ループ代数

数学において，ループ代数 (ループだいすう、 とは，ある種のリー環であり，特に理論物理学において興味を持たれる．
定義.
 を複素リー環とし， を円周多様体 上の滑らかな（複素）関数の代数とする．このとき， と のテンソル積
は，リーブラケットが
で与えられる無限次元リー環である．ここで と は の元で， と は の元である．
これは の各点に を乗せた の無限個のコピーの直積に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく， から への滑らかな関数，言い換えると， 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．
なお，部分代数
もループ代数と呼ばれる．
ループ群.
同様に， からリー群 へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし（その上の汎関数微分を定義できるという意味でリー群である），と呼ばれる．ループ群のリー環は対応するループ代数である．
フーリエ変換.
このループ代数上のフーリエ変換を，formula_4 を formula_5 と定義することで取ることができる．ただし は の座標である．
応用.
 が半単純リー環ならば，そのループ代数の非自明な中心拡大はアフィンリー環を生じる．