ヒルベルト・サミュエル関数

可換環論において可換ネーター局所環 "A" 上有限生成な 0 でない加群 "M" と "A" の準素イデアル "I" のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と にちなんで名づけられているが、写像 formula_1 であってすべての formula_2 に対して
であるようなものである、ただし formula_4 は "A" 上の長さを表す。それは formula_5 のと恒等式
によって関連付けられる。十分大きい formula_7 に対して、それは次数が formula_8 に等しい多項式関数と一致する。
例.
二変数の形式的冪級数の環 formula_9 を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 "x"2 と "y"3 によって生成されたものとすると、
次数の制限.
ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。formula_11 でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。
formula_12 をネーター局所環とし、"I" を m-準素イデアルとする。
が有限生成 "R"-加群の完全列で、formula_14 の長さが有限であれば、
ただし "F" は次数が formula_16 の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、formula_17 であれば、 formula_18 の次数は formula_19 の次数よりも真に小さい。
証明： 与えられた完全列を formula_20 でテンソルして核を計算すると、完全列
を得、これから
右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい "n" とある "k" に対して、
したがって、
これは望んだ次数の制限を与える。