title: Bar (établissement)

text: D'autres établissement offrent également un service d'hôtellerie, quand ils ne sont pas eux-mêmes intégrés à un établissement hôtelier. Il peut être combiné avec l'activité de café, on a alors affaire à un « café-bar ».


title: Bar (établissement)

text: Le propriétaire peut également faire le choix d'orienter l'identité de son établissement en fonction des produits dont il fait commerce. Il peut s'agir d'un bar à vin, mais également d'un bar à eau, d'un bar à oxygène ou d'un bar à chicha. L'appellation « bar » a ainsi fait florès dans le domaine de la restauration rapide, où l'on trouve par exemple des bars à salades, le côté lié à la consommation de boissons étant devenu marginal.


title: Bar (établissement)

text: Dans le cadre d'enceintes sportives, comme les gymnases ou piscines, les lieux mettent à la disposition de leurs clientèles des bars à fruits ou bars à jus de fruits.


title: Bar (établissement)

text: Dans certains cas, le terme de « bar » n'est plus là que pour évoquer le côté rapide de l'action, comme dans l'appellation commerciale « bar à sourire » ou encore dans le cas du « bar à chats ».


title: Bar (établissement)

text: Quelques établissements enfin, baptisés « bar à hôtesse », proposent à leur clientèle obligatoirement majeure et très souvent masculine, la compagnie de jeunes femmes employées par le bar, que l'on nomme communément « entraîneuses ». Ces salariées ont pour fonction d'attirer les clients afin de les pousser à consommer au bénéfice de l'établissement (bouteille de champagne, par exemple). Souvent, comme c'est le cas en Belgique, ce type de bar, appelé aussi « bar montant » ou « bar de nuit », dissimule une activité de maison close.


title: Bar (établissement)

text: Dans , .


title: Bar (établissement)

text: En 2011, les bars à jus de fruits indépendants réalisent des chiffres d'affaires supérieurs à un million de dollars () par emplacement, indique le PDG de la chaîne de cafés américaine Starbucks.


title: Bar (établissement)

text: En France, les bars sont qualifiés de « débits de boissons » à consommer sur place. Ils sont soumis à une autorisation municipale ou préfectorale dite "droit de licence" dont le degré d'exigence varie en fonction du type de boissons vendues. Le gérant d'un bar doit ainsi être titulaire d'une licence de débit de boisson à consommer sur place (distincte de la licence restaurant).


title: Bar (établissement)

text: L’article L.3321-1 du code de la santé publique distingue ainsi entre quatre types de licences :


title: Bar (établissement)

text: La législation distingue les débits de boissons permanents et les débits de boisson temporaires, dont l'ouverture est soumise à des règles différentes. Le gérant doit également posséder un permis d'exploitation, et les horaires d'ouverture des débits de boissons peuvent être fixés par le Préfet et par le Maire.


title: Bar (établissement)

text: Depuis 1960 le nombre de bars en France a connu une baisse drastique, surtout dans les milieux ruraux alors qu'il possèdent une place importante dans la sociabilisation des villages, passant de à en 2016. ferment chaque année en France.


title: Contraction

text: Le mot contraction est employé dans plusieurs domaines :


title: Major League Soccer 2003

text: La Major League Soccer 2003 est la de la Major League Soccer, le championnat professionnel de football (soccer) des États-Unis.


title: Major League Soccer 2003

text: Durant cette année, Los Angeles devient la seconde équipe de la Ligue à être dotée de son propre stade. C'est en effet, le qu'est inauguré le Home Depot Center.


title: Major League Soccer 2003

text: Deux places qualificatives pour la Coupe des champions de la CONCACAF 2004 sont attribuées aux finalistes du championnat.


title: Major League Soccer 2003

text: Durant l'intersaison, Bob Bradley passe des Fire de Chicago aux MetroStars, il y remplace Octavio Zambrano. Bob Bradley est remplacé par Dave Sarachan à Chicago. Source : Résultats de la saison


title: Major League Soccer 2003

text: Quand un score est suivi d'une lettre, cela signifie que le match en question a été gagné en prolongation. Si le score inscrit est 3-2, cela signifie que l'équipe gagnante a marqué un but en or dans la prolongation après un match nul 2-2 dans le temps réglementaire.


title: Major League Soccer 2003

text: Les équipes classées premières de leur association affrontent le quatrième de leur association en demi-finale d'association (le deuxième affrontant le troisième) qui se déroulent par match aller-retour, avec match retour chez l'équipe la mieux classée. En cas d'égalité à l'issue des deux matchs, une prolongation de deux fois quinze minutes avec but en or a lieu (avec tirs au but si nécessaire).


title: Major League Soccer 2003

text: Les finales de conférence se déroulent sur les terrains des équipes les mieux classées tandis que la finale MLS a lieu au Home Depot Center de Carson.


title: Major League Soccer 2003

text: Ces deux tours se déroulent en un seul match, avec prolongations (but en or) et tirs au but pour départager si nécessaire les équipes.


title: Major League Soccer 2003

text: Les finalistes se qualifient pour les quarts de finale de la Coupe des champions de la CONCACAF 2004.


title: Major League Soccer 2003

text: "Le Fire de Chicago l'emporte par un score cumulé de 4-0."


title: Major League Soccer 2003

text: "Le Revolution de la Nouvelle-Angleterre l'emporte par un score cumulé de 3-1."


title: Major League Soccer 2003

text: "Les Earthquakes de San José l'emportent par un score cumulé de 5-4."


title: Major League Soccer 2003

text: "Les Wizards de Kansas City l'emportent par un score cumulé de 3-1."


title: Major League Soccer 2003

text: Le classement des buteurs se calcule de la manière suivante : 2 points pour un but et 1 point pour une passe.


title: Major League Soccer 2003

text: Il faut avoir joué au moins 1000 minutes pour être classé.


title: Major League Soccer 2003

text: Il n'y a pas de joueur désigné en semaine 18 pour cause du Match des étoiles de la MLS.


title: Cock Robin

text: Cock Robin est un groupe de new wave et de pop rock américain.


title: Cock Robin

text: Fondé en 1982 à San Francisco par l'auteur-compositeur Peter Kingsbery, il a été actif jusqu'en 1990, date à laquelle les membres se sont séparés. Le groupe a été reformé en 2006 lors de la sortie de son quatrième album. Le groupe, surtout populaire dans les années 1980, est notamment connu pour le single "The Promise You Made".


title: Cock Robin

text: Le groupe Cock Robin est fondé en 1982 à San Francisco par l'auteur-compositeur-interprète Peter Kingsbery.


title: Cock Robin

text: Il tire son nom d'une comptine du intitulée "Death and Burial of Poor Cock Robin". À l'origine, il comptait quatre membres : le chanteur et auteur-compositeur Peter Kingsbery, ainsi qu'Anna LaCazio, Clive Wright et Louis Molino III. Puis, le groupe finira rapidement par se recentrer sur ses deux principaux protagonistes : Peter Kingsbery et Anna LaCazio.


title: Cock Robin

text: Dès le premier album (intitulé "Cock Robin"), sorti le 22 septembre 1985 et produit par Steve Hillage, et ses singles "When Your Heart Is Weak" et "The Promise You Made", Cock Robin a connu un grand succès en Europe, plus particulièrement en France, en Allemagne, en Italie, en Irlande, en Belgique ainsi qu'aux Pays-Bas ; alors que dans son pays d'origine (tout comme d'ailleurs en Angleterre), le groupe ne rencontrera pas la même notoriété,


title: Cock Robin

text: Deux ans plus tard paraît le deuxième album, intitulé "After Here Through Midland". Celui-ci est produit par Don Gehman, qui avait travaillé sur des albums de John Mellencamp et de R.E.M.. Le premier single, "Just Around The Corner", devient vite un "hit" en France et en Europe continentale (entrant dans le Top 20 de nombreux pays, de la Scandinavie à l'Italie) où se déroule une tournée de plusieurs mois.


title: Cock Robin

text: Fin 1989, un troisième album est publié ("First Love Last Rites"), produit par Rhett Davies, le producteur de Roxy Music, choix artistique logique dans la mesure où Roxy Music fait partie des influences de Cock Robin. L'album est notamment consacré par un nouveau hit (surtout en France), "Worlds Apart", et d'une nouvelle tournée en Europe.


title: Cock Robin

text: Au tout début des années 1990, le groupe annonce sa séparation, Peter Kingsbery poursuivant une carrière solo notamment en France, où il s'est installé. Un "best-of" est alors édité, atteignant par exemple le Top 10 aux Pays-Bas et en France ; depuis d'autres compilations ont été régulièrement publiées, de même que les morceaux les plus célèbres du groupe n'ont jamais cessé d'être diffusés sur les radios de plusieurs pays européens (France, Allemagne, Pays-Bas...). Après des années d'absence, Cock Robin se reforme et revient en 2006 avec un quatrième album, intitulé "I Don't Want To Save The World, le groupe", et une tournée de plusieurs dates en France et aux États-Unis, ainsi qu'une apparition à la Fête de la musique à Paris et un concert plein air à Metz, le juillet 2006.


title: Cock Robin

text: En mai 2009, le groupe publie un album live. Celui-ci a été enregistré lors d'un concert donné à Châlons-en-Champagne le 28 août 2006, lors du festival "Foire en Scène". Sa publication est accompagnée d'une tournée de plusieurs concerts en France (Le Cannet, Lille, Paris à La Cigale entre autres), aux Pays-Bas et en Suisse (Casino de Bâle) de juin à septembre 2009.


title: Cock Robin

text: La même année, Cock Robin fait une apparition lors de la Fête de la musique le 21 juin au Parc de Bagatelle à Paris, et participe également au Festival Country Music de Mirande le 12 juillet, où Peter Kingsbery s'était déjà produit en 2007 et 2008, avec les musiciens français qui accompagnent le groupe dans sa tournée. On notera également leur participation au Festival montagne et musique de Palaiseau le 27 septembre 2009 au profit des associations à chacun son Everest et Étoiles des Neiges. Cock Robin a enregistré à Los Angeles un sixième album, intitulé "Songs from a Bell Tower", qui est sorti le 11 octobre 2010. Composé et écrit comme les albums précédents par Peter Kingsbery, cet opus bénéficie une nouvelle fois de la présence de Pat Mastelotto à la batterie.


title: Cock Robin

text: Le 20 juin 2012, Peter Kingsbery annonce dans son blog du site officiel de Cock Robin qu'.


title: Cock Robin

text: En 2015, Peter Kingsbery commence les enregistrements du premier album de Cock Robin sans Anna Lacazio. Anna LaCazio avait quitté Cock Robin en mai 2015. Peter Kingsbery avait déménagé en France et LaCazio préférait rester aux États-Unis et être proche de sa famille.


title: Cock Robin

text: Peter Kingsbery annonce que Coralie Vuillemin est choisie comme nouvelle voix féminine du groupe. Le dernier album du groupe, "Chinese Driver", est sorti le 11 mars 2016. L'album mélange des titres acoustiques et des morceaux pop aux accents electro. Avec l'arrivée de Coralie Vuillemin au chant et aux claviers, le groupe tourne intensément puis sort le EP "Lollobrigida" en 2017. Peter Kingsbery et Coralie Vuillemin sont invités en Italie sur la Rai Uno pour 2 titres live.


title: Cock Robin

text: En 2018, Cock Robin se produit en France, en Allemagne, au Portugal, en Belgique et en Islande et commence à composer. En 2019, le groupe va partager son année entre le studio et la scène : France, Belgique, Hollande, Danemark... .


title: Cock Robin

text: Le 2 juillet 2021, le groupe joue à Sarrebourg en France, au profit des soignants COVID 19. Le 17 septembre de la même année, le groupe sort son septième album studio, "Homo Alien".


title: Polýaigos

text: Polýaigos (en , étymologiquement « Beaucoup-de-chèvres ») est une île grecque située dans l'archipel des Cyclades à de l'île de Kimolos. C'est la plus grande Cyclade inhabitée. Elle est une propriété de l'Église orthodoxe.


title: Géométrie riemannienne

text: La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien. La géométrie riemannienne étend les méthodes de la géométrie analytique en utilisant des coordonnées locales pour effectuer les calculs dans des domaines spatiaux limités, mais elle recourt fréquemment aux outils de la topologie pour passer à l'échelle de l'espace entier. De façon précise, la géométrie riemannienne a pour but l'étude locale et globale des variétés riemanniennes, c'est-à-dire les variétés différentielles munies d'une métrique riemannienne, voire des fibrés vectoriels riemanniens.


title: Géométrie riemannienne

text: Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l'espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe aussi des variétés pseudo-riemanniennes, généralisant les variétés riemanniennes, qui en restent assez proches par bien des aspects, et qui permettent notamment de modéliser l'espace-temps en physique.


title: Géométrie riemannienne

text: Pendant de nombreux siècles, le cadre naturel de la géométrie est la géométrie euclidienne du plan ou de l'espace. Les infructueuses tentatives de démonstration du postulat des parallèles ont aidé les géomètres à imaginer les moyens de dépasser ce cadre. Ainsi Lobatchevski en 1829 et Bolyai en 1832 introduisent les premiers exemples de géométrie non euclidienne. Les espaces à géométrie hyperbolique qu'ils construisent sont maintenant vus comme des cas particuliers de variétés riemanniennes "à courbure négative".


title: Géométrie riemannienne

text: Quelques années auparavant, Gauss étudie la géométrie différentielle des surfaces de l'espace euclidien. Il introduit pour les décrire une quantité fondamentale, la courbure de Gauss. Il réalise que cette courbure peut être calculée sans faire intervenir l'espace ambiant, directement à partir d'informations disponibles sur la surface, théorème qu'il qualifie de "remarquable" (theorema egregium). Gauss passe lui-même tout près de la découverte de la géométrie hyperbolique.


title: Géométrie riemannienne

text: Le premier pas de la géométrie riemannienne proprement dite remonte aux travaux de Bernhard Riemann au dix-neuvième siècle et en particulier lors d'une conférence inaugurale intitulée "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (soit en français : "Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie"). C'est une généralisation directe de la géométrie différentielle des surfaces de Gauss en "n" dimensions. Cette nouvelle démarche a largement étendu l'idée de géométrie non euclidienne, même si son cadre conceptuel a mis plusieurs décennies à se mettre en place.


title: Géométrie riemannienne

text: La deuxième moitié du verra surtout s'affiner la compréhension de la géométrie hyperbolique, à travers l'introduction et l'analyse de différents modèles de représentation, qui trouveront une application en relativité restreinte. Différents outils apparaissent, qui prouveront progressivement leur grande importance. Ainsi la théorie des groupes et algèbres de Lie apparaît dans les années 1870, alors que parallèlement Felix Klein souligne l'importance du concept de groupe en géométrie dans son programme d'Erlangen. Ulisse Dini prouve son théorème des fonctions implicites qui sera un prélude indispensable à la formalisation des variétés. Henri Poincaré développe profondément le champ de la topologie, et introduit notamment le groupe fondamental.


title: Géométrie riemannienne

text: Un pas décisif est franchi lorsque Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita développent le calcul tensoriel dans leur ouvrage "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" paru en 1900. Si le cadre "spatial" n'est pas encore totalement éclairci, les calculs progressent grandement grâce aux tenseurs. Une application très profonde est trouvée lorsqu'Einstein, initié aux nouvelles géométries et à ce calcul tensoriel par son ami Marcel Grossmann, les met au service de sa théorie de la relativité générale en 1916.


title: Géométrie riemannienne

text: De 1902 au milieu des années 1930, de nombreuses tentatives de formalisation de la notion de variété différentielle ont lieu. Cette quête se conclut avec la publication du théorème de plongement de Whitney en 1936. La géométrie riemannienne possède enfin un cadre clair.


title: Géométrie riemannienne

text: La classification des espaces symétriques par Élie Cartan en 1926 est un des premiers grands résultats de géométrie riemannienne. Dans les années 1930 sont publiés les premiers théorèmes généraux sur les variétés à courbure positive (théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers, théorème de Synge).


title: Géométrie riemannienne

text: Le théorème de la sphère établi en 1960 marque une forme d'apogée des conceptions classiques à base de théorèmes de comparaisons. S'amorce alors un renouveau de la géométrie riemannienne. Il est marqué par le développement des méthodes de la géométrie spectrale, aiguillonné par la célèbre formule de Mark Kac "", et dont les liens avec la recherche de géodésiques périodiques sont mis à jour. Dans les années 1980 Mikhail Gromov introduit une notion de distance entre les variétés riemanniennes et prouve des résultats de convergence féconds. À la même époque Richard Hamilton commence à développer l'étude du "flot de Ricci", lançant un programme de démonstration de résultats topologiques par la géométrie riemannienne par des méthodes de déformation de métriques. Ce programme connaît de grandes réussites, avec la preuve de la célèbre conjecture de Poincaré par Perelman en 2003 et une généralisation puissante du théorème de la sphère (le "théorème de la sphère différentielle") en 2007.


title: Géométrie riemannienne

text: Les notions fondamentales de la géométrie riemannienne, comme la courbure, trouvent progressivement un cadre d'utilisation bien plus large que celui des variétés riemanniennes proprement dites, et s'étendent sous des formes plus ou moins complexes aux espaces métriques. Gromov définit ainsi les espaces CAT(k) de Cartan-Alexandrov-Toponogov ou encore des notions de théorie géométrique des groupes, comme le groupe hyperbolique. Villani, Lott et Sturm introduisent dans les années 2010 une vision étendue, "synthétique" de la notion de courbure de Ricci minorée à partir d'une formulation de transport optimal sur un espace métrique muni d'une mesure.


title: Géométrie riemannienne

text: L'objet d'étude de la géométrie riemannienne est la variété riemannienne. Il s'agit d'une variété différentielle munie d'une métrique riemannienne, c'est-à-dire d'un champ tensoriel qui permet, en chaque point de la variété, de calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace tangent, et leur norme. Dans un système de coordonnées locales formula_1, ce champ s'exprime en chaque point par une expression de la forme formula_2 et le produit scalaire de deux champs de vecteurs est donné par formula_3. On note également le tenseur métrique formula_4.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe de nombreux tenseurs g possibles, variant continûment avec la position sur la variété. Cela permet sur une même variété différentielle, d'obtenir des structures riemanniennes très diverses et de définir les notions fondamentales de géodésiques et de courbure, qu'on retrouve notamment en relativité générale.


title: Géométrie riemannienne

text: La métrique riemannienne permet définir la notion de longueur d'un arc donné par un paramétrage formula_5, par la formule formula_6. La distance entre deux points est la borne inférieure des longueurs des arcs joignant ces deux points. Une variété riemannienne est donc notamment un espace métrique. Réciproquement, à partir de l'application distance on peut retrouver la structure différentielle et le tenseur métrique.


title: Géométrie riemannienne

text: La définition qui a été donnée est intrinsèque, c'est-à-dire qu'elle ne fait intervenir que la structure abstraite de variété. Pourtant, parmi les exemples les plus simples de variétés riemanniennes, il y a les sous-variétés d'un espace euclidien E, munies de la métrique riemannienne induite. Il convient de noter que la distance associée à la structure riemannienne ne coïncide pas avec la distance mesurée dans E. Par exemple, pour le cercle unité dans le plan, la distance riemannienne correspond à la longueur de l'arc joignant deux points, tandis que la distance mesurée dans le plan est la longueur de la corde.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété riemannienne, on peut en outre définir des notions d'aire, de volume tri-dimensionnel, de forme volume (en ajoutant une orientation), etc.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans les énoncés, certaines hypothèses topologiques de base sont faites très régulièrement sur les variétés riemanniennes : hypothèses de connexité et de complétude. En termes imagés, la première hypothèse signifie que la variété est "d'un seul tenant", la seconde qu'il n'y a pas de "trou" dans lequel une particule mobile pourrait disparaître en temps fini. On s'intéresse souvent plus spécifiquement aux variétés compactes, pour lesquelles la distance entre les points ne peut pas dépasser une certaine limite. Ces variétés ont un diamètre et un volume finis.


title: Géométrie riemannienne

text: De façon plus précise, la géométrie riemannienne étudie les variétés riemanniennes à isométrie près : le résultat de cette identification est ce qu'on appelle une structure riemannienne.


title: Géométrie riemannienne

text: Le théorème de plongement de Nash affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien (de dimension plus grande). Une variété riemannienne abstraite peut donc également être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Même si ce résultat permet en théorie de se limiter aux sous-variétés de formula_7, le point de vue des variétés abstraites définies par un atlas s'est imposé comme la bonne façon de travailler en géométrie différentielle, notamment riemannienne.


title: Géométrie riemannienne

text: Les opérations classiques sur les variétés différentielles s'étendent au cas riemannien : le transport de structure par difféomorphisme, le produit cartésien, les revêtements, certains quotients, certaines formes de chirurgie...


title: Géométrie riemannienne

text: Il est possible de s'intéresser à des variétés riemanniennes de dimension infinie, modelées sur un espace de Hilbert au lieu d'un espace euclidien. Une autre extension de la géométrie riemannienne, déjà imaginée par Riemann, consiste à introduire des métriques plus générales sur l'espace tangent à la variété. On introduit ainsi la structure de variété finslérienne.


title: Géométrie riemannienne

text: La géométrie sous-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne qui intègre la notion de contraintes : la mesure des distances se fait en considérant seulement les courbes tangentes à une famille d'espaces dits "horizontaux".  Enfin, si on travaille avec un tenseur métrique symétrique, défini, mais non forcément positif, on entre dans le domaine des géométries pseudo-riemanniennes, avec notamment le cas particulier de la géométrie lorentzienne, cadre dans lequel est formulée la théorie de la relativité générale.


title: Géométrie riemannienne

text: On peut également sortir du cadre des variétés. Ainsi la façon dont les distances sont introduites en géométrie riemannienne, à partir de la longueur des courbes, donne lieu à différentes généralisations, comme le concept d'espace de longueur.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques permettent de répondre à la recherche des plus courts chemins entre deux points, comme le font les droites dans l'espace euclidien. En réalité leurs propriétés sont plus complexes que celles des droites et il convient de distinguer ce qui peut être dit d'un point de vue local, ou de façon plus globale.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques sont définies de façon générale en recourant au calcul des variations. On considère deux points "x" et "y" et l'on étudie la fonctionnelle longueur sur toutes les courbes reliant "x" à "y" à vitesse uniforme. Les courbes qui représentent les points critiques de cette fonctionnelle sont qualifiées de géodésiques. On peut de façon équivalente caractériser ces géodésiques par une équation différentielle faisant intervenir le vecteur vitesse formula_8, le tenseur g et ses dérivées. On peut aussi introduire ces géodésiques comme les points critiques de l'énergie et les imaginer comme des élastiques tendus sur la variété.


title: Géométrie riemannienne

text: À titre d'exemple, les géodésiques de la sphère sont les grands cercles. Ceci montre que les géodésiques ne réalisent pas toujours la distance minimum entre deux points : pour aller d'un point à un autre, on peut suivre l'arc de grand cercle le plus court ou le plus long, voire les parcourir plusieurs fois. Il n'y a pas non plus unicité du plus court chemin comme on le voit avec deux points diamétralement opposés.


title: Géométrie riemannienne

text: Cependant au niveau local, la situation est bien plus simple. On peut affirmer de façon générale que les géodésiques sont « localement minimisantes » : entre deux de leurs points, pris suffisamment proches, elles réalisent un minimum pour la longueur. Partant d'un point x donné, il existe une unique géodésique de vecteur tangent donné. On peut en fait introduire une carte adaptée centrée en x. Elle est définie par l'application exponentielle en x qui consiste à suivre chacune des géodésiques issues de x pendant un temps unité. Il y correspond des coordonnées locales adaptées, appelées coordonnées normales.


title: Géométrie riemannienne

text: Pour formuler des résultats globaux, on se placera uniquement dans le cas d'une variété connexe et complète. Dans ce cas, les géodésiques peuvent être prolongées pour tout temps, mais avec des comportements globaux variables (périodicité ou non par exemple). Par ailleurs, entre deux points donnés il existe toujours au moins une géodésique qui réalise le minimum de la longueur : tout ceci constitue le théorème de Hopf-Rinow.


title: Géométrie riemannienne

text: En géométrie riemannienne, même si les géodésiques généralisent les droites de la géométrie euclidienne, on ne retrouve plus les mêmes résultats concernant les calculs de longueurs, d'angles, de surfaces des objets les plus simples (triangles géodésiques, cercles ou sphères...). Ainsi la somme des angles d'un triangle π. La courbure permet de quantifier ces écarts.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans le cas des surfaces de l'espace euclidien formula_9, la courbure est appelée courbure de Gauss. Elle se mesure en chaque point sous la forme d'un scalaire. En un point de courbure positive, la géométrie de la surface ressemble localement à celle d'un ellipsoïde de formula_9, et en un point de courbure négative à un hyperboloïde. Un important résultat de Gauss, son theorema egregium, énonce que la courbure peut être entièrement déterminée à partir de la métrique de la surface, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de la manière dont la surface peut être plongée dans l'espace tridimensionnel.


title: Géométrie riemannienne

text: Plus généralement, on peut, pour toute variété riemannienne, construire un objet complexe appelé tenseur de courbure de Riemann. En coordonnées locales, l'expression de ce tenseur fait intervenir les composantes de g, et leurs dérivées premières et secondes. Le tenseur de courbure est un objet assez complexe à appréhender. Par contraction avec le tenseur métrique on construit des objets plus simples, le tenseur de courbure de Ricci et la courbure scalaire, qui véhiculent une partie importante de l'information.


title: Géométrie riemannienne

text: Une façon de se représenter la notion de courbure est de donner la courbure sectionnelle suivant les différents 2-plans de l'espace tangent à la variété. Il s'agit de la courbure de Gauss de la surface formée par les géodésiques issues de ces deux plans. Cette façon de présenter l'information est équivalente à la donnée du tenseur de courbure. L'idée générale est qu'une courbure sectionnelle positive indique une tendance des géodésiques à se rapprocher les unes des autres, une courbure négative donne une tendance à l'écartement mutuel.


title: Géométrie riemannienne

text: Deux notions techniques étroitement liées à la courbure et à la recherche de géodésiques sont la connexion affine et le transport parallèle le long d'une courbe. Ce sont des procédés qui permettent de relier des vecteurs appartenant à des espaces tangents en des points distincts de la variété et, par suite, de dériver des champs de vecteurs. Sur une variété différentielle générale, il n'y a pas de moyen privilégié de faire cela. Il n'est par exemple pas possible de donner un sens au vecteur accélération d'une courbe tracée sur la variété.


title: Géométrie riemannienne

text: La propriété très remarquable des variétés riemanniennes, que Marcel Berger n'hésite pas à qualifier de « miracle », est qu'il existe une connexion naturellement associée à la métrique, la connexion de Levi-Civita. On montre en effet qu'il existe une unique connexion qui conserve la structure euclidienne quand elle relie les différents espaces tangents et qui donne des différentielles secondes symétriques : cet énoncé qui au rôle fondateur est appelé le théorème fondamental de la géométrie riemannienne. A l'aide de la connexion de Levi-Civita, il est possible de « transporter » un vecteur tangent le long d'une courbe donnée. La figure ci-contre montre un exemple d'un tel transport. Mais on peut, plus généralement, faire du calcul différentiel à tout ordre sur tous types de tenseurs.


title: Géométrie riemannienne

text: Le tenseur de courbure de Riemann est défini à partir de la connexion de Levi-Civita, elle-même issue de la métrique g. Dans cette présentation, la courbure peut s'interpréter comme la mesure infinitésimale du défaut de retour à l'origine pour un vecteur qui serait transporté le long d'une courbe fermée. Certains exposés de géométrie riemannienne introduisent également les géodésiques à partir de la notion de connexion.


title: Géométrie riemannienne

text: Il est également possible de construire une généralisation du laplacien pour le cadre riemannien : c'est l'opérateur de Laplace-Beltrami. Il peut être appliqué aux fonctions, ou plus généralement, aux formes différentielles, en utilisant la dualité de Hodge.


title: Géométrie riemannienne

text: La sphère de dimension n S peut être introduite comme l'ensemble des vecteurs de norme donnée dans un espace euclidien de dimension n+1, muni de la métrique induite. On précise parfois qu'il s'agit de la "sphère ronde" ou "sphère euclidienne standard" pour la distinguer des sphères exotiques ou des autres choix de métriques possibles. Il s'agit d'une variété à courbure constante, strictement positive. Elle admet pour géodésiques les grands cercles, et les géodésiques issues d'un point ont la particularité de toutes se recouper au point antipodal. L'identification entre un point et son antipode donne naissance à l'espace projectif réel qui est lui aussi de courbure constante. On peut plus généralement obtenir tous les espaces de courbure constante positive comme quotients de la sphère par un groupe d'isométries agissant discrètement sur la sphère.


title: Géométrie riemannienne

text: De la même façon, l'espace euclidien et ses quotients par des groupes d'isométries fournissent des exemples de variétés à courbure constamment nulle, qualifiées de variétés plates. On obtient ainsi en fait tous les cas, et on peut noter à titre d'exemple le cylindre, le tore « plat » (qui ne peut pas être plongé isométriquement dans l'espace euclidien formula_9) et leur généralisation en toute dimension... On peut même affirmer que toutes les variétés plates compactes sont des quotients finis du tore (théorème de Bieberbach).


title: Géométrie riemannienne

text: Pour la courbure égale à une constante négative, l'espace modèle est moins familier. Il s'agit de l'espace hyperbolique, dont on peut donner diverses représentations isométriques entre elles : disque ou demi-plan de Poincaré, hyperboloïde de Lorentz ou disque de Klein. Là encore les variétés à courbure constante négative s'obtiennent par quotient à partir de cet exemple.


title: Géométrie riemannienne

text: Par le théorème d'uniformisation de Poincaré, toute variété riemannienne de dimension 2 peut être ramenée, par bijection conforme, à une métrique à courbure constante.


title: Géométrie riemannienne

text: L'espace projectif complexe de dimension n, formula_12, peut être vu comme une variété différentielle, quotient de la sphère de dimension 2n+1 par l'action du groupe unitaire U(1)=S. La métrique induite à partir de la métrique "ronde" sur la sphère par ce passage au quotient est appelée métrique de Fubini-Study. L'espace projectif complexe est un exemple de variété kählérienne compacte, c'est-à-dire qu'elle dispose à la fois d'une structure riemannienne et d'une structure complexe, et d'une structure symplectique qui se déduit des deux précédentes.


title: Géométrie riemannienne

text: La courbure sectionnelle varie entre 1 et 4, selon la formule formula_13 où formula_14 est une famille orthonormale de vecteurs tangents et formula_15 est l'opérateur de la structure complexe. Cette courbure est la plus forte (4) pour les 2-plans holomorphes, c'est-à-dire tels que formula_16 est colinéaire à formula_17, elle vaut 1 lorsqu'à l'opposé formula_16 et formula_17 sont orthogonaux. Par ailleurs, le tenseur de Ricci est proportionnel au tenseur métrique, ce qui fait de l'espace projectif complexe un exemple de variété d'Einstein.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans son ouvrage " A Panoramic View of Riemannian Geometry", le géomètre Marcel Berger propose de présenter les nombreux résultats de géométrie riemannienne sous forme d'un panorama succinct tenant en une page. Il distingue ainsi les propriétés topologiques et leurs liens avec la courbure, les propriétés métriques, les aspects quantiques de l'étude des variétés riemanniennes, ainsi que les aspects dynamiques. Toutes ces thématiques sont bien entendu interconnectées.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans la suite, on ne s'intéresse qu'à des variétés riemanniennes complètes.


title: Géométrie riemannienne

text: En géométrie euclidienne, on peut calculer la longueur d'un côté du triangle à l'aide des longueurs des deux autres côtés et de l'angle qu'ils forment. Sur une variété riemannienne on peut considérer des triangles géodésiques, mais la formule euclidienne n'est plus vérifiée ; elle fournit une estimation asymptotique au premier ordre sur des triangles infiniment petits, et la courbure sectionnelle donne le terme correctif d'ordre 2. Le théorème de comparaison de Toponogov fournit un résultat global de comparaison : lorsqu'on dispose d'un encadrement de la courbure sectionnelle entre deux constantes m et M, on peut encadrer la longueur du troisième côté entre la valeur qu'elle aurait sur une variété de courbure constante m et celle sur une variété de courbure constante M.


title: Géométrie riemannienne

text: Une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive formula_20 impose une forme de refermement des géodésiques. Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers en donne conséquence globale : la variété possède un diamètre, qui est majoré par formula_21.


title: Géométrie riemannienne

text: En sens inverse, on pourrait s'attendre à ce que disposer d'une majoration de la courbure donne un contrôle sur le non refermement des géodésiques. La situation est plus complexe que cela, puisque sur le tore plat par exemple, il existe une géodésique fermée qui peut être de longueur très petite (elle varie suivant les dimensions du tore). On introduit un nouvel outil de contrôle de la métrique, le rayon d'injectivité. Si ce rayon d'injectivité vaut r, l'application exponentielle en chaque point est injective sur la boule B(0,r) de l'espace tangent en m. Elle constitue même un difféomorphisme de cette boule sur la boule B(m,r) pour la métrique de la variété. Un théorème de Klingenberg de 1959 montre que sur une variété compacte à courbure sectionnelle majorée par formula_22, le rayon d'injectivité est soit plus grand que formula_23 soit égal à la moitié de la longueur de la plus petite géodésique périodique.


title: Géométrie riemannienne

text: Certains des résultats précédents peuvent être généralisés en ayant uniquement un contrôle sur la courbure de Ricci, ce qui est une hypothèse moins forte. Précisément, l'invariant pertinent est la plus basse valeur propre de la courbure de Ricci. De façon assez naturelle, cet invariant permet de contrôler le comportement du volume. Ainsi l' fournit un théorème de comparaison des volumes des boules géodésiques lorsqu'on compare les courbures de Ricci au cas des espaces à courbure constante.


title: Géométrie riemannienne

text: De façon plus inattendue, Mikhail Gromov a initié un programme de recherche de bornes pour les différents invariants riemanniens ne faisant intervenir que la dimension de la variété, son diamètre et la valeur propre minimale de la courbure de Ricci. Une des directions de recherche importantes en géométrie riemannienne est l'établissement d'inégalités globales entre les grandeurs métriques, sans faire intervenir la maîtrise locale de la courbure. On peut ainsi, pour toute variété compacte de dimension "d", comparer directement volume et rayon d'injectivité, élevé à la puissance d-ième pour que cette comparaison ait un sens. Ainsi Berger a prouvé en 1980 que pour toute variété compacte, on peut minorer le rapport de ces deux grandeurs, et cela en ne faisant intervenir que la dimension "d". Il propose d'appeler constante embolique de la variété la borne inférieure sur toutes les métriques et démontre que cette constante est toujours supérieure à celle de la sphère, tandis que dans le cas de la sphère, c'est la métrique standard qui réalise la borne inférieure. La valeur des constantes emboliques en dimension 3 et plus, même pour des variétés très simples, n'est pas connue.


title: Géométrie riemannienne

text: Une autre grandeur métrique sur laquelle on recherche des inégalités et une comparaison avec le volume est la systole, c'est-à-dire la longueur minimale d'une courbe non contractile (toujours élevée à la puissance "d"). Le cas des surfaces a été abondamment étudié, ainsi l'inégalité torique de Loewner répond à la question dans le cas du tore et peut être vue comme une forme d'inégalité isopérimétrique. Il n'est pas possible de trouver une minoration universelle analogue à celle évoquée pour les constantes emboliques et la sphère, comme le montre le cas des produits formula_25. Cependant Gromov a prouvé en 1983 une inégalité pour une large classe de variétés compactes de dimension "d", les variétés essentielles.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans le cas des surfaces compactes, le lien entre la courbure et la topologie est donné par la célèbre formule de Gauss-Bonnet. L'intégrale de la courbure (scalaire, ou sectionnelle, cela revient au même) suffit alors à décrire la variété. Mais en dimension plus grande, la situation est plus complexe.


title: Géométrie riemannienne

text: Sous des hypothèses de positivité de la courbure, on peut également tirer des conclusions sur la topologie. Si la courbure est minorée par une constante strictement positive, une conséquence du théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est que la variété est compacte, avec un groupe fondamental fini. Le théorème de Synge décrit plus précisément la situation dans le cas d'une dimension paire.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe des variétés riemanniennes non compactes à courbure positive (à titre d'exemple : les paraboloïdes ou les cylindres de l'espace euclidien). Pour une telle variété M, si la courbure reste strictement positive, la variété est difféomorphe à formula_7. Si la courbure est positive au sens large, M possède une "âme", c'est-à-dire une sous-variété totalement géodésique telle que M est difféomorphe au fibré normal à cette sous-variété. C'est un théorème de Cheeger-Gromoll de 1972.


title: Géométrie riemannienne

text: Si la variété est à courbure négative, le théorème de Cartan-Hadamard prouve que l'application exponentielle en un point m quelconque fournit un revêtement de la variété. Si elle est simplement connexe, la variété est donc difféomorphe à formula_7. Et de façon plus générale, une variété à courbure négative peut être vue comme un quotient de formula_7 par un groupe discret.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété compacte à courbure strictement négative, le groupe fondamental est finiment engendré mais à croissance exponentielle.


title: Géométrie riemannienne

text: Sous des hypothèses de courbure suffisamment fortes, il est possible de caractériser la topologie de la variété sous-jacente, voire sa structure différentielle. Le résultat le plus célèbre est sans doute le théorème de la sphère établi en 1960 par Rauch, Berger et Klingenberg, et selon lequel une variété complète et simplement connexe dont la courbure reste dans un intervalle de la forme ]A,4A] avec A>0 est homéomorphe à une sphère. Le cas limite où la courbure est dans [A,4A] est également caractérisé. Cette hypothèse sur la courbure est souvent qualifiée de "pincement" dans la littérature.


title: Géométrie riemannienne

text: Ce résultat a été considérablement étendu en 2007 par Brendle et Schoen, avec une hypothèse moins forte de pincement "ponctuel" (rapport entre les courbures sectionnelles maximale et minimale en un même point) et une conclusion plus forte : la variété est difféomorphe à la sphère ordinaire.


title: Géométrie riemannienne

text: En 1978 puis 1982, Gromov et Ruh obtiennent une caractérisation des variétés compactes presque plates, c'est-à-dire dont la courbure est "pincée près de 0" (au sens suivant : le produit de la courbure et du carré du diamètre est inférieur à une constante ne dépendant que de la dimension). Cependant il n y a pas que les tores et leurs quotients, on obtient plus généralement une infranilvariété.


title: Géométrie riemannienne

text: Les théorèmes de pincement forment une famille de résultats aux hypothèses très exigeantes et aux conclusions puissantes. Il existe un point de vue plus "grossier" dans lesquels on essaye de montrer que des hypothèses assez lâches sur la courbure permettent déjà de limiter fortement les types topologiques possibles. Ainsi quand on fixe des bornes a priori sur le diamètre et la valeur absolue de la courbure, et une valeur minimale pour le volume, on peut prouver que les variétés qui peuvent porter des métriques respectant ces contraintes sont en nombre fini, à difféomorphisme près.


title: Géométrie riemannienne

text: Gromov a introduit une généralisation de la distance de Hausdorff pour étudier une notion de convergence des métriques riemanniennes modulo les isométries. Il a établi qu'en se plaçant sur l'ensemble des structures vérifiant des bornes du même type que précédemment, on pouvait affirmer que toute suite de métriques admettait une sous-suite convergente, du moins au sens de la régularité formula_29.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur les variétés riemanniennes compactes il est possible de procéder à une forme d'analyse harmonique très proche de la théorie des séries de Fourier. On étudie en effet les valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur les fonctions. Il s'agit des fonctions f et des scalaires formula_30 vérifiant la relation formula_31, et on prouve que les valeurs propres forment une suite infinie formula_32 appelée spectre de la variété. Les différents espaces propres associés sont orthogonaux et de dimension finie, celui associé à formula_33 étant formé des fonctions constantes.


title: Géométrie riemannienne

text: Les fonctions propres du laplacien forment une base hilbertienne permettant de décomposer les fonctions définies sur la variété, et de résoudre des équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation d'onde, équation de Schrödinger) par des démarches proches de celles employées dans le cas euclidien : séparation des variables d'espace et de temps et recherche de solutions fondamentales par décomposition sur la base des vecteurs propres du laplacien. S'y ajoutent cependant des difficultés techniques nouvelles.


title: Géométrie riemannienne

text: Le spectre lui-même est un objet d'étude important. Il donne lieu à deux types d'étude classiques : les problèmes directs qui consistent à donner des estimations sur le spectre à partir des autres données géométriques, et les problèmes inverses qui, a contrario, cherchent à retrouver des éléments géométriques à partir du spectre. Un des résultats principaux reliant les deux types de données est la généralisation de la formule asymptotique de Weyl estimant le nombre (compté avec la multiplicité) de valeurs propres inférieures ou égales à formula_30 :


title: Géométrie riemannienne

text: formula_35où formula_36 est le volume de la boule unité standard. Cela permet notamment de donner un équivalent pour formula_37 . Il est également possible de fournir une majoration et une minoration de formula_37 faisant intervenir notamment la borne inférieure de la courbure de Ricci et respectivement le volume ou le diamètre de la variété. Des estimations plus précises ont été obtenues sur la première valeur propre non nulle, qui fait l'objet d'études spécifiques.


title: Géométrie riemannienne

text: Le problème inverse fait l'objet de recherches actives depuis le début des années 1960, avec l'apparition de la question isospectrale : « deux variétés riemanniennes de même spectre sont-elles isométriques ? », à laquelle Milnor a répondu par la négative en 1964. Il n'y a pas non plus de caractérisation des spectres effectivement réalisables ; en revanche on sait construire sur toute variété compacte de dimension au moins 3 une métrique ayant un spectre imposé jusqu'à un rang donné.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques sont dites fermées quand elles sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles repassent par un même point avec un même vecteur vitesse. Le spectre des longueurs d'une variété compacte est l'ensemble des longueurs de ses géodésiques fermées.


title: Géométrie riemannienne

text: L'existence et le comptage de telles géodésiques fermées est un objet de recherches important. En 1951, Lyusternik et Fet montrent que sur toute variété compacte il existe au moins une telle géodésique fermée : c'est le théorème de Lyusternik-Fet. Même dans le cas, simple en apparence, de la sphère de dimension 2 munie d'une de ses métriques, il est difficile de préciser le nombre de géodésiques fermées. En 1929, Lyusternik et Schnirelman prouvent qu'on peut toujours trouver au moins trois géométriques fermées géométriquement distinctes et qui sont des courbes simples. On ne peut en trouver plus, comme le montrent certains ellipsoïdes. Mais si on ne demande plus que ces courbes soient simples, on peut en trouver une infinité, selon un théorème de 1993 de John Franks et Victor Bangert, popularisé par la formule « un million de façons de placer un élastique sur une pomme de terre ».


title: Géométrie riemannienne

text: On sait depuis 1959 que, pour les surfaces de Riemann, spectre des longueurs et spectre du laplacien se déterminent l'un l'autre. La preuve s'appuie sur la formule des traces de Selberg. En dimension plus grande, on peut toujours dire que le spectre du laplacien détermine le spectre des longueurs, d'après un résultat de Colin de Verdière de 1973.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques d'une variété riemannienne peuvent être vues comme des valeurs extrêmales de l'énergie. Elles sont donc solution d'un problème de moindre action et peuvent s'interpréter en termes physiques comme des trajectoires de particules qui ne sont soumises à aucune force. L'étude du flot géodésique permet de préciser la dynamique d'ensemble. Une des questions qui rentrent dans ce cadre est l'existence et le comptage des trajectoires périodiques, c'est-à-dire de géodésiques fermées, problème mentionné précédemment.


title: Géométrie riemannienne

text: Les variétés compactes à courbure strictement négatives ont un flot géodésique qui se comporte de façon extrêmement chaotique. En utilisant la terminologie des systèmes dynamiques, ce flot est ergodique et mélangeant ; en termes imagés, en suivant ce flot sur un temps long, un ensemble donné est « dispersé » de façon équitable dans toute la variété (au sens de la mesure). Savoir s'il est possible de trouver un exemple de variété à courbure positive qui réalise elle aussi l'ergodicité est une question ouverte.


title: Géométrie riemannienne

text: Depuis les années 1980, le champ d'application des flots géométriques s'est considérablement étendu. Celui qui a donné les résultats les plus féconds dans le domaine de la géométrie riemannienne proprement dite est le flot de Ricci, mais d'autres types de flots ont été introduits et ils ont eu également des répercussions dans des domaines tels que la physique théorique, l'analyse d'image ou l'optimisation par exemple. La caractéristique commune des flots géométriques est de ne pas étudier une métrique fixée, mais de déformer les objets géométriques suivant une équation d'évolution qui fait intervenir elle-même des quantités géométriques telles que la courbure. On arrive ainsi typiquement à des équations d'évolution de type équation aux dérivées partielles paraboliques. On profite ainsi du pouvoir régularisant de ces équations, qui a tendance à « arrondir » la métrique étudiée, à la rapprocher de situations modèles simples.


title: Géométrie riemannienne

text: Le flot de Ricci consiste à partir d'une métrique donnée et à suivre l'équation d'évolution formula_39. Il est possible d'établir l'existence de solutions localement en temps. Richard Hamilton a élaboré un plan d'attaque pour avancer vers des résultats de topologie des variétés en petite dimension à l'aide du flot de Ricci, notamment la célèbre conjecture de Poincaré et la conjecture de géométrisation, plus forte. Le premier grand succès de la théorie a été de montrer qu'une variété de dimension 3 à courbure de Ricci strictement positive évolue vers une métrique de courbure constante, en 1982. Deux ans après , un résultat analogue est établi pour les variétés de dimension 4 à opérateur de courbure strictement positif. Une difficulté qui a été résolue progressivement est l'apparition de zones singulières, des "zones d'étranglements" dans lesquelles la métrique s'effondre numériquement en temps fini. Ces singularités ont été analysées et dépassées par des techniques de chirurgie rendues compatibles avec l'équation d'évolution. Les deux plus grands résultats obtenus par le flot de Ricci sont sans doute la preuve de la conjecture de géométrisation par Perelman en 2003 et la généralisation du théorème de la sphère prouvée par Schoen et Brendle en 2007.


title: Géométrie riemannienne

text: Hamilton a également introduit un autre type de flot géométrique sur les variétés compactes, appelé flot de Yamabe. Dans ce cas l'équation d'évolution fait intervenir la valeur moyenne de la courbure scalaire et a l'avantage de conserver la structure conforme. Hamilton a cette fois prouvé un théorème d'existence de la solution pour tout temps et a formulé la conjecture que la métrique converge vers une métrique à courbure scalaire constante, c'est-à-dire une solution du problème de Yamabe. Ce résultat n'a été établi que sous des hypothèses restrictives sur la dimension ou la métrique initiale.


title: Géométrie riemannienne

text: Un autre type de flot géométrique consiste à faire évoluer une variété plongée. Ainsi le permet de rapprocher une surface d'une surface minimale plongée en dimension 3. Ces surfaces minimales correspondent en termes géométriques à une minimisation locale de l'aire (à la façon dont les géodésiques minimisent localement la distance), et on peut les comprendre en termes physiques comme une minimisation de la tension de surface. Plus généralement ce flot peut être utilisé pour des hypersurfaces en toute dimension.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur certaines variétés riemanniennes, il est possible d'introduire des structures additionnelles qui sont compatibles avec la structure riemannienne et viennent l'enrichir. On construit ainsi différentes formes de géométries nouvelles (kählérienne, spinorielle, etc.), possédant chacune des propriétés et des objets propres qui complètent le cadre riemannien. Selon des conceptions bien établies depuis le programme d'Erlangen de Félix Klein, à chacune de ces géométries est associée l'action d'un groupe particulier.


title: Géométrie riemannienne

text: Un des exemples les plus simples est le choix d'orientation, quand la variété riemannienne est orientable. Il permet de définir le fibré des repères orthonormaux orientés et la forme volume. Le groupe d'intérêt est alors le groupe spécial orthogonal.


title: Géométrie riemannienne

text: On peut aussi considérer les structures Spin et Spin définies sur certaines variétés riemanniennes orientables. Quand elles existent, elles donnent une sorte de « dédoublement » de la géométrie riemannienne, permettant d'introduire le concept de spineur et un , sorte de racine carrée du laplacien.


title: Géométrie riemannienne

text: Les variétés kählériennes portent trois structures compatibles, qui les font relever de la géométrie riemannienne, de la géométrie symplectique et de la géométrie complexe. Ce domaine d'étude très riche utilise simultanément les outils des trois domaines, et possède des caractéristiques propres, comme les notions de courbure holomorphe et courbure bisectionnelle, ou des opérateurs formula_40 et formula_41 sur les formes différentielles tels que la différentielle extérieure se scinde en formula_42 et de la même façon les groupes de cohomologie se scindent. On obtient des résultats de structure très forts, ainsi le fait qu'une variété kählérienne à courbure bisectionnelle strictement positive est biholomorphe à l'espace projectif complexe.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe également des structures plus exigeantes encore : on définit la notion de et celle de , qui portent toutes deux une structure rappelant les quaternions. Elles apparaissent dans la classifications des groupes d'holonomie effectuée par Marcel Berger et James Simons.


title: Géométrie riemannienne

text: Toute variété différentielle peut être munie d'une structure riemannienne. Celle-ci peut servir d'intermédiaire pour établir des résultats dont la formulation ne fait pas intervenir de concept proprement riemannien. C'est le cas de la conjecture de Poincaré déjà mentionnée, qui est un résultat de topologie pure dont la démonstration utilise largement la déformation de métriques riemanniennes. C'est également le cas de la théorie de Morse qui relie la topologie d'une variété différentielle aux lignes de niveau des fonctions définies sur cette variété, en exploitant la dynamique des lignes de gradient associées à une certaine métrique.


title: Géométrie riemannienne

text: Certains concepts introduits en géométrie riemannienne ont été étendus à des domaines d'application plus large, dans le cadre des espaces métriques. On peut par exemple généraliser la notion de géodésique dans un graphe, notamment un graphe pondéré. On s'intéressera plus particulièrement aux espaces métriques géodésiques, pour lesquels il y a unicité du plus court chemin entre deux points. Alors qu'en géométrie riemannienne on utilisait une estimation sur la courbure sectionnelle pour obtenir un résultat de comparaison des distances entre les points de deux triangles isométriques, sur ces espaces métriques on peut renverser la démarche. On définit une notion de "courbure majorée par k" ou "courbure minorée par k" à partir de la comparaison des triangles. Cette idée est à la base de l'introduction des espaces CAT(k) de Cartan-Alexandrov-Toponogov. Ces espaces ont par ailleurs l'avantage, contrairement aux variétés riemanniennes, d'être compatibles avec la convergence pour la distance de Gromov-Hausdorff.


title: Géométrie riemannienne

text: Des considérations du même type peuvent être appliquées aux groupes finiment engendrés lorsqu'on les munit de la métrique des mots. Pour ces groupes, les propriétés algébriques, géométriques et arithmétiques s'interpénètrent. Ainsi un théorème de Gromov caractérise les groupes de type fini pour lesquels la croissance des boules est polynomiale. Un objet d'étude important est le groupe hyperbolique, pour lequel on a des triangles δ-fins pour tout réel δ>0.


title: Géométrie riemannienne

text: Les définitions précédentes montrent comment étendre l'idée de courbure sectionnelle à un cadre plus large, sans utiliser les propriétés de régularité fortes que demande le cadre riemannien. Cette approche a été qualifiée de synthétique par opposition à l'introduction traditionnelle de la courbure sectionnelle, dite analytique. La dualité des approches apporte des éclairages différents, et des possibilités d'aller-retour fructueux. À partir des années 2000 ont été progressivement mises au point des théories synthétiques pour la courbure de Ricci. Elles se sont basées sur la découverte d'un lien entre courbure de Ricci, théorie du transport et entropie, suivie là aussi d'un renversement de la démarche : Cédric Villani, John Lott et Karl-Theodor Sturm ont introduit une version étendue de la notion de courbure de Ricci minorée à partir d'une formulation de transport optimal sur un espace métrique muni d'une mesure.


title: Géométrie riemannienne

text: La théorie de la relativité se déroule dans un cadre très proche de celui de la géométrie riemannienne, celui d'une variété lorentzienne. Il s'agit d'une variété de dimension 4 munie d'un tenseur métrique qui n'est plus défini positif, mais de (3,1). L'équation d'Einstein indique la façon dont la courbure est reliée à la masse et à l'énergie représentées par le tenseur énergie-impulsion. C'est pourquoi on trouve une très grande parenté de concepts et d'idées et de fortes interactions entre géométrie riemannienne et physique théorique, même si chacune poursuit des objectifs propres. C'est ainsi qu'Arthur Besse, pseudonyme collectif, justifiant l'intérêt de l'étude des "variétés d'Einstein" pour les géomètres riemanniens, évoque la question des liens avec la physique


title: Géométrie riemannienne

text: Lexique de la géométrie riemannienne


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: La signalisation des chemins pédestres est le marquage des sentiers par le moyen de signes codifiés placés à intervalles réguliers, d'indications de changement de direction (fléchage, marquage à la peinture) et d'indication de distance ou de durée du trajet (panneaux, balises). Cette signalisation permet au promeneur/randonneur de s'orienter et de suivre des itinéraires répertoriés, lui évitant ainsi de se perdre ou d'emprunter des itinéraires dangereux.


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: Dans les temps anciens, cette signalisation était souvent réalisée par des coups de hachette sur le tronc des arbres ou par des cairns. De nos jours, cette signalisation concerne principalement les sentiers de randonnée et est généralement réalisée avec des symboles colorés peints sur les arbres et les rochers ou sur des poteaux et panneaux de signalisation.


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: En 1975, les balisages font leur apparition sur le GR7 qui commence à être balisé. Les symboles et règles de signalisation des sentiers varient selon les régions et les pays.


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: En France, les sentiers de Grande randonnée (GR), de Petite Randonnée (PR) et de Grande Randonnée de Pays (GRdP) sont balisés et entretenus par différents organismes publics ou associatifs : l'Office national des forêts (ONF), les parcs nationaux, les parcs naturels régionaux, Club alpin français (CAF), le Club vosgien, etc.


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: La Fédération française de la randonnée pédestre (FFRP) a défini une charte pour décrire précisément le balisage et la signalisation. Le Club Vosgien utilise quant à lui un balisage plus diversifié, reposant sur des figures géométriques de base dont la couleur varie : Les bornes indiquent généralement en proue l’altitude, le lieu-dit et ont un logo de leurs parcs respectifs si elle en font partie en vert foncé. Les directions sont données par des panneaux indicateurs jaunes avec le nombre de kilomètres et le temps estimé sans pause pour un marcheur. En Vallée d'Aoste, une signalisation uniformisée est présente sur l'ensemble du territoire régional pour les sentiers de randonnée. Les directions et les temps de marche sans pause sont indiqués en français et en italien, les deux langues officielles de la région autonome, chacune sur l'un des deux côtés des panneaux.


title: Signalisation des sentiers de randonnée

text: En Suisse, la Fédération Suisse de Tourisme Pédestre a créé une signalisation uniformisée des chemins de randonnée pédestre pour l'ensemble du territoire. Plus de de chemins de randonnée sont signalés.


title: Francisco Suárez

text: Francisco Suárez (connu comme le Doctor eximius) , né le à Grenade (Espagne) et mort le à Lisbonne, est un philosophe et théologien jésuite espagnol, généralement considéré comme l'un des plus grands scolastiques après Thomas d'Aquin. Il fait partie de la célèbre École de Salamanque.


title: Francisco Suárez

text: Francisco Suarez est né à Grenade. Son père est un avocat renommé. Il envoie son fils à l'université de Salamanque, l'une des plus renommées d'Espagne à cette époque, pour suivre les cours de la faculté de droit. Mais Francisco Suarez est attiré par la prédication de Juan Ramirez. Il entre au noviciat des Jésuites.


title: Francisco Suárez

text: Entré à seize ans dans la Compagnie de Jésus à Salamanque, il y étudie la philosophie et la théologie de 1565 à 1570. Il semble avoir été un élève assez peu prometteur au départ, et faillit renoncer à ses études après avoir échoué deux fois à l'examen d'entrée. L'ayant réussi à sa troisième tentative, il se distingue par la suite en philosophie comme en théologie, avant d'être ordonné prêtre en 1572, puis de partir enseigner la première de ces disciplines à Ávila et Ségovie (1575), Valladolid (1576), Rome (1580-1585), Alcalá (1585-1592), Salamanque (1592-1597) et enfin Coimbra (1597-1616).


title: Francisco Suárez

text: Il écrit abondamment, sur un grand nombre de sujets ; ses œuvres complètes en latin tiennent en vingt-six volumes : traités juridiques, sur les relations entre l'Église et l'État, la métaphysique et la théologie.


title: Francisco Suárez

text: Pendant sa vie, il est considéré comme le plus grand philosophe et théologien de l'époque, et reçoit le surnom de "Doctor Eximius" ('Docteur extraordinaire, exceptionnel') ; le pape Grégoire XIII assiste à son premier cours à Rome. Le pape Pie V l'invite à réfuter les erreurs de Jacques d'Angleterre, et souhaite l'attacher à sa personne pour profiter de ses connaissances. Quant à Philippe II d'Espagne, il l'envoie à Coimbra pour redonner du prestige à l'université de la ville.


title: Francisco Suárez

text: Après sa mort, ses écrits sur le droit naturel continuent d'exercer une influence considérable, notamment sur certains des principaux philosophes du , entre autres Grotius, Descartes et Leibniz. En particulier, les "Méditations sur la philosophie première" de René Descartes (1641) empruntent quelques éléments aux travaux de métaphysique de Francisco Suarez. Par ailleurs, le pape Benoît XIV pensait que Francisco Suarez était l'une des deux lumières d'Espagne, avec Vélasquez.


title: Francisco Suárez

text: Ses réalisations philosophiques les plus importantes sont celles concernant la métaphysique et la philosophie du droit. Suarez peut être considéré comme le plus grand représentant de l'École de Salamanque dans sa période jésuite. Il a adhéré à une forme modérée du thomisme et a développé la métaphysique comme une enquête systématique.


title: Francisco Suárez

text: Pour Suárez, la métaphysique était la science des essences réelles (et de l'existence), même s'il s'intéressait principalement à l'être réel plutôt que conceptuel, et à l'être immatériel plutôt que matériel. Il a soutenu (avec les premiers scolastiques) que l'essence et l'existence sont identiques dans le cas de Dieu (voir argument ontologique), mais il n'était pas d'accord avec Thomas d'Aquin et d'autres pour dire que l'essence et l'existence des êtres finis sont réellement distinctes. Selon lui, ils ne sont en fait que conceptuellement distinctes : plutôt que d'être réellement séparables, ils ne peuvent être conçus que comme logiquement séparés.


title: Francisco Suárez

text: Sur le sujet controversé des universaux, il s'est efforcé de suivre une voie intermédiaire entre le réalisme de Jean Duns Scot et le nominalisme de Guillaume d'Ockham. Sa position est un peu plus proche du nominalisme que celle de Thomas d'Aquin. Il est parfois classé parmi les nominalistes modérés, mais son acceptation de la notion de précision objective (praecisio obiectiva) le place parmi les réalistes modérés. La seule unité vraie et réelle dans le monde des existences est l'individu ; affirmer que l'universel existe séparément "ex parte rei" serait réduire les personnes à de simples accidents d'une forme indivisible. Suarez soutient que, bien que l'humanité de Socrate ne diffère pas de celle de Platon, elles ne constituent pas pour autant une véritable et même humanité, elles ne sont pas plusieurs "unités formelles" (dans ce cas, les humanités), puisqu'il y a des personnes, et ces personnes ne constituent pas un fait, mais seulement une unité essentielle ou idéale (""ita ut Plura individua, quae dicuntur esse naturae ejusdem, no sint unum quid vera entitate quae sentarse en rebus, sed solum fundamentaliter vel per intellectum""). L'unité formelle, cependant, n'est pas une création arbitraire de l'esprit, mais elle existe ""in natura rei ante omnem operationem intellectus"".


title: Francisco Suárez

text: Son œuvre métaphysique est un remarquable effort de systématisation et de combinaison des trois écoles existantes à cette époque : le thomisme, le scotisme et le nominalisme. Il est également un grand critique des premiers ouvrages médiévaux et arabes. Il pouvait jouir de la réputation d'être le plus grand métaphysicien de son temps. Il a ainsi fondé un courant qui lui est propre : "le Suarétianisme", dont les principes directeurs sont :Suarez a réalisé une classification importante à ce sujet dans "Disputationes Metaphysicae" (1597), qui a influencé le développement de la théologie au sein du catholicisme (son compagnon, Pedro da Fonseca a eu un effet puissant sur la pensée scolastique protestante aux XVIe et XVIIe siècles). Dans la seconde partie du livre, les querelles 28-53, Suárez fixe la distinction entre "ens infinitum" (Dieux) et "ens finitum" (êtres créés). La première division de l’être est entre "ens infinitum" et "finitum ens". Non seulement il peut être divisé en être infini et être fini, mais il peut aussi être divisé en "ens a se ab alio" et "ens", c'est-à-dire qu'il est de lui-même et qu’il est de quelqu’un d’autre. Une deuxième distinction correspondant à "l'ens necessarium" et à "l'ens contingens", c'est-à-dire l'être nécessaire et l'être contingent. Il formule encore une autre distinction entre "ens per essentiam" et "ens per participationem", c'est-à-dire l'être qui existe en raison de son essence et l'être qui n'existe que par participation à un être qui existe par lui-même (eigentlich). Une autre distinction est faite entre "ens increatum" et "ens creatum", c'est-à-dire l'incréé et ce qui a été créé, ou la créature, l'être. Une dernière distinction est faite entre l'être comme "actus purus" et l'être comme "ens potentiale", c'est-à-dire comme acte pur et l'être comme possible ou potentiel. Suarez se prononce en faveur de la première classification des êtres en "ens infinitum" et "finitum ens" comme étant la fondamentale, par rapport aux accords des autres classifications.


title: Francisco Suárez

text: En théologie, Suarez rejoint la doctrine de Luis de Molina, le célèbre professeur jésuite d'Évora. Molina a essayé de concilier la doctrine de la prédestination avec la liberté de la volonté humaine et les enseignements de prédestination des Dominicains en disant que cela est la conséquence de la prescience de Dieu de la libre détermination de la volonté de l’homme, qui n'est donc pas affectée par le fait de la prédestination elle-même.


title: Francisco Suárez

text: Suarez a essayé de réconcilier ce point de vue avec les doctrines plus orthodoxes de l'efficacité de la grâce et de l'élection spéciale, en soutenant que, bien que tous partagent une grâce plus que suffisante, il n’est pas accordé aux élus une Grâce qui est infailliblement adaptée à ses dispositions et aux circonstances particulières, alors qu’en même temps en toute liberté, ils se livrent à son influence. Ce système de médiatisation était connu sous le nom de ""congruisme"".


title: Francisco Suárez

text: Ici, l'importance principale de Suárez vient probablement de son travail sur le droit naturel, et de ses arguments sur le droit positif et le "status" d'un monarque. Dans son vaste ouvrage "Tractatus de legibus ac Deo legislatore" (réédité à Londres en 1679), il est en quelque sorte le précurseur de Grotius et de Samuel Pufendorf en faisant une distinction importante entre le droit naturel et le droit international, qu'il considérait comme fondé sur la coutume. Bien que sa méthode passe par la scolastique et traite de situations analogues, Grotius en parle avec un grand respect. La position fondamentale de l'œuvre est que toutes les mesures législatives ainsi que tout le pouvoir paternel est dérivé de Dieu, et que l’autorité de toutes les lois se résout en la sienne. Suarez réfute la théorie patriarcale du gouvernement et le droit divin des rois fondé sur cette doctrine, très populaire à cette époque en Angleterre et dans une certaine mesure sur le continent. Il s'est opposé au thème du contrat social, et à la théorie qui est devenue dominante au début de la modernité chez les philosophes politiques tels que Thomas Hobbes et John Locke, mais certaines de ses idées ont trouvé un écho dans les plus libéraux, même parmi les théoriciens adhérant au contrat de Locke.


title: Francisco Suárez

text: En 1613, à la demande du pape Paul V, Suarez rédige un traité dédié aux princes chrétiens d'Europe, intitulé "Defensio fidei contra catholicae anglicanae sectae errores", dirigé contre le serment de fidélité que Jacques Ier d'Angleterre, le roi anglican, exigeait de ses sujets.


title: Francisco Suárez

text: Dans ce traité, Francisco Suárez soutient que les rois ont le droit d'exiger un serment de fidélité de leurs vassaux, et que ceux-ci sont ensuite obligés de l'accomplir, à condition qu'il soit demandé à juste titre. Suárez, réaffirme ainsi la doctrine catholique de l’obligation d’obéir à l’autorité légitime, une obligation qui n’est pas créée par le serment, mais qui est simplement renforcée par l’invocation de Dieu comme témoin de cette loyauté. Cependant, Suárez considère qu’il est clairement illicite pour un roi –Jacques Ier- d’obliger ses sujets à promettre obéissance au roi en matière ecclésiastique au détriment de l’autorité de l’Église catholique, puisque ces questions ne relèvent pas de la compétence du monarque, et qu’il est inacceptable pour un catholique de promettre fidélité religieuse à un roi schismatique et hérétique. Suárez considère qu’un serment ne peut pas être un ʺlien d’injusticeˮ et que, dans un tel cas, le serment est nul et ne lie personne. Quant à la licéité de la révolte contre un tyran, Suárez distingue le cas d’un roi légitime qui gouverne de manière tyrannique et celui d’un usurpateur. Selon Suárez, le tyrannicide contre un roi légitime n’est pas licite (sauf dans les cas extrêmes de légitime défense), tandis que l’usurpateur, qui n’a pas de légitimité d’origine, peut être renversé et même tué –s’il n’y a pas d’autre moyen de le déposer- par la communauté politique, par accord des organes représentatifs de la société d’estrade de l’Ancien Régime. Suárez soutient que lorsque l’autorité légitimement constituée disparait, le pouvoir revient au peuple, qui conserve le pouvoir à la racine, bien qu’il soit dépourvu de pouvoir formel tant qu’il y a un roi légitime. Cependant, Suárez considère que la désobéissance civile contre les lois injustes est un droit, même si elles proviennent d’un pouvoir légitime, puisque ces lois, étant injustes, perdent le rang de loi.


title: Francisco Suárez

text: Pour Suárez, les princes hérétiques ou païens peuvent être légitimes, puisque le pouvoir politique correspond au droit naturel. Cependant, le pouvoir ne doit pas être obéi dans tout ce qui va à l'encontre des mandats de la religion catholique. Il déclare aussi expressément que la communauté politique chrétienne (res publica) "est obligée de repousser le souverain païen lorsque, en raison de sa puissance, le danger de la destruction de la foi est moralement craint". Cependant, "il doit le faire non pas avec une autorité privée, mais avec une autorité publique, lorsqu'autrement le prince a un droit légitime sur le royaume". Suarez défend également le pouvoir papal de libérer les sujets d'un prince chrétien de l'obéissance due lorsque ces princes tombent dans l'hérésie ou l'apostasie. La théorie politique suarétienne envisage la désobéissance et la résistance civile exercées pour défendre la foi catholique, mais aussi pour atteindre le bien commun.


title: Francisco Suárez

text: Dans la préhistoire des mouvements politiques argentins, nous pouvons mentionner les enseignements du père Francisco Suárez, qui a parlé de l'origine de l'autorité et de la souveraineté des rois d'une manière quelque peu différente des idées despotiques classiques qui prévalaient à l'époque. Se rapprochant quelque peu de ce qui sera appelé plus tard le contrat social par le philosophe suisse Jean-Jacques Rousseau au milieu du XVIIIe siècle, Suárez a élaboré une théorie de l'origine du pouvoir royal appelée "doctrine de la réversion" qui aura plus tard une influence clé sur les mouvements révolutionnaires dans la région du Rio de la Plata au début du . Bien qu'il considère également (ce qui coïncide ici avec les courants idéologiques absolutistes de ces années-là) que c'est de Dieu que provient la souveraineté nécessaire pour légitimer la domination politique, Suárez est en désaccord avec un aspect essentiel de cette doctrine. Alors que la théorie de l'absolutisme monarchique énonçait qu'à la mort d'un souverain, le pouvoir revenait à Dieu et de là dérivait à nouveau vers le nouveau roi (fils du défunt), le père soutenait qu'en réalité, bien que la souveraineté soit d'origine divine, de Dieu elle dérivé dans le peuple, et c'est le peuple qui délègue ce même pouvoir au nouveau monarque. Le roi transmet à son fils la légitimité de gouverner, mais c'est le peuple qu'il gouverne qui, par mandat divin, lui donne la souveraineté nécessaire à cette tâche administrative. Ainsi, Dieu n'était pas le seul à porter et à conférer le pouvoir politique qui légitimait le souverain, mais dans ce cas, la souveraineté revenait toujours au peuple, et de là, à son roi.


title: Francisco Suárez

text: Telles étaient leurs idées qui, enseignées dans les universités et les collèges dirigés par la Compagnie de Jésus, se heurtaient aux idées du despotisme illustré, relative à l'origine directe et uniquement divine de l'autorité des rois. C'est ainsi que les Bourbons, déterminés à faire taire "la doctrine des jésuites sur l'origine de l'autorité", les expulsent de leurs dominions en 1767, et un an plus tard, le roi Carlos III met hors la loi la thèse de Suárez , qui est considérée comme une actualisation de la pensée de Saint Thomas et de Francisco de Vitoria.


title: Francisco Suárez

text: L'émancipation de la nation argentine a été influencée par deux courants de pensée distincts :


title: Francisco Suárez

text: 1) Le rationalisme, la laïcité et l'illuminisme de Voltaire, qui a soutenu la philosophie politique de la Révolution française et qui a influencé, par exemple, le doyen Funes à Córdoba.


title: Francisco Suárez

text: 2) Un autre précédent, d'inspiration chrétienne, influencé, d'une part, par la doctrine de Francisco Suárez qui proclamait que "l'autorité est donnée par Dieu, non pas au roi, mais au peuple", la doctrine apprise à l'Université jésuite de Chuquisaca par les principaux patriotes promoteurs de la Révolution de mai ; et d'autre part, par l'exemple de la Révolution américaine qui, bien qu'ayant d'autres origines, a pour devise nationale " In God we trust"  (en anglais : "En Dieu nous avons confiance") .


title: Francisco Suárez

text: Ce deuxième courant philosophico-politique, comme le premier, a influencé le mouvement d'émancipation de 1810, les guerres  d’indépendance, la période d'organisation nationale (dont le premier fruit fut la Constitution de 1853) a eu comme protagonistes davantage de figures du camp catholique : Fray Cayetano Rodríguez, Ignacio de Castro Barros, Fray Justus Santa María de Oro, José Luis Chorroarín, Juan Ignacio Gorriti, Facundo Zuviría, Félix Frías, Fray Mamerto Esquiú, Mariano José de Escalada, etc. Par exemple, le président du Congrès constitutif de Santa Fe de 1853, Facundo Zuviría (1793-1861), se décrivait comme "démocrate et chrétien" et soulignait que "sans principes religieux, il n'y a pas de liberté, pas de justice et pas de société stable".


title: Francisco Suárez

text: Dans la première partie des "Disputes métaphysiques" (I à XXIV), Suarez établit une distinction métaphysique qui est considérée comme à la base de la modernité philosophique (Descartes, Kant, etc.). Selon Heidegger, l’ontologie grecque "via les Disputationes metaphysicae de Suarez, passe dans la « métaphysique » et la philosophie transcendantale des temps modernes et détermine les fondations et les buts de la Logique de Hegel".


title: Francisco Suárez

text: 1- METAPHYSICA GENERALIS


title: Francisco Suárez

text: 2- METAPHYSICA SPECIALIS


title: Francisco Suárez

text: Cette distinction perdurera jusqu'à Hegel inclus. On la retrouve par exemple chez Kant, dans la dialectique de sa "Critique de la raison pure" sous la forme de : théologie, psychologie, cosmologie.


title: Francisco Suárez

text: Les contributions de Suárez à la métaphysique et à la théologie ont exercé une influence significative sur la théologie scolastique des XVIIe et XVIIIe siècles, autant parmi les catholiques que parmi les protestants.


title: Francisco Suárez

text: Grâce en partie à la force de l'ordre jésuite de Suárez, ses "Disputationes Métaphysicae" ont été largement enseignées dans les écoles catholiques d'Espagne, du Portugal et d'Italie. Il s'est également propagé de ces écoles à de nombreuses universités luthériennes en Allemagne, où le texte a été étudié en particulier par ceux qui préféraient Melanchthon à l'attitude de Luther envers la philosophie. Dans plusieurs universités luthériennes du XVIIe siècle, les "Disputationes" servaient de manuel de philosophie. De même, Suárez a eu une grande influence sur la tradition réformiste des écoles allemande et néerlandaise, tant pour la métaphysique que pour le droit, y compris le droit international. Son travail a été loué, par exemple, par Hugo Grotius (1583-1645).


title: Francisco Suárez

text: Son influence est évidente dans les écrits de Bartholomaeus Keckermann (1571-1609), Clemens Timpler (1563-1624), Gilbertus Jacchaeus (1578-1628), Johann Heinrich Alsted (1588-1638), Antonius Walaeus (1573-1639) et Johannes Maccovius (Jan Makowski ; 1588-1644), entre autres. Cette influence était si forte qu'en 1643, elle a provoqué le théologien calviniste néerlandais Jacobus Revius a publié un livre en réponse : Suarez repurgatus. Le puritain Richard Baxter a cité le De legibus de Suarez parmi les meilleurs livres sur le droit, et le juriste Matthew Hale, un ami de Baxter, s'en est inspiré pour sa théorie du droit naturel :


title: Francisco Suárez

text: Arthur Schopenhauer a écrit sur lui :


title: Francisco Suárez

text: "Les" "Disputationes Metaphysicae" "de Suarez [sont] un véritable condensé de toute la sagesse scolastique, là où il faut l'étudier plutôt que dans les interminables bavardages des ineptes professeurs de philosophie allemands, quintessence de l'ennui et de la vulgarité".


title: Paradoxe de l'avocat

text: Le paradoxe de l'avocat est un paradoxe logique datant de la Grèce antique. Il met en scène un conflit entre le sophiste Protagoras et Euathlos, un de ses élèves. À la suite d'un différend, Protagoras assigne son élève en justice. Il argumente auprès des juges en faveur d'une condamnation du disciple. Le paradoxe intervient lorsque l'élève doit à son tour s'exprimer devant les juges. Eualthos décide d'utiliser un argument "presque identique" à celui de son maître, mais cette fois dans le but de se faire acquitter. La première attestation de ce paradoxe se trouve dans le traité "Contre les rhéteurs" (2.96-99) de Sextus Empiricus.


title: Paradoxe de l'avocat

text: Selon l’anecdote, Euathlos était pauvre et ne pouvait payer les leçons de Protagoras. Celui-ci l'accepta comme disciple après avoir conclu l'accord suivant :  Une fois son enseignement terminé, Eualthos refusa à la fois de plaider comme avocat et de payer Protagoras. Faute de plaider, il ne pouvait gagner aucun procès. N'ayant pas gagné de procès, il n'avait pas à rembourser son maître. Protagoras l'attaqua alors en justice, afin d'obliger son élève à plaider.


title: Paradoxe de l'avocat

text: Le raisonnement de Protagoras est le suivant :


title: Paradoxe de l'avocat

text: Protagoras serait donc remboursé quelle que soit l'issue du procès. Soit en vertu de l'accord passé avec Eualthos, soit par une décision de justice. Le paradoxe intervient à la réponse du disciple. Selon lui, il n'aura rien à rembourser. Quelle que soit l'issue du procès, il ne paiera pas.


title: Paradoxe de l'avocat

text: Le raisonnement du disciple s'exprime ainsi :


title: Paradoxe de l'avocat

text: En définitive, comment doit-on juger ce conflit ?


title: Paradoxe de l'avocat

text: Peut-être en constatant que pour juger, il faut d'abord attendre l'issue du procès puisque c'est ce résultat qui détermine qui a tort et qui a raison. Ce qui ouvre deux possibilités :


title: Paradoxe de l'avocat

text: En fait, par le jeu entre deux normes juridiques indépendantes (le droit contractuel et l'accord initial entre les deux parties) le juge se retrouve dans une situation où le résultat qu'il doit prononcer est toujours l'inverse de ce qu'il doit être : pour désigner Protagoras vainqueur, il doit le considérer comme perdant (et réciproquement). C'est un paradoxe auto-référentiel classique, du type du menteur, mais avec une dimension temporelle dont il faut tenir compte (comme dans le paradoxe du grand-père, où un individu capable de voyager dans le temps tue ses géniteurs avant sa naissance).


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Charles-Antoine-Joseph de Croÿ, né le et mort le à Saragosse (Espagne), est un noble, duc de Croÿ et d'Havré.


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Charles-Antoine de Croÿ, succède à son père (Ferdinand-Joseph de Croÿ (1644-1694), duc d'Havré) en qualité de seigneur de Tourcoing. N'ayant pas encore atteint sa majorité à la mort de son père et fut quelque temps sous la tutelle de sa mère Marie-Thèrèse-Joséphine de Halluyn, duchesse douairière d'Havré et de Croy.


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Duc d'Havré depuis 1694, chevalier de la Toison d'or, Croÿ fut le premier grand d'Espagne à aller saluer le duc d'Anjou à Versailles.


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Le seigneur de Tourcoing, suivit la carrière des armes et s'y distingua par les qualités les plus éminentes. Il prit une part très active dans la fameuse guerre de Succession d'Espagne, qui avait armé contre Philippe V presque toute l'Europe.


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Devenu premier colonel du régiment des Gardes royales d'Infanterie wallonne de l'empereur Léopold du Saint-Empire, en 1703, créé grand d'Espagne par le prétendant Charles III, il succomba à la bataille de Saragosse en 1710.


title: Charles-Antoine de Croÿ

text: Comme il ne s'était point marié, ce fut son frère, (1686-1737), qui lui succéda.


title: Ligue italique

text: La ligue italique est une alliance conclue à Venise le entre la République de Venise ("la Sérénissime"), le duché de Milan et la république de Florence. Cette ligue faisait suite à la Paix de Lodi signée quelques mois plus tôt ().


title: Ligue italique

text: Proclamée solennellement le avec l'adhésion du pape Nicolas V (1447-1455), d'Alphonse V d'Aragon, alors roi des Deux-Siciles, et de souverains d'États de moindre importance, elle mettait l'accent sur l'aide réciproque en cas d'atteinte à l'intégrité d'un des États-membres et prévoyait une trêve de vingt-cinq ans entre les puissances italiennes signataires, qui s'engageaient à respecter les frontières établies.


title: Ligue italique

text: Cette trêve de 25 ans subira une faille avec la "Conjuration des Pazzi" et, par la suite, avec la "Conjuration des Barons" et la "Guerre de Ferrare".


title: Ligue italique

text: Les accords de défense de cette ligue serviront de base à la ligue de Venise, coalition anti-française de 1495.


title: Victor Basch

text: Victor Basch, né le à Pest en Hongrie et assassiné par la Milice française le à Neyron dans l'Ain, est un philosophe français d'origine hongroise et cofondateur et président de la Ligue des droits de l'homme.


title: Victor Basch

text: Victor Basch est issu d'une famille juive : il est le fils de Raphaël Basch et de Fanny Françoise Weissweiler. Lorsqu'il est enfant, la famille s'installe à Paris, au 62, rue Rodier ; Raphaël Basch y est correspondant de presse. Fanny Françoise Weissweiler se suicide le , au cours d'une crise de neurasthénie.


title: Victor Basch

text: Il fait de brillantes études au lycée Condorcet d'abord, puis ses études supérieures en allemand et en philosophie à la Sorbonne.


title: Victor Basch

text: Il se marie le , au temple de Pest, avec Ilona Fürth (Hélène Basch). Il est naturalisé Français en 1887. Hélène et lui habitent à Paris (au 10, rue de Lunain en 1913, puis au 8, rue Huysmans) de 1913 à 1940.


title: Victor Basch

text: Reçu à l'agrégation de langues vivantes en 1885, il devient professeur d'allemand et d'esthétique à l'université de Nancy ; il y reste de 1885 à 1887. Il est ensuite professeur de philosophie à l'université de Rennes de 1887 à 1906. Il devient docteur ès lettres en 1897. En 1906, il est délégué dans les fonctions de chargé d'un cours de langue et littérature allemandes à la Faculté des lettres de Paris, puis il est chargé de ce cours en 1908, professeur adjoint en 1913, professeur sans chaire en 1921 et il est nommé professeur d'esthétique de 1928 à 1933.


title: Victor Basch

text: Ses travaux sur l'esthétique, en particulier "L'Esthétique de Kant" (1896), ont une profonde influence sur l'un de ses étudiants qui devient également l'un de ses disciples favoris, le jeune philosophe Valentin Feldman, qui rend un hommage appuyé à son maître dans son ouvrage de vulgarisation sur le sujet, "L'Esthétique française contemporaine" (Paris, Félix Alcan, 1936).


title: Victor Basch

text: Socialiste anticonformiste, il s'est battu dans sa jeunesse pour Dreyfus. Septuagénaire, il a pris une part importante dans la naissance du Front populaire et a apporté son soutien aux républicains espagnols.


title: Victor Basch

text: Victor Basch adhère à la Ligue française pour la défense des droits de l'homme et du citoyen dès la création de celle-ci en 1898 ; il en est le quatrième président de 1926 jusqu'à 1944.


title: Victor Basch

text: Peu avant 1914, il prend position en faveur du sionisme.


title: Victor Basch

text: Dans les années 1920 et 1930, il s'engage contre l'extrême droite et est même blessé en par les Camelots du roi, lors d'un meeting houleux, alors qu'il est âgé de 67 ans. Il étudie de près le régime nazi, rédigeant des analyses sur les causes de l'antisémitisme nazi et sur celles de la nuit des Longs Couteaux.


title: Victor Basch

text: Inquiétés dès les débuts de l'Occupation (son logement est pillé, Victor Basch perd ainsi nombre d'écrits entreposés dans l'appartement), Victor et Hélène fuient en zone libre, en 1940, et s'installent dans le quartier de Saint-Clair à Caluire-et-Cuire, exactement au "116, Grande-rue-Saint-Clair".


title: Victor Basch

text: Investi dans la défense des droits de l'homme et dans la franc-maçonnerie, Victor Basch est recherché par Vichy. En , la milice de Lyon, dirigée par Paul Touvier, repère Victor Basch à Caluire-et-Cuire. Le , accompagné d'une dizaine de miliciens, en particulier Lécussan, chef régional de la milice, et du lieutenant Moritz de la Gestapo, Touvier participe lui-même à l'arrestation de Victor Basch et de son épouse Hélène, âgée de 79 ans, qui refuse d'abandonner son mari. Lécussan raconte par la suite : ; Lécussan, accompagné d'autres miliciens et de Moritz, conduit alors le couple à Neyron dans l'Ain où Victor et Hélène Basch sont abattus de plusieurs coups de feu, le soir même. Lécussan reconnaît avoir abattu lui-même Victor Basch ; Gonnet se chargeant d'assassiner Hélène Basch de deux balles de pistolet.


title: Victor Basch

text: Sur le corps de Victor Basch, est retrouvé un écriteau laissé par les miliciens sur lequel était inscrit :


title: Victor Basch

text: Cette question a, entre autres, été traitée par la justice, notamment au travers des procès successifs de Touvier. D'abord, celui relatif au non-lieu rendu par la chambre d'accusation, le ; puis lors du pourvoi formé devant la Cour de cassation, qui casse partiellement le non-lieu, le . Au cours de ce pourvoi et au sujet de la complicité d'assassinat de Victor et Hélène Basch, le , la Cour de cassation rend à nouveau un verdict de non-lieu : l'assassinat de Victor et Hélène Basch serait le fait de Lécussan et de Moritz. Ceci, malgré la présence de Touvier à la réunion préparatoire à l'expédition de Caluire (témoignage de Louis Macé, milicien) et sa présence à l'arrestation elle-même (rapportée par Lécussan et par Macé).


title: Victor Basch

text: Outre le fait que le rapport tient compte du contexte du premier témoignage de Macé (à la Libération), il considère également le fait que Lécussan ne fait pas état de la présence de Touvier à Neyron, ni d'une décision explicite de Touvier concernant l'assassinat des Basch. Or Lécussan et Touvier entretenaient de mauvaises relations…


title: Victor Basch

text: Enfin, si la présence et le rôle de Gonnet semblent certains, Touvier réfute le lien de subordination qui existait entre lui et Gonnet ; pour lui Gonnet avait quitté le , fin 1943. Par contre, pour l'exécution des sept Juifs au cimetière de Rillieux, le lien de subordination entre Touvier et Gonnet semble avéré (témoignage de Louis Goudard) et conduira à la condamnation de Touvier.


title: Victor Basch

text: Témoin de la réunion préparatoire, de l'arrestation et de l'assassinat des Basch, Moritz n'a jamais été interrogé dans cette affaire.


title: Victor Basch

text: Victor et Hélène Basch ont cinq enfants :Victor et Hélène Basch sont inhumés à la nécropole nationale de la Doua, à Villeurbanne.


title: Victor Basch

text: Son nom a été donné à de nombreuses rues et écoles de France :


title: Victor Basch

text: En effet, il existe une place Victor-Basch à Neyron (Ain) et à Villeneuve-lès-Avignon (Gard), Lyon , une avenue Victor-Basch à La Ciotat (Bouches-du-Rhône), une rue Victor-Basch à Décines (Rhône), à Villeurbanne (Rhône), à Arcueil, à Montrouge, à Nantes, à Vanves, à Vincennes, à Thiais, à Charenton-le-Pont, à Noisy-le-Grand, à Sotteville-lès-Rouen, à Sainte-Geneviève-des-Bois, à Massy, à Saint-Étienne, à Jeumont, à Saint-Brieuc, à Bourg-en-Bresse, à Taverny, à Rennes, à Dinan, à Vandœuvre-lès-Nancy, à Vannes, à Roanne, à Riom, au Blanc-Mesnil (Seine-Saint-Denis), à Saint-Cyr-l'École (Yvelines), à Cenon (Gironde), à Hyères ainsi qu'à Saint-Dizier (Haute-Marne), à Nogent-sur-Marne (Val-de-Marne), à Cavaillon (Vaucluse), à Saint-Yzan-de-Soudiac (Gironde), en Arles (Bouches-du-Rhône), à Couzon-au-Mont-d’Or (Rhône), à Saint-Quentin (Aisne), à Athis-Mons(Essonne), à Maisons-Alfort (Val-de-Marne), à Ozoir-la-Ferrière (Seine-et-Marne), à Beauchamp (Val-d'Oise), à Franconville (Val-d'Oise), à Sannois (Val-d'Oise), à Limoges (Haute-Vienne) et à Clermont-Ferrand (Puy-de-Dôme).


title: Victor Basch

text: À Paris, une place du , précédemment dénommée "place Victor-Basch" par arrêté du , est baptisée "place Victor-et-Hélène-Basch" depuis 1992.


title: Victor Basch

text: Le , maître Henri Leclerc, alors président de la Ligue française pour la défense des droits de l'homme et du citoyen, a dévoilé une plaque apposée sur la façade de l'immeuble situé au 8 rue Huysmans en hommage à Victor Basch, lui-même président de la LDH de 1926 à 1940, et qui vécut à cette adresse de 1913 à 1940.


title: Victor Basch

text: À Caluire-et-Cuire, dans le quartier Saint-Clair, où il fut arrêté avant son assassinat, une école porte son nom.


title: Victor Basch

text: Un mémorial, le mémorial Hélène-et-Victor-Basch est érigé à Neyron, à l'endroit où Victor Basch fut assassiné par la milice ; de plus, la place de la mairie de Neyron se nomme place Victor-Basch. Enfin, à proximité du mémorial, passe le viaduc Hélène-et-Victor-Basch de l'A46.


title: Victor Basch

text: À Rennes où Victor Basch a été professeur de philosophie, de 1887 à 1906, un lycée a été baptisé "lycée Victor-et-Hélène-Basch". De plus, deux amphithéâtres, un de l'université Rennes 2 situé sur le campus de Villejean et un de l'université Rennes 1 sur le campus de Beaulieu portent son nom.


title: Victor Basch

text: En 2010, le STIF décide de donner son nom à une station de la Ligne 2 du tramway d'Île-de-France située dans la commune de Colombes.


title: Victor Basch

text: Le à l'initiative de la LDH (Ligue des droits de l'homme), une plaque commémorative a été inaugurée en l'honneur de Victor et Hélène Basch à Montrouge, à l'angle de la rue Victor-Basch et de la rue Carvès. Cette plaque rappelle que Victor Basch présida les Assises de la paix et de la liberté, au stade Bufalo à Montrouge, le , événement fondateur du Front populaire.


title: Victor Basch

text: À l'occasion de l'année internationale de la paix de 1986, La Poste émet un timbre à l'effigie de Victor Basch.


title: Gimnée

text: Gimnée (en wallon "Djimnêye") est un village de l'Entre-Sambre-et-Meuse dans la province de Namur (Belgique). Administrativement il fait partie de la commune de Doische, en Région wallonne de Belgique. C'était une commune à part entière avant la fusion des communes de 1977.


title: Gimnée

text: Le village est bordé au nord par Surice, à l’est par Doische, au sud par Vaucelles et à l’ouest par Niverlée et Romerée.


title: Gimnée

text: 816 "Geminiacam", 1214 "Gymighi" : "propriété des" (suffixe "-iaca") "Geminius", gentilice gallo-romain.


title: Gimnée

text: Des vestiges de l'époque romaine (tuiles et poteries) découverts dans le sol du village suggèrent une présence humaine très ancienne sur les lieux. Avec Aubrives, Doische, Foische, Ham, Niverlée, Olloy et Vaucelles, il fait partie, au Moyen Âge, des huit villages de la baronnie de Hierges, namuroise, croit-on, jusqu’au puis partie du duché de Bouillon et donc territoire liégeois. En 1385, le seigneur de Hierges accorde à ses manants le droit d’usage dans les bois et de chasser le lapin avec des chiens courants.


title: Gimnée

text: Depuis le début du , Gimnée a constitué un ensemble distinct sous le nom de seigneurie du Blocus.


title: Gimnée

text: La bataille de Gimnée les 15 et est un combat de diversion des Français qui voulaient empêcher les travaux de la place-forte de Charlemont (à Givet) élevée par les Espagnols.


title: Gimnée

text: La paroisse, qui comprenait Doische et Vaucelles, dépendait des seigneurs de Hierges qui nommaient le curé et prélevaient la dîme ; après le , elle entre dans le patrimoine de l’abbaye Saint-Gérard de Brogne.


title: Gimnée

text: Commune du département des Ardennes sous le régime français, transférée à la province de Namur en 1815.


title: Gimnée

text: En 1830, la population s’élève à 480 habitants répartis dans 137 maisons et 3 fermes. On compte alors 42 chevaux, 16 poulains, 146 bovins, 53 veaux, 17 porcs et 235 moutons. Un quart du territoire est boisé. On a tiré anciennement du marbre rouge et du marbre gris dans la commune.


title: Wilhelm Dilthey

text: Wilhelm Dilthey (, - ) est un théologien, un professeur de lycée et un philosophe allemand. Il est connu pour la distinction qu'il opère entre les sciences de la nature ("Naturwissenschaften") et les sciences de l'esprit ("Geisteswissenschaften").


title: Wilhelm Dilthey

text: Wilhelm Dilthey est né le au presbytère de Biebrich-Mosbach dans une famille de pasteurs calvinistes. Son père, Maximilian Dilthey (1804–1867), était chapelain princier des Nassau à Biebrich. Sa mère Maria Laura Heuschkel (1810–1887) était la fille de , chef de chœur et d'orchestre (en allemand Kapellmeister) de la cour ducale, à Hildburghausen. Son frère Karl (1839–1907) fut professeur d’archéologie, et sa sœur Caroline épousa le philologue Hermann Usener.


title: Wilhelm Dilthey

text: Il fréquente d'abord le lycée de Wiesbaden où il passe le baccalauréat en 1852 avec une question sur "l’influence des Anciens grecs sur la Jeunesse". Répondant aux vœux de ses parents, il étudie la théologie, l’histoire et la philosophie à Berlin (1853) puis à Heidelberg sous la direction d'August Bœckh, de Kuno Fischer, de Leopold von Ranke et de Friedrich Adolf Trendelenburg.


title: Wilhelm Dilthey

text: En 1856, il réussit son premier examen de théologie. Ayant passé avec succès les épreuves de l'examen d’État de professorat, il enseigne au Collège français et au lycée Joachimsthal de Berlin. En 1864, il soutient sa thèse de doctorat avec un mémoire en latin sur l’Éthique de Schleiermacher, et obtient la même année l'habilitation avec un mémoire sur la conscience morale. Il est ensuite "privat-docent" à l’Université Frédéric-Guillaume de Berlin. En 1867, il se voit confier la chaire de philosophie de l'université de Bâle. Il enseigne par la suite à Kiel (1868–71) et Breslau (1871–83). En 1870, Dilthey donne le premier tome de sa biographie de Schleiermacher, qui assoit sa réputation en tant qu’historien de la pensée. À Breslau, il se lie d'amitié avec le comte , avec qui il entretient désormais une correspondance suivie, et dont l'antagonisme enrichit Dilthey de considérations spiritualistes.