title: Wallace Stevens

text: En 1909, contre la volonté de sa famille, il épouse Elsie Viola Kachel ; le couple aura une fille, Holly, née en 1924, qui fera paraître les lettres de son père et un recueil de ses poèmes. En 1916, Stevens déménage à Hartford et s'engage dans les métiers de l'assurance, au sein de la "Hartford Accident and Indemnity Company", en tant que conseiller juridique. Dépassant la contradiction apparente entre monde des affaires et poésie (à laquelle son père l'avait habitué), Stevens deviendra le vice-président de la société en 1934, jusqu'à la fin de sa vie.


title: Wallace Stevens

text: La poésie de Stevens ne se dévoile que tardivement, à 35 ans: même s'il avait déjà publié des poèmes de 1898 à 1900, dans le "Harvard Advocate" et le "Harvard Monthly", ce n'est qu'en 1914, sous le pseudonyme de Peter Parasol, qu'il rédige et envoie des poèmes, "Phases", au magazine "Poetry", à l'occasion d'un concours sur le thème de la guerre. Il ne gagne pas mais sera publié par le magazine un peu plus tard.


title: Wallace Stevens

text: Son premier recueil, "Harmonium", est publié en 1923, avant un long silence jusqu'en 1935, où il publie trois ans après une réédition enrichie de son premier recueil.


title: Wallace Stevens

text: Voici une description de l'œuvre de Wallace Stevens, telle qu'il la percevait:


title: Wallace Stevens

text: Le travail de l'auteur suggère la possibilité d'une fiction suprême, reconnue comme fiction, dans laquelle l'humanité pourrait à soi-même s'offrir un comblement. Dans la création d'une telle fiction, quelle qu'elle soit, la poésie serait dotée d'une importance vitale. Les nombreux poèmes qui se rapportent aux interactions de la réalité et de l'imagination doivent être considérés comme situés en marge de ce thème central.


title: Marie Lincourt

text: Marie Lincourt, alias Florence Hugodot, née Florence Quétand le à Paris, est une écrivaine et journaliste française.


title: Marie Lincourt

text: Mariée à l'écrivain et ancien haut fonctionnaire Philippe Hugodot, Marie Lincourt est mère de huit enfants, dont l'animatrice de télévision Églantine Éméyé.


title: Marie Lincourt

text: Marie Lincourt suit des études de psychologie avant de se lancer dans le journalisme et la littérature. En 1974, elle fait paraître son premier roman, "À pas de loup", publié chez Robert Laffont, fait un peu de mannequinat et devient parallèlement journaliste et photographe tant dans l'événementiel ("Paris Match"), la presse féminine ("Elle", "Femme Actuelle") que dans le tourisme ("Le Quotidien du Tourisme").


title: Marie Lincourt

text: Elle publie sous son nom d'épouse, Florence Hugodot, plusieurs ouvrages concernant la famille dont notamment "Enfants rois, parents martyrs" (1982, en collaboration avec Philippe Hugodot) qui va connaître un franc succès.  Épouse de haut fonctionnaire, elle vit tour à tour en métropole, en Nouvelle-Calédonie, aux Antilles et au Sénégal. Son métier de journaliste et photographe touristique pour des magazines spécialisés et généraux comme "Le Quotidien du Tourisme", "Paris Match" ou "Télé 7 jours" la font également voyager à travers le monde sur tous les continents (Laponie, Calédonie, Birmanie, Pérou...). Elle vit aujourd'hui à Paris où elle poursuit sa carrière de journaliste et de romancière.


title: Marie Lincourt

text: Sous le pseudonyme de "Marie Lincourt", un pseudonyme qui lui permet de se différencier de sa belle-sœur, la première femme sous-préfet, Florence Hugodot, également auteure, elle publie des romans d'amour et d'aventures tels que "Kanake" au Mercure de France, "Je n'appartiens qu'aux autres" chez Artulen, "Les Amants de l'impossible" aux éditions du Panthéon, "Faustine" aux éditions Blanche, "La petite fille dans le placard" aux éditions Hugo & Cie, "Surtout ne viens pas", "La femme qui cherchait sa vie", et "Voyage au bout de la vie", ces trois tomes aux éditions du Panthéon.


title: Marie Lincourt

text: Un roman, un polar intitulé "Les jambes à son cou" parait aux éditions Sydney Laurent, durant le confinement du premier trimestre 2021 Un autre roman, "La petite fille dans le placard", livre paru en 2007 qui traite de la maltraitance, a rencontré un succès notable.


title: Jimmy Neutron

text: Jimmy Neutron ("") est une série télévisée d'animation américaine en de , créée par John A. Davis d'après le film "Jimmy Neutron, un garçon génial" (2001), et diffusée entre le et le sur Nickelodeon.


title: Jimmy Neutron

text: En France, elle a été diffusée du au sur TF1, puis Nickelodeon France, et au Québec à partir du sur VRAK.TV.


title: Jimmy Neutron

text: La série raconte les aventures d'un jeune garçon surdoué vivant dans la ville fictive de Rétroville, nommé James « Jimmy » Isaac Neutron. Celui-ci est également un grand inventeur, cependant ses créations géniales lui causent souvent des ennuis. Une des expressions favorites de Jimmy est « cerveau en éruption » que celui-ci exprime lorsqu'il arrive à trouver la solution à un problème compliqué. Jimmy trouve souvent la solution lorsque la situation est critique, que ses précédents plans ont échoué et que le suspense de l'épisode est à son apogée ; on peut alors voir les images de différentes idées liées à l'épisode traversant son esprit et, en analysant ces dernières, il parvient en général à trouver une réponse à son problème.Un "spin-off" de la série intitulé "" a démarré le aux États-Unis sur Nickelodeon puis le sur la même chaîne en France et le sur Canal+ Family. La série raconte les aventures de Sheen qui se retrouve sur la planète Zeenu, à quatre millions d'années-lumière de la Terre après avoir accidentellement mis en marche le vaisseau spatial de Jimmy Neutron.


title: Villiers (Neuchâtel)

text: Villiers est une localité et une ancienne commune suisse du canton de Neuchâtel, située dans la région Val-de-Ruz.


title: Villiers (Neuchâtel)

text: Selon l'Office fédéral de la statistique, Villiers mesurait . % de cette superficie correspond à des surfaces d'habitat ou d'infrastructure, % à des surfaces agricoles, % à des surfaces boisées et % à des surfaces improductives. Le , la commune a fusionné avec celles de Boudevilliers, Cernier, Chézard-Saint-Martin, Coffrane, Dombresson, Engollon, Fenin-Vilars-Saules, Fontainemelon, Fontaines, Les Geneveys-sur-Coffrane, Les Hauts-Geneveys, Montmollin, Savagnier et Le Pâquier pour former la nouvelle commune de Val-de-Ruz.


title: Villiers (Neuchâtel)

text: Selon l'Office fédéral de la statistique, Villiers comptait habitants fin . Sa densité de population atteint hab./km². Le graphique suivant résume l'évolution de la population de Villiers entre 1850 et 2008 :


title: Lóránd Hegyi

text: Lóránd Hegyi (), né le à Budapest, est un historien d'art hongrois, directeur général du Musée d'art moderne et contemporain de Saint-Étienne Métropole de 2003 à 2016 et conservateur de la collection assemblée par les princes Esterházy.


title: Lóránd Hegyi

text: Né en 1954, il étudie l'histoire de l'art et de l'esthétique à l'université de Budapest.


title: Lóránd Hegyi

text: Il enseigne dans les années 1980 à l'Université Loránd Eötvös de Budapest en Hongrie et à l'université de Graz en Autriche tout en organisant parallèlement des expositions en Autriche, en Allemagne, aux Pays-Bas, en France et en Hongrie, dont "Eclectique" (Budapest, 1986) et "Nouvelle Sensibilité" (Dortmund, Mannheim, 1987).


title: Lóránd Hegyi

text: Puis il est nommé directeur du Musée d’art moderne - Fondation Ludwig à Vienne de 1990 à 2001 où il développe une des plus grandes et des plus complexes collections d’art contemporain des pays d’Europe de l'Est et d’Europe centrale, à laquelle il dédie deux grandes expositions : "Réductivisme – Abstraction en Pologne, en Hongrie, en Tchécoslovaquie" (Vienne, 1992), "Aspects, positions : Cinquante ans d’art en Europe centrale" (Vienne, Barcelone, Southampton 1999).


title: Lóránd Hegyi

text: On lui confie parallèlement le commissariat d’expositions internationales comme Abstract/Real : Référence Malévitch, Duchamp, Beuys (Vienne, 1996), La Casa, il Corpo, il Cuore : Construction des identités (Vienne, Prague 1999), Conception de l’espace (Barcelone 2002), il assure le cocommissariat de la Biennale de Venise et de la Biennale de Toyama en 1993 puis il est nommé directeur artistique successivement de la Biennale de Sculpture de Stuttgart en 1995 et de la Biennale de Valencia en 2003. Il est membre du Comité d’art de Luxembourg de 1996 à 2000.


title: Lóránd Hegyi

text: Il a été membre de nombreux comités, consultants et commissaires auprès de musées et d'entreprises, comme la banque européenne d'investissement au Luxembourg, la Salzburg Foundation en Autriche (1999), le Palazzo Arte Napoli (2001) et a occupé le poste de directeur général du Musée d'art moderne de Saint-Étienne Métropole de 2003 à 2016. Il a été commissaire des expositions "Passage d’Europe – Un certain regard sur l’Europe centrale et orientale" (Saint-Étienne, 2004), "Settlements – À la recherche de lieux possibles" (Saint-Étienne, 2004), "The Giving Person" (Naples, 2005), "Domicile – Privé/Public" (Saint-Étienne, 2005), "Zéro, Avant-garde internationale des années 1950-1960 (Saint-Étienne, 2008)," "Micro-Narratives, tentation des petites réalités" (Saint-Étienne, 2008), "Fragile" (Saint-Étienne, 2009), "Iles jamais trouvées" (Gênes, Saint-Étienne, Thessalonique 2010-2011), "Intrigantes Incertitudes" (Saint-Etienne, 2016). Dans le domaine de l'art contemporain, il a beaucoup écrit sur Salvatore Garau dont il a également été le commissaire de plusieurs importantes expositions, dont il a écrit: "En regardant les images Salvatore Garau vous avez un sentiment de solennité, le pouvoir, la gravité et en même temps aussi de la libération, de l'euphorie, de la vigueur, de quelque chose qui est lié à des sentiments d'infinitude. Un horizon illimité, une scène dans laquelle vous vous attendez de se produire quelque chose d'énorme, impressionnant".


title: Lóránd Hegyi

text: Il publie plusieurs livres sur l’art contemporain notamment :


title: Longueur d'un arc

text: En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant exactement la place de cette ligne. La longueur d'un arc est, soit un nombre positif, soit l'infini.


title: Longueur d'un arc

text: Un vieil exemple est celui du demi-cercle de rayon "r", où "r" désigne un nombre réel positif. Sa longueur est égale à π"r". Un exemple, plus simple, est donné par un segment, sa longueur est égale à la distance qui sépare ses deux extrémités.


title: Longueur d'un arc

text: Selon l'époque, différentes méthodes permettent de définir et de mesurer la longueur d'un ensemble d'arcs de plus en plus vaste. Eudoxe de Cnide, un mathématicien grec du , puis Archimède utilisent une méthode, dite d'exhaustion pour calculer celle d'un arc de cercle. La physique de la fin du développe une nouvelle approche, fondée sur les progrès réalisés en mécanique du point grâce en particulier au calcul infinitésimal appliqué à l'astronomie. La longueur d'un arc est perçue comme le produit du temps nécessaire à un point matériel pour parcourir l'arc par sa vitesse, si elle est supposée constante. Cette définition est généralisée par Bernhard Riemann et devient la pierre angulaire pour construire une distance et de nouvelles formes de géométries, sur des objets maintenant appelés variétés riemanniennes.


title: Longueur d'un arc

text: Pour le mathématicien français Camille Jordan , ces définitions sont trop restrictives. Il s'intéresse aux propriétés d'une courbe fermée, c'est-à-dire un arc dont le point initial se confond avec le point final. La définition précédente, issue de la physique deux siècles plus tôt, suppose que l'arc soit dérivable. Cette limitation empêche l'usage d'un vaste arsenal de méthodes, pourtant indispensables à la résolution de nombreuses questions. Il propose une nouvelle définition, à l'aide d'une borne supérieure et de la longueur d'une ligne polygonale. C'est maintenant la plus communément utilisée. Pour Hermann Minkowski , les idées de Jordan sont peu adaptées à ses besoins. Dans le contexte des questions qu'il se pose, la longueur qu'il cherche à définir est surtout celle de la frontière d'une surface. Un cercle est défini comme l'ensemble des points "P" d'un disque tels que tout voisinage de "P" contient un point du disque et un point extérieur. Il définit la longueur à l'aide de la notion intuitive de tube, correspondant à l'ensemble des points situés à une distance inférieure à "r" d'un point de l'arc. Cette définition se prête à de nombreuses généralisations, qui permettent même de donner un sens à la longueur d'une courbe fractale.


title: Longueur d'un arc

text: L'une des mesures de longueur la plus célèbre et la plus ancienne est celle d'un demi-arc de cercle de rayon 1. Cette longueur, notée π est calculée depuis bien longtemps. Pour les babyloniens, sa valeur se calcule grâce à la relation qui relie l'aire du cercle avec le périmètre du demi-arc, ils trouvent l'approximation 3 + 1/8.


title: Longueur d'un arc

text: Un progrès théorique important est l'œuvre d'Archimède. Pour le physicien, un polygone convexe dont les sommets sont des points du cercle est de périmètre plus petit que celui du cercle. En effet, il est plus court, pour rejoindre deux sommets consécutifs de passer par l'arête (le segment est le plus court chemin entre ses deux points d'extrémités), ce qui donne une minoration de π. Inversement, le polygone convexe régulier dont chaque milieu d'arête est un point du cercle est de périmètre plus grand. S'il ne peut démontrer cette proposition en général car il ne dispose pas d'une définition de la longueur d'un arc qui lui permettrait de réaliser cette prouesse, elle semble intuitive à l'œil, et résulte (dans le cas du cercle) de la proportionnalité entre les aires de secteurs circulaires et les arcs qui les sous-tendent. À l'aide d'un polygone régulier de 96 côtés, il démontre que la valeur de π se situe entre 3 + 1/7 et 3 + 10/71. Le principe du calcul est donné dans l'article pi.


title: Longueur d'un arc

text: La méthode est générale pour tout arc dont la convexité se situe toujours du même côté, c'est-à-dire dont l'arc n'est composé que de points frontières de l'enveloppe convexe. Toute ligne polygonale, dont les sommets sont situés sur l'arc, possède une longueur plus petite que celle de l'arc étudié. On dispose ainsi d'un minorant. On peut alors construire une suite de lignes polygonales de longueurs croissantes ("p") toutes plus petites que la longueur de l'arc. On construit ensuite une suite de lignes polygonales à l'extérieur de l'enveloppe convexe, dont les extrémités sont ceux de la ligne polygonale et qui longent de plus en plus précisément l'arc. La suite des longueurs ("P") est choisie décroissante et chaque longueur est plus grande que celle de l'arc. Les seules valeurs possibles, pour la longueur de l'arc, sont situées dans le segment ["p", "P"]. La suite est construite de manière que la distance entre "p" et "P" soit de plus en plus petite à tel point que pour tout nombre strictement positif ε, il existe une valeur "n" tel que "P" – "p" soit strictement plus petit que ε. L'intersection de tous les intervalles ["p", "P"] est réduite à un point, qui est nécessairement la longueur de l'arc. Cette méthode est dite d'exhaustion.


title: Longueur d'un arc

text: Elle est utilisée par le mathématicien chinois Liu Hui durant le avec des approximations plus performantes que celles d'Archimède. Il trouve la valeur approchée de π égale à 3,1416. Cette méthode reste en vigueur jusqu'à la fin du et permet de trouver d'autres résultats comme la longueur d'un arc de spirale logarithmique par Torricelli en 1645 ou de cycloïde par Christopher Wren.


title: Longueur d'un arc

text: Le est celui de Galilée. La notion de "vitesse instantanée" prend un sens, et même deux. La vitesse est tout d'abord un vecteur, celui qu'il faut multiplier par une durée "a" pour connaître la position d'un point se déplaçant de manière rectiligne uniforme au bout d'un délai "a". C'est aussi un scalaire, celui qui indique la distance parcourue au bout de la durée "a", dans le cas d'un déplacement uniforme. On parle de vitesse curviligne pour différencier cette grandeur de la vitesse vectorielle. La vitesse curviligne correspond à la norme du vecteur vitesse. Souvent, le terme de vitesse, utilisé dans le langage courant, correspond à la vitesse curviligne, par exemple dans l'expression "vitesse de ", qui correspond à un scalaire et non à un vecteur.


title: Longueur d'un arc

text: Cette définition permet une nouvelle manière d'appréhender la longueur d'un arc. Pour connaître cette longueur, il suffit de trouver une fourmi, supposée petite, se déplaçant toujours à une vitesse curviligne "f" constante, de lui faire parcourir l'arc. Si la durée du parcours de l'arc est égale à "a", alors sa longueur est "a.f". Si cette idée est fructueuse, elle demande à être aménagée. Modéliser le parcours d'un arc à vitesse constante est une question souvent plus difficile que le calcul de la longueur recherchée. Si la vitesse "f" est constante, la longueur peut être vue comme la surface d'un rectangle de longueur le temps "a", nécessaire pour parcourir l'arc et de hauteur "f". Si la vitesse n'est pas constante, on remplace la droite "y" = "f" dans un repère cartésien par la ligne d'équation "y" = "f"("t"), où "t" varie entre 0 et "a". La longueur de l'arc est égale à l'aire située entre les trois droites "x" = 0, "x" = "a", "y" = 0 et la ligne "y" = "f"("t"). On trouve l'aire illustrée en jaune sur la figure de droite.


title: Longueur d'un arc

text: Cette nouvelle approche prend forme à travers l'étude de la parabole semi-cubique, d'équation "cy" = "x". Vers 1660, ce problème est célèbre et intéresse de nombreux mathématiciens. La question du calcul de la longueur d'un arc, que l'on appelait alors problème de rectification, était à l'époque considérée comme très difficile, voire souvent impossible. John Wallis publie la solution en 1659 et en attribue la paternité à Neil. Une des raisons de la célébrité de la preuve est qu'elle débouche sur une valeur constructible à la règle et au compas, naissance d'un fol espoir de résolution de la quadrature du cercle. Cette solution est reproduite par Van Heuraet la même année avec une méthode de rectification de la parabole à l'aide du calcul de la quadrature d'une hyperbole. Le problème de la quadrature d'une surface est celui consistant à déterminer son aire. En 1660, Pierre de Fermat généralise l'approche à toute courbe, qu'à l'époque on imagine comme toujours dérivable, au moins par morceau, même si la notion de dérivée n'est pas encore formalisée.


title: Longueur d'un arc

text: Un pas de géant est franchi entre 20 et 30 ans plus tard, lorsque Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz découvrent le calcul infinitésimal et le second théorème fondamental de l'analyse, indiquant la relation entre la dérivée et l'intégrale. La longueur "L" d'un arc parcouru durant une période "a" à une vitesse curviligne égale à "f"("t") à l'instant "t" est égale à : formula_1


title: Longueur d'un arc

text: Pour être précis, quelques définitions doivent être données. Ici, "E" désigne un espace euclidien de dimension "n" et ℝ l'ensemble des nombres réels. Pour définir une longueur, il est utile d'associer un sens précis au mot arc paramétré de classe "C", si "p" est un entier positif :


title: Longueur d'un arc

text: Demander à la dérivée première de ne jamais s'annuler permet d'éviter des singularités qui ne sont pas l'objet de cet article. Cette définition fournit à la fois l'arc et une manière de le parcourir. Pourtant, géométriquement, parcourir un arc rapidement ou lentement, dans un sens ou dans un autre, ne modifie pas la nature de l'arc. Pour cette raison, on définit une classe d'équivalence entre les arcs paramétrés :


title: Longueur d'un arc

text: Par exemple, le parcours deux fois d'un cercle par un arc paramétré n'est jamais équivalent à un arc paramétré parcourant une seule fois le cercle. En effet, dans un cas tout point du cercle possède deux antécédents et dans l'autre cas un unique, un difféomorphisme ne peut exister. On peut maintenant énoncer la définition d'un arc géométrique :


title: Longueur d'un arc

text: Il devient possible de définir rigoureusement la longueur d'un arc géométrique : L'intégrale n'est pas nécessairement finie car l'intervalle "I" n'est pas nécessairement un segment. Par exemple, si "I" est égal à ℝ et "f" à la fonction qui à "t" associe exp(i"t") à valeurs dans les nombres complexes identifiés au plan euclidien, l'arc géométrique parcourt un nombre infini de fois le cercle unité, sa longueur est infinie.


title: Longueur d'un arc

text: Pour que la définition fasse sens, il est nécessaire que les longueurs de deux arcs C équivalents soient les mêmes. On le vérifie simplement. Si ("I", "f") et ("J", "g") sont deux arcs paramétrés C équivalents et si le difféomorphisme θ vérifie "g"∘θ = "f", alors l'intégration par changement de variable montre que : formula_2


title: Longueur d'un arc

text: Si "E" désigne un plan euclidien, la fonction "f" peut s'exprimer à l'aide de deux fonctions coordonnées, de "I" dans ℝ, notées ici "x"("t") et "y"("t"). Si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale et si ]"a", "b"[ désigne l'intervalle "I", la formule précédente devient : formula_3


title: Longueur d'un arc

text: Sous cette forme, la longueur de l'arc trouve une autre justification intuitive que celle de la vitesse. Soit "t" et d"t" deux réels positifs tel que "t" et "t" + d"t" soient éléments de "I". Notons ("x", "y") les coordonnées de l'image de "t" et ("x "+ d"x", "y "+ d"y") celle de "t" + d"t". Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Si d"t" est suffisamment petit, la courbe est proche de son approximation tangente. Identifier entre ces deux valeurs du paramètre l'arc avec son approximation linéaire tangente au point "t" ramène localement le calcul à celui de la longueur d"s" de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, qui se calcule avec le théorème de Pythagore : formula_4


title: Longueur d'un arc

text: Il existe un cas particulier usuel, celui où la courbe est le graphe d'une fonction "g" de classe "C" sur un intervalle "I" et à valeurs dans ℝ. Pour revenir à une situation plus proche de la précédente, on peut considérer que la courbe est représentée par l'arc paramétré ("I", "f") où "f" est la fonction de "I" dans ℝ qui à "t" associe ("t", "g"("t")). En supposant toujours que ]"a", "b"[ désigne l'intervalle "I", on obtient : formula_5


title: Longueur d'un arc

text: Il est parfois plus commode d'utiliser les coordonnées polaires pour exprimer l'arc paramétré, ce qui revient à utiliser les notations suivantes : formula_6


title: Longueur d'un arc

text: On en déduit : formula_7 formula_8 formula_9


title: Longueur d'un arc

text: ce qui permet d'établir la formule : formula_10 En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses, la formule prend la forme : formula_11


title: Longueur d'un arc

text: Sur le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc ayant pour extrémités l'origine des arcs et le point du premier quadrant d'ordonnée formula_12 est :


title: Longueur d'un arc

text: formula_13. Au , le problème de la rectification d'un arc est à la pointe de la recherche. Sans les outils du calcul différentiel, ces questions demandent une grande imagination pour y répondre. Elles deviennent beaucoup plus aisées une fois connue la dérivée et sa relation avec l'intégrale. Un exemple est celui de la chaînette, courbe plane qui correspond à la forme que prend un câble lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à son propre poids. Il est résolu en 1691 à la fois par Leibniz, Huygens et les frères Bernoulli. Si cosh désigne le cosinus hyperbolique et si "a" désigne un réel strictement positif, son équation est la suivante : formula_14


title: Longueur d'un arc

text: La longueur L de la chaînette entre le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse x est donnée par la formule, si sinh désigne le sinus hyperbolique : formula_15 La longueur d'une spirale logarithmique est d'abord déterminée sans l'usage du calcul différentiel. Puis, cet usage permet une résolution du problème de manière très simple, surtout si le paramétrage proposé est polaire si "a" est un réel strictement positif et "b" est strictement supérieur à 1 : formula_16


title: Longueur d'un arc

text: La longueur L de la spirale entre le point origine et celui d'angle θ, qui peut être supérieur à 2π, est donnée par la formule suivante : formula_17 Un autre calcul est d'importance historique, celui de la parabole de Neil, qui correspond à la courbe d'équation "y" = ±"ax", si "a" est un entier strictement positif. Sa rectification est réalisée avant la découverte du calcul différentiel. La nouveauté apportée réside dans le fait que, si "L" désigne la longueur de la partie positive de la branche située entre 0 et "x", le résultat intermédiaire suivant est utilisé : formula_18


title: Longueur d'un arc

text: Une question de rectification est finalement liée à un problème de quadrature, c'est-à-dire au calcul d'une surface, base de la définition utilisée dans ce paragraphe. Finalement, on trouve : formula_19


title: Longueur d'un arc

text: Cette démarche permet de résoudre le problème de la rectification de la parabole. Si l'on choisit le paramétrage "y" = "ax", avec "a" un réel strictement positif, la longueur "L" de la branche située entre 0 et "x" s'exprime sous la forme d'une quadrature d'hyperbole, que l'on sait réaliser déjà depuis plus de 20 ans : formula_20


title: Longueur d'un arc

text: Si l'approche par la vitesse permet de résoudre aisément la question de la longueur de l'arche d'une cycloïde, égale à 8 fois le rayon du cercle, un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'ellipse en fonction des demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'intégrales elliptiques de seconde espèce.


title: Longueur d'un arc

text: Les calculs sont analogues en dimension 3. L'article « Loxodromie » explicite un exemple.


title: Longueur d'un arc

text: On utilise la paramétrisation par les fonctions formula_21 et formula_22 définies sur formula_23 : formula_24 Leurs dérivées sont : formula_25. formula_26. D'où : formula_27 On utilise ici la paramétrisation par une fonction "g", définie par "g"("x") = a"cosh"(x/a). On obtient les expressions : formula_28


title: Longueur d'un arc

text: On en déduit : formula_29


title: Longueur d'un arc

text: À l'aide des coordonnées polaires, on obtient : formula_30


title: Longueur d'un arc

text: On en déduit : formula_31


title: Longueur d'un arc

text: L'arc est paramétré par la courbe "y" = "g"("x"), ce qui amène le calcul : formula_32


title: Longueur d'un arc

text: puis, en utilisant le changement de variable "u" = 9a"x"/4 : formula_33La rectification de la parabole est un peu plus subtile. Avec les notations précédentes : formula_34


title: Longueur d'un arc

text: On en déduit : formula_35


title: Longueur d'un arc

text: L'aire à déterminer est illustrée sur la figure de droite. Elle est comprise entre les deux droites d'équations "x" = 0 et "x" = τ, puis entre la droite "y" = 0 et la fonction dont l'équation est sous l'intégrale. Sans disposer des outils puissants de l'analyse, il est possible de calculer cet aire. On la découpe en trois zones, la jaune, la bleue et la vert clair.


title: Longueur d'un arc

text: La zone jaune correspond à un demi-carré de côté 1, la bleue à un demi-carré de côté τ. Déterminons la surface "v" du triangle vert foncé. Pour cela, il suffit de calculer la longueur de sa diagonale "v" : formula_36


title: Longueur d'un arc

text: Il reste encore à déterminer l'aire de la zone vert clair "v", elle est égale à la différence entre l'aire de zone verte "v" et de la zone vert foncé. La zone verte correspond au logarithme de la distance qui sépare l'origine du sommet du triangle vert foncé le plus éloigné, on trouve : formula_37


title: Longueur d'un arc

text: On en déduit : formula_38 ce qui montre que, si μ = τ : formula_39


title: Longueur d'un arc

text: Un paramétrage usuel de la cycloïde de rayon "a" est le suivant : formula_40


title: Longueur d'un arc

text: Ce paramétrage permet le calcul de la norme de la dérivée : formula_41


title: Longueur d'un arc

text: La longueur recherchée est : formula_42


title: Longueur d'un arc

text: Pierre de Fermat est un des précurseurs du calcul différentiel, avant Leibniz et Newton. Il propose une interprétation des lois de Snell-Descartes dans une lettre de 1662 et adressée à Marin Cureau de la Chambre en énonçant un principe très général : qui implique les règles de propagation de la lumière pour l'optique géométrique.


title: Longueur d'un arc

text: L'intuition de Fermat est exacte. La vitesse de la lumière est plus lente dans l'eau ou dans du verre que dans le vide ou dans l'air. La trajectoire de la lumière est en conséquence fonction du rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Il est possible d'illustrer ce principe par le problème dit du "maître nageur", représenté sur la figure de gauche. Un maître nageur, situé au point "A" doit éviter une noyade en "A". Pour être le plus rapide possible, le maître-nageur doit trouver le point "M" situé à la frontière entre la plage et la mer tel que courir de "A" à "M", puis nager de "M" à "A", soit le trajet le plus rapide. Comme il court plus vite qu'il ne nage, le point "M" se trouve nécessairement plus proche de "A" que le point du segment "A""A" à la frontière de la plage et de la mer.


title: Longueur d'un arc

text: Une autre manière de modéliser cette question est d'équiper l'espace d'une nouvelle distance "d", associée à la vitesse de déplacement de la lumière ou de celle du maître-nageur. La distance entre deux points est donnée par le temps nécessaire pour aller d'un point à un autre. Si "C" est un arc géométrique de paramétrage ("I", "f"), et "n" le rapport entre la vitesse du maitre nageur sur la plage et celle au point "A", la longueur de l'arc "C" s'exprime par : formula_43


title: Longueur d'un arc

text: C'est maintenant la longueur d'un arc qui permet de définir la distance "d" : la distance entre deux points est la plus petite longueur d'un arc reliant ces deux points. La figure de droite illustre la géométrie de l'espace, vue avec les deux distances. L'espace équipé de la distance "d" est illustré en haut. Les trajectoires les plus courtes pour le maitre nageur sont les droites représentées en vert, et les points à égale distance de sa position sont les arcs de cercle, en rouge sur la plage et en bleu dans la mer. Cette même figure est reproduite sur la figure du bas, cette fois avec la distance usuelle. Comme le maître nageur est moins rapide dans l'eau, les portions de cercles dans la mer sont "écrasées". Ce tassement déforme les portions de droites vertes qui se trouvent dans l'eau. Les angles obtenus, entre un segment vert sur la plage et son prolongement dans l'eau, suivent les lois de Descartes.


title: Longueur d'un arc

text: L'expression utilisée par Fermat pour décrire son principe est habile. Rien n'indique, dans sa formulation, qu'il est limité à l'optique géométrique. L'avenir lui donne raison. Une question, déjà abordée par Galilée sans succès en 1638, consiste à trouver la courbe que doit emprunter un point matériel glissant sans frottement pour aller le plus rapidement possible d'un point "A" à un point "B". Le point "B" est supposé se trouver à une altitude inférieure ou égale à celle du point "A" pour que la question ait une solution. Cette question porte le nom de "problème brachistochrone". Elle est remise à l'honneur par Jean Bernoulli en 1696 et posée comme défi aux lecteurs du journal Acta Eruditorum.


title: Longueur d'un arc

text: Une solution consiste encore à appliquer le principe de Fermat. Si la distance entre deux points "A" et "B" est mesurée par le temps nécessaire pour aller du plus haut au plus bas, l'espace est cette fois dilaté de manière parabolique sur l'axe vertical. En effet, si on appelle 1 la longueur parcourue verticalement en 1 unité de temps, la longueur parcourue verticalement en 2 unités de temps est de 4, puis celle parcourue en 3 est de 9, etc. Résoudre le problème brachistrochrone revient à trouver les lois de passage entre l'espace mesuré par la vitesse du point matériel et celui mesuré de la manière usuelle. La réponse est illustrée sur la figure de droite. Comme précédemment la figure du dessus représente l'espace mesurée à l'aide de la distance "d", correspondant à la vitesse du point matériel. On considère les trajectoires, vues avec la distance "d" comme des demi-droites issues d'un même point, où la vitesse du point est initialement nulle. Ces demi-droites sont régulièrement espacées d'un angle de π/8 sur la figure. En rouge sont indiquées les positions possibles du point au bout d'un temps fixe et régulier, 1, 2, 3 et 4 secondes. Les courbes rouges correspondent à ce que l'on appelle usuellement des demi-cercles.


title: Longueur d'un arc

text: Cette même figure, vue avec la distance usuelle est illustrée sous la première. Elle est un peu plus difficile à lire que celle correspondant à la géométrie précédente. Le plus simple est de commencer par la ligne verte numérotée 1. Elle correspond à un déplacement horizontal. Comme le point matériel possède une vitesse initiale nulle, son déplacement est nul et la droite est transformé en un point, noté 1 sur la figure du bas. La trajectoire noire correspond à une courbe dont la tangente initiale est verticale. Il n'existe pas une courbe possible, mais une infinité, dont deux sont illustrées sur la figure du bas, en noir. Ces courbes correspondent à des arches complètes de cycloïde. Toute arche de cycloïde de point initial celui de la figure correspond à une droite de tangente initiale verticale avec la distance "d". Cette situation est analogue pour l'image de toutes les demi-droites vertes de la figure supérieure. Ainsi, la demi-droite numéroté 2 correspond à une portion de cycloïde illustrée sur la partie basse de la figure, et toute homothétie de cette portion de cycloïde correspond aussi à une image de la demi-droite 2.


title: Longueur d'un arc

text: La technique utilisée pour résoudre le problème brachistochrone est de même nature que celle du paragraphe précédent en optique. On cherche l'arc le plus court pour une distance bien choisie. Le principe de Fermat prend parfois le nom de "principe de moindre action", que Maupertuis redécouvre et énonce ainsi :


title: Longueur d'un arc

text: Dans l'exemple du problème brachistochrone, l'équivalent de l'indice de réfraction correspond un facteur de compression de l'espace, à l'image de l'exemple d'optique. Comme ici l'espace a plutôt tendance à se dilater, l'indice est rapidement compris entre 0 et 1. Il est précisément égal à (2gh) si "h" est l'altitude, comptée négativement. Pour résoudre l'équation différentielle de Newton, indiquant la trajectoire des planètes, la même méthode s'applique avec un coefficient cette fois ci, égal à "a"/"h". Les calculs sont un peu plus simples et les arches de cycloïdes sont transformées en demi-cercles. Si Bernhard Riemann, un élève de Gauss, s'intéresse suffisamment à cette question pour en faire son sujet de thèse, ce n'est pas pour proposer une nouvelle méthode de résolution d'une célèbre équation différentielle, mais pour mieux comprendre la géométrie. Si l'on retire les points d'altitude 0 (un point d'altitude 0 est en effet à une distance non nulle de lui-même, ce qui ne fait guère sens), on obtient un espace métrique. Pour définir cette métrique, on commence par une nouvelle définition de la longueur "L" d'un arc "C" de l'espace "G" qui, s'il est paramétré par ("I", "f") vaut dans le cas particulier étudié : formula_44


title: Longueur d'un arc

text: Chaque point "p" de "G" possède un espace tangent "T", muni d'un produit scalaire et donc d'une norme. Dans le cas particulier du paragraphe, la norme est celle du plan, que multiplie le facteur de compression "n" proportionnel à l'inverse de l'altitude de "p". La définition de la longueur d'un arc permet ensuite de définir la distance entre deux points. Elle est égale à la longueur du plus petit arc reliant ces deux points.


title: Longueur d'un arc

text: Qualitativement, l'espace que l'on vient de définir ressemble un peu à la figure de droite. Le formalisme de Riemann, consistant à d'abord définir la longueur d'un arc puis la distance, est finalement très puissant. Il permet de définir un large ensemble de géométries, dans lequel les concepts classiques comme les droites (qui prennent le nom de géodésiques), les cercles ou les courbures s'étendent. Cette méthode permet de définir des surfaces qui n'existent pas en dimension 3. Celle considérée dans ce paragraphe possède une courbure constante négative. La courbure en un point "p" correspond au produit des deux courbures les plus extrêmes que peuvent prendre les arcs paramétrés à l'aide d'une abscisse curviligne au point "p". Si les deux cercles osculateurs se trouvent sur un ellipsoïde, on parle de courbure positive. s'ils se trouvent sur une "selle de cheval", on parle de courbure négative. Aucune surface en dimension 3 ne possède de courbure négative constante, raison pour laquelle la géométrie décrite dans ce paragraphe n'est pas exactement celle de la figure de droite.


title: Longueur d'un arc

text: Les trois paragraphes précédents ont un point commun, pour être opérationnel, ils nécessitent la capacité de trouver le plus court chemin entre deux points d'une surface ou d'une géométrie particulière, ce qui n'est pas, en général, une question facile.


title: Longueur d'un arc

text: La méthode la plus fructueuse s'apparente à celle de la géométrie différentielle. En dimension finie, et sous les bonnes hypothèses, un point optimal possède une approximation linéaire tangente plate, illustrée sur la figure de gauche. En terme mathématiques, cela signifie que le gradient de la fonction à optimiser est nul sur un point extrémal.


title: Longueur d'un arc

text: C'est une méthode de cette nature qu'utilise Bernoulli pour résoudre le problème brachistochrone. Elle est illustrée sur la figure de droite, une petite variation autour du chemin optimal ne change pas sa longueur, au premier ordre. Ainsi le chemin proche de l'optimal, illustré en vert, est au premier ordre, de même longueur que la courbe optimale, illustrée en gris. Leonhard Euler affine la méthode et propose une première démonstration de la résolution du problème isopérimétrique consistant à trouver l'arc fermé d'une longueur donnée et enserrant une surface de plus grande aire possible. (La démonstration d'Euler est proposée dans l'article Multiplicateur de Lagrange.) En 1755, Lagrange écrit une lettre à Euler. Elle porte sur le calcul de la courbe tautochrone, correspondant à une question analogue au problème brachistochrone. Cette correspondance est le début d'un long travail commun et permet d'établir l'équation d'Euler-Lagrange, une méthode très générale pour trouver les géodésiques.


title: Longueur d'un arc

text: Si l'équation d'Euler-Lagrange est suffisante pour résoudre le problème tautochrone, il est parfois nécessaire de l'enrichir, par exemple pour trouver la courbe de la chaînette, c'est-à-dire la position qu'occupe au repos un câble de densité linéaire (les physiciens emploient l'expression masse linéique) constante, soumis à la gravité. La méthode est enrichie par celle du multiplicateur de Lagrange.


title: Longueur d'un arc

text: Les mathématiques du sont encore insuffisantes pour démontrer rigoureusement la pertinence des calculs d'Euler et de Lagrange. Leur connaissance en analyse fonctionnelle est encore bien trop limitée. Ces méthodes, qui prennent le nom de calcul des variations, deviennent vraiment rigoureuses sous l'influence de Karl Weierstrass au et surtout les travaux de Banach et Sobolev au .


title: Longueur d'un arc

text: Posons la question en termes flous : deux courbes « proches » ont-elles des longueurs voisines ?


title: Longueur d'un arc

text: Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0, 1]. Celui-ci est de longueur 1. On fabrique facilement une suite de fonctions continues sur [0, 1], rectifiables, qui converge uniformément vers "f" et dont la longueur ne converge pas vers 1.


title: Longueur d'un arc

text: Par exemple : "f" est une fonction triangle avec des pentes 1 sur [0, 1/2] et –1 sur [1/2, 1]. Puis "f" est une fonction formée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0, 1/4], –1 sur [1/4, 1/2], 1 sur –1 sur [3/4, 1], et ainsi de suite (4,8,16 triangles…). Chacune des fonctions "f" a un graphe de longueur , et par ailleurs il y a bien convergence uniforme vers "f".


title: Longueur d'un arc

text: Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application « longueur », il ne faut donc pas travailler avec la norme de la convergence uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des espaces de Sobolev.


title: Longueur d'un arc

text: Pendant 150 ans, la définition du remplit les besoins des mathématiciens, au besoin avec la généralisation de Riemann. Encore maintenant, il n'est pas rare qu'elle soit utilisée quand le sujet se limite à de la géométrie différentielle. Durant la deuxième moitié du , de nouvelles questions imposent une approche plus générale.


title: Longueur d'un arc

text: Les courbes étudiées ne possèdent plus systématiquement une origine spécifiquement mécanique ou cinématique mais proviennent aussi d'autres branches des mathématiques. Giuseppe Peano découvre la courbe qui porte maintenant son nom et qui recouvre intégralement la surface d'un carré de côté 1. Hermann Minkowski utilise des convexes pour résoudre des questions de théorie algébrique des nombres. Les frontières de ces convexes, s'ils sont dans un plan euclidien, peuvent parfois être paramétrées comme des arcs. Camille Jordan est un précurseur dans l'étude des courbes du plan euclidien ayant une autre origine que cinématique. Il essaie de résoudre certaines questions apparemment anodines comme celle du théorème portant son nom, ce résultat traite d'une courbe fermée et simple. Fermée signifie que l'image des extrémités du segment de définition sont confondues et simple que l'unique point double est l'extrémité. Une telle courbe sépare le plan en deux parties connexes, l'intérieur et l'extérieur de la courbe.


title: Longueur d'un arc

text: Pour supporter un tel développement, il est nécessaire de ne pas se limiter aux arcs géométriques de classe "C". Jordan propose une nouvelle définition de la longueur fondée sur une démarche plus proche de celle d'Archimède que des analystes du . Une méthode intuitive pour comprendre sa logique consiste à poser une corde le plus précisément possible sur l'arc que l'on désire mesurer. Pour pouvoir aisément calculer la longueur de la corde, on lui impose de suivre un trajet polygonal. On punaise les sommets de la corde sur l'arc étudié, de telle manière à ce que les punaises se succèdent, comme sur la figure de droite. En ajoutant de plus en plus de punaises, on impose à la corde de suivre de plus en plus précisément l'arc. Une fois accrochée une infinité de punaises régulièrement espacées on obtient la longueur recherchée. Si cette approche possède l'avantage d'être pertinente, même dans le cas d'un arc non dérivable, donner un sens rigoureux à l'idée d'une "infinité de punaises régulièrement espacées" serait un peu délicat. Jordan propose plutôt la borne supérieure des longueurs des différentes cordes imaginables, attachées avec un nombre fini de punaises. Cette démarche allie la rigueur avec une généralisation de la longueur aux arcs non nécessairement dérivables.


title: Longueur d'un arc

text: Par delà le fait de pouvoir traiter des courbes non dérivables, de nouvelles méthodes deviennent utilisables qui ne l'étaient pas avec la définition précédente. Un exemple est donné avec le théorème isopérimétrique. Ce théorème stipule que toute surface possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. Certaines démonstrations, présentées dans l'article sur cette question, nécessitent la définition de longueur au sens de Jordan.


title: Longueur d'un arc

text: L'ensemble d'arrivée n'est maintenant plus nécessairement euclidien, ("E", "d") désigne dans ce paragraphe un espace métrique et "I" toujours un intervalle de ℝ. Le couple ("I", "f") est un arc, c'est-à-dire une fonction continue de "I" dans "E". La logique suivie pour la définition est proche de celle utilisée pour l'intégrale de Riemann. Soit "S" une suite finie "a", … , "a "strictement croissante d'éléments de "I". Une telle suite est appelée une subdivision de l'intervalle ["a", "a"] de "I".


title: Longueur d'un arc

text: À la suite "S" on peut associer la longueur "L"("S"), définie par : formula_45 La valeur "L"("S") est appelée ici longueur de la ligne polygonale de sommets les images de la suite "S" par "f". L'inégalité triangulaire impose de définir la longueur de l'arc "C" comme supérieure à celle d'une ligne polygonale associée à une subdivision d'un intervalle de "I". La ligne droite que suit la ligne polygonale entre deux sommets consécutifs est en effet le chemin le plus rapide entre ces deux points et "passer par la courbe C" est nécessairement plus long. En revanche, si la subdivision est très fine, on peut espérer obtenir une bonne approximation de la "longueur" de "C", ce qui justifie la définition suivante :


title: Longueur d'un arc

text: Une telle définition n'impose pas à la longueur d'être finie. Par exemple une droite est de longueur infinie. Des contre-exemples moins triviaux sont donnés par la figure de droite ou encore la courbe de Peano, qui est continue mais nulle part dérivable, et dont l'image du segment [0,1] est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. Ceci donne lieu à la définition suivante :Une dernière propriété est utile pour assurer la cohérence de la définition de longueur. Ici "E" désigne à nouveau un espace euclidien :


Longueur d'un arc


title: Longueur d'un arc

text: Les fonctions bornées de "I "dans "E "sont dotées de la distance de la continuité uniforme. Il est naturel de s'interroger sur la continuité de la fonction qui, à un arc, associe sa longueur. La figure de gauche montre que cette fonction n'est pas continue. En effet, dire qu'un arc, en rouge sur la figure, est proche d'un autre, le cercle bleu sur la figure, signifie que l'arc se trouve dans une espèce de tube, de petite largeur. La courbe en rouge montre qu'il est possible de construire une telle courbe qui oscille suffisamment pour avoir une longueur très différente. En revanche, si la courbe rouge est "proche" de la bleue, sa longueur ne peut être beaucoup plus petite que la bleue. Celle de plus petite longueur est illustrée à droite en vert. On parle de semi-continuité inférieure.


title: Longueur d'un arc

text: En effet, pour toute subdivision d'un intervalle de "I", la fonction est continue, donc la fonction longueur est semi-continue inférieurement, comme borne supérieure des. Minkowski s'intéresse surtout aux courbes fermées et simples car elles définissent une frontière d'un espace compact dans le plan euclidien. Les résultats qu'il établit sont particulièrement intéressants s'il peut les généraliser aux dimensions supérieures.


title: Longueur d'un arc

text: Les outils issus de la géométrie différentielle ne sont pas toujours très adaptés pour cela. Un exemple est donné par le théorème isopérimétrique, dans le cas général on cherche à démontrer qu'un solide d'un espace euclidien de dimension "n" possède un volume plus petit que celui de la boule de même surface. Le terme de boule de rayon "r" désigne l'ensemble des points à une distance inférieure à "r" d'un point donné appelé centre. Il n'est pas trop complexe de montrer que la courbure moyenne en chaque point d'une surface, frontière d'un solide qui atteint l'optimum isopérimétrique, est nécessairement constante. En dimension 2, il est très simple de montrer que l'unique courbe simple et fermée de courbure moyenne constante est le cercle, une démonstration naturelle est l'œuvre de Hurwitz et utilise l'inégalité de Wirtinger. En dimension 3, la démonstration est connue, mais elle est suffisamment technique pour ne dater que du début du . Le cas général n'est toujours pas démontré. La définition de Jordan pour la longueur d'une courbe n'est pas adaptée non plus car elle ne se généralise pas directement aux dimensions supérieures. La généralisation naturelle consisterait à définir l'aire de la surface d'une portion de cylindre comme la borne supérieure de la surface d'un polyèdre dont les sommets se trouveraient sur la frontière du cylindre. L'exemple sur la droite illustre l'inconsistance d'une telle généralisation. Le polyèdre utilisé est un "lampion" dont les sommets sont situés sur des hexagones parallèles, chaque fois décalés d'un douzième de tour. Si les plans des hexagones se rapprochent de plus en plus, la surface du polyèdre augmente jusqu'à l'infini.


title: Longueur d'un arc

text: Minkowski trouve une solution pour définir la longueur d'un arc qui résiste au passage à une dimension supérieure. Son approche intuitive est différente de celles considérées jusqu'ici. Il ne s'appuie pas comme Jordan sur la longueur d'une ligne polygonale, mais directement sur la fonction volume de l'espace euclidien de dimension "n". Cette fonction est en général définie par la mesure de Lebesgue. Pour une valeur ε, suffisamment petite, il considère les points à une distance inférieure à ε de la courbe "C" qu'il étudie. Il obtient un ensemble, illustré en rose sur un exemple en dimension 2 sur la figure de gauche, la courbe "C" est représentée en bleu. Un tel ensemble est appelé un tube.


title: Longueur d'un arc

text: Si la valeur ε diminue, le volume du tube se rapproche du produit de la longueur de l'arc par le volume de la boule de dimension "n" – 1 et de rayon ε. Dans le cas du cercle de rayon "r" et en dimension 2, le tube est constitué de la zone de l'espace compris entre un cercle de rayon "r" + ε et un autre de même centre et de rayon "r" – ε. Son volume est exactement 2π"r" que multiplie 2ε. En dimension 3, le tube est un tore, une fois encore son volume est exactement le produit de 2π"r" par la surface d'un disque de rayon ε. Cette définition, si elle est un peu plus complexe à mettre en œuvre, se généralise aisément aux dimensions supérieures.


title: Longueur d'un arc

text: Minkowski et Hausdorff développent des outils permettant de mieux appréhender l'étude générale des solides. L'ensemble étudié est celui des compacts non vides d'un espace euclidien "E", de dimension "n". La somme de Minkowski associe à deux ensembles "A" et "B" le solide "A" + "B" composé des sommes d'éléments de "A" et de "B". Cet ensemble est équipé d'une distance, dite distance de Hausdorff. Le tube étudié correspond à la somme d'un compact "C", correspondant à la courbe dont on souhaite mesurer la longueur et de la boule de rayon ε, il est noté ici "C".


title: Longueur d'un arc

text: Si la courbe "C" est simple et fermée et de classe "C", alors le volume du tube "Vol"(C) s'exprime en fonction de la longueur "L" de l'arc "C" et du volume Vol("B"(ε)) de la boule d'un espace euclidien de dimension "n" – 1 et de rayon ε, ceci à condition que ε reste suffisamment petit : formula_47


title: Longueur d'un arc

text: Si la courbe n'est pas fermée, l'égalité reste vraie si l'on ajoute le volume d'une boule de rayon ε en dimension "n". En effet, deux demi-boules vont s'ajouter, chacune à l'une des extrémités de la courbe, on obtient : formula_48


title: Longueur d'un arc

text: Quelle que soit la configuration précédente, on obtient une nouvelle manière de définir la longueur d'un arc : formula_49


title: Longueur d'un arc

text: Cette définition est bien une généralisation de la longueur définie précédemment :


title: Longueur d'un arc

text: Cette définition est particulièrement pertinente dans le cas de l'étude de la longueur de la frontière d'une surface "S" compacte en dimension 2 de frontière "C". Si la frontière est paramétrable par un arc de classe "C", on dispose du théorème suivant, appelé formule de Steiner-Minkowski :


title: Longueur d'un arc

text: Le contenu de Minkowski permet de généraliser à de nombreuses surfaces cette formule.


title: Longueur d'un arc

text: Le contenu 1-dimensionnel de la courbe "C" est égal à "b – a", c'est-à-dire à la longueur de la courbe, car son paramétrage correspond à une abscisse curviligne. Dans le cas du cercle et en dimension 3, on retrouve une formule connue, le volume d'un tore. Dans le cas d'une courbe qui n'est pas fermée, la démonstration est exactement la même, il suffit d'ajouter les deux demi-boules aux extrémités.


title: Longueur d'un arc

text: Dans le cas d'une courbe de classe "C" et admettant des points doubles, montrer que le contenu 1-dimensionnel de Minkowski est encore égal à la longueur n'est pas très compliqué, mais l'égalité du produit précédent et du volume du tube n'est plus vérifiée. Le résultat est encore vrai pour les courbes de classe "C", les polygones ou les courbes fermées non vides compacts et convexes en dimension 2, mais les démonstrations sont différentes.


title: Longueur d'un arc

text: Dès 1872, Karl Weierstrass montre qu'une courbe peut avoir un comportement étrange ; il construit un exemple d'arc, par définition continu, et nulle part différentiable. Plus tard, Peano construit sa courbe, dont l'image est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. En 1904, le mathématicien suédois von Koch trouve un exemple concret de courbe répondant au cahier des charges de Weierstrass, à travers un étrange flocon. Tous ces exemples correspondent à ce qui est maintenant appelé une fractale.


title: Longueur d'un arc

text: Cette famille de courbes, initialement considérées comme un peu pathologiques, s'avère essentielle pour une meilleure compréhension de certaines branches des mathématiques. L'étude d'un système dynamique comme celui de Lorenz porte sur une équation différentielle dont le comportement limite se situe à l'intérieur d'une zone géométrique définie par une telle courbe (pour être plus précis, la zone correspond à l'adhérence d'une telle courbe).


title: Longueur d'un arc

text: Pour l'analyse de telles courbes, un équivalent de la longueur s'avère nécessaire. Or pour la courbe de Peano, la définition différentielle n'a pas de sens et celle de Jordan donne l'infini. Si le contenu 1-dimensionnel de Minkowski donne aussi l'infini, il n'est pas très compliqué de l'adapter pour trouver une réponse qui a du sens. Si "P" désigne l'ensemble d'arrivée de la courbe de Peano : formula_52


title: Longueur d'un arc

text: Ici, "P" désigne l'ensemble des points à distance inférieure à ε de "P". L'astuce a consisté à diviser le rapport, non pas par le volume d'une boule ("n" – 1)-dimensionnelle, mais ("n" - 2)-dimensionnelle. Pour une nappe de classe "C" et de dimension 2, le contenu correspond à la mesure de la surface. Pour l'attracteur de Lorenz ou le flocon de Koch, aucun entier "k" ne permet de définir un contenu ("n – k")-dimensionnel qui ne soit ni 0 ni l'infini. En revanche, il est possible d'utiliser une définition du volume d'une boule de dimension formula_53 qui fasse sens, même si ζ n'est pas un entier :


Longueur d'un arc


title: Longueur d'un arc

text: Ici Γ désigne la fonction gamma. Le contenu de Minkowski se généralise ainsi à des "dimensions non entières". Cette dimension, qui permet de donner un sens à la "longueur" d'un arc, est appelée dimension de Hausdorff.


title: Jan Åge Fjørtoft

text: Jan Åge Fjørtoft, né le à Ålesund (Norvège), est un footballeur norvégien, qui évoluait au poste d'attaquant au Rapid Vienne et en équipe de Norvège.


title: Jan Åge Fjørtoft

text: Fjørtoft a marqué vingt buts lors de ses soixante-et-onze sélections avec l'équipe de Norvège entre 1986 et 1996.


title: Jan Åge Fjørtoft

text: Jan Åge Fjørtoft a évolué dans quatre différents championnats européens (Norvège, Autriche, Angleterre et Allemagne). Il est l'attaquant le plus capé en équipe de Norvège derrière Tore André Flo.


title: Inguna Butane

text: Inguna Butane née le , à Riga (Lettonie), est un mannequin letton.


title: Inguna Butane

text: Inguna Butane commence sa carrière en 2003, en défilant pour Fendi. L'année suivante, elle est l'égérie publicitaire de Armani Jeans.


title: Inguna Butane

text: En 2005, elle pose en couverture de "Vanity Fair", "Harper's Bazaar Russie", "L'Officiel" russe et du supplément "beauté" de "Vogue Italia". Elle pose pour Dolce&Gabbana, sous l'objectif de Steven Meisel.


title: Inguna Butane

text: En 2006, elle devient l'égérie de Bottega Veneta et Yves Saint Laurent Beauté. Elle apparaît aussi dans une publicité de Carolina Herrera, et défile pour Alexander McQueen et BCBG Max Azria. Elle est en couverture de "Vogue Deutschland" et dans des éditoriaux de "Harper's Bazaar" et "Allure".


title: Inguna Butane

text: En 2007, elle défile pour Michael Kors, Yohji Yamamoto, Gucci, Versace, Oscar de la Renta, Ralph Lauren Zac Posen, Anne Valérie Hash, Christian Dior, John Galliano, Valentino et Viktor & Rolf. Elle pose pour les marques Escada et Brooks Brothers, ainsi que pour les magazines "Harper's Bazaar" et "Vogue España".


title: Inguna Butane

text: En 2008, elle fait la publicité de . Elle défile pour Michael Kors, Chanel, Christian Dior, Elie Saab, Valentino et Victoria's Secret. Elle apparaît dans des éditoriaux de "Marie Claire", "Dazed & Confused" et "Allure".


title: Inguna Butane

text: En 2009, elle pose pour les marques Furla et et pour le magazine "Revue des Modes". Elle est en couverture du supplément bijoux de "Vogue España". Elle défile pour Chanel.


title: Inguna Butane

text: En 2010, elle quitte son agence Women Management pour signer avec Marilyn Agency. Elle est dans un éditorial de "Vogue Mexico".


title: Inguna Butane

text: En 2011, elle défile pour Bottega Veneta. Elle pose pour les magazines "Vogue Mexico", "Velvet" et "Harper's Bazaar".


title: Inguna Butane

text: En 2012, elle fait la publicité de Orofluido et J.Crew. Elle est en couverture de "Mojeh".


title: Inguna Butane

text: En 2013, elle pose pour J.Crew et . Elle fait la couverture de "Vogue España", et est dans un éditorial de "S Moda for El País".


title: Inguna Butane

text: En 2014, elle est le visage du parfum "Femme" de Vince Camuto. Elle pose pour les magazines "Revue des Modes" et "Harper's Bazaar Spain".


title: La Cité des chats

text: La Cité des chats ("Maocheng ji" 貓城記) est un roman de science-fiction de l'écrivain chinois Lao She, publié en 1932.


title: La Cité des chats

text: Le roman est une contre-utopie satirique qui décrit les aventures d’un astronaute chinois dont l’avion s’échoue lors de son arrivée sur Mars. Il se retrouve alors seul sur la planète où il rencontre des autochtones aux apparences félines, les habitants de l’un des vingt pays de l’astre.


title: La Cité des chats

text: Derrière la description de cette société martienne, la critique acerbe des structures sociales de la vieille Chine n’est guère cachée. Les hommes-chats sont des êtres avides et fourbes qui n’hésitent pas à s’entretuer pour de l’argent et qui fument des substances narcotiques. Les intellectuels se comportent comme des animaux et considèrent les femmes comme des jouets, pendant que les riches s’intéressent d’abord à augmenter le nombre de leurs concubines. Les jeunes imitent les mauvaises habitudes des étrangers, croyant que tout ce qui vient de l’étranger est bon. L’empereur, pour sa part, contrôle la nation entière alors que le peuple ne jouit d’aucun droit, et les révolutionnaires ne font la révolution que pour la forme. Malgré la peur généralisée d’une invasion étrangère, personne n’a le courage d’y résister au moment où elle survient réellement, même si les agresseurs ne sont que des « nains » (allusion à l'expansion japonaise des années 1930).


title: La Cité des chats

text: Lorsque le pays est envahi une nouvelle fois par un autre ennemi, les hommes-chats se disputent entre eux, et contribuent ainsi au génocide total de leur peuple. Après être devenu témoin de l’annihilation complète du pays des chats, notre Terrien obtient une place à bord d’un avion d’exploration français et retourne dans sa patrie qu’il qualifie de « digne, glorieuse et libre ».


title: Tarbelles

text: Les Tarbelles ("Tarbelli" en latin) étaient un peuple aquitain (proto-basque) centré sur Aquae Tarbellicae (Dax). Situés sur les bords de l'océan Atlantique, ils occupaient un territoire qui va aujourd'hui du sud des Landes, au Pays basque français actuel, de la Chalosse, aux vallées de l'Adour, des gaves de Pau et d'Oloron.


title: Tarbelles

text: Leur capitale était Dax, anciennement "Aquae Tarbellicae", située dans ce qu'Ausone décrivait comme « ces contrées où mugit le peuple des Tarbelles ». Ils sont probablement les ancêtres les plus proches et les plus directs des modernes Basques d'Aquitaine ou Basques du nord.


title: Tarbelles

text: Les Tarbelles durent être un des premiers peuples connus de toute l'Aquitaine protohistorique, parce qu'ils se trouvaient sur la côte, et les premiers placés sur la route des navigateurs phéniciens.


title: Tarbelles

text: La "civitas" des Tarbelles est une des premières structures politiques connues de l'aire historique basque. Sans doute anciennement et solidement établis, les Tarbelles étaient considérés au par les Romains comme le peuple le plus puissant de l"'Aquitania" (la "Novempopulania" du Bas-Empire) et de la région avec les Vascons.


title: Tarbelles

text: À l'époque de la conquête romaine (milieu du ), ils plusieurs groupes aquitains : les Cocosates des actuelles Landes centrales, les Aturenses de l'Adour moyen (Aire-sur-Adour) ou Tarusates de la vallée de la Midouze (Tartas), , les Iluronenses du Gave d'Oloron, les Beneharni ("Pathiciani, Ptiani") du Gave de Pau (Béarn) et probablement les Bigerri de la haute vallée de l'Adour (Bigorre) mais la question a été discutée.


title: Tarbelles

text: Publius Crassus, lieutenant de Jules César, entreprit la conquête de l'Aquitaine en 56 av. J.-C.. Ce fut la célèbre bataille, suivie du siège de Sos où le roi des Sotiates, Adiatuanos capitula en 55 av. J.-C.. L'intervention des Cantabres (Celtes) au côté des Aquitains ne suffit pas à contenir l'expansion de l'Empire romain. Des combattants qui formaient l'armée des Aquitains et des Cantabres, seul un quart réussit à s'en échapper. En 51 av. J.-C., Jules César qui visite l'Aquitaine y reçoit les signes de soumission mais en 49/48 av. J.-C., Octave fait face à la révolte des Aquitains et c'est en -28/27 av. J.-C. que Valerius Messalla triomphe à nouveau des Tarbelles adossés à la montagne des Pyrénées. La Tour d'Urkulu serait peut-être un trophée marquant cette victoire.


title: Tarbelles

text: Sous l'Empire il ne semble pas y avoir eu de troupe auxiliaire tarbelle proprement dite, comme ce fut le cas pour les Vascons par exemple. Les Tarbelles devaient donc intégrer des troupes "aquitaines" comme la "Cohors I Aquitanorum".


title: Tarbelles

text: La voie romaine "Ab Asturica Burdigalam" traversait le territoire des Tarbelles (axe nord-sud) et passait par la capitale "Aquae Tarbellicae", rebaptisée "Aquae Augustae".


title: Tarbelles

text: Au , lors de la division par l'administration romaine de l'Aquitaine en trois provinces, le territoire des Tarbelles fit partie de la Novempopulanie "(Aquitania Tertia)". Le légat Verus, auteur de la stèle romaine commémorative d'Hasparren oú il indique son action en faveur de la création de la Novempopulanie, pourrait être lui-même d'origine tarbelle.


title: Tarbelles

text: Le développement postérieur des cités proto-basques des Beneharni et des Iluronenses, vallées aujourd'hui béarnaises, limita quelque peu le domaine des Tarbelles.


title: Tarbelles

text: Les auteurs latins du Bas-Empire romain Arborius et Ausone étaient respectivement fils et petit-fils d'Aemilia Corinthia Maura, d'origine tarbelle et d'un sang illustre .


title: Tarbelles

text: À la fin de l'Empire, et d'après la "Notitia Dignitatum", il semble que la capitale Aquae Tarbellicae ait perdu de l'importance au profit de Lapurdum (Bayonne), siège du tribun de la Cohorte de Novempopulanie ("In provincia Novempopulana tribunus cohortis Novempopulanæ in Lapurdo").


title: Tarbelles

text: Les Tarbelles disparaissent avec les invasions barbares et la chute de l'Empire. Leurs voisins Vascons prennent alors une place prépondérante dans la région qui prend le nom de Vasconie.


title: Tarbelles

text: Les limites de la civitas des Tarbelles ont été globalement conservées par le diocèse de Dax et celui de Bayonne, qui s'en est détaché, jusqu'a la Révolution française.


title: Tarbelles

text: Au , Pline les surnomme "Tarbelli quatuorsignani" (« Tarbelles aux quatre signes, enseignes », étendards ou peuples) indiquait que ceux-ci devaient fédérer quatre tribus.


title: Tarbelles

text: Certains auteurs voient dans le radical "*tarb-/*tarv-" le mot gaulois taruos qui veut dire taureau (X. Delamarre, dictionnaire de la langue gauloise, Ed. Errance). Le gentilice Tarbelli signifierait alors les petits taureaux. Cette thèse est volontiers soutenue par les Dacquois qui défendent une tradition taurine.


title: Tarbelles

text: De même, on est tenté de rapprocher leur nom de celui de la ville de Tarbes, mais le nom antique de cette cité est "Turba" et elle appartenait au peuple des Bigerriones, au mieux clients des Tarbelles.


title: Sal Mineo

text: Sal Mineo, de son vrai nom Salvatore Mineo Jr., est un acteur américain né le à New York, dans le quartier du Bronx, et mort assassiné le à West Hollywood (Californie).


title: Sal Mineo

text: Sal Mineo est le fils d'immigrés italiens originaires de Sicile. Arrêté à l'âge de dix ans pour vol, on lui donne deux choix : la prison ou l'école d'acteurs. Il choisit le second. Il fait ses débuts sur scène dans "La Rose tatouée" de Tennessee Williams, qu'il crée à Broadway en 1951 avec Maureen Stapleton et Eli Wallach. Il reprend l'année suivante le rôle du jeune prince Chulalongkorn dans la comédie musicale "Le Roi et moi" avec Yul Brynner.


title: Sal Mineo

text: Il accède à la célébrité en 1955, alors qu'il n'a que seize ans, grâce au rôle de John « Plato » Crawford dans "La Fureur de vivre", aux côtés de Natalie Wood et de James Dean. Sa prestation lui vaut une nomination à l'Oscar du meilleur acteur dans un second rôle. Il retrouve Dean l'année suivante dans "Géant". En 1957, il s'essaye à une carrière de chanteur de rock 'n' roll. Il sort plusieurs titres de 1957 à 1959 dont deux ("Start Movin’" et "Lasting Love") restent plusieurs semaines dans le Top 40 américain.


title: Sal Mineo

text: Dans les années 1960, il tourne dans des films à grand spectacle comme "Exodus" (1960), "Le Jour le plus long" (1962), "Les Cheyennes" (1964) et "La Plus Grande Histoire jamais contée" (1965). Après avoir été officiellement fiancé à l'actrice Jill Haworth, sa partenaire dans "Exodus", Sal Mineo est un des premiers acteurs américains à avoir assumé ouvertement son homosexualité à la fin des années 1960, ce qui aura freiné (selon certains) une carrière prometteuse. Il se tourne alors vers la télévision. En 1969, il met en scène et joue la pièce très controversée du dramaturge canadien John Herbert, "Fortune and Men's Eyes", un huis-clos carcéral comportant des scènes de nudité et de rapports sexuels entre hommes.


title: Sal Mineo

text: Le , Sal Mineo est assassiné en rentrant chez lui, sans motif apparent, d'un simple coup de poignard. John Lennon offre une récompense à qui trouvera le meurtrier. Un vagabond nommé Lionel Ray Williams est arrêté. Toxicomane, à la recherche d'argent, il a tué au hasard sans savoir à qui il s'attaquait. À l'issue du procès en 1979, il est reconnu coupable et condamné à la prison à vie. Il sera mis en liberté conditionnelle en 1990.


title: Sal Mineo

text: En 2011, il est interprété par Val Lauren dans le film biographique "Sal" de James Franco.


title: Sal Mineo

text: Son frère aîné, Michael Mineo, est apparu dans quelques films.


title: Communauté de communes du pays de Valençay

text: La (CCPV) est une ancienne structure intercommunale française, située dans le département de l'Indre, en région Centre-Val de Loire.


text: Le , elle a fusionné avec la communauté de communes du pays d'Écueillé pour former la communauté de communes Écueillé - Valençay.La communauté de communes se trouvait dans le nord du département et disposait d'une superficie de .


text: Elle s'étendait sur les 10 communes du canton de Valençay.


text: Les communes de la CDC étaient : Faverolles-en-Berry, Fontguenand, Langé, Luçay-le-Mâle, Lye, Valençay , La Vernelle, Veuil, Vicq-sur-Nahon et Villentrois.


text: Les compétences de la communauté de communes étaient :


title: À plein temps (feuilleton télévisé)

text: À plein temps est un téléroman québécois en de diffusée entre le et le à la Télévision de Radio-Canada et rediffusé la semaine suivante à Radio-Québec.


title: À plein temps (feuilleton télévisé)

text: L'action se déroule dans un quartier populaire de Montréal. La particularité de ce téléroman est que certains de ses personnages sont joués par des acteurs et que d'autres le sont par des marionnettes grandeur nature. À l'origine, seuls les personnages adolescents et enfants de la série devaient être incarnés par des marionnettes. Mais ensuite, les créateurs de la série ont pris la décision de faire incarner des personnages adultes par des marionnettes. et aussi :


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La Compagnie des mines de l'Escarpelle est une compagnie minière qui a exploité la houille à Roost-Warendin, Leforest, Pont-de-la-Deûle, Dorignies, Courcelles-les-Lens et Auby dans le Bassin minier du Nord-Pas-de-Calais, à cheval dans le département du Nord et du Pas-de-Calais. M. Soyez établit un sondage le dans le hameau de l'Escarpelle à Roost-Warendin, dans le but de découvrir la houille au-delà de la concession d'Aniche. Le sondage étant un succès, une société est fondée le , elle effectue sa demande en concession le et commence le fonçage de sa première fosse la même année à Roost-Warendin.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La fosse commence à produire en 1850. Le fonçage de la fosse 2 commence en mai à Leforest, dans le Pas-de-Calais. Un décret en date du accorde la concession de l'Escarpelle sur une étendue superficielle de . Les venues d'eau sont un problème majeur pour le fonçage des puits, ainsi, la fosse 2 n'est fonctionnelle qu'en . La fosse 3, commencée à Pont-de-la-Deûle, un hameau de Flers-en-Escrebieux, en , n'entre en exploitation qu'en . Il en va de même pour la fosse 4 - 4 bis, dont le fonçage commencé le à Dorignies, hameau de Douai, n'est rendu possible qu'avec la première utilisation dans le Nord du procédé Kind-Chaudron. L'exploitation n'y commence qu'en 1871 - 1872. La fosse 5, située à Dorignies comme la précédente, commencée en 1875, n'est productive qu'en 1879. En revanche, il faut moins de deux ans pour que la fosse 6, ouverte en 1884 à Leforest, soit productive.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: En 1880, la Compagnie de l'Escarpelle rachète la Société de Courcelles-lez-Lens et sa fosse, commencée en . Elle devient la fosse 7. Un puits 7 bis y est adjoint en 1902 pour une mise en production en 1906. Le puits 8, commencé à Auby en , n'entre en production qu'en 1910. La fosse 9, commencée à Roost-Warendin en 1909 entre en service la même année. La Première Guerre mondiale entraîne la destruction de toutes les installations de surface, celles-ci sont reconstruites, dans un style parfois complètement différent, comme aux fosses 2 et 4 - 4 bis. La Compagnie commence son dernier siège en 1923 au nord de Leforest. À la mise en exploitation de la fosse 10, la fosse 6 assure l'aérage.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La Compagnie des mines de l'Escarpelle est nationalisée en 1946, et intègre, avec la Compagnie des mines d'Aniche, le Groupe de Douai. La fosse devient au fil des années la plus moderne de l'ancienne compagnie, et est la dernière à fermer dans le nord, et l'avant dernière du bassin minier. Les dernières berlines remontent le , quelques semaines avant celles des fosses 9, 9 bis et 10. Bien que la majorité des installations aient été complètement détruites, et les terrils exploités, il subsiste le chevalement du puits , sans son faux-carré, des bâtiments répartis sur les sites des anciennes fosses 3, 5, 7 - 7 bis, 8, 9 et 10. Des terrils, certains comme ceux de la fosse - 7 bis, et celui de la fosse , ont été entièrement exploités, mais les terrils des fosses 1 et 10 ont été préservés.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le , M. Soyez, de Cambrai, établit un sondage à l'Escarpelle, près de Douai, en vue de déterminer le prolongement du bassin houiller à l'ouest de la concession d'Aniche.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Dans un mémoire à l'appui d'une demande, qu'il adresse en 1861 au Gouvernement, d'une récompense pour avoir découvert le prolongement du bassin houiller au-delà de Douai, M. Soyez explique les considérations qui l'ont conduit à entreprendre cette recherche. Il a, dit-il, depuis longtemps étudié et suivi les travaux de recherches exécutés précédemment, qui ont constaté l'existence du terrain dévonien au sud de Douai, à Esquerchin, et le calcaire carbonifère, au nord, à Vred, et il en a conclu que le bassin houiller, s'il se prolonge au-delà des exploitations d'Aniche, doit nécessairement passer entre Esquerchin et Vred.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: M. Soyez, avec un compas, partageant par égale portion le terrain compris entre ces deux points, détermina l'axe ou le point de centre, qui a été l'Escarpelle au nord-ouest de Douai. Cette simple opération suffit pour démontrer que le bassin houiller dévie de sa direction et continue de l'est à l'ouest, en se portant de 30 à 40° plus au nord. Cette déviation a causé l'erreur dans laquelle sont tombés tous les explorateurs qui croyaient toujours à la direction de l'est à l'ouest.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La demande et le mémoire de M. Soyez ont été renvoyés aux Ingénieurs des Mines, qui ont conclu qu'il n'y avait pas lieu d'y donner suite. Ils ont eu connaissance de la proposition soumise en 1845 au conseil d'administration des mines de Vicoigne, dont M. Soyez est membre, d'entreprendre des recherches pour trouver le prolongement du bassin houiller au-delà de Douai.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Il a été attesté officiellement, par les Administrateurs de la Compagnie de Vicoigne, que M. de Braquemont a fait connaître au conseil d'administration de la Compagnie que, dans son opinion, le bassin houiller du Nord ne finit point à Douai, et qu'il y a lieu, dans l'intérêt de la Compagnie de Vicoigne, ne possédant que des charbons maigres, de faire des recherches sur le prolongement du bassin houiller ; que cette indication a été donnée par M. dé Braquemont à une époque qui remonte à 1845, ainsi qu'il est rappelé dans un rapport de ce directeur. en date du ; qu'en effet, à la date du , il a été posé au Conseil la question de savoir si ce n'est pas le cas de procéder aux recherches conseillées par son ingénieur, proposition qui a été ajournée, reprise plus tard et enfin mise à exécution, ce qui a donné lieu à la concession de Nœux, obtenue par la Compagnie de Vicoigne.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Quoi qu'il en soit, M. Soyez, qui a été l'un des fondateurs de la Société d'Esquerchin en 1837, qui a pris une part active aux recherches de Vicoigne en 1838, et est devenu l'un des Administrateurs de la Société ayant obtenu la concession de ce nom, M. Soyez, après s'être démis de ses fonctions, a installé, au milieu de l'année 1846, un sondage à l'Escarpelle. Ce sondage atteint le terrain houiller à , puis traverse deux couches de houille qui ont été constatées officiellement par les Ingénieurs de l'État les et .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le sondage de l'Escarpelle est certainement le premier travail où la découverte de la houille au-delà de Douai a été constatée officiellement. Le sondage de Madame Declercq dans son parc d'Oignies a sans doute pénétré dans le terrain houiller depuis plusieurs années, mais la découverte de la houille ne paraît pas y avoir précédé de beaucoup celle faite à l'Escarpelle, ou du moins elle n'y a pas été constatée par les Ingénieurs de l'État.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Il ne paraît pas probable non plus qu'en 1845 et 1846, MM. de Braquemont et Soyez aient eu connaissance de la rencontre du terrain houiller à Oignies. Madame Declercq et M. Mulot ont tenu secrète cette rencontre, et à moins de quelques indiscrétions d'ouvriers, auxquelles on ne devrait ajouter que peu de foi, la nouvelle ne s'en est pas répandue. L'idée première de rechercher la houille au-delà de Douai, là où elle a été réellement découverte, appartient à la Compagnie des Canonniers de Lille qui, dès 1835, a établi un sondage sur Flers, non loin du fort de Scarpe. Ce sondage est arrivé à de profondeur, dans le tourtia, lorsqu'un éboulement est survenu. Le travail a été abandonné, et la Compagnie, renonçant à ses recherches des environs de Douai, les reporte à Marchiennes où elle n'obtient pas plus de succès. En 1850, la Compagnie de Marchiennes, qui a repris la suite des recherches de la Compagnie des Canonniers, vient s'établir de nouveau près du fort de Scarpe. Le sondage qu'elle a commencé a été arrêté à , à la suite de l'établissement de la concession de l'Escarpelle.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La Société de Douai et Hasnon a aussi, en 1838, établi un sondage à Auby. Il a été abandonné à , dans la craie, à la suite d'un accident. Cette Société reporte ses recherches à Hasnon, où elle découvre la houille et obtint une concession qui ne lui a guère été profitable. Sans les accidents survenus pendant l'exécution des sondages de Flers et d'Auby, les Compagnies des Canonniers, de Douai et Hasnon auraient certainement découvert la houille, et, par suite, le nouveau bassin du Pas-de-Calais, dix ans avant la date à laquelle il a été réellement découvert.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le sondage de l'Escarpelle n'est encore arrivé qu'à , et est encore dans la craie, lorsque, le , M. Soyez constitue, avec divers propriétaires de Cambrai, une Société ayant pour objet la recherche et, s'il y a lieu, l'exploitation des mines de charbon de terre dans les départements du Nord et du Pas-de-Calais, et spécialement sur le territoire des communes désignées dans la déclaration faite, par ledit M. Soyez, à la Préfecture du Nord.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Cette Société prend la dénomination de Compagnie charbonnière de la Scarpe, titre qu'elle change pour prendre celui de la concession qu'elle espère obtenir. Elle était purement civile. Son siège est à Cambrai. M. Soyez fait apport, sauf remboursement de frais, des droits pouvant résulter du sondage qu'il a entrepris, du matériel dudit sondage et des droits de priorité découlant de ses déclarations à la Préfecture du Nord.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le capital est fixé à , représenté par de . Tout actionnaire a le droit de quitter la Société après versement de et en abandonnant ses mises et ses droits. Les statuts renferment les autres dispositions suivantes : les actions sont nominatives, les actions 1 à sont dès actuellement souscrites. Sur ces actions, 800 (1 à 800) sont affranchies de tous appels de fonds et inaliénables jusqu'au moment où la Société aura obtenu la concession ; mais après cette obtention, elles sont passibles des appels de fonds.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le Conseil d'administration a le droit de retraire les actions cédées, moyennant le remboursement en principal et accessoires du prix porté en l'acte de vente. Lorsque la Société aura obtenu une concession, l'Assemblée générale se réunira, chaque année, à Cambrai. Pour en faire partie, il faudra être propriétaire de dix actions. Les attributions de l'assemblée générale sont d'entendre les comptes, de nommer les administrateurs, etc. La Société sera gérée par un conseil d'administration composé de six membres nommés pour huit ans, et possesseurs d'au moins dix actions. Leur remplacement a lieu par un vote de l'assemblée générale. Les pouvoirs du Conseil d'administration sont très étendus. Il est institué, pour vérifier les comptes, un comité de surveillance composé de trois membres, nommés pour huit ans par l'assemblée générale. Le de chaque année, les écritures seront arrêtées et l'inventaire dressé par les soins de l'administration. Elle fixera le chiffre des dividendes.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le capital primitif d'un million et demi a été insuffisant pour amener l'entreprise de l'Escarpelle à une marche régulière et productive. L'exploitation des charbons secs des deux premières fosses est peu fructueuse, et il faut, de toute nécessité, en ouvrir une troisième sur le gisement de charbon gras nouvellement découvert à Dorignies.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: On songe en 1855 à se procurer un nouveau capital par un emprunt ; mais le crédit de la Compagnie ne lui permet de le réaliser que jusqu'à concurrence de . Alors le conseil d'administration, d'accord avec les membres du Conseil de surveillance et les délégués désignés dans la dernière Assemblée générale, propose aux actionnaires de doubler le capital social en émettant nouvelles de . L'Assemblée générale du adopte cette proposition et porte le capital de la Société à trois millions, représenté par de .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Les nouvelles ont été réservées en priorité aux anciennes. Les versements sur ces actions se sont effectués de la manière suivante : cent francs en souscrivant, cent francs six mois après, puis successivement cinquante francs de six mois en six mois.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Aussitôt après la rencontre du terrain houiller et la découverte de la houille au sondage de l'Escarpelle, la Compagnie de la Scarpe présente, le , une demande en concession sur . Cette demande a été accueillie, au moins en partie, et un décret du accorde aux sieurs Soyez, Douai, Deleau, Tourtois, Taverne et Baralle, représentants de la Compagnie de la Scarpe, sous le nom de concession de l'Escarpelle, une superficie de . C'est la première concession qui ait été accordée au-delà de Douai.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Lorsque le sondage du moulin d'Auby, , a démontré la présence du calcaire et porté la Compagnie Douaisienne à considérer que le terrain houiller devait s'étendre beaucoup au nord, et à entreprendre des recherches à Ostricourt, la Compagnie de l'Escarpelle s'empressa d'ouvrir un sondage à Moncheaux, , et de demander, le , une extension de sa concession sur . Sa demande a été mise aux affiches en même temps qu'une demande pareille de la Compagnie de Dourges. Ces deux Sociétés se concertent plus tard entre elles dans un but commun, celui d'évincer la Compagnie Douaisienne et de se partager le terrain que celle-ci demandait en concession. Mais leur demande a été repoussée. En sondages et frais de toute sorte pour la concession, la Compagnie a dépensé .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: En 1847, la Compagnie de la Scarpe commence trois nouveaux sondages : à la Blanche-Maison sur Auby, à Roost-Warendin et à Flers ; deux constatent l'existence de la houille et l'autre celle du terrain houiller. En même temps, elle ouvre une fosse à l'Escarpelle, près de son sondage . Le passage du niveau a été relativement assez difficile : on a d'abord eu à traverser de terrains tertiaires ; puis après, dans la craie, on a eu à épuiser jusqu'à d'eau par minute, avec deux pompes de de diamètre, mises en mouvement à l'aide d'une machine à balancier de . Cette fosse atteint le terrain houiller à , et le , à la profondeur de , une couche de houille sèche tenant 15 % de matières volatiles. Elle commence à produire une faible quantité de en 1850. Mais les veines sont irrégulières, le charbon menu et terreux, et, jusqu'en 1857, sa production annuelle reste comprise entre 200 et . En profondeur, les terrains sont devenus plus réguliers et la qualité du charbon s'est améliorée. Cependant, cette fosse n'a fourni jusque 1880 qu'une extraction annuelle faible. En , une deuxième fosse , est ouverte à Leforest. Elle tombe également sur le faisceau des houilles sèches. Cette fosse entre en exploitation à la fin de 1853 et produit pendant l'exercice 1853-54, puis successivement en 1854-55, en 1855-56, en 1856-57 et en 1857-58.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Mais comme à la fosse , les terrains sont accidentés. En 1854, la Compagnie exécute divers sondages en vue de déterminer l'emplacement d'une nouvelle et troisième fosse, Dans l'un d'eux, , situé à Dorignies, elle rencontre de belles couches de houille grasse, et à la fin de 1855 elle ouvre une fosse à proximité de ce sondage. Son emplacement est choisi entre le chemin de fer du Nord (ligne Paris-Nord - Lille) et le canal de la Deûle, dans une situation magnifique au point de vue des débouchés, mais en plein marais. Les difficultés du passage du niveau ont été très grandes. Cependant elles ont habilement été surmontées et, après douze mois de travail, le puits a atteint la profondeur de .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Les deux autres fosses ont été ouvertes au diamètre de trois mètres ; celle de Dorignies a été ouverte au diamètre de quatre mètres. Elle est munie d'une machine horizontale à deux cylindres de , tandis que les deux premières fosses n'ont que des machines de trente chevaux.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La fosse entre en exploitation en 1858, et dès 1860 la production de la Compagnie passe de à , puis à en 1861, en 1862, en 1863. L'exploitation de la fosse est fructueuse dès l'origine. Aussi dès que ce gisement a bien été connu, en 1865, la Compagnie songe à ouvrir une nouvelle fosse au sud, sur le prolongement des couches exploitées par la Compagnie d'Aniche à la fosse Gayant. Le creusement de ce puits présente des difficultés excessives.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: En 1865, un premier puits est creusé à travers les sables mouvants, au moyen d'une tour en maçonnerie qui s'arrête dans l'argile plastique à . Il est continué par le système de croisures jointives. La quantité d'eau augmente avec l'approfondissement, et bientôt quatre pompes de cinquante centimètres de diamètre sont devenues insuffisantes ; on les remplace d'abord par deux, puis par quatre pompes de de diamètre et on a atteint la tête des marnes à seize mètres, lorsque, le , le balancier de la machine se brise.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: On se décide à ouvrir un deuxième puits à côté du premier, et en faisant fonctionner, à l'aide de dix générateurs de cinquante chevaux, deux machines avec quatre pompes de cinquante et quatre de de diamètre à huit et dix coups par minute, on parvient à de profondeur ; mais on n'a pas pu aller au-delà. On tire jusqu'à d'eau par minute, et on fait monter la vapeur à sept atmosphères et demies. D'une part, le public prétend qu'on inondait la vallée de la Scarpe, et, d'autre part, qu'on assèche les puits de la ville de Douai. Enfin, d'après les indications fournies par un sondage et par la fosse , on ne peut compter, avant la profondeur de , avoir des terrains solides permettant d'établir des picotages susceptibles de retenir les eaux. Il a été déjà dépensé , dont rien que pour le charbon consommé par les machines.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Dans cette situation, la Compagnie de l'Escarpelle a eu recours à une Commission composée de Messieurs de Bracquemont, Glépin et Vuillemin, afin de savoir quel est le meilleur moyen à employer pour surmonter les difficultés que présente le creusement de la fosse . Ces Messieurs ne mettent pas en doute la possibilité d'achever le creusement du puits par le procédé ordinaire, mais ils établissent par des calculs qu'il faudrait, pour atteindre la profondeur de , développer avec deux machines d'épuisement un travail utile de plus de mille chevaux, installer dix nouveaux générateurs de soixante chevaux, et dépenser au moins , dont en charbon, pour parvenir par un seul puits à la base du niveau, ; enfin, que doivent être nécessaires pour arriver à cette profondeur de .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Mais les inconvénients de ce mode de travail leur font conseiller à la Compagnie de l'Escarpelle de ne pas l'employer, et d'avoir recours, pour la continuation de leur fosse, au système Kind-Chaudron, alors encore peu connu, ou au système de l'air comprimé. En employant le système Kind-Chaudron, il leur paraît nécessaire d'exécuter deux puits, par suite de la réduction obligée du diamètre à . L'exécution de ces deux puits jusqu'à coûterait et exigerait .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le fonçage jusqu'à par l'air comprimé, obligerait, pour réduire la pression à deux atmosphères effectives, de continuer l'épuisement dans un des puits et à maintenir le niveau de l'eau à quinze ou vingt mètres de profondeur au-dessous du sol. Une fois les eaux retenues par des picotages dans l'un des puits, on continuerait son approfondissement par les procédés ordinaires, au diamètre de quatre mètres jusqu'à . La dépense ne serait que de environ, et il ne faudrait que onze mois pour arriver à .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Malgré la différence de dépenses et de temps que paraît présenter le système de l'air comprimé, deux membres de la Commission ont été d'avis que la Compagnie de l'Escarpelle devait lui préférer le système Kind-Chaudron. Ils motivent cet avis, d'abord, sur les complications qu'offre l'emploi de l'air comprimé simultanément avec l'épuisement dans l'un des puits jusqu'à ; puis, sur la nécessité où l'on se trouverait ensuite d'établir un autre attirail d'épuisement pour atteindre ; enfin, sur l'influence funeste qu'exercerait l'emploi de l'air comprimé sur la santé des ouvriers, et l'incertitude où l'on se trouve qu'il fallût en continuer l'emploi au-delà de la profondeur de .


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La Compagnie adopte l'avis de la majorité de la Commission, et a eu à se féliciter de l'application du système Kind-Chaudron. D'après un Mémoire publié par M. de Boisset dans les Annales des Mines, tome XVI, , de 1869, les travaux d'installation du système Kind-Chaudron ont commencé fin , et le mars suivant, le forage est en cours. À la fin de , le forage au grand trépan est parvenu à ; on descend le cuvelage, et, dès la fin de 1868, le niveau est complètement maintenu. La dépense ne s'élève qu'à , et, en déduisant la valeur du matériel du sondage, à seulement.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: La fosse , composée de deux puits, est entrée en exploitation en 1872. Elle a découvert un gisement riche et régulier de houille grasse, et sa production y a bientôt atteint un chiffre élevé, dépassant celui des trois autres fosses réunies. En même temps, le prix de revient y est très-bas. Aussi, cette fosse a modifié d'une manière très favorable la situation de la Compagnie de l'Escarpelle. Cette Compagnie a ouvert, en 1875, sur le même gisement, et par le procédé Kind-Chaudron, un puits . Son installation est terminée peu avant 1880, et il commence à entrer en exploitation.


title: Compagnie des mines de l'Escarpelle

text: Le creusement, l'installation et l'outillage des cinq fosses de l'Escarpelle ont coûté pour la fosse , pour la fosse , pour la fosse , pour la fosse - 4 bis et pour la fosse , soit un total de . La moyenne du prix coûtant d'une fosse est de .


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text: Un sondage , exécuté en 1854, près du Moulin d'Auby, tombe contre toutes prévisions sur le calcaire carbonifère et y pénètre, sans en sortir, de . M. Vuillemin tire, de l'observation de ce fait anormal, la conclusion que la formation houillère doit se relever au nord et s'étendre au-delà du périmètre de la concession de l'Escarpelle. Les recherches d'Ostricourt, suivies plus tard de celles de Carvin, de Meurchin et de Don, sont venues confirmer l'exactitude de cette conclusion, et constatent en dehors des concessions, primitivement instituées, l'existence de plus de de terrain houiller qui donnèrent lieu à l'établissement, en 1860, de cinq concessions nouvelles.


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text: En présence des recherches d'Ostricourt, la Compagnie de l'Escarpelle ne reste pas inactive. Elle ouvre en 1855 un sondage à Moncheaux, qui rencontre le calcaire carbonifère. En même temps elle réclame une extension de sa concession sur les terrains demandés par la Compagnie Douaisienne. Mais, ainsi qu'il a été dit précédemment, sa réclamation n'a pas été accueillie.


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text: En 1853, la Compagnie de l'Escarpelle est dans une situation peu favorable. Son capital est épuisé ; ses deux fosses, tombées sur des terrains accidentés, ne fournissant que des charbons secs, ne sont pas productives, et il reste beaucoup à dépenser pour rendre l'entreprise fructueuse. D'un autre côté, la Compagnie d'Aniche vient d'ouvrir une fosse (Gayant) sur les charbons gras qu'elle a découverts, près Douai, dans le voisinage de l'Escarpelle.


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text: Il est venu à la pensée de quelques intéressés de proposer une fusion avec la Compagnie d'Aniche. Des pourparlers ont eu lieu entre les Administrateurs des deux Compagnies, mais ils n'aboutissent pas. D'une part, la Compagnie de l'Escarpelle a des prétentions assez grandes ; d'autre part, la Compagnie d'Aniche possédant une immense concession, trouve que tous ses efforts et tous ses capitaux doivent se porter sur la mise en valeur de la partie de cette concession où elle vient de constater de nouvelles richesses, plutôt que de les consacrer à une autre entreprise qui se présente alors sous un aspect peu encourageant.


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text: La Compagnie de l'Escarpelle demandait trois millions de francs, payables en remboursables en trente annuités au pair, et rapportant un intérêt annuel à fixer.


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text: Quelque temps après, M. Soyez entre en pourparlers avec Messieurs Delahante pour la cession de la concession. Ceux-ci envoient M. Chatellux, Ingénieur en chef des Mines, visiter les travaux, et l'on est à peu près d'accord avec la Compagnie de l'Escarpelle pour acheter l'entreprise moyennant une somme de trois millions de francs, lorsqu'éclate la déclaration de la guerre d'Italie. Messieurs Delahante abandonnent leur projet d'acquisition, et la Compagnie de l'Escarpelle décide alors, en 1855, le doublement de son capital.


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text: Les puits de la Compagnie de l'Escarpelle sont très bien situés par rapport aux voies d'expédition de leurs produits, et il n'est pas de houillère qui ait eu moins de dépenses à faire pour se raccorder et aux lignes ferrées et aux voies navigables, et qui ait moins de frais à supporter pour l'écoulement de ses houilles. Tous ces puits sont contigus au chemin de fer du Nord et aux canaux de la Deûle et de la Scarpe, auxquels ils sont reliés par de simples voies de garage ou par des embranchements de très faible longueur.


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text: Cependant, pour se soustraire à certains péages à la Compagnie du Nord comme pour effectuer avec facilité les mélanges de ses diverses sortes de charbons, la Compagnie a créé à Dorignies un rivage, avec vastes quais d'embarquement et dépôts de houille et de bois, qui est en communication avec ses cinq puits. Les expéditions par la voie d'eau, d'après un travail de M. Micha, ont été en 1869, de , ou 42 % de l'extraction, en 1870 (25 %), en 1871 (28 %), en 1872 (23 %), en 1873 (23 %), en 1874 (25 %), en 1875 (25 %), et en 1876 (24 %).


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text: En 1872, la Compagnie de l'Escarpelle traite un marché de 50 à de charbon de la fosse , par an, pendant trois ans, au prix de la tonne, avec la Compagnie de transports de Saint-Dizier. Cette dernière installe près de ladite fosse une fabrication de coke pouvant livrer par jour. Ce traité donne lieu, dès 1873, à un procès basé sur la trop grande teneur en cendres des charbons.


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text: Sur un rapport d'experts, le tribunal de Douai condamne la Compagnie de l'Escarpelle à payer à la Compagnie de transports, d'abord une indemnité de pour trop forte teneur en cendres des charbons livrés ; puis une deuxième indemnité de pour préjudice indirect éprouvé par la Compagnie des transports, du fait de livraisons de charbons défectueux, soit, en totalité, .


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text: La Cour d'appel réduit cette deuxième indemnité à environ, et un nouveau marché de charbon de cinq ans, conclu en 1877, à , vient mettre fin à toute réclamation ultérieure, moyennant paiement, par la Compagnie de l'Escarpelle, d'une somme totale d'environ .


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text: C'est à l'Escarpelle que les morts-terrains, qui recouvrent le terrain houiller dans le bassin du Pas-de-Calais, prennent la plus grande épaisseur. Cette épaisseur varie de 216 à aux trois fosses 3, 4 et 5, près de Douai. Elle est de 154 et seulement aux fosses 1 et 2. Ces deux dernières fosses exploitent des houilles sèches à flamme courte, ne collant et ne fumant pas ou très peu, et tenant de 14 à 17 % de matières volatiles, employées avec beaucoup d'avantage pour le chauffage des chaudières à vapeur. Leur gisement, qui comprend quatorze couches, est assez irrégulier et peu productif.


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text: Les fosses 3, 4 et 5, placées au sud, exploitent des couches supérieures aux précédentes, et dont la proportion de matières volatiles va en augmentant en se dirigeant du nord au sud, et passe de 18 à 28 %. Ces houilles sont grasses, à courte flamme, bitumineuses et très convenables pour la fabrication du coke et pour la verrerie.


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text: Dirigées de l'est à l'ouest, elles forment à l'ouest un coude brusque qui les ramène au midi, puis à l'est, de sorte que la bowette sud de la fosse recoupe les veines traversées par la bowette nord du même étage. Il doit exister vers l'ouest un grand accident qui a refoulé toutes les couches de la manière qui vient d'être dite. Cependant ces couches, dans la partie exploitée par les fosses 4 et 5, présentent une régularité très grande, favorable à une production économique.