二重階乗

数学における階乗類似の組合せ論的函数の一つとして、二重階乗（にじゅうかいじょう、）または半階乗 ("semifactorial") は、与えられた自然数 に対し、 から まで と同じ偶奇性を持つものだけを全て掛けた積を言う。すなわち、
formula_1
さらに のときは、空積と見て と定義する。
この定義に従えば、偶数 に対する二重階乗は formula_2 で与えられ、また奇数 に対しては formula_3 で与えられる。例えば である。
二重階乗 を階乗函数の二回反復 と混同してはならない、両者は全く異なる値をとる。
 (二重階乗記法を用いたおそらく最初の出版物) は、二重階乗はもともとウォリス積の導出において生じるある種の三角積分の表示を簡単にするために導入されたと述べる。二重階乗は超球の体積の式にも現れ、また数え上げ組合せ論において多くの応用を持つ。
奇数に対する二重階乗のことを奇階乗 ("odd factorial") と呼ぶこともある。
階乗との関係.
二重階乗は通常の階乗の半分の因子しか含まないから、その値は階乗 の平方根程度からそう大きくなることはないし、明らかに階乗函数の二回反復 と比べればはるかに小さい。
偶数 () の二重階乗は階乗を用いて formula_4 と表すことができ、また奇数 () の二重階乗は formula_5 となる。この式では最初の分母は に等しく、それが分子の余計な偶数因子を打ち消す。
奇数 () に対する二重階乗は の -順列の言葉で formula_6 と書くことができる。
数え上げ組合せ論における応用.
二重階乗は数え上げ組合せ論などの状況において頻繁に生じるという事実に動機づけられる。例えば奇階乗 が現れる例としては:
 および は同様に二重階乗で数えられるをさらにさまざまにリストしている: 例えば、「台形語」（"trapezoidal word": 奇数を含む複数の位取りの底を持つ記数法に属する数の体系）、高さでラベル付けられた、高さでラベル付けられた順序木、"overhang path"、根付き二分木における各ノードに関する最小数付けられた葉ノードの降下列を記述するある種のベクトル、など。これらの対象のいくつかが同数であることを言う（双射法）は および を見よ。
偶二重階乗は（超立方体の符号付き対称性または置換の群）の元の数を与える。
定義域の延長.
負の引数.
通常の階乗函数は（ガンマ函数に拡張して）各負の整数の位置に極を持ち、それらの数へ階乗を延長することは妨げられる。しかし奇数の二重階乗は、その漸化式 formula_7 を逆に解いて formula_8 と書くことにより、任意の負の奇数に延長することができる。この逆向きの漸化式を用いれば、, , などが計算でき、これ以降の（絶対値がより大きい）負の奇数に対して、その二重階乗は全て分数である。特に、正の奇数 に対し formula_9 が言える。
複素引数.
偶数引数に対する二重階乗の先述の定義はさておいて、 が正の奇数のときの値が formula_10 と書けることに着目して、奇階乗の定義域をほとんどの実数または複素数に対して延長することができる。
この関係式に従えば、 が非負偶数値をとるときの の値は formula_11 と再定義されることになる。この意味での の値は formula_12 である。
式を見れば が負の偶数を除く任意の複素数に対して定義されることが分かる。またこれを定義として、半径 の -次元超球の体積は formula_13 と表せる。
その他の等式.
整数 に対して
奇階乗の複素変数への延長を用いた場合には、
二重階乗はより複雑な三角多項式の積分の評価にも利用できる。
奇数の二重階乗とガンマ函数は等式 formula_16 で関係する。
ほかに奇数の二重階乗を含む等式として:
一般化.
多重階乗.
ガンマ函数を用いた最後の式はもとと比べて非常に広く定義されるもので、この定義により は負の実軸上にある の負の倍数を除く任意の複素数に対して定義された函数と見なせる。そして「 なる整数 に対しては を満たす」という意味でこの二つの定義は両立する。
 がほとんどの複素数 に対して延長できることに加え、 も任意の正実数値としてこの定義は意味を為す。さらに言えば、 のとき、定義される函数 はパイ函数である。また のときは、奇階乗の複素変数への拡張に一致する。