幾何学的群論

幾何学的群論（）は、有限生成群を研究する数学の一分野であり、群の代数的性質と、その群が作用する（つまり、幾何的な対称性、あるいは連続的な変換群として実現される）ような空間のトポロジー的および幾何学的性質との間の関係を調べるものである。
幾何学的群論におけるもう一つの重要な考え方は、有限生成群自体を幾何学的対象として考えることである。これは通常、群のケイリーグラフを調べることによって行われる。これには、グラフ構造に加えて、いわゆるによって与えられる距離空間の構造が備わっている。
幾何学的群論は、分野としては比較的新しいものであり、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、明確に識別できる数学の分野となった。 幾何学的群論は、低次元トポロジー、双曲幾何学、代数トポロジー、、微分幾何学と密接に相互作用する。計算複雑性理論、数理論理学、リー群とその離散部分群の研究、力学系、確率論、K理論、その他の数学の分野とも密接に関連している。
ピエール・デ・ラ・ハープは彼の著書『"Topics in Geometric Group Theory"』の冒頭で次のように書いている。
「私の個人的な信念の一つは、対称性と群に魅了されることは、人間の限界への不満に対処する一つの方法であるということです。我々は、対称性を認識することを好みます。対称性は我々が見ることのできることよりも多くを認識させてくれます。この意味で、幾何学的群論の研究は文化の一部であり、ジョルジュ・ド・ラームが数学の指導、 マラルメの朗読、友人への挨拶など、多くの場面で実践したいくつかのことを思い出します。」 
歴史.
幾何学的群論は、群を自由群の商として説明する群の表示の解析を通じて離散群の性質を主に研究したから生まれた。この分野は、1880年代初頭に、フェリックス・クラインの門生のによって最初に体系的に研究された が、初期には、1856年のウィリアム・ローワン・ハミルトンによる、とよばれる十二面体の辺グラフを用いたの研究がある。現在、分野としての組合せ群論は、幾何学的群論に大きく含まれている。さらに、「幾何学的群論」という用語には、確率論的、測度論的、数論的、解析的、その他のアプローチを使用して、従来の組合せ群論の外にある離散群の研究がしばしば含まれるようになった。
20世紀の前半には、マックス・デーン、ヤコブ・ニールセン()、、、、などの先駆的な研究により、離散群の研究にトポロジー的および幾何学的なアイデアが導入された。幾何学的群論の他の前身には、とがある。スモールキャンセル理論は、1960年代にマーティン・グリンドリンガーによって導入され 、さらにとによって発展された。 これは、組合せ曲率条件を介して、群の有限表示に対応するを研究し、そのような解析から群の代数的およびアルゴリズム的性質を導くものである。 1977年のセールの本 で紹介されたバスセール理論は、単体ツリーに対する群作用を研究することにより、群に関する代数構造の情報を導き出す。幾何学的群論の外的な前身には、リー群の格子の研究、特にモストウの剛性定理、の研究、1970年代と1980年代初頭に低次元トポロジーと双曲幾何学で達成された進歩、特にウィリアム・サーストンの幾何化プログラムが含まれる。
幾何学的群論が数学の別個の分野として出現したのは、通常、1980年代後半から1990年代初頭にさかのぼる。これはミハイル・グロモフの1987年のモノグラフ"『Hyperbolic groups』" およびその後のモノグラフの"『Asymptotic Invariants of Infinite Groups』" により拍車がかかった。前者は大尺度(large-scale)で負の曲率を持つ有限生成群の概念を捉えた（語双曲群またはグロモフ双曲群または負曲率群としても知られる）を概念を導入したもので、後者は離散群の類を理解するというグロモフのプログラムの概要を説明したものである。グロモフの研究は、離散群の研究に変革的な影響を与え、「幾何学的群論」というフレーズがその後すぐに現れ始めた。（例えば 参照）。
現代のテーマと発展.
1990年代と2000年代の幾何学的群論の注目すべきテーマと発展には、次のものがある。
例.
次の例は、幾何学的群論でよく研究されている。 
参考文献.
本とモノグラフ.
これらのテキストは、幾何学的群論と関連トピックをカバーしている。