# Some New Generating Functions forq-Hahn Polynomials

Authors: Yun Zhou; Qiu-Ming Luo
Journal: Journal of Applied Mathematics
 (2014)

---

## Abstract

We obtain some new generating functions forq-Hahn polynomials and give their proofs based on the homogeneous q-difference operator.


---

## Body

## 1. Introduction

Throughout this paper we suppose thatq
∈
C, |
q
|
<
1, and the q-shifted factorials are defined by
(1)
(
a
;
q
)
0
=
1
,
(
a
;
q
)
n
=
∏
k
=
0
n
-
1
‍
(
1
-
a
q
k
)
,
(
a
;
q
)
∞
=
∏
k
=
0
∞
‍
(
1
-
a
q
k
)
,
n
≥
1
.
Clearly,
(2)
(
a
;
q
)
n
=
(
a
;
q
)
∞
(
a
q
n
;
q
)
∞
.
We also adopt the following compact notation for the multiple q-shifted factorials:
(3)
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
m
;
q
)
n
=
(
a
1
;
q
)
n
(
a
2
;
q
)
n
⋯
(
a
m
;
q
)
n
,
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
m
;
q
)
∞
=
(
a
1
;
q
)
∞
(
a
2
;
q
)
∞
⋯
(
a
m
;
q
)
∞
.
The basic hypergeometric series or q-series r
ϕ
s are defined by
(4)
ϕ
s
r
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
r
b
1
,
b
2
,
…
,
b
s
;
q
,
z
)
=
∑
n
=
0
∞
‍
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
r
;
q
)
n
(
q
,
b
1
,
b
2
,
…
,
b
s
;
q
)
n
[
(
-
1
)
n
q
(
n
2
)
]
1
+
s
-
r
z
n
.
Euler identity is as follows:
(5)
∑
n
=
0
∞
‍
t
n
(
q
;
q
)
n
=
1
(
t
;
q
)
∞
.
The q-binomial theorem is as follows:
(6)
∑
n
=
0
∞
‍
(
a
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
x
n
=
(
a
x
;
q
)
∞
(
x
;
q
)
∞
.
The usual q-differential operator or q-derivative operator D
q is defined by (see [1, Page 177, (2.1)])
(7)
D
q
{
f
(
a
)
}
=
f
(
a
)
-
f
(
a
q
)
a
,
D
q
n
{
f
(
a
)
}
=
D
q
{
D
q
n
-
1
{
f
(
a
)
}
}
.
In [1], Chen and Liu introduced the q-exponential T
(
b
D
q
) operator as follows (see [1, Page 17, (2.5)]):
(8)
T
(
b
D
q
)
=
∑
n
=
0
∞
‍
(
b
D
q
)
n
(
q
;
q
)
n
,
and they get the q-operator identity of T
(
b
D
q
) (see [1, Page 178, Theorems  2.2 and  2.3]) as follows:
(9)
T
(
b
D
q
)
{
1
(
a
t
;
q
)
∞
}
=
1
(
a
t
,
b
t
;
q
)
∞
|
b
t
|
<
1
,
T
(
b
D
q
)
{
1
(
a
s
,
a
t
;
q
)
∞
}
=
(
a
b
s
t
;
q
)
∞
(
a
s
,
a
t
,
b
s
,
b
t
;
q
)
∞
|
b
t
|
<
1
.
Recently Chen et al. [2] introduced the following homogeneous q-difference D
x
y
(10)
D
x
y
{
f
(
x
,
y
)
}
=
f
(
x
,
q
-
1
y
)
-
f
(
q
x
,
y
)
x
-
q
-
1
y
and the homogeneous q-difference operator E
(
D
x
y
):
(11)
E
(
D
x
y
)
=
∑
k
=
0
∞
‍
D
x
y
k
(
q
;
q
)
k
.
They obtained some properties of D
x
y as follows:
(12)
D
x
y
{
P
n
(
x
,
y
)
}
=
(
1
-
q
n
)
P
n
-
1
(
x
,
y
)
,
D
x
y
{
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
}
=
t
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
,
D
x
y
k
{
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
}
=
t
k
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
,
E
(
D
x
y
)
{
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
}
=
(
y
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
.
The classical Rogers-Szegö polynomial is defined by means of the generating function:
(13)
∑
n
=
0
∞
‍
h
n
(
x
∣
q
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
1
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
,
|
t
|
<
1
;
obviously, we have
(14)
T
(
D
q
)
{
x
n
}
=
h
n
(
x
∣
q
)
=
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
x
k
.
The homogeneous Rogers-Szegö polynomial is defined by
(15)
h
n
(
x
,
y
∣
q
)
=
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
P
k
(
x
,
y
)
,
where P
n
(
x
,
y
)
=
(
x
-
y
)
(
x
-
y
q
)
⋯
(
x
-
y
q
n
-
1
). Clearly, h
n
(
x
,
y
∣
q
)
=
Φ
n
(
y
/
x
)
(
x
) are the Cauchy polynomials with the following generating function:
(16)
∑
k
=
0
∞
‍
P
k
(
x
,
y
)
z
k
(
q
;
q
)
k
=
(
y
z
;
q
)
∞
(
x
z
;
q
)
∞
,
|
x
z
|
<
1
.
From the above properties, we have
(17)
E
(
D
x
y
)
{
P
n
(
x
,
y
)
}
=
h
n
(
x
,
y
∣
q
)
,
(18)
∑
n
=
0
∞
‍
h
n
(
x
,
y
∣
q
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
(
y
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
.Lemma 1 (see [3, Lemma  2.3]).
For|
t
|, |
x
t
|
<
1,
(19)
E
(
D
x
y
)
{
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
P
n
(
x
,
y
)
(
y
t
;
q
)
n
}
=
(
y
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
(
y
,
x
t
;
q
)
k
(
y
t
;
q
)
k
x
n
-
k
.q-Hahn polynomial is defined by [4]
(20)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
n
(
a
)
(
x
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
(
a
x
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
.
We have
(21)
Φ
n
(
a
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
(
a
;
q
)
k
x
k
.
Clearly, Φ
n
(
0
)
(
x
)
=
h
n
(
x
∣
q
).Recently, Chen et al. [3] gave some new proofs of the following results based on the method of homogeneous q-difference operator E
(
D
x
y
).Theorem 2.
Consider the following:(22)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
n
(
a
)
(
x
)
Φ
n
(
b
)
(
y
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
(
x
a
t
,
y
b
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
,
y
t
;
q
)
∞
ϕ
2
3
(
t
,
a
,
b
x
a
t
,
y
b
t
;
q
,
x
y
t
)
.Theorem 3.
Consider the following:(23)
∑
n
=
0
∞
‍
∑
m
=
0
∞
‍
Φ
m
+
n
(
a
)
(
x
)
t
n
(
q
;
q
)
n
s
m
(
q
;
q
)
m
=
(
x
a
s
;
q
)
∞
(
s
,
x
s
,
x
t
;
q
)
∞
ϕ
1
2
(
x
a
,
x
s
x
a
s
;
q
,
t
)
.For more references on theq-difference operators, see [1, 5–16].In the present paper, we obtain some new generating functions forq-Hahn polynomials and give their proofs based on the homogeneous q-difference operator.


## 2. Some New Generating Functions forq-Hahn Polynomial

In the present section we obtain the following new generating functions ofq-Hahn polynomial.Theorem 4.
For|
z
|
<
1,
(24)
∑
k
=
0
∞
‍
Φ
n
+
k
(
a
)
(
x
)
z
k
(
q
;
q
)
k
=
(
a
x
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
;
q
)
∞
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
(
a
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
;
q
)
k
x
k
.Proof.
Letx
↦
y and a
↦
b in (21), we have
(25)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
n
(
a
)
(
x
)
Φ
n
(
b
)
(
y
)
z
n
(
q
;
q
)
n
=
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
n
(
a
)
(
x
)
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
(
b
;
q
)
k
y
k
z
n
(
q
;
q
)
n
=
∑
k
,
n
=
0
∞
‍
Φ
n
+
k
(
a
)
(
x
)
(
b
;
q
)
k
z
n
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
(
y
z
)
k
.
By the q-binomial theorem (6) and noting that (
b
;
q
)
n
+
k
=
(
b
q
k
;
q
)
n
(
b
;
q
)
k, we have
(26)
(
x
a
z
,
y
b
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
,
y
z
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
(
a
,
b
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
,
b
y
z
,
q
;
q
)
k
(
x
y
z
)
k
=
(
x
a
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
(
a
,
b
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
,
q
;
q
)
k
(
x
y
z
)
k
(
b
y
z
q
k
;
q
)
∞
(
y
z
;
q
)
∞
=
(
x
a
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
(
a
,
b
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
,
q
;
q
)
k
(
x
y
z
)
k
∑
n
=
0
∞
‍
(
b
q
k
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
(
y
z
)
n
=
(
x
a
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
;
q
)
∞
∑
n
,
k
=
0
∞
‍
(
a
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
,
q
;
q
)
k
(
b
;
q
)
n
+
k
(
q
;
q
)
n
x
k
(
y
z
)
n
+
k
.
By (17), (25), and (26), we obtain
(27)
∑
k
,
n
=
0
∞
‍
Φ
n
+
k
(
a
)
(
x
)
(
b
;
q
)
k
z
n
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
(
y
z
)
k
=
(
x
a
z
;
q
)
∞
(
z
,
x
z
;
q
)
∞
∑
n
,
k
=
0
∞
‍
(
a
,
z
;
q
)
k
(
a
x
z
,
q
;
q
)
k
(
b
;
q
)
n
+
k
(
q
;
q
)
n
x
k
(
y
z
)
n
+
k
.
Comparing the coefficients of y
k
/
(
q
;
q
)
k on both sides of (27), we obtain the formula (24) immediately. This proof is complete.Theorem 5.
For|
t
|
<
1,
(28)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
m
+
n
(
a
)
(
x
)
Φ
n
(
b
)
(
y
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
(
x
a
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
(
b
;
q
)
k
(
x
y
t
)
k
(
q
;
q
)
k
∑
j
=
0
m
+
k
‍
[
m
+
k
j
]
(
x
a
,
x
t
;
q
)
j
(
x
a
t
;
q
)
j
x
m
-
j
.Proof.
By (17) and (19), we have
(29)
∑
n
=
0
∞
‍
h
m
+
n
(
x
,
y
∣
q
)
h
n
(
u
,
v
∣
q
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
∑
n
=
0
∞
‍
E
(
D
x
y
)
{
P
m
+
n
(
x
,
y
)
}
h
n
(
u
,
v
∣
q
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
E
(
D
x
y
)
{
∑
n
=
0
∞
‍
P
m
+
n
(
x
,
y
)
∑
k
=
0
n
‍
[
n
k
]
P
k
(
u
,
v
)
t
n
(
q
;
q
)
n
}
=
E
(
D
x
y
)
{
∑
k
=
0
∞
‍
∑
n
=
0
∞
‍
P
m
+
n
+
k
(
x
,
y
)
P
k
(
u
,
v
)
t
n
+
k
(
q
;
q
)
k
(
q
;
q
)
n
}
=
E
(
D
x
y
)
{
∑
k
=
0
∞
‍
P
m
+
k
(
x
,
y
)
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
n
=
0
∞
‍
P
n
(
x
,
y
q
m
+
k
)
t
n
(
q
;
q
)
n
}
=
E
(
D
x
y
)
{
∑
k
=
0
∞
‍
P
m
+
k
(
x
,
y
)
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
(
y
t
;
q
)
∞
(
x
t
;
q
)
∞
(
y
t
;
q
)
m
+
k
}
=
∑
k
=
0
∞
‍
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
E
(
D
x
y
)
{
(
y
t
;
q
)
∞
P
m
+
k
(
x
,
y
)
(
x
t
;
q
)
∞
(
y
t
;
q
)
m
+
k
}
=
∑
k
=
0
∞
‍
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
(
y
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
∑
j
=
0
m
+
k
‍
[
m
+
k
j
]
(
y
,
x
t
;
q
)
j
(
y
t
;
q
)
j
x
m
+
k
-
j
=
(
y
t
;
q
)
∞
(
t
,
x
t
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
(
v
/
u
;
q
)
k
(
u
t
x
)
k
(
q
;
q
)
k
×
∑
j
=
0
m
+
k
‍
[
m
+
k
j
]
(
y
,
x
t
;
q
)
j
(
y
t
;
q
)
j
x
m
-
j
.
Setting y
/
x
=
a, v
/
u
=
b, u
=
y in the last sum, we obtain the formula (28) of Theorem 5. This proof is complete.Theorem 6.
For|
l
|
<
1, |
s
|
<
1, |
t
|
<
1,
(30)
∑
m
,
n
,
k
=
0
∞
‍
Φ
m
+
k
(
a
)
(
x
)
Φ
n
+
k
(
b
)
(
y
)
l
m
s
n
t
k
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
=
(
x
a
l
,
y
b
s
;
q
)
∞
(
l
,
x
l
,
s
,
y
s
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
×
∑
i
,
j
=
0
∞
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
,
x
l
;
q
)
i
(
x
a
l
;
q
)
i
(
y
b
,
y
s
;
q
)
j
(
y
b
s
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
.Proof.
By (17) and (19), we have
(31)
∑
m
,
n
,
k
=
0
∞
‍
h
m
+
k
(
x
,
y
∣
q
)
h
n
+
k
(
u
,
v
∣
q
)
×
l
m
s
n
t
k
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
=
∑
m
,
n
,
k
=
0
∞
‍
E
(
D
x
y
)
{
P
m
+
k
(
x
,
y
)
}
E
(
D
u
v
)
{
P
n
+
k
(
u
,
v
)
}
×
l
m
s
n
t
k
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
=
E
(
D
x
y
)
E
(
D
u
v
)
{
∑
m
,
n
,
k
=
0
∞
‍
P
m
+
k
(
x
,
y
)
P
n
+
k
(
u
,
v
)
l
m
s
n
t
k
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
}
=
E
(
D
x
y
)
E
(
D
u
v
)
{
P
n
(

u
,
v
q
k

)
s
n
(
q
;
q
)
n
∑
k
=
0
∞
‍
P
k
(
x
,
y
)
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
=
E
(
D
x
y
)
(
D
u
v
)
(
D
u
v
)
×

∑
m
=
0
∞
‍

P
m
(

x
,
y
q
k

)
l
m
(
q
;
q
)
m
∑
n
=
0
∞
‍
P
n
(

u
,
v
q
k

)
s
n
(
q
;
q
)
n

}
=
E
(
D
x
y
)
E
(
D
u
v
)
{
(
y
l
q
k
;
q
)
∞
(
x
l
;
q
)
∞
(
v
s
q
k
;
q
)
∞
(
u
s
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
P
k
(
x
,
y
)
P
k
(
u
,
v
)
t
k
(
q
;
q
)
k
=
E
(
D
x
y
)
E
(
D
u
v
)
(
D
u
v
)
×
(
y
l
q
k
;
q
)
∞
(
x
l
;
q
)
∞
(
v
s
q
k
;
q
)
∞
(
u
s
;
q
)
∞
}
=
∑
k
=
0
∞
‍
E
(
D
x
y
)
{
(
y
l
;
q
)
∞
P
k
(
x
,
y
)
(
x
l
;
q
)
∞
(
y
l
;
q
)
k
}
×
E
(
D
u
v
)
{
(
v
s
;
q
)
∞
P
k
(
u
,
v
)
(
u
s
;
q
)
∞
(
v
s
;
q
)
k
}
t
k
(
q
;
q
)
k
=
∑
k
=
0
∞
‍
{
(
y
l
;
q
)
∞
(
l
,
x
l
;
q
)
∞
∑
i
=
0
k
‍
[
k
i
]
(
y
,
x
l
;
q
)
i
(
y
l
;
q
)
i
x
k
-
i
}
×
{
(
v
s
;
q
)
∞
(
s
,
u
s
;
q
)
∞
∑
j
=
0
k
‍
[
k
j
]
(
v
,
u
s
;
q
)
j
(
v
s
;
q
)
j
u
k
-
j
}
t
k
(
q
;
q
)
k
=
(
y
l
,
v
s
;
q
)
∞
(
l
,
s
,
x
l
,
u
s
;
q
)
∞
×
∑
k
=
0
∞
‍
∑
i
,
j
=
0
k
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
y
,
x
l
;
q
)
i
(
v
,
u
s
;
q
)
j
x
k
-
i
u
k
-
j
t
k
(
y
l
;
q
)
i
(
v
s
;
q
)
j
(
q
;
q
)
k
.
Setting y
/
x
=
a, v
/
u
=
b, u
=
y in the last sum, we obtain the formula (30) of Theorem 6. This proof is complete.Theorem 7.
For|
t
|
<
1,
(32)
∑
k
=
0
∞
‍
Φ
m
+
k
(
a
)
(
x
)
Φ
n
+
k
(
b
)
(
y
)
t
k
(
q
;
q
)
k
=
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
i
,
j
=
0
∞
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
b
y
;
q
)
j
×
x
k
-
i
y
k
-
j
Φ
m
(
a
)
(
x
q
i
)
Φ
n
(
b
)
(
y
q
j
)
.Proof.
Applying (2) and the Euler identity (5) and noting (21), then the right-hand side is equal to (30) as follows:
(33)
(
x
a
l
,
y
b
s
;
q
)
∞
(
l
,
x
l
,
s
,
y
s
;
q
)
∞
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
×
∑
i
,
j
=
0
∞
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
,
x
l
;
q
)
i
(
x
a
l
;
q
)
i
(
y
b
,
y
s
;
q
)
j
(
y
b
s
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
=
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
i
,
j
=
0
k
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
y
b
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
×
(
x
a
l
q
i
,
y
b
s
q
j
;
q
)
∞
(
l
,
s
,
x
l
q
i
,
y
s
q
j
;
q
)
∞
=
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
i
,
j
=
0
k
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
y
b
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
×
∑
u
,
v
,
m
,
n
=
0
∞
‍
(
a
;
q
)
m
(
b
;
q
)
n
(
x
l
q
i
)
m
(
y
s
q
j
)
n
l
u
s
v
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
u
(
q
;
q
)
v
=
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
i
,
j
=
0
k
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
y
b
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
×
∑
u
,
v
,
m
,
n
=
0
∞
‍
(
a
;
q
)
m
(
b
;
q
)
n
(
x
l
q
i
)
m
(
y
s
q
j
)
n
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
u
(
q
;
q
)
v
l
m
+
u
s
n
+
v
.
By (30) and (33), we have
(34)
∑
m
,
n
,
k
=
0
∞
‍
Φ
m
+
k
(
a
)
(
x
)
Φ
n
+
k
(
b
)
(
y
)
l
m
s
n
t
k
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
=
∑
k
=
0
∞
‍
t
k
(
q
;
q
)
k
∑
i
,
j
=
0
k
‍
[
k
i
]
[
k
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
y
b
;
q
)
j
x
k
-
i
y
k
-
j
×
∑
u
,
v
,
m
,
n
=
0
∞
‍
(
a
;
q
)
m
(
b
;
q
)
n
(
x
l
q
i
)
m
(
y
s
q
j
)
n
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
u
(
q
;
q
)
v
l
m
+
u
s
n
+
v
.
Comparing the coefficients of l
m
s
n
/
(
q
;
q
)
m
(
q
;
q
)
n on both sides of (34), we obtain the formula (32) immediately.Theorem 8.
For|
t
|
<
1,
(35)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
m
+
n
(
a
)
(
x
)
Φ
n
(
b
)
(
y
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
(
x
y
a
t
,
x
y
b
t
;
q
)
∞
(
x
y
t
,
x
t
,
y
t
;
q
)
∞
×
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
x
s
(
y
t
;
q
)
s
(
x
y
a
t
;
q
)
s
d
d
d
d
d
d
d
×
ϕ
2
3
(
x
y
t
,
x
a
,
y
b
x
y
a
t
q
s
,
x
y
b
t
;
q
,
t
q
s
)
.Proof.
Setn
=
0 and then let k
↦
n in (32) and note that Φ
0
(
b
)
(
x
)
=
1; by (21) and (22), we obtain
(36)
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
m
+
n
(
a
)
(
x
)
Φ
n
(
b
)
(
y
)
t
n
(
q
;
q
)
n
=
∑
n
=
0
∞
‍
t
n
(
q
;
q
)
n
∑
i
,
j
=
0
n
‍
[
n
i
]
[
n
j
]
(
x
a
;
q
)
i
dddddddddddddd
×
(
y
b
;
q
)
j
x
n
-
i
y
n
-
j
Φ
m
(
a
)
(
x
q
i
)
=
∑
n
=
0
∞
‍
t
n
(
q
;
q
)
n
∑
i
,
j
=
0
n
‍
[
n
i
]
[
n
j
]
(
x
a
;
q
)
i
(
y
b
;
q
)
j
x
n
-
i
y
n
-
j
×
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
(
x
q
i
)
s
=
∑
n
=
0
∞
‍
t
n
(
q
;
q
)
n
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
y
n
×
∑
i
=
0
n
‍
[
n
i
]
(
a
x
;
q
)
i
x
s
+
n
(
q
s
x
)
i
∑
j
=
0
n
‍
[
n
j
]
(
b
y
;
q
)
j
(
1
y
)
j
=
∑
n
=
0
∞
‍
t
n
(
q
;
q
)
n
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
x
s
+
n
y
n
Φ
n
(
x
a
)
(
q
s
x
)
Φ
n
(
y
b
)
(
1
y
)
=
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
x
s
∑
n
=
0
∞
‍
Φ
n
(
x
a
)
(
q
s
x
)
Φ
n
(
y
b
)
(
1
y
)
(
x
y
t
)
n
(
q
;
q
)
n
=
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
x
s
(
x
y
t
a
q
s
,
x
y
b
t
;
q
)
∞
(
x
y
t
,
y
t
q
s
,
x
t
;
q
)
∞
×
ϕ
2
3
(
x
y
t
,
x
a
,
y
b
x
y
a
t
q
s
,
x
y
b
t
;
q
,
t
q
s
)
=
(
x
y
a
t
,
x
y
b
t
;
q
)
∞
(
x
y
t
,
x
t
,
y
t
;
q
)
∞
∑
s
=
0
m
‍
[
m
s
]
(
a
;
q
)
s
x
s
(
y
t
;
q
)
s
(
x
y
a
t
;
q
)
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
×
ϕ
2
3
(
x
y
t
,
x
a
,
y
b
x
y
a
t
q
s
,
x
y
b
t
;
q
,
t
q
s
)
.
This proof is complete.



---

*Source: 419365-2014-06-09.xml*