テトレーション

テトレーション（）とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪（ちょうべき）ともいう。テトレーションという語はによって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された。
定義.
任意の正の実数 および非負整数 に対し、次のようにテトレーション を再帰的に定める。
冪乗の演算が右結合、すなわち のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も に対する の部分から計算していく。
定義から直ちに、次の等式が成り立つ。
 と が互いに素であるとき、 の最後の 桁がオイラーの定理から求められる。
表記.
テトレーションには多数の表記が存在する。テトレーションに使われる表記の中にはペンテーションやヘキセーションなど、より高次のハイパー演算の表記にも使用できるものもいくつかある。
反復指数関数.
反復指数関数（）、あるいは反復冪（）とは指数関数の反復合成、あるいはその類似の関数およびその値を指して呼ばれる関数である。以降で表記を簡単にするため、非負整数 と正実数 の2つのパラメータを持つ実関数 formula_3 を次のように定義する：
この関数は他に次のような表記で書かれる。
例.
以下の表では、大部分の値が指数表記による表記すら困難なほど巨大であるため、それらの表記には底を とした反復指数関数を用いた。なお小数部を持つ値はすべて近似値である。
微積分.
テトレーション に対する は正の実数に対して定義できるので、 を固定したときにそれぞれ微分と積分が定義できる。
高さが定数の微分.
任意の正の整数 に対し、 の微分は次のようになる。
ここから以下の近似値が導かれる。
同様に値を逆向きに求めていくことで 、 が得られる。 の値を複素平面上にプロットすると、点列は渦巻状に極限値 へと近づく。この値は のときと解釈できる。
このようなテトレーションの列に関する研究はオイラーの時代から続けられてきているものの、そのカオス的な振る舞いのために不明な所が多い。これまでに発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束について焦点を当てたものである。現在の研究は高性能のコンピュータを用いたフラクタルと数式処理システムの出現に大きな恩恵を受けている。テトレーションについて分かっていることの多くは、複素力学系の一般的な知識と、指数写像の専門的な研究によるものである。
高さが無限大.
ある範囲の底 に対して は有限の値に収束するので、この範囲においてテトレーションは高さ無限大の場合へ拡張できる。例えば は収束して、その値は であるから、 であると言える。
一般に無限反復指数関数 formula_6 は、 が無限大に向かうときの の極限として定義される。これが （およそ から ）の範囲で収束することはオイラーによって示された。
極限値 が存在するとき、これは方程式
高さが非正.
定義より
と以下続く。但しこの微分可能性はあくまで区分的なものである。整数 を境に微分係数が 倍されるため、（ の場合を除いて）整数 において微分不可能となる。
以下は値の計算例である。
Ultra exponential function.
フーシュマンドは ultra exponential function という関数を導入した。
これはテトレーションの一次近似を表し、 と表記される。 は、次の定理によって一意に定められる。
証明は、三番目から五番目の条件より が で線型となることから従う。
フーシュマンドはさらに次のような一意性定理を導いた。
証明は先とほぼ同様である。漸化式より formula_12 となること、三番目の条件より が で線型となることから従う。
定理より、 に対し および であって、かつ で下に凸であるような関数 は唯一 のみである。 が十分微分可能であるためには で極値を持つ必要がある。
より高次の近似.
（微分可能性についての）二次近似は次のように与えられる。
これは任意の について微分可能であるが二階微分可能でない。 のときこれは一次近似に等しくなる。
三次近似および高次への一般化は次のように与えられる。
高さが複素数.
次の条件を満たす関数 が一意に定まる事が証明されている 。
この関数 を右図に示す。また、底が "e" ではない場合についても、底がformula_14よりも大きい場合については同様に証明されている。倍精度浮動小数点数近似はオンラインで公開されている。
一意性.
テトレーションを一意に定めるためには正則性の条件が重要となる。いま、関数 に対し関数 を次のように構成する。
ここで 、 は十分速く減衰する実数列であり、少なくとも実軸の近くで 、 を収束させるとする。
この関数 は と同様に最初の二つの条件 、 を満たす。また 、 が十分速く に近づくとき、 は正の実軸近傍で解析的となる。しかし 、 が全て でない場合、 は新たに大量の特異点と不連続線を複素平面上に持つことになる。これは 、 が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は 、 が小さければ小さいほど実軸から離れていくため、 が正則であるためには全ての 、 が となる、即ち であればよい。
実解析上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。
逆関係.
冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根（）とと呼ぶ。
超冪根.
超冪根はテトレーションの底に関する逆関係である。
超平方根.
超平方根（）は の逆であり、二つの等価な表記 , を持つ。
この関数は次のようなランベルトのW関数による表示を持つ。
またこの関数により、冪根と対数の間の鏡映的な関係が表れる。次の方程式は のときに真となる。
平方根と同様に超平方根は一つとは限らない。ただし、平方根と異なり超平方根の個数を決定するのは容易とは言えない。一般に、 のとき は二つの正の超平方根を 0 と 1 の間に持ち、 のとき は 1 より大きい一つの正の超平方根を持ち、 のとき は超平方根を実数の範囲で持たない。しかし上の式より、任意の は可算無限個の超平方根を複素数の範囲で持つことが従う。
超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。
その他の超冪根.
任意の整数 に対して は定義され、 のとき増加となり を満たす。従って のとき は存在する。しかし上述した一次近似を用いた場合、 のとき は によらず となり、従ってこの場合 は存在しない。
超平方根のほか 次の超冪根も同様の記号を用いて と表すことができる。
超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これは の場合に限り問題なく定義される（#高さが無限大を参照）。 が存在するとき が成り立つことから、無限次の超冪根は初等関数によって と表すことができる。例えば となる。
 を任意の正の整数とするとゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超平方根 は整数または超越数となり、超立方根 は整数または無理数（これが超越数かどうかは知られていない）となる。
超対数.
超対数はテトレーションの高さに関する逆関係である。
テトレーション を に関して連続的に増加するものとして定義すると、任意の実数 に対し超対数 が定義される。
この関数 は以下の式を満たす。
さらなる拡張.
テトレーションはformula_22という風に拡張できる。そしてテトレーションの回数を数え上げるペンテーションを定義することができ、formula_23と表せる。
同じようにヘキセーションも定義できる(formula_24)。この拡張を一般化してクヌースの矢印表記ができる。
またテトレーションはハイパーE表記でformula_25と書ける。