Sihirli kare

boyutlu () öyle bir kare matris düşünün ki istenilen satır, sütun ve köşegenler boyunca elemanların toplamı sabit olsun. bu sabite sihirli sabit denir.

matris, elemanlarını; değerlerini tekrarlamamak koşulu ile  kümesinden almaktadır.
 
verilen n sayısına göre, sihirli sabit:

formülü ile hesaplanır. örneğin  için sihirli sabit:  olacaktır.
yan tarafta 3. dereceden bir sihirli kare verilmiştir.

tarihçe 

 sihirli kareler m.ö 2200 yıllarından beri bilinmektedir.
 çin'de astroloji, fal bakma, felsefi yorumlama, doğa olayları ve insan davranışları dahil olmak üzere değişik çalışma alanlarında kullanılmıştır.
 9. ve 10. yüzyılda, sihirli karelerin matematiksel özelliklerinin, arap dillerinin konuşulduğu yerlerde çoktan geliştirilmiş olduğu görülmektedir.
 15. yüzyıl boyunca avrupalılar fal, simya ve astroloji ile sihirli kareleri ilişkilendirmeye çalışmışlardır.
 18. yüzyılda, batı afrika'da bu karelerin manevi bir önemi vardı. bu kareler elbiseler, maskeler ve dinî sanat eserlerinin üzerine işlenmiştir.
 19. yüzyılın sonlarında matematikçiler sihirli kareleri olasılık ve analiz problemlerinde uygulamaya başlamışlardır.

uygulama alanları 

 analiz (calculus)
 kombinasyonlu matematik
 modüler aritmetik
 oyun kuramı
 çizge kuramı (graf teorisi)
 olasılık kuramı
 geometri
 astronomi (güneş sistemi)

sihirli kare oluşturma 

sihirli kare probleminin çözümüne ilişkin nasıl bir yaklaşım izlenmelidir? bir bilgisayar programında, döngüler içinde bütün eleman değerlerinin denenmesi oldukça ilkel bir yaklaşımdır. örneğin, deneme-yanılma yöntemi ile değerlendirilecek durum sayısı, aşağıda gösterilen çizelgedeki gibi olur:

  karenin derecesi (n)
  değerlendirilecek durum sayısı (n2!)
  3

   3.6 x 105
  4
  2.1 x 1012
  5
  1.5 x 1025
  6
  3.7 x 1041
  7

  6.1 x 1062

 için çözüm neredeyse imkânsızlaşır. bu durumda, ne teknolojiye ne de programlama dillerine güvenmek çıkış yolu değildir. öyleyse sezgisel yöntemlerin kullanılması kaçınılmazdır.

problem genel olarak aşağıdaki durumlar için çözümler içerir:

 tek dereceli kareler (n=3, 5, 7, ...)
 çift dereceli kareler
 tek-çift: ikiye bölündüğünde tek sayı elde edilen kareler (n = 6, 10, 14, ...)
 çift-çift: ikiye bölündüğünde çift sayı elde edilen kareler (n = 4, 8, 12, ...)

abiyev'in sihirli karesi 

prof. dr. asker ali abiyev 1996 yılında kendi adını verdiği algoritması için, "sayılı sihirli karelerin doğal şifresi" adlı bir kitap hazırlayıp bilim camiasına sunmuştur. 1997 yılında barselona'da "batı matematik konferansı"nda ünlü matematikçilere sunmuş ve büyük ilgi toplamıştır. abiyev'in algoritması ile, istenilen sayılardan (tam sayı, gerçel sayı, karmaşık sayı) istenilen dereceden (n -> oo) sihirli kare oluşturmak mümkündür.

abiyev'in algoritmasına göre öncelikle her biri n elemanlı alfa, beta, gamma ve delta adında 4 tip aritmetik dizi tanımlanıp, her dizi için bir renk tayin edilir:

   <font size=3>dizi
   <font size=3>artım (ortak fark)
   <font size=3>renk
   <font size=3>alfa
   <font size=3>+1
   <font size=3> 

   <font size=3>beta
   <font size=3>+n
   <font size=3> 
   <font size=3>gamma
   <font size=3>-1

   <font size=3> 
   <font size=3>delta
   <font size=3>-n
   <font size=3> 

sonra sihirli kareye sayılar, her bir çerçeve için aşağıdaki algoritma ile yerleştirilir:
<p>
<table border=1 width="%1,0" bgcolor=eaeaea><font face="courier new" size=2>
n karenin derecesini ve c karenin çerçeve numarasını göstermek üzere:

 c=1 den n/2 ye kadar

   alfa dizisini (c-1)(n+1)+1 den, diğer dizileri (beta, gamma, delta) bir önceki dizinin son elemanındaki sayıdan başlat.

<blockquote><blockquote><table bgcolor=ffffdd><font face="courier new" size=2> örneğin: sihirli karenin 1. çerçevesine ait  dizi elemanları şöyle olacaktır:

  alfa  dizisi:  1, 2, ..., n
  beta  dizisi:  n, 2n, 3n, ..., n2
  gamma dizisi:  n2, n2-1, ..., n2-(n-1)
  delta dizisi:  n2-(n-1)-n, n2-(n-1)-2n, ..., 1

</font></td></tr></table></blockquote></blockquote>
         her bir dizinin elemanı euler devri ile (c'inci) çerçeveye yerleştir.
 bir sonraki iç çerçeve geç</font></td></tr></table>

bu algoritma ile oluşturulmuş 7. ve 10. dereceden sihirli kareler şöyledir:

7inci dereceden sihirli kare
	26

	20
	14
	1
	44
	38
	32
	34
	28
	15
	9
	3

	46
	40
	42
	29
	23

	17
	11
	5
	48
	43

	37
	31
	25
	19
	13
	7
	2
	45
	39
	33
	27

	21
	8
	10
	4
	47

	41
	35
	22
	16
	18

	12
	6
	49
	36
	30
	24

10uncu dereceden sihirli kare:
	1
	92
	8
	94

	95
	6
	97
	3
	99
	10
	90
	12
	83
	17
	85

	86
	14
	88
	19
	11
	21
	79
	23
	74
	26
	75

	77
	28
	22
	80
	70

	32
	68
	34
	65
	66
	37

	33
	69
	31
	41
	49

	58
	57
	56
	55
	44
	53

	42
	50
	60
	59
	43

	47
	46
	45
	54
	48
	52

	51
	40
	62
	38
	64

	36
	35
	67
	63
	39
	61
	71
	29
	73
	27
	76

	25
	24
	78
	72
	30
	20
	82
	18
	84
	15
	16

	87
	13
	89
	81
	91

	9
	93
	7
	5
	96
	4

	98
	2
	100

abiyev'in sihirli karesi sihirli sabit'in dışında, diğer algoritmalarda  bulunmayan, birçok sihirler (değişmezler, simetriler) içermektedir. örneğin: denge. bu algoritmayla yazılan bir sihirli kare'deki her bir eleman yerine (bulunduğu koordinatta) sayı değeri kadar aynı birimden kütle konduğunda, sistemin kütle merkezi karenin tam ortası olmaktadır. bu yüzden, bu algoritma ile yazılan sihirli kareye, sayıların dengeli dağılımından dolayı, dengeli kare''' de denebilir.

ayrıca bakınız
8. dereceden franklin karesi

kaynakça

dış bağlantılar
magic squares at convergence
 w. s. andrews, magic squares and cubes. (new york: dover, 1960), originally printed in 1917
 john lee fults, magic squares. (la salle, illinois: open court, 1974).
 cliff pickover, the zen of magic squares, circles, and stars (princeton, new jersey: princeton university press)
 leonhard euler, on magic squares (pdf)
 mark farrar, magic squares ( )
 asker ali abiyev, the natural code of numbered magic squares (1996), <http://www1.gantep.edu.tr/~bingul/php/magic/ >
 william h. benson and oswald jacoby, "new recreations with magic squares". (new york: dover, 1976).
 a 'perfect' magic square  
 magic squares of order 4,5,6, and some theory 
 evolving a magic square using genetic algorithms 
 magic squares and magic cubes 

nümeroloji
matrisler
büyü
semboller
çin keşifleri