ディラック共役

ディラック共役（ディラックきょうやく, ）とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。
定義.
ディラック・スピノール のディラック共役 は、次のように定義される:
ここで は のエルミート共役、 はガンマ行列。
ローレンツ変換の下でのスピノール.
特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。
そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換のはユニタリーではない。これは一般に
として表される。ここで は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:
この時スピノール のエルミート共役 は、次のように変換される:
そのため、通常のエルミート共役を用いた はとならない。また も自己共役にならない。
ここでディラック共役の定義を用いると、 は次のように変換されることが分かる:
ここでガンマ行列の公式 とローレンツ代数の公式 を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:
この結果、ディラック共役 を用いた は
とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また も自己共役となる:
利用法.
ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ を次のように表すことが出来る:
ここで は光速、 の成分は密度 と3元確率の流れ を表す:
 と取り、再びガンマ行列の公式 を用いると、確率密度は次のようになる: