title: Symboles de Christoffel

text: Les indices en gras ci-dessus mettent en valeur les contributions des différents composantes de Christoffel. On observe que les indices contravariants donnent lieu à une contribution positive du coefficient de Christoffel, et les indices covariants à une contribution négative.


title: Symboles de Christoffel

text: Le plus souvent, les coefficients de Christoffel sont calculés à partir du tenseur métrique formula_23, en prenant en compte le fait que


title: Symboles de Christoffel

text: car la métrique est conservée localement : on a localement un repère de Lorentz en chaque point de l'espace.


title: Symboles de Christoffel

text: En appliquant à formula_25, tenseur d'ordre 2 et de rang (0,2), l'équation des coefficients de Christoffel donnée ci-dessus (2 coordonnées covariantes donnent 2 contributions « négatives »), en notant formula_26 :


title: Symboles de Christoffel

text: On trouve alors, en permutant les indices et en exprimant plusieurs valeurs des coefficients :


title: Symboles de Christoffel

text: où le tenseur formula_29 est l'inverse du tenseur formula_30, défini en utilisant le symbole de Kronecker par formula_31.


title: Symboles de Christoffel

text: Remarque : bien que les symboles de Christoffel soient écrits dans la même notation que les tenseurs, ce ne sont pas des tenseurs. En effet, ils ne se transforment pas comme les tenseurs lors d'un changement de coordonnées.


title: Symboles de Christoffel

text: La plupart des auteurs choisissent de définir les symboles de Christoffel dans une base de coordonnées holonomiques, qui est la convention suivie ici. Dans des coordonnées non holonomiques, les symboles de Christoffel s'expriment dans une formulation plus complexe :


title: Symboles de Christoffel

text: où les formula_33 sont les coefficients de commutation de la base, c'est-à-dire


title: Symboles de Christoffel

text: où formula_35 sont les vecteurs de base et formula_36 correspond au crochet de Lie. Deux exemples de base non holonomiques sont par exemple celles associées aux coordonnées sphériques ou cylindriques.


title: Symboles de Christoffel

text: Par exemple, les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont formula_37, formula_38,  et l'on a formula_39, formula_40, formula_41. Les éléments non nuls du symbole de Christoffel en fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux :


title: Symboles de Christoffel

text: De même, le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est formula_43, et l'on a formula_44. Les éléments non nuls du symbole de Christoffel en fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux :


title: Symboles de Christoffel

text: Les symboles de Christoffel apparaissent  dans la modélisation dynamique, selon la mécanique rationnelle, des systèmes mécaniques articulés.


title: Symboles de Christoffel

text: Soit un tel système, dont les variables articulaires sont formula_46.


title: Symboles de Christoffel

text: La matrice d'inertie, (symétrique, définie positive), du système étant notée formula_47, son énergie cinétique s'écrit:


title: Symboles de Christoffel

text: On peut alors associer au système un "espace de configuration riemannien", de métrique :


title: Symboles de Christoffel

text: Avec les notations suivantes : Et en introduisant les symboles de Christoffel de première espèce :


title: Symboles de Christoffel

text: Les équations du mouvement sont des équations de Lagrange qui prennent la forme :


title: Symboles de Christoffel

text: En pratique, le calcul algébrique des coefficients de ces équations est envisageable


title: FOREM

text: L’Office wallon de la formation professionnelle et de l’emploi, dit Le Forem, est un service public en Belgique dont la compétence est l'emploi et la formation professionnelle limitée au territoire de la Région wallonne (hormis le territoire de la Communauté germanophone de Belgique), entité politique dont il dépend.


title: FOREM

text: Il s’adresse à l’ensemble des personnes morales ou physiques concernées par une question d’emploi et de formation ainsi qu’aux acteurs de ce marché.


title: FOREM

text: Dans ce cadre,elle participe notamment au financement des Missions régionales pour l'emploi (Mire), notamment celle de Namur et Dinant ; Mirena.


title: Kryvyï Rih

text: Kryvyï Rih (en ) ou Krivoï Rog (en ) est une ville industrielle de l'oblast de Dnipropetrovsk, en Ukraine. Sa population s'élevait à en 2021.


title: Kryvyï Rih

text: Kryvyï Rih est située au point de confluence des rivières Inhoulets et Saksahan, à à l'ouest de Zaporijjia, à au sud-ouest de Dnipro et à au sud-est de Kiev.


title: Kryvyï Rih

text: La ville est un centre industriel et sidérurgique, dans une région minière. La ville s'étend sur une cinquantaine de kilomètres, le long des dépôts de minerais de fer, ce qui en fait la ville la plus longue d'Europe. À l'est du centre-ville se trouve un petit lac avec des roches glaciaires. Ainsi, cette région ne fut jamais cultivée et contient quelques steppes sauvages. Les environs de la ville sont cependant pollués, un problème qui s'aggrave en raison des mines abandonnées et des décharges de minerais.


title: Kryvyï Rih

text: La ville possède de larges avenues, des lignes de tram. Kryvyï Rih est assez verte, des arbres étant plantés dans les rues et les cours intérieures des immeubles.


title: Kryvyï Rih

text: La ville fut fondée au par les Cosaques de Zaporijjia.


title: Kryvyï Rih

text: L'histoire industrielle de la ville commence en 1880, quand les premiers investisseurs européens fondèrent un réseau de mines. Alexandre Pohl, un russe d'Ékatérinoslaw sur le Dniepr, propose à Paulin Talabot de mettre en valeur le gisement de Krivoï-Rog et, le 6 janvier 1881, la "Société anonyme des minerais de fer de Krivoï-Rog" , au capital de de francs, est constituée avec la participation financière de la Société Mokta El Hadid. Alphonse Parran, est chargé, comme administrateur, d'en assurer la direction et d'organiser l'extraction à ciel ouvert. Talabot et Parran réussissent à convaincre le gouvernement tsariste de l'intérêt de la liaison Donetz-Krivoï-Rog, premier " combinat " avant l'heure et sont ainsi à l'origine de la création de l'industrie sidérurgique russe, qui prend naissance à l'abri de droits protecteurs élevés. La société établit elle-même un haut fourneau à Krivoï-Rog et crée une houillère dans le Donetz. Dès l'exercice 1884-1885, on extrait , dont 11.500 vendues aux usines du Donetz. En 1900, la société produit près de de minerai de fer à 60%, de houille et de fonte. En 1900 survient la crise industrielle. D'un exercice à l'autre la production du minerai de fer de la Société de Krivoï-Rog tombe de moitié.


title: Kryvyï Rih

text: L'activité sidérurgique fut particulièrement développée à l'époque soviétique et demeure l'une des plus importantes concentrations sidérurgiques du monde.


title: Kryvyï Rih

text: Pendant la guerre civile russe, la ville et son hinterland étaient le cœur de l'insurrection anarchiste menée par Nestor Makhno. Pendant la Seconde Guerre mondiale, Kryvyï Rih fut occupée par l'Allemagne nazie du au . Les juifs de la ville subissent plusieurs pogrom à la fin du et au début du . En 1939, la communauté juive comptait , soit environ 6 % de la population totale. À la fin d'août 1941, les Allemands assassinent plusieurs juifs. En octobre 1941, sont massacrés lors d'exécutions de masse perpétrées par les Einsatzgruppen. Kryvyï Rih est libérée par le troisième front ukrainien de l'Armée rouge le .


title: Kryvyï Rih

text: Recensements ou estimations de la population :


title: Kryvyï Rih

text: La ville est indissociable de son complexe sidérurgique de . L'aciérie de Kryvyï Rih a été fondée en 1931 sur le riche gisement du bassin ukrainien de . En 1934, l'usine commença à produire de la fonte avec son premier haut fourneau. En 1939, trois hauts-fourneaux, une cokerie et une aciérie Bessemer étaient opérationnelles. Durant la Seconde Guerre mondiale, les usines furent sabotées par les Soviétiques et les restes rasés par les Allemands.


title: Kryvyï Rih

text: En 1949, le haut fourneau de l'actuel complexe fut allumé. Dans les années 1960, quatre laminoirs, des convertisseurs de type Martin (dont un géant d'une capacité de qui, en 2013, subsiste avec son voisin de ) furent construits. En 1961, l'usine mit à feu le plus gros haut-fourneau du monde, avec un creuset de diamètre , et un volume interne de . Le haut-fourneau fut édifié en 1962, suivi des (ce dernier permettant à l'entreprise d'établir un nouveau record mondial, avec un volume interne de ) en, respectivement, 1970 et 1974.


title: Kryvyï Rih

text: En 1996, le combinat minier et métallurgique de Kryvyï Rih (Krivorizhstal) réunit les activités minières et sidérurgiques du bassin de Kryvbas. En 2004, l'usine est privatisée et confiée à un syndicat ukrainien. L'expérience échoue et, un an après, une seconde privatisation attribue l'usine à Mittal Steel.


title: Kryvyï Rih

text: Depuis 2007 Krivorizhstal fait partie du géant de la sidérurgie ArcelorMittal issu de la fusion de Mittal Steel avec Arcelor. Celui-ci mène une stratégie de modernisation indispensable au site en construisant, notamment, en 2011, la première coulée continue et un four électrique de réchauffage des poches. En , l'usine emploie et produit essentiellement des produits longs : billettes, barres et fil.


title: Kryvyï Rih

text: Kryvyï Rih est célèbre auprès des supporteurs de l'équipe de football française des Girondins de Bordeaux pour un épisode insolite en Coupe d'Europe en mars 1985. Les Girondins étaient opposés à cette occasion à l'équipe (alors soviétique) de Dniepropetrovsk, mais durent disputer leur match retour en URSS à Kryvyï Rih, car Dniepropetrovsk était une ville fermée, interdite aux étrangers. Les Bordelais furent logés de force à Kryvyï Rih dans des conditions de séjour et d'entraînement déplorables, à tel point que le président Claude Bez menaça de ne pas faire jouer. L'incident fut finalement évité quelques heures avant le coup d'envoi et le match eut lieu sur une pelouse gorgée d'eau, grillée par le gel, indigne d'une rencontre de Coupe d'Europe. Au terme d'une éprouvante rencontre, les Girondins se qualifièrent aux tirs au but pour une demi-finale restée célèbre face à la Juventus.


title: Paix de Cambrai

text: La Paix de Cambrai peut désigner:


title: Parquet populaire suprême chinois

text: Le Parquet populaire suprême () est l'organe suprême de contrôle, qui exerce de manière indépendante, au nom de l'État, le pouvoir de contrôle judiciaire, et est responsable directement devant le Comité permanent de l'Assemblée nationale populaire. Il a pour tâche principale de diriger les parquets populaires locaux et les parquets populaires spéciaux dans l'exercice du contrôle judiciaire afin d'assurer l'application unifiée et correcte des lois.


title: Parquet populaire suprême chinois

text: Hong Kong et Macao, en tant que régions administratives spéciales, ont leur propre système judiciaire basé sur les traditions de la "common law" et des traditions légales portugaises respectivement, et sortent du cadre du Parquet populaire suprême.


title: Parquet populaire suprême chinois

text: Le procureur général actuel du Parquet populaire suprême est Jia Chunwang (贾春旺), et le grand procureur en chef est Han Zhubin (韩杼滨).


title: Raymond Ramazani Baya

text: Raymond Ramazani Baya, né le à Léopoldville au Congo belge et mort le à Fontenay-lès-Briis (France), est un homme politique et diplomate congolais.


title: Raymond Ramazani Baya

text: Il est le ministre des Affaires étrangères et de la Coopération internationale dans le gouvernement de transition de la République démocratique du Congo du au .


title: Raymond Ramazani Baya

text: Raymond Ramazani Baya a été pendant longtemps membre du Mouvement populaire de la Révolution (MPR) sous Mobutu, plus particulièrement en tant que ministre de l'Information et Ambassadeur en France de 1990 à 1996. En 1996, il est impliqué dans un accident de voiture à Menton, provoquant la mort de deux adolescents de 13 ans. Il démissionne alors de son poste d'ambassadeur et est condamné à deux ans de prison avec sursis et d'amende.


title: Raymond Ramazani Baya

text: À la suite de la chute de Mobutu en 1997, Raymond Ramazani Baya est devenu mécontent du nouveau gouvernement mis en place pour Laurent-Désiré Kabila. Il joint le Mouvement de Libération du Congo (MLC), un groupe rebelle basé à Gbadolite, dirigé par Jean-Pierre Bemba. En 2003, le MLC entra dans le gouvernement de transition avec d'autres groupes rebelles et le gouvernement de Joseph Kabila. Bemba devient vice-président et a la capacité de nommer le ministre des Affaires étrangères, poste qu'il donne à Antoine Ghonda. Raymond Ramazani Baya le remplace lorsque celui-ci est démis de ces fonctions en 2004.


title: Amy Frazier

text: Amy Frazier, née le à Saint-Louis dans le Missouri (Etats-Unis), est une joueuse de tennis américaine, professionnelle de la fin des années 1980 à 2006.


title: Amy Frazier

text: Solide joueuse de fond court dotée d'une frappe de balle bien à plat, Amy Frazier est passée professionnelle en janvier 1990. Elle a obtenu ses meilleurs résultats sur les surfaces dures, notamment à l'occasion des tournois estivaux californiens. C'est d'ailleurs à l'occasion de l'Open de Los Angeles, en août 1994, qu'elle a décroché le plus beau trophée de sa carrière (face à Ann Grossman en finale) ou à San Diego qu'elle a battu la numéro un mondiale Martina Hingis, en 2000.


title: Amy Frazier

text: Comptant parmi les joueuses les plus régulières de sa génération sur le circuit WTA, elle n'a quasiment jamais quitté le "top 50" mondial et a terminé six saisons parmi les vingt meilleures entre 1990 et 2000, se hissant au le 1995.


title: Amy Frazier

text: Pendant sa carrière, elle a remporté quelque douze tournois, dont huit en simple.


title: Amy Frazier

text: Avec un total de 71 tournois disputés au cours de sa carrière, elle compte le deuxième plus grand nombre de participations dans les épreuves du Grand Chelem en simple, ce qui la place notamment devant Fabrice Santoro (70), mais derrière la recordwoman Venus Williams (72, en date du ). Malgré sa longévité, elle a relativement peiné à toujours bien y figurer, avec trente éliminations au premier tour. Elle s'est néanmoins hissée à deux reprises en quarts de finale, aux Internationaux d'Australie et à l'US Open, respectivement en 1992 et 1995.


title: Amy Frazier

text: Elle remporte son dernier titre en simple sur le Circuit WTA lors du Challenge Bell de Québec en 2005, battant en finale la Suédoise Sofia Arvidsson en deux sets.


title: Amy Frazier

text: Amy Frazier a été membre de l'équipe américaine quart de finaliste en Fed Cup en 1995.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: Henri de Trastamare, né à Valladolid en 1425, mort à Madrid en 1474 est roi de Castille et de León de 1454 à 1474, sous le nom d'Henri IV, et comte de Barcelone de 1462 à 1463. Il est le fils de Jean II et de Marie d'Aragon.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: À l'âge de 15 ans, lors d'une cérémonie présidée par le cardinal Juan de Cervantes, Henri est marié à la princesse Blanche de Navarre, fille de la reine Blanche de Navarre et du roi Jean II d'Aragon. Une grande compétition chevaleresque, le "Passo de Valladolid" est organisé en 1440 pour célébrer leur union matrimoniale. Le couple n’a pas d'enfants, et, en 1453, le pape Nicolas V accepte d’annuler le mariage pour non-consommation. Le motif invoqué ( de Henri dans sa relation avec Blanche) semble un prétexte puisque, alors que Blanche et Henri sont cousins, la proximité du sang aurait pu être invoquée si ce dernier n'avait pas voulu convoler avec une autre de ses cousines, Jeanne de Portugal. Il fallait donc invoquer cette fausse raison pour permettre à Henri d'épouser une autre cousine.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: Deux ans plus tard, il épouse en secondes noces Jeanne de Portugal, fille d'Édouard, roi de Portugal, et d'Aliénor d'Aragon (1402-1445), dont il a une fille, Jeanne de Castille, princesse des Asturies.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: Des doutes sur la légitimité de cette dernière sont colportés par les ennemis du roi. Pour eux, l'ascension politique du comte Beltrán de la Cueva laisse penser que Jeanne serait la fille de la reine Jeanne et de Beltrán, d'où le surnom de Jeanne : "la Beltraneja". Ses ennemis accusent le roi d'impuissance et expriment des doutes sur la consommation du mariage.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: À l'instigation de son favori, Juan Pacheco, futur marquis de Villena et grand maître de l'ordre de Santiago, le prince Henri avait, dès les dernières années du règne de son père, pris une part active dans la vie politique du royaume de Castille. Il accède au trône en 1454 et les premières années de son règne sont riches d'espérances. Il choisit ses conseillers les plus proches parmi la petite noblesse et les conversos (juifs et musulmans convertis au christianisme), et, bien que se dessine assez rapidement l'opposition d'un certain nombre de Grands, groupés autour de l'archevêque de Tolède, Henri IV paraît tout d'abord pouvoir diriger le royaume d'une main ferme ; il ranime la croisade contre le royaume musulman de Grenade, menant des campagnes militaires de harcèlement qui donnent rapidement des résultats (prise de Jimena de la Frontera), en 1457. En 1462, les Catalans, révoltés contre leur roi Jean II, font appel à lui, mais, après des hésitations, Henri IV renonça à soutenir la cause catalane (Fuenterrabia, 1463).


title: Henri IV (roi de Castille)

text: La ligue des nobles, dès lors rejointe par le marquis de Villena, met à profit l'indécision du roi pour accroître ses prétentions. Pactisant avec la rébellion, Henri accepte de désigner comme héritier son demi-frère Alphonse, simple jouet entre les mains de la grande noblesse. Enhardis par ce succès, les Grands décident de déposer le roi (la farce d'Ávila du ) et proclament l'infant Alphonse. Ils se heurtent alors, non seulement à la fraction de la noblesse demeurée fidèle à Henri, mais également à la "Hermandad General" ("Fraternité générale"), dont la constitution (1467) est le témoignage éclatant du respect populaire pour la personne royale. Les nobles rebelles sont mis en déroute à Olmedo (1467), mais, montrant de nouveau la faiblesse de son caractère, Henri se révèle incapable de tirer avantage de cette victoire. Lorsqu'un coup d'audace qui illustre l'impuissance du roi permet aux nobles de s'emparer de la ville de Ségovie, seule la mort prématurée et imprévue du prince Alphonse vient modifier le cours de la politique intérieure du royaume.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: La ligue des nobles porte alors son choix sur la personne de la demi-sœur du roi, Isabelle, qui révèle très vite la finesse de son sens politique en refusant d'accéder au trône par la rébellion contre son demi-frère. Au terme d'une entrevue à Guisando (), Henri IV désigna sa sœur comme héritière de la couronne. Le pacte ainsi conclu est cependant rompu peu après : le mariage, quasi-secret, d'Isabelle avec Ferdinand d'Aragon (1469) amène en effet Henri IV à désigner sa fille Jeanne pour lui succéder.


title: Henri IV (roi de Castille)

text: Devant la menace du renforcement du pouvoir monarchique entre les mains d'Isabelle et de Ferdinand, les Grands, par un renversement d'alliance, se rangent derrière le roi et sa fille. Ce climat de confusion ne fait que s'aggraver dans les derniers années du règne d'Henri IV, qui meurt sans avoir réglé la question de sa succession, laissant le royaume devant la perspective d'une guerre civile entre les partisans de Jeanne et ceux d'Isabelle.


title: Pierre Dospital

text: Pierre (Peio) Dospital, est né le à Itxassou (Pyrénées-Atlantiques). C’est un ancien joueur de rugby à XV, qui a joué avec l'équipe de France de 1977 à 1985, évoluant au poste de pilier droit (1,85 m pour 103 kg). Il jouait avec l'Aviron bayonnais.


title: Pierre Dospital

text: Un livre lui a été consacré:


title: Pierre Dospital

text: "Pierre Dospital : vie d'un pilier basque : pilier de rugby, de fête et de l'amitié", de Alain Leygonie, éd. du Rocher, 2004.


title: Pierre Dospital

text: Débutant à l'US Cambo, il a joué avec l'Aviron bayonnais, club avec lequel il a remporté le challenge Yves du Manoir et a été finaliste du championnat de France.


title: Pierre Dospital

text: Il a disputé son premier test match le , contre l'équipe de Roumanie, et son dernier test match fut contre l'équipe d'Argentine, le .


title: Pierre Dospital

text: Il était remplaçant lors du grand Chelem réussi par la France en 1977, mais était titulaire pour celui de 1981.


title: Pierre Dospital

text: Dospital a joué avec les Barbarians en 1984 et 1986 : Le , il joue pour la première fois avec les Barbarians français contre les Harlequins au Stade de Twickenham. Les "Baa-Baas" l'emportent 42 à 20. Le , il est invité une seconde fois avec les Barbarians français pour jouer contre l'Écosse à Agen. Les "Baa-Baas" l'emportent 32 à 19.


title: Pierre Dospital

text: Athlète de force basque, organisateur de spectacle de ces disciplines, chanteur et animateur d'un groupe folklorique Basque, il a été président de l'Aviron bayonnais.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Le canton de Jumilhac-le-Grand est une ancienne division administrative française située dans le département de la Dordogne, en région Aquitaine.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Le canton de Jumilhac, devenu canton de Jumillac-le-Grand puis canton de Jumilhac-le-Grand, est l'un des cantons de la Dordogne créés en 1790, en même temps que les autres cantons français. Composé initialement de huit communes (Chalaix, Chalusset, Frugie, Jumilhac, Sainte Marie de Frugie, Saint Jory de Chalaix, Saint Paul et Saint Prié), il est d'abord rattaché au district d'Excideuil. En 1795, les districts sont supprimés et il est rattaché en 1801 à l'arrondissement de Nontron.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: De 1833 à 1848, les cantons de Jumilhac et de Saint-Pardoux-la-Rivière avaient le même conseiller général. Le nombre de conseillers généraux était limité à 30 par département.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Par décret du 21 février 2014, le nombre de cantons du département est divisé par deux, avec mise en application aux élections départementales de mars 2015. Le canton de Jumilhac-le-Grand est supprimé à cette occasion. Ses sept communes sont alors rattachées au canton de Thiviers.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Ce canton était organisé autour de Jumilhac-le-Grand dans l'arrondissement de Nontron. Son altitude variait de 165 m (Saint-Paul-la-Roche) à 491 m (Saint-Pierre-de-Frugie) pour une altitude moyenne de 291 m.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Il était intégré au Parc naturel régional Périgord-Limousin.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Avant 1833, les conseillers généraux étaient désignés, et ne représentaient pas un canton déterminé. Les sept communes du canton sont jumelées avec la municipalité allemande de Romrod depuis 1990.


title: Canton de Jumilhac-le-Grand

text: Le canton de Jumilhac-le-Grand regroupait sept communes et comptait habitants (population municipale) au janvier 2011.


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole de Québec est une salle de spectacle située à Québec.


title: Capitole (homonymie)

text: À La Havane, El Capitolio, ou Capitolio National, est l'académie des Sciences cubaines.


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole (en italien "Campidoglio" et en latin "Capitolium") est l'une des sept collines de Rome, où se trouve notamment la place du Capitole.


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole des États-Unis est le bâtiment qui abrite le Congrès américain (pouvoir législatif du gouvernement fédéral) à Washington.


title: Capitole (homonymie)

text: Par ailleurs, le terme “capitole” est également utilisé pour les bâtiments abritant la législature de l'État dans chacune des capitales des cinquante États américains.


title: Capitole (homonymie)

text: À Toulouse, le Capitole désigne le bâtiment abritant la mairie et le théâtre du Capitole. Le monument a donné son nom :


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole est une salle de cinéma à Uzès.


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole est un cinéma situé à Lausanne


title: Capitole (homonymie)

text: Le Capitole est le nom d'une ville fictive hébergeant le centre du pouvoir de Panem et apparaissant dans la série de livres Hunger Games de Suzanne Collins.


title: Liste des navires de la Royal Navy

text: Cet article est une liste des bâtiments de la Royal Navy, marine militaire du Royaume-Uni, en service en 2021. La Royal Navy au sens strict n'inclut pas les bâtiments de soutien de la Royal Fleet Auxiliary, qui ont un statut civil tout en ayant une mission militaire. Ils sont à réincorporer dans la flotte de guerre britannique avant de procéder à toute comparaison avec d'autres marines militaires.


title: Liste des navires de la Royal Navy

text: Les tonnages indiqués pour chaque classe de bâtiments sont :


title: Liste des navires de la Royal Navy

text: La date indiquée après chaque bâtiment est sa date de livraison à la Royal Navy, à l'issue de la période d'essais initiale. L'admission au service actif d'un bâtiment suit sa date de livraison de quelques mois à quelques années, selon la complexité et le degré d'innovation technologique du bâtiment considéré.


title: Liste des navires de la Royal Navy

text: Total des bâtiments de combat :Total des bâtiments de soutien :


title: Piatnik

text: Piatnik est un éditeur de jeux de société basé à Vienne en Autriche. L'éditeur est surtout réputé pour son importante gamme de jeux de cartes.


title: Raion de Herța

text: Le raion de Hertsa (en ukrainien : ') est un raion de la région administrative de Tchernivtsy (Ukraine), à la frontière avec la Roumanie, qui correspond à 90 % à l’arrondissement de Herța (en roumain : '), jadis partie du județ roumain de Dorohoi.


title: Raion de Herța

text: Sa population était estimée en 2001 à , dont 93 % sont roumanophones.


title: Raion de Herța

text: Avant le pacte Hitler-Staline, l’Union soviétique revendiquait à la Roumanie la Bessarabie (moitié orientale de l’ancienne Principauté de Moldavie, qui avait déjà été annexée par l’Empire russe entre 1812 et 1917) mais pas la Bucovine (district nord-ouest de la principauté de Moldavie qui avait été annexé par l’Empire d’Autriche de 1775 à 1918 et n’avait jamais été russe, mais où de nombreux Ukrainiens venus de Galicie s’étaient établis).


title: Raion de Herța

text: Pourtant, le protocole secret du pacte Hitler-Staline prévoyait aussi l'annexion par l'URSS du nord de la Bucovine.


title: Raion de Herța

text: L’arrondissement de Herța n’appartenait à aucun de ces deux territoires, était resté continuellement moldave puis roumain, et, n’ayant subi aucune colonisation slave, avait une population exclusivement roumaine. Mais il se trouvait à la jointure de la Bessarabie et de la Bucovine du nord, et, bien qu’il ne soit pas mentionné dans le protocole soviéto-roumain de cession des territoires réclamés par Staline, il fut occupé par l’Armée rouge le . La garnison roumaine, qui ne s’y attendait pas, riposta et fut anéantie (pour la Roumanie, ce furent les premiers morts de la Seconde Guerre mondiale).


title: Raion de Herța

text: Par la suite, la commission soviéto-roumaine constituée en application du protocole de cession, avalisa l’ajout de Herța au territoire cédé, et, bien que peuplé de Roumains, l’arrondissement fut rattaché à la République socialiste soviétique d’Ukraine. Il a été récupéré par la Roumanie de 1941 à 1944 au cours de l’attaque des forces de l’Axe contre l’Union soviétique sur le front de l’Est, mais l’Armée rouge l’a reconquis en mars 1944.


title: Raion de Herța

text: Toutefois, l’arrondissement de Herța, qui n’avait jamais appartenu à l’Empire Russe, et n’avait jamais été revendiqué par l’URSS, se trouva ainsi dans le même statut litigieux que les îles de Coasta-Dracului, Dalerul mare, Dalerul Mic, Maican (sur le bras frontalier de Chilia, dans le delta du Danube), Limba (à l’embouchure de ce même bras) et Șerpilor (en mer Noire) : ces petits territoires avaient été annexés par l’URSS "de facto", sans avoir été mentionnés par le pacte Hitler-Staline, ni par l’ultimatum soviétique du , ni par le traité de paix de Paris, et sans que leur annexion ait été ratifiée par le Soviet suprême soviétique ni par l’Assemblée nationale roumaine. Seuls des protocoles bilatéraux soviéto-roumains entérinaient leur occupation par l’URSS, et tout au long des de régime communiste, les dirigeants roumains Gheorghe Gheorghiu-Dej et Nicolae Ceaușescu tentèrent d’en obtenir la rétrocession.


title: Raion de Herța

text: Lorsque l’Ukraine proclama son indépendance, elle hérita, en tant qu’état successeur de l’Union Soviétique, de ces territoires en litige, que revendiqua le gouvernement roumain démocratiquement élu d’Emil Constantinescu en 1995. Pour ne pas s’aliéner l'Ukraine et pour éviter des tensions sur la ligne de contact des sphères d’influence de l’OTAN et de la Fédération de Russie, la communauté internationale fit alors pression sur la Roumanie pour qu’elle renonce à ses revendications, dans le cadre du processus d’intégration de ce pays dans l’OTAN et dans la sphère d’influence de l’Union européenne. La Roumanie reconnut définitivement "de jure" sa frontière avec l’Ukraine par le traité roumano-ukrainien du signé à Constanza. Depuis lors, d’autres petits litiges territoriaux entre les deux pays sont apparus à l’embouchure du bras de Chilia (golfe de Musura), mais l’appartenance de l’arrondissement de Herța à l’Ukraine n’est pas remise en question.


title: Raion de Herța

text: Bien que la Roumanie et l’Ukraine aient finalement signé et ratifié en 1997 l’accord sur les frontières (la Roumanie a renoncé à toute revendication sur les territoires perdus) et qu’elles soient signataires des traités et alliances internationaux qui éteignent toute réclamation territoriale, il y a encore en Roumanie, ainsi que dans la population locale (qui a aujourd’hui la citoyenneté ukrainienne) un ressentiment contre la cession de ces territoires, considérés largement comme historiquement roumains et comme ayant été rattachés de façon illégale à l’Union soviétique. De nombreuses organisations des roumanophones d’Ukraine et de Roumanie ont contesté cet accord et ont demandé au gouvernement roumain de dénoncer le traité de 1997.


title: Raion de Herța

text: Actuellement, toutes les communes de l’arrondissement, à l’exception de Mamornița, sont encore à majorité roumaine. Il est à noter qu’à l’époque soviétique, les statistiques et cartes ethnographiques ont compté cette communauté roumanophone, comme celles de Bucovine, en tant que "Румынски" (« roumaine ») et non en tant que "Молдаване" (« moldave ») comme celles de Bessarabie et de Podolie, prenant ainsi en compte les années de domination impériale russe sur ces deux dernières régions, censées y avoir créé une « nationalité moldave » distincte de la « nationalité roumaine ».


title: Zone de protection écologique

text: La zone de protection écologique (ZPE) est une zone maritime sous juridiction française créée en 2004 au-delà de la mer territoriale en Méditerranée, en application de la "loi n° 76-655 du relative à la zone économique au large des côtes du territoire de la République" modifiée en 2003.


title: Zone de protection écologique

text: Dans cette zone, qui est une version « atténuée » de la zone économique exclusive (ZEE), la France ne s'est dotée que d'une partie des compétences associées à une ZEE ; elle y assume notamment les obligations en matière de protection de l'environnement, ce qui lui permet de poursuivre devant les tribunaux nationaux (tribunaux de l'État côtier) les infractions commises dans cette zone qui ne pouvaient être auparavant poursuivies que par l'État du pavillon, et ne l'étaient guère (dégazages et autres pollutions maritimes volontaires, par exemple).


title: Manifa

text: Manifa est un grand gisement pétrolier offshore en Arabie saoudite. Découvert en 1951, il ne fut pratiquement pas exploité, même si de petites quantités de pétrole ont été extraites vers 1960.


title: Manifa

text: Le gisement devrait être redéveloppé pour entrer en service en 2011, et produire 0,9 Mbbl/j, chiffre qui pourrait augmenter jusqu'à 1,5 (ces données sont celles communiquées par l'Aramco). Malgré ses réserves qui, estimées à 11 Gbbl, en font un des plus grands gisements inexploités au monde, Manifa souffre de la qualité de son pétrole : extrêmement chargé en soufre (de 3 à 3,5 %) et en vanadium. Il est pratiquement inutilisable par la grande majorité des raffineries actuelles.


title: Musa Dagh

text: Le Musa Dagh (mont Moïse, en turc : "Musa Dağı", en arménien : Մուսա Լեռ, "Musa Ler") est une montagne de l'Amanus, située dans la province de Hatay en Turquie. Il a été un lieu de résistance arménienne au moment du génocide au début du .


title: Musa Dagh

text: Durant le génocide arménien, la région du Musa Dagh est l'un des quatre lieux de résistance des populations arméniennes. En , alors que leurs biens et leurs maisons sont confisqués, méfiants, les habitants des villages de la région choisissent de désobéir et de résister à l'armée ottomane ; malgré un sous-effectif et un moral entamé, les Arméniens défendent le siège de la montagne durant cinquante-trois jours.


title: Musa Dagh

text: Le , à court de vivres et de munitions, ils sont évacués par la marine française mouillant au large des côtes syriennes ; plus de quatre mille personnes sont acheminées à Port-Saïd en Égypte.


title: Musa Dagh

text: Le roman "Les Quarante Jours du Musa Dagh" par Franz Werfel, paru en 1933, raconte l’histoire de la résistance des Arméniens habitant dans sept villages arméniens de la région du Musa Dagh qui avaient résisté aux forces armées de l’Empire ottoman pour ne pas être déportés et massacrés.


title: Gravettien

text: Le Gravettien est une culture préhistorique appartenant au Paléolithique supérieur européen, caractérisée par son industrie lithique. Il est connu pour ses figurines de Vénus, qui étaient généralement sculptées en ivoire ou en calcaire. Il doit son nom au site de La Gravette, situé sur la commune de Bayac, en Dordogne. Il est précédé par le Aurignacien  (43 000 à 29 000). Le Solutréen succède en Europe au Gravettien à partir de 23 000 ans AP.


title: Gravettien

text: Lors du dernier maximum glaciaire (il y a 27 000 à 23 000 ans), le climat très froid et sec contraint les populations à se retirer dans les régions du sud. Les péninsules ibériques, italiennes et grecques en particulier sont de plus en plus peuplées.


title: Gravettien

text: Le Gravettien est caractérisé par le débitage de lames en silex très droites, utilisées pour réaliser des pointes de projectile à dos rabattu rectiligne, appelées « pointe de la Gravette ». L'industrie lithique comprend également de petits outils diversifiés et spécialisés : petites pointes appelées « fléchettes », « pointes de la Font-Robert », pointes à retouches sur face plane, divers types de burins (dont le burin de Noailles), etc.


title: Gravettien

text: Dans la période gravettienne, les chasseurs-cueilleurs mangeaient la nourriture disponible dans leur environnement local. Cela comprenait le mammouth en Europe centrale, le cheval et le renne en Grande-Bretagne; et fruits de mer sur les côtes atlantiques ou méditerranéennes de ce que sont aujourd'hui la France et l'Italie.


title: Gravettien

text: Les animaux étaient une source de nourriture principale pour les premiers humains de la période gravettienne. Comme l'Europe était extrêmement froide pendant cette période, les sources de nourriture devaient être riches en énergie et en matières grasses. Les comparaisons de tests entre divers restes humains révèlent que les populations des latitudes plus élevées accordaient une plus grande importance à la viande. Un trait qui distingue les Gravettiens était leur facilité de mobilité par rapport à leurs homologues néandertaliens. Les humains modernes ont développé la technologie et l'organisation sociale qui leur ont permis de migrer avec leur source de nourriture, tandis que les Néandertaliens n'auraient pas été aptes à voyager, même avec des troupeaux relativement sédentaires.


title: Gravettien

text: Grâce à leur capacité à se déplacer avec les troupeaux, les régimes gravettiens incorporaient une grande variété de proies animales. Les principaux facteurs étaient l'âge et la taille de l'animal. Par exemple, le cerf de première année offrait les peaux les plus appropriées pour les vêtements, tandis que le cerf de quatrième année contenait beaucoup plus de viande. Le régime gravettien comprenait des animaux plus gros tels que des mammouths, des hyènes, des loups, des rennes tués avec des outils en pierre ou en os, ainsi que des lièvres et des renards capturés avec des filets.


title: Gravettien

text: Les Gravettiens vivant sur les côtes ont pu bénéficier de protéines marines. À partir de restes trouvés en Italie et au Pays de Galles, il a été estimé que 20 à 30 % des régimes gravettiens des peuples côtiers étaient composés d'animaux marins. Les populations des basses latitudes dépendaient davantage des crustacés et des poissons, tandis que l'alimentation des latitudes plus élevées se composait de phoques.


title: Gravettien

text: Néanmoins, l'étude de fossiles humains des grottes de Serinyà en Catalogne, datés entre 25 000 et 27 000 ans, montre une alimentation basée sur les ressources terrestres - plantes et animaux terrestres de la région - en particulier les petits animaux comme les lapins, également des cerfs et des chevaux. Les isotopes des acides aminés ont confirmé que les individus ne mangeaient presque pas de poisson, et ce même à proximité des régions côtières, contrairement à ce que l'on supposait auparavant.


title: Gravettien

text: Les massues, les pierres et les bâtons étaient les principaux outils de chasse pendant la période du Paléolithique supérieur. Des pointes d'os, de bois et d'ivoire ont toutes été trouvées sur des sites en France, mais des pointes de flèches en pierre et des lances de jet appropriées ne sont apparues qu'à la période solutréenne (~ avant le présent). En raison de ces outils primitifs, de nombreux animaux ont été chassés à courte distance. L'artefact typique de l'industrie gravettienne, autrefois considéré comme un diagnostic, est la petite lame pointue avec un dos droit et émoussé, aujourd'hui connue sous le nom de « pointe de la Gravette », qui servait à chasser le gros gibier. Les Gravettiens utilisaient des filets pour chasser le petit gibier et sont crédités d'avoir inventé l'arc et la flèche.


title: Gravettien

text: Les Gravettiens tendaient à s'installer dans des vallées par où migraient leurs proies. Par exemples, le site de La Gala, situé au sud de l'Italie, montre une implantation stratégique basée dans une petite vallée. Au fur et à mesure que les colons devenaient plus conscients des schémas de migration d'animaux comme le cerf élaphe, ils ont appris que le troupeau de proies se trouvait dans les vallées, permettant ainsi aux chasseurs d'éviter de parcourir de longues distances pour se nourrir. Plus précisément dans le cas de La Gala, la topographie glaciaire a forcé le cerf à traverser les zones de la vallée occupées par les humains. Des preuves supplémentaires de colonies stratégiquement positionnées incluent des sites comme Klithi (district régional d'Ioannina) en Grèce, également placés pour intercepter des proies en migration.


title: Gravettien

text: Des découvertes en République tchèque suggèrent que des filets ont été utilisés pour capturer un grand nombre de proies plus petites, offrant ainsi un approvisionnement alimentaire rapide et constant et donc une alternative au modèle de fête / famine des grands chasseurs de gibier. Les preuves se présentent sous la forme d'une corde de d'épaisseur conservée sur des empreintes d'argile. Le tissage des filets était vraisemblablement une tâche collective, reposant sur le travail des femmes et des enfants.


title: Gravettien

text: À Krems an der Donau en Autriche, sur un promontoire situé sur la rive gauche du Danube, des fouilles archéologiques ont révélé une double tombe de jumeaux monozygotes et une tombe d'un autre enfant âgé de trois mois dans un site daté de . Chacun des corps était plongé dans l'ocre rouge et était placé l'un à côté de l'autre dans des positions fléchies face à l'est et avec leur crâne pointant vers le nord. Un total de en ivoire de mammouth avaient été fixées sur le bassin de l'enfant 1 et leur disposition indique clairement qu'elles avaient été enfilées sur une ficelle. Les sont remarquablement similaires en taille et en forme et les perforations ne montrent aucun signe d'usure, indiquant une production dans le seul but de servir de marchandise funéraire. L’attribution personnalisée est soulignée par la position de la main droite de l’individu placée au sommet de la chaîne. En revanche, l'enfant 2 était équipé de trois mollusques perforés ("Theodoxus sp.") et d'une incisive de renard perforée ("Vulpes sp.") qui ont été récupérés sous la mandibule de l'enfant 2, suggérant qu'il s'agissait de pendentifs sur un seul collier. Une autre sépulture contenait le squelette mal conservé d'un autre enfant (ind3) qui était enterré en position fléchie et recouvert d'une épaisse couche d'ocre rouge. Le squelette de l'enfant était également orienté vers l'est, mais dans ce cas, le crâne était orienté vers le sud. Dans l'orientation de l'axe du corps, une épingle de de long en ivoire de mammouth était située à au-dessus du crâne. Elle peut avoir été utilisée comme épingle pour attacher et/ou décorer un vêtement en cuir ou en fourrure qui aurait été enroulé autour du corps avant l'enterrement.


title: Gravettien

text: L'art gravettien est caractérisé par ses « Vénus paléolithiques » présentant des formes souvent très généreuses (Vénus de Lespugue, de Willendorf) ou parfois plus fines (Dame de Brassempouy). Ces statuettes sont particulièrement nombreuses à cette époque en Europe orientale, notamment dans la plaine russe. Le mammouth laineux occupant une place centrale dans l'économie des sociétés de ces régions (avec le renne), de nombreuses Vénus paléolithiques gravettiennes sont en ivoire de mammouth. Le style des figurines est figuratif, à la différence des statuettes ultérieures, épigravettiennes et magdaléniennes, qui sont plus schématiques et stylisées.


title: Gravettien

text: L'art gravettien comporte aussi des gravures sur os et ramures, des frises gravées dans les abris sous roches et des grottes ornées (chevaux ponctués de Pech Merle, mains négatives de Gargas, grottes de Vilhonneur, grotte de Cussac).


title: Gravettien

text: Les échantillons d'ADN-Y analysés dans une étude de 2016, datés entre AP, qu'ils proviennent de Belgique, de Tchéquie, d'Autriche ou d'Italie, sont étroitement apparentés, ce qui semble refléter une expansion de la population associée à la culture archéologique du Gravettien. Les humains de l'Aurignacien auraient été évincés il y a entre par un autre groupe d'humains, les Gravettiens. Bien qu'ils portent des signatures génétiques distinctes, les Gravettiens et les Aurignaciens sont les descendants de la même branche européenne d"Homo sapiens".


title: Gravettien

text: Dans cette étude paléogénétique publiée en 2016, sur les quatorze échantillons d'ADNmt, il y avait treize échantillons d'haplogroupe U et un échantillon de l'haplogroupe M. La majorité des haplogroupes U appartenait aux sous-clades U5 et U2


title: Gravettien

text: L'analyse du génome d'un individu âgé de environ, originaire de Bourane-Kaya III, en Crimée, confirme que les groupes du Gravettien seraient issus d'une branche orientale de cette population fondatrice de chasseurs-cueilleurs européens qui se serait étendue depuis la Russie actuelle vers l'ouest. L'aire de distribution du Gravettien est approximativement la même que pour l'haplogroupe I (groupe d'ADN-Y, c'est-à-dire transmis exclusivement en ligne masculine). L'haplogroupe mitochondrial de l'individu étudié est N1 avec également trois des huit mutations qui mènent à la branche N1b.


title: Gravettien

text: L’abri Pataud montre, pour la première fois, la succession stratigraphique et typologique Gravettien de faciès Noaillien / Gravettien de faciès Rayssien.


title: Gravettien

text: En France, les sites gravettiens de référence sont : l'abri Pataud, Laugerie-Haute Est, la Gravette (Bayac), la Ferrassie et le Flageolet I (Bézenac) en Dordogne (Périgord) ; le Roc de Combe et l'abri des Peyrugues (Orniac) dans le Lot (Quercy), l'abri du Blot en Haute-Loire (Auvergne), les grottes d'Arcy-sur-Cure dans l'Yonne (Bourgogne). Malheureusement, quelques-uns de ces sites sont encore inédits, près de 20 ans après leurs fouilles.


title: Gravettien

text: Des données complémentaires sont fournies par les sites des Jambes (Périgueux), de la Rochette (Saint Léon-sur-Vézère), de Corbiac (Bergerac), de l'abri Labattut, du Trou de la Chèvre (Bourdeilles), de l'abri du Facteur (Tursac) et de Maldidier (La Roque-Gageac) en Dordogne ;  du Roc de Gavaudun, de l'abri Peyrony (Gavaudun), de Roquecave (Gavaudun), de Métayer (Gavaudun) et du plateau Cabrol (Saint-Front-sur-Lémance) dans le Lot-et-Garonne ;  du Roc de Cavart (Montcabrier), des Fieux (Miers) et de la Bergerie (Saint-Géry) dans le Lot ;  de l'abri des Battuts (Penne) dans le Tarn ;  de la grotte de Bassaler-Nord (Brive) en Corrèze (Limousin) ;  des abris I et II des Vachons en Charente ;  de et des Plumettes (Lussac) dans la Vienne ;  du Cirque de la Patrie (Ormesson) en Seine-et-Marne ;  et de en Bretagne, avec des données stratigraphiques et typologiques de valeur inégale.


title: François Borgia

text: François de Borgia et de Trastamare, duc de Gandia, Grand d'Espagne (en espagnol : "Francisco de Borja y Trastámara"), né à Gandia, dans le royaume de Valence, le , et mort à Rome le , est un membre de la haute noblesse Espagnole. duc de Gandia, grand d'Espagne, apparenté à la famille royale, il fut nommé vice-roi de Catalogne par l'empereur et roi Charles Ier, d'Espagne.


title: François Borgia

text: Particulièrement impressionné par la mort de l'impératrice-reine Isabelle de Portugal, il entre dans la Compagnie de Jésus en 1546. Il en fut le Supérieur général de 1565 à sa mort. Canonisé par le pape Clément X en 1671, il est liturgiquement commémoré le 3 octobre.


title: François Borgia

text: François est le fils de Juan Borgia, duc de Gandie, petit-fils du pape Alexandre VI Borgia, et de Jeanne d'Aragon (?-1520), fille d'Alphonse d'Aragon (1470-1520), archevêque de Saragosse, fils illégitime de Ferdinand le Catholique (Ferdinand II d'Aragon).


title: François Borgia

text: Plus grand seigneur du royaume de Valence, il jouissait de toute la faveur de l'empereur et roi Charles Quint, qui le nomma vice-roi de la Catalogne. Le duc de Lerme, ministre de Philippe III d'Espagne, était son petit-fils.


title: François Borgia

text: Élevé dans une atmosphère religieuse, Borgia entre à la cour de Charles-Quint en 1528. Il a 18 ans. L'impératrice Isabelle lui donne pour épouse une de ses dames d'honneur issue de la haute noblesse Portugaise. Eléonore de Castro. Le mariage a lieu en 1529. De cette union naissent huit enfants, cinq garçons et trois filles. À la cour, la vie de Borgia est exemplaire.


title: François Borgia

text: Le 26 juin 1539 Borgia est nommé vice-roi de Catalogne.


title: François Borgia

text: Le , l'impératrice Isabelle, réputée pour sa beauté et sa hauteur morale, meurt en couches à l'âge de 36 ans. Le prince héritier, âgé de 12 ans, est chargé de conduire le convoi funèbre jusqu'à la crypte royale du palais de l'Escurial. Etant donné le jeune âge du prince, c'est le duc de Borgia qui gère le transfert de la dépouille de l'impératrice-reine. À l'arrivée du convoi, le cérémonial impose d'ouvrir le cercueil et d'identifier le corps. Confronté à la décomposition rapide du corps de sa mère qui fut une femme si belle et si respectable, le jeune prince s'évanouit. C'est un grand choc également pour ce grand seigneur qu'est le duc de Gandie. Le beau visage, déjà défiguré par la décomposition, lui aurait fait dire « Plus jamais je ne servirai un seigneur mortel ».


title: François Borgia

text: Nonobstant, cette conversion, Le vice-roi de Catalogne se doit à charge, à sa femme et à ses enfants. Comme vice-roi, il occupe la plus haute magistrature en Catalogne. Il le restera jusqu’en 1543. De Charles Quint, il reçoit pour tâche de mettre fin au banditisme régional, de défendre les frontières contre Turcs et pirates et de se préparer à une possible attaque des Français au Roussillon. Si le banditisme ne fut que contenu, par contre sa lutte contre les pirates fut un succès et sa défense de Perpignan lors de l'attaque de 1542 également.


title: François Borgia

text: En Catalogne il soutient la réforme franciscaine de Pierre d'Alcantara. Il reçoit les premiers jésuites qui visitent l'Espagne, Pierre Favre et Antonio de Araoz. Sa vie personnelle est nettement religieuse et édifiante: il fréquente les sacrements et passe de nombreuses heures à méditer.


title: François Borgia

text: À la mort de son père, en 1543, François Borgia devient le de Gandia. Charles-Quint a en vue pour lui une charge à la cour d’Espagne, mais cela ne se réalise pas. Il se retire dès lors à Gandia, où il s’occupe du bien-être de ses gens et s’adonne de plus en plus à ses inclinations spirituelles. Il compose un petit traité de vie spirituelle publié à Valence en 1548. Des problèmes de famille à régler prennent également une partie de son temps.


title: François Borgia

text: Le 27 mars 1546, Éléonore de Castro, sa femme, meurt. Cela le libère des obligations conjugales et lui permet d’entrer en vie religieuse.


title: François Borgia

text: Déjà en contact avec Pierre Favre, Borgia est également en correspondance avec Ignace de Loyola. Il fait les Exercices spirituels sous la direction de Andrés de Oviedo. Il se décide à demander son admission dans la Compagnie de Jésus. Le 2 juin 1546, il prononce les vœux de chasteté et d'obéissance. Ignace le reçoit dans la Compagnie, mais recommande que la chose soit tenue secrète, car «le monde n'est pas prêt à entendre de telles nouvelles». De plus, Borgia est invité à assurer d’abord l’avenir de ses enfants et à commencer des études de théologie à Gandia (dans une université que lui-même avait fondée en 1547, et confiée aux jésuites). Deux ans plus tard, en 1548, il fait sa profession comme jésuite, tout en recevant un indult du pape lui permettant de continuer à gérer (et seulement 'gérer') les biens de sa famille.


title: François Borgia

text: Alarmé de ce que les Exercices Spirituels soient fortement critiqués en Espagne, Borgia obtient du pape Paul III que le livret de Saint Ignace soit examiné. La chose est faite par deux cardinaux romains qui en jugent la doctrine saine. Les Exercices Spirituels sont alors officiellement approuvés et « loués » par Paul III (bref "Pastoralis officii" du 31 juillet 1548). À ses frais, Borgia en imprime immédiatement 500 exemplaires de sa version latine.


title: François Borgia

text: En 1550, il fait un voyage à Rome, officiellement en pèlerinage d'Année sainte', pour obtenir les indulgences spéciales de l’année sainte de 1550, mais en fait pour une première rencontre avec Saint Ignace de Loyola. Arrivé en octobre, il y reste 3 mois. Ignace le consulte à diverses reprises, la première ébauche des Constitutions de la Compagnie de Jésus, la fondation du Collège Romain et la construction de l’église du Gesù. Il contribue financièrement au projet du collège romain qui ouvrira ses portes, peu après son départ, en février 1551.


title: François Borgia

text: De retour en Espagne, il vit avec les jésuites de Ognate, au pays basque. Il y est ordonné prêtre le 23 mai 1551, mais célèbre sa première messe seulement le 31 juillet 1551 dans la chapelle du manoir de Loyola. Borgia passe beaucoup de temps en prière, s’adonne à la prédication et compose des opuscules spirituels.


title: François Borgia

text: En 1554, Ignace le nomme ‘'Commissaire'’ pour les trois nouvelles provinces récemment créées en Espagne. Il supervise ainsi la fondation de plusieurs collèges : Placencia, Séville, Murcie, Saragosse, et de nombreux autres. Son influence auprès des plus grandes familles d’Espagne fait que les portes s’ouvrent facilement aux jésuites : les fondations se multiplient : collèges, résidences, un noviciat à Simancas (1554). Il continue à soutenir financièrement le Collège Romain et à le promouvoir en Espagne.


title: François Borgia

text: Sainte Thérèse d’Avila par deux fois le consulte sur des problèmes spirituels. Sa profonde expérience de la prière personnelle lui donne grande autorité dans le domaine spirituel. Il est apprécié comme guide spirituel, en particulier par la mère du roi Sébastien Ier de Portugal, Jeanne d'Autriche, fille de Charles Quint, qui, devenue veuve, entrera dans la Compagnie de Jésus (sous un nom d'homme). Charles Quint le fait venir plusieurs fois en sa retraite de Yuste et lui confie une dernière mission diplomatique au Portugal en 1557. Pour des raisons de maladie, Borgia ne peut assister à la Congrégation générale de 1558 convoquée pour élire un successeur à Ignace de Loyola, décédé en 1556.


title: François Borgia

text: Le 17 août 1559, des écrits de François Borgia - en fait imprimés clandestinement avec ceux d’autres auteurs - sont mis sur la liste des livres interdits par l’inquisition espagnole. L’intention en était sans doute de contenir l’expansion d’écrits d’inspiration luthérienne en Espagne. L’affaire fait du bruit. On parle de l’arrêter. Prudent, Borgia passe au Portugal où il vit avec les jésuites de Porto, visitant les jésuites de Portugal, en tant que ‘Commissaire’.


title: François Borgia

text: Jacques Lainez, second supérieur général des jésuites, l’appelle alors à Rome, pour être son Assistant Général. Un bref de Pie IV le convoque à Rome. Malgré le grand sacrifice que cela constitue pour lui – sa santé est moins bonne - il obtempère. Il fait le voyage durant l’été 1561. À la mort de Laynez (19 janvier 1565), Borgia est élu vicaire général et, comme tel, est chargé de convoquer et préparer la congrégation générale de 1565.


title: François Borgia

text: La Congrégation générale s’ouvre le 20 juin 1565. Une dizaine de jours plus tard (2 juillet), Borgia est élu supérieur général des jésuites au premier tour de scrutin par 30 votes sur 39. Il a 54 ans.Le voyage de retour à Rome est extrêmement pénible. La santé de Borgia se détériore. Il doit interrompre plusieurs fois son voyage. Il est porté en litière. Il séjourne quatre mois à Ferrare, retenu par le duc Alphonse II d'Este. Il y apprend le décès du pape Pie V ( mai 1572). Malgré les objurgations du duc, il reprend la route qu’il poursuit par petites étapes. Arrivé à Rome le 28 septembre, il meurt deux jours après, le 30 septembre 1572, rendant grâce à Dieu de terminer sa vie « lors d’une mission acceptée dans l’obéissance ».


title: François Borgia

text: François Borgia est canonisé en 1671 par le pape Clément X. Liturgiquement il est fêté le 3 octobre.Il a épousé la portugaise Eléonore de Castro en 1529 et a eu sept enfants:


title: Offenhauser

text: Offenhauser est le nom d'un motoriste de course (également connu sous le diminutif Offy). Le moteur Offenhauser a notamment brillé aux 500 miles d'Indianapolis sur une période s'étalant du milieu des années 1930 jusqu'au milieu des années 1970.


title: Offenhauser

text: Moteur 4-cylindres à double arbre à cames en tête, le moteur Offenhauser est directement inspiré du révolutionnaire moteur Peugeot imaginé par l'ingénieur suisse Ernest Henry, et qui a dominé le monde des Grand Prix dans les années 1910. Cette domination s'est également concrétisée aux États-Unis par la victoire du pilote français Jules Goux aux 500 miles d'Indianapolis 1913. Durant la Première Guerre mondiale, le pilote Bob Burman confia sa Peugeot « privée » épisodiquement conduite en Championnat américain de course automobile en 1914 et 1915 au motoriste Harry Arminius Miller pour réparation. Ce dernier entreprit alors avec son employé Fred Offenhauser de concevoir son propre moteur, selon les principes dégagés par Peugeot. Le moteur Miller domina ainsi les courses américaines pendant la majeure partie des années 1920. Puis, en 1933, à la suite de la faillite de l'entreprise de Miller, la société fut rachetée par Fred Offenhauser, qui rebaptisa le moteur à son propre nom.


title: Offenhauser

text: Le moteur Offenhauser décrocha sa première victoire à l'Indianapolis 500 en 1935, et sa dernière en 1976, avant de subir la domination du moteur Cosworth de Ford.


title: Monère

text: Le terme "monère" peut désigner :


title: Victoria Beckham

text: Victoria Beckham, née Victoria Caroline Adams le à Harlow (Angleterre), est une chanteuse, danseuse, styliste, designer et femme d'affaires britannique. Elle est surtout connue pour être l'une des célèbres Spice Girls ; son surnom dans le groupe est "Posh Spice". Entre 1996 et 1998, Spice Girls est considéré comme le plus grand groupe musical féminin, avec plus de 86 millions de disques vendus en l'espace de deux opus et 10 singles classés numéros 1 dans le monde.


title: Victoria Beckham

text: Après la séparation du groupe en 2001, Victoria entame une carrière solo et enregistre trois albums dont seul le premier intitulé "Victoria Beckham" sera commercialisé officiellement et publie quatre singles qui entreront tous dans le Top 10 des charts britanniques. En 2004, elle abandonne définitivement sa carrière de chanteuse pour se consacrer à sa passion pour la mode et est devenue au fil du temps, une styliste internationalement reconnue grâce à ses lignes de vêtements "Victoria Beckham" et "dVb".


title: Victoria Beckham

text: En 2007, elle est la la plus riche du Royaume-Uni et, avec la fortune conjointe de son mari David Beckham, la la plus riche du pays.


title: Victoria Beckham

text: Victoria Adams naît le au "Princess Alexandra Hospital" de Harlow dans le comté d'Essex et grandit à Goffs Oak dans celui du Hertfordshire. Elle est l'aînée des trois enfants de Jacqueline Doreen (née Cannon), une ancienne employée d'assurance et coiffeuse, et d'Anthony William Adams (dit Tony), qui travaille comme ingénieur en électronique. Le couple fonde un commerce de gros d'électronique qui permet une éducation confortable pour Victoria, sa sœur Louise et son frère Christian.


title: Victoria Beckham

text: Un ancêtre de la famille est l'artiste, révolutionnaire et communiste allemand d'Heilbronn (1818-1876), proche de Karl Marx, et un autre l'homme politique du Minnesota (1926-1905), également originaire d'Heilbronn.


title: Victoria Beckham

text: Ses parents l'inscrivent à la "Jason Theatre School" puis en 1991, elle entre au "Laine Theatre Arts" à Epsom dans le Surrey ; elle y apprend la danse et le mannequinat. Elle fréquente également le lycée St. Mary à Cheshunt, où elle est gênée par la richesse de sa famille et demande à son père de ne pas la déposer à l'extérieur de l'école dans leur Rolls Royce.


title: Victoria Beckham

text: Finalement, elle devient membre d'un groupe appelé Persuasion.


title: Victoria Beckham

text: En 1994, Victoria Adams auditionne pour une publicité parue dans "The Stage" qui demande des filles « intelligentes, extraverties, ambitieuses et capables de chanter et de danser ». Elle, Melanie Chisholm, Melanie Brown, Emma Bunton et Geri Halliwell, forment ainsi. un "girl group" : les Spice Girls, ayant pour manager, Simon Fuller.


title: Victoria Beckham

text: En 1996, elles sortent un premier single, "Wannabe" qui arrivera en tête des ventes dans plus de 31 pays. "Posh" (Victoria), "Sporty" (Melanie C), "Scary" (Melanie B), "Baby" (Emma) et "Ginger" (Geri) deviennent un des plus grands phénomènes de la musique britannique pendant plusieurs années. précise-t-elle à propos de son surnom. Malgré le succès, Geri Halliwell quitte le groupe le en pleine tournée. Les quatre autres finissent la tournée sans elle. Elles lancent leur troisième album, "Forever" en 2000, mais le groupe annonce une pause en .


title: Victoria Beckham

text: En 2007, les cinq membres du groupe annoncent officiellement leur reformation pour une ultime tournée mondiale. Mais dès l'année suivante lors du concert de Madison Square à New York, elle sait que c'est la fin de son aventure musicale ; sa situation familiale et professionnelle ont changé, explique-t-elle.


title: Victoria Beckham

text: Leur dernière prestation a lieu lors de la cérémonie de clôture des Jeux Olympiques de Londres, le .


title: Victoria Beckham

text: Le , Victoria Beckham sort son premier single sans les Spice Girls ', une collaboration avec les DJ Truesteppers et le chanteur Dane Bowers du groupe Another Level. La semaine du lancement de ce titre coïncide avec la sortie de ', célèbre morceau du duo Spiller dont la partie vocale est assurée par la chanteuse Sophie Ellis-Bextor, créant alors une réelle bataille dans les charts qui sera appelée par la presse britannique "Posh vs Posher". À la suite d'une énorme campagne publicitaire, "" s'écoule à exemplaires en première semaine, ce qui lui permet de se classer juste derrière Spiller.


title: Victoria Beckham

text: À la suite de ce premier titre à succès, Victoria Beckham lance son deuxième single en tant qu'artiste solo "Not Such an Innocent Girl" en . Une fois encore, elle se retrouve en compétition avec cette fois-ci le nouveau single de Kylie Minogue, "". En dépit d'une énorme campagne de promotion, Victoria Beckham se retrouve battue et n'entre qu'en des ventes. Dans la foulée, son premier album Victoria Beckham, sort le octobre 2001 dans les bacs. Victoria signe onze des douze chansons de l'album dont l'une est dédiée à son mari David Beckham, "" et pour son fils, "". L'album se classe des meilleures ventes d'albums au Royaume-Uni et se vend à plus de exemplaires.


title: Victoria Beckham

text: Le second et dernier single extrait de cet album "A Mind of Its Own" est publié le . Le titre se hisse jusqu'à la des ventes au Royaume-Uni et s'écoule à plus de exemplaires. Très vite, des rumeurs annoncent que Virgin Records songerait à briser son contrat avec Victoria, puisque son single ne s'est pas classé dans le top 5 britannique.


title: Victoria Beckham

text: Le troisième single ', est utilisé pour promouvoir l'album, mais ne sera jamais commercialisé physiquement. La version single de ce titre étant un remix en collaboration avec le chanteur Robbie Craig et sera interprété en direct à la télévision lors de l'émission '. À la suite de l'annonce de la deuxième grossesse de Victoria, le single est abandonné et Victoria quitte Virgin Records. Une déclaration officielle de sa porte-parole est faite disant que .


title: Victoria Beckham

text: En 2002, alors que les médias britanniques décrivent sa carrière musicale comme peu convaincante, Victoria débute l'enregistrement de son deuxième album ', qui doit initialement contenir le double single ', ainsi que "Full Stop" un duo avec le rappeur Nas. Finalement déçue du résultat final, elle choisit de ne pas le sortir. Désirant s'orienter vers un son plus urbain, elle signe un contrat d'une valeur de 1,5 million de livres sterling avec la maison de disques Telstar Records et commence à travailler avec le producteur Damon Dash, ancien collaborateur de Jay-Z sur un nouvel album aux influences R&B/hip-hop, '. Un titre produit par Dash ' en duo avec M.O.P., est enregistré et diffusé en radio à partir de juillet 2003 engendrant des critiques mitigées.


title: Victoria Beckham

text: Le premier single ', sort le au Royaume-Uni, accompagné d'une forte promotion et de nombreuses apparitions à la télévision pendant la période des fêtes. Le single se classe à la des charts britanniques la semaine de sa sortie et se vend à plus de exemplaires. Il est, avec le single d'Emma Bunton ', considéré comme la meilleure vente réalisée par une Spice Girl en solo depuis Geri Halliwell avec " en 2001. Ce single sera son dernier.


title: Victoria Beckham

text: Après plusieurs mois de promotion, elle arrête tout enregistrement. Son troisième album ", ne sera donc jamais commercialisé, Virgin Records ayant empêché la sortie du disque. Dash déclara que les responsables de Telstar Records n'étaient pas ravis de la voir travailler avec lui. « Comme la maison de disques de Victoria n'était pas content qu'elle vienne à New York pour travailler avec moi, ils racontent des histoires. Avant même d'avoir entendu l'album, ils inventaient des trucs. J'ai entendu que Victoria se faisait appeler l'Eminem féminin. C'est débile. Elle n'a jamais dit ça ». En , une maquette inédite de l'album contenant dix-sept chansons est mise en vente sur eBay avant d'être diffusé sur Youtube et la plateforme d'écoute Soundcloud.


title: Victoria Beckham

text: En conséquent, tous les autres projets musicaux de Victoria sont annulés. Elle décide alors d'abandonner la musique pour se concentrer sur sa carrière de styliste.


title: Victoria Beckham

text: Son autobiographie sort le sous le titre ' (« Apprendre à voler ») qui s'inspire d'un couplet d'une chanson de la comédie musicale "Fame", comédie musicale que Victoria adorait étant petite fille. Le vers en question est "« »" (« Je vais vivre pour toujours, je vais apprendre à voler »). Le livre raconte son enfance, la gloire des Spice Girls, son mariage et sa vie familiale, ainsi que sa carrière musicale. Le livre devient alors la troisième meilleure vente de 2001 pour un livre n'étant pas une fiction, et les ventes totales au Royaume-Uni dépassent les exemplaires. Lors de sa première édition, le livre se classe des ventes après seulement quatre heures de mise en rayon, déclassant le livre de Robbie Williams à la deuxième place. Une publicité diffusée avant la diffusion de l'émission ', suivie par plus de 9 millions de téléspectateurs, a contribué à la promotion du livre. Avant la publication du livre, le magazine "Hello!", le "Daily Mail" et "The Mail on Sunday" achetèrent les droits pour publier un aperçu et des extraits. La somme ainsi engrangé serait proche du million de livres (environ euros).


title: Victoria Beckham

text: Le second livre de Victoria Beckham, "", un guide pratique sur la mode, est publié le . Il contient des conseils sur le mode, le style et la beauté, illustrés de photos prises par Mario Testino, Annie Leibovitz et Steven Meisel.


title: Victoria Beckham

text: Victoria Beckham fait des apparitions dans plusieurs documentaires, entrevues ou certaines émissions de télévisions. En 2009, on lui proposa de remplacer Paula Abdul en tant que juge dans la populaire télé-réalité américaine, "American Idol". Elle fut cependant vite remplacée par Ellen DeGeneres.


title: Victoria Beckham

text: En 2003, depuis toujours passionnée par la mode, Victoria décide de devenir styliste lorsqu'elle devient, entre autres, l'égérie de "Dolce & Gabbana", et cela pour plusieurs années. Elle est la muse pour Marc Jacobs, un ami, dans sa collection de Printemps 2008, l'amie de Christopher Bailey (Burberry) et une proche de Valentino Garavani depuis le début des années 2000. Fan de Prada, elle collectionne les sacs à main Hermès (des Kelly et Birkin) et les chaussures (dont des Louboutin).


title: Victoria Beckham

text: Soutenue par Simon Fuller l’ancien manager des Spice Girls, elle a depuis 2008 sa propre marque "dVb" qui habille Oprah Winfrey, Cameron Diaz, ou Sarah Jessica Parker, marque dont les collections ont bénéficié au début de la collaboration de Roland Mouret. Comme toute personnalité créant sa propre ligne de vêtements, Victoria Beckham est alors sous le feux des projecteurs, les observateurs sont sceptiques sur ses capacités ; ses créations sobres et minimalistes sont pourtant comme le souligne "Le Nouvel observateur", à l'image de "L'Officiel" qui précise que sa première collection . Pour sa première fois, une dizaine de robes, la marque défile durant la Fashion week américaine au Waldorf-Astoria. Les acheteurs des grands magasins réagissent positivement et la ligne de robes, 400 pièces fabriquées à Londres, est présente dans les points de vente les plus renommés mondialement. Il faut attendre la seconde collection pour que le monde de la mode, outre la presse, réagisse enfin positivement et lui offre des encouragements. Par la suite, elle commercialise lunettes de soleil et jeans sous son nom, puis d'autres accessoires dont des sacs à main.


title: Victoria Beckham

text: Elle est récompensée de l'équivalent des « oscars » pour la mode aux "" en devant Tom Ford ou Stella McCartney. Elle fait la couverture de trois magazines "Vogue" cette même année, puis lance une seconde ligne de produits, moins sophistiquée, intitulée "Victoria, Victoria Beckham". Lors de sa collection « Été 2014 » présentée à l'automne 2013, elle présente des modèles eux aussi remarqués par la critique, renforçant ses inspirations venant des tailleurs masculins et du power dressing ; pour la première fois, cette collection est présentée à Londres. Au printemps de la même année elle lance sa boutique en ligne.


title: Victoria Beckham

text: En 2014, elle ouvre dans la foulée une boutique dans la capitale anglaise ; puis elle est désignée « femme d'affaires de l'année » lorsque que sa marque réalise 38 millions d'euros avec une centaine d'employés et 500 points de ventes dans le monde. Cinq ans seulement après le lancement de sa marque, elle commercialise de nouveau les modèles phares qui ont fait son succès. Outre les sorties officielles où Victoria Beckham est habillée par ses propres créations, elle ne renie pas au quotidien de s'habiller avec ses marques fétiches telles Céline, Chloé ou Chanel. Début 2016, elle présente une collection vue comme un revirement sur son style habituel, avec des pièces assez classiques, parfois amples et surtout privilégiant le confort. Par la suite, elle collabore avec diverses marques telles Vetements ou Reebok.


title: Victoria Beckham

text: En 1997, grâce à Simon Fuller qui l’emmène saluer les joueurs après une partie, Victoria rencontre David Beckham, lors d'un match de Manchester United. Elle parle de . David Beckham n'est alors pas encore une star. Ils tiennent leur relation secrète au départ et se voient entre l'Angleterre et Paris où Victoria est souvent avec son groupe. Ils se fiancent en 1998, et se marient officiellement le . Leur mariage est financé par les droits de ventes des photos de la cérémonie au grand magazine anglais "OK!". Ils ont ensemble quatre enfants.


title: Victoria Beckham

text: Leur premier enfant, Brooklyn Beckham, naît le , à Londres. Le couple aura deux autres garçons Roméo James Beckham et Cruz Beckham nés respectivement le puis le . En , le couple annonce la venue prochaine de leur quatrième enfant. Victoria accouche le , d'une petite fille nommée Harper Seven Beckham, à Los Angeles. En effet, le couple a acheté une maison en Californie et s'est installé un temps à Los Angeles, pour qu'offre la ville, ajoute-t-elle.


title: Victoria Beckham

text: Le couple est aussi l'image de plusieurs marques : Dolce & Gabbana, Marks & Spencer, Adidas, Gillette, Pepsi, Samantha Tavassa, Rock & Republic et Honda, Burberry.


title: Théorème spectral

text: En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. Le cas le plus élémentaire concerne les matrices symétriques représentant les formes quadratiques en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par Karl Weierstrass en 1858, affirme que ces matrices sont toutes diagonalisables dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de base orthonormée ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les quadriques non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les axes principaux, mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés (équations différentielles, classification des formes quadratiques, calcul numérique, statistiques) ainsi qu'en physique, pour des questions de mécanique générale du solide ou du point.


title: Théorème spectral

text: La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la théorie spectrale. Elle est indispensable à la physique du , par exemple en mécanique quantique.


title: Théorème spectral

text: Une quadrique est un objet structurant, un cas particulier essentiel est celui de la sphère, définir un tel objet dans un espace vectoriel revient à le munir d'une distance spécifique, dite euclidienne. Une méthode couramment utilisée consiste à utiliser une forme quadratique, c'est-à-dire une application de l'espace dans l'ensemble des réels positifs. La distance est définie comme la racine carrée de la forme quadratique du vecteur reliant les deux points. Utiliser la forme quadratique à la place de la distance est commode. Les racines carrées disparaissent, permettant une expression plus simple des formules. Ainsi, le théorème de Pythagore dans le plan s'écrit, si Φ est la forme quadratique associée à la distance et si θ et θ correspondent aux carrés des coordonnées dans une base orthonormée, par Φ = θ + θ. Dans le cas d'une dimension finie "n" quelconque : Φ = θ + θ + … + θ.


title: Théorème spectral

text: Une telle forme correspond à un cas particulier de quadrique. Elle est aussi définie par un polynôme de degré deux. Il est néanmoins "homogène", c'est-à-dire qu'il ne contient que des termes de degré deux. Une quadrique homogène définit une deuxième forme quadratique Ψ et en conséquence une autre distance. Graphiquement, le contexte de la propriété de l'article est illustré par la figure de gauche. La distance d'origine est définie par la sphère rouge et celle de la quadrique associée à Ψ, par l'ellipsoïde bleu. Il existe alors une base qui respecte l'orthogonalité des deux formes quadratiques. Si l'orthogonalité est respectée, il n'en est pas de même pour les longueurs. Ainsi, le vecteur unitaire de l'axe des "x" pour la distance originale "(en rouge)" est de longueur plus petite pour la nouvelle distance "(en bleu)", d'où la nécessité d'un coefficient s pour passer d'une distance à l'autre.


title: Théorème spectral

text: C'est en ces termes que Weierstrass exprime son théorème. Le vocabulaire évolue un peu avec le temps, le terme maintenant utilisé est celui de forme quadratique quand il parle de fonction homogène du second degré :


title: Théorème spectral

text: Un tel formalisme généralise la notion de distance. Les réels "s" n'ont aucune raison d'être tous positifs. Si tel n'est pas le cas, la sphère unité prend une apparence différente, analogue à un hyperboloïde. Une telle géométrie est utilisée en physique, dans le cadre de la relativité restreinte.


title: Théorème spectral

text: Plus d'un siècle avant la démonstration du théorème, apparaît ce qui, plus tard, sera considéré comme une matrice symétrique. Jean le Rond d'Alembert cherche à connaitre le mouvement d'une corde vibrante. Il modélise le phénomène par un élastique dont la masse est rassemblée en des points régulièrement espacés. Le problème mathématique correspond à une équation différentielle linéaire. Si les variations sont suffisamment petites, les coefficients associés sont constants. Leonhard Euler propose une méthode dite des "coefficients indéterminés" pour expliciter la solution. Contrairement aux prévisions de Daniel Bernoulli, une approche analytique permet de trouver une solution conforme à ses expériences : . Néanmoins, les prétentions à la généralité de d'Alembert se révèlent inexactes. Les coefficients indéterminés permettent uniquement de résoudre les cas où seules deux ou trois masses sont présentes.


title: Théorème spectral

text: Pour traiter le cas d'un nombre de masses plus important, Joseph-Louis Lagrange développe une nouvelle approche. Il utilise "une pratique polynomiale spécifique s'affranchissant de la méthode des coefficients indéterminés". Grâce au fait que les coefficients sont en miroir, ce qui, en terme moderne se traduit par le fait que l'endomorphisme est auto-adjoint, il utilise une astucieuse méthode sur les "primes et les indices". Le polynôme trouvé correspond à ce qui est maintenant nommé le polynôme caractéristique.


title: Théorème spectral

text: La méthode utilisée est relativement générique. Elle correspond à une approximation linéaire tangente, à ce titre elle fait partie d'une vaste théorie dite des perturbations. Elle suppose aussi que l'endomorphisme associé est symétrique. Enfin, elle ne fonctionne que si les racines du polynôme caractéristique, maintenant appelé valeurs propres, sont toutes distinctes, enfin le cas des racines imaginaires fait peur. Les savants de l'époque en ont bien conscience :


title: Théorème spectral

text: Une autre situation entre dans le domaine de validité de la méthode : celle de la trajectoire des planètes. En plus de l'attraction solaire, les planètes s'attirent entre elles et engendrent de petites perturbations. Lagrange les décrit de la manière suivante :


title: Théorème spectral

text: Les variations séculaires fascinent, la stabilité du système solaire est menacée. Cet aspect s'avère un moteur théorique essentiel pour la compréhension du sujet de cet article. S'il existe une méthode numérique opérationnelle, elle ne peut garantir un résultat théorique tant que deux questions ne sont pas résolues. Que se passe-t-il s'il existe une valeur propre multiple ? Et sont-elles toutes réelles ?


title: Théorème spectral

text: La stabilité des perturbations du premier ordre, celles traitées par la méthode de Lagrange, fait couler beaucoup d'encre. La réponse qu'il propose est celle du calcul effectif. Il suppose qu'une planète n'est en interaction qu'avec quatre autres et développe une méthode de substitution sur les polynômes pour en extraire les racines, qui s'avère soixante ans plus tard le point de départ de la théorie de Galois. Il en déduit :


title: Théorème spectral

text: Pierre-Simon de Laplace ne se contente pas de la réponse numérique de Lagrange. Elle n'offre pas à son goût de garantie suffisamment solide de stabilité, que se passe-t-il avec la prise en compte de plus de planètes? Il démontre que la disposition en miroir des coefficients ainsi que la nature de leur valeur imposent une convergence si seul les effets du premier ordre sont pris en compte. Sa méthode néanmoins ne possède aucun caractère générique et ne fait pas avancer les mathématiques. L'avenir montrera de plus que la convergence des perturbations d'ordre 1 ne garantit en rien la stabilité recherchée.


title: Théorème spectral

text: Dans les années 1820, Augustin Louis Cauchy s'attelle à cette question. Il n'est pas un novice en algèbre, son traité sur les déterminants fait autorité. Son approche, si elle reste analytique, diffère radicalement de celle de Lagrange, qui se décrit ainsi :


title: Théorème spectral

text: Cauchy découvre la dimension géométrique de la question. Il axe son analyse sur l'étude des quadriques. Elles sont définies de manière analytique par une forme quadratique, qu'il exprime comme un polynôme homogène du deuxième degré. Il remarque que, dans le cas de la dimension trois, il existe trois plans, définis par le choix de deux vecteurs pris parmi trois, qui divisent la quadrique en deux parties symétriques. Ces trois vecteurs sont orthogonaux et peuvent être choisis de longueur 1. Pour trouver ces vecteurs, Cauchy analyse les extrema de la surface à l'aide des dérivées partielles. Il établit la correspondance entre ces axes et les vecteurs propres de l'application linéaire associé. Un calcul de déterminant, fondé sur les techniques qu'il a développées dans le passé lui permettent d'expliciter les valeurs propres, il correspond maintenant à ce qui est appelé le polynôme caractéristique, le même qu'avait trouvé Lagrange par des méthodes différentes.


title: Théorème spectral

text: Cauchy voit ainsi la question sous trois angles : trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une application linéaire, étudier les formes quadratiques et classifier les quadriques. Il applique cette triple approche à trois situation : en géométrie, la classification de nombreuses surfaces du second degré dans un espace de dimension quelconque ; en mécanique, l'étude des axes d'inertie d'un solide en rotation ; enfin, en astronomie, l'étude des variations séculaires.


title: Théorème spectral

text: Cette méthode possède deux faiblesses, toujours les mêmes. Si le polynôme caractéristique possède une racine multiple, alors il est impossible de déterminer les vecteurs propres et la nature réelle ou complexe des valeurs propres reste inconnue. Dans le cas des axes d'inerties d'un solide, un "artifice particulier", associé à son aspect tridimensionnel permet de résoudre la question, mais le cas général reste un mystère :


title: Théorème spectral

text: La révolution de 1830, ainsi que la position politique de Cauchy (il est légitimiste) lui impose l'exil et l'arrêt de ses travaux. Une décennie plus tard, il revient sur ces questions pour mieux comprendre la propagation des ondes lumineuses ou d'origine élastique. Ces travaux donnent lieu à la création de l'expression "polynôme caractéristique", ou plus précisément dans les textes de Cauchy d"équation caractéristique". Les travaux de Cauchy sur la stabilité du système solaire se traduisent "in fine" par un apport opposé à celui de Laplace : une importante avancée théorique associée à une absence de résultat concret.


title: Théorème spectral

text: Le problème des variations séculaires peut aussi être mis en relation avec un vieux problème d'arithmétique soulevé par Fermat et maintenant appelé théorème des deux carrés. La question posée est celle des nombres premiers s'exprimant sous la forme de deux carrés d'entiers. D'une manière plus générale cette question est reliée aux valeurs que peut prendre la forme quadratique "x" + "y" si "x" et "y" prennent des valeurs entières. Un regard encore plus général est celui des valeurs que peut prendre une forme quadratique quelconque sur les entiers. Il amène aux théorème des trois et des quatre carrés.


title: Théorème spectral

text: Un élément de réponse pour cette question correspond à la classification des formes quadratiques, en classes d'équivalence. Deux formes quadratiques Φ et Ψ sur un "Z" module "M" sont dites équivalentes s'il existe un endomorphisme bijectif "f" de "M" tel que Φ soit égal à la composée de Ψ et de "f". Autrement dit si les formes quadratiques représentent le même objet dans deux bases différentes. Les formes ont la même image, il suffit donc de connaitre l'image d'une unique forme dans chaque classe pour résoudre une large famille d'équations diophantiennes. Cette classification arithmétique des formes quadratiques est initiée par Adrien-Marie Legendre en 1798 et rapidement poursuivi par Carl Friedrich Gauss en 1801. Cette démarche, éminemment linéaire, est à l'origine par Gauss de la première utilisation du terme déterminant.


title: Théorème spectral

text: La connaissance des formes quadratiques ne manquent pas d'avoir des applications. Un nouvel exemple est rapidement fourni, encore par l'astronomie. Les données associées à la trajectoire d'un corps céleste sont à la fois nombreuses et toutes entachées de petites erreurs. Utiliser la méthode des moindres carrés pour estimer précisément la trajectoire est fructueux et permet à Gauss de retrouver l'astéroïde Cérès (les détails sont données dans l'article sur la méthode des moindres carrés). Cette méthode consiste à trouver le minimum d'une forme quadratique, soit encore le vecteur propre de la plus petite valeur propre associée. Legendre est le premier à publier ce résultat, cependant Gauss ne lui reconnait pas la paternité de cette découverte. La réaction de Legendre est brutale : "Cette impudence excessive est incroyable chez un homme au mérite personnel suffisant pour ne pas avoir besoin de s'approprier les découvertes d'autrui." Dans le cas d'un espace vectoriel réel de dimension finie, la réduction d'une forme quadratique est réalisée par Charles Gustave Jacob Jacobi. Il montre qu'elles sont toutes équivalentes à une combinaison linéaire de carrés dont le coefficient est égal soit à 1 soit à –1. Ce résultat est redécouvert par James Joseph Sylvester et appliqué au principe de l'inertie des solides. Il porte maintenant son nom. La distance entre le théorème de l'article et le savoir de l'époque devient ténue. Le résultat de Jacobi exprime que toute forme quadratique possède une base orthogonale. Il suffit d'en adjoindre une autre, définie positive pour conclure, ce que fait Weierstrass en 1858. Les techniques utilisées, comparables à celles des démonstrations données dans cet article, sont infiniment plus simples que celles de Cauchy.


title: Théorème spectral

text: Cette approche algébrique, dont l'Allemagne est probablement le plus riche contributeur avec Gauss, Jacobi, Eisenstein ou Dirichlet est la solution, non seulement d'un problème d'algèbre, mais aussi des questions que se posent les français depuis longtemps. Weierstrass en a parfaitement conscience :


title: Théorème spectral

text: Le théorème de Weierstrass éclaire la question des variations séculaires sous un autre angle, l'auteur du théorème conclut :


title: Théorème spectral

text: S'il est définitivement établi que les variations du premier ordre ne peuvent en aucun cas déstabiliser le système solaire, la question reste néanmoins ouverte : l'astronome Urbain Le Verrier montre que les termes d'ordre deux ne peuvent être négligés. Il faut attendre le siècle suivant et le talent de Henri Poincaré pour conclure positivement.


title: Théorème spectral

text: Le théorème spectral ne peut s'énoncer rigoureusement que dans un formalisme algébrique. C'est celui qui finit par prévaloir historiquement. Les démonstrations de Cauchy sont plus longues et surtout moins exhaustives (même s'il est possible de retrouver l'intégralité des propriétés). Les énoncés sont plus concis et enfin, la formalisation algébrique s'adapte mieux aux applications dans des domaines divers.


title: Théorème spectral

text: Le formalisme contemporain modifie peu l'expression du théorème de Weierstrass, qui prend le nom de « théorème spectral » ; ce théorème possède de nombreuses généralisations en dimension infinie portant le même nom. Cette formulation possède un corollaire immédiat : toute forme Ψ quadratique ou hermitienne possède une base orthogonale "B" telle que l'image de tout élément de "B" par Ψ est égale à 1, -1 ou 0 (ou même simplement 1 ou 0 dans le cas hermitien).


title: Théorème spectral

text: Ce résultat se déduit de l'un ou l'autre des deux suivants : Ce théorème se généralise partiellement dans le cas hermitien : il n'est pas nécessaire que l'endomorphisme soit auto-adjoint pour qu'il soit diagonalisable, il suffit qu'il soit normal, c'est-à-dire qu'il commute avec son adjoint. En revanche, un endomorphisme normal d'un espace euclidien (par exemple : une rotation plane) n'est en général pas diagonalisable.


title: Théorème spectral

text: Tout théorème sur les endomorphismes possède son équivalent en matière de matrices car les deux structures sont isomorphes. Le théorème suivant est une transcription en termes matriciels. Pour des démonstrations de ces théorèmes, voir le § « Dimension finie » de l'article "Endomorphisme autoadjoint", ainsi que les articles "Endomorphisme normal" et "Orthogonalisation simultanée", pour leurs généralisations.


title: Théorème spectral

text: Si l'approche algébrique est la plus générale et la plus concise, la géométrie permet néanmoins d'établir certains résultats. Cette voie fut celle de Cauchy. Nous utiliserons la formalisation moderne issue de la géométrie différentielle, relativement différente de celle analytique du .


title: Théorème spectral

text: Soit "E" un espace vectoriel euclidien de dimension "n", "B" = ("e") une base orthonormale de "E" et "S" une surface quadrique définie par une forme quadratique Ψ. L'objectif est d'étudier les extrema de Ψ sur la variété différentielle qu'est la sphère de rayon l'unité. Ici le terme d'extremum de la quadrique désigne un point de cette nature, elle permet de trouver des axes de symétries même si un tel axe ne croisent pas la surface, comme dans le cas de l'hyperboloïde à deux nappes.


title: Théorème spectral

text: En effet, la fonction Ψ ainsi que la sphère en tant que variété différentielle sont de classe "C", les extrema se caractérisent donc par des annulations de différentielles. Plus précisément, "u" est un extremum local si et seulement si le noyau de Ψ est inclus dans l'espace tangent à la sphère au point "u".


title: Théorème spectral

text: La sphère est l'image réciproque de {1} par l'application qui à un vecteur "v" associe ⟨"v", "v"⟩. La différentielle de cette application en "v" est la forme linéaire qui au vecteur "h" associe 2⟨"v", "h"⟩. Son noyau est donc l'hyperplan orthogonal de "v". Soit "a" l'endomorphisme autoadjoint associé à la quadrique, Ψ est alors l'application qui à un vecteur "v" associe ⟨"a"("v"), "v"⟩. Sa différentielle en "u" est l'application qui, à un vecteur "h", associe le scalaire "D"Ψ("h") égal à 2⟨"a"("u"), "h"⟩.


title: Théorème spectral

text: Comme "u" est un vecteur extremum, "D"Ψ est nul sur l'hyperplan orthogonal de "u", le vecteur "a"("u") est donc orthogonal à l'orthogonal de "u", ce qui signifie qu'il est colinéaire à "u". C'est bien la définition d'un vecteur propre.


title: Théorème spectral

text: Réciproquement, si "u" est un vecteur propre, alors le théorème précédent sur les endomorphismes autoadjoints montre que l'orthogonal de "u" est stable par "a" et donc que le noyau de "D"Ψ est bien l'orthogonal de "u", ce qui montre que le vecteur est un extremum.


title: Théorème spectral

text: Montrons enfin que "u" définit un axe de symétrie de la quadrique. Soit "v" un vecteur quelconque de la quadrique. "v" est somme d'un vecteur colinéaire à "u" et d'un vecteur "w" orthogonal : "v" = α"u" + "h". Si λ est la valeur propre de "u", alors l'image ω de "w" par la symétrie axiale de direction "u" est ω = α"u" - "h". Il suffit alors de montrer que Ψ(ω) est égal à Ψ(v). Cette propriété est une conséquence directe du fait que "u" est orthogonal à "h" :


Théorème spectral


title: Théorème spectral

text: Les résultats algébriques précédents permettent de conclure : En effet, il existe une base orthogonale de vecteurs propres de "a".


title: Théorème spectral

text: Si le cas réellement intéressant est celui que la quadrique homogène, à cause de sa dimension algébrique. Il n'est pas inutile que classifier les quadriques. Dans le cas général, une quadrique comporte aussi des termes d'ordre 1, le polynôme est alors la somme d'une forme quadratique, d'une forme linéaire et d'une constante. En utilisant les notations précédentes il existe alors un vecteur "b" tel que la quadrique possède pour image d'un vecteur "v" quelconque ⟨"a"("v"), "v"⟩ + ⟨"b", "v"⟩ - "c". Si l'application "a" est un automorphisme, c'est-à-dire s'il est bijectif, alors la forme quadratique associée ainsi que la quadrique sont qualifiées de non dégénérée. Un simple changement de l'origine permet de se ramener à la situation précédente.


title: Théorème spectral

text: Supposons "a" bijectif, alors 1/2."b" admet un antécédent β par "a". Le polynôme "P" prend la forme suivante : formula_2 On en déduit l'égalité : formula_3. La situation est donc géométriquement analogue à la précédente.


title: Théorème spectral

text: L'analyse précédente permet d'établir une rapide classification des quadriques. Le cas général est entièrement traité si le vecteur "b" est dans l'image de l'endomorphisme "a". Il correspond à une équation de la forme : formula_4. ε désigne ici un entier égal à 0 ou à 1. La base dans laquelle les coordonnées s'expriment est orthogonale mais n'est plus normée, la norme des vecteurs est choisie pour égaler à les coefficients de la quadrique. La quadrique est non dégénérée si et seulement si "j" est égal à "n".


title: Théorème spectral

text: Dans le cas où la quadrique est dégénérée et ou "b" n'est pas dans le noyau de l'endomorphisme "a". Il est alors possible de choisir comme dernier vecteur de la base un élément de la droite de direction "b". Et, quitte à translater l'origine, il existe encore une base orthogonale tel que l'équation de la quadrique prenne la forme suivante : formula_5. Dans ce cas, "j" est toujours strictement plus petit que "n", les vecteurs propres de la forme quadratique ne sont plus toujours des axes de symétrie comme le montre le paraboloïde de l'introduction. Pour cette raison, et pour obtenir un vocabulaire parfaitement générique, on appelle "axe principal" toute droite passant par l'origine (une fois la translation réalisée) et de direction une droite de vecteurs propres.


title: Théorème spectral

text: D'Alembert, dans la deuxième édition de son traité de dynamique, propose de résoudre l'équation du pendule illustré sur la figure de droite. La corde est élastique et de masse nulle, les deux parois sur lesquelles elle est maintenue sont fixes. Enfin, les oscillations des deux masses, dont les coordonnées verticales sont notées "x" et "y", sont petites devant "l". Les deux boules sont régulièrement espacées et de même masse. Dans ce contexte la première masse reçoit une force verticale, proportionnelle à -2"x" + "y" et la deuxième à -2"y" + "x".


title: Théorème spectral

text: Si "E" est l'espace vectoriel des couples ("x", "y"), "f" la fonction du temps à valeur dans "E" décrivant la trajectoire du pendule, "a" l'endomorphisme défini par la matrice suivante, il existe une constante "k" telle que : formula_6


title: Théorème spectral

text: L'endomorphisme "a" dispose d'une matrice réelle symétrique, il est donc autoadjoint. L'existence d'une base orthonormée diagonalisant "a" permet de séparer les variables et donc de résoudre l'équation différentielle. D'Alembert, qui ne dispose pas de ce formalisme, utilise le théorème grâce à la méthode d'Euler dite des "coefficients indéterminés". Elle se fonde sur l'utilisation du changement de variable suivant, si λ est un réel :


title: Théorème spectral

text: Choisir formula_8 pour valeur de λ permet de séparer les variables, le système devient :


title: Théorème spectral

text: En termes modernes, "u" et "v" correspondent à deux vecteurs propres de "a" formant une base orthonormale dont les coordonnées dans la base canonique est (1, 1) et (-1, 1).


title: Théorème spectral

text: Les hypothèses et notations sont équivalentes à celles du paragraphe précédent, l'espace vectoriel "E" est maintenant celui des triplets ("x", "y", "z").


title: Théorème spectral

text: Il existe une base orthonormée de vecteurs propres, d'après le théorème de l'article. Le calcul du polynôme caractéristique "P"["X"] donne les valeurs propres λ, λ et λ : formula_11.


title: Théorème spectral

text: On en déduit les trois vecteurs propres associés : formula_12.


title: Théorème spectral

text: Si un endomorphisme est diagonalisable dans une base orthonormée et si ses valeurs propres sont toutes réelles, alors il est clairement auto-adjoint.


title: Théorème spectral

text: En revanche, un endomorphisme est le plus souvent diagonalisable sans être normal. Il suffit, par exemple, de considérer un endomorphisme dont les racines du polynôme caractéristique sont toutes distinctes et dont les vecteurs propres ne forment pas une base orthogonale.


title: Théorème spectral

text: Il est possible d'étudier la diagonalisabilité d'un endomorphisme sans utiliser le produit scalaire, en passant par l'étude de son polynôme caractéristique. Le résultat le plus précis est qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé et ne contient aucune racine multiple.


title: Théorème spectral

text: Le cas général est traité par Camille Jordan en 1870 : même si l'endomorphisme n'est pas diagonalisable, une forme canonique existe toujours, permettant ainsi la réduction de l'endomorphisme.


title: Théorème spectral

text: La tentation de généraliser le théorème à la dimension infinie est grande. L'exemple historique de la théorie est celui d'une corde vibrante, une modélisation exacte suppose une infinité de masses et impose donc un espace de dimension infinie. D'autres équations aux dérivées partielles se modélisent par un passage à la dimension infinie. Celle de la propagation de la chaleur est un exemple.


title: Théorème spectral

text: On a, dans les espaces de Hilbert, la généralisation suivante :


title: Antoine Ghonda

text: Antoine Ghonda Mangalibi, né le à Louvain en Belgique, est un homme politique de la République démocratique du Congo et député national, élu de la circonscription de Madimba dans la province du Kongo Central.


title: Antoine Ghonda

text: Il était l'ambassadeur itinérant du chef de l'État de la République démocratique du Congo. Il a été nommé à ce poste par Joseph Kabila après avoir été déchu comme ministre des affaires étrangères par le président de son ex-parti le MLC le vice-président Jean-Pierre Bemba.


title: Antoine Ghonda

text: Antoine Ghonda est originaire de la province du Kongo-Central en République démocratique du Congo. Il est né à Leuven, en Belgique. Il a fait ses études secondaires et ses études universitaires aux USA. À Miami en Floride où il a décroché une Licence en Relations Internationales et à Boston Harvard où il a suivi un Senior Executive program en Sécurité Internationale. Durant la présidence de Laurent-Désiré Kabila, il joint le Mouvement de Libération du Congo (MLC), un groupe rebelle dirigé par Jean-Pierre Bemba en ayant eu le poste de secrétaire national chargé des relations extérieures. Dans le gouvernement de transition, il a été ministre des Affaires étrangères du au . Ensuite le Président Joseph Kabila va le nommer comme son ambassadeur itinérant chargé de la politique et de la diplomatie jusqu’en date des élections.


title: Antoine Ghonda

text: Antoine Ghobda Mangalibi est élu député national dans la circonscription électorale de Madimba dans la province du Kongo Central, il est membre du groupement politique AAB.