代数的整数

数論において代数的整数（だいすうてきせいすう、）とは、ある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである。代数的整数の全体 は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。
代数体 "K" の整数環 "O" は "K" ∩ A に等しく、また体 "K" の極大整環（）となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。"x" が代数的整数であることは、環 Z["x"] がアーベル群として有限生成（即ち有限生成 Z-加群）であることと同値である。
定義.
以下は が代数的整数であることの同値な定義である。ここで "K" は代数体（有理数体 Q の有限拡大）とする。原始元定理より、この "K" は適当な代数的数 θ ∈ C によって "K" = Q(θ) とすることもできる。
代数的整数は有限拡大 "K" / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。
代数的整数をこのように定義する背景には次のような考え方がある。まず、有理数に対する整数のように、代数的数全体の集合の中で「整数の集合」 が何らかの方法で定義できたとする。すると は次の性質を持っているはずである。
このような性質を持つ集合 は実は代数的整数の集合と一致する。実際、 の任意の元 に対してその有理数体上の最小多項式 を取ってみる。 の係数は の共役達の基本対称式であるから、(S2)と(S1)よりこれは に含まれる。 の係数は有理数であるから、(S3)よりこれらは有理整数である。よって は有理整数係数のモニック多項式であるから は代数的整数である。したがって は代数的整数の集合に含まれる。代数的整数の集合は(S1)～(S3)を満たす集合であるので、(S4)により は代数的整数の集合に一致する。