質問: モジュラー表現論の名称の由来は？

尖点表現
数論における<b data-parsoid='{"dsr":[10,20,3,3]}'>尖点表現（せんてんひょうげん、; カスプ表現）は L2-空間に離散的に現れる代数群の表現の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的なモジュラー形式論に関する尖点形式に関係することに由来する。保型表現の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、アデール代数群の表現を考えうる。
考えている群が一般線型群 GL2 のときの尖点表現は、尖点形式とマース形式に直接に関係する。尖点形式の場合については、各ヘッケ固有形式（アトキン＝レーナーの新形式）が尖点表現に対応する。
定式化
G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)× から C× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度を固定して、G(A) 上の複素数値可測函数 f で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間を 




L

0


2


(
G
(
K
)
∖
G
(

A

)
,
ω
)


{\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbb {A} ),\omega )}

 と書く。
すべての 



γ
;
∈
G
(
K
)


{\displaystyle \gamma ;\in G(K)}

 に対して、



f
(
γ
g
)
=
f
(
g
)


{\displaystyle f(\gamma g)=f(g)}

 である。
すべての 



z
∈
Z
(

A

)


{\displaystyle z\in Z(\mathbb {A} )}

に対して、



f
(
g
z
)
=
f
(
g
)
ω
(
z
)


{\displaystyle f(gz)=f(g)\omega (z)}

 である。





∫

Z
(

A

)
G
(
K
)
∖
G
(

A

)



|

f
(
g
)


|


2



d
g
<
∞


{\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\backslash G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }


G(A) の任意の真の抛物型部分群に関する任意の冪単根基 U に対して 




∫

U
(
K
)
∖
U
(

A

)


f
(
u
g
)

d
u
=
0


{\displaystyle \int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}

 を満たす。
この空間を G(A) 上の<b data-parsoid='{"dsr":[1178,1204,3,3]}'>中心指標 ω を持つ尖点形式</b>全体の成す空間といい、この空間に属する函数を<b data-parsoid='{"dsr":[1226,1236,3,3]}'>尖点函数</b>と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A) の尖点函数 f への作用を




(
g
⋅
f
)
(
x
)
=
f
(
x
g
)


{\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(xg)}


で与えることにより、アデール代数群 G(A) のユニタリ表現になる。中心指標 ω を持つ尖点形式の空間はヒルベルト空間の直和





L

0


2


(
G
(
K
)
∖
G
(

A

)
,
ω
)
=




⨁

(
π
,

V

π


)


^




m

π



V

π




{\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }}


に分解される。ここで和は L2
0(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現 に亘ってとるものとし、mπ は正の整数とする（つまり、各既約表現は<b data-parsoid='{"dsr":[1668,1676,3,3]}'>有限</b>な重複度で現れる）。G(A) の<b data-parsoid='{"dsr":[1702,1712,3,3]}'>尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。
上記の分解に現れる重複度 mπ が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。
参考文献

James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Lectures on Automorphic L-functions (2004), Chapter 5.
外部リンク
Unknown parameter |vol= ignored (|volume= suggested) (help)
 第三章 非アルキメデス局所理論
 第16回 整数論サマースクール 報告原稿