ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、）とは、強い形のを満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 "p" において "p−1" までの逆数の和を表す分数の分子は "p" を因数にもつことは知られている。この分数の分子が "p" の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者にちなむ。
ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。
既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（）。109 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない。
定義.
ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。
二項係数による定義.
素数 "p" &gt; 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という。
ここで左辺は二項係数。
一方ウォルステンホルムの定理によれば、"p" &gt; 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。
ベルヌーイ数による定義.
素数 "p" は、ベルヌーイ数 "B""p"−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。
非正則素数による定義.
素数 "p" は、("p", "p"–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という。
調和数による定義.
素数 "p" は、調和数 formula_3 を既約分数で表したときの分子が "p"3 で割り切れるときウォルステンホルム素数という。
研究とその現状.
ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された。1.2 までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数は見つからず、後にこの範囲は 2 まで拡げられ（McIntosh, 1995年）、さらに 2.5 まで拡げられた（Trevisan &amp; Weber, 2001年）。 2007年時点での最新の結果では までの範囲でのウォルステンホルム素数はただ2つである。
ウォルステンホルム素数の個数の予想.
ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から "x" 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 "ln ln x" 個（ "ln" は自然対数）だと予想されている。素数 "p" ≥ 5 に対しウォルステンホルム商 は