リーマンのクシー関数

数学において、リーマンのクシー関数（リーマンのクシーかんすう、）はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。
定義.
リーマンのもともとの小文字のクシー関数、 はエトムント・ランダウによって大文字のクシー に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー は次のように定義される： に対して
ここで はリーマンのゼータ関数を表し、 はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは ）は
である。大文字のクシー は Landau (loc. cit., §71) によって
と定義され、関数等式
をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 はリーマンがもともと によって表記した関数である。
値.
偶数に対する一般式は
である、ただし は 番目のベルヌーイ数を表す。例えば
である。
級数表現.
クシー関数は級数展開
をもつ、ただし
であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 を の順番で渡る。
この展開は においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の に対して であることと同値であるというものである。
アダマール積.
単純な無限積展開は
ただし は の根を走る。
展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち と の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。