部分対象

圏論という数学の分野において，部分対象（ぶぶんたいしょう，）は，大まかに言って，同じ圏の別の対象の中にいる対象である．この概念は，集合論における部分集合，群論における部分群，などの概念の一般化である．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する射に依る．
部分対象の双対概念は商対象（しょうたいしょう，）である．これは商集合，商群，商位相空間などの概念を一般化する．
定義.
詳しくは， をある圏の対象とする．余域を とする2つの単射
が与えられたとき， とは， が こととする，つまり，ある が存在して formula_1 とする．次で定義される二項関係 :
は余域を とする単射上の同値関係であり，これらの単射の対応する同値類は の部分対象 (subobject) である．2つの単射が の同じ部分対象を表すとき，それらの始域は同型である． を余域とする単射の集まりに関係 をいれたものは前順序をなすが，部分対象の定義は の部分対象の集まりが半順序であることを保証する．（ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない；なのでこの議論は少々不正確である．任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき，圏は "well-powered" である．）
商対象という双対概念を得るには，"単射"を"全射"に置き換え射の向きを逆にすればよい．
例.
圏 において， の部分対象は の部分集合 に対応する，あるいは正確には，像がちょうど であるような に equipotent な集合からのすべての写像の集まりである． の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である．類似の結果は やいくつかの他の圏でも成り立つ．
半順序クラス が与えられたとき， の元を対象とし，1つの対象（元）が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる． が最大元を持てば，この最大限の部分対象半順序は 自身である．理由の1つとしては，そのような圏の全ての射は単射であるからである．
終対象の部分対象はと呼ばれる．