ルベーグの被覆補題

トポロジーにおけるルベーグの被覆補題（）あるいはルベーグ数の補題（）はアンリ・ルベーグに因むコンパクト距離空間の研究における有用な補題であって、次のことを主張する：
そのような数 formula_4 はその被覆のルベーグ数と呼ばれる。ルベーグ数の概念そのものも他の応用へ有用である。
証明.
formula_7 を formula_2 の開被覆とする。formula_2 はコンパクトだから有限部分被覆 formula_10 を抜き取ることができる。
各 formula_11 に対して、formula_12 とおいて、関数 formula_13 を formula_14 で定める。
formula_15 はコンパクト集合上で連続だから、最小値 formula_4 を取る。鍵となる観察は formula_3 である。もし formula_18 が formula_4 未満の直径を持つ formula_2 の部分集合なら、ある formula_21 に対して formula_22 となる。ここで formula_23 は半径 formula_4 中心 formula_25 の球を表す（よって formula_25 は formula_18 の任意の点としてよい）。formula_28 であるから、少なくともひとつ formula_29 が存在して formula_30 が成り立つ。ところがこのことは formula_31 を意味し、したがってとくに formula_32 である。
別証明.
formula_7 を formula_2 の開被覆とする。どんな formula_35 に対しても formula_36 は開集合である。なぜなら、各 formula_37 に対して、formula_38 と formula_39 の周りのコンパクト formula_4-球の間には正の距離 formula_41 があるから、開 formula_42-球もまた formula_43 に含まれる。
族 formula_44 もまた formula_2 の開被覆である。formula_2 はコンパクトだから、formula_2 は有限個の formula_43 の和に既に含まれている。また formula_49 に対して formula_50 となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある formula_35 に対して formula_52 が成り立つ。この formula_4 はルベーグ数である。