凸共役性

数学において凸共役（とつきょうやく、）とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル＝フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる（アドリアン＝マリ・ルジャンドルとの名にちなむ）。
定義.
formula_1 を実ノルム線型空間とし、formula_2 を formula_1 の双対空間とする。双対組を次で表す。
拡大実数に値を取る函数
に対する凸共役
は、上限を用いて次のように定義される。
あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。
この定義は、函数のエピグラフの凸包の、に関する符合化と解釈することが出来る
例.
アフィン函数
の凸共役は
である。冪函数
である。ここで formula_12 である。
絶対値函数
の凸共役は
である。指数函数 formula_15 の凸共役は
である。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。
期待ショートフォール（リスク平均値）との関係.
"F" を確率変数 "X" の累積分布函数とする。このとき、部分積分により
は次の凸共役を持つ。
順序.
特別な解釈により次の変換が考えられる。
これは初期函数 f の非減少な書き換えである。特に、"f" に対する formula_20 は非減少である。
性質.
閉凸函数の凸共役は再び閉凸函数である。多面体的凸函数（多面体的エピグラフを持つ凸函数）の凸共役は、再び多面体的凸函数である。
順序の反転.
凸共役は、順序を反転させる。すなわち、formula_21 ならば formula_22 である。ここで
である。函数の族 formula_24 に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。
さらに最大最小不等式により、次が従う。
二重共役.
函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 formula_27（凸共役の凸共役）は閉凸包、すなわち、formula_28 を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 "f" に対し、次が成り立つ。 
フェンシェルの不等式.
任意の函数 とその凸共役 に対し、次のフェンシェルの不等式（フェンシェル＝ヤングの不等式としても知られる）は、すべての と に対して成立する：
凸性.
二つの函数 formula_31 と formula_32 および数 formula_33 に対し、次の凸関係が成立する。
この演算 formula_35 はそれ自身が凸写像である。
極小畳み込み.
二つの函数 "f" と "g" の極小畳み込み（infimal convolution）は、次で定義される（epi-sum とも呼ばれる）：
"f"1, …, "f"m は R"n" 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である（が、必ずしも真凸ではない）。さらに次が成立する。
二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある：二つの函数の極小畳み込みの（厳密な）エピグラフは、それらの函数の（厳密な）エピグラフのである。
最大化引数.
函数 formula_38 が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数（maximizing argument）である。すなわち、
が成り立つ。したがって
であり、さらに次が成立する。
スケーリング性.
ある formula_45 に対し、formula_46 であるなら、次が成り立つ。
さらにパラメータ α が追加される場合は、次が成り立つ。
ここで formula_49 は最大化引数であるように選ばれる。
線型変換の下での挙動.
"A" を "X" から "Y" への有界線型作用素とする。"X" 上の任意の凸函数 "f" に対して、次が成り立つ。
ここで
は "f" の "A" に関する原像であり、"A"* は "A" の共役作用素である。
閉凸函数 "f" は、ある与えられた直交線型変換の集合 "G" に関して対称である、すなわち
であるための必要十分条件は、凸共役 "f"* が "G" に関して対称であることである。
代表的な凸共役の表.
次の表では、多くの有名な函数のルジャンドル変換で、有用な性質を持つものが示されている。