SageMath

SageMath（セイジ、以前はSage、SAGEと記した）は数学の幅広い処理を扱うソフトウェアである。扱う処理は計算機代数、組み合わせ、数値計算など多岐に及ぶ。工学的応用に加え基礎科学の研究もカバーする。
SageMathは2005年2月24日にフリーソフトウェアとしてGNU General Public Licenseの元で初版が公開された。その開発目的はMagma、Maple、Mathematica（いずれも計算機代数ソフトウェア）、MATLABの代替となるフリーかつオープンソースなソフトウェアを提供することであった。開発は、米ワシントン大学の数学准教授のウィリアム・スタイン () が主導して始まった。
SageMathはPythonプログラミング言語を使用しており、手続き型・関数型・オブジェクト指向によるプログラムの記述を行うことができる。
特徴.
SageMath のマニュアルに記載されている機能から、以下に抜粋する。
この他に、SageMathが直接提供する機能ではないが、MathematicaからSageMathを呼び出して利用することができる。そのための Mathematicaノートブックが用意されている。
開発方針.
ウィリアム・スタインは設計にあたって、以下の要素を取り込んだ。
そこで、目的とするソフトウェアをゼロから書き始めることはせずに、SageMathはPythonとCythonを使って、さまざまな数学関連ソフトウェアを統合して一つのインターフェイスで使えるようにすることを目指した。Pythonは非常に多くのアプリケーションで利用されている言語であり、SageMathの利用者はPythonだけを知っていればよいことになる。
これを実現するためのオープンソース実装はまだなかったことが、SageMathを開発する動機となった。SageMathはいわゆる車輪の再発明とは異なる。たとえばMathematicaは同じような開発方針で作られているが、商用のソフトウェアはソース開示を義務づけられているソフトウェアを利用することができない。Sageにはそういった制限はなく、それだけ幅広い分野のソフトウェアを利用することができる。
SageMathの開発には、学生も職業研究者も関わっている。またボランティアの開発労力に加え、助成金による援助も受けている。
性能.
SageMathのソースコード、バイナリともに開発元のウェブページからダウンロードできる。SageMathをソースからビルドすると、その環境のプロセッサ数、キャッシュのサイズ、SSEサポートの有無などによって、SageMathの内部で利用するATLAS、FLINT、NTLなどの数値演算ライブラリのチューニングが行われる。SageMathの開発者の多くは実効性能の向上に注力しており、中には世界最速を目指しているものもある。
利用条件.
SageMathはGNU General Public License version 2+にしたがった利用、配布ができるフリーソフトウェアである。入手方法は複数用意されている。
Sage 8.0 以降からWindowsネイティブ版がリリースされている．
利用例.
数式処理.
x,a,b,c = var('x,a,b,c')
log(sqrt(a)) # returns log(a)/2
log(a/b).simplify_log() # returns log(a) - log(b)
sin(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*sin(b) + sin(a)*cos(b)
cos(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
(a+b)ˆ5 # returns (b + a)ˆ5
expand((a+b)ˆ5) # returns bˆ5 + 5*a*bˆ4 + 10*aˆ2*bˆ3 +
 # 10*aˆ3*bˆ2 + 5*aˆ4*b + aˆ5
limit((xˆ2+1)/(2+x+3*xˆ2), x=infinity) # returns 1/3
limit(sin(x)/x, x=0) # returns 1
diff(acos(x),x) # returns -1/sqrt(1 - xˆ2)
f = exp(x)*log(x)
f.diff(x,3) # returns e^x*log(x) + 3*e^x/x - 3*e^x/x^2 + 2*e^x/x^3
solve(a*x^2 + b*x + c, x) # returns [x == (-sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a),
 # x == (sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a)]
f = xˆ2 + 432/x
solve(f.diff(x)==0,x) # returns [x == 3*sqrt(3)*I - 3,
 # x == -3*sqrt(3)*I - 3, x == 6]
微分方程式.
t = var('t') # define a variable t
x = function('x',t) # define x to be a function of that variable
DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1
desolve(DE(x(t)), [x,t]) # returns '%e^-t*(%e^t+%c)'
線形代数.
A = Matrix(1,2,3],[3,2,1],[1,1,1)
y = vector([0,-4,-1])
A.solve_right(y) # returns (-2, 1, 0)
A.eigenvalues() # returns [5, 0, -1]
B = Matrix(1,2,3],[3,2,1],[1,2,1)
B.inverse() # returns [ 0 1/2 -1/2]
 # [-1/4 -1/4 1]
 # [ 1/2 0 -1/2]
import numpy
C = Matrix(1 , 1], [2 , 2)
matrix(numpy.linalg.pinv(C.numpy())) # returns [0.1 0.2]
 # [0.1 0.2]
数論.
prime_pi(1000000) # returns 78498, the number of primes less than one million
E = EllipticCurve('389a') # construct an elliptic curve from its Cremona label
P, Q = E.gens()
7*P + Q # returns (2869/676 : -171989/17576 : 1)
開発の経緯.
メジャーバーションについてのみ記す。SageMath のリリース方針は、"Release Early, Release Often" であり、数週間または一ヶ月おきにリリースされている。