moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
روش های مختلفی وجود دارد که از طریق آنها دولت ها به ظرفیت دولتی (مالی) دست یابند و این ظرفیت متفاوت باعث تسریع یا مانع توسعه اقتصادی آنها می‌شود. انگلیس به لطف همگنی زمینه و سرزمین و مردم خود، از قرون وسطی توانست به یک سیستم قانونی و مالی واحد دست یابد که به این کشور این امکان را داد که مالیات‌های خود را پس از سال ۱۶۸۹ افزایش دهد. از طرف دیگر، تجربه دولت سازی فرانسه با مقاومت بسیار شدیدتری از سوی قدرت‌های محلی فئودال روبرو شد و آن را از نظر قانونی و مالی تکه‌تکه کرد؛ علی‌رغم افزایش قابل توجه ظرفیت دولت در طول قرن هفدهم، موجب انقلاب فرانسه شد. علاوه بر این، پروس و امپراتوری هابسبورگ - ایالات بسیار ناهمگن تر از انگلیس - در طول قرن هجدهم توانستند بدون اینکه قدرت‌های اجرایی را محدود کنند، ظرفیت دولت را افزایش دهند.
در بسیاری از کشورهای فقیر و در حال توسعه بسیاری از زمین‌ها و مساکن خارج از سیستم رسمی یا قانونی ثبت مالکیت املاک نگهداری می‌شود. در بسیاری از مناطق شهری افراد فقیر برای ساخت خانه‌های خود به زمین‌های خصوصی یا دولتی «حمله» می‌کنند، بنابراین این ملکیت را ندارند. بسیاری از املاک ثبت نشده به صورت غیررسمی از طریق انجمن‌های مختلف املاک و ترتیب‌های دیگر برگزار می‌شود. از دلایل مالکیت فوق قانونی می‌توان به افزایش بوروکراتیک اداری در خرید ملک و ساختمان اشاره کرد. در بعضی از کشورها ساخت زمین‌های دولتی بیش از ۲۰۰ مرحله و حداکثر ۱۴ سال طول می‌کشد. از دیگر دلایل مالکیت فوق قانونی، عدم ثبت اسناد رسمی معامله یا محضری بودن اسناد بدون ضبط کردن در آژانس رسمی.
نداشتن عنوان حقوقی مشخص در مورد مالکیت، استفاده از آن را به عنوان وثیقه برای تأمین وام محدود کرده و بسیاری از کشورهای فقیر را از یکی از مهمترین منابع بالقوه سرمایه خود محروم می‌کند. مشاغل ثبت نشده و فقدان روشهای پذیرفته شده حسابداری از دیگر عواملی است که باعث محدود شدن سرمایه بالقوه می‌شود.
مشاغل و افراد شرکت کننده در فعالیت‌های تجاری گزارش نشده و صاحبان املاک ثبت نشده با هزینه‌هایی مانند رشوه و بازپرداخت روبرو هستند که بسیاری از مالیات‌های اجتناب شده را جبران می‌کند.
طبق گفته عجم اوغلو و همکارانش "دموکراسی باعث رشد می‌شود". به‌طور خاص، "دموکراسی با تشویق به سرمایه‌گذاری، افزایش تحصیلات، اصلاحات اقتصادی، بهبود تأمین کالاهای عمومی و کاهش ناآرامی‌های اجتماعی، تولید ناخالص داخلی آینده را افزایش می‌دهد.
در کتاب چرا ملت ها شکست می‌خورند، Acemoglu و Robinson گفتند که انگلیسی‌ها در آمریکای شمالی با تلاش کردند که موفقیت تسخیرکنندگان اسپانیا در استخراج ثروت (به ویژه طلا و نقره) را تکرار کنند. این سیستم بارها برای انگلیسی‌ها خراب شد. موفقیت‌های آنها متکی بر دادن زمین در دولت به مردم برای ایجاد انگیزه در کار مولد بود. در ویرجینیا دوازده سال طول کشید و بسیاری از گرسنگی مردند تا اینکه دولتمردان تصمیم گرفتند دموکراسی را امتحان کند.Acemoglu and Robinson (2012, p. 26).
سیاست گذاران و دانشمندان اغلب بر اهمیت کارآفرینی برای رشد اقتصادی تأکید می‌کنند. با این حال، به‌طور شگفت‌آور تحقیقات کمی تأثیر کارآفرینی بر رشد را به صورت تجربی بررسی می‌کنند. این به دلیل درون زایی است - نیروهایی که رشد اقتصادی را پیش می‌برند، کارآفرینی را نیز هدایت می‌کنند. به عبارت دیگر، تحلیل تجربی تأثیر کارآفرینی بر رشد، به دلیل اشتراکات کارآفرینی و رشد اقتصادی دشوار است. در چند مقاله از طرح‌های نیمه آزمایشی استفاده شده‌است و دریافتند که کارآفرینی و تراکم مشاغل کوچک در واقع تأثیر اتفاقی بر رشد منطقه دارد.
یکی دیگر از دلایل عمده رشد اقتصادی، معرفی محصولات و خدمات جدید و بهبود محصولات موجود است. محصولات جدید تقاضا ایجاد می‌کنند که برای جبران کاهش اشتغال که از طریق فناوری صرفه جویی در نیروی کار اتفاق می‌افتد ضروری است (و به دلیل صرفه جویی در انرژی و مواد به میزان کمتری اشتغال کاهش می‌یابد). در ایالات متحده تا سال ۲۰۱۳ حدود ۶۰٪ از هزینه‌های مصرف‌کننده برای کالاها و خدماتی بود که در سال ۱۸۶۹ وجود نداشته‌است. همچنین ایجاد خدمات جدید مهمتر از اختراع کالاهای جدید بوده‌است.
رشد اقتصادی در ایالات متحده و سایر کشورهای پیشرفته از طریق تغییر در نرخ مشارکت نیروی کار و اندازه‌های نسبی بخش‌های اقتصادی، فازهایی را تحت تأثیر قرار داد. گذار از اقتصاد کشاورزی به تولید، اندازه بخش را با تولید بالا در ساعت (بخش تولیدی با بهره‌وری بالا) افزایش داد، در حالی که اندازه بخش را با تولید کمتر در ساعت کاهش داد (بخش کشاورزی با بهره‌وری پایین). سرانجام رشد بالای بهره‌وری در تولید، با کاهش قیمت‌ها و کاهش اشتغال نسبت به سایر بخش‌ها، باعث کاهش اندازه بخش شد. بخش های خدمات و دولت، که تولید و رشد بهره وریشان در ساعت پایین است، در طول دهه ۱۹۹۰ با افزایش سهم خود در اقتصاد و اشتغال روبرو شدند. بخش دولتی از آن زمان منقبض شده‌است، در حالی که اقتصاد خدمات در دهه ۲۰۰۰ گسترش یافته‌است.
تغییر ساختاری را می‌توان از زاویه دیگری نیز مشاهده کرد. می‌توان رشد اقتصادی واقعی را به دو بخش تقسیم کرد: شاخص رشد اقتصادی گسترده - تولید ناخالص داخلی «کمی» و شاخص بهبود کیفیت کالاها و خدمات - تولید ناخالص داخلی «کیفی».
طبق نظریه "مالتوس"، در بیشتر تاریخ بشر پیشرفت تکنولوژی باعث رشد بیشتر جمعیت شده‌است اما در دراز مدت هیچ تأثیری بر درآمد سرانه نداشته‌است. طبق این تئوری، در حالی که اقتصادهای پیشرفته از نظر فنی در این دوره با تراکم جمعیت بیشتری مشخص می‌شدند، سطح سرانه درآمد آنها تفاوتی با اقتصاد جامعه عقب مانده فنی نداشت.
مبانی مفهومی نظریه مالتوسیوس توسط توماس مالتوس تشکیل شد و نمایش مدرنی از این رویکرد توسط اشرف و گالور ارائه شده‌است. مطابق با پیش‌بینی‌های نظریه مالتوس، تجزیه و تحلیل بین کشوری تأثیر مثبت قابل توجهی از سطح فناوری بر تراکم جمعیت و تأثیر ناچیز بر درآمد سرانه را به‌طور قابل توجهی طی سال های ۱ تا ۱۵۰۰ نشان می‌دهد.
در اقتصاد کلاسیک (ریکاردی)، تئوری تولید و تئوری رشد براساس تئوری یا قانون نسبت متغیر استوار است، به این ترتیب یکی از عوامل تولید (نیروی کار یا سرمایه) را ثابت نگه داشته و دیگری را تغییر می‌دهد، و فرض می‌کند تکنولوژی تغییر نمی‌کند؛ با سرعت کاهشی که در نهایت به صفر می‌رسد خروجی خواهد داشت. این مفاهیم ریشه در نظریه‌پردازی توماس مالتوس در مورد کشاورزی دارد. نمونه‌های مالتوس شامل تعداد بذرهای برداشت شده نسبت به تعداد بذرهای کاشته شده (سرمایه) در یک قطعه زمین و اندازه برداشت از یک قطعه زمین در مقابل تعداد کارگران شاغل بود.
انتقادات از نظریه رشد کلاسیک این است که فناوری، یک عامل مهم در رشد اقتصادی، ثابت نگه داشته می‌شود و اقتصاد مقیاس نادیده گرفته می‌شود.
یکی از نظریه‌های مشهور در دهه ۱۹۴۰، مدل فشار بزرگ بود، که پیشنهاد می‌کرد کشورها باید از یک مرحله توسعه به مرحله دیگر از طریق یک چرخه فضیلت پرش شوند، که در آن سرمایه‌گذاری‌های بزرگ در زیرساخت‌ها و آموزش و پرورش همراه با سرمایه‌گذاری‌های خصوصی، اقتصاد را به سمت پیشرفت بیشتر می‌برد. مرحله تولید، رهایی از پارادایم‌ های اقتصادی متناسب با مرحله بهره‌وری پایین‌تر.Paul Rosenstein-Rodan این ایده در اواخر دهه ۱۹۸۰ توسط کوین مورفی، آندری شلیفر و رابرت ویشنی با احتیاط احیا و تدوین شد.
رابرت سولو و ترور سوان آنچه را که سرانجام به مدل اصلی مورد استفاده در اقتصاد رشد در دهه ۱۹۵۰ تبدیل شد، توسعه دادند. این مدل فرض می‌کند که بازدهی نزولی به سرمایه و نیروی کار وجود دارد. سرمایه از طریق سرمایه‌گذاری جمع می‌شود، اما سطح یا سهام آن به دلیل استهلاک به‌طور مداوم کاهش می‌یابد. با توجه به کاهش بازده به سرمایه، با افزایش سرمایه / کارگر و عدم پیشرفت تکنولوژی، تولید اقتصادی / کارگر در نهایت به جایی می‌رسد که سرمایه برای هر کارگر و تولید اقتصادی / کارگر ثابت می‌ماند زیرا سرمایه‌گذاری سالانه در سرمایه برابر استهلاک سالانه است. این وضعیت «حالت ثابت» نامیده می‌شود.
در مدل سولو اگر بهره‌وری از طریق پیشرفت تکنولوژی افزایش یابد، تولید / کارگر حتی در شرایطی که اقتصاد در وضعیت پایدار است افزایش می‌یابد. اگر بهره‌وری با یک نرخ ثابت افزایش یابد، تولید / کارگر نیز با نرخ مربوط به حالت ثابت افزایش می‌یابد. به عنوان یک نتیجه، رشد در مدل می‌تواند با افزایش سهم تولید ناخالص داخلی سرمایه‌گذاری شده یا از طریق پیشرفت تکنولوژی رخ دهد. اما در هر سهم از تولید ناخالص داخلی، سرمایه / کارگر سرانجام در وضعیت ثابت همگرایی می‌کند و نرخ رشد تولید / کارگر را فقط نرخ پیشرفت تکنولوژی تعیین می‌کند. در نتیجه، با در دسترس بودن فناوری جهانی برای همه و پیشرفت با سرعت ثابت، همه کشورها دارای نرخ رشد ثابت هستند. هر کشور سطح متفاوتی از تولید ناخالص داخلی / کارگر را با توجه به سهم تولید ناخالص داخلی که سرمایه‌گذاری می‌کند تعیین می‌کند، اما نرخ رشد اقتصادی همه کشورها یکسان است. به‌طور ضمنی در این مدل کشورهای ثروتمند کشورهایی هستند که برای مدت طولانی سهم بالایی از تولید ناخالص داخلی را سرمایه‌گذاری کرده‌اند. کشورهای فقیر می‌توانند با افزایش سهم تولید ناخالص داخلی که سرمایه‌گذاری می‌کنند ثروتمند شوند. یک پیش‌بینی مهم از مدل، که بیشتر توسط داده‌ها تأیید می‌شود، همگرایی شرطی است. این ایده که کشورهای فقیر تا زمانی که نرخ سرمایه‌گذاری (و پس‌انداز) مشابهی داشته باشند و به همان فناوری دسترسی داشته باشند، سریعتر رشد خواهند کرد و کشورهای ثروتمند را درگیر خود خواهند کرد.
مدل سولو به عنوان یک مدل رشد «برون زا» در نظر گرفته می‌شود زیرا توجیه نمی‌کند که چرا کشورها سهم‌های مختلف تولید ناخالص داخلی را در سرمایه‌گذاری می‌کنند و همچنین اینکه چرا فناوری با گذشت زمان پیشرفت می‌کند. در عوض، میزان سرمایه‌گذاری و میزان پیشرفت فناوری برونزا است. ارزش مدل این است که الگوی رشد اقتصادی را پس از مشخص شدن این دو نرخ پیش‌بینی می‌کند. عدم توضیح آن در تعیین عوامل این نرخ یکی از محدودیت‌های آن است.
اگرچه میزان سرمایه‌گذاری در این مدل برونزا است، اما تحت شرایط خاص این مدل به‌طور ضمنی همگرایی در نرخ سرمایه‌گذاری در سراسر کشورها را پیش‌بینی می‌کند. در اقتصاد جهانی با بازار سرمایه جهانی جهانی، سرمایه مالی به کشورهایی با بیشترین بازده سرمایه می‌رود. در مدل سولو کشورهایی که سرمایه / کارگر کمتری دارند (کشورهای فقیر) به دلیل کاهش بازده در سرمایه، بازده بالاتری از سرمایه‌گذاری دارند. در نتیجه، سرمایه / کارگر و تولیدکننده / کارگر در بازار سرمایه جهانی مالی باید در همه کشورها به یک سطح یکسان شوند. از آنجا که از نظر تاریخی سرمایه مالی به کشورهایی با سرمایه / کارگر کمتر سرازیر نشده‌است، مدل پایه سولو دارای یک نقص مفهومی است. از دهه ۱۹۹۰، این نقص با افزودن متغیرهای اضافی به مدل برطرف شده‌است که می‌تواند توضیح دهد که چرا بعضی از کشورها نسبت به کشورهای دیگر بهره‌وری کمتری دارند و بنابراین، حتی اگر سرمایه (فیزیکی) کمتری داشته باشند، جریان‌های سرمایه مالی جهانی را جذب نمی‌کنند.Warsh, David. Knowledge and the Wealth of Nations. W.W. Norton & Company 2006
به گفته هارود، نرخ رشد طبیعی حداکثر نرخ رشدی است که با افزایش متغیرهایی مانند رشد جمعیت، بهبود فناوری و رشد در منابع طبیعی مجاز است.
در واقع، نرخ رشد طبیعی بالاترین نرخ رشد قابل دستیابی است که باعث ایجاد بیشترین اشتغال ممکن در منابع موجود در اقتصاد می‌شود.
اقتصاددانان که از فرض پیشرفت تکنولوژی برونزا در مدل سولو راضی نبودند، تلاش کردند تا رشد تولید در دهه ۱۹۸۰ را «درون زا» کنند (یعنی آن را «از داخل» مدل‌ها توضیح دهند). نظریه رشد درون زا، که به ویژه توسط رابرت لوکاس جونیور و شاگردش پل رومر ارائه شده‌است، شامل یک توضیح ریاضی از پیشرفت تکنولوژی است. این مدل همچنین مفهوم جدیدی از سرمایه انسانی، مهارت‌ها و دانش‌هایی را که کارگران را به بهره‌وری می‌رساند، دربرداشت. برخلاف سرمایه فیزیکی، سرمایه انسانی دارای نرخ بازگشت فزاینده ای است. تحقیقات انجام شده در این زمینه بر آنچه سرمایه انسانی (به عنوان مثال آموزش) یا تغییرات فناوری (به عنوان مثال نوآوری) را افزایش می‌دهد، متمرکز شده‌است.
روز یادبود در سال ۱۹۸۸، کنفرانسی در بوفالو ذهن‌های برتر اقتصاد را گرد آورد که هدف آن ارزیابی نظریه‌های متناقض رشد بود. رومر، کروگمن، بارو، بکر و بسیاری دیگر از ستاره‌های در حال ظهور و اقتصاددانان مشهور آن زمان در آنجا حضور داشتند. در میان بسیاری از مقاله‌های آن روز، مقاله ای که برجسته شد «مبانی خرد برای تغییر فناوری کل» توسط رومر بود. بنیاد خرد ادعا کرد که تغییرات درون زا در فناوری مفهوم مالکیت معنوی را در خود جای داده‌است و دانش ورودی و خروجی تولید است. رومر استدلال کرد که نتایج مربوط به نرخ رشد ملی به‌طور قابل توجهی تحت تأثیر سیاست‌های عمومی، فعالیت‌های تجاری و مالکیت معنوی قرار دارد. وی تأکید کرد که سرمایه تجمعی و تخصص کلیدی است و نه تنها رشد جمعیت می‌تواند سرمایه دانش را افزایش دهد، بلکه این سرمایه انسانی است که به‌طور خاص دربرداشت ایده‌های جدید آموزش می‌بیند.Warsh, David. Knowledge and the Wealth of Nations: A Story of Economic Discovery. W.W. Norton & Company, 2006.
گرچه مالکیت معنوی ممکن است مهم باشد، بیکر (۲۰۱۶) به منابع متعددی استناد می‌کند که «به نظر می‌رسد محافظت از حق ثبت اختراع با رشد کندتر همراه است». این امر به ویژه برای حق ثبت اختراع در صنعت بهداشت اخلاقی صادق است. در واقع مالیات دهندگان دو برابر برای داروهای جدید و روشهای تشخیصی پرداخت می‌کنند: اول در یارانه‌های مالیاتی و دوم در ازای قیمت بالای روشهای تشخیصی. اگر نتایج تحقیقات پرداخت شده توسط مودیان در مالکیت عمومی قرار می‌گرفت، بیکر ادعا می‌کند که مردم در همه جا سالم‌تر خواهند بود، زیرا تشخیص و درمان بهتر در سراسر جهان مقرون به صرفه تر است..
یک شاخه از تئوری رشد درون زا در بنیان نظریه شومپیتری ایجاد شد که به نام ژوزف شومپیتر اقتصاددان اتریشی قرن بیستم نامگذاری شد. این رویکرد رشد را به عنوان نتیجه نوآوری و فرایند تخریب خلاق که ماهیت دوگانه پیشرفت فناوری را به تصویر می‌کشد، توضیح می‌دهد: از نظر ایجاد، کارآفرینان محصولات یا فرایندهای جدیدی را معرفی می‌کنند به این امید که هنگام تصاحب از سودهای مشابه انحصار بهره‌مند شوند. بازارها با این کار آنها فناوری‌ها یا محصولات قدیمی را منسوخ می‌کنند. این می‌تواند به عنوان ابطال فناوری‌های قبلی شناخته شود، که آنها را منسوخ می‌کند، و «رانت‌های تولید شده توسط نوآوری‌های قبلی را از بین می‌برد» یک مدل اصلی که رشد شومپتری را نشان می‌دهد، مدل Aghion-Howitt است.
نظریه رشد یکپارچه توسط اود گالور و همکارانش برای پرداختن به ناتوانی نظریه رشد درون زا در توضیح قوانین اساسی تجربی در فرایندهای رشد اقتصادهای منفرد و اقتصاد جهان به‌طور کلی توسعه یافت.Galor O. , 2005, "From Stagnation to Growth: Unified Growth Theory". "Handbook of Economic Growth", Elsevier برخلاف نظریه رشد درون زا که کاملاً بر رژیم رشد مدرن متمرکز است و بنابراین قادر به توضیح ریشه‌های نابرابری در بین ملت‌ها نیست، نظریه رشد یکپارچه مراحل اساسی روند توسعه در طول تاریخ بشر را در یک چارچوب واحد تصرف می‌کند: دوره۱- مالتوس که در بیشتر تاریخ بشر رایج بود، ۲- فرار از دام مالتوس، ۳- ظهور سرمایه انسانی به عنوان یک عنصر اصلی در روند رشد، ۴- شروع کاهش باروری، ۵- ریشه‌های دوران مدرن رشد اقتصادی پایدار و ۶- ریشه‌های واگرایی در درآمد سرانه در سرتاسر کشورها در دو قرن گذشته.
این تئوری نشان می‌دهد که در بیشتر عمر بشر، پیشرفت تکنولوژی با رشد جمعیت جبران شده و سطح زندگی در طول زمان و مکان تقریباً معیشت داشته‌است. با این حال، تعامل تقویت کننده بین میزان پیشرفت فناوری و اندازه و ترکیب جمعیت به تدریج سرعت پیشرفت فناوری را افزایش داده و اهمیت آموزش را در توانایی افراد در انطباق با محیط تغییر یافته فناوری افزایش می‌دهد. افزایش تخصیص منابع به آموزش باعث کاهش باروری شده و اقتصاد را قادر می‌سازد تا سهم بیشتری از ثمرات پیشرفت فناوری را به جای افزایش رشد جمعیت به افزایش مداوم درآمد سرانه اختصاص دهد و زمینه را برای ظهور رشد پایدار اقتصادی فراهم کند. این تئوری همچنین نشان می‌دهد که تغییرات در ویژگی‌های زیست جغرافیایی، و همچنین ویژگی‌های فرهنگی و نهادی، یک سرعت افتراقی از رکود به رشد در سراسر کشورها و در نتیجه واگرایی در سرانه درآمد آنها طی دو قرن گذشته ایجاد کرده‌است.Galor O. , 2005, "From Stagnation to Growth: Unified Growth Theory". "Handbook of Economic Growth", Elsevier
دیدگاه‌های رایج در مورد نقش نابرابری در روند رشد در قرن گذشته کاملاً تغییر یافته‌است.Galor, Oded (2011). "Inequality, Human Capital Formation, and the Process of Development". "Handbook of the Economics of Education." Elsevier.
دیدگاه کلاسیک، همان‌طور که آدام اسمیت و دیگران بیان کردند، نشان می‌دهد که نابرابری روند رشد را تقویت می‌کند. به‌طور خاص، از آنجا که پس‌انداز کل با نابرابری به دلیل دارایی بیشتر برای پس‌انداز در بین ثروتمندان افزایش می‌یابد، از نظر کلاسیک پیشنهاد می‌شود که نابرابری باعث تحریک انباشت سرمایه و در نتیجه رشد اقتصادی می‌شود.
دیدگاه نئوکلاسیک نقش نابرابری در روند رشد را انکار می‌کند. این دیدگاه نشان می‌دهد که اگرچه روند رشد ممکن است بر نابرابری تأثیر بگذارد، اما توزیع درآمد هیچ تأثیری بر روند رشد ندارد.
در مقابل، دیدگاه مدرنی که در اواخر دهه ۱۹۸۰ ظهور کرد، نشان می‌دهد که توزیع درآمد تأثیر بسزایی در روند رشد دارد. دیدگاه مدرن، که توسط گالور و زیرا شکل گرفت، نقش مهم ناهمگنی را در تعیین فعالیت اقتصادی کل و رشد اقتصادی برجسته می‌کند. گالور و زیرا استدلال می‌کنند که از آنجا که بازارهای اعتباری ناقص هستند، نابرابری تأثیر پایداری بر تشکیل سرمایه انسانی، سطح درآمد سرانه و روند رشد دارد. برخلاف پارادایم کلاسیک، که پیامدهای مثبت نابرابری در شکل‌گیری سرمایه و رشد اقتصادی را برجسته می‌کند، گالور و زیرا معتقدند که نابرابری در همه، به جز اقتصاد بسیار فقیر، تأثیر نامطلوبی بر شکل‌گیری سرمایه انسانی و روند توسعه دارد.
تحولات نظری بعدی این دیدگاه را تقویت می‌کند که نابرابری تأثیر نامطلوبی بر روند رشد دارد. آلسینا و رودریک و پرسون و تابلینی، درمورد مکانیزم اقتصاد سیاسی استدلال می‌کنند که نابرابری تأثیر منفی بر توسعه اقتصادی دارد زیرا فشار را برای سیاست‌های توزیع، تأثیر نامطلوبی بر سرمایه‌گذاری و رشد اقتصادی دارد.
مطابق با رویکرد نقص بازار اعتبار، یک مطالعه توسط روبرتو پروتی نشان داد که نابرابری با سطح پایینتری از تشکیل سرمایه انسانی (تحصیلات، تجربه، کارآموزی) و سطح باروری بالاتر مرتبط است، در حالی که سطح پایین سرمایه انسانی با رشد کمتری همراه است و سطوح پایین‌تر رشد اقتصادی. در مقابل، بررسی وی از کانال اقتصاد سیاسی هیچ حمایتی از سازوکار اقتصاد سیاسی پیدا نکرد. مطالعات بعدی نشان داده‌است که نابرابری می‌تواند انگیزه ای برای نخبگان برای جلوگیری از سیاست‌های توزیع مجدد و تغییرات نهادی باشد. در خصوص نابرابری در توزیع مالکیت زمین، انگیزه ای برای نخبگان زمین‌دار فراهم می‌کند تا با محروم کردن از تحصیل و جلوگیری از توسعه بخش صنعتی، تحرک کارگران روستایی را محدود کنند.
یک نظریه واحد از نابرابری و رشد که تصور می‌کند تغییر نقش نابرابری در روند رشد، سازگاری بین پیش‌بینی‌های متناقض دیدگاه کلاسیک است که معتقد است نابرابری برای رشد مفید است و دیدگاه مدرن که نشان می‌دهد در صورت نقص بازار اعتبار، نابرابری عمدتاً منجر به سرمایه‌گذاری کم در سرمایه انسانی و رشد اقتصادی پایین‌تر می‌شود. این نظریه یکپارچه نابرابری و رشد، که توسط اود گالور و اومر موآو ارائه شد، نشان می‌دهد که تأثیر نابرابری بر روند رشد معکوس شده‌است زیرا سرمایه انسانی جایگزین سرمایه فیزیکی به عنوان موتور اصلی رشد اقتصادی شده‌است. در مراحل اولیه صنعتی سازی، هنگامی که انباشت سرمایه فیزیکی منبع غالب رشد اقتصادی بود، نابرابری با هدایت منابع به سمت افراد با تمایل بیشتر به پس‌انداز، روند توسعه را تقویت کرد. با این وجود، در مراحل بعدی، به دلیل تبدیل شدن سرمایه انسانی به موتور اصلی رشد اقتصادی، توزیع برابرتر درآمد، در صورت وجود محدودیت‌های اعتباری، باعث تحریک سرمایه‌گذاری در سرمایه انسانی و رشد اقتصادی شد.
در سال ۲۰۱۳، توماس پیکتی اقتصاددان فرانسوی فرض کرد که در دوره‌هایی که متوسط نرخ سالانه بازگشت سرمایه در سرمایه (r) بیش از متوسط رشد سالانه تولید اقتصادی (g) باشد، نرخ نابرابری افزایش خواهد یافت. به گفته پیکتی، این مورد به این دلیل است که ثروتی که قبلاً نگه داشته شده یا به ارث رسیده‌است و انتظار می‌رود با نرخ r رشد کند، با سرعتی بالاتر از ثروت انباشته شده از طریق کار، که بیشتر با g گره خورده‌است، رشد خواهد کرد. پیکتی که طرفدار کاهش سطح نابرابری است، برای کاهش واگرایی در ثروت ناشی از نابرابری، وضع «مالیات ثروت» جهانی را پیشنهاد می‌کند.
رابطه تجربی شکل کاهش یافته بین نابرابری و رشد توسط آلبرتو آلسینا و دنی رودریک و تورستن پرسون و گایدو تابلینی مورد مطالعه قرار گرفت. آنها دریافتند که نابرابری در یک تحلیل بین کشوری با رشد اقتصادی ارتباط منفی دارد.
رابرت بارو رابطه بین شکل نابرابری در رشد اقتصادی را در چند کشور مورد بررسی مجدد قرار داد. او ادعا می‌کند که «رابطه کلی کمی بین نابرابری درآمد و نرخ رشد و سرمایه‌گذاری وجود دارد». با این حال، استراتژی تجربی وی به چند دلیل کاربرد آن را در درک رابطه بین نابرابری و رشد محدود می‌کند. اول، تحلیل رگرسیون وی از نظر آموزش، باروری، سرمایه‌گذاری با ساخت و ساز، تأثیر مهم نابرابری بر رشد از طریق آموزش، باروری و سرمایه‌گذاری را حذف می‌کند. یافته‌های وی به سادگی حاکی از آن است که نابرابری از طریق مجاری اصلی ارائه شده در ادبیات، تأثیر مستقیمی بر رشد فراتر از تأثیرات مهم غیرمستقیم ندارد. دوم، مطالعه وی تأثیر نابرابری بر متوسط نرخ رشد در ۱۰ سال بعدی را تجزیه و تحلیل می‌کند. با این حال، نظریه‌های موجود نشان می‌دهد که تأثیر نابرابری بعداً مشاهده خواهد شد، مثلاً در شکل‌گیری سرمایه انسانی. سوم، تجزیه و تحلیل تجربی تعصب‌هایی را که به دلیل علیت معکوس و متغیرهای حذف شده ایجاد می‌شوند، در نظر نمی‌گیرد.
مقالات اخیر بر اساس داده‌های برتر، رابطه منفی بین نابرابری و رشد پیدا کرده‌است. اندرو برگ و جاناتان اوستری از صندوق بین‌المللی پول دریافتند که «نابرابری خالص پایین با رشد سریعتر و با دوام تر کنترل می‌شود و سطح توزیع مجدد را کنترل می‌کند». به همین ترتیب، دیرک هرزر و سباستین ولمر دریافتند که افزایش نابرابری در درآمد، رشد اقتصادی را کاهش می‌دهد.
مدل گالور و زیرا پیش‌بینی می‌کند که تأثیر افزایش نابرابری بر سرانه تولید ناخالص داخلی در کشورهای نسبتاً ثروتمند منفی است اما در کشورهای فقیر مثبت است. این پیش‌بینی‌های قابل آزمایش به‌طور تجربی در مطالعات اخیر بررسی و تأیید شده‌است. به‌طور خاص، بروکنر و لدرمن با در نظر گرفتن تأثیر تعامل بین سطح نابرابری درآمد و سطح اولیه تولید ناخالص داخلی سرانه، پیش‌بینی مدل را در کشورها طی دوره ۱۹۷۰–۲۰۱۰ آزمایش می‌کنند. مطابق با پیش‌بینی‌های مدل، آنها دریافتند که در صدک بیست و پنجم درآمد اولیه در نمونه جهانی، با افزایش ۱ درصدی ضریب جینی، درآمد سرانه ۲٫۳٪ افزایش می‌یابد، در حالی که در صدک ۷۵ درآمد اولیه ۱ درصد افزایش در ضریب جینی، درآمد سرانه را ۵/۵٪ کاهش می‌دهد. علاوه بر این، مکانیسم پیشنهادی سرمایه انسانی که تأثیر نابرابری بر رشد را در مدل گالور-زیرا واسطه می‌کند نیز تأیید می‌شود. افزایش نابرابری در درآمد باعث افزایش سرمایه انسانی در کشورهای فقیر می‌شود اما در کشورهای با درآمد بالا و متوسط باعث کاهش آن می‌شود.
این حمایت اخیر از پیش‌بینی‌های مدل Galor-Zeira با یافته‌های قبلی مطابقت دارد. روبرتو پروتی نشان داد که مطابق با رویکرد نقص بازار اعتبار، ارائه شده توسط گالور و زیرا، نابرابری با سطح پایینتری از تشکیل سرمایه انسانی (تحصیلات، تجربه، کارآموزی) و سطح بالاتر باروری همراه است، در حالی که سطح پایینتری از سرمایه انسانی مرتبط است با سطح رشد اقتصادی پایین‌تر. رولان بنابو، اقتصاددان پرینستون، دریافت که روند رشد کره و فیلیپین «کاملاً با فرضیه انباشت سرمایه انسانی محدود شده به اعتبار سازگار است». بعلاوه، اندرو برگ و جاناتان اوستری اظهار داشتند که به نظر می‌رسد نابرابری از طریق انباشت سرمایه انسانی و مجاری باروری بر رشد تأثیر می‌گذارد.
در مقابل، پروتی استدلال می‌کند که مکانیسم اقتصاد سیاسی به‌طور تجربی پشتیبانی نمی‌شود. نابرابری با توزیع مجدد کمتر (سرمایه‌گذاری کم در آموزش و پرورش و زیرساخت‌ها) با رشد اقتصادی پایین همراه است.
در طی دوره‌های طولانی مدت، حتی نرخ‌های کوچک رشد، مانند افزایش ۲ درصدی سالانه، تأثیرات زیادی دارند. به عنوان مثال، انگلستان در سالهای ۱۸۳۰ تا ۲۰۰۸ متوسط سالانه ۱٫۹۷٪ در تولید ناخالص داخلی تعدیل شده تورم را تجربه کرده‌است.Lawrence H. Officer, "What Was the U.K. GDP Then?" MeasuringWorth, 2011. URL:http://www.measuringworth.com/ukgdp/ در سال ۱۸۳۰، تولید ناخالص داخلی ۴۱٬۳۷۳ میلیون پوند بود. این میزان تا سال ۲۰۰۸ به ۱٬۳۳۰٬۰۸۸ میلیون پوند رشد کرد. نرخ رشد متوسط ۱٫۹۷٪ طی ۱۷۸ سال منجر به افزایش ۳۲ برابری تولید ناخالص داخلی تا سال ۲۰۰۸ شد.
تأثیر زیاد نرخ رشد نسبتاً کم در یک بازه زمانی طولانی به دلیل قدرت رشد نمایی است. قانون ۷۲ یک نتیجه ریاضی، بیان می‌کند که اگر چیزی با سرعت x درصد در سال رشد کند، سطح آن هر ۷۲/ x سال دو برابر می‌شود. به عنوان مثال، نرخ رشد ۲٫۵٪ در سال منجر به دو برابر شدن تولید ناخالص داخلی طی ۲۸٫۸ سال می‌شود، در حالی که نرخ رشد ۸٪ در سال منجر به دو برابر شدن تولید ناخالص داخلی در عرض نه سال می‌شود؛ بنابراین، اگر این اختلاف ناچیز برای سالها ادامه یابد، اختلاف کمی در نرخ رشد اقتصادی بین کشورها می‌تواند منجر به استانداردهای بسیار متفاوت زندگی برای جمعیت آنها شود.
یک نظریه که رشد اقتصادی را با کیفیت زندگی مرتبط می‌کند «فرضیه آستانه» است که بیان می‌کند رشد اقتصادی تا حدی افزایش کیفیت زندگی را به همراه دارد. اما در آن مرحله - که نقطه آستانه نامیده می‌شود - رشد بیشتر اقتصادی می‌تواند کیفیت زندگی را با زوال روبرو کند. این منجر به یک منحنی U شکل وارونه می‌شود، جایی که راس منحنی نشان دهنده سطح رشد است که باید هدف قرار گیرد. نشان داده شده‌است که خوشبختی با تولید ناخالص داخلی سرانه، حداقل تا سطح ۱۵۰۰۰ دلار برای هر نفر افزایش می‌یابد."In Pursuit of Happiness Research. Is It Reliable? What Does It Imply for Policy?" The Cato Institute. April 11, 2007
رشد اقتصادی به عنوان یک نتیجه از افزایش همزمان فرصت‌های شغلی و افزایش بهره‌وری نیروی کار، از پتانسیل غیرمستقیم کاهش فقر برخوردار است.Claire Melamed, Renate Hartwig and Ursula Grant 2011. Jobs, growth and poverty: what do we know, what don't we know, what should we know? London: Overseas Development Institute مطالعه‌ای که توسط محققان انستیتوی توسعه خارج از کشور (ODI) روی ۲۴ کشور انجام شد، نشان داد که در ۱۸ مورد فقر کاهش یافته‌است.Claire Melamed, Renate Hartwig and Ursula Grant 2011. Jobs, growth and poverty: what do we know, what don't we know, what should we know? London: Overseas Development Institute
در برخی موارد، عوامل کیفیت زندگی مانند برآمد مراقبت‌های بهداشتی و تحصیلات، و همچنین آزادی‌های اجتماعی و سیاسی، با وقوع رشد اقتصادی بهبود نمی‌یابند.
افزایش بهره‌وری همیشه منجر به افزایش دستمزد نمی‌شود، همان‌طور که در ایالات متحده مشاهده می‌شود که از سال ۱۹۸۰ شکاف بین بهره‌وری و دستمزد افزایش یافته‌است.Claire Melamed, Renate Hartwig and Ursula Grant 2011. Jobs, growth and poverty: what do we know, what don't we know, what should we know? London: Overseas Development Institute
در حالی که تصدیق نقش اصلی رشد اقتصادی می‌تواند به‌طور بالقوه در توسعه انسانی، کاهش فقر و دستیابی به اهداف توسعه هزاره باشد، اما در میان جامعه توسعه به‌طور گسترده‌ای درک شده‌است که باید تلاش‌های ویژه ای انجام شود تا اطمینان حاصل شود که قشرها فقیرتر جامعه قادر به مشارکت در رشد اقتصادی هستند.Claire Melamed, Kate Higgins and Andy Sumner (2010) Economic growth and the MDGs Overseas Development Institute تأثیر رشد اقتصادی بر کاهش فقر - کشش رشد فقر - می‌تواند به سطح نابرابری موجود بستگی داشته باشد.Bourguignon, Francois, "Growth Elasticity of Poverty Reduction: Explaining Heterogeneity across Countries and Time Periods" in "Inequality and Growth", Ch. 1. به عنوان مثال، با نابرابری کم، کشوری با نرخ رشد ۲٪ به ازای شخص و ۴۰٪ از جمعیت آن در فقر زندگی می‌کند، می‌تواند فقر را در ده سال به نصف کاهش دهد، اما برای کشوری با نابرابری بالا، رسیدن به همان کاهش تقریباً ۶۰ سال طول می‌کشد.Ravallion, M. (2007) Inequality is bad for the poor in S. Jenkins and J. Micklewright, (eds.) Inequality and Poverty Re-examined, Oxford University Press, Oxford.Elena Ianchovichina and Susanna Lundstrom, 2009. "Inclusive growth analytics: Framework and application", Policy Research Working Paper Series 4851, The World Bank. به گفته دبیرکل سازمان ملل متحد بان کی مون: «در حالی که رشد اقتصادی لازم است، اما برای پیشرفت در کاهش فقر کافی نیست».Claire Melamed, Kate Higgins and Andy Sumner (2010) Economic growth and the MDGs Overseas Development Institute
منتقدانی مانند باشگاه رم استدلال می‌کنند که یک نگاه محدود به رشد اقتصادی، همراه با جهانی شدن، درمی یابیم که در حال ایجاد سناریویی هستیم که بتوانیم شاهد فروپاشی سیستمی منابع طبیعی سیاره خود باشیم.Donella H. Meadows, Jorgen Randers, Dennis L. Meadows. "Limits to Growth: The 30-Year Update". White River Junction, Vermont: Chelsea Green, 2004.Allan Schnaiberg. "". New York: Oxford University Press.
نگرانی در مورد اثرات منفی زیست‌محیطی رشد اقتصادی، برخی از افراد را بر آن داشته‌است که از سطوح پایین‌تر رشد یا کاملاً ترک رشد حمایت کنند. در دانشگاه، برای دستیابی به این هدف و غلبه بر ضرورت‌های احتمالی رشد، مفاهیمی مانند رشد اقتصادی، اقتصاد پایدار و رشد ناپایدار توسعه یافته‌است. در سیاست، احزاب سبز با پذیرش منشور جهانی سبزها، تشخیص می‌دهند که: رشد اقتصادی به هر قیمتی و استفاده بیش از حد و بی‌رویه از منابع طبیعی بدون در نظر گرفتن ظرفیت حمل زمین، باعث وخیم شدن وضعیت محیط و سبب انقراض عظیم گونه‌ها می‌شود.
گزارش ارزیابی جهانی ۲۰۱۹ در مورد تنوع زیستی و خدمات اکوسیستم منتشر شده توسط پلت فرم سیاست بین دولتی علوم بین‌المللی سازمان ملل در زمینه تنوع زیستی و خدمات اکوسیستم هشدار داد که با توجه به از دست دادن قابل توجه تنوع زیستی، جامعه نباید فقط بر رشد اقتصادی تمرکز کند. انسان‌شناس ادواردو اس. بروندیزیو، گفته‌است: "ما باید روایت‌های خود را تغییر دهیم. هم روایت‌های فردی ما که مصرف بی‌رویه را با کیفیت زندگی و وضعیت مرتبط می‌کند، و هم روایت‌های سیستم‌های اقتصادی که هنوز در نظر می‌گیرند که تخریب محیط زیست و نابرابری اجتماعی نتایج اجتناب ناپذیر رشد اقتصادی است. رشد اقتصادی وسیله است و نه هدف. ما باید به دنبال کیفیت زندگی کره زمین باشیم.
کسانی که در مورد تأثیرات زیست‌محیطی رشد خوش بین هستند، معتقدند که اگرچه ممکن است اثرات زیست‌محیطی موضعی رخ دهد، اما اثرات اکولوژیکی در مقیاس بزرگ جزئی هستند. این استدلال، همان‌طور که توسط جولیان لینکلن سایمون، مفسر بیان شد، بیان می‌دارد که اگر این اثرات زیست‌محیطی در مقیاس جهانی وجود داشته باشد، نبوغ انسان راهی برای سازگاری با آنها پیدا می‌کند.
در سال ۲۰۱۹، هشدار دربارهٔ تغییر آب و هوا با امضای ۱۱۰۰۰ دانشمند از بیش از ۱۵۰ کشور جهان گفت که رشد اقتصادی نیروی محرکه «استخراج بیش از حد مواد و بهره برداری بیش از حد از اکوسیستم‌ها است» و این «تا پایداری طولانی مدت زیست کره، باید به سرعت کاهش یابد». آنها اضافه می‌کنند که «اهداف ما نیاز به تغییر از رشد تولید ناخالص داخلی و پیگیری ثروتمندی به سمت حفظ اکوسیستم‌ها و بهبود رفاه انسان با اولویت بندی نیازهای اساسی و کاهش نابرابری دارند». مقاله ۲۰۲۱ که توسط دانشمندان برتر در مرزها تألیف شده‌است؛ در علم حفاظت معتقد است که با توجه به بحرانهای زیست‌محیطی از جمله از دست دادن تنوع زیستی و تغییرات آب و هوایی و «آیندهٔ وحشتناک» احتمالی که بشریت با آن روبرو است، باید «تغییرات اساسی در سرمایه‌داری جهانی» ایجاد شود، از جمله «لغو رشد اقتصادی دائمی».
ارتباط نزدیکی بین رشد اقتصادی و میزان انتشار دی اکسیدکربن در سراسر کشورها وجود دارد، اگرچه در شدت کربن نیز یک واگرایی قابل توجهی وجود دارد (انتشار کربن درنتیجه تولید ناخالص داخلی).Stern Review, Part III Stabilization. Table 7.1 p. 168 در دنیای امروز، بین ثروت اقتصادی جهانی و میزان انتشار جهانی نیز رابطه مستقیمی وجود دارد. استرن ریویو خاطرنشان می‌کند که پیش‌بینی می‌کند: در حال حاضر انتشار گازهای گلخانه ای کافی است که غلظت گازهای گلخانه ای را تا سال ۲۰۵۰ به بیش از 550 ppm CO2 و بیش از650ppm-۷۰۰ تا پایان قرن برساند. اتفاق نظر علمی این است که عملکرد اکوسیستم سیاره ای بدون ایجاد شرایط خطرناک نیاز به تثبیت در 450-550 ppm دارد.Stern Review Economics of Climate Change. Part III Stabilization p. 183
در نتیجه، اقتصاددانان محیط زیست رشد گرا مداخله دولت را در تغییر منابع تولید انرژی، به سمت انرژی باد، خورشید، برق و هسته ای پیشنهاد می‌کنند. این امر تا حد زیادی استفاده از سوخت‌های فسیلی را فقط به نیازهای پخت‌وپز خانگی (مانند مشعل‌های نفت سفید) محدود می‌کند یا اینکه فناوری جذب و ذخیره کربن می‌تواند مقرون به صرفه و مطمئن باشد. در استرن رویو، که توسط دولت انگلستان در سال ۲۰۰۶ منتشر شد، نتیجه‌گیری شد که سرمایه‌گذاری ۱٪ از تولید ناخالص داخلی (بعداً به ۲٪ تغییر یافت) برای جلوگیری از بدترین تأثیرات تغییرات آب و هوایی کافی است و عدم انجام آن می‌تواند آب و هوا را به خطر بیندازد. هزینه‌های مربوطه برابر با ۲۰٪ از تولید ناخالص داخلی است. از آنجا که جذب و ذخیره کربن هنوز به‌طور گسترده اثبات نشده‌است و اثربخشی طولانی مدت آن (مانند مهار نشت دی اکسید کربن) ناشناخته است، و به دلیل هزینه‌های فعلی سوخت‌های جایگزین، این پاسخ‌های سیاست تا حد زیادی به ایمان به تغییر تکنولوژی بستگی دارد.
سیاستمدار و روزنامه‌نگار محافظه کار انگلیس، نیگل لاوسون، تجارت انتشار کربن را «یک سیستم ناکارآمد جیره بندی» دانسته‌است. در عوض، وی برای استفاده کامل از کارایی بازار، مالیات کربن را ترجیح می‌دهد. لوسون خاطرنشان کرد: برای جلوگیری از مهاجرت صنایع پر مصرف انرژی، کل جهان باید چنین مالیاتی را وضع کند، نه فقط انگلیس. اگر کسی از این الگو پیروی نکند، فایده ای ندارد.
بسیاری از پیش‌بینی‌های قبلی تخلیه منابع، مانند پیش‌بینی‌های توماس مالتوس در سال ۱۷۹۸ دربارهٔ نزدیک شدن به قحطی در اروپا، بمب جمعیت و شرط‌بندی سیمون-ارلیچ (۱۹۸۰) عملی نشده‌است. تولید کاهش یافته اکثر منابع تاکنون اتفاق نیفتاده است، یکی از دلایل آن این است که پیشرفت در فناوری و علوم اجازه تولید برخی از منابع غیرقابل دسترس را داده‌است. در بعضی موارد، جایگزینی مواد فراوانتر، مانند پلاستیک به جای فلزات ریخته شده، رشد استفاده از برخی فلزات را کاهش می‌دهد. در مورد منابع محدود زمین، ابتدا قحطی با انقلاب حمل و نقل ناشی از راه‌آهن و کشتی‌های بخار و بعداً با انقلاب سبز و کودهای شیمیایی، به ویژه فرایند هابر برای سنتز آمونیاک، کاهش یافت.Opening line of the Preface.
کیفیت منابع از عوامل مختلفی از جمله درجه‌بندی سنگ معدن، مکان، ارتفاع از سطح دریا یا پایین آن، نزدیکی به راه‌آهن، بزرگراه‌ها، تأمین آب و آب و هوا تشکیل شده‌است. این عوامل بر سرمایه و هزینه عملیاتی استخراج منابع تأثیر می‌گذارد. در مورد مواد معدنی، مقدار کمتری از منابع معدنی استخراج می‌شوند که به سرمایه و انرژی بیشتری برای استخراج و فرآوری نیاز دارند. عیارهای سنگ مس طی قرن گذشته به میزان قابل توجهی کاهش یافته‌است. مثال دیگر گاز طبیعی از شیل و سنگهای دیگر با نفوذ پذیری کم است که استخراج آنها به انرژی، سرمایه و مواد ورودی بسیار بالاتری نسبت به گاز معمولی دهه‌های گذشته نیاز دارد. نفت و گاز دریایی با افزایش عمق آب به‌طور تصاعدی هزینه را افزایش داده‌اند.
برخی از دانشمندان فیزیکی مانند سانیام میتال رشد مداوم اقتصادی را ناپایدار می‌دانند. عوامل متعددی ممکن است رشد اقتصادی را محدود کنند - به عنوان مثال: منابع محدود، اوج یا تخلیه.
در سال ۱۹۷۲، مطالعه محدودیت‌های رشد، محدودیت‌های رشد بی‌نهایت را مدل‌سازی کرد. در ابتدا مورد تمسخر قرار گرفت، برخی از روندهای پیش‌بینی شده تحقق یافتند، و این امر موجب افزایش نگرانی‌هایی برای سقوط یا کاهش قیمتی ناشی از محدودیت منابع می‌شود.Turner, Graham. A Comparison of the Limits of Growth with Thirty Years of Reality. CSIRO Working Paper Series, (2010). Available at:
مالتوسیون مانند ویلیام آر. کاتن جونیور، نسبت به پیشرفت‌های فناوری که در دسترس بودن منابع را بهبود می‌بخشد، بدبین است. آنها پیشنهاد می‌کنند که چنین پیشرفت‌ها و افزایش کارایی صرفاً تسریع در کاهش منابع محدود است. کاتون ادعا می‌کند که افزایش نرخ استخراج منابع، ناخواسته از آینده دزدی می‌کند."Overshoot" by William Catton, p. 3 [1980]
نظریه‌های اقتصادی انرژی معتقدند که میزان مصرف انرژی و بهره‌وری انرژی از نظر علیت با رشد اقتصادی مرتبط هستند. گرت معتقد است که: مستقل از سال، بین نرخ فعلی مصرف انرژی جهانی و انباشت تاریخی تولید ناخالص داخلی جهان، رابطه مستقیمی وجود دارد. از این رو می‌توان گفت که رشد اقتصادی، همان‌طور که رشد ناخالص داخلی نشان می‌دهد، به نرخهای بالاتری از رشد مصرف انرژی نیاز دارد. افزایش بهره‌وری انرژی بخشی از افزایش بهره‌وری فاکتور کل بود. برخی از مهمترین نوآوریهای فنی در تاریخ شامل افزایش بهره‌وری انرژی است؛ که شامل: پیشرفت در کارایی تبدیل گرما به کار، استفاده مجدد از گرما، کاهش اصطکاک و انتقال نیرو، به ویژه از طریق برق است. بین مصرف سرانه برق و توسعه اقتصادی همبستگی زیادی وجود دارد.
جبر خطی عددی مطالعهٔ الگوریتم‌ها و کاربردهای جبر خطّی در زمینه‌های متنوّع محاسبات علمی مدرن را شامل می‌گردد.
مقالهٔ اصلی: تجزیه مقدارهای منفرد
تجزیه مقدارهای منفردSingular value decomposition در حکم همان تجزیه مقدارهای خاصEigenvalue decomposition است، ولی، بیشتر برای ماتریس‌های غیر مربّع. بر خلاف مقدارهای خاص که تنها و تنها در مورد ماتریس‌های مربّع مصداق دارند، و می‌توانند منفی نیز باشند، مقدارهای منفرد برای همهٔ ماتریس‌ها، چه مربع و چه غیر آن مفهوم دارند و هیچ‌گاه منفی نمی‌شوند.
روش تجزیه مقادیر منفرد یا SVD تاریخچه طولانی و البته جالبی دارد. این روش، در علوم اجتماعی و با تست هوش شروع شد. در گذشته، پژوهشگران آزمون‌هایی را برای اندازه‌گیری جنبه‌های مختلف هوش مانند هوش فضایی و هوش کلامی ارائه کردند که همبستگی زیادی با هم داشتند. آن‌ها بر این باور بودند که یک معیار عمومی مشترک برای هوش وجود دارد و آن را برای هوش کلی، g نامیدند که امروزه بیشتر به عنوان آی کیو (IQ) شناخته می‌شود؛ بنابراین، پژوهشگران تصمیم گرفتند عوامل مختلف هوش را تجزیه و مهم‌ترین آن‌ها را انتخاب کنند. در ساده‌ترین حالت، تجزیه مقادیر منفرد به نوعی همین تجزیه و انتخاب مهم‌ترین عوامل یک ماتریس را انجام می‌دهد.
تجزیه مقادیر منفرد یا SVD با نام‌های مختلفی شناخته می‌شود. این روش، ابتدا به عنوان «تجزیه عامل» نامیده می‌شد. تحلیل مؤلفه‌های اصلی یا PC و تجزیه توابع متعامد تجربی یا EOF نیز از دیگر اصطلاحات نزدیک به این روش است. همه این نام‌ها از نظر مفهوم ریاضی معادل هستند، هرچند در فرایند محاسبه آن‌ها تفاوت‌های زیادی وجود دارد
امروزه، تجزیه مقادیر منفرد در بسیاری از شاخه‌های علوم و نجوم کاربرد دارد. این روش، در یادگیری ماشین و آمار توصیفی و مدل‌سازی آماری نیز بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد.
به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیهٔ مقدارهای منفرد یا تجزیهٔ مقدارهای تکین قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید.
در حل بسیاری از مسائل، مشکلاتی وجود دارد که نیازمند روش‌هایی برای حل آن‌ها می‌باشیم. تجزیهٔ مقدار تکین یکی از این روش‌ها می‌باشد که:
و در نهایت جواب عددی مناسبی از فضای حل را می‌تواند ارائه کند. اما باید توجه داشت که این روش به یقین جواب اصلی معادلات را نمی‌دهد.
به عبارتی دیگر، در جبر خطی، تجزیه مقدار تکین فاکتورگیری از یک ماتریس موهومی یا حقیقی می‌باشد که تجزیه مقادیر ویزه یک ماتریس نرمال را به هر ماتریس با M سطر و N ستون به وسیله توسعه تجزیه قطبی تعمیم می‌دهد. به‌طور خاص، این روش تجزیه ماتریس را به فرم formula_1تبدیل می‌کند که در آن U یک ماتریس واحد با M سطر و ستون است،formula_2یک ماتریس مستطیلی با درایه‌های غیر منفی بر روی قطر اصلی و ماتریس V یک ماتریس واحد با N سطر و ستون می‌باشد.
تجزیه مقادیر تکین یکتا نیست. همیشه ممکن است که ترکیب‌هایی را انتخاب کرد که مقادیر تکین به‌صورت کاهنده مرتب شده‌باشند. در چنین حالتی formula_2 به‌صورت خاص از ماتریس M حاصل می‌گردد.
گاهی نیز از اصطلاح تجزیه فشرده مقادیر تکین نیز یاد می‌شود که در آن ماتریس مقادیر ویژه formula_2 یک ماتریس مربعی قطری formula_5 می‌باشد که formula_6 مرتبه ماتریس است و فقط شامل مقادیر ویژه غیر صفر می‌باشد. در این حالت، ماتریس U یک ماتریس formula_7 و ماتریس V یک ماتریس formula_8 هستند به‌صورتی که formula_9.
کاربردهای ریاضی SVD شامل محاسبه شبه معکوس، تقریب ماتریس و تعیین رتبه، دامنه و فضای تهی یک ماتریس است. SVD همچنین در کلیه زمینه‌های علمی و مهندسی بسیار مفید است مانند پردازش سیگنال، حداقل مربعات مناسب داده‌ها و کنترل فرایند.
البته که محاسبهٔ SVD برای یک ماتریسْ دارای پیچیدگیِ زمانی خوبی نیست ولی به هر حال این روش یکی از روش‌های شناخته شده در کاهشِ ویژگی‌ها در داده‌کاوی می‌باشد و کاربردهای دیگرِ آن نیز در ادامه مورد بحث قرار خواهد گرفت. در زبان‌های برنامه‌نویسی مانند Python و R می‌توانید کتابخانه‌های مختلفی را پیدا کنید که این عملیات را به سادگی برای شما انجام می‌دهند.
تجزیه مقادیر مفرد در ابتدا توسط هندسه‌های دیفرانسیل توسعه یافته بود، که مایل بودند با تبدیل‌های متعامد مستقل، از دو فضایی که بر روی آن عمل می‌کنند، مشخص کنند که آیا یک شکل دوقلو واقعی می‌تواند برابر شکل دیگری باشد یا خیر. Eugenio Beltrami و Camille Jordan به‌طور مستقل، در سالهای ۱۸۷۳ و ۱۸۷۴ به‌طور مستقل کشف کردند که مقادیر منفرد دو شکل، که به عنوان ماتریس نشان داده می‌شود، یک مجموعه کامل را از ثوابت برای اشکال دوقلو را تحت تعویض‌های متعامد تشکیل می‌دهد. همچنین جیمز جوزف سیلوستر در سال ۱۸۸۹ به‌طور مستقل از بلترامی و اردن به تجزیه مقادیر منفرد برای ماتریس‌های مربع رسید. سیلوستر مقادیر مفرد را ضربهای متعارف ماتریس A نامید. چهارمین ریاضیدان برای کشف تجزیه ارزش مفرد به‌طور مستقل، Autonne در سال ۱۹۱۵ است که از طریق تجزیه قطبی به آن دست یافت. به نظر می‌رسد اولین اثبات تجزیه ارزش مفرد برای ماتریس‌های مستطیل و پیچیده توسط کارل اکارت و گیل جی جوان در سال ۱۹۳۶ است که آن را به عنوان تعمیم تغییر محور اصلی ماتریس‌های هرمیتی می‌دیدند.
در سال ۱۹۰۷، ارهارد اشمیت یک آنالوگ از مقادیر مفرد را برای اپراتورهای انتگرال (تحت برخی فرضیات فنی ضعیف) تعریف کرد. به نظر می‌رسد وی از کار موازی روی مقادیر مفرد ماتریسهای محدود آگاه نبود. این نظریه پیشتر توسط ilemile Picard در سال ۱۹۱۰ ساخته شد، که اولین کسی است که اعداد را با مقادیر مفرد sigma می‌نامد.
روشهای عملی نیز برای محاسبه SVD به Kogbetliantz در سال ۱۹۵۴، ۱۹۵۵ و Hestenes در ۱۹۵۸ بازمی‌گردد. روش‌هایی که شبیه به روش eigenvalue Jacobi عمل می‌کرد. با این حال، این روش‌ها با روشی که Gene Golub و ویلیام کاهان که در سال ۱۹۶۵ منتشر کردند، جایگزین شدند. درنهایت در سال ۱۹۷۰، Golub و Christian Reinsch نوعی از الگوریتم Golub / Kahan را منتشر کردند که امروزه هنوز هم مورد استفاده قرار می‌گیرد.
در مورد خاص، زمانی که M یک ماتریس formula_10 مربع حقیقی است، ماتریس formula_11 و formula_12 را می‌توان ماتریس‌های یکه حقیقی نیز انتخاب کرد. در این حالت، «یکه بودن» همان «متعامد» است. سپس با تفسیر هر یک از ماتریس‌های A به عنوان تبدیل خطی formula_13 محور فضای formula_14 ، ماتریس‌های formula_11 و formula_12 دوران فضا را نشان می‌دهند، در حالی که formula_2 نمایانگر مقیاس هر مختصات xi توسط عامل σi است؛ بنابراین تجزیه مقدار منفرد هرگونه تغییر خطی برگشت‌پذیر formula_14 را به ترکیبی از سه دگرگونی هندسی تجزیه می‌کند: چرخش یا بازتاب (formula_12)، و به دنبال آن یک مقیاس مختصات (formula_2) و به دنبال آن چرخش یا بازتاب دیگر (formula_11).
به‌طور خاص، اگر M یک دترمینان مثبت داشته باشد، می‌توانformula_11 و formula_12 را طوری انتخاب کرد که هر دو بازتاب یا دوران باشند. اگر دترمینان منفی باشد، دقیقاً یکی از آنها باید بازتاب کننده فضا باشد. اگر دترمینان صفر باشد، می‌توان هر کدام را به‌طور مستقل انتخاب کرد.
اگر ماتریس M حقیقی باشد اما مربعی نباشند، یعنی formula_24 با formula_25 ، می‌توان آن را به عنوان یک تبدیل خطی از formula_26 به formula_14 تفسیر کرد. سپس formula_11 و formula_12 می‌توانند به ترتیب چرخش formula_26 و formula_14 انتخاب شوند؛ و formula_2 ، علاوه بر مقیاس کردن مختصات formula_33، همچنین بردار را با صفرها گسترش می‌دهد، یا دنباله مختصات را حذف می‌کند، تا نهایت فضای formula_26 را به formula_14 تبدیل کند.
همان‌طور که در شکل نشان داده شده‌است، مقادیر تکین می‌توانند به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی در 2D تعبیر شوند. این مفهوم را می‌توان به فضای formula_36بعدی اقلیدسی تعمیم داد، با مقادیر تکین هر ماتریس مربع formula_37 به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی n بعدی مشاهده می‌شود. به‌طور مشابه، مقادیر تکین هر ماتریس formula_24 را می‌توان به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی n بعدی در فضای m بعدی مشاهده کرد، به عنوان مثال به عنوان بیضی در یک صفحه (کج) 2D در یک فضای 3D. مقادیر مفرد اندازه نیم محور را تعیین می‌کنند، در حالی که بردارهای تکین جهت را تعیین می‌کنند.
از آنجا که U و V یکه هستند، می‌دانیم که ستونهای U از U1، … ، Um یک پایه متعامد formula_39 و ستونهای V از V1، … ، Vn یک پایه متعامد از formula_40 (با توجه به ضرب استاندارد اسکالر در این فضاها).
تبدیل خطی:
توضیحی به خصوص ساده با توجه به اساس تعامد دارد: ما داریم
که در آن سیگما مقدار قطری ماتریس formula_2 است و برای مقادیر کمتر از کمینه مقدار سطر وستون formula_44.
از این رو مفهوم هندسی قضیه تجزیه مقدار تکین به شرح زیر خلاصه می‌شود:
برای هر نگاشت خطی formula_45 می‌توان پایه‌های متعامد متعارف formula_40 وformula_39 را پیدا کرد به گونه ای که T به i امین بردار پایه از formula_40 را به یک ضرب غیر منفی از بردار پایه I از formula_39تبدیل کند، و باقی بردارهای پایه را صفر کند. با توجه به این اساس، نگاشت T از این رو توسط یک ماتریس قطری با ورودی‌های قطری حقیقی غیر منفی نشان داده می‌شود.
برای درک بهتر تجزیه مقدار تکین و فاکتورگیری آن، حداقل در هنگام استفاده از فضای برداری، یک کره با شعاع یک را در نظر بگیرید. نگاشت خطی T این کره را بر روی فضای بیضوی formula_14 تصویر می‌کند. مقادیر تکین غیر صفر به سادگی طول محورهای نیمه بیضه این فضای بیضوی هستند. به خصوص وقتی که n = m باشد، و تمام مقادیر مفرد مشخص و غیر صفر باشند، تجزیه مقدار تکین نگاشت خطی T به راحتی می‌تواند به عنوان سه حرکت متوالی مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد: بیضی (s)T و به‌طور خاص محورهای آن را در نظر بگیرید. سپس جهت‌های formula_26 منتقل شده توسط T را بر روی این محورها در نظر بگیرید. این جهت‌ها به‌طور متقابل متعامد هستند. عمل کرد یک ماتریسformula_12 این جهت‌ها را به فضای formula_26 انتقال می‌دهد. حرکت دوم، یک دگرگونی قطری در راستای محور مختصات وارد می‌سازد و با استفاده از طول نیمه محورهای(s)T به عنوان ضریب کشیدگی، در هر راستا کشیده یا کوچک می‌شود. ترکیب ماتریس قطری در formula_12 سپس کره واحد را در فضای بیضوی به(S)Tمی‌برد. به جهت تعریف آخرین حرکت که حرکت ماتریس U است، فضایی را به فضای بیضوی اضافه کنید که آن را بر روی (S)Tمی‌برد. به راحتی می‌توان بررسی کرد که، formula_1 با formula_56 مطابقت دارد.
از آنجا که formula_11 و formula_12 یکه هستند، ستونهای هریک از آنها مجموعه ای از بردارهای متعامد را تشکیل می‌دهند، که می‌توانند به عنوان بردارهای پایه در نظر گرفته شوند. ماتریس M بردار پایه Vi را به بردار واحد کشیده formula_59 نگاشت می‌کند. به‌صورت خلاصه formula_60 و formula_61متعامد هستند و حاصل آن‌ها ماتریس واحد خواهد بود.
در عمل تجزیه کامل مقادیر تکین، که نیازمند تجزیه کامل فضای تهی نیز هست. مورد نیاز نیست. در عوض گاهی بهتر است که از حالت کاهش یافتهٔ آن استفاده گردد.
فقط بردارهای ستون n از formula_11 مربوط به بردارهای ردیف formula_12 محاسبه می‌شوند. بردارهای ستون باقیمانده U محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_65 سریعتر از تجزیهٔ کامل مقادیر تکین محاسبه می‌گردد. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_24 و formula_2 یک ماتریس formula_24 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_37 خواهد بود.
مرحله اول در محاسبه SVD سبک معمولاً تجزیه QR از M است، که می‌تواند محاسبه ای به‌طور قابل توجهی سریعتر انجام دهداگر formula_65 باشد.
فقط بردارهای ستون r از بردارهای ردیف formula_11 و r ازformula_12 مربوط به مقادیر مفرد غیر صفر formula_2 محاسبه می‌شوند. بردارهای باقیمانده formula_11 و formula_12 محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_79سریعتر و مقرون به صرفه تر باشد از SVD سبک خواهد بود. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_7 و formula_2 یک ماتریس formula_83 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_8 خواهد بود.
فقط بردارهای ستون t از بردارهای ردیف formula_11 و t ازformula_12 مربوط به مقادیر مفرد غیر صفر formula_2 محاسبه می‌شوند. بردارهای باقیمانده formula_11 و formula_12 محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_92سریعتر و مقرون به صرفه تر باشد از SVD فشرده خواهد بود. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_94 و formula_2 یک ماتریس formula_5 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_98 خواهد بود.
مقادیری که در سیگما وجود دارد در واقع همان مقادیرِ منحصر به فردی (Singular) است که می‌تواند در عملیاتِ کاهشِ ویژگی به ما کمک کند. ممکن است برای کسانی که با داده‌کاوی و عملیاتِ کاهشِ ویژگی کار نکرده باشند کمی مبهم به نظر برسد ولی در ادامه، آرام آرام این مباحث در ذهن جای خود را پیدا می‌کنند. در ادامه نیز کاهش داده به صورت کلی توضیح داده شده‌است.
تجزیه مقدار تکین را می‌توان به صورت زیر مشاهد کرد:
یک ماتریس M معمولاً با به‌صورت دو مرحله ای محاسبه می‌شود. در مرحله اول، ماتریس به یک ماتریس دو قطری کاهش می‌یابد. مرحله دوم SVD محاسبه ماتریس دو قطری است. این مرحله فقط با یک روش تکراری (مانند الگوریتم‌های و مقادیر ویژه) قابل انجام است. با این حال، در عمل محاسبه SVD تا دقت خاصی مانند دستگاه اپسیلون کافی است. اگر این دقت ثابت در نظر گرفته شود، n مرتبه تکرار نیاز دارد که هر کدام فلوتینگ پوینت از مرتبه n دارند.
اولین قدم را می‌توان با استفاده از بازتاب‌های Householder با هزینه 4mn2 - 4n3 / ۳ فلاپ انجام داد، با این فرض که فقط مقادیر تکین مورد نیاز هستند و نه بردارهای تکین. اگر m بسیار بزرگتر از n باشد، کاهش ماتریس M به به یک ماتریس سه قطری توسط روش QR و پس از آن تبدیل به یک ماتریس دو قطری با استفاده از روش Householder یک مزیت با هزینه کم محاسباتی خواهد بود.
مرحله دوم را می‌توان با یک نوع از الگوریتم QR برای محاسبه مقادیر ویژه انجام داد که برای اولین بار توسط Golub & Kahan (1965) بیان شده‌است. سابروتینLAPACK با نام DGESVD این روش تکرار را با کمی اصلاح برای مقدار کم مقادیر تکین پوشش می‌دهد.
همین الگوریتم در کتابخانه علمی GNU (GSL) پیاده‌سازی شده‌است. GSL همچنین یک روش جایگزین ارائه می‌دهد که از یک طرفه سازی جاکوبی یک طرفه در مرحله ۲ استفاده می‌کند (GSL Team 2007). این روش ماتریس SVD دو قطری را با حل توالی از مسئله‌های ۲ × 2 SVD، شبیه به نحوه حل الگوریتم eigenvalue Jacobi، از روش‌های ۲ × ۲ مقادیر ویژه را محاسبه می‌کند. روش دیگر برای مرحله ۲ از ایده‌آلگوریتم‌های ویژه تقسیم و تسخیر استفاده می‌کند (Trefethen & Bau III 1997، سخنرانی ۳۱).
یک روش جایگزین وجود دارد که صریحاً از تجزیه مقادیر ویژه استفاده نمی‌کند. معمولاً مسئله‌های مقدار تکین یک ماتریس M به یک مسئله مقادیر متقارن معادل مانندformula_99 یا formula_100یا
تبدیل می‌شوند.
رویکردهایی که از تجزیه مقادیر ویژه استفاده می‌کنند بر اساس الگوریتم QR هستند که به خوبی توسعه یافته‌اند تا پایدار و سریع باشند. توجه داشته باشید که مقادیر منحصر به فرد حقیق راست و بردار چپ برای ایجاد دگرگونی هایتشابه لازم ندارند. می‌توان به‌طور متناوب بین تجزیه QR و تجزیه LQ برای یافتن ماتریس قطری حقیقی هرمتی تکرار ایجاد کند. تجزیه QR به M ⇒ Q R می‌دهد و تجزیه LQ از R به *R ⇒ L P می‌دهد؛ بنابراین، در هر تکرار، *M ⇒ Q L P را داریم، M ⇐ L را متعامد و تکرار می‌کند. سرانجام، این تکرار بین تجزیه QR و تجزیه LQ باعث تولید ماتریس‌های واحد چپ و راست می‌شود. این روش به آسانی قابل تسریع نیست، چرا که این الگوریتم ممکن است دچار تغییر در طیف و شکل گردد. دلیل این امر این است که روش تغییر بدون استفاده از تبدیل شباهت به راحتی تعریف نمی‌شود. با این حال، این رویکرد تکراری برای اجرا بسیار ساده است، بنابراین وقتی سرعت اهمیتی ندارد ، انتخاب خوبی است.
مقادیر متکین یک ماتریس ۲ × ۲ را می‌توان به صورت تحلیلی یافت. بگذارید ماتریس M به صورت زیر باشد:
که در آن formula_107 که اعداد مختلط هستند، و I ماتریس واحد و در نهایت مقادیر formula_108 نمایانگر ماتریس پاولی می‌باشند؛ که نهایتاً دو مقدار ویژهٔ آن به‌صورت زیر محاسبه می‌گردد:
به کمک نرم‌افزار متلب می‌توان SVD یک ماتریس را محاسبه کرد.
دستور (svd(A مقادیر ویژه ماتریس A را بدست می‌دهد و با استفاده از دستور [u s v] = svd[A] ماتریس‌های متعامد و ماتریس مقادیر ویژه، به شما نمایش داده می‌شود.
ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:
تجزیهٔ مقدارهای منفرد این ماتریس برای به صورت زیر است:
توجه داشته باشید که خارج از خط مورب صفر (خاکستری ایتالیک) است و یک عنصر مورب صفر (قرمز پررنگ) است. علاوه بر این، به دلیل اینکه ماتریس‌های و یکتا هستند، ضرب آن‌ها توسط ترانهاده مزدوج آن‌ها ضرب می‌شود، همان‌طور که در زیر نشان‌داده شده‌است. در این حالت، به دلیل اینکه و حقیقی هستند، هر کدام یک ماتریس متعامد هستند.
در حالت خاص در صورتی که formula_113 به صورت زیر انتخاب شود این تقسیم دیگر منحصر به فرد نیست.
همچنین یک تقسیم معتبر ارزش ویژه است.
تجزیه مقدار تکین می‌تواند برای محاسبه شبه معکوس ماتریس مورد استفاده قرار گیرد. در واقع، شبه معکوس ماتریس M با تجزیه مقدار تکین formula_115 به صورت زیر است:
formula_117 شبه معکوس مقدارformula_118 است، که با جایگزین کردن هر مقدار قطری غیر صفر توسط تابع آن و انتقال ماتریس حاصل ایجاد می‌شود. pseudoinverse یکی از راه حل‌های مسئله حداقل مربعات خطی است.
یکی از کاربردهای این روش حل دستگاه معادلات است که در سه حالت می‌تواند بررسی گردد. ماتریس A با ابعاد M*N را درنظر بگیرید. حالت‌های زیر ممکن است رخ دهد:
مجموعه ای از معادلات خطی همگن را می‌توان به عنوان Ax = ۰ برای یک ماتریس A و بردار x نوشت. یک حالت معمول این است که A مشخص بوده و x غیر صفر تعیین می‌گردد که معادله را ارضا می‌کند. چنین x متعلق به فضای تهی A است و گاهی اوقات یک بردار تهی A (بردار راست) A نامیده می‌شود. بردار x را می‌توان به عنوان یک بردار است تکین که مطابق با مقدار تکین A که صفر است، توصیف کرد. این مشاهده به این معناست که اگر A یک ماتریس مربعی باشد و هیچ مقدار تکین اضمحلالی نداشته باشد، در نتیجه معادلات هیچ X غیر صفری به عنوان جواب ندارند. همچنین به این معنی است که اگر چندین مقدار تکین اضمحلالی وجود داشته باشد، هر ترکیب خطی از بردارهای تکین راست مربوطه یک جواب برای این دسته از معادلات خواهند بود.
مسئله حداقل مربعات به تعیین مقدار بردار X که نرم دوم بردار Ax را با قید formula_119 کمینه می‌کند اشاره دارد. به نظر می‌رسد که جواب یک بردار راست تکین A می‌باشد که به کوچکترین مقدار تکین مربوط می‌شود.
مجموع مربعات مقادیر منفرد باید برابر با واریانس کلی در A باشد؛ بنابراین، اندازه هر یک از این مقادیر بیان می‌کند که چه مقدار از واریانس کلی برای هر بردار منفرد محاسبه می‌شود.
کاربرد دیگر SVD این است که یک نمایش صریح از دامنه و فضای تهی ماتریس M را فراهم می‌کند. بردارهای تکین راست متناظر با مقادیر کوچک M نمایانگر فضای تهی M و بردارهای تکین چپ متناظر با مقادیر تکین غیر صفر M هستند که محدوده M را شکل می‌دهند. به عنوان مثال، در مثال بالا فضای تهی توسط دو ستون آخر V پوشانده شده و دامنه توسط سه ستون اول U پوشانده می‌شود.