Altın oran

altın oran, matematikte iki miktardan büyük olanın küçüğe oranı, miktarların toplamının miktarların büyük olanına oranı ile aynı ise altın orandır. altın oran aynı zamanda antik çağdan bu yana sanat ve mimaride en iyi uyum ve oranları veren düzen bağıntısı olarak kabul edilmekteydi.
bir doğru parçasının |ab| altın oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (c) bölünmelidir ki; küçük parçanın |ac| büyük parçaya |cb| oranı, büyük parçanın |cb| bütün doğruya |ab| oranına eşit olsun.

altın oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894...'tür. -noktadan sonraki ilk 15 basamak- bu oranın kısaca gösterimi:  dir. altın oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, fi yani φ'dir.

tarihçe 

altın oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen, insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir.

öklid (m.ö. 365 – m.ö. 300), elementler adlı tezinde, bir doğruyu 1.6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır. mısırlılar keops piramidi'nin tasarımında hem pi hem de fi oranını kullanmışlardır. yunanlar, parthenon'un tüm tasarımını altın orana dayandırmışlardır. bu oran, ünlü yunan heykeltıraş phidias tarafından da kullanılmıştır. leonardo fibonacci adındaki i̇talyan matematikçi, adıyla anılan sayı dizisinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir. leonardo da vinci, 1509'da luca pacioli'nin yayımladığı i̇lahi oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. bu kitapta leonardo da vinci tarafından yapılmış five platonic solids (beş platonik cisim) adlı resimler bulunmaktadır. bunlar, bir küp, bir tetrahedron, bir dodekahedron, bir oktahedron ve bir ikosahedronun resimleridir. altın oranın latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen leonardo da vinci'dir. rönesans sanatçıları altın oranı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. örneğin leonardo da vinci, son yemek adlı tablosunda, i̇sa'nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar altın oran'ı uygulamıştır. güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden johannes kepler (1571-1630), altın oran'ı şu şekilde belirtmiştir: "geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri pisagor teoremi, diğeri, bir doğrunun altın orana göre bölünmesidir." bu oranı göstermek için, parthenon'un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan phidias'a ithafen, 1900'lerde yunan alfabesindeki fi harfini amerikalı matematikçi mark barr kullanmıştır. aynı zamanda yunan alfabesindekine karşılık gelen f harfi de, fibonacci'nin ilk harfidir.

matematik

geometri

altın spiral 
altın spiral aşağıdaki şekilde açıklanabilir;

bir kareyi tam ortasından iki eşit dikdörtgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.

dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım.

pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

karenin taban uzunluğun (a) i̇şte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğuna (b) oranı altın oran'dır. büyük dikdörtgenin taban uzunluğunun (c) karenin taban uzunluğuna (a) oranı da altın oran'dır. a / b = c / a = altın oran ≈ 1.6180339...

elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir altın dikdörtgendir. çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.6180339... dur, yani altın orandır.

artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir altın dikdörtgen olacaktır.

i̇çinden defalarca kareler çıkardığımız bu altın dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir altın spiral elde ederiz.

bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla fibonacci sayılarını verir.

pentagon 
φ'yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır. yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar. basitçe φ herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır.

ac / ab = φ ≈ 1.618

beşgenin içine ikinci bir köşegen ([bd]) çizelim. ac ve bd birbirlerini o noktasında keseceklerdir.

böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle φ oranı ilişkisi içindedir. yani ao / oc = ac / ao = do / ob = bd / do = φ. bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır.

bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz.

bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil). her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, altın oranı korur. böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de altın oranlıdır.

bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, pentagram diye adlandırılır ve pythagoras'ın kurduğu antik yunan matematik okulu'nun sembolüdür.

bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik altın üçgen elde ederiz. mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile altın oran ilişkisi içerisindedir.

aşağıda pentagramın altın oranlı öz-benzerliği (fraktal) görülmekte.

fibonacci dizisi ilişkisi 

fibonacci dizisi ile altın oran arasında bir ilişki vardır. dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe altın orana yaklaşır.

doğada altın oran 

altın sarmalın, doğada ayçiçeği, ananas, kozalak gibi bitkilerde ve notilusların kabuğunda bulunduğu iddia edilir. bilindiği kadarıyla neredeyse hiçbir notilusun kabuğu altın orana uymaz. altın oranın doğadaki yansımaları, diğer pek çok alanda olduğu gibi abartılmıştır.

mimari

keops piramidi 

yandaki diagram, altın oran'ın bir çember yarıçapı üzerinde nasıl bulunabileceğini gösterir. kenar uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan fcog karesinin fc kenarının orta noktası olan t'den go kenarının orta noktası olan a'ya dik çizilen bir çizgi ile ikiye bölünmesinden elde edilen tcoa dikdörtgeninin köşegenini (ac) bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri olarak kabul edip abc üçgenini oluşturursak, üçgenin yüksekliğini 1 kabul ettiğimizde (ki bu dairenin yarıçapıdır), og/ob=gb/og=1,618034 ve cob üçgeninin ob=gb-og=1,618034-1=0,618034 olur.

bir trigonometrik cetvelden baktığımızda, ocb açısının 31"43' ve dolayısıyla obc açısınında 58"17' olduğunu buluruz. yukarıdaki diyagram önemini korumak şartıyla bizi başka bir konstrüksiyona götürür ki, bu belki de mısır'lı rahiplerce çok daha önemli bulunmuş olabilir.

yandaki diagramda, üçgenin dik açıya ortak kenarlarından biri yine yarıçapın 0.618034'üdür fakat bu defa 1'e yani yarıçapa eşit olan komşu kenar değil, hipotenüstür. yine bir trigonometrik tablo yardımıyla, 0.618034'ün karşı açısının 38"10' ve diğer açının da 51"50' olduğunu görürüz. pisagor teoremini kullanarak, od kenarının uzunluğunun da yarıçapın 0.78615'i olduğu görülür.

bu konstrüksiyonda onu özel yapan iki önemli nokta vardır. birincisi; ed kenarının uzunluğu (0.618034) od kenarının uzunluğuna (0.78615) bölünürse sonuç od kenarının uzunluğuna (0.78615) eşit çıkmaktadır. trigonometrik ilişkiler açısından bu şu anlama gelmektedir: 38"10' un tanjantı (karşı kenar ÷ komşu kenar), 38"10' un cosinüsüne (komşu kenar ÷ hipotenüs) eşittir. tersi, 51"50' nin kotanjantı, 51"50' nin sinüsüne eşittir.

i̇kinci ve belki en önemli husus: od kenar uzunluğu (0.78615) 4 ile çarpıldığında 3.1446 yı verir ki bu, hemen hemen pi'ye (3.1416) eşittir. bu buluş, 38"10' açıya sahip bir dik üçgenin pi oranı ile altın oran fenomeninin çok özel ve ilginç bir kesişimini kapsadığını ortaya koymaktadır.

kadim mısır krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? bu diagram keops piramidinin dış hatlarını göstermektedir. bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 38"10' lık bir üçgeni ihtiva edecek biçimde inşa edilmiştir. yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle 51"50' lık açı yapmaktadır. bu piramit kesitini bir önceki ile kıyaslarsak, bc uzunluğunun yarıçapın 0.618034'ü olduğunu, ab uzunluğunun 0.78615 olduğunu ve ac uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz.

keops piramidi'nin gerçek ölçüleri şöyledir (feet ölçüsünden metreye çevrilmiştir): ab=146.6088m bc=115.1839m ac=186.3852m).

bu xxx noktadan itibaren işler biraz karmaşık ama çok çok ilginç bir hale gelmektedir.

görüleceği gibi, bc uzunluğu, piramitin kenar uzunluğunun yarısıdır. bu nedenle piramitin çevresinin uzunluğu bc x 8 dir. yani piramitin relatif çevresi 0.618034 x 8 = 4.9443 dür. yine piramitin relatif yüksekliği 0.78615 in bir çemberin yarıçapı olduğu farzedilirse bu çemberin uzunluğu (çevresi) yine 4.9443 olacaktır.

bu beklenmedik uyum şu şekilde gerçekleşmektedir:

1)38"10'lık üçgene gore 0.618034 ÷ 0.78615 = 0.78615 dir (yukarıda bahsedilmişti). demek ki, 8 x 0.618034 olarak belirlenen piramit çevresi 8 x 0.78618 x 0.78615 şeklinde de gösterilebilir.

2)yine yukarıda, 4 x 0.78615 in pi (π) ye çok yakın bir değer verdiğini söylemiştik. demek ki 2π' nin de 8 x 0.78615 e çok yakın bir değer olduğu görülür. böylelikle, yarıçapı 0.78615 olan bir dairenin çevresi şu şekilde ifade edilebilir: c== (8 x 0.78615) x 0.78615

bundan şu sonuç çıkmaktadır: keops piramidi, yatay bir düzlem üzerinden ölçüm yapıldığında sahip olduğu kare şeklindeki çevre uzunluğunun aynına, düşey bir düzlem üzerinde yapılan ölçümde de bu defa daire şeklinde olmak üzere sahiptir.

keops piramidi'nin gerçek taban kenar uzunluğunun (230.3465m) 8 katı ya da çevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasındaki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunu vermektedir. piramitin kenar uzunluğunun, ekvatordaki 1 dakikalık mesafenin 1/8 ine eşit olması ve piramit yüksekliğinin 2 nin 1/8 ine eşit olması korelasyonunu irdelememiz, örneklemeyi evrensel boyutlara taşıdığımızda, dünya ile evrenin pi ve altın oran sabitlerinin ilişkilerini algılamada küçük bir girişim, samimi bir başlangıç sayılabilir.

şunu akılda tutmak gerekir ki; piramitin kenar uzunluğunun 230.3465m olması tamamen tesadüf de olabilir. fakat karşılıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara yenileri ekleniyorsa, bu korelasyonların kasti düzenlenmiş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır.

ayrıca bakınız 
 fibonacci dizisi
 altın üçgen
 kepler üçgeni
 altın dikdörtgen

kaynakça 

 
öklid geometrisi
oransız sayılar
matematiksel sabitler
geometri tarihi