キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線（キーペルトそうきょくせん）とは、三角形の3つの頂点と重心と垂心を通る双曲線である。名前はドイツの数学者であるに由来している。
キーペルト点と存在証明.
キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。
キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。
3線が1点で交わることは以下のように証明できる。
性質.
上述の式からキーペルト点の重心座標は以下のようになる。
ここで、"a" = BC, "b" = CA, "c" = AB である。
キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。
漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点から求められるシムソン線であり、その交点は重心座標によって以下のように表される。
この点は九点円上にある。
三角形が二等辺三角形のとき、この双曲線は2本の漸近線に退化する。正三角形のとき、上述の重心座標の式の左辺は0になるため定義できない。実際 θ=-60° のとき、任意の点 P に対して A"x"P B"y"P C"z"P の3組は同一直線上にある。
線上の主な点.
以下の点はキーペルト双曲線上にある