title: Gotham Central

text: Les scénaristes Greg Rucka et Ed Brubaker avaient déjà travaillé sur un crossover de Batman appelé "Officer Down". Ils désiraient faire une série basée sur la police de Gotham, projet qui a été approuvé par DC. Rucka et Brubaker voulaient Michael Lark comme dessinateur, mais ce dernier n'était pas immédiatement disponible. Cela leur a permis de prendre de l’avance sur les intrigues. Ils ont écrit le premier arc ensemble, puis se sont partagé les histoires, Rucka s’occupant de l’équipe de jour, et Brubaker de l’équipe de nuit.


title: Gotham Central

text: "Gotham Central" a obtenu un grand succès critique, comme en témoignent ses multiples nominations aux Eisner Award (meilleure nouvelle série, meilleur(s) scénariste(s), et meilleur dessinateur/encreur). Malgré cette bonne presse et la publicité qu’ont fait les fans, la série a globalement été un échec commercial, la plupart des numéros ayant du mal à rentrer dans le top 100 des ventes de comics. Cependant, DC, encouragé par les ventes de la première intégrale, a laissé les créateurs poursuivre leur travail. Au bout de trois ans de publication, la série s'est arrêtée. Même vers la fin de la publication, les ventes n'ont pas décollé : l'avant-dernier numéro, le #37 a atteint la , et le #38 la du classement des ventes.


title: Gotham Central

text: Répondant aux suppositions des fans selon lesquelles la série aurait été annulée en raison de ses faibles ventes, Greg Rucka a expliqué que DC était prêt à continuer la publication de la série tant qu'il le souhaitait et que c'est de son propre chef qu’il a choisi de l'arrêter. Pour lui, le sort de la série s'est de fait décidé lorsque Lark arrêta de la dessiner après le #25 puis que Brubaker la quitta après l’arc "Dead Robin", car il ne se voyait pas continuer sans les auteurs originaux.


title: Gotham Central

text: Le casting de Gotham Central était divisé entre les équipes de jour et de nuit, avec des arcs alternants entre les deux groupes de personnages. Les personnages principaux dans les rangs des détectives étaient Marcus Driver, Romy Chandler, Renee Montoya, Crispus Allen et Josephine "Josie Mac" MacDonald.


title: Gotham Central

text: Leurs supérieurs, le commissaire Michael Akins, le capitaine Margaret "Maggie" Sawyer et le lieutenant Ron Probson, apparaissent également en bonne place. Jim Corrigan, un enquêteur corrompu, apparaît vers la fin de la série.


title: Gotham Central

text: Les seconds rôles sont principalement tirés de l'importante liste des membres du département de police de Gotham City. Les personnages secondaires de longue date de Batman, James Gordon et Harvey Bullock, ont également fait des apparitions récurrentes. Batman, lui-même, bien qu'on ne le voie pas souvent, a joué un rôle important dans la série.


title: Gotham Central

text: L’histoire la plus célèbre de "Gotham Central" est "Half a Life", qui a obtenu plusieurs récompenses.


title: Pierre de Nolhac

text: Pierre Girauld de Nolhac, né le à Ambert (Puy-de-Dôme) et mort le à Paris, est un historien et poète parnassien français. Il fut le conservateur du musée du château de Versailles de 1892 à 1919.


title: Pierre de Nolhac

text: Pierre Girauld de Nolhac est né dans une famille d'ancienne bourgeoisie originaire du Velay, issue de Jean Girauld de Nolhac, notaire en 1681 à Saint-Privat-d'Allier, dans l'actuel département de la Haute Loire, acquéreur du domaine de Nolhac dont la famille a conservé le nom :Époux d'Alix de Goÿs de Mézeyrac, il a six enfants, dont Henri, peintre portraitiste.


title: Pierre de Nolhac

text: Après des études au Puy-en-Velay, à Rodez et à Clermont-Ferrand, Pierre de Nolhac se rend à Paris en 1880 pour préparer une licence de lettres à la Sorbonne et à l'École pratique des hautes études, où il sera plus tard directeur d'études. Membre de l'École française de Rome en 1882, il y travaille notamment sur l'humanisme italien du .


title: Pierre de Nolhac

text: Nommé en 1886 attaché au musée de Versailles, il en devient le conservateur en 1892, y ouvre une chaire d'histoire de l'art relevant de l'École du Louvre en 1910, puis prend sa retraite au musée Jacquemart-André en 1920. Il est élu membre de l'Académie française en 1922.


title: Pierre de Nolhac

text: Son action au musée du château de Versailles a été déterminante, puisqu'il a largement contribué à sa modernisation et à en reconstituer les collections, notamment celle du mobilier, qui avait été dispersée pendant la Révolution française. Il joua également un rôle important dans les préparatifs de la signature du traité de Versailles qui eut lieu dans le château en .


title: Pierre de Nolhac

text: Pierre de Nolhac a laissé une œuvre abondante consacrée en majeure partie à l’histoire, en particulier à l’humanisme pendant la Renaissance. Lors de son séjour à l'École française de Rome (1882-1885), il avait découvert à la Bibliothèque apostolique vaticane des manuscrits inédits de Pétrarque, dont le fameux Canzoniere, ce qui lui permit de faire avancer la connaissance à son sujet. Sa monographie sur Fulvio Orsini fait encore autorité. Il a également consacré de très nombreux ouvrages à la reine Marie-Antoinette et au château de Versailles. Son œuvre comme poète fut reconnue en son temps, notamment par son ami le poète italien Gabriele D'Annunzio.


title: Pierre de Nolhac

text: La bibliothèque de Versailles possède de nombreux manuscrits des principales œuvres de Pierre de Nolhac dont il fit don de son vivant comme "Érasme en Italie", "La reine Marie-Antoinette", "Nattier" ou "Louis XV et Marie Leszczynska". On peut aussi y trouver l'original de son discours de réception à l'Académie française en 1923 ou sa très volumineuse correspondance avec des personnalités aussi diverses que Proust, Bergson, Leconte de Lisle, Renan, Mussolini ou Lyautey.


title: Pierre de Nolhac

text: Il est enterré dans la tombe familiale au cimetière des Charmettes de Riom (Puy-de-Dôme).


title: Pierre de Nolhac

text: Un timbre postal a été émis à son effigie le à Ambert. Une rue de Versailles, à proximité immédiate du château entre le pavillon Dufour et le Grand Commun, ainsi qu'un collège de la ville portent son nom.


title: Trappe à inactivité

text: La trappe à inactivité (également connue sous le nom de piège à l'emploi en Belgique) désigne les désincitations que connaît une personne sans emploi à en trouver un, notamment en raison de la perte de revenus d'assistance qui résulterait de l'obtention d'un emploi. Elle est différente de la trappe à pauvreté qui désigne, elle, la désincitation à accroître le revenu d'une personne déjà employée (augmentation de la durée d'emploi ou de l'effort en vue d'avoir un meilleur taux de salaire).


title: Trappe à inactivité

text: Un écart inexistant, insuffisant ou même défavorable entre revenus d'inactivité et revenus d'activité peut aussi bien résulter de l'insuffisance de la rémunération du travail que de l'existence de prestations sociales. L'idée de trappe à inactivité est le vecteur d'une critique d'aides sociales mal pensées voire d'une critique de l'État-providence et de la protection sociale en leur principe.


title: Trappe à inactivité

text: En effet, les prestations sociales actuelles sont diminuées voire supprimées lorsque les revenus du travail augmentent, pouvant conduire dans certains pays à des situations où l’individu pourrait avoir intérêt à ne pas accepter un travail (cas principalement des emplois à temps partiel). Le revenu de solidarité active (RSA) mis en place en France par le gouvernement Fillon a ainsi pour principal objectif de suppléer aux défauts du revenu minimum d'insertion (RMI) sur ce point-là. Il fait suite à d'autres mesures qui entendaient répondre au même problème théorique comme la prime pour l'emploi ou les réformes du RMI de la fin des années 1990 (les mesures dites d'intéressement).


title: Trappe à inactivité

text: La portée réelle de ces trappes est controversée. Aucune étude économétrique n'a pu en montrer l'existence réelle (sauf en ce qui concerne l'ancienne allocation de parent isolé) alors que des études nombreuses doutent de la portée empirique de cette théorie (cf. infra).


title: Trappe à inactivité

text: Pour Jean Gadrey, appréhender le chômage à travers l'angle des trappes à inactivité aboutit à une théorie du choix rationnel en faveur d'un « chômage volontaire » . Or, une multitude d'autres facteurs que la rationalité économique intervient dans le phénomène du chômage et de l'emploi : la reconnaissance sociale offerte par un emploi, qui peut pousser à accepter un emploi dont la rémunération est inférieure à celle obtenue antérieurement, ou encore les problèmes de garde d'enfant, d'accompagnement dans l'emploi via le Pôle emploi et les services publics similaires de recherche d'emploi, etc.


title: Trappe à inactivité

text: L'effet réel des « trappes à inactivité » est toutefois contesté, d'abord parce que l'intérêt économique n'est pas le seul mobile gouvernant la recherche d'un emploi (qui permet aussi de se sentir « inséré », etc., et qui obéit donc à des enjeux de reconnaissance sociale). Ainsi, « un tiers des bénéficiaires du RMI qui reprennent un emploi n’y ont pas intérêt », économiquement parlant, et le font pour d'autres raisons.


title: Trappe à inactivité

text: La seule prise en compte de l'intérêt économique dissimule d'autres aspects du problème importants pour expliquer le phénomène du chômage en France, tels que les :


title: Trappe à inactivité

text: contraintes « familiales », dues notamment à l’absence de modes de garde proposées aux allocataires de l’allocation parent isolé (60 % déclarent connaître des difficultés dans leur démarche de recherche d’emploi parce qu’ils, et plus souvent elles, ne peuvent faire garder leur enfant), contraintes de santé, contraintes de transport, absence d’accompagnement vers et dans l’emploi… En somme, il est faux d’imaginer qu’ils préfèrent ne pas travailler simplement parce que le travail ne leur rapporterait pas assez. Ce sont moins de 1 % des bénéficiaires qui invoquent un tel manque de rentabilité financière du travail comme un obstacle au retour à l’emploi.


title: Trappe à inactivité

text: Les activités ne sont pas toutes économiques (poésie, musique, roman, peinture, littérature, éducation, etc.).Aurélien Purière, "Assistance sociale et contrepartie", L'Harmattan, 2009.


title: Bois de la Tour du Lay

text: Le bois de la Tour du Lay est situé dans le Vexin français, département du Val-d'Oise, à environ 40 km au nord de Paris.


title: Bois de la Tour du Lay

text: Il s'étend sur les communes de Parmain, Ronquerolles, Nesles-la-Vallée et Champagne-sur-Oise.


title: Bois de la Tour du Lay

text: Située sur un coteau, la pelouse calcaire du bois de la Tour du Lay présente une grande richesse floristique, comptant 18 espèces d’orchidées. Une partie du massif est devenue forêt départementale.


title: Bois de la Tour du Lay

text: Le bois contient en outre un polissoir du néolithique, classé monument historique par arrêté du .


title: Trichiinae

text: D'après des classifications anciennes, les Trichiinae sont une sous-famille de coléoptères de la famille des cétonidés. Actuellement la sous-famille est réduite à la tribu des Trichiini appartenant à la sous-famille des Cetoniinae.


title: Trichiinae

text: Selon


title: Trichius

text: Trichius est un genre d'insectes de l'ordre des coléoptères, de la famille des Scarabaeidae, de la sous-famille des Cetoniinae.


title: María Antonia Sánchez Lorenzo

text: María Antonia Sánchez Lorenzo est une joueuse de tennis espagnole née le à Salamanque. Elle a remporté un titre WTA sur la terre battue de Knokke-Heist en 1999 et neuf titres ITF. C'est à l'âge de 29 ans que l'Espagnole a décidé de mettre un terme à sa carrière. Elle a disputé sa derniere compétition à l'Open d'Espagne où elle s'est inclinée en quart de finale contre sa compatriote Lourdes Domínguez Lino, le .


title: María Antonia Sánchez Lorenzo

text: Cette joueuse a été la première gagnante du Sanex Trophy de Knokke-Heist en 1999, et cette année-là elle a aussi atteint un huitième de finale à l'Open d'Australie, son meilleur résultat en Grand Chelem. Sanchez Lorenzo termine la dernière année de sa carrière à la mondiale. Son meilleur classement fut la mondiale en 2004. En 2005 elle se fait connaître à Roland-Garros en battant la tenante du titre Anastasia Myskina dès le premier tour.


title: María Antonia Sánchez Lorenzo

text: "Aucun"


title: Jarkov (mammouth)

text: Jarkov (ou Zharkov) est le nom donné à un mammouth congelé découvert en Sibérie en 1997, d’après le nom du Dolgane qui l’a découvert.


title: Jarkov (mammouth)

text: Depuis plusieurs générations, les chasseurs dolganes font état de la présence d'ossements gigantesques et de défenses en ivoire répartis sur leur territoire. Cette région de Sibérie, en l'occurrence la presqu'île de Taïmyr située à plus de 70° de latitude nord, est en effet considérée comme l'un des plus grands cimetières du mammouth laineux ("Mammuthus primigenius").


title: Jarkov (mammouth)

text: Ces découvertes passent la plupart du temps inaperçues car les chasseurs ont pris l'habitude de vendre ou de troquer les défenses qui servent alors à fabriquer différents objets utilitaires, comme des pièces de sellerie ou des boucles de ceinture. La tradition orale de ces peuples nordiques explique la présence de ces bêtes géantes enterrées en présentant le mammouth comme un animal souterrain, qui parcourt le sous-sol dans d’immenses galeries, à la manière des taupes. À l’approche de la mort, celui-ci rechercherait à rejoindre l’air libre en creusant la terre de ses défenses, et mourrait de froid ou d’asphyxie, à demi enterré, ne parvenant jamais à s’extraire totalement du tunnel transformé en piège mortel.


title: Jarkov (mammouth)

text: Au printemps 1997, une famille de nomades dolganes - l'un des 26 petits peuples du grand nord russe - découvre au cours d'une campagne de chasse dans l'extrême nord de la Sibérie, à quelque de Moscou une paire de défenses de mammouth dépassant de 50 centimètres de la surface gelée du sol.


title: Jarkov (mammouth)

text: Le jeune chef de famille – un chasseur dénommé Kostia Zharkov, dont le nom va rapidement être attribué au géant congelé - a le réflexe d'en informer le responsable de la réserve nationale du Taïmyr, qui contacte alors l'association française « CERcles POLaires Expéditions » (Cerpolex).


title: Jarkov (mammouth)

text: À l'automne 1998, une première campagne de radiosondage est conduite sur le site de la découverte. Au lieu de tenter d'extraire le mammouth de sa gangue de terre et de glace, ce qui interdirait toute analyse scientifique rigoureuse, il est décidé que l’animal serait maintenu, afin de ne pas rompre la chaîne du froid, dans le bloc de pergélisol où il repose depuis plus de . Un balisage va permettre de repérer avec le plus de précision possible le périmètre du bloc à détacher, afin de limiter au maximum la charge à transporter. La position du mammouth est rapidement décelée : Jarkov est mort debout, tombé dans une faille, sans doute victime de la rupture d'un pont de glace. Il a ensuite été recouvert d'une coulée de boue qui a rapidement gelé. Cette brusque congélation qui a suivi sa mort a permis sa conservation.


title: Jarkov (mammouth)

text: Début , l'expédition Mammuthus installe son camp de base en pleine toundra sibérienne à au nord-ouest de Xatanga. Après 5 semaines de travail au marteau piqueur, par -40 °C, un bloc de 3 x 2 x 2 m est dégagé du sol. Jarkov se trouve à l'intérieur.


title: Jarkov (mammouth)

text: Le , le bloc de 23 tonnes est hélitreuillé par un hélicoptère russe Mi-26.


title: Jarkov (mammouth)

text: En octobre 2000, quelques parties du corps de l'animal ont été délicatement réchauffées pour réaliser un prélèvement de poils et de tissus intacts. Aujourd'hui, Jarkov est conservé dans le village de Khatanga (kraï de Krasnoïarsk). Encore prisonnier du froid, il repose dans une cave aux parois de glace qui le conserve tout au long de l'année à une température constante de -15 °C et qui constitue un environnement idéal pour les scientifiques du monde entier qui viennent l'étudier.


title: Jarkov (mammouth)

text: Jarkov est mort à 47 ans, il y a 20 380 ans d'après les datations par le carbone 14. Il doit permettre de mieux connaître l'origine du mammouth laineux, son environnement, ses habitudes alimentaires, mais aussi les causes de son extinction.


title: Dave Thomas (acteur)

text: Dave Thomas est un acteur, scénariste, producteur, humoriste et réalisateur canadien né le à St. Catharines (Canada).


title: No Trigger

text: No Trigger est un groupe de hardcore mélodique américain, originaire du Massachusetts.


title: No Trigger

text: Le groupe est formé en 2000 et publie son premier EP en 2003, "The World is Not a Stage", et un split avec Wasteland en 2004. Les sept morceaux ont été rassemblés l'année suivante sur un EP unique, "Extinction in Stereo", publié sur le label japonais Bigmouth Japan et qui a fait partie de plusieurs listes "best of 2005" de webzines punk. C'est à cette occasion que le site de référence PunkNews considère le groupe comme . Peu de temps après, No Trigger signe avec le label Nitro Records, de Dexter Holland (The Offspring). Le label leur offre un budget et l'occasion d'enregistrer leur premier album au studio Blasting Room, à Fort Collins, dans le Colorado, avec Bill Stevenson et Jason Livermore.


title: No Trigger

text: Le produit de cette collaboration est "Canyoneer", sorti le et très bien accueilli par la critique et les fans de punk. Au début du mois, le magazine américain Alternative Press avait inclus No Trigger dans sa liste des cent groupes à connaître en 2006. Une version vinyle de ce premier album est sortie par la suite sur I Scream Records. Des rapprochements ont souvent été fait entre No Trigger et Strike Anywhere, parmi d'autres groupes de hardcore mélodique. Leur son est en effet assez similaire. Les paroles sont également engagées et politisées, avec une prédilection pour les thèmes environnementalistes, mais exprimées d'une manière très personnelle, souvent imagée voire métaphorique, par Tom Rheault, le chanteur et parolier.


title: No Trigger

text: Une longue période d'inactivité après "Canyoneer" mène à des rumeurs selon lesquelles No Trigger se serait séparé. Le groupe publie une mise à jour en septembre 2010 qui annonce la réunion du groupe pour la sortie de l'EP "Be Honest", le . Le groupe annonce sa signature avec le label No Sleep Records peu après la sortie de l'EP,et anticipe la sortie d'un album en mi-2011. Leur deuxième album, "Tycoon", est enregistré avec le producteur Jay Maas au début de , et publié au début de 2012. À cette période, le groupe joue avec le chanteur Tom Rheault et le batteur Mike Ciprari.


title: Dennis Brown (compositeur)

text: Dennis C. Brown est un compositeur américain de musique de séries télévisées.


title: Dennis Brown (compositeur)

text: Il est surtout connu pour avoir composé la bande-son de la série télévisée d'animation Teenage Mutant Ninja Turtles (1987-1996), aux côtés de Chuck Lorre - avec lequel il travaille depuis.


title: Dennis Brown (compositeur)

text: Il a remporté six fois le BMI TV Music Award, respectivement pour Grace Under Fire et Dharma & Greg.


title: British Academy

text: La British Academy (en français l’Académie britannique) est l'académie nationale des sciences humaines et sociales du Royaume-Uni. Son nom complet est "The British Academy for the Promotion of Historical, Philosophical and Philological Studies". Elle peut être considérée comme l'équivalent britannique de l'Académie des sciences morales et politiques et de l'Académie des inscriptions et belles-lettres (sections de l'Institut de France) réunies.


title: British Academy

text: La "British Academy" fut créée par une charte royale de 1902. Elle est composée de 750 académiciens ("fellows"). Elle est organisée par discipline académique en 18 sections, elle est indépendante du pouvoir politique.


title: British Academy

text: L'élection en tant qu'académicien de la "British Academy" constitue une reconnaissance de la haute qualité du travail académique et des publications du nouveau membre dans le domaine des sciences humaines et sociales. Les académiciens sont autorisés à faire suivre leur nom des lettres FBA.


title: British Academy

text: La "British Academy" est présidée depuis 2009 par Adam Roberts, professeur de relations internationales à Oxford.Chaque médaille ou prix est accordée à la suite de la recommandation d'un comité de spécialistes. Les présentations sont faites à chaque Assemblée générale annuelle, elles sont les suivantes :La "British Academy" est sise au 10 Carlton House Terrace, à proximité de Trafalgar Square et de St James's Park dans la cité de Westminster à Londres (SW1Y 5AH).


title: Daisuke Nishio

text: , né le à Miyoshi dans la préfecture d'Hiroshima, est un réalisateur japonais.


title: Daisuke Nishio

text: Après des études à l'université de Ritsumeikan, il intègre le studio Toei Animation en 1981. Il fait ses débuts sur la série "Slump" où il occupe le poste de directeur d'épisode. Il prend le poste de réalisateur sur la série à succès "Dragon Ball" et sa suite "Dragon Ball Z". Il réalise par la suite d'autres série à succès du studio comme "Les Enquêtes de Kindaichi" et "Pretty Cure".


title: Bergerac sec (AOC)

text: Appellation viticole du Sud-Ouest français, alors qu'elle n'est qu'un prolongement des vignobles bordelais.


title: Bergerac sec (AOC)

text: On y trouve des blancs secs, à base de sémillon, de sauvignon et de muscadelle. Frais, ils sont généralement destinés à être bus jeunes. Néanmoins, certains producteurs en font des vins capables de rivaliser avec ceux de l'AOC Graves.


title: Bergerac sec (AOC)

text: Les blancs moelleux, issus des mêmes terroirs, portent l'appellation Côtes de Bergerac.


title: Massif du Taillefer

text: Le massif du Taillefer est un petit massif des Alpes françaises situé dans le département de l'Isère.


title: Massif du Taillefer

text: Il prolonge au sud-ouest la chaîne de Belledonne et se situe au nord-ouest du massif des Écrins, au nord du massif du Dévoluy, et à l'est du Vercors.


title: Massif du Taillefer

text: Il est bordé par le Drac, la Romanche, la Lignarre et la Malsanne. Le plateau matheysin, ainsi que les sommets qui le bordent, en occupe la moitié occidentale. Sa frange nord-est (bassins versants de la Lignarre et de la Romanche) appartient quant à elle à l'Oisans.


title: Massif du Taillefer

text: Le massif est formé de trois chaînons parallèles orientés nord-sud et se succédant d'est en ouest.


title: Massif du Taillefer

text: Dans le chaînon oriental (à l'est de la Roizonne), le plus élevé, on distingue :


title: Massif du Taillefer

text: Dans le chaînon central (entre le col de la Morte et le plateau matheysin), on trouve du nord au sud :


title: Massif du Taillefer

text: Enfin, dans le chaînon occidental, appelé montagne du Conest (dominant la vallée du Drac et le plateau matheysin), figurent du nord au sud :


title: Massif du Taillefer

text: Le Taillefer compte de nombreux névés et quelques glaciers, dont le Grand Glacier, sur le versant septentrional du Grand Armet, plus vaste glacier du massif.


title: Massif du Taillefer

text: Le massif du Taillefer est principalement un massif cristallin à l'instar du massif de Belledonne, dont il est un prolongement. Cependant, le chaînon occidental du Sénépy et de la montagne du Conest est quant à lui formé par des calcaires un peu argileux du Lias inférieur. Y affleurent également sur son flanc occidental des calcschistes du Lias supérieur ou du Dogger basal.


title: Denisa Chládková

text: Denisa Chládková est une joueuse de tennis tchèque née le à Prague.


title: Denisa Chládková

text: En 1997, elle a atteint les quarts de finale à Wimbledon, battue par la future gagnante Martina Hingis, non sans avoir sorti Lindsay Davenport (alors mondiale) au . Il s'agit de sa meilleure performance en simple dans une épreuve du Grand Chelem.


title: Denisa Chládková

text: Elle n'a remporté aucun tournoi WTA pendant sa carrière.


title: Denisa Chládková

text: "Aucun"


title: Denisa Chládková

text: "Aucune"


title: Ettelbruck

text: Ettelbruck (en et en ), est une ville luxembourgeoise qui est le chef-lieu de la commune portant le même nom située dans le canton de Diekirch.


title: Ettelbruck

text: Ettelbruck se trouve au centre du Luxembourg au cœur de grandes villes nationales, européennes et internationales Ettelbruck est à :La gare d'Ettelbruck est reliée au réseau ferroviaire sur la ligne 1 reliant Luxembourg à Troisvierges-frontière. La commune est reliée au réseau routier national par l'A7 (Autoroute du Nord, liaison Luxembourg - Diekirch). Ettelbruck se trouve à environ 25 minutes du centre-ville de Luxembourg depuis la mise en service totale de l'A7 en 2015. Auparavant, la ville se trouvait à 45 minutes de Luxembourg par la N7, ce qui représente un gain de temps de 20 minutes.


title: Ettelbruck

text: Ettelbruck est desservie par le Régime général des transports routiers (RGTR). En outre, elle exploite un service « City-Bus » régulier, le « City-Bus Ettelbruck », constituée d'une unique ligne nommée "ligne Loppert".


title: Ettelbruck

text: La commune a été le centre de la révolution luxembourgeoise de 1848.


title: Ettelbruck

text: Le juillet 1850, la commune fut amputée des sections de Birtrange, Erpeldange, Ingeldorf, Niederschieren et Oberschieren pour créer les communes d’Erpeldange et Schieren.


title: Ettelbruck

text: Pendant la Seconde Guerre mondiale, le 10 mai 1940, jour du déclenchement de l'invasion du Luxembourg, Ettelbruck est prise par les Allemands de la Panzerdivision qui a pour objectif de traverser la Meuse à Sedan. La commune fait partie de la Nordstad.


title: EyeOS

text: eyeOS était un webOS, environnement de bureau de type cloud computing, basé sur une interface Web, libre jusqu'à la version 2.5 (sous licence AGPL v3).


title: EyeOS

text: En 2005, deux jeunes catalans Pau García-Milà et Marc Cercós (ils avaient alors 17 ans) créent le projet depuis leur village d'Olesa de Montserrat (Baix Llobregat). Deux ans plus tard ils créent l'entreprise qui va soutenir le projet et permettre de développer les services professionnels autour de celui-ci. Installée à Barcelone jusqu'en 2016, elle était constituée d'une trentaine de contributeurs de plus de neuf nationalités. eyeOS permet à l'utilisateur d'accéder à son bureau, ses fichiers et ses applications eyeOS à partir de tout navigateur, sur n'importe quel ordinateur, en n'ayant besoin que d'un système de base permettant de faire tourner un navigateur et d'une connexion internet.


title: EyeOS

text: eyeOS est écrit en PHP, un langage de script libre et utilise JavaScript. On peut ainsi l'installer sur la plupart des systèmes d'exploitation existants en tant que serveur à condition de disposer d'un serveur HTTP gérant le PHP (MAMP ou WAMP permettent de réaliser des essais très facilement). Il est également possible d'utiliser un serveur eyeOS existant en se créant simplement un compte.


title: EyeOS

text: De plus en plus d'applications sont disponibles pour eyeOS, des applications de bureautique (traitement de texte, tableur, etc.) aux jeux, en passant par des applications internet (messagerie instantanée, mail, etc.). Il est donc possible de réaliser toutes les tâches courantes à partir d'un simple navigateur.


title: EyeOS

text: Un répertoire des applications disponibles pouvait être enrichi par les développeurs qui souhaitent proposer leurs logiciels. Il est très facile d'adapter à eyeOS les applications existantes (JavaScript, applets Java, Flash, etc) en utilisant les bibliothèques mises à disposition par l'équipe eyeOS.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Harpoon est une série de simulateurs de guerre navale et aérienne non classifiés extrêmement précis, ce qui le classe comme jeu de stratégie en temps réel. Les simulateurs permettent de prendre le contrôle de tous les éléments d’un groupe naval moderne et d’explorer la complexité du combat au . La série des Harpoon est en fait considérée comme étant assez proche de ce qui a été utilisé pendant des années par différentes branches des forces armées du monde entier pour les entraînements et les scénarios hypothétiques.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Le jeu vidéo Harpoon est l’adaptation électronique du "wargame" "Harpoon" de Larry Bond et Chris Carlson. Larry Bond a collaboré avec Tom Clancy sur le techno-thriller "Tempête rouge", ce roman reprenant des aspects du "wargame" (guerre aéronavale dans l’Atlantique Nord).


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Harpoon est apparu initialement sous forme de jeu en plateau. Il a été depuis adapté à l'informatique, même si une version jeu en plateau existe toujours.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Le premier de la série numérique Harpoon est "Harpoon Classic", développé par Three-Sixty et mis en vente en . Three-Sixty vend et améliore le produit jusqu'au début 1994, période à laquelle les droits furent transférés à Applied Computing Services Inc. (ACSI), Alliance Interactive reprenant le code source et les droits au milieu de 1994 et adaptant "Harpoon Classic" sur la plate-forme Windows 3.1. En 1996, Alliance Interactive vendit les droits de "Harpoon Classic 97" à Interactive Magic, qui l'adapta à Windows 95. En 2002, sortait "Harpoon Classic 2002", évolution très significative de "Harpoon Classic 97". Les améliorations ont porté sur l'intelligence artificielle (et particulièrement sur les domaines aériens et sous-marins) et la correction de bugs. Parmi les innovations majeures à signaler, la présence d'un éditeur de plates-formes permettant au joueur de créer des plates-formes personnalisées.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: "Harpoon Classic 2002" est l'aboutissement d'un travail de 15 mois qui se poursuit dans le but d'améliorer profondément la version originale de "Harpoon Classic". En , les joueurs furent consultés, et des dizaines de réponses demandant des améliorations furent renvoyées.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: "Harpoon Classic 2002" a été remplacé par "Harpoon Classic 2007 Commander's Edition" sorti le .


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: "Harpoon II" était la version MS-DOS du simulateur. Elle fut commercialisée dès 1994 et comprenait à l’origine une campagne réparie sur 6 disquettes de 3,5 pouces. Cinq campagnes furent ajoutées avec l’extension initiale. La version suivante, "Harpoon Deluxe Multimedia Edition" se trouve pour la première fois sur un CD-ROM et est agrémenté par de nombreuses séquences audio et vidéo. Autre innovation, la présence d’un éditeur de scénarios permettant de personnaliser une situation. L’ultime version fut "Harpoon Admiral’s Edition" qui comprenait les six campagnes ainsi qu’une nouvelle. "Harpoon " étant une application MS-DOS, elle souffrait de graves problèmes d’instabilité avec les systèmes d’exploitation Windows 95, Windows 98 ou Millenium et ne fonctionnait plus du tout avec les systèmes Windows NT 4.0, Windows 2000 ou XP. Ces problèmes ont conduit à une amélioration appelée "Harpoon 3". "Harpoon3" est conçu pour fonctionner sur les systèmes d’exploitation Windows 95, 98, ME, NT4.0, Windows 2000 et XP, mais aussi Macintosh (Mac OS et Mac OS X). La version Mac fut commercialisée dès 2001 tandis que la version Windows dut attendre la mi-. "Harpoon3" fait appel à de très nombreuses modifications par rapport aux versions précédentes, et en raison de l’abandon du projet "Harpoon4" le , c’est la version la plus élaborée en attendant la nouvelle génération de Harpoon (connue sous l’appellation "The Next Harpoon"). "Harpoon3 ANW" ("Advanced Naval Warfare", guerre navale avancée), sorti le , est le dernier venu de la série. Outre la correction de nombreux bugs, "Harpoon3 ANW" incorpore un mode du jeu multijoueur en réseau, une fonctionnalité jusque-là réservée aux seuls utilisateurs militaires (voir paragraphe suivant).


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: "Harpoon3" existe aussi en version « Pro », réservé aux militaires. La marine australienne utilise Harpoon pour entraîner ses officiers. Cette version est beaucoup plus paramétrable que la version civile, elle permet aussi de modéliser la guerre des mines et les mouvements de troupes terrestres, deux aspects qui sont parmi les prochaines options disponibles pour les joueurs civils. Elle est livrée en incluant une formation d’une semaine, afin d’expliquer les différentes fonctionnalités aux utilisateurs.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Le , "Harpoon Classic Commander’s Edition" et "Harpoon3 ANW" ont fusionné en une seule version dont le nom est "Harpoon Ultimate Edition". Cette version combine toutes les occurrences de la série depuis les origines. De nouvelles fonctionnalités, comme les fonctions "abordage/prise d'assaut" permettent de modéliser la guerre contre la piraterie. Une nouvelle modélisation du fonctionnement des sonars a en outre été ajoutée. Harpoon Ultimate Edition a vocation de devenir le produit unique commercialisé par Matrix.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Une nouvelle version d'Harpoon pour tablette Android va sortir pour la fin de l'annee 2017. Elle est realiser par un developpeur independant. La version demo sera gratuite sur Google Play.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Ce qui fait la force de la série Harpoon, c’est l’étendue de la paramétrabilité du jeu. Celle-ci concerne essentiellement la création de scénarios, mais aussi de bases de données.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: La désignation de base de données est ici utilisée pour décrire les ressources que le jeu utilise. Un base de données, une ressource, regroupe un ensemble d’information sur les éléments réel à simuler comme les navires, les aéronefs, les structures terrestres. Harpoon est livré avec un éditeur de bases de données, qui permet au joueur de personnaliser les forces en présente et ainsi de régler la simulation. "Harpoon3" est la première version à faire appel à cette fonctionnalité, "Harpoon Classic" l’a par la suite incorporé au vu de sa popularité.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Rien que pour Harpoon3.6, cinq bases de données existent :


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: D’autres bases de données sont aussi disponibles ailleurs ou en cours de développement. La coexistence et la gestion de multiples bases de données est facilitée dans "Harpoon3 ANW" (cf. supra) avec une fonctionnalité permettant de basculer d'une base de données à une autre, sans avoir à effacer ou déplacer le moindre fichier.


title: Harpoon (série de jeux vidéo)

text: Harpoon et d’autres jeux vidéo peuvent se marier, preuve est faite par le projet Europe-88. Le simulateur peut aussi être associé au modélisme, comme le montre les Guerres du Nortland.


title: Christopher Sabat

text: Christopher Sabat est un acteur américain spécialisé dans le doublage né le à Washington (États-Unis). Il est aussi producteur.


title: Christopher Sabat

text: Il double parfois en version US les Dragon ball.


title: Christopher Sabat

text: Jeux vidéo


title: Christopher Sabat

text: Dragonball Kakarot : Végéta , Yamcha, Piccolo, Tout Puissant


title: Christopher Sabat

text: Paladins : Grover


title: Mouse Trap

text: Mouse Trap est un jeu vidéo développé par Exidy, sorti en 1981 sur borne d'arcade. Il est, par certains aspects, assez similaire à "Pac-Man".


title: Mouse Trap

text: Le joueur dirige une souris dans un labyrinthe dans le but de manger tous les morceaux de fromage du niveau. Ses ennemis sont des chats et des faucons. La souris peut collecter des os qui lui permettent, à tout moment, de se transformer en chien quelques instants et de chasser les chats.


title: Mouse Trap

text: Le joueur dispose de quatre boutons en plus du joystick directionnel. Le premier bouton permet au joueur de se transformer en chien s’il possède, au moins, un os. Les trois autres permettent au joueur de fermer ou d'ouvrir, à tout moment, les portes jaunes, rouges et bleues et ainsi de bloquer ou emprisonner les chats en transformant l'apparence du labyrinthe.


title: Mouse Trap

text: Régulièrement, un faucon apparait sur l'écran et essaie d'attraper le joueur, aussi bien en souris qu'en chien. Le seul moyen de le faire fuir est de passer au milieu de l'écran par un passage, noté "IN", et ainsi de le désorienter. Ce passage vous transporte dans un des quatre coins de l'écran.


title: Mouse Trap

text: Enfin, différents bonus apparaissent à divers endroits de l'écran et permettent d'obtenir des points supplémentaires.


title: Mouse Trap

text: Le jeu est adapté par Coleco sur les consoles Atari 2600, Colecovision et Intellivision en 1982.


title: Perpendicularité

text: La perpendicularité (du latin "", « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie, branche des mathématiques fondée sur les triangles rectangles, dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires.


title: Perpendicularité

text: En géométrie plane, deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. La notion de perpendicularité s'étend à l'espace pour des droites ou des plans.


title: Perpendicularité

text: Les notions d'orthogonalité et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propres et ne doivent pas être confondues.


title: Perpendicularité

text: En géométrie euclidienne plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit (i.e. quatre angles droits), elles sont dites perpendiculaires. Les directions des droites étant orthogonales, les droites sont dites aussi orthogonales. En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant se couper. Ce n'est que si les segments se coupent en angle droit qu'ils seront dits perpendiculaires. Dans le plan, par un point donné, ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.


title: Perpendicularité

text: Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :


title: Perpendicularité

text: Si le plan est muni d'un repère orthonormal [on peut, supposant acquis le théorème de Pythagore, via la condition évoquée ci-contre dans l'illustration, retrouver la condition classique (ac+bd=0) pour que deux Vecteurs u(a,b) et v(c,d) soient perpendiculaires (on dit aussi orthogonaux)], et si les droites sont définies par les équations formula_1 et formula_2, les droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs aa' est égal à -1.


title: Perpendicularité

text: Si le plan est muni d'un repère orthonormal et si les droites sont définies par les équations formula_3 et formula_4, les droites sont perpendiculaires si et seulement si formula_5.


title: Perpendicularité

text: On note la perpendicularité avec le symbole formula_6; ainsi, formula_7 indique que les segment PQ est perpendiculaire au segment AB.


title: Perpendicularité

text: Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.


title: Perpendicularité

text: Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné, il n'existe qu'une seule droite passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Si le point est situé sur la droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et perpendiculaire à la droite donnée.


title: Perpendicularité

text: Dans l'espace, les notions de parallèles et de perpendiculaires ne sont plus aussi liées. Dans l'espace, si une droite n'est pas parallèle à un plan, elle coupe toujours ce plan. Si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, on dira que la droite est perpendiculaire au plan. La droite sera alors orthogonale à toutes les droites du plan. Cette propriété s'appelle parfois théorème de la porte car elle explique pourquoi une porte peut tourner sur ses gonds si son axe de rotation est bien perpendiculaire au plancher.


title: Perpendicularité

text: Dans l'espace, par un point donné ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné et qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.


title: Perpendicularité

text: On retrouve alors des relations plus intéressantes sur perpendiculaires et parallèles La direction perpendiculaire à une surface en un point est souvent appelée la direction normale à la surface, ou encore orthogonale.


title: Perpendicularité

text: La notion de plans perpendiculaires, bien qu'intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété. Pour comprendre la notion de plans perpendiculaires, il faut revenir à la définition première de perpendiculum (fil à plomb) et à la notion de plan vertical et plan horizontal. Un plan horizontal est un plan perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Un plan vertical est un plan contenant la direction du fil à plomb. Un plan vertical est dit alors perpendiculaire au plan horizontal.


title: Perpendicularité

text: De cette notion première naît la définition suivante : Un plan est perpendiculaire à un autre, s'il contient une droite perpendiculaire au second plan. On démontre que cette relation est symétrique.


title: Perpendicularité

text: Il n'existe pas de notion de plans orthogonaux en dimension 3. Deux plans seraient orthogonaux si toute direction du premier plan était orthogonale à toute direction du second plan, ce qui est matériellement impossible.


title: Perpendicularité

text: Il faut se méfier de la notion de plans perpendiculaires. Par exemple : Il reste cependant quelques propriétés


title: Perpendicularité

text: Dans un espace euclidien, deux sous-espaces vectoriels sont dits orthogonaux quand tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre. Ils sont alors automatiquement en somme directe. Ainsi deux plans de l'espace euclidien à trois dimensions ne peuvent être orthogonaux.


title: Perpendicularité

text: Deux sous-espaces vectoriels sont dits perpendiculaires quand ce sont leurs supplémentaires orthogonaux qui sont orthogonaux. Ainsi deux plans vectoriels de l'espace à trois dimensions sont perpendiculaires quand leurs droites normales sont orthogonales.


title: Ian James Corlett

text: Ian James Corlett est un acteur canadien né le à Burnaby, Colombie-Britannique (Canada).


title: Ian James Corlett

text: En plus de programmer des pistes de batterie et d’aider à la réalisation de séquences informatiques de l’album Operation: Mindcrime de Queensrÿche et de vendre du matériel musical dans les années 1980, Corlett a également prêté sa voix à plusieurs séries d’animation produites / doublées au Canada. Ses rôles vocaux les plus remarquables incluent le personnage principal de la série télévisée Mega Man, Cheetor dans Beast Wars: Transformers, Glitch-Bob dans ReBoot et Andy Larkin dans What's with Andy ?. Un autre rôle important, mais rapide, du rôle principal de Corlett a été Goku dans Funbym / Saban, le dub original de Dragon Ball Z. Corlett a également prêté sa voix à des spectacles moins connus de DIC Entertainment, tels que Super Duper Sumos et Sonic Underground. Il a également exprimé M. Cramp dans The Cramp Twins. Dans Salty's Lighthouse, il a joué Ten Cents, Otis, Zeebee, Zip, Lord Stinker, Frank, Eddie et l’horloge du phare. Corlett est actuellement en train de jouer Sly Cooper dans le prochain film du même nom.


title: Ian James Corlett

text: Par une coïncidence, Corlett qui a exprimé le Dr Wily dans Captain N: The Game Master, le dessin animé de DIC, exprimerait plus tard son ennemi juré, Mega Man, dans l’adaptation du jeu aux dessins Ruby-Spears.


title: Simple dames du tournoi de Wimbledon 2006

text: Cet article présente les résultats détaillés du simple dames de l’édition 2006 du tournoi de Wimbledon qui est disputé du 26 juin au . Ce tournoi de tennis est le troisième de la tournée du Grand Chelem.


text: Amélie Mauresmo bat Justine Henin en finale de cette édition ; elle décroche à cette occasion son du Grand Chelem et le de sa carrière sur le circuit WTA.


text: En demi-finale, les deux protagonistes avaient respectivement battu Maria Sharapova et Kim Clijsters.


title: Kayna Samet

text: Kayna Samet, nom de scène de Malika Zoubir, est une chanteuse française de soul, hip-hop et R'n'B, née le à Nice.


title: Kayna Samet

text: Née à Nice le , d'origine algérienne, elle grandit hors des quartiers sensibles de sa ville natale.


title: Kayna Samet

text: Kayna Samet est l'ex femme du rappeur Sinik avec qui elle a eu une petite fille nommée Inès née le .


title: Kayna Samet

text: Grâce au soutien de son premier manager Nabila Jaadi et aux différents concours gagnés, elle fait des maquettes et des premières scènes en France. Akhénaton leur propose de venir à Marseille pour enregistrer un morceau sur une compilation, morceau qui ne verra finalement jamais le jour.


title: Kayna Samet

text: En 1999, sort le premier maxi, "Le Parcours d'une goutte d'eau" distribué en FNAC de Monaco, Nice, Cannes et Paris. En 2000, elle interprète le titre "Jeune Fille d’en bas" sur la bande originale du film "La Squale" produit par Cut Killer et DJ Abdel aux platines, avec qui elle retravaillera pour la compilation R'n'B 2000 International avec le titre "Vas-y Pars".


title: Kayna Samet

text: Elle décide d'opter pour un pseudonyme qui lui correspond davantage : Kayna Samet, en hommage à Kahina, grande reine Amazigh des Aurès, ainsi qu'à sa grand-mère maternelle. Elle rencontre ensuite Matt sur un plateau TV, qui l'invite à lui donner la réplique sur son deuxième album, "R&B 2 Rue", dans le duo "Le prix à payer", sorti le , puis à participer à toutes ses tournées en faisant ses premières parties en compagnie de Diam's.


title: Kayna Samet

text: En , Kayna Samet sort un titre en solo, "Blazée D'la Life". Booba, après avoir entendu son seul titre solo sorti dans l'intervalle, lui demande d'évoquer avec lui sa "Destinée", sur son album "Temps mort" sortit le .


title: Kayna Samet

text: En 2003, elle collabore avec IAM sur le titre "Nous", tiré de l'album "Revoir un printemps", sorti le et sur l'album "La Fierté Des Nôtres" de Rohff avec le titre "Pétrole", sorti le .


title: Kayna Samet

text: Entre-temps, Kayna Samet signe avec le label Voix Publik et commence à travailler sur l'écriture de son premier album, en fédérant autour d'elle une équipe de musiciens : Anakroniq.


title: Kayna Samet

text: Elle revient en avec son , "A Cœur Ouvert", disponible en digital, dont le premier extrait s'intitule "Si tu m'aimes".


title: Kayna Samet

text: Le deuxième extrait est "Yema" en duo avec la chanteuse Indila


title: Kayna Samet

text: Kayna Samet participe au projet du groupe marseillais Psy 4 de la Rime et est ainsi présente dans "Enfants Soldats" extrait de "", de Psy 4, dans les bacs depuis le .


title: Kayna Samet

text: 2014 sera l'année pour sortir son troisième album qui s'intitule "Thug Wife" qui sortira le .


title: Kayna Samet

text: Le premier single est le titre "No money", en duo avec le rappeur Soprano. Le titre est disponible sur iTunes, et le clip officiel est sorti quelques jours après.


title: Kayna Samet

text: Le deuxième single est "Bousillée" disponible sur iTunes. Les clips des titres « Bousillée » et « Mon Paradis » sont disponibles.


title: Kayna Samet

text: Elle participe avec les rappeurs Lartiste et Rim'k au morceau "Déconnectés" de DJ Hamida. Elle participe également au projet collectif "Abbé Road" en interprétant le single "Le Chemin de Pierre" au profit de la Fondation Abbé Pierre.


title: Kayna Samet

text: En 2016 elle sort un single nommé "ça va aller". Elle recidive en 2018 avec "Bye Bye".


title: Kayna Samet

text: Elle participe à la production du morceau "Mona Lisa" de Booba. Ce dernier lui rend également hommage dans le titre "Kayna", homonyme à son prénom de scène, sorti en et tous deux enregistrent le morceau "Kayna (remix)" sorti en .


title: Inter-Services Intelligence

text: La Direction pour le renseignement inter-services ou Inter-Services Intelligence (ISI) est la plus puissante des trois branches des services de renseignements du Pakistan, principalement orientée vers les opérations extérieures. Dirigée par un général, elle est officiellement dépendante des forces armées du Pakistan. Elle est fondée en 1948, peu après l’"Intelligence Bureau".


title: Inter-Services Intelligence

text: L'ISI joue un rôle politique très important au Pakistan, au point d'être qualifiée de véritable « État dans l'État. » Ses relations ambiguës avec certains groupes islamistes armés font également polémique, ainsi que sa politique parfois contraire à celle du gouvernement pakistanais.


title: Inter-Services Intelligence

text: Ce service se fait connaître sur le plan mondial lors de la guerre d'Afghanistan lorsque, avec les services américains (programme afghan) et saoudiens, il a largement aidé et formé les moudjahidines contre l'Armée rouge et le gouvernement afghan d’alors. Après avoir soutenu Gulbuddin Hekmatyar qui échoue à prendre Kaboul en 1994 lors de la guerre civile, l'agence soutient les talibans. La prise du contrôle du pays par ces derniers, en 1996, devait apporter une profondeur stratégique face à l’adversaire principal, l'Inde.


title: Inter-Services Intelligence

text: Le général Musharraf, président du Pakistan (2001-2008), a remplacé le chef de l'ISI, le général Ashfaq Kayani, par le général , ancien secrétaire de Musharraf et proche de la femme de ce dernier, le . Ce changement de direction eut lieu un peu plus de deux mois après l'assaut de la Mosquée rouge à Islamabad, au cours duquel l'ISI fut écarté, en raison de ses liens avec les islamistes, au profit du "Military Intelligence". L'arrestation en février 2010 du 2 des taliban afghan, Abdul Ghani Baradar, lors d'une opération conjointe de l'ISI et des États-Unis, pourrait cependant marquer un tournant dans les relations entre les services et les islamistes.


title: Inter-Services Intelligence

text: Le lieutenant général Ahmed Shuja Pasha, précédemment directeur des opérations militaires de l'état-major général, est nommé à la tête de ce service le et a démantelé la branche politique de l'ISI en pour axer en priorité son action sur la lutte contre le terrorisme.


title: Inter-Services Intelligence

text: L'ISI a été accusée de collaborer avec des mouvements terroristes islamiques notamment en Afghanistan. En , le chef d'état-major des armées des États-Unis Michael Mullen déclare que le réseau Haqqani est un « véritable bras armé » du renseignement pakistanais, et accuse le renseignement militaire d'avoir soutenu les Haqqani lors de l'attaque de l'ambassade des États-Unis et des quartiers généraux de l'OTAN à Kaboul le .


title: Inter-Services Intelligence

text: Le porte-parole de l'armée pakistanaise, le général Athar Abbas, a reconnu pour la première fois que l'ISI était bien en contact avec les Haqqani, mais uniquement dans ses capacités de service de renseignement, s'est-il défendu tandis que les autorités pakistanaises se refusent à attaquer ce réseau.


title: Inter-Services Intelligence

text: En 2018, les États-Unis annoncent leur intention d'annuler 300 millions de dollars d’assistance sécuritaire au Pakistan, exaspérés, selon le journal "Le Monde", par son soutien supposé à des groupes extrémistes.


title: Inter-Services Intelligence

text: L'ISI a un effectif estimé en 2008 à fonctionnaires. Comme tout service spécial, il convient d'y ajouter quelque collaborateurs extérieurs.


title: Inter-Services Intelligence

text: Son siège appelé Point zéro se situe dans le quartier du marché d'Aabpara à Islamabad, il comporte huit départements :Il est depuis son origine commandé par un lieutenant-général de l'armée de terre pakistanaise.


title: Simple messieurs du tournoi de Wimbledon 2005

text: Résultats détaillés du simple messieurs de l'édition 2005 du tournoi de Wimbledon.


title: Espace urbain de Paris

text: L’espace urbain de Paris, ou grand bassin parisien, est l'espace urbain français centré sur la ville de Paris, tel que l'Insee le définissait et le délimitait en 1999, ce zonage d'étude ayant été abandonné lors des recensements ultérieurs. Il s'agissait, alors, du plus grand espace urbain de la France.


title: Espace urbain de Paris

text: L'espace urbain de Paris s'étendait sur les départements suivants :


title: Espace urbain de Paris

text: Cet espace urbain s’étendait sur tout ou partie des anciennes régions (avant 2015) Bourgogne, Centre, Champagne-Ardenne, Île-de-France, Lorraine, Basse-Normandie, Haute-Normandie et Picardie.


title: Espace urbain de Paris

text: L'espace urbain regroupait 59 aires urbaines en 1999 :


title: Lepeltier

text: Lepeltier est un patronyme porté notamment par :


title: Gold Star

text: Gold Star est le label d'une compagnie discographique indépendante américaine. Elle produisit essentiellement du blues, du rhythm and blues, de la musique country (ou "hillbilly") et de la musique cadienne.


title: Gold Star

text: Artistes produits : Lil' Son Jackson, Roy Brown


title: Stabilité de Liapounov

text: En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de "stabilité au sens de Liapounov") apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc.


title: Stabilité de Liapounov

text: Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable.


title: Stabilité de Liapounov

text: De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre formula_1 demeure au voisinage de ce point, alors formula_1 est dit "stable au sens de Liapounov" (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre formula_1 est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type formula_4) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction formula_5 de l'équation différentielle et à formula_1. Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une "fonction de Liapounov" du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, "infra", le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : "Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet" et "L’œuvre de Liapounov").


title: Stabilité de Liapounov

text: D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple: Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques.


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les exemples qui suivent sont traités grâce aux théorèmes énoncés et démontrés dans la suite de cet article. Ces exemples ont pour rôle de motiver ces théorèmes et les définitions, parfois un peu techniques, qui sont également nécessaires. Les systèmes considérés ont des coefficients qui ne dépendent pas du temps (ils sont régis par des équations différentielles autonomes). Pour de tels systèmes, les notions délicates d'uniformité sont inutiles, ce qui simplifie considérablement les concepts.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons le système dynamique défini par l'équation différentielle du premier ordre


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour déterminer les points d'équilibre "réels", on écrit formula_10, d'où formula_11, ce qui équivaut à formula_12 : c'est l'unique point d'équilibre. Le but est de déterminer si ce point d'équilibre est stable "sans avoir à résoudre l'équation différentielle".


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit alors la fonction formula_13 ; on peut l'assimiler à une énergie puisque cette fonction est strictement positive sauf au point d'équilibre formula_12 (on dit qu'elle est "définie positive") et elle est « globalement propre » (ou « radialement non bornée »), c'est-à-dire que formula_15 lorsque formula_16. Calculons maintenant la dérivée de cette fonction le long des trajectoires du système. Elle s'écrit formula_17 pour formula_9, soit donc formula_19. Par conséquent, formula_20 pour tout formula_21 (on dit par conséquent que la fonction formula_22 est définie positive, ou encore que formula_23 est définie négative). Cette énergie est donc toujours strictement décroissante. Le théorème de Liapounov, explicité plus bas, montre que cette énergie devra nécessairement s'annuler, c'est-à-dire que l'état "x" du système va nécessairement converger vers 0 quelle que soit la condition initiale. On dit que "V" est une fonction de Liapounov et que le point d'équilibre 0 est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: Envisageons maintenant un système plus compliqué, pour lequel la fonction de Liapounov ne sera pas aussi simple: soit le système


title: Stabilité de Liapounov

text: L'origine formula_12 est de nouveau un point d'équilibre. Soit cette fois formula_26. On peut écrire cette quantité sous la forme


title: Stabilité de Liapounov

text: Elle est donc définie positive (au sens précisé plus haut, et bien qu'il ne s'agisse pas d'une forme quadratique) et globalement propre, et peut de nouveau être considérée comme une énergie, dans un sens généralisé. Un calcul semblable au précédent donne


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_29 et formula_30 sont les quantités définies plus haut en fonction de formula_31 et formula_32. On vérifie que


title: Stabilité de Liapounov

text: et formula_23 est donc définie négative. Par le même raisonnement que dans le premier exemple, "V" est une fonction de Liapounov, et le théorème de Liapounov permet de conclure que le point d'équilibre formula_12 est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit maintenant le système


title: Stabilité de Liapounov

text: avec formula_37. Étudions de nouveau la stabilité du point d'équilibre formula_12. Pour "x" voisin de 0, on peut considérer ce système comme « quasi linéaire » (voir "infra") et on peut l'approcher par le système linéaire (en négligeant les termes du second ordre)


title: Stabilité de Liapounov

text: soit encore formula_40 avec formula_41. On vérifie facilement que les valeurs propres de "A" sont formula_42. La condition nécessaire et suffisante de stabilité d'un système linéaire à coefficients constants (voir "infra") montre alors que 0 est asymptotiquement stable pour ce système linéaire, puisque ces valeurs propres appartiennent toutes deux au demi-plan gauche ouvert du plan complexe. Par conséquent, d'après le théorème de Perron, donné plus bas, l'origine est asymptotiquement stable pour le système non linéaire envisagé.


title: Stabilité de Liapounov

text: La question se pose maintenant de savoir si cette stabilité asymptotique est globale ou non. D'après le Critère de Liapounov (voir "infra"), il existe une unique solution symétrique réelle définie positive "P" à l'équation algébrique dite "de Liapounov"


title: Stabilité de Liapounov

text: En résolvant cette équation, on obtient en effet formula_44. Par conséquent, la fonction formula_45 est une fonction de Liapounov "pour l'approximation linéaire". Voyons maintenant ce qu'il en est pour le système non linéaire initial. On obtient


title: Stabilité de Liapounov

text: soit encore


title: Stabilité de Liapounov

text: Par conséquent,et le point d'équilibre 0 est dit globalement exponentiellement stable.Considérons enfin le système


title: Stabilité de Liapounov

text: et envisageons comme « candidate » pour être fonction de Liapounov


title: Stabilité de Liapounov

text: On a formula_64, c'est donc une fonction définie positive et globalement propre. Un calcul simple montre que formula_65. La fonction formula_22 est donc seulement "semi-définie positive", puisqu'elle s'annule sur la droite formula_67. Le théorème de Liapounov permet de conclure que l'origine est stable (c'est-à-dire que si la condition initiale est voisine de 0, l'état restera proche de 0), mais ne permet pas de conclure qu'elle est asymptotiquement stable. Mais si formula_67, alors formula_69, donc formula_70. De plus, formula_71, donc formula_32 ne peut rester nul que si formula_73. On exprime ceci en disant que le plus grand ensemble invariant inclus dans l'ensemble des "x" tels que formula_74 se réduit à l'origine. Le théorème de Krasovsky-LaSalle (voir "infra") permet alors de conclure que l'origine est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: Ces quatre exemples montrent les points suivants :


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text: Recadrer ces exemples dans un contexte général demande des développements non triviaux.


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text: On tente ci-dessous de retracer les grandes étapes de l'évolution de la théorie de la stabilité. Les contributions depuis plus d'un siècle sont innombrables et l'exposé qui suit n'est bien évidemment pas exhaustif.


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text: C'est tout d'abord les systèmes mécaniques dont la stabilité a été étudiée. Soit un système conservatif (c'est-à-dire soumis à des forces qui dérivent toutes d'un potentiel) à "n" degrés de libertés et formula_84 le vecteur de ses coordonnées généralisées. Le mouvement vérifie l'équation de Lagrange


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_86, formula_87 étant l'énergie cinétique, supposée être une forme quadratique semi-définie positive en formula_88, et formula_89 étant l'énergie potentielle. L'équation de Lagrange s'écrit de manière équivalente


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text: Les équilibres formula_91 sont donc solutions de formula_92. Joseph-Louis Lagrange, généralisant le principe de Evangelista Torricelli (1644) suivant lequel un corps pesant a tendance à aller vers la position d'équilibre où son centre de gravité est le plus bas, a énoncé en 1788 le principe suivant : si l'énergie potentielle formula_89 possède un minimum relatif strict (« condition de Lagrange »), l'équilibre en ce point est stable. La démonstration de Lagrange était toutefois incorrecte, sauf dans le cas où l'énergie potentielle est une forme quadratique. C'est Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui, le premier, a pu donner du principe de Lagrange une démonstration générale et rigoureuse en 1846. Il a montré que, si la condition de Lagrange est vérifiée au point formula_94, si le système est à l'équilibre en ce point, et si on l'en écarte suffisamment peu et suffisamment lentement, le vecteur "q" reste aussi proche que l'on veut de ce point : c'est ce qu'on appelle la "stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet" (si Dirichlet avait supposé que l'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive en formula_88, il aurait obtenu la stabilité au sens de Liapounov, à savoir que formula_88 également serait resté aussi proche que l'on veut de 0 ; cela sera détaillé plus loin, en application du théorème de stabilité de Liapounov).


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text: Siméon Denis Poisson, quant à lui, a défini la stabilité d'un système comme étant la propriété suivante : tout mouvement de celui-ci retourne un nombre infini de fois dans un voisinage arbitrairement petit de son état initial. Poincaré, qui s'est durablement intéressé à la stabilité des orbites des planètes du système solaire, est allé plus loin : tout d'abord dans son fameux mémoire "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique" (1889) ; puis, celui-ci comportant une erreur, dans ses "Méthodes Nouvelles de la mécanique céleste ", parues entre 1892 et 1899. Au cours de ces travaux, Poincaré a été amené à définir la "stabilité orbitale", encore appelée aujourd'hui "stabilité au sens de Poincaré". Il a ajouté à la définition de Poisson la condition que la « propriété de récurrence » des mouvements du système doit être satisfaite avec une probabilité égale à 1 ; il a appelé la propriété obtenue la "stabilité au sens de Poisson" et a établi ce qu'on appelle aujourd'hui le « théorème de récurrence de Poincaré ». Ces résultats, complétés en 1901 par ceux d'Ivar Bendixson (voir le théorème de Poincaré-Bendixson), conduiront George David Birkhoff à établir le « théorème de Poincaré-Birkhoff » (1912), à définir la notion d' (1927), dont il sera question plus loin, puis à démontrer son théorème ergodique (1931).


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text: Joseph Liouville a appliqué le principe de Lagrange aux mouvements d'un fluide en rotation en 1842, puis en 1855. Ses résultats ont été peu convaincants, et le problème a intéressé Pafnouti Tchebychev en 1882 ; il l'a confié à Alexandre Liapounov dans le cadre de sa maîtrise.


title: Stabilité de Liapounov

text: Liapounov a tout d'abord repris la méthode de Liouville, puis s'est vivement intéressé à la démonstration de Dirichlet. Aux yeux de Liapounov, le point essentiel était que l'énergie totale formula_97 est une « fonction définie positive » en formula_98, qui reste constante tandis que système bouge. Cette énergie totale allait devenir en 1892, dans sa thèse de doctorat intitulée "Le problème général de la stabilité du mouvement", ce que nous appelons aujourd'hui une « Fonction de Liapounov ». Cette thèse est d'abord parue en russe, puis traduite en français en 1908, et en anglais pour son centenaire, en 1992. Dans ce travail, Liapounov, influencé d'autre part par les travaux d'Edward Routh avec son "Treatise on the Stability of a Given State of Motion" (1877), de William Thomson (Lord Kelvin) et Peter Guthrie Tait avec leur "Treatise of Natural Philosophy" (1879), de Nikolaï Iegorovitch Joukovski qui avait fait sa thèse sur la stabilité du mouvement en 1882, et de Poincaré avec son mémoire de 1889 déjà mentionné, a également introduit les notions de stabilité (au sens que nous appelons aujourd'hui « de Liapounov ») et de stabilité asymptotique. Liapounov a d'autre part étudié la stabilité de l'origine pour les systèmes « quasi linéaires »


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text: et est parvenu à la conclusion que, lorsque la matrice "A" est constante, et que 0 est asymptotiquement stable pour ce système lorsqu'il est linéaire (formula_100), alors il est également stable pour le système non linéaire lorsque formula_101 pour formula_102. Durant les années qui ont suivi, Liapounov a continué d'étudier la stabilité de ces systèmes quasi linéaires dans le cas où la matrice constante "A" du système linéaire a ses valeurs propres sur l'axe imaginaire. Ces travaux ont été retrouvés dans les papiers de Liapounov et publiés une dizaine d'années après qu'il se fut donné la mort en 1918.


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text: La stabilité dans le cas des systèmes linéaires à coefficients constants (stabilité asymptotique ou, de manière équivalente, exponentielle) a fait l'objet de critères algébriques. Un premier résultat a été obtenu par le mathématicien français Charles Hermite en 1856. Liapounov a lui-même établi deux critères en 1892, dans sa célèbre thèse de doctorat déjà mentionnée: celui qu'il est convenu d'appeler le « critère de Liapounov », détaillé plus bas, et un autre, s'appliquant spécifiquement au cas d'une seule équation différentielle scalaire. Mais dans ce cas, c'est le mathématicien anglais Edward Routh qui a franchi le pas décisif en 1875, en proposant son fameux critère. Celui-ci a été établi sous une forme différente, et de manière indépendante, par Adolf Hurwitz en 1895, à partir du travail d'Hermite. Il en est résulté le critère appelé depuis « de Routh-Hurwitz ». Celui-ci a été amélioré par les mathématiciens français Liénard et Chipart en 1914 (pour tous ces résultats, voir l'article Polynôme de Hurwitz).


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text: La question s'est ensuite posée de la stabilité de 0 pour le système quasi linéaire ci-dessus lorsque cette fois, la matrice "A" dépend du temps : formula_103. Le résultat obtenu par Liapounov a tout d'abord paru généralisable tel quel à ce cas. Mais Oskar Perron en a exhibé en 1930 un exemple de système quasi linéaire pour lequel 0 est asymptotiquement stable lorsque formula_100, et est instable avec formula_105 vérifiant la condition indiquée.


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text: Les progrès de l'analyse, grâce notamment aux travaux de Maurice René Fréchet, ont alors permis à Ioėlʹ Guilievitch Malkine d'affiner les définitions de Liapounov et d'introduire la notion de stabilité uniforme dans les années 1940. Konstantin Petrovitch Persidski, dans son article (1946) a établi pour le système quasi linéaire ci-dessus, que si 0 est uniformément asymptotiquement stable lorsque formula_100, 0 est encore uniformément asymptotiquement stable lorsque formula_105 vérifie la condition indiquée.


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text: Il n'était pas suffisant de définir clairement la stabilité uniforme ; il convenait d'étudier de plus près la stabilité asymptotique. La notion de stabilité exponentielle a été introduite par Malkine en 1935.


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text: R. E. Vinograd a montré sur un exemple, en 1957, que l'attractivité d'un point d'équilibre n'entraîne pas sa stabilité asymptotique, même pour un système autonome. En revanche, A. Lewis a montré en 2017 que pour un système linéaire non autonome, l'attractivité de l'origine entraîne sa stabilité asymptotique, et que l'attractivité uniforme de l'origine entraîne sa stabilité asymptotique uniforme.


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text: Nikolaï Tchetaïev a énoncé en 1934 un important critère d'instabilité de l'origine, généralisant un autre critère obtenu par Liapounov en 1892 (le théorème de Tchetaïev a lui-même été généralisé par plusieurs auteurs, dont José Luis Massera en 1956 et en 1968). Les livres de Malkine ("Theory of Stability of Motion", 1952), Nikolaï N. Krasovskii ("Stability of Motion", 1959) et l'article de Massera déjà mentionné, ont contribué à donner à ces résultats leur forme définitive. Une addition importante est celle faite par Evgeny Alekseïevitch Barbachine et Krasvossky en 1952 en Russie, et indépendamment par Joseph P. LaSalle en 1960 aux États-Unis, du « de Krasovsky-LaSalle ». Ce principe a tout d'abord été obtenu pour les systèmes autonomes ; sa généralisation au cas des systèmes non autonomes, qui est non triviale, a été réalisée par Jack K. Hale et LaSalle en 1967.


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text: La méthode des fonctions de Liapounov a été étendue sans grande difficulté au cas des systèmes à temps discret grâce aux contributions de Ta Li (qui a donné en 1934 un exemple correspondant, pour le cas des systèmes à temps discret, à celui de Perron) et (1958) notamment. Rudolf Kalman et J. E. Bertram ont fait une synthèse d'une partie de ces résultats en 1960 dans un article qui est resté classique.


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text: L'approche inaugurée par Liapounov pour les systèmes définis par une équation différentielle a été étendue au cas des systèmes définis par une équation différentielle retardée vers la fin des années 1950 et le début des années 1960 par Krasvosky et Boris Sergueïevitch Razoumikhine ; le principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle a été étendu à ces systèmes par Hale en 1965, et on doit à cet auteur une synthèse, plusieurs fois rééditée et à chaque fois augmentée, de l'ensemble de ces résultats.


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text: La théorie qualitative des équations différentielles, initiée par Poincaré et Birkhoff, a continué d'être développée par et V. V. Stepanov dans leur livre "Qualitative Theory of Differential Equations", paru en 1947 ; ce travail, complété par celui de Nemytsky en 1949, a conduit et Gustav A. Hedlund en 1955, Solomon Lefschetz en 1958, Vladimir Ivanovitch Zoubov en 1961 (voir la ), J. Auslander et P. Seibert en 1964, A. Strauss et (de manière indépendante) Nam Parshad Bhatia en 1966, à considérer un système dynamique comme étant défini par un semi-groupe (un système défini par une équation différentielle en étant un cas particulier), et à étudier la stabilité (ou la stabilité asymptotique) d'un ensemble compact pour un tel système au moyen d'une « fonction de Liapounov généralisée », continue mais non différentiable.


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text: Pour établir certains résultats d'attractivité, un lemme classique est parfois utile : le lemme de Barbalat.


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text: Les théorèmes de Liapounov et ses compléments divers disent essentiellement que si, pour un point d'équilibre donné, par exemple l'origine, on peut trouver une fonction de Liapounov, alors ce point d'équilibre est stable (ou asymptotiquement stable, uniformément asymptotiquement stable, etc., suivant la nature exacte de cette fonction de Liapounov). La réciproque a également été étudiée. K. P. Persidsky a montré en 1933 que, si 0 est un point d'équilibre stable d'un système non linéaire, il existe une fonction de Liapounov dont la dérivée le long du champ de vecteurs de l'équation est semi-définie négative. Malkine a démontré en 1954 que, si 0 est un point d’équilibre uniformément asymptotiquement stable, il existe une fonction de Liapounov dont cette même dérivée est définie négative. Ces résultats, et quelques autres, ont été rassemblés en 1962 par Massera (à qui on doit le « », qui joue un rôle important pour ces questions) dans un article. L'exposé systématique de tous ces travaux a été réalisé par Hahn en 1967 et (dans une perspective un peu différente) par Bhatia et Giorgio P. Szegö en 1970, dans des livres qui font encore autorité.


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text: Poincaré, au volume III de son mémoire "Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste", avait découvert les orbites homoclines et hétéroclines (voir "infra"), au voisinage desquelles se manifeste une dépendance sensitive des conditions initiales (dans la terminologie actuelle). Balthasar van der Pol avec son oscillateur en 1928, puis Aleksandr Andronov et Lev Pontriaguine en 1937, ont développé les idées de Poincaré sur la stabilité orbitale jusqu'à parvenir à la notion de "stabilité structurelle" d'un système. Andronov et Pontriaguine ont appelé « système grossier » un système structurellement stable, et démontré ce qu'on appelle aujourd'hui le « ». Ces résultats ont été généralisés par en 1959, puis par Vladimir Arnold, Dmitri Anossov, Yakov G. Sinai, Stephen Smale et René Thom notamment, dans les années 1960. Ces travaux ont conduit à la théorie du chaos qui s'est développée dans les années 1970.


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text: Les fonctions de Liapounov ont été utilisées pour étudier la stabilité des systèmes bouclés par M. A. Aizerman (1947) (dont la conjecture s'est révélée fausse mais a été à l'origine de nombreux travaux sur la ), A. Lur'e (1957), V. N. Postnikov et Aleksandr Mikhailovitch Letov (1961) ; (théorie de l'hyperstabilité et critère de Popov, 1961-1962), Rudolf Kalman (1963) et (1964 : ). Alors que les résultats de Liapounov sur la stabilité de 0 pour un système « presque linéaire » incitaient à rechercher assez systématiquement des fonctions de Liapounov quadratiques, ces travaux ont montré qu'il fallait dans de nombreux cas envisager une classe de fonctions de Liapounov beaucoup plus large, en l'occurrence comprenant un terme quadratique et un terme dépendant du temps, sous forme d'une intégrale fonction de sa borne supérieure. Par ailleurs, Kalman a montré en 1960 que pour un système linéaire stationnaire, la théorie de commande optimale pouvait fournir des fonctions de Liapounov. La théorie de la passivité ou de la dissipativité, d'abord apparue dans le cadre des circuits électriques, puis placée dans un cadre général à partir du milieu des années 1960, peut également être établie grâce l'emploi de fonctions de Liapounov. Bruce A. Francis et ont introduit en 1975 la notion de « synthèse structurellement stable », c'est-à-dire un asservissement qui confère au système bouclé une stabilité structurelle en présence de perturbations dont la dynamique est connue. Avec le passage du qualitatif au quantitatif, dans les années qui ont suivi, est née la problématique de la commande robuste, dont une des approches, datant du milieu des années 1990, est la recherche d'une fonction de Liapounov quadratique optimale au moyen d'un algorithme d'optimisation convexe, sur la base d'inégalités matricielles linéaires. Le mathématicien russe V. L. Kharitonov a montré en 1978 que pour étudier la stabilité d'un système régi par une équation différentielle scalaire à coefficients constants mais incertains et compris entre des bornes données, il est suffisant de tester si quatre polynômes seulement (les polynômes que l'on appelle maintenant « de Kharitonov ») sont de Hurwitz (voir l'article ) ; le résultat de Kharitonov n'a été connu en Occident qu'en 1988. Vers le milieu des années 1990 est apparue, sous l'impulsion d'Eduardo Sontag, une méthode de conception de régulateurs pour des systèmes non linéaires, fondée sur la notion de (« input-to-state stability ») et l'utilisation d'une fonction de Liapounov.


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text: Ainsi qu'il ressort de l'historique ci-dessus, il existe de nombreux types de stabilité : au sens de Lagrange-Dirichlet, Joukovski, Poisson, Poincaré, Liapounov, etc. Nous envisagerons ci-dessous les plus importants. Puis nous donnerons les principaux théorèmes de stabilité et d'instabilité. On est amené à distinguer le cas d'un système autonome (c'est-à-dire dont les coefficients ne dépendent pas explicitement de la variable "t", qu'on peut considérer comme désignant le temps) et le cas d'un système non autonome. Dans ce dernier cas apparaît la notion délicate d'uniformité, qui rend les définitions (et les résultats) beaucoup plus complexes. Il est donc vivement conseillé de se contenter, dans une première lecture, de ne considérer que le cas des systèmes autonomes.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit un système autonome


Stabilité de Liapounov


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_109 est une application supposée localement lipschitzienne sur l'ouvert formula_110 contenant l'origine formula_12. On suppose que 0 est un point d'équilibre du système, c'est-à-dire que formula_112. Soit formula_113 l'unique solution maximale de l'équation différentielle (A), vérifiant la condition initiale formula_114.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les définitions qui suivent seraient incompréhensibles sans l'emploi de quantificateurs (et n'ont pu être rendues précises que grâce à cet emploi).


title: Stabilité de Liapounov

text: Le point d'équilibre 0 du système (A) est :


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text: Considérons maintenant un système non autonome


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text: (E) : formula_144


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_145 est localement lipschitzienne par rapport à la première variable sur l'ouvert formula_110, et où formula_147.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour un tel système, on distingue la "stabilité uniforme" de la "stabilité", la "stabilité asymptotique uniforme" de la "stabilité asymptotique", etc., alors que pour un système autonome, ces notions coïncident.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_148 un point d'équilibre du système, c'est-à-dire vérifiant formula_149. Soit formula_150 et formula_151 l'unique solution maximale de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale formula_51.


title: Stabilité de Liapounov

text: Le point d'équilibre formula_1 est :formula_171 ;


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text: On précise parfois que la stabilité exponentielle, telle que définie ci-dessus, est uniforme, par opposition à une stabilité exponentielle non uniforme qui serait une condition moins stricte.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_177 un mouvement du système (E), c'est-à-dire une solution maximale de l'équation différentielle (E) sur formula_178. En remplaçant dans ce qui précède formula_1 par formula_180, on définira comme ci-dessus un mouvement stable, attractif, asymptotiquement stable, etc.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit "M" un sous-ensemble de "D". Cet ensemble est dit positivement invariant si pour tout mouvement formula_177 tel que formula_182 pour un instant formula_183, on a formula_184. On peut de même définir un ensemble positivement invariant stable, attractif, asymptotiquement stable, etc., en remplaçant ci-dessus formula_185 par formula_186 où formula_187 (le plus souvent, "M" est compact, et dans ce cas on peut remplacer formula_188 par formula_189).


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_190 un mouvement. Son orbite (ou "trajectoire") est son image


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text: Si formula_160 est l'instant initial, la "semi-orbite positive" de formula_177 est formula_194.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les ensembles formula_195 et formula_196 sont connexes (en tant qu'images d'un ensemble connexe par une application continue).


title: Stabilité de Liapounov

text: Il est clair qu'une semi-orbite positive est un ensemble positivement invariant. On peut donc parler d'une semi-orbite positive stable, asymptotiquement stable, etc. On dit parfois d'un mouvement dont la semi-orbite positive est stable (resp. asymptotiquement stable, ...) qu'il est orbitalement stable (resp. orbitalement asymptotiquement stable, ...). La stabilité orbitale est également appelée stabilité au sens de Poincaré. C'est une notion plus faible que la stabilité au sens de Liapounov.


title: Stabilité de Liapounov

text: La notion de stabilité structurelle est liée à la stabilité au sens de Poincaré. L'équation d'un système est toujours connue avec une certaine imprécision. Le système est dit "structurellement stable" si cette imprécision, à condition qu'elle soit suffisamment faible, n'entraîne pas une trop grande variation de ses orbites. Par exemple, un oscillateur pur (sans frottement) a des orbites circulaires. Dès qu'on rajoute un frottement visqueux, aussi faible soit-il, ces orbites deviennent des spirales tendant vers l'origine : l'oscillateur pur n'est donc pas structurellement stable, contrairement à l'oscillateur avec frottement visqueux.


title: Stabilité de Liapounov

text: Au plan mathématique, soit le système défini par l'équation différentielle (A) où "f" est de classe formula_197. Le champ de vecteurs "f" étant impossible à connaître exactement, on peut supposer qu'on en connaît une approximation "g", ce second de champ de vecteurs, lui aussi de classe formula_197, étant « proche » de "f". On conviendra que sera le cas si la quantité formula_199 est suffisamment petite, où formula_200 est la norme définie sur l'espace des (germes de) champs de vecteurs continûment différentiables sur un voisinage ouvert de formula_201, formula_202 étant un ouvert connexe et formula_203 son adhérence, supposée compacte, par


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_205 est la différentielle de "X" au point "x". Soit formula_206 un homéomorphisme. On dit que "h" est un formula_207-homéomorphisme si formula_208.


title: Stabilité de Liapounov

text: Par abus de langage, on appellera orbites de "f" les orbites du système (A), et on parlera de même des orbites de "g".


title: Stabilité de Liapounov

text: La problématique de la robustesse d'un système ressemble celle de la stabilité structurelle : un système est robuste si son comportement est peu sensible aux erreurs de modèle. Ce n'est pas ici le lieu de développer cette notion très importante. Disons simplement que, dans la théorie de la robustesse, le modèle du système peut être sujet à des erreurs plus grandes que dans celle de la stabilité structurelle. Ces erreurs comportent en général des dynamiques négligées. La notion de robustesse ne s'applique raisonnablement qu'à un système bouclé.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons un système autonome (pour simplifier la présentation). Le point d'équilibre formula_1 de ce système est instable s'il n'est pas stable, autrement dit


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text: La dépendance sensitive des conditions initiales du flot formula_212 est une condition légèrement différente. L'instant initial est fixé et égal à formula_160. Soit formula_214 un sous-ensemble compact et invariant de "D". Le flot "g" est dit "dépendant de manière sensitive des conditions initiales" sur formula_214 si :


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text: où "y" et "t" dépendent tous deux de formula_207, formula_219 et formula_220.


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text: Supposons que formula_221. Soit formula_222 tel que la fonction formula_223 est définie sur formula_224, et soit formula_225 l'orbite de "x". Supposons qu'il existe deux points d'équilibre "a" et "b" tels que formula_226 et formula_227. Cette orbite est dite "homocline" si formula_228 et "hétérocline" sinon.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_229 un ensemble positivement invariant fermé. Cet ensemble est dit topologiquement transitif si pour tous ouverts "U" et "V" inclus dans formula_214, il existe un instant formula_231 (dépendant de "U" et "V") tel que formula_232. Cela signifie donc intuitivement que tout point de formula_214 devient arbitrairement proche de n'importe quel autre point de cet ensemble sous l'effet du flot.


title: Stabilité de Liapounov

text: Un attracteur est un ensemble attractif et topologiquement transitif.


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text: Soit formula_229 un ensemble "compact" et positivement invariant. Cet ensemble est dit chaotique si le flot "g" dépend de manière sensitive des conditions initiales sur formula_214 et cet ensemble est topologiquement transitif.


title: Stabilité de Liapounov

text: Un attracteur est dit étrange s'il est chaotique.


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text: Montrons tout d'abord que l'étude de la stabilité d'un mouvement se ramène à celle de la stabilité d'un point d'équilibre.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons le système défini par l'équation différentielle non linéaire (E). Soit formula_236 un mouvement de ce système. Par définition, formula_177 est une solution de (E), par conséquent formula_238. En posant formula_239, on obtient donc


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text: où formula_241. L'étude de la stabilité du mouvement formula_177 est donc ramené à celle du point d'équilibre 0 pour cette nouvelle équation différentielle ; on a formula_243.


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans ce qui suit, on considère le système défini par (E), où formula_244 pour tout formula_245, et on étudie la stabilité (ou l'instabilité) du point d'équilibre 0. On envisage également brièvement le cas où l'on s'intéresse à la stabilité (ou l'instabilité) d'un ensemble positivement invariant compact "M".


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text: Avec les notations qui précèdent, on a d'après la formule des accroissements finis


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text: (QL):: formula_246


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text: avec formula_247 et formula_248 où


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text: En supposant formula_250 continue, formula_251 tend vers 0 lorsque "y" tendant vers 0. Si cette limite est uniforme par rapport à "t" pour, on dit que le système considéré est "quasi linéaire". Par définition, en effet, le système (QL) est quasi linéaire si


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text: uniformément par rapport à "t".


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text: Par exemple, supposons l'orbite formula_253 compacte et "f" ne dépendant pas explicitement de "t". Posons formula_254 et formula_255 où formula_256. Alors, d'après un théorème classique d'analyse, pour tout formula_257, il existe formula_258 tel que formula_259 entraîne formula_260. Le système (QL) est donc quasi linéaire.


title: Stabilité de Liapounov

text: Il est nécessaire de donner tout d'abord quelques définitions concernant les fonctions qui vont fournir des généralisations de la notion d'énergie. On peut supposer sans perte de généralité, moyennant une translation dans formula_261, que le point d'équilibre auquel on s'intéresse est formula_262, "D" étant donc un voisinage ouvert de 0.


title: Stabilité de Liapounov

text: Le plus souvent, l'« énergie généralisée » est une fonction de "x" uniquement. Soit formula_263 une fonction continue telle que formula_264. Elle est dite définie positive (resp. semi-définie positive) si formula_82 (resp. formula_266) pour formula_267. On définit de même une fonction définie négative et semi-définie négative.


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans certains cas, néanmoins, il s'avère nécessaire de considérer une fonction de "x" et de "t". Soit formula_268 une fonction continue telle que pour tout formula_245, formula_270. Elle est dite définie positive s'il existe une fonction définie positive formula_271 (au sens déjà précisé) telle que formula_272. Elle est dite semi-définie positive si formula_273. On définit de même une fonction définie négative et semi-définie négative.


title: Stabilité de Liapounov

text: On appelle fonction de classe formula_274 une fonction continue strictement croissante formula_275 telle que formula_276. On montre qu'une fonction continue formula_268 est définie positive si, et seulement s'il existe une fonction formula_278 de classe formula_274 telle que formula_280.


title: Stabilité de Liapounov

text: Si la fonction "V" ne dépend que de "x", elle est dite propre s'il existe un réel formula_257 tel que l'ensemble


title: Stabilité de Liapounov

text: est compact ; elle est dite globalement propre (ou "radialement non bornée", ou "uniformément non bornée") si formula_128 et formula_284 est compact pour tout formula_257. On montre qu'une fonction définie positive formula_286 est propre. Une fonction formula_287 est dite globalement propre s'il existe une fonction globalement propre formula_288 (au sens qui vient d'être défini) telle que formula_289.


title: Stabilité de Liapounov

text: Enfin, une fonction formula_268 est dite une fonction de Liapounov pour (E) si elle permet de façon générale de tester la stabilité ou l'instabilité de son point d'équilibre 0.


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text: Supposons "V" continûment différentiable, et soit formula_291 sa différentielle au point formula_292. A l'équation différentielle (E) il convient d'adjoindre l'équation formula_293 où formula_294. La "dérivée de Lie" de "V" suivant le champ de vecteurs formula_295 au point formula_296 est la quantité


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text: Lorsque "V" ne dépend que de "x", la définition ci-dessus se réduit évidemment à


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text: Si formula_299 est un mouvement du système, c'est-à-dire une solution de son équation différentielle, et si l'on pose formula_300 et formula_301, les deux membres des deux expressions ci-dessus deviennent formula_302. Néanmoins, on se gardera de croire que "v" soit une fonction de Liapounov. Des abus d'écriture malencontreux conduisent parfois à cette conception erronée. Les démonstrations données plus bas devraient éclaircir ce point.


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text: \left( 0,\varepsilon \right) =\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon \right\}, soit incluse dans "D", et formula_303 la sphère de centre 0 et de rayon formula_207, i.e. formula_305. Puisque formula_306 est un ensemble compact et que "V" est continue, "V" admet un minimum formula_307 sur cet ensemble ; on a alors formula_308. D'autre part, "V" étant continue, il existe formula_309 tel que formula_310. Soit formula_311 la boule ouverte de centre 0 et de rayon formula_207, et soit formula_313. Puisque la fonction formula_314 est décroissante, on a donc formula_315 pour tout formula_52 tel que formula_317 est défini. Par conséquent formula_318 pour toutes ces valeurs de "t". Par suite, formula_317 ne peut pas tendre vers la frontière de "D" et est donc prolongeable sur formula_320, ce qui montre la stabilité de 0.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour le théorème ci-dessous, on supposera que le système considéré est autonome, donc défini par l'équation différentielle (A) (il existe diverses généralisations, non triviales, de ce théorème au cas des systèmes non autonomes ; elles sont apparentées des résultats dus à V.M. Matrosov).


title: Stabilité de Liapounov

text: Voir comme application l'exemple 4.


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text: On obtient la condition suffisante d'attractivité de 0 du théorème ci-dessous (et donc de stabilité asymptotique de 0 puisque sa stabilité résulte alors du théorème de Liapounov démontré plus haut) pour un système autonome (A) en appliquant le Principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle avec formula_332.


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text: Remarque: Ce théorème peut se démontrer directement pour le système non autonome (E) ; une condition suffisante de stabilité asymptotique de 0 s'obtient alors avec une fonction de Liapounov continûment différentiable formula_333 telle que formula_23 est définie négative. Cette stabilité asymptotique est uniforme si formula_335 uniformément par rapport à "t" quand formula_336, et elle est globale si "V" est globalement propre. Pour la réciproque, on obtient une fonction de Liapounov formula_333 pour (E) non autonome mais 0 "uniformément" asymptotiquement stable (Massera, 1956) ; l'importance de l'uniformité a été reconnue par Malkine (1954). Si les coefficients de (E) sont périodiques, ceux de formula_338 le sont également.


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text: Voir comme applications les exemples 1, 2 et 3.


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text: Terminons ce paragraphe par la stabilité exponentielle :


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text: et donc formula_339. D'autre part,


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text: Puisque "f" est localement lipschitzienne, il existe formula_341 tel que formula_342 pour formula_343, formula_344 ; quitte à redéfinir "r" et à le rendre suffisamment petit pour que formula_345, ce qui implique alors formula_346 pour formula_347, on obtient donc


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text: Pour formula_349 on a donc formula_350, par conséquent


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text: Les conditions sont donc remplies avec formula_352. L'extension au cas global est triviale.


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text: La solution formula_353 du système autonome (A) vérifiant la condition initiale formula_354 a les propriétés suivantes (l'instant initial formula_160 étant supposé nul, ce qui n'induit pas de perte de généralité dans le cas d'un système autonome, cette quantité est omise dans les arguments de formula_356) :


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text: Si l'on suppose que ces quantités sont définies pour tous formula_359, on exprime ces propriétés en disant que le flot


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text: définit le "semi-groupe" de difféomorphismes formula_361 (puisque chaque formula_362 est un difféomorphisme et que formula_363 pour tous formula_359 ; il s'agit d'un "groupe" si les quantités ci-dessus sont également définies pour tous formula_365, mais cette hypothèse est inutile pour ce qui suit).


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text: Au lieu de se donner le système par l'équation différentielle autonome (A), on peut le faire, plus généralement, par le flot formula_366 (formula_367) en supposant simplement formula_356 continue (et non plus continûment différentiable) ; le semi-groupe formula_366 est alors dit continu.


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text: Il s'agit bien d'une généralisation, car si formula_356 est continûment différentiable, on caractérise le semi-groupe formula_366 par son « générateur infinitésimal » formula_372 défini par


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text: par conséquent l'opérateur "A" est la fonction "f", ou encore l'« opérateur » (en général non linéaire) formula_374. On est donc effectivement ramené à la formulation où le système est donné par l'équation différentielle autonome (A).


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text: On étend alors le principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle à ce cas avec une fonction formula_375 continue (et non plus continûment différentiable) en remplaçant la condition formula_376 par la condition : la fonction formula_377 est décroissante, formula_378 (la démonstration restant par ailleurs inchangée).


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text: Soit alors formula_379 un ensemble compact positivement invariant. On déduit comme plus haut de ce principe de Krasovsky-LaSalle « généralisé » la condition suffisante du théorème ci-dessous (la démonstration de la condition nécessaire étant nettement plus complexe) :


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text: Si le système est défini par l'équation différentielle autonome (A), avec "f" localement lipschitzienne, donc continue, et "V" est continûment différentiable, on voit facilement que la condition (C2) est satisfaite si, et seulement si formula_60 pour formula_381.