title: Charles Howard Hinton

text: Dans son livre A New Era of Thought ("Une nouvelle ère de la pensée"), Charles Hinton avance l'idée que notre espace possède une légère hyperépaisseur dans la quatrième dimension, nous permettant de construire des pensées 4D.


title: Charles Howard Hinton

text: Il meurt en 1907.


title: Charles Howard Hinton

text: Aucun livre de Charles Hinton n'est traduit en français, mais on en trouve plusieurs extraits dans "La quatrième dimension" de Rudy Rucker. Par ailleurs, Alan Moore y fait référence dans le comic book "", tout comme Thierry Smolderen et Jean-Philippe Bramanti dans leur BD "McCay", relatant la vie du dessinateur américain Winsor McCay.


title: Charles Howard Hinton

text: Hinton est le personnage principal de la pièce de théâtre "" de Carlos Atanes, dont la première a eu lieu à Madrid (2015). Dans cette pièce, le dramaturge spécule sur ce qui aurait pu arriver chez le couple Hinton un jour de 1893.


title: Charles Howard Hinton

text: Il est également cité par Jorge Luis Borgès dans sa nouvelle "Miracle secret" qui est consacrée aux anomalies du temps.


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: Alexandre d'Abonuteichos (ou Alexandre d'Abonotique ou Alexandre de Paphlagonie), né vers 105 et mort vers 175, est un mystique, prêtre du culte d'Asclépios et de Salus qui existait déjà, à l'imitation du culte à mystères d'Éleusis. Cet émule du néo-pythagoricien Apollonios de Tyane institua vers 150 un oracle de Glycon dans le port paphlagonien d'Abonuteichos (« muraille d'Abonou », en grec). Il aurait exercé une influence sur Marc Aurèle durant sa campagne contre les Germains.


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: Si l'on considère que la présentation faite par Lucien de Samosate, qui le qualifie d’, est trop hostile, on peut placer Alexandre d'Abonuteichos dans la lignée des philosophes néopythagoriciens, comme Apollonios de Tyane. Tel est le parti de Charles Kahn : . Ainsi, Alexandre est parfois présenté comme une réincarnation de Pythagore.


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: Son culte du « Nouvel Esculape », le serpent à tête semi-humaine Glycon, devait répondre aux attentes de ses contemporains, car il se propagea jusqu'à Rome, dans tout l'espace danubien et la Syrie. Ce culte se caractérisait par le secret, l'initiation, le silence pendant les rituels, des fêtes à mystères et la résurrection symbolique d'un prophète. Selon Lucien, chrétiens et épicuriens ne pouvaient pas être initiés ("Alexandre", 38 : « à la porte les chrétiens, à la porte les épicuriens »). Le culte survécut jusqu'au milieu du .


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: Alexandre entretenait à Rome de bonnes relations qui le conduisirent pendant le règne d'Antonin le Pieux à faire rebaptiser la ville de son culte (Abonuteichos) en « Iônopolis » (actuelle Inebolu). C'est pourquoi, sous les règnes d'Antonin le Pieux, de Caracalla et de Maximin le Thrace, on frappa des monnaies dont le motif était le serpent Glycon rendant des oracles. Le culte continua après la mort d'Alexandre mais sans l'oracle, avec Alexandre érigé en héros et modèle.


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: Lucien déclare avoir rencontré personnellement Alexandre. Il le dépeignait comme un charlatan, certainement intelligent mais sans scrupules, qui tirait profit de la mode des oracles, florissante au . Son livre, qui date d'après 180, est un pamphlet rédigé sur un mode rationaliste, dénonçant Alexandre comme un escroc.


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: 1. Lucien de Samosate, "Alexandre, ou Le faux prophète" (ap. 180), Pierre-Emmanuel Dauzat (Introduction), Marcel Caster (Traduction du grec), Les Belles Lettres, 2002, 76 p. Trad. en ligne Joseph Longton 1998 bcs.fltr.ucl.ac.be


title: Alexandre d'Abonuteichos

text: 2. l'oracle du dieu serpent Glycon


title: Aïnous (ethnie de Chine)

text: Les Aïnous (ou Ainus ou Aynu, Aini, Abdal, ) sont un groupe ethnique de la région autonome du Xinjiang en Chine. Ils n'ont aucun lien avec les Aïnous du Japon.


title: Aïnous (ethnie de Chine)

text: Leur population est évalué à environ . Sur le territoire chinois, ils sont assimilés à la nationalité ouïghour, mais sont ostracisés par les Ouïghour.


title: Aïnous (ethnie de Chine)

text: Ils vivent majoritairement dans le Désert du Taklamakan, à l'extrême sud-ouest du Xinjiang, dans les préfectures de Kachgar et Hotan.


title: Aïnous (ethnie de Chine)

text: Ils sont majoritairement musulmans sunnites, bien qu'une minorité d'entre eux soient chiites.


title: Aïnous (ethnie de Chine)

text: Leur langue est une langue turque proche du ouïghour. Son vocabulaire inclut de nombreux mots du persan, probablement en raison de la proximité de la localisation de ce peuple avec l'Afghanistan.


title: Al Aroui

text: Al Aaroui (en langue berbère : Aɛarwi/ⴰⵄⵔⵡⵉ , en arabe : ), connue aussi sous le nom d'Aroui ou de Mont-Arouit, est une ville située au nord-est du Maroc, dans le Rif, à au sud de Nador.


title: Al Aroui

text: Seconde ville de la province de Nador et sixième ville de la région de l'Oriental, elle comptait habitants en 2014.


title: Al Aroui

text: Elle est reliée à Nador par une route à double voie (N 15).


title: Al Aroui

text: Elle est connue pour son aéroport et son marché hebdomadaire du dimanche.


title: Al Aroui

text: Plusieurs activités économiques réaniment la ville, entre autres, le secteur tertiaire, l'agriculture, le commerce légal et la contrebande vu la situation géographique proche du préside de Melilla () et de l'Algérie (), ce qui fait de l'Arouit un point de passage obligé qui relie les transactions commerciales entre le nord et le reste du Maroc.


title: Al Aroui

text: L'aéroport international Aéroport Nador - al-Aroui implanté à proximité de la ville contribue à son essor économique.


title: Al Aroui

text: Le marché hebdomadaire du dimanche est l'un des plus grands marchés de la région.


title: Al Aroui

text: Les importants transferts des devises provenant des Marocains originaires de la ville résidant à l'étranger sont investis notamment dans le secteur de l'immobilier.


title: Congrès anarchiste international d'Amsterdam

text: Le Congrès anarchiste international d’Amsterdam s’est tenu du au à Amsterdam (Pays-Bas). Au centre des débats : le syndicalisme et l'antimilitarisme. Ce congrès rassemble des délégués de 14 pays dont des figures notables du mouvement libertaire de l’époque comme Errico Malatesta, Pierre Monatte, Luigi Fabbri, Benoît Broutchoux, Emma Goldman, Rudolf Rocker, Christiaan Cornelissen, Émile Chapelier, Domela Nieuwenhuis, Georges Thonar, Henri Fuss, Pierre Ramus, Max Baginski


text: Pendant toute la semaine de ce congrès divers thèmes furent abordés en rapport à l’anarchisme et à son organisation, au développement du mouvement, à l’éducation ou encore à la grève générale. Un des thèmes principaux fut l’antimilitarisme, le "congrès antimilitariste international" se tenant simultanément au congrès international anarchiste.


text: Mais le débat majeur de ce congrès se porta sur la relation entre anarchisme et syndicalisme. Ce débat fut le témoin d’une vive opposition entre Errico Malatesta et Pierre Monatte.


text: Monatte pensait que le syndicalisme était révolutionnaire et permettrait la révolution sociale. Malatesta s’opposait à cette idée affirmant : Pour Malatesta le syndicalisme était en effet réformiste et pouvait même être dans certains cas conservateur (l’exemple des Trades-Unions aux États-Unis, syndicats composés d’ouvriers qualifiés s’opposant parfois aux ouvriers non qualifiés afin de défendre leur position privilégiée).


text: Cette opposition entre deux visions du syndicalisme au cours de ce congrès sera par la suite dépassée avec l’émergence de l’anarcho-syndicalisme, synthèse en quelque sorte d’une conception révolutionnaire du syndicalisme associée aux principes de l’anarchisme.


text: Lors du Congrès, Henri Fuss, membre de la délégation belge et cheville ouvrière de la Confédération générale du travail prend la parole :


text: Une motion en ce sens est approuvée par le Congrès :


text: Les secrétaires du Congrès étaient : John Turner, Malatesta, J-B Wilquet, Rudolf Rocker et Schapiro.


text: Une importante délégation belge participe au Congrès dont Georges Thonar et Henri Fuss (Liège), Émile Chapelier (Boitsfort), Segher Rabauw et Samson (Anvers), Janssen et Heiman (Gand), Schouteten (Bruxelles), Hamburger, Willems. Le Groupement communiste libertaire y intervient notamment dans le débat sur l’organisation.


title: Congrès d'Amsterdam

text: Congrès d'Amsterdam désigne :


title: Michel Scarbonchi

text: Michel Scarbonchi, le à Casablanca (Maroc), est un homme politique et homme d'affaires français. Il fut député européen entre 1997 et 2004, élu sur la liste du MRG en 1994 puis sur la liste de François Hollande en 1999. Proche d'Émile Zuccarelli, il soutint la candidature de Jean-Pierre Chevènement à l'élection présidentielle de 2002, puis rejoint le Mouvement républicain et citoyen dont il devient secrétaire national. Il fut également conseiller régional d'Ile-de-France de 1998 à 2004 et conseiller municipal de Sartrouville en 2001. Après trente quatre ans de militantisme actif il quitte la politique active pour créer son cabinet de consultant à l'International.


title: Michel Scarbonchi

text: Son père, officier, est conseiller de l'armée royale marocaine. Enfant, il sera partagé jusqu'à l'âge de 9 ans entre le Maghzen et la ferme de son grand-père à Bouznika. Il sera élevé dans une communauté corse issue du même village, Cuttoli-Corticchiato. En 1959, son père est nommé à la tête de la SAS de Zemorah, en Algérie, où le Général de Gaulle viendra, cette même année pour sa tournée des popotes. Son père étant affecté à Fréjus, Michel Scarbonchi fera ses études au lycée Saint-Exupéry de Saint-Raphaël. Bien qu'asthmatique jusqu'à l'âge de 10 ans, il devient un excellent sportif, notamment en course à pied (). Il participera, jusqu'à 25 ans, à de nombreuses compétitions ASSU et nationales. Il est le cousin de Bernard Squarcini.


title: Michel Scarbonchi

text: À 18 ans, il est breveté parachutiste en prémilitaire. Il effectue son service militaire à Bayonne au RPIMA. Sous-officier, il formera des promotions d'appelés. Inscrit à Sciences Po Aix de février à , il sera transféré à Paris, en de Relations Internationales. De 1972 à 1975, il fera l'Institut d'études politiques de Paris, section relations internationales. Il devient président de l'Association Sportive de Science-Po, en 1973. Il anime la section cross, crée la section parachutisme et joue avec François Hollande dans l'équipe de foot de l'Institut.


title: Michel Scarbonchi

text: Dans le même temps, membre de la Fédération de Paris du Parti Radical et du Mouvement Réformateur, il rejoint le Mouvement des Radicaux de Gauche que viennent de créer Maurice Faure et Robert Fabre. Michel Scarbonchi est cofondateur, avec Jean-Pierre Matteï du Mouvement des Jeunes Radicaux de Gauche (MJRG). Il est délégué national aux Collectivités locales en 1975.


title: Michel Scarbonchi

text: Envoyé en Argentine, avec Éric Allain, par Robert Fabre, pour renouer les liens entre les Radicaux français et l'Union Civique Radicale argentine (U.C.R.), en . Il y restera deux mois avant le coup d'État militaire. Il contribuera au sauvetage et à l'asile politique en France d'une grande figure du radicalisme argentin, arrêté, emprisonné et torturé par la Junte, le Sénateur Hipolito Solari-Yrigoyen et se liera d'amitié avec Raul Alfonsin, futur président. Il participera, avec Pierre Bercis, président des Nouveaux Droits de l'Homme aux nombreuses manifestations d'Argentine, du Chili et d'Uruguay.


title: Michel Scarbonchi

text: De 1976 à 1978, Michel Scarbonchi sera attaché parlementaire du groupe MRG de l'Assemblée Nationale. Il travaille auprès de Robert Fabre et de Jacqueline Thome-Patenôtre.


title: Michel Scarbonchi

text: En 1976, il est candidat MRG-PS aux élections cantonales de Bray-sur-Marne (77) contre le ministre Alain Peyrefitte. En 1977, il est élu conseiller municipal de Bray-sur-Seine et le restera jusqu'en 1982. Cette même année 1977, il est l'auteur avec Roger-Gérard Schwartzenberg du "Manifeste Municipal des Radicaux de Gauche". En 1978, il est candidat MRG-PS aux élections législatives de Provins face au Ministre-Académicien Peyrefitte. En septembre de cette même année, il intègre le groupe Renault. Il y restera jusqu'en 1985.


title: Michel Scarbonchi

text: En 1981, il est l'un des animateurs de la candidature présidentielle de Michel Crépeau, Président du MRG et Député-maire de La Rochelle. Il deviendra, en 1983, maire-adjoint de Montesson, dans les Yvelines. De 1985 à 1988, il est consultant et travaille principalement en Amérique du Sud. En 1988, avec le député Dominique Saint-Pierre, il représente le MRG dans le staff de campagne de François Mitterrand. Un an plus tard, il aide son ami Émile Zuccarelli, député-maire de Bastia, à conquérir le MRG et en devient le Délégué Exécutif, fonction qu'il exercera jusqu'en 1992. Durant cette période, il est avec le socialiste Jean-Pierre Deck, la cheville ouvrière de l'opération France-Unie lancée par l'Élysée pour élargir la majorité présidentielle. Sous la houlette de Jean-Pierre Soisson et d'Émile Zuccarelli, il gère, avec Jacques Pilhan à la communication, des personnalités aussi diverses que Michel Durafour, Bernard Kouchner, Bernard Tapie, Olivier Stirn, Thierry de Beaucé. Lorsqu'Émile Zuccarelli devient ministre des Postes et Télécommunications, il est conseiller spécial du Ministre (1992-1993). En 1993, il fera adhérer au MRG Bernard Tapie et Frédéric Mitterrand. De 1993 à 1995, il est conseiller du Président de la Cogecom (Holding de France Télécom). En 1994, il milite activement pour la liste européenne radical de gauche. Désigné sur la liste par les instances dirigeantes du MRG, il se retrouvera, à la suite d'un désaccord politique avec Jean-François Hory, Président du MRG, sur la liste Énergie Radicale aux européennes. Il y aura 13 élus !...


title: Michel Scarbonchi

text: Premier entrant, il remplacera Bernard Tapie, en , lors de la démission de ce dernier. Il est élu conseiller régional d'Ile-de-France sur la liste de Jean-Paul Huchon en 1998. Il devient président de la commission des Affaires Européennes et Internationales et secrétaire général de Metropolis (1998-2002), l'association mondiale des métropoles. De 1998 à 2004, comme Président de la Commission des Affaires Internationales et Européennes, il met en place la grille des critères d'attributions des subventions aux associations qui sera reprise dans de nombreuses collectivités locales françaises et qui lui vaudra la médaille d'or des élus de la Région en 2008. Il signera 22 accords de coopération avec les régions du monde et fera réaliser le lycée de Rufisque à Dakar.


title: Michel Scarbonchi

text: En 1999, il est élu en sur la liste européenne PS-MRG-MRC conduite par François Hollande. Il entrera, en , au Parlement de Strasbourg. Entre-temps, il est conseiller d'Yves Cousquer, le président d'Aéroports de Paris (ADP). Lors de ses deux mandats européens partiels, Michel Scarbonchi sera membre des commissions du Budget et du Développement, délégué aux A.CP. (Afrique-Caraïbes-Pacifique) et, dans le cadre de l'élargissement, il sera Vice-Président de la commission mixte Union Européenne-Hongrie. Il participera à de nombreuses missions d'observations électorales, de médiation, d'enquêtes au Togo, au Bénin, en Mauritanie, au Maroc, en Algérie, au Congo, en R.D.C., à Djibouti, en Éthiopie, en Côte d'Ivoire, au Libéria.


title: Michel Scarbonchi

text: En désaccord avec Lionel Jospin sur le dossier Corse, il rejoindra avec Émile Zuccarelli et de nombreux responsables PRG, Jean-Pierre Chevènement, dont il soutiendra la candidature à l'élection présidentielle de 2002. Il participera activement à la campagne du non au référendum en Corse en .


title: Michel Scarbonchi

text: En , il est mis en examen pour recel d'abus de biens sociaux dans le cadre d'une escroquerie à la TVA communautaire à laquelle a participé l'un de ses cousins. Michel Scarbonchi sera relaxé par le tribunal de grande instance de Paris en .


title: Michel Scarbonchi

text: En 2004, en quittant le Parlement européen, Michel Scarbonchi décide d'arrêter la politique et crée, en , son cabinet de consultant à l'International. L'usure de 34 années de militantisme politique a joué tout autant que le constat amer d'une vie politique devenue, non plus un combat d'idées mais un concours de marketing et de sondage.


title: Michel Scarbonchi

text: Depuis 2006, Michel Scarbonchi collabore à des notes et propositions sur l'Afrique dont il est devenu un spécialiste reconnu. Il participe au rassemblement de la famille radicale pour le soutien au candidat de gauche en 2012. Il est un membre actif, à Bruxelles, de l'Association des Anciens Députés européens (AADE) dans le cadre des actions d'observations électorales et de médiation des conflits.


title: Michel Scarbonchi

text: En il fonde Molitor International Conseil, firme de chasseur de tête En France et en Afrique filiale de son cabinet MS Consultants.


title: Bataille de Buçaco

text: La bataille de Buçaco (pronon.IPA bu.'sa.ku) est une bataille de la guerre d'Espagne et du Portugal, disputée par les forces britanniques et portugaises sous le commandement d'Arthur Wellesley de Wellington le , afin d'arrêter l'avancée des Français dans leur troisième tentative d'envahir le Portugal. Les troupes françaises fortement éprouvées lors de cette bataille, croyant tout de même pouvoir atteindre Lisbonne avant les troupes anglo-portugaises, viendront s'écraser contre les lignes fortifiées de Torres Vedras.


title: Bataille de Buçaco

text: Après deux vaines tentatives d'envahir le Portugal, une troisième invasion est décidée par les troupes françaises de Napoléon commandées cette fois par le maréchal Masséna. Depuis 1809, Wellington dresse en secret une ligne défensive autour de Lisbonne en prévision d'une nouvelle invasion. Masséna arrive à Salamanque le 28 mai et décide d'entrer au Portugal en suivant l'axe Ciudad Rodrigo — Almeida — Coimbra. Après le siège de Ciudad Rodrigo, les premiers combats en terre portugaise se déroulent près de la Côa, avant que ne débute le siège d'Almeida. L'objectif de Wellington est alors de gagner du temps pour permettre l'avancée des travaux de Torres Vedras et d'éviter un engagement direct et définitif.


title: Bataille de Buçaco

text: Ces victoires éphémères permettent à l'armée du Portugal de poursuivre sa route en direction de Coimbra. Le 21 septembre, certain de l'itinéraire des Français, Wellington choisit de prendre position sur les hauteurs de Buçaco — une crête de de long environ aux pentes escarpées, couverte d'une végétation basse — avec soldats britanniques et autant de soldats portugais. Il veut y affronter les Français. Dans la partie nord-est de ces hauteurs se trouve un mur de 3 mètres de hauteur qui inclut le couvent de Santa Cruz de Buçaco. Les Français avancent jusqu'à Viseu sur des terres désertées par la population. Il faut préciser que Wellington mène la politique de la terre brûlée, demandant à la population de détruire tout ce qui peut servir à ravitailler les troupes ennemies. Dès le 26, les troupes de Wellington occupent les positions.


title: Bataille de Buçaco

text: Les Français se heurtent une première fois aux troupes anglo-portugaises à Buçaco, le 27 septembre 1810. Wellington est attaqué cinq fois de suite par les soldats français.


title: Bataille de Buçaco

text: Masséna n'a aucune certitude concernant le déploiement et le nombre des forces adverses. Wellington les a déployées sur la pente opposée de la crête, là où elles ne peuvent être aisément vues ni même affaiblies par un bombardement d'artillerie. Les assauts sont livrés par les corps d'armée du maréchal Ney et du général Reynier, mais malgré un combat extrêmement violent, les Français ne parviennent pas à déloger les forces alliées et sont repoussés avec des pertes se montant à morts ou blessés, contre des pertes anglo-portugaises d’environ hommes.


title: Bataille de Buçaco

text: Masséna ordonne alors un mouvement tournant autour de la crête pour prendre la position de flanc, et Wellington reprend le 10 octobre la marche de retraite de son armée vers les lignes de Torres Vedras préalablement fortifiées. Trouvant ces fortifications trop puissantes pour être attaquées, Masséna se retire dans ses quartiers d’hiver. Manquant de vivres pour ses troupes et harcelé par les raids des Britanniques, il perd hommes, capturés par les Alliés ou morts de faim et de maladie, avant de se résigner à la retraite en Espagne au début de 1811. Wellington réussit ainsi à libérer tout le Portugal des Français, à l'exception d’Almeida, ville située près de la frontière.


title: Turin (homonymie)

text: Le nom Turin peut désigner :


title: Le Figaro Magazine

text: Le Figaro Magazine est un magazine supplément hebdomadaire du quotidien "Le Figaro", fondé en 1978 par Louis Pauwels.


title: Le Figaro Magazine

text: Il paraît chaque vendredi et aborde à la fois des sujets politiques et culturels.


title: Le Figaro Magazine

text: Il appartient au Groupe Figaro, détenu par le Groupe Dassault.


title: Le Figaro Magazine

text: Le ton des commentaires et la personnalité des chroniqueurs font du "Figaro Magazine" une véritable tribune de la droite au sens large. En 1980, Robert Hersant évince ou met à l'écart les représentants de la Nouvelle Droite, qui luttait alors pour le renouvellement des idées de droite et l'affirmation de valeurs opposées à celles de l'intelligentsia de gauche. Le "Figaro Magazine" veut alors apparaître comme le reflet de toutes les tendances de la droite politique, mais avec un regard moderne et parfois décalé. Malgré la première couverture consacrée à Valéry Giscard d'Estaing, le magazine se défend de privilégier un parti ou une personnalité politique. Il revendique la liberté de critique, soutient parfois des idées qui vont à contre-courant des opinions de la droite traditionnelle, et défend l'idée que l'art et la culture ne doivent pas être traités par le prisme d’a-priori politiques ou idéologiques. Louis Pauwels définit ainsi la mission du "Figaro Magazine" : « Nous ne faisons pas un news magazine qui doit suivre l'actualité. Nous travaillons au-dessus d'elle, nous sommes les vigiles du temps. Notre magazine est un objet d'art. ».


title: Le Figaro Magazine

text: "Le Figaro" invente de nouvelles formes et nouvelles formules : "Le Figaro Magazine" naît en 1978. Le Figaro magazine connaît alors un succès rapide grâce à des contenus diversifiés et de qualité : la politique des suppléments initiée par le groupe contamine rapidement l’ensemble de la presse écrite quotidienne des trente dernières années.


title: Le Figaro Magazine

text: Lancé pour la première fois le , le "Figaro Magazine" est la réponse du groupe Hersant, alors éditeur du "Figaro", à l'absence de magazine d'information clairement situé à droite. L'idée date de quelques années plus tôt quand Robert Hersant, propriétaire du "Figaro", souhaite accompagner son quotidien d'un supplément culturel qui porterait le nom de "Figaro dimanche". Le projet est confié à l'écrivain Louis Pauwels, alors proche d'Alain de Benoist, fondateur du courant de pensée qui sera baptisé « Nouvelle Droite » par "Le Nouvel Observateur" en 1979. Le rédacteur en chef du "Figaro dimanche" sera le journaliste Patrice de Plunkett, encore proche du même courant à cette époque.


title: Le Figaro Magazine

text: Au printemps 1978, Robert Hersant décide de transformer ce supplément en véritable magazine. L'équipe s'enrichit alors de nouveaux collaborateurs comme Maurice Beaudoin (homme de confiance d'Hersant, rédacteur en chef de la rubrique tourisme et art de vivre), Jean d'Ormesson, Michel Dunois (ex-rédacteur en chef à "L'Aurore"), Alain Griotteray, François Nourissier, Philippe Bouvard, Jean-Claude Valla (de 1978 à 1980 ; celui-ci ira, cette même année, jusqu'à prendre la défense du négationniste Robert Faurisson dans les colonnes de l'hebdomadaire), Henri-Christian Giraud, Jean-Pax Méfret, Christine Clerc, Véronique Grousset, Jean-Edern Hallier, Véronique Prat, etc. Le service politique sera plus tard confié à Alain Berger, proche du RPR. Patrice de Plunkett, d'abord rédacteur en chef culture, deviendra directeur de la rédaction en 1990. De nombreuses personnalités politiques ou médiatiques participeront à l'aventure du "Figaro Magazine" : notamment Marcel Jullian, François Foucart, Jacques Chancel, François Chalais, Bernard Gavoty, Jean-Raymond Tournoux, Geneviève Dormann, Jean Montaldo, Jean-Louis Barrault, James de Coquet, Pierre Daninos, Calvi, Sempé, Ricor, etc.


title: Le Figaro Magazine

text: En 1982, "Le Figaro Magazine" diffuse dans son reportage sur la révolution sandiniste des photographies truquées, censées représenter un massacre d'indigènes par les sandinistes. Présentés à l'ONU par les États-Unis comme preuves des crimes de guerre pratiqués par le gouvernement nicaraguayen, les clichés sont identifiés par leur auteur, qui explique qu'ils ont été pris sous la dynastie des Somoza et représentaient des membres de la Croix-Rouge (reconnaissables avant qu'une épaisse fumée noire ne soit ajoutée aux clichés originaux) en train de bruler des cadavres infectés par des maladies. "Le Figaro Magazine" reconnait finalement une erreur.


title: Le Figaro Magazine

text: De sa fondation aux années 1980, le magazine siège alors au 83 rue Montmartre (arrondissement de Paris).


title: Le Figaro Magazine

text: Dans les années 1980, les options politiques de l'équipe du magazine lui font de nombreux ennemis. À partir de 1988, le "Figaro Magazine" s'oriente davantage vers les sujets de société, l'art de vivre, les voyages et les loisirs. En 1997, Patrice de Plunkett est remplacé à la tête de la rédaction par Bernard Lecomte, qui sera lui-même remplacé par d'autres. Franz-Olivier Giesbert dirigera le magazine quelque temps, avant d'être évincé par Yves de Chaisemartin (devenu PDG de la Socpresse qui édite "Le Figaro") et de partir prendre la direction du "Point". Après quoi Chaisemartin sera lui-même évincé par Serge Dassault, lorsque celui-ci reprendra la Socpresse. En , Étienne Mougeotte prend la direction de la rédaction du "Figaro Magazine", en remplacement de Michel Schifres.


title: Le Figaro Magazine

text: En même temps qu'il connaît de nouvelles équipes dirigeantes, le "Figaro Magazine" renouvelle régulièrement sa formule. La dernière, lancée en 2005, vise « à clarifier la lecture du journal et à rendre sa place à l’image », qui était l'un des points forts du magazine à son époque de grande diffusion. En 2006, son tirage (annoncé) s'élevait à , pour s'établir à en 2011. Sa diffusion payante réelle s'établit à l'étiage de celle du "Figaro" quotidien. Le site Internet du magazine propose désormais des podcasts. À partir de 2011, le "Figaro Magazine" n'est plus publié le samedi mais le vendredi.


title: Le Figaro Magazine

text: Avec vendus par semaine, "Le Figaro Magazine" est en 2014 leader des « news magazine » en vente au numéro ( en diffusion totale payée). Une nouvelle formule est lancée mi- : la une fait désormais place à un visuel en pleine page, comme les grands magazines internationaux, un espace de débat d'idées autour de l'actualité est mis en avant ainsi que quatre grands reportages et enquêtes ; le dessinateur de presse Nicolas Vial rejoint l'équipe de l’hebdomadaire.


title: Le Figaro Magazine

text: Le , le titre lance une nouvelle formule.


title: Le Figaro Magazine

text: Le , "Le Figaro Magazine" publie un photoreportage de onze pages sur la participation de son rédacteur en chef Guillaume Tabard au Marathon de New York. La semaine suivante, "Le Canard enchaîné" révèle que l'opération a été financée par l'équipementier sportif ASICS, alors que le reportage et les photos mettent à plusieurs reprises en valeur les chaussures ASICS portée par Guillaume Tabard. Face à la polémique médiatique, la société des journalistes du "Figaro" « presse la direction de renoncer définitivement à ce type d'opérations, qui ne sont pas conformes aux règles d'éthique en vigueur au "Figaro" ». Pour Guillaume Tabard : « L'angle de ce reportage, c'était le vécu du Marathon de New York par un coureur lambda, pas Asics. Est-ce que j'ai traité le sujet de manière honnête et rigoureuse, dans les règles du reportage ? Je pense que oui ».. Le découpage du journal s'effectue en rubriques : la politique étrangère, les faits divers ou bien encore le sport, les nécrologies Les critiques du "Figaro" sur le monde artistique prennent une place importante.


title: Le Figaro Magazine

text: Une couverture du Figaro en novembre 2021 suscite un tollé national. « Ecole : comment on endoctrine nos enfants : antiracisme, idéologie LGBT+, décolonialisme. Enquête sur une dérive bien organisée. » De très nombreux commentateurs, notamment sur France Culture, dénoncent un journal qui défend le raciste, l'homophobie et le colonialisme à l'école. Une vive polémique a également lieu à l'intérieur de la rédaction quant à cette une.


title: Joseph Favre (homonymie)

text: Joseph Favre peut désigner :


title: Alan A'Court

text: Alan A'Court, né le à Rainhill (en ce temps dans le Lancashire et aujourd'hui dans le Merseyside en Angleterre) et mort le à Nantwich (Angleterre), est un footballeur anglais, qui évoluait au poste d'ailier gauche à Liverpool et en équipe d'Angleterre. A'Court marque un but lors de ses cinq sélections avec l'équipe d'Angleterre entre 1958 et 1959. Il participe à la Coupe du monde 1958 avec l'Angleterre.


title: Daniel Maja

text: Daniel Maja (né le à Paris) est un dessinateur de presse français, caricaturiste et illustrateur de livres de jeunesse.


title: Daniel Maja

text: Daniel Maja est diplômé de l'École Estienne à Paris, où il a étudié la gravure, la communication et l'édition de 1958 à 1964. Ses premières publications dans la presse datent de 1970, et de 1975 pour l'édition. Il a réalisé des affiches de films et de concert, des et de nombreuses couvertures de livres. Maja publie un dessin quotidien sur son blog "Au jour le jour" à partir de 2008, puis sur son blog "La Vie Brève" à partir de 2009.


title: Liste des îles de la mer Caspienne

text: Cet article détaille les îles de la mer Caspienne.


title: Liste des îles de la mer Caspienne

text: L'ancien nom russe des îles, précédant l'indépendance du pays, est éventuellement donné entre parenthèses.


title: Steve Bull

text: Steve Bull, né le à Tipton (Angleterre), est un footballeur anglais, qui évoluait au poste d'attaquant à Wolverhampton Wanderers et en équipe d'Angleterre. Bull a marqué quatre buts lors de ses treize sélections avec l'équipe d'Angleterre entre 1989 et 1990. Il participe à la Coupe du monde 1990.Une grande rivalité l'a opposé au joueur de Leicester City, Steve Walsh.


title: Bruce Graham

text: Bruce Graham, né le à La Cumbre (Valle del Cauca, Colombie) et mort le à Hobe Sound (Floride), est un architecte américain.


title: Bruce Graham

text: Il est connu pour avoir dessiné des gratte-ciel comme la Willis Tower (ex "Sears Tower"), le 875 North Michigan Avenue (ex "John Hancock Center") ou l'Inland Steel Building (tous trois à Chicago).


title: Bruce Graham

text: Il a étudié à l'université de Dayton, puis à la de l'université Case Western Reserve de Cleveland. Il a obtenu son en architecture (doctorat) à l'université de Pennsylvanie en 1948.


title: Bruce Graham

text: Il a travaillé durant une courte période pour le cabinet Holabird and Roche. Il devient chef de projet chez Skidmore, Owings and Merrill en 1951, puis partenaire de la société en 1960.


title: Bruce Graham

text: Ses réalisations de verre et d'acier sont d'abord influencées par le style épuré de Ludwig Mies van der Rohe. Il popularise ainsi les gratte-ciel aux énormes façades de verre.


title: Bruce Graham

text: Il a utilisé aussi beaucoup le principe des structures en tubes, notamment sur la Willis Tower faite de 9 tubes plus ou moins hauts. La structure du gratte-ciel rejoint ainsi son architecture et son aspect extérieur.


title: Bruce Graham

text: Par la suite il réalise des structures plus complexes et plus « artistiques », comme l'Hotel de las Artes à Barcelone.


title: Xian d'Akto

text: Le "xian" d'Akto (阿克陶县 ; pinyin : Ākètáo Xiàn ; ouïghour : ئاقتو ناھىيىسى / Akto Nahiyisi) est un district administratif de la région autonome du Xinjiang en Chine. Il est placé sous la juridiction de la préfecture autonome kirghiz de Kizilsu.


title: Xian d'Akto

text: La population du district était de habitants en 1999.


title: Abou Qatada

text: Abou Qatada al-Filistini () appelé aussi parfois Abou Omar, est né en 1959 à Bethléem, en Cisjordanie. C'est un homme politique et théologien de nationalité jordanienne.


title: Abou Qatada

text: Dans les années 1990, pendant la guerre civile algérienne, il est la principale autorité religieuse du Groupe islamique armé. En 1995, il publie une fatwa autorisant à tuer les femmes et les enfants des militaires algériens. Des années plus tard, il prétextera ne l'avoir donné qu'à titre dissuasif.


title: Abou Qatada

text: Parfois surnommé l'« ambassadeur d'Oussama ben Laden en Europe », il est condamné par la cour jordanienne de sûreté de l'État à deux reprises, en 1998 et 2000, à 15 ans de travaux forcés, pour « financement d'un groupe interdit » et « liens avec Al-Qaïda », ainsi que pour la « préparation d'attentats visant des objectifs américains et juifs et des visiteurs chrétiens en Terre sainte lors du Jubilé 2000 ».


title: Abou Qatada

text: Il est inscrit sur la liste des individus liés à Al-Qaïda par le comité 1267 du Conseil de sécurité des Nations unies.


title: Abou Qatada

text: Qualifié en mars 2004 par la Commission d'appel spécial des affaires d'immigration (Siac) de Londres d'« individu réellement dangereux », « au centre au Royaume-Uni d'activités terroristes associés à Al-Qaïda », il introduit un recours, faisant valoir qu'en cas d'expulsion vers la Jordanie, il craignait d'être torturé ou maltraité.


title: Abou Qatada

text: Il est arrêté en août 2005 par la police britannique après les attentats du 7 juillet 2005 à Londres en vue de son extradition.


title: Abou Qatada

text: Il est libéré le de la prison de Long Lartin sur décision d'.


title: Abou Qatada

text: Il est à nouveau arrêté par la suite, et Al-Qaïda au pays du Maghreb islamique enlève quatre touristes britanniques au Mali pour obtenir sa libération en .


title: Abou Qatada

text: Le gouvernement du Royaume-Uni souhaite extrader Abou Qatada vers la Jordanie afin qu'il y soit jugé. Dans un jugement rendu le , la Cour européenne des droits de l'homme s'oppose à cette extradition qui violerait le droit fondamental à un procès équitable, car des aveux obtenus sous la torture pourraient être retenus comme preuve contre lui.


title: Abou Qatada

text: Le , il est placé en liberté conditionnelle, assigné à résidence et soumis à un contrôle des visites. La secrétaire d'État à l'Intérieur, Theresa May, s'oppose à cette libération qu'elle estime dangereuse pour la sécurité du Royaume-Uni


title: Abou Qatada

text: La Jordanie et le Royaume-Uni ayant signé un traité permettant de s'assurer qu'aucun aveu extorqué sous la torture ne puisse être utilisé contre Abou Qatada, il est expulsé, le , vers la Jordanie, où à sa descente d'avion de la Royal Air Force, il est remis à des enquêteurs de la cour de sécurité d’État.


title: Abou Qatada

text: La justice jordanienne n'ayant pas trouvé des preuves suffisantes, il est innocenté des charges de terrorisme et est libéré le . Toujours considéré comme une menace à la sécurité nationale, il ne pourra pas retourner en Grande-Bretagne, et il demeure interdit de voyage par les Nations unies.


title: Abou Qatada

text: Lors de la guerre civile syrienne, Abou Qatada déplore initialement les affrontements entre le Front al-Nosra et l'État islamique en Irak et au Levant et appelle à leur union. Par la suite, il s'aligne sur la position d'Ayman al-Zaouahiri, condamne l'EIIL et appelle les djihadistes à rallier le Front al-Nosra.


title: Tony Daley

text: Anthony Mark Daley est un footballeur anglais né le à Birmingham.


title: Malvasia di Castelnuovo Don Bosco

text: Le Malvasia di Castelnuovo Don Bosco est un vin rouge doux italien de la région Piémont doté d'une appellation DOC depuis le . Seuls ont droit à la DOC les vins rouges récoltés à l'intérieur de l'aire de production définie par le décret.


title: Malvasia di Castelnuovo Don Bosco

text: Les vignobles autorisés se situent dans la zone des collines d’Asti en province d'Asti dans les communes d'Albugnano, Pino d'Asti, Passerano Marmorito, Berzano di San Pietro, Moncucco Torinese et Castelnuovo Don Bosco. Voir aussi l’article Malvasia di Castelnuovo Don Bosco spumante.Il doit être bu bien frais dans l'année de production.


title: Malvasia di Castelnuovo Don Bosco

text: "Province, saison, volume en hectolitres :"


Le Malvasia di Castelnuovo Don Bosco spumante est un vin effervescent rouge doux italien de la région Piémont doté d'une appellation DOC depuis le . Seuls ont droit à la DOC les vins rouges récoltés à l'intérieur de l'aire de production définie par le décret.


title: Malvasia di Castelnuovo Don Bosco spumante

text: Les vignobles autorisés se situent dans la zone des collines d’Asti en province d'Asti dans les communes d'Albugnano, Pino d'Asti, Passerano Marmorito, Berzano di San Pietro, Moncucco Torinese et Castelnuovo Don Bosco.


text: Voir aussi l’article Malvasia di Castelnuovo Don Bosco.Il doit être bu bien frais dans l'année de production.


text: "Province, saison, volume en hectolitres :


title: Earl Barrett

text: Earl Barrett, né le à Rochdale (Angleterre), est un footballeur anglais, qui évoluait au poste de défenseur à Aston Villa et en équipe d'Angleterre.


title: Earl Barrett

text: Barrett n'a marqué aucun but lors de ses trois sélections avec l'équipe d'Angleterre entre 1991 et 1993.


title: Gary Charles

text: Gary Charles, né le à Newham, district de Londres (Angleterre), est un footballeur anglais, qui évoluait au poste d'arrière droit à Nottingham Forest et en équipe d'Angleterre.


title: Gary Charles

text: Charles n'a marqué aucun but lors de ses deux sélections avec l'équipe d'Angleterre en 1991.


title: Calcul des variations

text: Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie.


title: Calcul des variations

text: Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines :


title: Calcul des variations

text: Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont :


title: Calcul des variations

text: Sans aller jusqu'au problème de la reine Didon, on peut faire remonter les principes variationnels à Pierre de Fermat (1657) et Christian Huygens (1690) pour l'étude de la propagation de la lumière (principe de Fermat et principe de Huygens-Fresnel). Néanmoins, le calcul des variations est né en 1696, avec le problème de la courbe brachistochrone, posé par Jean Bernoulli (à la suite de Galilée dans son "Dialogue sur les deux grands systèmes du monde" paru en 1632) ; il s’agit d’un problème de temps minimal (comme l’indique la racine grecque de brachistochrone : « (brachistos) », « le plus court » ; « (chronos) », « temps »). Ce problème fut résolu par Jean et Jacques Bernoulli, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton, Guillaume François Antoine de l'Hôpital et Ehrenfried Walther von Tschirnhaus. La solution de Jacques Bernoulli se fondait sur le principe d'Huygens et l'idée du front d'onde ; elle préfigurait l'équation de Hamilton-Jacobi. Celle de Jean Bernoulli était fondée sur une analogie avec la propagation de la lumière et le principe de Fermat, ainsi que la loi de Descartes. Celle de Leibniz, enfin, était fondée sur l'approximation de la courbe par des lignes brisées et était le premier pas vers l'équation d'Euler-Lagrange. Le second pas a été accompli par Euler, élève de Jean Bernoulli : Euler a ébauché à partir de considérations géométriques la méthode des « petites variations » en 1744. Joseph-Louis Lagrange a introduit le vocable « calcul des variations » vers 1760 et a donné sa forme actuelle à la solution d'Euler. Adrien-Marie Legendre a complété en 1786 l'équation d'Euler-Lagrange, qui est une condition du premier ordre, par la condition du second ordre qui porte son nom. Ces résultats ont été rassemblés par Lagrange dans sa "Théorie des fonctions analytiques", parue en 1797 ; Lagrange a également introduit les variables canoniques en 1811 dans sa "Mécanique analytique" (bien qu'elles aient été attribuées à William Rowan Hamilton par Charles Gustave Jacob Jacobi). L'équation d'Euler-Lagrange a été étendue au cas du calcul des variations à intégrales multiples en 1834 par Mikhaïl Ostrogradski (généralisant un résultat obtenu en 1831 par Siméon Denis Poisson sur le même sujet). L'équation d'Hamilton-Jacobi a été introduite en premier lieu par Hamilton dans son ' en 1835 à l'occasion d'un problème de mécanique. Jacobi a complété la condition du second ordre de Legendre en 1837, avec la théorie des « points conjugués » et a reformulé la contribution de Hamilton, cette fois dans un contexte général, dans ses ' (1842). Alfred Clebsch a généralisé en 1858 les résultats de Legendre et de Jacobi. Eduard Heine a établi le lemme fondamental du calcul des variations en 1870. Il revenait à Karl Weierstrass, dans ses cours professés à l'université de Berlin, notamment celui de 1879, de définir la notion d'extremum fort, et d'établir la condition qui porte son nom, ainsi que la « condition d'arrondissement des angles » (également obtenue, indépendamment, par G. Erdmann en 1877). Paul David Gustave du Bois-Reymond a établi son fameux lemme en 1879 : cette extension du lemme fondamental du calcul des variations permet d'établir de manière plus satisfaisante l'équation d'Euler-Lagrange. Enfin, David Hilbert a établi le théorème de l'intégrale invariante (qui clarifie la théorie de Weierstrass) et résolu le problème de Dirichlet (le problème de calcul de variations à intégrales multiples le plus célèbre) en 1900. Les principaux résultats du calcul des variations classique avaient dès lors été obtenus.


title: Calcul des variations

text: Néanmoins, des compléments substantiels ont été apportés au tournant du par Hermann Amandus Schwarz (généralisation du théorème de Weierstrass entre 1898 et 1899) et Adolf Kneser (condition de transversalité, 1900). Oskar Bolza et Harris Hancock ont réalisé indépendamment en 1904 deux synthèses de tous les travaux précédents ; leur lecture est encore très instructive. a introduit en 1905 les « champs de Mayer » qui généralisent les champs d'extrémales de Weierstrass ; il a également réalisé une étude fine des « arcs anormaux ». et Jacques Hadamard ont continué d'étudier entre 1900 et 1906 le calcul des variations avec intégrale multiple. On peut encore citer les contributions de la première moitié du dues à Emmy Noether (théorème de Noether : obtenu en 1918, il est la formulation mathématique des lois de conservation en physique - de l'énergie, de l'impulsion, du moment cinétique, etc.) ; à Alfréd Haar (le lemme de Haar, datant des années 1926-1932, peut être vu comme une extension du lemme de Du Bois-Reymond au cas d'intégrales multiples) ; et à Constantin Carathéodory ( parlait de l'approche de Carathéodory en 1953 comme , littéralement « la voie royale du calcul des variations »). et ses élèves, dont Magnus Hestenes, ont réalisé pendant plus de vingt ans une étude détaillée du problème de Bolza, étude dont les résultats ont été rassemblés dans la vaste synthèse que sont les " de Bliss. Mentionnons encore George David Birkhoff et son élève Marston Morse (théorie de Morse). La théorie de Morse a été généralisée par Richard Palais et Stephen Smale en 1964 (condition de compacité de Palais-Smale).


title: Calcul des variations

text: Le calcul des variations a connu un profond renouveau dans les années 1950 avec le développement de la théorie de la commande optimale, sous l'impulsion de Lev Pontriaguine et Richard Bellman. Le formalisme de Pontryagin et de Bellman est une extension et une amélioration du formalisme hamiltonien classique, et clarifie la formulation de Carathéodory. On peut encore mentionner les contributions, postérieures à 1960, de Jacques-Louis Lions, Ivar Ekeland et Jean-Pierre Aubin. Le calcul des variations « non lisse » développé vers la fin des années 1980 par Frank H. Clarke, est un apport significatif. Le calcul des variations reste en mathématiques un domaine fort actif. Les mathématiciens qui ont contribué à son développement sont extrêmement nombreux (ils comprennent la plupart des grands noms du et du début du , et même le célèbre philosophe Edmund Husserl, élève des mathématiciens Leo Königsberger, Leopold Kronecker et Karl Weierstrass ; Husserl a soutenu en 1883 sa thèse ""). N'ont été mentionnés plus haut que certains parmi les plus notables de ces mathématiciens.


title: Calcul des variations

text: Un domaine d'application important du calcul des variations est l'étude des géodésiques sur une variété munie d'une connexion affine, et plus particulièrement des géodésiques minimales dans un espace de Riemann. L'étude locale des géodésiques minimales sur une surface a été réalisée, à la suite de Carl Friedrich Gauss, par Jacobi (théorie des points conjugués) et Pierre-Ossian Bonnet (qui a démontré le résultat que Jacobi avait énoncé sans démonstration). Ces travaux ont été complétés par Kneser, Tullio Levi-Civita et Élie Cartan (ce dernier ayant donné de l'équation géodésique sa forme intrinsèque). Le problème global n'a cessé d'être à l'ordre du jour et a donné naissance à la théorie de Morse, déjà évoquée.


title: Calcul des variations

text: C'est le problème le plus simple, parfois appelé "problème de Lagrange". Soit un intervalle de la droite réelle et , des ouverts non vides dans un espace vectoriel normé qu'on peut supposer de dimension finie. Soit d'autre part


title: Calcul des variations

text: une fonction appelée "lagrangien", supposée continûment différentiable (en abrégé : de classe formula_2 ainsi que sa différentielle partielle formula_3. Le "problème de Lagrange" consiste à déterminer (si elle existe) une fonction suffisamment régulière formula_4 telle que et , où et sont des points fixés de , avec formula_5, et minimisant la fonctionnelle définie par


title: Calcul des variations

text: Nous considérons maintenant un problème plus général où ni les bornes d'intégration et , ni les points et , ne sont fixés. La fonctionnelle à minimiser est


title: Calcul des variations

text: avec les contraintes formula_8, formula_9, où formula_10 et formula_11 sont des sous-variétés de formula_12, formula_13 désignant un intervalle compact de la droite réelle. La fonction formula_14 vérifie les mêmes hypothèses que ci-dessus et la fonction est continûment différentiable.


title: Calcul des variations

text: La fonctionnelle ci-dessus est mixte (du fait de la présence du terme ) et le problème correspondant est appelé le "problème de Bolza". On se ramène au cas d'une fonctionnelle intégrale ("problème de Lagrange avec extrémités variables") en définissant une inconnue supplémentaire définie à une constante près par formula_15, puisque alors où


title: Calcul des variations

text: On peut aussi se ramener au cas d'un problème de la forme dite du "problème de Mayer"


title: Calcul des variations

text: en posant formula_18 et


title: Calcul des variations

text: Si, dans ce qui précède, on recherche des minima globaux, le problème est en général sans solution. On est donc conduit à rechercher des minima locaux. Par définition, formula_20 minimise "localement" si formula_21 pour toute fonction suffisamment régulière dans un voisinage suffisamment petit de formula_20. Il reste à préciser quel type de régularité on impose à formula_20 et, puisqu'on a ici affaire à un problème en dimension infinie, par quelle norme on définit les voisinages de 0.


title: Calcul des variations

text: Une première possibilité consiste à imposer à formula_20 d'être de classe formula_25, c'est-à-dire continûment dérivable, donc d'appartenir à l'espace formula_26 des fonctions continûment dérivables de formula_13 dans . On peut munir cet espace de la norme


title: Calcul des variations

text: qui en fait un espace de Banach qu'on notera formula_29.


title: Calcul des variations

text: Une autre possibilité consiste à imposer seulement à formula_20 d'être continûment dérivable par morceaux, c'est-à-dire continue, et ayant une dérivée continue sauf en un nombre fini de points, et ayant en ces points une dérivée à gauche et une dérivée à droite. Soit formula_31 l'espace des fonctions continûment dérivables par morceaux par morceaux de formula_13 dans . On peut munir cet espace de la norme


title: Calcul des variations

text: qui en fait un espace vectoriel normé, non complet, qu'on notera formula_34. On montre que, sous les hypothèses qui ont été précisées, la fonction formula_35 est différentiable sur formula_29, mais non sur formula_34. Il s'ensuit que la minimisation faible relève du calcul différentiel classique dans un espace de Banach, ce qui n'est pas le cas de la minimisation forte.


title: Calcul des variations

text: Pour la formulation de la notion de minimum fort, d'autres espaces fonctionnels que formula_31 sont possibles : on peut notamment le remplacer par formula_39, l'espace des fonctions absolument continues de formula_13 dans (on a formula_41) ; dans certains cas, admet un minimum sur formula_39 mais non sur formula_31 comme l'a montré Leonida Tonelli en 1915. Néanmoins, nous nous limiterons dans ce qui suit à la définition donnée plus haut qui permet d'éviter quelques difficultés.


title: Calcul des variations

text: Notons qu'une fonction continûment dérivable qui fournit un minimum local fort fournit nécessairement un minimum local faible. Par suite, "pour une fonction continûment dérivable", une condition nécessaire de minimum local faible (voir, ci-dessous, la partie (A) du théorème de Jacobi-Weierstrass) est également une condition nécessaire de minimum local fort. Au contraire, une condition suffisante de minimum local fort (voir, ci-dessous, la condition suffisante de minimum fort de Weierstrass) est également une condition suffisante de minimum local faible, compte tenu du schéma logique, valide pour une fonction de classe formula_25 :


title: Calcul des variations

text: Ces problèmes consistent à minimiser une fonctionnelle sous les contraintes formula_45 avec


title: Calcul des variations

text: toutes les fonctions formula_47 vérifiant les mêmes hypothèses que la fonction formula_14 ci-dessus.


title: Calcul des variations

text: Soit une variété de dimension "n", éventuellement à bord, et


title: Calcul des variations

text: Considérons le problème de Lagrange à extrémités fixes (le problème à extrémités variables conduit à ajouter les conditions de transversalité : voir, "infra", le § Pseudo-hamiltonien et principe du maximum ; conditions de transversalité). Soit un accroissement de , où est une fonction continûment dérivable telle que (on notera ci-dessous formula_55 l'espace vectoriel formé des vérifiant ces conditions) et est un nombre réel. Il en résulte un accroissement de , en négligeant les termes du second ordre en pour tendant vers 0. En effet, un développement limité au premier ordre donne où est la « première variation » de .


title: Calcul des variations

text: Toute fonction , définie dans un voisinage de , et pour laquelle un tel développement limité existe est dite « dérivable au sens de Gateaux dans la direction de », et par définition est la « dérivée de Gateaux » de au point dans la direction de . L'application formula_58 est homogène ( pour tout réel ) mais n'est pas linéaire en général.


title: Calcul des variations

text: On a d'autre part


title: Calcul des variations

text: et on en déduit le théorème suivant :


title: Calcul des variations

text: Applications : voir #Géodésiques d'une variété riemannienne. L'équation d'Euler-Lagrange permet aussi de déterminer la courbe brachistochrone.On introduit des multiplicateurs de Lagrange formula_64 où formula_65, et on forme la quantité (appelée Lagrangien, mais dans un sens qui n'est pas à confondre avec le précédent, d'où la majuscule employée)


title: Calcul des variations

text: avec


title: Calcul des variations

text: Une condition nécessaire pour que soit solution du problème isométrique est qu'il existe des multiplicateurs de Lagrange comme ci-dessus, non tous nuls, tels que rende stationnaire . Cette stationnarité équivaut à la satisfaction de la même équation d'Euler-Lagrange que plus haut.


title: Calcul des variations

text: Application : voir #Problème de Didon.


title: Calcul des variations

text: Si les différentielles sont linéairement indépendantes, on a nécessairement : c'est alors la formulation classique du théorème des multiplicateurs de Lagrange.


title: Calcul des variations

text: Avec les notations introduites lors de la position du problème (§ Problèmes à intégrale multiple), une condition nécessaire de stationnarité, si l'on se restreint aux extrémales de classe formula_68 (pour les extrémales de classe formula_69, on utilisera le lemme de Haar) est donnée par l'équation d'Ostrogradski (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange) : formula_70


title: Calcul des variations

text: où formula_50 désigne la différentielle de "u" ; on peut également noter cette différentielle formula_72, où formula_73 est l'espace des applications linéaires de formula_74 dans . Lorsque formula_75, l'équation d'Ostrogradski peut s'expliciter comme suit :


Calcul des variations


title: Calcul des variations

text: Les fonctions "u" vérifiant ces conditions sont de nouveau appelées "extrémales".


title: Calcul des variations

text: On a


title: Calcul des variations

text: et par conséquent


title: Calcul des variations

text: D'après le théorème de la divergence (ou d'Ostrogradski), dans sa version à "n" variables, la seconde intégrale est égale à l'intégrale de surface


title: Calcul des variations

text: où formula_80 est le vecteur unitaire sortant de de la normale à et est la mesure superficielle. Cette seconde intégrale est nulle si l'on prend s'annulant sur , et il reste alors


title: Calcul des variations

text: La condition de stationnarité entraîne que pour toute fonction formula_82 s'annulant sur , et le théorème énoncé est maintenant une conséquence du lemme fondamental du calcul des variations.


title: Calcul des variations

text: Application : voir le § Problème de Dirichlet.


title: Calcul des variations

text: Désormais nous considérons le problème de Lagrange et nous supposons formula_14 de classe formula_52, ainsi que ses différentielles partielles formula_85 et formula_86, et . On recherche dans ce paragraphe une des conditions du second ordre de minimum local "faible".


title: Calcul des variations

text: Soit une extrémale, pour laquelle on a donc, par définition, , et faisons un développement limité au second ordre de . Sous l'hypothèse ci-dessus, la différentielle seconde formula_87 de existe au point (où formula_88 est l'espace des formes bilinéaires continues sur formula_89) et


title: Calcul des variations

text: où . La quantité est appelée la "seconde variation" de au point . Il vient


title: Calcul des variations

text: où pour abréger on a écrit formula_92 pour formula_93, etc. En intégrant les second terme par parties on obtient soit donc


title: Calcul des variations

text: La quantité doit être non négative pour tout accroissement de classe formula_25 tel que . On montre qu'une condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi est que la forme bilinéaire symétrique (définissant le premier terme de l'intégrale ci-dessus) soit semi-définie positive, ce qu'on écrira sous la forme formula_99 : c'est la condition faible de Legendre (ou de Legendre-Clebsch). En effet, dans l'intégrale , le terme


title: Calcul des variations

text: « prédomine », dans le sens où l'on peut construire des fonctions réelles, définies dans , nulles en et , de petite amplitude et dont la dérivée est de grande amplitude (alors qu'une fonction nulle en et , dont la dérivée est de petite amplitude sur , est nécessairement de petite amplitude).


title: Calcul des variations

text: (Voir les §§ Problèmes à intégrale multiple et Cas des problèmes à intégrale multiple). La condition faible de Legendre, qui porte alors le nom de "condition de Legendre-Hadamard", s'écrit formula_101 où


title: Calcul des variations

text: Reste que les deux termes de l'intégrale formula_103 doivent être considérés simultanément. Si "h" est la fonction nulle, il est clair que . Par conséquent, cette fonction nulle doit minimiser , avec les conditions aux limites , dans un voisinage de 0 dans formula_29 (« problème de minimisation secondaire »). Ceci conduit à étudier l'équation d'Euler-Lagrange (EL) associée à ce problème secondaire. Il s'agit de l'équation de Jacobi


title: Calcul des variations

text: (\tau) \neq 0.


title: Calcul des variations

text: Dans le cas usuel (et seulement envisagé par Jacobi), où , cette dernière condition équivaut à formula_106.


title: Calcul des variations

text: S'il existe un point conjugué à dans l'intervalle , il existe une solution non nulle rendant stationnaire . Alors pour tout , rend stationnaire .


title: Calcul des variations

text: On montre le résultat suivant dans le cas où la condition forte de Legendre , est vérifiée :


title: Calcul des variations

text: L'accroissement nul donne un minimum local faible strict pour parmi les accroissements de classe formula_25 tels que , si et seulement si la condition forte de Jacobi est satisfaite : il n'existe pas de point conjugué à dans l'intervalle .


title: Calcul des variations

text: Weierstrass a obtenu en 1877 le théorème suivant :


title: Calcul des variations

text: Application : voir #Principe d'action stationnaire de Hamilton.


title: Calcul des variations

text: Supposons que formula_108. La condition forte de Jacobi devient alors triviale si la condition forte de Legendre est vérifiée. Par suite, une condition suffisante pour que donne un minimum local faible strict est que la condition d'Euler-Lagrange et la condition forte de Legendre soient toutes deux satisfaites.


title: Calcul des variations

text: Ce résultat est encore valable dans le cas des problèmes à intégrale multiple (§§ Problèmes à intégrale multiple et Cas des problèmes à intégrale multiple) lorsque formula_109. Comme application, voir le § Problème de Dirichlet.


title: Calcul des variations

text: Supposons que la condition forte de Legendre soit satisfaite () et que de plus , ceci pour tout . Alors il est clair que pour tout de classe formula_25 tel que . Par suite, il n'y a pas de point conjugué à dans l'intervalle , et un minimum local faible strict de est atteint au point . Ceci généralise la remarque précédente.


title: Calcul des variations

text: Dans le cas d'un problème à intégrale multiple, considérons la forme bilinéaire symétrique


title: Calcul des variations

text: avec les notations déjà introduites dans ce cas (i.e. formula_112). Supposons cette forme définie positive pour tout formula_113. Alors la variation seconde de est strictement positive pour tout accroissement non nul et suffisamment petit "h" de dans formula_114, s'annulant sur la frontière de "D", et par conséquent un minimum local faible strict est obtenu pour .


title: Calcul des variations

text: Considérons de nouveau le problème de Lagrange à extrémités fixes, en supposant formula_14 de classe formula_68, mais cherchons cette fois un minimum local "fort". Définissons en fonction du lagrangien formula_117 la "fonction de Weierstrass" ou « excessus »


title: Calcul des variations

text: La "condition nécessaire de Weierstrass" peut s'obtenir soit directement, grâce aux « variations en aiguille » introduites par Weierstrass, soit, comme on va le voir plus loin, comme une conséquence du principe du maximum de la commande optimale.


title: Calcul des variations

text: La "condition suffisante de Weierstrass" est une conséquence directe sa formule intégrale, explicitée et démontrée plus bas en utilisant les apports de Hilbert, de Poincaré et de E. Cartan. Cette relation fondamentale conduit au résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: La formule de Taylor d'ordre 2 avec reste de Lagrange s'écrit


title: Calcul des variations

text: où .


title: Calcul des variations

text: En prenant , on voit donc que la condition forte de Weierstrass est satisfaite si


Calcul des variations


title: Calcul des variations

text: (condition suffisante de minimum fort). De plus, formula_121 si


title: Calcul des variations

text: (condition suffisante de minimum fort strict).


title: Calcul des variations

text: On considère à présent le problème à extrémités variables. Il suffit, comme on l'a vu, de considérer le problème de Lagrange, puisque celui de Bolza s'y ramène (cela simplifie les conditions de transversalité ci-dessous). Les fonctions formula_14 et formula_124 sont supposées continûment différentiables et est supposé de dimension finie.


title: Calcul des variations

text: On appelle pseudo-hamiltonien la fonction


title: Calcul des variations

text: (où est le dual de ) définie par


title: Calcul des variations

text: (où formula_127 est le crochet de dualité).


title: Calcul des variations

text: Le dual de formula_128 est identifié avec formula_129. Soit les deux équations canoniques de Hamilton


title: Calcul des variations

text: Notons formula_132 l'espace tangent à la variété formula_133 au point formula_134 et formula_135 l'orthogonal de formula_132 dans formula_129, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues formula_138 telles que formula_139. On définit de même formula_140 et formula_141


title: Calcul des variations

text: On appelle conditions de transversalité les relations


title: Calcul des variations

text: La première d'entre elles est justifiée plus loin. Le résultat suivant est une conséquence du principe du maximum de la commande optimale :


title: Calcul des variations

text: Nous supposons maintenant que la variété formula_133 soit de la forme formula_145 où formula_146 et formula_147sont des sous-variétés de formula_148 et de , respectivement. L'équation de transversalité s'écrit donc


title: Calcul des variations

text: Dans le cas d'un instant final libre, on a formula_151, par conséquent formula_152 et (a) devient


title: Calcul des variations

text: alors que dans le cas d'un instant final fixé, formula_154 et formula_155, donc (a) est trivialement vérifiée. Dans les deux cas on a "une" équation: (a') dans le premier, dans le second.


title: Calcul des variations

text: Dans le cas d'un état final libre, on a formula_156, par conséquent formula_157 et (b) devient


title: Calcul des variations

text: Dans le cas d'un état final fixé, formula_159 et formula_160, donc (b) est trivialement vérifiée. Dans les deux cas on a "n" "équations", si est de dimension "n" : (b') dans le premier, dans le second.


title: Calcul des variations

text: Le même raisonnement s'applique évidemment pour la condition initiale.


title: Calcul des variations

text: Montrons que les conditions nécessaires de minimum local fort données plus haut, à l'exception de la condition de Jacobi, sont des conséquences du principe du maximum du calcul des variations, et ceci bien qu'on se place ici dans le contexte plus général d'extrémités éventuellement variables (la condition de Jacobi classique n'est valide que dans le cas d'extrémités fixes envisagé plus haut ; néanmoins une condition analogue, faisant intervenir la notion de "point focal", due à Kneser, a été obtenue dans le cas d'une extrémité finale libre).


title: Calcul des variations

text: Les équations canoniques s'écrivent encore


title: Calcul des variations

text: Le principe du maximum implique au premier ordre l'équation d'Euler (ou de stationnarité)


title: Calcul des variations

text: autrement dit, en utilisant la première équation canonique,


title: Calcul des variations

text: La seconde équation canonique implique donc maintenant l'équation d'Euler-Lagrange (EL) en chaque point auquel est continûment dérivable. D'autre part, on a


title: Calcul des variations

text: Par conséquent, en utilisant l'expression de qui vient d'être obtenue, on voit que le principe du maximum implique la condition faible de Weierstrass. Celle-ci à son tour implique la condition faible de Legendre.


title: Calcul des variations

text: Le principe du maximum implique que les fonctions


title: Calcul des variations

text: sont continues. Ce sont les deux "conditions d'arrondissement des angles" de .


title: Calcul des variations

text: On dit que le lagrangien est régulier (au sens de Hilbert) si


title: Calcul des variations

text: Hilbert a montré le résultat suivant en utilisant le théorème des fonctions implicites : si formula_14 de classe formula_173 et le lagrangien est régulier, alors une extrémale de classe formula_25 sur un intervalle est de classe formula_175 sur cet intervalle. Par conséquent, dans les conditions du corollaire ci-dessus, est de classe formula_175.


title: Calcul des variations

text: Supposons de nouveau le lagrangien régulier. La maximisation du pseudo-hamiltonien implique la condition d'Euler


title: Calcul des variations

text: On peut écrire cette équation sous la forme formula_178 avec


title: Calcul des variations

text: Puisque le lagrangien est régulier, le théorème des fonctions implicites implique que "u" est (localement) une fonction de classe formula_25 de "z", qu'on peut écrire formula_182. Soit alors l'hamiltonien


title: Calcul des variations

text: Les deux équations canoniques s'écrivent maintenant


title: Calcul des variations

text: où l'on a défini le vecteur adjoint par la relation formula_186.


title: Calcul des variations

text: Le passage des variables formula_187 aux « variables canoniques » est la "transformation de Legendre".


title: Calcul des variations

text: Puisque formula_188, l'égalité (E) du principe du maximum implique, en tout point auquel et sont continûment dérivables (donc sauf en un nombre fini de points)


title: Calcul des variations

text: Considérons de nouveau le problème de Lagrange, mais à condition initiale fixée : formula_190. Le lagrangien est supposé régulier.


title: Calcul des variations

text: D'après le principe général de la programmation dynamique de Bellman, généralisation du principe d'Huyghens-Fresnel, une fonction minimise , si, et seulement si pour tout , minimise le critère


title: Calcul des variations

text: avec


title: Calcul des variations

text: Désignons par la valeur optimale de ce critère et considérons de nouveau le pseudo-hamiltonien formula_193. L'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman du calcul des variations est l'équation aux dérivées partielles


Calcul des variations


title: Calcul des variations

text: avec pour condition aux limites (CL):: formula_195.


title: Calcul des variations

text: Introduisons comme plus haut la fonction , découlant de la maximisation du pseudo-hamiltonien (dans (HJB)) et du théorème des fonctions implicites et posons, pour alléger les écritures, formula_196. On a le résultat suivant : \mathcal L( t,x(t) ,u(t))\mathrm dt\right\} \\  & =\min\limits_{u\in \mathbf X}\left\{ \mathcal L( \tau ,\xi ,u) \Delta\tau -S (\tau +\Delta \tau ,\xi +\Delta \xi )+o\left( \Delta \tau \right) \right\} \\  & =\min\limits_{u\in \mathbf X}\left\{ \mathcal L(\tau ,\xi ,u) \Delta\tau-S (\tau ,\xi)-\frac{\partial S }{\partial t}(\tau,\xi) \Delta t-\frac{\partial S }{\partial \xi }(\tau ,\xi)\Delta \xi+o( \Delta \tau) \right\}  \end{array}


title: Calcul des variations

text: avec formula_197. Par conséquent, en ajoutant aux deux membres, en divisant par et en faisant tendre vers 0, on obtient


title: Calcul des variations

text: ce qui équivaut à l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La condition aux limites et la valeur optimale du critère découlent de la définition de .


title: Calcul des variations

text: Démonstration de la condition suffisante d'optimalité :


title: Calcul des variations

text: Supposons que formula_199 minimise par rapport à formula_200 la quantité ci-dessous :


title: Calcul des variations

text: Soit la fonction déterminée par l'équation différentielle formula_202 et la condition initiale . On a alors


title: Calcul des variations

text: et en conséquence


title: Calcul des variations

text: compte tenu de la condition aux limites. Puisque formula_205 et formula_206 sont fixés, formula_207 l'est aussi, et formula_208 est minimal pour formula_209.


title: Calcul des variations

text: La formulation de Carathéodory est équivalente au théorème de Bellman dans le contexte du Calcul des variations. Elle peut s'exprimer sous la forme suivante : supposons qu'il existe une fonction continûment différentiable formula_210 telle que, en posant, comme on l'a déjà fait plus haut,


title: Calcul des variations

text: (à supposer que le maximum existe et soit strict), soit solution de l'équation aux dérivées partielles « de Carathéodory »


title: Calcul des variations

text: Alors la fonction optimale est solution de l'équation différentielle


title: Calcul des variations

text: En récrivant l'équation de Carathéodory à l'aide de l'hamiltonien formula_214, on obtient l'équation d'Hamilton-Jacobi


title: Calcul des variations

text: Soit , de sorte que, par identification, formula_216 et que ses éléments sont représentés par des vecteurs colonne. La fonction dépend d'un vecteur de "n" paramètres. Supposons donc que l'équation de Hamilton-Jacobi admette une solution , de classe formula_52. Posons


title: Calcul des variations

text: (Dp):: formula_218


title: Calcul des variations

text: et considérons l'équation


Calcul des variations


title: Calcul des variations

text: où formula_220 est une ligne de "n" éléments. En supposant que


title: Calcul des variations

text: (C) ::formula_221,


title: Calcul des variations

text: d'après le théorème des fonctions implicites, cette équation détermine (localement) "x" en fonction de "t", et formula_220 :


title: Calcul des variations

text: de sorte que l'on a


title: Calcul des variations

text: (E1):: formula_224


title: Calcul des variations

text: Dérivons par rapport à "t" l'équation (E1). Il vient


title: Calcul des variations

text: D'autre part, en différenciant l'équation de Hamilton-Jacobi par rapport à , il vient


title: Calcul des variations

text: (En effet, on a l'égalité


title: Calcul des variations

text: qu'on peut vérifier en développant les deux membres dans la base canonique de formula_74 et sa base duale. La raison de ceci est donnée au § Justification du théorème de Pontryagin-Boltyanskii de l'article Commande optimale.)


title: Calcul des variations

text: En soustrayant ces deux équations avec formula_223 on obtient, en posant formula_230


title: Calcul des variations

text: qui donne en multipliant à gauche par l'inverse de formula_232 la première équation canonique


title: Calcul des variations

text: En différenciant l'équation de Hamilton-Jacobi par rapport à "x",


title: Calcul des variations

text: ce qui donne la seconde équation canonique


title: Calcul des variations

text: On a donc obtenu le résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: On notera que puisque formula_236 est indépendant de formula_237, il en va de même de formula_238 d'après la première équation canonique ; on peut donc supprimer formula_237 de ses arguments et écrire


title: Calcul des variations

text: où formula_241.


title: Calcul des variations

text: Il s'ensuit que les composantes formula_242 du vecteur ligne (ou covecteur) formula_237 sont des constantes d'intégration de la variable "x" telle que formula_240. Par suite, en notant formula_245 le vecteur colonne de composantes formula_242, on peut écrire


title: Calcul des variations

text: On appelle formula_248 la "pente" de l'extrémale formula_249.


title: Calcul des variations

text: L'équation de Hamilton-Jacobi s'intègre avec la condition formula_250 pour formula_251. Pour tout accroissement admissible infiniment petit formula_252 on a donc nécessairement


title: Calcul des variations

text: Or, d'après l'équation de Hamilton-Jacobi, formula_254, et d'après (Dp), formula_255, d'où la condition de transversalité sur la variété formula_11.


title: Calcul des variations

text: Revenons au problème de Lagrange à instants initial et final fixés. Le théorème de Jacobi a permis d'obtenir la solution générale des équations canoniques (donc toutes les extrémales formula_257, de pente ) à partir de la fonction .


title: Calcul des variations

text: Réciproquement, soit formula_258 une extrémale. Soit et


title: Calcul des variations

text: Alors formula_260 est appelé un "champ d'extrémales" autour de si par tout point formula_261 passe une extrémale et une seule formula_262, étant fixé, pour laquelle formula_263. Cette notion est due à Weierstrass. Si un tel champ existe, on peut résoudre en l'équation formula_264, et on obtient donc une fonction . En conséquence, la pente de l'extrémale formula_265 s'exprime elle aussi comme une fonction formula_266 qu'on supposera de classe formula_52.


title: Calcul des variations

text: On montre que si les conditions (II') et (III') sont satisfaites, l'extrémale formula_268, où formula_269 est fixé, peut être entourée d'un champ d'extrémales ayant une fonction de pente formula_270 de classe formula_52.


title: Calcul des variations

text: Supposons que l'extrémale formula_272 soit entourée d'un champ d'éxtrémales de pente formula_273 et posons


title: Calcul des variations

text: La « variable adjointe » est définie par


title: Calcul des variations

text: En dérivant formula_276 par rapport à "x", on obtient


title: Calcul des variations

text: Mais puisque formula_273 est la pente d'une extrémale, on a l'équation d'Euler-Lagrange


title: Calcul des variations

text: et par suite formula_280 vérifie la seconde équation canonique


title: Calcul des variations

text: La forme différentielle, dite "forme de Poincaré-Cartan"


title: Calcul des variations

text: est donc une différentielle exacte formula_283 avec formula_284 et formula_285 (équation de Hamilton-Jacobi).


title: Calcul des variations

text: Soit maintenant formula_286 une courbe admissible quelconque (ne vérifiant donc pas "a priori" la première équation canonique) et formula_287 une extrémale admissible (qui, sous certaines conditions, sera unique). On a d'après ce qui précède


title: Calcul des variations

text: Cette quantité est appelée l"'intégrale de Hilbert" ; elle est invariante, c'est-à-dire indépendante de la courbe admissible considérée formula_289. On peut mettre l'intégrale de gauche sous la forme


title: Calcul des variations

text: Si formula_291, on a formula_292, donc


title: Calcul des variations

text: Par conséquent, par l'invariance de l'intégrale de Hilbert,


title: Calcul des variations

text: On a par définition,


title: Calcul des variations

text: et par conséqnent


title: Calcul des variations

text: La fonction de Weierstrass permet d'écrire ce résultat sous la forme suivante :


title: Calcul des variations

text: Considérons une famille d'applications formula_297,


title: Calcul des variations

text: où formula_299 et formula_300 sont de classe formula_25,


title: Calcul des variations

text: et plus précisément pour formula_303


title: Calcul des variations

text: Soit formula_305. L'image du graphe de cette fonction par formula_306 est le graphe d'une fonction


title: Calcul des variations

text: Considérons maintenant le problème de Lagrange et écrivons


title: Calcul des variations

text: où formula_309 et formula_310 sont continues dans (avec les notations déjà considérées).


title: Calcul des variations

text: L'ensemble des familles de transformation laissant invariante "J" forme un groupe de Lie formula_311, le groupe des symétries de "J". Chaque formula_312 forme un sous-groupe de Lie à un paramètre de formula_311, dont le champ de vecteurs est un générateur infinitésimal, donc un élément de l'algèbre de Lie formula_314 de formula_311.


title: Calcul des variations

text: Considérons la forme de Poincaré-Cartan formula_316 et formons la quantité


title: Calcul des variations

text: Supposons que formula_14 ne dépende pas explicitement de . Alors est invariante par la famille de transformations formula_319, formula_320, d'où , . Par suite, formula_321 et le théorème de Noether se traduit par


title: Calcul des variations

text: En mécanique, est l'action, dont le lagrangien est formula_323 où formula_324 (la « masse généralisée » est une matrice symétrique réelle définie positive) est l'énergie cinétique et formula_325 est l'énergie potentielle. La « variable adjointe », à savoir le covecteur


title: Calcul des variations

text: s'identifie dans l'espace euclidien au transposé du vecteur colonne formula_327 qui est la quantité de mouvement. Alors


title: Calcul des variations

text: est l'énergie totale. Le théorème de Noether fournit donc le théorème usuel de conservation de l'énergie totale.


title: Calcul des variations

text: Supposons que le lagrangien de dépende pas explicitement de la variable . Alors "J" est invariante par la famille de transformations formula_329, formula_330, formula_331 donc , , , et par suite .


title: Calcul des variations

text: On a vu que dans le cadre de la mécanique, s'interprète comme la quantité de mouvement suivant la direction (s'il y a "m" particules, formula_332 se conserve).


title: Calcul des variations

text: Supposons le lagrangien invariant par rotation de autour, par exemple, de l'axe dans l'espace usuel à 3 dimensions. Alors est invariant relativement à la famille de transformations


title: Calcul des variations

text: On a


title: Calcul des variations

text: par conséquent


title: Calcul des variations

text: Dans le cadre de la mécanique, cette quantité s'interprète comme le moment cinétique (s'il y a "m" particules, formula_340 se conserve).


title: Calcul des variations

text: Soit "X" une variété différentielle. Une courbe formula_341 de classe formula_25 tracée sur "X" (où "I" est un intervalle de formula_343) a pour dérivée au point formula_344 le vecteur tangent formula_345, et formula_346 où est le fibré tangent de "X". Soit alors formula_347 une fonction de classe formula_25 (on suppose ici, pour simplifier, que ce lagrangien ne dépend pas explicitement du temps ; sinon on devra remplacer "X" par ). La fonctionnelle considérée dans le problème de Lagrange est de nouveau


title: Calcul des variations

text: La variable adjointe , ou plus exactement le couple , appartient au fibré cotangent . La transformation de Legendre est


title: Calcul des variations

text: en supposant qu'il s'agisse d'un difféomorphisme, dont l'application inverse est formula_351. L'hamiltonien est


title: Calcul des variations

text: L'équation d'Euler-Lagrange est inchangée, et formula_353 est solution de cette équation si, et seulement si et formula_354 sont solutions des deux équations canoniques de Hamilton.


title: Calcul des variations

text: On a rapidement évoqué plus haut quelques applications du théorème de Noether à la Mécanique. Voyons maintenant d'autres applications.


title: Calcul des variations

text: Soit un système conservatif (c'est-à-dire soumis à des forces qui dérivent toutes d'un potentiel) à "n" degrés de libertés et formula_355 le vecteur de ses coordonnées généralisées (noté "x" dans ce qui précède). L'action entre les instants formula_206 et formula_357 est la quantité


title: Calcul des variations

text: où le lagrangien formula_14 est défini par l'expression formula_360, formula_361 étant l'énergie cinétique et formula_362 l'énergie potentielle.


title: Calcul des variations

text: Le principe de moindre action, tel qu'énoncé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, postule que le mouvement entre les instants formula_206 et formula_357 s'effectue de manière à rendre cette action minimale.


title: Calcul des variations

text: Considérons le cas très simple d'un point matériel se déplaçant sur l'axe des "x" et soumis à une force de rappel formula_365, formula_366. Cette force dérive du potentiel formula_367. Le lagrangien est donc formula_368 avec formula_369. L'équation d'Euler-Lagrange donne l'équation de Newton habituelle du mouvement de l'extrémité d'un ressort à laquelle est accrochée une masse "m", l'autre extrémité étant fixe (et le ressort lui-même étant supposé de masse négligeable) :


title: Calcul des variations

text: On a formula_371, et la condition forte de Legendre est donc vérifiée. Un calcul élémentaire montre que l'équation de Jacobi est également


title: Calcul des variations

text: dont les solutions sont de la forme formula_373 où formula_374. La condition faible de Jacobi n'est donc pas vérifiée sur un intervalle d'amplitude plus grande que formula_375, et par suite l'action sur un tel intervalle intervalle n'est pas minimisée.


title: Calcul des variations

text: Le mouvement d'un ressort vibrant dont les extrémités sont fixes peut être approché par celui d'une infinité de points matériels tels que ci-dessus, ayant des pulsations formula_376 multiples d'une pulsation fondamentale. Il n'existe alors aucun intervalle de temps, aussi petit soit-il, sur laquelle l'action correspondante puisse être minimale.


title: Calcul des variations

text: Le principe de moindre action de Maupertuis doit donc être corrigé, et l'énoncé correct est principe d'action stationnaire de Hamilton : le mouvement s'effectue non pas, en général, de manière à minimiser l'action, mais la rendre stationnaire, c'est-à-dire à annuler sa première variation, ce qu'on écrit traditionnellement sous la forme formula_377.


title: Calcul des variations

text: La métrique d'une variété pseudo-riemannienne de dimension "n" munie de sa connexion de Levi-Civita est donnée par la forme différentielle formula_378 définie par


title: Calcul des variations

text: où les formula_380 sont des fonctions continûment différentiables des coordonnées formula_381 ; les indices "i" et "j" varient entre 1 et "n". La forme quadratique ci-dessus est supposée non dégénérée, autrement dit, si "G" désigne la matrice dont les éléments sont les formula_380, cette matrice est symétrique réelle inversible (le cas d'un espace de Riemann correspond à celui où toutes ces valeurs propres restent strictement positives). La longueur d'une courbe paramétrée de classe formula_52, formula_384, d'extrémités fixes formula_385 et formula_386, est donc


title: Calcul des variations

text: La recherche des géodésiques est donc un problème de Lagrange à extrémités fixes. Posons


title: Calcul des variations

text: Puisque la géodésique est parcourue à vitesse constante (c'est-à-dire formula_390), le paramétrage est affine (formula_391) en fonction de l'abscisse curviligne "s". On a donc formula_392 et l'équation d'Euler-Lagrange s'explicite comme suit :


title: Calcul des variations

text: Il s'agit également de l'équation d'Euler-Lagrange pour les courbes rendant stationnaire l'« énergie »


title: Calcul des variations

text: sans hypothèse cette fois sur la nature du paramétrage. On a donc le résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: En introduisant les symboles de Christoffel de première espèce formula_395, cette expression se met sous la forme


title: Calcul des variations

text: Soit maintenant formula_397 les éléments de la matrice formula_398 et soit les symboles de Christoffel de deuxième espèce formula_399 ; on obtient finalement l'équation géodésique


title: Calcul des variations

text: Soit formula_401. La dérivée covariante du champ de vecteurs "u" le long de la courbe "x" est donnée par


title: Calcul des variations

text: par conséquent les géodésiques sont les courbes de classe formula_52, formula_404 telles que, avec formula_405,


title: Calcul des variations

text: Autrement dit, on a le


title: Calcul des variations

text: C'est également de cette façon qu'on définit une courbe géodésique sur une variété munie d'une connexion affine quelconque. Une géodésique reste telle par reparamétrage si, et seulement si celui-ci est affine.


title: Calcul des variations

text: La condition faible de Legendre n'est satisfaite que dans le cas riemannien (et dans ce cas la condition forte de Legendre est satisfaite). C'est donc dans ce cas seulement qu'on peut avoir des géodésiques "minimales".


title: Calcul des variations

text: On a au sens de la métrique riemannienne


title: Calcul des variations

text: et l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique


title: Calcul des variations

text: (en considérant le produit scalaire dans formula_409 de la fonction formula_410 avec formula_411) avec égalité si, et seulement si formula_412, c'est-à-dire si "t" dépend de manière affine de l'abscisse curviligne.


title: Calcul des variations

text: On se ramène sans perte de généralité au cas où formula_413 et formula_414.


title: Calcul des variations

text: L'étude des géodésiques minimales peut s'effectuer grâce au théorème de Jacobi-Weierstrass et on obtient ce qui suit :


title: Calcul des variations

text: Considérons une famille de courbes formula_415 où la fonction formula_416 est de classe formula_417, "I" est un intervalle ouvert contenant l'intervalle formula_418 et "J" est un intervalle ouvert contenant 0. On suppose de plus que pour tout formula_419, formula_420, formula_421, et formula_422 n'est pas identiquement nul dans formula_418. Supposons que formula_424 soit une géodésique formula_311 (ce qui implique que la variable "t" dépend de l'abscisse curviligne de formula_311 de manière affine). On a alors le résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: La notion de point conjugué se laisse bien appréhender dans le cas de la sphère, qui est une variété riemannienne particulière. Les géodésiques de la sphère sont les grands cercles. Soit "A" un point d'une sphère de centre "O" ; son point conjugué est son antipode "B". Soit "C" un point d'un grand cercle passant par "A", orienté dans le sens trigonométrique. La distance entre "A" et "C" est minimale (resp. strictement minimale) à la surface de la sphère si, et seulement si l'angle formula_427 est inférieur ou égal (resp. strictement inférieur) à 180°. Ceci illustre la partie (2) du théorème énoncé plus haut.


title: Calcul des variations

text: Considérons un cylindre à base circulaire, d'axe vertical. Il s'agit de nouveau d'une variété riemannienne qui est paramétrée par formula_428 où


title: Calcul des variations

text: Soit une courbe formula_430 à la surface de ce cylindre. Un calcul très simple montre que cette courbe est une géodésique si, et seulement si elle est un cercle (situé dans un plan horizontal) ou une droite verticale ou une hélice circulaire. Soit alors "A" un point du cylindre et "H" une hélice circulaire passant par "A". Un calcul de nouveau très simple montre que "A" n'a pas de point conjugué sur "H". Mais il existe une infinité d'hélices circulaires passant par deux points "A" et "B" du cylindre. De plus, si "B" est un point situé au-dessus de "A", le chemin le plus court reliant "A" et "B" n'est pas une hélice circulaire, mais la droite verticale passant par "A" et "B". Ceci illustre bien le caractère « local » de la partie (1) du théorème énoncé plus haut.


title: Calcul des variations

text: Soit "D" un domaine ouvert du plan formula_431 et considérons l'intégrale de Dirichlet


title: Calcul des variations

text: D'après l'équation d'Ostrogradski (§ Cas des problèmes à intégrale multiple) et la , les fonctions de classe formula_52 minimisant cette fonctionnelle sont les solutions de l'équation de Laplace


title: Calcul des variations

text: autrement dit ce sont les fonctions harmoniques. Le Principe de Dirichlet (établi de manière rigoureuse par Hilbert et Henri Lebesgue peu avant 1900, puis réexaminé par Hadamard en 1906) énonce qu'il existe une unique fonction de classe formula_25 sur "D", minimisant l'intégrale de Dirichlet, continue sur l'adhérence de "D" et prenant des valeurs fixées sur sa frontière, et cette fonction est harmonique sur "D".


title: Calcul des variations

text: Le problème de la reine Didon consiste à déterminer, parmi toutes les courbes de classe formula_25 et de longueur "l", celle qui délimite avec un segment "AB" l'aire maximale. Il peut donc se formaliser de la manière suivante : minimiser


title: Calcul des variations

text: avec formula_438, sous la contrainte


title: Calcul des variations

text: Introduisons les multiplicateurs de Lagrange formula_65 et formula_441. D'après la remarque faite à propos des problèmes isopérimétriques, on a nécessairement formula_442. Il vient donc, avec formula_443,


title: Calcul des variations

text: L'équation d'Euler-Lagrange s'écrit


title: Calcul des variations

text: d'où en intégrant formula_446, ce qui équivaut à formula_447, soit encore


title: Calcul des variations

text: Les courbes extrémales sont donc des arcs de cercle. Pour qu'une telle courbe soit solution du problème, il faut bien entendu que la longueur "l" soit supérieure ou égale à la longueur de "AB".


title: Drop (album des Shamen)

text: Drop est le premier album du groupe britannique The Shamen, sorti en 1987 sous leur propre label Moksha.


title: Pluies

text: Pluies est un court-métrage français diffusé en 1995.


title: Pluies

text: Quelques tendres instants de complicité entre Anna, 35 ans et Pierre, 50 ans, amants de deux mois, sous une pluie battante.


title: Hook (informatique)

text: Un hook (littéralement « crochet » ou « hameçon ») permet à l'utilisateur d'un logiciel de personnaliser le fonctionnement de ce dernier, en lui faisant réaliser des actions supplémentaires à des moments déterminés. Le concepteur du logiciel prévoit des "hooks" tout au long du fonctionnement de son programme, qui sont des points d'entrée vers des listes d'actions. Par défaut, le "hook" est généralement vide et seules les fonctionnalités de base de l'application sont exécutées. Cependant, l'utilisateur peut « accrocher » des morceaux de programme à ces "hooks" pour personnaliser le logiciel.


title: Hook (informatique)

text: Techniquement, un "hook" peut se présenter sous la forme d'un fichier, généralement dans un langage de script, localisé à un endroit particulier. Le programme principal impose généralement les caractéristiques du "hook" : son type, sa localisation, voire son nom, et le moment auquel il sera exécuté.


title: Hook (informatique)

text: Le webhook est un type de hook avec une application web via une fonction de rappel.


title: Hook (informatique)

text: Exemples de "hooks" :


title: Famille Xhrouet

text: La famille Xhrouet est une grande famille wallonne, originaire de la principauté de Liège et de Spa au . Son étymologie n'est pas claire, il s'agirait d'un lieu-dit comme pour le patronyme régional , qui signifie « le saule ».


title: Famille Xhrouet

text: C'est à Mathieu Counet, dit Xhrouet, maître de forges à Winamplanche, échevin de Spa, cité en 1545, que l'on doit l'apparition du patronyme. Il est descendant d'Henry Cowe de Faaz, cité en 1434. Quatre branches Xhrouet en sont issues, celle de Lambert Xhrouet, notaire apostolique (+1588), celle de Remacle Xhrouet, échevin et maire de Spa (+1599), celle de Godfrin Xhrouet, nonagénaire (+1640) et celle de Salomon Xhrouet (+ < 1594). Les Xhrouet de Spa, prolifiques, ont essaimé ensuite dans toute la principauté de Liège.


title: Famille Xhrouet

text: En 2000, cinq siècles plus tard, on compte 180 porteurs du patronyme en Belgique, principalement en province de Liège et à Bruxelles. Quelques-uns, se retrouvent aussi depuis plusieurs générations, en France, à Monaco, en Floride, etc. Jacques Berger écrit en 1947, dans son ouvrage sur la famille Xhrouet : « Tous les Xhrouet de Spa descendent avec certitude d’un auteur commun : Mathy [Mathieu] Counet de Spa, dit Xhrouet ».


title: Famille Xhrouet

text: En principauté de Liège, à Spa, aux et siècles, la famille Xhrouet s’est distinguée par un nombre remarquable de peintres, dessinateurs, graveurs, ciseleurs, tourneurs d’ornement, etc. Cette dynastie fut héritière et alliée aux dynasties des vernisseurs d’Agly et des dessinateurs Le Loup de Spa. Le plus justement connu d’entre eux est, Lambert Xhrouet, bourgmestre, qui initia le premier casino moderne du continent européen à Spa (1761).


title: Famille Xhrouet

text: À cette époque, de manière générale, le phénomène dynastique dans le monde des Arts n’est pas rare. Citons seulement parmi les plus célèbres celles des Bach ou des . La transmission du savoir-faire comme l’imprégnation sociale et l’opportunité économique se conjuguaient au degré de talents artistiques des héritiers.


title: Famille Xhrouet

text: Spa, ville d’eau, ainsi que toute la principauté de Liège, connut une effervescence artistique importante sous l’ancien Régime ; les plus talentueux de ses artistes partaient souvent vers l’étranger. Citons comme exemple le vernisseur Gérard d’Agly de Spa qui ouvrira une manufacture de meubles à Berlin et qui deviendra Intendant des ornements du roi de Prusse, Frédéric, ou Lambert Xhrouet qui sera tourneur du duc d’Orléans puis écuyer de la reine de France à Versailles.


title: Famille Xhrouet

text: À Paris au , la dynastie Xhrouet de Spa était bien représentée. On retiendra vers 1715, Mathieu-Antoine Xhrouet, peintre de vélins pour les Gobelins ; Philippe Xhrouet de 1750 à 1775, peintre à la Manufacture royale de porcelaine de Vincennes puis de Sèvres, inventant le rose-Pompadour ; Lambert Xhrouet vers 1755, tourneur d’ornement du duc d’Orléans ; Alexis et Joseph Xhrouet, orfèvres rue Saint-Honoré ; Remacle Xhrouet, maître tapissier, dans la même rue; l'imprimerie Xhrouet (1777-1809), rue des Moineaux (avenue de l'Opéra).


title: Famille Xhrouet

text: Les "Jolités de Spa" ou ouvrages de Spa, menus objets mobiliers de luxe, donneront à partir du une bonne part de la notoriété de Spa. Ses artisans et artistes rivaliseront d’ingéniosité pour les rendre de plus en plus fins et dans le goût des cours européennes. Des boutiques de "Jolités de Spa" s’ouvriront même dans quelques capitales européennes.


title: Famille Xhrouet

text: La dynastie Xhrouet s’est fait remarquer par l’exercice concomitant ou non des fonctions de magistrats de la ville d’eau qui deviendra le « Café de l’Europe » (1781). Le premier du nom, Mathieu Counet dit Xhrouet, cité en 1533, fut échevin et son fils, Remacle Xhrouet (+1599), échevin puis maire. Après quelque quinze bourgmestres et autant d’échevins Xhrouet, le dernier en date fut Mathieu Lambert Xhrouet, tourneur d’ornement, maire de 1804 à 1811, sous le régime napoléonien et l’incendie accidentel qui détruisit 2/3 de la ville en 1807.


title: Famille Xhrouet

text: Il est particulier de retrouver dans la famille Xhrouet aujourd’hui, une poursuite, deux siècles plus tard, d’une inclination manifeste vers l’art. Citons seulement le sculpteur statuaire Maurice Xhrouet (1892-1992), le sculpteur ornemaniste Henry Xhrouet, le peintre Paul Xhrouet, le tourneur Albert Xhrouet.


title: Famille Xhrouet

text: Mathieu dit le jeune Xhrouet (1647-1731), graveur, échevin (1694), bourgmestre (1703)


title: Famille Xhrouet

text: L’orthographe de patronymes et de toponymes de la région de Spa, commençant par le digramme "xh" ou les intégrant dans le mot, est largement répandue depuis au moins le . On retrouve cette caractéristique aussi dans la région de Herve. Il apparaît que le "x" devant le "h" ait été un signe diacritique du h aspiré tel qu’aujourd’hui il est souvent indiqué dans les dictionnaires de la langue française par un astérisque et dans l’alphabet phonétique international par une apostrophe. Des manuscrits ont été retrouvés mentionnant le nom Xhrouet avec un x minuscule et un H majuscule. On se trouve donc loin du Xh grec. Certains étymologistes font cependant encore l’hypothèse du rapprochement avec le "ich" [ix] allemand, tel que "Bach" [bax] ou la jota espagnole. Quelques dizaines de patronymes commençant par Xh existent en principauté de Liège mais deux seuls sont suivis d’une troisième consonne : Xhrouet et Xhristoffle.


title: Famille Xhrouet

text: Aujourd’hui, dans Spa et sa région, le digramme « xh » est prononcé comme un h aspiré : [’ruє]. Ailleurs, une prononciation de [kruє] s’est largement répandue. Au , on trouve sur un acte officiel, mention de « Xhrouet, dit Crouet » [kruє], à Paris. L’hypothèse qu’un certain nombre de Crouet de France soient les descendants des Xhrouet de Spa reste, à ce jour, ouverte.


title: Famille Xhrouet

text: Aux et s, on note le patronyme Xhrouet aussi officiellement orthographié : Chrouet, Xhrouwet, Xhrowet ou encore Xhrouiïet. Par ailleurs, on ne s’arrêtera pas aux multiples orthographes fantaisistes trouvées au hasard de manuscrits divers et variés jusqu’à nos jours, ni aux prononciations erratiques ou improvisées, telles que [ksuRє], [kRuєt], etc., d’allochtones confrontés au devoir de prononcer ce nom propre à l’orthographe trop souvent barbare pour eux.


title: Famille Xhrouet

text: « Xhrouet blasonne : D’argent au lion rampant de gueules, armé et lampassé de même, soutenant un écusson d’azur chargé d’un cœur de gueules accompagné de deux épées d’or posées en sautoir. L’écu est timbré d’un casque de fer surmonté d’un lion issant de gueules armé et lampassé de même. Les lambrequins sont d’or et d’azur ». Ce blason ornait l’église des Capucins à Spa dès avant 1643. La pierre tombale armoriée de Lambert Xhrouet (1707-1781), bourgmestre de Spa, est aujourd’hui conservée au Musée de la ville d’eaux de Spa.


title: Famille Xhrouet

text: Le blason de l’aïeul de Mathieu Xhrouet (1545), premier du nom, Henry Cowe de Faaz (1433), est : D’or au lion de gueules tenant de ses pattes de devant une planchette carrée de sable, un lion issant de gueules en cimier.


title: Famille Xhrouet

text: Aux et s, le blason était d’usage courant dans les villes d’eau. Montaigne nous apprend, en 1582, qu’il était déjà de coutume que les nobles curistes laissent dans les hôtels où ils avaient séjourné, en signe de reconnaissance, leur blason. Ces blasons, parmi les plus renommés, deviendront ensuite les enseignes de quelques grands hôtels de Spa : Au roi d’Angleterre, Au duc d’Orléans, Au roi de Pologne, etc. Avant le grand incendie des 2/3 de la ville de Spa en 1807, l’hôtel de la Fontaine d'Or des Xhrouet avait sur sa façade et dans sa cour intérieure, une multitude de ces blasons.