{"id": "AST_mathematics_dev-109-2", "question": "有 $A, B$ 兩個箱子, 其中 $A$ 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球, $B$ 箱有 8 顆白球與 2 顆監球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）:\n(一) 先在 $A$ 箱中抽取一球, 若抽中紅球則停止, 若抽到白球則再從 $B$ 箱中抽取一球;\n(二) 先在 $B$ 箱中抽取一球, 若抽中藍球則停止, 若抽到白球則再從 $A$ 箱中抽取一球;\n(三) 同時分別在 $A, B$ 箱中各抽取一球。\n給獎方式為: 在紅、藍這兩種色球當中, 若只抽到紅球得 50 元獎金; 若只抽到藍球得 100 元獎金; 若兩種色球都抽到, 則仍只得 100 元獎金; 若都沒抽到, 則無獎金。將上列 (一)、(二)、(三) 這 3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為 $E_{1} 、 E_{2} 、 E_{3}$, 試選出正確的選項。", "A": "$E_{3}>E_{2}>E_{1}$", "B": "$E_{1}=E_{3}>E_{2}$", "C": "$E_{1}=E_{2}>E_{3}$", "D": "$E_{1}>E_{2}>E_{3}$", "E": "$E_{2}=E_{3}>E_{1}$", "F": null, "answer": "E", "explanation": "1. (一) 可獲得錢的抽獎結果有兩種，(a) 在A箱中抽到紅球可以拿到50元、(b) 在A箱抽到白球且接著在B箱中抽到藍球可拿100元，期望值$E_1$如下\n\n$E_1 = \\frac{4}{10} \\times 50 + \\frac{6}{10} \\times \\frac{2}{10} \\times 100 = 32$\n\n2. (二) 可獲得錢的抽獎結果有兩種，(a) 在B箱中抽到藍球可以拿到100元、(b) 在B箱抽到白球且接著在A箱中抽到紅球可拿100元，期望值$E_2$如下\n\n$E_2 = \\frac{2}{10} \\times 100 + \\frac{8}{10} \\times \\frac{4}{10} \\times 50 = 36$\n\n3. (三)可獲得錢的抽獎結果有三種，(a)在A箱中抽到紅球且在B抽到藍球箱可以拿到100元、(b) 在A箱抽到紅球且在B箱中抽到白球可拿50元、(c) 在A箱中抽到白球且在B抽到藍球箱可以拿到100元，期望值如下\n\n$E_1 = \\frac{4}{10} \\times \\frac{2}{10} \\times 100 + \\frac{4}{10} \\times \\frac{8}{10} \\times 50 + \\frac{6}{10} \\times \\frac{2}{10} \\times 100= 36$\n\n4. 由上面的計算結果得知，$E_2 = E_3 > E_1$", "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113688", "source": "AST mathematics - 109", "explanation_source": "https://public.ehanlin.com.tw/pre-exam/ast/109指考數學甲解析.pdf"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}}
{"id": "AST_mathematics_dev-112-3", "question": "試問極限\n$$\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n^{2}}\\left(\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times 1^{2}}+\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times 2^{2}}+\\cdots+\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times(n-1)^{2}}\\right)\n$$\n的值可用下列哪一個定積分表示?", "A": "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4 x^{2}+9} d x$", "B": "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{1+x^{2}} d x$", "C": "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4+9 x^{2}} d x$", "D": "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4+x^{2}} d x$", "E": "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{1+9 x^{2}} d x$", "F": null, "answer": "D", "explanation": "1. $$\n   \\begin{aligned} \n   & \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n^2}\\left(\\sqrt{4 n^2+9 \\times 1^2}+\\sqrt{4 n^2+9 \\times 2^2}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{4 n^2+9 \\times(n-1)^2}\\right) \\\\\n   & =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n}\\left(\\sqrt{\\frac{4 n^2+9 \\times 1^2}{n^2}}+\\sqrt{\\frac{4 n^2+9 \\times 2^2}{n^2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{\\frac{4 n^2+9 \\times(n-1)^2}{n^2}}\\right) \\\\\n   & =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n}\\left(\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times 1}{n}\\right)^2}+\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times 2}{n}\\right)^2}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times(n-1)}{n}\\right)^2}\\right) \\\\\n   & =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n}\\left(\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times 1}{n}\\right)^2}+\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times 2}{n}\\right)^2}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times(n-1)}{n}\\right)^2}+\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times n}{n}\\right)^2}-\\sqrt{4+\\left(\\frac{3 \\times n}{n}\\right)^2}\\right) \\\\\n   & =\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{3}{n} \\cdot \\sum_{i=1}^n \\sqrt{4+\\left(\\frac{3 i}{n}\\right)^2}-\\frac{3}{n} \\cdot \\sqrt{13}\\right)\n   \\end{aligned}\n   $$\n\n2. 因為 $\\frac{3}{n} \\cdot \\sum_{i=1}^n \\sqrt{4+\\left(\\frac{3 i}{n}\\right)^2}$ 可視為 $f(x)=\\sqrt{4+x^2}$ 在 $x=0$到 $x=3$ 時, 曲線下面積的黎曼和\n\n所以 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n} \\cdot \\sum_{i=1}^n \\sqrt{4+\\left(\\frac{3 i}{n}\\right)^2}=\\int_0^3 \\sqrt{4+x^2} d x$，又因為 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n} \\cdot \\sqrt{13}=0$，因此可以將步驟1的算式等於 $\\int_0^3 \\sqrt{4+x^2} d x$", "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113942", "source": "AST mathematics - 112", "explanation_source": "https://public.ehanlin.com.tw/pre-exam/astn/112分科測驗數甲解析.pdf"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}}
{"id": "AST_mathematics_dev-106-4", "question": "已知一實係數三次多項式 $f(x)$ 在 $x=1$ 有極大值 3 , 且圖形 $y=f(x)$ 在 $(4, f(4))$ 之切線方程式為 $y-f(4)+5(x-4)=0$, 試問 $\\int_{1}^{4} f^{\\prime \\prime}(x) d x$ 之值為下列哪一選項 ?", "A": "5", "B": "0", "C": "-3", "D": "-5", "E": "3", "F": null, "answer": "D", "explanation": "1. 因在 $x=1$ 有極大值 $3 \\Rightarrow f^{\\prime}(1)=0$ \n2. $y=f(x)$ 在 $(4, f(4))$ 的切線斜率為 -5$ \\Rightarrow f^{\\prime}(4)=-5$\n3. 由微積分基本定理\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\int_1^4 f^{\\prime \\prime}(x) d x=\\left.f^{\\prime}(x)\\right|_1 ^4=f^{\\prime}(4)-f^{\\prime}(1) =-5-0=-5\n\\end{aligned}\n$$", "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.115033", "source": "AST mathematics - 106", "explanation_source": "https://public.ehanlin.com.tw/pre-exam/ast/106指考數學甲解析.pdf"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}}
{"id": "AST_mathematics_dev-109-3", "question": "根據實驗統計, 某種細菌繁殖, 其數量平均每 3.5 小時會擴增為 2.4 倍。假設實驗室的試管一開始有此種細菌 1000 隻, 根據指數函數模型, 試問大約在多少小時後此種細菌的數量會到達 $4 \\times 10^{10}$ 隻左右？（註： $\\log 2 \\approx 0.3010 , \\log 3 \\approx 0.4771$ ) \\\\ \n", "A": "84 小時", "B": "63 小時", "C": "91 小時", "D": "70 小時", "E": "77 小時", "F": null, "answer": "D", "explanation": "1. 設 $t$ 小時後到達 $4 \\times 10^{10}$ 隻，根據題目可列以下算式\n\n$$\n1000 \\times(2.4)^{\\frac{t}{3.5}}=4 \\times 10^{10} \\Rightarrow(2.4)^{\\frac{t}{3.5}}=4 \\times 10^7\n$$\n\n2. 將算式等號兩邊取 $\\log$ 得\n\n$$\n\\frac{t}{3.5} \\log 2.4=7+\\log 4\n$$\n\n3. $\\log 2.4 =\\log \\frac{2^3 \\times 3}{10} =3 \\log 2+\\log 3-\\log 10 \\approx 3 \\times 0.301+0.4771-1 =0.3801$\n4. $\\log 4=\\log 2^2=2 \\log 2 \\approx 2 \\times 0.301=0.602$\n5. 將步驟3與4算出的數值代回步驟2的算式得 $\\frac{t}{3.5} \\times 0.3801 \\approx 7+0.602\\Rightarrow t \\approx \\frac{7.602}{0.3801} \\times 3.5=20 \\times 3.5=70$ (小時)", "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113691", "source": "AST mathematics - 109", "explanation_source": "https://public.ehanlin.com.tw/pre-exam/ast/109指考數學甲解析.pdf"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}}
{"id": "AST_mathematics_dev-108-3", "question": "在一座尖塔的正南方地面某點 $A$, 測得塔頂的仰角為 $14^{\\circ}$; 又在此尖塔正東方地面某點 $B$, 測得塔頂的仰角為 $18^{\\circ} 30^{\\prime}$, 且 $A 、 B$ 兩點距離為 65 公尺。已知當在線段 $\\overline{A B}$ 上移動時, 在 $C$ 點測得塔頂的仰角為最大, 則 $C$ 點到塔底的距離最接近下列哪一個選項 ? $\\left(\\cot 14^{\\circ} \\approx 4.01, \\cot 18^{\\circ} 30^{\\prime} \\approx 2.99\\right)$", "A": "29 公尺", "B": "31 公尺", "C": "33 公尺", "D": "35 公尺", "E": "27 公尺", "F": null, "answer": "B", "explanation": "1. 設$T$為塔頂端，$O$​為塔底端\n2. 設仰角$\\angle O C T = \\theta$，$\\overline{C T} \\cdot \\sin \\theta = \\overline{OT}$，且當$\\theta$最大時，$\\sin \\theta$亦為最大，又$\\overline{OT}$為定值，故仰角最大時，$\\overline{OC}$應為最短，及$\\overline{O C} \\perp \\overline{A B}$\n3. \n\n$$\n\\begin{aligned}\n\n& \\cot 14^{\\circ}=\\frac{\\overline{O A}}{\\overline{O T}}, \\cot 18^{\\circ} 30^{\\prime}=\\frac{\\overline{O B}}{\\overline{O T}} \\\\\n& \\Rightarrow \\cot ^2 14^{\\circ}+\\cot ^2 18^{\\circ} 30^{\\prime}=\\frac{\\overline{O A}^2+\\overline{O B}^2}{\\overline{O T}^2}=\\frac{65^2}{\\overline{O T}^2} \\\\\n& \\therefore \\overline{O T}^2=\\frac{65^2}{\\cot ^2 14^{\\circ}+\\cot ^2 18^{\\circ} 30^{\\prime}} \\approx \\frac{65^2}{4^2+3^2}=169 \\\\\n& \\therefore \\overline{O T} \\approx 13 \\\\\n& \\Rightarrow \\overline{O A} \\approx 13 \\times 4=52, \\overline{O B} \\approx 13 \\times 3=39 \\\\\n& \\therefore \\overline{O C} \\times 65 \\approx 52 \\times 39 \\Rightarrow \\overline{O C} \\approx 31.2\n\\end{aligned}\n$$", "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.114171", "source": "AST mathematics - 108", "explanation_source": "https://public.ehanlin.com.tw/pre-exam/ast/108指考數學甲解析.pdf"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}}