特性類

特性類 (Characteristic class)は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、（十分性質がよい）位相空間を底空間とするファイバーバンドル
に対し、のコホモロジー群の元を対応させる対応関係
で、「自然な」ものである。
原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある：
またが可微分多様体であれば、の接バンドルの特性類を自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルはの可微分構造に依存しているので、ミルナーはの特性類を利用する事により、の存在を示した。
1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。
定義と基本的な性質.
定義.
以下、をファイバーに持つファイバーバンドルの事を-バンドルと呼ぶこととし、全空間、底空間および射影formula_3からなる-バンドルをformula_4と表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる：
上の定義における記号の意味を説明すると、formula_5における左辺のformula_6は、がコホモロジーに誘導する写像
の事であり、右辺のformula_6は上の-バンドルformula_9のによる引き戻しによって定義される上の-バンドルの事である。
注意点.
上の定義に関して２つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像は構造群のへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えば次元実ベクトルバンドルをformula_10を構造群として持つformula_11-バンドルとみなしたとき、各点formula_12のファイバーformula_13上にバンドル写像を制限したformula_14は線型同型写像でなければならず、行列式がになってはならない。逆に言えば、いずれかの点formula_12で行列式がになるに対してはformula_5が成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。
第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間がCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており、（可微分とは限らない）位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている。さらにいえば任意の位相空間はCW複体とである。
また本項では底空間に対してはCW複体である事を要求したものの、構造群"G"、ファイバー、全空間は（CW複体とは限らない）任意の位相群、位相空間でよい。
ホモトープな写像の特性類.
構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている：
すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。
厳密な定義.
以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる：なお、上述の特性類の定義において圏の射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる：
特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な（だが特異コホモロジーと同値である）胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。
ファイバーバンドルとその主バンドルの関係.
以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である：
この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う：
この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。
なお上の定理ではがに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、が十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、のへの作用が連続である必要十分条件は、のへ作用のから定まる写像formula_17が（formula_18にコンパクト開位相を入れたとき）連続になる事である。よっての作用が忠実ではない場合であっても、写像formula_19のカーネルで割った位相群formula_20はへ忠実かつ連続に作用するので、-バンドルの特性類を定義するには主formula_20-バンドルの特性類を定義すれば良い。
分類空間.
本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。
定義と性質.
定義.
分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。
弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される：
「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である：上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル（）という。
分類定理.
分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上の-バンドルは、底空間から普遍-バンドルformula_22への写像のホモトピークラスにより完全に分類される：
なお、上の定理において写像formula_23がwell-definedな事は、ホモトープな２つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。
上記の定理から、上の任意の主-バンドルに対し、写像formula_24がホモトピー同値を除いて一意に定まる。このの事をの分類写像（）という。
構造群を持つファイバーバンドルと主-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う：
分類定理の場合と同様、上の-バンドルに対応する写像formula_24をの分類写像（）という。
離散群の分類空間.
が離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する：
この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。
準同型から誘導される写像.
2つの位相群、の間の連続な準同型写像formula_26が与えられたとき、から分類空間の間の写像formula_27を定義できる。
この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。formula_28を主-バンドルとし、formula_26を連続準同型写像とするとき、
をformula_31を同値関係
で割った空間とする事で、バランス積（）と呼ばれる上の主-バンドル
を構成できる。そこでformula_27を次のように定義する：
実はこの対応関係は関手になっている：
分類空間の性質.
本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。
分類空間の関手は直積に関して以下のように振る舞う。
なお圏論的に言えば、「formula_35」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている。
分類空間による特性類の特徴づけ.
分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる：
上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群の忠実な作用を持つ任意の-バンドルの特性類は主-バンドルの特性類と主-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。
まず主-バンドルの任意の特性類に対し、
が対応する。逆にformula_37を任意に選ぶと、主-バンドルformula_38に対し、分類定理により分類写像formula_39がホモトピーを除いて一意に定まるので、のに対する特性類を
により定義できる。
上の定理から、formula_41の元を普遍特性類()という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。
定理の証明は以下の通りである：
ベクトルバンドルの構造群の分類空間.
特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル（の主バンドル）に対する特性類である。
そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。
すなわち本節ではformula_42に対し、一般線型群formula_43の分類空間を記述する。さらにformula_44の場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能なformula_44上ベクトルバンドルの構造群であるformula_46の分類空間についても記述する。ここでformula_46は行列式が正のformula_44上可逆行列のなす群である。
本節ではさらに、ユニタリ群formula_49、直交群formula_50、回転群formula_51の分類空間についても記述する。後述するようにformula_52、formula_53、formula_46の分類空間は、実はそれぞれformula_49、formula_50、formula_51の分類空間と等しい。
スティーフェル多様体とグラスマン多様体.
の分類空間を記述する為、本節ではとを定義する。
後述するようにこれらはそれぞれ普遍-バンドルの全空間、分類空間になる。が次元の有限次元ベクトル空間の場合は、formula_58、formula_59、formula_60は集合として自然に
という同一視ができ、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。が無限次元の場合はformula_58、formula_59、formula_60は有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。スティーフェル多様体と同様、が次元の有限次元ベクトル空間であれば、
および
という同一視ができ、この同一視により、formula_67、formula_68に多様体としての構造が入る。
の分類空間の具体的記述.
スティーフェル多様体formula_58の元である-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像
を定義できる。formula_71、formula_72、formula_73も同様に定義できる。
上記の定理に関する留意点を述べる。formula_74に対する'の分類空間は'の分類空間と同一な空間formula_75である。
これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりがに可縮である事が理由である。
普遍-平面バンドル.
分類定理で述べたように、上の主-バンドルに随伴する次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体上の次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このために随伴する次元ベクトルバンドルの事を普遍-平面バンドル（）と呼ぶ。
バンドルの一般論から、普遍-平面バンドルはformula_76と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。
グラスマン多様体はの次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元＝ベクトル空間上のファイバーとして、自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のと呼ぶが、のトートロジカル・バンドルが普遍-平面バンドルになっている。
具体的には
とし、第一成分への射影formula_78によりformula_79を上のベクトルバンドルとみなしたものがのトートロジカル・バンドルであり、に関する帰納的極限をとった
が普遍-平面バンドルになっている。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類.
本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間
のコホモロジーformula_82の元と1対1対応するので、formula_82の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、formula_82の生成元である。
の具体的記述.
チャーン類について記述するため、まずformula_82の具体的構成を調べる。formula_86に対しては以下が成立する：
なお、上の補題においてformula_87は偶数次のコホモロジーの元なので、formula_88上カップ積は可換であるため、formula_88が可換環であるという事実と矛盾しない。
一般のに対してformula_90の具体的構造を求めるため、連続準同型写像
を考える。ここでformula_92はformula_93を行列の対角成分に配置したformula_94の元である。（なおリー群の観点からは、formula_94の極大トーラスformula_96である）。このとき以下が成立する。
なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いと、および上記の補題から従う。
以上の事実から、後はformula_82のformula_98による像がformula_99のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、formula_82を具体的に書きあらわす事ができる。
formula_82の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する：
(h)))\simeq (a\varphi_{u^{-1}}(h),1)&lt;/math&gt;を満たすのでは全射である。また明らかにformula_102なので、は単射でもある。との連続性の証明は省略する。
以上の事実を用いて命題を示す。定義よりformula_103は主バンドルformula_104に対応する分類写像であり、上記の議論によりこの主バンドルはformula_105自身に等しいので、分類定理よりformula_106は恒等写像とホモトープである。
formula_107に対しformula_108をformula_94上の内部自己同型とすると、上述の命題より、formula_110がコホモロジー群に誘導する写像
は恒等写像である。単射formula_112によりformula_96をformula_94の部分群とみなし、formula_96の正規化群
をformula_96の中心化群
で割ったformula_119を考え、
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここでformula_121は同値類を表す。
このとき次の事実が従う事が知られている：一般に連結なコンパクトリー群に対し、の極大トーラスをとするとき、の正規化群formula_122を中心化群formula_123で割った群
の事をのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またの極大性から中心化群は実は自身に等しい。
明らかに前述のはformula_94のワイル群に相当する。後はformula_94のワイル群を決定しさえすれば、formula_127の構造が決定できる。
チャーン類.
formula_128を第成分と第成分を入れ替える行列とすると、明らかにformula_129である。この事実を利用すると、以下の事実が示せる：
位相群に分類空間を対応させる関手と位相空間にコホモロジー環を対応させる関手が直積を保つので、上述の定理からはformula_130のformula_131を入れ替える形でformula_132に作用する。よって
は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する：
分類空間formula_90の元と特性類は1対1でするので、第チャーン類formula_135に対応する特性類
をベクトルバンドルの第チャーン類という。分類空間の元formula_135をformula_136と区別したいときは、formula_135を第普遍チャーン類（）という。
なお、formula_140を「次の基本対象式」とみなし、formula_141を第チャーン類と呼ぶ。またformula_142次以上の基本対称式は存在しないので、formula_143に対しては、第チャーン類をformula_144と定義する。
またチャーン類は埋め込みformula_145を使って定義されており、この埋め込みはformula_146の正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、formula_112はformula_94の内部自己同型formula_110との合成formula_150に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
以上で見たように各は対称多項式の根に相当するものなので、の事をチャーン根（）という。
これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う：
規約.
チャーン類の定義において、の代わりに単元formula_151をこれらに掛けたformula_152をチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元の選び方だけ自由度がある事になる。
そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドルformula_153に対し、formula_154がformula_155のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが、代数幾何学ではformula_156の双対ベクトルバンドルformula_157に対してformula_158がformula_155のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い。
区別のため代数幾何学の方のチャーン類をformula_160と書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは
という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。
チャーン類の公理的特徴づけ.
前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。
一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。
チャーン多項式.
チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である：
なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に
と因数分解できる。
チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる：
チャーン多項式の性質.
チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。
実ベクトルバンドルの特性類.
本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。
実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は２つある：
1つ目の問題を回避するために、以下ではformula_163を直接考察するのを諦め、formula_170とformula_171の２つを別々に考察することにする。ここではの逆元を持つ任意の可換環である。を使う事でformula_170とformula_171からformula_163を計算できるので、実用上はこの２つに対する特性類が把握できていれば十分である。
2つ目の問題に関しては、formula_175とformula_176とは環構造が異なるので、この２つを両方とも考察する必要がある。
係数環がの場合.
係数環がformula_165の場合の特性類の記述は比較的簡単であり、formula_175とformula_176の差はさほど大きくなく、
という形で両者を記述できる。ここでformula_181はスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このようなformula_182の存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第チャーン類が次のコホモロジー群に属するのに対し、第スティーフェル・ホイットニー類は次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。
係数環がを満たすの場合.
それに対し係数環がformula_183を満たすの場合はより複雑である。formula_171に関しては、
の形で記述でき、formula_186をポントリャーギン類という。（formula_187は次のコホモロジー群に属する）。ここでformula_188は床関数である。
具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って
と書ける。（なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類formula_190はformula_191を満たし、よって係数環がの場合は必ずformula_192になる）。
一方、formula_193はが偶数か奇数で形が異なり、
と書ける。ここでformula_195は前述のポントリャーギン類であり、はオイラー類と呼ばれる特性類である。またformula_196は多項式環formula_197においてをと同一視して得られる環を表す。すなわちformula_198を単項イデアルformula_199で割った環である。
以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる：
スティーフェル・ホイットニー類.
本節ではformula_200の構造を具体的に決定し、それをもとにスティーフェル・ホイットニー類を定義する。
formula_200の構造の決定方法やスティーフェル・ホイットニー類の定義は、基本的にはformula_202の構造の決定方法やチャーン類の定義と同様である。一点大きく違うのは、チャーン類の場合はformula_203を満たすformula_87が2次のコホモロジー群formula_205に属していたのに対し、スティーフェル・ホイットニー類の場合はそのような元が1次のコホモロジー群に属する事である：
この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。
なお、コホモロジーの係数がformula_165なので、カップ積は奇数次のコホモロジーにおいても可換である。
の具体的記述.
自然数formula_207に対しformula_208の具体的形を調べるため、チャーン類のときと同様、連続準同型写像
によりformula_210をformula_211の部分群とみなす。ここで「formula_212」は対角線上に行列を並べる演算である。
formula_108を内部自己同型とする。チャーン類の時と同様、formula_210の正規化群
をformula_210の中心化群
で割ったformula_218を考え、
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここでformula_220は同値類を表す。このとき次の事実が従う：ここではformula_221の番目のformula_222の生成元である。
スティーフェル・ホイットニー類の定義.
スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する：
分類空間formula_223の元と特性類は1対1でするので、第スティーフェル・ホイットニー類formula_224に対応する特性類
をベクトルバンドルの第スティーフェル・ホイットニー類という。分類空間の元formula_224をformula_225と区別したいときは、formula_224を第普遍スティーフェル・ホイットニー類（）という。
チャーン類のときと同様、formula_229、formula_230 for formula_143と定義する。
明らかに以下の事実が従う：
公理的特徴づけ.
チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる：
性質.
全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる：
自然な写像formula_232が誘導する写像formula_233は単射であり、formula_234の生成元の自乗がに移る事が知られている。したがって
formula_235はformula_236に移るが、formula_165上ではformula_238になので、以下が成立する：
&lt;/math&gt;とすると、任意の非負整数に対して以下が成立する：
逆に複素ベクトルバンドルformula_241から複素構造を実ベクトルバンドルとみなしたものをformula_242の脱複素化（、）と呼び、formula_243と書くと任意の非負整数に対して以下が成立する事が知られている：
)=c_i(\xi)&lt;/math&gt;、formula_244 in formula_240
ポントリャーギン類とオイラー類.
本節ではformula_246を満たす可換環に対し、formula_247、formula_248の構造を決定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。
定義.
本節ではコホモロジー環formula_247、formula_248の構造し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。そのために利用するのは、チャーン類のときと同様、ワイル群に関する議論である。そこでの極大トーラスを記述するため、が偶数であるか奇数であるかに応じて、としてformula_251を
により定義する。ここで「formula_212」は対角線上に行列を並べる演算であり、は2次元の回転行列
である。formula_254によるの像はの極大トーラスである事が知られている。さらに自然な埋め込みformula_255を考える。
そしてこれら２つの写像が分類空間のコホモロジーに誘導する写像を考える：
上式の最後の同型「formula_256」は、リー群としてformula_257である事からチャーン類のときの議論により従う。ここで「formula_256」は環としての同型であり、formula_259の積はカップ積である。
またはformula_260の番目のformula_261の生成元であり、は次数のコホモロジーformula_262に属している。（これらもチャーン類のときの議論により従う）。
なお、formula_263の生成元の選び方は、の単元倍の自由度があるので、この自由度をなくす為、以下の規約を置く：
上で自然な同型formula_264を用いた。このように規約を決めると、チャーン類の定義からformula_265は整数係数のコホモロジーformula_266に属する事になるのが利点である。
本項の目標は、formula_267を用いる事でformula_247とformula_248の構造を特定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する事である。
詳細は後回しにし、先に結論を述べる。
 \Lambda[p^{(n)}_1,\ldots,p^{(n)}_m]&amp; \text{ if }n=2m+1\\
 \Lambda[p^{(n)}_1,\ldots,p^{(n)}_m,e^{(n)}]&amp; \text{ if }n=2m\\
&lt;/math&gt;
ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する：
紛れがなければ、formula_273、formula_274を単にformula_187、formula_276と書く。
分類空間formula_272やformula_278の元と特性類は1対1でするので、第ポントリャーギン類formula_187やオイラー類に対応する特性類
をそれぞれベクトルバンドルの第ポントリャーギン類、オイラー類という。分類空間の元formula_187、をformula_280、formula_281と区別したいときは、formula_187、をそれぞれ第普遍ポントリャーギン類（）、普遍オイラー類（）という。
なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。
定理の証明のアイデア.
本節では、前述したとの構造を記述した定理がなぜ成立するかを次の３つの場合に分けて説明する：
準備.
定理を示すにはチャーン類の場合と同様、ワイル群を用いる事での構造を決定する。そのためにBorelによる以下の一般的な定義を用いる：
formula_286がformula_287のねじれ元を持たない事を利用して、以下の命題を示せる：
上述の命題ではBorelの定理で「formula_288」であったところが「」に代わっているが、普遍係数定理を用いる事で「」に代えてよい事が容易に示せる。
以上の事からのワイル群の具体的な形と
の具体的な形を決定すればformula_247の具体的な形が決定できる事になる。
が偶数の場合のの構造.
とし、ワイル群formula_291の具体的な形を決定するため、実ベクトル空間としてformula_292という同一視をし、以下の２種類の行列を考える：
の方はとがセットになって置換されるのでformula_292上の空間の向きを保ち、に属するが、の方は空間の向きを反転するのでには属するもののには属さない。しかしを偶数個かけ合わせたものはに属する。
よってformula_301、formula_302がformula_303上に誘導する写像を特定すれば、formula_271の構造が決定できるが、これらの写像は以下の通りである：
SO(2)&lt;/math&gt;formula_305formula_306formula_307の分類写像であった。formula_308による共役formula_309はformula_310をformula_311に写す写像なので、バランス積formula_312は
という同値関係でformula_314を割る事により定義される。ここでformula_315はformula_316を含む平面上でformula_316をformula_318だけ回転させたものである。この同値類による同値関係を以下formula_319と表す。
写像formula_242を
により定義すると、下記の図式が可換になる：
よって、formula_323の定義より、formula_323はと一致し、の定義からformula_325がformula_326上に誘導する写像は、生成元formula_327をformula_328に写す。
よって、以下が成立する：
これらの事実を用いると、基本対称式formula_329とformula_330を用いて、
と書ける事がわかる。
f_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m}(\gamma_1{}^2,\ldots,\gamma_m{}^2)\gamma_1{}^{\varepsilon_1}\cdots\gamma_m{}^{\varepsilon_m}&lt;/math&gt;
という形で書きあらわせる。ここでformula_332は各に対し、の次数をformula_333したものがformula_334になる項の和である。
formula_335に対しformula_336の符号を反転すると、
となる。は偶数回の符号反転に関して不変でなければならない事から、formula_338なので、
formula_339となる項以外はでなければならない。
formula_340の任意性からformula_341となる項のみが生き残る事になるので、は
であり、がformula_343の多項式で書ける事がわかる。
は変数の入れ替えに対しても不変でなければならないので、以上の議論からはformula_344の基本対象式とformula_345の多項式として書く事ができ、定理が示された。
が奇数の場合のの構造.
とし、ワイル群formula_291を具体的に求めるため、実ベクトル空間としてformula_347という同一視をし、、をが偶数の場合と同様に取るy_j)_j,z)&lt;/math&gt;を対応させる。}}。さらに以下の行列を考える：
は明らかに位数の元であり、しかもと可換である。そして埋め込みformula_350の定義からによる共役はformula_351上恒等写像になる。
が偶数の場合と同様の議論により、ワイル群の任意の元はformula_352の偶数個の積ととの積により書ける事がわかるが、に着目するとさらに簡単な表現も得られる。
実際、による共役はformula_351上恒等写像なので、変換に影響するのは以外のformula_354（と）のみである。そしてこれらの積formula_355が偶数個の積であっても奇数個の積であっても、
とすると、formula_357は必ず偶数個の元formula_352の積である。よって以下が成立する：
が偶数の場合と同様、formula_301、formula_302がformula_361上に誘導する写像は、それぞれformula_362をformula_363に写す写像、formula_364をformula_365に代える写像である。またによる共役は恒等写像なので、formula_366がformula_361上に誘導する写像もformula_364をformula_365に代える写像である。よって以下が成立する。
これらの写像で不変な元はformula_370の対称式なので、基本対称式formula_329を用いて、
と書ける事がわかる。
の構造.
formula_373である事から、部分群の分類空間に関する定理より、包含写像formula_374が誘導する写像
はformula_165-主バンドルである。
formula_165のへの作用は、formula_165のformula_271への作用を誘導する。formula_165の作用により不変なformula_271の元の集合をformula_382とすると以下が成立する事が知られている：
上述の定理から特に、
は単射である事が従う。この単射におけるformula_272の像は、前述のの（偶数個または奇数個の）積が作用が誘導する写像、が誘導する写像で不変でなければならないので、のときと同様の議論により、
が従う。
性質.
前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。
ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす：
&lt;/math&gt;
とすると、任意の非負整数formula_386に対し、以下が成立する：
U(1)^n &amp;\overset{\nu}{\hookrightarrow} &amp;U(n) &amp; = &amp; U(n) 
&lt;/math&gt;、
を考える。ここでformula_390は
であり、formula_392は回転行列を
と対角化する行列
を並べてできる行列
による内部自己同型
であり、formula_397は対角線への埋め込み
である。
の場合に元の動きを図示すると、以下の通りである：
よって非負整数に対し、
が成立する。ここでformula_405、formula_406はそれぞれformula_407、formula_408の番目、番目のformula_409、formula_410の生成元を表し、(1)は内部自己同型は分類空間に恒等写像を誘導する事から従い、(2)はチャーン類の定義から従い、(3)はの定義から従い、それ以外の等号は可換図式を追う事で従う。
formula_411である事が対象多項式の定義から容易に従うので結局によらず
が成立する。
任意の不定元、、に対し、
なので、
が成立する。両辺の次数を比較する事により、
である。以上の議論とポントリャーギン類の定義
から定理が従う。
上の定理が係数のコホモロジーに関するものである事に注意されたい。チャーン類は整数係数のコホモロジーに属するが、整数係数の場合はformula_388が成立するとは限らない。しかしformula_421である事は言える。実際、一般に複素ベクトルバンドルformula_422の複素共役バンドルformula_423とすると、formula_424が成立し、しかも実ベクトルバンドルの複素化formula_425はその複素共役バンドルformula_426と同型なので、
が成立する。
またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う：
formula_428は単射ではない（位数2の元が0に移る為）が、この写像によるformula_187の逆像としてformula_430を選べば、formula_431が整数係数のコホモロジーに属するというのが上記の定理の意味である。以下、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類をformula_432によって定義する。
チャーン類の場合と同様以下の定義をする：
チャーン類に対するホイットニー和の公式からポントリャーギン類のホイットニー和の公式が従う：
上の定理では整数係数のコホモロジーを考えているので、両辺についている「」を消すことはできない。formula_433を満たす可換環を係数とするコホモロジーにおいては両辺にの逆元をかける事で、
が成立する事がわかる。
また複素ベクトルバンドルformula_241から複素構造を実ベクトルバンドルとみなしたものをformula_242の脱複素化（、）と呼び、formula_243と書く。formula_243を再び複素化したベクトルバンドルformula_440はformula_441と同型になる事が知られている。ここでformula_442はの共役バンドルである。
よって、チャーン類のホイットニー和の公式からチャーン多項式がformula_443formula_444formula_445を満たす事がわかる。成分で書くと、
である。ここではのファイバーの次元である。
右辺の形から、右辺の（の倍数）次のコホモロジーはになるので、左辺も（4の倍数）のコホモロジーはでの倍数次のみ生き残る。よって整数係数のポントリャーギン類の定義から以下が結論付けられる：
)=\sum_{k=0}^nc_k(\omega)\sum_{\ell=0}^n(-1)^{\ell}c_{\ell}(\omega)&lt;/math&gt;
前節で述べたようにオイラー類はformula_447により誘導される写像を使ってformula_448と定義されていた。よって明らかに以下が成立する：
すでに述べたように、実ベクトルバンドルformula_449に対し、formula_240においてformula_239が成立する。よってポントリャーギン類の定義より以下が成立する。
オイラー類の満たす式「formula_452 in formula_389」と上記の「formula_454 in formula_240」から、整数係数コホモロジーformula_456の元formula_457で、
を満たす元が一意に存在する。ここではformula_242のファイバーの次元である。このようなformula_457を整数係数コホモロジーにおけるオイラー類と呼ぶ。以下、紛れがなければformula_457の事を単にformula_281と書く。
本項では、係数のコホモロジーからスタートしてオイラー類を定義したため、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類は上記のように人工的なもののになったが、を使って整数係数コホモロジーにおけるオイラー類を直接的に定義する事もできる。詳細はオイラー類の項目を参照。
上の実ベクトルバンドルformula_242、formula_422に対し、それぞれのファイバーの次元を、とすると、ホイットニー和の公式からformula_468 in formula_240なので、前述したΛ係数のオイラー類の直和に対する振る舞いと合わせて、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類に対しても下記の定理が成り立つことが分かる：
歴史.
特性類は、反変性を持ち、本質的にコホモロジー論的な現象である。ベクトル束の切断は空間上の函数の一種で、変更を必要とする切断の存在から反変性を導く。ホモロジー論やホモトピー論は空間への写像を基礎とする共変な理論であり、反変な理論であるコホモロジー論はその後に発見された。(obstruction theory)の一部として特性類の理論が生まれた1930年代において、ホモロジー論の「双対」な理論を構築しようとする大きな理由として特性類の理論がある。曲率不変量に対する特性類のアプローチは、一般化されたガウス・ボネの定理を証明するための理論を作ることが目的であった。
特性類の基礎が確立した1950年ごろ、当時知られていた基本的な特性類（スティーフェル・ホイットニー類やチャーン類やポントリャーギン類）は、古典線型群や極大トーラス(maximal torus)の構造を反映していることが明らかとなった。さらには、(Grassmannian)の(Schubert calculus)や、(Italian school of algebraic geometry)の業績の中にすでにチャーン類により記述されるべきものが存在することがわかった。
このような経緯で、特性類の基本的な構造は次のように認識された。空間 X とその上のベクトル束が与えられると、適切な線型群 G に対して、ホモトピーカテゴリ(homotopy category)の中で、X から分類空間 BG への写像が存在する。コホモロジー H*(BG) が計算することで、反変性により同じ次数の H*(X) の中にバンドルの特定類が定義される。ホモトピー論に対し、適切な情報は "G" の直交群(orthogonal group)やユニタリ群のようなコンパクトな部分群によりもたらされる。例えば、チャーン類は偶数次元の次数付きの成分を持った一つの類である。
幾何学においてさらなる構造を理論に組み込むこと有益である。1955年以降、K-理論やといった新たなコホモロジー理論に対しても、特性類の定義において文字 H を適切に変更するだけでそれらの理論における特性類を定義できる。
特性類は、後日、多様体の(foliation)の中でも発見された。（葉層に対してはある特異点を許容するように意味を変更すると）特性類はホモトピー論の中に分類空間の理論を持っている。
さらに20世紀後半における数学と物理学の再接近の結果として、ドナルドソンとコチックにより新しい特性類が(instanton)の理論の中で発見された。またチャーン(S. S. Chern)の観点と業績も重要であると認識された。チャーン・サイモンズ形式やチャーン・サイモンズ理論を参照のこと。