title: Notre-Dame-des-Hirondelles

text: Le titre de la nouvelle informe le lecteur sur le contexte religieux de l'œuvre : Notre-Dame-des-Hirondelles est en réalité le nom d'une chapelle. La nouvelle croise la mythologie grecque (polythéiste) et la mythologie chrétienne (monothéiste). Les nymphes, divinités de la nature, sont chassées par le moine Thérapion jusqu'à une grotte dans la montagne. Le récit comporte alors deux points de vue différents : le point de vue du moine, dont le but est d'éliminer les petites divinités païennes, qui emploiera les termes "malignes", "maudites", "créatures inutiles et nuisibles", pour désigner les nymphes, tandis que les paysans, chérissant et adorant ces "fraîches fées" les nomment plutôt "les malheureuses", "les captives", et les comparent à de "blanches colombes". Le registre pathétique du récit est marqué d'un sentiment de pitié à l'égard des nymphes mourantes au fond de la grotte. Le dénouement relève du miracle; les nymphes se métamorphosent en hirondelles. Une jeune femme, surgie de nulle part, réussit à convaincre le moine de la laisser accéder au repaire des fées. Lorsqu'elle en ressort, elle ouvre son manteau et libère des centaines de jeunes hirondelles. Puis elle demande au moine de les accueillir chaque année dans son église.


title: Notre-Dame-des-Hirondelles

text: "Notre-Dame-des-Hirondelles" a fait l'objet d'une adaptation théâtrale, mise en scène par Nicole Seiler et Fabrice Gorgerat, au Petit théâtre de Lausanne, en .


title: Sans Atout, une étrange disparition

text: Sans Atout, une étrange disparition est un roman policier pour la jeunesse de Boileau-Narcejac, paru en 1985. C'est le sixième roman de la série de huit consacrée aux aventures de Sans Atout.


title: Sans Atout, une étrange disparition

text: Sylvaine, une jeune adolescente de 12 ans, vit avec sa mère et son beau-père qu'elle déteste. Un jour, elle reçoit une gifle de ce dernier. Alors elle décide de fuguer pendant que ses parents sont partis manger chez des amis. Avant de partir, elle laisse un mot sur leur lit.


title: Sans Atout, une étrange disparition

text: L'adolescente se rend chez un ami, François, et lui demande d'aller reprendre le mot laissé chez elle. François y va, mais au moment de repartir, il voit de la lumière sous la porte de l'atelier du beau-père de Sylvaine. Il décide de l'éteindre. Quand il ouvre la porte, il voit un homme effondré, mort, sur son bureau !À Paris où habitent la famille Vaubercourt et la famille de François.


title: Sans Atout, une étrange disparition

text: À Kermoal, le lieu de vacances au bord de la mer des deux familles.


title: Sans Atout, une étrange disparition

text: Le récit se déroule à l'époque contemporaine, au début de l'été, pendant les vacances scolaires.


title: Sans Atout, la vengeance de la mouche

text: Sans Atout, la vengeance de la mouche est un roman policier pour la jeunesse de Boileau-Narcejac, publié en 1990. C'est le huitième et dernier roman de la série consacrée aux aventures de Sans-Atout.


title: Sans Atout, le cadavre fait le mort

text: Sans Atout, le cadavre fait le mort est un roman policier pour la jeunesse de Boileau-Narcejac, paru en 1987. C'est le septième roman sur huit consacré aux aventures de Sans-Atout.


title: Sans Atout, le cadavre fait le mort

text: Le jeune François passe ses vacances de Toussaint chez son oncle Robert, un professeur qui habite à Saint-Vincent-la-Rivière, un petit village près de Paris. Robert est responsable du plan ORSEC. Ce plan consiste à voir combien de temps les secours mettent à arriver sur le lieu de l'accident et comment les hôpitaux s'organisent quand il y a des urgences. Pour ça, il faut des volontaires qui feront semblant d'être blessés. François va participer au déroulement du plan.


title: Sans Atout, le cadavre fait le mort

text: Le jour de l’examen du plan, François doit se mettre à l'arrière d'un bus et attendre qu’on vienne le sauver. Il attend longtemps ! Lorsque les secours arrivent enfin, on s’aperçoit qu’un certain Corbineau a été assassiné. La nouvelle se répand très vite dans le village. La police a trouvé sur le corps une lettre anonyme qui disait : Elle était signée : "Le Hibou".


title: Sans Atout, le cadavre fait le mort

text: C'est alors la pagaille à Saint-Vincent-la-Rivière. Le commissaire Cervin interroge François. Il veut en particulier savoir si François a entendu du bruit : il a effectivement entendu des sortes de grincements. Ce pourrait être le grincement de semelles cloutées… Quatre hommes sont suspectés, mais tous refusent d’avouer. Quelques morts plus tard, les deux cousins se creusent toujours la tête. Nos enquêteurs finiront par trouver les coupables en s’interrogeant sur les liens familiaux qui unissent certains villageois…


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Sans Atout et le Cheval fantôme est un roman policier pour la jeunesse de Boileau-Narcejac, publié en 1971 par Hatier / Rageot jeunesse. C'est le premier roman de la série de huit consacrée aux aventures de Sans-Atout. Considéré comme un classique de la littérature policière jeunesse, il est souvent proposé à l'étude dans le cadre du parcours scolaire, en France.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: François Robion est un adolescent parisien de 15 ans. Un jour, un de ses professeurs déclara que le sens de l'ordre était le meilleur atout dans la vie... Or, François est très désordonné, au grand désespoir de sa mère. C'est pour cela qu'on lui donna le sobriquet de « Sans Atout ». La famille de François possède un château en Bretagne, dans le Finistère : le château de Kermoal. Ce château est gardé par monsieur et madame Jaouen et leur fils Jean-Marc, que François considère comme des membres de sa famille. N'ayant pas le temps de s'en occuper, le père de François, un célèbre avocat, décide de se séparer de la bâtisse.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: François est très triste et part pour ses dernières vacances à Kermoal, le cœur serré. Il est bien décidé à dissuader tout éventuel acheteur. En arrivant au château, les Jaouen ont un comportement étrange. François ne tarde pas à en découvrir la raison : depuis une semaine, tous les soirs à minuit, on entend le bruit d'un cheval dans la lande, sans voir d'animal pour autant. La rumeur d'un cheval-fantôme se répand. Très surpris et sceptique, François décide de mener l'enquête pour comprendre la vérité.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Il interroge l'abbé Flohic. Ce dernier lui raconte une légende locale qui se serait déroulée à la chapelle Pardon, se trouvant à Kermoal. En rentrant, un certain Van der Troost attend pour visiter le château. Il est hollandais et contrairement aux autres acheteurs, il semble réellement s'intéresser à Kermoal sans vouloir le faire raser. Mais Sans-Atout ne tarde pas à découvrir que Van der Troost n'est pas tout blanc dans l'affaire du cheval fantôme. Il s'est même servi de son ami Jean-Marc Jaouen, qui a été très crédule.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Une nuit, Sans-Atout décide d'inspecter le jardin après la venue du cheval. Il y découvre un homme blessé et inconscient qui a dans sa main un bouton de métal, et dans sa poche une statuette en or représentant un cheval. Le lendemain matin, alors que Jean-Marc veillait sur lui, le blessé disparaît mystérieusement.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Très vite, il se rend compte que le bouton de métal vient du manteau d'Heinrich, le chauffeur de Van der Troost. Seul et sans prévenir quiconque, Sans Atout se rend à la villa « Les Mouettes » où vit le Hollandais. Il entre sans se faire repérer et y découvre le blessé inconnu qui dort. Van der Troost et Heinrich arrivent. N'ayant pas le temps de s'enfuir, Sans-Atout se cache derrière le rideau. Les trois hommes se mettent à parler en allemand et ouvrent une bouteille de champagne. Sans-Atout réussit à comprendre trois mots : Burg, Kapelle et Altar (château, chapelle, autel). Non sans peine, François réussit à s'éclipser discrètement, sans se faire dévorer par le féroce chien de Van der Troost.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Il rentre à Kermoal et découvre le pot aux roses : sous l'autel de la chapelle Pardon, il y a un souterrain secret, avec deux galeries. L'une mène à un ancien bunker allemand rempli d'objets et bijoux de valeurs, l'autre menant tout droit au laboratoire de Jean-Marc. Grâce aux talents d'enquêteur de Sans Atout, la vérité est dévoilée au grand jour.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: "Sans Atout et le cheval fantôme" s'inscrit parmi les premières collections de littérature policière enfantines, dans les années 1970. Ces collections reprennent des éléments qui font le succès du genre chez les adultes, notamment le format poche. Publié pour la première fois en 1971, "Sans Atout et le cheval fantôme" est régulièrement réédité au catalogue de Gallimard et de sa filiale Folio jeunesse.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Le nom du héros est un double jeu de mots : François est aussi très intelligent et perspicace et, au bridge, l'annonce « sans atout » est l'enchère (bridge) la plus forte.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Le roman offre une vision légèrement misogyne, en effet les personnages masculins sont globalement sceptiques face à la manifestation du « cheval fantôme » tandis que Marguerite, la femme de chambre du château, est réellement terrorisée. Il montre aussi un certain parisianisme : le château sert de résidence de vacances à la riche famille de François, les Bretons qui s'occupent du château (les Jaouen) sont abusés, la femme de chambre est crédule et les légendes bretonnes locales autour des chevaux-fantômes servent d'appui à la tromperie mise en place par Van der Troost.


title: Sans Atout et le Cheval fantôme

text: Le roman reçoit un très bon accueil, Raymond Perrin estimant (entre autres) dans son étude du polar jeunesse qu'il représente l'une des œuvres les plus originales et passionnantes des premières collection policières. Ce roman est devenu un classique, souvent étudié dans un but pédagogique à l'école.


title: Sans Atout contre l'homme à la dague

text: Sans Atout contre l'homme à la dague est un roman policier pour la jeunesse de Boileau-Narcejac, publié en 1971. C'est le deuxième roman de la série de huit consacrée aux aventures de Sans Atout.


title: Sans Atout contre l'homme à la dague

text: En visite chez un collectionneur d'art retiré en Auvergne, monsieur Royère, Sans Atout et son père admirent le clou de sa collection : un tableau attribué au Caravage représentant un homme portant une cape rouge, au visage masqué, aux yeux bleus et tenant dans sa main une dague. Ce portrait intrigue Sans Atout par son regard et son port altier : il semble vivant. Selon la légende, le tableau porterait malheur à quiconque qui tenterait de s'en emparer. On apprend ainsi qu’une multitude de tragédies ont frappé ses propriétaires successifs. En témoigne monsieur Royère qui a perdu son épouse et son fils dans un accident de la route quelques années auparavant.


title: Sans Atout contre l'homme à la dague

text: Quelques heures après l’arrivée de Sans Atout et de son père, la toile disparaît et une lettre de chantage est retrouvée dans le salon où se trouvait la toile...


title: Sans Atout contre l'homme à la dague

text: Va lire le livre pour te cultiver mais aussi pour connaitre la fin de cette passionnante histoire.


title: Kontiolahti

text: Kontiolahti est une municipalité de l'est de la Finlande. Elle fait partie de la province de Finlande orientale et de la région de Carélie du Nord.


title: Kontiolahti

text: La commune, bien que bordant l'agglomération de Joensuu, présente un caractère largement forestier et sauvage.  Elle est traversée par la large rivière Pielisjoki venue du lac Pielinen.  Kontiolahti compte 183 lacs et les lacs couvrent 22,3% () de la superficie de la municipalité. Les plus grands lacs sont Höytiäinen, Kangasvesi et Herajärvi.


title: Kontiolahti

text: La commune comprend également une petite partie du parc national de Koli.


title: Kontiolahti

text: Des 18 villages seuls deux émergent véritablement. Lehmo est une importante banlieue de Joensuu (à du centre) et Kontiolahti est le centre historique de la paroisse et principale zone habitée, à de Joensuu au nord le long de la .


title: Kontiolahti

text: Les municipalités limitrophes sont Eno à l'est, Lieksa au nord, Juuka au nord-ouest, Polvijärvi à l'ouest, Liperi au sud-ouest et Joensuu au sud.


title: Kontiolahti

text: Depuis 25 ans, la municipalité gagne régulièrement des habitants et cette tendance tend à s'accentuer :


title: Kontiolahti

text: Les 35 conseillers municipaux sont répartis comme suit:


title: Kontiolahti

text: Les villages de Kontiolahti sont: Harivaara, Herajärvi, Iiksi, Jakokoski, Kontiolahti, Kontioniemi, Kulho, Kunnasniemi, Kupluskylä, Kylmäoja, Lehmo, Mönni, Onttola, Paihola, Puntarikoski, Puso, Pyytivaara, Rantakylä, Romppala, Selkie, Varparanta et Venejoki.


title: Kontiolahti

text: L'entreprise finlandaise d'électronique Perlos y possède une importante usine ( emplois). La municipalité compte également sur l'armée qui y maintient une garnison. Le taux de chômage est inférieur à 12 %, plutôt bon pour la région.


title: Kontiolahti

text: Aujourd'hui, l'uranium semble offrir des perspectives prometteuse. La commune partagerait en effet avec sa voisine Eno le plus important gisement de Finlande. La COGEMA a reçu le une autorisation de prospection et d'exploitation pour une zone de hectares. En 2021, les principales entreprises de Kontiolahti par chiffre d'affaires sont :


title: Kontiolahti

text: En 2021, les plus importants employeurs privés de Kontiolahti sont:


title: Ratio de liquidité générale

text: Le ratio de liquidité générale ("current ratio") est une comparaison des actifs à court terme ("current assets") d'une entreprise ou d'un particulier à ses passifs à court terme ("current liabilities").


title: Ratio de liquidité générale

text: Par exemple, si les actifs à court terme d'une entreprise sont de 50 000 000 $, et ses passifs à court terme sont de 40 000 000 $, son ratio de liquidité est déterminé comme suit :


title: Ratio de liquidité générale

text: Ratio de liquidité générale = Actifs à court terme/Passif à court terme = 50 000 000/40 000 000 = 1,25


title: Ratio de liquidité générale

text: La manière la plus simple d'expliquer ce résultat est la suivante : à quel niveau mes en-cours de dettes fournisseurs permettent de financer les créances que mes clients me doivent. Si le ratio de liquidité est supérieur à 1, les dettes fournisseurs ne couvrent pas les créances de mes clients. Pour ce calcul on considère les actifs et les passifs à un an.


title: Ratio de liquidité générale

text: Le ratio de liquidité générale est un indicateur de la liquidité d'une entreprise ou d'un particulier et de sa capacité à rembourser ses dettes à court terme. Les ratios acceptables dépendent du secteur, mais un ratio d'environ 2 est considéré comme raisonnable. Si ses dettes à court terme dépassent les actifs à court terme (c'est-à-dire si le ratio est inférieur à 1), l'entreprise peut ne pas être en mesure de tenir ses engagements, tandis que si le ratio est trop élevé, il est possible que l'entreprise n'utilise pas efficacement ses actifs.


title: Ratio de liquidité générale

text: Avoir un ratio de liquidité générale supérieur à 1 équivaut à avoir un Besoin en fonds de roulement positif.


title: Ecuador

text: Henri Michaux fait partie du cercle de poètes d'avant-garde parisien, autour de Jules Supervielle et de Max Jacob notamment. Il est proche du poète équatorien Alfredo Gangotena qui l'invite à visiter l'Équateur en sa compagnie, lui offrant l'hospitalité. Finalement, en compagnie d'André de Pardiac de Monlezum et d'Aram Mouradian, qui seront plus tard les beaux-frères de Gangotena, ils partent de Paris le pour Amsterdam puis embarquent à bord du paquebot Boskoop, qui arrivera le à Guayaquil. Lors de ce voyage de près d'un an, où il découvre les Andes et l'Amazonie, Michaux tient un journal qui donnera naissance à son livre intitulé "Ecuador", publié en 1929.


title: Ecuador

text: Outre les textes purement poétiques, Henri Michaux rédige des carnets de voyages réels ("Ecuador" en 1929, "Un barbare en Asie" en 1933) ou imaginaires ("Ailleurs" en 1948, parmi beaucoup d'autres).


title: Ecuador

text: Dans ce livre, le corps est sans cesse à l'épreuve, par suite d'une sensation de manque : , et le monde extérieur est vécu comme un obstacle menaçant.


title: Ecuador

text: Michaux mélange prose, poèmes, anecdotes d'un jour, exploration de l'intériorité. La découverte d'un pays étranger va permettre au poète de se découvrir lui-même. Refusant l'exotisme et le tourisme pur, Michaux appartient à la lignée des écrivains voyageurs tels que Paul Claudel ou Victor Segalen.


title: Ecuador

text: Dans sa préface, l'auteur revendique son œuvre singulière : « Un homme qui ne sait ni voyager ni tenir un journal a composé ce voyage. Mais, au moment de signer, tout à coup pris de peur, il se jette la première pierre. Voilà. ».


title: Ecuador

text: "Je suis né troué."


title: Ecuador

text: "Il souffle un vent terrible."


title: Ecuador

text: "Ce n´est qu´un petit trou dans ma poitrine,"


title: Ecuador

text: "Mais il y souffle un vent terrible."


title: Ecuador

text: "…ce n´est qu´un vent, un vide."


title: Ecuador

text: "Malédiction sur toute la terre, sur toute la civilisation, sur tous les êtres à la surface de toutes les planètes, à cause de ce vide."


title: Ecuador

text: "Ce vide, voilà ma réponse."


title: Brewster

text: Brewster peut faire référence à :


title: Aéroport international Dr. Joaquin Balaguer

text: L'Aéroport international La Isabela - Joaquín Balaguer est un aéroport de la République dominicaine. Il est souvent nommé "El Higüero" en raison de sa situation géographique sur la localité du même nom, à 10 kilomètres au nord-ouest de Saint-Domingue. Il a commencé à opérer le . Il était destiné à remplacer l'aéroport international de Herrera, situé au centre de la capitale. Il est affecté essentiellement aux vols intérieurs et à l'aviation civile.


text: Destiné à l'aviation civile et aux compagnies d'aviation dominicaines, l'aéroport Joaquín Balaguer est celui qui comprend le plus grand nombre de hangars de tous les aéroports du pays. La tour de contrôle mesure 36 mètres et est équipée d'un système moderne de sécurité aéroportuaire. Le terminal de m peut accueillir jusqu'à 360 passagers simultanément.


title: Liste des évêques d'Ikot Ekpene

text: L'évêché nigérian d'Ikot Ekpene est créé le mars 1963 par détachement du diocèse de Calabar.


title: Blini

text: Un blini (du russe : "blin" ; pluriel "bliny", "blini" ; en biélorusse : блін, блінец ; en ukrainien : , "mlyntsi" ; en polonais bliny ; en lituanien "") est une variété de galette épaisse, sorte de crêpe de grande taille, souvent servie en relation avec un rituel ou des fêtes religieuses.


title: Blini

text: En France, sont souvent vendues sous le nom de « blinis » des petites crêpes épaisses, qui s'apparentent davantage aux olad'i qu'aux crêpes, plus fines et plus grandes.


title: Blini

text: Le mot singulier français « blini » vient de la forme pluriel russe "bliny" ou "blini" (). Le pluriel français est « blinis ». Le mot russe vient du vieux slave "mlin", qui signifie « moudre » (comparer avec le mot ukrainien pour blin, , "mlynets"'). Symbole solaire de par leur forme et leur couleur, les blinis eurent une signification rituelle pour les Slaves, à l'ère pré-chrétienne. Ils furent traditionnellement cuits à la fin de l'hiver pour honorer la renaissance du soleil (la semaine des pancakes, ou Maslenitsa). Cette tradition fut adoptée par l'Église orthodoxe et reste célébrée aujourd'hui. Les blinis furent aussi servis aux veillées funèbres pour commémorer les morts.


title: Blini

text: Les blinis russes traditionnels sont faits avec une pâte au levain qui se laisse gonfler et qui est ensuite diluée avec de l'eau ou lait froid ou bouillant (en russe : заварные блины, "zavarnyïé bliny"), avant de les enfourner dans un four russe traditionnel (à ce jour, le processus d'élaboration des blinis s'appelle « cuire au four », même s'ils sont presque universellement cuits à la poêle comme des pancakes).


title: Blini

text: Ils peuvent être préparés avec presque n'importe quelle farine : de blé, de sarrasin, d'avoine, ou de mil, mais la farine de blé reste la plus populaire.


title: Blini

text: Les blinis peuvent s'élaborer et être servis de trois manières différentes :


title: Blini

text: Ils peuvent se manger « nature ». Dans ce cas, la pâte peut contenir des ingrédients supplémentaires, tels que de la pomme de terre râpée, de la pomme ou des raisins. Ces blinis sont très communs en Europe de l'Est et sont plus « solides » que les pancakes mangés ailleurs.


title: Blini

text: Ils peuvent être servis enroulés et tartinés avec du beurre, du lard, de la smetana (crème fraîche un peu aigre), de la confiture ou du caviar. Ils sont donc similaires aux crêpes françaises.


title: Blini

text: Les blinis se prêtent plus facilement à cette troisième version : la pâte peut être pré-frite puis farcie de confiture, de fruits, de pomme de terre, de cottage ou autre fromage, de viande hachée cuite, de poulet cuit ou même de champignons hachés, fèves germées, chou et oignon, puis légèrement refrite, sautée ou cuite au four. En cette forme, les blinis sont appelés "nalysnyky" en ukrainien (налисники).


title: Blini

text: Les blintchiki (, au singulier "blintchik" блинчик, en français "blintz" ou "blintsés"), sont faits avec une pâte sans levain constituée de farine, de lait et d'œufs, à la manière des crêpes françaises.


title: Blini

text: Les blintchiki au sarrasin font partie de la cuisine traditionnelle russe, mais ont été presque oubliés à l'époque soviétique. Ils sont encore communs en Biélorussie, où ils sont appelés "hratchaniki" ().


title: Blini

text: En Pologne, la recette traditionnelle est toujours à base de levain, œufs, lait, sucre, beurre fondu et farine de blé et sarrasin que l'on fait monter près d'une source de chaleur puis on y ajoute les blancs battus en neige. Les bliny et non blinis (car comme pour les panini, c'est déjà un pluriel donc sans "s") sont cuits sur une poêle et au beurre et servis avec du beurre fondu et de la crème fraiche aigre. D'autres recettes existent comme celle à base de lait caillé et de farine de blé et celle de pommes de terre (plendze en Posnanie, placki ailleurs et latkes en yiddish).


title: Blini

text: En Lituanie les ' (' au singulier) sont très populaires. Ils sont souvent fourrés avec du fromage frais ' (sorte de caillé) et accompagnés de crème ' (Équivalent lituanien de la "smetana").


title: Blini

text: Le -s du mot "blinis n'étant ajouté au pluriel que pour se conformer aux usages du français écrit (le suffixe -i" indique déjà le pluriel en russe), la prononciation "blinisses", que l'on entend souvent, est fautive.


title: Chris Vander Stappen

text: Chris Vander Stappen est une scénariste et réalisatrice belge, née en 1959 et décédée à Bruxelles le . Ses scénarios et ses films traitent souvent de l'homosexualité féminine et du genre sexuel.


title: Algèbre universelle

text: L'algèbre universelle est la branche de l'algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de définir de manière uniforme les morphismes, les sous-structures (sous-groupes, sous-monoïdes, sous-anneaux, sous-espaces vectoriels, etc.), les quotients, les produits et les objets libres pour ces structures.


title: Algèbre universelle

text: En mathématiques, un grand nombre de types de structures algébriques vérifient différents axiomes (groupes, anneaux, espaces vectoriels, treillis, algèbres de Boole, algèbres de Lie). Pour ces différents types de structures, on définit une notion de morphisme et des constructions de structures qui sont analogues ou qui ont des propriétés analogues (sous-structures, quotients, produits, coproduits, objets libres, limites projectives et inductives, etc.). Ces morphismes et ces constructions ont un grand nombre de propriétés qui sont semblables (l'intersection de sous-groupes, de sous-anneaux, etc., en est un, l'image d'un sous-groupe, d'un sous-anneau, etc., par un morphisme en est un aussi). On a alors défini de manière générale et abstraite les structures algébriques pour pouvoir traiter de manière uniforme ces constructions et leurs propriétés, et on a pu, par la suite, se concentrer sur les propriétés propres à chacune de ces structures.


title: Algèbre universelle

text: Plus qu'une généralisation des structures algébriques usuelles qui ne servirait qu'en algèbre, l'algèbre universelle a aussi des applications en logique et en informatique. Une généralisation plus vaste encore de ces notions est fournie par la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Il peut être utile d'examiner un exemple pour dégager une notion unificatrice de structure algébrique. Parfois, dans la définition de structure algébrique, on se limite à la donnée de lois de composition interne et externe sur un ensemble, mais la donnée de ces lois ne permet pas toujours de définir les homomorphismes comme les applications qui préservent ces lois et les sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.) comme des parties stables pour des lois. En voici un exemple :


title: Algèbre universelle

text: Soit formula_1 un groupe, φ sa loi de composition, formula_2 son élément neutre, γ l'application qui à un élément de formula_1 associe son inverse. Soit formula_4 une partie de formula_1. Il ne suffit pas que formula_4 contienne le composé de deux éléments quelconques de formula_4 pour que formula_4 soit un sous-groupe de formula_1, comme le montre le cas de l'ensemble formula_10 des entiers naturels dans le groupe formula_11 des entiers relatifs. En fait, pour que formula_4 soit un sous-groupe de formula_1, il faut et il suffit aussi qu'elle soit stable pour la loi de composition, qu'elle contienne l'élément neutre et qu'elle contienne l'inverse de chacun de ses éléments. Autrement dit, formula_4 est un sous-groupe de formula_1 si et seulement si, φ("S" × "S") ⊆ "S", γ("S") ⊆ "S" et e ∈ S. Ainsi, la structure de groupe de formula_1 n'est pas complète sans γ et formula_2. On a des résultats analogues pour les monoïdes, les anneaux, les espaces vectoriels, les algèbres de Boole, etc.


title: Algèbre universelle

text: Si l'on veut que la structure algébrique détermine les sous-structures (parties stables par les différentes lois), on doit enrichir les structures usuelles (groupes, anneaux, etc.) de lois supplémentaires.


title: Algèbre universelle

text: Les structures usuelles ne sont pas seulement déterminées par des lois, mais par des axiomes (associativité, commutativité, distributivité, élément neutre, etc.) qui régissent les lois : les identités. La définition générale des identités sera présentée dans la suite. Si des structures algébriques vérifient certaines identités communes, alors la plupart des constructions usuelles (sous-structures, quotients, produits) déduites de ces structures les vérifient. On se concentre d'abord sur les constructions de structures définies par des lois qui ne vérifient aucune identité particulière. La stabilité des identités par ces constructions fera en sorte que aux structures définies par la donnée de lois vérifiant certaines identités.


title: Algèbre universelle

text: Une algèbre est un ensemble muni d'une structure algébrique, dont on donnera une définition précise. Parmi les algèbres, on retrouve les groupes, les monoïdes, les modules sur un anneau donné (en particulier les espaces vectoriels sur un corps donné), les treillis et les algèbres de Boole.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "E" un ensemble et "n" un entier naturel (nul ou non). On appelle opération "n"-aire sur "E" toute application de "E" dans "E".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "A" un ensemble. Alors une loi de composition externe ou une loi externe de "A" sur "E" est, par définition, une application de "A" × "E" (ou, ce qui est équivalent, de "E" × "A" ) dans "E". Une loi de composition externe de "A" sur "E" s'identifie à une application de "A" dans l'ensemble formula_18 des applications de "E" dans "E", donc des opérations unaires de "E" : à un élément "a" de "A" est associée l'application partielle définie par "a" de cette loi externe. Ainsi l'ensemble des lois de composition externe de "A" sur "E" s'identifie à l'ensemble des applications de "A" dans formula_18, et donc à l'ensemble des familles d'opérations unaires de "E" indexées par "A".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une algèbre universelle ou plus simplement une algèbre (ne pas confondre avec les algèbres sur un anneau commutatif, que l'on rencontre en algèbre linéaire) est un ensemble "A" muni d'une famille (vide ou non) d'opérations finitaires sur "A". On dit que l'ensemble "A" est sous-jacent à l'algèbre en question.


title: Algèbre universelle

text: Pour permettre de traiter simultanément plusieurs algèbres, il peut être utile de déterminer si elles sont de même signature, c'est-à-dire si elles sont toutes des anneaux ou toutes des treillis, par exemple. Pour cela, on doit paramétriser les opérations finitaires des algèbres par certains ensembles, les opérations "n"-aires de même paramètre se correspondant. Par exemple, usuellement, dans la donnée des lois d'un anneau, l'addition vient avant la multiplication, et ainsi on sait que l'addition d'un anneau correspond à l'addition d'un autre anneau, et non à sa multiplication.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On appelle signature ou un type d'algèbre ou un domaine d'opérateurs tout ensemble Ω muni d'une application σ de Ω dans l'ensemble N des entiers naturels, et alors, pour tout entier naturel "n", on note Ω l'image réciproque de "n" par σ. Une algèbre ou une algèbre universelle de signature Ω est un ensemble "A" muni, pour tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20 d'une opération "n"-aire sur "A", que l'on notera formula_21, ou ω si aucune confusion n'en résulte. On dit alors que la donnée de ces opérations finitaires définit sur l'ensemble une structure algébrique de signature Ω.


title: Algèbre universelle

text: Certains auteurs supposent que toute algèbre est non vide (s'il n'y a pas d'opération nullaire), mais considérer les algèbres vides est utile du point de vue de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Convention. Dans ce qui suit, on se donne une fois pour toutes une signature d'algèbre Ω = (Ω), et toutes les algèbres sont supposées être de cette signature, sauf mention contraire.


title: Algèbre universelle

text: Si "A" est une algèbre, on appelle constante ou élément distingué de "A" les éléments de "A" auxquels s'identifient les opérations nullaires définies par les éléments de formula_22.


title: Algèbre universelle

text: Donnons quelques exemples d'algèbres.Comme le montrent ces exemples, pour décrire la plupart des structures algébriques usuelles, on pourrait se limiter aux algèbres qui n'ont que des opérations binaires, des opérations nullaires et des opérations unaires. Mais, même pour ces structures, il peut être utile de considérer les opérations finitaires quelconques, puisque, avec une loi de composition associative, on peut, pour tout entier naturel non nul "n", définir une opération "n"-aire qui à "n" éléments associe leur produit (ou leur somme).


title: Algèbre universelle

text: Dans les définitions usuelles de ces structures, l'ensemble n'est pas muni de toutes ces opérations finitaires, mais que de certaines d'entre elles, et les axiomes de ces structures impliquent l'existence de ces autres.


title: Algèbre universelle

text: Ces exemples permettent de déterminer toute la structure qui est nécessaire pour définir correctement les homomorphismes et les sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Les corps commutatifs sont les anneaux non réduits à un élément dont tout élément non nul est inversible. Dans un corps, l'application qui à un élément non nul associe son inverse n'est pas partout définie (0 n'est inversible), et donc n'est pas une opération unaire sur le corps tout entier, mais seulement sur le groupe de ses éléments inversibles. Pour pallier cet inconvénient, on doit élaborer la théorie des "algèbres partielles", où les opérations finitaires ne sont pas partout définies.


title: Algèbre universelle

text: Voici deux exemples triviaux, qui ont leur importance.


title: Algèbre universelle

text: La définition d'algèbre fait en sorte que l'on admet les anneaux triviaux et les algèbres de Boole triviales, c'est-à-dire réduits à un élément. Certains auteurs excluent ces anneaux et ces algèbres de Boole.


title: Algèbre universelle

text: On donne ici une définition générale des homomorphismes qui inclut les homomorphismes de groupes, d'anneaux, de modules (applications linéaires), etc.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "A" et "B" des algèbres de même signature Ω. Un homomorphisme ou morphisme (ou Ω-"homomorphisme" ou un Ω-"morphisme" s'il faut préciser) de "A" dans "B" est une application de "A" dans "B" qui préserve les opérations finitaires correspondant aux mêmes éléments de Ω. De manière plus précise, une application "f" de "A" dans "B" est un homomorphisme si et seulement si, pour tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20, formula_25("f"(formula_26), ..., "f"(formula_27)) = "f"(formula_21(formula_26, ..., formula_27)), quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27 de "A". Pour "n" = 0, cela signifie que "f"(formula_21) = formula_25 (par exemple, si "A" et "B" sont des espaces vectoriels sur un corps "K", on a "f"(0) = 0).


title: Algèbre universelle

text: On appelle endomorphisme d'une algèbre "A" tout homomorphisme de "A" dans "A".


title: Algèbre universelle

text: On voit ici que les homomorphismes tels que définis ici correspondent aux homomorphismes des différentes structures algébriques que l'on rencontre en algèbre générale (monoïdes, groupes, anneaux, modules sur un anneau donné, ensembles ordonnés, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Il se peut que, pour certaines algèbres "A" et "B", il n'existe pas d'homomorphisme de "A" dans "B", même si "A" et "B" sont non vides. Par exemple, il n'existe pas d'homomorphisme d'anneaux du corps formula_35 des nombres" rationnels dans l'anneau formula_36 des entiers relatifs.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soient "K" un corps, "X" et "Y" des espaces affines sur "K". "X" et "Y" sont des algèbres en considérant, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, l'opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affectés de ces éléments de "K". Alors les homomorphisme "X" dans "Y" pour les structures algébriques ainsi définies ne sont autres que les applications affines de "X" dans "Y". Autrement dit, les applications affines de "X" dans "Y" ne sont autres que les applications de "X" dans "Y" qui préservent les barycentres.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A", "B" et "C" des algèbres. La composée d'un homomorphisme de "A" dans "B" et d'un homomorphisme de "B" dans "C" est un homomorphisme de "A" dans "C". L'application identité d'une algèbre "A" est un endomorphisme de "A". En termes de théorie des catégories, la classe des algèbres de signature Ω avec les homomorphismes forment une catégorie pour la composition des homomorphismes (en tant qu'applications).


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "A" et "B" des algèbres de même signature. On appelle isomorphisme de "A" sur "B" ou, si "A" = "B", automorphisme de "A", tout homomorphisme de "A" dans "B" qui est bijectif. Pour tout isomorphisme "f" de "A" sur "B", la bijection réciproque de "f" est un isomorphisme de "B" sur "A". Cela coïncide avec la notion d'isomorphisme en théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. L'ensemble des endomorphismes de "A" est un monoïde pour la composition des homomorphismes, que l'on note End("A"). L'ensemble des automorphismes de "A" est un groupe pour la composition des homomorphismes, que l'on note Aut("A"). Il est le groupe des éléments inversibles du monoïde End("A").


title: Algèbre universelle

text: Si elles existent, alors les algèbres vides sont les seuls objets initiaux de la catégorie des algèbres de signature Ω, c'est-à-dire, pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme de l'ensemble vide dans "A". S'il n'existe pas d'algèbre vide, il y a aussi des objets initiaux, qui ne sont pas vides. Les algèbres triviales sont les seuls objets finaux de cette catégorie, c'est-à-dire, pour toute algèbre "A", il existe un unique homomorphisme de "A" dans une algèbre triviale.


title: Algèbre universelle

text: On définit ici la notions de sous-algèbre, qui généralise les notions usuelles de structures induites (ou sous-structures) des structures algébriques usuelles, par exemple les sous-groupes, les sous-anneaux, les sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), etc.


title: Algèbre universelle

text: On se donne une fois pour toutes une algèbre "A" de signature Ω.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une sous-algèbre de "A" (ou "sous"-Ω-"algèbre" de "A" si on tient à préciser) est une partie de "A" qui est stable pour chacune des opérations finitaires de "A". De manière plus précise, une partie "S" de "A" est une sous-algèbre de "A" si et seulement si, pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27 de "S", formula_21(formula_26, ..., formula_27) appartient à "S". Si "n" = 0, cela signifie que l'élément formula_21 de "A" appartient à "S".


title: Algèbre universelle

text: Si "S" est une sous-algèbre de "A", alors par restriction à "S" des opérations de "A", on obtient une structure algébrique de signature Ω sur l'ensemble "S", dite induite par celle de "A", et donc "S" est donc canoniquement une algèbre de signature Ω. Lorsque l'on considère "S" comme une algèbre, c'est pour cette structure algébrique sur "S".


title: Algèbre universelle

text: On peut vérifier que les sous-algèbres correspondent bien aux structures induites pour les structures algébriques usuelles : sous-ensembles pointés, sous-magmas, sous-monoïdes, sous-groupes, sous-anneaux, sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), sous-algèbres d'une algèbre sur un anneau commutatif, sous-algèbres unitaires d'une algèbre unitaire sur un anneau commutatif, sous-treillis, sous-algèbres de Boole, etc. Toutefois, les sous-algèbres des corps sont ses sous-anneaux, et non pas nécessairement tous ses sous-corps (l'inversion n'est pas une opération unaire).


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soient "K" un corps et "X" un espace affine sur "K". "X" est une algèbre en considérant, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, l'opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affectés de ces éléments de "K". Alors les sous-algèbre de "X" muni de cette structure algébrique sur "X" ne sont autres que les sous-espaces affines de "X". Autrement dit, les sous-espaces affines de "X" ne sont autres que les parties de "X" qui sont stables pour les barycentres. L'ensemble vide est une sous-espace affine de "X", et donc une sous-algèbre de "X".


title: Algèbre universelle

text: Voici les propriétés élémentaires des sous-algèbres. Le lecteur sera peut être familier avec les énoncés analogues dans les cas des groupes, des anneaux ou des modules. On désigne par "A" une algèbre.


title: Algèbre universelle

text: La réunion de sous-algèbres n'est pas toujours une sous-algèbre. Par exemple, la réunion de deux droites vectorielles distinctes d'un espace vectoriel "E" sur un corps n'est pas un sous-espace vectoriel de "E".


title: Algèbre universelle

text: Les auteurs qui excluent les algèbres vides, excluent généralement les sous-algèbres vides, et alors l'intersection de sous-algèbres n'est pas nécessairement une sous-algèbre, sauf si elle est non vide.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "X" une partie d'une algèbre "A". L'intersection de l'ensemble des sous-algèbres de "A" qui contiennent "X" est une sous-algèbre "G" de "A", qui est dite engendrée par "X". (Cela généralise les sous-groupes engendrés, les sous-anneaux engendrés, les sous-modules engendrés, etc.) Si "G" = "A", alors on dit que "X" est une partie génératrice de "A" et que "X" engendre "A". On définit de manière analogue les familles génératrices et les familles qui engendrent.


title: Algèbre universelle

text: Définition. S'il existe une partie génératrice finie d'une algèbre "A", on dit que "A" est de type fini. S'il existe un élément de "A" qui engendre "A", alors on dit que "A" est monogène. Cela généralise les notions analogues que l'on rencontre en théorie des groupes, des anneaux, des modules, etc.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Pour la relation d'inclusion, l'ensemble des sous-algèbres d'une algèbre "A" est un treillis complet, c'est-à-dire, tout ensemble de sous-algèbres admet une borne inférieure et une borne supérieure pour la relation d'inclusion. La borne inférieure d'une famille de sous-algèbres est son intersection et la borne supérieure est la sous-algèbre engendrée par sa réunion.


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques propriétés des sous-algèbres engendrées.


title: Algèbre universelle

text: Exemples


title: Algèbre universelle

text: Les notions de produit direct de groupes, d'anneaux et de modules se généralisent, dans le cadre général de l'algèbre universelle, comme un cas particulier du "produit en théorie des catégories".


title: Algèbre universelle

text: Soit formula_45 une famille d'algèbres de signature Ω indexée par un ensemble (fini ou non) et "P" le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur "P" telle que, tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20, formula_21(formula_26, ..., formula_27) = formula_50 pour tout élément formula_51 = formula_52 de "P", avec "k" = 1, ..., "n". On dit que l'algèbre qu'est "P" muni de cette structure algébrique est le produit direct ou le produit ou l'algèbre produit. de cette famille d'algèbres. On la note formula_53. Si "I" = {1, ..., n}, la note aussi formula_54 × ... × formula_55.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Prenons le cas de deux algèbres "A" et "B". Alors, la structure d'algèbre de "A" × "B" est définie de la manière suivante : pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20, quels que soient les éléments formula_57 de formula_58 et formula_59 de formula_60, avec "i" = 1, ..., "n", on a formula_61((formula_62, formula_63), ..., (formula_64, formula_65)) = (formula_21(formula_62, ..., formula_64), (formula_25(formula_63, ..., formula_65).


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques propriétés élémentaires des produits d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Voici la propriété fondamentale des produits d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient, pour tout "i" dans "I", formula_87 le projecteur canonique du produit formula_53 (à un élément on associe sa composante d'indice "i") et soit B une algèbre. Quels que soient les homomorphismes formula_75 de "B" dans "formula_58" (pour tout "i" dans "I"), il existe un unique homomorphisme "g" de "B" dans formula_53 tel que, pour tout "i" dans "I", formula_92 (c'est l'homomorphisme dont les composantes sont les formula_75).


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" une algèbre et "X" un ensemble. L'ensemble des applications de "X" dans "A" s'identifie au produit formula_94 d'algèbres toutes égales à "A". Il s'ensuit donc qu'il existe une structure algébrique canonique sur l'ensemble des applications de "X" dans "A". Plusieurs exemples d'algèbres sont des sous-algèbres de des algèbres des applications d'un ensemble dans une algèbre.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soit "E" un espace topologique (un intervalle du corps R des nombres réels, par exemple). L'ensemble des fonctions de "E" dans R, ou dans le corps C des nombres complexes, est un anneau, et l'ensemble des fonctions continues de "E" dans R, ou C, est un sous-anneau de cet anneau. Si on note "V" un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l'ensemble des applications de "E" dans "V" est un espace vectoriel réel ou complexe et l'ensemble des applications continues de "E" dans "V" est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel. On retrouve d'algèbres de ce type en analyse (anneaux ou espaces vectoriels d'applications continues, différentiables, analytiques, espace vectoriel d'applications intégrables, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques propriétés de l'algèbre des applications.


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" et "B" des algèbres. L'ensemble des homomorphismes de "A" dans "B" n'est pas nécessairement une sous-algèbre de l'algèbre des applications de "A" dans "B". Toutefois, c'est le cas pour les monoïdes commutatifs, les groupes commutatifs, les modules sur un anneau commutatif, mais pas pour les anneaux.


title: Algèbre universelle

text: Il est courant de définir le groupe quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué, l'anneau quotient d'un anneau par un idéal bilatère ou le module quotient d'un module par un sous-module. Mais la généralisation de ces notions dans le cadre de l'algèbre universelle est moins immédiate. Ces quotients sont en fait des quotients par rapport à des relations d'équivalence particulières et dans ces exemples, les classes d'équivalence d'élément neutre ("e", 1 et 0 respectivement) sont les sous-groupes distingués, les idéaux bilatères et les sous-modules.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de signature Ω. On appelle (ou Ω-"congruence" si on tient à préciser) de "A" toute relation d'équivalence "R" dans "A" telle que, pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20 quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27, formula_102, ..., formula_103 de A, si, pour "i" = 1, ..., "n", formula_104 et formula_105 sont équivalents pour "R", alors formula_21(formula_26, ..., formula_27) et formula_21(formula_102, ..., formula_103) sont équivalents pour "R".


title: Algèbre universelle

text: Soit "R" une congruence de "A". Alors chacune des opérations de "A" passe au quotient suivant "R", c'est-à-dire produit une opération « bien définie » dans l'ensemble quotient "A"/"R" : le composé des classes d'équivalence d'éléments de "A" pour R est la classe d'équivalence du composé de ces éléments de "A" pour "R". On définit ainsi une structure algébrique sur "A"/"R", et l'algèbre ainsi obtenue est appelée ou, plus simplement, "quotient" de "A" par "R". Lorsque l'on considère l'ensemble "A"/"R" comme une algèbre de signature Ω, c'est pour cette structure algébrique.


title: Algèbre universelle

text: La surjection canonique de "A" sur "A"/"R" est un homomorphisme. En fait, la structure algébrique de "A"/"R" est l'unique structure algébrique sur l'ensemble "A"/"R" pour laquelle cette surjection est un homomorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Revenons sur le cas des groupes. Soit "G" un groupe. Alors, pour tout sous-groupe distingué "H" de "G", la relation d'équivalence dans "G" définie par "H" ("x" et "y" sont équivalents si et seulement si formula_112 appartient à "H") est une congruence de "G". Réciproquement, pour toute congruence "R" de "G", la classe d'équivalence de l'élément neutre de "G" est un sous-groupe distingué de "G". On obtient ainsi une bijection entre les congruences de "G" et les sous-groupes distingués de "G". On obtient des résultats analogues pour les anneaux et les modules en remplaçant les sous-groupes distingués par les idéaux bilatères et les sous-modules, respectivement.


title: Algèbre universelle

text: Les congruences de "A" ne sont autres que les sous-algèbres de l'algèbre produit "A" × "A" qui sont des relations d'équivalence.


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques propriétés des congruences.


title: Algèbre universelle

text: Exemple de géométrie affine. Soient "K" un corps et "E" un espace affine sur "K" attaché à un espace vectoriel "V" sur "K". On considère "E" comme un algèbre pour une signature convenable (voir plus haut). Pour tout sous-espace vectoriel "W" de "V", l'ensemble des couples ("x", "y") de points de "E" tels que "x" - "y" appartient à "V" est une congruence de cette algèbre, et on obtient ainsi une bijection entre le treillis des congruences de "E" est celui des sous-espaces vectoriels de "V".


title: Algèbre universelle

text: Comme dans le cas des groupes, des anneaux et des modules, il y a une notion de passage au quotient d'homomorphismes et il y a des théorèmes d'isomorphie.


title: Algèbre universelle

text: Premier théorème d'isomorphie. Soient "A" et "B" des algèbres, "f" un homomorphisme de "A" dans "B". Alors la relation d'équivalence "U" dans "A" associée à "f" ("x" est équivalent à "y" pour "U" si et seulement si "f"("x") = "f"("y")) est une congruence dans "A", dite associée à "f" et est notée formula_113, et l'application "g" de "A"/formula_113 dans "B" déduite de "f" par passage au quotient est un homomorphisme injectif, et un donc "g" définit un isomorphisme de "A"/formula_113 sur "f"("A"). Si "f" est une surjection, alors "g" est un isomorphisme de "A"/formula_113 sur "B".


title: Algèbre universelle

text: Plus généralement, si "R" et "S" sont des congruences de "A" et "B" respectivement et si, quels que soient les éléments "x" et "y" de "A" qui sont équivalents pour "R", "f"("x") et "f"("y") sont équivalents pour "S" (on dit alors que "f" est compatible avec "R" et "S"), alors, par passage au quotient, on définit une application de "A"/"R" dans "B"/"S", et cette application est un homomorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit "R" une relation d'équivalence dans une algèbre "A". Pour que "R" soit une congruence de "A", il faut et il suffit qu'il existe un homomorphisme "f" de "A" dans une algèbre "B" tel que "R" est la congruence de "A" associée à "f".


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'une algèbre "B" est image homomorphe d'une algèbre "A" s'il existe un homomorphisme surjectif "f" de "A" sur "B", et alors "B" est isomorphe à l'algèbre "A"/"R", où "R" est la congruence de "A" associée à "f".


title: Algèbre universelle

text: Voici la propriété fondamentale des algèbres quotients.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient "A" et "B" des algèbres, "R" une congruence de "A" et "p" la surjection canonique de "A" sur "A"/"R". Pour tout homomorphisme "f" de "A"/"R" dans "B", alors "f" o "p" est un homomorphisme de "A" dans "B" qui est compatible avec "R". L'application "f" formula_117 "f" o "p" de l'ensemble des homomorphismes de "A"/"R" dans "B" dans l'ensemble des homomorphismes de "A" dans "B" qui sont compatibles avec "R" est une bijection. En termes de théorie des catégories, cela peut s'interpréter en disant que le couple ("A"/"R", "p") est un représentant du foncteur, de la catégorie des algèbres de signature Ω dans la catégorie des ensembles, qui à toute algèbre "X" de signature Ω associe l'ensemble des homomorphismes de "A" dans "X" qui sont compatibles avec "R".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "A" une algèbre, "B" une sous-algèbre de "A" et "R" une congruence de "A". On dit que "B" est saturée pour "R" si la classe d'équivalence pour "R" de tout élément de "B" est incluse dans "B", c'est-à-dire si "B" est la réunion de classes d'équivalence de "R". La réunion de l'ensemble des classes d'équivalence pour "R" des éléments de "B" est une sous-algèbre de "A" qui est saturée pour "R", et on l'appelle saturée de "B" pour "R". Elle est égale à l'image "R"("B") de "B" par la relation "R".


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A" et "B" des algèbres telles qu'il existe un homomorphisme "f" de "A" sur "B" et soit "R" la congruence de "A" associée à "f". Alors l'application de l'ensemble des sous-algèbres de "A" qui sont saturées pour "R" dans l'ensemble des sous-algèbres de "f"("B") qui à une telle sous-algèbre "C" de "A" associe "f"("C") est une bijection.


title: Algèbre universelle

text: Deuxième théorème d'isomorphie. Soient "A" une algèbre, "B" une sous-algèbre de "A", "R" une congruence de "A" et "C" la saturé de "B" pour "R". Alors l'injection canonique de "B" dans "C" est compatible avec les relations d'équivalence "S" et "T" induites sur "B" et "C" par "R", et donc, on a par passage au quotient, un homomorphisme "g" de "B"/"S" dans "C"/"T". Si de plus "A" = "C", alors "g" est un isomorphisme de "B"/"S" sur "A"/"R" = "C"/"T".


title: Algèbre universelle

text: Troisième théorème d'isomorphie. Soient "A" une algèbre, "R" et "S" des congruences de "A" telles que "R" est incluse dans "S". Alors l'identité de "A" est compatible avec "R" et "S" et alors la relation d'équivalence associée à l'application "h" de "A"/"R" sur "A"/"S" déduite de l'identité de "A" par passage au quotient est notée "S"/"R" et appelée "quotient" de "S" par "R". L'application de ("A"/"R")/("S"/"R") dans "A"/"S" déduite de "h" par passage au quotient est un isomorphisme (les "R" se "simplifient").


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A" une algèbre et "R" une congruence de "A". Alors l'application de l'ensemble des congruences de "A" qui contiennent "R" dans l'ensemble des congruences de "A"/"R" qui à toute congruence "S" de "A" qui contient "R" associe "S"/"R" est une bijection.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit formula_45 une famille d'algèbre et, pour tout élément "i" de "I", formula_119 une congruence dans formula_119. Alors la relation binaire "R" dans formula_53 définie par formula_81 "R" formula_123 si et seulement si formula_104 "R" formula_105 est une congruence dans formula_53. Elle est la relation d'équivalence associée à l'homomorphisme "g" de formula_53 dans formula_128 qui à formula_81 associe la famille formula_130 des classes d'équivalence des formula_104 suivant des formula_119. D'après le premier théorème d'isomorphie, on déduit de "g" par passage au quotient suivant "R" un isomorphisme de formula_133 sur formula_134.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'un algèbre "A" est si l'ensemble de ses congruences est un ensemble à deux éléments, c'est-à-dire si "A" n'est ni vide ni triviale et s'il n'existe pas de congruence autre que l'identité de "A" et la congruence "A" × "A".


title: Algèbre universelle

text: Cette définition généralise la notion de groupes simples, de modules simples sur un anneau donné. La définition des anneaux simples et des algèbres (sur un anneau) simples variant d'un auteur à l'autre, cette définition la généralise parfois. Dans le cas des algèbres de Lie sur un corps commutatif donné, on exige en plus que les soient non commutatives .


title: Algèbre universelle

text: L'algèbre des termes de signature Ω sur un ensemble est une algèbre qui va permettre de définir la notion d'identité dans une algèbre, par exemple l'associativité, la commutativité et la distributivité. Intuitivement, elle est formée de toutes les combinaisons formelles d'éléments de cet ensemble à partir d'éléments de Ω, interprétés comme des opérateurs. On peut penser à cette algèbre comme une sorte d'algèbre de polynômes en des indéterminées (en nombre fini ou infini).


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "I" un ensemble. Il existe un plus petit ensemble "T" tel que "I" et formula_22 sont inclus dans "T" (on suppose ces deux ensembles disjoints) et tel que, pour tout entier naturel non nul "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les "n" éléments formula_26, ..., formula_27 de "T", la suite (ω, formula_26, ..., formula_27) appartient à "T". Il existe alors une unique structure algébrique de signature Ω sur "T" telle que formula_22 est l'ensemble des constantes de "T" et telle que, pour tout entier naturel non nul "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les "n" éléments formula_26, ..., formula_27 de "T", formula_145(formula_26, ..., formula_27) = (ω, formula_26, ..., formula_27), ce qui permet de désigner par ω(formula_26, ..., formula_27) l'élément (ω, formula_26, ..., formula_27) de "T". On appelle algèbre des termes de signature Ω construite sur "I" et on note formula_154("I") ou "T"("I") l'algèbre ainsi obtenue. On l'appelle aussi algèbres des mots ou algèbre absolument libre. On appelle termes ou mots les éléments de "T".


title: Algèbre universelle

text: L'élément "i" de "T" est noté formula_155 et les formula_155 sont appelées indéterminées de "T".


title: Algèbre universelle

text: Ainsi, les termes sont expressions formelles en faisant opérer les éléments de Ω sur les indéterminées (les formula_155, éléments de "I") et les constantes (les éléments de formula_22), et en faisant opérer les éléments de Ω sur les expressions ainsi obtenues et réitérant le précédé, un nombre fini de fois.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. L'algèbre "T" = formula_154("I") a une propriété universelle : pour toute algèbre "A" et pour toute application "f" de l'ensemble "I" dans "A", il existe un unique homomorphisme d'algèbres de "T" dans "A" qui prolonge "f", et on obtient ainsi une bijection entre l'ensemble des applications de "I" dans "A" et l'ensemble des homomorphismes de "T" sur dans "A".


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre. En identifiant l'ensemble des applications de "I" dans "A" à l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I", on a, d'après ce qui précède, une bijection canonique φ entre l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I" et l'ensemble des homomorphismes de "T" dans "A". Pour toute famille formula_160 d'éléments de "A" indexée par "I" et pour tout élément "t" de "T", on note note formula_161 la valeur en "t" de l'homomorphisme φ(formula_160) de "T" dans "A" : on dit alors que cet élément de "A" est obtenu en substituant les formula_57 aux formula_155. De manière intuitive, on remplace chaque occurrence de l'indéterminée formula_155 dans le terme "t" par l'élément formula_57 de "A" et on "calcule" l'expression obtenue dans "A". Cela s'interprète de la même manière que la substitution aux indéterminées d'un polynôme d'élément d'une algèbre associative unifère et commutative sur un anneau commutatif.


title: Algèbre universelle

text: Pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme surjectif à valeurs dans "A" définie sur l'algèbre des termes construits sur "A".


title: Algèbre universelle

text: Définition. On appelle identité de signature Ω construite sur "X" tout couple d'éléments de "T" = formula_154("X"). Étant donné une identité ("u", "v"), on dit qu'une algèbre "A" satisfait l'identité "u" = "v" si, pour toute famille "x" = formula_81 d'éléments de "A" indexée par "I", on a "u"("x") = "v"("x"), autrement dit, en substituant, pour tout élément "i" de "I", un même élément de "A" à l'indéterminée formula_155 dans "u" et "v", les éléments de "A" ainsi obtenus sont égaux.


title: Algèbre universelle

text: Exemples. On considère un magma "M", c'est-à-dire un ensemble muni d'une seule loi de composition.


title: Algèbre universelle

text: Exemples. Voici quelques exemples d'identités :


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une variété d'algèbres de signature Ω est une classe "V" d'algèbres de signature Ω telle qu'il existe un ensemble "I" et une partie "S" de formula_180("I")× formula_180("I") telle que "V" est la classe de toutes les algèbres de signature Ω qui satisfont chacune des identités de "S". En fait, on pourrait, pour définir les variétés d'algèbres en général, se limiter à considérer l'algèbre des termes d'un ensemble infini dénombrable fixé une fois pour toutes (l'ensemble des entiers naturels, par exemple).


title: Algèbre universelle

text: Par exemple, les monoïdes, les groupes, les anneaux, les modules sur un anneau donné (ou espaces vectoriels sur un corps donné) forment des variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Les variétés d'algèbres de signature donnée forment des catégories pour les homomorphismes et la composition des homomorphismes, et ces catégories ont la plupart des propriétés communes usuelles des catégories des groupes, des monoïdes, des anneaux, des espaces vectoriels sur un corps, etc. : construction des structures induites et des quotients, existence et construction des produits, existence d'objets libres, existence des limites et des colimites quelconques, construction des limites quelconques et des colimites filtrantes. En un sens, on peut dire que les variétés d'algèbres sont de « bonnes » catégories d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: La classe de toutes les algèbres qui sont vides ou triviales forment une variété d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Certaines opérations de structures algébriques qui font que l'on a affaire à une variété d'algèbres ne sont pas données dans la définition usuelle. Par exemple, un groupe un ensemble muni d'une loi de composition vérifiant certaines propriétés, mais seules l"'existence" de l'élément neutre et l'existence de l'inverse de tout élément font partie de la définition usuelle, mais le groupe n'est pas, dans la définition usuelle, muni d'un élément neutre et d'une inversion. Pour déterminer les opérations qui dont que l'on a affaire à une variété d'algèbres, on peut examiner les axiomes des sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbres. On a un foncteur, dit d' oubli, de la catégorie "V" dans la catégorie des ensembles en associant à toute algèbre "A" de "V" son ensemble sous-jacent.


title: Algèbre universelle

text: On trouvera ici la liste des principales variétés d'algèbres que l'on rencontre en mathématiques. Pour chacune des types de structure algébrique suivantes, la classe de toutes les algèbres qui sont de ce type forment une variété d'algèbres :


title: Algèbre universelle

text: Voici des structures algébriques qui ne forment pas des variétés d'algèbres : les semi-groupes, c'est-à-dire les monoïdes dont tout élément est simplifiable, les corps commutatifs, les anneaux principaux, les anneaux factoriels, les modules libres sur un anneau donné non trivial "A" qui n'est pas un corps, les treillis complets.


title: Algèbre universelle

text: Soit "K" un corps (commutatif ou non). Soit "X" un espace affine sur un corps "K", en considérant l'ensemble vide comme un espace affine attaché à un espace vectoriel nul. Alors, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, on a opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affecté de ces éléments de "K". On définit donc une structure algébrique sur "X". En fait, on peut montrer, que, en associant à chaque espace affine sur "K" l'algèbre ainsi définie, on a un foncteur de la catégorie des espaces affines sur "K" (les morphismes sont les applications affines) dans une variété d'algèbres qui est en fait une équivalence de catégories. Ceci montre que les propriétés catégorielles des variétés d'algèbres s'appliquent à la catégorie des espaces affine sur "K".


title: Algèbre universelle

text: Les variétés d'algèbres sont stables pour la plupart des constructions usuelles en algèbre. Soit "V" une variété d'algèbres. On a les propriétés suivantes.


title: Algèbre universelle

text: En fait, on a la caractérisation suivante des variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Théorème de Birkhoff. Pour qu'une classe "V" d'algèbres de signature Ω soit une variété d'algèbres, il faut et il suffit qu'elle vérifie les propriétés suivantes :


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit "V" une variété d'algèbres. Alors, au sens de la théorie des catégories, les isomorphismes de la catégorie "V" ne sont autres que les homomorphismes de "V" qui sont des bijections et les monomorphismes de "V" ne sont autres que les homomorphismes de "V" qui sont des injections. Tout homomorphisme surjectif de "V" est un épimorphisme de la catégorie "V", mais la réciproque peut être fausse, comme le montre la catégorie des anneaux (ou des monoïdes) : on peut montrer qu'il existe, dans la catégorie des anneaux, l'injection canonique de l'anneau formula_36 des entiers rationnels dans le corps formula_35 des nombres rationnels est un épimorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Dans les variétés d'algèbres, certains auteurs appellent "épimorphismes" les homomorphismes surjectifs, ce qui peut créer une confusion avec les épimorphisme de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Les produits directs d'algèbres de "V" ne sont autres que les produits au sens de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Toutes les propriétés générales des variétés d'algèbres s'appliquent à toutes les structures algébriques qui forment des variétés d'algèbres énumérées précédemment, et à bien d'autres. On peut donc définir pour ses structures des homomorphismes, des sous-algèbres et les congruences, et on peut construites les produits directs et les quotients, et ce, de manière uniforme. De plus, comme on le verra, on peut construire les limites quelconques et les colimites filtrantes de foncteurs (en particulier des limites projectives et inductives de systèmes projectifs et inductifs indexés par des ensembles ordonnés filtrants) de la même manière qu'en théorie des ensembles. En particulier on a des égalisateurs, des coégalisateurs et des produits fibrés, construits comme en théorie des ensembles. On peut aussi montrer que ces structures admettent des colimites quelconques, et en particulier des coproduits (ou sommes) et des coproduits fibrés (ou sommes amalgamées ou fibrées), mais chaque variété d'algèbres à sa construction, qui peut différer de la construction que l'on retrouve en théorie des ensembles. On peut construire les algèbres libres engendrées par des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: On retrouve en algèbre différents objets libres sur un ensemble : les monoïdes libres, les groupes libres, les modules libres sur un anneau donné, les algèbres de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif. Tous ces exemples sont assez bien connus (au niveau universitaire). Toutes ces constructions ont des propriétés communes, qui en fait relèvent de la théorie des catégories, et se généralisent dans les variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbre de signature Ω, et on suppose qu'il existe des algèbres non triviales dans "V", c'est-à-dire qui ont plus d'un élément. Alors on a le théorème suivant :


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Pour tout ensemble "I", il existe une algèbre "L" de "V" qui contient "I" comme sous-ensemble telle que, pour toute algèbre "A" de "V" et pour toute application "f" de "I" dans "A", il existe un unique homomorphisme de "L" dans "A" qui prolonge "f". On dit qu'une telle algèbre "L" est une algèbre libre construite sur "I" dans "V". La partie "I" de "L" est alors une partie génératrice de "L".


title: Algèbre universelle

text: Si "V" est la variété de toutes les algèbres de signature Ω, alors l'algèbre de termes formula_154("I") est une algèbre libre construite sur "I".


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Quelles que soient les algèbres libres "L" et "M" construites sur "I" dans "V", il existe un unique isomorphisme de "L" sur "M" qui prolonge l'application identité de l'ensemble "I". Ainsi, l'algèbre libre construite sur "I" dans "V" est unique à un isomorphisme unique près.


title: Algèbre universelle

text: Les algèbres libres construites sur "I" dans "V" sont donc uniques à un isomorphisme unique près. On peut donc en choisir une fois pour toutes. Mais il y a une construction canonique, qui est une algèbre quotient de l'algèbre des termes construits sur "I". Cette construction est valable dans chacune des variétés d'algèbres, mais en pratique, dans les variétés d'algèbres les plus importantes, il y a une construit explicite plus simple, qui dépend réellement de la variété d'algèbres considérée. La construction explicite n'a pas vraiment d'importance, mais on en construit une pour pouvoir parler de l' "algèbre libre" et non pas d'une "algèbre libre" construite sur "I". Voici sa construction.


title: Algèbre universelle

text: Soit "S" l'ensemble des couples d'éléments de formula_186 (formula_187 est l'ensemble des entiers naturels) qui sont des identités satisfaites par toute algèbre de "V" et soit "R" la congruence de formula_188 engendrée par l'ensemble des ("f"("s"), "f"("t")) tels que "f" est un homomorphisme de formula_186 dans formula_188 et ("s", "t") est un élément de "S". Alors la composée de l'injection canonique de "I" dans formula_188 et de la surjection canonique de formula_188 sur "L" = formula_188/"R" est une injection et, en identifiant "I" à l'image de cette injection, "L" est une algèbre libre construite sur "I" dans "V", que l'on l'appelle l' algèbre libre construite sur "I" dans "V" et on la note formula_194("I").


title: Algèbre universelle

text: Exemples. Voici des variétés d'algèbres où la construction explicite des algèbres libres construites un ensemble "I" est bien connue, avec une indication de la construction explicite :


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Quels que soient les ensembles "I" et "J" et l'application "f" de "I" dans "J", il existe un unique homomorphisme de formula_194("I") dans formula_194("J") qui prolonge "f", et on le note formula_194("f"). Cet homomorphisme est injectif, surjectif ou un isomorphisme suivant que "f" est injective, surjectif et bijective. En termes de la théorie des catégories, on définit ainsi un foncteur "F" de la catégorie des ensembles dans "V", qui est en fait un adjoint à gauche du foncteur d'oubli de "V" dans la catégorie des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'une algèbre de "V" est "libre" en tant qu'algèbre de "V" (sans référence à un ensemble d'indéterminées) si elle est isomorphe à une algèbre libre construite sur un ensemble dans "V". Cela dépend de la variété "V" et non pas seulement de Ω. Cela généralise la notion de module libre ou de groupe libre.


title: Algèbre universelle

text: Pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme surjectif à valeurs dans "A" définie sur une algèbre libre construite sur l'ensemble sous-jacent à "A".


title: Algèbre universelle

text: Au sens de la théorie des catégories, toute variété d'algèbres "A" admet des objets initiaux, c'est-à-dire une algèbre "U" telle que, pour toute algèbre de "A" de "V", il existe un unique homomorphisme de "U" dans "A". Les objets initiaux dans la variété "V" ne sont autres que objets libres construits sur l'ensemble vide, et ils sont uniques à un isomorphisme unique près.


title: Algèbre universelle

text: Dans la catégorie des ensembles, l'ensemble vide est l'unique objet initial, mais dans une variété d'algèbres, les objets initiaux n'ont pas comme ensemble sous-jacent l'ensemble vide, sauf s'il n'y a aucune opération nullaire dans la signature (alors que les objets finaux ont comme ensemble sous-jacent les singletons, objets finaux de la catégorie des ensembles).


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques exemples d'objets initiaux dans des variétés d'algèbres :


title: Algèbre universelle

text: Le foncteur d'oubli de la variété d'algèbres "V" dans la catégorie des ensembles est représentable. Autrement dit, il existe un couple ("U", "c") formé d'une algèbre "U" de "V" et d'un élément "c" de l'ensemble sous-jacent à "U" tel que, pour toute algèbre "A" de "V", l'application "f" → "f"("c") de Hom("U", "A") dans l'ensemble sous-jacent à "A" est bijection. Les représentants de foncteur s'identifient aux algèbres libres construites sur un ensemble à un élément (le "c" en question) dans "V". Dans la catégorie des ensembles, le couple ({0}, 0) est un représentant du foncteur identité de la catégorie des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: Voici quelques exemples dans des variétés d'algèbres:


title: Algèbre universelle

text: Soit "G" un groupe. Pour qu'une action de "G" sur un ensemble non vide "E" soit simplement transitive, il faut et il suffit que le "G"-ensemble qu'est l'ensemble "E" muni de cette action soit un "G"-ensemble libre construite sur un élément de "E".


title: Algèbre universelle

text: Soit "I" un ensemble. Pour tout élément "i" de "I", on peut alors noter formula_155 l'élément de formula_194("I") auquel s'identifie "i", et on dit que les formula_155 sont des indéterminées de formula_194("I"). En interprétant ainsi les éléments de "I", on a le résultat qui suit.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de "V". En identifiant l'ensemble des applications de "I" dans "A" à l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I", on a, d'après la définition des algèbres libres, une bijection canonique φ entre l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I" et l'ensemble des homomorphismes de "L" = formula_194("I") dans "A". Pour toute famille formula_81 d'éléments de "A" indexée par "I" et pour tout élément "t" de "L", on note formula_210 la valeur en "t" de φ(formula_81): on dit alors que cet élément de "A" est obtenu en substituant les formula_104 aux formula_155. Cela s'interprète de la même manière que la substitution aux indéterminées d'un polynôme d'élément d'une algèbre associative unitaire et commutative sur un anneau commutatif.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de "V", "t" un élément de "L" = formula_194("I"). En associant de cette manière à tout élément de formula_215 un élément d'élément de "A", obtenue par substitution dans "t", on obtient une application de formula_215 dans "A" qui s'interprète, dans le cas de la variété des algèbres associatives unifères et commutatives sur un anneau commutatif "K", comme l'application polynomiale associée à "t".


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" une algèbre de "V", formula_81 une famille d'éléments de "A" indexée par un ensemble "I" et φ l'homomorphisme correspondant de formula_194("I") dans "A".


title: Algèbre universelle

text: Les notions de famille libre, d'éléments indépendants et de base dépendent de la variété d'algèbres et non seulement de la signature d'algèbres, contrairement au cas des familles génératrices.


title: Algèbre universelle

text: On retrouve en algèbre les présentations de groupes. Cette notion se généralise au cas des variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "A" une algèbre de la variété d'algèbre "V". On appelle présentation de "A" (relativement à "V") tout couple ("X", "S") formé d'une partie génératrice "X" de "A" et d'un ensemble "S" de couples d'éléments l'algèbre libre "L" construite sur "X" telle que la congruence "R" d'algèbre de "L" engendrée par "S" est la relation d'équivalence associée à l'unique homomorphisme de "L" sur "A" qui prolonge l'injection canonique de "X" dans "A". Les éléments de "X" sont alors appelés générateurs de la présentation et les éléments de "S" les relations de la présentation.


title: Algèbre universelle

text: Cette notion de présentations dans une variété d'algèbres généralise bien celle des groupes. Dans le cas des groupes, on se donne une partie génératrice "X" d'un groupe "G" (les générateurs) et une partie "K" du groupe libre "L" construit sur "X" (les relateurs) telle que le sous-groupe distingué de "L" engendré par "K" est le noyau de l'unique homomorphisme de "L" dans "G" qui prolonge l'injection canonique de "X" dans "G". Le passage de la partie "K" à l'ensemble "S" de couples de "L" se fait ainsi : au lieu de considéré un élément "x" de "L" (un relateur de la présentation), on considère le couple ("x", "e") formé de "x" et de l'élément neutre "e" de "L" (une relation de al présentation).


title: Algèbre universelle

text: Toute algèbre "A" d'une variété d'algèbre "V" admet une présentation.


title: Algèbre universelle

text: La notion de présentation d'algèbres permet parfois de faire plus simplement certains calculs, en particulier lorsque l'on considère toutes la variété de toutes les algèbres d'une signature donnée ou encore lorsque l'on peut construite explicitement les algèbres libres dans la variété en question (par exemple la catégorie des groupes).


title: Algèbre universelle

text: On dit qu'une algèbre "A" de "V" est de présentation finie s'il existe une présentation ("X", "S") de "A" telle que les ensembles "X" et "S" sont finis.


title: Algèbre universelle

text: Si une algèbre "A" de "V" est de présentation finie, alors elle est de type fini.


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbres de signature Ω. On peut montrer que la catégorie "V" admet des limites projectives et des limites inductives et même, plus généralement, des limites et des colimites. On peut aussi montrer que le foncteur d'oubli de "V" dans la catégorie des ensembles crée les limites quelconques et crée les colimites filtrantes (les limites inductives filtrantes).


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient "I" une petite catégorie (resp. un ensemble ordonné filtrant) et "F" un foncteur de "I" dans "V" et considérons "L" la limite (resp. la colimite) de "F" considéré comme foncteur dans la catégorie des ensembles, au moyen du foncteur d'oubli. Alors il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur "L" pour laquelle, pour tout élément "i" de "I", l'application canonique de "L" dans formula_219 (resp. de "L" dans formula_219) est un homomorphisme. Alors, pour cette structure algébrique sur "L", "L" est, pour les applications canoniques, une limite (resp. une colimite) du foncteur "F" dans la catégorie "V". On peut montrer que cette construction est fonctorielle.


title: Algèbre universelle

text: En particulier, on peut remplacer "I" par un ensemble ordonné (resp. un ensemble ordonné filtrant) et "F" par un système projectif (resp. un système inductif) d'algèbres de "V" : on obtient les limites projectives (resp. les limites inductives).


title: Algèbre universelle

text: Exemples (tous construits comme dans la catégorie des ensembles)


title: Algèbre universelle

text: La catégorie "V" admet des limites et des colimites quelconques, et donc la catégorie est complète et cocomplète. Cela tomberait en défaut si on n'admettait les algèbres (s'il en existait du moins).


title: Algèbre universelle

text: Coproduits et coproduits fibrés. Cela a pour conséquence que les variétés d'algèbres admettent des coproduits (ou sommes directes). Voici des exemples de coproduits :


title: Algèbre universelle

text: Comme on le voit, les coproduits sont rarement construits comme dans le cas des ensembles (c'est alors la réunion disjointe).


title: Algèbre universelle

text: Les variétés d'algèbres admettent aussi des coproduits fibrés (ou sommes amalgamées).


title: Algèbre universelle

text: Le résultat suivant en est un qui donne l'existence de l'adjoint de certains foncteurs entre des variétés d'algèbres, et on obtient ainsi les cas les plus courants des solutions à des problèmes universels.


title: Algèbre universelle

text: On note Ω et Θ des signatures d'algèbres et "V" et "W" des variétés d'algèbres de type Ω et Θ respectivement.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. On suppose qu'il existe un foncteur "F" de la catégorie "V" dans la catégorie "W" qui "commute" aux foncteurs d'oubli dans la catégorie des ensembles, c'est-à-dire tel que, pour toute algèbre "A" de "V", les ensembles sous-jacents à "A" et "F"("A") sont égaux et, quels que soient les algèbres "A" et "B" de "V" et l'homomorphisme "f" de "A" dans "B", les applications "f" et "F"("f") sont égales. Alors il existe un adjoint à gauche "G" de "F". En particulier, pour toute algèbre "A" de "V" et pour toute algèbre "C" de "W", on a une bijection canonique "naturelle" entre les ensembles d'homomorphismes Hom("F"("A"), "C") et Hom("A", "G"("C")).


title: Algèbre universelle

text: Exemples particuliers. Les cas les plus importants de foncteurs entre "V" et de "W" sont cas des foncteurs d'inclusion (avec Ω = Θ), des foncteurs d'oubli (avec Θ inclus dans Ω) ou des foncteurs de modification de structures. Voici les exemples les plus courants.


title: Algèbre universelle

text: Exemples généraux Sauf dans le cas de l'algèbre enveloppante des algèbres de Lie, les exemples précédents sont de ces deux types (inclusion et oubli). Dans ce dernier cas, on obtient un adjoint d'un foncteur de « modification de structure ».


title: Algèbre universelle

text: Exemple de géométrie affine. Soit "K" un corps (commutatif ou non). Il existe une équivalence de catégories entre la catégorie des espaces affines sur "K" avec applications affines et une variété d'algèbres (voir plus haut). Tout espace vectoriel "V" sur "K" peut être considéré comme un espace affine sur "K", et on obtient alors un foncteur concret de la catégorie des espaces vectoriels sur "K" dans la catégorie des espaces affines sur "K". Il découle alors du théorème précédent que ce foncteur d'oubli admet un adjoint, qui à tout espace affine "E" sur "K" associe son espace vectoriel enveloppant "Ê": il est caractérisé, à isomorphisme près, par le fait que "E" est un hyperplan affine de "Ê" qui ne passe pas par 0. C'est une sorte de version vectorielle du de "E" (l'espace projectif "P"("Ê") est un complété projectif de "E").


title: Wallonie-Bruxelles

text: Wallonie-Bruxelles peut signifier:


title: Péplos (vêtement)

text: Le péplos ( en grec ancien, ou "" en latin) est la tunique féminine de style dorien de la Grèce antique (Fig. 1).


title: Péplos (vêtement)

text: C'est une pièce de tissu rectangulaire, à gros plis (comme en portent les "Korai" de l’Érechthéion) pliée en deux et cousue afin de former une sorte de tube cylindrique dont le haut forme un rabat sur la poitrine (parfois aussi sur les épaules). Les deux moitiés du tissu sont attachées par une agrafe sur chaque épaule. Le péplos est maintenu à la taille par une ceinture (Fig. 2).


title: Péplos (vêtement)

text: Il est en tissu lourd (laine). Il s'enfile par les pieds en glissant sous les aisselles et est toujours plus long que la taille de celle qui le porte. Il se porte parfois avec une petite cape dans la même étoffe.


title: Péplos (vêtement)

text: Ce vêtement est un endyma, ou dit aujourd’hui une robe, ou bien un épibléma, désormais appelé un manteau.


title: Péplos (vêtement)

text: Chaque année, lors de la fête des Panathénées, on offrait à Athéna un péplos brodé.


title: Péplos (vêtement)

text: Il disparaît progressivement avec l'apparition du lin qui permet des vêtements plus amples et plus souples pour être remplacé par le chitôn.


title: Péplos (vêtement)

text: Dans l'imaginaire collectif, le péplos est blanc, mais probablement ceci dépend du fait que les statues grecques ont perdu leurs couleurs d'origine, au cours des siècles. On a tenté de reconstituer l'aspect probable des péplos décorés de motifs de couleurs vives.


title: Aculeata

text: Les aculéates (Aculeata) sont un infra-ordre d'insectes hyménoptères du sous-ordre des apocrites.


title: Aculeata

text: Comme les autres apocrites, ils sont caractérisés par un net étranglement entre le thorax et l'abdomen. Les femelles aculéates possèdent un aiguillon abdominal, communément appelé dard (il est atrophié chez certaines espèces de fourmis).


title: Aculeata

text: Cet infra-ordre est monophylétique. Les aculéates forment un ensemble d'espèces réparti en quatre superfamilles :


title: Aculeata

text: Les guêpes aculéates rendent de nombreux services écosystémiques. Leur importance n’a pas encore été mesurée du fait de leur mauvaise réputation et du manque d’études à leur sujet.


title: Aculeata

text: Environ 164 espèces de plantes sont connues pour dépendre exclusivement de guêpes aculéates pour leur pollinisation. C’est notamment le cas pour 84 espèces d’orchidées, dont les uniques pollinisatrices sont des guêpes de la famille des Thynnidae. Certaines orchidées attirent les mâles d’une espèce en libérant les phéromones sexuelles que relâchent les femelles et en imitant leur apparence. Pensant s’accoupler avec une femelle, le mâle récupère le pollen de la plante et le transmet à la prochaine. Ce mécanisme se doit donc d’être très spécifique entre l’espèce d’orchidée et l’espèce de guêpe pour éviter toute hybridation entre orchidées. D’autres stratégies de pollinisation existent chez ces plantes. "Epipactis helleborine" et "Epipactis purpurata" attirent les individus des espèces "Vespula germanica" et "Vespula vulgaris" en libérant des composés volatils qui ressemblent à ceux émis lorsque la plante se fait attaquer par des insectes phytophages. Les guêpes étant des prédateurs de ces insectes, elles sont attirées par la plante et récoltent le pollen en cherchant leurs proies.


title: Aculeata

text: Le venin des guêpes est composé d’un assemblage de molécules dont certaines présentent des propriétés antimicrobiennes. Par exemple, Polydim-I est un peptide extrait du venin de "Polybia dimorpha" qui entraîne une réduction de l’activité de "Mycobacterium abscessus", bactérie responsable d’infections pulmonaires.


title: Aculeata

text: Les sécrétions larvaires peuvent aussi jouer un rôle dans la lutte contre les bactéries. Les larves de "Ampulex compressa" sécrètent une substance s’attaquant à "Serratia marcescens""," une bactérie opportuniste qui entraîne notamment des infections de plaies et infections urinaires. Les sécrétions antimicrobiennes des larves de "Polistes dominula" luttent quant à elles contre "Bacillus subtilis" et "Escherichia coli".


title: Aculeata

text: Toutes ces molécules ne représentent que des pistes de recherche pour une potentielle utilisation à des fins biomédicales.


title: Manuel Lopes

text: Manuel Lopes est un auteur de fictions, de poésies et d’essais, né le à Campinho, sur l'île de São Nicolau, au Cap-Vert, et mort le à Lisbonne au Portugal.


title: Manuel Lopes

text: Il est aussi l'un des fondateurs de la littérature capverdienne moderne et l'un des créateurs, avec Baltasar Lopes da Silva et Jorge Barbosa, de la revue "Claridade".


title: Manuel Lopes

text: Il a rédigé ses textes en portugais, tout en utilisant des expressions créoles.


title: Manuel Lopes

text: On lui attribue souvent par erreur pour lieu de naissance la ville de Mindelo, car il y est baptisé à l'âge de deux ans, dans la paroisse de Nossa Senhora da Luz. Il réside en fait à quelques kilomètre de Mindelo, sur le site de Mato Inglês. A la suite du décès de son père, il part en 1920 pour Coimbra avec sa mère, où il fait ses études secondaires jusqu'en 1923, au Collège São Pedro, puis à l’École commerciale.


title: Manuel Lopes

text: Il rentre alors au Cap-Vert et entre au lycée de Mindelo, mais il n'achève pas son cursus et finalement travaille dans une compagnie anglaise, la Western Telegraph Company, à l'âge de 16 ans, puis dans l'Italcable. Dans le même temps, en 1936, il fonde "Claridade" en compagnie de Jorge Barbosa et Baltasar Lopes da Silva. En 1940, il part pour l'île de Santo Antão sur laquelle il devient agriculteur, mais la Guerre mondiale qui sévit et la sécheresse particulièrement dure, font de cette époque une période extrêmement difficile qui marquera tout son œuvre à venir. Il finit par revenir à Mindelo où il devient trésorier de la Câmara municipal. En 1944, il réintègre la Western Telegraph Compagny situé à Faial, et part pour les Açores, où il vit jusqu’en 1956. A cette date, il rejoint la ville de Cascais, Portugal, à une trentaine de kilomètres de Lisbonne.


title: Sauer & Sohn

text: J. P. Sauer und Sohn GmbH, plus couramment Sauer ou Sauer & Sohn, est une société allemande d'armes à feu fondée en 1751 à Suhl et ayant son siège actuel à Eckernförde.


title: Sauer & Sohn

text: Sauer est ainsi le plus ancien fabricant d'armes à feu allemand encore en activité.


title: Sauer & Sohn

text: Sauer & Sohn appartenait jusqu'en 2000 à la holding suisse SIG et fait maintenant partie de la société Swiss Arms.


title: Sauer & Sohn

text: Au , la famille Sauer venant de Nuremberg s’installe à Suhl. C'est là que Johann Paul Sauer fonde en 1751 une société d’armurerie sous le nom de J. P. Sauer & Sohn.


title: Sauer & Sohn

text: Après les premières années de production, Sauer remporte un marché pour l’armurerie de Dresde. Sauer produisait avant tout des armes militaires comme des pistolets, des fusils et un peu plus tard des revolvers.


title: Sauer & Sohn

text: En 1880, la priorité fut donnée à la fabrication d'armes de chasse. Sauer & Sohn devint le leader sur ce marché et maintint cette position avec des innovations et des brevets .


title: Sauer & Sohn

text: En 1893 Sauer collabore avec Krupp.


title: Sauer & Sohn

text: En 1898, des pistolets sont produits par Sauer.


title: Sauer & Sohn

text: Le début de la Seconde Guerre mondiale permit à Sauer de se développer en produisant des armes militaires. En 1941, la production de Sauer était presque exclusivement de l’armement militaire.


title: Sauer & Sohn

text: La société Sauer était à côté de Mauser l'un des plus importants fabricants du fusil standard de l’armée, la carabine 98k, qui fut produit à d'exemplaires. Le fusil d'assaut Stg 44 (Sturmgewehr 44) a été développé en 1944 dans les ateliers de Suhl d'où il en est sorti quelque jusqu'à la fin de la guerre.


title: Sauer & Sohn

text: Après la fin de la guerre, la production redémarre temporairement pour les troupes d’occupation soviétique, en tant que réparation de guerre.


title: Sauer & Sohn

text: Le , Sauer devient une société anonyme. P. Sauer und Sohn GmbH sous la direction de Dietrich-Rolf Sauer et Fritz Bohmmüller. Le siège de cette société sera à Eckernförde.


title: Sauer & Sohn

text: Eckernförde fut choisi parce que le gouvernement régional promettait des crédits à la construction de l'entreprise. En outre, le fait de pouvoir occuper les anciens laboratoire d'essais de torpille (TVA) était intéressant pour la société.


title: Sauer & Sohn

text: À Eckernförde, de Suhl et plus de TVA commencèrent la fabrication d’armes de chasse.


title: Sauer & Sohn

text: À partir de 1952, des contacts étaient noués avec des distributeurs aux États-Unis, le plus important marché pour la vente de pistolets.


title: Sauer & Sohn

text: L'entreprise se développa rapidement, sa production augmenta ainsi que le nombre de collaborateurs. Les armes de chasse se vendaient bien en Scandinavie, mais aussi au Pakistan et au Brésil.


title: Sauer & Sohn

text: Le personnel passa à , et Sauer entreprit la construction d’appartements pour les accueillir à Eckernförde.


title: Sauer & Sohn

text: À partir de 1973, l'entreprise enregistra des succès importants avec les pistolets construit en collaboration avec Swiss Arms (autrefois SIG Arms) dans la conception et la fabrication de pistolets semi-automatiques de marque SIG-Sauer comme les séries P220, P225 (aussi connu comme P6 pour la police), P226, P228, P229 et P230 ainsi que le SIG Pro SP 2022 que l’on retrouve dans les différents services publics de protection dans le monde entier.


title: Sauer & Sohn

text: Aujourd'hui, on peut compter comme clients de Sauer des tireurs sportifs et des chasseurs exigeants, et aussi le FBI, les forces spéciales de la police et de l’armée ainsi que la police allemande et française.


title: Sauer & Sohn

text: La France, en 2003 par l’intermédiaire du Ministère de l’Intérieur et de son ministre Nicolas Sarkozy a passé une commande de modèle SIG Pro SP 2022 pour un montant de d’euros pour équiper ses forces de sécurités (polices, douanes et gendarmes). C’est la plus grosse commande d’armes de service de l’après-guerre que reçoit Sauer.


title: Sauer & Sohn

text: La garde suisse du Vatican est équipée, d'après un rapport sur la chaîne de télévision allemande ZDF, également de pistolets Sauer.


title: Sauer & Sohn

text: En collaboration avec SIG: Modèles de pistolets


title: Estampes de Debussy

text: Estampes est une œuvre pour piano composée par Claude Debussy en 1903. Sa première interprétation publique eut lieu le par le pianiste Ricardo Viñes à la Salle Érard de la Société nationale de musique. Il s'agit d'un triptyque de trois pièces assez courtes intitulées "Pagodes", "La soirée dans Grenade" et "Jardins sous la pluie".


title: Estampes de Debussy

text: "Estampes" est sans doute la première œuvre pianistique majeure de Debussy. Celle qui définit son style, et annonce les "Préludes" à venir. Non seulement Debussy invente une nouvelle technique pianistique, plus intime et délicate, par opposition aux prouesses techniques alors à la mode mais il redéfinit également le rôle du piano. Celui-ci n'est plus cet instrument sentimental et passionnel tel que le voyaient les romantiques, convergence de tous les maux et tourments, il se mue en machine à rêve et en compagnon de voyages imaginaires. Dans "Estampes", c'est une palette de sonorités inconnues que découvre l'auditeur, à la fois douce, poétique, expressive et dénuée de tout maniérisme. Comme le dit Roland de Candé dans son ouvrage, "Les chefs-d'œuvre classiques de la musique", «[...] l'harmonie est sensuelle et non intellectuelle ».


title: Estampes de Debussy

text: Durée approximative: 5 minutes


title: Estampes de Debussy

text: "Pagodes" est en quelque sorte la conséquence la plus évidente du choc laissé à Debussy par l'écoute des orchestres javanais et balinais (voir Musique indonésienne) lors de l'exposition universelle de 1889 à Paris. Une découverte qui nourrit en même temps son imagination et son inspiration, lui ouvrant la porte à tout un univers musical étranger à la logique et aux règles de la musique occidentale. Ainsi Debussy s'appuie avant tout à une recherche d'atmosphère que l'on peut qualifier, sans prendre trop de risques, d'extrême-orientale. Un thème pentatonique se fait entendre tout au long de la pièce auquel répondent des sonorités vaguement indonésiennes couplées à des subtilités de timbre et des entorses harmoniques.


title: Estampes de Debussy

text: Durée approximative: 5 minutes 30


title: Estampes de Debussy

text: Cette pièce d'évocation espagnole (bien que Debussy ne soit jamais allé en Espagne) faisait l'admiration du compositeur Manuel de Falla, lui-même andalou. Comme son titre l'indique, il s'agit d'une suite d'impression autour d'une soirée dans la ville de Grenade. Ici, Debussy utilise un procédé emprunté à Ravel et sa "Habanera" (composée en 1895) avec l'emploi d'une pédale de dominante grave, ce qui a pour effet de plonger l'auditeur dans une ambiance comme sombre et suspendue. Pour faire référence à une autre pièce de Debussy, on pourrait dire que les "parfums tournent dans l'air". La main gauche se charge de faire entendre une mélodie d'inspiration gitane et flamenca, suivent des allusions aux accents de tango ainsi que des motifs rappelant la guitare. Tout cela dans une seule et unique pièce pour piano, un manifeste de l'orchestration debussyenne.


title: Estampes de Debussy

text: Durée approximative: 4 minutes


title: Estampes de Debussy

text: Loin de ses influences musicales extrême-orientales et andalouses, Debussy revient à une inspiration française avec "Jardins sous la pluie". Les contrées sont plus familières et mélancoliques : la France et Paris, comme le laissent entendre ses emprunts thématiques. La pièce fait entendre fugitivement deux comptines populaires, "Dodo, l'enfant do" et "Nous n'irons plus au bois", thèmes mêlés aux notes transposant les gouttes de pluie et les chants des oiseaux. Selon Henri Pellerin, historien du Pays d'Auge, ce sont les jardins de l'hôtel de Croisy à Orbec (Calvados) qui ont inspiré le compositeur à la Pentecôte de 1894. Nombreux enregistrements, dont:


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: Saint-Maurice-l'Ardoise est un camp militaire situé à Saint-Laurent-des-Arbres dans le Gard.


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: Il a servi de camp de prisonniers pour les forces d'occupation pendant la Seconde Guerre mondiale.


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: Le camp est ensuite utilisé comme caserne pour des compagnies républicaines de sécurité


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: À partir de 1957, le camp est transformé centre d'assignation à résidence surveillée. Le camp s'étend sur un terrain de entouré d'un double grillage de barbelés au-delà duquel s'étire un no man's land de broussailles de plus de de large ceint d'une double ou triple rangée de ribards ou chevaux de frise. Des miradors sont disposés sur tout le périmètre. Le camp est dirigé par un commissaire-divisionnaire assisté de personnel technique. La garde extérieure est assurée par deux CRS (plus de ). Sont présents des fonctionnaires des renseignements généraux pour le contrôle des assignés. Y sont internés des Algériens suspectés d'être membres du FLN. L'arbitraire et les conditions de détention sont critiquées par l'Action civique-non violente et des défenseurs des droits de l'Homme. Puis des militants partisans de l'Algérie française et des personnes suspectées d'appartenir à l'OAS y ont été internés entre janvier et . Ils se sont regroupés dans l'association ADIMAD.


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: De 1962 à 1976, le camp, utilisé comme camp de transit et de reclassement, accueille des harkis.


title: Saint-Maurice-l'Ardoise

text: En 1975, quatre hommes cagoulés et armés pénètrent dans la mairie de Saint-Laurent-des-Arbres, dans le département du Gard. Sous la menace de faire sauter ce bâtiment à la dynamite, ils obtiennent après de négociations la dissolution du camp de harkis proche du village. À l'époque, depuis , ce camp de Saint-Maurice-l'Ardoise accueillait et leurs familles. Il y régnait, selon Hocine Louanchi dans le film documentaire "Hocine le combat d'une vie", une discipline militaire, des conditions hygiéniques minimales, violence et répression, et mentaux erraient désœuvrés dans un isolement total vis-à-vis de la société française.


title: Liste des évêques d'Ilorin

text: La liste des évêques d'Ilorin recense les noms des évêques qui se sont succédé sur le siège épiscopal d'Ilorin au Nigeria depuis la création de la préfecture apostolique d'Ilorin, le par détachement du diocèse d'Ondo. La préfecture apostolique est érigée en diocèse d'Ilorin ("Dioecesis Ilorinensis") le .


title: Alternative rouge et verte

text: L’Alternative rouge et verte (AREV) est un ancien parti politique français, écologiste et de gauche, formé en 1989 et disparu en 1998.


title: Alternative rouge et verte

text: Ses trois piliers fondateurs étaient le socialisme, l'écologie et l'autogestion.