ピタゴラス数

ピタゴラス数（）とは、 を満たす3つの自然数の組 のことである。これはピタゴラスの定理に由来しており、直角三角形の3辺の長さでいずれも整数であるのはピタゴラス数に限られる。3辺のうちある2辺が整数でも残りの辺が整数になるとは限らずその場合無理数となってしまうことから、ピタゴラス数のリストは興味の対象となる。
最小のピタゴラス数は である。
 がピタゴラス数ならば
も明らかにピタゴラス数となる。そのため、ピタゴラス数のリスト化には の最大公約数が であるもののみを列挙する。これを原始ピタゴラス数（）という。一般のピタゴラス数 は、原始ピタゴラス数の各項の数を自然数倍したものとして一意に表される。
ピタゴラス数はディオファントス方程式 の整数解であるため、ピタゴラス数は非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の一つである。
歴史.
ピタゴラス数は古くから知られている。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。
ピタゴラス数の性質.
ピタゴラス数は、
という性質を持つ。
したがって、 と と の積は、常に 60 の倍数となる。
原始ピタゴラス数の生成式.
原始ピタゴラス数の生成式としては、原始ピタゴラス数#原始ピタゴラス数の生成式のユークリッドの式とブラフマグプタによる式が知られている。
原始ピタゴラス数 は
の形になる。ここで、 は自然数で、
を満たす。これはユークリッドの式またはピタゴラスの公式(細矢 治夫『三角形の七不思議』、2013/07/20、p.62 による)と呼ばれる。
ブラフマグプタの方法では、原始ピタゴラス数 は
の形になる。ここで、 は自然数で、
を満たす。
一般のピタゴラス数 は、原始ピタゴラス数の各項の数を自然数倍したものであり、ユークリッドの式を用いた場合、任意の自然数 k を用いて以下のように表される：