条件数

条件数（じょうけんすう、）は、問題のコンピュータでの数値解析しやすさの尺度であり、その問題がどれだけ数値解析に適しているかを表す。条件数が小さい問題は「良条件 (well-conditioned)」であり、条件数が大きい問題は「悪条件 (ill-conditioned)」である。
行列の条件数.
たとえば formula_1 という方程式の条件数は、formula_2 を近似的に求める際の不正確さの上限を与える。なお、これには丸め誤差の影響は考慮しない。条件数は行列の属性であって、計算に使うシステムの浮動小数点数の精度やアルゴリズムとは無関係である。この場合（非常に大まかに言って）、formula_3 の変化によって解である formula_2 が変化する率が条件数である。従って、条件数が大きければ formula_3 の小さな誤差も formula_2 の大きな誤差となって現れる。一方、条件数が小さければ、formula_2 における誤差は formula_3 における誤差より大きくなることはない。
より正確に条件数を定義すると、formula_2 の相対誤差を formula_3 の相対誤差で割った最大比率である。
formula_3 の誤差を formula_12 とする。すると解 formula_13 の誤差は formula_14 となる。解の相対誤差と formula_3 の相対誤差の比率は、次のようになる。
これは容易に次のように書き換えられる。
（formula_3 と formula_12 がゼロでないとき）その最大値は明らかに2つの作用素ノルムの積となる。
同様の定義は、任意の行列ノルムに当てはまる。この数は数値線型代数学にはよく使われるので、行列の条件数 (condition number of a matrix) と名づけられている。
もちろん、この定義はノルムの選択に依存している。
それ以外の条件数.
特異値分解の条件数、多項式の解を求める際の条件数、固有値の条件数など、様々な問題について条件数を定義できる。
一般に数値問題が良設定なら、それを関数 formula_35 で表すことができ、formula_36-タプルの実数 formula_2 から formula_38-タプルの実数 formula_39 への写像となる。
するとその条件数は、問題の定義域における解の相対誤差とデータの相対誤差の比の最大値と定義される。
ここで formula_40 は問題のデータの変化における何らかの適度に小さい値である。
formula_35 が可微分であれば、次のように近似できる。