# The Bases ofM4(Γ0(71)),M6(Γ0(71)) and the Number of Representation of Integers

Authors: Barış Kendirli
Journal: Mathematical Problems in Engineering
 (2013)

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## Abstract

Following a fundamental theorem of Hecke, some bases ofS4(Γ0(71)) and S6(Γ0(71)) are determined, and explicit formulas are obtained for the number of representations of positive integers by all possible direct sums (111 different combinations) of seven quadratic forms from the class group of equivalence classes of quadratic forms with discriminant −71 whose representatives are x12+x1x2+18x22,2x12±x1x2+9x22,3x12±x1x2+6x22,  and4x12±3x1x2+5x22.


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## Body

## 1. Introduction

In this work, we will obtain the representation number of certain positive definite quadratic forms by means of the deep theorems of Hecke [1] and Schoeneberg [2]. Lomadze [3] and Vepkhvadze [4] have studied this subject for several quadratic forms. Also the works of Kani [5], Sun and Williams [6] clarify and contribute the subject. Of couse, the work of Hijikata et al. [7] for the construction of a general bases of modular forms of Γ0(N) [7] is very important work. Here, we have found bases in special cases M4(Γ0(71)),M6(Γ0(71)) by extending our work on [8, 9] to the case of discriminant −71 including weight 6 case.There exist 7 equivalence classes of binary quadratic forms of discriminant-71 whose reduced forms are
(1)F1=x12+x1x2+18x22,Φ1=2x12-x1x2+9x22,Φ1′=2x12+x1x2+9x22,Ψ1=3x12-x1x2+6x22,Ψ1′=3x12+x1x2+6x22,Λ1=4x12-3x1x2+5x22,Λ1′=4x12+3x1x2+5x22.Here,Φ1′ is the inverse of Φ1, and they represent the same integers. Similarly, Ψ1′ is the inverse of Ψ1, and they represent the same integers, and Λ1′ is the inverse of Λ1, and they represent the same integers. The group of these quadratic forms is a group of order 7 and can be described, see [10], easily as
(2)Φ1,Φ12=Λ1′,Φ13=Ψ1,Φ14=Ψ1′,Φ15=Λ1,Φ16=Φ1′,Φ17=F1.
Therefore, the theta series of Φ1, Φ1′ and Ψ1, Ψ1′ and Λ1 and Λ1′ are the same, respectively. F1 is the identity element. Since 71 is prime, there is only one genus, that is, principal genus.Let(3)Fk=F1+⋯+F1(ktimes),Φk=Φ1+⋯+Φ1(ktimes),Ψk=Ψ1+⋯+Ψ1(ktimes),Λk=Λ1+⋯+Λ1(ktimes)
Be  k direct sums of the quadratic forms. In this paper, we will obtain the formulas of r(n;Q) for the quadratic forms of 8 variables
(4)H=F4,Φ4,Ψ4,Λ4,F3⊕Φ1,F2⊕Φ2,F1⊕Φ3,F3⊕Ψ1,F2⊕Ψ2,F1⊕Ψ3,Φ3⊕Ψ1,Φ2⊕Ψ2,Φ1⊕Ψ3,F3⊕Λ1,F2⊕Λ2,F1⊕Λ3,Φ3⊕Λ1,Φ2⊕Λ2,Φ1⊕Λ3,Ψ3⊕Λ1,Ψ2⊕Λ2,Ψ1⊕Λ3,F2⊕Φ1⊕Ψ1,F2⊕Φ1⊕Λ1,F2⊕Ψ1⊕Λ1,F1⊕Φ2⊕Ψ1,F1⊕Φ2⊕Λ1,Ψ1⊕Φ2⊕Λ1,F1⊕Λ1⊕Ψ2,F1⊕Φ1⊕Ψ2,Λ1⊕Φ1⊕Ψ2,F1⊕Λ1⊕Ψ2,F1⊕Φ1⊕Λ2,F1⊕Ψ1⊕Λ2,Φ1⊕Ψ1⊕Λ2,F1⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ1,
and quadratic form of 12 variables
(5)Q=F6,F5⊕Φ1,F5⊕Ψ1,F5⊕Λ1,F4⊕Φ2,F4⊕Ψ2,F4⊕Λ2,F4⊕Φ1⊕Ψ1,F4⊕Φ1⊕Λ1,F4⊕Ψ1⊕Λ1,F3⊕Φ3,F3⊕Ψ3,F3⊕Λ3,F3⊕Φ2⊕Ψ1,F3⊕Φ2⊕Λ1,F3⊕Ψ2⊕Φ1,F3⊕Ψ2⊕Λ1,F3⊕Λ2⊕Φ1,F3⊕Λ2⊕Ψ1,F3⊕Ψ2⊕Φ1,F3⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ1,F2⊕Φ4,F2⊕Ψ4,F2⊕Λ4,F2⊕Φ3⊕Ψ1,F2⊕Φ3⊕Λ1,F2⊕Ψ3⊕Φ1,F2⊕Ψ3⊕Λ1,F2⊕Λ3⊕Φ1,F2⊕Λ3⊕Ψ1,F2⊕Φ2⊕Ψ1⊕Λ1,F2⊕Ψ2⊕Φ1⊕Λ1,F2⊕Λ2⊕Φ1⊕Ψ1,F1⊕Φ5,F1⊕Ψ5,F1⊕Λ5,F1⊕Φ4⊕Ψ1,F1⊕Φ4⊕Λ1,F1⊕Ψ4⊕Φ1,F1⊕Ψ4⊕Λ1,F1⊕Λ4⊕Φ1,F1⊕Λ4⊕Ψ1,F1⊕Φ3⊕Ψ2,F1⊕Φ3⊕Λ2,F1⊕Φ3⊕Ψ1⊕Λ1,F1⊕Ψ3⊕Φ2,F1⊕Ψ3⊕Λ2,F1⊕Ψ3⊕Φ1⊕Λ1,F1⊕Λ3⊕Φ2,F1⊕Λ3⊕Ψ2,F1⊕Λ3⊕Φ1⊕Ψ1,F1⊕Φ2⊕Ψ2⊕Λ1,F1⊕Φ2⊕Λ2⊕Ψ1,Φ6,Φ5⊕Ψ1,Φ5⊕Λ1,Φ4⊕Ψ2,Φ4⊕Λ2,Φ4⊕Ψ1⊕Λ1,Φ3⊕Ψ3,Φ3⊕Λ3,Φ3⊕Ψ2⊕Λ1,Φ3⊕Λ2⊕Ψ1,Φ2⊕Ψ4,Φ2⊕Λ4,Φ1⊕Ψ5,Φ1⊕Λ5,Φ1⊕Ψ4⊕Λ1,Φ1⊕Λ4⊕Ψ1,Φ1⊕Ψ3⊕Λ2,Φ1⊕Λ3⊕Ψ2,Ψ6,Ψ5⊕Λ1,Ψ4⊕Λ2,Ψ3⊕Λ3,Ψ2⊕Λ4,Ψ1⊕Λ5,Λ6.In these formulas one can replaceΦ1,Λ1, and Ψ1 by Φ1′,Λ1′, and Ψ1′, respectively.


## 2. The Positive Definite Quadratic Forms

Now we will give some definitions, an important theorem and evaluation of our quadratic forms.Definition 1.
LetQ:ℤ2k→ℤ be a positive definite integer-valued form of 2k variables
(6)Q=∑1≤i≤j≤2k2kbijxixj,bij∈ℤ.
Let D be the determinant of the quadratic form
(7)2Q=∑i,j=12kaijxixj,aii=2bii,aji=aij=bijfori<j;
And let Aij be the cofactors of aij for 1≤i,j≤2k. If δ=gcd(Aii/2,Aijfor1≤i,j≤2k), then N:=D/δ is the smallest positive integer, called the level of Q, for which NA-1
is again an even integral matrix likeA. Then,
Δ
=
(
-
1
)
k
D is called the discriminant of the form Q.Theorem 2.
LetQ:ℤ2k→ℤ be a positive definite integer-valued form of 2k variables of level N and discriminant Δ. Then (1) the theta function
(8)ΘQ(q)=∑(n1,n2,…,n2k)∈ℤ×ℤ⋯×ℤqQ(n1,n2,…,n2k)=1+∑n=1∞r(n;Q)qn,q=e2πiz
is a modular form on Γ0(N) of weight k and Kronecker character
(9)χΔ(d)=(Δd)ford∈(ℤNℤ)x,
that is, ΘQ∈Mk(Γ0(N),χΔ). Consider the following:
(
2
) The homogeneous quadratic polynomials in 2k variables
(10)φij=xixj-12kAijD2Q,1≤i,j≤2k
are spherical functions of second order with respect to Q. Consider the following:
(
3
) The theta series
(11)ΘQ,φij(q)=∑n=1∞(∑Q=nφij)qn
is a cusp form in Sk+2(Γ0(N),χΔ).
(
4
) If two quadratic forms Q1,Q2 have the same level N and the characters χ1(d),χ2(d) respectively, then the direct sum Q1⊕Q2 of the quadratic forms has the same level N and the character χ1(d)·χ2(d).Proof.
See [1, 2].Now, let us look at the positive definite quadratic forms of discriminant-71.For the quadratic formF1=x12+x1x2+18x22,
(12)2F1=2x12+2x1x2+36x22=(x1,x2)(21136)(x1x2),
the determinant and a cofactor are
(13)D=71,A22=2.
So, δ=1,N=D=71, and the discriminant is
(14)Δ=(-1)2/271=-71.
The character of F1 is the Kronecker symbol
(15)χ(d)=(-71d)ford∈(ℤ71ℤ)x.Similarly, for the quadratic formΦ1=2x12-x1x2+9x22, the determinant and a cofactor are
(16)D=71,A21=-1.
So, δ=1,N=D=79,Δ=(-1)2/271=-71, and the character of Φ1 is (15).For the quadratic formΨ1=3x12-x1x2+6x22, the determinant and a cofactor are
(17)D=71,A21=-1.
So, δ=1,N=D=71,Δ=(-1)2/271=-71, and the character of Ψ1 is (15).For the quadratic formΛ1=4x12-3x1x2+5x22, the determinant and some cofactors are
(18)D=71,A12=-3,A11=10.
So, δ=1,N=D=71,Δ=(-1)2/271=-71, and the character of Ψ1 is (15).Consequently,F1,Φ1,Ψ1,andΛ1 are quadratic forms whose theta series are in M1(Γ0(71),(-71/d)); hence, by Theorem 2,  F2,Φ2,Ψ2,Λ2 and
(19)F1⊕Φ1,F1⊕Ψ1,F1⊕Λ1,Φ1⊕Ψ1,Φ1⊕Λ1,Ψ1⊕Λ1
are quadratic forms whose theta series are in M2(Γ0(71)). Moreover, the theta series of quadratic forms in (4) are in M4(Γ0(71)), and the theta series of quadratic forms in (5) are in M6(Γ0(71)).We have the following important theorem for the Eisenstein part of theta series associated with the quadratic form.Theorem 3.
LetQ be a positive definite form of 8 or 12 variables whose theta series ΘQ are in M4(Γ0(71)) and M6(Γ0(71)) respectively. Then, the Eisenstein parts of ΘQ are
(20)E(q;Q)=1+∑n=1∞(α1σ3(n)qn+β1σ3(n)q71n)for8variables,(21)E(q;Q)=1+∑n=1∞(α2σ5(n)qn+β2σ5(n)q71n)for12variables,
respectively, where
(22)ρ4=3!(2π)4ζ(4)=1240,ρ6=-5!(2π)6ζ(6)=-1504,α1=240712-1714-1=1202521,α2=504713+1716-1=3625565,β1=240714-712714-1=7121202521,β2=-504716+713716-1=-1288479625565,EF4(q)=⋯=EF1⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+1202521∑n=1∞(qn+712q71n)σ3(n)=1+1202521∑n=1∞σ3*(n)qn=1+1202521q+120·92521q2+120·282521q3+120·732521q4+120·1262521q5+120·2522521q6+120·3442521q7+120·5852521q8+120·7572521q9+120·11342521q10+120·13322521q11+120·20442521q12+120·21982521q13+120·30962521q14+120·35282521q15+120·46812521q16+120·49142521q17+⋯,σ3*(n)={σ3(n)ifn≥1,71∤nσ3(n)+712σ3(n71)if71∣n,(23)EF6(q)=⋯=EΛ6=1+3625565∑n=1∞(qn-713q71n)σ5(n)=1+3625565∑n=1∞σ5*(n)qn=1+3625565q+111825565q2+878425565q3+3805225565q4+11253625565q5+28987225565q6+60508825565q7+2435405113q8+213454825565q9+371368825565q10+579787225565q11+928468825565q12+1336658425565q13+1996790425565q14+2745878425565q15+3896643625565q16+5111488825565q17+7044008425565q18+178279205113q19+11895055225565q20+14764147225565q21+19132977625565q22+23170838425565q23+594237605113q24+35167503625565q25+44109727225565q26+10373904025565q27+6395780165113q28+1476802805113q29+⋯,σ5*(n)={σ5(n)ifn≥1,71∤nσ5(n)-713σ5(n71)if71∣n.Proof.
See [1].


## 3. The Selection of Spherical Functions for Weight 4 and for Weight 6

First, we will be able to select 17spherical functions such that the corresponding cusp forms become a basis of S4(Γ0(71)) since its dimension is 17; see [11].For the quadratic form(24)2F2=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42=(x1,x2,x3,x4)(2113621136)(x1x2x3x4),
the determinant and a cofactor are D=712,A11=2556. By putting 2k=4,Q=F2, and appropriate i,j in Theorem 2, we get
(25)φ11=x12-1425567122F2=x12-1871F2,
which will be a spherical function of second order with respect to F2. Similarly,
(26)2F4=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+2x52+2x5x6+36x62+2x72+2x7x8+36x82,D=714,A11=12884796,φ11=x12-18128847967142F4=x12-971F4,2Φ2=4x12-2x1x2+18x22+4x32-2x3x4+18x42,D=712,A11=1278,A12=71,φ11=x12-1412787122Φ2=x12-971Φ2,φ12=x12-14717122Φ2=x1x2-1142Φ2,2(F1⊕Φ1)=2x12+2x1x2+36x22+4x32-2x3x4+18x42,D=712,A11=2556,A12=-71,A33=1278,A34=71,φ11=x12-1425567122(F1⊕Φ1)=x12-1871(F1⊕Φ1),φ12=x1x2+14717122(F1⊕Φ1)=x12+1142(F1⊕Φ1),φ33=x32-1412787122(F1⊕Φ1)=x32-971(F1⊕Φ1),φ34=x3x4-14717122(F1⊕Φ1)=x3x4-1142(F1⊕Φ1),2Ψ2=6x12-2x1x2+12x22+6x32-2x3x4+12x42,D=712,A11=852,φ11=x12-148527122Ψ2=x12-671Ψ2,2(F1⊕Ψ1)=2x12+2x1x2+36x22+6x32-2x3x4+12x42,D=712,A11=2556,A12=-71,A33=852,A44=426,φ11=x12-1425567122(F1⊕Ψ1)=x12-1871(F1⊕Ψ1),φ12=x1x2+14717122(F1⊕Ψ1)=x2x3+1142(F1⊕Ψ1),φ33=x32-148527122(F1⊕Ψ1)=x32-671(F1⊕Ψ1),φ44=x42-144267122(F1⊕Ψ1)=x42-371(F1⊕Ψ1)2(Φ1⊕Ψ1)=4x12-2x1x2+18x22+6x32-2x3x4+12x42,D=712,A11=1278,A34=71,φ11=x12-1412787122(Φ1⊕Ψ1)=x12-971(Φ1⊕Ψ1),φ34=x3x4-14717122(Φ1⊕Ψ1)=x3x4-1142(Φ1⊕Ψ1),2Λ2=8x12-6x1x2+10x22+8x32-6x3x4+10x42,D=712,A22=568,φ22=x22-145687122Λ2=x22-471Λ2,2(F1⊕Λ1)=2x12+2x1x2+36x22+8x32-6x3x4+10x42,D=712,A11=2556,φ11=x12-1425567122(F1⊕Λ1)=x12-1871(F1⊕Λ1),2(Φ1⊕Λ1)=4x12-2x1x2+18x22+8x32-6x3x4+10x42,D=712,A34=213,φ34=x3x4-142137122(Φ1⊕Λ1)=x3x4-3142(Φ1⊕Λ1).Similarly, we will be able to select 29spherical functions such that the corresponding cusp forms become a basis of S6(Γ0(71)) since its dimension is 29; see [11],
(27)2F4=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+2x52+2x5x6+36x62+2x72+2x7x8+36x82,D=714,A11=12884796,φ11=x12-18128847967142F4=x12-971F4,2Φ4=4x12-2x1x2+18x22+4x32-2x3x4+18x42+4x52-2x5x6+18x62+4x72-2x7x8+18x82,D=714,A11=6442398,A22=1431644,φ11=x12-1864423987142Φ4=x12-9142Φ4,φ22=x22-1814316447142Φ4=x22-171Φ4,2(F3⊕Φ1)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+2x52+2x5x6+36x62+4x72-2x7x8+18x82,D=714,A11=12884796,A22=715822,A77=6442398,A88=1431644,φ11=x12-18128847967142(F3⊕Φ1)=x12-971(F3⊕Φ1),φ22=x22-187158227142(F3⊕Φ1)=x22-1142(F3⊕Φ1),φ77=x72-1864423987142(F3⊕Φ1)=x72-9142(F3⊕Φ1),φ88=x82-1814316447142(F3⊕Φ1)=x82-171(F3⊕Φ1),2(F2⊕Φ2)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+4x52-2x5x6+18x62+4x72-2x7x8+18x82,A22=715822,A11=12884796,A55=6442398,φ11=x12-18128847967142(F2⊕Φ2)=x12-971(F2⊕Φ2),φ22=x22-187158227142(F2⊕Φ2)=x22-1142(F2⊕Φ2),φ55=x52-1864423987142(F2⊕Φ2)=x52-9142(F2⊕Φ2),2Ψ4=6x12-2x1x2+12x22+6x32-2x3x4+12x42+6x52-2x5x6+12x62+6x72-2x7x8+12x82,D=714,A11=4294932,A12=357911,φ11=x12-1842949327142Ψ4=x12-371Ψ4,φ12=x1x2-183579117142Ψ4=x1x2-1284Ψ4,φ22=x22-1821474667142Ψ4=x22-3142Ψ4,2(F3⊕Ψ1)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+2x52+2x5x6+36x62+6x72-2x7x8+12x82,A11=12884796,φ11=x12-18128847967142(F3⊕Ψ1)=x12-971(F3⊕Ψ1),2(F2⊕Ψ2)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+6x52-2x5x6+12x62+6x72-2x7x8+12x82,A22=715822,A66=2147466,φ22=x22-187158227142(F2⊕Ψ2)=x22-1142(F2⊕Ψ2),φ66=x62-1821474667142(F2⊕Ψ2)=x62-3142(F2⊕Ψ2),2(Φ3⊕Ψ1)=4x12-2x1x2+18x22+4x32-2x3x4+18x42+4x52-2x5x6+18x62+6x32-2x3x4+12x42,D=714,A11=6442398,A22=1431644,φ11=x12-1864423987142(Φ3⊕Ψ1)=x12-971(Φ3⊕Ψ1),φ22=x22-1814316447142(Φ3⊕Ψ1)=x22-171(Φ3⊕Ψ1),2(Φ1⊕Ψ3)=4x12-2x1x2+18x22+6x32-2x3x4+12x42+6x52-2x5x6+12x62+6x32-2x3x4+12x42,D=714,A22=1431644,A44=2147466,φ22=x22-1814316447142(Φ1⊕Ψ3)=x22-171(Φ1⊕Ψ3),φ44=x42-1821474667142(Φ1⊕Ψ3)=x42-3142(Φ1⊕Ψ3),2(F3⊕Λ1)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+2x52+2x5x6+36x62+8x72-6x7x8+10x82,D=714,A11=12884796,A22=715822,φ11=x12-18128847967142(F3⊕Λ1)=x12-971(F3⊕Λ1),φ22=x22-187158227142(F3⊕Λ1)=x22-1142(F3⊕Λ1),2(Φ1⊕Λ3)=4x12-2x1x2+18x22+8x32-6x3x4+10x42+8x52-6x5x6+10x62+8x72-6x7x8+10x82,D=714,A12=357911,A22=1431644,A44=2863288,φ12=x1x2-183579117142(Φ1⊕Λ3)=x1x2-1284(Φ1⊕Λ3),φ22=x22-1814316447142(Φ1⊕Λ3)=x22-171(Φ1⊕Λ3),φ44=x42-1828632887142(Φ1⊕Λ3)=x42-271(Φ1⊕Λ3),2(Ψ3⊕Λ1)=6x12-2x1x2+12x22+6x32-2x3x4+12x42+6x52-2x5x6+12x62+8x72-6x7x8+10x82,D=714,A22=2147466,φ22=x22-1821474667142(Ψ3⊕Λ1)=x22-3142(Ψ3⊕Λ1),2(F2⊕Φ1⊕Ψ1)=2x12+2x1x2+36x22+2x32+2x3x4+36x42+4x52-2x5x6+18x62+6x72-2x7x8+12x82,D=714,A55=6442398,A56=357911,A78=357911,φ55=x52-1864423987142(F2⊕Φ1⊕Ψ1)=x52-9142(F2⊕Φ1⊕Ψ1),φ56=x5x6-183579117142(F2⊕Φ1⊕Ψ1)=x5x6-1284(F2⊕Φ1⊕Ψ1),φ78=x7x8-183579117142(F2⊕Φ1⊕Ψ1)=x7x8-1284(F2⊕Φ1⊕Ψ1).


## 4. The Solutions ofQ=n and the Theta Series Associated with the Quadratic Forms

(
1
)
F
1
=
x
1
2
+
x
1
x
2
+
18
x
2
2
=
n has the following solutions:Consider the following:(28)n=1⟹x1=±1,x2=0,n=4⟹x1=±2,x2=0,n=9⟹x1=±3,x2=0,n=16⟹x1=±4,x2=0.
There is no integral solutions for n=2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17.Consider the following:(
2
)
Φ
1
=
2
x
1
2
-
x
1
x
2
+
9
x
2
2
=
n has the following solutions:
(29)n=2⟹x1=±1,x2=0,n=8⟹x1=±2,x2=0,n=9⟹x1=0,x2=±1,n=10⟹x1=1,x2=-1orx1=-1,x2=1,n=12⟹x1=1,x2=1orx1=-1,x2=-1,n=15⟹x1=2,x2=-1orx1=-2,x2=1.
There is no integral solutions for n=1,3,4,5,6,7,11,13,14,16,17.Consider the following:(
3
)
Ψ
1
=
3
x
1
2
-
x
1
x
2
+
6
x
2
2
=
n has the following solutions:
(30)n=3⟹x1=±1,x2=0,n=6⟹x1=0,x2=±1,n=8⟹x1=1,x2=-1,orx1=-1,x2=1,n=10⟹x1=1,x2=1,orx1=-1,x2=-1,n=12⟹x1=±2,x2=0,n=16⟹x1=-2,x2=1,x1=2,x2=-1.
There is no integral solutions for n=1,2,4,5,7,9,11,13,14,15,17.(
4
)
Λ
1
=
4
x
1
2
-
3
x
1
x
2
+
5
x
2
2 has the following solutions:Consider the following:(31)n=4⟹x1=±1,x2=0,n=5⟹x1=0,x2=±1,n=6⟹x1=1,x2=-1,orx1=-1,x2=1,n=12⟹x1=1,x2=1,orx1=-1,x2=-1,n=15⟹x1=2,x2=1,orx1=-2,x2=1,n=16⟹x1=±2,x2=0.
There is no integral solutions for n=1,2,3,7,8,9,10,11,13,14,17.Hence, for quadratic forms of 8 variables, we have(32)ΘF1(q)=1+2q+2q4+2q9+2q16+4q18+4q20+4q24+2q25+⋯,ΘΦ1(q)=1+2q2+2q8+2q9+2q10+2q12+2q15+2q18+2q19+2q24+⋯,ΘΨ1(q)=1+2q3+2q6+2q8+2q10+2q12+2q16+2q20+2q24+2q25+2q27+2q29+⋯,ΘΛ1(q)=1+2q4+2q5+2q6+2q12+2q15+2q16+2q18+2q20+2q24+2q27+⋯,ΘF4(q)=1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+96q6+64q7+24q8+104q9+144q10+96q11+96q12+112q13+192q14+192q15+24q16+144q17+⋯,ΘΦ4(q)=1+8q2+24q4+32q6+24q8+8q9+56q10+48q11+152q12+96q13+208q14+72q15+184q16+96q17+⋯,ΘΨ4(q)=1+8q3+32q6+8q8+80q9+8q10+48q11+144q12+48q13+144q14+208q15+176q16+256q17+⋯,ΘΛ4(q)=1+8q4+8q5+8q6+24q8+48q9+72q10+48q11+64q12+96q13+192q14+232q15+264q16+208q17+⋯,ΘF3⊕Φ1(q)=1+6q+14q2+20q3+30q4+40q5+36q6+48q7+62q8+44q9+86q10+136q11+110q12+160q13+196q14+162q15+198q16+204q17+⋯,ΘF2⊕Φ2(q)=1+4q+8q2+16q3+24q4+24q5+32q6+32q7+24q8+56q9+68q10+88q11+156q12+152q13+168q14+196q15+184q16+216q17+⋯,ΘF1⊕Φ3(q)=1+2q+6q2+12q3+14q4+24q5+20q6+16q17+30q8+20q9+58q10+96q11+114q12+168q13+156q14+166q15+158q16+180q17+⋯,ΘF3⊕Ψ1(q)=1+6q+12q2+10q3+18q4+48q5+42q6+24q7+86q8+106q9+62q10+124q11+154q12+148q13+204q14+140q15+188q16+312q17+⋯,ΘF2⊕Ψ2(q)=1+4q+4q2+4q3+20q4+24q5+8q6+48q7+72q8+28q9+92q10+136q11+88q12+176q13+184q14+168q15+292q16+248q17+⋯,ΘF1⊕Ψ3(q)=1+2q+6q3+14q4+18q6+48q7+6q8+46q9+106q10+36q11+114q12+172q13+108q14+228q15+248q16+240q17+⋯,ΘΦ3⊕Ψ1(q)=1+6q2+2q3+12q4+12q5+10q6+24q7+20q8+22q9+68q10+36q11+120q12+84q13+160q14+126q15+198q16+204q17+⋯,ΘΦ2⊕Ψ2(q)=1+4q2+4q3+4q4+16q5+8q6+16q7+40q8+12q9+64q10+64q11+68q12+120q13+128q14+156q15+196q16+224q17+⋯,ΘΦ1⊕Ψ3(q)=1+2q2+6q3+12q5+18q6+44q8+34q9+20q10+100q11+68q12+84q13+168q14+146q15+210q16+220q17+⋯,ΘF3⊕Λ1(q)=1+6q+12q2+8q3+8q4+38q5+62q6+52q7+64q8+106q9+132q10+120q11+82q12+120q13+204q14+174q15+144q16+244q17+⋯,ΘF2⊕Λ2(q)=1+4q+4q2+8q4+28q5+36q6+32q7+40q8+76q9+116q10+120q11+120q12+168q13+208q14+180q15+176q16+224q17+⋯,ΘF1⊕Λ3(q)=1+2q+8q4+18q5+18q6+12q7+24q8+62q9+96q10+96q11+98q12+136q13+180q14+218q15+256q16+276q17+⋯,ΘΦ3⊕Λ1(q)=1+6q2+14q4+2q5+22q6+12q7+42q8+30q9+70q10+40q11+84q12+48q13+144q14+128q15+278q16+264q17+⋯,ΘΦ2⊕Λ2(q)=1+4q2+8q4+4q5+20q6+16q7+40q8+28q9+56q10+48q11+100q12+96q13+168q14+136q15+192q16+168q17+⋯,ΘΦ1⊕Λ3(q)=1+2q2+6q4+6q5+18q6+12q7+26q8+26q9+62q10+72q11+112q12+96q13+136q14+136q15+222q16+256q17+⋯,ΘΨ3⊕Λ1(q)=1+6q3+2q4+2q5+20q6+12q7+18q8+44q9+42q10+60q11+92q12+100q13+136q14+186q15+212q16+228q17+⋯,ΘΨ2⊕Λ2(q)=1+4q3+4q4+4q5+12q6+16q7+24q8+32q9+48q10+64q11+96q12+104q13+136q14+188q15+220q16+232q17+⋯,ΘΨ1⊕Λ3(q)=1+2q3+6q4+6q5+8q6+12q7+26q8+36q9+50q10+100q12+108q13+144q14+174q15+248q16+252q17+⋯,ΘF2⊕Φ1⊕Ψ1(q)=1+4q+4q2+4q4+8q5++4q8+4q9+8q10+8q13+4q16+8q17+⋯,ΘF2⊕Φ1⊕Λ1(q)=1+4q+6q2+8q3+14q4+18q5+30q6+52q7+58q8+70q9+90q10+88q11+96q12+120q13+152q14+196q15+246q16+280q17+⋯,ΘF2⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+4q+4q2+2q3+14q4+26q5+20q6+36q7+66q8+72q9+86q10+100q11+124q12+172q13+168q14+170q15+256q16+300q17+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Ψ1(q)=1+2q+4q2+10q3+10q4+16q5+26q6+16q7+38q8+50q9+42q10+100q11+102q12+116q13+172q14+168q15+212q16+224q17+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Λ1(q)=1+2q+4q2+8q3+8q4+14q5+22q6+28q7+48q8+58q9+64q10+72q11+78q12+96q13+132q14+202q15+248q16+292q17+⋯,ΘΨ1⊕Φ2⊕Λ1(q)=1+4q2+2q3+6q4+10q5+12q6+20q7+34q8+32q9+58q10+52q11+88q12+76q13+152q14+142q15+224q16+236q17+⋯,ΘF1⊕Λ1⊕Ψ2(q)=1+2q+4q3+12q4+6q5+14q6+36q7+32q8+46q9+72q10+80q11+114q12+136q13+148q14+206q15+260q16+252q17+⋯,ΘF1⊕Φ1⊕Ψ2(q)=1+2q+2q2+8q3+10q4+8q5+28q6+24q7+22q8+72q9+50q10+64q11+142q12+104q13+148q14+210q15+210q16+260q17+⋯,ΘΛ1⊕Φ1⊕Ψ2(q)=1+2q2+4q3+2q4+10q5+14q6+12q7+34q8+34q9+46q10+64q11+88q12+96q13+136q14+172q15+202q16+240q17+⋯,ΘF1⊕Λ1⊕Ψ2(q)=1+2q+4q3+12q4+6q5+14q6+36q7+32q8+46q9+72q10+80q11+114q12+136q13+148q14+206q15+260q16+252q17+⋯,ΘF1⊕Φ1⊕Λ2(q)=1+2q+2q2+4q3+6q4+12q5+24q6+32q7+38q8+48q9+66q10+88q11+118q12+144q13+156q14+174q15+182q16+212q17+⋯,ΘF1⊕Ψ1⊕Λ2(q)=1+2q+2q3+10q4+12q5+14q6+24q7+38q8+54q9+66q10+84q11+122q12+156q13+156q14+184q15+252q16+264q17+⋯,ΘΦ1⊕Ψ1⊕Λ2(q)=1+2q2+2q3+4q4+8q5+14q6+16q7+28q8+34q9+52q10+60q11+100q12+100q13+152q14+150q15+206q16+220q17+⋯,ΘF1⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+2q+2q2+6q3+8q4+10q5+24q6+28q7+36q8+60q9+64q10+76q11+102q12+124q13+148q14+188q15+234q16+256q17+⋯.
For quadratic forms of 12 variables, we have
(33)ΘF6(q)=1+12q+60q2+160q3+252q4+312q5+544q6+960q7+1020q8+876q9+1560q10+2400q11+2080q12+2040q13+3264q14+4160q15+4092q16+3480q17+4404q18+7440q19+7536q20+6768q21+11280q22+15168q23+16168q24+18420q25+21720q26+28720q27+32880q28+32232q29+⋯,ΘΦ6(q)=1+12q2+60q4+160q6+252q8+12q9+324q10+120q11+676q12+480q13+1560q14+972q15+2460q16+1200q17+2976q18+1956q19+4524q20+5040q21+8664q22+9240q23+13312q24+11544q25+16080q26+14920q27+22224q28+25944q29+⋯,ΘΨ6(q)=1+12q3+72q6+12q8+280q9+12q10+120q11+792q12+120q13+600q14+1752q15+672q16+1920q17+3344q18+2520q19+4512q20+6144q21+6960q22+8664q23+11632q24+14796q25+15600q26+21476q27+26280q28+27852q29+⋯,ΘΛ6(q)=1+12q4+12q5+12q6+60q8+120q9+180q10+120q11+232q12+480q13+960q14+1132q15+1332q16+1560q17+2692q18+3960q19+5484q20+6000q21+6960q22+8280q23+12136q24+15576q25+18744q26+19172q27+22320q28+26904q29+⋯,ΘF5⊕Φ1(q)=1+10q+42q2+100q3+170q4+272q5+420q6+544q7+682q8+912q9+1062q10+1320q11+1942q12+2264q13+2564q14+3586q15+4050q16+4244q17+5382q18+6222q19+7536q20+9540q21+10924q22+13604q23+16206q24+17730q25+20900q26+24080q27+27964q28+33848q29+⋯,ΘF4⊕Φ2(q)=1+8q+28q2+64q3+124q4+208q5+288q6+384q7+508q8+588q9+764q10+1096q11+1356q12+1872q13+2568q14+2884q15+3580q16+23384q17+4696q18+5900q19+7444q20+8912q21+11144q22+13320q23+15584q24+17568q25+19936q26+23384q27+26800q28+32344q29+⋯,ΘF5⊕Ψ1(q)=1+10q+40q2+82q3+110q4+192q5+402q6+520q7+506q8+910q9+1462q10+1364q11+1642q12+2724q13+3060q14+3284q15+4032q16+4584q17+6060q18+6680q19+6314q20+9344q21+11700q22+11624q23+14422q24+17316q25+21064q26+25562q27+26304q28+33066q29+⋯,ΘF4⊕Ψ2(q)=1+8q+24q2+36q3+56q4+144q5+232q6+224q7+412q8+784q9+756q10+936q11+1800q12+1976q13+2152q14+3336q15+3720q16+4464q17+5880q18+5896q19+7728q20+9984q21+9872q22+12360q23+15104q24+16796q25+20608q26+22412q27+26456q28+34132q29+⋯,ΘF5⊕Λ1(q)=1+10q+40q2+80q3+92q4+134q5+342q6+580q7+620q8+814q9+1444q10+1904q11+1922q12+2120q13+2900q14+3862q15+3972q16+3844q17+5502q18+7320q19+7118q20+7644q21+10240q22+12584q23+14366q24+16938q25+21624q26+27222q27+29780q28+33104q29+⋯,ΘF4⊕Λ2(q)=1+8q+24q2+32q3+28q4+84q5+228q6+320q7+348q8+560q9+988q10+1352q11+1544q12+1904q13+2784q14+3620q15+3748q16+4088q17+5396q18+6504q19+6996q20+8176q21+10256q22+12360q23+14152q24+16384q25+20280q26+24012q27+26576q28+32632q29+⋯,ΘF4⊕Φ1⊕Ψ1(q)=1+8q+26q2+50q3+88q4+164q5+242q6+320q7+496q8+650q9+776q10+1204q11+1532q12+1700q13+2552q14+3130q15+3282q16+4516q17+5358q18+5942q19+7726q20+8924q21+10624q22+13060q23+14720q24+17478q25+20380q26+23554q27+27980q28+32174q29+⋯,ΘF4⊕Φ1⊕Λ1(q)=1+8q+26q2+48q3+74q4+130q5+214q6+324q7+510q8+714q9+914q10+1264q11+1592q12+1800q13+2272q14+2876q15+3474q16+4360q17+5300q18+6390q19+7758q20+8824q21+10076q22+12300q23+14696q24+17188q25+20988q26+24926q27+28496q28+33100q29+⋯,ΘF4⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+8q+24q2+34q3+42q4+114q5+228q6+260q7+366q8+716q9+966q10+1092q11+1516q12+2068q13+2600q14+3082q15+3492q16+4660q17+5958q18+6148q19+7116q20+9356q21+10636q22+11720q23+14020q24+16930q25+20576q26+23724q27+26388q28+32762q29+⋯,ΘF3⊕Φ3(q)=1+6q+18q2+44q3+90q4+144q5+212q6+288q7+330q8+424q9+570q10+720q11+1130q12+1584q13+1980q14+2694q15+3114q16+3516q17+4402q18+5154q19+6540q20+8436q21+10596q22+12876q23+14726q24+17382q25+19212q26+21800q27+26940q28+31440q29+⋯,ΘF3⊕Ψ3(q)=1+6q+12q2+14q3+144q4+96q5+90q6+144q7+378q8+386q9+402q10+1020q11+1170q12+1116q13+2244q14+2604q15+2748q16+4464q17+4784q18+5616q19+8106q20+8360q21+10116q22+13080q23+14246q24+17292q25+19848q26+22758q27+28176q28+31254q29+⋯,ΘF3⊕Λ3(q)=1+6q+12q2+8q3+12q4+66q5+138q6+156q7+180q8+354q9+672q10+936q11+1090q12+1464q13+2220q14+2898q15+3300q16+4020q17+5214q18+6288q19+7146q20+8212q21+9744q22+11496q23+13318q24+16182q25+20016q26+23034q27+26316q28+32352q29+⋯,ΘF3⊕Φ2⊕Ψ1(q)=1+6q+16q2+34q3+70q4+112q5+162q6+256q7+330q8+422q9+658q10+812q11+1062q12+1620q13+1876q14+2384q15+3288q16+3600q17+4520q18+5852q19+6742q20+8424q21+10316q22+12392q23+14446q24+16888q25+20360q26+22810q27+27144q28+32578q29+⋯,ΘF3⊕Φ2⊕Λ1(q)=1+6q+16q2+32q3+60q4+94q5+142q6+236q7+348q8+494q9+720q10+912q11+1134q12+1472q13+1772q14+2258q15+3020q16+3828q17+4826q18+6012q19+7170q20+8316q21+9824q22+11608q23+13814q24+17094q25+20472q26+24166q27+28492q28+32200q29+⋯,ΘF3⊕Φ1⊕Ψ2(q)=1+6q+14q2+24q3+54q4+96q5+124q6+216q7+338q8+380q9+626q10+928q11+966q12+1536q13+2148q14+2162q15+3198q16+4156q17+4362q18+5982q19+7264q20+8268q21+10476q22+12228q23+14486q24+17010q25+19988q26+23700q27+26876q28+31980q29+⋯,ΘF3⊕Ψ2⊕Λ1(q)=1+6q+12q2+12q3+32q4+86q5+102q6+132q7+316q8+450q9+504q10+840q11+1202q12+1464q13+1996q14+2486q15+3192q16+4284q17+4834q18+5776q19+7686q20+8844q21+9920q22+12304q23+14558q24+16810q25+20032q26+22658q27+26764q28+32596q29+⋯,ΘF3⊕Φ1⊕Λ2(q)=1+6q+14q2+20q3+34q4+68q5+120q6+208q7+322q8+436q9+626q10+904q11+1198q12+1576q13+2060q14+2590q15+3186q16+3820q17+4542q18+5614q19+6948q20+8300q21+10180q22+12476q23+14510q24+16918q25+19780q26+22876q27+27020q28+31976q29+⋯,ΘF3⊕Ψ1⊕Λ2(q)=1+8q+12q2+10q3+22q4+76q5+118q6+136q7+250q8+442q9+602q10+796q11+1114q12+1612q13+2164q14+2544q15+3152q16+4264q17+5132q18+5736q19+7094q20+8864q21+10308q22+11952q23+13958q24+16728q25+20008q26+22398q27+26128q28+32226q29+⋯,ΘF3⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+6q+14q2+22q3+44q4+8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7+3174q18+4274q19+5164q20+6812q21+8004q22+10220q23+12782q24+14118q25+18556q26+21516q27+24732q28+30996q29+⋯,ΘF1⊕Φ3⊕Λ2(q)=1+2q+6q2+12q3+18q4+36q5+56q6+96q7+162q8+236q9+342q10+464q11+626q12+848q13+1172q14+1586q15+2042q16+2612q17+3226q18+4002q19+5216q20+6668q21+8562q22+10580q23+12758q24+14714q25+17500q26+20356q27+24924q28+29824q29+⋯,ΘF1⊕Φ3⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+2q+6q2+14q3+20q4+42q5+64q6+92q7+168q8+224q9+332q10+492q11+610q12+852q13+1124q14+1472q15+1982q16+2616q17+3440q18+4246q19+5452q20+6632q21+7960q22+10028q23+12138q24+14756q25+18324q26+21716q27+25920q28+30282q29+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Ψ3(q)=1+2q+4q2+14q3+18q4+32q5+74q6+72q7+138q8+250q9+222q10+468q11+670q12+652q13+1284q14+1528q15+1748q16+2840q17+3228q18+4116q19+5446q20+6704q21+8380q22+9816q23+13086q24+14960q25+17416q26+22982q27+25208q28+30014q29+⋯,ΘF1⊕Ψ3⊕Λ2(q)=1+2q+6q3+18q4+12q5+30q6+80q7+90q8+142q9+262q10+356q11+530q12+772q13+1028q14+1480q15+2028q16+2512q17+3360q18+4544q19+5462q20+6856q21+8852q22+10528q23+12934q24+15776q25+18376q26+22314q27+26656q28+30382q29+⋯,ΘF1⊕Φ1⊕Ψ3⊕Λ1(q)=1+2q+2q2+10q3+16q4+18q5+56q6+76q7+96q8+220q9+268q10+356q11+646q12+772q13+1036q14+1572q15+1946q16+2528q17+3432q18+4322q19+5312q20+6912q21+8520q22+10076q23+12938q24+15360q25+18036q26+22416q27+26024q28+30462q29+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Λ3(q)=1+2q+4q2+8q3+12q4+26q5+50q6+84q7+132q8+194q9+284q10+424q11+638q12+896q13+1204q14+1566q15+1980q16+2564q17+3370q18+4340q19+5502q20+6724q21+8112q22+9832q23+12302q24+15090q25+18688q26+22234q27+26292q28+30072q29+⋯,ΘF1⊕Ψ2⊕Λ3(q)=1+2q+4q3+16q4+18q5+26q6+60q7+100q8+150q9+228q10+352q11+546q12+776q13+1028q14+1458q15+2072q16+2636q17+3378q18+4488q19+5666q20+7012q21+8656q22+10544q23+12982q24+15670q25+18360q26+21990q27+26468q28+30500q29+⋯,ΘF1⊕Φ1⊕Ψ1⊕Λ3(q)=1+2q+2q2+6q3+12q4+22q5+44q6+68q7+104q8+172q9+268q10+396q11+582q12+828q13+1124q14+1528q15+2022q16+2640q17+3484q18+4394q19+5452q20+6832q21+8432q22+10228q23+12570q24+15236q25+18324q26+21976q27+26072q28+30426q29+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Ψ2⊕Λ1(q)=1+2q+4q2+12q3+16q4+30q5+62q6+76q7+140q8+226q9+276q10+456q11+622q12+784q13+1156q14+1506q15+1952q16+2604q17+3406q18+4244q19+5322q20+6860q21+8160q22+10112q23+12662q24+14838q25+18272q26+21938q27+25732q28+30492q29+⋯,ΘF1⊕Φ2⊕Ψ1⊕Λ2(q)=1+2q+4q2+10q3+14q4+28q5+54q6+80q7+138q8+210q9+294q10+436q11+614q12+844q13+1156q14+1564q15+2008q16+2576q17+3352q18+4172q19+5346q20+6776q21+8348q22+10336q23+12622q24+14988q25+18040q26+21518q27+25544q28+30234q29+⋯,ΘΨ1⊕Φ5(q)=1+10q2+2q3+40q4+20q5+82q6+80q7+112q8+170q9+224q10+260q11+612q12+484q13+1240q14+1010q15+1906q16+1780q17+2774q18+2990q19+4646q20+4940q21+8304q22+7620q23+12672q24+11742q25+16924q26+17762q27+24220q28+26382q29+⋯,ΘΦ5⊕Λ1(q)=1+10q2+42q4+2q5+102q6+20q7+190q8+90q9+362q10+240q11+672q12+440q13+1104q14+756q15+1906q16+1640q17+3452q18+3310q19+5302q20+4920q21+7164q22+6860q23+10952q24+12044q25+18364q26+20062q27+26624q28+27020q29+⋯,ΘΨ2⊕Φ4(q)=1+8q2+4q3+24q4+32q5+40q6+96q7+92q8+144q9+284q10+216q11+576q12+584q13+888q14+1264q15+1512q16+2048q17+2720q18+3168q19+4808q20+4896q21+7904q22+8152q23+11200q24+13300q25+16368q26+18620q27+25272q28+26420q29+⋯,ΘΦ4⊕Λ2(q)=1+8q2+28q4+4q5+68q6+32q7+156q8+112q9+324q10+248q11+576q12+480q13+1040q14+972q15+1892q16+1800q17+3004q18+2944q19+4684q20+5040q21+7904q22+8632q23+12136q24+12536q25+16520q26+17308q27+23824q28+27000q29+⋯,ΘΦ4⊕Ψ1⊕Λ1(q)=1+8q2+2q3+26q4+18q5+52q6+68q7+110q8+156q9+270q10+292q11+548q12+532q13+968q14+978q15+1732q16+1876q17+2990q18+3324q19+4852q20+5052q21+7564q22+7704q23+11492q24+12426q25+17488q26+18940q27+25428q28+27194q29+⋯,ΘΦ3⊕Ψ3(q)=1+6q2+6q3+12q4+36q5+26q6+72q7+120q8+86q9+288q10+276q11+384q12+756q13+720q14+1174q15+1662q16+1812q17+2870q18+3186q19+4674q20+5364q21+7032q22+9276q23+10376q24+13458q25+17364q26+18230q27+25356q28+28098q29+⋯,ΘΦ3⊕Λ3(q)=1+6q2+18q4+6q5+50q6+36q7+126q8+102q9+258q10+240q11+524q12+552q13+1032q14+1052q15+1722q16+1776q17+2832q18+3186q19+4902q20+5416q21+7572q22+8124q23+11160q24+12636q25+17604q26+19874q27+25728q28+27612q29+⋯,ΘΦ3⊕Ψ2⊕Λ1(q)=1+6q2+4q3+14q4+26q5+30q6+68q7+102q8+126q9+258q10+280q11+468q12+600q13+856q14+1104q15+1574q16+2016q17+2732q18+3362q19+4706q20+5232q21+7420q22+8476q23+11136q24+13072q25+17100q26+19154q27+24984q28+27784q29+⋯,ΘΦ3⊕Ψ1⊕Λ2(q)=1+6q2+2q3+16q4+16q5+38q6+56q7+104q8+134q9+240q10+284q11+480q12+564q13+944q14+1066q15+1690q16+1908q17+2794q18+3194q19+4686q20+5276q21+7632q22+8524q23+11608q24+12798q25+17036q26+18710q27+24676q28+27622q29+⋯,ΘΦ2⊕Ψ4(q)=1+4q2+8q3+4q4+32q5+32q6+32q7+140q8+84q9+180q10+408q11+252q12+656q13+952q14+820q15+1748q16+1968q17+2480q18+3548q19+4356q20+5776q21+6696q22+9240q23+11408q24+12272q25+18128q26+19632q27+23424q28+30192q29+⋯,ΘΦ2⊕Λ4(q)=1+4q2+12q4+8q5+40q6+32q7+92q8+84q9+212q10+248q11+492q12+544q13+904q14+1004q15+1644q16+1984q17+3016q18+3420q19+4684q20+5168q21+7208q22+8568q23+11872q24+13496q25+17216q26+18832q27+24176q28+27960q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ5(q)=1+2q2+10q3+20q5+50q6+112q8+162q9+32q10+420q11+412q12+260q13+1160q14+954q15+1130q16+2484q17+2342q18+3222q19+4670q20+5660q21+7040q22+8564q23+12256q24+12934q25+16300q26+22314q27+23100q28+29110q29+⋯,ΘΦ1⊕Λ5(q)=1+2q2+10q4+10q5+30q6+20q7+62q8+82q9+202q10+240q11+392q12+440q13+800q14+1092q15+1730q16+2040q17+2772q18+3222q19+4662q20+5880q21+8044q22+9100q23+11192q24+12492q25+16620q26+20134q27+25984q28+29004q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ4⊕Λ1(q)=1+2q2+8q3+2q4+18q5+38q6+20q7+94q8+130q9+122q10+320q11+392q12+472q13+864q14+1068q15+1402q16+2008q17+2700q18+3286q19+4462q20+5864q21+6908q22+9068q23+11560q24+13204q25+17276q26+20486q27+24368q28+29380q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ1⊕Λ4(q)=1+2q2+2q3+8q4+12q5+26q6+32q7+64q8+98q9+176q10+244q11+396q12+516q13+808q14+1058q15+1570q16+2004q17+2830q18+3398q19+4630q20+5612q21+7504q22+8916q23+11584q24+13406q25+17084q26+19786q27+24844q28+28638q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ3⊕Λ2(q)=1+2q2+6q3+4q4+16q5+30q6+32q7+80q8+114q9+160q10+268q11+396q12+532q13+792q14+1102q15+1462q16+1972q17+2714q18+3326q19+4554q20+5716q21+7160q22+9044q23+11440q24+13506q25+17108q26+20314q27+24644q28+29002q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ2⊕Λ3(q)=1+2q2+4q3+6q4+14q5+26q6+36q7+70q8+106q9+170q10+248q11+400q12+536q13+800q14+1080q15+1502q16+1992q17+2736q18+3398q19+4594q20+5680q21+7316q22+8892q23+11488q24+13520q25+17188q26+20134q27+24904q28+28744q29+⋯,ΘΨ5⊕Λ1(q)=1+10q3+2q4+2q5+52q6+20q7+30q8+180q9+110q10+180q11+492q12+420q13+680q14+1194q15+1292q16+1860q17+2782q18+3284q19+4236q20+6044q21+7180q22+8680q23+12052q24+13730q25+16800q26+21636q27+24500q28+29570q29+⋯,ΘΨ4⊕Λ2(q)=1+8q3+4q4+4q5+36q6+32q7+44q8+120q9+148q10+216q11+376q12+496q13+720q14+1076q15+1404q16+1864q17+2732q18+3384q19+4324q20+5936q21+7280q22+8984q23+11736q24+13872q25+17128q26+21092q27+24928q28+29296q29+⋯,ΘΨ3⊕Λ3(q)=1+6q3+6q4+6q5+24q6+36q7+54q8+92q9+150q10+228q11+356q12+492q13+720q14+1070q15+1440q16+1884q17+2698q18+3468q19+4488q20+5788q21+7404q22+9144q23+11652q24+13926q25+17208q26+20884q27+25116q28+29142q29+⋯,ΘΨ2⊕Λ4(q)=1+4q3+8q4+18q5+16q6+32q7+60q8+88q9+140q10+216q11+360q12+488q13+712q14+1040q15+1496q16+1936q17+2664q18+3480q19+4648q20+5824q21+7472q22+9176q23+11776q24+13940q25+17216q26+20516q27+25208q28+28980q29+⋯,ΘΨ1⊕Λ5(q)=1+2q3+10q4+10q5+12q6+20q7+62q8+100q9+142q10+180q11+332q12+500q13+760q14+1010q15+1492q16+1940q17+2710q18+3460q19+4804q20+5980q21+7660q22+9064q23+11732q24+13994q25+17424q26+20292q27+25028q28+28682q29+⋯,ΘΦ1⊕Ψ4⊕Λ1(q)=1+2q2+8q3+2q4+18q5+38q6+20q7+94q8+130q9+122q10+320q11+392q12+472q13+864q14+1068q15+1402q16+2008q17+2700q18+3286q19+4462q20+5864q21+6908q22+9068q23+11560q24+13204q25+17276q26+20486q27+24368q28+29380q29+⋯.Now, we will easily determine some bases ofS4(Γ0(71)),S6(Γ0(71)).Theorem 4.
The following generalized 17 theta series(34)ΘF2,φ11(q)=∑n=1∞‍∑F2=n‍(x12-1871F2)qn,ΘΦ2,φ11(q)=∑n=1∞∑Φ2=n‍(x12-9142Φ2)qn,ΘΦ2,φ12(q)=∑n=1∞∑Φ2=n‍(x1x2-1142Φ2)qn,ΘF1⊕Φ1,φ11(q)=∑n=1∞∑Φ2=n‍(x12-1871F1⊕Φ1)qn,ΘF1⊕Φ1,φ12(q)=∑n=1∞∑F1⊕Φ1=n‍(x1x2+1142F1⊕Φ1)qn,ΘF1⊕Φ1,φ33(q)=∑n=1∞∑Φ2=n‍(x32-971F1⊕Φ1)qn,ΘF1⊕Φ1,φ34(q)=∑n=1∞∑F1⊕Φ1=n‍(x3x4-1142F1⊕Φ1)qn,ΘΨ2,φ11(q)=∑n=1∞∑Ψ2=n‍(x12-671Ψ2)qn,ΘF1⊕Ψ1,φ11(q)=∑n=1∞∑F1⊕Ψ1=n‍(x12-1871F1⊕Ψ1)qn,ΘF1⊕Ψ1,φ12(q)=∑n=1∞‍∑F1⊕Ψ1=n‍(x1x2+1142F1⊕Ψ1)qn,ΘF1⊕Ψ1,φ33(q)=∑n=1∞∑F1⊕Ψ1=n‍(x32-671F1⊕Ψ1)qn,ΘF1⊕Ψ1,φ44(q)=∑n=1∞∑F1⊕Ψ1=n‍(x42-371F1⊕Ψ1)qn,ΘΦ1⊕Ψ1,φ11(q)=∑n=1∞∑Ψ2=n‍(x12-971Φ1⊕Ψ1)qn,ΘΦ1⊕Ψ1,φ34(q)=∑n=1∞∑Ψ2=n‍(x3x4-1142Φ1⊕Ψ1)qn,ΘΛ2,φ22(q)=171∑n=1∞∑Λ2=n‍(71x22-4Λ2)qn,ΘF1⊕Λ1,φ11(q)=∑n=1∞∑F1⊕Λ1=n‍(x12-1871(F1⊕Λ1))qn,ΘΨ1⊕Λ1,φ34(q)=∑n=1∞∑Ψ1⊕Λ1=n(x3x4-3142(Ψ1⊕Λ1))qn,
are a basis of S4(Γ0(71)), and the following generalized theta series
(35)ΘF4,φ11(q)=∑n=1∞∑F4=n‍(x12-971F4)qn,ΘΦ4,φ11(q)=∑n=1∞∑Φ4=n‍(x12-9142Φ4)qn,ΘΦ4,φ22(q)=∑n=1∞∑Φ2=n‍(x22-171Φ4)qn,ΘF3⊕Φ1,φ11(q)=∑n=1∞∑F3⊕Φ1=n‍(x12-971F3⊕Φ1)qn,ΘF3⊕Φ1,φ22(q)=∑n=1∞∑F3⊕Φ1=n‍(x22-1142F3⊕Φ1)qn,ΘF3⊕Φ1,φ77(q)=∑n=1∞∑F3⊕Φ1=n‍(x72-9142F3⊕Φ1)qn,ΘF3⊕Φ1,φ88(q)=∑n=1∞∑F3⊕Φ1=n‍(x82-171F3⊕Φ1)qn,ΘF2⊕Φ2,φ11(q)=∑n=1∞∑Φ4=n‍(x12-971F2⊕Φ2)qn,ΘF2⊕Φ2,φ22(q)=∑n=1∞∑Φ4=n‍(x22-1142F2⊕Φ2)qn,ΘF2⊕Φ2,φ55(q)=∑n=1∞∑Φ4=n‍(x52-9142F2⊕Φ2)qn,ΘΨ4,φ11(q)=∑n=1∞∑Ψ4=n‍(x12-371Ψ4)qn,ΘΨ4,φ12(q)=∑n=1∞∑Ψ4=n‍(x1x2-1284Ψ4)qn,ΘΨ4,φ22(q)=∑n=1∞∑Ψ4=n‍(x22-3142Ψ4)qn,ΘF3⊕Ψ1,φ11(q)=∑n=1∞∑F3⊕Ψ1=n‍(x12-971F3⊕Ψ1)qn,ΘF2⊕Ψ2,φ22(q)=∑n=1∞∑F2⊕Ψ2=n‍(x22-1142F2⊕Ψ2)qn,ΘF2⊕Ψ2,φ66(q)=∑n=1∞∑F2⊕Ψ2=n‍(x62-3142F2⊕Ψ2)qn,ΘΦ3⊕Ψ1,φ11(q)=∑n=1∞∑Φ3⊕Ψ1=n‍(x12-971Φ3⊕Ψ1)qn,ΘΦ3⊕Ψ1,φ22(q)=∑n=1∞∑Φ3⊕Ψ1=n‍(x22-171Φ3⊕Ψ1)qn,ΘΦ1⊕Ψ3,φ22(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Ψ3=n‍(x22-171Φ1⊕Ψ3)qn,ΘΦ1⊕Ψ3,φ44(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Ψ3=n‍(x42-3142Φ1⊕Ψ3)qn,ΘΦ1⊕Ψ3,φ44(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Ψ3=n‍(x42-3142Φ1⊕Ψ3)qn,ΘF3⊕Λ1,φ11(q)=∑n=1∞∑F3⊕Λ1=n‍(x12-971F3⊕Λ1)qn,ΘF3⊕Λ1,φ22(q)=∑n=1∞∑F3⊕Λ1=n‍(x22-1142F3⊕Λ1)qn,ΘΦ1⊕Λ3,φ12(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Λ3=n‍(x1x2-1284Φ1⊕Λ3)qn,ΘΦ1⊕Λ3,φ22(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Λ3=n‍(x22-171Φ1⊕Λ3)qn,ΘΦ1⊕Λ3,φ44(q)=∑n=1∞∑Φ1⊕Λ3=n‍(x42-271Φ1⊕Λ3)qn,ΘΨ3⊕Λ1,φ22(q)=∑n=1∞∑Ψ3⊕Λ1=n‍(x22-3142Ψ3⊕Λ1)qn,ΘF2⊕Φ1⊕Ψ1,φ55(q)=∑n=1∞∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x52-9142F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn,ΘF2⊕Φ1⊕Ψ1,φ56(q)=∑n=1∞∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x5x6-1284F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn,ΘF2⊕Φ1⊕Ψ1,φ78(q)=∑n=1∞∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x7x8-1284F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn
are a basis of S6(Γ0(71)).Proof.
(36)
F
2
=
x
1
2
+
x
1
x
2
+
18
x
2
2
+
x
3
2
+
x
3
x
4
+
18
x
4
2
=
n
has the following solutions for
(37)n=1⟹x1=±1,x2=0,x3=0,x4=0;x1=0,x2=0,x3=±1,x4=0,n=2⟹x1=±1,x2=0,x3=±1,x4=0,n=4⟹x1=±2,x2=0,x3=0,x4=0;x1=0,x2=0,x3=±2,x4=0,n=5⟹x1=±1,x2=0,x3=±2,x4=0;x1=±2,x2=0,x3=±1,x4=0,n=8⟹x1=±2,x2=0,x3=±2,x4=0,n=9⟹x1=±3,x2=0,x3=0,x4=0;x1=0,x2=0,x3=±3,x4=0,n=10⟹x1=±3,x2=0,x3=±1,x4=0;x1=±1,x2=0,x3=±3,x4=0,n=13⟹x1=±2,x2=0,x3=±3,x4=0;x1=±3,x2=0,x3=±2,x4=0,n=16⟹x1=±4,x2=0,x3=0,x4=0;x1=0,x2=0,x3=±4,x4=0,n=17⟹x1=±1,x2=0,x3=±4,x4=0;x1=±4,x2=0,x3=±1,x4=0,
and there is no solutions for n=3,6,7,11,12,14,15. Therefore,
(38)ΘF2,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑F2=n‍(71x12-9F2)qn=171((71·2-9·4)q+(71·4-9·2·4)q2+(71·4·2-9·4·4)q4+(71·1·4+71·4·4-9·5·8)q5+(71·4·4-9·8·4)q8+(71·9·2-9·9·4)q9+(71·9·4+71·1·4-9·10·8)q10+(71·4·4+71·9·4-9·13·8)q13+(71·16·2-9·16·4)q16+(71·1·4+71·16·4-9·17·8)q17+⋯)=171(106q+212q2+424q4+1060q5+848q8+954q9+2120q10+2756q13+1696q16+3604q17+⋯).
Similarly, we have found the remaining 16 linearly independent theta series as follows:
(39)ΘΦ2,φ11(q)=12·71∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(2·71x12-9Φ2)qn=171(70q2+140q4+280q8-324q9+482q10-508q11-586q12-440q14+28q15+560q16+108q17+⋯),ΘΦ2,φ12(q)=1142∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(142x1x2-Φ2)qn=171(-4q2-8q4-16q8-18q9+82q10-44q11+70q12-340q14+254q15-32q16+432q17+⋯),ΘF1⊕Φ1,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(71x12-9F1⊕Φ1)qn=171(106q-72q2+68q3+424q4+704q6-288q8+266q9-796q10+1256q11-160q12-452q13+128q14-540q15+812q16+1332q17+⋯),ΘF1⊕Φ1,φ12(q)=1142∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(142x1x2+F1⊕Φ1)qn=171(q+2q2+6q3+4q4+12q6+8q8+36q9+30q10+44q11+36q12+52q13+28q14+15q15+80q16+34q17+⋯),ΘF1⊕Φ1,φ33(q)=171∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(71x32-9F1⊕Φ1)qn=171(-18q+106q2+176q3-72q4+68q6+424q8+488q9-398q10-224q11+630q12-652q13-220q14+298q15-20q16+524q17+⋯),ΘF1⊕Φ1,φ34(q)=1142∑n=1∞‍∑F1⊕Φ1=n‍(142x3x4-F1⊕Φ1)qn=171(-q-2q2-6q3-4q4-12q6-8q8-36q9+112q10+240q11-178q12-336q13+256q14+269q15+204q16-34q17+⋯),ΘΨ2,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑Ψ2=n‍(71x12-6Ψ2)qn=171(70q3-4q6-50q8-148q9-98q10+40q11-8q12-56q13-388q14+700q15-400q16+⋯),ΘF1⊕Ψ1,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑F1⊕Ψ1=n‍(71x12-18F1⊕Ψ1)qn=171(106q-108q3+420q4-216q6+412q7-288q8+590q9+56q10-508q11+1532q12-652q13+128q14+1476q15+1104q16+392q17+⋯),ΘF1⊕Ψ1,φ12(q)=1142∑n=1∞∑F1⊕Ψ1=n‍(142x1x2+F1⊕Ψ1)qn=171(q+3q3+12q4+6q6+28q7+8q8+27q9+30q10+22q11+60q12+26q13+28q14+30q15+64q16+68q17+⋯),ΘF1⊕Ψ1,φ33(q)=171∑n=1∞‍∑F1⊕Ψ1=n‍(71x1x2-6F1⊕Ψ1)qn=171(-12q+106q3+140q4-72q6-52q7+46q8-40q9-218q10+20q11+416q12+824q13-52q14-360q15+936q16+604q17+⋯),ΘF1⊕Ψ1,φ44(q)=171∑n=1∞∑F1⊕Ψ1=n‍(71x42-3F1⊕Ψ1)qn=171(-6q-18q3-72q4+106q6+116q7+94q8+122q9+246q10+152q11-76q12-156q13+116q14+104q15-242q16+160q17+⋯),ΘΦ1⊕Ψ1,φ11(q)=171∑n=1∞∑Ψ2=n‍(71x12-9Φ1⊕Ψ1)qn=171(106q2-54q3+104q5-108q6+276q8-162q9-294q10+740q11-870q12-184q13+412q14-498q15-20q16-612q17+⋯),ΘΦ1⊕Ψ1,φ34(q)=1142∑n=1∞‍∑Ψ2=n‍(142x3x4-Φ1⊕Ψ1)qn=171(-2q2-3q3-10q5-6q6+110q8-9q9+102q10-22q11-356q12-26q13-56q14-75q15+488q16+250q17+⋯),ΘΛ2,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑Λ2=n‍(71x22-4Λ2)qn=171(-64q4+62q5+46q6-128q8-4q9+88q10+216q11+42q12-98q15-484q16+24q17+⋯),ΘF1⊕Λ1,φ11(q)=171∑n=1∞‍∑F1⊕Λ1=n‍(71x12-18(F1⊕Λ1))qn=171(134q+504q4+164q5+140q6+172q7+1008q8+2198q9+976q10-96q12+2424q13+2332q14+2196q15+2924q16+12q17+⋯),ΘΨ1⊕Λ1,φ34(q)=1142∑n=1∞∑Ψ1⊕Λ1=n‍(142x12-3(Ψ1⊕Λ1))qn=171(-24q3-32q4-40q5+46q6-112q7-192q8+140q9-240q10-176q11-434q12-208q13-164q14-600q15-484q16-272q17+⋯).
Since the 17th determinant of the coefficients of the theta series is(40)223708132046536704000009095120158391,
the first 17 generalized theta series in the theorem are a basis of S4(Γ0(71)). Similarly, the second 29 generalized theta series in the theorem are the following, and they are a basis of S6(Γ0(71)) since the 29th determinant of the coefficients is(41)-6041160948656511821438109137218074776490167579085845299200231122292121701565271.
Therefore,(42)ΘF4,φ11(q)=171(70q+420q2+840q3+840q4+2100q5=171+5040q6+3920q7+1680q8+8190q9=171+12600q10+9240q11+10080q12=171+12740q13+23520q14+25200q15=171+3360q16+21420q17+46690q18=171+12740q19-3010q20+18620q21=171+21420q22-17360q23-29750q24=171+10150q25+12600q26+30380q27=171+2940q28-10080q29+⋯),ΘΦ4,φ11(q)=171(70q2+420q4+840q6+840q8-324q9=171+1882q10-1524q11+3862q12=171-2208q13+1664q14-884q15=171-184q16+324q17+5978q18=171-728q19+7464q20-11080q21=171+1992q22-20568q23-3966q24=171+140q25-5044q26+6288q27=171+14688q28-26740q29+⋯),ΘΦ4,φ22(q)=171(-16q2-96q4-192q6-192q8+70q9=171-418q10+324q11-830q12=171+456q13-356q14+198q15=171-104q16+72q17-1480q18=171+422q19-1560q20+2492q21=171-504q22+4044q23+586q24=171-32q25+1372q26+72q27=171-2700q28+6112q29+⋯),ΘF3⊕Φ1,φ11(q)=171(88q+316q2+312q3+624q4+2176q5=171+2600q6+2656q7+4624q8+3110q9=171+3904q10+8120q11+5160q12=171+9396q13+10520q14+6530q15=171+18348q16+12240q17+14862q18=171+29326q19+13910q20+12000q21=171+13540q22+21844q23+3578q24=171+2948q25+62160q26+21596q27=171+24068q28+44156q29+⋯),ΘF3⊕Φ1,φ22(q)=171(-3q-14q2-30q3-60q4-100q5=171-108q6-168q7-248q8-198q9=171-430q10-748q11-660q12=171-1040q13-1372q14-1215q15=171-1584q16-1734q17-2038q18=171-2189q19-2012q20-1842q21=171-652q22-1942q23-1308q24=171+77q25-3836q26-1088q27=171-856q28-4568q29+⋯),ΘF3⊕Φ1,φ77(q)=171(-27q+16q2+582q3+1164q4+236q5=171-120q6+1896q7+1744q8+1626q9=171+4792q10+2924q11+2722q12=171+9668q13+4976q14-2415q15=171+7044q16+11658q17+4520q18=171+6427q19+12848q20+14946q21=171+4072q22+2970q23+25574q24=171+8361q25+5520q26+25424q27=171+7632q28+26480q29⋯),ΘF3⊕Φ1,φ88(q)=171(-6q-28q2-60q3-120q4-200q5=171-216q6-336q7-496q8-254q9=171+134q10+1060q11+1662q12=171+760q13+3220q14+5664q15=171+1944q16+3348q17+5864q18=171+2012q19+4780q20+3416q21=171-2440q22+3216q23+1218q24=171-3822q25+564q26-6152q27=171-4836q28+7336q29⋯),ΘF2⊕Φ2F4,φ11(q)=171(106q+140q2+136q3+840q4+908q5=171+1680q6+3664q7+1680q8+2990q9=171+2968q10-760q11+5872q12=171+2948q13+6096q14+11028q15=171+1336q16+14948q17+9018q18=171+11416q19+19926q20+4804q21=171+11468q22-8616q23+17986q24=171+20146q25+9704q26+69068q27=171+29308q28+5752q29⋯),ΘF2⊕Φ2,φ22(q)=171(-2q-8q2-24q3-48q4-60q5=171-96q6-112q7-96q8-252q9=171-340q10-484q11-936q12=171-988q13-1176q14-1470q15=171-1472q16-1836q17-1984q18=171-3042q19-2940q20-2368q21=171-4112q22-1804q23-2748q24=171-5610q25-2648q26-5740q27=171-4888q28-1416q29⋯),ΘF2⊕Φ2,φ55(q)=171(-18q+70q2+352q3+420q4+596q5=171+840q6+128q7+840q8+2276q9=171+1342q10+2744q11+4214q12=171+764q13+1344q14+4378q15=171-184q16+3072q17+10686q18=171+4714q19+7904q20+9928q21=171+7864q22+3076q23-1302q24=171+22498q25+4852q26+9684q27=171+31552q28-7348q29⋯),ΘΨ4,φ11(q)=171(130q+236q2+424q3+1416q4+1628q5=171+2832q6+5008q7+2832q8+6014q9=171+7048q10+5048q11+17104q12=171+14804q13+20208q14+28668q15=171+19000q16+36980q17+36234q18=171+54736q19+72246q20+67300q21=171+94892q22+67560q23+102082q24=171+118296q25+116512q26+200020q27=171+190620q28+213692q29⋯),ΘΨ4,φ12(q)=171(-q-4q2-12q3-24q4-30q5=171-48q6-56q7-48q8-126q9=171-170q10-242q11-468q12=171-494q13-588q14-735q15=171-736q16-918q17-1276q18=171-2089q19-2890q20-4024q21=171-4896q22-5446q23-5634q24=171-5620q25-8088q26-9010q27=171-13012q28-18142q29+⋯),ΘΨ4,φ22(q)=171(-6q-24q2-72q3-144q4-180q5=171-288q6-336q7-288q8-756q9=171-1020q10-1452q11-2808q12=171-2964q13-3528q14-4410q15=171-4416q16-5508q17-6520q18=171-10262q19-11660q20-12784q21=171-18016q22-14500q23-16764q24=171-22360q25-21264q26-29068q27=171-34904q28-38420q29+⋯),ΘF3⊕Ψ1,φ11(q)=171(88q+352q2+298q3+204q4+1816q5=171+2276q6-92q7+2896q8+6040q9=171+2372q10+5616q11+7508q12=171+8528q13+16328q14+5240q15=171+13824q16+34624q17+10182q18=171+14444q19+38886q20+27684q21=171+7336q22+11636q23+40714q24=171+478q25+3156q26+23902q27=171-29536q28+38042q29+⋯),ΘF2⊕Ψ2,φ22(q)=171(-2q-4q2-6q3-40q4-60q5=171-24q6-168q7-288q8-126q9=171-460q10-748q11-528q12=171-1144q13-1288q14-1260q15=171-2336q16-2108q17-2128q18=171-3004q19-3556q20-3000q21=171-2088q22-4844q23-2572q24=171-1416q25-5432q26+1238q27=171-1816q28-5598q29+⋯),ΘF2⊕Ψ2,φ66(q)=171(-6q-12q2-18q3-120q4-180q5=171+70q6+64q7-154q8+474q9=171+1034q10+880q11+972q12=171+1396q13+2384q14+2468q15=171+1370q16+2764q17+4976q18=171+2632q19+1118q20+3496q21=171+836q22+520q23-48q24=171-3680q25+5288q26-262q27=171-5164q28+7630q29+⋯),ΘΦ3⊕Ψ1,φ11(q)=171(106q+212q2-108q3+416q4+1476q5=171-432q6+384q7+3904q8-422q9=171+1376q10+5280q11+152q12=171+8092q13+2944q14+1176q15=171+21568q16+1532q17+5858q18=171+30276q19+13382q20+12172q21=171+20636q22+42880q23+7522q24=171+11006q25+65240q26-17192q27=171+27804q28+44644q29⋯),ΘΦ3⊕Ψ1,φ22(q)=171(-4q-8q2-12q3-80q4-120q5=171-48q6-336q7-576q8-252q9=171-920q10-1496q11-1056q12=171-2288q13-2576q14-2520q15=171-4672q16-4216q17-4540q18=171-6576q19-7396q20-7704q21=171-7016q22-10824q23-10540q24=171-10216q25-14272q26-10588q27=171-17832q28-20852q29⋯),ΘΦ1⊕Ψ3,φ22(q)=171(-4q2-18q3-60q5-108q6-352q8=171-164q9-58q10-1100q11+178q12=171-240q13-2352q14+1360q15=171-804q16-2888q17+2504q18=171-504q19-2528q20+4292q21=171-12q22+960q23+3354q24=171+5154q25+1556q26+5066q27=171+6812q28+6342q29+⋯),ΘΦ1⊕Ψ3,φ44(q)=171(-6q2-27q3-90q5-20q6-102q8=171+109q9+126q10+54q11+196q12=171+66q13+732q14-729q15=171+1350q16+354q17-362q18=171+2013q19+42q20-946q21=171+2112q22-2394q23+984q24=171-3771q25+3612q26-5891q27=171+420q28-2415q29⋯),ΘF3⊕Λ1,φ11(q)=171(88q+352q2+352q3+280q4+1414q5=171+1480q6-720q7+1072q8+5756q9=171+7432q10+6864q11+4776q12=171+10952q13+20020q14+14282q15=171+11356q16+20888q17+27410q18=171+17852q19+9398q20+24364q21=171+27004q22+13348q23-2814q24=171-2492q25+15596q26-17286q27=171-37880q28+12452q29⋯),ΘF3⊕Λ1,φ22(q)=171(-3q-12q2-12q3-16q4-95q5=171-186q6-182q7-256q8-477q9=171-660q10-660q11-492q12=171-780q13-1428q14-1305q15=171-1152q16-2074q17-2398q18=171-1296q19-1600q20-2938q21=171-2176q22-1420q23-748q24=171-383q25-1800q26+1075q27=171+2976q28-1880q29+⋯),ΘΦ1⊕Λ3,φ12(q)=1142(-2q2-12q4-15q5-54q6-42q7=1142-104q8-117q9-26q10-396q11=1142-956q12-624q13+752q14+1252q15=1142-1776q16-3880q17-1464q18=1142+6787q19+6604q20-288q21=1142-8956q22-4090q23+6476q24=1142+17282q25+9308q26-8255q27=1142-22264q28-11766q29+⋯),ΘΦ1⊕Λ3,φ22(q)=171(-4q2-24q4-30q5-108q6=171-84q7-208q8-92q9-478q10=171-792q11-1202q12-396q13=171-200q14-194q15-1848q16=171-1796q17-372q18+3776q19=171+3836q20+3968q21-20q22=171+1192q23+2018q24+8152q25=171+2428q26+1950q27-4484q28=171+324q29+⋯),ΘΦ1⊕Λ3,φ44(q)=171(-8q2-48q4+82q5-74q6=171+116q7-132q8+100q9=171-104q10+688q11+294q12=171+628q13-116q14+606q15=171-4q16+1520q17+108q18=171+452q19-1416q20-3424q21=171-4868q22-2160q23-224q24=171+1536q25+2584q26-2206q27=171-4424q28-1056q29+⋯),ΘΨ3⊕Λ1,φ22(q)=171(-27q3-12q4-15q5-38q6-126q7=171-74q8-26q9-204q10-138q11=171+48q12+38q13+552q14-493q15=171+1018q16+1002q17-294q18=171+874q19+1654q20-286q21=171+1816q22+48q23+308q24-561q25=171+1552q26-6580q27+1716q28=171-3853q29+⋯),ΘF2⊕Φ1⊕Λ1,φ55(q)=171(-18q+88q2+433q3+208q4-166q5=171+1002q6+760q7-444q8+2357q9=171+1994q10-354q11+4954q12=171+3954q13-1972q14+5933q15=171+8148q16-1626q17+5256q18=171+11771q19+6740q20+5090q21=171+4468q22+18450q23+5798q24=171+3171q25+27768q26-3535q27=171+20296q28+21929q29+⋯),ΘF2⊕Φ1⊕Λ1,φ56(q)=1142(-2q-6q2-15q3-40q4-50q5=1142-78q6-168q7-144q8-243q9=1142-236q10+718q11+156q12=1142-1738q13+1264q14+3089q15=1142-2408q16+198q17+6406q18=1142+1939q19+1380q20-34q21=1142+2232q22+7730q23-8996q24=1142+1299q25+10564q26-8471q27=1142+13552q28-2139q29+⋯),ΘF2⊕Φ1⊕Λ1,φ78(q)=171(-2q-6q2-15q3-40q4-50q5=171-78q6-168q7+140q8+893q9=171+900q10+718q11+1008q12=171-1170q13-2144q14+817q15=171-1840q16-370q17+8678q18=171+4211q19+1948q20+2238q21=171-5152q22-4198q23-11552q24=171-923q25+14076q26+2997q27=171+18432q28+6161q29+⋯).


## 5. Representation Numbers ofN

Proposition 5.
The differences between the following theta series of the quadratic forms (4) and the Eisenstein series (22) are the linear combinations of the generalized theta series in the preceding theorem. The coefficients are given in the table [12]. Similarly, the differences between the following theta series of the quadratic forms (5) and the Eisenstein series (23) are the linear combinations of the generalized theta series in the preceding theorem. The coefficients are given in the table [12].Proof.
Let us see the situation in the following case:(43)ΘF4(q)-EF4(q)=200482521q+594242521q2+773122521q3+517442521q4+1058882521q5+2117762521q6+1200642521q7-96962521q8+1713442521q9+2269442521q10+821762521q11-32642521q12+185922521q13+1125122521q14+606722521q15-5012162521q16-2266562521q17+⋯=c1ΘF2,φ11(q)+c2ΘΦ2,φ11(q)+c3ΘΦ2,φ12(q)+c4ΘF1⊕Φ1,φ11(q)+c5ΘF1⊕Φ1,φ12(q)+c6ΘF1⊕Φ1,φ33(q)+c7ΘF1⊕Φ1,φ34(q)+c8ΘΨ2,φ11(q)+c9ΘF1⊕Ψ1,φ11(q)+c10ΘF1⊕Ψ1,φ12(q)+c11ΘF1⊕Ψ1,φ33(q)+c12ΘF1⊕Ψ1,φ44(q)+c13ΘΦ1⊕Ψ1,φ11(q)+c14ΘΦ1⊕Ψ1,φ34(q)+c15ΘΛ2,φ22(q)+c16ΘF1⊕Λ1,φ11(q)+c17ΘΦ1⊕Λ1,φ34(q).
By equating the coefficients of qn in both sides for n=1,2,3,…,17, we get an equation in coefficients. We repeat the same procedure for the other cases. At the end, by solving 17 linear equations in 17 variables, we get the coefficients in table [12]. Here, the coefficients c16 and c17 are always zero. Similarly, we can do for the difference between the theta series of the quadratic forms (5) and the Eisenstein series (23).Corollary 6.
The representation numbers for the quadratic forms (4) (in these direct sums any form can be replaced by its inverse) are
(44)r(n;H)=1202521σ3*(n)+c1∑n=1∞‍∑F2=n‍(x12-1871F2)qn+c2∑Φ2=n‍(x12-971n)+c3∑Φ2=n‍(x1x2-1142n)+c4∑F1⊕Φ1=n‍(x12-1871n)+c5∑F1⊕Φ1=n‍(x1x2+1142n)+c6∑F1⊕Φ1=n‍(x32-971n)+c7∑F1⊕Φ1=n‍(x3x4-1142n)+c8∑Ψ2=n‍(x12-671n)+c9∑F1⊕Ψ1=n‍(x12-1871n)+c10∑F1⊕Ψ1=n‍(x1x2+1142n)+c11∑F1⊕Ψ1=n‍(x32-671n)+c12∑F1⊕Ψ1=n‍(x32-371n)+c13∑Φ1⊕Ψ1=n‍(x12-971n)+c14∑Φ1⊕Ψ1=n‍(x3x4-1142n)+c15∑Λ2=n‍(x22-471n).
Similarly, the representation numbers for the quadratic forms (5) are
(45)r(n;H)=3625565σ5*(n)+d1∑n=1∞‍∑F4=n‍(x12-971F4)qn+d2∑n=1∞‍∑Φ4=n‍(x12-9142Φ4)qn+d3∑n=1∞‍∑Φ2=n‍(x22-171Φ4)qn+d4∑n=1∞∑F3⊕Φ1=n‍(x12-971F3⊕Φ1)qn+d5∑n=1∞‍∑F3⊕Φ1=n‍(x22-1142F3⊕Φ1)qn+d6∑n=1∞‍∑F3⊕Φ1=n‍(x72-9142F3⊕Φ1)qn+d7∑n=1∞‍∑F3⊕Φ1=n‍(x82-171F3⊕Φ1)qn+d8∑n=1∞∑Φ4=n‍(x12-971F2⊕Φ2)qn+d9∑n=1∞‍∑Φ4=n‍(x22-1142F2⊕Φ2)qn+d10∑n=1∞‍∑Φ4=n‍(x52-9142F2⊕Φ2)qn+d11∑n=1∞‍∑Ψ4=n‍(x12-371Ψ4)qn+d12∑n=1∞‍∑Ψ4=n‍(x1x2-1284Ψ4)qn+d13∑n=1∞‍∑Ψ4=n‍(x22-3142Ψ4)qn+d14∑n=1∞‍∑F3⊕Ψ1=n‍(x12-971F3⊕Ψ1)qn+d15∑n=1∞‍∑F2⊕Ψ2=n‍(x22-1142F2⊕Ψ2)qn+d16∑n=1∞‍∑F2⊕Ψ2=n‍(x62-3142F2⊕Ψ2)qn+d17∑n=1∞‍∑Φ3⊕Ψ1=n‍(x12-971Φ3⊕Ψ1)qn+d18∑n=1∞∑Φ3⊕Ψ1=n‍(x22-171Φ3⊕Ψ1)qn+d19∑n=1∞‍∑Φ1⊕Ψ3=n‍(x22-171Φ1⊕Ψ3)qn+d20∑n=1∞‍∑Φ1⊕Ψ3=n‍(x42-3142Φ1⊕Ψ3)qn+d21∑n=1∞‍∑F3⊕Λ1=n‍(x12-971F3⊕Λ1)qn+d22∑n=1∞‍∑F3⊕Λ1=n‍(x22-1142F3⊕Λ1)qn+d23∑n=1∞‍∑Φ1⊕Λ3=n‍(x1x2-1284Φ1⊕Λ3)qn+d24∑n=1∞‍∑Φ1⊕Λ3=n‍(x22-171Φ1⊕Λ3)qn+d25∑n=1∞‍∑Φ1⊕Λ3=n‍(x42-271Φ1⊕Λ3)qn+d26∑n=1∞‍∑Ψ3⊕Λ1=n‍(x22-3142Ψ3⊕Λ1)qn+d27∑n=1∞‍∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x52-9142F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn+d28∑n=1∞‍∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x5x6-1284F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn+d29∑n=1∞‍∑F2⊕Φ1⊕Ψ1=n‍(x7x8-1284F2⊕Φ1⊕Ψ1)qn.Proof.
The coefficients are the same coefficients of the preceding theorem. It follows from the preceding theorem.



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*Source: 695265-2013-09-10.xml*