混線内接円

混線内接円（こんせんないせつえん、）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 formula_1 を含む二辺に接する混線内接円は formula_1 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。
一意に存在することの証明.
三角形 formula_3 の formula_1 傍接円は一意に存在する。formula_1 を中心とし formula_6 を半径とする反転と、角 formula_1 の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を formula_8 とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、formula_8 も同様である。このとき、formula_8 による formula_1 傍接円の像は、辺 formula_12 と辺 formula_13 に内接し、かつ三角形 formula_3 の外接円に接するので、すなわち formula_1 混線内接円である。したがって、formula_1 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により formula_17 と formula_18 に対しても同じことが示される。
作図.
formula_1 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。
この作図は次の事実により保証されている。
補題.
この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。
証明.
formula_34 を三角形 formula_3 の外接円とし、formula_36 を formula_1 混線内接円 formula_38 と formula_34 の接点とする。formula_36 と異なる点 formula_41 と formula_42 を、それぞれ formula_43 と formula_34 の、formula_45 と formula_34 の交点とする。formula_36 を中心として formula_38 と formula_34 のあいだに相似変換を施すことにより、formula_41 と formula_42 がそれぞれ formula_52 の弧 formula_53 と formula_54 の中点であることがわかる。円周角の定理により、formula_55 と formula_56 がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を formula_57 に接する六角形 formula_58 に適用することにより、formula_59 が共線であることがわかる。角 formula_60 と formula_61 が等しいことから、formula_62 が線分 formula_63 の中点であることが従う。
他の性質.
半径.
次の公式は内接円の半径 formula_64 と三角形 formula_3 の formula_1 混線内接円の半径 formula_67 を結びつける。
formula_68
このことから即座に次の式が従う：
formula_69
ただし formula_70 であり、またこの式は点 formula_71 と円 formula_72 に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。
三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係.
頂点と接点を結ぶ直線.
各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。では X(56) として紹介されている。三線座標では formula_86 であり、重心座標では formula_87 である。
この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。
根心.
三つの混線内接円の根心 formula_88 は、formula_89 をformula_90に内分する。ここで formula_20 は内心、formula_64 は内半径、formula_72 は外心、formula_94 は外半径である。
この点は、三角形の重心とジェルゴンヌ点を通る直線上にある。