title: 자연철학의 수학적 원리

text: 이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.


title: 자연철학의 수학적 원리

text: 에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다.


title: 자연철학의 수학적 원리

text: 제1편은 운동에 관한 일반적 명제를 논술하였고, 제2편은 매질 속에서의 물체의 운동을 다루고, 마지막 제3편은 코페르니쿠스의 지동설, 케플러의 행성의 타원궤도 등의 행성의 운동을 증명하였다.


title: 자연철학의 수학적 원리

text: 뉴턴은 그의 이론을 기술하기 위해 미적분학을 개발하지만, 이 책에서는 주로 기하학적인 증명 방법을 사용하고 미적분을 거의 사용하지 않고 있는데, 이는 당시의 사람들의 이해력을 고려해서라고 한다.


title: 자연철학의 수학적 원리

text: 1687년에 초판, 1712년 증보 개정판, 그리고 1726년 제3판이 출간되었다.저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다. 이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다. 이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다.


title: 자연철학의 수학적 원리

text: 가장 성과가 많은 부분이다. 태양과 다른 행성들의 질량이 추론되고, 순전히 수량적인 방식을 이용해서 지구의 평평한 모습이 설명되며, 조수의 이론 등이 상세히 제시되고 있다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text: 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
파동 함수 formula_1에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
해밀토니언 연산자 formula_3는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. formula_4는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 formula_5로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
해밀토니언 연산자 formula_6는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.
예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text: 이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를
로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 formula_16를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
위 식들을 각진동수 formula_18와 파수 formula_19 및 formula_20를 이용해 표현하면,
p와 k를 벡터로 표현하면


title: 슈뢰딩거 방정식

text:
에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.
그리고 그는
이므로
이며, 마찬가지로
이므로
이고, 따라서
및 각 방향의 부분들을 더하면
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text: 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.


title: 슈뢰딩거 방정식

text: 또한, 슈뢰딩거 방정식에 비선형적인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.


title: 엔트로피

text: 엔트로피()는 열역학적 계의 유용하지 않은 (일로 변환할 수 없는) 에너지의 흐름을 설명할 때 이용되는 상태 함수다. 통계역학적으로, 주어진 거시적 상태에 대응하는 미시적 상태의 수의 로그로 생각할 수 있다. 엔트로피는 일반적으로 보존되지 않고, 열역학 제2법칙에 따라 시간에 따라 증가한다. 독일의 물리학자 루돌프 클라우지우스가 1850년대 초에 도입하였다. 대개 기호로 라틴 대문자 "S"를 쓴다.


title: 엔트로피

text:
엔트로피에는 열역학적 정의와 통계학적인 정의, 두 가지의 관련된 정의가 있다. 역사적으로, 고전 열역학적 정의가 먼저 발전하였다. 고전 열역학적인 관점에서, 그 이론은 원자나 분자 같은 수많은 성분들로 이루어져 있고, 학설의 안정성은 그러한 성분들의 평균적인 열특성으로 설명된다.
이론을 구성하는 성분의 세부적인 성분들은 직접적으로 보이지 않는다. 그러나 그 특성은 온도, 압력, 엔트로피, 열용량과 같은 눈으로 볼 수 있는 평균적인 지표들에 의해 설명된다. 그 이론의 특성에 관한 고전적인 정의는 평형 상태임을 가정하였다. 엔트로피의 고전 열역학적 정의는 최근 비평형 열역학의 영역으로까지 확대되었다. 이후 엔트로피를 포함한 열특성은 눈으로 볼 수 없는 미시세계에서의 움직임에 대한 정역학적인 관점에서 새롭게 정의되었다. 그 예로 처음에는 기체로 여겨졌지만 시간이 지난 후에 광자, 음자, 스핀과 같은 양자 역학적으로 생각되는 뉴턴 입자가 있다. 이 이론의 특성에 대한 통계학적 설명은 고전적인 열역학을 사용하여 이론의 특성을 정의하는 것이 몇몇 변수의 영향을 받는 이론의 최종적인 상태를 예측하는데 있어서 점점 신뢰할 수 없는 예측 기술이 되어감으로 인하여 필수적인 것이 되었다.
고전적 열역학에서는 엔트로피 "S"의 절대적 값은 정의할 수 없고, 대신 그 상대적 변화만 정의한다. 열적 평형을 이뤄 온도가 formula_1인 계에 열 formula_2를 가하였다고 하자. 이 경우 엔트로피의 증가는 다음과 같이 정의한다.
이 식을 적분하여 유한한 엔트로피 차이를 정의한다.


title: 엔트로피

text:
엔트로피는 온도의 함수로써, 주어진 열이 일로 전환될 수 있는 가능성을 나타낸다. 예를 들어 같은 크기의 열량이라도 고온의 계에 더해졌을 때보다 저온의 계에 더해졌을 경우에 계의 엔트로피가 크게 증가한다. 따라서 엔트로피가 최대일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성은 최소이고, 반대로 엔트로피가 최소일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성이 최대가 된다.
실제로 외부적인 일을 할 수 있는 에너지를 "유용한 에너지", 존재하지만 외부적인 일을 하는 데에 쓰일 수 없는 에너지를 "사용불가능한 에너지"라고 한다. 계의 총 에너지를 "유용한 에너지"와 "사용불가능한 에너지"의 합으로 정의 할 때, 엔트로피는 전체 에너지에서 차지하는 비율이 주어진 계의 절대 온도에 반비례하는 "사용불가능한 에너지"의 일종으로 볼 수 있다. 깁스 자유 에너지 또는 헬름홀츠 자유 에너지와의 관계식에서 "TS" 로 나타나는 것을 생각해 보라.


title: 엔트로피

text: 엔트로피는 계의 자유 에너지를 결정짓는 요소 가운데 하나이다. 온도는 평형 상태에 있는 계에서만 정의되는 값이므로, 이와 같은 엔트로피의 열역학적인 정의는 오직 평형 상태에 있는 계에서만 성립한다. 반면 통계역학적인 엔트로피의 정의는 모든 계에 적용된다 (아래 참고). 따라서 엔트로피의 보다 근본적인 정의로는 통계역학적인 정의를 꼽을 수 있다. 엔트로피의 증가는 흔히 분자들의 무질서도의 증가로 정의되어 왔으며, 최근들어 엔트로피는 에너지의 "분산"으로 해석되고 있다.


title: 엔트로피

text:
통계역학에서는 엔트로피의 차 뿐만 아니라 엔트로피의 절대적 값을 정의할 수 있다. 확률적 상태 분포를 가지는 어떤 계의 앙상블을 생각하자. 여기서 단일계의 상태(미시적 상태) formula_5의 확률을 formula_6라고 하자. 이 경우, 앙상블의 엔트로피는 다음과 같이 정의한다.
고립된 계의 경우, 통상적으로 모든 미시적 상태의 확률이 같다고 가정한다. 즉 formula_8 (여기서 formula_9는 가능한 미시적 상태의 수)다. 이 경우
다. 여기서 "k" 는 볼츠만 상수다. 이 식은 루트비히 볼츠만이 처음 발견하였다.


title: 엔트로피

text:
열저장고와 열적 평형을 이룬 계의 미시상태는 볼츠만 분포 formula_11를 따른다. 이 경우 엔트로피는 다음과 같다.
여기서 formula_13는 분배함수다. formula_14를 헬름홀츠 자유 에너지로 정의하여, formula_15로 쓰기도 한다.


title: 엔트로피

text:
양자역학적 앙상블은 밀도행렬 formula_16로 나타내어진다. 이 경우, 폰노이만 엔트로피()를 다음과 같이 정의한다.
밀도행렬을 대각화하면 그 각 원소는 확률 formula_6가 되므로, 이는 위의 통계역학적 정의와 동등하다. 이 정의는 존 폰 노이만이 발견하였다.


title: 엔트로피

text:
블랙홀은 고전적으로 털없음 정리에 의하여 미시상태가 없다. 그러나 반고전으로 마치 어떤 유한한 엔트로피를 가진 것처럼 행동한다. 이 엔트로피는
다. 여기서 formula_20는 블랙홀의 사건 지평선의 넓이다. 이를 베켄슈타인-호킹 엔트로피()라고 부른다. 이는 야콥 베켄슈타인(, )이 가설을 세웠고, 스티븐 호킹이 반고전적으로 유도하였다. 또한, 특수한 경우 끈 이론이나 루프 양자 중력 등으로 미시적으로 유도할 수도 있다. 블랙홀을 포함하는 계의 경우, 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 무시하고 계산하면 일반적으로 열역학 제2법칙이 성립하지 않고, 이를 포함하여 계산하여야만 성립한다.


title: 엔트로피

text: 정보 이론에서의 엔트로피는 확률 변수의 무질서도의 척도이다.


title: 엔트로피

text: formula_21은 특정 온도 formula_22에서 시스템의 에너지 중에서 일로 변환할 수 없는 에너지를 나타낸다. 따라서 전체 에너지에서 formula_21를 뺀 양이 자유 에너지가 된다.


title: 엔트로피

text: 엔트로피란 우주 내부 어떤 시스템에서 생기는 유용한 에너지가 무용한 에너지로 변화하는 량의 척도이다. 엔트로피를 계를 구성하는 성분들의 배열의 관점에서 바라보게 된다면, 위치 엔트로피와 열 엔트로피로 분류할 수 있다. 여기서 열 엔트로피는 분자들 사이에서의 에너지 양자의 분포들에 의한 구별가능한 배열을 기준으로 하여 계산된 엔트로피를 말한다.


title: 엔트로피

text: 위와 같이 분류한 엔트로피를 계의 관점에서 본 알짜엔트로피 변화를 나타낼 때 이용할 수 있다.


title: 엔트로피

text: 계와 주위가 갖는 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수 있다


엔트로피


title: 엔트로피

text: 여기서 열 엔트로피는 계와 주위 모두에 존재하지만, 계를 제외한 모든 곳을 지칭하는 주위에서 위치 엔트로피의 변화는 너무 광범위하게 이루어지므로 그 변화를 무시할 수 있고, 주위가 갖는 엔트로피 변화에 가장 큰 영향을 미치는 것은 온도, 즉 열 엔트로피이다. 이 때문에 주위의 엔트로피 변화를 열 엔트로피 변화라고 할 수 있다. 그리고 이와 같은 관점에서 계에서 열 엔트로피변화는 분명 존재하긴 하지만 위치 엔트로피의 변화가 더욱 계의 엔트로피변화에 큰 영향을 주기 때문에 계의 엔트로피 변화를 위치 엔트로피의 변화라 할 수 있다.


title: 라플라스 방정식

text:
라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.
formula_1차원 리만 다양체에서 formula_2가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
3차원 유클리드 공간에서는
이므로,
이 된다.


title: 라플라스 방정식

text:
우변을 주어진 함수 formula_6로 바꾼 경우
는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 formula_8인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.


title: 라플라스 방정식

text:
우변을 다음과 같이 바꾸면
헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 formula_10인 경우다.


title: 라플라스 방정식

text: 코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)


title: 라플라스 방정식

text: 라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 formula_11의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 formula_11위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.


title: 라플라스 방정식

text: 라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 formula_13 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.


title: 라플라스 방정식

text: 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.


title: 라플라스 방정식

text:
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
의 형태로 나타난다.


title: 라플라스 방정식

text: formula_16는 격자크기(mesh size)


title: 라플라스 방정식

text: 푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.


title: 라플라스 방정식

text:
복소 범위의 해석적 함수 formula_18의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
formula_19이고
라 하자. formula_21가 해석적이려면
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
이다. 따라서 formula_24 는 라플라스 방정식을 만족한다. formula_25도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.


title: 라플라스 방정식

text:
극좌표계 formula_26에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
이는 함수 formula_29의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는
으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.


title: 라플라스 방정식

text:
3차원 공간에서, 구면좌표계 formula_31에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
여기서 formula_33는 구면 조화 함수이고, formula_34와 formula_35은 임의의 계수다. 물론, formula_18가 원점에서 연속적이려면 formula_37이다.


title: 적분표

text: 적분(積分)은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.


title: 적분표

text: 식에 나오는 formula_1는 적분 상수를 나타낸다.


title: 적분표

text: 어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.


title: 삼각함수

text: 수학에서, 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.


title: 삼각함수

text: 삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(, 기호 sin) · 코사인( , 기호 cos) · 탄젠트(, 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(, 기호 csc) · 시컨트(, 기호 sec) · 코탄젠트(, 기호 cot)라고 한다.


title: 삼각함수

text:
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 formula_1라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.


title: 삼각함수

text: 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A formula_8에 대해, formula_9축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 formula_10 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.


title: 삼각함수

text: 동경선이 역방향으로 움직이면 formula_17값을 갖는다.


title: 삼각함수

text: 오일러의 공식 formula_21에 formula_22를 대입하면,


title: 삼각함수

text: formula_24를 대입하면,


title: 삼각함수

text: 연립하여 풀면, 쌍곡선함수,


title: 삼각함수

text:
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 formula_29인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 formula_30에 대하여,
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 formula_35인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 formula_30에 대하여,


title: 삼각함수

text: 사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 formula_39에서 본질적 특이점을 갖는다.


title: 삼각함수

text: 탄젠트는 실수선의 formula_40 (formula_41)에서 정의되지 않는다.


title: 삼각함수

text: 특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.


title: 삼각함수

text: 각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.


title: 삼각함수

text: 삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 formula_47인 빗변이고 밑변이 formula_48 각 formula_9의 대변인 높이 formula_50에 대하여 formula_51를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.


title: 삼각함수

text:
이것은 다음과 같다.
따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.


title: 삼각함수

text: 서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.


title: 삼각함수

text: 두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.


title: 삼각함수

text: 모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.


title: 삼각함수

text: 다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.


title: 삼각함수

text: 삼각함수 formula_62에 대한 테일러 급수에서의 미분 계산


title: 삼각함수

text:
테일러 급수 formula_63 일때,
삼각함수 formula_63에 대하여 formula_66일 때,
따라서, 삼각함수 formula_63에 대하여,
따라서, formula_76
따라서, formula_78


title: 삼각함수

text: 삼각함수 formula_83에 대한 테일러 급수에서의 미분 계산


title: 삼각함수

text:
테일러 급수 formula_63일 때,
삼각함수 formula_63에 대하여 formula_66일 때,
따라서, 삼각함수 formula_63에 대하여,


title: 삼각함수

text:
따라서, formula_76
따라서, formula_99


title: 삼각함수

text: 사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 "a", "b", "c"에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.


title: 삼각함수

text:
마찬가지로,
도 성립한다. 여기서 "R"은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.


title: 삼각함수

text: 코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.


title: 삼각함수

text: 코사인 제 1 법칙에 따르면,


title: 삼각함수

text: 앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.


title: 삼각함수

text:
코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
와 같이 나타낼 수 있다.


title: 삼각함수

text: 코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.


title: 삼각함수

text: 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 "a", "b"에 다음과 같은 식을 만족시킨다.


title: 르장드르 다항식

text:
르장드르 다항식() formula_1는 르장드르 미분 방정식()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,
이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.


title: 르장드르 다항식

text: 구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.


title: 르장드르 다항식

text: formula_4인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.


title: 르장드르 다항식

text: 르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.


title: 르장드르 다항식

text:
르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1] 에서 formula_13 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
여기서 formula_15은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.
여기서 고윳값 formula_17이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)


title: 르장드르 다항식

text: 르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.


title: 르장드르 다항식

text: 로드리게스 공식()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.


title: 르장드르 다항식

text: 르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.


title: 르장드르 다항식

text: 르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.


title: 르장드르 다항식

text:
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.


title: 소수

text: 소수에는 다음과 같은 뜻이 있다.


title: 로봇

text: 로봇(, )은 사람과 유사한 모습과 기능을 가진 기계, 또는 무엇인가 스스로 작업하는 능력을 가진 기계를 말한다. 제조공장에서 조립, 용접, 핸들링 등을 수행하는 자동화된 로봇을 산업용 로봇이라 하고, 환경을 인식하고 스스로 판단하는 기능을 가진 로봇을 '지능형 로봇'이라 부른다. 사람과 닮은 모습을 한 로봇을 '안드로이드'라 부르기도 한다. 그리고 다른 뜻은 형태가 있으며, 자신이 생각할 수 있는 능력을 가진 기계라고도 한다.


title: 로봇

text: 인공의 동력을 사용하는 로봇은 사람 대신, 또는 사람과 함께 일을 하기도 한다. 통상 로봇은 제작자가 계획한 일을 하도록 설계된다.


title: 로봇

text: '로봇'이란 용어는 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Carel Čapek)가 1920년에 발표한 희곡 "R.U.R"에 쓴 것이 퍼져 일반적으로 사용되게 되었다. 체코어로 "노동"을 의미하는 "robota"가 어원이다.


title: 로봇

text: Robot이라는 말은 1920년 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)의 희곡 R.U.R.(Rosuum' s Universal Robots)에서 처음 사용되었다. 로봇의 어원은 체코어의 노동을 의미하는 단어 'robota'에서 나왔다고 알려지고 있다. 차페크는 R.U.R.에서 모든 작업능력에서 인간과 동등하거나 그 이상이면서 인간적 “감정”이나 “혼”을 가지고 있지 않은 로봇이라고 불리는 인조인간을 등장시키고 있다. 로봇은 언젠가 쇠조각으로 변하여 반항하는 정신을 발달시킴으로써 자신들의 창조주인 인간을 전부 죽여 버린다고 하는 비극을 인상적으로 나타내고 있다.


title: 로봇

text: 로보틱스(Robotics)라는 말은 로봇의 활용과 로봇 공학을 의미한다. 이 말은 미국 과학자이면서 작가인 아이작 아시모프(Issac Asimov; 1920년 1월 2일 ~ 1992년 4월 6일)가 1942년에 발간한 단편 Runaround에서 최초로 사용하였다.


title: 로봇

text: 명사로서 로봇(robot)은 다음의 의미를 지닌다.


title: 로봇

text: 공포를 주거나 유머스런 행동을 하는 융통성이 없는 기계 인간


title: 로봇

text: 일할 수 있는 능력은 있어도 생각할 수 있는 능력이 없는 인간을 닮은 것.


title: 로봇

text:
팔과 손을 가지고, 인간에게 프로그래밍되어 여러 가지 연속 동작이나 운반 작업을 하고, 주위를 잘 보고, 애초부터 결정된 방법으로 자기의 운동을 조절하여 움직일 수 있는 기계이다.
아이작 아시모프가 1950년 발간한 소설인 'I'Robot'에서 제안된 로봇의 행동에 관한 3가지 원칙이다.


title: 로봇

text: 제1법칙:로봇은 인간에게 해를 끼쳐서는 안 되며, 위험에 처해 있는 인간을 방관해서도 안 된다.


title: 로봇

text: 제2법칙:로봇은 인간의 명령에 반드시 복종해야만 한다. 단, 제1법칙을 거스를 경우에는 제외다.


title: 로봇

text: 제3법칙:로봇은 자기 자신을 보호해야만 한다. 단, 제1법칙과 제2법칙을 거스를 경우는 예외다.


title: 로봇

text: 군사용 로봇이 공격의 기능을 갖출 경우, 첫 번째 원칙에 위배되게 된다.


title: 로봇

text: 그동안 인간이 해 오던 많은 일들을 지금은 로봇이 대신하고 있다. 산업 현장에는 단조로운 반복 작업이나 따분한 작업, 불쾌한 작업들이 많은데, 이와 같은 작업은 특히 로봇에게 맡기기에 적합하다. 조립 공장에서 리벳 박는 일, 용접, 자동차 차체를 칠하는 일 등은 그 좋은 예이다. 이런 종류의 작업은 로봇 쪽이 인간보다 더 잘 해낼 수 있다. 왜냐하면 로봇은 언제나 일정한 수준의 정밀도와 정확도로 작업을 계속할 수 있으며, 결코 지칠 줄 모르기 때문이다. 따라서 제품의 품질은 항상 일정하며 게다가 휴식을 취할 필요가 없기 때문에 많은 양의 제품을 만들 수 있다.


title: 로봇

text: 또한 로봇은 위험한 작업을 대신할 수가 있다. 방호복을 입지 않고 원자력 공장에서 방사성 물질을 취급하거나, 유독 화학 물질을 취급할 수가 있으며, 인간에게는 너무 덥거나 추운 환경에서도 일할 수가 있다. 인간의 생명이 위험에 노출될 수 있는 곳에서도 로봇을 사용할 수 있다. 예를 들면 폭발물을 수색하거나 폭탄의 뇌관을 제거하는 일, 그리고 우주 공간에서의 작업도 그중의 하나이다.


title: 로봇

text: 로봇은 우주 공간에서의 작업에 특히 이상적이다. 지구를 돌고 있는 인공위성을 수리하거나 유지하는 데 사용되기도 하고, 보이저호와 같이 탐사와 발견을 목적으로 먼 천체까지 비행하는 데도 로봇이 사용된다.


title: 로봇

text: 한편 가정에서도 점점 많은 로봇이 가사를 돕기 위해 사용되고 있다. 그리고 육체적인 장애를 가진 사람들을 돌보는 일에도 많이 이용될 것으로 기대된다. 로봇 간호보조자는 장애자나 노령으로 인해 체력이 약해진 사람들이 가족들에게서 독립하여 혼자서도 살 수 있도록 해주며, 병원에 입원하지 않아도 될 수 있도록 도와 주게 될 것이다.


title: 로봇

text: 로봇이 사용되는 분야의 예를 들면 다음과 같다.


title: 로봇

text: 주로 힘이나 정밀도를 요하는 작업 담당


title: 로봇

text: 공장에서 제품을 생산할 때 컴퓨터를 이용하면, 제품의 생산 계획이나 설계·제조·보관·출고에 이르기까지 거의 모든 일을 처리할 수 있다. 기계 공업에서 가장 많이 사용하는 공작 기계는 금속 등을 가공할 때 사용된다. 과거에는 이 기계를 사용하기 위해 고도의 숙련된 기술이 필요했다. 그러나 최근에는 수치 제어 공작 기계가 개발되어 기술이 없어도 금속을 가공할 수 있게 되었다. 수치 제어 공작 기계는 가공하는 작업의 순서와 내용을 수치 정보로 만들어 기계에 입력시키면 기계가 자동적으로 가공 작업을 하는 것이다. 이 수치 제어 공작 기계와 자료의 입력 관리를 맡는 컴퓨터가 결합하여 만들어진 것이 컴퓨터 수치 제어 공작 기계이다. 이 수치 제어 기계에서 더 발전하여 복잡한 가공을 할 수 있도록 만든 장치가 공작 로봇이다.


title: 로봇

text: 주로 인내심을 요하는 작업 담당


title: 로봇

text: 주로 위험한 환경에서의 작업 담당


title: 로봇

text: 미국에서는 로봇이 생활에 도움을 주는 기계라기보다 앞으로 인류를 위협할지도 모른다는 생각이 있어서 주로 터미네이터 등 영화에서는 로봇이 인류를 위협하는 존재로 나와 있다. 또 무인 조종 비행기 등 군사에서 쓰는 군사 로봇이 가장 잘 발달되어 있다.


title: 로봇

text: 2015년, 미국의 로봇 제조사인 한슨 로보틱스에서 일상을 위한 최신 인공지능 로봇 , '한(Han)'을 공개하였다. 한은 사람과 대화를 할 수 있는 건 물론, 사람의 표정, 성, 나이 등을 캐치할 수 있다. 한의 가장 놀라운 점은 인간같은 표정을 지을 수 있다는 것이다.


title: 로봇

text: 일본 에도 시대에는 가라쿠리 인형 같은 로봇이 있었다. 일본은 아시모등과 같은 휴머노이드형 로봇이나 소니의 AIBO와 같은 애완용 로봇 그리고 산업용 로봇 외에도 인간의 모습에 가까운 로봇 개발에 힘쓰고 있다. 아톰, 건담 같은 로봇 애니메이션이 대중적인 인기를 얻고 있다.


title: 로봇

text: 중국에서는 로봇을 산업이나 가정에 도움을 주는 기계라보다는 사람이 조종하는 꼭두각시라고 생각한다. 그러나 중국은 미국과 일본, 심지어는 대한민국까지도 로봇공학에 힘을 쏟고 있다는 것을 인식하자 이들에게 뒤떨어지지 않기 위해 2000년에 선행자(先行者)라는 이름의 직립보행형 로봇을 개발하기도 했으나 선행자의 양 다리 사이에 설치된 파이프 모양의 부속으로 인하여 일본에서 '최종중화병기 선행자'라는 애니메이션이 발표되는 등 개그캐릭터로서 폭발적인 인기를 끌기도 했다.


title: 로봇

text: 조선시대에 물의 힘으로 여러 인형이 작동하는 물시계 자격루와 옥루를 제작하였다. 한국은 초기에는 산업이나 경제에 필요한 기계를 제작하였고, 근래에 들어서는 휴머노이드형 로봇 개발에 힘쓰고 있다. 로봇은 산업 뿐 아니라 대회에서 인간을 대신하여 겨루는 용도로도 제작되고 있다. 또한 물리적인 움직임 없이 사람과 의사소통하며 감정을 교류하는 소셜 로봇도 있다. 예를 들면, 2015년 5월 글로벌 크라우드 펀딩 사이트인 인디고고(Indiegogo)를 통해 처음으로 세상에 소개된 뮤지오가 있다.


title: 깊은 생각

text: 깊은 생각()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.


title: 깊은 생각

text: 소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.


title: 깊은 생각

text: 원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다.


title: 깊은 생각

text: 체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.


title: 표준 모형

text:
소립자 물리학의 표준 모형(標準模型, )은 자연계의 기본 입자와, 중력을 제외한 그 상호작용 (강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기 상호작용)을 다루는 게이지 이론이다. 강력을 다루는 양자 색역학과, 약력과 전자기력을 다루는 와인버그-살람 이론으로 이루어진다. 표준 모형에 따르면, 전자와 중성미자 및 기타 렙톤은 기본 입자이나, 강입자는 쿼크로 이루어진다. 이들은 게이지 보손에 의하여 상호작용한다. 게이지 보손은 이론의 대칭을 나타낸다. 표준 모형의 대칭 가운데 강한 상호작용의 대칭은 색가둠으로 인하여 간접적으로만 관찰할 수 있고, 약한 상호작용의 대칭은 힉스 메커니즘으로 인하여 깨진다. 따라서 거시적으로는 전자기 상호작용의 대칭만 쉽게 관찰할 수 있다.
표준 모형은 실험적으로 힉스 메커니즘을 제외하고 1980년대에 완성되었다. 힉스 메커니즘은 2010년대 초에 실험적인 증거가 발견되었다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형에서는 중성미자와 게이지 보손, 힉스 보손을 제외한 모든 입자를 디랙 입자로 나타낸다. 이들 입자는 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하를 가지고, 그 반입자와 서로 다르다. 표준 모형은 이들 입자의 질량을 예측하지 못하나, 대체로 세대가 높을 수록 더 무겁다. 표준 모형의 디랙 입자 중, 강하게 상호작용하는 입자는 쿼크, 그렇지 않는 입자는 중성미자와 함께 렙톤으로 분류한다. 쿼크는 ±⅓ 혹은 ±⅔의 전하를 가지고, 중성미자가 아닌 렙톤은 ±1의 전하를 가진다. 이들 입자는 힉스 메커니즘으로 질량을 얻는다. 중성미자는 바일 입자(손지기 페르미온)으로 나타낸다. 즉 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하가 없고, 그 반입자와 다른 손지기(chirality)를 가진다.


title: 표준 모형

text: 6종의 쿼크 맛깔은 시간이 지나면서 서로 다른 맛깔의 쿼크로 변할 수 있는데, 이를 쿼크 섞임이라고 한다. 쿼크가 섞이는 정도는 CKM행렬이라는 수학적 개체로 나타낸다. 이는 이탈리아의 니콜라 카비보(Nicola Cabbibo)와 일본의 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 도입하였다. 예를 들어, 중성자는 양성자로 붕괴할 수 있다 (베타 붕괴). 이 과정에서 아래 쿼크는 위 쿼크로 바뀐다. 쿼크 섞임 때문에 표준 모형은 CP 대칭을 보존하지 않는다.


title: 표준 모형

text: 렙톤의 경우, 표준 모형에서는 렙톤이 섞이지 않는다. 즉, 표준모형은 세 종류의 렙톤 수 (전자 수, 뮤온 수, 타우온 수)를 개별적으로 보존한다.


title: 표준 모형

text: 표준모형의 페르미온은 다음과 같이 세 세대로 나뉜다. 각 세대의 서로 대응되는 입자는 질량을 제외하고는 정확히 같은 성질을 지닌다. 표준 모형은 왜 세대 구조가 존재하는지 설명하지 못한다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형은 게이지군이 SU(3)×SU(2)×U(1)인 게이지 이론이다. 이 중 강력은 SU(3), 약전자기력은 SU(2)×U(1)에 해당한다. 낮은 에너지에서, 약전자기력의 대칭은 힉스 메커니즘에 의해 자발적으로 깨져 전자기력의 U(1)만 남고, 나머지는 약력을 이룬다. 이 과정으로 인해 힉스 보손과 약력의 게이지 보손은 질량을 얻는다. (여기서 U(1)와 U(1)은 서로 다른 군이다.)


title: 표준 모형

text:
강력의 게이지 보손은 글루온이다. SU(3)가 8차원이므로, 글루온은 총 여덟가지의 색을 지닌다. 강력은 오직 쿼크에만 작용하고, 렙톤에는 작용하지 않는다. 쿼크는 세가지의 색을 지닌다. 이를 가시광선의 삼원색을 따서 통상적으로 빨강, 초록, 파랑으로 부른다. 이 때문에 강한 상호작용을 기술하는 양자장론을 양자 색역학이라고 일컫는다.
글루온을 통하여 쿼크의 색이 바뀔 수 있다. 따라서 글루온의 색을 3가지의 색을 다른 색으로 바꾸는 조합 (초록→빨강, 빨강→파랑 등)으로 볼 수 있다. 3가지의 색을 다른 3가지로 바꾸는 조합은 총 3×3=9가지이나, 그중 모든 색을 그대로 두는 (빨강→빨강, 초록→초록, 파랑→파랑) 변환을 제외하여 8가지의 색이 남는다.


title: 표준 모형

text:
전약력의 게이지 보손은 SU(2)×U(1)이 4차원이므로 4종인데, 이는
대칭 깨짐 이전의 W, W, W (약한 아이소스핀, SU(2)), B (약한 초전하, U(1))에 해당한다.
대칭 깨짐 이후, W과 B는 광자와 Z보손으로 섞인다.
전약력의 게이지 군 가운데 SU(2)의 전하는 약한 아이소스핀, U(1)의 전하는 약한 초전하이다. 대칭이 깨지면서, 약한 아이소스핀의 한 성분과 약한 초전하가 섞여 양자전기역학의 대칭군 U(1)을 이룬다.


title: 표준 모형

text:
표준 모형은 대부분의 양자장론처럼 많은 수의 대칭을 지닌다. 대칭은 다음과 같이 분류할 수 있다.
자연계에서 약력은 C 대칭과 P 대칭을 최대로 깬다. 따라서 표준 모형은 이들을 따르지 않는다. 강력의 경우 이론적으로 C 대칭을 깰 수 있으나 (강력 CP 문제), 이는 관측 불가능할 정도로 작다. 약력은 2세대 이하에서는 CP 대칭을 보존하지만 3세대 이상으로는 CP 대칭을 깬다 (CP 위반). 표준 모형은 다른 모든 특수상대론적 이론과 같이 푸앵카레 대칭을 따르므로 CPT 정리에 따라 CPT 대칭을 따른다. CPT는 이산대칭이기 때문에 뇌터 정리에 해당하지 않고,연관된 보존량도 없다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형은 SU(3)×SU(2)×U(1)의 대칭군을 가진 게이지 이론이다. 여기서 SU(3)은 색력에 해당하고, SU(2)×U(1)은 전약력에 해당한다. SU(2)를 약한 아이소스핀, U(1)을 약한 초전하라고 부른다. 이 중 SU(2)×U(1)은 U(1)으로 깨지게 된다. 여기서 깨진 후 남은 U(1)은 전자기 대칭으로, 약한 초전하의 U(1)과는 다르다. 이에 따라 표준 모형은 색전하, 약한 아이소스핀, 약한 초전하를 보존한다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형은 건드림이론 수준에서 네 가지의 전반적 (global) 우연대칭 (accidental symmetry)을 가진다. 이는 쿼크 위상 회전, 전자 위상 회전, 뮤온 위상 회전, 타우온 위상 회전이다. 이에 따라, 표준 모형은 바리온 수, 전자 수, 뮤온 수, 타우온 수를 보존한다. 이들은 우연대칭이기 때문에, 대통일 이론에서 깨질 수 있다. 실제로 전자 수, 뮤온 수, 타우온 수의 개별적인 보존은 중성미자 진동에 의하여 반증되었다. 또한, 우연대칭은 건드림이론에서는 성립하지만 비(非)건드림적인 효과로 인해 깨질 수 있다. 실제로 표준 모형에서는 비건드림적 효과로 인하여 바리온 수와 렙톤 수가 개별적으로 보존되지 않는다. 즉 "B+L"은 보존되지 않을 수 있다. 이를 스팔레론(sphaleron)이라고 부른다. 그러나 "B−L"은 비건드림적으로도 보존된다. 물론 모든 비건드림이론적 효과는 대부분의 경우 극히 미미하고, 빅뱅 초기 (바리온 생성 및 렙톤 생성)를 제외하고는 관측하기 힘들다. 이 밖에도, 표준 모형은 각종 근사적인 맛깔 대칭을 지닌다. 가장 기본적으로 아이소스핀의 SU(2)와 이를 초전하로 확장한 SU(3)이 있고, 이를 다른 쿼크를 도입하여 더 확장할 수 있다. 맛깔 대칭은 쿼크의 질량에 의하여 깨진다. 질량이 클 수록 깨지는 정도도 더 심하다.


title: 표준 모형

text: 아래의 표는 표준 모형에 등장하는 모든 마당을 정리한 것이다. 이 가운데 페르미온 장 (스핀 ½)은 질량을 제외하고 모든 성질이 같은 두 개의 세대가 더 존재하지만, 생략하였다.


title: 표준 모형

text: 이 표는 왼손 바일 스피너 대신에 오른손 바일 스피너로 적을 수도 있다. 그렇게 하면, 모든 쿼크를 반쿼크로 바꾸어야 한다. 이는 약력은 전반성 (P) 대칭을 최대로 불복하기 때문이다. 또한, 표준 모형에서 중성미자는 오직 왼손만 존재한다. 즉 모든 중성미자는 왼손잡이며, 반중성미자는 오른손잡이다.


title: 표준 모형

text:
페르미온의 경우, 왼손 입자(formula_1, formula_2)는 SU(2)의 기본표현(fundamental representation)을 따르나, 왼손 반입자(formula_3, formula_4, formula_5)는 SU(2)에 따라 변환하자 않는다. (반)쿼크(formula_1, formula_7, formula_8)는 SU(3)의 (반)기본표현을 따르나, 렙톤(formula_2, formula_5)은 SU(3)에 따라 변환하지 않는다.
게이지 장(formula_11, formula_12, formula_13)은 해당 게이지 대칭에 대하여 딸림표현을 따르고, 로렌츠 벡터이며, 다른 게이지 대칭에는 변환하지 않는다.


title: 표준 모형

text:
표준 모형은 19개의 상수를 포함한다.
표준 모형은 이론적으로 여러가지의 결함을 가지고 있고, 또 현상론적으로 관측된 일부 현상을 설명하지 못한다.
이 때문에 학자들은 표준모형이 더 기본적인 이론을 근사하는 유효 이론이며, 더 높은 에너지에서는 표준모형이 다루지 않는 새 현상이 나타나리라고 기대한다. 거대 하드론 충돌기에서 행해지는 여러 실험은 표준모형의 한계를 드러낼 것이다.
표준 모형은 이론적으로 여러 자연스러움 (naturality) 문제를 안고 있다. 이는 표준 모형에 등장하는 몇몇 상수가 너무나 큰 값 또는 작은 값을 가지는 것이다. 이런 문제를 해결하려면 대개 더 강력한 대칭을 도입하여 상수가 왜 그렇게 크거나 작은 값을 가지는지 설명해야한다. 이런 종류의 이론은 대통일 이론이나 초대칭 따위가 있다.


title: 표준 모형

text: 또한, 표준 모형은 여러가지로 임의적인 면이 있다. 표준 모형은 3세대로 구성되어 있지만, 왜 3세대로 구성되었는지 설명하지 않는다. 2세대가 발견되었을 때, 이지도어 아이작 라비는 "누가 그걸 주문했어?"라고 외칠 정도로, 세대의 존재와 그 수는 언뜻 보면 불필요한 구조다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형은 전하의 양자화를 설명하지 않는다. 폴 디랙은 전하의 양자화를 설명하려면 자기 홀극이 필요하다는 사실을 보였으나 표준 모형은 자기 홀극을 포함하지 않는다.


title: 표준 모형

text: 또한 표준 모형은 19개의 자유 변수를 가진다. 이 자유 변수의 수는 기본 이론이라고 보기에는 너무 많다.


title: 표준 모형

text: 표준 모형은 입자 물리학의 거의 모든 실험 결과를 오차 범위 안으로 설명한다. 그러나 표준모형은 중력을 다루지 않는다. 또 표준 모형은 중성미자를 무질량 입자로 다루지만, 실제로 중성미자는 아주 작지만 영이 아닌 질량을 가진다 (중성미자 진동). 이 질량이 어떤 종류인지 (즉 중성미자가 디랙 입자인지 마요라나 입자인지) 아직 확실하지 않다.


title: 표준 모형

text: 또한 표준 모형은 아무런 암흑 물질 입자를 포함하지 않는다. 표준 모형에서 암흑 물질로 간주할 수 있는 입자는 중성미자밖에 없는데, 중성미자는 이론적으로 전체 암흑 물질 양의 소량만을 차지한다.


title: 쿼크

text: 쿼크()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다. 경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다. 중입자와 중간자를 이룬다. 이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 '쿼크'(quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야 》 12장 '신부선(新婦船)과 갈매기'에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다.


title: 쿼크

text: 쿼크는 총 6가지의 종류(type)이 있으며, 다음과 같다.


title: 쿼크

text: 각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 반쿼크()가 존재한다. 반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다. 각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다. 쿼크는 3세대가 있는데 1세대는 위·아래(up·down) 쿼크, 2세대에 맵시·기묘(charm·strange) 쿼크, 3세대에 꼭대기·바닥(top·bottom) 쿼크로 나눈다.


title: 쿼크

text: 쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다. 기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다. 전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷, )란 물리량을 갖는데, 이 양은 '빨강', '초록', 혹은 '파랑'으로 나타낸다. 이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 '무색'이어야 한다고 말한다. 반쿼크는 '반빨강', '반초록', '반파랑'의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.)


title: 쿼크

text: 양자 색역학의 색가둠 현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다. 중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다. 중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다. 이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다. 쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다.


title: 쿼크

text:
"쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다.
여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다.


title: 중력 상수

text:
중력 상수(重力常數, , 기호 "G"), 만유인력 상수 또는 뉴턴 상수는 중력의 세기를 나타내는 기초 물리 상수다. 중력을 다루는 모든 이론, 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 등장한다. 과학 기술 데이터 위원회 2010년 자료
에 따르면, 국제단위계에서의 값은 다음과 같다.
그 밖에 국제 천문 연맹에서 제공하는 자료도 권위도 있다.


title: 중력 상수

text:
만유인력의 법칙에 따르면, 두 물체 사이의 중력적 인력은 그 두 질량의 곱에 비례하며 거리의 제곱에 반비례한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
이 식에서 비례 상수 formula_2를 중력 상수라고 일컫는다.


title: 중력 상수

text: 중력은 자연의 다른 세 상호작용보다 상대적으로 약하다. 예를 들어 두 대의 3000 kg의 자동차가 각각의 질량 중심에 대해 3 m 떨어져 있을 때 두 자동차에 작용하는 중력은 약 67 µN밖에 되지 않는다. 이는 모래 알갱이의 무게 정도의 힘에 해당한다.


title: 중력 상수

text: 중력 상수는 헨리 캐번디시가 처음으로 측정하였다. 실험을 위해 막대의 양 끝에 납으로 된 공을 매달고 이를 줄에 매달아 수평 방향으로만 회전하게 한다. 막대의 관성 모멘트는 막대가 복원력에 의해 진동하는 주기를 측정하여 알아낼 수 있다. 막대의 한쪽 끝에 다른 공을 가까이 대면 중력에 의해 서로 끌어당기게 되고 막대가 회전한 각도를 측정하여 이 힘을 알아낼 수 있다. (캐번디시의 실험의 본 목적은 중력 상수의 측정이 아니라, 지구의 질량을 측정하는 것이었다. 지구 표면의 중력장은 쉽게 측정할 수 있기 때문에, 지구의 크기와 중력 상수를 알면 지구의 질량을 계산할 수 있다.)


title: 중력 상수

text: 중력 상수의 측정은 캐번디시의 실험 이후로 점차 정확도가 향상되어 왔다. 중력이 다른 기본 상호 작용에 대해 매우 약하고, 다른 물체의 영향을 없애기 어렵기 때문에 중력 상수 formula_3를 측정하는 것은 여러 모로 어렵다. 게다가 중력과 다른 상호 작용 사이에 알려진 상관 관계가 없기 때문에 간접적으로 이를 측정할 수 없다. 최근의 리뷰(Gilles, 1997)에 따르면, 중력 상수의 측정값은 크게 변해 왔고, 최근의 몇몇 측정값은 실제로는 서로 배타적이라고 한다.


title: 중력 상수

text: formula_4 곱 또는 표준 중력 변수는 여러가지 중력과 관계된 수식을 간단히 표현하는 데 자주 활용된다. 특히 태양계에 대해 중력 법칙을 이용할 때 매우 높은 정확도로 측정할 수 있기 때문에 빈번하게 사용된다. 중력 상수의 정확도가 높지 않은 데 반해 행성의 위치나 중력 가속도와 같은 양은 매우 정확하게 측정할 수 있다. 따라서 중력 상수와 질량의 곱은 매우 정확하게 알아낼 수 있다(따라서 지구나 태양의 질량의 측정값의 정확도는 중력 상수의 정확도에 의존한다.). 태양계에서의 중력을 계산할 때 거의 대부분의 계산에서 GM 값이 함께 붙어서 나오며, 대부분의 계산에서 이 둘을 따로 대입할 필요가 없어 정확도를 높일 수 있다. 표준 중력 변수의 값은 formula_5로도 표시하며 국제단위계에서 다음과 같은 값을 갖는다.


title: 중력 상수

text:
천체 역학에서는 주로 국제단위계의 킬로그램보다 태양 질량을 기준으로 한 단위계를 사용하는 것이 계산에 편하다. 이 단위계로 쓴 중력 상수를 가우스 중력 상수() formula_7라 부르며,그 값은 다음과 같다.
여기서 formula_9는 천문 단위, formula_10는 평균 태양일, 그리고 formula_11는 태양의 질량이다.


title: 중력 상수

text: 중력 상수를 플랑크 상수와 광속을 이용하여, 임의적인 기본 단위가 전혀 없는 단위계를 만들 수 있다. 이를 막스 플랑크의 이름을 따 플랑크 단위계라고 부른다. 플랑크 단위계에서 중력 상수는 플랑크 상수와 진공에서의 빛의 속도와 함께 모두 1로 맞추어진다.


title: 변형력

text: 변형력(變形力, )은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. 응력(應力)이라고도 한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다.


title: 변형력

text: 사실상 응력의 개념은 연속체(Continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다.


title: 변형력

text: 응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다.


title: 변형력

text: 일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 "모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다"라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉,


title: 변형력

text: 실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다.


title: 변형력

text: 이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.


title: 대수학

text: 대수학(代數學, 독일어,영어: Algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 반군•군•환•가군•체•벡터 공간•격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.


title: 대수학

text: 대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.


title: 대수학

text: 기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 한 분야라고 볼 수 있다.


title: 대수학

text: 대수학은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 «알 자브르 왈 무카발라»라는 책 제목에 그 기원을 두고 있다. 이 책에서 그는 대수적 방법들의 근거에 대해서 설명하고 있으며, 책의 제목은 "이항과 약분"으로 번역되기도 한다.


title: 대수학

text: 대수학은 대수(代數, 수를 대신함)라는 명칭 그대로, 수를 대신해서 문자를 사용하는 방법으로, 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문에서 시작되었다. 대수(algebra)의 어원은 9세기의 페르시아의 수학자 콰리즈미의 저서인 《약분·소거 계산론》(, 820년)에서 비롯되었다. 이 책의 원 제목에 있는 는 (흩어진 것을) 묶음을 의미하며, 방정식에서 항들을 묶어서 소거함을 뜻한다. 이 책은 체스터의 로버트 또는 배스의 아델라드()가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역하여, 이후 500년 간에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.


title: 대수학

text: 19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.


title: 군론

text: 군론(群論, )은 군에 대해 연구하는 대수학의 한 분야이다. 수학의 여러 분야의 기초가 되며, 양자역학 등의 물리학 분야에 많이 응용된다.


title: 군론

text: 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.


title: 선형결합

text: 선형대수학에서, 선형결합(線型結合, ) 또는 일차결합(一次結合)은 벡터들을 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 조합하여 새로운 벡터를 얻는 연산이다. 벡터 공간에서의 가장 기본적인 연산이다. formula_1에서 formula_2이며, 이는 벡터의 선형결합의 예이다.


title: 선형결합

text: formula_3를 체 formula_4 위의 벡터 공간이라고 하자. 벡터 formula_5의 계수 formula_6에 의한 선형(일차)결합은 다음과 같은 벡터이다.


title: 파동 방정식

text: 물리학과 수학에서, 파동 방정식(波動方程式, )은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다.


title: 파동 방정식

text:
파동 방정식은 formula_1에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다.
여기서 formula_3는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 formula_3는 다양한 값을 가질 수 있다.
formula_1는 시각 formula_6, 위치 formula_7에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 formula_8는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. formula_9는 위치 formula_10에 대한 라플라스 연산자이다.


title: 파동 방정식

text: 기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.


title: 파동 방정식

text: formula_10축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.


title: 파동 방정식

text: 2차원에선 다음과 같다.


title: 파동 방정식

text: 식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.


title: 파동 방정식

text: 현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다.


title: 비오-사바르 법칙

text: 비오-사바르 법칙(Biot-Savart法則, )은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다.


title: 비오-사바르 법칙

text:
원점 formula_1에 전류 formula_2가 무한소의 길이의 전선 formula_3을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 formula_4은 다음과 같다.
여기서 formula_6은 formula_7의 방향의 단위벡터이고, formula_8은 진공의 투자율이다.


title: 비오-사바르 법칙

text: 유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다.


title: 비오-사바르 법칙

text: 직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다.


title: 비오-사바르 법칙

text:
원형 도선 중심에서의 자기장
원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다.


title: 비오-사바르 법칙

text:
r=x+R이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다.
원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다.
formula_9


title: 비오-사바르 법칙

text: 이므로 x=0일 때 formula_10 가 된다.


title: 구골

text: 구골(Googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉, 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다.


title: 구골

text: 이 수의 이름은 1938년 미국의 수학자 에드워스 카스너(Edward Kasner)의 9살짜리 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에 의해 지어졌다. 카스너는 이 개념을 저서 수학과 상상(Mathematics and the Imagination)에 수록했다.


title: 구골

text:
이 수의 학문적인 중요성은 그리 크지 않고, 다만 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 카스너는 이 수를 매우 큰 수와 무한대의 차이를 보이기 위해 고안했다. 이것은, "무한대와 구골의 차이는 무한대와 1의 차이와 같다"라는 칼 세이건의 말에서도 잘 드러난다. 구골은 우주의 모든 원자의 수보다 많은 상당히 큰 수이다.
지금으로부터 1구골년 후 우주는 마지막남은 유일한 블랙홀이 호킹 복사에 의하여 증발한다여담으로 인터넷 검색엔진 업체 구글(Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다.
마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다.


title: 구글

text: 구글 LLC()는 전 세계의 정보를 체계화하여 모든 사용자가 편리하게 이용할 수 있도록 하는 것을 목표로 하는 미국의 다국적 기업이다. 검색 서비스 제공을 주력으로 한다. 구글 검색은 2018년 5월 기준 전 세계 검색량의 90%를 점유하고 있다. 2008년 웹 페이지 인덱스 수가 1조를 돌파했다.


title: 구글

text: 1998년에 'BackRub'(등 주무르기)이라는 이름으로 검색 서비스를 시작하였다. 이후 구글(Google)로 이름을 변경하였는데, 이는 10을 뜻하는 구골을 고의적으로 변경 표기한 것에서 유래되었다. 매우 큰 유한수를 의미하는 이 단어는 '엄청난 규모의 검색엔진을 만들겠다'는 설립자들의 목표와 맞아 떨어졌으나 당시 이미 '구골'이라는 사이트가 존재하여 구글이 되었다. '왓박스'(whatbox)라는 이름도 고려되었으나 포르노 사이트인 웻박스(watbox)와 유사해 제외되었다.


title: 구글

text: 구글은 세계 최대의 검색엔진으로 현재 나스닥에 상장된 기업이다. 특히 영어권에서는 독보적인 점유율을 보이고 있다.


title: 구글

text: 2006년, 구글은 유튜브라는 세계 최대의 동영상 공유 사이트를 인수했다. 같은해 11월, 유튜브의 하루 방문자는 2,500만 명으로 추정되었다. 2007년, 구글은 최고의 디지털 마케팅 회사인 더블클릭을 인수했고, 같은해 더블클릭은 하루 170억 개의 광고를 집행했다. 그리하여 구글은 2008년, 증권거래위원회에 보낸 공개문서에서 구글은 "우리는 기술회사로 시작해서 소프트웨어, 기술, 인터넷, 광고, 미디어 회사가 모두 하나로 합해진 기업으로 진화했다" 고 말했다. 230억 달러에 달하는 미국 온라인 광고 시장과 540억 달러에 달하는 전 세계 온라인 광고 시장의 40%를 독식했다.


title: 구글

text: 구글은 PDF, 포스트스크립트, 마이크로소프트 워드, 어도비 플래시 문서들을 포함한 웹 문서 검색 서비스를 제공한다. 이 외에 구글 이미지 검색, Google 뉴스 한국, 구글 뉴스그룹, 구글 웹 디렉토리, 구글 비디오, Froogle 서비스에서 이름이 변경된 상품 검색, 구글 맵, 구글 어스 등의 주요 검색 서비스가 있다.


title: 구글

text: 또한 검색 서비스 외에 추가적인 서비스들을 제공하는데 이에는 2004년 시작된 이메일 서비스인 Gmail 과 YouTube, 피카사, Google 사전, Google 리더, iGoogle, 기업 사용자를 위해서 각종 웹 애플리케이션을 제공하는 구글 앱스  등이 있다.


title: 구글

text: 2011년, 모토로라 인코퍼레이티드는 휴대전화사업과 본사의 사업부분이 불안정적으로 운영됨에 대한 걱정과 사업부 실적의 부진으로 인해 사업부가 모토로라 인코퍼레이티드의 자회사로 분리하기로 결정하였다.


title: 구글

text:
2011년 모토로라는 더 발전적이고 공격적인 사업을 위해 새로운 모기업을 찾게되고, 대상기업이 된 구글은 인수할때 각 주당 63%의 경영권 프리미엄을 얹어 총 125억 달러(당시 한화 약 13조5천125억원)에 인수하기로 결정하였다.
구글의 인수에도 불구하고, 모토로라는 여전히 기존 장치의 안드로이드 버전 업그레이드 서비스와 신제품을 출시하기 위해 노력하고 있다.


title: 구글

text: 2014년, 구글은 모토로라의 분리된 사업부 중 '스마트폰 제조분야'를 매각하기로 결정하였고 레노버에게 총 29억1천만 달러(당시 한화 약 3조100억원)에 매각하기로 결정하였다.


title: 구글

text: 웹 크롤러는 사용자가 검색하기 전에 수천억 개에 달하는 웹페이지에서 정보를 모아 이를 검색 색인에 정리한다.


title: 구글

text: 크롤러는 과거 크롤링으로 만들어진 웹 주소 목록과 웹사이트 소유자가 제공한 사이트맵에서 크롤링을 시작한다. 웹사이트를 방문한 크롤러는 사이트에 있는 링크를 사용하여 다른 페이지를 찾는다. 크롤링하는 동안 새로운 사이트, 기존 사이트의 변경사항, 깨진 링크를 주의 깊게 살핀다. 크롤링할 사이트, 크롤링 횟수 및 각 사이트에서 가져올 페이지 수는 컴퓨터 프로그램이 결정한다.


title: 구글

text: 구글에서는 사이트 소유자에게 웹마스터 도구를 제공하여 사이트 소유자가 구글에서 사이트를 크롤링하는 방법의 세부 사항까지 스스로 결정할 수 있도록 한다. 사이트 소유자는 페이지를 어떻게 처리할 것인지에 관해 자세한 지침을 제공할 수 있으며, 재크롤링을 요청하거나 'robots.txt'라는 파일을 사용하여 아예 페이지가 크롤링되지 않도록 할 수도 있다. 구글은 비용을 받고 특정 사이트를 더 자주 크롤링하지 않으며 사용자에게 최고의 검색결과를 보장하기 위하여 모든 웹사이트에 동일한 도구를 제공한다.


title: 구글

text: 사용자에게 수십억 개의 웹페이지가 아닌 질문에 대한 답을 제공하기 위해, 구글의 검색 알고리즘은 크게 다섯 가지 방법을 활용한다. 검색어의 의미를 이해하기 위해 단어를 분석하기, 검색어와 일치하는 정보가 포함된 웹페이지를 검색하기, 페이지의 유용성을 평가하여 순위를 매기기, 사용자의 위치나 이전 검색 기록과 같은 맥락을 고려하여 사용자에게 알맞은 검색 결과를 제공하기, 검색 결과가 사용자의 검색 유형에 유용한지 고려하여 최상의 결과를 제공하기.


title: 구글

text: 구글은 광고주에게 애드워즈 프로그램을 제공한다. 이 프로그램을 통해 입찰함으로써 검색 결과 옆에 뜨는 텍스트 광고를 구매할 수 있다. 희소성이 높은 키워드는 클릭당 광고비가 더 비싸게 책정된다.


title: 구글

text: 애드센스를 통해서 광고를 하고 싶어하는 회사와 관련 사이트를 연결하는 역할을 한다. 애드워즈와 유사한 자동화 프로그램을 통해 둘을 연결해 준다.


title: 구글

text: 구글은 클릭당 지불 데이터를 가지고 해당 광고를 클릭 할 때만 비용을 내도록 한다.


title: 구글

text: 구글 애널리틱스(Google Analytics)는 광고주에게 해당 광고의 효과를 즉시 확인 할 수 있는 무료 툴을 제공한다. 이 프로그램은 매시간 클릭수와 판매량, 해당 키워드의 트래픽, 클릭이 판매로 이어진 비율 등 광고 효과를 즉각 확인 할 수 있게 해준다.


title: 구글

text: 미디어 업체로 하여금 광고 판매에 들어가는 비용을 줄임으로써 롱테일(long tail)이라는 형태로 변화하도록 한다. 그렇게 한다면 기존에는 광고를 잘 하지 않던 이들까지도 타킷팅이 잘 된 저렴한 광고를 구매하도록 끌어들일 수 있다는 것이다.


title: 구글

text: 구글은 사용자들에게 신문이나 책, 잡지를 자유롭게 검색하도록 권장한다. 해당 발행물들 역시 검색 트래픽을 활용해서 무료로 자신들을 홍보하고 광고를 판매해 수익을 창출한다. TV 방송사나 영화사들은 유튜브를 홍보채널 겸 온라인 배급시스템으로 활용하도록 권장한다. 광고주들에게는 구글이 2007년에 인수한 디지털 광고 서비스 업체 더블클릭(Doubleclick)을 통해 온라인 광고를 하도록 권한다.


title: 구글

text: 구글의 수입은 2004년 32억 달러이던 것이 2007년에는 166억 달러로 뛰었다. 세계적 불황을 비웃기라도 하듯, 구글은 2008년에 42억 달러의 수익을 거두었고 매출은 218억 달러로 상승했다. 그리고 그 가운데 97%가 광고 수입이었다.


title: 구글

text: 2008년, 구글의 광고 수입은 5개 방송사(CBS, NBC, ABC, FOX, CW)의 광고 수입을 합한 것에 맞먹었다. 2011년에 이르면 미국 내 웹 광고는 600억 달러(전체 13%)에 달할 것으로 전망된다. 게다가 구글은 tv, 라디오, 신문에 광고를 판매함으로써 시장점유율을 가일층 확대할 사업구상을 이미 개시했다.


title: 구글

text: 사용자가 텍스트 광고를 클릭할 때만 광고료를 부과해서 광고주들 중에서 우군을 확보했고, 무료이자 2009년 초반까지 광고가 붙지 않았던 구글 뉴스로 뉴스독자들 중에서 우군을 확보했으며, 광고 수익과 신규 고객을 발생시켜 줌으로써 웹사이트와 소규모 사업자들 중에서 우군을 확보했다. 구글은 두 번째 경매 프로그램 애드센스 때부터 수입의 20%만 자기 주머니에 넣고 나머지는 웹사이트들에게, 아니 구글 표현을 빌리자면 사업 파트너들에게 돌려 주었다. 2008년에 구글은 총 50억 달러가 넘는 돈을 수십만에 달하는 '파트너들'에게 제공했다.


title: 구글

text: G메일, 구글 뉴스, 구글 어스, 구글 맵스, 구글 비디오, 구글 번역, 피카사(Picasa-디지털 사진 공유), 구글 북스(발행된 모든 책 검색), 구글 트렌드 (검색량 통계 제공), 오컷(Orkut-인맥, 친목 사이트), 여기에 데스크톱(Desktop)이나 문서도구(Docs) 같은 '클라우드 컴퓨팅(cloud computing)' 응용 프로그램까지 제공한다.


title: 구글

text: 구글에서 사용하는 컴퓨터는 보통 PC들로 구성된 컴퓨터 클러스터들인데, 이 클러스터들은 일을 병렬적으로 처리하여 방대한 양의 데이터베이스를 처리한다. 특히 여러 대의 PC를 운영하면서 계속적인 데이터베이스를 처리하기 위해 한 컴퓨터에 오류가 났을 경우 그 컴퓨터는 꺼지고, 다른 컴퓨터가 일을 계속 처리하도록 한다. 구글은 이러한 방식이 거대하고 비싼 컴퓨터(서버)를 대신하는 대안이 될 수 있음을 증명했고 이러한 방식을 지금도 사용하고 있다.


title: 구글

text: 최근에는 인공지능 사업에도 투자를 하여 알파고나 무인자동차의 영역에서 활발히 활동하고 있다.


title: 구글

text: 구글의 철학은 "You can make money without doing evil."(악해지지 않고도 돈을 벌 수 있다.)와, "You can be serious without a suit."(정장없이도 진지해질 수 있다) 그리고 "Work should be challenging and the challenge should be fun."(일은 도전이어야 하고 도전은 재미가 있어야 한다) 이다. 'Don't Be Evil' (나쁜 짓을 하지 말자)이라는 철학에도 불구하고 오랜 기간 사용자 컴퓨터 내에 살아 있는 쿠키에 대한 비난으로, 미국의 인권단체 'Public Information Research' 에 의해, 구글은 빅브라더 상(Big Brother Awards)의 후보가 되기도 했다.


title: 구글

text:
구글은 형식을 따지지 않는 자유롭고 재미있는 기업 문화로 잘 알려져 있다. 2007, 2008 구글은 가장 일하기 좋은 장소로 뽑혔다.
구글 엔지니어들은 '직감'으로 결정을 내리지 않는다. 인간관계나 판단력 같은 것은 정량화 할 수 없기 때문이다. 그들은 경험보다는 효율을 중시한다. 그들은 사실과 베타 테스트와 수학적 논리를 추구한다.


title: 구글

text:
구글은 지구 온난화 문제에도 관심을 보인다. 구글은 사옥 지붕에 미국 기업 캠퍼스 가운데 가장 큰 태양광 패널을 설치하여 1천 가구에 전력을 공급할 만한 전기를 생산한다. 외부 주차장에 태양발전소를 두어 하이브리드 자동차를 충전할 수 있게 했고, 연비가 좋은 하이브리드 자동차를 구매하는 직원에게는 장려금 (처음에는 5천 달러, 현재는 3천 달러)을 제공한다. 구글은 수익의 1%를 때어내 자선사업 부문인 구글 파운데이션에 보낸다. 넓은 캠퍼스 부지 내에서의 건물 간 이동을 위해 신청에 의해 차량을 제공하기도 하지만, 온실가스 배출을 최소화하고 직원들의 건강에도 이바지하기 위해 구글이 제공하는 자전거가 도처에 배치되어 있다.
구글이 1999년 8월 처음 구글플렉스로 이주했을때, 거기에는 '직원들이 내부 일에만 집중하게 하겠다'는 결의가 반영되어 있었다. 구글플렉스에는 2~3층짜리 나지막한 건물이 모여있고, 건물 밖에는 야외테이블과 벤치, 울창한 나무들, 채소 정원, 사람과 자전거로 활기 넘치는 산책로가 있다. 직원들은 무료 식사와 다과를 즐기고 (매년 구글은 여기에만 7천만 달러 정도를 쓴다), 트레이너가 대기하는 체육관과 마사지실이 붙어 있는 건물들 사이로 이동할 자전거를 지급받는다. 직원들은 커다란 카페테리아 탁자에서 식사하고, 당구대와 에스프레소 기계가 있는 라운지에서 쉰다. 세차나 오일 교환 때문에 캠퍼스를 떠날 필요도 없다. 목요일이면 검진 차량이 찾아오고 뿐만 아니라 이발사, 세탁업자, 보모, 애완동물 도우미, 치과의사, 그리고 무료 검진 담당의도 5명이나 있다. 편안한 좌석에 무선인터넷이 완비된 바이오 디젤 통근 버스가 직원들을 멀게는 샌프란시스코까지 늦은 밤까지 실어 나른다. 노트북 컴퓨터도 살 필요가 없다. 그저 마음에 드는 모델을 고르기만 하면 된다. 여성은 출산 휴가를 5개월간 유급으로 낼 수 있고, 신생아 아빠는 마찬가지로 유급으로 7주 휴가를 낼 수 있다.
모든 구글 엔지니어들은 업무 시간중 20%(주 5일 근무 기준으로 일주일중 하루)를 그들이 흥미로워하는 프로젝트에 사용하도록 권장된다. 몇몇 구글의 새로운 서비스들, 예를 들어 Gmail, 구글 뉴스, Orkut, AdSense는 이러한 직원들의 독립적인 프로젝트들에 의해서 시작되었다. 구글의 검색 제품 및 고객 경험 파트의 부사장인 매리싸 마이어는 스탠퍼드 대학에서의 연설에서 새로 론칭되는 서비스의 50%가 이러한 20% 시간을 통해 시작되었다고 말한 바 있다.


title: 구글

text: 간단히 요약하면 돈을 벌때 나쁜일이 아닌 좋은 일을 통해 돈을 벌자는 의미이다.


title: 구글

text: 구글은 한국의 포털사이트인 다음, 네이버와 다르게 고객센터를 두고 있지 않다. 따라서, 구글직원과 직접 연락하는 방법은 없다. 그러나 포럼을 통하여 google employee와 의견 공유가 가능하다.


title: 구글

text: 블로그, 카페, 웹페이지에서 적었던 글은 구글로봇이 수집하여 보관한다. 이를 삭제하려면 웹마스터도구를 이용해야 하는데, 구글의 삭제조건에 들지 않으면 삭제되지 않는다. 하지만 최근 유럽연합에서 잊힐수 있는 권리에 대해서 인정함에 따라, 이에 맞추어 구글도 지울 수 있도록 구글로봇을 수정하고 있다.


title: 구글

text: 블로그 검색을 통해 블로거의 글을 검색할 수 있다. 다만, 블로그를 폐쇄했어도 자신이 작성했던 글에 대해선 계속 검색이 되어 삭제할 방법이 없다. 설사 웹마스터를 통해 삭제를 했어도 블로그 검색에 있던 글은 영구적으로 삭제가 불가능하며, 글을 재발행하는 방법밖엔 없다.


title: 구글

text: 2014년 3월 20일, 구글 메인페이지에 이와 관련한 내용이 게시되었다. 이에 따르면 구글은 2009년 10월 5일부터 2010년 5월 10일까지 스트리트 뷰 서비스와 관련하여 사용자의 동의 없이 개인정보를 수집하였다고 한다. 이는 정보통신망 이용촉진 및 정보보호 등에 관한 법률을 위반한 것으로 방송통신위원회로부터 시정명령을 받았다.


title: 구글

text:
한국어판 구글 어시스턴트에서 재밌는 얘기를 해달라고 하자 나치의 만행인 홀로코스트를 재밌는 이야기랍시고 유머로서 소비하여 국내에서 논란이 일기도 했다. 홀로코스트가 뭔지 알면 누구나 개그로 하기에는 부적절하다는건 잘 알테다.
이에 분노한 네티즌들은 한국어 어시스턴트를 설계한 담당자를 당장 구글로부터 해고하라는 등의 분노를 표출 했으며, 트위터나 여러 SNS에선 구글 어시스턴트 삭제 인증을 하거나 아예 사용도 안 했으며, 더 나아가 아예 안드로이드 스마트폰을 쓰지 말고 아이폰을 쓰자며 불매운동까지 일어났다.
결국 이 사건은 독일을 비롯한 해외에도 퍼졌으며 당장 시정하고 사과할 것을 구글에 요구했다. 다행히도 문제가 되는 회화는 어시스턴트에서 지워졌으나 이에 대한 해명은 하지 않아 문제가 되고있다.


title: 구글

text: 심지어 해당 설계를 한 구글 직원이 어떤 징계를 받았는지도 아무도 모른다.


title: 구글

text: 구글에 가입하려면 대부분의 국가에서는 13세 이상이어야 한다. 다만 대한민국과 스페인에서는 14세 이상, 네덜란드에서는 16세 이상 가입할 수 있다.


title: 구글

text: 일부 구글 서비스는 특정 연령 요건이 있다.


title: 코리올리 효과

text: 코리올리 효과 (Coriolis effect)는 전향력 또는 코리올리 힘(Coriolis force)라고도 하며, 회전하는 계에서 느껴지는 관성력으로, 1835년 프랑스의 과학자 코리올리가 처음 설명해 냈다.


title: 코리올리 효과

text: 굵은 글꼴은 그 물리량이 벡터라는 점을 나타내고, m은 질량, v는 물체의 계에서의 속도를, Ω는 계가 돌고 있는 각속도를 나타낸다.


title: 코리올리 효과

text:
코리올리 힘의 발생원인은 각운동량 보존법칙에 의해 발생한다. 각운동량 보존법칙은 각운동량이 시간에 대해 일정하다는 것을 말한다.
만약 어떤 원점을 기준으로 계에 돌림힘이 작용하지 않으면
이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 각운동량 보존법칙 또는 간단히 각운동량보존이라고 부른다.


title: 코리올리 효과

text: 회전하는 좌표계 내에서 물체가 운동을 하는 경우 회전축에 대해 반지름이 줄어드는 경우에는 줄어드는 반지름에 대해 속도가 변화하게 된다. 이 결과 회전좌표계는 코리올리힘과, 가로힘이 발생한다.


title: 코리올리 효과

text: 좌표계 x, y, z와 좌표계 x', y', z'을 보자 두 좌표계의 원점은 같다. 각각의 경우에 대해 벡터 formula_4.은 두 좌표계에서 다음과 같이 표시된다.


title: 코리올리 효과

text: formula_5. (x, y, z 좌표)


title: 코리올리 효과

text:
formula_6. (x', y', z' 좌표계)
벡터의 내적을 이용해 x, y, z를 (formula_7.), (formula_8.), (formula_9.) 으로 표현할 수 있다. 내적의 방법은 다음과 같다.


코리올리 효과


title: 코리올리 효과

text: 으로 표현되는 것을 확인할 수 있다.


title: 코리올리 효과

text:
벡터 formula_13.가 축 ox를 기준으로 formula_14.의 각속도로 회전하고 있다고 하자.
그런경우 벡터 formula_13.의 속도 formula_16. 는 다음과 같이 표현된다.


title: 코리올리 효과

text: 회전좌표계의 경우에는 원점을 기준으로 좌표축 x', y', z' 이 회전하는 것으로 생각할 수 있다. 좌표계가 서로 다른 경우 두 좌표계에서 상대적인 속도는 다음과 같다.


title: 코리올리 효과

text: 이를 바탕으로 회전좌표계에서 x', y', z' 의 단위벡터의 회전을 적용하여 표현하면 다음과 같다.


title: 코리올리 효과

text: 축의 회전에 따른 속도는 formula_25 이다. 이를 한번 더 시간에 대해 미분을 하면 다음과 같다.


title: 코리올리 효과

text: 뉴턴의 운동방정식이 x, y, z 좌표계에서 성립한다고 가정하면 x', y', z' 좌표계에서 아래의 식을 만족한다.


title: 코리올리 효과

text: 우변의 둘째, 셋째 그리고 넷째 항을 왼쪽으로 옮기면 뉴턴의 운동 방정식과 비슷한 꼴의 운동방정식이 된다.


title: 코리올리 효과

text: 오른쪽 둘째 항은 코리올리 힘이라고 부른다. 그리고 오른쪽 셋째 항은 원심력이라고 한다. 마지막 항은 특별한 이름이 없는데 회전 각속도가 일정하지 않은 경우에만 나타난다. 원심력과 코리올리 힘을 도입한다면, 회전하고 있는 좌표계에 대한 운동방정식은 고정된 좌표계에 대해서 같다. 그리고 원심력과 코리올리 힘은 실제 힘이 아니라 회전하고 있는 좌표계에서 나타나는 힘이다.


title: 코리올리 효과

text:
적도에서 북풍이 부는 경우에도 바람은 코리올리 힘을 받게 된다. 코리올리 힘은 다음과 같은 공식에 의해 계산된다.
지구는 자전축을 중심으로 formula_33의 각속도로 회전하고 있고, 바람은 formula_34 북쪽으로 이동한다고 할 수 있지만 실제 지구는 둥글기 때문에 기울어져서 고위도쪽을 향하게 된다. 이때 코리올리 정리를 통해 바람이 받는 힘의 방향을 알 수 있다. 이 때의 코리올리 힘의 방향은 동쪽을 향하게 된다. 즉 운동방향에 대해 오른쪽으로 편향하게 된다는 것을 확인할 수 있다. 수식의 결과가 아니라 각운동량 보존법칙을 적용해보아도 쉽게 우측편향된다는 것을 확인할 수 있다. 적도를 중심으로 바람이 고위도 쪽으로 바람이 부는 경우 지구가 타원형이기 때문에 고위도쪽으로 이동할 수록 자전축에 대해 거리가 줄어들게 된다. 이 때에도 각운동량은 보존되어야 한다. 회전축을 중심으로 거리가 줄어들었기 때문에 각속도가 그만큼 증가해야 할 것이다. 이렇게 생각한다면 고위도로 바람이 불면 불수록 반지름이 더더욱 줄어들기 때문에 상대적으로 각속도는 증가하게 된다. 그결과 바람은 우측편향하여 불게 된다.


title: 코리올리 효과

text:
코리올리의 힘이 적용되는 또 다른 예는 푸코의 진자이다. 푸코의 진자는 어떤 수직면에서 자유롭게 흔들리는 줄에 매단 추이다. 진자는 정확한 수직면에서 흔들리기 시작하는데, 진동하는 수직축에 대해 몇 시간의 주기 동안 천천히 옆돌기를 한다. 진자가 긴 시간의 주기동안에 자유로이 계속하여 흔들릴 수 있도록, 추는 무거운 것으로 하고 줄은 아주 길게 한다.
질량 m인 흔들이 추의 운동의 중심을 원점으로 택하고, 이때 벡터 formula_35은 진자의 작은 진동에 대해 거의 수평이다. 북반구에서
formula_33는 수직과 예각을 이룬다. 줄의 장력을 formula_37 라고 쓰고, 회전좌표계에서 발생하는 원심력과 중력을 formula_38 라고 생각하면 추의 운동방정식은 다음과 같이 전개 된다.


title: 코리올리 효과

text: 코리올리 힘에 의해 진자는 수평방향으로 일정한 각속도formula_40로 진동을 하게 된다. 그리고 formula_41 을 회전축을 삼고, formula_40로 회전하는 좌표계를 새로 도입하면 이 계에 대한 시간 도함수는 formula_43 로 나타날 것이다. 그러므로 formula_44 를 formula_45로 나타낸 것은 다음과 같다.


title: 코리올리 효과

text: 이를 추의 운동방정식에 적용하면 다음과 같은 식이 된다.


title: 코리올리 효과

text: 각속도formula_40로 회전을 하는 좌표계를 중심으로 나타내면 다음과 같다.


title: 코리올리 효과

text: 위의 식에서 오른쪽에 있는 모든 벡터는 마지막 항을 빼고는 진자가 있는 수직면에 있다. 하지만 작은 진동에 대해 formula_52 이 실제로 수평이므로, formula_53 를 수평으로 만들어 마지막 항도 이 수직면에 있도록 할 수 있다.


title: 코리올리 효과

text:
formula_56 는 돌고있는 지구의 각속도이고, formula_40 는 지구에 대해 돌고있는 좌표계의 각속도이다. formula_58 는 지구 축과 수직사이의 각이다. 수직은 formula_59 방향을 따른다.
위의 식을 보면 결과적으로 지구에서 푸코의 진자는 각속도 formula_40 로 옆으로 회전한다는 것을 말한다. 북반구에서 내려다 볼 때 그 회전은 시계방향이 된다.


title: 벡터곱

text: 벡터곱(vector곱, ) 또는 외적(外積)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘등의 공식에 등장한다.


title: 벡터곱

text: 두 벡터 formula_1 와 formula_2의 벡터곱은 formula_3라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 formula_4라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.


title: 벡터곱

text: 식에서 formula_6는 formula_1와 formula_2가 이루는 각을 나타내며, formula_9은 formula_1와 formula_2에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.


title: 벡터곱

text: 위 정의에서의 문제점은 formula_1와 formula_2에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, formula_14이 수직이면, formula_15도 수직이다.


title: 벡터곱

text: 어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향()에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 formula_3는, formula_17가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 또한 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다.)


title: 벡터곱

text: 벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.


title: 벡터곱

text: a, b, c ∈ R, α ∈ R이라 하자.


title: 벡터곱

text: 벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.


title: 벡터곱

text: 7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.


title: 벡터곱

text: 7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.


title: 빅토르 초이

text: 빅토르 로베르토비치 초이(, 1962년 6월 21일 ~ 1990년 8월 15일)는 소련의 록 가수이자, 싱어송라이터 겸 영화배우이며, 소련 록 음악 밴드 키노(КИНО)의 리더였다.


title: 빅토르 초이

text: 빅토르 초이는 1962년 6월 21일에 소련 레닌그라드에서 아버지 로베르트 막시모비치 초이(최동열)와 우크라이나계 러시아인 출신 어머니 사이에서 슬하 무녀독남 외동아들로 출생하였다. 친조부 막심 초이(최승준)는 본래 대한제국 함경북도 성진 출생이었고 후일 일제 강점기 초기에 러시아 제국으로 건너간 고려인 출신이었다. 소련 카자흐스탄 사회주의 자치공화국 키질로르다에서 잠시 유년기를 보낸 적이 있는 그는 17세 때부터 노래를 작곡하기 시작했으며, 초기 곡들은 레닌그라드 거리에서의 삶, 사랑과 친구들과의 어울림 등을 다루고 있다. 노래의 주인공은 주로 한정된 기회만이 주어진 채 각박한 세상을 살아나가려는 젊은이였다. 이 시기에 록은 레닌그라드에서만 태동하고 있던 언더그라운드의 한 움직임이었으며, 음악 차트 등의 대중 매체들은 모스크바의 팝 스타들이 장악하고 있었다. 소련 정부는 자신들의 입맛에 맞는 가수들에게만 허가를 내 주었고, 집과 녹음실 등 성공이 필요한 많은 것들을 제공하여 길들였다. 그러나 록 음악은 그 당시 소련 정부에게 너무도 마땅치 않은 음악이었다. 록은 자본주의 진영의 록 그룹의 영향을 받았다는 것 외에도 젊은이들을 반항적으로 만들었으며, 의사 표현의 자유 등 표현 관련 가치를 중시했다. 따라서 록 밴드들은 정부로부터 거의 원조를 받지 못했고 관영 매체에 의해 마약 중독자나 부랑자라는 편견으로 그려지는 수준이었다.


title: 빅토르 초이

text: 빅토르 초이는 레닌그라드에 있는 세로프 미술전문학교에 입학였으나, 결국 낮은 성적 때문에 1977년에 퇴학 처분을 받았다. 그 후 레닌그라드 기술전문학교에서 목공업을 공부하였으나, 적성에 맞지 않아 또 중퇴하였다(). 그러나 그는 이럼에도 불구하고 계속 록 음악에 열성적으로 참여한다. 이 시기에 이르러 그는 보일러 수리공으로 일을 하면서 파티 등의 장소에서 자신이 만든 곡을 연주하기 시작한다. 그러던 중 한 연주를 록 그룹 아쿠아리움의 멤버였던 보리스 그레벤시코프가 보게 되어, 그레벤시코프의 도움으로 그는 자신의 밴드를 시작하게 된다.


title: 빅토르 초이

text: 레닌그라드의 록 클럽은 록 밴드들이 연주할 수 있던 극소수 장소에 속했다. 이곳의 연중 록 콘서트에서 빅토르 초이는 처음 무대에 데뷔하게 된다. 그는 두 명의 아쿠아리움의 멤버들이 연주를 맡은 가운데 솔로로 연주한다. 그의 혁신적인 가사와 음악은 청중을 사로잡았다. 그가 유명해지기 전에 그는 음악하는 사람들이 도전하려고 하지 않는다고 말했다. 그는 아무도 하지 않았던 새로운 것을 창조하기 위해 실험적으로 가사와 음악을 만들었다. 이런 시도는 성공을 거두고, 데뷰이후 얼마 지나지 않아 멤버들을 모아 키노(러시아어로 영화, 극장이라는 뜻이다)를 결성한다. 그들은 빅토르 초이의 아파트에서 데모 테이프를 만들고, 이 테입은 처음엔 레닌그라드, 그리고 나중에는 전국의 록 매니아들에게 퍼지게 된다.


title: 빅토르 초이

text: 1982년 키노는 첫 앨범인 45(소로크 피아트; 러시아어로 45라는 뜻)를 발표한다. 이 앨범의 이름이 45로 정해진 것은, 이 앨범의 재생시간이 총 45분이었기 때문이다. (후에 46(쏘록 쉐스찌)라는 앨범도 냈다.) 이 앨범에서 빅토르 초이는 음악에 정치적 목소리를 내려는 의지를 내비친다. "엘렉트리치카(Elektrichka, 소련의 광역 전철)"이란 노래는 원치 않은 곳으로 가는 전차에 끼여 끌려가고 있는 사람의 이야기를 다룬다. 이런 가사는 분명히 당시의 소련에서의 삶을 은유한 것이었으며, 이 노래는 공연이 금지된다. 이 노래의 메시지로 노래는 반항운동을 하던 젊은이들 사이에 유명해지며 키노와 빅토르 초이는 그들의 우상으로 떠오른다. 제2회 레닌그라드 록 클럽 콘서트에서 키노는 자신의 정치색을 더욱 분명히 드러낸다. 키노는 빅토르 초이의 반전음악 작품인 "내 집을 비핵화지대로 선포한다."으로 1등을 차지하고, 이 노래는 당시 수만의 소련 젊은이들의 목숨을 빼앗고 있던 소련의 아프가니스탄 침공으로 더욱 더 유명해진다.


title: 빅토르 초이

text: 1987년은 키노의 해였다. 7집 앨범 《혈액형(Gruppa krovi)》은 "키노마니아"로까지 불리는 사회현상을 불러일으킨다. 글라스노스트로 조금 더 개방적이 된 정치상황은 그의 가장 정치색이 짙은 앨범인 "혈액형"을 만들 수 있게 했다. 그러나 앨범의 메시지만이 청중을 사로잡은 것이 아니었고, 앨범에 담긴 음악 또한 이전에는 듣지 못하던 것이었다. 대부분의 곡은 소련의 젊은이들을 향한 외침이었으며, 능동적으로 나가서 국가를 변화시키라고 호소했다. 몇 개의 노래는 소련을 옥죄고 있던 사회문제들을 다루고 있다. 이 앨범은 빅토르 초이와 키노를 러시아 젊은이들의 영웅으로 등극시켰다. 1988년에는 영화 《이글라》의 주연으로 영화배우 데뷔를 하기도 하였다. 이후 몇 년간 그는 몇 편의 성공적인 영화를 찍었으며 영화제에 그의 영화를 홍보하기 위해 미국을 다녀오기도 했다.


title: 빅토르 초이

text: 이후 몇 개의 앨범이 더 나왔으며, 대부분이 정치적 메시지를 담았으며 밴드는 인기를 유지했다. 그는 당시 소련 젊은이 모두의 우상이었지만, 그런 것에 비하여 그는 소위 비교적 보통 수준의 삶을 살았다. 그는 계속 아파트 빌딩의 보일러 실에서 살며 일했다. 그는 자신의 직업을 즐기고 있으며 정부의 보조를 받지 못하고 있고, 자신들의 앨범은 공짜로 복제되어 퍼지기 때문에 밴드를 유지하기 위하여서라도 금액이 필요하다고 밝혔다. 이런 소박한 삶의 방식은 대중들이 그와 더욱 친밀감을 느끼기에 매우 충분했다.


title: 빅토르 초이

text: 1990년 키노는 모스크바의 레닌 스타디움에서 콘서트를 열어 6만 2천의 팬들을 모았다. 1990년 8월 14일 다음 앨범의 녹음을 마쳤으며, 레닌그라드에서 다른 멤버들이 녹음을 위해 기다리고 있었다. 그러나 8월 15일 아침 소련 라트비아 소비에트 사회주의 공화국 투쿰스에서 빅토르 초이가 운전하던 차가 마주오던 버스와 충돌하였고 그 사고로 죽고 말았다. 그가 운전하였던 차는 형체를 알아볼 수 없도록 망가졌으며, 타이어 하나는 결국 찾지 못했다.


title: 빅토르 초이

text: 음모론에 따르면, KGB가 의도적으로 초이를 살해했다고 한다. 평소 반전과 평화 사상을 주장하던 초이가 러시아 권력자들의 눈 밖에 났다는 것이다. 실제로 버스 기사가 종적을 감추고, 초이에게 유리한 목격자들의 증언이 기각되었으며(초이는 졸지도 운전 규칙을 어기지도 않았으며, 오히려 버스 기사가 그에게 돌진했다는 사실), 시체가 봉인된 관에 담겨 서둘러 매장되었다는 사실 등 의문스러운 점이 한두 곳이 아니지만, 현재 러시아 경찰과 정부는 27년 동안 이 사안에 대해 철저히 침묵하고 있다.


title: 빅토르 초이

text: 1990년 8월 17일 소련의 유력 잡지인 콤소몰스카야 프라우다는 다음과 같이 그의 의미를 간추린다.


title: 빅토르 초이

text: 놀랍게도 교통사고에서 온전하게 건질 수 있었던 유일한 것은 다음 앨범에 쓰일 그의 목소리를 담은 테이프이었다. 목소리는 남은 멤버들의 나머지 녹음과 합쳐져 현재는 "블랙 앨범"으로 불리는 앨범으로 남아 있다. 이 유작 앨범은 밴드의 가장 인기있는 작품이며 러시아 록 역사에 있어서 키노의 자리를 확고하게 했으며, 빅토르 초이를 최고의 영웅이자 전설로 만들었다.


title: 빅토르 초이

text: 키노가 소비에트 음악과 사회에 미친 영향은 지대하다. 그들은 이전의 다른 어떤 그룹도 시도조차 하지 않았던 음악과 가사로 노래를 만들었다. 키노는 모던 러시아 록에게 문을 열어주었다. 키노는 아직도 러시아 전역에서 흔적을 남기고 있다. 레닌그라드 벽에는 그들에 대한 그라피티가 그려지고 있으며, 모스크바의 아르바트 가에는 한 벽 전체가 그들에게 헌정되었으며, 그곳에는 그를 기리기 위한 팬들이 모인다. 사망 10주기였던 2000년에는 러시아의 록 밴드들이 모여 빅토르 초이의 38번째 생일을 맞아 빅토르 초이의 헌정 음반을 만들었다.


title: 빅토르 초이

text: 2010년 8월 16일은 그의 20주기로써, 러시아 곳곳에서 추도식이 있었다고 보도되었다. 또한 2018년에는 그와 그 주변의 일대기를 다룬 영화인 《레토》가 개봉하였으며, 대한민국에는 2019년 1월 개봉하였다. 《레토》는 칸 영화제에서 사운드트랙 필름어워드 상을 수상하는 등 쾌거를 거두었으며, 감독 키릴 세레브렌니코프가 가택 연금 중 만든 작품이라는 특징이 있다.


title: 무리수

text: 무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼 수 없는 소수이다.


title: 무리수

text: 이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다.


title: 무리수

text:
유리수의 집합은 formula_1로 정의하고,
무리수의 집합은 formula_2로 정의한다.


title: 무리수

text: 무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.


title: 무리수

text: 무리수는 다시 formula_3와 같은 대수적 수인 무리수와 formula_4 등의 초월수로 나뉜다.


title: 무리수

text: 무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파의 동료들이 히파소스를 죽였다는 전설이 있다.


title: 무리수

text: 에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는()’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는()’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다.


title: 무리수

text: 가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 formula_5과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:


title: 무리수

text: 무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.


title: 무리수

text: 이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.


title: 무리수

text: 이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.


title: 플랑크 상수

text:
플랑크 상수(Planck常數, , 기호 "h")는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 (formula_1)이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 "formula_2"이다. 유니코드 기호 ()가 있다. 실험값은 다음과 같다.
2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의 되었다.


title: 플랑크 상수

text: 새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효된다.


title: 플랑크 상수

text: formula_2외에, 다음과 같이 정의되는 formula_6가 대신 쓰이기도 한다. (양자역학에서 formula_2보다 더 많이 사용되는 형태이다)


title: 플랑크 상수

text: 식에서 formula_9는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 '( 에이치 바)', 독일어에서는 ")(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 formula_6는 폴 디랙의 이름을 따 디랙 상수(Dirac's constant)라고 부른다. 유니코드 기호 가 있다.


title: 플랑크 상수

text: formula_6는 각운동량의 양자이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 formula_12의 정수배의 값으로 양자화한다.


title: 플랑크 상수

text:
formula_6는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다.
그래서 formula_6가 formula_2보다 더 기본적이라고 주장하기도 한다.


title: 플랑크 상수

text: 그밖에, formula_6는 플랑크 단위의 정의에 사용된다.


title: 플랑크 상수

text: 처음에는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였던 고전물리-막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다- 는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다.


title: 플랑크 상수

text: 어떤 아주 잘 밀폐된 용기 안에(외부와 에너지 교류가 없는) 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.


title: 플랑크 상수

text: 이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 formula_6 인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.


title: 플랑크 상수

text: 역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.


title: 막스 플랑크

text: 막스 카를 에른스트 루트비히 플랑크(, 1858년 4월 23일 ~ 1947년 10월 4일)는 양자역학의 성립에 핵심적 기여를 한 독일의 물리학자이다.


title: 막스 플랑크

text: 독일의 킬에서 태어난 플랑크는 1874년 뮌헨에서 물리학 공부를 시작했고, 1879년 베를린에서 졸업했다. 1880년 뮌헨으로 돌아와 학생들을 가르치기 시작했고, 1885년에 고향 킬로 돌아가 1886년에는 마리 메르크와 결혼한다. 1889년에는 베를린으로 가 이론 물리학과장을 맡는다.


title: 막스 플랑크

text: 1899년 새로운 기본 상수인 플랑크 상수를 발견한다. 일 년 후 플랑크의 복사 법칙이라 불리는 열 복사 법칙을 발견한다. 이 법칙을 설명하면서 그는 최초로 "양자"의 개념을 주창하였고, 이는 양자역학의 단초가 된다.


title: 막스 플랑크

text: 1905년에서 1909년 사이 플랑크는 독일 물리학회의 회장으로 활동한다. 1909년 첫 아내가 죽고, 1년 후 마르가 폰 회슬린(Marga von Hoesslin)과 재혼한다. 1913년엔 베를린 대학교의 학장이 된다. 1918년에 양자역학의 기초를 마련한 공로로 노벨 물리학상을 수상한다. 1930년부터 1937년까지, 카이저 빌헬름 학회(Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften)의 회장을 맡는다.


title: 막스 플랑크

text: 제2차 세계 대전 중엔, 아돌프 히틀러에게 유대인 과학자들을 차별하지 말아야 한다고 설득하려 했다. 플랑크의 아들 에르빈(Erwin)은 1944년 6월 20일의 히틀러 암살 기도와 관련되어 처형되었다. 괴팅겐 (Göttingen)에서 그가 사망한 후, 카이저 빌헬름 학회는 그의 이름을 따 막스 플랑크 연구소(Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften; MPG)로 개명하였다.


title: 막스 플랑크

text: 막스 플랑크 자신은 2차 대전이 끝난 후에도 생존하였으나, 둘째 아들 에르빈 플랑크는 언급한 대로 2차 대전 중 처형당했고, 첫째 아들 카를 플랑크는 1차 대전 중 서부 전선에서 전사하였다. 한편 그의 딸이 출산 중 사망하고, 그가 아끼는 많은 후배 과학자들이 유대인 박해 때문에 고초를 입거나 이를 피해 망명하는 등, 두 차례의 세계 대전이 일어나는 동안 그의 개인사는 고통으로 점철되어 있었다.


title: 막스 플랑크

text: 플랑크는 스위스의 아마추어 과학자에 불과하던 알베르트 아인슈타인을 발굴한 사람이며, 1차 대전 기간 중 과학계의 교류가 완전히 중단되는 것을 막고자 끝까지 노력하였다. 플랑크는 인격적으로 많은 동료와 후배들의 존경을 받았으며, 독일 민족주의와 나치즘 사이에서 최후까지 균형을 유지하고자 애쓴 원로 중 한 사람이었다.


title: 막스 플랑크

text: 플랑크는 양자역학의 창시자로 위대한 과학자인 동시에, 독일 과학계의 수장으로 후배 과학자 발굴과 과학계의 지도자 역할을 수행하는 데 큰 공을 세웠으며, 이는 20세기 독일 과학계의 눈부신 성과에 한 원인이 되었다.


title: 막스 플랑크

text: 하지만 그는 자신이 핵심적인 기여를 한 양자역학에 의구심을 품었으며 양자역학을 수용하지 않고 부정하는 태도를 지녔다.


title: 포인팅 벡터

text: 포인팅 벡터()는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.


title: 포인팅 벡터

text: 영국의 존 헨리 포인팅()이 1883년에 유도하였다.


title: 포인팅 벡터

text:
포인팅 벡터 S는 국제단위계에서 다음과 같다.
CGS 단위계에서는 formula_2 대신 formula_3를 쓴다.


title: 포인팅 벡터

text: 포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.


title: 포인팅 벡터

text: 포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 formula_4와 각운동량 formula_5과도 다음과 같이 연관되어 있다.


title: 포인팅 벡터

text:
포인팅 정리()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.


title: 포인팅 벡터

text: 역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.


title: 미세 구조 상수

text: 미세 구조 상수(微細構造常數, , 기호 "α") 또는 조머펠트 미세 구조 상수(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.


title: 미세 구조 상수

text:
미세 구조 상수 formula_1는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
여기서 formula_3는 기본 전하, formula_4는 원주율, formula_5는 디랙 상수, formula_6는 빛의 속도, formula_7은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 formula_8(전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 formula_9의 비로 해석할 수 있다.


title: 미세 구조 상수

text: CGS 단위계에서는 formula_10 인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.


title: 미세 구조 상수

text:
formula_1는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.


title: 크라메르 공식

text: 선형대수학에서, 크라메르 공식(Cramer公式, ) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 공식에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.


title: 크라메르 공식

text:
연립 일차 방정식
에서, formula_2가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 공식이라고 한다.
여기서 formula_4는 formula_2의 formula_6번째 열을 formula_7로 대신하여 얻는 행렬이다.


title: 크라메르 공식

text:
연립 일차 방정식
의 계수 행렬 formula_2의 formula_13-여인자를 formula_14라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.
이에 따라, 각 formula_17번째 방정식에 formula_14을 곱한 뒤 모두 합하면
를 얻는다. formula_20이므로, 양변을 formula_21로 나누면
를 얻는다.


title: 크라메르 공식

text:
연립 일차 방정식
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.


title: 크라메르 공식

text: 크라메르 공식은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 formula_30, formula_31이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, formula_32, formula_33라 정의한다.


title: 크라메르 공식

text: 여기서 formula_34의 방정식을 찾는 것은 크라메르 공식으로 해결할 수 있다.


title: 크라메르 공식

text: 먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.


title: 크라메르 공식

text: dF, dG에 dx와 dy를 대입하면


title: 크라메르 공식

text: u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.


title: 크라메르 공식

text: 따라서, 크라메르 공식을 적용하면 다음과 같다.


title: 크라메르 공식

text: 이것은 두 개의 야코비안 항이다.


title: 크라메르 공식

text: 유사하게 formula_47, formula_48, formula_49의 공식들도 유도할 수 있다.


title: 크라메르 공식

text: 스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.


title: 행렬식

text: 선형대수학에서, 행렬식(行列式, )은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.


title: 행렬식

text: 역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"()는 "디터민"()(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기에 지롤라모 카르다노가 formula_1 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.


title: 행렬식

text:
체 formula_2 위의 formula_3 정사각행렬
의 행렬식은
또는
와 같이 표기할 수 있으며, 다음과 같은 세 방법을 통해 정의할 수 있다.


title: 행렬식

text:
체 formula_2 위의 formula_3 정사각행렬의 집합을 formula_9로 쓰자. 그렇다면, 행렬식은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 formula_10이다.
즉, 행렬식은 표준화된 교대 다중 선형 형식이다. 행렬식은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.


title: 행렬식

text: 행렬식 formula_11는 formula_12에 대하여 재귀적으로 정의할 수 있다.


title: 행렬식

text:
행렬식은 라이프니츠 공식()으로 정의할 수 있다. 즉, formula_18의 행렬식은 다음과 같다.
여기서,
이에 따라, 우변은 formula_24개 항을 갖는 formula_12차 동차 다항식이다. formula_26인 경우, 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.


title: 행렬식

text:
0 × 0 행렬의 행렬식은 1이다.
1 × 1 행렬의 행렬식은 그 유일한 항이다.
2 × 2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.


title: 행렬식

text: 3 × 3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.


title: 행렬식

text:
3 × 3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스의 도식()으로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같은 과정을 거쳐 계산한다.
그러나 이는 더 큰 행렬에 대해 확장할 수 없다.


title: 행렬식

text: 3 × 3 실수 행렬의 행렬식은 은 스칼라 삼중곱의 표현이기도 하다. 즉, 3차원 벡터의 스칼라 삼중곱은 정규 직교 기저 아래 벡터 좌표 성분에 대한 3 × 3 행렬식으로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 실수 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱의 절댓값은 둘 다 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 나타낸다. 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱은 둘 다 치환 아래 특별한 대칭성을 갖는 데 주의하자. 즉, 이들의 부호는 세 3차원 벡터의 방향의 개념과 일치한다. 이 기하 직관은 높은 차원으로 확장할 수 있다.


title: 행렬식

text: 4 × 4 행렬의 행렬식은 다음과 같다.


title: 행렬식

text: 행렬식의 필산 기법 또는 계산 알고리즘에는 가우스 소거법, 라플라스 전개 등이 있다.


title: 행렬식

text: 가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.


title: 행렬식

text: 라플라스 전개는 행렬식을 소행렬식의 선형 결합으로 전개한다. 따라서 위 예시에서도 알 수 있듯, 라플라스 전개는 큰 행렬의 복잡한 행렬식을 작은 행렬의 간단한 행렬식으로 귀결시킨다.


title: 행렬식

text: 행렬식 formula_10는 다음과 같은 성질을 갖는다.


title: 행렬식

text:
라플라스 전개에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 더 작은 행렬식의 결합으로 표현된다.
여기서 formula_39는 formula_40의 여인자이다.


title: 행렬식

text: 라이프니츠 공식에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 표현할 수 있다.


title: 리만 제타 함수

text: 수론에서, 리만 제타 함수() formula_1는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.


title: 리만 제타 함수

text:
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 formula_2에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.
이 무한급수는 formula_4의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 "s" ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.


title: 리만 제타 함수

text:
야코비 세타 함수
를 쓰자.
이므로,
자이 함수(formula_8 function)를 얻을 수 있다.
오른쪽의 적분은 모든 복소수 formula_9에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 formula_9에 대하여 수렴한다.
한편 여기서 세타 함수의 성질
를 사용하면,
를 보일 수 있다.
이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식
를 얻는다.


title: 리만 제타 함수

text:
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.
현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수(formula_29)인 실수에서는 formula_30의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.


title: 리만 제타 함수

text: 레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.


title: 리만 제타 함수

text:
위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉
위에서 제시되는,
이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다.


title: 리만 제타 함수

text:
따라서,
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.


title: 리만 제타 함수

text: 즉 리만 제타 함수는 모든 소수 formula_39에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다.↵그 간단한 증명은 다음과 같다.


title: 리만 제타 함수

text: 우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,


title: 리만 제타 함수

text: 동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.


title: 리만 제타 함수

text:
함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 formula_48에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점()이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 임계 구역()에 존재한다.
임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 임계 직선()이라고 한다.
임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.


title: 리만 제타 함수

text: 리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.


title: 리만 제타 함수

text:
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.
이 함수는 formula_52일 때 리만 제타 함수가 된다.


title: 좌표계

text: 좌표계(座標系, coordinate system) 혹은 자리표계는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 좌표를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 스칼라는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 이 경우 그래프로 이 좌표계를 우주 지도 책에 함께 수집하여 둔다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 직교좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 직교좌표계를 발명해 냈다고 한다.


title: 힐베르트 공간

text: 함수해석학에서, 힐베르트 공간(Hilbert空間, )은 모든 코시 열의 극한이 존재하는 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.


title: 힐베르트 공간

text: formula_1가 formula_2 또는 formula_3라고 하자. formula_1-힐베르트 공간 formula_5은 완비 거리 공간을 이루는 formula_1-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.


title: 힐베르트 공간

text:
이와 동치로, formula_1-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, )을 만족시키는 formula_1-바나흐 공간 formula_9으로 정의할 수 있다.
이 경우, 내적 구조는
가 된다.


title: 힐베르트 공간

text:
힐베르트 공간 formula_12의 정규 직교 기저 formula_13는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
초른의 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 formula_12의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 formula_19이라고 한다.


title: 힐베르트 공간

text: 일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 formula_20를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 formula_21가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.


title: 힐베르트 공간

text:
두 formula_1-힐베르트 공간 formula_12, formula_24 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, formula_1-힐베르트 공간 formula_12에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 formula_33이다.


title: 힐베르트 공간

text: 리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 formula_12는 스스로의 연속 쌍대 공간 formula_35와 동형이며, 만약 formula_36일 경우 이는 표준적() 동형이다.


title: 힐베르트 공간

text: formula_1가 formula_2 또는 formula_3라고 하고, formula_40가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L 공간 formula_41는 formula_1-힐베르트 공간을 이룬다.


title: 힐베르트 공간

text:
만약 formula_43가 셈측도가 부여된 집합이라면
이며, 함수
는 formula_41의 정규 직교 기저를 이룬다.


title: 힐베르트 공간

text: 만약 formula_48가 분해가능 시그마 대수(formula_49로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 formula_43가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, formula_41는 분해 가능 공간이다.


title: 힐베르트 공간

text: 힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분방정식 이론에서 널리 쓰인다.


title: 힐베르트 공간

text: 양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 힐베르트 공간으로 나타내어진다. 이 밖에도, 신호처리에도 힐베르트 공간이 응용된다.


title: 힐베르트 공간

text: 다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 formula_52을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.


title: 양자역학

text: 양자역학(量子力學, )은 분자, 원자, 전자, 소립자와 미시적인 계의 현상을 다루는 즉, 작은 크기를 갖는 계의 현상을 연구하는 물리학의 분야이다. 현대 물리학의 기초인 양자역학은 컴퓨터의 주요 부품인 반도체의 원리를 설명해 주는 등 과학기술, 철학, 문학, 예술 등 다방면에 중요한 영향을 미쳐 20세기 과학사에서 빼놓을 수 없는 중요한 이론으로 평가된다.


title: 양자역학

text: 19세기 중반까지의 실험은 뉴턴의 고전역학으로 설명할 수 있었다. 그러나, 19세기 후반부터 20세기 초반까지 이루어진 전자, 양성자, 중성자 등의 아원자입자와 관련된 실험들의 결과는 고전역학으로 설명을 시도할 경우 모순이 발생하여 이를 해결하기 위한 새로운 역학 체계가 필요하게 되었다. 이 양자역학은 플랑크의 양자 가설을 계기로 하여 슈뢰딩거, 하이젠베르크, 디랙 등에 의해 만들어진 전적으로 20세기에 이루어진 학문이다. 양자역학에서 플랑크 상수를 0으로 극한을 취하면 양자역학이 고전역학으로 수렴하는데, 이를 대응 원리라 한다.


title: 양자역학

text: 양자역학은 모든 역학, 전자기학(일반 상대성 이론은 제외)을 포함하는 고전 이론을 일반화한다. 양자역학은 고전역학으로 설명되지 않는 현상에 대한 정확한 설명을 제공한다. 양자역학의 효과는 거시적으로는 관측이 어렵지만 고체의 성질을 연구하는 과정에서 양자역학 개념이 필수적이다. 예를 들어 드하스-판알펜 효과는 양자역학을 통해서만 설명이 가능하다. 물론, 원자 또는 그보다 작은 영역에서는 분명해진다.


title: 양자역학

text: 양자역학이라는 용어는 독일의 물리학자 막스 보른(Max Born, 1882~1970)이 처음 제시했다. 독일어 'Quantenmechanik(퀀텐메카닉)'이 영어 'Quantum mechanics'로 번역되었고 일본에서 이를‘量子力學(료오시리키가쿠)’라 번역했는데 이것이 한국에 그대로 들어와 ‘양자역학'이라 부르게 되었다.


title: 양자역학

text: 양자역학이란 말을 이해하려면 ‘양자’와 ‘역학’을 각각 살펴보는 것이 좋다. ‘양자(量子)’로 번역된 영어의 quantum은 양을 의미하는 quantity에서 온 말로, 무엇인가 띄엄띄엄 떨어진 양으로 있는 것을 가리키는 말이다. ‘역학(力學)’은 말 그대로는 ‘힘의 학문’이지만, 실제로는 ‘이러저러한 힘을 받는 물체가 어떤 운동을 하게 되는지 밝히는 물리학의 한 이론’이라고 할 수 있다. 간단히 말해 ‘힘과 운동’의 이론이다. 이렇듯 양자역학이란 띄엄띄엄 떨어진 양으로 있는 것이 이러저러한 힘을 받으면 어떤 운동을 하게 되는지 밝히는 이론이라고 할 수 있다.제1차 세계 대전의 종료와 평화의 회복과 더불어 물리학의 발전이 시작되었다. 1918년도의 노벨상은 패전국 독일의 물리학자인 막스 플랑크에게 수여되었으며(알베르트 아인슈타인 1921년, 닐스 보어 1922년), 독일을 중심으로 하여 양자론이 진전되었다. 그 주요 중심지는 1921년 이론물리학 연구소가 개설된 코펜하겐(닐스 보어)을 비롯하여 뮌헨(아르놀트 조머펠트), 괴팅겐(막스 보른, 막스 플랑크), 레이던(파울 에렌페스트)이며, 그 밖에 취리히의 에르빈 슈뢰딩거, 베를린의 알베르트 아인슈타인이 가담하였다. 이 형성기는 또한 젊은 세대의 활약이 특징적이었다.


title: 양자역학

text: 양자역학 형성의 길은 두 갈래로 되어 있다. 한쪽은 보어의 원자 모형에서 출발하여 대응원리(對應原理)에서 행렬역학으로 통한 길이다. 또 한쪽은 아인슈타인의 광자로 비롯하며, 루이 드브로이의 물질파를 거쳐서 도달하는 파동역학의 길이었다. 이 둘은 그 형성과정이나 수립된 이론이 전혀 달랐지만 얼마 안 가서 실은 같은 내용이라는 것이 판명되고, 통일체로서의 양자학으로 간추려졌다. 그리하여 양자역학의 형성이 일단락될 무렵, 물리학은 재차 새로운 단계에 이르렀다.


title: 양자역학

text: 행렬역학과 파동역학은 다른 관점에서 출발하였고, 전혀 다른 형태를 갖추고 형성되었으나, 그 이룩한 결과는 일치했다. 이것을 우연이 아니라고 생각한 에르빈 슈뢰딩거는 파동역학에서 행렬역학의 유도를 시도하여 양자의 동등성(同等性)을 증명하는 데 성공하였다. 폴 디랙과 파스쿠알 요르단()은 변환이론(變換理論)을 수립하였으며, 이것으로 두 개의 이론은 하나로 통합되어 1926년경에는 양자역학이 성립되었다.


title: 양자역학

text: 양자역학의 형식은 성립되었어도, 그 물리적 해석에는 아직도 많은 문제가 남아 있었다. 예컨대 파동의 개념에 대하여서도 파동역학의 창시자 슈뢰딩거는 이것을 실재(實在)하는 것으로 보았지만 아인슈타인의 반론을 받고, 보른의 확률해석이 이에 대체되었으나, 마침내 이것도 불충분하여 많은 모순으로 유도되는 것이 판명되었다. 이리하여 결국 낡은 물리학의 사고방식으로는 양자론의 개념은 어떻게도 설명할 수 없음이 차차 확실해졌고, 드디어 1927년에 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리가 등장하였다. 파와 입자의 두개의 상(像)을 결부시킴으로써 발생하는 이 관계는, 미시적 세계에서는 일상경험에서 만들어진 관념은 이미 통용되지 않는다는 것을 강조하는 것이다. 보어는 이 생각을 다시 자연인식 일반에 펼쳐 양자역학의 일관된 해석을 수립하려고 하여, 같은 해 상호보완성 원리를 제창하였다. 현상의 시공적(時空的)인 기술과 인과적 관계와는 서로 보충하는 동시, 서로 배제한다는 것이 골자이다.


title: 양자역학

text: 아인슈타인은 이와 같은 새로운 양자론의 해석에 찬성하지 않고 일관하여 EPR 역설 등 의문을 계속 제출하였지만, 한편으로는 기묘한 양자역학의 주장은 당시의 사상계에도 큰 영향을 주어, 물질의 부정이나 주관주의·실증주의 경향의 세력이 증가하는 기초가 되기도 하였다.


title: 양자역학

text: 양자역학(量子力學)의 결론들은 당시 과학자(및 일반인)들의 직관으로는 이해하기 힘든 것이었기에, 이 이론이 실재에 대해서 무엇을 말해주는지에 대해 많은 해석과 철학적 논쟁이 있었다.


title: 양자역학

text: 많은 수의 물리학자들은 보어 등이 개발한 코펜하겐 해석을 받아들이고 있다. 이 해석에서 양자역학의 확률적 측면들은 우리의 지식의 부족함을 말해주는 것이 아닌 실재 그 자체이며, 따라서 결정론적 이론에 의해 설명될 수 없다.


title: 양자역학

text: 양자역학을 개발한 이들 중 한 명인 아인슈타인은 이 이론의 무작위성을 좋아하지 않았고, 양자역학의 현상인 도깨비 원격현상등을 강력히 부정하면서 "신은 주사위놀이를 하지 않는다"라고 말했다. 그는 양자역학의 근본에는 보다 깊은 국소적 숨은 변수 이론이 있을 거라고 주장했다. 아인슈타인은 양자역학에 대해 여러 가지 반박을 제시했는데, 그중 가장 유명한 것은 EPR 역설이라 불린다. 벨은 EPR 역설을 이용해, 조건법적 명확성()을 가정한 경우 양자역학과 국소적 이론 사이에 실험적으로 확인 가능한 차이가 있음을 증명했다. 실험을 통해서, 실제 세계는 조건법적으로 명확하지 않거나 비국소적이라는 것이 증명되었다.


title: 양자역학

text: 영문학 교수이자 작가인 루이스는 비결정론이 그의 철학적 신념에 어긋난다는 이유로 양자역학을 불완전한 이론으로 보았다. 그는 하이젠베르크의 불확정성 원리가 존재론적 비결정성이 아닌 인식론적 한계를 보여줄 뿐이라고 생각했으며, 다른 많은 이들과 마찬가지로 이런 이유에서 숨은 변수 이론을 지지했다. 코펜하겐 해석을 둘러싼 보어-아인슈타인 논쟁은 당시의 양자역학을 둘러싼 논쟁 중에서 가장 대표적인 것이었다.


title: 양자역학

text: 현재 표준적인 양자역학의 해석은 코펜하겐 해석이나, 그 외에도 다음과 같은 해석들이 존재한다.--파동함수·불확정성 원리 등장- 앎의 한계 지적--


title: 양자역학

text:
양자역학이라는 새 이론은 원자와 관련된 거의 모든 것을 설명할 수 있는 탁월한 이론이었다. 학자들은 이 이론을 토대로 점점 더 많은 문제들을 풀어나갔다. 하지만 또 한편으로 이 새로운 이론은 ‘우리가 안다는 것은 도대체 무엇인가’라는 아주 근본적이고 철학적인 문제를 새로 꺼내기 시작했다.
‘불확정성의 원리’를 발표한 하이젠베르크.


title: 양자역학

text: 원자와 관련된 것을 설명하기 위해 양자역학은 ‘파동함수6)’라고도 하고 ‘상태함수’라고도 하는 수학적인 장치를 사용한다. 양자역학이 제안된 초창기부터 많은 물리학자들은 파동함수의 의미를 둘러싸고 논쟁을 벌였다. 이로 인해 파동함수가 정확히 무엇인지 도무지 알 수 없는 상황이 돼 버렸다. 그전까지 물리학에서는 대체로 수학을 이용해 방정식이나 공식을 만들면, 그 의미를 모두 알고 있다고 생각해 왔다. 물론 세부적으로는 어려운 점도 많았지만, 결코 알 수 없는 것을 방정식이나 공식에 담지는 않았던 것이다. 그런데 양자역학에서는 가장 핵심이 되는 파동함수가 정확히 무엇인지 아무도 제대로 대답할 수 없는 듯 보였다. 게다가 하이젠베르크는 이 양자역학이라는 이론 안에 소위 ‘불확정성 원리7)’가 있음을 밝혔는데, 이 또한 우리가 무엇인가를 안다는 것에 근본적인 한계가 있음을 말해 주었다. 실용적으로 물리현상을 아주 잘 설명해 주는 이론이 있는데, 정작 그 이론은 우리가 안다는 것에 대해 회의적인 관점을 제시하고 있었던 셈이었다. 그보다 불과 100여 년 전에 프랑스의 피에르 라플라스(Pierre Simon de Laplace, 1749~1827)는 물리학을 통해 세상의 모든 것을 다 알 수 있다고 자신했지만, 파동함수와 불확정성 원리의 등장으로 인해 우리가 원자에 대해 무엇을 알고 있는지, 그 개념마저 흔들리기 시작했다.


title: 양자역학

text: 프랑크와 보어의 초기 양자역학은 전자의 궤도가 점프하는 현상을 강조한 반면 후기의 슈뢰딩거, 하이젠베르크의 이론은 전자의 위치가 확률적 분포로 밖에 알 수 없다는 점을 강조했다고 볼 수 있다. 초기의 양자역학은 원자폭탄, 반도체 등에 이론적 배경을 제공했고 후기의 양자역학은 물질에 대한 인간의 인식에 큰 변화를 주었다는 것에 큰 의의가 있다. 특히 후기 양자역학은 인간의 인식의 한계성을 인정함으로써 현대철학에도 큰 영향을 주었다.


title: 양자역학

text: 한편으로는 19세기 말부터 20세기 초반까지의 실험가능한 물리학의 혁명적 발전이 실험이 불가능한 한계에 다달았다는 점을 내포하기도 했다. 물리학은 실제로 20세기 후반부터 지금의 21세기 초반까지 끈이론, 통일장 이론 등 여러 이론을 내놓았으나 실험이 불가능한 가설에 그치는 경우가 많았다.


title: 양자역학의 수학 공식화

text: 양자역학의 수학적 공식화는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다.


title: 양자역학의 수학 공식화

text: 여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 양자역학과 함께 발전해 온 순수수학의 분야인 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.


title: 양자역학의 수학 공식화

text: 편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.


title: 양자역학의 수학 공식화

text: 여기서 formula_16는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 formula_4를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.


title: 양자역학의 수학 공식화

text: 이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 베르너 카를 하이젠베르크( , 1901년 12월 5일~1976년 2월 1일)는 독일의 물리학자이다. 불확정성 원리로 유명하며, 행렬역학과 불확정성 원리를 발견하여 20세기 초 양자역학의 발전에 절대적인 공헌을 했다. 그는 1932년에 "양자역학을 창시한" 공로로 노벨 물리학상을 수상했다. 하이젠베르크는 막스 보른과 파스쿠알 요르단과 함께 양자역학의 행렬적 형식을 1925년 발표했다. 1927년에 하이젠베르크는 그의 가장 유명한 과학적 업적인 불확정성 원리를 출판했다. 또한, 그는 난류의 유체역학, 원자핵, 강자성, 우주선, 소립자의 연구에 지대한 공헌을 했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 독일 뷔르츠부르크에서 카스파르 하이젠베르크와 안니 베크라인의 아들로 태어났다. 그는 1920년부터 4년동안 뮌헨-루트비히-막시밀리안 대학교와 괴팅겐-게오르크-아우구스트-대학교에서 물리학과 수학을 공부했다. 그는 뮌헨에서는 아르놀트 조머펠트와 빌헬름 빈에게 지도받았고, 괴팅겐에서는 막스 보른과 제임스 프랑크에게 물리학 교육을, 다비트 힐베르트에게 수학 교육을 받았다. 하이젠베르크는 1923년에 뮌헨에서 박사학위를 획득하고 1924년에 괴팅겐에서 하빌리타치온(박사학위 후에 따는 교수 자격증)을 획득했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 닐스 보어의 원자 모형에 지대한 관심을 가지고 있었다. 제자들에게 정성스럽게 관심을 가져주던 조머펠트는 이를 알고 하이젠베르크를 괴팅겐에서 열린 보어축제에 데려가 주었다. 보어는 축제에서 양자역학에 대한 강의를 하였고, 하이젠베르크는 깊은 감명을 받았다. 1922년 6월의 일이었다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 조머펠트의 조언을 따라 난류에 대해서 박사학위 논문을 썼다. 그는 논문에서 층류의 안정함과 난류의 성질을 연구했다. 그는 2차 세계대전 이후에 이 주제를 잠시 다시 연구했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 막스 보른 아래에서 제이만 효과에 관해 연구했다. 이 연구는 그의 하빌리타치온 논문이 되었다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 1924년부터 1927년까지 괴팅겐에서 사교수로 있었다. 1924년 9월 17일, 하이젠베르크는 록펠러 재단으로부터 연구비를 지원받아서 코펜하겐 대학을 방문했다. 그는 거기서 닐스 보어와 연구를 하게 되었고, 1925년 5월 1일에 괴팅겐으로 귀환했다. 괴팅겐에서 그는 6개월에 걸쳐 막스 보른과 파스쿠알 요르단과 함께 양자역학의 행렬적 형식을 개발했다. 1926년 5월 1일, 하이젠베르크는 코펜하겐에서 보어의 조수이자 대학 강사 일을 하게 되었다. 코펜하겐 생활 도중에 하이젠베르크는 그의 불확정성 원리를 개발하였다. 1927년의 사건이었다. 그 해, 하이젠베르크는 라이프치히 대학에서 물리학과 학과장을 맡게 되었다. 거기에서, 하이젠베르크는 파울리 배타 원리를 이용해서 물질의 강자성을 연구했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 1932년, 제임스 채드윅이 중성자를 발견하자 하이젠베르크는 원자핵의 중성자-양성자 모형에 관한 논문을 썼다. 그 해, 그는 노벨 물리학상을 받았다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 1933년 아돌프 히틀러가 집권하자, 유대인 물리학자들의 업적을 인정하고 가르치던 하이젠베르크는 독일 물리학계와 SS의 비판을 받았다. 하이젠베르크는 본인의 명예와 안전을 지키기 위해 사설을 쓰는 등 적극적으로 본인을 충실한 독일 시민으로 포장했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 1939년에 핵분열의 발견 후, 하이젠베르크는 독일의 원자력 프로젝트에서 중심적인 역할을 했다. 1941년 9월 15일부터 22일까지, 하이젠베르크는 독일 지배하에 있던 코펜하겐을 방문해서 닐스 보어와 이론 물리와 핵 물리학을 논했다. 이 만남에서 무슨 말이 오갔는지와 하이젠베르크와 나치의 사람들의 관계는 수십 년간 과학사학자들의 관심을 끌었다. 이 만남은 마이클 프레인의 연극 《코펜하겐》의 주제가 되기도 했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text:
제2차 세계 대전 이후, 연합군은 입실론 작전에 따라 독일의 대표적인 핵물리학자들을 체포했다. 이에 따라 하이젠베르크 역시 체포당했고 조사받았다.
전쟁후 하이젠베르크는 이론 물리학자로서의 일상으로 돌아왔다. 하이젠베르크는 1947~1948년에 걸쳐 초전도체에 관한 논문 세 편을 쓰며 초전도체의 이해에 기여했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크는 1957년에 서독의 첫 원자로를 기획하는데 큰 역할을 했다. 또한, 하이젠베르크는 카이저 빌헬름 과학 협회의 회장이 되었고, 1958년 협회가 뮌헨으로 옮겨지고 막스 플랑크 협회로 이름이 바뀔 때까지 회장직을 수행했다. 하이젠베르크는 또한 독일 연구 협회 회장, 핵물리학 위원회 회장, 알렉산더 폰 훔볼트 재단 이사장을 했다. 1957년부터 하이젠베르크는 플라스마 물리학에 관심을 가졌고 핵융합을 연구하기 시작했다. 그는 국제 핵물리 협회의 과학 방침 위원회의 회원이었으며, 몇 년 간은 위원장도 했다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 1976년 2월 1일 하이젠베르크는 신장암으로 세상을 떠났다. 향년 75세


title: 베르너 하이젠베르크

text:
불확정성 원리(不確定性原理, )는 양자 역학에서 맞바꿈 관측량(commuting observables)이 아닌 두 개의 관측가능량(observable)을 동시에 측정할 때, 이렇게 관측한 두 개의 값 사이에는 물리적으로 한계가 존재한다는 원리이다. 하이젠베르크의 불확정성원리는 위치-운동량에 대한 불확정성 원리이며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다. 위치가 정확하게 측정될수록 운동량의 퍼짐(또는 불확정도)은 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될수록 위치의 불확정도는 커지게 된다. 이 말을 쉽게 풀어 쓰게 되면 관측을 하는 그 순간에도 물체는 운동을 하고 있기 때문에 우리가 관측한 값은 불확정한 값이 된다는 의미이다.
하이젠베르크의 불확정성 원리를 수학적으로 표현하면 다음과 같다. 임의의 양자상태에서 위치의 평균에 대한 제곱평균제곱근(RMS)편차 (X의 표준편차)는
운동량의 평균에 대한 제곱평균제곱근 편차 (P의 표준편차)는
두 표준편차의 곱은 다음과 같다.
즉, 위치와 운동량의 표준편차의 곱은 디랙 상수의 절반보다 같거나 크다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠 베르크는 원자 핵 분야에서도 탁월한 업적을 가지고 있다. 1932년 하이젠베르크는 핵이 중성자와 양성자로 구성된다는 새로운 이론을 발표하였다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 하이젠베르크가 시발점이 되어 시작된 소립자론의 연구와 그 발전 동향이다. 물질의 궁극이라 여겨지는 구성요소와 그 궁극요소의 운동을 연구하는 학문. 소립자와 그 상호작용을 기술하는 이론은 상대론적인 장의 양자론이다. 이 이론에 의해 여러 가지 소립자의 속성, 즉 질량, 스핀, 스핀과 통계성과의 관계 외에, 소립자의 반응에서 나타나는 각종의 보존법칙과, 이것과 결부된 소립자의 전하, 그 밖의 양자수가 규정된다. 그리고 만약 자연계에 어떠한 종류의 소립자가 존재하며 어떠한 상호작용하에 있는가를 안다면 이들 소립자에 관련된 물리량을 계산으로써 구해 실험과 비교하는 것이 원리적으로 가능해진다. 그런데 실제로는 장의 양자론은 양자전자기학이라 불리는 특별히 잘 알려진 예를 제외하면 실험결과의 정량적 이해를 포함한 그 타당성을 증명하는 일이 어려울 뿐만 아니라, 소립자에 임의의 상호작용을 도입하면 때때로 피할 수 없는 수학적 곤란을 일으키기 때문에 장의 양자론 자체에 본질적인 내부모순이 있다는 견해가 옛날부터 주장되어 왔다. 덧붙여 1950년 무렵부터 실험에 의해 새로이 여러 소립자가 발견되고, 강한상호작용을 하는 소립자의 종류는 점차 증가해 100종류까지 달하게 되었다. 이 때문에 이와 같은 다양한 소립자의 존재를 통일적으로 기술하는 원리가 장의 양자론에는 내재하고 있지 않다는 것과도 관련해서 소립자를 기술하는 이론으로서의 장의 양자론의 유효성에 대한 부정적 견해도 종종 강한 영향력을 가지고 제기되었다. 그러나 소립자의 약한상호작용 및 강입자의 존재양식과 강입자의 강한상호작용에 관한 지식은, 이 시기에는 아직 현상론적인 단계에 머물러 있었다. 그 후 실험적 지식의 집적과 여러 현상의 이론적 분석이 급속히 진전됨에 따라, 한편에서는 공간반전의 불변성을 파괴하는 약한상호작용의 형태가 점차로 명백해짐과 동시에 다른 한편에서는 강한상호작용의 영역에 있어서는 1956년의 사카타 모형에서부터 1964년의 쿼크 모형의 제창을 거치며 강입자는 이미 소립자가 아니라, 이에 대체하여 색이라 불리는 3성분의 전하를 가진 몇 종류의 쿼크장이 공통으로 하나의 게이지장과 상호작용함으로써 개개의 강입자가 구성된다고 하는 견해가 70년대 초에 확립되었다. 이러한 게이지장의 입자를 쿼크와 반쿼크를 풀처럼 붙여서 강입자를 만드는 역할을 한다는 의미에서 글루온이라 한다. 약한상호작용도 1967년 S. 와인버그, 68년 A. 살람에 의해 밝혀진 바와 같이, 이 상호작용을 담당하는 장, 즉 약보존장을 게이지장의 형식으로 기술하여 이것을 전자기적상호작용과 통일시킬 수 있게 되어 약한상호작용이 약한 이유 대해서는 약보존이 큰 질량을 가지기 때문이라고 이해되었다. 이것에 대해 강한상호작용이 강한 이유에 대해서는, 예를 들어 쿼크와 반쿼크 사이에 작용하는 힘을 글루온의 상호작용에서 도출해 보면, 이 둘이 멀리 떨어짐에 따라 무한히 강해진다는 특별한 성질을 가진다는 것으로써 설명된다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 소립자를 현대적으로 정의해 보면 소립자는 쿼크나 경입자와 같은 스핀 1/2의 페르미형 입자와 강·약-전자기적상호작용을 부여하는 몇 종류의 게이지장이며, 또 약-전자기적상호작용의 게이지불변성의 자발적 붕괴를 일으키는 몇 개의 스핀 0인 입자의 원리로부터 이끌어내진 것에서 더 나아가 이 3종류를 단 한 종류의 상호작용으로 통일하려는 견해가 1974년 H. 조지와 S.L. 글래쇼에 의해 제기되었다. 이 이론에 의하면 팽창우주론에 따라 우주 초기에 물체가 초고온·초고밀도 상태에 있었을 때 모든 상호작용은 단일한 양상을 띠고 있었고, 그 후 우주팽창에 따른 냉각에 의해 진공이 상변화를 여러 번 일으켜 상호작용의 분화가 진행되고 자유롭던 쿼크와 글루온은 가두어져 강입자를 만들어 현재 우리들이 알고 있는 물질세계가 형성되었다고 생각할 수 있다. 이 대통일의 상호작용은 쿼크와 경입자를 대등하게 보고 이것을 세대라 하는 표지로 분류하여, 각 세대의 쿼크와 경입자 사이에 각 세대 공통된 게이지장의 군에 의한 상호작용이 존재한다고 가정한다. 이와 같은 대통일상호작용에서는 앞서 서술한 3종류의 상호작용 외에 쿼크와 경입자의 상호전화를 일으키는 상호작용이 나타나기 때문에 종래는 절대 안정한 소립자라고 여겨왔던 양성자조차 극히 장시간의 수명을 가지고 붕괴한다고 예상된다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 과학자들은 19 세기 말에 뉴턴역학과 맥스웰의 전자기학만 있다면 물리학의 모든 법칙들이 설명될 수 있다고 생각하였다. 뉴턴역학은 입자 즉 눈에 보이는 역학을 담당하였고 맥스웰의 전자기학은 파동을 다루었기 때문이다. 즉, 이 시절 사람들은 세상의 모든 것은 파동과 입자 로 나뉜다고 생각했다. 입자와 파동은 서로 다른 것으로 취급 되었다. 하지만 이러한 이론에는 치명적인 문제, 즉, 흑체복사가 있었다. 흑체란 모든 전자기파를 흡수할 수 있는 물체인데 이로 이루어진 상자를 가열하였더니 흑체 안에 무한히 많은 파동들이 제각각의 에너지를 가지고 존재한다는 결과가 나온 것이다. 플랑크가 이러한 문제를 해결하게 되는데 이것이 양자역학의 시발점이 되었다. 플랑크는 실험 내용을 이용하여 강제로 수식을 만들었는데 이 수식이 의미하는 것이 파동 자체가 불연속적이라는 것이었다. 지금까지 사람들이 믿어 왔던 진리가 깨어지게 된 것이다. 얼마 후 아인슈타인은 광양자 이론을 발표한다. 이 이론은 빛이 입자로 존재한다는 것을 증명한 실험이었다. 이로 인하여 빛은 파동이자 입자인 것이 되었다. 이러한 불연속적인 값들을 설명할 수 있는 이론이 바로 양자역학이다. 양자의 사전적 정의는 ‘어떤 물리량이 연속 값을 취하지 않고 어떤 단위량의 정수배로 나타나는 비연속 값을 취할 경우, 그 단위량을 가리키는 용어’이다. 즉 모든 물리량이 불연속적인 값을 가지며 이 불연속적인, 즉 양자화된 것들의 움직임을 설명하여 주는 것이 바로 양자역학이다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 사람들이 어떠한 물체를 '본다'라고 하는 행위는 그 물체에 대하여 아무런 영향도 미치지 못한다. 하지만 이러한 현상은 우리가 볼 수 있는 즉 가시적인 물체에 대하여만 적용될 뿐이다. 만약 이러한 물체가 빛의 입자만큼 작아지게 된다면, 이러한 관측 행위는 관찰 대상에 영향을 미치게 된다. 즉, 불확정성의 원리란 것은 작은 입자들을 볼 때 그 입자들이 양자만큼 작아질수록 “관측”이라는 행동을 하게 되면 그 입자들은 그 관찰 행위 자체에 영향을 받게 되어 우리가 “관측”한 물리량에 착오를 가져오게 된다는 것이다. 그에 따라 어떤 입자의 위치와 속도를 동시에 알아낼 수 없다는 것이다.


title: 베르너 하이젠베르크

text: 1932년 하이젠베르크는 여러 가지 공로로 인하여 노벨 물리학상을 수상한다. 주로 불확정성의 원리와 양자역학의 창시자로 서의 공로가 가장 크게 작용하였다.


title: 중국의 역사

text: 황하 문명 탄생 이래 중국 본토에서는 하나라, 은나라, 주나라 이래 약 5000년 동안 수많은 왕조가 흥망을 반복해 왔다. 한나라 때 중화민족의 대부분을 차지하는 한족의 기틀을 세웠고, 당나라는 서방의 페르시아, 이슬람 제국, 동로마 제국과의 교류도 성하였다. 송나라 때에는 중국 중세 문화가 전성기를 이루었다. 그러나 19세기에 들어서 제1차 아편 전쟁과 제2차 아편 전쟁에서 청나라가 영국에 패배한 이후, 중국 본토는 서구 열강의 반식민지로 전락했고 홍콩은 영국에 넘어갔으며 마카오는 포르투갈에 넘어갔다.


title: 중국의 역사

text: 청나라의 무능에 반발하여 태평 천국 운동이 일어났으나 진압되었다. 그 후 한족의 개혁파 관료들에 의해 양무 운동과 변법 자강 운동이 차례로 일어났으나 열강의 간섭으로 실패했다. 한편 서태후 등 보수파의 사주로 반외세 운동인 의화단 운동을 일으켰으나 진압되었다. 그 후 신해혁명이 일어나 1912년에는 아시아 최초의 공화제 국가 중화민국이 탄생했다. 하지만 각지의 군벌에 의한 내전이나 몽골, 티베트의 독립 운동 등으로 말미암아 중화민국은 분열되었다. 또한 1930년대에는 국공 내전(중국에서는 보통 “해방 전쟁”이라 칭함)과 중일 전쟁(중국에서는 보통 “항일전쟁”이라 칭함)이 발발하여 중국 각지가 전장이 되었다. 이 시기에는 중앙 정부가 2개 이상인 때에도 있었다.


title: 중국의 역사

text: 그 후 중일 전쟁 중에 세력을 늘려 온 중국 공산당이 1945년의 일본(日本) 패배 이후 국공 내전에서 승리를 거두어 1949년 10월 1일 중화인민공화국 정부를 세웠다. 중화인민공화국에서는 매년 10월 1일을 국경절로 정하고 이를 기념한다.


title: 중국의 역사

text: 삼황오제(三皇五帝)는 중국 신화에 나오는 고대의 전설적 제왕들이다. 삼황(三皇)은 복희씨(伏羲氏), 신농씨(神農氏), 여와씨(女媧氏)를 말하며, 오제(五帝)는 황제헌원(黃帝軒轅), 전욱고양(顓頊高陽), 제곡고신(帝嚳高辛), 제요방훈(帝堯放勳:陶唐氏), 제순중화(帝舜重華:有虞氏)를 지칭한다.중국에서는 이 시기를 ‘선진 시기’(先秦時期)라고도 한다. 하(夏) (기원전 21세기 - 기원전 17세기)의 경우 논란의 여지는 남아 있으나, 대체로 실존했던 국가로 받아들여지고 있다. 하를 무너뜨리고 세운 상(商) (기원전 17세기 - 기원전 11세기 중반)은 은허로 수도를 옮긴 이후에 은(殷)이라고도 부르며, 한때 신화로 알려졌었다. 하지만, 은허의 유적 발굴 이후 실존했던 국가로 인정되었다.


title: 중국의 역사

text: 주(周) (기원전 1050년 경 - 기원전 256년)는 본래 상(은)나라의 제후국이었으나, 상(은)나라 말기 주왕(紂王)의 폭압으로 상(은)나라를 무너뜨리고 패권을 잡은 나라다. 이 때 주의 왕을 처음으로 ‘천자’(天子)라고 불렀다. 주의 패권은 춘추 전국 시대(春秋戰國時代) (기원전 770년 - 기원전 221년)가 되면서 약해지기 시작한다. 춘추 시대에는 여러 주나라의 제후국들이 주의 천자를 존중하고 각자의 세력을 다투던 시기로, 세력이 강한 제후국들 중에 주 왕실의 이름으로 천하를 호령한 제(齊)-환공(桓公), 진(晉)-문공(文公), 초(楚)-장왕(莊王), 오(吳)-합려(闔閭), 월(越)-구천(勾踐)의 5제후를 춘추 오패라고 부른다. 전국 시대로 들어서면서 천자에 대한 충성마저 약화되기 시작한 시기로, 진(秦), 한(韓), 제(齊), 위(魏), 조(趙), 연(燕), 초(楚)라는 전국 칠웅이 차례로 왕을 칭하고 오로지 천하 통일을 위해 질주하였다.


title: 중국의 역사

text: 진(秦) (기원전 221년 - 기원전 207년)은 한(韓), 제(齊), 위(魏), 조(趙), 연(燕), 초(楚)를 무너뜨리고 중국 본토를 통일하였다. 진은 이어 모든 제후국을 폐지하고 조정에서 직접 다스리는 군현제를 처음 실시하였다. 이어 진왕 영정은 처음으로 ‘황제’(皇帝)의 칭호를 사용하였다. 진(秦)나라의 무리한 통치와 폭압으로 각지에서 반란이 일어났다. 진나라는 진 이세황제의 치세에 몰락하여, 그 뒤 멸망하였고, 초한전을 거쳐 한나라가 중원을 통일한다. 한나라는 200년 넘게 유지된 중앙집권적 국가로 서양에 최초로 이름이 알려진 나라이기도 하다. 전한(前漢) (기원전 206년 - 서기 9년)은 한나라(전한)의 외척이었던 왕망이 황위를 찬탈하여 세운 신(新) (9년 - 23년)에 의해 잠시 명맥이 끊기나, 신나라는 급격한 개혁이 민중의 호응을 얻지 못하고 각지의 반란으로 망하였고, 한나라(전한)를 계승한 국가인 후한(後漢) (25년 - 220년)이 다시 통일 국가를 이루었으나, 무제 이후의 황권은 환관들과 외척들로 인하여 크게 약화되었다. 위에게 멸망당했다.


title: 중국의 역사

text: 대한민국에서는 삼국 시대(三國時代) (220년 - 280년)라고 하지만 중화민국과 중화인민공화국에서는 남북조 시대(南北朝時代) (439년 - 589년) 까지 포괄하여 위진 남북조 시기라고 한다.


title: 중국의 역사

text: 위(魏)는 조비가 후한의 황제로부터 직접 제위를 물려받은 국가로 중원 지역을 차지하였다. 촉(蜀) 후한 황실의 후예인 유비가 계승하였으나, 세력권은 서남 지방에 한정되었다. 한편 손권의 오(吳)는 독자적인 세력으로 장강 이남을 차지하였다. 위는 사마염의 서진(西晉) (265년 - 316년)에게 승계되며 서진이 삼국을 통일하게 되나, 초기부터 황실 분란인 팔왕의 난 등으로 혼란스럽다가, 흉노족의 전조에게 멸망당한다. 서진의 멸망 이후 서진이 있던 자리에 16개의 국가가 들어서 패권을 겨뤘으니 이를 십육국 시대(十六國時代) (316년 - 439년)라 한다. 비한족 국가인 전조(前趙)·후조·전연(前燕)·후연· 남연, 관중(關中)에 있던 전진(前秦)·후진·서진 및 하투(河套)의 하(夏), 사천(四川)의 성한(成漢), 하서(河西)의 후량·북량·남량과, 한족 국가인 북연, 하서(河西)의 전량(前涼), 서량이 있었으며, 전조, 후조, 전진 등이 한때 큰 세력권을 과시했으나 결국 북조의 북위로 통합된다. 북위(北魏)는 선비족 탁발씨의 국가로, 3대 태무제의 시기에 화북을 통일하였다. 그러나 북위는 곧 동위(東魏)와 서위(西魏)로 분리되고, 동위는 북제(北齊), 서위는 북주(北周)로 이어진다. 북제는 이후 북주에 흡수되고, 북주는 왕실 외척인 양견에 의해 수(隋)로 국호를 바꾸게 된다.


title: 중국의 역사

text: 한편 서진 황실의 계승을 천명한 동진(東晉)은 서진의 영토를 되찾으려 여러 차례 노력했으나 모두 실패한다. 세력권은 주로 장강 이남으로 한정되었다. 동진을 계승한 국가들이 이어진 왕조를 남조라고 하며, 송(宋)=유송(劉宋), 제(齊)=남제(南齊), 양(梁), 진(陳)이 있다. 수나라에게 멸망당한다.


title: 중국의 역사

text: 수(隋) (581년 - 618년)는 북주의 외척인 양견에 의해 건국된 나라로, 남조의 진을 멸망시키고 통일하나, 무리한 원정과 과도한 세금 징수로 인해 건국한지 얼마 지나지 않아 멸망하였고, 당(唐) (618년 - 907년)으로 이어진다. 당나라는 비단길을 통한 유럽과의 교역을 활성화시켜 중국 고대 문화를 서양에 전파하였다. 한편 당나라의 황후이던 측천무후가 조정을 장악하고 아들인 당의 황제를 황태자로 격하시키고 국호를 잠시 주(周) (690년 - 705년)로 바꾼다. 측천무후의 반대파에 대한 대대적인 숙청으로 공포 정치를 펼쳤으나, 인재 중심의 정치 역시 펼쳐서 백성들의 삶이 어느 정도 안정되었다. 측천무후 이후 다시 국호를 당으로 바꾸게 된다. 후량에게 멸망당한다.


title: 중국의 역사

text: 오대십국 시대 (907년 - 960년)는 화북의 정권을 다투던 5개의 대국과 나머지 10개의 소국이 혼재했던 시기이다. 5대 10국의 혼란을 수습하고 송(宋) (960년 - 1279년)이 다시 중원을 통일하였다. 세계 최초로 지폐를 발행하였으며, 중국 역사상 최초로 상비 해군을 창설하였다. 또한 문화 정치를 펼친 왕조이기도 하다. 이 시기에는 쌀과 보리의 이모작이 확대되었으며, 예술, 사상 및 각종 실용기술의 발달이 두드러져, 문화적으로 풍요롭던 시기였다. 그러나 내몽골 지역과 만주 지역을 차지한 거란족이 세운 국가인 요(遼) (916년 - 1125년)에 의해 베이징 이북의 많은 지역을 빼앗기고, 요나라와 서하에 사실상의 조공을 납부하며 별 위세를 떨치지 못하다가, 요나라의 지배하에 있던 여진족이 요나라를 정복하고 세운 금(金) (1115년 - 1234년)에게 화북 지방을 빼앗기고 멸망한다. 이 때까지를 북송(北宋)시대라고 하고, 이후 북송의 황실을 계승한 왕조를 남송(南宋)이라고 한다. 몽골 제국과 함께 금나라를 멸망시키는 데에는 성공하지만, 몽골 제국을 계승한 원나라에 의해 멸망한다.대성은 닥나라를 멸망시켜 큰 주요 인물이 되었다.


title: 중국의 역사

text:
원(元) (1271년 - 1368년)은 만주, 중앙아시아, 서남아시아, 동유럽까지 지배한 몽골 제국의 적장자인 쿠빌라이 칸이 몽골고원, 만주, 화북력들을 아우르는 지역의 한족식으로 세운 국가로, 남송을 멸망시키고 중국 본토를 장악하게 된다. 그러나 주원장이 원나라를 몽골 고원으로 몰아내고 명(明) (1368년 -1644년)이라는 한족 왕조를 건국한다. 초기에는 외국과 교류하며 선진 문물을 과시했으나, 후기로 갈수록 임진왜란 등 외부 원정의 부담과 문화 침체로 쇠퇴하다가 사르후에서의 패배와 숭정제의 실책으로 멸망한다. 명나라의 몰락을 틈타 금나라의 후예인 만주족이 후금을 세워 중국을 다시 통일하였다. 청(淸) (1616년 - 1912년)은 후금을 계승한 왕조로, 초기에는 한족을 정책적으로 차별했으나, 전체적인 제도 및 왕조의 분위기는 명나라와 유사하였다. 양무 운동을 통해 근대 국가 진입을 시도하였으나 실패하고, 서구 열강 세력들의 이권침탈이 심화되면서 더욱 더 쇠퇴하고, 1912년에 신해 혁명으로 멸망한다. 청나라 소조정이 1912년 부터 1924년 까지 유지되었지만 결국 붕괴되었다. 그 사이에 청나라 복벽사건이 일어나서 1917년 7월 1일 부터 청 황조가 복벽되었으나 1917년 7월 12일에 끝을 맺었다.
한편 남명(南明) (1644년 - 1662년)은 멸망당한 명나라의 왕실을 계승한 나라로, 명의 부흥을 기도하였으나 청나라에 망하였다. 남명의 신하였던 정성공은 타이난으로 건너가 정씨왕국을 설립하여 청나라에 대항하지만 3대째에 복속당한다.


title: 중국의 역사

text: 중화민국(中華民國) (1912년 - 현재)은 신해혁명의 성공으로 수립된/ 아시아 최초의 공화제 국가이다. 이후 각 지방의 실력자들이 군벌로 등장하였다. 특히 위안스카이는 자신이 거느리는 북양 군벌을 이끌고 쑨원으로부터 대총통 자리를 넘겨받았다. 위안스카이가 1916년 사망하자, 이후 그의 부하들이 할거했는데, 대표적으로 안휘파의 돤치루이, 직예파의 펑궈장, 차오쿤, 오패부, 봉천파의 장쭤린, 산시파의 옌시산 등이 중국 각지에서 할거하였다. 한편 중화민국 최초의 공화정 체제인 북양 정부는 1928년까지 존속했다. 그 후 북벌이 재개되고 모든 세력이 장제스가 이끄는 중국 국민당 수중으로 들어왔다. 이로써 난징을 수도로 하는 중국 국민당 주도의 국민 정부가 집권하게 되었다.


title: 중국의 역사

text: 한편 천두슈(陳獨秀)와 마오쩌둥(毛澤東)을 주축으로 하는 중국 공산당이 농민들 사이에서 지지를 얻고 있었다. 중국 국민당은 중국 공산당과 제1차 국공 합작을 이루어냈으나, 북벌 과정에서 분열이 일어나, 국공 내전이 시작되었다. 국민 정부는 1931년 만주사변 이래 일본의 침략에 무저항주의를 택하고 오로지 '공산당 타도'에 중점을 두는 정책을 폈으나, 시안 사건을 계기로 제2차 국공합작이 성립되어 항일 민족 통일전선이 결성되었다. 중일전쟁 중에 수도 난징이 점령당하고 충칭을 임시 수도로 정해 옮겼지만, 끝내 일본 제국이 패망하자 난징으로 복귀하게 된다. 하지만 전후 처리 과정에서 내분이 생겨 제2차 국공 내전이 발발하였다. 한편 국공 내전 중에 정부는 새로운 중화민국 헌법을 통과시켜 국민 정부를 헌정 체제로 격상시킨다. 1949년 4월에 중국 인민해방군이 수도 난징을 점령하면서 중국 공산당이 사실상 유리한 고지에 서게 된다. 기세를 몰아 중국 공산당은 중국 대륙을 석권한 이후 공식적으로 중화인민공화국을 건국한다. 이 과정에서 중화민국 정부는 패닉 상태에 빠져, 국민당에 내분이 일어나 공산당 밑으로 들어가거나(중국 국민당 혁명위원회) 타이완, 영국령 홍콩 또는 국외 등지로 피난하는 국민당 관계자도 속출했다. 한편 중국 국민당은 장제스의 지도하에 현재의 타이베이 시로 정부를 이전하여 지금까지 중화민국의 법통이 계승되고 있다. 냉전 시대에 한국 전쟁 덕분에 중화민국은 영토의 대부분을 잃었어도 국제적 위상이 거의 변함없었다. 그러나 점차 탈냉전 시대에 들어서게 되면서 실리 외교를 선호하는 세계 다수의 국가들은 중화인민공화국 쪽으로 기울었다. 현재 중화민국을 중국의 합법 정부로 승인하고 있는 나라 수는 대폭 감소했지만, 서로 중국의 정통성을 계승하는 유일한 합법 정부임을 자처하며 하나의 중국 원칙을 내세우고 있기 때문에 ‘두 개의 중국’으로 정부가 병립된 분단 국가로서 동아시아의 정치외교적인 문제로 확대되고 있다.


title: 중국의 역사

text:
한편 일본 제국이 세운 괴뢰 정부로 왕징웨이 정권, 몽강연합자치정부, 만주국이 있으나 국민 정부에 통합된다.
국공 내전으로 1949년 10월 중국 공산당의 주도로 중국 대륙에 사회주의 국가인 중화인민공화국(中華人民共和國) (1949년 - 현재)이 건국되었다. 소비에트 연방과의 유대 관계를 통해 여러가지 경제 개혁을 시도하였으나 실패하였고, 국경 분쟁을 일으키는 등 소련과의 관계도 소원해진다. 1971년 유엔 총회 결의 제2758호를 통해 중화민국을 제치고 유엔에 입성하였으며 국제 사회로부터 널리 인정받게 된다. 1971년 '핑퐁외교'로 불리던 리처드 닉슨의 베이징 방문을 계기로, 마침내 1979년 중화민국의 강력한 후원국이던 미국과도 수교하게 된다. 덩샤오핑() 이후 비약적인 경제 성장을 통해 경제 대국 반열에 진입하였다. 1990년대에 영국으로부터 홍콩을, 포르투갈로부터 마카오를 차례로 편입하였다. 2008년에는 베이징 하계 올림픽이, 2010년에는 상하이 엑스포가 개최되으며, 2022년에는 베이징 동계 올림픽이 개최될 예정이다.


title: 중국의 역사

text: 아래의 데이터는 양학통의 《計劃生育是我国人口史発展的必然》(1980년)에 의한다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라-켓 표기법(영어:)은 양자역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법으로, 추상적인 벡터와 선형 범함수를 표현하는 데 사용된다.


title: 브라-켓 표기법

text:
이 표기법은 꺾쇠괄호 '⟨', '⟩'와 ,수직선 '|' 을 사용하여 표기한다.
오른꺾쇠괄호로 표기한 것을 켓이라고 하며, 주로 열벡터를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
왼꺾쇠괄호로 표기한 것을 브라라고 하며, 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
여기에서 는 '켓-'로 읽고, 는 '브라-'로 읽는다.


title: 브라-켓 표기법

text:
유한차원벡터공간에 포함된 브라와 켓에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다.
이때, 은 의 켤레 복소수이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 표현하는데 사용된다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라-켓 표기법은 복소벡터공간에서 벡터의 스칼라곱 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다.
내적이나 작용은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다.


title: 브라-켓 표기법

text:
같은 레이블인(같은 내용물을 가진)브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다.
쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 〈"ψ"| 는 다음과 같이 켓벡터 |"ψ"〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에 디랙 표기법이라고도 한다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라-켓 표기법이 생겨나기 100년 전쯤에 헤르만 그라스만이 내적을
formula_7
으로 표기한 전례가 있다.
브라-켓 표기법은 선형 대수학의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 복소 벡터 공간에서의 벡터, 내적, 선형 연산자, 에르미트 수반, 쌍대공간에 초점이 맞추어져있으며, 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다.


title: 브라-켓 표기법

text: 양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 또한 양자역학으로 설명되는 많은 현상들이 브라-켓 표기법을 사용하여 표현된다.


title: 브라-켓 표기법

text: 표기법에 대해 간단히 설명하자면, 켓 은 열벡터이며, 같은 레이블의 브라  의 켤레 전치(행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 행렬 곱셈을 의미한다. 그러나, 켓은 열벡터로 쓰여지기 어려운 불가산 무한차원 벡터 공간에서 나타날 수도 있다. 또한, 숫자들의 목록으로 열벡터를 쓰는기 위해서는 기저가 필요한데, 이에 반해 ""이라고 쓰는것은 어떠한 특정한 기저를 정할 필요가 없다. 이러한 특성은 자주 다른 기저(예를 들자면 위치 기저, 운동량기저, 에너지 고유기저 등)로 바꿔야하는 양자역학에서의 계산에 유용하며, 그래서 브라-켓 표기법은 행렬로 쓰이기 어려운 기저벡터를 명시적으로 표현하기에 좋다. 심지어 어떤 상황에서는 중요한 두 기저 벡터가 단순히""와""로 표현될 때도 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 일부 물리학자들이 선호하는 내적에 대한 표준 수학적 표기법은 다음의 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음의 구성은 외적을 나타낸다.
또한 행렬 곱셈(즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 만약 켓이 벡터공간의 한 원소일 경우, 대응되는 브라는 쌍대공간의 원소이다. — 리스 표현 정리를 참고하라.


title: 브라-켓 표기법

text: 수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 대부분 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량(변위, 속도 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나()또는 굵게 표시하여 () 쓰여진다.


title: 브라-켓 표기법

text: 양자역학에서 양자 상태는 일반적으로 추상복소벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 파동함수(삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가르키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들은 일반적으로 "켓"으로 불리게 되고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다.


title: 브라-켓 표기법

text: 디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다(예시: ). 켓 표기법이 사용된 것들은 "켓"이라고 불리며, 는 "켓-A"로 읽는다. 이러한 켓들은 선형대수학의 일반적인 법칙을 통해 만들어질 수 있다. 다음의 수식은 그 예시이다..


title: 브라-켓 표기법

text: 참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어라도 레이블로 적절하다면 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호""는 "" 자체의 의미와 관계 없이 구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, 는 일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그러나 이해를 돕기 위해서 켓 안의 레이블은 논리적으로 일관성 있게 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 에너지 고유켓은 일반적이고 관습적으로 양자수를 나열한 것으로 붙여진다.


title: 브라-켓 표기법

text: 내적은 일반화된 스칼라곱으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은  으로 쓰일 수 있다. 여기에서 와 는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘 다 켓이다.


title: 브라-켓 표기법

text:
와 의 내적은 브라–켓 표기법으로 다음과 같이 표기할 수 있다.
브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눌 수 있다.
여기에서 는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, 는 위에서와 같이 켓이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 와 켓 는 "둘다" , "그 자체"로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미는 크게 두가지가 있지만, 표현 는 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석된다.


title: 브라-켓 표기법

text: 고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 그리고 이러한 정의에서는 브라 옆에 켓을 놓는것이 행렬 곱셈의 의미를 갖는다는 것을 암시한다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라의 켤레 전치("에르미트 수반"으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.
왜냐하면 다음과 같은 브라,
가 있을 때, 켤레 복소수를 취하고 행렬을 전치하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다.


title: 브라-켓 표기법

text:
무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운, 동치의 추상적인 정의는 브라를 켓의 공간에서의 선형 범함수로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 선형 변환으로 정의하는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약 가 리스 표현 정리 아래에서 와 상응하는 선형 범함수라면 다음과 같이 함수로 표시할 수 있다.
즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 "내적이 아니다". 이러한 내용이 혼란스러울 수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.


title: 브라-켓 표기법

text: 수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 양자역학에서, 무한의 노름을 가지고 있는 켓, 즉, 규격화 불가능 파동함수들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 디랙 델타 함수나 무한 평면파가 파동 함수로 사용되는 상태 등이 있다. 기술적으로, 이러한 상태는 힐베르트 공간에 속하지 않는다. 그러나, "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태들을 포함하도록 확장될 수 있다.(겔판트-나이마르크-세갈 구성과 조작된 힐베르트 공간을 참고하라.) 브라–켓 표기법은 이러한 넓은 맥락에서도 비유적으로 사용될 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 바나흐 공간은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간 에서, 벡터는 켓으로, 선형 범함수는 브라로 표기될 수 있다. 사실, 위상 공간이 아닌 어떠한 벡터공간에서도 벡터를 켓으로 선형 범함수를 브라로 표기하는 것이 가능하다. 이러한 더 일반적인 맥락에서 꺾쇠괄호는 리스 표현 정리가 적용될 수 없기 때문에 더 이상 내적의 의미를 가질 수 없다.


title: 브라-켓 표기법

text: 양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 선형대수학을 기반으로 한다.벡터와 선형 연산자를 포함한 양자역학의 모든 계산은 사실상 브라-켓 표기법으로 표기될 수 있다. 아래는 그에 대한 몇가지 예시이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 스핀-0 점입자의 힐베르트 공간은 "공간기저" 위에 펼쳐져있으며, 이때 레이블 은 모든 점들의 위치 공간의 집합으로 확장된다. 이 레이블은 몇몇 기저 상태에서 작용하는 위치 연산자의 고유값, formula_19이다. 불가산 무한한 수의 벡터의 원소는 기저에 있는, 이것은 불가산 무한 차원 힐베르트 공간. 힐베르트 공간의 차원(일반적으로 무한한) 그리고 위치 공간(보통 1,2,3)은 섞이지 않는다.


title: 브라-켓 표기법

text:
이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓  에 대해 다음과 같이 파동함수로도 알려져 있는 스칼라 함수 을 정의할 수 있다.
왼쪽의 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 는 켓이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 그 다음에는 관습적으로 파동함수(켓)에 작용하는 선형 연산자를 다음과 같은 방법으로 정의한다.


title: 브라-켓 표기법

text: 예를 들어, 운동량 연산자 는 다음과 같은 형태이다.


title: 브라-켓 표기법

text:
간혹 다음과 같은 표현을 만나게 될 때도 있다.
하지만 이것은 표기법의 남용이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저
에 사영되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다.
그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는  와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다.


title: 브라-켓 표기법

text: 양자 역학에서 식 은 일반적으로 상태가 상태 으로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다. 수학적으로는 가 으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태 의 상태 로의 사영을 의미하기도 한다.


title: 브라-켓 표기법

text:
정적인 스핀- 입자는 이차원 힐베르트 공간을 가진다. 그 공간의 정규 직교 기저 가운데 하나는 다음과 같다.
여기에서,  가 각운동량 연산자 "S" 의 값이 확실히 인 상태이고, 는  각운동량 연산자 의 값이 확실히 인 상태이다.


title: 브라-켓 표기법

text:
이러한 기저를 통해, 입자의 "어떠한" 양자 상태도 두 기저의 선형결합(즉, 양자 중첩)으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
이때 "a" 와 "b" 는 복소수이다.


title: 브라-켓 표기법

text:
다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 "다른" 기저도 존재한다.
이 상태들은 대신 의 관점에서 정의된 것이다.
또한, 입자의 "어떠한" 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text:
어떠한 기저를 사용하는지에 따라 다음과 같이 다른 벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다.
다시 말해서, 벡터의 "좌표"는 사용된 기저에 의존한다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이것은 , 와 , 의 수학적 관계이다. 자세한 내용은 기저 변환을 참고하라.


title: 브라-켓 표기법

text: 표기법의 몇가지 관례와 오용이 물리학계에서 일반적으로 받아들여지고 있지만 이러한 표기법은 혼동을 일으킬 여지가 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 같은 방정식에서 "레이블"과 상수로 같은 기호를 사용하는 것은 일반적이다. 예를 들어, formula_30에서 기호 formula_31는 동시에 "연산자의 이름" , "고유벡터"  그리고 연관된 "고유값" 로 사용되었다.


title: 브라-켓 표기법

text: 벡터의 요소를 표기할 때 이와 비슷한 일이 발생한다. 동 (대문자)는 전통적으로 파동함수와 연관되었고,  (소문자)는 같은 맥락에서 파동함수 또는 복소상수 레이블을 표시하는데 사용되며, 아래첨자에 의해서만 구분된다.


title: 브라-켓 표기법

text: 주된 남용은 벡터 레이블 안에 연산을 포함하는 것이다.  이러한 남용은 벡터의 크기변환을 빠르게 표기하기 위해 사용된다. 즉, 만약 벡터 가 배 크기변환될 때, 이것을 으로 표시하는 셈이다. 그러나 이러한 표기법은 말이 되지 않는다. 왜냐하면  가 함수나 숫자가 아닌 레이블(이름)이기 때문에 연산을 수행할 수 없기 때문이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이러한 오용은 와 같이 벡터를 텐서곱으로 표현할 때 레이블의 일부가 표기법의 바깥으로 나가는 경우가 일반적이다. 여기에서, 서로 다른 뜻을 갖고있는 세 벡터의 레이블의 일부분이 아래첨자 1, 2와 같이 켓의 바깥으로 이동했다. 그리고 가 첫번째 벡터의 노름(벡터의 크기)을 의미하는 것으로 오용되었다.


title: 브라-켓 표기법

text: 켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 선형 연산자를 맵이라고 한다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서, 만약 가 선형 연산자이고 가 켓일 때, 은 또다른 켓이다.


title: 브라-켓 표기법

text: -차원 힐베르트 공간에서,  는  열벡터로 쓰일 수 있으며, 는 복소수 항목을 포함한  행렬로 쓰일 수 있다. 켓 는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, 에너지나 운동량 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 유니터리 선형 연산자로 표현된다.


title: 브라-켓 표기법

text: 연산자는 브라의 "오른쪽"에서 작용하는 것으로 표기된다. 특히, 만약 가 선형 연산자이고,  가 브라이면, 는 규칙에 따라 다음과 같이 정의되는 또 다른 브라이다.


title: 브라-켓 표기법

text: -차원 힐베르트 공간에서, 는   행벡터로 쓰일 수 있고,(이전 단락에서와 같은)  는  행렬으로 쓰일 수 있다. 그러고 나면 브라  는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text:
만약 같은 상태 벡터가 다음과 같이 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면
이 표현은 상태 에 있는 물리학 계에 대해 관측 가능한 표현 연산자 의 기대값 또는 평균을 나타낸다.


title: 브라-켓 표기법

text: 힐베르트 공간  에서 선형 연산자를 정의하는 편리한 방법은 외적으로 정의하는 것이다. 만약 가 브라이고 이 켓이면, 외적


title: 브라-켓 표기법

text: 은 다음과 같은 규칙에 따라 계급-1 연산자를 나타낸다.


title: 브라-켓 표기법

text: 유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는  행렬이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 외적의 사용 용도 가운데 하나는 사영작용소를 구성하는 것이다. 노름이 1인 주어진 켓 에 대해, 에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 다음과 같다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라와 켓이 서로 변환될 수 있는 것 처럼(를 으로 만듦으로써), 에 상응하는 쌍대공간의 원소는 이다. 이때  는 연산자 의 에르미트 수반이다. 다시말해,


title: 브라-켓 표기법

text: 만약  가  행렬로 표현된다면,   는 의 켤레전치이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 인 자기수반연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 관측가능량은 항상 자기수반연산자로 표현된다. 만약  가 자기수반연산자이면, 는 항상 실수이다(복소수가 아니다). 이것은 관측가능량의 기댓값이 실수임을 의미한다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라-켓 표기법은 선형대수 표현의 조작을 쉽게하기 위해 고안되었다. 여기에는 조작을 쉽게 하는 몇몇 특성들을 목록으로 정리해두었다. 무엇을 다음과 같이, 과  는 임의의 복소수이고,   는 의 켤레 복소수를 의미하며, 와 는 임의의 선형 연산자를 나타내고, 이러한 특성은 브라와 켓 어느것을 골라도 적용된다.
브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서, 괄호로 묶는것은 어떠한 문제도 되지 않는다(즉, 연결결합법칙 속성을 갖고 있다.). 예를 들어:


title: 브라-켓 표기법

text: 등과 같다. 식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는것이 허용된다. "왜냐하면" 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 역전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.


title: 브라-켓 표기법

text:
브라–켓 표기법은 특히 에르미트 수반(또는 데거라고 하며 으로 표시한다.)의 표현입니다. 공식적인 규칙은 다음과 같다:
이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다. 아래는 몇가지 예시이다.두 힐베르트 공간 와  는 텐서곱을 통해 또다른 공간  을 형성할 수 있는데, 이것은 양자역학에서 복합계를 설명하는데 사용된다. 만약 계가 각각  와  로 설명되는 두개의 부분계의 합성인 경우, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱이다. ( 두 부분계가 동일입자인 경우는 예외이며, 이러한 경우, 상황은 약간 더 복잡해진다.)


title: 브라-켓 표기법

text: 만약 가 에 속한 켓이고, 는 ,에 속한 켓일 때, 두 켓의 직접 곱은  에 속한 켓이다. 이것은 다음과 같이 다양한 표기법으로 쓰여진다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이러한 곱의 적용은 양자 얽힘 과 EPR 역설을 참고하라.


title: 브라-켓 표기법

text: 완비정규직교계(기저)이고,


title: 브라-켓 표기법

text: 인 노름이 내적인 힐베르트 공간를 고려하자.


title: 브라-켓 표기법

text: 기초적인 함수해석에서, 어떠한 켓 는 다음과 같이 쓰일 수 있다는 것은 알려진 사실이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이때 은 힐베르트 공간 위에서의 내적이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 이것은 켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음의.


title: 브라-켓 표기법

text: 는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 '항등 연산자'여야 한다.


title: 브라-켓 표기법

text: 브라-켓 표기법을 사용할 때 물리학자가 고려하는 대상은 힐베르트 공간 (완비 내적 공간)이다.


title: 브라-켓 표기법

text: 를 힐베르트 공간이라고 하고, 를 안의 벡터라고 하자. 물리학자들이 로 나타내고 싶은 것은 벡터 그 자체이다. 즉,


title: 브라-켓 표기법

text: 를 의 쌍대 공간이라고 하자. 이것은   위에서의 선형 범함수의 공간이다. 위상 동형 는 정의된 모든 에 대해  으로 정의된다.


title: 브라-켓 표기법

text:
이때, , , , 그리고, 는 단지 힐베츠트 공간의(또는 처음 세 표기법의 경우, 내적 공간에서도) 두 원소 사이의 내적을 표현하는 다른 표기법일 뿐이다.
표기의 혼동은 , 와 , 를 각각 식별하는데에서 발생한다. 이것은 문자 그대로 상징적 대체이기 때문이다. 라고 하고 라고 하자. 이러한 가정은 다음과 같은 식을 제공한다


title: 브라-켓 표기법

text: 괄호를 무시하고 두개의 세로선을 제거한 식을 얻게 된다.


title: 대한민국

text: 대한민국(, 大韓民國, ; ROK)은 동아시아의 한반도 남부에 있는 공화국이다. 서쪽으로는 서해를 사이에 두고 중화인민공화국이, 동쪽으로는 동해를 사이에 두고 일본이 있으며 북쪽으로는 조선민주주의인민공화국과 맞닿아 있다. 수도는 서울특별시이며, 국기는 태극기, 국가는 애국가(비공식), 공용어는 한국어와 한국 수어이다.


title: 대한민국

text: 대한민국이라는 명칭은 3.1 운동을 통해 독립을 선언하고, 1919년 4월 11일 대한민국 임시정부가 수립하며 시작되었다. 1945년 광복 이후, 한반도의 북위 38도선 이남 지역 거주자들의 자유로운 선거(5.10 총선거)를 통하여 1948년 8월 15일에 공식적인 민주주의 국가로 출범하였다. 대한민국 헌법 전문에 따르면 대한국민은 3.1운동으로 건립된 대한민국 임시 정부의 법통을 계승한다. 대한민국은 1948년 12월 유엔 총회 결의 제195호를 통해 유엔으로부터 한반도 대다수 주민의 자유로운 의사에 따라 탄생한 한반도 유일한 정부로서 합법 정부로 승인 받았다. 이와 관련하여 대한민국 정부가 1948년에 유엔 감시 하에 선거를 실시한 한반도 이남에서만 유일한 합법 정부라는 주장도 있다. 1991년 대한민국과 조선민주주의인민공화국은 동시에 UN에 가입하였다. 한편 국제법 상의 관례와 통설, 대한민국의 헌법재판소의 판례에 따르면 조선민주주의인민공화국이 UN에 가입하였다 하여 가맹국들 상호 간에도 당연히 그 국가성이 승인되는 것은 아니고 또 그러한 의무가 있는 것이 아니다. 대한민국은 조선민주주의인민공화국의 국가성을 원칙적으로 부정한다.


title: 대한민국

text: 대한민국은 한국 전쟁 이래 일명 '한강의 기적'이라고 불리는 높은 경제 발전을 이룩하며, 1990년대에 이르러 세계적인 경제 강국으로 발전하였다. 2015년 구매력 기준 1인당 국민 총소득(GDP)은 36,601달러로 세계은행에서 고소득 국가로 분류되었고, 2016년 유엔의 인간 개발 지수(HDI) 조사에서 세계 18위로 '매우 높음'으로 분류되었다. 또한, 국제 통화 기금(IMF)에서는 대한민국을 선진 경제국으로 분류하고 있다. 대한민국의 명목 국내 총생산(GDP)은 2016년 1조 4112억 달러이다. 또한, 대한민국은 주요 20개국(G20), 경제 협력 개발 기구(OECD), 개발 원조 위원회(DAC), 파리 클럽과 같은 기구에서 회원국으로 활동하고 있다.


title: 대한민국

text: '대한민국'이란 국호 중 대한(大韓)의 어원은 고대 한반도 남부 일대에 존재했던 나라의 이름인 한(韓)에서 유래한다. 마한, 진한, 변한을 합쳐 삼한이라고 불렀으며, 고구려, 백제, 신라를 합쳐 삼한이라 부르기도 하였다. 한(韓)이라는 말은 종교적 의미와 정치적 의미가 복합적으로 이루어져 고대부터 내려오던 말로서, '하나', '하늘', '크다', '칸'(汗) 등 복합적 의미가 있다.


title: 대한민국

text:
이후 근대 국가의 국호로서 '대한'은 1897년 고종이 대한제국을 선포하면서 다시 선택한 것으로 새 국호를 정한 이유를 다음과 같이 밝혔다.
나라는 옛 나라이나 천명을 새로 받았으니 이제 이름을 새로 정하는 것이 합당하다. 삼대(三代) 이래로 황제의 나라에서 이전의 나라 이름을 그대로 쓴 적이 없다. '조선'은 기자가 봉해졌을 때의 이름이니 당당한 제국의 이름으로 합당하지 않다. 대한이란 이름을 살펴보면 황제의 정통을 이은 나라에서 이런 이름을 쓴 적이 없다... 한(韓)이란 이름은 우리의 고유한 나라 이름이며, 우리나라는 고구려·백제·신라 등 원래의 삼한을 아우른 것이니 '큰 한'이라는 이름이 적합하다.
작가 겸 시인인 최남선은 자신의 책 《조선상식문답》에서 이를 해설하기를 "대한이라 함은 한(韓)은 한이지만 옛날 같은 작은 한이 아니라 지금은 커다란 한이라는 뜻을 보인 것이다. 이렇게 '대한'이란 것은 두 자가 다 합하여 나라 이름이 되는 것이요, 결코 대명(大明, 명나라)이나 대영(大英, 대영 제국)과 같이 높이는 뜻으로 대자를 붙인 것이 아니며 '한국' 이라 함은 실제 대한을 간단하게 부르는 것이다."라고 했다.


title: 대한민국

text: 여기에 민국(民國)을 더한 '대한민국'이라는 국호는 1919년 3.1운동 직후에 만들어진 대한민국 임시 정부에서 정한 것이다. 1919년 4월 10일 임시 정부의 첫 임시 의정원 회의에서 국호를 정하기 위해 회의를 할 때 신석우 선생이 '대한민국'(大韓民國)으로 국호를 정하자고 하니, 여운형 선생이 '대한'이라는 이름으로 나라가 망했는데 또다시 '대한'을 쓸 필요가 있느냐고 했다. 그러자 신석우 선생이 "대한으로 망했으니 대한으로 다시 흥해보자"라고 부연 설명을 하며 대한제국의 '제국'을 공화국을 뜻하는 '민국'으로 바꾸어 대한민국을 국호로 제안하였고, 다수가 공감함에 따라 '대한민국'으로 결정되었다.


title: 대한민국

text: 광복 후 1948년 제헌 국회에서 이 국호를 계승하여 헌법에 명시하였고 다시 1950년 1월 16일 국무원고시 제7호 '국호 및 일부지방명과 지도색 사용에 관한 건'에 의해 확정 하였다. 이에 20세기 전반까지도 널리 사용되던 지명으로서의 '조선'이라는 이름은 '대한'이나 '한국', '한(韓)'으로 대체되어 현재 대한민국 내에서는 자주 쓰이지 않게 되었다.


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text: 이에 따라 대한민국의 국민은 자국의 국호를 '대한민국', '한국' 등으로 부르며, 자국을 호칭할 때는 흔히 '우리나라'라고 한다. '대한'이라는 칭호를 사용하기도 하며, 한반도 북부에 자리한 조선민주주의인민공화국과 대비해 한반도 남부에 있다 하여 '남한'으로도 불리는데 특히 조선민주주의인민공화국은 이를 남조선(南朝鮮)이라고 부른다.


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text: 일본, 중화인민공화국, 대만, 베트남 등 주로 동아시아에 있는 한자 문화권 국가들은 일상에서 대한민국을 간단히 한국(, , )이라 부른다. 한반도 전체를 부를 때는 조선(, , )이라고 한다.


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text: 현재 영어권 국가에서 불리는 국호인 Korea의 시초는 기원전 1세기부터 7세기까지 한반도 북부와 만주 지방에 존재했던 고구려[Goguryeo]에서 전해온다. 고구려는 장수왕 때 국호를 고려로 변경한 바 있으며, 후에 후삼국을 통일한 왕건이 고구려를 계승하는 의미로 국호를 고려로 정하였다. 그 후 당시 아라비아 상인들이 고려의 수도인 개성으로 통하는 벽란도를 출입하면서, 고려라는 이름이 Corea로 음역 되어 전 세계에 전해졌다. 그 후 서방에 전해져 프랑스어로 Corée, 스페인어로 Corea, 영어로 Korea라고 불리게 되었다. 현재 대한민국의 공식 영어 명칭은 Republic of Korea로서, 약칭 'R.O.K.'로 사용한다.


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text: 대한제국 시절 공식 문서에는 Corea 또는 Korea가 혼용되어 사용되었고, 1900년대 초기(~1910년까지)부터 영어권에서는 Korea가 점점 사용 빈도가 높아지게 되었다. 1892년 외국인이 자주 보는 잡지 〈"The Korean Repository"〉 5월호에는 “미국 국무부와 영국의 왕립지리학회는 우리가 차용한 이 땅의 이름을 아주 조리 있게 Korea로 표기하기 시작했던 것”이라는 내용이 나온다.


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text: 일본은 19세기 말부터 1905년 이전까지는 Corea로 한국을 표기하다가 일제강점기에는 Corea나 Korea를 배격하고 Chosen이라는 알파벳 국호를 사용했다.


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text: 1948년 8월 15일부터 9월 24일까지 대한민국기원으로 1919년을 원년으로 사용하다 같은 해 9월 25일부터 1961년 12월 31일까지 단군기원을 사용했다. 이후 에 따라 1962년 1월 1일부터 서력기원을 사용한다.


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text: 서력기원 연대와 단군기원 연대의 차이는 2333년이다. 현재의 서력기원은 공문서 등에 공용 연호로 사용하고 있다. 종교계, 학계 등 민간에서 단군기원을 사용하는 것을 금지하고 있는 것은 아니다.


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text: 대한민국은 동해를 사이에 두고 일본 열도와, 황해를 사이에 두고 중화인민공화국과 마주하며, 육지로는 군사 분계선을 사이에 두고 조선민주주의인민공화국(북한)과 맞닿아 있다.


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text:
한반도는 제3기 마이오세 이후에 일어난 단층과 요곡운동의 결과 동쪽으로는 높은 산지가 급경사로 동해안에 임박하고 서쪽으로는 서서히 고도가 낮아진다. 이를 동고서저의 경동지형이라 한다. 높은 산들은 대부분 동부 지방에 치우쳐서 한반도의 등줄기라 불리는 태백산맥에 자리한다. 태백산맥의 대표적인 산이 설악산이다. 태백산맥의 남서쪽으로 소백산맥이 이어지며 그 중에는 지리산이 유명하다. 제주도에는 대한민국에서 가장 높은 산이자 사화산인 한라산이 있다.
하천의 유량은 극히 불규칙하여 여름에는 집중 호우로 연 강수량의 약 60% 이상이 홍수로 유출되며, 갈수기에는 강바닥을 거의 드러내는 하천이 많다. 대표적인 강은 위쪽부터 반시계 방향으로 한강, 금강, 영산강, 섬진강, 낙동강 등이다. 대다수의 강이 산지가 많은 동쪽에서 평평하고 낮은 구릉이 대부분인 서쪽으로 흐르며 중하류에 비교적 넓은 충적평야가 전개된다.


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text: 산맥은 교통에 적지 않은 제약을 주어, 산맥을 경계로 지역의 문화나 풍습이 크게 차이가 나기도 한다. 산맥으로 가로막힌 지방은 고개를 넘어 왕래했는데 영서 지방과 영동 지방을 연결하는 태백산맥의 대관령·한계령·진부령·미시령, 중서부와 영남 지방을 연결하는 소백산맥의 죽령·이화령·추풍령·육십령 등이 산맥을 넘는 주요한 교통로로 사용된다.


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text: 한반도의 서쪽은 황해, 동쪽은 동해, 남쪽은 남해와 맞닿아 있어 삼면이 바다로 둘러싸인 반도형이며, 가장 큰 부속 도서인 제주도 남쪽으로는 동중국해와 접한다. 황해와 남해 연안은 해안선이 복잡한 리아스식 해안으로 조수 간만의 차가 클 뿐만 아니라 해안 지형도 꽤 평탄하여 넓은 간석지가 전개된다. 또한 수많은 섬이 있어서 다도해라고도 불린다. 반면에 동해 연안은 대부분 해안선이 단조롭고 수심이 깊으며 간만의 차가 적다. 해안 근처에는 사구·석호 등이 형성되어 있고 먼 해상에 화산섬인 울릉도가 있으며 그보다 동쪽으로 약 87.4km 거리에 대한민국 최동단인 독도가 위치한다.


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text: 북위 33도~38도, 동경 126~131도에 걸쳐 있어 냉대 동계 소우 기후와 온대 하우 기후, 온난 습윤 기후가 나타난다. 겨울에 북부 지역은 편서풍으로 인해 시베리아와 몽골 고원의 영향을 받아 대륙성 기후를 띠어서 건조하고 무척 추우나 남부 지역은 이런 영향을 적게 받아 상대적으로 온난한 편이다. 여름에는 태평양의 영향을 받아 해양성 기후의 특색을 보여서 고온다습하다. 계절은 사계절이 뚜렷이 나타나며 대체로 북부 지역은 여름과 겨울이 길고 남부 지역은 봄과 가을이 길다.


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text: 4월 초에서 5월에 걸쳐 포근한 봄 날씨, 6월경에서 9월 초에는 무더운 여름이, 9월 말에서 10월 말까지는 화창하고 건조한 가을 날씨가 이어지고, 11월에 기온과 습도가 점차 낮아지기 시작하여 12월에서 2월까지는 춥고 건조한 겨울 날씨를 보인다. 중부 산간 지방을 제외하고 대체로 연 평균 기온은 10 ~ 16℃이며, 가장 무더운 달인 8월은 23 ~ 36℃, 5월은 16 ~ 19℃, 10월은 11 ~ 19℃, 가장 추운 달인 1월은 -6 ~ 3℃이다.


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text: 비는 주로 여름에 많이 내리는데 연 강수량의 50 ~ 60%가 이때 집중된다. 이를 장마라고 하며 특히 6월 말에서 7월 중순까지를 장마철이라 한다. 각 지역의 연 평균 강수량은 중부 지방이 1100 ~ 1400mm, 남부 지방이 1000 ~ 1800mm, 경북 지역이 1000 ~ 1200mm이다. 경상남도 해안 지역은 약 1800mm이며 제주도는 1450 ~ 1850mm이다.


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text: 습도는 7월과 8월이 높아서 전국에 걸쳐 80%정도이고 9월과 10월은 70% 내외이다. 태풍은 북태평양 서부에서 연평균 28개 정도가 발생하여, 이 중 두세 개가 영향을 미친다.


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text: 한반도 전역에 동식물 10만여 종이 분포한다. 호랑이 중에서 가장 큰 종인 시베리아호랑이가 과거 살았었으나 현재는 보이지 않는다. 그 밖의 맹수로는 반달곰과 표범이 있으며 소수 개체군이 생존한다. 그 밖에도 멧돼지, 고라니, 너구리 등의 포유류와 까치, 꿩, 참새, 비둘기를 비롯한 텃새, 두루미, 기러기 같은 철새가 서식하며 지네나 거미, 수많은 곤충류도 있다. 삼면이 바다여서 난류와 한류에 서식하는 다양한 어패류와 고래도 존재한다. 다만 최근에는 지구 온난화로 한류성 어류가 감소하고 불가사리나 해파리가 급증해서 큰 문제가 되고 있다.