moaminsharifi/fa-wiki-spell-checker huggingface dataset:
گروه‌های لی، منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر همواری اند و از این نظر می‌توان در مقایسه با حالت کلی تر گروه‌های توپولوژیکی، آن‌ها را با استفاده از حساب دیفرانسیل مطالعه نمود. یکی از ایده‌های اصلی نظریه گروه‌های لی، جایگزین سازی اشیاء "سراسری"، یعنی گروه‌ها با نسخه "موضعی" یا خطی‌سازی شده آن‌ها می‌باشد، که سوفوس لی آنها را «گروه بی‌نهایت کوچک‌ها» می‌نامید و اکنون به جبر لی معروف شده‌اند.
گروه‌های لی نقش بزرگی را در سطوح مختلف و متعددی از هندسه نوین ایفاء می‌کنند. فلیکس کلاین در برنامه ارلانگن اش مدعی شد که می‌توان «هندسه‌های» متنوعی را با تعیین گروه‌های تبدیلی مناسب که خواص هندسی بخصوصی را ناوردا باقی می‌گذارند، مورد بررسی قرار داد. ازین رو، هندسه اقلیدسی متناظر با انتخاب گروه formula_7 از تبدیلات حافظ فاصله روی فضای اقلیدسی formula_8 است، هندسه همدیس متناظر با بزرگ سازی گروه مذکور به گروه همدیس بوده در حالی که در هندسه تصویری، علاقه‌مند به خواص ناوردا تحت گروه تصویری می‌باشند. این ایده بعدها منجر به مفهوم "G"-ساختار شد که در آن "G" گروه لی از تقارن‌های «موضعی» یک منیفلد است.
گروه‌های لی (و جبرهای لی متناظرشان)، نقش مهمی در فیزیک نوین بازی کرده، به طوری که گروه لی اغلب نقش تقارن یک سامانه فیزیکی را بازی می‌کند. در اینجا، نمایش‌های گروه لی (یا نمایش‌های جبر لی اش) از اهمیت ویژه ای برخوردار اند. از نظریه نمایش به‌طور گسترده در فیزیک ذرات استفاده می‌گردد. گروه‌هایی که نمایش‌هایشان از اهمیت خاصی برخوردارند شامل این موارد اند: گروه دورانی formula_1 (یا گروه پوشش مضاعفش formula_10)، گروه یکه خاص formula_11 و گروه پوانکاره.
در سطح «سراسری»، هرگاه یک گروه لی روی یک شیء هندسی چون منیفلد ریمانی یا منیفلد سیمپلکتیک کنش کند، این کنش اندازه‌ای جهت سنجش میزان صلب بودن ارائه کرده و منجر به ساختار جبری غنی ای می‌گردد. حضور تقارن‌های پیوسته، از طریق یک کنش گروه لی روی یک منیفلد بیان شده و قیود قوی ای روی هندسه حاصل از آن قرار داده و آنالیز روی منیفلد را تسهیل می‌سازد. کنش‌های خطی گروه‌های لی، اهمیت ویژه‌ای داشته و در نظریه نمایش مورد مطالعه واقع شده‌اند.
در دهه‌های ۱۹۴۰ و ۱۹۵۰ میلادی، الی کولچین، آرمند بورل و کلاود شوالی متوجه شدند که بسیاری از نتایج بنیادین مربوط به گروه‌های لی را می‌توان به‌طور کاملاً جبری توسعه داد. این کار منجر به نظریه گروه‌های جبری تعریف شده بر روی میدان دلخواه می‌گردد. این بینش، با ارائه ساختار یکپارچه ای برای بسیاری از گروه‌های ساده متناهی و همچنین هندسه جبری، دریچه ای از امکانات جدید را در جبر محض باز نمود. نظریه فرم‌های اتومورفیک، که شاخه مهمی از نظریه اعداد نوین است، به‌طور گسترده با ساختارهای مشابه با گروه‌های لی روی حلقه‌های آدل سروکار دارد؛ در این حوزه، گروه‌های لی "p"-ادیک از طریق ارتباطاتشان با نمایش‌های گالوا در نظریه اعداد، نقش مهمی را ایفا می‌کنند.
گروه لی عبارت است از گروهی که همزمان منیفلد هموار نیز باشد، به گونه ای که عمل ضرب و وارون گروهی، نگاشت‌های همواری باشند. هموار بودن عمل گروهی:
بدان معنا است که formula_13 یک نگاشت هموار از منیفلد حاصلضربی formula_14 به formula_15 است. این دو شرط را می‌توان در یک شرط واحد، یعنی هموار بودن نگاشت زیر ترکیب نمود:
نگاشت فوق، نگاشت همواری از منیفلد حاصلضربی formula_14 به formula_15 است.
گروه فوق، یک گروه لی حقیقی چهار بعدی نافشرده، و همچنین زیر مجموعه بازی از formula_22 است. این گروه ناهمبند است که دو مؤلفه همبندی متناظر با مقادیر مثبت و منفی دترمینانش دارا است.
اضافه کردن زوایا، متناظر با ضرب عناصر formula_24 و زاویه منفی (در تقارن با محور ایکس‌ها) متناظر با عنصر معکوس در این گروه خواهد بود؛ بنابراین هم ضرب و هم معکوس‌گیری، نگاشت‌های دیفرانسیل پذیری می‌باشند.
اکنون مثالی از یک گروه با تعداد ناشمارا عضو را ارائه می‌کنیم که تحت توپولوژی خاصی گروه لی نباشد. گروه:
که در آن formula_29، عدد گنگ "ثابتی" است. این گروه، زیرگروهی از چنبره formula_30 است که نسبت به توپولوژی زیرفضایی، گروه لی نیست. به عنوان مثال، اگر هر همسایگی کوچک دلخواهی چون formula_31 از نقطه ای همچون formula_32 از formula_33 را در نظر بگیریم، بخشی از formula_33 که درون formula_31 قرار می‌گیرد ناهمبند خواهد بود. گروه formula_33 به‌طور مکرر و بدون ملاقات با نقاط قبلی مارپیچی که از آن عبور کرده، حول چنبره مورد نظر پیچیده و ازین رو تشکیل زیرگروه چگالی از formula_30 می‌دهد.
با این‌حال، گروه formula_33 را می‌توان مجهز به توپولوژی متفاوتی کرد که در آن فاصله نقاط formula_39 به صورت طول کوتاه‌ترین مسیر در "گروه formula_33" تعریف می‌شود که نقطه formula_41 و formula_42 را به هم متصل می‌کند. در این توپولوژی، formula_33 هومئومورف با خط حقیقی است، به گونه‌ای که هر عنصر آن را می‌توان با عدد formula_44 در تعریف formula_33 یکی‌سازی نمود. براساس این توپولوژی، formula_33 صرفاً گروه اعداد حقیقی تحت ضرب بوده و لذا یک گروه لی است.
گروه formula_33 مثالی از یک «زیرگروه لی» است که بسته نیست. بحثی که در مورد زیرگروه‌های لی در ادامه می‌آید (در بخش مفاهیم پایه‌ای) را ببینید.
فرض کنید formula_48 گروه ماتریس‌های معکوس‌پذیر formula_2 باشد که درایه‌های آن عضوی از formula_6 باشند. هر زیرگروه بسته‌ای از formula_48 یک گروه لی خواهد بود؛ Corollary 3.45 گروه‌های لی از این نوع را گروه‌های لی ماتریسی می‌نامند. از آنجا که بسیاری از مثال‌های جالب از گروه‌های لی را می‌توان به صورت گروه‌های لی ماتریسی محقق ساخت، برخی از کتب درسی همچون هال و راسمن توجه خود را محدود به این دسته از گروه‌ها می‌کنند. محدود کردن تمرکز بر روی گروه‌های لی ماتریسی، تعریف جبر لی و نگاشت نمایی را ساده می‌کند. در زیر مثال‌های استانداردی از گروه‌های لی ماتریسی آمده‌است:
تمام مثال‌های پیشین تحت عنوان گروه‌های کلاسیک طبقه‌بندی می‌گردند.
گروه لی مختلط به طریق مشابه و با استفاده از منیفلدهای مختلط به جای منیفلدهای حقیقی تعریف می‌گردد (مثل: formula_71). همین‌طور به طریق مشابه، به جای کامل‌سازی متریک میدان formula_72، می‌توان روی اعداد "p"-ادیک، گروه لی "p"-ادیک تعریف نمود، گروه توپولوژیکی که در آن هر نقطه دارای همسایگی "p"-ادیک می‌باشد.
مسئله پنجم هیلبرت می‌پرسد که آیا به تعویض منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر با منیفلدهای توپولوژیکی یا تحلیلی می‌توان مثال‌های جدید ساخت یا خیر. به نظر می‌رسد که جواب به این سؤال منفی باشد: در ۱۹۵۲ میلادی، گلیسون، مونتگومری و زیپین نشان دادند که اگر "G" یک منیفلد توپولوژیکی با اعمال گروهی پیوسته باشد، آن‌گاه دقیقاً یک ساختار تحلیلی روی "G" وجود دارد که به نظر می‌رسد یک گروه لی باشد (حدس هیلبرت-اسمیت). اگر اجازه دهیم که منیفلد زیرین بی‌نهایت بعدی باشد (مثل منیفلد هیلبرت)، آنگاه به مفهوم گروه لی بی‌نهایت-بعدی می‌رسیم. امکان تعریف نسخه‌های متعددِ مشابه با گروه‌های لی بر روی میدان‌های متناهی وجود دارد که بدین ترتیب بیشترین مثال از گروه‌های ساده متناهی تشکیل می‌گردند.
با کمکم زبان نظریه رسته‌ها، تعریف دقیقی برای گروه‌های لی ایجاد می‌گردد: گروه لی، یک شیء گروهی در رسته منیفلدهای هموار است. این تعریف مهم است، چرا که امکان تعمیم مفهوم گروه‌های لی به ابرگروه‌های لی را فراهم می‌آورد.
گروه لی را می‌توان بدون درنظر گرفتن ساختار دیفرانسیل‌پذیری روی منیفلدها، به صورت گروه توپولوژیکی هاسدورفی تعریف نمود که نزدیک عضو همانی شبیه یک گروه تبدیل است. ما در ابتدا گروه لی خطی ایمرس شده ای را به صورت زیرگروه formula_15 از گروه خطی عام formula_74 چنان تعریف می‌کنیم که:
سپس "گروه لی" به صورت گروهی توپولوژیکی تعریف می‌شود که (۱) نزدیک همانی به گروه لی خطی ایمرس شده به‌طور موضعی یکریخت باشد و (۲) تعداد مؤلفه‌های همبندی آن حداکثر شمارا باشد. نشان دادن معادل بودن تعریف توپولوژیکی مذکور با تعریف رایج عملی فنی است (و خوانندگان مبتدی باید از خواندن آن صرف نظر کنند)، اما به‌طور کلی و نادقیق به صورت زیر خلاصه می‌شود:
تعریف توپولوژیکی گروه‌های لی این گزاره را ایجاب می‌کند: «اگر دو گروه به عنوان گروه‌های توپولوژیکی یکریخت باشند، به عنوان گروه‌های لی نیز یکریخت می‌باشند.» در حقیقت، این گزاره، این اصل کلی را بیان می‌دارد: «"توپولوژی یک گروه لی" به همراه قوانین گروهی، تا حد زیادی هندسه گروه را تعیین می‌کنند».
گروه‌های لی در ریاضیات و فیزیک به فراوانی دیده می‌شوند. گروه‌های ماتریسی یا گروه‌های جبری (به‌طور نادقیق) گروه‌های ماتریسی اند (به عنوان مثال، گروه‌های متعامد و سیمپلکتیک) و این شکل از گروه‌های لی، رایج‌ترین مثال‌ها ازین نوع گروه‌ها می‌باشند.
تنها گروه‌های لی همبند از بعد یک، خط حقیقی (با عمل جمع) و گروه دایره‌ای formula_90 از اعداد مختلط با قدر مطلق ۱ (که عمل جمع در آن ضرب مختلط است) می‌باشند. گروه formula_90 را اغلب به صورت formula_92 نشان داده که گروه ماتریس‌های یکانی formula_93 است.
در دو بعد، اگر توجهمان را به گروه‌های همبند ساده معطوف کنیم، آنگاه می‌توان آن‌ها را براساس جبرهای لی‌شان رده‌بندی کرد. در حد یکریختی، تنها دو جبر لی از بعد دو موجودند. گروه‌های لی همبند ساده متناظر با formula_5 (با عمل گروهی جمع برداری) و گروه آفین دو بعدی، در زیربخش قبلی تحت عنوان «اولین مثال‌ها» توصیف شدند.
چندین روش استاندارد جهت ساخت گروه‌های لی جدید از گروه‌های لی قدیمی وجود دارد:
مثال‌هایی از گروه‌هایی که لی "نیستند" (هر گروه که حداکثر تعداد شمارایی عضو داشته باشد را می‌توان به صورت گروه لی ۰-بعدی مجهز به توپولوژی گسسته دید):
می‌توانیم برای هر گروه لی، یک جبر لی مرتبط سازیم. در زیربنای جبر لی، فضای برداری وجود دارد که فضای مماس گروه لی متناظر با آن در عنصر همانی بوده که ساختار موضعی گروه لی را به‌طور کامل دربر دارد. به زبان ساده‌تر، می‌توانیم عناصر جبر لی را به عنوان عناصر گروه لی درنظر بگیریم که «بی‌نهایت نزدیک» به عنصر همانی بوده و کروشه لی جبر لی نیز به جابه‌جاگر دوتا عنصر بی‌نهایت کوچک این چنینی مرتبط است. قبل از ارائه تعریف مجرد، چند مثال در ادامه خواهند آمد:
که در آن formula_136 با استفاده از تابع نمایی ماتریسی تعریف شده‌است. می‌توان نشان داد که جبر لیِ گروه لی چون formula_15، فضای برداری حقیقی است که تحت عمل کروشه‌گیری بسته‌است formula_138. Theorem 3.20
کار کردن با تعریف ملموسی که در بالا برای گروه‌های ماتریسی آمده راحت است، اما مشکلات جزئی دارد: برای این که از این تعریف استفاده شود، ابتدا باید یک گروه لی را به صورت گروهی از ماتریس‌ها نمایش داد، در حالی که این نمایش برای تمامی گروه‌های لی امکان‌پذیر نبوده و حتی مستقل بودن جبر لی از نمایشی که به کار می‌بریم هم واضح نیست.But see , Proposition 3.30 and Exercise 8 in Chapter 3 برای این که بر این مسائل فایق آییم، تعریف کلی از جبر لی یک گروه لی را ارائه می‌نماییم (در ۴ مرحله):
جبر لی formula_156، متناهی-بعدی بوده و دارای بعدی برابر با منیفلد formula_15 است. جبر لی formula_15، گروه formula_15 را در حد «یکریختی موضعی» تعیین می‌کند، به گونه‌ای که دو گروه لی را موضعاً یکریخت نامند اگر نزدیک عنصر همانی شبیه هم باشند. مسائل مربوط به گروه‌های لی را اغلب، ابتدا با حل مسئله متناظرش در جبرهای لی حل کرده، سپس نتیجه آن برای گروه‌ها اغلب در پی آن به راحتی بدست می‌آیند. به عنوان مثال، برای رده‌بندی گروه‌های لی ساده، اغلب ابتدا به سراغ رده‌بندی جبرهای لی متناظرشان می‌روند.
همچنین ما می‌توانیم ساختار یک جبر لی روی formula_163 را با استفاده از میدان‌های برداری ناوردای راست، به جای میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف کنیم. این منجر به جبر لی یکسانی می‌گردد، چرا که می‌توان جهت یکی‌سازی میدان‌های برداری ناوردای چپ با میدان‌های برداری ناوردای راست، از نگاشت معکوس روی گروه formula_15 استفاده کرد که روی فضای مماس formula_163 به عنوان ۱- عمل می‌کند.
همچنین، ساختار جبر لی روی formula_163 را می‌توان به این صورت توصیف نمود که عمل جابجاگر:
روی formula_14، عنصر formula_169 را به formula_170 می‌فرستد، چنان‌که مشتقش عملگر دوخطی روی formula_154 را نتیجه می‌دهد. این عملگر دوخطی در حقیقت نگاشت صفر است، اما مشتق دوم، تحت یکی‌سازی مناسبی از فضاهای مماس، منجربه عملگری می‌شود که در اصول موضوعه کروشه لی صدق کرده و دو برابر چیزی است که از طریق میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف می‌شود.
اگر formula_15 و formula_33 گروه‌های لی باشند، آنگاه هم‌ریختی گروهی چون formula_174 یک هم‌ریختی گروهی هموار خواهد بود. در مورد گروه‌های لی مختلط، چنین هم‌ریختی‌هایی باید نگاشت هولومورف باشند. با این حال، این الزامات کمی سخت‌گیرانه اند؛ مشخص می‌شود که هر هم‌ریختی پیوسته بین گروه‌های لی حقیقی، تحلیلیِ حقیقی اند. Corollary 3.50. Hall only claims smoothness, but the same argument shows analyticity.
ترکیب دو هم‌ریختی لی مجدداً یک هم‌ریختی بوده و رده تمام گروه‌های لی به همراه این ریخت‌ها، تشکیل یک رسته می‌دهند. به علاوه، هر هم‌ریختی گروه لی، یک هم‌ریختی بین جبرهای لی متناظرشان را القاء می‌کند. فرض کنید formula_175 یک هم‌ریختی گروه لی بوده و formula_176 مشتق آن در همانی باشد. اگر جبرهای لی formula_15 و formula_33 را با فضاهای مماسشان در عناصر همانی بشناسیم، آنگاه formula_176 نگاشتی بین جبرهای لی متناظر خواهد بود:
می‌توان نشان داد که formula_176 در حقیقت هم‌ریختی یک جبر لی است (یعنی نگاشت خطی است که کروشه لی را حفظ می‌کند). سپس به زبان نظریه رسته‌ها، تابعگون هم‌وردایی از رسته گروه‌های لی به رسته جبرهای لی داریم که یک گروه لی را به جبر لی اش برده و هم‌ریختی گروه لی را به مشتقش در همانی می‌برد.
دو گروه لی را "یکریخت" نامیده اگر هم‌ریختی دو سویه‌ای بینشان وجود داشته باشد که معکوسش نیز یک هم‌ریختی گروه لی باشد. به‌طور معادل، این هم‌ریختی دیفئومورفیسمی است که هم‌ریختی گروهی نیز می‌باشد.
گروه‌های لی یکریخت، لزوماً جبرهای لی یکریختی نیز دارند؛ سپس پرسیدن این سؤال منطقی خواهد بود که یکریختی رده‌های گروه‌های لی چگونه با یکریختی رده‌های جبرهای لی مرتبط می‌شود.
اولین نتیجه در این جهت، قضیه سوم لی است، که بیان می‌کند هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی (خطی) است. یک راه جهت اثبات قضیه سوم لی، استفاده از قضیه آدو است، که می‌گوید هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، یکریخت با یک جبر لی ماتریسی است. ضمن این که، برای هر جبر لی ماتریسی متناهی-بعدی، یک گروه خطی (گروه لی ماتریسی) وجود دارد که آن جبر، جبرِ لی اش باشد. Theorem 5.20
از سوی دیگر، گروه‌های لی با جبرهای لی یکریخت، لزوماً یکریخت نیستند. به علاوه، این نتیجه حتی هنگامی که فرض کنیم گروه‌ها همبند هستند نیز درست باقی می‌ماند. به بیان دیگر، ساختار "سرتاسری" روی یک گروه لی توسط جبر لی اش تعیین نمی‌شود؛ به عنوان مثال، اگر formula_182 یک زیرگروه گسسته دلخواه از مرکز formula_15 باشد، آنگاه formula_15 و formula_185 دارای جبرهای یکسانی خواهند بود (برای دیدن مثال‌ها، جدول گروه‌های لی را ببینید). از جمله مثال‌های مهم در فیزیک، گروه‌های formula_10 و formula_1 اند. این دو گروه دارای جبرهای لی یکریخت می‌باشند، Example 3.27 اما خود این گروه‌ها یکریخت نیستند، چرا که formula_10 برخلاف formula_1، همبند ساده است. Section 1.3.4
از سوی دیگر، اگر بر روی گروه‌های لی شرط همبند ساده بودن را قرار دهیم، آنگاه ساختار سرتاسری توسط جبرهای لی اش تعیین می‌گردد: دو گروه لی همبند ساده ای که جبرهای لی یکریخت داشته باشند، یکریخت خواهند بود (زیربخش بعدی را جهت اطلاعات بیشتر در مورد گروه‌های لی همبند ساده ببینید). Corollary 5.7 لذا ممکن است با توجه به قضیه سوم لی، بتوان گفت که تناظر یک-به-یکی بین رده‌های یکریختی جبرهای لی حقیقی متناهی-بعدی و رده‌های یکریختی گروه‌های لی همبند ساده وجود دارد.
گروه لی چون formula_15 را همبند ساده گویند اگر هر کمان بسته (یا حلقه، loop) در formula_15 را بتوان به‌طور پیوسته به یک نقطه در formula_15 منقبض نمود. این مفهوم به دلیل نتیجه زیر، که از فرض همبند ساده بودن استفاده رده، مهم تلقی می‌شود:
قضیه سوم لی می‌گوید که هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، جبر لی یک گروه لی است. از قضیه سوم لی و نتیجه پیشین نتیجه می‌شود که هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی همبند ساده "یکتا" است.
مثالی از یک گروه همبند ساده، گروه یکانی خاص formula_203 است که به عنوان یک منیفلد، ۳-کره است. از سوی دیگر، گروه دورانی formula_204 همبند ساده نیست (توپولوژی formula_204). شکست formula_204 در همبند ساده بودن، ارتباط تنگاتنگی با تمایز بن اسپین صحیح و اسپین نیم-صحیح در مکانیک کوانتومی دارد. مثال‌های دیگری از گروه‌های لی همبند ساده شامل گروه یکانی خاص formula_207، گروه اسپین (پوشش مضاعف گروه دورانی) formula_208 برای formula_209 و گروه سیمپلکتیک فشرده formula_210. Section 13.2
روش‌های تعیین همبند ساده بودن یا نبودن یک گروه لی، در مقاله گروه‌های بنیادی، گروه‌های لی بحث شده است.
نگاشت نمایی از جبر لی formula_211 مربوط به گروه خطی عام formula_212 به formula_212، توسط ماتریس نمایی تعریف شده و برای ماتریس‌هایی همچون formula_108، به صورت سری توانی معمولی زیر تعریف می‌گردد:
اگر formula_15 زیرگروه بسته‌ای از formula_212 باشد، نگاشت نمایی، جبر لی formula_15 را به formula_15 خواهد نگاشت؛ ازین رو، برای تمام گروه‌های ماتریسی نگاشتی نمایی وجود خواهد داشت. هر عضو از formula_15 که به میزان کافی به عنصر همانی نزدیک باشد، تابع نمایی از یک ماتریس در جبر لی خواهد بود. Theorem 3.42
استفاده از تعریف فوق ساده است، اما این تعریف برای گروه‌های لی که شکل ماتریسی نداشته باشند قابل استفاده نبوده و مشخص نیست که نگاشت نمایی یک گروه لی به نمایشش به عنوان یک گروه ماتریسی، وابستگی ندارد. می‌توانیم هردوی این مشکلات را با استفاده از تعریفی مجرد تر از نگاشت نمایی که برای تمام گروه‌های لی کار می‌کند، حل کنیم. این تعریف در ادامه خواهد آمد.
برای هر بردار چون formula_108 در جبر لی formula_195 از formula_15 (یعنی فضای مماس بر formula_15 در همانی)، می‌توان اثبات کرد که زیرگروه تک-پارامتری یکتایی چون formula_225 چنان وجود دارد که formula_226. زیرگروه تک-پارامتری بودن formula_227، به این معنا است که formula_227 نگاشت همواری به توی formula_15 است و این که برای تمام formula_230 و formula_231:
عمل سمت راست رابطه بالا، ضرب گروهی در formula_15 است. شباهت صوری این فرمول با خاصیت توابع نمایی، تعریف زیر را توجیه می‌کند:
به نگاشت فوق، نگاشت نمایی گفته می‌شود. این نگاشت، جبر لی formula_195 را به توی گروه لی formula_15 می‌نگارد. این نگاشت، دیفئومورفیسمی بین همسایگی صفر در formula_195 و یک همسایگی از عنصر همانی formula_170 در formula_15 را ارائه می‌نماید. نگاشت نمایی، تعمیمی از تابع نمایی برای اعداد حقیقی (چون formula_5، جبر لی از گروه لی اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب می‌باشد)، اعداد مختلط (چون formula_6، جبر لی از گروه لی اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب می‌باشد)، و ماتریس‌ها (چون formula_121، به همراه جابجاگر عادی اش، جبر لی از گروه لی formula_243 می‌باشد) است.
از آنجا که نگاشت نمایی روی برخی از همسایگی‌های formula_244 از formula_170، پوشا است، اغلب به عناصر جبر لی، مولدان بی‌نهایت‌کوچک از گروه formula_15 گفته می‌شود. زیرگروه formula_15 تولید شده توسط formula_244، مؤلفه همانی formula_15 است.
نگاشت نمایی و جبر لی، "ساختار گروه موضعی" هر گروه لی همبند را تعیین می‌کنند. علت آن، فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف است: همسایگی چون formula_31 از عنصر صفر formula_156 چنان موجود است که برای formula_252 داریم:
formula_253
به طوری که جملات حذف شده معلوم بوده و مربوط به کروشه‌های لی روی چهار عضو یا بیشتر می‌شوند. هرگاه formula_108 و formula_255 جابه‌جا شوند، این فرمول به قانون نمایی رایج تقلیل پیدا می‌کند: formula_256
نگاشت نمایی، هم‌ریختی‌های گروه لی را به هم مرتبط می‌سازد؛ یعنی، اگر formula_175 یک هم‌ریختی گروه لی بوده و formula_180، نگاشت القاء شده روی جبرهای لی متناظر با آن باشند، سپس برای تمام formula_259 داریم:
formula_260
به بیان دیگر، نمودار زیر جابجا می‌شود:
نگاشت نمایی از جبر لی به گروه لی همیشه پوشا (بِرو) نیست، حتی اگر گروه مورد نظر همبند باشد (گرچه که برای گروه‌های همبندی که فشرده یا پوچتوان باشند، پوشا است). به عنوان مثال، نگاشت نمایی formula_261، پوشا نیست. همچنین، نگاشت نمایی برای گروه‌های لی بی‌نهایت-بعدی (پایین را ببینید) که روی فضای فرشه formula_262 مدل شده باشند، نه پوشا و نه یک-به-یک اند، حتی برای همسایگی‌های به دلخواه کوچکی از صفر به همسایگی متناظرش از ۱.
زیرگروه لی چون formula_33 از گروه لی formula_15، یک گروه لی است، یعنی زیرمجموعه ای از formula_15 که نگاشت شمول از formula_33 به formula_15 را ایمرژن (جادهنده) و هم‌ریختی گروهی کند. براساس قضیه کارتان، زیرگروه بسته‌ای از formula_15، ساختار هموار یکتایی را می‌پذیرد که آن را تبدیل به زیرگروه لی نشانده شده‌ای در formula_15 می‌کند، یعنی، زیرگروه لی که نگاشت شمول را تبدیل به نشاندن هموار می‌کند.
مثال‌های متعددی از زیرگروه‌های نا-بسته موجودند؛ به عنوان مثال، فرض کنید formula_15 چمبره دو بعدی یا بیشتر بوده و formula_33 زیرگروه تک-پارامتری با "شیب گنگ" باشد، یعنی، زیرگروهی که حول formula_15 بپیچد. سپس هم‌ریختی گروه لی چون formula_273 موجود است به طوری که formula_274. بستار formula_33 زیرچمبره‌ای در formula_15 خواهد بود.
نگاشت نمایی، تناظر یک-به-یکی بین زیرگروه‌های لی همبند از یک گروه لی همبند چون formula_15 و زیرجبرهای جبر لی از formula_15 برقرار می‌سازد. Theorem 5.20 اغلب، زیرگروه متناظر با یک زیرجبر، زیرگروه بسته نیست. هیچ محکی وجود ندارد که صرفاً براساس ساختار formula_15 کار کند و تعیین کند که چه زیرجبرهایی متناظر با زیرگروه‌های بسته‌اند.
یکی از جنبه‌های مهم مطالعه گروه‌های لی، نمایش‌هایشان است، یعنی روشی که (به صورت خطی) روی فضاهای برداری کنش می‌کنند. در فیزیک، گروه‌های لی اغلب اطلاعات مربوط به تقارن‌های یک سامانه فیزیکی را در خود می‌گنجانند. نظریه نمایش کمک می‌کند که از تقارن جهت تحلیل سامانه استفاده شود. به عنوان مثال، معادله وابسته-به-زمانِ شرودینگر در مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: formula_280. فرض کنید سامانه مذکور دارای تقارن گروه دورانی formula_204 باشد، یعنی عملگر همیلتونی formula_282 روی تابع موج formula_283. با کنش formula_204 جابجا می‌شود (یک مثال مهم از چنین سامانه ای، اتم هیدروژن است که دارای یک مدار کروی است). این فرض لزوماً به معنی این نیست که جواب‌های formula_283، توابع ناوردای دورنی اند، بلکه به این معنی است که "فضای" جواب‌های formula_286 تحت دوران (برای هر مقدار ثابت از formula_287) ناوردا است؛ لذا این فضا، نمایشی از formula_204 را تشکیل می‌دهد. این نمایش‌ها رده‌بندی شده و رده بندیشان منجر به ساده‌سازی قابل توجه مسئله مربوط به اتم هیدروژن می‌شود، به گونه ای که اساساً معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در سه بعد، تبدیل به یک معادله دیفرانسیل معمولی یک بعدی می‌شود.
به‌طور ویژه، حالت مربوط به گروه لی فشرده همبندی چون formula_289 (شامل حالت formula_204 که اخیراً ذکر شد)، مهار شدنی است. Part III در این حالت، هر نمایش متناهی-بعدی از formula_289 به جمع مستقیم نمایش‌های تحویل ناپذیر تجزیه می‌گردد. نمایش‌های تحویل‌ناپذیر نیز توسط هرمان ویل رده‌بندی شده‌اند. این رده‌بندی براساس «بیشترین وزن» نمایش است. این رده‌بندی ارتباط نزدیکی با رده‌بندی نمایش‌های یک جبر لی نیم-ساده دارد.
همچنین می‌توان نمایش‌های یکانی (در حالت کلی بی‌نهایت-بعدی) از یک گروه لی دلخواه (که لزوماً فشرده نیست) را نیز مطالعه نمود. به عنوان مثال، امکان توصیف ساده نسبی از نمایش‌های گروه formula_261 و نمایش‌های گروه پوانکاره وجود دارد.
بَسکین-رابینز نام فروشگاه جهانی و زنجیره‌ای بستنی فروشی است که در سال ۱۹۴۵ توسط برت بسکین و ایرو رابینز افتتاح شد. محل پایه‌گذاری این بستنی‌فروشی، شهر گلندیل، کالیفرنیا در ایالات متحده آمریکا بود و اینک با ۵۸۰۰ نمایندگی عرضه انواع بستنی در دنیا معروف است.
آرم (لوگو) این کمپانی دارای عدد ۳۱ می‌باشد که به معنای ۳۱ طعم مختلف این بستنی است.
۳۱ طعم بستنی که توسط تأسیس کنندگان بسکین-رابینز در سال ۱۹۴۵ ساخته شد:
عمر شریف با نام اصلی میشل دیمیتری شلهوب (۱۰ آوریل ۱۹۳۲ – ۱۰ ژوئیهٔ ۲۰۱۵) هنرپیشهٔ سرشناس مصری سینمای هالیوود بود.
عمر شریف با نام اصلی میشل دیمیتری شلهوب در شهر اسکندریه، مصر به دنیا آمد. وی از خانواده‌ای متعلق به کلیسای کاتولیک یونانی بود که اصالتاً فلسطینی-سوری-لبنانی بودند. پدر وی «یوسف شلهوب» زادهٔ لبنان بود.
زمانی که در کالج ویکتوریا، اسکندریه تحصیل می‌کرد با یوسف شاهین و ادوارد سعید هم‌شاگردی بود. پس از این که در رشتهٔ ریاضی و فیزیک از دانشگاه قاهره فارغ‌التحصیل شد به مدت ۵ سال در شغل پدر که تجارت چوب بود مشغول به کار شد و پس از آن برای آموختن بازیگری وارد آکادمی سلطنتی هنرهای دراماتیک لندن شد.
شریف به زبان‌های انگلیسی، عربی، یونانی، ایتالیایی، اسپانیایی، و فرانسه تسلط داشت و در فیلم‌ها اغلب نقش یک خارجی را بازی می‌کرد.
وی پس از ورود به سینمای مصر با یکی از ستارگان وقت سینمای مصر به نام فاتن حمامه آشنا شد و رفته رفته عاشق وی شد. به‌طوری‌که برای ازدواج با فاتن حمامه که یک مسلمان بود، به اسلام گروید و نامش را به عمر الشریف تغییر داد.Biography of Omar Sharif, rottentomatoes
حاصل ازدواج فاتن حمامه و عمر شریف پسری است به نام طارق شریف که در سال ۱۹۵۷ به دنیا آمد. زندگی مشترک عمر شریف و فاتن حمامه، ۲۰ سال ادامه داشت تا سرانجام در سال ۱۹۷۴، از یکدیگر جدا شدند.
عمر شریف پس از جدایی از فاتن حمامه دیگر هیچگاه ازدواج نکرد.Biography for Omar Sharif, IMdB
نوهٔ او عمر شریف پسر هم، مثل پدربزرگ و مادربزرگش به بازیگری روی آورده‌است.
عمر شریف به بازی بریجنوعی بازی با ورق علاقه فراوانی داشت. وی حتی کتابی در زمینه بازی بریج نیز منتشر کرد.
در مهٔ ۲۰۱۵ طارق فرزند عمر شریف طی گفتگویی با روزنامهٔ اسپانیایی "ال موندو" اعلام کرد که پدرش به بیماری آلزایمر مبتلا شده ولی پیشرفت بیماری هنوز مشخص نیست.
عمر شریف بر اثر حمله قلبی در تاریخ ۱۰ ژوئیهٔ ۲۰۱۵ در سن ۸۳ سالگی در بیمارستانی در قاهره درگذشت.
وی در سال ۱۹۶۳ برای بازی در فیلم "لورنس عربستان" نامزد دریافت جایزه اسکار بهترین بازیگر نقش مکمل مرد شد.
عمر شریف همچنین در سال ۱۹۶۵ برای بازی در فیلم "دکتر ژیواگو" برنده جایزه گلدن گلوب برای بهترین نقش اول مرد شد.Awards for Omar Sharif, IMdB وی در فیلم سیزدهمین سلحشور و سریال جزیره اسرارآمیز نیز ایفای نقش کرده‌است.
وی همچنین برنده «جایزه سزار بهترین بازیگر نقش اول مرد» در سال ۲۰۰۴ و «نشان سرگئی آیزنشتاین» در نوامبر ۲۰۰۵ شد.
در فیزیک ذرات مارپیچگی (Helicity) تصویر اسپین formula_1 یک ذره در امتداد تکانهٔ formula_2 آن است:
چرا که تصویر تکانهٔ زاویه‌ای مداری formula_4 بر تکانه formula_2 صفر است:
سید رضا ناجی (زاده ۵ خرداد ۱۳۰۲ در اصفهان– درگذشته ۲۶ بهمن ۱۳۵۷ در تهران) سرلشکر نیروی زمینی شاهنشاهی و فرماندار نظامی استان اصفهان بود.
پس از انقلاب ۱۳۵۷ او دستگیر، محاکمه و به حکم صادق خلخالی قاضی شرع دادگاه انقلاب به اعدام محکوم شد. حکم وی و سه نفر دیگر از امرای ارتش در تاریخ ۲۶ بهمن ۱۳۵۷ بر پشت بام مدرسه رفاه واقع در خیابان عین الدوله (ایران) اجرا گردید.General Reza Naji, OMID: A Memorial in Defence of Human Rights
پیکر ناجی در بهشت زهرا به خاک سپرده شد.وب گاه بهشت زهرا
بلافاصله پس از اعدام انقلابی وی و سایر مقامات رژیم سابق، جوانان مستقر در اطراف کمیتهٔ انقلاب و خیابان‌های ایران و ژاله شروع به تیراندازی هوایی کرده و به ابراز شادمانی از این واقعه پرداختند. خبر اعدام این گروه به وسیلهٔ بلندگو به اطلاع ساکنان خیابان‌های اطراف کمیتهٔ انقلاب رسید.فوق‌العاده روزنامه اطلاعات. جمعه ۲۷ بهمن ۱۳۵۷ صفحه نخست
خرافات (جمع واژه عربی خرافه) به معنی اعتقاد غیرمنطقی و ثابت نشده به تأثیر امور ماورای طبیعت در امور طبیعی و به عبارت دیگر، هر نوع پندار عجیب برای مردم عوام است یعنی عقاید غیرواقعی. معمولاً خرافات ریشه در گرایش‌های درونی یا باطنی در زندگی بشر داشته‌اند و به مرور تبدیل به خرافه شده‌اند. آنچه که از نظر اکثر فیلسوفان مورد قبول است، این است که هیچ تعریف مشخص و همه پسندی دربارهٔ خرافه وجود ندارد و تعریفی که از خرافه به معنای امر موهوم در ذهن مردم است، بسیار نامشخص و گُنگ به نظر می‌رسد.
هر دستگاه دینی تمایل به گردآوری خرافات به عنوان باورهای محیطی دارد، برای مثال، یک مسیحی ممکن است بر این باور باشد که در مواقع دشواری اگر کتاب مقدس را به‌طور تصادفی باز کند و متنی را که برای اولین بار به چشمش می‌خورد بخواند، راهنمایی می‌شود. غالباً مذهب یک فرد خرافات دیگری است: امپراتور روم، کنستانتین بزرگ، از برخی اعمال غیر مسیحی به عنوان خرافه یاد کرد. تاسیتوس مورخ رومی مسیحیت را یک خرافه مخرب نامید. بسیاری از پروتستان‌ها ادای احترام کلیسای کاتولیک به آثار، تصاویر و مقدسین را خرافه دانسته‌اند. مسیحیان بسیاری از اعمال هندو را خرافه می‌دانند و پیروان همه ادیان ممکن است رابطه اقوام بومی استرالیا با توتم را خرافه‌ای بدانند. سرانجام، ممکن است همه باورها و اعمال مذهبی برای فرد بدون دین خرافاتی به نظر برسد.‏
خرافه اعتقادی یا عملی است که معمولاً ناشی از جهل یا سوءتفاهمی از علم یا علیت، اعتقاد به سرنوشت، تأثیر ماوراطبیعی درک شده یا ترس از آنچه ناشناخته است. معمولاً در مورد عقاید و اعمال پیرامون شانس، پیشگویی و به ویژه برخی موجودات معنوی این باور وجود دارد که می‌توان رویدادهای آینده را با وقایع قبلی خاص (ظاهراً) غیرمرتبط، پیشگویی کرد. کلمه خرافات غالباً برای دینی به کار می‌رود که اکثریت جامعه معین عمل نمی‌کند فارغ از اینکه آیا دین غالب حاوی خرافات ادعایی است.
اعتقاد بر این است که عمل خرافاتی قرار دادن میخ زنگ زده در یک لیمو، بد و به‌طور کلی شر را دفع می‌کند، همان‌طور که در متن عامیانه باورهای عمومی و خرافات از یوتا شرح داده شده‌است.
شناسایی چیزی به عنوان خرافات عموماً انتقادی است. مواردی که در اصطلاح عامیانه به این موارد گفته می‌شود معمولاً به عنوان اعتقاد عامیانه در فرهنگ عامه شناخته می‌شود.
واژه خرافه از عربی گرفته شده‌است؛ در روایتی از محمد، پیامبر مسلمانان، نقل شده‌است که خرافه مردی از قبایل یمن بوده‌است که مدتی توسط اجنه ربوده شد و پس از مدتی به قبیله اش بازگشت؛ پس از آن هنگامی که رویدادهای عجیب از زندگی جنیان را بیان می‌کرد، در میان اعراب به شهرت رسید.احمد بن حنبل، مسند احمد ۱۵۷/۶
در عربی، به هر سخن عجیب که از عالمی غیر از عالم بشری و علم و تجربه انسانی آگاهی می‌داد، حدیث خرافه می‌گویند.ملاحم و فتن، سید بن طاووس ص ۳۶۰
افراد معتقد به دین (هر دینی) باور دارند که خرافات شامل عقاید دینی و مذهبی نمی‌شود چرا که از دستورهای خدا و پیامبران گرفته شده ولی بسیاری از اندیشمندان و عقل‌گرایان بر این باورند هر گونه عقیده دینی و مذهبی هم می‌تواند خرافه باشد.
در دین اسلام ریشه خرافات در ضعف ایمان دانسته شده و نقل شده‌است اگر میزان ایمان و اعتقاد به پروردگار در فرد کم شود به همان اندازه میزان میل به خرافات در او بیشتر می‌شود، و چه بسا افرادی که با باور خرافات غلط زیان‌های شدید و گاهن غیرقابل جبرانی دیده‌اند.
عبدالکریم سروش در جلسهٔ نخست و دوم سخنرانی‌های «آفات و خرافات»، خرافه را به معنای اخص اینگونه تعریف کرد:سروش. عبدالکریم. 31 مارس 2020. آفات و خرافات-جلسه دوم. مدرسهٔ مولانا جلال‌الدّین "خرافه به باطل‌ها و غلط‌هایی گفته می‌شود که اولاً تولید «سنّت» ی می‌کند یعنی به صورت سنّتی درآمده و در زندگی جمعی و فردی مردم/قومی جاری شده؛ یک روش و شیوه تفکّری گشته و در زندگی مردم اعم از زندگی دینی یا دنیوی‌شان اثر مضر (نه فقط اثر، چون ممکن است خرافهٔ مفیدی داشته باشیم) می‌گذارد و خادم قدرت و منافع صنف و گروه ویژه‌ای است."البته وی معتقد نیست که این تعریف جامع و مانعی از خرافه باشد ولی می‌گوید وقتی که عموم خرافه‌ها را تحلیل و بررسی کنید می‌بینید کمابیش این اوصاف در آنها صادق است.سروش، عبدالکریم. ۲۱ مارس ۲۰۲۰. آفات و خرافات-جلسه اول. مدرسهٔ مولانا جلال‌الدّین
مشرکان یونان و روم، که روابط خود را با خدایان از نظر سیاسی و اجتماعی الگوبرداری می‌کردند، مردی را که از فکر خدایان دائماً از ترس می‌لرزید، مورد تمسخر قرار می‌دهند، زیرا برده‌ای از یک استاد ظالم و دمدمی مزاج می‌ترسد. مقصود رومیان از «خرافات» چنین ترس از خدایان بود (وین، ۱۹۸۷، ص ۲۱۱).
دائرةالمعارف دیدرو خرافه را چنین تعریف می‌کند: «به‌طور کلی هر گونه افراط در دین»، و آن را به‌طور خاص با بت‌پرستی پیوند می‌دهد.
مارتین لوتر (که پاپ را «آن چشمه و منبع همه خرافات» نامید) در مقدمه خود دربارهٔ اسارت بابلیان کلیسا، پاپ‌ها را به خرافات متهم می‌کند: زیرا یکی دیگر از اسقف‌های بزرگ مشهور که تعداد بسیار اندکی پاپی آموخته داشتند کم بود. فقط در خشونت، دسیسه و خرافات تاکنون از بقیه پیشی گرفته‌است. برای مردانی که هزار سال پیش صومعه روم را اشغال کرده‌اند بسیار متفاوت از کسانی است که از آن زمان به قدرت رسیده‌اند، به طوری که شخص مجبور می‌شود نام پاپی روم را به اولی یا دومی رد کند.تعلیم و دستور مذهبی فعلی کلیسای کاتولیک، خرافات را گناه آلود می‌داند به این معنا که نشانگر «افراط و تفریط دین» است، به عنوان عدم اعتماد به مشیت الهی (۱۰ ۲۱۱۰)، و نقض اولین فرمان از ده فرمان، گناهکار است. Catechism دفاعی در برابر اتهام خرافاتی بودن آموزه کاتولیک است:خرافات انحراف از احساس مذهبی و اعمال این احساس است. این حتی می‌تواند در پرستش ما خدای واقعی تأثیر بگذارد، به عنوان مثال، وقتی شخصی به طریقی جادویی به برخی از اعمال غیرقانونی و ضروری اهمیت می‌دهد. نسبت دادن کارایی دعاها یا نشانه‌های اسرار آمیز به صرف عملکرد خارجی آنها، جدا از موازین درونی که آنها خواستار آن هستند، سقوط در خرافات است. رجوع کنید به متی ۲۳: ۱۶–۲۲
خرافه، اعتقاد، نیمه‌اعتقاد یا عملی که ظاهراً هیچ ماده منطقی برای آنها وجود ندارد. کسانی که از این اصطلاح استفاده می‌کنند دلالت بر این دارند که دارای دانش یا شواهد برتر برای اعتقادات علمی، فلسفی یا مذهبی خود هستند. یک کلمه مبهم، احتمالاً نمی‌تواند جز به صورت ذهنی مورد استفاده قرار گیرد. با در نظر گرفتن این صلاحیت، خرافات را می‌توان تقریباً به عنوان مذهبی، فرهنگی و شخصی طبقه‌بندی کرد.
پولیبیوس مورخ یونان باستان در کتاب «تاریخ‌ها (پولیبیوس)» واژه «خرافات» را به کار می‌برد و توضیح می‌دهد که در روم باستان خرافات، انسجام امپراتوری روم را حفظ می‌کند و به‌عنوان «ابزار قدرت عمل می‌کند.Guy, Josephine M. (2007) "The Complete Works of Oscar Wilde", Oxford University Press, Volume IV, p. 337, .
در سال ۱۹۴۸، روان‌شناس رفتاری B.F. Skinner مقاله ای در ژورنال روان‌شناسی تجربی منتشر کرد، که در آن کبوتران خود را توصیف کرد که به نظر می‌رسد رفتار خرافی است. یک کبوتر در قفس خود در حال چرخش بود، دیگری با حرکت آونگ سر خود را تاب می‌داد، در حالی که دیگران رفتارهای مختلف دیگری را نیز نشان می‌دادند. از آنجا که این رفتارها همه به صورت تشریفاتی و در تلاش برای دریافت غذا از یک توزیع کننده انجام می‌شد، حتی اگر از ابتدا برنامه‌ریزی شده بود که بدون در نظر گرفتن عملکرد کبوترها، غذا را در فواصل زمانی مشخص آزاد کند، اسکینر معتقد بود که کبوترها سعی می‌کنند بر تغذیه آنها تأثیر بگذارند با انجام این اقدامات برنامه‌ریزی کنید. وی سپس این را به عنوان گزارشی در مورد ماهیت رفتار خرافی در انسان گسترش داد.
نظریه اسکینر در مورد خرافات بودن نوع رفتار کبوترها توسط روانشناسان دیگری مانند استادون و زیملهاگ به چالش کشیده شده‌است، و آنها توضیح متفاوتی برای رفتار کبوترها ارائه می‌دهند.
علی‌رغم چالشهایی که تفسیر اسکرین از ریشه رفتار خرافی کبوترهایش به چالش می‌کشد، برداشت او از برنامه تقویت برای توضیح رفتار خرافی در انسان استفاده شده‌است. در اصل، در تحقیقات حیوانات اسکینر، «بعضی از کبوترها تا زمانی که در ابتدا به صورت تقویت متناوب شرطی شده بودند، ۱۰ هزار بار بدون تقویت پاسخ دادند.» در مقایسه با سایر برنامه‌های تقویت کننده (به عنوان مثال، نسبت ثابت، فاصله ثابت)، این رفتارها بیشترین مقاومت را در برابر انقراض داشتند. این اثر تقویت جزئی نامیده می‌شود، و این برای توضیح رفتار خرافی در انسان استفاده شده‌است. به عبارت دقیق تر، این تأثیر به این معنی است که، هرگاه فردی عملی منتظر تقویت را انجام می‌دهد و هیچ‌کدام به نظر نمی‌رسد، در واقع یک حس پایداری را در فرد ایجاد می‌کند. این امر به شدت با رفتار خرافی در انسان موازی است زیرا فرد احساس می‌کند، با ادامه این عمل، تقویت اتفاق می‌افتد. یا اینکه تقویت در بعضی مواقع در گذشته به دلیل این عمل صورت گرفته‌است، گرچه نه همیشه، اما این ممکن است یکی از آن زمان‌ها باشد.
از یک منظر ساده‌تر، انتخاب طبیعی تمایل به تقویت ارتباطات ضعیف یا اکتشافی است که بیش از حد عمومی شده‌است. اگر ایجاد پیوندهای صحیح یک مزیت بقا قوی داشته باشد، این امر منفی ساختن بسیاری از انجمن‌های نادرست و «خرافی» خواهد بود. همچنین بحث شده‌است که ممکن است بین OCD و خرافات ارتباطاتی وجود داشته باشد. این ممکن است به بهداشت مرتبط باشد.
یک نظریه اخیر توسط جین رایزن پیشنهاد می‌کند که خرافات شهودی هستند که مردم تصدیق می‌کنند نادرست هستند، اما وقتی به عنوان ارزیابی شهودی یک موقعیت به وجود می‌آیند، به جای اصلاح آنها، از آن رضایت می‌گیرند. نظریه وی از مدلهای استدلال با فرایند دوگانه استفاده می‌شود. در این دیدگاه، خرافات خروجی استدلال "سیستم ۱" هستند که حتی وقتی توسط "سیستم ۲" گرفتار شوند اصلاح نمی‌شوند.
به نظر می‌رسد مردم معتقدند که خرافات به جای ایجاد نتایج احتمالی جدید، با تغییر احتمال نتایج احتمالی فعلی، بر وقایع تأثیر می‌گذارند. به عنوان مثال، در رویدادهای ورزشی، تصور می‌شود که یک مراسم یا اشیا خوش شانس، شانس اجرای یک ورزشکار را در اوج توانایی خود افزایش می‌دهد، نه اینکه توانایی کلی وی را در آن ورزش افزایش دهد. در نتیجه، افرادی که هدفشان عملکرد خوب است، بیشتر به «کمک‌های فراطبیعی» - اقلام و تشریفات خوش شانس - اعتماد می‌کنند تا افرادی که هدف آنها بهبود مهارت‌ها و توانایی‌های خود و یادگیری در همان زمینه هستند.
روان‌شناس استوارت ویز خاطرنشان کرد که تا حدود سال ۲۰۱۰، "محققان معتقد بودند که خرافات غیر منطقی بوده و توجه خود را معطوف به کشف خرافات افراد می‌کردند." ویس در ادامه مطالعاتی را توصیف کرد که به رابطه بین عملکرد و آیین‌های خرافی نگاه می‌کردند. کارهای مقدماتی نشان داده‌اند که چنین تشریفاتی می‌توانند استرس را کاهش دهند و در نتیجه عملکرد را بهبود ببخشند، اما، ویس گفت، "... نه به دلیل اینکه آنها خرافات هستند بلکه به دلیل اینکه آنها تشریفاتی هستند … بنابراین هیچ جادوی واقعی وجود ندارد، اما یک قبل از اقدام به فعالیتی با فشار زیاد، جادوی آرام بخشی را در اجرای یک سلسله مراتب تشریفاتی انجام دهید.
مردم معمولاً در دو شرایط وقایع را به دلایل ماورا طبیعی (در اصطلاحات روانشناختی، "علل بیرونی") نسبت می‌دهند.
طبق تجزیه و تحلیل رفتار مصرف‌کننده جان سی موون و همکاران. همکاران، خرافات به عنوان ابزاری ابتکاری به کار می‌روند از این رو انواع رفتارهای مصرف‌کننده را تحت تأثیر قرار می‌دهند. جان سی موون و همکاران همکاران می‌گوید، پس از در نظر گرفتن مجموعه ای از پیشینیان، خرافات صفت پیش‌بینی کننده طیف وسیعی از اعتقادات مصرف‌کننده است، مانند عقاید در طالع بینی یا خرافات منفی رایج (به عنوان مثال ترس از گربه‌های سیاه). علاوه بر این، داشتن یک خرافات عمومی به خلق و خوی پایدار به قمار، شرکت در بازی‌های تبلیغاتی، سرمایه‌گذاری در سهام، ارسال نامه‌های الکترونیکی خرافی، حفظ جذابیت‌های خوش شانسی، و نمایش هواداری ورزشی و غیره منجر می‌شود.
خرافات بخش بزرگی از فرهنگ جوامع انسانی را تشکیل می‌دهد. رفتارهایی که هیچ دلیلی برای انجام آن در دست نداریم و غالباً در فرهنگ‌های مختلف به عنوان آداب و رسوم اجتماعی بدیهی و بدون نیاز به دلیل در نظر گرفته می‌شوند؛ مثلاً زدن به تخته برای رد بلا یا بدیمنی گربه سیاه. اینکه در تولد شمع‌های روی کیک را فوت می‌کنیم و باور می‌کنیم که در زمان فوت کردن شمع باید چشمهایمان را ببندیم و آرزویی کنیم. اینکه دیدن تفاله چایی در استکان نشانه قریب‌الوقوع بودن یک مهمان ناخوانده است؛ اینکه آیینه شکسته ۷ سال پیاپی بدبختی در پی دارد برای از بین بردن این نحوست باید تکه‌هایش شکسته آینه را جمع‌آوری و زیر نور ماه در خاک دفن کرد؛ از جمله این خرافه‌های بی پشتوانه است.
مخالفت با خرافات نخستین‌بار در یونان باستان ثبت شد، جایی که فیلسوفانی مانند پروتاگوراس و اپیکوریسم دین گرایی یا بیزاری از دین و افسانه‌ها را به نمایش می‌گذاشتند و افلاطون - به ویژه تمثیل غار خود - و ارسطو هر دو کار خود را به عنوان بخشی از جستجوی حقیقت ارائه می‌دهند.
در دوران کلاسیک، وجود خدایان به‌طور فعال هم در بین فیلسوفان و هم متکلمان مورد بحث بود و در نتیجه مخالفت با خرافات به وجود آمد. شعر De rerum natura که توسط شاعر و فیلسوف رومی لوکرتیوس سروده شده‌است، مخالفت با خرافات را بیشتر گسترش داد. اثر سیسرو De natura deorum نیز تأثیر بسزایی در توسعه مفهوم مدرن خرافات و همچنین خود کلمه داشت. در جایی که سیسرو خرافه و دین را از یکدیگر متمایز می‌کرد، لوکرتیوس فقط از کلمه religio استفاده می‌کرد. سیسرو، که برای او خرافات به معنای «ترس بیش از حد از خدایان» بود، نوشت که «خرافه، نه دین، باید از بین برود»، به این معنی که فقط خرافات، و نه دین، باید از بین برود. امپراتوری روم همچنین قوانینی وضع کرد که افرادی را که ترس مذهبی بیش از حد دیگران را تحریک می‌کردند، محکوم کرد.
در طول قرون وسطی، ایده تأثیر خدا بر وقایع جهان بیشتر بحث‌برانگیز بود. محاکمات سخت و دشوار بسیار مکرر بود، حتی اگر فردریک دوم (۱۱۹۴–۱۲۵۰ میلادی) اولین پادشاهی بود که به صراحت محاکمه را با سختی غیرقانونی اعلام کرد زیرا «غیرمنطقی» تلقی می‌شد.
کشف مجدد آثار کلاسیک گمشده (رنسانس) و پیشرفت علمی منجر به افزایش بی اعتقادی به خرافات شد. یک لنز جدید و منطقی تر شروع به استفاده از تفسیر می‌کند. مخالفت با خرافات در عصر روشنگری امری اساسی بود. اولین فیلسوفی که جرأت انتقاد از خرافات را به صورت علنی و به صورت مکتوب داشت، باروخ اسپینوزا بود که یکی از شخصیت‌های اصلی عصر روشنگری بود.
بیشتر خرافات در طول قرن‌ها پدید آمده و ریشه در شرایط منطقه ای و تاریخی مانند اعتقادات مذهبی یا محیط طبیعی دارد. به عنوان مثال، اعتقاد بر این است که گکوها در بسیاری از کشورهای آسیایی دارای ارزش دارویی هستند، اما در مناطقی که گکو یافت نمی‌شود، ارزش دارویی ندارند.
در چین، فنگ‌شویی یک سیستم اعتقادی است که گفته می‌شود تأثیر منفی در مکان‌های مختلف دارد، به عنوان مثال که اتاقی در گوشه شمال غربی یک خانه «بسیار بد» است. به همین ترتیب، عدد ۸ در چین یک «عدد خوش شانس» است، به طوری که در بازار مسکن چین بیش از هر عدد دیگری رایج است.
اسماعیل بن جعفر (۷۲۱–۷۵۵ میلادی/۱۰۳–۱۳۸ هجری قمری) بزرگترین پسر جعفر صادق و ششمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی است. شیعیان دوازده‌امامی بر این باورند که اسماعیل، در زمان زندگی جعفر بن محمد مُرده و دفن شده‌است ولی شیعیان اسماعیلی بر این باورند که اسماعیل در خفا زیسته بود و در بصره دیده شده‌است.
دودستگی شیعیان اسماعیلی و دوازده‌امامی در دوران زندگانی جعفر صادق و پس از آن رخ داد، در ابتدا به دلیل این قانون که امامت در فرزند بزرگ است گمان می‌رفت که پسر بزرگ جعفر صادق، یعنی اسماعیل بن جعفر امام بعدی شیعیان است.Al-Hasan ibn Musa al-Nawbakhti. "Kitab Firaq al-Shia". Tr. by Abbas Kadhim, Shi'a Sects 2007, p. 123. اما مرگ نابه هنگام اسماعیل پیش از مرگ پدرش منجر به دودستگی ها و اختلافات بسیاری در میان پیروان جعفر صادق گردید.Al-Hasan ibn Musa al-Nawbakhti. "Kitab Firaq al-Shia". Tr. by Abbas Kadhim, Shi'a Sects 2007, p. 122-142. مرگ اسماعیل آنچنان شوکی وارد آورد که جعفر صادق در این مورد می‌گوید؛
محمد بن اسماعیل(نام کامل وی: "محمد بن اسماعیل بن جعفر الصادق") هشتمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی است.
وی در سال ۱۲۸ هجری قمری زاده شد. به گفته بعضی علمای شیعه اسماعیلی او مرده است ولی بعضی علمای شیعه اسماعیلی معتقدند او به غیبت رفته و باز خواهد گشت . بعضی از مفسران تاریخ نیز می گویند شیعیان اسماعیلی دچار انحرافی شده اند و محمد بن اسماعیل همان مهدی موعود یعنی امام دوازدهم شیعیان است که باز خواهد گشت
دوران کودکی او در دوران زندگی جعفر صادق بود. او مدت بسیاری را در خفا در مدینه زندگی کرد؛ چنان که تنها گروهی از داعیان او را می‌شناختند.
بنا به روایات اسماعیلی، خلیفه عباسی هارون الرشید در جستجوی او در مدینه بود؛ اما زبیده همسر هارون از پیروان امام بود و او را آگاه می‌ساخت.(در روایات اسماعیلیان، زبیده به آسیه زن فرعون شبیه شده‌است). سرانجام، محمد بن اسماعیل مدینه را ترک کرده و به همراهی برادرش علی بن اسماعیل به کوفه رفت.
اسماعیلیان اعتقاد دارند که امامت پس از او به وفی احمد، انتقال یافته‌است. پس از وی، سه امام بعدی اسماعیلیه به دلیل تهدید از جانب خلافت عباسی، در خفا می‌زیستند. اسماعیلیان، این سه امام را "ائمه مستورین" می‌نامند.
وفی احمد(نام کامل وی: "أبوأحمد الإمام عبدالله الراضی بن محمد محمد بن إسماعیل بن جعفر الصادق")هشتمین امام مذهب شیعه اسماعیلی در شاخه نزاریه و نهمین امام در مذهب مستعلیه است. نزاریان و مستعلیان خلفای فاطمی را از نسل او می‌دانند. او در نزد اسماعیلیان با لقب "مستور" شناخته می‌شود. او در سال ۱۷۹ هجری زاده و در سال ۲۱۲ هجری درگذشت. پسرش تقی محمد جانشین او بود.
تقی محمد (نام کامل وی: "أبوالحسین الإمام أحمد المکتوم التقی بن الوفی أحمد المستور") نهمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی شاخه نزاری و دهمین امام در شاخه مستعلی است. وی در ۱۷۴ هجری زاده شد و در ۲۱۲ هجری درگذشت. در طول سی و سه سال، او پیشوای معنوی و مذهبی اسماعیلیا دانسته می‌شد. او را در روایات اسماعیلی، "صاحب الرسائل" نیز نامیده اند. اسماعیلیان نزاری و مستعلی، خلفای فاطمی را از نسل او می‌دانند. محل اقامت او، شهر سلمیه در غرب سوریه بوده است؛ وی دومین امام اسماعیلی بود که زندگیش را در خفا زیست. وی معاصر با مأمون بود، اسماعیلیان اعتقاد دارند که مأمون به دستگیری و قتل تقی محمد دستور داد، اما وی موفق شد از سلمیه بگریزد. محل مرگ وی نامعلم است. وی پسرش زکی عبدالله را به جانشینی خود برگزید.
عبدالله زکی (نام کامل: "أبو عبدالله الإمام الحسین المستور الزکی بن التقی محمد") دهمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی در شاخه نزاریه و یازدهمین امام در شاخه مستعلیه است. وی که با نام‌های حسین الرضی و رضی عبدالله شناخته می‌شود. در سال ۲۱۰ هجری برابر با ۸۲۵ میلادی زاده شد و در سال ۲۲۵ هجری/۸۴۰ میلادی، به عنوان امام مذهب اسماعیلی شناخته شد. به باور اسماعیلیان، وی دستورهای مختصری دربارهٔ تشکیل اخوان صفا داده‌است. او از ائمه مستورین است که هویت آن‌ها مخفی نگاه داشته می‌شد. وی همزمان با خلیفه عباسی معتصم و متوکل بوده‌است. وی در سال ۲۶۲ هجری درگذشت و عبیدالله مهدی را به عنوان امام پس از خود منصوب کرد.
عبیدالله مهدی(نام کامل وی: "عبیدالله سعید بن الحسین المهدی بالله") (۹۰۹–۹۳۴) بنیان‌گذار خلافت فاطمی، تنها خاندان بزرگ خلافت شیعه در تاریخ اسلام بود.
وی شیعه اسماعیلی بود و نسب خود را به فاطمه دختر محمد می‌رسانید؛ در بین مورخین مسلمان برخی مانند ابن خلدون و ابن اثیر ادعای او را پذیرفته‌اند و برخی مانند ابن خلکان و سیوطی این نسب نامه را جعلی می‌دانند.
عبیدالله مهدی در شهر سلمیه از سرزمین حمص در شهرهای شام علیه خلیفه خروج کرد و به مراکش پناه آورد، پس از مدتی از آنجا نیز خارج شده و به سجلماسه رفت. سرانجام، او موفق به تشکیل خلافت فاطمی شد؛ دو سال پیش از مرگش، خلافت وی از مراکش تا مصر و تونس گسترش یافته بود.
عبیدالله مهدی در مذهب اسماعیلیه، امام دانسته می‌شود.
محمد قائم بأمرالله(۸۹۳-۹۴۶) دومین خلیفه از خلفای فاطمی و دوازدهمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی است. وی پس از مرگ پدرش عبیدالله مهدی در سال ۳۲۲ هجری، خلافت را برعهده گرفت. او در سلمیه در سوریه زاده شده بود؛ و در ۱۳ شوال ۳۴۴ هجری/۱۷ مه ۹۴۶ میلادی درگذشت و پسرش اسماعیل منصور جانشین او شد.
گوراب‌پَس یکی از دهستان‌های شهرستان فومن در استان گیلان ایران است.شهر فومن ، بازدید: اکتبر ۲۰۰۸.
روستای گوراب‌پس که حدود ۸ کیلومتر از مرکز شهرستان فاصله دارد. پیشهٔ عمده مردمان این دهستان کشاورزی و دامداری است. این دهستان در میان باغهای چای محصور است.
اسماعیل منصور(۹۱۳-۹۵۳ میلادی) سومین خلیفه از خلفای فاطمی و سیزدهمین امام در مذهب شیعه اسماعیلی است؛ او پس از مرگ پدرش محمد قائم بأمرالله در سال ۳۳۴ هجری به خلافت رسید. او فتنه ابن کیداد خارجی را دفع کرد و شهر منصوریه را بنا نهاد؛ او سیسیلیه را دوباره به اشغال فاطمیان درآورد. سرانجام منصور بر اثر بیماری در سال ۹۵۳ میلادی درگذشت و پسرش المعز لدین‌الله جانشین او شد.
المعزلدین الله (۹۳۲-۹۷۵) (نام کامل وی:"معد المعز لدین الله، المعز أبو تمیم معدّ بن منصور العبیدی") چهارمین خلیفه از خلفای فاطمی در تونس و اولین خلیفه از خلفای فاطمی در مصر و چهاردهمین امام از امامان مذهب شیعه اسماعیلی بود. او در بین سالهای ۹۵۳ تا ۹۷۵ حکم راند. وی برای استیلا یافتن بر مصر با خلیفه عباسی وارد جنگ شد، تا این که مصر را از عباسیان گرفت و شهر قاهره را بنا کرد.
شهر قاهره که مرکز خلافت فاطمیان بود به دستور خلیفه المعز لدین الله ساخته‌شد؛ وی در ۶ رمضان ۳۶۲ هجری به تخت نشست. معز پس از تصرف مصر و حجاز سعی کرد با قرمطیان شرق رابطه برقرار کند، او حتی بعضی از نظریات آن‌ها را نیز وارد عقیدهٔ تعلیم اسماعیلیان کرد. او مسجد الازهر را بنا کرد و در سال ۳۷۸ هجری / ۹۸۸ میلادی بود که آن را به دانشگاه تبدیل کرد و تا اتمام دوران فاطمیان، داعیان در آن مشغول تدریس و تحصیل بودند. معز تلاش می‌کرد تا از راه‌های مختلف توجه و حمایت قرمطیان را به دست آورد اما از جانبی دیگر از نفوذ اندیشه‌های آنان در اسماعیلیان فاطمی ترس داشت. وی همچنین اصلاحاتی در تعلیم اسماعیلیان ایجاد کرد و بعضی از اندیشه‌های منسوخ شدهٔ قبل را مانند قائم بودن محمد بن اسماعیل را دوباره به رسمیت شناخت. داعیان اسماعیلی موفق شدند پیش از سال ۳۴۷ هجری / ۹۵۸ میلادی حاکم سند را به کیش اسماعیلی درآورند و مولتان را به دارالهجره تبدیل کنند.
ابومنصور نزار العزیزبالله (نام کامل وی: العزیز بالله نزار بن معد بن إسماعیل) (۳۴۴ ه/۹۵۵ م – ۲۸ رمضان ۳۸۶ ه/۱۵ اکتوبر ۹۹۶ م) پنجمین خلیفه از خلفای فاطمی و هشتمین سلطان از سلطان‌های مصر و پانزدهمین امام از امامان مذهب شیعه اسماعیلی بود.
او خطبه به نام خلیفه عباسی در یمن را متوقف ساخت، و از آن پس خطبه در آن سرزمین به نام خلیفه فاطمی گفته شد. او به فرماندگی جوهر صقلی به ضد سپاه آپتکین تاخت و در سال ۳۶۸ هجری بر دمشق چیره شد.
به دستور او، دانشگاه الازهر در قاهره که چند سال قبل آغاز به ساخت شده بود تکمیل شد، همچنین کتابخانه‌ای در قاهره و اسکندریه ساخته شد.
همچنین مسجد حاکم بأمرالله نیز به امر او ساخته شد که هنوز باقی است.
العزیز در سال ۹۹۶ میلادی درگذشت و پسرش حاکم بأمرالله به خلافت رسید.
حاکم بأمرالله (۲۳ ربیع‌الاول ۳۷۵–۱۳ فوریه ۱۰۲۱) ششمین خلیفه فاطمی در مصر بود که از سال ۳۸۷ در آن سرزمین فرمان می‌راند. در سال ۳۸۳ به ولیعهدی برگزیده شد. وی در حالی که دوازده سال داشت، به خلافت رسید. او مؤسس دارالحکمه در قاهره بود. وی با چین روابط دوستانه‌ای برقرار کرد. او در سال ۱۰۲۱ ناپدید شد، دروزیان معتقد هستند که او کشته نشده بلکه خدا او را ناپدید کرده‌است و به همراه مهدی بازخواهد گشت. گفته شده او توسط خواهر بانفوذ و قدرتمندش بانو ست الملک که با سران اداری و سپاهی و سایر گروه‌های امپراتوری اتحاد داشت در نقشه برنامه‌ریزی شده کشته شد تا علی ظاهر ۱۶ ساله بر تخت سلطنت بنشیند. ست الملک نایب السلطنه خلیفه جوان شد و تا زمان مرگش بر مصر سلطنت کرد.
حاکم بأمرالله در سال ۱۰۰۹ میلادی کلیسای مقبره مقدس در اورشلیم را به کلی ویران کرد.مرمت محراب آرامگاه عیسی مسیح پس از دویست سال آغاز شد، "بی‌بی‌سی فارسی"
وی ابن هیثم را در سال ۱۰۱۱ به‌مدت ۱۰ سال در حبس خانگی بازداشت کرد.
علی ظاهر (نام کامل وی: الظاهر لإعزاز دین الله أبو الحسن علی ابن الحاکم بأمر الله) (۱۰۰۵–۱۰۳۶ میلادی/۳۹۵–۴۲۷ هجری) هفتمین خلیفه از خلفای فاطمی بود که پس از ناپدید شدن پدرش حاکم بأمرالله به خلافت رسید. همزمان با خلافت او، خشکسالی در مصر، فلسطین و سوریه روی داد. او روابط تجاری و سیاسی با امپراتوری بیزانس برقرار کرد و کلیساهای ویران شده در قاهره را دوباره بنیاد نهاد. در مذهب شیعه اسماعیلی، او امام دانسته می‌شود؛ طول دوران امامت او شش سال است و جانشین او معاذ مستنصر است.
جنیس جاپلین (زادهٔ ۱۹ ژانویه ۱۹۴۳ – درگذشتهٔ ۴ اکتبر ۱۹۷۰) خواننده و آهنگ‌ساز آمریکایی بود. او که از اسطوره‌های موسیقی راک به‌شمار می‌رود در ۴ اکتبر ۱۹۷۰ بر اثر مصرف دوز بالای هروئین دچار کمبود اکسیژن شده و در کنار تختخوابش جان باخت. دوز هروئینی که او قبل از مرگ مصرف کرده بود از همیشه بیشتر بوده است.وب‌گاهAll Music
وجه تمایز جنیس با دیگر بزرگان راک دههٔ شصت را صدای منحصربه‌فرد و خش‌دار او و نوع موسیقی‌اش که تلفیقی نوین از راک و بلوز بود می‌دانند. اسطورهٔ جنیس علاوه بر موسیقی در زمینه سبک زندگی هم، نسلی از دختران جوان آمریکا را تحت تأثیر خود قرار داد. نسلی که در دوران راز و رمز زنانه به خانه‌داری تشویق می‌شد، الگوی متفاوتی را جلوی چشم خود می‌دید که نویدبخش امکان انتخاب‌هایی متفاوت و مبتنی بر استقلال زنانه برای رسیدن به موفقیت بود. او میل زیادی به رابطه جنسی داشت و شدیداً الکل مصرف میکرد و معتاد هروئین بود چند بار اقدام به ترک هروئین کرد اما فایده ای نداشت.وب‌گاه HarmonyTalk
او به همراه جیم موریسون و جیمی هندریکس به دلیل حرف جی(J) ابتدای نام کوچک و مرگ نسبتاً مشابه‌شان هر سه حدود ۲۷ سالگی و در بازه‌ای تنها چند ماهه مابین سپتامبر ۱۹۷۰ تا ژوئیه ۱۹۷۱، سه‌گانهٔ تراژیک و افسانه‌ای «تری جِیز»(Three j's) موسیقی راک دهه ۱۹۶۰ را تشکیل داده‌اند. به علاوه این سه به همراه برایان جونز و کرت کوبین و ایمی واینهاوس «کلوب ۲۷» را تشکیل می‌دهند.
مجله رولینگ استون در سال ۲۰۰۴ و در رده‌بندی ۱۰۰ هنرمند برتر تمامی دوران، جنیس جاپلین را در رتبه ۲۸ قرار داد.
معاذ مستنصر (نام کامل: معاذ المستنصر بالله بن علی الظاهر لإعزاز دین الله) هشتمین خلیفه فاطمی و هجدهمین امام از امامان مذهب شیعه اسماعیلی است. او در قاهره در شانزدهم جمادی‌الثانی سال ۴۲۰ هجری زاده شد و هشت ماه بعد به جانشینی پدرش برگزیده شد. در ۱۵ شعبان ۴۲۷ هجری، در حالی که معاذ مستنصر تنها ۶ سال داشت، به جای پدرش به خلافت نشست. دوران خلافت او ۶۰ سال به طول انجامید که از همه خلفا طولانی‌تر است. در این دوران خشکسالی ادامه یافت. سرانجام در ۱۸ ذیحجه ۴۸۷ هجری، معاذ مستنصر درگذشت. پس از مرگ او، در مورد خلیفه بعد از وی اختلاف درگرفت. برخی به خلافت پسرش احمد مستعلی و برخی به خلافت پسرش نزار باور داشتند که باعث شکاف در بین اسماعیلیان شد.
نزار (نام کامل: أبومنصور نزار بن معاذ المصطفی لدین الله) شاهزاده فاطمی و بزرگترین پسر امام هشتم اسماعیلیان و امام اطهار فاطمی، المستنصر بود. هنگامی که پدرش در دسامبر ۱۰۹۴ درگذشت، وزیر قدرتمند افضل شاهنشاه، برادر کوچکتر نزار، احمد مستعلی را در قاهره به سلطنت رساند و ادعاهای نزار و دیگر پسران بزرگتر المستنصر را محکوم کرد. نزار از قاهره فرار کرد، قیام کرد و اسکندریه را تصرف نمود و در آنجا به عنوان خلیفه با نام سلطنتی المصطفی الدین الله (به عربی: المصطفی لدین الله، به رومی: al-Muṣṭafā li-Din Allah) سلطنت کرد. در اواخر سال ۱۰۹۵ او شکست خورد و در قاهره اسیر شد و در آنجا در یک زندان انفرادی تا هنگام مرگ در قفل و زنجیر شد.
در طول قرن دوازدهم، برخی از نوادگان واقعی یا ادعایی نزار تلاش کردند، بدون موفقیت، تاج و تخت را از دست خلفای فاطمی بگیرند. بسیاری از اسماعیلیان، به ویژه در ایران سلجوقی، امامت مستعلی را رد کردند و نزار را امام برحق دانستند. در نتیجه از رژیم فاطمی جدا شدند و شاخه نزاری اسماعیلیه را با سلسله امامان خود که مدعی‌تبار نزار بودند، تأسیس کردند. این خط تا امروز در شخص آقاخان ادامه دارد.
احمد مستعلی (نام کامل: أبو القاسم أحمد بن معد المستنصر بالله بن الظاهر بن علی بن منصور المستعلی بالله) نهمین خلیفه فاطمی در مصر و مراکش بود؛ وی به جانشینی معاذ مستنصر رسید. اسماعیلیان، مستعلی را به عنوان نوزدهمین امام خود پذیرفته‌اند؛ در حالی که نزاریان، برادرش نزار را به امامت پذیرفتند. در زمان حکومت او، صلیبیان توانستند بر اورشلیم سلطه یابند. مستعلی در قاهره در سال ۱۱۰۱ میلادی درگذشت. مدت فرمانروایی او هفت سال و دو ماه بود.