ハウスドルフ距離

数学においてハウスドルフ距離（）とは距離空間の部分空間同士の隔たりを測る量の一種である。
ハウスドルフ距離は1914年に出版されたフェリックス・ハウスドルフの著書集合論基礎に現れている。ただし、1906年のモーリス・ルネ・フレシェの博士論文に書かれた三次元空間内の連続曲線全体からなる空間の研究に非常によく似た類似物が登場している。
定義.
距離空間 の空でない部分集合全体 formula_1 上の拡張擬距離 formula_2 を
と定義する（ただし、、 は距離空間 の任意の空でない部分集合で、formula_4 ）。 をハウスドルフ距離という。
これは次のように表現することも出来る。
ただし、
 （ただし、 は の閉包 ）なので、空でない閉集合全体は擬距離 に関する同値類の完全代表系をなす。
更に、、 が有界集合なら明らかに は有限である。以上から は 上の空でない有界閉集合全体 formula_6 上の距離となる。
自然な埋め込み formula_7 を と定義すると、 は等長埋め込みになっていて、その像は閉集合。
ハウスドルフ距離は一様構造や粗構造といった距離構造の一般化にも自然に拡張できる。
性質.
以下距離空間 を固定。
部分集合の空間.
 を距離空間、formula_6 をその上の空でない有界閉集合全体、formula_9 を空でない全有界閉集合全体、formula_10 を空でないコンパクト部分集合全体、formula_11 を空でない有限集合全体とする。
以下 は完備距離空間とする。
類似物.
 を距離空間、 を部分集合 を の等長変換（の一部）からなる群とする。このとき