コルモゴロフの三級数定理

確率論におけるコルモゴロフの三級数定理（コルモゴロフのさんきゅうすうていり、）は、確率変数の無限級数が概収束するかどうかの判定条件を確率分布に関連した3つの級数の収束性に基づいて述べるものである。名称はアンドレイ・コルモゴロフにちなむ。コルモゴロフの三級数定理をと組み合わせると、大数の強法則の比較的易しい証明が得られる。
定理の主張.
formula_1 を独立な実数値確率変数列とする。級数 formula_2 が確率1で有限値に収束するための必要十分条件は、ある formula_3 に対し以下の3条件が成り立つことである。
証明.
十分性.
(i) とボレル・カンテリの補題より、確率1で十分大きな formula_4 に対して formula_5 となる。よって formula_6 が概収束することと formula_7 が概収束することは同値である。条件 (ii),(iii) とコルモゴロフの二級数定理より、formula_7 の収束性が言える。
必要性.
formula_6 が確率1で有限値に収束するとき、formula_10 に対し条件 (i),(ii),(iii) が成り立つことを証明する。
例.
定理の例示として、符号がランダムな「調和級数」：
を考える。ここで "formula_26" は、各項 formula_27 の符号が独立かつ等確率（1/2, 1/2）で正または負となることを意味するものとする。
formula_28 を 1/2 ずつの確率で formula_27 または formula_30 の値をとる確率変数とする。formula_31 とすると級数の値は順に (i) 0, (ii) 0, (iii) formula_32 となって定理の仮定が全て満たされるため、このランダムな調和級数は概収束する。
一方、例えば「逆数の和」を「逆数の正の平方根」に代えて同様の確率的な級数
を作ると、定理の条件 (iii) が満たされず、確率1で発散する。注意すべきことに、確率的でない交項級数
は収束する。