完全集合

位相空間論において、位相空間の部分集合が完全であるとは、それが閉集合であって孤立点を持たないことである。同値なことであるが、formula_1 が完全であるとは、formula_2 が成り立つことである。ここで formula_3 は formula_1 の極限点全体の集合であり、つまり formula_1 の導集合として知られているものである。
完全集合では、それに属する全ての点がその集合の他の点によって十分に近似できるものになっている: 与えられた formula_1 の点とその近傍について、その近傍内に formula_1 の別の点が存在する。さらにいうと、formula_1 の点で近似できる点は全て formula_1 に属している。
用語に関する注意がいくつかある。"perfect space" という言葉もあり、これは Gδ空間を指す言葉であり、完全集合には関係ない。また、集合が perfect set property を持つことは、それが完全集合であることとは異なる。
例.
実数直線 formula_10 の完全部分集合の例としては、空集合、全ての閉区間、実数直線それ自体、カントール集合などがある。特に、最後の例は、完全不連結でもある。
集合が完全か否か (そして閉か否か) は周りの空間に依存する。例えば、集合 formula_11 は空間 formula_12 の部分集合としては完全であるが、空間 formula_10 の部分集合としては完全ではない。
他の位相的性質との関連.
全ての位相空間は一意的に完全集合と scattered set の非交和で表せる。
カントールは実数直線の全ての閉部分集合が一意的に完全集合と可算集合の非交和で表せることを証明した。このことはもっと一般的に、ポーランド空間の閉部分集合でも成り立つ。このことはカントール-ベンディクソンの定理として知られている。
カントールは実数直線の空でない完全集合の濃度は全て連続体濃度 formula_14 であることも示している。これらの結果は記述集合論において以下のような発展をしている: