最大値最小値定理

初等解析学における最大値・最小値の定理または最大値の定理（さいだいちのていり、; 極値定理）は、実数値函数 "f" が有界閉区間 上で連続ならば "f" は最大値および最小値にそれぞれ少なくとも一点で到達することを述べるものである。式で書けば、適当な実数 が存在して
が成り立つ。関連する定理として、有界性定理（ゆうかいせいていり、）は、有界閉区間 上で連続な函数 はその区間上で有界であることを述べる。これは適当な実数 が存在して
が満たされるという意味である。最大値定理は、有界性定理における上界と下界の存在を強めて、最小上界を最大値として、および最大下界を最小値として、それぞれ実現する点が定義域内に存在することまでをも主張するのである。
最大値の定理はロルの定理の証明に利用される。また、ヴァイエルシュトラスによる定式化では、最大値の定理は「コンパクト空間から実数直線の部分集合への連続写像は最大値および最小値をとる」と述べられる。
最大値の原理ともいう。
歴史.
最大値最小値定理は、もともとベルナルド・ボルツァーノが1830年代に「函数論」の研究の中で証明を得ていたものだが、これらの内容は1930年まで公表されていなかった。ボルツァーノの証明は「連続函数が閉区間上有界であること」と「函数が最大値および最小値に到達すること」を示すことからなる。両証明は今日ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理として知られるものと関係する。後の1860年に、ヴァイエルシュトラスによって最大値最小値定理は再発見され、（連続函数に関する）ヴァイエルシュトラスの定理、ヴァイエルシュトラスの最大値定理などとしても知られる。
定理の適用外となる函数.
定理を用いるには定義域が有界かつ閉であることが必要であることを示す例を挙げる。何れも与えられた区間において最大値を持たないものである。
上記例の後二者において と定めることで、定理において閉区間上で連続であることが要求されることが理解される。
位相空間論における定式化.
実数直線を任意の位相空間へ取り換えるとき、有界閉区間に対応するものはコンパクト空間である。位相空間論において、連続写像がコンパクト性を保つこと、および実数直線の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件がそれが有界閉区間となることであることは既知である。従って以下のような極値定理の一般化
が導かれる。もう少し一般に、このことは上半連続函数に対して成立する
定理の証明.
証明にあたっては の上界の存在と最大値について調べることになる。そうすれば、その結果を函数 に適用して の下界の存在と最小値についての結果を得ることができる。証明は全て実数直線に関する文脈の中で行われることにも注意。
最大値定理の証明においてはその途中段階として有界性定理をまず証明する。証明は基本的に次のような段階を踏んで行う：
半連続函数への定理の拡張.
函数の連続性を半連続性に弱めると、それに対応して有界性定理および最大値最小値定理は（函数は補完数直線に値をとるものとして、つまり函数値として あるいは となることを許して）半分だけ成立する。明確に書けば、
後者は に前者を適用すればよいから、前者を示せば十分である。任意の に対して ならば、上限も で定理は成り立つ。それ以外の場合には、上記の証明を少し修正することで証明が得られる。有界性定理の証明において、 の における上半連続性からは、部分数列 の上極限が で上から抑えられることしか言えないが、矛盾を得るにはそれで十分である。最大値定理の証明においては、 の における上半連続性からは部分数列 の上極限が有界であること によって上から抑えられることがわかるが、それで上限 に対して が成り立つことを言うのには十分である。
実数値函数が上半連続かつ下半連続であることと、それが通常の意味で連続であることとは同値であるから、上記二つの定理から、有界性定理と最大値最小値定理が導かれる。