フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論

数学基礎論において、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。
NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。クラスの存在定理は、量化子の範囲を集合に限定した論理式それぞれに対して、論理式を満たす集合からなるクラスの存在を述べる。クラスは、クラスの論理式を一つずつ構築することで構成される。すべての集合論的な論理式は2種類の原子論理式（所属関係と等式）と有限個の論理記号から構築されるため、論理式を満足するクラスを構築するには有限個の公理があればよい。NBGが有限公理化できるのは、こうした理由による。クラスは他の概念の構築にも用いられ、集合論的パラドックスへの対処や、ZFCの選択公理より強いの説明に用いられる。
ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論のは関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。 パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。 クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。
集合論におけるクラス.
クラスの使用例.
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：
公理型とクラス存在定理.
ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理型を加える。この公理型は以下の通り：量化子の範囲を集合に限定したすべての論理式 formula_18 に対して、論理式を満たす formula_19-組からなるクラス formula_20 が存在する—すなわち、 formula_21 である。すると置換公理はクラスを用いる一つの公理で置き換えられる。最後に、ZFCの外延性の公理はクラスを扱う形に修正される：2 つのクラスが同じ元を持つならば、それらのクラスは等しい。ほかのZFCの公理は修正されない。
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理型は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。
この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。 この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。
NBGの公理化.
クラスと集合.
NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。ベルナイスは 2 ソートの多ソート論理を用いた。 ゲーデルはソートの代わりに原始述語を用いた： formula_22 を「 formula_20 はクラスである」ことを、 formula_24 を「 formula_20 は集合である」ことを表す述語とする（ドイツ語では集合は "Menge" である)。ゲーデルは「すべての集合はクラスである」という公理と、「クラス formula_20 がクラスの元であれば、 formula_20 は集合である」という公理を導入した。 述語はソートの回避のためによく使われる。 エリオット・メンデルソン (Elliott Mendelson) はゲーデルの考え方を元に、全てをクラスとした上で、 formula_28 を表す述語 formula_29 で集合を表すことで修正した。 この修正によって、ゲーデルのクラス述語と 2 つの公理は不要になる。
ベルナイスの 2 ソートのアプローチのほうが最初は自然に見えるかもしれないが、こちらは複雑な理論になる。 ベルナイスの理論では、どの集合も 2 種類の表現を持つ：一つは集合として、もう一つはクラスとしてである。同時に、2 つの 帰属関係がある：一つは "∈" で表される 2 つの集合間の関係、もう一つは "η" で表される集合とクラスの間の関係である。 異なるソートの変数は議論領域中で互いに素な部分領域の元となるため、この冗長性は多ソート論理に必要になる。
これらの 2 つのアプローチで証明できるものは変わらないが、証明の書かれ方は変わってくる。ゲーデルのアプローチでは、 formula_20 と formula_31 がクラスであるとき formula_32 は有効な表現である。ベルナイスのアプローチではこの表現は意味をなさない。しかし、 formula_20 が集合であれば、等価な表現が存在する： 集合とクラスが同じ集合を元に持つならば、「集合 formula_34 はクラス formula_20 を代表する」と定義する。—すなわち、 formula_36。集合 formula_34 がクラス formula_20 を代表するという表現 formula_39 は、ゲーデルの formula_32 と等価である。
本記事ではゲーデルのアプローチのメンデルソンによる修正版を用いて説明する。これは、NBG は等式を含む一階述語論理における公理系であることを意味し、はクラスと帰属関係のみであることを意味する。
外延性の公理と対の公理の定義.
集合は、少なくとも 1 つのクラスに属するクラスである： formula_41 のとき、かつそのときに限り formula_20 は集合である。
集合でないクラスは真のクラスと呼ぶ：formula_43 のとき、かつそのときに限り formula_20 は真のクラスである。
したがって、どのクラスも集合または真のクラスであり、両方同時に当てはまることはない。
ゲーデルは大文字の変数をクラス上の変数、小文字の変数を集合上の変数とした。 また、ゲーデルは、すべての集合からなるクラス上に定義された関数や関係を含む特定のクラスは、大文字から始まる名前で表した。本記事ではゲーデルのこの表記法に従う。すると以下のように書ける：
以下の公理と定義はクラス存在定理の証明に必要である。
外延性の公理. 2 つのクラスが同じ元を持っていれば、それらは等しい。
この公理はZFCの外延性の公理をクラスに一般化したものである。
対の公理. formula_1 と formula_51 が集合であれば、元が formula_1 と formula_51 のみである集合 formula_54 が存在する。
ZFCのように、外延性の公理は集合 formula_54 がただ一つであることを含意する。これによって formula_57 という表記ができる。
順序対は以下のように定義される。
対は順序対を使って再帰的に定義される：
クラス存在公理と正則性公理.
クラス存在公理はクラス存在定理を証明するのに用いる：集合のみを量化する formula_19 個の集合の自由変数に関するすべての論理式について、その論理式を満たす formula_19-組のクラスが存在する。以下の例は、関数のクラスと合成関数を構築するクラスの 2 つのクラスから始める。この例はクラス存在定理を証明するのに必要な、クラス存在公理を導出する手法を説明する。
クラス存在公理は 2 つのグループに分かれる：述語に関する公理と、対に関する公理である。前者のグループには 4 つの公理が、後者のグループには 3 つの公理が含まれる。
述語に関する公理：
帰属. 1番めの要素が 2 番めの要素の元になるような順序対すべてを含むクラス formula_63 が存在する。
共通部分（連言）. 任意の 2 つのクラス formula_20 と formula_66 に対して、 formula_20 と formula_66 にそれぞれ属する集合のみからなるクラス formula_31 が存在する。
補集合（否定）. 任意のクラス formula_20 に対して、 formula_20 に属さない集合のみからなるクラス formula_66 が存在する。
領域（存在量化子）. 任意のクラス formula_20 に対して、 formula_20 の順序対の最初の要素からなるクラス formula_66 が存在する。
外延性の公理より、共通部分公理におけるクラス formula_31 と補集合公理および領域公理におけるクラス formula_66 はそれぞれただ一つ定まる。これらはそれぞれ以下のように表現される：formula_81 formula_82 and formula_83 一方、帰属公理はクラス formula_63 上の順序対の集合のみを規定するため、外延性の公理は帰属公理におけるクラス formula_63 には適用できない。
最初 3 つの公理は空クラスおよびすべての集合のクラスの存在を含意する：帰属公理はクラス formula_63 の存在を含意する。共通部分公理および補集合公理は、空クラスである formula_87 の存在を含意する。外延性の公理により、このクラスはただ一つ定まり、これを formula_88 で表す。 formula_88 の補集合はすべての集合のクラス formula_90 であり、これも外延性の公理からただ一つ定まる。すると、 formula_28 を表す集合述語 formula_29 は、クラスを量化することなく formula_93 と再定義される。
対に関する公理：
formula_90 の直積. 任意のクラス formula_20 に対して、最初の要素が formula_20 に属する順序対からなるクラス formula_66 が存在する。
巡回置換. 任意のクラス formula_20 に対して、formula_20 の 3-組に巡回置換 formula_101 を適用して得られる 3-組からなるクラス formula_66 が存在する。
転置. 任意のクラス formula_20 に対して、 formula_20 の 3-組の後ろ 2 要素を入れ替えて得られる 3-組からなるクラス formula_66 が存在する。
外延性から、 formula_90 の直積公理は formula_109 で表されるただ一つのクラスの存在を含意する。この公理はすべての formula_19-組に対してクラス formula_111 を定義するのにも用いる： formula_112 そして formula_113。 formula_20 がクラスならば、外延性は formula_115 が formula_20 の formula_19-組からなるただ一つのクラスであることを含意する。たとえば、帰属公理から、クラス formula_63 が順序対ではない元を含むが、共通部分 formula_119 は formula_63 の順序対のみからなるようにクラス formula_63 を構成できる。
巡回置換公理と転置公理はクラス formula_66 の 3-組であることのみを規定するため、ただ一つのクラスの存在を含意しない。 3-組を規定することで、これらの公理は formula_123 に対して formula_19-組についても規定する。なぜならば： formula_125対に関する公理と領域公理は以下の補題を含意する。この補題はクラス存在定理の証明に用いる。
クラス存在定理の証明にはもう一つの公理、正則性公理が必要である。空クラスの存在が証明されるため、この公理のふつうの言明を用いる。
正則性公理. 空でないどの集合も、共通部分の要素が空となる元を少なくとも 1 つ持つ。formula_126
この公理は集合が自分自身に属さないことを含意する： formula_127 と仮定して formula_128 と置く。すると formula_129 であるので formula_130 である。これは formula_1 が formula_34 の唯一の元であることから、正則性公理と矛盾する。したがって、 formula_133 である。また、正則性公理は集合の無限降下関係列の存在を禁止する：formula_134ゲーデルは、自身の1940年のモノグラフで、集合ではなくクラスに関して正則性公理を述べた。これは1938年の講義に基づいたものである。 1939年、ゲーデルは集合の正則性公理がクラスの正則性公理を含意することを証明した。
クラス存在定理.
この定理の証明は 2 ステップからなる：
変換規則. 以下の規則 1 と 2 において、 formula_140 と formula_141 はそれぞれ集合とクラスの変数を表す。これらの 2 つの規則で formula_11 の前のすべてのクラス変数とすべての等号を除去する。規則 1 や 2 をサブ論理式に適用する際は、 formula_143 が論理式中の他の変数と異なるように formula_144 を選ぶ。3 つの規則はサブ論理式に適用できなくなるまで適用を繰り返す。これによって、 formula_136, formula_137, formula_138, formula_11、 集合変数、 formula_11 の前に現れないクラス変数 formula_150論理式のみからなる論理式を構成する。
変換規則：束縛変数. 例 1の合成関数論理式について、集合の自由変数を formula_158 と formula_159 に置き換えることを考える： formula_160。帰納的証明で論理式 formula_161 をなす formula_162 が取り除かれる。しかし、クラス存在定理は添字つき変数を使って表されているため、この論理式は帰納法における仮定として期待される形式にならない。この問題は変数 formula_163 を formula_164 で置き換えることで解決できる。ネストされた量化子内の束縛変数を扱うには、量化子ごとに添字の数字を 1 ずつ増やしていけば良い。これによって規則 4 が導出される。規則 1 と 2 で量化された変数が増えるため、規則 4 はほかの規則よりもあとに適用しなければならない。
クラス存在定理の証明. 証明は与えられた論理式に変換規則を適用して、論理式を変換することから始める。この論理式は与えられた論理式と等価であるので、変換済みの論理式を証明すればクラス存在定理の証明が完了する。
ゲーデルは、クラス存在定理は「である。すなわち、システム（NBG）に関する定理であり、システム内の定理でではない…」と指摘した。 NBG 論理式の帰納によるメタ理論の中で証明されるため、クラス存在定理は NBG に関する定理である。また、その証明は、有限個の NBG 公理を持ち出す代わりに、与えられた論理式を満たすクラスを構築するためのNBG 公理の使い方を帰納的に表現する。すべての論理式に対して、こうした表現は NBG 内の存在の構成的証明に変えられる。したがって、このメタ理論で NBG のクラス存在定理の使い方を置き換えた NBG の証明を作ることができる。
再帰的なコンピュータプログラムで、与えられた論理式からクラスを簡単に構成することができる。このプログラムの定義はクラス存在定理の証明によらない。しかし、プログラムによって構成されるクラスが与えられた論理式を満たし、公理から構成されたかを確認するには、定理の証明が必要である。このプログラムのPascal形式のcase文を用いた擬似コードを以下に示す。formula_165
formula_135 を 例 2 の論理式とする。関数呼び出し formula_167 でクラス formula_20 を作成するが、以下で formula_135 と比較する。クラス formula_20 の構成は、それを定義する論理式 formula_135 の構成を反転することがわかる。
formula_172
クラス存在定理の拡張.
ゲーデルはクラス存在定理を、クラスの関係（例えば formula_173 や単項関係 formula_174）、特別なクラス（例えば formula_9 ）、演算（例えば formula_176 や formula_177）を含む論理式 formula_135 に拡張した。 クラス存在定理を拡張するには、関係、特別なクラス、演算を定義する論理式が集合上で量化されていなければならない。すると formula_135 はクラス存在定理の仮説を満たす等価な論理式に変換される。
以下の定義は論理式での関係、特別なクラス、演算の定義方法を特定する。
は以下のように定義される：
以下の変換規則は、関係、特別なクラス、演算を消去する。規則 2b, 3b, 4 をサブ論理式に適用する際は、 formula_143 が論理式中の他の変数と異なるように formula_144 を選ぶ。規則はサブ論理式に適用できなくなるまで適用を繰り返す。formula_192 formula_140 は項を表すものとする。
集合公理.
クラス存在定理に必要だった対の公理と正則性公理は、上記の通り与えられている。NBG はほかに 4 つの集合公理を含む。このうち 3 つは集合に適用されるクラス演算として扱われる。
定義.以下が成り立てば formula_202 は関数であるformula_203集合論において、関数を定義する際に始域と終域を特定する必要はない（関数（集合論）を参照）。NBG の関数の定義では、 ZFC の定義のうち、順序類の集合を順序対のクラスに一般化したものになる。
ZFC における像、和集合、冪集合といった集合演算の定義もクラス演算に一般化される。 formula_202 によるクラス formula_20 の像はformula_206 である。 この定義は formula_207 を必要としない。クラス formula_20 の和は formula_209 となる。クラス formula_20 の冪集合は formula_211 となる。クラス存在定理の拡張版はこれらのクラスの存在を含意する。置換、和集合、冪集合の各公理は、これらの操作が集合に適用したときに集合となることを含意する。
置換公理. formula_202 が関数で formula_34 が集合であるならば、 formula_202 による formula_34 の像 formula_216 は集合である。
formula_217
formula_218 の定義に必要条件 formula_207 がなければ、以下の証明に用いる強い形の置換公理となる。
  
和集合の公理. formula_34 が集合であるならば、 formula_221 を含む集合が存在する。formula_222
冪集合公理. formula_34 が集合であるならば、 formula_224 を含む集合が存在する。
無限公理. formula_34 のすべての元 formula_1 に対して、 formula_1 が formula_51 の真部分集合である formula_34 の元 formula_51 が存在するような、空でない集合 formula_34 が存在する。
無限公理と置換公理から空集合の存在が導かれる。クラス存在公理に関する議論において、空クラス formula_88 の存在は示されている。ここで formula_88 が集合であることを示そう。関数 formula_235 と、無限公理で与えられる集合 formula_34 を仮定する。置換公理より、 formula_202 による formula_34 の像は、 formula_88 と等しい集合である。
NBG の無限公理は ZFC の無限公理から含意される： formula_240。 formula_241 であるため、 ZFC 公理の論理積の第1項、つまり formula_242 が NBG 公理の論理積の第1項を含意する。ZFC 公理の論理積の第2項、すなわち formula_243 が NBG 公理の論理積の第2項を含意する。 NBG の無限公理から ZFC の無限公理を証明するには、ほかの NBG 公理が必要である（弱い選択公理を参照）。
大域選択公理.
クラスの概念により、NBG では ZFC より強い選択公理が許容される。 選択関数は、空でない集合の集合 formula_4 上の関数 formula_8 であり、 formula_5 で formula_6 を満たすものとして定義される。ZFC の選択公理は、すべての空でない集合の集合に対する選択関数が存在することを述べる。 大域選択関数はすべての空でない集合のクラス上で定義された関数 formula_3 であり、すべての空でない集合 formula_1 に対して formula_2 を満たすものとして定義される。大域選択公理は大域選択関数が存在することを述べる。この公理は ZFC の選択公理を含意する。なぜならば空でない集合のすべての集合 formula_4 に対して、 formula_252 （ formula_3 の formula_4 への制限）は formula_4 の選択関数となるからである。1964年、ウィリアム・B・イーストン (William B. Easton) は強制法を使い、選択公理と NBG の大域選択公理以外のすべての公理を満たすモデルを構築することによって、大域選択公理が選択公理よりも強いことを証明した。 ZFC の選択公理がどの集合も整列可能であることと等価であるのと同様に、大域選択公理はどのクラスも整列可能であることと等価である。
大域選択公理. すべての空でない集合から 1 つずつ元を選択できる関数が存在する。
歴史.
フォン・ノイマンの1925年の公理系.
フォン・ノイマンは自身の公理系に関する入門的な論文を1925年に発行した。1928年、彼は公理系の詳細な説明を与えた。 フォン・ノイマンの公理系は、関数と引数というの 2 領域に基づく。これらの領域は重複する—両方の領域に属するものは引数関数と呼ばれる。関数が NBG におけるクラスに対応し、引数関数が集合に対応する。フォン・ノイマンの原始的演算は、"a"("x") ではなく ["a", "x"] で表される関数適用である。ここで "a" は関数、 "x" は引数を表す。この演算から引数が生成される。フォン・ノイマンはクラスと集合を、"A" と "B" の2値の引数関数を使って定義した。また、 ["a", "x"] ≠ "A" ならば "x" ∈ "a" であると定義した。
集合論におけるフォン・ノイマンの仕事はゲオルグ・カントールの論文やエルンスト・ツェルメロの1908年の、アドルフ・フレンケルとトアルフ・スコーレムによって独立に発表された1922年のへの批評によって広められた。 フレンケルとスコーレムはいずれも、ツェルメロの公理は集合 {"Z"0, "Z"1, "Z"2, ...} の存在を証明できないと指摘していた。ここで、 "Z"0 は自然数の集合であり、 "Z""n"+1 は "Z""n" の冪集合である。そして彼らはそのような集合の存在を保証する置換公理を導入した。 しかし、彼らはこの公理を適用しようとは思わなかった：フレンケルは「置換公理は『一般集合論』には強すぎる」とする一方、「スコーレムだけは置換公理を『導入できうる』と書いていた」と述べている。
フォン・ノイマンはツェルメロ集合論の問題点に対処し、解決策を与えた：
フォン・ノイマンの1929年の公理系.
1929年、フォン・ノイマンは NBG につながる公理を含む論文を発表した。この論文はサイズ制限公理の無矛盾性に対する懸念がきっかけだった。この公理をフォン・ノイマンは「たくさん、実際には多すぎる」と述べている。また、分出公理と置換公理は整列可能定理を含意するほか、濃度が "V" より小さいどのクラスも集合であることをも含意する。フォン・ノイマンは後者について、カントール集合論を越えたと考え、以下のように結論づけた：「ゆえに（公理の）無矛盾性は、それが問題にならないかだけではなく、必須となるカントールのフレームワークを越えない集合論の公理化となるかを議論しなければならない。」
フォン・ノイマンは無矛盾性の調査を1929年の公理系を導入することで始めた。この公理系はサイズ制限公理以外は1925年の公理系すべてを含む。彼は、サイズ制限公理は、そこから得られる 2 つの結果である、置換公理と選択公理に置き換えた。フォン・ノイマンの選択公理は以下の通り：「どの関係 "R" も、 "R" と同じ領域の関数からなる部分クラスを持つ。」
"S" をフォン・ノイマンの1929年の公理系とする。フォン・ノイマンは公理系 "S" + Regularity （"S" と正則性公理からなる）を導入し、自身の1925年の公理系が "S" と相対的に無矛盾であることを示した。また、以下を証明した：
これらの結果は以下の内容を含意する： "S" が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系は無矛盾である。証明： "S" が無矛盾であれば、 "S" + Regularity は無矛盾である（結果 1）。背理法を用いて、1925年の公理系が矛盾である、つまり1925年の公理系が矛盾を含意すると仮定する。 "S" + Regularity は1925年の公理系を含意する（結果 2）ので、 "S" + Regularity も矛盾を含意する。しかし、これは "S" + Regularity の無矛盾性に反する。したがって、 "S" が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系も無矛盾である。
"S" は彼の1929年の公理系であるので、フォン・ノイマンの1925年の公理系は（カントール集合論に近い）1929年のものと相対的に無矛盾である。カントール集合論と1929年の公理系の大きな違いは、クラスとフォン・ノイマンの選択公理である。公理系 "S" + Regularity はベルナイスとゲーデルによって修正され、NBG と等価な公理系となっていった。
ベルナイスの公理系.
1929年、パウル・ベルナイスはフォン・ノイマンの新しい公理系を、クラスと集合を原始概念とすることで修正し始めた。ベルナイスは自身の仕事を 1937年から1954年にかけて、一連の論文として発表した。 ベルナイスは以下のように述べている：
ベルナイスは集合とクラスを2-ソート論理で扱い、2 つの原始的帰属概念を導入した：一つは集合の関係で、もう一つはクラスの関係である。これらの原始概念によって、ベルナイスはフォン・ノイマンの1929年の公理系を簡略化した。ベルナイスはまた、その公理系に正則性公理を導入した。
ゲーデルの公理系 (NBG).
1931年、ベルナイスは自身の集合論に関してクルト・ゲーデルに手紙を送った。ゲーデルはベルナイスの理論を、集合をすべてクラスで置き換え、1ソートで1つの原始概念（帰属関係）からなる理論に簡略化した。ゲーデルはまた、ベルナイスの公理のいくつかを弱め、フォン・ノイマンの選択公理を大域選択公理と等価なものに置き換えた。 ゲーデルは、1940年の大域選択と一般連続体仮説の相対的無矛盾性に関するモノグラフの中で、自身の公理系を使った。
ゲーデルが自身のモノグラフの中で NBG を用いた理由はいくつか考えられる：
ゲーデルの成果と詳細な説明により、その後20年間にわたって NBG が発展した。 1963年、ゲーデルの作り上げたNBGの無矛盾性証明を援用して、ポール・コーエンはZFの独立性を証明した。 その後、 ZFC が NBG よりも一般的になった。これにはいくつかの要因があり、その一つは NBG において強制法を扱うには追加の仕事が必要だったためである。 これに関するコーエンの1966年の強制法の発表では、ZFが用いられた。 他の要因としては、NBG が ZFC の保存拡大であることが証明されたからである。
NBG, ZFC, MK.
NBG は論理的に ZFC と等価ではない。なぜなら、NBG の言葉は表現的であるからである。NBG ではクラスに関して表現できる一方、ZFC ではできない。しかし集合に関しては、 NBG も ZFC で同じ内容の表現を含意する。したがって、NBG は ZFC の保存拡大である。 NBG は ZFC が含意しない定理を含意するが、 NBG は保存拡大であるため、これらの定理は真のクラスに関するものでなければならない。例えば、大域選択公理は 真のクラス "V" は整列可能であり、どの真のクラスも "V" と一対一対応することを含意するが、これは NBG の定理である。
保存拡大の帰結の一つは、 ZFC と NBG が無矛盾性同値であることである。 この証明には爆発原理（矛盾からは、何でも証明可能である）を用いる。 ZFC か NBG のいずれかが無矛盾でないと仮定する。すると無矛盾でない理論は集合に関する、矛盾 する表現 ∅ = ∅ かつ ∅ ≠ ∅ を含意する。保存拡大の特性から、もう一方の理論もこれらの表現を含意する。したがって、こちらも無矛盾ではない。ゆえに、 NBG はより表現的であるものの、 ZFC と無矛盾性同値なのである。この結果とフォン・ノイマンの1929年の相対的無矛盾性の証明を合わせると、彼の1925年の公理系にサイズ制限公理を加えたものが ZFC と無矛盾性同値であることが含意される。ZFCはカントール集合論のフレームワークに含まれるため、この事実は完全にこの強力な公理の相対的無矛盾性に関するフォン・ノイマンの懸念を払拭するものである。
NBG は ZFC の保存拡大であるものの、定理は NBG のほうが ZFC より短くエレガントに証明可能である（逆もしかり）。この側面について知られている結果の調査結果は を参照。
モース＝ケリー集合論は、量化子の範囲がクラスである論理式を含む理解の公理型を有する。MK は NBG の無矛盾性を証明できるため、 NBG より強力な理論である一方、ゲーデルの第二不完全定理から NBG は NBG自身の無矛盾性を証明できない。
NBG に関する存在論的な議論や哲学的な問題、特に ZFC と MK との比較については、の Appendix C を参照。
モデル.
ZFC、NBG、MKは累積階層（） "Vα" および 構成可能階層 "Lα" の言葉で表現可能なモデルを持つ。 "V" は到達不能基数 κ を含み、 "X" が "X" ⊆ "Vκ" であると仮定して、 Def("X") は "X" のパラメータによるのクラスを表すとする。記号として "formula_257" は領域 formula_258 と関係 formula_11 のモデルを表し、 "formula_260" は満足関係（）を表すものとする：formula_261このとき：
圏論.
NBG の存在によって「大きな対象」をパラドックスのおそれなしに議論することができる。例えば、圏論の進展において、「大きい圏」は対象と射が真のクラスをなす圏として定義される。一方、「小さな圏」は対象と射が集合の元になる圏である。このように、NBG で大きな圏を扱えるため、「すべての集合の圏」や「すべての小さい圏の圏」をパラドックスのおそれなしに議論できる。
しかし、NBG は「すべての圏の圏」を扱えない。大きな圏は「すべての圏の圏」の元となりえて、かつ NBG は真のクラスが何かの元になることを許容していないためである。このような「圏」を形式的に議論するための存在論的な拡張は、クラスの集まりであるコングロマリット(conglomerate)である。すると「すべての圏の圏」はコングロマリットの対象（すべての圏のコングロマリット）によって定義でき、その射は "A" と "B" を対象としたときに "A" から "B" へのすべての射のコングロマリットとして定義できる。 圏論において、クラスと集合が存在論に含まれるのが十分かどうかについては、 を参照せよ。