クリーネの不動点定理

数学の順序理論や束論におけるクリーネの不動点定理（クリーネのふどうてんていり、）とは、スティーヴン・コール・クリーネによって導入された以下の定理である。
ここで、formula_3 のクリーネ鎖とは、formula_5 の最小元 formula_6 に formula_3 を繰り返し適用することで得られる以下の鎖のことである。
最小不動点を formula_9 と書くことにすると、本定理は次式で表すことができる。
本定理はしばしばアルフレト・タルスキによるものと誤解されるが、本定理は不動点の具体的な構成方法を与えているという点で（こちらは完備束上の単調関数に関する定理である）とは異なるものである。
証明.
はじめに、formula_5 における formula_3 のクリーネ鎖の存在性を示す。
formula_6 の最小性より formula_14 が成り立つので、この両辺に単調関数 formula_3 （スコット連続関数はすなわち単調である）を繰り返し適用することで以下の通りクリーネ鎖 formula_16 が得られる。
これは ω-完備半順序上の ω-鎖であるから、上限 formula_18 を持つ。
続いて、formula_18 が formula_3 の不動点であることを示す。
これは formula_3 のスコット連続性より次式の通り示される。（この式の最後の等号は formula_14 より成り立つ）
最後に、formula_18 が formula_3 の最小不動点であることを示す。
formula_3 の任意の不動点 formula_27 を取ると、formula_6 の最小性より formula_29 が成り立つ。
この両辺に単調関数 formula_3 を繰り返し適用すると formula_31 (formula_32) が得られるが、formula_27 は formula_3 の不動点であるからすなわち formula_35 が成り立つ。
よって formula_16 は formula_27 以下の元からなる鎖であり、formula_18 はその上限であるから、formula_18 もまた formula_27 以下である。
斯くして formula_16 が formula_3 の最小不動点であることが示された。