ボホナー積分

数学におけるボホナー積分（ボホナーせきぶん、）は、サロモン・ボホナーに名を因む、（単函数の積分の極限としての）ルベーグ積分のバナッハ空間に値をとる函数への拡張である。
定義.
("X", Σ, μ) を測度空間、"B" をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。"X" 上の "B"-値単函数 "s" は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 "E""i" と "B" の相異なる元 "b""i" を使って
なる形の和に表される。ただし、χ"E" は集合 "E" の指示函数である。単函数 "s" をこの形に書くとき, "b""i" が 0 でないような "i" では必ず μ("E""i") が有限値となるならば、この単函数 "s" は可積分であるといい、その積分を
で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。
可測函数 ƒ: "X" → "B" がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 "s""n" で
を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。
このとき、ボホナー積分は
と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 "L"1 に属することである。
性質.
ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは ("X", Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: "X" → "B" がボホナー可積分であるための必要十分条件が
であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: "X" → "B" がボホナー可測であるとは、"B" の可分部分空間 "B"0 に値をとる函数 "g" で、"B" の任意の開集合 "U" の逆像 "g"−1("U") が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 "f" = "g" となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。
ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒ"n": "X" → "B" が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての "x" ∈ "X" で ‖"f""n"("x")‖"B" ≤ "g"("x") を満たす "g" ∈ "L"1(μ)が存在するならば、"n" → ∞ とする極限で
および、任意の "E" ∈ Σ に対して
が成立する。
ƒ がボホナー可積分ならば不等式
が任意の "E" ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数
は μ に関して絶対連続な "X" 上の可算加法的 "B"-値ベクトル測度を定める。
ラドン–ニコディム性.
ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、 を可測空間 上の測度とすると、 が に関するラドン–ニコディム性を持つとは、 上の に値をとる任意の有界変動かつ -絶対連続な可算加法的ベクトル測度 に対して、-可積分函数 で formula_10 を任意の可測集合 に対して満たすものが存在することをいう。
バナッハ空間 がラドン–ニコディム性を持つとは、 が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。 はラドン–ニコディム性を持ち、 や の有界開領域 に対する , および はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。