moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
نونچاکو (Nunchaku) یک سلاح سرد سنتی اوکیناوایی است که از دو میلهٔ باریک تشکیل می‌شود که در انتها با یک زنجیر یا طناب کوتاه به هم متصل شده‌اند. یک باور عامیانه می‌گوید که نانچاکو در اصل یک ابزار خرمن‌کوبی برای جداکردن برنج از شلتوک بوده که کشاورزان ژاپنی آن را به شکل یک سلاح مرگبار درآوردند تا با آن به نبرد سامورایی‌ها اشغالگر بپردازند. برخی دیگر نیز می‌گویند که کشاورزان اوکیناوایی، نونچاکو را با تغییر در نوعی لگام اسب در سدهٔ هفدهم میلادی ابداع کردند. نونچاکو در برخی هنرهای رزمی چینی نیز بکار گرفته می‌شود اما چوب‌های نوع اوکیناوایی آن در اصل دارای سطح مقطع هشت‌ضلعی بوده و با موی اسب به هم متصل می‌شوند. گونه‌های مختلفی از آن وجود دارد، که برخی از سه قسمت تشکیل شده‌اند (سان‌ستسوکون) و برخی نیز از قطعات بیشتری. داشتن این جنگ‌افزار در ایالت نیویورک آمریکا، کانادا و برخی کشورهای اروپایی غیرقانونی است.
کاما (Kama)، ابزار کشاورزی سنتی ژاپن و فیلیپین است که از آن به عنوان جنگ‌افزار نیز استفاده می‌کنند. کاما را می‌توان تکی یا دوتایی به کار گرفت. در مبارزه از لبه و نوک تیغه کاما که بسیار تیز هستند استفاده می‌شود که به راحتی می‌تواند باعث ایجاد جراحت‌های خطرناک در حریف شود. در کاتاهای اوکیناوایی می‌توان از لبه و نوک تیغه کاما برای دفاع، گیر انداختن و خلع سلاح حریف استفاده کرد.
اکو (Eku) (آنرا ایکو یا ای‌ئه‌کو نیز می‌نامند) جنگ‌افزاری اوکیناوایی است که از پارو گرفته شده و حدود ۱۶۰ سانتی‌متر طول دارد. طبق داستان‌های بازمانده از گذشته، ماهیگیران از پارو برای دفاع از خود در برابر دشمنان مسلح استفاده می‌کرده‌اند. معمولاً پیش از اینکه کسی شروع به یادگیری اکو کند به او بو (چوب بلند) را یاد می‌دهند. اکو وزنی بیشتر از بو دارد و مرکز ثقل آن نیز در مرکز آن نیست به همین دلیل یادگیری آن سخت‌تر از بو است. به دلیل وزن زیاد اکو، معمولاً تکنیک‌های آن شامل ضربه‌های دورانی بزرگ است.
کشتی با چوخه یکی از ورزش‌های محلی ایران است. کشتی با چوخه که در میان اهالی خراسان رواج دارد، از تاریخچهٔ کهنی برخوردار است و این ورزش بومی در بسیاری از مراسم محلی به خصوص جشن عروسی نیز رایج بوده‌است. مردم خراسان از قدیم برای این کشتی اهمیت خاصی قائل بودند و در پرورش پهلوانان این رشته می‌کوشیدند. این کشتی به‌طور سنتی در مراسم عروسی و نوروز در روستاها برگزار می‌شد. بعدها توسعه و رواج پیدا کرد.
واژهٔ چوخه در اصل واژه‌ای ترکی است و به معنی جامهٔ کوتاهی است که کشتی‌گیران آن را با شال سفیدرنگی محکم می‌کنند. از آن‌جا که این ورزش از دیرباز در بین مردم شمال خراسان مرسوم بوده به این نام (کشتی با چوخه) معروف گشته‌است.این واژه قدمت ۲۰۰۰ ساله در خراسان دارد.
((کتاب واژگان ترکی)) استاد اسماعیل سالاریان
کشتی با چوخهٔ خراسان به غیر از خراسان و با عناوین «کوراش»، «گولش»، «آلیش» در ازبکستان، قزاقستان، تاتارستان و … رواج دارد و پس از استقلال ازبکستان و با تلاش‌های این کشور، مسابقات "کشتی با چوخه" بین‌المللی شد و هر ساله تیمی از چوخه‌کاران خراسان شمالی و خراسان رضوی در مسابقات بین‌المللی "کشتی با چوخه"، به نمایندگی از ایران در این رقابت‌ها شرکت می‌کنند.
مسابقهٔ کشتی با چوخه در اصل رقابتی بدون مدت زمانی مشخص بوده‌است و وقتی فردی در آن پیروز میدان اعلام می‌شده که بتواند ۳ بار تخت پشت یا شانه‌های حریفش را به زمین برساند. اما مسابقه‌های امروزین این رشته در وقت ۱۰ دقیقه‌ای برگزار می‌شود که اگر در پایان پیروزی نداشته باشد، سرنوشت برنده به وقت اضافی ۵ دقیقه‌ای موکول خواهد شد. ضمن این‌که اجرای فن در خاک و گرفتن زیر زانوی حریف خطا محسوب می‌شود و کُشتی‌گیران در ۴ یا ۵ وزن دسته‌بندی می‌شوند. چوخه‌کاران در چهار وزن ۷۰، ۸۰، ۹۰ و بالای ۹۵ کیلوگرم به مصاف یکدیگر می‌روند. گاه در اوزان ۶۵، ۷۵، ۸۵ و ۸۵+ کیلوگرم نیز رقابت میان شرکت‌کنندگان برگزار می‌شود. کشتی‌گیران آستین‌ها را تا آرنج بالا می‌زنند، کمربندی پارچه‌ای به میان می‌بندند و دامن‌های چوخه را برای آن‌که مانع فعالیت دست و پا نشود برمی‌گردانند و زیر کمربند محکم می‌کنند؛ شلوار را نیز تا زانو بالا می‌زنند و با پاهای برهنه زیر نظر داوران کشتی می‌گیرند. در کشتی با چوخه کسی پیروز است که پشت حریف را به خاک برساند. در این مراسم ساز و دهل نیز می‌نوازند و تماشاگران کشتی‌گیران را تشویق می‌کنند.
جوایز کشتی با چوخه نیز به سبب ماهیت سنتی و ملی‌اش متفاوت است. در اصطلاح به فاتحان میدان چوخه «قند» اهدا می‌شود، کسی که نفر اول شود قند اول را به او می‌دهند و نفرات دوم و سوم هم به تناسب قندهای دیگر می‌گیرند. در کنار قند، هدایایی نظیر شتر، قوچ، قالی و گوسفند، لوازم منزل، وجه نقد و سکه عاید پهلوانان این مسابقات می‌شود. غالباً به‌طور سنتی جوایز کشتی با چوخه از نمادهای زندگی عشایری و روستایی در نظر گرفته می‌شود. گاهی نیز از دست‌بافته‌های عشایر نظیر قالی و جاجیم و گلیم استفاده می‌شود. البته این جوایز می‌تواند در مناطق مختلف متفاوت باشد، مهم این است که جوایز متناسب با شأن این ورزش بوده و پشتوانه‌ای برای کشتی‌گیر باشد.
مسابقات کشتی با چوخهْ خراسان قبل از آمدن روی تشک در سرای خان‌ها، عروسی‌ها، روز عید فطر و ۱۴ فروردین روی چمن و خاک نرم برگزار می‌شد. کشتی با چوخه از دیرباز معمولاً در دل طبیعت و محیط‌های باز برگزار می‌شده‌است. بیشتر گودهای کشتی با چوخهٔ کنونی که از قدیم دایر بوده‌اند، مانند گود پهلوان ججو در ریواده، گود زیارتگاه سلطان زیرابه در روستای امام وردی خان قوچان، گود روستای رهورد در قوچان، گود زینل‌خان در اسفراین، گود امام مرشد در فاروج و دیگر گودها که در مناطق تفریحی و دامان طبیعت قرار دارند.
میدان کشتی چوخه محلی ۱۰ متر در ۱۰ متر است.ماهنامهٔ اجتماعی، فرهنگی و ادبی مهاباد، شمارهٔ ۱۲۴
کشتی روی خاک نرم یا چمن و با حضور انبوه تماشاگرانی از زن و مرد و پیر و جوان برگزار می‌شود. امروزه این مسابقات در اواسط زمستان و در بهمن ماه در مانه و سملقان، ۸ فروردین در ریواده، ۱۲ فروردین هر سال در شیروان، ۱۳ فروردین در بجنورد به‌صورت استانی با حضور پهلوانان نامدار این خطه برگزار می‌شود. اما رقابت‌های اصلی و ملی همه ساله در روز ۱۴ فروردین در گود زینل‌خان شهرستان اسفراین برگزار می‌شود.
پشم‌چینی گوسفندان در خراسان شمالی به پز برین معروف است در این میان به وسیلهٔ "هورینگ" یا همان قیچی پشم زنی، به سراغ بره‌هایی که پشم حنایی و زیبا دارند می‌روند، به پشم چیده شده که اولین بار به‌دست ممی آید "لواگ می‌گویند. سایر پشم‌هایی که چندین بار از بدن گوسفندان بزرگتر چیده می‌شود "هری" می‌نامند. لوا به‌دست آمده شسته، سپس حلاجی و «تیت» شده آنگاه به وسیلهٔ دوک یا تشی آن پشم‌ها را می‌ریسند تا توپ نخ و گریف به‌دست آید.
سپس دار یا «تون» آماده می‌شود و نخ‌ها در کنار هم یکرنگ و همدست بافته می‌شوند و پارچه‌ای که از لوا یا هری بود ساخته می‌شود و به این پارچه چوخ گفته می‌شود. پارچه چوخ «توک» یا پُرز داده می‌شود پس از پایان کار جوانان و پهلوانان که عموماً ورزشکار هستند پارچه چوخ را برای تبدیل شدن به پالتو، کت و شلوار و پاتابه به دست خیاط می‌دهند. کشتی گیران و پهلوانان می‌بایست پالتوی چوخ را در هنگام مبارزه کشتی به تن می‌کردند و این از قوانین اولیه کشتی محسوب می‌شد و از این لحاظ کشتی را چوخه نام نهادند و این کشتی به کشتی چوخه شهرت یافت. لباس چوخه در آن روزگار مقاوم‌ترین لباس عشایر کرد شمال خراسان بود به‌طوری‌که هیچ پارچهٔ دیگری مثل پارچهٔ چوخه در مبارزهٔ کشتی‌گیران دوام نمی‌آورد.هفته‌نامهٔ ارمغان خراسان شمالی، شمارهٔ ۲۶، شنبه ۲ اردیبهشت ۱۳۸۵
میدان کُشتی که دایره‌ای با قطر ۱۰ متر است و کشتی در آن‌جا برگزار می‌شود. اجرای کشتی به شکل سنتی و بدون کلیشه (کشتی روی خاک و با سرنا و دهل) انجام می‌شود.
از زیبایی‌های کشتی با چوخه برگزاری آن به شکل سنتی است که می‌تواند برای تمام قشرها و رده‌های سنی جذابیت داشته باشد. کشتی با چوخه همیشه در فضای باز و طبیعت و اماکن تفریحی و روی خاک نرم یا چمن برگزار می‌شده‌است.
با نواختن دهل و سرنا (زورنه) توسط بخشی‌ها، کشتی‌گیران حول میدان کشتی به حرکت در می‌آیند و خود را گرم می‌کنند و برای مسابقه آماده می‌شوند. نوای دهل و سورنا بانگ آوازی نیز برای خبر کشتی است و از مردم می‌خواهد که جمع شوند و به تماشای کشتی بنشینند. دو نوازندهٔ سرنا و دهل با نواختن موسیقی، حال و هوای خاصی به ورزش کشتی می‌دهند، در حین کشتی نوای سرنا و دهل یا قوشمه و دهل بخشی‌ها با ریتم خاصی شروع شده و به تدریج که کشتی اوج می‌گیرد ریتم آن نیز تندتر می‌شود و وقتی زورآزمایی کشتی‌گیران به اوج می‌رسد، بر سرعت چوب طبل و سرنا می‌افزایند.هفته‌نامهٔ تعطیلات نو ۱۳۹۰/ شمارهٔ ۴۷، صفحهٔ ۱۵
راست یک زبان برنامه‌نویسی ترجمه‌شده، عام منظوره و چند الگویی است که توسط تحقیقات موزیلا توسعه یافته‌است. این زبان طراحی شده‌است تا یک زبان مطمئن، همسو و عملی باشد که مدل‌های تابعی خالص، امری-رویه‌ای و شی گرا را پشتیبانی می‌کند.
زبان از یک پروژهٔ شخصی توسط توسعه‌دهندهٔ Graydon Hoare به‌وجود آمد، که او کار بر روی آن را در سال ۲۰۰۶ آغاز کرد؛ کارفرمای او موزیلا، در سال ۲۰۰۹ درگیر این پروژه شد و رسماً آن را برای اولین بار در سال ۲۰۱۰ پرده برداری کرد. در همان سال، کار از کامپایلرهای اولیه (نوشته شده در OCaml) خود را به کامپایلر خود میزبان نوشته‌شده در Rust تغییر داد. چیزی که به‌عنوان rustc شناخته شد، با موفقیت خود را در سال ۲۰۱۱ کامپایل کرد. کامپایلر خود میزبان از LLVM به عنوان backend استفاده می‌کند.
اولین نسخه از کامپایلر Rust، که آلفا نام گذاری شد در ژانویه ۲۰۱۲ منتشر شد. نسخه فعلی (نسخه ۰٫۸)، در سپتامبر ۲۰۱۳ منتشر شده‌است.
Rust به‌طور کامل در بازخورد باز و همکاری و کمک از جامعه توسعه یافته‌است. طراحی این زبان از طریق تجربه حاصل از نوشتن موتور چیدمان Servo اصلاح شده و Rust خودش را کامپایل کرده‌است. اگر چه توسعه آن با حمایت مالی موزیلا و سامسونگ بوده‌است، اما یک پروژهٔ اجتماعی است. بخش بزرگی از تصدیقات نسخهٔ فعلی از اعضای جامعه می‌باشد.
هدف Rust این است که یک زبان خوب برای ایجاد مجموعهٔ بزرگی از مشتری‌ها و سرور برنامه‌هایی که بر روی اینترنت اجرا می‌شوند باشد.این امر زبان را به یکی از ویژگی‌های مجموعه با تأکید بر ایمنی، کنترل از طرح حافظه و همزمانی هدایت می‌کند.
اگر عملکرد زبان تنها عامل مورد توجه باشد، عملکرد قابل اطمینان بودن کد همان‌طور که انتظار می‌رود آن را کندتر از ++C می‌کند اما پیشگیری‌های از پیش تعریف شده در Rust با احتساب اقدامات محتاطانه‌ای که زبان ++C به‌طور دستی انجام می‌دهد، از نظر سرعت برابری می‌کند (و یا حتی سریعتر است)نحو زبان Rust مشابه C و ++C است؛ با بلاک‌هایی از کد که بین آکولادها محدود شده‌است و کلمات کلیدی کنترل جریان مانند while ,do ,else ,if و for. البته تمام کلمات کلیدی C و ++C وجود ندارد اما به هر حال دیگران (مانند تطابق واژه کلیدی برای انشعاب چند جهت) برای برنامه‌نویسانی که از این زبان‌ها می‌آیند کمتر آشنا خواهد بود. با وجود شباهت نحوی، Rust از نظر معنایی با C و ++C متفاوت است.
پروژه‌های توسعه یافته در Rust شامل:
مبتنی بر مرورگر:
مبتنی بر ابزار ساخت:
پروژه‌های دیگر:
نمونه کد زیر برای Rust نسخه ۰٫۸ معتبر می‌باشد. نحو و معناشناسی ممکن است در نسخه‌های بعدی تغییر یابد.برنامه Hello World:
دو نمونه از تابع فاکتوریل در ساختارهای بازگشتی و ترتیبی :
/* The branches in this function exhibit Rust's optional implicit return
fn recursive_factorial(n: i32) -> i32 {
fn iterative_factorial(n: i32) -> i32 {
یک نمایش ساده از قابلیت همزمانی ساده از Rust:
/* This function creates ten "tasks" that all execute concurrently. Run it
یک نمایش ساده از اشاره‌گرهای هوشمند یگانی همراه با tagged unions و روش‌ها:
use IntList::{Node, Empty};
// This program defines a recursive data structure and implements methods upon it.
// Recursive data structures require a layer of indirection, which is provided here
// by a unique pointer, constructed via the `Box::new` constructor. These are
// analogous to the C++ library type `std::unique_ptr`, though with more static
// safety guarantees.
// `enum` defines a tagged union that may be one of several different kinds of values at runtime.
// The type here will either contain no value, or a value and a pointer to another `IntList`.
enum IntList {
// An `impl` block allows methods to be defined on a type.
impl IntList {
در مواردی، نویسندگان بدافزار نیز از زبان برنامه‌نویسی راست استفاده کرده‌اند. برای مثال، باج‌افزار BlackCat به زبان راست برنامه‌نویسی شده‌است.
الگوریتم تارژان (نامگذاری: مبدع، رابرت تارژان)، از الگوریتم‌های تئوری گراف است که برای پیدا کردن مؤلفه‌های قویاً همبند در یک گراف استفاده می‌شود. با وجود اینکه، این الگوریتم از نظر زمانی مقدم بوده‌است، می‌توان دید که نسخهٔ بهبود یافته الگوریتم کساراجو و از نظر کارایی (بازده) با الگوریتم مؤلفه قوی مبتنی بر مسیر قابل مقایسه است.
الگوریتم به عنوان ورودی گراف جهت داری را می‌گیرد، و افرازی از رئوس گراف به مؤلفه‌های قویاً همبند تولید می‌کند. هر راسی (گره) از گراف، دقیقاً یک بار در مؤلفه‌های همبند ظاهر می‌شود. هر راس که در یک دور جهت دار نیست، خودش به عنوان یک مؤلفه‌های قویاً همبند انتخاب می‌شود: برای مثال، راسی که درجه ورودی و درجه خروجی آن صفر باشد، یا هر راس از گراف بدون دور به تنهایی یک مؤلفهٔ قویاً همبند حساب می‌شوند.
ایدهی ابتدایی این الگوریتم: الگوریتم جستجو عمق اول با راس دلخواه شروع می‌کند (و جستجوی بعدی عمق اول، بر روی راس‌هایی اعمال می‌شود که دیده نشدهاند). با الگوریتم جستجوی عمق اول، جستجو، هر راسی گراف را دقیقاً یک بار می‌بیند؛ بنابراین، مجموعه ی درخت جستجو، یک جنگل پوشا از گراف است. مؤلفه‌های قویاً همبند، به عنوان زیردرختهای معین این درخت پوشا، به دست خواهد آمد. ریشهی این زیردرختها را، ریشهی مؤلفه‌های قویاً همبند می‌گویند. هر راسی از مؤلفه‌های قویاً همبند ممکن است به عنوان ریشه به کار گرفته شود، اگر اولین راسی باشد که از آن مؤلفه دیده می‌شود.
راس‌ها به ترتیبی که دیده می‌شوند در داخل پشته جای می‌گیرند. زمانی که جستجوی عمق اول به صورت بازگشتی، راسی V و فرزاندانش را ملاقات کند، آن راس‌ها، نباید تا قبل از بازگشت این فراخوانی بازگشتی از پشته، POP شوند. خاصیت یکسانی (ثابت)، این است که، یک راس بعد از پیمایش، بر روی پشته باقی می‌ماند، اگر و تنها اگر مسیری به برخی از راس‌های پایین‌تر در پشه وجود داشته باشد.
بعد از اتمام فراخوانی ای که V و فرزاندان آن را پیدا می‌کند، ما می‌دانیم که آیا V به هر راسی قبل از خودش در پشته مسیر دارد یا خیر. اگر چنین بود فراخوانی بازمی‌گردد. V را در پشته به عنوان ثابت، نگاه می‌دارد. اگر نه، V باید ریشهی مؤلفه‌های قویاً همبند باشد که شامل V و راس‌های بعدی در پشته است. (راس‌هایی که به V مسیر دارند ولی به ماقبل V مسیری ندارند). تمام مؤلفه‌ها، POP می‌شود و ثابت را نگه می‌دارد.
هر راسی v به یک عدد صحیح، v.index اختصاص داده می‌شود که اعداد راس‌ها بصوت متوالی، بترتیبی که پیدا شدهاند، قرار داده می‌شود. همچنین یک مقدار، v.lowlink که کوچکترین اندیس هر راسی شناخته شدهی قابل دسترس از v، شامل خود v را نمایش می‌دهد، نگه داشته می‌شود؛ بنابراین، v باید سمت چپ پشته باشد اگر v.lowlinke <v.index در حالی که، v باید به عنوان ریشه مؤلفه قویاً همبند حذف شود اگر v.lowlink==v.index. مقدار v.lowlink، در حین جستجوی عمق اول از v محاسبه می‌شود، همان‌طور که راس‌های قابل دسترس از v را پیدا می‌کند.
if (v.index is undefined) then
index variable همان شماره راس (گره) در الگوریتم جستجوی اول عمق می‌باشد. S پشتهٔ راس‌ها می‌باشد که در ابتدا خالی می‌باشد و برای ذخیره‌سازی راس‌هایی که دیده شده‌اند ولی هنوز به مؤلفه‌های قویاً همبند ملحق نشده‌اند می‌باشد. ذکر این نکته مهم است که این پشته همان پشتهٔ جستجوی اول عمق نمی‌باشد در واقع با خروج آن راس در الگوریتم جستجوی اول عمق از پشته حذف نمی‌شود و تنها در صورتی راس‌ها حذف می‌شوند که یک مؤلفهٔ قویاً همبند پیدا شود تا تمامی رأس‌های آن حذف شود.
بیرونی‌ترین حلقه در کد بالا در بین راس‌هایی که هنوز دیده نشده‌اند جستجو می‌کند تا تضمین کند که راس‌هایی که از راس اول قابل دسترسی نیستند نیز دیده خواهند شد. تابع strongconnect یک جستجوی اول عمق را انجام می‌دهد که تمامی فرزندان راس v را می‌بیند و تمامی مؤلفه‌های قویاً همبند آن زیر گراف را پیدا می‌کند.
هنگامی که هر راسی تابع بازگشتی جستجوی اول عمقش تمام می‌شود اگر مقدار lowlink آن برابر اندیس آن باشد یعنی آن راس ریشهٔ یک مؤلفهٔ قویاً همبند شامل تمام راس‌های بالاتر از آن درون پشته خواهد بود. الگوریتم تمامی راس‌های بالاتر از انرا از پشته خارج می‌کند و همهٔ آنهارا به عنوان یک مؤلفه در نظر می‌گیرد.
مسئلهٔ پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده‌است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزارهٔ ذیل است:
این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریهٔ رمزی شد.
قضیهٔ پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، رأس‌های یک بدنهٔ محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعهٔ نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطهٔ درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده‌است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.
تخمین اردوش-سیکریس رابطهٔ کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعهٔ نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به‌طور دقیق بیان می‌کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده‌است.
دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را به صورت زیر تعمیم داده‌اند:
اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیهٔ زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.
فرض کنید ("f"("N" کمترین مقدار "M" را نشان دهد که برای هر مجموعه از "M" نقطه در موقعیت عمومی یک "N"ضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:
بر مبنای مقادیر مشخص ("f"("N"، یعنی برای N" = ۳, ۴, ۵"، اردوش و سیکریس در مقالهٔ اصلی خود رابطهٔ زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N" ≥ ۳"
بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:
اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N" ≥ ۷" است، به صورت زیر است:(Toth – Valtr(2005، برای اطلاعات بیشتر راجع به علامت‌های استفاده شده در این بخش به مقالهٔ binomial coefficient و نماد O بزرگ و برای اطلاعات جانبی بیشتر به اعداد کاتالان و Stirling’s approximation مراجعه کنید.
ممکن است سؤال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعهٔ کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئلهٔ پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همان‌طور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد.(Harborth(1978 اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.(Horton(1983
برای مدت طولانی این سؤال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعهٔ کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. به صورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f"(۹" نیست. ("f" در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازهٔ (f"(۲۵" است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f"(۹"، یعنی به اندازهٔ (f"(۱۵" که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد.(Overmars(2003
مسئلهٔ پیدا کردن مجموعه‌عای شامل "n" نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیمِ خطِ مستقیمِ یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم "n" باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست.(Scheinerman & Wilf(1994
به‌طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازهٔ کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از "k" نقطه خواهند داشت که رأس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر "k" بزرگ‌تر از بُعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن "k"-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازهٔ کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیدا کردن "K" نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به‌طور مشخص، در "d" بعد، هر d" + ۳" نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d" + ۲" نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای(Grunbaum(2003، صفحهٔ 120، مثال 6.5.6 – این نتیجه را به یک ارتباط خصوصی با Micha.A.Perles نسبت می‌دهد. را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر "d" و "k"> "d"، عدد ("m"("d", "k" وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از ("m"("d", "k" نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از "k" نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی(Grunbaum(2003، صفحهٔ 126، مثال 7.3.6 – این نتیجه به دنبال اثبات تئوریک رمزی می‌آید که مشابه اثبات نتیجه برای حالت k" = "d" + 2" توسط Szekeres و Perles است. را تشکیل می‌دهد.
در ریاضیات، حوزهٔ نظریهٔ گرافها، گراف وتری گرافی است که هر دور به طول چهار یا بیشتر از آن شامل وتر باشد. (وتر: یالی است که دو رأس از دور که در دور شرکت نکرده باشند را به هم وصل می‌کند). به عبارت دیگر، هر دور القایی در گراف می‌بایست حداکثر سه رأس داشته باشد.
گراف‌های وتری زیرمجموعه‌ای از گراف‌های آرمانی می‌باشند که در مدت زمانی چندجمله‌ای شناسایی می‌شوند. اگر ورودی مسایلی همچون رنگ‌آمیزی گراف، گرافی وتری باشد در مدت زمانی چندجمله‌ای
حل می‌شوند.
formula_1 یک ترتیب طرد آرمانی از رئوس گراف است به طوری‌که به ازای هر راس formula_2، زیرگراف القایی ناشی از رئوس formula_2 وهمسایه‌های آن در زیرگراف القایی ناشی از formula_4 گرافی کامل باشد. نشان دادند که یک ترتیب طرد آرمانی از گرافی وتری را می‌توان به‌طور بهینه با الگوریتمی به نام پیدا کرد.
کاربرد دیگر ترتیب طرد آرمانی پیدا کردن خوشهٔ فرین در یک گراف وتری در مدت زمانی چندجمله‌ای است، در حالی‌که این مسئله در حالت کلی از مسائل NP-complete است. در حالت کلی یک گراف وتری تعدادی خطی خوشهٔ فرین دارد در حالی‌که این تعداد در گراف‌های دیگر می‌تواند نمایی باشد. برای بدست آوردن خوشه‌های فرین از گراف وتری، ابتدا یک ترتیب طرد آرمانی (در صورت وجود) پیدا می‌کنیم. سپس از ابتدای این ترتیب شروع کرده و به ازای هر رأس formula_2 زیرگراف القایی ناشی از این رأس و رئوس قبلی آن در ترتیب را (که تشکیل خوشه می‌دهند) را در نظر می‌گیریم. خوشهٔ با اندازهٔ بیشینه در میان این خوشه‌ها، خوشهٔ فرین خواهد بود.
از آنجا که گراف وتری آرمانی است، اندازهٔ خوشهٔ فرین، همان عدد رنگی گراف خواهد بود. گراف‌های وتری، هستند: با اعمال رنگ‌آمیزی حریصانه بر روی ترتیب معکوس طرد آرمانی می‌توان به‌طور بهینه آن را رنگ کرد.
در هر گراف، مجموعه‌ای از رئوس است که با حذف آن‌ها گراف ناهمبند می‌شود. جداساز مینیمال است اگر هیچ زیرمجموعهٔ محضی از آن این ویژگی را نداشته باشد. برطبق قضیهٔ در گراف‌های وتری، هر جداساز مینیمال یک خوشه است. Dirac با این ویژگی آرمانی بودن گراف‌های وتری را اثبات کرد.
گراف‌های وتری به‌طور استقرایی توسط گراف‌هایی تعریف می‌شوند که رئوس آن‌ها به سه زیرمجموعهٔ ناتهی formula_6 افراز شوند، به طوری‌که formula_7 و formula_8 هردو تشکیل یک زیرگراف القایی وتری دهند، formula_9 خوشه باشد و هیچ یالی بین formula_10 و formula_11 نباشد.
ویژگی دیگر گراف‌های وتری مربوط به درخت و زیردرخت‌ها است.
در یک درخت گراف تقاطع آن این گونه ساخته می‌شود: به ازای هر زیر درخت آن یک رأس در نظر می‌گیریم. دو رأس از این گراف مجاورند اگر زیردرخت متناظر آن‌ها در حداقل یک رأس مشترک باشند. نشان داد که این گراف، گرافی وتری است.
نمایش گراف وتری به صورت تقاطع زیردرخت‌ها، یک درخت تفکیک با پهنا درخت یکی کمتر از بزرگترین خوشهٔ گراف بدست می‌دهد. درخت تفکیک هر گراف را می‌توان به صورت نمایش زیرگرافی از گراف وتری در نظر گرفت. درخت تفکیک، همان درخت اتصال در است.
"مکمل وتری" گراف دلخواه formula_12، گرافی وتری است که formula_12 زیرگراف آن باشد. اگر formula_14 "مکمل وتری" گراف formula_12 با عدد خوشه‌ای (تعداد رئوس خوشهٔ بیشینه گراف) کمینه باشد، در آن صورت پهنادرخت formula_12 یکی کمتر از عدد خوشه‌ای formula_14 است. " k-درخت" گرافی است که افزودن یک یال به آن، پهنادرخت آن را بزرگتر از k می‌کند. بنابراین " k-درخت" مکمل وتری خودش است و رده‌ای از گراف‌های وتری را تشکیل می‌دهد.
ساموئل ماریل وودبریج (زاده ۵ آوریل ۱۸۱۹ و در گذشته ۲۳ ژوئن ۱۹۰۵ میلادی) روحانی، کشیش و استاد دانشگاه اهل آمریکا بود. وی اهل گرینفیلد، ماساچوست بود. ساموئل ماریل وودبریج از دانش‌آموختگان دانشگاه نیویورک بود و در دانشگاه راتگرز تدریس می‌کرد.Wikipedia contributors. Samuel Merrill Woodbridge. Wikipedia, The Free Encyclopedia. December 11, 2013, 13:15 UTC. Available at: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Samuel_Merrill_Woodbridge&oldid=585589016. Accessed December 11, 2013.
درخت تِنِرِه ، ، یک درخت تنهای آکاسیا (سَمُر) یا آکاسیای چتری بود که روزگاری به عنوان تنهاترین و دورافتاده‌ترین درخت جهان به حساب می‌آمد. (نزدیک‌ترین درخت، حدود ۴۰۰ کیلومتر از آن فاصله داشت) مکان این درخت در روزگاران پیش، محل توقف کاروان‌های عازم منطقه تنره در صحرای بزرگ آفریقا در شمال‌شرقی نیجر بود. این درخت و درخت "آربر پِردو" (درخت گم‌شده) تنها درختانی هستند که در نقشه‌ای با مقیاس ۱:۴۰۰٬۰۰۰ دیده می‌شوند.
این درخت در سال ۱۹۷۳ توسط یک رانندهٔ کامیون احتمالاً مست زیر گرفته شد و از بین رفت.
درخت تنره، آخرین درخت از درختانی بود که روزگاری که هنوز صحرا چون امروز نبود در مکان فعلی قرار داشتند. در طول زمستان ۱۹۳۸–۱۹۳۹، چاهی در کنار این درخت حفر شد و متوجه شدند که ریشه‌های این درخت تا عمق ۳۳–۳۶ متری (۱۰۸ تا ۱۱۸ فوت) پیش رفته و به داخل سطح ایستابی رسیده‌است.
در کتاب L'épopée du Ténéré، هنری لوت، نژادشناس و جهانگرد فرانسوی، به شرح دو دیدار خود از درخت تنره پرداخته‌است. او ابتدا در سال ۱۹۳۴ به‌طور تصادفی در سفر خود با اتومبیل از جانت به اغادیز، درخت تنره را دید و آنرا "یک درخت آکاسیا با بدنی پوسیده که مریض به نظر می‌آید اما با این حال برگ‌های سبز زیبا و گل‌های زرد دارد" توصیف کرد. او ۲۵ سال بعد در ۲۶ نوامبر ۱۹۵۹ در طی عملیات برلیت-تنره از درخت تنره دوباره بازدید کرد اما درخت را از برخورد یک ماشین بسیار آسیب‌دیده یافت.
گفته می‌شود که درخت تنره در سال ۱۹۷۳ توسط یک راننده کامیون مست لیبیایی سرنگون شد. در ۸ نوامبر ۱۹۷۳، درخت مرده را به "موزه ملی نیجر" در نیامی منتقل کردند و به جای آن یک میله فلزی به عنوان یادبود قرار دادند.L'Arbre du Ténéré, Part 2
الگوریتمی که پوش محدب اشیای مختلف را به دست می‌دهد کاربردهای وسیعی در ریاضیات و علوم کامپیوتر دارد. در هندسه محاسباتی، الگوریتم‌های متعددی با پیچیدگی‌های محاسباتی گوناگون برای محاسبه پوش محدب مجموعه‌ای محدود از نقاط مطرح شده‌است. محاسبه پوش محدب به معنی ارائه نمایشی نامبهم و کارا از شکل مطلوب می‌باشد. پیچیدگیهای الگوریتم‌های مربوطه معمولاً بر حسب n، تعداد نقاط ورودی، و h، تعداد نقاط درون پوش محدب، سنجیده می‌شوند.
اگر همهٔ نقاط روی یک صفحه نباشند آنگاه پوش محدب حاصلچندظلعی محدبی می‌شود که رأس‌های آن زیر مجموعه‌ای از رأس‌های ورودی می‌باشد. معمولترین نمایش پوشه محدب به صورت لیستی از رأس‌های آن می‌باشد که ترتیب آن بر اساس پیمایشی ساعتگرد یا پادساعتگرد بر روی مرز پوش محدب می‌باشد. در بعضی از کاربردها نمایش این چندظلعی محدب به صورت اشتراک تعدادی نیم صفحه مناسب تر می‌باشد.
کران پایین محاسباتی برای پیدا کردن پوش محدب و نمایش آن به صورت چند ضلعی محدب، مشابه این کران برای مرتب‌سازی می‌باشد و به سادگی می‌توان این مطلب را با کاهش نشان داد. برای نقاط formula_1 که می‌خواهیم مرتب کنیم، نقاط formula_2 را بر روی صفحه در نظر بگیرید. حال چون این نقاط بر روی سهمی که منحنی محدب است قرار دارند به راحتی می‌توان دید که پیمایش بر روی مرز پوش محدب آن‌ها ترتیب مرتب شدهٔ این اعداد را می‌دهد. به وضوح زمان خطی برای تبدیل اعداد به نقاط و سپس به دست آوردن ترتیب مرتب شده، نیاز می‌باشد. از این رو به دست آوردن پوش محدب n نقطه نمی‌تواند سریعتر از مرتبسازی عمل کند.
کران پایین محاسباتی استاندارد به کمک مدل درخت تصمیمformula_3 می‌باشد که البته در این مدل تنها مقایسه انجام می‌شود و نه عملیات محاسباتی. به هر حال پوش محدب در این مدل نمی‌تواند محاسبه شود. مرتب‌سازی در مدلدرخت تصمیم جبری نیز از formula_3 می‌باشد که این مدل برای پوش محدب مناسبتر می‌باشد که در این مدل نیز به دست آوردن پوش محدب‌ها زمانی از formula_3 می‌خواهد.Preparata, Shamos, "Computational Geometry", Chapter "Convex Hulls: Basic Algorithms" هر چند در مدل‌هایی که اجازه می‌دهند که اعداد سریعتر از formula_6 مرتب شودند، برای نمونه الگوریتم هایinteger sorting، پوش محدب نیز می‌تواند سریعتر محاسبه شود: الگوریتم پیمایش گراهام شامل یک مرحله سادهٔ مرتب‌سازی است که به دنبال مقداری کار اضافه که در زمان خطی انجام می‌شوند امده‌اند.
همان که در بالا ذکر شد پیچیدگی پیدا کردن پوش محدب به صورت تابعی از تعداد نقاط ورودی formula_3 می‌باشد. هر چند که پیچیدگی بعضی از الگوریتم‌های پوش محدب بر حسب سایز ورودی n و سایز خروجی h (تعداد نقاط روی پوش محدب) عنوان می‌شود. این گونه الگورتم‌ها حساس به خروجی نامیده می‌شوند. این الگوریتم‌ها ممکن است به‌طور مجانبی کارا تر از formula_3 باشند در حالتی که formula_9
کران پایین در بدترین حالت زمانی الگوریتم‌های مربوط به پوش محدب حساس به خروجی در حالت دوبعدی formula_3می‌باشد.الگوریتم‌های متعددی وجود دارند که این پیچیدگی بهینه را به دست می‌دهند. اولین آن‌ها در سال ۱۹۸۶ توسط Kirkpatrick و Seidel معرفی شد (که آن را الگوریتم نهایی پوش محدب نامیدند.)الگوریتم ساده‌تر توسط Chan در ۱۹۹۶ داده شد که الگوریتم چان نامیده شد.
الگوریتم‌های شناخته شدهٔ مربوط به پوش محدب در زیر لیست شده‌اند که آن‌ها را بر اساس اولین تاریخ انتشار مرتب کرده‌ایم. پیچیدگی زمانی این الگوریتم‌ها بر اساس تعداد نقاط ورودی n و تعداد نقاط روی پوش محدب h بیان شده‌اند. توجه شود که در بدترین حالت h ممکن است به بزرگی n باشد.
یکی از ساده‌ترین (اگر چه مؤثرترین در بدترین حالت نمی‌باشد) الگوریتم‌های صفحه‌ای می‌باشد که به‌طور مستقل توسط Chand و Kapur در ۱۹۹۰ و R.A.Jarvis در ۱۹۷۳ کشف شد. این الگوریتم دارای پیچیدگی زمانی formula_11 می‌باشد و در بدترین حالت این پیچیدگی از مرتبه formula_12 است.
یک الگوریتم با کمی پیچیدگی بیشتر ولی کاراتر که در سال ۱۹۷۲ توسط رونالد گراهام انتشار یافت. اگر نقاط قبلاً بر اساس یکی از مؤلفه‌های مختصاتشان یا بر اساس زاویه با برداری ثابت مرتب شده باشند آنگاه این الگوریتم از formula_13 می‌باشد.
به‌طور مستقل توسط W.Eddy در ۱۹۷۷ و A.Bykat در ۱۹۷۸ کشف شد. درست مانند مرتب‌سازی سریع به‌طور میانگین ازformula_14 است ولی ممکن است در بدترین حالت به formula_15 برسد.
الگوریتم دیگری از formula_6 که در سال ۱۹۷۷ توسطPreparata و Hong انتشار یافت. این اگوریتم برای حالت سه بعدی نیز قابل اجرا می‌باشد.
در سال ۱۹۷۹ توسط A.M.Andrew انتشار یافت. به این الگوریتم می‌توان به دید تغییر شکل یافتهٔ Graham scan نگاه کرد که در آن نقاط بر اساس مؤلفه هایشان مرتب می‌شوند. اگر نقاط ورودی از قبل مرتب شده باشند این الگوریتم از formula_13 خواهد بود.
منشتر شده در سال ۱۹۸۴ توسط Michael Kallay.
اولین الگوریتم بهینه حساس به خروجی که در آن از تکنیک marriage-before-conquest استفاده می‌شود. در سال ۱۹۸۶ توسطKirkpatrick و Seidel انتشار یافت.
الگوریتم بهینه و ساده‌تر حساس به خروجی که در سال ۱۹۹۶ توسط Chan کشف شد.
ابتکار ساده‌ای که در ادامهٔ کار می‌آید اغلب اولین مرحله در پیاده‌سازی الگوریتم پوش محدب برای بهبود کارایی آن می‌باشد. پایهٔ آن بر اساس اگوریتمی کارا که در سال ۱۹۷۸ توسطSelim Akl و G.T.Toussaint ارائه شد. ایدهٔ کار به این صورت است که به‌طور سریع نقاطی که به هیچ وجه نمی‌توانند در پوش محدب باشند را حذف کنیم. این روش بر مبنای آن است که در ادامه می‌آید. دو نقطه‌ای را که دارای کمترین و بیشترین مختصات x می‌باشند و به همین ترتیب دو نقطه‌ای که دارای کمترین و بیشترین مختصات y اند را پیدا می‌کنیم.(این کار در formula_13 انجام می‌شود.)این چهار نقطه تشکیل یک چهار ظلعی محدب را می‌دهند و تمام نقاطی که در این چهار ظلعی قرار می‌گیرند (غیر از چهار نقطهٔ ابتدایی) نمی‌توانند درون پوش محدب باشند. پیدا کردن تمامی نقاطی که درون این چهار ظلعی قرار می‌گیرند نیز formula_13 هزینه می‌برد، پس در کل تا اینجا از formula_13 هزینه کرده‌ایم. به‌طور دلخواه نقاط با کمترین و بیشترین مجموع x,y و نقاط با کمترین و بیشترین تفاضل x,y را نیز می‌توانند به چهار ظلعی قبلی اضافه شوند تا این نقاط بر روی هم یک ۸ ظلعی محدب را به وجود آورند که نقاط درون آن به راحتی می‌توانند حذف شوند. اگر نقاط ورودی به صورت رندم انتخاب شوند آنگاه برای کلاسی گسترده از تابع‌های چگالی احتمال، این دور انداختن بعضی از نقاط در پیش پردازش باعث می‌شود که الگوریتمی که اجرا می‌شود دارای پیچیگی زمانی باشد که امید ریاضی آن خطی باشد، حتی اگر در بدترین حالت از formula_23 باشد.لوک دوروی and Godfried Toussaint, "A note on linear expected time algorithms for finding convex hulls," "Computing", Vol. 26, 1981, pp. 361-366.
در بحثهای بالا فرض بر آن است که تمامی نقاط از قبل به ما داده شده‌است. اما ممکن است کسی به این دو حالت بپردازد.
درج یک نقطه به تعداد ضلع‌های پوش محدب حداکثر یک واحد اضافه می‌کند در حالی که عمل حذف می‌تواند یک پوش سه راسی را به یک پوش n-۱ راسی تبدیل کند.
در نوع برخط با اضافه شدن هر نقطهformula_24 هزینه شده که به‌طور مجانبی بهینه است. در نوع داینامیک هر عملیات درformula_25 انجام می‌شود.
McCallum و Avis اولین نفراتی بودند که پوش محدب برای یک چندظلعی ساده با رأس‌های را درformula_13) ساختند. ایدهٔ اصلی بسیار ساده است. چپترین نقطه روی پوش محدب می‌باشد و ما آن را با formula_27 مشخص می‌کنیم. دومین نقطه را نیز به عنوان کاندیدی برای راس پوش فرض می‌کنیم. در هر مرحله به سه راس متوالی نگاه می‌کنیم که دو تای اول به عنوان رأس‌های موقت پوش اختصاص داده شده‌اند و راس سوم هنوز پردازش نشده‌است که ما آن‌ها را به صورتformula_28 مشخص می‌کنیم. اگر زاویهٔ بین آن‌ها محدب بود انگاه formula_29 و این سه تایی با یک انتقال یک راسی سه تایی بعدی را مشخص می‌کند. اما اگر زاویهٔ ایجاد شده مقعر باشد آنگاه نقطه میانی(formula_30) پاک شده و این تست برای سه تایی formula_31 تا تکرار می‌کنیم تا این که یا به زاویهٔ محدب رسیده یا این که به و بعد از نقطهٔ بعدی به سه تایی برای تست شدن اضافه می‌شود و این روند تکرار می‌شود. هر چند که در تعدادی از مقالاتی که در گذشته انتشار یافته‌اند از امکان خود متقاطع شدن چند ضلعی در حین حذف رءوس صحبت شده که دلیلی بر نامعتبر بودن روند این الگوریتم می‌باشد. خوشبختانه، این مورد نیز به صورت کارا مدیریت می‌شود. بعداً Tor و Middleditch و به صورت مستقل Melkman رویکردی ساده‌تر با پیچیدگی زمانی یکسان ارائه کردند.
شماری از الگوریتم‌ها برای سه بعد وجود دارد، همچنین برای بعدهای دلخواه: نگاه کنید به:https://web.archive.org/web/20070609032115/http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/hull.html
برای مجموعه‌ای محدود از نقاط در سه بعد پوش محدب به صورت یک چند وجهی محدب می‌باشد یا به‌طور کلی یک چندوجهی محدب برای هر تعداد بعد، که رأس‌های آن زیر مجموعه‌ای از رأس‌های ورودی می‌باشد. نمایش آن به سادگی نمایش در بعد نمی‌باشد. در بعدهای بالاتر حتی اگر رأس‌های این چند وجهی معلوم باشند. ساختن وجههای آن کاری بدیهی نیست. همچنین دوگان این مسئله نیز این چنین است یعنی پیدا کردن رأس‌ها از روی وجه‌ها. سایز خروجی می‌تواند به صورت نمایی از سایز ورودی بیشتر باشد، حتی در شرایطی که سایز خروجی و ورودی قابل مقایسه باشد الگوریتم‌های ارائه شده برای بعدهای بالاتر حساس به خروجی نیستند.
در نظریه گراف، قضیه ویزینگ (به نام وادیم ویزینگ نامگذاری شده که آن را در سال ۱۹۶۴ منتشر کرد) بیان می‌کند که یال‌های هر گراف ساده را می‌توان با حداکثر یکی بیشتر از بیشترین درجه رئوس گراف رنگ کرد.
همواره حداقل رنگ لازم است، بنابراین گراف‌های ساده را می‌توان به دو رده افراز کرد: گراف‌های «ردهٔ اول» آنهایی هستند که رنگ، برای رنگ‌آمیزی آن‌ها کافی است و گراف‌های «ردهٔ دوم» آن‌هایی هستند که رنگ، برای رنگ‌آمیزی آن‌ها لازم است.
هنگامی که است، گراف خود یک تطابق است که هیچ دو یال مجاوری ندارد و عدد رنگی یالی آن یک است. پس، تمام گراف‌های با جزء گرافهای ردهٔ اول هستند.
هنگامی که است، گراف اجتماع مجموعه‌های مجزای مسیرها و دورها است. اگر همهٔ دورها زوج باشند، آن‌ها می‌توانند ۲-رنگ پذیر یالی باشند با تغییر تناوبی دو رنگ، پیرامون هر دور. هر چند، اگر حداقل یک دور فرد وجود داشته باشد، هیچ ۲-رنگ آمیزی یالی ممکن نیست. پس، یک گراف با جزء گراف‌های ردهٔ اول است اگر و تنها اگر دوبخشی باشد.
قضیهٔ ویزینگ در حالت کلی برای گراف‌های چندگانه برقرار نمی‌باشد. برای مثال، گراف چندگانهٔ حاصل از مضاعف کردن هر یال یک مثلث، بیشینه درجهٔ چهار دارد اما نمی‌توان آن را با کمتر از شش رنگ، رنگ‌آمیزی کرد.
چندین نویسنده شرایطی را برای رده‌بندی برخی گراف‌ها به ردهٔ اول یا ردهٔ دوم ارائه کرده‌اند اما رده‌بندی کاملی ارائه نشده‌است. برای مثال اگر مجموعهٔ رئوس با بیشینه درجهٔ در گراف یک مجموعه مستقل باشد، یا به‌طور کلی‌تر زیرگراف القایی این رئوس یک جنگل باشد، آنگاه باید جزء گراف‌های ردهٔ اول باشد.
اردوش و ویلسون (۱۹۷۷) نشان دادند که تقریباً همهی گراف‌ها جزء ردهٔ اول هستند. پس، در مدل اردوش-رنیِ گراف‌های تصادفی، که تقریباً تمام گراف‌های -راسی برابر هستند، را احتمال کشیده شدن یک گراف -راسی از توزیع گراف‌های ردهٔ اول تعریف می‌کنیم، در نتیجه اگر به بینهایت میل کند به یک نزدیک می‌شود. برای حدود بهتری که به یک همگرا باشد، به رجوع شود.
ویزینگ (۱۹۶۵) نشان داد که هر گراف مسطح جزو گراف‌های ردهٔ اول است اگر بیشترین درجهٔ رئوس گراف حداقل هشت باشد. در مقابل او مشاهده کرد که به ازاء هر بیشترین درجهٔ بین دو تا پنج، گراف مسطحی وجود دارد که جزو گراف‌های ردهٔ دوم باشد. برای درجهٔ دو، هر دور فردی چنین گراف است و برای درجهٔ سه و چهار و پنج گراف‌های مورد نظر از اجسام افلاطونی با جایگزین کردن یک یال به جای دو یال مجاور می‌توانند ساخته شوند.
در حدس گراف‌های مسطح ویزینگ، ویزینگ (۱۹۶۵) بیان می‌کند که گراف‌های سادهٔ مسطح که بیشترین درجهٔ رئوس آن‌ها شش یا هفت است، جزء گراف‌های ردهٔ اول هستند، و این موارد ممکن باقی‌مانده را تمام می‌کند. سندرز و ژاو (۱۹۶۵) با نشان دادن ردهٔ اول بودن تمام گراف‌های مسطح با بیشترین درجهٔ رئوس هفت، تقریباً حدس گراف‌های مسطح ویزینگ را اثبات کردند. بنابراین، تنها حالت حدس که حل نشده باقی‌مانده این است که بیشترین درجه، شش باشد. این حدس شامل دلایلی برای حدس رنگ‌آمیزی کامل گراف است.
گراف‌های مسطح ردهٔ دوم که با زیربخش‌های اجسام افلاطونی ساخته می‌شوند منظم نیستند: آن‌ها رئوس درجهٔ دو دارند همانطور که رئوس با درجهٔ بالاتر دارند. قضیه چهاررنگ، روی رنگ‌آمیزی راسی گراف‌های مسطح، معادل این گزاره است که هر گراف ۳-منظمِ مسطحِ بدون یال برشی جزء گراف‌های ردهٔ اول هستند (تایت ۱۸۸۰). این گزاره بعد از اثبات قضیه چهار رنگ توسط اپل و هاکن (۱۹۷۶) درست شناخته شد.
در سال ۱۹۶۹، برانکو گرانبام حدس زد که تمام گراف‌های ۳-منظم با برازش چندوجهی روی هر خمینهٔ جهت‌دار دو بعدی مانند چنبره، باید جزو گراف‌های ردهٔ اول باشد. در این زمینه، برازش چندوجهی یک برازش گراف است که در آن هر ناحیه از برازش از نظر توپولوژیکی یک دیسک است و به طوری که گرافِ دوگانِ برازش ساده است، بدون حلقه و یال چندگانه. در صورت درست بودن، این حدس یک تعمیم قضیهٔ چهار رنگ است که توسط تایت، نشان داده شد معادل این گزاره است که گراف‌های ۳-منظم با برازش چندوجهی روی یک کره، جزء رده اول هستند. اگرچه کُچُل (۲۰۰۹) نشان داد که حدس غلط است اگر اسنارکی که دارای برازش چندوجهی بر روی رویهٔ جهت‌دار بالادسته وجود داشته باشد. بر این اساس، او همچنان نشان داده است که دانستن اینکه برازش چندوجهی جزو گراف‌ها ردهٔ اول است، ان‌پی کامل است.
میسرا و گرایز (۱۹۹۲) یک الگوریتم با زمان چندجمله‌ای برای رنگ‌آمیزی هر گراف با رنگ ارائه کردند، که بیشینه درجهٔ گراف است. پس، الگوریتم برای گراف‌های ردهٔ دوم از تعداد رنگ‌های بهینه استفاده می‌کند، و حداکثر یکی بیشتر از تعداد رنگ‌های مورد نیاز برای همهٔ گراف‌ها. الگوریتم آن‌ها از روشی یکسان با اثبات اصلی ویزینگ برای قضیه‌اش پیروی می‌کند: این الگوریتم از یک گراف رنگ نشده شروع می‌کند، و سپس به‌طور مکرر راهی را برای رنگ‌آمیزی دوباره گراف پیدا می‌کند تا تعداد یال‌های رنگ شده را یک عدد افزایش دهد.
به‌طور خاص‌تر، فرض کنید که یک یال رنگ نشده در یک گراف نیمه رنگ شده باشد. الگوریتم میسرا و گرایز ممکن است به عنوان ساخت یک شبه جنگل جهت‌دار (یک گراف که هر رأس آن حداکثر یک یال خارج‌شونده دارد.) روی همسایه‌های تفسیر شود: برای هر همسایهٔ از ، الگوریتم یک رنگ را می‌یابد که توسط هیچ یک از یال‌های مجاور استفاده نشده‌است، رأس را می‌یابد (در صورت وجود) که یال رنگ را دارد و را به عنوان یک یال به اضافه می‌کند. دو حالت وجود دارد:
با برخی از ساختمان داده‌های ساده برای پیگیری رنگ‌هایی استفاده شده و قابل استفاده در هر رأس، می‌توان ساختن و گام‌های رنگ‌آمیزی دوباره الگوریتم را با زمان پیاده‌سازی کرد، که تعداد رئوس گراف ورودی است. چون در هر تکرار این گام‌ها تعداد یال‌های رنگ شده یکی افزایش می‌یابد، باید این گام‌ها را بار تکرار کرد، پس زمان مجموع برابر است با .
در یک گزارش فنی منتشر نشده، گابو و همکاران (۱۹۸۵) ادعای ارائهٔ یک محدودیت زمانی formula_1 سریع‌تر را برای مسئلهٔ رنگ‌آمیزی یکسان با رنگ را کردند.
در هر دو گوتین و تافت (۲۰۰۰) و سافیر (۲۰۰۸)، ویزینگ اشاره کرد که کارش انگیخته شده توسط یکی از قضایای شانون (۱۹۴۹) است که نشان می‌دهد گراف‌های چندگانه می‌توانند با حداکثر رنگ، رنگ‌آمیزی شوند. هر چند حالا قضیه ویزینگ جزء مواد استاندارد بسیاری از کتاب‌های نظریه گراف است، ویزینگ در ابتدا برای انتشار نتایجش مشکل داشت، و مقاله‌اش در یک مجلهٔ گمنام به نام Diskret. Analiz. چاپ شد.
مسئله کوله‌پشتی، یکی از مسائل مورد مطالعه در بهینه سازی ترکیبیاتی است که در بعضی موارد در زندگی واقعی نیز کاربرد دارد. به همین دلیل تعدادی از حالات خاص یا حالات کلی آن مورد آزمایش قرار گرفته‌است.
چیزی که در تمام نسخه‌های این مسئله مشترک است، وجود مجموعه‌ای با n عضو است، که هر عضو با اندیس j که formula_1، یک ارزش formula_2 و وزن formula_3 دارد. متغیر دودویی تصمیم formula_4 برای انتخاب کردن اشیا به کار میرود. هدف برداشتن تعدادی از اعضا است، به طوری که ارزش کلشان بیشینه شود و در عین حال بیشینه مجموع وزن اشیا انتخاب‌شده از formula_5 تجاوز نکند. در حالت کلی، این ضرایب در عددی ضرب می‌شوند (مقیاس می‌شوند) تا به اعداد صحیح تبدیل شوند و همیشه فرض می‌شود که این ضرایب عدد طبیعی هستند.
مسئله کوله‌پشتی در ساده‌ترین شکل به صورت زیر است:
formula_6 را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_7،formula_8،formula_9.
یک شکل رایج این مسئله این است که هر عضو بتواند چندین بار انتخاب شود. مسئله کوله‌پشتی محدود برای هر عضو formula_10، یک کران بالای formula_11 (که می‌تواند یک عدد صحیح مثبت یا بی‌نهایت باشد.) که تعداد دفعاتی است که عضو formula_10ام انتخاب شده‌است را مشخص می‌کند:
formula_6 را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_7، formula_15 و
formula_4 برای هر formula_10 عددی صحیح است.
مسئله کوله‌پشتی نامحدود (که گاهی اوقات مسئله کوله‌پشتی صحیح نیز خوانده می‌شود) برای تعداد تکرارهای یک عضو کران بالایی قرار نمی‌دهد:
formula_6 را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_7 و formula_20، formula_21 برای هر j عددی صحیح است.
در سال 1975 لوکر ثابت کرد که نوع نامحدود مسئله ان‌پی کامل است. هر دو نوع محدود و نامحدود این مسئله یک FPTAS دارند (در اصل شبیه به همان است که در مسئله کوله‌پشتی 0-1 استفاده شد).
اگر اعضا در "k" دسته که با formula_22 نشان داده می‌شوند طبقه بندی شوند، و دقیقاً از هر کلاس یک عضو انتخاب شود آنگاه با مسئله کوله‌پشتی چند گزینه ای روبرو هستیم:
را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_24 ؛ formula_25، برای هر formula_26
و formula_27، برای هرformula_26 و هر formula_29.
اگر برای هر عضو ارزش و وزنش یکسان باشند، با مسئله جمع زیرمجموعه ها روبرو هستیم (اغلب مسئله تصمیم که متناظر با آن است به جای آن داده می‌شود):
را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_31، formula_8.
اگر "n" عضو و "m" کوله‌پشتی با ظرفیت formula_33 داشته باشیم،با مسئله کوله‌پشتی چندگانه روبرو هستیم:
را بیشینه کنید، به طوریکه formula_35، برای هر formula_36
و formula_37، برای هر formula_1
و formula_27، برای هر formula_1 و هر formula_36.
به عنوان یک حالت خاصِ مسئله کوله‌پشتی چندگانه، هنگامی که ارزش‌ها با وزن‌ها برابر و همه صندوق‌ها حجم برابر داشته باشند، با مسئله حاصل جمع زیرمجموعه‌های چندگانه روبرو هستیم:
مسئله کوله‌پشتی درجه دوم:
formula_42 را بیشینه کنید، به طوری‌که formula_7،
برای هر
مسئله کوله‌پشتی مجموعه-اجتماع(SUKP):
SUKP توسط Kellerer و همکارانش ( در صفحه 423) همانطور که در ادامه آمده تعریف شده‌است:
مجموعه formula_46 شامل formula_47 عضو و formula_48 شامل formula_49 عضو داده شده است، هر عضو formula_10 به یک زیرمجموعه formula_51 از مجموعه formula_52 مربوط میشود. برای هرformula_53 ، عضو formula_10ام ارزش نامنفی formula_2 دارد، و برای هر formula_56 ، عضو formula_57 ام وزن نامنفی formula_58 دارد. وزن کلی یک مجموعه از اعضا برابر با مجموع وزن اعضای متناظر آن در مجموعه است. هدف پیدا کردن زیرمجموعه ای از عضوها است که وزن کلی آن از حجم کوله‌پشتی بیشتر نشود و ارزش بیشینه را داشته باشد.
اگر بیشتر از یک محدودیت وجود داشته‌باشد (برای مثال هم محدودیت حجمی و هم محدودیت وزنی داشته‌باشیم، در حالی‌که حجم و وزن هر شی هیچ رابطه‌ای با یکدیگر ندارند)، به مسئلهٔ کوله‌پشتی با شرایط چندگانه، مسئله کوله‌پشتی چند بعدی، یا مسئله کوله‌پشتی m- بعدی می‌رسیم (توجه کنید که "بُعد" در این‌جا هیچ ارتباطی به شکل اشیا ندارد). این مسئله انواع 0-1، محدود و نامحدود دارد که نوع نامحدود آن در زیر نشان داده شده‌است:
را بیشینه کنید، به طوریکه
، برای هر
formula_62، formula_4 برای هر formula_64 عددی صحیح باشد.
در حدود سال 1980 نشان داده شد که نوع 0-1 مسئله (برای هر formula_65 ثابت) ان‌پی کامل است و به‌طور قویتر FPTAS ندارد مگر اینکه P = NP.
انواع محدود و نامحدود مسئله نیز (برای هرformula_65 ثابت) درجه سختی مشابه دارند.
برای هر formula_65 ثابت، این مسائل یک (مشابه مسئله کوله‌پشتی اصلی) و یک PTAS دارند.
اگر ارزش همهٔ اشیا یک باشد می‌توانیم تلاش کنیم تا تعداد اشیایی که کوله‌پشتی را کاملاً پر می‌کنند، کمینه کنیم:
formula_68 را کمینه کنید، به طوریکه formula_69 و
formula_8،
اگر تعدادی جعبه (با سایز یکسان) داشته باشیم و هدف قرار دادن همهٔ n شی در حداقل تعداد جعبه ممکن باشد به مسللهٔ (بسته بندی جعبه ها) می‌رسیم که با متغیرهای شاخص مدل می‌شود و formula_72 است اگر و تنها اگر جعبهٔ "i"م استفاده شود:
را کمینه کنید، به طوریکه
formula_74،
و formula_76، formula_77
و formula_78، formula_75
و formula_27، formula_81.
مسئلهٔ مشابه مسئلهٔ است، اما از آن‌جا که نمونه‌های عملی انواع کمتری از اعضا دارند، اغلب از فرمول دیگری استفاده می‌شود. عضو "j"م formula_82 مرتبه نیاز است، هر الگویی از اعضا که برای یک کوله‌پشتی مناسب باشد یک متغیر formula_83 دارد("m" الگو وجود دارد) و الگوی "i" عضو "j" را formula_84 بار استفاده می‌کند:
و formula_88
اگر برای مسئله کوله‌پشتی چندگزینه‌ای که در آن‌ها چند انتخاب وجود دارد، این محدودیت که در آن سایز هر زیرمجموعه "n" باشد را اضافه کنیم و محدودیت بر روی وزن کلی را حذف کنیم، به مسئلهٔ assignment می‌رسیم که مسئلهٔ پیدا کردن یک بیشینه نیز است:
و formula_93
برای هر formula_26 و برای هر formula_29.
در مسئله کوله‌پشتی با چگالی بیشینه وزن اولیه formula_98 است و ما تراکم اشیای انتخابی را تا زمانی‌که با محدودیت‌های ظرفیت مغایرت نداشته باشد، زیاد می‌کنیم:Cohen, R. and Katzir, L. 2008. The Generalized Maximum Coverage Problem. "Inf. Process. Lett". 108, 1 (Sep. 2008), 15-22.
formula_7 و formula_8، formula_71.
تعداد دیگری مسئله‌های مشابه کوله‌پشتی نیز وجود دارند که البته نسبت به مسئله‌های ذکرشده کمتر متداول هستند، شامل:
سه مسئلهٔ آخر در مرجع کار Kellerer و همکارانش، Knapsack Problems، مورد بحث و بررسی قرار گرفته‌اند.
قلاب به یکی از موارد زیر اشاره دارد:
چنگک به یکی از موارد زیر اشاره دارد:
ونسا لی کارلتن (زاده ۱۶ اوت ۱۹۸۰) خواننده و آهنگساز آمریکایی است. نخستین تک‌آهنگ او به نام یک‌هزار مایلA Thousand Miles در سال ۲۰۰۱ در جایگاه پنجم ۱۰۰ آهنگ داغ بیلبورد قرار گرفت و موجب شهرت وی گردید. کارلتن تا سال ۲۰۱۱ چهار آلبوم استودیویی منتشر کرد.
کارلتن در جریان رژه دگرباشان نشویل در سال ۲۰۱۰ اعلام کرد که دوجنس‌گراست و به این موضوع افتخار می‌کند.
در هندسۀ محاسباتی و نظریۀ گراف هندسی، بتا اسکلت یک گراف بدون جهت است که بر روی مجموعه‌ای از نقاط هندسۀ اقلیدسی تعریف می‌شود. دو نقطۀ p و q در صورتی توسط یک یال به یکدیگر متصل می‌شوند که همۀ زاویه‌های "prq" از آستانۀ تعیین شده توسط پارامتر عددی "β" کمتر باشد.
اگر "β" یک عدد حقیقی مثبت باشد، زاویۀ "θ" با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آید:
برای هر دو نقطۀ "p" و "q" در صفحه، "R" را مجموعه‌ای از نقاط در نظر بگیرید به‌طوری‌که زاویۀ "prq" از "θ" بزرگتر باشد. در این صورت به ازای "β" ≥ 1 و "θ" ≤ π/2 مجموعۀ "R" به صورت اجتماع دو دایره با اندازۀ قطر "βd"("p","q") در خواهد آمد و به ازای "β" ≤ 1 و "θ" ≥ π/2 مجموعۀ "R" به صورت اشتراک دو دایره به قطر "d"("p","q")/"β" خواهد شد. در صورتی که "β" = 1 باشد هر دو فرمول بالا جواب "θ" = π/2 را خواهند داد و مجموعۀ "R" به صورت یک دایره به قطر "pq" خواهد شد.
اگر "S" یک مجموعۀ مجزا از نقاط در صفحۀ هندسۀ اقلیدسی باشد، بتا اسکلت آن یک گراف بدون جهت است که در آن دو نقطۀ "p" و "q" در صورتی با یال "pq" به یکدیگر متصل می‌شوند که "R" حاوی هیچ یک از نقاط مجموعۀ "S" نباشد. در حقیقت بتا اسکلت یک گراف ناحیه خالی می‌باشد که با ناحیه‌های "R" تعریف شده‌اند.. هنگامی که مجموعۀ "S" شامل نقطۀ "r" باشد به‌طوری‌که زاویۀ "prq" بزرگتر از "θ" باشد، "pq" یال بتا اسکلت نخواهد بود؛ بتا اسکلت شامل آن جفت "pq"‌هایی می‌باشد که همچین نقطۀ "r" ای برای آن‌ها وجود نداشته باشد.
بعضی از نویسنده‌ها تعریف دیگری را بیان می‌کنند که در آن ناحیه‌های خالی "R" به ازای "β" > 1 اجتماع دو دایره نیستند بلکه عدسی می‌باشند (در این متن به آن‌ها هلال می‌گوییم )، یعنی اشتراک دو دایرۀ متناجس به قطر "βd"("p,q") هستند به‌طوری‌که پاره خط "pq" بر روی شعاع هر دو دایره قرار می‌گیرد و همچنین دو نقطۀ "p" و "q" روی مرز تقاطع دایره‌ها قرار خواهند گرفت. همانند تعریف مبتنی بر دایره، بتا اسکلت مبتنی بر هلال نیز، در صورتی دارای یال "pq" می‌باشد که ناحیۀ "R" از نقاط دیگر خالی باشد. با توجه به این تعریف، گراف همسایۀ مرتبط یک حالت خاص از بتا اسکلت با "β" = 2 می‌باشد. هر دو تعریف مبتنی بر دایره و مبتنی بر هلال به ازای "β" ≤ 1 یکسانند اما برای مقادیر بزرگ‌تر "β"، تعریف بتا اسکلت مبتنی بر دایره زیر گرافی از بتا اسکلت مبتنی بر هلال می‌باشد.
یک تفاوت مهم میان بتا اسکلت مبتنی بر دایره و هلال در این است که به ازای هر مجموعه نقاطی که روی یک خط قرار نداشته باشند، همیشه یک مقدار به اندازۀ کافی بزرگ برای "β" وجود دارد که بتا اسکلت مبتنی بر دایرۀ آن یک گراف تهی باشد. در مقابل اگر یک جفت نقاط "p" و "q" دارای این ویژگی باشند که برای همۀ نقاط "r" دیگر، یکی از دو زاویۀ "pqr" و "qpr" منفرجه شود، در آن صورت بدون توجه به این‌که "β" چقدر بزرگ باشد بتا اسکلت مبتنی بر هلال حتماً حاوی یال "pq" خواهد بود.
بتا اسکلت اولین بار توسط به عنوان یک گونۀ مستقل از مقیاس از شکل‌های آلفای مطرح شد. نام “بتا اسکلت” به این علت ایجاد شده‌است که بتا اسکلت از بعضی جهات شکل یک مجموعه نقاط را شرح می‌دهد به همان طریقی که اسکلت توپولوژی شکل ناحیه‌های دوبعدی را بیان می‌کند. انواع بسیار دیگری از گراف‌های بتا اسکلت وجود دارند که با ناحیه‌های خالی دیگر تعریف می‌شوند.
اگر β به صورت پیوسته از 0 تا ∞ تغییر کند، β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره دنباله‌ای از گراف‌ها را، از گراف کامل تا گراف تهی، تشکیل می‌دهند. حالت خاصّ β=1 گراف گابریل را نتیجه می‌دهد که شامل درخت پوشای کمینۀ اقلیدسی است. بنابراین، زمانی که β≤1، یک β-اسکلت شامل گراف گابریل و درخت پوشای کمینه هم هست.
برای هر β ثابت، می‌توان از یک ساختار فراکتال که نمایانگر نسخۀ مسطح برف‌دانۀ کخ باشد برای مشخص کردن دنباله‌ای از گروه نقطه‌ها که β-اسکلت‌های آن‌ها مسیرهایی به طول دلخواه در یک مربع واحد است، استفاده کرد. بنابراین، برخلاف مسئلۀ مرتبطِ مثلث‌بندی دیلانی، β-اسکلت‌ها پوشای هندسی نیستند.; ; .
یک الگوریتم بدیهی که برای هر سه‌تایی formula_2، formula_3 و formula_4 عضویت formula_4 را در محدودۀ formula_6 بررسی می‌کند، می‌تواند برای هر مجموعۀ formula_7تایی از نقاط، β-اسکلت را در زمان formula_8 بسازد.
به ازای β≥1، یک β-اسکلت (با هر یک از تعریف‌ها) زیرگرافی از گراف گابریل است که آن هم زیرگرافی از مثلث‌بندی دیلانی است. اگر formula_9 یکی از یال‌های مثلث‌بندی دیلانی باشد که به β-اسکلت تعلق ندارد، آن‌گاه نقطۀ formula_4، یکی از دو نقطه‌ای که در مثلث‌بندی دیلانی با formula_3 و formula_2 تشکیل مثلث می‌دهند، زاویۀ بزرگ formula_13 را درست می‌کند. در نتیجه، برای این مقادیر β، یک β-اسکلت مبتنی بر دایره با محاسبۀ مثلث‌بندی دیلانی و حذف کردن یال‌های اضافی با این آزمون برای یک مجموعۀ شامل formula_7 نقطه در زمان formula_15 ساخته می‌شود..
به ازای β<1 الگوریتم دیگری از ساختن β-اسکلت را در زمان formula_16 ممکن می‌سازد. کران بالای بهتری برای زمان اجرا در بدترین حالت ممکن نیست. زیرا برای هر مقدار ثابت β در محدودۀ ۰ تا ۱، در حالت کلی مجموعه‌هایی از نقاط وجود دارند که β-اسکلت آن‌ها یک گراف کامل است که تعداد یال‌هایش با توان دوم تعداد نقاط متناسب است. همچنین تمام طیف β (دنبالۀ β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره که از تغییر مقدار β به‌دست می‌آیند) در زمان مشابه (درجۀ دو) محاسبه می‌شود.
از β-اسکلت مبتنی بر دایره می‌توان در آنالیز تصویر برای بازسازی شکل یک شیء دو بعدی با داشتن مجموعه‌ای از نقاط نمونه روی مرز آن شیء استفاده کرد.(شکل محاسباتی بازی وصل کردن نقاط، که در آن ترتیب نقطه‌ها در صورت مسئله نیست و باید توسط یک الگوریتم به دست آید.) اگرچه برای این کار باید مقدار مناسبی برای پارامتر β اتخاذ شود، ثابت می‌شود به ازای β=1.7، در صورتی که نسبت تراکم نمونه‌ها به انحنای موضعی سطح به اندازۀ کافی زیاد باشد، β-اسکلت تمام مرز هر سطح صاف را بازسازی می‌کند و هیچ یال اضافی‌ای تولید نمی‌کند.; . البته در عمل، مقدار β=1.2 در یک سامانه اطلاعات جغرافیایی برای بازسازی نقشۀ خیابان‌ها از روی مجموعه‌ای از نقاط که روی خط میانی خیابان‌ها بودند مناسب‌تر بود.. برای حالت‌های تعمیم‌یافتۀ روش β-اسکلت برای بازسازی سطوح در سه بعد، را ببینید.