title: Типизированное лямбда-исчисление

text: formula_1-исчисление с типами является языком декартово-замкнутой категории, что устанавливает прямую связь с такой моделью вычислений, как категориальная абстрактная машина. С одной точки зрения типовые formula_1-исчисления могут рассматриваться как специализации бестиповых formula_1-исчислений, а с другой — наоборот, типовые языки могут считаться более фундаментальными, из которых бестиповые получаются как частные случаи. Анализ этого явления дает теория вычислений Д. Скотта.


title: Типизированное лямбда-исчисление

text: formula_1-исчисление с типами служит основой для разработки новых систем типизации для языков программирования, поскольку именно средствами типов и зависимостей между ними выражаются желаемые свойства программ.


title: Типизированное лямбда-исчисление

text: В программировании самостоятельные вычислительные блоки (функции, процедуры, методы) языков программирования с сильной типизацией соответствуют типовым formula_1-выражениям.


title: Гагарка

text: Гага́рка () — вид морских птиц из семейства чистиковых ("Alcidae"). После истребления нелетающей бескрылой гагарки в XIX веке этот вид остался единственным в роде гагарок ("Alca").


title: Гагарка

text: Взрослые особи достигают длины от 38 до 43 см и размах крыльев от 60 до 69 см. Спина и голова окрашены в чёрный цвет, а живот и нижняя сторона крыльев — белые. Зимой белую окраску приобретает и лицо.


title: Гагарка

text: Гагарки гнездятся на скалистых островах северного Атлантического океана. Наиболее южные популяции встречаются на побережье северной Франции, а также в американском штате Мэн. Зимой европейские гагарки мигрируют в западную часть Средиземного моря, а американские — на Ньюфаундленд и в Новую Англию. Гагарки образуют большие птичьи базары вместе с другими представителями семейства чистиковых. Самка откладывает, как правило по одному крупному яйцу, окрашенному в серый цвет с тёмными пятнами. Гнездо расположено на выступе скалы или в небольшом углублении.


title: Гагарка

text: Пищу гагарки добывают под водой. Она состоит главным образом из сельди и анчоусов, а также из раков и морских червей.


title: Гагарка

text: На острове Фула в Шотландии организован заказник в котором гагарка включена в список охраняемых видов.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Алекса́ндр Влади́мирович Ма́рков (род. ) — российский биолог, палеонтолог, популяризатор науки. Лауреат главной в России премии в области научно-популярной литературы «Просветитель» (2011 год). Лауреат премии «За верность науке» Министерства образования и науки РФ в категории «Популяризатор года» (2015 год).


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Член редколлегии «Журнала общей биологии». Автор многочисленных научно-популярных статей, автор и ведущий научно-образовательного портала «Проблемы эволюции», ведущий научно-популярных программ радио «Свобода», сооснователь и один из авторов научно-популярного сайта «Элементы.ру». Автор фантастических и исторических произведений, в частности повести «Апсу», опубликованной в 1991 году. Председатель совета фонда «Эволюция».


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Окончил биологический факультет МГУ в 1987 году. В Палеонтологическом институте РАН с 1987 года. Доктор биологических наук, ведущий научный сотрудник Палеонтологического института РАН. В 2014 году принял руководство кафедрой биологической эволюции биологического факультета МГУ. Профессор РАН (2016).


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Жена — Елена Борисовна Наймарк, биолог, палеонтолог.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Автор более 130 научных публикаций по зоологии, палеонтологии, теории эволюции, исторической динамике биоразнообразия и другим направлениям эволюционной биологии. Медаль РАН по биологии. Премия X. Раусинга (1998 год). Внёс заметный вклад в развитие общей теории биологической макроэволюции и в математическое моделирование макроэволюционных процессов.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Совместно с А. В. Коротаевым им была показана применимость гиперболических и гиперэкспоненциальных моделей положительной обратной связи для математического описания макродинамики биологического разнообразия и долгосрочного эволюционного роста размера генома. Марков и Коротаев показали, что динамика родового разнообразия фанерозойской биоты значительно лучше описывается гиперболической моделью, широко используемой в демографии и макросоциологии, чем традиционно привлекавшимися для этой цели экспоненциальными и логистическими моделями, заимствованными из теории динамики популяций. Если последние предполагают отсутствие влияния межтаксонных взаимодействий на динамику разнообразия, за исключением соревнования за свободное экологическое пространство, то гиперболическая модель предполагает наличие в развитии биоты нелинейной положительной обратной связи второго порядка. Марков и Коротаев доказали, что в развитии биоты имеется нелинейная положительная обратная связь второго порядка между разнообразием и структурой сообществ (больше родов — выше альфа-разнообразие (среднее число родов в одном сообществе) — сообщества становятся более сложными, устойчивыми и «забуференными» — растет «таксономическая ёмкость» среды и средняя продолжительность существования родов; снижается темп вымирания — рост разнообразия ускоряется). Разработанная ими математическая модель динамики биоразнообразия, основанная на этом предположении, была подтверждена эмпирическими данными по динамике альфа-разнообразия.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Палеонтолог, писатель и публицист, кандидат биологических наук К. Ю. Еськов даёт положительную рецензию на двухтомник Маркова «Эволюция человека», в которой отмечается хороший язык, актуальность изложенной научной информации, а также то, что издание вызывает оптимизм и «гордость за современную науку».


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: Научный журналист и популяризатор науки Ася Казанцева в рецензии на книгу Маркова «Рождение сложности» отметила, что книга хорошо написана и издана, и что это «лучшая на сегодняшний день русскоязычная книга по эволюционной биологии». При оценке двухтомника «Эволюция человека» Ася Казанцева указывает на лёгкость восприятия книги, при том, что в ней описываются как конкретные исследования эволюции человека, так и сложные для понимания вопросы. Отмечается, что двухтомник заполнил информационный вакуум, существовавший в этой нише.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text:
Профессор, доктор биологических наук, заведующий лабораторией сравнительной этологии и биокоммуникации Института проблем экологии и эволюции им. А. Н. Северцова РАН Е. Н. Панов даёт рецензию на двухтомник Маркова «Эволюция человека», в которой говорится о «двойственном впечатлении». Панов отмечает, что издание содержит «полное и беспристрастное изложение антропогенеза» и соглашается с автором, что «большинство идей, изложенных в его книге, „находятся в рамках научного мейнстрима“». В заключении рецензии он даёт отрицательную оценку:
Любопытной особенностью творчества популяризаторов типа Дольника и Маркова, которые проводят широкие аналогии между поведением животных и человека, оказывается то, что они никогда не заглядывают в специальную литературу о естественном поведении людей.  В итоге всего сказанного, я при всем желании не могу присоединиться к восторженным отзывам о книге А. В. Маркова, которые он вывешивает на своем сайте.


title: Марков, Александр Владимирович (биолог)

text: В ответ А. В. Марков поясняет, что рецензент критикует его за то, что в книгах поддерживаются «некоторые хорошо обоснованные и прочно утвердившиеся в науке теории». Марков считает, что в популярной книге необходимо излагать в первую очередь «мейнстримные» идеи и указывает на «недостаточное понимание текста» Е. Н. Пановым.


title: Мучнистая роса

text: Мучни́стая роса́, пепелица, бель — грибное заболевание растений, вызываемое микроскопическими эктопаразитическими грибами из порядка эризифовых, или мучнисторосяных (Erysiphales). Мицелий мучнисто-белого цвета развивается на листьях, надземных частях побегов, иногда на плодах в начале лета.


title: Мучнистая роса

text: Микозы со сходными внешними проявлениями — ложную мучнистую росу — вызывают грибоподобные организмы оомицеты из семейства пероноспоровых (Peronosporaceae).


title: Мучнистая роса

text: На поверхности листьев поражённого растения возникает белый налёт мицелия, на котором после вызревания спор образуются капли жидкости — отсюда и название «мучнистая роса». Мицелий располагается пятнами чаще всего на листьях и молодых побегах, но и на черешках, плодоножках и плодах. Инфекция начинается обычно с расположенных ближе к земле листьев и постепенно распространяется на всё растение. Заражение плодов приводит к их растрескиванию и загниванию в результате вторичной инфекции.


title: Мучнистая роса

text: Название болезни отражает описание симптомов заражения, общих для разных видов различных несовершенных грибов. Например,Профилактика:


title: Мучнистая роса

text: Как и у большинства грибов, развитие мучнистой росы можно подавить опрыскиванием или опыливанием растений специальными препаратами для защиты (коллоидная сера; хлорид меди, медный купорос и другие соединения меди (II), железа, цинка).


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Сад дру́жбы — сад, расположенный около домов № 15-17 на Литейном проспекте в Санкт-Петербурге.


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Сад был открыт в мае 2003 года в честь празднования трёхсотлетия города как подарок от Шанхая, города-побратима Санкт-Петербурга. Был назван губернатором Санкт-Петербурга Владимиром Яковлевым «Садом дружбы». Сад является уменьшенной копией шанхайского сада Юй Юань («Сада Радости»).


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Садик занимает территорию более двух тысяч квадратных метров. На его территории расположена «Стена девяти драконов», «Пагода дружбы», каменный мостик над небольшим искусственным водоемом с сооружённым при нём фонтаном. Разнообразные камни, располагающиеся на территории сада, согласно традиции, создают иллюзию миниатюрных горных хребтов. Сад украшен и деревьями — небольшими соснами, ивами и яблонями. Кроме того, в саду растет одно дерево японской сакуры.


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Все основные материалы для создания садика были доставлены из Шанхая.


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Владимир Яковлев вручил строителям садика почётные грамоты, в которых сказано: «Ваши имена включены в почётный список строителей Северной столицы России».


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Стена украшена девятью драконами, священными животными Китая, отгоняющими злых духов. Драконы выполнены из керамики и покрыты цветной глазурью.


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Пагода предназначена для чайной церемонии и медитации на открытом воздухе. У её входа расположены два льва, выполненных в азиатском стиле и напоминающих ши-цза.


title: Сад дружбы (Санкт-Петербург)

text: Сад украшают камни «тай ху ши», привезённые с озера Тайху, расположенного в Южном Китае. Деревья в саду, также как и в садах Китая, не подстригаются.


title: TibiaME

text:
Tibia Micro Edition (TibiaME) — первая массовая многопользовательская ролевая онлайн-игра в реальном времени (MMORPG) для мобильных телефонов.
Игра доступна в бесплатной (демо) версии, кроме того, можно приобрести платный аккаунт (), который предоставляет доступ к дополнительным функциям и снимает ограничения, наложенные на бесплатные аккаунты. В настоящее время игра доступна на трех языках: английском, немецком и малайском. Все надписи, кроме тех что исходят от самих игроков, отображаются в выбранном языке.


title: TibiaME

text: Основной экран игры вид сверху в двух измерениях. Графика (люди, монстры, предметы, объекты и т.д.) двумерные.


title: TibiaME

text: TibiaME создавалась на базе игры для ПК Tibia. Действие игры происходит в средневековом фентезийном мире. Создавая персонажа можно выбрать между двумя видами — воины и маги. Воины полагаются на свои силы и умение в ближнем бою. Они сильны в бою, и их способности значительно увеличиваются с каждым уровнем. Маги предпочитают бороться издалека магическим оружием, эффективность которого зависит от количества маны. Игрок может развивать своего персонажа, убивая монстров с последующим повышением уровня опыта. Игра также предлагает поединки PvP ("игрок против игрока") на специальных аренах, торговлю накопленными вещами, участие в общих охотах и выполнение квестов.


title: TibiaME

text: Мир Tibia является огромным и таинственное местом, изобилующим приключениями, где всегда можно найти новые вызовы, встретить новых интересных людей. На карте есть города, в которых также ведётся торговля между игроками и NPC, подземелья с различными монстрами.


title: TibiaME

text: Тёмные силы угрожают мирному народу Aurea, маленького острова, расположенного в океане Tibian. Правитель острова, король Ayion, призвал всех героев Tibia, чтобы помочь ему и его народу…


title: TibiaME

text: В TibiaME есть один остров низкого уровня, один главный остров и десять крупных островов, доступных для «премиальных» пользователей. Это Solahmar (Season 1), Ashmor (Season 2), Vargos (Autumn Update 2007), Saint Nivalis (Season 3), Fabulara (Season 4), Banuna (Season 5), Yabutu (Season 6), Treasure island (Season 7), Starrfish (Season 8) и Erebos (Autumn Update 2012). Также существуют два острова для начинающих игроков (Saepira и Lybera) и два специальных острова (PvP-island — остров тестовых pvp-боев, Circusia — остров для тестовых боев с монстрами).


title: TibiaME

text: Игра была запущена 30 мая 2003 года компанией Cipsoft GmbH (Регенсбург, Германия), известной другим более масштабным продуктом Tibia (для пользователей ПК). Первоначально игра предназначалась только для клиентов оператора мобильной связи T-Mobile, использующих сотовые телефоны Nokia 3650 и Nokia 7650. позднее игра стала доступной для клиентов других операторов сотовой связи. В 2006 году была выпущена Java-версия. 7 октября 2010 года была выпущена версия для iPhone. 28 января 2011 года вышел первый клиент (Beta) для операционной системы Android. В августе 2011 года появился web-клиент игры, позволяющий играть в TibiaME с персонального компьютера непосредственно из браузера, без использования различного рода эмуляторов мобильных телефонов.


title: TibiaME

text: По состоянию на 2013 год в TibiaME имеется 32 игровых мира, последние два были открыты в марте 2013 года. Все серверы для Tibia ME расположены в Германии. Последнее обновление состоялось весной 2014 года, в конце Октября 2014 года готовится к выходу "Autumn Update 2014".


title: TibiaME

text: TibiaME предназначена для сотовых телефонов с поддержкой технологий передачи данных по каналам GPRS/EDGE/3G и подобных, поддерживающих Java MIDP 2.0 (минимум 130 килобайт свободной памяти и цветной экран размером от 128*128) либо Symbian OS 60 Series всех поколений, а также для Apple iOS и Android.


title: TibiaME

text: По заявлению разработчиков приложения CipSoft, во время игры расходуется 400 kB интернет-трафика в час. В зависимости от ситуации расходы трафика могут увеличиться до 600 килобайт в час.


title: TibiaME

text: На 27 августа 2009 года, по собственным данным CipSoft, имелось более 40 тысяч активных игроков, в том числе более чем 10 тысяч платных подписчиков. Наибольшей популярностью игра пользуется в странах Восточной Европы (Россия, Украина, Литва) и Восточной Азии (Индонезия, Бруней, Малайзия).


title: TibiaME

text: К середине 2010 года насчитывалось около 50 тысяч активных игроков.


title: Простая двухчастная форма

text:
Проста́я двухча́стная фо́рма — музыкальная форма, состоящая из двух частей, первая из которых является периодом, а вторая не содержит форм более сложных, чем период.
Делится на репризную и безрепризную форму.


title: Простая двухчастная форма

text: Безрепризная форма: (ab(по 8 тактов))


title: Простая двухчастная форма

text: "1 часть" - Период;


title: Простая двухчастная форма

text: "2 часть" - развивающая музыка, пропорциональная 1-й, не имеет признаков. В конце полная совершенная Каденция в главной тональности.


title: Простая двухчастная форма

text: Репризная форма: (ab- период; а - половина (Ка1 bа1) предложения


title: Простая двухчастная форма

text: "2 часть" - вторая часть пропорциональна первой, но делится на две части: её первая половина развивающая, а вторая - реприза, повторение 2-го предложения периода.


title: Простая двухчастная форма

text: Простая двухчастная форма чаще всего является разделом более сложной (например, первая или вторая часть в сложной трёхчастной форме, эпизод в рондо, тема вариаций и др.), однако может существовать как отдельное произведение — в инструментальной или вокальной миниатюре. Пример такого использования этой формы — Багатели Бетховена, пьесы из «Альбома для юношества» Шумана, некоторые романсы, например «Сирень» Сергея Рахманинова и другие произведения. В вокальной музыке простая двухчастная форма часто используется как форма куплета.


title: Простая двухчастная форма

text: Особенностью простой двухчастной формы является то, что у неё есть прототип в фольклоре (запев и припев; песня и инструментальный наигрыш; сольный и групповой, женский и мужской танцы).


title: Простая двухчастная форма

text: По тематизму простые двухчастные формы делятся на:По тематическому материалу второй части делятся на:


title: Капеллани

text: Капеллани () — французская фамилия.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Ге́нрих Го́фман (; 12 сентября 1885, Фюрт — 16 декабря 1957, Мюнхен) — немецкий и издатель. Национал-социалист, близкий друг Адольфа Гитлера, его личный фотограф.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Генрих Гофман — единственный ребёнок в семье фотографа Роберта Гофмана и его супруги Марии, урождённой Каргль. С 1897 года Генрих занялся семейным делом и обучался фотографии у отца и дяди в их фотоателье на площади Иезуитов в Регенсбурге. Придворные фотографы Гофманы специализировались на фотопортретах, среди их клиентов было немало королевских особ и высокопоставленных лиц.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В возрасте 16 лет Генрих Гофман устроился на работу в Дармштадт помощником Гуго Тиле, придворного фотографа великого герцога Гессенского Эрнста Людвига. Тиле, а с ним и Гофмана неоднократно вызывали в герцогский дворец для фотографирования членов герцогской семьи. По воспоминаниями Гофмана, он ещё тогда почувствовал «ауру трагической грусти, окружавшей российских аристократок» — сестёр великого герцога Эрнста Людвига Елизаветы и Алисы, обвенчавшихся с членами российского императорского дома — братьями великим князем Сергеем Александровичем и императором Николаем II. Российская императрица выглядела робко и отстранённо и, казалось, испытывала облегчение, когда заканчивался фотографический сеанс.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1901 году Генрих Гофман переехал в Гейдельберг, где работал у университетского фотографа Фрица Лангбейна, специализировавшегося на жанровой фотографии из жизни местных студентов. С 1902 года Гофман работал во Франкфурте-на-Майне в студии военного фотографа Филиппа Теобальда, среди клиентов которого были офицеры из близлежащих казарм. Как и прежде, Гофману доверяли пока только подцветку фотоснимков. В начале 1903 года Гофман приехал в курортный Гомбург на стажировку в фотоателье императорского двора Томаса Генриха Фойгта. В Висбаденском замке Гофман ассистировал на фотосессии кайзера Вильгельма II по случаю исторической встречи с императором Николаем II. Кайзер, имевший многочисленные почётные звания иностранных полков, решил тогда сняться в форме каждого из них. После трёх лет работы на Фойгта Гофман некоторое время работал в Цюрихе у фотографа Камиля Руфа.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Из Швейцарии Гофман вернулся в Мюнхен, мечтая о стезе художника. В Мюнхенском университете он посещал лекции по анатомии профессора Зигфрида Мольера и изучал технику рисунка у профессора Генриха Книрра в Мюнхенской академии художеств. Но старший Гофман был категорически против таких планов сына и разрешал ему заниматься искусством и живописью лишь в приложении к фотографии. Несбывшаяся мечта Гофмана о художественном поприще сблизила его в будущем с Гитлером, который также безуспешно искал себя в живописи.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1907 году набравшийся практического опыта Гофман отправился в Англию, надеясь заработать на собственное фотоателье. По рекомендации фотографа Георга Генриха Эммериха он некоторое время проработал в лондонском ателье Эмиля Отто Хоппе, а затем открыл собственную фотомастерскую, успешно участвовал во многих фотоконкурсах и обзавёлся связями среди местной знати. Благодаря случаю Гофман сделал сенсационные снимки крушения дирижабля. Накопив достаточно средств, в 1909 году Гофман вернулся на родину и в начале 1910 года открыл портретную фотостудию в Мюнхене по адресу Шеллингштрассе, 33. В начале 1911 года Генрих Гофман женился на одной из своих первых клиенток Нелли Бауман, которая стала его помощницей в ателье. Фотобизнес Гофмана пошёл в гору благодаря его репортёрской находчивости и любви к искусству. По заказу газеты Münchner Illustrierte Zeitung Гофман добыл фотографию прибывшего с гастролями в Мюнхен Карузо, он также сотрудничал с берлинскими и австрийскими агентствами новостей. Среди клиентов Гофмана числились Бруно Вальтер и Рихард Штраус.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: С началом Первой мировой войны Гофмана призвали в армию военным фотографом, он начинал службу при 3-м баварском армейском корпусе на Западном фронте, а затем в сформированной кинофотослужбе занимался проявкой фотографий военной разведки. 2 августа 1914 года Гофман вёл фотосъёмку всеобщего ликования на мюнхенской площади Одеонсплац. На чёрно-белом снимке с площади Одеонсплац позднее будет узнан присутствовавший там Адольф Гитлер. В конце 1918 года с началом Ноябрьской революции Гофмана отпустили домой, и в революционном Мюнхене он вновь занялся фоторепортажами и фотопортретами вождей революции. После разгрома Баварской республики Гофман опубликовал фотоальбом под заголовком «Год баварской революции», который снискал большой успех.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1919 году Гофман вступил в партию «Айнвонервер», стоявшую на правых экстремистских позициях, и опубликовал фотоброшюру правого консервативного толка «Один год баварской революции в фотографии». Одновременно Гофман завязал дружеские отношения с Дитрихом Эккартом, издателем "Völkischer Beobachter".


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В апреле 1920 года 34-летний Гофман вступил в НСДАП и получил монопольные права на сбыт издаваемой Эккартом антисемитской подстрекательской газеты Auf gut deutsch («На правильном немецком»). Гофмана стали привлекать к фотографированию партийных боссов: Германа Геринга, Рудольфа Гесса, а вскоре и Гитлера. По воспоминаниям Гофмана, на момент знакомства он занимал куда более прочное положение в обществе, чем Гитлер.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: После Пивного путча в 1923 году появились первые портреты Гитлера, сделанные Гофманом. На одном из них Гитлер снят в кругу товарищей по заключению в Ландсбергской тюрьме. Все фотографии Гитлера, где он был снят с близкого расстояния, были сделаны Генрихом Гофманом. Гитлера и Гофмана связывали очень близкие и доверительные отношения. В гостях у Гофманов на вилле в Богенхаузене Гитлер чувствовал себя как дома. По воспоминаниям дочери Гофмана Генриетты, Гитлер часто бывал у них, оставался на обед, а после него музицировал за пианино или отдыхал в саду, лёжа на траве, и даже читал вслух пьесу Людвига Томы.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1924 году Гофман издал фотоброшюру «Пробуждение Германии в снимке и слове», а в 1926 году принимал деятельное участие в основании печатного органа национал-социалистов "Illustrierter Beobachter". В 1929 году Гофман как представитель НСДАП принимал участие в работе съезда депутатов Верхней Баварии и с декабря 1929 года входил в состав мюнхенского городского совета.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Гофман познакомил Гитлера с Евой Браун, которая в 1929 году устроилась ученицей в фотоателье Гофмана. Однажды вечером Гофман появился в ателье вместе с мужчиной, которого он представил как господина Вольфа. После ухода незнакомца Гофман пояснил Еве, что это был фюрер НСДАП Адольф Гитлер.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: С 1932 года Гофман преимущественно занимался пропагандистскими фоторепортажами. В его издательстве "Heinrich Hoffmann. Verlag national-sozialistische Bilder" было занято до 300 человек, а обороты его бизнеса по сбыту фотоальбомов по заказам НСДАП вскоре стали измеряться миллионами рейхсмарок. Вследствие своей занятости на этом поприще в 1933 году Гофман был вынужден покинуть пост члена городского совета Мюнхена.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1937 году Гитлер поручил Гофману подбор экспонатов для «Большой германской художественной выставки». Для этого ему даже было присвоено звание профессора.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В 1938 году Гофман стал членом комиссии по реализации конфискованных произведений дегенеративного искусства. Ему ставилась задача без лишнего шума продать эти произведения искусства за валюту за границу. В августе 1939 года Генрих Гофман входил в состав германской делегации во главе с Иоахимом фон Риббентропом, прибывшей в Москву для подписания пакта Молотова-Риббентропа.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: С 1933 года — депутат рейхстага.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В апреле 1945 года, в последний раз побывав у Гитлера, Гофман отправился в Баварию, где в Обервёссене был арестован американцами.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: В октябре 1945 года Генрих Гофман был помещен в тюрьму Международного военного трибунала в Нюрнберге, где должен был навести порядок в своём архиве для участия в Нюрнбергском процессе. Процесс денацификации против личного фотографа и друга Гитлера начался в январе 1946 г. Сначала Гофмана причислили к главным обвиняемым (группа I), однако ему удавалось вновь и вновь обжаловать решение суда, приговорившего Гофмана к 10 годам лишения свободы. В конце концов Гофман был приговорён к четырём годам заключения с полной конфискацией имущества. После своего освобождения в 1950 году Гофман поселился в деревне Эпфах под Мюнхеном, где умер через семь лет в возрасте 72 лет.


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Жена (с 1911) — Тереза «Нелли» Бауманн (ум. 1928); дети:


title: Гофман, Генрих (фотограф)

text: Вторым браком был женат на Эрне Грёбке ().


title: The Islander

text: «The Islander» () — пятый сингл с альбома "Dark Passion Play" финской метал-группы Nightwish. Сингл был выпущен 21 мая 2008 года. На нём присутствуют также видео «The Islander», снятое осенью 2007 года в Рованиеми, и «Bye Bye Beautiful». Режиссёр — Стобе Харью. Видео вышло на экран 14 апреля в 19:00 по финскому времени на шоу телеканала MTV «Spanking New».


title: Ходыревы

text: Ходыревы — распространённая фамилия средней полосы России, особенно Вятского края. В истории прослеживаются как минимум 5 линий происхождения этой фамилии.


title: Ходыревы

text: Ходыревы. выехали из Орды. Название получили от выехавшего, который назывался Ходырь-Хозя. Родословная роспись их под № 466.


title: Ходыревы

text:
Ходыревы (Ходыревы-Шумаровские) — нетитулованный русский дворянский род.
Своё начало Ходыревы ведут от князей Шумаровских. В начале первой половины XV века Глеб, сын Ивана Михайловича, князя Моложского, получил в удел село Шуморово на берегу реки Шуморы, ставшее центром Шумаровского княжества. Его внук Иван по прозвищу Ходыря (Ходырь) (XIX колено от Рюрика), сын Семёна Хромого, стал родоначальником Ходыревых. Ходыревы вскоре утратили княжеский титул, служили московским князьям.


title: Ходыревы

text: В «Поучении Владимира Мономаха» упомянуты предводители вятичей — Ходота с сыном: «А въ вятичи ходихом по две зиме на Ходоту и на сына его, и ко Корьдну, ходихъ 1-ю зиму»


title: Бад Спенсер

text: Ка́рло Виче́нте Педерсо́ли (); 31 октября 1929, Неаполь — 27 июня 2016; более известный под псевдонимом Бад Спе́нсер () — итальянский актёр, сценарист, продюсер и композитор. Спортсмен, неоднократный чемпион Италии по плаванию. Особенно известен по фильмам в жанре «спагетти-вестерн» в паре с Теренсом Хиллом.


title: Бад Спенсер

text: Родился в Неаполе в семье фабриканта. Два года спустя рождается его сестра. В 1935 году Педерсоли идет в школу, в 1937 начинает заниматься плаванием. В 1940 году переезжает вместе с семьей в Рим, где поступает в гимназию и записывается в секцию плавания. В 1946 году заканчивает учёбу и поступает в университет на факультет химии. Однако, получить высшее образование ему не позволили обстоятельства, так как семья снова переезжает — на этот раз в Латинскую Америку. Там он работал на конвейере в Рио-де-Жанейро, библиотекарем в Буэнос-Айресе, секретарём итальянского посольства в Уругвае.


title: Бад Спенсер

text:
В 1948 году вернулся в Италию и поступает в на юридический факультет университета. Не перестает заниматься спортом и становится чемпионом Италии по плаванию вольным стилем. На тренировках он знакомится со своим будущим партнером по съёмкам Теренсом Хиллом, который выступал за эту же команду.
Педерсоли стал первым итальянским спортсменом, проплывшим 100 метров быстрее, чем за минуту. Побеждал на чемпионате Италии семь лет подряд. В 1952 году принимал участие в Летних Олимпийских играх в Хельсинки и занимает пятое место в вольном стиле. На Олимпийских играх 1956 года в Мельбурне занял 11 место и в 1957 году завершил свою спортивную карьеру.


title: Бад Спенсер

text: В 1960 году Карло Педерсоли возвращается в Рим и женится на Марии Амато (, 1923)(он познакомился с ней за 15 лет до свадьбы). В 1961 году на свет появляется их сын Джузеппе, спустя год — дочь Кристиана, в 1972 вторая дочь — Диаманте.


title: Бад Спенсер

text: Между 1960 и 1964 гг. работал композитором на студии звукозаписи RCA, пишет песни для других певцов (в том числе для Риты Павони) и даже проводит небольшие гастроли, аккомпанируя себе на гитаре. В 1964 году, после смерти тестя, Педерсоли расторгает контракт с RCA и открывает небольшую киностудию, на которой снимает документальные фильмы о животных для итальянского телеканала RAI.


title: Бад Спенсер

text: Впервые Педерсоли появился на экране в 1951 году, снявшись статистом в роли римского легионера в фильме «Камо грядеши». В 1967 году, благодаря связям жены, получает предложение от Джузеппе Колиззи сняться в серьёзном вестерне «Бог простит… Я — нет!» (), в котором он снова встречает своего будущего напарника по фильмам Теренса Хилла. Позже, когда спагетти-вестерны станут популярными, этот фильм будет переименован и заново синхронизирован, превратившись в комедию.


title: Бад Спенсер

text: Свой псевдоним Карло выбрал в честь любимого актёра Трейси Спенсера (отсюда фамилия «Спенсер»). Имя же, по одной из версий, он выбрал из-за любимой марки пива — Budweiser. По другой, имя происходит от американского разговорного «buddy» (дружище).


title: Бад Спенсер

text:
В 2005 году Педерсоли претендовал на пост председателя правительства региона Лацио от партии «Вперёд, Италия», но не прошёл из-за плохих показателей партии Сильвио Берлускони.
"Под именем Карло Педерсоли":


title: История математических обозначений

text:
История математических обозначений — история разработки символов, используемых для компактной записи математических уравнений и формул.
Помимо индо-арабских цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.


title: История математических обозначений

text:
Хорошо продуманные обозначения, отражающие свойства изучаемых объектов, помогают избежать ошибок или неправильной трактовки, переносят часть исследования на технический уровень, нередко «подсказывают» правильный путь к решению задачи.
По словам Альфреда Уайтхеда, удачное обозначение освобождает мозг от ненужной работы, тем самым позволяя ему сосредоточиться на более важных задачах.


title: История математических обозначений

text: Первоначально (например, в «Началах» Евклида) математические утверждения формулировались словесно. Такая запись была громоздкой, часто неоднозначной, а алгебраические преобразования требовали незаурядной квалификации. Большой вклад в развитие обозначений внёс Франсуа Виет (XVI век); в частности, он начал использовать буквенные обозначения вместо конкретных чисел. Постепенно практически все слова в математических формулах (обозначения операций, отношений сравнения ) были заменены специальными символами — математика обрела собственный язык, не требующий перевода, язык с чётко определённым смыслом «слов» и строгой грамматикой, позволяющий выводить из истинных утверждений другие, столь же истинные.


title: История математических обозначений

text: Преимуществами символических обозначений являются компактность, однозначность толкования, лёгкость преобразований. Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал:


title: История математических обозначений

text: Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления.


title: История математических обозначений

text: Немецкий историк Йозеф Петер Тройтляйн ("Josef Peter Treutlein", 1845—1912) заметил по поводу символики, что нигде интеллектуальное содержание не связано с формой его представления так тесно, как в математике, так что для развития и углубления содержания часто необходимо усовершенствовать форму.


title: История математических обозначений

text:
Другой историк математики, Мориц Кантор, указывает требования к математическому обозначению:
Эти высказывания поясняют, в каком направлении исторически развивалась система математических обозначений.


title: История математических обозначений

text:
В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация (запись чисел). По способу образования чисел из базовых знаков (цифр) древние системы нумерации делятся на три типа
Позднее появилась позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно.


title: История математических обозначений

text: Древнеегипетская нумерация поначалу была аналогична более поздней римской: в ней были отдельные знаки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, но младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал современному. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для каждой цифры от 1 до 9 и сокращённые знаки для разных десятков, сотен и тысяч.


title: История математических обозначений

text: Особые знаки обозначали дроби вида formula_1, а также практически важную дробь formula_2. Общего понятия дроби formula_3 у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма "аликвотных дробей". Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.


title: История математических обозначений

text: Пример записи дробей из Папируса Ринда:


title: История математических обозначений

text:
Z2:Z1*Z1 Aa16 r:Z1*Z1*Z1*Z1:Z2 r:10 Z1-Z1-Z1-Z1
5 + + + (значение: 5 )


title: История математических обозначений

text: Для обозначения операций сложения и вычитания использовался один из иероглифов:


title: История математических обозначений

text: Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Для умножения и деления специальных обозначений не было.


title: История математических обозначений

text: Шумеры и вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления. Писали они, как и европейцы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр клинописью была своеобразной. Знаков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной шестидесятеричной системе, а его шестидесятиричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные знаки.


title: История математических обозначений

text: При описании алгоритмов решения уравнений знаки для неизвестных были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти знаки употреблялись как краткие обозначения неизвестных в современной алгебре.


title: История математических обозначений

text: Китайские цифры обозначались специальными иероглифами, которые появились во 2-м тысячелетии до н. э., а их начертание окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, число 1946 записывалось как  — «один-тысяча-девять-сто-четыре-десять-шесть». Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске "суаньпань", где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для умножения и деления на счётной доске были разработаны эффективные алгоритмы, описанные в руководствах словесно.


title: История математических обозначений

text: В III веке н. э. под влиянием традиционной в Китае десятичной системы мер появились и десятичные дроби. В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.


title: История математических обозначений

text: Греческая нумерация, как египетская и римская, была аддитивной, то есть числовые значения символов складывались. Первый её вариант ("аттическая", или "геродианова") содержали буквенные знаки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — из 24 букв греческого алфавита первые 9 обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10 000. Древнегреческие учёные первыми стали записывать дроби вертикально — правда, числитель у них стоял не выше, а ниже знаменателя, а черты дроби не было.


title: История математических обозначений

text: Алгебраической символики у греков сначала не было. Единственным исключением можно считать краткие обозначения буквами геометрических точек, а также отрезков прямых или дуг окружности по их конечным точкам.


title: История математических обозначений

text: Вершиной античной алгебры стали труды Диофанта Александрийского (III век н. э.). Намного обогнав своё время, он ввёл буквенную символику — пока только для неизвестной величины, которую он обозначает буквой formula_4 ("дзета"). Диофант использовал особые символы также для степеней неизвестной, вплоть до шестой, и им обратных величин. Специальный символ (перевёрнутая буква formula_5) означал вычитание следующего за ним числа. Буква formula_6 ("иота", от ‘равный’) играла роль знака равенства. Все эти нововведения позволили в общем виде записать, например, правила умножения степеней (в том числе отрицательных), правило знаков при умножении на отрицательное число, способы решения неопределённых уравнений в целых числах.


title: История математических обозначений

text: Уже в древнеиндийских текстах на санскрите были предусмотрены средства для именования чисел в десятичной системе счисления, вплоть до formula_7.


title: История математических обозначений

text: Индийская нумерация вошла в историю по двум причинам. Около VI века до н. э. в Индии появились отдельные знаки для цифр от 1 до 9, ставшие прообразом современных европейских цифр; автор их неизвестен, но первые три обозначения совпадают с китайскими. Примерно в 500 году н. э. индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами или с шестидесятеричными числами. Для целей новой системы потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно.


title: История математических обозначений

text: Индийские математики продолжили развитие математической символики, хотя пошли по собственному пути. Сократив соответствующие санскритские термины до одного слога, они использовали их как символы неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений. Например, умножение обозначалось знаком "гу" (от слова "гунита", умноженный). Вычитание указывалось точкой над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если неизвестных было несколько, им для определённости присваивали условные цвета. Квадратный корень обозначался слогом «"му"», сокращением от "мула" (корень). Для именования степеней использовались сокращения терминов «"варга"» (квадрат) и «"гхава"» (куб):


title: История математических обозначений

text: Запись дробей, в отличие от греков, оформлялась по современным правилам: числитель над знаменателем, хотя целую часть смешанной дроби было принято записывать не левее, а над числителем. Сложение и умножение дробей обозначались одинаково — обе дроби просто записывались рядом; тип операции приходилось распознавать из текстовых пояснений. Знака равенства не было, правую часть уравнения записывали под левой, подравнивая одночлены по одинаковым степеням неизвестной.


title: История математических обозначений

text: Кириллическая система счисления («славянская нумерация») на Руси появилась вместе с кириллицей (IX век) и переняла греческий обычай обозначать цифры с помощью помеченных специальным значком букв. Использовались буквы, аналогичные греческим, а специфически-славянские (, , и др.) числовых значений не получили. Исключение было сделано для букв и , перенявших числовые значения архаичных греческих букв «коппа» и «сампи». Числа записывались как в римско-греческой системе — аддитивно: например, обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки. Кириллическая система счисления использовалась у восточных славян до XVIII века, после чего всюду, за исключением церковной литературы, была заменена на современную.


title: История математических обозначений

text: Системам нумерации других народов посвящены статьи:


title: История математических обозначений

text: Математики арабских стран в период примерно с VII по XIII век внесли свой вклад в развитие античных и индийских знаний. В числе прочего они переняли индийскую десятичную позиционную нумерацию и освоили (видимо, независимо от китайцев) десятичные дроби. Первым правила работы с десятичными дробями описал в X веке Ал-Уклидиси, целая часть дроби у него отделялась от дробной апострофом. Подробное описание десятичной арифметики опубликовал аль-Каши в XV веке, но и тогда широкого распространения в исламском мире десятичные дроби не получили. Для отделения дробной части числа аль-Каши использовал вертикальную черту или чернила другого цвета. Хотя термин «алгебра» имеет арабское происхождение, символическая алгебра в исламских странах отсутствовала, все формулы излагались словесно; исключением стали труды испано-мавританского математика ал-Каласади (1486) и его учеников. Ал-Каласади придумал знаки для неизвестного, его квадрата, квадратного корня и знака равенства, однако распространения они не получили.


title: История математических обозначений

text: Начиная с XII века, античные и арабские труды стали проникать в Европу и переводиться на латинский язык. Одновременно, особенно в торговой среде, быстро распространяются индийские цифры и правила действий с ними. В первых сочинениях европейских математиков все формулы по-прежнему излагаются словесно. Первый (не слишком удобный) набросок алгебраической символики дал Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века. Он ввёл в общее употребление обозначения formula_8 для операции сложения и formula_9 для вычитания (от ), вполне аналогичные позднейшим плюсу и минусу. Для квадратного корня Пачоли использовал предложенные ещё Фибоначчи стилизованные буквы formula_10, от слова "Radix" (корень), с пометкой для корней степени выше второй. Пример записи Пачоли:


title: История математических обозначений

text: Пачоли предложил краткие слоговые обозначения для неизвестной и её степеней, напоминающие индийскую систему, но в 1484 году Николя Шюке опубликовал более удобный проект; например, современный одночлен formula_13 Шюке записывал просто как formula_14 Среди других перспективных идей Шюке — использование минуса formula_9 в качестве признака отрицательных чисел и подчёркивание сложных выражений вместо современных скобок.


title: История математических обозначений

text: Ещё один важный шаг сделала немецкая алгебраическая школа XV века, называвшая себя "коссистами" (Пачоли называл неизвестную величину "cosa", вещь). В учебнике арифметики Иоганна Видмана (1489) символы сложения и вычитания Пачоли были заменены современными плюсом и минусом. Степени неизвестного коссисты обозначали комбинацией готических букв, эти «коссические знаки» получили некоторое распространение (их влияние заметно даже в «Арифметике» Магницкого, 1703).


title: История математических обозначений

text: Спустя столетие после аль-Каши вышла книга Симона Стевина «Десятая» (1585), с которой начинается повсеместное применение десятичных дробей в Европе. Стевин для наглядности указывал над десятичными разрядами их номера в кружках (см. рисунок). Этими же средствами он записывал алгебраические выражения; цифра в кружке обозначала номер переменной, перед ней, если надо, указывалась степень этой переменной: "sec" (квадрат) или "ter" (куб). В качестве знаков умножения и деления Стевин использовал буквы M и D соответственно. Стевин свободно использовал дробные показатели степени, также заключаемые им в кружки.


title: История математических обозначений

text:
Из других устоявшихся обозначений, появившихся в XVI веке, можно назвать знак равенства (1557, Роберт Рекорд) и десятичную запятую (Джованни Маджини, 1592). Немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов заменил обозначение Пачоли для квадратного корня на современный знак радикала (1525). Необычная судьба постигла открытые в XVI веке комплексные числа — введенные поначалу как условные, бессодержательные символы, они два века спустя обрели ясный смысл и доказали огромную практическую пользу в качестве легального математического объекта.
В конце XVI века были опубликованы труды французского математика Франсуа Виета, произведшие революцию в алгебре. Виет поставил целью разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной, общностью и доказательной силой. В своих исследованиях Виет сразу решает задачи в общем виде и только потом приводит числовые примеры. Он обозначал буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: "содействующие"). До Виета обозначение буквенными символами операндов алгебраических законов и исходных данных уравнений эпизодически встречалось у Региомонтана, Кристофа Рудольфа, Адама Ризе, Джероламо Кардано и Михаэля Штифеля, но только Виет сумел верно оценить возможности такого подхода и положить его в основу своей алгебры.


title: История математических обозначений

text: Виет использовал для именования переменных только заглавные буквы (как в античной геометрии) — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Из знаков операций он использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось латинским предлогом "in". Вместо скобок он, следуя Шюке, надчёркивал сверху выделяемое выражение (в нескольких случаях Виет использовал фигурные скобки). Показатели степени у Виета ещё записываются словесно. Например, в трактате «"Об анализе и совершенствовании уравнений"» записано уравнение:


title: История математических обозначений

text: Новая система, несмотря на её громоздкость и ограниченность, позволяла достаточно просто и ясно описать общие законы арифметики и расчётные алгоритмы, с её помощью Виет совершил немало математических открытий. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию; в первую очередь это касалось знаков операций, включая возведение в степень и извлечение корня.


title: История математических обозначений

text: В XVII веке продолжателем дела создания символической алгебры после Виета стал английский математик Томас Хэрриот, его главный труд был издан посмертно в 1631 году. Хэрриот упростил символику Виета и сократил запись формул — вместо заглавных букв он использовал строчные, поддержал знак равенства Рекорда, степени заменял умножением: formula_18 вместо современного formula_19. Большим достижением стало введение Хэрриотом знаков сравнения formula_20 (раньше писали словами: "меньше, больше"). Вариант символов нестрогого сравнения formula_21 предложил Валлис в 1670 году. Коэффициенты Хэрриот отделял от букв точкой, так что эта точка фактически играла роль знака умножения, например: formula_22 (современная запись: formula_23 Следует отметить, что он первым стал систематически переносить все выражения в левую часть уравнения.


title: История математических обозначений

text: Свои усовершенствования ввели Альбер Жирар (1626) и Уильям Отред (1631). У Жирара появились круглые скобки и знак плюс-минус. Квадратный корень к этому времени уже имел очертания, похожие на современные; Жирар предложил записывать показатель кубического и других корней высоких степеней над знаком радикала, и эта конструкция осталась в математике.


title: История математических обозначений

text: Заслугой Отреда является введение следующих символов: знака умножения (косой крестик formula_24), знака деления (косая черта formula_25) и символа параллельности formula_26. Историки подсчитали, что Отред использовал около 150 различных математических обозначений, своих и чужих. Однако бо́льшая часть из них не выдержала испытания временем — например, конструкции formula_27 для formula_28 соответственно или formula_29 для кубического корня были заменены на более удачные символы.


title: История математических обозначений

text:
В XVII веке многие ведущие математики пришли к выводу, что показатель степени должен быть выражен явным числом, а не закодирован обозначением основания (как у коссистов) или словесным сокращением вроде Q (квадрат) или C (куб), потому что иначе невозможно записать такие правила действий со степенями, как formula_30, а алгебраические преобразования требуют излишних умственных усилий. Варианты оформления записи показателя предложили Жирар, Эригон и другие математики.
Практически современный вид алгебраический язык получил в середине XVII века у Декарта. Он предложил использовать для известных параметров начальные буквы алфавита: formula_31 а для неизвестных — последние буквы: formula_32 Декарт сформировал современную запись степеней: formula_33 с показателем степени правее и выше переменной; ближе к концу века Ньютон распространил эту запись на дробные и отрицательные показатели. Ф. Кэджори характеризует декартовскую запись степеней как самую удачную и гибкую символику во всей алгебре — она не только облегчает преобразования, но стимулировала расширение понятия возведения в степень на отрицательные, дробные и даже комплексные показатели, а также появление в математике степенной и показательной функции; все эти достижения трудно было бы осуществить при использовании обозначений XVI века


title: История математических обозначений

text:
Алгебраическая символика Декарта почти полностью была принята последующими поколениями учёных, лишь необычный декартовский знак равенства, получивший некоторое распространение во Франции и Голландии, был заменён на более удачный символ Роберта Рекорда. Кроме того, были сняты ограничения на коэффициенты, значения которых Декарт считал по умолчанию всегда неотрицательными, а символы отрицательных величин он помечал спереди знаком «минус». Если знак коэффициента был неизвестен, Декарт ставил перед ним многоточие. Нидерландский математик Иоганн Худде уже в 1657 году позволил буквенным переменным принимать значения любого знака. В монографии Ньютона «Универсальная арифметика» (1707), выдержавшей пять переизданий, не считая переводов, используются обозначения Декарта и знак равенства Рекорда. Унификация алгебраических обозначений к концу XVII века в основном завершилась.
К началу XVII века в геометрии уже существовали несколько распространённых символов: точки помечались заглавными латинскими буквами, отрезки прямых, дуги кривых, треугольники и другие фигуры указывались буквами граничных точек: formula_34 Прямой угол обозначался буквой "d" (от ‘прямой’). В 1634 году Пьер Эригон ввёл в практику символы formula_35 для обозначения угла и formula_36, означающий «перпендикулярность». С античных времён употреблялся и символ параллельности, совпадающий с современным знаком равенства; после появления последнего, во избежание путаницы, знак параллельности был повёрнут вертикально: formula_26.


title: История математических обозначений

text: На рубеже XVII—XVIII веков появились ещё несколько новых геометрических символов. Английский математик Уильям Джонс впервые использовал обозначение числа formula_38 (1706 год). Общепринятым это обозначение сделал Эйлер в XVIII веке. В это же время Лейбниц придумал символы formula_39 для обозначения подобия или конгруэнтности геометрических фигур.


title: История математических обозначений

text: Когда в конце XVII века Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц создали обширный новый раздел математики — математический анализ, — встал вопрос о разработке для него удобной системы обозначений. Ньютон этим почти не занимался, и из предложенных им обозначений в математическом анализе осталась только манера обозначать производную по времени точкой, расположенной над символом функции, например: formula_40 Это обозначение неудобно для производных высших порядков (более второго). Ньютон также способствовал закреплению в науке символов бесконечно малых («O» большое и «o» малое), которые ранее предложил шотландский математик Джеймс Грегори. В области символики Ньютону принадлежит также идея использования индексов для именования отдельных объектов из оговоренного множества: formula_41.


title: История математических обозначений

text: Ньютон не предложил символа для интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией, а также символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Даже в Англии эти варианты не получили распространения, из крупных математиков их использовал только ученик Ньютона Брук Тейлор (1715). В своих «Началах» Ньютон в ряде мест обозначал сами функции заглавными буквами, а их производные (скорости) — теми же, но строчными.


title: История математических обозначений

text: Лейбниц отнёсся к делу разработки обозначений более внимательно. На протяжении нескольких лет он тщательно и терпеливо продумывал различные варианты терминов и обозначений, обсуждал с коллегами, затем отобрал лучшие, свёл их в единую систему и активно популяризировал. Лейбниц является автором современных обозначений дифференциала, производной (в том числе высших порядков) и интеграла. Почти все его нововведения в этой области укоренились в науке, потому что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, наглядно отражала оперативные особенности методов анализа.


title: История математических обозначений

text:
Пример — известная формула замены переменной в интеграле formula_42:
Она наглядно показывает, почему Лейбниц указывает под интегралом не саму переменную интегрирования, а её дифференциал — только в этом случае правильная формула получается чисто алгебраически, «без лишних усилий мысли».


title: История математических обозначений

text:
Леонард Эйлер, ведущий математик XVIII века, внёс значительный вклад в систему обозначений. Эйлер дал имена трём фундаментальным числовым объектам — "e" для «числа Эйлера», formula_38 для
отношения длины окружности к её диаметру и "i" для мнимой единицы. У него появились также символ двойного интеграла по произвольной плоской области (1769), знак суммы formula_45 (1755), знак formula_46 («не равно»).


title: История математических обозначений

text: Симон Люилье в 1787 году предложил один из важнейших символов анализа — обозначение предела, «шлифовка» которого разными математиками продолжалась до конца XIX века.


title: История математических обозначений

text: Весомый вклад в систему обозначений внёс в начале XIX века Карл Фридрих Гаусс. Он является автором общепринятых символов функции «целая часть»: formula_47 и функции Эйлера, знака произведения: formula_48 (1812) и символики сравнений по модулю.


title: История математических обозначений

text:
В XIX веке продолжалось формирование символики математического анализа. У Вейерштрасса в 1841 году появился символ абсолютной величины.
Символ ∂ стал обозначать частную производную.
Утвердилось современное оформление для границ определённого интеграла (Фурье, 1816), а также для криволинейного,
поверхностного и объёмного интегралов.
К концу века в основном утвердились стандартные обозначения для важнейших функций анализа.


title: История математических обозначений

text:
В XIX веке появилось немало новых разделов математики, потребовавших разработки для них специфических удобных обозначений.
В частности, в линейной алгебре возникло общепринятое оформление матриц, определителей и действий с ними.
С этой деятельностью смыкается создание и начало широкого применения векторного исчисления и векторного анализа, что вызвало появление богатой символики для обозначения векторов, тензоров и операций с ними.


title: История математических обозначений

text: В XIX веке было положено начало длительной работе по формализации математической логики, которая была продолжена в XX веке. Первые символы, заменяющие союзы «следовательно» и «потому что», предложил Иоганн Ран ещё в XVII веке. Лейбниц в своих работах по основаниям математической логики не предложил какой-либо новой символики. Развёрнутые системы логических обозначений одновременно опубликовали английские математики Август де Морган и Джордж Буль в 1847 году. Символика де Моргана была далека от современной, местами громоздка, а Буль старался не изобретать новых символов (он использовал обычные арифметические знаки операций, которым придал логический смысл), но фактически он определил символы для базовых логических операций — конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Тем самым был создан первый набросок алгебры для логических объектов («Булевой алгебры») и разработаны правила логических преобразований.


title: История математических обозначений

text:
В конце XIX века в трудах Георга Кантора появились первые символы теории множеств, они касались в основном мощности основных множеств математики и операций со знаками мощности. Новым идейным этапом в математической логике стали две монографии Готлоба Фреге (1879 и 1893 годы), но разработанная Фреге логическая символика была неудачной, и, кроме общих идей и «знака выводимости» formula_49, мало что из неё осталось в науке.
Почти одновременно вышли в свет работы Эрнста Шрёдера (1877 и 1890) и Джузеппе Пеано (1895 и 1897) с оригинальными символами, часть которых
(в частности,
квантор существования ∃,
символы «содержит» ∋ и «содержится» ∈) остались в науке.


title: История математических обозначений

text: В работе 1895 года Пеано уверенно заявил: можно изменить форму обозначений, можно некоторые убрать и добавить другие, но «мы теперь в состоянии выразить все математические утверждения с помощью небольшого числа знаков, которые имеют точный смысл и подчиняются чётко определённым правилам».


title: История математических обозначений

text:
В XX веке были стандартизованы обозначения для интервала вещественных чисел: formula_50.
Как уже сказано выше, двум новым разделам математики, возникшим на рубеже XIX—XX веков — математической логике и теории множеств, — понадобился обширный комплект новых символов для логических и теоретико-множественных операций. Математики предложили более десятка таких систем обозначений, из которых время отобрало наиболее простые варианты. Фундаментальный труд «"Principia Mathematica"» Уайтхеда и Рассела значительно продвинул как теорию, так и символику математической логики; за основу были приняты обозначения Пеано в улучшенном начертании. Кроме логических обозначений, Уайтхед и Рассел в своей книге используют во многом родственную ей символику теории множеств, частично охваченную ещё в работах Пеано. Авторы перечислили цели интенсивного использования формальной символики в этой книге;


title: История математических обозначений

text: Во второй половине XX века обширная работа по созданию новой символики понадобилась при разработке языков программирования. Проблема в том, что алфавиты этих языков были основаны на кодировке символов ASCII (семи- или восьмибитной), которая не содержат многих оформительских средств, привычных в математике — в частности, в ней нет надстрочных и подстрочных символов, многих диакритических знаков, многих специальных символов (знак корня, плюс-минус) и т. п. Например, декартова запись возведения в степень оказалась очень удачной с алгебраической точки зрения, но отсутствие в ней явного знака операции вынуждает реализовывать это важное средство в языке программирования иным способом, причём в разных языках это делается по-разному (см. подробнее статью Возведение в степень). Например, в Фортране formula_51 кодируется как codice_1 в Бейсике — как codice_2, а часть языков (например, Си или Паскаль) вообще не содержат символа операции возведения в степень и используют для этой цели библиотечные функции.


title: История математических обозначений

text: Аналогичная ситуация с другими практически важными символами: индексы элементов массива (обычно заключаются в квадратные или круглые скобки), операция получения остатка от деления нацело целых чисел, логические и битовые операции и т. п. Отсутствие унификации таких обозначений пока что является общей практикой.


title: История математических обозначений

text:
Для обозначения цифр в странах с иероглифической письменностью (Древний Египет, Китай) использовались особые иероглифы, а в странах с фонетическим алфавитом для этого вначале обычно использовались буквы, часто со специальной пометкой. Построенные таким образом римские цифры иногда используются до сих пор. В Индии с VI века до н. э. были введены особые знаки для каждой цифры от 1 до 9. Несколько видоизменившись, эти знаки стали современными цифрами.
В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 года н. э.) понадобился новый знак для нуля. Первый код нуля, имеющий вид привычного нам кружка, в само́й Индии найден на надписи 876 года из Гвалиора. Более ранние надписи с изображением нуля обнаружены в Юго-Восточной Азии: относящаяся к 683 году надпись на каменной табличке из развалин храма времён древнекхмерского царства Ченла (по современному административному делению — округ в камбоджийской провинции Кратьэх), и датируемая тем же (или следующим) годом надпись из окрестностей Палембанга (Суматра, Индонезия), который в те времена был столицей древнемалайского царства Шривиджая; в первом случае нуль изображён как жирная точка, во втором — как маленький кружок.


title: История математических обозначений

text:
Учёные и любители предлагали десятки объяснений, почему цифры приняли именно такую форму; одна из таких гипотез известна в изложении А. С. Пушкина. Ф. Кэджори в результате анализа этих объяснений приходит к выводу, что все они представляют собой псевдонаучные фантазии.
«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель они записывали над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489).


title: История математических обозначений

text: Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). Персидский математик Джамшид аль-Каши объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше. В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе. Первые десятичные дроби в Европе описал Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Для наглядности (а также из-за отсутствия общепризнанного десятичного разделителя) Стевин указывал явно номер каждого десятичного разряда — например, число formula_52 он изображал в следующем виде: formula_53. Столь сложное оформление нашло немногих последователей (например, Озанама), большинство математиков сочло его излишним.


title: История математических обозначений

text: Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Дж. А. Маджини (1592) и Непером (1617, впрочем, Непер использовал и точку). Ранее вместо запятой ставили иные символы — Виет использовал вертикальную черту: 3|62 или записывал дробную часть более мелкими цифрами; среди других вариантов — ноль в скобках: 3 (0) 62 или двоеточие. Некоторые авторы, следуя аль-Каши, употребляли чернила разного цвета. В Англии вместо запятой предпочли использовать предложенную Клавиусом в 1593 году точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения Лейбница. Отсутствие унификации символа десятичного разделителя вызвало появление в XVIII—XIX веках множества новых предложений, ни одно из которых не стало общепринятым. Новым фактором во второй половине XX века стало то, что запись числовых констант в большинстве языков программирования допускает в качестве разделителя только англо-американскую точку.


title: История математических обозначений

text: Группировка цифр длинных чисел удобна для их быстрой оценки и сравнения. Рекомендацию на этот счёт сделал уже Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в первом издании своей «Книги абака» (1202); он советовал помечать сотни, сотни тысяч и т. д. штрихом сверху, и одновременно помечать тысячи, миллионы и т. д. штрихом снизу. Во втором издании «Книги абака» (1228) Фибоначчи дал другую рекомендацию: помечать тройки цифр скобкой сверху, например: formula_54


title: История математических обозначений

text: В XIII веке Сакробоско предложил отделять тысячи точками. Лука Пачоли и часть немецких математиков вместо разделительных точек использовали подстрочные, причём число точек соответствовало номеру группы цифр, а Отред употреблял вертикальные чёрточки. В конце концов в большинстве стран победила простая схема Сакробоско, только в Великобритании и США, где точка является десятичным разделителем, она заменена на запятую. В печатных изданиях, по рекомендациям Международного бюро мер и весов и ISO, преобладает нейтральный вариант, восходящий к Пачоли, в котором тройки цифр разделяются неразрывными пробелами: .


title: История математических обозначений

text: С признанием практической ценности отрицательных чисел встал вопрос о способе их записи. Николя Шюке в 1484 году предложил ставить перед ними обозначение formula_55 использовавшееся тогда как знак вычитания. С появлением современных символов плюса и минуса (1489) многие математики стали ставить перед отрицательными числами минус, но часть математиков запротестовала, указывая, что не следует использовать один и тот же символ и как знак числа, и как знак операции вычитания, тем более что минус в роли знака числа легко спутать с тире. Предлагались проекты другой символики для знака числа, например, уголки или изображение убывающей/растущей Луны (см. рисунок). Фаркаш Бойяи предложил использовать для знаков чисел плюс и минус, но выделять их особым начертанием (его плюс походил на мальтийский крест). Всё же двойное употребление минуса закрепилось в науке .


title: История математических обозначений

text: Особые знаки (только для неизвестных величин) использовали ещё вавилонские математики, а среди античных греков — Диофант. Виет первым предложил записывать законы и формулы арифметики в общем, символическом виде, заменяя конкретные числа (не только неизвестные, но и разного рода коэффициенты) буквами (1591 год). Виет обозначал неизвестные величины заглавными буквами гласных ("A, E, I, O, U, Y"), а известные — заглавными согласными.


title: История математических обозначений

text: Другие математики (в частности, Иоганн Ран) предлагали использовать в тех же целях различие заглавных и строчных букв. Декарт в 1637 году предложил более удобную систему: для неизвестных величин используются последние буквы алфавита ("x, y, z"), а для известных — первые ("a, b, c…"), причём не заглавные, а строчные. Ту же тройку formula_56 Декарт использовал в качестве символов координат при построении графиков; сам Декарт, впрочем, ограничился плоскими кривыми, активное использование пространственных координат начал позднее Клеро. Это соглашение укоренилось в науке. О причинах выбора Декартом именно букв "x, y, z" для неизвестных высказывалось множество догадок, ничем, однако, не подтверждённых.


title: История математических обозначений

text: Букву "i" как код мнимой единицы: formula_57 предложил Эйлер в статье "De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem admittunt"; статья, написанная в 1777 году, была опубликована (посмертно) в 1794-м. По общему мнению, Эйлер взял для символа мнимой единицы первую букву латинского слова "imaginarius" (мнимый). Символ был поддержан Гауссом («Арифметические исследования», 1801) и быстро стал общепринятым, хотя многие математики ещё долго продолжали употреблять явную запись радикала: formula_58 Некоторое недоразумение возникло, когда физики стали обозначать буквой formula_59 величину электрического тока; вскоре в электродинамике переменного тока обнаружилась надобность в комплексных числах (для описания колебаний), и во избежание путаницы физики стали обозначать мнимую единицу буквой formula_60.


title: История математических обозначений

text:
Необходимость в обозначениях шестнадцатеричных цифр возникла в 1950-е годы, когда появились ЭВМ с восьмибитовым явно адресуемым байтом; его содержимое было наиболее удобно изображать в виде двух шестнадцатеричных цифр. Для обозначения цифр от 0 до 9 использовались те же символы, что и в десятичной системе, а для шестнадцатеричных цифр от 10 до 15 предлагались разные варианты — цифры от 0 до 5 с чёрточкой (макроном) сверху, буквы от U до Z (компьютеры Bendix G-15, 1956); современная кодировка буквами от A до F появилась в серии IBM System/360 (1964).
Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (), изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой "p" (plus) или латинским словом "et" (союз «и»), а вычитание — буквой "m" (minus), сверху эти буквы часто помечались тильдой. У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки купли и продажи. Некоторые математики XVI—XVII веков использовали латинский или мальтийский крест как вариации плюса, а вместо минуса предлагали тильду или обелюс. Тем не менее плюс и минус получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.
Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия). До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Стевином. Позднее предлагались и другие обозначения: латинское слово "in" (Франсуа Виет), символ прямоугольника formula_61 в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659), буква "x" (Валлис, 1655, возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква "x", и крестик).


title: История математических обозначений

text: Причиной выбора косого крестика в качестве знака умножения стала, скорее всего, распространённая в те годы схема перекрёстного умножения коротких чисел; это тем более вероятно, что до Отреда косой крестик использовался для обозначения других операций, связанных с разного рода перекрёстными вычислениями.


title: История математических обозначений

text: Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой "x"; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд: formula_62 особенно удобной эта компактная запись оказалась для преобразования буквенных выражений.


title: История математических обозначений

text: Герон, Диофант и исламские авторы в качестве знака деления использовали горизонтальную черту дроби. В средневековой Европе деление часто обозначали буквой D. Отред предпочитал косую черту или (иногда) знак правой круглой скобки, последняя встречается и у Штифеля: конструкции formula_63 или formula_64 означали деление formula_65 на formula_66 Двоеточием деление стал обозначать с 1684 года Лейбниц.


title: История математических обозначений

text: В Англии и США получил распространение символ formula_67 (обелюс), который предложил в 1659 году Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла, ранее Жирар использовал этот символ как синоним минуса). Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам () вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.


title: История математических обозначений

text: Круглые скобки появились у Тартальи (1556) для подкоренного выражения, позднее они были поддержаны Клавиусом и Жираром. Бомбелли (1560) использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же, отражённого относительно вертикали (см. рисунок); такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593).


title: История математических обозначений

text: Большинство математиков до XVIII века (включая Ньютона) предпочитали вместо скобок надчёркивать (или подчёркивать) выделяемое выражение. Поскольку это усложняло типографский набор, появились и другие способы. Валлис (1655) вместо скобок использовал двоеточия или двоеточие в начале и точку в конце выражения, например: formula_68 вместо современного formula_69 Предлагались также различные ограничительные конструкции из точек или запятых, неудобные уже потому, что эти символы широко использовались в иных целях. В общее употребление скобки ввели Лейбниц (примерно с 1708 года) и Эйлер.


title: История математических обозначений

text: Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Жирар сформировал этот символ следующим образом: знак плюс, под ним слово «или» (), а ещё ниже — минус: formula_70 Ньютон предложил собственный символ: formula_36 («половина плюса»), не получивший распространения.


title: История математических обозначений

text: Возведение в степень. В Европе сначала степень записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, formula_72 изображалось как formula_73 Отред записывал formula_74 следующим образом: formula_75 (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок). Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.


title: История математических обозначений

text: В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках "перед" этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени; например, formula_76 у него означало formula_77. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали formula_72 в виде formula_79 и formula_80 соответственно.


title: История математических обозначений

text: Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» ("out of fashion"). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743).


title: История математических обозначений

text:
Средневековые математики (например, Пачоли и Кардано) обозначали квадратный корень символом formula_81 или стилизованной комбинацией formula_10 (от , корень).
Некоторую путаницу вносило то, что в XVI веке сокращения formula_81 и formula_10 часто обозначали не только квадратный корень, но и корень уравнения, то есть искомое значение неизвестной; тем не менее эти обозначения были в употреблении у некоторых итальянских и испанских математиков до конца XVII века.


title: История математических обозначений

text:
Современное обозначение знака корня впервые употребил в 1525 году немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова "radix". Черта над подкоренным выражением ("vinculum") вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.
Кубический корень в XVI веке мог обозначаться следующим образом: R.u.cu (от ), были и другие варианты. С появлением современного знака радикала корни степени выше второй некоторое время обозначалась замысловатыми зигзагами, состоящими из «склеенных» соответствующее число раз знаков радикала, или пометкой после радикала — например, formula_85 мог обозначаться formula_86, где буква С означала «кубический», или formula_87 Современное обозначение корня произвольной степени с показателем слева вверху начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу.


title: История математических обозначений

text: Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году.


title: История математических обозначений

text: Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году.


title: История математических обозначений

text:
Обозначение для абсолютной величины и для модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.
В качестве знака равенства математики предлагали самые разные обозначения: подстрочное тире, пробел, слово "est", сокращения слова «равно» ("aequantur, faciunt") и т. п. Современный символ предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Первоначально размер символа Рекорда был переменным — знак могли удлинять, чтобы записанный после него результат попал в нужную колонку на листе с расчётом.


title: История математических обозначений

text: Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В Англии в 1630-е годы символ Рекорда приняли почти все крупные математики, от Хэрриота до Ньютона, но Виет и Жирар этот же символ использовали вместо минуса, а Декарт — как признак, что переменная может иметь любой знак. Декарт предложил для равенства другой символ, напоминающий появившийся в тот же период символ бесконечности Валлиса: formula_88 Довольно экзотический знак равенства из трёх символов: formula_89 отстаивал Эригон (1644); он же предложил ещё один вариант знака: formula_90. Всё это отдалило унификацию столь важного символа; тем не менее во второй половине XVII века символ Рекорда начал вытеснять конкурентов и в континентальной Европе (решающее значение получила поддержка Лейбница и братьев Бернулли) и окончательно утвердился в течение XVIII века.


title: История математических обозначений

text: Многие языки программирования используют знак равенства в качестве символа оператора присваивания.


title: История математических обозначений

text: Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик Зигмунд Гюнтер в 1882 году. Похожий по смыслу и по начертанию символ formula_91 состоящий из знака равенства и тильды над ним, использовал ранее (1777) .


title: История математических обозначений

text: Знак «не равно» впервые встречается, вероятно, у Эйлера; во всяком случае, он это обозначение активно использовал.


title: История математических обозначений

text: Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности.


title: История математических обозначений

text: Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: "больше", "меньше".


title: История математических обозначений

text: Символы нестрогого сравнения первым предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.


title: История математических обозначений

text: Обозначений для пропорции предлагалось множество — Декарт использовал запись formula_92 Отред писал formula_93 и др. В конечном счёте победу одержала современная символика, предложенная Лейбницем в 1708 году.


title: История математических обозначений

text: Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше».


title: История математических обозначений

text: Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок formula_94; современную форму, во избежание путаницы с ранее введенным знаком «меньше», ему придали английские математики Сет Уорд (1654) и Уильям Отред (1657). Прямой угол нередко обозначался буквой "d" (от ‘прямой’).


title: История математических обозначений

text: Символ параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала этот символ выглядел как нынешний знак равенства, но с появлением последнего — во избежание путаницы — Отред (1677), Керси (1673) и другие математики XVII века придали образующим символ линиям вертикальное направление.


title: История математических обозначений

text: Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: "gradus, minutes, secundae" (полностью или сокращённо). Вновь символ градуса использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье; в следующем десятилетии Эразм Рейнгольд, Тихо Браге и Хуан Карамуэль уже используют все три угловых обозначения, после чего эти знаки быстро вошли в общее употребление.


title: История математических обозначений

text: Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин "радиан" придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина. Некоторые авторы предлагали помечать радианные значения буквами formula_95 или надстрочной formula_96 но эти предложения не нашли поддержки, хотя в трудах по геодезии буква formula_95 иногда используется.


title: История математических обозначений

text: Общепринятые ныне обозначения дуг окружности или иной кривой впервые в Европе использовал в своём «Трактате о геометрии» еврейский математик XII века Авраам бар-Хия ("Савасорда"); этот труд сразу перевёл на латинский Платон из Тиволи.


title: История математических обозначений

text: Джон Валлис использовал для отношения длины окружности к диаметру символ квадрата formula_61 (намекая на квадратуру круга) или еврейскую букву מ («мем»), тоже похожую на квадрат. Уильям Отред и Исаак Барроу обозначали это число следующим образом: formula_99: здесь formula_38 обозначает первую букву греческого слова περιφέρεια, ‘окружность’, formula_101 — аналогично для диаметра, так что вся запись есть сокращение для «отношения длины окружности к диаметру».


title: История математических обозначений

text: Общепринятое обозначение formula_38 впервые образовал Уильям Джонс в своём трактате «"Synopsis Palmariorum Matheseos"» (1706 год), он также имел в виду первую букву греческого названия окружности. Это же сокращение позднее решил использовать Эйлер (в ранних трудах он колебался между буквами "c" и "p"). Труды Эйлера в 1740-е годы закрепили обозначение окончательно.


title: История математических обозначений

text: Символы для обозначения подобия или конгруэнтности геометрических фигур предложил Лейбниц в начале XVIII века. У символа конгруэнтности Лейбница, в отличие от современного, была только одна прямая чёрточка под тильдой; современная форма появилась позже сразу у нескольких математиков.


title: История математических обозначений

text: Обозначение formula_103 для отношения золотого сечения (используют также начертание formula_104) предложил американский математик Марк Барр (около 1909). Обозначение восходит к первой букве имени древнегреческого скульптора Фидия (), который, по утверждениям некоторых историков архитектуры, систематически использовал золотое сечение в своих творениях (эти утверждения в настоящее время поставлены под сомнение). В профессиональной математической литературе данное отношение часто обозначают formula_105 (от ‘сечение’).


title: История математических обозначений

text: Символику сравнения по модулю разработал Гаусс, опубликована в 1801 году в его «Арифметических исследованиях». Педантичный Гаусс ставил после кода «mod» точку, поскольку это сокращение от , но его последователи сочли точку излишней.


title: История математических обозначений

text: Вертикальную черту как символ отношения «formula_106 делит formula_107» (или, что то же, «formula_107 делится на formula_106») впервые предложил Эдмунд Ландау в книге «Элементарная теория чисел» (1927); ранее этот символ иногда использовал Годфри Харолд Харди в неопубликованных материалах своего семинара.


title: История математических обозначений

text: Функция Эйлера, играющая важнейшую роль в теории чисел и общей алгебре, появилась у Эйлера в 1760 году, он тогда обозначил её formula_110 современное обозначение предложил Гаусс (1801).


title: История математических обозначений

text: Компактное обозначение для факториала предложил Кристиан Крамп (1808); ранее Эйлер пользовался символом formula_111 а у Гаусса, Якоби и других встречались обозначения formula_112 и formula_113.


title: История математических обозначений

text: Символ «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение "E(x)", предложенное в 1798 году Лежандром.


title: История математических обозначений

text: Две пары символов-уголков, означающие округление вещественного числа до целого в меньшую или бо́льшую сторону соответственно, ввёл Кеннет Айверсон в 1962 году.


title: История математических обозначений

text: Лежандр ввёл для простого числа formula_114 символ, получивший его имя, в своей монографии по теории чисел (1791). Аналогичный по начертанию, но определённый для любого нечётного числа символ опубликовал Якоби (1837).


title: История математических обозначений

text: Первые общие обозначения функций использовал Иоганн Бернулли в 1718 году. Долгое время математики задавали аргументы без скобок: formula_115, скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи formula_116 и др. Но постепенно (у Эйлера — с 1734 года, у Даламбера — с 1754-го) использование скобок стало общим правилом .


title: История математических обозначений

text: Сокращения formula_117 появились ещё в XVII веке, однако до конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было — основание указывалось то левее и выше символа formula_118, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа formula_118. Символ formula_120 для натурального логарифма впервые появляется у Ирвинга Стрингхема (1893).


title: История математических обозначений

text: Первым сокращённые обозначения для синуса, тангенса и секанса предложил Томас Финке (1583), который писал: . Обозначения этих же функций без точки ввёл Уильям Отред (1632); впрочем, многие авторы вплоть до середины XIX века продолжали ставить точку при обозначениях тригонометрических функций. Леонард Эйлер в 1748 году использует написание с точкой ( ), а в 1753 году от точки отказывается (причём наряду с у него появляется и обозначение используемое в русскоязычной литературе).


title: История математических обозначений

text: Финке обозначал косинус, котангенс и косеканс через (где  — сокращение для ‘дополнение’). Среди многочисленных обозначений, предлагавшихся позднее различными авторами, находим у (1674) и а у в его изданном в 1696 трактате — . Написание (без точки) встречается у Эйлера в 1729 году (систематически — с 1753 года); Авраам Кестнер (1758) последовательно применяет обозначения . Согласно Ф. Кэджори, используемое в современной западной литературе обозначение для косеканса появляется в «Трактате по тригонометрии» Оливера, Уэйта и Джонса (1881), а закрепившееся в русскоязычной литературе обозначение для котангенса впервые встречается у Артура Шёнфлиса (1886).


title: История математических обозначений

text: Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки (от ‘дуга’) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: formula_121, но они не прижились.


title: История математических обозначений

text: Гиперболический синус и косинус были введены в употребление Винченцо Риккати (1757), обозначавшим их и . Современный вариант записи ( и ), а также для гиперболического тангенса мы находим у Уильяма Клиффорда (1878). Распространённые в англоязычных странах обозначения и восходят к Иоганну Ламберту (1768). Среди других предлагавшихся обозначений были также и (которые использованы, например, в энциклопедии Брокгауза и Ефрона); ныне эти два обозначения вышли из употребления.


title: История математических обозначений

text: Полезную во многих случаях функцию  (от ‘знак’) начал использовать в своих лекциях Кронекер (1884), но с другим обозначением: . Современный символ ввёл Пеано (1908).


title: История математических обозначений

text: Современные обозначения formula_122 и formula_123 для введённых Эйлером (соответственно, в 1729 и 1730 году) эйлеровых интегралов 2-го и 1-го рода предложены: Адриеном Мари Лежандром (1811) для интеграла 2-го рода и Жаком Филиппом Мари Бине (1839) для интеграла 1-го рода. После этого получили широкое распространение термины «Гамма-функция» и «Бета-функция».


title: История математических обозначений

text: Автором обозначения для интегрального логарифма является Иоганн фон Зольднер (1809). В 1843 году Карл Антон Бретшнайдер ввёл и для интегрального синуса и интегрального косинуса. Оскар Шлёмильх (1846) видоизменил данные обозначения в и , а также ввёл обозначение для интегральной показательной функции.


title: История математических обозначений

text: Обозначение formula_124 для дзета-функции Римана (изучавшейся ещё Эйлером, а позднее П. Л. Чебышёвым), которая играет важнейшую роль в теории чисел, предложил Бернхард Риман в 1857 году.


title: История математических обозначений

text: Обозначения formula_125 formula_126 formula_127 для эллиптических интегралов 1-го, 2-го и 3-го рода (неполных) в нормальной форме Лежандра введены, по существу, самим Лежандром (1825); единственное отличие его нотации от современной — в том, что модуль эллиптического интеграла он обозначал через formula_128 (современное обозначение formula_129 впервые применил Карл Якоби в 1829 году), а переменную formula_104 в списке аргументов ставил на последнее место.


title: История математических обозначений

text: Понятие об амплитуде эллиптического интеграла как о функции, обратной для эллиптического интеграла 1-го рода, и обозначение formula_131 для неё ввёл Карл Якоби (1829).


title: История математических обозначений

text: Основные эллиптические функции Якоби — "синус амплитуды" "косинус амплитуды" и "дельта амплитуды"  — ввёл Якоби (1829), обозначавший их как и (буква заменяет выражение formula_132 что предложил ещё Лежандр в 1825 году). Более компактные обозначения и введены Кристофом Гудерманом (1838). В 1882 году Джеймс Глейшер ввёл обозначения ещё для девяти эллиптических функций: и .


title: История математических обозначений

text: Для эффективного вычисления эллиптических функций Якоби предложил выражать их как отношения , для которых он получил представления в виде быстро сходящихся функциональных рядов. Якоби первоначально обозначал тета-функции formula_133 formula_134 formula_135 formula_136 в 1862 году Карл Вейерштрасс, модифицировавший определения Якоби, ввёл современные обозначения formula_137.


title: История математических обозначений

text: Эллиптическую функцию Вейерштрасса formula_138 (читается: «пэ-функция»; здесь formula_139 — "знак Вейерштрасса", представляющий собой стилизованную букву ) и тесно связанные с ней дзета-функцию Вейерштрасса formula_140 и сигма-функцию Вейерштрасса formula_141 ввёл (вместе с соответствующими обозначениями) Карл Вейерштрасс, который положил их в основу своей общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 года на лекциях в Берлинском университете.


title: История математических обозначений

text: Ставшее ныне общепринятым обозначение formula_142 для функций Бесселя 1-го рода впервые встречается у Айзека Тодхантера (1875). Обозначение formula_143 для функций Бесселя 2-го рода (функций Вебера) ввёл Герман Ганкель (1869), а обозначения formula_144 и formula_145 для функций Бесселя 3-го рода (функций Ганкеля) принадлежат (1902).


title: История математических обозначений

text: Обозначение formula_146 для модифицированных функций Бесселя 1-го рода предложил (1886), а для модифицированных функций Бесселя 2-го рода (функций Макдональда) сохраняется обозначение formula_147 под которым их в 1899 году ввёл Гектор Макдональд.


title: История математических обозначений

text: Обозначение для функции Эйри 1-го рода предложил в 1828 году Гарольд Джеффрис; он использовал первые две буквы фамилии Джорджа Эйри (), который в 1838 году впервые исследовал уравнение Эйри. В 1946 году добавил обозначение для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.


title: История математических обозначений

text: Обозначение formula_148 читается как «B-сплайн степени с номером » (предполагается, что этот сплайн построен по узлам некоторой сетки). Общее определение B-сплайнов для сетки с произвольно распределёнными узлами дано Хаскеллом Карри и Исааком Шёнбергом (1947), которые в своей статье назвали их «базисными сплайнами» и использовали букву "N" вместо "B". Сам термин «B-сплайн» введён Шёнбергом в 1967 году, после чего изменилось и обозначение.


title: История математических обозначений

text: Функция (читается «ап-функция»), которая стала исторически первым и важнейшим примером атомарных функций (представляющих собой бесконечно дифференцируемые аналоги полиномиальных сплайнов), введена с данным обозначением в 1971 году в статье В. Л. Рвачёва и В. А. Рвачёва.


title: История математических обозначений

text: Дельта-функция Дирака , ставшая первым примером обобщённой функции, введена Полем Дираком в его статьях 1927 года. Впрочем, ясное представление об этой функции и её основных свойствах имел уже Хевисайд (1893), у которого она появилась как производная от единичной функции Хевисайда, но специального обозначения не получила.


title: История математических обозначений

text: Понятие вектора ввёл в науку в 1847 году Уильям Роуэн Гамильтон в рамках своей теории кватернионов (назвав "вектором" кватернион с нулевой скалярной частью); он обозначал векторы греческими буквами, а скаляры — латинскими. Впрочем, ещё в 1803 году Лазар Карно пользовался понятием "геометрического количества", понимая под ним в основном направленные отрезки и обозначая отрезок с началом в точке и концом в точке при помощи чёрточки наверху: ; Август Фердинанд Мёбиус в 1827 году предложил представлять такой отрезок в виде разности . Джеймс Клерк Максвелл предпочитал обозначать векторы готическими буквами, основоположники векторного анализа Оливер Хевисайд и Джозайя Уиллард Гиббс — жирным шрифтом. Почти все эти виды символики встречаются до сих пор, особенно часто используются жирный шрифт, чёрточка или стрелка над буквой.


title: История математических обозначений

text: Понятия и обозначения операций над векторами формировались в XIX веке многими математиками, и унификация обозначений до сих пор не достигнута. Грассман записывал векторное произведение в виде formula_149 (1844), а скалярное произведение обозначал formula_150 (1846) или formula_151 (1862); последний вариант неожиданно возродился в XX веке в виде бра-кет символики, введённой Дираком (1939) и используемой в квантовой механике. Хевисайд предпочитал для скалярного произведения простейшую запись в виде formula_152 в то время как Гиббс между операндами скалярного произведения добавлял нижнюю точку, а векторное записывал как formula_153 У Хендрика Лоренца скалярное и векторное произведения выглядели так: formula_154 и formula_155 Запись formula_156 впервые встречается у Олауса Хенрици (1903). Обозначения современных авторов чаще всего варьируют приведённые варианты.