ルーシェの定理

ルーシェの定理 ('、')は、フランスの数学者である (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。
定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。
定理.
formula_1 を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、formula_2 をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分にものとする）、formula_3 を formula_1 の閉包 （= formula_5） とし、formula_6 および formula_7 をformula_3 上で定数でない正則な複素関数で、formula_9上で、formula_10 を満たすとすれば、 formula_1 内での formula_12 と formula_6 の零点の個数 （ただし位数"n"の零点は"n"個として数える）は一致する。
証明.
まず、
であることに注目する。
formula_15 および formula_16 は formula_17 で極を持たないので偏角の原理 から formula_18 の formula_17 内における零点の個数を"n"とすれば、
である。
ここで formula_21 を、formula_22 で定義する。formula_2 上では formula_24 という条件から、formula_2 上では formula_26 であり、formula_15 および formula_16 は formula_29 上で正則であるから、formula_30 は formula_2 上で正則である。従って formula_30 による formula_2 の像を formula_34 とすれば、 formula_34 も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。
上の式の右辺第2項の積分を考えれば、
である。結局この式の値は formula_37 を formula_34 上のある点を始点として formula_34 に沿って一周した場合の増分になるが、formula_2 上では formula_24 という条件から formula_34 上では formula_43 は正であり、 formula_34 は formula_37 の分岐点である formula_46 を一周しないので、その値は 0 である。従って、
が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。
応用例.
代数学の基本定理の証明.
を最高次数の係数が 1 の任意の "n" 次複素数係数多項式とした場合、formula_6 が複素平面上で "n" 個の零点を持つことを証明する。
formula_50 を正の実数とし、formula_51 と置く。また、
と置く。formula_50 を十分大きく取れば formula_9 上で formula_56 が成立するので、 formula_1 内における formula_58 と formula_59 (= formula_6 ) の零点の個数は一致し、 formula_58 の形から明らかなように、その値は "n" となる。