有界函数

数学の分野において、ある集合 "X" 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 "f" が有界函数（ゆうかいかんすう、）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、"X" 内のすべての "x" に対して
が成り立つような、"x" "に依らない"実数 "M" が存在することを言う。
しばしば、"X" 内のすべての "x" に対して formula_2 が成立するとき、その函数は上界 "A" によって上から抑えられる（）と言い、そのような "A" が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、"X" 内のすべての "x" に対して formula_3 が成立するとき、その函数は下界 "B" によって下から抑えられる（）と言い、そのような "B" が存在するときその函数は下に有界であるという。
（しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども）この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。
有界函数の概念の重要で特別な場合として、"X" を自然数全体の集合 N と取って有界数列（）が考えられる。すなわち、ある数列 ("a"0, "a"1, "a"2 , ...) が有界であるとは、ある実数 "M" が存在して、すべての自然数 "n" に対して
が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合（にベクトル空間の構造を入れたもの）は数列空間を成す。
この定義は、距離空間 "Y" に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 "X" 上で定義される函数 "f" が有界であるとは、"Y" 内のある "a" に対して適当な実数 "M" を取れば、距離函数 "d" で測った "a" と "f"("x") との距離が "M" 以下にできること、すなわち
が "X" 内のすべての "x" に対して成立することを言う。この場合、"a" を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ "M" を取ることができる。