置換積分

微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, ）は、変数変換を用いて積分を計算する方法である。
一変数の置換.
不定積分の置換積分.
関数 が積分可能であるとき、微分可能関数 を用いて の不定積分は次のような形に変形させることができる。
この変換公式は積分計算を簡単にするために用いられ左辺から右辺へも、右辺から左辺へも変換が可能である。。
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
この等式から変換公式の両辺の不定積分は同じ関数に対するものであり等しいことが帰結される。
また、厳密さに欠けるが、以下のような簡易的な説明もよく用いられる。
なお、 という変換は厳密には微分形式の理論によって正当化される。
定積分の置換積分.
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。
例.
例1.
 で から に変数変換する。ここで、 なので である。また、 に対して であり、 に対して であるので、 
と計算できる。
例2.
 で から に変数変換する。このとき、 である。また、 および であることから積分区間を に変換すると、この区間において であることに注意して、
と計算できる。
同様の答えは三角関数の公式を用いた方法や部分積分法を用いても求めることができる。また注意すべき点として0→1の範囲で積分することは単位円上の面積の4分の1を求めることと同義である。