組み紐 (数学)

数学における組み紐（くみひも）またはブレイド (braid) とは、垂れ下がる何本かの紐を適当に編んでできる図形を抽象化した数学的対象である。組み紐全体の集合が群を成すこと、幾何的対象の絡みを表す様子として次元がもっとも低いものであることなどから多様な分野に姿を現す。
定義.
幾何的側面.
区間 [0,1] の "n" 個のコピーを 立方体 "D"2 × [0, 1] へ滑らかに埋め込んだものが以下の条件をみたすとき、"n"-ブレイド と呼ぶ。
境界を動かさない立方体の連続変形で写りあうブレイドを同一視することにする。
定義の一つ目の条件から、ブレイドの各連結成分の各点での方向ベクトルは正の "z" 成分を持つ。特にブレイドの各成分は極大点極小点を持たない。
この様子を、平面内をぶつからずに運動する "n" 個の点の軌跡とみることもできる。
formula_1 として、formula_2 を対称群の作用で割ってできる空間 formula_3 を考えると、formula_3 の閉道はブレイドであり、適当な基点 "p" のもと基本群 formula_5 がブレイド群(次節参照)となる。
代数的側面.
集合 {σ1, σ2, ..., σ"n"−1} から生成され、次の二つの関係式を満たす群を n"-ブレイド群 (n"-braid group) と呼び、B"n" で表す。またその元をブレイドと呼ぶ。
二番目の関係式を組み紐関係式 (braid relation) と呼ぶ。
生成元 σ"i" を、"i" 番目と "i" + 1 番目のひもを半回転ひねってできるブレイドとみなすことで幾何的なブレイドの定義と対応する。また、σ"i"−1 は "i" 番目と "i" + 1 番目のひもを逆向きに半回転ひねったブレイドと対応する。
絡み目との関係.
ブレイドの上端と下端の点を順につなぐことで絡み目ができる。逆に任意の絡み目はあるブレイドの上端と下端をつないだものとみなすことができる。但し、一般にある絡み目に対応するブレイドは複数存在する。
二つのブレイドから同じ絡み目がつくられるための必要十分条件は、ブレイドとしての同値を表す移動と以下のマルコフ操作(Markov move) を繰り返して片方のブレイドを他方に変形できることである。
マルコフ操作の両方を一種類の操作で実現できることを 1997年に Lambropoulou と Rourke が示した。
表現.
ブレイド群から対称群への自然な全射が存在することから、対称群の表現をもとにブレイド群の表現を構成し、考察されることがある。特に、対称群の表現をパラメータを入れて変形したものは岩堀-ヘッケ代数、量子群とも関連し盛んに研究された。