マルコフ数

マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式
の解の一部を与える正整数"x", "y", "z"である。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。
最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。
これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。
マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） formula_2 を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 formula_3 は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 "c" に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。
マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、formula_4 が平方数となるような "n" と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。
ただし "F""x" は"x" 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。
ここで "P""x" は "x" 番目のペル数とする。
奇数のマルコフ数はformula_7という形であり、偶数のマルコフ数は formula_8 という形である。
あるマルコフの3つ組 ("x", "y", "z") がわかっているとき、formula_9 という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。formula_9 がマルコフの3つ組であるために、必ずしも formula_11 が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて "y" と "z" を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。また"x" と "z"を入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。
1979年に、Don B. Zagier は "n" 番目のマルコフ数が近似的に
で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である）formula_13が"f"("t") = arcosh(3"t"/2)に対して formula_14 と書けることを示した。
"n" 番目のは、"n" 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。