title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: L'Anglais John Adshead devient sélectionneur en . Ancien joueur de deuxième division anglaise, il devient ensuite entraîneur et remporte la Coupe de Nouvelle-Zélande avec Manurewa AFC en 1978 et fait monter le club en première division. Très bon meneur d'hommes, le défenseur néo-zélandais Adrian Elrick déclare à son propos que . Incorporant de nombreux jeunes joueurs, il remporte, en en match amical, une victoire de prestige face au Mexique sur le score de quatre buts à zéro. Ce succès est annonciateur de la campagne de qualification de la Coupe du monde 1982 qui voit les Néo-Zélandais se qualifier pour la première fois à une phase finale de la compétition mondiale. Il quitte la sélection après la Coupe du monde et est remplacé par Allan Jones, qui dirige l'équipe pendant deux saisons. L'Anglais Kevin Fallon, adjoint de John Adshead de 1979 à 1982, devient sélectionneur en . Entraîneur adepte de la préparation physique, il échoue à qualifier les « " » à la Coupe du monde 1986 et quitte son poste en . Il est tout de même introduit au temple de la renommée du football néo-zélandais en 1995. John Adshead fait alors son retour à la tête de la sélection et dirige l'équipe nationale lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1990 mais ne parvient pas à rééditer l'exploit de 1982. Il fait lui aussi partie du temple de la renommée du football néo-zélandais. L’Écossais Ian Marshall lui succède en . Entraîneur de Christchurch United de 1986 à 1989, il dirige l'équipe nationale pendant trois ans et quitte son poste après l’élimination au tour préliminaire de qualification de la Coupe du monde 1994. L'ancien international écossais Bobby Clark devient sélectionneur de l'équipe en pour deux saisons. Il quitte son poste après l'élimination de la Nouvelle-Zélande par l'Australie en Coupe d'Océanie 1996. Son compatriote Keith Pritchett dirige ensuite l'équipe jusqu'en et une défaite face à la Papouasie-Nouvelle-Guinée lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1998. Il est remplacé par l'Irlandais Joe McGrath qui occupe le poste jusqu'en et une défaite cinq buts à zéro face à l'Indonésie.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: L’Anglais Ken Dugdale, entraîneur de Western Suburbs SC et ancien entraîneur-adjoint de la sélection en 1994, est nommé en sélectionneur des « Kiwis ». Sous ses ordres, les Néo-Zélandais remportent la Coupe d'Océanie en battant en finale l'Australie sur le score d'un but à zéro puis disputent la Coupe des confédérations 1999. Lors de cette compétition, l'équipe évolue au départ en 3-5-2 puis évolue vers un 4-4-2 se transformant en 4-5-1 en phase défensive. Finaliste de la Coupe d'Océanie 2000, il quitte son poste après l'échec en qualification pour la Coupe du monde 2002 et son adjoint, l'Anglais Mick Waitt, le remplace. Vainqueur de la Coupe d'Océanie 2002, il occupe son poste jusqu'en et l'élimination lors des qualifications de la Coupe du monde 2006. Son adjoint, le Néo-Zélandais Ricki Herbert, ancien international ayant disputé la Coupe du monde 1982, est nommé par la Fédération sélectionneur en avec pour objectif la qualification pour la prochaine Coupe du monde. Les « Kiwis » débutent, sous sa direction, par une défaite face à l'Australie en juin sur le score d'un but à zéro. L'année suivante, la sélection remporte pour la première fois une rencontre en Europe en s'imposant face aux Géorgiens sur le score de trois buts à un. L'équipe nationale remporte ensuite la Coupe d'Océanie 2008, la quatrième victoire de la Nouvelle-Zélande dans cette compétition, puis dispute la Coupe des confédérations 2009 où elle obtient son premier point dans la compétition en faisant match nul avec l'Irak. Il devient en , grâce à une victoire sur le Bahreïn en barrage, le deuxième sélectionneur à qualifier une équipe de Nouvelle-Zélande à une phase finale de la Coupe du monde. La Nouvelle-Zélande, organisée en 3-5-2 avec des latéraux offensifs, créé la surprise en phase finale en étant la seule équipe invaincue de la Coupe du monde après trois matchs nuls en phase de groupe. En contact avec plusieurs clubs, il prolonge son contrat avec la Fédération de Nouvelle-Zélande en . De nouveau prolongé en , la sélection connaît le premier échec sous sa direction en demi-finale de la Coupe d'Océanie 2011 en étant battu par la Nouvelle-Calédonie. Elle termine ensuite en tête du groupe Océanie lors des qualifications de la Coupe du monde 2014 et se qualifie ainsi pour les barrages disputés face au Mexique. À la suite de cette élimination de la sélection sur le score de neuf buts à trois sur les deux matchs, il démissionne de son poste. En , il est remplacé à titre intérimaire par son adjoint l'Anglais Neil Emblen puis, en août l'Anglais Anthony Hudson, ancien sélectionneur de Bahreïn, prend en charge l'équipe nationale. Il est préféré à ce poste aux techniciens australiens Franck Farina et et signe un contrat de quatre ans.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise dispute sa première rencontre à domicile le au Caledonian Ground de Dunedin face à la sélection de Nouvelle-Galles du Sud, puis sa première rencontre internationale officielle le face à l'Australie au stade de Carisbrook, également à Dunedin. La sélection évolue ensuite dans différents stades au cours des décennies dont l'Athletic Park de Wellington, le Queen Elizabeth II Park de Christchurch, l'Eden Park et le Carlaw Park d'Auckland, celui-ci à la fin des années 1950.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: Lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1982, la sélection dispute la totalité de ses rencontres à domicile au Mount Smart Stadium d'Auckland et continue à jouer dans ce stade jusqu'au début des années 1990. Les « " » disputent ensuite la plupart de leurs rencontres au North Harbour Stadium, autre stade situé à Auckland d'une capacité de places. Ils évoluent aussi au Westpac Stadium de Wellington, enceinte inaugurée en 2000 et d'une capacité de places. C'est dans ce stade qu'ils se qualifient pour la Coupe du monde 2010 en battant le Bahreïn.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise dispute le face à Israël sa première rencontre de qualification à une Coupe du monde. Engagée à douze reprises dans les éliminatoires de la compétition, elle devient en 1982 la deuxième nation de l'Océanie, après l'Australie en 1974, à se qualifier pour une phase finale de Coupe du monde. La Coupe d'Océanie est créée en 1973. Après une seconde édition en 1980, elle disparaît jusqu'en 1996 où elle est recréée sur un rythme bisannuel, servant de qualification pour la Coupe des confédérations. La Nouvelle-Zélande compte cinq victoires dans la compétition, dont deux succès en tant que pays organisateur.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise dispute à quatre reprises la Coupe des confédérations en tant que vainqueur de la Coupe d'Océanie. Son bilan dans la compétition est de onze défaites, dont deux sur le score de cinq buts à zéro face à la France en 1999 et face au Brésil en 2009, et un match nul face à l'Irak, zéro but partout en 2009.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise a eu l'occasion de rencontrer de nombreuses équipes à travers le monde, majoritairement lors de matchs amicaux. Après avoir affronté les autres dominions britanniques, l'Australie, le Canada et l'Afrique du Sud à ses débuts puis les nations du Pacifique en 1951 et 1952, la Nouvelle-Zélande affronte ses premières nations asiatiques, Singapour, le Sud-Viêt Nam et la Malaisie lors du tournoi de la fête nationale vietnamienne en 1967. Elle rencontre ensuite sa première nation africaine, le Maroc, lors du tournoi Merdeka 1980 se disputant en Malaisie puis sa première nation sud-américaine, le Brésil et sa première nation européenne, l’Écosse, lors de la Coupe du monde 1982.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise obtient les plus grands succès de son histoire en battant le Mexique quatre buts à zéro en 1980 et la Serbie un but à zéro en 2010. Elle a également partagé les points lors de la Coupe du monde de 2010 avec la Slovaquie, l'Italie et le Paraguay.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La Nouvelle-Zélande a disputé fort logiquement le plus de rencontres face à des sélections membres de la Confédération du football d'Océanie. En dehors de l'Australie, elle affronte pour la première fois la Nouvelle-Calédonie, les Nouvelles-Hébrides et les Fidji en 1951 lors d'une tournée dans les îles de Mélanésie puis, lors d'une deuxième tournée, Tahiti en 1952. En Coupe d'Océanie ou lors des éliminatoires de la Coupe du monde ou des Jeux olympiques, elle a également affronté les îles Salomon, la Papouasie-Nouvelle-Guinée, les Samoa et les îles Cook. Seules les Samoa américaines et les Tonga n'ont jamais disputé de rencontres face aux Néo-Zélandais si l'on ne tient compte que des nations membres de la FIFA.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: Souvent vainqueur des confrontations avec les autres nations de l'OFC, la Nouvelle-Zélande a enregistré le plus large succès de son histoire en 1981 face aux Fidji, une victoire 13 buts à zéro lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1982. Elle a subi sa défaite la plus significative lors de la Coupe d'Océanie 2012 en étant battu en demi-finale de la compétition par la Nouvelle-Calédonie sur le score de deux buts à zéro.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La Nouvelle-Zélande entretient une rivalité en football avec l'Australie comme dans les autres sports où les rencontres entre les deux pays sont nombreuses, notamment le rugby à XV, le rugby à XIII et le cricket. L'Australie est la première nation rencontrée par la sélection néo-zélandaise le . Elle s'impose dans ce premier match sur le score de trois buts à un. Un trophée, « " », est mis en jeu entre les deux nations à chaque tournée. Dominateurs lors des premières rencontres en 1922 et 1923 les Néo-Zélandais subissent à partir de 1933 de nombreuses défaites face à leur voisin notamment un dix buts à zéro à domicile en 1936, le plus lourd revers de leur histoire en matches officiels.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: Régulièrement éliminés des compétitions internationales par l'Australie, les « Kiwis » créent la surprise lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1982 en s'imposant chez leur voisin sur le score de deux buts à zéro, ce qui provoque la démission du sélectionneur australien Rudi Gutendorf.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: En 1983, un nouveau trophée, la Coupe Trans-Tasman, est mis en jeu entre les deux sélections. Six éditions sont disputées entre 1983 et 1995, dont quatre sont remportées par l'Australie. En 2002, en finale de la Coupe d'Océanie, la Nouvelle-Zélande connaît un nouveau succès de prestige en s'imposant sur le score d'un but à zéro sur les « Socceroos ». Avec le départ de l'Australie vers la Confédération asiatique de football en 2005, les confrontations entre les deux nations se font ensuite plus rares mais restent cependant des matchs de prestige.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: La sélection néo-zélandaise a longtemps été la deuxième meilleure nation océanienne derrière l'Australie. Depuis le départ de cette dernière vers la Confédération asiatique de football en 2006, elle s'est toujours classée au premier rang du classement mondial de la FIFA annuel pour la Confédération du football d'Océanie.


title: Équipe de Nouvelle-Zélande de football

text: Au niveau mondial, les « "" » obtiennent leur meilleur classement en 2002 en atteignant la , le , à la suite de sa victoire en Coupe d'Océanie face à l'Australie. Dès l'année suivante, elle retombe aux alentours de la en raison de contre-performances et du peu de matchs amicaux disputés face à des équipes mieux classées et connaît, en , son plus mauvais classement avec une qui la situe alors au sixième rang de l'OFC. Revenue au et au premier rang océanien en , la sélection se situe depuis autour de la du classement FIFA.


title: Bernard Bolzano

text: Bernard Bolzano ( – ), de son nom complet Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano, est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien né et mort à Prague. Fils d’une germanophone et d’un émigré d’Italie en Bohême, alors dans l’Empire d’Autriche, Bolzano a rédigé toutes ses œuvres en allemand. L'influence de ses ouvrages philosophiques est importante, tout comme ses découvertes en mathématiques. Il a donné son nom à deux théorèmes.


title: Bernard Bolzano

text: Les parents de Bolzano étaient de pieux catholiques. Son père, Bernard Pompeius Bolzano, est né dans le nord de l'Italie et s'est installé à Prague où il a épousé Maria Cecilia Maurer, la fille d'un marchand praguois de langue allemande. Seuls deux de leurs douze enfants survécurent jusqu'à l'âge adulte.


title: Bernard Bolzano

text: Bernard Bolzano entre à l'université de Prague en 1796 et étudie les mathématiques, la philosophie et la physique. En 1800, il décide de devenir prêtre, contre l'avis de son père. Il le devient en 1804. Il enseigne alors les sciences de la religion à Prague et consacre le reste de son temps aux mathématiques. Ses travaux portèrent essentiellement sur les fonctions, la logique et la théorie des nombres. Il est considéré comme l'un des principaux contributeurs à la logique telle qu'elle est aujourd'hui établie.


title: Bernard Bolzano

text: Alors professeur, Bolzano encourage les valeurs de liberté et d'égalité et prône le pacifisme. Mais le contexte de l'époque (Prague fait alors partie de l'empire autrichien, où le prince Klemens Wenzel von Metternich a une grande influence) n'est pas favorable à ces idées progressistes. En il est donc démis de ses fonctions, comme beaucoup d'autre professeurs des universités de l'empire. Ses publications sont interdites sur tout le territoire autrichien. Il se réfugie alors auprès de ses amis Johann et Anna Hoffman. Sa santé fragile (tuberculose) et ses occupations l'empêchaient de passer tout le temps voulu à ses travaux. Il peut maintenant s'y consacrer entièrement et écrit en 1837 son ouvrage le plus important : "" (« Théorie de la science »). Il meurt le des suites de sa maladie.


title: Bernard Bolzano

text: En mathématiques, il est connu pour le théorème des valeurs intermédiaires, ainsi que pour le théorème de Bolzano-Weierstrass, démontré plus rigoureusement par Karl Weierstrass.


title: Bernard Bolzano

text: Dans sa philosophie, Bolzano critique l'idéalisme de Hegel et de Kant en affirmant que les nombres, les idées, et les vérités existent indépendamment des personnes qui les pensent. Ainsi l'acte mental se distingue de la signification de l'acte.


title: Bernard Bolzano

text: Bolzano est souvent considéré comme un des fondateurs de la logique moderne. Dans sa "Théorie de la science" de 1837, il essaie de fournir des fondements logiques à toutes les sciences, construites à partir d'abstractions, d'objets abstraits, d'attributs, de constructions, de démonstrations, de liens… La plupart de ces tentatives retracent ses travaux précédents concernant la relation objective entre les conséquences logiques (les choses telles qu'elles se produisent) et notre perception purement subjective de ces conséquences (notre façon d'aborder les évènements). Il se rapproche ici de la philosophie des mathématiques, comme dans ses "Beiträge" de 1810. Pour Bolzano, nous n'avons aucune certitude quant aux vérités, ou supposées comme telles, de la nature ou des mathématiques, et c'est justement le rôle des sciences, pures comme appliquées, que de trouver une justification des vérités (ou des lois) fondamentales, qui se trouvent le plus souvent en contradiction avec nos intuitions.


title: Bernard Bolzano

text: Dans son ouvrage ' de 1837, Bolzano tenta d'apporter des fondations logiques pour toutes les sciences, construisant sur des abstractions tels les objets abstraits, les attributs, les idées et propositions en elles-mêmes, les substances, les idées subjectives, les jugements etc. Ce travail était une extension de ses pensées plus anciennes sur la philosophie des mathématiques, par exemple dans ses ' de 1810 dans lesquels il met l'accent sur la distinction entre, d'une part, la relation objective entre les conséquences logiques et, d'autre part, notre reconnaissance subjective de ces connexions. Pour Bolzano, ce n'était pas assez que nous ayons simplement confirmation des vérités naturelles ou mathématiques, mais plutôt, c'était le rôle propre des sciences (pures et appliquées) de rechercher la justification en termes de vérités fondamentales qui puissent ou non nous paraitre évidentes.


title: Bernard Bolzano

text: Dans "Wissenschaftslehre", Bolzano se préoccupe principalement de trois champs de connaissance :Bolzano consacre une grande partie de "Wissenschaftslehre" à l'explication de ces trois domaines et de leurs relations.


title: Bernard Bolzano

text: Deux distinctions jouent un rôle prééminent dans son système. Premièrement, la distinction entre parties et touts. Par exemple, les mots sont des parties de phrases, les idées subjectives sont des parties de jugements et les idées objectives sont des parties de propositions en-soi. Deuxièmement, tous les objets se divisent en ceux qui existent, ce qui veut dire qu'ils sont connectés causalement et localisés dans l'espace et/ou le temps, et ceux qui n'existent pas.


title: Bernard Bolzano

text: La revendication originale de Bolzano est que le royaume de la logique est peuplé par les objets de la dernière sorte.


title: Bernard Bolzano

text: Bolzano utilise le mot « objet » pour dénoter quelque chose qui est représenté par une idée. Une idée qui a un objet représente cet objet. Mais une idée qui n'a pas d'objet ne représente rien. L'idée d'un « cercle carré », par exemple, n'a pas d'objet parce que l'objet que l'on veut se représenter est contradictoire. Bolzano prend aussi pour exemple l'idée de « rien » qui n'a, par définition pas d'objet. Cependant, la proposition « l'idée d'un cercle carré est complexe » a pour sujet-idée l'idée d'un cercle carré. Ce sujet-idée a un objet, le cercle carré. Mais l'idée cercle carré n'a pas d'objet.


title: Bernard Bolzano

text: Outre les idées sans objet, il y a des idées qui n'ont qu'un seul objet. Par exemple, l'idée du premier Homme sur la Lune ne représente qu'un seul objet. Bolzano appelle ces idées « idées singulières ». Manifestement, il y a aussi des idées qui ont plusieurs objets, par exemple « les citoyens d'Amsterdam » et aussi une infinité d'objets, par exemple l'idée de nombre premier. (Voir De la méthode mathématique §4)


title: Bernard Bolzano

text: Les réflexions de Bolzano ont porté sur ce qui est actuellement appelé calcul des prédicats et qui fut développé ultérieurement, en partie à la suite de son apport. Les termes qu'il utilisait ne coïncident pas forcément avec l'usage qui en est fait postérieurement.


title: Bernard Bolzano

text: D'après Bolzano, toutes les propositions sont composées de trois éléments (simples ou complexes) : un sujet, un prédicat et une copule.


title: Bernard Bolzano

text: Au lieu du traditionnel terme copulatif « est », Bolzano préfère « a ». La raison en est que « a », contrairement à « est » peut connecter un terme concret, comme « Socrate », à un terme abstrait comme « chauve ». « Socrate a une calvitie » est, d'après Bolzano préférable à « Socrate est chauve ». « Chauve » est en-soi composé des éléments « quelque chose », « qui », « a » et « calvitie ». Bolzano réduit aussi les propositions existentielles à cette forme : « Socrate existe » devient alors simplement « Socrate a l'existence ».


title: Bernard Bolzano

text: Dans la théorie logique de Bolzano, la notion de variation a un rôle important : plusieurs relations logiques sont définies en termes de changement de valeur de vérité, que les propositions encourent quand leurs parties non-logiques sont remplacées par d'autres.


title: Bernard Bolzano

text: Les propositions logiquement analytiques, par exemple, sont celles dans lesquelles toutes les parties non-logiques peuvent être remplacées sans changement de valeur de vérité. Deux propositions sont compatibles ("verträglich") en accord avec l'une de leurs parties composantes x s'il y a au moins un terme qui puisse être inséré qui puisse rendre les deux vraies. Une proposition Q est déductible ("ableitbar") d'une proposition P, en accord avec certaines de leurs parties non-logiques, si n'importe quel remplacement de ces parties qui rendent P vraie rendent aussi Q vraie. Si une proposition est déductible d'une autre en accord avec toutes ses parties non-logiques, on l'appelle « logiquement déductible ». À côté de la relation de déductibilité, Bolzano considère qu'il existe aussi une plus stricte relation de « conséquentalité » ("Abfolge"). C'est une relation asymétrique qui s'obtient entre vraies propositions quand une des propositions est non seulement déductible de l'autre, mais aussi expliquée par elle.


title: Bernard Bolzano

text: Bolzano distingue cinq sens des mots « vrai » et « vérité » dans l'usage commun. Il les classe du plus au moins approprié :La première préoccupation de Bolzano porte sur le sens concret objectif : les vérités concrètes objectives ou les vérités en soi. Toutes les vérités en soi sont des sortes de propositions en soi. Elles n'existent pas, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas localisées spatio-temporellement comme le sont les propositions pensées et prononcées. Pourtant, certaines propositions ont l'attribut d'être une vérité en soi. Être une proposition pensée n'est pas une partie du concept d'une vérité en soi, nonobstant le fait que, avec l'omniscience de Dieu, toutes les vérités en soi sont aussi des vérités de pensée. Les concepts de « vérité en soi » et de « vérité de pensée » sont interchangeables dans le sens où ils s'appliquent aux mêmes objets, mais ils ne sont pas identiques.


title: Bernard Bolzano

text: Bolzano propose comme définition correcte de la vérité objective abstraite la suivante : une proposition est vraie si elle exprime quelque chose qui s'applique à cet objet. La définition correcte d'une vérité concrète objective doit alors être : une vérité est une proposition qui exprime quelque chose qui s'applique à son objet. Cette définition s'applique aux vérités en soi plutôt qu'aux vérités pensées ou connues, puisque aucun des concepts qui figurent dans cette définition n'est subordonné au concept de quelque chose de mental ou connu.


title: Bernard Bolzano

text: L'influence de sa pensée philosophique aurait pu rester faible, mais son travail fut finalement redécouvert par Edmund Husserl et Kazimierz Twardowski, tous deux étudiants de Franz Brentano. À travers eux, Bolzano eut une influence significative sur la phénoménologie et sur la philosophie analytique. Son œuvre posthume "Les paradoxes de l'infini "a été admirée par un grand nombre d'éminents logiciens qui vinrent après lui, comme Charles Sanders Peirce, Georg Cantor et Richard Dedekind. Une grande partie du travail mathématique de Bolzano est restée inconnue jusqu'à ce qu'Otto Stolz redécouvre ses articles perdus et les republie en 1881.


title: Henry Burton

text: Henry Burton (1866-1935) était un homme politique d'Afrique du Sud, avocat, membre du parti sud-africain, ministre des finances de 1916 à 1917 et de 1920 à 1924 dans les gouvernements de Louis Botha et de Jan Smuts.


title: Henry Burton

text: Henry Burton est né en 1866 au Cap, fils d'un magistrat, Francis Burton, et neveu d'un juge de la Cour Suprême.


title: Henry Burton

text: Burton fut éduqué au prestigieux Collège St Andrews à Grahamstown et sera diplômé de l'université du Cap de Bonne Espérance en 1886.


title: Henry Burton

text: En 1888, il s'installe à Kimberley, termine ses études de droit et commence son métier de juriste et d'avocat en 1892.


title: Henry Burton

text: En 1898, il entame une carrière politique et se présente sans succès au siège détenu par Cecil Rhodes.


title: Henry Burton

text: Il revient au Cap continuer sa carrière professionnelle et, durant la Seconde Guerre des Boers, prend la défense juridique des Afrikaners du Cap qui combattent au Transvaal et dans l'État libre d'Orange.


title: Henry Burton

text: Son profil politique évolue et il s'oppose à la loi martiale et soutient le droit aux compensations des fermiers spoliés par les troupes britanniques.


title: Henry Burton

text: En 1902, il est élu au parlement.


title: Henry Burton

text: En 1910, il devient le tout premier ministre des affaires indigènes dans le nouveau gouvernement de L'Union d'Afrique du Sud dirigé par Louis Botha.


title: Henry Burton

text: À cette occasion, il rencontre les chefs africains hostiles à la loi de J. W. Sauer répartissant les terres entre blancs et non blancs. Il obtient la reconnaissance de plusieurs d'entre eux ainsi que de Solomon Plaatje qui le verra avec regret quitter le ministère des affaires indigènes pour celui des transports ferroviaires et des ports.


title: Henry Burton

text: De 1916 à 1917 et de 1920 à 1924, Burton est le ministre des finances de Louis Botha puis de Jan Smuts. Il doit alors affronter et gérer la dépression et les grèves insurrectionnelles de 1922 qui ont lieu dans les mines et les quartiers ouvriers afrikaners.


title: Henry Burton

text: Aux élections de 1924, il est battu mais il reste le critique virulent des lois restreignant les droits des indigènes ou le défenseur de la franchise accordée aux métis du Cap.


title: Henry Burton

text: Henry Burton meurt le .


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: En mathématiques et plus précisément en analyse, le théorème de Cauchy-Lipschitz (ou de Picard-Lindelöf pour les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'existence d'une solution répondant à une condition initiale dite de Cauchy et l'unicité d'une solution maximale.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Certaines lois physiques, comme le principe fondamental de la dynamique, se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Ce dernier assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme ne se traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la théorie du chaos montre l'existence de possibles phénomènes fortuits.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Selon les auteurs, le théorème de Cauchy-Lipschitz s'exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus élaborée, ce théorème assure que la solution varie continûment si la condition initiale est modifiée, et il en est de même si la fonction définissant l'équation dépend continûment d'un paramètre. Si l'équation est définie par une fonction de classe C, la solution est de classe "C". Ce théorème peut encore être généralisé au cas où l'équation différentielle n'est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une variété différentielle.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Une première version est démontrée par Augustin-Louis Cauchy durant la première moitié du , à l'aide d'une technique d'approximation découverte par Leonhard Euler au siècle précédent. Rudolf Lipschitz généralise l'énoncé en élargissant un peu la classe des équations qui s'y rapportent. Le théorème n'en reste pas moins uniquement un résultat d'existence locale. C'est à la fin de ce siècle que les techniques de démonstration, ainsi que l'énoncé du théorème, sont profondément modifiés. À la suite des travaux de Lazarus Fuchs, les mathématiciens Émile Picard, Paul Painlevé et Henri Poincaré développent une version moderne de l'analyse des équations différentielles. Cette vision permet d'apporter des éléments de réponse sur les solutions maximales, l'unicité et la régularité de la solution. Une version relativement moderne est publiée en 1894 par Ernst Lindelöf. Le théorème se démontre maintenant généralement à l'aide d'un théorème du point fixe et d'une approche topologique, classique en analyse fonctionnelle.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Dans tout le reste de l'article, "E" désigne un espace de Banach, Ω un ouvert de R×"E" et "f" une fonction continue de Ω dans "E". L'objectif est d'étudier l'équation différentielle du premier ordre suivante : formula_1


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: avec la "condition de Cauchy" "C" : "x"("t") = "x", où le couple ("t", "x") est un élément de Ω. (On ne se préoccupe que des équations différentielles d'ordre 1 parce que celles d'ordre "n "s'y ramènent.) On remarque immédiatement que si "f" est une fonction de classe C, les solutions sont de classe C.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Il existe plusieurs manières d'exprimer le théorème de Cauchy-Lipschitz, dont la forme suivante :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On déduit de ce théorème les corollaires suivants :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R, le théorème de Cauchy-Lipschitz global apporte un complément :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'expression "théorème de Cauchy-Lipschitz" est aussi utilisée pour désigner d'autres résultats plus évolués. Il est possible de considérer non pas seulement la fonction solution "s" mais aussi la fonction qui au couple ("x", "t") associe l'image de "t" par la solution égale à "x" à un instant initial "t". On obtient une fonction appelée flot. Si la fonction "f" est de classe C, le flot l'est aussi. Il est aussi possible d'étudier la régularité des solutions si la fonction "f" dépend d'un paramètre.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: D'autres résultats, qui ne portent pas le nom de "théorème de Cauchy-Lipschitz" sont présentés dans le paragraphe : "Généralisations".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'idée à la base du théorème est la suivante : Certaines équations différentielles possèdent des solutions stationnaires. Par exemple, l'équation formula_2 possède la solution stationnaire formula_3 pour la condition initiale formula_4. Pour une autre condition initiale formula_5, la solution stationnaire est atteinte au bout d'un temps infini, et la solution est unique. Cependant, si la solution stationnaire peut être atteinte en un temps "fini", l'unicité est violée. Considérons par exemple l'équation


Théorème de Cauchy-Lipschitz


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Pour la condition initiale formula_4, nous pouvons avoir la solution formula_3 ou la solution


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On peut noter que la fonction formula_10 a une pente infinie en formula_11 et ne respecte pas la condition de continuité de Lipschitz. La condition de continuité de Lipschitz élimine ce type d'équations différentielles.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Pour le mathématicien Vladimir Arnold, . En physique, les équations différentielles vérifient de manière très générale les hypothèses du théorème de l'article, il en est ainsi de celle qui régit la loi de la gravitation universelle ou l'interaction électromagnétique. Ces équations sont intrinsèquement déterministes et c'est l'une des conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz. Ce déterminisme, c'est-à-dire la capacité de la physique à prévoir, par exemple la trajectoire des planètes, était connu bien avant le théorème. La célèbre citation de Voltaire l'atteste : . Il en déduisait que . Curieusement, les analyses fines de la fin du démontrent la pertinence du caractère déterministe de ces lois physiques et réduisent cependant cette idée de Voltaire à l'état de chimère.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Les travaux mathématiques de cette époque montrent effectivement qu'une trajectoire, suivant une loi physique de cette nature, est unique et parfaitement déterminée. En revanche, les études de Poincaré sur la stabilité du système solaire mettent en évidence la faute de raisonnement. Ce mathématicien précise :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique bien qu'une prévision parfaite est possible, mais uniquement sous réserve de connaître parfaitement la condition initiale. Certains systèmes dynamiques sont rapidement imprévisibles pour la raison qu'indique Poincaré. On utilise maintenant le terme de chaos pour décrire cette situation. Elle ne se produit pas systématiquement, le théorème de Poincaré-Bendixson précise un contexte où elle ne peut avoir lieu, mais les hypothèses sont restrictives et le résultat peu généralisable.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Plusieurs termes ne sont pas nécessairement intuitifs, ce paragraphe en propose les définitions.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Une partie du vocabulaire utilisée pour exprimer le théorème est générique aux équations différentielles ou fonctionnelles. Le terme espace de Banach désigne un espace vectoriel normé et complet, c'est-à-dire que pour la métrique associée à la norme, toute suite de Cauchy converge. Un exemple simple est un espace vectoriel réel normé de dimension finie. Pour une compréhension plus facile, le lecteur peut imaginer que "E" désigne l'ensemble des nombres réels. Dans l'article, tous les espaces de Banach considérés sont des espaces réels.Il existe un cas particulier, celui où la fonction "f" est définie sur un ouvert de "E" et non pas sur un ouvert de R×"E". L'équation (1) s'écrit alors formula_12 Ω désigne un ouvert de "E" et l'équation est dite autonome.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: D'autres termes sont plus spécifiquement utilisés dans le contexte du théorème de Cauchy-Lipschitz. L'équation différentielle (1) possède généralement plusieurs solutions. Pour cette raison, on ajoute parfois une condition particulière :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: "Remarque : " À la place de l'expression "condition de Cauchy", on parle parfois de "condition initiale". Les deux expressions sont synonymes.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Résoudre le problème de Cauchy consiste à trouver une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy "C". Cette définition est un peu intuitive. Si l'équation différentielle modélise un courant parcourant une étendue d'eau, c'est-à-dire qu'à l'instant "t" et au point "x" le courant est égal à "f"("t","x"), il est possible de poser dans l'eau un bouchon à l'instant "t" au point "x", la trajectoire du bouchon est la solution de l'équation. Il existe bien une solution pour chaque couple ("t", "x").


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Une condition de Cauchy ne suffit pas à rendre la solution unique. Considérons l'ensemble "S" des solutions de l'équation (1) définies sur un intervalle. Cet ensemble est muni d'une relation d'ordre (partiel). Une solution "s" de "S" est "plus petite" qu'une solution "s" de "S" lorsque "s" est un prolongement de "s".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Lorsque "f" ne remplit pas les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz, en utilisant une forme ou une autre de l'axiome du choix, on montre que toute solution dans "S" est majorée par une . Par conséquent, tout problème de Cauchy possède une solution maximale, et s'il n'en possède qu'une alors elle est maximum (parmi les solutions de ce problème). L'article sur le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà donne des exemples montrant que cette unicité n'est généralement pas garantie.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Lorsque tout problème de Cauchy associé à "f" possède une unique solution locale, on montre directement (sans axiome du choix) qu'il possède une solution maximum. Pour cela, il suffit que "f" soit suffisamment régulière : Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I" × "V", où "I" est un intervalle ouvert de R et "V" un ouvert de "E", une solution de (1) est dite globale si elle est définie sur "I" tout entier. Une solution globale est évidemment maximale. Une hypothèse supplémentaire assure la réciproque :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Dans cet exemple "E" est égal au plan réel R. L'équation différentielle est autonome ; elle s'écrit "x' "= "f"("x") où "f" est la fonction constante de valeur le vecteur "v" de coordonnées (1, 0), sur Ω = ]–3, 3[. Ce domaine de "f" est représenté par le carré bleu de la figure de droite. Une méthode de représentation de la fonction "f" consiste à dessiner les vecteurs "f"("x"), où "x" est un point du domaine, en plaçant leurs origines au point "x".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On recherche les solutions vérifiant la condition de Cauchy (0, "x"), ici les coordonnées de "x" sont (–2, 2). Une solution "s" est de la forme : formula_14


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: La solution ne peut quitter le domaine Ω, en conséquence, la variable "t" prend nécessairement ses valeurs dans ]–1, 5[. La fonction "f" est bien continue et "k"-lipschitzienne en "x", avec dans ce cas particulier "k" = 0. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit qu'il n'existe qu'une unique courbe intégrale vérifiant une condition de Cauchy précise, comme ici celle donnée par le couple (0, "x"). Le graphe de cette solution est représentée en vert sur la figure.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le théorème de Cauchy-Lipschitz global s'applique : un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire possède une solution globale, dont toute autre solution est restriction.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le théorème de Cauchy-Lipschitz peut être vu comme un outil permettant l'étude d'une courbe intégrale. Illustrons-le par l'exemple d'une fonction logistique, définie par le problème de Cauchy suivant : formula_15


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'équation différentielle s'écrit aussi "x' "= "f"("x") avec "f"("x") = "x"(1 – "x"). La fonction "f" est une fonction polynomiale de degré 2 de zéros 0 et 1 et positive entre ses racines. Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique car "f" est continûment dérivable donc localement lipschitzienne : pour toute condition initiale, le problème de Cauchy possède une unique solution maximale. En particulier, toute solution de l'équation différentielle qui prend la valeur 0 ou 1 est constamment égale à cette valeur sur son intervalle de définition.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Soient "s" la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus et ]"a", "b"[ son intervalle de définition (avec ≤ "a "< 0 < "b "≤ ). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, "s"(]"a", "b"[) est un intervalle. Il contient "s"(0) = 1/2 donc, d'après la remarque précédente, ne contient ni 0 ni 1, si bien qu'il est inclus dans ]0, 1[.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le fait que "s" prenne ses valeurs entre 0 et 1 montre que sa dérivée est strictement positive. L'application "s "est donc strictement croissante sur ]"a", "b"[. Elle possède donc en "b "une limite à gauche et sa dérivée a pour limite "c"(1 – "c"), ce qui prouve que "b" =  (sans quoi, on pourrait prolonger "s "en une solution définie sur ]"a", "b"], ce qui contredirait la maximalité de "s"). Comme "s "est bornée, la seule valeur limite possible en de sa dérivée est 0, ce qui montre que "c "= 1. Le même raisonnement montre que "a" =  (le domaine de définition de "s "est donc égal à R) et que la limite de "s "en est 0


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Enfin, on remarque que la fonction qui à "t" associe 1 – "s"(–"t") est une solution du même problème de Cauchy donc est égale à "s", ce qui signifie que la fonction "s" – 1/2 est impaire. L'équation montre que le point d'abscisse 0 est l'unique point d'inflexion de la courbe et que la dérivée de "s "en 0 est égale à 1/4, ce qui permet d'établir son graphe, représenté à droite.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Dans le cas de l'exemple choisi, on peut résoudre l'équation différentielle et utiliser les méthodes classiques pour l'étude de la courbe intégrale, mais ce n'est pas toujours possible. Une équation différentielle n'a pas nécessairement des solutions s'exprimant sous la forme d'une expression algébrique construite à l'aide des fonctions élémentaires.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'usage du théorème de Cauchy-Lipschitz ne se limite pas à la résolution pratique des équations. Il sert aussi d'outil théorique, par exemple pour mieux comprendre le comportement qualitatif d'une équation différentielle. On peut considérer le cas d'une équation différentielle autonome dans R ayant une solution "p" périodique. La courbe intégrale est un lacet simple, c'est-à-dire que son graphe forme une boucle sans point double. Soit maintenant une condition de Cauchy "C" correspondant à un point à l'intérieur de la boucle. Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique que la courbe intégrale maximale "s" vérifiant "C" ne pourra jamais "traverser" la boucle, si la fonction "f" définissant l'équation est localement lipschitzienne. La courbe "s" est donc bornée et si l'on suppose que le domaine de "f" contient l'intérieur de la boucle, la courbe "s" ne s'approche jamais trop du bord du domaine. Ceci suffit à démontrer que le domaine de définition de "s" est R tout entier.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le théorème de Poincaré-Bendixson permet d'aller plus loin. Il indique que soit la courbe "s" est convergente, soit son comportement s'approche de plus en plus d'une fonction périodique. Cette configuration interdit les trajectoires chaotiques.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'usage fait ici du théorème permet de comprendre qualitativement le comportement d'une courbe intégrale. Pour l'étude d'équations différentielles plus complexes, par exemple certains systèmes dynamiques, cette approche est indispensable. Il n'est en effet plus toujours possible de résoudre explicitement ces équations, ni même d'approcher leur solutions sur des longues périodes de temps.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'origine de la question traitée par le théorème est ancienne, elle porte initialement le nom de . À chaque point de l'espace, une droite est associée, le problème à résoudre est de trouver la courbe ayant, comme tangente en chaque point, une de ces droites, ce qui correspond en termes modernes à une équation différentielle autonome. Kepler est dans une étude sur la contenance d'un tonneau de vin en 1615. Si cette question est abordée par des mathématiciens comme Descartes, Fermat ou Roberval, qui développent cette approche dans des cas particuliers durant le , le progrès essentiel est l'œuvre de Newton et Leibniz avec la découverte du calcul infinitésimal. Newton cherche surtout à obtenir un résultat à l'aide d'une série, Leibnitz recherche aussi des "solutions exactes", sous forme de primitives de fonctions connues.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Le siècle suivant est l'objet d'une systématisation de l'étude. Dans un premier temps . Euler, en 1768 étudie la manière d'approcher une solution. Il étudie le cas particulier "x"'("t") = "f"("t") et cherche une solution sur un intervalle ["a", "b"]. Pour ce faire, il partitionne l'intervalle à l'aide d'une suite "a" = "a", "a", ..., "a" = "b" et, si "c" est élément de l'intervalle ["a", "a"], il propose l'approximation suivante : formula_16


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Dans le cas plus général de l'équation "x"'("t") = "f"("t", "x"("t")), il utilise la même méthode, qui donne : formula_17


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Euler ne se pose pas la question de la convergence si le découpage est de plus en plus fin.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Augustin Louis Cauchy établit les premiers résultats généraux. Dans un premier temps, il précise sa méthode : Ce que Cauchy décrit ici est la démarche formalisée par le "problème de Cauchy".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: À l'aide de la formalisation de la notion de limite par Bolzano, son approche lui permet d'aller plus loin. La question "x' "= "f"("x") sur l'intervalle ["a", "b"], si on lui ajoute la condition de Cauchy "x"("a") = "x", change de nature. Ce n'est plus la recherche d'une primitive de "f", mais le calcul d'une intégrale. Il montre que, avec les notations du paragraphe précédent, si tend vers 0 et si "f" est continue, l'approximation converge. Plus précisément, il applique cette démarche à l'équation "x" ("t") = "f"("t", "x"("t")) dans le cas où "f", ainsi que sa différentielle partielle par rapport à la seconde variable, sont continues et bornées : avec les mêmes conditions, on obtient encore une convergence. C'est la première version du théorème, démontrée par Cauchy dès 1820. En 1835, sa méthode est généralisée aux fonctions holomorphes.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Rudolf Lipschitz , sans manifestement connaître la teneur des travaux de Cauchy, démontre un théorème au théorème local de son prédécesseur, en introduisant la condition qui porte maintenant son nom. Cauchy utilisait cette condition en la déduisant de son hypothèse sur la différentielle partielle de "f", à l'aide de l'une de ses découvertes, qu'il affectionne particulièrement : le théorème des accroissements finis.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: La fin du voit une profonde mutation du théorème, tant dans la manière de le démontrer que dans l'enrichissement de son contenu, nécessaire pour mieux comprendre l'équation différentielle.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: À la suite des travaux de Fuchs, les objectifs deviennent plus ambitieux. Paul Painlevé et Émile Picard s'intéressent au cas général des équations différentielles de premier et second ordre et donc à leurs singularités. Les objectifs d'Henri Poincaré sont encore plus généraux. À la suite d'une étude sur la stabilité du système solaire, il cherche à établir une théorie générale qui prendra le nom de système dynamique. Devant l'impossibilité d'établir des solutions explicites, Poincaré fonde les bases d'une théorie qualitative. Les objectifs sont, dans un premier temps l'étude des singularités, puis le comportement asymptotique (c'est-à-dire l'étude du comportement une fois le système stabilisé) et la sensibilité à la condition initiale.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Pour atteindre ces nouveaux objectifs, la formulation par Cauchy ou Lipschitz du théorème devient insuffisante. On cherche maintenant des éléments de réponse globaux sur les courbes intégrales et non plus uniquement un résultat local. Les questions sur la régularité de la solution deviennent essentielles. Enfin, on cherche à déterminer la nature de la modification de la courbe intégrale en fonction d'une modification de la condition initiale ou d'un paramètre de l'équation. Les méthodes pour y arriver diffèrent radicalement de l'approche de Cauchy qui étudiait le comportement limite de la fonction polygonale imaginée par Euler. Elles se rapprochent de l'analyse fonctionnelle, le contexte de l'étude étant maintenant un espace de fonctions disposant de propriétés géométriques. Le théorème à la source de la démonstration est celui du point fixe. Sa forme initiale est l'œuvre de Picard. Ce théorème est maintenant vu comme une propriété générale d'espaces vectoriels particuliers, formalisés par Stefan Banach. Son application au théorème de l'article est l'œuvre du mathématicien finlandais Ernst Lindelöf en 1894. Pour cette raison, le théorème nommé en France d'après Cauchy et Lipschitz prend le nom, en anglais, de "".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Il existe de nombreuses généralisations du théorème de Cauchy-Lipschitz. Les techniques utilisées pour sa démonstration permettent d'aller plus loin dans l'analyse des solutions d'une équation différentielle. Une rapide analyse montre qu'une solution est continûment dérivable, mais rien n'indique ce qui se produit si la fonction "f" est plus régulière. La branche des mathématiques étudiant un système dynamique se pose deux questions essentielles : quel est le comportement d'une courbe intégrale si "t" s'approche des bornes du domaine de définition ? Et quelle est la sensibilité à la condition initiale ? c'est-à-dire que se passe-t-il si "x" subit une petite modification.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Enfin, l'article suppose que l'ensemble "E" est un espace de Banach, ce qui n'est pas l'unique cas étudié. Dans certaines situations, il est utile de considérer "E" comme une variété différentielle. Les théorèmes se transposent aisément dans ce nouvel univers.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'un des objectifs de l'étude des systèmes dynamiques est celle de la sensibilité à la condition de Cauchy. Le vocabulaire et la représentation géométrique sont un peu différents de ce qui a été utilisé jusqu'à présent. Pour en comprendre l'origine, le plus simple est d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. Le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction "f", appelé champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points "x" de "E" une représentation graphique du vecteur "f"("x") (si le champ de vecteurs ne dépend pas du temps "t"), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy "C" peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant "t" à la position "x". Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé "flot", "coulée" ou encore "courant".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Avec ce concept, le théorème de Cauchy-Lipschitz prend une nouvelle forme : Il est possible d'aller plus loin si "f" est plus régulière.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Cette forme du théorème est plus forte que la précédente. Elle montre la régularité des solutions sous l'action d'une petite modification de la condition de Cauchy. Cet énoncé garantit l'absence d'une certaine forme de chaos. Les bifurcations sont impossibles et, sous réserve que "t" ne grandisse pas trop, les trajectoires restent proches si la condition de Cauchy est peu modifiée. Néanmoins, si le champ de vecteurs évolue avec le temps ou si "E" est de dimension strictement supérieure à deux, une autre forme de chaos peut s'installer.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Les formes précises des théorèmes et les démonstrations sont données dans l'article détaillé.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: À la fin du , Giuseppe Peano, un mathématicien italien, s'interroge sur les généralisations possibles du théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus faibles : que se passe-t-il si la fonction "f", définissant l'équation (1), reste continue mais n'est pas localement-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable ?


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Une situation physique correspondant à ce cas est une bille roulant sans frottement sur l'arête d'un toit en V inversé aux branches de pente constante. Notons "x" la coordonnée transversale (perpendiculairement à l'arête) et "y" la coordonnée longitudinale (parallèlement à l'arête). En appliquant les lois de la mécanique, on obtient une équation différentielle autonome du premier ordre dans R, si l'on ne considère que les solutions qui penchent vers les valeurs positives de "x" :


Théorème de Cauchy-Lipschitz


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Si "t" désigne un réel positif, toutes les solutions suivantes vérifient l'équation précédente, pour la même condition de Cauchy, à savoir que le solide est à l'instant 0, à la position (0,0) : formula_19


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: D'autres exemples sont donnés dans l'article détaillé.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Ici, on remarque que si l'unicité n'est plus valable, l'existence reste vraie. De manière plus générale, si la fonction "f" de l'équation (1) est continue et bornée et si "E" est de dimension finie, l'existence d'une solution est garantie. Ce résultat est appelé "théorème de Cauchy-Peano-Arzelà".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Quand on lui adjoint le critère d'unicité d', on obtient la même conclusion que Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses plus faibles.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: La généralisation du théorème pour les équations aux dérivées partielles suppose des hypothèses plus fortes pour un résultat plus faible. La fonction "f" définissant l'équation doit être analytique ainsi que les conditions aux limites qui remplacent celle de Cauchy. Aucune information n'est fournie dans le cas d'une modification des conditions aux limites ou d'un paramètre. Ce théorème est appelé : théorème de Cauchy-Kowalevski.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Les preuves du théorème utilisent de façon fondamentale un théorème d'analyse fonctionnelle : ou bien le théorème d'Ascoli, ou bien le théorème du point fixe de Banach. C'est le second qui sera invoqué ici.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Pour comprendre le mécanisme de la preuve, reprenons l'exemple de l'équation différentielle définissant la courbe logistique, avec la condition de Cauchy "C" : formula_20.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On définit une suite de fonctions polynomiales ("u") par récurrence : formula_21


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Sur l'intervalle [–5/2, 5/2], la suite ("u") converge uniformément. Sa limite est un point fixe de la fonction φ qui à une fonction continue "f" de [–5/2, 5/2] dans R associe la fonction φ : formula_22. En dérivant l'égalité φ = "u", on vérifie que "u" est bien une solution de l'équation différentielle étudiée et par construction "u"(0) = 1/2. Cette démarche est celle de la démonstration de Lindelöf. Il constate que si l'intervalle est bien choisi, la fonction φ vérifie la condition de Lipschitz avec un coefficient strictement plus petit que 1, elle est donc contractante, ce qui permet de faire usage du théorème du point fixe. Comme une application contractante n'admet qu'un unique point fixe, l'unicité d'une solution locale est démontrée.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Cette méthode permet de trouver "localement" une solution. En revanche, pour la valeur 3, la suite ("u") diverge. Cependant rien n'empêche de répéter la même démarche avec les deux conditions de Cauchy (5/2, "u"(5/2)) et (–5/2, "u"(–5/2)), il devient ainsi possible de prolonger la solution. Quitte à réitérer la démarche une infinité de fois, on finit par obtenir une solution maximale.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'intérêt de la démarche est surtout théorique. Dans le cas particulier de l'exemple, il est aisé d'intégrer directement l'équation différentielle. Dans le cas général, il existe des méthodes plus rapides pour obtenir une approximation de la solution, comme celle d'Euler décrite dans la partie « Fragments d'histoire » ou encore celle de Runge-Kutta. En revanche, il est possible de démontrer dans le cadre général du théorème de l'article qu'une fonction construite de la même manière que φ est contractante, ce qui montre l'existence "et l'unicité" d'un point fixe, solution de l'équation différentielle. Cette démarche, caractéristique de l'analyse fonctionnelle, permet donc de démontrer un résultat plus fort que celui qu'avait démontré Cauchy.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: L'objectif de ce paragraphe est d'expliquer la méthode permettant de montrer que l'équation (1) admet localement une unique solution satisfaisant la condition de Cauchy "C". Par translations, on se ramène sans peine au cas ("t", "x") = (0, 0). La condition "C" s'écrit alors : "x"(0) = 0.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On suppose que "f" est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable et continue. Comme Ω est un ouvert, il existe un réel strictement positif "a" tel que le produit du segment [–"a", "a"] par la boule fermée "B" de centre 0 et de rayon "a" soit inclus dans Ω et tel que sur ce produit, "f" soit "k"-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable pour un certain "k", et de norme majorée par un réel "m". Soit enfin "b" ≤ "a" un réel strictement positif, assez petit pour que "bm" ≤ "a" et Ce réel "b" permet de définir un espace "F" de fonctions sur lequel on construit une application Φ satisfaisant au théorème du point fixe :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On démontre alors que la fonction Φ est à valeurs dans "F", et qu'elle est "bk"-lipschitzienne donc contractante, puisque "bk" < 1.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Les hypothèses du théorème du point fixe étant réunies, on en déduit que Φ admet un unique point fixe dans "F". D'après le théorème fondamental de l'analyse (étendu aux espaces de Banach), cela revient à dire que le problème de Cauchy admet sur [–"b", "b"] une unique solution à valeurs dans "B".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On montrerait de même que pour tout ε de [0, "b"], il existe sur [–ε, 0] et sur [0, ε], une unique solution "à valeurs dans B" du problème de Cauchy. Pour finir de démontrer l'unicité locale à gauche et à droite, on montre de plus qu'une solution sur [–ε, 0] ou [0, ε] du problème de Cauchy est nécessairement à valeurs dans "B".


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Tout ceci se résume en un premier théorème :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Une méthode pratique pour trouver le point fixe est de construire une suite ("u") qui vérifie la relation de récurrence : "u" = Φ, la suite converge nécessairement vers le point fixe. Cette technique est celle utilisée dans le préambule.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: À l'exception de l'unicité de la solution locale, le paragraphe précédent résume le résultat démontré à l'époque de Cauchy. Il n'offre aucune information sur l'existence ou l'unicité d'une solution maximale vérifiant la condition de Cauchy "C". Ces résultats, plus tardifs, sont les deux points suivants, qui se déduisent respectivement de l'existence et de l'unicité du théorème local ci-dessus :


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Autrement dit, ( § « Vocabulaire spécifique ») : ce problème possède une solution non seulement maximale mais maximum, c'est-à-dire dont toute solution définie sur un intervalle est une restriction. Ainsi, grâce à l'unicité locale, on a redémontré directement à peu de frais que toute solution possède un prolongement en une solution maximale.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: Signalons accessoirement qu'à l'aide d'un jeu d'écriture, il est possible de généraliser le cas particulier des équations autonomes aux équations dépendantes du temps. Soit formula_24.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: En désignant par "y" le point ("t", "x") de Ω, on considère le problème de Cauchy suivant : formula_25


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: La fonction "g" est localement lipschitzienne dès que "f" l'est. Cependant, le théorème général ne se déduit pas immédiatement de cette remarque car son énoncé ne suppose pas que "f" est localement lipschitzienne, mais seulement qu'elle est continue et localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable.


title: Théorème de Cauchy-Lipschitz

text: On suppose ici que l'ouvert Ω est de la forme "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R. Toute solution globale (c'est-à-dire définie sur "I "tout entier) de l'équation (1) est évidemment maximale, mais la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple de l'équation "x' = x". Divers théorèmes « d'échappement » ou « d'explosion », parfois joints au lemme de Grönwall, donnent des conditions suffisantes pour une telle réciproque, mais l'énoncé suivant, qui suffit par exemple dans la théorie des équations différentielles linéaires, se démontre directement :


title: Jacob Millman

text: Jacob Millman est un électronicien ukrainien né en Russie à Novohrad-Volynskyï (maintenant en Ukraine) en 1911 décédé le .


title: Jacob Millman

text: Ses parents émigrèrent aux États-Unis d'Amérique. Là, il poursuivit ses études et sortit diplômé du Massachusetts Institute of Technology en 1935. Il devient professeur à l'université Columbia en 1951.


title: Jacob Millman

text: Il a écrit 8 ouvrages sur l'électronique entre 1941 et 1987.


title: Jacob Millman

text: Il est à l'origine du théorème de Millman.


title: Tour de France 1922

text: Le Tour de France 1922, du Tour de France, s'est déroulé du 25 juin au sur 15 étapes pour . Le Belge Firmin Lambot, déjà vainqueur en 1919, remporte ce Tour en ayant bénéficié des incidents subis par ses concurrents : Jean Alavoine perd le maillot jaune dans les Alpes après plusieurs crevaisons, puis Hector Heusghem reçoit une pénalité d'une heure pour avoir changé de vélo après une chute. C'est la dernière des sept victoires consécutives des coureurs belges.


title: Tour de France 1922

text: Le départ fictif du Tour a lieu au Luna Park de la porte Maillot et le départ réel à Argenteuil. L'arrivée se juge au Parc des Princes. Pour la sixième fois, le Tour part vers l'ouest pour revenir vers Paris par l'est.


title: Tour de France 1922

text: Le parcours est semblable à celui des éditions précédentes. Seule une ville-étape change par rapport à 1921 : Briançon, ville-étape pour la première fois, remplace Grenoble. Les cols de Vars et de l'Izoard figurent pour la première fois au parcours.


title: Tour de France 1922

text: Les 120 partants sont à nouveau répartis en deux « classes » : 26 en première classe, 94 en seconde. La course reste individuelle. Le Consortium La Sportive, qui s'est adjugé les trois éditions précédentes, a disparu à la fin de l'année 1921.Robert Jacquinot, vainqueur au Havre et à Brest, est maillot jaune à l'issue des trois premières étapes. En perdant une heure et quarante minutes entre Brest et Les Sables-d'Olonne, où Philippe Thys s'impose, il cède la première place à Eugène Christophe qui, malgré ses 37 ans, va endosser le maillot jaune.


title: Tour de France 1922

text: Le Français Jean Alavoine signe trois victoires consécutives, à Bayonne, Luchon et Perpignan. Entre Bayonne et Luchon, le Tourmalet, enneigé, est supprimé du parcours. Alavoine passe en tête aux cols d'Aubisque, Aspin et Peyresourde pour s'imposer avec 16 minutes d'avance. À Perpignan, Eugène Christophe perd trois quarts d'heure et cède le maillot jaune à Alavoine. Celui-ci a alors plus de 14 minutes d'avance sur Firmin Lambot et plus de 19 sur Christophe.


title: Tour de France 1922

text: C'est au tour de Philippe Thys de signer trois succès d'étapes consécutifs, à Toulon, Nice et Briançon. Émile Masson s'impose ensuite à Genève, après être passé le premier au Galibier, au Télégraphe et aux Aravis. Jean Alavoine, victime de crevaisons et de sauts de chaînes arrive 38 minutes après lui et n'a alors plus que 6 minutes d'avance sur Firmin Lambot, contre 22 au départ de l'étape. Le Français Eugène Christophe brise, une nouvelle fois, sa fourche dans la descente du Galibier. Il termine l'étape à plus de 3 heures des premiers.


title: Tour de France 1922

text: Entre Genève et Strasbourg, les Belges mènent une offensive, tandis qu'Alavoine est encore retardé par une crevaison. Masson gagne à nouveau à Strasbourg, où Hector Heusghem, arrivé quatrième, prend le maillot jaune.


title: Tour de France 1922

text: À Metz, où l'Italien Federico Gay s'impose, Heusghem arrive dans le groupe de tête mais reçoit une pénalité d'une heure pour avoir changé de vélo à la suite d'une chute. Lambot, jusqu'alors deuxième, prend le maillot jaune. Les deux dernières étapes, gagnées par Félix Sellier et Philippe Thys n'ont pas d'incidence sur les premières places au classement général. Lambot gagne ce Tour avec 41 minutes d'avance sur Alavoine et 42 sur Sellier.


title: Tour de France 1922

text: Firmin Lambot gagne son deuxième Tour de France et signe la dernière des sept victoires consécutives des Belges depuis 1912. À 36 ans, Firmin Lambot est le vainqueur du Tour le plus âgé. En parcourant les à une vitesse moyenne de , il fait de cette victoire la troisième plus lente, après celle de 1919 et 1920. Pour Pierre Chany, . Sa victoire, comme la première, est facilitée par les incidents dont sont victimes ses concurrents.


title: Tour de France 1922

text: Le premier « seconde classe », José Pelletier, est au classement général.


title: Lède

text: La Lède est une rivière du sud de la France qui coule dans le département de Lot-et-Garonne. C'est un affluent du Lot en rive droite, donc un sous-affluent de la Garonne.


title: Lède

text: Sa vallée est classée site naturel dans son ensemble depuis 1999.


title: Lède

text: De , la Lède prend sa source dans le département de Lot-et-Garonne près de Lacapelle-Biron au lieu-dit "Capoulèze", sur la commune de Blanquefort-sur-Briolance à l'altitude de .


title: Lède

text: La Lède se jette dans le Lot en rive droite, à la hauteur de la commune de Casseneuil, en Lot-et-Garonne à l'altitude de .


title: Lède

text: La Lède traverse douze communes dans 1 seul département, dont les principales sontLa Lède a donné son nom aux trois communes suivantes :


title: Lède

text: La Lède a quatorze (14) affluents contributeurs et quatre bras dont les principaux sont :La Lède est une rivière peu abondante et fort irrégulière, comme la plupart des affluents de plaine du bassin aquitain central.  Son débit a été observé durant une période de 39 ans (1970-2008), à Casseneuil, localité du département de Lot-et-Garonne située au niveau de son confluent avec le Lot. La surface étudiée est de , soit la quasi-totalité du bassin versant de la rivière.


title: Lède

text: Le module de la rivière à Casseneuil est de .


title: Lède

text: La Lède présente des fluctuations saisonnières de débit bien marquées, avec des hautes eaux d'hiver-printemps portant le débit mensuel moyen à un niveau situé entre 2,96 et , de décembre à avril inclus (avec un maximum bien net en février). Dès le mois de mars cependant, le débit moyen de la rivière baisse progressivement, et cette baisse se poursuit jusqu'à la période des basses eaux. Celles-ci ont lieu en été et au début de l'automne, de juillet au début d'octobre, entraînant une baisse du débit moyen mensuel allant jusqu'à au mois d'août. À partir du mois d'octobre le débit remonte rapidement. Cependant les fluctuations de débit sont plus prononcées sur de plus courtes périodes et d'après les années.


title: Lède

text: À l'étiage, le VCN3 peut chuter jusque , en cas de période quinquennale sèche, soit un petit litre par seconde, le cours d'eau tombant alors presque à sec.


title: Lède

text: Les crues, quant à elles, peuvent être importantes, compte tenu de la taille moyennement élevée du bassin versant de la rivière. Les QIX 2 et QIX 5 valent respectivement 35 et . Le QIX 10 est de et le QIX 20 de , tandis que le QIX 50 se monte à .


title: Lède

text: Le débit instantané maximal enregistré à la station hydrométrique de Casseneuil durant cette période, a été de le , tandis que la valeur journalière maximale était de le . En comparant la première de ces valeurs à l'échelle des QIX de la rivière, il apparaît que cette crue était un peu supérieure à la crue cinquantennale définie par le QIX 50, et donc assez exceptionnelle.


title: Lède

text: La Lède est une rivière médiocrement abondante. La lame d'eau écoulée dans son bassin versant est de 178 millimètres annuellement, ce qui est largement inférieur à la moyenne d'ensemble de la France ( par an), et aussi bien sûr à celles des bassins de la Garonne (384 millimètres par an) et du Lot ( par an). Le débit spécifique de la rivière (ou Qsp) se monte à par seconde et par kilomètre carré de bassin.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: L'équipe du Costa Rica de football est constituée par une sélection des meilleurs joueurs costariciens représentant leur pays en football masculin. Elle est sous l'égide de la Fédération costaricienne de football ("").


title: Équipe du Costa Rica de football

text: La « ' » (diminutif de '), comme elle est surnommée, participe à cinq phases finales de Coupe du monde. Auteur d'un parcours surprenant à la Coupe du monde 1990, où elle atteint le de la compétition sous le commandement de l'entraîneur serbe Bora Milutinović, elle ne peut franchir le lors de ses deux présentations suivantes en 2002 et 2006. Les "Ticos" surprennent à nouveau en 2014 au Brésil : sortis premiers d'un groupe comprenant également trois anciens champions du monde (Uruguay, Italie et Angleterre), ils battent la Grèce en huitième de finale et atteignent pour la première fois un quart de finale de Mondial, instance où ils sont éliminés par les Pays-Bas après la séance de tirs au but. Les "Ticos" une nouvelle fois qualifés pour la Coupe du monde 2018 en Russie, ne se qualifient pas pour le second tour.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: La meilleure performance du Costa Rica en Gold Cup est une place de finaliste en 2002 même s'il avait auparavant remporté trois éditions de la Coupe des nations de la CONCACAF – ancêtre de la Gold Cup – en 1963, 1969 et 1989 ainsi que sept éditions de la Coupe CCCF (voir section résultats). Il gagne à huit reprises la Coupe UNCAF des nations ce qui fait du Costa Rica le pays le plus titré d'Amérique centrale. Il est invité à participer à cinq éditions de la Copa América, atteignant les quarts de finale en 2001 et 2004.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: L'équipe du Costa Rica joue généralement ses rencontres à domicile au stade national de la capitale San José. Elle a atteint son meilleur classement FIFA en ( mondial et de sa confédération).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: La fédération nationale du Costa Rica est fondée le , elle est affiliée à la FIFA depuis 1927 et est membre de la CONCACAF depuis 1962. Le premier match des ', surnom des joueurs costariciens, se tient dans le cadre des Jeux du centenaire de l'indépendance de l'Amérique centrale le contre le Salvador et se solde par une victoire sept buts à zéro, le premier buteur de l'histoire de la ' étant . En finale, le Costa Rica bat l'hôte guatémaltèque par six buts à zéro et remporte le trophée.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Dans les années 1930, le Costa Rica se classe deuxième à trois reprises des Jeux d'Amérique centrale et des Caraïbes en 1930, 1935 et 1938. Dans les années 1940, les ' soulèvent trois fois la Coupe CCCF (ancêtre de la Gold Cup) en 1941, 1946 et 1948, et acquièrent le surnom de ' . Au cours de la cinquième édition des Jeux d'Amérique centrale et des Caraïbes, ils signent la plus large victoire de l'histoire de l'équipe contre Porto Rico le , sur le score de douze buts à zéro.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Pendant les années 1950 et 1960, le Costa Rica est la deuxième équipe la plus forte dans la région derrière le Mexique, terminant juste derrière " lors des éliminatoires de la Coupe du monde 1958, 1962 et 1966. Durant cette période, le Costa Rica est tout de même sacré quatre fois champion de la Coupe d'Amérique centrale et des Caraïbes (CCCF) en 1953, 1955, 1960 et 1961, et deux fois champion de la CONCACAF en 1963, et 1969. En 1956, le Costa Rica prend part à la deuxième édition du championnat panaméricain où après une victoire sur le Chili (2–1) avec des buts de Rodolfo Herrera et , il chute lourdement la semaine suivante à Mexico face au Brésil (1–7), où Larry Pinto de Faria et Chinesinho réalisent chacun un triplé, et se classe troisième de la compétition. Quatre ans plus tard, le Costa Rica accueille l'édition suivante et après un départ en fanfare la première semaine avec deux nuls contre l'Argentine (0-0) et le Mexique (1-1) et une éclatante victoire sur le Brésil (3–0, buts de Guillermo Valenciano, et Rigoberto Rojas), il s'incline face à ces trois mêmes adversaires et finit quatrième et dernier.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Cependant, dans les années 1970 et la première moitié des années 1980, l'équipe du Costa Rica passe inaperçue en étant absente de la phase finale de qualification pour la Coupe du monde. Seule une participation de la sélection olympique aux Jeux olympiques de Los Angeles en 1984 est à noter, où elle sauve l'honneur dans un match sans enjeu en battant l'Italie un but à zéro (but d').


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Profitant du bannissement du Mexique par la FIFA du tour de qualification de la Coupe du monde 1990 et de toute compétition internationale pour une période de deux ans pour avoir aligné des joueurs qui ont dépassé la limite d'âge autorisée au tour de qualification pour la Coupe du monde des moins de 20 ans 1989, le Costa Rica remporte la Coupe des nations de la CONCACAF 1989. Pourtant, il souffre dès le tour préliminaire en concédant un match nul un but partout au stade Alejandro Morera Soto d'Alajuela avant de s'imposer deux buts à zéro au Panama grâce à des réalisations de Juan Cayasso et de Hernán Medford. Le Costa Rica commence la phase de groupes avec une défaite au Guatemala par un but à zéro. Deux semaines plus tard, il prend sa revanche sur le score de deux buts à un, buts signés Róger Flores et . Ensuite, le Costa Rica bat les États-Unis à San José sur le plus petit des scores grâce à Gilberto Rodden avant de perdre sur la même marque à Saint-Louis. Dans la foulée, il tient en échec Trinité-et-Tobago (1–1, but de Coronado) avant de l'emporter sur les Trinidadiens à San José sur un but de Cayasso. Une première victoire décisive à l'extérieur au Salvador (4–2, buts de , Cayasso et un doublé de Leonidas Flores), puis une autre à domicile sur les Salvadoriens par un but à zéro (but de Pastor Fernández), lui ouvrent les portes de la phase finale de la Coupe du monde 1990. Le Costa Rica termine premier avec onze points en huit matchs tout comme les États-Unis, devancés à la différence de buts.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: L'année 1990 marque un tournant dans l'histoire footballistique du pays, avec la première qualification pour une phase finale de Coupe du monde. Au cours du mondial italien, les hommes de Bora Milutinović créent la sensation en dominant l'Écosse (1–0) grâce à un but de Cayasso après une longue action collective ponctuée par une passe décisive du talon de Claudio Jara, et la Suède (2–1, buts de Flores et Medford) en matchs de poule, ne s'inclinant que de justesse face au Brésil (0–1). Révélations de cette édition avec les « Lions indomptables » de Roger Milla, ils se qualifient ainsi pour les huitièmes de finale, mais chutent lourdement face à la Tchécoslovaquie (1–4, but de Rónald González).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Décisif à deux reprises en face à face devant Mo Johnston contre l'Écosse, battu sur un tir dévié de Müller avant de réaliser de grandes parades contre le Brésil et auteur d'un grand match contre la Suède, le gardien de but costaricien Luis Gabelo Conejo est élu meilleur gardien de la compétition et est l'unique Costaricien présent dans la liste du magazine "France Football" des « cent héros de la Coupe du monde » publiée en 1994.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: En remportant la première édition de la Coupe UNCAF en 1991, le Costa Rica se qualifie pour la Gold Cup 1991 aux États-Unis où il réussit à passer le premier tour malgré deux défaites en trois matchs et à atteindre les demi-finales, perdant face au Honduras puis contre le Mexique en match de classement sur le même score (0–2). Deuxièmes de la Coupe UNCAF des nations 1993, les " prennent part à la Gold Cup 1993 où ils chutent à nouveau en demi-finale contre les États-Unis (0–1, but en or de Cle Kooiman).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Dans les éliminatoires de la Coupe du monde 1994, les " écartent les Panaméens au premier tour avant que deux défaites contre le Honduras ne les éliminent au deuxième tour. Ils échouent à se qualifier pour la Gold Cup 1996 mais remportent les éditions 1997 et 1999 de la Coupe UNCAF, ce qui leur permet d'accéder aux Gold Cup 1998 et 2000 où ils sont sortis respectivement au premier tour et en quarts de finale. En éliminatoires de la Coupe du monde 1998, le Costa Rica passe aisément le premier tour en compagnie des États-Unis avant de terminer quatrième du tour final, deux points derrière la Jamaïque qui se qualifie pour la première phase finale de son histoire. Les Costariciens sont pourtant les seuls à battre les États-Unis (3–2) et restent invaincus contre le Mexique (0–0 puis 3–3), mais ils sont trop irréguliers en concédant notamment des défaites au Salvador (1–2) et au Canada (0–1). Les progrès des Costariciens sont reconnus par les organisateurs de la Copa América qui les invitent à participer à la compétition en 1997, 2001, 2004 et 2011, avec à la clé un quart de finale en 2001 ainsi qu'en 2004. En 2001, ils se paient le luxe de finir premiers de leur groupe devant le Honduras et l'Uruguay en ayant écrasé la Bolivie par quatre buts à zéro. Avec cinq réalisations, Paulo Wanchope figure à la deuxième position du classement des buteurs, une unité derrière le Colombien Víctor Aristizábal.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Sous les ordres de Gilson Nunes Sequeira puis d'Alexandre Guimarães pour les éliminatoires de la Coupe du monde 2002, le Costa Rica entre en piste directement au pénultième tour de qualification où une défaite en ouverture à la Barbade (1–2) lui complique fortement la tâche. Il se reprend en étant invaincu contre les États-Unis (2–1 puis 0–0) qui finissent premiers, mais termine à égalité parfaite au niveau des buts marqués et encaissés ainsi que des confrontations directes avec le Guatemala. Un match de barrage sur terrain neutre est donc joué pour déterminer l'équipe pouvant accéder au tour final. À Miami, les ' disposent des ' par cinq buts à deux, avec des buts costariciens signés Paulo Wanchope, Reynaldo Parks, Jafet Soto et un doublé de Rolando Fonseca. Après des débuts délicats au tour final, le Costa Rica signe le la première victoire de son histoire au stade Azteca (2–1) grâce à des buts de Rolando Fonseca et Hernán Medford. Ce match historique est connu comme l"'. Le Costa Rica enchaîne ensuite quatre victoires consécutives et termine premier au classement avec vingt-trois points, soit le total le plus élevé depuis l'adoption de cette formule.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Facilement qualifiée pour le mondial asiatique, la " se place parmi les favoris de la Gold Cup 2002 aux États-Unis. Après un premier tour passé sans encombre, elle bat Haïti (2–1) sur un but en or de Rónald Gómez puis écarte la Corée du Sud (3–1) en demi-finale grâce à un nouveau but de Gómez et un doublé de Wanchope. À Pasadena, les Costariciens s'inclinent en finale face aux hôtes américains (0–2).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Le Costa Rica participe pour la deuxième fois à la Coupe du monde en 2002 et fait à nouveau bonne figure en battant la Chine (2–0, buts de Rónald Gómez et Mauricio Wright) et en accrochant la Turquie, future troisième de la compétition (1–1, égalisation signée Winston Parks). Il ne peut se qualifier pour le deuxième tour à la suite de sa défaite (2–5) face au Brésil, la Turquie bénéficiant d'une meilleure différence de buts alors que Turcs et Costariciens ont quatre points chacun. Le match face au Brésil est l'un des plus spectaculaires de cette édition. Rapidement menés 0–3 après deux buts de renard des surfaces de Ronaldo et une reprise de volée acrobatique d'Edmílson, les " marquent un but avant la mi-temps par Paulo Wanchope après un superbe une-deux avec Mauricio Wright. Au retour des vestiaires, ils reviennent à un but des Brésiliens grâce à un somptueux mouvement collectif conclu par une tête plongeante de Rónald Gómez. Mais à l'heure de jeu, deux buts coup sur coup de Rivaldo et Júnior douchent les derniers espoirs costariciens de qualification.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Dans la foulée du mondial asiatique, les " remportent la Coupe UNCAF des nations 2003 au Panama en étant invaincus en cinq matchs et en signant quatre victoires sur le plus petit des scores. Ils valident donc leur billet pour la Gold Cup 2003, où après une première phase et un quart de finale victorieux à Foxboro aux États-Unis, ils s'envolent pour la capitale mexicaine afin d'affronter le Mexique en demi-finale. Deux buts encaissés dans la première demi-heure leur sont fatals, avant d'être battus par le second pays hôte en match de classement (2–3).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Le Costa Rica commence de façon chaotique les éliminatoires de la Coupe du monde 2006 en ne passant le tour préliminaire aux dépens de Cuba qu'à la règle des buts marqués à l'extérieur (2–2 et 1–1), ce qui coûte sa place au sélectionneur américain Steve Sampson, puis en perdant ses deux premiers matchs du tour suivant à domicile face au Honduras (2–5) et à Guatemala (1–2). Il réussit ensuite trois victoires consécutives et s'assure finalement la première place du groupe en ramenant un point de son déplacement à San Pedro Sula (0–0). Au tour final, les ' débutent par une défaite à domicile face au Mexique (1–2, but de Wanchope), avant de battre le Panama au stade Ricardo Saprissa (2–1, buts de Wayne Wilson et Roy Myrie). Un décevant match nul et vierge à Port-d'Espagne mène le sélectionneur colombien Jorge Luis Pinto à présenter sa démission et aboutit au retour d'Alexandre Guimarães, dont la deuxième ère au poste commence par une sévère défaite aux États-Unis (0–3). La ' bat ensuite le Guatemala à San José (3–2, buts de Carlos Hernández, Rónald Gómez et Paulo Wanchope). Battue à l'Azteca de Mexico (0–2), elle l'emporte à Panama (3–1, buts d'Álvaro Saborío, Rónald Gómez et Walter Centeno). Elle remporte ensuite deux succès cruciaux devant Trinité-et-Tobago (2–0, buts de Saborío et Centeno) et les États-Unis (3–0, but de Wanchope et un doublé de Carlos Hernández) à San José. Déjà qualifiée, elle perd son dernier match au Guatemala (1–3, but de Roy Myrie) et se classe troisième, derrière les États-Unis et le Mexique.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: En plein milieu des éliminatoires, le Costa Rica dispute la Gold Cup à l'été 2005. La qualification en poche après deux victoires sur le Canada (1–0) et Cuba (3–1), il partage les points avec les hôtes américains (0–0). Las, il perd en quart de finale contre son « meilleur ennemi » hondurien (2–3) tandis que les Américains soulèvent le trophée pour la troisième fois.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Afin de préparer la prochaine échéance mondiale, l'équipe costaricienne dispute un match amical face à l'équipe de France le . Au cours de ce match, joué à Fort-de-France au stade de Dillon en hommage aux victimes de la catastrophe aérienne survenue aux Antilles trois mois plus tôt, les Costariciens mènent à la mi-temps (2–0, buts de Saborío et de Rolando Fonseca) avant d'être rejoints au score puis battus par les Tricolores (2–3) et des buts de Nicolas Anelka, Djibril Cissé et Thierry Henry.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Inquiétant au cours des matchs de préparation avec notamment un cinglant revers en Ukraine (0–4), le Costa Rica se présente en Allemagne en ayant l'honneur d'ouvrir le bal de la Coupe du monde 2006 avec le pays hôte. Le à Munich, après une première alerte sur une frappe lointaine de Torsten Frings, les ' encaissent un premier but par Philipp Lahm qui déborde côté gauche avant de repiquer dans l'axe pour trouver la lucarne opposée d'une frappe enroulée du pied droit. Ils répliquent quelques minutes plus tard par l'intermédiaire de Paulo Wanchope, lancé à la limite du hors-jeu, qui gagne son face-à-face avec Jens Lehmann. À peine le temps de savourer que les Allemands reprennent l'avantage par Miroslav Klose qui pousse un centre de Bastian Schweinsteiger au fond des filets. À l'heure de jeu, Klose s'offre un doublé en s'y prenant à deux fois pour tromper José Porras, avant que Wanchope ne l'imite peu après. À quelques minutes du terme, Frings tente un nouveau tir lointain qui cette fois-ci fait mouche et clôture la marque (2–4). Le à Hambourg, l'Équateur ouvre le score par Carlos Tenorio, ne suscitant qu'une timide réaction costaricienne d'une tête non cadrée de Douglas Sequeira. En seconde mi-temps, l'Équateur se met à l'abri par sa vedette Agustín Delgado. Après un lob de Saborío sur la barre transversale du but équatorien, Iván Kaviedes marque un dernier but dans les arrêts de jeu (0–3). Déjà éliminés de la compétition, Costariciens et Polonais s'affrontent pour l'honneur le à Hanovre. Si Rónald Gómez ouvre le score sur coup franc pour les ', le défenseur central Bartosz Bosacki lui répond par deux fois sur corner (1–2).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Début 2007, le Costa Rica enchaîne avec la Coupe UNCAF au Salvador. Vainqueur du Honduras (3–1) puis battu par son voisin panaméen (0–1), il se qualifie néanmoins pour le dernier carré où il défait le pays hôte (2–0) avant de triompher dans la compétition pour la sixième fois en remportant la séance de tirs au but après un match nul avec le Panama (1–1). Ainsi qualifiée pour la Gold Cup 2007, l'équipe costaricienne fait pâle figure en parvenant difficilement à s'extirper d'un groupe assez faible avant de perdre en quart de finale contre le Mexique sur un but de Jared Borgetti durant la prolongation. Après une série de rencontres amicales, le Costa Rica se lance en juin 2008 dans les éliminatoires de la Coupe du monde 2010. Il écarte tout d'abord Grenade (2–2 puis 3–0) avant de remporter les six matchs de la troisième phase joués contre les sélections salvadorienne (1–0 et 3–1), haïtienne (3–1 et 2–0) et surinamaise (7–0 et 4–1). Au dernier tour de et après un bon départ qui voit le Costa Rica récolter douze points sur quinze possibles lors des cinq premiers matchs, les ' s'effondrent en août et pour enregistrer trois défaites consécutives au Honduras (0–4) à San Pedro Sula, contre le Mexique (0–3) à San José et surtout au Cuscatlán de San Salvador (0–1). Cette série conduit au départ de l'entraîneur Rodrigo Kenton, remplacé par René Simões. Deux journées restant à jouer dans les qualifications, le Costa Rica est obligé de gagner ses deux derniers matchs et espérer un faux pas du Honduras simultanément. Et en premier lieu les événements sont favorables aux ' car le Honduras perd contre les États-Unis (2–3), tandis qu'ils étrillent Trinité-et-Tobago (4–0), dépassant les Honduriens au classement. À la dernière journée, alors que le Honduras vient de s'imposer face au Salvador (1–0), les ' mènent à la mi-temps à Washington par deux buts à zéro. Les Américains reviennent au score en fin de match (2–2), envoyant les Honduriens en Afrique du Sud tandis que les Costariciens se classent quatrièmes à la différence de buts et doivent passer par un barrage face à l'Uruguay, cinquième de la . Dans la première manche à San José, ils perdent (0–1) d'un but du défenseur de la ' Diego Lugano. Au match retour joué au stade Centenario de Montevideo, Walter Centeno glisse le ballon au fond des filets après un cafouillage dans la surface uruguayenne quatre minutes après le but de Sebastián Abreu (1–1), résultat insuffisant pour atteindre la phase finale sud-africaine.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: À la Coupe UNCAF des nations 2009, le Costa Rica remporte ses deux premiers matchs et termine en tête de son groupe au premier tour. En demi-finale contre le Salvador, après l'ouverture du score de l'attaquant costaricien , le match est arrêté à la soixantième minute de jeu et le score entériné quand les Salvadoriens sont réduits à six joueurs après les expulsions d'Alexander Escobar et Eliseo Quintanilla en première mi-temps puis les blessures de Deris Umanzor, Rodolfo Zelaya et du gardien de but Juan José Gómez alors que les trois changements autorisés ont déjà été effectués. En finale, le Panama prend sa revanche de l'édition précédente et gagne son premier titre en sortant vainqueur aux tirs au but. Qualifiés pour la Gold Cup 2009 aux États-Unis, les "" passent le premier tour malgré une défaite initiale contre le Salvador (1–2). Ils écartent la Guadeloupe en quart de finale (5–1) puis tiennent tête aux Mexicains en demi-finale (1–1) avant d'être éliminés aux tirs au but. En , le Costa Rica demande au président de la fédération française de football un match amical contre la France. Ce match se tient le au stade Félix-Bollaert et est remporté par les « Bleus » (1–2).


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Après l'échec des éliminatoires de la Coupe du monde 2010, une réorganisation complète de l'équipe nationale est mise en œuvre, en visant un processus à long terme avec l'entraîneur argentin Ricardo La Volpe à partir du , dans le but de se qualifier pour la Coupe du monde 2014 au Brésil, en prenant pour base une équipe rajeunie et dont la majorité des joueurs joue dans la région. Malgré des résultats intéressants tels que les places de finaliste de la Coupe UNCAF des nations 2011 et de quart de finaliste de la Gold Cup 2011 ou encore un match nul et vierge face à l'Argentine le et une victoire (2–0) face à la Bolivie en Copa América 2011 avec la sélection des moins de 23 ans, son bilan à la tête de la sélection est décevant (dix-sept matchs, quatre victoires, huit nuls, cinq défaites). La défaite (0–2) et le faible niveau de jeu affiché contre l'Équateur en match amical le à San José, couplés aux difficultés d'acclimatation de La Volpe, le poussent à présenter sa démission le .


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Après cet échec, la fédération du Costa Rica intronise le Colombien Jorge Luis Pinto nouveau sélectionneur national, le . Sous la houlette de Pinto, le Costa Rica récolte de bons résultats en matchs amicaux, dont un match nul contre les champions du monde espagnols (2–2) à San José et des victoires à l'extérieur contre le Venezuela et le pays de Galles. Il remporte la Coupe UNCAF des nations 2013 à domicile ce qui lui permet de participer à la Gold Cup 2013 en tant que champion d'Amérique centrale. Le Costa Rica commence le tournoi avec deux victoires sur Cuba (3–0) et le Belize (1–0) avant de céder face aux États-Unis (0–1). En quart de finale, les " sont éliminés par leur grand rival régional, le Honduras, qui s'impose (0–1) sur un but d'Andy Najar.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Toujours sous la direction de Pinto et entrant directement au troisième tour des dans le groupe B avec le Mexique, le Salvador et le Guyana, le Costa Rica valide son billet pour le tour final en récoltant dix points, résultat de trois victoires contre le Guyana (4–0 et 7–0) et le Salvador (1–0), et un match nul (2–2) à San José devant le Salvador. Au tour final, la " débute par un match nul (2–2) le à Panama après avoir été mené 0–2. Elle joue ensuite contre les États-Unis à Commerce City sous un temps exécrable et perd (0–1). À partir du mois de mars, l'équipe du Costa Rica réalise une série de six matchs sans défaite (victoires à San José sur la Jamaïque 2–0, le Honduras 1–0, le Panama 2–0 et les États-Unis 3–1 ; match nul à l'Azteca face au Mexique 0–0). Le dernier match de cette série se joue contre la Jamaïque, le Costa Rica obtient un match nul (1–1) qui, combiné avec le résultat du Honduras, lui offre son billet pour la Coupe du monde 2014 au Brésil à deux journées de la fin.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: Le Costa Rica tombe dans le groupe D, « groupe de la mort » qui comprend également trois anciens champions du monde : l'Uruguay, l'Italie et l'Angleterre. Avant le début de la compétition, les journalistes considèrent que le Costa Rica n'a presque aucune chance de se qualifier pour les huitièmes de finale. Les Costariciens commencent bien le tournoi puisque, après avoir été menés 1-0, ils battent l'Uruguay sur le score de 3-1 grâce à des buts de Joel Campbell, Óscar Duarte et Marco Ureña. Le Costa Rica surprend à nouveau lors du deuxième match contre l'Italie. Grâce à un but de Bryan Ruiz et un jeu de qualité, il gagne par un but à zéro et se qualifie pour les huitièmes de finale. Un match nul (0-0) face à l'Angleterre lui suffit pour s'assurer la première place du groupe. En huitième de finale, les Costariciens affrontent la Grèce, deuxième du groupe C. Ils ouvrent la marque par Bryan Ruiz mais, après l'expulsion d'Óscar Duarte, encaissent un but de Sokrátis Papastathópoulos à la fin des 90 minutes dans les arrêts de jeu. Le score reste de 1-1 pendant les prolongations, notamment grâce aux parades du gardien costaricien Keylor Navas. Les "" remportent la match sur le score de 5-3 aux tirs au but et atteignent un quart de finale de Coupe du monde pour la première fois de leur histoire. Ils y affrontent les Pays-Bas. Le Costa Rica est dominé mais parvient à repousser les attaques des Néerlandais, en grande partie grâce à Keylor Navas nommé homme du match pour la troisième fois consécutive, et le score reste vierge jusqu'aux tirs au but. Le gardien néerlandais Tim Krul, entré à la , arrête deux tirs costariciens et permet à son équipe d'atteindre les demi-finales.


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text: Dans la foulée du Mondial brésilien réussi, les "Ticos" remportent la Copa Centroamericana 2014 sous l'impulsion de l'ancien international Paulo Wanchope, sélectionneur par intérim succédant à Jorge Luis Pinto, parti chez le voisin hondurien. Mais la position de Wanchope se voit fragilisée par une piètre performance du Costa Rica lors de la Gold Cup 2015 où l'équipe enchaîne quatre matchs sans victoire (3 nuls et une défaite en prolongations face au Mexique en quarts-de-finale). Il est remplacé par Oscar Ramírez - ex-international lui-aussi - dont le premier tournoi officiel, la Copa Centroamericana 2017, laisse beaucoup à désirer dans la mesure où la "Sele" arrache péniblement sa qualification pour la Gold Cup 2017 en terminant à la dudit tournoi. Cependant la Gold Cup 2017 est plutôt réussie car les "Ticos" se hissent en demi-finales, battus 2-0 par les Américains, vainqueurs in fine de l'épreuve.


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text: Le Costa Rica se distingue surtout à l'occasion des avec quelques résultats probants comme la double victoire sur les États-Unis (4-0 à domicile puis 0-2 à l'extérieur). La "Sele" obtient sa qualification pour le Mondial, le , après un match nul arraché à la dernière minute devant le Honduras par l'intermédiaire de Kendall Waston.


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text: Le Costa Rica se retrouve dans le groupe E accompagné de la Serbie, du Brésil et de la Suisse. Dans un premier match serré, les Serbes s'imposent (1-0) avec une réalisation sur coup franc de Aleksandar Kolarov. Lors du deuxième match face au Brésil, les Costaricains tiennent le score nul et vierge jusqu'au temps additionnel au cours duquel Coutinho et Neymar inscrivent les deux buts brésiliens (0-2), qui éliminent le Costa Rica. Le dernier match se conclut sur un résultat nul (2-2) face à la sélection helvétique.


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text: Lors de la Gold Cup 2019, le Costa Rica termine du groupe B au avec 6 points (2 victoires et une défaite 1-2 contre Haïti) et affronte le Mexique, futur vainqueur de la compétition, en quarts de finale. Les "Ticos" accrochent "El Tri" à l'issue du temps réglementaire et des prolongations (1-1, Bryan Ruiz ayant égalisé en début de deuxième mi-temps sur penalty) mais sont éliminés à l'issue de la séance de tirs au but (4 t.a.b. à 5).


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text: Premier buteur de l'histoire du championnat costaricien le 1921 avec La Libertad contre le Gimnástica Limonense, Rafael Madrigal dit ' est le meilleur buteur du premier tournoi remporté par la ', les Jeux du centenaire de l'indépendance de l'Amérique centrale en 1921, inscrivant six buts en deux matchs. Prenant part aux sept premiers matchs internationaux de l'histoire de la sélection costaricienne entre 1921 et 1930, Madrigal en est alors le meilleur buteur avec quinze buts.


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text: Actif de 1925 à 1947, l'attaquant Alejandro Morera Soto, surnommé ' , est considéré comme le meilleur footballeur de l'histoire du Costa Rica. Il joue principalement au Liga Deportiva Alajuelense et remporte deux titres de champion en 1928 et 1939 où il est également meilleur buteur avec vingt-trois buts. Entretemps, il signe en Europe et évolue notamment au FC Barcelone, où la presse le qualifie de ' . À court d'argent et contraint de rentrer au pays à la suite du déclenchement de la Guerre civile espagnole, il joue deux matchs au Havre Athletic Club afin de payer le voyage. Le , le stade de son club de cœur est renommé en son honneur.


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text: International à sept reprises pour treize buts entre 1941 et 1951, l'attaquant dit ' se révèle sous les couleurs du Club Sport Cartaginés en étant le meilleur buteur du championnat en 1938 et 1940 avant de conduire l'équipe nationale à une première victoire en Coupe CCCF en 1941, marquant huit buts en trois matchs. Le , lors du troisième sacre de la ' dans la compétition, il signe un quintuplé permettant aux siens de l'emporter sur le Salvador (6–0).


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text: Meilleur buteur du championnat en 1953 avec le Deportivo Saprissa et retenu avec la " à vingt-sept reprises entre 1950 et 1959, l'attaquant Rodolfo Herrera inscrit quatorze buts dont trois au cours des éliminatoires de la Coupe du monde 1958.


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text: Détenteur du record du nombre de sélections avec la " jusqu'au début des années 1990, marque à trois reprises en cinquante-et-une rencontres de 1951 à 1963.


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text: Auteur de six buts en sept matchs éliminatoires de la Coupe du monde 1962 et meilleur buteur du championnat avec Alajuelense en 1959 et 1960, Juan Ulloa est avec vingt-sept buts en autant de rencontres le meilleur buteur de la " au .


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text: À l'instar d'Ulloa, le milieu de terrain Rubén Jiménez, surnommé ", débute en équipe nationale en 1955 et accumule quarante-cinq capes jusqu'en 1963, marquant onze buts.


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text: L'attaquant participe avec l'équipe des moins de 20 ans à la première édition du Championnat CONCACAF des moins de 20 ans. Il honore dans la foulée sa première sélection en équipe A et termine sa carrière internationale en 1972 après trente-cinq matchs et onze buts.


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text: , meilleur buteur du championnat à six reprises dont cinq fois consécutivement avec Alajuelense et longtemps meilleur buteur de l'histoire du championnat avec 197 buts avant que Victor Núñez ne le dépasse, compte dix-neuf matchs avec les " pour huit réalisations.


title: Équipe du Costa Rica de football

text: International à trente-six reprises entre 1971 et 1985, dit " est une figure du Deportivo Saprissa qui remporte six championnats nationaux consécutifs de 1972 à 1977.