床関数と天井関数

床関数（ゆかかんすう、）と天井関数（てんじょうかんすう、）は、実数に対しそれぞれそれ以下の最大あるいはそれ以上の最小の整数を対応付ける関数である。
“”や“”といった名称や”formula_1”、”formula_2”などの記法は、1962年にケネス・アイバーソンによって導入された。
床関数.
床関数は、実数 に対して 以下の最大の整数と定義され、
などと書かれる。3つめの記号はガウス記号と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウスが7つの証明を示した平方剰余の相互法則の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。
床関数を数式で表すと次のようになる。
実数 に対し、formula_3 を整数部分、formula_7 を小数部分と呼ぶ。小数部分は や とも書かれる。整数部分の値は床関数の値そのものであるから、例えば の整数部分は ではなく であること、また小数部分は ではなく であることに注意が必要である（ただし、 の整数部分を と定義する流儀（「0への丸め」）もあるが一般的ではない。またプログラミング言語によっては「0への丸め」を採用しているものがある）。任意の実数の小数部分は、0 以上 1 未満である。
例えば、以下のようになる。
任意の有理数は帯分数で表せる、すなわち整数と真分数とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。
天井関数.
床関数と密接に関係しているのが天井関数である。天井関数は実数 に対して 以上の最小の整数と定義され、
などと書かれる。これを数式で表すと次のようになる。
例えば、以下のようになる。
床関数と天井関数の性質.
以下 は任意の実数とする。次の式が成り立つ。
切り捨て.
床関数は実数から整数への関数であるが、一般に実数の切り捨てとは任意の桁においても行われるものであり、小数第1位での切り捨てとは限らない。
組版.
床関数は formula_3、天井関数はformula_15 と上下の欠けた角括弧で表される。これらは、 では codice_1, codice_2, codice_3, codice_4 と書かれる。 では codice_5 から codice_6 に割り当てられている。