像 (数学)

数学において、何らかの写像の像（ぞう、）は、写像の始域（域、定義域）の部分集合上での写像の出力となるもの全てからなる、写像の終域（余域）の部分集合である。すなわち、始域の部分集合 "X" の各元において写像の値を評価することによって得られる集合を "f" による（または "f" に関する、"f" のもとでの、"f" を通じた）"X" の像という。また、写像の終域の何らかの部分集合 "S" の逆像（ぎゃくぞう、）あるいは原像（げんぞう、）は、"S" の元に写ってくるような始域の元全体からなる集合である。
像および逆像は、写像のみならず一般の二項関係に対しても定義することができる。
定義.
「像」という語は、その対象とするものによって互いに関連のある三種類の意味で用いられる。集合 "X" から集合 "Y" への写像 "f": "X" → "Y" に対して、以下のように定義する。
逆像.
"f" が "X" から "Y" への写像とするとき、部分集合 "B" ⊆ "Y" の "f" による原像あるいは逆像とは
で定義される "X" の部分集合である。"f" による引戻し とも呼ばれる。
この集合は "f" が全単射でなくとも定義されるが, 全単射のときには formula_3 は formula_4 による "B" の像を表す記号とも解釈できるため, 文脈によってどちらの意味なのか判断せねばならない.
一元集合の逆像 "f"−1[{"y"}] あるいは "f"−1["y"] は "y" 上のファイバーあるいは "y" のレベル集合などとも呼ばれる。"y" の各元の上のファイバー全体からなる集合は "Y" で添字付けられた集合族になっている。同様にしてファイバー付けられた圏の概念を考えることもできる。
やはり、"f"−1["B"] を "f" −1("B") と書くことに紛れの恐れはなく、"f"−1 を "Y" の冪集合から "X" の冪集合への写像として考えることができる。ただし、記号 "f"−1 を逆写像と混同すべきではない（両者が一致するのは "f" が全単射のときに限る）。
像および逆像の記号について.
既に用いた部分集合の像や逆像に関する慣習的な記法はしばしば混乱を生ずる可能性を持つ。これを明示的に代替する表記として、冪集合間の写像としての像や原像に対しては、以下のような表記が提案されている：
基本的な結果.
写像 "f": "X" → "Y" と "X" の任意の部分集合 "A", "A"1, "A"2 および "Y" の任意の部分集合 "B", "B"1, "B"2 に関して
などが成立する。像や逆像に関するこの結果は、任意の部分集合族に対して交わりと結びに関するブール代数をうまく考えることができることを意味しており、部分集合の対だけでなくもっと一般に
なども成立する。ここで "S" は無限集合でも（もちろん非可算無限でも）よい。
これらのことから、部分集合のブール代数に関して、逆像は束準同型となるが像のほうは半束準同型にしかならない（像は交わりを保つとは限らない）ことがわかる。