moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت formula_7 به صورت زیر محاسبه می‌کند:
اگر تابع formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_17 پیوسته و یک به یک بوده و formula_21 موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع formula_206 در نقطهٔ formula_207 مشتق‌پذیر است و داریم:
تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی formula_206 در نقطهٔ formula_210 برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی formula_6 در نقطهٔ formula_212. (نقاط formula_213 و formula_214 متناظر هستند)
از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:
اگر تابع formula_6 روی بازهٔ formula_129 مشتق‌پذیر باشد تابع formula_39 خود ممکن است در نقطه‌ای مثل formula_17 مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر formula_220 موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع formula_6 در formula_17 موجود است و آن را با formula_223 نمایش می‌دهیم.
مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. به‌طوری‌که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:
مشتق formula_57ام چند تابع مهم نسبت به formula_7 که formula_17 و formula_228 اعداد ثابت هستند:
قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_182 دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 باشند، آنگاه حاصل‌ضرب formula_237 نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 است و داریم:
اگر تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته، روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر و formula_243 باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن formula_246 است. عدد formula_244 با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ formula_182 باشد.
نقاط formula_244 در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته باشد و formula_243 آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ formula_182 وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم formula_254 با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر formula_6 مشتقِ تابع یعنی formula_39 حداقل یک ریشه دارد.حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲،
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن:
قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن:
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب شیب خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.
معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ formula_273 واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ formula_273 واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ formula_277 مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را formula_278 در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ formula_213 روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات formula_213 را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.
در نهایت چون نقطهٔ formula_277 روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب formula_17 بدست آید.
نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.
آهنگ متوسط تغییرات formula_6 در فاصلهٔ formula_241 عبارت است از:
آهنگ متوسط تغییرات formula_6 نسبت به متغیر formula_7 عبارت است از:
اگر formula_290 تغییرات formula_6 نسبت به تغییرات formula_7 را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر formula_6 نسبت به formula_7 گویند.
در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:
زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:
برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ formula_297 قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.
نقطهٔ درونی formula_299 را نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 گویند هرگاه formula_246 یا formula_302 موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.
در ضمن، اگر تابع formula_6 روی formula_241 تعریف شده باشد و نقطهٔ formula_244 درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه formula_244 نقطهٔ بحرانی formula_6 است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی formula_6 نقطهٔ بحرانی formula_6 نیز هست، در صورتی‌که یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.
اگر تابع formula_6 روی بازهٔ formula_182 پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر formula_312 و formula_313 مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس formula_314 و formula_315 را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد formula_312 یا formula_313 مطلق است. در غیر این صورت formula_312 یا formula_313 مطلق را مشخص می‌کنیم.
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل formula_244 وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست formula_321 و formula_322 را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود formula_312 یا formula_313 را بررسی کرد.
در تابع پیوستهٔ formula_6، برای هر formula_137 اگر formula_327 آنگاه formula_6 روی formula_129 صعودی اکید است و اگر formula_330 آنگاه formula_6 روی formula_129 نزولی اکید است؛ ولی اگر formula_333 باشد، تابع formula_6 صعودی غیر اکید است و اگر formula_335 باشد، تابع formula_6 نزولی غیر اکیداست
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع formula_6 ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع formula_6 پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته‌است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.
با فرض اینکه formula_244 نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 است و formula_341 و formula_6 روی formula_182 پیوسته و به جز احتمالاً در formula_244 مشتق‌پذیر باشد:
فرض کنید formula_244 نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 و formula_53 موجود باشد:
اگر نمودار تابعی به صورت formula_372 باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 صعودی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به بالاست.
اگر نمودار تابعی به صورت formula_377 باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 نزولی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به پایین است.
اگر جهت تقعر نمودار formula_6 در نقطهٔ formula_244 تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه formula_244 را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:
پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که formula_53 در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت formula_53 را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام formula_393 و formula_394 در حد استفاده می‌شود به‌طوری‌که اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 مشتق‌پذیر باشند و formula_398 آنگاه:
اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال
برای وقتی formula_403 می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای formula_404.
بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و… که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسئله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.
معادلات دیفرانسیل یک معادله ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل می‌باشد.
فرض کنید تابعی معین از , و مشتقات باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر:
یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود.
در حالت کلی تر فرم "ضمنی" معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد:
به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی قابل حل می‌باشد.
در روابط زیر formula_407،formula_244 و formula_409 اعداد ثابت، formula_45،formula_7،formula_412،formula_104،formula_198 متغیر و formula_415 عدد نپر است."Complex Variables", M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, "Calculus (5th edition)", F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ."Advanced Calculus (3rd edition)", R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, .
مشتق تمامی توابع جبری به شکل زیر است:
تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
تقریباً مشتق تمامی توابع نمایی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:
حَسَن‌آباد یکی از محله‌های منطقهٔ یازده تهران است.
منطقه حسن‌آباد که ناحیه شمال غرب آن روزهای طهران به‌شمار می‌آمد یکی از بزرگترین باغ‌های شهر بود. این باغ متعلق به میرزا یوسف آشتیانی بود که استخر بزرگ آن محل کنونی سفارت ایتالیاست. مستوفی الممالک قبل از گسترش یافتن طهران و خراب شدن حصار شاه طهماسبی آن به سال ۱۲۸۶ قمری بیشتر زمینهای بیرون حصار تا بهجت آباد و از آنجا تا یوسف آباد ونک و اوین را خریداری کرد. پس از بزرگ شدن طهران باغ بزرگی ایجاد کرد و آن را به نام پسرش حسن، حسن‌آباد نامگذاری کرد. این وجه تسمیه حسن‌آباد است. پس از فوت میرزا یوسف آشتیانی ورثه این ملک را تکه‌تکه کرده به مردم فروختند به صورتی که پس از چندین سال اثری از این باغ باقی نماند و محله مسکونی حسن‌آباد از دل آن زاده شد.
نصرالله حدادی درباره‌اش در «طهران قدیم» می‌نویسد:
در گوشه شمالغربی میدان در گذشته قدیمی‌ترین قبرستان تهران قرار داشت که به نوعی در گوشه شهر بود اما بعداً و از سال ۱۳۱۷ ه‍.ش آتش‌نشانی بزرگی جای آن قرار گرفت.میدان حسن‌آباد و هشت گنبد معروفش در آن قبرستان پیکر میرزا محمدرضا کلهر و نیز سر میرزا کوچک خان جنگلی را دفن کرده بودند. هرچند سر میرزا کوچک خان بعداً به رشت برده شد، اما پیکر میرزا محمدرضا کلهر در همان مکان باقی ماند.سردار دلاور ایران میرزا کوچک خان جنگلی هم‌اکنون در یادبود این دو نفر ستونی در شمال غربی میدان حسن‌آباد برافراشته شده‌است.
در محل ادارهٔ آتش‌نشانی قبلاً گرمابه‌ای دایر بود که تهرانی‌های آن زمان می‌گفتند شب‌های جمعه از تون (آتش‌دان) آن صدای «سوختم سوختم» برمی‌خیزد. این حمام به دلیل معروف به جنی بودنش رونق چندانی نداشت و ضرر می‌داد تا سرانجام همراه با زمین متروکه کنارش در اختیار آتش‌نشانی قرار گرفت.http://sarmadipress.com/Uploads/Public/Nashriye/nash17/jeni.pdf
حسن‌آباد در مرکز شهر تهران و در منطقه منیریه قرار گرفته و میدانی نیز به نام حسن‌آباد (که پس از انقلاب به «میدان سی و یک شهریور» تغییر نام یافته‌است) در آن منطقه وجود دارد. میدان حسن‌آباد از میدان‌های تاریخی و جزء بافت تاریخی و سنتی تهران قاجاری است.
ساختمان‌های چهار طرف میدان کار قلیچ باقلیان است و مهندس محاسب آن، معمار برجستهٔ ارمنی لئون تادوسیان بوده‌است."«یادگارهای معماران ارمنی در تهران»"
به تازگی ساختمان‌های دورتادور میدان که در وضع بدی به سر می‌بردند مرمت شده و این میدان شکوه نخستینش را تا اندازه‌ای بازیافته است. ساختمان‌های قدیمی بخش جنوب‌شرقی میدان که شبیه سازه‌های سه سوی دیگر میدان بوده‌اند در دوره‌ای تخریب شده و ساختمانی با نمای نوین تمام‌شیشه‌ای به جای آن ساخته شده‌است. این ساختمان متعلق به بانک ملی ایران است. تازگی‌ها در پی بازسازی بناهای این میدان در جلوی ساختمان نوین بانک، سازه‌ای نمایشی شبیه سازه‌های قرینه‌ای که در طرفین دیگر وجود دارند ساخته شده‌است تا تمامیت فضای معماری میدان تا حدی بازگردد.
در طی بازسازی این میدان تاریخی، تمام خیابانهایی که به میدان وارد می‌شده‌اند، سنگفرش شده و گذر خودروها از آن ممنوع گردیده‌است و عبور و مرور خودروها تنها از طریق زیرگذر شمال به جنوب آن که خیابان حافظ را به خیابان وحدت اسلامی متصل می‌کند، انجام می‌گیرد. میدان حسن‌آباد امروزه با یک ایستگاه مترو با بقیه نقاط شهر ارتباط دارد.
متأسفانه در آتش‌سوزی شامگاه ۲۶ تیر ۱۳۹۸ بخشی از این اثر تاریخی دچار صدماتی شد.
کویر سیاه کوه در ۴۰ کیلومتری شمال شهر اردکان و ۲۰ کیلومتری جنوب شهر انارک قرار دارد قسمت عمده کویر در استان اصفهان از توابع بخش انارک قرار گرفته است. معادنی از جمله معدن چاه پلنگ اردکان در نزدیکی این کویر قرار دارند.
این کویر شکلی شبیه به هلال ماه دارد که در قوس درونی هلال آن سیاه کوه با ارتفاع ۲۰۵۰ متر قرار گرفته است. این کویر از سمت جنوب به کوه نمک و گریگون، از غرب به بیابان‌های نایین و نوگنبد و از شمال به ارتفاعات انارک محدود است.
میانگین ارتفاع این کویر از سطح آبهای آزاد در حدود ۹۶۱ متر است. به دلیل وجود مناطق مرتفع تر در اطراف، سیلاب‌های سطحی به سمت این کویر حرکت می‌کنند و به علت شوری خاک زمینهای اطراف نمک خود را پس از تبخیر در این حوضچه به جای می‌گذارند.
مسیر اول، مسیر اردکان به احمدآباد و سپس جاده خاکی احمدآباد است که از کنار خط آهن می‌گذرد و به کویر سیاه کوه می‌رسد.
مسیر دوم، مسیر انارک به ایستگاه راه آهن انارک و سپس جاده خاکی کنار گذر خط آهن تا ایستگاه نوگنبد است.
مسیر سوم، که مسیر قدیمی و اصلی ورود به این کویر است مسیر خاکی انارک به اسماعیلان (روستایی در ۹ کیلومتری جنوب انارک) و سپس سیاه کوه است.
زمینهای اطراف این کویر بشدت باتلاقی می‌باشند.
وب‌گاه کویرهای ایران (برداشت آزاد با ذکر منبع)
کویر اَبَرکوه یا کویر ابرقو بخشی است از فرورفتگی شرق زاگرس در مرکز ایران. این کویر در ۲۰ کیلومتری شرق شهرستان ابرکوه واقع شده‌است. این کویر از غرب به کوه گینه علی، از جنوب غربی به کوه‌های پوزه سیاه و حوض سفید، از جنوب به کفه بدر شیراز، از شرق به کوه چاه زرد و از شمال به جاده ابرکوه - تفت محدود می‌شود.
کویر ابرکوه آب اصلی خود را دو رودخانه موجود در حاشیه شمال غربی و رودخانه‌های دیگری که از حاشیه جنوب شرقی وارد کویر می‌شوند دریافت می‌کند. قسمت اعظم این کویر را نمکزار با فرورفتگی‌های پراکنده فرا گرفته‌است. خاک‌های رسی باد کرده قسمت اعظم بخش جنوبی شرقی را فرا گرفته‌است و به صورت نوار کل نمکزار را در قسمت‌های دیگر دربر گرفته‌است. در حاشیه شمال غربی در حد فاصل خاک‌های رسی و نمکزار باتلاق قرار دارد. باتلاق‌ها به صورت نوار پهنی حاشیه شمال غربی کویر را می‌پوشاند که رفتن به این کویر بدون راهنما فوق‌العاده خطرناک است.
مسیر اول مسیر جاده ابرکوه به تفت و جاده خاکی مزرعه آخوند می‌باشد.
مسیر دوم مسیر ابرکوه به مهرآباد و سپس جاده خاکی اسفندآباد می‌باشد.
وبگاه کویرهای ایران (برداشت آزاد با ذکر منبع)
باتلاق نمک سیرجان نام باتلاقی در استان کرمان ایران است.
باتلاق نمک سیرجان هم‌اکنون به‌صورت انبار عظیمی از نمک محلول درآمده که سرتاسر حوضه دشت سیرجان را به‌طور غیرمستقیم چه در حالتی که دریاچه نمک پرآب باشد و چه در حالت خشک و کویری انباشته از نمک را تحت تأثیر خود درآورده است سطح باتلاق را پوشش ضخیمی از نمک طعام پوشانده است.
باتلاق نمک به‌صورت نوار شمال غربی، غرب تا جنوب‌غربی دشت سیرجان را در برمی‌گیرد و دنباله آن به‌صورت منقطع و ضعیف تا دشت شهر بابک ادامه دارد.
اسطوره‌شناسی ایرانی یا افسانه‌های ایران مجموعهٔ افسانه‌های ایرانی‌هاست. بیشتر این افسانه‌ها ریشهٔ آریایی (هندوایرانی) دارند و تا میزان بسیار بالایی میان اقوام ایرانی و هندی مشترک‌اند. افسانه‌های ایران از یک اصل و منشأ آریایی مشتق شده و تفاوت‌های محیطی ایران و هند و نیز فرهنگ متفاوت بومیان ایران و آریاییان ایرانی مهاجرت‌کرده به هند، تفاوت‌هایی را میان اساطیر هندی و ایرانی موجب شده‌است. آنچه از اساطیر کهن ایرانی امروزه باقی مانده‌است، بیشتر به اوستا بازمی‌گردد. در آغاز هزارهٔ یکم پیش از میلاد، زرتشت اصلاحاتی را در عقاید و در پی آن اساطیر ایرانی پدید آورد. با وجود این، در قسمت‌های متأخر اوستا، مانند یشت‌ها، عقاید و باورهای پیش از زردشت ایرانیان وارد دین شده که به‌عنوان منشأ و منبع شناخت اساطیر ایرانی به کار می‌رود. این اساطیر مبتنی بر دوبن‌گرایی و مظاهر خوب و بد است و تاریخ روایی خاصی دارد که از تاریخ ثبت‌شدهٔ سرزمین ایران متفاوت است. اساطیر ایران، به‌جز اساطیر منعکس‌شده در اوستای متاخر، به‌صورت محدود در سنگ‌نبشته‌های فارسی باستان و متون غیر ایرانی به‌ویژه یونانی آمده‌است. همچنین ایرانیان اساطیر متفاوت، اما هم‌ریشهٔ، دیگری با اساطیر اوستایی داشته‌اند که شامل اساطیر مانوی و زروانی و مهرپرستی می‌شود. تاریخ اساطیری ایران نیز از دورهٔ اشکانیان و سپس ساسانیان ثبت و بعدها به فارسی و عربی ترجمه شد. شاهنامهٔ فردوسی مهم‌ترین منبع شناخت تاریخ اساطیری ایران است.
پیش از قدرت گرفتن مادها، تمدن‌های آریایی منفردی در این سرزمین می‌زیستند که عمدتاً با همسایگان خارج از فلات خود خویشاوندی زبانی، نژادی و حتی مذهبی نداشتند و خود گاهی دارای همبستگی‌هایی بودند. این اقوام شامل لولوبیها، گوتی‌ها، کاسیها و اورارتوها می‌شدند. البته ایلامیان، نیز در جنوب‌غربی فلات ایران دارای تمدن قدیمی و شناخته‌شده‌ای بودند، اما از نژاد آریایی نبودند. این اقوام که نیمهٔ جنوبی ایران و غرب و شمال غربی را در اختیار داشتند، دارای اساطیر ویژهٔ خود بودند. از اساطیر آنها اطلاع چندانی در دست نیست. با این حال، اساطیر کاسی‌ها تا اندازه‌ای به تمدن‌های ایرانی بعدی، یعنی مادها و پارس‌ها، شباهت‌هایی به ویژه در نام‌ها دارد. اساطیر ایلامیان که قومی منفرد و البته دارای قرابت‌های زبانی با دراویدی‌های غیرآریایی هند بودند، با برخی اساطیر مندرج در "ریگ‌ودا" مشترک است. سنت‌ها و عقاید این اقوام بدون شک در عقاید جامعهٔ بعدی‌شان که تحت سیطرهٔ فرهنگی آریایی‌ها بود تأثیر گذاشت. با قدرت‌گیری مادها و سپس پارس‌ها، اساطیر جدیدتری که اساطیر جامع ایران شناخته می‌شوند آغاز شد. محققان بر این باورند که پیش از قدرت‌گیری مادها، شاخه‌ای از آریاییان از ایران به هند مهاجرت کردند. برای همین است که صورت کهن اساطیر هندی شباهت بسیاری با صورت‌های کهن اساطیر ایرانی دارد. اسطوره‌شناسان گاه با کمک اساطیر قوم خویشاوند صورت کهن یا باستانی اسطوره‌ای خاص را بازسازی می‌کنند. اثر هندی‌ای که بیشتر از آثار هندو به کار اسطوره‌شناسی ایرانی می‌آید کتاب "ریگ‌ودا" به زبان سنسکریت است. با جاگیر شدن هندوان در سرزمین نو سیر تکاملی اسطوره‌ها تا حد زیادی مشترکِ ایشان تفاوت یافت. اساطیر ایران از اسطوره‌های اقوام بومی فلات ایران و اسطوره‌های میان‌رودانی تأثیری زیادی پذیرفت. محققان این تأثیرها را در جای‌جای اساطیر ایرانی نشان داده‌اند.
اساطیر هندی و ایرانی در بسیاری موارد نزدیک است. این نزدیکی گاهی در حد تشابه اسامی اشخاص و مکان‌ها است.تاریخ مردم ایران، زرین‌کوب، ص ۲۰ زبان‌های بسیار نزدیک این دو گروه نیز ریشه‌های مشترک ایشان را تأیید می‌کند؛ بنابراین، ریشهٔ اساطیر این دو ملت در گذشته‌های دور یکسان بوده‌است، اما مهاجرت هندیان از فلات آریان به سرزمین‌هایی با طبیعت و شرایط اقلیمی و نیز اقوام بومی متفاوت تغییرات اساسی در اساطیر و معتقدات آیینی آنها پدیدآورده‌است. در هر دوی این اساطیر نیروهای خیر و شر وجود دارند. نام‌های خدایان آنها نزدیک به همدیگر است. آتش در باورهای ایرانی و هندی مقدس است و ستایش می‌شود و نیز مراسم قربانی برای خدایان را در حالتی مشابه با یکدیگر انجام می‌دادند.جستاری چند در فرهنگ ایران، مهرداد بهار، ص ۱۹
کهن‌ترین نمونه‌هایی که از صورت باستانی اساطیر ایران مانده‌است اشاره‌هایی در اوستاست به‌خصوص در یشتها. چون یشت‌ها بیش از هر چیز مجموعه‌ای سرودهای نیایشی‌است اشارت‌های مفصل به اسطوره‌ها در آن‌ها نیست. هر آنچه هست سربسته و کوتاه‌است. وانگهی تدوین‌کنندگان یشت‌ها از آشنایی شنونده با شخصیت‌هایی که نام برده می‌شدند مطمئن بودند. به هر حال همین اشارات کوتاه، و البته نسبتاً پرشمار، سخت به کار می‌آید. از جمله به کمک آن‌ها صورت کهن نام شخصیت‌ها را اندر توان یافت.
مفصل‌ترین متن‌ها دربارهٔ اساطیر ایران در نوشته‌های زرتشتی به زبان فارسی میانه است. تدوین نهایی اکثر آنها در اوایل دوران اسلامی است؛ ولی بیشترشان مبتنی بر متن‌های اواخر دوران ساسانیان است که بعضاً مطالبی مربوط به وقایع پس از حملهٔ تازیان به ایران نیز به کتاب اضافه کرده‌اند. شماری از نامورترین این کتاب‌ها عبارت‌اند از "بندهشن"، "دینکرد"، "گزیده‌های زادسپرم" و "روایت پهلوی".
تا پیش از تحقیقات جدید، تاریخ ایران (به‌طور سنتی) از زمان‌های دور با اسطوره‌ها آغاز شد و اندک‌اندک به پادشاهان تاریخی رسید و با تاریخی واقعی پیوند خورد. با تحقیقات جدید و غلبهٔ دیدگاه انتقادی، بسیاری از شخصیت‌های اسطوره‌ای-حماسی وجههٔ تاریخی خود را از دست دادند و نزد مردمان شخصیت‌هایی «اسطوره‌ای» یا حد اقل «نیمه-تاریخی» تلقی شدند؛ مثلاً شاهان پیشدادی که به‌طور سنتی نخستین شاهان ایران و جهان دانسته شدند. امروز اسطوره‌ای یا نیمه-تاریخی در شمار آیند. هنگامی که روایتی «اسطوره‌ای» تلقی می‌شود خودبخود واقعیت تاریخی و عینی از آن سلب می‌شود. آنچه که امروز اسطوره خوانده می‌شود نزد پیشینیان واقعیتی ازلی و ابدی و مسلم بود. تاریخ‌نگاری مبتنی بر اسطوره — یا دست‌کم نوشتن تاریخ دیرین مبتی بر اسطوره — خاص ایرانیان نبود بلکه آنِ همهٔ نظام‌های فکری کهن بود: تاریخ عالم را با خلقت آغاز کردندی و تا زمان حال ادامه دادند.
بنیان اساطیر ایرانی بر نبرد میان خوبی و بدی نهاده‌است. اقوام هندوایرانی به دو دستهٔ کلی خدایان باور داشتند، اهوره‌ها [در منابع هندی اسوره‌ها] و دیوان. خصلت این دو رستهٔ خدایان نزد ایرانیان و هندوان باژگونهٔ یکدیگر تحول یافت، به این معنا که نزد هندیان اهوره‌ها خدایان بد شدند و دیوان خدایان خوب؛ و نزد ایرانیان اهوره‌ها خدایان نیک شدند و دیوان خدایان شرور. برای هر دو گونهٔ خدایان قربانی کردند. غرض از قربانی برای خدایان شرور، باج دادن به ایشان بود تا دست از سر مردمان بردارند. قربانی برای خدایان نیک در طلب یاری و برکت از ایشان رخ می‌داد.
در باورهای اساطیری ایرانیان پیش از زرتشت جهان صورتی گرد و هموار مانند یک بشقاب داشت. آسمان نیز سنگی و سخت مانند الماس تصور می‌شد. زمین در مرکز کاملاً هموار و دست‌نخورده بود و هیچ حرکتی در میان زمین و ماه و ستارگان وجود نداشت. اما به‌دنبالِ تازش نخست اهریمن به زمین ناگهان دگرگون شد. در آن پویایی پدید آمد و کوه‌ها ایجاد شدند و رودخانه‌ها به جریان افتادند و ماه و ستارگان به چرخش درآمدند. در تصویر کلی دنیا در آن زمان، جهان به هفت اقلیم تقسیم شد که مرکز آن خونیرث نام داشت و شش سرزمین به‌صورت اقماری در اطراف آن بودند. آسمان نیز دارای سه مرتبه ستاره‌پایه، ماه‌پایه و خورشیدپایه بود. کوه تیره که در البرز قرار داشت مرکز عالم دانسته می‌شد.شناخت اساطیر ایران. صفحات ۲۹–۳۱
در اساطیر ایرانی بیش از هر چیز نبرد خیر و شر و عناصری که در زیر آن دو رده‌بندی می‌شود، چشمگیر است. به عبارتی تفکر ایرانی در همه چیز در پی این رده‌بندی است و جنبه اخلاقی نیرومندی به آن داده‌است. یکی دیگر از عناصری که در همین رده‌بندی اهمیت زیادی در فرهنگ ایرانی داشته‌است مفهوم شاه و فره‌مندی او از طرف خداست. شاهی که در خدمت رده نیک باشد فره همیشه به او تعلق دارد، و هر کاری که او را از این رده خارج سازد باعث گسستن فره از اوست. بررسی این مسائل و این رده‌بندی فرهنگ و ریشه‌های فرهنگی ایرانی را روشن می‌سازد.
در فرهنگ اساطیر ایران، تقابل خیر و شر وجود دارد و نه تقابل انسان و خدا. پیام اسطوره‌های ایرانی تقابل دو گوهر است؛ دو گوهر خیر و شر. یکی راستی و دیگری ناراستی، یکی خوشبویی و دیگری بویناکی، یکی روشنایی است و دیگری تاریکی» (برگرفته از مصاحبهٔ جلال ستاری با دکتر فکوهی).
کهن‌ترین نمونه‌هایی که از صورت باستانی اساطیر ایران مانده‌است، اشاره‌هایی در اوستا است، به‌خصوص در یشت‌ها. چون یشت‌ها بیش از هر چیز مجموعه‌ای از سرودهای نیایشی هستند. اشاره‌های مفصل به اسطوره‌ها در آنها وجود ندارد و هرچه هست سربسته و کوتاه است. تا آنجا که مفصل‌ترین متن‌ها پیرامون اساطیر ایران در نوشته‌های زرتشتی به زبان فارسی میانه است. تدوین نهایی بیشتر آنها در اوایل دوران اسلامی است و بیشترشان مبتنی بر متن‌های اواخر دوران ساسانی است و بعضی هم مطالبی مربوط به وقایع پس از حملهٔ تازیان به ایران نیز به کتاب اضافه کرده‌اند. برخی از معروف‌ترین این کتاب‌ها عبارت‌اند از بندهش، دینکرد، گزیده‌های زادسپرم و روایت پهلوی.
پیام اسطوره‌های ایرانی هم باتوجه‌به تقابل دو الگوی خیر و شر، پیروی از الگوی خیر و وفاداری به آن است و اینکه بشر پیمان ببندد که دروغ نگوید. هرچند امروزه اسطوره‌ها معنای واقعی خود را از دست داده‌اند و ما دیگر کمتر شاهد درک معنای واقعی آنها هستیم. درواقع، همان خدمتگزاری به مفاهیم خیر از پیام‌های بزرگ اساطیری ایران است.
در اساطیر ایران چیزی که همه‌جا در همه روایات اساطیری مشاهده می‌شود حضور شر و نیروهای حافظ پلیدی در جهان است. از این نیروهای شر که دستیاران اهریمن یا انگره‌مینو به‌شمار می‌آیند، با نام‌های دیو و دروج یاد شده‌است. دیوان و دروجان جنسیت‌های مذکر و مؤنث دارند و در برابر هر نیکی در جهان یک پلیدی است و حداقل یک دیو هم موکل بر آن پلیدی است. در برابر زندگی مرگ است؛ در برابر خوشی رنج و بیماری در برابر گرما، سرمای سخت سوزان و برابر راستی دروغ و برابر باران خشکسالی و دیو موکل بر آن اپوش است. در اساطیر ایران همیشه دنیا صحنهٔ جدال میان این نیروهای پلیدی و اساطیر نیکوست، آنهایی که یاور آفریده‌های گیتیایی و نیک هستند.اساطیر و فرهنگ ایران، رحیم عفیفی: ص ۵۲۳
اهوره‌مزدا، اهورمزد، اهورامزدا، اورمزدا، اورمزد هرمزد، هرمز، هورمزد، هورمز، ارمس، هرمس، هرمست. تلفظ‌های گوناگون نام خدای بزرگ زرتشتیان در زبان‌ها و دوره‌های متفاوت است. معنای اصطلاحی این نام شامل سرور دانا، خدای غایی، خیر مطلق، خرد و معرفت آفرینندهٔ خورشید و ستارگان، روشنایی و تاریکی، انسان‌ها و حیوان‌ها تمام فعالیت‌های فکری و جسمی است. معنای تحت‌اللفظی نام او ازین قرار است:
بخش اول «اهورا» از ریشهٔ «اه» که بن هستی و هستن است و بخش دوم «مزدا» که از «من + ز + دا» به‌معنای «فکردهنده» است و ترجمهٔ آن در شاهنامه همان «خداوند جان و خرد» است.
معنای دیگر نیز حاکی از این است که «اهورا» به‌معنای «سر، سرور، بزرگ و مولا» است و «مزدا» به‌معنای به یاد سپردن و به خاطر داشتن؛ بنابراین «سرور دانا» ترجمهٔ اهورا مزدا خواهد بود.
دشمن بنیادین اهورامزدا، انگره‌مینو یا انگره‌مَینیو است. انگره‌مینو در حقیقت نام اوستایی همان «اهریمن» یا «اهرمن» در پهلوی (فارسی) میانه است. نامش به‌معنای «مینوی ستیزگر و دشمن» آمده و از ویژگی‌های او که نماد شر مطلق و برهم‌زنندهٔ نظم و ذاتاً دشمن خوبی‌هاست یکی داشتن سری بزرگ و زشت است که این ویژگی در شاهنامه هم به تمام دیوان و غولان نسبت داده شده‌است.
اهورامزدا و اهریمن از ازل تا ابد با هم در جنگ بوده‌اند و زندگی در این جهان بازتابی از مبارزهٔ کیهانی این دو است. محل زندگی اهریمن شمال زمین است، جایی که تمام دیوان «زیید و اصلاح» از پشت کوه آمدن نیز ریشه‌ای اسطوره‌ای دارد که در آن تلویحاً فرد پشت‌کوهی یعنی «دیوسیرت» که کم‌کم معنای «نادان» به خود گرفته‌است. اهریمن به ۳ شکل غیر از شمایل خودش ظاهر می‌شود. ۱- چلپاسه (مارمولک) ۲- مار ۳- جوان.
انگره‌مینو خود آفرینندهٔ دیوان دیگر نیز هست. برای نمونه ایشمه و دیو خشم یا اژی‌دهاک که همان ضحاک شاهنامه باشد. وی اگرچه در شاهنامه پادشاهی ماردوش بیان شده، ولی در اوستا دیوی سه‌سر، شش‌چشم و سه‌پوزه با بدنی پر از چَلپاسه و عقرب است.
به‌هرحال آنچه بر بنیاد نوشتار زردشتی برمی‌آید در روزگار پایانی این گیتی این اهورامزدا است که بر اهریمن پیروز می‌شود و او را برای همیشه از بین می‌برد و پس از آن تنها نیکی و نور و تندرستی در گیتی ماندگار خواهد شد.
معنای اصطلاحی این نام شامل؛ سرور دانا، خدای غایی، خیر مطلق، خرد و معرفت؛ آفرینندهٔ خورشید و ستارگان، روشنایی و تاریکی، انسان‌ها و حیوان‌ها تمام فعالیت‌های فکری و جسمی است.
امشاسپندان
در اوستا داستان خدایان و موجودات افسانه‌ای غالباً در «یشت» ها آمده‌است در یشت‌ها اسطوره‌هایی که منشأ ما قبل زرتشتی دارند و نوعی ایدئولوژی کافرانه را منعکس می‌کنند در غالب سرودهای گوناگون آمده؛ مثلاً یشت ۵ یا همان آبان یشت به ایزدبانو آناهیتا اختصاص دارد و مهر یشت به میترا. از کفرکیشی و تاریخ آن در یشت‌ها که بیرون بیاییم در نیایش‌های زرتشت می‌رسیم که باورهای اولیهٔ زرتشت است و در آنها نیز اشاره‌های جالبی به خلقت اولیه یا عناصر سازندهٔ هستی بر مبنایی کاملاً اسطوره‌ای دیده می‌شود در وندیداد نیز نهایتاً اصل دیدگاه مزدا علیه اهریمن زرتشتی بازشناسانده می‌شود.
امشاسپندان در اوستا فروزه‌های اهوره مزدا و صفات او و نیز گاهی فرشتگان عالی مقام او هستند که در حکم دستیار او عمل می‌کنند. در آفرینش و نیز در پایان جهان به‌طور مستقیم دخالت دارند و هرکدامشان شمار زیادی ایزد همکار دارد. این امشاسپندان در امور این جهانی بر اساس نیایش و نذر و قربانی به یاری مردمان می‌آیند. ایزدان رده‌ای نسبتاً پایین‌تر دارند اما همه آن اختیارات و وظایف امشاسپندان را نیز دارند. واژه ایزد در اصل به معنی موجودات ستودنی است. ایزدان اگرچه در گاهان زرتشت جایی ندارند اما در متون زرتشتی پس از زرتشت دوباره ظاهر شده و شکل قدیس می‌یابند.
آفرینش در محدودهٔ دوازده هزار سال اساطیری انجام می‌گیرد. این دوازده هزار سال به چهار دورهٔ سه هزار ساله تقسیم می‌شود. در دوران نخستین، عالم، مینُوی و در دوران‌های بعد مینُوی و گیتیی است.
سه هزار سال نخست: در واقع با به دنیا آمدن دو فرزند به نام‌های اورمزد و اهریمن از زروان شروع می‌شود. در سه هزار سال نخست جهان مینُوی است و هنوز نه مکان هست و نه زمان. در این دوره از دو هستی سخن به میان می‌آید. یکی جهان متعلق به اورمزد که پر از نور، زندگی، دانایی، زیبایی و خوشبویی می‌باشد و دومی جهان متعلق به اهریمن که تاریک، زشت، بدبو و پر از غم و بیماری می‌باشد. اورمزد ابتدا به آفرینش امشاسپندان دست می‌زند که عبارت هستند از: سپند مینو، خرداد، مرداد، بهمن، اردیبهشت، شهریور، اسپندارمد. پس از آفرینش امشاسپندان، اورمزد ایزدان را می‌آفریند که قوای منفی مقابل آن‌ها دیوان هستند. اهریمن نیز برای مقابله با اورمزد، برای هر کدام از امشاسپندان سردیوان یا کمالگان را می‌آفریند. در پایان سه هزار سال اول میان اورمزد و اهریمن صلحی بسته می‌شود مبنی بر اینکه آخرین نبرد میان نیروی بدی و نیکی نُه هزار سال بعد از این صورت پذیرد. پس از اینکه پیمان بسته می‌شود، اورمزد چون موبدی دعای راستی یعنی اهونور را بر زبان می‌آورد و بر اثر آن اهریمن بیهوش می‌شود و به دوزخ می‌افتد و در طول سه هزار سال دوم در آنجا بیهوش می‌ماند.
سه هزار سال دوم: پس از بیهوشی اهریمن، اورمزد آفرینش گیتی را آغاز می‌کند. او در یک سال و در شش نوبت آسمان، آب، زمین، گیاه، جانور و انسان را خلق می‌کند. سالگرد این آفرینش‌ها شش جشن است که به جشن‌های گاهنبار یا گهنبار معروفند. (الف:مدیوزرم گاه به معنای میان بهار و به یادبود آفرینش آسمان در اردیبهشت ماه. ب:مدیوشم گاه به معنای میان تابستان و به یادبود آفرینش آب در تیرماه. ج:پدیشه گاه به معنای گردآوری غله و به یاد بود آفرینش زمین در شهریور ماه. د:ایاسریم گاه به معنای بازگشت به خانه و به یاد بود آفرینش گیاه در مهرماه. ه: مدیاریم گاه به معنای میان سالد و به یادبود آفرین چهارپایان در دی ماه. و: همسپهمدیم گاه به معنای همه سپاه و به یاد بود آفرینش انسان در روزهای آخر سال.تاریخ اساطیری ایران. دکترٰ ژاله آموزگار در این پیش نمونه‌های اصلی آفرینش، گاو پیش نمونه چهارپایان و کیومرث پیش نمونه انسان هستند. در پایان سه هزار سال دوم، اهریمن با یاری دوستان خود به هوش می‌آید و تصمیم می‌گیرد که این پیش نمونه‌های آفرینش را تخریب کند و به جهان کنونی حمله کند.
سه هزار سال سوم: در این دوره شاهد درگیری اهریمن و دیوهایش با اورمزد و ایزدانش هستیم. در این بین گاو آفریده شده، توسط اهریمن کشته می‌شود و از تن او غلات، گیاهان و جانوران آفریده می‌شود. از نطفهٔ کیومرث که بر زمین ریخته شده بود، پس از چهل سال شاخه‌ای ریواس می‌روید دارای دو ساق است و پانزده برگ. این پانزده برگ مطابق با سال‌هایی است که مشیه و مشیانه نخستین زوج ادمی در ان هنگام دارند. مشیه نر و مشیانه ماده است. بدین ترتیب مشی به عنوان پدر انسان‌ها و مشیانه به عنوان مادر انسان‌ها شناخته می‌شود. اهریمن بر اندیشهٔ آنان می‌تازد و آنان اولین دروغ را بر زبان می‌آورند و آفریدگاری را به اهریمن نسبت می‌دهند. مشی و مشیانه توبه می‌کنند و دارای هفت جفت فرزند می‌شوند و پس از صد سال زندگی می‌میرند.
شجره‌نامهٔ اعقاب مشی و مشیانه اصل و مبدأ بسیاری از نژادهای گوناگون را در بر می‌گیرد. نژاد ایرانی از زوجی است که سیامک و نشاک نامیده می‌شود. از این زوج، فرواگ-فرواگین و بعد از آن‌ها زوج هوشنگ-گوزک به وجود می‌آیند.
سه هزار سال چهارم: سه هزار سال سوم در میانه‌های دوران لهراسپ به پایان می‌رسد و سه هزار سال چهارم شروع می‌شود. مهم‌ترین ویژگی این دوره ظهور زردشت است. این دوره دورهٔ وحی دینی می‌باشد. اورمزد اسرار دین را بر زردشت آشکار می‌کند و او پیامبری دین مزدیسنی و رسالت خود را اعلام می‌دارد. آیین مزدیسنایی آیینی است که در راس خدایان آن‌ها اهورامزدا قرار دارد و به عبارت دیگر دین زردشتی است. پس از مرگ زردشت به ترتیب اوشیدر، اوشیدر ماه و سوشیانت رهبری بهدینان را بر عهده می‌گیرند. دورهٔ سوشیانت دورهٔ تکامل موجودات اورمزدی است و همه دیوان از نسل دو پایان و چهارپایان نابود می‌شوند. سوشیانت وظیفه برانگیختن مردگان را دارد. هر کدام از این مردگان در طی زمان و پس از گذراندن داوری از پل چینود می‌گذرند که پلی حد فاصل این جهان و آن جهان است.
پیشدادیان اولین سلسله تاریخ ایران بنابر متون اساطیری هستند که نسبتشان به کیومرث می‌رسد. این سلسله از شاهان که آغاز تمدن بشری را برای ایرانیان آورده‌اند و توانستند آتش و بهره‌گیری از فلزات و سایر جانداران و اسیر نمودن دیوان را در کارنامه خود ثبت کنند. از کیومرث آغاز و به گرشاسپ ختم می‌شود. با اینحال تمامی این‌ها در اوستا شخصیت‌های اساطیری و در متون زرتشتی دوره ساسانی خدایان ایزدر نژادند. اما در شاهنامه صرفاً شاهانی هستند که فره ایزدی دارند. روایت فردوسی در شاهنامه از تبار پیشدادیان با موازین فکری اسلامی منطبق تر شده‌است.
کیانیان دومین سلسله اساطیری ایران هستند که در شاهنامه فردوسی برابر دوره‌های حماسی قرار می‌گیرد. با کی قباد آغاز می‌شود و به دارای دارایان ختم می‌شود. در این دوره دین زرتشتی عرضه می‌شود و تغییراتی بنیادین را در تاریخ اساطیری ایران می‌بینیم. مهم‌ترین رخدادهای این دوره به جنگ‌های ایران و توران مربوط می‌شود. داستان آرش کمانگیر به روایت‌های این دوره اختصاص دارد. در شاهنامه با حماسه همراه است و در آن رستم که در متون زرتشتی شخصیتی کم فروغ است اوج می‌گیرد. این شاهان را احتمالاً شاهان محلی شرق ایران دانسته‌اند. ابوریحان بیرونی در آثار الباقیه هخامنشیان را برابر کیانیان قرار داده. با آن‌ها یکی فرضشان کرده‌است. با این حال مشخص است آخرین شاه کیانی که در متون اساطیری مغلوب اسکندر می‌شود دارای دارایان همان داریوش سوم هخامنشی است.
این دوره مربوط به زمانی می‌شود که روایت اساطیری ایرانی با داده‌های تاریخی ملموس مانند سنگ نبشته‌ها و متون یونانی منطبق می‌شود؛ یعنی سقوط ایران به‌دست اسکندر. با اینحال روایت ایرانی دوران حکومت اسکندر و یونانیان را بسیار کوتاه دانسته، هیچ زمانی برای سلوکیان فرض نکرده و دوره چهارصد و پنجاه ساله فرمانروایی خاندان اشکانی را تنها دویست سال برآورد کرده‌است. داده‌های پایانی دوران اشکانیان در اساطیر ایران به نبرد اردوان پنجم و شاهزاده پارسی یعنی اردشیر بابکان پرداخته که با آنچه در متون لاتین و ارمنی آمده یکیست. بعد از آن دوره ساسانی آغاز می‌شود که برآمده از تبار کیانیان معرفی می‌شوند.
سیمرغ،
دیو سپید،
دیو خشم،
دروج،
اسفندارمذ،
اردیبهشت، گاو سریشوک، هدیوش، آل، چمروش، مانتیکور و…
بازسازی اساطیر زروانی بسیار دشوار است، زیرا هیچ متن زروانی خالصی باقی نمانده، بلکه تنها گزارش‌های ناظران خارجی و استدلال‌های پراکنده زرتشتیان در دست است. بدیهی است که از چنین اسنادی باید با احتیاط استفاده کرد.
«هاشم رضی» در کتاب «فرهنگ نام‌های اوستا» آورده‌است: «قدیمی‌ترین مورخی که دربارهٔ آیین زروانی سخن گفته‌است؛ «تئودور دومپو»(۳۶۰ تا ۴۱۸ میلادی) است که در کتابش که به دست ما نرسیده و مطابق معمول قسمت‌هایی از آن به وسیله مورخی دیگر، در این‌جا به نام «فتیوس» در نقل قول باقی مانده‌است، بدین مضمون است: «تئودور در کتاب اول، از آیین ناپسند ایرانیان که «زارادس» (زرتشت) آورده بود سخن گفته، یعنی اعتقاد به «زروان» یا «زورام».
زارادس وی را خدای جهان می‌دانسته که با قضا و قدر، یا جبر و سرنوشت محض یکی بوده‌است. زروان مراسمی در قربانی انجام داد تا «هرمس‌داس» (اهورمزدا) از وی متولد شود. اما در حالی که هرمس‌داس از وی متولد شد، «شیطان» (اهریمن) نیز توأم با وی بود. هاشم رضی همچنین در کتاب «آیین مغان» مطالبی را در باب زروان از مورخ یونانی «پلوتارک» (۴۶ تا ۱۲۰میلادی) و همچنین از «نیک کلبی» نویسنده ارمنی قرن پنجم میلادی نقل کرده‌است. پلوتارک می‌نویسد: «گروهی از مردم به دو خدا معتقد بوده و باور دارند که یکی از این دو، آفریننده نیکی‌ها و آن یک خالق چیزهای بد و زیان‌آور است.
اما گروهی دیگر از مردم، آفریننده نیکی‌ها را خدا و آن دیگری را دیو و شیطان خوانند. از جمله این مردم «زرتشت مغ» است که پنج‌هزار سال پیش از جنگ «ترویا» می‌زیست. وی یکی از این دو نیرو را «هرمزس» و آن دیگری را «آرمنایوس» (اهریمن) می‌خواند.
اساطیر همیشه بهترین رسانه برای بیان نمادین اندیشه دینی به‌شمار می‌آیند که برآمده از واقعیت هستند. دین مانوی نیز از این ویژگی برکنار نیست. اساطیری که در این دین ایرانی-گنوستیک دیده می‌شوند، دارای چنان ویژگی هستند که با بررسی آن به بنیانهایی همسان میان اساطیر گنوستیک و اساطیر ایرانی می‌توان رسید. جدا از آن مانویت به سبب ویژگی التقاط، خود را برآن می‌بیند که برتن اساطیر خود در متنهای مانوی-ایرانی، جامه خدایان ایرانی را بپوشاند. در دو اسطوره ای که برای بررسی برگزیده شده‌اند، زروان و مهر، نه تنها در ظاهر بلکه در بنیان نیز در پژوهش انجام شده، میان اساطیر گنوستیک و ایرانی همسانی‌هایی می‌توان مشاهده کرد که ما را برآن می‌دارد تا به آرای نخستین پژوهندگان گنوستیسیسم، راتیزنشتاین، شدر، بولتمان و حتی نیبرگ و بنونیست نگاهی جدی تر بیندازیم، اگر چه امروزه بیشتر بر بنیان یهودی گنوستیسیسم پافشاری می‌شود.
منابع متعددی برای مطالعه و شناخت اساطیر ایران پیش از اسلام وجود دارد. نخستین متون و نوشته‌ها، آثار هندی مکتوب مانند مهابهاراتا و پورانا و پانیشادها و نیز متون ریگ ودا هستند که برخی متون آن‌ها به دوره همزیستی ایرانیان و هندیان و یکسانی آرا و عقایدشان بازمی‌گردد. دیگر متون ایرانی اوستا به ویژه متن‌های کتاب یشت اوستا هستند که به ایزدان ایران حتی پیش از زرتشت نیز پرداخته‌اند. همچنین متون یونانی و آشوری و بعد هم ارمنی گزارش‌های فراوانی از اسطوره‌های ایرانیان در خود دارند. از سایر متن‌های مورد کاربرد در این زمینه می‌توان به نوشته‌های مانویان و نیز کتاب‌های زرتشتی دوره ساسانی و سه قرن نخست اسلامی اشاره کرد که به زبان فارسی میانه هستند. بجز این‌ها متون گجراتی مربوط به پارسیان هند و نوشته‌های فارسی زرتشتیان ایران حاوی اطلاعات گسترده‌ای در این امر هستند. در دوره اسلامی به زبان‌های عربی و فارسی نیز آثار زیادی به این موضوع پرداخته‌اند. مهم‌ترین کتاب‌های منبع برای اساطیر ایران عبارتند از: اوستا، گزیده‌های زادسپرم، دادستان مینوی خرد، بندهش، دینکرد، شکند گمانیک ویزار، الفهرست نوشته ابن ندیم، ملل و نحل اثر شهرستانی و آثار الباقیه از ابوریحان بیرونی.
پس از آمدن اسلام به ایران، بسیاری از اسطوره‌های ایرانی کنار گذاشته شد یا حداقل از رونق و رسمیت افتاد. اسطوره‌های مربوط به خلقت، کردارهای ایزدان و کلاً یزدان‌شناسی نیروهای فراطبیعی، و پیش‌بینی‌های مربوط به پایان جهان از آن جمله‌است. برخلاف موارد ذکر شده، کردارهای شخصیت‌های اسطوره‌ای در قالب حماسه به فارسی نو انتقال یافت و تا اندازهٔ زیادی حفظ شد. چنان‌که بزرگ‌ترین اثر حماسی تاریخ ایران "شاهنامه" فردوسی در دوران اسلامی نوشته شده‌است. شاهنامه از نظر ادبی و حماسی بر همهٔ آثار دوران‌های پیش برتری شگرف می‌دارد.
با آمدن اسلام به ایران اساطیر سامی با اساطیر ایرانی اندر آمیخت. حتی پاره‌ای ایرانیان کوشیدند که نوعی رابطهٔ چه بسا هم‌ارزی میان شخصیت‌های اسطوره‌ای این دو چهارچوب کاملاً متفاوت برقرار سازند. پس زمان و مکان و شخصیت‌های اسطوره‌ای دو نظام اسطوره‌ای ایرانی و سامی با هم خلط شد؛ مثلاً در اساطیر ایرانی پدر و مادر انسان آیودامن (یا مشیا) و مشیانی است. در دوران اسلامی عده‌ای آیودامن را با آدم که نخستینِ مردمان در اساطیر سامی‌است یکی دانستند و ظاهراً نیز همینگونه است.
در کنار اندرآمیختگی اساطیر ایرانی و سامی که با گذشت زمان فزونی می‌یافت، اساطیر ایرانی، نزد اقلیت زرتشتی به حیات و تحول ادامه دادند. از مهم‌ترین این تحولات تغییراتی بود که در پیش‌بینی‌های مربوط به آخرالزمان صورت پذیرفت. اشارات به مهاجمان تازی و دین جدید فاتحان بیشتر شد. این هم در آثار پهلوی‌ای که پس از اسلام نوشته شده‌است دیده می‌شود و هم در آثار آتی‌ای که زرتشتیان به پارسی تدوین کردند.
بسیاری از انگاره‌ها و نمادهای رایج در هنرهای اسلامی بازمانده از باورهای دینی و اساطیری پیش از اسلام هستند. گویا هنرمند ایرانی در تمام دوران‌هایی که زیر بار سلطه بیگانه بوده، با تکرار این نقش‌مایه‌ها تلاش کرده یاد مجد و شکوه اجدادش را زنده نگاه دارد. دلیل به‌جا ماندن این نشانه‌ها تا امروز را می‌توان پیوستگی سنت‌های هنری و همگونی آرزوهای ما با نیاکانمان دانستنشانه‌شناسی کهن‌الگوها در هنر ایران باستان و سرزمین‌های همجوار، صدرالدین طاهری، ص ۱۲
کویر درانجیر نام کویری در نزدیکی شهر بافق در استان یزد ایران است.
کویر بافق در فرورفتگی مشرق یزد که در واقع فرورفتگی اصلی کویر یزد می‌باشد قرار گرفته است. رودخانه‌های اصلی این کویر به بخش جنوبی وارد شده و مخروط افکنه‌های حاشیه‌ای و معمولاً سفید رنگ اطراف این کویر نشان دهنده شوری قابل توجه زمینهای اطراف این کویر می‌باشد. طول کویر بافق در حدود ۷۵ کیلومتر و عرض آن در حدود ۲۰ کیلومتر بوده و مساحت آن در حدود ۷۵۰ کیلومتر مربع می‌باشد. ۶۰٪ از آن را زمینهای رسی و ۴۰٪ از آن را نمکزار وسیعی پوشانده است. زمینهای رسی بخش جنوبی و شمال غربی این کویر را پوشانده‌اند. رودخانه‌های جنوبی باعث تراکم زیاد گیاهان شور زیست در قسمت جنوبی این کویر شده‌اند، در حالی که در قسمت‌های شمالی یا نزدیک سطح نمکزار به علت افزایش شوری زمین گیاهی مشاهده نمی‌شود.
نمکزاری در قسمت شمالی کویر قرار گرفته که تقریباً تمام عرض کویر را از شرق به غرب قطع می‌کند. سطح این نمکزار را لکه‌های هم‌مرکزی همراه با حوزه‌های کوچک باتلاقی می‌پوشاند که در بعضی نقاط به وسیله نمک تازه پوشیده شده است. با توجه به اینکه لبه‌های این قشر نمکی به‌طور موضعی شکسته یا اینکه به طرف بالا برگشته، می‌توان تصور نمود که نمکزار فعلی بر روی سطح آب فوق‌العاده کم عمقی شناور بوده یا بر روی لجن اشباع شده‌ای بستر گرفته است. به دلیل وجود رطوبت در زیر قشر نمکی، رانندگی بر روی این کویر بشدت خطرناک و در بعضی قسمت‌ها غیرممکن است.
مسیر یزد به بافق از قسمت جنوبی این کویر عبور می‌کند
مسیر دیگر مسیر آسفالته بافق به حسن‌آباد است که پس از حسن‌آباد مسیر خاکی می‌شود و به خرانق منتهی می‌گردد. این مسیر از حاشیه شرقی کویر عبور می‌کند
اخترشناس، ستاره‌شناس یا مُنَجّمْ، دانشمندی است که روی اجرام آسمانی مانند ستارگان، سیارات و کهکشان‌ها مطالعه می‌کند.
ستاره شناسی و یا اختر شناسی،در گروه علومی قرار دارد که با تحقیق،توضیح و مشاهده ی وقایعی که خارج از زمین و جو آن رخ می دهد درگیر است. این علم منشأ پیدایش و خواص فیزیکی و شیمیایی اشیایی که قابل در آسمان بوده (و خارج از زمین قرار دارد) و همینطور فرایند های منتجه از آنها را مطالعه می‌کند.
اخترشناسان کنونی معمولاً تا مقطع پسادکترا در رشتهٔ فیزیک یا اخترشناسی ادامه تحصیل می‌دهند و سپس در مراکز تحقیقاتی یا دانشگاه‌ها استخدام می‌شوند.
از اخترشناسان مشهور ایرانی در دوران طلایی اسلام می‌توان به ابوریحان بیرونی و حاسب طبری (آملی) و خواجه نصیرالدین توسی (سازندهٔ زیج توسی) اشاره کرد.
پاگَه یا اَسُوه (گویش کوخردی) جایگاه یا محفظهٔ مخصوصی در جنوب ایران به‌ویژه در هرمزگان برای حفظ دام در مقابل حیوانات درنده از قبیل گرگ، شغال و روباه است. این محفظه به وسیلهٔ چوب درخت نخل و با در کنار هم قرار دادن و گره‌زدن آنها با درانی یا همان طناب ساخته می‌شود.محمد، صدیق «تارخ فارس» صفحه‌های (۵۰ ـ ۵۱ ـ ۵۲ ـ ۵۳)، چاپ سال ۱۹۹۳ میلادی.الکوخردی، محمد، بن یوسف، "(کُوخِرد حَاضِرَة اِسلامِیةَ عَلی ضِفافِ نَهر مِهران Kookherd, an Islamic District on the bank of Mehran River)" الطبعة الثالثة، دبی: سنة ۱۹۹۷ للمیلاد.محمدیان، کوخردی، محمد. "به یاد کوخرد" ج۲. چاپ اول، دبی: سال انتشار ۲۰۰۳ میلادی.
دستگاه مخلوط‌کن برای مخلوط کردن مایعات و همچنین جهت خرد یا آسیاب کردن گوشت، سیب زمینی، پیاز، مغز گردو، برنج، ادویه و اجسام سخت به کار می‌رود.
دستگاه‌های مخلوط کن ممکن است پارچ شیشه‌ای یا پلاستیکی داشته باشند. برخی آن‌ها دکمه یخ دارند که می‌توان از آن برای تهیه انواع نوشیدنی‌های خنک استفاده نمود.
شرکتهای سازنده این گونه لوازم برقی گاهی دستگاه‌های متنوع و جداگانه به بازار عرضه می‌کنند که بعضی از آن‌ها فقط یک کار خاص را انجام می‌دهد و بعضی با استفاده از لوازم یدکی چند کار مختلف را انجام می‌دهند.
درپوش پلاستیکی که از ریختن مواد مخلوط شده به بیرون جلوگیری می‌کند.
تیغه مخلوط کن که در وسط مخزن نصب می‌شود.
قسمت آب پرتقال گیری: قسمت آب پرتقال‌گیری دستگاه از اجرای زیر تشکیل شده‌است:
درپوش کلاهکی که روی بازوی مخلوط کن سوار می‌شود و قسمت وسط آن گردان است.
مخزن که روی دکمه سر موتور سوار می‌شود و بازوی بلندی که با کلاهک درپوش درگیر می‌شود در آن قرار دارد. روی دسته دکمه فشاری قرار دارد.
بدنه اصلی دستگاه که موتور محرک در آن قرار دارد و دکمه‌ای که زیر دسته مخلوط کن آن قرار می‌گیرد.
قسمت الکتریکی دستگاه: قسمت الکتریکی آسیاب برقی از قطعات زیر تشکیل شده‌است:
هیچ وقت قطعات آسیاب مخلوط کن برقی را با آب جوش پاک تمیز نکنید.
قطعات را با شعله آتش خشک نکنید.
هرگز دستگاه اصلی را که موتور در آن تعبیه شده داخل آب نکنید.
دستگاه را نزدیک شعله آتش، اجاق گاز، و وسایلی که با گرما در ارتباط هستند و نیز اشعه مستقیم آفتاب نگذارید.
هرگز به‌طور طولانی از دستگاه استفاده نکنید این دستگاه باید ۳ ثانیه کار کند و ۳ ثانیه استراحت داشته باشد.
از ریختن مواد سخت داخل آسیاب جدا خودداری نماید.
موقع باز و بسته کردن دستگاه دوشاخه را از پریز بیرون آورید.
در بخش پهلوانی و اسطوره‌ای:
قضیه یا فَربین (به انگلیسی: Theorem)، در ریاضیات، گزاره‌ای است که بر پایه ‌گزاره‌های پیشین مثل سایر قضایا یا تئوری‌ها، گزاره‌هایی که به‌صورت کلی و عام پذیرفته شده‌اند، مثل «اصل موضوع»، اثبات شده‌است. اثبات قضیهٔ ریاضی، استدلالی منطقی برای گزارهٔ مطرح‌شده در قضیه است که در توافق با قوانین موجود در روش (سیستم) استقرایی، می‌باشد.
اثبات تئوری اغلب برای توجیه درستی گزاره قضیه تفسیر و مطرح می‌شوند. با توجه به اثبات قضایای ریاضی بر اساس نیاز، مفهوم و تصور کلی یک قضیهٔ ریاضی اساساً استقرایی است که در تضاد با مفهوم یک نظریه (قضیه) علمی - که بر اساس تجربه و آزمایش است - می‌باشد.
بسیاری از قضایای ریاضی، گزاره‌های شرطی هستند. در این مورد، اثبات از نتیجه گرفته شده از فرض قضیه استنباط می‌شود. با توجه به تعبیر و تفسیر اثبات به عنوان توجیه یک درستی، استنتاج اغلب به منظور نتیجه لازم و ضروری فرض قضیه دیده می‌شود. به عبارت دیگر، استنتاج با توجه به فرضیاتی که درست هستند، بدون هیچ فرض اضافه‌تر، صحیح می‌باشد. به هر حال، گزاره‌های شرطی با توجه به مفاهیمی که به قوانین استنتاج و نمادهای شرطی اختصاص داده شده‌اند، می‌توانند به‌طور متفاوت در روش (سیستم) استقرایی تفسیر و مطرح شوند.
اگر چه آن‌ها می‌توانند به‌صورت کاملاً نمادین نوشته شوند، برای مثال در حساب گزاره‌ای قضایا اغلب در زبان طبیعی مانند انگلیسی بیان می‌شوند. همان اثبات درست است که به عنوان منطقی سازماندهی شده و استدلالی رسمی نوشته شده، قصد دارد که خواننده را بر درستی گزاره فارغ از هرگونه شکی متقاعد کند. این استدلال‌ها برای بررسی معمولاً آسان‌تر است نسبت به آن‌هایی که کاملاً نمادین هستند. در واقع بسیاری از ریاضی‌دانان که صورتی از اثبات را بیان کردند که نه‌تنها درستی قضیه را بیان می‌کند، بلکه به گونه‌ای توضیح می‌دهد که چرا قضیه صحیح می‌باشد. در بعضی حالات یک تصویر می‌تواند برای اثبات یک قضیه کافی باشد. از آنجایی که قضایا در هستهٔ ریاضیات گنجانده شده‌اند، آن‌ها مرکز زیبایی ریاضیات نیز شناخته می‌شوند. قضایا اغلب با کلماتی از جمله "بدیهی"، "دشوار "، "عمیق"، یا حتی "زیباً توصیف می‌شود. این قضاوت‌های ذهنی نه تنها از شخصی به شخصی دیگر بلکه در زمان‌های مختلف نیز تفاوت دارد. برای مثال چنانچه یک اثبات ساده شده باشد یا قابل فهم شده باشد یک قضیه که زمانی دشوار تلقی می‌شد ممکن است به یک قضیهٔ بدیهی تبدیل شود. از سوی دیگر، یک قضیهٔ عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است اتصال شگفت‌انگیز و ظریف بین مناطق مختلف ریاضیات را شامل شود. آخرین قضیه فرما مثال خوبی برای این گونه از قضایاست.
به‌طور منطقی بسیاری از تئوری‌ها به صورت مشروط نشان داده می‌شوند: اگر آ آنگاه ب.
ب را اثبات نمی‌کند مگر ب نتیجه لازم برای آ باشد. در این حالت آ را فرضیه و ب را نتیجه می‌نامند. این قضیه
یک قضیه باید با صراحت بیان شود تا به عنوان یک گزاره رسمی شناخته شود. با این وجود، نظریه‌ها معمولاً در زبان طبیعی، و نه در یک فرم کاملاً نمادین بیان می‌شود، با این هدف که خواننده می‌تواند یک گزاره رسمی تولید کند.
این در ریاضیات متداول است که تعدادی از فرضیه‌ها را در یک زبان داده شده انتخاب کنند و اعلام کنند که این نظریه شامل تمام اظهارات قابل اثبات از این فرضیه‌ها می‌باشد. این فرضیه‌ها اساس بنیادین قضایا را تشکیل می‌دهد که اصل موضوع نامیده می‌شود. رشته ریاضیات به عنوان مطالعات تئوری اثبات زبان رسمی، اصول موضوع و ساختار اثبات‌ها است.
بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به‌طور واضحی از تعاریف، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجه‌گیری شده‌اند و نکته شگفت‌آوری را شامل نمی‌شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن‌ها طولانی یا دشوار باشد یا این که شامل زمینه‌های مختلف ریاضیات می‌باشد و ارتباط شگفت‌آوری را بین زمینه‌های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می‌تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست؛ و بسیاری از نمونه‌های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد.
برخی قضایا اثبات‌های شناخته شده‌ای دارند که به راحتی قابل پیاده‌سازی نیست. برجسته‌ترین نمونه قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است. هر دو قضیه طی یک جستجوی محاسباتی که بعدها توسط یک برنامه کامپیوتری تأیید شد اثبات شده‌اند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را قبول نمی‌کردند، اما به‌طور گسترده‌ای پذیرفته می‌شدند. ریاضیدان Doron Zeilberger حتی اظهار داشت که این نوع از اثبات، اثباتی باطل است.
بسیاری از قضایای ریاضی را می‌توان به محاسبات ساده‌تر کاهش داد، از جمله چندجمله‌ای، مثلثاتی و هویت فوق هندسی.
برای انتشار یک گزاره ریاضی به عنوان قضیه، اثبات لازم است، یعنی یک خط از دلایل با توجه به اصل موضوعه در سیستم (و سایر، قضایای تقریباً انتشار یافته) باید برای گزاره داده شده نشان داده بشود. هر چند، اثبات تقریباً جدا از گزاره قضیه به حساب می‌آید. اگر چه بیش از یک اثبات ممکن است برای یک قضیه وجود داشته باشد اما یک اثبات لازم است که وضعیت گزاره به عنوان قضیه را انتشار بدهد. نظریه فیثاغورث و قانون معادله درجه دوم با تعداد بسیاری از اثبات‌ها می‌توانند عنوان قضیه را به خود بگیرند.
قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساساً از نظر معرفت‌شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی‌تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛ یعنی پیش‌بینی‌هایی دربارهٔ جهان طبیعی می‌کند که با آزمایش‌ها قابل آزمایش است. هرگونه عدم توافق بین پیش‌بینی و آزمایش، نادرستی نظریه علمی یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می‌دهد. قضایای ریاضی، به عبارتی دیگر، به‌طور محض چکیده‌ای از گزاره‌های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی‌تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه‌های علمی به کار می‌رود، باشد.
با این حال، درجه‌هایی از تجربه گرایی و جمع‌آوری داده‌هایی که در کشف قضیه‌های ریاضی شرکت داشتند، وجود دارند. با انتشار یک الگو، بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند، ریاضیدان‌ها ممکن است ایده‌ای از آنچه می‌خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد، برنامه‌ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می‌خواهند اثبات کنند داشته باشند. برای مثال، حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود ۲٫۸۸ *۱۰۱۸ تأیید شده‌است. فرضیه ریمن برای ۱۰ تریلیون صفر تابع زتا تأیید شده‌است. هیچ‌یک از این گزاره‌ها اثبات شده به حساب نمی‌آیند.
چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی‌دهند. برای مثال، حدس مرتنز گزاره‌ای است دربارهٔ اعداد طبیعی که الان می‌دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده‌است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است). تمام اعداد کمتر از ۱۰۱۴ خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریباً برابر ۱۰ به توان ۴٫۳*۱۰۳۹ کمتر می‌باشد. چون تعداد ذرات در جهان به‌طور کل کمتر از ۱۰ به توان ۱۰۰ به حساب می‌آیند، امیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته‌کننده پیدا بشود.
در نظر داشته باشید که کلمه نظریهدر ریاضیات نیز وجود دارد؛ برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات، تعاریف و قضایا مثلاً در قضیه گروه. چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما آن‌ها اغلب گزاره‌ها و اثبات‌هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا می‌کند؛ قاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند.
تعدادی از واژه‌های مختلف برای عبارات ریاضی وجود دارد که این واژه‌ها گزاره‌ها را بیان می‌کنند. استفاده از بعضی لغات ممکن است به صورت قرار دادی باشد و گاهی معانی لغات تکامل می‌یابد.
اصل یا اصل موضوع گزاره‌ای است که بدون اثبات پذیرفته می‌شود و به عنوان اساسی برای موضوع است. از لحاظ تاریخی این به عنوان «بدیهی» در نظر گرفته شده‌است، اما اخیراً آن‌ها فرضی در نظر گرفته می‌شوند که موضوع مطالعه را مشخص می‌کند. در هندسه کلاسیک، اصول موضوعه بیانیه‌های عمومی هستند در حالی که اصول موضوعه اظهاراتی در مورد اشیاء هندسی می‌باشد.