極座標系

極座標系（きょくざひょうけい、）とは、"n" 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 "r" と "n" − 1 個の偏角 "θ", …, "θ" からなる座標のことである。点 S(0, 0, "x", …,"x") を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
いろいろな極座標とその拡張.
円座標.
2 次元ユークリッド空間 R における極座標は円座標（）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。"rθ" 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は ("r", "θ") = (0, "θ") 即ち、"xy"座標での原点 ("x", "y") = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して "z" = "re" と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これは"xy"平面上で円を描く。
円座標 から直交直線座標 への変換は
で与えられる。角度座標の範囲を とする場合の直交直線座標から円座標への変換は
で与えられる。ここで は符号関数である。原点 において特異性があり、分母がゼロとなるため が定まらない。
円筒座標.
円座標で (0, 0) を除く "xy" 平面上の全ての点を表現できるから、これに "z" 軸を加えれば、"xyz" 空間が表現できる。これを円筒座標系（）と言う。円筒座標空間上（"rθz" 空間上ともいう）で、"θ", "z" を限定しなければ、これは "xyz" 空間上で円柱を描く。また、円筒座標空間上の特異点は "z" 軸上の全ての点である。
円筒座標 から直交直線座標 への変換は
で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は
で与えられる。
球座標.
3 次元ユークリッド空間 R における極座標系。球面座標系（Spherical coordinates）とも呼ばれる。1 個の動径 "r" と 2 個の偏角 "θ", "φ" によってなる（図を参照）。球面座標系において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、"xyz" 空間上で球を描く。
球座標から直交直線座標への変換は
で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は
で与えられる。-軸上 において特異性があり、分母がゼロとなるため が定まらない。原点においては も定まらない。
積分への応用.
極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に "θ" の長さが 2"π" であれば、直交座標においては円の一部となる。"r" を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、"r" × "θ" = [0, ∞) × [0, 2"π") に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、
が導けるからである。この公式は、例えばガウス積分を求めるのに用いられる。
左辺の積分は、このままの状態で解くのは困難だが、右辺の形にすれば、
と解くことができる。