Gδ集合

数学の一分野である位相空間論における Gδ-集合あるいは内極限集合 ("inner limiting set") とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、"G" というのが開集合を意味するドイツ語の ' から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の ' からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π-階集合である。
例と反例.
より複雑な Gδ-集合の例は、次の定理から得られる。
性質.
距離空間（および位相空間）における Gδ-集合の概念は、ベールの範疇定理と同様に距離空間の完備性の概念と強く関係する。このことは、マズルキェヴィチの定理として述べられる。
"G"δ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 "f" が連続となるような点全体の成す集合は formula_1-集合を成すということである。これは、点 "p" における連続性というのが Π-式で定義されることによる。具体的に書けば、任意の正整数 "n" に対して "p" を含む開集合 "U" で任意の "x", "y" ∈ "U" について を満たすようなものが取れるが、一旦 "n" の値を固定して対応する部分集合 "U" が取れるような点 "p" の全体を考えるとそれ自身が（開集合の和として）開集合であり、ここで "n" に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ：
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質.
以下はポーランド空間に対するものである:
Gδ-空間.
"G"δ-空間は、その任意の閉集合が Gδ-集合となるような位相空間を言う(Johnson, 1970)。正規空間が Gδ-空間でもあるとき、その空間は完全正規空間であるという。任意の距離化可能空間は完全正規であり、任意の完全正規空間は全部分正規である（いずれの含意も逆は成り立たない）。