ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 である：
ただし なる に対し であり， はデデキントのイータ関数であり，関数 はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる． (Ian G. Macdonald) による公式が において与えられた．
値.
タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（）：
ラマヌジャン予想.
 は の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：
最初の2つの性質は によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．
タウ関数の合同関係.
 と に対して， を の約数の 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが を用いて表せる．いくつかを挙げる：
素数 に対して，次が成り立つ：
に関する予想.
 はウェイト の integer newform でありフーリエ係数 は整数であるとする．次の問題を考える： が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 は formula_12 という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり， と互いに素な に対して が決定されたが， の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 に対して でありしたがって であることを保証する．無限個の素数 に対して なるウェイト の虚数乗法を持たない の例は知られていない（ほとんどすべての に対しては正しいのであるが）．無限個の に対して であるような例もまた知られていない．本当に無限個の に対して であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト の）ラマヌジャンの を挙げた． であることが分かっている最大の は である．方程式 の解は まででは , , , , , のみである．
 はすべての に対して であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの について成り立つかの進展をまとめたものである．