DSダイアグラム

DSダイアグラム（DS-diagram）は、数学における3次元多様体の表現方法の一つ。3次元多様体formula_1を一個の多面体（3次元球体formula_2の境界formula_3）の面同士を貼合せたものとして表現するとき、その貼合せ写像の特異点（分岐点）を球面上の3-正則グラフとして表現したものである。
DSダイアグラムは、曲面（コンパクトな2次元多様体）をその辺同士の貼合せとして表示する基本多角形の3次元的なアナロジーとなっている。基本多角形が記号列によって内容を一意に表現可能であるのと同様に、DSダイアグラムにおいてもEサイクルに注目することによって記号列で表現することが可能である。
定義.
Simple polyhedron.
2次元の有限多面体formula_4は、その任意の点に以下のformula_5の開部分集合に同相な近傍が有るならば、simple polyhedron（又はclosed fake surface）と呼ばれる。
formula_6
formula_7及びformula_8に対応するformula_4の点（特異点）の集合をformula_10により表す。その中で、特にformula_11に対応するformula_4の点（頂点）の集合をformula_13により表す。
DSダイアグラム.
formula_14をformula_3に埋め込まれた3-正則グラフとする。
あるsimple polyhedron formula_4が存在して、以下の意味で局所的な同相写像formula_17が存在するとき（formula_18はformula_14の頂点の集合を表す）、formula_20をDSダイアグラムという。
formula_14として特に頂点が無く辺しか存在しないもの（hoop）も認める。
Eサイクル.
DSダイアグラムformula_20に対し、formula_26をformula_14のサイクル、formula_28をformula_29の2つの連結成分とする。formula_26は以下を満たすときEサイクル（E-cycle）と呼ばれる。
Eサイクルformula_26が存在し具体的に指定されたDSダイアグラムを、Eサイクル付DSダイアグラム（DS-diagram with an E-cycle）と呼び、formula_34等と表す。
Eサイクル上の各頂点に、それが張り合わされる頂点がformula_28のどちらに存在するかに応じて+/-の符号を付すことで、Eサイクル付DSダイアグラムを復元可能な記号列を作ることができる。この記号列をformula_36のarrangementと呼び、formula_37等と表す。
3次元多様体との関係.
DSダイアグラムformula_20に対し、formula_17の定義域をformula_2に自然に拡張することで、一つの閉3次元多様体formula_41が対応する。
関連概念.
3次元多様体のブロック数.
Eサイクル付DSダイアグラムformula_46のarrangementにおいて、連続する+符号の頂点の部分列で、その両端は-符号の頂点に接しているものを正ブロック（positive block）と呼ぶ。formula_46の異なる全ての正ブロックの個数をformula_46のブロック数（block number）と呼び、formula_49により表す。
同じ多様体を表す全てのEサイクル付DSダイアグラムformula_46のブロック数formula_49の内、最小のものをその多様体のブロック数formula_52と定義する。即ち
formula_53
ブロック数は明らかに多様体の位相不変量であり、更にformula_43を除いてHeegaard種数に一致することが知られている。