半直積

群論において、群の半直積（はんちょくせき、）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。
群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。
定義.
内部半直積.
ふたつの群 , に対して の による内部半直積とは、次の性質を満たす群 のことで、 と表す。
 を群とし、 をその部分群、 を正規部分群 () とすると、以下は同値である。
外部半直積.
 を正規部分群 と部分群 の（内部）半直積であるとする。 を のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 は群準同型である。, ただしすべての と に対し、．（ は の正規部分群であるから であることに注意。）, , の三つ組は以下で示すように を同型の違いを除いて決定する。
2つの群 と （与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型 が与えられると、次のように定義される、 に関する と の（外部）半直積と呼ばれる新しい群 formula_1 を構成することができる。
これは群を定め、単位元は で、 の逆元は である。対 全体は と同型な正規部分群をなし、対 全体は に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。
逆に、群 と正規部分群 と部分群 が与えられていて、 のすべての元 が一意的に , ただし , , の形に書けるとしよう。 を 、ただしすべての に対して
によって与えられる準同型とする。すると は半直積 formula_1 に同型である。同型写像は積 を対 に送る。 において次が成り立ち
これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた formula_1 の乗法の規則の定義の説明もしている。
直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、 を自明な準同型、すなわち のすべての元を の恒等自己同型に送るものとしよう。すると formula_1 は直積 formula_12 である。
ホモロジー代数的定義.
群 の 群 による半直積とは、分裂する短完全列
を持つような群 のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断 が存在することである。（つまり半直積 とは群 の群 による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）
導入.
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。 次元アフィン変換
は 次元一般線型変換 formula_15 と 次元の並進変換 formula_16 を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを formula_17 で表し、 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 formula_18 と formula_19 の合成変換を考えると、
である。従って、アフィン変換群 formula_17 の群演算は、
となり、formula_23 と formula_24 の単純な直積群ではないことが分かる。しかし formula_23 と formula_24 は共に formula_17 の部分群を成し、とくに formula_24 は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
例.
直積.
直積群は半直積群でもある。
二面体群.
位数 の二面体群 は位数 の巡回的正規部分群 の位数 の巡回群 による半直積である。
標準ボレル部分群.
一般線型群の上三角行列からなる部分群 を取る。
 を対角成分がすべて からなる群 の部分群とし、
 を対角行列からなる群 の部分群とする。このとき次が成り立つ。
アフィン変換群.
正則アフィン変換からなる群 も半直積の例である。
半直積で表せない例.
位数 の四元数群 は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。
性質.
位数.
位数はそれぞれの積である。
埋め込み.
もとの群は半直積群に埋め込まれる。
つまり、ふたつの単射準同型写像 と がある。
さらに の単射準同型像は の正規部分群で、その剰余群は と同型である。
異なる作用における同型.
一般に、ふたつの異なる群作用 が非同型な半直積群を定めるとは限らない。
もし が巡回群で作用 が単射かつ を満たすならば である。