くりこみ群

とは、くりこみ変換により構成される半群である。名前では「群」とついているが、実際は「群」ではなく「半群」である点は注意すべきことである。
くりこみ変換.
「くりこみ変換」とは、直感的に言うとスケール変換をして粗視化することである。量子論的場の理論の理解では素粒子は半径を持たないので任意のスケール変換に対し、元のスケールの粒子描像に新たに量子補正を取り入れた粒子を「変換後のスケールにおける粒子」と再定義することが可能である。つまりスケール変換に応じて質量や結合定数の異なる粒子描像に移行することになる。
理論のパラメータが1つである典型的な場合を考える。
パラメータが formula_1 であるとして、スケール変換
を考える。この時、formula_1 に依存する量 formula_4が
のように変換されると仮定する。したがって、formula_6の初期条件は
で与えられる。パラメータ formula_1 と formula_4 の対 formula_10 は空間 formula_11 の点と考えられるので、写像 formula_12はformula_13の中への写像だと見なせる。
今、変換formula_14を
と書き、関係式
を満足しているものと仮定する。このとき、単位元は formula_16 であり、任意の formula_17 に対して formula_18 が分かるので、集合 formula_19 は、可換半群をなすことが分かる。この formula_20 を「くりこみ変換」と呼ぶ。
くりこみ群方程式.
くりこみ群方程式とは、端的にいえば、理論のパラメータのスケール変換に対して物理量がどのように応答するかを記述する偏微分方程式のことである。
くりこみ変換の関係式を、formula_21 の言葉で書くと、
と表現できる。これは、関数等式としての「くりこみ群方程式」である。このままでは扱いにくいので、普通は formula_21 の微分可能性を仮定し、偏微分方程式の形に直す。そのためには、formula_24 とおいて、上式の両辺を formula_25 で微分して formula_26 とおけばよい。得られる式は
である。ただし、formula_28 は
で定義される。このような偏微分方程式を、「Gell-Mann=Low型のくりこみ群方程式」という。「Gell-Mann=Low型のくりこみ群方程式」とは異なり、非同次項を持つくりこみ群方程式が現れることもある。そのようなタイプの方程式は、「Callan-Symanzik型のくりこみ群方程式」と呼ばれる。
得られた方程式は1階の線型偏微分方程式であるので、特性方程式
を解いて一般解を求めることができ、それは
で与えられる。ただし、formula_32 は、
を満足する関数、formula_34 は formula_35 の任意関数である。ここで、初期条件
により formula_37 は formula_38 であることが分かるので、結局、
が解である。
関数 formula_28 は、物理量のスケール変換の応答を決定する重要な量で、ベータ関数と呼ばれる。ベータ関数をどうやって求めるかは重要な問題だが、摂動計算による以外、事実上、方法はない。
場の理論で formula_4 を頂点関数などに選び、
formula_1をくりこみ点 formula_43 に選んだ場合、formula_4 の formula_1 依存性は、いくつかの関数 formula_46を通して現れる。よって、このときのくりこみ群方程式は、
ベータ関数は
となる。