アフィン包

数学におけるアフィン包（アフィンほう、）はアフィン空間論における普遍概念のひとつで、線型包 (linear hull) の概念と近い関係にある。
ユークリッド空間 R"n" の部分集合 "S" のアフィン包は、"S" を含む最小のアフィン集合（アフィン部分空間）であり、あるいは同じことだが、"S" を含む全てのアフィン部分空間の交わりである。ここに「アフィン集合」とは線型部分空間を平行移動して得られる部分集合である。"S" のアフィン包を aff("S") で表せば、これは "S" の元のアフィン結合全体の成す集合
に等しい。
部分集合 "M" が、特に二つの（あるいはそれ以上の数の）アフィン部分空間の合併 "M" = "U" ∪ "V" となっているとき、"M" のアフィン包を（アフィン）和空間 ("Verbindungsraum") と呼ぶことがある。
定義.
"A" を K-ベクトル空間の付随するアフィン空間で、"M" を "A" の部分空間とするとき、"M" のアフィン包とは、"M" を含む "A" の最小のアフィン部分空間、即ち "M" を含む "A" のアフィン部分空間すべての交わりを言う。
"M" は上記の如くとして、任意の点 "P"0 を取る（これがアフィン包の始点になる）。"M" に属する点に付随する平行移動ベクトル全体の成す集合
の線型包を "H" とする。つまり、"H" は "V"("M") に属するベクトルの任意の有限線型結合の集まりであって、それ自身はアフィン空間 "A" に付随するベクトル空間の線型部分空間を成す（詳細は線型包の項を参照）。このとき、"M" のアフィン包は "P"0 + "H" で与えられる。
空集合のアフィン包は空集合と定める。
性質.
アフィン空間 "A" の任意の部分集合 "M" のアフィン包は
アフィン空間 "A" の部分集合全体の成す族において、アフィン包をとる操作は閉包作用素になる。
アフィン空間の（空集合および全体空間を含む）アフィン部分空間全体の成す集合族 "T" において、「合併のアフィン包をとる」操作は二項演算を定める。ここで、"U" ∈ "V" に対してそれらの合併のアフィン包
を部分空間 "U" と "V" とのアフィン和空間あるいは結びと呼ぶ。合併を交叉に取り換えて双対的に "U" と "V" との交わりも定義され、この二つの二項演算に関して "T" は分配束、特にブール代数となる。