moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
حتی مایکل استین هارت، که افق زمانی سرمایه‌گذاری خود را از ۳۰ دقیقه تا ۳۰ روز انتخاب می‌کرد، مدعی چشم‌اندازی بلند مدت در تصمیمات سرمایه‌گذاری خود بود. از منظر اقتصادی، بسیاری از مدیران حرفه‌ای و مشاوران مالی محافظه کار با این استدلال که پاداش معاملات روزانه با ریسک آن متناسب نیست، این معاملات را انجام نمی‌دهند. با وجود مخالفتها، زمان‌بندی بازار نه غیرقانونی و نه غیراخلاقی است. سرمایه‌گذاران تلاش می‌کنند تا سود به دست آورند وخرید با قیمت پایین وفروش با قیمت بالا هدف کلی اکثر سرمایه‌گذاران است (هر چند فروش استقراضی و آربیتراژ رویکرد متفاوتی ست، موفقیت یا شکست این استراتژی هم به زمان بستگی دارد).
مشکلات ناشی از معاملات صندوق سرمایه‌گذاری مشترک، زمان‌بندی بازار را به شکل یک اتفاق منفی نشان می‌دهد. چون بروشورهای نوشته شده توسط صندوق سرمایه‌گذاری مشترک به شدت معاملات کوتاه مدت را منع کرده‌است. با وجود این ممنوعیت، به مشتریان خاص اجازه می‌دهد تا معاملات روزانه انجام دهند؛ بنابراین، مشکل با استراتژی معامله نیست بلکه مشکل با اجرای غیراخلاقی و غیر منصفانه استراتژی است، که به برخی از سرمایه‌گذاران به استثنای دیگران اجازه داده شد آن را به کار بگیرند. همه سرمایه‌گذاران بزرگ جهان، تا حدی، به زمان‌بندی بازار برای موفقیت خود تکیه می‌کنند. خواه آن‌ها تصمیم‌گیری معامله خود را بر مبنای تجزیه و تحلیل بنیادی، تجزیه و تحلیل تکنیکال یا شهود شخصی، انجام دهند و خواه همه موارد، دلیل نهایی برای موفقیتشان انجام معاملات مناسب در زمان مناسب است. در اغلب موارد، این تصمیمها شامل دوره زمانی توسعه یافته وبر اساس استراتژی سرمایه‌گذاری خریدو نگهداری است. سرمایه‌گذاری روی ارزش یک مثال روشن از استراتژی خرید سهامیست که کمتر از ارزش ذاتیش معامله می‌شودوزمانی که بازار ارزش ذاتی آن را تشخیص داد به فروش می‌رسد. بسیاری از سرمایه‌گذاران ارزش به صبر شناخته می‌شوند، چون سهام زیر قیمت اغلب برای مدت قابل توجهی زیر قیمت باقی می‌ماند.
برخی از سرمایه‌گذاران ترکیبی از عوامل تکنیکال، فاندامنتال ومحیطی مؤثر بر مکان و زمان سرمایه‌گذاریشان را انتخاب می‌کنند. این متخصصان نظریه شانس سرمایه‌گذاری را رد می‌کنند، وسطح بالاتر بازده را به هر دو ویژگی زیرکی و نظم و انضباط نسبت می‌دهند.
شکست مالی و داستانهای ناموفق معامله سهام فراوانند. هر سال مشاوران مالی دوره‌های آموزشی نامعتبر بسیاری برگزار می‌کنند. در این دوره‌ها که افراد ساده لوح به ثروتمند شدن امیدوار می‌شوند پول زیادی هدر می‌رود. این کاربه پیشرفت گستردهٔ روش‌های نادرست و اثبات نشده معامله برای سهام، اوراق قرضه، کالا، یا فارکس می‌انجامد، در حالی که درآمد قابل توجهی برای نویسندگان بی‌وجدان، مشاوران و انجمن گفتگوی تجاری ایجاد می‌کند. فعالترین مدیران پول بازدهی بدتر از شاخص به دست می‌آورند.Alice Schroeder, the author of “”, Schroeder: Days of Easy Money End for Fund Managers, Bloomberg (Jan 19, 2012)
سفته بازی سهام حرفه‌ای پرریسک و پیچیده‌است چون مسیر حرکت بازار به‌طور کلی غیرقابل پیش‌بینی و فاقد شفافیت می‌باشد، و گاهی نهاد ناظر بازار مالی قادر نیست بی قانونی‌های موجود را کشف و اصلاح کند. علاوه بر این، بازارهای مالی معمولاً در معرض سفته بازی قرار دارند. این داستانهای واقعی و به خوبی مستند شده، موفقیت‌های بزرگ و سودآوری مداوم بسیاری از سرمایه‌گذاران سهام و سازمان‌های سرمایه‌گذاری سهام در طول تاریخ را باطل نمی‌کند.
لنا کورما (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ، نوازنده گیتار و بازیگرVanilla Ninja - Love Is War - Review - Stylus Magazine ()Lenna Kuurma iMDb اهل استونی است.
وی که از اعضای گروه وانیلا نینیا بوده به همراه این گروه در مسابقات مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۰۵ به نمایندگی از کشور سوئیس شرکت کرده است.
وانیلا نینیا () یک گروه موسیقی راک سه نفره در شهر تالین، استونی بوده‌است.
این گروه مابین سال‌های ۲۰۰۲ تا ۲۰۰۸ فعال بوده و در سال ۲۰۰۵ به نمایندگی از کشور سوئیس در مسابقه آواز یوروویژن شرکت کرده و به مقام هشتم این مسابقات رسیده‌است
کاترین سیسکا (؛ زادهٔ ۱۰ دسامبر ۱۹۸۳) یک خواننده پاپ اهل استونی است.
وی که از اعضای گروه وانیلا نینیا بوده است به همراه آن به نمایندگی از کشور سوئیس در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۰۵ شرکت کرده است. وی در آگوست ۲۰۰۹ به عضویت حزب مرکزی استونی درآمده است.
پیرت یارویس (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ اهل استونی است.
وی که از اعضای گروه وانیلا نینیا بوده است به همراه آن به نمایندگی از کشور سوئیس در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۰۵ شرکت کرده است.
ترینو کیویلان (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ اهل استونی است. وی از سال ۲۰۰۶ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده‌است.
ماریا روکس (؛ زادهٔ ) یک خواننده راک و هوی متال اهل استونی است. وی از سال ۱۹۹۳ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده‌است.
وی از اعضای گروه وانیلا نینیا بوده است.
سوپرگرل () یک مجموعه تلویزیونی آمریکایی در ژانر ابرقهرمانی است که توسط گرگ برلانتی، الی آدلر و اندرو کریزبرگ در سی‌دابلیو تولید شد. داستان این مجموعه بر اساس شخصیت ابرقهرمان سوپرگرل از دی‌سی کامیکس تهیه شده‌است. پخش این مجموعه از ۲۶ اکتبر ۲۰۱۵ شروع شد.
این سریال از مجموعه سریال‌های ارو ورس محسوب می‌شود. همچنین تایید شد فصل ششم به تعداد ۲۰ قسمت آخرین فصل از این سریال محسوب می‌شود. پخش فصل ششم در نهم نوامبر ۲۰۲۱ به پایان رسید.
در فیلم سوپرگرل داستان کارا دخترعموی سوپرمن است که در سیاره کریپتون به دنیا آمده و پس از نابودی کریپتون، در سن 12 سالگی به سیاره زمین می آید و به خانواده دنورس سپرده می‌شود. به کارا گفته شده که مراقب استفاده از قدرت‌های خارق العاده خود باشد تا مورد توجه دیگران قرار نگیرد، اما او برای نجات جان دیگران مجبور می شود از قدرت هایش استفاده کند. در نهایت پس از معرفی او به مردم دنیا دشمن هایش یکی پس از دیگری پیدا می شوند.
نیکول کیدمن در نقش لیلیان لوتر
جسی راث/در نقش برینی/برینیاک
«تالار جیمی» () فیلمی در ژانر درام به کارگردانی کن لوچ است که در سال ۲۰۱۴ منتشر شد. این فیلم در بخش مسابقه جشنواره فیلم کن ۲۰۱۴ به نمایش درآمد.
در سال ۱۹۳۲ جیمی گرالتون جوان ایرلندی که بیش از ده سال است به آمریکا تبعید شده، نزد مادرش در روستایی کوچک بازمی‌گردد.
در ریاضیات، به‌طور ویژه در نظریه اعداد، تابع اعداد اول، تابعی از اعداد طبیعی به اعداد طبیعی همانند تابع فاکتوریل می‌باشد که به جای ضرب اعداد صحیح مثبت، اعداد اول صرفاً ضرب می‌شوند.
دو تعریف متضاد وجود دارد که تفسیر این استدلال را متفاوت می‌کند:
تعبیر استدلال اول بیان می‌دارد که در دنباله اعداد اول شاخص[اعداد اول] وجود دارد (پس این تابع اکیداً صعودی است) درحالیکه تعبیر استدلال دوم بیان می‌دارد که اعداد اول برای ضرب، معین اند (پس مقدار تابع در هر عدد مرکب، مشابه مقدار قبلی خود[تا عدد اول ماقبل] می‌باشد)
این مقاله از تعبیر دوم استفاده می‌کند.
عبارت «تابع اعداد اول»، منسوب به Harvey Dubner، با اعداد اول متناسب است همان‌طور که تابع عوامل (فاکتوریل) با عوامل رابطه دارد.
تابع اعداد اول، "p"، برای "n"امین عدد اول، عبارت "#p" حاصل "n"تا عدد اول تعریف می‌شود.
که "p"، "k"امین عدد اول می‌باشد.
به عنوان مثال، "p#" دلالت بر حاصل ۵ عدد اول دارد:
برای ۶ تابع اعداد اول، "p#" به صورت زیر است:
این دنباله شامل "p#" = ۱ نیز به عنوان حاصل پوچ (هسته یا همان کرنل) می‌باشد.
تابع اعداد اول "p#" مطابق زیر رشد می‌کند:
که formula_4 نماد oکوچک می‌باشد.
در کل، برای هر عدد صحیح مثبت "n" همانند تابع اعداد اول، #"n" به صورت حاصل اعداد اول که ≤ "n": هستند، تعریف می‌شود.
که formula_6 "تابع شمارش اعداد اول"است؛ که تعداد اعداد اول ≤ "n" را می‌دهد؛ و معادل زیر است:
برای مثال ۱۲# حاصل اعداد اول ≤ ۱۲ را بیان می‌دارد.
زیرا formula_9 را می‌توان از طریق زیر محاسبه کرد:
مقادیر تابع اعداد اول را برای ۱۲ مقدار اول n\# در نظر بگیرید.
۱، ۲، ۶، ۶، ۳۰، ۳۰، ۲۱۰، ۲۱۰، ۲۱۰، ۲۱۰، ۲۳۱۰، ۲۳۱۰.
می‌بینیم که برای هر عدد مرکب "n" هر جملهٔ n# جملهٔ ماقبل خود را تکثیر می‌کند ("n" − ۱)# چنانچه در تعریف گفته شد. در مثال بالا داریم 12# = "p"# = ۱۱# زیرا ۱۲ عددی مرکب است.
لگاریتم طبیعی "n"# اولین تابع چبیشف است که به صورت formula_11 یا formula_12 نوشته می‌شود که برای "n"های بزرگ به "n" نزدیک می‌شود.[هم‌ارزی].
نظر ضرب کردن همه اعداد اول شناخته شده در اثبات نامحدود بودن اعداد اول، به وقوع پیوست؛ که از آن برای وجود اشتقاقی سایر اعداد اول استفاده می‌شود.
تابع اعداد اول در تحقیق اعداد اول در پیشرفت‌های حسابی افزایشی نقش دارد. برای مثال ۲۲۳۶۱۳۳۹۴۱ + ۲۳# اول است که با دنباله‌ای با سیزده عدد اول که با اضافه کردن مکرر ۲۳# کشف شد شروع و با ۵۱۳۶۳۴۱۲۵۱ تمام شد. ۲۳# هم چنین تفریق عادی در پیشرفت حسابی ۱۵ و ۱۶ عدد اول است.
هر عدد مرکب عالی، حاصل تابع اعداد اول می‌باشد. (۳۶۰ = ۲·۶·۳۰)
همهٔ اعداد تابع اعداد اول، مکعب ناکامل اند و از اعداد کوچک‌تر از خود عوامل اول مجزای بیش تری دارد. برای هر تابع اعداد اول "n"، کسر formula_13 از هر عدد صحیح کمتر، کوچک‌تر است و formula_14 تابع نمایی اویلر می‌باشد.
هر تابع کامل ضربی، با مقادیر خود در تابع اعداد اول تعریف می‌شود، زیرا با مقادیر خود در اعداد اول بیان می‌شود که می‌توان با تقسیم مقادیر مجاور آن را پوشا کرد.
سامانه‌های پایه‌ای مربوط به تابع اعداد اول (مانند پایه ۳۰؛ با "سامانه عددی تابع اعداد اول" اشتباه نگیرید) از هر پایه کوچتری نسبت کمتری از توابع تکرار را داراست.
هر تابع عدد اول، عددی با توان پراکنده است.
تابع زتای ریمان در اعداد صحیح مثبت بزرگتر از یک را می‌توان با تابع اعداد اول و formula_15 تابه نمایی جردن بیان کرد:
اَپ استودیو توسعه یافته زبان برنامه‌نویسی ویژوال بیسیک می‌باشد. اَپ استودیو توسط شرکت ان اس بیسیک,(NS BASIC) برای نوشتن برنامه‌های ساده بر روی تمامی سیستم عامل‌ها با شعار راه برنامه‌نویسی برای دستگاه‌های موبایل ایجاد شد (از جمله اندورید).
Create your app on the desktop, then run on your device.
قابلیت‌های اَپ استودیو:
این برنامه دقیقاً و بدون هیچ گونه تغییری در سینتکس، کدهای ویژوال بیسیک را اجرا خواهد کرد
REV=inputbox("Please Entrer Time")
ChK=Time
If REV <> "" Then
If REV = CHK Then
Msgbox "Good, Your Time : " & Time
Msgbox "Your time not True
فریم ورک‌ها
دیگر سورس کدها
کوهیلا (به لاتین: Kohila) یک منطقه مسکونی در استونی است که در دهستان کوهیلا واقع شده‌است.
کوهیلا ۳٬۵۰۵ نفر جمعیت دارد.
بیرگیت ساراپ (؛ زادهٔ ) با نام اصلی بیرگیت اویگمیل یک خواننده پاپ اهل استونی است. وی از سال ۲۰۰۷ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده‌است.
وی نماینده کشور استونی در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۱۳ بوده و در جایگاه بیستم قرار گرفته است.
در علوم رایانه، جستجو فرینگ، یک الگوریتم پیمایش گراف است که کم هزینه‌ترین مسیر از گره معلوم تا یک گره مقصد را می‌دهد.
این الگوریتم، سطحی مابین الگوریتم‌های جست و جوی آگاهانهٔ آ* و نوعی عمیق کنندهٔ تکراری آ* می‌باشد. اگر x)g) هزینه مسیرهای طی شده از گره مشخص شده وx)h) تخمین بهینه (heuristic) هزینه مشخص شده تا هدف باشد، آنگاه داریم:
"ƒ"("x") = "g"("x") + "h"("x")
و" h"* هزینه فعلی و واقعی مسیر طی شده تا هدف است.
پس نسبتاً یک الگوریتم جست و جوی IDA* نیز داریم (:الگوریتمی که کوتاهترین مسیر را از یک گره مشخص شده تا هریک از گره‌های عضو مجموعه گره‌های هدف می‌یابد) که یک تابع جست و جوی بازگشتی عمق اول(DFS) از گره ریشه می‌سازد. هنگامی این الگوریتم متوقف می‌شود که یا گره هدف یافت شده یا به مقدار بیشینهٔ f برسیم. اگر بار اولی که به آستانهٔ بیشینهٔ f رسیدیم، گره هدف هنوز یافت نشده بود، آستانهٔ بیشینه افزایش میابد و الگوریتم دوباره تکرار شده و مجدداً جستجو می‌کند.
الگوریتم فرینگ با استفاده از ساختمان داده‌ای که در آن یک یا دو لیست پیوندی جهت اشاره به قسمت‌های مختلف درخت جستجو به الگوریتم IDA* بهبود بخشیده است. لیست "now" حاوی مکان فعلیه اشاره گر و لیست "later" حاوی نقاط طی شده اشاره گر است.
پس هنگام شروع از ریشهٔ درخت جستجو"now " شامل ریشه و " later" خالی است. سپس الگوریتم یکی از دو عمل زیر را انجام می‌دهد:
- اگر "F " ریشه بیشتر از مقدار آستانه تعیین شدهٔ "F " باشد از لیست "now" حذف می‌شود و به انتهای لیست "later" الحاق شود به عبارتی ریشه را برای اشارهٔ بعدی نگه می‌داریم
- اگر "F" برابر یا کمتر از آستانه بود، ریشه را حذف کرده و فرزندان آن را به ابتدای لیست " now" اضافه می‌کنیم
در انتهای یک پیمایش اشاره‌گر مقدار آستانه " F "افزایش یافت، لیست " now " برابر با "later" و لیست "later " خالی می‌شود.
یک تفاوت اصلی بین فرینگ و A* این است که در الگوریتم فرینگ محتوای لیست لزوماً چیده شده و به ترتیب نیستند. بر خلاف A* الگوریتم فرینج باید همان گره‌های قبلی را مجدداً رویت کند، اما هزینهٔ هر یک از این دیدارها مرتباً با بدترین حالت لگاریتمی زمان مرتب‌سازی لیست در A* مقایسه می‌شود.
دو لیست "now "و "later "را در یک لیست دو پیوندی اجرا می‌کنیم، به طوریکه گره‌های قبل از گره فعلی مربوط به "later" و بقیه مربوط به "now" هستند. استفاده از یک آرایهٔ گره‌های از پیش اختصاص داده شده برای لیست، برای هر گره درصف، زمان دسترسی به هر گره را در الگوریتم مرتباً کاهش می‌دهد.
init(start, goal)
Reverse pseudo-code.
reverse_path(node)
گتر یانی (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ اهل استونی است.
وی در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۱۱ با ترانه خیابان راکفلر نماینده کشور استونی بوده و در جایگاه بیست و چهارم قرار گرفت است.
تامس استنلی هالند (؛ زادهٔ ۱ ژوئن ۱۹۹۶) بازیگر انگلیسی است. افتخارات او شامل یک جایزهٔ فیلم بفتا و سه جایزهٔ ساترن می‌شود. تعدادی از نشریات او را یکی از محبوب‌ترین بازیگران نسل خود نامیده‌اند.
فعالیت حرفه‌ای هالند در ۹ سالگی که به عضویت کلاس رقص درآمد، آغاز شد و در آن‌جا از سوی یک طراح رقص مورد توجه قرار گرفت و او را برای تست بازیگری در نمایش "بیلی الیوت موزیکال" واقع در تئاتر ویکتوریا پالاس لندن تدارک دید. پس از دو سال تمرین، او در سال ۲۰۰۸ نقشی مکمل از این نمایش را به دست آورد و در همان سال به نقش اصلی ارتقا یافت که تا سال ۲۰۱۰ با این نقش به روی صحنه رفت. آغاز به کار سینمایی هالند مربوط به درام فاجعه‌ای "غیرممکن" (۲۰۱۲) بود که در آن نقش گردشگر نوجوانی که در سونامی گرفتار شده را ایفا کرد و برای آن مورد توجه منتقدان قرار گرفت. هالند پس از این تصمیم گرفت که بازیگری را به‌عنوان حرفه‌ای تمام‌وقت دنبال کند. او در "حالا چطور زندگی می‌کنم" (۲۰۱۳) حضور یافت و نقش چهره‌های تاریخی را در فیلم "در دل دریا" (۲۰۱۵) و مینی‌سریال "تالار گرگ" (۲۰۱۵) ایفا کرد.
هالند با بازی در نقش مرد عنکبوتی / پیتر پارکر در شش فیلم ابرقهرمانی دنیای سینمایی مارول که از "" (۲۰۱۶) آغاز شد، به شهرت بین‌المللی دست یافت. او سال بعد جایزهٔ ستارهٔ نوظهور بفتا را کسب کرد و با ""، جوان‌ترین بازیگری شد که نقش اول فیلمی از دنیای سینمایی مارول را ایفا کرد. دنباله‌های آن، تحت عنوان فرعی "" (۲۰۱۹) و "" (۲۰۲۱) هر یک بیش از یک میلیارد در جهان فروش داشتند و دومی پرفروش‌ترین فیلم سال شد. او نقش سینمایی اکشن دیگری در "آنچارتد" (۲۰۲۲) داشت و نقش‌های متفاوت‌تری در درام‌های جنایی "شیطان تمام‌وقت" (۲۰۲۰) و "چری" (۲۰۲۱) ایفا کرد. او همچنین فیلم کوتاه "توئیت" (۲۰۱۵) را کارگردانی کرد و صداپیشهٔ چند انیمیشن کامپیوتری شامل "به پیش" (۲۰۲۰) بوده‌است.
توماس استنلی هالند یا به اختصار تام هالند در ۱ ژوئن ۱۹۹۶ در کینگستون لندن در خانواده‌ای هنرمند به دنیا آمد. مادرش نیکول الیزابت عکاس برنده جایزه و پدرش دومینیک هالند نویسنده و کمدین انگلیسی است."Meet Tom Holland... the 16-year-old star of The Impossible" , standard.co.uk, 20 December 2012."Schoolboy actor Tom Holland finds himself in Oscar contention for role in tsunami drama" , "The Scotsman", 21 December 2012. او فرزند ارشد خانواده شش نفره هالندها است و سه برادر کوچک‌تر از خودش دارد: دوقلوهایی به نام هری هالند و سام هالند (زادهٔ سال ۱۹۹۹) و برادر دیگرش پاتریک «پدی» هالند (زادهٔ سال ۲۰۰۴) است."Holland and Pflueger Are West End's Two New 'Billy Elliots'", BroadwayWorld.com, 28 August 2008. او از جانب پدرش اصالتی ایرلندی دارد. پدربزرگ پدری‌اش، جان چارلز آنتونی اهل جزیرهٔ من و مادربزرگ پدری‌اش، ترزا کوئیگلی، اهل ایرلند بود. از سمت مادری هم نوهٔ رابرت والتر فراست و کریستینا وینفرد بری است.
پدرش از مارس ۲۰۱۱ تا دسامبر ۲۰۱۲ در وبلاگ ایکلیپسد به نویسندگی پرداخته و داستان کمدینی را نشان می‌دهد که به دلیل استعداد پسرش دیگر به چشم نمی‌آید. در این وبلاگ به جزئیات زندگی گذشته و زندگی حرفه‌ای امروز تام هالند پرداخته شده‌است. تام در مدرسه ابتدایی کاتولیک دووهد در ناحیه جنوب غربی لندن درس خوانده‌است. او در سال ۲۰۱۲ از کالج ویمبلدون فارغ‌التحصیل شد و پس از اتمام کالج در مدرسه هنرهای نمایشی و فناوری بریت ثبت نام کرد و به تحصیل تکنولوژی و هنرهای نمایشی پرداخت. او در طی تئاتر بیلی الیوت، ژیمناستیک آموخت. هالند در نوجوانی، برای مدتی از بازیگری دور ماند و در کلاس‌های نجاری در کاردیف شرکت کرد.
هالند رقص هیپ‌هاپ خود را با عضویت در گروه رقص هیپ‌هاپ در کلاس‌های رقص نیفتی‌فیت در ویمبلدان آغاز کرد. استعدادش در زمینهٔ رقص سال ۲۰۰۶ و با شرکت در جشنوارهٔ رقص ریچموند توسط رقصندهٔ مشهور و طراح نمایش موزیکال بیلی الیوت، لین پیچ، کشف شد و پس از آن به پیتر دارلینگ معرفی شد.
تام هالند فعالیت هنری خود را با بازی در تئاتر آغاز کرد، در ۲۸ ژوئن سال ۲۰۰۸ پس از ۸ بار تست رقص و ۲ سال آموزش توانست در نمایش موزیکال «بیلی الیوت» در وست اند به عنوان نقش فرعی مایکل، بهترین دوست بیلی ظاهر شود. مدت کوتاهی بعد در همین نمایش به عنوان نقش اصلی به ایفای نقش پرداخت که بازخوردهای مثبتی از سوی تماشاگران و منتقدان داشت و نظرات زیادی را به سوی خود جلب کرد. طی دو سال بعد نیز با بازیگران مختلف و مشهور این نمایش را اجرا کرد. در ۸ مارس ۲۰۱۰، به مناسبت پنجمین سالگرد بیلی الیوت، چهار بازیگر نقش اصلی بیلی الیوت از جمله هالند، برای دیدار با نخست‌وزیر، گوردون براون به شماره ۱۰ خیابان داونینگ دعوت شدند و هالند نیز به عنوان رهبر گروه انتخاب شد. سرانجام در ۲۹ مه ۲۰۱۰ هالند بازی در تئاتر را ترک کرد و تصمیم به بازی در عرصه سینما گرفت.
او در سال ۲۰۱۱ به جمع بازیگران نسخهٔ بریتانیایی فیلم پویانمایی "آریتی" پیوست. این انیمیشن توسط یک شرکت ژاپنی تولید شده‌است، هالند در این انیمیشن صداگذاری یکی از شخصیت‌های کلیدی داستان به نام «شو» را بر عهده داشت.
تام هالند برای نخستین‌بار در سال ۲۰۱۲ در فیلم "غیرممکن" به صورت جدی وارد سینما شد، او در این فیلم در کنار بازیگران مطرح سینمایی همانند نائومی واتس و اوان مک‌گرگور حضور یافت؛ فیلمی که با ستایش منتقدان همراه بود و در گیشه نیز با موفقیت قابل توجهی رو به رو شد. این فیلم به سرگذشت مشقت بار یک خانوادهٔ بازماندهٔ اسپانیایی در جریان سونامی سال ۲۰۰۴ می‌پردازد که پس از وقوع حادثه سعی می‌کنند یکدیگر را پیدا کنند. هالند پس از ایفای نقش در این فیلم توانست موفقیت بسیار زیادی کسب کند و مورد تحسین قرار بگیرد. به حدی که انتظار می‌رفت او یکی از دریافت‌کننده‌های جایزهٔ اسکار آن سال خواهد بود. هالند در ۱۶ سالگی برای این فیلم موفق به دریافت ده جایزه از سوی منتقدان از جمله جایزهٔ هیئت ملی بازبینی فیلم برای بهترین بازیگر تازه‌کار و همچنین جایزهٔ حلقه منتقدان فیلم لندن برای بهترین بازیگر جوان بریتانیایی سال شد.
پس از موفقیت او در فیلم "غیرممکن،" هالند در سال ۲۰۱۳ موفق شد به عنوان بازیگر نقش مکمل مرد، در فیلم ملودرام "حالا چطور زندگی کنم" در نقش آیزاک به ایفای نقش بپردازد، هالند در این فیلم، با سورشا رونان همبازی بود. دیگر پروژه هالند برای سال ۲۰۱۴ فیلم "لاک" بود، این فیلم دومین فیلم هالند در مقام صداپیشگی است. او در این فیلم با بازیگر مطرح سینمای هالیوود، تام هاردی، همبازی بود و در نقش صداپیشه بازی خوبی را از خود به نمایش گذاشت.
هالند در سال ۲۰۱۵ با بازی در چهار قسمت از مینی‌سریال تاریخی و تحسین‌شده "تالار گرگ" در نقش «گرگوری کرومول» قدم به عرصهٔ تلویزیون گذاشت. وی همچنین در فیلم "در دل دریا" به کارگردانی ران هاوارد در نقش جوانی توماس نیکرسون، دریانورد آمریکایی، ظاهر شد.
در ۲۳ ژوئن سال ۲۰۱۵ بود که اعلام شد هالند برای ایفای نقش پیتر پارکر/مرد عنکبوتی انتخاب شده‌است، اتفاقی که موفقیت و محبوبیت زیادی برای او به دنبال داشت. او برای این نقش بازیگرانی مانند ایسا باترفیلد و تیموتی شالامی را در تست بازیگری شکست داد، سرانجام در سال ۲۰۱۶ و در ۱۹ سالگی او در فیلم "" برای نخستین بار در این نقش ظاهر شد، او اولین بازیگر غیرآمریکایی است که ایفاگر نقش پیتر پارکر بوده‌است، این فیلم یک موفقیت تجاری مهم محسوب شد و با فروشی بیش از ۱ میلیارد دلار، تبدیل به پرفروش‌ترین فیلم سال ۲۰۱۶ شد و بازی هالند با تحسین منتقدان همراه بود.
در سال ۲۰۱۷، هالند در فیلم "شهر گمشده زد" به کارگردانی جیمز گری با چارلی هونام همبازی شد این فیلم نیز با تحسین منتقدان همراه بود و جزو ۱۰ فیلم برتر سال ۲۰۱۷ به انتخاب مجله تایم شد. همچنین هالند حضور کوتاهی در فیلم "هیولایی فرامی‌خواند" داشت، صداپیشگی شخصیت او توسط لیام نیسون انجام شد. دیگر پروژه او برای سال ۲۰۱۷ "جنگ جریان" با بازی بندیکت کامبربچ در نقش اصلی بود، این فیلم در جشنواره بین‌المللی فیلم تورنتو به نمایش درآمد، بررسی‌های اولیه دربارهٔ این فیلم با واکنش‌های متفاوتی از سوی منتقدان همراه بود با این حال از بازی هالند در این فیلم استقبال کردند. در سال ۲۰۱۷، هالند در فیلم "" برای بار دوم در نقش پیتر پارکر/مرد عنکبوتی ظاهر شد. این فیلم با نقدهای مثبتی از سوی منتقدان روبرو شد و بازی تام هالند نیز مورد تحسین منتقدان قرار گرفت و آن را ستاره‌ای نوظهور خواندند. همچنین این فیلم موفقیت خوبی در گیشه داشت و در سراسر جهان بیش از ۸۰۰ میلیون دلار فروش داشت. بازی در این فیلم، باعث شد تا هالند به عنوان جوان‌ترین بازیگر نقش اول مرد در جهان سینمایی مارول، نام خود را در رکوردهای جهانی گینس ثبت کند.
هالند در سال‌های ۲۰۱۸ و ۲۰۱۹ به ترتیب در فیلم‌های پرفروشی نظیر "" و "" نیز ایفاگر این نقش بود. در سال ۲۰۱۸ بازی در فیلم "۱۹۱۷" به او پیشنهاد شد اما به علت مشکلات برنامه‌ریزی او و بازی در فیلم‌برداری مجداً "آشوب مدام" او این پیشنهاد را رد کرد. هالند در سال ۲۰۱۹ برای بار پنجم نقش خود را در فیلم "" تکرار کرد. این فیلم نیز مانند نقدهای مثبتی دریافت کرد و بازی تام هالند نیز ستایش شد و با فروش ۱٫۱۳۲ میلیارد تبدیل به پرفروش‌ترین سری فیلم‌های مرد عنکبوتی شد. هالند در سال‌های ۲۰۱۹ و ۲۰۲۰ در سه فیلم به عنوان صداپیشه حضور داشت؛ در سال ۲۰۱۹ همراه با ویل اسمیت صداپیشگی شخصیت‌های اصلی انیمیشن کمدی "جاسوسان نامحسوس" را بر عهده داشتند، این انیمیشن نیز به‌طور کلی نقدهای مثبتی دریافت کرد و اجرای هالند و ویل اسمیت تحسین شد.
در سال ۲۰۲۰ به عنوان صداپیشه سگی به نام جپ در لایواکشن "دولیتل" با بازی رابرت داونی جونیور حضور یافت. پس از آن در انیمیشن "به پیش" همراه با کریس پرت صداپیشگی دو برادر الف را بر عهده داشتند. این انیمیشن با نظرات مثبت منقدان همراه بود و صداپیشگی هالند و پرت را نقطه قوت فیلم خواندند. دیگر فیلم هالند در سال ۲۰۲۰، "شیطان تمام‌وقت" به کارگردانی آنتونیو کامپوس بود، وی در این فیلم با بازیگرانی چون رابرت پتینسون، سباستین استن، جیسون کلارک، رایلی کیئو، الیزا اسکانلن و بیل اسکاشگورد همبازی بود. این فیلم با واکنش‌های مطلوبی از سوی منتقدان روبرو شد و اجرای هالند با تحسین فراوانی همراه بود.
هالند در سال ۲۰۱۷، به عنوان بازیگر نقش اول در فیلم "آشوب مدام" به کارگردانی داگ لیمان که اقتباسی از رمان چاقوی ایستادگی اولین کتاب از سه‌گانه "آشوب مدام" اثر پاتریک نس است بازی کرد. او در این فیلم با بازیگرانی مانند دیزی ریدلی، مدس میکلسن، دمیان بیچیر و نیک جوناس همبازی شد. این فیلم در ۲۲ ژانویه ۲۰۲۱ اکران شد. از دیگر پروژه‌های هالند که در ۲۰۲۱ اکران شد می‌توان به "چری" اشاره کرد. این فیلم به کارگردانی برادران روسو، در ۲۶ فوریه در سینماهای ایالات متحده و در ۱۲ مارس در اپل تی‌وی پلاس به‌نمایش درآمد.
در اکتبر سال ۲۰۲۰، هالند کار بر روی "" را آغاز کرد. این فیلم در دسامبر ۲۰۲۱ منتشر شد. در مه سال ۲۰۱۷ اعلام شد که هالند برای بازی در نقش ناتان دریک جوان در لایواکشن "آنچارتد" که اقتباسی از سری بازی‌های ویدئویی "آنچارتد" است، انتخاب شده‌است. فیلم‌برداری این فیلم در اکتبر ۲۰۲۰ به پایان رسید و در سال ۲۰۲۲ اکران شد.
هالند سپس نقش اصلی مینی‌سریال اپل تی‌وی‌پلاس، "اتاق شلوغ" را بازی کرد و از تهیه‌کنندگان اجرایی آن بود. این مینی‌سریال با الهام از رمان غیرداستانی سال ۱۹۸۱، "اذهان بیلی میلیگان" ساخته شد که او در آن نقش شخصیتی مبتنی بر بیلی میلیگان را ایفا کرد. این مینی‌سریال نقدهای ضعیفی از منتقدان دریافت کرد، به‌طوری که باب اشتراوس در "سان فرانسیسکو کرونیکل" آن را به‌عنوان «یکی دیگر از پروژه‌های 'جدی' تام هالند که برای مهم تلقی کردن سخت است» کنار گذاشت. هالند گفت این نقش از لحاظ احساسی برای او بیش از حد طاقت‌فرسا بود و اینکه برای بهبودی یک سال از بازیگری فاصله می‌گیرد.
نام هالند در فهرست «ستارگان فردای بریتانیا – ۲۰۱۲» از "اسکرین اینترنشنال" و «نسل بعدی ۲۰۱۵» از "هالیوود ریپورتر" که فهرستی متشکل از تازه‌واردان نویدبخش در سینما است، قرار گرفته‌است. در سال ۲۰۱۹، نام او در فهرستی از افراد با نفوذ زیر ۳۰ سال "فوربز" به‌نام «۳۰ شخص زیر ۳۰ سال فوربز» و فهرست اینسایدر آی‌ان‌سی. از «۴۵ ستارهٔ جوانی که روزی بر هالیوود حکومت خواهند کرد» قرار داده شد. در سال ۲۰۲۰ نام او در فهرست «بازیگران جذاب، جوان و بریتانیایی ۲۰۲۰» از "گلامور" قرار گرفت و در ۲۰۲۱ او در بین بهترین بازیگران زیر ۳۰ سال از سوی ام‌اس‌ان و کمپلکس نتورکز انتخاب شد. در فهرست ام‌اس‌ان، رایان موتوکو او را به دلیل صراحت و تمایل برای مصاحبهٔ غیرمرتبط در طول تبلیغات فیلم، به‌عنوان «عزیز برای رسانه‌های انگلیسی» توصیف کرد. اولیور فرانکلین والیس از "جی‌کیو" که او را «ابرقهرمان سال» در سال ۲۰۲۱ نامید، نوشت: «هالند به سطحی از ستاره‌ها دست یافته که تعداد کمی از بازیگران و به ندرت آنقدر جوان رسیده‌اند». برنت لانگ و ربکا روبین، سردبیران "ورایتی" در دسامبر ۲۰۲۱ گزارش دادند که پس از موفقیت فیلم‌های مرد عنکبوتی، هالند می‌تواند در آینده به بازیگری با دستمزد بالا تبدیل شود. این دو به کمبود بازیگران نقش اول مرد و جوان در هالیوود اشاره کردند و پتانسیل هالند برای معرفی نسل جدیدی از بازیگران موفق را دیدند.
هالند خودش را «یک مردم‌دار غیرقابل‌تحمل» می‌داند که به گفتهٔ اولیویا سینگ از یاهو! نیوز این موضوع منجر به مواجه‌شدن با فرسودگی و حادثه‌ای شده که در آن‌جا پس از یک کنفرانس مطبوعاتی استفراغ کرده‌است. او شخصی بی‌ملاحظه و خوداعتراف‌کن است و به‌دلیل اسپویل کردن از روی بی‌توجهی عناصر داستانی مهم فیلم‌هایش در طول مصاحبه‌ها و کنفرانس‌های مطبوعاتی شهرت پیدا کرده‌است. هم‌بازی‌هایش در دنیای سینمایی مارول به او برچسب «کم‌اعتمادترین» شخص در گروه بازیگران را زده‌اند. او برای جلوگیری از وقوع حادثه‌ای ناخواسته، تنها بخشی از قسمت‌های فیلم‌نامهٔ "کاپیتان آمریکا: جنگ داخلی" را خواند. جو روسو به همین ترتیب از دادن فیلم‌نامهٔ "انتقام‌جویان: پایان بازی" به او اجتناب کرد و هالند تنها دیالوگ‌های فیلم‌نامهٔ خود را می‌دانست. هالند نظرات خود در مورد صنعت سینما را بیان کرده‌است. در مصاحبه‌ای در سال ۲۰۱۹ با "ساندی تایمز"، او برای نمایش بیشتر اقلیت‌های نژادی و جامعهٔ ال‌جی‌بی‌تی در سینما صحبت کرد. در آن سال، زمانی که مارتین اسکورسیزی، فیلم‌ساز، فیلم‌های مارول را به‌دلیل عدم نمایش احساسات انسانی مورد انتقاد قرار داد، هالند پاسخ داد «او نمی‌داند این کار چگونه است، زیرا هرگز چنین فیلمی را نساخته‌است.» هالند همچنین گفته که فیلم‌های دنیای سینمایی مارول بدون در نظر گرفتن کیفیت، همیشه از لحاظ تجاری خوب عمل می‌کنند، در حالی که یک فیلم مستقل بد ممکن است اینطور نباشد. او در سال ۲۰۲۲ از تام کروز، بازیگر، انتقاد کرد که در طول همه‌گیری کووید-۱۹ با "" (۲۰۲۳) اعتبار «احیای هالیوود» را به عهده گرفته و تأثیر تجاری فیلمش "آنچارتد" را نادیده گرفته‌اند.
هالند در سرویس شبکهٔ اجتماعی اینستاگرام فعال است. او خود را شخصی خصوصی شرح می‌دهد و تمایلی به بحث در مورد زندگی شخصی خود ندارد. هالند با زندیا (هم‌بازی خود در "مرد عنکبوتی") در رابطه است. او معتقد است توجه رسانه‌ها بر رابطه‌شان، حریم خصوصی آن‌ها را نقض کرده‌است. او در خصوص داشتن خوابگردی و کابوس‌های فلج خواب از پاپاراتزی‌ها صحبت کرده‌است. هالند از طرفداران باشگاه فوتبال تاتنهام هاتسپر انگلیس است.
تام هالند پس از ایفای نقش پیتر پارکر/مرد عنکبوتی در فیلم "" توانست نام خود را به عنوان جوان‌ترین بازیگر نقش اول مرد در دنیای سینمایی مارول در کتاب "رکوردهای جهانی گینس" ثبت کند.
تانیا میهایلووا (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ اهل استونی است.
وی در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۱۴ نماینده کشور استونی بوده و در جایگاه ۱۲ مرحله نیمه نهایی قرار گرفت است.
تفاضل محدود ()
تفاضل محدود بیان ریاضی عبارت (f(x + b) − f(x + a می‌باشد. اگر یک تفاضل محدود بر b – a تقسیم شود، خارج قسمت تفاضلی خواهیم داشت. تقریب مشتقات در تفاضل محدود نقش مهمی را در روش‌های تفاضل محدود گرفتن برای راه حل عددی معادلات دیفرانسیل، به خصوص مسائل مقدار مرزی، ایفا می‌کند.
روابط بازگشتی معین را می‌توان به صورت معادلات تفاضلی با جایگزین کردن نمادگذاری تکراری با تفاضلات محدود نوشت.
امروزه، اصطلاح «تفاضل محدود» به عنوان مترادف تقریبات تفاضل محدود مشتقات، مخصوصاً در زمینه روش‌های عددی می‌باشد. تقریبات تفاضل محدود، در واقع همان خارج قسمت‌های تفاضلی محدود در اصطلاحات به کار رفته در بالا می‌باشد.
تفاضلات محدود، موضوع مطالعه اشیای ریاضی خود-اتکای مطلق می‌باشد و افرادی چون: جورج بول(۱۸۶۰)، مایلن تامسون(۱۹۳۳) و کارلی جوردن(۱۹۳۹)، که اصول آن به ایساک نیوتون برمیگردد، در این زمینه کار کردند. در این دیدگاه، احتساب رسمی تفاضل محدود همانند احتساب چیزهای بی‌نهایت کوچک است.
۳ شکل متداول وجود دارد:تفاضل پیشین، پسین و مرکزی.
تفاضل پیشین بیانگر عبارت زیر می‌باشد.
در کاربرد، ناحیه "h" می‌تواند ثابت یا متغیر باشد. اگر حذف شده باشد، باید "h " را ۱ در نظر بگیریم: formula_2.
تفاضل پسین، از مقادیر تابعی "x" و "x – h" به جای" x+h" و "x "استفاده می‌کند:
و در نهایت، تفاضل مرکزی به صورت زیر داده می‌شود:
"مشتق" تابع f در نقطه x به صورت "حد" تعریف می‌شود:
اگر h یک مقدار ثابت (غیر صفر) داشته باشد، در عوض نزدیک شدن به صفر [حدی]، آنگاه سمت راست رابطه فوق به صورت زیر نوشته می‌شود:
بنابراین، تفاضل پیشین تقسیم شده بر h، وقتی h کوچک باشد تقریب مشتق خواهد بود. خطای این تقریب را می‌توان با نظریه تیلور مشخص کرد. فرض کنید که f دیفرانسیل‌پذیر باشد، آنگاه خواهیم داشت:
فرمول مشابه برای تفاضل پسین:
با این حال، تفاضل مرکزی تقریب دقیق‌تری را داراست. اگر f دو بار دیفرانسیل‌پذیر باشد، داریم:
مشکل اصلی در روش تفاضل مرکزی، این است که توابع نوسانی مشتق صفر را دارند. اگر f(nh)=۱ که n فرد می‌باشد، و f(nh)=۲ که n زوج می‌باشد، آنگاه f’(nh)=۰ که به صورت تفاضل مرکزی محاسبه می‌شود.
حال اگر دامنه تابع f گسسته باشد، مشکلاتی خواهیم داشت.
کسانی که تفاضلات محدود به معنای تقریبات تفاضل محدود می‌باشد، تفاضلات مرکزی/پسین/پیشین را همانند خارج قسمت داده شده در این بخش تعریف کنند (در عوض به کار گرفتن تعریف داده شده در بخش قبلی)
به‌طور متشابه می‌توان تقریبات تفاضل محدود را به مشتقات مراتب بالاتر و عملگرهای دیفرانسیلی تعمیم داد. به عنوان مثال، با استفاده از فرمول تفاضل مرکزی برای (f ' (x+h/2 و (f ' (x-h/2 و به کارگیری فرمول تفاضل محدود مرکزی برای مشتق 'f در نقطه x، می‌توان تقریب تفاضل محدود مشتق دوم f را به دست آورد:
مرتبه دوم مرکزی:
و همچنین می‌توان از فرمول‌های تفاضلی دیگر نیز در به شیوه گذشته استفاده کرد:
مرتبه دوم پیشین:
به‌طور کلی تر، تفاضل مرتبه nام پیشین، پسین و مرکزی به صورت زیر بیان می‌شود:
پیشین:
برای h=۱:
پسین:
مرکزی:
در این روابط از ضریب ۲ جمله ای بعد ازعلامت مجموع به صورت | استفاده شده‌است. هریک از سطور مثلث پاسکال یک ضریب را به ازای هر i ایجاد می‌کند.
توجه داشته باشید که تفاضل مرکزی ضریب غیر صحیح h(برای nفرد) را دارا خواهد بود. این یک مسئله است؛ زیرا مقداری می‌گیرد که ورود گسسته را تغییر می‌دهد. این مشکل را می‌توان به محاسبه میانگین | و | اصلاح نمود.
تفاضلات پیشین در دنباله، همان تبدیل ۲جمله آن دنباله، ویژگی‌های ترکیبی جالب زیادی دارد. تفاضلات پیشین را می‌توان با انتگرال خاص نورلاند-رایس سنجید. اراده انتگرال برای این گوونه سری‌ها جالب است! زیرا انتگرال را می‌توان با استفاده از بسط مجانب یا نقطه زینی شکل، مورد ارزیابی قرار داد. در مقابل، سنجش عددی سری‌های تفاضل پیشین، کار بسیار مشکلی است؛ زیرا بسط ۲ جمله ای برای nهای بزرگ رشد سریعی دارد.
ارتباط تفاضلات مراتب بالاتر و مشتقات نسبی به ترتیب زیر می‌باشد:
از تفاضلات مراتب بالاتر می‌توان برای تقریبات بهتر بهره برد.
همان‌طور که در بالا بیان شد، تفاضل مرتبه اول مشتق مرتبه اول را تا مرتبه h تقریب می‌زند. با این حال ترکیب
"f"'("x") را تا مرتبه تقریب می‌زند. این را می‌توان با بسط دادن سری تیلور عبارت بالا ثابت کرد، یا با احتساب تفاضلات محدود که در زیر بیان شد. اگر لازم باشد، تفاضل محدود را می‌توان در هر نقطه مرکزی کرد با ترکیب تفاضلات مرکزی، پیشین و پسین.
با استفاده از جبر خطی می‌توان تقریبات را به راحتی محاسبه نمود. برای نمونه، تعداد تصادفی نقطه به چپ و تعداد (متفاوتی) به راست یک نقطه مرکزی، برای هر مرتبه از مشتق می‌توان انتخاب نمود. این دربردارنده یک سامانه خطی است به طوری که بسط تیلور در مجموع آن نقاط، حول یک نقطه میانی، به خوبی بسط تیلور مشتق مطلوب را تخمین می‌زند.
این برای تفاضل یک تابع در یک صفحه، هنگامی که آن به لبهٔ صفحه نزدیک می‌شود، آنگاه باید نقطه‌های یک وجه را کم کرد.
جزئیات در یادداشت‌های ویکی‌پدیا انگلیسی.
یکی از کاربردهای مهم تفاضل محدود در تحلیل عددی، به خصوص در معادلات دیفرانسیلی عددی می‌باشد که هدف در راه حل‌های عددی مرتبه ای و معادلات دیفرانسیلی ناکامل و عادی جزئی می‌باشد. این نظریه مشتقات را در معادلات دیفرانسیل با تفاضلات محدود که آن‌ها را تقریب می‌زند، جایگزین می‌کند.
روش‌های نتیجه‌گیری شده، روش‌های تفاضل محدود نام می‌گیرند.
کاربردهای رایج روش تفاضل محدود در حیطه علوم کامپیوتر، علوم مهندسی مانند مهندسی حرارت و سیالات در مکانیک و … می‌باشد.
سری‌های نیوتون دربردارنده جملات معادله تفاضل پیشین نیوتون است که بعد از نیوتون نام‌گذاری شد. در ماهیت، این فرمول الحاقی نیوتون می‌باشد، که اولین بار اصول ریاضی خود در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. اسما آنالوگ گسستهٔ بسط تیلور پیوسته نیز می‌باشد.Newton, Isaac, (1687). "Principia", Book III, Lemma V, Case 1
که هر تابع چندجمله‌ای و تحلیلی (نه همهٔ آن‌ها) را پوشش می‌دهد. بسط زیر
ضریب ۲ جمله ای نام دارد، و
فاکتوریل نزولی می‌باشد، درحالی حاصل صفر ۱ تعریف می‌شود. در این مثال خاص، فرض پله‌های واحد برای تغییرات در مقادیر x و h=۱ در کل وجود دارد.
به تناظر این نتیجه با نظریه تیلور توجه داشته باشید. مورخا، همانند مفهوم چو-واندرموند، (تعمیم این رابطه و متناظر نظریه ۲ جمله ای)
دیدگاه‌های تعمیم یافته سامانه حسابی آمبرال شامل شده‌است.
برای بیان این که چطور یک نفر از فرمول نیوتون در تمرینات خود استفاده می‌کند، دوبرابر جملات اول و کوتاه دنباله فیبوناتچی را در نظر بگیرید. f = ۲, ۲, ۴, …. هرکسی می‌تواند چندجمله‌ای از این مقادیر را پیدا کند. در ابتدا جدول تفاضلی را حساب کنیم و سپس تفاضلات را جایگزین کنیم متناظر "x" در فرمول همانند زیر:
برای حالتی که واحدهای مقادیر x یک اندازه نیستند، نیوتون قدر نسبت را محاسبه می‌کند.
حاصل سری‌ها
و چندجمله ای نهایی حاصل اسکالر می‌باشد. formula_26 .Richtmeyer, D. and Morton, K.W. , (1967). "Difference Methods for Initial Value Problems", 2nd ed. , Wiley, New York.
در تحلیل اعداد غیرساده، نظریه ماهلر بیان می‌دارد که با فرض این که f یک تابع چندجمله‌ای باشد و به‌طور محض استمراری (متناوب) باشد می‌توان آن را کم کرد.
نظریه کارلسون شرایط لازم و کافی را برای یکتایی سری نیوتون، درصورت وجود، فراهم می‌کند. با این حال سری نیوتون در کل موجود نیست.
سری‌های نیوتون، به همراه سری‌های استرلینگ و سلبرگ، نمونه خاص سری‌های تفاضلی می‌باشد که همهٔ آن‌ها به ازای تناسب مقیاسی تفاضلات پیشین تعریف می‌شود.
در مجموع و کمی کلی تر، گره‌هایی با فاصله مساوی، فرمول به صورت زیر می‌شود:
تفاضل پیشین را می‌توان همانند عملگر تفریق در نظر گرفت،Boole, George, (1872). "A Treatise On The Calculus of Finite Differences", 2nd ed. , Macmillan and Company. On line. Also, [Dover edition 1960]Jordan, Charles, (1939/1965). "Calculus of Finite Differences", Chelsea Publishing. On-line: به طوری که تابع بر مپ می‌شود. برای این عملگر داریم:
تفاضل محدود مراتب بالاتر را می‌توان به شکل بازگشتی ) نوشت. تعریف معادل دیگر نیز بدین صورت می‌باشد:
عملگر تفاضل یک عملگر خطی بوده و با استفاده از قانون ویژه لایب نیتز که در بالا اشاره شد:
با استفاده از سری‌های تیلور نسبت به h، فرمول زیر به دست می‌آید:
که D عملگر مشتق پیوسته می‌باشد که "f" را به مشتق خود "f"' مپ می‌کند.
بسط زمانی قابل قبول است که هر دو وجه برای h به اندازه کافی کوچک دارای توابع تحلیلی باشند؛ بنابراین و با تبدیل توان داریم:
این فرمول بیانگر این است که هردو عملگر نتیجه یکسانی در به کارگیری چندجمله ای دارند.
هم چنین برای توابع تحلیلی، سری سمت راست الزاماً همگرا نیست و ممکن است که یک سری مجانب باشد. با این حال، می‌توان از آن برای تقریبات دقیق مشتقات بهره برد. برای مثال، نگه داشتن دو جمله از سری، بیانگر مرتبه دوم بودن تقریب است که در انتهای قسمت تفاضلات مراتب بالاتر بیان شد.
فرمول‌های مشابه، برای عملگرهای تفاضلات محدود پسین و مرکزی:
محاسبهٔ تفاضلات محدود مربوط محاسبه آمبرال تعداد راه‌های انجام آن]ترکیب[می‌باشد. در ارتباط سیستمی، سبب مفهوم کاموتاتورهای مقادیر آمبرال به آنالوگ پیوسته خود می‌باشد (حد h→۰)
تعداد زیادی محاسبه استاندارد رابطه‌های دیفرانسیلی قراردادی شامل توابع می‌باشد؛ بنابراین نظیرهای تفاضل محدود آمبرالی شامل را به‌طور جزء به جزء مپ می‌کنیم. برای مثال، نظیر آمبرالی تک جمله ای "x"n، تعمیم فاکتوریل نزولی می‌باشد.
پس فرمول الحاقی نیوتون در بالا (با نظیر کردن جملات در بسط یک تابع متغیر f(x))و به همین ترتیب به دست می‌آید.
برای مثال، آمبرال (هم ارز) سینوس به صورت زیر است:
همانند حد پیوسته، تابع مشخصهٔ Δh /h نیز به شکل تواندار ظاهر می‌شود،
و بنابراین، مجموع فوریهٔ توابع پیوسته بر آمبرال (هم ارز) مجموع فوریه، کاملاً مپ شده‌اند؛ که شامل جملات فوریه مشابه ضرب شده در این نماهای پایه ای آمبرال (هم ارز) می‌باشد. این نماهای آمبرال، تابع مولد نمایی مرتبط با نماد گزاری‌های ویژه آن را مقداردهی می‌کند.
بنابراین، به عنوان مثال، تابع دیراک دلتا، بر متناظر آمبرال (هم ارز) خود مپ می‌شود. تابع سینوس کاردینال:
نیز به همین ترتیب خواهد بود. معادلات تفاضلی را می‌توان با تکنیک‌های معادلات دیفرانسیل حل کرد.
عملگر وارون در وارون تفاضل پیشین، که همان انتگرال آمبرال می‌شود، مجموع نامعین یا عملگر پادتفاضلی است.
همانند قوانین مشتق، داریم:
همهٔ قوانین بالا، به‌طور معادل برای عملگر تفریق (تفاضل) شامل formula_39 و formula_40 نیز استفاده می‌شوند
Ames, W. F. , (1977). "Numerical Methods for Partial Differential Equations", Section 1.6. Academic Press, New York. .Hildebrand, F. B., (1968). "Finite-Difference Equations and Simulations", Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey..
که formula_49 بردار ضریب آن می‌باشد. یک تفاضل نامحدود، تعمیم دیگری می‌باشد، که جمع سری بالا با یک سری نامحدود جایگزین می‌شود. راه دیگر تعمیم، ضرایب | را به نقطه formula_50 وابسته کنیم؛ بنابراین تفاضل محدود وزنی را در نظر می‌گیریم. هم چنین هرکدام بسته به نقطه x, h واحد را می‌توانند برگزینند: formula_51
تفاضلات محدود را می‌توان با بیش از یک متغیر در نظر گرفت. آن‌ها همانند مشتقات نسبی چند متغیره هستند.
بعضی از تغریبات مشتقات نسبی بدین صورت هستند (با استفاده از روش مرکزی):
بعضاً، برای برنامه‌هایی که در آن‌ها محاسبه مستقیم تابع f میسر نیست، می‌توان مشتق اول و دوم را محاسبه کرد. فرمول کارآمدتر حالت آخر به صورت زیر می‌باشد:
زیرا تنها مقادیری نیاز به چهار معادله گذشته را ندارند و می‌توان محاسبه کرد و می‌باشند.
منابع و متعلقات در ویکی‌پدیا انگلیسی.
الینا بورن (؛ زادهٔ ) یک خواننده پاپ اهل استونی است. وی از سال ۲۰۱۲ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده‌است.
وی به همراه استیگ راستا در مسابقه آواز یوروویژن ۲۰۱۵ نماینده کشور استونی بوده و در جایگاه هفتم قرار گرفت است.
چندمجموعه (یا خورجین) در ریاضیات تعمیمی از مفهوم مجموعه است که بر خلاف یک مجموعه،می تواند دارای چند عضو یکسان از هر عنصر باشد. multiplicity تعداد اعضایی است که از یک عنصر گرفته شده اند. برای مثال multiplicity عنصر b در formula_1 برابر 2 است.
به عنوان مثال، تعداد نامتناهی از چندمجموعه‌ها وجود دارد که حاوی عناصر "a" و "b" است، تنها با تعدد مختلف:
این اشیاء وقتی به عنوان چندمجموعه به کار می‌روند همگی متفاوتند، اگرچه به خاطر اینکه از عناصر یکسانی تشکیل شده‌اند، بک مجموعه (سه تا چندمجموعه) محسوب می‌شوند. اما متقابلاً برخلاف دنباله‌ها و تاپل‌ها ترتیب تمایزی در چند مجموعه‌ها ایجاد نمی‌کند. یعنی:
تعداد اعضای چند مجموعه نیز با جمع فراوانی عناصر برابر است:
در دهه ۱۹۷۰، نیکلاس گاورت دبرویجن و دونالد کنوت به صورت جدا از هم کلمه چندمجموعه را بکار بردند.
با این حال، مفهوم چندمجموعه‌ها (قبل از وجود کلمهٔ چندمجموعه) در قرن‌ها پیش نیز وجود داشته. کنوت اولین مطالعهٔ چندمجموعه‌ها را به ریاضی‌دان هندی بهسکارا چاریا منسوب کرده‌است که او جایگشت چند مجموعه‌ها را حدود ۱۱۵۰ بیان داشته‌است. نام‌های دیگری که برای چند مجموعه‌ها پیشنهاد یا استفاده شده عبارتند است از: "لیست، خوشه، کیسه، گروه، نمونه، مجموعهٔ وزنی، اجتماع و دنباله".
تعداد دفعاتی که یک عنصر متعلق به‌چندمجموعه هاست تعدد که عضو است. تعداد کل عناصر در یک‌های چندمجموعه، شامل تکرار در عضویت، کاردینال چندمجموعه است. به عنوان مثال، در چندمجموعه {"a", "a", "b", "b", "b", "c"} چندگانگی از اعضای "a", "b", و "c" به ترتیب ۲, ۳, و ۱ و کاردینال (اعداد اصلی) چندمجموعه ۶ است. برای تشخیص بین مجموعه و چندمجموعه، یک نماد شامل براکت است که گاهی اوقات استفاده می‌شود: چندمجموعه {۲٬۲٬۳} می‌تواند به عنوان [2,2,3]. نشان داده شود. در چندمجموعه‌ها، همانند مجموعه‌ها و در مقابل به تاپل ترتیب اعضا اهمیتی ندارد. {"a", "a", "b"} و {"a", "b", "a"} برابر است.
بلیزارد(۱۹۸۹) چندمجموعه را به مبداهایی از اعداد منسوب می‌کند؛ با این استدلال که «در دوران باستان، عدد n اغلب توسط جمعی از ضربه‌ها، علائم چوب خط، یا قسمت‌ها نشان داده می‌شد.» این‌ها و مجموعه‌ای از اشیاء مشابه، چندمجموعه‌هایی هستند؛ چنانچه ضربه‌ها، علائم چوب خط، یا قسمت‌ها غیرقابل تشخیص قلمداد می‌شدند (همانند مفهوم چند مجموعه‌ها). این نشان می‌دهد که مردم به‌طور ضمنی از چندمجموعه‌ها حتی قبل از ظهور ریاضیات استفاده می‌کردند.
این نشان می‌دهد که ضرورت در این ساختار همیشه مبرم بوده‌است که چندمجموعه چندین بار بازکشف شده‌اند و در ادبیات تحت نام‌های مختلف ظاهر شده‌است (بلیزارد ۱۹۹۱). به عنوان مثال، پترسون(۱۹۸۱) آن‌ها کیسه‌ها نامیده‌است که این جمله را به سرف، گوسلو، استرین و ولانسکی نسبت داده‌است. چندمجموعه‌ها هم چنین یک انبوهه، گروه، دسته، نمونه، مجموعهٔ وزنی، مجموعه وقایع و مجموعه آتشین (متناهی، با تکرار عنصر مجموعه) نامیده می‌شده‌است (بلیزارد ۱۹۹۱، سینگ ۲۰۰۷).
اگر چه به‌طور ضمنی چندمجموعه از دوران باستان مورد استفاده قرار گرفت، اکتشاف صریح و روشن خود را بسیار زودتر اتفاق افتاده‌است. اولین مطالعه شناخته شده از چندمجموعه به ریاضی‌دان هندی بهاسکارا آچاریا (حدود ۱۱۵۰)، که جایگشت از چندمجموعه‌ها را (کنوت، ۱۹۹۸) شرح داده شده، نسبت داد. آنجلیلی (۱۹۶۵) مرجعی اخیر دیگری منسوب به ایده چندمجموعه را در کار ماریوس نیزولوییس کشف کرد. مدت‌ها قبل، کیرچر(۱۶۵۰) تعداد جایگشت‌های چندمجموعه هنگامی که یک عنصر می‌تواند تکرار شود، کشف کرد. پرستت(۱۶۷۵) یک قاعده کلی برای جایگشت‌های چندمجموعه را بیان داشت. والیس (۱۶۸۵) این قانون را با جزئیات بیشتر توضیح می‌دهد.
در قالب صریح، چندمجموعه در کار ریچارد ددکیند ظهور یافت «چه هستند و اعداد چه هستند»(۱۸۸۸). با این حال، ریاضیدانان چندمجموعه را رسمی‌کردند و شروع به مطالعه آن‌ها به عنوان یک شی (ساختار) دقیق ریاضی تنها در قرن ۲۰ام کردند.
در تئوری مجموعه، های | ممکن است به‌طور رسمی به عنوان یک تاپل | که در آن برخی مجموعه است و یک تابع از به مجموعه‌ای از اعداد مثبت طبیعی است تعریف شده‌است. مجموعه است مجموعه‌ای از عناصر اساسی نامیده می‌شود. برای هر یک از در تعدد (که شده‌است، تعداد وقوع) از تعداد است. اگر یک جهان که در آن عناصر باید زندگی کنند مشخص شده باشد، تعریف می‌توان به تنها یک تابع تعدد از به مجموعه‌ای از اعداد طبیعی، به دست آمده با گسترش به با ارزش | برای هر عنصر در ساده. این تابع تعدد گسترده تابع تعدد نام زیر است. مجموعه‌ای از زوج مرتب: مانند هر تابع، تابع ممکن است به عنوان گراف آن تعریف شده‌است. با این تعاریف‌های | نوشته شده به عنوان به عنوان تعریف شده‌است، و به عنوان‌های | تعریف شده‌است.
مفهوم‌های | یک کلیت از مفهوم مجموعه است. های | مربوط به یک مجموعه معمولی اگر تعدد هر عنصر است (به عنوان برخی از عدد طبیعی بزرگتر مخالف). خانواده نمایه، جایی که در برخی از شاخص مجموعه‌ای است، ممکن است یک‌های | گاهی اوقات نوشته شده‌است، که در آن تعدد هر عنصر تعداد شاخص به طوری که تعریف می‌کنند. شرط برای این به امکان وجود دارد که هیچ عنصر بی‌نهایت چند بار در خانواده رخ می‌دهد: حتی در یک‌های | نامحدود، چندگانگی باید شماره محدود باشد.
ممکن است که به گسترش تعریف یک‌های | با اجازه دادن به چندگانگی از عناصر منحصر به فرد به کاردینال‌ها نامحدود به جای اعداد طبیعی. تمام خواص را حمل بیش از این تعمیم این حال، و این مقاله با استفاده از تعریف بالا، با چندگانگی محدود است.
های | کوچک محدود، | است، توسط یک لیست که در آن هر عنصر، |، هر چند بار رخ می‌دهد به عنوان تعدد نشان داده، |، نشان می‌دهد.
یکی از ساده‌ترین و طبیعی‌ترین نمونه‌های | از عوامل اول از | تعداد است. در اینجا مجموعه‌ای از عناصر اساسی مجموعه‌ای از مقسوم علیه‌های ان از | است. به عنوان مثال تعداد | دارای فاکتور نخست
می‌دهد که‌های |
یک مثال مربوط به راه حل‌های | یک معادله جبری است. معادله درجه دوم، به عنوان مثال، دو راه حل. با این حال، در برخی از موارد آن‌ها هر دو به همان تعداد است؛ بنابراین‌های | از راه حل‌های معادله می‌تواند |، یا آن را می‌تواند |. در مورد دوم دارای یک راه حل از تعدد |.
حالت خاصی از بالا مقادیر ویژه یک ماتریس هستند، اگر این به عنوان‌های | از ریشه‌های چند جمله‌ای مشخصه آن تعریف شده‌است. با این حال یک انتخاب در اینجا ساخته شده‌است: (معمول) تعریف مقادیر ویژه به چند جمله‌ای مشخصه به |مختلف اشاره‌ای نکرد، و دیگر فرصت را افزایش مفاهیم مختلف تعدد، و در نتیجه. |، که اغلب کوچکتر از تعدد خود را به عنوان ریشه چند جمله‌ای مشخصه (کثرت جبری) وقتی که آخر بزرگتر از | مجموعه‌ای است - تعدد هندسی از | به عنوان مقادیر ویژه یک ماتریس بعد از هسته است از مقادیر ویژه نیز مجموعه‌ای از ریشه‌های چند جمله‌ای حداقل آن، اما از آن ریشه‌های | لازم نیست همان یا به عنوان یکی از با استفاده از تعدد جبری، یا با استفاده از تعدد هندسی تعریف شده‌است.
گروه آبلی رایگان مبالغ رسمی (یعنی ترکیب خطی) از عناصر | با ضرایب عدد صحیح است. معادل، آن‌ها ممکن است به عنوان | محدود امضاء شده با عناصر برگرفته از |. دیده
همچنین نگاه کنید به: ستاره‌ها و میله‌های زندان (ترکیبیات)
تعداد |از کاردینالیتی |، با عناصر گرفته شده از یک مجموعه متناهی از کاردینالیتی |، | ضریب‌های | یا شماره‌های | نامیده می‌شود. این شماره است که توسط برخی از نویسندگان به عنوان، یک نماد است که به معنای شبیه است که از ضرایب فرعی-جزئی نوشته شده‌است؛ از آن است که به عنوان مثال در (استنلی، |) استفاده می‌شود، و می‌تواند تلفظ | شبیه به "| را انتخاب کنید" برای. بر خلاف برای ضرایب فرعی-جزئی، هیچ "قضیه‌های | " که در آن ضرایب‌های | که رخ می‌دهد وجود دارد، و آن‌ها باید با ضرایب چندگانه نامربوط که در قضیه چندگانه رخ می‌دهد اشتباه گرفت. ارزش ضرایب‌های | می‌توان به صراحت به عنوان داده
که در آن عبارت دوم است به عنوان یک ضریب دو جمله‌ای. نویسندگان بسیاری در واقع جلوگیری از نماد جداگانه و فقط ارسال ضرایب فرعی-جزئی. |. قیاس با ضرایب فرعی-جزئی می‌توان با نوشتن صورت کسر در عبارت بالا به عنوان یک قدرت در حال افزایش فاکتوریل تأکید - بنابراین، تعدادی از چنین | همان تعداد زیر مجموعه از کاردینالیتی | در مجموعه‌ای از کاردینالیتی | است.
برای مطابقت با بیان ضرایب فرعی-جزئی با استفاده از یک قدرت فاکتوریل در حال سقوط:
به عنوان مثال وجود دارد | | از کاردینالیتی | با عناصر گرفته شده از مجموعه | از کاردینالیتی | | باشد، |، یعنی: |، |، |، |. و نیز وجود دارد | زیر مجموعه از کاردینالیتی | در مجموعه | از کاردینالیتی |، یعنی: |، |، |، |
یکی از راه‌های ساده برای اثبات برابری ضریب‌های | و ضرایب فرعی-جزئی داده شده در بالا، شامل نمایندگی | در راه زیر است. اول، در نظر نماد برای | که نشان دهنده | عنوان، | | در این فرم:
این یک‌های | از کاردینالیتی | ساخته شده از عناصر مجموعه‌ای از کاردینالیتی |. تعدادی از شخصیت‌های از جمله هر دو نقطه و خطوط عمودی استفاده می‌شود در این نماد | تعداد خطوط عمودی است | تعداد | از کاردینالیتی | است پس از آن تعدادی از راه‌های به ترتیب | خطوط عمودی در میان | حرف، و در نتیجه تعداد زیر مجموعه‌های کاردینالیتی | در مجموعه‌ای از کاردینالیتی | معادل، آن را به تعدادی از راه‌های به ترتیب | نقطه در میان | است | شخصیت است، که تعداد زیر مجموعه از کاردینالیتی | از مجموعه‌ای از کاردینالیتی | این است.
در نتیجه ارزش ضریب‌های |و معادلات آن است:
ممکن است یک ضریب دو جمله‌ای تعمیم تعریف
که در آن | نیاز نیست که یک عدد صحیح نامنفی، اما ممکن است منفی یا غیر صحیح، یا یک عدد مختلط غیر واقعی است. تعداد | از کاردینالیتی | در مجموعه‌ای از کاردینالیتی | اگر | سپس مقدار این ضریب | است، زیرا محصول خالی است. پس از آن است.
رابطه بازگشتی برای ضرایب‌های | ممکن است به عنوان داده
عود بالا ممکن است به شرح زیر است تفسیر شده‌است. اجازه دهید | را تنظیم شود منبع آن است. همواره وجود دارد دقیقاً یک (خالی)های | اندازه |، و اگر | هیچ | بزرگتر، می‌دهد که شرایط اولیه وجود دارد.
در حال حاضر، در مورد که در آن |. های | از کاردینالیتی | با عناصر از | ممکن است یا ممکن است هر نمونه از عنصر | نهایی را شامل نمی‌شود در نظر بگیرید. اگر آن را به نظر می‌رسد، پس از آن با از بین بردن | یک بار، یکی با کاردینالیتی‌های | از سمت چپ | از عناصر از |، و هر جمله‌های | می‌تواند به وجود می‌آیند، می‌دهد که در مجموع
امکانات.
مجموعه | ممکن است توسط یک اصطلاحی | نشان داده شود. مجموعه‌ای از زیر مجموعه‌های |، توسط دو جمله‌ای | نشان داده شود.
مجموعه | ممکن است توسط | دارای فقط یک جمله •نشان داده شود. مجموعه‌ای از زیر مجموعه‌های |، توسط چند جمله‌ای به نمایندگی
به همین دلیل است که ضریب دو جمله‌ای شمارش تعداد | ترکیبی از | مجموعه.
که توسط قضیه دو جمل‌های برابر
بنابراین تعداد | نمونه با | بازدیدها است.
در توزیع بازدیدها ببینید توزیع فوقهندسی و آمار استنباطی برای بیشتر است.
مجموعه نامتناهی از | متناهی از عناصر گرفته شده از مجموعه |:
ممکن است با سری توانی رسمی نمایندگی
راه حل‌های رسمی،
را حس می‌کند به عنوان یک مجموعه‌ای از |، اما نتیجه متوسط، | معنی به عنوان مجموعه‌ای از | را ندارد.
مجموعه نامتناهی از |متناهی از عناصر گرفته شده از مجموعه | است.
مورد | ویژه:های | بی‌نهایت از | متناهی از عناصر گرفته شده از |های | است.
حالت کلی:های | بی‌نهایت از | متناهی از عناصر گرفته شده از |های | است.
این توضیح می‌دهد که چرا «| مجموعه منفی است». ضرایب فرعی-جزئی منفی تعداد | از عناصر از یک | مجموعه.
یک عدد صحیح غیر منفی، | می‌تواند توسط | دارای فقط یک جمله بیان کرد. های | متناهی از اعداد صحیح غیر منفی، می‌گویند |، می‌تواند به همین ترتیب توسط یک چند جمله‌ای | نشان داده |، می‌گویند |
آن را راحت به در نظر گرفتن تابع مولد | گرم | ورود | است، می‌گویند گرم | ورود |
کاردینالیتی ازهای | به عنوان مثال | است |، می‌گویند |
مشتق گرم گرم | است | • همکاران، می‌گویند |
مقدار متوسط ازهای | است، می‌گویند |.
واریانس‌های | است |
اعداد | نامیده می‌شوند |.
مجموعه‌ای نامتناهی از اعداد صحیح غیر منفی | توسط سری‌های توانی رسمی نمایندگی | مقدار متوسط و انحراف استاندارد تعریف نشده‌است. با این حال آن را به یک تابع | تولید، گرم |. مشتق شده از این تابع | مولد | است |های | متناهی از اعداد واقعی، | هوش مصنوعی، توسط تابع مولد | نمایندگی
این نمایندگی منحصر به فرد است: | مختلف توابع تولید | متفاوت است. تابع پارتیشن (مکانیک آماری) در مورد که در آن اعداد را در سؤال سطوح انرژی یک سیستم فیزیکی را ببینید.
تابع | مولد یک از اعدادهای | واقعی داشتن میانگین | انحراف | و استاندارد است: گرم | ورود |، و مشتق است که به سادگی: |
تابع | تولید مجموعه، |، متشکل از یک عدد حقیقی تنها، | است • و مشتق تعداد خود را است: |. بنابراین، مفهوم مشتق تابع مولد | یک‌های | از اعداد حقیقی یک کلیت از مفهوم عدد حقیقی است.
تابع | مولد یک‌های | ثابت، | از عناصر | همه به همان تعداد واقعی | برابر، گرم | ورود | است • |، و مشتق تعداد خود را است: |، صرف نظر از |.
تابع | مولدهای | از مبالغ از عناصر دو | از اعداد مجموع دو تابع | تولید است:
متأسفانه فرمول کلی برای محاسبه تابع مولد | از یک محصول وجود دارد
اما حالت خاصی از یک بار ثابت‌های | از اعداد است:
های | هوش مصنوعی است‌های | همان | نمی| |هوش مصنوعی | | به عنوان مثال، | در حالی که |
توزیع نرمال استاندارد است مانند یک حد | بزرگ از اعداد.
این محدودیت معنی ندارد به عنوان یک‌های | از اعداد، اما مشتق از توابع مولد | از | در سؤال را حس می‌کند، و از حد است که به خوبی تعریف شده‌است.
همچنین متغیر تصادفی را مشاهده کنید
چندمجموعه‌ها کاربردهای فراوانی به ویژه در علوم کامپیوتر دارند. همچنین چندمجموعه‌ها ساختمان اصلی ترکیبیات هستند. یک نمونه از کاربرد چندمجموعه‌ها در پایگاه‌داده‌های رابطه‌ای می‌باشد. به‌طور خاص هر جدول پایگاه‌داده (به شرط عدم وجود کلید اصلی) می‌تواند چندین رکورد مشابه داشته باشد. همچنین زبان SQL برمبنای چندمجموعه‌ها عمل می‌کند، به عنوان نمونه اگر خروجی یک دستور SELECT چند رکورد مشابه باشد، همه آنها چاپ می‌شوند؛ یعنی اگر خروجی اسم دانشجویان باشد و در آن چند اسم «سارا» باشد، همهٔ آنها چاپ می‌شود. در صورتی که اگر SQL بر روی مجموعه (و نه چندمجموعه) عمل می‌کرد، بایستی اسمهای مشابه حذف می‌شدند، چنانچه در جبر رابطه‌ای (Relational Algebra) نیز چنین است. برای نمونه، برای خروجی اسم دانشجویان فقط یک اسم «سارا» چاپ می‌شد. یک کاربرد دیگر در مدل‌سازی گرافهای چندگانه است که بین دو راس ممکن است چند یال وجود داشته باشد. در این صورت آنچه یالها را بیان می‌کند یک چندمجموعه است در حالی که برای گرافهای ساده که یال چندگانه ندارند، یک مجموعه یالها را تعریف می‌کند.
تعمیمات متفاوت چندمجموعه‌ها معرفی، مطالعه و استفاده شده‌اند تا مسئله‌های مختلف را حل کنند.
یاگر (۱۹۶۸) چندمجموعه‌های گنگ را تحت نام کیف‌های گنگ معرفی کرد.
گریزمالا-بروس (۱۹۸۷) ایدهٔ چندمجموعهٔ ناصاف را که از چندرابطه‌ها استفاده می‌کند، داد.
بلیزارد (۱۹۸۹) چندمجموعه‌ها را به چندمجموعه‌های مقدار حقیقی، تعمیم داد. چندمجموعه‌ها که در آن ضرب یک جزء می‌تواند یک عدد حقیقی نا منفی باشد. بلیزلرد (۱۹۹۰) هم چنین چندمجموعه‌هایی با ضرب منفی را بیان کرد.
لوب (۱۹۹۲) مجموعه‌های پیوندی را به عنوان تعمیم چندمجموعه معرفی کرد که در آن ضرب هر جزء هر عدد صحیح است.
میاماتو (۲۰۰۱) چندمجموعه‌ها را بیش تر تعمیم داد. او چندمجموعه‌هایی که در آن ضرب یک جزء هر تابع پله‌ای عدد حقیقی است.
الخزاله (۱۹۹۰ – ۱۹۹۲ – ۲۰۰۴ – ۲۰۱۱) چندمجموعه‌ها و تمام تعمیمات آن را با ایدهٔ مجموعهٔ نامدار متحد کرد که تمام تعمیمات مجموعه را دربردارد.
بهینه‌سازی سبد سرمایه‌گذاری عبارتست از تعیین نسبت سرمایه‌گذاری در دارایی‌هایی که قرار است در سبد نگهداری شود؛ به شکلی که سبد انتخابی بهتر از هر سبد دیگری باشد. این بهتر بودن براساس معیارهایی مشخص می‌شود. معیارهایی که به صورت مستقیم یا غیرمستقیم ترکیبی از ملاحظات بازده مورد انتظار سبد، پراکندگی بازده‌ها و سایر پارامترهای ریسک مالی است.