخته می‌شوند. این شکل پیک، شناخته‌ترین نوع آن است اگرچه که اشکال دیگری هم برای پیک طراحی و ساخته شده‌است.
در گذشته نوازندگان گیتار پیک گیتار را از چوب، کهربا، استخوان، سنگ یا حتی عاج می‌ساختند تا بتواند شکل دلخواه خود را برای پیک داشته باشند. ولی امروزه این‌گونه پیک‌ها دیگر رایج نیستند و پیک‌هایی از جنس پلاستیک جایگزین آنان شده‌است. اولین بار ایده پیک گیتار از جنس پلاستیک توسط شرکت دی‌اندریاس پیکز عملی شد. ایده ساخت این‌گونه پیک‌ها توسط لوئیجی اس‌آر و پسر کوچکش تونی مطرح و اجرا شد.
آنها پس از عملی شدن طرح خود محصولات خود را با شماره‌گذاری طبقه‌بندی کردند. پیک شماره ۳۵۱ شناخته‌ترین و محبوبترین آن‌ها بود و همچنین ۳۴۶ که شبیه یک مثلث متساوی‌الاضلاع است و امروز بیشتر نوازندگان گیتار باس از آن استفاده می‌کنند یا پیک شماره ۳۵۸ که پیک نسبتاً کوچکی است که معمولاً نوازندگان گیتار سبک جاز از آن استفاده می‌کنند. همچنین شرکت دی‌اندریاس پیکز اولین شرکت سازنده پیک گیتار بود که برای مشتریان پیک‌های ویژه مخصوص به خودشان را تولید کرد. آن‌ها با چاپ نام و نشان آن نوازنده یا گروه بر روی پیک گیتار، پیکی ویژه آن نوازنده را تولید می‌کردند که اصطلاحاً بدان «کاستم پیک» گفته می‌شود. اولین مشتری آن‌ها برای این گونه پیک‌ها، نیک لوکاس در اوایل دههٔ ۳۰ میلادی بود.
پیک گیتار را همچنین می‌توان بر اساس ضخامتی که دارد دسته‌بندی کرد و از این لحاظ مدل‌های گوناگون پیک با ضخامت‌های گوناگون وجود دارند که هریک بنابه ضخامت و میزان انعطافی که دارند برای کاربردی خاص استفاده می‌شوند. پیک‌هایی که ضخامت کمتری دارند، انعطاف بیشتری دارند و معمولاً برای نوازندگی سولو توسط نوازندگان گیتار لید استفاده می‌شود. البته هیچ قطعیت در این زمینه وجود ندارد و معمولاً این نوازندگان هستند که پیک خود را انتخاب می‌کنند.
نوازندگان گیتار الکتریک در سبک‌های راک و هوی متال این را می‌دانند که پیک‌های نازک‌تر صداهای قوی تر، پرتر و غیرقابل کنترل تری را باعث می‌شوند و در عوض پیک‌هایی با ضخامت بیشتر (هوی یا اکسترا هوی) صداهای ظریف و قابل کنترل تری را تولید می‌کنند. و همین امر باعث شده تا نوازندگان گیتار بنابه وظیفه‌ای که در نوازندگی دارند نوع پیک خود را انتخاب کنند. معمولاً نوازندگان در سبک‌های هوی متال و پاور متال، پیک‌هایی با ضخامت بیشتر را انتخاب می‌کنند.
همان‌طور که گفته شد ضخامت پیک بر کیفیت صوت تأثیر می‌گذارد و همچنین نوع وظیفه نوازندگی از عواملی است که در انتخاب پیک مؤثر است اما تنها این نیست. نوع سیم‌های گیتار هم در انتخاب پیک مؤثرند، آنچنانکه برای سیمهای ضخیم‌تر پیک‌های درشت تر و ضخیم‌تر توصیه شده‌است، چرا که قابل کنترل تر و تولیدکننده اصوات ناخواسته کمتر است. نوازندگان دث متال معمولاً پیک‌هایی را با ضخامت بیشتر از ۱٫۵۵ میلی‌متر انتخاب می‌کنند.
نوازندگان جاز نیز از پیک‌های هوی استفاده می‌کنند تا بتوانند از سیم‌های ضخیم گیتار خود صدای مطلوب را بگیرند.
گیتارهای باس سیم‌های بسیار قطوری دارند، از این رو نوازندگان باس پیک‌های ضخیم‌تر را انتخاب می‌کنند.
بیشتر تولیدکنندگان پیک گیتار مانند دی‌اندریاس پیکز، جیم دانلوپ و استیو کلایتون، ضخامت پیک را بر حسب مقیاس میلی‌متر یا اینچ بر روی پیک هک می‌کنند تا نشانگر میزان ضخامت آن باشد. ولی بعضی شرکت‌های دیگر مانند گیبسن، فندر، ای‌اس‌پی، آیبانز و پی‌وی از نوعی طبقه‌بندی و نام‌گذاری خاص استفاده می‌کنند و با درج نام ویژه بر روی پیک میزان ضخامت پیک را به اطلاع مشتریان می‌رسانند. جدول زیر نشان دهنده همین دسته‌بندی است:
امروزه پیک‌های پلاستیک رایج‌ترین نوع هستند. اما پیک‌های پلاستیکی هم گونه‌های مختلفی دارند.
پیک‌های از این جنس قدیمی‌ترین و اولین نوع پیک‌های پلاستیکی هستند و همچنان مورد استفاده قرار می‌گیرند به ویژه برای آن دسته نوازندگان گیتار که از افکت صدای وینتیج استفاده می‌کنند. اما این دسته از پیک‌ها قابلیت آتشگیری بالقوه‌ای دارند، این نکته را نوازندگان گیتار سیگاری به خوبی می‌دانند.
این مدل رایج‌ترین نوع پیک‌های پلاستیکی است اما از آنجایی که سطح این پیک‌ها صاف و صیقلی است، در دستان نوازندگان حالت لغزنده‌ای دارد، تولیدکنندگان معمولاً با اضافه کردن شیارها یا نقاط برجسته ریزی بر روی آن‌ها این مشکل را برطرف می‌کنند. نایلون خاصیت انعطاف‌پذیری و شکل‌پذیری بالایی دارد و به همین جهت به راحتی می‌توان پیک‌هایی با شکل‌های مختلف از این جنس را ساخت اکثر پیک‌های نازک را از نایلون می‌سازند. نقطه ضعف این پیک‌ها این است که پس از یک استفاده یکی دوماهه یا استفاده زیاد انعطاف‌پذیری را از دست می‌دهند و بسیار شکننده می‌شوند. نوازندگان گیتار معمولاً تعداد زیادی از این نوع پیک را مصرف می‌کنند که علت همین مسئله است.
این نوع از پیک‌ها به ترتیب توسط شرکت‌های جیم دانلوپ و دی‌اندریاس ساخته می‌شوند. این پیک‌ها به راحتی در میان انگشتان جای می‌گیرند و برای نوازندگی سولوها و ریف‌ها بهترین هستند.
استال یک نوع پلاستیک است که خود به دو گونه تقسیم می‌شود. پیک‌های ساخته شده توسط استیو کلایتون از این نوع هستند. از ویژگی این نوع پیک‌ها می‌توان به سطح صاف و مات آن و همچنین پایداری و عمر زیاد آن اشاره کرد.
پیک‌های ساخته شده از این جنس سخت‌ترین و زمخت‌ترین نوع پیک‌های پلاستیکی هستندو قابلیت ایجاد اصوات صاف را دارند و بیشتر مورد استفاده نوازندگان ماندولین قرار می‌گیرند. این نوع پیک‌ها هم توسط شرکت استیو کلایتون ساخته می‌شوند.
این نوع پیک‌ها ظاهری براق و کریستال مانندی همچون شیشه دارند و همچنین بسیار سخت هستند. بهترین مثال برای این نوع پیک‌ها سری استابی ساخته شده توسط شرکت جیم دانلوپ است.
استفاده از هر گونه از مواد یاد شده برای ساخت پیک می‌تواند ویژگی‌های متفاوتی را ایجاد شود چنان‌که یک پیک با ضخامت ۰٫۷ تا ۰٫۸ اگر از نایلون سخته شود بسیار انعطاف‌پذیر خواهد بود و اگر همین پیک را با اولتم بسازیم سخت‌تر و محکم تر خواهد شد.
پیک‌های ساخته شده از استیل صدایی شفاف تر از صدای تولید شده توسط پیک‌های پلاستیکی دارند. البته این نوع پیک‌ها خیلی راحت سیم‌ها را فرسایش می‌دهند و همچنین می‌توانند به بدنه گیتار آسیب برسانند به ویژه به گیتارهای آکوستیک که بدنه چوبی دارند. برایان می و بیلی گیبنز از این دست پیک‌ها استفاده می‌کنند. بعضی پیک‌های فلزی بسیار گرانبها هستند و در میان کلکسیونرها از جایگاه ویژه‌ای برخوردارند، پیک‌های ساخته شده توسط ضرابخانه سلطنتی انگلستان از این نوع هستند.
در میان پیک‌ها، گاهی به پیک‌هایی ساخته شده از مواد غیرمعمول و عجیب برمی‌خوریم که البته بعضی از آن‌ها صرفاً جنبه تزئینی دارند.
این نوع پیک ساخته شده از جواهر عقیق واقعاً غیرمعمول است و معمولاً ضخامتی بین ۱ تا۵ میلی‌متر دارد و به هیچ وجه قابلیت انعطاف‌پذیری ندارد. سنگ‌ها استعداد باورنکردنی در شکل گرفتن دارند، بدون نیاز به فشار یا قالبی خاص، یک سنگ‌تراش می‌تواند یک پیک را به اشکال گوناگون دلخواه درست کند. اگر چه که پیک‌های سنگی رایج نیستند ولی این نوع پیک‌ها از سیم‌های فلزی گیتار سخت ترند بنابراین می‌توانند طنین بیشتری را ایجاد کنند. پیک‌های سنگی را معمولاً صیقل می‌دهند و این مسئله کمی مشکل را در هنگام گرفتن با انگشتان پدیدمی‌آورد.
چوب این درخت که در جنگل‌های آمریکای جنوبی رشد می‌کند بسیار محکم و دارای خواص استثنایی است. ساختار این چوب و روغن طبیعی موجود در آن باعث می‌شود تا پیک‌های ساخته شده از آن احساس و صدایی ویژه را تولید کند. معمولاً ضخامت این پیک‌ها بین ۲ تا ۳ میلی‌متر است.
این نوع پیک‌ها از مواد ارگانیک و زنده ساخته می‌شوند، پولک‌های لاک لاک‌پشت‌های دریایی، پیک‌هایی را می‌سازند که احساس و صدایی واقعی تر را ایجاد می‌کند که متأسفانه همین خاصیت باعث به خطر افتادن نسل این موجودات شده‌است. این نوع پیک‌ها صیقلی، محکم و ضخیمند و قابلیت بسیار اندکی در انعطاف‌پذیری دارند. استفاده درست و مناسب از این پیک‌ها می‌تواند باعث عمر طولانی آن‌ها شود.
مُهره‌شِکافبرابر فرهنگستان زبان . واژه‌های مصوّب فرهنگستان تا پایان سال ۱۳۸۹ (مجموع هشت دفتر فرهنگ واژه‌های مصوّب فرهنگستان) یا اسپینا بیفیدا (اسپینا = خار و بیفیدا = شکافته) شکاف مادرزاد مهره‌ها به‌صورت آشکار یا پنهان را می‌گویند. کمر باز یا بیرون‌زدگی نخاع دیگر نام‌ها برای این عارضه هستند.
مهره‌شکاف نقص مادرزادی لوله عصبی/نخاع و بیرون‌زدگی نخاع از حفره باز (بسته نشده) در ستون فقرات است. این نقص مادرزادی لوله عصبی با درجات صدماتی کاملاً متفاوت شکل می‌گیرد و می‌تواند کم و بیش بدون اثر بروی تکامل بچه بوده یا که عامل فلج او گردد. زمان ایجاد این نقص در جنین بین روزهای ۲۲ تا ۲۸ام بارداری است یعنی دورانی که لوله حامل عصب نخاع در جنین شکل می‌گیرد.
عوامل مؤثر در ایجاد آن عبارتند از: ژنتیکی (سابقه نقص لوله عصبی در نسل‌های قبل)، مصرف والپروئیک اسید و کاربامازپین در سه ماههٔ اول بارداری، رژیم غذایی غلط، دیابت، تب شدید در اوایل بارداری، استفاده از وان آب داغ در اوایل بارداری.
در حالت کلی، این مشکل دارای سه نوع اصلی است: مهره‌شکاف پنهان، کیسه شامگانی (meningocele) و myelomeningocele. نوع سوم که سخت‌ترین نوع است می‌تواند منجر به بی‌اختیاری ادرار و مدفوع شود و در حدود ۳۰٪ از این نوزادان دچار جمع شدن مایع در مغز (هیدروسفالی) هستند.
مهره‌شکاف طیف وسیعی از ناهنجاری مربوط به اختلال در بسته شدن ناحیه نخاع است. در درجات خفیف آن معمولاً اختلال نورولوژیک وجود ندارد در حالی که در موارد شدید می‌تواند همراه با اختلالات نورولوژیک باشد. در فرم ساده آن فقط عدم اتصال قسمت‌های پشتی مهره دیده می‌شود که معمولاً محدود به ناحیه کمری خاجی‌نخاعی است و از نظر علامت ظاهری منفی است، مگر در مواردی که وجود موهای مجعد در روی ناحیه گرفتار تنها مشخصه ظاهری آن باشد. این نوع از نابهنجاری را مهره‌شکاف پنهان می‌نامند، که نخاع و اعصاب نخاعی ضایعه‌ای ندارند.
در صورتی که ناپیوستگی در بیش از دو مهره باشد معمولاً مننژ نخاع از طریق شکاف موجود به قسمت پشتی برجسته شده و در
زیر پوست به صورت کیسه برجسته‌ای قابل لمس می‌شود که به آن کیسه شامگانی می‌گویند.
چنانچه به علت وسعت ضایعه علاوه بر مننژ، نخاع و اعصاب نخاعی نیز در داخل کیسه قرار گیرند، اختلال را
Meningomyelocele می‌گویند که معمولاً همراه با علائم نورولوژیک می‌باشد و چون در ناحیه پشتی فقط به وسیله پوست پوشیده شده خطر پاره شدن نیز وجود دارد.
در نوع دیگری از مهره‌شکاف نه تنها اختلال در بسته شدن ستون مهره است بلکه اختلال در بسته شدن ناودان عصبی نیز
وجود دارد بطوری که بافت عصبی به‌صورت گسترده در سطح باز شده که به آن Rachischisis یا
Myelocele می‌گویند.درسنامه دستگاه اعصاب. دانشگاه علوم پزشکی و خدمات بهداشتی درمانی شهید بهشتی
ارزیابی آلفا فیتوپروتئین آزمون غربالگری مؤثری برای نقایص عصبی است این آزمون در هفته‌های ۱۶ تا ۱۸ بارداری انجام می‌شود در صورت مثبت شدن آزمون غربالگری MSAFP باید سونوگرافی تخصصی جهت رد دیگر ناهنجاری‌ها ی جنین بعمل آورد .آمنیوسنتز نیز در صورت بالا بودن MSAFP باید انجام شود.
این نقص جنین را امروزه می‌توان پس از تشخیص با عمل جراحی در روی جنین در شکم مادر برطرف کرد. در غیر این‌صورت می‌بایستی عمل جراحی به دلایل بهداشتی و خطر از کار افتادن کلیه‌ها فوراً پس از تولد انجام بگیرد.
نقایص مادرزادی لوله عصبی مثل «آنانسفالی» (فقدان مغز) و کمر باز با مصرف اسید فولیک کاهش می‌یابند. اسید فولیک یا فولات به‌طور طبیعی در غذاهایی مثل جگر (مقدار زیاد آن بخاطر سموم ذخیره شده در جگر برای دوران بارداری تجویز نمی‌شود)، سبزی‌ها با برگ سبز تیره (اسفناج)، شلغم، کلم، گل کلم، مارچوبه، مرکبات، لوبیا خال‌خالی، لوبیا چشم بلبلی سفید و انواع نخودها یافت می‌شود. اسید فولیک ویتامینی قابل حل در آب، در برابر اکسیژن، گرما و نور بسیار حساس است. به این دلیل در بیشتر موارد تا حد پنجاه درصد آن ضمن آماده کردن غذا (شستن / طبخ) از بین می‌رود.
آشپزی اصیل ایرانی (پخت چندین ساعته غذاها) تا ۹۰٪ اسید فولیک را نابود می‌کند. به همین خاطر بهتر است مواد یاد شده در بالا خام یا تفت داده شده مصرف شوند.
نقص لوله عصبی
ایرج گنج‌بخش پزشک برجستهٔ ایرانی و جراح قلب و عروق است. ایرج گنج‌بخش در سال ۱۳۲۰ در تهران به دنیا آمد. در دبیرستان البرز دیپلم گرفت و با آنکه در کنکور پزشکی دانشگاه تهران قبول شده بود تصمیم گرفت با بورسیهٔ تحصیلی که به وی اعطا شده بود عازم فرانسه شود. ابتدا به شهر مون‌پلیه در جنوب فرانسه رفت و سپس عازم پاریس شد و تحصیلات پزشکی را در پاریس به پایان رساند. او که ریاست بخش جراحی قلب و قفسهٔ سینه بیمارستان پیتیه-سالپتری‌یر پاریس را نیز تا سال ۲۰۰۸ میلادی عهده داشت و با عمل قلب ژاک شیراک سلامتی را به وی بازگرداند. وی به گفتهٔ خود بین ۱۵٬۰۰۰ تا ۲۰٬۰۰۰ عمل جراحی قلب باز انجام داده‌است. ایرج گنج‌بخش تحصیلات ابتدایی و مقدماتی خود را در مدرسه رازی تهران به پایان رساند و پس از آن برای ادامه تحصیل در رشتهٔ پزشکی عازم فرانسه شد در پاریس اقامت گزید.
مریم‌نخودی، کَلپوره یا مور سرده ای از گیاهان علفی است. پرشاخه به ارتفاع ۱۰ تا ۳۵ سانتیمتر و دارای ظاهر سفید پنبه‌ای که معمولاً در نواحی بایر، سواحل سنگلاخی و ماسه‌زارهای نواحی جهان می‌روید. برگهای آن باریک، دراز و پوشیده از کرکهای پنبه‌ای در هر دو سطح پهنک است. گلهائی به رنگهای سفید، سفید مایل به زرد یا زرد و حتی ارغوانی دارد. این حالت متغیر بودن نه تنها در رنگ گل بلکه در وضع ساقه گیاه که به صورت پرپشت و پرشاخه یا به حالت خوابیده درمی‌آید نیز دیده می‌شود. زمان گل دادن آن به تناسب شرایط محیط زندگی بین خرداد و مرداد است. زنبور عسل به علت وجود نوش در گلهای آن به سمت گیاه جلب می‌گردد.
این جنس در ایران ۱۲ گونه گیاه علفی چندساله و گاهی بوته‌ای دارد.
در جنوب ایران به این گیاه، حلپه می‌گویند و از دیرباز در درمان شماری از بیماری ها از آن استفاده میکردند و تا اندازه نیز در درمان های محلی و سنتی کاربرد دارد.
زبان هوری نامی قراردادی است که به زبان هوری‌ها -که در ۲۳۰۰ (پیش از میلاد) به میانرودان داده شدند و تا ۱۰۰۰ (پیش از میلاد) ناپدید شدند- گفته می‌شود. هوری زبان پادشاهی میتانی در شمال میانرودان بود . برخی از محققین بر این باور اند که گویشوران این زبان در اصل در آغاز هزاره دوم قبل از میلاد در جنوب شرقی آناتولی و شمال بین النهرین گسترش یافته اند .
و در آغاز هزاره دوم قبل از میلاد در جنوب شرقی آناتولی و شمال بین النهرین گسترش یافته اند
این زبان یک زبان پیوندی است که همراه با زبان اورارتویی خانواده زبانی هورواورارتویی را می‌سازند. برخی پژوهشگران بر این باورند که هوری همانندی‌هایی با زبان‌های قفقازی شمال شرقی دارد و بنابراین این زبان را در خانواده زبان‌های آلارودی جامی‌دهند.
هوریها خط میخی اکدی را نزدیک به ۲۰۰۰ پیش از میلاد برای نوشتن زبانشان پذیرفتند. نوشته‌های هوری یافت‌شده تاکنون اندکند. هوریها همچنین گرایش به سود بردن از خط نمادین سومری داشتند که تلفظ هوری آن واژگان امروز آشکار نیست. از اینرو آگاهی از زبان هوری هنوز کامل نیست.
نوشته‌های به زبان هوری تاکنون در خاتوشا، اوگاریت و شاپینووا یافت شده‌اند. یکی از بلندترین نامه‌های عمارنه نامه‌ای است که توشرات‌تا پادشاه میتانی به آمنهوتپ سوم فرعون مصر باستان نوشته‌است. کهنترین نشانه از موسیقی در نوشته‌های هوری یافته شده در اوگاریت دیده شده‌است.
زبان هوری بر زبان سامی‌ای که در قطنه در شمال سوریه کنونی و بر زبان هیتی به ویژه در لهجه شاپینووایی آن اثرگذارد.
برخی پژوهشگران بر این باورند که زبان هوری در زبان سوبارتویی و به عنوان زیرلایه این زبان تحلیل رفته‌است.
کوه خضر نبی در ۶ کیلومتری مرکز قم به سمت جنوب و در کنار شهرک قدس قرار دارد. شهر قم را از فراز این کوه می‌توان دید. بر قله این کوه در سه هزار سال پیش غاری بوده که امروز به مسجد کوچکی تبدیل شده‌است و گفته می‌شود که محل زیارت خضر نبی بوده‌است.http://www.isna.ir/news/92112718181/کوه-خضر-نبی-ع-با-قدمتی-سه-هزار-ساله-در-قم این کوه در گذشته محل نیایش عارفان بوده‌است. ارتفاع کوه حدود ۱۱۱۷ متر است و در نزدیکی کوه دوبرادران (کوه نیایش) در ادامه رشته‌کوه زاگرس قرار دارد.
مسجد جمکران نیز در نزدیکی این کوه قرار دارد. کوه خضر نبی از نظر تفریحی نیز مورد توجه ساکنان قم بوده و همچنین در طراحی مسیر بالارفتن از این کوه این نکته در نظر گرفته شده‌است که هر گروه سنی چه خردسال و چه کهنسال بتواند از ان بالا رود. در دامنه این کوه چندین شهید گمنام به خاک سپرده شده‌اند.
باستان‌شناسان اعتقاد دارند در این کوه بیش از ۳ هزار سال پیش غاری وجود داشته که احتمالاً محل نیایش و عبادت خضر نبی بوده‌است. در آن دوران قم تا به این قسمت گسترش نیافته بود و به همین دلیل کوه خضر و غار موجود در آن محلی خلوت و امن برای عبادت و نیایش بوده‌است. بعدها نیز عارفان بسیاری به این مکان برای عبادت می‌آمدند. این غار امروزه به یک مسجد کوچک تبدیل شده که زائران برای عبادت به آنجا می‌روند.
در ریاضیات، منظور از توابع مثلثاتی شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت است که این توابع رابطهٔ میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند.
قدمت اولین متن‌های به‌جامانده از توابع مثلثاتی به دوران پیش از میلاد در مصر و یونان بازمی‌گردد. قضیهٔ تالس توسط تالس در سدهٔ ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از قضیهٔ فیثاغورس به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود.
علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی در زمینهٔ مثلثات داشتند که می‌توان به افرادی چون خوارزمی، بتانی، ابوالوفا محمد بوزجانی، شن کو، گو شوجینگ و رتیکوس اشاره کرد.
تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایهٔ دایرهٔ واحد است که در این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم می‌شود و شعاعی با زاویهٔ مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایهٔ انتگرال، سری توانی و معادلهٔ دیفرانسیل بیان شده‌است که هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. برای نمونه در تعریف بر پایهٔ سری توانی، از سری مکلورن استفاده می‌شود که در محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد.
توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عملیات انجام می‌دهند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها در محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نقشه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود یا در ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج استفاده می‌شود. برای نمونه قانون اسنل بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی است که در پدیدهٔ شکست نور به کار می‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی می‌توان به استفاده آن در صنعت برق و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد امواج سینوسی در جریان‌های متناوب و همچنین انواع مدولاسیون که برپایه همین امواج سینوسی انجام می‌شود.
شواهد به‌کارگیری توابع مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران پیش از میلاد از جمله در یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات که در متون تاریخی بیان شده، قضیه تالس است. تالس که در سده ششم پیش از میلاد در مصر تحصیل می‌کرد، برای حل مسئلهٔ محاسبهٔ ارتفاع هرم خئوپس، روشی تازه را ارائه نمود که بعداً با عنوان قضیه تالس شناخته شد. می‌توان قضیهٔ فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست. در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همین دلیل، او را پدر مثلثات می‌نامند. منلائوس مثلثات کروی را پایه‌گذاری کرد. بطلمیوس در المجسطی، رابطهٔ سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرد.
مطالعه در زمینهٔ توابع مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب سوریا سیدهانتا در سدهٔ چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در نجوم استفاده شده‌است. هم‌چنین به نظر می‌رسد که نام‌های سینوس و کسینوس، تغییر یافتهٔ توابع جیا و کوتیجیا در نجوم دوره گوپتای هند باشند. مدهاوه در سدهٔ چهاردهم سری تیلور تابع‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست آورد.
دوران طلایی اسلام، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جملهٔ آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمی، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد. مروزی جدول کتانژانت را تهیه کرد. در آثار بتانی در سدهٔ سوم شمسی (سدهٔ نهم میلادی)، مثلثات به‌طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کسکانت اشاره کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی در سدهٔ چهارم شمسی (سدهٔ دهم میلادی)، قانون سینوس‌ها را به دست آورد. ابوریحان بیرونی مثلث‌سازی را برای تهیهٔ نقشه به کار گرفت. در پایان سدهٔ یازدهم، عمر خیام معادلات درجهٔ سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. هم‌چنین غیاث‌الدین جمشید کاشانی در سدهٔ پانزدهم میلادی، سینوس زاویهٔ ۱ درجه را با حل معادلهٔ درجهٔ ۳ برحسب زاویهٔ ۳ درجه تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.
دانشمندان چینی چندان به مطالعهٔ مثلثات نمی‌پرداختند. دو ریاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را در زمینه توابع مثلثاتی انجام دادند. برای نمونه، شن کو یک رابطهٔ تقریبی برای محاسبهٔ طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر به دست آورد.
احتمالاً رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود که در سدهٔ شانزدهم میلادی، توابع مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویهٔ قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقالهٔ اویلر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را به صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.
در متون سانسکریت، از نام‌های جیوا (به معنی وتر) و کوجیوا برای نام‌گذاری دو تابع اصلی مثلثاتی (سینوس و کسینوس) استفاده می‌شد. در برگرداندن به زبان عربی، جیوا به جیب تبدیل شد که البته در فارسی هم مورد استفاده قرار گرفت.
دانشمندان مسلمان، سایر توابع مثلثاتی را نیز می‌شناختند و آن‌ها را نام‌گذاری کرده‌بودند. جدول زیر، نام‌های به کار رفته برای توابع مثلثاتی در متون دانشمندان مسلمان را نشان می‌دهد:
دانشمندان اروپایی که متن‌های عربی را به لاتین ترجمه می‌کردند، جیب را به صورت جَیب می‌خواندند (که به معنی خلیج است). بنابراین آن را به سینوس (که واژه‌ای لاتینی به معنی خلیج است) برگرداندند.
شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویهٔ C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویهٔ دیگر، زاویهٔ تند و متمم هستند، به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است. ضلع روبرو به زاویهٔ C را وتر می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که زاویهٔ قائمه را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویهٔ A (و مقابل زاویهٔ B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویهٔ A (و مجاور زاویهٔ B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی برای زاویهٔ A به صورت زیر تعریف می‌شوند:
بر پایه قضیهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.
می‌توان برای زاویهٔ B نیز توابع مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویهٔ B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویهٔ A است و ضلع مقابل زاویهٔ B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویهٔ A می‌باشد؛ بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویهٔ B برابر با کسینوس زاویهٔ A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویهٔ متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:
با افزایش مقدار زاویهٔ A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازهٔ ضلع مجاور آن کاهش و اندازهٔ ضلع مقابل، افزایش می‌یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایهٔ قضیهٔ فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است) در نتیجه، سینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به‌طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویهٔ A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویهٔ A است) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود؛ بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.
سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:
رابطه میان دو زاویهٔ متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.
به‌طور خلاصه، رابطهٔ میان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:برای نمونه: و
برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار توابع مثلثاتی را به دست آورد.
در زاویهٔ صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است؛ در زاویهٔ ۹۰ درجه اما، کسینوس برابر صفر و سینوس برابر ۱ می‌شود؛ بنابراین:
مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویهٔ °۴۵ داشته باشد، زاویهٔ تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیهٔ فیثاغورس اندازه وتر، formula_12 برابر اندازهٔ هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:
با استفاده از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل روبرو) می‌توان نشان داد که ضلع روبرو به زاویهٔ ۳۰ درجه، نصف وتر است؛ بنابراین:
به همین ترتیب، اندازهٔ ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس برابر formula_16 به دست می‌آید. در نتیجه:
سایر توابع مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.
مقدار توابع مثلثاتی در زاویه‌های تند در جدول زیر خلاصه شده‌است:
چند یکای بی‌بعد برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد.
در محاسبات ریاضی که شامل توابع مثلثاتی هستند (مانند معادلات دیفرانسیل و انتگرال)، از یکای رادیان استفاده می‌شود.
شکل روبرو، یک دایرهٔ واحد را نشان می‌دهد که توابع مثلثاتی زاویهٔ θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامی که شعاع OA با زاویهٔ θ نسبت به محور افقی روی دایره زده شود، می‌توان مقدار توابع مثلثاتی را به صورت اندازهٔ پاره‌خط‌هایی مشخص به دست آورد. مقدار توابع سینوس و کسینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب به رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. به بیان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر با کسینوس θ و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس θ است. اندازهٔ پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) که مماس بر دایره از نقطه A تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت θ است. امتداد همین پاره‌خط از نقطه A تا محور عمودی (به رنگ نارنجی) نیز کتانژانت θ را نشان می‌دهد. به همین ترتیب، می‌توان مقدار سکانت و کسکانت زاویهٔ θ را نیز محاسبه کرد.
در دایرهٔ واحد، امکان محاسبهٔ توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، به شکلی مشابه بالا تعیین می‌شود. علامت یک تابع بر پایهٔ مقدار زاویه در دایرهٔ واحد بر پایه جدول زیر به دست می‌آید:
توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. هم‌چنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان‌دهنده این رابطه‌ها است:
تعریف تابع سینوس توسط مثلث قائم الزاویه از نظر ریاضی دقیق نیست، چرا که مفهوم زاویه (یا همان طول کمان در دایرهٔ واحد) به صورت دقیق بیان نشده‌است. تعریف دیگری را می‌توان براساس طول دقیق کمان یک دایره به دست آورد. با در نظر گرفتن معادلهٔ دایره formula_18 و پیدا کردن طول قوس، می‌توان رابطهٔ بین یک زاویه formula_19 و formula_20 را برحسب معادلهٔ ضمنی زیر نوشت:Trigonometric functions. V.I. Bityutskov (originator), Encyclopedia of Mathematics.
که در آن θ زاویه‌ای در محدودهٔ formula_22 است.
با استفاده از سری مکلورن هر تابع پیوسته‌ای را می‌توان به صورت یک سری توانی حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:
ضریب‌های رابطهٔ بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن در نقطه صفر، قابل محاسبه هستند؛ بنابراین می‌توان مقدار تقریبی یک تابع را به صورت مجموع یک سری نامتناهی به دست آورد. در محاسبات ریاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین می‌شود) چشم‌پوشی می‌کنند.
سری توانی توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. در ادامه، سری‌های توانی توابع مثلثاتی آورده می‌شوند.
شکل روبرو، نمودار تابع سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان می‌دهد. مقدار تابع سینوس در نقطه صفر برابر صفر است؛ بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن می‌شوند) صفر هستند. در نتیجه، سری توانی سینوس تنها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.
به‌طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانی کسینوس صفر هستند و این سری تنها دارای جمله‌های با توان زوج است.
تعریف براساس سری توانی این مزیت را دارد که قابل استفاده در اعداد مختلط است و امکان مطالعهٔ خواص تحلیلی بودن این توابع را فراهم می‌سازد.
توابع دیگر مثلثاتی، دارای نقطهٔ تکین در دامنه خود هستند؛ بنابراین نمی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را برای هر مقداری تعریف نمود. برای توابع تانژانت و سکانت که در π/۲ (یا °۹۰) تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین π/۲- تا π/۲ است. هم‌چنین برای توابع کتانژانت و کسکانت که در صفر درجه تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین صفر تا π می‌باشد.
تعداد جملات سری‌های توانی که برای تقریب توابع به کار می‌روند، نامتناهی است؛ ولی در محاسبات ریاضی از تعداد محدودی از این جملات (بسته به دقت مورد نیاز) استفاده می‌شود. سایر جملات که محاسبه نمی‌شوند، جملهٔ باقی‌مانده یا جملهٔ خطا نامیده می‌شوند. جملهٔ خطای مرتبهٔ "n" برای یک سری به صورت زیر تعریف می‌شود:
با افزایش مقدار "x"، تعداد بیشتری از جملات برای رسیدن به یک دقت مشخص، مورد نیاز خواهند بود و در نتیجه، سرعت همگرایی کاهش می‌یابد. افزون بر این، توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت دارای نقاط ناپیوستگی هستند و سری‌های توانی این توابع تنها برای یک بازهٔ پیوسته تعریف شده‌اند.
برای جلوگیری از کند شدن همگرایی و رفع ناپیوستگی توابع، بایستی پیش از بهره گرفتن از سری‌ها زاویه را تا حد امکان کوچک کنیم. با به کار گرفتن اتحادهای مثلثاتی تبدیل زاویه، می‌توان زاویه را تا بازهٔ (۰،) و با استفاده از اتحادهای زاویه متمم تا (۰،) کاهش داد. به این ترتیب، سرعت همگرایی سری و کارایی محاسبه، افزایش می‌یابد.
یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با ضرایب ثابت، به صورت زیر نوشته می‌شود:
پاسخ این معادله، تابع نمایی به صورت formula_32 است که در آن، "formula_33" و "formula_34" ریشه‌های معادلهٔ مشخصهٔ معادله (یعنی formula_35) هستند. هم‌چنین "formula_36" و "formula_37" ثابت‌های انتگرال‌گیری است که بر پایهٔ شرایط اولیه به دست می‌آیند.
اگر معادلهٔ مشخصه دارای ریشه‌های مختلط باشد، پاسخ عمومی آن شامل تابع نمایی با توان مختلط است:
که در آن، "formula_39" جزء حقیقی و "formula_40" جزء موهومی ریشهٔ معادلهٔ مشخصه هستند. بر پایهٔ فرمول اویلر، تابع نمایی مختلط به توابع سینوس و کسینوس تبدیل می‌شود؛ بنابراین در صورت داشتن ریشه‌های مختلط، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل شامل توابع مثلثاتی خواهد بود:
برای نمونه، هر دو تابع سینوس و کسینوس در معادله دیفرانسیل formula_42 (با معادله مشخصه formula_43 که ریشه‌های آن "i±" هستند) صدق می‌کنند. یعنی هر دو، قرینهٔ مشتق دوم خود هستند. به بیان دیگر، این معادلهٔ دیفرانسیل، خانوادهٔ منحنی توابع سینوس و کسینوس را تعریف می‌کند.
در فضای دوبعدی "V"، نوع تابع بر پایه شرایط اولیه به صورت زیر تعیین می‌شود:
از آن‌جایی که سینوس و کسینوس، دو تابع مستقل خطی هستند، با یکدیگر تابع پایهٔ "V" را تشکیل می‌دهند. این روش تعریف توابع سینوس و کسینوس، معادل با استفاده از فرمول اویلر است.
هم‌چنین تابع تانژانت، پاسخ یکتای معادلهٔ دیفرانسیل غیرخطی formula_46 با شرط اولیه formula_47 است.
بر پایهٔ تعریف توابع مثلثاتی و دایرهٔ واحد، می‌توان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به‌طور خلاصه:
از تعریف دایرهٔ مثلثاتی و هم‌چنین در جدول بالا مشاهده می‌شود که توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است. برای نمونه، تناوب توابع سینوس و تانژانت به صورت رابطهٔ زیر است:
در تبدیل فوریه و معادلات موج از این خاصیت تناوبی توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.
توابع سینوس و کسینوس همواره پیوسته و مشتق‌پذیر هستند. این مطلب، با تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه و تعریف بر پایهٔ دایره واحد، به روشنی قابل ملاحظه است.
سایر تابع‌ها که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند؛ زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند (formula_52 یک عدد صحیح دلخواه است):
توابع سینوس و کسینوس برهم عمود هستند و در معادله اشتورم-لیوویل صدق می‌کنند.
از این خواص در محاسبهٔ ضرایب سری فوریه استفاده می‌شود.
مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی می‌توان از قاعدهٔ مشتق‌گیری تابع کسری بهره برد. مشتق اول و دوم توابع مثلثاتی به همراه تابع اولیه (انتگرال) آن‌ها به صورت زیر است:
تبدیل لاپلاس یکی از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل است. تبدیل لاپلاس توابع سینوس و کسینوس به صورت زیر است:
تبدیل فوریهٔ تابع‌های سینوس و کسینوس نیز به صورت زیر است:
که در این روابط formula_62 نشان‌دهندهٔ تابع دلتای دیراک است.
توابع سینوس و کسینوس یک تابع ویژه برای لاپلاسین هستند. به عنوان مثال، اگر formula_63 بیانگر عملگر لاپلاس یک بعدی باشد، توابع سینوس و کسینوس در معادلهٔ formula_64 صدق می‌کنند که با توجه به تعریف توسط معادله دیفرانسیل توابع مثلثاتی قابل بررسی است.
محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده‌است؛ ولی امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. سه روش متداول برای محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.
برای بعضی از زاویه‌ها می‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را به دست آورد. برای نمونه، برای همه زاویه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت به صورت دقیق وجود دارد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویه برای زاویه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه می‌شوند (۳=۱۵–۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم به دست می‌آیند. برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز می‌توان از اعمال رابطه نصف زاویه برای زاویه °۳۰ استفاده کرد. پس از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳، می‌توان مقادیر مربوط به زاویه‌هایی که ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویه و زاویه دو برابر، به دست آورد.
برای محاسبهٔ مقدار تابع برای هر زاویه‌ای، نخست باید زاویه را به یک بازه مشخص (مثلاً صفر تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام می‌شود.
پیش از رایانه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با درون‌یابی از داده‌های موجود در جدول‌های مثلثاتی به دست می‌آوردند. این جدول‌ها پیشینه‌ای به دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود در جدول‌ها با استفادهٔ پیاپی از اتحادهای نصف زاویه و مجموع دو زاویه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) به دست می‌آمدند. برای نمونه، می‌توان جداول مثلثاتی سینوس و کسینوس خوارزمی را نام برد.
رایانه‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را به کار می‌گیرند. یک روش متداول، به ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یا کسری (مانند تقریب چبیشف، تقریب پد و معمولاً برای دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه به جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویه انتخاب می‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام می‌شود) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود می‌برند که تنها از جمع، تفریق، شیفت بیتی و نگاه به جدول استفاده می‌کند.
برای محاسبات بسیار دقیق، که سری‌ها به کندی همگرا می‌شوند، می‌توان از میانگین حسابی-هندسی برای تقریب استفاده کرد که تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب می‌زند.
بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای هر زاویهٔ دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی می‌نامند. نمونه‌هایی از این اتحادها در زیر آورده می‌شوند.
ساده‌ترین شکل قضیهٔ فیثاغورس در مثلثات به صورت زیر است:
کسینوس حاصل جمع:
سینوس حاصل جمع:
رابطه‌های زیر برای محاسبهٔ سینوس و کسینوس زاویه‌ای دو برابر زاویهٔ معلوم به کار می‌روند:
یک نابرابری مهم مثلثاتی، در محاسبهٔ حدهای مبهم و مشتق توابع مثلثاتی کاربرد دارد. این نابرابری که در بازهٔ معتبر است، به صورت زیر است:
با کمک این نابرابری و استفاده از قضیهٔ فشردگی، حد مبهم formula_71 محاسبه می‌شود. این حد در محاسبهٔ مشتق توابع مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
نابرابری‌هایی مشابه به شرح زیرند:
با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویهٔ مجاور آن، اندازهٔ دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایرهٔ محیطی آن (R) را به دست آورد:
بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها از رابطهٔ زیر، قابل محاسبه است:
با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها، اندازهٔ ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:
هم‌چنین با این قانون می‌توان با داشتن اندازهٔ سه ضلع مثلث، اندازهٔ زاویه‌های آن را به دست آورد.
بعضی از توابع خاص را می‌توان به صورت ترکیبی از توابع از جمله توابع مثلثاتی نوشت.
که "a" مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. حل این معادله، به صورت سری توانی است. می‌توان یکی از حالت‌های خاص تابع بسل () را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:
که "n" مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. می‌توان چندجمله‌ای چبیشف مرتبهٔ "n" را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:
توابع معکوس مثلثاتی به عنوان قرینهٔ توابع مثلثاتی نسبت به خط "y=x" تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند.
توابع مثلثاتی در همهٔ دامنهٔ خود، یک‌به‌یک و معکوس‌پذیر نیستند. برای آن که بتوان تابع معکوس برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن معکوس‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است. افزون بر این، مشتق توابع معکوس مثلثاتی که با روش مشتق‌گیری ضمنی به دست می‌آید، در جدول آورده شده‌است.
توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند.
در ریاضیات و فیزیک، از بردارها برای نشان دادن یک کمیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده می‌شود. بسیاری از کمیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند. در برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده می‌شود. برای نمونه، ضرب داخلی دو بردار x و y متعلق به را می‌توان به کمک قانون کسینوس‌ها به صورت زیر محاسبه کرد:
همچنین برای محاسبهٔ ضرب خارجی آن‌ها نیز می‌توان رابطهٔ زیر را به کار بست:
توابع مثلثاتی، پایهٔ تعریف دستگاه مختصات قطبی هستند که در ساده‌سازی بسیاری از مسائل ریاضیات و فیزیک از جمله برخی انتگرال‌ها مؤثر است. در این دستگاه مختصات، به جای طول و عرض "(x,y)" یک نقطه (که در دستگاه مختصات دکارتی به کار می‌رود)، فاصلهٔ آن با مرکز و زاویهٔ بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت به خط افقی "(r,θ)" به عنوان مختصات یک نقطه در نظر گرفته می‌شوند. تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس با استفاده از توابع مثلثاتی انجام می‌شود:
دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی که تعمیم‌یافتهٔ مختصات قطبی در سه‌بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفته‌اند. از این دستگاه‌ها در مسائلی مانند انتگرال‌های سه‌بعدی که دارای تقارن استوانه‌ای یا کروی هستند استفاده می‌شود.
با استفاده از تعریف مختصات قطبی می‌توان اعداد مختلط را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:
که در آن، "|z|" اندازهٔ بردار "z" (فاصله از مبدأ)، "θ" زاویهٔ آن با محور افقی، و "i" بیانگر یکهٔ موهومی است. افزون بر این، رابطهٔ میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی توسط فرمول اویلر برقرار می‌شود:
که بر پایهٔ آن، توابع سینوس و کسینوس به شکل توابع فرد و زوج متناظر بر حسب تابع نمایی نوشته می‌شوند:
مشاهده می‌شود که می‌توان کسینوس را به عنوان جزء حقیقی و سینوس را به عنوان جزء مجازی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت. به بیان ریاضی:
شکل توسعه‌یافتهٔ فرمول اویلر، به عنوان فرمول دموآور شناخته می‌شود:
هم‌چنین با استفاده از تعریف بسط مکلورن برای توابع هذلولوی و مثلثاتی، می‌توان رابطه‌های زیر را که معادل با رابطه‌های بالا هستند، به دست آورد:
که در آن‌ها "i2=−۱". می‌توان توابع سینوس و کسینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:
این اتحاد، رابطهٔ میان توابع سینوس و کسینوس مختلط و توابع حقیقی (سینوس و کسینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی و کسینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان می‌دهد.
مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری است. زاویه‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتدادیابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند.
برای نمونه، در مثلث‌سازی که یکی از روش‌های قدیمی نقشه‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود. در مثلث‌سازی از قانون کسینوس‌ها و قانون سینوس‌ها برای محاسبهٔ زاویهٔ مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده می‌شود.
پیمایش روشی برای نقشه‌برداری یک محدودهٔ باز یا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها استفاده می‌شود.
از توابع مثلثاتی در زمینه‌های مختلف ناوبری استفاده می‌شود. برای نمونه، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. هم‌چنین این توابع برای تعیین فاصلهٔ میان دو نقطه روی زمین با در نظر گرفتن کرویت زمین به کار می‌روند. رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ این فاصله مورد استفاده قرار می‌گیرد:
که در آن، α و α عرض جغرافیایی دو نقطهٔ مورد نظر و φ اختلاف طول جغرافیایی میان دو نقطه است.
بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی در نورشناسی، قانون اسنل است. این قانون که در پدیدهٔ شکست نور به کار می‌رود، رابطهٔ میان زاویهٔ نور در یک محیط و زاویهٔ آن پس از وارد شدن به یک محیط دیگر با ضریب شکست متفاوت را بیان می‌کند:
که در آن، n و 'n ضریب شکست و θ و 'θ زاویهٔ پرتو نور محیط اول و دوم هستند. قانون اسنل، در تعیین زاویهٔ حد شکست و نیز در شکست نور در منشورها و عدسی‌ها به کار می‌رود. مسیر حرکت نور در عبور از یک عدسی با استفاده از قانون اسنل تعیین می‌شود.
افزون بر شکست نور، از توابع مثلثاتی در زمینه‌های دیگری از نورشناسی مانند تحلیل تداخل امواج، قطبیدگی و پراش در دو شکاف استفاده می‌شود.
توابع سینوس و کسینوس مانند چندجمله‌ای‌ها متعامد هستند و استقلال خطی دارند. از این رو می‌توان هر تابع (عموماً متناوب) را بر حسب یک سری از این توابع به صورت رابطهٔ زیر نوشت که سری فوریه نامیده می‌شود:
برای توابع فرد، تنها جملات تابع سینوس و برای توابع زوج، تنها جملات تابع کسینوس و ضریب ثابت در نظر گرفته می‌شوند.
تبدیل فوریه، نوعی تبدیل انتگرالی است که شکل توسعه یافتهٔ سری فوریه است. این تبدیل به صورت زیر تعریف می‌شود:
که تابع نمایی با نمای مختلط توسط فرمول اویلر به توابع مثلثاتی تبدیل می‌شود. از تبدیل فوریه در حل معادلات دیفرانسیل جزئی از جمله معادلهٔ موج، تحلیل طیفی و پردازش سیگنال بهره می‌برند.
هم‌چنین در ذخیره‌سازی تصویر با قالب JPEG از تبدیل کسینوس گسسته برای کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده می‌کنند. در این روش، تصویر به بلوک‌هایی با ابعاد یکسان تقسیم می‌شود و در هر بلوک، ضرایب چند جملهٔ نخست تبدیل فوریه (که تعداد جمله‌ها بر پایهٔ دقت تبدیل، انتخاب می‌شود) بر پایهٔ رنگ همهٔ نقطه‌های درون بلوک محاسبه می‌شوند.